# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Principios de conteo

### Objetivos de aprendizaje

1. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.
2. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.

### Objetivo 1: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.

En la teoría de la probabilidad, el resultado es un posible resultado de un experimento o prueba.

En la teoría de la probabilidad, un evento es un conjunto de resultados de un experimento.

Los eventos inconexos no pueden ocurrir al mismo tiempo. En otras palabras, son mutuamente excluyentes.

El principio de adición se aplica cuando hacemos una sola selección.

### La práctica hace la perfección

Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.

### Objetivo 2: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.

El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección.

### La práctica hace la perfección

Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.

Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto!
Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas.

### Utilizar el principio de adición

La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la .

### Utilización del principio de multiplicación

El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la .
Las opciones posibles son:
1. sopa, pollo, pastel
2. sopa, pollo, pudín
3. sopa, pescado, pastel
4. sopa, pescado, pudín
5. sopa, filete, pastel
6. sopa, filete, pudín
7. ensalada, pollo, pastel
8. ensalada, pollo, pudín
9. ensalada, pescado, pastel
10. ensalada, pescado, pudín
11. ensalada, filete, pastel
12. ensalada, filete, pudín
También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación.
También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación.

### Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos

El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación

Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared.

Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea.

Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea.

Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto.

Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros.
Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula

Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de
  objetos y queremos elegir
  objetos del conjunto en orden, escribimos
  Otra forma de escribir esto es
  una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular
  comenzamos por hallar
  el número de maneras de alinear todos los
  objetos. A continuación, dividimos entre
  para anular los elementos
  que no deseamos alinear.
Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es
  Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado.
Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente.
Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los
  objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre
  o
  que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de
  objetos tomados
  a la vez es
  o simplemente

Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente.

### Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula

Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones. Una selección de
  objetos de un conjunto de
  objetos en los que no importa el orden se puede escribir como
  Al igual que con las permutaciones,
  también puede escribirse como
  En este caso, la fórmula general es la siguiente.
En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay
  maneras de ordenar 3 cuadros. Hay
  o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros.

### Hallar el número de subconjuntos de un conjunto

Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente
  objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?
Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay
  maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay
  maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos
Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a

Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los
  objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho
  elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de
  posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir "no" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir "sí" cada vez.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos

Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría  maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las
  permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.
En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay
  maneras de ordenar las estrellas y
  maneras de ordenar las lunas.
Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Si un evento puede ocurrir en
  maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en
  maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de
  maneras. Vea el .
2. Si un evento puede ocurrir en
  maneras y un segundo evento puede ocurrir en
  maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en
  maneras. Vea el .
3. Una permutación es una ordenación de
  objetos.
4. Si tenemos un conjunto de
  objetos y queremos elegir
  objetos del conjunto en orden, escribimos

5. Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de
  Vea el  y el .
6. Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación.
7. Dados
  objetos distintos, el número de maneras de seleccionar
  objetos del conjunto es
  y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el .
8. Un conjunto que contiene
  objetos distintos tiene
  subconjuntos. Vea el .
9. Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

En los siguientes ejercicios, suponga que hay
  maneras en las que un evento
  puede ocurrir,
  maneras en las que un evento
  puede ocurrir, y que
  no se superponen.
Responda las siguientes preguntas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión.
En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Teorema del binomio

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)

### Objetivo 1: Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)

El triángulo de Pascal nos ayuda a calcular los coeficientes de los términos en la expansión de un binomio.

Para hallar los coeficientes de los términos, escribimos de nuevo nuestra expansión centrándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes. La matriz de la derecha se llama triángulo de Pascal.

Observe que en cada expansión las potencias de a en cada término disminuyen de n a 0, y las potencias de b aumentan de 0 a n.

Observe que cada número de la matriz es la suma de los dos números más cercanos de la fila anterior. Podemos hallar la siguiente fila empezando y terminando con uno y luego se suman dos números adyacentes.

Para calcular los coeficientes de la expansión del binomio , vaya a la fila que tiene el valor n como segunda entrada.

### La práctica hace la perfección

Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio.

Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular
  sin multiplicar el binomio por sí mismo
  veces.

### Identificación de coeficientes binomiales

En la sección Principios de conteo, estudiamos las combinaciones. En el atajo para calcular
  necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación
  en vez de
  pero se puede calcular de la misma manera. Así que
La combinación
  se llama coeficiente binomial. Un ejemplo de coeficiente binomial es

### Usar el teorema del binomio

Cuando expandimos
  multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir
  podríamos multiplicar
  por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.
Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de
  disminuye y el exponente de
  aumenta. La suma de los dos exponentes es
  para cada término.
A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:
Estos patrones nos llevan al teorema del binomio, que se puede usar para expandir cualquier binomio.
Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general,
  a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4.
¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio

Vea la , que ilustra lo siguiente:
1. Hay
  términos en la expansión de

2. El grado (o suma de los exponentes) de cada término es

3. Las potencias en
  comienzan con
  y disminuyen a 0.
4. Las potencias en
  comienzan con 0 y aumentan hasta

5. Los coeficientes son simétricos.
Para determinar la expansión en
  vemos que
  por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de
  el patrón es el siguiente:
1. Introduzca
  y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en
  por 1 hasta que
  se alcance.
2. Introduzca
  y luego aumente el exponente en
  por 1 hasta que
  se alcance.

La siguiente expansión sería
¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal, se muestra en la . Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad.
Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3.a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume
  para hallar el número del medio, el 2. En la
  fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.
Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general.

### Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Expandir un binomio con un exponente alto como
  puede ser un proceso largo.
A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico.
Observe el patrón de coeficientes en la expansión de

El segundo término es
  El tercer término es
  Podemos generalizar este resultado.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1.
  se llama coeficiente binomial y es igual a
  Vea el .
2. El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el .
3. Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio.
En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio
  Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes.

### Extensiones


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Probabilidad

### Objetivos de aprendizaje

1. Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.

### Objetivo 1: Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.

Muchos acontecimientos de la vida son intrínsecamente inciertos: ¿va a nevar mañana? ¿Voy a sacar una ‘A’ en este curso? Ninguna de estas preguntas puede responderse con certeza. Sin embargo, diríamos que algunas son improbables y otras más probables.

La probabilidad de un evento es una descripción de la probabilidad de que un evento ocurra. La probabilidad es un número entre 0 y 1 (es decir, entre el 0 % y el 100 %), donde las probabilidades más cercanas al 100 % son muy probables, y las más cercanas al 0 % son muy improbables. La probabilidad del 0 % significa que el suceso es imposible, y la probabilidad del 100 % significa que el evento ocurrirá con seguridad.

Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Se define por su espacio muestral, los sucesos dentro del espacio muestral y las probabilidades asociadas a cada evento.

El espacio muestral S de un modelo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para lanzar un dado es el conjunto 1,2,3,4,5,6. Esta notación se denomina notación de lista.

El suceso A es un subconjunto del espacio muestral S. Por ejemplo, el suceso: "Sacar un número par", es el subconjunto 2,4,6.

Para calcular la probabilidad de un evento, dividimos el número de resultados posibles del evento entre el número de resultados posibles del espacio muestral.

Es importante señalar que para utilizar esta fórmula, todos los resultados deben tener la misma probabilidad de ocurrir.

Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par con un dado estándar es:

### La práctica hace la perfección

Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la . Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones.

### Construir modelos de probabilidades

Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento, o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados, de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es  Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.
La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad. La probabilidad de un evento
 es un número que siempre satisface
  donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la .
La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %.

### Calcular probabilidades de resultados igualmente probables

Supongamos que
 es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de
 Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en
 Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en
 por lo que la probabilidad del evento es

### Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos

A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos
  es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos.
Supongamos que se hace girar la ruleta de la . Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a

Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es
  Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una
 Así que la probabilidad de girar a
 es
  Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y
 dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
 tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y

La probabilidad de girar a anaranjado o a
 es

### Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la , pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
 No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una
 por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es
Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de
 y
 es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es
 y la probabilidad de girar a
 es
 Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a
 simplemente al sumar las dos probabilidades.
La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
 es

### Usar la regla del complemento para calcular probabilidades

Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento
 denotado
  es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en
 Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento
 es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento
 es que el caballo pierda la carrera.
Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1.
La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es
 la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente

### Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo

Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños.
Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay
 maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay
 maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es:

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro.
2. Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el .
3. Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el .
4. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el .
5. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el .
6. La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el .
7. En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la  para calcular las probabilidades indicadas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas.
En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de
  cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados.
En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene
  azules,
  marrones,
  anaranjados,
  amarillos,
  rojos y
  M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M.

### Extensiones

Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de
  números de los números del
  al
  Después de que el jugador haga sus selecciones,
  números ganadores se seleccionan al azar entre los números del
  al
  Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente
  o
  de los
  números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana).

### Aplicaciones en el mundo real

Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años).Oficina del Censo de Estados Unidos. http://www.census.gov

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Secuencias y su notación

### Secuencias aritméticas

### Secuencias geométricas

### Las series y su notación

### Principios de conteo

### Teorema del binomio

### Probabilidad

En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados.
En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana).

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice la ruleta de la .


# Introducción a Cálculo

## Introducción

La holandesa oriunda de Etiopía Sifan Hassan ha dominado las carreras de distancia durante varios años. Fue la primera en ganar las carreras de 1.500 y 10.000 metros en un campeonato mundial. Durante los Juegos Olímpicos de Tokio, se unió a la única corredora en la historia al obtener una medalla en la rara vez intentada distancia del triple: ganó la medalla de oro en los 5.000 y 10.000 metros y el bronce en los 1.500. El estilo característico de Hassan es permanecer en la retaguardia durante gran parte de la carrera, para luego avanzar en las últimas vueltas.
Hassan no corre a su máxima velocidad a cada instante. ¿Cómo podemos entonces calcular su velocidad en un instante dado? En este capítulo hallaremos la respuesta a esta y muchas otras preguntas semejantes.


# Introducción a Cálculo

## Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

Intuitivamente, sabemos lo que es un límite. Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in.https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es.
Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites.

### Comprender la notación de límites

Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia
se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función
  entonces a medida que la entrada
  se acerca cada vez más a
  la coordenada y de salida se acerca cada vez más a
  Decimos que la salida "se acerca a"

La  proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada
  se acerca a
  el valor de salida
  se acerca a

Escribimos la ecuación de un límite como
Esta notación indica que a medida que
  se acerca a
  tanto desde la izquierda de
  y desde la derecha de
  el valor de salida se acerca a

Considere la función
Podemos factorizar la función como se muestra.
Observe que
  no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición,
  para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la .
Lo que sucede en
  es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a
  a cada lado. La notación
indica que a medida que la entrada
  se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7.
¿Qué sucede en
  Cuando
  no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como
Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como
Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando
  no está definida en
  Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que
  se acerca a
  aunque la salida en
  no existe.

### Comprender los límites izquierdo y derecho

Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La  muestra los valores de
como se han descrito anteriormente y se han representado en la .
Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la  son

  y
  Las salidas correspondientes son
  y
  Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de
  cuando
  se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función
  a medida que
  se acerca a 7.
Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la  son

  y
  Las salidas correspondientes son

  y
  Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de
  cuando
  se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función
  a medida que
  se acerca a 7.
La  muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de
  dentro del intervalo
  para producir un valor de salida de
  dentro del intervalo

También vemos que podemos obtener valores de salida de
  sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados.
La  proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de
  observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a
  a medida que
  se acerca a 7 por la izquierda y a medida que
  se acerca a 7 por la derecha.
Para indicar el límite izquierdo, escribimos
Para indicar el límite derecho, escribimos

### Comprender los límites laterales

En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que
  se acerca a
  son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función
  tiene un límites laterales a medida que
  se acerca a
  Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe.

### Hallar un límite utilizando un gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que
  se acerca a
  observamos el gráfico de la función cuando
  está muy cerca de
  En la  observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de

Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de
  pero cerca de
  Aquí es donde
  Vemos que las salidas se acercan a algún número real
  por lo que hay un límite izquierdo.
Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de
  pero cerca de
  Aquí es donde
  Vemos que las salidas se acercan a algún número real
  por lo que hay un límite derecho.
Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la , entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado.
Por último, podemos buscar un valor de salida para la función
  cuando el valor de entrada
  es igual a
  El par de coordenadas del punto sería
  Si ese punto existe, entonces
  tiene un valor. Si el punto no existe, como en la , entonces decimos que
  no existe.

### Hallar un límite utilizando una tabla

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de
  se acercan a
  de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite

Veamos un ejemplo con la siguiente función:
Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a
  Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la . Los valores de la tabla muestran que cuando
  pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando
  pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75.
Dado que
entonces
Recuerde que
  no existe.

### Conceptos clave

1. Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor
  a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad
  Vea el .
2. Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma
  que indica que a medida que
  se acerca a
  tanto desde la izquierda de
  y desde la derecha de
  el valor de salida se acerca a

3. Una función tiene un límite izquierdo si
  se acerca a
  a medida que
  se acerca a
  donde
  Una función tiene un límite derecho si
  se acerca a
  a medida que
  se acerca a
  donde

4. Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales.
5. Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función.
6. Si la función tiene un límite a medida que
  se acerca a
  las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada
  cerca de
  desde la izquierda y desde la derecha. Vea el .
7. Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a
  desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el .
8. También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función
  proporcionado en la .
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que
  se acerca a 0.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que
  se acerca a
  Si la función tiene un límite a medida que
  se acerca a
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en
  En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de
  Redondee las respuestas a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que
  se acerca al valor dado.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que
  se acerca a
  Si la función tiene un límite a medida que
  se acerca a
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Extensiones


# Introducción a Cálculo

## Hallar los límites: propiedades de los límites

Considere la función racional
La función se puede factorizar de la siguiente manera:
¿Esto significa que la función
  es lo mismo que la función

La respuesta es no. La función
  no tiene
  en su dominio, pero
  sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de
  en
  como se muestra en la  y no hay tal agujero en el gráfico de
  como se muestra en la .
Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que
  se acerca a 7?
No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que
  se acerca a
  lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a
  La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando
  es igual a

Mire de nuevo la  y la . Observe que en ambos gráficos, a medida que
  se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que
Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de
  no en
  En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición.

### Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.
Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples.

### Hallar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que
  se acerca a
  equivale a evaluar simplemente la función para
 .

### Hallar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

### Hallar el límite de un cociente

Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

### Conceptos clave

1. Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el .
2. El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el  y el .
3. El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el .
4. El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función.
5. Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el .
6. Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el .
7. Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el .
8. Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el .
9. Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente.
Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites:

 .
En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites.
En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la .

### Aplicaciones en el mundo real


# Introducción a Cálculo

## Continuidad

Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta
  y bajar solo rápidamente a
  La  muestra la función
  donde la salida de
  es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada
  es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano.
Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones.

### Determinar si una función es continua en un número

Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la  indica que a las 2 a. m. la temperatura era
 . A las 2 p. m., la temperatura había subido a
  y para las 4 p. m. era de
  En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente
  De hecho, cualquier temperatura entre
  y
  se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre
  y
  se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,
Mire de nuevo la . No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua. La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua.
Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función
  donde
  es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por
  número de horas. Vea la .
Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares.
Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada. Esta función es un ejemplo.
Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua. La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua.
Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función
  representada en la  como ejemplo.
Condición 1 Según la condición 1, la función
  definida en
  debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en
  como en la .
Condición 2 Según la condición 2, en
  el límite, escrito
  debe existir. Esto significa que en
  el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de
  en la  se acerca a
  desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y. Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en
 .
Condición 3 Según la condición 3, la coordenada
  coordenadas en
  rellena el agujero en el gráfico de
  Esto se escribe

El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la , por lo que la función es continua, ya que

De la  a la  se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en
  y la condición o condiciones que fallan.

### Identificar una discontinuidad de salto

La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en
 . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto.
Como ejemplo, mire el gráfico de la función
  en la . Observe como
  se acerca a
  cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha.

### Identificar discontinuidad removible

Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función
  representada por el gráfico en la . La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en
 . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada
  y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en
 .

### Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de
  cuando
  se acerca a
  es el mismo que el valor de
  cuando
  Así que
  Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.

### Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.
Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes.

### Cómo determinar si una función es continua

Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.

### Conceptos clave

1. Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones.
2. Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua.
3. Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones:

4. Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico "salte".
5. Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el .
6. Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el  y el .
7. Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine por qué la función
  es discontinua en un punto determinado
  en el gráfico. Indique cuál condición falla.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada
  es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la . Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de
  determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en
  y cuáles no.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función
  como en la . Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad.
En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la .


# Introducción a Cálculo

## Derivadas

El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo.
Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %.https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/
¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo.

### Hallar la tasa media de cambio de una función

Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos.
Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto.
 representa la función
  Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva.
Imaginemos un punto en la curva de la función
  en
  como se muestra en la . Las coordenadas del punto son
  Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de
  con un valor x incrementado en algún pequeño número real
  Las coordenadas de este segundo punto son
  para algún valor positivo

Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos
  y
  llamada una línea secante, si aplicamos la fórmula de la pendiente,

Utilizamos la notación
  para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos.
La pendiente
  es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos
  y

### Comprender la tasa instantánea de cambio

Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos
  en la  cada vez más pequeño. Luego
  se acercarán a
  a medida que
  se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto
  se acercará al primer punto,
  Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en
  y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en
  Vea la .
Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en
  podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función
  en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio, o la derivada de la función en
  Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en
  con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función
  tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en
  se escriben como
  y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha.
La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia.

### Derivadas: interpretaciones y notación

La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función.
1. La derivada de una función
  en un punto
  es la pendiente de la línea tangente a la curva
  en
  La derivada de
  en
  se escribe

2. La derivada
  mide cómo cambia la curva en el punto

3. La derivada
  se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función
  en

4. Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo

### Hallar derivadas de funciones racionales

Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido.

### Hallar derivadas de funciones con raíces

Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado.

### Hallar tasas instantáneas de cambio

Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea. Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por
  donde
  se mide en segundos y
  se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la  como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico s-t".

### Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio

Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en
  al observar la pendiente de la curva de la función
  en
  Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en
  y al calcular su pendiente.

### Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real

Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en
  es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función
  es
Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada.
Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir
  artículos viene dado por
  en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de
  en el dominio de la función. En otras palabras,
  se interpreta como un costo marginal, el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando
  artículos se han producido. Por ejemplo,
  es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos.
  significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares.

### Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función

Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función
  tiene una derivada en
 . Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en
 . Si se grafica la función
  es diferenciable, es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad.
Mire el gráfico en la . Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva.
Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función
  por ejemplo, es continua en
  pero no diferenciable en
  A medida que ampliamos en el 0 en la , el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo.
Ampliamos más al estrechar el rango para producir la  y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en

¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función
  no es diferenciable en

En la , vemos el gráfico de
Observe que, a medida que
  se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que
  se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en

En la , vemos el gráfico de
  Vemos que el gráfico tiene un vértice en

En la , vemos que el gráfico de
  tiene una cúspide en
  Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que
  se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva.
En la , vemos que el gráfico de
  tiene una tangente vertical en
  Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí.

### Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función

La ecuación de una línea tangente a una curva de la función
  en
  se deriva de la forma punto-pendiente de una línea,
  La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en
  y por lo tanto es igual a
  la derivada de
  en
  El par de coordenadas del punto de la línea en
  es

Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos
La ecuación de la línea tangente es

### Hallar la velocidad instantánea de una partícula

Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como . La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea.
Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el .
2. La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el , el  y el .
3. El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio:

4. Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el .
5. La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el .
6. Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el  y el .
7. Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el .
8. La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el .
9. La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo.
10. El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada
  para calcular la derivada de cada función.
En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos.
En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas.
En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado
  en la curva.
En el siguiente ejercicio, halle
  de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función
  y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para estimar la función en un valor dado de
  o la derivada a un valor determinado de
  según se indique.

### En tecnología

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen
  de un tanque de gasolina, en galones,
  minutos después del mediodía.
En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura,
  de un proyectil después de
  segundos viene dada por

En los siguientes ejercicios, el volumen
  de una esfera con respecto a su radio
  viene dado por

En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de
  artículos vienen dados por

En los siguientes ejercicios, el costo de producción de
  teléfonos móviles se describe mediante la función

### Extensión

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto

  para hallar la derivada de las funciones.

### Ejercicios de repaso del capítulo

###  Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico

En los siguientes ejercicios, utilice la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que
  se acerca a
  Si la función tiene límite a medida que
  se acerca a
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Hallar los límites: propiedades de los límites

En los siguientes ejercicios, halle los límites si
  y

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas.

### Continuidad

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en
  En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en

En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada
  es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades.

###
  Derivados

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio

En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función.
En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de
  en la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que
  se acerca a
  Si la función tiene un límite a medida que
  se acerca a
  indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite
En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada
  es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en

En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.
En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies,
  es una función de tiempo
  en segundos después del lanzamiento y está dada por la función

En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite.
En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la .
En los siguientes ejercicios, utilice la función
 .
En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición:


# Introduction to Psychology

## Introduction

Clive Wearing is an accomplished musician who lost his ability to form new memories when he became sick at the age of 46. While he can remember how to play the piano perfectly, he cannot remember what he ate for breakfast just an hour ago (Sacks, 2007). James Wannerton experiences a taste sensation that is associated with the sound of words. His former girlfriend’s name tastes like rhubarb (Mundasad, 2013). John Nash is a brilliant mathematician and Nobel Prize winner. However, while he was a professor at MIT, he would tell people that the New York Times contained coded messages from extraterrestrial beings that were intended for him. He also began to hear voices and became suspicious of the people around him. Soon thereafter, Nash was diagnosed with schizophrenia and admitted to a state-run mental institution (O’Connor & Robertson, 2002). Nash was the subject of the 2001 movie A Beautiful Mind. Why did these people have these experiences? How does the human brain work? And what is the connection between the brain’s internal processes and people’s external behaviors? This textbook will introduce you to various ways that the field of psychology has explored these questions.

### References

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# Introduction to Psychology

## What Is Psychology?

What is creativity? What are prejudice and discrimination? What is consciousness? The field of psychology explores questions like these. Psychology refers to the scientific study of the mind and behavior. Psychologists use the scientific method to acquire knowledge. To apply the scientific method, a researcher with a question about how or why something happens will propose a tentative explanation, called a hypothesis, to explain the phenomenon. A hypothesis should fit into the context of a scientific theory, which is a broad explanation or group of explanations for some aspect of the natural world that is consistently supported by evidence over time. A theory is the best understanding we have of that part of the natural world. The researcher then makes observations or carries out an experiment to test the validity of the hypothesis. Those results are then published or presented at research conferences so that others can replicate or build on the results.
Scientists test that which is perceivable and measurable. For example, the hypothesis that a bird sings because it is happy is not a hypothesis that can be tested since we have no way to measure the happiness of a bird. We must ask a different question, perhaps about the brain state of the bird, since this can be measured. However, we can ask individuals about whether they sing because they are happy since they are able to tell us. Thus, psychological science is empirical, based on measurable data.
In general, science deals only with matter and energy, that is, those things that can be measured, and it cannot arrive at knowledge about values and morality. This is one reason why our scientific understanding of the mind is so limited, since thoughts, at least as we experience them, are neither matter nor energy. The scientific method is also a form of empiricism. An empirical method for acquiring knowledge is one based on observation, including experimentation, rather than a method based only on forms of logical argument or previous authorities.
It was not until the late 1800s that psychology became accepted as its own academic discipline. Before this time, the workings of the mind were considered under the auspices of philosophy. Given that any behavior is, at its roots, biological, some areas of psychology take on aspects of a natural science like biology. No biological organism exists in isolation, and our behavior is influenced by our interactions with others. Therefore, psychology is also a social science.

### WHY STUDY PSYCHOLOGY?

Often, students take their first psychology course because they are interested in helping others and want to learn more about themselves and why they act the way they do. Sometimes, students take a psychology course because it either satisfies a general education requirement or is required for a program of study such as nursing or pre-med. Many of these students develop such an interest in the area that they go on to declare psychology as their major. As a result, psychology is one of the most popular majors on college campuses across the United States (Johnson & Lubin, 2011). A number of well-known individuals were psychology majors. Just a few famous names on this list are Facebook’s creator Mark Zuckerberg, television personality and political satirist Jon Stewart, actress Natalie Portman, and filmmaker Wes Craven (Halonen, 2011). About 6 percent of all bachelor degrees granted in the United States are in the discipline of psychology (U.S. Department of Education, 2016).
An education in psychology is valuable for a number of reasons. Psychology students hone critical thinking skills and are trained in the use of the scientific method. Critical thinking is the active application of a set of skills to information for the understanding and evaluation of that information. The evaluation of information—assessing its reliability and usefulness— is an important skill in a world full of competing “facts,” many of which are designed to be misleading. For example, critical thinking involves maintaining an attitude of skepticism, recognizing internal biases, making use of logical thinking, asking appropriate questions, and making observations. Psychology students also can develop better communication skills during the course of their undergraduate coursework (American Psychological Association, 2011). Together, these factors increase students’ scientific literacy and prepare students to critically evaluate the various sources of information they encounter.
In addition to these broad-based skills, psychology students come to understand the complex factors that shape one’s behavior. They appreciate the interaction of our biology, our environment, and our experiences in determining who we are and how we will behave. They learn about basic principles that guide how we think and behave, and they come to recognize the tremendous diversity that exists across individuals and across cultural boundaries (American Psychological Association, 2011).

### Summary

Psychology is defined as the scientific study of mind and behavior. Students of psychology develop critical thinking skills, become familiar with the scientific method, and recognize the complexity of behavior.

### Review Questions

### Critical Thinking Questions

### Personal Application Question