# Social Movements and Social Change

## Social Movements

Social movements are purposeful, organized groups that strive to work toward a common social goal. While most of us learned about social movements in history classes, we tend to take for granted the fundamental changes they caused —and we may be completely unfamiliar with the trend toward global social movements. But from the antitobacco movement that has worked to outlaw smoking in public buildings and raise the cost of cigarettes, to political uprisings throughout the Arab world, movements are creating social change on a global scale.

### Levels of Social Movements

Movements happen in our towns, in our nation, and around the world. Let’s take a look at examples of social movements, from local to global. No doubt you can think of others on all of these levels, especially since modern technology has allowed us a near-constant stream of information about the quest for social change around the world.

### Local

Local social movements typically refer to those in cities or towns, but they can also affect smaller constituencies, such as college campuses. Sometimes colleges are smaller hubs of a national movement, as seen during the Vietnam War protests or the Black Lives Matter protests. Other times, colleges are managing a more local issue. In 2012, The Cooper Union in New York City announced that, due to financial mismanagement and unforeseen downturns from the Great Recession, the college had a massive shortfall; it would be forced to charge tuition for the first time. To students at most other colleges, tuition would not seem out of line, but Cooper Union was founded (and initially funded) under the principle that it would not charge tuition. When the school formally announced the plan to charge tuition, students occupied a building and, later, the college president's office. Student action eventually contributed to the president's resignation and a financial recovery plan in partnership with the state attorney general.
Another example occurred in Wisconsin. After announcing a significant budget shortfall, Governor Scott Walker put forth a financial repair bill that would reduce the collective bargaining abilities of unions and other organizations in the state. (Collective bargaining was used to attain workplace protections, benefits, healthcare, and fair pay.) Faculty at the state's college system were not in unions, but teaching assistants, researchers, and other staff had regularly collectively bargained. Faced with the prospect of reduced job protections, pay, and benefits, the staff members began one of the earliest protests against Walker's action, by protesting on campus and sending an ironic message of love to the governor on Valentine's Day. Over time, these efforts would spread to other organizations in the state.

### State

The most impactful state-level protest would be to cease being a state, and organizations in several states are working toward that goal. Texas secession has been a relatively consistent movement since about 1990. The past decade has seen an increase in rhetoric and campaigns to drive interest and support for a public referendum (a direct vote on the matter by the people). The Texas Nationalist Movement, Texas Secede!, and other groups have provided formal proposals and programs designed to make the idea seem more feasible. Texit has become a widely used nickname and hashtag for the movement. And in February 2021, a bill was introduced to hold a referendum that would begin formal discussions on creating an independent nation—though the bill's sponsor indicated that it was mainly intended to begin conversation and evaluations rather than directly lead to secession (De Alba 2021).
States also get involved before and after national decisions. The legalization of same-sex marriage throughout the United States led some people to feel their religious beliefs were under attack. Following swiftly upon the heels of the Supreme Court Obergefell ruling, the Indiana legislature passed a Religious Freedom Restoration Act (RFRA, pronounced "rifra"). Originally crafted decades ago with the purpose of preserving the rights of minority religious people, more recent RFRA laws allow individuals, businesses, and other organizations to decide whom they will serve based on religious beliefs. For example, Arkansas's 2021 law allowed doctors to refuse to treat patients based on the doctor's religious beliefs (Associated Press 2021). In this way, state-level organizations and social movements are responding to a national decision.

### Global

Social organizations worldwide take stands on such general areas of concern as poverty, sex trafficking, and the use of genetically modified organisms (GMOs) in food. Nongovernmental organizations (NGOs) are sometimes formed to support such movements, such as the International Federation of Organic Agriculture Movement (FOAM). Global efforts to reduce poverty are represented by the Oxford Committee for Famine Relief (OXFAM), among others. The Fair Trade movement exists to protect and support food producers in developing countries. Occupy Wall Street, although initially a local movement, also went global throughout Europe and, as the chapter’s introductory photo shows, the Middle East.

### Types of Social Movements

We know that social movements can occur on the local, national, or even global stage. Are there other patterns or classifications that can help us understand them? Sociologist David Aberle (1966) addresses this question by developing categories that distinguish among social movements based on what they want to change and how much change they want. Reform movements seek to change something specific about the social structure. Examples include antinuclear groups, Mothers Against Drunk Driving (MADD), the Dreamers movement for immigration reform, and the Human Rights Campaign’s advocacy for Marriage Equality. Revolutionary movements seek to completely change every aspect of society. These include the 1960s counterculture movement, including the revolutionary group The Weather Underground, as well as anarchist collectives. Texas Secede! is a revolutionary movement. Religious/Redemptive movements are “meaning seeking,” and their goal is to provoke inner change or spiritual growth in individuals. Organizations pushing these movements include Heaven’s Gate or the Branch Davidians. The latter is still in existence despite government involvement that led to the deaths of numerous Branch Davidian members in 1993. Alternative movements are focused on self-improvement and limited, specific changes to individual beliefs and behavior. These include trends like transcendental meditation or a macrobiotic diet. Resistance movements seek to prevent or undo change to the social structure. The Ku Klux Klan, the Minutemen, and pro-life movements fall into this category.

### Stages of Social Movements

Later sociologists studied the lifecycle of social movements—how they emerge, grow, and in some cases, die out. Blumer (1969) and Tilly (1978) outline a four-stage process. In the preliminary stage, people become aware of an issue, and leaders emerge. This is followed by the coalescence stage when people join together and organize in order to publicize the issue and raise awareness. In the institutionalization stage, the movement no longer requires grassroots volunteerism: it is an established organization, typically with a paid staff. When people fall away and adopt a new movement, the movement successfully brings about the change it sought, or when people no longer take the issue seriously, the movement falls into the decline stage. Each social movement discussed earlier belongs in one of these four stages. Where would you put them on the list?

### Social Media and Social Movements

As we have mentioned throughout this text, and likely as you have experienced in your life, social media is a widely used mechanism in social movements. In the Groups and Organizations chapter, we discussed Tarana Burke first using "Me Too" in 2006 on a major social media venue of the time (MySpace). The phrase later grew into a massive movement when people began using it on Twitter to drive empathy and support regarding experiences of sexual harassment or sexual assault. In a similar way, Black Lives Matter began as a social media message after George Zimmerman was acquitted in the shooting death of 17-year-old Trayvon Martin, and the phrase burgeoned into a formalized (though decentralized) movement in subsequent years.
Social media has the potential to dramatically transform how people get involved in movements ranging from local school district decisions to presidential campaigns. As discussed above, movements go through several stages, and social media adds a dynamic to each of them. In the the preliminary stage, people become aware of an issue, and leaders emerge. Compared to movements of 20 or 30 years ago, social media can accelerate this stage substantially. Issue awareness can spread at the speed of a click, with thousands of people across the globe becoming informed at the same time. In a similar vein, those who are savvy and engaged with social media may emerge as leaders, even if, for example, they are not great public speakers.
At the next stage, the coalescence stage, social media is also transformative. Coalescence is the point when people join together to publicize the issue and get organized. President Obama’s 2008 campaign was a case study in organizing through social media. Using Twitter and other online tools, the campaign engaged volunteers who had typically not bothered with politics. Combined with comprehensive data tracking and the ability to micro-target, the campaign became a blueprint for others to build on. The 2020 elections featured a level of data analysis and rapid response capabilities that, while echoing the Obama campaign's early work, made the 2008 campaign look quaint. The campaigns and political analysts could measure the level of social media interaction following any campaign stop, debate, statement by the candidate, news mention, or any other event, and measure whether the tone or "sentiment" was positive or negative. Political polls are still important, but social media provides instant feedback and opportunities for campaigns to act, react, or—on a daily basis—ask for donations based on something that had occurred just hours earlier (Knowledge at Wharton 2020).
Interestingly, social media can have interesting outcomes once a movement reaches the institutionalization stage. In some cases, a formal organization might exist alongside the hashtag or general sentiment, as is the case with Black Lives Matter. At any one time, BLM is essentially three things: a structured organization, an idea with deep and personal meaning for people, and a widely used phrase or hashtag. It's possible that users of the hashtag are not referring to the formal organization. It's even possible that people who hold a strong belief that Black lives matter do not agree with all of the organization's principles or its leadership. And in other cases, people may be very aligned with all three contexts of the phrase. Social media is still crucial to the social movement, but its interplay is both complex and evolving.
In a similar way, MeToo activists, including Tarana Burke herself, have sought to clarify the interweaving of different aspects of the movement. She told the Harvard Gazette in 2020:
Sociologists have identified high-risk activism, such as the civil rights movement, as a “strong-tie” phenomenon, meaning that people are far more likely to stay engaged and not run home to safety if they have close friends who are also engaged. The people who dropped out of the movement—who went home after the danger became too great—did not display any less ideological commitment. But they lacked the strong-tie connection to other people who were staying. Social media had been considered “weak-tie” (McAdam 1993 and Brown 2011). People follow or friend people they have never met. Weak ties are important for our social structure, but they seemed to limit the level of risk we’ll take on their behalf. For some people, social media remains that way, but for others it can relate to or build stronger ties. For example, if people, who had for years known each other only through an online group, meet in person at an event, they may feel far more connected at that event and afterward than people who had never interacted before. And as we discussed in the Groups chapter, social media itself, even if people never meet, can bring people into primary group status, forming stronger ties.
Another way to consider the impact of social media on activism is through something that may or may not be emotional, has little implications regarding tie strength, and may be fleeting rather than permanent, but still be one of the largest considerations of any formal social movement: money. Returning to politics, think of the massive amounts of campaign money raised in each election cycle through social media. In the 2020 Presidential election and its aftermath, hundreds of millions of dollars were raised through social media. Likewise, 55 percent of people who engage with nonprofits through social media take some sort of action; and for 60 percent of them (or 33 percent of the total) that action is to give money to support the cause (Nonprofit Source 2020).

### Theoretical Perspectives on Social Movements

Most theories of social movements are called collective action theories, indicating the purposeful nature of this form of collective behavior. The following three theories are but a few of the many classic and modern theories developed by social scientists.

### Resource Mobilization

McCarthy and Zald (1977) conceptualize resource mobilization theory as a way to explain movement success in terms of the ability to acquire resources and mobilize individuals. Resources are primarily time and money, and the more of both, the greater the power of organized movements. Numbers of social movement organizations (SMOs), which are single social movement groups, with the same goals constitute a social movement industry (SMI). Together they create what McCarthy and Zald (1977) refer to as "the sum of all social movements in a society."

### Resource Mobilization and the Civil Rights Movement

An example of resource mobilization theory is activity of the civil rights movement in the decade between the mid 1950s and the mid 1960s. Social movements had existed before, notably the Women's Suffrage Movement and a long line of labor movements, thus constituting an existing social movement sector, which is the multiple social movement industries in a society, even if they have widely varying constituents and goals. The civil rights movement had also existed well before Rosa Parks refused to give up her bus seat to a white man. Less known is that Parks was a member of the NAACP and trained in leadership (A&E Television Networks, LLC. 2014). But her action that day was spontaneous and unplanned (Schmitz 2014). Her arrest triggered a public outcry that led to the famous Montgomery bus boycott, turning the movement into what we now think of as the "civil rights movement" (Schmitz 2014).
Mobilization had to begin immediately. Boycotting the bus made other means of transportation necessary, which was provided through car pools. Churches and their ministers joined the struggle, and the protest organization In Friendship was formed as well as The Friendly Club and the Club From Nowhere. A social movement industry, which is the collection of the social movement organizations that are striving toward similar goals, was growing.
Martin Luther King Jr. emerged during these events to become the charismatic leader of the movement, gained respect from elites in the federal government, and aided by even more emerging SMOs such as the Student Non-Violent Coordinating Committee (SNCC), the Congress of Racial Equality (CORE), the National Association for the Advancement of Colored People (NAACP), and the Southern Christian Leadership Conference (SCLC), among others. Several still exist today. Although the movement in that period was an overall success, and laws were changed (even if not attitudes), the "movement" continues. So do struggles to keep the gains that were made, even as the U.S. Supreme Court has recently weakened the Voter Rights Act of 1965, once again making it more difficult for Black Americans and other minorities to vote.

### Framing/Frame Analysis

Over the past several decades, sociologists have developed the concept of frames to explain how individuals identify and understand social events and which norms they should follow in any given situation (Goffman 1974; Snow et al. 1986; Benford and Snow 2000). Imagine entering a restaurant. Your “frame” immediately provides you with a behavior template. It probably does not occur to you to wear pajamas to a fine-dining establishment, throw food at other patrons, or spit your drink onto the table. However, eating food at a sleepover pizza party provides you with an entirely different behavior template. It might be perfectly acceptable to eat in your pajamas and maybe even throw popcorn at others or guzzle drinks from cans.
Successful social movements use three kinds of frames (Snow and Benford 1988) to further their goals. The first type, diagnostic framing, states the problem in a clear, easily understood way. When applying diagnostic frames, there are no shades of gray: instead, there is the belief that what “they” do is wrong and this is how “we” will fix it. The anti-gay marriage movement is an example of diagnostic framing with its uncompromising insistence that marriage is only between a man and a woman. Prognostic framing, the second type, offers a solution and states how it will be implemented. Some examples of this frame, when looking at the issue of marriage equality as framed by the anti-gay marriage movement, include the plan to restrict marriage to “one man/one woman” or to allow only “civil unions” instead of marriages. As you can see, there may be many competing prognostic frames even within social movements adhering to similar diagnostic frames. Finally, motivational framing is the call to action: what should you do once you agree with the diagnostic frame and believe in the prognostic frame? These frames are action-oriented. In the gay marriage movement, a call to action might encourage you to vote “no” on Proposition 8 in California (a move to limit marriage to male-female couples), or conversely, to contact your local congressperson to express your viewpoint that marriage should be restricted to male-female couples.
With so many similar diagnostic frames, some groups find it best to join together to maximize their impact. When social movements link their goals to the goals of other social movements and merge into a single group, a frame alignment process (Snow et al. 1986) occurs—an ongoing and intentional means of recruiting participants to the movement.
This frame alignment process has four aspects: bridging, amplification, extension, and transformation. Bridging describes a “bridge” that connects uninvolved individuals and unorganized or ineffective groups with social movements that, though structurally unconnected, nonetheless share similar interests or goals. These organizations join together to create a new, stronger social movement organization. Can you think of examples of different organizations with a similar goal that have banded together?
In the amplification model, organizations seek to expand their core ideas to gain a wider, more universal appeal. By expanding their ideas to include a broader range, they can mobilize more people for their cause. For example, the Slow Food movement extends its arguments in support of local food to encompass reduced energy consumption, pollution, obesity from eating more healthfully, and more.
In extension, social movements agree to mutually promote each other, even when the two social movement organization’s goals don’t necessarily relate to each other’s immediate goals. This often occurs when organizations are sympathetic to each others’ causes, even if they are not directly aligned, such as women’s equal rights and the civil rights movement.

Transformation means a complete revision of goals. Once a movement has succeeded, it risks losing relevance. If it wants to remain active, the movement has to change with the transformation or risk becoming obsolete. For instance, when the women’s suffrage movement gained women the right to vote, members turned their attention to advocating equal rights and campaigning to elect women to office. In short, transformation is an evolution in the existing diagnostic or prognostic frames that generally achieves a total conversion of the movement.

### New Social Movement Theory

New social movement theory, a development of European social scientists in the 1950s and 1960s, attempts to explain the proliferation of postindustrial and postmodern movements that are difficult to analyze using traditional social movement theories. Rather than being one specific theory, it is more of a perspective that revolves around understanding movements as they relate to politics, identity, culture, and social change. Some of these more complex interrelated movements include ecofeminism, which focuses on the patriarchal society as the source of environmental problems, and the transgender rights movement. Sociologist Steven Buechler (2000) suggests that we should be looking at the bigger picture in which these movements arise—shifting to a macro-level, global analysis of social movements.

### Summary

Social movements are purposeful, organized groups, either with the goal of pushing toward change, giving political voice to those without it, or gathering for some other common purpose. Social movements intersect with environmental changes, technological innovations, and other external factors to create social change. There are a myriad of catalysts that create social movements, and the reasons that people join are as varied as the participants themselves. Sociologists look at both the macro- and microanalytical reasons that social movements occur, take root, and ultimately succeed or fail.

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### References

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# Social Movements and Social Change

## Social Change

Collective behavior and social movements are just two of the forces driving social change, which is the change in society created through social movements as well as external factors. Essentially, any disruptive shift in the status quo, be it intentional or random, human-caused or natural, can lead to social change.

### Causes of Social Change

Throughout this text, we have discussed various causes and effects of social change. Below is a recap of some major drivers, including technology, social institutions, population, and the environment. Alone or in combination, these agents can disturb, improve, disrupt, or otherwise influence society.

### Technology

Some would say that improving technology has made our lives easier. Imagine what your day would be like without the Internet, the automobile, or electricity. In The World Is Flat, Thomas Friedman (2005) argues that technology is a driving force behind globalization, while the other forces of social change (social institutions, population, environment) play comparatively minor roles. He suggests that we can view globalization as occurring in three distinct periods. First, globalization was driven by military expansion, powered by horsepower and wind power. The countries best able to take advantage of these power sources expanded the most, and exert control over the politics of the globe from the late fifteenth century to around the year 1800. The second shorter period from approximately 1800 C.E. to 2000 C.E. consisted of a globalizing economy. Steam and rail power were the guiding forces of social change and globalization in this period. Finally, Friedman brings us to the post-millennial era. In this period of globalization, change is driven by technology, particularly the Internet (Friedman 2005).
Technology can change other societal forces. For example, advances in medical technology allow people to live longer, have more children, and survive some natural disasters or problems. Advances in agricultural technology have allowed us to alter food products, which impacts our health as well as the environment. A given technology can create beneficiaries, but that same technology—especially if it is disruptive—can lead others to lose their jobs, suffer from pollution, or be monitored or victimized.
The digital divide—the increasing gap between the technological haves and have-nots—exists both locally and globally. Added security issues include theft of personal information, cyber aggression, and loss of privacy. The constant change in technology leads to an almost inevitable lack of preparation for new risks on both personal and societal scales.

### The Darker Side of Technology: Electronic Aggression in the Information Age

The U.S. Center for Disease Control (CDC) uses the term "electronic aggression" to describe "any type of harassment or bullying that occurs through e-mail, a chat room, instant messaging, a website (including blogs), or text messaging" (CDC, n.d.) We generally think of this as cyberbullying. A 2011 study by the U.S. Department of Education found that 27.8 percent of students aged twelve through eighteen reported experiencing bullying. From the same sample 9 percent specifically reported having been a victim of cyberbullying (Robers et al. 2013).

Cyberbullying represents a powerful change in modern society. William F. Ogburn (1922) might have been describing it nearly a century ago when he defined "cultural lag,"  which occurs when material culture precedes nonmaterial culture. That is, society may not fully comprehend all the consequences of a new technology and so may initially reject it (such as stem cell research) or embrace it, sometimes with unintended negative consequences (such as pollution).
Cyberbullying is a special feature of the Internet. Unique to electronic aggression is that it can happen twenty-four hours a day, every day; it can reach a child (or an adult) even though she or he might otherwise feel safe in a locked house. The messages and images may be posted anonymously and to a very wide audience, and they might even be impossible to trace. Finally, once posted, the texts and images are very hard to delete. Its effects range from the use of alcohol and drugs to lower self-esteem, health problems, and even suicide (CDC, n.d.).

### Social Institutions

Each change in a single social institution leads to changes in all social institutions. For example, the industrialization of society meant that there was no longer a need for large families to produce enough manual labor to run a farm. Further, new job opportunities were in close proximity to urban centers where living space was at a premium. The result is that the average family size shrunk significantly.
This same shift toward industrial corporate entities also changed the way we view government involvement in the private sector, created the global economy, provided new political platforms, and even spurred new religions and new forms of religious worship like Scientology. It has also informed the way we educate our children: originally schools were set up to accommodate an agricultural calendar so children could be home to work the fields in the summer, and even today, teaching models are largely based on preparing students for industrial jobs, despite that being an outdated need. A shift in one area, such as industrialization, means an interconnected impact across social institutions.

### Population

Population composition is changing at every level of society. Births increase in one nation and decrease in another. Some families delay childbirth while others start bringing children into their folds early. Population changes can be due to random external forces, like an epidemic, or shifts in other social institutions, as described above. But regardless of why and how it happens, population trends have a tremendous interrelated impact on all other aspects of society.
In the United States, we are experiencing an increase in our senior population as Baby Boomers retire, which will in turn change the way many of our social institutions are organized. For example, there is an increased demand for housing in warmer climates, a massive shift in the need for elder care and assisted living facilities, and growing incidence of elder abuse. Retiring Boomers may also lead to labor or expertise shortages, and (as discussed extensively in the chapter on Aging and the Elderly) healthcare costs will increase to become a larger and larger portion of our economy.
Globally, often the countries with the highest fertility rates are least able to absorb and attend to the needs of a growing population. Family planning is a large step in ensuring that families are not burdened with more children than they can care for. On a macro level, the increased population, particularly in the poorest parts of the globe, also leads to increased stress on the planet’s resources.

### The Environment

As discussed extensively in the chapter on Population, Urbanization, and the Environment, changes in the environment and our interaction with it can have promising or devastating effects. Access to safe water is a primary determinant of health and prosperity. And as human populations expand in more vulnerable areas while natural disasters occur with more frequency, we see an increase in the number of people affected by those disasters.
Overall health and wellbeing are deeply affected by the environment even in urbanized areas. Many types of cancers, which are collectively the leading cause of death in higher-income countries, have environmental influences (Mahase 2019).

### Modernization

Modernization describes the processes that increase the amount of specialization and differentiation of structure in societies resulting in the move from an undeveloped society to a developed, technologically driven society (Irwin 1975). By this definition, the level of modernity within a society is judged by the sophistication of its technology, particularly as it relates to infrastructure, industry, and the like. However, it is important to note the inherent ethnocentric bias of such assessment. Why do we assume that those living in semi-peripheral and peripheral nations would find it so wonderful to become more like the core nations? Is modernization always positive?
One contradiction of all kinds of technology is that they often promise time-saving benefits, but somehow fail to deliver. How many times have you ground your teeth in frustration at an Internet site that refused to load or at a dropped call on your cell phone? Despite time-saving devices such as dishwashers, washing machines, and, now, remote control vacuum cleaners, the average amount of time spent on housework is the same today as it was fifty years ago. And the dubious benefits of 24/7 e-mail and immediate information have simply increased the amount of time employees are expected to be responsive and available. While once businesses had to travel at the speed of the U.S. postal system, sending something off and waiting until it was received before the next stage, today the immediacy of information transfer means there are no such breaks.
Further, the Internet bought us information, but at a cost. The morass of information means that there is as much poor information available as trustworthy sources. There is a delicate line to walk when core nations seek to bring the assumed benefits of modernization to more traditional cultures. For one, there are obvious procapitalist biases that go into such attempts, and it is short-sighted for western governments and social scientists to assume all other countries aspire to follow in their footsteps. Additionally, there can be a kind of neo-liberal defense of rural cultures, ignoring the often crushing poverty and diseases that exist in peripheral nations and focusing only on a nostalgic mythology of the happy peasant. It takes a very careful hand to understand both the need for cultural identity and preservation as well as the hopes for future growth.

### Summary

There are numerous and varied causes of social change. Four common causes, as recognized by social scientists, are technology, social institutions, population, and the environment. All four of these areas can impact when and how society changes. And they are all interrelated: a change in one area can lead to changes throughout. Modernization is a typical result of social change. Modernization refers to the process of increased differentiation and specialization within a society, particularly around its industry and infrastructure. While this assumes that more modern societies are better, there has been significant pushback on this western-centric view that all peripheral and semi-peripheral countries should aspire to be like North America and Western Europe.

### Section Quiz

### Short Answer

### References

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Wikia. 2014. "List of Environmental Organizations." Retrieved December 18, 2014 (http://green.wikia.com/wiki/List_of_Environmental_organizations).


# Funciones

## Introducción

Hacia el final del siglo XX, el valor de las acciones de las empresas de Internet y tecnología aumentó de forma espectacular. En consecuencia, el promedio bursátil de Standard and Poor's también subió. El gráfico anterior muestra el valor de esa inversión inicial de algo menos de 100 dólares a lo largo de 40 años. Muestra que una inversión que valía menos de 500 dólares hasta aproximadamente 1995 se disparó hasta unos 1.100 dólares a principios de 2000. Ese periodo de cinco años se conoció como la "burbuja de las puntocom" porque se formaron muchas empresas de Internet. Sin embargo, como suelen hacer las burbujas, la burbuja de las puntocom acabó por explotar. Muchas empresas crecieron demasiado deprisa y de repente quebraron. El resultado provocó el fuerte descenso representado en el gráfico a partir de finales de 2000.
Observe que, al considerar este ejemplo, existe una relación definida entre el año y la media bursátil. Para cualquier año que elijamos, podemos determinar el valor correspondiente de la media bursátil. En este capítulo, exploraremos estos tipos de relaciones y sus propiedades.


# Funciones

## Funciones y notación de funciones

Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones.

### Determinar si una relación representa una función

La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango. Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero.
El dominio es
  El rango es

Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada, o variable independiente, y se suele marcar con la letra minúscula
    Cada valor del rango se conoce también como valor de salida, o variable dependiente, y se suele marcar con letra minúscula

Una función
  es una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio. Es decir, no se repiten los valores x. Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio,
  está emparejado con exactamente un elemento del rango,

Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos "par" e "impar" con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como

Observe que cada elemento en el dominio,
  no está emparejado con exactamente un elemento en el rango,
  Por ejemplo, el término "impar" corresponde a tres valores del rango,
  y el término "par" corresponde a dos valores del rango,
  Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función.
La  compara las relaciones que son funciones y las que no lo son.

### Uso de la notación de función

Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones.
Para representar "la altura es una función de la edad", empezamos por identificar las variables descriptivas
  para la altura y
  para la edad. Las letras
  y
  se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos
  y
  para representar números y
  y
  para representar conjuntos.

Recuerde que podemos utilizar cualquier letra para designar la función; la notación
   nos muestra que
   depende de
  El valor
   debe introducirse en la función
   para obtener un resultado. Los paréntesis indican que la edad es la entrada en la función; no indican la multiplicación.
También podemos dar una expresión algebraica como entrada a una función. Por ejemplo
   significa “primero se suman a y b, y el resultado es la entrada para la función f”. Las operaciones deben realizarse en este orden para obtener el resultado correcto.

### Representación de funciones mediante tablas

Un método habitual para representar las funciones es en forma de tabla. Las filas o columnas de la tabla muestran los valores de entrada y salida correspondientes. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación; otras veces, la tabla ofrece algunos ejemplos seleccionados de una relación más completa.
La  indica el número de entrada de cada mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) y el valor de salida del número de días de ese mes. Esta información representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (que no es bisiesto). Observe que, en esta tabla, definimos una función de días al mes
   donde
   identifica los meses por un número entero en lugar de por su nombre.
La  define una función
   Recuerde que esta notación nos dice que
   es el nombre de la función que toma la entrada
   y da como salida

La  muestra la edad de los niños en años y sus correspondientes alturas. Esta tabla muestra solo algunos de los datos disponibles sobre la altura y la edad de los niños. Observamos enseguida que esta tabla no representa una función porque el mismo valor de entrada, 5 años, tiene dos valores de salida diferentes, 40 in y 42 in.

### Hallar los valores de entrada y salida de una función

Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, evaluamos la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida.
Cuando conocemos un valor de salida y queremos determinar los valores de entrada que producirían ese valor de salida, establecemos la salida igual a la fórmula de la función y resolvemos la entrada. La resolución puede producir más de una solución porque diferentes valores de entrada pueden producir el mismo valor de salida.

### Evaluación de funciones en formas algebraicas

Cuando tenemos una función en forma de fórmula, suele ser sencillo evaluar la función. Por ejemplo, la función
     se puede evaluar elevando al cuadrado el valor de entrada, multiplicando por 3 y restando el producto de 5.

### Evaluación de funciones expresadas en fórmulas

Algunas funciones se definen mediante reglas o procedimientos matemáticos expresados en forma de ecuación. Si es posible expresar la salida de la función con una fórmula que implique la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función en forma algebraica. Por ejemplo, la ecuación
     expresa una relación funcional entre
     y
  Podemos reescribirlo para decidir si
      es una función de

### Evaluación de una función dada en forma de tabla

Como hemos visto anteriormente, podemos representar funciones en tablas. A la inversa, podemos utilizar la información de las tablas para escribir funciones, y podemos evaluar funciones utilizando las tablas. Por ejemplo, ¿qué tan bien recuerdan nuestras mascotas los buenos recuerdos que compartimos con ellas? Hay una leyenda urbana que dice que un pez dorado tiene una memoria de 3 segundos, pero esto es solo un mito. El pez dorado puede recordar hasta 3 meses, mientras que el pez betta tiene una memoria de hasta 5 meses. Y mientras que la capacidad de memoria de un cachorro no supera los 30 segundos, el perro adulto puede recordar durante 5 minutos. Esto es escaso comparado con un gato, cuya memoria dura 16 horas.
La función que relaciona el tipo de mascota con la duración de su memoria se visualiza más fácilmente con el uso de una tabla. Vea la .http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. Consultado el 24 mar 2014.
A veces, evaluar una función en forma de tabla puede ser más útil que utilizar ecuaciones. Llamemos aquí a la función
  El dominio de la función es el tipo de mascota y el rango es un número real que representa el número de horas que dura la memoria de la mascota. Evaluamos la función
     en el valor de entrada de “pez dorado”. Escribiríamos
  Observe que, para evaluar la función en forma de tabla, identificamos el valor de entrada y el correspondiente valor de salida de la fila pertinente de la tabla. La forma de tabla de la función
     parece ideal para esta función, más que escribirla en forma de párrafo o función.

### Hallar los valores de una función a partir de un gráfico

Evaluar una función mediante un gráfico también requiere encontrar el valor de salida correspondiente para un valor de entrada dado, solo que en este caso, encontramos el valor de salida mirando el gráfico. La resolución de una ecuación de función mediante un gráfico requiere encontrar todos los casos del valor de salida dados en el gráfico y observar el valor o valores de entrada correspondientes.

### Cómo determinar si una función es biunívoca

Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares.
Sin embargo, algunas funciones solo tienen un valor de entrada para cada valor de salida, así como solo tienen una salida para cada entrada. A estas funciones las llamamos funciones biunívocas. A modo de ejemplo, considere una escuela que solo utiliza calificaciones con letras y equivalentes decimales, como se indica en la .
Este sistema de calificación representa una función biunívoca, ya que cada letra de entrada produce un promedio de calificación particular como salida y cada promedio de calificación corresponde a una letra de entrada.
Para visualizar este concepto, veamos de nuevo las dos funciones simples esbozadas en la (a) y la (b). La función de la parte (a) muestra una relación que no es una función biunívoca porque las entradas
    y
    producen una salida
    La función de la parte (b) muestra una relación que es una función biunívoca porque cada entrada está asociada a una única salida.

### Uso de la prueba de la línea vertical

Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical.
Los gráficos más comunes nombran el valor de entrada
    y el valor de salida
    y decimos
    es una función de
    o
    cuando la función se llama
    El gráfico de la función es el conjunto de todos los puntos
    en el plano que satisface la ecuación
    Si la función está definida solo para unos pocos valores de entrada, entonces el gráfico de la función son solo unos pocos puntos, donde la coordenada x de cada punto es un valor de entrada y la coordenada y de cada punto es el valor de salida correspondiente. Por ejemplo, los puntos negros del gráfico de la  nos indican que
    y
    Sin embargo, el conjunto de todos los puntos
    lo que cumple con
    es una curva. La curva mostrada incluye
    y
    porque la curva pasa por esos puntos.
La prueba de la línea vertical puede utilizarse para determinar si un gráfico representa una función. Si podemos dibujar cualquier línea vertical que cruce un gráfico más de una vez, entonces el gráfico no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada valor de entrada. Vea la .

###  Utilizar la prueba de la línea horizontal

Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal. Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca.

### Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas

En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos "funciones de la caja de herramientas", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos
    como variable de entrada y
    como variable de salida.
A lo largo de este libro veremos con frecuencia estas funciones de la caja de herramientas, sus combinaciones de funciones, sus gráficos y sus transformaciones. Será muy útil si podemos reconocer rápidamente estas funciones de la caja de herramientas y sus características por su nombre, fórmula, gráfico y propiedades básicas de la tabla. Los gráficos y los valores de la tabla de muestra se incluyen con cada función mostrada en la .

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo específico de relación en la que cada valor de dominio, o entrada, conduce exactamente a un valor de rango, o salida. Vea el  y el .
2. La notación de función es un método abreviado para relacionar la entrada con la salida de la forma
     Vea el  y el .
3. En forma de tabla, una función puede representarse mediante filas o columnas que se refieren a los valores de entrada y salida. Vea el .
4. Para evaluar una función, determinamos un valor de salida para un valor de entrada correspondiente. Las formas algebraicas de una función se pueden evaluar sustituyendo la variable de entrada por un valor determinado. Vea el  y el .
5. Para resolver el valor de una función específica, determinamos los valores de entrada que producen el valor de salida específico. Vea el .
6. La forma algebraica de una función puede escribirse a partir de una ecuación. Vea el  y el .
7. Los valores de entrada y salida de una función pueden identificarse a partir de una tabla. Vea el .
8. Relacionar los valores de entrada con los de salida en un gráfico es otra forma de evaluar una función. Vea el .
9. Una función es biunívoca si cada valor de salida corresponde a un solo valor de entrada. Vea el .
10. Un gráfico representa una función si cualquier línea vertical dibujada en él lo interseca en no más de un punto. Vea el .
11. El gráfico de una función biunívoca pasa la prueba de la línea horizontal. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.
En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa a
   en función de

En los siguientes ejercicios, evalúe
   a los valores indicados

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar qué gráficos muestran relaciones que son funciones.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico dado es una función biunívoca.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.
En los siguientes ejercicios, determine si la relación representada en forma de tabla representa
   en función de

En los siguientes ejercicios, utilice la función
   representada en la .
En los siguientes ejercicios, evalúe la función
   en los valores
   y

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones, dadas las funciones
   y

1.

2.

3.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique
  en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

###  Aplicaciones en el mundo real


# Funciones

## Dominio y rango

Las películas de terror y de suspenso son populares y, muy a menudo, muy rentables. Cuando se incluyen actores de gran presupuesto, lugares de rodaje y efectos especiales, los estudios cuentan con una audiencia aún mayor para tener éxito. Consideremos cinco grandes obras de suspenso/terror de principios del siglo XXI: Soy Leyenda, Hannibal, El Aro, La Maldición y El Conjuro. La  muestra la cantidad en dólares que recaudó cada una de esas películas cuando se estrenaron, así como la venta de entradas para las películas de terror en general por año. Observe que podemos utilizar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o el total de ventas de entradas de todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables dependientes e independientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas.

### Hallar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, se introdujeron los conceptos de dominio y rango. En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0.
Podemos visualizar el dominio como una "zona de espera" que contiene "materias primas" para una "máquina funcional" y el rango como otra "zona de espera" para los productos de la máquina. Vea la .
Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo, que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir
 Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo.
Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo.
Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo:
1. El término más pequeño del intervalo se escribe primero.
2. El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma.
3. Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo.
4. Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo.
Vea la  para conocer un resumen de la notación intervalo.

### Usar notaciones para especificar el dominio y el rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo,
 describe el comportamiento de
 en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves
 se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos
 como "el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que
 y
 es menos de 30”.
La  compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos.
Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión,
 para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos
 y
 es el conjunto
 Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es

### Hallar el dominio y el rango de los gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la .
Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde
 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es
 La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango
  y por debajo, por lo que el rango es
 Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango.

### Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una.

### Graficar funciones definidas por partes

A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto
 Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud, o módulo, de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0.
Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada.
Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada.
Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio.
Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos "límites". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total
 sería
 si
  y
  si

### Conceptos clave

1. El dominio de una función incluye todos los valores reales de entrada que no nos harían intentar una operación matemática indefinida, como dividir entre cero o sacar la raíz cuadrada de un número negativo.
2. El dominio de una función puede determinarse enumerando los valores de entrada de un conjunto de pares ordenados. Vea el .
3. El dominio de una función también puede determinarse identificando los valores de entrada de una función escrita como una ecuación. Vea el , el  y el .
4. Los valores de los intervalos representados en una recta numérica pueden describirse utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Vea el .
5. Para muchas funciones, el dominio y el rango se pueden determinar a partir de un gráfico. Vea el  y el .
6. La comprensión de las funciones de la caja de herramientas puede utilizarse para encontrar el dominio y el rango de las funciones relacionadas. Vea el , el  y el .
7. Una función definida por partes se describe con más de una fórmula. Vea el  y el .
8. Una función definida por partes se puede graficar utilizando cada fórmula algebraica en su subdominio asignado. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función utilizando la notación intervalo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, escriba el dominio y el rango de cada función utilizando la notación intervalo.
En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función definida por partes. Escriba el dominio en notación intervalo.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, dada cada función
 evaluar
 y

En los siguientes ejercicios, dada cada función
 evaluar
 y

En los siguientes ejercicios, escriba el dominio de la función definida por partes en notación intervalo.

### En tecnología

###  Extensión

###  Aplicaciones en el mundo real


# Funciones

## Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/showtext.cfm?t=ptb0524. Consultado el 5 mar 2014. muestra el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina entre los años 2005 a 2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año.
Si solo nos interesara la evolución de los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón ha pasado de 2,31 a 3,68 dólares, lo que supone un aumento de 1,37 dólares. Aunque esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto ha cambiado el precio por año. En esta sección, investigaremos cambios como estos.

### Hallar la tasa media de cambio de una función

La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la  no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada.
La letra griega
  (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos el cociente como “delta y sobre delta x" o "el cambio en
    dividido entre el cambio en
    De vez en cuando escribimos
  en vez de
  que sigue representando el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estemos cambiando la función por otra.
En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó 1,37 dólares de 2005 a 2012. A lo largo de 7 años, la tasa de cambio promedio fue
En promedio, el precio de la gasolina aumentó unos 19,6 céntimos cada año.
Otros ejemplos de tasas de cambio son:
1. Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana
2. Un automóvil que viaja a 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia en 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo)
3. Un automóvil que recorre 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón)
4. La corriente que atraviesa un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de aumento de voltaje
5. La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en 4.000 dólares por trimestre

### Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante

Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La  muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función.
Mientras que algunas funciones son crecientes (o decrecientes) en todo su dominio, muchas otras no lo son. Un valor de la entrada en el que una función pasa de ser creciente a decreciente (al ir de izquierda a derecha, es decir, al aumentar la variable de entrada) es la ubicación de un máximo local. El valor de la función en ese punto es el máximo local. Si una función tiene más de uno, decimos que tiene máximos locales. Del mismo modo, un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que la variable de entrada aumenta es la ubicación de un mínimo local. El valor de la función en ese punto es el mínimo local. La forma plural es "mínimos locales". En conjunto, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales, o valores extremos locales, de la función (la forma singular es “extremo”). A menudo, el término local se sustituye por el término relativo. En este texto, utilizaremos el término local.
Es evidente que una función no es creciente ni decreciente en un intervalo en el que es constante. Una función tampoco es creciente ni decreciente en los extremos. Observe que tenemos que hablar de extremos locales, porque cualquier extremo local dado, tal como se define aquí, no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función.
Para la función cuyo gráfico se muestra en la , el máximo local es 16, y se produce en
  El mínimo local es
    y se produce en

Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Como la cima de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en los puntos cercanos de ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La  ilustra estas ideas para un máximo local.
Estas observaciones nos llevan a una definición formal de los extremos locales.

### Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos

Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la , la  y la .

###  Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto

Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas
  (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto, respectivamente.
Para localizar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos en el dominio de la función. Vea la .
No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función de la caja de herramientas
    es una de esas funciones.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La tasa de cambio relaciona el cambio de una cantidad de salida con el de una cantidad de entrada. La tasa de cambio promedio se determina utilizando solo los datos iniciales y finales. Vea el .
2. La identificación de los puntos que marcan el intervalo en un gráfico puede utilizarse para hallar la tasa de cambio promedio. Vea el .
3. La comparación de pares de valores de entrada y salida en una tabla también puede utilizarse para encontrar la tasa de cambio promedio. Vea el .
4. Una tasa de cambio promedio también se puede calcular determinando los valores de la función en los puntos finales de un intervalo descrito por una fórmula. Vea el  y el .
5. A veces, la tasa de cambio promedio puede determinarse como una expresión. Vea el .
6. Una función es creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando su tasa de cambio es negativa. Vea el .
7. Un máximo local es cuando una función pasa de ser creciente a decreciente y tiene un valor de salida mayor (más positivo o menos negativo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
8. Un mínimo local es cuando la función pasa de ser decreciente a creciente (a medida que aumenta la entrada) y tiene un valor de salida menor (más negativo o menos positivo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
9. Los mínimos y los máximos también se llaman extremos.
10. Podemos encontrar los extremos locales de un gráfico. Vea el  y el .
11. Los puntos más altos y más bajos de un gráfico indican los máximos y los mínimos. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado para los números reales
     o

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de
     que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de cada función para estimar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
En los siguientes ejercicios, considere el gráfico mostrado en la .
En los siguientes ejercicios, considere el gráfico en la .

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para estimar los extremos locales de cada función y para estimar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

### Extensión

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones

## Composición de las funciones

Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura promedio diaria y, a su vez, la temperatura promedio diaria depende del día particular del año. Observe que acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día.
Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función
 da el costo
 de calentar una casa para una determinada temperatura promedio diaria en
 grados Celsius. La función
 da la temperatura promedio diaria en el día
 del año. Para un día cualquiera,
 significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costos a la temperatura
 Por ejemplo, podríamos evaluar
 para determinar la temperatura media diaria del 5.º día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costos a esa temperatura. Escribiríamos

Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de las funciones, que es el objetivo de esta sección.

### Combinar funciones mediante operaciones algebraicas

La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.
Supongamos que tenemos que sumar dos columnas de números que representan los ingresos anuales por separado de una pareja durante un periodo de años, y el resultado es el total de los ingresos de la familia. Queremos hacer esto para cada año, añadiendo solo los ingresos de ese año y recogiendo luego todos los datos en una nueva columna. Si los valores de
 es el ingreso de la esposa y
 es el ingreso del esposo en el año
 y queremos que
 represente los ingresos totales, entonces podemos definir una nueva función.
Si esto es cierto para todos los años, entonces podemos centrarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir
Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y cociente para cualquier par de funciones que tengan el mismo tipo de entradas (no necesariamente números) y también el mismo tipo de salidas (que sí tienen que ser números para que se les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que además deben tener las mismas unidades o ninguna cuando sumamos y restamos). De este modo, podemos pensar en funciones de suma, resta, multiplicación y división.
Para dos funciones
 y
 con salidas de números reales, definimos nuevas funciones
 y
 por las relaciones

### Crear una función por composición de las funciones

Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones. El resultado se conoce como función compuesta. Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:
Leemos el lado izquierdo como
  compuesto con
 a las
  y el lado derecho como
  de
 de
  Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo del círculo abierto
 se denomina operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando queremos destacar la relación entre las propias funciones sin referirnos a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de las funciones con la multiplicación porque, como hemos aprendido anteriormente, en la mayoría de los casos

También es importante entender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con los paréntesis, comenzando por los más internos y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la función
 toma la entrada
 primero y da una salida
 Entonces la función
 toma
 como entrada y produce una salida

En general,
 y
 son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos
 para todo
 También veremos que a veces dos funciones solo pueden componerse en un orden concreto.
Por ejemplo, si
 y
 entonces
pero
Estas expresiones no son iguales para todos los valores de
 por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el único valor de entrada

Observe que el rango de la función interior (la primera función a evaluar) tiene que estar dentro del dominio de la función exterior. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas.

### Evaluar funciones compuestas

Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

### Evaluar funciones compuestas mediante tablas

Cuando se trabaja con funciones dadas como tablas, se leen los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y se trabaja siempre de adentro hacia fuera. Primero evaluamos la función interior y luego utilizamos la salida de la función interior como entrada de la función exterior.

### Evaluar funciones compuestas mediante gráficos

Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar las funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar las tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, desde los ejes
 y
 de los gráficos.

### Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas

Cuando se evalúa una función compuesta en la que hemos creado o nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.
Aunque podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una única fórmula que calcule el resultado de una composición
 Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función como
 sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula siempre que veamos la variable de entrada.

### Halle el dominio de una función compuesta

Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como
 depende del dominio de
 y el dominio de
 Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como
 Supongamos que conocemos los dominios de las funciones
 y
 por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada
 cuando
 podemos ver de inmediato que
 debe ser miembro del dominio de
 para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que
 debe ser miembro del dominio de
 de lo contrario la segunda evaluación de la función en
 no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de
 se compone únicamente de las entradas en el dominio de
 que producen resultados de
 pertenecientes al dominio de
 Observe que el dominio de
 compuesto con
 es el conjunto de todas las
 tal que
 está en el dominio de
 y
 está en el dominio de

### Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente.

### Ecuación clave

### Conceptos clave

1. Podemos realizar operaciones algebraicas con funciones. Vea el .
2. Cuando las funciones se combinan, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa).
3. La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Vea el  y el .
4. Al interpretar el significado de las funciones compuestas hay que tener en cuenta el orden de composición de las mismas. Vea el .
5. Se puede evaluar una función compuesta evaluando la función interna utilizando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna.
6. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una tabla. Vea el .
7. Se puede evaluar una función compuesta a partir de un gráfico. Vea el .
8. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una fórmula. Vea el .
9. El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Vea el  y el .
10. Al igual que las funciones pueden combinarse para formar una función compuesta, las funciones compuestas pueden descomponerse en funciones más simples.
11. A menudo, las funciones pueden descomponerse de más de una manera. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular
 y
 Simplifique sus respuestas.
En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de funciones para hallar
 Simplifique sus respuestas.
En los siguientes ejercicios, halle las funciones
 y
 para que la función dada pueda expresarse como

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de
 que se muestra en la , y
 que se muestra en la , para evaluar las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de
 que se muestra en la ,
 que se muestra en la , y
 que se muestra en la , para evaluar las expresiones.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para
 que se muestra la  para evaluar cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para
 que se muestra en la  para evaluar las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular
 y

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones
 y
 para evaluar o encontrar la función compuesta como se indica.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice
 y

En los siguientes ejercicios, supongamos que

 y

En los siguientes ejercicios, halle la composición cuando
 para todas las
 y

### Aplicaciones en el mundo real