# Funciones

## Transformación de funciones

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación.

### Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver.

### Identificación del desplazamiento vertical

Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función
   la función
   se desplaza verticalmente
   unidades. Vea la  a modo de ejemplo.
Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que
  Por lo tanto,
  equivale a
  Cada unidad de
  se sustituye por
  por lo que el valor
  valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de
  El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo.

### Identificar el desplazamiento horizontal

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la .
Por ejemplo, si
  entonces
  es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en

###  Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida (
  ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada (
  ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda.

### Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y. La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la .
Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y.

### Determinar las funciones pares e impares

Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas
    o
    dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y. Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares.
Si los gráficos de
    o
    se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la .
Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar.
Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo,
    no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante

### Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad.
Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente.

###  Estiramiento y compresión vertical

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical. La  muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes.

###  Estiramiento y compresión horizontal

Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función.
Dada una función
   la forma
   da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función
   Observe la . El gráfico de
   es el estiramiento horizontal del gráfico de la función
   por un factor de 2. El gráfico de
   es la compresión horizontal del gráfico de la función
   por un factor de .

### Realizar una secuencia de transformaciones

Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero.
Cuando vemos una expresión como
  ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de
    multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma.
Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos
    por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función
    se relacionan con las entradas a la función
    Supongamos que sabemos
    ¿Qué entrada a
    produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de
    permitirá
    Necesitaríamos
    Para resolver
    primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal.
Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función.
Exploremos un ejemplo.
Podemos sacar un factor común 2.
Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una función puede desplazarse verticalmente al sumar una constante a la salida. Vea el  y el .
2. Una función puede desplazarse horizontalmente al sumar una constante a la entrada. Vea el , el  y el .
3. Relacionar el desplazamiento con el contexto de un problema permite comparar e interpretar los desplazamientos verticales y horizontales. Vea el .
4. A menudo se combina el desplazamiento vertical con el horizontal. Vea el  y el .
5. La reflexión vertical refleja un gráfico con respecto al eje
 . Un gráfico puede reflejarse verticalmente al multiplicar la salida por -1.
6. La reflexión horizontal refleja un gráfico con respecto al eje
 . Un gráfico puede relejarse horizontalmente al multiplicar la entrada por -1.
7. Un gráfico puede reflejarse tanto vertical como horizontalmente. El orden en que se aplican las reflexiones no afecta el gráfico final. Vea el .
8. Una función presentada en forma tabular también puede reflejarse al multiplicar los valores de las filas o columnas de entrada y salida según corresponda. Vea el .
9. La función presentada en forma de ecuación puede reflejarse al aplicar las transformaciones una a la vez. Vea el .
10. Las funciones pares son simétricas con respecto al eje
 , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen.
11. Las funciones pares satisfacen la condición

12. Las funciones impares cumplen la condición

13. Una función puede ser impar, par o ninguna de las dos. Vea el .
14. Una función puede comprimirse o estirarse verticalmente al multiplicar la salida por una constante. Vea el , el  y el .
15. Una función puede comprimirse o estirarse horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante. Vea el , el  y el .
16. El orden en el que se apliquen las distintas transformaciones no afecta la función final. Las transformaciones verticales y horizontales deberán aplicarse en el orden indicado. Sin embargo, una transformación vertical puede combinarse con una transformación horizontal en cualquier orden. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original

En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de
   que se muestra en la  para dibujar un gráfico de cada transformación de

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes.
En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función
   que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito.
En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la  para dibujar las transformaciones dadas.


# Funciones

## Funciones de valor absoluto

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto.

### Comprensión del valor absoluto

Recordemos que en su forma básica
    la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo.

### Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la .
La  muestra el gráfico de
  El gráfico de
  se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en
    para esta función transformada.

### Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como
    observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente.
Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto. Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado.
La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

### Resolver una inecuación de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma
donde la expresión
    (y posiblemente, pero no usualmente
  ) depende de una variable
  Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores
     que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.
Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico.
Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como
Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores
  tales que la distancia entre
    y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre
    y 600 como

Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares.
A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva.

### Conceptos clave

1. La función de valor absoluto se utiliza habitualmente para medir las distancias entre los puntos. Vea el .
2. Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se resuelven con la función de valor absoluto. Vea el .
3. El gráfico de la función valor absoluto se parece a una letra V. Tiene un vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Vea el .
4. En una ecuación de valor absoluto, una incógnita de la variable es la entrada de una función de valor absoluto.
5. Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo, espere dos soluciones para la incógnita. Vea el .
6. La ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución. Vea el .
7. La inecuación de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto, pero tiene la forma
     Se resuelve al delimitar el conjunto de soluciones y luego probar cuáles segmentos están en el conjunto. Vea el .
8. Las inecuaciones de valor absoluto se resuelven gráficamente. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación.

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones

## Funciones inversas

Una bomba de calor reversible es un sistema de climatización que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo aparato. Si funciona en una dirección, bombea el calor de una casa para proporcionar refrigeración. Funcionando a la inversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en tiempo frío, para proporcionar calefacción. La bomba de calor es varias veces más eficiente que la calefacción por resistencia eléctrica convencional.
Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las "máquinas" de funciones que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La  ofrece una representación visual de esta cuestión. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

###  Comprobar que dos funciones son inversas

Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius. Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula
y sustituye 75 por
 para calcular
Sabiendo que una temperatura agradable de 75 grados Fahrenheit equivale a unos 24 grados Celsius, Betty obtiene la previsión meteorológica de la semana a partir de la  para Milán, y quiere convertir todas las temperaturas a grados Fahrenheit.
Al principio, Betty se plantea utilizar la fórmula que ya ha encontrado para efectuar las conversiones. Después de todo, conoce el álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para
 después de sustituir un valor por
 Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir
Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Se percata de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener otra fórmula, que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit.
La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de función inversa, que es aquella para la que la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.
Dada una función
 representamos su inversa como
 que se lee como
 inversa de
 El elevado
 forma parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de
. En otras palabras,
 no significa
 porque
 es el recíproco de
 y no la inversa.
La notación "exponencial" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que
 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número no nulo
 por lo que
 es igual a la función de identidad, es decir:
Esto es válido para todos los valores
 en el dominio de
 Informalmente, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, así como el cero no tiene recíproco, algunas funciones no tienen inversa.
Dada una función
 podemos verificar si alguna otra función
 es la inversa de
 al comprobar si
 o
 es verdadera. Podemos probar cualquier ecuación que sea más conveniente, porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra).
Por ejemplo,
 y
 son funciones inversas.
y
Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función
 son (-2, -8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función
 son (-8, -2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa.

### Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas

Las salidas de la función
 son las entradas a
 por lo que el rango de
 es también el dominio de
 Asimismo, dado que las entradas a
 son las salidas de
 el dominio de
 es el rango de
 Podemos visualizar la situación como en la .
Cuando una función no tenga inversa, es posible crear una función en un dominio limitado donde sí la tenga. Por ejemplo, la inversa de
 es
 porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es apenas la inversa de la raíz cuadrada en el dominio
 ya que ese es el rango de

Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática de la caja de herramientas)
 Si queremos construir la inversa de esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y -3. Sin embargo, la salida de una función es la entrada para su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la "inversa" no es una función en absoluto! Por decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función biunívoca; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene ninguna función inversa. Para que tenga una inversa, deberá ser una función biunívoca.
En muchos casos, si la función no es biunívoca, podemos restringirla a una parte de su dominio en la que lo sea. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada
 con su dominio limitado a
 que es una función biunívoca (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada).
Si los valores de
 en
 entonces la función inversa es

1. El dominio de
 = rango de
 =

2. El dominio de
 = rango de
 =

###  Hallar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

### Invertir funciones tabulares

Supongamos que queremos hallar la inversa de una función representada en forma tabular. Recuerde que el dominio de la función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Así que tenemos que intercambiar el dominio y el rango.
Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas de la función inversa. Del mismo modo, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa.

### Evaluación de la inversa de una función, dado el gráfico de la función original

Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función puede leerse a partir de la extensión horizontal de su gráfico. Hallamos el dominio de la función inversa observando la extensión vertical del gráfico de la función original, ya que esta corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. Del mismo modo, hallamos el rango de la función inversa a partir de la extensión horizontal del gráfico de la función original, ya que es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, hallamos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original.

### Hallar las inversas de las funciones representadas por fórmulas

A veces necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para algunos. Si la función original viene dada como una fórmula —por ejemplo,
 en función de
 a menudo podemos hallar la función inversa al resolver para obtener
  en función de

### Hallar funciones inversas y sus gráficos

Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática
 restringida al dominio
 en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la .
Restringir el dominio a
 hace que la función sea biunívoca (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido.
Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática de la caja de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir,
 ¿Qué sucede si graficamos tanto
 y
 en el mismo conjunto de ejes, donde utilizamos el eje
 para la entrada, tanto para

Observamos una clara relación: el gráfico de
 es el gráfico de
 reflejado sobre la línea diagonal
 que llamaremos línea de identidad, y que se indica en la .
Esta relación se observará en todas las funciones biunívocas, porque es el resultado de que la función y su inversa intercambien entradas y salidas. Esto equivale a intercambiar los papeles de los ejes vertical y horizontal.

### Conceptos clave

1. Si los valores de
 es la inversa de
 entonces
 Vea el , el  y el .
2. Cada una de las funciones de la caja de herramientas tiene una inversa. Vea el .
3. Para que una función tenga una inversa, deberá ser biunívoca (pasar la prueba de la línea horizontal).
4. Aquella función que no sea biunívoca en todo su dominio puede serlo en parte de su dominio.
5. Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa. Vea el .
6. La inversa de la función puede determinarse en puntos específicos en su gráfico. Vea el .
7. Para hallar la inversa de una fórmula, resuelva la ecuación
 para
 en función de
 A continuación, intercambie las etiquetas
 y
 Vea el , el  y el .
8. El gráfico de una función inversa es la reflexión del gráfico de la función original a través de la línea

Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, calcule
 por cada función.
En los siguientes ejercicios, halle un dominio en el que cada función
 sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de
 restringida a ese dominio.
En los siguientes ejercicios, utilice la composición de funciones para verificar que
 y
 son funciones inversas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico representa una función biunívoca.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de
 que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función biunívoca que se muestra en la .

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe o resuelva, suponiendo que la función
 es biunívoca.
En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la  para evaluar o resolver.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle la función inversa. A continuación, grafique la función y su inversa.

### Aplicaciones en el mundo real

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Funciones y notación de funciones

En los siguientes ejercicios, determine si la relación es una función.
En los siguientes ejercicios, evalúe la función en los valores indicados:

En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son biunívocas.
En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si la relación cuyo gráfico se proporciona es una función.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para estimar los valores.
En los siguientes ejercicios, utilice la función
 para estimar los valores.

### Dominio y rango

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función, y exprese las respuestas utilizando la notación intervalo.

### Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa promedio de cambio de las funciones a partir de

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para determinar los intervalos en los que las funciones son crecientes, decrecientes o constantes.

### Composición de las funciones

En los siguientes ejercicios, calcule
 y
  por cada par de funciones.
En los siguientes ejercicios, calcule
 y el dominio para
 por cada par de funciones.
En los siguientes ejercicios, exprese cada función
 como una composición de dos funciones
 y
 donde

### Transformación de funciones

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función dada.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función
 si el gráfico de la función
 se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, anote la ecuación de la función estándar representada por cada uno de los gráficos que aparecen a continuación.
En los siguientes ejercicios, determine si cada función de abajo es par, impar o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, analice el gráfico y determine si la función graficada es par, impar o ninguna de las dos.

### Funciones de valor absoluto

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para la transformación de

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto.
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de valor absoluto.
En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación y exprese la solución con la notación de intervalo.

### Funciones inversas

En los siguientes ejercicios, calcule
  por cada función.
En el siguiente ejercicio, halle un dominio en el que la función
  sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de
  restringida a ese dominio.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, determine si cada una de las siguientes relaciones es una función.
En los siguientes ejercicios, evalúe la función
 en la entrada dada.
En los siguientes ejercicios, utilice las funciones
 para hallar las funciones compuestas.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones al trasladar, estirar o comprimir una función de la caja de herramientas.
En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son pares, impares o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de
 que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función definida por partes que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la .


# Funciones lineales

## Introducción

Imagínese que coloca una planta en el suelo un día y descubre que ha crecido el doble a los pocos días. Aunque parezca increíble, esto ocurre con ciertas especies de bambú. Estos miembros de la familia de las gramíneas son las plantas que más rápido crecen en el mundo. Se ha observado que una especie de bambú crece casi 1,5 pulgadas cada hora.http://www.guinnessworldrecords.com/records-3000/fastest-growing-plant/ En un lapso de veinticuatro horas, esta planta de bambú crece unas 36 pulgadas, es decir, ¡unos increíbles 3 pies! Una tasa de cambio constante, como el ciclo de crecimiento de esta planta de bambú, es una función lineal.
Recordemos de Funciones y notación de funciones que una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento en el rango. Las funciones lineales son un tipo específico de función que se utiliza para modelar muchas aplicaciones en el mundo real, como el crecimiento de las plantas en el tiempo. En este capítulo, exploraremos las funciones lineales, sus gráficos y cómo relacionarlas con los datos.


# Funciones lineales

## Funciones lineales

Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai (). Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos.http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm
Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado.

### Representar funciones lineales

La función que describe el movimiento del tren es una función lineal, la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método.

### Representar una función lineal en forma verbal

Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones.
1. La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo (entrada) aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente (salida) aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación.

### Representar una función lineal en notación de funciones

Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde
 es el valor de entrada,
 es la tasa de cambio y
 es el valor inicial de la variable dependiente.
En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación
 en la que la distancia total
 es una función del tiempo
  La tasa,
 es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente
 es la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren.

### Representar una función lineal en forma tabular

Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la . En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo.

### Representar una función lineal de forma gráfica

Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba,
 para dibujar un gráfico, representado en la . Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta.
La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en , de la línea. Podemos ver en el gráfico de la  que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es
 y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea
 Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto.

### Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante

Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente, como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en (a). En el caso de una función decreciente, la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la (b). Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la (c).

### Calcular e interpretar la pendiente

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada,
  y
  y dos valores correspondientes para la salida,
 y
, que puede representarse mediante un conjunto de puntos,
 y
, podemos calcular la pendiente
 como sigue
donde  es el desplazamiento vertical y   es el desplazamiento horizontal. Observe en la notación de la función dos valores correspondientes a la salida  y  para la función
   y  por lo que podríamos escribir de forma equivalente
la  indica cómo se calcula la pendiente de la línea entre los puntos,
 y
. Recordemos que la pendiente mide la inclinación. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más pronunciada será la línea.

### Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal

Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente.
La forma punto-pendiente se deriva de la fórmula de la pendiente.
Tenga presente que la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente pueden utilizarse para describir la misma función. Podemos pasar de una forma a otra con el álgebra básica. Por ejemplo, supongamos que nos dan una ecuación en forma de punto-pendiente,
. Podemos convertirla a la forma pendiente-intersección, como se indica.
Por lo tanto, la misma línea puede describirse en forma de pendiente-intersección como

### Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente

La forma punto-pendiente es especialmente útil si conocemos un punto y la pendiente de una línea. Supongamos, por ejemplo, que nos dicen que una línea tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto
 Sabemos que
 y que
 y
 Podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente.
Si quisiéramos reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, aplicaríamos técnicas algebraicas.
Ambas ecuaciones,
 y
 describen la misma línea. Vea la .

### Escribir la ecuación de una línea con dos puntos

La forma punto-pendiente de una ecuación también sirve si conocemos dos puntos cualesquiera por los que pasa una línea. Supongamos, por ejemplo, que sabemos que una línea pasa por los puntos
 y
 Podemos utilizar las coordenadas de los dos puntos para calcular la pendiente.
Ahora podemos utilizar la pendiente que hemos calculado y las coordenadas de uno de los puntos para hallar la ecuación de la línea. Utilicemos (0, 1) para nuestro punto.
Como antes, podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección.
Ambas ecuaciones describen la línea mostrada en la .

### Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal

Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función
 en la .
No se nos da la pendiente de la línea, pero podemos elegir dos puntos cualesquiera para determinar la pendiente. Elijamos
 y
 Podemos utilizar estos puntos para calcular la pendiente.
Ahora podemos sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente.
Si queremos reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección, hallaríamos
Si quisiéramos determinar la forma pendiente-intersección sin escribir primero la forma punto-pendiente, podríamos haber reconocido que la línea cruza el eje y cuando el valor de salida es 7. Por lo tanto,  Ahora tenemos el valor inicial  y la pendiente  por lo que podemos sustituir  y  en la forma pendiente-intersección de una línea.
Así que la función es
 y la ecuación lineal sería

### Modelar problemas del mundo real con funciones lineales

En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea.
2. Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el .
3. La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente.
4. Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función.
5. El valor inicial, o intersección en y, es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y.
6. La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva.
7. La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa.
8. La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal.
9. El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el .
10. La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el  y el .
11. La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea.
12. Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación.
13. La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el .
14. La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el .
15. La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente  y el valor inicial  son conocidas. Vea el , el , y el .
16. La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el  y el .
17. La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse como una función lineal.
En los siguientes ejercicios, determine si cada función es creciente o decreciente.
En los siguientes ejercicios, calcule la pendiente de la línea que pasa por los dos puntos dados.
En los siguientes ejercicios, dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de las líneas graficadas.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para las líneas graficadas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, ¿cuál de las tablas podría representar una función lineal? Para cada uno de los que podrían ser lineales, halle una ecuación lineal que modele los datos.

### En tecnología

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones lineales

## Gráficos de funciones lineales

Dos compañías telefónicas de la competencia ofrecen diferentes planes de pago. Los dos planes cobran la misma tarifa por minuto de larga distancia, pero cobran una tarifa plana mensual diferente. Un consumidor quiere determinar si los dos planes costarán alguna vez la misma cantidad para un número determinado de minutos de larga distancia utilizados. El costo total de cada plan de pago puede representarse mediante una función lineal. Para resolver el problema, tendremos que comparar las funciones. En esta sección, consideraremos los métodos de comparación de funciones mediante gráficos.

### Gráficos de funciones lineales

En Funciones lineales, vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características.
Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y, así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad

### Graficar una función mediante el trazado de puntos

Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función,  podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto  Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto  A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error.

### Graficar una función mediante la intersección en y, además de la pendiente

Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y, que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en , podemos establecer  en la ecuación.
La otra característica de la función lineal es su pendiente  que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales.
Consideremos la función siguiente.
La pendiente es  Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando  El gráfico cruza el eje y en  Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y. Podemos empezar a graficar al trazar el punto  Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido,  De nuestro ejemplo, tenemos  lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y  podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la .

### Graficar una función mediante transformaciones

Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad . Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión.

### Estiramiento o compresión vertical

En la ecuación  el plano  actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando  es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la  al multiplicar la ecuación de  por  estira el gráfico de  por un factor de  unidades si  y comprime el gráfico de  por un factor de  unidades si  Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de  mayor será la pendiente.

### Desplazamiento vertical

En  el plano  actúa como el desplazamiento vertical, al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la  que la adición de un valor de  a la ecuación de  desplaza el gráfico de  un total de  unidades hacia arriba si  es positivo y  unidades hacia abajo si  es negativo.
El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método.

### Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta

Recuerde que en Funciones lineales, escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la . Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto  así que esta es la intersección y.
Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto
  Para llegar desde este punto hasta la intersección en y, debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser
Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene

### Hallar la intersección en x de una línea

Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y. Una función también puede tener una intersección en , que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x. En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero.
Para hallar la intersección en x, se establece una función  igual a cero y se resuelve para el valor de  Por ejemplo, considere la función indicada.
Iguale la función a 0 y resuelva para
El gráfico de la función cruza el eje x en el punto

### Describir líneas horizontales y verticales

Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y. En la , vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos  en la ecuación  la ecuación se simplifica a  En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función
Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x. Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida.
Observe que una línea vertical, como la que aparece en la , tiene una intersección en x, pero no tiene intersección en y, a menos que sea la línea  Este gráfico representa la línea

### Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares

Las dos líneas en la  son líneas paralelas: nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y. Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea.
Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas.
A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la  son perpendiculares.
Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si  y  son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1.
Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es  y el recíproco de  es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo.
Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares.
El producto de las pendientes es -1.

### Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada

Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada.

### Escribir ecuaciones de líneas paralelas

Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación.
Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es  Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a  Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a
Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a  y pasa por el punto  Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para  dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección.
Así que  es paralela a  y pasa por el punto

### Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares

Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función:
La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es  Cualquier función con una pendiente de  será perpendicular a  Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a
Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a  y pasa por el punto  Ya sabemos que la pendiente es  Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para
La ecuación de la función con pendiente de  y una intersección en y de 2 es
Así que  es perpendicular a  y pasa por el punto  Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico

Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema.
Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que  En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación.

### Conceptos clave

1. Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y, además de la pendiente. Vea el  y el .
2. Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el .
3. La intersección en y, además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea.
4. La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x. Vea el  y el .
5. Las líneas horizontales se escriben en la forma, Vea el .
6. Las líneas verticales se escriben en la forma, Vea el .
7. Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.
8. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el .
9. Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación  y utilizando el  resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el .
10. Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el  y el .
11. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para  El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x.
12. Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de cada ecuación.
En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de cada par de líneas que se dan a continuación para calcular las pendientes de la línea 1 y la línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos?

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación lineal dada con su gráfico en la .
En los siguientes ejercicios, dibuje una línea con las características dadas.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada ecuación.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, halle el punto de intersección de cada par de líneas, si existe. Si no existe, indique que no hay punto de intersección.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones lineales

## Modelado con funciones lineales

Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal.

### Identificar los pasos para modelar y resolver problemas

Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante, solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente:
1. Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas.
2. Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
3. Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar.
4. A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema.
5. Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
6. Resuelva o evalúe la función con la fórmula.
7. Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático.
8. Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario.

### Construir modelos lineales

Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.
1. Salida:
 dinero restante, en dólares
2. Entrada:
 tiempo, en semanas
Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas:

También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.
1. Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de

2. Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente.
Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana.
La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal
 Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado.
Para calcular la intersección en
 llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada.
Las intersecciones en
 es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas.
Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en
, a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es:

En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal.

### Utilizar una intersección dada para construir un modelo

Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en
, que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en
, la intersección en
 puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en
 es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal.
Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para
 para hallar la intersección en
.
Las intersecciones en
  es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en
  es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo.

###  Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo

Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.

### Utilizar un diagrama para modelar un problema

En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura.

### Construir sistemas de modelos lineales

Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la .
1. Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función.
2. Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y. Vea el .
3. Dibuje un diagrama, si procede. Vea el  y el .
4. Compruebe si la respuesta es razonable.
5. Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y.
6. La intersección en x se halla al establecer
  que iguala la expresión
  a 0.
7. El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el .
8. Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea.

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio,
  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado,
  donde
  representa el número de años desde 1980.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio,
  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado,
  donde
  representa el número de años desde 1980.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.
En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones lineales

## Ajuste de modelos lineales a los datos

Un profesor intenta identificar las tendencias entre las puntuaciones de los exámenes finales. En su clase hay una mezcla de alumnos, por lo que se pregunta si hay alguna relación entre la edad y las notas de los exámenes finales. Una forma de analizar las puntuaciones es crear un diagrama que relacione la edad de cada alumno con la puntuación recibida en el examen. En esta sección, examinaremos uno de estos diagramas, el cual se conoce como diagrama de dispersión.

### Dibujar e interpretar gráficos de dispersión

El diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados capaz de mostrar una relación entre dos conjuntos de datos. Si la relación procede de un modelo lineal, o de un modelo casi lineal, el profesor puede sacar conclusiones por medio de su conocimiento acerca de funciones lineales. La  muestra un ejemplo de gráfico de dispersión.
Observe que este gráfico de dispersión no indica ninguna relación lineal. Los puntos no parecen seguir ninguna tendencia. En otras palabras, no parece haber ninguna relación entre la edad del estudiante y la puntuación en el examen final.

### Hallar la línea de mejor ajuste

Una vez que reconocemos la necesidad de una función lineal para modelar esos datos, la pregunta obvia que sigue es "¿cuál es esa función lineal?”. Una forma de aproximar nuestra función lineal es trazar la línea que parezca ajustarse mejor a los datos. Entonces podemos extender la línea hasta que podamos verificar la intersección en y. Podemos calcular la pendiente de la línea al extenderla hasta que podamos estimar la

### Reconocer la interpolación o la extrapolación

Aunque los datos de la mayoría de los ejemplos no caen perfectamente sobre la línea, la ecuación es nuestra mejor conjetura sobre cómo se comportará la relación fuera de los valores para los que tenemos datos. Utilizamos un proceso conocido como interpolación cuando predecimos un valor dentro del dominio y el rango de los datos. La extrapolación se utiliza cuando predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos.
La  compara los dos procesos para los datos del chirrido de los grillos que se abordan en el . Podemos ver que la interpolación se produciría si utilizamos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos están entre 18,5 y 44. La extrapolación se produciría si utilizáramos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos fueran inferiores a 18,5 o superiores a 44.
Hay una diferencia entre hacer predicciones dentro del dominio y del rango de valores para los que tenemos datos y fuera de ese dominio y rango. Predecir un valor fuera del dominio y del rango tiene sus limitaciones. Cuando nuestro modelo deja de ser válido a partir de cierto momento, a veces se denomina ruptura del modelo. Por ejemplo, la predicción de una función de costos para un periodo de dos años implicaría el examen de los datos en los que la entrada es el tiempo en años y la salida es el costo. Sin embargo, si intentamos extrapolar un costo cuando  que es dentro de 50 años, el modelo no se aplicaría porque no podríamos contabilizar factores a la vuelta de cincuenta años.

### Hallar la línea de mejor ajuste con una herramienta gráfica

Si bien es cierto que la observación de una línea funciona razonablemente bien, existen técnicas estadísticas para ajustar una línea a los datos que minimizan las diferencias entre la línea y los valores de los datosTécnicamente, el método minimiza la suma de las diferencias al cuadrado en la dirección vertical entre la línea y los valores de los datos.. Una de estas técnicas se denomina regresión de mínimos cuadrados y puede estimarse con muchas calculadoras gráficos, programas de hojas de cálculo, programas estadísticos y muchas calculadoras en líneaPor ejemplo, http://www.shodor.org/unchem/math/lls/leastsq.html. La regresión de mínimos cuadrados es un medio para determinar la línea que mejor se ajusta a los datos, y aquí nos referiremos a este método como regresión lineal.

### Distinguir entre modelos lineales y no lineales

Como hemos visto anteriormente con el modelo de grillo-chirrido, algunos datos muestran fuertes tendencias lineales. Sin embargo, otros datos, como las puntuaciones de los exámenes finales representadas por la edad, son claramente no lineales. La mayoría de las calculadoras y los programas informáticos también pueden proporcionarnos el coeficiente de correlación, que es una medida del grado de ajuste de la línea a los datos. Muchas calculadoras gráficas requieren que el usuario active una selección de "diagnóstico" para determinar el coeficiente de correlación, que los matemáticos denominan  El coeficiente de correlación es una forma sencilla de hacerse una idea de lo cerca que están los datos de una línea.
Deberíamos calcular el coeficiente de correlación únicamente para los datos que siguen un patrón lineal o para determinar el grado en que un conjunto de datos es lineal. Si los datos presentan un patrón no lineal, el coeficiente de correlación de una regresión lineal no tiene sentido. Para tener una idea de la relación entre el valor de  y el gráfico de los datos, la  muestra algunos grandes conjuntos de datos con sus coeficientes de correlación. Recuerde que, en todos los gráficos, el eje horizontal muestra la entrada y el eje vertical la salida.

### Predecir con la línea de regresión

Una vez que determinamos que un conjunto de datos es lineal utilizando el coeficiente de correlación, podemos utilizar la línea de regresión para hacer predicciones. Como hemos aprendido anteriormente, la línea de regresión es la que más se acerca a los datos en el gráfico de dispersión, lo que significa que solo una de esas líneas es la que mejor se ajusta a los datos.

### Conceptos clave

1. Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el .
2. Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales.
3. La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el .
4. La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el .
5. El coeficiente de correlación,  indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el .
6. La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el .
7. La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de dispersión para los datos proporcionados. ¿Parece que los datos están relacionados linealmente?

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, haga coincidir cada gráfico de dispersión con una de las cuatro correlaciones especificadas en la  y la .
En los siguientes ejercicios, dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados.

### Numéricos

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de datos para determinar la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación con una precisión de 3 decimales.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas, así como el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:
 .

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año a lo largo de los diez años, (población, año) para determinados años registrados:

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa aumentó de forma constante durante un período de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:
 .
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles de durante el período de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Funciones lineales

### Gráficos de funciones lineales

En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de la ecuación dada
En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de los pares de líneas para hallar las pendientes de la Línea 1 y la Línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos?

### Modelado con funciones lineales

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la  que muestra el beneficio,  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado,  donde  representa los años desde 1980.

En el siguiente ejercicio, considere esta situación: En 2004, la población escolar era de 1.700 personas. En 2012 la población había crecido hasta las 2.500 personas.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: En el año 2000, la población de alces en el parque se midió en 6.500 ejemplares. En 2010, la población se contabilizó en 12.500 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La mediana de los valores de las viviendas en las subdivisiones Pima Central y East Valley (ajustados a la inflación) se muestra en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

### Ajuste de modelos lineales a los datos

En los siguientes ejercicios, considere los datos en la , donde se muestra el porcentaje de desempleados en una ciudad de residentes mayores de 25 años de edad que son graduados universitarios, y que se ofrece a continuación, por año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año en un período de diez años (población, año) para determinados años registrados:

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, , donde  representa los años desde 1980.
En los siguientes ejercicios, utilice la , que muestra el porcentaje de desempleados mayores de 25 años que son graduados universitarios en una ciudad en particular, por año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población (en centenas) y el año en el lapso de diez años, (población, año) para determinados años registrados:


# Funciones polinómicas y racionales

## Introducción

No hace falta sumergirse mucho para sentir los efectos de la presión. Cuando una persona en la piscina de su vecindario se desplaza ocho, diez, veinte pies hacia abajo, suele sentir dolor en los oídos como consecuencia de las diferenciales de presión del agua y del aire. La presión desempeña un papel mucho más importante en las profundidades de buceo del océano.
Los buceadores con escafandra autónoma y en apnea negocian constantemente los efectos de la presión para experimentar inmersiones agradables, seguras y productivas. Los gases del sistema respiratorio y del aparato de buceo de una persona interactúan según ciertas propiedades físicas, que al ser descubiertas y evaluadas se conocen colectivamente como las leyes de los gases. Algunas son conceptualmente sencillas, como la relación inversa entre presión y volumen, y otras son más complejas. Aunque sus fórmulas parecen más sencillas que muchas de las que se encontrarán en este capítulo, las leyes de los gases son generalmente expresiones polinómicas.


# Funciones polinómicas y racionales

## Números complejos

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como
Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él.

### Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i

Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario
  se define como la raíz cuadrada de 1 negativo.
Entonces, con las propiedades de los radicales,
Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de
  Considere la raíz cuadrada de –25.
Utilizamos
  y no
  porque la raíz principal de
  es la raíz positiva.
Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe
  donde
  es la parte real y
  es la parte imaginaria. Por ejemplo,
  es un número complejo. También lo es

Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

### Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados
  donde
  representa la coordenada del eje horizontal y
  representa la coordenada del eje vertical.
Consideremos el número
  La parte real del número complejo es
  y la parte imaginaria es
  Trazamos el par ordenado
  para representar el número complejo
  como se muestra en la .

### Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

### Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado.

### Multiplicar un número complejo por un número real

Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo,

### Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos
Ya que
  tenemos
Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

### Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de
  es

Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de
  es
  y el conjugado complejo de
  es
  Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí.
Supongamos que queremos dividir
  entre
  donde ni
  ni
  son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos.
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
Aplicamos la propiedad distributiva.
Simplificamos, recordando que

### Simplificar las potencias de i

Las potencias de
  son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos
  a potencias crecientes.
Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de
  es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando
  por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de

### Conceptos clave

1. La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como múltiplo de

Vea el .
2. Para representar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Vea el .
3. Los números complejos se pueden sumar y restar al combinar las partes reales y las partes imaginarias. Vea el .
4. Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.
5. Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Vea el , el  y el .
6. Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Vea el , el  y el .
7. Las potencias de
  son cíclicas, pues se repiten cada cuatro. Vea el .

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada.
En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado.