# Estadística descriptiva

## Medidas de la dispersión de los datos

Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media.

### La desviación típica

1. proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y
2. se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media.

### La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos

La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación.
Supongamos que estamos estudiando el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B. El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A, la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B, la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos.
Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B. En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio.

### Cálculo de la desviación típica

Si x es un número, la diferencia "x menos la media" se denomina su deviación. En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ. Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x –
 .
El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ.
Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x –
  para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones. Formalmente, la varianza es el segundo momento de la distribución o el primer momento alrededor de la media. Recuerde que la media es el primer momento de la distribución.
Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N, el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre , uno menos que el número de elementos de la muestra.

### Fórmulas para la desviación típica de la muestra

1.
  o
  o

2.  Para la desviación típica de la muestra, el denominador es , es decir, el tamaño de la muestra menos 1.

### Fórmulas para la desviación típica de la población

1.

  o
  o
2. Para la desviación típica de la población el denominador es N, el número de elementos de la población.
En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres. Dos observaciones importantes sobre la varianza y la desviación típica: las desviaciones se miden a partir de la media y las desviaciones se elevan al cuadrado. En principio, las desviaciones podrían medirse desde cualquier punto, sin embargo, nuestro interés es la medición desde el peso central de los datos, lo que es el valor "normal" o más habitual de la observación. Más adelante trataremos de medir lo “inusual" de una observación o de una media muestral y, por tanto, necesitamos una medida a partir de la media. La segunda observación es que las desviaciones son al cuadrado. Esto tiene dos efectos: primero, hace que las desviaciones sean todas positivas y segundo, cambia las unidades de medida de la media y de las observaciones originales. Si los datos son pesos, la media se mide en libras, pero la varianza se mide en libras al cuadrado. Una de las razones para utilizar la desviación típica es volver a las unidades de medida originales tomando la raíz cuadrada de la varianza. Además, cuando las desviaciones se elevan al cuadrado su valor aumenta en gran medida. Por ejemplo, una desviación de 10 de la media al cuadrado es 100, pero una desviación de 100 de la media es 10.000. Lo que hace esto es dar un gran peso a los valores atípicos al calcular la varianza.

### Tipos de variabilidad en las muestras

Cuando se trata de estudiar una población, a menudo se utiliza una muestra, ya sea por conveniencia o porque no es posible acceder a toda la población. La variabilidad es el término utilizado para describir las diferencias que pueden darse en estos resultados. Los tipos de variabilidad más comunes son los siguientes:

1. Variabilidad de observación o de medición
2. Variabilidad natural
3. Variabilidad inducida
4. Variabilidad de la muestra
He aquí algunos ejemplos para describir cada tipo de variabilidad.

Ejemplo 1: Variabilidad de la mediciónLa variabilidad de la medición se produce cuando hay diferencias en los instrumentos utilizados para medir o en las personas que utilizan esos instrumentos. Si recopilamos datos sobre el tiempo que tarda una pelota en caer desde una altura haciendo que los estudiantes midan el tiempo de la caída con un cronómetro, podemos experimentar una variabilidad en la medición si los dos cronómetros utilizados son de diferentes fabricantes: Por ejemplo, un cronómetro mide al segundo más cercano, mientras que el otro mide a la décima de segundo más cercana. También podemos experimentar la variabilidad de las mediciones porque dos personas diferentes recopilan los datos. Sus tiempos de reacción al pulsar el botón del cronómetro pueden ser diferentes, por lo que los resultados variarán en consecuencia. Las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de las mediciones.
Ejemplo 2: Variabilidad naturalLa variabilidad natural surge de las diferencias que se producen de forma natural porque los miembros de una población difieren entre sí. Por ejemplo, si tenemos dos plantas de maíz idénticas y las exponemos a la misma cantidad de agua y luz solar, pueden crecer a ritmos diferentes simplemente porque son dos plantas de maíz diferentes. La diferencia de resultados puede explicarse por la variabilidad natural.

Ejemplo 3: Variabilidad inducidaLa variabilidad inducida es la contrapartida de la variabilidad natural; se produce porque hemos inducido artificialmente un elemento de variación (que, por definición, no estaba presente de forma natural): Por ejemplo, asignamos personas a dos grupos diferentes para estudiar la memoria, e inducimos una variable en un grupo limitando la cantidad de sueño que tienen. La diferencia de resultados puede verse afectada por la variabilidad inducida.

Ejemplo 4: Variabilidad de la muestraLa variabilidad de la muestra se produce cuando se toman varias muestras aleatorias de la misma población. Por ejemplo, si se realizan cuatro encuestas a 50 personas seleccionadas al azar de una población determinada, las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de la muestra.

### Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla

Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado. Al elevar al cuadrado las desviaciones, estamos penalizando en extremo las observaciones que se alejan de la media; estas observaciones tienen mayor peso en los cálculos de la varianza. Más adelante veremos que la varianza (desviación típica) desempeña un papel fundamental para determinar nuestras conclusiones en la estadística inferencial. Podemos empezar ahora utilizando la desviación típica como medida de lo "inusual": "¿Cómo te fue en el examen?" "¡Fantástico! Dos desviaciones típicas por encima de la media". Esto, como veremos, es una nota de examen excepcionalmente buena.
La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos.
Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra, se divide entre el tamaño de la muestra menos uno (n – 1). ¿Por qué no dividir entre n? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Esta estimación nos obliga a utilizar una cifra estimada de la media de la población en lugar de la media real de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre (n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población.
La desviación típica, s o σ, es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes.

### Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas

Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula  donde
   frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo.
Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media.

### Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos

La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa.
1. Para cada valor de los datos x, calcule a cuántas desviaciones típicas de su media se encuentra el valor.
2. Utilice la fórmula: x = media + (n.º de STDEV)(de STandard DEViation o desviación típica); resuelva para n.º de STDEV.
3.

4. Compare los resultados de este cálculo.
N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z”; podemos utilizar el símbolo z. En símbolos, las fórmulas se convierten en:
Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos.
2. Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
3. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla de Chebyshev.
2. Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media.
3. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
4. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla empírica.
6. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores.

### Coeficiente de variación

Otra forma útil de comparar distribuciones, además de las simples comparaciones de medias o desviaciones típicas, es ajustar las diferencias en la escala de los datos que se miden. Sencillamente, una gran variación en los datos con una media grande es diferente a la misma variación en los datos con una media pequeña. Para ajustar la escala de los datos subyacentes se ha desarrollado el coeficiente de variación (CV). Matemáticamente, el:

Podemos ver que esto mide la variabilidad de los datos subyacentes como un porcentaje del valor medio; el peso central del conjunto de datos. Esta medida es útil para comparar el riesgo cuando se justifica un ajuste debido a las diferencias de escala de dos conjuntos de datos. En efecto, la escala se cambia a escala común, diferencias porcentuales, y permite la comparación directa de las dos o más magnitudes de variación de diferentes conjuntos de datos.

### Referencias

Datos de Microsoft Bookshelf.
King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013).

### Repaso del capítulo

La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población.
1. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos.
2. s =
  o s =
  es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ, y la fórmula σ =
  o σ =
 .

### Revisión de la fórmula

 donde

Fórmulas para la desviación típica de la muestra
  o
  o  Para la desviación típica de la muestra, el denominador es , es decir, el tamaño de la muestra – 1.

Fórmulas para la desviación típica de la población
  o
  o  Para la desviación típica de la población, el denominador es N, el número de elementos de la población.

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150
Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84.

### Tarea para la casa

Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005.
1. μ = 1.000 FTES
2. mediana = 1.014 FTES
3. σ = 474 FTES
4. primer cuartil = 528,5 FTES
5. tercer cuartil = 1.447,5 FTES
6. n = 29 años

### Resúmalo todo

 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio.


# Temas de probabilidad

## Introducción

A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo.
Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático.


# Temas de probabilidad

## Terminología

La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito. Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento.
El producto de un experimento se llama resultado. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = {H, T} donde H = cara y T = cruz son los resultados.
Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P(A).
La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P(A) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P(A) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P(A) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara).
Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara (H) que de que salga cruz (T). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta.
Para calcular la probabilidad de un evento , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es {HH, TH, HT, TT} donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición {HT, TH}, por lo que P(A) =
  = 0,5.
Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P(E) =
 . Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general,  de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de  a medida que el número de repeticiones aumenta.
Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números, que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado).
Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados. Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables.
"Un resultado es en el caso A  B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B. Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista.
"Un resultado es en el caso A  B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A  B = {4, 5}.
El complemento del evento A se denomina A′ (léase “A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A. Observe que P(A) + P(A′) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P(A) = , P(A′) =  y P(A) + P(A′) =
  = 1
La probabilidad condicional de A dada B se escribe P(AB). P(AB) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral. Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B. La fórmula para calcular P(AB) es P(AB) =
  donde P(B) es mayor que cero.
Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P(AB), contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S).
Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados.
P(AB) =

PosibilidadLas probabilidades de un evento presentan la probabilidad como un cociente entre el éxito y el fracaso. Esto es común en varios formatos de juego. Matemáticamente, la posibilidad de un evento se define como:
donde P(A) es la probabilidad de éxito y, por supuesto, 1 − P(A) es la probabilidad de fracaso. La posibilidad se expresa siempre como "numerador a denominador", por ejemplo: 2 a 1. En este caso, la probabilidad de ganar es el doble de la de perder; por ende, la probabilidad de ganar es de 0,66. Un 0,60 en la probabilidad de ganar generaría la posibilidad a favor de ganar de 3 a 2. Aunque el cálculo de la posibilidad pudiera servir en los locales de juegos de azar para determinar el monto del pago, es inútil para entender ni la probabilidad ni la teoría estadística.
Entender la terminología y los símbolosEs importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay.

### Referencias

“Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive.

### Revisión de la fórmula

A y B son eventos
P(S) = 1 donde S es el espacio muestral
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(AB) =

Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área.

Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo.

Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres.

### Tarea para la casa


# Temas de probabilidad

## Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo.

### Eventos independientes

Dos eventos son independientes si uno de los siguientes es cierto:
1.
2.
3.
Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes.
El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo.
1. Con reemplazo: si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda.
2. Sin reemplazo: cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes.
Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario.

### Eventos mutuamente excluyentes

A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho de otra manera, si A ocurrió entonces B no puede ocurrir y viceversa. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y
	.
Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A  B = {4, 5}.
	 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que
	. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes.
Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario. Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos.

### Referencias

Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes.
En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes.

### Revisión de la fórmula

Si  y  son independientes,   y
Si  y  son mutuamente excluyentes,  y

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. Entre enero y diciembre de 2012, Gallup entrevistó a más de 170.000 estadounidenses de 18 años o más con empleo. El gráfico que se muestra está elaborado a partir de datos recogidos por Gallup. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional.

### Resúmalo todo


# Temas de probabilidad

## Dos reglas básicas de la probabilidad

Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no.

### La regla de multiplicación

Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces . Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra "y".
Esta regla también puede escribirse como:
Esta ecuación se lee como la probabilidad de A dado que B es igual a la probabilidad de A y B dividido entre la probabilidad de B.
Si A y B son independientes, entonces
	. Entonces
	 se convierte en
	 porque el
	 si A y B son independientes.
Una forma fácil de recordar la regla de la multiplicación es que la palabra "y" significa que el evento tiene que satisfacer dos condiciones. Por ejemplo, el nombre extraído de la lista de la clase debe ser tanto una mujer como un estudiante de segundo año. Es más difícil satisfacer dos condiciones que una sola y, por supuesto, cuando multiplicamos fracciones el resultado es siempre menor. Esto refleja la creciente dificultad de satisfacer dos condiciones.

### La regla de adición

Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces
	. Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra "o". La razón por la que restamos la intersección de A y B es para no contar dos veces los elementos que están en A y B.
Si A y B se excluyen mutuamente, entonces
	. Entonces
	 se convierte en
	.

### Referencias

DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013).
Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del Wall Street Journal.
Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B, así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A, B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común.

### Revisión de la fórmula

La regla de multiplicación: P(A  B) = P(AB)P(B)
La regla de adición: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos.
En este problema supongamos que:

Supongamos que se selecciona al azar un californiano.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango.


# Temas de probabilidad

## Tablas de contingencia y árboles de probabilidad

### Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.

### Diagramas de árbol

A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.

### Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.

### Referencias

“Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013).
Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. Disponible en línea en http://www.unitedbloodservices.org/learnMore.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013).
Haiman, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson y Loīc Le Marchand. “Ethnic and Racial Differences in the Smoking-Related Risk of Lung Cancer”. The New England Journal of Medicine, 2013. Disponible en línea en http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (consultado el 2 de mayo de 2013).
Samuel, T. M. “Strange Facts about RH Negative Blood”. eHow Health, 2013. Disponible en línea en http://www.ehow.com/facts_5552003_strange-rh-negative-blood.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
“United States: Uniform Crime Report – State Statistics from 1960-2011”. The Disaster Center. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/crime/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos del Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara.
Datos de la Sociedad Americana del Cáncer.
Datos de The Data and Story Library, 1996. Disponible en línea en http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de la Administración Federal de Carreteras, que forma parte del Departamento de Transporte de Estados Unidos.
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, que forma parte del Departamento de Comercio de Estados Unidos.
Datos de USA Today.
“Environment”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/topic/environment (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Search for Datasets”. Roper Center: Public Opinion Archives, University of Connecticut, 2013. Disponible en línea en https://ropercenter.cornell.edu/?s=Search+for+Datasets (consultado el 6 de febrero de 2019).

### Repaso del capítulo

Hay varias herramientas que pueden ayudar a organizar y clasificar datos cuando se calculan probabilidades. Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes.
Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas.


# Temas de probabilidad

## Diagramas de Venn

### Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes del idioma en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión.
Los diagramas de Venn deben su nombre a su inventor, John Venn, profesor de matemáticas en Cambridge y ministro anglicano. Su trabajo principal se llevó a cabo a finales de la década de 1870 y dio lugar a toda una rama de las matemáticas y a una nueva forma de abordar los problemas de lógica. Desarrollaremos las reglas de probabilidad que acabamos de abarcar utilizando esta poderosa forma de demostrar los postulados de la probabilidad, que incluye la regla de la adición, la regla de la multiplicación, la regla del complemento, la independencia y la probabilidad condicional.
La  muestra la relación más básica entre estos números. En primer lugar, los números están en grupos llamados conjuntos; conjunto A y conjunto B. Algunos números están en ambos conjuntos; decimos que en el conjunto A  en el conjunto B. La palabra “y” significa inclusivo, es decir, que tiene las características tanto de A como de B, o en este caso, que forma parte tanto de A como de B. Esta condición se llama INTERSECCIÓN de los dos conjuntos. Todos los miembros que forman parte de ambos conjuntos constituyen la intersección de los dos conjuntos. La intersección se escribe como  donde  es el símbolo matemático de la intersección. La afirmación  se lee como "A interseca B". Puede recordarlo pensando en la intersección de dos calles.
También están los números que forman un grupo que, para ser miembro, el número debe estar en uno u otro grupo. El número no tiene que estar en AMBOS grupos, sino solamente en uno de los dos. Estos números se llaman la UNIÓN de los dos conjuntos y en este caso son los números 1-5 (de A exclusivamente), 7-9 (del conjunto B exclusivamente) y también el 6, que está en ambos conjuntos A y B. El símbolo de la UNIÓN es , por lo tanto  los números 1-9, pero excluye los números 10, 11 y 12. Los valores 10, 11 y 12 forman parte del universo, pero no están en ninguno de los dos conjuntos.
Traducir la palabra “Y” al símbolo lógico matemático , intersección, y la palabra "O" al símbolo matemático , la unión, proporciona una forma muy precisa de discutir los temas de la probabilidad y la lógica. La terminología general de las tres áreas del diagrama de Venn en la  se muestra en la .
Para resolver el  tuvimos que recurrir al concepto de probabilidad condicional de la sección anterior. Allí utilizamos diagramas de árbol para seguir los cambios en las probabilidades, porque el espacio muestral cambiaba a medida que dibujábamos sin reemplazo. En resumen, la probabilidad condicional es la posibilidad de que algo ocurra dado que algún otro evento ya ha ocurrido. Dicho de otro modo, la probabilidad de que algo ocurra condicionada a la situación de que otra cosa también sea cierta. En el  la probabilidad P(CPT) es la probabilidad condicional de que el estudiante extraído al azar sea socio del club, condicionada al hecho de que el estudiante también trabaje a tiempo parcial. Esto nos permite ver la relación entre los diagramas de Venn y los postulados de probabilidad.

### La regla de la suma de probabilidades

Antes conocimos la regla de la adición, pero sin la ayuda de los diagramas de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a visualizar el proceso de recuento inherente al cálculo de la probabilidad. Para reafirmar la regla de la suma de probabilidades:

Recuerde que la probabilidad es simplemente la proporción de los objetos que nos interesan en relación con el número total de objetos. Por eso podemos ver la utilidad de los diagramas de Venn. El  muestra cómo podemos utilizar los diagramas de Venn para contar el número de perros en la unión de marrón y macho recordándonos que hay que restar la intersección de marrón y macho. Podemos ver el efecto de esto directamente en las probabilidades en la regla de adición.

### La regla de la multiplicación de la probabilidad

Reformulando la regla de multiplicación de la probabilidad utilizando la notación de los diagramas de Venn, tenemos:
La regla de la multiplicación puede modificarse con un poco de álgebra en la siguiente regla condicional. A continuación, se pueden utilizar diagramas de Venn para demostrar el proceso.
La regla condicional:
Utilizando los mismos datos del  de arriba, halle la probabilidad de que alguien obtenga una "B" si es un "novato".
La regla de multiplicación también debe modificarse si los dos eventos son independientes. Los eventos independientes se definen como una situación en la que la probabilidad condicional es simplemente la probabilidad del evento de interés. Formalmente, la independencia de los eventos se define como  o . Al lanzar monedas, el resultado de la segunda tirada es independiente del resultado de la primera; las monedas no tienen memoria. La regla de multiplicación de la probabilidad para eventos independientes pasa a ser:
Una forma fácil de recordar esto es considerar lo que queremos decir con la palabra "y". Vemos que la regla de multiplicación ha traducido la palabra "y" a la notación Venn para intersección. Por lo tanto, el resultado debe cumplir las dos condiciones de primer año y nota de "B" en el ejemplo anterior. Es más difícil, menos probable, cumplir dos condiciones que una sola o alguna otra. Podemos intentar ver la lógica de la regla de la multiplicación de la probabilidad debido a que las fracciones multiplicadas entre sí se hacen más pequeñas.
El desarrollo de las reglas de la probabilidad con el uso de los diagramas de Venn puede mostrarse como una ayuda al querer calcular probabilidades a partir de datos dispuestos en una tabla de contingencia.

### Repaso del capítulo

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S o universo de los objetos de interés junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan grupos de eventos llamados conjuntos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar la  de eventos, la  de eventos, y el complemento de un evento y para entender las probabilidades condicionales. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar una Intersección de dos eventos, una Unión de dos eventos o un Complemento de un evento. Un sistema de diagramas de Venn también puede ayudar a entender las probabilidades condicionales. Los diagramas de Venn conectan el cerebro y los ojos haciendo coincidir la aritmética literal con una imagen. Es importante señalar que se necesita más de un diagrama de Venn para resolver las fórmulas de reglas de probabilidad introducidas en la Sección 3.3.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La  muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos.

### Resúmalo todo

Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más.

### Tarea para la casa

Utilice la información de la  La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección.

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de  muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas (R), cuatro amarillas (Y) y cinco azules (B). Para la moneda, P(H) =
  y P(T) =
  donde H es cara y T es cruz.


# Variables aleatorias discretas

## Introducción

Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %?
Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio histórico es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico?
Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar, es decir, la variable aleatoria solo puede tomar valores de números enteros. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento, a menudo llamado ensayo.

### Notación de la variable aleatoria

La letra mayúscula X denota una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si
Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT; THH; HTH; HHT; HTT; THT; TTH; HHH. Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores como números enteros que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta.

### Funciones de densidad de probabilidad (pdf) para una variable aleatoria

Una función de densidad de probabilidad o función de distribución de probabilidad tiene dos características:
1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive.
2. La suma de las probabilidades es uno.
Una función de densidad de probabilidad es una fórmula matemática que calcula las probabilidades de determinados tipos de eventos, lo que hemos llamado experimentos. La función de densidad de probabilidad (probability density function, pdf) es como una receta mágica, en parte porque la misma fórmula suele describir tipos de eventos muy diferentes. Por ejemplo, la pdf binomial calculará las probabilidades de lanzar monedas, de las preguntas de respuesta afirmativa o negativa en un examen, de las opiniones de los votantes en una encuesta de opinión a favor o en contra, en definitiva, de cualquier evento binario. Otras funciones de densidad de probabilidad proporcionarán probabilidades para el tiempo que falta para que una pieza falle, cuándo llegará un cliente a la cabina de peaje de la autopista, el número de llamadas que llegan a una central telefónica, la tasa de crecimiento de una bacteria, etc. Existen familias enteras de funciones de densidad de probabilidad que se utilizan en una gran variedad de aplicaciones, como la medicina, los negocios y las finanzas, la física y la ingeniería, entre otras.
Para nuestro propósito aquí nos concentraremos en solo algunas funciones de densidad de probabilidad mientras desarrollamos las herramientas de la estadística inferencial.

### Fórmulas de recuento y fórmula combinatoria

Recordemos que la probabilidad del evento A, P(A), es simplemente el número de formas en que el experimento dará como resultado A, en relación con el número total de resultados posibles del experimento.
Como ecuación esto es:

Cuando observamos el espacio muestral para lanzar 3 monedas, podemos escribir fácilmente el espacio muestral completo y, por lo tanto, podemos contar fácilmente el número de eventos que cumplen nuestro resultado deseado, por ejemplo, x = 1 , donde X es la variable aleatoria definida como el número de caras.
A medida que tenemos un mayor número de elementos en el espacio muestral, como una baraja completa de 52 cartas, la posibilidad de escribir el espacio muestral se vuelve imposible.
Vemos que las probabilidades no son más que contar los eventos de cada grupo que nos interesa y dividirlos por el número de elementos del universo, o espacio muestral. Esto es bastante fácil si contamos los estudiantes de segundo año de una clase de Estadística, pero en casos más complicados enumerar todos los posibles resultados puede llevarnos toda la vida. Hay, por ejemplo, 36 resultados posibles al lanzar solo dos dados de seis caras en los que la variable aleatoria es la suma del número de puntos de las caras que miran hacia arriba. Si hubiera cuatro dados, el número total de resultados posibles sería de 1.296. Hay más de 2,5 MILLONES de posibles manos de póker de 5 cartas en una baraja estándar de 52 cartas. Evidentemente, llevar la cuenta de todas estas posibilidades y contarlas para llegar a una única probabilidad sería, en el mejor de los casos, tedioso.
Una alternativa a la enumeración del espacio muestral completo y al recuento del número de elementos que nos interesan, es saltarse el paso de enumerar el espacio muestral, y simplemente calcular el número de elementos que contiene y hacer la división correspondiente. Si buscamos una probabilidad, realmente no necesitamos ver todos y cada uno de los elementos del espacio muestral, solo necesitamos saber cuántos elementos hay. Las fórmulas de recuento se inventaron precisamente para eso. Nos indican el número de subconjuntos desordenados de un determinado tamaño que se pueden crear a partir de un conjunto de elementos únicos. Por desordenado se entiende que, por ejemplo, al repartir las cartas, no importa si tienes {as, as, as, as, rey} o {rey, as, as, as, as} o {as, rey, as, as, as} y así sucesivamente. Cada uno de estos subconjuntos es el mismo porque cada uno tiene 4 ases y un rey.

### Fórmula combinatoria

Es la fórmula que indica el número de subconjuntos desordenados únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n elementos únicos. La fórmula se lee "n combinatoria x". A veces se lee como "n elegir x". El signo de exclamación "!" se llama factorial y nos dice que hay que tomar todos los números desde el 1 hasta el número que precede al ! y multiplicarlos juntos, por lo que 4! es 1-2-3-4=24. Por definición 0! = 1. La fórmula se denomina fórmula combinatoria. También se llama coeficiente binomial, por razones que se aclararán en breve. Aunque este concepto matemático se comprendió mucho antes de 1653, se atribuye a Blaise Pascal el mayor mérito por la demostración que publicó en ese año. Además, desarrolló un método generalizado de cálculo de los valores de las combinatorias que conocemos como el Triángulo de Pascal. Pascal fue uno de los genios de una época de extraordinarios avances intelectuales que incluyó la obra de Galileo, René Descartes, Isaac Newton, William Shakespeare y el perfeccionamiento del método científico, la propia razón de ser del tema de este texto.
Vamos a encontrar por las malas el número total de combinaciones de los cuatro ases de una baraja de cartas si las tomamos de dos en dos. El espacio muestral sería:
S={Picas, Corazón),(Picas, Diamante),(Picas, Tréboles), (Diamante, Tréboles),(Corazón, Diamante),(Corazón, Tréboles)}
Hay 6 combinaciones; formalmente, seis subconjuntos desordenados únicos de tamaño 2 que se pueden crear a partir de 4 elementos únicos. Para utilizar la fórmula combinatoria resolveríamos la fórmula de la siguiente manera:

Si quisiéramos saber el número de manos únicas de póquer de 5 cartas que se pueden crear a partir de un mazo de 52 cartas, simplemente calcularíamos:

donde 52 es el número total de elementos únicos de los que estamos sacando y 5 es el grupo de tamaño en el que los estamos poniendo.
Con la fórmula combinatoria podemos contar el número de elementos de un espacio muestral sin tener que escribir cada uno de ellos, lo que realmente es el trabajo de toda una vida para solo el número de 5 manos de cartas de una baraja de 52. Ahora podemos aplicar esta herramienta a una función de densidad de probabilidad muy importante, la distribución hipergeométrica.

Recuerde que una función de densidad de probabilidad calcula las probabilidades por nosotros. Simplemente ponemos los números adecuados en la fórmula y obtenemos la probabilidad de eventos específicos. Sin embargo, para que estas fórmulas funcionen deben aplicarse solo a los casos para los que fueron diseñadas.

### Repaso del capítulo

Las características de una distribución de probabilidad o función de densidad (PDF) son las siguientes:
1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive (inclusive significa incluir el cero y el uno).
2. La suma de las probabilidades es uno.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad.
Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía.
Supongamos que P(x) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo.


# Variables aleatorias discretas

## Distribución hipergeométrica

La función de densidad de probabilidad más sencilla es la hipergeométrica. Es la más básica porque se crea combinando nuestro conocimiento de las probabilidades a partir de los diagramas de Venn, las reglas de adición y multiplicación y la fórmula de recuento combinatorio.
Para hallar el número de formas de obtener 2 ases de los cuatro que hay en la baraja, calculamos:

Y si no nos importara qué más tenemos en la mano para las otras tres cartas calcularíamos:

Uniendo todo esto, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos ases en una mano de póquer de 5 cartas como:

Esta solución es en realidad la distribución de probabilidad conocida como hipergeométrica. La fórmula generalizada es:

donde x = el número que nos interesa procedente del grupo con A objetos.
h(x) es la probabilidad de x aciertos, en n intentos, cuando los aciertos A (ases en este caso) están en una población que contiene N elementos. La distribución hipergeométrica es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta porque no hay posibilidad de éxito parcial, es decir, no puede haber manos de póquer con 2 1/2 ases. Dicho de otro modo, una variable aleatoria discreta tiene que ser un número entero, o que se pueda contar, solamente. Esta distribución de probabilidad funciona en los casos en que la probabilidad de éxito cambia con cada extracción de cartas. Otra forma de decir esto es que los eventos NO son independientes. Al utilizar una baraja de cartas, estamos haciendo un muestreo SIN reemplazo. Si volvemos a poner cada carta después de haberla sacado, la distribución hipergeométrica sería una pdf inadecuada.

Para que el hipergeométrico funcione,

### Repaso del capítulo

La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n objetos únicos para ayudarnos a calcular las probabilidades. La fórmula combinatoria es
Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:
1. Toma muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
4. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés.
   .

### Revisión de la fórmula

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra.

### TAREA PARA LA CASA


# Variables aleatorias discretas

## Distribución binomial

Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las grabaciones musicales en CD.

### Fórmula binomial

donde b(x) es la probabilidad de X aciertos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER ENSAYO es p. Y, por supuesto, q=(1-p) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo.
Ahora podemos ver por qué la fórmula combinatoria se llama también coeficiente binomial, ya que vuelve a aparecer aquí en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Lanzar una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento no depende de lo que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. (En este momento hay que señalar que utilizar p para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de la población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto se utiliza θ (pronunciado theta) en lugar de p y así es como debe ser.
Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación típica que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial vienen dadas por las fórmulas:

Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. La distribución binomial se considera, pues, de la familia de las distribuciones de probabilidad de un parámetro. En resumen, sabemos todo lo que hay que saber sobre la binomial una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo.
En la teoría de la probabilidad, en determinadas circunstancias, una distribución de probabilidad puede utilizarse para aproximar otra. Decimos que una es la distribución límite de la otra. Si hay que extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, podemos utilizar la binomial, aunque no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo se viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos utilizar la binomial para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si extraemos menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula de la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al extraer un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de un sorteo a otro de forma significativa. Imagine que saca una carta no de una baraja de 52 cartas, sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de sacar un as, por ejemplo, no cambia la probabilidad condicional de lo que ocurre en una segunda extracción de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 que hay ahora para sacar. Esta capacidad de utilizar una distribución de probabilidad para estimar otras será muy valiosa para nosotros más adelante.
Hay tres características de un experimento binomial
Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes.
La media, μ, y la varianza, σ2, de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ2 = npq. La desviación típica, σ, es entonces σ =
 .
Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli.

### Referencias

“Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015).
“Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013).
“NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Hay un número fijo de ensayos, n.
2. Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo.
3. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas.
Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np, y la desviación típica viene dada por la fórmula σ =
 .
La fórmula de la función de densidad de probabilidad binomial es

### Revisión de la fórmula

X ~ B(n, p) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p.
X = el número de aciertos en n ensayos independientes
n = el número de ensayos independientes
X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n
p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo
q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo
p + q = 1
q = 1 – p
La media de X es μ = np. La desviación típica de X es σ =
 .

donde P(X) es la probabilidad de X éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER OTRO ENSAYO es p.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal.

### TAREA PARA LA CASA

Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos.
Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes.


# Variables aleatorias discretas

## Distribución geométrica

La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso, el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso, en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico.
1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es
 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q =
 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es
  = 0,0804
4. X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto.

### Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica

X ~ G(p)
Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica”. El parámetro es p; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo.
La pdf geométrica nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de acierto requiera x número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de acierto p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que el ensayo xésimo (de x ensayos) sea el primer acierto es:

para x = 1, 2, 3, .... El valor esperado de X, la media de esta distribución, es 1/p. Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta obtener el primer acierto incluido en el recuento el ensayo que resulta en acierto. La forma anterior de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer acierto. El número de ensayos incluye el que es un acierto: x = todos los ensayos, incluido el que es un acierto. Esto se puede ver en la composición de la fórmula. Si X = número de ensayos incluido el acierto, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso, (1-p), por el número de fracasos, es decir, X-1.
Por el contrario, la siguiente forma de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de fallos hasta el primer éxito:

para x = 0, 1, 2, 3, .... En este caso el ensayo que es un éxito no se cuenta como un ensayo en la fórmula: x = número de fracasos. El valor esperado, la media, de esta distribución es . Esto nos indica cuántos fracasos debemos esperar antes de tener un acierto. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.

### Referencias

“Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013).
Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Hay tres características de un experimento geométrico:
1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo son iguales para cada ensayo.
En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G(p) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo.
La media de la distribución geométrica X ~ G(p) es μ =
  donde x = número de ensayos hasta el primer acierto de la fórmula
  donde el número de pruebas es hasta el primer acierto incluido.
Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es:
El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es La forma más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento.

### Revisión de la fórmula

X ~ G(p) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p.
X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto
X toma los valores x = 1, 2, 3, ...
p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo
q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p
La media es μ =
 .
La desviación típica es σ =
  =
 .
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar.

### TAREA PARA LA CASA


# Variables aleatorias discretas

## Distribución de Poisson

Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson.
Hay dos características principales de un experimento de Poisson.
1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida.
2. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos.
3. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

### Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)
Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo.
La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

donde P(X) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo.
Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial.
En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos.

### Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np, la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq, la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial.
A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal.

### Referencias

“ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 6 de febrero de 2019).
Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
“How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volume is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,01) y el número de ensayos es "grande" (mayor o igual a 25). También se sugieren otras reglas generales por parte de diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que n aumenta y p se acerca a cero.
La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

donde P(X) es la probabilidad de éxitos, μ (pronunciado mi) es el número esperado de éxitos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de éxitos por unidad, normalmente por unidad de tiempo.

### Revisión de la fórmula

X ~ P(μ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.
X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ...
Se suele dar la media μ o λ.
La varianza es σ2 = μ, y la desviación típica es
 .
Cuando se utiliza P(μ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo.

Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir.

### TAREA PARA LA CASA

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana.


# Variables aleatorias continuas

## Introducción

Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI, la duración de una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, la duración de un chip de computadora, las tasas de rendimiento de una inversión y las puntuaciones de la selectividad son solo algunos ejemplos. El campo de la fiabilidad depende de una variedad de variables aleatorias continuas, al igual que todos los ámbitos del análisis de riesgos.


# Variables aleatorias continuas

## Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas

El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. Ya conocimos este concepto cuando desarrollamos las frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2. El área relativa para un rango de valores era la probabilidad de extraer al azar una observación en ese grupo. De nuevo con la distribución de Poisson del Capítulo 4, el gráfico del Ejemplo 4.14 utilizó cajas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo poco estrictos porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene anchura. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria x, deliberadamente no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es el área.
La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.
El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulada es la integral de la pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral de la pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo la pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, la certeza. Por tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés.

Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, el cálculo integral es necesario para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral.
Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.
En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.

Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.

### Repaso del capítulo

La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P(a < x < b). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f(x) es uno. El área debajo del gráfico de f(x) y entre los valores a y b da la probabilidad P(a < x < b).
La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P (X ≤ x). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

### Revisión de la fórmula

Función de densidad de probabilidad (pdf) f(x):
1. f(x) ≥ 0
2. El área total debajo de la curva f(x) es uno.
Función de distribución acumulativa (cdf): P(X ≤ x)

### Tarea para la casa

Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.


# Variables aleatorias continuas

## La distribución uniforme

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos.
El enunciado matemático de la distribución uniforme es
f(x) =
 para a ≤ x ≤ b
donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x.
Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son

  y

### Repaso del capítulo

Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b, entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U(a, b). La media de X es
. La desviación típica de X es
. La función de densidad de probabilidad de X es
 para a ≤ x ≤ b. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) =
. X es continua.
La probabilidad de P(c < X < d) se puede hallar calculando el área bajo f(x), entre c y d. Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura.

### Revisión de la fórmula

X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b). a = X más pequeño; b = X más grande
X ~ U (a, b)
La media es

La desviación típica es

Función de densidad de probabilidad:
 para

Área a la izquierda de  P(X < x) = (x – a)

Área a la derecha de  P(X > x) = (b – x)

Área entre  P(c < x < d) = (base)(altura) = (d – c)

1. pdf:
 para a ≤ x ≤ b

2. cdf: P(X ≤ x) =

3. media µ =

4. desviación típica σ

5. P(c < X < d) = (d – c)

### Referencias

McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995.
Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas.
La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302.
La distribución se puede escribir como X ~ U(1,5, 4,5).
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U(0, 12).
Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años.

### Tarea para la casa

Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme.