# Funciones trigonométricas

## Ángulos

Un golfista se balancea para golpear una bola por encima de una trampa de arena y llegar al green. Un piloto de aerolínea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. ¿Qué tienen todos ellos en común? Todos ellos trabajan con ángulos, al igual que todos nosotros en un momento u otro. A veces es necesario medir los ángulos con exactitud mediante instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a ojo. En cualquier caso, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos.

### Dibujar ángulos en posición estándar

Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la  puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo

Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice, mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la  se forma a partir de
    y
  Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF, o en forma de símbolo

Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La  es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la .
La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial, y la raya rotada es el lado terminal. Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la .
Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es
     de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad "grados" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º.
Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y. Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x. Vea la .
Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo. Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo.
Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x. Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que
     Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que
     Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la .
Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular. Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la .

### Convertir entre grados y radianes

Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo.
La circunferencia de un círculo es
    Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre
     creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es
     independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es
     veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la .
Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a
    veces el radio, una rotación circular completa es
    radianes. Así que
Vea la . Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan.

### Relacionar las longitudes de los arcos con los radios

La longitud de arco
     es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud.
Este cociente, denominado medición de radián, es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco
     al radio
     Vea la .
Si los valores de
     entonces

Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es
 donde
 es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia
 y el más grande tiene circunferencia
 Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la .
Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo.
Dado que ambos ratios son
     las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes.

### Usar radianes

Dado que la medición de radián es el cociente de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en la , supongamos que el radio fuera de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco fuera también de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida del radián del ángulo, las "pulgadas" se cancelan, y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta "radianes" después de una medición de radián, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con "grados" o el símbolo de grado, podemos asumir que es una medición de radián.
Considerando el caso más básico, el círculo unitario (un círculo de radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360°. También podemos seguir una rotación alrededor de un círculo al calcular la circunferencia,
     y para el círculo unitario
     Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una manera de convertir de grados a radianes.

### Identificar ángulos especiales, medidos en radianes

Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la . Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos.
Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la , y que se muestran en la . Verifique cada una de estas medidas.

### Convertir radianes y grados

Dado que tanto los grados como los radianes miden ángulos, tenemos que ser capaces de convertirlos. Podemos hacerlo fácilmente utilizando una proporción.
Esta proporción muestra que la medida del ángulo
     en grados dividido entre 180 es igual a la medida del ángulo
     en radianes dividido entre
     Dicho de otra manera, los grados son a 180 como los radianes son a

### Calcular ángulos coterminales

La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a
     Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.
Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la . El ángulo de 140° es un ángulo positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo, medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales. Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango.
Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas.
El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo
    formado por el lado terminal del ángulo
    y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la  los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.

### Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes

 Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas.

### Determinar la longitud de un arco

Recordemos que la medición de radián
    de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco
     de un arco circular al radio
     del círculo,
     A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.

### Calcular el área de un sector de un círculo

Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo. Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio
    se puede hallar con la fórmula
    Si los dos radios forman un ángulo de
    medido en radianes, entonces
    es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción
    multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si
     está en radianes).

### Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular

Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La  velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o
   pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es
   in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde
   es la velocidad lineal,
   es el desplazamiento, y
   es el tiempo.
La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como
   90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde
   (leído como omega) es la velocidad angular,
   es el ángulo recorrido, y
   es el tiempo.

Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco,
   hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para
   lo que arroja
   Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene:
Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene:

Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Un ángulo se forma a partir de la unión de dos rayas, al mantener fijo el lado inicial y rotar el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo.
2. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje positivo x. Un ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido de las agujas del reloj.
3. Para dibujar un ángulo en posición estándar, dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x y luego coloque el lado terminal de acuerdo con la fracción de una rotación completa que el ángulo representa. Vea el .
4. Además de en grados, la medida de un ángulo puede describirse en radianes. Vea el .
5. Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción
     Vea el  y el .
6. Dos ángulos que tienen el mismo lado terminal reciben el nombre de ángulos coterminales.
7. Podemos hallar ángulos coterminales si sumamos o restamos 360° o
     Vea el  y el .
8. Los ángulos coterminales se pueden hallar mediante el empleo de radianes, al igual que se hace con los grados. Vea el .
9. La longitud de un arco de círculo es una fracción de la circunferencia del círculo completo. Vea el .
10. El área del sector es una fracción del área del círculo completo. Vea el .
11. Un objeto que se mueve en una trayectoria circular tiene tanto velocidad lineal como angular.
12. La velocidad angular de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular es la medida del ángulo por el que gira en una unidad de tiempo. Vea el .
13. La velocidad lineal de un objeto que recorre una trayectoria circular es la distancia que recorre en una unidad de tiempo. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

###  Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un ángulo en posición estándar con la medida dada.
En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales.

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en radianes a grados.
En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en grados a radianes.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar la longitud de un arco de un círculo. Redondee a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para calcular el área del sector. Redondee a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal al ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y
   en radianes que es coterminal al ángulo dado.

### Aplicaciones en el mundo real

###  Extensiones


# Funciones trigonométricas

## Círculo unitario: funciones seno y coseno

¿Busca emociones? Entonces considere un paseo en el Ain Dubai, la rueda de la fortuna más alta del mundo. Ubicada en Dubai, la ciudad más poblada y el centro financiero y turístico de los Emiratos Árabes Unidos, la rueda de la fortuna se eleva a 820 pies, unas 1,5 décimas de milla. Descrita como una rueda de observación, los pasajeros disfrutan de unas vistas espectaculares del Burj Khalifa (el edificio más alto del mundo) y de Palm Jumeirah (un archipiélago construido por el hombre que alberga más de 10.000 personas y 20 complejos turísticos) mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, tenemos que definir primero el tipo de círculo y, a continuación, situar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos hablar del movimiento circular en términos de los pares de coordenadas.

###  Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la . El ángulo (en radianes) que
    interseca forma un arco de longitud
    Si utilizamos la fórmula
    y en el entendido de que
    vemos que, para un círculo unitario,

Recordemos que los ejes de la x y de la y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Marcamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barrería un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes se denominan I, II, III y IV.
Para cualquier ángulo
    podemos marcar la intersección del lado terminal y el círculo unitario por sus coordenadas,
    Las coordenadas de la
    como
    serán las salidas de las funciones trigonométricas
  y
  respectivamente. Esto significa que
  y

### Definir las funciones seno y coseno

Ahora, que tenemos marcado nuestro círculo unitario, podemos aprender cómo las coordenadas
 se relacionan con la longitud del arco y el ángulo. La función seno relaciona un número real
 con la coordenada de la y en el punto donde el ángulo correspondiente interseca el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo
 es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud
 En la , el seno es igual a
  Al igual que en todas las funciones, la función seno tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada de la y en el punto correspondiente en el círculo unitario.
La función coseno de un ángulo
 equivale al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud
 En la , el coseno es igual a

En el entendido de que el seno y el coseno son funciones, no es necesario escribirlas siempre con paréntesis:
  es lo mismo que
 y
  es lo mismo que
 Igualmente,
 es una notación abreviada de uso común para
 Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación abreviada. En caso de duda, utilice los paréntesis adicionales cuando introduzca los cálculos en una calculadora o una computadora.

### Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje

En los ángulos cuadrangulares, el punto correspondiente en el círculo unitario cae en el eje x o en el eje y. En ese caso, podemos calcular fácilmente el coseno y el seno a partir de los valores de
 como

### La identidad pitagórica

Ahora que podemos definir el seno y el coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación del círculo unitario es
 Dado que
  y
  podemos sustituir por
 como
 para obtener
 Esta ecuación,
 se conoce como la identidad pitagórica. Vea la .
Podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, y viceversa. Sin embargo, ya que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos conocer más acerca del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde se encuentra el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta.

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales

Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos.

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45°

En primer lugar, examinaremos los ángulos de
 o
 como se muestra en la . Un triángulo de
 es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales.
A
, que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular. Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea
 Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea
 tiene lados
 como
 y un radio = 1. Vea la
A partir del teorema de Pitágoras obtenemos
Al sustituir
 obtenemos
Al combinar términos similares obtenemos
Asimismo, al resolver para
 obtenemos
En el cuadrante I,

En
 o 45 grados,

Si entonces racionalizamos los denominadores, obtenemos
Por lo tanto, las coordenadas
 de un punto en un círculo de radio
 en un ángulo de
 son

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º

A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de
 o
. En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de
 y otro lado en un ángulo de
 como se muestra en la . Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán
 como se muestra en la .
Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud
 y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que
 o
 Dado que
,
Además, ya que
 en nuestro círculo unitario,
Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno.
Las coordenadas
 para el punto en un círculo con radio
 en un ángulo de
 son
 En
  (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados,
 como se muestra en la . El ángulo
 tiene medida
 En el punto
 dibujamos un ángulo
 con medida de
 Sabemos que los ángulos de un triángulo suman
 por lo que la medida del ángulo
 también es
 Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero
 tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1.
La medida del ángulo
 es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo
 es de 60°.
 es la bisectriz perpendicular de
 por lo que corta
 por la mitad. Esto significa que
 es
 del radio, o
 Observe que
 es la coordenada de la x en el punto
 que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo
 con hipotenusa de 1 y lado
 de longitud

A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos
Sustituyendo
 obtenemos
Resuelva para
 obtenemos
Dado que
 tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos
 el valor positivo.
A
 (60°), las coordenadas
 para el punto en un círculo con radio
 en un ángulo de
 son
 para que hallemos el seno y el coseno.
Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La  resume estos valores.
La  muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.

### Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno

Para hallar el coseno y el seno de otros ángulos que no sean los ángulos especiales, recurrimos a la computadora o a la calculadora. Tenga en cuenta: La mayoría de las calculadoras pueden ponerse en modo "grados" o "radianes", lo que le indica las unidades del valor de entrada. Cuando evaluamos
 en la calculadora, esta lo evaluará como el coseno de 30 grados si está en modo "grados", o el coseno de 30 radianes si está en modo "radianes".

### Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno

Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que
    pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de
  y
  no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x, y puede ser cualquier número real.
¿Cuál es el rango de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de su salida? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario, como se muestra en la . Los límites de la coordenada de la x son
    Los límites de la coordenada de la y también son
    Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es

### Hallar ángulos de referencia

Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y, pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo.
Asimismo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x, pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor del seno será el opuesto al valor del seno del ángulo original.
Como se muestra en la , el ángulo
    tiene el mismo valor del seno que el ángulo
    los valores del coseno son opuestos. El ángulo
    tiene el mismo valor del coseno que el ángulo
    los valores del seno son opuestos.
Recordemos que el ángulo de referencia es el ángulo agudo,
    formado por el lado terminal del ángulo
    y el eje horizontal. El ángulo de referencia es siempre un ángulo entre
    y
    o
    y
    radianes. Como podemos observar en la , para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I.

### Usar ángulos de referencia

Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo. Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas
    para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.

### Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas

Podemos hallar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y del seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de y en ese cuadrante.

### Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas

Ahora que hemos aprendido a calcular los valores del coseno y del seno para los ángulos especiales del primer cuadrante, podemos utilizar la simetría y los ángulos de referencia para completar los valores del coseno y del seno en el resto de los ángulos especiales del círculo unitario. Se muestran en la . Tómese su tiempo para aprender las coordenadas
 de todos los ángulos mayores en el primer cuadrante.
Además de aprender los valores de los ángulos especiales, podemos utilizar los ángulos de referencia para hallar coordenadas
 en cualquier punto del círculo unitario, con lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades
Primero, hallamos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. A continuación, tomamos los valores del seno y del coseno del ángulo de referencia y les atribuimos los signos correspondientes a los valores de y y de x del cuadrante.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La búsqueda de los valores de las funciones del seno y del coseno comienza al dibujar un circulo unitario, centrado en el origen y con un radio de 1 unidad.
2. Utilizando el círculo unitario, el seno de un ángulo
  es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud
  mientras que el coseno de un ángulo
  es igual al valor x del punto final. Vea el .
3. Los valores del seno y del coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente del círculo unitario cae sobre un eje. Vea el .
4. Cuando se conoce el seno o el coseno, podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el otro. La identidad pitagórica también sirve para determinar el seno y coseno de ángulos especiales. Vea el .
5. Las calculadoras y los programas de gráficos son útiles para hallar el seno y el coseno si se conoce el procedimiento adecuado para introducir la información. Vea el .
6. El dominio de las funciones seno y coseno son todos los números reales.
7. El rango de las funciones seno y coseno es

8. El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia.
9. Los signos del seno y del coseno se determinan a partir de los valores de x y de y en el cuadrante del ángulo original.
10. El ángulo de referencia es el ángulo de tamaño,
  formado por el lado terminal del ángulo
   y el eje horizontal. Vea el .
11. Los ángulos de referencia pueden utilizarse para hallar el seno y el coseno del ángulo original. Vea el .
12. Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en un círculo. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el signo dado de las funciones seno y coseno para hallar el cuadrante en el que se asienta el punto terminal determinado por .
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada función trigonométrica.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno y coseno de cada ángulo. Si el ángulo no es uno de los ángulos especiales del círculo unitario, utilice la calculadora y redondee a tres decimales.
En los siguientes ejercicios, halle el valor solicitado.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el punto dado en el circulo unitario para hallar el valor del seno y el coseno de

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un niño se sube a un carrusel que tarda un minuto en dar una vuelta. El niño entra en el punto
   es decir, en la posición hacia el norte. Supongamos que el carrusel gira en sentido contrario a las agujas del reloj.


# Funciones trigonométricas

## Las otras funciones trigonométricas

Una rampa para sillas de ruedas que cumpla las normas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente sea
   o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa un cociente, por lo que esto significa que por cada 1 pulgada de subida, la rampa deberá tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos, independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntas forman el conjunto de las seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes.

###  Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente

Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto
    correspondiente a un ángulo de
    como se muestra en la . Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas
    para hallar las otras funciones.
La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y, y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la , la tangente del ángulo
    es igual a
    Debido a que el valor de y es igual al seno de
    y el valor de x es igual al coseno de
    la tangente del ángulo
    también puede definirse como
  La función tangente se abrevia como
    Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido.
1. La función secante es la recíproca de la función coseno. En la , la secante del ángulo
     es igual a
     La función secante se abrevia como

2. La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la , la cotangente del ángulo
     es igual a
     La función cotangente se abrevia como

3. La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la , la cosecante del ángulo
     es igual a
     La función cosecante se abrevia como

Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer
    igual al coseno, así como
    igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la .

### Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente

Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La  muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.
Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es "A", “ll” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, "Smart”, solo el eno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, "Trig”, solo la angente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, "Class,” (clase) solo el oseno y su función recíproca, la secante, son positivos.

### Usar funciones trigonométricas pares e impares

Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto.
Considere la función
    que se muestra en la . El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y. A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo:

    y así sucesivamente. Así que
     es una función par, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que

Consideremos ahora la función
    que se muestra en la . El gráfico no es simétrico con respecto al eje y. A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que
    es una función impar, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que

Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la . El seno del ángulo positivo es
    El seno del ángulo negativo es -y. La función seno, entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la .

###  Reconocer y utilizar las identidades fundamentales

Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno.

### Formas alternativas de la identidad pitagórica

Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica,
     Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre

La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre

Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica. Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o
     dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas.
Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de
     representa el tiempo de duración, medido en años, y
     representa el número de días en el mes de febrero, entonces
     Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días.

### Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora

Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo.
 Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente.
Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión
  para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de
  podríamos pulsar
o

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La tangente de un ángulo es el cociente del valor de y con el valor de x del punto correspondiente en el círculo unitario.
2. La secante, la cotangente y la cosecante son recíprocas de otras funciones. La secante es la recíproca de la función coseno, la cotangente es la recíproca de la función tangente y la cosecante es la recíproca de la función seno.
3. Las seis funciones trigonométricas se determinan a partir de un punto en el círculo unitario. Vea el .
4. Las funciones trigonométricas también se determinan a partir de un ángulo. Vea el .
5. Las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante se determinan con ángulos de referencia. Vea el .
6. Se dice que una función es par si
   e impar si

7. El coseno y la secante son pares; el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares.
8. Las propiedades pares e impares se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el .
9. La identidad pitagórica permite hallar el coseno a partir del seno o el seno a partir del coseno.
10. Las identidades se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el  y el .
11. Las identidades fundamentales, como la identidad pitagórica, pueden manipularse algebraicamente para producir nuevas identidades. Vea el .
12. Las funciones trigonométricas se repiten a intervalos regulares.
13. El periodo
   de una función repetitiva
   es el intervalo más pequeño, tal que
   para cualquier valor de

14. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales se determinan mediante un análisis matemático.
15. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, podemos utilizar una calculadora o un programa informático. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el ángulo en el círculo unitario para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para evaluar la expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para simplificar la expresión.

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones trigonométricas

## Trigonometría de triángulos rectángulos

Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:
En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos.

### Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de
  es su valor en
  radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La  muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto
  al eje x, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud
  y cuyo lado horizontal tiene una longitud
  Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.
Sabemos que
Asimismo, sabemos que
Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas
 . Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de
  llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado
  (Adyacente significa “junto a”). En lugar de
  llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo
  Finalmente, en lugar de
  llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la .

### Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de

Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de "Seno es opuesto sobre la hipotenusa, Coseno es adyacente sobre la hipotenusa, Tangente es opuesto sobre el adyacente”.

### Relacionar los ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la . El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.
Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente.

### Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados

Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de

  y
  sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre

Supongamos que tenemos un triángulo de
 , que también puede describirse como un triángulo de
 . Los lados tienen longitudes en la relación
  Los lados de un triángulo de
 , que también puede describirse como un triángulo de
 , tienen longitudes en la relación
  Estas relaciones se muestran en la .
A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales.

### Usar la cofunción igual de los complementos

Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de
  y
  vemos que el seno de
  a saber
  es también el coseno de
  mientras que el seno de
  a saber
  es también el coseno de

Vea la
Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la , el lado opuesto al ángulo de
  es también el lado adyacente a
  por lo que
  y
  son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados,
  y
  De la misma manera,
  y
  también son la misma proporción con los mismos dos lados,
  y

La interrelación entre el seno y el coseno de
  y
  también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman
  y el ángulo rectángulo es
  los dos ángulos restantes también deberán sumar
  Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen
 ; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción: Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la .
Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de
  es igual al coseno de
  y que el seno de
  es igual al coseno de
  También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo

  entonces
  también.

### Usar las funciones trigonométricas

En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados.

### Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la .

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el .
2. Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el .
3. Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el .
4. Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
5. Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el .
6. Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas.
7. Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el .
8. La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
9. La altura o distancia desconocida se determina  al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios.
En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado
  es el ángulo opuesto
  el lado
  es el ángulo opuesto
  y el lado
  es la hipotenusa.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica del ángulo

En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica de ángulo

En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real

### Ejercicios de repaso

### Ángulos

En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en grados.
En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en radianes.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y
  en radianes, que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, dibuje el ángulo proporcionado en posición estándar en el plano cartesiano.

### Círculo unitario: funciones seno y coseno

### Las otras funciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión dada.

### Trigonometría de triángulos rectángulos

En los siguientes ejercicios, utilice las longitudes laterales para evaluar.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para medir las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.

### Prueba de práctica


# Funciones periódicas

## Introducción

El sol ha desempeñado un papel fundamental en muchas religiones. La antigua cultura egipcia representaba al dios del sol, Ra (a veces escrito como Re), realizando un viaje diario en dos partes, una de ellas en el cielo (día) y la otra en el inframundo (noche). Surya, el dios hindú del sol, traza un camino similar a través del cielo en un carro tirado por siete caballos. Aunque sus orígenes y narrativas asociadas son bastante diferentes, tanto Ra como Surya son deidades primarias y se les considera creadores y preservadores de la vida. En muchas culturas indígenas, el sol es fundamental para la práctica espiritual y religiosa, pero no siempre es una deidad. La Danza del Sol, que realizan de forma diferente muchas tribus indígenas estadounidenses, era una ceremonia que generalmente rendía homenaje al sol y, en muchos casos, ponía a prueba o expresaba la fuerza de la tribu.
Como uno de los fenómenos naturales más prominentes y con su estrecha asociación a dar vida, el sol era un tema obvio de reverencia. Además, su regularidad, incluso en la antigüedad, lo convirtió en el principal determinante del tiempo. Cada día, el sol sale por el este, se aproxima a una altura máxima respecto al ecuador celeste y se pone por el oeste. El ecuador celeste es una línea imaginaria que divide el universo visible en dos mitades, del mismo modo que el ecuador de la Tierra es una línea imaginaria que divide el planeta en dos mitades. La trayectoria exacta que parece seguir el sol depende de la ubicación exacta en la Tierra, pero cada lugar observa un patrón predecible a lo largo del tiempo.
El patrón de movimiento del sol a lo largo de un año es una función periódica. Crear una representación visual de una función periódica en forma de gráfico nos permite analizar las propiedades de la función. En este capítulo, investigaremos los gráficos del seno, el coseno y otras funciones trigonométricas.


# Funciones periódicas

## Gráficos de las funciones seno y coseno

La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris.
Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno.

### Graficar funciones seno y coseno

Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La  enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.
Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la .
Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y
  que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre
  y
  que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la .
Ahora echemos un vistazo a la función coseno. Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La  enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.
Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la .
Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo

En ambos gráficos, la forma se repite después de
  lo que significa que las funciones son periódicas con un período de
  La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal, P, da como resultado una función igual a la función original
  para todos los valores de
  en el dominio de
  Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo
 , que es el periodo de la función. La  muestra varios periodos de las funciones seno y coseno.
Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la , la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque
  Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.
La  muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y. De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que

### Investigar funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:

### Determinar el periodo de las funciones sinusoidales

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo.
En la fórmula general,
  se relaciona con el periodo por
  Si
  entonces el periodo es menor que
  y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si
  entonces el periodo es mayor que
  y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo,

  por lo que el periodo es
  que ya conocíamos. Si los valores de
  entonces
  por lo que el periodo es
  y el gráfico se comprime. Si los valores de
  entonces
  por lo que el periodo es
  y el gráfico se estira. Observe en la  cómo el periodo se relaciona indirectamente con

### Determinar la amplitud

Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable
  se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable
  por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud, o mayor distancia desde el reposo.
  representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto
  es la amplitud. El máximo local será una distancia
  por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea
  porque
  en este caso, la línea media, es el eje x. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de
  la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de
  es el doble de la amplitud de
  Si
  la función se comprime. La  compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.

### Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Ahora, que entendemos cómo
  y
  se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables
  y
  Recordemos la forma general:
El valor
  para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase, o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno. Si los valores de
  el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de
  el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de
  más se desplazará el gráfico. La  muestra que el gráfico de
  se desplaza hacia la derecha en
  unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de
  que se desplaza hacia la derecha en
  unidades.
Mientras que
  se refiere al desplazamiento horizontal,
  indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la . La función
  tiene su línea media en

Cualquier valor de
  distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La  compara
  con la
  que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico.

### Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.
En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general
supondremos que
  y
  y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.

### Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de

2. La función
  es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función
  es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y.
3. El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
4. En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es
  Vea el .
5. En la fórmula general de una función sinusoidal,
  representa la amplitud. Si los valores de
  la función se estira, mientras que si
  la función se comprime. Vea el .
6. El valor
  en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el .
7. El valor
  en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el .
8. Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el .
9. La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el  y el .
10. Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el  y el .
11. Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el .
12. Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para
  Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.
En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por
  Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para
  Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que

En los siguientes ejercicios, supongamos que

### En tecnología

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones periódicas

## Gráficos de las otras funciones trigonométricas

Sabemos que la función tangente puede utilizarse para calcular distancias, como la altura de un edificio, de una montaña o de un asta de bandera. Sin embargo, ¿qué pasa si queremos medir repeticiones de la distancia? Imagine, por ejemplo, un camión de bomberos estacionado junto a un almacén. La luz giratoria del camión recorría la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente puede utilizarse para calcular aproximadamente esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz de luz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, se extiende eternamente. El gráfico de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas.

### Analizar el gráfico de y = tan x

Comenzaremos con el gráfico de la función tangente, al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que
El periodo de la función tangente es
  porque el gráfico se repite en intervalos de
  donde
  es una constante. Si graficamos la función tangente en
  con
  podemos ver el comportamiento del gráfico en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten.
Podemos determinar si la tangente es una función par o impar mediante la definición de tangente.
Por lo tanto, la tangente es una función impar. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se indica en la .
Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero tenemos que determinar cómo se comporta el gráfico donde es indefinido. Si nos fijamos más en los valores cuando
  podemos utilizar una tabla para determinar una tendencia. Dado que
  y
  evaluaremos
  en las medidas del radián
  como se muestra en la .
A medida que
  se aproxima a
  las salidas de la función aumentan cada vez más. Dado que
  es una función impar, vemos la correspondiente tabla de valores negativos en la .
Podemos ver que, a medida que
  se acerca a
  las salidas son cada vez menores. Recuerde que hay algunos valores de
  para los cuales
  Por ejemplo,
  y
  En estos valores, la función tangente es indefinida, por lo que el gráfico de
  tiene discontinuidades en
  En estos valores, el gráfico de la tangente tiene asíntotas verticales. La  representa el gráfico de
  La tangente es positiva desde 0 hasta
  y de
  con
  correspondientes a los cuadrantes I y III del círculo unitario.

### Graficar las variaciones de y = tan x

Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general.
Podemos identificar el estiramiento y la compresión horizontal y vertical con los valores de
  y
  El estiramiento horizontal se determina normalmente a partir del periodo del gráfico. En el caso de los gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar el estiramiento vertical con un punto del gráfico.
Ddao que no hay valores máximos ni mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como en el caso de las funciones seno y coseno. En su lugar, utilizaremos la expresión factor de estiramiento/compresión cuando nos refiramos a la constante

### Graficar el período de una función tangente estirada o comprimida

Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las propiedades de la función tangente para trazar rápidamente el gráfico de cualquier función tangente estirada o comprimida de la forma
  Nos centramos en un único periodo de la función que incluye el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función, si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es entonces el intervalo
  y el gráfico tiene asíntotas verticales en
  donde
  En
  el gráfico saldrá de la asíntota izquierda en
  pasará por el origen y seguirá aumentando a medida que se acerque a la asíntota de la derecha en
  Para que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también tenemos que establecer la escala vertical al evaluar realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos utilizar
porque

### Graficar un periodo de una función tangente desplazada

Ahora, que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, añadiremos un desplazamiento vertical u horizontal (o de fase). En este caso, añadimos
  y
  a la forma general de la función tangente.
El gráfico de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica
  de varias maneras:

### Analizar los gráficos de y = sec x y de y = cscx

La secante fue definida por la identidad recíproca
  Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en

  etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar
  al observar el gráfico de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja punteada para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función coseno disminuye, el de la función secante aumenta. Donde el gráfico de la función coseno aumenta, el de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante es indefinida.
El gráfico de la secante tiene asíntotas verticales en cada valor de
  donde el gráfico del coseno cruza el eje x; esto lo mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que impliquen la secante y la cosecante.
Observe que, debido a que el coseno es una función par, la secante también lo es. Eso es,

Al igual que en el caso de la función tangente, volveremos a referirnos a la constante
  como el factor de estiramiento, no la amplitud.
Al igual que la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca
  Observe que la función es indefinida cuando el seno es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en

  etc. Dedo que el seno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la cosecante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar
  al observar el gráfico de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función seno disminuye, el gráfico de la función cosecante aumenta. Donde el gráfico de la función seno aumenta, el gráfico de la función cosecante disminuye.
El gráfico de la cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de
  donde el gráfico del seno cruza el eje x; los mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas.
Observe que, debido a que el seno es una función impar, la función cosecante también lo es. Eso es,

El gráfico de la cosecante, que se muestra en la , es similar al gráfico de la secante.

### Graficar las variaciones de y = sec x y de y=csc x

En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes.

### Analizar el gráfico de y = cot x

La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente. La cotangente se define por la identidad recíproca
    Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en
    etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales.
Podemos graficar
    al observar el gráfico de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . Donde el gráfico de la función tangente disminuye, el gráfico de la función cotangente aumenta. Donde el gráfico de la función tangente aumenta, el gráfico de la función cotangente disminuye.
El gráfico de la cotangente tiene asíntotas verticales en cada valor de
    donde
    los mostramos en el siguiente gráfico con líneas discontinuas. Dado que la cotangente es la recíproca de la tangente,
    tiene asíntotas verticales en todos los valores de
    donde
    y
    en todos los valores de
    donde
    tiene sus asíntotas verticales.

### Graficar las variaciones de y = cot x

Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente.

### Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real

Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La función tangente tiene periodo

2.
  	   es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el , el  y el .
3. La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de

  	   da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el  y el .
4.
  	   da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el  y el .
5. La función cotangente tiene periodo
  	   y asíntotas verticales en

6. El rango de la cotangente es
  	   y la función es decreciente en cada punto de su rango.
7. La cotangente es cero en

8.
  es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el  y el .
9. Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, coteje cada función trigonométrica con uno de los siguientes gráficos.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión de forma que el argumento
     es positivo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace dos periodos del gráfico de cada una de las siguientes funciones. Identifique el factor de estiramiento, el período y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle y grafique dos periodos de la función periódica con el factor de estiramiento dado,
     periodo, y desplazamiento de fase.
En los siguientes ejercicios, halle una ecuación para el gráfico de cada función.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: La mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón de cosecante; por lo tanto, tendrá que introducir
     cuando

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones periódicas

## Funciones trigonométricas inversas

Para cualquier triángulo rectángulo, dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.

### Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente

Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la .
Por ejemplo, si
       entonces escribiríamos
       Tenga en cuenta que
       no significa
       Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:
1. Dado que
  entonces

2. Dado que
         entonces

3. Dado que
         entonces

En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca, si
  entonces una función inversa satisfaría

Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La  muestra el gráfico de la función seno limitada a
  y el gráfico de la función coseno limitada a

La  muestra el gráfico de la función tangente limitada a

Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota.
En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.
1. La función seno inversa
  significa
  La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno, y se anota

2. La función coseno inversa
  significa
  La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno, y se anota

3. La función tangente inversa
  significa
  La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente, y se anota

Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la , la  y la . Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que
  tiene dominio
  y rango

  tiene dominio
  y rango
  y
  tiene el dominio de todos los números reales y el rango
  Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta

### Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente
  (30°),
  (45°) y
  (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.

### Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN
 , ARCSIN o ASIN.
En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales.
En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos
  como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación.

### Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que
    y
    son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto
    y supongamos que
    y
    son sus inversos.

### Evaluar composiciones de la forma f(f−1(y)) and f−1(f(x))

Para cualquier función trigonométrica,
     para todos los
     en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de
     se definió como idéntico al dominio de
     Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma

### Evaluar composiciones de la forma f−1(g(x))

Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma
     Para valores especiales de
     podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es
     lo que hace que el otro sea
     Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la .
Dado que
     tenemos
     si
     Si
     no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que
     y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de
     De la misma manera,
     por lo que
     si
     Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera.

### Evaluar composiciones de la forma f(g−1(x))

Para evaluar composiciones de la forma
     donde
     y
     son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y
     es cualquier entrada en el dominio de
     tenemos fórmulas exactas, como
     Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica,
     para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas.

### Conceptos clave

1. La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original.
2. Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
3. Para cualquier función trigonométrica
     si
     entonces
     Sin embargo, el que
     solo implica
     si
     está en el dominio restringido de

   Vea el .
4. Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo,

Vea el .
5. Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el .
6. Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el .
7. En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo

   Vea el .
8. Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son
     si
     y
     si
  Vea el  y el .
9. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el .
10. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo
     en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de
     con la ayuda de un triángulo de referencia.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle la función si

### Gráficos

### Aplicaciones en el mundo real

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Gráficos de las funciones seno y coseno

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

### Gráficos de las demás funciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función
  donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría.

### Funciones trigonométricas inversas

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora.

### Prueba de práctica del capítulo

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media.
En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas.
En los siguientes ejercicios, supongamos que

En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados.
En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, supongamos
  Evalúe las siguientes expresiones.

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Introducción

Las matemáticas están en todas partes, incluso en lugares que no reconocemos inmediatamente. Por ejemplo, las relaciones matemáticas describen la transmisión de imágenes, luz y sonido. El gráfico sinusoidal de la figura anterior representa la música que se reproduce en el teléfono, la radio o la computadora. Estos gráficos se describen mediante ecuaciones y funciones trigonométricas. En este capítulo, abordamos cómo manipular ecuaciones trigonométricas algebraicamente mediante la aplicación de varias fórmulas e identidades trigonométricas. También investigaremos algunas de las formas en que se utilizan las ecuaciones trigonométricas para modelar fenómenos de la vida real.