# Variables aleatorias continuas

## La distribución exponencial

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.
Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.
Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.
La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: "¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos  horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre  horas y  horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de  horas para llevarse a cabo" En resumen, la variable aleatoria X es iguala (a) el tiempo entre eventos o(b) el paso del tiempo para completar una acción, por ejemplo, esperar a un cliente. La función de densidad de probabilidad viene dada por:
donde μ es el tiempo promedio de espera histórico.
y tiene una media y una desviación típica de 1/μ.
Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m, la función de densidad de probabilidad se presenta como
donde
Para calcular las probabilidades de determinadas funciones de densidad de probabilidad, se utiliza la función de densidad acumulada. La función de densidad acumulativa (cdf) es simplemente la integral de la pdf y es:

### La falta de memoria de la distribución exponencial

Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que
P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0
Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.
P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) =
 = 0,6065.
Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.
La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años. La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966, donde la línea vertical se lee como “dada".

### Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media μ. Recordemos que si X tiene la distribución de Poisson con una media μ, entonces
.
La fórmula de la distribución exponencial  Donde m = el parámetro de la tasa, o μ = tiempo promedio entre ocurrencias.
Vemos que la exponencial es la pariente de la distribución de Poisson y se relacionan a través de esta fórmula. Existen importantes diferencias que hacen que cada distribución sea relevante para diferentes tipos de problemas de probabilidad.
En primer lugar, la Poisson tiene una variable aleatoria discreta, x, en la que el tiempo; una variable continua se divide artificialmente en trozos discretos. Vimos que el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo dado, x, sigue la distribución de Poisson.
Por ejemplo, el número de veces que suena el teléfono por hora. En cambio, el tiempo entre ocurrencias sigue la distribución exponencial. Por ejemplo. El teléfono acaba de sonar, ¿cuánto tiempo pasará hasta que vuelva a sonar? Estamos midiendo la duración del intervalo, una variable aleatoria continua, exponencial, no los eventos durante un intervalo, Poisson.

### La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson

Una forma visual de mostrar tanto las similitudes como las diferencias entre estas dos distribuciones es con una línea del tiempo.

La variable aleatoria de la distribución de Poisson es discreta y, por tanto, cuenta los eventos durante un periodo determinado, de t1 a t2 en la , y calcula la probabilidad de que se produzca ese número. El número de eventos, cuatro en el gráfico, se mide en números que se pueden contar; por lo tanto, la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta.
La distribución de probabilidad exponencial calcula las probabilidades del paso del tiempo, una variable aleatoria continua. En la  esto se muestra como el paréntesis desde t1 hasta la siguiente ocurrencia del evento marcada con un triángulo.
Las preguntas clásicas de la distribución de Poisson son "¿cuántas personas llegarán a mi caja en la próxima hora?".
Las preguntas clásicas de la distribución exponencial son "¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?", o una variante, "¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?".
De nuevo, la fórmula de la distribución exponencial es:

Vemos inmediatamente la similitud entre la fórmula exponencial y la fórmula de Poisson.

Ambas funciones de densidad de probabilidad se basan en la relación entre el tiempo y el crecimiento o decaimiento exponencial. La "e" de la fórmula es una constante con el valor aproximado de 2,71828 y es la base de la fórmula del crecimiento exponencial logarítmica natural. Cuando la gente dice que algo ha crecido exponencialmente, se refiere a esto.
Un ejemplo de la exponencial y la Poisson dejará claras las diferencias entre ambas. También mostrará las interesantes aplicaciones que tienen.

Distribución de PoissonSupongamos que históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Recuerde que esto es todavía una probabilidad, por lo que nos tienen que decir estos valores históricos. Vemos que se trata de un problema de probabilidad de Poisson.
Podemos introducir esta información en la función de densidad de probabilidad de Poisson y obtener una fórmula general que calculará la probabilidad de que llegue algún número determinado de clientes en la próxima hora.
La fórmula es para cualquier valor de la variable aleatoria que hayamos elegido y, por tanto, la x se pone en la fórmula. Esta es la fórmula:
Como ejemplo, la probabilidad de que lleguen 15 personas a la caja registradora en la próxima hora sería

Aquí insertamos x = 15 y calculamos que la probabilidad de que en la próxima hora lleguen 15 personas es de 0,061.
Distribución exponencialSi mantenemos los mismos hechos históricos de que llegan 10 clientes cada hora, pero ahora nos interesa el tiempo de servicio que pasa una persona en el mostrador, entonces utilizaríamos la distribución exponencial. La función de probabilidad exponencial para cualquier valor de x, la variable aleatoria, para estos datos históricos de la caja registradora es:

Para calcular µ, el tiempo promedio de servicio histórico, simplemente dividimos el número de personas que llegan por hora, 10, entre el periodo, una hora, y tenemos µ = 0,1. Históricamente, la gente pasa el 0,1 de una hora en la caja registradora, es decir, 6 minutos. Esto explica el 0,1 de la fórmula.
Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial.
Siguiendo con nuestro ejemplo de la caja, si quisiéramos saber la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora, utilizaríamos esta fórmula. En primer lugar, convertimos a las mismas unidades de tiempo que son partes de una hora. Nueve minutos son 0,15 de una hora. A continuación, observamos que estamos pidiendo un rango de valores. Este es siempre el caso de una variable aleatoria continua. Escribimos la pregunta de probabilidad como
Ahora podemos poner los números en la fórmula y obtenemos nuestro resultado.

La probabilidad de que un cliente emplee 9 minutos o menos en pasar por caja es de 0,7769.
Vemos que tenemos una alta probabilidad de salir en menos de nueve minutos y una mínima probabilidad de que lleguen 15 clientes en la próxima hora.

### Repaso del capítulo

Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m =
. La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me (o equivalentemente
 . La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = 1 – e–.

### Revisión de la fórmula

1. pdf: f(x) = me(– donde x ≥ 0 y m > 0
2. cdf: P(X ≤ x) = 1 – e(–
3. media µ =

4. desviación típica σ = µ
5. Además

6. Probabilidad de Poisson:
 con una media y una varianza de μ

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013).
“No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013).
Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013).
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp(0,2)
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp(0,75).
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial.


# La distribución normal

## Introducción

La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal.
La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerde que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de la población. Se trata de una discusión sobre la probabilidad y, por tanto, son los datos de la población los que pueden estar distribuidos normalmente, y si lo están, entonces es así como podemos calcular las probabilidades de eventos específicos al igual que hicimos con los datos de la población que pueden tener una distribución binomial o de Poisson. Esta precaución se debe a que en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y constituye la base de la estadística inferencial.
La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad que se va a medir que tiene una distribución normal con media(μ) y desviación típica(σ), la designamos escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal:
La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.
La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. La media es la misma que la mediana, que es la misma que la moda, porque el gráfico es simétrico respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Observe que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a  y la desviación típica simplemente la raíz cuadrada de la media, o la binomial, donde p se utiliza para determinar tanto la media como la desviación típica. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más abultada y ancha o más delgada y alta dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.

### Revisión de la fórmula

X ∼ N(μ, σ)


# La distribución normal

## La distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones . Una puntuación
La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z =
  produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ. La puntuación zindica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media.

### Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z para una determinada x es:
La puntuación  Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.
La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:
1. Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
2. Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
3. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
5. Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
6. Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.

### Referencias

“Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013).
“The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de The Mercury News de San José.
Datos de The World Almanac and Book of Facts.
“List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N(0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N(µ, σ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ.

### Revisión de la fórmula

Z ~ N(0, 1)
z = un valor estandarizado (puntuación z)
media = 0; desviación típica = 1
Para hallar el percentil K de X , x, cuando se conocen las puntuaciones z:x = μ + (z)σ
puntuación z: k =
  o z =

Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z
Z ~ N(0, 1)
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.


# La distribución normal

## Uso de la distribución normal

El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la derecha de x. Esta zona está representada por la probabilidad P(X > x). Las tablas normales proporcionan la probabilidad entre la media, cero para la distribución normal estándar y un valor específico como . Esta es la parte no sombreada del gráfico desde la media hasta .

Como la distribución normal es simétrica, si  estuviera a la misma distancia a la izquierda de la media, el área (la probabilidad) en la cola izquierda, sería la misma que el área sombreada en la cola derecha. Además, hay que tener en cuenta que, debido a la simetría de esta distribución, la mitad de la probabilidad está a la derecha de la media y la otra mitad a la izquierda.

### Cálculo de probabilidades

Para hallar la probabilidad de las funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores de X que nos interesan. Para la distribución normal esto parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Sin embargo, hay una forma sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí tenemos de nuevo la fórmula de la distribución normal:
Al observar la fórmula de la distribución normal no está claro cómo vamos a resolver la probabilidad haciéndolo de la misma manera que lo hicimos con las funciones de probabilidad anteriores. Allí pusimos los datos en la fórmula e hicimos las cuentas.
Para resolver este rompecabezas, desde el principio sabemos que el área bajo una función de densidad de probabilidad es la probabilidad.
Esto demuestra que el área entre X1 y X2 es la probabilidad que se indica en la fórmula: P (X1 ≤ x ≤ X2)
La herramienta matemática necesaria para calcular el área bajo una curva es el cálculo integral. La integral de la función de densidad de probabilidad normal entre los dos puntos x1 y x2 es el área bajo la curva entre estos dos puntos y es la probabilidad entre estos dos puntos.

Hacer estas integrales no es divertido y puede llevar mucho tiempo. Pero ahora, recordando que hay un número infinito de distribuciones normales, podemos considerar la que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Esta particular distribución normal recibe el nombre de distribución normal estándar. Al poner estos valores en la fórmula se reduce a una ecuación muy sencilla. Ahora podemos calcular fácilmente todas las probabilidades para cualquier valor de x en esta distribución normal particular, que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Se han elaborado y están disponibles aquí en el apéndice del texto o en cualquier lugar de la web. Se presentan de varias maneras. La tabla de este texto es la presentación más habitual y se establece con las probabilidades de la mitad de la distribución, que comienza por el cero, la media, y moviéndose hacia fuera. El área sombreada en el gráfico de la parte superior de la tabla en Tablas estadísticas representa la probabilidad desde cero hasta el valor Z específico anotado en el eje horizontal, Z.

El único problema es que, incluso con esta tabla, sería una ridícula coincidencia que nuestros datos tuvieran una media de cero y una desviación típica de uno. La solución es convertir la distribución que tenemos con su media y desviación típica a esta nueva distribución normal estándar. La normal estándar tiene una variable aleatoria llamada Z.
Al usar la tabla normal estándar, que por lo general se llama tabla normal, para hallar la probabilidad de una desviación típica, vaya a la columna Z, lea hasta 1,0 y luego lea en la columna 0. Ese número, 0,3413 es la probabilidad de cero a 1 desviación típica. En la parte superior de la tabla se encuentra la zona sombreada de la distribución que es la probabilidad para una desviación típica. La tabla ha resuelto nuestro problema de cálculo integral, pero solo si nuestros datos tienen una media de cero y una desviación típica de 1.
Sin embargo, el punto esencial aquí es que la probabilidad de una desviación típica en una distribución normal es la misma en todas las distribuciones normales. Si el conjunto de datos de la población tiene una media de 10 y una desviación típica de 5, entonces la probabilidad de 10 a 15, una desviación típica, es la misma que de cero a 1, una desviación típica en la distribución normal estándar. Para calcular las probabilidades, las áreas, para cualquier distribución normal, solo tenemos que convertir la distribución normal particular a la distribución normal estándar y buscar la respuesta en las tablas. Como revisión, aquí está de nuevo la fórmula de normalización:

donde Z es el valor de la distribución normal estándar, X es el valor de una distribución normal que se desea convertir a la normal estándar, μ y σ son, respectivamente, la media y la desviación típica de esa población. Tenga en cuenta que la ecuación utiliza μ y σ lo que denota parámetros poblacionales. Esto sigue tratando con la probabilidad, por lo que siempre estamos tratando con la población, con valores de parámetros conocidos y una distribución conocida. También es importante tener en cuenta que, como la distribución normal es simétrica, no importa si la puntuación z es positiva o negativa a la hora de calcular una probabilidad. Una desviación típica a la izquierda (puntuación Z negativa) cubre la misma área que una desviación típica a la derecha (puntuación Z positiva). Este hecho es la razón por la que las tablas de la normal estándar no proporcionan áreas para el lado izquierdo de la distribución. Debido a esta simetría, la fórmula de la puntuación Z se escribe a veces como

Las líneas verticales de la ecuación significan el valor absoluto del número.
Lo que realmente hace la fórmula de estandarización es calcular el número de desviaciones típicas que tiene X respecto a la media de su propia distribución. La fórmula de estandarización y el concepto de contar desviaciones típicas de la media es el secreto de todo lo que haremos en esta clase de Estadística. La razón de esto es que toda la estadística se reduce a la variación, y el recuento de las desviaciones típicas es una medida de variación.
Esta fórmula, con muchas apariencias, reaparecerá una y otra vez a lo largo de este curso.

### Referencias

“Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013).
“403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).


# La distribución normal

## Estimación de la binomial con la distribución normal

Ya hemos visto que varias funciones de densidad de probabilidad son las distribuciones límite de otras; por tanto, podemos estimar una con otra en determinadas circunstancias. Aquí veremos que la distribución normal puede utilizarse para estimar un proceso binomial. La Poisson se utilizó para estimar la binomial previamente, y la binomial se utilizó para estimar la distribución hipergeométrica.
En el caso de la relación entre la distribución hipergeométrica y la binomial, tuvimos que reconocer que un proceso binomial asume que la probabilidad de un éxito permanece constante de un ensayo a otro: una cara en el último lanzamiento no puede tener un efecto en la probabilidad de una cara en el siguiente lanzamiento. En la distribución hipergeométrica esta es la esencia de la cuestión porque el experimento asume que cualquier "extracción" es sin reemplazo. Si se extrae sin reemplazo, todos las "extracciones" posteriores son probabilidades condicionales. Descubrimos que si el experimento hipergeométrico saca extrae un pequeño porcentaje del total de objetos, entonces podemos ignorar el impacto en la probabilidad de una extracción a otra.
Imagine que hay 312 cartas en una baraja compuesta por 6 mazos normales. Si el experimento exigía extraer solo 10 cartas, menos del 5% del total, entonces aceptaremos la estimación binomial de la probabilidad, aunque en realidad se trata de una distribución hipergeométrica porque las cartas se extraen presumiblemente sin reemplazo.
La Poisson también se consideró una estimación adecuada de la binomial en determinadas circunstancias. En el capítulo 4 encontramos que si el número de ensayos de interés es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, tal que  < , la Poisson puede utilizarse para estimar la binomial con buenos resultados. Una vez más, estas reglas empíricas no pretenden en modo alguno que la probabilidad real sea la que determina la estimación, sino que la diferencia está en el tercer o cuarto decimal y, por tanto, es de minimus.
Aquí, de nuevo, encontramos que la distribución normal hace estimaciones particularmente precisas de un proceso binomial bajo ciertas circunstancias. La  es una distribución de frecuencia de un proceso binomial para el experimento de lanzar tres monedas donde la variable aleatoria es el número de caras. El espacio muestral se encuentra debajo de la distribución. En el experimento se ha asumido que la probabilidad de éxito es de 0,5; por tanto, la probabilidad de fracaso, de cola, es también de 0,5. Al observar la  nos llama la atención que la distribución sea simétrica. La raíz de este resultado es que las probabilidades de éxito y de fracaso son las mismas, 0,5. Si la probabilidad de éxito fuera inferior a 0,5, la distribución se vuelve sesgada hacia la derecha. De hecho, a medida que la probabilidad de éxito disminuye, el grado de asimetría aumenta. Si la probabilidad de éxito aumenta a partir de 0,5, la asimetría aumenta en la cola inferior, lo que da lugar a una distribución sesgada a la izquierda.
La razón por la que la asimetría de la distribución binomial es importante es porque si se va a estimar con una distribución normal, entonces tenemos que reconocer que la distribución normal es simétrica. Cuanto más se acerque la distribución binomial subyacente a ser simétrica, mejor será la estimación producida por la distribución normal. La  muestra una distribución normal simétrica transpuesta en un gráfico de una distribución binomial donde p = 0,2 y n = 5. La discrepancia entre la probabilidad estimada utilizando una distribución normal y la probabilidad de la distribución binomial original es evidente. El criterio para utilizar una distribución normal para estimar una binomial aborda, pues, este problema al exigir que TANTO np COMO n(1 - p) sean mayores que cinco. De nuevo, se trata de una regla general, pero es eficaz y da lugar a estimaciones aceptables de la probabilidad binomial.

### Repaso del capítulo

La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ. Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z. Su media es cero y su desviación típica es uno.

### Revisión de la fórmula

Distribución normal: X ~ N(µ, σ) donde µ es la media y σ es la desviación típica.
Distribución normal estándar: Z ~ N(0, 1).
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios:
X ~ N(54, 8)

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos.


# El teorema del límite central

## Introducción

¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiará las medias y el teorema del límite central.
El teorema del límite central es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. El teorema central del límite es un teorema, lo que significa que NO es una teoría o simplemente la idea de alguien sobre cómo funcionan las cosas. Como teorema, está a la altura del teorema de Pitágoras, o el teorema que nos dice que la suma de los ángulos de un triángulo debe sumar 180. Son hechos de las formas del mundo rigurosamente demostrados con precisión matemática y lógica. Como veremos, este poderoso teorema determinará lo que podemos y no podemos decir en la estadística inferencial. El teorema del límite central se ocupa de extraer muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ, y una desviación típica conocida, σ. La conclusión es que si recogemos muestras de tamaño n con un "n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma (distribución) de esas medias, la distribución resultante tenderá a tener una distribución normal aproximada.
El resultado asombroso es que no importa cuál es la distribución de la población original, ni siquiera es necesario conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales tiende a seguir la distribución normal.
El tamaño de la muestra, n, que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de la normal, se necesitan más observaciones para las medias de la muestra. El muestreo se realiza de forma aleatoria y con reemplazo en el modelo teórico.


# El teorema del límite central

## Teorema del límite central de las medias muestrales

La distribución muestral es una distribución teórica. Se crea tomando muchas muestras de tamaño n de una población. Cada media muestral se trata entonces como una única observación de esta nueva distribución, la distribución muestral. La genialidad de pensar de esta manera es que reconoce que cuando tomamos una muestra estamos creando una observación y esa observación debe provenir de alguna distribución particular. El teorema del límite central responde a la pregunta: ¿de qué distribución procede la media de una muestra? Si se descubre esto, entonces podemos tratar una media muestral como cualquier otra observación y calcular probabilidades sobre los valores que puede tomar. En efecto, hemos pasado del mundo de la estadística, en el que solo conocemos lo que tenemos de la muestra, al mundo de la probabilidad, en el que conocemos la distribución de la que procede la media muestral y los parámetros de esa distribución.
Las razones por las que se toma una muestra de una población son obvias. El tiempo y el gasto de comprobar cada factura para determinar su validez o cada envío para ver si contiene todos los artículos puede superar con creces el coste de los errores de facturación o envío. En el caso de algunos productos, el muestreo requeriría su destrucción, lo que se denomina muestreo destructivo. Un ejemplo de ello es la medición de la capacidad de un metal para resistir la corrosión del agua salada en las piezas de los buques oceánicos.
El muestreo plantea, pues, una cuestión importante: qué muestra se ha extraído. Incluso si la muestra se extrajera al azar, en teoría hay un número casi infinito de muestras. Con solo 100 artículos, se pueden extraer más de 75 millones de muestras únicas de tamaño cinco. Si hay seis en la muestra, el número de muestras posibles aumenta a algo más de mil millones. Entonces, de los 75 millones de muestras posibles, ¿cuál obtuvo? Si hay variación en los artículos que se van a muestrear, habrá variación en las muestras. Se podría extraer una muestra "desafortunada" y sacar conclusiones muy erróneas sobre la población. Este reconocimiento de que cualquier muestra que extraigamos es en realidad solo una de una distribución de muestras nos proporciona el que probablemente sea el teorema más importante de la estadística: el teorema del límite central. Sin el teorema del límite central sería imposible pasar a la estadística inferencial a partir de la teoría de la probabilidad simple. En su forma más básica, el teorema del límite central establece que, independientemente de la función de densidad de probabilidad subyacente de los datos de la población, la distribución teórica de las medias de las muestras de la población se distribuirá normalmente. En esencia, esto dice que la media de una muestra debe tratarse como una observación extraída de una distribución normal. El Teorema del Límite Central solo se cumple si el tamaño de la muestra es "suficientemente grande", lo que se ha demostrado que es de solo 30 observaciones o más.
La  muestra gráficamente esta importante propuesta.
Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X. Se trata de las observaciones individuales de la población. Esta es la distribución desconocida de los valores de la población. El gráfico está dibujado a propósito de forma cuadriculada para mostrar que no importa lo extraña que sea en realidad. Recuerde que nunca sabremos cómo es esta distribución, ni su media ni su desviación típica.
El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como
's. Se trata de la distribución teórica denominada distribución muestral de las medias. Cada observación de esta distribución es una media muestral. Todas estas medias muestrales se calcularon a partir de muestras individuales con el mismo tamaño de muestra. La distribución muestral teórica contiene todos los valores medios muestrales de todas las muestras posibles que podrían haberse tomado de la población. Por supuesto, nadie tomaría realmente todas estas muestras, pero si lo hicieran, este es el aspecto que tendrían. Y el teorema del límite central dice que se distribuirán normalmente.
El teorema del límite central va más allá y nos indica la media y la desviación típica de esta distribución teórica.
La importancia práctica del teorema del límite central es que ahora podemos calcular las probabilidades de obtener una media muestral,
, de la misma manera que lo hicimos para extraer observaciones específicas, X's, cuando conocíamos la media y la desviación típica de la población y que los datos de la población estaban distribuidos normalmente. La fórmula de estandarización tiene que modificarse para reconocer que la media y la desviación típica de la distribución muestral, a veces llamada error estándar de la media, son diferentes de las de la distribución de la población, pero por lo demás no ha cambiado nada. La nueva fórmula de estandarización es

Observe que  en la primera fórmula se ha cambiado por simplemente µ en la segunda versión. La razón es que matemáticamente se puede demostrar que el valor esperado de  es igual a µ. Esto se ha indicado en la  anteriormente. Matemáticamente, el símbolo E(x) indica el "valor esperado de x". Esta fórmula se utilizará en la siguiente unidad para proporcionar estimaciones del parámetro poblacional desconocido μ.

### Referencias

Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

### Repaso del capítulo

En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño (n) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (n).

### Revisión de la fórmula

El teorema del límite central para las medias muestrales:

 ~ N

La media

Teorema del límite central de las medias muestrales de puntuación z

Error estándar de la media (desviación típica (
 )):

Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las medias:
Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las proporciones:

### Tarea para la casa


# El teorema del límite central

## Uso del teorema del límite central

### Ejemplos del teorema del límite central

### Ley de los grandes números

La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral,  tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ. A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica de la distribución muestral. (Recuerde que la desviación típica de la distribución muestral de
  es
 ). Esto significa que la media muestral
  debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números.
Este concepto es tan importante y desempeña un papel tan decisivo en lo que sigue que merece un mayor desarrollo. De hecho, hay dos cuestiones críticas que se derivan del teorema del límite central y de la aplicación de la ley de los grandes números a este. Estos son
1. La función de densidad de probabilidad de la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente independientemente de la distribución subyacente de las observaciones de la población y
2. la desviación típica de la distribución muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de las muestras que se utilizaron para calcular las medias de la distribución muestral.
Tomando estos en orden. Parece contradictorio que la población pueda tener cualquier distribución y que la distribución de las medias procedentes de ella se distribuya normalmente. Con el uso de computadoras, se pueden simular experimentos que muestren el proceso por el cual la distribución de muestreo cambia a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Estas simulaciones muestran visualmente los resultados de la demostración matemática del teorema del límite central.
He aquí tres ejemplos de distribuciones poblacionales muy diferentes y la evolución de la distribución muestral hacia una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El panel superior en estos casos representa el histograma de los datos originales. Los tres paneles muestran los histogramas de 1000 muestras extraídas al azar para diferentes tamaños de muestra: n=10, n= 25 y n=50. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, y el número de muestras tomadas se mantiene constante, la distribución de las medias de 1000 muestras se acerca más a la línea suave que representa la distribución normal.
La  es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la distribución de muestreo convergiera en la normal rápidamente. Los resultados lo demuestran y muestran que, incluso con un tamaño de muestra muy pequeño, la distribución se aproxima a la distribución normal.
La  es una distribución uniforme que, de forma un poco sorprendente, se acerca rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10.
La  es una distribución sesgada. Esta última podría ser una exponencial, geométrica o binomial con una pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución. En el caso de las distribuciones asimétricas, nuestra intuición nos dice que se necesitarán tamaños de muestra mayores para pasar a una distribución normal y de hecho, eso es lo que observamos en la simulación. Sin embargo, con un tamaño de muestra de 50, que no se considera muy grande, la distribución de las medias muestrales ha adquirido muy decididamente la forma de la distribución normal.
El teorema del límite central proporciona algo más que la prueba de que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. También nos proporciona la media y la desviación típica de esta distribución. Además, como se ha comentado anteriormente, el valor esperado de la media, , es igual a la media de la población de los datos originales que es lo que nos interesa estimar a partir de la muestra que tomamos. Ya hemos insertado esta conclusión del teorema del límite central en la fórmula que utilizamos para estandarizar desde la distribución muestral a la distribución normal estándar. Y, por último, el teorema del límite central también ha proporcionado la desviación típica de la distribución muestral, , y esto es crítico para poder calcular las probabilidades de los valores de la nueva variable aleatoria, .

La  muestra una distribución de muestreo. La media se ha marcado en el eje horizontal de las  y la desviación típica se ha escrito a la derecha sobre la distribución. Observe que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica original de la población, dividida entre el tamaño de la muestra. Ya hemos visto que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución muestral se acerca cada vez más a la distribución normal. Como esto ocurre, la desviación típica de la distribución muestral cambia de otra manera; la desviación típica disminuye a medida que n aumenta. Cuando n es muy grande, la desviación típica de la distribución muestral se hace muy pequeña y en el infinito colapsa sobre la media de la población. Esto es lo que significa que el valor esperado de  es la media de la población, µ.
En valores no extremos de n, esta relación entre la desviación típica de la distribución muestral y el tamaño de la muestra desempeña un papel muy importante en nuestra capacidad para estimar los parámetros que nos interesan.
La  muestra tres distribuciones de muestreo. El único cambio que se ha realizado es el tamaño de la muestra que se utilizó para obtener las medias muestrales de cada distribución. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, n pasa de 10 a 30 a 50, las desviaciones típicas de las respectivas distribuciones muestrales disminuyen porque el tamaño de la muestra está en el denominador de las desviaciones típicas de las distribuciones muestrales.
Las implicaciones de esto son muy importantes. La  muestra el efecto del tamaño de la muestra en la confianza que tendremos en nuestras estimaciones. Se trata de dos distribuciones muestrales de la misma población. Una distribución de muestreo se creó con muestras de tamaño 10 y la otra con muestras de tamaño 50. Si todo lo demás es constante, la distribución de muestreo con un tamaño de muestra de 50 tiene una desviación típica menor que hace que el gráfico sea más alto y estrecho. El efecto importante de esto es que para la misma probabilidad de una desviación típica de la media, esta distribución cubre mucho menos rango de valores posibles que la otra distribución. Una desviación típica está marcada en el eje  para cada distribución. Esto se muestra con las dos flechas que son más o menos una desviación típica para cada distribución. Si la probabilidad de que la verdadera media esté a una desviación típica de la media, entonces para la distribución de muestreo con el tamaño de muestra más pequeño, el rango posible de valores es mucho mayor. Una pregunta sencilla es: ¿preferiría tener una media muestral de la distribución estrecha y ajustada o de la distribución plana y amplia como estimación de la media de la población? Su respuesta nos dice por qué la gente intuitivamente siempre elegirá datos de una muestra grande en lugar de una muestra pequeña. La media muestral que obtienen procede de una distribución más compacta. Este concepto será la base de lo que se llamará nivel de confianza en la siguiente unidad.

### Repaso del capítulo

El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral
  llega a μ.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas.
 La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes.
 una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas.

### Tarea para la casa


# El teorema del límite central

## Teorema del límite central de las proporciones

El teorema del límite central nos dice que la estimación puntual de la media muestral, , proviene de una distribución normal de 's. Esta distribución teórica se denomina distribución muestral de 's. Ahora investigamos la distribución de muestreo para otro parámetro importante que deseamos estimar; p de la función de densidad de probabilidad binomial.

Si la variable aleatoria es discreta, como en el caso de los datos categóricos, el parámetro que deseamos estimar es la proporción de la población. Esta es, por supuesto, la probabilidad de obtener un éxito en cualquier sorteo aleatorio. A diferencia del caso que acabamos de discutir para una variable aleatoria continua en la que no conocíamos la distribución poblacional de las X, aquí sí conocemos la función de densidad de probabilidad subyacente para estos datos; es la binomial. La variable aleatoria es X = el número de aciertos y el parámetro que deseamos conocer es p, la probabilidad de sacar un acierto que es, por supuesto, la proporción de aciertos en la población. La pregunta que se plantea es: ¿a partir de qué distribución se obtuvo la proporción de la muestra,  extraída? El tamaño de la muestra es n y X es el número de aciertos encontrados en esa muestra. Se trata de una pregunta paralela a la que acaba de responder el teorema del límite central: ¿de qué distribución era la media de la muestra, , extraída? Vimos que una vez que supimos que la distribución era la normal, pudimos crear intervalos de confianza para el parámetro poblacional: µ. También utilizaremos esta misma información para comprobar las hipótesis sobre la media de la población más adelante. Ahora queremos ser capaces de desarrollar intervalos de confianza para el parámetro poblacional "p" a partir de la función de densidad de probabilidad binomial.
Para hallar la distribución de la que proceden las proporciones muestrales, necesitamos desarrollar la distribución muestral de las proporciones muestrales, al igual que hicimos con las medias muestrales. Imaginemos de nuevo que tomamos una muestra aleatoria de, por ejemplo, 50 personas y les preguntamos si apoyan la nueva emisión de bonos escolares. A partir de esto encontramos una proporción muestral, p', y la graficamos en el eje de las p'. Hacemos esto una y otra vez, etc., hasta que tengamos la distribución teórica de las p'. Algunas proporciones de la muestra presentarán una alta favorabilidad hacia la emisión de bonos y otras presentarán una baja favorabilidad porque el muestreo aleatorio reflejará la variación de opiniones dentro de la población. Lo que hemos hecho puede verse en la . El panel superior es la distribución poblacional de probabilidades para cada valor posible de la variable aleatoria X. Aunque no sabemos cómo es la distribución específica porque no conocemos p, el parámetro poblacional, sí sabemos que debe ser algo así. En realidad, no conocemos ni la media ni la desviación típica de esta distribución de la población, la misma dificultad a la que nos enfrentamos al analizar las X anteriormente.
La  sitúa la media en la distribución de probabilidades de la población como  pero, por supuesto, no conocemos realmente la media de la población porque no conocemos la probabilidad de éxito de la población, . Debajo de la distribución de los valores de la población se encuentra la distribución muestral de 's. De nuevo, el teorema del límite central nos dice que esta distribución se distribuye normalmente al igual que el caso de la distribución muestral para 's. Esta distribución muestral también tiene una media, la media de ', y una desviación típica, .
Es importante destacar que, en el caso del análisis de la distribución de las medias muestrales, el teorema del límite central nos indicó el valor esperado de la media de las medias muestrales en la distribución muestral, y la desviación típica de la distribución muestral. De nuevo, el teorema del límite central proporciona esta información para la distribución de muestreo de las proporciones. Las respuestas son
Estas dos conclusiones son las mismas que hemos encontrado para la distribución de muestreo de las medias de las muestras. Sin embargo, en este caso, como la media y la desviación típica de la distribución binomial dependen de , la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral requiere una manipulación algebraica para ser útil. Lo abordaremos en el próximo capítulo. A continuación, se ofrece la demostración de estas importantes conclusiones del teorema del límite central.

(El valor esperado de X, E(x), es simplemente la media de la distribución binomial que sabemos que es np).
La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones es, por tanto, la siguiente
La  resume estos resultados y muestra la relación entre la población, la muestra y la distribución muestral. Nótese el paralelismo entre esta Tabla y la Tabla 7.1 para el caso en que la variable aleatoria es continua y estábamos desarrollando la distribución muestral para las medias.
Repasando la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral para las proporciones vemos que a medida que n aumenta la desviación típica disminuye. Esta es la misma observación que hicimos para la desviación típica de la distribución de muestreo para las medias. De nuevo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, se observa que la estimación puntual de µ o p procede de una distribución cada vez más estrecha. Llegamos a la conclusión de que, con un nivel de probabilidad determinado, el rango del que procede la estimación puntual es menor a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n. La figura 7.8 muestra este resultado para el caso de las medias muestrales. Simplemente sustituya  por  y podemos ver el impacto del tamaño de la muestra en la estimación de la proporción de la muestra.

### Repaso del capítulo

El teorema del límite central también puede utilizarse para ilustrar que la distribución muestral de las proporciones de la muestra se distribuye normalmente con el valor esperado de p y una desviación típica de

### Tarea para la casa


# El teorema del límite central

## Factor de corrección de población finita

Hemos visto que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y, por tanto, en la desviación típica de la distribución muestral. También es interesante la proporción de la población total que ha sido muestreada. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de ella. A medida que la población se hace más pequeña y muestreamos un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el factor de corrección finito para ajustar la varianza de la distribución de muestreo. Es apropiado cuando se muestrea más del 5 % de la población y esta tiene un tamaño poblacional conocido. Hay casos en los que se conoce la población, por lo que hay que aplicar el factor de corrección. El problema se plantea tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El factor de corrección de la población finita para la varianza de las medias que aparece en la fórmula de normalización es:
y para la varianza de las proporciones es:

Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas muestrales se ajustan mediante la fórmula anterior.

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# Intervalos de confianza

## Introducción

Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción verdadera del parámetro p en la función de densidad de probabilidad binomial.
Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un  de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. Lo que la estadística nos proporciona, más allá de un simple promedio o estimación puntual, es una estimación a la que podemos atribuir una probabilidad de exactitud, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido.
En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija.
Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral,
 , y la desviación típica de la muestra, s. Usaría
  para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral,
 , es la estimación puntual de la media de la población, μ. La desviación típica de la muestra, s, es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ.

  y s se denominan cada uno una estadística.
Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculado a partir de un conjunto determinado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro poblacional desconocido.
Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ, pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica de la distribución muestral de las medias de la muestra es

 .
La regla empírica, que se aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral,
 , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ. Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral
  es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ.
Dado que
  está dentro de 0,2 unidades de μ, que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de
  con un 95 % de probabilidad. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre
  y
  en el 95 % de las muestras.
Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral
 . Entonces con un 95 % de probabilidad la media poblacional desconocida μ está entre

  y

Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). Tenga en cuenta que hablamos en términos de confianza del 95 % utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones típicas es solo aproximadamente el 95 % de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones típicas en una distribución normal son en realidad el 95,44 % de la probabilidad. Para calcular el nivel de confianza exacto del 95 % utilizaríamos 1,96 desviaciones típicas.
El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ, o bien nuestra muestra produjo un
  que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ. La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de todas las muestras (95 % menos 100 % = 5 %).
Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ.
Para el intervalo de confianza de una media la fórmula sería
O escrito de otra manera como:
Donde  es la media de la muestra.  se determina por el nivel de confianza deseado por el analista, y  es la desviación típica de la distribución muestral para las medias que nos da el teorema del límite central.


# Intervalos de confianza

## Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande

Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal.

### Cálculo del intervalo de confianza

Considere la fórmula de estandarización para la distribución de muestreo desarrollada en la discusión del Teorema del Límite Central:

Observe que µ se sustituye por  porque sabemos que el valor esperado de  es µ del teorema del límite central y  se sustituye por , también del teorema del límite central.
En esta fórmula sabemos ,  y n, el tamaño de la muestra. (En realidad, no conocemos la desviación típica de la población, pero tenemos una estimación puntual de la misma, s, a partir de la muestra que hemos tomado. Más adelante se hablará de esto). Lo que no sabemos es μ o Z1. Podemos resolver cualquiera de ellas en términos de la otra. Resolviendo para μ en términos de Z1 se obtiene:
Recordando que el teorema del límite central nos dice que la distribución de 's, la distribución muestral para las medias, es normal, y que la distribución normal es simétrica, podemos reordenar los términos así:

Esta es la fórmula de un intervalo de confianza para la media de una población.
Observe que Zα ha sido sustituido por Z1 en esta ecuación. Aquí es donde el estadístico debe hacer una elección. El analista debe decidir el nivel de confianza que desea imponer al intervalo de confianza. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga la verdadera media de la población. El nivel de confianza se define como (1-α). Zα es el número de desviaciones típicas  que se aleja de la media con una cierta probabilidad. Si elegimos Zα = 1,96, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 95 % porque estamos fijando en 0,95 la probabilidad de que la verdadera media se encuentre dentro del rango. Si fijamos Zα en 1,64, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 90% porque hemos fijado la probabilidad en 0,90. Estos números pueden verificarse consultando la tabla estandarizada. Divida 0,95 o 0,90 por la mitad y encuentra esa probabilidad dentro del cuerpo de la tabla. A continuación, lea en los márgenes superior e izquierdo el número de desviaciones típicas que se necesitan para obtener este nivel de probabilidad.
En realidad, podemos establecer cualquier nivel de confianza que deseemos simplemente cambiando el valor Zα en la fórmula. Es la elección del analista. La convención común en economía y en la mayoría de las ciencias sociales establece los intervalos de confianza en niveles del 90, 95 o 99 por ciento. Los niveles inferiores al 90% se consideran de poco valor. El nivel de confianza de una determinada estimación de intervalo se denomina (1-α).
Una buena forma de ver el desarrollo de un intervalo de confianza es representar gráficamente la solución de un problema solicitando un intervalo de confianza. Esto se presenta en la  para el ejemplo de la introducción relativo al número de descargas de iTunes. Ese caso era para un intervalo de confianza del 95%, pero se podrían haber elegido otros niveles de confianza con la misma facilidad, según la necesidad del analista. Sin embargo, el nivel de confianza DEBE estar preestablecido y no estar sujeto a revisión como resultado de los cálculos.
Para este ejemplo, digamos que sabemos que el número de la media poblacional real de descargas de iTunes es de 2,1. La verdadera media de la población se encuentra dentro del rango del intervalo de confianza del 95%. No hay absolutamente nada que garantice que esto ocurra. Además, si la verdadera media queda fuera del intervalo, nunca la conoceremos. Debemos recordar siempre que nunca conoceremos la verdadera media. La estadística simplemente nos permite, con un determinado nivel de probabilidad (confianza), decir que la verdadera media está dentro del rango calculado. Esto es lo que se llamó en la introducción, el "nivel de ignorancia admitido".

### Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra

Aquí está de nuevo la fórmula para un intervalo de confianza para una media poblacional desconocida asumiendo que conocemos la desviación típica de la población:

Está claro que el intervalo de confianza se rige por dos cosas, el nivel de confianza elegido, , y la desviación típica de la distribución muestral. La desviación típica de la distribución muestral se ve afectada además por dos cosas, la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra que hemos elegido para nuestros datos. Aquí queremos examinar los efectos de cada una de las elecciones que hemos hecho sobre el intervalo de confianza calculado, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra.
Por un momento debemos preguntarnos qué deseamos en un intervalo de confianza. Nuestro objetivo era estimar la media de la población a partir de una muestra. Hemos abandonado la esperanza de encontrar alguna vez la verdadera media de la población, y la desviación típica de la población, para cualquier caso, excepto cuando tenemos una población extremadamente pequeña y el coste de recopilar los datos de interés es muy pequeño. En todos los demás casos, debemos recurrir a las muestras. Con el teorema del límite central tenemos las herramientas para proporcionar un intervalo de confianza significativo con un nivel de confianza determinado, lo que significa una probabilidad conocida de estar equivocado. Por intervalo de confianza significativo entendemos uno que sea útil. Imagine que le piden un intervalo de confianza para las edades de sus compañeros. Ha tomado una muestra y encuentra una media de 19,8 años. Desea estar muy seguro, por lo que informa de un intervalo entre 9,8 años y 29,8 años. Este intervalo contendría sin duda la verdadera media de la población y tendría un nivel de confianza muy alto. Sin embargo, difícilmente puede calificarse de significativo. El mejor intervalo de confianza es el que es estrecho y a la vez de alta confianza. Existe una tensión natural entre estos dos objetivos. Cuanto más alto sea el nivel de confianza, más amplio será el intervalo de confianza, como en el caso de las edades de los estudiantes. Podemos ver esta tensión en la ecuación del intervalo de confianza.
El intervalo de confianza aumentará el ancho a medida que  aumenta,  aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza. Existe un compromiso entre el nivel de confianza y el ancho del intervalo. Ahora volvamos a ver la fórmula y veremos que el tamaño de la muestra también juega un papel importante en el ancho del intervalo de confianza. El tamaño de la muestra, , aparece en el denominador de la desviación típica de la distribución muestral. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la desviación típica de la distribución muestral y, por tanto, el ancho del intervalo de confianza, manteniendo constante el nivel de confianza. Esta relación se demostró en la . Una vez más, vemos la importancia de contar con muestras grandes para nuestro análisis, aunque entonces nos enfrentamos a una segunda limitación, el coste de la recopilación de datos.

### Cálculo del intervalo de confianza: un enfoque alternativo

Otra forma de enfocar los intervalos de confianza es mediante el uso de algo llamado límite de error. El límite de error recibe su nombre del reconocimiento de que proporciona el límite del intervalo derivado del error estándar de la distribución muestral. En las ecuaciones anteriores se ve que el intervalo es simplemente la media estimada, la media muestral, más o menos algo. Ese algo es el límite de error y está impulsado por la probabilidad que deseamos mantener en nuestra estimación, , por la desviación típica de la distribución muestral. El límite de error de una media recibe el nombre de media con límite de error  (Error Bound Mean, EBM).
Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ, cuando se conoce la desviación típica de la población, necesitamos
  como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (EBM) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado ). La media muestral
 es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ.
La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma:
(estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, (
 )
La fórmula matemática de este intervalo de confianza es:
El margen de error (EBM) depende del nivel de confianza (). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.
Existe otra probabilidad llamada alfa (α). α está relacionada con el nivel de confianza, CL. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, 1 - α = CL.
Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en que la distribución muestral de las medias de la muestra sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de
  = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5.
Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal.
Para captar el 90% central, debemos movernos 1,645 desviaciones típicas a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha.
Es importante que la desviación típica utilizada debe ser la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a la distribución muestral para medias que estudiamos con el teorema del límite central y es,
     .

### Cálculo del intervalo de confianza con el EMB

Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:
1.  Calcular la media muestral
      de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección conocemos la desviación típica de la población σ.
2. Calcule la puntuación z de la tabla estandarizada que corresponde al nivel de confianza deseado.
3. Calcular el límite de error EBM.
4. Construir el intervalo de confianza.
5. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema.
Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.

### Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado

Cuando conocemos la desviación típica de la población σ, utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N(0, 1).
El nivel de confianza, CL, es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α, por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a
     .
La puntuación z que tiene un área a la derecha de
      se denota por
     .
Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y
      = 0,025; escribimos
      = .
La zona a la derecha de  es 0,025 y el área a la izquierda de  es 1 – 0,025 = 0,975.

 , utilizando una tabla de probabilidad normal. Más adelante veremos que podemos utilizar una tabla de probabilidad diferente, la distribución t de Student, para encontrar el número de desviaciones típicas de los niveles de confianza más utilizados.

### Cálculo del límite de error (EBM)

La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es
1. EBM =

### Construcción del intervalo de confianza

1. La estimación del intervalo de confianza tiene el formato
  o la fórmula:
El gráfico da una idea de toda la situación.
CL +
      +
      = CL + α = 1.
Ya hemos visto este efecto cuando revisamos los efectos de cambiar el tamaño de la muestra, n, en el teorema del límite central. Consulte la  para ver este efecto. Antes vimos que a medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la desviación típica de la distribución muestral. Por eso elegimos una media muestral grande en comparación con la de una muestra pequeña, manteniendo el resto constante.
Hasta ahora hemos asumido que conocíamos la desviación típica de la población. Esto prácticamente nunca será así. Sin embargo, tendremos la desviación típica de la muestra, s. Se trata de una estimación puntual de la desviación típica de la población y puede sustituirse en la fórmula de los intervalos de confianza para una media en determinadas circunstancias. Acabamos de ver el efecto que tiene el tamaño de la muestra en el ancho del intervalo de confianza y el impacto en la distribución muestral para nuestra discusión del teorema del límite central. Podemos invocar esto para sustituir la estimación puntual por la desviación típica si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Los estudios de simulación indican que 30 observaciones o más serán suficientes para eliminar cualquier sesgo significativo en el intervalo de confianza estimado.

### Referencias

“American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013).
“Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
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Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 CDC Growth Charts for the United States: Methods and Development”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/growthcharts/2000growthchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
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“Mean Income in the Past 12 Months (in 2011 Inflaction-Adjusted Dollars): 2011 American Community Survey 1-Year Estimates”. American Fact Finder, U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/tableservices/jsf/pages/productview.xhtml?pid=ACS_11_1YR_S1902&prodType=table (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Candidate Summary File”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataforcandidatesummary.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).
“National Health and Nutrition Examination Survey”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 2 de julio de 2013).

### Revisión de la fórmula

La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal, viene dada por  Esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población.
CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional
α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional

      = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es
      esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL.


# Intervalos de confianza

## Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña

En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Esto es lo que hicimos en el  arriba. La estimación puntual de la desviación típica, s, se sustituyó en la fórmula del intervalo de confianza para la desviación típica de la población. En este caso hay 80 observaciones muy por encima de las 30 sugeridas para eliminar cualquier sesgo de una muestra pequeña. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza.
William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student. El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Un estudiante".
Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de un máximo de 30 observaciones.
Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t =
 , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con . La puntuación t tiene la misma interpretación que la puntuación . Mide la distancia en unidades de desviación típica
  es de su media μ. Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente.
Los grados de libertad, , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra . Recuerde que cuando calculamos por primera vez una desviación típica de la muestra, dividimos la suma de las desviaciones al cuadrado por n – 1, pero utilizamos n desviaciones
  para calcular . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras  desviaciones. Las otras  desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número  en reconocimiento de que uno se pierde en los cálculos. El efecto de la pérdida de un grado de libertad es que el valor t aumenta y el intervalo de confianza aumenta su anchura.
2. La gráfica de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar y a infinitos grados de libertad es la distribución normal. Puede confirmarlo leyendo la línea inferior a infinitos grados de libertad para un nivel de confianza conocido, por ejemplo, en la columna 0,05, nivel de confianza del 95 %, encontramos el valor t de 1,96 a infinitos grados de libertad.
3. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica respecto a cero, de nuevo como la distribución normal estándar.
4. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar.
5. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar.
6. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ. Esta suposición proviene del teorema del límite central porque las observaciones individuales en este caso son las  de la distribución muestral. El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si es normal, se cumple el supuesto y no es necesario discutirlo.
Se utiliza una tabla de probabilidad para la distribución t de Student para calcular los valores t en varios niveles de confianza comúnmente utilizados. La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). Al utilizar una tabla t, tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Observe que en la parte inferior de la tabla aparecerá el valor t para infinitos grados de libertad. Matemáticamente, a medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tse aproxima a la distribución normal estándar. Puede encontrar los valores Z conocidos buscando en la columna alfa correspondiente y leyendo el valor en la última fila. Una tabla t de Student (vea el A - CUADROS ESTADÍSTICOS) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha.
La distribución t de Student tiene una de las propiedades más deseables de la normal: es simétrica. Lo que hace la distribución t de Student es extender el eje horizontal, de modo que se necesita un mayor número de desviaciones típicas para capturar la misma cantidad de probabilidad. En realidad, hay un número infinito de distribuciones t de Student, una para cada ajuste del tamaño de la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t de Student se parece cada vez más a la distribución normal. Cuando el tamaño de la muestra llega a 30, la distribución normal suele sustituirse por la t de Student porque son muy parecidas. Esta relación entre la distribución t de Student y la distribución normal se muestra en la .
Este es otro ejemplo de una distribución que limita a otra, en este caso la distribución normal es la distribución que limita a la t de Student cuando los grados de libertad en la t de Student se acercan a infinito. Esta conclusión proviene directamente de la derivación de la distribución t de Student realizada por el Sr. Gosset. Reconoció que el problema consistía en tener pocas observaciones y no estimar la desviación típica de la población. Sustituía la desviación típica de la muestra y obtenía resultados volátiles. Por lo tanto, creó la distribución t de Student como una relación entre la distribución normal y la distribución chi-cuadrado. La distribución chi-cuadrado es a su vez un cociente de dos varianzas, en este caso la varianza de la muestra y la varianza de la población desconocida. La distribución t de Student, por tanto, está ligada a la distribución normal, pero tiene grados de libertad que provienen de los de la distribución chi-cuadrado. La solución algebraica demuestra este resultado.
2.
  donde

3.

4.

Hay que replantear la fórmula de un intervalo de confianza para la media para los casos en que el tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, σ:
Aquí la estimación puntual de la desviación típica de la población, s ha sido sustituida por la desviación típica de la población, σ, y tν,α ha sido sustituida por Zα. La letra griega ν (pronunciada niu) se coloca en la fórmula general en reconocimiento de que hay muchas distribuciones de Student tv, una para cada tamaño de muestra. ν es el símbolo de los grados de libertad de la distribución y depende del tamaño de la muestra. A menudo se utiliza “df” para abreviar los grados de libertad. Para este tipo de problema, los grados de libertad son ν = n-1, donde n es el tamaño de la muestra. Para buscar una probabilidad en la tabla t de Student tenemos que conocer los grados de libertad del problema.

### Referencias

“America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos de http://www.businessweek.com/.
Datos de http://www.forbes.com/.
“Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
“Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ, de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s, como estimación de σ. La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ, pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula:

La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con  donde
  es la puntuación t con un área a la derecha igual a
 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar
  para una α determinada.

### Revisión de la fórmula

s = la desviación típica de los valores de la muestra.

  es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student
df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra
T~t es la variable aleatoria, T, tiene una distribución t de Student con df grados de libertad
La forma general de un intervalo de confianza para una media única, una desviación típica de la población desconocida y un tamaño de muestra inferior a 30 t de Student viene dada por

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la  son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional.
Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente.