# Muestreo y datos

## Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave

La ciencia de la Estadística se ocupa de la recopilación, del análisis, de la interpretación y de la presentación de datos. Vemos y utilizamos datos en nuestra vida cotidiana.
En este curso aprenderá a organizar y resumir datos. La organización y el resumen de los datos se denominan Estadística Descriptiva. Dos formas de resumir los datos son la elaboración de gráficos y el uso de números (por ejemplo, hallar un promedio). Después de haber estudiado la probabilidad y las distribuciones de probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones de los datos “buenos”. Los métodos formales se denominan Estadística Inferencial. La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar el grado de confianza que podemos tener en que nuestras conclusiones son correctas.
La interpretación eficaz de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos de producción de datos y en examinarlos de forma reflexiva. Se encontrará con lo que le parecerá un exceso de fórmulas matemáticas para interpretar los datos. La meta de la Estadística no es realizar numerosos cálculos con las fórmulas, sino comprender los datos. Los cálculos se pueden hacer con una calculadora o una computadora. La comprensión debe venir de usted. Si puede comprender a fondo los fundamentos de la Estadística, podrá tener más confianza en las decisiones que tome en la vida.

### Probabilidad

La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es
  o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson, que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción
  es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada.
La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, como el póquer. Las predicciones adoptan la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto, de que llueva o de que obtenga una A en este curso utilizamos las probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna provoque la enfermedad que se supone que debe prevenir. Un agente de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Puede utilizar la probabilidad para decidir si compra un billete de lotería o no. En su estudio de la Estadística, utilizará el poder de las Matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar sus datos.

### Términos clave

En estadística, generalmente queremos estudiar una población. Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra. La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población.
Como se necesita mucho tiempo y dinero para examinar toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si desea calcular el promedio general de calificaciones de su escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de estudiantes que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de las calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de sondeos de opinión de 1.000 a 2.000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa el punto de vista de las personas de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas en lata toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada.
A partir de los datos de la muestra podemos calcular un estadístico. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de Matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de Matemáticas, el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes de esa clase de Matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de un estadístico. La estadística es una estimación de un parámetro poblacional, en este caso la media. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante un estadístico. Dado que consideramos que todas las clases de Matemáticas son la población, el número promedio de puntos obtenidos por estudiante en todas las clases de Matemáticas es un ejemplo de parámetro.
Una de las principales preocupaciones en el campo de la Estadística es la precisión con la que un estadístico estima un parámetro. La precisión depende realmente de lo bien que la muestra represente a la población. La muestra debe contener las características de la población para ser una muestra representativa. En la Estadística Inferencial nos interesa tanto el estadístico de la muestra como el parámetro de la población. En un capítulo posterior utilizaremos el estadístico de la muestra para comprobar la validez del parámetro poblacional establecido.
Una variable, o variable aleatoria, que normalmente se anota con letras mayúsculas como la X y la Y, es una característica o medida que puede determinarse para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas. Las variables numéricas toman valores con unidades iguales, como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas sitúan a la persona o cosa en una categoría. Si suponemos que X equivale al número de puntos obtenidos por un estudiante de Matemáticas al final de un trimestre, entonces X es una variable numérica. Si suponemos que Y es la afiliación de una persona a un partido, entonces algunos ejemplos de Y incluyen republicano, demócrata e independiente. Y es una variable categórica. Podríamos hacer algunos cálculos con valores de X (calcular el promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer cálculos con valores de Y (calcular un promedio de afiliación a un partido no tiene sentido).
Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o palabras. El dato es un valor único.
Dos palabras que aparecen a menudo en estadística son media y proporción. Si presenta tres exámenes de sus clases de Matemáticas y obtiene calificaciones de 86, 75 y 92, calcularía su calificación media sumando las tres calificaciones de los exámenes y dividiéndolas entre tres (su calificación media sería 84,3 con un decimal). Si en su clase de Matemáticas hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes hombres es  y la proporción de estudiantes mujeres es . La media y la proporción se tratan con más detalle en capítulos posteriores.

### Referencias

The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

La teoría matemática de la estadística es más fácil de aprender cuando se conoce el lenguaje. Este módulo presenta términos importantes que se utilizarán a lo largo del texto.

### TAREA PARA LA CASA

Para cada uno de los ocho ejercicios siguientes, identifique: a. la población, b. la muestra, c. el parámetro, d. el estadístico, e. la variable y f. los datos. Dé ejemplos cuando sea necesario.
 Use la siguiente información para responder los tres próximos ejercicios: Una instructora del Lake Tahoe Community College está interesado en el número medio de días que los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College se ausentan de clase durante un trimestre.


# Muestreo y datos

## Datos, muestreo y variación de datos y muestreo

Los datos pueden proceder de una población o de una muestra. Letras minúsculas como
 o
 se utilizan generalmente para representar valores de datos. La mayoría de los datos se pueden clasificar en las siguientes categorías:
1. Cualitativa
2. Cuantitativa
Los datos cualitativos son el resultado de categorizar o describir los atributos de una población. Los datos cualitativos también suelen denominarse datos categóricos. El color del cabello, el tipo de sangre, la etnia, el automóvil que conduce una persona y la calle en la que vive son ejemplos de datos cualitativos (categóricos). Los datos cualitativos (categóricos) se describen con palabras o letras. Por ejemplo, el color del cabello puede ser negro, castaño oscuro, castaño claro, rubio, gris o rojo. El tipo de sangre puede ser AB+, O– o B+. Los investigadores prefieren los datos cuantitativos a los cualitativos (categóricos) porque se prestan más al análisis matemático. Por ejemplo, no tiene sentido hallar un color de cabello o un tipo de sangre promedio.
Los datos cuantitativos son siempre números. Los datos cuantitativos son el resultado de contar o medir los atributos de una población. La cantidad de dinero, la frecuencia del pulso, el peso, el número de personas que viven en su ciudad y el número de estudiantes que cursan Estadística son ejemplos de datos cuantitativos. Los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos.
Todos los datos que son el resultado de contar se denominan datos discretos cuantitativos. Estos datos solo adoptan ciertos valores numéricos. Si cuenta el número de llamadas telefónicas que recibe cada día de la semana, puede obtener valores como cero, uno, dos o tres.
Los datos que no solo se componen de números para contar, sino que pueden incluir fracciones, decimales o números irracionales, se denominan datos cuantitativos continuos. Los datos continuos suelen ser el resultado de mediciones como longitudes, pesos o tiempos. Una lista de la duración en minutos de todas las llamadas telefónicas que realiza en una semana, con números como 2,4; 7,5; u 11,0, sería un dato cuantitativo continuo.

### Discusión de datos cualitativos

A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College.
Las tablas son una buena forma de organizar y mostrar datos. Pero los gráficos pueden ser aun más útiles para entender los datos. No hay reglas estrictas en cuanto a los gráficos que hay que utilizar. Dos gráficos que se utilizan para mostrar datos cualitativos (categóricos) son los gráficos circulares y los de barras.
En un gráfico circular las categorías de datos se representan mediante cuñas en un círculo y su tamaño es proporcional al porcentaje de personas de cada categoría.
En un gráfico de barras la longitud de la barra para cada categoría es proporcional al número o porcentaje de personas en cada categoría. Las barras pueden ser verticales u horizontales.
Un diagrama de Pareto está formado por barras que se ordenan por el tamaño de la categoría (de mayor a menor).
Observe la  y la  y determine qué gráfico (circular o de barras) cree que muestra mejor las comparaciones.
Es una buena idea observar una variedad de gráficos para ver cuál es el más útil para mostrar los datos. Según los datos y el contexto, podemos elegir el “mejor” gráfico. Nuestra elección también depende del uso que hagamos de los datos.

### Porcentajes que suman más (o menos) que el 100 %

A veces, los porcentajes suman más del 100 % (o menos del 100 %). En el gráfico, los porcentajes suman más del 100 % porque los estudiantes pueden estar en más de una categoría. Un gráfico de barras es apropiado para comparar el tamaño relativo de las categorías. No se puede utilizar un gráfico circular. Tampoco podía utilizarse si los porcentajes sumaban menos del 100 %.

### Omisión de categorías/falta de datos

La tabla muestra el origen étnico de los estudiantes pero falta la categoría “otros/desconocidos”. En esta categoría se ubican las personas que no se consideraron incluidas en ninguna de las categorías étnicas o que se negaron a responder. Observe que las frecuencias no suman el número total de estudiantes. En esta situación, cree un gráfico de barras y no un gráfico circular.
El siguiente gráfico es igual que el anterior, pero se ha incluido el porcentaje de “otros/desconocidos” (9,6 %). La categoría “otros/desconocidos” es grande en comparación con algunas de las otras categorías (nativos de Estados Unidos, 0,6 %, isleños del Pacífico, 1,0 %). Es importante saber esto cuando pensamos en lo que nos dicen los datos.
Este gráfico de barras particular en la  puede ser difícil de entender visualmente. El gráfico de la  es un diagrama de Pareto. El diagrama de Pareto tiene las barras ordenadas de mayor a menor y es más fácil de leer e interpretar.

### Gráficos circulares: no faltan datos

Los siguientes gráficos circulares incluyen la categoría “otros/desconocidos” (ya que los porcentajes deben sumar el 100 %). El gráfico en la (b) está organizado por el tamaño de cada porción, lo que lo convierte en un gráfico visualmente más informativo que el gráfico sin clasificar en la  (a).

### Muestreo

Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa. La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de muestreo aleatorio. En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama muestra aleatoria simple. Cualquier grupo de n personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de n personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen.
Además del muestreo aleatorio simple, existen otras formas de muestreo que implican un proceso de azar para obtener la muestra. Otros métodos de muestreo aleatorio bien conocidos son la muestra estratificada, la muestra por conglomerados y la muestra sistemática.
Para seleccionar una muestra estratificada, hay que dividir la población en grupos llamados estratos y, a continuación, tomar un número proporcional de cada estrato. Por ejemplo, podría estratificar (agrupar) la población de su instituto universitario por departamentos y luego seleccionar una muestra aleatoria simple proporcional de cada estrato (cada departamento) para obtener una muestra aleatoria estratificada. Para seleccionar una muestra aleatoria simple de cada departamento, numere cada miembro del primer departamento, numere cada miembro del segundo departamento y haga lo mismo con los departamentos restantes. Luego, utilice un muestreo aleatorio simple para seleccionar números proporcionales del primer departamento y haga lo mismo con cada uno de los departamentos restantes. Esos números seleccionados del primer departamento y del segundo departamento, y así sucesivamente, representan los miembros que componen la muestra estratificada.
Para seleccionar una muestra por conglomerados hay que dividir la población en conglomerados (grupos) y luego seleccionar al azar algunos de los conglomerados. Todos los miembros de estos grupos están en la muestra por conglomerados. Por ejemplo, si toma una muestra aleatoria de cuatro departamentos de la población de su instituto universitario, los cuatro departamentos constituyen la muestra por conglomerados. Divida el profesorado de su instituto universitario por departamento. Los departamentos son los conglomerados. Numere cada departamento y, a continuación, elija cuatro números diferentes mediante un muestreo aleatorio simple. Todos los miembros de los cuatro departamentos con esos números son la muestra de conglomerado.
Para seleccionar una muestra sistemática, seleccione al azar un punto de partida y tome cada n.ª (enésima) pieza de datos de una lista de la población. Por ejemplo, supongamos que tiene que hacer una encuesta telefónica. Su directorio telefónico contiene 20.000 listas de residencias. Debe seleccionar 400 nombres para la muestra. Numere la población de 1 a 20.000 y luego utilice una muestra aleatoria simple para seleccionar un número que represente el primer nombre de la muestra. Luego, elija cada quincuagésimo nombre hasta que tenga un total de 400 nombres (puede que tenga que volver al principio de su lista de teléfonos). El muestreo sistemático se elige con frecuencia porque es un método sencillo.
Un tipo de muestreo que no es aleatorio es el muestreo de conveniencia. El muestreo de conveniencia implica el uso de resultados que están fácilmente disponibles. Por ejemplo, una tienda de softwares realiza un estudio de mercadeo mediante entrevistas con los clientes potenciales que se encuentran en la tienda mirando softwares disponibles. Los resultados del muestreo de conveniencia pueden ser muy buenos en algunos casos y muy sesgados (favorecer ciertos resultados) en otros.
El muestreo de datos debe hacerse con mucho cuidado. Recolectar datos sin cuidado puede causar resultados devastadores. Las encuestas enviadas por correo a los hogares y luego devueltas pueden estar muy sesgadas (pueden favorecer a un determinado grupo). Es mejor que la persona que realiza la encuesta seleccione la muestra de encuestados.
El muestreo aleatorio verdadero se realiza con reemplazo. Es decir, una vez que se selecciona un miembro, ese miembro vuelve a la población y, por tanto, lo pueden escoger más de una vez. Sin embargo, por razones prácticas, en la mayoría de las poblaciones el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo. Las encuestas suelen hacerse sin reemplazo. Es decir, un miembro de la población solo lo pueden seleccionar una vez. La mayoría de las muestras se toman de poblaciones grandes y la muestra tiende a ser pequeña en comparación con la población. En este caso, el muestreo sin reemplazo es, aproximadamente, igual al muestreo con reemplazo, ya que la probabilidad de seleccionar a la misma persona más de una vez con reemplazo es muy baja.
En una población universitaria de 10.000 personas, supongamos que se quiere seleccionar una muestra de 1.000 al azar para una encuesta. Para cualquier muestra particular de 1.000, si se hace un muestreo con reemplazo,
1. la probabilidad de seleccionar la primera persona es de 1.000 entre 10.000 (0,1000);
2. la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente para esta muestra es de 999 entre 10.000 (0,0999);
3. la probabilidad de volver a seleccionar a la misma persona es de 1 entre 10.000 (muy baja).
Si se trata de un muestreo sin reemplazo,
1. la probabilidad de seleccionar la primera persona para cualquier muestra específica es de 1.000 entre 10.000 (0,1000);
2. la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de 999 entre 9.999 (0,0999);
3. no se sustituye la primera persona antes de seleccionar la siguiente.
Compare las fracciones 999/10.000 y 999/9.999. Para lograr más exactitud, lleve las respuestas decimales a cuatro cifras. Con cuatro decimales, estos números son equivalentes (0,0999).
El muestreo sin reemplazo en vez del muestreo con reemplazo se convierte en una cuestión matemática solo cuando la población es pequeña. Por ejemplo, si la población es de 25 personas, la muestra es de diez y se realiza un muestreo con reemplazo para cualquier muestra particular, entonces la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de nueve entre 25 (se reemplaza la primera persona).
Si se hace una muestra sin reemplazo, la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar la segunda persona (que es diferente) es de nueve entre 24 (no se reemplaza la primera persona).
Compare las fracciones 9/25 y 9/24. Con cuatro decimales, 9/25 = 0,3600 y 9/24 = 0,3750. Con cuatro decimales, estos números no son equivalentes.
Al analizar los datos, es importante tener en cuenta los errores de muestreo y los errores ajenos al muestreo. El propio proceso de muestreo provoca errores de muestreo. Por ejemplo, la muestra puede no ser lo suficientemente grande. Los factores no relacionados con el proceso de muestreo provocan errores ajenos al muestreo. Un dispositivo de recuento defectuoso puede causar un error ajeno al muestreo.
En realidad, una muestra nunca será exactamente representativa de la población, por lo que siempre habrá algún error de muestreo. Por regla general, cuanto mayor sea la muestra, menor será el error de muestreo.
En estadística, se crea un sesgo de muestreo cuando se recopila una muestra de una población y algunos de sus miembros no tienen la misma probabilidad de que los seleccionen que otros (recuerde que cada miembro de la población debe tener la misma probabilidad de que lo seleccionen). Cuando se produce un sesgo de muestreo, se pueden extraer conclusiones incorrectas sobre la población que se está estudiando.

### Evaluación crítica

Tenemos que evaluar los estudios estadísticos que leemos de forma crítica y analizarlos antes de aceptar sus resultados. Los problemas más comunes que hay que tener en cuenta son:
1. Problemas con las muestras: una muestra debe ser representativa de la población. Una muestra que no es representativa de la población está sesgada. Las muestras sesgadas que no son representativas de la población dan resultados inexactos y no válidos.
2. Muestras autoseleccionadas: las respuestas de las personas que deciden responder, como las encuestas telefónicas, suelen ser poco fiables.
3. Problemas de tamaño de la muestra: las muestras demasiado pequeñas pueden ser poco fiables. Si es posible, las muestras más grandes son mejores. En algunas situaciones, es inevitable contar con muestras pequeñas y, aun así, se pueden usar para sacar conclusiones. Ejemplos: pruebas de choques de automóviles o pruebas médicas para detectar condiciones poco comunes.
4. Influencia indebida: recopilar datos o hacer preguntas de forma que influyan en la respuesta.
5. Falta de respuesta o negativa del sujeto a participar:  las respuestas recogidas pueden dejar de ser representativas de la población.  A menudo, personas con fuertes opiniones positivas o negativas pueden responder las encuestas, lo que puede afectar los resultados.
6. Causalidad: una relación entre dos variables no significa que una cause la otra. Pueden estar relacionadas (correlacionadas) debido a su relación a través de una variable diferente.
7. Estudios autofinanciados o de interés propio: estudio realizado por una persona u organización para respaldar su afirmación. ¿El estudio es imparcial? Lea atentamente el estudio para evaluar el trabajo. No asuma automáticamente que el estudio es bueno, pero tampoco asuma automáticamente que es deficiente. Valórelo por sus méritos y el trabajo realizado.
8. Uso engañoso de datos: gráficos mal presentados, datos incompletos o falta de contexto.
9. Confusión:  cuando los efectos de múltiples factores sobre una respuesta no se pueden separar.  Los factores de confusión dificultan o impiden sacar conclusiones válidas sobre el efecto de cada uno de ellos.
Si examinamos dos muestras que representen a la misma población, aunque utilicemos métodos de muestreo aleatorio para las muestras, no serán exactamente iguales. Al igual que hay variación en los datos, hay variación en las muestras. A medida que se acostumbre a la toma de muestras, la variabilidad empezará a parecer natural.

### Variación de los datos

La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida:

Las medidas de la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas pueden variar porque diferentes personas hacen las mediciones o porque no se puso la cantidad exacta, 16 onzas de líquido, en las latas. Los fabricantes realizan regularmente pruebas para determinar si la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas está dentro del rango deseado.
Tenga en cuenta que, al tomar los datos, estos pueden variar en cierta medida con respecto a los datos que otra persona está tomando para el mismo fin. Esto es completamente natural. Sin embargo, si dos o más de ustedes toman los mismos datos y obtienen resultados muy diferentes, es hora de que usted y los demás reevalúen sus métodos de toma de datos y su exactitud.

### Variación en las muestras

Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población, tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado.
Piense en lo que contribuye a que las muestras de Doreen y Jung sean diferentes.
Si Doreen y Jung tomaran muestras más grandes (es decir, el número de valores de los datos se incrementa), los resultados de su muestra (la cantidad promedio de tiempo que duerme un estudiante) podrían estar más cerca del promedio real de la población. Pero aun así, sus muestras serían, con toda probabilidad, diferentes entre sí. Nunca se insistirá lo suficiente en esta variabilidad en las muestras.

### Tamaño de la muestra

Es importante el tamaño de la muestra (a menudo llamado número de observaciones, normalmente con el símbolo n). Los ejemplos que ha visto en este libro hasta ahora han sido pequeños. Muestras de solo unos cientos de observaciones, o incluso más pequeñas, son suficientes para muchos propósitos. En los sondeos, las muestras que van de 1.200 a 1.500 observaciones se consideran suficientemente grandes y buenas si la encuesta es aleatoria y está bien hecha. Más adelante veremos que hasta los tamaños de muestra mucho más pequeños darán muy buenos resultados. Aprenderá por qué cuando estudie intervalos de confianza.
Tenga en cuenta que muchas muestras grandes están sesgadas. Por ejemplo, las encuestas con llamadas están invariablemente sesgadas porque la gente decide responder o no.

### Referencias

Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/default.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/methodology.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.gallup.com/poll/146822/gallup-healthways-index-questions.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de http://www.bookofodds.com/Relationships-Society/Articles/A0374-How-George-Gallup-Picked-the-President
Dominic Lusinchi, “President’ Landon and the 1936 Literary Digest Poll: Were Automobile and Telephone Owners to Blame?” Social Science History 36, n.º 1: 23-54 (2012), http://ssh.dukejournals.org/content/36/1/23.abstract (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“The Literary Digest Poll,” Virtual Laboratories in Probability and Statistics http://www.math.uah.edu/stat/data/LiteraryDigest.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Gallup Presidential Election Trial-Heat Trends, 1936-2008”, Gallup Politics http://www.gallup.com/poll/110548/gallup-presidential-election-trialheat-trends-19362004.aspx#4 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/USCrime.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
LBCC Distance Learning (DL) program data in 2010-2011, http://de.lbcc.edu/reports/2010-11/future/highlights.html#focus (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de The Mercury News de San José

### Repaso del capítulo

Los datos son elementos individuales de información que provienen de una población o muestra. Los datos se clasifican en cualitativos (categóricos), cuantitativos continuos o cuantitativos distintos.
Como no es práctico medir toda la población en un estudio, los investigadores utilizan muestras para representar a la población. Una muestra aleatoria es un grupo representativo de la población elegido mediante un método que da a cada persona de la población la misma oportunidad de que la incluyan en la muestra. Los métodos de muestreo aleatorio incluyen muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático. El muestreo de conveniencia es un método no aleatorio de elección de una muestra que suele producir datos sesgados.
Las muestras que contienen personas diferentes generan datos diferentes. Esto es así incluso cuando las muestras están bien elegidas y son representativas de la población. Cuando se seleccionan adecuadamente, las muestras más grandes modelan la población con más precisión que las más pequeñas. Hay muchos problemas potenciales que pueden afectar la fiabilidad de una muestra. Los datos estadísticos se deben analizar críticamente, no simplemente aceptarlos.

### TAREA PARA LA CASA

En los siguientes ejercicios identifique el tipo de datos que se utilizaría para describir una respuesta (cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa) y dé un ejemplo de los datos.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada 8.ª casa del vecindario que rodea el parque.


# Muestreo y datos

## Niveles de medición

Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible.

### Niveles de medición

La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición. Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel):
1. Nivel de escala nominal
2. Nivel de escala ordinal
3. Nivel de escala de intervalos
4. Nivel de escala de cociente
Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos). Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido.
Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos.
Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos.
Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos.
Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida.
Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0.
Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido.
Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina.
Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92.
Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20.

### Frecuencia

Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: .
La  enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias.
Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra.
Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales.
La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la  es
 , o 1.
La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la .
La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos.
La  representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales.
Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos:
1. de 59,95 a 61,95 pulgadas
2. de 61,95 a 63,95 pulgadas
3. de 63,95 a 65,95 pulgadas
4. de 65,95 a 67,95 pulgadas
5. de 67,95 a 69,95 pulgadas
6. de 69,95 a 71,95 pulgadas
7. de 71,95 a 73,95 pulgadas
8. de 73,95 a 75,95 pulgadas
En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales.

### Referencias

“State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013).
David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana.
Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición.
1. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos
2. Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir
3. Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente.
4. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes.
Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas.

### TAREA PARA LA CASA

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la  contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta.


# Muestreo y datos

## Diseño experimental y ética

¿La aspirina reduce el riesgo de infarto? ¿Una marca de abono es más eficaz para el cultivo de rosas que otra? ¿El cansancio es tan peligroso para un conductor como la influencia del alcohol? Este tipo de preguntas se responden con experimentos aleatorios. En este módulo aprenderá aspectos importantes del diseño experimental. Un diseño adecuado del estudio garantiza la obtención de datos fiables y precisos.
El propósito de un experimento es investigar la relación entre dos variables. Cuando una variable provoca un cambio en otra, llamamos a la primera variable la variable independiente o explicativa. La variable afectada se llama variable dependiente o variable de respuesta: estímulo, respuesta. En un experimento aleatorio, el investigador manipula los valores de la variable explicativa y mide los cambios resultantes en la variable de respuesta. Los diferentes valores de la variable explicativa se denominan tratamientos. Una unidad experimental es un único objeto o persona que se va a medir.
Quiere investigar la eficacia de la vitamina E en la prevención de enfermedades. Usted recluta a un grupo de sujetos y les pregunta si toman regularmente vitamina E. Observa que los sujetos que toman vitamina E, en promedio, presentan una salud mejor que quienes no la toman. ¿Esto prueba que la vitamina E es eficaz en la prevención de enfermedades? No es así. Hay muchas diferencias entre los dos grupos comparados, además del consumo de vitamina E. Las personas que toman vitamina E con regularidad suelen tomar otras medidas para mejorar su salud: ejercicio, dieta, otros suplementos vitamínicos, elección de no fumar, etc. Cualquiera de estos factores podría estar influyendo en la salud. Como se ha descrito, este estudio no demuestra que la vitamina E sea la clave para la prevención de enfermedades.
Las variables adicionales que pueden enturbiar un estudio se denominan variables ocultas. Para demostrar que la variable explicativa provoca un cambio en la variable de respuesta, es necesario aislar la variable explicativa. La investigadora debe diseñar su experimento de forma que solo haya una diferencia entre los grupos que se comparan: los tratamientos previstos. Esto se consigue mediante la asignación aleatoria de unidades experimentales a grupos de tratamiento. Cuando los sujetos se asignan a los tratamientos de forma aleatoria, todas las variables ocultas potenciales se reparten por igual entre los grupos. En este punto, la única diferencia entre los grupos es la impuesta por el investigador. Los diferentes resultados medidos en la variable de respuesta, por tanto, deben ser una consecuencia directa de los diferentes tratamientos. De este modo, un experimento puede demostrar una conexión causa-efecto entre las variables explicativas y las de respuesta.
El poder de la sugestión puede tener una importante influencia en el resultado de un experimento. Los estudios han demostrado que la expectativa del participante en el estudio puede ser tan importante como el medicamento real. En un estudio sobre fármacos que mejoran el desempeño, los investigadores señalaron:
Los resultados mostraron que creer que se había tomado la sustancia provocaba tiempos de [desempeño] casi tan rápidos como los asociados al consumo del propio fármaco. Por el contrario, la toma del fármaco sin conocimiento no produjo un aumento significativo del desempeño. (McClung, M. Collins, D. “Because I know it will!”: placebo effects of an ergogenic aid on athletic performance. Journal of Sport & Exercise Psychology. Junio de 2007. 29(3):382-94. Web. 30 de abril de 2013).
Cuando la participación en un estudio provoca una respuesta física del participante, es difícil aislar los efectos de la variable explicativa. Para contrarrestar el poder de la sugestión, los investigadores reservaron un grupo de tratamiento como grupo de control. Este grupo recibe un tratamiento placebo, es decir, un tratamiento que no puede influir en la variable de respuesta. El grupo de control ayuda a los investigadores a equilibrar los efectos de estar en un experimento con los efectos de los tratamientos activos. Por supuesto, si usted participa en un estudio y sabe que está recibiendo una píldora que no contiene ningún medicamento real, entonces el poder de la sugestión ya no es un factor. Que un experimento aleatorio sea ciego preserva el poder de la sugestión. Cuando una persona participa en un estudio de investigación ciego, no sabe quién recibe el tratamiento activo y quién el placebo. Un experimento doble ciego es aquel en el que tanto los sujetos como los investigadores que participan en él no conocen la información del fármaco.

### Referencias

“Vitamin E and Health”, Nutrition Source, Harvard School of Public Health, http://www.hsph.harvard.edu/nutritionsource/vitamin-e/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Stan Reents. “Don’t Underestimate the Power of Suggestion,” athleteinme.com, http://www.athleteinme.com/ArticleView.aspx?id=1053 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Ankita Mehta. “Daily Dose of Aspiring Helps Reduce Heart Attacks: Study,” International Business Times, 21 de julio de 2011. También disponible en línea en http://www.ibtimes.com/daily-dose-aspirin-helps-reduce-heart-attacks-study-300443 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/ScentsandLearning.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
M. L. Jacskon et al., “Cognitive Components of Simulated Driving Performance: Sleep Loss effect and Predictors”, Accident Analysis and Prevention Journal, Enero n.º 50 (2013), http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22721550 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Earthquake Information by Year”, U.S. Geological Survey. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqarchives/year/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Fatality Analysis Report Systems (FARS) Encyclopedia”, National Highway Traffic and Safety Administration. http://www-fars.nhtsa.dot.gov/Main/index.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de www.businessweek.com (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de www.forbes.com (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“America’s Best Small Companies”, http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
U.S. Department of Health and Human Services, Code of Federal Regulations Title 45 Public Welfare Department of Health and Human Services Part 46 Protection of Human Subjects, revisado el 15 de enero de 2009. Section 46.111:Criteria for IRB Approval of Research.
“April 2013 Air Travel Consumer Report”, U.S. Department of Transportation, 11 de abril (2013), http://www.dot.gov/airconsumer/april-2013-air-travel-consumer-report (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Lori Alden, “Statistics can be Misleading”, econoclass.com, http://www.econoclass.com/misleadingstats.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
María de los A. Medina, “Ethics in Statistics”, basado en “Building an Ethics Module for Business, Science, and Engineering Students” de José A. Cruz-Cruz y William Frey, Connexions, http://cnx.org/content/m15555/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Un estudio de diseño deficiente no producirá datos fiables. Hay ciertos componentes clave que deben incluirse en cada experimento. Para eliminar las variables ocultas los sujetos deben ser asignados aleatoriamente a diferentes grupos de tratamiento. Uno de los grupos debe actuar como grupo de control, con lo que se demuestra lo que ocurre cuando no se aplica el tratamiento activo. Los participantes del grupo de control reciben un tratamiento placebo que es exactamente igual a los tratamientos activos, pero que no puede influir en la variable de respuesta. Para preservar la integridad del placebo, tanto los investigadores como los sujetos pueden estar sin conocimiento del fármaco. Cuando un estudio se diseña correctamente la única diferencia entre los grupos de tratamiento es la impuesta por el investigador. Por lo tanto, cuando los grupos responden de forma diferente a los distintos tratamientos, la diferencia debe ser por la influencia de la variable explicativa.
“Un problema de ética surge cuando se plantea una acción que le beneficia a usted o a alguna causa que apoya, perjudica o reduce los beneficios de otras personas y viola alguna norma” (Andrew Gelman, “Open Data and Open Methods”, Ethics and Statistics, http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/ChanceEthics1.pdf [consultado el 1.º de mayo de 2013]). Las violaciones de la ética en las estadísticas no siempre son fáciles de detectar. Asociaciones profesionales y agencias federales publican directrices sobre la conducta adecuada. Es importante que aprenda los procedimientos estadísticos básicos para que pueda reconocer un análisis de datos adecuado.


# Estadística descriptiva

## Introducción

Una vez que haya recopilado los datos, ¿qué hará con ellos? Los datos se pueden describir y presentar en muchos formatos diferentes. Por ejemplo, supongamos que está interesado en comprar una casa en una zona determinada. Es posible que no tenga ni idea de los precios de las viviendas, por lo que puede pedirle a su agente inmobiliario que le dé un conjunto de datos de muestra de los precios. Mirar todos los precios de la muestra suele ser abrumador. Una mejor forma sería observar la mediana del precio y la variación de los precios. La mediana y la variación son solo dos formas que aprenderá para describir los datos. Su agente también puede proporcionarle un gráfico de los datos.
En este capítulo estudiará las formas numéricas y gráficas de describir y mostrar sus datos. Esta área de la estadística se llama “Estadística Descriptiva”. Aprenderá a calcular y, lo que es más importante, a interpretar estas medidas y gráficos.
Un gráfico estadístico es una herramienta que ayuda a conocer la forma o la distribución de una muestra o de una población. Un gráfico puede ser una forma más eficaz de presentar los datos que una masa de números porque podemos ver dónde se agrupan los datos y dónde hay solo unos pocos valores de datos. Los periódicos e internet utilizan gráficos para mostrar tendencias y permitir a los lectores comparar rápidamente datos y cifras. Los estadísticos suelen hacer primero un gráfico de los datos para hacerse una idea de lo que arrojan. Luego, se pueden aplicar herramientas más formales.
Algunos de los tipos de gráficos que se utilizan para resumir y organizar los datos son el diagrama de puntos, el gráfico de barras, el histograma, el diagrama de tallo y hojas, el polígono de frecuencias (un tipo de gráfico de líneas discontinuas), el gráfico circular y el diagrama de caja. En este capítulo veremos brevemente gráficos de tallo y hoja, gráficos de líneas y gráficos de barras, así como polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales. Haremos hincapié en los histogramas y los diagramas de caja.


# Estadística descriptiva

## Datos mostrados

### Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras

Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo, procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo. Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo.
El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante.

Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas. En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje  (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje  (eje vertical) por puntos de frecuencia. Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea.
Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el  tiene los grupos de edad representados en el eje  y las proporciones en el eje .

### Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales

Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más.
Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos.
La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida entre el número total de valores de los datos en la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si:
1. f = frecuencia
2. n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y
3. RF = frecuencia relativa,
entonces:

Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF =   =  = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas.
Para construir un histograma, primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos.

### Polígonos de frecuencia

Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias.
Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y. Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos.
Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos.

### Construcción de un gráfico de series temporales

Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado.
Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales.
Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados. Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen.

### Usos de un gráfico de series temporales

Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias.

### Cómo NO mentir con las estadísticas

Es importante recordar que la razón por la que desarrollamos una variedad de métodos para presentar los datos es para comprender el tema de lo que las observaciones representan. Queremos tener una "sensación" de los datos. ¿Las observaciones son todas muy parecidas o están repartidas en un amplio rango de valores, están agrupadas en un extremo del espectro o están distribuidas uniformemente, etc.? Intentamos obtener una representación visual de los datos numéricos. En breve desarrollaremos medidas matemáticas formales de los datos, pero nuestra presentación gráfica visual puede decir mucho. Desgraciadamente, también puede decir muchas cosas que distraen, confunden y simplemente son erróneas en cuanto a la impresión que lo visual deja. Hace muchos años, Darrell Huff escribió el libro How to Lie with Statistics [Cómo mentir con estadísticas]. Ha tenido más de 25 ediciones y ha vendido más de un millón y medio de ejemplares. Su perspectiva era dura y utilizaba muchos ejemplos reales destinados a engañar. Quería hacer que la gente fuera consciente de ese engaño, pero quizás lo más importante era educar para que otros no cometieran los mismos errores inadvertidamente.

De nuevo, el objetivo es ilustrar con imágenes que cuenten la historia de los datos. Los gráficos circulares tienen una serie de problemas comunes cuando se utilizan para transmitir el mensaje de los datos. Demasiados trozos del pastel abruman al lector. Más de quizás cinco o seis categorías deberían dar una idea de la importancia relativa de cada trozo. Al fin y al cabo, este es el objetivo de un gráfico circular: qué subconjunto importa más en relación con los demás. Si hay más componentes que esto, tal vez sea mejor un enfoque alternativo o tal vez algunos puedan consolidarse en una categoría "otros". Los gráficos circulares no pueden mostrar los cambios a lo largo del tiempo, aunque vemos que esto se intenta con demasiada frecuencia. En los documentos financieros federales, estatales y municipales se suelen presentar gráficos circulares para mostrar los componentes de los ingresos de los que dispone el órgano de gobierno para su consignación: impuesto sobre la renta, impuesto sobre las ventas, impuestos sobre los vehículos de motor, etc. En sí misma es una información interesante y se puede hacer muy bien con un gráfico circular. El error se produce cuando se ponen dos años uno al lado del otro. Como los ingresos totales cambian de un año a otro, pero el tamaño del pastel es fijo, no se proporciona ninguna información real y no se puede comparar de forma significativa el tamaño relativo de cada trozo del pastel.
Los histogramas pueden ser muy útiles para entender los datos. Si se presentan correctamente, pueden ser una forma visual rápida de presentar las probabilidades de las diferentes categorías mediante la simple visualización de la comparación de las áreas relativas en cada categoría. Aquí el error, intencionado o no, es variar la amplitud de las categorías. Por supuesto, esto hace imposible la comparación con las demás categorías. Adorna la importancia de la categoría con un ancho ampliado porque tiene un área mayor, de forma inapropiada, y así "dice" visualmente que esa categoría tiene una mayor probabilidad de ocurrencia.
Los gráficos de series temporales tal vez sean de los que más se abusa. Un gráfico de alguna variable a lo largo del tiempo nunca debe presentarse en ejes que cambien en parte de la página, ya sea en la dimensión vertical u horizontal. Tal vez se cambie el marco temporal de años a meses. Probablemente esto se haga para ahorrar espacio o porque los datos mensuales no estaban disponibles para los primeros años. En cualquier caso, esto confunde la presentación y destruye cualquier valor del gráfico. Si esto no se hace para confundir a propósito al lector, entonces ciertamente es un trabajo perezoso o descuidado.
Cambiar las unidades de medida del eje puede suavizar o acentuar una caída. Si quiere mostrar grandes cambios, mida la variable en unidades pequeñas, centavos en lugar de miles de dólares. Y, por supuesto, para continuar con el fraude, asegúrese de que el eje no comienza en cero, cero. Si comienza en cero, cero entonces se hace evidente que el eje ha sido manipulado.
Tal vez tenga un cliente al que le preocupa la volatilidad de la cartera que usted gestiona. Una forma fácil de presentar los datos es utilizar periodos largos en el gráfico de la serie temporal. Utilice meses o, mejor, trimestres en lugar de datos diarios o semanales. Si eso no consigue reducir la volatilidad, entonces separe el eje temporal en relación con el eje de la tasa de rendimiento o de la valoración de la cartera. Si quiere mostrar un crecimiento dramático "rápido", entonces reduzca el eje temporal. Cualquier crecimiento positivo mostrará tasas de crecimiento visualmente "altas". Tenga en cuenta que si el crecimiento es negativo, este truco mostrará que la cartera se está hundiendo a un ritmo dramático.
Una vez más, el objetivo de la Estadística Descriptiva es transmitir imágenes significativas que cuenten la historia de los datos. La manipulación intencionada es un fraude y una falta de ética en el peor de los casos, pero incluso en el mejor, cometer este tipo de errores llevará a la confusión del análisis.

### Referencias

Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013).
“9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013).
“Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013).
Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker
“Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013).
“Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013).
“Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013).
“Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013).
“CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013).
“Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013).
“Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013).
Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach. CRC Press: 1980.
“Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013).

### Repaso del capítulo

Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos.
Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y, y la frecuencia se representa en el eje x. Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo.
Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una.


# Estadística descriptiva

## Medidas de la ubicación de los datos

Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles
Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q1, es igual que el percentil 25, y el tercer cuartil, Q3, es igual que el percentil 75. La mediana, M, se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50.
Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación.
Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75. Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220.
Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo.
La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5
Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos.
La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete.
Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q1, es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q3, es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5
La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8

El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil. Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos.
La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve.
El tercer cuartil, Q3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo.
El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).
IQR = Q3 – Q1
El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos. Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)(. Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda.

### Una fórmula para hallar el percentil k

Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas.
k = el percentil k. Puede o no formar parte de los datos.
i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos)
n = el número total de puntos de datos u observaciones
1. Ordene los datos de menor a mayor.
2. Calcule

3. Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos.
4. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo.

### Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos

1. Ordene los datos de menor a mayor.
2. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil.
3. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil.
4. n = el número total de datos.
5. Calcule (100). Luego, redondee al número entero más cercano.

### Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana

Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15.
1. Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos.
2. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos.
Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor.
Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto.

### Referencias

Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013).
Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013).
“1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013).
Datos de The Mercury News de San José.
Datos de la Revista Time; encuesta de Yankelovich Partners, Inc.

### Repaso del capítulo

Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil (Q1) es el percentil 25, el segundo cuartil (Q2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil (Q3) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR, es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q1 de Q3, y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes.
1. Q3 + IQR(1,5)
2. Q1 – IQR(1,5)

### Revisión de la fórmula

donde i = la clasificación o posición de un valor de datos,
k = el percentil k,
n = número total de datos.
Expresión para hallar el percentil de un valor de datos:
 (100)
donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo,
y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil,
n = número total de datos
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete.

### Tarea para la casa


# Estadística descriptiva

## Medidas del centro de los datos

El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana. Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Técnicamente es la media aritmética. Más adelante hablaremos de la media geométrica. Para hallar la  mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales, lo que significa un número igual de observaciones en cada lado. El peso de 25 personas está por debajo de ese peso y 25 personas están por encima de ese peso. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro.
Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x”): .
La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población. Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria.
Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4
En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5.
Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión
.
La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces
=
 = 49. La mediana es el 49.º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces
=
 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50.º y 51.º. La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor.
Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal.

### Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas

Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media =  Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias.
Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es
 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea  donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo.

### Referencias

Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013).
“Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013).

### Repaso del capítulo

La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto.

### Revisión de la fórmula

    Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo.
La media aritmética de una muestra (denominada ) es

La media aritmética de una población (denominada μ) es

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor:

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente:

### Tarea para la casa

### Resúmalo todo

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección.


# Estadística descriptiva

## Notación sigma y cálculo de la media aritmética

Fórmula de la media de la población
Fórmula de la media muestral
Esta unidad está aquí para recordarle el material que una vez estudió y en su momento dijo: “¡Estoy seguro de que nunca necesitaré esto!”.
Estas son las fórmulas de la media poblacional y de la media muestral. La letra griega μ es el símbolo de la media poblacional y  es el símbolo de la media muestral. Ambas fórmulas tienen un símbolo matemático que nos indica cómo hacer los cálculos. Se llama notación Sigma porque el símbolo es la letra griega mayúscula sigma: Σ. Como todos los símbolos matemáticos nos dice lo que hay que hacer: igual que el signo más nos dice que hay que sumar y la x nos dice que hay que multiplicar. Se denominan operadores matemáticos. El símbolo Σ nos dice que hay que añadir una lista específica de números.
Supongamos que tenemos una muestra de animales del refugio de animales local y nos interesa su edad promedio. Si enumeramos cada valor, u observación, en una columna, se puede dar a cada uno un número de índice. El primer número será el número 1 y el segundo el número 2 y así sucesivamente.
Cada observación representa un animal concreto de la muestra. Purr es el animal número uno y es un gato de 9 años, Toto es el animal número 2 y es un cachorro de 1 año y así sucesivamente.
Para calcular la media, la fórmula nos dice que debemos sumar todos estos números, las edades en este caso, y luego dividir la suma entre 10, el número total de animales de la muestra.
El animal número uno, el gato Purr, se designa como X1, el animal número 2, Toto, se designa como X2 y así sucesivamente hasta Dundee que es el animal número 10 y se designa como X10.
La i de la fórmula nos indica cuál de las observaciones hay que sumar. En este caso es de X1 a X10 que son todos. Sabemos cuáles hay que añadir por la notación de indexación, la i = 1 y la n o N mayúscula de la población. Para este ejemplo la notación de indexación sería i = 1 y por tratarse de una muestra utilizamos una n pequeña en la parte superior del Σ que sería 10.
La desviación típica requiere el mismo operador matemático, por lo que sería útil recordar este conocimiento de su pasado.
La suma de las edades es de 78 y, dividiendo entre 10, la edad media de la muestra es de 7,8 años.

### Tarea para la casa


# Estadística descriptiva

## Media geométrica

La media (aritmética), la mediana y la moda son medidas del "centro" de los datos, la "media". Todos intentan, a su manera, medir el punto "común" dentro de los datos, el que es "normal". En el caso de la media aritmética esto se resuelve encontrando el valor del que todos los puntos están a igual distancia lineal. Podemos imaginar que todos los valores de los datos se combinan mediante la adición y luego se distribuyen a cada punto de datos en cantidades iguales. La suma de todos los valores es lo que se redistribuye en cantidades iguales de manera que la suma total sigue siendo la misma.
La media geométrica no redistribuye la suma de los valores, sino el producto de multiplicar todos los valores individuales y luego redistribuirlos en porciones iguales de manera que el producto total siga siendo el mismo. Esto se desprende de la fórmula de la media geométrica, : (Se dice “x tilde”)

donde  es otro operador matemático, que nos dice que hay que multiplicar todos los números  de la misma manera que la sigma griega mayúscula nos dice que sumemos todos los números . Recuerde que un exponente fraccionario pide la raíz enésima del número por lo que un exponente de 1/3 es la raíz cúbica del número.

La media geométrica responde a la pregunta "si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para conseguir el mismo producto?”. La media geométrica recibe su nombre del hecho de que cuando se redistribuye de esta manera los lados forman una forma geométrica en la que todos tienen la misma longitud. Para verlo, tomemos el ejemplo de los números 10, 51,2 y 8. La media geométrica es el producto de multiplicar estos tres números entre sí (4.096) y sacar la raíz cúbica porque son tres los números entre los que hay que repartir este producto. Por tanto, la media geométrica de estos tres números es 16. Esto describe un cubo de 16x16x16 y tiene un volumen de 4.096 unidades.
La media geométrica es relevante en Economía y Finanzas para tratar el crecimiento: el crecimiento de los mercados, de la inversión, de la población y de otras variables cuyo crecimiento interesa. Imagine que nuestra caja de 4096 unidades (quizás dólares) es el valor de una inversión al cabo de tres años y que los rendimientos de la inversión en porcentajes fueron los tres números de nuestro ejemplo. La media geométrica nos proporcionará la respuesta a la pregunta de cuál es la tasa promedio de rendimiento: 16 por ciento. La media aritmética de estas tres cifras es del 23,6 %. La razón de esta diferencia, 16 frente a 23,6, es que la media aritmética es aditiva y, por lo tanto, no tiene en cuenta el interés sobre el interés, el interés compuesto, implícito en el proceso de crecimiento de la inversión. La misma situación se plantea cuando se pregunta por la tasa promedio de crecimiento de una población o de las ventas o de la penetración en el mercado, etc., conociendo las tasas anuales de crecimiento. La fórmula de la tasa de rendimiento media geométrica, o de cualquier otra tasa de crecimiento, es:
Al manipular la fórmula de la media geométrica también se puede calcular la tasa promedio de crecimiento entre dos periodos conociendo solo el valor inicial  y el valor final  y el número de periodos, . La siguiente fórmula proporciona esta información:
Por último, observamos que la fórmula de la media geométrica requiere que todos los números sean positivos, mayores que cero. La razón, por supuesto, es que la raíz de un número negativo no está definida para su uso fuera de la teoría matemática. Sin embargo, hay formas de evitar este problema. En el caso de las tasas de rendimiento y otros problemas de crecimiento simples, podemos convertir los valores negativos en valores equivalentes positivos significativos. Imagine que los rendimientos anuales de los últimos tres años son del +12 %, –8 % y +2 %. El uso de los multiplicadores decimales equivalentes a 1,12, 0,92 y 1,02 nos permite calcular una media geométrica de 1,0167. Al restar 1 a este valor se obtiene la media geométrica de +1,67 % como tasa neta de crecimiento de la población (o rendimiento financiero). De este ejemplo se desprende que la media geométrica nos proporciona esta fórmula para calcular la tasa de rendimiento geométrica (media) de una serie de tasas de rendimiento anuales:
donde  es la tasa promedio de rendimiento y  es la media geométrica de los rendimientos durante un cierto número de periodos. Tenga en cuenta que la duración de cada periodo debe ser la misma.
Como regla general, hay que convertir los valores porcentuales en su equivalente decimal multiplicador. Es importante reconocer que cuando se trata de porcentajes, la media geométrica de los valores porcentuales no es igual a la media geométrica de los equivalentes del multiplicador decimal y es la media geométrica del multiplicador decimal la que es relevante.

### Revisión de la fórmula

La media geométrica

### Tarea para la casa


# Estadística descriptiva

## Distorsión y media, mediana y moda

Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10
Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo.
El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana.
El histograma de los datos:
 no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. Podemos medir formalmente la distorsión de una distribución del mismo modo que podemos medir matemáticamente el peso del centro de los datos o su "velocidad" general. La fórmula matemática de la distorsión es . Cuanto mayor sea la desviación con respecto a cero, mayor será el grado de distorsión. Si la distorsión es negativa, la distribución está distorsionada a la izquierda, como en la . Una medida positiva de la distorsión indica distorsionada a la derecha, como en la .
La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más.
El histograma de los datos:
, tampoco es simétrico. Es con distorsión a la derecha.
La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor. De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión.
Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media.
Al igual que con la media, la mediana y la moda, y como veremos en breve, la varianza, existen fórmulas matemáticas que nos dan medidas precisas de estas características de la distribución de los datos. Volviendo a mirar la fórmula de la distorsión, vemos que se trata de una relación entre la media de los datos y las observaciones individuales al cubo.

donde  es la desviación típica muestral de los datos, , y  es la media aritmética y  es el tamaño de la muestra.
Formalmente, la media aritmética se conoce como el primer momento de la distribución. El segundo momento que veremos es la varianza, y la distorsión es el tercer momento. La varianza mide las diferencias al cuadrado de los datos respecto a la media y la distorsión mide las diferencias al cubo de los datos respecto a la media. Mientras que una varianza nunca puede ser un número negativo, la medida de distorsión sí puede y así es como determinamos si los datos están distorsionados la derecha o a la izquierda. La distorsión de una distribución normal es cero, y cualquier dato simétrico debería tener una distorsión cercana a cero. Los valores negativos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la izquierda y los valores positivos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la derecha. Por izquierda distorsionada, queremos decir que la cola izquierda es larga en relación con la cola derecha. Del mismo modo, la derecha distorsionada significa que la cola derecha es larga en relación con la cola izquierda. La distorsión caracteriza el grado de asimetría de una distribución en torno a su media. Mientras que la media y la desviación típica son magnitudes dimensionales (por eso tomaremos la raíz cuadrada de la varianza) es decir, tienen las mismas unidades que las magnitudes medidas , la distorsión se define convencionalmente de forma que sea adimensional. Es un número puro que caracteriza únicamente la forma de la distribución. Un valor positivo de distorsión significa una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia un X más positiva y un valor negativo significa una distribución cuya cola se extiende hacia X más negativa. Una medida cero de distorsión indicará una distribución simétrica.
La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores.

### Repaso del capítulo

Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones. Una distribución  tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la .

### Revisión de la fórmula

Fórmula para la distorsión:   Fórmula del coeficiente de variación
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha.

### Tarea para la casa