# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica.
En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas.

### Verificar las identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.
Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.
Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la ), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades.
La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad
 se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.
 Compruebe:

De la misma manera,
 se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la ).
Recordemos que la función impar es aquella en la que
 para todo
 en el dominio de
 La función seno es una función impar porque
 El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de
 y
 La salida de
 es opuesta a la salida de
 Así,
Esto se muestra en la .
Recordemos que la función par es aquella en la que
El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. La función coseno es una función par porque
 Por ejemplo, considere las entradas correspondientes
 y
 La salida de
 es la misma que la salida de
 Por lo tanto,
Vea la .
Para todos
 en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente:
1. Dado que
 seno es una función impar.
2. Dado que,
 coseno es una función par.
Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente,
 Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como
 La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que
 para todos los
 en el dominio de la función tangente.
La identidad cotangente,
 también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como
 La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que
 para todos los
 en el dominio de la función cotangente.
La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como
 La función cosecante es, por tanto, impar.
Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como
 La función secante es, por tanto, par.
En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares.
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la .
El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la .
Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.

### Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.
Por ejemplo, la ecuación
 se parece a la ecuación
 que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas.
Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados,
 que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema.
2. El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el .
3. Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el  y el .
4. El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el .
5. Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el .
6. La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el  y el .
7. Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión.
En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión.
En los siguientes ejercicios, verifique la identidad.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad.
En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Identidades de suma y resta

¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias.
Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.
En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la .
Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la .
En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la . El punto
       está en ángulo
       desde el eje x positivo con coordenadas
       y punto
       está en un ángulo de
       desde el eje x positivo con coordenadas
       Observe la medida del ángulo
       es

Marque dos puntos más:
       en un ángulo de
       desde el eje x positivo con coordenadas
       y punto
       con coordenadas
       El triángulo
       es una rotación del triángulo
       y, por ende, la distancia de
       con
       es la misma que la distancia de
       hasta

Podemos determinar la distancia de
       con
       con la fórmula de la distancia.
Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos.
Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de
       hasta

Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos:
Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos.
Por último, restamos
       de ambos lados y dividimos ambos lados entre

Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.
Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde,

Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.
Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es
       esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es
       por lo que también son complementos. En la , observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como
       entonces el otro ángulo agudo debe marcarse

Observe también que
       opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de
       es igual a la cofunción del complemento de
       Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.
A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción.
Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando
podemos escribir

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos.
2. Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el  y el .
3. La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el .
4. Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el .
5. La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el .
6. El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el .
7. Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el .
8. Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el  y el .
9. Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de
         y

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos.
En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en
         ).

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la ) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser
     de manera que
     El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta.

### Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos

En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde
       La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,
Supongamos que
       entonces tenemos
La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma,
       y suponiendo que
       tenemos
Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es:
La segunda interpretación es:
Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir
       en la fórmula de la suma da

### Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades

El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.

### Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión

Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.
Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con
       Resuelva para

A continuación, utilizamos la fórmula
       Resuelva para

La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno:

###  Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos

El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos
       con la
       la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para
       Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo
       Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que
       termina.
La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue:
Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos
Para la identidad tangente, tenemos

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el , el , el  y el .
2. Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el  y el .
3. Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a)
         b)
         y c)
         sin resolver para

En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas.
En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio.
En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a)
         b)
         y c)
         sin resolver para
         cuando

En los siguientes ejercicios, utilice la  para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados.
En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada.
En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente.
En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de
         o
         y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la  representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

### Expresar el producto como suma

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.

### Expresar productos como sumas para el coseno

Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:
A continuación, dividimos entre
         para aislar el producto de los cosenos:

### Expresar el producto del seno y el coseno como suma

A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno. Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno:

### Expresar el producto del seno en términos de coseno

Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno:
De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

### Expresar suma como producto

Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que
       y

Entonces,
Así, al sustituir
       y
       en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos:
Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno.
2. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el , el  y el .
3. También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución.
4. Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el .
5. Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el .
6. Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora.
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Resolver ecuaciones trigonométricas

Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos  semejantes.
En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides.

### Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno

Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es
  En otras palabras, cada
  unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar
  donde
  es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es

Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores.

### Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica

Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la ). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es
  no
  Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de
  a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.

### Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora

No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.

### Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como
  o
  Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas.

### Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales

Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.

### Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples

A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo
  o
  Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que
  es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función
  En un intervalo de
  podemos graficar dos periodos de
  frente a un ciclo de
  Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a
  en comparación con
  Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.

### Resolver problemas de triángulos rectángulos

Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras,
  y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación.

### Conceptos clave

1. A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos utilizar técnicas algebraicas al igual que lo hacemos para resolver ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, la forma cuadrática o una expresión que se preste a la sustitución. Vea el , el  y el .
2. Las ecuaciones que implican una sola función trigonométrica pueden resolverse o verificarse con el círculo unitario. Vea el , el , el  y el .
3. También podemos resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora gráfica. Vea el  y el .
4. Muchas ecuaciones tienen forma cuadrática. Podemos utilizar la sustitución para que la ecuación parezca más sencilla, y luego utilizar las mismas técnicas que utilizamos para resolver una cuadrática algebraica: la factorización, la fórmula cuadrática, etc. Vea el , el , el  y el .
5. Igualmente, podemos utilizar las identidades para resolver la ecuación trigonométrica. Vea el , el  y el .
6. Podemos utilizar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple, que es la compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y comprobar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Vea el .
7. Las situaciones en el mundo real se pueden modelar y resolver con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en

En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo

En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo
  Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables.
En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo
  Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo
  Redondee a cuatro decimales.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana.


# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Modelado con funciones trigonométricas

Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica.
Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año.
Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos.

### Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es
  En otras palabras, para cualquier valor de

### Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan
  del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función
  Sabemos que el periodo es
  por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.
Comenzando por
  calculamos el primer valor de y, sumamos la longitud del intervalo
  a 0, y calculamos el segundo valor de y. Luego sumamos
  varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la , podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la .

### Modelar el comportamiento periódico

Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.

### Modelar las funciones del movimiento armónico

El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.

### Movimiento armónico simple

El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando

### Movimiento armónico amortiguado

En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado. La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento.
En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado.

### Delimitar curvas en movimiento armónico

Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el  y el .
2. Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el .
3. Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el , el , el  y el .
4. Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el .
5. El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el , el , el , el  y el .
6. Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación.

### En tecnología

En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados.
En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una  calculadora.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma
  que se ajusta a los datos dados.
En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma
   que se ajusta a los datos dados.

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión.
En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes.

### Identidades de suma y resta

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

### Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para determinar las cantidades deseadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia.

### Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto.

### Resolver ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo

En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo
     Redondee a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo

### Modelar con ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada.
En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas.
En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Introducción

El árbol más grande del mundo por su volumen, llamado General Sherman, tiene una altura de 274,9 pies y está situado en el norte de California.Fuente: Servicio de Parques Nacionales. "El árbol General Sherman". http://www.nps.gov/seki/naturescience/sherman.htm. Consultado el 25 de abril de 2014. ¿Cómo saben los científicos su verdadera altura? Una forma habitual de medir la altura consiste en determinar el ángulo de elevación que forman el árbol y el suelo en un punto situado a cierta distancia de la base del árbol. Este método es mucho más práctico que subir al árbol y dejar caer una cinta métrica muy larga.
En este capítulo, exploraremos aplicaciones de la trigonometría que nos permitirán resolver muchos tipos de problemas diferentes, entre ellos, calcular la altura de un árbol. Ampliamos los temas que introdujimos en Funciones trigonométricas e investigamos las aplicaciones de forma más profunda y significativa.


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Triángulos no rectángulos: ley de senos

Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la  que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos.

### Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos

En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.
Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:
1. ALA (ángulo-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la .

2. AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la .

3. LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la .

Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la .
Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que
  y
  Resolviendo ambas ecuaciones para
       da dos expresiones diferentes para

A continuación, igualamos las expresiones.
Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes.
En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos.
Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo
       (alfa) es el lado opuesto
       el ángulo
       (beta) es el lado opuesto
       y el ángulo
       (gamma) es el lado opuesto
       Vea la .
Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.

### Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA

Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.

###  Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno

Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por
       donde
       es la base y
       es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar
       antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la , uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica
  para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos
       o
       Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base
       para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es
       o

Por lo tanto,
De la misma manera,

###  Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos

Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos.
2. Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto.
3. Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el .
4. El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados.
5. Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el  y el .
6. La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el .
7. La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el .
8. Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que
     es el lado opuesto
     es el lado opuesto
     y
     es el lado opuesto
     Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo
     es el lado opuesto
     el ángulo
     es el lado opuesto
     y el ángulo
     es el lado opuesto

En los siguientes ejercicios, supongamos que
     es el lado opuesto
     es el lado opuesto
     y
     es el lado opuesto
     Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado
     Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo
  si es posible. Redondee a la décima más cercana.
En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Triángulos no rectángulos: ley de cosenos

Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la . ¿A qué distancia del puerto está el barco?
Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado), o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos.

### Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático.
Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras, que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo
       se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice
       en el origen, el lado
       dibujado a lo largo del eje x, y el vértice
       situado en algún punto
       en el plano, como se ilustra en la . Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica.
Podemos dejar caer una perpendicular desde
       al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que
En términos de
  y
  El punto
       situado en
       tiene coordenadas
          Al utilizar el lado
       como cateto de un triángulo rectángulo, además de
       como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa
       con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto,
La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar.
Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema.

### Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos

Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos.

### Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo

Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos.
2. El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el  y el .
3. La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el  y el .
4. La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que
         es el lado opuesto
         es el lado opuesto
         y
         es el lado opuesto
         Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado
  Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo

En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, supongamos que
         representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo.

### Aplicaciones en el mundo real


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Coordenadas polares

A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la ). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas.

### Trazar puntos mediante coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares
  en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados
  y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.
La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada
  es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo
  medido en radianes, indica la dirección de
  Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de
  y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud
  en dirección a
  Aunque midamos
  primero y luego
  el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto
  nos trasladaríamos
  unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la .

### Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables
  y

La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la . Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en
  como el lado adyacente sobre la hipotenusa y
  como el lado opuesto sobre la hipotenusa.

### Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.

### Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

###  Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen.
2. Para trazar un punto en la forma
  se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de
  y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de
  en dirección a
  Si
  es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de
  en dirección a

Vea el .
3. Si los valores de
  es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a

Vea el .
4. Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas
  y
  Vea el  y el .
5. Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas
  y

Vea el .
6. La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el , el  y el .
7. El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine
  para el punto.
En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con
  Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto.
En los siguientes ejercicios, trace los puntos.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular.

### En tecnología

### Extensiones

En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar.


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Coordenadas polares: gráficos

Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la . Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares, representadas como
  Interpretamos
  como la distancia al Sol y
  como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares.

### Probar la simetría de las ecuaciones polares

Al igual que una ecuación rectangular como
  describe la relación entre
  y
  en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre
  y
  en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas
  indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de
  y extiende un rayo desde el polo (origen) de
  unidades en la dirección de
  Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.
La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de
  para determinar el gráfico de una ecuación polar.
En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea
  (eje y). Reemplazamos
  con la
  para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación

Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea

En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje
 ). Reemplazamos
  con la
  o
  para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación

El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar.
En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos
  con la
  para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación

La ecuación no ha superado la prueba de simetría, pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea
  el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta.

### Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de
  y
 . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores
  y
 . Introducimos valores de
  en una ecuación polar y calculamos
  Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de
  y
  significa que se necesitarán menos cálculos.

### Hallar ceros y máximos

Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de
  que resultan en
  Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para
  Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca
  y resuelva para

Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de
  en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que
  la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando
  por lo que nuestra ecuación polar es
  y el valor
  producirá el máximo

Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando
  y si nuestra ecuación polar es
  el valor
  producirá el máximo
  Podemos hallar información adicional calculando los valores de
  cuando
  Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar.

### Investigar sobre círculos

Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares.
Existen cinco curvas polares clásicas: cardioides, caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes. Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones.

### Investigar las cardioides

Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola.

### Investigar sobre caracoles de Pascal

La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo, a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando
  y caracoles de Pascal convexos cuando

Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno, recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer(1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing. Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió.

### Investigar las lemniscatas

La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito
  o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición.

###  Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea)

El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón.

### Investigar sobre la espiral de Arquímedes

La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica.

### Resumen de curvas

En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La  y la  resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.

### Conceptos clave

1. Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea
  el eje polar, o el polo.
2. Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el .
3. Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para
  y

4. El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor
  que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica.
5. Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer
  y resolver

Vea el .
6. Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por
  y

Vea el .
7. Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por
  y
  por
   y

Vea el .
8. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por
  y
  por

Vea el .
9. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por
  y
  por
   y

Vea el .
10. Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por
  y
  donde

Vea el .
11. Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por
  y
  donde
  si
  es par, hay
  pétalos, y si
  es impar, hay
  pétalos. Vea el  y el .
12. La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por
   Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de
  y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección.


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Forma polar de los números complejos

"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia.
La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre.

### Graficar números complejos en el plano complejo.

Trazar un número complejo
  es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número,
  y el eje vertical representa la parte imaginaria del número,

### Hallar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o
  Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de
  en la , muestra

### Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo
  y su distancia desde el origen
  Dado un número complejo en forma rectangular expresado como
  utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:
Revisamos estas relaciones en la .
Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto
  El módulo, entonces, es el mismo que
  el radio en forma polar. Usamos
  para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos

### Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular

Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que
  primero evalúe las funciones trigonométricas
  y
  Entonces, multiplique por

### Hallar productos de números complejos en forma polar

Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.

### Hallar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

### Hallar potencias de números complejos en forma polar

El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo
  se calcula elevando el módulo a
  potencia y multiplicando el argumento por
  Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

### Hallar raíces de números complejos en forma polar

Para hallar la raíz  de un número complejo en forma polar, usamos el
  o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar   de números complejos en forma polar.

### Conceptos clave

1. Números complejos de la forma
  se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real  y el eje y como eje imaginario. Vea el .
2. El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto:
  Vea el  y el .
3. Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas
  y
  Entonces,
  Vea el  y el .
4. Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por
  Vea el  y el .
5. Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el .
6. Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el .
7. Para calcular la potencia de un número complejo
  eleve
  a la potencia
  y multiplique
  entre

Vea el .
8. Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbal

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado.
En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, calcule
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana.


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Ecuaciones paramétricas

Considere la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la . En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del Sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver una variable a la vez.
En esta sección consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por
  y
  donde
  es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en un número de aplicaciones cuando buscamos no solo una posición concreta, sino también la dirección del movimiento. Al trazar los valores sucesivos de
  la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas: podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego, aprenderemos a eliminar el parámetro, a trasladar las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares.

### Parametrizar una curva

Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea— en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y. Sin embargo, ambos
  y
  varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro, del que tanto
  y
  son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo,
  La intersección en
  posición de la luna en el tiempo,
  se representa como la función
  y la intersección
  posición de la luna en el tiempo,
  se representa como la función
  Juntos,
  y
  se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado
  Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.
Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo
  y
  en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables,
  y
  Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo.
Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de
  y de
  Hay formas que no se pueden representar en la forma
  lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como
  Al resolver
  da como resultado
  o dos ecuaciones:
  y
  Si graficamos
  y
  juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la . Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función.
Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos.

### Eliminar el parámetro

En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo
  y
  La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro
  a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.

### Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas

Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para
  Sustituimos la expresión resultante por
  en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en
  y

### Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas

Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras.
Primero, usamos las identidades:
Resolvemos para
  y
  tenemos
Entonces, usamos el teorema de Pitágoras:
La sustitución da como resultado

### Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente

Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo
  En este caso,
  puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.
Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir
  por
  Así, la ecuación cartesiana es

### Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar
  y luego sustituirlo en la ecuación
 , y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para
  como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes.

### Conceptos clave

1. Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables,
  y
  en dos ecuaciones en tres variables, x, y y t. A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el , el  y el .
2. A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar
  el resultado es una ecuación en
  y
 .
3. Para eliminar
  se resuelve una de las ecuaciones para
  y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el , el , el  y el .
4. Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para
  en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el .
5. Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular.
6. Halle una expresión para
  de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro
  para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana y construya una tabla de
 .
En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana y establezca
  o establezca

En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana utilizando
  y
  Identifique la curva.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función de tabla de la calculadora gráfica para determinar si los gráficos se intersecan.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para completar la tabla de valores de cada conjunto de ecuaciones paramétricas.

### Extensiones


# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Ecuaciones paramétricas: gráficos

Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente
  de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles.

### Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.

### Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.
Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de
           a la horizontal, con una velocidad inicial de
           y a una altura
           sobre la horizontal.
La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de
             a la horizontal, con rapidez inicial
  y a una altura
             sobre la horizontal, viene dada por
donde
             tiene en cuenta los efectos de la gravedad y
             es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice
  o
  La ecuación para
             da la distancia horizontal, y la ecuación para
             da la distancia vertical.

### Conceptos clave

1. Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que
           y
           dependen.
2. Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas
           y
           Elija los valores para
           en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para
           y
           Vea el  y el .
3. Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el  y el .
4. Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el .
5. El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas
  y
  La velocidad inicial se simboliza como
  representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y
           representa la altura a la que se impulsa el objeto.

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b:
En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana
     entre
     en el dominio
     para los siguientes valores de
     y
     e incluya la orientación.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma
  Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de
             y
             para lograr cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento
             Ignore la resistencia del aire.
En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado.