# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Gráficos de funciones exponenciales

### Objetivos de aprendizaje

1. Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1).
2. Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones (CA 3.5.1-3.5.5).

### Objetivo 1: Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1).

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. (CA 3.5.1-3.5.5)

Desplazamientos verticales y horizontales: Dada una función , una nueva función  donde  es una constante, es un desplazamiento vertical de la función . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo.
Dada una función , una nueva función , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función . Si h es positivo, el gráfico se desplazará hacia la derecha. Si h es negativo, el gráfico se desplazará hacia la izquierda.

### La práctica hace la perfección

Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones.
Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones en el mundo real, como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias naturales. Trabajar con una ecuación que describe una situación en el mundo real nos brinda un método para hacer predicciones. Sin embargo, la mayoría de las veces la ecuación no es suficiente. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y es precisamente por tal motivo que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa más de conocimiento para predecir acontecimientos futuros.

### Graficar funciones exponenciales

Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma
 cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función
 Observe cómo cambian los valores de salida en la  cuando la entrada aumenta en

Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base,
 Designamos la base
 el cociente constante. De hecho, para cualquier función exponencial con la forma

 es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de

Observe en la tabla que
1. los valores de salida son positivos para todos los valores de

2. a medida que
 aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y
3. a medida que
 disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero.
La  muestra la función de crecimiento exponencial

El dominio de
 son todos números reales, el rango es
 y la asíntota horizontal es

Para tener una idea del comportamiento del decaimiento exponencial, podemos crear una tabla de valores para una función de la forma
 cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función
 Observe cómo cambian los valores de salida en la  cuando la entrada aumenta en

De nuevo, debido a que la entrada se incrementa en 1, cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la relación constante

Observe en la tabla que
1. los valores de salida son positivos para todos los valores de

2. a medida que
 aumenta, los valores de salida se reducen, para acercarse a cero, y
3. a medida que
 disminuye, los valores de salida crecen sin límite.
La  muestra la función de decaimiento exponencial,

El dominio de
 son todos números reales, el rango es
 y la asíntota horizontal es

### Graficar transformaciones de funciones exponenciales

Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz
 sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas.

### Graficar un desplazamiento vertical

La primera transformación se produce cuando añadimos una constante
 a la función matriz
 que nos da un desplazamiento vertical de
 unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar una función matriz,
 podemos entonces graficar dos desplazamientos verticales junto a ella, mediante
 el desplazamiento hacia arriba,
 y el desplazamiento hacia abajo,
 Ambos desplazamientos verticales se muestran en la .
Observe los resultados del desplazamiento
 verticalmente:
1. El dominio,
 se mantiene sin cambios.
2. Cuando la función se desplaza hacia arriba
 unidades a

3. Cuando la función se desplaza hacia abajo
 unidades a

### Graficar un desplazamiento horizontal

La siguiente transformación se produce cuando añadimos una constante
 a la entrada de la función matriz
 lo que nos da un desplazamiento horizontal
 unidades en la dirección opuesta al signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz
 podemos entonces graficar dos desplazamientos horizontales junto a esta, mediante
 el desplazamiento a la izquierda,
 y el desplazamiento a la derecha,
 Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la .
Observe los resultados del desplazamiento
 horizontalmente:
1. El dominio,
 se mantiene sin cambios.
2. La asíntota,
 se mantiene sin cambios.
3. La intersección en y se desplaza de tal manera que:

### Graficar un estiramiento o una compresión

Mientras que los desplazamientos horizontales y verticales implican la adición de constantes a la entrada o a la propia función, se produce estiramiento o compresión cuando multiplicamos la función matriz
 por una constante
 Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz
 podemos entonces graficar el estiramiento, mediante
 para obtener
 como se muestra a la izquierda en la , y la compresión, mediante
 para obtener
 como se muestra a la derecha en la .

### Graficar reflexiones

Además de desplazar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y. Cuando multiplicamos la función matriz
 entre
 obtenemos una reflexión sobre el eje x. Cuando multiplicamos la entrada por
 obtenemos una reflexión sobre el eje y. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz
 podemos entonces graficar las dos reflexiones junto a esta. La reflexión sobre el eje x,
 se muestra en el lado izquierdo de la , y la reflexión en torno al eje y
 se muestra en el lado derecho de la .

### Resumir las traslaciones de la función exponencial

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función exponencial, podemos resumirlas en la  para llegar a la ecuación general de traslación de funciones exponenciales.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. El gráfico de la función
 tiene una intersección en y en
 dominio
 rango
 y asíntota horizontal

Vea el .
2. Si los valores de
 la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota
 y la cola derecha aumentará sin límite.
3. Si los valores de
 la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota

4. La ecuación
 representa el desplazamiento vertical de la función matriz

5. La ecuación
 representa el desplazamiento horizontal de la función matriz

Vea el .
6. Las soluciones aproximadas de la ecuación
 se pueden encontrar con una calculadora gráfica. Vea el .
7. La ecuación
 donde
 representa estiramiento vertical, si
 o compresión, si
 de la función matriz

Vea el .
8. Cuando la función matriz
 se multiplica por
 el resultado,
 es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por
 el resultado,
 es una reflexión alrededor del eje y. Vea la .
9. Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir en la ecuación general

Vea la .
10. Utilizando la ecuación general
 podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje y en los mismos ejes, y obtenga la intersección en y.
En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de funciones en los mismos ejes.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función con una de los gráficos en la .
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos que se indican en la . Todos tienen la forma

En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje x en los mismos ejes.
En los siguientes ejercicios, grafique la transformación de
 Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango.
En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento final de los gráficos de las funciones.
En los siguientes ejercicios, comience con el gráfico de
 Luego escriba una función que resulte de la transformación dada.
En los siguientes ejercicios, cada gráfico es la transformación de
  Escriba una ecuación que describa la transformación.
En los siguientes ejercicios, halle una ecuación exponencial para el gráfico.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales para el valor indicado de

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar las soluciones de la ecuación. Redondee a la milésima más cercana.

### Extensiones


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Funciones logarítmicas

### Objetivos de aprendizaje

1.  Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1)
2. Evalúe funciones logarítmicas. (IA 10.3.2)

### Objetivo 1: Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1)

### La práctica hace la perfección

Dado que las ecuaciones  y  son equivalentes, podemos ir de un lado a otro entre estas. Este será a menudo el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión entre una y otra, veamos las ecuaciones con detenimiento. Observe las posiciones del exponente y la base.
Si recordamos que el logaritmo es el exponente, se facilita la conversión. Puede repetir: "la base al exponente nos da el número”.

### La práctica hace la perfección

Convierta entre forma exponencial y logarítmica.
Recuerde estas notaciones logarítmicas para completar lo siguiente:  Logaritmo común    Logaritmo natural

### Objetivo 2: Evaluar funciones logarítmicas (AI 10.3.2).

Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas con la técnica de convertir la ecuación en su forma exponencial equivalente.

### La práctica hace la perfección

En 2010, un gran terremoto azotó Haití y causó estragos en más de 285.000 hogareshttp://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013.. Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, con destrucción y daños a más de 332.000 edificaciones,http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. como las que se muestran en la . Aunque ambos infligieron daños considerables, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el de Haití. ¿Cómo lo sabemos? La magnitud de los movimientos telúricos se mide en lo que se conoce como la escala de Richter. El terremoto de Haití registró una magnitud de 7,0 en la escala de Richter,http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/. Consultado el 4 de marzo de 2013. mientras que el sismo en Japón registró una magnitud de 9,0.http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#details. Consultado el 4 de marzo de 2013.
La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un sismo de magnitud 8 no es dos veces mayor que uno de magnitud 4. Es
 veces más grande. En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende.

### Convertir de la forma logarítmica a la exponencial

Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es
 donde
 representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter. ¿Cómo podríamos resolver

Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver
 Sabemos que
 y
 por lo que está claro que
 deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que
 aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la , para estimar mejor la solución.
Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la  pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial
 es biunívoca, por lo que su inversa,
 también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la
 como
, a la vez que resolvemos para
 con el fin de dar con la función inversa. Para representar
 en función de
 utilizamos una función logarítmica de la forma
 La base
 logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar
 para obtener esa cifra.
Leemos una expresión logarítmica como: "El logaritmo con base
 de
 es igual a
 o, simplificado, la "base logarítmica
 de
 es
 «”. También podemos enunciar: "
 elevado a la potencia de
 es
 porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que
 podemos escribir
 Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5".
Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue:
Tenga en cuenta que la base
 es siempre positiva.
Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es:
 con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con
 Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como
 Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la

Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera:
Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que
 y de
 son funciones inversas.

### Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base
 exponente
 y salida
 Entonces escribimos

### Evaluar logaritmos

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere
 Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar
 para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que
 se deduce que

Ahora, considere resolver
 y
 mentalmente.
1. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que
 Por lo tanto,

2. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que
 Por lo tanto,

Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos
 mentalmente.
1. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar
 para obtener
 “. Sabemos que
 y
 tal que
 Por lo tanto,

### Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión
 significa
 Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes.

### Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es
Los logaritmos con base
 son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales. El logaritmo con base
,
 tiene su propia notación,

La mayoría de los valores de
 se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base,
 Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla
, que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de
 utilizando la propiedad inversa de los logaritmos.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.
2. Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de logaritmo. Vea el .
3. Las ecuaciones exponenciales pueden escribirse en su forma logarítmica equivalente utilizando la definición de logaritmo. Vea el .
4. Las funciones logarítmicas con base
 pueden evaluarse mentalmente utilizando el conocimiento previo de las potencias de
 Vea el  y el .
5. Los logaritmos comunes pueden evaluarse mentalmente utilizando los conocimientos previos de las potencias de
 Vea el .
6. Cuando los logaritmos comunes no pueden evaluarse mentalmente, se utiliza la calculadora. Vea el .
7. Los problemas exponenciales del mundo real con base
 pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con la calculadora. Vea el .
8. Los logaritmos naturales se pueden evaluar con la calculadora. .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma exponencial.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma logarítmica.
En los siguientes ejercicios, resuelva para
 al convertir la ecuación logarítmica en forma exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmos comunes y naturales para simplificar.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica con base
 sin utilizar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica común sin utilizar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica natural sin utilizar la calculadora.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión con la calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Gráficos de funciones logarítmicas

### Objetivos de aprendizaje

1. Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1)
2. Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3)

### Objetivo 1: Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1)

### La práctica hace la perfección

Hallar el dominio y el rango de una relación y una función.

### Objetivo 2: Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3)

Para graficar una función logarítmica , lo más fácil es convertir la ecuación en su forma exponencial, . Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para el gráfico de una función, solemos elegir un valor x y luego determinar su correspondiente valor y. En este caso, puede resultarle más fácil elegir los valores de y, para luego determinar su correspondiente valor de x.

### La práctica hace la perfección

Graficar funciones logarítmicas
En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto.
Para ilustrarlo, supongamos que invertimos
 dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de
 calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año
 se determina con la ecuación

Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La  muestra este punto en el gráfico logarítmico.
En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas.

### Hallar el dominio de una función logarítmica

Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.
Recordemos que la función exponencial se define como
 para cualquier número real
 y constante

 donde
1. El dominio de
 es

2. El rango de
 es

En la última sección aprendimos que la función logarítmica
 es la inversa de la función exponencial
 Entonces, como funciones inversas:
1. El dominio de
 es el rango de

2. El rango de
 es el dominio de

Las transformaciones de la función matriz
 se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma.
En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de
 Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz
 podemos cambiar el dominio. Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos. Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero.
Por ejemplo, considere
 Esta función se define para cualquier valor de
 de manera que el argumento, en este caso
 es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para

En notación de intervalo, el dominio de
 es

### Graficar funciones logarítmicas

Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz
 junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión.
Comenzamos con la función matriz
 Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma
 sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea
 Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de
 y su equivalente
 en la .
Utilizando las entradas y salidas de la , podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas
 y
 Vea la .
Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La  muestra el gráfico de
 y

Observe lo siguiente a partir del gráfico:
1.
 tiene una intersección en y en
 y
 tiene una intersección en x en

2. El dominio de

 es el mismo que el rango de

3. El rango de

 es el mismo que el dominio de

### Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz
 sin perder la forma.

### Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = log(x)

Cuando una constante
 se suma a la entrada de la función matriz
 el resultado es un desplazamiento horizontal
 unidades en la dirección opuesta al signo en
 Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz
 y para
 junto al desplazamiento hacia la izquierda,
 y el desplazamiento a la derecha,
 Vea la .

### Graficar un desplazamiento vertical de y = log(x)

Cuando una constante
 se suma a la función matriz
 el resultado es un desplazamiento vertical
 unidades en la dirección del signo en
 Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz
 junto con el desplazamiento hacia arriba,
 y el desplazamiento hacia abajo,
 Vea la .

### Graficar estiramiento y compresión de y = log(x)

Cuando la función matriz
 se multiplica por una constante
 el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos
 y observe que el gráfico general de la función matriz
 junto al estiramiento vertical,
 y la compresión vertical,
 Vea la .

### Graficar reflexiones de f(x) = log(x)

Cuando la función matriz
 se multiplica por
 el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por
 el resultado es una reflexión alrededor del eje y. Para visualizar las reflexiones, restringimos
 y observamos el gráfico general de la función matriz
 junto a la reflexión alrededor del eje x,
 y la reflexión en torno al eje y,

### Resumir las traslaciones de la función logarítmica

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la  para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Para hallar el dominio de una función logarítmica, establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero, y resuelva para
 Vea el  y el
2. El gráfico de la función matriz
 tiene una intersección en x en
 dominio
 rango
 asíntota vertical
 y
Vea el .

3. La ecuación
 desplaza la función matriz
 horizontalmente

Vea el .
4. La ecuación
 desplaza la función matriz
 verticalmente
Vea el .
5. Para cualquier constante
 la ecuación

 Vea el  y el .

6. Cuando la función matriz
 se multiplica por
 el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por
 el resultado es una reflexión alrededor del eje y.
 Vea el .

7. Todas las traslaciones de la función logarítmica se pueden resumir en la ecuación general
 Vea la .
8. Dada una ecuación con la forma general
 podemos identificar la asíntota vertical
 para la transformación. Vea el .
9. Utilizando la ecuación general
 podemos escribir la ecuación de una función logarítmica dado su gráfico. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y, si existen. Si no existen, escriba DNE.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación.

### Extensiones


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Propiedades logarítmicas

### Objetivos de aprendizaje

1. Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. (IA 5.2.1)
2. Utilizar las propiedades de los logaritmos. (IA 10.4.1)

### Objetivo 1: Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes (AI 5.2.1)

### La propiedad del producto

Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes.
Para multiplicar potencias con la misma base necesitamos ________ exponentes
Esto nos lleva a la propiedad del producto

### La propiedad del cociente

Simplifique
Para dividir potencias con la misma base necesitamos __________ exponentes.
Esto nos lleva a la propiedad del cociente

### La propiedad de la potencia

Simplifique
Para elevar una potencia a otra potencia necesitamos __________ exponentes
Esto nos lleva a la propiedad de la potencia .
También utilizaremos estas otras propiedades:

### La práctica hace la perfección

Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes.

### Objetivo 2: Utilizar las propiedades de los logaritmos (AI 10.4.1).

### La práctica hace la perfección

En química, el pH se utiliza para medir la acidez o alcalinidad de una sustancia. La escala de pH va de 0 a 14. Las sustancias con un pH inferior a 7 se consideran ácidas, y las sustancias con un pH superior a 7 se consideran básicas. Nuestro organismo, por ejemplo, debe mantener un pH cercano a 7,35 para que las enzimas funcionen correctamente. Para hacerse una idea de lo que es ácido y lo que es básico, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes:
1. Ácido de batería: 0,8
2. Acidez estomacal: 2,7
3. Zumo de naranja: 3,3
4. Agua pura: 7 (a 25° C)
5. Sangre humana: 7,35
6. Coco fresco: 7,8
7. Hidróxido de sodio (lejía): 14
Para determinar si una solución es ácida o básica, buscamos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno positivos activos en la solución. El pH se define mediante la siguiente fórmula, donde
 es la concentración de iones de hidrógeno en la solución
La equivalencia de
 y
 es una de las propiedades del logaritmo que examinaremos en esta sección.

### Uso de la regla del producto para los logaritmos

Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se "deshacen" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar.
Por ejemplo,
 dado que
 Y
 dado que

A continuación, tenemos la propiedad inversa.
Por ejemplo, para evaluar
 podemos reescribir el logaritmo como
 y luego aplicar la propiedad inversa
 para obtener

Para evaluar
 podemos reescribir el logaritmo como
 y luego aplicar la propiedad inversa
 para obtener

Por último, tenemos la propiedad biunívoca.
Podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver la ecuación
 para
 Debido a que las bases son iguales, podemos aplicar la propiedad biunívoca al igualar los argumentos y resolver para

¿Qué pasa con la ecuación
 La propiedad biunívoca no nos sirve en este caso. Antes de poder resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar los términos del lado izquierdo de la ecuación.
Recordemos que utilizamos la regla de multiplicación de exponentes para combinar el producto de potencias sumando exponentes:
 Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, denominada regla del producto de los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Ya que los logaritmos son exponentes, y multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Utilizaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto, a continuación.
Dado un número real cualquiera
 y números reales positivos
 y
 donde
 mostraremos
Supongamos que
 y
 En forma exponencial, estas ecuaciones son
 y
 Se deduce que
Observe que la aplicación repetida de la regla del producto para los logaritmos nos permite simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere
 Con la regla del producto para los logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de sus factores:

### Uso de la regla del cociente para los logaritmos

En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes al restar:
 La regla del cociente para los logaritmos establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.
Dado un número real cualquiera
 y números reales positivos

 y
 donde
 mostraremos
Supongamos que
 y
 En forma exponencial, estas ecuaciones son
 y
 Se deduce que
Por ejemplo, para expandir
 debemos expresar primero el cociente en términos mínimos. Al factorizar y cancelar obtenemos,
A continuación, aplicamos la regla del cociente al restar el logaritmo del denominador al del numerador. Luego aplicamos la regla del producto.

### Usar la regla de la potencia para los logaritmos

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como
 Un método es el siguiente:
Observe que hemos utilizado la regla del producto para los logaritmos con el fin de hallar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de la potencia para los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada de un logaritmo no se escriba como una potencia, podemos cambiarla por una potencia. Por ejemplo,

### Expandir expresiones logarítmicas

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse "leyes de los logaritmos". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:
Podemos utilizar la regla de la potencia para expandir expresiones logarítmicas que incluyan exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para los logaritmos, por el hecho de que un recíproco es una potencia negativa:
También podemos aplicar la regla del producto para expresar la suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto.
Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, al escribir la respuesta final. Recordemos, sin embargo, que solo podemos hacerlo con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo.

### Condensar expresiones logarítmicas

Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar.

### Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos

La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o
 utilizamos la fórmula de cambio de base, donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales.
Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad biunívoca y la regla de la potencia para los logaritmos.
Dados cualesquiera números reales positivos
 y
 donde
 como de
 demostramos
Supongamos que
Potenciando ambos lados con base
, llegamos a una forma exponencial, a saber
 Se deduce que
Por ejemplo, para evaluar
 con una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como el cociente de logaritmos comunes o naturales. Utilizaremos el logaritmo común.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Podemos utilizar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un producto como la suma de logaritmos. Vea el .
2. Podemos utilizar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un cociente como la diferencia de logaritmos. Vea el .
3. Podemos utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del exponente y el logaritmo de su base. Vea el , el  y el .
4. Podemos utilizar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el , el  y el .
5. Las reglas de los logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base como un solo logaritmo. Vea el , el , el  y el .
6. Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base mediante la fórmula de cambio de base. Vea el .
7. La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y
 como el cociente de los logaritmos naturales o comunes. De esta manera se puede utilizar la calculadora para evaluar. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, expanda cada logaritmo lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.
En los siguientes ejercicios, condense a un solo logaritmo si es posible.
En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cada uno lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.
En los siguientes ejercicios, condense cada expresión a un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión como un cociente equivalente de logaritmos con la base indicada.
En los siguientes ejercicios, supongamos
 y
 Utilice la fórmula de cambio de base junto con las propiedades de los logaritmos para reescribir cada expresión en términos de
 y
 Muestre los pasos para resolver.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar sin usar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base para evaluar cada expresión como cociente de logaritmos naturales. Utilice la calculadora para aproximar cada uno de ellos a cinco decimales.

### Extensiones


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

### Objetivos de aprendizaje

1. Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2)
2. Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4)

### Objetivo 1: Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2)

Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial  se denominan ecuaciones exponenciales. Hay dos tipos de ecuaciones exponenciales: las que tienen la base común en cada lado y las que no tienen base común.

Tipo 1: Posible base común en cada lado: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado con una base común. Utilice la propiedad base-exponente para igualar los exponentes y resolver para x.
Tipo 2: No hay base común posible: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado en términos de una expresión exponencial. Tome el logaritmo o ln de cada lado y utilice la regla de la potencia para bajar la potencia. Resuelva la ecuación restante para x.

### La práctica hace la perfección

Resuelva. Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales.

### Objetivo 2: Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4)

Hay dos tipos de ecuaciones logarítmicas: las que tienen términos logarítmicos en un solo lado de la ecuación o las que tienen términos logarítmicos en cada lado de la ecuación. Ya que el dominio de las funciones logarítmicas consiste únicamente en números positivos, compruebe bien las soluciones.
Tipo 1: Términos logarítmicos en un lado de la ecuación: Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir un lado con un solo término logarítmico. Convierta a notación exponencial y resuelva para x.
Si los valores de  entonces .
Tipo 2: Términos logarítmicos en ambos lados de la ecuación: En primer lugar, utilice las propiedades del logaritmo para reescribir cada lado en términos de una única expresión logarítmica, si es necesario. Utilice la propiedad biunívoca de la igualdad logarítmica para que los argumentos sean iguales entre sí. Resuelva la ecuación resultante para x.

### La práctica hace la perfección

No olvide comprobar sus soluciones.

En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.

### Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales

 y
 donde

 si y solo si

En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.
Por ejemplo, considere la ecuación
 Para resolver
 utilizamos la propiedad de división de los exponentes con el objeto de reescribir el lado derecho, de manera que ambos lados tengan la base común,
 A continuación, aplicamos la propiedad biunívoca de los exponentes al igualarlos y resolver para
:

### Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base

A veces la base común de una ecuación exponencial no es explícita. En estos casos, simplemente reescribimos los términos de la ecuación como potencias con base común y resolvemos con la propiedad biunívoca.
Por ejemplo, considere la ecuación
 Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como potencia de
 Entonces aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad biunívoca, para resolver

### Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que
 equivale a
 podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial.

### Ecuaciones que contienen e

Un tipo común de ecuaciones exponenciales son las de base
 Esta constante se repite una y otra vez en la naturaleza, en las matemáticas, en la ciencia, en la ingeniería y en las finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base
 en cualquier lado, podemos utilizar el logaritmo natural para resolverla.

### Soluciones extrañas

A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña, que es una solución correcta desde el punto de vista algebraico pero que no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de estas situaciones surge al resolver cuando se toma el logaritmo en ambos lados de la ecuación. En estos casos, recuerde que el argumento del logaritmo deberá ser positivo. Si el número que evaluamos en una función de logaritmo es negativo, no hay salida.

### Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica
 es equivalente a la ecuación exponencial
 Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica.
Por ejemplo, considere la ecuación
 Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de logaritmos para resolver

### Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real

 y cualquier número real positivo
 donde

Por ejemplo,
Por lo tanto, si
 entonces podemos resolver para
 y obtenemos
 Para comprobarlo, podemos sustituir
 en la ecuación original:
 En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se da una ecuación con logaritmos de la misma base en cada lado, podemos utilizar las reglas de los logaritmos para reescribir cada lado como un único logaritmo. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones logarítmicas son biunívocas para igualar los argumentos y resolver la incógnita.
Por ejemplo, considere la ecuación
 Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad biunívoca para resolver

Para comprobar el resultado, sustituya
 en

### Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo.
Una de estas aplicaciones se encuentra en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda en decaer la mitad del material inestable de la muestra de una sustancia radiactiva, lo que se denomina su semivida. La  enumera la semivida de varias de las sustancias radiactivas más comunes.
Podemos ver lo mucho que varían las semividas de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad que queda después de un tiempo determinado. Podemos emplear la fórmula para el decaimiento radiactivo:
donde
1.
 es la cantidad inicial presente
2.
 es la semivida de la sustancia
3.
 es el tiempo en el que se estudia la sustancia
4.
 es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.
2. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases se muestran explícitamente iguales, igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el .
3. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases no se muestran explícitamente iguales, reescribimos cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el , el  y el .
4. Cuando una ecuación exponencial no pueda reescribirse con una base común, resuélvela al tomar el logaritmo de cada lado. Vea el .
5. Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base
 al aplicar el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Vea el  y el .
6. Después de resolver una ecuación exponencial, compruebe cada solución en la ecuación original para detectar y eliminar cualquier solución extraña. Vea el .
7. Cuando se da una ecuación de la forma
 donde
 es una expresión algebraica, podemos utilizar la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como la ecuación exponencial equivalente
 y resolver la incógnita. Vea el  y el .
8. También podemos utilizar la representación gráfica para resolver ecuaciones con la forma
 Graficamos ambas ecuaciones
 y de
 en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor de x del punto de intersección. Vea el .
9. Cuando se da una ecuación de la forma
 donde
 y
 son expresiones algebraicas, podemos utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver la ecuación
 para la incógnita. Vea el .
10. Al combinar las habilidades aprendidas en esta sección y en las anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice bases semejantes para resolver la ecuación exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice logaritmos para resolver.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para resolver la ecuación.
En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación para
 si hay una solución. A continuación, grafique ambos lados de la ecuación y preste atención al punto de intersección (si existe) para verificar la solución.
En los siguientes ejercicios, resuelva el valor indicado y grafique la situación mostrando el punto de solución.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación al reescribir la expresión exponencial con el logaritmo indicado. A continuación, utilice la calculadora para estimar la variable a 3 decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver la ecuación. A menos que se indique lo contrario, redondee todas las respuestas a la diezmilésima más cercana.

### Extensiones


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Modelos exponenciales y logarítmicos

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3)
2. Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5)

### Objetivo 1: Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3)

### Usar modelos exponenciales

Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si tiene una cuenta de ahorros, habrá experimentado el uso de una función exponencial. Hay dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo de la cuenta cuando se devengan los intereses. Si se invierte un capital, P, a un tipo de interés, r, durante t años, el nuevo saldo, A, dependerá de la frecuencia con que se capitalicen los intereses.

### Crecimiento y decaimiento exponencial

Otros temas que se modelan mediante funciones exponenciales son el crecimiento y el decaimiento. Ambos utilizan también la fórmula  que empleamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y el decaimiento, generalmente utilizamos  como la cantidad original en lugar de llamarla  el capital. Vemos que el crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y el decaimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa.

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5)

### Nivel de decibelios del sonido

Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de decibelios (dB) del sonido. Los decibelios oscilan entre 0, que apenas es audible, y 160, que puede romper un tímpano. El 10-12 de la fórmula representa la intensidad del sonido apenas audible.

La magnitud  de un terremoto se mide mediante una escala logarítmica, denominada escala de Richter. El modelo es  donde  es la intensidad de la onda de choque. Este modelo mide la intensidad de los terremotos.

### La práctica hace la perfección

Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones.
Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, profundizamos en algunas aplicaciones importantes, incluso los isótopos radiactivos y la ley de enfriamiento de Newton.

### Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial

En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:
donde  es igual al valor en el tiempo cero,  es la constante de Euler, y  es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en las aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como la fauna, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial.
Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma  donde  es el valor inicial, y  es la constante de Euler. Ahora  es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la semivida, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la semivida en las aplicaciones relacionadas con los isótopos radiactivos.
A la hora de elegir una función que sirva de modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recogidos mediante una cuidadosa observación y medición para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer su forma. Los gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial tienen una forma distintiva, como podemos ver en la  y la . Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje x, en realidad están a una distancia mínima por encima del eje x.
El crecimiento y el decaimiento exponencial suelen implicar números muy grandes o muy pequeños. Para describir estas cifras, solemos utilizar órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Próxima Centauri, medida en kilómetros, es de 40.113.497.200.000 kilómetros. Expresado en notación científica, esto es  Así, podríamos describir esta cifra como de orden de magnitud

### Semivida

Ahora pasemos al decaimiento exponencial. Uno de los términos más comunes que se asocian al decaimiento exponencial, como ya se ha indicado arriba, es la semivida, el tiempo que tarda una cantidad que decae exponencialmente en disminuir hasta la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una semivida, y el proceso que describe el decaimiento exponencial de un isótopo se denomina decaimiento radiactivo.
Para hallar la semivida de una función que describe el decaimiento exponencial, resuelva la siguiente ecuación:
Vemos que la semivida depende solo de la constante  y no en la cantidad inicial
La fórmula se deriva de la siguiente manera

Dado que  el tiempo, es positivo,  debe, como es de esperar, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la semivida

### Datación por radiocarbono

La fórmula del decaimiento radiactivo es importante en la datación por radiocarbono, que se utiliza para calcular la fecha aproximada de la muerte de una planta o de un animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, que ganó el Premio Nobel por su descubrimiento. Compare la diferencia entre el cociente de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de alrededor del 1 % de error para las plantas o animales que murieron en los últimos 60.000 años.
El carbono 14 es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una semivida de 5.730 años. Se encuentra en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono del aire que respiramos. La mayor parte del carbono de la Tierra es carbono 12, que tiene un peso atómico de 12 y no es radiactivo. Los científicos han determinado el cociente entre el carbono 14 y el carbono 12 en el aire durante los últimos 60.000 años, mediante el empleo de anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la relación ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos.
Mientras una planta o un animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos del carbono en su cuerpo se acerca a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 de su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en una muestra en descomposición con la proporción conocida en la atmósfera, se puede calcular aproximadamente la fecha en que murió la planta o el animal.
Dado que la semivida del carbono 14 es de 5.730 años, la fórmula para la cantidad restante después de  años es

donde

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:
Para calcular la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para
Por necesidad, dejamos de lado aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al realizar la datación por carbono 14, y solo nos fijamos en la fórmula básica. La proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en la atmósfera es de aproximadamente 0,0000000001%. Supongamos que  es la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en el artefacto orgánico o fósil sujeto a la datación, determinada por un método que recibe el nombre de centelleo líquido. A partir de la ecuación  sabemos que la relación entre el porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos datando y la cantidad inicial de carbono-14 en el objeto cuando se formó es  Resolvemos esta ecuación para  para obtener

### Calcular el tiempo de duplicación

Para las cantidades en decaimiento, determinamos el tiempo que tarda en decaer la mitad de una sustancia. En el caso de las cantidades crecientes, es posible que queramos averiguar el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Como ya lo hemos mencionado, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse recibe el nombre de tiempo de duplicación.
Dada la ecuación básica de crecimiento exponencial
el tiempo de duplicación se puede calcular al resolver para cuando la cantidad original se ha duplicado, es decir, al resolver

La fórmula se deriva de la siguiente manera:
Así, el tiempo de duplicación es

### Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial. Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton, la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente
Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

### Uso de modelos de crecimiento logístico

El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial, aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite.
El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que la producción se acerca al límite superior del modelo, denominada capacidad de carga. Para las constantes
 y
 el crecimiento logístico de una población en el tiempo
 viene representado por el modelo
El gráfico en la  muestra la evolución de la tasa de crecimiento con el paso del tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento aumenta únicamente hasta que alcanza su punto máximo, momento en el que disminuye.

### Elegir un modelo adecuado para los datos

Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015.
Tres tipos de funciones que suelen ser útiles en los modelos matemáticos son las lineales, las exponenciales y las logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen encontrarse aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal sería lo mejor. Si los datos no son lineales, se suele considerar un modelo exponencial o logarítmico, aunque también se pueden considerar otros modelos, como los cuadráticos.
Al momento de elegir entre un modelo exponencial y uno logarítmico, nos fijamos en la forma en que se curvan los datos. Esto se denomina concavidad. Si trazamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran por encima de esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar que es un cuenco que se dobla hacia abajo y que, por tanto, no puede retener el agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos están por debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un cuenco que se dobla hacia arriba y que, por ende, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente el crecimiento o el decaimiento, siempre es cóncava hacia arriba y se aleja de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre es cóncava respecto a su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el más común, la curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba, a la vez que la curva logarítmica siempre es cóncava hacia abajo.
Una curva logística cambia la concavidad. Comienza por ser cóncava hacia arriba y luego pasa a ser cóncava hacia abajo, más allá de un punto determinado, denominado punto de inflexión.
Después de usar el gráfico para elegir un tipo de función como modelo, sustituimos los puntos y resolvemos para hallar los parámetros. Reducimos el error de redondeo al elegir puntos lo más alejados posible.

### Expresar un modelo exponencial con base

Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son
 y
 En ciencia y matemáticas, la base
 se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La función exponencial básica es
 Si
 tenemos un crecimiento exponencial; si
 tenemos un decaimiento exponencial.
2. También podemos escribir esta fórmula en términos de crecimiento continuo como
 donde
 es el valor inicial. Si los valores de
 es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial cuando
 y el decaimiento exponencial cuando

Vea el .
3. En general, resolvemos los problemas que implican crecimiento o decaimiento exponencial en dos pasos. En primer lugar, establecemos un modelo y lo utilizamos para calcular los parámetros. A continuación, utilizamos la fórmula con estos parámetros para predecir el crecimiento y el decaimiento. Vea el .
4. Podemos calcular la edad,
 de un artefacto orgánico al medir la cantidad,
 de carbono 14 que queda en el artefacto y utilizar la fórmula
 para resolver para

Vea el .
5. Dado el tiempo de duplicación o el tiempo medio de una sustancia, podemos hallar una función que represente su crecimiento o decaimiento exponencial. Vea el .
6. Podemos utilizar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un objeto en enfriarse hasta alcanzar una temperatura deseada, o para calcular qué temperatura tendrá un objeto después de un tiempo determinado. Vea el .
7. Podemos utilizar las funciones de crecimiento logístico para modelar situaciones del mundo real en las que la tasa de crecimiento cambia con el tiempo, como el crecimiento demográfico, la propagación de enfermedades y la difusión de rumores. Vea el .
8. Podemos utilizar los datos del mundo real, recabados a lo largo del tiempo, para observar las tendencias. El conocimiento de los gráficos lineales, exponenciales, logarítmicos y logísticos permite elaborar los modelos que mejor se ajusten a nuestros datos. Vea el .
9. Cualquier función exponencial con la forma
 puede reescribirse como una función exponencial equivalente con la forma
 donde

Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice el modelo de crecimiento logístico

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla pueden representar una función lineal, exponencial o logarítmica.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica y este escenario: la población de una piscifactoría en
 años se modela mediante la ecuación

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 125 miligramos de un fármaco que decae aproximadamente 30 % cada hora.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se inyectan a un tumor
 gramos de yodo 125, que tiene una tasa de decaimiento de
  por día.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un biólogo registró un recuento de
 bacterias presentes en un cultivo después de 5 minutos y 1.000 bacterias presentes después de 20 minutos.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una olla de sopa caliente con una temperatura interna de
 se sacó de la estufa para enfriar a
 en una habitación. Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un pavo se saca del horno con una temperatura interna de
 y se deja enfriar a
 en una habitación. Después de media hora, la temperatura interna del pavo es

En los siguientes ejercicios, halle el valor del número que aparece en cada escala logarítmica. Redondee todas las respuestas a la milésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación
 modela el número de personas de una ciudad que han escuchado un rumor al cabo de t días.
En el siguiente ejercicio, elija la opción correcta.


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Ajustar modelos exponenciales a los datos

### Objetivos de aprendizaje

1. Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1)
2. Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4)

### Objetivo 1: Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1)

Un diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados que indica una relación entre las variables de un conjunto de datos.

### La práctica hace la perfección

Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos).

### Objetivo 2: Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4)

Podemos hallar una función lineal que se ajuste a los datos del problema anterior al “meterle el ojo” a una línea que parezca ajustarse. Sin embargo, aunque la estimación de una línea funciona relativamente bien, la tecnología puede ayudarnos a encontrar una línea que se ajuste a los datos de la forma más perfecta posible.

Esta línea se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados o modelo de regresión lineal.
La línea de regresión es aquella que más se aproxima a los datos en el diagrama de dispersión, lo que significa que es el mejor ajuste para los datos.
Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones.

### La práctica hace la perfección

Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones.
En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión, para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión, no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros.
No se deje confundir por la palabra modelo. En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función, ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real.
En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real.

### Construir un modelo exponencial a partir de datos

Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial.
Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma
  o
  Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas,
  Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial
  (suponiendo que

1.
  deberá ser mayor que cero y no igual a uno.
2. El valor inicial del modelo es

Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación, etiquetado por la variable
  o
  (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la "bondad de ajuste" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de
  en vez de
  pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos.

### Construir un modelo logarítmico a partir de datos

Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor.
Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas,
  Para esta función
1. Todos los valores de entrada,
  deberán ser mayor que cero.
2. El punto
  está en el gráfico del modelo.
3. Si los valores de
  el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.
4. Si los valores de
  el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.

### Construir un modelo logístico a partir de datos

Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite. Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes.
Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas:
Recordemos que:
1.
  es el valor inicial del modelo.
2. cuando
  el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento,
  En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior

3.
  es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga, del modelo.

### Conceptos clave

1. La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero.
2. Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .
3. La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo.
4. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .
5. La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante a medida que la función se acerca a un límite superior.
6. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la  hasta la . Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente.

### Numéricos

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población
  en un estanque de carpas koi sobre
  meses se modela mediante la función

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población
  en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función
  donde
  se da en años.
En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .

### Extensiones

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Funciones exponenciales

### Gráficos de funciones exponenciales

### Funciones logarítmicas

### Gráficos de funciones logarítmicas

### Propiedades logarítmicas

### Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

### Modelos exponenciales y logarítmicos

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe
  miligramos de un fármaco que decae en un
  cada hora.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de
  °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de
 . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación
  modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de
  días.
En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica.

### Ajuste de modelos exponenciales a los datos

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.


# Funciones trigonométricas

## Introducción

La vida está llena de fenómenos que se repiten a intervalos regulares. Cada día, por ejemplo, las mareas suben y bajan en respuesta a la atracción gravitacional de la luna.Hamacher, D. W., Tapim, A., Passi, S. y Barsa, J. (2018).  Y como consecuencia del propio movimiento de la luna, las mareas se producen con distinta intensidad. A lo largo de la historia, muchos pueblos indígenas utilizaron esta regularidad para construir relatos culturales y dirigir actividades clave, como la agricultura, la caza y la pesca. Los aborígenes del área del estrecho de Torres (el extremo norte) de Australia utilizaban los picos de las mareas para determinar los mejores momentos para pescar. Sus ancianos explican que las fuertes mareas de primavera agitan los sedimentos y oscurecen la visión de los peces haciéndolos más proclives a atrapar los señuelos, lo que genera una mayor pesca.

      En matemáticas, la función que repite sus valores a intervalos regulares se conoce como función periódica. Los gráficos de estas funciones revelan una forma general que refleja un patrón que se repite. Esto significa que el gráfico de la función tiene la misma salida exactamente en el mismo lugar en cada ciclo. Esto se traduce en que todos los ciclos de la función tienen exactamente la misma longitud. Así, si conocemos todos los detalles de un ciclo completo de una función periódica verdadera, entonces conocemos el estado de las salidas de la función en todo momento: futuro y pasado. En este capítulo, investigaremos varios ejemplos de funciones periódicas.