# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión

Establecer el tipo de distribución, el tamaño de la muestra y la desviación típica conocida o desconocida puede ayudarle a averiguar cómo realizar una prueba de hipótesis. Sin embargo, hay otros factores que debe tener en cuenta a la hora de elaborar una prueba de hipótesis.

### Eventos poco comunes

Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy improbable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición, no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición).
Por ejemplo, Didi y Ali están en la fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros de la fila para ganar un premio de una cesta alta que no pueden ver en su interior porque tendrán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la cesta y a Didi y Ali les han dicho que solo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona que mete la mano en la cesta y saca una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto ocurra es  = 0,005. Como esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté equivocado y haya más billetes de 100 dólares en la cesta. Se ha producido un "evento poco común" (que Didi consiga el billete de 100 dólares), por lo que Ali duda de la suposición de que solo haya un billete de 100 dólares en la cesta.

### Uso de la muestra para probar la hipótesis nula

Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor . El valor p es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada.
Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor p, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra.
Dibuje un gráfico que muestre el valor

### Decisión y conclusión

Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor p y un  Un α preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema.
Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar H, haga lo siguiente:
Conclusión: Una vez tomada la decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en función del problema planteado.

### Repaso del capítulo

Cuando la probabilidad de que ocurra un evento es baja, y ocurre, se denomina evento poco común. Es importante tener en cuenta los eventos pocos comunes en las pruebas de hipótesis porque pueden informar de su voluntad de no rechazar o rechazar una hipótesis nula. Para probar una hipótesis nula, calcule el valor p para los datos de la muestra y grafique los resultados. A la hora de decidir si se rechaza o no la hipótesis nula, hay que tener en cuenta estos dos parámetros:
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en prisión un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de tres años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo de encarcelamiento ha aumentado. Supongamos que la distribución de los tiempos en prisión es aproximadamente normal.

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas

1. En un problema de prueba de hipótesis, puede ver palabras como "el nivel de significación es del 1 %". El "1 %" es el α preconcebido o preestablecido.
2. El estadístico que establece la prueba de hipótesis selecciona el valor de α que va a utilizar antes de recoger los datos de la muestra.
3. Si no se indica ningún nivel de significación, una norma común que se utiliza es
4. Cuando se calcula el valor p y se dibuja el cuadro, el valor p es el área de la cola izquierda, de la cola derecha o dividida por igual entre las dos colas. Por esta razón, llamamos a la prueba de hipótesis de la izquierda, de la derecha o de dos colas.
5. La hipótesis alternativa, , le indica si la prueba es de cola izquierda, derecha o doble. Es la clave para realizar la prueba adecuada.
6. H nunca tiene un símbolo que contenga un signo igual.
7. Pensar en el significado del valor : Un analista de datos (y cualquier otra persona) debería confiar más en que ha tomado la decisión correcta de rechazar la hipótesis nula con un valor p menor (por ejemplo, 0,001 frente a 0,04), incluso si se utiliza el nivel 0,05 para el alfa. Del mismo modo, para un valor p mayor, como 0,4, frente a un valor p de 0,056 (alfa = 0,05 es menor que cualquiera de los dos números), el analista de datos debería confiar más en que tomó la decisión correcta al no rechazar la hipótesis nula. Esto hace que el analista de datos haga uso de su discernimiento en lugar de aplicar reglas sin sentido.
Los siguientes ejemplos ilustran una prueba de cola izquierda, derecha y de dos colas.

### Ejemplos de pruebas de hipótesis completas

El valor p se calcula fácilmente.
Los errores tipo I y II son los siguientes:
El error tipo I consiste en concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera).
El error tipo II es que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios difiere del 50 % cuando, de hecho, la proporción sí difiere del 50 %. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa).
El siguiente ejemplo es un poema escrito por una estudiante de Estadística llamada Nicole Hart. La solución del problema sigue al poema. Observe que la prueba de hipótesis es para una única proporción poblacional. Esto significa que las hipótesis nula y alternativa utilizan el parámetro p. La distribución para la prueba es normal. La proporción estimada p′ es la proporción de pulgas matadas respecto al total de pulgas encontradas en Fido. Esta es una información de muestra. El problema da una α prestablecida = 0,01, para comparar, y un cálculo del intervalo de confianza del 95 %. El poema es ingenioso y humorístico, así que disfrútelo

### Repaso del capítulo

La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera
Observe que al realizar la prueba de hipótesis, se utiliza α y no β. β es necesaria para determinar el tamaño de la muestra de los datos que se utiliza en el cálculo del valor p. Recuerde que la cantidad 1 - β recibe el nombre de potencia de la prueba. Es deseable una alta potencia. Si la potencia es demasiado baja, los estadísticos suelen aumentar el tamaño de la muestra al mantener igual el α. Si la potencia es baja, es posible que no se rechace la hipótesis nula cuando debería hacerlo.

### Tarea para la casa

En cada uno de los problemas, utilice una hoja de soluciones para comprobar la hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes.
1. Indique la hipótesis nula y la alternativa.
2. Indique el valor p.
3. Indique alfa.
4. ¿Cuál es su decisión?
5. Escriba una conclusión.
6. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema.

### Referencias

Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC.
Datos de Bloomberg Businessweek. Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html.
Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman.
Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html.
Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm.
Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013)
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/.
Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1.
Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013).
“Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf.
Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013).
Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013).


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Introducción

Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años.
Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones.
Ha aprendido a realizar pruebas de hipótesis sobre medias y proporciones únicas. En este capítulo se ampliará la información. Comparará dos medias o dos proporciones entre sí. El procedimiento general sigue siendo el mismo, pero ampliado.
Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes. Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban utilizando grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población.
Este capítulo trata de las siguientes pruebas de hipótesis:
2. Prueba de dos medias poblacionales.
3. Prueba de dos proporciones poblacionales.
2. Prueba de las dos proporciones de la población mediante la prueba de una media poblacional de diferencias.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas

1. Las dos muestras independientes son simples muestras aleatorias de dos poblaciones distintas.
2. Para las dos poblaciones distintas

La comparación de dos medias poblacionales es muy común. La diferencia entre las dos muestras depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. Para tener en cuenta la variación, tomamos la diferencia de las medias de la muestra,
   –
  , y dividimos entre el error estándar para normalizar la diferencia. El resultado es un estadístico de prueba de puntuación t.
Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar, de la diferencia de las medias muestrales,
   –
  .

El estadístico de prueba(puntuación t) se calcula como sigue:

El número de grados de libertad ( requiere un cálculo algo complicado. Sin embargo, la computadora o la calculadora lo calculan fácilmente. Los df no son siempre un número entero. El estadístico de prueba calculado anteriormente se determina aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera:

Cuando los tamaños de las muestras n1 y n2 son cinco o más, la aproximación t de Student es bastante apropiada. Observe que las varianzas muestrales (s1)2 y (s2)2 no están agrupadas. (Si se plantea la cuestión, no agrupe las varianzas).
Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grandeLa d  es la medida del tamaño del efecto con base en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande.
La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada:
 donde

### Referencias

Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013).
“Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013).
“Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013).
“Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013).
“Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población.
1. Variable aleatoria:
  = la diferencia de las medias muestrales
2. Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar).

### Repaso de la fórmula

Error estándar: SE =

Estadístico de prueba (puntuación t): t =

Grados de libertad:

donde:
s1 y s2 son las desviaciones típicas de la muestra, n1 y n2 son los tamaños de la muestra.

 y
 son las medias muestrales.
La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto:

   donde

Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para:
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales.
Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas.

### Tarea para la casa

INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Utilice la información de
Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales.
Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

Aunque esta situación no es probable (conocer las desviaciones típicas de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra la prueba de hipótesis para medias independientes, conociendo las desviaciones típicas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es
 . La distribución normal tiene el siguiente formato:

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf
Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013).
“Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013).
Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013).
“State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
“Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características:

### Revisión de la fórmula

Distribución normal:
 . Generalmente
Estadístico de prueba (puntuaciónz):
  Generalmente
donde:  σ1 y σ2 son las desviaciones típicas poblacionales conocidas. n1 y n2 son los tamaños de las muestras.
  y
  son las medias muestrales. μ1 y μ2 son las medias poblacionales.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La  muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente.

### Tarea para la casa

INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Comparación de dos proporciones de población independientes

Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características:
1. Las dos muestras independientes son muestras aleatorias simples que son independientes.
2.  El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras.
3. La literatura creciente establece que la población debe ser al menos diez o veinte veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y se obtengan resultados incorrectos.
La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar. Una prueba de hipótesis puede ayudar a determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las proporciones de la población.
La diferencia de dos proporciones sigue una distribución normal aproximada. En general, la hipótesis nula afirma que las dos proporciones son iguales. Es decir, H: p = p. Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p.

### Referencias

Datos de Educational Resources, catálogo de diciembre.
Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José.
Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994.
“State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013).
“West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes

### Revisión de la fórmula

Proporción combinada:  =

Distribución de las diferencias:

donde la hipótesis nula es H: p = p o H: p – p = 0.
Estadístico de prueba (puntuación z):

donde la hipótesis nula es H: p = p o H: p − p = 0.
donde
p′ y p′ son las proporciones de la muestra, p y p son las proporciones de la población,
P es la proporción combinada, y  y  son los tamaños de las muestras.
Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS1.
Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte.

### Tarea para la casa

INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Muestras coincidentes o emparejadas

Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas, deben darse las siguientes características:
1. Se utiliza un muestreo aleatorio simple.
2. El tamaño de las muestras suele ser pequeño.
3. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos.
4. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas.
5. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis.
6. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal.
En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, se comprueba la media poblacional de las diferencias, μ, mediante una prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias.

### Repaso del capítulo

Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características:
1. Compruebe las diferencias restando una medida de la otra
2. Variable aleatoria:
 = media de las diferencias
3. Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad
4. Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal.
5. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos.
6. Las muestras son dependientes.

### Revisión de la fórmula

Estadístico de prueba (puntuación t): t =

donde:

 es la media de las diferencias de la muestra. μd es la media de las diferencias de la población. s es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %.

### Tarea para la casa

INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual.
Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados
 = −10,2 s = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento.

### Resúmalo todo

Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis.
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única


# La distribución chi-cuadrado

## Introducción

¿Alguna vez se ha preguntado si los números de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis.
Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado.
En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado


# La distribución chi-cuadrado

## Datos sobre la distribución chi-cuadrado

La notación para la distribución chi-cuadrado es:
donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente).
Para la distribución χ, la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es
 .
La variable aleatoria se muestra como χ, aunque puede ser cualquier letra mayúscula.
La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes.
χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + ... + (Zk)2
1. La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha.
2. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df.

3. El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero.
4. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~
  la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ =
  = 44,7. Por tanto, X ~ N(1.000, 44,7), aproximadamente.
5. La media, μ, se encuentra justo a la derecha del pico.

### Referencias

Datos de la Revista Parade.
“HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011.

### Repaso del capítulo

La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población.
Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad.
La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df. Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha.

### Revisión de la fórmula

χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + … (Z)2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado
μ = df distribución chi-cuadrado media de la población

  Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población

### Tarea para la casa

Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de bondad de ajuste

En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades.
El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es:
donde:
1. O = valores observados (datos)
2. E = valores esperados (de la teoría)
3. k = el número de celdas o categorías de datos diferentes
Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma
 .
El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1).
La  Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado.

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com.
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports.
Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92.
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.

### Revisión de la fórmula

   estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O: valores observados E: valores esperados  k: número de celdas o categorías de datos diferentes
df = k − 1 grados de libertad
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la .
La distribución real para una clase de 20 está en la .
Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la .
El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la .

### Tarea para la casa

Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la  contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del  y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo.
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de independencia

Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).
El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste:
donde:
1. O = valores observados
2. E = valores esperados
3. i = el número de filas de la tabla
4. j = el número de columnas de la tabla
Hay  términos de la forma
 .
Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que se topó con el término independencia fue en Temas de probabilidad. A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo.

### Referencias

DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013)
“Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5.

### Revisión de la fórmula

2. El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1).
3. El estadístico de prueba es
  donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla.

4. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado
.

Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La  muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α.

### Tarea para la casa

Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de homogeneidad

La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.
HipótesisH: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.
 Estadístico de pruebaUtilice un   estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.
 Grados de libertad (df = número de columnas – 1
 RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.
 Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.

### Referencias

Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.

### Revisión de la fórmula

     Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados  E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos
df = (i −1)(j −1) Grados de libertad
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la .

### Tarea para la casa

Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al


# La distribución chi-cuadrado

## Comparación de las pruebas chi-cuadrado

Ha visto el estadístico de prueba χ2 utilizado en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen que le ayudará a decidir qué prueba χ2 es la adecuada.
1. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H: La población se ajusta a la distribución dada. H: La población no se ajusta a la distribución dada.
2. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos variables (factores) son independientes. H: Las dos variables (factores) son dependientes.
3. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H: Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes.

### Repaso del capítulo

La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida.

### Tarea para la casa

Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.

### Resúmalo todo


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de una sola varianza

Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población (o desviación típica de la población). El estadístico de prueba es:
donde:
1.  n = el número total de datos
2. s2 = varianza de la muestra
3. σ2 = varianza de la población
Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El  le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.

### Referencias

“AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012.

### Repaso del capítulo

Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica).

### Revisión de la fórmula

  Prueba de una estadística de varianza única, donde: n: tamaño de la muestra s: desviación típica de la muestra σ: desviación típica de la población
df = n – 1 grado de libertad
2. Utilice la prueba para determinar la variación.
3. Los grados de libertad son el número de muestras – 1.
4. El estadístico de prueba es
 , donde n = el número total de datos, s2 = la varianza de la muestra y σ2 = la varianza de la población.

5. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos.

Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al


# Regresión lineal y correlación

## Introducción

Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es?
En otro ejemplo, puede que sus ingresos los determinen su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora.
Los datos que se describen en los ejemplos son bivariados: "bi" de dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes, es decir, muchas variables.
En este capítulo, se estudiará la forma más sencilla de regresión: la "regresión lineal" con una variable independiente (x). Se trata de datos que se ajustan a una línea en dos dimensiones. También estudiará la correlación, que mide la fuerza de la relación.


# Regresión lineal y correlación

## Ecuaciones lineales

La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma
donde a y b son números constantes.
La variable  Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente.
El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.

### Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal y = a + bx, b = pendiente y a = intersección en y. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a) donde la línea cruza el eje y.

### Referencias

Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades.
Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia.

### Repaso del capítulo

El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma , donde  y  son constantes,  es la variable independiente  es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma , donde  y  son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx, la constante b, llamada coeficiente, representa la pendiente. La constante a recibe el nombre de intersección en y.
La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x) , en promedio. La intersección en  se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero.

### Revisión de la fórmula

y = a + bx donde a es la intersección en y y b es la pendiente. La variable x es la variable independiente, a la vez que la y es la variable dependiente.
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un centro vacacional alquila equipos de buceo a buceadores certificados. El complejo cobra una tarifa inicial de 25 dólares y otra de 12,50 dólares por hora.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de tarjetas de crédito cobra 10 dólares por cada pago retrasado y 5 dólares por cada día de mora.
La  contiene datos reales de las dos primeras décadas de presentación de informes sobre la gripe.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de limpieza especializada cobra una tarifa por el equipo y una tarifa por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa el monto total de la tarifa que la compañía cobra por cada sesión es y = 50 + 100x.
Use la siguiente información para responder las próximas tres preguntas. Debido a la erosión, la orilla de un río pierde varios miles de libras de suelo cada año. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de suelo perdido por año es y = 12.000x.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El precio de una sola emisión de acciones puede fluctuar a lo largo del día. Una ecuación lineal que representa el precio de las acciones de Shipment Express es y = 15 - 1,5x donde x es el número de horas transcurridas en un día de ocho horas de negociación.

### Tarea para la casa


# Regresión lineal y correlación

## Diagramas de dispersión

Antes de retomar el análisis de la regresión lineal y la correlación, necesitamos examinar una forma de mostrar la relación entre dos variables de la x y de la y. La forma más común y sencilla es el diagrama de dispersión. El siguiente ejemplo ilustra un diagrama de dispersión.
El diagrama de dispersión muestra la dirección de una relación entre las variables. Una dirección clara ocurre cuando hay:

Puede determinar la fuerza de la relación al observar en diagrama de dispersión lo cerca que están los puntos de una línea, una función de potencia, una función exponencial o algún otro tipo de función. Para la relación lineal hay una excepción. Considere un diagrama de dispersión en el que todos los puntos caen sobre una línea horizontal que proporciona un "ajuste perfecto". De hecho, la línea horizontal no mostraría ninguna relación.
Cuando se observa un diagrama de dispersión, hay que fijarse en el patrón general y en las desviaciones del patrón. Los siguientes ejemplos de diagramas de dispersión ilustran estos conceptos.
En este capítulo, nos interesan los diagramas de dispersión que muestran un patrón lineal. Los patrones lineales son bastante comunes. La relación lineal es fuerte si los puntos se acercan a una línea recta, excepto en el caso de una línea horizontal donde no hay relación. Si pensamos que los puntos muestran una relación lineal, nos gustaría dibujar una línea en el diagrama de dispersión. Esta línea se calcula mediante un proceso denominado regresión lineal. Sin embargo, solo calculamos una línea de regresión si una de las variables explica o predice la otra variable. Si la x es la variable independiente, mientras que la y es la variable dependiente, podemos utilizar una línea de regresión para predecir la y para un valor dado de la x

### Repaso del capítulo

Los diagramas de dispersión son especialmente útiles cuando queremos ver si existe una relación lineal entre los puntos de datos. Indican tanto la dirección de la relación entre las variables x y las variables y, como la fuerza de la relación. Calculamos la fuerza de la relación entre una variable independiente y una variable dependiente mediante una regresión lineal.

### Tarea para la casa


# Regresión lineal y correlación

## La ecuación de regresión

Los datos rara vez se ajustan exactamente a una línea recta. Por lo general, hay que conformarse con predicciones aproximadas. Normalmente, se tiene un conjunto de datos cuyo diagrama de dispersión parece "ajustarse" a una línea recta. Esto se llama línea de mejor ajuste o línea de mínimos cuadrados.
La puntuación del tercer examen, x, es la variable independiente y la puntuación del examen final, y, es la variable dependiente. Trazaremos la línea de regresión que mejor se "ajuste" a los datos. Si cada uno de ustedes ajustara una línea "a ojo", trazarían líneas diferentes. Podemos utilizar lo que se llama una línea de regresión por mínimos cuadrados para obtener la línea de mejor ajuste.
Considere el siguiente diagrama. Cada punto de los datos tiene la forma (x, y) y cada punto de la línea de mejor ajuste utilizando la regresión lineal por mínimos cuadrados tiene la forma (x, ŷ).
La ŷ se lee "estimador de , a la vez que es el valor estimado de . Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. Generalmente no es igual a la y de los datos.

El término y0 – ŷ0 = ε0 se denomina "error" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y, además del valor estimado de y. En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea.
Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y. Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y.
En el diagrama de la , y0 - ŷ0 = ε0 es el residual del punto mostrado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo.
ε = la letra griega épsilon
Para cada punto de datos, puede calcular los residuales o errores, yi - ŷi = εi para i = 1, 2, 3, ..., 11.
Cada |ε| es una distancia vertical.
Para el ejemplo de las puntuaciones del tercer examen y del examen final de los 11 estudiantes de Estadística, hay 11 puntos de datos. Por lo tanto, hay 11 valores ε. Si se eleva al cuadrado cada ε y se suma, se obtiene

Esto se denomina suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE).
Utilizando el cálculo, puede determinar los valores de a y b que hacen que la SSE sea un mínimo. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación:

donde
  y
 .
Las medias muestrales de los valores x y los valores y son
  y
 , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto
 .
La pendiente b puede escribirse como
  donde s = la desviación típica de los valores de y y s = la desviación típica de los valores x. r es el coeficiente de correlación, que se analiza en la siguiente sección.

### Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste

El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina regresión lineal. La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina  línea de regresión por mínimos cuadrados .

EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL:
El gráfico de la línea de mejor ajuste para el ejemplo del tercer examen o examen final es el siguiente:
La línea de regresión de mínimos cuadrados (línea de mejor ajuste) para el ejemplo del tercer examen o examen final viene dada por la ecuación:

### ENTENDER LA PENDIENTE

La pendiente de la línea, b, describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo.

INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE: La pendiente de la línea de mejor ajuste nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x), en promedio.
EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINALPendiente: La pendiente de la línea es b = 4,83. Interpretación: Por un aumento de un punto en la puntuación del tercer examen, la puntuación del examen final aumenta en 4,83 puntos, en promedio.

### El coeficiente de correlación r

Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre x y y.
El coeficiente de correlación, , desarrollado por Karl Pearson a principios del siglo XX, es numérico y proporciona una medida de la fuerza y la dirección de la asociación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y.

El coeficiente de correlación se calcula como

donde n = el número de puntos de datos.
Si se sospecha que existe una relación lineal entre x y y, entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal.
Lo que nos dice el VALOR de

Lo que nos dice el SIGNO de

La fórmula de r parece formidable. Sin embargo, las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente r. El coeficiente de correlación r es el elemento inferior de las pantallas de salida de LinRegTTest en las calculadoras TI-83, TI-83+ o TI-84+ (vea la sección anterior para las instrucciones).

### El coeficiente de determinación

La variable  coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos:
1.
, cuando se expresa en porcentaje, representa el porcentaje de variación de la variable dependiente (predicha) y que puede explicarse por la variación de la variable independiente (explicativa) x utilizando la línea de regresión (de mejor ajuste).
2. 1 – , cuando se expresa como porcentaje, representa el porcentaje de variación en y que NO se explica por la variación en x utilizando la línea de regresión. Esto puede verse como la dispersión de los puntos de datos observados en torno a la línea de regresión.
Considere el ejemplo del tercer examen o examen final introducido en la sección anterior

### Repaso del capítulo

Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados "errores", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y. La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos.
El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y. La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r2, es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r2 representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares).

### Tarea para la casa


# Regresión lineal y correlación

## Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, r, nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre la x y la y. Sin embargo, la fiabilidad del modelo lineal también depende del número de puntos de datos observados en la muestra. Tenemos que observar tanto el valor del coeficiente de correlación r como el tamaño de la muestra n, conjuntamente.
Realizamos una prueba de hipótesis de la "significación del coeficiente de correlación" para decidir si la relación lineal en los datos de la muestra es lo suficientemente fuerte como para utilizarla para modelar la relación en la población.
Los datos de la muestra se utilizan para calcular r, el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r, es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido.
1. El símbolo del coeficiente de correlación de la población es ρ, la letra griega "rho".
2. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido)
3. r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra)
La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n.
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo".

Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”.

### COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS

1.  Hipótesis nula:
2. Hipótesis alternativa:
SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS:
1. Hipótesis nula  El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población.
2. Hipótesis alternativa  El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población.
SACAR UNA CONCLUSIÓN:Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.
1. Método 1: Utilizar el valor
2. Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos
En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05

### MÉTODO 1: Utilizar un valor p para tomar una decisión

2. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
3. Conclusión: "Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero".
2. Decisión: NO RECHAZAR la hipótesis nula.
3. Conclusión: "No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación NO es significativamente diferente de cero".
2. Utilizará la tecnología para calcular el valor p. A continuación se describen los cálculos para estimar los estadísticos de prueba y el valor p:
3. El valor p se calcula mediante una distribución t con n – 2 grados de libertad.
4.   La fórmula para el estadístico de prueba es
 . El valor del estadístico de prueba, t, se muestra en la salida de la computadora o de la calculadora junto con el valor p. El estadístico de prueba t tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación r.
5. El valor p es el área combinada en ambas colas.
Otra manera de calcular el valor p (p) dado por LinRegTTest es el comando 2*tcdf(abs(t),10^99, n-2) en 2nd DISTR.
2. Considere el ejemplo del tercer examen/examen final.
3. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos.
4. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor
H: ρ = 0
H: ρ ≠ 0
α = 0,05
1. El valor p es de 0,026 (a partir de la prueba LinRegTT en su calculadora o del software).
2. El valor p, 0,026, es inferior al nivel de significación de α = 0,05.
3. Decisión: Rechazar la hipótesis nula H
4. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la nota del tercer examen (x) y la nota del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero.
Como

### MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión.

Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de . Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción.

### EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico

Considere el ejemplo del tercer examen/examen final. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (

1. H: ρ = 0
2.  H: ρ ≠ 0
3. α = 0,05
1. Utilice la tabla del "valor crítico al 95 %" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9.
2. Los valores críticos son -0,602 y +0,602
3. Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo.
4. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
5. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen (x) y la calificación del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero.
Como

### Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación

La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población.
La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite
2. Existe una relación lineal en la población que modela el valor promedio de la y para valores variables de la x. En otras palabras, el valor esperado de la y para cada valor en particular se encuentra en una línea recta en la población. (No conocemos la ecuación para la línea en la población. Nuestra línea de regresión de la muestra es nuestra mejor estimación de esta línea en la población).
3.  Los valores de la y para cualquier valor en particular de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea. Esto implica que hay más valores de la y dispersos cerca de la línea que los que están más lejos. El supuesto (1) implica que estas distribuciones normales están centradas en la línea: las medias de estas distribuciones normales de los valores de la y se encuentran en la línea.
4.  Las desviaciones típicas de los valores de la y de la población en torno a la línea son iguales para cada valor de la x. En otras palabras, cada una de estas distribuciones normales de los valores de la y tiene la misma forma y dispersión sobre la línea.
5. Los errores residuales son mutuamente independientes (sin patrón).
6. Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.

### Repaso del capítulo

La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son:
1. Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x.
2. Independiente Se supone que los residuales son independientes.
3. Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x.
4. Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x.
5. Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.
La pendiente  y la intersección  de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y, σ, utilice la desviación típica de los residuales, s.
 . La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H0: ρ = valor hipotetizado, utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H0: ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest).

### Revisión de la fórmula

Línea de mínimos cuadrados o línea de mejor ajuste:

donde
a = intersección en y
b = pendiente
Desviación típica de los residuales:

donde
SSE = suma de errores al cuadrado
n = el número de puntos de datos


# Regresión lineal y correlación

## Predicción

Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final.
Examinamos el diagrama de dispersión y mostramos que el coeficiente de correlación es significativo. Hallamos la ecuación de la línea de mejor ajuste para la calificación del examen final como una función de la calificación del tercer examen. Ahora podemos utilizar la línea de regresión por mínimos cuadrados para la predicción.
Suponga que quiere estimar, o predecir, la calificación media del examen final de los estudiantes de Estadística que obtuvieron 73 en el tercer examen. Las calificaciones del examen (valores  oscilan entre 65 y 75.  Dado que 73 está entre los valores de , sustituya x = 73 en la ecuación. Entonces:
Predecimos que los estudiantes de Estadística que obtienen una calificación de 73 en el tercer examen obtendrán una calificación de 179,08 en el examen final, en promedio.

### Referencias

Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades.
Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia.
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.html
Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud.

### Repaso del capítulo

Después de determinar la presencia de un fuerte coeficiente de correlación y calcular la línea de mejor ajuste, puede utilizar la línea de regresión de mínimos cuadrados para hacer predicciones sobre sus datos.
Utilice la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un minorista de productos electrónicos utilizó la regresión para hallar un modelo sencillo que prediga el crecimiento de las ventas en el primer trimestre del nuevo año (de enero a marzo). El modelo es válido para 90 días, donde x es el día. El modelo puede escribirse como sigue:
ŷ = 101,32 + 2,48x donde ŷ está en miles de dólares.
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Una compañía de jardinería es contratada para cortar el césped de varios inmuebles grandes. El área total combinado de los inmuebles es de 1.345 acres. El ritmo al que una persona puede cortar el césped es el siguiente:
ŷ = 1350 - 1,2x donde x es el número de horas y ŷ representa el número de acres que quedan por cortarles el césped.
La  contiene datos reales de las dos primeras décadas de notificación de casos de gripe.

### Tarea para la casa


# Regresión lineal y correlación

## Valores atípicos

En algunos conjuntos de datos, hay valores (puntos de datos observados), llamados valores atípicos. Los valores atípicos son puntos de datos observados que se alejan de la línea de mínimos cuadrados. Tienen grandes "errores", donde el "error" o residual es la distancia vertical de la línea al punto.
Los valores atípicos deben examinarse de cerca. A veces, por una u otra razón, no deben incluirse en el análisis de los datos. Es posible que un valor atípico sea el resultado de datos erróneos. Otras veces, un valor atípico puede contener información valiosa sobre la población estudiada y debe seguir incluyéndose en los datos. La clave está en examinar cuidadosamente las causas de que un punto de datos sea un valor atípico.
Además de los valores atípicos, una muestra puede contener uno o varios puntos que se denominan puntos influyentes. Se trata de puntos de datos observados que están alejados de los demás en la dirección horizontal. Estos puntos pueden tener un gran efecto en la pendiente de la línea de regresión. Para empezar a identificar un punto influyente, puede eliminarlo del conjunto de datos y ver si la pendiente de la línea de regresión cambia significativamente.
Se pueden utilizar computadoras y muchas calculadoras para identificar los valores atípicos de los datos. Los resultados de computadoras del análisis de regresión identifican tanto los valores atípicos como los puntos influyentes para que pueda examinarlos.

### Identificar los valores atípicos

Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico.  Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste. La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores.
Podemos hacerlo visualmente en el diagrama de dispersión al dibujar un par de líneas adicionales que estén dos desviaciones típicas por encima y por debajo de la línea de mejor ajuste. Todos los puntos de datos que se encuentren fuera de este par de líneas adicionales se marcan como posibles valores atípicos. Alternativamente, podemos hacerlo numéricamente, al calcular cada residual y compararlo con el doble de la desviación típica. En la TI-83, 83+ u 84+, el enfoque gráfico es más fácil. En primer lugar se muestra el procedimiento gráfico, seguido de los cálculos numéricos. Por lo general, solo tendrá que utilizar uno de estos métodos.

### Identificación numérica de los valores atípicos

En la , las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores ŷ predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: ŷ = -173,5 + 4,83x. Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor y observado - valor y predicho = y - ŷ.
s es la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε donde n = el número total de puntos de datos. Si se calcula cada residual, se eleva al cuadrado y se suman los resultados, se obtiene la suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE). La desviación típica de los residuales se calcula a partir de la SSE como:

En vez de calcular el valor de s nosotros mismos, podemos calcular s con la computadora o la calculadora. Para este ejemplo, la función de la calculadora LinRegTTest calculó s = 16,4 como la desviación típica de los residuales .
Buscamos todos los puntos de datos cuyo residual sea mayor que 2s = 2(16,4) = 32,8 o menor que –32.8. Compare estos valores con los residuales de la cuarta columna de la tabla. El único dato de este tipo es el del estudiante que tuvo una nota de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; el residual de este estudiante es 35.

### ¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste?

Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje.
Calcule una nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación con los diez puntos restantes:
En las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+, elimine el valor atípico de L1 y L2. Con la función LinRegTTest, la nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121
La nueva línea con r = 0,9121 es una correlación más fuerte que la original (r = 0,6631) porque r = 0,9121 está más cerca de uno. Esto significa que la nueva línea se ajusta mejor a los diez valores de datos restantes. La línea puede predecir mejor la puntuación del examen final, dada la puntuación del tercer examen.

### Identificación numérica de valores atípicos: Calcular s y buscar valores atípicos manualmente

Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente.  Primero, eleve al cuadrado cada |
Las potencias al cuadrado son:

A continuación, añada (sume) todos los términos | mediante la fórmula:

  (Recordemos que yi – ŷi = εi).
= 352 + 172 + 162 + 62 + 192 + 92 + 32 + 12 + 102 + 92 + 12
 = 2440 = SSE. El resultado, SSE, es la suma de errores al cuadrado.
A continuación, calcule
El cálculo es .
Para el problema del tercer examen o examen final: .
A continuación, multiplique s por 2: (2)(16,47) = 32,94 32,94 está 2 desviaciones típicas lejos de la media de los valores y - ŷ.
Si midiéramos la distancia vertical desde cualquier punto de datos hasta el punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera de al menos 2s, entonces consideraríamos que el punto de datos está "demasiado lejos" de la línea de mejor ajuste. A ese punto lo llamamos un potencial valor atípico.
Para el ejemplo, si alguno de los valores de y – ŷ| es al menos 32,94, el punto de datos correspondiente (x, y) es un posible valor atípico.
Para el problema del tercer examen o examen final, todos los |y – ŷ| son menores que 31,29, excepto el primero que es 35.
35 > 31,29 Es decir, |y – ŷ| ≥ (2)(s)
El punto que corresponde a |y – ŷ| = 35 es (65, 175). Por lo tanto, el punto de datos (65, 175) es un potencial valor atípico. Para este ejemplo, lo borraremos. (Recuerde que no siempre eliminamos un valor atípico).
El siguiente paso es calcular una nueva línea de mejor ajuste con los diez puntos restantes. La nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121

### Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra

### Referencias

Datos de la Comisión de Medios y Arbitrios de la Cámara de Representantes, el Departamento de Salud y Servicios Humanos.
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.
Datos del Manual de Médico, 1990.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.

### Repaso del capítulo

Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones:
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69.

### Tarea para la casa

### Resúmalo todo.

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El costo de un detergente líquido líder en el mercado en diferentes tamaños se indica en la .


# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía

## Introducción

Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos.
Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F, utilizada para el ANOVA de una vía, y la prueba de dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. Estudiará este tema con mucho más detalle en futuros cursos de Estadística. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.


# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía

## ANOVA de una vía

El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos:
1. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
2. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
3.  Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
4. El factor es una variable categórica.
5. La respuesta es una variable numérica.

### Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k:
H: μ1 = μ2 = μ3 = ... = μ
H: Al menos dos de las medias del grupo μ1, μ2, μ3, ..., μ no son iguales. Es decir, μ ≠ μ para algún i ≠ j.
Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H: μ = μ = μ y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones.
Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde).

### Repaso del capítulo

El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
3. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
4. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son?

### Tarea para la casa