# Geometría analítica

## La elipse

### Objetivos de aprendizaje

1. Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)
2. Grafique un círculo. (IA 11.1.4)

### Objetivo 1: Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)

¿Pero qué ocurre si tenemos que resolver una ecuación en la que el trinomio no es un cuadrado perfecto?
Por ejemplo, ? Para este tipo de ecuaciones, podemos utilizar un proceso llamado completar el cuadrado.
Recuerde .
Podemos utilizar el patrón de los cuadrados binomiales para hacer un cuadrado perfecto.

### La práctica hace la perfección

Determine qué número habría que sumar a los términos dados para crear un trinomio cuadrado perfecto. Entonces reescriba como un binomio al cuadrado.

### Objetivo 2: Grafique un círculo. (IA 11.1.4)

Un círculo son todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto determinado del plano. El punto dado recibe el nombre de centro, (h, k) y la distancia fija se denomina radio, r, del círculo.

La forma estándar o gráfica de la ecuación de un círculo con centro, (h, k) y radio, r, es .
La forma general de la ecuación de un círculo es . Si nos dan una ecuación en forma general, podemos cambiarla a la estándar, también llamada forma gráfica, completando los cuadrados de la x y la y. Entonces podemos graficar el círculo usando su centro y su radio.

### La práctica hace la perfección

¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la , es una de esas salas.Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014. Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.

### Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la .
Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos
  en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la .
Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la .
En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y. Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas.
Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos.

### Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos
  y
  La elipse es el conjunto de todos los puntos
  tal que la suma de las distancias a los focos
  es constante, como se muestra en la .
Si los valores de
  es un vértice de la elipse, la distancia desde
  al
  es
  La distancia de
  al
  es
 . La suma de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de
  es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:
Por la definición de una elipse,
  es constante para cualquier punto
  en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es
  para el vértice
  Se deduce que
  para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica.
Así, la ecuación estándar de una elipse es
  Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de
  la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si
  la elipse se estira más en la dirección vertical.

### Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.
Las características clave de la elipse son su centro, vértices, covértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

### Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse
  unidades en horizontal y
  unidades verticalmente, el centro de la elipse será
  Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con
  sustituido por
  y y se sustituye por

###  Graficar elipses centradas en el origen

Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar
  para las elipses horizontales y
  para las elipses verticales.

### Graficar elipses no centradas en el origen

Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto,
    utilizamos las formas estándar
    para las elipses horizontales y
    para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

### Resolver problemas aplicados con elipses

Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la . En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una elipse es el conjunto de todos los puntos
   en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
2. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el  y el .
3. Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el  y el .
4. Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el  y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.
En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula

###  Aplicaciones en el mundo real


# Geometría analítica

## La hipérbola

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)
2. Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)

### Objetivo 1: Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)

### La práctica hace la perfección

Utilizar la fórmula de distancia.

### Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)

La hipérbola son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos recibe el nombre de foco de la hipérbola.
La línea que pasa por los focos se denomina eje transversal. Los dos puntos donde el eje transversal interseca a la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se denomina eje conjugado. Cada parte del gráfico se llama rama de la hipérbola.
Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de  no siempre es  y el denominador de  no siempre es .
Observe que cuando el término  es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término  es positivo, el eje transversal está en el eje y.

### La práctica hace la perfección

 Graficar una hipérbola con centro en (0,0).

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la .
La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica.

### Localización de los vértices y focos de una hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la .
Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos
  en un plano tal que la diferencia de las distancias entre
  y los focos es una constante positiva.
Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.
Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la .
En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y. Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen.

### Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen

Supongamos que
  y
  son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos
  de manera que la diferencia de las distancias de
  a los focos es constante. Vea la .
Si los valores de
  es un vértice de la hipérbola, la distancia de
  al
  es
  La distancia de
  al
  es
  La diferencia de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de
  es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables:
Por definición de una hipérbola,
  es constante para cualquier punto
  en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es
  para el vértice
  Se deduce que
  para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses.
Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices
  y covértices

### Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen.

### Hipérbolas centradas en el origen

Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en
  vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación
  Observe que esta ecuación también se puede reescribir como
  Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices.

### Hipérbolas no centradas en el origen

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola
  unidades en horizontal y
  unidades en vertical, el centro de la hipérbola será
  Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con
  sustituido por
  y de
  sustituido por

Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto
  tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación
  Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos.

###  Graficar hipérbolas centradas en el origen

Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar
  para las hipérbolas horizontales y la forma estándar
  para las hipérbolas verticales.

###  Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Graficar hipérbolas centradas en un punto
  distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar
  para las hipérbolas horizontales y
  para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.

### Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la . Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho!
Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el  utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos
  en un plano tal que la diferencia de las distancias entre
  y los focos es una constante positiva.
2. La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el .
3. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el  y el .
4. Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el  y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con
  en función de
  Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes.

###  Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada.


# Geometría analítica

## La parábola

### Objetivos de aprendizaje

1. Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)
2. Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)

### Objetivo 1: Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)

Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.

Anteriormente, aprendimos a graficar parábolas verticales a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Estos métodos también funcionan aquí.

### La práctica hace la perfección

Representar gráficamente las parábolas verticales.

### Objetivo 2: Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)

Nuestro trabajo hasta ahora solo se ha ocupado de parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones de las parábolas abiertas a la izquierda o a la derecha.

### La práctica hace la perfección

Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: "Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar".
El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética.

### Graficar parábolas con vértices en el origen

En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola. Vea la .
Al igual que la elipse y la hipérbola, la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos
       en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
En Funciones cuadráticas, aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la . Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco.
El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum. Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia
  del foco a cualquier punto
  en la parábola es igual a la distancia de
     a la directriz.
Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero.
Supongamos que
     sea un punto de la parábola con vértice
     foco
     y directriz
  como se muestra en la . La distancia
  desde el punto
     al punto
  en la directriz es la diferencia de los valores y:
     La distancia del foco
  al punto
     también es igual a
    , y se puede expresar mediante la fórmula de distancia.
Establezca las dos expresiones para
     iguales entre sí y resuelva para
     para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de
     al
     es igual a la distancia de
     al

A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares.
Las ecuaciones de las parábolas con vértice
     son
     cuando el eje x es el eje de simetría y
     cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.
Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la . Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola.
Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la .

###  Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar

En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales.

### Graficar parábolas con vértices que no están en el origen

Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola
       unidades en horizontal y
       unidades en vertical, el vértice será
       Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con
       sustituido por
       y de
       sustituido por

Para graficar parábolas con un vértice
       que no sea el origen, utilizamos la forma estándar
       para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y
       para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.

### Resolver problemas aplicados con parábolas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la . Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.
Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una parábola es el conjunto de todos los puntos
         en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
2. La forma estándar de una parábola con vértice
         y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de
         la parábola se abre a la derecha. Si los valores de
         la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
3. La forma estándar de una parábola con vértice
         y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de
         la parábola se abre. Si los valores de
         la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
4. Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el .
5. La forma estándar de una parábola con vértice
         y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de
         la parábola se abre a la derecha. Si los valores de
         la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
6. La forma estándar de una parábola con vértice
         y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de
         la parábola se abre. Si los valores de
         la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
7. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

###  Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice
         foco
         y directriz
  de la parábola.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico.
En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación.

###  Aplicaciones en el mundo real


# Geometría analítica

## Rotación de ejes

### Objetivos de aprendizaje

1. Uso de fórmulas de rotación de ejes.
2. Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)

### Objetivo 1: Uso de fórmulas de rotación de ejes.

Si un punto
 en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo
 del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son

Las siguientes fórmulas de rotación de ejes definen la relación entre (x,y) y (x’,y’):

### La práctica hace la perfección

Uso de fórmulas de rotación de ejes:

### Objetivo 2: Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)

Podemos identificar una sección cónica a partir de sus ecuaciones al observar los signos y coeficientes de las variables que se elevan al cuadrado.

### La práctica hace la perfección

Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones.

Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono. La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la .
Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas, en contraste con las secciones cónicas degeneradas, que se muestran en la . La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan.

### Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general

En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación.
donde
    y
    no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada.
Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término
    que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término
    rota la sección cónica siempre que
  no sea igual a cero.

### Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado

Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término
     que alinee los gráficos con los ejes x y y. Cuando añadimos un término
    , rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo
     entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones:
     en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y
  en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y'. Vea la .
Hallaremos las relaciones entre
     y
     en el plano cartesiano con
     y
     en el nuevo plano rotado. Vea la .
Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios
     y
     Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios
     y
     El ángulo
     se conoce como el ángulo de rotación. Vea la . Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales.
Considere un vector en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas.
Debido a que
     tenemos representaciones de
     y
     en términos del nuevo sistema de coordenadas.

### Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar

Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma
    en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de
    y
    sin
   , rotando los ejes en una medida de
    que satisfaga
Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado
donde
    y
    no son todos cero. Sin embargo, si
    entonces tenemos un término
    que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo
    donde

###  Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación

Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es
Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma
Se puede demostrar que
    La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante. El discriminante,
    es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola.
2. Una sección cónica no degenerada tiene la forma general
  	   donde
  	   y
  	   no son todos cero. Los valores de
  	   y
  	   determinan el tipo de sección cónica. Vea el .
3. Las ecuaciones de secciones cónicas con un término
  	   se han girado alrededor del origen. Vea el .
4. La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas
  	   y
  	   sin
  	  . Vea el  y el .
5. Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada.
En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo
     que eliminará el término
     y escriba la ecuación correspondiente sin el término
    .

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema
     en el que la ecuación no tiene el término
    .
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término
    . A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de
     con base en la ecuación dada.


# Geometría analítica

## Secciones cónicas en coordenadas polares

La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas.
En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.

### Identificar una sección cónica en forma polar.

Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola
       que se muestra en la .
En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco
       en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
Si los valores de
       es un punto fijo, el foco, y
       es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que
       sea un número fijo positivo, llamado excentricidad, que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos
       de manera que
       es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos
       con la propiedad de que la relación de la distancia de
       con
       con la distancia de
       con
       es igual a la constante

Para una cónica con excentricidad

1. si
     la cónica es una elipse
2. si
     la cónica es una parábola
3. si
     la cónica es una hipérbola
Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz,
       la excentricidad
       y el ángulo
       Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar, una ecuación escrita en términos de
       y

###  Graficar las ecuaciones polares de las cónicas

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar
       y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de
       y resolver para
       para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que
       igual a
       y
       proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.

###  Definir cónicas en términos de un foco y una directriz

Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

### Conceptos clave

1. Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco
         en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
2. Una cónica es el conjunto de todos los puntos
         donde la excentricidad
         es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el .
3. Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el , el  y el .
4. Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el  y el .
5. Podemos utilizar las identidades
  y
  para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

###  Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas.

###  Extensiones

Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término
         han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con
         en función de

### Ejercicios de repaso del capítulo

### La elipse

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse.

### La hipérbola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola.

### La parábola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

### Rotación de ejes

En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo
         que eliminará el término
        , y escriba la ecuación correspondiente sin el término
        .
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema
         en el que la ecuación no tiene el término
        .

### Secciones cónicas en coordenadas polares

En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo
       que eliminará el término
      .
En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema
       sin el término
      , y exprese el gráfico rotado.
En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Introducción

Un ganador de la lotería tiene que tomar algunas decisiones importantes sobre qué hacer con las ganancias. ¿Comprar una casa nueva? ¿Un descapotable de lujo? ¿Un crucero alrededor del mundo?
La probabilidad de ganar la lotería es escasa, pero a todos nos encanta fantasear con lo que podríamos comprar con las ganancias. Una de las primeras decisiones que tiene que tomar el ganador de la lotería es si va a recibir el premio en forma de pago único o en una serie de pagos regulares, llamados anualidades, durante un largo periodo.
Esta decisión se basa en muchos factores, como las implicaciones fiscales, los tipos de interés y las estrategias de inversión. También hay que tener en cuenta los motivos personales a la hora de elegir, y se pueden dar muchos argumentos para cualquiera de las dos decisiones. Sin embargo, la mayoría de los ganadores de la lotería optan por el pago único.
En este capítulo exploraremos las matemáticas que están detrás de este tipo de situaciones. Analizaremos en profundidad las anualidades. También veremos la rama de las matemáticas que nos permitiría calcular el número de formas de elegir los números de la lotería y la probabilidad de ganar.


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias y sus notaciones

### Objetivos de aprendizaje

1. Escribir los primeros términos de una secuencia (IA 12.1.1)
2. Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)

### Objetivo 1: Escribir los primeros términos de una secuencia (AI 12.1.1).

Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de esa hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La dosis de 30 mg se toma en el momento t = 1 hora. ¿Qué cantidad de esta dosis queda al cabo de 1 hora? ¿2 horas? ¿3 horas? ¿4 horas?
Esta lista ordenada de números 27, 24,3, 21,87, 19,68, ... es una secuencia. Cada número en la lista es un término.

La secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo. La secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (elipsis) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números que se cuentan, entonces la secuencia es una secuencia infinita.
A menudo, al trabajar con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos  y dijimos que la expresión 2x era la regla que definía los valores en el rango.

Aunque una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En vez de escribir la función como , la escribiríamos como . El  es el , el término en la enésima posición donde n es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el enésimo término de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia.

Los términos de la secuencia general se denotan de la siguiente forma:

### La práctica hace la perfección

Escriba los primeros términos de una secuencia.

### Objetivo 2: Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)

A veces, tenemos unos cuantos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o . Para hallar el término general, buscamos patrones en los términos. A menudo, los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos.

### La práctica hace la perfección

Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la .
Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas.

### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es
La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término. Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32.
Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia.
Un tipo de fórmula es la fórmula explícita, que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia, donde
  es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el
  término.

El primer término de la secuencia es
  el segundo término es
  el tercer término es
  y así sucesivamente. El
  término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la
  potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula
  con el subíndice
  La fórmula explícita para esta secuencia es
Ahora que tenemos una fórmula para el
  término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por
  en la fórmula.
Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá
  visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales.
Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el
  término de la secuencia se muestran en la .
Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la  que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.
Por último, podemos escribir esta secuencia particular como
Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita. El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir
Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente.

### Investigar secuencias alternas

A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como
  aumenta. Veamos la siguiente secuencia.
Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.

### Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes

Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes. Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.

### Hallar una fórmula explícita

Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del
  término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases.

### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.
Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva, una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores.
Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define
  según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente:
Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término.
Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son
 .
La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores.
Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que

### Usar notación factorial

Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos.  , escrito como
  es el producto de los enteros positivos de 1 a
  Por ejemplo,
Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es
  El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por

El factorial de cualquier número natural
  es
  Por lo tanto, también podemos pensar en
  cuando

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico.
2. Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el , el  y el .
3. Una fórmula explícita para el
  término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el .
4. Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores.
5. Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia.
6. Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el  y el .
7. Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva.
8. El factorial de
  es el producto de todos los enteros de 1 a

Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial.
En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.

### En tecnología

Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica:

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia.
Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente.

Utilizando una TI-83, haga lo siguiente.

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario.

### Extensiones


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias aritméticas

### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1)
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)

### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1)

La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma.

La diferencia entre términos consecutivos, d, y se denomina diferencia común, para n mayor o igual a dos.

### La práctica hace la perfección

Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común.

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)

En la sección pasada hallamos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos hallar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.
Escribamos los primeros términos de una secuencia donde el primer término es  y la diferencia común es d. A continuación, buscaremos un patrón.
Al buscar un patrón vemos que cada término comienza con .
El primer término suma 0d a , el segundo término suma 1d, el tercer término suma 2d, el cuarto término suma 3d y el quinto término suma 4d. El número de d que se sumaron a  es uno menos que el número del término. Tenemos entonces la fórmula del término general de una secuencia aritmética.

### La práctica hace la perfección

Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética.

Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.
Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.

### Hallar diferencias comunes

Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400.
La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente.

### Escribir términos de secuencias aritméticas

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de
 y
 en la siguiente fórmula.

### Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término.

### Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.
Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.

La diferencia común es
, por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de
. Para calcular la intersección en
, restamos
 a partir de
 . También puede calcular la intersección
 al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la .
Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es
  Cuando se trata de secuencias, utilizamos
  en vez de
  y
  en vez de
  Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por
  y
  en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir
  para la pendiente y
  para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:
No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es
, que se simplifica en

### Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita

Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia.

### Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas

En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de
 en vez de
 En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula:

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común.
3. La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el .
4. Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el  y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común
  viene dada por

Vea el .
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia.
7. Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común
  viene dada por

Vea el .
8. Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el .
9. En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por

Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética
  utilizando una calculadora gráfica:

En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética
  utilizando una calculadora gráfica.

### Extensiones


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias geométricas

### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1).
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica (AI 12.3.2).

### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1)

Se denomina secuencia geométrica si el cociente entre términos consecutivos es siempre igual.

El cociente entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es r, el cociente común, donde n es mayor o igual a dos.

### La práctica hace la perfección

Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común.

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una sucesión geométrica (AI 12.3.2)

Hallemos la fórmula del término general de una secuencia geométrica.

Escribamos los primeros términos de la secuencia donde el primer término es  y la razón común es . A continuación, buscaremos un patrón.

### La práctica hace la perfección

Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica.

Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera.

### Hallar razones comunes

Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común. La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente.

### Escribir términos de secuencias geométricas

Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es
  y la razón común es
  podemos hallar los términos posteriores multiplicando
  para obtener
  y luego multiplicar el resultado
  para obtener
  y así sucesivamente.
Los cuatro primeros términos son

### Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas

Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial.

### Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas

Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares.
Veamos la secuencia
  Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es
El gráfico de la secuencia se muestra en la .

### Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas

En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de
  en vez de
  En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común.
3. La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el .
4. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el  y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común
  viene dada por
  para
 .
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el .
7. Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común
  viene dada por
  Vea el .
8. En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por

Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.

### Extensiones


# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Series y sus notaciones

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)
2. Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)

### Objetivo 1: Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)

Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, 1 + 6 + 11+ 16 + 21 + 26 + 31 es la suma de los siete primeros términos de la secuencia aritmética con término general,
Escribimos una serie utilizando la notación de sumatoria. Para escribir esa sumatoria, tenemos que dar con el término general de nuestra secuencia y la sumatoria se verá así:

Para la serie 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + .... la notación de sumatoria es

### La práctica hace la perfección

Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma.

### Objetivo 2: Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)

### La práctica hace la perfección

Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos.

### Usar la notación de sumatoria

Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie. Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente.
La  suma parcial a la  de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación
 representa la suma parcial.
La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma,
  para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria. El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria, que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria, es el número utilizado para generar el último término de una serie.
Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie
  para
  hasta
  Podemos empezar con la sustitución de los términos de
 y enumerar los términos de esta serie.
Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos:

### Usar la fórmula de la serie aritmética

Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común,
 La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. Podemos escribir la suma de los primeros
 términos de una serie aritmética como:
También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como
Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros
  términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros
  términos de cualquier serie aritmética.
Debido a que hay
 términos en la serie, podemos simplificar esta suma a
Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros
  términos de una serie aritmética.
Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética.

### Usar la fórmula de la serie geométrica

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común,
  Podemos escribir la suma de los primeros
  términos de una serie geométrica como
Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros
  términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por

Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.
Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para
 divida ambos lados entre

Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

### Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros
. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es

Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como
 donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge.

### Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0.
La razón común
  A medida que
  se hace muy grande, los valores de
 se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con
 se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando

Determine si la suma de la serie infinita está definida.

### Calcular sumas de series infinitas

Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros
 términos de una serie geométrica.
Examinaremos una serie infinita con
 ¿Qué pasa con
  a medida que
  aumenta?
El valor de
  disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de

A medida que
  se hace muy grande,
 se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que
  aumenta sin límites,
 se acerca a 0. A medida que
  se acerca a 0,
 se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a
  Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.
Calcule la suma, si existe.

### Solución para problemas de anualidades

Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses.
Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con
 y
 Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos.
Podemos calcular el valor de la anualidad después de
 depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros
 términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que
 Podemos sustituir
 en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años.
Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de
  Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La suma de los términos de una secuencia se llama serie.
2. Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el .
3. La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética.
4. La suma de los primeros
 términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el  y el .
5. La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica.
6. La suma de los primeros
 términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el  y el .
7. La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con

8. Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el , el  y el .
9. Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
 términos de cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
  términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior.
En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros  términos de una serie aritmética para calcular la suma.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
  términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial.
En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real