# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Vectores

Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la . ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión?
La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores.

### Visión geométrica de los vectores

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:
1. Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo

2. Dado el punto inicial
  y punto terminal
  un vector se puede representar como
  La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido.
3. Dado un punto inicial de
  y punto terminal
  un vector se puede representar como

Este último símbolo
  tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial
  y un punto terminal
  Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y. Por lo tanto, si el punto inicial de un vector
  es
  y el punto terminal es
  entonces el vector de posición se halla calculando
En la  vemos el vector original
  y el vector de posición

### Hallar la magnitud y la dirección

Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.

### Realizar suma de vectores y multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector
  como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto
  los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores  y , o suma de vectores, produce un tercer vector + , el vector resultante.
Para calcular  + , primero dibujamos el vector , y desde el punto terminal de , dibujamos el vector . Es decir, tenemos que el punto inicial de  se encuentra con el punto terminal de . Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma  +  es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de  hasta el final de  en una trayectoria recta, como se muestra en .
La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar  − , véalo como  + (−). Para sumar - se invierte el sentido de  sumarlo al extremo de . El nuevo vector comienza en el inicio de  y se detiene en el punto final de -. Ver  para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos.

### Multiplicar por un escalar

Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.

### Hallar la forma en componentes

En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección
  y el componente vertical es la dirección
 . Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la  que el vector de posición
  resulta de sumar los vectores 1 y 2. Tenemos 1 con punto inicial
  y punto terminal

También tenemos 2 con punto inicial
  y punto terminal

Por lo tanto, el vector de posición es
Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de 1 es 2, y la magnitud de 2 es 3. Para hallar la magnitud de , utilice la fórmula con el vector de posición.
La magnitud de  es
  Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente

Así, la magnitud de es
  y la dirección es
  de la horizontal.

### Hallar el vector unitario en la dirección de v

Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.
Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como
  y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como
  y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la .

### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de  y .

### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Cuando los vectores se escriben en términos de y podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.

### Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección

Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando
  Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.
El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con sustituyendo a

### Calcular el producto punto de dos vectores

Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.
El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar.

### Conceptos clave

1. El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el .
2. Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el .
3. Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el .
4. Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el .
5. La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el .
6. La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el  y el .
7. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el .
8. El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud.
9. La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es
  Ver el .
10. En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de   y   donde representa el componente horizontal y representa el componente vertical. Entonces,  = a + b es un múltiplo escalar de por números reales
  Vea el  y el .
11. Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j. Vea el .
12.  Un vector v = a + b se escribe en términos de magnitud y dirección como

Vea el .
13. El producto punto de dos vectores es el producto de los términos  más el producto de los términos . Vea el .
14. Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores.  y .
15. Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores y son iguales, donde tiene un punto inicial
  y un punto terminal
  y   tiene un punto inicial
  y un punto terminal
 .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores  =  + 5,  = −2− 3, y  = 4 − .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular  + ,  −  y 2 − 3.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector,

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dados dibuje 3 y

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo  + ,  −  y 2.

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2 + .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar  − 3.
En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente.

### Aplicaciones en el mundo real

### Ejercicios de repaso del capítulo

### Triángulos no rectos: ley de senos

En los siguientes ejercicios, supongamos que
  es el lado opuesto
  es el lado opuesto
  y
  es el lado opuesto
  Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Triángulos no rectos: ley de cosenos

### Coordenadas polares

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.

### Coordenadas polares: gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.

### Forma polar de números complejos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.
Escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, halle el producto
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, halle el cociente
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.
En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

### Ecuaciones paramétricas

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro
  para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.

### Ecuaciones paramétricas: gráficos

En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.

### Vectores

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, y son iguales, donde tiene un punto inicial
  y un punto terminal
  y tiene un punto inicial
  y un punto terminal

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores y para evaluar la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.
En los siguientes ejercicios, calcule

### Prueba de práctica

Dados
  y
  evalúe cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores  =  − 3 y  = 2 + 3.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Introducción

Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales militares y de inteligencia británicos reconocieron que para derrotar a la Alemania nazi era necesario que los aliados supieran lo que el enemigo estaba planeando. Esta tarea se complicó por el hecho de que los militares alemanes transmitían todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente indescifrable, creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes llevaban codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930, y confiaban tanto en su seguridad que la utilizaban tanto para las comunicaciones militares cotidianas como para los mensajes estratégicos de gran importancia. Preocupadas ante la creciente amenaza militar, otras naciones europeas comenzaron a trabajar para descifrar los códigos Enigma. Polonia fue el primer país en realizar avances significativos cuando formó y reclutó a un nuevo grupo de descifradores de códigos: los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Poznań. Con la ayuda de la información obtenida por los espías franceses, los matemáticos polacos, dirigidos por Marian Rejewski, lograron descifrar los códigos iniciales y, más tarde, comprender el cableado de las máquinas; finalmente, crearon réplicas. Sin embargo, los militares alemanes acabaron por aumentar la complejidad de las máquinas añadiendo rotores adicionales, lo que requirió un nuevo método de descifrado.
La máquina unía las letras de un teclado a tres, cuatro o cinco rotores (según la versión), cada uno con 26 posiciones iniciales que podían fijarse antes de la codificación; un código de descifrado (llamado clave de cifrado) transmitía esencialmente estas configuraciones al destinatario del mensaje, y permitía interpretar el mensaje utilizando otra máquina Enigma. Incluso con el codificador de tres rotores más sencillo, había 17.576 combinaciones diferentes de posiciones de salida (26 x 26 x 26); además, la máquina tenía otros numerosos métodos para introducir variaciones. Poco después del comienzo de la guerra, los británicos reclutaron un equipo de extraordinarios descifradores de códigos para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos, dirigidos por Alan Turing, utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la victoria final de los Aliados sobre la Alemania nazi en 1945.
La máquina Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso que se conoce. Es un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital.
Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que calcular la inversa de una matriz suele formar parte del proceso de descodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor debe conocer también la clave que, al utilizarla con la matriz inversa, permitirá leer el mensaje.
En este capítulo investigaremos sobre las matrices y sus inversas, y varias formas de utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones en sí mismos: lineales y no lineales, y luego las fracciones parciales. Aquí no vamos a descifrar ningún código secreto, pero sí vamos a sentar las bases para futuros cursos.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1)
2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)

### Objetivo: Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1)

Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo,

es un sistema de ecuaciones lineales

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par ordenado x,y que es una solución para cada ecuación del sistema.

### La práctica hace la perfección

Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.

 en  y

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)

### La práctica hace la perfección

Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares.

### Introducción a los sistemas de ecuaciones

Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe.
Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y. En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente, que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema.

###  Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.

### Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.

### Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma

Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.

### Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables

Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección
 . Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como

### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables

Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como

###  Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias

Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación
  donde
  cantidad y
  precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la .
La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la . El eje
  representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares.
El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio. Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero.
La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como
  Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios.

### Conceptos clave

1. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente.
2. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el .
3. Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
4. Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el .
5. Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el .
6. Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el .
7. A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el , el  y el .
8. Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el .
9. La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el .
10. Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de
  y
  donde
  son números distintos de cero. Observe que
  y

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada.
En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1)

2. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)

### Objetivo 1: Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1)

Una ecuación lineal con tres variables donde a, b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma . El gráfico de una ecuación lineal con tres variables es un plano.

Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es un conjunto de ecuaciones lineales con tres variables. Por ejemplo,

es un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. La solución está representada por un triple ordenado (x,y,z).

### La práctica hace la perfección

Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.

### Objetivo 2: Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenemos muchas soluciones posibles.

Las soluciones se resumen en la siguiente tabla.

### La práctica hace la perfección

Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo?
Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización.

### Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución
  lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:
La tercera ecuación se puede resolver para
  y luego volvemos a sustituir para hallar
  y
  Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:
1. Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
2. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.
El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado
  Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.

### Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo
  o alguna otra contradicción.

### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.

### Conceptos clave

1. Un conjunto de soluciones es un triple ordenado
  que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el .
2. Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el .
3. Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el .
4. Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el .
5. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar.
6. Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el .
7. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea.

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para
  y

### Aplicaciones en el mundo real


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

### Objetivos de aprendizaje

1. Graficar una parábola (IA 11.2.1)
2. Graficar un círculo (IA 11.1.4)

### Objetivo 1: Graficar una parábola (IA 11.2.1)

Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Graficar un círculo (IA 11.1.4)

Cualquier ecuación de la forma  es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio. A continuación, podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangulares utilizando el centro y el radio.

### La práctica hace la perfección

Grafique un círculo.
El cometa Halley () orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.

### Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma
 Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.

###  Intersección de una parábola y una línea

Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.

### Intersección de un círculo y una línea

Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea.

### Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse.

### Graficar una inecuación no lineal

Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal.
Recordemos que cuando la inecuación es mayor que,
 o menos que,
 el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a,
 o menor que o igual a,
 el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la .

### Graficar un sistema de inecuaciones no lineales

Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible.

### Conceptos clave

1. Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el .
2. Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el .
3. Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo: (1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el .
4. Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el .
5. Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Fracciones parciales

### Objetivos de aprendizaje

1. Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)
2. Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)

### Objetivo 1: Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)

Una expresión racional es una expresión de la forma  donde p y q son polinomios y .
  son ejemplos de expresiones racionales.

### La práctica hace la perfección

Calcule el mínimo común denominador de los siguientes racionales:

### Objetivo 2: Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)

### Descomposición parcial de fracciones

Cuando sumamos expresiones racionales con denominadores distintos como  y , primero tenemos que hallar el mínimo común denominador, luego reescribir cada fracción con el denominador común y finalmente sumar los dos numeradores.

Ahora queremos hacer lo contrario.

Dada una expresión racional como  queremos reescribirla como una suma de dos expresiones racionales más simples  y . Nuestra meta es hallar los valores de A y B de manera que

En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.
Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

### Descomponer   donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.
Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:
Primero tendríamos que hallar un denominador común,

A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.
La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.
Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.
Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de
 son
 los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.

### Descomposición de    donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

### Descomposición de     donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores
   o
   que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como
   etc.

### Descomposición de      cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

### Conceptos clave

1. Descomponer
  al escribir las fracciones parciales como
  Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. La descomposición de
  con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el .
3. La descomposición de
  con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en

Vea el .
4. En la descomposición de
  donde
  tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como
Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial.
En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Matrices y operaciones con matrices

### Objetivos de aprendizaje

1. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)
2. Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar

### Objetivo 1: Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)

Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión m×n.

Cada número de la matriz se llama elemento o entrada de la matriz.

La matriz de la izquierda de abajo tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene orden 2×3. Decimos que es una matriz 2 por 3.

Utilizaremos una matriz para representar sistemas de ecuaciones.

Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes.

Una línea vertical sustituye los signos de igual.

Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.

### La práctica hace la perfección

Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada

### Objetivo 2: Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar

Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.

Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3, pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán su correspondiente entrada en la otra matriz.

La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.

### La práctica hace la perfección

Realice las operaciones indicadas

Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La  muestra las necesidades de ambos equipos.
Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento.

### Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas
 y
  se muestran a continuación.

###  Descripción de matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones:
  indicando
     filas y
     columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz
     identificada como
     buscamos la entrada en la fila
     columna
     En la matriz
     que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es

Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones
  lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz
     La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada.
Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones

Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones

Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas.

###  Suma y resta de matrices

Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.
Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz
  y otra matriz
 , pero no podemos sumar o restar una matriz
  y una matriz
  porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

### Hallar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.
Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la .
Al convertir los datos en una matriz, tenemos
Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz
       por 0,15.
Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es
Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.
Esto significa que
Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

### Calcular la multiplicación de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de
       es una matriz
  y
       es una matriz
 , entonces la matriz producto
       es una matriz
 . Por ejemplo, el producto
       es posible porque el número de columnas en
       es el mismo que el número de filas en
       Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.
Multiplicamos las entradas de
       con entradas de
       de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales.
Para obtener las entradas de la fila
       de
       multiplicamos las entradas de la fila
       de
       por columna
       en
       y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices
       y
       donde las dimensiones de
       son
       y las dimensiones de
       son
       el producto de
       será una matriz
      .
Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto

1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de
         multiplique la primera fila de
         por la primera columna de
         y sumamos.

2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de
         multiplique la primera fila de
         por la segunda columna de
         y sumamos.

3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de
         multiplique la primera fila de
         por la tercera columna de
         y sumamos.

Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de
       En otras palabras, la fila 2 de
       por la columna 1 de
       fila 2 de
       por la columna 2 de
       fila 2 de
       por la columna 3 de
       Cuando se haya culminado, la matriz producto será

### Conceptos clave

1. Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
2. Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de
  matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el .
3. Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el , el , el  y el .
4. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el .
5. La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el .
6. La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
7. La multiplicación de dos matrices,
  y
  se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de
  por cada entrada de la columna 1 de
  y multiplicar cada entrada de la fila 1 de
  por cada entrada en las columnas 2 de
  y así sucesivamente. Vea el  y el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el .
9. Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:
  )
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:
  )

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)
2. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)

### Objetivo 1: Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)

En la última sección, aprendimos a escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones.

Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada, resolveremos por eliminación realizando operaciones sobre las filas que nos lleven a la solución. Nuestro objetivo será obtener 1 en la diagonal de la matriz y todas las entradas por debajo de la diagonal deben ser ceros.

### Operaciones de fila

En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones en cualquier fila, y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.

1. Intercambie dos filas cualesquiera.
2. Multiplique una fila por cualquier número real excepto 0.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.
Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.

### La práctica hace la perfección

### Objetivo 2: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada por filas mediante operaciones de fila. En un sistema de ecuaciones consistente e independiente, la matriz aumentada está en forma escalonada por filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.

Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma escalonada por filas, podemos escribir el sistema de ecuaciones equivalente y resolver al menos una variable. A continuación, sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo las demás variables.

### La práctica hace la perfección

Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados.
La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices.

### Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
  dado.
Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:
También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes.
Un sistema de ecuaciones de tres por tres como
tiene una matriz de coeficientes
y está representada por la matriz aumentada
Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar
  para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0.

### Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

### Realizar operaciones de fila en una matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas.
Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas, en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra.
Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas.
1. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder.
2. Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz.
3. Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior.
4. Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución.
1. Filas de intercambio (notación:
  ).
2. Multiplique una fila por una constante (notación:
  ).
3. Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación:

Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas. Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.

### Conceptos clave

1. Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el .
3. Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas.
4. Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el , el  y el .
5. Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el .
6. Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el  y el .
7. Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal.
En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con inversas

### Objetivos de aprendizaje

1. Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)
2. Evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 (IA 4.6.2)

### Objetivo 1: Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)

Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la denominamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante.

### La práctica hace la perfección

Halle el determinante de las matrices 2 x 2.

### Objetivo 2: Evalúe el determinante de una matriz 3×3 (IA 4.6.2)

Para evaluar el determinante de una matriz 3 × 3, debemos ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante.

El menor de una entrada es el determinante 2×2 que se calcula al eliminar la fila y la columna en el determinante 3×3 que contiene la entrada.

Por ejemplo, hallar el menor de la entrada a1, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la primera fila y la primera columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.

Para calcular el menor de la entrada b2, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.

### Estrategia para evaluar el determinante de una matriz 3 x 3

Para evaluar un determinante 3 × 3 podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna distinta de la primera facilita a veces el trabajo.

Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos.

### Expandir por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante 3 x 3.

Para evaluar un determinante 3 × 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón:

NOTA: Podemos evaluar el determinante de una matriz expandiendo los menores a lo largo de cualquier fila o columna. Cuando una fila o una columna tiene una entrada cero, la expansión por esa fila o columna ocasiona menos cálculos.

### La práctica hace la perfección

Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del . Para recibir un rendimiento del  de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema?
Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz.

### Hallar la inversa de una matriz

Sabemos que el multiplicador inverso de un número real
       es
       y
       Por ejemplo,
       y
       El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz
       y su inversa
       es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante
       donde
       representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones.
La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo,

Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades
Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible. Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad,
       es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si
       es invertible, entonces
       es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz
       y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices
       y
 .

### Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices

Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices.

### Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad

Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz
         se transforma en
         la matriz aumentada
         se transforma en

Por ejemplo, dado
aumente
         con la identidad
Realice operaciones de fila con la meta de convertir
         en la identidad.
1. Cambie la fila 1 y la fila 2.

2. Multiplique la fila 2 por
  y sume a la fila 1.

3. Multiplique la fila 1 por
  y sume a la fila 2.

4. Sume la fila 2 a la fila 1.

5. Multiplique la fila 2 por

La matriz que hemos hallado es

### Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula

Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz
        , podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad.
Si los valores de
         es una matriz
        , de forma que
el multiplicador inverso de
         viene dado por la fórmula
donde
         Si
         entonces
         no tiene inversa.

### Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3

Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz
         para hallar la inversa de una matriz
        . En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa.
Dada una matriz

aumente
         con la matriz identidad
Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y
         a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz

Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices:
       es la matriz que representa las variables del sistema y
       es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa, consideremos que
       representa la matriz de coeficientes, consideremos que
       representa la matriz variable y que
       representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema
       Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones.
A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es
La matriz variable es
Y la matriz constante es

    Luego
       parece
Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso,
  Para resolver una sola ecuación lineal
       por
       simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de
       Así,
La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.
Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema
  y luego pasar a un sistema
 .

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Una matriz identidad tiene la propiedad

      Vea el .
2. Una matriz invertible tiene la propiedad

    Vea el .
3. Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz
      . Vea el .
4. El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el .
5. Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el .
6. Podemos aumentar una matriz
       con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el .
7. 	Escriba el sistema de ecuaciones como
       y multiplique ambos lados por la inversa de
       Vea el  y el .
8. También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz
         es la inversa de la matriz

En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz
 .
En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz
        .

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz.


# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con la regla de Cramer

### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)

### Objetivo 1: Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)

La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones.

### La práctica hace la perfección

### La práctica hace la perfección

Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por varios métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss-Jordan, utilizando la inversa de una matriz y mediante gráficos. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más adecuados en determinadas situaciones. En esta sección estudiaremos otras dos estrategias para resolver sistemas de ecuaciones.

### Evaluar el determinante de una matriz 2×2

El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección.

### Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables

Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer, esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en  Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”.. La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación.
Para entender la regla de Cramer, vamos a ver de cerca cómo resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones básicas de fila. Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables.
Eliminamos una variable mediante operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para
  Si la ecuación (2) se multiplica por el contrario del coeficiente de
  en la ecuación (1), la ecuación (1) se multiplica por el coeficiente de
  en la ecuación (2) y sumamos las dos ecuaciones, la variable
  será eliminada.
Ahora, resuelva para

Del mismo modo, resuelva para
  eliminaremos

Resuelva para
  da como resultado
Observe que el denominador de ambos
  y
  es el determinante de la matriz de coeficientes.
Podemos utilizar estas fórmulas para resolver
  y
  pero la regla de Cramer también introduce una nueva notación:
1.
  determinante de la matriz de coeficientes
2.
  determinante del numerador en la solución de

3.
  determinante del numerador en la solución de

La clave de la regla de Cramer es sustituir la columna variable de interés por la columna constante y calcular los determinantes. Podemos entonces expresar
  y
  como cociente de dos determinantes.

### Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3

Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas hacia arriba de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo.
Halle el determinante de la matriz 3×3.
1. Aumente
  con las dos primeras columnas.

2. De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: multiplique las entradas por la primera diagonal. Sume el resultado al producto de las entradas de la segunda diagonal. Sume este resultado al producto de las entradas de la tercera diagonal.
3. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas de la primera diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la segunda diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la tercera diagonal.
El álgebra es la siguiente:

### Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables

Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables. La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos.
Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no da ninguna indicación de si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que hacer una eliminación en el sistema.
Considere un sistema de ecuaciones 3 × 3.
donde
Si escribimos el determinante
  sustituimos la columna
  con la columna constante. Si escribimos el determinante
  sustituimos la columna
  con la columna constante. Si escribimos el determinante
  sustituimos la columna
  con la columna constante. Compruebe siempre la respuesta.

### Comprender las propiedades de los determinantes

Hay muchas propiedades de los determinantes. A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz.

### Conceptos clave

1. El determinante para
  es
  Vea el .
2. La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son

Vea el .
3. Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el .
4. Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada

Vea el .
5. La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el  y el .
6. Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo:

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función determinante en una herramienta gráfica.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. Luego, calcule el determinante. ¿Habrá una solución única? Si es así, halle la solución única.
En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. A continuación, resuelva el sistema para todas las soluciones mediante la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una compañía preocupada por la salud decide hacer una mezcla de frutos secos con almendras, arándanos secos y anacardos cubiertos de chocolate. La información nutricional de estos artículos se muestra en la .

### Ejercicios de repaso

### Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

### Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

###  Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones.

### Fracciones parciales

En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales.

### Matrices y operaciones con matrices

En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas.

### Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única.
En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan.

### Resolver sistemas con inversos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

### Resolver sistemas con la regla de Cramer

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones.

### Prueba de práctica

¿El siguiente par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones?
En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución.
En los siguientes ejercicios, grafique las siguientes inecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba la descomposición parcial de fracciones.
En los siguientes ejercicios, realice las operaciones con matrices dadas.
En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva mediante un sistema de ecuaciones lineales.


# Geometría analítica

## Introducción

El matemático griego Menecmo (c. 380–a. C. 320 a. C.) se le atribuye generalmente el descubrimiento de las formas que se generan por la intersección de un plano y un cono circular recto. Según cómo inclinara el plano cuando se cruzara con el cono, formaba diferentes formas en la intersección: bellas formas con una simetría casi perfecta.
También se dijo que Aristóteles pudo haber tenido una comprensión intuitiva de estas formas, ya que observó que la órbita del planeta era circular. Supuso que los planetas se movían en órbitas circulares alrededor de la Tierra, y durante casi 2.000 años esta fue la creencia común.
No fue hasta el movimiento del Renacimiento cuando Johannes Kepler se dio cuenta de que las órbitas del planeta no eran de naturaleza circular. La ley del movimiento planetario que publicó en el siglo XVII cambió para siempre nuestra visión del sistema solar. Afirmaba que el sol estaba en un extremo de las órbitas y que los planetas giraban alrededor del sol en una trayectoria ovalada.
Otros objetos del sistema solar (y quizá de otros sistemas) siguen una trayectoria elíptica similar, incluidos los espectaculares anillos de Saturno. A partir de esta idea, matemáticos del siglo XIX como James Clerk Maxwell y Sofya Kovalevskaya demostraron que, a pesar de su apariencia a través de los telescopios de la época (e incluso en los actuales), los anillos no son sólidos y continuos, sino que están compuestos por pequeñas partículas. Incluso después de que las misiones Voyager y Cassini suministraran datos en primer plano y detallados sobre las estructuras de los anillos, la comprensión completa de su construcción depende en gran medida del análisis matemático. Son especialmente interesantes las influencias de las lunas y los lunares de Saturno, y la forma en que alteran y preservan la estructura del anillo.
En este capítulo investigaremos las figuras bidimensionales que se forman cuando a un cono circular recto lo interseca un plano. Comenzaremos estudiando cada una de las tres figuras creadas de esta manera. Desarrollaremos ecuaciones de definición para cada figura y luego aprenderemos a utilizar estas ecuaciones para resolver una variedad de problemas.