# Variables aleatorias discretas

## Distribución hipergeométrica

Hay cinco características de un experimento hipergeométrico.
1. Se toman muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Se toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Por ejemplo, quiere elegir un equipo de softball entre un grupo combinado de 11 hombres y 13 mujeres. El equipo está formado por diez jugadores.
4. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. En el ejemplo del sóftbol, la probabilidad de elegir primero a una mujer es
 . La probabilidad de elegir a un hombre en segundo lugar es
  si se eligió a una mujer primero. Es
  si se eligió a un hombre primero. La probabilidad de la segunda elección depende de lo que haya ocurrido en la primera.
5.  No se trata de ensayos de Bernoulli.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés.

### Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica

X ~ H(r, b, n)
Léala como "X es una variable aleatoria con una distribución hipergeométrica". Los parámetros son r, b y n; r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, n = el tamaño de la muestra elegida.

### Repaso del capítulo

Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:
1. Toma muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
4. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.
5.  No se trata de ensayos de Bernoulli.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. La distribución de X se denota como X ~ H(r, b, n), donde r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, y n = el tamaño de la muestra elegida. Se deduce que n ≤ r + b. La media de X es μ =
  y la desviación típica es σ =
 .

### Revisión de la fórmula

X ~ H(r, b, n) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo y n = el tamaño de la muestra elegida.
X = el número de elementos del grupo de interés que están en la muestra elegida, y X puede tomar los valores x = 0, 1, ..., hasta el tamaño del grupo de interés. (El valor mínimo de X puede ser mayor que cero en algunos casos)
n ≤ r + b
La media de X viene dada por la fórmula μ =
  y la desviación típica es =
 .
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra.

### TAREA PARA LA CASA


# Variables aleatorias discretas

## Distribución de Poisson

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.
1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas.
2. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es "pequeña" (del orden de 0,01) y el número de intentos es "grande" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto".
La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

### Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)
Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ=√μ

### Referencias

“ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 18 de febrero de 2019).
Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
“How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volum is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,05) y el número de intentos es "grande" (mayor o igual a 20).

### Revisión de la fórmula

X ~ P(μ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.
X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ...
La media μ normalmente está dada.
La varianza es σ2 = μ, y la desviación típica es
 .
Cuando se utiliza P(μ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir.

### TAREA PARA LA CASA

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana.


# Variables aleatorias continuas

## Introducción

Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas.

### Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas

El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva.
La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.
El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área.

Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto.
Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.
En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.


# Variables aleatorias continuas

## Funciones de probabilidad continuas

Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f(x). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f(x) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.

### Repaso del capítulo

La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P(a < x < b). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f(x) es uno. El área debajo del gráfico de f(x) y entre los valores a y b da la probabilidad P(a < x < b).
La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P (X ≤ x). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

### Revisión de la fórmula

Función de densidad de probabilidad (pdf) f(x):
1. f(x) ≥ 0
2. El área total debajo de la curva f(x) es uno.
Función de distribución acumulativa (cdf): P(X ≤ x)

### Tarea para la casa

Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.


# Variables aleatorias continuas

## La distribución uniforme

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos.

### Repaso del capítulo

Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b, entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U(a, b). La media de X es
. La desviación típica de X es
. La función de densidad de probabilidad de X es
 para a ≤ x ≤ b. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) =
. X es continua.
La probabilidad de P(c < X < d) se puede hallar calculando el área bajo f(x), entre c y d. Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura.

### Revisión de la fórmula

X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b). a = X más pequeño; b = X más grande
X ~ U (a, b)
La media es

La desviación típica es

Función de densidad de probabilidad:
 para

Área a la izquierda de  P(X < x) = (x – a)

Área a la derecha de  P(X > x) = (b – x)

Área entre  P(c < x < d) = (base)(altura) = (d – c)

Uniforme: X ~ U(a, b) donde a < x < b
1. pdf:
 para a ≤ x ≤ b

2. cdf: P(X ≤ x) =

3. media µ =

4. desviación típica σ

5. P(c < X < d) = (d – c)

### Referencias

McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995.
Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas.
La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302.
La distribución se puede escribir como X ~ U(1,5, 4,5).
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U(0, 12).
Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años.

### Tarea para la casa

Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme.


# Variables aleatorias continuas

## La distribución exponencial

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.
Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.
Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.

### La falta de memoria de la distribución exponencial

En el  recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que
P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0
Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.
P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) =
 ≈ 0,6065.
Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.
La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (X ~ Exp(0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.

### Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ, entonces
. Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)*…3*2*1)

### Repaso del capítulo

Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m =
, y escribimos X ∼ Exp(m) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me (o equivalentemente
 . La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = 1 – e–.
La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria, que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P(X > x + k|X > x) = P(X > k).
Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp(λ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ. La función de densidad de probabilidad de X es . Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf(λ, k). La función de distribución acumulativa P(X ≤ k) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf(λ, k).

### Revisión de la fórmula

Exponencial: X ~ Exp(m) donde m = el parámetro de decaimiento
1. pdf: f(x) = me(– donde x ≥ 0 y m > 0
2. cdf: P(X ≤ x) = 1 – e(–
3. media µ =

4. desviación típica σ = µ
5. percentil k: k =

6. Además

7. Propiedad de falta de memoria: P(X > x + k|X > x) = P (X > k)
8. Probabilidad de Poisson:
 con media λ
9. k! = k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*…3*2*1

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013).
“No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013).
Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013).
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp(0,2)
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp(0,75).
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial.


# La distribución normal

## Introducción

La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real.
En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas.
La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (μ) y desviación típica (σ), la designamos escribiendo
La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.
f(x) =

La función de distribución acumulativa es P(X < x). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla.
La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.

### Revisión de la fórmula

X ∼ N(μ, σ)


# La distribución normal

## La distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones . Una puntuación  Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente:
x = μ + (z)(σ) = 5 + (3)(2) = 11
La puntuación z es tres.
La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación z =
  produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ.

### Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z es:
La puntuación  Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.
La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:
1. Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
2. Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
3. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
5. Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
6. Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.
La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7.

### Referencias

“Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013).
“The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de The Mercury News de San José.
Datos de The World Almanac and Book of Facts.
“List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N(0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N(µ, σ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ.

### Revisión de la fórmula

z = un valor estandarizado (puntuación z)
media = 0; desviación típica = 1
Para hallar el valor observado, x, cuando se conocen las puntuaciones z:x = μ + (z)σ
puntuación z: z =

Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.


# La distribución normal

## Uso de la distribución normal

El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x. Esta área está representada por la probabilidad P(X < x). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P(X < x).
El área a la derecha es entonces P ( X  > x ) = 1 - P ( X  < x ). Recuerde que P ( X  < x ) = Área a la izquierda  de la línea vertical que pasa por x . P ( X  > x ) = 1 - P ( X  < x ) = Área a la derecha  de la línea vertical que pasa por x . P ( X  < x ) es lo mismo que P ( X  ≤ x ) y P ( X  > x ) es lo mismo que P ( X  ≥ x ) para distribuciones continuas.

### Cálculo de probabilidades

Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.

### Referencias

“Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013).
“403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ. Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z. Su media es cero y su desviación típica es uno.

### Revisión de la fórmula

Distribución normal: X ~ N(µ, σ) donde µ es la media y σ es la desviación típica.
Distribución normal estándar: Z ~ N(0, 1).
Función de cálculo de la probabilidad: normalcdf (valor x inferior del área, valor x superior del área, media, desviación típica)
Función de cálculo del percentil k: k = invNorm (área a la izquierda de k, media, desviación típica)
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios:
X ~ N(54, 8)

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos.


# El teorema del límite central

## Introducción

¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo estudiará las medias y el teorema del límite central.
El teorema del límite central (central limit theorem, TLC) es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. Hay dos formas alternativas del teorema, y ambas alternativas se refieren a la extracción de muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ, y una desviación típica conocida, σ. La primera alternativa indica que si recogemos muestras de tamaño n con una "n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma de campana normal aproximada. La segunda alternativa indica que si volvemos a recoger muestras de tamaño n que sean "suficientemente grandes", calculamos la suma de cada muestra y creamos un histograma, entonces el histograma resultante volverá a tener una forma de campana normal.
El tamaño de la muestra, n, que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, se necesitan más observaciones para que las medias o sumas de la muestra sean normales. El muestreo se realiza con sustitución.
Sería difícil exagerar la importancia del teorema del límite central en la teoría estadística. Saber que los datos, aunque su distribución no sea normal, se comportan de forma predecible es una herramienta poderosa.


# El teorema del límite central

## Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos:
1. μ = la media de X
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que n aumenta, la variable aleatoria
 que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y

 ~ N
.
El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n. La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento.
Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, la distribución de la variable aleatoria
, que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media. La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n, el tamaño de la muestra.
La variable aleatoria
 tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X. La media
 es el valor de
 en una muestra.
μ es el promedio de X y
.

 = desviación típica de
 y se denomina error estándar de la media.

### Referencias

Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

### Repaso del capítulo

En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño (n) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (n).

### Revisión de la fórmula

El teorema del límite central para las medias muestrales:
 ~ N

La media
 : μ
Teorema del límite central para las medias muestrales con puntuación z y error estándar de la media:

Error estándar de la media (desviación típica (
 )):

Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Yoonie es administrador de personal en una gran empresa. Cada mes debe revisar a 16 de los empleados. Por experiencia, ha comprobado que las revisiones le llevan aproximadamente cuatro horas cada una, con una desviación típica de la población de 1,2 horas. Supongamos que Χ sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda en completar una revisión. Supongamos que Χ se distribuye normalmente. Supongamos que
 es la variable aleatoria que representa la media de tiempo para completar las 16 revisiones. Supongamos que las 16 opiniones representan un conjunto aleatorio de opiniones.

### Tarea para la casa


# El teorema del límite central

## El teorema del límite central para las sumas

Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos que:
1. μ = la media de Χ
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que aumenta n, la variable aleatoria ΣX formada por sumas tiende a distribuirse normalmente y ΣΧ ~ N((n)(μ), (
 )(σ)).
El teorema del límite central para las sumas indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calcula la suma de cada muestra, estas sumas tienden a seguir una distribución normal. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación típica igual a la desviación típica original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
La variable aleatoria ΣX tiene asociada la siguiente puntuación z:
1. Σx es una suma.
2.

### Referencias

Farago, Peter. The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences [La verdad sobre los gatos y los perros: Diferencias entre el uso de smartphones vs tabletas]. The Flurry Blog, 2013. Publicado el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

El teorema del límite central nos indica que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En otras palabras, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse a una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Además, si la población original tiene una media de μ y una desviación típica de σ, la media de las sumas es nμ y la desviación típica es
 (σ) donde n es el tamaño de la muestra.

### Revisión de la fórmula

El teorema del límite central para las sumas: ∑X ~ N[(n)(μ),(
 )(σ)]
Media de las sumas (∑X): (n)(μ)
Teorema del límite central para las sumas de puntuación z y desviación típica para las sumas:

Desviación típica para las sumas (∑X):
 (σ)
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 80 y una desviación típica de 12. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 95 de la población.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La distribución de los resultados de una prueba de colesterol tiene una media de 180 y una desviación típica de 20. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 40.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un investigador mide la cantidad de azúcar en varias latas del mismo refresco. La media es de 39,01 con una desviación típica de 0,5. El investigador selecciona aleatoriamente una muestra de 100.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 12 y una desviación típica de uno. Se toma una muestra de tamaño 25. Supongamos que X = el objeto de interés.
 Un investigador de mercado analiza cuántos aparatos electrónicos compran los clientes en una sola compra. La distribución tiene una media de tres con una desviación típica de 0,7. Tome muestras de 400 clientes.
 Una distribución desconocida tiene una media de 100, una desviación típica de 100 y un tamaño de muestra de 100. Supongamos que X = un objeto de interés.

### Tarea para la casa


# El teorema del límite central

## Uso del teorema del límite central

Es importante que entienda cuándo utilizar el teorema del límite central. Si se le pide que halle la probabilidad de la media, utilice el TLC para la media. Si se le pide que halle la probabilidad de una suma o un total, utilice el TLC para sumas. Esto también se aplica a los percentiles para las medias y las sumas.

### Ejemplos del teorema del límite central

### Ley de los grandes números

La ley de los grandes números indica que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media
  de la muestra tiende a acercarse cada vez más a μ. Por el teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica (recuerde que la desviación típica para
  es
 ). Esto significa que la media muestral
  debe estar cerca de la media poblacional μ. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números.

### Teorema del límite central para los ejemplos de media y suma

### Referencias

Datos del Wall Street Journal.
“National Health and Nutrition Examination Survey”. Center for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 17 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral
  llega a μ.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas.
 La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes.
 una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas.

### Tarea para la casa

 Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: El tiempo de espera de un determinado autobús rural se distribuye uniformemente de cero a 75 minutos. Se toma una muestra aleatoria de cien ciclistas para saber cuánto tiempo han esperado.
 El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras.
Para cada problema, siempre que sea posible, proporcione gráficos y utilice la calculadora.


# Intervalos de confianza

## Introducción

Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción real.
Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un  de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza.
En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija.
Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral,
 , y la desviación típica de la muestra, s. Usaría
  para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral,
 , es la estimación puntual de la media de la población, μ. La desviación típica de la muestra, s, es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ.
Cada uno de
  Cada y s se llama estadística.
Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. Proporciona un rango de valores razonables en el que esperamos que se ubique el parámetro de la población. No hay garantía de que un determinado intervalo de confianza capte el parámetro, pero hay una probabilidad de éxito predecible.
Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ, pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica para la media de la muestra es

 .
La regla empírica, que se aplica a las distribuciones en forma de campana, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral,
 , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ. Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral
  es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ.
Dado que
  está dentro de 0,2 unidades de μ, que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de
  en el 95 % de las muestras. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre
  y
  en el 95 % de las muestras.
Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral
 . Entonces la media poblacional desconocida μ está entre

  y

Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2).
El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ o nuestra muestra produjo un
  que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ. La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de las muestras (95 a 100 %).
Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ. Los intervalos de confianza para algunos parámetros tienen la forma:
(estimación puntual - margen de error, estimación puntual +  margen de error)
El margen de error depende del nivel o porcentaje de confianza y del error estándar de la media.
Cuando lea los periódicos y revistas, algunos informes utilizarán la frase "margen de error". Otros informes no utilizan esa frase, sino que incluyen un intervalo de confianza como la estimación puntual más o menos el margen de error. Son dos formas de expresar el mismo concepto.


# Intervalos de confianza

## La media de una población utilizando la distribución normal

Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de
      y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5.

### Cálculo del intervalo de confianza

Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ, cuando se conoce la desviación típica de la población, necesitamos
  como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (EBM) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado ). La media muestral
 es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ.
La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma:
(estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, (
 )
El margen de error (EBM) depende del nivel de confianza (). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.
Existe otra probabilidad llamada alfa (α). α está relacionada con el nivel de confianza, CL. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, α + CL = 1.
Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en el hecho de que las medias muestrales siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de
  = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5.
Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal.
Para captar el 90 % central, debemos salir 1,645 "desviaciones típicas" a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha.
Es importante que la "desviación típica" utilizada sea la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a las medias muestrales, que es
     . La fracción
     , se denomina comúnmente "error estándar de la media" para distinguir claramente desviación típica de una media de la desviación típica de la población σ.
2.
      se distribuye normalmente, es decir,
      ~ N
     .
3. Cuando se conoce la desviación típica de la población

### Cálculo del intervalo de confianza

Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:
1.  Calcular la media muestral
      de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección ya conocemos la desviación típica de la población σ.
2. Calcule la puntuación z que corresponde al nivel de confianza.
3. Calcular el límite de error EBM.
4. Construir el intervalo de confianza.
5. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. (Explique lo que significa el intervalo de confianza, en las palabras del problema).
Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.

### Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado

Cuando conocemos la desviación típica de la población σ, utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N(0, 1).
El nivel de confianza, CL, es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α, por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a
     .
La puntuación z que tiene un área a la derecha de
      se denota por
     .
Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y
      = 0,025; escribimos
      = z0,025.
El área a la derecha de z0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z0,025 es 1 – 0,025 = 0,975.

 , utilizando una calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar.

### Cálculo del límite de error (EBM)

La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es
1. EBM =

### Construcción del intervalo de confianza

1. La estimación del intervalo de confianza tiene el formato
 .
El gráfico da una idea de toda la situación.
CL +
      +
      = CL + α = 1.

### Redacción de la interpretación

La interpretación debe indicar claramente el nivel de confianza (CL), explicar qué parámetro de la población se está estimando (en este caso, una media de la población), e indicar el intervalo de confianza (ambos puntos finales). "Estimamos con un ___% de confianza que la verdadera media de la población (incluya el contexto del problema) está entre ___ y ___ (incluya las unidades adecuadas)".
Observe la diferencia en los intervalos de confianza calculados en el  y en el siguiente Ejercicio. Estos intervalos son diferentes por varias razones: se calcularon a partir de muestras diferentes, las muestras eran de distinto tamaño y los intervalos se calcularon para distintos niveles de confianza. Aunque los intervalos son diferentes, no aportan información contradictoria. Los efectos de este tipo de cambios son el tema de la siguiente sección de este capítulo.

### Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra

### Hacer el cálculo a la inversa para calcular el límite de error o la media de la muestra

Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y lo utilizamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces, cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos hacer el cálculo a la inversa para hallar tanto el límite de error como la media de la muestra.
2. Del valor superior del intervalo, reste la media de la muestra.
3. O, del valor superior del intervalo, reste el valor inferior. A continuación, divida la diferencia entre dos.
2. Reste el límite de error del valor superior del intervalo de confianza.
3. O, promedie los puntos finales superior e inferior del intervalo de confianza.
Observe que hay dos métodos para realizar cada cálculo. Puede elegir el método que sea más fácil de utilizar con la información que conoce.

### Cálculo del tamaño de la muestra n

Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.
La fórmula del límite de error para una media poblacional cuando se conoce la desviación típica de la población es EBM =
     .
La fórmula del tamaño de la muestra es n =
     , que se encuentra resolviendo la fórmula del límite de error para n.
En esta fórmula, z es
     , correspondiente al nivel de confianza deseado. Un investigador que planifique un estudio y desee un nivel de confianza y un límite de error específicos puede utilizar esta fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria para el estudio.

### Referencias

“American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013).
“Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
“Headcount Enrollment Trends by Student Demographics Ten-Year Fall Trends to Most Recently Completed Fall”. Foothill De Anza Community College District. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/FH_Demo_Trends/FoothillDemographicTrends.htm (consultado el 30 de septiembre de 2013).
Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 CDC Growth Charts for the United States: Methods and Development”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/growthcharts/2000growthchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
La, Lynn, Kent German. “Cell Phone Radiation Levels”. c|net parte de CBX Interactive Inc. Disponible en línea en http://reviews.cnet.com/cell-phone-radiation-levels/ (consultado el 2 de julio de 2013).
“Mean Income in the Past 12 Months (in 2011 Inflaction-Adjusted Dollars): 2011 American Community Survey 1-Year Estimates”. American Fact Finder, U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/tableservices/jsf/pages/productview.xhtml?pid=ACS_11_1YR_S1902&prodType=table (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Candidate Summary File”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataforcandidatesummary.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).
“National Health and Nutrition Examination Survey”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

En este módulo hemos aprendido a calcular el intervalo de confianza para una media poblacional única cuando se conoce la desviación típica de la población. Al estimar una media poblacional, el margen de error se denomina límite de error para una media poblacional (EBM). Un intervalo de confianza tiene la forma general:
(límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM, estimación puntual + EBM)
El cálculo de EBM depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El nivel de confianza es el porcentaje de todas las muestras posibles que se puede esperar que incluyan el verdadero parámetro de la población. A medida que aumenta el nivel de confianza, aumenta también el EBM correspondiente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el EBM disminuye. Por el teorema del límite central,

Dado un intervalo de confianza, se puede hacer el cálculo a la inversa para hallar el límite de error (EBM) o la media de la muestra. Para calcular el límite de error, halle la diferencia del límite superior del intervalo y la media. Si no conoce la media de la muestra, puede hallar el límite de error calculando la mitad de la diferencia de los límites superior e inferior. Para hallar la media muestral dado un intervalo de confianza, calcule la diferencia del límite superior y el límite de error. Si se desconoce el límite de error, se promedian los límites superior e inferior del intervalo de confianza para hallar la media muestral.
A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula EBM para n para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

### Revisión de la fórmula

  La distribución de las medias muestrales se distribuye normalmente con una media igual a la media de la población y una desviación típica dada por la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM, estimación puntual + EBM) =
  =

    EBM =
      = el límite de error para la media, o el margen de error para una única media poblacional; esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población.
CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional
α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional

      = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es
      esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL.
n =
      = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra (n) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado
Forma general de un intervalo de confianza
(valor inferior, valor superior) = (estimación puntual-límite de error, estimación puntual + límite de error)
Para calcular el límite de error cuando se conoce el intervalo de confianza
límite de error = estimación del punto de valor superior O límite de error =

Media de una población, desviación típica conocida, distribución normal
Utilice la distribución normal para las medias, la desviación típica de la población es conocida EBM = z

El intervalo de confianza tiene el formato (
      - EBM,
      + EBM).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras.
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College.
Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios.

### Tarea para la casa


# Intervalos de confianza

## La media de una población utilizando la distribución t de Student

En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza.
William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student. El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Student".
Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de como máximo 30. Con las calculadoras gráficas y las computadoras, la práctica actual es utilizar la distribución t de Student siempre que se utilice s como estimación de σ.
Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población que tiene una distribución aproximadamente normal con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t =
 , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con . La puntuación tt iene la misma interpretación que la puntuación . Mide cuán lejos está
  es de su media μ. Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente.
Los grados de libertad, , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra . En el H - TABLAS, utilizamos n desviaciones
  para calcular . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras  desviaciones. Las otras  desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número
2. El gráfico de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar.
3. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica con respecto a cero.
4. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar.
5. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar.
6. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ. El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si tiene forma de campana (normal), la hipótesis se cumple y no es necesario discutirla. Se supone que el muestreo es aleatorio, pero ese es un supuesto completamente distinto de la normalidad.
Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. Las TI-83,83+ y 84+ tienen una función tcdf para calcular la probabilidad para valores dados de t. La gramática del comando tcdf es tcdf (límite inferior, límite superior, grados de libertad). Sin embargo, para los intervalos de confianza, necesitamos utilizar la probabilidad inversa para calcular el valor de t cuando conocemos la probabilidad.
Para la TI-84+ puede utilizar el comando invT del menú DISTRibution. El comando invT funciona de forma similar al invnorm. El comando invT requiere dos entradas:  invT (área a la izquierda, grados de libertad). La salida es la puntuación t que corresponde al área que especificamos.   Las TI-83 y 83+ no tienen el comando invT (la TI-89 tiene un comando T inverso).
También se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). (la TI-86 no tiene un programa o comando invT, por lo que si está utilizando esa calculadora, deberá utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student) Al utilizar una tabla t, tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Una tabla t de Student (vea el H - TABLAS) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La mesa es muy limitada. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student.
2. T ~ t donde df = n – 1.
3. Por ejemplo, si tenemos una muestra de tamaño n = 20 elementos, entonces calculamos los grados de libertad como df = n - 1 = 20 - 1 = 19 y escribimos la distribución como T ~ t.
Si no se conoce la desviación típica de la población, el límite de error para una media poblacional es:
1.
 ,
2.
  es la puntuación t con un área a la derecha igual a
 ,
3. utilizar df = n - 1 grados de libertad, y
4. s = desviación típica de la muestra.
El formato del intervalo de confianza es:
 .

### Referencias

“America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos de http://www.businessweek.com/.
Datos de http://www.forbes.com/.
“Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
“Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ, de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s, como estimación de σ. La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ, pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula:

La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con EBM =
  donde
  es la puntuación t con un área a la derecha igual a
 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar
  para una α determinada.

### Revisión de la fórmula

s = la desviación típica de los valores de la muestra.

  es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student
df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra
T~t es la variable aleatoria, T, tiene una distribución t de Student con df grados de libertad

  = el límite de error para la media de la población cuando la desviación típica de la población es desconocida

  es la puntuación t en la distribución t de Student con un área a la derecha igual a

La forma general de un intervalo de confianza para una media única, desviación típica de la población desconocida, t de Student viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual – EBM, estimación puntual + EBM) =

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la  son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional.
Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente.


# Intervalos de confianza

## Una proporción de la población

Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03).
Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.
El procedimiento para calcular el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes.
¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial. (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción, tome X, la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (lea "P primo") es esa proporción,

(a veces, la variable aleatoria se denota como
  , que se lee “estimador de P”).
Cuando n es grande y p no se acerca a cero o a uno, podemos utilizar la distribución normal para aproximar la binomial.

Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación típica por n, obtenemos una distribución normal de proporciones con P′, llamada proporción estimada, como variable aleatoria (recordemos que una proporción es el número de aciertos dividido por n).

Uso del álgebra para simplificar:

:

El intervalo de confianza tiene la forma (p′ - EBP, p′ + EBP). EBP es el límite de error para la proporción.
p′ =

p′ = la proporción estimada de aciertos (p′ es una estimación puntual de p, la proporción verdadera).
x = el número de aciertos
n = el tamaño de la muestra
El límite de error para una proporción es

  donde q′ = 1 - p′
Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la "desviación típica apropiada" es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación típica de la población, la desviación típica adecuada que utilizamos es
. Para una proporción, la desviación típica adecuada es
.
Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos
  como la desviación típica, en lugar de
.
En la fórmula del límite de error, las  proporciones muestrales . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de aciertos, y q′ es la proporción estimada de fallos.
El intervalo de confianza solo puede utilizarse si el número de aciertos np′ y el número de fallos nq′ son ambos superiores a cinco.

### Intervalo de confianza "más cuatro" para p

En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea.
Afortunadamente, existe un sencillo ajuste que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son aciertos y dos son fallos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de aciertos es x + 2.
Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90 % y el tamaño de la muestra es de al menos diez.

### Cálculo del tamaño de la muestra n

Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.

La fórmula del límite de error para una proporción de población es

1.

2. Al resolver n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra.
3.

### Referencias

Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
“52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.
Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:
(límite inferior, límite superior)

El método "más cuatro" para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción de la población cuando se calcula la desviación típica de la distribución de muestreo. Imaginemos simplemente cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son aciertos y dos son fallos. Calcule
 , y proceder a calcular el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes.

### Revisión de la fórmula

p′ = x / n donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población.
q′ = 1 – p′

  La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí.
EBP = el límite de error para una proporción =

Intervalo de confianza para una proporción:
(límite inferior, límite superior)

  proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción de la población con confianza 1 - α y margen de error EBP.
Utilice la distribución normal para una proporción de población única

El intervalo de confianza tiene el formato (p′ – EBP, p′ + EBP).

  es una estimación puntual de μ
p′ es una estimación puntual de ρ
s es una estimación puntual de σ
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos.

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante.
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no.


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Introducción

Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre un parámetro. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año.
Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis”. Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula.
En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas.
La prueba de hipótesis consiste en dos hipótesis o afirmaciones contradictorias, una decisión basada en los datos y una conclusión. Para realizar una prueba de hipótesis, un estadístico:


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Hipótesis nula y alternativa

La prueba real comienza considerando dos hipótesis. Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa. Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos.
H: La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción.
H: La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H y lo que concluimos cuando rechazamos H. Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar.
Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra.
Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son "rechazar H" si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o "no rechazar H" o "negarse a rechazar H" si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula.
Símbolos matemáticos utilizados en H y H:

### Repaso del capítulo

En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros:

### Revisión de la fórmula

H y H son contradictorias.
Si α ≤ valor p, entonces no rechace H.
Si α > valor p, entonces rechace H.
α es preconcebido. Su valor se establece antes de que comience la prueba de hipótesis. El valor p se calcula a partir de los datos.

### Tarea para la casa

### Referencias

Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm.


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Resultados y errores de tipo I y II

Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro:
Los cuatro resultados posibles en la tabla son:
Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades.
α = probabilidad de un error de tipo I =  = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera.
β = probabilidad de un error tipo II =  = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.
α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. Pocas veces son cero.
La potencia de la prueba es 1 - β. Lo ideal es que queramos una potencia alta que se acerque lo más posible a uno. Aumentar el tamaño de la muestra puede aumentar la potencia de la prueba.
Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II.

### Repaso del capítulo

En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa.
Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β, para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β, cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia.

### Revisión de la fórmula

α = probabilidad de un error de tipo I = P(error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera.
β = probabilidad de un error tipo II = P(error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis

A principios del curso, hemos hablado de las distribuciones de muestreo. Las distribuciones particulares están asociadas a la comprobación de hipótesis. Realice pruebas de una media poblacional utilizando una distribución normal o una distribución  (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población sea desconocida y la distribución de la media de la muestra sea aproximadamente normal). Realizamos pruebas de una proporción poblacional utilizando una distribución normal (normalmente n es grande).
Si se está probando la media de una sola población, la distribución para la prueba es para las medias:

     o

El parámetro de la población es μ. El valor estimado (estimación puntual) para μ es
    , la media de la muestra.
Si está probando una sola proporción de la población, la distribución para la prueba es para proporciones o porcentajes:

El parámetro poblacional es p. El valor estimado (estimación puntual) de p es p′. p′ =
       donde x es el número de aciertos y n es el tamaño de la muestra.

### Supuestos

Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional  utilizando una distribución  (a menudo llamada prueba t), hay supuestos fundamentales que deben cumplirse para que la prueba funcione correctamente. Sus datos deben ser una muestra aleatoria simple que provenga de una población que se distribuya de forma normal aproximadamente. Se utiliza la desviación típica de la muestra para aproximar la desviación típica de la población (tenga en cuenta que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, una prueba t funcionará incluso si la población no está distribuida de forma aproximadamente normal).
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional  utilizando una distribución normal (a menudo denominada prueba z) , se toma una muestra aleatoria simple de la población. La población que está probando se distribuye normalmente o el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Se conoce el valor de la desviación típica de la población que, en realidad, pocas veces se conoce.
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única proporción poblacional , se toma una muestra aleatoria simple de la población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial que son: hay un cierto número n de ensayos independientes, los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos, y cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p. La forma de la distribución binomial tiene que ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser ambas mayores que cinco (np > 5 y nq > 5). Entonces la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) puede aproximarse por la distribución normal con μ = p y
    . Recuerde que q = 1 - p.

### Repaso del capítulo

Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos.
Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional:
1. Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida.
2. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica conocida.
Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos proceden de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número de la media de aciertos y el número de la media de fallos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un acierto y q es la probabilidad de un fallo.

### Revisión de la fórmula

Si no hay un α preconcebido, entonces utilice α = 0,05.
2. Media poblacional única, varianza poblacional conocida (o desviación típica): Prueba normal.
3. Media poblacional única, varianza poblacional desconocida (o desviación típica): Prueba .
4. Proporción de población única: Prueba normal.
5. Para una media poblacional única, podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Medios:
         y

6. Una proporción poblacional única, podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Proporciones: µ =  y
        .

### Tarea para la casa