# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones cuadráticas

Las antenas curvas, como las que se muestran en la , se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática.
En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones.

### Reconocer las características de las parábolas

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran en la .
La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de
  en los que

### Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma
donde
  y
  son números reales y
  Si
  la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de
  la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.
El eje de simetría está definido por
  Si utilizamos la fórmula cuadrática,
  para resolver
  para las intersecciones en
 , o ceros, hallamos que el valor de
  a mitad de camino siempre es
  la ecuación del eje de simetría.
La  representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como
  En esta forma,
  y
  Dado que
  la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es
  Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical
  divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso,
  La intersección en
 , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje
 , se producen en
  y

La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma
donde
  es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática.
Al igual que con la forma general, si
  la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de
  la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La  representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como
  Dado que
  en este ejemplo,
  En esta forma,
  y
  Dado que
  la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en

La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de
  La  es el gráfico de esta función básica.
Si los valores de
  el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si
  el gráfico se desplaza hacia abajo. En la ,
  por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de
  el gráfico se desplaza hacia la derecha y si
  el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la ,
  para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de
  indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de
  el punto asociado a un determinado valor de
  se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si
  el punto asociado a un determinado valor de
  se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la ,
  por lo que el gráfico se estrecha.
La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar.
Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales.
Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes:
En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es
  por lo que

### Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

### Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola. Podemos ver los valores máximos y mínimos en la .
Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos.

### Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática

Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en
  de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en
  en lugares donde la salida es cero. Observe en la  que el número de intersecciones en
  puede variar en función de la ubicación del gráfico.

### Reescribir cuadráticas en forma estándar

En el , la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La función polinómica de grado dos se denomina función cuadrática.
2. El gráfico de una función cuadrática es una parábola. La parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en
 , son los puntos en los que la parábola cruza el eje
 . La intersección en
  es el punto en el que la parábola cruza el eje
 . Vea el , el  y el .
4. Las funciones cuadráticas suelen escribirse en forma general. La forma estándar o de vértice sirve para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las dos formas puede escribirse a partir de un gráfico. Vea el .
5. El vértice se halla a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. Vea el .
6. El dominio de la función cuadrática son todos los números reales. La gama varía según la función. Vea el .
7. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática viene dado por el valor de
  del vértice.
8. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de la función y para resolver muchos tipos de problemas del mundo real, incluso de área e ingresos. Vea el  y el .
9. Algunas ecuaciones cuadráticas deberán resolverse con la fórmula cuadrática. Vea el .
10. El vértice y las intersecciones pueden identificarse e interpretarse para resolver problemas del mundo real. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice.
En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría.
En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática.
En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos.
En los siguientes ejercicios, utilice el vértice
  y un punto en el gráfico
  para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada.

### Aplicaciones en el mundo real


# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones potencia y funciones polinómicas

Supongamos que una determinada especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la .
La población puede estimarse mediante la función
     donde
       representa la población de aves de la isla
       años después de 2009. Podemos utilizar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo se producirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos utilizar para estimar y predecir este tipo de cambios.

### Identificar las funciones potencia

Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La función potencia es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).
    Como ejemplo, considere las funciones para el área o el volumen. La función para el área de un círculo con radio
       se

    y la función para el volumen de una esfera con radio
       se
Ambas son ejemplos de funciones potencia porque constan de un coeficiente,
  o
  multiplicado por una variable
  elevado a una potencia.

### Identificar el comportamiento final de las funciones potencia

La  muestra los gráficos de
  y
  que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.
Para describir el comportamiento a medida que aumentan los números, utilizamos la idea del infinito. Utilizamos el símbolo
  para el infinito positivo y
  para el infinito negativo. Cuando decimos que "
  se acerca al infinito", que puede escribirse simbólicamente como
  describimos un comportamiento; decimos que
  aumenta sin límites.
Con la función potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Por equivalencia, podríamos describir este comportamiento al afirmar que, a medida que
  se acerca al infinito positivo o negativo, los valores
  aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir
La  muestra los gráficos de
  que son todas funciones potencia con potencias de números impares y enteros. Observe que estos gráficos son semejantes a los de la función cúbica en la caja de herramientas. De nuevo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.
Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma
  revelan simetría de un tipo u otro. En primer lugar, en la  observamos que incluso las funciones de la forma
  son simétricas con respecto al eje
 . En la  observamos que las funciones impares de la forma
  son simétricas respecto al origen.
En estas funciones potencia con números impares, a medida que
  se acerca al infinito negativo,
  disminuye sin límites. A medida que
  se acerca al infinito positivo,
  aumenta sin límites. En forma simbólica escribimos
El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada disminuyen (
  ) y aumentan mucho (
  ) se denomina comportamiento final de la función. Podemos utilizar palabras o símbolos para describir el comportamiento final.
La  muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma
  donde
  es un número entero no negativo que depende de la potencia y de la constante.

### Identificar funciones polinómicas

Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio
  del derrame de petróleo depende del número de semanas
  que han pasado. Esta relación es lineal.
Podemos combinar esto con la fórmula del área
  de un círculo.
Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas.
Multiplicando se obtiene la fórmula.
Esta fórmula es un ejemplo de función polinómica. Una función polinómica se compone de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es el producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a la potencia de un número entero no negativo.

### Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

### Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas

Conocer el grado de una función polinómica nos sirve para predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, preste atención al término principal de la función polinómica. Dado que la potencia del término principal es la más alta, ese término crecerá mucho más rápido que los demás términos, a medida que
  aumenta o disminuye mucho, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. En cualquier polinomio, su comportamiento final coincidirá con el del término del grado más alto. Vea el .

### Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas

Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también nos interesa lo que ocurre en el "medio" de la función. En particular, nos interesan los lugares donde cambia el comportamiento del gráfico. El punto de inflexión es aquel donde los valores de la función pasan de ser crecientes a decrecientes o de decrecientes a crecientes.
También nos interesan las intersecciones. Al igual que en todas las funciones, la intersección en y es el punto en el que el gráfico se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas donde el valor de entrada es cero. Ya que el polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que únicamente puede haber una intersección en y
  Las intersecciones en x se producen en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Puede haber más de una intersección en x. Vea la .

### Comparar gráficos suaves y continuos

El grado de una función polinómica nos permite determinar el número de intersecciones en
  y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de grado
  es el producto de
  factores, por lo que tendrá como máximo
  raíces o ceros, o bien intersecciones en
 . El gráfico de la función polinómica de grado
  deberá tener como máximo
  puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores.
La función continua no tiene interrupciones en su gráfico, el cual puede dibujarse sin levantar el bolígrafo del papel. La curva suave es un gráfico que no tiene aristas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave deberán producirse siempre en curvas redondeadas. Los gráficos de las funciones polinómicas son continuos y suaves.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La función potencia es una base variable elevada a una potencia numérica. Vea el .
2. El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye más allá del límite y aumenta más allá del límite se denomina comportamiento final.
3. El comportamiento final depende de que la potencia sea par o impar. Vea el  y el .
4. La función polinómica es la suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una función potencia transformada con número entero positivo. Vea el .
5. El grado de una función polinómica es la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio. El término que contiene la potencia más elevada de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal. Vea el .
6. El comportamiento final de una función polinómica es el mismo que el de la función potencia representada por el término principal de la función. Vea el  y el .
7. Un polinomio de grado
  tendrá como máximo
  intersecciones en x y a lo sumo
  puntos de inflexión. Vea el , el , el , el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la función como función potencia, función polinómica o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, halle el grado y el coeficiente principal del polinomio dado.
En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el menor grado posible de la función polinómica indicada.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico de la función proporcionada es la de una función polinómica. Si es así, determine el número de puntos de inflexión y el menor grado posible para la función.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, construya una tabla para confirmar el comportamiento final de la función.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas con la ayuda de la calculadora. A partir del gráfico, determine las intersecciones y el comportamiento final.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, disponga de la información acerca del gráfico de una función polinómica para determinar la función. Supongamos que el coeficiente principal es 1 o -1. Puede haber más de una respuesta correcta.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice los enunciados escritos para construir una función polinómica que represente la información requerida.


# Funciones polinómicas y racionales

## Gráfico de funciones polinómicas

Los ingresos en millones de dólares desde 2006 hasta 2013 de una empresa de cable ficticia se muestran en la .
Los ingresos pueden modelarse con la función polinómica
donde
     representa los ingresos en millones de dólares y
       representa el año, con
       correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos de la empresa? ¿En qué intervalos disminuyen los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse al examinar el gráfico de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, que es un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general.

### Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La  muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

###  Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas

Recordemos que si
       es una función polinómica, los valores de
         en el que
         se llaman ceros de
         Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros.
Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en
  porque en las intersecciones en
  hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos:
1. El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios.
2. El polinomio se da en forma factorizada.
3. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones.

### Identificar los ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en
 . A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota.

Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función
Observe que en la  el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en
  es diferente.
La intersección en

       es la solución de la ecuación
         El gráfico pasa directamente por la intersección en
  en
  El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función.
La intersección en

       es la solución repetida de la ecuación
         El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección.
El factor se repite, es decir, el factor
       aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad. El cero asociado a este factor,
         tiene multiplicidad 2 porque el factor
         ocurre dos veces.
La intersección en

       es la solución repetida del factor
         El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas
         A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3.
En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje
 . En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje
 . Consulte en la  ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3.
Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje
 .
En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje
 .

### Determinar el comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma
al final sube o baja en la medida en que
       aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que
         disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000.
Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica,
  es una función potencia par, a medida que
  aumenta o disminuye sin límites,
  aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que
  disminuye sin límites,
  también disminuye sin límite; a medida que
  aumenta sin límites,
  también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La  resume los cuatro casos.

###  Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica
  en la . El gráfico tiene tres puntos de inflexión.
Esta función
  es una función polinómica de 4.º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función.

### Graficar funciones polinómicas

Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

### Usar el teorema del valor intermedio

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica
  cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números
  y
  en el dominio de
  si
  y
  entonces la función
  adopta cualquier valor entre
  y
  Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua
  en
  se encuentra por encima del eje
  y otro punto en
  se encuentra por debajo del eje
 , debe existir un tercer punto entre
  y
  donde el gráfico cruza el eje
 . Llamemos a este punto
  Esto significa que estamos seguros de que hay una solución
  donde

En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje
 . La  revela que hay un cero entre
  y

###  Escribir fórmulas para funciones polinómicas

Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en
 , donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en
  al introducir el correspondiente conjunto de factores.

### Usar los extremos locales y globales

Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico.
Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global. También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función.

### Conceptos clave

1. Las funciones polinómicas de grado 2 o más son fluidas y continuas. Vea el .
2. Para hallar los ceros de una función polinómica, si se puede, factorice la función y lleve a cero cada factor. Vea el , el  y el .
3. Otra forma de hallar las intersecciones en
  de una función polinómica es graficar la función e identificar los puntos en los que el gráfico cruza el eje
 . Vea el .
4. La multiplicidad de un cero determina cómo se comporta el gráfico en las intersecciones en
 . Vea el .
5. El gráfico de un polinomio cruza el eje horizontal en un cero con multiplicidad impar.
6. El gráfico de un polinomio toca el eje horizontal en un cero con multiplicidad par.
7. El comportamiento final de la función polinómica depende del término principal.
8. El gráfico de una función polinómica cambia de dirección en sus puntos de inflexión.
9. Una función polinómica de grado
  tiene como máximo
  puntos de inflexión. Vea el .
10. Para graficar funciones polinómicas, halle los ceros y sus multiplicidades, determine el comportamiento final y verifique que el gráfico final tenga como máximo
  puntos de inflexión. Vea el  y el .
11. Graficar una función polinómica ayuda a estimar los extremos locales y globales. Vea el .
12. El teorema del valor intermedio nos indica que, si
  tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor
  entre
  y
  para los cuales
  Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en
  o las intersecciones en tde las funciones polinómicas.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio para confirmar que el polinomio dado tiene al menos un cero dentro del intervalo dado.
En los siguientes ejercicios, halle los ceros y dé la multiplicidad de cada uno.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas. Tome nota de las intersecciones en
  y en
 , la multiplicidad y el comportamiento final.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir la fórmula de una función polinómica de grado mínimo.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico para identificar los ceros y la multiplicidad.
En los siguientes ejercicios, disponga de la información dada acerca del gráfico del polinomio para escribir la ecuación.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar los mínimos y máximos locales o el mínimo y el máximo global.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una función polinómica de grado mínimo.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba la función polinómica que modele la situación dada.


# Funciones polinómicas y racionales

## Dividir polinomios

El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto.Servicio de Parques Nacionales. "Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014 Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental.
Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos
    Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura.
Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio
    La longitud del sólido viene dada por
  la anchura viene dada por
     Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección.

### Usar la división larga para dividir polinomios

Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga.
Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental.
Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo.
La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos
     entre
      mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así:

Hemos calculado
o
Podemos identificar el dividendo, el divisor, el cociente y el restante.
Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división.

### Usar la división sintética para dividir polinomios

Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.
Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección.
Divida
  entre
  con el algoritmo de la división larga.
La forma final del proceso lucía así:

Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema.
La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del "divisor" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal.
A continuación, lo multiplicamos por el "divisor" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es
  y el restante es
  El proceso se aclarará en el .

### Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La división larga de polinomios se utiliza para dividir un polinomio entre cualquier polinomio de grado igual o inferior. Vea el  y el .
2. El algoritmo de la división nos señala que un dividendo polinómico se puede escribir como el producto del divisor y el cociente sumado al restante.
3. La división sintética es un atajo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio en la forma
  Vea el , el  y el .
4. La división polinómica se utiliza para resolver problemas de aplicación, como el área y el volumen. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente.
En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura.
En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura.


# Funciones polinómicas y racionales

## Ceros de funciones polinómicas

Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde?
Este problema se resuelve al escribir una función cúbica y resolver una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, abordaremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas.

### Evaluar un polinomio con el teorema del resto

En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto. Si el polinomio se divide entre
    el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en
     es decir,
     Repasemos la demostración del teorema.
Recordemos que el algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico
    y un divisor polinómico distinto de cero
     donde el grado de
  es menor o igual que el grado de
     existen polinomios únicos
     y
     tal que
Si el divisor,
    es
     esto asume la forma
Dado que el divisor
    es lineal, el resto será una constante,
     Si evaluamos esto para
     tenemos
En otras palabras,
    es el resto que se obtiene al dividir
     entre

### Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

El teorema del factor es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que
Si los valores de
    es un cero, entonces el restante
     es
     y
     o

Observe que, escrito en esta forma,
    es un factor de
     Podemos concluir que, si
     es un cero de
     entonces
     es un factor de

Del mismo modo, si
    es un factor de
     entonces el restante del algoritmo de la división
     es 0. Esto nos dice que
     es un cero.
Este par de implicaciones constituye el teorema del factor. Como veremos más adelante, un polinomio de grado
    en el sistema de números complejos tendrá
     ceros. Podemos utilizar el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de
     factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, podemos determinar fácilmente los ceros.

### Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio.
Consideremos una función cuadrática con dos ceros,
    y
     Según el teorema del factor, estos ceros tienen factores asociados. Supongamos que cada factor es igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original sin su factor de estiramiento.

Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. Del mismo modo, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4.
Podemos deducir que los numeradores de las raíces racionales serán siempre factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del teorema del cero racional; es un medio para darnos un conjunto de posibles ceros racionales.

### Hallar los ceros de las funciones polinómicas

El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica.

### Usar el teorema fundamental del álgebra

Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El teorema fundamental del álgebra nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas.
Supongamos que
    es una función polinómica de grado cuatro, y
     El teorema fundamental del álgebra establece que existe al menos una solución compleja, llámese
     Por el teorema del factor, podemos escribir
     como producto de
     y un cociente polinómico. Dado que
     es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el teorema fundamental del álgebra al cociente del polinomio de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámese
     Así que podemos escribir el cociente de polinomios como un producto de
     y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continúe aplicando el teorema fundamental del álgebra hasta hallar todos los ceros. Serán cuatro y cada uno de ellos arrojará un factor de

### Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados

Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra, como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado
    tendrá
     ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en
     factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma
     donde
     es un número complejo.
Supongamos que
    es una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos que
     es un cero de
     Entonces, según el teorema del factor,
     es un factor de
     Para que
     tenga coeficientes reales,
     también deberá ser un factor de
     Esto es así porque cualquier factor que no sea
     cuando se multiplica por
     dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará lugar a coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica
     con coeficientes reales tiene un cero complejo
     entonces el conjugado complejo
     también será un cero de
     Esto se denomina el teorema del conjugado complejo.

### Usar la regla de los signos de Descartes

Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, la regla de los signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en
    y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo.
Esto nos indica que la función tendrá 1 cero real positivo.
Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en
    y el número de ceros reales negativos.
En este caso,
    tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que
     puede tener 3 o 1 ceros reales negativos.

### Resolver aplicaciones del mundo real

Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección.

### Conceptos clave

1. Para hallar
      determine el restante del polinomio
       cuando se divide entre
       Vea el .
2.
      es un cero de
       si y solo si
       es un factor de
       Vea el .
3. Cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido entre un factor del coeficiente principal. Vea el  y el .
4. Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.
5. La división sintética puede utilizarse para hallar los ceros de una función polinómica. Vea el .
6. Según el teorema fundamental, toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Vea el .
7. Toda función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo.
8. Teniendo en cuenta las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor tendrá la forma
      donde
       es un número complejo. Vea el .
9. El número de ceros reales positivos de una función polinómica es o bien el número de cambios de signo de la función o bien menor que el número de cambios de signo en un número entero par.
10. El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo de
      o menos que el número de cambios de signo por un número entero par. Vea el .
11. Las ecuaciones polinómicas modelan muchas situaciones en el mundo real. La resolución de las ecuaciones es más fácil de realizar mediante la división sintética. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del resto para hallar el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del factor para hallar todos los ceros reales de la función polinómica dada y un factor.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para hallar todos los ceros reales.
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones complejas (reales y no reales).

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. A continuación, trace un gráfico para confirmar cuál de esas posibilidades es la combinación real.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, enumere todos los posibles ceros racionales de las funciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función polinómica. A partir del gráfico, halle los ceros racionales. Todas las soluciones reales son racionales.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, construya una función polinómica del menor grado posible con la información dada.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones de la caja descrita.
En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones del cilindro circular descrito.


# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones racionales

Supongamos que sabemos que el costo de fabricación de un producto depende del número de artículos,
  producidos. Esto viene dado por la ecuación
  Si queremos saber el costo promedio de producir
  artículos, dividiríamos la función de costo entre el número de artículos,

La función de costo promedio, que arroja el costo promedio por artículo para
  artículos producidos, es
Muchos otros problemas de aplicación requieren hallar un valor promedio de forma similar, para darnos variables en el denominador. Esta función, escrita sin ninguna variable en el denominador, contendrá una potencia entera negativa.
En las últimas secciones, hemos trabajado con funciones polinómicas, que son funciones con enteros no negativos para los exponentes. En esta sección, exploramos las funciones racionales, que tienen variables en el denominador.

### Usar la notación de flechas

Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la , y observe algunas de sus características.
Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de

1. En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x

2. A medida que el gráfico se acerca a
  desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube.
3. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x

Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que
  o
  se acerca a un valor determinado. Vea la .

### Comportamiento local de

Empecemos por ver la función recíproca,
  No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en
  por lo que el cero no está en el dominio. A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la .
Escribimos en la notación de flechas
A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la .
Escribimos en la notación de flechas
Vea la .
Este comportamiento crea una asíntota vertical, que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical
  a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la .

### Comportamiento final de

Dado que los valores de
  se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de
  se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la . Simbólicamente, mediante la notación de flechas

Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal, una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal
  Vea la .

### Resolver problemas aplicados con funciones racionales

En el , hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función
  Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales.

### Hallar los dominios de las funciones racionales

La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero.

### Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales

Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación.

### Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores.

### Discontinuidades removibles

En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible.
Por ejemplo, la función
  puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador.
Observe que
  es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor,
  es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que
  no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor,
  es la asíntota vertical. Vea la .

### Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador.
Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales:
Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en

En este caso, el comportamiento final es
  Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función
  y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en
  Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.
Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua.
En este caso, el comportamiento final es
  Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función
  A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de
  parece una línea diagonal, y dado que
  se comportará de forma similar a
  se aproximará a una línea cercana a
  Esta línea es una asíntota oblicua.
Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida
  El cociente es
  y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta
  Vea la .
Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en
  donde
  y
  son los coeficientes principales de
  como
  por

En este caso, el comportamiento final es
  Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función
  que es una línea horizontal. Dado que
  lo que da lugar a una asíntota horizontal en
  Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.
Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical, el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua).
Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función
con comportamiento final
el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo.

### Graficar funciones racionales

En el , vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios.
Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la .
Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la .
Por ejemplo, el gráfico de
  se muestra en la .
1. En la intersección en x
  correspondiente al factor
  del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor.
2. En la intersección en x
  correspondiente al factor
  del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal.
3. En la asíntota vertical
  correspondiente al factor
  del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función

4. En la asíntota vertical
  correspondiente al factor
  del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho.

### Escribir funciones racionales

Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x, donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x, al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. Podemos utilizar la notación de flecha para describir el comportamiento local y el comportamiento final de las funciones de la caja de herramientas
  y

Vea el .
2. Una función que se nivela en un valor horizontal tiene una asíntota horizontal. Una función puede tener más de una asíntota vertical. Vea el .
3. Los problemas de aplicación que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Vea el .
4. El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que igualan el denominador a cero. Vea el .
5. Las asíntotas verticales de una función racional se darán cuando el denominador de la función sea igual a cero y el numerador sea distinto a cero. Vea el .
6. Puede producirse una discontinuidad removible en el gráfico de una función racional si una entrada hace que tanto el numerador como el denominador sean cero. Vea el .
7. El comportamiento final de una función racional reflejará el de la relación de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Vea el , el , el  y el .
8. Grafique funciones racionales al hallar las intersecciones, el comportamiento en las intersecciones y las asíntotas, así como el comportamiento final. Vea el .
9. Si una función racional tiene intersecciones en x en
  asíntotas verticales en
  y ninguna
  entonces la función se puede escribir de la forma
Vea el

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de las funciones racionales.
En los siguientes ejercicios, halle el dominio, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de las funciones.
En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento local y final de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación dada para graficar la función. Observe las asíntotas verticales y horizontales.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones horizontales, la intersección vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal u oblicua de las funciones. Dibuje un gráfico con esta información.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para una función racional con las características dadas.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una ecuación de la función.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, haga tablas que muestren el comportamiento de la función cerca de la asíntota vertical y que reflejen la asíntota horizontal

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar
  Utilice el gráfico para resolver

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, identifique la discontinuidad removible.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, exprese una función racional que describa la situación.
En los siguientes ejercicios, utilice la función racional dada para responder la pregunta.
En los siguientes ejercicios, construya una función racional para resolver el problema. A continuación, utilice una calculadora para responder la pregunta.


# Funciones polinómicas y racionales

## Inversas y funciones radicales

Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio.
El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental.
Hemos escrito el volumen
  en términos de radio
  Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula
Esta función es la inversa de la fórmula de
  en términos de

En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso.

### Hallar la inversa de una función polinómica

Dos funciones
  y
  son funciones inversas si para cada par de coordenadas en
  existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa,
  En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas.
Para que una función tenga una inversa, debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa.
Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la . Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua.
Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde
  se mide horizontalmente, mientras que
  se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la .
A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma
  Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento

Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación
Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad
  la anchura vendrá dada por
  así que tenemos que resolver la ecuación anterior para
  y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa.
Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de
 . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada:
Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de
 , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos.
Dado que
  es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será
  La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces:
Este ejemplo ilustra dos puntos importantes:
1. Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca.
2. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia.
Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación

Advertencia:
  no es lo mismo que el recíproco de la función
  Este uso de "–1" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función
  tendríamos que escribir

Una relación importante entre las funciones inversas es que se "deshacen" entre sí. Si los valores de
  es la inversa de una función
  entonces
  es la inversa de la función
  En otras palabras, lo que sea que la función
  haga a

  lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos
y

### Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa. Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas.

### Resolver aplicaciones de funciones radicales

Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical, tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado.

###

Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección.

### Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones

Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio.

### Hallar las inversas de las funciones racionales

Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional, especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración.

### Conceptos clave

1. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada.
2. Si los valores de
  es la inversa de una función
  entonces
  es la inversa de la función

Vea el .
3. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos son invertibles. Vea el .
4. Para hallar la inversa de determinada función, debemos restringirla a un dominio en el que sea biunívoca. Vea el  y el .
5. Cuando hallamos la inversa de una función radical, necesitamos una restricción en el dominio de la respuesta. Vea el  y el .
6. Las funciones inversas y radicales se utilizan para resolver problemas de aplicación. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado.
En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.
En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa.
En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con
  números reales positivos.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta.


# Funciones polinómicas y racionales

## Modelado mediante la variación

Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión.

### Resolver problemas de variación directa

En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula
 nos cuenta sus ganancias,
 provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la .
 Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Cada variable en este tipo de relación varía directamente  con la otra.
La  representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula
 se utiliza para la variación directa. El valor
 es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación. En este caso,
 y

### Resolver problemas de variación inversa

La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula
 nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F.
Si creamos la , observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye.
Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas.
Para nuestro ejemplo, la  representa la variación inversa. Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula
 para la variación inversa en este caso utiliza

### Resolver problemas que implican una variación conjunta

Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable
  costo, varía junto con el número de estudiantes,
  y la distancia,

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Vea el .
2. Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante.
3. La relación en la que una cantidad es una constante dividida entre otra cantidad se denomina variación inversa. Vea el .
4. Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Vea el .
5. En muchos problemas, la variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Este tipo de relación recibe el nombre de variación conjunta. Vea el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo,
 que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media,
 que el planeta es del Sol.

###  Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas.

### Ejercicios de repaso del capítulo

Ha llegado al final del capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales. Repasemos algunos de los términos, conceptos y ecuaciones clave que aprendió.

### Números complejos

Realice la operación indicada con números complejos.
Resuelva las siguientes ecuaciones sobre el sistema de números complejos.

### Funciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios, escriba la función cuadrática en forma estándar. A continuación, dé los vértices y las intersecciones de los ejes. Por último, grafique la función.
En los siguientes problemas, halle la ecuación de la función cuadrática con la información dada.
Responda las siguientes preguntas.

### Funciones de potencia y funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, determine si la función es polinómica y, de ser así, dé el grado y el coeficiente principal.
En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de la función polinómica.

### Gráfico de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, halle todos los ceros de la función polinómica; tome nota de las multiplicidades.
En los siguientes ejercicios, a partir del gráfico dado, determine los ceros de la función y tome nota de la multiplicidad.

### Dividir polinomios

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga para hallar el cociente y el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. Si el divisor es un factor, entonces escriba la forma factorizada.

### Ceros de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para resolver la ecuación polinómica.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de los signos de Descartes para calcular el número posible de soluciones positivas y negativas.

### Funciones racionales

En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas verticales y horizontales, y luego úsales para trazar un gráfico.
En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua.

### Funciones inversas y radicales

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función con el dominio dado.

### Modelado mediante la variación

En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la incógnita.
En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de aplicación.

### Examen del capítulo

Realice la operación indicada o resuelva la ecuación.
Diga el grado y el coeficiente principal de la siguiente función polinómica.
Determine el comportamiento final de la función polinómica.
Escriba la función cuadrática en forma estándar. Determine el vértice y las intersecciones de los ejes y grafique la función.
Dada la información acerca del gráfico de una función cuadrática, halle su ecuación.
Resuelva el siguiente problema de aplicación.
Halle todos los ceros de las siguientes funciones polinómicas; tome nota de las multiplicidades.
A partir del gráfico, determine los ceros de la función y las multiplicidades.
Utilice la división larga para hallar el cociente.
Utilice la división sintética para hallar el cociente. Si el divisor es un factor, escriba la forma factorizada.
Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros de las funciones polinómicas.
Dada la siguiente información en torno a una función polinómica, halle la función.
Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas.
En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas horizontales y verticales, y trace un gráfico.
Halle la asíntota oblicua de la función racional.
Halle la inversa de la función.
Calcule el valor de la incógnita.
Resuelva el siguiente problema de aplicación.


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Introducción

Concéntrese en un centímetro cuadrado de su piel. Mire más de cerca. Más cerca aún. Si se pudiera mirar con suficiente atención, se verían cientos de miles de organismos microscópicos. Son bacterias, y no solo están en la piel, sino también en la boca, en la nariz y hasta en los intestinos. De hecho, las células bacterianas en su cuerpo superan a sus propias células en cualquier momento. Sin embargo, eso no es motivo para sentirse mal consigo mismo. Aunque algunas bacterias pueden causar enfermedades, muchas son saludables y hasta esenciales para el organismo.
Las bacterias se reproducen en un proceso denominado fisión binaria, durante el cual una célula bacteriana se divide en dos. Cuando las condiciones son adecuadas, las bacterias se reproducen muy rápidamente. A diferencia de los humanos y otros organismos complejos, el tiempo necesario para formar una nueva generación de bacterias suele ser cuestión de minutos u horas, en lugar de días o años.Todar, PhD, Kenneth. Todar's Online Textbook of Bacteriology. http://textbookofbacteriology.net/growth_3.html.
Para simplificar, supongamos que empezamos con un cultivo de una célula bacteriana que se divide cada hora. La  muestra el número de células bacterianas al final de cada hora. Vemos que la única célula bacteriana da lugar a ¡más de mil células bacterianas en solo diez horas! Si extrapolamos la tabla a veinticuatro horas, ¡tendríamos más de 16 millones!
En este capítulo, exploraremos las funciones exponenciales, que se utilizan, entre otros aspectos, para modelar patrones de crecimiento como los que se encuentran en las bacterias. También investigaremos las funciones logarítmicas, que guardan estrecha relación con las funciones exponenciales. Ambos tipos de funciones tienen numerosas aplicaciones en el mundo real a la hora de modelar e interpretar datos.


# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Funciones exponenciales

### Objetivos de aprendizaje

1. Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3)
2. Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1)

### Objetivo 1: Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3)

### La práctica hace la perfección

Halle el valor de una función exponencial.

### Objetivo 2: Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1)

### La práctica hace la perfección

Graficar las funciones exponenciales.

El número e, e ≈ 2,718281827, es como el número π en el sentido de que utilizamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional e se denomina base natural o número de Euler en honor al matemático suizo Leonhard Euler.
La función exponencial cuya base es e,  se denomina función exponencial natural.

### La práctica hace la perfección

La India es el segundo país más poblado del mundo, con unos
 mil millones de habitantes en 2021. La población crece a un ritmo de aproximadamente
 cada añohttp://www.worldometers.info/world-population/. Consultado el 24 de febrero de 2014.. Si este ritmo continúa, la población de la India superará a la de China en el año
 Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es "exponencial", lo que significa que algo asciende muy rápidamente. Sin embargo, para un matemático, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a las funciones exponenciales, que modelan este tipo de crecimiento rápido.

### Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación
 la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio porcentual por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

### Definir una función exponencial

Un estudio reveló que el porcentaje de la población que es vegana en Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, el 2,5 % de la población era vegana, tras adherirse a una dieta que no incluye ningún producto de origen animal: sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si este ritmo continúa, los veganos representarán el 10 % de la población estadounidense en 2015, el 40 % en 2019 y el 80 % en 2021.
¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el porcentaje de aumento? La gente usa estas palabras erróneamente. ¿Se utilizan correctamente estas palabras? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios de comunicación.

Para entender claramente el crecimiento exponencial, contrastémoslo con el crecimiento lineal. Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Duplicaremos las correspondientes salidas consecutivas. La segunda función es lineal. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Sumaremos 2 a las salidas consecutivas correspondientes. Vea la .
A partir de la , podemos deducir que, en lo que respecta a estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece al crecimiento lineal.
1. El crecimiento exponencial se refiere a que el valor original a partir del rango aumenta en el mismo porcentaje en incrementos iguales, hallados en el dominio.
2. El crecimiento lineal se refiere a que el valor original a partir del rango se incrementa en la misma cantidad en incrementos iguales, hallados en el dominio.
Aparentemente, la diferencia entre "el mismo porcentaje" y "la misma cantidad" es bastante significativa. En el caso del crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante daba como resultado la duplicación de la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. En el caso del crecimiento lineal, la tasa de cambio sumatoria constante sobre incrementos iguales daba como resultado la suma de 2 a la salida cada vez que la entrada se incrementaba en uno.
La forma general de la función exponencial es
 donde
 es cualquier número distinto a cero,
 es un número real positivo, que no sea igual a 1.
1. Si los valores de
 la función crece a un ritmo proporcional a su tamaño.
2. Si los valores de
 la función decae a un ritmo proporcional a su tamaño.
Veamos la función
 de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla () para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de

 con

Examinemos el gráfico de
 al trazar los pares ordenados que observamos en la tabla en la , y luego hagamos algunas observaciones.
Definamos el comportamiento del gráfico de la función exponencial
 y destaquemos algunas de sus características principales.
1. el dominio es

2. el rango es

3. a medida que

4. a medida que

5.
 es siempre creciente,
6. el gráfico de
 nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero.
7.
 es la asíntota horizontal.
8. la intersección en y es 1.

### Evaluar funciones exponenciales

Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a
 ¿Por qué limitamos la base
 a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva:
1. Supongamos que
 y
 Entonces
 que no es un número real.
¿Por qué limitamos la base a valores positivos que no sean
 Porque la base
 da como resultado la función constante. Observe lo que ocurre si la base es

1. Supongamos que
 Entonces
 para cualquier valor de

Para evaluar una función exponencial con la forma
 simplemente sustituimos
 con el valor dado, y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo:
Supongamos que
 ¿Qué es

Para evaluar una función exponencial con una forma distinta a la básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo:
Supongamos que
 ¿Qué es

Observe que, de no seguirse el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto:

### Definir el crecimiento exponencial

Dado que el resultado de las funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término "crecimiento exponencial" se utiliza a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial puede definirse con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela un crecimiento exponencial.
En términos generales, tenemos una función exponencial, en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene 100 tiendas y se expande con la inauguración de 50 tiendas al año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función
 La empresa B tiene 100 tiendas y se expande al aumentar el número de tiendas en un 50 % cada año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función

Algunos años de crecimiento de estas empresas se ilustran en la .
Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa en el lapso de cinco años se muestran en la . Podemos ver que, con el crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal.
Observe que el dominio de ambas funciones es
 y el rango en ambas funciones es
 Después del año 1, la empresa B siempre tiene más tiendas que la empresa A.
Ahora, nos centraremos en la función que representa el número de tiendas de la empresa B,
 En esta función exponencial, 100 representa el número inicial de tiendas, 0,50 representa la tasa de crecimiento y
 representa el factor de crecimiento. En términos más generales, podemos escribir esta función como
 donde 100 es el valor inicial,
 se denomina la base, y
 se denomina el exponente.

### Hallar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes
 y
 y evaluar la función.

### Aplicar la fórmula del interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto. El término compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta.
La tasa anual equivalente (TAE) de una cuenta, también llamada tasa nominal, es el tipo de interés anual que devenga una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce un número de veces distinto de una vez al año. De hecho, cuando se capitalizan los intereses más de una vez al año, ¡el tipo de interés efectivo acaba siendo mayor que el nominal! Se trata de una poderosa herramienta para invertir.
Podemos calcular el interés compuesto con la fórmula del interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo
 capital
 TAE
 y el número de periodos de capitalización en un año

Por ejemplo, observe la , que muestra el resultado de invertir 1.000 dólares al 10 % durante un año. Observe cómo el valor de la cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de la capitalización.

### Evaluar funciones con base e

Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La  muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará.
Examine el valor de 1 dólar invertido al 100 % de interés durante 1 año, capitalizado a diversas frecuencias, que figuran en la .
Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que
 aumenta sin límites. De hecho, como
 aumenta cada vez más, la expresión
 se acerca a un número utilizado con tanta frecuencia en matemáticas que hasta tiene su propio nombre: la letra
 Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal se eterniza sin repetirse. A continuación, se muestra su aproximación con seis decimales.

### Investigar el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza e como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan
 como base se denominan modelos de crecimiento o decaimiento continuo. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

### Ecuaciones clave

### Conceptos clave

1. La función exponencial se define como aquella con una constante positiva distinta de
 elevado a un exponente variable. Vea el .
2. Una función se evalúa al resolver en un valor específico. Vea el  y el .
3. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Vea el .
4. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Vea el .
5. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico del modelo. Vea el .
6. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Vea el .
7. El valor de una cuenta en cualquier momento
 puede calcularse mediante la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el importe de capital, el tipo de interés anual y los periodos de capitalización. Vea el .
8. La inversión inicial de una cuenta puede hallarse con la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, el tipo de interés anual, los periodos de capitalización y la duración de la cuenta. Vea el .
9. El número
 es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decaimiento exponencial en el mundo real. Su aproximación decimal es

10. Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave
 o
 para calcular las potencias de
 Vea el .
11. Los modelos de crecimiento o decaimiento continuo son modelos exponenciales que utilizan
 como base. Los modelos de crecimiento y decaimiento continuo pueden encontrarse cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o decaimiento. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección

### Verbales

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique si el enunciado representa una función exponencial. Explique.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Por cada año
 la población de un bosque de árboles viene representada por la función
 En un bosque vecino, la población del mismo tipo de árbol viene representada por la función
 (Redondee las respuestas al número entero más cercano).
En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa crecimiento exponencial, decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique.
En los siguientes ejercicios, halle la fórmula de una función exponencial que pase por los dos puntos dados.
En los siguientes ejercicios, determine si la tabla puede representar una función lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula del interés compuesto,

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos. Explique.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe cada función. Redondee las respuestas a cuatro decimales, si es necesario.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación de una función exponencial dados los puntos en la curva.

### Extensiones

### Aplicaciones en el mundo real