# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de independencia

Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).
El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste:
donde:
1. O = valores observados
2. E = valores esperados
3. i = el número de filas de la tabla
4. j = el número de columnas de la tabla
Hay  términos de la forma
 .
Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que vio el término independencia fue en la A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo.

### Referencias

DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013)
“Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5.

### Revisión de la fórmula

2. El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1).
3. El estadístico de prueba es
     donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla.

4. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado
.

Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La  muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α.

### Tarea para la casa

Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de homogeneidad

La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.
HipótesisH: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.
 Estadístico de pruebaUtilice un   estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.
 Grados de libertad (df = número de columnas – 1
 RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.
 Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.

### Referencias

Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.

### Revisión de la fórmula

     Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados  E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos
df = (i −1)(j −1) Grados de libertad
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la .

### Tarea para la casa


# La distribución chi-cuadrado

## Comparación de las pruebas chi-cuadrado

Anteriormente el estadístico de prueba χ2 se utilizó en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen de qué prueba χ2 es la adecuada para utilizar en diferentes circunstancias.
1. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H: La población se ajusta a la distribución dada. H: La población no se ajusta a la distribución dada.
2. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos variables (factores) son independientes. H: Las dos variables (factores) son dependientes.
3. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H: Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes.

### Repaso del capítulo

La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida.

### Tarea para la casa

Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.

### Resúmalo todo


# La distribución F y el anova de una vía

## Introducción

Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos.
Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F, utilizada para el ANOVA de una vía y la prueba de diferencias entre dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.


# La distribución F y el anova de una vía

## Prueba de dos varianzas

Este capítulo introduce una nueva función de densidad de probabilidad: la distribución F. Se utiliza para muchas aplicaciones, incluso el ANOVA y para probar la igualdad entre varias medias. Comenzamos con la distribución F y la prueba de la hipótesis de las diferencias en las varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación en la tapa y del recipiente debería ser aproximadamente la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. En finanzas, la varianza es una medida de riesgo; por ende, sería interesante comprobar la hipótesis de que dos carteras de inversión diferentes tienen la misma varianza: la volatilidad.
Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que ocurra lo siguiente:
A diferencia de la mayoría de las pruebas de hipótesis en este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, o se aproximan, la prueba puede dar un resultado sesgado para el estadístico de prueba.
Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que
  y
  son las varianzas poblacionales desconocidas y
  y
  sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n1 y n2. Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F:

F tiene la distribución F ~ F(n1 – 1, n2 – 1)

donde n1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n2 – 1 son los grados de libertad del denominador.
Si la hipótesis nula es
 , entonces el cociente F, el estadístico de prueba, se convierte en

 si δ0 = 1, luego
 El estadístico de prueba es:
Las distintas formas de las hipótesis probadas son:
Una forma más general de las hipótesis nula y alternativa para una prueba de dos colas sería:
Donde si δ0 = 1 es una simple prueba de la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Esta forma de la hipótesis tiene la ventaja de permitir pruebas que van más allá de las simples diferencias y puede dar cabida a pruebas de diferencias específicas, como hicimos con las diferencias de medias y las diferencias de proporciones. Esta forma de la hipótesis también muestra la relación entre la distribución F y la χ2: la F es un cociente de dos distribuciones de chi-cuadrado, que vimos en el capítulo anterior. Esto sirve para determinar los grados de libertad de la distribución F resultante.
Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces
  y
  están cerca en valor y el estadístico de prueba,
  está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes,
  y
  también suelen ser muy diferentes. Al elegir
  ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente
  sea mayor que uno. Si
  y
  están muy separados, entonces
  es un número grande.
Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. En esencia, nos preguntamos si el valor calculado del estadístico de prueba F es significativamente diferente de uno.
Para determinar los puntos críticos tenemos que calcular Fα, df1,df2. Consulte la tabla F en el Apéndice A. Esta tabla F tiene valores para varios niveles de significación de 0,1 a 0,001, designados como "p" en la primera columna. Elija el nivel de significación deseado y siga hacia abajo y a través para encontrar el valor crítico en la intersección de los dos grados de libertad diferentes. La distribución F tiene dos grados de libertad diferentes, uno asociado al numerador, df1, y otro asociado al denominador, df2. Para complicar las cosas, la distribución F no es simétrica y cambia el grado de asimetría a medida que cambian los grados de libertad. Los grados de libertad en el numerador son n1-1, donde n1 es el tamaño de la muestra del grupo 1, y los grados de libertad en el denominador son n2-1, donde n2 es el tamaño de la muestra del grupo 2. Fα, df1, df2 dará el valor crítico en el extremo superior de la distribución F.
Para calcular el valor crítico para el extremo inferior de la distribución, invierta los grados de libertad y divida el valor F de la tabla entre el número uno.
1. Valor crítico superior de la cola: Fα,df1,df2
2. Valor crítico inferior de la cola: 1/Fα,df2,df1
Cuando el valor calculado de F está entre los valores críticos, no en la cola, no podemos rechazar la hipótesis nula de que las dos varianzas proceden de una población con la misma varianza. Si el valor F calculado está en cualquiera de las dos colas, no podemos aceptar la hipótesis nula, tal y como hemos hecho en todas las pruebas de hipótesis anteriores.
Una forma alternativa de calcular los valores críticos de la distribución F facilita el uso de la tabla F. Observamos en la tabla F que todos los valores de F son mayores que uno, por lo que el valor crítico de F para la cola de la izquierda siempre será menor que uno, porque para calcular el valor crítico en la cola de la izquierda dividimos un valor de F entre el número uno, como se muestra arriba. También observamos que si la varianza de la muestra en el numerador del estadístico de prueba es mayor que la varianza de la muestra en el denominador, el valor F resultante será mayor que uno. El método abreviado para esta prueba consiste en asegurarse de que la mayor de las dos varianzas de la muestra se coloque en el numerador para calcular el estadístico de prueba. Esto significará que solo habrá que calcular el valor crítico de la cola derecha en la tabla F.

### Referencias

“MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true.

### Repaso del capítulo

La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F, con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente.
3. Las dos poblaciones son independientes entre sí.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La siguiente tabla muestra el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas.


# La distribución F y el anova de una vía

## ANOVA de una vía

El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos:
1. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
2. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
3.  Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
4. El factor es una variable categórica.
5. La respuesta es una variable numérica.

### Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k:

: Al menos dos de las medias del grupo  no son iguales. Eso es,  para algunos .
Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H: μ = μ = μ y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones.
Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde).

### Repaso del capítulo

El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
3. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
4. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son?

### Tarea para la casa


# La distribución F y el anova de una vía

## La distribución F y el cociente F

La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución , inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.
Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F.
Para calcular el cociente  se hacen dos estimaciones de la varianza.
1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.
1. SSentre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
2. SSdentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.
Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MSentre es la varianza entre grupos y MSdentro es la varianza dentro de los grupos.
Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática
MSentre y MSdentro se pueden escribir como sigue:
1.

2.

La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MSentre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MSdentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MSdentro.
La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MSentre como MSdentro deberían estimar el mismo valor.
El cociente

Si MSentre y MSdentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MSentre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MSdentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MSentre será generalmente mayor que MSdentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MSdentro sea mayor en una muestra determinada.
Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:
Fórmula del cociente

2. n = el tamaño de la muestra
3.  dfnumerador = k – 1
4.  dfdenominador = n – k
5. s2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
6.
 = la varianza de las medias muestrales
Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.

La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H.

### Notación

La notación para la distribución F es F ~ F
donde df(num) = dfentre y df(denom) = dfdentro
La media de la distribución F es

### Referencias

Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante)

### Repaso del capítulo

El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA.

### Revisión de la fórmula

dfentre = df(num) = k – 1
dfdentro = df(denom) = n – k
MSentre =

MSdentro =

F =

1. k = el número de grupos
2. n = el tamaño del grupo j
3. s = la suma de los valores del grupo j
4. n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados
5. x = un valor (una observación) de los datos
6.
 = la varianza de las medias muestrales
7.
 = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la  son las ponderaciones de los diferentes grupos.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las datos en la  son los goles por partido de los diferentes equipos.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.

H: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Hα: Al menos dos de las medias de grupo µ1, µ2, …, µ5 no son iguales.


# La distribución F y el anova de una vía

## Datos sobre la distribución F

Estos son algunos datos sobre la distribución
1. La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha.
2. Hay una curva diferente para cada conjunto de grados de libertad.
3. El estadístico F es mayor o igual a cero.
4. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se aproxima a la normal, como puede verse en las dos figuras siguientes. La figura (b), con más grados de libertad, se acerca a la distribución normal mucho más, pero recuerde que la F no puede ser nunca menor que cero, por lo que la distribución no tiene una cola que llegue hasta el infinito por la izquierda, como ocurre con la distribución normal.
5. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo.

### Referencias

Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118.
“MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012.
Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association, 268, 1578-1580.

### Repaso del capítulo

El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F.
Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 12.3 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Siempre mire sus datos!
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la .
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.

Introduzca los datos en su calculadora o computadora.
Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La  recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas.


# Regresión lineal y correlación

## Introducción

Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es?
En otro ejemplo, sus ingresos pueden estar determinados por su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad, o su sexo o color. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora.
Estos ejemplos pueden o no estar vinculados con un modelo, lo que significa que alguna teoría sugirió que existe una relación. Este vínculo entre causa y efecto, a menudo denominado modelo, es la base del método científico y constituye el núcleo de la forma en que determinamos lo que creemos sobre el funcionamiento del mundo. El empezar con una teoría y desarrollar un modelo de la relación teórica debería dar como resultado una predicción, lo que hemos llamado antes una hipótesis. Ahora la hipótesis se refiere a un conjunto completo de relaciones. Por ejemplo, en economía el modelo de elección del consumidor se basa en supuestos relativos al comportamiento humano: el deseo de maximizar algo llamado utilidad, el conocimiento de los beneficios de un producto sobre otro, lo que gusta y no gusta, denominados generalmente preferencias, etc. Estos se combinan para darnos la curva de demanda. De ello se desprende la predicción de que, a medida que los precios suben, la cantidad demandada disminuye. La economía dispone de modelos sobre la relación entre los precios que se cobran por los bienes y la estructura de mercado en la que opera la empresa, monopolio versus competencia, por ejemplo. Los modelos de quiénes serían los más elegidos para un puesto de trabajo, las repercusiones de los cambios en la política de la Reserva Federal y el crecimiento de la economía, y un largo etcétera.
Los modelos no son exclusivos de la economía, incluso dentro de las ciencias sociales. En la ciencias políticas, por ejemplo, existen modelos que predicen el comportamiento de los burócratas ante diversos cambios de circunstancias, basados en suposiciones sobre los objetivos de los burócratas. Existen modelos de comportamiento político que abordan la toma de decisiones estratégicas tanto en las relaciones internacionales como en la política interior.
Las llamadas ciencias duras son, por supuesto, el origen del método científico, ya que a lo largo de los siglos intentaron explicar el confuso mundo que nos rodea. Algunos de los primeros modelos hoy nos hacen reír; la generación espontánea de la vida, por ejemplo. Estos primeros modelos se ven hoy como poco más que los mitos fundacionales que desarrollamos para poner algo de orden en lo que parecía un caos.
La base de toda construcción de modelos es la afirmación, quizá arrogante, de que sabemos qué ha causado el resultado que vemos. Esto se plasma en el simple enunciado matemático de la forma funcional que y = f(x). La respuesta, Y, está causada por el estímulo, X. Todo modelo acabará llegando a este lugar final y será aquí donde la teoría vivirá o morirá. ¿Apoyarán los datos esta hipótesis? Si es así, está bien, creeremos esta versión del mundo hasta que una teoría mejor venga a sustituirla. Este es el proceso por el que pasamos de la Tierra plana a la Tierra redonda, del sistema solar centrado en la Tierra al sistema solar centrado en el sol, y así sucesivamente.
El método científico no confirma una teoría para siempre: no demuestra la "verdad". Todas las teorías están sujetas a revisión y pueden revocarse. Estas son las lecciones que aprendimos cuando elaboramos por primera vez el concepto de la prueba de hipótesis al principio de este libro. Al comenzar esta sección, estos conceptos merecen ser revisados porque la herramienta que desarrollaremos aquí es la piedra angular del método científico y lo que está en juego es mayor. Las teorías completas se elevarán o caerán gracias a esta herramienta estadística; la regresión y las versiones más avanzadas se llaman econometría.
En este capítulo comenzaremos con la correlación, la investigación de las relaciones entre variables que pueden o no estar fundadas en un modelo de causa y efecto. Las variables simplemente se mueven en la misma dirección o dirección contraria. Es decir, no se mueven al azar. La correlación proporciona una medida del grado en que esto es verdadero. A partir de ahí, desarrollamos una herramienta para medir las relaciones de causa y efecto: el análisis de regresión. Podremos formular modelos y pruebas para determinar si son estadísticamente sólidas. Si se comprueba que es así, podemos utilizarlas para hacer predicciones: si por política cambiáramos el valor de esta variable, ¿qué pasaría con esta otra? Si impusiéramos un impuesto a la gasolina de 50 céntimos por galón, ¿cómo incidiría eso en las emisiones de carbono, en las ventas de Hummers/Híbridos, en el empleo del transporte público, etc.? La capacidad de dar respuesta a este tipo de preguntas es el valor de la regresión como herramienta que nos permite entender nuestro mundo y tomar decisiones políticas meditadas.


# Regresión lineal y correlación

## El coeficiente de correlación r

Al comenzar esta sección, observamos que el tipo de datos con los que vamos a trabajar ha cambiado. Tal vez no se note, pero todos los datos que hemos estado utilizando son para una sola variable. Puede ser de dos muestras, pero sigue siendo una variable univariante. El tipo de datos descrito en los ejemplos anteriores y para cualquier modelo de causa y efecto son datos bivariados; "bi" para dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes, es decir, muchas variables.
Para nuestro trabajo, podemos clasificar los datos en tres grandes categorías: de series temporales, de sección transversal y de panel. Aprendimos sobre los dos primeros al inicio. Los datos de series temporales miden una única unidad de observación a medida que pasa el tiempo, por ejemplo, una persona, una compañía o un país. Lo que se mide serán al menos dos características, por ejemplo, los ingresos de la persona, la cantidad de un determinado bien que compra y el precio que ha pagado. Se trataría de tres informaciones en un tiempo, digamos 1985. Si siguiéramos a esa persona a lo largo del tiempo, tendríamos esos mismos datos para 1985, 1986, 1987, etc. Esto constituiría un conjunto de datos de series temporales. Si hiciéramos esto durante 10 años, tendríamos 30 datos sobre los hábitos de consumo de este bien por parte de esta persona durante la última década y conoceríamos sus ingresos y el precio que ha pagado.
Un segundo tipo de conjunto de datos es el de los datos transversales. En este caso, la variación no es a través del tiempo para una sola unidad de observación, sino a través de las unidades de observación durante un punto en el tiempo. Para un tiempo determinado, reuniríamos el precio pagado, la cantidad comprada y los ingresos de muchas personas por separado.
Un tercer tipo de conjunto de datos son los datos de panel. Aquí se sigue un panel de unidades de observación a lo largo del tiempo. Si retomamos el ejemplo anterior, podríamos seguir a 500 personas, la unidad de observación, a lo largo del tiempo, diez años, y así observar sus ingresos, el precio pagado y la cantidad del bien adquirido. Si tuviéramos 500 personas y datos durante diez años sobre el precio, los ingresos y la cantidad comprada, tendríamos 15.000 datos. Este tipo de conjuntos de datos son muy costosos de construir y mantener. Sin embargo, proporcionan una enorme cantidad de información que puede utilizarse para responder preguntas muy importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el efecto en la tasa de participación laboral de las mujeres a medida que su familia de origen, la madre y el padre, envejecen? ¿O existen efectos diferenciales en los resultados de salud, dependiendo de la edad a la que una persona empezó a fumar? Solo los datos de panel pueden dar respuesta a estas y otras cuestiones relacionadas, ya que debemos seguir a varias personas en el transcurso del tiempo. Sin embargo, el trabajo que realizamos aquí no será del todo apropiado para conjuntos de datos como estos.
Partiendo de un conjunto de datos con dos variables independientes, nos preguntamos: ¿están relacionadas? Una forma de responder visualmente a esta pregunta es crear un gráfica de dispersión de los datos. Antes no podíamos hacerlo cuando hacíamos estadística descriptiva porque esos datos eran univariantes. Ahora tenemos datos bivariados, por lo que podemos trazar en dos dimensiones. Las tres dimensiones son posibles en un trozo de papel plano, pero resultan muy difíciles de conceptualizar por completo. Por supuesto, no se pueden representar gráficamente más de tres dimensiones, aunque las relaciones pueden medirse matemáticamente.
Para dotar de precisión matemática a la medición de lo que vemos, utilizamos el coeficiente de correlación. La correlación nos dice algo sobre el movimiento conjunto de dos variables, pero nada sobre el motivo de este movimiento. Formalmente, en el análisis de correlación supone que las dos variables analizadas son independientes. Esto significa que ninguna de los dos provoca el movimiento de la otra. Además, significa que ninguna de las dos variables depende de la otra, ni de ninguna otra. Incluso con estas limitaciones, el análisis de correlación puede arrojar algunos resultados interesantes.
El coeficiente de correlación, ρ (se pronuncia ro), es la estadística matemática para una población que nos proporciona una medida de la fuerza de una relación lineal entre las dos variables. Para una muestra de datos, la estadística r, desarrollada por Karl Pearson a principios de los 1900, es una estimación de la correlación de la población y se define matemáticamente como:
donde sx1 y sx2 son las desviaciones típicas de las dos variables independientes X1 y X2,  y  son las medias muestrales de las dos variables, y X1i y X2i son las observaciones individuales de X1 y X2. El coeficiente de correlación r oscila entre -1 y 1. La segunda fórmula equivalente se utiliza a menudo porque puede ser más fácil de calcular. Aunque estas fórmulas parezcan espeluznantes, en realidad no son más que el cociente de la covarianza entre las dos variables y el producto de sus dos desviaciones típicas. Es decir, es una medida de las varianzas relativas.
En la práctica, todos los análisis de regresión y correlación se realizarán mediante softwares diseñados para estos fines. Cualquier cosa que supere tal vez media docena de observaciones crea inmensos problemas computacionales. Por ello, la correlación y, más aun, la regresión, no fueron herramientas de investigación muy utilizadas hasta la llegada de las "máquinas de computación". En la actualidad, la potencia de cómputo necesaria para analizar los datos mediante paquetes de regresión se considera casi trivial en comparación con la de hace una década.
Para visualizar cualquier relación lineal que pueda existir, vea el trazado de un diagrama de dispersión de los datos estandarizados. La  presenta varios diagramas de dispersión y el valor calculado de r. Observe en los paneles (a) y (b) que los datos tienden generalmente a moverse juntos, (a) hacia arriba y (b) hacia abajo. El panel (a) es un ejemplo de correlación positiva y el panel (b) es un ejemplo de correlación o relación negativa. El signo del coeficiente de correlación nos indica si la relación es positiva o negativa (inversa). Si todos los valores de X1 y X2 se encuentran en una línea recta, el coeficiente de correlación será 1 o -1, dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa, y cuanto más se acerque a uno o a uno negativo, más fuerte será la relación entre las dos variables. RECUERDE SIEMPRE QUE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN NO NOS INDICA LA PENDIENTE.
Recuerde que lo único que nos señala el coeficiente de correlación es si los datos están o no relacionados linealmente. En el panel (d) las variables tienen obviamente algún tipo de relación muy específica entre sí, pero el coeficiente de correlación es cero, lo que indica que no existe ninguna relación lineal.
Si se sospecha que existe una relación lineal entre X1 y X2, entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal.
2. El valor de r está siempre entre –1 y +1: –1 ≤ r ≤ 1.
3. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre X1 y X2. Los valores de r cercanos a –1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre X1 y X2.

4. Si r = 0, no hay ninguna relación lineal entre X1 y X2 (no hay correlación lineal).
5. Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta: CUALQUIER línea recta sin importar la pendiente. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir.
2. Un valor positivo de r significa que, cuando X1 aumenta, X2 tiende a aumentar y cuando X1 disminuye, X2 tiende a disminuir (correlación positiva).
3. Un valor negativo de r significa que, cuando X1 aumenta, X2 tiende a disminuir y cuando X1 disminuye, X2 tiende a aumentar (correlación negativa).


# Regresión lineal y correlación

## Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, r, nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre X1 y X2.
Los datos de la muestra se utilizan para calcular r, el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r, es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido.

1. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido)
2. r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra)
La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n.
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo".
1. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre X1 y X2 porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero.
2. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre X1 y X2. Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”.

### Realización de la prueba de hipótesis

1. Hipótesis nula:
2. Hipótesis alternativa:
2. Hipótesis nula : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY una relación lineal significativa (correlación) entre X1 y X2 en la población.
3. Hipótesis alternativa : El coeficiente de correlación de la población es significativamente diferente de cero. Existe una relación lineal significativa (correlación) entre X1 y X2 en la población.
Llegar a una conclusiónHay dos métodos para tomar la decisión sobre la hipótesis. El estadístico de prueba para comprobar esta hipótesis es:

Donde la segunda fórmula es una forma equivalente al estadístico de prueba, n es el tamaño de la muestra y los grados de libertad son n-2. Se trata de la estadística t y funciona de la misma manera que otras pruebas t. Calcule el valor t y compárelo con el valor crítico de la tabla t con los grados de libertad adecuados y el nivel de confianza que desee mantener. Si el valor calculado está en la cola, entonces no se puede aceptar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre estas dos variables aleatorias independientes. Si el valor t calculado NO está en la cola, entonces no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre las dos variables.
Una forma rápida de comprobar las correlaciones es la relación entre el tamaño de la muestra y la correlación. Si:
entonces esto implica que la correlación entre las dos variables demuestra que existe una relación lineal y es estadísticamente significativa a un nivel de significación aproximado de 0,05. Como indica la fórmula, existe una relación inversa entre el tamaño de la muestra y la correlación necesaria para la significación de una relación lineal. Con solo 10 observaciones, la correlación requerida para la significación es de 0,6325, para 30 observaciones la correlación requerida para la significación disminuye a 0,3651 y a 100 observaciones el nivel requerido es solo de 0,2000.
Las correlaciones sirven para visualizar los datos, pero no se utilizan adecuadamente para "explicar" una relación entre dos variables. Tal vez no haya una estadística más mal utilizada que el coeficiente de correlación. Citar correlaciones entre las condiciones de salud y todo lo demás, desde el lugar de residencia hasta el color de los ojos, tiene el efecto de implicar una relación de causa y efecto. Esto no se logra con un coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación es, por supuesto, inocente de esta mala interpretación. El analista tiene el deber de utilizar una estadística diseñada para comprobar las relaciones de causa y efecto y comunicar solo esos resultados si pretende hacer tal afirmación. El problema es que pasar esta prueba más rigurosa es difícil, por lo que los "investigadores" perezosos o inescrupulosos recurren a las correlaciones cuando no pueden presentar sus argumentos de forma legítima.


# Regresión lineal y correlación

## Ecuaciones lineales

La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma
donde a y b son números constantes.
La variable  Otra forma de pensar en esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La variable X es la causa y la variable Y es el efecto hipotético. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente.
El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.

### Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal y = a + bx, b = pendiente y a = intersección en y. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a) donde la línea cruza el eje y. Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es dy / dx = b donde podemos leer la expresión matemática como "el cambio en y (dy) que resulta de un cambio en x (dx) = b * dx".

### Repaso del capítulo

El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma , donde  y  son constantes,  es la variable independiente  es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma , donde  y  son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx, la constante b, llamada coeficiente, representa la pendiente. La constante a se denomina  intersección en y.
La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x) , en promedio. La intersección en  se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero.


# Regresión lineal y correlación

## La ecuación de regresión

El análisis de regresión es una técnica estadística que permite comprobar la hipótesis de que una variable depende de otra u otras variables. Además, el análisis de regresión brinda una estimación de la magnitud del impacto de un cambio en una variable sobre otra. Por supuesto, esta última característica es de vital importancia para predecir los valores futuros.
El análisis de regresión se basa en una relación funcional entre variables y supone, además, que la relación es lineal. Esta suposición de linealidad es necesaria porque, en su mayor parte, las propiedades estadísticas teóricas de la estimación no lineal no están aún bien elaboradas por los matemáticos y econometristas. Esto nos plantea algunas dificultades en el análisis económico porque muchos de nuestros modelos teóricos no son lineales. La curva de costo marginal, por ejemplo, es decididamente no lineal, al igual que la función de costo total, si creemos en el efecto de la especialización del trabajo y en la ley productividad marginal decreciente. Existen técnicas para superar algunas de estas dificultades, como la transformación exponencial y logarítmica de los datos. No obstante, debeos reconocer desde el principio que el típico análisis de regresión de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) siempre utilizará una función lineal para estimar lo que podría ser una relación no lineal.
El modelo de regresión lineal general se puede enunciar mediante la ecuación:
donde β0 es la intersección, βi's es la pendiente entre Y y el Xi apropiado, y ε (pronunciado épsilon), es el término de error que captura los errores en la medición de Y y el efecto sobre Y de cualquier variable que falte en la ecuación y que contribuiría a explicar las variaciones en Y. Esta ecuación es la ecuación teórica de la población y, por lo tanto, utiliza letras griegas. La ecuación que estimaremos tendrá los símbolos romanos equivalentes. Esto es paralelo a la forma en que antes hemos mantenido el seguimiento de los parámetros de la población y los parámetros de la muestra. El símbolo de la media poblacional era µ y el de la media muestral , para la desviación típica de la población fue σ y para la desviación típica de la muestra fue s. Luego, la ecuación que se estimará con una muestra de datos para dos variables independientes será:

Al igual que nuestro trabajo anterior con las distribuciones de probabilidad, este modelo solo funciona si se cumplen ciertos supuestos. Estos son: que Y se distribuya normalmente, que los errores también se distribuyan normalmente con una media de cero y una desviación típica constante, y que los términos de error sean independientes del tamaño de X e independientes entre sí.

### Supuestos del modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios

Cada uno de estos supuestos requiere mayor explicación. Si uno de estos supuestos no se cumple, afectará a la calidad de las estimaciones. Algunas de las fallas de estos supuestos pueden solucionarse, mientras que otras dan lugar a estimaciones que, sencillamente, no aportan nada a las preguntas que el modelo intenta responder o, peor aún, dan lugar a estimaciones sesgadas.
La  muestra el caso en el que se cumplen los supuestos del modelo de regresión. La línea estimada es  Se muestran tres valores de X. Se coloca una distribución normal en cada punto, donde X es igual a la línea estimada y el error asociado a cada valor de Y. Observe que las tres distribuciones se distribuyen normalmente en torno al punto de la línea. Además, la variación, la varianza, en torno al valor predicho, es constante, lo cual indicando la homoscedasticidad del supuesto 2. La  no muestra todos los supuestos del modelo de regresión, pero sirve para visualizar los más importantes.

Esta es la forma general que se denomina modelo de regresión múltiple. El llamado análisis de regresión "simple" tiene una sola variable independiente (derecha), en lugar de muchas variables independientes. La regresión simple es solo un caso especial de la regresión múltiple. Hay que empezar con una regresión simple: es fácil de graficar en dos dimensiones, difícil de graficar en tres dimensiones e imposible de graficar en más de tres dimensiones. En consecuencia, nuestros gráficos serán para el caso de regresión simple. La  presenta el problema de regresión en forma de gráfica de dispersión del conjunto de datos donde se hipotetiza que Y depende de la única variable independiente X.
Una relación básica de los principios macroeconómicos es la función de consumo. Esta relación teórica establece que, a medida que aumenta el ingreso de una persona, su consumo aumenta, pero en una cantidad menor que el aumento del ingreso. Si Y es el consumo y X es el ingreso en la ecuación que aparece debajo de la , el problema de regresión consiste, en primer lugar, en establecer que esta relación existe y, en segundo lugar, en determinar el impacto de un cambio en el ingreso sobre el consumo de una persona. El parámetro β1 se denominó Propensión marginal al consumo en Principios de Macroeconomía.
Cada "punto" en la  representa el consumo y el ingreso de diferentes personas en un momento dado. Antes se denominaban datos de sección transversal; observaciones sobre variables en un momento dado a través de diferentes personas u otras unidades de medida. Este análisis se realiza con datos de series temporales, que serían el consumo y el ingreso per cápita o por país en diferentes momentos. En los problemas macroeconómicos se utilizan datos agregados de series temporales para todo un país. Para este concepto teórico en particular, estos datos están disponibles en el informe anual del Consejo de asesores económicos del Presidente.
El problema de la regresión se reduce a determinar qué línea recta representaría mejor los datos en la . El análisis de regresión se denomina a veces análisis de "mínimos cuadrados». Esto se debe a que el método para determinar qué línea se "ajusta" mejor a los datos consiste en minimizar la suma de los residuales al cuadrado de una línea a través de los datos.
Esta figura muestra la supuesta relación entre el consumo y el ingreso a partir de la teoría macroeconómica. En este caso, los datos se han representado en forma de gráfica de dispersión y se ha trazado una línea recta estimada. En este gráfico podemos ver un término de error, e1. Cada punto de datos tiene también un término de error. Una vez más, el término de error se introduce en la ecuación para captar los efectos sobre el consumo que no los causan los cambios en los ingresos. Esos otros efectos podrían ser los ahorros o el patrimonio de una persona, o los periodos de desempleo. Veremos cómo, al minimizar la suma de estos errores, obtenemos una estimación de la pendiente y la intersección de esta línea.
Considere el siguiente gráfico. La notación ha vuelto a ser la del modelo más general, en lugar del caso específico de la función macroeconómica de consumo en nuestro ejemplo.
La ŷ se lee "estimador de  y es el valor estimado de . (En la   representa el valor estimado del consumo porque está en la línea estimada). Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. La ŷ no suele ser igual a y a partir de los datos.
El término  se denomina "error" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El término de error se introdujo en la ecuación de estimación para captar las variables ausentes y los errores de medición que pudieron generarse en las variables dependientes. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y y el valor estimado de y. En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea, como se aprecia en el gráfico en el punto X0.
Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y.
Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y.
En el gráfico,  es el residual del punto indicado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo. Para cada punto de datos se calculan los residuales, o errores, y para i = 1, 2, 3, ..., n donde n es el tamaño de la muestra. Cada |e| es una distancia vertical.

La suma de los errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) es el término propiamente dicho.
Utilizando el cálculo, se puede determinar la línea recta que tiene los valores de los parámetros b0 y b1 que minimiza la SSE. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación:
donde
 y

Las medias muestrales de los valores x y los valores y son  y , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto (, ) llamados los puntos de las medias.

La pendiente b también se escribe:
donde s = la desviación típica de los valores de y y s = la desviación típica de los valores de x y r es el coeficiente de correlación entre x e y.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones normales y proceden de otro hallazgo matemático muy importante, que recibe el nombre de teorema de Gauss-Markov, sin el cual no podríamos hacer análisis de regresión. El teorema de Gauss-Markov señala que las estimaciones que obtenemos al utilizar el método de regresión por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) darán lugar a estimaciones que tienen algunas propiedades muy importantes. En el teorema de Gauss-Markov se demostró que una línea de mínimos cuadrados es ELIÓ, es decir, Estimador Lineal e Imparcial Óptimo. Óptimo es la propiedad estadística de que un estimador es el que tiene la mínima varianza. Lineal se refiere a la propiedad del tipo de línea que se estima. Un estimador imparcial es aquel cuya función de estimación tiene una media prevista que es igual a la media de la población. (Recordará que el valor previsto de  era igual a la media poblacional µ de acuerdo con el teorema del límite central. Este es exactamente el mismo concepto aquí).
Tanto Gauss como Markov fueron gigantes en el campo de las matemáticas, y Gauss también en el de la física, en el siglo XVIII y comienzos del siglo XIX. Apenas coincidieron cronológicamente, nunca geográficamente, pero el trabajo de Markov sobre este teorema se basó ampliamente en el trabajo anterior de Carl Gauss. El amplio valor aplicado de este teorema tuvo que esperar hasta mediados de este último siglo.
Con el método de los MCO podemos ahora dar con la estimación de la varianza del error que es la varianza de los errores al cuadrado, e2. A veces se denomina error estándar de la estimación. (Gramaticalmente esto se enunciaría mejor como la estimación de la varianza del error). La fórmula para la estimación de la varianza del error es:
donde ŷ es el valor predicho de la y, mientras que la y es el valor observado; así, el término  son los errores al cuadrado que hay que minimizar para dar con las estimaciones de los parámetros de la línea de regresión. Esta es realmente la varianza de los términos de error y sigue nuestra fórmula de varianza regular. Una nota importante es que aquí estamos dividiendo entre , que son los grados de libertad. Los grados de libertad de una ecuación de regresión serán el número de observaciones, n, reducido por el número de parámetros estimados, que incluye la intersección como parámetro.
La varianza de los errores es fundamental a la hora de comprobar las hipótesis de una regresión. Nos indica lo "ajustada" que es la dispersión sobre la línea. Como veremos en breve, cuanto mayor sea la dispersión en torno a la línea, es decir, cuanto mayor sea la varianza de los errores, menos probable será que la variable independiente hipotética tenga un efecto significativo sobre la variable dependiente. En resumen, es más probable que la teoría que se está probando falle si la varianza del término de error es alta. Si lo pensamos bien, esto no debería sorprender. Al comprobar las hipótesis sobre una media, observamos que las varianzas grandes reducen el estadístico de prueba y, por tanto, no alcanza la cola de la distribución. En estos casos, no se pueden rechazar las hipótesis nulas. Si no podemos rechazar la hipótesis nula en un problema de regresión, debemos concluir que la variable independiente hipotética no tiene ningún efecto sobre la variable dependiente.
Una forma de visualizar este concepto es dibujar dos gráficos de dispersión de los datos x e y a lo largo de una línea predeterminada. El primero tendrá poca varianza de los errores, lo que significa que todos los puntos de datos se moverán cerca de la línea. Ahora haga lo mismo, excepto que los puntos de datos tendrán una gran estimación de la varianza del error, lo que significa que los puntos de datos están muy dispersos a lo largo de la línea. Es evidente que la confianza sobre una relación entre x e y se ve afectada por esta diferencia entre la estimación de la varianza del error.

### Comprobación de los parámetros de la línea

Todo el objetivo del análisis de regresión era probar la hipótesis de que la variable dependiente, Y, dependía de hecho de los valores de las variables independientes, tal y como afirmaba alguna teoría de base, como el ejemplo de la función de consumo. De cara a la ecuación estimada en la , esto equivale a determinar los valores de b0 y b1. Observe que de nuevo utilizamos la convención de letras griegas para los parámetros de la población y letras romanas para sus estimaciones.

El resultado del análisis de regresión proporcionado por el sofware producirá una estimación de b0 y b1, y cualquier otra b para otras variables independientes que se hayan incluido en la ecuación estimada. La cuestión es saber si estas estimaciones son correctas. Para comprobar una hipótesis relativa a cualquier estimación, tendremos que conocer la distribución de muestreo subyacente. No debería sorprender a estas alturas del curso que la respuesta sea la distribución normal. Esto se aprecia al recordar el supuesto de que el término de error en la población, ε, se distribuye normalmente. Si el término de error se distribuye normalmente y la varianza de las estimaciones de los parámetros de la ecuación, b0 y b1, está determinada por la varianza del término de error, se deduce que las varianzas de las estimaciones de los parámetros también están distribuidas normalmente. Efectivamente, este es el caso.
Esto lo vemos por la creación de la estadística para la prueba de la hipótesis relativa al parámetro de la pendiente, β1 en nuestra ecuación de la función de consumo. Para comprobar si Y depende o no de X, o en nuestro ejemplo, que el consumo depende del ingreso, solo tenemos que comprobar la hipótesis de que β1 es igual a cero. Esta hipótesis se enunciaría formalmente como:
Si no podemos rechazar la hipótesis nula, debemos concluir que nuestra teoría no tiene validez. Si no podemos rechazar la hipótesis nula de que β1 = 0, entonces b1, el coeficiente del ingreso, es cero y cero por cualquier cosa es cero. Por lo tanto, el efecto del ingreso sobre el consumo es cero. No hay ninguna relación como nuestra teoría había sugerido.
Observe que hemos establecido la presunción, la hipótesis nula, como "no hay relación". Esto hace que la carga de la prueba recaiga en la hipótesis alternativa. En otras palabras, si queremos validar nuestra pretensión de encontrar una relación, debemos hacerlo con un nivel de significación superior al 90 %, 95 % o 99 %. El statu quo es la ignorancia, no existe ninguna relación. Además, para poder afirmar que realmente hemos añadido algo a nuestro bagaje, debemos hacerlo con una probabilidad significativa de estar en lo correcto. John Maynard Keynes acertó y así nació la economía keynesiana a partir de este concepto básico en 1936.

La estadística de esta prueba proviene directamente de nuestra vieja amiga, la fórmula de estandarización:
donde b1 es el valor estimado de la pendiente de la línea de regresión, β1 es el valor hipotético de beta, en este caso cero, y   es la desviación típica de la estimación de b1. En este caso, nos preguntamos cuántas desviaciones típicas se aleja la pendiente estimada de la pendiente hipotética. Se trata exactamente de la misma pregunta que nos hacíamos antes con respecto a una hipótesis sobre una media: ¿cuántas desviaciones típicas hay entre la media estimada, la media muestral y la media hipotética?
El estadístico de prueba se escribe como una distribución t de Student. No obstante, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para que los grados de libertad sean superiores a 30, podemos volver a utilizar la distribución normal. Para verificar por qué podemos utilizar la t de Student o la distribución normal, solo tenemos que ver  , la fórmula de la desviación típica de la estimación de b1:

Donde Se es la estimación de la varianza del error y S2x es la varianza de los valores x del coeficiente de la variable independiente que se está probando.
Vemos que Se, la estimación de la varianza del error, forma parte del cálculo. Dado que la estimación de la varianza del error se basa en el supuesto de normalidad de los términos de error, concluimos que la distribución muestral de las b, los coeficientes de nuestra línea de regresión hipotética, también se distribuyen normalmente.
Una última nota se refiere a los grados de libertad del estadístico de prueba, ν = n – k. Anteriormente restamos 1 del tamaño de la muestra para determinar los grados de libertad en un problema de la t de Student. Aquí debemos restar un grado de libertad por cada parámetro estimado en la ecuación. Para el ejemplo de la función de consumo perdemos 2 grados de libertad, uno para , la intersección, y uno para b1, la pendiente de la función de consumo. Los grados de libertad serían n - k - 1, donde k es el número de variables independientes y el extra se pierde por la intersección. Si estuviéramos estimando una ecuación con tres variables independientes, perderíamos 4 grados de libertad: tres para las variables independientes, k, y uno más para la intersección.
La regla de decisión para la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula sigue exactamente la misma forma que en todas nuestras pruebas de hipótesis anteriores. Es decir, si el valor calculado de t (o Z) cae en las colas de la distribución, donde las colas están definidas por α, el nivel de significación requerido en la prueba, no podemos aceptar la hipótesis nula. Si, por el contrario, el valor calculado del estadístico de prueba se encuentra dentro de la región crítica, no podemos rechazar la hipótesis nula.
Si concluimos que no podemos aceptar la hipótesis nula, podemos afirmar con nivel de confianza de  que la pendiente de la línea viene dada por b1. Esta es una conclusión extremadamente importante. El análisis de regresión no solo nos permite comprobar si existe una relación de causa y efecto, sino que también podemos determinar la magnitud de esa relación, en caso de que exista. Es esta característica del análisis de regresión la que lo hace tan valioso. Si se pueden desarrollar modelos que tengan validez estadística, podremos simular los efectos de los cambios en las variables que pueden estar bajo nuestro control con cierto grado de probabilidad, por supuesto. Por ejemplo, si se demuestra que la publicidad influye en las ventas, podemos determinar los efectos de cambiar el presupuesto de publicidad y decidir si el aumento de las ventas merece la pena el gasto añadido.

### Multicolinealidad

Nuestro análisis anterior indicaba que, al igual que todos los modelos estadísticos, el modelo de regresión de los MCO lleva aparejados importantes supuestos. Cada supuesto, si se viola, tiene un efecto sobre la capacidad del modelo para proporcionar estimaciones útiles y significativas. El teorema de Gauss-Markov nos asegura que las estimaciones de los MCO son imparciales y de varianza mínima, pero esto es cierto solo bajo los supuestos del modelo. Aquí veremos los efectos en las estimaciones de los MCO si las variables independientes están correlacionadas. En los cursos de Econometría se examinan los demás supuestos y los métodos para mitigar las dificultades que plantean si se incumplen. Nos ocupamos de la multicolinealidad porque es frecuente en los modelos económicos, con resultados a menudo frustrantes.

El modelo de los MCO supone que todas las variables son independientes entre sí. Esta suposición es fácil de comprobar para una muestra de datos en particular con simples coeficientes de correlación. La correlación, como muchos aspectos en estadística, es una cuestión de grado: un poco no es bueno y mucho es terrible.
El objetivo de la técnica de regresión es determinar los efectos de cada una de las variables independientes en una variable dependiente hipotética. Si dos variables independientes están interrelacionadas, es decir, correlacionadas, no podemos aislar los efectos sobre Y de una de ellas. En un caso extremo, donde  es una combinación lineal de , correlación igual a uno, ambas variables se mueven de forma idéntica con Y. En este caso, es imposible determinar la variable que es la verdadera causa del efecto sobre Y. (Si las dos variables estuvieran en realidad perfectamente correlacionadas, entonces no se podría calcular matemáticamente ningún resultado de regresión).
Las ecuaciones normales de los coeficientes muestran los efectos de la multicolinealidad en los coeficientes.

La correlación entre  y , , aparece en el denominador tanto de la fórmula de estimación de  como de . Si se cumple el supuesto de independencia, este término es cero. Esto indica que no hay ningún efecto de correlación en el coeficiente. Por otra parte, a medida que aumenta la correlación entre las dos variables independientes, el denominador disminuye; por ende, la estimación del coeficiente aumenta. La correlación tiene el mismo efecto en ambos coeficientes de estas dos variables. En esencia, cada variable está "tomando" parte del efecto sobre Y, que debería atribuirse a la variable colineal. Esto da lugar a estimaciones sesgadas.
La multicolinealidad tiene otro impacto perjudicial en las estimaciones de los MCO. La correlación entre las dos variables independientes también aparece en las fórmulas de estimación de la varianza de los coeficientes.

Aquí también observamos la correlación entre  y  en el denominador de las estimaciones de la varianza de los coeficientes de ambas variables. Si la correlación es cero, como se supone en el modelo de regresión, la fórmula se reduce al cociente conocido entre la varianza de los errores y la varianza de la variable independiente correspondiente. Sin embargo, si las dos variables independientes están correlacionadas, la varianza de la estimación del coeficiente aumenta. Esto da lugar a un valor t menor para la prueba de hipótesis del coeficiente. En resumen, la multicolinealidad hace que no se rechace la hipótesis nula de que la variable X no tiene ningún impacto en Y cuando, de hecho, X tiene un impacto estadísticamente significativo en Y. Dicho de otro modo, los grandes errores estándar del coeficiente estimado que crea la multicolinealidad sugieren una insignificancia estadística incluso cuando la relación hipotética es contundente.

### ¿Qué tan buena es la ecuación?

En la última sección nos ocupamos de comprobar la hipótesis de que la variable dependiente de hecho dependía de la variable o variables independientes hipotéticas. Puede que encontremos una variable independiente que tenga algún efecto sobre la variable dependiente, pero puede que no sea la única, y puede que ni siquiera sea la más importante. Recuerde que el término de error se colocó en el modelo para captar los efectos de cualquier variable independiente que falte. De ello se desprende que el término de error se utiliza para dar una medida de la "bondad del ajuste" de la ecuación, tomada en su conjunto para explicar la variación de la variable dependiente, Y.

El coeficiente de correlación múltiple, también llamado coeficiente de determinación múltiple o coeficiente de determinación, viene dado por la fórmula:
donde SSR es la suma de cuadrados de la regresión, la desviación al cuadrado del valor predicho de y con respecto al valor medio de y, y SST es la suma total de cuadrados que es la desviación total al cuadrado de la variable dependiente, y, de su valor medio, incluso el término de error, SSE, la suma de errores al cuadrado. La  muestra cómo la desviación total de la variable dependiente, y, se divide en estas dos partes.
La  muestra la línea de regresión estimada y una única observación, x1. El análisis de regresión trata de explicar la variación de los datos en torno al valor medio de la variable dependiente, y. La pregunta es: ¿por qué las observaciones de y varían con respecto al nivel promedio de y? El valor de y en la observación x1 varía de la media de y por la diferencia (). La suma de estas diferencias al cuadrado es la SST, la suma total de cuadrados (Sum of Squares Total). El valor real de y en x1 se desvía del valor estimado, ŷ, por la diferencia entre el valor estimado y el valor real, (). Recordemos que este es el término de error, e, y la suma de estos errores es SSE, suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors). La desviación del valor predicho de y, ŷ, del valor medio de y es () y es la SSR, suma de cuadrados de la regresión (Sum of Squares Regression). Recibe el nombre de "regresión" porque es la desviación explicada por la regresión. (A veces, la SSR se denomina SSM para la suma de la media de los cuadrados [Sum of Squares Mean] porque mide la desviación del valor medio de la variable dependiente, y, como se muestra en el gráfico).
Dado que la SST = SSR + SSE, vemos que el coeficiente de correlación múltiple es el porcentaje de la varianza, o desviación en y de su valor medio, que se explica por la ecuación cuando se toma como un todo. R2 variará entre cero y 1, donde cero indica que ninguna de la variación en y se explicó con la ecuación y un valor de 1 indica que el 100 % de la variación de y se explicó con la ecuación. Para los estudios de series temporales se espera un R2 alto y para los datos de sección transversal se espera un R2 bajo.
Aunque un R2 elevado es deseable, recuerde que lo que motivó la utilización del modelo de regresión fue la comprobación de la hipótesis sobre la existencia de una relación entre un conjunto de variables independientes y una variable dependiente en particular. La validación de una relación causa-efecto desarrollada por alguna teoría es la verdadera razón por la que elegimos el análisis de regresión. El incremento en el número de variables independientes tendrá el efecto de aumentar el R2. Para tener en cuenta este efecto, la medida adecuada del coeficiente de determinación es el , ajustado por grados de libertad, para evitar la suma sin sentido de variables independientes.
No hay ninguna prueba estadística para el R2 y, por tanto, poco se puede decir del modelo utilizando el R2 con nuestro característico nivel de confianza. Dos modelos que tienen el mismo tamaño de SSE, es decir, la suma de errores al cuadrado, pueden tener R2 muy diferentes si los modelos que compiten tienen diferentes SST, la suma total de desviaciones al cuadrado. La bondad del ajuste de los dos modelos es la misma: ambos tienen la misma suma de cuadrados no explicados, errores al cuadrado. Sin embargo, debido a la mayor suma total de cuadrados en uno de los modelos, el R2 difiere. De nuevo, el verdadero valor de la regresión como herramienta es examinar las hipótesis desarrolladas a partir de un modelo que predice determinadas relaciones entre las variables. Se trata de pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo y no de un juego de maximización de R2.
Otra forma de comprobar la calidad general del modelo global es probar los coeficientes como grupo y no de forma independiente. Por tratarse de una regresión múltiple (más de una X), utilizamos la prueba F para determinar si nuestros coeficientes afectan colectivamente a Y. La hipótesis es:

 "al menos uno de los βi no es igual a 0".
Si no se puede rechazar la hipótesis nula, entonces concluimos que ninguna de las variables independientes contribuye a explicar la variación de Y. Al revisar la , vemos que la SSR, la suma de cuadrados explicada, es una medida de cuánto de la variación de Y se explicada con todas las variables del modelo. La SSE, la suma de los errores al cuadrado, mide la cantidad de errores inexplicados. De ello se desprende que el cociente de estos dos puede proporcionarnos una prueba estadística del modelo en su conjunto. Al recordar que la distribución F es el cociente de las distribuciones de chi-cuadrado, que las varianzas se distribuyen según este y que tanto la suma de errores al cuadrado como la suma de cuadrados son varianzas, tenemos el estadístico de prueba para esta hipótesis como:
donde n es el número de observaciones y k es el número de variables independientes. Se demuestra que esto es equivalente a:construido a partir de la  donde R2 es el coeficiente de determinación, que también es una medida de la "bondad" del modelo.
Al igual que en todas nuestras pruebas de hipótesis, llegamos a una conclusión tras comparar la estadística F calculada con el valor crítico, dado nuestro nivel de confianza deseado. Si la estadística calculada de la prueba, F en este caso, se encuentra en la cola de la distribución, entonces no podemos aceptar la hipótesis nula. Al no poder aceptar las hipótesis nulas, concluimos que la especificación de este modelo tiene validez, porque al menos uno de los coeficientes estimados es significativamente diferente de cero.
Otra manera de llegar a esta conclusión es con la regla de comparación del valor p. El valor p es el área de la cola, dado el estadístico F calculado. En esencia, la computadora calcula el valor F en la tabla por nosotros. El resultado de la regresión computarizada para la estadística F calculada se encuentra normalmente en la sección de la tabla ANOVA, etiquetada "significación F". A continuación, se presenta cómo leer el resultado de una regresión en Excel. Es la probabilidad de NO aceptar una hipótesis nula falsa. Si esta probabilidad es menor que nuestro error alfa predeterminado, la conclusión es que no podemos aceptar la hipótesis nula.

### Variables ficticias

Hasta ahora, el análisis de la técnica de regresión de los MCO suponía que las variables independientes de los modelos probados eran variables aleatorias continuas. Sin embargo, no hay restricciones en el modelo de regresión contra las variables independientes que son binarias. Esto abre el modelo de regresión para comprobar las hipótesis relativas a variables categóricas como el sexo, la raza, la región del país, antes de un determinado dato, después de una determinada fecha y otras innumerables. Estas variables categóricas solo toman dos valores, 1 y 0, éxito o fracaso, de la distribución de probabilidad binomial. La forma de la ecuación pasa a ser:

donde . X2 es la variable ficticia y X1 es una variable aleatoria continua. La constante, b0, es la intersección en y, el valor donde la línea cruza el eje y. Cuando el valor de X2 = 0, la línea estimada se cruza en b0. Cuando el valor de X2 = 1 entonces la línea estimada cruza en b0 + b2. En efecto, la variable ficticia desplaza la línea estimada hacia arriba o hacia abajo, según la magnitud del efecto de la característica captada por la variable ficticia. Nótese que se trata de un simple desplazamiento paralelo y no influye en el impacto de la otra variable independiente; X1. Esta es una variable aleatoria continua y predice diferentes valores de y a diferentes valores de X1, a la vez que mantiene constante la condición de la variable ficticia.
Ejemplo de la variable ficticia es el trabajo que estima el impacto del sexo en los salarios. Existe toda una bibliografía sobre este tema y las variables ficticias se utilizan ampliamente. Para este ejemplo se examinan los salarios de los maestros de educación primaria y secundaria en un determinado estado. La utilización de una categoría laboral homogénea, la de los maestros, y para un solo estado reduce muchas de las variaciones que inciden naturalmente en los salarios, como el riesgo físico diferencial, el coste de vida en un estado en particular y otras condiciones laborales. La ecuación de estimación, en su forma más sencilla, especifica el salario en función de varias características de los maestros que, según la teoría económica, incidirían en el salario. Estos incluirían el grado de grado de instrucción como medida de productividad potencial, la edad o la experiencia para captar la formación en el trabajo, de nuevo como medida de productividad. Dado que los datos corresponden a los maestros empleados en un distrito escolar público y no a trabajadores de una compañía con ánimo de lucro, se incluye el ingreso promedio del distrito escolar por promedio de asistencia diaria de estudiantes como medida de la capacidad de pago. A continuación, se presentan los resultados del análisis de regresión realizado con los datos de 24.916 maestros.
Los coeficientes de todas las variables independientes son significativamente diferentes de cero, como indican los errores estándar. Si se dividen los errores estándar de cada coeficiente, se obtiene un valor t superior a 1,96, que es el nivel requerido para una significación del 95 %. La variable binaria, nuestra variable ficticia de interés en este análisis, es el sexo, donde a los hombres se les asigna un valor de 1 y a las mujeres un valor de 0. El coeficiente es significativamente diferente de cero con estadístico t dramático de 47 desviaciones típicas. Así, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el coeficiente sea igual a cero. Por consiguiente, concluimos que existe una prima pagada a los maestros hombres de 632 dólares tras mantener constantes la experiencia, la educación y la riqueza del distrito escolar en el que el maestro está empleado. Cabe destacar que estos datos son de hace algún tiempo y que los 632 dólares representan una prima salarial del 6 % en aquella época. A continuación, se presenta un gráfico de este ejemplo de variables ficticias.
En dos dimensiones, el salario es la variable dependiente en el eje vertical, mientras que el total de años de experiencia se eligió como variable independiente continua en el eje horizontal. Se podría haber elegido cualquiera de las otras variables independientes para ilustrar el efecto de la variable ficticia. La relación entre los años totales de experiencia tiene una pendiente de 52,32 dólares por año de experiencia, a la vez que la línea estimada tiene una intersección de 4269 dólares si la variable de sexo es igual a cero, para las mujeres. Si la variable de sexo es igual a 1, en el caso de los hombres, el coeficiente se suma a la intersección en y. Así, la relación entre el total de años de experiencia y el salario se desplaza paralelamente hacia arriba, como se indica en el gráfico. En el gráfico también están marcados varios puntos de referencia. Una maestra de escuela con 10 años de experiencia recibe un salario de 4.792 dólares solo en función de su experiencia, pero se le paga 109 dólares menos que su colega hombre con cero años de experiencia.
También se puede estimar una interacción más compleja entre una variable ficticia y la variable dependiente. Puede ser que la variable ficticia no solo tenga algo más que un simple efecto de desplazamiento sobre la variable dependiente, sino que también interactúe con una o más de las otras variables independientes continuas. Aunque no se ha comprobado en el ejemplo anterior, se podría plantear la hipótesis de que el impacto del sexo el salario no fue ningún cambio puntual, sino que también influyó en el valor de los años adicionales de experiencia en el salario. Es decir, los salarios de las maestras se descontaron al principio y, además, no crecieron al mismo ritmo por efecto de la experiencia que los de sus colegas hombres. Esto se manifestaría como una pendiente diferente para la relación entre el total de años de experiencia para los hombres que para las mujeres. Si esto es así, las maestras no solo empezarían por debajo de sus colegas hombres (según el desplazamiento de la línea de regresión estimada), sino que se rezagarían cada vez más, a medida que aumentara el tiempo y la experiencia.
El siguiente gráfico muestra cómo se puede comprobar esta hipótesis con el uso de variables ficticias y una variable de interacción.
La ecuación de estimación señala cómo la pendiente de X1, la variable aleatoria continua de experiencia, contiene dos partes, b1 y b3. Esto ocurre porque la nueva variable X2 X1, llamada variable de interacción, se creó para permitir un efecto en la pendiente de X1 a partir de los cambios en X2, la variable ficticia binaria. Nótese que, cuando la variable ficticia X2 = 0, la variable de interacción tiene un valor de 0, pero cuando X2 = 1, la variable de interacción tiene un valor de X1. El coeficiente b3 es una estimación de la diferencia del coeficiente de X1 cuando X2 = 1 en comparación con cuando X2 = 0. En el ejemplo de los salarios de los maestros, si se paga una prima a los maestros hombres que incide en la tasa de aumento de los salarios con base en la experiencia, entonces la tasa de aumento de sus salarios sería b1 + b3, mientras que la de las maestras sería simplemente b1. Esto se comprueba con la hipótesis:
Se trata de una prueba t que utiliza el estadístico de prueba para el parámetro β3. Si no podemos aceptar la hipótesis nula de que β3 = 0, concluiremos que existe una diferencia entre la tasa de aumento del grupo para el que el valor de la variable binaria se fija en 1, los hombres en este ejemplo. Esta ecuación de estimación puede combinarse con la anterior, que solo probaba un desplazamiento paralelo en la línea estimada. Las funciones de ingresos/experiencia en la  se dibujan para este caso con un desplazamiento en la función de ingresos y una diferencia en la pendiente de la función con respecto a los años totales de experiencia.

### Repaso del capítulo

Se espera que esta explicación sobre el análisis de regresión haya demostrado el enorme potencial que tiene como herramienta para probar modelos y comprender mejor el mundo que nos rodea. El modelo de regresión tiene sus limitaciones, especialmente el requisito de que la relación subyacente sea aproximadamente lineal. En la medida en que la verdadera relación no sea lineal, puede aproximarse con una relación lineal o con formas no lineales de transformaciones que pueden estimarse con técnicas lineales. La transformación logarítmica doble de los datos proporcionará una manera fácil de probar esta forma particular de la relación. Una forma cuadrática aceptable (la forma de la curva de coste total de Principios de Microeconomía) puede generarse con la ecuación:

donde los valores de X se elevan simplemente al cuadrado y se introducen en la ecuación como una variable independiente.
Hay muchos más "trucos" econométricos que evitan algunos de los supuestos más problemáticos del modelo de regresión general. Esta técnica estadística es tan valiosa que el estudio más detallado proporcionaría a cualquier estudiante unos dividendos estadísticamente significativos.