# Intervalos de confianza

## Un intervalo de confianza para una proporción de población

Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43.
Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.
El procedimiento para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son un poco diferentes, aunque conceptualmente idénticas. Aunque las fórmulas son diferentes, se basan en el mismo fundamento matemático que nos proporciona el teorema central del límite. Por ello, veremos el mismo formato básico utilizando los mismos tres datos: el valor muestral del parámetro en cuestión, la desviación típica de la distribución muestral correspondiente y el número de desviaciones típicas que necesitamos para tener la confianza en nuestra estimación que deseamos.
¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente tiene una variable aleatoria binaria y, por tanto, es una distribución binomial. (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción de la muestra, tome X, la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (léase "P prima") es la proporción de la muestra,

(a veces, la variable aleatoria se denota como
  , que se lee “estimador de P”).
p′ = la proporción estimada de éxitos o la proporción muestral de éxitos(p′ es una estimación puntual de p, la verdadera proporción poblacional, y, por tanto, q es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo).
x = número de aciertos en la muestra
n = el tamaño de la muestra
La fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población sigue el mismo formato que el de la estimación de una media de la población. Recordando la distribución de muestreo para la proporción del Capítulo 7, se encontró que la desviación típica es:
Por lo tanto, el intervalo de confianza para una proporción poblacional se convierte en
 se fija en función del grado de confianza que deseemos y  es la desviación típica de la distribución muestral.
Las  proporciones muestrales . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen.
Recuerde que a medida que p se aleja de 0,5 la distribución binomial se vuelve menos simétrica. Como estamos estimando la binomial con la distribución normal simétrica, cuanto más se aleje de la simetría la binomial, menos confianza tendremos en la estimación.
Esta conclusión puede demostrarse mediante el siguiente análisis. Las proporciones se basan en la distribución de probabilidad binomial. Los posibles resultados son binarios, "éxito" o "fracaso". Esto da lugar a una proporción, es decir, el porcentaje de los resultados que son "éxitos". Se demostró que la distribución binomial podía entenderse completamente si solo conocíamos la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, llamada p. Se encontró que la media y la desviación típica de la binomial eran:
También se demostró que la binomial podía ser estimada por la distribución normal si TANTO np COMO nq eran mayores que 5. A partir de la discusión anterior, se encontró que la fórmula de estandarización para la distribución binomial es:
que no es más que un replanteamiento de la fórmula general de normalización con las sustituciones adecuadas para μ y σ del binomio. Podemos utilizar la distribución normal estándar, la razón por la que Z está en la ecuación, porque la distribución normal es la distribución limitante de la binomial. Este es otro ejemplo del teorema del límite central. Ya hemos visto que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. Recordemos la extensa discusión del Capítulo 7 sobre la distribución muestral de las proporciones y las conclusiones del teorema del límite central.
Ahora podemos manipular esta fórmula de la misma manera que hicimos para calcular los intervalos de confianza para una media, pero para calcular el intervalo de confianza para el parámetro poblacional binomial, p.
Donde p′ = x/n, la estimación puntual de p tomada de la muestra. Observe que p′ sustituyó a p en la fórmula. Esto se debe a que no conocemos p, de hecho, esto es justo lo que estamos tratando de estimar.
Lamentablemente, no existe un factor de corrección para los casos en los que el tamaño de la muestra es pequeño, por lo que np′ y nq' deben ser siempre superiores a 5 para desarrollar una estimación de intervalo para p.

### Referencias

Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
“52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.
Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:

### Revisión de la fórmula

p′=   donde x representa el número de aciertos en una muestra y n representa el tamaño de la muestra. La variable p′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población.
q′ = 1 – p′
La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí. El intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población que viene dado por la fórmula:

  proporciona el número de observaciones necesarias en la muestra para estimar la proporción poblacional, p, con confianza 1 - α y margen de error e. Donde e = la diferencia aceptable entre la proporción real de la población y la proporción de la muestra.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos.

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante.
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no.


# Intervalos de confianza

## Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias

Variables aleatorias continuasNormalmente no tenemos control sobre el tamaño de la muestra de un conjunto de datos. Sin embargo, si podemos fijar el tamaño de la muestra, como en los casos en los que realizamos una encuesta, es muy útil saber cuál debe ser su tamaño para proporcionar la máxima información. El muestreo puede ser muy costoso, tanto en tiempo como en producto. Las simples encuestas telefónicas cuestan aproximadamente 30 dólares cada una, por ejemplo, y algunos muestreos requieren la destrucción del producto.
Si volvemos a nuestra fórmula de normalización de la distribución muestral para las medias, podemos ver que es posible resolverla para n. Si hacemos esto tenemos  en el denominador.
Como aún no hemos tomado una muestra, no conocemos ninguna de las variables de la fórmula, excepto que podemos establecer Zα al nivel de confianza que deseamos, tal como hicimos al determinar los intervalos de confianza. Si establecemos un error aceptable predeterminado, o tolerancia, para la diferencia entre  y μ, denominado e en la fórmula, estamos mucho más lejos en la resolución del tamaño de la muestra n. Todavía no conocemos la desviación típica de la población, σ. En la práctica, se suele hacer una encuesta previa que permite afinar el cuestionario y que da una desviación típica de la muestra que se puede utilizar. En otros casos, se puede utilizar la información previa de otras encuestas para σ en la fórmula. Aunque es rudimentario, este método para determinar el tamaño de la muestra puede ayudar a reducir los costos de forma significativa. Serán los datos reales recogidos los que determinen las inferencias sobre la población, por lo que conviene ser cauteloso con el tamaño de la muestra exigiendo altos niveles de confianza y pequeños errores de muestreo.
Variables aleatorias binariasLo que se hizo en los casos en los que se buscaba la media de una distribución también se puede hacer cuando se hace un muestreo para determinar el parámetro poblacional p de las proporciones. La manipulación de la fórmula de normalización de las proporciones da como resultado:
donde e = (p′-p), y es el error de muestreo aceptable, o tolerancia, para esta aplicación. Esto se medirá en puntos porcentuales.
En este caso el propio objeto de nuestra búsqueda está en la fórmula, p, y por supuesto q porque q =1-p. Este resultado se produce porque la distribución binomial es una distribución de un parámetro. Si conocemos p entonces conocemos la media y la desviación típica. Por lo tanto, p aparece en la desviación típica de la distribución muestral que es de donde sacamos esta fórmula. Si en un exceso de precaución sustituimos p por 0,5, extraeremos el mayor tamaño de muestra necesario que proporcione el nivel de confianza especificado por Zα y la tolerancia que hemos seleccionado. Esto es cierto porque de todas las combinaciones de dos fracciones que suman uno, el mayor múltiplo es cuando cada una es 0,5. Sin ninguna otra información sobre el parámetro poblacional p, esta es la práctica habitual. Esto puede dar lugar a un sobremuestreo, pero ciertamente no a un submuestreo, por lo que se trata de un enfoque prudente.
Existe un interesante equilibrio entre el nivel de confianza y el tamaño de la muestra que aparece aquí cuando se considera el costo del muestreo. La  muestra el tamaño de la muestra apropiado para diferentes niveles de confianza y diferentes niveles de error aceptable, o tolerancia.
Esta tabla está diseñada para mostrar el tamaño máximo de la muestra requerido en diferentes niveles de confianza dado un supuesto p= 0,5 y q=0,5 como se comentó anteriormente.
El error aceptable, denominado tolerancia en la tabla, se mide en valores más o menos de la proporción real. Por ejemplo, un error aceptable del 5 % significa que, si la proporción de la muestra es del 26 %, la conclusión sería que la proporción real de la población está entre el 21 % y el 31 % con un nivel de confianza del 90 % si se hubiera tomado una muestra de 271 personas. Asimismo, si el error aceptable se fijara en el 2 %, la proporción de la población se situaría entre el 24 % y el 28 % con un nivel de confianza del 90 %, pero exigiría aumentar el tamaño de la muestra de 271 a 1691. Si quisiéramos un mayor nivel de confianza, necesitaríamos una muestra de mayor tamaño. Pasar de un nivel de confianza del 90 % a un nivel del 95 % con una tolerancia de más o menos el 5 % requiere cambiar el tamaño de la muestra de 271 a 384. Un tamaño de muestra muy común que suele aparecer en las encuestas políticas es de 384. Con los resultados de las encuestas se suele decir que los resultados son buenos con un nivel de "exactitud" de más o menos el 5 %.

### Repaso del capítulo

A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula del intervalo de confianza correspondiente para n a fin de descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

Si la variable aleatoria es binaria, la fórmula para el tamaño de muestra adecuado a fin de que se mantenga un nivel de confianza determinado con un nivel de tolerancia específico viene dada por

### Revisión de la fórmula

n =
      = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra(n) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado para una variable aleatoria continua

 = la fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra si la variable aleatoria es binaria
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras.
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College.
Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios.

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Introducción

Ahora nos encontramos con el trabajo principal del estadístico: desarrollar y probar hipótesis. Es importante situar este material en un contexto más amplio para que se entienda completamente el método por el que se forma una hipótesis. El uso de ejemplos de libros de texto a menudo nubla el verdadero origen de las hipótesis estadísticas.
Las pruebas estadísticas forman parte de un proceso mucho más amplio conocido como método científico. Este método se desarrolló hace más de dos siglos como la forma aceptada de crear nuevos conocimientos. Hasta entonces, y desgraciadamente aún hoy, entre algunos, el "conocimiento" podía crearse simplemente porque alguna autoridad dijera que algo era así, ipso dicta. La superstición y las teorías de la conspiración eran (¿son?) aceptadas sin crítica.
El método científico, brevemente, establece que solo siguiendo un proceso cuidadoso y específico se puede incluir alguna afirmación en el cuerpo de conocimientos aceptado. Este proceso comienza con un conjunto de supuestos sobre los que se construye una teoría, a veces llamada modelo. Esta teoría, si tiene alguna validez, dará lugar a predicciones; lo que llamamos hipótesis.
Por ejemplo, en Microeconomía la teoría de la elección del consumidor parte de ciertos supuestos relativos al comportamiento humano. A partir de estos supuestos se elabora una teoría de cómo los consumidores toman decisiones utilizando las curvas de indiferencia y la línea presupuestaria. Esta teoría dio lugar a una predicción muy importante, a saber, que existía una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada. Esta relación se conoce como curva de demanda. La pendiente negativa de la curva de demanda es en realidad una predicción, o una hipótesis, que puede comprobarse con herramientas estadísticas.
A menos que cientos y cientos de pruebas estadísticas de esta hipótesis no hubieran confirmado esta relación, la llamada ley de la demanda habría sido descartada hace años. Este es el papel de la estadística, poner a prueba las hipótesis de diversas teorías para determinar si deben ser admitidas en el cuerpo de conocimientos aceptado; cómo entendemos nuestro mundo. Sin embargo, una vez admitidas, pueden ser descartadas posteriormente si aparecen nuevas teorías que hagan mejores predicciones.
No hace mucho, dos científicos afirmaron que podían obtener más energía de un proceso que la que se introducía en este. Esto causó un tremendo revuelo por razones obvias. Aparecieron en la portada de Time y se les ofrecieron sumas extravagantes para que llevaran sus trabajos de investigación a la industria privada y a cualquier universidad. No pasó mucho tiempo hasta que su trabajo fue sometido a las rigurosas pruebas del método científico y se descubrió que era un fracaso. Ningún otro laboratorio pudo replicar sus hallazgos. En consecuencia, se han hundido en la oscuridad y su teoría fue descartada. Es posible que vuelva a salir a la luz cuando alguien pueda superar las pruebas de las hipótesis exigidas por el método científico, pero hasta entonces es solo una curiosidad. A lo largo del tiempo se han intentado muchos fraudes auténticos, pero la mayoría se han descubierto aplicando el proceso del método científico.
Este debate pretende mostrar en qué punto de este proceso se encuentra la estadística. La estadística y los estadísticos no se dedican necesariamente a desarrollar teorías, sino a probar las teorías de otros. Las hipótesis proceden de estas teorías basadas en un conjunto explícito de supuestos y una lógica sólida. La hipótesis es lo primero, antes de recopilar los datos. Los datos no crean hipótesis, sino que se utilizan para probarlas. Si tenemos esto en cuenta al estudiar esta sección, el proceso de formación y comprobación de hipótesis tendrá más sentido.
Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre el valor de un parámetro específico. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año.
Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis”. Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula.
En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas.


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Hipótesis nula y alternativa

La prueba real comienza considerando dos hipótesis. Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa. Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos.
H: La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción.
H: La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H y lo que concluimos cuando no podemos aceptar H. Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar. La hipótesis alternativa es la contendiente y debe ganar con pruebas significativas para derrocar el statu quo. Este concepto se conoce a veces como la tiranía del statu quo porque, como veremos más adelante, para derribar la hipótesis nula se necesita normalmente un 90 % o más de confianza en que esta es la decisión correcta.
Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra.
Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son “no puede aceptar H” si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o “no se rechaza H” o “se declina rechazar H” si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula. Todas estas conclusiones se basan en un nivel de probabilidad, un nivel de significación, que establece el analista.
La tabla 9.1 presenta las distintas hipótesis en los pares correspondientes. Por ejemplo, si la hipótesis nula es igual a algún valor, la alternativa no puede ser igual a ese valor.

### Repaso del capítulo

En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros:

### Tarea para la casa

### Referencias

Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm.


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Resultados y errores de tipo I y II

Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro:
Los cuatro resultados posibles en la tabla son:
Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades.
α = probabilidad de un error de tipo I =  = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera: rechazar un buen nulo.
β = probabilidad de un error tipo II =  = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. (1 - β) se denomina la potencia de la prueba.
α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error.
La estadística nos permite establecer la probabilidad de que cometamos un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α. Recordemos que los intervalos de confianza en la última unidad se establecían al elegir un valor llamado Zα (o tα) y el valor alfa determinaba el nivel de confianza de la estimación porque era la probabilidad de que el intervalo no captara la verdadera media (o parámetro de proporción p). Esta y aquella alfa son iguales.
La forma más fácil de ver la relación entre el error alfa y el nivel de confianza es con la siguiente figura.
En el centro de la  hay una distribución normal de muestreo, marcada H0. Se trata de una distribución de muestreo de  y por el teorema del límite central se distribuye normalmente. La distribución del centro se marca H y representa la distribución para la hipótesis nula H: µ = 100. Este es el valor que se está probando. Los enunciados formales de las hipótesis nula y alternativa se enumeran debajo de la figura.
Las distribuciones a ambos lados de la distribución H0 representan las que serían verdaderas si H es falsa, bajo la hipótesis alternativa, indicada como H. No sabemos cuál es la verdad, y nunca lo sabremos. De hecho, hay un número infinito de distribuciones de las que se podrían haber extraído los datos si H es verdadera, pero solo dos de ellas están en la  representando a todas las demás.
Para comprobar una hipótesis, tomamos una muestra de la población y determinamos si proviene de la distribución hipotética con un nivel de significación aceptable. Este nivel de significación es el error alfa y está marcado en la  como las áreas sombreadas en cada cola de la distribución H. (Cada área es en realidad α/2 porque la distribución es simétrica y la hipótesis alternativa posibilita que el valor sea mayor o menor que el valor hipotético, la llamada prueba de dos colas).
Si la media muestral está marcada como  está en la cola de la distribución de H, entonces concluimos que la probabilidad de que provenga de la distribución H es menor que alfa. En consecuencia, afirmamos que “la hipótesis nula no puede aceptarse con un nivel de significación (α)”. La verdad puede ser que este  sí provenía de la distribución H, pero del extremo de la cola. Si es así, hemos rechazado falsamente una hipótesis nula verdadera y hemos cometido un error de tipo I. Lo que la estadística ha hecho es proporcionar una estimación sobre lo que sabemos y lo que controlamos, y esa es la probabilidad de que nos equivoquemos, α.
También observamos en la  que la media muestral sería realmente de una distribución H, pero dentro del límite establecido por el nivel alfa. Este caso está marcado como . Existe la probabilidad de que  en realidad provenga de H pero aparece en el rango de H entre las dos colas. Esta probabilidad es el error beta, la probabilidad de aceptar un falso nulo.
Nuestro problema es que solo podemos fijar el error alfa porque hay un número infinito de distribuciones alternativas de las que podría haber salido la media que no son iguales a H. En consecuencia, el estadístico recae la carga de la prueba en la hipótesis alternativa. Es decir, no rechazaremos una hipótesis nula, a no ser que haya una probabilidad superior al 90 % o al 95 %, e incluso al 99 %, de que la nula sea falsa: la carga de la prueba recae en la hipótesis alternativa. Por eso lo designamos anteriormente como la tiranía del statu quo.
A modo de ejemplo, el sistema judicial estadounidense parte del supuesto de la “presunción de inocencia” del acusado. Este es el statu quo y es la hipótesis nula. El juez dirá al jurado que no puede declarar al acusado culpable, a no ser que las pruebas indiquen la culpabilidad más allá de una “duda razonable”, que se define en los casos penales como un 95 % de certeza de culpabilidad. Si el jurado no puede aceptar la nulidad, la inocencia, entonces se tomarán medidas, tiempo de cárcel. La carga de la prueba siempre recae en la hipótesis alternativa (en los casos civiles, el jurado solo necesita tener más del 50 % de certeza de que se ha cometido un delito para declarar la culpabilidad, lo que se denomina “preponderancia de las pruebas”).
El ejemplo anterior era para una prueba de una media, pero la misma lógica se aplica a las pruebas de hipótesis para todos los parámetros estadísticos que uno quiera probar.
Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II.

### Repaso del capítulo

En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa.
Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β, para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β, cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia.

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis

Anteriormente, hemos hablado de las distribuciones muestrales. Las distribuciones particulares se asocian a la comprobación de la hipótesis. Realizaremos comprobaciones de hipótesis de una media poblacional con una distribución normal o una distribución  (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población se desconozca y el tamaño de la muestra sea pequeño, donde se considera pequeño a menos de 30 observaciones). Realizamos pruebas de una proporción poblacional mediante una distribución normal cuando podemos suponer que lo sea. Consideramos que esto es cierto si la proporción de la muestra, , por el tamaño de la muestra es superior a 5 y 1- por el tamaño de la muestra también es mayor que 5. Se trata de la misma regla empírica que utilizamos al desarrollar la fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional.

### Comprobación de la hipótesis para la media

Volviendo a la fórmula de estandarización, podemos derivar el estadístico de prueba para comprobar las hipótesis relativas a las medias.

La fórmula de estandarización no se puede resolver tal cual porque no tenemos μ, la media poblacional. Sin embargo, si sustituimos el valor hipotético de la media, μ0 en la fórmula anterior, podemos calcular un valor Z. Este es el estadístico de prueba con respecto a la comprobación de la hipótesis para una media y se presenta en la . Interpretamos este valor Z como la probabilidad asociada de que una muestra con una media muestral de  provendría de una distribución con una media poblacional de H y a este valor Z lo llamamos Zc por “calculado”.  y  muestran este proceso.
En la  se presentan dos de los tres resultados posibles.  y  están en las colas de la distribución hipotética de H. Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como 's. Esta es la misma distribución teórica de 's, la distribución muestral, que el teorema del límite central nos indica que se distribuye normalmente. Por eso podemos dibujarlo con esta forma. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como Z y es la distribución normal estándar.  y , denominados valores críticos, están marcados en el panel inferior como los valores Z asociados a la probabilidad que el analista haya establecido como nivel de significación en la prueba, (α). Las probabilidades en las colas de ambos paneles son, por tanto, las mismas.
Observe que para cada  hay una Zc asociada, llamada Z calculada, que es el resultado de resolver la ecuación anterior. Esta Z calculada no es más que el número de desviaciones típicas que la media hipotética tiene con respecto a la media muestral. Si la media muestral está a “demasiadas” desviaciones típicas de la media hipotética, concluimos que la media muestral no proviene de la distribución con la media hipotética, dado el nivel de significación requerido. Esto podría venir de H, pero se considera demasiado improbable. En la  tanto  y  están en las colas de la distribución. Se considera que están “demasiado lejos” del valor hipotético de la media, dado el nivel de alfa elegido. Si en realidad esta media muestral provenía de H, pero de la cola, hemos cometido un error de tipo I: hemos rechazado un buen nulo. Nuestro único consuelo real es que conocemos la probabilidad de cometer ese error, α, y podemos controlar el tamaño de α.
La  muestra la tercera posibilidad para la ubicación de la media muestral, . Aquí la media muestral está dentro de los dos valores críticos. Es decir, dentro de la probabilidad de (1-α) y no podemos rechazar la hipótesis nula.
Esto nos da la regla de decisión para comprobar una hipótesis en una prueba de dos colas:
Esta regla será siempre la misma, sin importar la hipótesis que estemos comprobando o las fórmulas que utilicemos para hacer la prueba. Lo único será cambiar el Zc por el símbolo apropiado para el estadístico de prueba con respecto al parámetro que se está probando. Expresando la regla de decisión de otra manera: si es improbable que la media muestral provenga de la distribución con la media hipotética, no podemos aceptar la hipótesis nula. Aquí definimos “improbable” como una probabilidad de ocurrir menor que alfa.

### Enfoque del valor P

Se puede desarrollar una regla de decisión alternativa al calcular la probabilidad de que se encuentre una media muestral que resulte en un estadístico de prueba mayor que el hallado a partir de los datos de la muestra actual, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera. Aquí, la noción de “probable” e “improbable” se define por la probabilidad de extraer de una población una muestra con una media que hipotéticamente sea mayor o menor que la calculada en los datos de la muestra. En pocas palabras, el enfoque del valor p compara el nivel de significación deseado, α, con el valor p, que es la probabilidad de obtener una media muestral más alejada del valor hipotético que la media muestral real. Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor p, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra. La relación entre la regla de decisión de comparar los valores calculados del estadístico de prueba, Zc, y el valor crítico, Zα, y utilizar el valor p se aprecia en la .
El valor calculado del estadístico de prueba es Zc en este ejemplo y está marcado en el gráfico inferior de la distribución normal estándar porque es un valor Z. En este caso el valor calculado está en la cola y, por tanto, no podemos aceptar la hipótesis nula, la asociada  es demasiado grande para creer que provenga de la distribución con una media de µ0 y un nivel de significación de α.
Si utilizamos la regla de decisión del valor p, necesitamos un paso más. Tenemos que encontrar en la tabla normalizada la probabilidad asociada al valor calculado del estadístico de prueba, Zc. A continuación, lo comparamos con el α asociado a nuestro nivel de confianza seleccionado. En la  vemos que el valor p es menor que α, por lo que no podemos aceptar la nulidad. Sabemos que el valor p es menor que α porque el área bajo el valor p es menor que α/2. Cabe destacar que dos investigadores que extraigan al azar de la misma población pueden calcular dos valores P diferentes en sus muestras. Esto ocurre porque el valor P se calcula como la probabilidad en la cola más allá de la media muestral, asumiendo que la hipótesis nula sea correcta. Dado que las medias muestrales serán con toda probabilidad diferentes, esto creará dos valores P distintos. Sin embargo, las conclusiones en cuanto a la hipótesis nula deberían variar únicamente con el nivel de probabilidad de α.
Esta es una forma sistemática de tomar una decisión sobre si se puede aceptar o rechazar una hipótesis nula si se utiliza el valor  y un α preestablecido o preconcebido (el “nivel de significación”). Un α preestablecido es la probabilidad de un error de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema. En cualquier caso, el valor de α es decisión del analista. Cuando tome la decisión de rechazar o no rechazar H, haga lo siguiente:
1. Si α > valor p, no se puede aceptar H. Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa, H, puede ser correcta.
2. Si α ≤ valor p, no se puede rechazar H. Los resultados de los datos de la muestra son despreciables. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa, H, sea correcta. En este caso se mantiene el statu quo.
3. Cuando “no puede rechazar H”, no significa que deba creer que H es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para poner en duda la veracidad de H. Recuerde que el nulo es el statu quo y se necesita una alta probabilidad para derrocarlo. Este sesgo a favor de la hipótesis nula es lo que da lugar a la afirmación “tiranía del statu quo” cuando se habla de la comprobación de hipótesis y del método científico.
Ambas reglas de decisión darán lugar a la misma decisión y es cuestión de preferencia cuál se utiliza.

### Pruebas de una y dos colas

El estudio de la  a la  se basó en las hipótesis nula y alternativa, presentadas en la . Se denominó prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa permitía que la media proviniera de una población mayor o menor que la media hipotética en la hipótesis nula. Esto podría verse mediante el enunciado de la hipótesis alternativa como μ ≠ 100, en este ejemplo.

Puede ser que al analista no le preocupe que el valor sea "demasiado" alto o "demasiado" bajo con respecto al valor hipotético. Si este es el caso, se convierte en una prueba de una cola y toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de una prueba de dos colas. Cualquier prueba de un reclamo será una prueba de una cola. Por ejemplo, un fabricante de automóviles afirma que su modelo 17B ofrece un consumo de gasolina superior a 25 millas por galón. Las hipótesis nula y alternativa serían:
1. H: µ ≤ 25
2. H: µ > 25
La afirmación estaría en la hipótesis alternativa. La carga de la prueba en la comprobación de hipótesis recae en la alternativa. Esto se debe a que el no rechazar el nulo, el statu quo, deberá lograrse con un 90 % o 95 % de confianza en que no se pueda mantener. Dicho de otro modo, queremos tener solo un 5 % o 10 % de probabilidad de cometer un error de tipo I, rechazar un buen nulo y derrocar el statu quo.
Esta es una prueba de una cola, donde toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de la prueba de dos colas.
La  muestra los dos casos posibles y la forma de las hipótesis nula y alternativa que los origina.
donde μ0 es el valor hipotético de la media poblacional.

### Efectos del tamaño de la muestra en el estadístico de prueba

Al desarrollar los intervalos de confianza para la media de una muestra, encontramos que la mayoría de las veces no tenemos la desviación típica de la población, σ. Si el tamaño de la muestra fuera inferior a 30, podríamos sustituir simplemente la estimación puntual de σ, la desviación típica de la muestra, s, y utilizar la distribución t de Student para corregir esta falta de información.
A la hora de comprobar las hipótesis nos topamos con este mismo problema y la solución es exactamente igual. A saber: Si se desconoce la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es inferior a 30, sustituya s, la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ, en la fórmula del estadístico de prueba y utilice la distribución t de Student. Todas las fórmulas y figuras anteriores no cambian, excepto esta sustitución y el cambio de la distribución Z por la distribución t de Student en el gráfico. Recuerde que la distribución t de Student solo puede calcularse si se conocen los grados de libertad adecuados para el problema. En este caso, los grados de libertad se calculan como antes con intervalos de confianza: df = (n-1). El valor t calculado se compara con el valor t asociado al nivel de confianza preestablecido y que se requiere en la prueba, tα, df, que se encuentra en las tablas t de Student. Si no conocemos σ, pero el tamaño de la muestra es de 30 o más, simplemente sustituimos s por σ y utilizamos la distribución normal.

La  resume estas normas.

### Un enfoque sistemático para comprobar una hipótesis

Un enfoque sistemático de las pruebas de hipótesis sigue los siguientes pasos y en este orden. Esta plantilla servirá para todas las hipótesis que se pongan a prueba.
1. Establezca las hipótesis nula y alternativa. Esta suele ser la parte más difícil del proceso. Aquí se revisa la cuestión planteada. Qué parámetro se está probando, una media, una proporción, diferencias de medias, etc. ¿Es una prueba de una cola o de dos colas?
2. Decida el nivel de significación requerido para este caso particular y determine el valor crítico. Estos se pueden encontrar en la tabla estadística correspondiente. Los niveles de confianza típicos de las empresas son 80 %, 90 %, 95 %, 98 % y 99 %. Sin embargo, el nivel de significación es una decisión política y debería basarse en el riesgo de cometer un error de tipo I y rechazar un buen nulo. Considere las consecuencias de cometer un error de tipo I. A continuación, sobre la base de las hipótesis y el tamaño de la muestra, seleccione la estadística adecuada de la prueba y calcule el valor crítico pertinente: Z
3. Tome una o varias muestras y calcule los parámetros pertinentes: media muestral, desviación típica o proporción. Con base en la fórmula del paso 2, calcule ahora el estadístico de prueba para este caso en particular; utilice los parámetros que acaba de calcular.
4. Compare el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico. Si se marcan en el gráfico, se obtendrá una buena imagen visual de la situación. Ahora solo hay dos situaciones:
5. Llegue a una conclusión. Es mejor articular la conclusión de dos maneras diferentes. En primer lugar, una conclusión estadística formal como: "Con un nivel de significación del 5 %, no podemos aceptar las hipótesis nulas de que la media de la población es igual a XX (unidades de medida)". El segundo enunciado de la conclusión es menos formal y enuncia la acción, o la falta de acción, requerida. Si la conclusión formal era la anterior, la informal podría ser: "La máquina está estropeada y hay que apagarla y mandarla a reparar".
Todas las hipótesis probadas pasarán por este mismo proceso. Los únicos cambios son las fórmulas pertinentes y estas están determinadas por la hipótesis necesaria para responder la pregunta original.

### Repaso del capítulo

Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos.
Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional:
1. Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida.
2. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal o si el tamaño de la muestra es grande.
Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos provienen de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número medio de éxitos y el número medio de fracasos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un éxito y q es la probabilidad de un fracaso.

### Revisión de la fórmula

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Ejemplos de pruebas de hipótesis completas

### Pruebas sobre las medias

En el paso 4 tenemos que comparar el estadístico de prueba y el valor crítico y marcarlos en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola; por ende, pasamos al paso 4 y llegamos a una conclusión. La probabilidad de que el tiempo promedio de 16 minutos proceda de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos es demasiado improbable para que aceptemos la hipótesis nula. No podemos aceptar la hipótesis nula.
El paso 5 nos hace exponer nuestras conclusiones primero de manera formal y luego de manera menos formal. La conclusión formal sería la siguiente: "Con un nivel de significación del 95 %, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el tiempo de natación con gafas procede de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos". De manera menos formal: "Con un 95 % de significación, creemos que las gafas mejoran la velocidad de nado".

Si quisiéramos utilizar el sistema de valores p para llegar a una conclusión, calcularíamos la estadística y daríamos el paso adicional de la probabilidad de estar a 2,08 desviaciones típicas de la media en una distribución t. Este valor es de 0,0187. Al compararlo con el nivel α de 0,05, nos damos cuenta de que no podemos aceptar la hipótesis nula. El valor p se ha puesto en el gráfico como el área sombreada más allá de –2,08 y muestra que es menor que el área sombreada, que es el nivel alfa de 0,05. Con ambos métodos se llega a la misma conclusión de que no podemos aceptar la hipótesis nula.

### Prueba de hipótesis para las proporciones

Al igual que existían intervalos de confianza para las proporciones, o más formalmente, el parámetro poblacional p de la distribución binomial, existe la posibilidad de contrastar hipótesis relativas a p.

El parámetro poblacional para la binomial es p. El valor estimado (estimación puntual) para p es p′ donde p′ = x/n, x es el número de aciertos en la muestra y n es el tamaño de la muestra.
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una proporción poblacional p, se toma una muestra aleatoria simple de la población. Deberán cumplirse las condiciones de la distribución binomial, a saber: que haya un cierto número n de ensayos independientes, lo que significa un muestreo aleatorio; que los resultados de cualquier ensayo sean binarios, éxito o fracaso, y que cada ensayo tenga la misma probabilidad de éxito p. La forma de la distribución binomial debe ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np′ y nq′ deben ser ambas mayores que cinco (np′ > 5 y nq′ > 5). En este caso, la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) se calcula aproximadamente por la distribución normal con  y . Recuerde que . No hay ninguna distribución que corrija este pequeño sesgo de la muestra; por ende, si no se cumplen estas condiciones, simplemente no podemos probar la hipótesis con los datos disponibles en ese momento. Cumplimos esta condición cuando estimamos por primera vez los intervalos de confianza para p.

Nuevamente, comenzamos con la fórmula normalizadora modificada porque se trata de la distribución de una binomial.
Al sustituir , el valor hipotético de p, tenemos:
Es el estadístico de prueba para comprobar los valores hipotéticos de p, cuando las hipótesis nula y alternativa adoptan una de las siguientes formas:
La regla de decisión indicada anteriormente se aplica también en este caso: si el valor calculado de Zc muestra que la proporción de la muestra está a "demasiadas" desviaciones típicas de la proporción hipotética, no se puede aceptar la hipótesis nula. La decisión sobre lo que es "demasiado" está predeterminada por el analista en función del nivel de significación requerido en la prueba.

### Repaso del capítulo

La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera

### Revisión de la fórmula

Estadística de una prueba de hipótesis de proporciones:

### Tarea para la casa

Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes.
1. Indique la hipótesis nula y la alternativa.
2. Indique el valor p.
3. Indique alfa.
4. ¿Cuál es su decisión?
5. Escriba una conclusión.
6. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema.

### Referencias

Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC.
Datos de Bloomberg Businessweek. Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html.
Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman.
Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html.
Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm.
Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013)
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/.
Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1.
Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013).
“Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf.
Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013).
Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013).


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Introducción

Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años.
Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones. Muchas aplicaciones empresariales requieren la comparación de dos grupos. Puede tratarse de la rentabilidad de dos estrategias distintas de inversión o de las diferencias en la eficiencia de la producción de distintos estilos de gestión.
Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes. Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban con grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población de cada grupo.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Comparación de las medias de dos poblaciones independientes

La comparación de dos medias poblacionales independientes es muy común y proporciona una forma de probar la hipótesis de que los dos grupos difieren entre sí. ¿Es el turno de noche menos productivo que el de día, las tasas de rendimiento de las inversiones en activos fijos son diferentes a las de las inversiones en acciones ordinarias, etc.? Una diferencia observada entre dos medias muestrales depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas de la muestra. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. El estadístico de prueba tendrá que tener en cuenta este hecho. La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin-Welch ideó la fórmula de los grados de libertad que veremos más adelante.
Cuando desarrollamos la prueba de hipótesis para la media y las proporciones, comenzamos con el teorema del límite central. Reconocemos que la media muestral procede de una distribución de medias muestrales, y las proporciones muestrales proceden de la distribución muestral de las proporciones muestrales. Esto convirtió nuestros parámetros, las medias y las proporciones muestrales, en variables aleatorias. Era importante para nosotros conocer la distribución de la que procedían estas variables aleatorias. El teorema del límite central nos dio la respuesta: la distribución normal. Nuestras estadísticas Z y t provienen de este teorema. Esto nos proporcionó la solución a nuestra pregunta de cómo medir la probabilidad de que la media muestral provenga de una distribución con un valor hipotético particular de la media o proporción. En ambos casos esa era la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la media (o proporción) de nuestros datos muestrales proceda de una distribución poblacional con el valor hipotético que nos interesa?
Ahora nos interesa saber si dos muestras tienen o no la misma media. Nuestra pregunta no ha cambiado: ¿Proceden estas dos muestras de la misma distribución poblacional? Para abordar este problema creamos una nueva variable aleatoria. Reconocemos que tenemos dos medias muestrales: una de cada conjunto de datos. Así, tenemos dos variables aleatorias, procedentes de dos distribuciones desconocidas. Para resolver el problema creamos una nueva variable aleatoria: la diferencia entre las medias muestrales. Dicha variable también tiene una distribución. Nuevamente, el teorema del límite central nos indica que esta nueva distribución se distribuye normalmente, sin importar las distribuciones subyacentes de los datos originales. Un gráfico despejaría este concepto.
En la imagen aparecen dos distribuciones de datos, X1 y X2, con medias y desviaciones típicas desconocidas. El segundo panel muestra la distribución muestral de la variable aleatoria recién creada (). Esta es la distribución teórica de muchas medias muestrales de la población 1 menos las medias muestrales de la población 2. El teorema del límite central señala que esta distribución muestral teórica de las diferencias de las medias muestrales se distribuye normalmente, sin importar la distribución de los datos reales de la población que se muestran en el panel superior. Dado que la distribución del muestreo se distribuye normalmente, podemos desarrollar una fórmula de estandarización y calcular las probabilidades a partir de la distribución normal estándar del panel inferior, la distribución Z. Ya hemos visto este mismo análisis en la Figura 7.2 del Capítulo 7.
El teorema del límite central, como antes, nos proporciona la desviación típica de la distribución muestral y, además, que el valor previsto de la media de la distribución de las diferencias de las medias muestrales es igual a las diferencias de las medias poblacionales. Matemáticamente, esto se formula de la siguiente manera:
Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar, de la diferencia de las medias muestrales,
   –
  .

Recordemos que la sustitución de la varianza de la muestra por la varianza de la población cuando no teníamos la varianza de la población fue la técnica que utilizamos al construir el intervalo de confianza y el estadístico de prueba para comprobar la hipótesis con respecto a una sola media en Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis con una muestra. El estadístico de prueba (puntuación

El número de grados de libertad ( requiere un cálculo algo complicado. Los df no son siempre un número entero. El anterior estadístico de prueba se calcula aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera:

Cuando los tamaños de las muestras n1 y n2 son de 30 o más, la aproximación de la t de Student es muy buena. Si cada muestra tiene más de 30 observaciones, los grados de libertad pueden calcularse como n1 + n2 - 2.
El formato de la distribución muestral, las diferencias de medias muestrales, especifica que el formato de las hipótesis nula y alternativa es:
donde δ0 es la diferencia hipotética entre las dos medias. Si la pregunta es simplemente: "¿Hay alguna diferencia entre las medias?", entonces δ0 = 0 y las hipótesis nula y alternativa pasan a ser:
Un ejemplo de cuándo δ0 puede no ser cero es cuando la comparación de los dos grupos requiere una diferencia específica para que la decisión sea significativa. Imagine que está haciendo una inversión de capital. Piensa en cambiar su modelo de máquina actual por otro. La productividad de sus máquinas se mide por la velocidad a la que producen el producto. Puede ser que un contendiente para sustituir al modelo antiguo sea más rápido en términos de rendimiento del producto, pero también es más caro. La segunda máquina también puede tener más costes de mantenimiento, de instalación, etc. La hipótesis nula se establecería de forma que la nueva máquina tendría que ser mejor que la antigua en la medida suficiente para cubrir estos costes adicionales en términos de velocidad y coste de producción. Esta forma de las hipótesis nula y alternativa muestra lo valiosa que puede ser esta comprobación de la hipótesis en particular. Para la mayor parte de nuestro trabajo, comprobaremos hipótesis simples al indagar si hay alguna diferencia entre las dos medias de distribución.

### Referencias

Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013).
“Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013).
“Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013).
“Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013).
“Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población.
1. Variable aleatoria:
  = la diferencia de las medias muestrales
2. Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar).

### Repaso de la fórmula

Error estándar: SE =

Estadístico de prueba (puntuación t): t =

Grados de libertad:

donde:
 y  son las desviaciones típicas de la muestra, y  y  son los tamaños de las muestras.

 y
 son las medias muestrales.
Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para:
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales.
Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas.

### Tarea para la casa

Utilice la información del Conjunto de datos del
Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales.
Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande

  La  es una medida del "tamaño del efecto", basada en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande.
La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada:
 donde

Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos.

### Repaso del capítulo

La d de Cohen es una medida del "tamaño del efecto", basada en las diferencias entre dos medias.
Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos.

### Revisión de la fórmula

La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto:

   donde


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales

  Normalmente, nunca esperamos conocer ninguno de los parámetros de la población, la media, la proporción o la desviación típica. Cuando se comprueban hipótesis relativas a diferencias de medias, nos enfrentamos a la dificultad de dos varianzas desconocidas que desempeñan un papel fundamental en el estadístico de prueba. Hemos sustituido las varianzas de la muestra tal y como hicimos al comprobar las hipótesis para una única media. Tal como lo hicimos anteriormente, utilizamos una t de Student para compensar esta falta de información sobre la varianza de la población. Sin embargo, hay situaciones en las que no conocemos las varianzas de la población, aunque podemos asumir que las dos poblaciones tienen la misma varianza. Si esto es así, entonces la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de las muestras individuales. Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo. Las hipótesis nula y alternativa siguen siendo las mismas, pero el estadístico de prueba cambia a:
donde  es la varianza combinada dada por la fórmula:

### Repaso del capítulo

En situaciones en las que desconocemos las varianzas de la población, pero suponemos que son las mismas, la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de la muestra individual.

Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo.

### Revisión de la fórmula

donde  es la varianza combinada dada por la fórmula:


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Comparación de dos proporciones de población independientes

Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características:
1. Las dos muestras independientes son muestras aleatorias que son independientes.
2.  El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras.
3. La bibliografía, cada vez más extensa, afirma que la población deberá ser, como mínimo, 10 y hasta 20 veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y que los resultados sean sesgados.
La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar en el muestreo. La comprobación de la hipótesis permite determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las dos proporciones de la población.
Al igual que en el caso de las diferencias de medias muestrales, construimos una distribución muestral para las diferencias de proporciones muestrales: donde  y
 son las proporciones de la muestra para los dos conjuntos de datos en cuestión. XA y XB son el número de aciertos en cada grupo de la muestra, respectivamente, y nA y nB son los tamaños de muestra respectivos de los dos grupos. De nuevo acudimos al teorema del límite central para hallar la distribución muestral con respecto a las diferencias en las proporciones de la muestra. También nos encontramos con que esta distribución muestral, al igual que las anteriores, se distribuye normalmente, tal y como demuestra el teorema del límite central, como se ve en la .
En general, la hipótesis nula permite probar una diferencia de un valor determinado, 𝛿0, tal como hicimos para el caso de las diferencias de medias.
Sin embargo, lo más común es la prueba de que las dos proporciones son iguales. Esto es,
Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p.

donde δ0 son las diferencias hipotéticas entre las dos proporciones y pc es la varianza agrupada de la fórmula anterior.

### Referencias

Datos de Educational Resources, catálogo de diciembre.
Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José.
Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994.
“State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013).
“West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes

### Revisión de la fórmula

Proporción combinada:  =

Estadístico de prueba (puntuación z):

donde
 y  son las proporciones de la muestra,  y  son las proporciones de la población,
P es la proporción combinada, y n y n son los tamaños de las muestras.
Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS1.
Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada.


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

Aunque difícilmente se dé esta situación (conocer las desviaciones típicas de la población es improbable), el siguiente ejemplo ilustra las pruebas de hipótesis para medias independientes con desviaciones típicas conocidas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal de acuerdo con el teorema del límite central. La variable aleatoria es
 . La distribución normal tiene el siguiente formato:

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf
Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013).
“Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013).
Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013).
“State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
“Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características:

### Revisión de la fórmula

Estadístico de prueba (puntuaciónz):

donde:  y  son las desviaciones típicas conocidas de la población. n1 y n2 son los tamaños de las muestras.
  y
  son las medias muestrales. μ1 y μ2 son las medias poblacionales.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La  muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente.

### Tarea para la casa


# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Muestras coincidentes o emparejadas

En la mayoría de los casos de datos económicos o empresariales tenemos poco o ningún control sobre la recopilación de los datos. En este sentido, los datos no son el resultado de un experimento controlado y planificado. Sin embargo, en algunos casos podemos generar datos que forman parte de un experimento controlado. Esto se da con frecuencia en situaciones de control de calidad. Imagine que las tasas de producción de dos máquinas construidas con el mismo diseño, pero en diferentes plantas de fabricación, se prueban para detectar diferencias en algún sistema de medición de la producción, como la velocidad de salida o el cumplimiento con alguna especificación, como la resistencia del producto. La prueba tiene el mismo formato que la que hemos estado probando, pero aquí podemos tener pares emparejados para los que podemos verificar si existen diferencias. Cada observación tiene su par emparejado con el que se calculan las diferencias. En primer lugar, hay que calcular las diferencias del indicador que se va a probar entre las dos listas de observaciones, lo que se suele etiquetar con la letra "d". A continuación, el promedio de estas diferencias emparejadas,  se calcula al igual que su desviación típica, Sd. Esperamos que la desviación típica de las diferencias de los pares emparejados sea menor que la de los pares no emparejados porque presumiblemente deberían existir menos diferencias debido a la correlación entre los dos grupos.
Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras emparejadas o pareadas, pueden darse las siguientes características:
1. Se utiliza un muestreo aleatorio simple.
2. El tamaño de las muestras suele ser pequeño.
3. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos.
4. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas.
5. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis.
6. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal.
En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, la media poblacional de las diferencias, μ, se verifica con la prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias, es decir, el número de pares, no el número de observaciones.

### Repaso del capítulo

Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características:
1. Compruebe las diferencias restando una medida de la otra
2. Variable aleatoria:
 = media de las diferencias
3. Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad
4. Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal.
5. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos.
6. Las muestras son dependientes.

### Revisión de la fórmula

Estadístico de prueba (puntuación t): t =

donde:

 es la media de las diferencias de la muestra. μd es la media de las diferencias de la población. s es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual.
Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados
 = −10,2 s = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento.

### Resúmalo todo

Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis.
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única


# La distribución chi-cuadrado

## Introducción

¿Alguna vez se ha preguntado si los números ganadores de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis.
Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado.
En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado


# La distribución chi-cuadrado

## Datos sobre la distribución chi-cuadrado

La notación para la distribución chi-cuadrado es:
donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente).
Para la distribución χ, la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es
 .
La variable aleatoria se muestra como χ.
La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes.
χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + ... + (Zk)2
1. La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha.
2. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df.

3. El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero.
4. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~
  la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ =
  = 44,7. Por tanto, X ~ N(1.000, 44,7), aproximadamente.
5. La media, μ, se encuentra justo a la derecha del pico.

### Referencias

Datos de la Revista Parade.
“HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011.

### Repaso del capítulo

La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población.
Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad.
La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df. Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha.

### Revisión de la fórmula

χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + … (Z)2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado
μ = df distribución chi-cuadrado media de la población

  Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población

### Tarea para la casa

Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de una sola varianza

Hasta ahora nuestro interés se ha centrado exclusivamente en el parámetro poblacional μ o su contrapartida en la binomial, p. Seguramente la media de una población es el dato más crítico que se tiene, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción, la calidad se mide no solo por el grado de adecuación de la máquina al objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si se llenaran bolsas con patas fritas, no solo interesaría el peso promedio de la bolsa, sino también la variación de los pesos. Nadie quiere que se le asegure que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene papas fritas. El voltaje eléctrico puede alcanzar cierto nivel promedio, pero una gran variabilidad, los picos, pueden causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No solo me gustaría obtener una nota media alta en mis clases, sino también una baja variación en torno a esta media. En resumen, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen un gran valor y muchas aplicaciones.
Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población. El estadístico de prueba es:
donde:
1.  n = el número total de observaciones en los datos de la muestra
2. s2 = varianza de la muestra
3.  = valor hipotético de la varianza de la población
4.
5.
Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El  le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.

### Referencias

“AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012.

### Repaso del capítulo

Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica).

### Revisión de la fórmula

  Prueba de una estadística de varianza única donde: n: tamaño de la muestra s: desviación típica de la muestra : valor hipotético de la desviación típica de la población
df = n – 1 grado de libertad
2. Utilice la prueba para determinar la variación.
3. Los grados de libertad son el número de muestras – 1.
4. El estadístico de prueba es
 , donde n = tamaño de la muestra, s2 = varianza de la muestra y σ2 = varianza de la población.

5. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos.


# La distribución chi-cuadrado

## Prueba de bondad de ajuste

En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades.
El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es:
donde:
1. O = valores observados (datos)
2. E = valores esperados (de la teoría)
3. k = el número de celdas o categorías de datos diferentes
Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma
 .
El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1).
La  Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado.

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com.
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports.
Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92.
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.

### Revisión de la fórmula

   estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O: valores observados E: valores esperados  k: número de celdas o categorías de datos diferentes
df = k − 1 grados de libertad
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la .
La distribución real para una clase de 20 está en la .
Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la .
El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la .

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la  contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del  y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo.
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.