ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 求实数 $a$ 的取值范围，使得对任意实数 $x$ 和任意 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，恒有$$(x+3+2 \sin \theta \cos \theta)^{2}+(x+a \sin \theta+a \cos \theta)^{2} \geqslant \frac{1}{8}$$
若$a$的取值范围是$a\leq\sqrt{m}\text{或 }a\geqslant\frac{p}{q}$,求$m+p+q$.
Answer: 15
Problem: 曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos \theta$, 点 $A$ 的极坐标是 $(2,0)$. 曲线 $C$ 在它所在平面内绕 $A$ 旋转一周, 则它扫过的图形的面积的原始答案为$\frac{m}{n}\pi$的格式，请给出$m + n$的值。
Answer: 19
Problem: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $S A=S B=S C=2, A B=2$ ，设 $S 、 A 、 B 、$ $C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 。原始答案为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的格式，请给出$m + n$的值。
Answer: 3
Problem: 设 $x \geq y \geq z \geq \frac{\pi}{12}$, 且 $x+y+z=\frac{\pi}{2}$, 求乘积 $\cos x \sin y \cos z$ 的最大值和最小值. 原始答案的最大值为 $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 的形式，最小值为 $\frac{d}{e}$的形式，请给出 $a + b + c + d + e$ 的值.
Answer: 21
Problem: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $S A=S B=$ $S C=2, A B=2$, 设 $S 、 A 、 B 、 C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上. 则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 6
Problem: 若椭圆 $x^{2}+4(y-a)^{2}=4$ 与抛物线 $x^{2}=2 y$ 有公共点，则实数 $a$ 的取值范围区间中包含几个整数点.
Answer: 4
Problem: $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, A C=2, M$ 是 $A B$ 的中点。将 $\triangle A C M$ 沿 $C M$ 折起,使 $A, B$ 两点间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，此时三棱雉 $A-B C M$ 的体积等于$\frac{m \sqrt{n}}{k}$.求$m+n+k$.
Answer: 7
Problem: 已知复数 $z=1-\sin \theta+i \cos \theta\left(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\right)$, 求 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的辐角主值为$\frac{a\pi}{b}-\frac{c\theta}{d}$,求$a+b+c+d$.
Answer: 10
Problem: 在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$AC=2$，$M$是$AB$的中点。将$\triangle ACM$沿$CM$折起，使$A、B$两点间的距离为$2\sqrt{2}$，此时三棱锥$A-BCM$的体积等于$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的形式，请给出$m + n+k$的值。
Answer: 7
Problem: 已知 $\theta=\arctan \frac{5}{12}$, 那么复数 $z=\frac{\cos 2 \theta+i \sin 2 \theta}{239+i}$ 的辐角主值是。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 5
Problem: 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 并且 $P$ 到这条双曲线的右准线的距离恰是 $P$ 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么 $P$ 的横坐标是 $\qquad$. 原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 69
Problem: 给定 $A(-2,2)$, 已知 $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 上的动点, $F$ 是左焦点, 当 $|A B|+\frac{5}{3}|B F|$ 取最小值时, $B$ 的坐标为$\left(-\frac{a \sqrt{b}}{c}, b\right)$.求$a+b+c+d$
Answer: 12
Problem: 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 并且 $P$ 到这条双曲线的右准线的距离恰是 $P$ 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项。那么, $P$ 的横坐标的原始答案是 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 69
Problem: 给定正整数 $n$ 和正数 $M$ 。对于满足条件 $a_{1}^{2}+a_{n+1}^{2} \leqslant M$ 的所有等差数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$, 试求 $S=a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n+1}$ 的最大值.写出$M=10,n=5$时$S$的最大值。
Answer: 30
Problem: 一张台球桌形状是正六边形 $A B C D E F$ ，一个球从 $A B$ 的中点 $P$ 击出，击中 $B C$ 边上的某点 $Q$ ，并且依次碰击 $C D 、 D E 、 E F 、 F A$ 各边，最后击中 $A B$ 边上的某一点. 设 $\angle B P Q=\theta$ ， $\theta$ 的范围为$\theta\in[arc\mathrm{tan}\frac{a\sqrt{3}}{b}, arc\mathrm{tan}\frac{c\sqrt{3}}{d}]$,求$a+b+c+d$。
提示：利用入射角等于反射角的原理。
Answer: 24
Problem: 如图3，在直角坐标系 $x O y$中， $\\odot O: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A, \\odot A:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 与 \\odot O 交于 $B 、 C$ 两点. (1) 求 \\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{A C} 的最小值; (2) 设 $P$ 为 \\odot O 上异于 $B 、 C$ 的任一点，直线 $P B 、 P C$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M 、 N$, 求 $S_{\\triangle P O M} S_{\\triangle P O N}$ 的最大值。请提供两个部分答案之和。
Answer: 2
Problem: 如图3，在直角坐标系 $x O y$中， $\\odot O: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A, \\odot A:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 与 $\\odot O$ 交于 $B 、 C$ 两点. (1) 求 $\\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{A C}$ 的最小值; (2) 设 $P$ 为 $\\odot O$ 上异于 $B 、 C$ 的任一点，直线 $P B 、 P C$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M 、 N$, 求 $S_{\\triangle P O M} S_{\\triangle P O N}$ 的最大值。请给出这两个值的和。
Answer: 3
Problem: 令全集 $I=\{1,2, \cdots, 2020\}$, 称正整数集
$$
\begin{aligned}
& W=\left\{w(a, b)=(a+b)+a b \mid a 、 b \in \mathbf{Z}_{+}\right\}, \\
& Y=\left\{y(a, b)=(a+b) \cdot a b \mid a 、 b \in \mathbf{Z}_{+}\right\},
\end{aligned}
$$
分别为"吴"集合、"越"集合. 这两个集合的交集 $X$ 称为"西子数集"： $W \cap Y=X$ ，集 $X$ 中的元素皆称为 "西子数"。例如，
$$
\begin{aligned}
& 54=w(4,10)=y(3,3), \\
& 56=w(2,18)=y(1,7),
\end{aligned}
$$
即 54 与 56 皆为西子数。
(1) 求西子集中最大与最小的元素之和.
(2) 若数 $n$ 具有至少两种 $y(a, b)$ 表示，则称 $n$ 为 "卓越数" 。例如，30为卓越数，这是因为 $30=y(1,5)=y(2,3)$. 问:集合 $Y$ 中共有多少个卓越数？
请给出问题(1)与问题(2)的答案之和。
Answer: 2037
Problem: 设 $a 、 b 、 c 、 d$ 是非负整数, $S=a+b+c+d$.\n(1) 若 $a^{2}+b^{2}-c d^{2}=2022$, 求 $S$ 的最小值；\n（2）若 $a^{2}-b^{2}+c d^{2}=2022$ ，求 $S$ 的最小值。请提供两种情况下 $S$ 的最小值之和。
Answer: 74
Problem: 一项考试的可能得分为 $0,1,2, \cdots, 150$ ，有 100 名考生 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记 $P_{i}$ 的得分为 $a_{i}$ 。每个考生 $P_{i}$ 比较自己与相邻两人 $P_{i-1}, P_{i+1}$ (下标按模 100 理解) 的得分，定义 $P_{i}$ 的激励值 $f_{i}$ 为:  
$f_{i}=\begin{cases}a_{i}(a_{i-1}+a_{i+1}-a_{i}),&a_{i}<\min\{a_{i-1},&a_{i+1}\},\\a_{i}(\max\{a_{i-1},a_{i},a_{i+1}\}-a_{i}),&a_{i}\geq\min\{a_{i-1},&a_{i+1}\}.\end{cases}$
记 $S=f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{100}$.  
(1) 求 $S$ 的最大值;  
(2) 求使得 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{100}$ 两两不等的 $S$ 的最大值。请给出这两个最大值的和。
Answer: 1147349
Problem: 设 $n$ 为正整数， $f(n)$ 表示满足以下条件的 $n$ 位数（称为波形数） $\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的个数：
(i) 每一位数码 $a_{i} \in\{1,2,3,4\}$ ，且 $a_{i} \neq$ $a_{i+1}(i=1,2, \cdots)$;
(ii) 当 $n \geqslant 3$ 时， $a_{i}-a_{i+1}$ 与 $a_{i+1}-a_{i+2}$ $(i=1,2, \cdots)$ 的符号相反。
(1) 求 $f(10)$ 的值;
（2）确定 $f(2008)$ 被 13 除得的余数。
请给出问题(1)与问题(2)的答案之和。
Answer: 8018
Problem: 对任意的正整数 $n$, 记 $D_{n}$ 为 $n$ 的正约数全体， $f_{i}(n)(i=1,2)$ 为集合 $$ F_{i}(n)=\left\{a \in D_{n} \mid a \equiv i(\bmod 4)\right\} $$ 的元素个数. 求最小的正整数 $m$,使得 $2 f_{1}(m)-f_{2}(m)=2017$. $m$的形式满足$k \times p^{q}$,求$k+p+q$.
Answer: 2023
Problem: 对任意的正整数 $n$, 记 $D_{n}$ 为 $n$ 的正约数全体， $f_{i}(n)(i=0,1,2,3)$ 为集合  
$$  
F_{i}(n)=\left\{a \in D_{n} \mid a \equiv i(\bmod 4)\right\}  
$$  
的元素个数。求最小的正整数 $m$ ，使得  
$$  
f_{0}(m)+f_{1}(m)-f_{2}(m)-f_{3}(m)=2017 . 
$$  
答案的标准形式为$a^{b} \times c^d\times e^f \times g^h$，计算a+b+c+d+e+f+g+h的值。
Answer: 67
Problem: 对正整数 $n$ ，定义 $n!=1 \times 2 \times \cdots \times n$ 。求所有的正整数 $x 、 y$, 使得 $3^{x}+x^{4}=y!+2019$ 。请给出所有解的x + y的值。
Answer: 9
Problem: 求最大的正整数 $m$ ，使得存在集合 $\\{1,2, \\ldots, 100\\}$ 的 $m$ 个子集 $A_{1}, A_{2}$ ， $\\ldots, A_{m}$ 满足：对任意 $1 \\leq i<j \\leq m$ ，都有  $$  \\left|A_{i} \\bigcup A_{j}\\right| - \\left|A_{i} \\bigcap A_{j}\\right|=2.$$  请给出该最大正整数的值。
Answer: 100
Problem: 有 $n$ 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 $n-2$ 个人之间通电话的次数相等, 都是 $3 k$ 次, 其中 $k$ 是自然数, 求 $n$ 的可能值的和.
Answer: 5
Problem: 一个球与正四面体的六条棱都相切。若正四面体的棱长为 $a$，则这个球的体积的原始答案是\frac{\sqrt{a}\pi a^b}{c}的格式，请给出a+b+c的值。
Answer: 29
Problem: 设 $S_{n}=1+2+3+\cdots+n, n \in \mathbf{N}$. 求 $f(n)=\frac{S_{n}}{(n+32) S_{n+1}}$ 的最大值。原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 51
Problem: 若函数 $f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{13}{2}$ 在区间 $[a, b]$ 上的最小值为 $2 a$, 最大值为 $2 b$, 求 $[a, b]$. 标准答案格式为$[a,b]=[m,n]$ 或 $\Big[-a-\sqrt{b},\frac{c}{d}\Big]$，请提供区间 $[a, b]$ 的端点m+n+a+b+c+d和。
Answer: 40
Problem: 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列， $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $b_{1}=a_{1}{ }^{2}, b_{2}=a_{2}{ }^{2}, b_{3}=a_{3}{ }^{2}\left(a_{1}<a_{2}\right)$ ，又 $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}\right)=\sqrt{2}+1$. 试求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的2倍首项与公差的和.
Answer: -2
Problem: 椭圆 $\rho=\frac{1}{2-\cos \theta}$ 的短轴长以 \frac{m\sqrt{n}}{k} 的形式给出，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 8
Problem: 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=2,\left|z_{2}\right|=3,3 z_{1}-2 z_{2}=\frac{3}{2}-i$, 则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的原始答案是 $-\frac{a}{b} + \frac{c}{d} i$ 的形式，请给出a+b+c+d和的值。
Answer: 128
Problem: 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 则直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $B D_{1}$ 的距离是 . 原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 12
Problem: 不等式 \left|\frac{1}{\log _{\frac{1}{2}} x}+2\right|>\frac{3}{2} 的解集为. 标准答案格式为$(a,b) \cup\left(c,d^{\frac{e}{f}}\right) \cup(g,+\infty)$，请给出所有区间端点a+b+c+d+e+f+g的和。
Answer: 19
Problem: $A$ 是半径为 1 的 $\odot O$ 上一定点, $l$ 是过点 $A$ 的 $\odot O$的切线. 设 $P$ 是 $\odot O$ 上不同于 $A$ 的一点 ,$P Q \perp$ $l$, 垂足为 $Q$. 当点 $P$ 在 $\odot O$ 上运动时, $\triangle P A Q$面积的最大值的原始答案为 \frac{m \sqrt{n}}{k}，请给出 m + n +k的值。
Answer: 14
Problem: 设集合  $X=\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{Z}\}$, $f$ 是从 $X$ 到 $X$ 的映射, 且满足  $f(a, b, c)=(a+b+c, a b+b c+c a, a b c)$.试求所有的三元数组 $(a, b, c)$ ，使得 $f(f(a, b, c))=(a, b, c)$. 当a=1时，请给出满足条件的三元数组和的和。
Answer: 0
Problem: 两个半径都是 $1$ 的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 相切，且均与直二面角 $\alpha-l-\beta$ 的两个半平面都相切，另有一个半径为 $r(r<1)$ 的小球 $O$与这个二面角的两个半平面也都相切, 同时,与球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 都外切。若原始答案的形式为 $m - \sqrt{n}$，请给出 m + n 的值。
Answer: 10
Problem: 若实数 $x$、$y$ 满足 $x^2+y^2=1$,则$\frac{2xy}{x+y-1}$的最小值是。请给出答案中$a-\sqrt{b}$的a+b之和。
Answer: 3
Problem: 有 20 张卡片上分别写有数字1,2,…,20, 将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于___。原始答案为最简分数形式\frac{m}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 58
Problem: 设 $0<\alpha<\pi, \pi<\beta<2 \pi$. 若对任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，都有 $$ \cos (x+\alpha)+\sin (x+\beta)+\sqrt{2} \cos x=0 $$ 恒成立，试求 \alpha, \beta 的值。给出 \alpha 和 \beta 的形式为 \frac{m\pi}{n} 和 \frac{p\pi}{q}，请给出 m+n+p+q 的值。。
Answer: 18
Problem: 一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球。若这三个小球的半径均为 1 ，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径 $R=$ 的原始答案是 $\frac{m+\sqrt{n}}{k}$，请给出m + n + k的值。
Answer: 27
Problem: 对于 $n \in \mathbf{N}_{+}$，若 $2^{n} n+1$ 是 3 的整数倍，则 $n$ 被 6 除所得余数构成的集合是_____. 请给出集合中所有元素的和。
Answer: 3
Problem: 如图1，在第一象限内,矩形 $A B C D$ 的三个顶点 $A 、 B 、 C$分别在函数 $y=\log _{\frac{\sqrt{2}}{2}} x 、 y=x^{\frac{1}{2}} 、y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{x}$ 的图像上, 且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点 A的纵坐标为 2, 则点 D 的横、纵坐标之和为$\frac{b}{a}$ ，求$a+b$的值。
Answer: 33
Problem: 现代社会对破译密码的要求越来越高。在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的26 个字母$a,b,\cdots,z$( 不论大小写 ) 依次对应 $1, 2, \cdots , 26$这 26 个自然数，见表1.  
  
$$\begin{gathered}\textbf{表 1}\\\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m\\\hline1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\\hline n&o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z\\\hline14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26\\\end{array}}\end{gathered}$$  
  
  
给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式：  
$y=\begin{cases}\frac{x+1}{2},&x\text{为奇数，且 1 x26};\\\frac{x}{2}+13,&x\text{为偶数，且 1 x26.}\end{cases}$  
  
利用它可将明码转换成密码，如 $5\rightarrow\frac {5+ 1}2= 3$, 即e变 成c; $8\rightarrow \frac 82+ 13= 17$ , 即h变成q.  
  
按上述公式，若将某明码译成的密码是shxc,则原来的明码所对应的自然数之和是多少。
Answer: 54
Problem: 满足  
  
$\frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1-\sin \theta-\cos \theta}+\frac{1-\sin \theta-\cos \theta}{1-\sin \theta+\cos \theta}=2$  
  
的最大负角 $\theta$ 的弧度数为 $-\frac{\pi}{a}$，求$a$的值。
Answer: 2
Problem: 在侧棱长和底面边长都是 4 的正四棱锥 $P-A B C D$ 的表面上与顶点 $P$ 的距离为 3的动点所形成的所有曲线段的长度之和为$m \pi$，求$m$的值。
Answer: 6
Problem: 设 $P$ 为直线 $y=x-2$ 上的动点，过$P$作抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$的切线，切点分别为$A,B$.  
$\triangle PAB$ 面积的最小值为$m \sqrt{m}$，此时点 $P(n,-n)$，求$m+n$的值。
Answer: 4
Problem: 设 $a 、 b$ 都是正实数,  $A=\frac{a+b}{2}, B=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$.  若 $A+B=a-b$, 则 $\frac{a}{b}=m+n\sqrt{m}$，求$m+n$的值。
Answer: 5
Problem: 已知两条直线 $l_{1}: y=2, l_{2}: y=4$, 设函数 $y=3^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$, 函数 $y=5^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $C 、 D$. 则直线 $A B$ 与 $C D$ 的交点的横、纵坐标之和是多少。
Answer: 0
Problem: 已知集合 $M=\{1,3,5,7,9\}$. 若非空集合 $A$ 满足: $A$ 中各元素都加 4 后构成 $M$ 的一个子集， $A$ 中各元素都减 4 后也构成 $M$ 的一个子集。请给出集合 $A$ 的元素之和。
Answer: 5
Problem: 设不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 交于不同的两点 $P 、 Q$. 若直线 $P Q$ 的斜率是直线 $O P$ 和 $O Q$ 斜率的等比中项, $\triangle P O Q$ 面积 $S$ 的取值范围是$(a,\frac{b}{c})$，求$a+b+c$的值。
Answer: 3
Problem: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$.则 $\frac{S_{6}}{T_{5}}$的 结果为分数形式，请给出分子与分母之和。
Answer: 43
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是以$\frac{m}{n}$的形式表示，请给出$m+n$的值。
Answer: 289
Problem: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高为 3, 侧面与底面所成角为 $\frac{\pi}{3}$ 。先在 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, O_{4}, \cdots$, 使得后放入的各球与前一个球及 $\Gamma$ 的四个侧面均相切，则放入的所有球的体积之和的原始答案为$\frac{m\pi}{n}$，请给出$m + n$的值。
Answer: 31
Problem: 已知函数 $f(x)=x \ln x-a x^{2}, a \in \mathbf{R}$，设函数 $F(x)=|f(x)|(x \in[1, \mathrm{e}])$ 有极小值,  $a$ 的取值范围是$\left(a, \frac{b}{\mathrm{e}}\right) \cup\left(\frac{b}{\mathrm{e}}, \frac{b}{c}\right)$，求$a+b+c$的值。
Answer: 3
Problem: 设集合 $T=\{\left(a,b,c\right)|a,b,c\in\mathbf{Z}_{+}$,且 $a、b、c$ 可构成某个三角形的三边长\}.则$\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b\times5^c}$的值为一个分数，分子和分母分别为$m$和$n$，请给出$m + n$的值。
Answer: 38
Problem: 用 $6$ 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计。设此框架能容纳得下的最大球的半径为 $R_{1}$,能包容此框架的最小球的半径为 $R_{2}$ 。则 $\frac{R_{1}}{R_{2}}$等于。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 6
Problem: 已知 $a$ 为实数, 且对任意 $k \in[-1,1]$, 当 $x \in(0,6]$ 时, $6 \ln x+x^{2}-8 x+a \leqslant k x$ 恒成立, 则 $a$的最大值是$m-m \ln m$，求$m$的值。
Answer: 6
Problem: 设点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$, 点 $B, C$ 为圆 $O: x^{2}+y^{2}=25$ 上的两动点, 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$.  $\triangle A B C$ 面积的最大值为$\frac{a+b \sqrt{c}}{d}$，求$a+b+c+d$的值。
Answer: 71
Problem: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高 $h=3$, 侧面与底面所成角 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 。先在正四棱雉 $\Gamma$ 内放人一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放人球 $O_{2}, O_{3}, \cdots$, 使得后放入的各球均与前一个球及正四棱雉 $\Gamma$的四个侧面都相切。则放入所有球的体积之和为$\frac{m \pi}{n}$，求$m+n$的值。
Answer: 31
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{0}=\sqrt{6}, a_{n+1}=\left[a_{n}\right]+\frac{1}{\left\{a_{n}\right\}}$ (其中 $\left[a_{n}\right]$ 和 $\left\{a_{n}\right\}$ 分别表示实数 $a_{n}$ 的整数部分与小数部分), 则 $a_{2020}=a+\sqrt{b}$，求$a+b$的值。
Answer: 6066
Problem: 已知正实数 $x, y$ 满足: $\frac{1}{x+3 y}+\frac{1}{2 x+y}=1$, 则 $x+y$ 的最小值是$\frac{a}{b}(c+d \sqrt{d})$，求$a+b+c+d$的值。
Answer: 11
Problem: $设$\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$,且   $3\overrightarrow {OA}+ 4$ $\overrightarrow {OB}+ 5$ $\overrightarrow {OC}= \mathbf{0} .$则$\angle C$ 的大小为$(\frac{b}{a})^{\circ}$，求$a+b$的值。
Answer: 49
Problem: 已知数列$\left\{a_n\right\}$满足：$$a_0=\sqrt{6}\:,a_{n+1}=\left[\:a_n\:\right]+\frac{1}{\left\{\:a_n\:\right\}}\:,$$其中，$[a]$表示不超过实数 $a$ 的最大整数，$\{$ $a$ $\} = a$ -[ $a$ ].则 $a_{2\:020}=$. 请给出整数部分与根号下数值的和。
Answer: 6066
Problem: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1$, 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n} 、 S_{n} 、 S_{n}-\frac{1}{2}$ 成等比数列。则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} a_{n}=$ \_\_\_\_\_。原始答案是以\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 1
Problem: 已知在三棱锥 $D-A B C$ 中, $\angle A C B=\angle A B D=90^{\circ}, C A=C B, \angle B A D=30^{\circ}$.若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰好在 $A D$ 上, 则二面角 $C-A B-D$ 的平面角的正弦值大小为 \frac{\sqrt{m}}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 9
Problem: 设函数 $f(x)=x-\ln (a x+2 a+1)+2$. 若对于任意 $x \geqslant-2$, 均有 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，请给出实数 $a$ 的取值范围端点之和。
Answer: 1
Problem: 过抛物线 $y=x^{2}$ 上两点 $A\left(1, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 分别作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$交于点 $C$. 若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=0$, 则 $x_{2}$为一个分数$\frac{m}{n}$的形式，请给出m + n的值。
Answer: 3
Problem: 设函数
$$f(x)=x-\ln(ax+2a+1)+2.$$  
若对于任意的 $x\geqslant-2$,均有 $f(x)\geqslant0$,则实数$a$的取值范围是\qquad. 请提供区间端点之和。
Answer: 1
Problem: 已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两顶点为 $A(-2,0), B(2,0)$, 离心率为 $\frac{1}{2}$. 点 $P($ 不同于 $A 、 B)$ 在椭圆 $\Gamma$ 上, 点 $D(-4,0)$, $\overrightarrow{D E}=\frac{3}{5} \overrightarrow{D P}$, 直线 $A P$ 与 $B E$ 交于点 $Q$. 求点 $Q$ 的轨迹方程，给出其方程中 x 的系数值。
Answer: 1
Problem: 在三棱锥 $D-A B C$ 中, $\angle B A D=30^{\circ}$, $\angle A C B=\angle A B D=90^{\circ}, C A=C B$. 若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰在 $A D$ 上, 则二面角 $C$ $A B-D$ 的平面角的正弦值大小为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 9
Problem: 已知实数 $x, y$ 满足 $x|x|+\frac{y|y|}{3}=1$, 则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围为一个区间$[p, q)$，请给出p + q的整数部分的值。
Answer: 8
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三边 $a, b, c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+3 c^{2}=7$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 11
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三边 $a 、 b 、 c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+3 c^{2}=7$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值是。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 11
Problem: 给定正整数 $a, b(a \leqslant b)$. 数列 $\left\{f_{n}\right\}$ 满足: $$ f_{1}=a, f_{2}=b, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n=1,2, \cdots) $$ 若对任意的正整数 $n$, 都有 $\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}\right)^{2} \leqslant \lambda \cdot f_{n} f_{n+1}$, 求实数 $\lambda$ 的最小值. 原始答案为 $m + \sqrt{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值.
Answer: 7
Problem: 设 $A, B, C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角, 则 $3 \cos A+2 \cos 2 B+\cos 3 C$ 的取值范围为. 请给出该范围的端点之和的整数部分。
Answer: 4
Problem: 给定正整数 $n(n \geqslant 2)$. 已知 $2 n$ 个正实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}$, 满足: $$ \sum_{k=1}^{n} a_{2 k-1} \cdot \sum_{k=1}^{n} a_{2 k}=\prod_{k=1}^{n} a_{2 k-1}+\prod_{k=1}^{n} a_{2 k}. $$ 求 $S=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{a_{k}^{n-1}}{a_{k+1}}$ 的最小值，其中 $a_{2 n+1}=a_{1}$ 。请给出当 $n = 2$ 时的最小值。
Answer: 8
Problem: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且对任意实数 $x$, 均有 $2 f(x)+f\left(x^{2}-1\right)=1$, 请给出 $f(\sqrt{2})$ 的值为\(\frac{m}{n}\)的格式，并计算m + n的值。
Answer: 4
Problem: 设 $P(0, a)$ 是 $y$ 轴上异于原点的任意一点, 过点 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线与曲线 $y= \frac{1}{a} \ln x$ 交于点 $Q$, 曲线 $y=\frac{1}{a} \ln x$ 在点 $Q$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $R$. 则 $\triangle P Q R$ 的面积的最小值是以 \( \frac{\sqrt{m} \cdot e^n}{k} \) 的形式表示，请给出 $m + n + k$ 的值。
Answer: 5
Problem: 给定正整数 $a, b(a \leqslant b)$. 数列 $\left\{f_{n}\right\}$ 满足: $$ f_{1}=a, f_{2}=b, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n=1,2, \cdots) $$ 若对任意的正整数 $n$, 都有 $\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}\right)^{2} \leqslant \lambda \cdot f_{n} f_{n+1}$, 求实数 $\lambda$ 的最小值。原始答案为 $n+\sqrt{m}$，请给出 $n+m$ 的值。
Answer: 7
Problem: 已知锐角 \( \angle A 、 \angle B \) 满足 \( \tan (A+B)=2 \tan A \). \n则 \( \tan B \) 的最大值是一个分数 \( \frac{m}{n} \) 的形式，请给出 \( m + n \) 的值。
Answer: 6
Problem: 如图1，已知正方形 ABCD 的边长为 3 $E$为$DC$ 的中点$,AE$ 与 $BD$交于点 $F.$ 则$
\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{DE}$的原始答案为$-\frac{m}{n}$格式，请给出m + n的值。
Answer: 5
Problem: 设等比数列 ${an}$的前$n$项和 为$S_n$ ，且$a_{n+1}=2S_{n}+\frac{1}{2}(n\in\mathbf{Z}_{+}).$\求数列 ${an}$的通项公式。已知原始答案为$\frac{a}{b}\times c^{n-1}$的形式，请给出$a + b + c$的值。
Answer: 6
Problem: 用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架, 铁棒的粗细和焊接误差不计。设此框架能容纳得下的最大球的半径为 $R_1$,能包容此框架的最小球的半径为 $R_2$. 则原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 6
Problem: 已知直线 $l: y=\sqrt{3} x+4$, 动圆 $O: x^{2}+y^{2}=r^{2}(1<r<2)$, 菱形 $A B C D$ 的一个内角为 $60^{\circ}$, 顶点 $A, B$ 在直线 $l$ 上, 顶点 $C, D$ 在圆 $O$ 上, 当 $r$ 变化时, 求菱形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围. 计算该取值范围的端点之和，并将结果四舍五入为最接近的整数.
Answer: 15
Problem: 若 $a 、 b 、 c$ 成等差数列, 则直线 $a x+b y+c=0$ 被椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 截得线段的中点的轨迹方程为某椭圆方程。请给出该椭圆方程中x与y的系数和。
Answer: -1
Problem: 如图，圆$C$与$x$轴相切于点$T(2,0)$，与$y$轴的正半轴相交于$A, B$两点（$A$在$B$的上方），且$|AB|=3$。求圆$C$的方程。已知圆的方程为$(x-m)^{2}+(y-\frac{n}{k})^{2}=\frac{p}{q}$，请给出m + n + k的值。
Answer: 9
Problem: 设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 且满足$$\begin{aligned}& \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}. \\
& \text { 则 } \angle A C B=\end{aligned}$$

原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
Problem: 某人抛郑一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使\na_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}\n记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为\n原始答案为 \(\frac{m}{n}\) 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 141
Problem: A $2\times3$ rectangle has vertices at $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,3)$, and $(2,3)$. It rotates $90^{\circ}$ clockwise about the point $(2,0)$. It then rotates $90^{\circ}$ clockwise about the point $(5,0)$, then $90^{\circ}$ clockwise about the point $(7,0)$, and finally, $90^{\circ}$ clockwise about the point $(10,0)$. (The side originally on the x-axis is now back on the x-axis.) Find the area of the region above the x-axis and below the curve traced out by the point whose initial position is $(1,1)$. The original answer is in the format $\frac{m\pi}{n} + k$. Please give the value of m + n + k.
Answer: 15
Problem: Let P be a polynomial, with real coefficients, in three variables and F be a function of two variables such that

$P(ux,uy, uz)=u^{2}F(y-x,z-x,z-x)$ for all real $x$, $y$, $z$, $u$,

and such that $P(1,0,0)=4$, $P(0,1,0)=5$, and $P(0,0,1)=6$. Also let A, B, C be complex numbers with $P(A,B,C)=0$ and $|B- A|=10$. Find $|C-A|$. The original answer is in the format $(m/k)\sqrt{n}$, please give the value of m + n + k.
Answer: 38
Problem: Find the maximum value of \(\int_0^y \sqrt{x^4+(y-y^2)^2} \, dx\) for \(0 \leq y \leq 1\). The original answer is in \(\frac{m}{n}\) format, please give the value of \(m + n\).
Answer: 4
Problem: For each positive integer $n$, let $a(n)$ be the number of zeros in the base 3 representation of $n$. For which positive real numbers $x$ does the series $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{a(n)}}{n^3} $$ converge? Please provide the sum of the endpoints of the interval for which the series converges.
Answer: 25
Problem: Four points are chosen at random on the surface of a sphere. What is the probability that the center of the sphere lies inside the tetrahedron whose vertices are at the four points? (It is understood that each point is independently chosen relative to a uniform distribution on the sphere.) The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 9
Problem: Let $S$ be the smallest set of positive integers such that\n(a) 2 is in $S$,\n(b) $n$ is in $S$ whenever $n^2$ is in $S$, and\n(c) $(n+5)^2$ is in $S$ whenever $n$ is in $S$.\nWhich positive integers are not in $S$? The original answer is in the form of a set, please provide the sum of all positive integers not in $S$.\n
Answer: 6
Problem: Find all ordered pairs $(a, b)$ of positive integers for which
$$
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018} .
$$
Please provide the sum of all integers in the ordered pairs.
Answer: 1438383
Problem: Given a positive integer $n$, let $M(n)$ be the largest integer $m$ such that $$\begin{pmatrix}m\\n-1\end{pmatrix}>\begin{pmatrix}m-1\\n\end{pmatrix}.$$ Evaluate the limit $$\lim_{n\to\infty}\frac{M(n)}{n}.$$ The original answer is in the format $\frac{a + \sqrt{b}}{c}$. Please provide the integer sum of $a$, $b$, and $c$.
Answer: 10
Problem: Let $k$ be a nonnegative integer. Evaluate $$\sum_{j=0}^k2^{k-j}\binom{k+j}j.$$ Please provide the value of the expression when $k = 1$. The original answer is in $4^{k}$ format, please give the value of $m + n$
Answer: 5
Problem: For every positive real number $x$, let
$$g(x)=\lim\limits_{r\to0}((x+1)^{r+1}-x^{r+1})^{\frac{1}{r}}.$$\mathrm{Find}\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x}. The original answer is in the form of $e$, please provide the integer part of the result.
Answer: 1
Problem: Let $n$ be an integer with $n\geq2.$ Over all real polynomials $p(x)$ of degree $n$, what is the largest possible number of negative coefficients of $p(x)^2?$ Provide the value when $n=2$. directly give the value of the answer when n=4
Answer: 6
Problem: Let $n$ be an even positive integer. Let $p$ be a monic, real polynomial of degree $2n;$ that is to say, $p(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ for some real coefficients $a_{0},\ldots,a_{2n-1}.$ Suppose that $p(1/k)=k^{2}$ for all integers $k$ such that $1\leq|k|\leq n.$ Find all other real numbers $x$ for which $p(1/x)=x^2.$ The original answer is in the form of $\pm m/n!$, please give the value of m+ n
Answer: 2
Problem: Let $a_0=5/2$ and $a_k=a^2_{k-1}-2$ for $k\geq1.$ Compute $$\prod\limits_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{a_k}\right)$$ in closed form. The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 10
Problem: Suppose that $f$ is a function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ such that $$f(x)+f\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=\arctan x$$ for all real $x\neq0.$ (As usual, y=arctan $x$ means $-\pi/2<$ $y<\pi/2$ and tan$y=x.)$ Find $$\int_0^1f(x)\:dx.$$ The original answer is in the format \(\frac{m \pi}{n}\). Please give the value of \(m + n\).
Answer: 11
Problem: Let $n$ be a positive integer. Two players $A$ and $B$ play a game in which they take turns choosing positive integers $k\leqslant n.$ The rules of the game are: $(i)$ $A$ player cannot choose a number that has been chosen by either player on any previous turn. $(ii)$ $A$ player cannot choose a number consecutive to any of those the player has already chosen on any previous turn. $(iii)$ The game is a draw if all numbers have been chosen; otherwise the player who cannot choose a number anymore loses the game. The player $A$ takes the first turn. Determine the sum of all $n$ for which the game ends in a draw, assuming that both players use optimal strategies.
Answer: 13
Problem: Determine all triples $(a,b,c)$ of positive integers for which $ab-c,bc-a$, and $ca-b$ are powers of $2$. Explanation:$A$ power of $2$ is an integer of the form $2^n$, where $n$ denotes some nonnegative integer. 
How many triples $(a, b, c)$ satisfy the conditions?
Answer: 16
Problem: Let $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of positive integers. For any positive integer $k$, a function $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ is called $k$-good if $\gcd(f(m)+n,f(n)+m)\leqslant k$ for all $m\neq n.$ Find the smallest positive integer $k$ such that there exists a $k$-good function.
Answer: 2