ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 已知三个复数 $z_{1}=(5-a)+(6-4 b) \mathrm{i}, z_{2}=(2+2 a)+(3+b) \mathrm{i}, z_{3}=(3-a)+(1+3 b) \mathrm{i}(a, b \in$ $\mathbf{R})$. 若 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 取最小值, 则 $3 a+6 b$ 的结果为 \frac{k}{m} 的形式，请给出 $k+m$ 的值。
Answer: 40
Problem: 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=12, a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_{n}+\right.$ $\left.3 \sqrt{1+2 a_{n}}\right)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则与 $a_{10}$ 最接近的整数是 ______。
Answer: 4
Problem: 已知数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 的各项均为正整数，且 $\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2,3,4)$ 。若数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 中存在一项是3，则数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leqslant k \leqslant 5}$ 可能的个数是多少？
Answer: 211
Problem: 若复数 \(z\) 满足 \(\frac{z}{2}\) 与 \(\frac{2}{z}\) 的实部、虚部均在区间 \([-1,1]\) 上取值，则 \(z\) 在复平面上形成轨迹的面积是多少？答案的形式为 \(a-b\pi\)，请给出\(a+b\)的值。
Answer: 14
Problem: 所有满足条件 $\frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ 的六位数 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$ 之和是多少？
Answer: 2065020
Problem: 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，比如 [1.2] $=1$, $[-1.2]=-2$. 若 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, 求 $\left[\alpha^{12}\right]$ 的值。
Answer: 321
Problem: 若二次函数 $f(x)$ 满足 $\forall x \in \mathbf{R}, 2 x \leqslant f(x) \leqslant \frac{x^{2}+4}{2}$ 及 $f(-2)=0$ ，求 $f(10)$ 的值。
Answer: 36
Problem: 已知 \(m, n, k \in \mathbf{N}^{*}\)，若 \(f(x)=(1+x)^{m}+(1+x)^{n}+(1+x)^{k}\) 的展开式中 \(x\) 的系数是 10，则 \(f(x)\) 的展开式中 \(x^{2}\) 系数的最大值与最小值之和是多少？
Answer: 40
Problem: 满足正整数 $n \leqslant 2022$ 且 $2n+1$ 与 $3n+1$ 均为完全平方数的 $n$ 的个数是 _______.
Answer: 1
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=\frac{5}{2}, a_{n+1}=a_{n}^{2}-2$, 求 $\left[a_{2023}\right]$ 除以 7 的余数。
Answer: 2
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三边长分别是 $2,3,4$, 其外心为 $O$, 求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+$ $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: -27
Problem: 从正 15 边形的顶点中选出 3 个连成钝角三角形，不同的选法有多少种？
Answer: 315
Problem: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A D=A A_{1}=1$，求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 过 \(\triangle ABC\) 的重心作直线将 \(\triangle ABC\) 分成两部分，求这两部分的面积之比的最小值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 9
Problem: $\triangle A B C$ 的三边长是 $2,3,4$, 其外心为 $O$。求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。答案的形式为-\frac{m}{n}，请给出m+n的值。
Answer: 31
Problem: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B=2, A D=A A_{1}=1$。求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离。如果答案是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$ 的值。
Answer: 5
Problem: 若从 $0,1,2, \cdots, 9$ 中选取 $5$ 个两两互异的数字依次排成一个五位数（包括 $0$ 在首位的五位数，其大小就是把 $0$ 去掉后的四位数），求它能被 $396$ 整除的概率。答案的形式为\frac{a}{b}，请给出a+b的值。
Answer: 316
Problem: 若空间向量 $\boldsymbol{a} ,\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}$ 满足 $|\boldsymbol{a}| \leqslant 1,|\boldsymbol{b}| \leqslant 1, \mid \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}+$ $\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$ ，求 $| \boldsymbol{c} \mid$ 的最大值。答案的形式为 $k\sqrt{m}$，请给出 $k+m$ 的值。
Answer: 7
Problem: 若 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1(x y \in \mathbf{R})$, 求 $x^{2}+x y-y^{2}$ 的最大值与最小值所组成的区间。答案形如 \left[-\frac{\sqrt{k}}{m}, \frac{\sqrt{k}}{m}\right]，请给出k + m的值。
Answer: 7
Problem: 若 $A, B, C \subseteq\{1,2,3, \cdots, 2020\}, A \subseteq C, B \subseteq C$ ，求有序集合组 $(A, B, C)$ 的组数。原始答案的形式为 $k^m$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 2025
Problem: Evaluate \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}\). The answer is in the form of \(\frac{k}{m}\), where \(\frac{k}{m}\) is a simplified fraction. Please provide the value of \(k + m\).
Answer: 7
Problem: 函数 $f(x)=\frac{2 e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}+\sin x(-2 \leqslant x \leqslant 2)$ 的最大值与最小值之和是多少？
Answer: 2
Problem: 已知 $P(X=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)$，若 $Y$ 为 $X$ 除以 $3$ 所得的余数，则求随机变量 $Y$ 的期望。原始答案的形式为 \frac{k}{m}，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 15
Problem: 若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为 \(\alpha\)，侧棱与底面所成线面角的大小为 \(\beta\)，求满足条件的表达式的值。答案应为 \(k \sec \alpha + m \tan^2 \beta = n\) 的形式，请给出 \(k + m + n\) 的值。
Answer: 2
Problem: 如图 2 所示, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $2$, $D, E$ 分别为边 $A B, A C$ 上的点, $F$ 为线段 $D E$ 上的点，设 $\frac{A D}{A B}=x, \frac{A E}{A C}=y, \frac{D F}{D E}=z$ ，若 $y+z-x=1$ ，求 $\triangle B D F$ 面积的最大值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 43
Problem: 若数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}=n^{2} a_{n}\)，且 \(a_{1}=2019\)，求 \(a_{2018}\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 1010
Problem: 若正数 \(a, b\) 满足 \(a+b=1\)，求 \(\frac{1}{a}+\frac{27}{b^{3}}\) 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k+m \sqrt{3}}{n}\)，请给出k+m+n的值。
Answer: 62
Problem: 若函数 $f(t)=t^{2}+2 t$ ，则点集 $\left\{(x, y) \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}f(x)+f(y) \leqslant 2 \\ f(x) \geqslant f(y)\end{array}\right\}\right.\right.$ 所构成图形的面积是 $k\pi$，求 $k$ 的值。
Answer: 2
Problem: 若把无理数 $(5+3 \sqrt{3})^{2018}$ 写成十进制小数，则其十分位、百分位、千分位上的数字之和为多少？
Answer: 27
Problem: 若 $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=1(a \neq b)$ ，则 $(a+b) c^{2}-a b c$ 的值为多少？
Answer: 2
Problem: 若 $x \in\left[-\frac{5 \pi}{12},-\frac{\pi}{3}\right]$, 则 $y=\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值是 $\frac{a}{b} \sqrt{c}$。求 $a+b+c$ 的值。
Answer: 20
Problem: 设三位数 $n=abc$，若以 $a, b, c$ 为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 $n$ 有多少个？
Answer: 165
Problem: 顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， $A$ 是底面圆周上的点， $B$ 是底面圆内的点， $O$ 为底面圆圆心， $A B \perp O B$ ，垂足为 $B, O H \perp P B$ ，垂足为 $H$ ，且 $P A=4, C$ 为 $P A$ 的中点，求当三棱锥 $O-H P C$ 的体积最大时， $O B$ 的长。答案的形式为 \frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
Problem: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2}=3\right\}, N=\{(x, y) \mid y=m x+b\}$ 。若对于所有 $m \in \mathbf{R}$,均有 $M \bigcap N \neq \varnothing$ ，求 $b$ 的取值范围。答案的形式为\left[-\frac{\sqrt{k}}{m}, \frac{\sqrt{k}}{m}\right]，请给出k+m的值。
Answer: 8
Problem: 求不等式 $\sqrt{\log _{2} x-1}+\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}} x^{3}+2>0$ 的解集。解集的形式为 [a, b)，请给出 a + b 的值。
Answer: 6
Problem: 如图，顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，$A$ 是底面圆周上的点，$B$ 是底面圆内的点，$O$ 为底面圆的圆心，$AB \perp OB$，垂足为 $B$，$OH \perp PB$，垂足为 $H$，且 $PA=4$, $C$ 为 $PA$ 的中点。当三棱锥 $O-HPC$ 的体积最大时，求 $OB$ 的长度。原始答案的形式为\frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
Problem: 记集合 $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}$ ，将 $M$ 中的元素按从大到小排列，求第 2005 个数。原始答案的形式为 \frac{b_1}{7}+\frac{b_2}{7^{2}}+\frac{b_3}{7^{3}}+\frac{b_4}{7^{4}}，请给出b_1 + b_2 + b_3 + b_4的值。
Answer: 6
Problem: 记集合 \(T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}\)。将 \(M\) 中的元素按从大到小的顺序排列，求第 2005 个数。答案的形式为 \(\frac{k}{7}+\frac{m}{7^{2}}+\frac{n}{7^{3}}+\frac{p}{7^{4}}\)，请给出k+m+n+p的值。
Answer: 6
Problem: 使关于 $x$ 的不等式 $\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x} \geqslant k$ 有解的实数 $k$ 的最大值是多少？请以$\sqrt{m}$的形式给出答案，并求出m的值。
Answer: 6
Problem: 数码 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{2006}\) 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 \(\overline{2 a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{2006}}\) 的个数是多少？答案的形式为\(\frac{a^{2006} - b^{2006}}{c}\)，其中c不能被2整除。请计算a+b+c的值。
Answer: 20
Problem: 已知集合 $A=\{x \mid 5 x-a \leqslant 0\}, B=\{x \mid 6 x-b>0\}, a, b \in \mathbf{N}$, 且 $A \bigcap B \cap \mathbf{N}=\{2,3,4\}$ ，求整数对 $(a, b)$ 的个数。
Answer: 30
Problem: 在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1}-A B C$ 中, $\angle B A C=\frac{\pi}{2}, A B=A C=A A_{1}=1$. 已知 $G$与 $E$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点, $D$ 与 $F$ 分别为线段 $A C$ 和 $A B$ 上的动点 (不包括端点). 若 $G D \perp E F$ ，求线段 $D F$ 的长度的取值范围。答案的格式为 \left[\frac{\sqrt{m}}{n}, a\right)，请给出m+n+a的值。
Answer: 11
Problem: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $\angle A P C=60^{\circ}$, 求二面角 $A-P B-C$ 的平面角的余弦值。答案的形式为-\frac{k}{m}，其中k和m为正整数，并且该分数是最简分数。请计算k+m的值。
Answer: 8
Problem: 设实数 $a$ 使得不等式 $|2 x-a|+|3 x-2 a| \geqslant a^{2}$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求满足条件的 $a$ 所组成的集合的区间端点。如果区间为 $[m, n] = \left[\frac{k}{l}, \frac{p}{q}\right]$，请给出k+l+p+q的值。
Answer: 6
Problem: 以 $\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt[3]{2}$ 为两个根的有理系数多项式的次数最低是____。
Answer: 5
Problem: 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 分别满足 $\left|z_{1}-3 \mathrm{i}\right|=2,\left|z_{2}-8\right|=1$ ，则在复平面上所有由复数 $z_{1}-z_{2}$ 对应的点围成的面积是 $x \pi$。求 $x$ 的值。
Answer: 8
Problem: 已知 $x, y \in \mathbf{Z}$ ，若 $\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+\left(y^{2}+y+1\right)^{2}$ 为完全平方数，则数对 $(x, y)$ 的对数是多少？
Answer: 0
Problem: 已知点 \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 关于 \(y=k x\) 的对称点 \(A^{\prime}\) 落在圆 \((x-2)^{2}+y^{2}=1\) 上，求 \(k\) 的值。答案的形式为\(\frac{\sqrt{a}}{b}\)，请给出a+b的值。
Answer: 6
Problem: 从 6 名男员工和 4 名女员工中各抽取 2 人，组成羽毛球混合双比赛，一共有多少组合方式？
Answer: 180
Problem: 满足 $n^{3}+2 n^{2}+8 n-5=a^{3}$ 的自然数组 $(n, a)$ 的对数是 _______。
Answer: 2
Problem: $1 \times 1!+2 \times 2!+\cdots+672 \times 672!$ 被 $2019$ 除的余数是多少？
Answer: 2018
Problem: $n$ 是任意自然数，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ 的个位数不可能是______。
Answer: 2
Problem: 已知 \(x, y, z>0\)，则 \(f(x, y, z)=\frac{x y z}{(4 x+1)(9 x+y)(4 y+z)(z+9)}\) 的最大值为多少？答案的形式为 \(\frac{k}{m^2}\)，请给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 25
Problem: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ 的取值范围是 $(-2, y]$，其中$y$的原始答案是以\frac{k}{m}的形式给出，请计算k+m的值。
Answer: 17
Problem: 金字塔（正四棱锥）的底座为边长 \(200 \, \text{m}\) 的正方形。如果一个游客处于底面且距离底座中心 \(200 \, \text{m}\) 的圆周上，求游客可以同时看见金字塔两塔侧面的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
Problem: 满足正整数 $y \leqslant 2022$ 且 $100 \mid 2^{y}+y$ 的 $y$ 的个数是多少？
Answer: 20
Problem: 满足 $A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$ 的凸四边形 $A B C D$ 的内切圆半径的取值范围是 $(a, \frac{k \sqrt{m}}{n}]$。请找出 a, k, m, n 的值并计算 a + k + m + n。
Answer: 13
Problem: 内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值与最小值之和是多少？请用$\sqrt{13}$的倍数表示答案。答案的形式为$\frac{k}{m} \sqrt{13}$，请给出k+m的值。
Answer: 113
Problem: 设非负实数 $x, y$ 满足 $2 x+y=1$, 求 $x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的最小值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 9
Problem: 已知 $A=\{-1,0,1\}, B=\{2,3,4,5,6\}$, 若由 $A$ 到 $B$ 的映射 $f: x \rightarrow y$ 满足 $x+f(x)+x f(x)$ 为奇数, 求映射 $f$ 的个数。
Answer: 50
Problem: 若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类，如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$ ，则所有的 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的排列 （共 $4^{4}=256$ 个）所得的 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值的答案是一个分数。请将其表示为\frac{k}{m}的形式，并给出k+m的值。
Answer: 239
Problem: 在四面体 $P A B C$ 中, 若 $\triangle A B C$ 是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4$, $P C=5$ ，求该四面体的体积。答案的形式为\(\sqrt{k}\)，请给出k的值。
Answer: 11
Problem: 在 \(\triangle ABC\) 中，求 \(\sin A + \sin B \sin C\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k + \sqrt{m}}{n}\)，请计算k + m + n的值。
Answer: 8
Problem: 不定方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的组数是多少？
Answer: 884
Problem: 已知 $\omega=\cos \frac{2 \pi}{5}+\operatorname{isin} \frac{2 \pi}{5}, f(x)=x^{2}+x+2$, 求 $f(\omega) f\left(\omega^{2}\right) f\left(\omega^{3}\right) f\left(\omega^{4}\right)$ 的值。
Answer: 11
Problem: 若 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，则 \(|z w|\) 的最大值可以表示为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 7
Problem: 已知 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，求 \(|z w|\) 的最大值。原始答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 7
Problem: 在四面体 $P A B C$ 中, $\triangle A B C$ 为等边三角形, 边长为 $3, P A=3, P B=4, P C=5$, 求四面体 $P A B C$ 的体积。答案的形式为\(\sqrt{x}\)，请给出x的值。
Answer: 11
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为\frac{k+\sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
Problem: 已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类, 如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$, 求所有的 256 个 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的排列所得 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。
Answer: 239
Problem: 设复数 \(z, w\) 满足: \(|w+z|=1,\left|w^{2}+z^{2}\right|=4\)，求 \(|w z|\) 的最小值。答案应以 \(\frac{k}{m}\) 的形式给出，其中 \(\frac{k}{m}\) 为最简分数。请计算 \(k+m\) 的值。
Answer: 5
Problem: 设 $A, B, C$ 是三角形的三个内角，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k+\sqrt{n}}{m}\)，请给出k + n + m的值。
Answer: 8
Problem: 方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的个数是多少？
Answer: 884
Problem: 设 $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$ 是两个单位向量, $x, y$ 是实数. 若 $\left\langle\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}\right\rangle=\frac{\pi}{3},\left|x \vec{e}_{1}+y \vec{e}_{2}\right|=1$, 求 $x$ 的最大值。答案的形式为 \frac{k \sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
Problem: 已知三棱锥 $P-A B C$ 的底面是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4, P C=5$, 求 $P-A B C$ 的体积。答案的形式为\sqrt{m}，请给出m的值。
Answer: 11
Problem: 设 $w=\cos \frac{2 \pi}{5}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{5}, P(x)=x^{2}+x+2$, 求 $P(w) P\left(w^{2}\right) P\left(w^{3}\right) P\left(w^{4}\right)$ 的值。
Answer: 11
Problem: 已知集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\{2,3,4,5,6\}$ 。设映射 $f: M \rightarrow N$ 满足：对任意的 $x \in M, x+f(x)+x f(x)$ 是奇数。求这样的映射 $f$ 的个数。
Answer: 50
Problem: 设整数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 满足 $1 \leqslant a_{k} \leqslant 24(k=1,2,3)$ ，且对任意整数 $x, 2 a_{1} x^{2}+3 a_{2} x+4 a_{3}$ 是 24 的倍数。求满足条件的有序数组 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 的个数。
Answer: 24
Problem: 设 \(a_{k} \in\{1,2,3,4\}(k=1,2,3,4)\)，对于有序数组 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\)，记 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 为 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) 中所包含的不同整数的个数，例如 \(N(1,1,2,2)=2, N(1,2,3,1)=3\)。当 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 取遍所有的 \(4^{4}\) 个有序数组时，求 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 的平均值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。
Answer: 239
Problem: 设 $V=\{(x, y, z) \mid x+2 y+3 z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$, 求 $V$ 的体积。原始答案是一个最简分数形式 \frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 37
Problem: 在 Rt \(\triangle A B C\) 中, \(\angle A B C=\frac{\pi}{2}, A B=\sqrt{3}, B C=1, \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}\)。若\(\angle A P B = x \pi\)，原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k + m\)的值。
Answer: 5
Problem: 设复数 \(z\) 满足 \(|3z-7i|=3\)，求 \(\left|\frac{z^{2}-2z+2}{z-1+i}\right|\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 11
Problem: 已知集合 $A, B, C \subseteq\{1,2,3, \cdots, 2020\}$, 且 $A \subseteq B \subseteq C$, 求有序集合组 $(A, B, C)$ 的个数。答案的形式为x^y，请给出x+y的值。
Answer: 2024
Problem: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。已知原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。
Answer: 4
Problem: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为 $\pi \times x$。已知答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 9
Problem: 将号码分别为 \(1, 2, \cdots, 9\) 的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同, 其余完全相同。甲从袋中摸出一个小球，其号码为 \(a\)，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 \(b\)。求使得不等式 \(a-2b+10>0\) 成立的事件发生的概率。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k+m\) 的值。
Answer: 142
Problem: 设 $A=[-2,4), B=\left\{x \mid x^{2}-a x-4 \leq 0\right\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围。答案的形式为 $[b,c)$，请给出 $b+c$ 的值。
Answer: 3
Problem: 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 \(\frac{2}{3}\)，乙在每局中获胜的概率为 \(\frac{1}{3}\)，且各局胜负相互独立。求比赛停止时已打局数 \(\xi\) 的期望 \(E \xi\)。答案形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 347
Problem: 函数 $f(x)=\frac{5-4 x+x^{2}}{2-x}$ 在 $(-\infty, 2)$ 上的最小值是多少？
Answer: 2
Problem: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)，当 \(x \in[-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)，求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{1}=6, a_{n+1}=\left[\frac{5}{4} a_{n}+\frac{3}{4} \sqrt{a_{n}^{2}-2}\right], n \in \mathbf{N}^{*}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。求 $S_{2016}$ 的个位数字。
Answer: 1
Problem: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，则求 $f(100,3)$ 的值。
Answer: 14
Problem: 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点, $P$ 是它们的一个公共点, 且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$。求该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k\sqrt{3}}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)。当 \(x \in [-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)。求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 5
Problem: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ （ $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）且与 $n$ 互素的正整数的个数。求 $f(100,3)$ 的值。
Answer: 14
Problem: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，求所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a, b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和。
Answer: 1792
Problem: 已知 \(\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha, \tan \beta\) 是方程 \(x^{2}+3 x+1=0\) 的两个根, 求 \(\cos (\alpha-\beta)\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 5
Problem: 已知在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}$, 求 $\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}$ 的最大值。答案的形式为$\sqrt{k}$，请给出k的值。
Answer: 3
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$ ，用 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字是 ______。
Answer: 2
Problem: 在 \(\triangle A B C\) 中, \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}\)。求 \(\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}\) 的最大值。答案的形式为\(\sqrt{m}\)，请给出m的值。
Answer: 3
Problem: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a 、 b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和为多少？
Answer: 1792
Problem: 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，该椭圆上存在两点 $A 、 B$ ，使得 $\overrightarrow{F_{1} A}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$. 求该椭圆的离心率的取值范围 $(m, n)$，其中 $0 < m < n < 1$。答案形式为 $(\frac{k}{l}, p)$，其中 $k$ 和 $l$ 互质且 $l$ 不能为零。请给出 $k + l + p$ 的值。
Answer: 4
Problem: 已知 $\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha 、 \tan \beta$ 为方程 $x^{2}+3 x+1=0$ 的两个根。求 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。
Answer: 5
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$.
记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.求 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字。
Answer: 2
Problem: 设多项式 $f(x)=x^{12}-x^{6}+1$ 除以 $x^{2}+1$ 的商式为 $q(x)$ ，余式 $r(x)=a x+b$ ，其中 $a, b$ 为实数。求 $b$ 的值。
Answer: 3
Problem: 已知方程 $1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots-\frac{x^{2018}}{2018}=0$ 的所有实数根都在区间 $[a, b]$ 内（其中 $a, b \in \mathbf{Z}$,且 $a<b$ ), 求 $b-a$ 的最小值。
Answer: 3
Problem: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $M, N$ 分别为 $P A, P B$ 的中点, 若侧面与底面所成二面角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求异面直线 $D M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 若向量 \(\boldsymbol{a}=(0,1), \boldsymbol{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 若复数 \(z\) 满足 \(|z|<1\) 且 \(\left|\bar{z}+\frac{1}{z}\right|=\frac{5}{2}\)，求 \(|z|\) 的值。答案应为\(\frac{k}{m}\)的形式，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 若 $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}$, $C$ 为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点, 求 $\angle A C B$ 的正切值。原始答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。
Answer: 4
Problem: 已知向量 \(\vec{a}=(0,1), \vec{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \vec{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)，且 \(x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x+1$ 的一条切线经过点 $(-1,1)$ 且点 $(-1,1)$ 不是切点，求这条切线的斜率。
Answer: -1
Problem: $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}, C$ 为抛物线准线与 $x$ 轴的交点，求 $\angle A C B$ 的正切值。答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。
Answer: 4
Problem: 在正四棱雉 $P-ABCD$ 中，$M、N$ 分别为 $PA、PB$ 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为 $\sqrt{2}$。求异面直线 $DM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值。答案的格式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 若 $A+B=\frac{2 \pi}{3}$，求 $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$ 的最小值 $m$ 和最大值 $M$。请分别给出 $m$ 和 $M$ 的值。答案的形式为：最小值为\frac{m}{n}，最大值为\frac{p}{q}，请计算m+n+p+q的值。
Answer: 8
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三边长分别是 $2,3,4$, 其外心为 $O$, 求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+$ $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。原始答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: -27
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $c=2, C=\frac{\pi}{3}$, 且 $\sin C+\sin (B-A)-2 \sin 2 A=0$, 求 $\triangle A B C$ 的周长。如果答案是 $x + y\sqrt{z}$，请给出 $x + y + z$ 的值。
Answer: 7
Problem: 在长方体 \(A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) 中，\(A B=2, A D=A A_{1}=1\)，求点 \(A\) 到平面 \(A_{1} B D\) 的距离。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 从正15边形的顶点中选出3个连成钝角三角形，不同的选法有多少种？
Answer: 315
Problem: 若 \(x^{2}+y^{2} \leqslant 1\)，求 \(x^{2}+x y-y^{2}\) 的最大值和最小值，并将结果表示为一个区间 \([- \frac{\sqrt{m}}{n}, \frac{\sqrt{m}}{n}]\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 为正整数。请给出 m 和 n 的和。
Answer: 7
Problem: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}, O$ 为坐标原点, 若 $\left|z_{1}\right|=1$, $5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$, 求 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积。
Answer: 1
Problem: 求值: \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}\right)=(\quad)\pi\)。如果答案是\(\frac{k}{m}\pi\)，请填写\(k+m\)的值。
Answer: 7
Problem: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{21}$ 满足 $0 \leqslant x_{i} \leqslant 1(1,2, \cdots, 21)$, 求 $\sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|$ 的最大值。
Answer: 220
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A=90^{\circ}, A B=1, A C=\sqrt{3}$, 点 $P$ 满足 $\frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}$。如果答案是 $x^\circ$，求 $x$ 的值。
Answer: 120
Problem: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{21}$ 满足 $0 \leq x_{i} \leq 1(1,2, \cdots, 21)$ ，求 $\sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|$ 的最大值。
Answer: 220
Problem: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}$，$O$ 为坐标原点，若 $\left|z_{1}\right|=1,5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$，则 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为多少？
Answer: 1
Problem: 设复数 $z$ 满足 $|3 z-7 \mathrm{i}|=3$, 求 $\left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|$ 的最大值。答案的形式为 $\frac{k}{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 11
Problem: 已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3\)，且实数 \(t\) 满足 \(\left(t-a_{n}\right)\left(t-a_{n+1}\right)<0\)，求 \(t\) 的取值范围。如果 \(t\) 的取值范围是 \((x, y)\)，请将其写成 \(x = -\frac{k}{m}\) 和 \(y = \frac{n}{p}\) 的形式，并求出 \(k+m+n+p\) 的值。
Answer: 22
Problem: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切, 则圆 $C$ 面积的最小值为 $\frac{k}{m}\pi$，请计算k+m的值。
Answer: 9
Problem: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。答案的格式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
Problem: 设 \(\alpha, \beta\) 为锐角, 且 \(\cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\), 求 \(\tan \alpha\) 的最大值。答案应为\(\frac{\sqrt{k}}{m}\)的形式，请给出k+m的值。
Answer: 6
Problem: 已知 $A, B, C$ 是集合 $\{1,2, \cdots, 2020\}$ 的子集，且满足 $A \subseteq B \subseteq C$ ，求这样的有序组 $(A, B, C)$ 的总数。答案的形式为 $x^y$，请给出x和y的和。
Answer: 2024
Problem: 设随机变量 \(X\) 的概率分布列为 \(P(x=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)\)，\(Y\) 表示 \(X\) 被 3 除的余数，求随机变量 \(Y\) 的数学期望 \(E Y\)。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 15
Problem: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^{2}\right\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-a)^{2} \leqslant 1\right\}$. 求使 $M \cap N=N$ 成立的 $a$ 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 9
Problem: A sample consisting of five observations has an arithmetic mean of $10$ and a median of $12$. Find the smallest value that the range (largest observation minus smallest) can assume for such a sample.
Answer: 5
Problem: If $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x$, then find the value of \[\displaystyle\sum_{N=1}^{1024} \lfloor \log_{2}N\rfloor.\]
Answer: 8204
Problem: Square \(ABCD\) has side length \(2\). A semicircle with diameter \(\overline{AB}\) is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from \(C\) intersects side \(\overline{AD}\) at \(E\). The length of \(\overline{CE}\) can be expressed in the form \(\frac{k}{m}\), where \(\frac{k}{m}\) is a simplified fraction. Please find the value of \(k + m\).
Answer: 7
Problem: Let \(a\) and \(b\) be real numbers such that \(\sin a + \sin b = \frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\cos a + \cos b = \frac{\sqrt{6}}{2}\). Find the value of \(\sin(a+b)\). The original answer is in the form \(\frac{k\sqrt{n}}{m}\), please give the value of \(k + m + n\).
Answer: 6
Problem: In a softball league, after each team has played every other team 4 times, the total accumulated points are: Lions 22, Tigers 19, Mounties 14, and Royals 12. If each team received 3 points for a win, 1 point for a tie, and no points for a loss, find the number of games that ended in a tie.
Answer: 5
Problem: The base of a triangle is $80$, and one side of the base angle is $60^\circ$. The sum of the lengths of the other two sides is $90$. Find the length of the shortest side of the triangle.
Answer: 17
Problem: There exist positive integers $A$, $B$, and $C$, with no common factor greater than 1, such that:
\[A \log_{200} 5 + B \log_{200} 2 = C. \]
Find the value of $A + B + C$.
Answer: 6