ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: It is well known that the value of the polynomial $(x+1)(x +2) \dots (x + n)$ is exactly divisible by n for every integer x. Given n, let $k=k(n)$ be the minimal degree of any monic integral polynomial.

$$f(x)=x^k+a_1x^{k-1}+\dots +a_k$$

(with integer coefficients and leading coefficient 1) such that the value of f(x) is exactly divisible by n for every integer x.

Find the relationship between n and $k=k(n)$. In particular, find the value of k corresponding to n=1 000 000.
Answer: 25
Problem: How many positive integers $n$ are there such that $n$ is an exact divisor of at least one of the numbers $10^{40}, 20^{30}$?
Answer: 2301
Problem: Two distinct squares of the 8 by 8 chessboard C are said to be adjacent if they have a vertex or side in common. Also, g is called a C-gap if for every numbering of the squares of C with all the integers $1,2,\ldots,64$ there exist two adjacent squares whose numbers differ by at least g. Determine the largest C-gap g.
Answer: 9
Problem: Suppose that $G$ is a group generated by elements $A$ and $B$, that is, every element of $G$ can be written as a finite "word" $A{ }^{{ }^{1}} B^{n_{2}} A^{n_{3}} \cdots B^{n_{k}}$, where $n_{1}, \ldots, n_{k}$ are any integers, and $A^{\prime \prime}=B^{\prime \prime}=1$ as usual. Also, suppose that $A^{4}=B^{7}=A B A^{-1} B=1, A^{2} \neq 1$, and $B \neq 1$.

(a) How many elements of $G$ are of the form $C^{2}$ with $C$ in $G$?

(b) Write each such square as a word in $A$ and $B$.
Answer: 8
Problem: Let $V$ be the collection of all quadratic polynomials $P$ with real coefficients such that
$$\sup\{\mid P^{\prime}(0)\mid:P\in V\}.$$
Answer: 8
Problem: Find
$$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n^{5}}\sum_{h=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(5h^{4}-18h^{2}k^{2}+5k^{4})\right].$$
Answer: -1
Problem: Find
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{5}} \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(5 h^{4}-18 h^{2} k^{2}+5 k^{4}\right)\right].
$$
Answer: -1
Problem: Consider polynomial forms $ax^2-bx+c$ with integer coefficients which have two distinct zeros in the open interval $0\lt x\lt1$. Exhibit with a proof the least positive integer value of a for which such a polynomial exists.
Answer: 5
Problem: Two distinct squares of the 8 by 8 chessboard $C$ are said to be adjacent if they have a vertex or side in common. Also, $g$ is called a $C$-gap if for every numbering of the squares of $C$ with all the integers $1,2, \ldots, 64$ there exist two adjacent squares whose numbers differ by at least $g$. Determine the largest $C$-gap $g$.
Answer: 9
Problem: Find the largest $A$ for which there exists a polynomial
$$
P(x)=A x^{4}+B x^{3}+C x^{2}+D x+E
$$
with real coefficients, which satisfies
$$
0<P(x)<1 \text { for }-1<x<1
$$
Answer: 4
Problem: How many positive integers n are there such that n is an exact divisor of at least one of the numbers $10^{40}$, $20^{30}$?
Answer: 2301
Problem: Find the length of the longest sequence of equal nonzero digits in which an integral square can terminate (in base 10) and find the smallest square which terminates in such a sequence.
Answer: 1444
Problem: Consider polynomial forms $ax^2-bx+c$ with integer coefficients which have two distinct zeros in the open interval $0<x<1$. Exhibit with a proof the least positive integer value of a for which such a polynomial exists.
Answer: 5
Problem: What is the units (i.e., rightmost) digit of $\left[\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\right]$ ? Here $[x]$ is the greatest integer $\leqslant x$.
Answer: 3
Problem: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数:
(1) $a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\} ;$
(2) $f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 2013 的倍数。
Answer: 7200
Problem: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8个座位，用 $(i, j)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $(i, j)$ ，如果调整后的座位为 $(m, n)$ ，则称该生作了移动 $[a$, $b]=[i-m, j-n]$ ，并称 $a+b$ 为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$ 。求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。
Answer: 24
Problem: 在一个 $10 \times 10$ 的方格表中有一个由 $4 n$ 个 $1 \times 1$ 的小方格组成的图形，它既可被 $n$个"田"型的图形覆盖，也可被 $n$ 个"田"或 "吅"型（可以旋转）的图形覆盖。求正整数 $n$ 的最小值。
Answer: 4
Problem: 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 $a$ ：存在正整数 $m_{1} 、 n_{1} 、 m_{2} 、 n_{2}$ ，使得  
$$  
\begin{aligned}  
& \quad a=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}, a^{2}=m_{2}^{2}+n_{2}^{2}, \\  
& \text { 且 } \quad m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}.  
\end{aligned}  
$$
Answer: 261
Problem: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数:  
(1) $a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\} ;$  
(2) $f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 2013 的倍数。
Answer: 7200
Problem: 求最小的正整数 $m$, 使得对于任意大于 3 的质数 $p$ ，都有 $1051\left(9^{p^{2}}-29^{p}+m\right)$ 。
Answer: 20
Problem: 求满足下列关系式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 z^{2}, \\
z<y \leq z+50,
\end{array}\right.
$$
的正整数解组 $(x, y, z)$ 的个数.
Answer: 131
Problem: 双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半支与直线 $x=100$ 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是
Answer: 9800
Problem: 方程 $x+y+z=2010$ 满足 $x \leq y \leq z$ 的正整数解（ $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ）$ 的个数是
Answer: 336675
Problem: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度.设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant$ $a+1981\}, B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A, B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$.
Answer: 983
Problem: 在 $100 \times 25$ 的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第 $i$ 行第 $j$ 列中填入的数为 $x_{i, j}$ （ $i=1$ ， $2 ， \ldots ， 100 ; j=1,2 ， \ldots, 25 ） （$ 如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为 $x_{1}^{\prime}$ ， $j \geq x^{\prime}{ }_{2, j} \geq \ldots \geq x^{\prime}{ }_{100, j}(j=1,2, \ldots, 25)$ 。（如表2）
求最小的自然数 $k$ ，使得只要表 1 中填入的数满足 $\sum_{j=1}^{25} x_{i}, j \leq 1 （ i=1,2, \ldots, 100 ）$ ，
则当 $i \geq k$ 时，在表2中就能保证 $\sum_{j=1}^{25} x_{i, j}^{\prime} \leq 1$ 成立。
表 1
| $x_{1,1}$ | $x_{1,2}$ | $\ldots$ | $x_{1,25}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x_{2,1}$ | $x_{2,2}$ | $\ldots$ | $x_{2,25}$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x_{100,1}$ | $x_{100,2}$ | $\ldots$ | $x_{100,25}$ |

表 2
| $x^{\prime}{ }_{1,1}$ | $x^{\prime}{ }_{1,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{1,25}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x^{\prime}{ }_{2,1}$ | $x^{\prime}{ }_{2,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{2,25}$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x^{\prime}{ }_{100,1}$ | $x^{\prime}{ }_{100,2}$ | $\ldots$ | $x^{\prime}{ }_{100,25}$ |
Answer: 97
Problem: 设复数 $z=\cos \theta+i \sin \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}\right)$ ，复数 $z ，(1+i) z, 2 \bar{z}$ 在复平面上对应的三个点分别是 $P, Q, R$ 。当 $P, Q, R$ 不共线时，以线段 $P Q, P R$ 为两边的平行四边形的第四个顶点为 $S$ ，点 $S$ 到原点距离的最大值是 $\qquad$。
Answer: 3
Problem: 设复数 $z=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta\left(0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}\right)$, 复数 $z 、(1+\mathrm{i}) z 、 2 \bar{z}$ 在复平面上对应的三个点分别是 $P 、 Q 、 R$ 。当 $P 、 Q 、 R$ 不共线时，以线段 $P Q 、 P R$ 为两边的平行四边形的第四个顶点为 $S$. 则点 $S$ 到原点距离的最大值是 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 如果: (1) $a, b, c, d$ 都属于 $\{1,2,3,4\}$;
(2) $a \neq b, b \neq c, c \neq d, d \neq a$;
(3) $a$ 是 $a, b, c, d$ 中的最小值,
那么，可以组成的不同的四位数 $\overline{a b c d}$ 的个数是 $\qquad$
Answer: 28
Problem: 如果:  
(1) $a 、 b 、 c 、 d$ 都属于 $\{1,2,3,4\}$;  
(2) $a \neq b, b \neq c, c \neq d, d \neq a$;  
(3) $a$ 是 $a 、 b 、 c 、 d$ 中的最小值.  
那么，可以组成的不同的四位数 $\overline{a b c d}$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 28
Problem: 设 $n \in \mathbf{Z}_{+}$. 当 $n>100$ 时, $\sqrt{n^2+3 n+1}$的小数部分的前两位数为 $\_\_\_\_$ .
Answer: 49
Problem: 设函数

$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} ; \\ 0, & x \neq \frac{q}{p},\end{cases}$

其中, $p 、 q$ 互质, 且 $p \geqslant 2$. 则满足 $x \in[0,1]$,且 $f(x)>\frac{1}{5}$ 的 x 值的个数是 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 若对任意的 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 有  $\frac{x}{1+x-2 x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$,  则 $a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: -2
Problem: 设$M=1^{4}+2^{4}+\cdots+2013^{4}$. 则 $M$ 的个位数字为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 已知三个互不相等的整数 $x 、 y 、 z$ 之和介于 40 与 44 之间. 若 $x, y, z$ 依次构成公差为 $d$ 的等差数列， $x+y 、 y+z 、 z+x$ 依次构成公比为 $q$ 的等比数列, 则 $d q=$.
Answer: 42
Problem: 若正方体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的棱长为 1 ，则集合  
$\left\{x \mid x=\overrightarrow{A_{1} B_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{i} B_{j}}, i, j \in\{1,2,3,4\}\right\}$  中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 设正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 1. 则 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E})=$
Answer: -3
Problem: 用 $[x]$ 表示不超过实数 x 的最大整数, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{3})^{2^{n}}\right](n \in$
$\left.\mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $a_{2020}$ 的末尾两位数字是 $\qquad$.
Answer: 53
Problem: 在平面直角坐标系中$,A(1,2)$,

$B(3,0),P$ 为圆$(x-3)^2+(y-2)^2=1$上任

意一点.设

$$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R}).$$
则 11$\lambda+9\mu$的最小值为
Answer: 12
Problem: 在平面直角坐标系中, $A(1,2)$, $B(3,0), P$ 为圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$ 上任意一点. 设
$\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$.
则 $11 \lambda+9 \mu$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 设函数

$$f(\:x\:)=\sqrt{2x^2\:+2x\:+41}\:-\sqrt{2x^2\:+4x\:+4}\:(\:x\:\in\:\mathbf{R}\:)\:.$$
则$f(x)$的最大值为
Answer: 5
Problem: 设函数
$f(x)=\sqrt{2 x^{2}+2 x+41}-\sqrt{2 x^{2}+4 x+4}(x \in \mathbf{R})$.则 $f(x)$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 已知实数 $x, y$ 满足
$3|x+1|+2|y-1| \leqslant 6$.
则 $2 x-3 y$ 的最大值是\_\_\_\_\_\_
Answer: 4
Problem: 集合的容量是指集合中元素的和。则满足条件 “$A \subseteq \{1, 2, \ldots, 7\}$ 且若 $a \in A$ 时，必有 $8-a \in A$” 的所有非空集合 $A$ 的容量的总和是\_\_\_\_\_\_（用具体数字作答）。
Answer: 224
Problem: 在 $3\times3$ 方格表中 ， 若九个格中的 每一个均被染成红 、 黄、 蓝 、 紫 四种颜色之一 ,任意 两个有公共边 的 格 的 染色均不相同 ,且该方格表 中 恰有两个格染蓝色 , 则符合条件的染色方法种数为$\qquad$ (用具体数字作答） ．
Answer: 3816
Problem: 在凸五边形 $A B C D E$ 中, $D E / / A C$, $\angle A D C=90^{\circ}, A C=12, C D=6, A C$ 平分 $\angle D A B, \angle B C E=60^{\circ}$. 则 $\triangle B C E$ 面积的最小值为 $\qquad$.
Answer: 27
Problem: 已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减，对任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，均有
$$
f(x) f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}.
$$
记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}(x \in(0,+\infty))$. 则函数 $g(x)$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2, \cdots, 5\}$ ，且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$ ，有
$|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$.
则符合条件的函数 $f$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 288
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足:
$$
\begin{aligned}
& a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}} \\
& a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{Z}_{+}\right)
\end{aligned}
$$
则 $a_{2022}$ 的末两位数字是 $\qquad$.
Answer: 32
Problem: 设 $x$ 为实数, 定义 $\lceil x\rceil$ 为不小于实数 $x$ 的最小整数 (如 $\rceil\rceil=4,\lceil-\pi\rceil=-3$ ). 则关于实数 $x$ 的方程
$\lceil 3 x+1\rceil=2 x-\frac{1}{2}$
的全部实根之和等于\_\_\_\_\_\_
Answer: -4
Problem: 已知 $m > 0$。若函数

\[
f(x) = x + \sqrt{100 - mx}
\]

的最大值为 $g(m)$，求 $g(m)$ 的最小值。
Answer: 10
Problem: $\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中的常数项是 $\qquad$ (用具体数字作答).
Answer: -5
Problem: 设等比数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n,$满足 $S_{n}=\frac{(a_{n}+1)^{2}}{4}.$则 $S_{20}$的值为$\qquad$.
Answer: 0
Problem: 设 $x \in \mathbf{R}$. 则函数
$$
f(x)=|2 x-1|+|3 x-2|+|4 x-3|+|5 x-4|
$$
的最小值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=$
$\qquad$ $\cdot$
Answer: 290
Problem: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$ . 则
$\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\qquad$.
Answer: 290
Problem: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right)$. 则

$$
\sum_{k=1}^n\left(x_k+y_k\right)=
$$
Answer: 290
Problem: 若正整数 $m 、 n$ 满足 $\frac{(m+n)!}{n!}=5040$,则 $m!n$ 的值为 $\qquad$。
Answer: 144
Problem: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{4}=1, a_{11}=9$, 且任意连续三项的和都是 15, 则 $a_{2016}=$ $\qquad$.
Answer: 5
Problem: The sequence of digits $1~2~3~4~5~6~7~8~9~1~0~1~1~1~2~1~3~1~4~1~5~1~6~1~7~1~8~1~9~2~0~2~1 \ldots$  
is obtained by writing the positive integers in order. If the $10^{n}$ th digit in this sequence occurs in the part of the sequence in which the $m$-digit numbers are placed, define $f(n)$ to be $m$. For example, $f(2)=2$ because the 100 th digit enters the sequence in the placement of the two-digit integer 55. Find, with proof, $f(1987)$.
Answer: 1984
Problem: Find the smallest positive integer $j$ such that for every polynomial $p(x)$ with integer coefficients and for every integer $k$, the integer

$$
p^{(j)}(k)=\left.\frac{d^j}{d x^j} p(x)\right|_{x=k}
$$

(the $j$-th derivative of $p(x)$ at $k$ ) is divisible by 2016.
Answer: 8
Problem: How many positive integers $N$ satisfy all of the following three conditions?
(i) $N$ is divisible by 2020 .
(ii) $N$ has at most 2020 decimal digits.
(iii) The decimal digits of $N$ are a string of consecutive ones followed by a string of consecutive zeros.
Answer: 508536
Problem: A grasshopper starts at the origin in the coordinate plane and makes a sequence of hops. Each hop has length 5, and after each hop the grasshopper is at a point whose coordinates are both integers; thus, there are 12 possible locations for the grasshopper after the first hop. What is the smallest number of hops needed for the grasshopper to reach the point $(2021,2021)$ ?
Answer: 578
Problem: Let $a_0=1, a_1=2$, and $a_n=4 a_{n-1}-a_{n-2}$ for $n \geq 2$. Find an odd prime factor of $a_{2015}$.
Answer: 181
Problem: Compute

$$\log_2\left(\prod\limits_{a=1}^{2015}\prod\limits_{b=1}^{2015}(1+e^{2\pi iab/2015})\right)$$

Here $i$ is the imaginary unit (that is, $i^2=-1)$
Answer: 13725
Problem: Find the smallest positive integer $n$ such that for every integer $m$,
with $0<m<1993$, there exists an integer $k$ for which
$$\frac{m}{1993}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{1994}.$$
Answer: 3987
Problem: $\operatorname{Let}\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(0.8,0.6\right)$and let $x_{n+1}=x_{n}\cos y_{n}-y_{n}\sin y_{n}$ and $y_{n+1}=x_{n}\sin y_{n}+$ $y_{n}$cos$y_n$ for $n=1,2,3,\ldots.$ For each of $\lim_{n\to\infty} x_n$ and $\lim_{n\to\infty }y_n$, prove that the limit exists and find it or prove that the limit does not exist.
Answer: -1
Problem: Let $p(x)$ be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no noncon-
stant factor in common with $x^3-x.$ Let

$$\frac{d^{1992}}{dx^{1992}}\left(\frac{p(x)}{x^3-x}\right)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

for polynomials $f(x)$ and $g(x).$ Find the smallest possible degree of $f(x)$.
Answer: 3984
Problem: For a positive integer $n$, define $d(n)$ to be the sum of the digits of $n$ when written in binary (for example, $d(13)=1+1+0+1=3).$Let  
$$S=\sum_{k=1}^{2020}(-1)^{d(k)}k^3.$$  
Determine $S$ modulo 2020.
Answer: 1990
Problem: Suppose that a positive integer $N$ can be expressed as
the sum of $k$ consecutive positive integers
$$N=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+k-1)$$
for $k=2017$ but for no other values of $k>1.$ Considering all positive integers $N$ with this property, what is the smallest positive integer $a$ that occurs in any of these expressions?
Answer: 16
Problem: For each positive integer $n$, let $k(n)$ be the number of ones in the binary representation of 2023·n. What is the minimum value of $k(n)?$
Answer: 3
Problem: For a nonnegative integer $n$ and a strictly increasing sequence of real numbers $t_0,t_1,\ldots,t_n$, let $f(t)$ be the corresponding real-valued function defined for $t\geq t_0$ by the
following properties:
(a) $f(t)$ is continuous for $t\geq t_0$,and is twice differentiable for all $t>t_0$ other than $t_1,\ldots,t_n;$
(b)$f( t_0) = 1/ 2;$
(c) $\lim _{r\to t_{k}^{+ }}f^{\prime }( t) = 0$ for $0\leq k\leq n;$
(d) For $0\leq k\leq n-1$, we have $f^{\prime\prime}(t)=k+1$ when
$t_k<t<t_{k+1}$, and $f^{\prime\prime}(t)=n+1$ when $t>t_n.$

Considering all choices of $n$ and $t_0,t_1,\ldots,t_n$ such that $t_k\geq t_{k-1}+1$ for l$\leq k\leq n$,what is the least possible value of $T$ for which $f(t_0+T)=2023?$
Answer: 29
Problem: Let $P_n$ be the number of permutations $\pi$ of $\{1,2,\ldots,n\}$
such that
$|i-j|=1$  implies  $|\pi(i)-\pi(j)|\leq2$
for all $i,j$ in $\{1,2,\ldots,n\}.$ Show that for $n\geq2$,the quantity
$$P_{n+5}-P_{n+4}-P_{n+3}+P_n$$
does not depend on $n$, and find its value.
Answer: 4
Problem: How many primes among the positive integers, written as usual in base 10, are such that their digits are alternating 1's and 0's, beginning and ending with 1?
Answer: 0
Problem: The sequence of digits
## $123456789101112131415161718192021 \ldots$
is obtained by writing the positive integers in order. If the $10^{n}$ th digit in this sequence occurs in the part of the sequence in which the $m$-digit numbers are placed, define $f(n)$ to be $m$. For example, $f(2)=2$ because the 100 th digit enters the sequence in the placement of the two-digit integer 55. Find, with proof, $f(1987)$.
Answer: 5
Problem: Define $C(\alpha)$ to be the coefficient of $x^{1992}$ in the power series expansion about $x=0$ of $(1+x)^{\alpha}$. Evaluate  
$$  
\int_{0}^{1} C(-y-1)\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+3}+\cdots+\frac{1}{y+1992}\right) d y.  
$$
Answer: 1992
Problem: Let $f$ be an infinitely differentiable real-valued function defined on the real numbers. If
$$
f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}, \quad n=1,2,3, \ldots
$$
compute the values of the derivatives $f^{(k)}(0), k=1,2,3, \ldots$.
Answer: 0
Problem: Let $p(x)$ be a nonzero polynomial of degree less than 1992 having no nonconstant factor in common with $x^{3}-x$. Let

$$
\frac{d^{1992}}{d x^{1992}}\left(\frac{p(x)}{x^{3}-x}\right)=\frac{f(x)}{g(x)}
$$

for polynomials $f(x)$ and $g(x)$. Find the smallest possible degree of $f(x)$.
Answer: 3984
Problem: 我们称 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为集合 $A$ 的一个 $n$ 分划，如果  
(1) $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=A$;  
(2) $A_{i} \cap A_{j} \neq \varnothing, 1 \leqslant i<j \leqslant n$.  
求最小正整数 $m$ ，使得对 $A=\{1,2, \cdots, m\}$ 的任意一个 14 分划 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{14}$ ，一定存在某个集合 $A_{i}(1 \leqslant$ $i \leqslant 14)$ ，在 $A_{1}$ 中有两个元素 $a 、 b$ 满足 $b<a \leqslant \frac{4}{3} b$ 。
Answer: 3
Problem: 一个$100\times100$方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪。老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）。现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板。称一种放置隔板的方式是“仁慈的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪。求最小的正整数$n$，使得对任意一种“仁慈的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过$n$次移动吃到奶酪。
Answer: 2220
Problem: 某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛。若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”.已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？
Answer: 1011
Problem: 设正整数$a, b, c, d$满足$a>b>c>d$，且
$$ab+bc+ca+d^{2}\mid(a+b)(b+c)(c+a)$$
求$ab+bc+ca+d^{2}$的素因子个数的最小值。（素因子的个数计重数，如12的素因子个数为3）。
Answer: 3
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于 10 。求每一个面上四个数之和的最小值。
Answer: 16
Problem: 求所有的整数 $n$ ，使得  $n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+3 n+31$  是完全平方数.
Answer: 10
Problem: 求满足下述条件的最小正实数 $k$ ：对任意不小于 $k$ 的 4 个互不相同的实数 $a 、 b$ 、 $c 、 d$ ，都存在 $a 、 b 、 c 、 d$ 的一个排列 $p 、 q 、 r 、 s$ ，使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 4个互不相同的实数根。
Answer: 4
Problem: 给定整数$n\geqslant3$。求最小的正整数$k$，使得存在一个$k$元集合$A$和$n$个两两不同的实数$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，满足$x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, \cdots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$均属于$A$。
Answer: 3
Problem: 有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分。分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 $n$ 个人中至少有 3 个人答对了至少三道同样的题. 求 $n$ 的最小可能值。
Answer: 911
Problem: 对每个正整数 $n$ ，定义集合  $P_{n}=\left\{n^{k} \mid k=0,1, \cdots\right\}$ 。  对于正整数 $a 、 b 、 c$, 若存在某个正整数 $m$ ，使得 $a-1 、 a b-12 、 a b c-2015$ 这三个数  （不必两两不等）均属于集合 $P_{m}$ ，则称正整数组 $(a, b, c)$ 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数。
Answer: 25
Problem: 集合 $A 、 B$ 定义如下:  
$A=\left\{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\right\} ,$ 
$B=\{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\}.$  
设集合 $P=\{n \mid n \in A \cap B, 1 \leqslant n \leqslant 2016\}$ . 求 $P$ 的元素个数.
Answer: 980
Problem: 一次会议共有 24 名代表参加，每两名代表之间要么握手一次，要么不握手。会议结束后发现，总共出现了 216 次握手，且对任意相互握过手的两名代表 $P 、 Q$ ，在剩下的 22 名代表中，恰与 $P 、 Q$ 之一握过手的代表不超过 10 名。一个""朋友圈""指的是会议中三名两两之间握过手的代表所构成的集合. 求这 24 名代表中朋友圈个数的最小可能值。
Answer: 0
Problem: 甲、乙两人从 $0,1, \cdots, 81$ 中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选一个数。当这 82 个数被选完之后，记 $A$ 、 $B$ 分别为甲、乙选择的所有数之和。在挑选数
的过程中, 甲希望 $A$ 与 $B$ 的最大公约数越大越好，而乙希望 $A$ 与 $B$ 的最大公约数越小越好。在甲、乙各自的最佳策略下, 求挑选完毕之后 $A$ 与 $B$ 的最大公约数.
Answer: 41
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{17}$ 是 $1,2, \cdots, 17$ 的一个排列，且满足
$\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right) \cdots\left(a_{16}-a_{17}\right)\left(a_{17}-a_{1}\right)$ $=n^{17}$.
求正整数 $n$ 的最大值。
Answer: 6
Problem: 集合 $I=\{1,2, \cdots, 2020\}$. 称
$$
\begin{aligned}
& W=\{w(a, b)=(a+b)+a b \mid a, b \in I\} \cap I, \\
& Y=\{y(a, b)=(a+b) \cdot a b \mid a 、 b \in I\} \cap I, \\
& X=W \cap Y,
\end{aligned}
$$
分别为"吴"集合、"越"集合、"西子"集合. 试求西子集合中最大数与最小数之和。
Answer: 2020
Problem: 今有 $n$ 个人排成一个横队, 从左到右按 $1,2, \cdots, n$ 报数，凡报奇数者退出队伍；剩下的人再从右到左按 $1,2, \cdots$ 重新报数，凡报奇数者退出队伍；然后剩下的人又从左到右重新报数。如此进行，使得最后队伍中只剩下一人. $f(n)$ 表示最后剩下的这个人在第一次报数时的号码。求 $f(n)$ 的表达式，并给出 $f(2022)$ 的值。
Answer: 1016
Problem: 若 $x_{i}$ 是大于 1 的正整数，记 $f\left(x_{i}\right)$ 是 $x_{i}$的最大素因数。令 $x_{i+1}=x_{i}-f\left(x_{i}\right)(i \in \mathbf{N})$ 。
（2）令 $V\left(x_{0}\right)$ 是 $f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), \cdots, f\left(x_{k\left(x_{0}\right)}\right)$中不同数的个数, 求 $V(2), V(3), \cdots, V(2022)$
中的最大数，并说明理由.
Answer: 5
Problem: 小陶同学玩如下游戏：取定大于 1 的常数 $v$ ；对正整数 $m$ ，游戏的第 $m$ 轮与第 $m+1$ 轮间隔为 $2^{-m}$ 单位时长；第 $m$ 轮在平面上有策略地取一个半径为 $2^{-m+1}$ 的圆形安全区域（含边界，取圆时间忽略不计）；每轮取定的圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率 $v$ 匀速减小（半径减小到零时，去掉该圆形安全区域）；若可在第 100 轮之前（含第 100 轮）的某轮将圆形安全区域取在剩余的安全区域的并集内，则取得游戏胜利。若小陶同学有必胜策略，求 $\left[\frac{1}{v-1}\right]$ 的最小值.
Answer: 18
Problem: 求满足
$$
\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-u}{z+u}+\frac{u-x}{u+x}>0
$$
且 $1 \leqslant x 、 y 、 z 、 u \leqslant 10$ 的所有四元有序整数组
$(x, y, z, u)$ 的个数.
Answer: 3924
Problem: 给定正整数 $n, A$ 和 $B$ 玩如下游戏：有 2023 枚硬币首尾相连排成一圈，标号为 $1,2, \ldots, 2023$ (标号按模2023理解)。每枚硬币有正反两面，一开始所有硬币都是正面朝上， $A$ 的目标是让尽可能多的硬币反面朝上。在每一轮操作中， $A$ 选择标号为 $k$ 和 $k+3$ 的两枚正面朝上的硬币（若无法选取则游戏结束）；然后 $B$ 选择标号为 $k+1$ 或 $k+2$ 的一枚硬币，并将这枚硬币翻面。若某一个时刻有 $n$ 枚硬币反面朝上，则 $A$ 获胜.
求最大的 $n$ 使得 $A$ 有必胜策略。
Answer: 675
Problem: 在一个圆周上给定十二个红点. 求 $n$的最小值，使得存在以红点为顶点的 $n$ 个三角形，满足以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。
Answer: 24
Problem: 设 $1,2, \cdots, 9$ 的所有排列 $X=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{9})$ 的集合为 $A$ 。对任意的 $X \in A$ ，记
$$
\begin{aligned}
& f(X)=x_{1}+2 x_{2}+\cdots+9 x_{9}, \\
& M=\{f(X) \mid X \in A\}.
\end{aligned}
$$
求 $|M|$ ( $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数)。
Answer: 121
Problem: 设正整数 $a 、 b$ 满足 $1 \leqslant a<b \leqslant 100$ 。若存在正整数 $k$ ，使得 $a b \mid\left(a^{k}+b^{k}\right)$ ，则称数对 $(a, b)$ 是"好数对". 求所有好数对的个数.
Answer: 96
Problem: 如果非负整数 $m$ 及其各位数码之和均为 6 的倍数，则称 $m$ 为 "六合数". 求小于 2012 的非负整数中六合数的个数。
Answer: 168
Problem: 求正整数 $n$ 的最小值, 使得
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{\frac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\frac{n-2012}{2011}} \\
& <\sqrt[3]{\frac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\frac{n-2011}{2013}}.
\end{aligned}
$$
Answer: 4024
Problem: 设 $m$ 是正整数, $n=2^{m}-1$, 数轴上 $n$个点所成的集合为 $P_{n}=\{1,2, \cdots, n\}$ 。
一只蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点. 求 $m$ 的最大值, 使得对任意 $x 、 y \in P_{n}$, 从点 $x$ 跳 2012 步到点 $y$ 的跳法种数为偶数（允许中途经过点 $x 、 y$ ）。
Answer: 10
Problem: 已知奇素数 $x 、 y 、 z$ 满足
$$
x\left|\left(y^{5}+1\right), y\right|\left(z^{5}+1\right), z \mid\left(x^{5}+1\right)
$$
求乘积 $x y z$ 的最小值。
Answer: 2013
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}:$
$a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}+1\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.
是否存在整数 $k \geqslant 2$ ，使得 $k$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$中的所有数均互素？若存在，找出最小的整数 $k$ ；若不存在，说明理由.
Answer: 23
Problem: 青青草原上生活着编号为 $1,2, \cdots, 7$的 $7$ 只羊和编号为 $1,2, \cdots, 2017$ 的 $2017$ 匹狼。在该草原上有如下奇怪的规则：  
（1）定义 $P(n)$ 为小于 $n$ 的素数个数，仅当 $P(i) \equiv j(\bmod 7)$ 时，编号为 $i$ 的狼可以吃掉编号为 $j$ 的羊（也可以不吃）；  
（2）若编号为 $i$ 的狼吃了编号为 $j$ 的羊，则它会立刻变成编号为 $j$ 的羊；  
（3）每匹狼在确保不会被吃的前提下都非常想体验作为一只羊的生活。  
假设每匹狼都很聪明，求最后草原上会剩下多少匹狼？
Answer: 2016
Problem: 求能被209 整除且各位数字之和等于 209 的最小正整数。
Answer: 22099999999999998951424
Problem: 平面上有 $n(n \geqslant 4)$ 条直线，对于直线 $a 、 b$, 在余下的 $n-2$ 条直线中, 若至少存在两条直线与直线 $a 、 b$ 都相交，则称直线 $a 、 b$ 是 "相合的直线对"，否则，称其是"相离的直线对". 若 $n$ 条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多 2012, 求 $n$ 的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）。
Answer: 72
Problem: 设 $x_{k} \in[-2,2](k=1,2, \cdots, 2013)$ ，  
且 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2013}=0$. 试求  
$$M=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots+x_{2013}^{3}$$  
的最大值.
Answer: 4026
Problem: 求最大的实数$C$，使得不等式
$$\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{x_{k}}\cdot\sum_{k=1}^{100}\left(x_{k}^{3}+2x_{k}\right)-\left(\sum_{k=1}^{100}\sqrt{x_{k}^{2}+1}\right)^{2}\geq C$$
对任意100个两两不同的正整数$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{100}$成立。
Answer: 33340000
Problem: 已知 $n$ 次实系数多项式 $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 满足:对任意 $x \in[0,1] \cup[99,100]$ ，都有 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 。
(1) 当 $n=2$ 时, 求 $f(50)$ 的最大可能值;
(2) 当 $n=100$ 时, 求 $f(50)$ 的最大可能值.
Answer: 49
Problem: 已知平面直角坐标系中的点集  
$$  
L=\{(x, y) \mid x, y \in\{1,2, \ldots, 100\}\}.  
$$  
设 $A$ 是由平面上若干个凸多边形组成的集合，满足： $A$ 中每个凸多边形的所有顶点均属于 $L$, 并且 $L$ 中的每个点都恰好是 $A$ 中一个凸多边形的顶点.  
求 $A$ 中所有凸多边形的面积之和的最小可能值。
Answer: 1667