ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 给定整数 $n \geq 2$. 在 $n \times n$ 方格表的每个小方格中各填入一个不超过 $n$ 的正整数, 使得每一行填入的数从左至右不减, 每一列填入的数从上至下不减。若两个有公共边的小方格填入的数相同，则称这两个（无序的）小方格为一个"好对"。求好对个数的最小可能值。当 $n = 4$ 时，求最小可能的好对个数。
Answer: 4
Problem: 求所有的整数 $k$, 使得存在整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 同时满足:(1) 对任意正整数 $n, a_{n+1}=a_{n}^{3}+k a_{n}+1$ ；(2) 存在正实数 $M$ ，使得对任意正整数 $n,\left|a_{n}\right| \leq M$ 。请提供所有满足条件的整数 $k$ 的和。
Answer: -6
Problem: 给定整数 $n \geq 2$. 设 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq n)$ 是 $n^{2}$ 个和为 1 的非负实数. 对 $1 \leq i \leq n$, 记 $R_{i}=\max _{1 \leq k \leq n} a_{i k}$; 对 $1 \leq j \leq n$, 记 $C_{j}=\min _{1 \leq k \leq n} a_{k j}$. 求
$$
C_{1} C_{2} \cdots C_{n}\left(R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{n}\right)
$$
的最大可能值.若$n = 2$，答案为$\frac{m}{n}$的形式，且$m,n$互质，求$m+n$.
Answer: 10
Problem: 已知凸六边形 $P$ 的所有顶点在一个单位正方形的边上, 且所有内角相等. 求 $P$ 的最短边长度的最大可能值。原始答案为$a-\frac{\sqrt{m}}{n}$的最简格式，请给出$a+m+n$的值。
Answer: 7
Problem: 称形如 $\{x, 2 x, 3 x\}$ 的集合为"好的"。对于给定的整数 $n(n \geqslant 3)$，问：由 $n$ 个正整数构成的集合最多能有多少个好子集？请提供当 n = 10 时的答案。
Answer: 6
Problem: 设 $n(n \geqslant 2)$ 为给定的整数。求最小的实数 $\lambda$ ，使得对于任意实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in$ $[0,1]$ ，存在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} \in\{0,1\}$ ，满足：对
于任意的 $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ ，均有
$$
\left|\sum_{k=i}^{j}\left(\varepsilon_{k}-x_{k}\right)\right| \leqslant \lambda. 
$$
若$n=3$，答案写为$\frac{m}{n}$，其中$m,n$互质，求$m+n$.
Answer: 7
Problem: 给定正整数 $n 、 k$, 其中, $n$ 为偶数, $k \geqslant 2$,且 $n>4 k$. 在圆周上有 $n$ 个点, 若 \frac{n}{2} 条在圆内互不相交的弦的端点恰为这 $n$ 个点，则称这些弦为一个"匹配"。求最大的整数 $m$ ，满足对任意一个匹配，均存在圆周上连续 $k$ 个点，使得这个匹配中至少有 $m$ 条弦的所有端点均在这 $k$ 个点中. 请给出当$ k = 7$ 时 $m$ 的值.
Answer: 3
Problem: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值。原始答案为$\frac{m}{n}$的格式，请给出m + n的值。
Answer: 2037173
Problem: 给定整数 $n \geqslant 2$. 求最小的正实数 $c$, 使得对任意复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}$, 均有
$$
\left|\sum_{i=1}^{n} z_{i}\right|+c \sum_{1 \leq i<j \leqslant n}\left|z_{i}-z_{j}\right| \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left|z_{i}\right|
$$
若$n=5$，答案写为$\frac{a}{b}$，其中$a,b$互质，求$a+b$.
Answer: 7
Problem: 给定整数 $m 、 n(2 \leqslant m<n,(m, n)=1)$.求最小的整数 $k$ ，满足对集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$, 若 $\sum_{i \in I} i>k$, 则存在 $n$ 个实数 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$, 使得
$$
\frac{1}{m} \sum_{i \in I} a_{i}>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}
$$
若$m=3,n=5$，求$k$.
Answer: 7
Problem: 给定整数 $n \geqslant 2$ ，设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足:
(1) $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0$;
(2) $\left|x_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2, \cdots, n)$.
求 $\min _{1 \leqslant i \leqslant n-1}\left|x_{i}-x_{i+1}\right|$ 的最大值.
若 $n = 4$，最大值的形式为 $\frac{a}{b}$，其中$a,b$互质，求$a+b$.
Answer: 13
Problem: 给定正整数 $n$ ，设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为非负整数序列，若其中连续若干项 (可以只有一项) 的算术平均值不小于 1 ，则称这些项组成一条 "龙"，其中第一项称为"龙头"，最后一项称为"龙尾"。已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 中每一项均为龙头或者龙尾。求 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}$的最小值.若$n=5$，
Answer: 3
Problem: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{a}\right)$ 。请提供所有满足条件的正整数 $a$ 的和。
Answer: 6
Problem: 已知 $0<x 、 y<1$. 求\(\frac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}\)的最大值。原始答案为\(\frac{m}{n}\)的格式，请给出m + n的值。
Answer: 9
Problem: 求所有的整数 $k$, 使得存在正整数 $a$和 $b$, 满足
$$\frac{b+1}{a}+\frac{a+1}{b}=k.$$ 请给出所有满足条件的整数 $k$ 的和。
Answer: 7
Problem: 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 满足
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$,
且 $2 a_{k} \leqslant a_{k-1}+a_{k+1}(k=2,3, \cdots, n-1)$.
求最小的 $\lambda(n)$, 使得对所有的 $k \in\{1$, $2, \cdots, n\}$ ，都有
$\left|a_{k}\right| \leqslant \lambda(n) \cdot \max \left\{\left|a_{1}\right|,\left|a_{n}\right|\right\}$。若$n=5$，答案格式为\frac{p}{q}，其中$p,q$互质，求$p+q$。
Answer: 5
Problem: 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1} \in\{5,7\}$ 及当 $k \geqslant 1$时，有 $x_{k+1} \in\left\{5^{x_{k}}, 7^{x_{k}}\right\}$ 。试确定 $x_{2009}$ 的末两位数字的所有可能值，并给出这些可能值的和。
Answer: 75
Problem: "设 $n$ 为给定的正整数。求最大的正整数 $k$ 。使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集
$$\begin{aligned}& A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\} \\& B=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}\right\} \\& C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}\end{aligned}$$
满足对任意的 $j(1 \leqslant j \leqslant k)$ ，都有
$x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$."
已知答案的形式为\(\frac{m}{n}\pi+p\)，求m+n+p的值。
Answer: 6
Problem: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满是
$\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$.
求 $x y z$ 的最大值。
已知答案的形式为\(\frac{m}{n}\pi+p\)，求m+n+p的值。
Answer: 91
Problem: 在等腰 Rt $\triangle A B C$ 中, $C A=C B=1, P$是 $\triangle A B C$ 边界上任意一点. 求 $P A \cdot P B \cdot P C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 6
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=a_{2}=1$, 且 $a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_{n}, n=1,2, \cdots$. 求 $a_{2004}$. 原始答案是 \(\frac{m!!}{n!!}\) 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 4005
Problem: 设 $n \in \mathbf{N}_{+}$，用 $d(n)$ 表示 $n$ 的所有正约数的个数, $\varphi(n)$ 表示 $1,2, \cdots, n$ 中与 $n$ 互质的数的个数. 求所有的非负整数 $c$, 使得存在正整数 $n$, 满足$$d(n)+\varphi(n)=n+c,$$且对这样的每一个 $c$, 求出所有满足上式的正整数 $n$ 。请给出所有满足条件的正整数 $n$ 的和。
Answer: 23
Problem: 求所有的实数 $k$, 使得不等式
$$
a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d)
$$
对任意 $a 、 b 、 c 、 d \in[-1,+\infty)$ 都成立. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 7
Problem: 求所有的正整数 $n$, 使得 $n^{4}-4 n^{3}+22 n^{2}-36 n+18$ 是一个完全平方数。请给出这些正整数之和。
Answer: 4
Problem: 求所有的实数 $x$,使得 $\left[x^{3}\right]=4 x+3$. 这里 $[y]$表示不超过实数 $y$ 的最大整数。原始答案包含一个分数形式，请给出分数形式的分子与分母之和。
Answer: -1
Problem: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{a}\right)$ 。请给出所有满足条件的正整数$a$的和。
Answer: 6
Problem: 给定整数 $m \geqslant 3, n \geqslant 3$. 设集合
$$
S=\{(a, b) \mid a \in\{1,2, \cdots, m\}, b \in\{1,2, \cdots, n\}\}
$$
$A$ 为 $S$ 的子集. 若不存在正整数 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3} 、 y_{1} 、$ $y_{2} 、 y_{3}$ ，使得 $x_{1}<x_{2}<x_{3}, y_{1}<y_{2}<y_{3}$ ，且 $\left(x_{1}, y_{2}\right)$ 、 $\left(x_{2}, y_{1}\right) 、\left(x_{2}, y_{2}\right) 、\left(x_{2}, y_{3}\right) 、\left(x_{3}, y_{2}\right) \in A$ ，求集合 $A$ 元素个数的最大值。请给出 m = 5, n = 8 时，集合 $A$ 元素个数的最大值。
Answer: 11
Problem: 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2018}$ 满足：对任意的 $1 \leqslant i<j \leqslant 2018$, 均有 $x_{i}+x_{j} \geqslant(-1)^{i+j}$. 求 $\sum\limits_{i=1}^{2018} i x_{i}$ 的最小值. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值.
Answer: 2037173
Problem: 给定正整数 $n 、 k$, 其中, $n$ 为偶数, $k \geqslant 2$,且 $n>4 k$. 在圆周上有 $n$ 个点, 若 $\frac{n}{2}$ 条在圆内互不相交的弦的端点恰为这 $n$ 个点，则称这些弦为一个"匹配".求最大的整数 $m$ ，满足对任意一个匹配，均存在圆周上连续 $k$ 个点，使得这个匹配中至少有 $m$ 条弦的所有端点均在这 $k$ 个点中. 请给出当 $k = 5$ 时，最大整数 $m$ 的值。
Answer: 2
Problem: 已知凸六边形 $P$ 的所有顶点在一个单位正方形的边上，且所有内角相等. 求 $P$ 的最短边长度的最大可能值。请给出m + n的值，其中原始答案格式为1-\frac{\sqrt{m}}{n}。
Answer: 6
Problem: 给定整数 $n \geq 2$ 。在 $n \times n$ 方格表的每个小方格中各填入一个不超过 $n$ 的正整数，使得每一行填入的数从左至右不减，每一列填入的数从上至下不减。若两个有公共边的小方格填入的数相同，则称这两个（无序的）小方格为一个"好对"。求好对个数的最小可能值。请计算当 $n=4$ 和 $n=5$ 时好对个数的最小可能值之和。
Answer: 20
Problem: 设 $x 、 y 、 z \in(0,1)$ ，满足  $\sqrt{\frac{1-x}{y z}}+\sqrt{\frac{1-y}{z x}}+\sqrt{\frac{1-z}{x y}}=2$.  求 $x y z$ 的最大值. 原始答案为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值.
Answer: 91
Problem: 设 $n$ 为给定的正整数. 求最大的正整数 $k$ , 使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集  \begin{aligned}  & A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\} ,\\  & B=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}\right\}, \\  & C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}  \end{aligned}  满足对任意的 $j(1 \leqslant j \leqslant i)$ ，都有  $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$. 请提供当 n = 33 时的最大正整数 k 。
Answer: 23
Problem: 求最大的实数 $k$, 使得对于任意的正数 $a 、 b$ ,均有  
$$  
(a+b)(a b+1)(b+1) \geqslant k a b^{2}.  
$$  
原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 31
Problem: 现有 $n$ 个人排成一行, 从左至右按 $1,2, \cdots, n$ 的顺序报数, 凡序号为平方数者退出队伍; 剩下的人从左至右再次按 $1,2, \cdots$ 的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用 $f(n)$ 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求 $f(2019)$ 的值。
Answer: 1981
Problem: Given integers $m, n \geqslant 2$. Color each cell of an $m$-row by $n$-column grid $S$ with either red or blue such that the following condition is satisfied: For any two cells in the same row, if both are colored red, then one column must have all cells colored red, and the other column must have at least one cell colored blue. Find the number of different coloring methods. Please provide the value when $m = 2$ and $n = 3$.
Answer: 34
Problem: 已知不等式
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{2}(2 a+3) \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{6}{\sin \theta+\cos \theta}-2 \sin 2 \theta \\
& <3 a+6
\end{aligned}
$$
对于 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 恒成立. 已知a的范围是a>m，求m的值
Answer: 3
Problem: 给定大于 2004 的正整数 $n$ ，将 $1,2, \cdots$, $n^{2}$ 分别填入 $n \times n$ 棋盘（由 $n$ 行 $n$ 列方格构成）的方格中，使每个方格都有 1 个数。如果 1个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数，且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数，则称这个方格为"优格"。求棋盘中"优格"个数的最大值。请给出 n = 2010 时的结果。
Answer: 12060
Problem: 求方程
$$
\frac{\sqrt{3}+2 \sin 2 x}{\sqrt{3}+2 \sin x}=\sqrt{3} \sin x+\frac{\cos 2 x}{2 \cos x}
$$
在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的解.解得形式均为\frac{m\pi}{n}的形式，请给出所有解m+n的和
Answer: 15
Problem: 设 $n(n \geqslant 3)$ 是正整数，集合 $M=$ $\{1,2, \cdots, 2 n\}$ 。求最小的正整数 $k$, 使得对于 $M$ 的任何一个 $k$ 元子集，其中必有 $4$ 个互不相同的元素之和等于 $4 n+1$ 。请提供当 n = 48 时的 k 的值。
Answer: 51
Problem: 已知直线 $l$ 与单位圆 $\odot O$ 相切于点 $P$, 点 $A$ 与 $\odot O$ 在直线 $l$ 的同侧, 且 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $h\left(h>2\right)$, 从点 $A$ 作 $\odot O$ 的两条切线，分别与直线 $l$ 交于 $B 、 C$ 两点。求线段 $P B$ 与线段 $P C$ 的长度之乘积。请给出h=9时答案中分子与分母的和
Answer: 16
Problem: 设 $a_{i}=	ext{min} \left\{k+i / k \mid k \in N^{*}\right\}$ ，试求 $S_{n^{2}}$ $=\left[a_{1}\right]+\left[a_{2}\right]+\cdots+\left[a_{n^{2}}\right]$ 的值，其中 $n \geq 2,[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。请提供当 n = 6 时的 S_{n^{2}} 值，
Answer: 282
Problem: 求所有的正整数 $n$,使集合 $M=\{1,2, \cdots, 50\}$ 的任意 $35$ 元子集至少存在两个不同的元素 $a 、 b$ 满足 $a+b=n$ 或 $a-b=n$ 。请给出所有满足条件的n值的总和。
Answer: 2415
Problem: 已知 $a 、 b 、 c$ 为两两互质的正整数，且满足  
a^{2}\left|\left(b^{3}+c^{3}\right), b^{2}\right|\left(a^{3}+c^{3}\right), c^{2} \mid\left(a^{3}+b^{3}\right).  
求 $a 、 b 、 c$ 的值。请给出所有满足条件的三元组的元素和的总和。
Answer: 39
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足1 $1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ ，如果存在实数 $m$ ，使得 $\sum\limits_{i=1}^{n-1} \sqrt[3]{\frac{a_{i+1}-a_{i}}{\left(2+a_{i}\right)^{4}}} \leq m$.  对任意正整数 $n (n \geqslant 2)$ 成立, 求 $m$ 的最小值. 原始答案为$\frac{\sqrt[a]{b}}{c}$的形式，请给出a+b+c的值。
Answer: 7
Problem: 设 $\alpha 、 \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. 求
$$  
A=\frac{\left(1-\sqrt{\tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2}}\right)^{2}}{\cot \alpha+\cot \beta}  
$$  
的最大值。原始答案为m+n\sqrt{k}的形式，请给出m+n+k的值
Answer: 3
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $a+b+c=3$. 求  
$$  
f(a, b, c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4}{3} a b c  
$$  
的最小值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 16
Problem: 设 $a 、 b 、 c$ 为直角三角形的三边长，其中， $c$ 为斜边长。求使得 $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a b c}$ $\geqslant_{k}$ 成立的 $k$ 的最大值。原始答案为m+n\sqrt{k}的形式，请给出m+n+k的值。
Answer: 5
Problem: 设 $n$ 是正整数, 整数 $a$ 是方程 $x^{4}+3 a x^{2}+2 a x-2 	imes 3^{n}=0$ 的根。求所有满足条件的数对 $(n, a)$. 请给出所有数对中 n + a 的总和。
Answer: 1
Problem: 求最大的实数 $C$, 使得不等式  
$$  
\left.\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{x_{k}} \cdot \sum_{k=1}^{100}\left(x_{k}^{3}+2 x_{k}\right)-\sum_{k=1}^{100} \sqrt{x_{k}^{2}+1}\right)^{2} \geq C  
$$  
对任意 $100$ 个两两不同的正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}$ 成立。
Answer: 33340000
Problem: 给定正整数 $n \geqslant 2, n$ 个实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$满足:  \[  \begin{aligned}  & \min _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}}{k}\right\}=0 \\  & \max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}}{k}\right\}=1  \end{aligned}  \]  记 $M=\max \limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}\right\}, m=\min\limits _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{x_{i}\right\}$ 。  求 $\min \{M-m\}, \max \{M-m\}$ 。请给出n=2时最大值和最小值的和
Answer: 4
Problem: 设 $x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \cdots{ }_{x_{n}} \geqslant 0$, 且 $\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}=1$. 记 $M(n) 、 m(n)$ 分别是 $\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2} \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{k} x_{j}^{2}}$ 的最大值、最小值. 求实数 $\alpha 、 \beta 、 \gamma 、 \delta$, 使得 $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{M(n)}{n^{\alpha}}=\beta$, $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{m(n)}{n^{r}}=\delta$, 其中, $\beta 、 \delta \neq 0$. 请给出 \alpha 加上 \beta, \gamma, \delta 的分子和分母之和。
Answer: 23
Problem: 集合\n$$\nA=\left\{(x, y)\left|(x-t)^{2}+y^{2} \leqslant\left(1-\frac{t}{2}\right)^{2},|t| \leqslant 2\right\}\right.\n$$\n所表示平面区域的面积为。原始答案为 $a \sqrt{b}+\frac{c \pi}{d}$，请给出a+b+c+d的值
Answer: 18
Problem: 已知复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|<1$, $\left|z_{2}\right|<1, z_{1}+z_{2}$ 为实数，且 $z_{1}+z_{2}+z_{1} z_{2}=0$ 。求 $z_{1} z_{2}$ 的取值范围。请给出区间端点的倒数的和。
Answer: -1
Problem: 已知集合 $A=\left\{x \mid \log _{a}(a x-1)>1\right\}$ 。若 $3 \in A$, 请给出 a 的取值范围中所有有限端点的和的6倍。
Answer: 11
Problem: 给定正整数 $n$, 设实数 $a_{1}$, $a_{2}, \cdots, a_{n}$ 与正实数 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 使得 $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \geqslant 8$ 且 $\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} \leqslant 4$. 求 $\prod\limits_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{\left(\max \left|0, a_{i}\right|\right)^{2}}{b_{i}}}$ 的最小值。请提供最小值的指数部分。
Answer: 16
Problem: 若存在实数 $r$, 使得圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上恰好有 $n$ 个整点, 则 $n$ 可以等于多少？请给出所有可能的n值之和。
Answer: 24
Problem: 已知存在实数 $r$, 使得圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上恰好有 $n$ 个整点, 则 $n$ 可以等于（）。请提供所有满足条件的n值之和。
Answer: 24
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若对任意的正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $S_{n}=a_{m}$ ，则（）。请给出所有正确选项的和。
Answer: 2
Problem: 在四面体 $A B C D$ 中, $\triangle A B D$ 为等边三角形， $\angle B C D=90^{\circ}, B C=C D=1, A C=\sqrt{3}, E$ 、 $F$ 分别为 $B D 、 A C$ 的中点. 则直线 $A E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值为原始答案是\frac{\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 5
Problem: 已知正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足:  
$a_{1}=a, a_{2}=b$,  
$a_{n+2}=\frac{a_{n}+2018}{a_{n+1}+1}(n \geqslant 1)$.  
求 $a+b$ 的所有可能取值. 请提供所有可能的取值之和。
Answer: 3030
Problem: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=$ $A A_{1}=2, A D=2 \sqrt{3}, M$ 为平面 $B A_{1} C_{1}$ 内一点.则 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M C}$ 的最小值为。原始答案为 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 23
Problem: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}<0, a_{90} \geqslant 74, a_{200}<200$, 且该数列在区间 $\left(\frac{1}{2}, 8\right)$ 中的项比在区间 $\left[14, \frac{43}{2}\right]$ 中的项数少 ,则$a_{4$的值为多少？
Answer: 2
Problem: 求平面区域$\left\{（x，y）：\sqrt{1-x^{2}\sqrt{1-y^{2}\geqslant xy\right\}$的面积。原始答案的格式为$\frac{\pi}{a}+b$，请提供a+b的值。
Answer: 4
Problem: 已知两条直线 $l_{1}: y=2, l_{2}: y=4$, 设函数 $y=3^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$, 函数 $y=5^{x}$ 的图像与 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交于点 $C 、 D$. 请计算直线 $A B$ 与 $C D$ 的交点坐标和 $x + y$ 的值。
Answer: 0
Problem: 如图 1, Rt $\triangle A B C$的三个顶点都在给定的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$上, 且斜边 $A B / / x$ 轴. 则斜边上的高 $|C D|=$。请给出$|C D|$在$p=1$时的值。
Answer: 2
Problem: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$. 请给出 $\frac{S_{6}}{T_{5}}$ 的原始答案形式为 \frac{m}{n}，请计算 m + n 的值。
Answer: 43
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是。原始答案为 \frac{a}{b} 格式，请给出 a + b 的值。
Answer: 289
Problem: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高为 3, 侧面与底面所成角为 $\frac{\pi}{3}$ 。先在 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, O_{4}, \cdots$, 使得后放入的各球与前一个球及 $\Gamma$ 的四个侧面均相切，则放入的所有球的体积之和的原始答案为\frac{m\pi}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 31
Problem: 设 $a, b, c \in(0,1]$, $\lambda$ 为实数, 使得 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c)$ 恒成立, 求 $\lambda$ 的最大值。已知原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 91
Problem: 已知 $a$ 为实数, 且对任意 $k \in[-1,1]$, 当 $x \in(0,6]$ 时, $6 \ln x+x^{2}-8 x+a \leqslant k x$ 恒成立, 则 $a$的最大值是 $\qquad$.原始答案形式为$a-b \ln c$，求a+b+c的值。
Answer: 18
Problem: 设点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$, 点 $B, C$ 为圆 $O: x^{2}+y^{2}=25$ 上的两动点, 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$. 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值。原始答案为 \frac{m + n \sqrt{k}}{p} 格式，请给出 m + n + k + p 的值。
Answer: 71
Problem: 已知正四棱雉 $\Gamma$ 的高 $h=3$, 侧面与底面所成角 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 。先在正四棱雉 $\Gamma$ 内放入一个内切球 $O_{1}$, 然后依次放入球 $O_{2}, O_{3}, \cdots$, 使得后放入的各球均与前一个球及正四棱雉 $\Gamma$的四个侧面都相切。则放入所有球的体积之和的原始答案为$\frac{m\pi}{n}$的格式，请给出m + n的值。
Answer: 31
Problem: 设点 $A(0,3), \odot O: x^{2}+y^{2}=$ 25 上的两动点 $B 、 C$ 满足 $\angle B A C=90^{\circ}$. 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值。原始答案为 $\frac{m + n \sqrt{k}}{2}$ 格式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 71
Problem: 已知在三棱锥 $D-A B C$ 中, $\angle A C B=\angle A B D=90^{\circ}, C A=C B, \angle B A D=30^{\circ}$.若点 $C$ 在平面 $A B D$ 上的射影恰好在 $A D$ 上, 则二面角 $C-A B-D$ 的平面角的正弦值大小为$\frac{\sqrt{m}}{n}$形式，请给出m + n的值。
Answer: 9
Problem: 设集合 $T=\left\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{N}^{*}\right.$ ，且 $a, b, c$ 可构成某个三角形的边长 $\}$ 。则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \cdot 5^{c}}$ 的值为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 38
Problem: 设函数 $f(x)=x-\ln (a x+2 a+1)+2$. 若对于任意 $x \geqslant-2$, 均有 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 \qquad. 请给出区间两端点之和的值。
Answer: 1
Problem: 过抛物线 $y=x^{2}$ 上两点 $A\left(1, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 分别作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$交于点 $C$. 若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=0$, 则 $x_{2}=$ 的原始答案为 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
Problem: 已知实数 $x, y$ 满足 $x|x|+\frac{y|y|}{3}=1$, 则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围为 [p, q)。请给出 p + q 的整数部分。
Answer: 8
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三边 $a, b, c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+3 c^{2}=7$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式。请给出 m + n 的值。
Answer: 11
Problem: 若 \(\triangle A B C\) 的三边 \(a, b, c\) 满足 \(a^{2}+b^{2}+3c^{2}=7\)，则 \(\triangle A B C\) 的面积的最大值是 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\) 的形式，请给出 \(m + n\) 的值。
Answer: 11
Problem: 已知实数 $x 、 y$ 满足 $x|x|+\frac{y|y|}{3}=1$. 则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围是 $\qquad$. 答案标准形式为[\a-\sqrt{b},c]，请给出区间端点a+b+c之和的值。
Answer: 14
Problem: 设 $P(0, a)$ 是 $y$ 轴上异于原点的任意一点，过点 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线与曲线 $y=\frac{1}{a} \ln x$ 交于点 $Q$, 曲线 $y=\frac{1}{a} \ln x$ 在点 $Q$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $R$, 则 $\triangle P Q R$ 的面积的最小值为。请给出原始答案 $\frac{\mathrm{e}^{\frac{m}{n}}}{\sqrt{k}}$ 的形式中 $m + n+k$ 的值。
Answer: 5
Problem: 给定正整数 $a, b(a \leqslant b)$. 数列 $\left\{f_{n}\right\}$ 满足:  
$$  
f_{1}=a, f_{2}=b, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n=1,2, \cdots)  
$$  
若对任意的正整数 $n$, 都有 $\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}\right)^{2} \leqslant \lambda \cdot f_{n} f_{n+1}$, 求实数 $\lambda$ 的最小值。原始答案是 $2 + \sqrt{5}$，请给出数字部分的和。
Answer: 7
Problem: 设 $A, B, C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角, 则 $3 \cos A+2 \cos 2 B+\cos 3 C$ 的取值范围为 $\qquad$. 答案的标准形式为[-\frac{a}{b},c]，请给出该范围的两端点a+b+c之和。
Answer: 47
Problem: 给定正整数 $n(n \geqslant 2)$. 已知 $2 n$ 个正实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}$, 满足:  
$$  
\sum_{k=1}^{n} a_{2 k-1} \cdot \sum_{k=1}^{n} a_{2 k}=\prod_{k=1}^{n} a_{2 k-1}+\prod_{k=1}^{n} a_{2 k}.  
$$  
求 $S=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{a_{k}^{n-1}}{a_{k+1}}$ 的最小值，其中 $a_{2 n+1}=a_{1}$ 。请给出当 n = 2 时，S 的最小值的值。
Answer: 8
Problem: 一个三角形的一条高长为 $2,$ 另一条高长为 $4,$ 则这个三角形内切圆半径取值范围是 \qquad. 答案的标准形式为[\frac{a}{b},c]，请给出区间两端a+b+c的值。
Answer: 6
Problem: 已知点 $C \in\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0\right\}, A(-1,0), B(1,0)$, 延长 $A C$ 至 $D$ 使 $|C D|=3|B C|$,那么点 $D$ 到 $E(4,5)$ 距离最大值和最小值之积为。原始答案为 $2(\sqrt{m} - \sqrt{n})$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 255
Problem: 函数 $f(x)=\min \left\{\sin x, \cos x,-\frac{1}{\pi} x+1\right\}$ 在 $[0, \pi]$ 上最大值是 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 4
Problem: 在离心率为 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 的椭圆中, \(F_{1}, F_{2}\) 是两个焦点, \(P\) 是椭圆上一点, 且 \(\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3},\left|P F_{1}\right| - \left|P F_{2}\right|=3\),求 \(S_{\triangle P F_{1} F_{2}}\)。原始答案是 \(\frac{m\sqrt{n}}{k}\) 格式，请给出 m + n +k的值。
Answer: 44
Problem: 求 \(\sin ^{3} 6^{\circ}-\sin ^{3} 114^{\circ}+\sin ^{3} 126^{\circ}\)。题目的原始答案是\(\frac{a - b \sqrt{c}}{d}\)的格式，请给出a+b+c+d的值。
Answer: 27
Problem: $x \in \mathbf{R}$, 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 并用 $\{x\}=x-[x]$ 表示小数部分, 已知: $a_{1}=\sqrt{2}$, $a_{n+1}=\left[a_{n}\right]+\frac{1}{\left\{a_{n}\right\}}$, 求 $\sum\limits_{k=1}^{2024} a_{k}$. 原始答案为 $a(\sqrt{b}+c)$ 的形式，请给出a+b+c的值。
Answer: 4049
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $D$ 在 $B C$ 上, $A D$ 平分 $\angle B A C, A B=A D=3, C D=2$, 求 $\triangle A B C$ 的周长的两倍。
Answer: 21
Problem: 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 $\mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=2, \mathrm{CD}=3, \mathrm{DA}=4$. 求四边形 ABCD 外接圆的半径。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 2334
Problem: $A 、 B$ 为 $y=1-x^{2}$ 上在 $y$ 轴两侧的点, 求过 $A 、 B$ 的切线与 $x$ 轴围成面积的最小值。原始答案为 \frac{m \sqrt{n}}{p} 的形式，请给出 m + n +p的值。
Answer: 20
Problem: 设 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $\theta,|\overrightarrow{O A}|=2,|\overrightarrow{O B}|=1, \overrightarrow{O P}=t \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O Q}=$ $(1-t) \overrightarrow{O B}$, 函数 $f(t)=|\overrightarrow{P Q}|$ 在 $t=t_{0}$ 时取最小值. 若 $0<t_{0}<\frac{1}{5}$, 求 $\theta$ 的取值范围。答案的标准形式为$\left(\frac{\pi}{a}, \frac{b \pi}{c}\right)$，请给出区间端点a+b+c之和。
Answer: 7
Problem: 求所有次数不超过 $2$ 的整系数多项式 $f$, 使得存在整系数多项式 $g$, 满足
$$  
x^{3}-1 \mid f(x) g(x)-1  
$$
当x=1时请提供所有满足条件的 $f(x)$ 的绝对值和。
Answer: 6
Problem: 对 $1,2, \cdots, 2 n$ 的任意一个排列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$, 定义 $f(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}, b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})=\sum^{n-1}\left|a_{i}b_{i}-a_{i+1}b_{i+1}\right|.$当 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 取遍 $1,2, \cdots, 2 n$ 的所有排列时, 求 $f\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)=\sum^{n-1}\left|a_{i} b_{i}-a_{i+1} b_{i+1}\right|$的最小值。请给出 n = 6 时的结果。
Answer: 30
Problem: n=1时，实数 $x_{i} \neq 0, i=1,2, \ldots, n$. 并且有 $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0$. 求下式的最小值.  
$$  
\left.\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}^{2}}\right)  
$$
Answer: 1
Problem: 给定整数 $n>1$. 已知正整数 $m$ 和集合 $\{1,2, \ldots, n\}$ 的不同子集 $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ 满足对任意 $1 \leq i<j \leq n, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ 中恰好有 $n-j+i$ 个集合同时含有 $i, j$.求 $\sum\limits_{k=1}^{m}\left|A_{k}\right|^{2}$ 的最小可能值。当n=3时，答案为 $\frac{m}{n}$，请给出m+n的值。
Answer: 31
Problem: 设 $n$ 是正整数，非负整数序列 $b_{1}=0, b_{2}, \ldots, b_{n}$ 满足：对任何 $1 \leq u, v \leq n$ ，有  
$$  
\frac{1}{u}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{u}\right)<\frac{1}{v}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{v}+1\right).  
$$  
求所有这样的序列 $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ 的个数。假设 n = 4，请提供答案的整数值。
Answer: 8
Problem: 设 $x, y, z$ 是三个两两不等且都大于 1 的正整数, 若 $x y z$ 整除 $(x y-1) \cdot (x z-1)(y z-1)$, 求 $x$ 所有可能值之和。
Answer: 10
Problem: $x, y, z$ 是两两不等且大于 1 的正整数, 求所有满足 $x y z \mid(x y-1)(y z-1)(x z-1)$ 的 $x$之和。
Answer: 10
Problem: 已知 $\sin x+\sin y=\frac{1}{3}, \cos x-\cos y=\frac{1}{5}$, 求 $17\sin (x-y)$
Answer: -15
Problem: 求三条直线 $x+y=60, y=\frac{1}{2} x, y=0$ 所围成三角形上的整点个数;
Answer: 100
Problem: 在锐角三角形 $A B C$ 中, $A B$ 上的高 $C E$ 与 $A C$ 上的高 $B D$ 相交于点 $H$, 以 $D E$ 为直径的圆分别交 $A B 、 A C$ 于 $F 、 G$ 两点, $F G$ 与 $A H$ 相交于点 $K$, 已知 $B C=25, B D=20, B E=7$, 求 $25A K$ 的长。
Answer: 216
Problem: 数列 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$, 满足关系式 $\left(3-a_{n+1}\right)\left(6+a_{n}\right)=18$ 且 $a_{0}=3$,  其中n=5时， 则 $\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{a_{i}}=$
Answer: 40
Problem: 将关于 $x$ 的多项式 $f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots-x^{19}+x^{20}$ 表为关于 $y$ 的多项式 $g(y)=a_{0}+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\cdots$ $+a_{19} y^{19}+a_{20}{ }^{20}$, 其中 $y=x-4$, 则 $6(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20})=$ $\qquad$ ;
Answer: 476837158203126
Problem: 将编号为 $1,2, \cdots, 9$ 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 $S$。求使 $S$ 达到最小值的放法的概率的分子和分母之和。
Answer: 316
Problem: 若对一切 $\theta \in \mathbf{R}$ ，复数 $z=(a+\cos \theta)+(2 a-\sin \theta) i$ 的模不超过 2 ，则实数 $a$ 的取值范围。请提供该区间的端点之和。
Answer: 0
Problem: 解方程组
$\left\{\begin{array}{c}x-y+z-w=2, \\ x^{2}-y^{2}+z^{2}-w^{2}=6, \\ x^{3}-y^{3}+z^{3}-w^{3}=20, \\ x^{4}-y^{4}+z^{4}-w^{4}=66.\end{array}\right.$
请提供所有可能解 $(x, y, z, w)$ 的和。
Answer: 24
Problem: 已知植圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 与 $F_{2}$, 点 $P$ 在直线 $l: x-\sqrt{3} y+8+2 \sqrt{3}=0$ 上. 当 $\angle F_{1} P F_{2}$取最大值时，比 $\frac{\left|P F_{1}\right|}{\left|P F_{2}\right|}$ 的值为 \sqrt{m}-n 的形式，求 m - n 的值。
Answer: 2
Problem: 底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ 的实心铁球, 四个球两两相切, 其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水, 使水面恰好浸没所有铁球, 则需要注水 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{3}$. 原始答案为$\left(\frac{m}{n}+\frac{\sqrt{o}}{p}\right) \pi$的格式，请给出m+n+o+p的值。
Answer: 8
Problem: 将 2006 表示成 5 个正整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 之和。记 $S=\sum_{1 \leq i<j \leq 5} x_{i} x_{j}$ 。问：\n（1）当 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 取何值时， $S$ 取到最大值;\n（2）进一步地，对任意 $1 \leq i, j \leq 5$ 有 $\left|x_{i}-x_{j}\right| \leq 2$ ，当 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 取何值时， $S$ 取到最小值。请给出 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+1 的值。
Answer: 2007
Problem: 将 2006 表示成 5 个正整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 之和。记 $S=\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant 5} x_{i} x_{j}$ 。问:请给出$S$最大值和最小值之和。
Answer: 3219226
Problem: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 与 $F_{2}$, 点 $P$ 在直线 $l: x-\sqrt{3} y+8+2 \sqrt{3}=0$ 上. 当 $\angle F_{1} P F_{2}$ 取最大值时, 比 $\frac{\left|P F_{1}\right|}{\left|P F_{2}\right|}$ 的值为\sqrt{m}-n的形式, 请给出m - n的值.
Answer: 2
Problem: 底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两个球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球。原始答案为 $\pi\left(\frac{m}{n}+\frac{\sqrt{p}}{q}\right)\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$ 格式，请给出 m + n + p + q 的值。
Answer: 8