ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 若 x,y,z\in\bR_+，满足 xy+yz+zx=1，则函数f(x,y,z)=\sqrt{xy+5}+\sqrt{yz+5}+\sqrt{zx+5}的最大值是__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 边长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 求最大的实数 \lambda，使得对任意一个 100 阶双随机矩阵，总可以从中选出 150 个元素，并将其余 9850 个元素都改为 0，满足此时每行元素之和与每列元素之和都不小于 \lambda.注：一个 n 阶双随机矩阵是一个 n\times n 的方阵，所有元素均为非负实数，且每行元素之和与每列元素之和均为 1.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1917
Problem: 设 a,b 是从集合 \{1,2,3,4,5\} 中随机选取的数，则直线 y=ax+b 与圆 x^2+y^2=2 有公共点的概率是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 已知向量 \overrightarrow{a}=(x,1), \overrightarrow{b}=(2,y), \overrightarrow{c}=(1,1)，且 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} 与 \overrightarrow{c} 共线. 则 |\overrightarrow{a}|+2|\overrightarrow{b}| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 8
Problem: 甲烷分子 CH_4 的四个氢原子位于棱长为 1 的正四面体的四个顶点，碳原子 C 位于正四面体的中心 C_0. 记四个氢原子分别为 H_1, H_2, H_3, H_4，则 \ds{1\leq i<j\leq 4}{}\overrightarrow{C_0H_i}\cdot\overrightarrow{C_0H_j}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1
Problem: 设 n 是正整数，A_1,A_2,\cdots,A_n 是 n 个不同的非空有限集，满足对任意 1\leq i,j,k\leq n，若 A_i\cap A_j=\emptyset，则存在 1\leq l\leq n，使得(A_i\cup A_k)\setminus A_j=A_l.求最大的实数 c，使得对任意正整数 n 和任意满足上述性质的集合 A_1, A_2, \cdots, A_n，存在 I\subseteq\{1,2,\cdots,n\}，使得 (1) |I|\geq cn，(2) 对任意 i,j\in I，A_i\cap A_j\neq\emptyset.（王一川供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 已知 f(x) 是定义在 \bR 上的函数，且对任意实数 x，均有 2f(x)+f(x^2-1)=1，则 f(\sqrt{2}) 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，AB=1, BC=CC_1=\sqrt{3}, \angle ABC=90^\circ. P 是平面 ABC 上一动点，则 A_1P+\df{1}{2}PC 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 数列 \{a_n\} 满足 a_1=1,\df{a_{n+1}-a_n}{a_n}=\df{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}} (n\in\bN^\ast). 若 a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_6a_7=3，则 a_{2024}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2035
Problem: 一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 p (0\leq p\leq 1) 的概率消失，有 \df{1-p}{3} 的概率保持不变，有 \df{1-p}{3} 的概率分裂成两个，有 \df{1-p}{3} 的概率分裂成三个. 对所有新产生的生物每天也会发生上述事件. 假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 \df{1}{2}，则 p 至多为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2023} 满足 \ds{i=1}{2023}a_i=1. 求\ds{i=1}{2023}\min\{a_i,a_{i+1}\}^2的最大值，其中 a_{2024}=a_1.（林逸沿供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: Let $x_1,\ldots,x_{100}$ be nonnegative real numbers such that $x_{i} + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ for all $i = 1, .., 100$ (we put $x_{101}=x_{1}, x_{102}=x_{2}$). Find the maximal possible value of the sum
$S=\sum\limits_{i=1}^{100}x_ix_{i+2}.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 27
Problem: 在正方体中随机取 3 条棱, 它们两两异面的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 57
Problem: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, A D=1$, 边 $D C$ 上（包含点 $D 、 C$ ）的动点 $P$ 与 $C B$ 延长线上 (包含点 $B$ ) 的动点 $Q$ 满足 $|\overrightarrow{D P}|=|\overrightarrow{B Q}|$, 则向量 $\overrightarrow{P A}$ 与向量 $\overrightarrow{P Q}$ 的数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P Q}$ 的最小值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 正 2015 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2015}$ 内接于单位圆 $O$, 任取它的两个不同的顶点 $A_{i}, A_{j}$,则 $\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right| \geqslant 1$ 的概率是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1678
Problem: 某房间的室温 $T$ （单位：摄氏度）与时间 $t$ （单位：小时）的函数关系是： $T=$  $a \sin t+b \cos t, t \in(0,+\infty)$, 其中 $a, b$ 是正实数。如果该房间的最大温差为 10摄氏度，则 $a+b$ 的最大值是 $\qquad$.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 正实数 $u, v, w$ 均不等于 1, 若 $\log _{u}(v w)+\log _{v} w=5, \log _{v} u+\log _{w} v=3$, 则 $\log _{w} u$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 袋子 $A$ 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 $B$ 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸币面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 正实数 $u, v, w$ 均不等于 1, 若 $\log _{u} v w+\log _{v} w=5, \log _{v} u+\log _{w} v=3$, 则 $\log _{w} u$的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 袋子 $A$ 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 $B$ 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸
币面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点集 $K=\{(x, y) \mid x, y=-1,0,1\}$ 。在 $K$ 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 $\sqrt{5}$ 的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $M$ 是边 $B C$ 的中点, $N$ 是线段 $B M$ 的中点. 若 $A=\frac{\pi}{3}, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$ 的最小值为 $\qquad$.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 也是等差数列；
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$ 是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在正四面体 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别在棱 $A B, A C$ 上, 满足 $B E=3, E F=4$, 且 $E F$与面 $B C D$ 平行，则 $\triangle D E F$ 的面积为 $\qquad$.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 35
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$, 点集 $K=\{(x, y) \mid x, y \in-1,0,1\}$ 。在 $K$ 中随机取出三个点,则这三个点两两之间的距离均不超过 2 的概率是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}=\sqrt{2}, a_{3}=\sqrt[3]{3}$, 则 $\frac{a_{1}+a_{2011}}{a_{7}+a_{2017}}$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+def$ 是偶数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$, 过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $K$, 过点 $A$ 作 $l$ 的平行线, 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N$, 则 $\triangle K M N$ 的面积为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+d e f$ 是奇数的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+\operatorname{de} f$ 是偶数的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在 $1,2,3, \cdots, 10$ 中随机选出一个数 $a$ ，在 $-1,-2,-3, \cdots,-10$ 中随机选取一个数 $b$ ，则 $a^{2}+b$ 被 3 整除的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 137
Problem: 设 $a, b, c$ 均大于 1, 满足 $\left\{\begin{array}{l}\log a+\log _{b} c=3 \\ \log b+\log _{a} c=4\end{array}\right.$ 求 $\log a \cdot \log c$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在 $1,2,3, \cdots, 10$ 中随机选出一个数 $a$ ，在 $-1,-2,-3, \cdots,-10$ 中随机选出一个数 $b$ ，则 $a^{2}+b$ 被 3 整除的概率为 $\qquad$ 。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 137
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{3}{5}, \cos B=\frac{5}{13}$, 那么 $\cos C$ 的值等于 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 81
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{9}=13, a_{13}=1$ ，则 $\log _{a_{1}} 13$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在平面直角坐标系中, 点 $A, B, C$ 在双曲线 $x y=1$ 上, 满足 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形。求 $\triangle A B C$ 的面积的最小值.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, B C=4$, 边 $A C$ 上的中线长为 $\sqrt{10}$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}$ 的值为 $\qquad$ $\cdot$
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
Problem: 在三角形 $A B C$ 中, $B C=4, C A=5, A B=6$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}=$ $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 107
Problem: 在凸四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{A D}$. 点 $P$ 是四边形 $A B C D$ 所在平面上一点, 满足
$$
\overrightarrow{P A}+2020 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+2020 \overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}
$$
设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $\triangle P A B$ 的面积, 则 $\frac{t}{s}=$ $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2358
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, B C=4$, 边 $A C$ 上的中线长为 $\sqrt{10}$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}$的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
Problem: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$ $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 231
Problem: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数, $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列, $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right.\right.$, 求 $x$ 大于 $y$ 的概率。  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 是两两不等的实数， $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意一个排列，若记 $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left(x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}, Y=$ $\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}$ ，则 $X>Y$ 的概率是
$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 11 个黑球， 9 个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 29
Problem: $f(u)=u^{2}+a u+b-2, u=x+\frac{1}{x}, f(u)$ 有零点, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 12 个人围坐在一张圆桌旁参加一种游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色.每个人都可以看见其他 11 人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色.现在主持人让这 12 个人顺次来猜自己头上帽子的颜色.这 12 个人事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能进行交流，他们的目标是使 12 个人同时回答正确的机会最大.假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 某房间的室温 $T$ （单位：摄氏度）与时间 $t$ （单位：小时）的函数关系为：
$T=a \sin t+b \cos t, t \in(0,+\infty)$ ，其中 $a, b$ 为正实数，如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，则 $a+b$ 的最大值是 $\qquad$.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系中, 点 $A, B, C$ 在双曲线 $x y=1$ 上, 满足 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形。求 $\triangle A B C$ 的面积的最小值。
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $\Omega$ 经过点 $(0,0),(2,4),(3,3)$, 则圆 $\Omega$ 上的点到原点的距离的最大值为 $\qquad$.
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 在凸四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{A D}$. 点 $P$ 是四边形所在平面上一点, 满足 $\overrightarrow{P A}+2020 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+2020 \overrightarrow{P D}=\mathbf{0}$. 设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $\triangle P A B$的面积，则 $\frac{t}{s}=$ $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2358
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n}=\frac{1}{4 a_{n-1}}+\frac{1}{n}(n \geq 2)$, 则 $a_{100}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 301
Problem: 定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：当 $x \in[0,1)$ 时， $f(x)=2^{x}-x$ ，且对任意实数 $x$ ，均有 $f(x)+f(x+1)=1$ 。记 $a=\log _{2} 3$ ，则表达式 $f(a)+f(2 a)+f(3 a)$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 33
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\Gamma_{1}$ 是以 $(2,1)$ 为圆心的单位圆， $\Gamma_{2}$ 是以 $(10,11)$为圆心的单位圆。过原点 $O$ 作一条直线 $l$, 使得 $l$ 与 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 各有两个交点，将 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长. 所有满足条件的直线 $l$ 的斜率之和为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 87
Problem: 设 $a, b$ 为实数, 函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$. 若存在三个实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 满足 $x_{1}+1 \leq x_{2} \leq x_{3}-1$, 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$, 求 $|a|+2|b|$ 的最小值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1$, 则 $a_{1}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5982
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 抛物线 $\Gamma: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过 $\Gamma$上一点 $P$ (异于 $O$ ) 作 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于点 $Q$ 。若 $|F P|=2,|F Q|=1$ ，则向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{O Q}$ 的数量积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$. 随机地抛郑该骰子三次 (各次抛掷结果相互独立), 所得的点数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 则事件 " $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ " 发生的概率为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2}=2 p x$ 与一条倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线相交于 $P(3,2), Q$ 两点, 则 $\triangle O P Q$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 是 $1,2, \cdots, 10$ 的一个随机排列, 则在 $a_{1} a_{2}, a_{2} a_{3}, \cdots, a_{9} a_{10}$ 这 9个数中既出现 9 又出现 12 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 97
Problem: 设 $m$ 为实数, 复数 $z_{1}=1+2 \mathrm{i}, z_{2}=m+3 \mathrm{i}$ (这里 i 为虚数单位), 若 $z_{1} \cdot \overline{z_{2}}$ 为纯虚数，则 $\left|z_{1}+z_{2}\right|$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 设 $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$, 若 $\tan (\alpha+\beta)=2, \tan (\alpha+2 \beta)=3$, 则 $\tan \alpha$ 的值为 $\qquad$. 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
Problem: 若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 及正整数 $m(m \geq 3)$ 满足: $a_{1}=1, a_{m}=2$, 且
$$
\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{m-1} a_{m}}=3
$$
则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 若无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项和为 1, 各项的绝对值之和为 2, 则首项 $a_{1}$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在 $1,2, \cdots, 10$ 中随机选出三个不同的数, 它们两两互素的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$ 。若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6076
Problem: 在平面直角坐标系中, $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为双曲线 $\Omega: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点,过 $F_{1}$ 的直线 $I$ 交 $\Omega$ 于两点 $P, Q$. 若 $\overrightarrow{F_{1} F_{2}} \cdot \overrightarrow{F_{1} P}=16$, 则 $\overrightarrow{F_{2} P} \cdot \overrightarrow{F_{2} Q}$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 40
Problem: 已知函数 $y=f(x)$ 的图像既关于点 $(1,1)$ 中心对称, 又关于直线 $x+y=0$轴对称。若 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)=\log _{2}(x+1)$, 则 $f\left(\log _{2} 10\right)$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 函数 $f(x)=\lg 2 \cdot \lg 5-\lg 2 x \cdot \lg 5 x$ 的最大值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 若平面上非零向量 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ 满足 $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}, \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}=2|\vec{\alpha}|, \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}=3|\vec{\beta}|$, 则 $|\vec{\gamma}|$ 的最小值为 $\qquad$.  原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 已知三棱柱 $\Omega: A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 9 条棱长均相等. 记底面 $A B C$ 所在平面为 $\alpha$. 若 $\Omega$ 的另外四个面 (即面 $A_{1} B_{1} C_{1}, A B B_{1} A_{1}, A C C_{1} A_{1}, B C C_{1} B_{1}$ )在 $\alpha$ 上投影的面积从小到大重排后依次为 $2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}$ ，求 $\Omega$ 的体积。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 21
Problem: 将一枚均匀的股子独立投郑三次, 所得的点数依次记为 $x, y, z$, 则事件 " $\mathrm{C}_{7}^{x}<\mathrm{C}_{7}^{y}<\mathrm{C}_{7}^{2}$ "发生的概率为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 28
Problem: 设 $P-A B C D$ 与 $Q-A B C D$ 为两个正四棱雉, 且 $\angle P A Q=90^{\circ}$, 点 $M$ 在线段 $A C$ 上, 且 $C M=3 A M$. 将异面直线 $P M, Q B$ 所成的角记为 $\theta$ ，则 $\cos \theta$ 的最大可能值为 $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 一个不均匀的骰子，掷出 $1,2,3,4,5,6$ 点的概率依次成等差数列。独立地先后郑该骰子两次，所得的点数分别记为 $a, b$ 。若事件 " $a+b=7$ " 发生的概率为 $\frac{1}{7}$ ，则事件 " $a=b$ "发生的概率为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 若 $P A \perp$ 底面 $A B C$, 且棱 $A B, B P, B C, C P$ 的长分别为 $1,2,3,4$ ，则该三棱雉的体积为 $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系中, 双曲线 $\Gamma: x^{2}-y^{2}=1$ 的右顶点为 $A$ 。将圆心在 $y$ 轴上，且与 $\Gamma$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为 "好圆"。若两个好圆外切于点 $P$ ，圆心距为 $d$ ，求 $\frac{d}{|P A|}$ 的所有可能的值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 一只青蛙在正方形 $A B C D$ 的四个顶点间跳跃, 每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的. 若青蛙第一次跳跃前位于顶点 $A$ ，则它第 6 次跳跃后恰好仍位于顶点 $A$ 的概率为
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 复数 $z=1+\sqrt{3} i(i$ 为虚数单位 $)$, 则 $z+2 \bar{z}+3|z|$ 的模为 $\qquad$
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 23
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知
$\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}$, 求 $\sin C$ 的值
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设 $x \neq y$, 且两数列 $x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, y$ 和 $b_{1}, x, b_{2}, b_{3}, y, b_{4}$ 均为等差数列, 那么 $\frac{b_{4}-b_{3}}{a_{2}-a_{1}}=$ $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, A D=1$, 在 $D C$ 边上（包含点 $D 、 C$ ）的动点 $P$ 与 $C B$延长线上（包含 $B$ ）的动点 $Q$ 满足 $|\overrightarrow{D P}|=|\overrightarrow{B Q}|$ ，则向量 $\overrightarrow{P A}$ 与向量 $\overrightarrow{P Q}$ 的数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P Q}$ 的最小值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 求最大的正实数 $\alpha$, 对于满足 $a+b+c \mid a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的不全相等的正整数 $a, b, c$, 都有方程  
$$  
(x+b)^{2}=(x+c)(x+a)  
$$  
在区间 $(0, \alpha)$ 内没有解。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数, $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列, $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right.\right.$, 求 x 大于 y 的概率.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 231
Problem: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 231
Problem: 已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 是两两不等的实数， $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意一个排列，若记 $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left(x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}, Y=$ $\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}$ ，则 $X>Y$ 的概率是$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 11 个黑球， 9 个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 29
Problem: $f(u)=u^{2}+a u+b-2, u=x+\frac{1}{x}, f(u)$ 有零点, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 如图 1，抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A 、 B$ 两点, 且 $|A B|=3 p$. 设点 $A 、 B$ 在 $l$ 上的射影分别为 $A^{\prime}$ 、 $B^{\prime}$ ，向四边形 $A A^{\prime} B^{\prime} B$ 内任投
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_10_21_d55e3db49793c5b8fe33g-1.jpg?height=446&width=414&top_left_y=1693&top_left_x=1300)
图 1
一点 $M$. 则点 $M$落在 $\triangle F A^{\prime} B^{\prime}$ 内的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2}, a 、 b 、 c$ 成等差数列. 则 $\cos B$ 的值为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 从 $1,2, \cdots, 10$ 这 10 个号码中任意抽取 3 个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是 $\qquad$。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 有 20 张卡片上分别写有数字 1,2, $\cdots, 20$, 将它们放入一个盒子内。有 4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组。现其中有两人抽到 $5 、 14$, 则此两人在同一组的概率等于 $\qquad$ （用最简分数作答).
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 58
Problem: 从一个正方体的八个顶点中取出三个. 则以这三个点为顶点构成直角三角形的概率是 $\qquad$。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 在正三棱锥 $P-A B C$ 中, 已知侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ 。则相邻两侧面所成角的余弦值为 $\qquad$.
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
Problem: 在一个圆上随机取三点, 则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为
$\qquad$.
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 正四面体的 4 个表面上分别写有数字 $1,2,3,4$, 将 4 个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的和能被 4 整除的概率是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知正四面体的四个表面上分别写有数字 $1 、 2 、 3 、 4$, 将四个这样的密度均匀的正四面体同时投郑于桌面上，与桌面接触的四个面上的四个数的和能被 4 整除的概率为
$\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且对任意实数 $x$, 均有 $2 f(x)+f\left(x^{2}-1\right)=1$, 则 $f(\sqrt{ } 2)$ 的值为 $\qquad$。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B=1$, $B C=C C_{1}=\sqrt{3}, \angle A B C=90^{\circ}, P$ 是平面 $A B C$ 上一动点. 则 $A_{1} P+\frac{1}{2} P C$ 的最小值是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 从 $1,2,3 、 4 、 5$ 组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数 $\overline{a b c d e}$ ，满足条件 " $a<b>c<d>e$ "的概率是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 已知实数 $x 、 y$ 满足 $x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$. 则 $x \sqrt{2+y^{2}}$ 的最大值是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 已知点 $P(x, y)$ 满足 $|x|+|y| \leqslant 2$. 则到 $x$ 轴的距离 $d \leqslant 1$ 的点 $P$ 的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: Evaluate the product
$$
\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left(n^{3}+3 n\right)^{2}}{n^{6}-64}
$$
Hint: Telescoping product.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 79
Problem: 已知函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)$, 当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$, 试求 $a$ 的最大值。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 $1,2, \cdots, 6$ ，每次投郑这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字之和为这次投掷的点数。那么投郑 3 次所得 3 个点数之积能被 14 整除的概率是 $\qquad$.(用最简分数表示)
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0), A, B$ 是抛物线上不同于顶点 $O$ 的两个动点. 记 $\angle A O B=\theta\left(\theta \neq 90^{\circ}\right)$. 若 $S_{\triangle A O B}=m \tan \theta$, 试求当 $m$ 取得最小值时 $\tan \theta$ 的最大值。
原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 0
Problem: 如图, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=4$, $B C=C C_{1}=2 \sqrt{2}, M$ 是 $B C_{1}$ 的中点, $N$ 是 $M C_{1}$的中点. 若异面直线 $A N$ 与 $C M$ 所成的角为 $\theta$, 距离为 $d$ ，则 $d \sin \theta=$ $\qquad$ 。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线交栯圆于 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两点. 若 $\triangle A F_{1} B$ 内切圆的面积为 $\pi$ ，且 $\left|y_{1}-y_{2}\right|=4$ ，则椭圆的离心率为___原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 也是等差数列；
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设 $a, b, c$ 均大于 1, 满足 $\left\{\begin{array}{l}\lg a+\log _{b} c=3, \\ \lg b+\log _{a} c=4.\end{array}\right.$ 求 $\lg a \cdot \lg c$ 的最大值.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 求具有下述性质的最小正数 $c$ ：对任意整数 $n \geq 4$,以及集合 $A \subseteq\{1,2, \cdots, n\}$, 若 $|A|>c n$, 则存在函数 $f: A \rightarrow\{1,-1\}$, 满足
$$
\left|\sum_{a \in A} f(a) \cdot a\right| \leq 1
$$
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设 $x \neq y$, 且两数列 $x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, y$ 和 $b_{1}, x, b_{2}, b_{3}, y, b_{4}$ 均为等差数列, 那么 $\frac{b_{4}-b_{3}}{a_{2}-a_{1}}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$. 随机地抛掷该骰子三次 (各次抛掷结果相互独立), 所得的点数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 则事件 " $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ " 发生的概率为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 求具有下述性质的最小正数 $c$ ：对任意整数 $n \geq 4$,以及集合 $A \subseteq\{1,2, \cdots, n\}$, 若 $|A|>c n$, 则存在函数 $f: A \rightarrow\{1,-1\}$, 满足  
$$  
\left|\sum_{a \in A} f(a) \cdot a\right| \leq 1.  
$$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5