ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 设函数 $f(x)$ 满足: 对任意非零实数 $x$, 均有 $f(x)=f(1) \cdot x+\frac{f(2)}{x}-1$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为原始答案为\sqrt{3}-1的形式，请给出m + n的值。
Answer: 4
Problem: 设函数 $f(x)=\cos x+\log _{2} x(x>0)$, 若正实数 $a$ 满足 $f(a)=f(2 a)$, 则 $f(2 a)-f(4 a)$ 的值为原始答案中的两个可能整数之和。请给出该和的值。
Answer: -4
Problem: 已知复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足: $$ z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{n+1}=\overline{z_{n}}\left(1+z_{n} \mathrm{i}\right)(n=1,2, \cdots), $$ 其中 i 为虚数单位. 求 $z_{2021}$ 的值. 原始答案的形式为 $z_{2021}=\frac{\sqrt{a}}{2}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2^{2^{d}}}\right) \mathrm{i}$ ，求$a+b+c+d$的值。
Answer: 2025
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, B-C=\frac{2 \pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 \qquad. 该答案的形式为 \frac{m\sqrt{3}}{n}, 请给出m + n的值。
Answer: 17
Problem: 平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 若 $|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 依次成等差数列, 求 $|\boldsymbol{a}|:|\boldsymbol{b}|:|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$. 请给出比例的和。
Answer: 15
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=(n+1) a_{n}-n$, 请给出通项公式$a_{n}$的值。当$n=2$时，答案应为 $m+n$ 的值。
Answer: 3
Problem: 已知 $\alpha, \beta \geqslant 0, \alpha+\beta \leqslant 2 \pi$, 则 $\sin \alpha+2 \cos \beta$ 的最小值为。原始答案为$-\frac{m \sqrt{n}}{q}$的形式，请给出m+n+q的值。
Answer: 12
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, \cos B=2 \sin C$, 则 $B C$ 的长为 \frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 18
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$ 。令$$b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$$若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 3 的等比数列, 求 $a_{100}$ 的值。原始答案为$\frac{3^{t}+m}{n}$的格式，请给出$m + n+t$的值。
Answer: 123
Problem: 当 $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时, $y=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x$ 的取值范围是 $[a, \frac{c}{b}]$。请给出$a + b+c$的值。
Answer: 6
Problem: 设实数 $k, l, m$ 满足：函数 $y=(x+1)\left(x^{2}+k x+l\right)$ 的图像有对称中心 $(1,0)$ ，且与函数 $y=x^{3}+m$ 的图像有公共点, 则 $k+l+m$ 的取值范围是$\left(-\infty, \frac{a}{b}\right]$，求$a+b$的值。
Answer: 37
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $x$ 轴正半轴上的两个动点 $A 、 B$ 满足 $|O B|-|O A|=2022$ ，抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 上一点 $P$ 满足 $P A \perp A B$ ，过点 $P$ 作 $\Gamma$ 的切线 $l$ ，记点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ 。 $d$ 的最小值为$a\sqrt{b}$, 当 $d$ 取到最小值时数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的值$c$。请给出$a+b+c$的值。
Answer: 5050
Problem: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=|x-2|+a$ (其中 $a$ 为实数). 若 $f(x)$ 为奇函数, 则不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集为$[a,b] \cup[c,+\infty)$，求$a+b+c$的值。
Answer: 1
Problem: 设正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 同时具有以下两个性质：\n（i）对任意正整数 $k$ ，均有 $a_{2 k-1}+a_{2 k}=2^{k}$ ；\n(ii) 对任意正整数 $m$, 均存在正整数 $l \leq m$, 使得 $a_{m+1}=\sum_{i=l}^{m} a_{i}$。 $a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots+a_{2022}$ 的最大值为$\frac{2^{m}-n}{t}$，求$m + n+t$的值。
Answer: 1021
Problem: 若 $\triangle A B C$ 满足 $\frac{\angle A}{3}=\frac{\angle B}{4}=\frac{\angle C}{5}$, 则 $\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|B C|^{2}}$ 的值为$\frac{a+\sqrt{b}}{c}$，求$a+b+c$的值。
Answer: 10
Problem: 已知四面体 $A B C D$ 满足 $A B \perp B C, B C \perp C D, A B=B C=C D=2 \sqrt{3}$, 且该四面体的体积为 $6$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角的大小可能为$x^{\circ}$ 或 $y^{\circ}$，求$x+y$的值
Answer: 105
Problem: 给定实数 $r$ ，甲、乙两人玩如下的游戏。黑板上写着一个含有三个绝对值的算式：$$ S=|\square-\square|+|\square-\square|+|\square-\square|, $$ 其中 6 个空格 "口"中尚未填数。每一回合，甲选取区间 $[0,1]$ 中的一个实数（不同回合中可以选相同的数），乙将该数填在某个空格之中。经过六个回合之后所有 6 个空格中均填了数， $S$ 的值也随之确定。若 $S \geq r$ ，则甲胜，否则乙胜。求使甲有获胜策略的最大 $r$ 值的 $m + n$ ，其中 $r$ 以 $\frac{m}{n}$ 的形式给出。
Answer: 23
Problem: 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f(x)=|\lg x|$ 在 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$, 函数 $g(x)=\sin \frac{\pi x}{2}$ 在 $[0, a]$ 上的最大值为 $M_{a}$. 若 $M_{a}-m_{a}=\frac{1}{2}$,  $a$ 的值可能为$\frac{a}{b}$ 或 $\sqrt{c}$，请给出 $a + b + c$ 的值。
Answer: 14
Problem: 已知 $\triangle A B C$ 及其边 $B C$ 上的一点 $D$ 满足： $A B=2 B D$ ， $A C=3 C D$ ，且以 $A 、 D$ 为焦点可以作一个椭圆 $\Gamma$ 同时经过 $B 、 C$ 两点，求 $\Gamma$ 的离心率。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 28
Problem: 若正数 $a, b$ 满足 $\log _{2} a+\log _{4} b=8, \log _{4} a+\log _{8} b=2$, 则 $\log _{8} a+\log _{2} b$ 的值为一个分数形式。请给出分子和分母的和。
Answer: 55
Problem: 设 $a$ 为实数. 若存在实数 $t$, 使得 $\frac{a-\mathrm{i}}{t-\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ 为实数 ( i 为虚数单位), 则$a$ 的最大值为$-\frac{m}{n}$，求$m+n$的值。
Answer: 7
Problem: 给定整数 $n(n \geq 2)$. 对于一个 $2 n$ 元有序数组  
$$  
T=\left(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \cdots, a_{n}, b_{n}\right),  
$$  
若 $T$ 的每个分量均为 0 或 1 ，且对任意 $p, q(1 \leq p<q \leq n)$ ，均有 $\left(a_{p}, b_{p}, b_{q}\right) \neq(1,0,1)$且 $\left(a_{q}, b_{q}, a_{p}\right) \neq(1,0,0)$, 则称 $T$ 为 "有趣数组"。求出有趣数组的个数的表达式，并计算当$n=3$时的个数。
Answer: 33
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$ 。若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值。原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 6076
Problem: 对于和为 1 的九个非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$, 令  
$$  
\begin{aligned}  
& S=\min \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \min \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \min \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \min \left\{a_{9}, a_{1}\right\}, \\  
& T=\max \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \max \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \max \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \max \left\{a_{9}, a_{1}\right\},  
\end{aligned}  
$$  
这里, $\min \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较小者, $\max \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较大者.  
记 $S$ 的最大可能值为 $S_{0}$ 。 当 $S=S_{0}$ 时,  $T$ 最大值与最小值之和为$\frac{b}{a}$，求$a+b$的值。
Answer: 319
Problem: 若四棱雉 $P-A B C D$ 的棱 $A B, B C$ 的长均为 $\sqrt{2}$, 其他各条棱长均为 1, 则该四棱雉的体积为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的形式，请给出$m + n$的值。
Answer: 8
Problem: 若复数 $z$ 满足: $\frac{z-3 i}{z+i}$ 为负实数 ( i 为虚数单位), $\frac{z-3}{z+1}$ 为纯虚数, 则 $z$ 的值为$\sqrt{m} \mathrm{i}$ 的形式，请给出 $m$ 的值。
Answer: 3
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin A=\cos B=\tan C$,  $\cos ^{3} A+\cos ^{2} A-\cos A$ 的值为$\frac{n}{m}$，求$m+n$的值。
Answer: 3
Problem: 设函数 $f(x)=\frac{x^{2}+x+16}{x}(2 \leq x \leq a)$, 其中实数 $a>2$. 若 $f(x)$ 的值域为 $[9,11]$, 请给出 $a$ 的取值范围端点的和。
Answer: 12
Problem: 设正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 满足: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公差为 $b_{1}$ 的等差数列, $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 成公比为 $a_{1}$ 的等比数列, 且 $a_{3}=b_{3}$. 求 $a_{3}$ 的最小值, 并确定当 $a_{3}$ 取到最小值时 $a_{2} b_{2}$ 的值。原始答案为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$格式，请给出$m + n + k$的值。
Answer: 29
Problem: 在平面直角坐标系中, $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的两个焦点, $\Gamma$ 上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=1$. 求点 $P$ 到 $\Gamma$ 的两条渐近线的距离之和。原始答案为 $\frac{m \sqrt{n}}{k}$ 格式，请给出 $m + n + k$ 的值。
Answer: 7
Problem: 若 $a, b$ 为实数, $a<b$, 函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值与最小值之差为 1,  $b-a$ 的最大值与最小值之和为$\frac{b}{a}\pi$，求$a+b$的值。
Answer: 7
Problem: 若正四棱雉 $P-A B C D$ 的各条棱长均相等, $M$ 为棱 $A B$ 的中点, 则异面直线 $B P$ 与 $C M$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出m + n的值。
Answer: 15
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 且 $\operatorname{Re} \frac{z+1}{\bar{z}+1}=\frac{1}{3}$, 则 $\operatorname{Re} \frac{Z}{\bar{z}}$ 的值为 \qquad. 原始答案为$-\frac{m}{n}$的形式，请给出$m + n$的绝对值。
Answer: 16
Problem: 设 $a=1+10^{-4}$ 。在 $2023 \times 2023$ 的方格表的每个小方格中填入区间 $[1, a]$ 中的一个实数。设第 $i$ 行的总和为 $x_{i}$ ，第 $i$ 列的总和为 $y_{i}$ ， $1 \leq i \leq 2023$ 。 用$a$表示$\frac{y_{1} y_{2} \cdots y_{2023}}{x_{1} x_{2} \cdots x_{2023}}$ 的最大值为$\frac{(m a+n)^{p}}{p^{p} a^{m}}$，求$m+n+p$的值。
Answer: 4046
Problem: 设 $a, b, c$ 为正数， $a<b$ 。若 $a, b$ 为一元二次方程 $a x^{2}-b x+c=0$ 的两个根，且 $a, b, c$ 是一个三角形的三边长，则 $a+b-c$ 的取值范围是$\left(\frac{m}{n}, \sqrt{p}-q\right)$，求$m+n+p+q$的值。
Answer: 21
Problem: 方程 $\sin x=\cos 2 x$ 的最小的 $20$ 个正实数解之和为$m\pi$, 请给出$m$的值。
Answer: 130
Problem: 若不小于 1 的实数 $t$ ：对任意 $a, b \in[-1, t]$, 总存在 $c, d \in[-1, t]$, 使得 $(a+c)(b+d)=1$，则实数 $t$ 满足$\frac{m}{n} \leq t \leq p$，求$m+n+p$的值。
Answer: 7
Problem: 将方程 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的所有正实数解从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots$ ， $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{20}$ 的值为 $m\pi$ 的形式，请给出 $m$ 的值。
Answer: 205
Problem: 设 $m, n$ 是给定的整数， $m \geq n \geq 3$ 。求具有下述性质的最小正整数 $k$ ：若将 $1,2, \cdots, k$ 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 $m$ 个红色的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ （允许相同），满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m-1}<x_{m}$ ，或者存在 $n$ 个蓝色的数 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ （允许相同），满足 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}<y_{n}$ 。请给出 $m=5,n=4$时$k$ 的值。
Answer: 17
Problem: 设 $n$ 为正整数. 从 $1,2, \cdots, n$ 中随机选出一个数 $a$, 若事件 " $2<\sqrt{a} \leq 4$ "发生的概率为 $\frac{2}{3}$ ，请给出 $n$ 的所有可能的值之和。
Answer: 30
Problem: 求出所有满足下面要求的不小于 -1 的实数 $t$ ：对任意 $a \in[-2, t]$, 总存在 $b, c \in[-2, t]$, 使得 $a b+c=1$. 请给出满足条件的最小整数。
Answer: -1
Problem: 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\Omega$ 的焦点, 在 $\Omega$ 上取一点 $P$ (异于长轴端点), 记 $O$ 为 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的外心, 若 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{F_{1} F_{2}}=2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$, 则 $\Omega$ 的离心率的最小值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 10
Problem: 设复数 $z, w$ 满足 $z+w=2$, 求 $S=\left|z^{2}-2 w\right|+\left|w^{2}-2 z\right|$的最小可能值。原始答案为$a\sqrt{b}-c$的格式，请给出$a+b+c$的值。
Answer: 29
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}$,求 $\cos C$ 的值. 该答案的原始形式为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\)，请给出 m + n 的值。
Answer: 11
Problem: 四面体 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, B C \perp C D$, 且 $A B, B C, C D, D A$ 的长分别为 $1,2,3,4$,则四面体 $A B C D$ 的体积为。原始答案为\frac{k\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n+k的值。
Answer: 7
Problem: 设 $S=\{1,2,3, \cdots, 100\}$. 求最大的整数 $k$ ，使得 $S$ 有 $k$ 个互不相同的非空子集，具有性质：对这 $k$ 个子集中任意两个不同子集，若它们的交集非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。已知k形如m^{n}+k，求m+n+k的值
Answer: 100
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\frac{\pi}{6}, a_{n+1}=\arctan \left(\sec a_{n}\right)\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 。求正整数 $m$ ，使得 $$ \sin a_{1} \cdot \sin a_{2} \cdots \sin a_{m}=\frac{1}{100} $$ 请给出正整数 $m$ 的值。
Answer: 3333
Problem: Given that the line $y=kx+b$ intersects the curve $y=x^{3}-x$ at three distinct points $A, B, C$, and that $|AB|=|BC|=2$, find the integer value of $k$.
Answer: 1
Problem: 在椭圆 $\Omega$ 中 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, 若 $\angle F_{1} B F_{2}=\angle F_{1} A B$ ，则 $\Omega$ 的离心率为。原始答案为 \frac{\sqrt{m} - n}{k} 的格式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 6
Problem: 方程 $\cos \frac{X}{4}=\cos x$ 的通解是 $\qquad$ ，在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有多少个？请给出不相同解的个数。
Answer: 20
Problem: 方程 $\cos \frac{x}{4}=\cos x$ 的通解是 $\qquad$, 在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有多少个？请给出在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解的个数加1的值。
Answer: 21
Problem: 如图， $A B$ 是单位圆的直径，在 $A B$ 上任取一点 $D$ ，作 $D C \perp A B$, 交圆周于 $C$ 。若点 $D$ 的坐标为 $(x, 0)$,则当 $x \in$ $\qquad$时，线段 $A D 、 B D 、 C D$ 可以构成锐角三角形。请提供区间的两个端点之和。
Answer: 0
Problem: 如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 中点, $F$ 在 $A A_{1}$ 上, 且 $A_{1} F: F A=1: 2$. 求平面 $B_{1} E F$与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。原始答案为$\mathrm{arctan}\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出m + n的值。
Answer: 40
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、$ $B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度为等于 $\qquad$ 。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 9
Problem: 如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 在 $A A_{1}$ 上，且 $A_{1} F: F A=1: 2$, 求平面 $B_{1} E F$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。已知原始答案为\( \arctan \frac{\sqrt{m}}{n} \)的格式，请给出m + n的值。
Answer: 40
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、 B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度数为 \frac{m\pi}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 9
Problem: 设 $k$ 是大于 1 的整数， $a$ 是 $x^{2}-k x+1=0$ 的根，对于大于 10 的任意自然数 $n, a^{2^{n}}+a^{-2^{n}}$ 的个位数字总是 7 ，则 $k$ 的个位数字是哪些整数？请给出这些整数的和。
Answer: 15
Problem: 长为 $\sqrt{2}$ ，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积。原始答案为 \frac{m}{n} \sqrt{k \pi} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 98
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\angle A=\alpha, C D 、 B E$ 分别是 $A B 、 A C$ 上的高, 则 $\frac{D E}{B C}=$ $\qquad$.#*请给出\alpha=\frac{\pi}{2}时的答案
Answer: 0
Problem: $(\sqrt{x}+2)^{2 n+1}$ 的展开式中, $x$ 的整数次幂的各项系数之和为 $\qquad$.请给出
n=2时的结果
Answer: 122
Problem: 长为 $\sqrt{2}$, 宽为 1 的矩形, 以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周, 求得到的旋转体体积的$\frac{24\sqrt{3}}{ \pi}$为多少。
Answer: 23
Problem: $(\sqrt{x}+2)^3$ 的展开式中， $x$ 的整数次幂的各项系数之和为
Answer: 14
Problem: 已知正三棱雉 $S-A B C$ 的高 $S O=3$ ，底面边长为 6 。过 $A$ 点向它所对的侧面 $S B C$ 作垂线，垂足为 $D$ ，在 $A D$ 上取一点 $P$ ，使 $\frac{A P}{P D}=8$ ，求经过 $P$ 点且平行于底面的截面的面积的平方是多少。
Answer: 3
Problem: 设 $R$ 为平面上以 $A(4,1) 、 B(-1,-6) 、 C(-3,2)$ 三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界). 试求当 $(x, y)$ 在 $R$ 上变动时，函数 $4 x-3 y$ 的极大值和极小值之差。
Answer: -4
Problem: 把半径为 1 的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度与$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$的差。
Answer: 2
Problem: 解方程组 $\begin{cases}x-y+z=1, & \text { (1) } \\ y-z+u=2, & \text { (2) } \\ z-u+v=3, & \text { (3) } \\ u-v+x=4, & \text { (4) } \\ v-x+y=5, & \text { (5) }\end{cases}$ 请给出 x, y, z, u, v 的和。
Answer: 17
Problem: 解方程: $5 x^{2}+x-x \sqrt{5 x^{2}-1}-2=0$.的两根之和
Answer: 0
Problem: 已知复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足 $z_{1}=1, z_{n+1}=\overline{z_{n}}+1+n \mathrm{i}$ ，其中 $n=1,2, \cdots$ ，其中 i 是虚数单位, $\overline{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数, 则 $z_{2015}$ 的值中实数部分为 $\qquad$。
Answer: 2015
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个有理数, 使得
$$
\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leqslant i<j \leqslant 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}
$$
求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的所有可能值之和。
Answer: 0
Problem: 已知复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足 $z_{1}=1, z_{n+1}=\overline{z_{n}}+1+n \mathrm{i}$ ，其中 $n=1,2, 3\cdots$ ，其中 i 是虚数单位, $\overline{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数, 则 $z_{2015}$ 的实部值为 $\qquad$。
Answer: 2015
Problem: 求最大的实数 $\lambda$的八倍， 使得不等式
$$
\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{3}\left(x_{k}-x_{k-1}\right) \geq \frac{1}{4}+\frac{\lambda}{n}
$$
对任意正整数 n 以及任意实数 $0=x_{0} \leq x_{1} \leq x_{2} \leq \cdots \leq x_{n}=1$ 均成立.
Answer: 3
Problem: In how many ways can the integers from 1 to $5$ be ordered subject to the condition that, except for the first integer on the left, every integer differs by 1 from some integer to the left of it?
Answer: 16
Problem: A game of solitaire is played as follows. After each play, according to the outcome, the player receives either $a$ or $b$ points ( $a$ and $b$ are positive integers with $a$ greater than $b$ ), and his score accumulates from play to play. It has been noticed that there are thirty-five non-attainable scores and that one of these is 58. Find the sum of $a$ and $b$.
Answer: 19
Problem: Evaluate$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\left[\frac{2n}{k}\right]-2\left[\frac{n}{k}\right]-\ln4\right)$$
and express your answer in the form $\log a-b$, with $a$ and $b$ positive integers.  
Here $[x]$ is defined to be the integer such that $[x]\leqq x<[x]+1$ and $\log x$ is the logarithm of $x$ to base $e$.
Answer: -1
Problem: Suppose that $G$ is a group generated by elements $A$ and $B$, that is, every element of $G$ can be written as a finite "word" $A^{n_1}B^{n_2}A^{n_3}\cdots B^{n_k}$, where $n_1,\ldots,n_k$ are any integers, and $A^0=B^0=1$ as usual. Also, suppose that $A^{4}=B^{7}=ABA^{-1}B=1,A^{2}\neq1$, and $B\neq1$.
 How many elements of $G$ are of the form $C^{2}$ with $C$ in $G$?
Answer: 8
Problem: A particle moving on a straight line starts from rest and attains a velocity $2$ after traversing a distance $2$. If the motion is such that the acceleration was never increasing, find the maximum time for the traverse.
Answer: 2
Problem: Evaluate
$$
\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}(x-k)^{n}
$$，when $n=2$
Answer: 2
Problem: Let $p$ be a prime number. Let $J$ be the set of all $2 \times 2$ matrices $\binom{c b}{c d}$ whose entries are chosen from $\{0,1,2, \cdots, p-1\}$ and satisfy the conditions $a+d \equiv 1(\bmod p), a d-b c \equiv 0(\bmod p)$. Determine how many members $J$ has. Please provide the number of members when $p=2$.
Answer: 6
Problem: For a set with $n$ elements, how many subsets are there whose cardinality (the number of elements in the subset) is respectively $\equiv 0(\bmod 3), \equiv 1(\bmod 3), \equiv 2(\bmod 3)$? In other words, calculate $$ s_{(, n}=\sum_{k-1(\text { mod })}\binom{n}{k} \quad \text { for } i=0.1,2 $$ Your result should be strong enough to permit direct evaluation of the numbers $s_{\text {th }}$ and to show clearly the relationship of $s_{0, n}$ and $s_{1, n}$ and $s_{2, n}$ to each other for all positive integers $n$. In particular, show the relationships among these three sums for $n=1000$. The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 667
Problem: The lengths of the hour hand and the minute hand of an accurate clock are 3 and 4 respectively. Find the square of the distance between the tips of the hour hand and the minute hand when the rate of increase of this distance is the fastest.
Answer: 7
Problem: Find the area of a convex octagon that is inscribed in a circle and has four consecutive sides of length 3 units and the remaining four sides of length 2 units. Give the answer in the form $r+s\sqrt{t}$ with $r$, $s$, and $t$ positive integers，writing r.
Answer: 13
Problem: Let $v$ be a vertex (corner) of a cube $C$ with edges of length 4. Let $S$ be the largest sphere that can be inscribed in $C$. Let $R$ be the region consisting of all points $p$ between $S$ and $C$ such that $p$ is closer to $v$ than to any other vertex of the cube. Find the volume of $R+\frac{4\pi}{3}$.
Answer: 8
Problem: Find the value of \(3(A + B)\) where \(A\) and \(B\) are constants such that \(f(x)\) is a solution to the differential equation.
Answer: 4
Problem: Let $P$ be a polynomial, with real coefficients, in three variables and $F$ be a function of two variables such that  
$P(u x, u y, u z)=u^{2} F(y-x, z-x)$  for all real $x, y, z, u$,

and such that $P(1,0,0)=4, P(0,1,0)=5$, and $P(0,0,1)=6$. Also let $A, B, C$ be complex numbers with $P(A, B, C)=0$ and $|B-A|=10$. Find $\frac{\sqrt{30}}{6}|C-A|$.
Answer: 3
Problem: For each positive integer $n$, let $a(n)$ be the number of zeros in the base $3$ representation of $n$. For which positive real numbers $x$ does the series $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{a(n)}}{n^{3}} $$ converge? Please provide the sum of the bounds of the interval where x satisfies the condition.
Answer: 25
Problem: Develop necessary and sufficient conditions which ensure that $r_{1},r_{2},r_{3}$ and $r_{1}{}^{2},r_{2}{}^{2}, r_{3}{}^{2}$ are simultaneously roots of the equation $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$.How many possible situations are there in total?
Answer: 8
Problem: In a solid sphere of radius $R$ the density $\rho$ is a function of $r$, the distance from the center of the sphere. If the magnitude of the gravitational force of attraction due to the sphere at any point inside the sphere is $k r^{2}$, where $k$ is a constant, find $\rho$ as a function of $r$. Find also the magnitude of the force of attraction at a point outside the sphere at a distance $r$ from the center. (Assume that the magnitude of the force of attraction at a point $P$ due to a thin spherical shell is zero if $P$ is inside the shell, and is $m / r^{2}$ if $P$ is outside the shell, $m$ being the mass of the shell, and $r$ the distance of $P$ from the center.)The answer can be written as $\frac{k R^{m}}{r^{n}}$ for $r > R$. Find the value of $m + n$.
Answer: 6
Problem: Let $\min (x, y)$ denote the smaller of the numbers $x$ and $y$. For what $\lambda$'s does the equation  
$$\int_{0}^{1} \min (x, y) f(y) d y=\lambda f(x)$$  
have continuous solutions which do not vanish identically in ( 0,1$)$? The largest $\lambda$ can be expressed in the form of $\frac{m}{n\pi^{2}}$. Find the value of $m + n$.
Answer: 5
Problem: Find the equations of the two straight lines each of which cuts all the four straight lines  
$x=1, y=0 ; \quad y=1, z=0 ; \quad z=1, x=0 ; \quad x=y=-6 z$.
If \(L_{1}\) is given by
$$y = a_{1}x + b_{1} = c_{1}z + d_{1}$$
and \(L_{2}\) is given by
$$y = a_{2}x + b_{2} = c_{2}z + d_{2}$$
Find the expression of \(a_{1} + b_{1} + c_{1}z + d_{1} + a_{2} + b_{2} + c_{2}z + d_{2}\).
Answer: 1
Problem: In assigning dormitory rooms, a college gives preference to pairs of students in this order: $$AA, AB, AC, BB, BC, AD, CC, BD, CD, DD$$ in which $AA$ means two seniors, $AB$ means a senior and a junior, etc. Determine numerical values to assign to $A, B, C, D$ so that the set of numbers $A+A, A+B, A+C, B+B$, etc., corresponding to the order above will be in descending magnitude. Find the general solution and the solution in least positive integers. Please provide the sum of A, B, C, and D in the solution with the least positive integers.
Answer: 23
Problem: Given the parabola $y^{2}=2 m x$, what is the length of the shortest chord that is normal to the curve at one end?Write down the value when \(m = \sqrt{3}\).
Answer: 9
Problem: Find the equation of the parabola which touches the $x$-axis at the point $(1,0)$ and the $y$-axis at the point $(0,2)$. Find the coordinates of its vertex.If the coordinates of the vertex are $(\frac{a}{b},\frac{c}{d})$, find the value of $a + b + c + d$.
Answer: 68
Problem: A particle moves on a straight line, the only force acting on it being a resistance proportional to the velocity. If it started with a velocity of $1,000 \mathrm{ft}$. per sec. and had a velocity of 900 ft. per sec. when it had travelled $1,200 \mathrm{ft}$., calculate to the nearest hundredth of a second the time it took to travel this distance.The answer is written in the form of \(a\times 10^{-2}\). Find the value of \(a\).
Answer: 126
Problem: Find the shortest distance between the plane $A x+B y+C z+1=0$ and the ellipsoid $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=1$. (For brevity, let
$$
h=1 / \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \text { and } m=\sqrt{a^{2} A^{2}+b^{2} B^{2}+c^{2} C^{2}} \text {.) }
$$
State algebraically the condition that the plane shall lie outside the ellipsoid.Write down the values when \(m\geqslant1\).
Answer: 0
Problem: Let \alpha and \beta be given positive real numbers, with \alpha<\beta. If two points are selected at random from a straight line segment of length \beta, what is the probability that the distance between them is at least \alpha? Please provide the value of the answer in the form simplest fraction by assuming \alpha = 1 and \beta = 2, and then giving the sum of the numerator and denominator.
Answer: 5
Problem: 若不等式 $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant k \sqrt{5 x+y}$ 对任意的正实数 $x 、 y$ 都成立, 则实数 $k$ 的最小值为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的格式，请给出$m + n$的值。
Answer: 35
Problem: 已知 a 、 b 、 c 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边长， $a=2$ ，且 $(b+2) \sin \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{A-B}{2}=c \cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B-C}{2}$. 若 D 是 B C 的中点,求 A D 长的最小值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 6
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 则 $\left|z^{3}+z^{2}-5 z+3\right|$ 的最大值为 ? 原始答案为 $\frac{m\sqrt{3}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 155
Problem: 设 $x_{1}=3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+14}-\sqrt{x_{n}+2}\left(n \in N^{*}\right)$, 求当$n=100$时$\left[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$ 的值。
Answer: 200
Problem: Find all positive integers that are within $250$ of exactly $15$ perfect squares. Please provide the sum of the endpoints of the intervals that contain these integers.
Answer: 1002
Problem: For which real numbers $c$ is there a straight line that intersects the curve  
$$  
y=x^{4}+9 x^{3}+c x^{2}+9 x+4  
$$  
in four distinct points? The original answer is in the format $c < \frac{m}{n}$. Please provide the value of $m + n$.
Answer: 251
Problem: Let $I_{m} = \int_{0}^{2 \pi} \cos (x) \cos (2 x) \cdots \cos (m x) d x$. For which integers $m, 1 \leqslant m \leqslant 10$, is $I_{m} \neq 0$? Please provide the sum of all such integers $m$.
Answer: 22
Problem: Define a polynomial $f_{n}(x)$, where $n \geqslant 0$ is $f_{0}(x)=1$, $n \geqslant 1$ is $f_{n}(0)=0$, and $n \geqslant 0$ is
$$
\frac{d}{d x}\left(f_{n+1}(x)\right)=(n+1) f_{n}(x+1)
$$
. Clearly decompose $f_{100}(1)$ into powers of different prime numbers, $a^{b}$, and find the value of $a+b$.
Answer: 200
Problem: Let $C$ be the unit circle $x^{2}+y^{2}=1$. A point $p$ is chosen randomly on the circumference $C$ and another point $q$ is chosen randomly from the interior of $C$ (these points are chosen independently and uniformly over their domains). Let $R$ be the rectangle with sides parallel to the $x$-and $y$-axes with diagonal $p q$. What is the probability that no point of $R$ lies outside of $C$? The original answer is in $\frac{n}{\pi^m}$format, please give the value of $m + n$.
Answer: 6
Problem: Evaluate $\int_{0}^{\infty} t^{-1 / 2} e^{-1985\left(t+t^{-1}\right)} d t$. You may assume that $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}$. The original answer is in the form $\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{m}} e^{-2 \times m}$ . Please provide the value of $m + 1$.
Answer: 1986