ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: Find the greatest five-digit number A in which the fourth digit is greater than the fifth; the third greater than the sum of the fourth and fifth; the second greater than the sum of the third, fourth and fifth; and the first greater than the sum of the other digits.
Answer: 95210
Problem: Find all positive integers x satisfying the following condition: the product of the digits of x is equal to $44x − 86 868$ and their sum is equal to a cube of a positive integer.
Answer: 1989
Problem: The streets of a city are represented on a map as straight lines that divide a square into 25 smaller squares of side 1. (The borderline of the city is considered to be the union of 4 streets.) There is a snow plow at the bottom right corner of the bottom left square. Find the length of the shortest path for the plow to pass through all streets and come back to its starting point.
Answer: 60
Problem: Let $M = m(n+ 9)(m+ 2n ^2 + 3)$. What is the least number of distinct prime divisors the number M can have?
Answer: 2
Problem: To guard a military installation around the clock, a day shift and a night shift are required. A sentry guard may take either a day, or a night shift, or work around the clock. In these cases the guard is given a leave of absence of not less than $1, 1.5$ or 2.5 full days, respectively. What is the least number of guards necessary to ensure the security of the installation?
Answer: 4
Problem: A Parliament of $2000 MP$s decided to ratify the state budget of 200 expenditure items. Each $MP$ prepared a draft budget with what (s)he thinks the maximum possible allocation for each item so that the total expenditure does not exceed a given ceiling, S. For each item, the Parliament approves the maximum expenditure approved by not less than k $MP$s. What is the least value of k to ensure that the approved total does not exceed S?
Answer: 1991
Problem: In a $9 × 9$ square table, 9 cells are marked: those at the intersection of the 2-nd, 5-th and 8-th rows with the 2-nd, 5-th and 8-th column. In how many ways can one get from the lower left cell to the upper right one moving only upwards and to the right without entering marked cells?
Answer: 678
Problem: What is the least number of weights in the set that can be divided into either $4, 5$, or 6 piles of equal mass?
Answer: 11
Problem: Let $x_1 = 4, x_2 = 6$ and define $x_n$ for $n ≥ 3$ to be the least non-prime greater than $2x_{n−1} − x_{n−2}.$ Find $x_{1000}$.
Answer: 501500
Problem: To every pair of numbers $x, y$ the Rule assigns a number $x ∗ y$. Find $1993 ∗ 1935$ if it is known that
$x ∗ x = 0,$ and $x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) + z$ for any $x, y, z.$
Answer: 58
Problem: A student did not notice a multiplication sign between two three-digit numbers and wrote one 6-digit number that happened to be 7 times greater than the product of the two three-digit numbers. Find the factors.
Answer: 143
Problem: 平面上五点 $A, B, C, D, E$ 满足 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C D}, \overrightarrow{E A} \cdot \overrightarrow{E B}=4, \overrightarrow{E B} \cdot \overrightarrow{E C}=5$, $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=8$, 则 $\overrightarrow{E A} \cdot \overrightarrow{E D}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数:
$(1) a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\} ;$
$(2) f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 $2013$ 的倍数.
Answer: 7200
Problem: 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值为周长值的 $999$ 倍（全等的两个三角形看作相同的）？
Answer: 42
Problem: 对每个正整数 $n$, 记 $g(n)$ 为 $n$ 与 $2015$的最大公约数. 求满足下列条件的有序三元数组 $(a, b, c)$ 的个数:
$(1) a 、 b 、 c \in\{1,2, \cdots, 2015\} ;$
$(2) g(a) 、 g(b) 、 g(c) 、 g(a+b) 、$
$g(b+c) 、 g(c+a) 、 g(a+b+c)$
这七个数两两不同.
Answer: 138240
Problem: 求最大正整数 $m$ ，使得可以在 $m$ 行 $8$列的方格表的每个方格中填入 $C、G、M、O$ 这四个字母之一，并且具有如下性质：对于方格表的任意不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同。
Answer: 5
Problem: 将 $2018$ 行 $4$ 列方格表的每个格染成红色或蓝色，使得方格表每行的红格数与蓝格数相等，每列的红格数与蓝格数也相等。记 $m$ 为满足上述要求的染色方法的总数。求 $m$除以 $2018$ 所得的余数。
Answer: 6
Problem: 试求满足下列条件的大于 $5$ 的最小奇数 $a$: 存在正整数 $m_{1} 、 n_{1} 、 m_{2} 、 n_{2}$ ，使得
$a=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}, a^{2}=m_{2}^{2}+n_{2}^{2},$
 且 $m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2} .$
Answer: 261
Problem: 已知平面上有 $100$ 条直线，用 $T$ 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合。求 $|T|$ 的最大值。
Answer: 62500
Problem: 设 $a 、 b 、 c$ 为素数，且满足 $a^{5} \mid\left(b^{2}-c\right)$ ，其中, $b+c$ 为完全平方数. 求 $a b c$ 的最小值.
Answer: 1958
Problem: 已知 $n$ 为正整数, 使得存在正整数 $x_{1}$, $x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足
$x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$.
求 $n$ 的最大可能值.
Answer: 9702
Problem: Professor Oak is feeding his 100 Pokémon. Each Pokémon has a bowl whose capacity is a positive real number of kilograms. These capacities are known to Professor Oak. The total capacity of all the bowls is 100 kilograms. Professor Oak distributes 100 kilograms of food in such a way that each Pokémon receives a non-negative integer number of kilograms of food (which may be larger than the capacity of their bowl). The dissatisfaction level of a Pokémon who received $N$ kilograms of food and whose bowl has a capacity of $C$ kilograms is equal to $|N-C|$.
Find the smallest real number $D$ such that, regardless of the capacities of the bowls, Professor Oak can distribute the food in a way that the sum of the dissatisfaction levels over all the 100 Pokémon is at most $D$.
Answer: 50
Problem: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8个座位，用 $(i, j)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $(i, j)$ ，如果调整后的座位为 $(m, n)$, 则称该生作了移动 $[a$, $b]=[i-m, j-\pi]$ ，并称 $a+b$ 为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$. 求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。
Answer: 24
Problem: 一副三色纸牌，共有 32 张，其中红黄蓝每种颜色的牌各 10 张，编号分别是 $1,2, \cdots, 10$ ；男有大小王牌各一张，编号均为 0 。从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为 $k$ 的牌计为 $2^{k}$ 分。若它们的分值之和为 2004 ，则称这些牌为一个"好牌组". 试求"好牌组"的个数。
Answer: 1006009
Problem: 将一个 $3 \times 3$ 的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为"十字形"。在一个 $10 \times 11$ 的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的 "十字形"(每个"十字形"恰好盖住棋盘上的 5 个小方格）？
Answer: 15
Problem: 在一个 10$\times10$ 的方格表中有一个由4$n$个 1 x 1 的小方格组成的图形，它既可被$n$
个“田”型的图形覆盖，也可被$n$个“田”或
“毌”型(可以旋转)的图形覆盖.求正整数$n$ 的最小值.
Answer: 4
Problem: 设$a_{_n}=n\sqrt{5}-[n\sqrt{5}].$求数列$a_1,a_2$, $\cdots,a_{2009}$中的最大项和最小项，其中$,[x]$表示不超过实数$x$的最大整数.
Answer: 1
Problem: 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 $a$ : 存在正整数 $m_{1} 、 n_{1} 、 m_{2} 、 n_{2}$, 使得
$$
\begin{array}{ll} 
& a=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}, a^{2}=m_{2}^{2}+n_{2}^{2}, \\
\text { 且 } \quad & m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}.
\end{array}
$$
Answer: 261
Problem: 集合 $\{0,1, \cdots, 2012\}$ 中共有多少个元素 $k$ ，使得组合数 $\mathrm{C}_{2012}^{k}$ 是 2012 的倍数？
Answer: 1498
Problem: 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=a x^{3}+b x$ 的个数:
(1) $a, b \in\{1,2, \cdots, 2013\}$;
(2) $f(1), f(2), \cdots, f(2013)$ 中任意两数之差不是 2013 的倍数。
Answer: 7200
Problem: 对每个正整数 $n$, 记 $g(n)$ 为 $n$ 与 2015的最大公约数. 求满足下列条件的有序三元数组 $(a, b, c)$ 的个数:
(1) $a 、 b 、 c \in\{1,2, \cdots, 2015\} ;$
$(2) g(a) 、 g(b) 、 g(c) 、 g(a+b) 、$
$g(b+c) 、 g(c+a) 、 g(a+b+c)$
这七个数两两不同.
Answer: 138240
Problem: 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值为周长值的 999 倍（全等的两个三角形看作相同的）？
Answer: 42
Problem: 求最大正整数 $m$, 使得可以在 $m$ 行 8列的方格表的每个方格中填人 C、G、M、O 这四个字母之一，并且具有如下性质：对于方格表的任意不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同。
Answer: 5
Problem: 求最小的正整数 $n$ ，使得可将 $n \times n$ 方格表中的每个格染为红、黄、蓝三种颜色之一，满足以下三个条件：
（1）每种颜色的格数目相同；
（2）若某行中有红格，则该行中必有蓝格，且无黄格；
（3）若某列中有蓝格，则该列中必有红格，且无黄格。
Answer: 45
Problem: 考虑所有满足以下两个条件的实数序
列 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{100}$ :
(1) $x_{0}=0$;
（2）对任意整数 $i(1 \leqslant i \leqslant 100)$ 有
$1 \leqslant x_{i}-x_{i-1} \leqslant 2$.
求最大的正整数 $k \leqslant 100$ ，使得对任意这样的序列 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{100}$, 均有
$$
x_{k}+x_{k+1}+\cdots+x_{100} \geqslant x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{k-1}
$$
Answer: 67
Problem: 将 2018 行 4 列方格表的每个格染成红色或蓝色，使得方格表每行的红格数与蓝格数相等，每列的红格数与蓝格数也相等。记 $m$ 为满足上述要求的染色方法的总数。求 $m$除以 2018 所得的余数。
Answer: 6
Problem: 设正整数 $a, b, c, d$ 满足 $a>b>c>d$, 且$$a b+b c+c a+d^{2} \mid(a+b)(b+c)(c+a)$$求 $a b+b c+c a+d^{2}$ 的素因子个数的最小值. (素因子的个数计重数, 如 12 的素因子个数为 3 )。
Answer: 3
Problem: 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 满足对任意 $2 \leq i \leq 99$ ，有$$\max \left\{a_{i-1}+a_{i}, a_{i}+a_{i+1}\right\} \geq i$$求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}$ 的最小值.
Answer: 1683
Problem: 某个国家有 2023 个岛和 2022 座桥, 任意一座桥连接两个不同的岛, 任意两个岛之间至多有一座桥相连, 且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛. 若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接, 则称这三个岛组成"岛群", 已知任两个"岛群"中都有相同的岛, 那么恰有一座桥的岛最少有多少个?
Answer: 1011
Problem: 已知 $S=\{(i, j) \mid i 、 j=1,2, \cdots, 100\}$ 为直角坐标平面上的 $100 \times 100$ 个整点构成的集合。将 $S$ 中的每个点染为给定的四种颜色之一。求以 $S$ 中四个颜色互不相同的点为顶点且边平行于坐标轴的矩形个数的最大可能值。
Answer: 9375000
Problem: 设集合 $M=\{1,2, \cdots, 10\}, T$ 为 $M$ 的某些二元子集构成的集合，满足对 $T$ 中任意两个不同的元素 $\{a, b\} 、\{x, y\}$ ，均有
$11 \nmid(a x+b y)(a y+b x)$ 。
求 $T$ 的元素个数的最大值.
Answer: 25
Problem: 已知平面上有 100 条直线，用 $T$ 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合。求 $|T|$ 的最大值。
Answer: 62500
Problem: 设 $a 、 b 、 c$ 为素数, 且满足 $a^{5} \mid\left(b^{2}-c\right)$,其中, $b+c$ 为完全平方数. 求 $a b c$ 的最小值.
Answer: 1958
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$a_{0}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^{2}}{2012}(n=0,1, \cdots)$.
求整数 $k$, 使得 $a_{k}<1<a_{k+1}$.
Answer: 2012
Problem: 求最小的正整数 $m$, 使得对于任意大于 3 的质数 $p$, 都有 105 I $\left(9^{p^{2}}-29^{p}+m\right)$.
Answer: 20
Problem: 设集合 $M \subseteq\{1,2, \cdots, 2011\}$ 满足：在 $M$ 的任意三个元素中都可以找到两个元素 $a 、 b$ ，使得 $a \mid b$ 或 $b \mid a$ 。 求 $|M|$ 的最大值（ $|M|$表示集合 $M$ 的元素个数)。
Answer: 21
Problem: 有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分。分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 $n$ 个人中至少有 3 个人答对了至少三道同样的题. 求 $n$ 的最小可能值.
Answer: 911
Problem: 给定整数 $n \geqslant 3$ 。求最小的正整数 $k$, 使得存在一个 $k$ 元集合 $A$ 和 $n$ 个两两不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, 满足 $x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, \cdots$, $x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ 均属于 $A$
Answer: 3
Problem: 已知 $T=\{1,2, \cdots, 8\}$ 。对于 $A \subseteq T, A \neq \varnothing$ ，定义 $S(A)$ 为 $A$ 中所有元素之和。问： $T$ 有多少个非空子集 $A$ ，使得 $S(A)$ 是 3 的倍数，但不是 5 的倍数？
Answer: 70
Problem: 求满足下述条件的最小正实数 $k$ ：对任意不小于 $k$ 的 4 个互不相同的实数 $a 、 b$ 、 $c 、 d$, 都存在 $a 、 b 、 c 、 d$ 的一个排列 $p 、 q 、 r 、 s$,使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 4个互不相同的实数根。
Answer: 4
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于 10. 求每一个面上四个数之和的最小值。
Answer: 16
Problem: 我们称 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为集合 $A$ 的一个 $n$ 分划, 如果(1) $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=A$;(2) $A_{i} \cap A_{j} \neq \varnothing, 1 \leqslant i<j \leqslant n$.求最小正整数 $\boldsymbol{m}$ 。使得对 $A=\{1,2, \cdots, \boldsymbol{m}\}$ 的任意一个 14 分划 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{14}$, 一定存在某个集合 $A_{1}(1 \leqslant$ $i \leqslant 14)$ ，在 $A_{i}$ 中有两个元素 $a 、 b$ 满足 $b<a \leqslant \frac{4}{3} b$ 。
Answer: 2
Problem: 集合 $A 、 B$ 定义如下:
$$\begin{aligned}A= & \left\{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\right\}, \\B= & \{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \mid \\& a 、 b 、 c \in \mathbf{N}\}\end{aligned}$$
设集合 $P=\{n \mid n \in A \cap B, 1 \leqslant n \leqslant 2016\}$ 。求 $P$ 的元素个数。
Answer: 980
Problem: 求最大的正整数 $n$ ，使得存在 $n$ 个互不相同的正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，满足
$$
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=2017
$$
Answer: 16
Problem: 对每个正整数 $n$ ，定义集合$P_{n}=\left\{n^{k} \mid k=0,1, \cdots\right\}$ 。对于正整数 $a 、 b 、 c$, 若存在某个正整数 $m$ ，使得 $a-1 、 a b-12 、 a b c-2015$ 这三个数（不必两两不等）均属于集合 $P_{m}$ ，则称正整数组 $(a, b, c)$ 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数.
Answer: 25
Problem: 对每个正整数 $n$ ，定义集合
$P_{n}=\left\{n^{k} \mid k=0,1, \cdots\right\}$ 。
对于正整数 $a 、 b 、 c$, 若存在某个正整数 $m$ ，使得 $a-1 、 a b-12 、 a b c-2015$ 这三个数
（不必两两不等）均属于集合 $P_{m}$ ，则称正整数组 $(a, b, c)$ 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数.
Answer: 25
Problem: 设 $f(x)=\left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\cdots+\left[\frac{x}{2013!}\right]$,其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。对整数 $n$, 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=n$ 有实数解,则称 $n$ 为 "好数". 求集合 $\{1,3,5, \cdots, 2013\}$中好数的个数。
Answer: 587
Problem: 设集合 $M=\{1,2, \cdots, 10\}, T$ 为 $M$ 的某些二元子集构成的集合，满足对 $T$ 中任意两个不同的元素 $\{a, b\} 、\{x, y\}$ ，均有  
$11 \nmid(a x+b y)(a y+b x)$ .  
求 $T$ 的元素个数的最大值.
Answer: 25
Problem: 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 满足对任意 $2 \leq i \leq 99$ ，有
$$
\max \left\{a_{i-1}+a_{i}, a_{i}+a_{i+1}\right\} \geq i
$$
求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}$ 的最小值.
Answer: 1683
Problem: 某个国家有 $2023$ 个岛和 $2022$ 座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛. 若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接, 则称这三个岛组成"岛群", 已知任两个"岛群"中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？
Answer: 1011
Problem: 一个 $100 \times 100$ 方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪。老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）。现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板。称一种放置隔板的方式是"仁慈的"，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪。求最小的正整数 $n$ ，使得对任意一种"仁慈的"放置 $2023$ 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 $n$ 次移动吃到奶酰。
Answer: 2220
Problem: 设正整数 $a, b, c, d$ 满足 $a>b>c>d$, 且
$$
a b+b c+c a+d^{2} \mid(a+b)(b+c)(c+a)
$$
求 $a b+b c+c a+d^{2}$ 的素因子个数的最小值。(素因子的个数计重数，如 12 的素因子个数为 3 )。
Answer: 3
Problem: 已知 $\alpha^{2005}+\beta^{2005}$ 可表示成以 $\alpha+\beta 、 \alpha \beta$为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.
Answer: 1
Problem: 设 $S=\{1,2, \cdots, 2005\}$ .若 $S$ 中任意 $n$个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 $n$ 的最小值.
Answer: 16
Problem: 设正数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 满足:
$a_{1}=b_{1}=1, b_{n}=a_{n} b_{n-1}-\frac{1}{4}(n \geqslant 2)$.
求 $4 \sqrt{b_{1} b_{2} \cdots b_{m}}+\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{a_{1} a_{2} \cdots a_{k}}$ 的最小值,
其中 $m$ 是给定的正整数。
Answer: 5
Problem: 若 $x_{i}$ 是大于 1 的整数, 记 $f\left(x_{i}\right)$ 是 $x_{i}$ 的最大素因数。令 $x_{i+1}=x_{i}-f\left(x_{i}\right)(i \in \mathbf{N})$ 。
令 $V\left(x_{0}\right)$ 是 $f\left(x_{0}\right), f\left(x_{1}\right), \cdots, f\left(x_{k\left(x_{0}\right)}\right)$ 中不同数的个数. 求 $V(2), V(3), \cdots, V(781)$ 中的最大数，并说明理由。
Answer: 5
Problem: 设 $n$ 为正整数. 若平面中存在两点 $A, B$ 及 2024 个不同的点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{2024}$ ，满足：线段 $A B$ 及各条线段 $A P_{i}, B P_{i}(i=1,2, \cdots, 2024)$ 的长度均为不超过 $n$ 的正整数，求 $n$ 的最小值。
Answer: 39
Problem: $(1)$求不定方程
$m n+n r+m r=2(m+n+r)$
的正整数解 $(m, n, r)$ 的组数;
Answer: 7
Problem: 试求实数 $a$ 的个数，使得对于每个 $a$ ，关于 $x$ 的三次方程 $x^{3}=a x+a+1$ 都有满足 $|x|<1000$ 的偶数根.
Answer: 999
Problem: 试求最小的正整数 $n$ ，使得对于满足条件 $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=2007$ 的任一具有 $n$ 项的正整数数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, 其中必有连续的若干项之和等于 $30$ .
Answer: 1018
Problem: 在一个圆周上给定 $8$ 个点 $A_{1}, A_{2}, \cdots$, $A_{8}$. 求最小的正整数 $n$, 使得以这 $8$ 个点为顶点的任意 $n$ 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形。
Answer: 9
Problem: 将时钟盘面上标有数字 $1,2, \cdots, 12$ 的十二个点分别染红、黄、蓝、绿四种颜色，每色三个点，以这些点为顶点作 $n$ 个凸四边形，使其满足：  
$(1)$每个四边形的四个顶点四色都有；  
$(2)$对于其中任何三个四边形，都存在某一色，染有该色的三个顶点所标数字互不相同。  
求 $n$ 的最大值.
Answer: 9
Problem: 设 $m$ 为大于 $1$ 的整数，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 定义如下：  
$$  
\begin{aligned}  
& a_{0}=m, a_{1}=\varphi(m) ,\\  
& a_{2}=\varphi^{(2)}(m)=\varphi(\varphi(m)), \cdots, \\  
& a_{n}=\varphi^{(n)}(m)=\varphi\left(\varphi^{(n-1)}(m)\right)  ,
\end{aligned}  
$$  
其中， $\varphi(m)$ 为欧拉函数.
若对于任意非负整数 $k$ ，均有 $a_{k+1} \mid a_{k}$ ，求不超过 $2016$ 的最大正整数 $m$ 的值.
Answer: 1944
Problem: 集合 $A=\{1,2, \cdots, n\}$.若存在非空集合 $B C$, 使得 $B \cap C=\varnothing, B \cup C=A$, 且 $B$ 中元素的平方和为 $M, C$ 中元素的平方和为 $N$ ，满足 $M-N=2016$ ，求 $n$ 的最小值.
Answer: 19
Problem: 给定集合  
$$  
I=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{i} \in\{1,2, \cdots, 11\}\right\},  
$$  
$A$ 为 $I$ 的子集且满足：对任意的  
$$  
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) 、\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right) \in A,  
$$  
均存在 $i 、 j(1 \leqslant i<j \leqslant 4)$ 使得  
$\left(x_{i}-x_{j}\right)\left(y_{i}-y_{j}\right)<0$.  
试确定 $|A|$ 的最大值，其中， $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素个数.
Answer: 891
Problem: 记 $Q$ 为 $1,2, \cdots, 100$ 的若干个排列组成的集合，且满足对于任意的 $1 \leqslant a 、 b \leqslant 100$ ， $a \neq b$ ，至多存在一个 $\sigma \in Q$ ，使得在 $\sigma$ 中 $a$的下一个数恰为 $b$ 。求集合 $Q$ 的元素个数的最大值。
Answer: 100
Problem: 设 $n$ 是正整数， $a=[\sqrt{n}]$ （其中， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.求同时  
满足下列条件的 $n$ 的最大值:  
(1) $n$ 不是完全平方数;  
(2) $a^{3} \mid n^{2}$.
Answer: 24
Problem: 求最大的正整数 $n$ ，使得存在 $n$ 个正整数 $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}$, 满足:  
$$  
x_{1}+x_{1} x_{2}+\cdots+x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=2021  
$$
Answer: 4
Problem: 对于正整数 $n$ ，定义 $S_{2}(n)$ 为 $n$ 在二进制表示下的各位数码之和（例如， $S_{2}(13)=$ $1+1+0+1=3)$ 。设 $T=\sum\limits_{k=1}^{2021}(-1)^{s_{2}(k)} k^{3}$ 。请确定 $T$ 除以 $2021$ 的余数.
Answer: 1980
Problem: $2021$ 个单位正方形排成一行，最左侧和最右侧的格均为黑色，其余 $2019$ 个格均为白色。随机选取两个相邻白格，并随机将其中一个白格染黑，重复此过程，直至无两个相邻白格为止。令 $E$ 是剩余白格数目的数学期望。求不超过 $E$ 的最大整数 $[E]$ 。
Answer: 743
Problem: 将正九边形的每条边和每条对角线都染成红色或蓝色之一，使得每个顶点引出的 $8$ 条线段中恰有 $4$ 条红色线段.  
求三边全是红色的三角形个数的最大值.
Answer: 10
Problem: 设数列 $x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{3}(n=1,2, \cdots)$.试求正整数 $m$, 使得 $\frac{1}{m+1}<x_{2023} \leqslant \frac{1}{m}$.
Answer: 63
Problem: 设 $a 、 b$ 为正整数，$a^{2}+b^{2}$ 除以 $a+b$ 的商为 $q$, 余数为 $r$, 且 $q^{2}+r=2010$. 求 $a b$的值.
Answer: 1643
Problem: 已知 $p$ 为质数, $\sqrt{p}$ 的小数部分为 $x, \frac{1}{x}$ 的小数部分为 $\frac{\sqrt{p}-31}{75}$. 求所有满足条件的质数 $p$ 的值.
Answer: 2011
Problem: 求最小的质数 $p$, 满足 $(p, N)=1$,其中, $N$ 为所有满足以下条件的 $\left(a_{0}, a_{1}, \cdots\right.$, $a_{2012}$ ）的个数：
(1) $\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2012}\right)$ 是 $0,1, \cdots, 2012$的一个排列;
(2) 对 2013 的任意一个正约数 $m$ 及所有的 $n(0 \leqslant n<n+m \leqslant 2012)$ 有
$m \mid\left(a_{n+m}-a_{n}\right)$.
Answer: 67
Problem: 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足
$x_{1}=1, x_{n+1}=4 x_{n}+\left[\sqrt{11} x_{n}\right]$ 。
求 $x_{2012}$ 的个位数字.
Answer: 3
Problem: 已知正数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a+b+c=13$. 则 $\frac{a^{2}+b^{3}+c^{4}+2019}{10 b+123 c+26}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 设 $\boldsymbol{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)$ 和 $\boldsymbol{v}=$ $\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ 是空间向量，满足 $u_{i} 、 v_{i}(i=1,2,3 )$ 均为整数，且
$0.9999<\cos \langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle<1$.
记 $S=\left|u_{1}\right|+\left|u_{2}\right|+\left|u_{3}\right|+\left|v_{1}\right|+\left|v_{2}\right|+\left|v_{3}\right|$.求 $[\sqrt{S}]$ 的最小可能值，其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。
Answer: 4
Problem: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，且各项均为整数。若其所有项的和为 2016 ，则满足要求的数列有 $\qquad$个。
Answer: 34
Problem: 将两个相同的白球、三个相同的红球、四个相同的黑球全部放入三个不同的袋子中. 则没有空袋的放法数为 $\qquad$.
Answer: 723
Problem: 已知曲线 $(x-20)^{2}+(y-16)^{2}=r^{2}$ 与  $y=\sin x$  恰有一个公共点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$. 则  $\frac{1}{2} \sin 2 x_{0}-16 \cos x_{0}+x_{0}=  \quad.$
Answer: 20
Problem: 已知集合 $M=\{(a, b) \mid a \leqslant-1, b \leqslant m\}$ .若对任意 $(a, b) \in M$ ，恒有 $a \cdot 2^{b}-b-3 a \geqslant 0$ ，则实数 $m$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 已知抛物线 $\Gamma: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作一条直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于 $A 、 B$ 两点，分别过 $A 、 B$ 作抛物线 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于 $P 、 Q$ 两点. 求四边形 $A P Q B$ 面积的最小值.
Answer: 12
Problem: 设  $P(z)=z^{4}-(6 \mathrm{i}+6) z^{3}+24 \mathrm{i}z^{2}- (18 \mathrm{i}-18) z-13$.  
求 $P(z)=0$ 的四个根在复平面上对应的四个点所围成凸四边形的面积.
Answer: 2
Problem: 求等差数列 $\{4 n+1\}(1 \leqslant n \leqslant 200),\{6 m-3\}(1 \leqslant m \leqslant 200)$ 的公共项之和。
Answer: 27135
Problem: 已知整数 $a, b, c, d$ 满足 $a+b+c+d=6$ ，则 $a b+a c+a d+b c+b d+c d$ 的正整数取值个数为 $\qquad$.
Answer: 10
Problem: 若正方体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的棱长为 1 ，则集合
$\left\{x \mid x=\overrightarrow{A_{1} B_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{i} B_{j}}, i, j \in\{1,2,3,4\}\right\}$
中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止。记此时取出球的次数为 $\xi$ ，则 $\xi$的数学期望为 $\qquad$。
Answer: 12
Problem: 若正整数 $n$ 使得方程 $x^{3}+y^{3}=z^{n}$ 有正整数解 $(x, y, z)$ ，称 $n$ 为 "好数"。则不超过 2019 的 "好数"的个数是 $\qquad$.
Answer: 1346
Problem: 若正整数 $n$ 使得方程 $x^{3}+y^{3}=z^{n}$ 有正整数解 $(x, y, z)$, 则称 $n$ 为 "好数". 那么, 不超过 2019 的好数有 $\qquad$个.
Answer: 1346
Problem: 设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个. 现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同), 确定颜色后放回, 直到连续两次均取出红球时为止, 记此时取出球的次数为 $\xi$. 则 $\xi$ 的数学期望为 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 在一个 $3 \times 3$ 的方格表中, 若 9 个方格中每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的小方格的颜色均不相同，且该方格表中恰有 2 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法总数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: 3816
Problem: 在 $3 \times 3$ 方格表中，若九个格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的格的染色均不相同，且该方格表中恰有两个格染蓝色，则符合条件的染色方法种数为 $\qquad$ （用具体数字作答）。
Answer: 3816
Problem: 已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减, 对任意 $x \in(0,+\infty)$, 均有 $f(x) \cdot f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}$,记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}, x \in(0,+\infty)$, 则函数 $g(x)$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2,3,4,5\}$, 且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$, 有 $|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$ 。则符合条件的函数 $f$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 288
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}}$ ，且 $a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $a_{2022}$的末两位数字为 $\qquad$.
Answer: 32
Problem: 已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上严 格单调递减，对任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，均有  
$$  
f(x) f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}.  
$$  
记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}(x \in(0,+\infty))$. 则函数 $g(x)$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2, \cdots, 5\}$ ，且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$ ，有  
$|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$.  
则符合条件的函数 $f$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 288
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足:  
$$  
\begin{aligned}  
& a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}} \\  
& a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{Z}_{+}\right)  
\end{aligned}  
$$  
则 $a_{2022}$ 的末两位数字是 $\qquad$.
Answer: 32
Problem: 在 $(-x y+2 x+3 y-6)^{6}$ 的展开式中, $x^{4} y^{3}$ 的系数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: -21600
Problem: 设平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足: $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$. 点 $O, A, B$ 为平面上的三点, 满足 $\overrightarrow{O A}=$ $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O B}=-3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$, 则 $\triangle A O B$ 的面积为 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 设集合 $I=\{0,1,2, \cdots, 22\}, A=\{(a, b, c, d) \mid a, b, c, d \in I, a+d \equiv 1(\bmod 23)$, 且 $a d-b c \equiv 0$ $(\bmod 23)\}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 552
Problem: 已知正整数数列 $a, b, c, d$ 严格递增, $d \leq 101$, 且 $101 \mid a+b+c+d$, 则这样的数组 $(a, b, c, d)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 40425
Problem: 十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为 $\qquad$个区域.
Answer: 246
Problem: $R(n)$ 表示正整数 $n$ 除以 $2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 的余数之和, 则满足 $R(n)=R(n+1)$ 的两位数 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 集合 $U=\{1,2, \cdots, 366\}$ ，则 $U$ 的互不相交各元素之和为 $17$ 的倍数的二元子集最多有 $\qquad$个.
Answer: 179
Problem: 三个互不相等的正整数最大公约数是 $20$, 最小公倍数为 $20000$, 那么这样的不同的正整数组的个数为 $\qquad$.
Answer: 104
Problem: 集合 $U=\{1,2,3, \cdots, 10\}$ ，则 $U$ 的元素两两互素的三元子集个数为 $\qquad$.
Answer: 42
Problem: 已知 $x, y, z$ 均为正整数, 且 $\frac{x(y+1)}{x-1}, \frac{y(z+1)}{y-1}, \frac{z(x+1)}{z-1}$ 均为正整数, 则 $x y z$ 的最大值和最小值之和为 $\qquad$.
Answer: 701
Problem: 由 $\left[\frac{1^{2}}{2023}\right],\left[\frac{2^{2}}{2023}\right], \ldots,\left[\frac{2023^{2}}{2023}\right]$ 构成的集合元素个数为 $\qquad$.
Answer: 1518
Problem: 已知正整数 $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{9}$ 且 $x_{1}+x_{2}+\cdots x_{9}=220$, 则在 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}$ 取得最大值的情况下, $x_{9}-x_{1}$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 9
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $O$ 为形外一点, 满足 $\angle B O C=2 \angle B A C$, 线段 $O C$ 与线段 $A B$ 交于 $D$, 且 $O B=O C=3$, $O D=2$, 求 $B D \cdot A D$.
Answer: 5
Problem: 求 $\mathbf{R}$ 上方程 $x^{2}-13[x]+11=0$ 的解的个数.
Answer: 4
Problem: 求四元组 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的个数, 使得 $a_{i} \in\{1,2,3\}$, 且 $10<a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}<20$.
Answer: 25
Problem: 用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的数码和, 求满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 $5$ 的倍数的 $n$ 的最小值.
Answer: 49999
Problem: 求 $\sum\limits_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^{i}}{20}\right]$ 模 $7$ 的余数.
Answer: 1
Problem: 设 $f(x)=x^{2}-53 \mathrm{x}+196+\left|x^{2}-53 \mathrm{x}+196\right|$, 求 $f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(50)$
Answer: 1052
Problem: 有多少个正整数 $a$ 满足：对任意正整数 $k$ ，存在正整数 $n$ ，使 $a n+2016$ 为某个正整数的 $k$ 次方？
Answer: 288
Problem: 某班 $50$ 名同学做游戏, 每人向其他一些同学发短信。若在 $A, B, C$ 三人中, $A$ 只向 $B$ 发过短信, $B$ 只向 $C$发过短信， $C$ 只向 $A$ 发过短信，则称 $A, B, C$ 构成一个 $3$ 循环。问 $50$ 人发短信，最多可以开成多少个 $3$ 循环?
Answer: 5200
Problem: 有 2018 名学生围成一圈. 称一个同学是优秀的，如果他的两边站着的人和自己性别都不同.求优秀的男生数与优秀的女生数的平方差的最大值.
Answer: 509040
Problem: 已知 $a_{k}$ 为 $\log _{2} k, \log _{3} k, \cdots, \log _{2018} k$ 中整数项的个数. 则 $\sum\limits_{k=1}^{2018} a_{k}=$
Answer: 4102
Problem: 已知 $f(x)=\frac{10}{x+1}-\frac{\sqrt{x}}{3}$. 则集合  
$M=\left\{n \in \mathbf{Z} \mid f\left(n^{2}-1\right) \geqslant 0\right\}$  
的元素个数为 $\qquad$.
Answer: 6
Problem: 一项 "过关游戏"规则规定：在第 $n$ 关要抛掷一颗骰子 $n$ 次，如果这 $n$ 次抛掷所出现的点数之和大于 $2^{n}$ ，则算过关。问：
（1）某人在这项游戏中最多能过几关?
（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 $1,2,3,4,5,6$
点数的均匀正方体. 抛郑骰子落地静止后, 向上一面的点数为出现点数.)
Answer: 4
Problem: 满足 $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}$ 的所有正整数 $n$ 的和是 $\qquad$..
Answer: 33
Problem: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant a+1981\}$, $B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A 、 B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$ 的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$.
Answer: 983
Problem: 满足 $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}$ 的所有正整数 $n$ 的和是 $\qquad$.
Answer: 33
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\sin A=10 \sin B \sin C, \cos A=10 \cos B \cos C$, 则 $\tan A$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 11
Problem: 若平面上有 100 条二次曲线, 则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域, 则连通区域数量最大值为 $\qquad$.
Answer: 20101
Problem: 已知 $a 、 b 、 c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c 、 b=b c+a 、 c=c a+b$. 则 $a+b+c=$ $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 设正整数 $n \leqslant 2021$ ，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数。则可能的 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 设 $y_{n}=1 \overbrace{22 \cdots 2}^{n} 1$. 若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$, 则 $n$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 80
Problem: 设正整数 $m, n$ 均不大于 2021 ，且 $\frac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\frac{m+1}{n}$. 则这样的数组 $(m, n)$ 个数为 $\qquad$.
Answer: 3449