ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 已知椭球体 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leqslant 1$, 记过 $(0,0,1)$ 的平面与该椭球的截面积最大值为 I,则 $\left[\frac{100 I^{2}}{\pi^{2}}\right]=$ $\qquad$
Answer: 1152
Problem: 已知圆锥面 $x^{2}+y^{2}=\frac{z^{2}}{3}$, 记沿该圆锥面从 $P(-\sqrt{3}, 3,6)$ 到 $Q(\sqrt{3}, 0,3)$ 的曲线长度的最小为值为 I, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 60
Problem: $\prod\limits_{k=1}^{6}\left(x^{5}-5 x+k\right)=0$ 有 $\qquad$个实根。
Answer: 13
Problem: 有理数加群 $(\mathbb{Q},+)$ ，记所有分母不超过的 10 的有理数构成的子集为 $G$ ，其对应的陪集 $G \mathbb{Z}$ 记为 $\bar{G}$ ，则 $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ 包含 $\bar{G}$ 的最小子群的阶为 $\qquad$.
Answer: 2520
Problem: 已知 $z=\cos \frac{2}{7} \pi+\mathrm{i} \sin \frac{2}{7} \pi$, 求 $\frac{z}{1+z^{2}}+\frac{z^{4}}{1+z^{3}}+\frac{z^{3}}{1+z^{4}}$ 的值.
Answer: -1
Problem: 点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leq 5, y \leq 4, x, y \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$, 则由 S 中的点可组成 $\qquad$个不同的三角形。
Answer: 1056
Problem: 已知复数 $|z|=1, z^{n}=z+\sqrt{2}$, 则 $n$ 的最小值为
Answer: 3
Problem: 在平面直角坐标系内, $M \in\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{200}+\frac{y^{2}}{8} \leq 1\right.\right\}, A(2,1)$, 若 $\Delta O M A$ 的面积不超过 3, 则满足条件的整点 $M$ 个数为 $\qquad$.
Answer: 65
Problem: 设 $n \in \mathbf{Z}_{+}$. 当 $n>100$ 时， $\sqrt{n^{2}+3 n+1}$的小数部分的前两位数为 $\qquad$.
Answer: 49
Problem: 定义: 区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right]\left(x_{1}<x_{2}\right)$ 的长度为 $x_{2}-x_{1}$. 已知函数 $y=\left|\log _{\frac{1}{2}} x\right|$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[0,2]$. 则区间 $[a, b]$ 长度的最大值与最小值的差为 $\qquad$。
Answer: 3
Problem: 设函数
$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} ; \\ 0, & x \neq \frac{q}{p},\end{cases}$
其中, $p 、 q$ 互质, 且 $p \geqslant 2$. 则满足 $x \in[0,1]$,且 $f(x)>\frac{1}{5}$ 的 $x$ 值的个数是 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 已知集合 $M=\{2,0,11\}$. 若 $A \varsubsetneqq M$, 且 $A$ 的元素中至少含有一个偶数, 则满足条件的集合 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设 $M=1^{4}+2^{4}+\cdots+2013^{4}$. 则 $M$ 的个位数字为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 若对任意的 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 有
$\frac{x}{1+x-2 x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$,
则 $a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: -2
Problem: 已知三个互不相等的整数 $x 、 y 、 z$ 之和介于 40 与 44 之间. 若 $x, y, z$ 依次构成公差为 $d$ 的等差数列， $x+y 、 y+z 、 z+x$ 依次构成公比为 $q$ 的等比数列, 则 $d q=$
#*
Answer: 42
Problem: 设正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 1, 则 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E})=$ $\qquad$.
Answer: -3
Problem: 设函数 $f(x)=\sqrt{2 x^{2}+2 x+41}-\sqrt{2 x^{2}+4 x+4}(x \in \mathbf{R})$, 则 $f(x)$ 的最大值是
$\qquad$.
Answer: 5
Problem: 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$$
a_{n}=\left[(2+\sqrt{3})^{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right),
$$
则 $a_{2020}$ 的末尾两位数字为 $\qquad$.
Answer: 53
Problem: 在平面直角坐标系中, $A(1,2), B(3,0)$, 点 $P$ 为圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$ 上任意一点，设 $\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ ，则 $11 \lambda+9 \mu$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 已知实数 $x, y$ 满足
$3|x+1|+2|y-1| \leqslant 6$.
则 $2 x-3 y$ 的最大值是 $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 集合的容量是指集合中元素的和。则满足条件 " $A \subseteq\{1,2, \cdots, 7\}$ ，且若 $a \in A$ 时，必有 $8-a \in A$ "的所有非空集合 $A$ 的容量的总和是 $\qquad$ (用具体数字作答)。
Answer: 224
Problem: 在 $(-x y+2 x+3 y-6)^{6}$ 的展开式中， $x^{4} y^{3}$的系数是 $\qquad$ （用具体数字作答）
Answer: -21600
Problem: 设集合 $I=\{0,1, \cdots, 22\}$, $A=\{(a, b, c, d) \mid a 、 b 、 c 、 d \in I, a+d \equiv 1(\bmod 23)$,
且 $a d-b c \equiv 0(\bmod 23)\}$.
则集合 $A$ 中元素的个数是 $\qquad$.
Answer: 552
Problem: 设平面向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 满足: $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2$, $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}. O 、 A 、 B$ 为平面上的三个点，满足: $\overrightarrow{O A}=$ $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O B}=-3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$. 则 $\triangle A O B$ 的面积是
$\qquad$.
Answer: 7
Problem: 设 $x$ 为实数, 定义 $\lceil x\rceil$ 为不小于实数 $x$ 的最小整数 (如 $\rceil\rceil=4,\lceil-\pi\rceil=-3$ ). 则关于实数 $x$ 的方程
$\lceil 3 x+1\rceil=2 x-\frac{1}{2}$
的全部实根之和等于 $\qquad$.
Answer: -4
Problem: 已知函数
$f(x)=2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)+m(\sin x+\cos x)^{4}$
在 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 有最大值 5. 求实数 $m$ 的值.
Answer: 1
Problem: 已知 $m>0$. 若函数
$$
f(x)=x+\sqrt{100-m x}
$$
的最大值为 $g(m)$, 求 $g(m)$ 的最小值.
Answer: 10
Problem: $\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的
展开式中的常数项是 $\qquad$ (用具体数字作答).
Answer: -5
Problem: 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足 $S_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{2}}{4}$ 。则 $S_{20}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 设 $n$ 是小于 100 的正整数, 且满足 $\frac{1}{3}\left(n^{2}-1\right)+\frac{1}{5} n$ 为整数. 则符合条件的所有正整数 $n$ 的和为 $\qquad$.
Answer: 635
Problem: 已知函数 $f(x)=\frac{3+x}{1+x}$. 记
$f(1)+f(2)+f(4)+\cdots+f(1024)=m$, $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1024}\right)=n$.
则 $m+n=$
Answer: 42
Problem: 设 $(1-2 x)^{7}=\sum_{k=0}^{7} a_{k} x^{k}$. 则
$2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5}+6 a_{6}+7 a_{7}=$
Answer: 0
Problem: 对任意正整数 $n, Z(n)$ 是满足 $1+2+\cdots$ $+m$ 为 $n$ 的倍数的最小的正整数 $m$. 则满足 $Z(n)$ $=6$ 的全部正整数 $n$ 之和为 $\qquad$.
Answer: 28
Problem: 对任意正整数 $n$ ，定义函数 $\mu(n)$ ：
$\mu(1)=1$ ，
且当 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}} \geqslant 2$ 时,
$$
\mu(n)= \begin{cases}(-1)^{t}, & \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{t}=1 ; \\ 0, & \text { 否则, }\end{cases}
$$
其中， $t \geqslant 1, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{t}$ 为不同的素数。
若记 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}$ 为 12 的全部不同正因数的集合，则 $\sum_{i=1}^{k} \mu\left(x_{i}\right)=$ $\qquad$。
Answer: 0
Problem: 设 $x+\sin x \cdot \cos x-1=0$ ，
$2 \cos y-2 y+\pi+4=0$ 。
则 $\sin (2 x-y)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -1
Problem: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, A D=4, P$为矩形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $P A=2$ ， $P C=\sqrt{21}$. 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\qquad$。
Answer: 0
Problem: 设集合 $I=\{1,2, \cdots, 8\}$ 。若 $I$ 的非空子集 $A 、 B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，则称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"。那么，集合 $I$ 的隔离集合对的个数为 $\qquad$ （用具体数字作答)。
Answer: 6050
Problem: 设直线 $y=k x+b$ 与曲线 $y=x^{3}-x$ 有三个不同的交点 $A 、 B 、 C$, 且 $|A B|=|B C|=2$ 。则 $k$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: Let $P(x)=x^{2}-1$. How many distinct real solutions does the following equation have:
$$
\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0? \quad[20 \text { points }]
$$
Answer: 2005
Problem: There are $2 n$ students in a school $(n \in \mathbb{N}, n \geq 2)$. Each week $n$ students go on a trip. After several trips the following condition was fulfilled: every two students were together on at least one trip. What is the minimum number of trips needed for this to happen?
Answer: 6
Problem: We colour all the sides and diagonals of a regular polygon $P$ with 43 vertices either red or blue in such a way that every vertex is an endpoint of 20 red segments and 22 blue segments. A triangle formed by vertices of $P$ is called monochromatic if all of its sides have the same colour. Suppose that there are 2022 blue monochromatic triangles. How many red monochromatic triangles are there?
Answer: 859
Problem: 求满足下列关系式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 z^{2} \\
z<y \leq z+50
\end{array}\right.
$$
的正整数解组 $(x, y, z)$ 的个数.
Answer: 131
Problem: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant$ $a+1981\}, B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A, B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$ 。
Answer: 983
Problem: 设 $V$ 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面。某些点之间连有线段，记 $E$ 为这些线段构成的集合。试求最小的正整数 $n$ ，满足条件：若 $E$ 至少有 $n$ 个元素，则 $E$ 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集。
Answer: 2795
Problem: 设整数 $n>4,(x+2 \sqrt{y}-1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n-4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等, 则 $n$的值为 $\qquad$.
Answer: 51
Problem: 给定凸 20 边形 $P$ 。用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形。所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图。对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边。 $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配。当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值。
Answer: 89
Problem: $\frac{1}{1-\log _{2} 20}+\frac{1}{1-\log _{5} 50}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -1
Problem: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$ 。求正整数 $N$ 的最大可能值。
Answer: 833
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 是非负整数，同时满足以下条件：
（1）存在正整数 $k \leq 100$ ，使得 $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{k}$ ，而当 $i>k$ 时 $a_{i}=0$ ；
（2） $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}=100$ ；
(3) $a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+100 a_{100}=2022$ 。
求 $a_{1}+2^{2} a_{2}+3^{2} a_{3}+\cdots+100^{2} a_{100}$ 的最小可能值.
Answer: 40940
Problem: 已知集合
$$
M=\{x, xy, \mathrm{l}g(xy)\}
$$

及
$$
N=\{0, |x|, y\},
$$
并且 $M=N$ ，那么$(x+\frac{1}{y})+(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})+(x^{3}+\frac{1}{y^{3}})+\ldots+(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}})$的值等于
$\qquad$ $\cdot$
Answer: -2
Problem: 已知集合 $M=\{x, y, \lg (x y)\}$ 及 $N=\{0,|x|, y\}$ ，并且 $M=N$ ，那么 $\left(x+\frac{1}{y}\right)+\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{y^{3}}\right)+\cdots+\left(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}}\right)$ 的值等于 $\qquad$
Answer: -2
Problem: 设集合 $A=\{1,2, m\}$ ，其中 $m$ 为实数。令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}, C=A \cup B$ 。若 $C$ 的所有元素之和为 6, 则 $C$ 的所有元素之积为 $\qquad$.
Answer: -8
Problem: 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出 3 名选手.组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为 1 、至多为 3 ，则不同的抽选方式数为 $\qquad$ （结果用数值表示）.
Answer: 837
Problem: 在 $5 \times 5$ 矩阵中, 每个元素都为 0 或 1, 且满足：五行的元素之和都相等,但五列的元素之和两两不等.这样的矩阵的个数为 $\qquad$ （答案用数值表示）.
Answer: 26400
Problem: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$. 求正整数 $N$ 的最大可能值.
Answer: 833
Problem: 圆周上依次有 100 个点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ （其中 $P_{100}$ 与 $P_{1}$ 相邻）. 现有 5 种颜色，要求 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中每个点染 5 种颜色之一，每种颜色至少染一个点. 若对任意这样的染色方式， $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中总存在 $t$ 个连续的点含有至少 3 种颜色，求 $t$ 的最小值.
Answer: 26
Problem: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$ ，则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 591
Problem: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$, 则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<100$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$
Answer: 291
Problem: 设集合 $A=\{1,2, \cdots, 99\}, X, Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$ ）。 $X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X, \min Y$ 。求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X, Y)$ 的数目。
Answer: 24
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=7, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n}+2, n=1,2,3, \cdots$ 。求满足 $a_{n}>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$.
Answer: 12
Problem: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形, 这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ .那么, 积 $m \cdot n$ 是  $\qquad$ .
Answer: 6
Problem: 设 $a, b>0$, 满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$,且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 144
Problem: 给定整数 $n \geqslant 3$, 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{2 n}$ 是 $4 n$ 个非负实数, 满足  
$$  
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 n}>0,  
$$  
且对任意 $i=1,2, \cdots, 2 n$, 有 $a_{i} a_{i+2} \geqslant b_{i}+b_{i+1}$ （这里 $a_{2 n+1}=a_{1}, a_{2 n+2}=a_{2}$, $b_{2 n+1}=b_{1}$ ), 求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}$ 的最小值.
Answer: 16
Problem: 给定凸 20 边形 $P$ .用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形.所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图.对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边. $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配.当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值.
Answer: 89
Problem: 设 9 元集合 $A=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in\{1,2,3\}\}$, i 是虚数单位. $\alpha=\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{9}\right)$ 是 $A$ 中所有元素的一个排列, 满足 $\left|z_{1}\right| \leqslant\left|z_{2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left|z_{9}\right|$, 则这样的排列 $\alpha$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 8
Problem: 设 $f(x)=x^{3}+3\left(x^{2}+x+\sin \pi x\right)$, 则 $f(1-\pi)+f(\pi-3)=\qquad$.
Answer: -2
Problem: 设正整数 $a, b, c$ 中任意两个数不互素，且 $a+b+c$ 为素数. 求 $a+b+c$ 的最小值.
Answer: 31
Problem: 小明同学任选一个各项均为非零整数的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，随后他列出 2020 个关于 $x$ 的一元二次方程:
$$
E_{i}: a_{i} x^{2}+a_{i+1} x+a_{i+2}=0(i=1,2, \cdots, 2020),
$$
再将上述每个方程的根都写在黑板上.求此时黑板上两两不同的实根的个数的最大可能值.
Answer: 6
Problem: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$, 定义  
$$  
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot C_{n}^{[x]}+\{x\} \cdot C_{n}^{[x]+1},  
$$  
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ .若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足  
$$  
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123,  
$$  
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值.
Answer: 74
Problem: 设 $a, b>0$ ，满足：关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, 且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 144
Problem: 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{2 x+y \mid x, y \in A, x<y\}, C=\{2 x+y \mid x, y \in A, x>y\}$ ，则 $B \cap C$ 的所有元素之和为 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 设正整数 $n$ 满足 $n \leq 2016$, 且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$. 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 168
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z$ ($\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数) ，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 2016
Problem: 设正整数 $n$ 满足 $n \leqslant 2016$ ，且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$ . 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 168
Problem: 设整数数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 满足 $a_{10}=3 a_{1}, a_{2}+a_{8}=2 a_{5}$, 且 $a_{i+1} \in\left\{1+a_{i}, 2+a_{i}\right\}, i=$ $1,2, \cdots, 9$, 则这样的数列的个数为 $\qquad$.
Answer: 80
Problem: 已知复数 z 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 17
Problem: 设 $f(m)$ 是正整数 m 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.
Answer: 13
Problem: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 8
Problem: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).
Answer: 510555
Problem: 已知 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ 均为实数。若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C$ : $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为 $\odot O$ 的直径，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于两点 $D$ 、 $E$ 。则 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 若实数 $x 、 y$ 满足
$2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$,则 $x+y=$ $\qquad$.
Answer: -2
Problem: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条，则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ （用数字作答）。
Answer: 510555
Problem: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中 [x] 代表不超过 x 的最大整数.
Answer: 1650
Problem: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 2022 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.
Answer: 5
Problem: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为$\qquad$.
Answer: 5
Problem: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有  
$$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$$
求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$. 其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.
Answer: 1650
Problem: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=\qquad$.
Answer: 41
Problem: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 60 的圆排列的个数为 $\qquad$.
Answer: 21600
Problem: Find the smallest positive integer $n$ such that for every integer $m$, with $0<m<1993$, there exists an integer $k$ for which
$$
\frac{m}{1993}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{1994}
$$
Answer: 3987
Problem: 设单调递增数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{7}=120, a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.则 $a_{8}=\qquad.$
Answer: 194
Problem: 若正整数 $m 、 n$ 满足 $\frac{(m+n)!}{n!}=5040$,则 $m!n$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 144
Problem: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{4}=1, a_{11}=9$, 且任意连续三项的和都是 15, 则 $a_{2016}=\qquad$.
Answer: 5
Problem: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{4}=1, a_{11}=9$ ，且任意连续三项的和均为 15. 则 $a_{2016}=$
Answer: 5
Problem: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\qquad$.
Answer: 290
Problem: 设方程 $x y=6(x+y)$ 的全部正整数解为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$. 则
$\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}+y_{k}\right)=\quad.$
Answer: 290
Problem: 设 $n$ 是正整数, 当 $n>100$ 时, $\sqrt{n^{2}+3 n+1}$ 的小数部分的前两位数是 $\qquad$.
Answer: 49
Problem: 已知 i 是虚数单位. 若
$z=1+\mathrm{i}+\cdots+\mathrm{i}^{2013}$,
将复数 $z$ 的共轭复数记为 $\bar{z}$, 则 $z \cdot \bar{z}=$
Answer: 2
Problem: 设 $(1-2 x)^{7}=\sum\limits_{k=0}^{7} a_{k} x^{k}$. 则
$2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5}+6 a_{6}+7 a_{7}=$
Answer: 0
Problem: 设在 $5 \times 5$ 的方格表的第 $i$ 行第 $j$ 列所填的数为 $a_{i j}\left(a_{i j} \in\{0,1\}\right), a_{i j}=a_{j i}(1 \leqslant i、j \leqslant 5)$ .则表中共有五个 1 的填表方法总数为 $\qquad$ （用具体数字作答).
Answer: 326
Problem: 设 $a 、 b$ 为实数，对任意满足 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 的实数 $x$ 均有 $|a x+b| \leqslant 1$.则 $|20 a+14 b|+|20 a-14 b|$的最大值为 $\qquad$.
Answer: 80
Problem: 设 $x+\sin x \cdot \cos x-1=0$ ,$2 \cos y-2 y+\pi+4=0$ . 则 $\sin (2 x-y)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -1
Problem: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, A D=4, P$为矩形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $P A=2$ ， $P C=\sqrt{21}$. 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 对任意正整数 $n$ ，定义函数 $\mu(n)$ ：  
$\mu(1)=1$ ，  
且当 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}} \geqslant 2$ 时,  
$$  
\mu(n)= \begin{cases}(-1)^{t}, & \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{t}=1 ; \\ 0, & \text { 否则, }\end{cases}  
$$  
其中， $t \geqslant 1, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{t}$ 为不同的素数.  
若记 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}$ 为 12 的全部不同正因数的集合，则 $\sum\limits_{i=1}^{k} \mu\left(x_{i}\right)=\qquad$.
Answer: 0
Problem: 设直线 $y=k x+b$ 与曲线 $y=x^{3}-x$ 有三个不同的交点 $A 、 B 、 C$, 且 $|A B|=|B C|=2$. 则 $k$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 设集合 $I=\{1,2, \cdots, 8\}$. 若 $I$ 的非空子集 $A 、 B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，则称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对". 那么，集合 $I$ 的隔离集合对的个数为 $\qquad$ （用具体数字作答).
Answer: 6050
Problem: Let $P(x)=x^{2}-1$. How many distinct real solutions does the following equation have:  
$$  
\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0?  
$$
Answer: 2005
Problem: Find the number of positive integers $x$ satisfying the following two conditions:
1. $x<10^{2006}$;
2. $x^{2}-x$ is divisible by $10^{2006}$.
Answer: 3
Problem: Find all prime numbers $p$ for which there exists a unique $a \in\{1,2, \ldots, p\}$ such that $a^{3}-3 a+1$ is divisible by $p$.
Answer: 3
Problem: Let $V$ be a 10 -dimensional real vector space and $U_{1}$ and $U_{2}$ two linear subspaces such that $U_{1} \subseteq U_{2}, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U_{1}=3$ and $\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U_{2}=6$. Let $\mathcal{E}$ be the set of all linear maps $T: V \longrightarrow V$ which have $U_{1}$ and $U_{2}$ as invariant subspaces (i.e., $T\left(U_{1}\right) \subseteq U_{1}$ and $T\left(U_{2}\right) \subseteq U_{2}$ ). Calculate the dimension of $\mathcal{E}$ as a real vector space.
Answer: 67
Problem: 对任意正整数 $n$, 连结原点 $O$ 与点 $A_{n}(n, n+3)$, 用 $f(n)$ 表示线段 $O A_{n}$ 上的整点个数(不计端点), 试求 $f(1)+f(2)+\cdots+f(1990)$.
Answer: 1326
Problem: 在坐标平面上, 横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点, 对任意正整数 $n$, 连接原点 $O$ 与点 $A_{n}(n, n+3)$, 用 $f(n)$ 表示线段 $O A_{n}$ 上除端点外的整点个数,则 $f(1)+f(2)+\cdots+f(1990)=$ $\qquad$.
Answer: 1326
Problem: $1991^{2000}$ 除以 $10^{6}$ ，余数是 $\qquad$.
Answer: 880001
Problem: 设 复 数 $z_{1}, z_{2}$ 满 足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|=3,\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \sqrt{3}$ ，则$\log _{3}\left|\left(z_{1} \overline{z_{2}}\right)^{2000}+\left(\overline{z_{1}} z_{2}\right)^{2000}\right|=$ $\qquad$.
Answer: 4000
Problem: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|=3,\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \sqrt{3}$, 则 $\log _{3}\left|\left(z_{1} \overline{z_{2}}\right)^{2000}+\left(\overline{z_{1}} z_{2}\right)^{2000}\right|=$ $\qquad$.
Answer: 4000
Problem: 将正奇数集合 $\{1,3,5, \cdots\}$ 由小到大按第 $n$ 组有 $(2 n-1)$ 个奇数进行分组:
$\{1\}, \quad\{3,5,7\}, \quad\{9,11,13,15,17\}, \cdots$
（第一组）（第二组）（第三组）
则 1991 位于第 $\qquad$ 组.
Answer: 32
Problem: 整数 $\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末两位数是 $\qquad$.
Answer: 8
Problem: 三位数 $(100,101, \ldots, 999)$ 共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861 ；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是,因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印 $\qquad$张卡片.
Answer: 34
Problem: 整数 $\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末尾两位数字是$\qquad$.（先写十位数字，后写个位数字，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）
Answer: 8
Problem: 已知点集 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-3)^{2}+(y-4)^{2} \leq\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}, B=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-4)^{2}+(y-5)^{2}>\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$, 则点集 $A \cap B$ 中的整点 （即横、纵坐标均为整数的点）的个数为 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第 1000 项.
Answer: 2186
Problem: 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列, 试求出这个数列的第 1000 项.
Answer: 2186
Problem: 已知点集 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-3)^{2}+(y-4)^{2} \leqslant\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$,
$B=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x-4)^{2}+(y-5)^{2}>\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right.\right\}$. 则点集 $A \cap B$ 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 直角坐标平面上, 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{c}y \leqslant 3 x, \\ y \geqslant \frac{x}{3}, \\ x+y \leqslant 100\end{array}\right.$ 的整点个数是 $\qquad$.
Answer: 2551
Problem: 设 $M=\{1,2,3, \cdots, 1995\}, A$ 是 $M$ 的子集且满足条件：当 $x \in A$ 时， $15 x \notin A$ ，则 $A$ 中元素的个
数最多是 $\qquad$.
Answer: 1870
Problem: 求一切实数 $p$ ，使得三次方程 $5 x^{3}-5(p+1) x^{2}+(71 p-1) x+1=66 p$ 的三个根均为正整数。
Answer: 76
Problem: 在直角坐标平面上, 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 3 x, \\ y \geqslant \frac{1}{3} x, \\ x+y \leqslant 100\end{array}\right.$ 的整点 (即横、纵坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.
Answer: 2551
Problem: 求一切实数 $p$ ，使得三次方程 $5 x^{3}-5(p+1) x^{2}+(71 p-1) x+1=66 p$ 的三个根均为自然数。
Answer: 76
Problem: For what integer $a$ does $x^{2}-x+a$ divide $x^{13}+x+90$?
Answer: 2
Problem: Let $p(x)=2+4x+3x^2+5x^3+3x^4+4x^5+2x^6$. For $k$ with $0<k<5$, deline
$$I_k=\int_{0}^{\infty}\frac{x^k}{p(x)}dx$$.
For which $k$ is $I_k$ smallest.
Answer: 2
Problem: It is well known that the value of the polynomial $(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$ is exactly divisible by $n$ for every integer $x$. Given $n$, let $k=k(n)$ be the minimal degree of any monic integral polynomial
$$
f(x)=x^{k}+a_{1} x^{k-1}+\cdots+a_{k}
$$
(with integer coefficients and leading coefficient 1) such that the value of $f(x)$ is exactly divisible by $n$ for every integer $x$.
Find the relationship between $n$ and $k=k(n)$. In particular, find the value of $k$ corresponding to $n=1000000$.
Answer: 25
Problem: In the additive group of ordered pairs of integers ( $m, n$ ) [with addition defined componentwise: $\left.(m, n)+\left(m^{\prime}, n^{\prime}\right)=\left(m+m^{\prime}, n+n^{\prime}\right)\right]$ consider the subgroup $H$ generated by the three elements
$$
(3,8), \quad(4,-1)
$$
Then $H$ has another set of generators of the form
$$
(1, b), \quad(0, a)
$$
for some integers $a, b$ with $a>0$. Find $a$.
[Elements $g_{i}, \ldots, g_{k}$ are said to generate a subgroup $H$ if (i) each $g_{i} \in H$, and (ii) every $h \in H$ can be written as a sum $h=n_{1} g_{1}+\cdots+n_{k} g_{k}$ where the $n_{i}$ are integers (and where, for example, $3 g_{1}-2 g_{2}$ means $\left.\left.g_{1}+g_{1}+g_{1}-g_{2}-g_{2}\right)\right]$
Answer: 7
Problem: Call a set of positive integers "conspiratorial" if no three of them are pairwise relatively prime. (A set of integers is "pairwise relatively prime" if no pair of them has a common divisor greater than 1.) What is the largest number of elements in any "conspiratorial" subset of the integers I through 16?
Answer: 11
Problem: Call a set of positive integers "conspiratorial" if no three of them are pairwise relatively prime. (A set of integers is "pairwise relatively prime" if no pair of them has a common divisor greater than 1.) What is the largest number of elements in any "conspiratorial" subset of the integers 1 through 16?
Answer: 11
Problem: Find positive integers $n$ and $a_1, a_2,…,a_n$ such that
$$a_1+a_2+…+a_n=1979$$
and the product $a_1a_2…a_n$ is as large as possible.
Answer: 660