ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \cos (n x)$, 记 $A=\int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10A]$=
Answer: 73
Problem: 设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的无穷次可微函数，满足方程 $f^{\prime \prime}(x)=x f(x)$ 。已知 $f(0)=18, f^{\prime}(0)=3$. 设 $f(x)$ 的考克劳林展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$, 则 $\left[\frac{a_{9}}{a_{10}}\right]=$ $\qquad$
Answer: 21
Problem: $S=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}+x^{4}} \mathrm{~d} x$, 则 $\left[100 S^{2}\right]=$ $\qquad$
Answer: 328
Problem: 记 $M_{100}(\mathbb{R})$ 为所有 100 阶实方阵的集合. 设 $S=\left\{A \in M_{100}(\mathbb{R}) \mid A^{4}+A^{2}=\right.$ $O\}$ ，则 $S$ 中最多可以选出 $\qquad$个互不相似的矩阵. (我们称 $A, B \in M_{100}(\mathbb{R})$ 相似,当且仅当 存在可逆的 $P \in M_{100}(\mathbb{R})$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ )
Answer: 1326
Problem: 在空间直角坐标系 $x y z$ 中，先以 $z$ 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，再以 $x$ 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，两次操作后等效于绕某一轴旋转，旋转角为 $\theta(\theta \in(0, \pi])$ ，则  $\left[\tan ^{2} \theta\right]=$ $\qquad$
Answer: 63
Problem: $I=\int_{50}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$, 则 $[-\ln I]=$ $\qquad$
Answer: 2504
Problem: 令 $f(x)=[x]+[2 x]+[3 x]+[4 x]+[5 x]$, 当 $x$ 取遍 $[0,50]$ 中的实数时, $f(x)$ 可取到 $\qquad$个不同的整数值.
Answer: 501
Problem: 现有 20 盘红灯和 10 盘绿灯.初始时，所有灯都是亮着的.我们每次从所有亮着的灯中等可能地随机熄灭一角，直到某一种颜色的灯全部被熄灭为止.用 $a$ 表示停止后仍旧亮着的灯的数目的期望值，则 $[10 a]=$ $\qquad$
Answer: 22
Problem: 设 $V$ 是所有次数不超过 $100$ 的实系数多项式构成的线性空间.令  
$$  
\begin{gathered}  
V_{1}=\left\{f \in V \mid f^{(2 k-1)}(0)=0, k=1,2, \cdots, 50\right\}, \\  
V_{2}=\left\{f \in V \mid f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0, k=70,71, \cdots, 98\right\},  
\end{gathered}  
$$  
则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\qquad$
Answer: 86
Problem: 我们称置换群 $S_{9}$ 中的两个元素 $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ 是共轭的，如果存在 $S_{9}$ 中的元素 $\tau$使得 $\tau^{-1} \sigma_{1} \tau=\sigma_{2}$ .设 $\sigma=(12345) (4567)$, 则 $S_{9}$ 中有 $\qquad$个元素与 $\sigma$ 共轭.
Answer: 15120
Problem: 对正整数 $n \geq 2$ ，定义 $n-1$ 阶 $\lambda$ 矩阵  
$$  
M_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}  
3-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\  
-\lambda & 8-\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\  
-\lambda & -\lambda & 15-\lambda & \cdots & -\lambda \\  
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\  
-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & n^{2}-1-\lambda  
\end{array}\right) , 
$$  
记 $\lambda_{n}$ 为最大的使得 $\operatorname{det}\left(M_{n}(\lambda)\right)=0$ 的实数 $\lambda$. 记 $I=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sup \lambda_{n}$, 则 $[100I]$ = $\quad$
Answer: 133
Problem: $A(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{m!\cdot x^{m} \cdot n!}{(m+n+1)!}$, 则 $\left[100 A\left(\frac{2}{3}\right)\right]=$ $\qquad$.
Answer: 109
Problem: $n \times n$ 矩阵 $A_{n}$ 的主对角元素为 $n$ ，其余元素为 $1$ .已知多项式 $f(x)$ 满足 $f\left(A_{n}\right)=O$对任意 $1 \leqslant n \leqslant 100$ 均成立, 则 $\operatorname{deg} f$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 149
Problem: $5$ 级方阵 $A$ 满足: 第一行元素均为 $1$, 第二行元素从左至右依次为 $1,-1,1,-1,1$,且 $\operatorname{trace}\left(A A^{\prime}\right)=28$. 记 $\operatorname{det} A$ 的最大值为 $M$, 则 $[M]=$ $\qquad$.
Answer: 72
Problem: 正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为 $\qquad$.
Answer: 14
Problem: $M_{n}=\{A \mid A$ 是 $n$ 级实对称矩阵, 且元素取自 $0, \pm 1, \pm 2\}$, 记 $a_{n}$ 为所有 $\operatorname{trace}\left(A^{6}\right)(A \in$ $\left.M_{n}\right)$ 的平均值, $a=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup _{n \geqslant k} \frac{a_{n}}{n^{4}}$, 则 $[a]=$ $\qquad$.
Answer: 40
Problem: 设 $g(x)=\int_{x}^{\pi} \frac{(\sin t)^{5}}{t} \mathrm{~d} t$, 记 $S=\int_{0}^{\pi} g(x) \mathrm{d} x$, 则 $[100 S]=$ $\qquad$.
Answer: 106
Problem: 矩阵  
$$  
\left(\begin{array}{cccccccc}  
10 & -9 & & & & & & -9 \\  
-9 & 10 & -9 & & & & & \\  
& -9 & 10 & -9 & & & & \\  
& & -9 & 10 & -9 & & & \\  
& & & -9 & 10 & -9 & & \\  
& & & & -9 & 10 & -9 & \\  
& & & & & -9 & 10 & -9 \\  
-9& & & & & & -9 & 10  
\end{array}\right)  
$$  
的特征值为 $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{8}$ ，则 $\left[\lambda_{6}\right]=\quad.$
Answer: 22
Problem: 对 $n=5$, 令 $L_{n}=\frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, S=\int_{-1}^{1}\left|L_{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $[|S|]=$ $\qquad$.
Answer: 186
Problem: 将方程 $(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1$ 的全体正整数解 $(k, t)$ 按照从小到大的方式排列，得到序列 $\left\{\left(k_{n}, t_{n}\right)\right\}$ ，则 $k_{6}=$ $\qquad$.
Answer: 3196
Problem: 对矩阵 $M(t)$ ，定义其微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M(t)=B(t)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M_{i j}(t)=B_{i j}(t)$ .矩阵微分方程  
$$  
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} M(t)=A M(t)  ,
$$  
其中  
$$  
A=\left(\begin{array}{lll}  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2 \\  
3 & 2 & 1  
\end{array}\right), \quad M(0)=\left(\begin{array}{lll}  
3 & 2 & 1 \\  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2  
\end{array}\right) , 
$$  
令 $a=\ln |\operatorname{det} M(2)|$ ，则 $[|a|]=$ $\qquad$.
Answer: 14
Problem: 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球.接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球.记 $S_{n}$ 为前 $n$ 次中摸出黑球的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 $S_{100}$ 的期望为 $E$ ，则 $[E]=$ $\qquad$.
Answer: 60
Problem: $I=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{101} x \mathrm{~d} x$ ，则 $\left[\frac{1}{3 I}\right]\qquad$.
Answer: 67
Problem: 对一个复方阵, 定义 $\cos A=I+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} A^{2 n}$ 。记矩阵 $\cos \left(\begin{array}{cc}-5 \pi & 3 \pi \\ -10 \pi & 6 \pi\end{array}\right)$ 的第二行第一列元素为 $x$ ，则 $[|x|]=$ $\qquad$
Answer: 20
Problem: 有 100 个容纳量为 1 的箱子，每个箱子内装有两件货物，共 200 件。现在货物顺序被打乱了，将足够多的箱子放在一条传送带上传送。若某货物能装入该箱子，则装入；若不能，则放入下一个箱子（如货物顺序为 $0.7,0.5,0.5,0.3$ ，则第一个箱子到面前时能放入 0.7 的货物，但不能再放进 0.5 的货物，就将 0.5放入下一个箱子，另一个 0.5 也可放入该箱子， 0.3 放入第三个箱子，这样共需要 3 个箱子）；依此类推，直至所有货物都装箱。求最坏的情况下需要几个箱子？
Answer: 199
Problem: 求 $\left|2+2 \mathrm{e}^{\frac{2}{5} \pi i}+\mathrm{e}^{\frac{6}{5} \pi i}\right|$.
Answer: 5
Problem: $\prod_{k=1}^{6}\left(x^{5}-5 x+k\right)=0$ 有 $\qquad$个实根.
Answer: 13
Problem: 令 $I=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{x-10 \cosh (2 x)} \mathrm{d} x$, 则 $[|\ln I|]=$ $\qquad$.
Answer: 11
Problem: 对于一个实数 $x$, 令 $\{x\}=x-[x]$. 记 $S=\int_{0}^{2024} \min \left(\left\{\frac{x}{8}\right\},\left\{\frac{x}{4}\right\}\right) \mathrm{d} x$, 则 $[S]=$ $\qquad$.
Answer: 759
Problem: 令  
$$  
S=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{m^{2} n}{2^{m}\left(n 2^{m}+m 2^{n}\right)}  
$$  
则 $[100 S]=$ $\qquad$
Answer: 200
Problem: 令 $A, B, C, D, E, F$ 是三阶实方阵, 且  
$$  
\left(\begin{array}{ccc}  
I_{3} & A & C \\  
& I_{3} & B \\  
& & I_{3}  
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}  
I_{3} & D & F \\  
& I_{3} & E \\  
& & I_{3}  
\end{array}\right)  
$$  
已知  
$$  
A=\left(\begin{array}{lll}  
2 & & \\  
& 3 & \\  
& & 4  
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll}  
1 & & 2 \\  
& 2 & \\  
5 & & 1  
\end{array}\right)  
$$  
且 $C=A+B-I$ ，则 $[|\operatorname{det} F|]=$ $\qquad$.
Answer: 60
Problem: 有理数加群 $(\mathbb{Q},+)$ ，记所有分母不超过的 $10$ 的有理数构成的子集为 $G$ ，其对应的陪集 $G \mathbb{Z}$ 记为 $\bar{G}$ ，则 $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ 包含 $\bar{G}$ 的最小子群的阶为 $\qquad$.
Answer: 2520
Problem: 已知圆锥面 $x^{2}+y^{2}=\frac{z^{2}}{3}$, 记沿该圆锥面从 $P(-\sqrt{3}, 3,6)$ 到 $Q(\sqrt{3}, 0,3)$ 的曲线长度的最小为值为 $I$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 60
Problem: 已知椭球体 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leqslant 1$, 记过 $(0,0,1)$ 的平面与该椭球的截面积最大值为 $I$,则 $\left[\frac{100 I^{2}}{\pi^{2}}\right]=$ $\qquad$
Answer: 1152
Problem: 给定 $3 \times 3$ 整数元矩阵
$$
M=\left(\begin{array}{ccc}
11 & 11 & 20 \\
10 & 10 & -8 \\
-10 & 2 & 8
\end{array}\right)
$$
，已知存在整数元矩阵 $P, Q$ ，满足 $\operatorname{det} P$ ， $\operatorname{det} Q \in\{-1,1\}$ ，且 $P M Q$ 为对角矩阵，则 $P M Q$最大元素的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 288
Problem: $\frac{4}{x+1}+\frac{9}{x+2}+\frac{16}{x+3}=(4 x+5)(2-x)$ 有几个正实数解?
Answer: 2
Problem: 已知 $z=\cos \frac{2}{7} \pi+\mathrm{i} \sin \frac{2}{7} \pi$, 求 $\frac{z}{1+z^{2}}+\frac{z^{4}}{1+z^{3}}+\frac{z^{3}}{1+z^{4}}$ 的值.
Answer: -2
Problem: 有六面旗, 两面蓝, 两面红, 两面黄, 除颜色外完全相同, 从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有多少种?
Answer: 180
Problem: 已知 $a, b \in \mathbf{N}^{*}, a+b \leq 2024$, 使得 $a b^{2}+b+7$ 整除 $a^{2} b+a+b$ 的解的 $(a, b)$ 有 $\qquad$组.
Answer: 18
Problem: 在平面直角坐标系内, $M \in\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{200}+\frac{y^{2}}{8} \leq 1\right.\right\}, A(2,1)$, 若 $\Delta O M A$ 的面积不超过 $3$, 则满足条件的整点 $M$ 个数为 $\qquad$.
Answer: 65
Problem: 点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leq 5, y \leq 4, x, y \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$, 则由 $S$ 中的点可组成 $\qquad$个不同的三角形。
Answer: 1056
Problem: 长为正整数 $l$ 的木棒每次都可锯成长均为正整数的 2 段，可连续进行这种操作，但要求任何时刻所有木棒中的最长者长小于最短者长的 2 倍.例如，一根长为 6 的木棒只能截成长均为 3 的两段；一根长为 7 的木棒只能截成长分别为 $2,2,3$ 的三段.试问:长为 30 的木棒最多可锯成多少段?
Answer: 6
Problem: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$, 定义
$$
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot C_{n}^{[x]}+\{x\} \cdot C_{n}^{[x]+1}
$$
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ 。若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足
$$
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123,
$$
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值。
Answer: 74
Problem: 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 20\}, A$ 是 $X$ 的子集， $A$ 的元素个数至少是 2 ，且 $A$ 的所有元素可排成连续正整数，则这样的集合 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 190
Problem: 设 9 元集合 $A=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in\{1,2,3\}\}$, i 是虚数单位. $\alpha=\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{9}\right)$ 是 $A$ 中所有元素的一个排列，满足 $\left|z_{1}\right| \leqslant\left|z_{2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left|z_{9}\right|$ ，则这样的排列 $\alpha$ 的个
$\qquad$.
Answer: 8
Problem: 设函数 $f(x)=\left|2-\log _{3} x\right|$, 正实数 $a, b, c$ 满足 $a<b<c$,且 $f(a)=2 f(b)=2 f(c)$. 求 $\frac{a c}{b}$ 的值.
Answer: 9
Problem: 设集合 $S=\{1,2,3, \cdots, 10\}, S$ 的子集 $A$ 满足
$$
A \cap\{1,2,3\} \neq \varnothing, \quad A \bigcup\{4,5,6\} \neq S,
$$
这样的子集 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 888
Problem: 在边长为 1 的正六边形的六个顶点中随机取出三个顶点, 则这三点中有两点的距离为 $\sqrt{3}$ 的概率为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 设有理数 $r=\frac{p}{q} \in(0,1)$, 其中 $p, q$ 为互素的正整数, 且 $p q$ 整除 3600. 这样的有理数 $r$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 112
Problem: 设函数 $f(x)=\left|2-\log _{3} x\right|$ ，正实数 $a, b, c$ 满足 $a<b<c$ ，且 $f(a)=2 f(b)=$ $2 f(c)$. 求 $\frac{a c}{b}$ 的值.
Answer: 9
Problem: 集合 $A=\{1,2,3\}, X=\{4 x+y \mid x, y \in A\}, Y=\{4 x-y \mid x, y \in A\}$, 则 $X \cap Y$的元素之和为 $\qquad$.
Answer: 48
Problem: 求最大的正整数 $n$, 使得存在 8 个整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ，满足：
$$
\{0,1, \cdots, n\} \subseteq\left\{\left|x_{i}-x_{j}\right| \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\} \cup\left\{\left|y_{i}-y_{j}\right| \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\}.
$$
Answer: 9
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知抛物线 $y=a x^{2}-3 x+3(a \neq 0)$ 的图像与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的图像关于直线 $y=x+m$ 对称，则实数 $a, p, m$ 的乘积为 $\qquad$.
Answer: -3
Problem: 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出 3 名选手。组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为 1 、至多为 3 ，则不同的抽选方式数为 $\qquad$ （结果用数值表示）。
Answer: 837
Problem: 设 $z_{0}$ 为复数, 集合 $A=\left\{z_{0}+\mathrm{i}^{k} \mid k \in \mathbf{Z}\right\}$ （ i 为虚数单位）。若 $A$ 的所有元素之和为 $8+8 \mathrm{i}$,则 $A$ 的所有元素之积为 $\qquad$.
Answer: -65
Problem: 在 $5 \times 5$ 矩阵中, 每个元素都为 0 或 1, 且满足：五行的元素之和都相等,但五列的元素之和两两不等。这样的矩阵的个数为 $\qquad$
Answer: 26400
Problem: 设 $k, l, m$ 为实数, $m \neq 0$, 在平面直角坐标系中, 函数 $y=f(x)=k+\frac{m}{x-l}$的图像为曲线 $C_{1}$, 另一函数 $y=g(x)$ 的图像为曲线 $C_{2}$, 且满足 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于直线 $y=x$ 对称。若点 $(1,4),(2,3),(2,4)$ 都在曲线 $C_{1}$ 或 $C_{2}$ 上, 则 $f(k+l+m)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 。对平面内不在 $\Gamma$ 上的任意一点 $P$ ，记 $\Omega_{P}$ 为过点 $P$ 且与 $\Gamma$ 有两个交点的直线的全体。对任意直线 $l \in \Omega_{P}$, 记 $M, N$ 为 $l$ 与 $\Gamma$ 的两个交点，定义 $f_{P}(l)=|P M| \cdot|P N|$ 。若存在一条直线 $l_{0} \in \Omega_{P}$ 满足: $l_{0}$ 与 $\Gamma$ 的两个交点位于 $y$ 轴异侧, 且对任意直线 $l \in \Omega_{P}$, $l \neq l_{0}$, 均有 $f_{P}(l)>f_{P}\left(l_{0}\right)$, 则称 $P$ 为 "好点". 求所有好点所构成的区域的面积。
Answer: 4
Problem: 集合 $A=\left\{n \mid n^{3}<2022<3^{n}, n \in \mathbf{Z}\right\}$ 的所有元素之和为 $\qquad$.
Answer: 57
Problem: 求具有下述性质的最小正整数 $t$ ：将 $100 \times 100$ 的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过104，则存在一个 $1 \times t$ 或 $t \times 1$ 的矩形，其中 $t$ 个小方格含有至少三种不同颜色。
Answer: 12
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 满足 $\cos A=\sin B=2 \tan \frac{C}{2}$, 则 $\sin A+\cos A$ $+2 \tan A$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 设复数 $z=9+10 i$ ( $i$ 为虚数单位), 若正整数 $n$ 满足 $\left|z^{n}\right| \leq 2023$, 则 $n$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 求具有下述性质的最小正整数 $k$ ：若将 $1,2, \cdots, k$ 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{9}$ 满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}<x_{9}$ ，或者存在 10 个互不相同的蓝色的数 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{10}$ 满足 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{9}<y_{10} 。$
Answer: 408
Problem: 若正实数 $a, b$ 满足 $a^{\lg b}=2, a^{\lg a} \cdot b^{\lg b}=5$, 则 $(a b)^{\lg a b}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 20
Problem: 平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴均相切, 圆心在椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 内，且 $\Omega$ 与 $\Gamma$ 有唯一的公共点 $(8,9)$ 。则 $\Gamma$ 的焦距为 $\qquad$.
Answer: 10
Problem: 将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前若干项依次为 $3,5,7,8,11,13, \cdots)$ ，则该数列的第 2023 项的值为 $\qquad$。
Answer: 4095
Problem: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 2,0,2,4,0,9,0,8 ，则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 591
Problem: 设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 、最小正周期为 5 的函数. 若函数 $g(x)=f\left(2^{x}\right)$ 在区间 $[0,5)$ 上的零点个数为 25 ，则 $g(x)$ 在区间 $[1,4)$ 上的零点个数为 $\qquad$.
Answer: 11
Problem: 设实数 $a, b$ 满足: 集合 $A=\left\{x \in \mathbf{R} \mid x^{2}-10 x+a \leq 0\right\}$ 与 $B=\left\{x \in \mathbf{R} \mid b x \leq b^{3}\right\}$的交集为 $[4,9]$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为2, 0,2,4,0,9,0,8, 则称 $(a, b, c)$ 为 ""幸运数组""，例如（ $9,8,202400)$ 是一个幸运数组。满足 $10<a<b<100$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\ldots-\ldots$
Answer: 291
Problem: 方程 $2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=3$ 的非负整数解共有 $\qquad$组.
Answer: 174
Problem: 在直角坐标系 xoy 中，点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的坐标均为一位的正整数。 $O A$ 与 $x$ 轴正方向的夹角大于 $45^{\circ}, O B$ 与 $x$ 轴正方向的夹角小于 $45^{\circ}, B$ 在 $x$ 轴上的射影为 $B^{\prime}, A$ 在 $y$ 轴上的射影为 $A^{\prime}, \triangle O B B^{\prime}$的面积比 $\triangle O A A^{\prime}$ 的面积大 33.5, 由 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 组成的四位数
$\overline{x_{1} x_{2} y_{2} y_{1}}=x_{1} \cdot 10^{3}+x_{2} \cdot 10^{2}+y_{2} \cdot 10+y_{1}$. 试求出所有这样的四位数, 并写出求解过程。
Answer: 1985
Problem: 方程 $2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=3$ 的非负整数解共有组.
Answer: 174
Problem: 在直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的坐标均为一位正整数, $O A$ 与 $x$ 轴正方向的夹角大于 $45^{\circ}, O B$ 与 $x$ 轴正方向的夹角小于 $45^{\circ}, B$ 在 $x$轴上的射影为 $B^{\prime}, A$ 在 $y$ 轴上的射影为 $A^{\prime}, \triangle O B^{\prime} B$ 的面积比 $\triangle O A^{\prime} A$ 的面积大 33.5. 由 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 组成四位数 $\overline{x_{1} x_{2} y_{2} y_{1}}=x_{1} \cdot 10^{3}+x_{2} \cdot 10^{2}+y_{2} \cdot 10+y_{1}$ 。试求出所有这样的四位数，并写出求解过程。
Answer: 1985
Problem: 在底面半径为 6 的圆柱内, 有两个半径也为 6 的球面, 其球心距为 13, 若作一平面与这二球面相切, 且与圆柱面交成一个椭圆, 则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 $\qquad$.
Answer: 25
Problem: 设 $x 、 y 、 z$ 为非负实数，且满足方程 $4^{\sqrt{5 x+9 y+4 z}}-68 \times 2^{\sqrt{5 x+9 y+4 z}}+256=0$ ，那么 $x+y+z$ 的最大值与最小值的乘积等于 $\qquad$ ；
Answer: 4
Problem: 设 $x, y, z$ 为非负实数，且满足方程 $4^{\sqrt{5 x+9 y+4 z}}-68 \times 2^{\sqrt{5 x+9 y+4 z}}+256=0$ ，那么 $x+y+z$ 的最大值与最小值的乘积等于 $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 在底面半径为 6 的圆柱内, 有两个半径也为 6 的球面，其球心距为 13 。若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面相交成一栯圆，则这个粨圆的长轴长与短轴长之和是 $\qquad$.
Answer: 25
Problem: 设函数 $f_{0}(x)=|x|, f_{1}(x)=\left|f_{0}(x)-1\right|, f_{2}(x)=\left|f_{1}(x)-2\right|$, 则函数 $y=f_{2}(x)$ 的图象与 $x$ 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 设函数 $f_{0}(x)=|x|, f_{1}(x)=\left|f_{0}(x)-1\right|, f_{2}(x)=\left|f_{1}(x)-2\right|$ ，则函数 $f_{2}(x)$ 的图像与 $x$ 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 $S$ 中任意两项相加不是 5 的倍数, 求 $S$ 的元素个数最大值.
Answer: 810
Problem: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 S 中任意两项相加不是 5 的倍数, 求 S 的元素个数最大值.
Answer: 810
Problem: 若集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$ ，且
集合 S 中的任意两个元素之和均不是 5 的倍数，则集合 S 元素个数的最大值是 $\qquad$.
Answer: 1214
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt{\frac{2 n-1}{4 n^{2}+1}}$, 前 n 项和为 $S_{n}$, 求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数.
Answer: 8
Problem: 设 $a, b, c$ 为方程 $x^{3}-3 x^{2}-2 x+1=0$ 的全部复根，则 $\left[\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 74
Problem: 一个 $10 \times 10$ 的数表在初始状态下每个格内均填有数字1，现在对数表进行如下操作：选择某一行或某一列，并将该行（列）中所有格子内的数变为其相反数。对于非负整数 N ，如果可经过有限次操作，使得最终数表中 -1 的个数恰为 N ，则称 N 是 "好的"，则好的 N 的个数为 $\qquad$.
Answer: 29
Problem: 令 $B=\left(\begin{array}{rr}2 & -\frac{1}{2} \\ 3 & -\frac{1}{2}\end{array}\right), x=\binom{1}{1}$. 记 $I=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} x^{T} B^{i} x$, 其中其中 $B^{i}$ 表示 i个 B 相乘，则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
Problem: A 是 10 阶实矩阵, 且 $A^{5}=O$, 则 $\operatorname{rank}(A)$ 的所有可能值之和为 $\qquad$.
Answer: 36
Problem: 记所有2阶实方阵构成的线性空间为 $M_{2}(\mathbb{R})$ ，已知 $A=\left(\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 10 & 7\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ，定义线性变换 $T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T(X)=A X B$ ，则线性边换 $\operatorname{trace}(T)=$ $\qquad$.
Answer: 70
Problem: 求六个元素的置换群 $S_{6}$ 中 6 阶元素的个数。
Answer: 240
Problem: 设取整 $\left[\frac{10^{2022}}{10^{100}-9}\right]$ 被 $10^{n}$ 整除, 则非负整数 n的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 22
Problem: 设 V 为 2022 维实线性空间, $f: V \rightarrow V$ 为线性变换。记 $W_{1}=\{x \in V \mid f(x)=$ $0\}, W_{2}=\{x \in V \mid \exists y \in V, x=f(y)\}$ ，则 $\left(\operatorname{dim} W_{1}\right) \cdot\left(\operatorname{dim} W_{2}\right)$ 的最大可能值为 $\qquad$,其中 $\operatorname{dim}$ 表示实线性空间的维数。
Answer: 1022121
Problem: 记 $\omega_{n}=\exp \left(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n}\right)$ 。已知 n 阶傅里叶矩阵定义为  
$$  
\left[\begin{array}{ccccc}  
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\  
1 & \omega_{n} & \omega_{n}^{2} & \cdots & \omega_{n}^{n-1} \\  
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\  
1 & \omega_{n}^{n-1} & \omega_{n}^{(n-1) \cdot 2} & \cdots & \omega_{n}^{(n-1) \cdot(n-1)}  
\end{array}\right]  
$$  
若 A 为 2022 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 $A^{-1}$ 中 $(338,2)$ 位置的元素的实部的绝对值为 I ，则 $[100000 I]=$ $\qquad$.
Answer: 24
Problem: 设 3 阶实对称矩阵 A 的三个特征值分别为 $-1,-1,2$, 且 $(1,1,-1)^{T}$ 是特征值 2所对应的特征向量。记 A中所有元素的平方之和为 I, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
Problem: 设 V 为关于 x 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合, 且 a为实数。定义 $V$ 到 V 的线性映射 F 为 $F(f)=\left(x^{2} f\right)^{\prime \prime}+f^{\prime}-a f$ 。记 I 为使得 F 不是满射的 a 的所有可能值之和，则 $[I]=$
Answer: 572
Problem: 对正整数 n, 考虑含有 n 阶元的有限非交换群, 记 $a_{n}$ 为这些群的阶的最小可能值.则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\qquad.$
Answer: 26
Problem: 已知下列不等式 $\frac{e^{22 x}+e^{-22 x}}{2} \leq e^{c x^{2}}$ 对所有实数 x 均成立, 则 $[c]$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 242
Problem: 设正实数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 使得对任意定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的三次多项式 $f(x)$ 均有 $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathbf{d} x=$ $c_{1} f(-\pi)+c_{2} f(0)+c_{3} f(\pi)$, 则 $\left[\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{1}}\right]$ 的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设函数 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 并足 $\varphi_{i}^{\prime \prime}(x)-\ln (x+1) \varphi_{i}^{\prime}(x)+e^{x} \varphi_{i}(x)=0, i=1,2, x>-1$. 定义 $w(x)=\varphi_{1}^{\prime}(x) \varphi_{2}(x)-\varphi_{1}(x) \varphi_{2}^{\prime}(x)$. 若 $w(0)=1$, 则 $[w(2)]=$ $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 已知欧拉常数 $\gamma=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 约等于 0.5772156649 。记 $I=\frac{100}{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) \mathrm{d} x}$, 则 $[I]=$ $\qquad$
Answer: 236
Problem: 设 $\ln \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)$ 的考克劳林展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$, 则 $\left[\left|a_{2024}\right|^{-1}\right]=$ $\qquad$
Answer: 674
Problem: 设 V 是所有次数不超过 100 的实系数多项式构成的线性空间。令
$$
\begin{gathered}
V_{1}=\left\{f \in V \mid f^{(2 k-1)}(0)=0, k=1,2, \cdots, 50\right\}, \\
V_{2}=\left\{f \in V \mid f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0, k=70,71, \cdots, 98\right\},
\end{gathered}
$$
则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\qquad$
Answer: 86
Problem: 现有 20 盘红灯和 10 盛绿灯。初始时，所有灯都是亮着的。我们每次从所有亮着 的灯中等可能地随机婂灭一用，直到某一种颜色的灯全部被熄灭为止。用 a 表示停止后 仍旧亮着的灯的数目的期望值，则 $[10 a]=$ $\qquad$
Answer: 22
Problem: 在空间直角坐标系 $x y z$ 中，先以 z 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，再以 x 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，两次操作后等效于绕某一轴旋转，旋转角为 $\theta(\theta \in(0, \pi])$ ，则
$\left[\tan ^{2} \theta\right]=$ $\qquad$
Answer: 63
Problem: 对 $\mathbb{R}^{100}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}\right)$ 和 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{100}\right)$ 定义函数 $f(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}$. 当 $x \neq y$ 时，定义矩阵 $A_{x, y}=\left(a_{i j}\right)$ ，其中 $a_{i j}=$ $\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{j}} f(x, y)(i, j=1,2, \cdots, n)$. 则 $A_{x, y}$ 秩的最小可能值与最大可能值之和为 $\qquad$
Answer: 198
Problem: 我们称置换群 $S_{9}$ 中的两个元素 $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ 是共轭的，如果存在 $S_{9}$ 中的元素 $\tau$使得 $\tau^{-1} \sigma_{1} \tau=\sigma_{2}$ 。设 $\sigma=(12345)$ (4567), 则 $S_{9}$ 中有 $\qquad$个元素与 $\sigma$ 共轭。
Answer: 15120
Problem: 记 $M_{100}(\mathbb{R})$ 为所有 100 阶实方阵的集合. 设 $S=\left\{A \in M_{100}(\mathbb{R}) \mid A^{4}+A^{2}=\right.$ $O\}$ ，则 S 中最多可以选出 $\qquad$个互不相似的矩阵. (我们称 $A, B \in M_{100}(\mathbb{R})$ 相似,当且仅当 存在可逆的 $P \in M_{100}(\mathbb{R})$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ )
Answer: 1326
Problem: 记 $S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{Z}^{4} \mid 0 \leq x, y, z, w \leq 18, x^{2}+y^{2} \equiv z^{2}+w^{2}(\bmod 19)\right\}$,则 S 中有 $\qquad$个元素。
Answer: 7201
Problem: 对正整数 $n \geq 2$ ，定义 $n-1$ 阶 $\lambda$ 矩阵
$$
M_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}
3-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\
-\lambda & 8-\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\
-\lambda & -\lambda & 15-\lambda & \cdots & -\lambda \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & n^{2}-1-\lambda
\end{array}\right)
$$
记 $\lambda_{n}$ 为最大的使得 $\operatorname{det}\left(M_{n}(\lambda)\right)=0$ 的实数 $\lambda$. 记 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \lambda_{n}$, 则 $[100I]$ =
Answer: 133
Problem: $f(x)$ 是 $(0, \infty)$ 上非负的单调递减函数. 对于任意正实数 $t,\{x \in(0,+\infty)$ | $f(x)>t\}$ 为区间, 且长度为 $\frac{\mathrm{c}^{-1}}{\sqrt{t}}$. 记 $I=\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10 I]=$
Answer: 17
Problem: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \cos (n x)$, 记 $A=\int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x$, 则 [10A] $=$
Answer: 73
Problem: 将方程 $(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1$ 的全体正整数解 $(k, t)$ 按照从小到大的方式排列，得到序列 $\left\{\left(k_{n}, t_{n}\right)\right\}$ ，则 $k_{6}=$ $\qquad$。
Answer: 3196
Problem: $I=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{101} x \mathrm{~d} x$ ，则 $\left[\frac{1}{3 I}\right]$
Answer: 67
Problem: $M_{n}=\{A \mid A$ 是 n 级实对称矩阵, 且元素取自 $0, \pm 1, \pm 2\}$, 记 $a_{n}$ 为所有 $\operatorname{trace}\left(A^{6}\right)(A \in$ $\left.M_{n}\right)$ 的平均值, $a=\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{n \geqslant k} \frac{a_{n}}{n^{4}}$, 则 $[a]=$ $\qquad$.
Answer: 40
Problem: 对一个复方阵, 定义 $\cos A=I+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} A^{2 n}$. 记矩阵 $\cos \left(\begin{array}{cc}-5 \pi & 3 \pi \\ -10 \pi & 6 \pi\end{array}\right)$ 的第二行第一列元素为 x ，则 $[|x|]=\qquad$.
Answer: 20
Problem: 设 $g(x)=\int_{x}^{\pi} \frac{(\sin t)^{5}}{t} \mathrm{~d} t$, 记 $S=\int_{0}^{\pi} g(x) \mathrm{d} x$, 则 $[100 S]=\qquad$.
Answer: 106
Problem: $n \times n$ 矩阵 $A_{n}$ 的主对角元素为 n ，其余元素为 1. 已知多项式 $f(x)$ 满足 $f\left(A_{n}\right)=O$ 对任意 $1 \leqslant n \leqslant 100$ 均成立, 则 $\operatorname{deg} f$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 149
Problem: 矩阵  
$$  
\left(\begin{array}{cccccccc}  
10 & -9 & & & & & & -9 \\  
-9 & 10 & -9 & & & & & \\  
& -9 & 10 & -9 & & & & \\  
& & -9 & 10 & -9 & & & \\  
& & & -9 & 10 & -9 & & \\  
& & & & -9 & 10 & -9 & \\  
& & & & & -9 & 10 & -9 \\  
-9& & & & & & -9 & 10  
\end{array}\right)  
$$  
的特征值为 $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{8}$ ，则 $\left[\lambda_{6}\right]=\qquad.$
Answer: 22
Problem: 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球。接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球. 记 $S_{n}$ 为前 n 次中摸出黑球的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 $S_{100}$ 的期望为 E ，则 $[E]=\qquad$.
Answer: 60
Problem: 对矩阵 $M(t)$ ，定义其微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M(t)=B(t)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M_{i j}(t)=B_{i j}(t)$. 矩阵微分方程  
$$  
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} M(t)=A M(t),  
$$  
其中  
$$  
A=\left(\begin{array}{lll}  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2 \\  
3 & 2 & 1  
\end{array}\right), \quad M(0)=\left(\begin{array}{lll}  
3 & 2 & 1 \\  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2  
\end{array}\right),  
$$  
令 $a=\ln |\operatorname{det} M(2)|$ ，则 $[|a|]=\qquad$.
Answer: 14
Problem: 5 级方阵 A 满足: 第一行元素均为 1, 第二行元素从左至右依次为 $1,-1,1,-1,1$,且 $\operatorname{trace}\left(A A^{\prime}\right)=28$. 记 $\operatorname{det} A$ 的最大值为 M, 则 $[M]=\qquad$.
Answer: 72
Problem: 对于一个实数 x, 令 $\{x\}=x-[x]$. 记 $S=\int_{0}^{2024} \min \left(\left\{\frac{x}{8}\right\},\left\{\frac{x}{4}\right\}\right) \mathrm{d} x$, 则 $[S]=$ $\qquad$.
Answer: 759
Problem: 给定 $3 \times 3$ 整数元矩阵  
$$  
M=\left(\begin{array}{ccc}  
11 & 11 & 20 \\  
10 & 10 & -8 \\  
-10 & 2 & 8  
\end{array}\right)  
$$  
，已知存在整数元矩阵 $P, Q$ ，满足 $\operatorname{det} P$ ， $\operatorname{det} Q \in\{-1,1\}$ ，且 $P M Q$ 为对角矩阵，则 $P M Q$最大元素的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 288