ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 棋盘上有一只羚羊棋子，它可以从格 (x_1,y_1) 跳到格 (x_2,y_2)，当且仅当 \{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}=\{3,4\}. 将 1\sim10^{12} 任意填在一个 10^6\times10^6 的方格表中，每个数恰填在一个格中. 用 D 表示形如 |a-b| 的数的集合，其中羚羊棋子能从 a,b 所在格中的一个跳到另一个. 求填数的方法数，使得 D 中恰有 4 个元素.
Answer: 8
Problem: 设 a_1<a_2<\cdots<a_{2024} 是正整数等差数列，b_1<b_2<\cdots<b_{2024} 是正整数等比数列. 求同时出现在两个数列中的整数个数的最大可能值.
Answer: 11
Problem: 对于坐标平面上的点 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)，记 d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|. 称无序点对 (A,B) 是"和谐的"，如果 1<d(A,B)\leq2. 求在平面上的 100 个点中，和谐的点对个数的最大值.
Answer: 3750
Problem: 若方程 \log_2\left(k\left(x-\df{1}{2}\right)\right)=2\log_2\left(x+\df{1}{2}\right) 仅有一个实根，则满足条件的 k 的最大值等于__________.
Answer: 4
Problem: 设 \triangle ABC 的三个内角分别为 A,B,C，假设(\sin A\cos B+\sin B\cos C+\sin C\cos A)^2的最大值为 \alpha. 将 \alpha 写成最简分数后，其分子分母之和为__________.
Answer: 43
Problem: 已知函数 f:\bR\rightarrow\bR，使得任取实数 x,y,z 都有f(xy)+f(xz)-2f(x)f(yz)\geq\df{1}{2},则 [1\cdot f(1)]+[2\cdot f(2)]+\cdots+[2022\cdot f(2022)]=__________.（其中 [x] 表示不大于 x 的最大整数）
Answer: 1022121
Problem: 有__________组整数 (m,n) 满足 m^2-11mn-8n^2=88.
Answer: 0
Problem: 已知 x,y,z 是 3 个大于等于 1 的实数，那么\left(\df{\sqrt{x^2(y-1)^2+y^2}}{xy}+\df{\sqrt{y^2(z-1)^2+z^2}}{yz}+\df{\sqrt{z^2(x-1)^2+x^2}}{xz}\right)^2的最小值写成最简分数后的分子分母之和是__________.
Answer: 11
Problem: 在 \triangle ABC 中，\angle A>90^\circ，\angle B=20^\circ，作 AD\bot AB 交 BC 于点 D. 已知 AB=1, CD=4，设 S 为 \triangle ABC 的面积，则 S^2 写成最简分数之后，分子分母之和为__________.
Answer: 7
Problem: 满足 x^4-x^3-2\sqrt{5}x^2-7x^2+\sqrt{5}x+3x+7\sqrt{5}+17=0 的所有正实数 x 的整数部分之和是__________.
Answer: 5
Problem: 方程 \df{1}{x^2}+\df{1}{y}+\df{1}{z}=\df{4}{3} 有__________组整数解.
Answer: 14
Problem: 设递推数列 \{x_n\} 满足：x_{n+1}=x_n^2-4x_n, n=1,2,\cdots. 如果对任意的首项 x_1\in\bR 且 x_1\neq0，数列中一定存在某项 x_k\geq b，则不超过 (2b-3)^2 的最大整数是__________.
Answer: 21
Problem: 对实数 x_1,x_2,\cdots,x_{19}，不超过f(x_1,x_2,\cdots,x_{19})=\ds{k_1=0}{1}\ \ds{k_2=0}{1}\cdots\ds{k_{19}=0}{1}|k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_{19}x_{19}-1|的最小值的最大整数为__________.
Answer: 92378
Problem: 有__________个不超过 2020 的正整数 k，满足对任意的正整数 n，均有3^{(k-1)n+1}\nmid\left(\df{(kn)!}{n!}\right)^2.
Answer: 7
Problem: 甲在平面上画了一个正 2021 边形，乙在每个顶点上标一个实数，满足相邻两个顶点的标数至多差 1. 对标数至多差 1 的不相邻的两个顶点，甲在它们之间连一条对角线. 用 d 表示甲连对角线的条数，求 d 的最小可能值.
Answer: 2018
Problem: 对正整数 n，记 g(n) 为 n 与 2015 的最大公约数. 求满足下列条件的有序三元数组 (a,b,c) 的个数：(1) a,b,c\in\{1,2,\cdots,2015\}；(2) g(a), g(b), g(c), g(a+b), g(b+c), g(c+a), g(a+b+c) 两两不同.
Answer: 138240
Problem: 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形其面积值是周长值的 999 倍？（全等的两个三角形看作相同的）
Answer: 42
Problem: 求最大的正整数 n，使得存在正整数数列 a_1, a_2, \cdots, a_n，满足对2\leq k\leq n-1，有 a_{k+1}=\df{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1.
Answer: 4
Problem: 求同时满足下列两个条件的多项式 f(x)=ax^3+bx 的个数：(1) a,b\in\{1,2,\cdots,2013\}；(2) f(1),f(2),\cdots,f(2013) 中任意两数之差都不是 2013 的倍数.
Answer: 7200
Problem: 设集合 A=\{2,3,4,\cdots,4050\}，集合 B=\{(a,b)\ |\ \log_ab+8\log_ba=6,a\in A,b\in A\}，则集合 B 的元素个数为__________.
Answer: 68
Problem: 设复数 z 满足 \df{4z-2}{2\overline{z}-1}+|z|^2=0，则 |z+1| 的值为__________.
Answer: 2
Problem: 平面上同时和三直线 y=\df{3}{4}x, y=-\df{4}{3}(x-5), y=0 相切的所有圆的半径的乘积为__________.
Answer: 36
Problem: 已知正整数 n 的所有正因数排列为：1=d_1<d_2<d_3<\cdots，则在 1, 2, 3, \cdots, 2024 中使得 d_{10}=88 的所有数之和为__________.
Answer: 2376
Problem: 实数 a,b,c 满足 ab+bc+ca=44，求 (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4) 的最小值.
Answer: 6400
Problem: 若 3 个整数 a,b,c 满足 a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+3c，则这样的有序整数组 (a,b,c) 共有__________组.
Answer: 14
Problem: 将正整数 1,2,\cdots,100 填入 10\times10 方格表中，每个小方格恰好填 1 个数，要求每行从左到右 10 个数依次递减，对 1\leq i\leq 10，记第 i 行的 10 个数之和为 S_i. 设 n\in\{1,2,\cdots,10\} 满足：存在一种填法，使得 S_1, S_2, \cdots, S_{10} 均大于第 n 列上的 10 个数之和，求 n 的最小值.
Answer: 5
Problem: 如果关于 x 的三次方程 x^3=ax+a+1 有满足 |x|<1000 的偶数根，求实数 a 的个数.
Answer: 999
Problem: 求最小的正整数 n，使得对于任意和为 2007 的正整数数列 a_1,a_2,\cdots,a_n，其中必有连续若干项之和等于 30.
Answer: 1018
Problem: 已知非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2022} 满足对 i=1, 2, \cdots, 2022，均有(a_i+2a_{i+1})^2+a_i\geq38(a_{2023}=a_1).求 \ds{i=1}{2022}a_i 的最小值.
Answer: 4044
Problem: 设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面. 某些点之间连有线段，记 E 为这些线段构成的集合. 求最小的正整数 n，满足条件：若 E 至少有 n 个元素，则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
Answer: 2795
Problem: 求最小的正整数 m，使得对任意整数 A,B，存在多项式 f(x)，满足 f(-2)=A,f(-3)=B，且 f(x) 的各项系数都是不超过 m 的非负整数.
Answer: 5
Problem: 集合 \{0,1,2,\cdots,2012\} 中有多少个元素 k，使得 \text{C}_{2012}^k 是 2012 的倍数？
Answer: 1498
Problem: 对正整数 n，定义函数f(n)= \begin{cases} 0,&\text{当  }  n \text{ 是 平 方 数 },\\
  \left[\df{1}{\{\sqrt{n}\}}\right],&\text{当  }  n \text{ 不 是 平 方 数 }, \end{cases}其中 \{x\}=x-[x]. 求 \ds{k=1}{240}f(k) 的值.
Answer: 768
Problem: 求所有的正整数 n，使得存在正整数 a,b，满足 a^2+b+3 不能被任何质数的立方整除，且n=\df{ab+3b+8}{a^2+b+3}.
Answer: 2
Problem: 已知集合 A=\{1,2,\cdots,10\}. 定义函数 f:A\rightarrow A，满足：(1) 对任意 x,y\in A，若 x\leq y，则 f(x)\leq f(y)；(2) f(3)=4. 这样的函数 f 的个数为__________.
Answer: 17160
Problem: 已知复数 z 满足 |z|=1，则 f(z)=|z^5+\overline{z}^3+6z|-2|z^4+1| 的最小值为__________.
Answer: 3
Problem: 在边长为 1 的正六边形的六个顶点中随机取出三个顶点，则这三点中有两点的距离为 \sqrt{3} 的概率为__________.
Answer: 1
Problem: 设集合 S=\{1,2,\cdots,10\}，S 的子集 A 满足 A\cap\{1,2,3\}\neq\emptyset,A\cup\{4,5,6\}\neq S，这样的子集 A 的个数为__________.
Answer: 888
Problem: 一个"位置"是指直角坐标平面上的一个点 (x,y)，其中 x,y 都是不超过 20 的正整数.最初时，所有 400 个位置都是空的. 甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行. 每次轮到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于 \sqrt{5}. 每次轮到乙时，他在任意一个空的位置上摆上一个新的蓝色石子，蓝色石子所在位置与其它石子所在位置之间的距离可以是任意值. 如此这般进行下去直至某人无法再摆放石子.求最大的整数 k，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放 k 个红色石子.
Answer: 100
Problem: 给定六个实数 x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6. 已知其中任意三个的和互不相同，记为 s_1<s_2<\cdots<s_{20}. 若 x_2+x_3+x_4=s_{11},x_2+x_3+x_6=s_{15}，且 x_1+x_2+x_6=s_m，求 m 的所有可能值.
Answer: 7
Problem: 对每个正整数 n，定义集合 P_n=\{n^k\ |\ k=0,1,2,\cdots\}. 对于正整数 a,b,c，若存在某个正整数 m，使得 a-1, ab-12, abc-2015 均属于集合 P_m，则称正整数组 (a,b,c) 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数.
Answer: 25
Problem: 在直径为 \sqrt{2}+1，高为 8 的圆柱形桶内装直径为 1 的球，最多可装__________个.
Answer: 36
Problem: 数列 \{a_n\} 为：1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, \cdots. 即先取 a_1=1，接着复制该项粘贴在后面作为 a_2，并添加后继数 2 作为 a_3，再复制所有项 1, 1, 2 并粘贴在后面作为 a_4, a_5, a_6，并添加后继数 3 作为 a_7, \cdots. 依次继续下去，则 a_{2021}=__________.
Answer: 1
Problem: 在 xy 平面中，横纵坐标均介于 1\sim2000 的整点称为好点. 对任意四点 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3), D(x_4,y_4)，称折线 ABCD 为 Z 形折线，如果 (1) A, B, C, D 都是好点；(2) x_1<x_2, y_1=y_2；(3) x_2>x_3, y_2-x_2=y_3-x_3；(4) x_3<x_4, y_3=y_4. 求最小的正整数 n，使得存在 Z 形折线 Z_1, Z_2, \cdots, Z_n，满足任意好点 P 都在某个 Z_i 上.
Answer: 1333
Problem: 已知不等式 |ax^2+bx+a|\leq x 对 x\in[1,2] 恒成立，则 3a+b 的最大值为__________.
Answer: 3
Problem: 在数列 \left[\df{1^2}{2019}\right], \left[\df{2^2}{2019}\right], \cdots, \left[\df{2019^2}{2019}\right]  中，共有__________个互不相等的整数.
Answer: 1515
Problem: 在正方体的每个面上随机填入 1,2,\cdots,6 中的一个数字（各个面上的数字互不相同）. 再对八个顶点进行编号，使得每个顶点的编号数为其相邻三个面上的数字之积. 则八个顶点的编号数之和的最大值为__________.
Answer: 343
Problem: 设 S=\{1,2,\cdots,98\}. 求最小正整数 n，使得 S 的任一 n 元子集中都可以选出 10 个数，无论怎样将这 10 个数均分成两组，总有一组中存在一个数与另外 4 个数都互质，而另一组中总有一个数与另外 4 个数都不互质.
Answer: 50
Problem: 将一个空心的 2020\times2020\times2020 的正方体的六个面均分割成 2020\times2020 个单位小正方形. 一个实心的 1\times1\times2020 的长方体称为一块"积木"，在正方体内放入若干块积木，满足：(1) 每块积木的两个 1\times1 的面与正方体一组相对面上的两个单位正方形重合（放置一块积木有 3\times2020^2 种方式）；(2) 任两块积木没有公共的内点；(3) 每块积木的四个 1\times2020 的面要么与正方体的某个面有公共的内点，要么与另一块积木的某个 1\times2020 的面有公共的内点.求所放置积木块数的最小可能值.注：积木的内点指的是积木中不在面和棱上的点，面的内点指的是面中不在面的边界上的点.
Answer: 3030
Problem: 设 p 是奇质数，集合A=\{a\in\{1,2,\cdots,p-1\}\ |\ a\ \text{和 }\ 4-a\ \text{都 是 模 }\ p\ \text{的 二 次 非 剩 余 }\}.求 A 中所有元素之积模 p 的余数.
Answer: 2
Problem: 设 (a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_{100},b_{100}) 是不同的非负整数对. 用 N 表示满足 1\leq i<j\leq100 且 |a_ib_j-a_jb_i|=1 的数对 (i,j) 的个数. 求 N 的最大可能值.
Answer: 197
Problem: 设数列 \{a_n\} 满足：(1) a_1 是完全平方数；(2) 对任意正整数 n，a_{n+1} 是使 2^na_1+2^{n-1}a_2+\cdots+2a_n+a_{n+1} 为完全平方数的最小的正整数. 若存在正整数 s，使得 a_s=a_{s+1}=t，求 t 的最小可能值.（1a2b3c）
Answer: 31
Problem: 设 A 是平面内 6 个点组成的集合，记 n(A) 为经过 A 中至少 3 个点的单位圆的个数. 求 n(A) 的最大可能值.
Answer: 8
Problem: 设 P 是一个凸 2019 边形，任意三条对角线在形内不交于一点. 称 P 的对角线在形内的交点为"结点"，问：最多可以选取多少个结点，使得它们之间不存在一个圈？这里一个圈的任意两个相邻结点必须位于同一条对角线上，且在每条对角线上最多有一个圈上的两个结点.
Answer: 2035151
Problem: 设 p 是质数且 \df{28^p-1}{2p^2+2p+1} 是整数. 求 2p^2+2p+1 的正因数个数的所有可能值.
Answer: 2
Problem: 在一个 3\times3 的方格表中，若 9 个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一. 任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有 2 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法数种数为__________.（用具体数字作答）
Answer: 3816
Problem: 关于 x,y 的方程 x^2+y^2=2023 的整数解所构成的集合 \{x,y\} 的个数为__________.
Answer: 0
Problem: 若 z=\df{(3i-4)^2(i-\sqrt{7})^8}{(i-1)^{12}}，则 |z|=__________.
Answer: 1600
Problem: 设函数 f(x)=(x^2+ax+1)\ln x，过点 (1,0) 作其切线 y=g(x). 若对任意 x\geq 1，均有 f(x)\geq g(x)，则实数 a 的最小可能值为__________.
Answer: -2
Problem: 记集合 A=\{1,2,\cdots,2023\}，存在集合 B\subseteq A，且 B 中任意两个元素之和不是 5 的倍数；存在集合 C\subseteq B，且 C 中元素均为完全平方数. 则 |C| 的最大值为__________.
Answer: 19
Problem: 求最小的正整数 n，使得对至少两个奇质数 p，有\ds{k=1}{n}(-1)^{\nu_p(k!)}<0.
Answer: 229
Problem: 有 8 块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京. 从 8 块不同的积木中按顺序任取 n 块积木（2\leq n\leq 8），D_n 表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则 \displaystyle\max_{2\leq n\leq 8}D_n=__________.
Answer: 240
Problem: 求最小的正整数 k，使得对集合 S=\{1,2,\cdots,2012\} 的任意一个 k 元子集 A，都存在 S 的三个不同的元素 a,b,c，使得 a+b, b+c, c+a 均在 A 中.
Answer: 1008
Problem: 设 P 是正 2006 边形. 如果 P 的一条对角线的两端将 P 的边界分成两部分，每部分都包含 P 的奇数条边，那么称该对角线为"好边". 规定 P 的每条边均为好边. 问：在 P 的任意一个三角剖分中，最多有多少个有两条好边的等腰三角形？
Answer: 1003
Problem: 设多项式 f(x)=x^{2020}+\ds{i=0}{2019}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，求 N 的最大值.
Answer: 10
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{17} 是 1, 2, \cdots, 17 的一个排列，且满足(a_1-a_2)(a_2-a_3)\cdots(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}.求正整数 n 的最大值.
Answer: 6
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x^3-ax 有两条互相平行的切线. 若这两条切线的斜率均为 1，且两条切线之间的距离为 8，则实数 a 的值为__________.
Answer: 5
Problem: 十进制六位数 \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} 中，每个数码 a_i(1\leq i\leq 6) 都是奇数，且其中出现的数码 1 不允许相邻（例如，135131，577797 满足条件，而 311533 不满足条件），则这种六位数的个数是__________.
Answer: 13056
Problem: 求最小的整数 t>3，使得存在两个正整数 m,n，满足：m,n 都恰有 t 个正约数，且若将 m 的正约数从小到大排列为 c_1, c_2, \cdots, c_t（其中 c_1=1, c_t=m），将 n 的正约数从小到大排列为 d_1, d_2, \cdots, d_t（其中 d_1=1, d_t=n），则存在一个整数 2\leq r\leq t-2，使得(-1)^i(c_i-d_i)\begin{cases} >0,&i=2,\cdots,r,\\ <0,&i=r+1,\cdots,t.\end{cases}
Answer: 9
Problem: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8 个座位，用 (i,j) 表示位于第 i 排第 j 列的座位. 新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 (i,j)，如果调整后的座位为 (m,n)，则称该生作了移动 [a,b]=[i-m,j-n]，并称 a+b 为该生的位置数. 所有学生的位置数之和记为 S，求 S 的最大值与最小值之差.
Answer: 24
Problem: 在桌子上放着一排空盒子 B_1,B_2,\cdots,B_{60} 以及无限供应的鹅卵石. 对正整数 n，甲乙两人进行如下的游戏.初始时甲取出 n 块鹅卵石并将它们任意分配到 60 个盒子中. 接下来的每个回合都由以下两步组成：(a) 乙选择一个整数 1\leq k\leq59，并将盒子分成两组：B_1, \cdots, B_k 和 B_{k+1},\cdots,B_{60}；(b) 甲选择其中一组，向其中的每个盒子中都放入一块鹅卵石，并从另外一组的每个盒子中取出一块鹅卵石.若在某个回合结束时，某个盒子中没有鹅卵石，则乙获胜. 求最小的 n，使得甲能够使乙永远不获胜.
Answer: 960
Problem: 设有理数 r=\df{p}{q}\in(0,1)，其中 p,q 为互质的正整数，且 pq 整除 3600. 这样的有理数 r 的个数为__________..
Answer: 112
Problem: 对实数 x，记 \{x\}=x-[x]. 令S=\int_0^{2024}\min\left(\left\{\df{x}{8}\right\},\left\{\df{x}{4}\right\}\right)\dd x,则 [S]=__________.
Answer: 759
Problem: 已知圆锥面 x^2+y^2=\df{z^2}{3}，记沿该圆锥面从 P(-\sqrt{3},3,6) 到 Q(\sqrt{3},0,3) 的曲线长度的最小值为 I，则 [10I]=__________.
Answer: 60
Problem: 令 A,B,C,D,E,F 是三阶实方阵，且\begin{pmatrix} I_3& A& C\\ &I_3& B\\ &&I_3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} I_3& D& F\\ &I_3& E\\ &&I_3\end{pmatrix}.已知A=\begin{pmatrix} 2&&\\ &3&\\ &&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1&&2\\ &2&\\ 5&&1\end{pmatrix},且 C=A+B-I，则 [|\det F|]=__________.
Answer: 60
Problem: 令S=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=1}{\infty}\df{m^2n}{2^m(n2^m+m2^n)},则 [100S]=__________.
Answer: 200
Problem: \displaystyle\prod_{k=1}^6(x^5-5x+k)=0 有__________个实根.
Answer: 13
Problem: 对矩阵 P，定义 e^P=I+\ds{m=1}{\infty}\df{1}{m!}P^m. 设 20 阶实矩阵 A 满足 e^A=I_{20}，且特征值的模长不超过 20，则这样的互不复相似的 A 有__________个.
Answer: 286
Problem: 对于有理数加群 (\bQ,+)，记所有分母不超过 10 有理数对应的象构成的集合是 A. 设包含 A 的最小群是 G，则 G 的阶为__________.
Answer: 2520
Problem: 设 V 是 10 维列向量构成的内积空间，其中对 v=(v_1,v_2,\cdots,v_{10})^T, w=(w_1,w_2,\cdots,w_{10})^T，v,w 的内积 \langle v,w\rangle=\ds{i=1}{10}v_iw_i.对 u\in V，定义 V 上的线性变换 P_u 如下：P_u:V\rightarrow V,\quad x\mapsto x-\df{2\langle x,u\rangle u}{\langle u,u\rangle}.给定 v,w\in V，满足0<\langle v,w\rangle<\sqrt{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle}.记 Q=P_v\circ P_w，则所有满足 P\circ Q=Q\circ P 的线性变换 P:V\rightarrow V 构成的线性空间的维数是__________.
Answer: 66
Problem: 设 5\times5 矩阵 A 的元素均取自 \{0,1,\cdots,14\}，满足 (\det A,15)=1 的矩阵 A 的个数记为 N，则 \nu_2(N)=__________.
Answer: 23
Problem: 给定 3\times3 整数元矩阵M=\begin{pmatrix} 11&11&20\\ 10&10&-8\\ -10&2&8\end{pmatrix},已知存在整数元矩阵 P,Q，满足 \det P, \det Q\in\{-1,1\}，且 PMQ 为对角矩阵，则 PMQ 的最大元素为__________.
Answer: 288
Problem: 令 I=\displaystyle\sqrt{\df{2}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x-10\cosh(2x)}\dd x，则 [|\ln I|]=__________.
Answer: 11
Problem: 已知椭球体 \df{x^2}{6}+\df{y^2}{9}+z^2\leq 1，记过 (0,0,1) 的平面与该椭球的截面积最大值为 I，则 \left[\df{100I^2}{\pi^2}\right]=__________.
Answer: 1152
Problem: 一次会议共有 24 名代表参加，每两名代表之间要么握手一次，要么不握手. 会议结束后发现，总共出现了 216 次握手，且对任意相互握过手的两名代表 P,Q，在剩下的 22 名代表中，恰与 P,Q 之一握过手的代表不超过 10 名. 一个"朋友圈"指的是会议中三名两两之间握过手的代表所构成的集合. 求这 24 名代表中朋友圈个数的最小值.
Answer: 864
Problem: 无锡市有 100 个景点，各景点每接待 1 名游客则景点在旅游局积 1 分. 现在共有 100 名游客在 100 天的旅游季内参观这些景点. 每天若干人出门参观互不相同的景点，且每名游客自行决定参观一个景点或休息不参观. 在旅游季结束时，旅游局发现任何一名游客未曾在不同的两天里参观同一个景点，且任何两名曾在同一天出门的游客均未曾参观过同一个景点. 求各景点该旅游季在旅游局获得的最大可能积分总和.（董子超供题）
Answer: 1000
Problem: 求最小的正整数 n，使得存在 n 个不同的正整数 s_1, s_2, \cdots, s_n，满足\left(1-\df{1}{s_1}\right)\left(1-\df{1}{s_2}\right)\cdots\left(1-\df{1}{s_n}\right)=\df{51}{2010}.
Answer: 39
Problem: 若存在正整数 a,b，使得 \df{k}{2023}(a+b)=[a,b]，则整数 k 的个数为__________.
Answer: 1011
Problem: 对一个立方体，T 为连接两个顶点的线段的集合. 则 T 中垂直线段对的个数减去平行线段对的个数等于__________.
Answer: 108
Problem: 某马戏团有 n 个小丑，他们每个人均用 12 种不同颜色中的至少 5 种装扮自己. 一天，马戏团经理要求任意两个小丑所用的颜色不能完全相同，并且每种颜色最多只能由 20 个小丑使用. 在满足经理要求的情况下，求 n 的最大值.
Answer: 48
Problem: 某次会议共有 30 人参加，已知每个人在其余人中至多有 5 个熟人，且任 5 人中存在两人不是熟人. 求最大的正整数 k，使得在满足上述条件的 30 人中总存在 k 个两两不是熟人.
Answer: 6
Problem: 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 满足对任意 2\leq i\leq 99，有 \max\{a_{i-1}+a_i,a_i+a_{i+1}\}\geq i. 求 a_1+a_2+\cdots+a_{100} 的最小值.
Answer: 1683
Problem: 一个 100\times100 方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪. 老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）. 现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板. 称一种放置隔板的方式是"仁慈的"，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪. 求最小的正整数 n，使得对任意一种"仁慈的''放置 2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 n 次移动吃到奶酪.
Answer: 2220
Problem: 求最大的正整数 k，使得存在正整数 a，满足 2^{x_1}-1, 2^{x_2}-1, \cdots, 2^{x_k}-1 都是质数，其中数列 \{x_n\} 定义为： x_1=a，x_{n+1}=2x_n+1,n\geq1.
Answer: 2
Problem: 展览馆中有 2015 幅画在展出. 每位观众选择一对画，并将它们的名字写在同一张纸上. 一个艺术家从这张纸中选择一些画对，并评判每对中哪幅画更好. 之后助手按下述规则继续评判：在每一步中，如果对某个正整数 n，在画对 (A_1,A_2) 中 A_1 比 A_2 好，在画对 (A_2,A_3) 中 A_2 比 A_3 好，\cdots\cdots，在画对 (A_{n-1},A_n) 中 A_{n-1} 比 A_n 好，则助手可以在画对 (A_1,A_n) 中评判 A_1 比 A_n 好. 求最小的正整数 k，使得无论纸上写了哪些画对，艺术家都可以对其中的 k 对评判，使得助手能在有限步内对余下所有的画对评判.
Answer: 2014
Problem: 某国有 36 座城市和 5 家航空公司，任意两座城市之间恰由一家航空公司执行双向飞行的航班. 如果一家航空公司在城市 A, B 与 B, C 之间均执行航班，则称三元组 (A,B,C) 是"恰当连通的". 求最大的正整数 k，使得至少有 k 个三元组是恰当连通的.
Answer: 3780
Problem: 设实数 a,b,c,d 满足 b-d\geq5，实数 x_1,x_2,x_3,x_4 是多项式 P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 的根，求 (x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1) 的最小值.
Answer: 16
Problem: 设集合 X=\{1,2,\cdots,100\}，函数 f:X\rightarrow X 满足(1) 对任意 x\in X，f(x)\neq x；(2) 对 X 的任意一个 40 元子集 A，A\cap f(A)\neq\emptyset；求最小的正整数 k，使得对任意满足上述条件的函数 f，都存在 X 的 k 元子集 B，使得 B\cup f(B)=X.
Answer: 69
Problem: 已知一个凸 2010 边形的任意三条对角线不在其内部交于一点. 考虑经过 2010 边形的每个顶点恰一次的闭折线，求该闭折线自交点的数目的最大值.注：闭折线是指由点 P_1,P_2,\cdots,P_n 及线段 P_1P_2, P_2P_3, \cdots,P_nP_1 构成的图形.
Answer: 2016031
Problem: 有 10 个互不相同的正实数，考虑它们两两的和与积（各 45 个）. 已知这些和中有 5 个相等，求最大的正整数 k，使得这些积中有 k 个相等.
Answer: 4
Problem: 若正实数 x,y 满足 x-2\sqrt{y}=\sqrt{2x-y}，则 x 的最大值为__________.
Answer: 10
Problem: 设 x_1,x_2,x_3,x_4 均是正整数，且 \{x_ix_jx_k\ |\ 1\leq i<j<k\leq 4\}=\{18,36,54\}. 则 x_1+x_2+x_3+x_4=__________.
Answer: 14
Problem: 已知四次多项式 x^4-25x^3+ax^2+61x-2024 的四个根中有两个根的乘积是 -253，则实数 a=__________.
Answer: -221
Problem: 设数列 \{x_n\} 满足 x_1=2001，x_{n+1}=x_n+y_n，其中 y_n 等于 x_n 的个位数，则 x_{2024}=__________.
Answer: 12108
Problem: 设 A 为数集 \{1,2,3,\cdots,2024\} 的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互素又不存在整除关系. 求 n 的最大值.
Answer: 506
Problem: 用 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 设数列 \{x_n\} 满足：x_1=1, x_{n+1}=4x_n+[\sqrt{11}x_n]. 求 x_{2024} 的个位数.
Answer: 3
Problem: 设 G=(V,E) 是一个 2019 阶简单图，已知：(1) G 中不含三角形，但是在任意两个不相邻顶点之间添一条边后均有三角形；(2) |E|\geq2019.求 |E| 的最小可能值.
Answer: 4033
Problem: 设 a,b 是实数，二次三项式 x^2+ax+b 与 x^2+bx+a 均有两个不同的实根，且它们的积恰有三个不同的实根. 求这三个不同的根的和的所有可能值.
Answer: 0
Problem: 一块 41\times41 的战场分成 1681 个单位正方形. 某个单位正方形内隐藏着一辆坦克. 一架轰炸机对战场进行轰炸，每次轰炸一个单位正方形. 若某次轰炸坦克所在正方形没有被炸到，则坦克保持在原地不动；若被炸到，则坦克要转移到与其相邻（有公共边）的单位正方形内. 摧毁坦克需要击中其两次，整个过程中轰炸机的飞行员完全不知道坦克的位置及是否被击中. 求可确保摧毁这辆坦克所需要的轰炸次数的最小值.
Answer: 2521
Problem: 求最大的正整数 E，使得存在一个有 60 个顶点、E 条边的简单图 G，并且可以将 G 的边红蓝二染色，满足没有长度是 3 或 5 的同色圈.
Answer: 1350
Problem: 从 1,2,\cdots,2024 中任取两个数 a,b(a\leq b)，则 3^a+7^b 的值中，个位数字为 8 的数有__________个.
Answer: 384307
Problem: 设多项式 f(x)=x^{2024}+\ds{i=0}{2023}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，N 的最大值是__________.
Answer: 10
Problem: 数列 \{a_n\} 定义如下：设 \df{(2n)!}{n!(n+2024)!} 写成既约分数后的分母为 A(n)，a_n 等于 2A(n) 的最大质因数，则 a_n 的最大值等于__________.
Answer: 4027
Problem: 已知集合 A=\{1,2,\cdots,6\}，映射 f:A\rightarrow A 为一一映射. 则满足对于任意的 x\in A，f^{(12)}(x)=x 的映射 f 的个数为__________.
Answer: 576
Problem: 将有 2023 个顶点的完全图的每条边染色，使得有公共点的任意两条边颜色不同. 定义每个点所连出的边的颜色为一个颜色集，求不同颜色集个数的最小值.
Answer: 3
Problem: 设数列 \{a_n\} 满足 a_1=8，且对任意正整数 n，均有a_{n+1}=\left(1+\df{3}{n}\right)a_n+\left(1-\df{3}{n}\right)\cdot 2^n,则 a_{2023} 除以 5 的余数是__________.（李纪琛供题）
Answer: 3
Problem: 在 3\times3 的方格表的每格内填上一个 1 到 9 之间的整数，且不同格内所填的数也不同，还需满足若两数 a,b 所在格相邻，则必有 (2a-3\log_2b)(2b-3\log_2a)\leq0. 则共有__________种不同的满足条件的填法.（旋转后能互相得到的填法视为不同的）（王正供题）
Answer: 288
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 是 1, 2, \cdots, 100 的排列. 求下式的最大可能值：S=\ds{i=1}{100}\min\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}\},这里约定 a_{101}=a_1, a_{102}=a_2, a_{103}=a_3, a_{104}=a_4.（董子超、吴茁、徐子健供题）
Answer: 4660
Problem: 某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门，则 A, B, C 三位学生可能的选法有__________种.
Answer: 343
Problem: 考虑 \ln(1+x+x^2+x^3) 在 x=0 处的泰勒展开，设 x^{2024} 项的系数为 a. 求 [|a|^{-1}].
Answer: 674
Problem: 设 f(x)\in C^{\infty}(\bR)，满足 f''(x)=xf(x)，且 f(0)=18，f'(0)=3. 设 f(x) 的泰勒展开式为 \ds{n=0}{\infty}a_nx^n，求 \left[\df{a_9}{a_{10}}\right].
Answer: 21
Problem: 设 f(x)=\ds{n=0}{\infty}2^{-n}\cos nx，记 A=\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\dd x，求 [10A].
Answer: 73
Problem: 设 S=\int_{-\infty}^{+\infty}\df{\dd x}{1+x^2+x^4}，求 [100S^2].
Answer: 328
Problem: 在 9 阶置换群 S_9 中，称两个元素 \sigma_1,\sigma_2 是共轭的，如果存在 \tau\in S_9，使得 \tau^{-1}\sigma_1\tau=\sigma_2. 记 \sigma=(12345)(4567)\in S_9，求 S_9 中与 \sigma 共轭的元素个数.
Answer: 15120
Problem: 令 f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]，当 x 取遍 [0,50] 中的实数时，求 f(x) 能取到的整数值的个数.
Answer: 501
Problem: 记 M(100,\bR) 是所有 100 阶实方阵的集合，设 S=\{A\in M(100,\bR)\ |\ A^4+A^2=0\}. 称 A,B\in S 是相似的，如果存在可逆的 100 阶实方阵 P 使得 P^{-1}AP=B. 求 S 中互不相似的矩阵个数的最大值.
Answer: 1326
Problem: 设S=\{(x,y,z,w)\in\bZ^4\ |\ x,y,z,w\in[0,18],x^2+y^2\equiv z^2+w^2\pmod{19}\},求 |S|.
Answer: 7201
Problem: 考虑 n-1 阶方阵M_n(\lambda)=\begin{bmatrix} 3-\lambda&-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\ -\lambda&8-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\ -\lambda&-\lambda&15-\lambda&-\lambda&\cdots&-\lambda\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-\lambda&-\lambda&-\lambda&-\lambda&\cdots&(n^2-1)-\lambda\end{bmatrix}.设 \lambda_n 是最大的实数 \lambda，使得 \det M(\lambda)=0. 记 I=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\lambda_n，求 [100I].
Answer: 133
Problem: 设 f(x) 是 (0,+\infty) 上的单调递减非负函数，满足对任意 t>0，\{x\in(0,+\infty)\ |\ f(x)>t\} 的长度为 \df{e^{-t}}{\sqrt{t}}. 求 [10\int_0^{\infty}f(x)\dd x].
Answer: 17
Problem: 设 I=\int_{50}^{\infty}e^{-x^2}\dd x，求 [-\ln I].
Answer: 2504
Problem: 设 V 为所有次数不超过 100 的实系数多项式构成的线性空间，令V_1=\{f\in V\ |\ f^{(2k-1)}(0)=0,k=1,2,\cdots,50\},V_2=\{f\in V\ |\ f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0,k=70,71,\cdots,98\}.求 \dim(V_1+V_2).
Answer: 86
Problem: 有 20 盏红灯、10 盏绿灯，每次随机灭掉一盏灯，直到某种颜色的灯全部灭掉. 设 a 为剩下的灯的数目的平均值，求 [10a].
Answer: 22
Problem: 对空间直角坐标系 xyz，先以 z 轴为中心轴旋转 \df{\pi}{3}，再以 x 轴为中心轴旋转 \df{\pi}{3}，得到一个以某条直线为中心轴的旋转. 设新的旋转角为 \theta\in(0,\pi]. 求 [\tan^2\theta].
Answer: 63
Problem: 对 \bR^{100} 中的点 x=(x_1,x_2,\cdots,x_{100}), y=(y_1,y_2,\cdots,y_{100})，令 f(x,y)=\sqrt{\ds{i=1}{100}(x_i-y_i)^2}. 对 x\neq y，定义 100 阶方阵 A_{x,y}=(a_{ij})，其中 a_{ij}=\df{\partial}{\partial x_i}\df{\partial}{\partial y_j}f(x,y). 求 A_{x,y} 的秩的最小可能值与最大可能值之和，即\min\{\text{rank}(A_{x,y})\ |\ x,y\in\bR^{100},x\neq y\}+\max\{\text{rank}(A_{x,y})\ |\ x,y\in\bR^{100},x\neq y\}.
Answer: 198
Problem: 求最小的实数 \lambda，使得对任意满足 \ds{i=1}{20}ix_i=0 的实数 x_1, x_2, \cdots, x_{20}，都有\left|\ds{i=1}{20}i^2x_i\right|\leq\lambda\displaystyle{\max_{1\leq i\leq 20}|x_i|}.（张端阳供题）
Answer: 840
Problem: 已知实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2018} 两两不同，满足a_1+\df{1}{a_2}=a_2+\df{1}{a_3}=\cdots=a_{2018}+\df{1}{a_1}=t.求实数 t 的可能取值的个数.
Answer: 1008
Problem: 设函数 f(x)=\ln|x|+|x|-2 的零点都在区间 [a,b] (a,b\in\bZ, a<b) 内，则 b-a 的最小值为__________.
Answer: 4
Problem: 用 f(X,\Gamma) 表示点 X 与曲线 \Gamma 上任意一点距离的最小值. 已知 \odot O:x^2+y^2=1 及 \odot O_1:(x-4)^2+y^2=4. 设 P 为 \odot O 上的动点，则 f(P,\odot O_1) 的最大值为__________.
Answer: 3
Problem: 若 T=\ds{k=1}{100}2^{99+k}\cdot3^{101-k}，则 T 的末尾数字 0 的个数为__________.
Answer: 3
Problem: 记 I=\{1,4,5,6\},U=\{1,2,3,\cdots,25\}，集合 U 的子集 A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}，满足 |a_i-a_j|\not\in I (\forall 1\leq i<j\leq 5). 则符合条件的集合 A 的个数为__________.（用具体数字作答）
Answer: 717
Problem: 求方程 |x|+|x+1|+\cdots+|x+2018|=x^2+2018x-2019 的根的个数.
Answer: 2
Problem: 设实数列 \{x_n\} 满足：x_0=0, x_2=\sqrt[3]{2}x_1，x_3 是正整数，且 x_{n+1}=\df{1}{\sqrt[3]{4}}x_n+\sqrt[3]{4}x_{n-1}+\df{1}{2}x_{n-2}, n\geq2. 问：\{x_n\} 中至少有多少个整数项？
Answer: 5
Problem: 9^{2022} 的末三位数是__________.
Answer: 881
Problem: 求最小的实数 k，使得对任意两两不等的实数 a,b,c，均有\left(\df{2a}{a-b}\right)^2+\left(\df{2b}{b-c}\right)^2+\left(\df{2c}{c-a}\right)^2+k\geq4\left(\df{2a}{a-b}+\df{2b}{b-c}+\df{2c}{c-a}\right).
Answer: 8
Problem: 设 A,B 为函数 f(x)=3-x^2 的图像上在 y 轴两侧的点，则 f(x) 在 A, B 的切线与 x 轴围成的区域面积的最小值为__________.
Answer: 8
Problem: 设 n,m 是不同奇偶的正整数，满足 n>m. 求所有的整数 x，使得 \df{x^{2^n}-1}{x^{2^m}-1} 是一个完全平方数.
Answer: 0
Problem: 称 A_1,A_2,\cdots,A_n 为集合 A 的一个 n-分划，如果(1) A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=A；(2) 对任意 1\leq i<j\leq n，A_i\cap A_j=\emptyset.求最小的正整数 m，使得对集合 A=\{1,2,\cdots,m\} 的任意一个 14-分划 A_1,A_2, \cdots,A_{14}，一定存在某个集合 A_i(1\leq i\leq14)，在 A_i 中有两个元素 a,b，满足 b<a\leq\df{4}{3}b.
Answer: 56
Problem: 有一个 2024\times2024 的方格表，初始时所有格都是白色的. 一次操作可以选择每个格都是白色的一行或一列，将其中 1000 个格染为红色. 求有限次操作后，红格个数的最大可能值.
Answer: 3048000
Problem: 设 a,b,c 是方程 x^3-3x^2-2x+1=0 的三个根，则 \left[\df{1}{a^4}+\df{1}{b^4}+\df{1}{c^4}\right]=__________.
Answer: 74
Problem: 设正实数 a,b 满足 a+2b=1，令 I 为 \df{b^2+a+2}{ab} 的最小值，则 [I]=__________.
Answer: 20
Problem: 正方形内给定 2022 个点，这些点以及正方形的顶点中任意三点不共线. 在这 2022 个点以及正方形的顶点之间连一些仅可能在端点处相交的线段，将正方形划分为一些三角形，则所连线段（不包含正方形的边）的总数为__________.
Answer: 6067
Problem: 设 x_0\in\left[0,\df{1}{2}\right] 为方程 x^3-3x+1=0 的根，则 [100x_0]=__________.
Answer: 34
Problem: 设函数 f(x)=\df{1-2x}{(1-x+x^2)^2}，则 \left[\df{f^{(2022)}(0)}{2022!}\right]=__________.
Answer: 2023
Problem: 记 I=120\displaystyle\int_0^1\sqrt{\df{1-x}{1+x}}\ \dd x，则 [I]=__________.
Answer: 68
Problem: 记 I=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sin\df{1}{x^2}+\cos\df{1}{x}\right)^{2x^2}，则 [10I]=__________.
Answer: 27
Problem: 平面上给定四个点 (x_i,y_i)，分别是 (0,0), (1,8), (3,8), (4,20). 已知实数 k,b 使得 \ds{i=1}{4}|y_i-(kx_i+b)|^2 取得最小值，则 [k]=__________.
Answer: 4
Problem: 记 I=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=1}{\infty}\df{1}{n!n!+m!n!}，则 [10I]=__________.
Answer: 14
Problem: 一个 10\times10 的数表初始每个位置的数字均为 1，现在做有限次操作，每次把某行或某列的所有数换成相反数. 称非负整数 N 是好的，如果最终数表中 -1 的个数恰为 N. 则好的 N 的个数为__________.
Answer: 29
Problem: 设 B=\begin{bmatrix} 2&-\df{1}{2}\\ 3&-\df{1}{2}\end{bmatrix},x=\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}. 记 I=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\df{1}{n}\ds{i=0}{n-1}x^TB^ix，则 [I]=__________.
Answer: 6
Problem: 设 A 是正交矩阵（即 AA^T=A^TA=I），且 A 的每个矩阵元均为 \df{1}{2} 或 -\df{1}{2}. 则这样的 A 的个数为__________.
Answer: 768
Problem: 已知 10 阶实方阵 A 满足 A^5=0，则 A 的秩的所有可能值之和为__________.
Answer: 36
Problem: 将所有 2 阶实方阵构成的线性空间记为 M_2(\bR). 记 A=\begin{bmatrix} 3&7\\ 10&7\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5\end{bmatrix}. 定义线性变换 T:M_2(\bR)\rightarrow M_2(\bR), T(X)=AXB. 则线性变换 T 的迹为__________.
Answer: 70
Problem: 6 阶置换群 S_6 中的 6 阶元素的个数为__________.
Answer: 240
Problem: 设实数 x_1,x_2,\cdots,x_{1997} 满足：(1) -\df{1}{\sqrt{3}}\leq x_i\leq\sqrt{3},i=1,2,\cdots,1997；(2) x_1+x_2+\cdots+x_{1997}=-318\sqrt{3}.求 x_1^{12}+x_2^{12}+\cdots+x_{1997}^{12} 的最大值.
Answer: 189548
Problem: 设 x_1,x_2,\cdots,x_{60}\in[-1,1]，求\ds{i=1}{60}x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1})的最大值，其中脚标按模 60 理解.
Answer: 40
Problem: 若实数列 \{a_n\} 满足：(1) a_0\in\bN_+；(2) 对任意非负整数 i，a_{i+1}=2a_i+1 或 a_{i+1}=\df{a_i}{a_i+2}；(3) 存在正整数 k，使得 a_k=2014，则称数列 \{a_n\} 为"好的".求最小的正整数 k，使得存在一个好的实数列 \{a_n\}，满足 a_k=2014.
Answer: 60
Problem: 集合 A=\{n\ |\ n^3<2022<3^n,n\in\bZ\} 的所有元素之和为__________.
Answer: 57
Problem: 在平面直角坐标系中，双曲线 \Gamma:\df{x^2}{3}-y^2=1. 对平面内不在 \Gamma 上的任意一点 P，记 \Omega_P 为过点 P 且与 \Gamma 有两个交点的直线的全体. 对任意直线 l\in\Omega_P，记 M, N 为 l 与 \Gamma 的两个交点，定义 f_P(l)=|PM|\cdot|PN|. 若存在一条直线 l_0\in\Omega_P 满足：l_0 与 \Gamma 的两个交点位于 y 轴异侧，且对任意直线 l\in\Omega_P，l\neq l_0，均有 f_P(l)>f_P(l_0)，则称 P 为"好点". 求所有好点所构成的区域的面积.
Answer: 4
Problem: 设非负整数 a_1,a_2,\cdots,a_{2022} 的和为 2022. 用 x 表示满足 a_i+a_{i+1}\geq3 的 i 的个数；用 y 表示满足 a_i\neq a_{i+1} 的 i 的个数，其中 i\in\{1,2,\cdots,2022\}，a_{2023}=a_1. 求 x+y 的最大可能值.（张端阳供题）
Answer: 3032