ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: An isosceles right triangle is removed from each corner of a square piece of paper so that a rectangle of unequal sides remains. If the sum of the areas of the cut-off pieces is $200$ and the lengths of the legs of the triangles cut off are integers, find the area of the rectangle.
Answer: 56
Problem: For distinct positive integers $a$, $b < 2012$, define $f(a,b)$ to be the number of integers $k$ with $1 \le k < 2012$ such that the remainder when $ak$ divided by $2012$ is greater than that of $bk$ divided by $2012$. Let $S$ be the minimum value of $f(a,b)$, where $a$ and $b$ range over all pairs of distinct positive integers less than $2012$. Determine $S$.
Answer: 502
Problem: $P(x)$ is a polynomial of degree $3n$ such that    
$$\begin{array}{rcl}P(0)=P(3)=\cdots&=&P(3n)=2,\\P(1)=P(4)=\cdots&=&P(3n-2)=1,\\P(2)=P(5)=\cdots&=&P(3n-1)=0,\quad and\\&&P(3n+1)=730.\end{array}$$   
Determine $n$.
Answer: 4
Problem: Let $a_1,a_2,a_3,\cdots$ be a non-decreasing sequence of positive integers. For $m\ge1$, define $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, that is, $b_m$ is the minimum value of $n$ such that $a_n\ge m$. If $a_{19}=85$, determine the maximum value of $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}$.
Answer: 1700
Problem: What is the smallest integer $n$, greater than one, for which the root-mean-square of the first $n$ positive integers is an integer?  
Note. The root-mean-square of  $n$  numbers $a_1, a_2, \cdots, a_n$ is defined to be  
$\left[\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}n\right]^{1/2}$
Answer: 337
Problem: 设 A=\{1,2,3\}, B=\{2x+y\ |\ x,y\in A,x<y\}, C=\{2x+y\ |\ x,y\in A,x>y\}，则 B\cap C 的所有元素之和为__________.
Answer: 12
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{21} 为 1,2,\cdots,21 的排列，满足|a_{20}-a_{21}|\geq|a_{19}-a_{21}|\geq\cdots\geq|a_1-a_{21}|.这样的排列的个数为__________.
Answer: 3070
Problem: 设函数 f(x)=|2-\log_3x|，正实数 a,b,c 满足 a<b<c，且 f(a)=2f(b)=2f(c). 求 \df{ac}{b} 的值.
Answer: 9
Problem: 平面上的 4027 个点称为一个哥伦比亚式点集，如果其中任意三点不共线，且有 2013  个点是红色的，2014 个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件，我们就称这是一个好直线组：(1) 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点；(2) 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点.求 k 的最小值，使得对于任意的哥伦比亚式点集，都存在由 k 条直线构成的好直线组.
Answer: 2013
Problem: 定义在 \bR 上的奇函数 f(x) 同时是以 2 为周期的周期函数，并且在 x\in(0,1) 时，f(x)=\ln(x^2-2x+\frac{3}{2}). 则函数 f(x) 在 [0,10] 上的零点个数为__________.（李纪琛供题）
Answer: 21
Problem: 求最小的正整数 n，使得对任意有 1000 个顶点且每个顶点度均为 4 的简单图 G，都一定可以从中去掉 n 条边，使 G 变为二部图.（王正供题）
Answer: 800
Problem: 求最大的正整数 n，使得存在 n 个互不相同的正整数 x_1,x_2,\cdots,x_n，满足x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=2017.
Answer: 16
Problem: 若存在实数 a 及正整数 n 使得 f(x)=\cos2x-a\sin x 在 (0,n\pi) 内恰有 2022 个零点，则满足条件的正整数 n 的值有__________个.
Answer: 5
Problem: 已知 \odot O_1:x^2+y^2=2 和 \odot O_2:(x-3)^2+y^2=5 在第一象限内的公共点为 A，过点 A 的直线分别交 \odot O_1、\odot O_2 于 C,D 两点（C,D 异于点 A），且 \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}，则直线 CD 的斜率为__________.
Answer: 5
Problem: 已知函数 f:\bR\rightarrow\bR，若对任意实数 x,y,z 都有\df{1}{3}f(xy)+\df{1}{3}f(xz)-f(x)f(yz)\geq\df{1}{9},求 \ds{i=1}{100}[if(i)]，其中 [x] 代表不超过 x 的最大整数.
Answer: 1650
Problem: 设 A 是一个 11 元实数集，令集合 B=\{uv\ |\ u,v\in A,u\neq v\}. 求 B 的元素个数的最小值.
Answer: 17
Problem: 给定整数 n\geq3. 求最小的正整数 k，使得存在 k 元集合 A 和 n 个两两不同的实数 x_1,x_2,\cdots,x_n，满足 x_1+x_2, x_2+x_3, \cdots, x_{n-1}+x_n, x_n+x_1 都属于 A.
Answer: 3
Problem: 有 n(n>12) 个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分. 分析每一种可能的得分情况，发现只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 n 个人中至少有 3 个人答对了至少三道同样的题. 求 n 的最小可能值.
Answer: 911
Problem: 对于一个由至少两个正整数构成的集合，若每个元素均与其他至少一个元素不互质，则称该集合为"芳香集".设 P(n)=n^2+n+1. 求最小的正整数 b，使得存在非负整数 a，满足集合 \{P(a+1),P(a+2),\cdots,P(a+b)\} 是芳香集.
Answer: 6
Problem: 在黑板上写有方程 (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016). 求最小的正整数 k，使得可以在等号两边擦去这 4032 个一次因式中的 k 个，满足等号两边均至少留下一个一次因式，且所得的方程没有实根.
Answer: 2016
Problem: 有八个盒子，每个盒子中有 6 个球，每个球均被染成 n 种颜色中的一种. 已知同一个盒子中的球均不同色，且任意两个盒子中的球至多有一种相同颜色，求 n 的最小可能值.
Answer: 23
Problem: 在一个 100\times100 的方格表中，有 300 个格被染为蓝色，每行每列各有 3 个. 求最大的正整数 k，使得总可以将其中 k 个蓝格重染为红色，满足不存在红色的 2\times2 正方形.
Answer: 250
Problem: 设实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=8，求20(a^2+b^2+c^2+d^2)-\ds{\text{sym}}{}a^3b的最小值，其中求和有 12 项.
Answer: 112
Problem: 平面上有 101 条不同的射线，任两条不共线、没有相同的端点，任三条不共点. 求无序射线对 (a,b) 个数的最大值，使得 a, b 相交，且若交点为 C，则 C 到 a, b 端点的距离相等.
Answer: 2550
Problem: 称正整数 n 是"有趣的"，如果对任意 1\leq k\leq9，都有\left\{\df{n}{10^k}\right\}>\df{n}{10^{10}}.求有趣的正整数的个数.
Answer: 999989991
Problem: 求最小的正整数 m，使得对任意大于 3 的质数 p，都有105\mid 9^{p^2}-29^p+m.
Answer: 20
Problem: 设数列 \{a_n\} 满足 a_0=\df{1}{2}, a_{n+1}=a_n+\df{a_n^2}{2012}, n\geq0. 求所有的整数 k，使得 a_k<1<a_{k+1}.
Answer: 2012
Problem: 记各项均不为 0 的等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，若 \df{S_{2023}}{a_{2023}}=2023，则 \df{S_{20}}{a_{23}} 的值为__________.
Answer: 20
Problem: 已知向量 \overrightarrow{m}=(2023,910), \overrightarrow{a}=(1,2), \overrightarrow{b}=(2,3), \overrightarrow{c}=(3,1). 将 \overrightarrow{m} 表示成 \overrightarrow{m}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c} 的形式，其中 x, y, z 均为非负整数，则这样的表示方法的种数为__________.
Answer: 21
Problem: 已知数列 \{a_n\} 中，a_1=1, a_2=2, a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=1. 设 T_n 为数列 \left\{\df{8}{a_n}\right\} 的前 n 项和，则 [T_{2023}]=_________.（符号 [x] 表示不超过 x 的最大整数）
Answer: 14
Problem: 设整数 n\geq 4，A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} 是整数集，满足 2023\in A，且 A 中任意两个元素的差的绝对值是素数. 则这样的集合 A 共有_________个.
Answer: 4
Problem: 设有序数组 A=(a_1,a_2,\cdots,a_{10}) 同时满足以下 4 个条件：(1) a_1,a_2,\cdots,a_{10} 是 1,2,\cdots,10 的一个排列；(2) a_1<a_2,a_3<a_4,a_5<a_6,a_7<a_8,a_9<a_{10}；(3) a_2>a_3,a_4>a_5,a_6>a_7,a_8>a_9；(4) 不存在 1\leq i<j<k\leq 10，使得 a_i<a_k<a_j.求这样的有序数组 A 的个数.
Answer: 42
Problem: 设 A 是有限集，且 |A|\geq2. A_1,A_2,\cdots,A_n 是 A 的子集，满足：(1) |A_1|=|A_2|=\cdots=|A_n|=k, k>\df{|A|}{2}；(2) 对任意 a,b\in A，存在 1\leq r<s<t\leq n，使得 a,b\in A_r\cap A_s\cap A_t；(3) 对任意 1\leq i<j\leq n，|A_i\cap A_j|\leq3.求当 k 取最大值时 n 的值.
Answer: 11
Problem: 正整数 n 的分拆 P=(x_1,x_2,\cdots,x_n) 是一个非负整数组，满足 \ds{k=1}{n}kx_k=n. 正整数 m(m\leq n) 的分拆 Q=(y_1,y_2,\cdots,y_m) 称为与 P 相容，如果 y_i\leq x_i, i=1,2,\cdots,m.记 S(n) 为 n 的满足下述要求的分拆 P 的个数：对每个小于 n 的正奇数 m，m 恰有一个与 P 相容的分拆；对每个小于 n 的正偶数 m，m 恰有两个与 P 相容的分拆. 求 S(2010) 的值.
Answer: 13
Problem: 设 n_1,n_2,\cdots,n_{26} 是 26 个互不相同的正整数，满足：(1) 每个 n_i 在十进制表示中的数码均属于集合 \{1,2\}；(2) 对任意的 i,j，在 n_i 的末位后添加若干个数码，不能得到 n_j.求 \ds{i=1}{26}S(n_i) 的最小值，其中 S(m) 表示正整数 m 在十进制表示下的各位数码之和.
Answer: 179
Problem: 已知四个整数 a,b,c,d 都是偶数，且 0<a<b<c<d，d-a=90. 若 a, b, c 成等差数列，b, c, d 成等比数列，则 a+b+c+d=__________.
Answer: 194
Problem: 设 \mathcal{A} 是所有关于 x,y,z 的整系数多项式构成的集合. 设 \mathcal{B} 是由可以表示为如下形式的多项式构成的 \mathcal{A} 的子集：(x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z),其中 P,Q,R\in\mathcal{A}. 求最小的非负整数 n，使得对任意满足 i+j+k\geq n 的非负整数 i,j,k，均有 x^iy^jz^k\in\mathcal{B}.
Answer: 4
Problem: 设 S 是集合 \{1,2,\cdots,108\} 的一个非空子集，满足：(1) 对 S 中任意两个数 a,b（可以相同），存在 c\in S，使得 (a,c)=(b,c)=1；(2) 对 S 中任意两个数 a,b（可以相同），存在 c'\in S，c' 不同于 a,b，使得 (a,c')>1, (b,c')>1.求 S 中元素个数的最大可能值.
Answer: 76
Problem: 设整数 n>4，(x+2\sqrt{y}-1)^n 的展开式中 x^{n-4} 与 xy 两项的系数相等，则 n 的值为________.
Answer: 51
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 是非负整数，同时满足以下条件：(1) 存在正整数 k\leq100，使得 a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_k，而当 i>k 时 a_i=0；(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{100}=100；(3) a_1+2a_2+3a_3+\cdots+100a_{100}=2022.求 a_1+2^2a_2+3^2a_3+\cdots+100^2a_{100} 的最小可能值.
Answer: 40940
Problem: 求具有下述性质的最小正整数 t：将 100\times100 的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过 104，则存在一个 1\times t 或 t\times1 的矩形，其中 t 个小方格含有至少三种不同颜色.
Answer: 12
Problem: 集合 M 为连续 n 个正整数构成的集合. 若 M 中所有元素的和恰为 2024，且 n 为偶数，则集合 M 中最小的元素为__________.
Answer: 119
Problem: 已知数列 \{a_n\} 满足 a_1=1，其前 n 项和为 S_n. 若对任意的正整数 m,n，当 m>n 时，恒有 a_{m+n}+a_{m-n}=2a_m+2a_n，则 S_{10} 的值为__________.
Answer: 385
Problem: 设三角形的三边长分别是整数 l,m,n，满足 l>m>n. 已知\left\{\df{3^l}{10^4}\right\}=\left\{\df{3^m}{10^4}\right\}=\left\{\df{3^n}{10^4}\right\},其中 \{x\}=x-[x]，求三角形周长的最小值.
Answer: 3003
Problem: 在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察 A_1, A_2, \cdots, A_7 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场 90 分钟）中都上场. 假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，且 A_1,A_2,A_3,A_4 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被 7 整除，A_5,A_6,A_7 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被 13 整除. 如果每场换人次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况？
Answer: 42244
Problem: 设 a,b 是正实数，满足 \log_4a=\log_6b=\log_9(2a+b)，则 \df{b}{a}=__________.
Answer: 2
Problem: 在两个 3\times3 的方格表 A,B 中随机填入 1,2,\cdots,9，使得每个数字恰在每个方格表中出现一次. 对 1\leq i<j\leq9，称 (i,j) 为"紧密数对"，如果 i,j 在 A 中位于同一行或同一列，在 B 中也位于同一行或同一列. 则紧密数对个数的数学期望为__________.
Answer: 9
Problem: 设函数 f:\{1,2,3\}\rightarrow\{2,3,4\} 满足 f[f(x)-1]=f(x)，则这样的函数有__________个.
Answer: 10
Problem: 设 n 为正整数，且 \ds{k=0}{n}\df{(-1)^k\text{C}_n^k}{k^3+9k^2+26k+24}=\df{1}{312}，则 n=__________.
Answer: 9
Problem: 设集合 S=\{1,2,3,\cdots,997,998\}，集合 S 的 k 个 499 元子集 A_1, A_2, \cdots, A_k 满足：对 S 中任一二元子集 B，均存在 i\in\{1,2,\cdots,k\}，使得 B\subseteq A_i. 求 k 的最小值.
Answer: 6
Problem: 设 9 元集合 A=\{a+bi\ |\ a,b\in\{1,2,3\}\}，其中 i 是虚数单位. \alpha=(z_1,z_2,\cdots,z_9) 是 A 中所有元素的一个排列，满足 |z_1|\leq|z_2|\leq\cdots\leq|z_9|，则这样的排列 \alpha 的个数为__________.
Answer: 8
Problem: 已知首项系数为 1 的五次多项式 f(x) 满足：f(n)=8n, n=1,2,\cdots,5，则 f(x) 的一次项系数为__________.
Answer: 282
Problem: 设集合 M=\{1,2,\cdots,10\}. T 是 M 的一些二元子集构成的集合，满足对 T 中任意两个不同的元素 \{a,b\}, \{x,y\}，均有 11\nmid(ax+by)(ay+bx). 求 |T| 的最大值.
Answer: 25
Problem: 在奥林匹克高级中学有 2010 名学生和 100 间教室. 开始时，每名学生任意进入到一间教室. 只要所有学生不都在同一间教室，且存在教室 Y 中的学生数目不少于教室 X 中的学生数目，则教室 X 中的一名学生走到教室 Y 中. 若每分钟只移动一名学生，且此过程在 M 分钟后结束，求 M 的最大值.
Answer: 63756
Problem: 设正整数 n 的正因数为 1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n，其中 k\geq6. 求所有的 n 使得 n=d_5^2+d_6^2.
Answer: 500
Problem: 有 2018 人围坐在圆桌旁玩游戏. 开始时，将 K 张牌任意发给这些人，可能有人没获得牌. 在每一轮中，选择某人从与他相邻两人的牌中各抽取一张牌，能这样做的前提是这两人都有牌. 若无法选出这样的人则游戏结束. 求 K 的最大值，使得无论开始时如何发牌以及接下来每一轮如何选人，有限轮后游戏一定会结束.
Answer: 2017
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{20}\in\{1,2,\cdots,5\}，b_1, b_2, \cdots, b_{20} \in\{1,2,\cdots,10\}. 集合 X=\{(i,j)\ |\ 1\leq i<j\leq 20,(a_i-a_j)(b_i-b_j)<0\}, 求 X 的元素个数的最大值.
Answer: 160
Problem: 求最小的正整数 a，使得存在整数 b,c，满足二次三项式 ax^2+bx+c 有两个不超过 \df{1}{1000} 的不同正根.
Answer: 1001000
Problem: 某公司经理手下有八名员工. 某日经理召开若干次员工会议，满足：(1) 每次会议时间为 1 小时，且会议之间没有间隔；(2) 每次会议由经理召集三名员工参加；(3) 任意两名员工均至少参加过同一次会议；(4) 每名员工从他参加的第一次会议到他参加的最后一次会议之间不能离开公司.对所有满足要求的会议安排，考虑当日在公司时间最长的员工，他在公司的时间最短为多少小时？
Answer: 9
Problem: 设函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty)，且满足f(x)-2xf\left(\df{1}{x}\right)+x^2=0,则 f(x) 的最小值为__________.
Answer: 1
Problem: 将一个 3\times 3 的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为" 十字形". 在一个 10\times 11 的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的十字形？（每个十字形恰好盖住棋盘上的 5 个小方格）
Answer: 15
Problem: 定义运算 a\ast b=ab-5\left[\df{ab}{5}\right]. 集合 A=\{0,1,2,3,4\}，双射 f:A\rightarrow A 满足 f(a\ast b)=f(a)\ast f(b)，则满足条件的 f 共有__________个.
Answer: 2
Problem: 已知数列 \{a_n\} 满足 a_{n-1}=a_n+a_{n-2}, n\geq3. 记前 n 项和为 S_n，若 S_{2018}=2017, S_{2019}=2018，则 S_{2020}=\underline{\qquad\qquad}.
Answer: 1010
Problem: 设方程 z^3-2z-4=0 的三个复根为 z_1, z_2, z_3，则它们在复平面上对应的点构成三角形的面积为________.
Answer: 3
Problem: 若能从 1,2,\cdots,100 中取出 k 个两两互质的数，则 k 的最大值为________.
Answer: 26
Problem: 设 a_0=0,a_1=a_2=1, a_{3n}=a_n, a_{3n+1}=a_{3n+2}=a_n+1 (n\geq1)，则 a_{2021}=__________.
Answer: 6
Problem: 给定实数集合 A,B，定义运算A\otimes B=\{x\ |\ x=ab+a+b,a\in A,b\in B\}.设 A=\{0,2,4,\cdots,18\},B=\{98,99,100\}，则 A\otimes B 中的所有元素之和为__________.
Answer: 29970
Problem: 设数列 a_{n+1}=\left[\df{a_n}{2}\right]+\left[\df{a_n}{3}\right], n=1,2,\cdots,7，这里 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 若 a_8=8，则正整数 a_1 有__________种可能的取值情况.
Answer: 7
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{2023} 是正整数，满足对任意 1\leq k\leq 2023，均有a_k=\ds{i=1}{2023}|a_k-a_i|.求 a_1+a_2+\cdots+a_{2023} 的最小值.
Answer: 2046264
Problem: 2024 年第 40 届卷心菜武术奥林匹克（Cabbage Martial Olympiad）共有 m 位选手参加. 这项比赛采取单循环制，任两名选手间恰进行一场比赛并分出胜负. 求最小的正整数 m，使得无论比赛结果如何，都能找到互不相同的选手 a_1, a_2, \cdots, a_{40}, b_1, b_2, \cdots, b_{20}, c_1, c_2, \cdots, c_{24}，同时满足：(W1) 对 i=1,2,\cdots,39，选手 a_i 均战胜了 a_{i+1}；(W2) 对 j=1,2,\cdots,20，选手 b_j 均战胜了 a_1；(W3) 对 k=1,2,\cdots,24，选手 a_{40} 均战胜了 c_k.（董子超供题）
Answer: 126
Problem: 设 x_1,x_2,\cdots,x_{100} 是 1,2,\cdots,100 的一个排列. 令S=\{m\ |\ \text{存 在 }\ 1\leq i\leq 100,\text{使 得 }\ m\ \text{是 }\ x_i,x_{i+1},x_{i+2}\ \text{的 中 位 数 }\},其中 x_{101}=x_1,x_{102}=x_2. 求 S 中所有元素之和的最小值.
Answer: 1189
Problem: 有一张 300\times300 的方格纸，先将角上的四个 100\times100 的方格纸剪掉，再将余下的 50000 个格染成黑白两色之一. 已知不存在 2\times2 的正方形，其中黑格和白格相间排列. 称两个有公共边的格构成一个好对，如果它们一黑一白. 求好对个数的最大值.
Answer: 49998
Problem: 在一个国家里，某些城市对之间有双向直飞航班. 已知能通过不多于 100 次航班从任意一个城市飞到任意另一个，同时也可以通过偶数次航班从任意一个城市飞到任意另一个. 求最小的正整数 d，使得对任意两个城市，总能从任意一个城市飞到另一个，满足乘坐的航班数不超过 d 且为偶数.注：飞行路线允许经过某个城市多次.
Answer: 200
Problem: 问：至多能从集合 \{1,2,\cdots,100\} 中取出多少个数，使得其中任意不同两数的和与积均不为 100 的倍数？
Answer: 45
Problem: 在一个社交网站上有 2022 名用户，其中一些是朋友，朋友关系是相互且永久的. 从现在开始，两名陌生用户只有至少有两个公共朋友，才允许他们成为朋友. 问：初始时至少需要有多少对朋友，才能使得最终任两名用户都成为朋友？
Answer: 3031
Problem: 虎年 2022 具有这样的性质：它是 6 的倍数并且其各位数字之和为 6，这种正整数被称为"白虎数". 那么，在前 2022 个正整数中，"白虎数''的个数 n=__________.
Answer: 30
Problem: 对于正整数 n，将其各位数字之和记为 s(n)，各位数字之积记为 p(n). 若 s(n)+p(n)=n 成立，就称 n 为巧合数，则所有巧合数的和为__________.
Answer: 531
Problem: 求具有下述性质的最小正整数 k：若将 1,2,\cdots,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数 x_1, x_2, \cdots, x_9 满足 x_1+x_2+\cdots+x_8<x_9，或者存在 10  个互不相同的蓝色的数 y_1, y_2, \cdots, y_{10} 满足 y_1+y_2+\cdots+y_9<y_{10}.
Answer: 408
Problem: 将 3 个 12\times12 的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分；将这 6 部分接于一个边长为 6\sqrt{2} 的正六边形边上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是__________.
Answer: 864
Problem: 一个学校有 2022 名学生，在假期中每天都会组织一次博物馆之旅或自然之旅. 没有学生两次参加同一类型的旅行，每次旅行都有学生参加且参加的学生人数都不同. 如果没有两名学生一同参加两次旅行，求旅行次数的最大值.
Answer: 77
Problem: 称一个九位数是平衡的，如果数字 1\sim9 都出现. 将所有平衡的数按递增顺序依次写下，设 S 是所得的数字序列. 求最小的正整数 k，使得 S 的任意两个由 k 个连续数字构成的子列互不相同.
Answer: 17
Problem: 初始时黑板上有 31 个 31 元数组(1,0,0,\cdots,0),(0,1,0,\cdots,0),\cdots,(0,0,0,\cdots,1).一次操作选择黑板上的两个 31 元数组 (a_1,a_2,\cdots,a_{31}) 和 (b_1,b_2,\cdots,b_{31})，并将 (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_{31}+b_{31}) 也写在黑板上. 求最少的操作次数，使得(0,1,1,\cdots,1),(1,0,1,\cdots,1),\cdots,(1,1,1,\cdots,0)都出现在黑板上.
Answer: 87
Problem: 将 1,2,\cdots,2011^2 填入 2011\times 2011 的方格表的每个小方格中，使得每个数都恰好用了一次. 现在将表格的左右边界视为相同，上下边界也视为相同，依通常的方式得到一个圆环面. 求最大的正整数 M，使得对任意填法，总存在两个有公共边的小方格，它们中所填数之差的绝对值至少为 M.
Answer: 4021
Problem: 求最大的正整数 n，使得存在 8 个整数 x_1, x_2, x_3, x_4 和 y_1, y_2, y_3, y_4，满足：\{0,1,\cdots,n\}\subseteq\{|x_i-x_j|\ |\ 1\leq i<j\leq 4\}\cup\{|y_i-y_j|\ |\ 1\leq i<j\leq 4\}.
Answer: 9
Problem: 已知数列 \{x_n\} 满足：x_1=a, x_2=b, x_{n+2}=3x_{n+1}+2x_n. 若存在整数 k\geq3，使得 x_k=2019，则这样的有序正整数对 (a,b) 的个数为__________.
Answer: 370
Problem: 称平面上的 n 个正方形是"三连通的"，如果(1) 所有正方形都全等；(2) 若两个正方形有公共点 P，则 P 是它们每个的顶点；(3) 每个正方形都恰与其他三个正方形有公共点.问：在 2018\leq n\leq3018 中有多少个正整数 n，使得存在 n 个三连通的正方形？
Answer: 501
Problem: 求最大的正整数 n，使得存在实数 x_1,x_2,\cdots,x_n，满足(1) 1\leq x_1,x_2,\cdots,x_n\leq 2022；(2) 对任意 1\leq i<j<k\leq n，x_i^2+x_j^2+x_k^2\geq2(x_ix_j+x_jx_k+x_kx_i).
Answer: 9
Problem: 求最大的正整数 k，使得存在正整数 n，满足 n, n^2, \cdots, n^k 都能表示为 1+x^2+y^2 的形式，其中 x,y 是正整数.
Answer: 5
Problem: 存在 x_0<0，使得 x^2+|x-a|-2<0 恒成立，其中 a\in\bZ，则所有满足条件的 a 的和为__________.
Answer: 0
Problem: 函数 f(x)=\df{x+1}{x}+\df{x+2}{x+1}+\cdots+\df{x+2023}{x+2022} 的对称中心为 (a,b)，则 2a+b=__________.
Answer: 1
Problem: 设平面向量 \textbf{a},\textbf{b} 满足：|\textbf{a}|=1, |\textbf{b}|=2, \textbf{a}\bot\textbf{b}. 点 O, A, B 为平面上的三点，满足：\overrightarrow{OA}=2\textbf{a}+\textbf{b}，\overrightarrow{OB}=-3\textbf{a}+2\textbf{b}，则 \triangle AOB 的面积为__________.
Answer: 7
Problem: 在 (-xy+2x+3y-6)^6 的展开式中，x^4y^3 的系数为__________.（用具体数字作答）
Answer: -21600
Problem: 设集合 I=\{0,1,2,\cdots,22\}，A=\{(a,b,c,d)\ |\ a,b,c,d\in I,a+d\equiv 1\pmod{23},\text{且 }\ ad-bc\equiv0\pmod{23}\}.则集合 A 中元素的个数为__________.
Answer: 552
Problem: 由 1,2,\cdots,9 这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过 60 的圆排列的个数为__________.
Answer: 21600
Problem: 已知抛物线 \Omega:y=x^2，动线段 AB 在直线 y=\sqrt{3}x-3 上（B 在 A 右侧），且 |AB|=2\sqrt{3}. 过 A 作 \Omega 的切线，取左边的切点为 M. 过 B 作 \Omega 的切线，取右边的切点为 N. 当 MN\parallel AB  时，求点 A 的横坐标.
Answer: 0
Problem: 设集合 T=\{1,2,\cdots,8\}. 对 T 的非空子集 A，用 S(A) 表示 A 中所有元素的和. 问：T 有多少个非空子集 A，使得 S(A) 是 3 的倍数，但不是 5 的倍数？
Answer: 70
Problem: 方程 x^3-9x^2+8x+2=0 有 3 个实根 p,q,r，则 \df{1}{p^2}+\df{1}{q^2}+\df{1}{r^2}=__________.
Answer: 25
Problem: 老师为学生购买纪念品，商店中有三种不同类型的纪念品（同类型的纪念品完全相同），价格分别为 1 元、2 元、4 元. 李老师计划用 101 元，且每种纪念品至少购买一件，则共有__________种不同的购买方案.
Answer: 600
Problem: 用 144 根完全相同的长度为 1 的细棒摆成边长为 8 的正方形网格状图形. 问：至少需要取走多少根细棒，才能使得剩余图形中不含矩形？
Answer: 43
Problem: 设实数 a_1,a_2,\cdots,a_6 满足 a_1+a_2+\cdots+a_6=2014. 求 \ds{1\leq i<j\leq 6}{}[a_i+a_j] 的最小可能值.
Answer: 10060
Problem: 设集合 A=\{1,2,\cdots,100\}，函数 f:A\rightarrow A 满足：(1) 对任意 1\leq i\leq 99，|f(i)-f(i+1)|\leq 1；(2) 对任意 1\leq i\leq 100，f(f(i))=100.求 \ds{i=1}{100}f(i) 的最小可能值.
Answer: 8350
Problem: 初始时，天使有 100 堆石头，每堆有 100 块.每天早上，天使执行如下两种操作之一：(a) 取走某堆中的所有石头；(b) 从每堆中各取走一块石头.然而每天晚上，恶魔执行如下两种操作之一：(a) 给每个非空的堆各增加一块石头；(b) 创造一个新的堆并加入一块石头.问：至少需要多少天，天使才能确保在该天早上取走所有石头？
Answer: 199
Problem: 考虑所有满足以下两个条件的实数序列 x_0, x_1, x_2, \cdots, x_{100}：(1) x_0=0；(2) 对任意 1\leq i\leq 100，有 1\leq x_i-x_{i-1}\leq 2.求最大的正整数 k\leq 100，使得对任意这样的序列，均有x_k+x_{k+1}+\cdots+x_{100}\geq x_0+x_1+\cdots+x_{k-1}.
Answer: 67
Problem: 求所有的正整数 k，使得对任意满足 k(ab+bc+ca)>5(a^2+b^2+c^2) 的正实数 a,b,c，都存在三边长分别为 a,b,c 的三角形.
Answer: 6
Problem: 对平面上的 100 条直线，用 T 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合. 求 |T| 的最大值.
Answer: 62500
Problem: 求最大的正实数 k，使得对任意满足 a+b+c=1 的非负实数 a,b,c，均有\ds{}{}\df{a}{1+9bc+k(b-c)^2}\geq\df{1}{2}.
Answer: 4
Problem: 求最大的正整数 n，使得存在 n 个正整数 x_1<x_2<\cdots<x_n，满足x_1+x_1x_2+\cdots+x_1x_2\cdots x_n=2021.
Answer: 4
Problem: 集合 A,B 定义如下：A=\{a^3+b^3+c^3-3abc\ |\ a,b,c\in\bN\},B=\{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\ |\ a,b,c\in\bN\}.设集合 P=\{n\ |\ n\in A\cap B,1\leq n\leq 2016\}，求 |P|.
Answer: 980
Problem: 已知三角形 ABC 的三边长均为正整数，若 \angle A=2\angle B，且 CA=9，则 BC 的最小可能值是__________.
Answer: 12
Problem: 在正整数 1,2,\cdots,20210418 中，有多少个数的数码和是 8？
Answer: 5100
Problem: 使得 3n+1 与 5n+1 同时成为完全平方数的最小正整数 n=__________.
Answer: 16
Problem: 方程 \df{1}{x}+\df{1}{y}=\df{1}{2021} 的正整数解的组数为__________.
Answer: 9
Problem: 若函数 f(x)=x^2-2ax-2a|x-a|+1 有且仅有三个零点，则实数 a 的值为__________.
Answer: 1
Problem: 已知数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，且 a_1=3, S_n=2a_n+\df{3}{2}((-1)^n-1). 若 \{a_n\} 中存在三项 a_1, a_p, a_q (p,q\in\bN_+,1<p<q) 成等差数列，则 q-p=__________.
Answer: 1
Problem: 已知 f:\bZ\rightarrow\bZ 为偶函数，且 f(1)=1, f(2017)\neq1. 若对任意整数 x, y，均有2f(x+y)-f(x)-f(y)\leq |f(x)-f(y)|,求 f(2018) 的所有可能值.
Answer: 1
Problem: 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第 2022 项为__________.
Answer: 2410
Problem: 设 X=\{1,2,\cdots,10\}，f:X\rightarrow X 的映射满足① f\circ f=I_X，其中 f\circ f 是复合映射，I_X 为 X 上的恒等映射；② |f(i)-i|\leq 2，对任意 i\in X.求映射 f 的数目.
Answer: 401
Problem: S 是集合 \{1,2,\cdots,2023\} 的子集，满足任意两个元素的平方和不是 9 的倍数，则 |S| 的最大值是__________.（这里 |S| 表示 S 的元素个数）
Answer: 1350
Problem: 已知函数 f(x)=\sin\omega x+\sin 2x，其中 \omega\in\bN_+, \omega\leq2023. 若 f(x)<2 恒成立，则满足题设的常数 \omega 的个数为__________.
Answer: 1770
Problem: 设实数 x,y 满足 \begin{cases} x^3-3x^2+2026x=2023\\ y^3+6y^2+2035y=-4053\end{cases}，则 x+y=__________.
Answer: -1
Problem: 使得 n^2+2023n 为平方数的正整数 n 的最小值是__________.
Answer: 425
Problem: 现有 11 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 9 点开始到下午 5 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 1 位同学为参观的游客提供讲解服务. 为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 2 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责. 则馆方共有__________种排班方式.
Answer: 100000010
Problem: 求最小的整数 n\geq3，使得在平面内任意无三点共线的 n 个点中，必有三个点是一个非等腰三角形的顶点.
Answer: 7
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_6;b_1,b_2,\cdots,b_6;c_1,c_2,\cdots,c_6 都是 1, 2, \cdots, 6 的排列. 求 \ds{i=1}{6}a_ib_ic_i 的最小值.
Answer: 162
Problem: 在一个 10\times10 的棋盘上有 k 个车. 棋盘上可以被某个车攻击的格称为危险的（包括车本身所在的格）. 如果任意去掉一个车后都至少有一个危险的格变为不危险，求 k 的最大可能值.
Answer: 16
Problem: 某国有 100 个城市，分别编号 1,2,\cdots,100. 在一些城市之间有道路相连，两个城市之间至多只有一条道路. 称有道路相连的两个城市是相邻的，一位外国游客计划来该国旅行 100 次. 对 1\leq i\leq 100，在第 i 次旅行中他从编号为 i 的城市开始，之后每天前往与当前所在城市相邻且编号最小的城市，如果该城市在本次旅行中已经游览过，则不再前往且本次旅行结束.已知 100 次旅行结束后，该旅客游览每个城市的次数恰好相同. 求该国道路个数的最大可能值.
Answer: 2500
Problem: 设复数 z=9+10i（i 为虚数单位），若正整数 n 满足 |z^n|\leq 2023，则 n 的最大值为__________.
Answer: 2
Problem: 若正实数 a,b 满足 a^{\lg b}=2,a^{\lg a}\cdot b^{\lg b}=5，则 (ab)^{\lg ab} 的值为__________.
Answer: 20
Problem: 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 \Omega 与 x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆 \Gamma:\df{x^2}{a^2}+\df{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 内，且 \Omega 与 \Gamma 有唯一的公共点 (8,9). 则 \Gamma 的焦距为__________.
Answer: 10
Problem: 设整数 n\geq2. A,B 两人在 n\times2021 的方格表内玩游戏. 初始时，A 将每格染上黑色或白色，B 在第一行的某格内放入一个棋子，并在最后一行指定一格作为目标. 接下来，A 重复 n-1 次如下操作：当棋子在白格中时，A 将棋子向下移动一格；当棋子在黑格中时，A 先将棋子向左或右移动一格，再向下移动一格. 求最小的 n，使得无论 B 如何选择，A 总能将棋子移到目标.
Answer: 2022
Problem: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{2021} 是整数，满足对 n=1, 2, \cdots, 2016，均有 a_{n+5}+a_n>a_{n+2}+a_{n+3}. 求 a_1, a_2, \cdots, a_{2021} 中最大者与最小者之差的最小可能值.
Answer: 85008
Problem: 求所有的正整数 n，使得 3^n+n^2+2019 是一个完全平方数.
Answer: 4
Problem: 设 S=\{(i,j)\ |\ i,j=1,2,\cdots,100\} 是直角坐标平面上的 100\times100 个整点构成的集合. 将 S 中的每个点染为给定的四种颜色之一，求以 S 中四个颜色互不相同的点为顶点、且边平行于坐标轴的矩形个数的最大值.
Answer: 9375000
Problem: 设函数 f:\bN_+\rightarrow\bN_+，满足对任意正整数 s,t，均有 f(t^2f(s))=sf(t)^2. 求 f(1998) 的最小可能值.
Answer: 120
Problem: 设 \{x_k\}=(x_1,x_2,\cdots,x_n) 为有限项的实数数列. 称 \{x_k\} 为 N-数列，如果存在 1\leq i\leq j\leq n，使得 (x_1,x_2,\cdots,x_i) 严格递增且 (x_i,\cdots,x_j), (x_j,\cdots,x_n) 分别严格单调. 求最大的正整数 m，使得任何 1, 2, \cdots, 2023 的排列都有 m 项的 N-子列.注：数列 (x_1,x_2,\cdots,x_p) 的子列即形如 (x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_q}) 的数列，其中下标 1\leq i_1<\cdots<i_q\leq p.（董子超供题）
Answer: 89
Problem: 设集合 X=\{1,2,\cdots,2001\}. 求最小的正整数 m，使得对 X 的任一 m 元子集 W，都存在 u,v\in W（u,v 可以相同），满足 u+v 是 2 的幂.
Answer: 999
Problem: "棍子"是指 1\times k 或 k\times 1 的矩形，其中 k 是任意正整数. 求最小的正整数 m，使得可以将 2022\times2022 的棋盘划分为 m 个不交的棍子，满足任意两个棍子都至多有一个单位长度的公共边.
Answer: 2042224
Problem: 求所有的正整数 n，使得存在 k 及大于 3 的整数 n_1, n_2, \cdots, n_k，满足n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)(n_2-1)\cdots(n_k-1)}-1.
Answer: 7
Problem: 某次考试有 5 道选择题，每题都有 4 个不同答案供选择. 每人每题恰选 1 个答案. 在 2000 份答卷中发现存在一个 n，使得任何 n 份答卷中都存在 4 份，其中每两份的答案都至多 3 题相同. 求 n 的最小可能值.
Answer: 25
Problem: 设 \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) 和 \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) 是空间向量，满足 u_i, v_i (i=1,2,3) 均为整数，且 0.9999<\cos\langle\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\rangle<1. 记 S=|u_1|+|u_2|+|u_3|+|v_1|+|v_2|+|v_3|，求 [\sqrt{S}] 的最小可能值.
Answer: 4
Problem: 求最大的实数 C，使得不等式\left(\ds{k=1}{100}\df{1}{x_k}\right)\left(\ds{k=1}{100}(x_k^3+2x_k)\right)-\left(\ds{k=1}{100}\sqrt{x_k^2+1}\right)^2\geq C对任意两两不同的正整数 x_1, x_2, \cdots, x_{100} 成立.
Answer: 33340000
Problem: 设正整数 a,b 满足 a<b\leq100. 若存在正整数 k，使得 ab\mid a^k+b^k，则称数对 (a,b) 是"好的". 求所有好数对的个数.
Answer: 96
Problem: 在一个圆周上给定 8 个点 A_1,A_2,\cdots,A_8. 求最小的正整数 n，使得在以这 8 个点为顶点的任意 n 个三角形中，必存在两个有公共边.
Answer: 9
Problem: 设复数列 \{z_n\} 满足 |z_1|=1,|z_n+z_{n-1}|=n, n\geq2. 记 |z_{20}-z_{23}| 和 |z_{20}+z_{23}| 的最大值分别为 m 和 n，则 m-n 的值为__________.
Answer: 420
Problem: 对正整数 n，记集合 \{t\in\bZ\ | 存在唯一的实数 x 使得 x[x]=t<n^2+2n-1\} 中的元素个数为 f(n)，其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数. 则 f(\frac{20}{2}-2)f(20+23) 的值为__________.
Answer: 114514
Problem: 设正整数 a_1,a_2,\cdots,a_{2006}（可以相同）使得 \df{a_1}{a_2}, \df{a_2}{a_3}, \cdots, \df{a_{2005}}{a_{2006}} 两两不相等. 问：a_1, a_2, \cdots, a_{2006} 中最少有多少个不同的数？
Answer: 46
Problem: 设 a,b>0，满足：关于 x 的方程 \sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b 恰有三个不同的实数解 x_1, x_2, x_3，且 x_1<x_2<x_3=b，则 a+b 的值为__________.
Answer: 144
Problem: 对正整数 n 及实数 x(0\leq x<n)，定义f(n,x)=(1-\{x\})\cdot\text{C}_n^{[x]}+\{x\}\cdot\text{C}_n^{[x]+1},其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数，\{x\}=x-[x]. 若整数 m,n\geq2 满足f\left(m,\df{1}{n}\right)+f\left(m,\df{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m,\df{mn-1}{n}\right)=123,求 f\left(n,\df{1}{m}\right)+f\left(n,\df{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n,\df{mn-1}{m}\right) 的值.
Answer: 74
Problem: 求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 a：存在正整数 m_1, n_1, m_2, n_2，使得 a=m_1^2+n_1^2，a^2=m_2^2+n_2^2，且 m_1-n_1=m_2-n_2.
Answer: 261
Problem: 设 P_1,P_2,\cdots,P_{12} 是平面上的 12 个点（允许重合），其中任意两点之间的距离不超过 1. 求 \ds{1\leq i<j\leq 12}{}|P_iP_j|^2 的最大可能值.
Answer: 48
Problem: 平面上有 2022 个点，满足任意三点不共线. 每个点被染为红色或蓝色，使得每三个（不同的）红点构成的三角形都至少包含一个蓝点. 求红点个数的最大可能值.
Answer: 1012
Problem: 在一个 4\times3000 的方格表中，最多能将多少个格染黑，使得黑格不形成由四个格构成的多米诺？
Answer: 7000
Problem: 设集合 A=\{1,2\},B=\{3,4\}，X=\{mn\ |\ z=a+bi,其中 a\in A, b\in B, z 为实系数方程 x^2+mx+n=0 的根 \}. 则 X 中所有元素之和为__________.
Answer: -186
Problem: 已知数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足 a_1=2, b_1=0, a_2=2,b_2=2，且对 n\geq3，有 a_n=a_{n-1}a_{n-2}-b_{n-1}b_{n-2}，b_n=a_{n-1}b_{n-2}+a_{n-2}b_{n-1}. 求 |a_{2022}| 的末两位数字.
Answer: 64
Problem: 设实数 x_1,x_2,\cdots,x_{2018} 满足 x_1+x_2+\cdots+x_{2018}=1007, 且 |x_{i+1}-x_i|\leq1, i=1, 2, \cdots, 2017. 求 x_2+x_4 的最大值.（赵斌供题）
Answer: 2014
Problem: 求所有的整数 n，使得 n^4+6n^3+11n^2+3n+31 是一个完全平方数.
Answer: 10
Problem: 将一个 99\times101 的方格表中若干个小方格涂黑，其余小方格涂白. 如果每个黑格至多和一个黑格相邻（有公边），最多能涂黑多少个小方格？
Answer: 5017
Problem: 设实数 a,b 满足：集合 A=\{x\in\bR\ |\ x^2-10x+a\leq0\} 与 B=\{x\in\bR\ |\ bx\leq b^3\} 的交集为 [4,9]，则 a+b 的值为__________.
Answer: 7
Problem: 设 f(x) 是定义域为 \bR、最小正周期为 5 的函数. 若函数 g(x)=f(2^x) 在区间 [0,5) 上的零点个数为 25，则 g(x) 在区间 [1,4) 上的零点个数为__________.
Answer: 11
Problem: 若三个正整数 a,b,c 的位数之和为 8，且组成 a,b,c 的 8 个数码能排列为 2, 0, 2, 4, 0, 9, 0, 8，则称 (a,b,c) 为"幸运数组"，例如 (9,8,202400) 是一个幸运数组. 满足 10<a<b<c 的幸运数组 (a,b,c) 的个数为__________.
Answer: 591
Problem: 设整数 N\geq2，1=d_1<d_2<\cdots<d_s=N 是 N 的所有正因数. 已知 (d_1,d_2)+(d_2,d_3)+\cdots+(d_{s-1},d_s)=N-2, 求 N 的所有可能值.
Answer: 3
Problem: 若干两两内部不交的直角边长为 1 的等腰直角三角形放在 100\times100 的方格纸中. 已知任意直角三角形的斜边均为某个单位格的对角线；每个单位格的边均为唯一直角三角形的直角边. 两条对角线均不为直角三角形的斜边的小方格称为"空格". 求空格个数的最大值.
Answer: 2450
Problem: 对一切映射 f:\{0,1,2,\cdots,99\}\rightarrow\{0,1,2,\cdots,99\}，求下式的最小可能值：S=\ds{x=0}{99}|f(f(x))-((x+1) \text{mod} 100)|.这里的记号 a \text{mod} 100 表示正整数 a 除以 100 所得的余数.（董子超、吴茁供题）
Answer: 1
Problem: 称集合 A 为无和的，是指：若 a,b\in A，则 a+b\not\in A. 设 A_1, A_2 是 U=\{1,2,\cdots,999\} 的两个无和子集，求 |A_1\cup A_2| 的最大可能值.（吴茁供题）
Answer: 800