ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 在一个圆周上有 12 个红点. 求最小的正整数 n，使得存在以红点为顶点的 n 个三角形，满足以红点为端点的每条弦都是其中某个三角形的一条边.
Answer: 24
Problem: 设由 1,2,\cdots,9 的所有排列 X=(x_1,x_2,\cdots,x_9) 构成的集合为 A. 对 X\in A，记 f(X)=x_1+2x_2+\cdots+9x_9，M=\{f(X)\ |\ X\in A\}. 求 |M|.
Answer: 121
Problem: 设 \{a_i\}_{i=0}^{\infty} 是正整数数列，满足 a_0=1，且对任意正整数 n，a_n 是最小的正整数，使得 a_n>1 且\sigma(a_0a_1\cdots a_{n-1})\mid\sigma(a_0a_1\cdots a_n).问：2024^{2024} 有多少个因数在数列中出现？
Answer: 36
Problem: 设 x_1,x_2,\cdots,x_{2019} 是实数，满足 x_1+x_2+\cdots+x_{2019}\in\bZ. 求\ds{1\leq i<j\leq 2019}{}\{x_i+x_j\}的最大值.（王永喜供题）
Answer: 2036162
Problem: 设 \left[\df{10^{2022}}{10^{100}-9}\right] 能被 10^n 整除，则非负整数 n 的最大可能值为__________.
Answer: 22
Problem: 设 a_n=\left(\df{1+q}{1-q}\right)\cdot\left(\df{1+q^2}{1-q^2}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\df{1+q^4}{1-q^4}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot\cdots\cdot\left(\df{1+q^{2^n}}{1-q^{2^n}}\right)^{\frac{1}{2^n}}，其中 q=\df{11}{13}. 记 a=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n，则 [a]=__________.
Answer: 42
Problem: 满足方程 \df{1}{k_1}+\df{1}{k_2}+\cdots+\df{1}{k_n}=1，k_1k_2\cdots k_n\leq 200 的所有有序正整数组 (n,k_1,\cdots,k_n) 的个数为__________.
Answer: 12
Problem: 已知不等式 \df{e^{22x}+e^{-22x}}{2}\leq e^{cx^2} 对所有实数 x 均成立，则 [c] 的最小可能值为__________.
Answer: 242
Problem: 记 I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\df{\dd x}{\sin x}，则 [100I]=__________.
Answer: 54
Problem: 设函数 \varphi_1(x),\varphi_2(x) 满足\varphi_i''(x)-\ln(x+1)\varphi_i'(x)+e^x\varphi_i(x)=0,i=1,2,x>-1.定义 w(x)=\varphi_1'(x)\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\varphi_2'(x)，若 w(0)=1，则 [w(2)]=__________.
Answer: 3
Problem: 已知欧拉常数\gamma=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\df{1}{2}+\df{1}{3}+\cdots+\df{1}{n}-\ln n\right)约等于 0.5772156649. 记 I=\df{100}{\displaystyle\int_0^1\left(\df{1}{x}-\left[\df{1}{x}\right]\right)\dd x}，则 [I]=__________.
Answer: 236
Problem: 设 A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} 为实对称矩阵，且其两个特征值分别为 1949 和 2023. 记 I 为 a_{12} 的最大可能值，则 [I]=__________.
Answer: 37
Problem: 设 V 为 2022 维实线性空间，f:V\rightarrow V 为线性变换. 记W_1=\{x\in V\ |\ f(x)=0\},W_2=\{x\in V\ |\ \exists y\in V,x=f(y)\}.则 (\dim W_1)\cdot(\dim W_2) 的最大可能值为__________.
Answer: 1022121
Problem: 记 \omega_n=\exp\left(\df{2\pi\sqrt{-1}}{n}\right). 已知 n 阶傅里叶矩阵定义为\begin{bmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&\omega_n&\omega_n^2&\cdots&\omega_n^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\omega_n^{n-1}&\omega_n^{(n-1)\cdot2}&\cdots&\omega_n^{(n-1)\cdot(n-1)}\end{bmatrix}. 若 A 为 2022 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 A^{-1} 中 (338,2) 位置的元素的实部的绝对值为 I，则 [100000I]=__________.
Answer: 24
Problem: 设 3 阶实对称矩阵 A 的三个特征值分别为 -1,-1,2，且(1,1,-1)^{T} 是特征值 2 所对应的特征向量. 记 A 中所有元素的平方和为 I，则 [I]=__________.
Answer: 6
Problem: 设 V 为关于 x 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合，且 a 为实数. 定义 V 到 V 的线性映射 F 为 F(f)=(x^2f)''+f'-af. 记 I 为使得 F 不是满射的 a 的所有可能值之和，则 [I]=__________.
Answer: 572
Problem: 对正整数 n，考虑含有 n 阶元的有限非交换群，记 a_n 为这些群的阶的最小可能值，则 a_1+a_2+a_3+a_4 的值为__________.
Answer: 26
Problem: 在由单位方格组成的 2011\times2011 的正方形桌子上放了有限条餐巾，每条餐巾覆盖了 52\times52 的正方形. 在每个单位方格内写上覆盖它的餐巾的数目，记写着相同非零数的方格个数的最大值为 k. 对于所有可能的餐巾的配置，求 k 的最大值.
Answer: 3986729
Problem: 已知 m,a,b,c 为正整数，且 a\log_m2+b\log_m3+c\log_m5=2024，则 m+a+b+c 的最小值是__________.
Answer: 6102
Problem: 已知 x>0,y>0，-\log_3y+3^x=\sqrt{y}-2x=15\cdot\df{3^{2x-1}}{y}，则 \sqrt{y}+x=__________.
Answer: 11
Problem: 设 n 是正整数，3^n-1 没有 12 以上的质因子，则所有满足条件的 n 的和是__________.
Answer: 12
Problem: 已知四面体 PABC，点 A_1 在 \triangle PBC 内，满足 \triangle A_1BP, \triangle A_1CP, \triangle A_1BC 的面积之比为 3:2:1. G 在线段 AA_1 上，直线 PG 交平面 ABC 于点 M，且 \df{AG}{GA_1}=\df{PG}{GM}，则四面体 PABC 与 A_1AMB 的体积之比为__________.
Answer: 12
Problem: 若方格 P 的左右两侧分别有 a,b 个方格，上下两侧分别有 c,d 个方格，其中 a,b,c,d 是正整数，且满足 (a-b)(c-d)=0，则称由这些方格所组成的图形为一个"十字星".现有一张由 2014 个方格所组成的 38\times53 方格表，求该方格表中十字星的个数.
Answer: 13483236
Problem: 已知 f(x)=\df{10}{x+1}-\df{\sqrt{x}}{3}，则集合 M=\{n\in\bZ\ |\ f(n^2-1)\geq0\} 的元素个数为__________.
Answer: 6
Problem: 已知 a_k 为 \log_2k, \log_3k, \cdots, \log_{2018}k 中整数项的个数，则 \ds{k=1}{2018}a_k=__________.
Answer: 4102
Problem: 设 P(z)=z^4-(6i+6)z^3+24iz^2-(18i-18)z-13. 求 P(z)=0 的四个根在复平面上对应的四个点所围成凸四边形的面积.
Answer: 2
Problem: 求所有的质数 p，使得存在正整数 n,u,v，满足 n 的正约数的个数等于 p^u，且这 p^u 个正约数之和等于 p^v.
Answer: 2
Problem: 已知 f(x) 和 g(x) 是两个二次项系数均为 1 的二次函数. 若 g(6)=35，\df{f(-1)}{g(-1)}=\df{f(1)}{g(1)}=\df{21}{20}，则 f(6)=__________.
Answer: 35
Problem: 若关于 x 的不等式 (x-2)e^x<ax+1 有且仅有三个不同的整数解，则整数 a 的最小值为__________.
Answer: 3
Problem: 若正实数 x,y 满足 x(x+2y)=9，则 x^5y 的最大值为__________.
Answer: 54
Problem: 若整数 a,b,c 满足：0\leq a\leq 10, 0\leq b\leq 10, 0\leq c\leq 10，10\leq a+b+c\leq 20，则满足条件的有序数组 (a,b,c) 共有__________.
Answer: 891
Problem: 满足下述条件的最小正实数 k：对任意不小于 k 的 4 个互不相同的实数 a,b,c,d，都存在 a,b,c,d 的一个排列 p, q, r, s，使得方程 (x^2+px+q)(x^2+rx+s)=0 有 4 个互不相同的实根.
Answer: 4
Problem: 记数集 A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} 中所有元素的算术平均值为 P(A). 若 B 是 A 的非空子集，且 P(B)=P(A)，则称 B 是 A 的一个"均衡子集". 求数集 M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} 的均衡子集的个数.
Answer: 51
Problem: n 支球队进行主客场双循环比赛（即每两支球队比赛两场，其中各有一场主场比赛）. 已知每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛，但如果某周内某球队有主场比赛，那么在这一周内不能安排该球队的客场比赛. 若 4 周内能够完成全部比赛，求 n 的最大值.
Answer: 6
Problem: 求满足 \df{x-y}{x+y}+\df{y-z}{y+z}+\df{z-u}{z+u}+\df{u-x}{u+x}>0，且 1\leq x,y,z,u\leq10 的四元有序整数组 (x,y,z,u) 的个数.
Answer: 3924
Problem: 已知实系数多项式 f(x)=x^3+bx^2+cx+d 有复根 z_1, z_2, z_3，且满足 f(2)\geq f(-3)+45. 则 \displaystyle\prod_{k=1}^3(z_k^2+z_k+1) 的最小值为__________.（树懒）
Answer: 3
Problem: 已知曲线 \Gamma:2023x^2+2023y^2+x^2y^2=20230206. 过点 K(\frac{1}{985},\frac{1}{211}) 作四条直线 l_1, l_2, l_3, l_4 分别平行于 x 轴、y轴、直线 y=x 和直线 y=-x. 将四条直线与 \Gamma 的八个交点逆时针标记为 P_1, P_2, \cdots, P_8，约定 P_9=P_1. 记线段 KP_i,KP_{i+1} 与 \Gamma 的弧 P_iP_{i+1} 围成的面积为 S_i，则 \ds{i=1}{8}(-1)^iS_i 的值为__________.（小猫）
Answer: 0
Problem: 二月，冬去春来，银杏树的枝头已隐约萌发了几株绿芽. 爸爸赏得此景，大快，烙得一张半径为 1 的圆形大春饼，欲分给鸡、狗、螃蟹、树懒们共品，以不负大好春光.大春饼香气逼人，引得鸡先人一步，一刀便将大饼划为两块. 鸡正欲将饼偷走之际，狗见了，生怕没了自己的，吠叫两声，忙也奔至饼旁，故意与鸡垂直地将大饼又切一刀，分为四块. 鸡、狗正欲争执，谁知螃蟹横行霸道，竟径直将鸡、狗拱出此地，又与狗所切垂直地切了一刀. 三人争相竞食，狼吞虎咽，谁奈还未吃完，人却均已饱了，六块春饼止剩得周长最小的一块无人肯吃.树懒闻得爸爸分饼，这才赶到，拾得最后一块春饼，徐徐吃下，更兼春光融融，阳光懒人，不觉心满意足.当鸡、狗、螃蟹的分法使树懒的饼周长最大时，记其周长为 C，记此时恰含一个直角内角的那一块饼的直线段部分周长为 T，则 15\left[\frac{(3C-2T-2\sqrt{2}\sin(C-T+\frac{\pi}{4}))^{\pi}}{15}\right] 的值为__________. 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数.（树懒）
Answer: 30
Problem: 将 33\times33 的方格表中每个格染成三种颜色之一，使得每种颜色的格的个数相等. 若相邻两格的颜色不同，则称其公共边为"分隔边". 求分隔边条数的最小值.
Answer: 56
Problem: 梦境国有 2016 座城市，星程航空公司希望在若干座城市对之间开通单向航线，使得每座城市恰有一班飞离的航线. 求最小的正整数 k，使得该公司无论怎样开通航线，总能将 2016 座城市分成 k 组，满足每组中任意一座城市不可能用不超过 28 次飞行到达这一组中的另一座城市.
Answer: 57
Problem: 若数列 \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} 的通项公式为a_n=\df{n^2+1000}{n}\ln\df{n^2+n+1000}{n^2+1000},则使得 a_n 取最小值的 n=__________.
Answer: 32
Problem: 在数列 \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} 中，x_1=1，且对任意正整数 n，x_{n+1}=x_n+[\sqrt{x_n}]，这里 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 则满足 x_n\geq2019 的最小正整数 n 为__________.
Answer: 95
Problem: 设 m,n\in\bN，且 m,n\geq2，若 \df{2^3-1}{2^3+1}\cdot\df{3^3-1}{3^3+1}\cdot\cdots\cdot\df{n^3-1}{n^3+1}=\df{m^3-1}{m^3+2}, 则 m^2+n^2 的值为__________.
Answer: 20
Problem: 设 a,b 都是正整数，且 a-b\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{100}，则 ab 的个位数字是__________.
Answer: 2
Problem: 设正整数 a_1,a_2,\cdots,a_{31},b_1,b_2,\cdots,b_{31} 满足：(1) a_1<a_2<\cdots<a_{31}\leq2015, b_1<b_2<\cdots<b_{31}\leq 2015；(2) a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.求 S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}| 的最大值.
Answer: 30720
Problem: 一项赛事共有 100 位选手参加. 对于任意两位选手 x,y，他们之间恰比赛一次且分出胜负，用 x\rightarrow y 表示 x 战胜 y. 如果对任意两位选手 x,y，均能找到某个选手序列 u_1, u_2, \cdots, u_k (k\geq2)，使得 x=u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \cdots \rightarrow u_k=y，那么称该赛事结果是"友好"的.(1) 求证：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数 m 满足如下条件：对任意两位选手 x,y，均能找到某个长度为 m 的选手序列 z_1,z_2,\cdots,z_m（这里 z_1, z_2, \cdots, z_m 可以有重复），使得 x=z_1\rightarrow z_2\rightarrow\cdots\rightarrow z_m=y.(2) 对任意一个友好的赛事结果 T，将符合 (1) 中条件的最小正整数 m 记为 m(T). 求 m(T) 的最小值.
Answer: 3
Problem: 已知 f:\bZ\rightarrow\bZ 的定义域为 \{1,2,3,4,5\}，值域包含于 \{1,2,3,4\}. 若 f(3) 被 f(5) 整除，则函数 f 共有__________种不同的情况.
Answer: 512
Problem: 记 m=7997\times7999^3-7998\times7996^3，求 \sqrt[3]{m}.
Answer: 15995
Problem: 有 n 个人排成一行，自左至右按 1,2,\cdots,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按 1,2,3,\cdots 的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续. 在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.用 f(n) 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号，求 f(n) 的表达式，并给出 f(2019) 的值.
Answer: 1981
Problem: 求所有的整数 n\geq 2，使得 \df{\sigma(n)}{p(n)-1}=n，其中 p(n) 是 n 的最大质因子.
Answer: 6
Problem: 前 100 个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为__________.
Answer: 3795
Problem: 若在 1,2,3,\cdots,18 的任意一个排列中，总能找到连续 6 个数之和不小于 m，则实数 m 的最大值为__________.
Answer: 57
Problem: 已知 (n+1)^{\alpha+1}-n^{\alpha+1}<n^{\alpha}(\alpha+1)<n^{\alpha+1}-(n-1)^{\alpha+1}，-1<\alpha<0. 设 x=\ds{k=4}{10^6}\df{1}{\sqrt[3]{k}}，则 x 的整数部分为__________.
Answer: 14996
Problem: 设 A,B 是集合 \{1,2,\cdots,20\} 的两个子集，A\cap B=\emptyset，且 n\in A 时，2n+2\in B. 记 M(A) 为 A 的元素之和，则 M(A) 的最大值是__________.
Answer: 39
Problem: 设 a_1=\df{\pi}{6},a_n\in\left(0,\df{\pi}{2}\right) 且 \tan a_{n+1}\cdot\cos a_n=1, n\geq1. 若 \displaystyle\prod_{k=1}^m\sin a_k=\df{1}{100}，则 m=__________.
Answer: 3333
Problem: 若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为"完美长方体". "完美长方体''的体积的最大值为__________.
Answer: 120
Problem: 在半径为 10 的圆周 C 上任给 63 个点，设以这些点为顶点且三边长都大于 9 的三角形的个数为 S. 求 S 的最大值.
Answer: 23121
Problem: 2021 个人围坐在圆桌旁. 一次操作可以交换相邻两人的位置. 求最少的操作次数，使得结束时每人向左移动 1000 位.
Answer: 1021000
Problem: 将有 2018 行 4 列的方格表的每个格染成红色或蓝色，使得方格表每行的红格数与蓝格数相等，每列的红格数与蓝格数也相等. 记 m 为满足上述要求的染色方法的总数，求 m 除以 2018 所得的余数.
Answer: 6
Problem: 在一个社交平台上有 19998 名用户，任两名用户都是或不是朋友. 已知对任意 9999 名用户，其中都至少有 9999 对朋友. 求所有用户中朋友对个数的最小值.
Answer: 49995
Problem: 甲、乙两人玩一个游戏. 初始时黑板上写有一个三元组 (a,b,c)，其中 a,b,c 是非负整数，且 a+b+c=2021. 甲、乙轮流进行如下操作，甲先进行. 一次操作是指选择一个正整数 k，并将黑板上的一个数加 k、另两个数减 k. 如果某人操作后黑板上出现负数，则他输掉游戏. 求三元组 (a,b,c) 的个数，使得乙有必胜策略.
Answer: 6561
Problem: 已知数列 a_n=n\cos\frac{n\pi}{2},n=1,2,\cdots，函数 f(x)=\df{x^2}{x^2-2x+2}. 则数列 \{f(a_n)\} 的前 2024 项的和 T_{2024} 为__________.
Answer: 1012
Problem: 若正数 x,y 满足 xy=4000，且 (\lg x-\lg2)(\lg y-\lg2)=\df{17}{36}，则 x,y 中较大数的整数部分的位数为__________.
Answer: 4
Problem: 给定一个边长为 2021 的立方体. 有多少种不同的方式可以在立方体边界的某处添加一个单位小立方体，使得新得到的几何体可以分割为若干 1\times1\times k 的长方体，其中 k 是某个大于 1 的整数？
Answer: 13612182
Problem: 求最大的正整数 m，使得可以在 m 行 8 列的方格表的每个方格中填入 C,G,M,O 为四个字母之一，满足：对于方格表的任意不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同.
Answer: 5
Problem: 求 1,2,\cdots,2014 的排列数目的最大值，使得对任意不同的 a,b\in\{1,2,\cdots,2014\}，最多在一个排列中，b 恰位于 a 的后面.
Answer: 2014
Problem: 将正 2017 边形用其 2014 条在内部不相交的对角线划分成 2015 个三角形. 求其中等腰三角形个数的最大可能值.
Answer: 2010
Problem: 求所有的正整数 n，使得 n\mid\varphi(n)^{\tau(n)}+1，但 \tau(n)^5\nmid n^{\varphi(n)}-1.
Answer: 2
Problem: 有 2022 个格排成一行，A,B 两人在玩游戏. 初始时，在每个左起奇数号格中填入 A、偶数号格中填入 B. 接下来从 A 开始，两人轮流进行以下操作：选择两个写有自己名字的格，这两个格不相邻，且它们之间的所有格都写有另一人的名字，然后将这些格都改为自己的名字. 当某人不能操作时游戏结束. 求最大的正整数 m，使得无论 B 如何操作，A 能保证游戏结束时总有至少 m 个格写有 A 的名字.
Answer: 1011
Problem: 求满足如下条件的最小正整数 m：在圆周上有 999 个格，每个格中写有一个实数，使得对任意格 A 和任意正整数 k\leq m，顺时针或逆时针方向 A 之后第 k 个格中的数与 A 中的数之差的绝对值为 k. 则圆周上必有一个格 S，其中写有数 x，使得对任意正整数 k<999，顺时针或逆时针方向 S 之后第 k 个格中的数为 x+k.
Answer: 251
Problem: 设 A_1,A_2,\cdots,A_n 是集合 \{1,2,\cdots,2018\} 的二元子集，使得 A_i+A_j,1\leq i\leq j\leq n 互不相同. 求 n 的最大可能值.
Answer: 4033
Problem: 某班有 32 名学生，班上有 10 个兴趣小组，每个兴趣小组恰好有 16 名该班学生参加. 对于任意两名学生，将他们两人中恰有一人参加的兴趣小组的个数的平方称为这两名学生的兴趣差. 设 S 是所有 \text{C}_{32}^2 个两人组的兴趣差之和，求 S 的最小可能值.
Answer: 14080
Problem: 对整数 N>1，用 m 表示 N 的小于 N 的最大因数. 已知 N+m 是 10 的幂，求 N.
Answer: 75
Problem: 设方程 xyz=900 的全部正整数解为 (x_i,y_i,z_i) (1\leq i\leq n). 则 \ds{k=1}{n}(x_k+y_k+z_k)=\underline{\qquad\qquad}.
Answer: 22572
Problem: 设集合 S=\{1,2,\cdots,2005\}. 若 S 中任意 n 个两两互质的数中都至少有一个质数，求 n 的最小值.
Answer: 16
Problem: 设 I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin x}\ \dd x，则 [100I]=__________.
Answer: 54
Problem: 设实数 a,b 使 \displaystyle\int_0^{2\pi}(x^2-a\cos x-b\sin x)^2\ \dd x 取到最小值，则 [100|a|]=__________.
Answer: 400
Problem: 已知 A=(a_{ij})_{5\times5} 满足 a_{ij}=\df{1}{\min\{i,j\}} (1\leq i,j\leq 5)，则 [|\det A^{-1}|]=__________.
Answer: 2880
Problem: 设地球是一个半径为 1 的球，点 A 在北纬 60 度、东经 30 度，点 B 在南纬 30 度、西经 90 度. 记 A 到 B 的球面距离为 \theta，则 \left[100\cos^2\theta\right]=__________.
Answer: 42
Problem: 设函数 f(x)=\begin{cases}1,& x=0\\ \frac{x}{e^x-1},& x\neq0\end{cases}. 记 f(x) 在 x=0 处的泰勒展开式为 \ds{k=0}{\infty}a_kx^k，则 \left[\df{10}{|a_4|}\right]=__________.
Answer: 7200
Problem: 设 I=\displaystyle\int_0^{10}\dd x\int_0^5e^{\max\{x^2,4y^2\}}\ \dd y，则 [10\ln I]=__________.
Answer: 993
Problem: 全体迹为 0 的 2 阶方阵构成线性空间 M_2. 已知矩阵E_1=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad E_2=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix},\quad E_3=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}.定义线性变换 \mathcal{A}_i(X)=E_iX-XE_i(i=1,2,3)，且 3 阶方阵 B=(b_{ij}) 满足 b_{ij}=\text{tr}(\mathcal{A}_i\mathcal{A}_j) (1\leq i,j\leq 3). 则 [|\det B|]=__________.
Answer: 128
Problem: 一个盒子里有无限可数个球，编号分别为 0,1,2,3,\cdots. 现在从中随机取球，每次取出编号为 k 的球的概率为 \df{e^{-1}}{k!}. 如果连续有放回地取 6 个球，记这 6 个球编号之和为 4 的概率为 p. 则 [10|\ln p|]=__________.
Answer: 20
Problem: 在四棱锥 E-ABCD 中，一只蚂蚁在 0 时刻从顶点 A 出发，在 t 时刻时，蚂蚁会等概率地从 t 时刻所在顶点移向与之相邻的某一顶点，并且在 t+1 时刻到达该顶点. 记 P_E(t) 为 t 时刻蚂蚁恰好在 E 点处的概率，I=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}P_E(t)，则 [100I]=__________.
Answer: 25
Problem: 设 F(x)=\displaystyle\int_0^x\left(\sin\df{1}{t}\right)^4\dd t，则 [100|F'(0)|]=__________.
Answer: 37
Problem: 设 a 是正整数，数列 \{b_n\} 定义为 b_n=\left(1+\df{1}{n}\right)^{2024n+a}. 若 \{b_n\} 单调递减，则 a 的最小值为__________.
Answer: 1012
Problem: 已知平面直角坐标系中的点集L=\{(x,y)\ |\ x,y\in\{1,2,\cdots,100\}\}.设 A 是由平面上若干个凸多边形组成的集合，满足：A 中每个凸多边形的所有顶点均属于 L，并且 L 中的每个点都恰好是 A 中一个凸多边形的顶点.求 A 中所有凸多边形的面积之和的最小可能值.
Answer: 1667
Problem: 称一个正整数是好的，如果它有三个不同的正因数的和等于 2022. 求最小的好数.
Answer: 1344
Problem: 求所有的整数 n>2，使得n!\ \bigg|\ \prod_{\substack{p<q\leq n\\ p,q\text{是 质 数 }}}(p+q).
Answer: 7
Problem: 求最大的正整数 m，使得存在集合 \{1,2,\cdots,100\} 的 m 个子集 A_1, A_2, \cdots, A_m，满足对任意 1\leq i<j\leq m，都有|A_i\cup A_j|-|A_i\cap A_j|=2.
Answer: 100
Problem: 求具有下述性质的最小正常数 c：对任意一个简单图 G=G(V,E)，只要 |E|\geq c|V|，则 G 一定含有两个无公共顶点的圈，并且其中之一是带弦圈.注：图 G(V,E) 的圈是指一个两两不同的顶点序列 \{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\subseteq V，其中 v_iv_{i+1}\in E(1\leq i\leq n) （这里 n\geq 3,v_{n+1}=v_1）；带弦圈是指一个圈 \{v_1,v_2,\cdots,v_n\}，且存在 i,j，1<i-j<n-1，满足 v_iv_j\in E.
Answer: 4
Problem: 多项式 (1+x+x^2+\cdots+x^{203})^3 的展开式在合并同类项以后，x^{300} 这一项的系数为__________.(李纪琛供题)
Answer: 31192
Problem: 一个小镇上共有 2023 位居民，他们成立了一些互不相同的俱乐部 A_1, A_2, \cdots, A_n，每个俱乐部至少一人，每个人可以在任意个不同的俱乐部内. 已知对于每个俱乐部 A_i，存在一个不在其中的居民 b_i，考虑所有 b_i 未加入的俱乐部，它们要么为 A_i，要么和 A_i 没有公共成员. 求该小镇上俱乐部个数的最大值.（程国根）
Answer: 2023
Problem: 设函数 f(z)（z 为复数）满足 f(f(z))=(z\overline{z}-z-\overline{z})^2，若 f(1)=0，则 |f(i)-1|=__________.
Answer: 1
Problem: 已知 a,b,c\in\bC，且 a+b+c=a^2+b^2+c^2=3, a^3+b^3+c^3=6，则 (a-1)^{2023}+(b-1)^{2023}+(c-1)^{2023}=__________.
Answer: 0
Problem: 甲和乙在一个 100\times100 的棋盘上玩游戏. 首先，甲在每个格内填写一个 1 到 10000 的整数，且每个数只能使用一次. 接下来，乙在棋盘最左边的一列挑选一个格并在其中放入一枚硬币. 乙通过如下若干步操作让硬币到达棋盘最右边的一列：每次操作将硬币移到与原方格有一条边或一个顶点相邻的格. 每到一个格时（包括初始位置），乙需向甲支付与格中所填数等额的硬币. 乙希望支付尽可能少的钱，而甲希望适当填数来最大化自己的收益. 如果两人都采取最佳策略，那么乙需要向甲支付多少枚硬币？
Answer: 500000
Problem: 如果非负整数 m 及其各位数字之和均为 6 的倍数，则称 m 为"六合数". 求小于 2012 的非负整数中六合数的个数.
Answer: 168
Problem: 求最小的正整数 n，使得\sqrt{\df{n-2011}{2012}}-\sqrt{\df{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\df{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\df{n-2011}{2013}}.
Answer: 4024
Problem: 设 m 是正整数，n=2^m-1，P_n=\{1,2,\cdots,n\} 是数轴上 n 个点构成的集合. 一只蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点. 求 m 的最大值，使得对任意 x,y\in P_n，从点 x 跳 2012 步到点 y 的跳法种数为偶数（允许中途经过点 x,y）.
Answer: 10
Problem: 设 f(x)=\ds{i=1}{2013}\left[\df{x}{i!}\right]. 对整数 n，若关于 x 的方程 f(x)=n 有实数解，则称 n 为"好数". 求 \{1,3,5,\cdots,2013\} 中好数的个数.
Answer: 587
Problem: 将 3\times3 方格表中任意角上的 2\times2 正方形挖去，剩下的图形称为"角形". 在 10\times10 方格表中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合. 求正整数 k 的最大值，使得无论以何种方式放置了 k 个角形后，总能在方格表中再放入一个完整的角形.
Answer: 7
Problem: 已知多项式 f(z)=z^3+az^2+bz+c(a,b,c\in\bZ) 的所有根的模均为 20 或 15，则这样的多项式的个数为__________.
Answer: 572
Problem: 设 a_1,a_2,a_3,a_4 是正整数，满足在它们的任意圆排列中，均存在相邻两项不互质. 求三元组 (i,j,k) 个数的最大值，使得 \{i,j,k\}\subseteq\{1,2,3,4\}，且 (a_i,a_j)^2\mid a_k.
Answer: 16
Problem: 设函数 f:\{1,2,\cdots,2019\}\rightarrow\{-1,1\}，满足对任意 1\leq k\leq 2019，存在 1\leq l\leq 2019，使得\ds{i:(l-i)(i-k)\geq0}{}f(i)\leq0.求 \ds{i=1}{2019}f(i) 的最大值.
Answer: 673
Problem: 匹兹堡银行发行的硬币有正面和反面. 有 2023 枚硬币排成一行，反面朝上与正面朝上交替，最左边的反面朝上.一次操作可以将一枚硬币翻面，满足以下规则：\bullet 第一次操作可以对任意一枚硬币进行；\bullet 在之后的操作中，只能对与上一次操作相邻的硬币进行.求最少的操作次数，使得所有硬币都正面朝上.
Answer: 4044
Problem: 对某些正整数 n>m，n 既可以表示为 2021 个加数的和，其中每个加数均为 m 的非负整数次幂，又可以表示为 2021 个加数的和，其中每个加数均为 m+1 的非负整数次幂. 求 m 的最大可能值.
Answer: 2021
Problem: 设 S 是一个 35 元集合，\mathcal{F} 是一个由一些 S 到自身的映射组成的集合. 对正整数 k，称 \mathcal{F} 具有性质 P(k)，如果对任意 x,y\in S，都存在 \mathcal{F} 中的 k 个映射f_1, f_2, \cdots, f_k（可以相同），使得f_k(\cdots(f_2(f_1(x)))\cdots)=f_k(\cdots(f_2(f_1(y)))\cdots).求最小的正整数 m，使得所有具有性质 P(2019) 的集合 \mathcal{F} 都具有性质 P(m).
Answer: 595
Problem: 在一次数学奥林匹克比赛中，学生获得的分数来自四部分：代数、几何、数论和组合. 任意两名学生在所有四部分中的分数互不相同. 若一组学生能在至少两部分的分数同时按递增的次序排列，则称该组学生是"好的". 求最小的正整数 N，使得任意 N 名学生中均存在 10 名学生是好的.
Answer: 730
Problem: 设 a_1,a_2,a_3,a_4,k 是两两不同的正整数，且不小于 80，满足 a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2 是正整数. 求 (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2)\cdot k^2 的最小值.
Answer: 7225
Problem: 若一个有理数的十进制表示的小数部分有限，则称它是"短的". 对一个正整数 m，若正整数 t 满足：存在 c\in\{1,2,\cdots,2017\}，使得 \df{10^t-1}{cm} 是短的，且对任意 1\leq k<t，均有 \df{10^k-1}{cm} 不是短的，则称 t 为"m-型"的.用 S(m) 表示所有 m-型的数构成的集合，求 |S(m)| 的最大值.
Answer: 807
Problem: 设集合 S=\{1,2,\cdots,N\}. 已知存在 S 的四个 500 元子集 A_1, A_2, A_3, A_4，满足对任意 x,y\in S，均存在 1\leq i\leq 4，使得 x,y\in A_i. 求正整数 N 的最大值.
Answer: 833
Problem: 已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=13. 则 \df{a^2+b^3+c^4+2019}{10b+123c+26} 的最小值为__________.
Answer: 4
Problem: 考虑正 60 边形的 60 个顶点，将其中 10 个染红色、20 个染黄色，其余 30 个染蓝色. 求最小的正整数 m，使得总能找到不过任何顶点的 m 条直线将平面分成若干个区域，满足每个区域中所有点的颜色相同.
Answer: 30
Problem: 求最小的正整数 n，使得存在整数 a_1,a_2,\cdots,a_n，满足二次三项式x^2-2(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2x+(a_1^4+a_2^4+\cdots+a_n^4+1)至少有一个整根.
Answer: 6
Problem: 对一个复方阵 A，定义 \cos A=I+\ds{n=1}{\infty}\df{(-1)^n}{(2n)!}A^{2n}. 设方程 \cos\begin{bmatrix}-5\pi&3\pi\\-10\pi&6\pi\end{bmatrix} 的第二行第一列矩阵元为 x，求 [|x|].
Answer: 20
Problem: 记 S=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{1}^{2023}(\cos(nx+n!))^4\ \dd x，求 [S].
Answer: 758
Problem: 设 g(x)=\displaystyle\int_x^{\pi}\df{(\sin t)^5}{t}\ \dd t，记 S=\displaystyle\int_0^{\pi}g(x)\ \dd x，求 [100S].
Answer: 106
Problem: 设方阵M=\begin{bmatrix}10&-9&0&0&0&0&0&-9\\ -9&10&-9&0&0&0&0&0\\ 0&-9&10&-9&0&0&0&0\\ 0&0&-9&10&-9&0&0&0\\ 0&0&0&-9&10&-9&0&0\\ 0&0&0&0&-9&10&-9&0\\ 0&0&0&0&0&-9&10&-9\\ -9&0&0&0&0&0&-9&10\end{bmatrix}的特征值从小到大为 \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_8，求 [|\lambda_6|].
Answer: 22
Problem: 在一个不透明的袋子中有 1 个黑球和 2 个白球. 每一轮从中摸一个球后放回，并再在袋中放入 2 个与摸取同色的球. 记 S_n 为前 n 轮摸出黑球的次数，已知第 2 轮摸取的是黑球，在此前提下，记 S_{100} 的期望是 E，求 [E].
Answer: 60
Problem: 矩阵微分方程 \df{\dd }{\dd t}M(t)=B(t) 代表每个元素都满足微分方程 \df{\dd}{\dd t}M_{ij}(t)=B_{ij}(t). 考虑矩阵微分方程 \df{\dd}{\dd t}M(t)=AM(t)，其中矩阵 A 和初始矩阵 M(0) 分别为A=\begin{bmatrix}2&1&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\end{bmatrix},\quad M(0)=\begin{bmatrix} 3&2&1\\ 2&1&3\\ 1&3&2\end{bmatrix}.令 a=\ln|\det(M(2))|，求 [|a|].
Answer: 14
Problem: 设 A 是 5\times5 的方阵，A 的第一行是 (1,1,1,1,1)，第二行是 (1,-1,1,-1,1). 已知 \text{tr}(AA^T)=28，求 [\det A] 的最大可能值.
Answer: 72
Problem: 设 n=5，L_n(x)=\df{1}{n!}\cdot\df{\dd^n}{\dd x^n}(x^2-1)^n. 记 S=\displaystyle\int_{-1}^1|L_n(x)|^2\ \dd x，求 [S].
Answer: 186
Problem: 令 G 为三维空间中保持某个给定正方体的旋转构成的群. 设 G 的共轭类为 C_1, C_2, \cdots, C_n，满足 |C_1|\geq |C_2|\geq\cdots\geq|C_n|，求 |C_1|+|C_2|.
Answer: 14
Problem: 定义函数 A(x)=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=0}{\infty}\df{m!n!}{(m+n+1)!}x^m，计算 [100A(\frac{2}{3})].
Answer: 109
Problem: 设方程(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1的正整数解 (k,t) 按 k+t 从小到大排列为 (k_1,t_1), (k_2,t_2), \cdots. 求 k_6.
Answer: 3196
Problem: 记 S=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{101}\ \dd x，求 \left[\df{1}{3S}\right].
Answer: 67
Problem: 考虑 n\times n 的对称矩阵 M_n，每个矩阵元的取值为 0, \pm1, \pm2. 令 A_n 为 \text{tr}(M_n^6) 对所有这些矩阵的平均值，记 a=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\df{A_n}{n^4}，求 [|a|].
Answer: 40
Problem: 已知数列 \{a_n\} 满足：a_1=1, a_2=2, a_{2k+1}=\df{a_{2k}^2}{a_{2k-1}}，且 a_{2k+2}=2a_{2k+1}-a_{2k}(k\in\bN_+). 则 a_{2022} 的末两位数字是__________.
Answer: 32
Problem: 已知函数 f:\{1,2,\cdots,10\}\rightarrow\{1,2,3,4,5\}，且对一切 k=1, 2, \cdots, 9，有 |f(k+1)-f(k)|\geq 3. 则符合条件的函数 f 的个数为__________.
Answer: 288
Problem: 已知函数 f(x) 在 (0,+\infty) 上严格单调递减，对任意 x\in(0,+\infty)，均有 f(x)f\left(f(x)+\df{2}{x}\right)=\df{1}{3}. 记 g(x)=f(x)+4x^2，则函数 g(x) 的最小值是__________.
Answer: 3
Problem: 求最大的整数 k\leq 2023，满足如下条件：当 A 将 \{1,2,\cdots,2023\} 中的任意 k 个数染红时，B 可将余下若干个数染蓝，使得红数之和等于蓝数之和.
Answer: 592
Problem: A5. Alice and Bob play a game on a board consisting of one row of 2022 consecutive squares. They take turns placing tiles that cover two adjacent squares, with Alice going first. By rule, a tile must not cover a square that is already covered by another tile. The game ends when no tile can be placed according to this rule. Alice's goal is to maximize the number of uncovered squares when the game ends; Bob's goal is to minimize it. What is the greatest number of uncovered squares that Alice can ensure at the end of the game, no matter how Bob plays?
Answer: 290
Problem: 设 f:\bN_+\setminus\{1\}\rightarrow\bN，满足对 2^k\leq x<2^{k+1} (x,k\in\bN_+,x\geq2)，有 f(x)=x-2^k. 称正整数 n 及 n 个正整数 a_1, a_2, \cdots, a_n 为"奇妙组合"，如果：(1) 3\leq n\leq 1003；(2) a_1+a_2+\cdots+a_n=1003. 求最小的实数 S，使得对任意的奇妙组合，均有f(a_1+a_2)+f(a_2+a_3)+\cdots+f(a_{n-1}+a_n)\leq S.
Answer: 996
Problem: 设 a=\underbrace{66\cdots6}_{10\text{个 }6},b=\underbrace{33\cdots3}_{6\text{个 }3}，则 a,b 的最大公约数为__________.
Answer: 33
Problem: 已知 S_n 为数列 \{a_n\} 的前 n 项和，且 S_n=\df{9}{8}a_n-\df{3}{8}\cdot 3^n+\df{3}{8}. 则使 \ds{i=1}{n}\df{S_i}{a_i}<2024 成立的最大正整数 n 的值为__________.
Answer: 1799
Problem: 设 f(x)=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0，其中 a_i\in\{-1,1\}, i=0, 1, 2, \cdots, 6. 若 f(2)=-53，则 f(1)=__________.
Answer: -1
Problem: 若 x_1,x_2,\cdots,x_{100} 是 1,2,\cdots,100 的一个排列，则 S=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{99}-x_{100}|+|x_{100}-x_1| 的最大值为__________.
Answer: 5000
Problem: 给定凸 20 边形 P. 用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形，所得图形称为 P 的一个三角剖分图. 对 P 的任意一个三角剖分图 T，P 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T 的边. T 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 T 的一个完美匹配. 当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T 的完美匹配个数的最大值.
Answer: 89
Problem: 有 2018 名学生围成一圈. 称一个同学是优秀的，如果他两边站着的人和自己的性别都不同. 求优秀的男生数与优秀的女生数的平方差的最大值.
Answer: 509040
Problem: 设数列 \{a_n\} 满足 a_1=1, a_n=\df{1}{4a_{n-1}}+\df{1}{n} (n\geq2)，则 a_{100} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 301
Problem: 正实数 x,y 满足如下条件：存在 a\in[0,x], b\in[0,y]，使得a^2+y^2=2,\quad b^2+x^2=1,\quad ax+by=1,则 x+y 的最大值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 在平面直角坐标系中，椭圆 \Gamma:\df{x^2}{2}+y^2=1 的左、右焦点分别为 F_1,F_2，P 是第一象限内 \Gamma 上一点，PF_1, PF_2 的延长分别交 \Gamma 于点 Q_1,Q_2. 设 r_1,r_2 分别为 \triangle PF_1Q_2, \triangle PF_2Q_1 的内切圆半径，求 r_1-r_2 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 函数 f(x)=\sin^2x+\df{1}{2}(1-\cos x) 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 41
Problem: 甲、乙一同进行答题竞赛，甲先答. 甲每次答对的概率为 \df{1}{3}，乙每次答对的概率为 \df{1}{2}. 比赛规则为：每次一方答题，若答对则可继续答题，答错则由对方继续答题. 设第 n 次由甲答题的概率为 p_n，则 \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 10
Problem: 已知 a_1,a_2,\cdots,a_{22}\in[1,2]，求\df{\ds{i=1}{22}a_ia_{i+1}}{\left(\ds{i=1}{22}a_i\right)^2}的最大值，其中 a_{23}=a_1.（王正供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 21
Problem: 将一枚骰子连续投掷五次，则事件"五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 167
Problem: 设复数 z=\sqrt{\df{\pi}{e+\pi}}(1+i)+\sqrt{\df{e}{\pi+e}}(1-i)（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），则 z 的模为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 3
Problem: 若等差数列 \{a_n\} 及正整数 m(m\geq3) 满足：a_1=1,a_m=2，且\df{1}{a_1a_2}+\df{1}{a_2a_3}+\cdots+\df{1}{a_{m-1}a_m}=3,则 a_1+a_2+\cdots+a_m 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
Problem: 求最大的实数 \lambda，使得对任意整数 n\geq3，以及任意实数 a_1,a_2,\cdots,a_n，均有\ds{k=1}{n}(a_k-b_k)^2\geq\lambda\ds{k=1}{n}(a_k-c_k)^2,其中 b_k=\df{a_k+a_{k+1}}{2}, c_k=\df{a_{k-1}+a_k+a_{k+1}}{3} (1\leq k\leq n)，a_0=a_n, a_{n+1}=a_1.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 设实数 x,y,z\in[0,1]，记M=\min\{x-xy-xz+yz,y-yx-yz+xz,z-zx-zy+xy\},求 M 的最大可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设数列 \{a_n\} 满足：a_1=1011，且对任意正整数 n，均有 a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2a_n, 则 a_{2021}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2022
Problem: 一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为 a 和 b，则使得关于 x 的三次方程 x^3-(3a+1)x^2+(3a+2b)x-2b=0 有三个互不相等的实数根的概率 P=__________.（用数字作答）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在四面体 ABCD 中，\triangle ADB 为等腰直角三角形，AD=1, \angle ADB=90^\circ, \angle BDC=\angle ADC=60^\circ. 则异面直线 AB 与 CD 的距离为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 若复数 z 满足 \left|\df{z^2+1}{z+i}\right|+\left|\df{z^2+4i-3}{z-i+2}\right|=4，则 |z-1| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 3
Problem: 已知 \triangle OAB 的顶点坐标 O(0,0), A(4,4\sqrt{3}), B(8,0)，它的内切圆圆心为 I. 设圆 C 经过 A, B 两点，且与 \odot I 交于 P, Q 两点. 若分别过 P, Q 点所作两圆的切线垂直，则圆 C 的半径为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 9