ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 将一颗均匀的正方体色子连续掷两次，先后出现的点数分别为 $a 、 b$, 则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x+b=0$ 有实根的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 55
Problem: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n}$, 且对于一切正整数 $n$, 均有 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 n-1}{3 n+1}$.则 $\frac{S_{6}}{T_{5}}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 43
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. 设 $C$ 为实数, 且对任意的正整数 $n$, 都有 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C$, 则 $C$ 的最小值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 289
Problem: 设 $a, b, c \in(0,1]$, $\lambda$ 为实数, 使得 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c)$ 恒成立, 求 $\lambda$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 91
Problem: 设 $a 、 b 、 c \in(0,1], \lambda$ 为实数,使得
$$
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \geqslant 1+\lambda(1-a)(1-b)(1-c).
$$
求入的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 91
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$$
a_{n}=\left[(2+\sqrt{5})^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right),
$$
其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。设 $C$ 为实数，且对于任意的正整数 $n$ ，均有
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k+2}} \leqslant C
$$
则 $C$ 的最小值为 $\qquad$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 289
Problem: 正四面体的 4 个表面上分别写有数字 $1,2,3,4$, 将 4 个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的和能被 4 整除的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设集合 $T=\left\{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbf{N}^{*}\right.$ ，且 $a, b, c$ 可构成某个三角形的边长 $\}$ 。则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \cdot 5^{c}}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
Problem: 设集合
$T=\left\{(a, b, c) \mid a 、 b 、 c \in \mathbf{Z}_{+}\right.$，且 $a 、 b 、 c$可构成某个三角形的三边长\}。
则 $\sum_{(a, b, c) \in T} \frac{2^{a}}{3^{b} \times 5^{c}}$ 的值为 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
Problem: 设集合 $T=\{\left(a,b,c\right)|a,b,c\in\mathbf{Z}_{+}$,且 $a、b、c$
可构成某个三角形的三边长}.则$\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b\times5^c}$的值为$\_$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
Problem: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$, 则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 65
Problem: 已知正实数 $a 、 b$ 满足 $a^{b}=(8 a)^{9 b}$ 。则 $\log _{a}\left(4 a^{2}\right)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 65
Problem: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且对任意实数 $x$, 均有 $2 f(x)+f\left(x^{2}-1\right)=1$, 则 $f(\sqrt{ 2})$ 的值为 $\qquad$。
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 设复数 $x, y, z$ 满足: $|x+2 y+3 z|=1$ 。
求 $|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}+\left|x^{2}+y^{2}+z^{2}\right|$ 的最小值.
#*原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
Problem: 袋中装有 2 个红球、 3 个白球、 4 个黄球，从中任取 4 个球，则其中三种颜色的球都有的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 如图, 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A, B$两点，且 $|A B|=3 p$ 。设点 $A, B$ 在 $l$ 上的投影分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$ ，今向四边形 $A A^{\prime} B^{\prime} B$ 内任投一点 $M$ ，则点 $M$ 落在 $\triangle F A^{\prime} B^{\prime}$ 内的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在$\triangle ABC$中，若$\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}=1$，则$\tan\dfrac{C}{2}$的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 某人抛郑一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 141
Problem: 某人抛郑一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）。
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 141
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $A-C=\frac{\pi}{2}, a, b, c$ 成等差数列, 则 $\cos B$的值是 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设$\triangle ABC$的内角$\angle A、\angle B、\angle C$的对边分别为$a、b、c$,且$\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2},a、b、c$ 成等差数列.则$\cos B$ 的值为_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: Let $a_0=5/2$ and $a_k=a^2_{k-1}-2$ for $k\geq1.$ Compute

$$\prod\limits_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{a_k}\right)$$

in closed form.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 10
Problem: Determine the greatest possible value of $\sum_{i=1}^{10}\cos(3x_i)$ for real numbers $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ satisfying $\sum_{i=1}^{10}\cos(x_i)=0.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 529
Problem: Suppose $X$ is a random variable that takes on only nonnegative integer values, with $E\left[X\right]=1,E\left[X^2\right]=2$,and $E\left[X^{3}\right]=5.$(Here $E\left[y\right]$denotes the expectation of the random variable $Y.)$ Determine the smallest possible value of the probability of the event $X=0.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 4
Problem: Find the smallest constant C such that for every real polynomial $P(x)$ of degree 3 that has a root in the interval $[0,1]$,
$$\int_{0}^{1} \left\vert P(x)\right\vert\, {\rm d}x\leq C\max _{x \in[0,1]} \left\vert P(x) \right\vert$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: Determine the maximum value of the sum
$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}$$
over all sequences $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\$ of nonnegative real numbers satisfying
$$\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=1.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 5
Problem: Let $n$ be a positive integer, and let $V_n$ be the set of intger$\left(2n+1\right)$-tuples $\mathbf{v}=(s_0,s_1,\cdots,s_{2n-1},s_{2n})$ for which$s_{0}=s_{2n}=0$ and $|s_j-s_{j-1}|=1$ for $j=1,2,\cdots,2n.$ Define
$$q(\mathbf{v})=1+\sum_{j=1}^{2n-1}3^{s_{j}},$$
and let $M(n)$ be the average of $\frac1{q(\mathbf{v})}$ over all v$\in V_n.$ Evaluate $M(2020).$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 4041
Problem: The horizontal line $y=c$ intersects the curve $y=2 x-3 x^{3}$ in the first quadrant as in the figure. Find $c$ so that the areas of the two shaded regions are equal.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_10_21_4af3d4ec09ca96490329g-03.jpg?height=435&width=688&top_left_y=384&top_left_x=439)The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 13
Problem: 求所有的实数 $k$, 使得不等式  
$$  
a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+1 \geqslant k(a+b+c+d)  
$$  
对任意 $a 、 b 、 c 、 d \in[-1,+\infty)$ 都成立。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 实数 $a 、 b$ 使得方程 
$x^{3}-a x^{2}+b x-a=0\quad①$ 
有三个正实根. 求 $\frac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1}$ 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 12
Problem: 假设一个圆周上任意排列着 $n(n \geqslant 5)$个不同的点，标号为 $1,2, \cdots, n$ ，并记该排列为 $S$. 对于一个排列，它的一个""下降链""是指圆周上连续相邻的若干个点，它的标号是顺时针递减数列（数列项数至少为 2 ），且无法将该下降链延伸至更长；称该链中标号最大的点为""下降起始点""，该链中其余点为""非下降起始点"". 例如：顺时针排列的 $5,2,4,1$ ， 3 中有两个下降链 5,2 与 4,1, 且 $5 、 4$ 分别为它们的下降起始点，2、1为非下降起始点。
考虑如下操作：寻找排列 $S$ 中所有的下降链，删去所有非下降起始点，然后对余下的点组成的排列重复此操作，直至无法再找到下降链为止。
记 $G(S)$ 为排列 $S$ 在操作中出现过的所有下降链的个数， $A(n)$ 为所有可能的 $n$ 元排列 $S$ 的 $G(S)$ 的平均值。
(1) 试计算 $A(5)$ ；原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 97
Problem: 设 $x 、 y 、 z 、 w \in \mathbf{R}$, 且 $x+2 y+3 z+4 w=1$. 求 $s=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+(x+y+z+w)^{2}$的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 如果三个正实数 $x 、 y 、 z$ 满足$x^{2}+x y+y^{2}=\frac{25}{4}, y^{2}+y z+z^{2}=36$ ,  $z^{2}+z x+x^{2}=\frac{169}{4}$ .  求 $x y+y z+z x$ 的值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 13
Problem: 正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=111$.求 $S=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$的最大可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 已知非负实数$a、b、c、x、y、z$满足$a+b+c=x+y+z=1$。
求$\left(a-x^{2}\right)\left(b-y^{2}\right)\left(c-z^{2}\right)$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 若正实数$x、y$满足$y=2016x$，且$x^{y}=y^{x}$，则$\log_{2016}x+\log_{2016}y$=_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4032
Problem: 若离散型随机变量$X、Y$满足  
$2\leqslant X\leqslant3$，且$XY=1$，  
则$\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$的最大值为$\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 49
Problem: 已知正实数 $x 、 y 、 z$ 满足 $(x+y+z) x y z=4$.
求 $(x+y)^{2}+2(y+z)^{2}+3(z+x)^{2}$ 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 19
Problem: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1), \boldsymbol{b}=(2, y), \boldsymbol{c}=$ $(1,1)$ ，且 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线. 则 $|\boldsymbol{a}|+2|\boldsymbol{b}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 8
Problem: 设 $a 、 b$ 均为正实数. 则 $(a+b)\left(2+\frac{1}{a b}\right)$的最小值为  $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $Rt \triangle A B C$ 的三个顶点均在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$ 上, 其中, $A(0, b)$ 为直角顶点.  
(1) 若 $b=1$, 该三角形的面积的最大值为 $\frac{27}{8}$ ，求实数 $a$ 的值;  
(2)求该三角形面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在梯形 $A B C D$ 中, $B C / / A D, A B=A D$, $\angle A B C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B C D=\frac{\pi}{2}$. 将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$翻折，点 $A$ 在面 $B C D$ 上的投影为点 $P$. 已知 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 。则 $B P$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足:
$a_{1}=a_{2}=2019, b_{1}=b_{2}=2017$ ，
且对于一切正整数 $n \geqslant 2$ ，均有
$$
\begin{aligned}
& a_{n+1}=\left(a_{n-1}-1\right)\left(b_{n}+1\right) \\
& b_{n+1}=a_{n} b_{n-1}-1
\end{aligned}
$$
求 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n+3}}\right)$ 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8148685
Problem: 使得 $\frac{x+3}{x^{2}-2 x+2}$ 为正整数的所有实数 $x$的和为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 133
Problem: 有五张分别写有 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 数字的卡片，每次从中抽取一张，记下卡片上的数字，然后放回。这样抽取了四次，则抽到的最大数与最小数的差小于 4 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1056
Problem: 已知$x_{1},x_{2},\cdots,x_{50}\in\mathbf{R}$，且$\sum\limits_{i=1}^{50}\frac{x_{i}}{k+i}=\frac{2021}{2k+1}$对于任意$k\in\{1,2,\cdots,50\}$成立。求$\sum\limits_{i=1}^{50}\frac{x_{i}}{4042i+2021}$的值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 12751
Problem: 已知双曲线$\Gamma:\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，点$A_{1}(2,0)$，$A_{2}(3,0)$，过点$A_{1}$的直线与双曲线交于点$B_{1}、C_{1}$，过点$A_{2}$的直线与双曲线交于点$B_{2}、C_{2}$，且$k_{B_{1}C_{1}}k_{B_{2}C_{2}}=\frac{1}{2}$。分别以$B_{1}C_{1}$、$B_{2}C_{2}$为直径的圆交于点$X、Y$。求原点到直线$XY$的最大距离。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
Problem: 已知$x、y\in[0,+\infty)$，且满足$x^{3}+y^{3}+6xy=8$。
则$2x^{2}+y^{2}$的最小值为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 利用24小时制计时，可得到某一时刻的四个数字之和比时刻$20:21$的四个数字之和小的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 301
Problem: 设复数$a、z$满足$|a|<1,|z|<1$。
若$|a|=|z|=\frac{1}{2}$，求$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 已知抛物线$\Gamma:y^{2}=2px(p>0)$在第一象限与单位圆交于点$A,\Gamma$在$A$处的切线为$l$，过原点的$\odot M$与$l$切于点$A$。当$p$变化时，求$\odot M$的半径$R$的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x-1)$为偶函数，$f(x-2)$为奇函数。当$x\in[1,2]$时，$f(x)=ax^{2}+bx$。若$f(0)+f(3)=-1$，则$f\left(\frac{9}{2}\right)=\qquad.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 已知复数 $z$ 、w 满足:
$z+\frac{20 \mathrm{i}}{w}=5+\mathrm{i}, w+\frac{12 \mathrm{i}}{z}=-4+10 \mathrm{i}$ 。
则 $|z w|$ 的最小值是 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 12
Problem: 已知正数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a b+b c+c a+2 a b c=1$.
求 $\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a}$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在平面 $\beta$ 内，其余顶点均在平面 $\beta$ 的同侧，且 $B 、 D$ 两点到平面 $\beta$ 的距离分别为 $1 、 2$ 。若平面 $A B C D$ 与平面 $\beta$ 的夹角为 $30^{\circ}$, 则 $a=$
$\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足:
$$
\left|\overline{z_{1}}\right|=3,\left|\overline{z_{2}}\right|=4,\left|z_{1}+z_{2}\right|=6.
$$
则 $\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}+\frac{z_{1}}{z_{2}}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
Problem: 从 $1 \sim 9$ 这九个正整数中任选三个,则这三个数两两互素的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 121
Problem: 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a 、 b>0)$的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 双曲线 $C$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 的一个交点为 $P$ 。若 $\frac{\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|}{r}$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$, 则双曲线 $C$的离心率为 $\qquad$。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=4, B C=5, I$为 $\triangle A B C$ 的内心， $P$ 为 $\triangle I B C$ （包括边界）内一点. 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设点 $A(2,0)$, 点 $B$ 在曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$上, $\triangle A B C$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形. 则 $|O C|$ 的最大值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 某所中学共开设了六门选修课： $A 、 B$ 、 $C$ 三门为第一类选修课， $D 、 E 、 F$ 为第二类选修课，要求每名同学选三门课，其中，第一类选修课至少选两门。现有甲、乙、丙三人选课，则任意一名同学与其他两名同学均至少有两门选修课相同的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 329
Problem: 记$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，$\{x\}=x-[x]$。则
$\left\{\frac{2015!}{2017}\right\}=$______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2018
Problem: 从集合$\{1,2,\cdots,105\}$中任取一个元素$a$，使得$x^{2}+ax+6a=0$只有整数解的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 若二次函数
$$f(x)=ax^{2}+bx+c(a、b、c>0)$$
有零点，求$\min\left\{\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b},\frac{a+b}{c}\right\}$的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往四个相邻顶点之一。则小虫在第8秒爬回初始位置的概率为_______。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 299
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $A$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上一点， $M$ 为线段 $O A$ 上的动点，过 $M$ 作直线与椭圆交于 $P 、 Q$ 两点. 若 $\overrightarrow{P M}=2 \overrightarrow{M Q}$, 求四边形 $O P A Q$ 面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 两圆均经过点 $(1,1)$, 且与直线 $y=\frac{4}{3} x$ 及 $x$ 轴均相切.则该两圆的半径之和为 _____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$. 若 $a^{2}+2\left(b^{2}+c^{2}\right)=2 \sqrt{2}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为_____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在正四面体 $P-A B C$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在棱 $P B 、 P C$ 上. 若 $P E \neq P F$ ，且 $A E=A F=2$ ， $E F=\sqrt{3}$, 则四面体 $P-A E F$ 的体积为 _____.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 若 $a, b, c, d \in[2,4]$, 则 $\frac{(a b+c d)^{2}}{\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)}$ 的最大值与最小值的和为 $\qquad.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 66
Problem: 若正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 中心为 $0, \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B F}, \overrightarrow{A_{1} A}=$ $4 \overrightarrow{A_{1} E}$ ，则四面体 $O E B F$ 的体积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 97
Problem: 设 $O$ 是 $\triangle A B C$ 内一点, 满足 $S_{\triangle O A B}: S_{\triangle O B C}: S_{\triangle O C A}=4: 3: 2, \overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A B}+$ $\mu \overrightarrow{A C}$, 则 $\lambda+\mu=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: Evaluate$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\cos^{2}\left\{\frac{\pi}{2n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)\right\}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 3
Problem: Evaluate the infinite product $$\prod_{n=2}^{\infty}\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}$$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 5
Problem: Express $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}n+mn^{2}+2mn}$$as a rational number.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: Evaluate the double series
$$
\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-3 k-j-(k+n)^{2}}
$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 7
Problem: 将一个色子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 167
Problem: 设集合 $\left\{\left.\frac{5}{x}+y \right\rvert\, 1 \leqslant x \leqslant y \leqslant 5\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, N$, 则 $M N=$ $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 25
Problem: 一只蚂蚁在正方体 $A B C D-E F G H$ 的顶点 A 处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点 A 的概率为?.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 304
Problem: 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $A, B, P$ 是双曲线上一点, 若 $\triangle P A B$ 的内切圆圆心为 $(3,1)$, 则 $\triangle P A B$ 外接圆的半径为 ?原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 77
Problem: 棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 中, 已知 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A R}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$, 若点 K 为 $\triangle B C D$ 的重心, 则四面体 $K P Q R$ 的体积为  ?原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
Problem: Let $A$ be the area of the region in the first quadrant bounded by the line $y=\frac{1}{2} x$, the $x$-axis, and the ellipse $\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}=1$. Find the positive number $m$ such that $A$ is equal to the area of the region in the first quadrant bounded by the line $y=m x$, the $y$-axis, and the ellipse $\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}=1$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: 将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一, 则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 $\qquad$.
原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 503
Problem: 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 设 $P$ 是第一象限内 $\Gamma$ 上一点, $P F_{1}, P F_{2}$ 的延长线分别交 $\Gamma$ 于点 $Q_{1}, Q_{2}$ 。设 $r_{1}, r_{2}$ 分别为 $\triangle P F_{1} Q_{2}, \Delta P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径。求 $r_{1}-r_{2}$ 的最大值。  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在三角形 $A B C$ 中, $B C=4, C A=5, A B=6$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}=$ $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 107
Problem: 若平面上非零向量 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ 满足 $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}, \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}=2|\vec{\alpha}|, \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}=3|\vec{\beta}|$, 则 $|\vec{\gamma}|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 一个不均匀的骰子，掷出 $1,2,3,4,5,6$ 点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 $a, b$ .若事件 " $a+b=7$ " 发生的概率为 $\frac{1}{7}$ ，则事件 " $a=b$ "发生的概率为 $\qquad$.  原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, A D=1$, 边 $D C$ 上（包含点 $D 、 C$ ）的动点 $P$ 与 $C B$ 延长线上 (包含点 $B$ ) 的动点 $Q$ 满足 $|\overrightarrow{D P}|=|\overrightarrow{B Q}|$, 则向量 $\overrightarrow{P A}$ 与向量 $\overrightarrow{P Q}$ 的数量积 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P Q}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 设一条动直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 相切，且与双曲线 $\Omega: x^{2}-y^{2}=1$ 交于左、右两支各一点 $A 、 B$ 。求 $\triangle A O B$ 的面积的最小值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 在正方体中随机取 3 条棱, 它们两两异面的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 57
Problem: 对有限非空实数集 $X$, 记 $X$ 的元素个数为 $|X|$ ，均有  
$f(X)=\frac{1}{|X|} \sum\limits_{a \in X} a$.  
集合对 $(A, B)$ 满足  
$A \cup B=\{1,2, \cdots, 100\}, A \cap B=\varnothing$,  
且 $1 \leqslant|A| \leqslant 98$.  
任取 $p \in B$ ，令  
$A_{p}=A \cup\{p\}, B_{p}=\{x \mid x \in B, x \neq p\}$.  
对所有满足上述条件的集合对 $(A, B)$ 与 $p \in$ $B$ ，求 $\left(f\left(A_{p}\right)-f(A)\right)\left(f\left(B_{p}\right)-f(B)\right)$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 821
Problem: 设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数, 对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$,则 $f(8)= ?$ 原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 设 $f(x)$ 为定义在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调函数. 对于任意的 $x>0$ ，均有
$f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$.
则 $f(8)= ?$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 若 $x 、 y$ 为实数, 则 $|2 x+y| 、|x-y|$ 、 $|1+y|$ 这三个数中的最大数的最小值为           .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 对于四面体 $A B C D, A B \perp B C, C D \perp$ $B C, B C=2$ ，且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$. 若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$,则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为         .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 F 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$, 其中 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, C$ 两点, $l_{2}$ 交 E 于 $B, D$ 两点, 则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为           .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 F 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} 、 l_{2}$, 其中, $l_{1}$ 与抛物线 E 交于 $A 、 C$ 两点, $l_{2}$ 与抛物线 E 交于 $B 、 D$两点。则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 12 个人围坐在一张圆桌旁参加一种游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色。每个人都可以看见其他 11 人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色。现在主持人让这 12 个人顺次来猜自己头上帽子的颜色。这 12 个人事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能进行交流，他们的目标是使 12 个人同时回答正确的机会最大。假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 有一人进行投篮训练，投篮 5 次，失误一次扣 1 分，进一次得 1 分，连进 2次得 3 分，连进 3 次得 5 分. 若投篮的命中率为 $\frac{2}{5}$ ，则投篮 3 次恰好得 2 分的概
率为           .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 149
Problem: 已知 $a x+b y=1, a x^{2}+b y^{2}=2, a x^{3}+b y^{3}=7, a x^{4}+b y^{4}=18$, 则 $a x^{5}+b y^{5}=$     .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 166
Problem: 对于 $x \in R, f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=1, f(x)=2 f\left(\frac{x}{5}\right)$, 且对于 $0 \leq$ $x_{1} \leq x_{2} \leq 1$, 恒有 $f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right)$, 则 $f\left(\frac{1}{2022}\right)=$     .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 33
Problem: 若复数$z$满足$\left|z\right|=1$，则$\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$的最大值是 ？原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 若函数$f(x)$满足$\forall x\in\mathbf{R}$，$f(x)+f(1-x)=1$，$f(x)=2f\left(\frac{x}{5}\right)$，且当$0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant1$时，恒有$f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right)$，则$f\left(\frac{1}{2022}\right)$= ？原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 33
Problem: 求满足方程 $\cos x+\cos 2 x-\cos 3 x=1$, $x \in R$ 的所有 $\cos x$ 的平方和。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数， $x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列, $X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right.\right.$, 求 x 大于 y 的概率.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 231
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点, $A D=1, B E=2$, 则 $S_{\triangle A B C}$ 的最大 值为原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: Let $PQR$ be an equilateral triangle with sides of length three units. $U$, $V$, $W$, $X$, $Y$, and $Z$ divide the sides into lengths of one unit. Find the ratio of the area of the shaded quadrilateral $UWXY$ to the area of the triangle $PQR$.  The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 13
Problem: In the figure, $ABCD$ is a square, $P$, $Q$, $R$, and $S$ are midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ respectively. Find the ratio of the shaded area to the area of the square $ABCD$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 6