ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 已知 x 是一个锐角，那么 \df{8}{\sin x}+\df{1}{\cos x} 的最小值是__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 10
Problem: 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 x,y,z，则事件"\text{C}_7^x<\text{C}_7^y<\text{C}_7^z"发生的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 28
Problem: 若平面上非零向量 \overrightarrow{\alpha},\overrightarrow{\beta},\overrightarrow{\gamma} 满足 \overrightarrow{\alpha}\bot\overrightarrow{\beta}，\overrightarrow{\beta}\cdot\overrightarrow{\gamma}=2|\overrightarrow{\alpha}|，\overrightarrow{\gamma}\cdot\overrightarrow{\alpha}=3|\overrightarrow{\beta}|，则 |\overrightarrow{\gamma}| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 已知复数 z_1,z_2 满足 |\overline{z_1}|=3, |\overline{z_2}|=4, |z_1+z_2|=6，则 \df{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}+\df{z_1}{z_2}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
Problem: 从 1,2,\cdots,9 中任选 3 个数，它们两两互质的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 121
Problem: 求最大的实数 c，满足：对任意整数 n>1，均存在 \{1,2,\cdots,n\} 的子集 A，使得 |A|\geq cn，且对任意 x,y,z\in A（允许相同），均有 n 不整除 x+y-z.（吴茁供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 求最大的实数 \lambda，使得不等式\ds{k=1}{n}x_k^3(x_k-x_{k-1})\geq\df{1}{4}+\df{\lambda}{n}对任意正整数 n 及任意实数 0=x_0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n=1 均成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 设函数 f(x)=|x\log_{2023}x|，实数 a<b<c 满足 f(a)=f(b)=f(c). 若 a, b, c 构成等比数列，则其公比为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 在等比数列 \{a_n\} 中，a_9=13,a_{13}=1，则 \log_{a_1}13 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在 \triangle ABC 中，AB=6,BC=4，边 AC 上的中线长为 \sqrt{10}，则 \sin^6\df{A}{2}+\cos^6\df{A}{2} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
Problem: 在平面直角坐标系中，点 A,B,C 在双曲线 xy=1 上，满足 \triangle ABC 为等腰直角三角形. 求 \triangle ABC 的面积的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 在 1,2,3,\cdots,10 中随机选出一个数 a，在 -1, -2, -3, \cdots, -10 中随机选出一个数 b，则 a^2+b 能被 3 整除的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 137
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 \Omega 与抛物线 \Gamma:y^2=4x 恰有一个公共点，且圆 \Omega 与 x 轴相切于 \Gamma 的焦点 F. 求圆 \Omega 的半径.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 求所有的实数 k，使得 a^3+b^3+c^3+d^3+1\geq k(a+b+c+d) 对任意 a,b,c,d\in [-1,+\infty) 都成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K=\{(x,y)\ |\ x,y=-1,0,1\}. 在 K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离均不超过 2 的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 一个不均匀的骰子，掷出 1,2,3,4,5,6 点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别为 a,b. 若事件"a+b=7"发生的概率为 \df{1}{7}，则事件"a=b''发生的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 求最小的实数 C>1，满足如下条件：对任意整数 n\geq 2 和满足 \df{1}{a_1}+\df{1}{a_2}+\cdots+\df{1}{a_n}=1 的非整正实数 a_1, a_2, \cdots, a_n，都可以找到正整数 b_i，使得 (1) 对 1\leq i\leq n，b_i=[a_i] 或 [a_i]+1；(2) 1<\df{1}{b_1}+\df{1}{b_2}+\cdots+\df{1}{b_n}\leq C.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 求最小的常数 C，使得对任意正整数 n 和正实数 x_1, x_2, \cdots, x_n，均有\ds{1\leq i,j\leq n}{}\left\{\df{x_i}{x_j}\right\}\leq Cn^2,其中 \{x\} 表示实数 x 的小数部分.（清华大学 江城 供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 过抛物线 E:y^2=2x 的焦点 F 作两条斜率之积为 -\df{1}{2} 的直线 l_1, l_2，其中 l_1 交 E 于 A, C 两点，l_2 交 E 于 B, D 两点. 则 |AC|+2|BD| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 设 C 是单位圆周，z_1,z_2,\cdots,z_{240} 是 C 上的复数（可以相同），满足：(1) 对 C 上任意长为 \pi 的开弧 \Gamma，至多有 200 个 j 使得 z_j\in\Gamma；(2) 对 C 上任意长为 \df{\pi}{3} 的开弧 \gamma，至多有 120 个 j 使得 z_j\in\gamma.求 |z_1+z_2+\cdots+z_{240}| 的最大值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 123
Problem: \df{\cos^220^\circ+\cos^240^\circ+\cos^280^\circ}{\sin^420^\circ+\sin^440^\circ+\sin^480^\circ}  的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设 b,c 为实数，满足关于 x 的方程 f(x)^2+bf(x)+c=0 有 6 个互不相等的实数解，其中 f(x)=\left|x-\df{1}{x}\right|-\left|x+\df{1}{x}\right|+2，则 f(2025b)+f(c+2024) 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3035
Problem: 正实数 x,y,z 满足 x+2y^2+4x^2y^2z^2=8，则 \log_4x+\log_2y+\log_8z 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为 \df{1}{3}，乙胜的概率为 \df{2}{3}. 规定谁先胜 3 局谁赢得胜利，则甲赢的概率为__________.（用最简分数表示答案）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 98
Problem: 设正数 a,b,c,x,y,z 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c. 求函数f(x,y,z)=\df{x^2}{1+x}+\df{y^2}{1+y}+\df{z^2}{1+z}的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，\Gamma_1 是以 (2,1) 为圆心的单位圆，\Gamma_2 是以 (10,11) 为圆心的单位圆. 过原点 O 作一条直线 l，使得 l 与 \Gamma_1,\Gamma_2 各有两个交点，将 \Gamma_1, \Gamma_2 共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长. 所有满足条件的直线 l 的斜率之和为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 87
Problem: 将一个 n\times n 方格表的格染为黑白两种颜色之一. 一次操作是指选择某个正整数 t，并将一个 1\times t 或 t\times 1 矩形内方格的颜色反转（黑变白、白变黑）. 设 f(n) 为对所有可能的初始染色方式，将其变为全白的最小操作次数的最大值. 求 \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\df{f(n)}{n^2} 的值，或证明其不存在.（xibo）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 过椭圆 \df{x^2}{4}+y^2=1 上点 P 作圆 x^2+y^2=1 的两条切线，切点弦所在直线与 x 轴、y 轴分别交于点 E, F. 则 \triangle EOF 面积的最小值是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 已知直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，\angle ACB=90^\circ，AC=6，BC=CC_1=\sqrt{2}. P 是 BC_1 上一动点，则 CP+PA_1 的最小值是__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 求最小常数 \lambda，使不等式xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)\leq \lambda(x+y+z)^4对所有非负实数 x,y,z 都成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 在 \triangle ABC 中，a^2+2(b^2+c^2)=2\sqrt{2}，则 \triangle ABC 面积的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在正四面体 P-ABC 中，点 E,F 分别在棱 PB, PC 上. 若 PE\neq PF，且 AE=AF=2, EF=\sqrt{3}，则四面体 P-AEF 的体积为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为椭圆 \df{x^2}{4}+y^2=1 上一点，M 为线段 OA 上的动点. 过 M 作直线与椭圆交于 P, Q 两点，若 \overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}，求四边形 OPAQ 面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设 x,y,z 是正实数，求2\sqrt{(x+y+z)\left(\df{1}{x}+\df{1}{y}+\df{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\df{x}{y}\right)\left(1+\df{y}{z}\right)}的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 设集合 T=\{(a,b,c)\ |\ a,b,c\in\bN_+,\text{且 }\ a,b,c\ \text{可 构 成 某 个 三 角 形 的 三 边 长 }\}. 则 \ds{(a,b,c)\in T}{}\df{2^a}{3^b\cdot 5^c} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
Problem: 已知非负实数 a_i,b_i(1\leq i\leq 2024) 满足 \ds{i=1}{2024}a_i=\ds{i=1}{2024}b_i=1. 求\ds{i=1}{2024}a_ib_{i+1}b_{i+2}b_{i+3}a_{i+4}的最大值，其中下标按模 2024 理解.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 109
Problem: 已知点 A,F_1,F_2 分别为椭圆 \df{x^2}{4}+\df{y^2}{3}=1 的左顶点和左、右焦点. 过点 A 作斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 B，连接 BF_2 并延长交椭圆于点 C. 若 F_1C\bot AB，则 k^2 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 初始时黑板上有六个向量(1,0,0),\ (-1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,-1,0),\ (0,0,1),\ (0,0,-1).一次操作可以将黑板上的两个向量 v,w 换为 \df{1}{\sqrt{2}}(v+w), \df{1}{\sqrt{2}}(v-w). 求若干次操作后，黑板上所有向量之和的模的最大可能值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 求最小的实数 c，使得对任意正整数 n 以及任意 n 个和为 0 的非零复数 z_1, z_2, \cdots, z_n，均存在下标 i\neq j，使得 |z_i^2+z_j^2|\leq c|z_iz_j|.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 若锐角 A,B,C 满足 \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2，则 \df{1}{\sin^2A\cos^4B}+\df{1}{\sin^2B\cos^4C}+\df{1}{\sin^2C\cos^4A} 的最小值是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 83
Problem: 将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行，记为 a, b, c, d, e, f，则 abc+def 是偶数的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设复数 z 满足 |z|=1，且使得关于 x 的方程 zx^2+2\bar{z}x+2=0 有实根. 则这样的 z 的和为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: -1
Problem: 将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 2、出现反面记为 1. 此数与骰子的点数之积记为 x（例如硬币出现正面，骰子点数为 3，则 x=2\times3=6），那么 x 的数学期望是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: 已知抛物线 y^2=2px(p>0) 与双曲线 y=-\df{1}{x} 相交于点 R，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点 S,T. 求证：对于任意正实数 p，\triangle RST 的面积为与 p 无关的常数，并求该常数.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 31
Problem: 设等差数列 \{a_n\} 满足 a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1，则 a_1 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5982
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 \Gamma:y^2=2px(p>0) 的焦点为 F，过 \Gamma 上一点 P（异于 O）作 \Gamma 的切线，与 y 轴交于点 Q. 若 |FP|=2, |FQ|=1，则 \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的值为__________..原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 1, 2, 3, 4, 5, 6. 随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果互相独立），所得的点数依次为 a_1,a_2,a_3，则 |a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=6 的概率为__________..原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知 x,y\in[0,+\infty)，且满足 x^3+y^3+6xy=8. 则 2x^2+y^2 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 已知 x_1,x_2,\cdots,x_{50} 是实数，且 \ds{i=1}{50}\df{x_i}{k+i}=\df{2021}{2k+1} 对任意 k\in\{1,2,\cdots,50\} 成立. 求 \ds{i=1}{50}\df{x_i}{4042i+2021} 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 12751
Problem: 已知双曲线 \Gamma:\df{x^2}{3}-y^2=1，点 A_1(2,0),A_2(3,0). 过 A_1 的直线与双曲线交于点 B_1,  C_1，过 A_2 的直线与双曲线交于点 B_2, C_2，且 k_{B_1C_1}k_{B_2C_2}=\df{1}{2}. 分别以 B_1C_1, B_2C_2 为直径的圆交于点 X, Y，求原点到直线 XY 的最大距离.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
Problem: 设 \alpha,\beta\in[0,\frac{\pi}{3}]，则 \cos(\alpha+\beta)+2\cos(\alpha-\beta) 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知实数 x,y 满足 x<y,|x|<3,|y|<3，且关于 t 的方程 (x^3-y^3)t^4+(3x+y)t^2+\df{1}{x-y}=0 有实根. 则点 (x,y) 构成的区域的面积为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 14
Problem: 设 a,b,c 为实数，5a-b-4c, 5b-c-4a, 5c-a-4b 均不为 0，则 \ds{cyc}{}\left(\df{a+b+4c}{5a-b-4c}\right)^2 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 75
Problem: 求最大的实数 c，使得对任意和为正整数的正实数 a,b，都有\{a^2\}+\{b^2\}\leq 2-\df{c}{(a+b)^2}.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在正六棱锥中，侧面与底面的夹角均为 \df{\pi}{3}，则其外接球与内切球的半径的比值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过 C 上一点 P（异于 O）作 C 的切线与 y 轴交于点 Q. 若点 Q 关于直线 PF 的对称点在 x 轴上，则 \triangle PQF 的面积为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 盒子中有大小、形状完全相同的 3 个红球和 3 个白球. 现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球. 则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为_________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 79
Problem: 已知双曲线 C:\df{x^2}{a^2}-\df{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的离心率为 \df{\sqrt{17}}{3}，F 为右焦点，点 A,B 在右支上. 设 D 为 A 关于原点 O 的对称点，且 DF\bot AB. 若 \overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}，则 \lambda=_________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 某食品厂制作了 4 种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片. 规定：如果收集齐了 4 种不同的卡片，便可获得奖品. 小明一次性购买该种食品 6 袋，那么小明获奖的概率是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 707
Problem: 设实数 a,b,c,d 满足 a^2+b^2+c^2+d^2=1. 求 (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) 的最小值，并求达到最小值时所有的 (a,b,c,d).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设整数 n\geq3. 设 a_1,a_2,\cdots,a_n 是非负实数，满足 \ds{i=1}{n}a_i=1. 求\left(\ds{i=1}{n}\max\{a_i,a_{i+1},a_{i+2}\}\right)\left(\ds{i=1}{n}\min\{a_i,a_{i+1},a_{i+2}\}\right)的最大值，其中下标按模 n 理解.（YNWA）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 已知函数f(x)=\begin{cases} x,& \text{若 }\ x\ \text{为 无 理 数 };\\ \df{q+1}{p},&\text{若 }\ x=\df{q}{p},\text{其 中 }\ p,q\in\bN^\ast,\text{且 }\ p,q\ \text{互 质 },p>q.\end{cases}则函数 f(x) 在区间 \left(\df{8}{9},\df{9}{10}\right) 上的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
Problem: 已知函数 f(x)=\cos^4x+\sin^4x+a\sin4x-b，且 f(x+\frac{\pi}{6}) 为奇函数. 若方程 f(x)+m=0 在 [0,\pi] 上有四个不同的实数解 x_1, x_2, x_3, x_4，则 f(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}) 的平方值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 从面积为 1 的正 7 边形的 7 个顶点中随机选出 4 个不同的顶点，它们构成的四边形的面积大于 \df{1}{2} 的概率是__________.（王正供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 已知 a>b>1，若 \log_ab+\log_ba=\df{5}{2}，则 \df{b}{a+4} 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 设复数 x,y,z 满足：|x+2y+3z|=1. 求|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x^2+y^2+z^2|的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
Problem: 设 S 是边长为 1 的正六边形内及边上的点构成的集合. 求最小的实数 r，使得存在一种将 S 中的点三染色的方法，满足任意两个同色点之间的距离小于 r.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 点 M,N 分别在 \triangle ABC 的边 AB,AC 上，且\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}.D 为线段 BC 的中点，G 为线段 MN 与 AD 的交点. 若 \overrightarrow{AG}=\df{3}{5}\overrightarrow{AD}，则 \df{1}{x^2}+\df{4}{y^2} 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 94
Problem: 从 1,2,3,\cdots,11 这 11 个正整数中任意抽取 3 个不同的正整数 a, b, c，则它们的积 abc 能被 4 整除的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 53
Problem: 求最大的实数 C，使得对任意整数 n\geq2，存在 x_1, x_2, \cdots, x_n\in[-1,1]，满足\prod_{1\leq i<j\leq n}{}(x_i-x_j)\geq C^{\frac{n(n-1)}{2}}.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 已知函数 y=f(x) 的图像既关于点 (1,1) 中心对称，又关于直线 x+y=0 轴对称. 若 x\in(0,1) 时，f(x)=\log_2(x+1)，则 f(\log_210) 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 若 \triangle ABC 的内角 A,B,C 满足 \sin A=\cos B=\tan C，求 \cos^3A+\cos^2A-\cos A 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 若 A,B 为锐角且 \sin B\cdot\sin(A+B)=\sin A，则 \tan A 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 一个盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取一个产品，取出后不再放回. 则在取出 2 个正品前已取出 3 个废品的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 56
Problem: 在长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=AA_1=2, AD=2\sqrt{3}. M 为平面 BA_1C_1 内一点，则 \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC} 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: -9
Problem: 在四边形 ABCD 中，已知 \cos\angle BAD=\df{3}{4}，\angle BAC=\angle DAC，AD<AB，且 AB=5, AC=BD=\sqrt{14}. 若 \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}（\lambda,\mu\in\bR），则 \lambda+\mu=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 12
Problem: 已知离心率为 \df{\sqrt{6}}{2} 的双曲线 C:\df{x^2}{a^2}-\df{y^2}{b^2}=1 (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F_1, F_2. P 为双曲线上一点，R, r 分别为 \triangle PF_1F_2 的外接圆、内切圆半径. 若 \angle F_1PF_2=60^\circ，则 \df{R}{r}=__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 设实数 x,y,z 满足 x^2+y^2+z^2=1，求(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 设 0<x,y<1，求 \df{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 直角三角形 DEF 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB, BC, CA 上，且 \angle DEF=90^\circ, \angle EDF=30^\circ. 求 \df{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}} 的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 给定整数 n\geq4. 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_n 满足 a_1+a_2+\cdots+a_n=2. 求\df{a_1}{a_2^2+1}+\df{a_2}{a_3^2+1}+\cdots+\df{a_n}{a_1^2+1}的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 求具有下述性质的最小正数 c：对任意整数 n\geq4，以及集合 A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}，若 |A|>cn，则存在函数 f:A\rightarrow\{-1,1\}，满足\left|\ds{a\in A}{}f(a)\cdot a\right|\leq1.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 向量 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} 满足 \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0}，(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0. 则 \df{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|} 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 求最大的实数 k，使得对任意正实数 a,b，均有(a+b)(ab+1)(b+1)\geq kab^2.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 31
Problem: 求最小的实数 \lambda，使得对任意正实数 x_1,x_2,x_3,x_4，均存在 1, 2, 3, 4 的一个排列 \sigma，满足(x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}-x_{\sigma(3)}x_{\sigma(4)})^2\leq\lambda\ds{1\leq i<j\leq 4}{}(x_i^2-x_j^2)^2.（Martin）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 从正六边形的顶点以及各边中点（共 12 个点）中随机选取三个不同的点，这三个点能形成等腰三角形的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 133
Problem: 在坐标平面上，对正整数 m，定义点集A_m=\{(x,y)\ |\ x,y\in\bQ,xy\neq0,\df{xy}{m}\in\bZ\}.对线段 MN，定义 f_m(MN) 为线段 MN 上属于集合 A_m 的点的个数. 求最小的实数 \lambda，使得对坐标平面上的任意直线 l，均存在与 l 有关的实数 \beta(l)，满足：对直线 l 上任意两点 M,N，均有 f_{2016}(MN)\leq\lambda f_{2015}(MN)+\beta(l).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2021
Problem: 求最大的实数 c，使得对任意正整数 n 及任意满足 0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1 的数列 \{x_n\}，都有 \ds{k=1}{n}x_k^2(x_k-x_{k-1})>c.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 使得 \df{x+3}{x^2-2x+2} 为正整数的所有实数 x 的和为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 133
Problem: 已知数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足：a_1=a_2=2019，b_1=b_2=2017，且对任意 n\geq2，均有 a_{n+1}=(a_{n-1}-1)(b_n+1)，b_{n+1}=a_nb_{n-1}-1. 求 \ds{n=1}{\infty}b_n\left(\df{1}{a_{n+1}}-\df{1}{a_{n+3}}\right) 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8148685
Problem: 一个"面包圈"是指从 (a+2)\times(b+2) 矩形的中间去掉 a\times b 矩形后得到的由 2a+2b+4 个单位方格构成的环，其中 a,b 是任意正整数.考虑无限大的方格表. 对每个偶数 n\geq8，一个"n-阶面包店"是指由有限个方格构成的集合 S，满足对任意一个由 n 个方格构成的面包圈 B，存在与 B 全等（可平移和旋转）的面包圈，其方格都属于 S. 用 f(n) 表示 n-阶面包店中方格数的最小可能值.求实数 \alpha，使得对任意充分大的偶数 n，均有\df{1}{100}<\df{f(n)}{n^\alpha}<100.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 已知四面体 S-ABC，A_1 为 \triangle SBC 的重心，G 在线段 AA_1  上，满足 \df{|AG|}{|GA_1|}=3. 连接 SG 交 \triangle ABC 所在的平面于点 M，则 \df{|A_1M|}{|AS|}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 已知数列 \{a_n\} 满足 a_1=\df{1}{3}，a_{n+1}=\df{a_n}{2-(2n+1)(2n-5)a_n}, n=1, 2, \cdots，则 \ds{i=1}{2023}a_i=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6070
Problem: 设 a,b 是实数，方程 x^3-ax^2+bx-a=0 有三个正实根. 求 \df{2a^3-3ab+3a}{b+1} 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 12
Problem: 将一个正方形分割成有限个白色和红色矩形，其边均与正方形的边平行. 在每个白色矩形内，写下它的宽与高的比值；在每个红色矩形内，写下它的高与宽的比值. 我们计算出所有矩形内写的数的总和 x. 如果两种颜色矩形的总面积相同，求 x 的最小可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设非零复数 a,b,c 满足 a|bc|+b|ca|+c|ab|=0，则 \df{|(a-b)(b-c)(c-a)|}{|abc|} 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 设 y^2=4x 的三条切线的斜率为 1,2,3，则三条切线围成的三角形的外接圆直径为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
Problem: 若平面向量 \overrightarrow{a}=(2^m,-1) 与 \overrightarrow{b}=(2^m-1,2^{m+1}) 垂直，其中 m 为实数，则 \overrightarrow{a} 的模为________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
Problem: 设 a,b,c 均大于 1，满足 \begin{cases}\lg a+\log_bc=3\\ \lg b+\log_ac=4 \end{cases}. 求 \lg a\cdot\lg c 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设 x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]，则函数 f(x)=\sin^2x-2\sin x 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 设实数 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 满足，对 k=1,2,3,4,5，\df{a_1}{k^2+1}+\df{a_2}{k^2+2}+\df{a_3}{k^2+3}+\df{a_4}{k^2+4}+\df{a_5}{k^2+5}=\df{1}{k^2}.求 \df{a_1}{37}+\df{a_2}{38}+\df{a_3}{39}+\df{a_4}{40}+\df{a_5}{41} 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6932047
Problem: 设非负实数 x_1,x_2,\cdots,x_{2018} 满足 \ds{1\leq i<j\leq 2018}{}x_ix_j=1. 求 \ds{i=1}{2018}\df{1}{s-x_i} 的最小值，其中 s=\ds{i=1}{2018}x_i.（赵斌、王坤供题）原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 38
Problem: 设函数 f(x)=A\sin(\omega x+\varphi) (A\neq0,\omega>0,0<\varphi<\df{\pi}{2}). 若 f(\df{5\pi}{6})+f(0)=0，则 \omega 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 求最小的正实数 a，使得存在无穷正实数列 \{x_n\}_{n\geq0}，满足 x_0=a，且对任意正整数 n，x_n^2=x_{n-1}^2+2x_{n-1}-\df{n}{2}.（Xqyta、SnowyDream）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 已知正实数 a,b 满足 a^b=(8a)^{9b}，则 \log_a(4a^2) 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 65
Problem: 某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组，每组 2 人，则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 449
Problem: 求最小的正实数 c，使得存在 \{1,2,\cdots,6000\} 的 2024 元子集 A，满足：若记T=\{(i,j,k)\ |\ i,j,k\in\{1,2,\cdots,2000\},i+j+k\in A\},则对任意正实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2000}，均有\ds{(i,j,k)\in T}{}a_ia_ja_k\leq c\left(\ds{i=1}{2000}a_i\right)^3.（人大附中 李天勤 供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 求最大的正实数 \alpha，使得对于满足 a+b+c\mid a^2+b^2+c^2 的不全相等的正整数 a,b,c，都有方程 (x+b)^2=(x+a)(x+c) 在区间 (0,\alpha) 内没有解.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设函数 f(x) 的定义域为 \bR，且 f(x-1) 为偶函数，f(x-2) 为奇函数. 当 x\in[1,2] 时，f(x)=ax^2+bx. 若 f(0)+f(3)=-1，则 f(\df{9}{2})=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设实数 a,b,c\in(0,2]，且 b\geq 3a 或 a+b\leq\df{4}{3}，则 \max\{b-a,c-b,4-2c\} 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在凸四边形 ABCD 中，\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}，点 P 是四边形 ABCD 所在平面上一点，满足 \overrightarrow{PA}+2020\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+2020\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}. 设 s,t 分别为四边形 ABCD 与 \triangle PAB 的面积，则 \df{t}{s}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2358
Problem: 在椭圆 \Gamma 中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F_1,F_2 为两个焦点. 若 \overrightarrow{AF_1}\cdot\overrightarrow{AF_2}+\overrightarrow{BF_1}\cdot\overrightarrow{BF_2}=0，求 \tan\angle ABF_1\cdot\tan\angle ABF_2 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 设实数 x_1,x_2,\cdots,x_{2018} 满足：对任意 1\leq i<j\leq 2018，均有 x_i+x_j\geq(-1)^{i+j}. 求 \ds{i=1}{2018}ix_i 的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2037173
Problem: 求最大的实数 c，使得对平面上任意两个单位向量 \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}，均存在单位向量 \overrightarrow{v}，满足|\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v_1}|\cdot|\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v_2}|\geq c.（胡珏伟供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设非负实数 x_1,x_2,\cdots,x_{100} 满足：对 1\leq i\leq 100，有 x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\leq1，其中 x_{101}=x_1, x_{102}=x_2. 求 \ds{i=1}{100}x_ix_{i+2} 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
Problem: 设集合 S=\{1,2,3,4,5\}. 若 S 的子集 A 满足：若 x\in A，则 6-x\in A，则称子集 A 具有性质 p. 现从 S 的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质 p 的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
Problem: 设非负实数 a,b,c,x,y,z 满足 a+b+c=x+y+z=1. 求 (a-x^2)(b-y^2)(c-z^2) 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币. 现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币的面值之和大于 B 中剩下的纸币面积之和的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 设 f(x)=mx^2+(2n+1)x-m-2 (m,n\in\bR,m\neq0) 在 [3,4] 上至少有一个零点，则 m^2+n^2 的最小值是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 101
Problem: 已知等差数列 \{a_n\} 的公差 d 不为 0，等比数列 \{b_n\} 的公比 q 是小于 1 的正有理数. 若 a_1=d, b_1=d^2，且 \df{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3} 是正整数，则 q=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设正实数 u,v,w 满足 u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\geq1. 求 u+v+w 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 函数 y=\df{1}{3}\cos2x+\sin x-\cos x 在区间 \left[-\df{\pi}{2},\df{\pi}{2}\right] 上的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在梯形 ABCD 中，BC\parallel AD, AB=AD, \angle ABC=\df{2\pi}{3}, \angle BCD=\df{\pi}{2}. 将 \triangle ABD 沿 BD 翻折，点 A 在面 BCD 上的投影为点 P. 已知 AB 与 CD 所成角的余弦值为 \df{\sqrt{3}}{6}，则 BP 与 CD 所成角的余弦值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 在平面直角坐标系中，甲从原点出发，到点 (4,4)；乙从点 (2,0) 出发，到点 (6,4). 已知两人同时出发，且每次向上或向右走一步. 则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 求最小的实数 C，使得对任意正实数 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5（允许相同），总可以选择不同的下标 i,j,k,l，满足 \left|\df{a_i}{a_j}-\df{a_k}{a_l}\right|\leq C.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 求最大的实数 a，使得对任意正整数 n 及任意实数 0=x_0<x_1<\cdots<x_n，均有\ds{i=1}{n}\df{1}{x_i-x_{i-1}}\geq a\ds{i=1}{n}\df{i+1}{x_i}.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 设非负实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=4. 求\df{a}{b^3+4}+\df{b}{c^3+4}+\df{c}{d^3+4}+\df{d}{a^3+4}的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 用 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数，\{x\}=x-[x]. 设集合 A=\{x\in\bR\ |\ 0<x<10\}, B=\{x\in\bR\ |\ [x]\{x\}=5\}，则集合 A\cap B  中最大元素与最小元素之差为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 67
Problem: 随机生成一个长度为 4 的由 0,1,2 构成的数列，则其中任意相邻两数之差的绝对值都小于 2 的概率是________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 122
Problem: 若无穷等比数列 \{a_n\} 的各项和为 1，各项的绝对值之和为 2，则首项 a_1 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系中，F_1,F_2 分别为双曲线 \Omega:x^2-\df{y^2}{3}=1 的左、右焦点. 过 F_1 的直线 l 交 \Omega 于两点 P, Q，若 \overrightarrow{F_1F_2}\cdot\overrightarrow{F_1P}=16，则 \overrightarrow{F_2P}\cdot\overrightarrow{F_2Q} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 40
Problem: 在 1,2,\cdots,10 中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27