ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 81 ，则称 $F$ 是一个 "小猿数". 则小猿数的个数为 $\qquad$.
Answer: 48619
Problem: 已知 $Y=\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$, 则 $Y$ 的个位数字是 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数, $b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数. 记 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ 。则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=2^{a_{n}}$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=5, b_{n+1}=5^{b_{n}}$. 若正整数 $m$ 满足 $b_{m}>a_{25}$ ，则 $m$ 的最小值为 $\qquad$ ．
Answer: 24
Problem: 方程 $x^{2}-2 x y+3 y^{2}-4 x+5=0$ 的整数解个数是 $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 设正整数 $m, n \leqslant 2021$ ，并且 $\frac{m}{n+1}<\sqrt{2}<$ $\frac{m+1}{n}$, 则这样的数组 $(m, n)$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 3449
Problem: $100$ 条二次曲线最多把平面划分成多少个部分.
Answer: 20101
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=2^{a_{n}}(n \in$ $\left.\mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=5, b_{n+1}=5^{b_{n}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则满足 $b_{m}>a_{25}$ 的最小正整数 $m$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 24
Problem: 设 $y_n=1\overbrace{22\cdots21}^n$ ，若 $\left(10^{9}-1\right) \mid y_{n}$ ，则正整数 $n$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 80
Problem: 已知不全相等的三个实数 $a, b, c$, 满足 $a=a b+c, b=b c+a, c=c a+b$ ，则 $a+b+$ $c=$ $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 设正整数 $n \leqslant 2021$ ，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$是完全平方数，则可能的 $n$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 如果一个十位数 $F$ 的各数位数字之和等于 81 ，则称 $F$ 为一个"好数"，则所有好数的个数为 $\qquad$.
Answer: 48619
Problem: 正整数 $Y=\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$ 的个位数字是 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差最小的整数， $b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差最小的整数，记 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $2 T_{100}-S_{100}$ .
Answer: 1
Problem: 已知 $y, f, d$ 为正整数, $f(x)=(1+x)^{y}+(1+x)^{f}+(1+x)^{d}$. 其中 $x$ 的系数为 10, 则 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为 $\qquad$.
Answer: 40
Problem: 已知 $2 n+1$ 与 $3 n+1$ 均为完全平方数且 $n$ 不超过 2022, 则正整数 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 1
Problem: 已知六位数 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$, 满足 $\frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ ，则所有满足条件的六位数之和为 $\qquad$ ( $\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}$ 不必为三位数)
Answer: 2065020
Problem: 已知数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leq k \leq 5}$ 各项均为正整数, 且 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right| \leq 1,\left\{a_{k}\right\}$ 中存在一项为 $3$, 可能的数列的个数为 $\qquad$.
Answer: 211
Problem: 已知 $f(x)$ 是二次函数, $f(-2)=0$, 且 $2 x \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+4}{2}$, 则 $f(10)=$ $\qquad$.
Answer: 36
Problem: 已知 $\sqrt{1-x^{2}}=4 x^{3}-3 x$, 则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=12, a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_{n}+3 \sqrt{1+2 a_{n}}\right)$, 则 $a_{10}$ 最接近的整数为 $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的整数, 如 $[1.2]=1,[-1.2]=-2$. 已知 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, 则 $\left[\alpha^{12}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 321
Problem: 已知正整数 $y$ 不超过 $2022$ 且满足 $100$ 整除 $2^{y}+y$ ，则这样的 $y$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 20
Problem: 已知 $a b c=-1, \frac{a^{2}}{c}+\frac{b}{c^{2}}=1, a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a=t$, 求 $a b^{5}+b c^{5}+c a^{5}$ 的值.
Answer: 3
Problem: 已知 $A \in\{-1,0,1\}, B \in\{2,3,4,5,6\}$, 映射 $f: A \rightarrow B$, 且满足 $x+f(x)+x f(x)$为奇数. 求 $f$ 的个数.
Answer: 50
Problem: 方程 $x+y+z=2010$ 满足 $x \leqslant y \leqslant z$ 的正整数解 $(x, y, z)$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 336675
Problem: 双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半支与直线 $x=100$ 围成的区域内部（不含边界）整点 （纵横坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.
Answer: 9800
Problem: 现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 $\qquad$. (用数字作答)
Answer: 15000
Problem: 已知 $a_{n}=\mathrm{C}_{200}^{n} \cdot(\sqrt[3]{6})^{200-n} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}(n=1,2, \cdots, 95)$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中整数项的个数为 $\qquad$.
Answer: 15
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的角 $A, C$ 满足 $5(\cos A+\cos C)+4(\cos A \cos C+1)=0$, 则 $\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2}=$ $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 抛物线 $y^{2}=2 p\left(x-\frac{p}{2}\right)(p>0)$ 上动点 $A$ 到点 $B(3,0)$ 的距离的最小值记为 $d(p)$ ，满足 $d(p)=2$ 的所有实数 $p$ 的和为 $\qquad$.
Answer: 13
Problem: 对于任意集合 $S$ ，用 $|S|$ 表示集合 $S$ 中的元素个数，用 $n(S)$ 表示集合 $S$ 的子集个数。若 $A, B, C$ 是三个有限集, 且满足条件:

$(1)$ $|A|=|B|=2016$;

$(2)$ $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \bigcup B \bigcup C)$.

则 $|A \bigcap B \cap C|$ 的最大值是 $\qquad$.
Answer: 2015
Problem: 对于任何集合 $S$ ，用 $|S|$ 表示集合 $S$中的元素个数，用 $n(S)$ 表示集合 $S$ 的子集个数。若 $A 、 B 、 C$ 为三个有限集，且满足
(1) $|A|=|B|=2016$;
(2) $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \cup B \cup C)$ 。
则 $|A \cap B \cap C|$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 2015
Problem: 设 $\alpha, \beta$ 为实数，若对任意的实数 $x, y, z$ ，有 $\alpha(x y+y z+z x) \leqslant M \leqslant \beta\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 恒成立，其中 $M=\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}+\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}} \cdot \sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}+\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}$. $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}$. 求 $\alpha$ 的最大值和 $\beta$ 的最小值.
Answer: 3
Problem: 设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, A=\left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in M\right.$ ，且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数是 $\qquad$.
Answer: 243
Problem: 设集合 $M=\{1,2, 3, 4,5,6,7,8,9,10\}$ ，
$A=\{(x, y, z) \mid x, y 、 z \in M$, 且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ 。
则集合 $A$ 中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 243
Problem: 设集合 $I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ，若 $I$ 的非空子集 $A, B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，就称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"，则集合 $I$ 的"隔离集合对"的个数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: 6050
Problem: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $2022$ 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.
Answer: 5
Problem: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有  
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$ 。其中 $[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 1650
Problem: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有  
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$
求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中, $[x]$表示不超过实数 x 的最大整数.
Answer: 1650
Problem: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是
$\qquad$.
Answer: 5
Problem: 若实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=1$ ，则 $3 x^{2}+x y+y^{2}$ 的最大值与最小值的和为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=$ $\qquad$.
Answer: 41
Problem: 已知抛物线 $\Omega: y=x^{2}$, 动线段 $A B$ 在直线 $y=\sqrt{3} x-3$ 上 ( $B$ 在 $A$ 右侧), 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 过 $A$ 作 $\Omega$的切线, 取左边的切点为 $M$. 过 $B$ 作 $\Omega$ 的切线, 取右边的切点为 $N$. 当 $M N / / A B$ 时, 求点 $A$ 的横坐标.
Answer: 0
Problem: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 $60$ 的圆排列的个数为 $\qquad$.
Answer: 21600
Problem: $\min \{\max \{\sqrt{x},|x-6|\}\}=$ $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 现有 $6$ 人会英语， $4$ 人会日语， $2$ 人都会（共 $12$ 人），从其中选出 $3$ 人做翻译，若要求两种语言都有人翻译，则符合条件的选法共 $\qquad$种。
Answer: 196
Problem: 设 $k$ 是正整数, 且对任何正整数 $n \geqslant 2$, 如下不等式都成立: $\left[\frac{n}{\sqrt{3}}\right]+1>\frac{n^{2}}{\sqrt{3 n^{2}-k}}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。  
求 $k$ 的最大值。
Answer: 5
Problem: 求最小的正整数 $m$, 使得对任意整数 $A, B$, 存在多项式 $f(x)$, 满足 $f(-2)=$ $A, f(-3)=B$, 且 $f(x)$ 的各项系数都是不超过 $m$ 的非负整数.
Answer: 5
Problem: 已知复数 $z$ 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 17
Problem: 设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.
Answer: 13
Problem: 设圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为圆 $O$ 的直径，过 $B$ 的直线与 $C$ 交于两不同点 $D, E$ ，则直线 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.
Answer: 2
Problem: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 $28$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 8
Problem: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 $3030$ 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).
Answer: 510555
Problem: 若实数 $x, y$ 满足 $2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$, 则 $x+y=$ $\qquad$.
Answer: -2
Problem: 已知下列结论成立:
任意给定复平面 $\mathbb{C}$ 上的多项式 $f(z)$ 和 $g(z)$ ，以及实数 $r>0$ 。若不等式
$$
|g(z)|<|f(z)|
$$
对所有满足 $|z|=r$ 的复数 $z$ 都成立，则 $f(z)$ 与 $g(z)+f(z)$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}||z|<r\}$ 中有相同的零点个数（此处计算零点的重数）。
根据上述结论求多项式 $z^{9}+3 z^{5}-8 z^{3}+2 z+1$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}|1<|z|<2\}$ 中的零点个数（此处计算零点的重数).
Answer: 6
Problem: 记如下关于实数变量 $x, y$ 的函数
$$
f(x, y)=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}
$$
的最小值为 $a$. 求取整 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.
Answer: 80
Problem: 求使得不等式
$$
2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0
$$
对所有实数 $x$ 恒成立的正整数 $m$ 的最大值.
Answer: 9
Problem: 记
$$
f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, \quad n \geq 4.
$$
若 $f_{n}(x)=0$ 的互不相同的实根个数记为 $a_{n}$. 求 $a_{4}, a_{5}, \cdots, a_{2021}$ 中的最大值.
Answer: 2
Problem: 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$, 且 $A^{10}=\left[\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right]$. 求 $b_{22}$ 的值.
Answer: 524800
Problem: 记
$$
F(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25 \pi^{2}}{4}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} d t
$$
$F^{\prime}(0)$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的导数. 求取整 $\left[F^{\prime}(0)\right]$ 的值.
Answer: 48
Problem: 记
$$
a=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{2}\left(2^{x}+3^{x}\right)\right]^{\frac{4}{x}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 36
Problem: 记
$$
a=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{120}{\sqrt{n^{2}+k n}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 90
Problem: 实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的四个特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$.
记 $a=\left(\lambda_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}\right)^{2}+\left(\lambda_{4}\right)^{2}$. 求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 67
Problem: 设 $t$ 是一个实数变量. 记矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $f(t)$. 记 $a=f^{\prime}(0)$ 为 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的导数. 求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 28
Problem: 已知关于实数变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
3 x_{1}+a x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
5 x_{1}+8 x_{2}+6 x_{3}+b x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间的维数是 2. 这里 $a, b$ 是常数. 求取整 $[a+b]$ 的值.
Answer: 9
Problem: 已知二元函数
$f(x, y)$
$=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}$
的最小值为 $a$ ，求 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.
Answer: 80
Problem: 已知 $\forall x \in R, f(x)=2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0$, 求正整数 $m$ 的最大值.
Answer: 9
Problem: 已知矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $F(t)$, 求 $F^{\prime}(0)$.
Answer: 28
Problem: 已知下列结论成立：在复平面上的多项式 $f(z), g(z)$ 和实数 $r>0$ ，若对 $|z|=r$ ，都有 $|g(z)|<|f(z)|$ ，则在 $\{z||z|<r\}$ 中， $f(z)$ 与 $f(z)+g(z)$ 的零点数相等 (计算重数)。现已知多项式 $z^{9}+2 z^{5}-8 z^{3}+3 z+1$, 求其在 $\{z|1<|z|<2\}$ 上的零点个数（计算重数）.
Answer: 6
Problem: 已知矩阵  
$$  
\left[\begin{array}{llll}  
4 & 1 & 1 & 1 \\  
1 & 4 & 1 & 1 \\  
1 & 1 & 4 & 1 \\  
1 & 1 & 1 & 4  
\end{array}\right]  
$$  
的特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$, 求 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}$.
Answer: 67
Problem: 已知 $f(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25}{4} \pi^{2}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t$, 求 $f^{\prime}(0)$.
Answer: 48
Problem: 已知 $f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, n \in N^{*}, n \geq 4$. 记 $f_{n}(x)=0$ 的实根 个数为 $a_{n}$, 求 $\max \left\{a_{4}, a_{5}, a_{6}, \cdots, a_{2021}\right\}$ 。
Answer: 2
Problem: 已知线性方程组  
$$  
\left\{\begin{array}{l}  
a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}=0 \\  
3 a_{1}+a a_{2}+4 a_{3}+3 a_{4}=0 \\  
5 a_{1}+8 a_{2}+6 a_{3}+b a_{4}=0  
\end{array}\right.  
$$  
的解空间维数是 $2$, 求 $[a+b]$ 的值.
Answer: 9
Problem: 记 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^{2}}{1!}+\cdots+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\right) e^{n t} d t \quad$ 当 $n=4$, 求 $\left.\frac{d^{4} F(x)}{d x^{4}}\right|_{x=0}$
Answer: 85
Problem: 考虑如下的递归序列 $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0}=-1, \quad a_{1}=1, a_{n}=-6 a_{n-1}-a_{n-2}-8, n \geq 2$, 那么 $\left[a_{9}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 9841
Problem: 考虑如下 $2021 \times 2021$ 的方阵 $M=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 2021 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021\end{array}\right)$, 这里 $M$ 的行通过依次地将行向量 $(1,2,3, \cdots, 2020,2021)$ 的某个位置替换为 $0$ 得到. 则 $\left[\frac{1}{2020!} \operatorname{det} M\right]=$ $\qquad$.
Answer: 4082420
Problem: 已知实数 $x$ 和 $y$ 满足 $5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-8 x-8 y=-3$. 记 $x+y-x^{2}-y^{2}$ 的最大值为 $I$ ，则 $[100 I]=$ $\qquad$.
Answer: 37
Problem: 已知 $f(x)=e^{\sin x^{2}}$, 则 $\left[-f^{(8)}(0)\right]=$ $\qquad$.
Answer: 5040
Problem: 设 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 的可逆矩阵, 且方阵中每个位置的元素在模 $3$ 同余系 $\mathrm{Z} / 3 Z$ 中取值。那么满足 $A^{50} \equiv I_{2}(\bmod 3)$ 方阵 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 14
Problem: $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\cos t)^{2}} d t$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 11
Problem: 如果实数 $k$ 使得关于 $x, y, z$ 的线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x+y+2 z=1 \\ 3 x+k y+4 z=1 \\ -x+2 y+z=2\end{array}\right.$ 无解, 则称其是一个 "好实数". 设所有好实数之和为 $I$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 令 $A=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ -1 & \frac{4}{3} & 0 \\ 2 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$. 令 $M=A-A^{2}+A^{3}-A^{4}+\cdots+(-1)^{n-1} A^{n}+\cdots$, 则
$[2021 \operatorname{det} M]=$ $\qquad$.
Answer: 50
Problem: $I=\int_{1}^{9} \sqrt{(x-1)(9-x)} d t$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 25
Problem: 在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^{2} \equiv a(\bmod 2520)$ 的元素 $a$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 16
Problem: $I=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{(2 n-k)(2 n+k)}$, 则 $[100 I]=$ $\qquad$.
Answer: 27
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，首项与公差均为正数，且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 34
Problem: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, 且 $f(10)=15$, 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 15
Problem: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, $f(10)=15$. 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 0
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个等差数列, 首项与公差均为正数, 且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 34
Problem: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $R$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 2016
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z$ ( $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数)，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 设 $A$ 是任意一个 11 元实数集合。令集合 $B=\{u v \mid u, v \in A, u \neq v\}$ 。求 $B$ 的元素个数的最小值.
Answer: 17
Problem: 设 正 整数 $n$ 满足 $n \leq 2016$, 且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$. 这 样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 168
Problem: 设 $A=\{a \mid-1 \leq a \leq 2\}$, 则平面点集 $B=\{(x, y) \mid x, y \in A, x+y \geq 0\}$ 的面积为 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 设 $A=\{a \mid-1 \leqslant a \leqslant 2\}$, 则平面点集 $B=\{(x, y) \mid x, y \in A, x+y \geqslant 0\}$ 的面积为 $\qquad$.
Answer: 7
Problem: 设正整数 $n$ 满足 $n \leqslant 2016$ ，且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$ 。这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$。这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
Answer: 168
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z(\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数 $)$ ，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.
Answer: 3
Problem: 将 $33 \times 33$ 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为"分隔边"。试求分隔边条数的最小值。
Answer: 56
Problem: 若正整数 $a, b, c$ 满足 $2017 \geqslant 10 a \geqslant 100 b \geqslant 1000 c$, 则数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 574
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{20} \in\{1,2, \cdots, 5\}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{20} \in\{1,2, \cdots, 10\}$, 集合 $X=\{(i, j) \mid$ $\left.1 \leqslant i<j \leqslant 20,\left(a_{i}-a_{j}\right)\left(b_{i}-b_{j}\right)<0\right\}$, 求 $X$ 的元素个数的最大值.
Answer: 160
Problem: 若正整数 $a, b, c$ 满足 $2017 \geqslant 10 a \geqslant 100 b \geqslant 1000 c$ ，则数组 $(a, b, c)$ 的个数为
Answer: 574
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=7, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n}+2, n=1,2,3, \cdots$. 求满足 $a_{n}>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$.
Answer: 12
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $l$ 通过原点, $\vec{n}=(3,1)$ 是 $l$ 的一个法向量.已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: 对任意正整数 $n$, 点 $\left(a_{n+1}, a_{n}\right)$ 均在 $l$ 上. 若 $a_{2}=6$, 则 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -32
Problem: 在平面直角坐标系中, 若以 $(r+1,0)$ 为圆心, $r$ 为半径的圆上存在一点 $(a, b)$ 满足 $b^{2} \geqslant 4 a$ ，则 $r$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 设整数 $n>4,(x+2 \sqrt{y}-1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n-4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等, 则 $n$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 51
Problem: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ ，那么积 $m \cdot n$ 是 $\qquad$.
Answer: 6
Problem: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形, 这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ 。那么, 积 $m \cdot n$ 是
$\qquad$ $\cdot$
Answer: 6
Problem: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$ ，定义
$$
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot\binom{[x]}{n}+\{x\} \cdot\binom{[x]+1}{n}
$$
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ 。若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足
$$
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123,
$$
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值.
Answer: 74
Problem: 已知首项系数为 1 的五次多项式 $f(x)$ 满足: $f(n)=8 n, n=1,2, \cdots, 5$, 则 $f(x)$ 的一次项系数为 $\qquad$.
Answer: 282
Problem: 设 $f(x)=x^{3}+3\left(x^{2}+x+\sin \pi x\right)$, 则 $f(1-\pi)+f(\pi-3)=$ $\qquad$.
Answer: -2
Problem: 小明同学任选一个各项均为非零整数的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，随后他列出 2020 个关于 $x$ 的一元二次方程:
$$
E_{i}: a_{i} x^{2}+a_{i+1} x+a_{i+2}=0(i=1,2, \cdots, 2020)
$$
再将上述每个方程的根都写在黑板上。求此时黑板上两两不同的实根的个数的最大可能值。
Answer: 6
Problem: 设正整数 $a, b, c$ 中任意两个数不互素，且 $a+b+c$ 为素数。求 $a+b+c$ 的最小值。
Answer: 31
Problem: 有限项等差数列的公差为 $4$ ，第二项起各项之和+首项的平方 $<100$ ，则该数列可能有几项?
Answer: 8
Problem: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 $S$ 中任意两项相加不是 $5$ 的倍数, 求 $S$ 的元素个数最大值.
Answer: 810
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt{\frac{2 n-1}{4 n^{2}+1}}$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数.
Answer: 8
Problem: $a_{n}$ 是离 $\sqrt{n}$ 最近的整数, 则 $S_{2021}=$
Answer: 60585
Problem: 记 $I=120 \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 68
Problem: 已知 $x_{0} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 是方程 $x^{3}-3 x+1=0$ 的根, 则 $\left[100 x_{0}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 34
Problem: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a+2 b=1, I=\min \frac{b^{2}+a+2}{a b}$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 20
Problem: 求六个元素的置换群 $S_{6}$ 中 $6$ 阶元素的个数。
Answer: 240
Problem: 令 $B=\left(\begin{array}{rr}2 & -\frac{1}{2} \\ 3 & -\frac{1}{2}\end{array}\right), x=\binom{1}{1}$. 记 $I=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{T} B^{i} x$, 其中其中 $B^{i}$ 表示 $i$个 $B$ 相乘，则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
Problem: $A$ 是 10 阶实矩阵, 且 $A^{5}=O$, 则 $\operatorname{rank}(A)$ 的所有可能值之和为 $\qquad$.
Answer: 36
Problem: 给定以正方形内的 2022 个点，且这 2022 个点以及正方形的顶点中任三点不共线。在这 2022 以及正方形的顶点之间连一些线段，将正方形划分为一些三角形，并要求这些线段之间只可以在端点处有公共点，则所连线段（不包含原正方形的边）的总数为 $\qquad$.
Answer: 6067
Problem: 记所有$2$阶实方阵构成的线性空间为 $M_{2}(\mathbb{R})$ ，已知 $A=\left(\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 10 & 7\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ，定义线性变换 $T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T(X)=A X B$ ，则线性边换 $\operatorname{trace}(T)=$ $\qquad$.
Answer: 70
Problem: 记 $I=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{1}{x^{2}}+\cos \frac{1}{x}\right)^{2 x^{2}}$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 27
Problem: 记 $I=\sum\limits_{m=1}^{+\infty} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!n!+m!n!}$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 14
Problem: 给定平面直角坐标系内的四个点 $(0,0),(1,8),(3,8),(4,20)$. 已知实数 $k, b$ 使得表达式 $\sum\limits_{i=1}^{4}\left|y_{i}-\left(k x_{i}+b\right)\right|^{2}$ 取得最小值, 则 $[k]=$ $\qquad$.
Answer: 4
Problem: 函数 $f(x)=\frac{1-2 x}{\left(1-x+x^{2}\right)^{2}}$, 则 $\left[\frac{f^{(2022)}(0)}{2022!}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 2023
Problem: 一个 $10 \times 10$ 的数表在初始状态下每个格内均填有数字1，现在对数表进行如下操作：选择某一行或某一列，并将该行（列）中所有格子内的数变为其相反数。对于非负整数 $N$ ，如果可经过有限次操作，使得最终数表中 -1 的个数恰为 $N$ ，则称 $N$ 是 "好的"，则好的 $N$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 29
Problem: 记 $I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin x}$. 则 $[100 I]=$ $\qquad$.
Answer: 54
Problem: 记 $\omega_{n}=\exp \left(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n}\right)$ 。已知 $n$ 阶傅里叶矩阵定义为  
$$  
\left[\begin{array}{ccccc}  
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\  
1 & \omega_{n} & \omega_{n}^{2} & \cdots & \omega_{n}^{n-1} \\  
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\  
1 & \omega_{n}^{n-1} & \omega_{n}^{(n-1) \cdot 2} & \cdots & \omega_{n}^{(n-1) \cdot(n-1)}  
\end{array}\right]  .
$$  
若 $A$ 为 $2022$ 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 $A^{-1}$ 中 $(338,2)$ 位置的元素的实部的绝对值为 $I$ ，则 $[100000 I]=$ $\qquad$.
Answer: 24
Problem: 设函数 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 并足 $\varphi_{i}^{\prime \prime}(x)-\ln (x+1) \varphi_{i}^{\prime}(x)+e^{x} \varphi_{i}(x)=0, i=1,2, x>-1$. 定义 $w(x)=\varphi_{1}^{\prime}(x) \varphi_{2}(x)-\varphi_{1}(x) \varphi_{2}^{\prime}(x)$. 若 $w(0)=1$, 则 $[w(2)]=$ $\qquad$  .
Answer: 3
Problem: 设 $A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ 为实对称矩阵，且其两个特征值分别为$1949$和$2023$. 记 $I$为 $a_{12}$ 的最大可能值，则 $[I]=$ $\qquad$ .
Answer: 37
Problem: 设取整 $\left[\frac{10^{2022}}{10^{100}-9}\right]$ 被 $10^{n}$ 整除, 则非负整数 $n$ 的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 22
Problem: 设 $V$ 为 $2022$ 维实线性空间, $f: V \rightarrow V$ 为线性变换.记 $W_{1}=\{x \in V \mid f(x)=$ $0\}, W_{2}=\{x \in V \mid \exists y \in V, x=f(y)\}$ ，则 $\left(\operatorname{dim} W_{1}\right) \cdot\left(\operatorname{dim} W_{2}\right)$ 的最大可能值为 $\qquad$,其中 $\operatorname{dim}$ 表示实线性空间的维数.
Answer: 1022121
Problem: 设正实数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 使得对任意定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的三次多项式 $f(x)$ 均有 $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) {d} x=$ $c_{1} f(-\pi)+c_{2} f(0)+c_{3} f(\pi)$, 则 $\left[\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{1}}\right]$ 的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 5
Problem: 设 $a_{n}=\left(\frac{1+q}{1-q}\right) \cdot\left(\frac{1+q^{2}}{1-q^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{1+q^{4}}{1-q^{4}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdots\left(\frac{1+q^{2^{n}}}{1-q^{2^{n}}}\right)^{\frac{1}{2^{n}}}$, 其中 $q=\frac{11}{13}$ 。记 $a=\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ ，则 $[a]=$ $\qquad$.
Answer: 42
Problem: 设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的三个特征值分别为 $-1,-1,2$, 且 $(1,1,-1)^{T}$ 是特征值 2所对应的特征向量。记 $A$ 中所有元素的平方之和为 $I$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
Problem: 已知欧拉常数 $\gamma=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 约等于 0.5772156649 。记 $I=\frac{100}{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) \mathrm{d} x}$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 236
Problem: 已知下列不等式 $\frac{e^{22 x}+e^{-22 x}}{2} \leq e^{c x^{2}}$ 对所有实数 $x$ 均成立, 则 $[c]$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 242
Problem: 设 $V$ 为关于 $x$ 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合, 且 $a$ 为实数。定义 $V$ 到 $V$ 的线性映射 $F$ 为 $F(f)=\left(x^{2} f\right)^{\prime \prime}+f^{\prime}-a f$ 。记 $I$ 为使得 $F$ 不是满射的 $a$ 的所有可能值之和，则 $[I]=\qquad$.
Answer: 572
Problem: 满足方程 $\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\cdots+\frac{1}{k_{n}}=1, k_{1} k_{2} \cdots k_{n} \leq 200$ 的所有有序正整数组 $\left(n, k_{1}, \cdots, k_{n}\right)$的组数为 $\qquad$.
Answer: 12
Problem: 若三个正整数 $a, b, c$ 使得 $\sqrt{a+b}$, $\sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 是三个连续正整数, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 1297
Problem: 用数字 $1,2,3$ 组成一个六位数, 且数字 1 不相邻的排法有多少种?
Answer: 448
Problem: 已知 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 且满足 $f(1)=5, f(2)=10, f(3)=15$, 求 $f(8)+f(-4)$值。
Answer: 2450
Problem: 记 $S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{Z}^{4} \mid 0 \leq x, y, z, w \leq 18, x^{2}+y^{2} \equiv z^{2}+w^{2}(\bmod 19)\right\}$,则 $S$ 中有 $\qquad$个元素.
Answer: 7201
Problem: $f(x)$ 是 $(0, \infty)$ 上非负的单调递减函数. 对于任意正实数 $t,\{x \in(0,+\infty) | f(x)>t\}$ 为区间, 且长度为 $\frac{\mathrm{c}^{-1}}{\sqrt{t}}$. 记 $I=\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10 I]=\qquad$
Answer: 17
Problem: 对 $\mathbb{R}^{100}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}\right)$ 和 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{100}\right)$ 定义函数 $f(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}$. 当 $x \neq y$ 时，定义矩阵 $A_{x, y}=\left(a_{i j}\right)$ ，其中 $a_{i j}=$ $\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{j}} f(x, y)(i, j=1,2, \cdots, n)$. 则 $A_{x, y}$ 秩的最小可能值与最大可能值之和为 $\qquad$
Answer: 198