ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x}$ 的最大和最小值。请给出最小值的形式为 l\sqrt{m} + \sqrt{n}，并提供l+m + n的值。
Answer: 19
Problem: 已知直线 $L: x+y-9=0$ 和圆 $M: 2 x^{2}+2 y^{2}-8 x-8 y-1=0$, 点 $A$ 在直线 $L$ 上, $B, C$ 为圆 $M$ 上两点, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=45^{\circ}, A B$ 过圆心 $M$,则点 $A$ 横坐标范围为 $\qquad$. 请给出该范围的两个端点之和.
Answer: 9
Problem: 求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x}$ 的最大和最小值。最大值为\(m\)，最小值为 \(n\sqrt{p}+\sqrt{q} \)的形式，请提供m+n+p+q的值。
Answer: 30
Problem: 已知边长为 4 的正三角形 $A B C. D 、 E 、 F$ 分别是 $B C 、 C A 、 A B$ 上的点, 且 $|A E|=|B F|=|C D|=1$,连结 $A D 、 B E 、 C F$, 交成 $\triangle R Q S$. 点 $P$ 在 $\triangle R Q S$ 内及边上移动, 点 $P$ 到 $\triangle A B C$ 三边的距离分别记作 $x 、 y 、 z$ 。\n(1) 求证当点 $P$ 在 $\triangle R Q S$ 的顶点位置时乘积 $x y z$ 有极小值;\n(2) 求上述乘积 $x y z$ 的极小值。原始答案为 \frac{m}{n} \sqrt{3} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 2845
Problem: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$ 。 (1)若对任意 $x \in \mathbb{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围; (2)若 $a \geqslant 2$, 且存在 $x \in \mathbb{R}$, 使得 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围。 请给出两问所有区间端点之和。
Answer: 6
Problem: 已知 $x>0 、 y>0$, 且满足  
$$  
\left\{\begin{array}{l}  
\cos ^{2}(\pi x)+2 \sin (\pi y)=1 \\  
\sin (\pi x)+\sin (\pi y)=0 \\  
x^{2}-y^{2}=12  
\end{array}\right.  
$$  
请给出x+y的值。
Answer: 6
Problem: 若实数 $x, y$ 满足 $x-4 \sqrt{y}=2 \sqrt{x-y}$, 则 $x$ 的取值范围是 \qquad. 请给出区间端点之和。
Answer: 24
Problem: 已知正三棱雉 $P-A B C$ 底面边长为 1, 高为 $\sqrt{2}$, 则其内切球半径为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 8
Problem: 非负实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$, 求
$$
u = \sqrt{6-x^{2}}+\sqrt{6-y^{2}}+\sqrt{6-z^{2}}$$
的最大值和最小值。已知最大值与最小值的和为\(m\sqrt{n}+\sqrt{p}\)的形式，求m+n+q的值。
Answer: 11
Problem: 设 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位，则 $\mathrm{i}+2 \mathrm{i}^{2}+3 \mathrm{i}^{3}+\cdots+2013 \mathrm{i}^{2013}=$ $\qquad$。请给出实部和虚部之和的值。
Answer: 2013
Problem: 定义在实数上的函数 $f(x)=\frac{\sin \pi x}{\sqrt{1+x+x^{2}}}$ 的最小值是以 \frac{m \sqrt{n}}{k} 的形式表示，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 4
Problem: 已知正三棱雉 $P-A B C$ 底面边长为 1, 高为 $\sqrt{2}$, 则其内切球半径的原始答案为\( \frac{\sqrt{m}}{n} \)的格式，请给出m + n的值。
Answer: 8
Problem: 若 $a, b \in \mathbf{R}_{+}$, 则 满 足 $\sqrt{x^{2}-\sqrt{2} a x+a^{2}}+$ $\sqrt{x^{2}-\sqrt{2} b x+b^{2}} \leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 的实数 $x$ 的取值范围是 \qquad 。请给出a=b=\sqrt2时的取值
Answer: 1
Problem: 已知实数 $x_{0} \in[0,1)$. 数列 $\left\{x_{k}\right\}$ 满足: 若 $x_{n-1}<\frac{1}{2}$, 则 $x_{n}=2 x_{n-1}$, 若 $x_{n-1} \geq \frac{1}{2}$, 则 $x_{n}=2 x_{n-1}-1(n=1,2, \cdots)$. 现知 $x_{0}=x_{2021}$, 则可能的 $x_{0}$ 的个数为 $\qquad$.答案的形式为m^{n}+k的形式，请给出m+n+k的值
Answer: 2022
Problem: 方程 $y^{3}+f^{4}=d^{5}$ 的正整数解 $(y, f, d)$ 的组数为多少？假设 $y, f, d$ 都在 $1$ 到 $100$ 之间。
Answer: 0
Problem: 内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值和最小值之和是以\frac{m \sqrt{k}}{n}的形式，请给出m + n+k的值。
Answer: 126
Problem: 在梯形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, M$ 在边 $C D$ 上, 有 $\angle A B M=\angle C B D=\angle B C D$, 则 $\frac{A M}{B M}$ 的取值范围是一个区间，该区间的有限端点形如\frac{m}{n}，请给出m+n的值
Answer: 3
Problem: 已知复数 $z$, 满足 $\frac{z}{2}$ 与 $\frac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$, 则 $z$ 在复平面上形成轨迹的面积为原始答案为$a - b\pi$的形式，请给出a + b的值。
Answer: 14
Problem: 已知凸四边形 $A B C D$ 满足: $A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$, 则其内切圆半径取值范围为 $\qquad$. 该区间端点的和形如\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{f}，请给出a+b+c+d+f的值
Answer: 29
Problem: 给定正整数 $n$, 求最小的实数 $\lambda$, 使得对任意实数 $a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n} \geq 0$,有 $$ \sum_{k=1}^{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}-k \sqrt[k]{a_{1} a_{2} \cdots a_{k}}\right)^{2} \leq \lambda \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} $$ 请提供 $\lambda$ 的值当 $n = 10$ 时。
Answer: 25
Problem: 已知函数 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x) \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2 a \sin x+b(a>0)$ 的最大值为 1, 最小值为 -4, 求 a, b 的值。请提供a和b的和，若和是一个分数，则给出分数的分子和分母之和。
Answer: 5
Problem: 已知正整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 满足, 任取 4 个数求和构成的集合为 $\{44,45,46,47\}$, 求 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的和.
Answer: 55
Problem: 若 $a_{0}=0,\left|a_{i+1}\right|=\left|a_{i}+1\right|(i \in \mathbf{N})$, 请找出 $\left|\sum\limits_{k=1}^{20} a_{k}\right|$ 的最大可能值。
Answer: 10
Problem: 若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数，则该三角形某一边的长可以是以下哪些选项？计算这些选项的和
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Answer: 7
Problem: 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 ____.该答案形如m\times n^{k}，请给出m+n+k的值
Answer: 201
Problem: 已知函数 $f(x)=\frac{\sin (\pi x)-\cos (\pi x)+2}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{5}{4}\right)$, 则 $f(x)$ 的最小值为 \(\frac{m \sqrt{k}}{n}\)的形式，请给出m + n+k的值。
Answer: 14
Problem: 在平面直角坐标系内, 有四个定点 $A(-3,0), B(1,-1), C(0,3), D(-1,3)$及一个动点 $P$ ，则 $|P A|+|P B|+|P C|+|P D|$ 的最小值为原始答案是 a\sqrt{b}+c\sqrt{d} 格式，请给出 a+b+c+d的值。
Answer: 12
Problem: 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 以顶点 $A$ 为球心， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于原始答案的形式为 $\frac{m \sqrt{k}}{n} \pi$，请给出 m + n +k的值。
Answer: 14
Problem: 在平面直角坐标系内, 有四个定点 $A(-3,0), B(1,-1), C(0,3), D(-1,3)$及一个动点 $P$ ，则 $|P A|+|P B|+|P C|+|P D|$ 的最小值为a\sqrt{b}+c\sqrt{d}的形式。请给出该形式中所有系数的和。
Answer: 12
Problem: 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1, 以顶点 $A$ 为球心， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 $\frac{m \sqrt{k}}{n} \pi$，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 14
Problem: 解不等式
$$
\log _{2}\left(x^{12}+3 x^{10}+5 x^{8}+3 x^{6}+1\right)<1+\log _{2}\left(x^{4}+1\right).
$$
求出x的取值范围并给出该区间的端点和。
Answer: 0
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足: $S_{n}+a_{n}=\frac{n-1}{n(n+1)}, n=1,2, \cdots$, 则通项 $a_{n}=$ $\qquad$. 请给出 $a_{n}$ 当 $n=1$ 时的整数值。
Answer: 0
Problem: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 若 $f(0)=2008$, 且对任意 $x \in \mathbf{R}$, 满足 $f(x+2)-f(x) \leq 3 \cdot 2^{x}, f(x+6)-f(x) \geq 63 \cdot 2^{x}$, 则 $f(2008)=$ $m^{k}+n$ 的形式，请给出 m + n + k 的整数值。
Answer: 4017
Problem: 一种密码锁的密码设置是在正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。假设 $n = 2$，请给出该种密码锁共有多少种不同的密码设置的值减去 4 的结果。
Answer: 8
Problem: 已知抛物线 $y^{2}=6 x$ 上的两个动点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 其中 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $x_{1}+x_{2}=4$. 线段 $A B$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $C$, 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值。原始答案为 $\frac{m}{n} \sqrt{k}$ 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 24
Problem: 已知 \(\left\{a_{n}\right\}\) 是公差不为 0 的等差数列， \(\left\{b_{n}\right\}\) 是等比数列，其中 \(a_{1}=3, b_{1}=1, a_{2}=b_{2}, 3 a_{5}=b_{3}\), 且存在常数 \(\alpha, \beta\) 使得对每一个正整数 \(n\) 都有 \(a_{n}=\log _{\alpha} b_{n}+\beta\), 请给出 \(\alpha+\beta\) 的值，其中原始答案的形式为 \(\sqrt[k]{m}+n\)，请给出 \(m + n + k\) 的值。
Answer: 9
Problem: 正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 9 条棱长都相等, $P$ 是 $C C_{1}$ 的中点, 二面角 $B-A_{1} P-B_{1}=\alpha$ ，则 $\sin \alpha$ 的原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 14
Problem: 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷。先投掷人的获胜概率是一个\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 29
Problem: 函数 $f(x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{24-3 x}$ 的值域是一个区间。请给出该区间的左端点与右端点的平方之和的整数值。
Answer: 0
Problem: 函数 $f(x)=a^{2 x}+3 a^{x}-2(a>0, a \neq 1)$ 在区间 $x \in[-1,1]$ 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值是。原始答案为 $-\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
Problem: 正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 9 条棱长都相等, $P$ 是 $C C_{1}$ 的中点, 二面角 $B-A_{1} P-B_{1}=eta$ ，则 $\beta$ 的原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 14
Problem: 已知函数 $y=\left(a \cos ^{2} x-3\right) \sin x$ 的最小值为 -3 ，则实数 $a$ 的取值范围是。请提供该区间的两个端点之和的整数部分。
Answer: 10
Problem: 直线 $x-2 y-1=0$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 交于 $A, B$ 两点, $C$ 为抛物线上的一点, $
abla A C B=$ $90^{
abla}$ ，则点 $C$ 的坐标所有情况 m + n 的总和为多少，其中原始答案为$(m,n)$格式。
Answer: 2
Problem: 如果 $\cos ^{5} \theta-\sin ^{5} \theta<7\left(\sin ^{3} \theta-\cos ^{3} \theta\right), \theta \in[0,2 \pi)$, 那么 $\theta$ 的取值范围是 \qquad. 请给出 m + n + k + j 的和，其中原始答案格式为$\left(\frac{m\pi}{n}, \frac{k \pi}{j}\right)$。
Answer: 14
Problem: 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $6, M, N$ 分别是 $B B_{1}, B_{1} C_{1}$ 上的点, $B_{1} M=B_{1} N=2, S, P$ 分别是线段 $A D, M N$ 的中点, 则异面直线 $S P 与 A C_{1}$ 的距离为 。原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 152
Problem: 已知实数 $x, y, z$ 满足: $x \geq y \geq z, x+y+z=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. 求实数 $x$ 的取值范围。请提供区间端点的整数部分的和。
Answer: 2
Problem: 给定 $n$ 个不同实数，其所有全排列组成的集合为 $A_{n}$ ，对于 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \in A_{n}$ ，若恰有两个不同的整数 $i, j \in\{1,2, \cdots, n-1\}$ 使得 $a_{i}>a_{i+1}, a_{j}>a_{j+1}$ 成立，则称该排列为 "好排列"。求 $A_{n}$ 中 "好排列"的个数。当 $n = 5$ 时，请给出 "好排列" 的个数。
Answer: 66
Problem: 已知复数 $z$ 的模为 1, 若 $z=z_{1}$ 和 $z=z_{2}$ 时 $|z+1+i|$ 分别取得最大值和最小值, 则 $z_{1}-z_{2}=$ 的原始答案为 \sqrt{m}(n+k\mathrm{i}) 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 4
Problem: 设函数 $f(x)=|\lg (x+1)|$, 实数 $a, b(a<b)$ 满足 $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{b+2}\right), f(10 a+6 b+21)=$ $4 \lg 2$, 求 $a, b$ 的值。请给出 a + b 的值的整数部分。
Answer: 0
Problem: 直线 $x-2 y-1=0$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 交于 $A, B$ 两点, $C$ 为抛物线上的一点, $\angle A C B=90^{\circ}$ ，则点 $C$ 的坐标和为多少？请提供两个可能坐标点的x坐标与y坐标之和。
Answer: 2
Problem: 设椭圆 $\Gamma$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{1}$ 的直线与 $\Gamma$ 交于点 $P, Q$. 若 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$,且 $3\left|P F_{1}\right|=4\left|Q F_{1}\right|$, 则椭圆 $\Gamma$ 的短轴与长轴的比值为 \qquad. 原始答案为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$，请给出m + n + k的值。
Answer: 15
Problem: 设集合 $\left\{\left.\frac{3}{a}+b \right\rvert\, 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant 2\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, m$ ，则 $M-m$ 的值原始答案为$m-n \sqrt{k}$，请给出m + n + k的值。
Answer: 10
Problem: 设等边三角形 $A B C$ 的内切圆半径为 2, 圆心为 $I$. 若点 $P$ 满足 $P I=1$, 则 $\triangle A P B$ 与 $\triangle A P C$ 的面积之比的最大值为 $\qquad$. 题目原始答案为\frac{m+\sqrt{n}}{k}的格式，请给出m + n + k的值。
Answer: 10
Problem: 设 $A, B, C, D$ 是空间四个不共面的点, 以 \frac{1}{2} 的概率在每对点之前连一条边, 任意两对点之间是否连边是相互独立的, 则 $A, B$ 可用空间折线（一条或若干条边组成的）连接的概率为。原始答案是\frac{m}{n}格式，请给出m + n的值。
Answer: 7
Problem: 正四棱雉 $P-A B C D$ 中, 侧面是边长为 1 的正三角形, $M, N$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点, 则异面直线 $M N$ 与 $P C$ 之间的距离是 $\qquad$。原始答案是\frac{\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 6
Problem: 设椭圆 $\Gamma$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{1}$ 的直线与 $\Gamma$ 交于点 $P, Q$. 若 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$,且 $3\left|P F_{1}\right|=4\left|Q F_{1}\right|$, 则椭圆 $\Gamma$ 的短轴与长轴的比值为。原始答案为\(\frac{m \sqrt{n}}{k}\)格式，请给出m + n + k的值。
Answer: 15
Problem: 正四棱雉 $P-A B C D$ 中, 侧面是边长为 1 的正三角形, $M, N$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点, 则异面直线 $M N$ 与 $P C$ 之间的距离是。原始答案是\frac{\sqrt{m}}{n}格式，请给出m + n的值。
Answer: 6
Problem: 设等边三角形 $A B C$ 的内切圆半径为 2, 圆心为 $I$. 若点 $P$ 满足 $P I=1$, 则 $\triangle A P B$ 与 $\triangle A P C$ 的面积之比的最大值为 \frac{m+\sqrt{n}}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 10
Problem: 设集合 $\left\{\left.\frac{3}{a}+b \right\rvert\, 1 \leqslant a \leqslant b \leqslant 2\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, m$ ，则 $M-m$ 的值为。原始答案为a-b\sqrt{c}的形式，请给出a+ b + c的值。
Answer: 10
Problem: 若函数 $f(x)=x^{2}+a|x-1|$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增, 则实数 $a$ 的取值范围是 $\qquad$. 请给出区间端点之和。
Answer: -2
Problem: $F_{1}, F_{2}$ 是粗圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆上的一点。如果 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $1, \tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1}{2}, \tan \angle P F_{2} F_{1}=-2$ 。请给出原始答案的形式 $a=\frac{\sqrt{m}}{n}$ 中的 $m + n$ 值。
Answer: 17
Problem: 如果三角形 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的余切 $\cot A, \cot B, \cot C$ 依次成等差数列, 则角 $B$ 的最大值是以 $\frac{m\pi}{n}$ 表示，求 $m + n$ 的值。
Answer: 4
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点，设不经过焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A, B$ ，焦点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ 。如果直线 $A F_{1}, l, B F_{1}$ 的斜率依次成等差数列，求 $d$ 的取值范围。答案标准形式为$(\sqrt{m}, n)$，请给出m+n的和的值。
Answer: 5
Problem: 若实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a}+4^{b}=2^{c}, 4^{a}+2^{b}=4^{c}$, 求 $c$ 的最小整数值。标准答案格式为$log _{a} b-\frac{c}{d}$，请提供计算结果 a+b+c+d的值。
Answer: 13
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个有理数, 使得\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leqslant i<j \leqslant 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}。求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的值。原始答案为\pm \frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 13
Problem: 求具有下列性质的所有正整数 $k$ ：对任意正整数 $n, 2^{(k-1) n+1}$ 不整除 $\frac{(k n)!}{n!}$ 。请给出满足条件的所有 $k$ 的和。
Answer: 7
Problem: 设 $\omega$ 为正实数, 若存在 $a, b(\pi \leqslant a<b \leqslant 2 \pi)$ ，使得 $\sin \omega a+\sin \omega b=2$ ，则 $\omega$ 的取值范围是 $\qquad$. 答案标准形式为$\left[\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right] \cup\left[\frac{e}{f},+\infty\right)$，请给出两个区间起始点a+b+c+d+e+f的和。
Answer: 28
Problem: 已知复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足 $z_{1}=1, z_{n+1}=\overline{z_{n}}+1+n \mathrm{i}$ ，其中 $n=1,2, \cdots$ ，其中 i 是虚数单位, $\overline{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数, 请给出 $z_{2015}$ 的实部和虚部的和。
Answer: 3022
Problem: 若实数 $\alpha, \beta, \gamma$ 构成以 2 为公比的等比数列， $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ 构成等比数列，则 $\cos \alpha$ 的值是以\frac{m}{n}格式给出，请给出m + n的值。
Answer: 3
Problem: 设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, \alpha$ 为过直线 $B D_{1}$ 的平面，则 $\alpha$ 截该正方体的截面面积的取值范围是 $\qquad$。答案的标准格式为$\left[\frac{\sqrt{a}}{b}, \sqrt{c}\right]$，请给出截面面积范围的两个端点a+b+c和的值。
Answer: 10
Problem: 设 $x, y, z$ 为正实数, 求 $\left(x+\frac{1}{y}+\sqrt{2}\right)\left(y+\frac{1}{z}+\sqrt{2}\right)\left(z+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)$ 的最小值。原始答案的形式为 m + n \sqrt{k}，请给出 m + n+k 的值。
Answer: 36
Problem: 在 \( \triangle A B C \) 中, \( \cos B=\frac{1}{4} \)，则 \( \frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan C} \) 的最小值为 \( \frac{m \sqrt{k}}{n} \) 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 22
Problem: 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 三条棱 $P A, P B, P C$ 两两垂直, 且 $P A=1, P B=2, P C=2$. 若点 $Q$ 为三棱雉 $P-A B C$ 的外接球球面上任意一点, 则 $Q$ 到面 $A B C$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}+\frac{k}{q}$ 的形式，请给出m+n+k+q的值。
Answer: 17
Problem: Let $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ be the sequence defined by
$$
a_{0}=1, a_{n+1}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{n-k+2}
$$
Find the limit
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{2^{k}}
$$
if it exists. The original answer is in the form $f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{e}{c}$, please give the value of a+b+c.
Answer: 5
Problem: In the linear space of all real $n \times n$ matrices, find the maximum possible dimension of a linear subspace $V$ such that $$ \forall X, Y \in V \quad \operatorname{trace}(X Y)=0 $$ (The trace of a matrix is the sum of the diagonal entries.) Please provide the value of the answer when $n = 8$. The answer should be in the format \frac{m}{n}, directly give the value of m + n.
Answer: 58
Problem: Today, Ivan the Confessor prefers continuous functions $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying $f(x)+f(y) \geq|x-y|$ for all pairs $x, y \in[0,1]$. Find the minimum of $\int_{0}^{1} f$ over all preferred functions. The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 5
Problem: 已知点 $H$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心，且满足 $\overrightarrow{H A}+2 \overrightarrow{H B}+6 \overrightarrow{H C}=0$ ，则角 $B=$  
请给出答案的m + n的值，其中原始答案为\frac{m\pi}{n}。
Answer: 4
Problem: 已知 $x_{i} \in\{-1,1\}, i=1,2, \cdots, 2021$, 并且 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k} \geqslant 0(k=1,2$,  
$\cdots, 2020), x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2021}=-1$. 则有序数组 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2021}\right)$ 的组数为  
$\qquad$.  若答案格式为$\frac{C_{a}^{b}}{c} $，求$a+b+c$.
Answer: 4041
Problem: 设正三棱雉 $P-A B C$ 的底面边长为 1, 高为 $\sqrt{2}$, 过底边 $B C$ 作此三棱雉的截面，则截面面积的最小值为$\frac{m \sqrt{n}}{k}$的形式，请给出$m + n + k$的值。
Answer: 45
Problem: 已知 $f(x)=2 m x^{2}-2 m x-8 x+9, g(x)=m x-m$ ，对任意 $x \in \mathbf{R}, f(x)$ 与 $g(x)$ 至少有一个为正数，若实数 $m$ 的取值范围是$(a,b)$,求$b-a$.
Answer: 8
Problem: 已知自然数 $n \geqslant 3$, 实数 $x_{1}$, $x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足:  
$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=n, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=n^{2}$.  
若$n=4$,求 $S=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots+x_{n}^{3}$ 的最小值.
Answer: 16
Problem: 设正三棱锥 $P-A B C$ 的底面边长为 1 、高为 $\sqrt{2}$ ，过底边 $B C$ 作此三棱锥的截面.则截面面积的最小值为 $\frac{m \sqrt{n}}{k}$ 的形式，请给出$m + n + k$ 的值。
Answer: 45
Problem: 在半径为 1 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为 。原始答案的形式为 $\frac{m \sqrt[3]{n} \pi}{p}$，请给出 $m + n+p$ 的值。
Answer: 29
Problem: 若不等式 $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant k \sqrt{5 x+y}$ 对任意正实数 $x, y$ 都成立, 则实数 $k$ 的最小值为。原始答案为$\frac{\sqrt{m}}{n}$的形式，其中$m,n$均为正整数，请给出$m + n$的值。
Answer: 35
Problem: 已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边, $a=2$, 且  $(b+2) \sin \frac{C}{2} \sin \frac{A-B}{2}=c \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}$, 若 $D$ 为 $B C$ 边的中点, 求 $A D$ 长的最小值。原始答案为 \( \frac{\sqrt{m}}{n} \) 的形式，其中$m,n$均为正整数，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 1
Problem: 已知 $x, y, z$ 为正实数, 且满足 $x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z}=5, x^{\lg y z} y^{\lg z x} z^{\lg x y}=2$, 则 $x y z$可能取值的乘积是多少 。
Answer: 1
Problem: 已知 $a_{1}=1, a_{n+1}=\lambda a_{n}^{2}+2\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界, 即存在常数 $M$, 使得 $a_{n} \leqslant M$ 对 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 9
Problem: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 则 $\left|z^{3}+z^{2}-5 z+3\right|$ 的最大值为。原始答案的形式为\frac{m \sqrt{3}}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 155
Problem: 设函数 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$, 则不等式 $\left|f^{-1}(x-1)\right|<1$ 的解集为一个区间$(a,b)$，求$a-b$。
Answer: 3
Problem: 已知四面体 $A B C D$ 满足 $A B \perp B C, B C \perp C D, A B=B C=C D=1$, 且异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球的体积的原始答案是$\frac{m \sqrt{5} \pi}{n}$的形式，请给出m + n的值。
Answer: 11
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^{*}\right)$, 若 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{6} a_{7}=3$, 则 $a_{2024}=$. 请给出原始答案为frac{m}{n}格式时m + n的值。
Answer: 2035
Problem: 设 $x_{1}=3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+14}-\sqrt{x_{n}+2}\left(n \in N^{*}\right)$, 求 $\left[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$ 的值，其中 $n \geq 2$。若$n =5$，请给出 $\left[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$ 的值。
Answer: 10
Problem: 已知复数 $z$ 使得 $z-\frac{4}{z}$ 为纯虚数, 请给出 $|z-1-i|$ 的最小值的整数近似值。
Answer: 1
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$, 则 $\triangle A B C$ 最大角的正弦值为。原始答案为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的格式，其中$m,n,k$均为正整数，请给出$m + n+k$的值。
Answer: 23
Problem: 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 $p_{n}$ 表示未出现连续 3 次正面的概率. 求数列 $\left\{p_{n}\right\}$ 的其极限.
Answer: 0
Problem: 已知一个圆柱形水杯的质量为 $a \mathrm{~g}$, 其重心在圆柱轴的中点处 (杯底厚度及质量均忽略不计，且水杯直立放置）。质量为 $b \mathrm{~g}$ 的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处. 若 $b=3 a$, 求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值，化为最简分数的形式后求分子加分母的值是多少。
Answer: 27
Problem: 把某公司的 $9$ 男 $3$ 女共 $12$ 名员工平均分配到甲、乙、丙三个部门。求甲、乙、丙三个部门各有 $1$ 名女员工的概率.用分数表示，写出分子加分母的值。
Answer: 71
Problem: 已知 $x^{2}+(y-4)^{2}=12$ 与 $x^{2}=k y$ 有 $A, B, C, D$ 四个交点.
求 $k$ 的取值范围所在的区间长度。
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $2 \sin ^{2} \frac{A+B}{2}=1+\cos 2 C$.若 $c^{2}=2 b^{2}-2 a^{2}$, 求 $\cos 2 A-\cos 2 B$ 的值. 原始答案为 $\frac{m}{n}$, 请给出 $m + n$ 的值.
Answer: 7
Problem: 已知两点 $A(-2,0), B(2,0)$, 动点 $P$ 在 $y$ 轴上的射影是 $H$, 且 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=$ $2|\overrightarrow{P H}|^{2}$ 。 已知过点 $B$ 的直线交曲线 $C$ 于 $x$ 轴下方不同的两点 $M, N$. 设 $M N$ 的中点为 $R$, 过 $R$ 与点 $Q(0,-2)$ 作直线 $R Q$, 若直线 $R Q$ 斜率是一个整数，求这个整数值.
Answer: 0
Problem: 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 与直线 $l: y=x+4$ 所围成区域中有一个矩形 $A B C D$, 且点 $A, B$ 在抛物线上, 点 $D$ 在直线 $l$ 上, 其中点 $B$ 在 $y$ 轴右侧, 且 $|A B|=2 t(t>0)$.  
当边 $C D$ 在直线 $l$ 上时,求矩形 $A B C D$ 面积的最大值.
Answer: 8
Problem: 设 $G(V, E)$ 是连通的简单图. 称 $E$ 的子集 $H$ 为 $G$ 的"偶度子图"，如果对任何 $x \in V, H$ 中共有偶数条边以 $x$ 为顶点. 设 $|V|=v,|E|=e$ ，问： $G$ 有多少个"偶度子图"？（注： $\emptyset$ 也是一个"偶度子图".）给出  $v=2$时的值。
Answer: 2
Problem: 给定正整数 $n$, 求最大的正整数 $k$, 使得如下命题成立: 对每个 $1 \leq i \leq 2 n$,设 $A_{i}$ 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个 $A_{i}$ 都形如 $\{a+1, a+2, \cdots, a+r\}$ ，其中 $a$ 是整数, $r$ 是正整数），如果对任何 $1 \leq i \leq n, n+1 \leq j \leq 2 n$ 都有 $A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset$ ，则存在整数 $x$ ，使得集合 $\left\{1 \leq i \leq 2 n \mid x \in A_{i}\right\}$ 包含至少 $k$ 个不同的元素. 请给出当n=5时的k值.
Answer: 6
Problem: For a sequence $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ of integers, a pair ( $a_{i}, a_{j}$ ) with $1 \leq i<j \leq n$ is called interesting if there exists a pair $\left(a_{k}, a_{l}\right)$ of integers with $1 \leq k<l \leq n$ such that  $$  \frac{a_{l}-a_{k}}{a_{j}-a_{i}}=2. $$  For each $n \geq 3$, find the largest possible number of interesting pairs in a sequence of length $n$. Please provide the value of the expression when n = 3.
Answer: 2
Problem: Let $n = 10$. There are $n$ points in the plane, no three of them collinear. Each day, Tom erases one of the points, until there are three points left. On the $i$-th day, for $1 \leqslant i \leqslant n-3$, before erasing that day's point, Tom writes down the positive integer $v(i)$ such that the convex hull of the points at that moment has $v(i)$ vertices. Finally, he writes down $v(n-2)=3$. Find the greatest possible value that the expression  $$  |v(1)-v(2)|+|v(2)-v(3)|+\ldots+|v(n-3)-v(n-2)|  $$  can obtain among all possible initial configurations of $n$ points and all possible Tom's moves, when n is 10.
Answer: 12
Problem: 已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 使得 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数, $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=1$, 则 $\left|z_{3}\right|$ 的最小值是以 $\sqrt{m}-n$ 的形式给出，请提供m+n的值。
Answer: 3
Problem: 已知 \triangle A B C 为椭圆 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 的内接三角形，且 A B 过点 P(1,0) ，则 \triangle A B C 的面积的最大值为 \frac{m\sqrt{q}}{n} 的形式，请给出 m + n + q 的值。
Answer: 21
Problem: 函数 $f(x)=(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-3)\left(\sqrt{1-x^{2}}+1\right)$ 的最小值为 $m$, 最大值为 $M$, 则原始答案为 \frac{m-\sqrt{n}}{q} 的格式，请给出 m + n +q的值。
Answer: 7
Problem: 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=3,|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=6, \boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b}^{2}=-9$, 则 $|b|=$ 的原始答案为 $\sqrt{m}$ 的形式，请给出 m 的值。
Answer: 7
Problem: 求 $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{120}{\sqrt{n^{2}+k n}}$. 原始答案为 $m(\sqrt{n}-q)$ 的形式，请给出m+n+q的值。
Answer: 243
Problem: Given the function $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{a} \sin \left(\frac{1}{x^{3}}\right) & x>0, a \in N_{+} \\ 0 & x \leq 0\end{array}\right.$, determine the minimum value of $a$ such that: 
(1) $f(x)$ is differentiable everywhere; 
(2) $f(x)$ is continuously differentiable and $f^{\prime}(x)$ is continuous everywhere. 
Please provide the sum of the minimum values of $a$ for both conditions.
Answer: 7
Problem: $v_{1}=(3,1,-1,1), v_{2}=(1,-1,1,1), u=(3,5,1,-1)$, 求 $u$ 到 $\operatorname{spn}\left\{v_{1}, v_{2}\right\}$ 的距离。原始答案是以 $6 \sqrt{\frac{m}{n}}$ 的形式给出，请给出 m + n 的值。
Answer: 17
Problem: 若函数 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-t x-1, x \in R$ 有重根, 求 $t$ 的所有可能的值。答案为一个整数，基于原始答案$t=-3$ 或者 $\frac{m}{n}$，请给出-3 + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 二阶实矩阵 $X$ 满足 $X^{3}=I_{2}$, 请提供 $	ext{tr}(X)$ 的所有可能整数解之和。
Answer: 1
Problem: Compute the limit: $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1}(\sin x+2) x^{n-1} d x$. Provide the final integer value of the expression when simplified.The answer is \sin(m)+n,please give the sum of m and  n.
Answer: 3
Problem: 求最小的正实数 $c$ ，使得存在二阶连续可微的函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ，满足 $f(0)=f(c)=0$ ，且对任意 $0<x<c$ ，有 $f({x})>0$ 和 $f^{\prime \prime}(x)+2021 f(x) \ge 0$. 原始答案为 \frac{m\pi}{\sqrt{n}}，请给出 m+n的值。
Answer: 2022
Problem: 求所有复数 $t$ ，使得关于 $x, y, z$ 的多项式 $x^{3}+y^{3}+z^{3}+t x y z$ 能分解为三个与 $x, y, z$ 的复系数一次多项式的乘积. 请提供所有可能的 $t$ 值的和。
Answer: -9
Problem: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为四个有理数, 使得: $\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}$, 求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的值。原始答案为\pm \frac{m}{n}格式，请给出m + n的值。
Answer: 13
Problem: 已知复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足 $z_{1}=1, z_{n+1}=\overline{z_{n}}+1+n \mathrm{i}(n=1,2,3 \cdots)$ ，其中 i 为虚数单位， $\overline{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轨复数。请计算 $z_{2015}$ 的实部和虚部的和。
Answer: 4022
Problem: 设 $\omega$ 为正实数, 若存在 $a, b(\pi \leqslant a<b \leqslant 2 \pi)$, 使得 $\sin \omega a+\sin \omega b=2$, 则 $\omega$的取值范围是. 请提供满足条件的区间所有整数分子分母的和。
Answer: 37
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$,若存在经过点 $F$ 的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点，使得 $O A \perp O B$ 。求该粗圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围。答案为$\left[\frac{\sqrt{m}-n}{p}, q\right)$的形式，请给出m+n+p+q的值。
Answer: 9
Problem: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小是 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$ 的原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 8
Problem: 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x<0$, 均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$. 求
$$
f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)
$$
的值。答案的形式为 $\frac{2^{m}}{n!}$，请给出 m + n 的值。
Answer: 197
Problem: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径的原始答案为 $\sqrt{m} - n$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 8
Problem: 设 $P$ 为圆锥的顶点, $A, B, C$ 是其底面圆周上的三点, 满足 $\angle A B C=90^{\circ}, M$ 为 $A P$的中点. 若 $A B=1, A C=2, A P=\sqrt{2}$, 则二面角 $M-B C-A$ 的大小为 $\arctan \frac{m}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$。求 $\sin C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 10