ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 设 $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$, 若 $\tan (\alpha+\beta)=2, \tan (\alpha+2 \beta)=3$, 则 $\tan \alpha$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 及正整数 $m(m \geq 3)$ 满足: $a_{1}=1, a_{m}=2$, 且  
$$  
\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{m-1} a_{m}}=3,  
$$  
则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$. 若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6076
Problem: 在平面直角坐标系中, $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为双曲线 $\Omega: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点,过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于两点 $P, Q$. 若 $\overrightarrow{F_{1} F_{2}} \cdot \overrightarrow{F_{1} P}=16$, 则 $\overrightarrow{F_{2} P} \cdot \overrightarrow{F_{2} Q}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 40
Problem: 如图, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}, B B_{1}$ 的中点, 过 $D, M, N$ 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 $\Gamma$ ，则 $\Gamma$ 在顶点 $D$ 处的内角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 在 $1,2, \cdots, 10$ 中随机选出三个不同的数, 它们两两互素的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
Problem: 已知函数 $y=f(x)$ 的图像既关于点 $(1,1)$ 中心对称, 又关于直线 $x+y=0$轴对称。若 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)=\log _{2}(x+1)$, 则 $f\left(\log _{2} 10\right)$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: 若 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin A=\cos B=\tan C$, 求 $\cos ^{3} A+\cos ^{2} A-\cos A$ 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设 $P-A B C D$ 与 $Q-A B C D$ 为两个正四棱雉, 且 $\angle P A Q=90^{\circ}$, 点 $M$ 在线段 $A C$ 上, 且 $C M=3 A M$. 将异面直线 $P M, Q B$ 所成的角记为 $\theta$ ，则 $\cos \theta$ 的最大可能值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在平面直角坐标系中, 双曲线 $\Gamma: x^{2}-y^{2}=1$ 的右顶点为 $A$.将圆心在 $y$ 轴上，且与 $\Gamma$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为 "好圆".若两个好圆外切于点 $P$ ，圆心距为 $d$ ，求 $\frac{d}{|P A|}$ 的所有可能的值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
Problem: 在三棱锥 $P-A B C$ 中, 若 $P A \perp$ 底面 $A B C$, 且棱 $A B, B P, B C, C P$ 的长分别为 $1,2,3,4$ ，则该三棱锥的体积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知
$\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}$, 求 $\sin C$ 的值原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 一只青蛙在正方形 $A B C D$ 的四个顶点间跳跃, 每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的. 若青蛙第一次跳跃前位于顶点 $A$ ，则它第 6 次跳跃后恰好仍位于顶点 $A$ 的概率为 $\qquad$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+\operatorname{def}$ 是偶数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+\operatorname{def}$ 是奇数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$, 过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $K$, 过点 $A$ 作 $l$ 的平行线, 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N$, 则 $\triangle K M N$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 在 $1,2,3, \cdots, 10$ 中随机选出一个数 $a$ ，在 $-1,-2,-3, \cdots,-10$ 中随机选出一个数 $b$ ，则 $a^{2}+b$ 被 3 整除的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 137
Problem: 设 $a, b, c$ 均大于 1, 满足 $\left\{\begin{array}{l}\lg a+\log _{b} c=3, \\ \lg b+\log _{a} c=4.\end{array}\right.$ 求 $\lg a \cdot \lg c$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{9}=13, a_{13}=1$, 则 $\log _{a_{1}} 13$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, B C=4$, 边 $A C$ 上的中线长为 $\sqrt{10}$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}$ 的值为 $\qquad$ $\cdot$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
Problem: 在凸四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{A D}$. 点 $P$ 是四边形 $A B C D$ 所在平面上一点, 满足
$$
\overrightarrow{P A}+2020 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+2020 \overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}.
$$
设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $\triangle P A B$ 的面积, 则 $\frac{t}{s}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2358
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{9}=13, a_{13}=1$ ，则 $\log _{a_{1}} 13$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, B C=4$, 边 $A C$ 上的中线长为 $\sqrt{10}$, 则 $\sin ^{6} \frac{A}{2}+\cos ^{6} \frac{A}{2}$的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 经过点 $(0,0),(2,4),(3,3)$, 则圆 $\Omega$ 上的点到原点的距离的最大值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 在凸四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{A D}$. 点 $P$ 是四边形所在平面上一点, 满足 $\overrightarrow{P A}+2020 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+2020 \overrightarrow{P D}=\mathbf{0}$. 设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $\triangle P A B$的面积，则 $\frac{t}{s}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2358
Problem: 设 $a, b$ 为实数, 函数 $f(x)=a x+b$ 满足: 对任意 $x \in[0,1],|f(x)| \leqslant 1$, 则 $a b$ 的最大值为 $\qquad$ .原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一, 则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 503
Problem: 某房间的室温 $T$ （单位：摄氏度）与时间 $t$ （单位：小时）的函数关系为：  
$T=a \sin t+b \cos t, t \in(0,+\infty)$ ，其中 $a, b$ 为正实数，如果该房间的最大温差为 10 摄氏度，则 $a+b$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
Problem: 正 2015 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2015}$ 内接于单位圆 $O$, 任取它的两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$,则 $\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right| \geq 1$ 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1678
Problem: 正 2015 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2015}$ 内接于单位圆 $O$, 任取它的两个不同的顶点 $A_{i}, A_{j}$,则 $\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right| \geqslant 1$ 的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 1678
Problem: 正实数 $u, v, w$ 均不等于 1, 若 $\log _{u}(v w)+\log _{v} w=5, \log _{v} u+\log _{w} v=3$, 则 $\log _{w} u$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 袋子 $A$ 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 $B$ 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸币面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 正实数 $u, v, w$ 均不等于 1, 若 $\log _{u} v w+\log _{v} w=5, \log _{v} u+\log _{w} v=3$, 则 $\log _{w} u$的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 袋子 $A$ 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 $B$ 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸  
币面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 44
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点集 $K=\{(x, y) \mid x, y=-1,0,1\}$ .在 $K$ 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 $\sqrt{5}$ 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点集 $K=\{(x, y) \mid x, y=-1,0,1\}$. 在 $K$ 中随机取出三个点, 则这三点中存在两点之间距离为 $\sqrt{5}$ 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $M$ 是边 $B C$ 的中点, $N$ 是线段 $B M$ 的中点. 若 $\angle A=\frac{\pi}{3}$,
$\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}=\sqrt{2}, a_{3}=\sqrt[3]{3}$, 则 $\frac{a_{1}+a_{2011}}{a_{7}+a_{2017}}$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 在正四面体 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别在棱 $A B, A C$ 上, 满足 $B E=3, E F=4$, 且 $E F$与面 $B C D$ 平行，则 $\triangle D E F$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 35
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$, 点集 $K=\{(x, y) \mid x, y \in-1,0,1\}$ 。在 $K$ 中随机取出三个点,则这三个点两两之间的距离均不超过 2 的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}=\sqrt{2}, a_{3}=\sqrt[3]{3}$, 则 $\frac{a_{1}+a_{2011}}{a_{7}+a_{2017}}$ 的值为 $\qquad$ -原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 在正四面体 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别在棱 $A B, A C$ 上,满足 $B E=3, E F=4$, 且 $E F$ 与面 $B C D$ 平行, 则 $\triangle D E F$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 35
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点集 $K=\{(x, y) \mid x, y=-1,0,1\}$. 在 $K$ 中随机取出三个点, 则这三个点两两之间的距离不超过 2 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+\operatorname{de} f$ 是偶数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 将 $1,2,3,4,5,6$ 随机排成一行, 记为 $a, b, c, d, e, f$, 则 $a b c+d e f$ 是奇数的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$, 过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$相切于点 $K$, 过点 $A$ 作 $l$ 的平行线, 与抛物线 $C$ 交于点 $M, N$, 则 $\triangle K M N$ 的面积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 求 $\sin ^{4} 10^{\circ}+\sin ^{4} 50^{\circ}+\sin ^{4} 70^{\circ}$ 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
Problem: 设函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$ 满足  
$|f(0)| \leq 2, \quad|f(2)| \leq 2, \quad|f(-2)| \leq 2$,  
求当 $x \in[-2,2]$ 时 $y=|f(x)|$ 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin ^{2} A+\sin ^{2} C=2018 \sin ^{2} B$, 则 $\frac{(\tan A+\tan C) \tan ^{2} B}{\tan A+\tan B+\tan C}=\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2019
Problem: 设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数, 对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\frac{4}{x}, f\left(f(x)+\frac{4}{x}\right)=3$,则 $f(8)=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 四面体 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, C D \perp B C, B C=2$, 且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 。若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$, 则四面体 $A B C D$ 体积的最大值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 若 $x 、 y$ 为实数, 则 $|2 x+y| 、|x-y|$ 、 $|1+y|$ 这三个数中的最大数的最小值为
$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 对于四面体 $A B C D, A B \perp B C, C D \perp$ $B C, B C=2$ ，且异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$. 若四面体 $A B C D$ 的外接球半径为 $\sqrt{5}$,则四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为 $\qquad$ .原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
Problem: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$, 其中 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, C$ 两点, $l_{2}$ 交 $E$ 于 $B, D$ 两点, 则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为$\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 过抛物线 $E: y^{2}=2 x$ 的焦点 $F$ 作两条斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} 、 l_{2}$, 其中, $l_{1}$ 与抛物线 $E$ 交于 $A 、 C$ 两点, $l_{2}$ 与抛物线 $E$ 交于 $B 、 D$两点.则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
Problem: 将一枚骰子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 167
Problem: 已知 $a_{1}=1, a_{n+1}=\lambda a_{n}^{2}+2\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界, 即存在常数 $M$, 使得 $a_{n} \leqslant M$ 对 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 将一个色子连续投掷五次，则事件 "五次出现的点数既不全相同也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 167
Problem: 已知 $a_{1}=1, a_{n+1}=\lambda a_{n}^{2}+2\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)$.若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有上界，即存在常数 $M>0$ ，使得 $a_{n} \leqslant M$ 对 $n \in \mathbf{Z}_{+}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
Problem: 设集合 $\left\{\left.\frac{5}{x}+y \right\rvert\, 1 \leqslant x \leqslant y \leqslant 5\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M, N$, 则 $M N=\qquad$.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 25
Problem: 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $A, B, P$ 是双曲线上一点, 若 $\triangle P A B$ 的内切圆圆心为 $(3,1)$, 则 $\triangle P A B$ 外接圆的半径为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 77
Problem: 棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 中, 已知 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A R}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$, 若点 $K$ 为 $\triangle B C D$ 的重心, 则四面体 $K P Q R$ 的体积为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^{*}\right)$, 若 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{6} a_{7}=3$, 则 $a_{2024}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2035
Problem: 一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 $p(0 \leq p \leq 1)$ 的概率消失，有 $\frac{1-p}{3}$的概率保持不变，有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成两个，有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，则 $p$ 至多为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
Problem: Find the maximum value of
$$
\int_{0}^{y} \sqrt{x^{4}+\left(y-y^{2}\right)^{2}} d x
$$
for $0 \leq y \leq 1$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}=1$, 则 $\tan \frac{C}{2}$ 的最小值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为 $\frac{1}{2}$. 构造数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，使  
$a_{n}= \begin{cases}1, & \text { 第 } n \text { 次正面向上; } \\ -1, & \text { 第 } n \text { 次反面向上. }\end{cases}$  
记 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 则 $S_{2} \neq 0$, 且 $S_{8}=2$的概率为 $\qquad$ （用最简分数作答）.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 141
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $A-C=\frac{\pi}{2}, a, b, c$ 成等差数列, 则 $\cos B$的值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2}, a 、 b 、 c$ 成等差数列. 则 $\cos B$ 的值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 已知实数 $x 、 y$ 满足 $x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$. 则 $x \sqrt{2+y^{2}}$ 的最大值是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 已知点 $P(x, y)$ 满足 $|x|+|y| \leqslant 2$. 则到 $x$ 轴的距离 $d \leqslant 1$ 的点 $P$ 的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: Today, Ivan the Confessor prefers continuous functions $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying $f(x)+f(y) \geq|x-y|$ for all pairs $x, y \in[0,1]$. Find the minimum of $\int_{0}^{1} f$ over all preferred functions. The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 5
Problem: Evaluate the product  
$$  
\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left(n^{3}+3 n\right)^{2}}{n^{6}-64}  
$$  The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 79
Problem: $\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}=$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 7
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知三个角 $A 、 B 、 C$ 成等差数列, 假设它们所对的边分别为 $a, b, c$, 并且 $c-a$ 等于 $A C$ 边上的高 $h$, 则 $\sin \frac{C-A}{2}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 设正三棱锥 $P-A B C$ 的高为 $P O, M$ 为 $P O$ 的中点, 过 $A M$ 作与棱 $B C$平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
Problem: $\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}=\qquad$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 7
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知三个角 $A, B, C$ 成等差数列, 假设它们所对的边分别为 $a, b, c$, 并且 $c-a$ 等于 $A C$ 边上的高 $h$, 则 $\sin \frac{C-A}{2}=\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-5 x y+4 y^{2}=5$, 设 $S=x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{1}{S_{\max }}+\frac{1}{S_{\min }}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 实数 $x 、 y$ 满足 $4 x^{2}-5 x y+4 y^{2}=5$ ，设 $S=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\frac{1}{S_{\max }}+\frac{1}{S_{\min }}$ 的值为$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 给定曲线族 $2(2 \sin \theta-\cos \theta+3) x^{2}-(8 \sin \theta+\cos \theta+1) y=0, \theta$ 为参数，求该曲线在直线 $y=2 x$ 上所截得的弦长的最大值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 13
Problem: 给定曲线族 $2(2 \sin \theta-\cos \theta+3) x^{2}-(8 \sin \theta+\cos \theta+1) y=0, \theta$ 为参数。求该曲线族在直线 $y=2 x$ 上所截得的弦长的最大值。原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 13
Problem: 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 35
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$ 是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $b_{n}=a_{n+1} a_{n+2}-a_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ 。
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差均是 $d \neq 0$ ，并且存在正整数 $s, t$ ，使得 $a_{s}+b_{t}$是整数，求 $\left|a_{1}\right|$ 的最小值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
Problem: The pairs of numbers $(a, b)$ such that $\left|a+b t+t^{2}\right| \leq 1$ for $0 \leq t \leq 1$ fill a certain region in the $(a, b)$-plane. What is the area of this region?The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 29
Problem: What is the average straight line distance between two points on a sphere of radius 1?The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 7
Problem: Evaluate
$$\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\cos^2 \{\frac{\pi}{2n}(x_{1}+x_{2}+\cdots  x_{n})\}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}$$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 3
Problem: Express

$$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2} n+m n^{2}+2 m n}$$

as a rational number.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: Let exp(t) denote e' and

$F( x) = \frac {x^{* }}{\exp ( x^{3}) }\int _{0}^{x}\int _{0}^{x- u}\exp ( u^{3}+ v^{3})$ $dv$ $du.$

Find lim $_{x\to\infty}F(x)$ or prove that it does not exist.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: Evaluate
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \cos ^{2}\left\{\frac{\pi}{2 n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)\right\} d x_{1} d x_{2} \cdots d x_{n}
$$
#*The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 3
Problem: Let $E(n)$ denote the largest integer $k$ such that $5^k$ is an integral divisor of the product $1^12^23^3\cdots n^n.$ Calculate
$$\lim_{n\to\infty}\frac{E(n)}{n^{2}}$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 9
Problem: Evaluate the infinite product
$$\prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}.$$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 5
Problem: Let $C$ be a fixed unit circle in the Cartesian plane. For any convex polygon $P$ each of whose sides is tangent to $C$. let $N(P, h, k)$ be the number of points common to $P$ and the unit circle with center at ( $h, k$ ). Let $H(P)$ be the region of all points $(x, y)$ for which $N(P, x, y) \geq 1$ and $F(P)$ be the area of $H(P)$. Find the smallest number $u$ with
$$
\frac{1}{F(P)} \iint N(P, x, y) d x d y<u
$$
for all polygons $P$, where the double integral is taken over $H(P)$.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: Let $\exp (t)$ denote $e^{\prime}$ and
$$
F(x)=\frac{x^{4}}{\exp \left(x^{3}\right)} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x-u} \exp \left(u^{3}+v^{3}\right) d v d u
$$
Find $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)$ or prove that it does not exist.The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 11
Problem: For each continuous function $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, let $I(f)=$ $\int _{0}^{1}x^{2}f( x)$ $dx$ and $J( x) = \int _0^{1}x\left ( f( x) \right ) ^{2}$ $dx.$ Find the maximum value of $I(f)-J(f)$ over all such functions $f.$The answer is in the form \frac{m}{n}, where gcd(m, n) = 1. Please provide the value of m + n.
Answer: 17
Problem: 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A E F$ 中, $B$ 是 $E F$ 中点, $A B=E F=1, B C=6, C A=\sqrt{33}$, 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A F}=2$, 则 $\overrightarrow{E F}$ 与 $\overrightarrow{B C}$ 的夹角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 两人轮流投掷股子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗股子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投郑。先投郑人的获胜概率是原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 29
Problem: 已知函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)$, 当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$, 试求 $a$ 的最大值。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
Problem: 已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0), A, B$ 是抛物线上不同于顶点 $O$ 的两个动点. 记 $\angle A O B=\theta\left(\theta \neq 90^{\circ}\right)$. 若 $S_{\triangle A O B}=m \tan \theta$, 试求当 $m$ 取得最小值时 $\tan \theta$ 的最大值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 0
Problem: 一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 $1,2, \cdots, 6$ ，每次投掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字之和为这次投掷的点数.那么投郑 3 次所得 3 个点数之积能被 14 整除的概率是 $\qquad$.(用最简分数表示)原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 记 $B C=a, C A=b, A B=c$, 若 $9 a^{2}+9 b^{2}-19 c^{2}=0$, 则 $\frac{\cot C}{\cot A+\cot B}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 14
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 记 $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $9 a^{2}+9 b^{2}-19 c^{2}=0$, 则 $\frac{\cot C}{\cot A+\cot B}=$ $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 14
Problem: 设 $S_{n}=1+2+3+\cdots+n, n \in \boldsymbol{N}^{*}$, 求 $f(n)=\frac{S_n}{(n^2+32)S_n^{+}1}$的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 51
Problem: 等比数列 $a+\log _{2} 3, a+\log _{4} 3, a+\log _{8} 3$ 的公比是 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
Problem: 设 $\triangle A B C$ 的内角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $\angle A-\angle C=\frac{\pi}{2}, a 、 b 、 c$ 成等差数列. 则 $\cos B$ 的值为\_\_\_\_\_\_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
Problem: 从 $1,2, \cdots, 10$ 这 $10$ 个号码中任意抽取 $3$ 个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是\_\_\_\_\_\_.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 从 $1,2, \cdots, 10$ 这 10 个号码中任意抽取 3 个号码, 其中至少有两个号码是连续整数的概率是 $\_\_\_\_.$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
Problem: 有 20 张卡片上分别写有数字1,2,…,20, 将它们放入一个盒子内.有4个人从中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到5、14,则此两人在同一组的概率等于___(用最简分数作答)原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 58
Problem: 有 20 张卡片上分别写有数字 1,2, $\cdots, 20$, 将它们放入一个盒子内。有 4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组。现其中有两人抽到 $5 、 14$, 则此两人在同一组的概率等于 $\qquad$ （用最简分数作答).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 58
Problem: 从一个正方体的八个顶点中取出三个. 则以这三个点为顶点构成直角三角形的概率是 $\qquad$。原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 从一个正方体的八个顶点中取出三个.则以这三个点为顶点构成直角三角形的概率是$\underline{\quad}$原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
Problem: 矩形 $O A B C$ 的四个顶点的坐标依次为 $(0,0) 、(2 \pi, 0)$ 、 $(2 \pi, 2) 、(0,2)$,记边 $B C$ 与函数$y=1+\cos x(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 的图像围成的区域 （图中阴影部分）为 $\Omega$. 若向矩形 $O A B C$ 内任意投一点 $M$ ，则点 $M$ 落在区域 $\Omega$ 内的概率是$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
Problem: 在正三棱锥$P-ABC$中,已知侧棱与底面所成的角为$45°$.则相邻两侧面所成角的余弦值为$\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
Problem: 在一个圆上随机取三点, 则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
Problem: 在正三棱锥 $P-A B C$ 中, 已知侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ 。则相邻两侧面所成角的余弦值为 $\qquad$.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6