ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: 给定正整数 $a 、 b(a \leqslant b)$. 数列 $\left\{f_{n}\right\}$ 满足: $f_{1}=a, f_{2}=b, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}(n=1,2, \cdots)$. 若对任意的正整数 $n$, 都有 $\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}\right)^{2} \leqslant \lambda f_{n} f_{n+1}$, 求实数 $\lambda$ 的最小值。原始答案的形式为 $m + \sqrt{n}$，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 7
Problem: 设 $A 、 B 、 C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角. 则 $3 \cos A+2 \cos 2 B+\cos 3 C$ 的取值范围是 $\qquad$. 请给出该区间的端点和。
Answer: 2
Problem: 已知三棱雉 $S-A B C$ 的底面是以 $A B$为斜边的等腰直角三角形, 且 $S A=S B=S C=$ $A B=2$. 设 $S 、 A 、 B 、 C$ 四点均在以 $O$ 为球心的某个球面上. 则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为$\qquad$. 原始答案的形式为\frac{\sqrt{m}}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 6
Problem: 已知
$$
(1+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{3},
$$
其中, $a_{n}, b_{n}$ 为整数. 则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=$ $\qquad$. 
请提供形式为$\sqrt{m}$时m + 1的值。
Answer: 4
Problem: 已知直线 $y=k x+1$ 与双曲线 $x^2-y^2=1$ 的左支交于点 $A 、 B$, 直线 $l$ 经过点 $(-2,0)$ 和 $A B$ 的中点。当 $k=2$ 时，设直线 $l$ 在 $y$ 轴的截距为 $b$ ，将 $b$表示为 $\frac{m}{n}$ 的形式（其中 $m$ 、 $n$ 为整数且 $\operatorname{gcd}(m$ ， $n)=1）$ ，请提供 $m+n$ 的值。
Answer: 1
Problem: 已知点 $B(0,1), P 、 Q$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上异于点 $B$ 的任意两点, 且 $B P \perp B Q$.\n(1) 若点 $B$ 在线段 $P Q$ 上的射影为 $M$, 求 $M$ 的轨迹方程；\n(2) 求线段 $P Q$ 的中垂线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距的取值范围.\n请给出第一个部分的答案格式为 x^2 + (y - \frac{1}{5})^2 = (\frac{4}{5})^2 ，直接给出 m + n 的值。
Answer: 16
Problem: 已知函数\n$$\nf(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)\n$$\n的最小正周期是 $\frac{\pi}{2}$, 其中, $\omega>0$. 求 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值与最小值。请给出最大值与最小值的分子与分母之和。
Answer: 12
Problem: 已知函数 $f(x)=\frac{x^{3}+3 x}{3 x^{2}+1}$, 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=2, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 记 $b_{n}=\log _{3}\left(\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}\right)\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. （1）证明: $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, 并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$的通项公式； (2) 记 $c_{n}=-n b_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$的前 $n$ 项和公式 $T_{n}$ 。请提供 $T_{n}$ 的值当 $n = 1$ 时。答案应为整数形式。
Answer: 3
Problem: 已知对一切的 $x \in \mathbf{R}$ 恒有 $3 \sin ^{2} x-\cos ^{2} x+4 a \cos x+a^{2} \leqslant 31$. 求实数 $a$ 的取值范围。请提供区间端点的和。
Answer: 0
Problem: 过椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点 $F$ 作两条垂直的弦 $A B 、 C D$. 设 $A B 、 C D$ 的中点分别为 $M 、 N$.\n（1）证明：直线 $M N$ 必过定点，并求此定点；\n(2) 若弦 $A B 、 C D$ 的斜率均存在, 求 $\triangle F M N$面积 $S$ 的最大值。\n对于问题(2)，假设原始答案为\frac{m}{n}，请给出m + n的值。
Answer: 9
Problem: 设 $x 、 y 、 z$ 为正实数. 求
$$
\left(x+\frac{1}{y}+\sqrt{2}\right)\left(y+\frac{1}{z}+\sqrt{2}\right)\left(z+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)
$$
的最小值。请给出整数部分和非整数部分系数的和。
Answer: 34
Problem: 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 三条棱 $P A$ 、 $P B 、 P C$ 两两垂直，且 $P A=1, P B=P C=2$ 。若 $Q$ 为三棱雉 $P-A B C$ 外接球的球面上任一点, 则 $Q$ 到面 $A B C$ 距离的最大值为。原始答案为$\frac{m}{n} + \frac{\sqrt{k}}{d}$的格式，请给出m + n + k + d的值。
Answer: 17
Problem: Let $a_{1}, a_{2} \ldots, a_{51}$ be non-zero elements of a field. We simultaneously replace each element with the sum of the 50 remaining ones. In this way we get a sequence $b_{1} \ldots, b_{51}$. If this new sequence is a permutation of the original one, what can be the characteristic of the field? Please provide the sum of all possible characteristics.
Answer: 9
Problem: Let $A$ be a real $4 \times 2$ matrix and $B$ be a real $2 \times 4$ matrix such that $$ A B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ Find $B A$. Provide the sum of all elements in the resulting matrix.
Answer: 4
Problem: Find all polynomials $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\left(a_{n} \neq 0\right)$ satisfying the following two conditions: (i) $(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n})$ is a permutation of the numbers $(0,1, \ldots, n)$ and (ii) all roots of $P(x)$ are rational numbers. Please provide the sum of all coefficients of these polynomials.
Answer: 17
Problem: Find all $r>0$ such that whenever $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ is a differentiable function such that $|\operatorname{grad} f(0,0)|=1$ and $|\operatorname{grad} f(u)-\operatorname{grad} f(v)| \leq|u-v|$ for all $u, v \in \mathbb{R}^{2}$, then the maximum of $f$ on the disk $\left\{u \in \mathbb{R}^{2}:|u| \leq r\right\}$ is attained at exactly one point. $\left(\operatorname{grad} f(u)=\left(\partial_{1} f(u), \partial_{2} f(u)\right)\right.$ is the gradient vector of $f$ at the point $u$. For a vector $\left.u=(a, b),|u|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\right)$ The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 3
Problem: Find the number of positive integers $x$ satisfying the following two conditions: 1. $x<10^{2006}$; 2. $x^{2}-x$ is divisible by $10^{2006}$. Please provide the sum of all such positive integers.
Answer: 12
Problem: Call a polynomial $P\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)$ good if there exist $2 \times 2$ real matrices $A_{1}, \ldots, A_{k}$ such that $$ P\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\operatorname{det}\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i} A_{i}\right) $$ Find all values of $k$ for which all homogeneous polynomials with $k$ variables of degree 2 are good. Please provide the sum of all possible values of $k$.
Answer: 3
Problem: How many nonzero coefficients can a polynomial $P(z)$ have if its coefficients are integers and $|P(z)| \leq 2$ for any complex number $z$ of unit length? Please provide the sum of all possible values.
Answer: 3
Problem: Determine the value of
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n+1}\right)
$$
The original answer is in the form of \frac{m}{n} \ln^3(2). Please provide the value of m + n.
Answer: 3
Problem: Consider the following sequence \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1, \ldots)\). Find all pairs \((\alpha, \beta)\) of positive real numbers such that \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{n^{\alpha}}=\beta\). Please provide the integer value of \(\alpha + \beta\).
Answer: 6
Problem: Determine all pairs $(a, b)$ of real numbers for which there exists a unique symmetric $2 \times 2$ matrix $M$ with real entries satisfying $\operatorname{trace}(M)=a$ and $\operatorname{det}(M)=b$. Please provide the value of $a + b$ for the unique pair $(a, b)$.
Answer: 4
Problem: Let $\left\{b_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}$ be a sequence of positive real numbers such that $b_{0}=1$, $b_{n}=2+\sqrt{b_{n-1}}-2 \sqrt{1+\sqrt{b_{n-1}}}$. Calculate the sum of $b_{n} 2^{n}$ from $n=1$ to $\infty$. The original answer includes a constant term and a logarithmic term. Please provide the integer part of the answer.
Answer: 2
Problem: An $n \times n$ complex matrix $A$ is called $t$-normal if $A A^{t}=A^{t} A$ where $A^{t}$ is the transpose of $A$. For each $n$, determine the maximum dimension of a linear space of complex $n \times n$ matrices consisting of t-normal matrices. Please provide the value of the dimension when $n = 10$. The answer should be in the format \frac{m}{n}, directly give the value of m + n.
Answer: 56
Problem: Determine whether there exist an odd positive integer $n$ and $n \times n$ matrices $A$ and $B$ with integer entries, that satisfy the following conditions:
(1) $\operatorname{det}(B)=1$;
(2) $A B=B A$;
(3) $A^{4}+4 A^{2} B^{2}+16 B^{4}=2019 I$.
Give the sum of all possible values of n.
(Here $I$ denotes the $n \times n$ identity matrix.)
Proposed by Orif Ibrogimov, ETH Zurich and National University of Uzbekistan
Hint: Consider the determinants modulo 4.
Answer: 0
Problem: Let $n, k \geq 3$ be integers, and let $S$ be a circle. Let $n$ blue points and $k$ red points be chosen uniformly and independently at random on the circle $S$. Denote by $F$ the intersection of the convex hull of the red points and the convex hull of the blue points. Let $m$ be the number of vertices of the convex polygon $F$ (in particular, $m=0$ when $F$ is empty). Find the expected value of $m$. The original answer is in the form of a fraction; please provide the sum of the numerator and denominator.
Answer: 2
Problem: Let $p$ be a prime number and let $k$ be a positive integer. Suppose that the numbers $a_{i}=i^{k}+i$ for $i=0,1, \\ldots, p-1$ form a complete residue system modulo $p$. What is the set of possible remainders of $a_{2}$ upon division by $p$? Please provide the sum of the possible remainders.
Answer: 5
Problem: We say that a real number $V$ is good if there exist two closed convex subsets $X, Y$ of the unit cube in $\mathbb{R}^{3}$, with volume $V$ each, such that for each of the three coordinate planes (that is, the planes spanned by any two of the three coordinate axes), the projections of $X$ and $Y$ onto that plane are disjoint. Find $\sup \{V \mid V$ is good $\}$. The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 5
Problem: For $n=1,2, \ldots$ let
$$
S_{n}=-\log \left(\sqrt[n^{2}]{1^{1} \cdot 2^{2} \cdot \ldots \cdot n^{n}}\right)+\log (\sqrt{n})
$$
where $\log$ denotes the natural logarithm. Find $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$.
 If the value can be expressed in the form $\frac{p}{q}$ for relatively prime positive integers $p$ and $q$, find $p+q$.
Answer: 5
Problem: Let for $j=0, \ldots, n, a_{j}=a_{0}+j d$, where $a_{0}, d$ are fixed real numbers. Put
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \\
a_{1} & a_{0} & a_{1} & \ldots & a_{n-1} \\
a_{2} & a_{1} & a_{0} & \ldots & a_{n-2} \\
\ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_{0}
\end{array}\right)
$$
Calculate $\operatorname{det}(A)$, where $\operatorname{det}(A)$ denotes the determinant of $A$. Please provide the value of $\operatorname{det}(A)$ when $a_0 = 0$, $a_n = 1,n=4$, and $d = 0$
Answer: 8
Problem: Let $A_{n}=\{1,2, \ldots, n\}$, where $n \geq 3$. Let $\mathcal{F}$ be the family of all non-constant functions $f: A_{n} \rightarrow A_{n}$ satisfying the following conditions:\n(1) $f(k) \leq f(k+1)$ for $k=1,2, \ldots, n-1$,\n(2) $f(k)=f(f(k+1))$ for $k=1,2, \ldots, n-1$.\nFind the number of functions in $\mathcal{F}$. for $n=3$
Answer: 1
Problem: 已知 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0, x \in \mathbf{R}\right\}, B=\left\{x \mid 2^{1-x}+a \leqslant 0, x^{2}-2(a+7) x+5 \leqslant\right.$ $0, x \in \mathbf{R}\}$ 。若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是一个区间，请给出该区间的端点之和。
Answer: -5
Problem: 已知过点 $(0,1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C: y=x+\frac{1}{x}(x>0)$ 交于两个不同点 $M$ 与 $N$, 求曲线 $C$ 在点 $M 、 N$ 处切线的交点轨迹。请给出该轨迹线段两个端点坐标的和，该和为\frac{m}{n}形式，请给出m+n的值。
Answer: 19
Problem: 求所有三元整数组 $(x, y, z)$, 使其满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=2011 \\
x \geq 15 \\
y \geq 15.
\end{array}\right.
$$
。The original answer provides pairs of (p, q, r) that satisfy the condition. We can calculate $\sum pqr$.Please provide the value of $\sum pqr$.
Answer: 903635700
Problem: 设集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$, 若 $A$ 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 $B=\{-1,3,5,8\}$, 请给出集合 $A$ 中元素的积。
Answer: -120
Problem: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbf{R}, a \neq 0$.\n（1）若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n（2）若 $a \geqslant 2$ ，且存在 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x) \leqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围。\n请给出所有满足条件的区间端点之和。
Answer: 3
Problem: 已知函数 $f(x)=a \sin x-\frac{1}{2} \cos 2 x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}, a \in \mathbf{R}, a \neq 0$.\n（1）若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n（2）若 $a \geqslant 2$ ，且存在 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x) \leqslant 0$ ，已知$a$的范围是一个区间，区间两个端点的和为分数$\frac{p}{q}$的形式，请求出$p+q$
Answer: 37
Problem: 已知 $x>0, y>0$, 且满足 $\left\{\begin{array}{l}\cos ^{2}(\pi x)+2 \sin (\pi y)=1 \\ \sin (\pi x)+\sin (\pi y)=0 \\ x^{2}-y^{2}=12\end{array}\right.$。请给出 x + y 的值。
Answer: 6
Problem: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数，满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ ，求 $(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3})(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5})$ 的最小值和最大值。最大值的原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值，并加上最小值。
Answer: 15
Problem: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$,求 $|A B|$ 的所有可能值。请提供所有可能值平方和的值。
Answer: 49
Problem: 给定正整数 $m(m \geq 3)$. 设正项等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与正项等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项等于 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比, $\left\{b_{n}\right\}$ 的首项等于 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差, 且 $a_{m}=b_{m}$ 。求 $a_{m}$ 的最小值, 并确定当 $a_{m}$ 取到最小值时 $a_{1}$ 与 $b_{1}$ 的比值。请给出当 $m = 3$ 时 $a_{1}$ 与 $b_{1}$ 的比值。
Answer: 4
Problem: 如图， $A B$ 是单位圆的直径，在 $A B$ 上任取一点 $D$ ，作 $D C \perp A B$, 交圆周于 $C$ 。若点 $D$ 的坐标为 $(x, 0)$,则当 $x \in$ $(a, b)$时，线段 $A D 、 B D 、 C D$ 可以构成锐角三角形。请给出a + b的值。
Answer: 0
Problem: 如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 中点, $F$ 在 $A A_{1}$ 上, 且 $A_{1} F: F A=1: 2$. 求平面 $B_{1} E F$与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的二面角。原始答案的形式为\arctan\frac{\sqrt{m}}{n}, 请给出m + n的值。
Answer: 40
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若角 $A 、$ $B 、 C$ 的大小成等比数列，且 $b^{2}-a^{2}=a c$ ，则角 $B$ 的弧度为等于 $\qquad$. 原始答案为 $\frac{m}{n}\pi$ 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 9
Problem: 已知集合\n$$\n\begin{aligned}\n& A=\{(x, y)| | x|+|y|=\alpha, \quad \alpha>0\} \\n& B=\{(x, y)| | x y|+1=|x|+|y|\}\n\end{aligned}\n$$\n若 $A \cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 请计算$\alpha$ 的值的所有可能值的和，形式为m+n\sqrt{k}，请最后给出m+n+k的值
Answer: 7
Problem: $(\sqrt{x}+2)^{2 n+1}$ 的展开式中, 给出$n=2$时$x$ 的整数次幂的各项系数之和 $\qquad$.
Answer: 122
Problem: 长为 $\sqrt{2}$, 宽为 1 的矩形, 以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周, 求得到的旋转体体积。原始答案为\frac{m \sqrt{p} \pi}{n}的格式，请给出m + n+p的值。
Answer: 98
Problem: 若 $\log _{a} \sqrt{2}<1$, 请给出$a$ 的取值范围。原始答案形式为$(a,b) \cup(\sqrt{c},+\infty)$,计算a+b+c的值。
Answer: 3
Problem: 一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 \(\qquad\) \(\cdot\)。请注意，原始答案是\(\frac{a+\sqrt{b}}{c}\)的形式，请给出a+b+c的值。
Answer: 6
Problem: 已知直线 $l_{1}: y=4 x$ 和点 $P(6,4)$, 在直线 $l_{1}$ 上求一点 $Q$, 使过 $P Q$ 的直线与直线 $l_{1}$ 以及 $x$ 轴在第 $	ext{I}$ 象限内围成三角形面积最小。请给出 $Q(x, y)$点 x+y 的和。
Answer: 10
Problem: 解方程: $5 x^{2}+x-x \sqrt{5 x^{2}-1}-2=0$. 原始答案为 $x = \pm \frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出 $m+n$ 的值。
Answer: 15
Problem: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点。设不经过焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A 、 B$, 焦点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ 。如果直线 $A F_{1} 、 l 、 B F_{1}$ 的斜率依次成等差数列，求 $d$ 的取值范围。请给出 $d$ 的最大值与最小值之和。答案格式为a+\sqrt{b}，求a+b的值
Answer: 5
Problem: 给定整数 $n \geq 2$. 设非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足  
$$  
a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n}, \quad a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=n.  
$$  
求 $a_{1}+a_{1} a_{2}+a_{1} a_{2} a_{3}+\cdots+a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$ 的最小值。请给出当n=2时的答案。
Answer: 2
Problem: 试确定具有下述性质的最大正数 $M>1$ ：在区间 $[1, M]$ 中任意取 10 个不同的实数，均可从中选取三个数，从小到大记为 $a<b<c$ ，使得一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 无实根。答案格式为 a^{b} ，求a+b。
Answer: 259
Problem: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1$，则 $a_{1}$ 的值为原始答案的格式为 \( \frac{m}{n} \)，请给出 m + n 的值。
Answer: 5982
Problem: 在平面直角坐标系中，函数 $y=\frac{x+1}{|x|+1}$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上，且这三点的横坐标之和为 0。求 $l$ 的斜率的取值范围。原始答案格式为 $0<k<\frac{m}{n}$，请给出 m + n 的值。
Answer: 11
Problem: 设函数 $f(x)$ 满足: 对任意非零实数 $x$, 均有 $f(x)=f(1) \cdot x+\frac{f(2)}{x}-1$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $\qquad$.答案格式为$\sqrt{a}-b$,求a+b的值
Answer: 4
Problem: 设函数 $f(x)=\cos x+\log _{2} x(x>0)$, 若正实数 $a$ 满足 $f(a)=f(2 a)$, 则 $f(2 a)-f(4 a)$ 的值为 m，其中m是一个整数。请给出m所有可能值的和。
Answer: -4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, A C=2, B-C=\frac{2 \pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\qquad$.答案格式为\frac{a \sqrt{b}}{c},求a+b+c的值
Answer: 20
Problem: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$. 随机地抛掷该骰子三次 (各次抛掷结果相互独立), 所得的点数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 则事件 " $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ " 发生的概率为 。原始答案为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
Problem: 已知复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 满足:  $$  z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{n+1}=\overline{z_{n}}\left(1+z_{n} \mathrm{i}\right)(n=1,2, \cdots),  $$  其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位. 求 $z_{2021}$ 的值。原始答案格式为$\frac{\sqrt a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f^{g^{h}}})\mathrm i$,求a+b+c+d+e+f+g+h的值。
Answer: 2033
Problem: 求具有下述性质的最小正数 $c$ ：对任意整数 $n \geq 4$,以及集合 $A \subseteq\{1,2, \cdots, n\}$, 若 $|A|>c n$, 则存在函数 $f: A \rightarrow\{1,-1\}$, 满足  
$$  
\left|\sum_{a \in A} f(a) \cdot a\right| \leq 1.  
$$
The original answer is in \frac{m}{n} format, please give the value of m + n.
Answer: 5
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 求 $\cos B+\sqrt{2} \cos C$ 的取值范围，请提供该取值范围端点之和的整数部分。
Answer: 5
Problem: 在椭圆中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $$ \overline{A F_{1}} \cdot \overline{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0 $$ 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。答案为$-\frac{m}{n}$形式，请给出$m + n$的值。
Answer: 6
Problem: 设 $a, b$ 为不超过 12 的正整数，满足：存在常数 $C$ ，使得 $a^{n}+b^{n+9} \equiv C(\bmod 13)$ 对任意正整数 $n$ 成立. 求所有满足条件的有序数对 $(a, b)$. 请提供所有满足条件的数对中所有元素的和。
Answer: 54
Problem: 设 $A, B$ 为平面直角坐标系 $x O y$ 中的曲线 $x y=1(x, y>0)$ 上的两点, 向量 $\vec{m}=(1,|O A|)$ ，则数量积 $\vec{m} \cdot \overrightarrow{O B}$ 的最小值是多少。原始答案是 $a \sqrt[4]{b}$ 的形式，请给出$a + b$的值。
Answer: 4
Problem: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值为是多少，原始答案的格式为$\frac{m}{n}$，请计算 $m + n$ 的值。
Answer: 37
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=B C, b=C A, c=A B$. 若 $a^{2}+b^{2}=6, \cos (A-B) \cos C=\frac{2}{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的外接圆半径。原始答案为 $\frac{m \sqrt{n}}{p}$ 的形式，请给出 $m + n + p$ 的值。
Answer: 23
Problem: 已知集合 $A=\{1,5\}, B=\left\{x^{2}-3 x+1, x^{2}-4 x+5\right\}$ ，若集合 $A \cup B$ 的元素个数是 3 ，请给出可能的实数 $x$ 中的最大值与最小值之差。
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A, \sin A, \tan B$ 依次构成以 $\frac{3}{4}$ 为公比的等比数列,则 $\cot C$ 的原始答案是以$-\frac{m}{n}$的形式给出，请给出$m + n$的值。
Answer: 149
Problem: 在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内部，且在直线 $y=x$ 上移动。点 $K, L$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $\overrightarrow{P K}, \overrightarrow{P L}$ 的方向分别为 $x$ 轴正方向与 $y$ 轴正方向，点 $Q$ 使得 $P K Q L$ 为矩形。是否存在平面上两点 $A, B$ ，使得当矩形 $P K Q L$ 变化时， $|Q A|-|Q B|$ 为非零常数？若存在，求出线段 $A B$ 的所有可能的长度；若不存在，请说明理由。请给出原始答案格式为$\frac{m\sqrt{3}}{n}$时，$m + n$的值。
Answer: 8
Problem: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 4
Problem: 已知非负实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值为 $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$的格式，请给出 $m + n + p$ 的值。
Answer: 12
Problem: 定义 $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$, 则 $(\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21$结果的格式为$\frac{m}{n}$，给出$m + n$的值。
Answer: 231
Problem: 设不等式 $\left|2^{x}-a\right|<\left|5-2^{x}\right|$ 对所有 $x \in[1,2]$ 成立, 求实数 $a$ 的取值范围。请给出区间端点之和的值。
Answer: 8
Problem: 若非负数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 21
Problem: 若一个 $k$ 项等差数列的公差是 4, 且首项的平方与除首项外的各项和小于 100 ，则写出 $k$ 的取值范围， 并给出这些可能取值的和。
Answer: 33
Problem: 已知矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, B C=1$, 折叠使点 $A, C$ 重合, 折痕为 $M N$, 打开平面 $A D M N$, 使二面角 $A-M N-C$ 为 $\frac{\pi}{3}$, 求直线 $M N$ 与直线 $A C$ 的距离，原始答案为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 19
Problem: 已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, $\angle A P B=\angle A P D=\angle P B C=\angle P D C=90^{\circ}, A P=$ $P B=P D=B C=C D=2$, 求四棱雉 $P-A B C D$ 的高。原始答案为 $\sqrt{m} - n$ 的格式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 6
Problem: 已知在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $B C$ 的中点, 且 $\angle D A C=15^{\circ}$, 求 $\angle A B C$ 的最大值。原始答案为 $\frac{m\pi}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 19
Problem: 在复平面上,复数 $z_{1}, 1+\mathrm{i}, 1+a \mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$ 对应的点分别是 $A, B, C$, 点 $A$ 在线段 $B C$ 上运动, 复数 $z_{2}$ 满足 $\left|z_{2}\right|=1$. 若复数 $z_{1}+z_{2}$ 对应的点组成的图形的面积是 $\pi+4$ ，请给出 $a$ 可能的取值的和。
Answer: 2
Problem: 已知 $A, B$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右顶点, $P$ 是椭圆在第一象限内一点,满足 $|P A|=\lambda|P B|$ 且 $\angle P B A=2 \angle P A B$, 求 $\lambda$ 的值。原始答案的形式为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 33
Problem: 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1, 点 $M, N$ 分别为线段 $A B^{\prime}, A C$ 上的动点, 点 $T$在屏幕 $B C C^{\prime} B^{\prime}$ 内，求 $|M T|+|N T|$ 的最小值。原始答案为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 格式，请给出 $a + b+c$ 的值。
Answer: 8
Problem: 已知 $\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{4}\right)\left(1+\frac{\mathrm{i}}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{\mathrm{i}}{2^{2 \mathrm{n}}}\right)$ ，求 $\left|\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right|$的表达式，给出当$n=1$时该式整数部分的值。
Answer: 1
Problem: 求椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的内接六边形面积的最大值。已知原始答案的格式为$\frac{m\sqrt{3}}{n}$，请给出$m + n$的值。
Answer: 5
Problem: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，且 $S=n a+n_{n}(n-1)$，点 $\left(a_{n}, \frac{S_{n}}{n}\right)$ 所在的直线方程的斜率的形式为$\frac{n}{m}$，求$m+n$的值。
Answer: 3
Problem: 已知 $\operatorname{Re}(z) \geq 1$, 求 $\left|\frac{1}{z}+1+\mathrm{i}\right|_{\text {min }}$ 的值。原始答案为 $\frac{\sqrt{m}-n}{k}$ 的格式，请给出 $m + n + k$ 的值。
Answer: 16
Problem: 已知 $x^{2}=4 y, M(2,2)$, 过 $M$ 点的直线交抛物线于 $A, B$ 两点, 过 $A, B$ 两点作抛物线的切线交与点 $P$, 求 $S_{\triangle A B P}$ 的最小值。请给出该最小值。
Answer: 4
Problem: 已知 $a x^{3}+b x^{2}+x+1=0(a<0)$ 恰有两个零点, 求 $a+b$ 的取值范围. 请给出区间右端点的整数部分。
Answer: 0
Problem: 椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=\lambda, F$ 为左焦点, $A, B$ 为椭圆上两点且 $|F A|=5,|F B|=8$, 求直线 $A B$ 的斜率 $k$ 的范围。请给出区间的和。
Answer: 0
Problem: 已知 $I_{n} = \left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{4}\right)\left(1+\frac{i}{16}\right) \cdots\left(1+\frac{i}{2^{2^{n}}}\right)$, 求 $\left|I_{n}\right|$. The original answer is in the form \( \sqrt{\frac{m}{k}} \). Please provide the value of m + k when n = 1.
Answer: 9
Problem: 已知 $X^{\lg X} Y^{\lg Y} Z^{\lg Z}=5, X^{\lg Y} Y^{\lg Z} Z^{\lg X}=\sqrt{2}$, 求 $X Y Z$ 的可能取值. 请给出 X Y Z 可能取值的和的整数部分。
Answer: 10
Problem: 已知 $\{\sin \theta, \sin 2 \theta, \sin 3 \theta\}=\{\cos \theta, \cos 2 \theta, \cos 3 \theta\}$, 其中 $\theta$ 的原始答案为 $\frac{m}{n} \pi, k \in \mathbf{Z}$。请给出当 $k = 0$ 时 $m + n$ 的值。
Answer: 9
Problem: Evaluate the expression $\tan \left(\arctan 2+\arctan \frac{2}{2^{2}}+\cdots+\arctan \frac{2}{12^{2}}\right)$. The original answer is in the form of $-\frac{m}{n}$. Please provide the value of m + n.
Answer: 31
Problem: 四面体 $V-A B C$ 中, $V A=V B=2 \sqrt{2}, V C=3, C A=C B=4$, 求 $C A$ 与 $V B$ 所成角的余弦值的取值范围。请给出区间两端点和的整数部分的值。
Answer: 0
Problem: 12 个人围坐在一张圆桌旁参加一种游戏，主持人给每人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫四种颜色.每个人都可以看见其他 11 人帽子的颜色，但是不知道自己帽子的颜色.现在主持人让这 12 个人顺次来猜自己头上帽子的颜色.这 12 个人事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能进行交流，他们的目标是使 12 个人同时回答正确的机会最大.假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析在此策略下所有人都猜对的概率。原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 5
Problem: 求 $\sin ^{4} 10^{\circ}+\sin ^{4} 50^{\circ}+\sin ^{4} 70^{\circ}$ 的值. 原始答案是 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 17
Problem: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$?  原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 12
Problem: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$, 存在经过点 $F$的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点, 使得 $O A \perp O B$, 求该椭圆的离心率的取值范围。请给出该区间端点的和并将其四舍五入成整数。
Answer: 2
Problem: 正三棱雉 $P-A B C$ 的所有棱长均为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点, 则该正三棱雉的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为 $\frac{\pi}{m}$ 的形式，请给出 $m$ 的值。
Answer: 3
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$,  $\cos B+\sqrt{2} \cos C$ 的取值范围的形式为$(a,b] \cup(c, \sqrt{d}]$，求$a+b+c+d$的值。
Answer: 8
Problem: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{2}$, 若 $m_{1} m_{2}=2020$, 则 $a$ 的值为 $\qquad$。请提供所有可能的 $a$ 的值的和。
Answer: 101
Problem: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。原始答案为 \frac{m}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 4
Problem: 已知一个正三棱柱的各条棱长均为 3, 则其外接球的体积为。原始答案为 \frac{m \sqrt{n} \pi}{k} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 28
Problem: 设 $a, b \in \mathbf{R}$ 。若关于 $z$ 的方程\[\left(z^{2}+a z+b\right)\left(z^{2}+a z+2 b\right)=0\]有 4 个互不相等的复数根 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$, 且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为 1 的正方形的四个顶点，求 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|$ 的值。原始答案为\sqrt{m} + n\sqrt{p}，请给出m + n + p + q的值。
Answer: 4
Problem: 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 满足 \(a_{1}=1, a_{n}=\frac{1}{4 a_{n-1}}+\frac{1}{n}\) \((n \geq 2)\)，则 \(a_{100}\) 的值为 \(\frac{m}{n}\) 的形式，请给出 \(m + n\) 的值。
Answer: 399
Problem: 设正四棱雉 $P-A B C D$ 的底面边长与高相等, 点 $G$ 为侧面 $\triangle P B C$ 的重心,则直线 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为\frac{\sqrt{m}}{n}的形式, 请给出m + n的值。
Answer: 385
Problem: 复数 $z_{1}, z_{2}, \\cdots, z_{100}$ 满足: $z_{1}=3+2 \\mathrm{i}, z_{n+1}=\\overline{z_{n}} \\cdot \\mathrm{i}^{n}(n=1,2, \\cdots, 99)$ （ i 为虚数单位), 请给出 $z_{99}+z_{100}$ 的实部和虚部之和。
Answer: 0
Problem: 函数 $f(x)=2 \sin ^{2} x-\tan ^{2} x$ 的最大值为原始答案的格式为3-2\sqrt{2}，请给出m+n的值。
Answer: 5