ChenDRAG/VeRL_math_validation huggingface dataset:
Problem: Inside square \(ABCD\) with side \(s\), quarter-circle arcs with radii \(s\) and centers at \(A\) and \(B\) are drawn. These arcs intersect at point \(X\) inside the square. The distance from \(X\) to side \(CD\) is in the form \(\frac{k}{m}s(n-\sqrt{p})\). Please calculate the value of \(k + m + n + p\).
Answer: 8
Problem: Let $E(n)$ denote the sum of the even digits of $n$. For example, $E(5681) = 6 + 8 = 14$. Find the value of $E(1) + E(2) + E(3) + \cdots + E(100)$.
Answer: 400
Problem: If a planet of radius $R$ spins with an angular velocity $\omega$ about an axis through the North Pole, find the ratio of the normal force experienced by a person at the equator to that experienced by a person at the North Pole. Assume a constant gravitational field $g$ and that both people are stationary relative to the planet and are at sea level. The original answer is in the form $k - \frac{mR\omega^2}{ng}$, please give the value of k + m + n.
Answer: 3
Problem: 已知函数 $f(x)=a x^{2}-c$ ，满足
$$
-4 \leqslant f(1) \leqslant-1, \quad-1 \leqslant f(2) \leqslant 5.
$$
求 $f(3)$ 的范围。请给出 $f(3)$ 的范围的形式为 $[a, b]$，并计算a和b的和。
Answer: 19
Problem: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^{2}\right\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-a)^{2} \leqslant 1\right\}$, 求使 $M \bigcap N=N$ 成立的 $a$ 的最小值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 9
Problem: 在平面直角坐标系中, $O$ 是坐标原点, 两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是多少？答案的形式为 k\sqrt{m}，请给出 k+m 的值。
Answer: 7
Problem: 已知 \(y^{2}=4x\)，过 \(A(-2,3)\) 做抛物线两条切线，交 \(y\) 轴于 \(B, C\) 两点，则 \(\triangle ABC\) 外接圆的方程为 \((x+h)^{2}+(y+k)^{2}=r^{2}\)。已知答案的形式为 \(h = -\frac{a}{b}, k = \frac{c}{d}, r^{2} = \frac{e}{f}\)，请计算 \(a + b + c + d + e + f\) 的值。
Answer: 19
Problem: 已知 $\omega=\cos \frac{\pi}{5}+\mathrm{i} \sin \frac{\pi}{5}$, 写出下列等式成立的完整表达式：  
$x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=(x-\omega^{a})(x-\omega^{b})(x-\omega^{c})(x-\omega^{d})$  
请计算 a+b+c+d 的值。
Answer: 20
Problem: 将函数 $y=\sqrt{4+6 x-x^{2}}-2(x \in[0,6])$ 的图象逆时针方向旋转 $\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha)$, 得到曲线 $C$. 若对于每一个旋转角 $\theta$ ，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为多少？答案的形式为\arctan \frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 已知 $m, n$ 的最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，求数对 $(m, n)$ 的组数。答案的形式为 $x^y$，请给出 $x + y$ 的值。
Answer: 17
Problem: 已知四面体 \(D-A B C\) 中, \(A C=B C=A D=B D=1\)，求 \(D-A B C\) 体积的最大值。答案的形式为 \(\frac{k \sqrt{n}}{m}\)，请给出k+m+n的值。
Answer: 32
Problem: 若正整数 $(m, n)$ 的最大公约数、最小公倍数分别是 $10!, 50!$ ，则数对 $(m, n)$ 的对数是多少？
Answer: 32768
Problem: 将函数 $y=\sqrt{4+6 x-x^{2}}-2(x \in[0, 6])$ 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha)$，得到曲线 $C$ 。若对于每一个旋转角 $\theta$ ，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为多少？答案的形式为$\arctan \frac{a}{b}$，请给出$a+b$的值。
Answer: 5
Problem: 在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，若两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1 \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是多少？答案的形式为$k \sqrt{m}$，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 在四面体 $A B C D$ 中，若 $A C=B C=A D=$ $B D=1$，求四面体 $A B C D$ 体积的最大值。原始答案的格式为\frac{k\sqrt{n}}{m}，请给出k + n + m的值。
Answer: 32
Problem: 若恰有一个实数 \(x\) 使得 \(x^{3}-a x-1=0\) 成立，则常数 \(a\) 的取值范围为 \((-\infty, x)\)。求 \(x\) 的值，使得 \(a\) 的取值范围为 \((-\infty, x)\)。答案形式为 \(\frac{k \sqrt[3]{m}}{n}\)，请给出 k + m + n 的值。
Answer: 7
Problem: $a, b, c$ 是等差数列，点 $P$ 到直线 $l: a x+b y+c=0$ 的垂足为 $M, P(-1,0), N(2,1)$，求 $M N$ 的最大值。答案的形式为 $k \sqrt{2}$，请给出 $k$ 的值。
Answer: 3
Problem: 正整数 $a, b, c, x, y, z$ 满足: $a x=b+c, b y=c+a, c z=a+b$ ，求 $x y z$ 的可能值的个数。
Answer: 3
Problem: 已知 2023 可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过 1 的情况有多少种可能？
Answer: 2023
Problem: 圆周上有 \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{7}\) 七个点两两相连。任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是多少？请以分数形式 \(\frac{k}{m}\) 作答，并给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 4
Problem: 在正四面体 $A B C D$ 中，棱长为 $2 \sqrt{2}$。点 $P$ 满足 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}|=2$。求 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的最大值。答案的形式为 $k + m\sqrt{n}$，请给出 $k + m + n$ 的值。
Answer: 6
Problem: 从棱长为 1 个单位长度的正方体的底面一顶点 $A$ 出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度。进行 2 次这样的操作回到 $A$ 的概率是多少？答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, 若三边长 $a, b, c$ 满足 $a+c=3 b$, 求 $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$ 的值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 设 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}(a>0)$. 若过点 $P(a, 0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线与曲线 $C: y=f(x)$ 的交点为 $Q$, 曲线 $C$ 过点 $Q$ 的切线交 $x$ 轴于点 $R$, 求 $\triangle P Q R$ 的面积的最小值。答案的形式为\frac{\sqrt{k\mathrm{e}}}{m}，请给出k+m的值，其中m不能被2整除。
Answer: 4
Problem: 设复数 \(w=\left(\frac{a+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}\)，其中 \(a\) 为实数，若 \(w\) 的实部为 \(2\)，求 \(w\) 的虚部。答案的形式为\(-\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 5
Problem: 若 $F\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=x$ ，则满足该条件的等式可以表示为 F(kx+m) = n-F(x)。请计算k+m+n的值。
Answer: -5
Problem: 对所有满足 $1 \leqslant n \leqslant m \leqslant 5$ 的 $m, n$, 极坐标方程 $\rho=\frac{1}{1-\mathrm{C}_{m}^{n} \cos \theta}$ 表示的不同双曲线条数是多少？
Answer: 6
Problem: 对所有满足 $1 \leqslant n \leqslant m \leqslant 5$ 的 $m, n$, 极坐标方程 $\rho=\frac{1}{1-C_{m}^{n} \cos \theta}$ 表示的不同双曲线条数是多少？
Answer: 6
Problem: 若 $F\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=x$ ，求出满足该条件的$F(x)$的性质，并填入下列等式中正确的表达式。原始答案的形式为F(-a-x) = -b - F(x)，请给出a + b的值。
Answer: 4
Problem: 设实数 $a 、 b 、 c$ 满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
a^{2}-b c-8 a+7=0 \\
b^{2}+c^{2}+b c-6 a+6=0
\end{array}\right.
$$
那么，求 $a$ 的取值范围。答案的形式为[a, b]，请给出a+b的值。
Answer: 10
Problem: 设实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}-b c-8 a+7=0, \\ b^{2}+c^{2}+b c-6 a+6=0,\end{array}\right.$ 那么 $a$ 的取值范围是一个闭区间 $[x, y]$。已知答案的形式为 $[x, y]$，请计算 $x + y$ 的值。
Answer: 10
Problem: 设有三个函数，第一个是 $y=\varphi(x)$ ，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 $x+y=0$ 对称。求第三个函数的表达式。答案的形式为 $y = a\varphi(bx)$，请给出 $a + b$ 的值。
Answer: -2
Problem: 已知原点在粗圆 $k^{2} x^{2}+y^{2}-4 k x+2 k y+k^{2}-1=0$ 的内部，那么参数 $k$ 的取值范围是$-a < k < 0$ 或 $0 < k < b$。请计算a和b的绝对值之和。
Answer: 2
Problem: 设有三个函数，第一个是 $y=\varphi(x)$ ，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线 $x+y=0$ 对称。第三个函数的表达式可以写成 $ay=b\varphi(cx)$ 的形式，请给出$a+b+c$的值。
Answer: -1
Problem: 数列$\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且$S_{n+1}=4a_n+2$。求 $a_{2013}$ 的值。假设答案可以表示为$x \times 2^{y}$的形式，其中$y$是指数，且$2$为底数，请计算$x + y$的值。
Answer: 5031
Problem: 已知 n 为不超过 2015 的正整数且 $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ 的个位数为 0，求满足条件的正整数 n 的个数。
Answer: 1512
Problem: 用 $a_{n}$ 表示距离 $\sqrt{n}$ 最近的正整数, 已知 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=2016$, 求 n 的值。
Answer: 1017072
Problem: 三角形 \(A B C\) 的三个顶点分别对应复数 \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\)，已知 \(\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}=1+2 i\)，求三角形 \(A B C\) 的面积与其最长边长的平方的比。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 6
Problem: 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $A B=136, B C=80, C D=150, D A=102$, 求它的外接圆直径。
Answer: 170
Problem: 在正方体的8个顶点中任取3个顶点构成一个三角形，求该三角形为等腰三角形的概率。答案的格式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 11
Problem: 实系数方程 $x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ 的根都不是实数，其中两个根的和为 $2+i$，另两根的积为 $5+6i$，求 $b$ 的值。
Answer: 15
Problem: 设 $A$ 是以 $B C$ 为直径的圆上的一点, $D, E$ 是线段 $B C$ 上的点, $F$ 是 $B C$ 延长线上的点, 已知 $B F=4, B D=2, B E=5, \angle B A D=\angle A C D, \angle B A F=\angle C A E$, 求 $B C$ 的长。
Answer: 11
Problem: 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $B D=6, \angle A B D=\angle C B D=30^{\circ}$ ，求四边形 $ABCD$ 的面积。答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 12
Problem: 计算 $1! + 2! + 3! + \cdots + 2016!$ 除以 100 所得的余数。
Answer: 13
Problem: 设 $A B, C D$ 是圆 $O$ 的两条垂直直径, 弦 $D F$ 交 $A B$ 于点 $E, D E=24, E F=18$, 求 $O E$的值。答案的形式是$k \sqrt{m}$，请给出k + m的值。
Answer: 8
Problem: 实数 $a, b$ 满足 $\left(a^{2}+4\right)\left(b^{2}+1\right)=5(2 a b-1)$, 如果 $b\left(a+\frac{1}{a}\right)$ 的值为 $x$，求 $10x$ 的值。
Answer: 35
Problem: 由 \(y \geqslant 2|x|-1\) 和 \(y \leqslant-3|x|+5\) 所围成的平面区域的面积是多少？答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 41
Problem: 已知 \( x \) 为实数，使得 \( 2, x, x^{2} \) 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 \( x \) 的个数为多少？
Answer: 4
Problem: 已知正方形 \(A B C D\) 的边长为 \(1\)，\(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\) 是正方形内部的 4 个点，使得 \(\triangle A B P_{1}, \triangle B C P_{2}, \triangle C D P_{3}\) 和 \(\triangle D A P_{4}\) 都是正三角形。求四边形 \(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}\) 的面积。答案的形式为\(a-b\sqrt{c}\)，请给出a+b+c的值。
Answer: 6
Problem: 正整数 $9+95+995+\cdots+\underbrace{99 \cdots 9}_{2016} 5$ 的十进制表示中数值 1 的个数为多少？
Answer: 2014
Problem: 将等差数列 $1,5,9,13, \ldots, 2017$ 排成一个大数 $15913 \ldots 2017$, 则该数被 9 除的余数为多少？
Answer: 1
Problem: 求 \(\left(1+\cos \frac{\pi}{7}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{7}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{7}\right)\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 15
Problem: 已知正整数 $n$ 满足 $n \neq 2017$，且 $n^{n}$ 与 $2017^{2017}$ 有相同的个位数字，则 $|2017-n|$ 的最小值为多少？
Answer: 6
Problem: 设 $a, b, c$ 和 $\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)$ 均为正整数，求 $2a+3b+5c$ 的最大值和最小值之差。
Answer: 9
Problem: O 是凸四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 和 $B D$ 的交点。已知三角形 $A O B, B O C, C O D, D O A$ 的周长相同。三角形 $A O B, B O C, C O D$ 的内切圆半径分别为 $3, 4, 6$，求三角形 $D O A$ 的内切圆半径。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 11
Problem: 已知存在正整数 a, b, c 满足 $a+b+c=407,10^{n} \mid a b c$ ，求 n 的最大值。
Answer: 6
Problem: 整数 $p, q$ 满足 $p+q=218, x^{2}+p x+q=0$ 有整数根。求满足这样条件的整数对 $(p, q)$ 的个数。
Answer: 4
Problem: 已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2} \leq 1$, 求 $x^{2}+x y-y^{2}$ 的最大值。原始答案的格式为$\frac{\sqrt{m}}{n}$，请给出$m + n$的值。
Answer: 7
Problem: 在 $\triangle A B C$ 中, $A=90^{\circ}, A B=1, A C=\sqrt{3}$, 点 P 满足 $\frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}$。如果答案是 $x^\circ$, 求 $x$ 的值。
Answer: 120
Problem: 设 \(\alpha, \beta\) 为锐角, 且 \(\cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\), 求 \(\tan \alpha\) 的最大值。答案的形式为\(\frac{\sqrt{k}}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 6
Problem: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2x+y-4=0$ 相切, 则圆 $C$ 面积的最小值为 $\frac{k\pi}{m\pi}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 9
Problem: 设随机变量 \(X\) 的概率分布列为 \(P(x=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)\)，\(Y\) 表示 \(X\) 被 3 除的余数，则随机变量 \(Y\) 的数学期望 \(E(Y)\) 等于多少？答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请计算k+m的值。
Answer: 15
Problem: 已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3\)，且实数 \(t\) 满足 \(\left(t-a_{n}\right)\left(t-a_{n+1}\right)<0\)，求 \(t\) 的取值范围 \((\frac{a}{b}, \frac{c}{d})\)，其中 \(a < b\) 且 \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)。请给出a, b, c, d的和。
Answer: 16
Problem: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}\) 等于 \(x \pi\)，其中答案以\(\frac{k}{m}\)的最简分数形式给出，请求出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 4
Problem: 已知 $A, B, C$ 是集合 $\{1,2, \cdots, 2020\}$ 的子集，且满足 $A \subseteq B \subseteq C$，求这样的有序组 $(A, B, C)$ 的总数。答案的形式为 $x^y$，请给出 $x + y$ 的值。
Answer: 2024
Problem: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}$，$O$ 为坐标原点, 若 $\left|z_{1}\right|=1,5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$, 求 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积。
Answer: 1
Problem: 将函数 \(y=\sqrt{4+6 x-x^{2}}-2(x \in[0,6])\) 的图象逆时针方向旋转 \(\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha)\), 得到曲线 \(C\). 若对于每一个旋转角 \(\theta\)，曲线 \(C\) 都是一个函数的图象，则求 \(\alpha\) 的最大值。原始答案的形式为 \(\arctan \frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 将函数 $y=\sqrt{4+6 x-x^{2}}-2(x \in[0,6])$ 的图象逆时针方向旋转 $\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha)$, 得到曲线 C。若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 C 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为多少？原始答案的形式为\arctan \frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 在平面直角坐标系中, $O$ 是坐标原点, 两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是多少？答案的形式为k\sqrt{m}，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是多少？答案的形式为$k \sqrt{m}$，请给出k和m的和。
Answer: 7
Problem: 已知 \(y^{2}=4x\)，过 \(A(-2,3)\) 做抛物线两条切线，交 \(y\) 轴于 \(B, C\) 两点，则 \(\triangle ABC\) 外接圆的方程为 \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)，其中 \(h\)，\(k\) 和 \(r\) 为常数。已知答案的形式为 h = \frac{a}{b}, k = \frac{c}{d}, r^2 = \frac{e}{f}，请计算a+b+c+d+e+f的值。
Answer: 17
Problem: 已知 \(y^{2}=4x\)，过 \(A(-2,3)\) 做抛物线两条切线，交 y 轴于 \(B, C\) 两点，求 \(\triangle ABC\) 的外接圆方程。答案的形式为\((x + \frac{k}{2})^2 + (y - \frac{m}{2})^2 = \frac{n}{p}\)，请给出k + m + n + p的值，其中\(\frac{n}{p}\)为最简分数。
Answer: 15
Problem: 恰有一个实数 $x$ 使得 $x^{3}-a x-1=0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。答案的形式为 \((-∞, \frac{a \sqrt[3]{b}}{c})\)，请给出 \(a+b+c\) 的值。
Answer: 7
Problem: 已知 $m, n$ 最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，求数对 $(m, n)$ 的组数。答案的形式为 $x^y$，其中 $x$ 是一个质数，请给出 $y$ 的值。
Answer: 15
Problem: 设$n$为正整数，找到一组数$a、b$，使得$\frac{b}{a}$为既约分数，并且满足$a=3n+1, b=5n+2$。假设答案的形式为\frac{m*n+k}{n*m+l}，请计算m+k+l的值。
Answer: 8
Problem: 已知四面体 \(D-ABC\) 中，\(AC = BC = AD = BD = 1\)，求 \(D-ABC\) 体积的最大值。答案的形式为\(\frac{k \sqrt{n}}{m}\)，请给出k + n + m的值。
Answer: 32
Problem: 若恰有一个实数 $x$ 使得 $x^{3}-a x-1=0$ 成立, 求常数 $a$ 的取值范围。答案的形式为 \((-∞, \frac{b \sqrt[3]{2}}{c})\)，请给出b+c的值。
Answer: 5
Problem: 将函数 \(y=\sqrt{4+6 x-x^{2}}-2(x \in[0, 6])\) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 \(\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha)\)，得到曲线 \(C\)。若对于每一个旋转角 \(\theta\)，曲线 \(C\) 都是一个函数的图象，则 \(\alpha\) 的最大值为多少？答案的形式为\(\arctan \frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，若两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$，则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1 ,\mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是多少？答案形如 $k \sqrt{m}$，请给出k + m的值。
Answer: 7
Problem: 已知函数 \(f(x)=\sin x \cos x+\sin x+\frac{2}{5} \cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)\) 的最大值与最小值分别是 \(M, m\)，求 \(m\) 的值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k+m\) 的值。
Answer: 7
Problem: 若 $\omega=\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}$, 请找出下列哪个表达式等于 $(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$。答案应为多项式形式 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$，请计算系数a, b, c, d, e的和。
Answer: 1
Problem: 在四面体 \(A B C D\) 中，若 \(A C = B C = A D = B D = 1\)，则求四面体 \(A B C D\) 体积的最大值。原始答案为\(\frac{k \sqrt{m}}{n}\)的形式，请给出k+m+n的值。
Answer: 32
Problem: 已知 2023 可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过 1，有多少种可能？
Answer: 2023
Problem: 复数 $z^{11}+z=1$，求 $z$ 的一个正确的幂次形式。答案应为 $z^k$ 的形式，请给出 $k$ 的值。
Answer: 6
Problem: 已知 2023 可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过 1。有多少种可能？
Answer: 2023
Problem: 正四面体 $A B C D$ 中, 棱长为 $2 \sqrt{2}$. 点 $P$ 满足 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}|=2$, 求 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的最大值。答案形如k + m\sqrt{n}，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
Problem: 从棱长为 1 个单位长度的正方体的底面一顶点 A 出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度。求进行 2 次这样的操作回到 A 的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请计算k + m的值。
Answer: 4
Problem: 圆周上 \(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{7}\) 七个点两两相连。求任选两条线段，这两条线段无公共点的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请计算k+m的值。
Answer: 4
Problem: 设复数 $\omega=\left(\frac{a+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}$ ，其中 $a$ 为实数，若 $\omega$ 的实部为 2 ，求 $\omega$ 的虚部。答案的形式为 $-\frac{k}{m}$，请给出 $k+m$ 的值。
Answer: 5
Problem: 设定点 $A 、 B 、 C 、 D$ 是以 O 点为中心的正四面体的顶点，用 $\sigma$ 表示空间以直线 $O A$ 为轴满足条件 $\sigma(B)=C$ 的旋转，用 $\tau$ 表示空间关于 $O C D$ 所在平面的镜面反射，设 l 为过 $A B$ 中点与 $C D$ 中点的直线，用 $\omega$ 表示空间以 l 为轴的 $180^{\circ}$ 旋转，设 $\sigma \circ \tau$ 表示变换的复合，先作 $\tau$ ，再作 $\sigma$ ，则 $\omega$ 可以表示为什么？答案的形式为 k \circ m \circ n \circ p \circ m \circ n，其中 k、m、n、p 是待定系数，请给出 k + m + n + p 的值。
Answer: 4
Problem: 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, $B_{1}, D_{1}$ 分别为侧棱 $P B, P D$ 的中点。求四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的体积与四棱锥 $P-A B C D$ 的体积之比。假设比值的形式为k:m，请计算k+m的值。
Answer: 5
Problem: 在 \(\triangle ABC\) 中，三边长 \(a, b, c\) 满足 \(a+c=3b\)，求 \(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 设 \(f(x)=\mathrm{e}^{a x}(a>0)\)，过点 \(P(a, 0)\) 且平行于 \(y\) 轴的直线与曲线 \(C: y=f(x)\) 的交点为 \(Q\)，曲线 \(C\) 过点 \(Q\) 的切线交 \(x\) 轴于点 \(R\)，求 \(\triangle P Q R\) 的面积的最小值。答案的形式为 \(\frac{\sqrt{k \mathrm{e}}}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
Problem: 设双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=k(a>2, k>0)$, 椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$, 若 $C_{2}$ 的短轴长与 $C_{1}$ 的实轴长的比值等于 $C_{2}$ 的离心率，则求 $C_{1}$ 在 $C_{2}$ 的一条准线上截得线段的长。
Answer: 4
Problem: 设复数 $z$ 满足 $|z|<1$ 且 $\left|\bar{z}+\frac{1}{z}\right|=\frac{5}{2}$，则 $|z|$ 的值是多少？答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 若 $A+B=\frac{2 \pi}{3}$，求 $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$ 的最小值和最大值。答案分别为\frac{k}{m}和\frac{n}{p}的形式，请计算k+m+n+p的值。
Answer: 8
Problem: 已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \vec{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}=(1,1)$，求 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值。答案应为\frac{k}{m}的形式，请给出k+m的值。
Answer: 7
Problem: $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}, C$ 为抛物线准线与 $x$ 轴的交点，求 $\angle A C B$ 的正切值。答案的形式为 $k\sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 4
Problem: 若 $0<x<\frac{\pi}{2}$, 且 $\frac{\sin ^{4} x}{9}+\frac{\cos ^{4} x}{4}=\frac{1}{13}$, 则 $\tan x$ 的值可以表示为\frac{k}{m}的形式，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 已知 $a=\log _{8} 5, b=\log _{4} 3, c=\frac{2}{3}$. 请将 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 按从大到小的顺序排列，填入相应的顺序数字（1表示最大，3表示最小）。请将答案以不包含空格的三位数整数形式给出。
Answer: 213
Problem: 对于实数 $t$, 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前三项依次为 $2 t, 5 t-1, 6 t+2$, 且该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 求满足不等式 $\left|S_{n}-\frac{1}{65}\right|<1$ 的最大整数 $n$ 的值。
Answer: 2
Problem: 定义在实数集上的函数 \(f(x)\) 满足以下条件：\(f(0) = 0\)，\(f(x) + f(1-x) = 1\)，\(f\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{1}{2} f(x)\)，且当 \(0 \leqslant x_{1} < x_{2} \leqslant 1\) 时，\(f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)\)。求 \(f\left(\frac{1}{2007}\right)\) 的值。答案形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 33
Problem: 已知 $0<k<4$, 直线 $l_{1}: k x-2 y-2 k+$ $8=0$ 和直线 $l_{2}: 2 x+k^{2} y-4 k^{2}-4=0$ 与两坐标轴围成一个四边形。求使这个四边形面积最小的 $k$ 值。原始答案是以\(\frac{a}{b}\)的形式给出的，请给出a+b的值。
Answer: 9
Problem: 已知函数
$$
f(x)=\frac{x^{4}+\left(k^{2}+2 k-4\right) x^{2}+4}{x^{4}+2 x^{2}+4}
$$
的最小值是 0。求非零实数 $k$ 的值。
Answer: -2
Problem: 在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品。从中任取两件, 记其中含正品的个数为随机变量 \(\xi\)。求 \(\xi\) 的数学期望 \(E(\xi)\)。答案应为\(\frac{k}{m}\)的形式，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 13
Problem: 记 \(F(x, y)=(x-y)^{2}+\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{y}\right)^{2}(y \neq 0)\)。求 \(F(x, y)\) 的最小值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 23
Problem: 设正三棱柱 $S-A B C$ 的底面边长为 3，侧棱长为 2。求侧棱 $S A$ 与底面 $A B C$ 所成的角的大小。如果答案是 $x^\circ$，那么求 $x$ 的值。
Answer: 30
Problem: 长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点都在球 $O$ 的球面上，其中，$A A_{1}=1, A B=2 \sqrt{2}, A D=3 \sqrt{3}$。求 $B 、 C$ 两点的球面距离的值，如果答案是 $x\pi$，请给出 $x$ 的值。
Answer: 2
Problem: 函数
$$
f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3 x}
$$
的最大值为多少？答案应为 $k \sqrt{m}$ 的形式，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 5
Problem: 如图 1, 边长为 2 的正方形 $A B C D$ 和正方形 $A B E F$ 所在的面成 $60^{\circ}$ 角， $M 、 N$ 分别是线段 $A C 、 B F$ 上的点, 且 $A M=F N$. 求线段 $M N$ 的长的取值范围的下限和上限的值。答案的形式为 $[a, b]$，请给出 $a + b$ 的值。
Answer: 3
Problem: 在正方体 \(A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) 中，求 \(B C_{1}\) 与截面 \(B B_{1} D_{1} D\) 所成的角。如果答案是 \(\frac{k}{m}\) 的形式，请以 \(\pi\) 为单位给出，并求出 \(k + m\) 的值。
Answer: 7
Problem: 设正三角形 \(\triangle_{1}\) 的面积为 \(S_{1}\)，作 \(\triangle_{1}\) 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形 \(\triangle_{2}\)，面积为 \(S_{2}\)，如此下去作一系列的正三角形 \(\triangle_{3}\), \(\triangle_{4}, \cdots\)，其面积相应为 \(S_{3}, S_{4}, \cdots\)。设 \(S_{1}=1, T_{n} = S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}\)。求 \(\lim_{n \rightarrow +\infty} T_{n}\) 的值。原始答案的形式是\(\frac{m}{n}\)，请给出m+n的值。
Answer: 7
Problem: 设抛物线 \(y^{2}=4x\) 的焦点为 \(F\)，顶点为 \(O\)，\(M\) 是抛物线上的动点。求 \(\frac{|MO|}{|MF|}\) 的最大值。答案的形式为\(\frac{k \sqrt{n}}{m}\)，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
Problem: 在 \(\triangle A B C\) 中, 已知 \(\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}\), \(A C=2, M\) 是 \(A B\) 的中点，将 \(\triangle A C M\) 沿 \(C M\) 翻折，使 \(A 、 B\) 两点间的距离为 \(2 \sqrt{2}\) 。求三棱锥 \(A-B C M\) 的体积 \(V\)。答案的形式为 \(\frac{k \sqrt{m}}{n}\)，请给出k+m+n的值。
Answer: 7
Problem: 从 $[0,10]$ 中任取一个数 $x$, 从 $[0,6]$ 中任取一个数 $y$, 计算使得
$$
|x-5|+|y-3| \leqslant 4
$$
的概率。原始答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 函数 $f(x)$ 对于任意的实数 $x$ 满足 $f(x+3)=-\frac{1}{f(x)}$。若 $f(0)=2$，求 $f(2013)$ 的值。答案的形式为 $-\frac{k}{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 3
Problem: 过椭圆的左焦点 \(F\) 作倾斜角为 \(45^{\circ}\) 的直线 \(l\) 与该椭圆交于 \(A 、 B\) 两点。若 \(|B F|=2|A F|\)，求该椭圆的离心率。答案应为 \(\frac{\sqrt{k}}{m}\) 的形式，请给出 k + m 的值。
Answer: 5
Problem: 已知公差为 \(d\) 的等差数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 满足 \(d>0\),且 \(a_{2}\) 是 \(a_{1} 、 a_{4}\) 的等比中项。记 \(b_{n}=a_{2^{n}}\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right)\),对任意的正整数 \(n\) 均有
\[
\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+\cdots+\frac{1}{b_{n}}<2
\]
求公差 \(d\) 的取值范围。答案的形式为 \(\left[\frac{k}{m},+\infty\right)\)，请给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 3
Problem: 设 $a 、 b \in \mathbf{R}$, 复数 $z=a+4 \mathrm{i}$, 且 $\frac{z}{z+b}=4 \mathrm{i}$.则 $b=$ (填空).
Answer: 17
Problem: 已知二面角 \(\alpha-l-\beta\) 的大小为 \(30^{\circ}\)。求由平面 \(\alpha\) 上的圆在平面 \(\beta\) 上的正射影得到的椭圆的离心率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 3
Problem: 已知正三棱柱 \(P-ABC\) 的底面 \(ABC\) 为正三角形，该正三棱柱的外接球的球心 \(O\) 满足 \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0\)。求二面角 \(A-PB-C\) 的余弦值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 k + m 的值。
Answer: 6
Problem: 记函数 $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{3 x+12}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ 。求 $\frac{M}{m}$ 的值。
Answer: 2
Problem: 已知多项式 $f(x)=x^{12}-x^{6}+1$ 除以 $x^{2}+1$ 的商式为 $q(x)$ ，余式 $r(x)=a x+b$ ，其中， $a 、 b$ 为实数. 求 $b$ 的值。
Answer: 3
Problem: 设方程
$$
1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots-\frac{x^{2018}}{2018}=0
$$
的所有实数根均在区间 $[a, b](a 、 b \in \mathbf{Z}$, $a<b ）$ 内。求 $b-a$ 的最小值。
Answer: 3
Problem: 函数
$$
y=\frac{(\sin x-1)(\cos x-1)}{2+\sin 2 x}(x \in \mathbf{R})
$$
的最大值为多少？
Answer: 1
Problem: 设实数 $a 、 b 、 c$ 满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
a^{2}-b c-8 a+7=0 \\
b^{2}+c^{2}+b c-6 a+6=0
\end{array}\right.
$$
求 $a$ 的取值范围。答案的形式为 $[x, y]$，请给出 $x + y$ 的值。
Answer: 10
Problem: 设实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}-b c-8 a+7=0, \\ b^{2}+c^{2}+b c-6 a+6=0,\end{array}\right.$ 求 $a$ 的取值范围的下限和上限。如果取值范围为 $[m, n]$，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 10
Problem: 设有三个函数，第一个是 $y=\varphi(x)$ ，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线 $x+y=0$ 对称。求第三个函数的表达式。原始答案的形式为 $y = k\varphi(mx)$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: -2
Problem: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^{2}\right\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-a)^{2} \leqslant 1\right\}$, 找出使 $M \bigcap N=N$成立的充要条件中$a$的最小值。请将a的最小值乘以100后给出结果。
Answer: 125
Problem: 设复数 $w=\left(\frac{a+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}$，其中 $a$ 为实数，若 $w$ 的实部为 2，求 $w$ 的虚部。原始答案为-\frac{k}{m}的格式，请给出k+m的值。
Answer: 5
Problem: 在 \(\triangle ABC\) 中, 若三边长 \(a, b, c\) 满足 \(a+c=3b\), 则 \(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}\) 的值为多少？答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 3
Problem: 设 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}(a>0)$. 若过点 $P(a, 0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线与曲线 $C: y=f(x)$ 的交点为 $Q$, 曲线 $C$ 过点 $Q$ 的切线交 $x$ 轴于点 $R$, 求 $\triangle P Q R$ 的面积的最小值。答案的形式为\frac{\sqrt{k \mathrm{e}}}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 4
Problem: 设 $a, b, c$ 在同一平面内的三个单位向量，且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，求 $(c-a) \cdot(c-b)$ 的最大值。原始答案的形式为 $k + \sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 3
Problem: $A, B$ 是抛物线 $y=3-x^{2}$ 上关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点，求 $|A B|$ 的值。答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 5
Problem: 如图, 在棱长为 1 的正四面体 $A B C D$ 中, $G$ 为 $\triangle B C D$ 的重心, $M$ 是线段 $A G$ 的中点, 则三棱锥 $M-B C D$ 的外接球的表面积为 $x\pi$, 其中$x$的值为$\frac{k}{m}$的形式，请计算$k+m$的值。
Answer: 5
Problem: 设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ($a, b, c$ 均为非零整数), 若 $f(a)=a^{3}, f(b)=b^{3}$, 则 $c$ 的值是多少？
Answer: 16
Problem: 设 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 为同一平面内的三个单位向量，且 $a \perp b$。求 $(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}) \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})$ 的最大值。答案的形式为 $k + \sqrt{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 3
Problem: 已知 $A 、 B$ 为抛物线 $y=3-x^{2}$ 上关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点。若 $|A B|$ 的答案形式为 $k \sqrt{m}$，请计算 $k + m$ 的值。
Answer: 5
Problem: 设函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c(a 、 b 、 c$均为非零整数). 若 $f(a)=a^{3}, f(b)=b^{3}$, 则求$c$的值。
Answer: 16
Problem: 如图，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，圆 $O: x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $y$ 轴正半轴交于点 $B$ ，过点 $B$ 的直线与椭圆 $E$ 相切, 且与圆 $O$ 交于另一点 $A$. 若 $\angle A O B=60^{\circ}$, 求椭圆 $E$ 的离心率。答案的形式为\(\frac{\sqrt{m}}{n}\)，请给出m + n的值。
Answer: 6
Problem: 设集合 $A=\left\{n \left\lvert\, \frac{n}{3} \in \mathbf{N}_{+}\right.\right\}, B=\left\{y \mid y=x+4+\sqrt{5-x^{2}}\right\}$ ，求集合 $A \bigcap B$ 中元素的个数。
Answer: 2
Problem: 设 \(x \geqslant y > 0\)，若存在实数 \(a, b\) 满足 \(0 \leqslant a \leqslant x, 0 \leqslant b \leqslant y\)，且 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=x^{2}+b^{2}=y^{2}+a^{2}\)，则 \(\frac{x}{y}\) 的最大值为多少？答案的形式为\(\frac{k \sqrt{n}}{m}\)，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
Problem: 设集合 $A=\left\{n \left\lvert\, \frac{n}{3} \in \mathbf{N}_{+}\right.\right\}$，$B=\left\{y \mid y=x+4+\sqrt{5-x^{2}}\right\}$. 求集合 $A \cap B$ 中元素的个数。
Answer: 2