\[ \frac { \partial Q ( \mathcal { M } ) } { \partial \mathbf { W } } = \frac { N } { 2 } \left( 2 \mathbf { W } ^ { - 1 } - \mathrm { d i a g } ( \mathbf { W } ^ { - 1 } ) \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { K } + \mathbf { K } ^ { T } - \mathrm { d i a g } ( \mathbf { K } ) \right) = 0 \qquad \qquad ( 6 1 ) \]

where \( \mathbf { K } = \mathbf { S } - 2 \mathbf { C } \mathbf { V } ^ { T } + \mathbf { V } \mathbf { R } _ { \mathbf { y } } \mathbf { V } ^ { T } \), so

\[ \mathbf { W } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { N } \frac { \mathbf { K } + \mathbf { K } ^ { T } } { 2 } \qquad \qquad ( 6 2 ) \]

\[ = \frac { 1 } { N } \left( \mathbf { S } _ { b } - \mathbf { V } \mathbf { C } ^ { T } - \mathbf { C } \mathbf { V } ^ { T } + \mathbf { V } \mathbf { R } _ { \mathbf { y } } \mathbf { V } ^ { T } \right) \qquad \qquad ( 6 3 ) \]

\[ = \frac { 1 } { N } \left( \mathbf { S } - \mathbf { V } \mathbf { C } ^ { T } \right) \qquad \qquad ( 6 4 ) \]

Finally, we need to evaluate the expectations \( \mathrm { E } _ { \mathbf { Y } } \left[ \bar { y } _ { i j } \right] \) and \( \mathrm { E } _ { \mathbf { Y } } \left[ \bar { y } _ { i j } \bar { y } _ { i j } ^ { T } \right] \) and compute \( \mathbf { R } _ { \mathbf { y } } \) and \( \mathbf { C } \).

\[ \mathbf { C } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { H _ { i } } \mathbf { F } _ { i j } \mathbf { E } _ { \mathbf { Y } , \mathbf { X } } \left[ \bar { y } _ { i j } \right] ^ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { H _ { i } } \mathbf { F } _ { i j } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { E } _ { \mathbf { Y } } \left[ \mathbf { y } _ { i } \right] } \\ { \mathbf { E } _ { \mathbf { Y } , \mathbf { X } } \left[ \mathbf { x } _ { i j } \right] } \\ 1 \end{array} \right] ^ { T } = \left[ \mathbf { C } _ { \mathbf { y } } \quad \mathbf { C } _ { \mathbf { x } } \quad \mathbf { F } \right] \qquad \qquad ( 6 5 ) \]

Now

\[ \mathrm { E } _ { \mathbf { Y } } \left[ \mathbf { y } _ { i } \right] = \overline { { \mathbf { y } } } _ { i } \qquad \qquad ( 6 6 ) \]

\[ \mathrm { E } _ { \mathbf { Y } , \mathbf { X } } \left[ \mathbf { x } _ { i j } \right] = \mathrm { E } _ { \mathbf { Y } } \left[ \mathbf { x } _ { i j } \right] = \mathbf { L } _ { \mathbf { x } , i } ^ { - 1 } \left( \hat { \zeta } _ { i j } - L _ { i j } \mathbf { J } \overline { { \mathbf { y } } } _ { i } \right) \qquad \qquad ( 6 7 ) \]

\[ \mathbf { C } _ { \mathbf { y } } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { H _ { i } } \mathbf { F } _ { i j } \overline { { \mathbf { y } } } _ { i } ^ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbf { F } _ { i } \overline { { \mathbf { y } } } _ { i } ^ { T } \qquad \qquad ( 6 8 ) \]

\[ \mathbf { C } _ { \mathbf { x } } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { H _ { i } } \mathbf { F } _ { i j } \left( \hat { \zeta } _ { i j } - L _ { i j } \mathbf { J } \overline { { \mathbf { y } } } _ { i } \right) ^ { T } \mathbf { L } _ { \mathbf { x } , i } ^ { - 1 } \qquad \qquad ( 6 9 ) \]

\[ \mathbf { R } _ { \mathbf { y } } = \left[ \begin{array} { c c c } { { \mathbf { R } _ { \mathbf { y } } } } & { { \mathbf { R } _ { \mathbf { y } \mathbf { x } } } } & { { \mathbf { R } _ { \mathbf { y } 1 } } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { x } \mathbf { y } } } } & { { \mathbf { R } _ { \mathbf { x } } } } & { { \mathbf { R } _ { \mathbf { x } 1 } } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { y } 1 } ^ { T } } } & { { \mathbf { R } _ { \mathbf { x } 1 } ^ { T } } } & { { N } } \end{array} \right] \qquad \qquad ( 7 0 ) \]

Now