prop · H303100d21 · 2016-01-01 00:00:00 — Det följer därför, under de förutsättningar som antas i denna promemoria, att medelprognosfelet är en väntevärdesriktig estimator av en negativ bias, (̅) = ( ̂ ). Om denna bias är noll, ( ̂ ) = 0, så är prognoserna väntevärdesriktiga. Då är också det förväntade medelprognosfelet noll, (̅) = 0. Medelprognosfelet kan användas för att pröva prognoserna för bias genom att testa nollhypotesen ingen bias, 0: = 0, mot den alternativa hypotesen bias, 1: 0. ( ) = (̅ ), ̂ där ̂ är den skattade långsiktiga standardavvikelsen (se avsnittet Prognoser och prognosfel). Det följer från CGS att ( )~ (0,1) för stora . Teststatistikan för att testa nollhypotesen = 0 är därför ̃ = (0) = där ̃~ (0,1) om nollhypotesen är sann. Problemet kan formuleras som regressionen av prognosfelen på en , där är en och är en felterm. 0: = 0 ,1: 0 . När det inte finns några förklarande variabler med i regressionen så är minstakvadratskattningen av konstanten lika med medelvärdet av prognosfelen, ̂= ̅, och teststatistikan för att testa nollhypotesen = 0 är densamma som i ekvation (1). I denna promemoria delas prognosfelen in i sådana som tillhör prognoser utfärdade som utfallet respektive året innan utfallet. Under nollhypotesen har dock samtliga prognosfel samma väntevärde, nämligen= 0, och teststatistikan (1) kan därför användas för att testa för bias, givet att HAC-estimatorer (se avsnittet Prognoser och prognosfel) används för att korrigera för heteroskedasticitet. Ett inneboende problem är att detta test ofta är förknippat med låg statistisk styrka, dvs. en låg sannolikhet att förkasta en falsk nollhypotes. Det betyder att även om det finns en bias så är sannolikheten att förkasta den i sådana fall falska nollhypotesen övervägande låg när denna bias är förhållandevis liten. Sannolikheten minskar dessutom när stickprovsstorleken minskar. Med tanke på den låga styrkan bör en hög signifikansnivå väljas vid test för bias, t.ex. 10 procent.13 Se promemorian Utvärdering av makroekonomiska prognoser som publicerades i anslutning till ekonomiska vårproposition för en analytisk beskrivning av testets styrka. Prognosens förväntade absoluta fel (FAF) är ( ̂ ) = |̂ | = | ̂ | = | |, 13 Att höja signifikansnivån är en vanlig åtgärd för att öka styrkan, dvs. öka sannolikheten att förkasta en falsk nollhypotes, vilket minskar sannolikheten för ett typ-II-fel, dvs. sannolikheten att ej förkasta en falsk nollhypotes. Per definition höjs då också sannolikheten för ett typ-I-fel, dvs. sannolikheten att förkasta en sann nollhypotes. Lämplig signifikansnivå sätts i en avvägning mellan dessa sannolikheter. där || är en funktion sådan att, för alla reella tal , | | = { Under de förutsättningar som antas i denna promemoria är medelabsolutfelet (MAF) konsistent för FAF, där betecknar konvergens i sannolikhet när stickprovets storlek går mot oändligheten.14 Eftersom medelabsolutfelet är ett medelvärde följer att konventionell statistisk inferens kan genomföras om det absoluta prognosfelet, ̃= | |, är en kovariansstationär process. Medelabsolutfelet kan motiveras mot en absolut förlustfunktion (se avsnittet Val av precisionsmått), ( ) = | | för någon 0. FAF är då den förväntade förlusten. Prognosens förväntade kvadratiska fel (FKF) är ( ̂ ) = [( ̂ )2] = [( ̂ )2] = (2). Per definition gäller att prognosfelens kan skrivas enligt ( ) = (2) ( )2. Då ( )2 = [ ( ̂)]2 = ( ̂)2 (se avsnittet Medelprognosfel och bias) kan FKF skrivas om enligt ( ̂ ) = (2) = ( ) + ( ̂)2, som summan av variansen av prognosfelen och kvadraten av prognosernas bias. Om prognosen är väntevärdesriktig, dvs. om det förväntade prognosfelet är noll, så är alltså prognosens FKF lika med prognosfelens . 14 Konvergens i sannolikhet betyder här att sannolikheten att MKF och FKF skiljer sig anmärkningsvärt åt går mot noll när stickprovsstorleken går mot oändligheten. Under de förutsättningar som antas i denna promemoria är medelkvadratfelet (MKF) konsistent för FKF, där betecknar konvergens i sannolikhet (se avsnittet Prognosernas medelabsolutfel) när stickprovets storlek går mot oändligheten. Eftersom MKF är ett medelvärde följer att konventionell statistisk inferens kan genomföras om det kvadrerade prognosfelet, ̃= 2, är en kova- Medelkvadratfelet kan motiveras mot valet av en kvadratisk förlustfunktion (se avsnittet Val av precisionsmått), ( ) = 2 för någon 0. FKF är då den förväntade förlusten. Ofta används rotmedelkvadratfelet (RMKF) istället för MKF, Rotmedelkvadratfelet är storleksmässigt jämförbart med medelfelet och medelabsolutfelet, och kan på ett naturligt vis sättas i relation till t.ex. utfallsvariabelns standardavvikelse. Om prognoserna inte har någon bias så konvergerar RMKF i sannolikhet till prognosfelens standardavvikelse. Rangordning efter RMKF är densamma som rangordning efter MKF.