sou · GSB397 · 2005-01-01 00:00:00 — Skenbart är matematik ett auktoritärt ämne, men dess krav på god argumentation och saklighet som ger alla rätt att kontrollera och kritisera kan vara en konkret träning i demokrati. Attityder till matematikämnet skapas huvudsakligen av utbild- ningssystemet. Att levandegöra matematiken och visa på dess relevans för både utbildning och bildning är avgörande . Matematik är en tredje kultur som kan länka samman naturvetenskap och humaniora och en självklar del i ett bildnings- tänkande för vår tid, enligt rapporten. 2.9.1Vad är matematikkunnande? Kunnande i skolmatematik har av tradition beskrivits i termer av kunskaper och färdigheter. Kunskap har inneburit förståelse och memorering av begrepp och teorier. Färdigheter har inneburit träning och automatisering av beräkningar, algoritmer och formel- hantering. I aktuell matematikdidaktisk forskning framstår matematik- kunnande som en mer mångfasetterad och mångdimensionell kompetens. Den innefattar såväl fasta kunskaper som olika förmågor att aktivt hantera och utveckla dessa kunskaper, vilket också delvis återspeglas i våra svenska kursplaner i matematik. En grund till detta mer mångfasetterade kunskapsbegrepp läggs 1992 i förarbetet Skola för bildning med hjälp av de fyra F:en: fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet (SOU 1992:94). är dock kursinnehållet i hög grad en listning av stoff. I mindre grad är det en beskrivning av de kompetenser som kan tänkas uppstå och utvecklas under lärandets gång. Betygskriterierna är också huvudsakligen uttryckta i dimensionerna kunskaper och färdigheter och kvalitetsnivåerna avser i första hand sättet att förstå kursens pensum, och är inte en kvalitetsbedömning av generella kompetenser. I antologin eller döma (, 2002) kommenterar , som var en av de som utformade kunskapsdelen förarbeten: Betygen knöts till ett tänkande om kunskapsnivåer som kvalitativa skillnader i förståelse. En delvis alternativ kunskapssyn har diskuterats bland matematikdidaktiker och matematiker utgående från begreppet kompetens. Detta begrepp innehåller ingredienser av såväl fakta, förståelse, färdighet som förtrogenhet och betonar det intima samspelet mellan olika kunskapskategorier då man utövar matematik. Ett försök att utforma ett sådant kompetensbegrepp för svensk skolmatematik gjordes redan i rapport Räcker kunskaperna i matematik?, där man gav begreppet beteckningen matematisk mognad (, 1999). Denna definierades som en uppsättning kompetenser som inte var knutna till ett givet stoff. Mognadsbegreppet skulle vara tillämpbart i grundskola, gymnasieskola och högskola och den matematiska mognaden skulle kunna öka . I har ett omfattande utvecklingsarbete vad gäller kompetensbeskrivning av matematikkunnande genomförts och resulterat i den så kallade , Kompetencer og matematiklaering. Ideer og inspiration til udvikling af matematik- undervisning i , (, 2002). har också medverkat i bakgrundsarbetet till matematikdel. KOM-gruppen har identifierat åtta generella kompetenser som de menar går att använda för lärandets organisation, målbeskrivning av kunnandet och bedömningar. Kompetenserna är generella men ändå specifika för ämnet matematik. En person har kompetens inom ett område om han/hon i praktiken är i stånd till att föra sig med kraft, överblick, säkerhet och omdömesförmåga inom detta. En matematisk kompetens är en insiktsfull beredskap till målmedvetet handlande i situationer som rymmer ett bestämt slags matematiska En kompetens är inte avgränsad utan snarare en knutpunkt vars beståndsdelar även har samband med andra kompetenser. De åtta kompetenserna är indelade i två huvudtyper: Att kunna fråga och svara i matematik: Att kunna hantera matematikens språk och redskap: Kompetenserna är duala på så sätt att de både innebär att själv kunna producera något och att kunna bedöma, t.ex. någon annans arbete. De är också besläktade med varandra och överlappande. Förmågor som intuition och kreativitet ses som tvärgående kombinationer av kompetenser. Som överordnad finns också förmågan till överblick och omdöme vad gäller matematiken som ämne i relation till natur, samhälle och kultur. Begreppen kan användas normativt t.ex. i kursplaner, deskriptivt i analyser och som metakognitivt stöd för elevens självreflektion och för lärarens utvecklingsarbete av undervisningen. Ett annat exempel på kompetenstänkande finns i Principles and Standards for School Mathematics (, 2000) där matematikkunnandet för hela ungdoms- skolan beskrivs i termer av fem processer och fem innehållsområden, vilka följer eleven hela skolgången. De fem processerna är problemlösningsförmåga, argumentationsförmåga, kommunika- tionsförmåga, förmåga att se samband samt representations- förmåga. Dessa processer är dubbelriktade, dvs. de används dels för att alstra kunskap, vilket påminner om begreppet kunskapande i Skola för bildning, dels att använda kunskap. De fem innehålls- kategorierna är tal och operationer, algebra, geometri, mätning samt dataanalys och sannolikhet. Dessa är i sin tur indelade i sammanlagt sjutton underkategorier som går som stråk genom undervisningen från förskola till årskurs 12. Ytterligare exempel finns i Adding it up: Helping children learn Mathematics (Kilpatrick m.fl., 2001), en omfattande rapport om matematiklärande på grundskolenivå, där kunnandet beskrivs som mathematical proficiency uppdelat i fem kategorier. Med denna term undviker författarna den traditionella dikotomin kunskap – färdighet och de mer eller mindre implicita föreställningar som hänger ihop med dessa termer. På motsvarande sätt skulle man för svenska förhållande kunna tala om kunnande istället för kunskaper och färdigheter eller fakta, förtrogenhet, förståelse, färdighet. Begreppet kunnande har dels en holistisk karaktär, dels en fokusering på kunskaper som en generell förmåga att hantera föränderliga situationer. Kunnande ger också till skillnad från kunskaper associationer till något som uppstår och utvecklas hos varje individ och inte som något slags färdiga bitar som överförs från böcker eller lärare till eleven. I Baskunnande i matematik (Myndigheten för skolutveckling, 2003) finns en analys kring matematiska kompetenser som delvis bygger på ovanstående utvecklingsarbeten. En motsvarande analys finns i rapporten och matematik – ett livsviktigt ämne (, 2002). I den senare diskuteras även vuxnas informella matematik- kunnande, som kan vara inbäddat i yrkespraktik och vardag, och vikten av att värdesätta detta. Se också Ds 2003:23 och Prop. 2000/2001:72. Även i utbildningssammanhang kan ett sådant inbäddat matematikkunnande vara en framgångsrik väg att utveckla matematisk kompetens, t.ex. vid samverkan mellan företrädare för gymnasieskolans Matematik A och karaktärsämnen på yrkes- programmen (m.fl., 2004). Även vad gäller bedömning har diskussionen berikats av en mer mångfasetterad kunskapssyn. Några exempel på utvecklingsarbeten är Analysschema i matematik samt videofilmen kunskap som ger vägledning för bedömning av muntliga aktiviteter i matematik (, 2004; , A., 2003; , 2004d). förs en livlig diskussion kring kunskapsbegreppet på generell nivå i skolsammanhang. Två sådana exempel är de utkomna Kampen om kunskapen från (Ingelstam, 2004) och Vad är kunskap? från (, 2003). Bedömning har av tradition fokus på att mäta uppnådda slut- resultat, dvs. den är summativ. Däremot är den formativa aspekten ofta negligerad, dvs. bedömning för att anpassa undervisningen och stimulera lärandet under arbetets gång. Kortfattat kan man säga att summativ är bedömning av kunskap medan formativ är bedömning för kunskap. I Kunskapsbedömning – hur, vad och varför kan man läsa: Om bedömningen ses som en integrerad del av undervisningen, måste den inte bara mäta, utan också stimulera det lärande som under- visningen syftar till. Såväl svenska som utländska studier har emellertid visat att de mest förekommande proven snarare motverkade än främjade ett förståelseinriktat och kritiskt lärande, framförallt eftersom de fokuserade återgivande av kontextlös kunskap och inte fordrade analys och självständigt tänkande. (, 2003, s. 12) Att utveckla en större variation i bedömningskulturen i matematik är en särskilt angelägen uppgift. I Lusten att lära – med fokus på matematik uttrycks detta på följande sätt: Att den uttalade provkulturen inom matematikundervisningen, både till form och innehåll, påverkar elevernas syn på kunskap och lärande i mycket hög grad är uppenbart. Det som kommer på provet är också det som är värt att lära sig och ägna uppmärksamhet åt. Detta var uppenbart vid granskningen, är väl belagt i forskning och är närmast ett trivialt påstående. Det är därför angeläget att utforma fler och vidare former för utvärdering som lyfter fram olika kvalitéer i elevers lärande. (, 2003b, s. 34) I rapporten ges bl.a. följande förslag på hur utvärdering/bedömning bör förändras: gemensamma samtal om begrepp och problemlösning för att stärka självtillit och självvärdering allsidig utvärdering som lyfter fram olika kvalitéer i lärandet, vilket innebär fler instrument än skriftliga poängsatta prov adekvat återkoppling till eleverna så att lärande och förståelse gynnas tydliga mål och syften med studierna, för att eleverna ska kunna få grepp om sin kunskapsutveckling och få ökad tillit till sin förmåga större möjlighet för eleverna till inflytande och påverkan på studierna Exempel på variation av bedömningen kan vara att analysera elevarbeten, att bedöma laborationer, grupparbeten, muntlig kommunikation samt stärka elevens förmåga till självvärdering. En större allsidighet i bedömningens innehåll och form ökar möjlig- heten att också fånga upp och stimulera värdefulla matematiska kompetenser och förmågor som ofta formuleras i kursernas mål att sträva mot. I arbetet med de nationella proven framhålls att det gäller att sträva mot att göra det väsentliga bedömbart och inte det enkelt mätbara till det väsentligaste (, A., 2003, s. 63). Se också (2004) och (). När det gäller och gymnasieskolans kursplaner har stort fokus hamnat på mål att uppnå och betygskriterier (, 2003b). Sambandet mellan dessa och de mer övergripande målen att sträva mot har inte uppmärksammats; den traditionella bedömningskulturen och kunskapssynen i matematik har tagit överhanden. Skillnaden mellan de avsedda och de genomförda kursplanerna är stor. Den rikare kunskapssyn som beskrevs i Skola för bildning (SOU 1992:94) har inte slagit igenom i klassrummen och i den lokala bedömningskulturen. Sambandet mellan kunskapssyn, bedömning och innehåll är komplext. Bedömning meddelar ofta i klartext vad som egentligen värdesätts av utbildningens innehåll och avslöjar också vilken kunskapssyn som är rådande. Kunskapssyn kan å andra sidan styra utformningen av innehållet i t.ex. kursplaner och därmed indirekt utformningen av prov. Ett kursinnehåll kan även tvinga fram vissa utvärderingsformer och stimulera en ny kunskapssyn både hos läraren och den lärande. Delegationens arbetsgrupper har vissa gemensamma perspektiv på hur man vill se en utveckling av matematikinnehållet. Här följer en översikt: –En förhärskande tradition är att de tidiga åren ska fyllas med räkning för att övergå till, åtminstone för några, till matematik. Mot detta ställer vi insikten att redan mycket små barn kan få intuitiva föreställningar om matematikens stora idéer, som t.ex. symmetri, ordning, symboler, samband, förändring och oändlighet, och att dessa idéer lägger en gedigen och inspirerande grund för fortsatt matematiklärande. I förskolans läroplan uttrycks också att barn i lek och vardag skall utveckla sådana intuitioner, men tyvärr verkar risken vara överhängande att förskolan istället skolifieras (i sämsta mening) och ersätts av ett enformigt räkn- ande. Detta kan rentav leda till senare inlärningsproblem (Kärrby, 1991). Kvalitativ kunskap om matematikens stora idéer bör istället ledsaga den studerande från förskola till högskola (Devlin, 1997). –Matematikinnehållet skall inte enbart gälla kunskaper i matematik utan också kunskaper om matematik. Kunskaper om matematikens roll i teknik och samhälle i olika tillämpningar, ett historiskt perspektiv samt anknytningar till konst och humaniora ger ämnet liv, mening och karaktär. Här finns en stor bildningspotential, som sällan utnyttjas (, 2004; , 2004). –Matematikinnehållet bör vara så öppet så att det underlättar tillämp- ningar i andra ämnen och i vald yrkesutbildning, vilket ger ämnet mål och mening. Detta gäller i hög grad för gymnasieskolans A-kurs samt högskolans professionsutbildningar, men också . Matematiken hamnar alltför ofta utanför samarbetsprojekt med intressanta teman, vilket förstärker föreställningar om att det bara är ett skolämne. Innehållet i kurserna behöver också ses över så att det verkligen är relevant för tillämpningar och yrkesinriktning (m.fl., 2004). –Laborativt material och tekniska hjälpmedel, som grafritande räknare och datorer, kan stärka begreppsutveckling och problem- lösningsförmåga om de används på rätt sätt (, 2002). Om de däremot införs isolerat och inte som en integrerad del av undervisningen kan de ställa till skada eller i alla fall vara verkningslösa. Hjälpmedelskompetensen måste uppmärksammas mer på alla nivåer, inte minst i högskolans matematikkurser (se t.ex. , , 2004; , 1999). –När det gäller bättre förberedelser för högre matematikintensiva studier bör en större tonvikt läggas på kompetenser (Högskole- verket, 1999; , 2002; , 2003). Inom områden som algebra och taluppfattning behövs särskild förstärkning (, 2002). Alla arbetsgrupper betonar att övergångarna mellan olika stadier och skolformer kräver både helhetssyn och samverkan då det gäller utformning av kursinnehåll och produktion av kommentarmaterial. 2.9.4Ett paradigmskifte på gång i matematiken? Svenska matematiker diskuterar innehållsfrågor på ett mycket livaktigt sätt. Några hävdar att det rentav är ett paradigmskifte på gång inom den matematiska vetenskapen, vilket också skulle revolutionera undervisningen på högskolenivå och kanske hela utbildningssystemet. Vissa trender kan man urskilja inom matematiken, t.ex. att biologin i högre grad än fysiken fungerar som inspirationskälla samt att stokastiken slagit igenom vid matematisk modellering. Andra tendenser är att den diskreta matematiken börjar bli en sammanhängande teoribildning som kan konkurrera med analysen och att cellulära automater snart kanske kan konkurrera ut differentialekvationerna som modelleringsverktyg. Vår tids kraftigt ökade tillgång på datorer har också gjort att numeriken blir allt väsentligare, och att klassiska analytiska metoder kan komma att marginaliseras. Se (2004), m.fl. (2004) samt (2001) och Kiselman & (1996). I detta kapitel beskrivs kortfattat delegationens arbetssätt. I linje med direktiven har arbetet bedrivits med stor öppenhet för att stimulera till debatt och diskussion om hur vi kan stärka matematikämnet och matematikundervisningen i hela utbildnings- systemet. Det har skett med stöd av den egna hemsidan och i form av ett stort antal konferenser, möten, intervjuer, samråd och hearingar. Delegationens sju arbetsgrupper har tagit fram ett omfattande underlag med analyser och åtgärdsförslag inom respek- tive domän. Kompletterande studier har genomförts inom några områden. Delegationen upprättade tidigt en egen hemsida med information om direktiv, ledamöter, sekretariat och arbetsgrupper och om de samråd, möten och konferenser som vi anordnat och medverkat i (). För att underlätta för elever, studenter, lärare, forskare, föräldrar och andra intresserade att påverka arbetet har vi på hemsidan under rubriken inbjudit till att lämna synpunkter och förslag, underlag, tankar och idéer om hur intresset för matematikämnet kan utvecklas och hur undervisningen kan förbättras. Via hemsidan har man kunnat kontakta delegationens ordförande, ledamöter, sekretariat och arbetsgrupper. Man har också kunnat anmäla sig till en särskild åsiktspanel. Många referenspersoner har knutits till vårt arbete via denna kanal. Vi har informerat löpande om aktuella, såväl nationella som internationella, rapporter, artiklar, utredningar, frågor, diskussioner och debatter av intresse för vårt uppdrag. Möjlighet att direkt kommentera och lämna synpunkter på innehållet har funnits. Matematikundervisningen har uppmärksammats och diskuterats intensivt vårt arbete pågått. Delegationen och dess öppna arbetsformer kan ha bidragit till detta. En genomgång visar ett omfattande flöde av information och nyheter från verk och myndigheter, organisationer och föreningar samt från tidningar, tidskrifter, böcker, radio, TV och Internet. Detta informations- flöde har varit ett viktigt underlag för vårt arbete. Under arbetets gång har vi successivt vidgat våra kontakter med organisationer, föreningar och miljöer som på olika sätt har ansvar för eller intresse av att stödja eller medverka till en förbättrad matematikundervisning. Dessa kontakter har varit ett viktigt underlag för ställningstaganden och förslag till organisation och infrastruktur med ansvarsfördelning för genomförande och upp- följning av ett samordnat långsiktigt och uthålligt förbättrings- arbete. Som vi nämnt i kapitel 2 har delegationens arbete och haft tyngdpunkten i sju arbets- grupper: Förskola–skolår 2, Skolår 1–8, Skolår 7–12, Skolår 11– högskola, Vuxenutbildning och folkbildning, Lärarutbildning/ kompetensutveckling samt Arbetsliv/samhälle/demokrati/bildning. De fem första grupperna formades efter uppdragets olika mål- grupper så att de omfattade övergångar mellan olika skolformer/motsvarande medan de övriga två är tematiska och berör hela utbildningssystemet. Delegationen har strävat efter att ge uppdragen i arbetsgrupperna till personer med erkänd kompetens inom respektive domän. Synpunkter på arbetsgruppernas identifierade problemområden med förslag till åtgärder har löpande lämnats vid delegationsmöten och regionala konferenser. Vid i 22–presenterade arbetsgrupperna sina underlag med preliminära förslag. Konferensen samlade drygt 3 000 deltagare och ca 600 valde att ta del av gruppernas redovisningar, ca 200 att delta i de efterföljande diskussionspassen. Sex av arbetsgrupperna slut- redovisade sina analyser och förslag för delegationen . Den sjunde gruppen, Arbetsliv/samhälle/demokrati/bild- ning, som påbörjade sitt arbete senare än de övriga, lämnade sina analyser och förslag . arbetsgruppernas medlemmar och referenspersoner finns i bilaga 3. Ledamöter från delegationen har medverkat i gruppernas arbete. För att få en bättre bild av matematiklärarnas utbildning har vi med hjälp av SCB och genomfört studier av ämneskompe- inom matematik/matematikdidaktik. Studien för grund- skolan är en del i en större undersökning som genomförts av . Gymnasiestudien som också omfattade en enkät om bl.a. kompetensutveckling har gjorts av SCB på uppdrag av delega- tionen. Vi har också undersökt antalet elever i gymnasieskolan och antalet studenter i högskolan som läser matematik, i vilken mån antalet personer som läser de frivilliga och valfria matematik- kurserna i gymnasieskolan och Komvux passar ihop med den volymmässiga fördelningen av högskoleutbildningen på olika områden – och eventuella trender i ovanstående avseenden . Dessutom har vi genomfört en enkätundersökning om vuxnas attityder och föreställningar till matematikämnet och skolmatematiken. Flera mindre studier har också underhand genomförts av de olika arbetsgrupperna. genomförde delegationen fyra regionala konferenser, i , , och . Där presen- terades direktiven, pågående och planerat arbete. Arbetsgrupperna beskrev kort sitt arbete med förslag till insatser som kommit fram i respektive grupp. Deltagarna fick möjlighet att i gruppvisa diskus- sioner reagera på innehållet och själva komma med förslag som ansågs särskilt angelägna att lyfta fram i handlingsplanen. På de olika orterna gavs också möjlighet för allmänheten att träffa delegation och arbetsgrupper. Förslag och reaktioner från de ca 1 000 personer som besökte konferenserna har varit ett viktigt underlag för delegationens arbete. och dess sekretariat har medverkat i ett stort antal konferenser, seminarier och möten runt om i landet för att informera om och be om underlag för arbetet med uppdraget. har vi tagit del av och diskuterat synpunkter och prelimi- nära förslag till olika insatser. har i linje med direktiven organiserat och genomfört samråd och hearingar, med olika organisationer och myndigheter (se bilaga 4). Syftet har varit att informera om delega- tionens uppdrag och arbete, samt att få information om underlag, utredningsmateriel och projekt angelägna för delegationen att beakta i sitt analysarbete. Vi har också bett om förslag till insatser att ta upp i handlingsplanen och diskuterat medverkan vid genom- förande och uppföljning av de kommande förslagen. Några hearingar har genomförts i samband med inbjudningar till och information vid konferenser anordnade av andra arrangörer, några har organiserats av delegationen efter inbjudningar till särskilda grupper. 3.4.3Det matematiska kulturarvet på I samarbete med anordnade delegationen ett offentligt seminarium på i under . är ett mångårigt samarbetsprojekt mellan och . Syftet med seminariet var bland annat att visa på matematikens betydelse som brobyggare mellan den humanistiska och den naturvetenskapliga kulturen. Ett annat syfte var att skapa ett offentligt intresse för vårt arbete och för kommande betänkande. Flera ledamöter i delegationen medverkade i programmet. Seminariet följdes dagen därpå av fyra workshops arrangerade av arbetsgruppen Arbetsliv/samhälle/demokrati/bild- ning. Dessa samlade ett sextiotal aktivt medverkande med skilda professioner. De medverkande hade i förväg fått reflektera över ett antal texter, däribland direktiven till delegationen, och livliga diskussioner följde under gruppens fyra tema; matematiken roll för arbetsliv, samhälle, demokrati och bildning. Den intensiva dagen sammanfattades i en dokumentation med bakgrundsmaterial och konkreta förslag till delegationen. Som vi också nämnt i kap. 2 anordnade Nationellt centrum för matematikutbildning, i samarbete med en internationell forskarkonferens om lärande och undervisning i matematik. Inbjudan till konferensen innehöll valda teman utifrån och centrumets rapportering till regeringen i olika rapporter: Confidence and interest in learning mathematics and in the use of mathematics. What does it mean to know mathematics and what mathe- is worth knowing. Value and use of representations for different purposes and contexts. Transitions between related subject areas and school levels. Teaching aids and artefacts supporting learning mathematics. Learning and teaching in socially different contexts, ethnicity, language and gender issues. Deltagarna ombads bidra med artiklar med relevans för klassrums- arbete samt med förslag till aktiviteter eller undervisningsinitiativ som svarade mot den forskning som beskrevs. Sammanlagt presenterades och diskuterades 39 bidrag från 14 länder. Utifrån synpunkter och förslag från seminarierna har författarna bearbetat sina texter. I slutet av varje session fick deltagarna i uppgift att ge förslag till : As a result of today's presenta- tions, I make the following recommendation for improving Swedish mathematics education. Vid konferensen fick deltagarna i grupp- diskussioner under avslutningsdagen följande fråga från : What does international research tell us in about mathematics teaching and learning?. En samman- fattning av svaren på frågan finns i kap. 2. Resultatet från konferensen presenterades i boken on Learning and Teaching Mathematics (m.fl., 2004) vid The 10th , ICME 10 i . 3.4.5Studiebesök i , och En resa till gjordes bl.a. av det skälet att vid senaste PISA-undersökningen lyckats mycket bra i matematik, betydligt bättre än . Vid besöket i Åbo fick vi bl.a. ta del av forskning kring lärares uppfattningar av matematik och förutsättningar för att åstadkomma förändringar i undervisningens praktik.