sou · GRB384d2 · 2004-01-01 00:00:00 — För båda obligationerna är räntekänsligheten , vilket innebär en skattning av ränterisken på 2,0 för de utan kreditrisk och 0,4 för de med kreditrisk. Skattningen av marknadsrisk är räntekänslig, vilket innebär att aktiers räntekänslighet blir och fastigheters . Deras ränterisk beräknas till 1,3 respektive 0,3. Ränterisken beräknas genom differensen mellan åtagandenas (6,7) och skuldtäckningstillgångarnas räntekänslighet (4,0) till 2,7. Tabell 4: Beräkning av ränterisk Obligationer m. k.r. Obligationer u. k.r. Resultatet av beräkningarna summeras i tabell 5. Säkerhetsavdraget beräknas genom att exponeringen för varje riskfaktor kvadreras, varefter dras kvadratroten ur summan av de kvadrerade riskerna. Bilaga 5 SOU 2003:84 Tabell 5: Summering av beräkning av säkerhetsavdraget Avslutningsvis kan skuldtäckningstestet genomföras. Detta beskrivs i tabell 6. Bolaget genomförde skuldtäckningstestet med skuldtäckningstillgångar om 120 och hade realistiskt beräknade avsättningar om 80. Bolaget klarar av ett säkerhetsavdrag om 40 vilket är bolagets tillgängliga marginal. Säkerhetsavdraget beräknades till 12,3 och bolaget klarar följaktligen skuldtäckningstestet. Om den minsta möjliga mängden skuldtäckningstillgångar efter- söks kan mängden skuldtäckningstillgångar i testet reduceras till den punkt där testet precis . Tabell 6: Beskrivning av skuldtäckningstestet I tabell 6 beskrivs också bolagets risksammansättning. Bolaget har försäkringsrisker om 10, finansiell risk om 6,6 (kvadratroten av 43,5) och matchningsrisk om 2,7. Beräkning av diversifierbar försäkringsrisk Utredningen har föreslagit att diversifierbar försäkringsrisk (avvikelse- risk) kan beräknas som 2,5 standardavvikelser under antagande om att samtliga försäkringsåtaganden är oberoende. DFÖ = 2.5 V[C] skadekostnad för portföljen av försäkringsåtaganden skadekostnad för ett försäkringsåtagande skadeintensitet skadekostnadsfördelningens väntevärde skadekostnadsfördelningens antalet (tillräckligt) likafördelade risker Variansoperatorn Variansen för avvikelserisken för portföljen av försäkringsavtal beräknas som summan av de individuella varianserna. V[C] = V Ci =V[Ci ]+ 2 COV[Ci ; C j ] =V[Ci ]+ 0 För tillräckligt homogena bestånd (lika fördelade risker) kan följande approximation (kollektiv beräkning) användas. V[C] = V n Ci nC Med skadeförsäkring avses här en försäkrad risk som är av den arten att flera skador kan inträffa . Låt CT vara ett försäkringsavtal som betalar ut den stokastiska skadeersättningen X(t) för varje skada som inträffar inom den återstående försäkrings- avtalstiden T. Låt X(t) vara den stokastiska skadekostnaden vid tiden t för en inträffad skada enligt ett försäkringsavtal. Antag att X(t) kan upp- delas i en tidsoberoende komponent och en kapitalvärdesfaktor. X (t) = ert X (0) = ert X Antag att skadekostnaden för X har momenten: E[X ] = m V[X ] = 2 För skador med ersättningar beroende av ett stokastiskt tillstånd ges beräkningsanvisningar för väntevärde och . Antag att det skattade väntevärdet och variansen är riktiga. Antag vidare att skador inträffar med intensiteten oberoende av X. Antalet skador följer då en Poisson-process. Den stokastiska skadekostnaden, väntevärde och ges av: CT = X i (t)I{t < T} E[CT ] = T vt E[X (t)]dt = E[X ]T vt ert dt = ma V[CT ] = (aT| r )2 (m2 + 2 ) = (aT| r )2 E 2 [X ] Ovan har utnyttjats att: (m2 + 2 ) = E[X 2 ] För korta återstående avtalstider upp till kan lämpligen variansen approximeras med: V[CT ] = (aT| r )2 (m2 + 2 ) T 2 (m2 + 2 ) (m2 + 2 ) = E[X 2 ] under presumtionen att avtalet förlängs vid nästa huvudförfallodag. Endast i det fallet avtalet med säkerhet upphör vid avtalstidens utgång bör hänsyn tas till den kortare avtalstiden. Denna beräkning bör vara huvudregel för ettårig skadeförsäkring. För längre återstående avtalstider än bör rimlig hänsyn tas till avtalstidens längd i variansberäkningen. En begränsande approximation för tillräckligt konstanta skadeintensiteter ges av den ettåriga variansberäkningen ovan multiplicerad med den återstående avtals- tiden i kvadrat. I de fall skillnaden mellan diskonteringsräntan och skadekostnads- ökningen är liten, och speciellt när diskonteringsräntan är högre än den förväntade kostnadsökningen, approximeras lämpligen variansen genom att det antas att de två räntorna är lika stora. Beräkningen förutsätter således en uppfattning om I premieberäkningen är antaganden om de två förra en nödvändig- het och antagande om en normal konsekvens av antagande om skadekostnadsfördelning. I erfarenhet (historiskt skadeutfall) kan skadeintensiteten skattas från antal skador per årsrisk. Medelskada och stickprovsvarians är omedelbara storheter i ett skaderegister. Förutsättningarna för den praktiska beräkningen är därmed väl tillgodosedda. För lång skade- försäkring kan antaganden om skadekostnadsinflation och diskon- teringsränta behöva göras. Med livförsäkring avses här försäkringsavtal där ersättningar är betingade av ett tillstånd (t.ex. överlevnad, fortsatt arbetsoförmåga, arbetslöshet) eller övergången från ett tillstånd till ett annat till- stånd och där övergången är irreversibel eller kan betraktas som irreversibel. För vissa försäkringsavtal kvarstår försäkringsrisk efter skadehändelse på grund av att en periodisk ersättning betingad av ett visst stokastiskt tillstånd vidtar. Försäkringsavtal med sådana periodiska ersättningar och sådana inträffade och pågående skador värderas enligt följande. Låt den stokastiska variabeln T vara avvecklingstidpunkten från ett väl definierat tillstånd för en försäkrad och F(x) fördelnings- funktionen för tillhörande avvecklingsintensitet m enligt: µ (u)du F(x) = P(T x) = 1 e 0 Låt nuvärdet av framtida betalningar definieras av ränteintensitetenenligt: vx = e x D(x) = vx (1 F(x)) N(x) = D(u)du M (x) = D(x) N(x) D' (x) = v2 x (1 F(x)) N' (x) = D' (u)du M' (x) = D' (x) N' (x) 1.4.2Senarelagd engångsutbetalning betingad på överlevnad Låt Ex(t) vara det stokastiska kapitalvärdet av en betalning om 1 som inträffar vid tiden t om avveckling inte skett före t sett från tiden 0. Ex (t) = vt I{Tx > t} E[Ex (t)] = D(x + t) D(x) E2 [Ex (t)] = D' (x + t) vt D(x + t) D(x) D' (x) V[Ex (t)] =E [Ex (t)] E[Ex (t)]2 = D(x + t) D(x + t) D(x) D(x) 1.4.3Engångsutbetalning betingad av avveckling (död) Låt Ax(s,t) vara det stokastiska kapitalvärdet av en betalning om 1 som inträffar vid avveckling (t.ex. död, invaliditet, arbetslöshet) mellan tiden s och t, s Ax (s, t) = v X I{s < Tx < t} E[Ax (s, t)] = M (x + s) M (x + t) D(x) 2 [ ] = M ' (x + s) M ' (x + t) E Ax (s, t) D' (x) V[Ax (s, t)] =E2 [Ax (s, t)] E[Ax (s, t)]2 Följande approximation kan användas för korta avtalstider, särskilt om s=0 och t<=1. Den är väl tillämpbar på korta dödsfalls- försäkringar som t.ex. gruppliv. Ax (0,1) = v X I{Tx < 1} I{Tx < 1} E[Ax (0,1)] = Fx (1) = qx E2 [Ax (0,1)] = qx V[Ax (0,1)] =E2 [Ax (s, t)] E[Ax (s, t)]2 = qx qx2 = qx (1 qx ) För små qx kan ytterligare förenkling erhållas genom följande approximation som begränsar den skattade variansen: V[Ax (0,1)] = qx (1 qx ) < qx vilken ofta lämpar sig för grupplivförsäkringar. Låt Ux(s,t) vara en s år uppskjuten kontinuerlig utbetalning om 1 under t-s år, s Ax (s, t) = Ex (s) Ex (t) U x (s, t) U x (s, t) = vu I{u < Tx E[U x (s, t)] = N(x + s) N( x + t) = ax (s, t) D(x) [U x (s, t)] = N' ( x + s) N' ( x + t) (s, t) a'x (s, t)) = ax (s, t) D' (x) V[U x (s, t)] =E2 [U x (s, t)] E[U x (s, t)]2 För denna klass av åtaganden som t.ex. pensioner, sjukräntor, trafiklivräntor, arbetslöshet m.m. blir formelapparaten tämligen otrevlig. Den blir ytterligare komplicerad i det fall avtalet innefattar avtal om löpande nominell bestämd premie. Om den avtalade premien är P och det avtalade beloppet är B erhålles för överlevelseräntans andramoment: E[U x 2 (s, t)]= [ax (0, s) a' x (0, s)] (1 e s )ax (s, t) + [e s ax (s, t) a' x (s, t)] Någon typ av approximationer synes därför nödvändiga för försäkringsavtal som antingen i form av premie eller ersättning innehåller överlevelseräntor. Betalningar både vid överlevelse och avveckling Betrakta den sammansatta kapitalförsäkringen Gx(t) som utbetalar 1 vid t eller vid dödsfall . Gx (t) = Ax (0, t) + Ex (t) = 1 U x (s, t) E[Gx (t)] = 1 E[U x (s, t)] V[Gx (t)] = 2V[U x (s, t)] Betalningar betingade av kombinationer av oberoende överlevelser För t.ex. livförsäkring på två liv går alltid de stokastiska kapital- värdena att uttrycka som linjärkombinationer av enskilda obero- ende överlevelser. Följande är beräkningar brutto utan riskreduktion för återförsäkring. Den beräknade exponeringen för diversifierbar försäkringsrisk är ställd mot skadekostnaden, som ett mått på riskpremieintäkten, för att illustrera diversifieringseffekten i förhållande till dagens solvens- marginal. skadekostnad (msek ) medelskada (kr) (stickprovsvarians)½ Beräkningsillustration 2,5std/skadekostnad 1.6Generella metoder vid beräkning av Vid skattning av den verkliga variansen ska realistiska antaganden användas snarare än konservativa eller medvetet försiktiga antaganden. Speciellt gäller att medvetet inbyggda marginaler i premieberäkningen bör omprövas. Varianser är väntevärden E[f(X)]. I praktiska beräkningar används den skattade fördelningen, dvs. med skattade antaganden E[f(^X)]. Varianser beräknas enklast genom sambandet: V[X ] = E[(X E[ X ])2 ]= E2 [X ] (E[ X ])2 Beräkna varianser för betalningar om 1 och utnyttja: V[ X ] = 2 V[X ] Det är inte nödvändigt att beräkna varianser med samma precision som eller avsättningar. Formelapparaten kan förenklas avsevärt med goda approximationer. Periodiska ersättningar som i verkligheten är diskreta, t.ex. en gång , kvartal eller år, approximeras lämpligen med kontinuerliga betalningsströmmar. Kollektiv beräkning är motiverad för homogena försäkringsbestånd (dvs. när flera försäkringsavtal är tillräckligt lika) och en individuell beräkning knappast skulle tillföra ytterligare noggrannhet. Ytterligare exempel på rimliga approximationer ges i det följande. Vi skiljer här på individuell återförsäkring (sk. fakultativa/excedent) som avser en riskbegränsning eller riskdelning av utfallet från ett enskilt försäkringsavtal och portföljåterförsäkring som avser utfallet på en portfölj eller delportfölj av försäkringsavtal. Hänsyn till individuell återförsäkring av enskilda avtal tas direkt vid beräkning av variansen för varje avtal. Återförsäkring avseende en portfölj av avtal eller en delportfölj av avtal påverkar variansen för portföljen av avtal. Beräkna först väntevärde och för portföljen av försäkringsavtal med hänsyn till individuell återförsäkring men utan hänsyn till portfölj- återförsäkring. En proportionell återförsäkring påverkar väntevärde och enkelt. Riskreduktionen på grund av stop-loss eller excess of loss återförsäkring beräknas under antagande om normal- fördelning.