sou · GRB384d2 · 2004-01-01 00:00:00 — De aktuariella modellerna har försäkringsbolagets perspektiv och hanterar frågor om t.ex. premiesättning, beräkning av försäkrings- tekniska avsättningar och vilket riskkapital som behövs i bolaget. Modellerna behöver uppskatta risk i absoluta tal vilket gör diversifierbar risk relevant, eftersom den ökar när antalet risker läggs till en portfölj. Den sammansatta fördelningen för en portfölj av försäkringsavtal uppskattas för att fastställa säkerhetsmarginaler i t.ex. premierna. Resultatet av värderingen blir generellt sett olika 1 För en utförligare diskussion, se Embrecht, P., 1996, Actuarial versus Financial Pricing of Insurance, , . beroende på om ett enskilt avtal betraktas isolerat eller som en del i en mängd – portfölj – försäkringsavtal, eftersom den diversifierbara risken har betydelse. Skillnaderna mellan de finansiella och aktuariella modellerna kan förklaras av att en investerare blir belönad för den relativa avkastningen i förhållande till marknadsportföljen. Försäkringsbolaget har sin överlevnad som huvudintresse och måste ha kontroll på risken i absoluta tal. Låt den stokastiska variabeln C vara de framtida försäkrings- ersättningarna på grund av försäkringsavtal. Ofta är det naturliga valet för att bestämma värdet av ett osäkert ekonomiskt utfall, definierad som en stokastisk variabel C på ett sannolikhetsrum ( , F, P), principen om väntevärde. Väntevärdet, E[C], är summan av alla möjliga utfall sammanvägda med respektive sannolikhet för att utfallet inträffar. Det motsvarar det genomsnittliga ekonomiska utfallet om utfallet kunde upprepas oändligt . Sanno- likheterna ges av det personliga, eller subjektiva, sannolikhetsmåttet P. Att sannolikhetsmåttet P är subjektivt har starka implikationer. En värdering av C med väntevärde leder i samband med bestämmande av premien till den s.k. nettopremien P = E[C] och i fråga om värdering av gjorda åtaganden till vad utredningen definierar som en realistisk värdering. Principen är olämplig som en premieprincip, eftersom en riskavert försäkringstagare kan förväntas vara beredd att betala mer än väntevärdet och ändå göra en nyttovinst. bör en likaledes riskavert investerare kräva mer än väntevärdet som premie för att ställa kapital till förfogande i ett försäkringssystem. Att endast utgå ifrån väntevärdet synes därför olämpligt i den premiedefinierande ekvationen. 1.2.2Väntevärde med medveten säkerhetsmarginal Medvetna riskmarginaler kan skapas på många vis. principer som utgår från väntevärdet innefattar, för någon belastning>0 P = (1 + )E[C] P = E[C]+ V[C] P = E[C] + V[C] P = E[C]+ E[(C E[C])+ ] För dessa värderingsprinciper är det möjligt, givet sannolikhets- måttet P, att uppskatta t.ex. ruinsannolikheter för en given tidsperiod. Ofta bestäms belastningen, och därmed premien, genom ett krav på en viss högsta ruinsannolikhet från den under- liggande riskprocessen över . Även värderingen av en portfölj av åtaganden kan nyttja motsvarande principer. Den linjära belastningen svarar nära mot s.k. faktormodeller, där faktorer fastställs för olika riskkategorier. Om faktormodellerna skall vara tillräckligt beskrivande måste faktorerna fastställas för varje klass av åtagande med olika risk. För att uppskatta effekten av diversifiering måste faktorerna dessutom relateras till antalet risker. Den linjära belastningen är dock enkel att tillämpa eftersom endast väntevärdet behöver uppskattas. Varians- och standardavvikelseprinciperna förutsätter en upp- skattning av spridningen i utfallen runt det förväntade. De mäter därför graden av diversifiering i en portfölj av försäkringsavtal. De blir mer komplexa att uppskatta. kan dock både väntevärde och skattas från erfarenhet, utan antagande om fördelningsfunktion. De är därmed förhållandevis enkla att hantera. De följande mer avancerade värderingsprinciperna som förutsätter kännedom om fördelningen och i vissa fall kräver att ytterligare antaganden görs är däremot mer komplicerade. Genom att introducera den subjektiva nyttofunktionen u i premie- ekvationen u(x P) = E[u(x C)] erhålls för konkava nyttofunktioner en värdering av åtagandet som är större än väntevärdet av utfallet. Det följer av olikhet. Premien i ett försäkringsbolag kan bestämmas på detta vis men nyttoprincipen är framförallt intressant ur försäkringstagarens perspek- tiv. Riskaverta försäkringstagare har en strikt konkav nyttofunktion och kan därför acceptera en premie för försäkringsavtalet som är högre än väntevärdet av försäkringsersättningarna eftersom de ändå gör en nyttovinst. Hur stor den resulterande riskmarginalen blir är förutom fördelningsfunktionen beroende av nyttofunktionens utseende. Med nyttofunktionen introduceras ytterligare ett subjektivt val utöver sannolikhetsmåttet. Den intuitiva förståelsen av resultatet riskerar att bli lidande, jämförelse mellan bolag och verifiering blir svårare varför principen kanske lämpar sig sämre för beräkning av avsättningar. En viktig värderingsprincip i samband med premiesättning erhålls för den nyttofunktion som representerar en absolut aversion mot risk. Denna nyttofunktion leder till en värderings- princip för t.ex. premien (eller värdet av en portfölj av försäkrings- avtal) som ges av P = 1 ln E[e C ] En ur matematisk synvinkel viktig värderingsprincip, men kanske ur praktisk synpunkt akademisk återvändsgränd, ges av den s.k. Esscher-principen E[Ce C E[e C ] för något lämpligt >0. Percentil används synonymt med kvantil. Låt skadekostnaden C ha fördelningsfunktionen F. Definiera inversen till F som ( y) = inf {c R : F(c) y} y (0,1) (1- )-kvantilen svarar mot en värdering av åtagandet som ges av P = (1 ) Låter vi gå mot noll erhåller vi den s.k. EML-skattningen, Estimated Maximum Loss. Kvantilmått är olämpliga då man betraktar ett enskilt försäkrings- avtal. Det normala är att sannolikheten för försäkringsfall är liten, varför F-1 resulterar i noll för de flesta kvantiler. EML-skattningen är lika olämplig som premieprincip, eftersom försäkringstagaren i så fall lika gärna kan försäkra risken själv. Kvantilprinciperna har större tillämpning för värdering av portföljer av t.ex. åtaganden eller tillgångar. Value at Risk (VaR) tillhör kvantilprinciperna. En kritik mot kvantilprinciperna, däribland VaR-måttet, är att de är okänsliga för utfall större än den valda sannolikhetsnivån, t.ex. mycket osannolika men mycket dyra skador. En praktisk begräns- ning med kvantilprinciperna vid beräkning av avsättningar är att de inte är additiva. Avsättningen måste baseras på kvantilen för portföljen av försäkringsavtal snarare än på summan av kvantilerna för försäkringsavtalen. En begränsning av motsvarande slag finns när risker ska uppskattas, i och med att kvantilprinciperna generellt inte är sub-additiva, dvs. summan av riskuppskattningar för del- portföljer begränsar inte riskuppskattningen för hela portföljen2. Den praktiska användningen är också förenad med svårigheter. I under- sökningar har t.ex. VaR-skattningar av olika institutioner avseende samma standardportföljer uppvisat stor spridning, vilket kan tas som intäkt för svårigheten med att fastställa sannolikhetsmåttet P under vilket VaR bestäms. 2 Kvantilprinciperna är dock sub-additiva för den viktiga klassen av elliptiska fördelningar, däribland normalfördelningen. 1.2.7Medveten riskmarginal med betryggande antaganden En värdering enligt någon av de ovan nämnda principerna för- utsätter att sannolikhetsmåttet P är definierat. Det subjektiva måttet väljs av aktörer efter deras riskaptit. En princip för att åstadkomma en riskmarginal i värderingen är att medvetet lägga in säkerhetsmarginaler i sannolikhetsmåttet P. Det kan synas som en elegant åtgärd, eftersom man då kan nyttja den enkla och additiva nettopremieprincipen för att åstadkomma en värdering med riskmarginal. Principen är dock behäftad med vissa svagheter. När sannolikhetsmåttet medvetet väljs med inbyggda säkerhets- marginaler kommer måttet att avvika mer från det riktiga (och okända) sannolikhetsmåttet än om realistiska antaganden hade nyttjats. Som en konsekvens störs också de eventuella följdskattningar av risk som man vill göra på grundval av P. Den implicita risk- marginal som värderingen kommer att innehålla är okänd och minskar genomlysning och förståelse av de faktiska värdena och riskerna. Framtida kassaflöden prissätts löpande på kapitalmarknaderna. Genom att använda nuvärden och göra antaganden om de framtida kassaflödenas storlek försöker vi avgöra om det är värt mer än det kostar. Framtida kassaflöden diskonteras med en räntesats som svarar mot den avkastning som kan förväntas erhållas för en alternativ investering med motsvarande risknivå. Internränta framhålls ibland som en fristående princip men är i praktiken samma sak som nuvärde. CAPM (Pricing Model) går kortfattat ut på att inkludera en riskmarginal i avkastningskravet vid nuvärdesberäkning utöver den riskfria avkastningen av framtida kassaflöden. Den riskjusterade avkastningen för en investering ri fastställs i förhållande till marknadens avkastningskrav rm och den riskfria avkastningen r enligt ri = r + i (rm r) SOU 2003:84 Bilaga 4 där motsvarar det betraktade objektets relativa volatilitet (risk) i förhållande till marknaden, COV(ri, rm)/V(rm). Metoden används huvudsakligen för finansiella tillgångar. Vid värdering av stokastiska åtaganden (skulder) tolkas CAPM så att skall vara negativt, dvs. ge en lägre diskonteringsränta än den säkra. Svårigheten vid tillämpning av CAPM på ett försäkringsbolags åtaganden ligger dels i att fastställa , dels i att bestämma antaganden kring kassaflöden. Är försäkringsbolaget noterat kan aktiens beta användas genom att denna dras från för försäkrings- bolagets tillgångar. Vad som är kvar bör vara skuldernas . Metoden används praktisk i någon enstaka delstat i . 1.3.3Finansiell prissättning enligt optionsteori Inom den finansiella matematiken prissätts betingade kontrakt (optioner) C definierade på en underliggande tillgång S under antagande om en arbitragefri marknad. Därigenom följer att det finns ett unikt pris, oberoende av riskpreferenser, vilket ges av P = e rT EQ [C] Poängen här är att vi bytt det personliga sannolikhetsmåttet P mot ett av marknaden entydigt fastställt riskneutralt sannolikhetsmått Q. Det ges entydigt när marknaden är komplett. Marknaden sägs vara komplett när –det betingade kontraktet C kan representeras som en linjär- kombination av andra tillgångar på marknaden (replikerande portfölj) och –dessa andra tillgångar har unika priser. Om marknaden är komplett är priserna på betingade kontrakt entydigt bestämda och oberoende av aktörernas riskpreferenser. Om marknaden inte är komplett är inte heller priset på risk unikt. I det förra fallet är sannolikhetsmåttet Q unikt, i det senare inte och vi är hänvisade till det subjektiva valet P. Ett försäkringsavtal kan betraktas som ett betingat kontrakt definierat på någon underliggande skadeprocess. Priset på, eller värderingen av, försäkringsavtalet kommer i så fall att vara beroende av denna underliggande process fram till och med upphörandetid- punkten T. Givet att en sådan process finns, får försäkrings- kontrakten ett likartat utseende som de finansiella kontrakten. Låt St vara den underliggande processen och betrakta en amerikansk köpoption med tillslagspris K och upphörandetidpunkt T. Den matematiska formuleringen av optionen är C = (St K)+ t (0, T), vilket liknar ett försäkringsavtal med självrisk K. En europeisk köpoption har samma karaktär som ett återförsäkringskontrakt utformat som en excess of loss definierad på den totala skade- kostnaden och med inomläge K. stop-loss liknar den asiatiska optionen. Försäkringsavtal betraktade som betingade kontrakt kan naturligtvis värderas som tidigare diskuterats med sannolikhetsmåttet P, och där St får vara en generaliserad skadekostnadsprocess av skade- kostnaden C. Däremot kommer vi inte att kunna bestämma sannolikhetsmåttet Q eftersom försäkringsavtal inte är betingade kontrakt på en komplett marknad. Den risk som ett försäkrings- avtal avser kan inte representeras som en linjärkombination av på marknaden omsatta likadana risker. Det motsvaras inom den finansiella världen av en option som inte går att replikera genom att gå lång eller kort i den underliggande aktien, på grund av att den underliggande aktien inte handlas och inte har ett observerbart pris förrän vid upphörandetidpunkten T. Om portföljer av försäkringsavtal handlades på en noterad andrahandsmarknad skulle ett entydigt och tillräckligt kontinuerligt pris kunna finnas. Det förutsätter då att skadekostnadsprocessen C(t) kan observeras kontinuerligt. Det skall noteras att det inom livförsäkring förekommer produkter med begränsat eller inget inslag av försäkringsrisk men med stort inslag av finansiell risk. För dessa produkter gäller naturligtvis att den finansiella prissättningsteorin kan användas. Praktisk utformning och beräkning av säkerhetsavdraget I bilagan redogörs för säkerhetsavdragets tänkta utformning och beräkning av olika risker. Bilagan är ämnad att illustrera allmän- formuleringen och skall inte läsas som ett förslag. De procent- satserna som anges nedan är tentativa. Från skuldtäckningstillgångarnas verkliga värde skall ett säkerhets- avdrag göras. Ett försäkringsbolag skall ha tillgångar – tillåtna för skuldtäckning – åtminstone till ett belopp som motsvarar de försäkringstekniska avsättningarna. Det kan även uttryckas som att skuldtäckningstillgångarnas verkliga värde åtminstone skall uppgå till summan av de försäkringstekniska avsättningarna och säkerhets- avdraget. Resultatet av skuldtäckningstestet är antingen sant eller falskt. För att beräkna minsta mängd skuldtäckningstillgångar krävs en iterativ metod eftersom avdragets storlek kommer att vara beroende av till- gångarnas sammansättning. De försäkringstekniska avsättningarna (FTA) beräknas med realistiska antaganden och den räntesats som föreskrivs och är relevant med hänsyn till åtagandenas karaktär. En nominell räntesats skall användas för nominella ersättningar och en real räntesats för reala ersättningar. Räntesatsen skall även väljas med beaktande av vilken valuta som försäkringsåtagandena är utfästa i. Alternativ 1: En räntesats för alla löptider Utgå ifrån ett antal väl omsatta statsobligationer och fastställ ränte- satsen utifrån marknadsprissättningen av dessa. Utformningen kan t.ex. bestämmas som det aritmetiska medelvärdet av sista köpkurs - uttryckt som räntefot utan korrektion för kuponger och med ett schablonmässigt säkerhetsavdrag om för återinvesteringsrisk. Alternativ 2: Terminskurvan Utformningen kan t.ex. utgå ifrån nollkupongskurva som härleds från observerade marknadsnoteringar med en princip för extrapolering av avkastningskurvan efter längsta förfall. Säkerhetsavdraget (SA) beräknas av tre komponenter: FÖ – försäkringsrisk (systematisk och diversifierbar) FI – finansiell risk (marknadsrisk, kreditrisk) M – matchningsrisk (ränterisk och valutarisk) För tillgångar och åtaganden där försäkringsbolaget genom avtal överfört den finansiella risken till försäkringstagarna beaktas enbart försäkringsrisker. Säkerhetsavdraget beräknas som: SOU 2003:84 Bilaga 5 Tabell: Sammanfattning av beräkning av enskilda riskfaktorer 2,5 standardavvikelser av det förväntade skadeutfallet för port- följen av försäkringsavtal p.g.a. slumpmässiga avvikelser från vad som antagits i avsättningsberäkningen. Ett belopp motsvarande en systematisk försämring av skade- utfallet upp till vad som antagits i premieberäkningen. vara lägst noll. av aktiernas marknadsvärde justerat för om relevant aktieindex kan anses högt eller lågt värderat. av aktiernas uppskattade försäljningsvärde justerat för om relevant jämförelseindex för noterade aktier kan anses högt eller lågt värderat. av det uppskattade försäljningsvärdet, justerat för om det aktuella fastighetsinnehavet kan anses högt eller lågt värd- av marknadsvärdet för tillgångar som bär kreditrisk, justerat för motpartens kreditvärdighet. Förändringen i bolagets nettoposition (skillnaden mellan skuld- täckningstillgångar och försäkringstekniska avsättningar) efter en förändring av relevanta räntor . av omatchade åtaganden. Försäkringsrisken delas in i en systematisk (SFÖ) och en diversifierbar del (DFÖ). Försäkringsrisken beräknas som: Beräkna den systematiska försäkringsrisken (SFÖ) kollektivt som skillnaden, om positiv, mellan åtagandena värderade till upplupen anskaffningskostnad (P) och de realistiskt beräknade försäkrings- tekniska avsättningarna (FTA). SFÖ = P FTA Värdering till anskaffningskostnad bör strikt använda premie- beräkningens antaganden eller premiens belopp. För korta försäkrings- avtal utnyttjas lämpligen beloppet som skrivs av linjärt. Tekniker för att matematiskt åstadkomma att värderingen till anskaffnings- kostnad vid avtalets tecknande väsentligt understiger den initialt betalda premien, som t.ex. zillmering, bör ej medges. Beräkningen åläggs försäkringsbolagen. Den praktiska beräkningen bedöms inte medföra några stora administrativa förändringar. Beräkna den diversifierbara försäkringsrisken (DFÖ) som 2,5 standard- avvikelser av skadekostnad för portföljen av försäkringsåtaganden (C) under förutsättning att räntesatser och valutakurser är konst- anta. Se bilaga 6 Beräkning av diversifierbar försäkringsrisk. DFÖ = 2.5 V[C] Beräkningen åläggs försäkringsbolagen. För skadeförsäkring och kort livförsäkring bedöms beräkningarna vara väl genomförbara. För lång livförsäkring kan beräkningen vara förenade med vissa svårig- heter, där en praxis kan komma att behöva utvecklas. Finansiell risk beräknas som roten ur kvadratsumman av marknads- risk (M) och kreditrisk (K): Marknadsrisk (M) Marknadsrisk skall beräknas för tillgångsslagen noterade aktier, onoterade aktier och fastigheter. Noterade aktier (N): Risken beräknas som marknadsvärdet på aktieportföljen (MVN) för varje relevant marknad multiplicerad med en justerad riskfaktor. Den justerade riskfaktorn beräknas från den normala riskfaktorn för noterade aktier ( N) multiplicerat med kvoten mellan realräntan (r) och direktavkastningen (dN) för index för den relevanta marknadsplatsen. Den justerade riskfaktorn kan behöva ha en övre och en lägre gräns (t.ex och ). N = MVN N drN Onoterade aktier (O): Risken beräknas som det uppskattade försäljningsvärdet för onoterade aktier (MVO) multiplicerad med en justerad riskfaktor. Den justerade riskfaktorn beräknas från den normala riskfaktorn för onoterade aktier ( O) multiplicerat med kvoten mellan realräntan och direktavkastningen för den marknadsplats som är relevant som jämförelse för de onoterade tillgångarna. Beakta eventuell övre och lägre gräns. O = MVO O drN Fastigheter (F): Risken beräknas som det uppskattade försäljnings- värdet för fastighetsbeståndet (MVF) multiplicerad med en justerad riskfaktor. Den justerade riskfaktorn bestäms som riskfaktorn för fastigheter ( F) multiplicerad med kvoten mellan realräntan och direktavkastningen för det aktuella innehavet (dF). Beakta eventuell övre och lägre gräns. F = MVF F drF Marknadsrisk beräknas på följande sätt: M = (N + O)2 + Kreditrisk är relevant för följande tillgångsslag; fastförräntade till- gångar, lån och fordran på återförsäkrare. Olika tillgångar ges olika riskvikter. Uppdelningen av tillgångar följer av 3 kap. 1 § i lagen om kapitaltäckning och stora expon- eringar (1994:2004). Obligationer utgivna av stater bedöms vara utan kreditrisk – detta uttrycks som en riskvikt på . För kommunobligationer är motsvarande siffra och obliga- tioner utgivna av bostadslåneinstitut . För övriga plac- eringar, fordringar och garantiförbindelser är riskvikten . Kreditrisken beräknas som av det sammanlagda riskvägda marknadsvärdet. K = 0,08 × Riskvägda _ beloppet Matchningsrisker (M) Matchningsrisken beräknas som roten ur kvadratsumman av ränte- risk (R) och valutarisk (V): Fastställ den relativa ränterisken d (modifierad duration) för varje skuldtäckningstillgång och försäkringsåtagande. Antag att ränterisk skall beräknas utifrån 20 procents förändring i marknadsräntorna. Beräkna förändringen i procentenheter för nominell respektive real ränta. Summera produkten av marknadsvärde, relativ ränterisk och förändringen i procentenheter för varje tillgång. Genomför samma beräkning för åtagandena. Tag differensen mellan dessa. För aktier och fastigheter bestäms den relativa ränterisken till kvoten mellan den bestämda riskfaktorn och direktavkastningen genom 100 med beaktande av eventuell övre och nedre gräns. i = N, O, F Valutarisken beräknas utifrån nettopositionen i varje valuta som åtagandena är utfärdade i. Valutarisken beräknas som av nettopositionen i omatchade åtaganden. Ingen valutarisk antas mellan kronor och euro. I det följande förenklade exempel beskrivs hur säkerhetsavdraget kan beräknas för ett fiktivt försäkringsbolag. Antag att försäkrings- bolaget har det skuldtäckningsregister och avsättningar som redo- visas i tabell 1. Tabell 1: Skuldtäckningsregister och avsättningar Realistiskt/verkligt värde Tillgångar med överförd finansiell risk Obligationer & växlar utan kreditrisk Obligationer & växlar med kreditrisk Försäkringsbolaget beräknar säkerhetsavdraget utifrån skuld- täckningstillgångar till ett verkligt värde om 120. Dessa tillgångar skall – efter säkerhetsavdraget – åtminstone uppgå till 80. Antag vidare att bolaget beräknar den systematiska och diversifierbara försäkringrisken utifrån den befintliga försäkringsportföljen till noll respektive tio. Valutarisk antas i exemplet vara noll. För att beräkna skuldtäckningstillgångarnas marknadsrisk sort- eras de relevanta tillgångarna ut. Beräkningen redovisas i tabell 2. Bolaget har aktier och fastigheter till ett verkligt värde motsvarande 30 respektive 10. För noterade aktier antas en normal faktor om , vilken multipliceras med kvoten mellan relevant real- ränta () och direktavkastning (2,) för att erhålla den just- erade faktorn (). Produkten av den justerade faktorn och marknadsvärdet ger marknadsrisken för dessa tillgångar. För fastigheter beräknas enligt samma metod – med en normal- faktor om , realränta om och direktavkastning om – marknadsrisken till 2,1. Bolagets sammanlagda marknadsrisk erhålls genom att kvadrera aktiernas och fastigheternas marknadsrisk var för sig – för att därefter dra kvadratroten av summan av de båda. Marknadsrisken blir 6,6. Diversifieringseffekten mellan aktier och fastigheter är 1,7. Tabell 2: Beräkning av marknadsrisk För att beräkna skuldtäckningstillgångarnas kreditrisk sorteras de tillgångar som bär kreditrisk ut. Bolaget har obligationer med kreditrisk till ett verkligt värde om 10. Dessa har riskvikten (t.ex. företagsobligationer) och en normalfaktor – om . Den justerade faktorn uppgår alltså även den till och det riskvägda beloppet uppgår till tillgångarnas verkliga värde. Kreditrisken beräknas som det verkliga värdet multiplicerat med den justerade faktorn till 0,8. I tabell 3 redovisas beräkningen av kreditrisk. Tabell 3: Beräkning av kreditrisk För att beräkna ränterisken sorteras relevanta skuldtäckningstill- gångar och försäkringsåtaganden ut. Beräkningen redovisas i tabell 4. Antag att den nominella räntan för alla löptider på valts respektive för reala åtaganden och att ränterisken skall beräknas utifrån en ränteförändring på . Ränteförändringen blir då för den nominella och reala räntan. Bolaget har både nominella och reala försäkringsåtaganden som bär ränterisk – båda realistiskt värderade till 30. De nominella åtagandena har en räntekänslighet om och de reala om . Ränterisken för de nominella åtagandena blir då 3,6 och för de reala 3,7. Bland skuldtäckningstillgångarna har bolaget räntekänsliga obliga- tioner, med (50) och utan kreditrisk (10). Även de reala tillgångs- slagen aktier (30) och fastigheter (10) är genom marknadsriskens konstruktion känslig för förändringar i den reala räntan.