Chang-Su/ko-wiki-250611 huggingface dataset:
코리올리 효과

코리올리 힘의 예. 북반구에서의 바람의 우측편향. 적도에서 북풍이 부는 경우에도 바람은 코리올리 힘을 받게 된다. 코리올리 힘은 다음과 같은 공식에 의해 계산된다. 지구는 자전 축을 중심으로 formula_33의 각속도로 회전하고 있고, 바람은 formula_34 북쪽으로 이동한다고 할 수 있지만 실제 지구는 둥글기 때문에 기울어져서 고위도쪽을 향하게 된다. 이때 코리올리 정리를 통해 바람이 받는 힘의 방향을 알 수 있다. 이 때의 코리올리 힘의 방향은 동쪽을 향하게 된다. 즉 운동방향에 대해 오른쪽으로 편향하게 된다는 것을 확인할 수 있다. 수식의 결과가 아니라 각운동량 보존법칙을 적용해보아도 쉽게 우측편향된다는 것을 확인할 수 있다. 적도를 중심으로 바람이 고위도 쪽으로 바람이 부는 경우 지구가 타원형이기 때문에 고위도쪽으로 이동할수록 자전축에 대해 거리가 줄어들게 된다. 이 때에도 각운동량은 보존되어야 한다. 회전축을 중심으로 거리가 줄어들었기 때문에 각속도가 그만큼 증가해야 할 것이다. 이렇게 생각한다면 고위도로 바람이 불면 불수록 반지름이 더더욱 줄어들기 때문에 상대적으로 각속도는 증가하게 된다. 그결과 바람은 우측편향하여 불게 된다. 푸코의 진자. 코리올리의 힘이 적용되는 또 다른 예는 푸코의 진자이다. 푸코의 진자는 어떤 수직면에서 자유롭게 흔들리는 줄에 매단 추이다. 진자는 정확한 수직면에서 흔들리기 시작하는데, 진동하는 수직축에 대해 몇 시간의 주기 동안 천천히 옆돌기를 한다. 진자가 긴 시간의 주기동안에 자유로이 계속하여 흔들릴 수 있도록, 추는 무거운 것으로 하고 줄은 아주 길게 한다.
코리올리 효과

질량 m인 흔들이 추의 운동의 중심을 원점으로 택하고, 이때 벡터 formula_35은 진자의 작은 진동에 대해 거의 수평이다. 북반구에서 formula_33는 수직과 예각을 이룬다. 줄의 장력을 formula_37 라고 쓰고, 회전좌표계에서 발생하는 원심력과 중력을 formula_38 라고 생각하면 추의 운동방정식은 다음과 같이 전개 된다. 코리올리 힘에 의해 진자는 수평방향으로 일정한 각속도formula_40로 진동을 하게 된다. 그리고 formula_41 을 회전축을 삼고, formula_40로 회전하는 좌표계를 새로 도입하면 이 계에 대한 시간 도함수는 formula_43 로 나타날 것이다. 그러므로 formula_44를 formula_45로 나타낸 것은 다음과 같다. 이를 추의 운동방정식에 적용하면 다음과 같은 식이 된다. 각속도formula_40로 회전을 하는 좌표계를 중심으로 나타내면 다음과 같다. formula_49 위의 식에서 오른쪽에 있는 모든 벡터는 마지막 항을 빼고는 진자가 있는 수직면에 있다. 하지만 작은 진동에 대해 formula_52 이 실제로 수평이므로, formula_53를 수평으로 만들어 마지막 항도 이 수직면에 있도록 할 수 있다. formula_56는 돌고있는 지구의 각속도이고, formula_40는 지구에 대해 돌고있는 좌표계의 각속도이다. formula_58는 지구 축과 수직사이의 각이다. 수직은 formula_59 방향을 따른다. 위의 식을 보면 결과적으로 지구에서 푸코의 진자는 각속도 formula_40 로 옆으로 회전한다는 것을 말한다. 북반구에서 내려다 볼 때 그 회전은 시계방향이 된다.
일리야 프리고진

일리야 로마노비치 프리고진(, , 1917년 1월 25일~2003년 5월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다. 벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.
크라메르 법칙

선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, ) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다. 정의. 연립 일차 방정식 에서, formula_2가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다. 여기서 formula_4는 formula_2의 formula_6번째 열을 formula_7로 대신하여 얻는 행렬이다. 증명. 연립 일차 방정식 의 계수 행렬 formula_2의 formula_13-여인자를 formula_14라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다. 이에 따라, 각 formula_17번째 방정식에 formula_14을 곱한 뒤 모두 합하면 를 얻는다. formula_20이므로, 양변을 formula_21로 나누면 를 얻는다. 예. 2개의 방정식의 경우. 연립 일차 방정식 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. 3개의 방정식의 경우. 연립 일차 방정식 이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다. 응용. 미분기하학. 크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 formula_30, formula_31이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, formula_32, formula_33라 정의한다.
크라메르 법칙

여기서 formula_34의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다. 먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다. dF, dG에 dx와 dy를 대입하면 u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다. 따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다. 이것은 두 개의 야코비안 항이다. 유사하게 formula_47, formula_48, formula_49의 공식들도 유도할 수 있다. 역사. 스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.
벡터곱

선형대수학에서 벡터곱(vector곱, ) 또는 가위곱()은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다. 정의. 두 벡터 formula_1 와 formula_2의 벡터곱은 formula_3라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 formula_4라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다. 식에서 formula_6는 formula_1와 formula_2가 이루는 각을 나타내며, formula_9은 formula_1와 formula_2에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다. 위 정의에서의 문제점은 formula_1와 formula_2에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, formula_14이 수직이면, formula_15도 수직이다. 어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향()에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 formula_3는, formula_17가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 수도벡터다.) 벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다. 성질. a, b, c ∈ R3, α ∈ R이라 하자. 외적(外積, exterior product)과의 관계.
벡터곱

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다. 3차원 유클리드 공간 formula_27에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 formula_28와 formula_29의 외적은 다음과 같다. 여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다. 성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, formula_32이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면, 여기서 formula_34를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉, 이다. 그리고 여기에 formula_36를 곱하면 되고 마지막으로 formula_38을 곱하면 이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다. 응용. 벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다. 고차원에서의 벡터곱. 7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다. 7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.
미분방정식

미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 함수 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다. 응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다. 이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다. 미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다. 물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다. 미분 방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다. 땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다. 중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자.
미분방정식

이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분 방정식을 풀 수 있다. 수학에서 미분 방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다. 명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분 방정식들 뿐으로, 어떤 미분 방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다. 만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다. 동역학계 이론에서는 미분 방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다. 미분 방정식의 목표는 다음 세가지이다. 미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 전기회로, 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다. 미분 방정식의 종류. 미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다. 상미분 방정식과 편미분 방정식. 상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다. 미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.
미분방정식

선형과 비선형. 선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다. 비선형 미분 방정식은 선형 미분 방정식과 다르게 y도함수 앞의 계수가 변수이며, 대표적 예시인 나비에-스톡스 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 매개변수의 테일러 급수로 근사해를 구하는 방식이 있다. formula_1, formula_2 등 y 앞에 무언가 있을 때 비선형 이라 하며 상수나 formula_3는 가능하다. 미분 방정식의 예. 제1차 상미분 방정식. 1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다. 여기서 formula_5는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다. 위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다. formula_7 양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다. 여기서 formula_11는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.) formula_5가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다. 1차 비제차 상미분 방정식. 1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다. 1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자. 이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자", formula_14 에 달려있다.
미분방정식

위의 1차 상미분 방정식의 양변에 formula_14를 곱하자. 우리가 선택한 특별한 formula_14의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다. 미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다. 양변을 적분하면, 를 얻고, 마지막으로 formula_22에 대해 풀고, formula_14로 양변을 나누면, 를 얻는다. formula_14는 formula_3의 함수이므로 더 이상 간단히 할 수 없다.
중국의 역사

중국의 역사(中國史, )에 대한 최초의 기록은 기원전 1250년 무정의 통치기인 상나라(기원전 1600~1046년 경)로 거슬러 올라간다. 황하 문명은 여러 다른 문명의 영향을 받았으며 중국 본토에서는 하나라, 상나라, 기나라, 주나라 이래 약 5000년 동안 수많은 여러 왕조가 흥망을 반복해 왔다. 한나라 때는 현재 중국 민족의 대부분을 차지하는 한족이라는 개념이 생겨났고 당나라는 서방의 페르시아, 이슬람 제국, 동로마 제국과의 교류도 하였다. 그러던 중 위, 촉, 오의 연이어진 싸움으로 인해 한나라가 분열되고 합쳐지길 반복하다 한나라는 멸망하게 된다. 한나라의 멸망 이후 한족들이 취약해지고 서진의 멸망 이후로 북방 민족들이 화북 지역에 대대적으로 쳐들어온 뒤부터 수나라가 중국을 통일하기 전까지 화북은 이민족들의 무대가 된다. 한족들이 건국한 송나라 때는 중국 중세 문화가 전성기를 이루었으나 군사력이 너무 약해 주변 이민족들로부터 끊임없는 침략을 받다가 남송이 몽골족의 몽골제국에 의해 멸망함으로써 사라진다. 이후 몽골제국이 4개의 칸국하고 원나라로 분열되었으며 한족들이 몽골족을 몰아내고 명나라를 건국하게 된다. 명나라는 영락제 때 대대적인 영토 확장을 포함해 정화의 원정 등으로 큰 전성기를 맞게 된다. 임진왜란으로 인해 명나라가 약해지자 여진족은 이틈을 타서 후금을 건국한 이후 명나라를 멸망시키고 청나라를 건국하여 지배자로서 중국을 손에 넣고 통치한다.
중국의 역사

그러나 19세기에 들어서 제1차 아편 전쟁과 제2차 아편 전쟁에서 청나라가 영국에 패배한 이후, 중국 본토는 "아시아의 병자" 서구 열강의 반식민지로 전락하고 말았고 대만과 만주는 일본 제국에 지배당하고 중국 한족의 남조의 수도로서 상징적이던 난징은 이민족에게 유린당했던 것처럼 현대에는 일본 제국에 의해 난징 대학살과 강간으로 유린당한다. 홍콩은 영국이 지배했으며 마카오는 포르투갈이 지배하였다. 여진족이 건국한 청나라의 무능에 반발하여 태평 천국 운동이 일어났으나 진압되었다. 그 후 한족의 개혁파들에 의해 양무 운동과 변법 자강 운동이 차례로 일어났으나 반식민지로 전락한 중국은 힘이 없었고 열강의 지배와 간섭으로 실패했다. 한편 서태후 등 보수파의 사주로 반외세 운동인 의화단 운동을 일으켰으나 진압되었다. 그 후 신해혁명이 일어나 1912년에는 아시아 최초의 공화제 국가 중화민국이 탄생했다. 하지만 일본 제국에 의해 포섭되기도 하는 각지의 군벌에 의해 수많은 내전이 일어났고 몽골, 티베트의 독립 운동 등으로 말미암아 중화민국은 혼란에 싸여 분열되었다. 또한 일본 제국의 침략에 의해 중국 동부 지역을 잃고 난징이 유린을 당하며 중국 자체가 지배당할 뻔한 위험한 시기를 보냈다. 이 때 일본의 중국 정복에 대항하기 위해 러시아와 가까워졌으나 러시아 또한 중국에 조계지를 설치하고 중국 영토로 남하하며 영향력을 행사하였다. 1930년대에는 국공 내전(중국에서는 보통 “해방 전쟁”이라 칭함)과 중일 전쟁(중국에서는 보통 “항일전쟁”이라 칭함)이 발발하여 중국 각지가 전장이 되었다.
중국의 역사

이 시기에는 중앙 정부가 2개 이상인 때에도 있었다. 많은 중국인 가난한 농민, 소작농 계급들로 구성된 중국공산당은 소련의 영향 아래에서 힘을 키웠고 그 후 중일 전쟁 중에 일본의 세력 아래에 있던 군벌들을 견제하기 위하여 소련의 영향력 아래에서 세력을 늘려 온 중국공산당은 계속되는 오랜 내전으로 군인들에 의해 반복되던 민간인에 대한 살인과 강간, 방화에 지친 중국인들의 민심을 얻었다. 1945년에 일본이 미국에 패망하고 나서 중국공산당은 중국 내에서 일어나던 국공 내전에서 승리를 거두고 1949년 10월 1일 중화인민공화국 정부를 세웠다. 중화인민공화국에서는 매년 10월 1일을 중화인민공화국 국경절로 정하고 이를 기념하고있다. 선사 시대. 구석기 시대. 호모 에렉투스는 180만 년에서 130만 년 전 사이 유라시아에 도착했으며, 수많은 아종의 흔적이 현재 중국에서 발연된다. 이중 가장 오래된 것은 의 남서쪽의 위안머우 원인(; 윈난성에 살았다.)으로, 덤불과 숲이 혼합된 환경에서 칼리코테륨, 사슴, 스테고돈, 소, 돼지, 파키크로쿠타 등과 함께 살았다. 이보다 비교적 더 알려진 베이징 원인(; 기원전 70만 년 전에서 기원전 40만 년 전까지 베이징에서 살았다.)은 저우커우디안에서 긁개(scraper), 발부리(chopper)와 함께 발견되었으며, 조금 뒤 세대에는 새기개와 송곳도 발견되었다. 다른 호모 에렉투스 화석들은 북서쪽의 란톈 원인(; 산시성에서 살았다.)을 포함해서 여러 지역에서 널리 발견되고 있으며, 랴오닝성 북부와 광둥성 남부에도 작은 고대 인류의 흔적들이 발견됐다.
중국의 역사

많은 구석기 유물들의 날짜들은 오랫동안 논쟁거리가 되었으나, 현대의 자기 층서학에 의해 더 확실히 확립되었다. 예컨데, 마주안고는 166만 년에서 150만 년 전, 란포는 160만 년, 샤오창량과 시안타이는 136만 년 전, 반샨은 132만 년 전, 페이량은 120만 년 전, 그리고 동구투오는 110만 년 전에 형성되었다. 또한, 호모 에렉투스가 불을 썼다는 증거들은 180만 년 전에서 100만 년 전쯤 산시성 시후두의 유적에서 발생했다. 호모 에렉투스의 진화를 둘러싼 사건들에 대해서 여러 가지 가설들이 있다. 이 중 세가지 주요 이론들은 각각 아프리카 기원설, 다지역 기원설, 그리고 다른 가설들이 혼합되어 변형된 아프리카 기원설이 있다. 이와 별개로, 중국에서 최초의 현대인류는 후난성 다오현의 푸옌 동굴의 화석화된 이빨이 발견되었다는 것에 근거하여 12만 년 전에서 8만 년 전 사이에 살았다는 것으로 연대가 측정됐다. 이들과 같이 살았던 동물들로는 멸종된 아이루포다 바코니 판다, 크로쿠타 울티마 하이에나, 스테고돈, 거대 맥 등이 있다. 그리고 중기 구석기 시대 르발루아 기법의 흔적이 17만 년 전에서 8만 년 전 사이의 중국 남서부 관인동 동굴 유적지의 석기 유물군에서 발견되었다. 신대. 삼황오제(三皇五帝)는 중국 신화에 나오는 고대의 전설적 제왕들이다.
중국의 역사

삼황(三皇)은 복희씨(伏羲氏), 신농씨(神農氏), 여와씨(女媧氏)를 말하며, 오제(五帝)는 황제헌원(黃帝軒轅), 전욱고양(顓頊高陽), 제곡고신(帝嚳高辛), 제요방훈(帝堯放勳:陶唐氏), 제순중화(帝舜重華:有虞氏)를 지칭한다. 중국 문명. 선진 시대. 중국에서는 이 시기를 ‘선진 시기’(先秦時期)라고도 한다. 하(夏) (기원전 21세기 - 기원전 17세기)의 경우 논란의 여지는 남아 있으나, 대체로 실존했던 국가로 받아들여지고 있다. 하를 무너뜨리고 세운 상(商) (기원전 17세기 - 기원전 11세기 중반)은 은허로 수도를 옮긴 이후에 은(殷)이라고도 부르며, 한때 신화로 알려졌었다. 하지만, 은허의 유적 발굴 이후 실존했던 국가로 인정되었다. 주(周) (기원전 1050년 경 - 기원전 256년)는 본래 상(은)나라의 제후국이었으나, 상(은)나라 말기 주왕(紂王)의 폭압으로 상(은)나라를 무너뜨리고 패권을 잡은 나라다. 이 때 주의 왕을 처음으로 ‘천자’(天子)라고 불렀다. 주의 패권은 춘추 전국 시대(春秋戰國時代) (기원전 770년 - 기원전 221년)가 되면서 약해지기 시작한다.
중국의 역사

춘추 시대에는 여러 주나라의 제후국들이 주의 천자를 존중하고 각자의 세력을 다투던 시기로, 세력이 강한 제후국들 중에 주 왕실의 이름으로 천하를 호령한 제(齊)-환공(桓公), 진(晉)-문공(文公), 초(楚)-장왕(莊王), 오(吳)-합려(闔閭), 월(越)-구천(勾踐)의 5제후를 춘추 오패라고 부른다. 전국 시대로 들어서면서 천자에 대한 충성마저 약화되기 시작한 시기로, 진(秦), 한(韓), 제(齊), 위(魏), 조(趙), 연(燕), 초(楚)라는 전국 칠웅이 차례로 왕을 칭하고 오로지 천하 통일을 위해 질주하였다. 중화 제국. 진 시황제는 기원전 221년에 스스로를 "황제"(황제)라고 선언했고 통치자들은 기원후 1911년 청나라의 마지막 황제가 퇴위할 때까지 이 용어를 계속 사용했기 때문에 이 기간을 전통적으로 중화 제국(Imperial China)이라고 부른다. 때로는 초기, 중기 및 후기의 세 하위 기간으로 나뉜다. 초기에는 진(秦)의 통일과 한(漢)으로의 교체, 제1분열(삼국시대) 후 진(晉)의 통일, 북중국의 상실 등이 있다. 중기에는 수(隋)의 통일과 당(唐), 제2분열(오대십국)이 포함된다. 후기 기간에는 송(宋), 원(元), 명(明), 청(淸)이 포함된다. 그러나 중화 제국이라는 용어와 이를 통한 초기, 중기, 후기 시대구분법은 구미학계에서 고안된 것으로, 절대적인 시대구분법은 아니라는 것에 주의할 필요가 있다. 또한 후기 중화 제국은 경우에 따라 송과 원을 포함하지 않고 명과 청만 넣기도 한다. 초기 중화 제국(Early Imperial China).
중국의 역사

진한 시기. 진(秦) (기원전 221년 - 기원전 207년)은 한(韓), 제(齊), 위(魏), 조(趙), 연(燕), 초(楚)를 무너뜨리고 중국 본토를 통일하였다. 진은 이어 모든 제후국을 폐지하고 조정에서 직접 다스리는 군현제를 처음 실시하였다. 이어 진왕 영정은 처음으로 ‘황제’(皇帝)의 칭호를 사용하였다. 진(秦)나라의 무리한 통치와 폭압으로 각지에서 반란이 일어났다. 진나라는 진 이세황제의 치세에 몰락하여, 그 뒤 멸망하였고, 초한전을 거쳐 한나라가 중원을 통일한다. 한나라는 200년 넘게 유지된 중앙집권적 국가로 서양에 최초로 이름이 알려진 나라이기도 하다. 전한(前漢) (기원전 206년 - 서기 9년)은 한나라(전한)의 외척이었던 왕망이 황위를 찬탈하여 세운 신(新) (9년 - 23년)에 의해 잠시 명맥이 끊기나, 신나라는 급격한 개혁이 민중의 호응을 얻지 못하고 각지의 반란으로 망하였고, 한나라(전한)를 계승한 국가인 후한(後漢) (25년 - 220년)이 다시 통일 국가를 이루었으나, 화제 이후의 황권은 환관들과 외척들로 인하여 크게 약화되었다. 위에게 멸망당했다. 위진 남북조 시기. 대한민국에서는 삼국 시대(三國時代) (220년 - 280년)라고 하지만 중화민국과 중화인민공화국에서는 남북조 시대(南北朝時代) (439년 - 589년)까지 포괄하여 위진 남북조 시기라고 한다. 위(魏)는 조비가 후한의 황제로부터 직접 제위를 물려받은 국가로 중원 지역을 차지하였다.
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촉(蜀) 후한 황실의 후예인 유비가 계승하였으나, 세력권은 서남 지방에 한정되었다. 한편 손권의 오(吳)는 독자적인 세력으로 장강 이남을 차지하였다. 위는 사마염의 서진(西晉) (265년 - 316년)에게 승계되며 서진이 삼국을 통일하게 되나, 초기부터 황실 분란인 팔왕의 난 등으로 혼란스럽다가, 흉노족의 전조에게 멸망당한다. 서진의 멸망 이후 서진이 있던 자리에 16개의 국가가 들어서 패권을 겨뤘으니 이를 십육국 시대(十六國時代) (316년 - 439년)라 한다. 비한족 국가인 전조(前趙)·후조(後趙)·전연(前燕)·후연(後燕)·남연(南燕), 관중(關中)에 있던 전진(前秦)·후진(後秦)·서진(西秦) 및 하투(河套)의 하(夏), 사천(四川)의 성한(成漢), 하서(河西)의 후량(後涼)·북량(北涼)·남량(南涼)과 한족 국가인 북연(北燕), 하서(河西)의 전량(前涼), 서량(西涼)이 있었으며, 전조, 후조, 전진(前秦) 등이 한때 큰 세력권을 과시했으나 결국 북조의 북위로 통합된다. 북위(北魏)는 선비족 탁발씨의 국가로, 3대 태무제의 시기에 화북을 통일하였다. 그러나 북위는 곧 동위(東魏)와 서위(西魏)로 분리되고, 동위는 북제(北齊), 서위는 북주(北周)로 이어진다. 북제는 이후 북주에 흡수되고, 북주는 왕실 외척인 양견에 의해 수(隋)로 국호를 바꾸게 된다.
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한편 서진 황실의 계승을 천명한 동진(東晉)은 서진의 영토를 되찾으려 여러 차례 노력했으나 모두 실패한다. 세력권은 주로 장강 이남으로 한정되었다. 동진을 계승한 국가들이 이어진 왕조를 남조라고 하며, 송(宋)=유송(劉宋), 제(齊)=남제(南齊), 양(梁), 진(陳)이 있다. 수나라에게 멸망당한다. 중기 중화 제국(Mid-Imperial China). 수•당 시기. 수(隋) (581년 - 618년)는 북주의 외척인 양견에 의해 건국된 나라로, 남조의 진을 멸망시키고 통일하나, 무리한 원정과 과도한 세금 징수로 인해 건국한지 얼마 지나지 않아 멸망하였고, 당(唐) (618년 - 907년)으로 이어진다. 당나라는 비단길을 통한 유럽과의 교역을 활성화시켜 중국 고대 문화를 서양에 전파하였다. 한편 당나라의 황후이던 측천무후가 조정을 장악하고 아들인 당의 황제를 황태자로 격하시키고 국호를 잠시 주(周) (690년 - 705년)로 바꾼다. 측천무후의 반대파에 대한 대대적인 숙청으로 공포 정치를 펼쳤으나, 인재 중심의 정치 역시 펼쳐서 백성들의 삶이 어느 정도 안정되었다. 측천무후 이후 다시 국호를 당으로 바꾸게 된다. 후량에게 멸망당한다. 오대십국시기. 오대십국(五代十國) 시기 (907년 - 960년)는 화북의 정권을 다투던 5개의 대국과 나머지 10개의 소국이 혼재했던 시기이다. 후기 중화 제국(Late Imperial China). 송. 5대 10국의 혼란을 수습하고 송(宋) (960년 - 1279년)이 다시 중원을 통일하였다.
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세계 최초로 지폐를 발행하였으며, 중국 역사상 최초로 상비 해군을 창설하였다. 또한 문화 정치를 펼친 왕조이기도 하다. 이 시기에는 쌀과 보리의 이모작이 확대되었으며, 예술, 사상 및 각종 실용기술의 발달이 두드러져, 문화적으로 풍요롭던 시기였다. 그러나 내몽골 지역과 만주 지역을 차지한 거란족이 세운 국가인 요(遼) (916년 - 1125년)에 의해 베이징 이북의 많은 지역을 빼앗기고, 요나라와 서하에 사실상의 조공을 납부하며 별 위세를 떨치지 못하다가, 요나라의 지배하에 있던 여진족이 요나라를 정복하고 세운 금(金) (1115년 - 1234년)에게 화북 지방을 빼앗기고 멸망한다. 이 때까지를 북송(北宋)시대라고 하고, 이후 북송의 황실을 계승한 왕조를 남송(南宋)이라고 한다. 몽골 제국과 함께 금나라를 멸망시키는 데에는 성공하지만, 몽골 제국을 계승한 원나라에 의해 멸망한다. 원. 원(元) (1271년 - 1368년)은 만주, 중앙아시아, 서남아시아, 동유럽까지 지배한 몽골 제국의 적장자인 쿠빌라이 칸이 몽골고원, 만주, 화북력들을 아우르는 지역의 한족식으로 세운 국가로, 남송을 멸망시키고 중국 본토를 장악하게 된다. 명. 그러나 주원장이 원나라를 몽골 고원으로 몰아내고 명(明) (1368년 -1644년)이라는 한족 왕조를 건국한다. 초기에는 외국과 교류하며 선진 문물을 과시했으나, 후기로 갈수록 임진왜란 등 외부 원정의 부담과 문화 침체로 쇠퇴하다가 사르후에서의 패배와 숭정제의 실책으로 멸망한다.
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명나라의 몰락을 틈타 금나라의 후예인 만주족이 후금을 세워 중국을 다시 통일하였다. 한편 남명(南明) (1644년 - 1662년)은 멸망당한 명나라의 왕실을 계승한 나라로, 명의 부흥을 기도하였으나 청나라에 망하였다. 남명의 신하였던 정성공은 타이난으로 건너가 정씨왕국을 설립하여 청나라에 대항하지만 3대째에 복속당한다. 청. 청(淸) (1616년 - 1912년)은 후금을 계승한 왕조로, 초기에는 한족을 정책적으로 차별했으나, 전체적인 제도 및 왕조의 분위기는 명나라와 유사하였다. 양무 운동을 통해 근대 국가 진입을 시도하였으나 실패하고, 서구 열강 세력들의 이권침탈이 심화되면서 더욱 더 쇠퇴하고, 1912년에 신해 혁명으로 멸망한다. 청나라 소조정이 1912년부터 1924년까지 유지되었지만 결국 붕괴되었다. 그 사이에 청나라 복벽사건이 일어나서 1917년 7월 1일부터 청 황조가 복벽되었으나 1917년 7월 12일에 끝을 맺었다. 현대사. 중화민국(中華民國) (1912년 - 현재)은 신해혁명의 성공으로 수립된/ 아시아 최초의 공화제 국가이다. 이후 각 지방의 실력자들이 군벌로 등장하였다. 특히 위안스카이는 자신이 거느리는 북양 군벌을 이끌고 쑨원으로부터 대총통 자리를 넘겨받았다. 위안스카이가 1916년 사망하자, 이후 그의 부하들이 할거했는데, 대표적으로 안휘파의 돤치루이, 직예파의 펑궈장, 차오쿤, 오패부, 봉천파의 장쭤린, 산시파의 옌시산 등이 중국 각지에서 할거하였다.
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한편 중화민국 최초의 공화정 체제인 북양 정부는 1928년까지 존속했다. 그 후 북벌이 재개되고 모든 세력이 장제스가 이끄는 중국국민당 수중으로 들어왔다. 이로써 난징을 수도로 하는 중국국민당 주도의 국민 정부가 집권하게 되었다. 한편 천두슈(陳獨秀)와 마오쩌둥(毛澤東)을 주축으로 하는 중국공산당이 농민들 사이에서 지지를 얻고 있었다. 중국국민당은 중국공산당과 제1차 국공 합작을 이루어냈으나, 북벌 과정에서 분열이 일어나, 국공 내전이 시작되었다. 국민 정부는 1931년 만주사변 이래 일본의 침략에 무저항주의를 택하고 오로지 '공산당 타도'에 중점을 두는 정책을 폈으나, 시안 사건을 계기로 제2차 국공합작이 성립되어 항일 민족 통일전선이 결성되었다. 중일전쟁 중에 수도 난징이 점령당하고 충칭을 임시 수도로 정해 옮겼지만, 끝내 일본 제국이 패망하자 난징으로 복귀하게 된다. 하지만 전후 처리 과정에서 내분이 생겨 제2차 국공 내전이 발발하였다. 한편 국공 내전 중에 정부는 새로운 중화민국 헌법을 통과시켜 국민 정부를 헌정 체제로 격상시킨다. 1949년 4월에 중국 인민해방군이 수도 난징을 점령하면서 중국공산당이 사실상 유리한 고지에 서게 된다. 기세를 몰아 중국공산당은 중국 대륙을 석권한 이후 공식적으로 중화인민공화국을 건국한다. 이 과정에서 중화민국 정부는 패닉 상태에 빠져, 국민당에 내분이 일어나 공산당 밑으로 들어가거나(중국국민당 혁명위원회) 타이완, 영국령 홍콩 또는 국외 등지로 피난하는 국민당 관계자도 속출했다.
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한편 중국국민당은 장제스의 지도하에 현재의 타이베이시로 정부를 이전하여 지금까지 중화민국의 법통이 계승되고 있다. 냉전 시대에 한국 전쟁 덕분에 중화민국은 영토의 대부분을 잃었어도 국제적 위상이 거의 변함없었다. 그러나 점차 탈냉전 시대에 들어서게 되면서 실리 외교를 선호하는 세계 다수의 국가들은 중화인민공화국 쪽으로 기울었다. 현재 중화민국을 중국의 합법 정부로 승인하고 있는 나라 수는 대폭 감소했지만, 서로 중국의 정통성을 계승하는 유일한 합법 정부임을 자처하며 하나의 중국 원칙을 내세우고 있기 때문에 ‘두 개의 중국’으로 정부가 병립된 분단 국가로서 동아시아의 정치외교적인 문제로 확대되고 있다. 한편 일본 제국이 세운 괴뢰 정부로 왕징웨이 정권, 몽강연합자치정부, 만주국이 있으나 국민 정부에 통합된다. 국공 내전으로 1949년 10월 중국공산당의 주도로 중국 대륙에 사회주의 국가인 중화인민공화국(中華人民共和國) (1949년 - 현재)이 건국되었다. 소비에트 연방과의 유대 관계를 통해 여러 가지 경제 개혁을 시도하였으나 실패하였고, 국경 분쟁을 일으키는 등 소련과의 관계도 소원해진다. 1971년 유엔 총회 결의 제2758호를 통해 중화민국을 제치고 유엔에 입성하였으며 국제 사회로부터 널리 인정받게 된다. 1971년 '핑퐁외교'로 불리던 리처드 닉슨의 베이징 방문을 계기로, 마침내 1979년 중화민국의 강력한 후원국이던 미국과도 수교하게 된다. 덩샤오핑() 이후 비약적인 경제 성장을 통해 경제 대국 반열에 진입하였다.
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1990년대에 영국으로부터 홍콩을, 포르투갈로부터 마카오를 차례로 편입하였다. 2008년에는 베이징 하계 올림픽이, 2010년에는 상하이 엑스포가 개최되으며, 2022년에는 베이징 동계 올림픽이 개최되었다. 인구의 변천. 아래의 데이터는 양학통의 《計劃生育是我國人口史發展的必然》(1980년)에 의한다.
대한민국의 국가

애국가(愛國歌)는 대한민국의 국가다. 1919년 안창호에 의해 대한민국 임시정부에서 스코틀랜드 민요인 〈작별〉에 삽입해서 부르기 시작하다가 1935년 한국의 작곡가 안익태가 지은 《한국환상곡》에 가사를 삽입해서 현재까지 부르고 있다. 가사의 작사자는 윤치호 설, 안창호 설, 윤치호와 최병헌 합작설 등이 있다. 윤치호의 작사설 때문에 대한민국 임시정부에서는 애국가를 바꾸려 했으나 대한민국 임시정부 주석 김구의 변호로 계속 애국가로 채택하게 됐다. 이후 1945년 8월 15일부터 1947년 6월 29일 이전까지는 조선민주주의인민공화국에서도 사용했다. 1948년 8월 15일 정부 수립 이후 국가로 사용되어 왔으며, 2010년 국민의례 규정에서 국민의례시 애국가를 부르거나 연주하도록 함으로써 국가로서의 역할을 간접적으로 규정하고 있다. 작사. 애국가의 가사는 1900년대 초에 쓰여졌다. 작사자는 크게 윤치호라는 설과 안창호라는 설 두 가지가 있으며, 국사편찬위원회의 공식적인 입장으로는 미상이다. 작사자 윤치호 설은 윤치호가 애국가의 가사를 1907년에 써서 후에 그 자신의 이름으로 출판했다는 것이다. 한편 안창호가 썼다는 주장은 안창호가 애국가를 보급하는 데에 앞장섰다는 데에 중점을 두고 있다. 1908년에 출판된 가사집 《찬미가》에 수록된 것을 비롯한 많은 일제 강점기의 애국가 출판물은 윤치호를 작사자로 돌리고 있는 등 윤치호 설에는 증거가 많은 반면 안창호 설에는 실증적인 자료가 부족하다. 윤치호의 사촌동생 윤치영(尹致瑛)은 윤치호가 대한민국의 애국가 가사의 일부를 썼다고 주장했다.
대한민국의 국가

윤치영에 의하면 애국가 가사의 앞부분은 최병헌 목사가 짓고, 후렴구는 윤치호가 지었다는 것이다. 최병헌은 윤치호가 다니던 정동감리교회의 목사였다. 윤치호와 최병헌이 함께 지었다는 애국가 사본이 2002년 한남대학교 교수 박정규에 의해 발견되기도 했다. 이는 윤치호의 ‘무궁화 노래’(1896)와 김인식의 ‘코리아’(1910)가 합쳐진 형태로, 후렴이 현재의 애국가와 같다. 또한 애국가의 원본은 그가 지었으나, 후에 대한민국 임시정부에서 일부 개사했다고도 한다. 그밖에 '성자신손 오백년은, 우리 황실이요'로 시작되는 협성회 무궁화가 역시 윤치호가 작사를 하였다는 설이 있다. 윤치호가 지은 노래 중 안창호가 가사의 성자신손 오백년은 우리 황실이요를 문제삼아 가사를 바꾸라고 요청하자 동해물과 백두산이 마르고 닳도록으로 고쳤다. 그러나 1919년 대한민국 임시정부에 참여한 안창호는 윤치호가 지었다가 본인 스스로 수정한 부분 중에서도 우리 대한 만세를 우리 나라 만세로, 이기상과 이맘으로 임금을 섬기며를 이기상과 이맘으로 충성을 다하며로 안창호가 다시 고쳤다는 것이다. 독립운동가 겸 정치인 주요한과, 독립운동가 안태국의 사위 홍재형 등은 그가 지은 협성회 무궁화가를 안창호의 요청으로 개사한 것이 애국가의 기원이 되었다고 진술했다. 이는 한말 독립운동가인 안태국(안창호, 양기탁 선생과 신민회를 조직, 105인 사건의 주모자로 피검)의 사위인 홍재형이 안태국의 말을 회고하는 의 내용에서 살펴 볼 수 있다.
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또 주요한은 에서 ´원래 끝 구절의 첫 가사는 '이 기상과 이 맘으로 임군(임금)을 섬기며 괴로우나 즐거우나 나라 사랑하세'였으나 1919년부터 상해에서 이를 지금과 같이 고쳐 부르기 시작하였고 이는 분명 안창호가 고친 것´이라고 서술하고 있다. 한편 전택부 역시 윤치호가 애국가의 유력 작사자라 주장하였다. 그 근거로는 첫째로, 1907년 윤치호의 역술로 출판된 중에 현재 우리가 쓰고 있는 애국가가 들어 있다는 사실, 둘째로 미국에서 살고 있는 양주은이 소장한 국민가 중에 애국가가 윤치호의 작사로 되어 있다는 사실, 셋째로 해방 후 윤치호가 친필로써 ‘윤치호 작’ 애국가(사진 10번)를 쓴 것이 있다는 사실이다. 이러한 사실은 이미 1955년 벌써 밝혀졌던 사실이라는 것이다. 윤치호가 지은 찬미가의 개사본이 1910년에 실렸다. 애국가가 수록된 최초의 문헌이 윤치호의 “찬미가”이고 1910년 9월 21일자 신한민보에 애국가의 전문이 윤치호 작사의 라는 제목으로 실려 있어 윤치호가 가장 설득력을 얻고 있다. 1902년에 윤치호가 지었다는 무궁화 노래가 애국가의 원형과 같다는 자료도 나타났다. 2006년 2월 27일에는 박정규(朴正圭) 한남대 교수가 충북 청원군에서 열린 단재 순국 70주기 추모 학술발표회 발표문 ‘신채호의 국내에서 쓴 글에 대한 고찰’중에서 애국가의 원형이 된 노래도 함께 발표하였다. 신채호가 지은 '광무(光武) 5년 신축(辛丑) 2월 7일 신채호 배(拜)'라고 쓴 노래와 함께 발견된‘애국가’도 있었다.
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이 애국가는 현재 애국가의 원형으로 추정되는 윤치호의 ‘무궁화 노래’(1896)와 김인식의 ‘코리아’(1910)가 합쳐진 형태로, 후렴이 현재의 애국가와 같다. 윤치호는 안창호의 노력으로 신학문을 수용하고 체계적 교육이 시행되고 있던 대성학교의 교장으로 있으면서 느낀 바 있어 자신의 작품격인 찬미가를 저술하며 여기에 도산이 대성학교 학생들에게 가르치던 애국가를 수록하였을 가능성도 배제할 수 없다. 애국가의 원작자로는 윤치호 설이 유력하다. 한편 1955년 국사편찬위원회가 윤치호 단독작사설을 심의했을 때 찬성 11표, 반대 2표로 만장일치를 끌어내지 못하여 결정을 유보하였고, 그 이후 애국가에 작사자에 대한 결정은 없었다. 따라서 현재 애국가의 공식적인 작사자는 미상이다. 작곡. 처음 애국가는 가사에 스코틀랜드 가곡인 〈올드 랭 사인〉(Auld Lang Syne, 로버트 번스 작사·윌리엄 쉴드 작곡)의 가락을 붙여서 불렀다. 새 곡을 써야 할 필요를 느낀 안익태가 1935년 11월 사 장조로 된 새 가락을 작곡하여 1936년 The Korean Student Bulletin 1936년 10월호에 애국가 악보 광고가 붙기도 하였다. 새 가락을 붙인 애국가의 악보는 1942년 뉴욕한인교회 이름으로 출판되었다. 사용. 애국가는 1940년경에 상하이에 있던 대한민국 임시정부에 전해졌고 국가로 채택되었으나 한반도에는 전해지지 못했다. 다만 1942년 8월 29일에 개국한 미국의 소리 한국어 방송은 애국가 1절을 매일 방송하였다.
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한반도의 독립 이후 새 애국가의 악보가 전해졌고, 이후 1948년 세워진 대한민국 정부의 사실상의 국가(國歌)가 되었다. 애국가의 악보는 교과서 등을 통해서 한반도 전역으로 퍼져나갔다. 다만 대한민국의 성문법에서는 국가를 별도로 규정하지 않았고, 현재까지도 법령상 규정되어 있는 바는 없으나 사실상의 국가로 인정되어 있어 국가적인 행사 따위에서 연주 또는 가창된다. 라디오 방송은 해방 이후인 1945년 9월 9일(사실상 1948년 정부 수립 이후)부터 시작되었으며, 텔레비전 방송은 1956년 5월부터 1959년 2월까지 시범적으로 운영된 뒤, 1961년 12월 31일부터 본격적으로 시작되었다. 이때부터 방송 시작 및 종료 멘트와 함께 국명을 고지하며 매일 애국가를 송출하고 있다. 1980년 12월 언론 통폐합 이후, 애국가는 KBS에서 제작한 사장조 편곡의 애국가가 주로 사용되었다. 이후 1995년 행정안전부가 KBS 교향악단의 연주로 제작한 〈의식의 노래〉 음원을 배포한 뒤에도, 이 사장조 애국가는 2000년대 후반까지 방송에서 널리 활용되었다. 1990년대 들어 SBS가 개국하면서, 1992년 4월부터 선명회 합창단이 부른 애국가가 사용되기 시작했고, EBS 역시 1993년에 자체 제작한 애국가를 일시적으로 사용한 바 있다. 광복 50주년이 되는 1995년에는 SBS가 국립합창단과 선명회합창단이 함께 부른 방송용 애국가를 제작하였으며, 이 버전은 2010년 12월 31일까지 사용되었다.
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2011년 1월 1일부터 과천시립예술단이 부른 새로운 애국가로 교체되었고, 같은 해 광복 50주년을 맞아 KBS 교향악단의 연주로 제작된 YBM 서울음반의 〈의식의 노래〉 애국가가 학교 및 공공기관에서 널리 사용되었다. 이 음원은 이후 행정안전부의 대표 애국가 음원으로 지정되어, 모든 방송사에 확대 편성되었다. 다만 2005년 저작권 기증 이후에도 저작인접권 문제로 인해 국민의례 용도로만 제한적으로 사용이 가능했다. 2018년 12월 18일에는 박인영이 작곡한 애국가를 새롭게 편곡하여, 서울시립교향악단과 서울시합창단이 공동으로 문화체육관광부 및 한국저작권위원회와 함께 제작·배포하였다. 이 새 편곡 음원은 국민의례뿐 아니라 상업적 용도로도 자유롭게 사용할 수 있는 음원으로, 2019년 3월 3.1운동 및 대한민국 임시정부 수립 100주년을 기념하여 SBS가 처음으로 사용하였다. 이후 2019년 9월부터는 CBS, 가톨릭평화방송, TBS 시민의 방송 등으로 사용이 확대되었으며, 2020년에는 1월 한국교통방송, 3월 마포공동체라디오, 5월 EBS와 YTN, 8월 19일 국회방송과 금강공동체라디오, 2021년 하반기에는 KTV 국민방송까지 새 음원이 확대 적용되었다. 2018년 12월 박인영이 편곡한 문화체육관광부와 한국저작권위원회가 제작 · 배포한 애국가를 사용하였으며, 2020년 이후 모든 국경일과 국가기념일, 기념식 실황 중계의 애국가 제창 및 연주 영상으로 나오고 있다. 조선민주주의인민공화국에서.
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조선민주주의인민공화국은 대한민국을 주권 국가로 인정하지 않기 때문에 일반적으로 대한민국의 애국가 연주를 거부하고 있다. 이 때문에 조선민주주의인민공화국 축구 국가대표팀의 대한민국 축구 국가대표팀과의 2010년 FIFA 월드컵 예선 홈 경기는 평양이 아닌 중국에서 치러졌었다. 다만 2013년 평양에서 열린 아시안컵 및 아시아 클럽 대항 역도선수권대회에서는 이례적으로 대한민국의 애국가 연주가 허용되었다. 표준 한국어 가사. 원문. 一 東海물과 白頭山이 마르고 닳도록 하느님이 保佑하사 우리나라 萬歲 無窮花 三千里 華麗江山 大韓사람 大韓으로 길이 保全하세 二 南山 위에 저 소나무 鐵甲을 두른 듯 바람 서리 不變함은 우리 氣像일세 無窮花 三千里 華麗江山 大韓사람 大韓으로 길이 保全하세 三 가을 하늘 空豁한데 높고 구름 없이 밝은 달은 우리 가슴 一片丹心일세 無窮花 三千里 華麗江山 大韓사람 大韓으로 길이 保全하세 四 이 氣像과 이 맘으로 忠誠을 다하여 괴로우나 즐거우나 나라 사랑하세 無窮花 三千里 華麗江山 大韓사람 大韓으로 길이 保全하세 논란. 표절 논란. 1964년 제3회 서울 국제음악제에 초대된 지휘자 피터 니콜로프는 기자회견을 열어 자신이 서울에서 받은 대우가 좋지 않다고 불평하고 음악제를 추진한 안익태를 상대로 비난 성명을 발표하면서 애국가의 가락이 도브리치 시의 시가인 〈오 도브루잔스키 크라이〉()와 많이 닮았다고 주장했다.
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그는 기자회견 자리에서 그 노래를 부르면서, "만약 불가리아 사람들이 한국에 와서 〈오 도브루잔스키 크라이〉를 부른다면, 한국인들은 일어날 것입니다"(If Bulgarian singers came to Korea and sang "O Dobrujanski Krai", Korean audiences would stand up!) 라고 발언했다고 한다. 다만 두 곡은 첫소절이 서로 비슷하지만 〈오 도브루잔스키 크라이〉가 약박으로 시작하는 데 비해 〈애국가〉는 강박으로 시작하며, 전체적으로 가락의 분위기가 다르다. 안익태가 애국가를 작곡한 것은 1935년이고, 그가 처음으로 유럽에 간 것은 이듬해인 1936년이었기 때문에 그가 불가리아 민요를 접했을 가능성은 낮다. 또한 니콜로프의 논리는 1966년 안익태의 전기인 김경래의 『안익태의 영광과 슬픔, 코리아 판타지』(현암사)에서 "안익태는 애국가를 작곡하기 위해 필라델피아 유학시절 무려 40여 개국의 국가를 수집했다. 또한 세계 각국의 민요, 가곡, 성가곡을 모아 애국가 작곡을 위한 기초 자료로 삼았다"는 증언에 맞지 않는다고 분석되기도 한다. 1976년 이유선은 그의 책 《한국양악백년사》에서 위의 표절 문제를 거론하며 “대한민국은 완전한 민주독립국가이니만큼 하루 속히 국가를 새로 제정해야 할 것이다”고 썼다. 이에 안익태기념사업회 측은 반론자료와 함께 정부 각 부처에 진정서를 보냈다. 문화공보부와 국회사무처는 애국가가 30년 동안 국가 역할을 한 점으로 볼 때 “명확한 근거 없이 표절 여부를 논하는 것은 바람직하지 않은 일”이라고 발표했다.
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저작권 문제. 과거에는 애국가의 저작권이 국가에 귀속되지 않고 안익태의 유족이 그 권리를 가지고 있었으며, 1992년부터 이에 따라 한국음악저작권협회의 신탁을 통해 저작권료를 받고 있었다. 이에 따라 2003년에 한국음악저작권협회에서는 프로축구단 경기에서 애국가를 무단으로 사용한 두 구단을 고소하였으며, 이에 따라 논란이 불거졌다. 이후 애국가의 저작권을 국가에서 사들이는 것에 대한 논의가 일어났으며, 결국 2005년 3월 16일 안익태의 유족이 대한민국 문화체육관광부에 저작권을 기증함으로 문제는 일단락되었다. 기타. 애국가의 작사자로 유력히 추정되는 윤치호가 말년에 일본 제국의 관료로 일했다는 점이 논란거리가 되기도 한다. 윤치호는 105인 사건 때 수감을 당한 적이 있는 근대 개화 사상을 전파한 지식인으로서 일제 초기에는 독립 운동가였지만, 105인 사건 후 전향하면서 30여년을 일본의 식민 지배를 위해 앞장섰던 것이다. 또한 작곡가인 안익태도 생전에 친일 활동을 했다 하여 정치적 논란이 되기도 한다. 윤치호가 짓고 안창호가 개사하였다는 논란은 1920년대 대한민국 임시정부에도 돌고 있었는데, 이 때문에 애국가의 채택을 놓고 임정에서도 논란이 많았다. 그러나 이에 대하여 임시정부의 지도자 중 한 명이던 김구는 상하이 임시정부 시절 한 동지에게 '우리가 3.1 운동을 태극기와 애국가로 했는데 누가 지었는가가 왜 문제인가'라며 '작사ㆍ작곡가의 성향보다 애국가 안에 담긴 정신이 더 중요하다'고 반박하였다고 전해진다.
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또한 곡의 음악성에 관하여, 그 선율 자체가 처음에 못갖춘마디처럼 들려, 이로 인해 뒷부분의 호흡에 문제가 생긴다는 지적이 있다. 실제로 2006년에 YB가 편곡한 애국가에서는 첫마디만 못갖춘마디로 바뀌어 있다. 1977년 한국음악협회의 회장 조상현은 애국가의 표절 의혹과 함께 가사와 선율의 불일치, 소극적인 내용의 가사 등의 이유를 들어 1월 26일 총회에서 새 국가를 만들 것인지 여부를 결정한 다음 통과되면 이를 정부에 건의하기로 발표했다. 하지만 총회에서 새 국가에 대한 논의를 하지 않기로 결정했다. 그 이후에도 정부가 국가를 새로 제정하려고 한다는 의혹이 일기도 했지만 정부는 앞으로 국가를 새로 만들 계획이 없다는 입장을 밝혔다. 2019년 애국가의 친일성 문제와 안익태의 친일 및 친나치 행적이 지적되면서 청와대 국민청원에 국가 교체 청원이 나와도 있다.
도모나가 신이치로

도모나가 신이치로(, 1906년 3월 31일 ~ 1979년 7월 8일)는 일본의 물리학자이다. 양자전기역학의 발전에 큰 영향을 끼쳤으며 그 공로로 1965년 리처드 파인먼과 줄리언 슈윙거와 노벨 물리학상을 수상했다. 생애. 1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다. 유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창 시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨 물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.
운동량

운동량 (運動量, )은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 "p"이다. 선형 운동량() 혹은 병진 운동량()이라고도 부른다. 예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다. 선형 운동량은 보존되는 양으로, 외부에서 가해지는 힘에 의한 영향이 없는 닫힌계의 선형 운동량의 총합은 바뀌지 않는다. 고전역학에서는 선형 운동량 보존법칙이 뉴턴의 운동 법칙에 포함되어 있다. 하지만 특수 상대성 이론에서도 공식을 약간 수정한 형태로 선형 운동량 보존 법칙을 충족시킬 수 있으며, (일반화된) 선형 운동량 보존 법칙은 적절한 정의를 이용하면 전자기학, 양자역학, 양자장론, 일반 상대성 이론에도 적용할 수 있는 보존 법칙이다. 고전역학에서의 운동량. 고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱으로, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터다. 즉, 운동량을 p, 질량을 "m", 속도를 v라고 하면, 운동량은 다음과 같다.
운동량

운동량 보존 법칙. 만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다. 두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 formula_2, formula_3, 충돌 전의 속도를 formula_4, formula_5, 충돌 후의 속도를 formula_6, formula_7라고 하면 다음의 식이 성립한다. 이 때 formula_9를 반발 계수라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉 이 성립한다. 1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다. 반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌()이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 완전 비탄성 충돌이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다. 충격량. 충격량(impulse)은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다. 충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 힘은 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 "t"에 대한 힘 F에 대한 충격량 I는 이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다. 힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다. 상대론적 운동량. 특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.
운동량

여기서 E는 계의 총 에너지이며, p는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다. 상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 formula_19과 로런츠 인자 formula_20, 속도 formula_21의 곱이다. 즉, 여기서 formula_22는 신속도이다. 광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 formula_23와 운동량 formula_24는 서로 비례한다. 즉 양자역학의 운동량. 양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다. 전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다. 여기서,
앙카라

앙카라(, 앙까라)는 튀르키예의 수도이다. 이스탄불에 이어 두 번째로 큰 도시이며 앙카라 주의 주도이기도 하다. 인구는 5,156,573명이고(2021년 통계), 앙카라 주의 인구는 5,747,325명(2021년 통계)이며 또한 친절함과 아름다움으로 사랑받는 앙카라는 세계에서 사랑받는 영향력 있는 선진적 명품 도시 70개 안에 들어 가는 안전하고 아름다운 선진적 도시로 손꼽힌다. 튀르키예의 치안이 대부분 좋듯이 앙카라도 다른 유럽에 비해 훨씬 안전하다. 앙카라는 1923년 오스만 제국이 나눠지고 터키 공화국이 세워지자, 이스탄불을 대신해 수도로 지정됐다. 앙카라는 공무원이 많이 거주하는 도시이지만, 아나톨리아 지역의 상공업의 중심지이며, 도로와 철도 교통의 중심지이며 또 인스타그램 절세미인들이 많이 사는 도시이며 소셜메디아 활동량이 세계적으로 많은 큰 도시이다. 또한 최근에는 이르도안 대통령의 힘이 강해지면서 종교적으로도 진보적인 모습을 보이고 있다. 전통적인 아름다운 음악들이 있으며 최근에는 kurulus osman 이라는 역사드라마가 세계적으로 인기를 끓고 있는데 앙카라에 관련이 깊은 것으로 나타난다. 앙카라에는 중동전문대학(Hacettepe Üniversitesi)와 앙카라대학(Ankara Üniversitesi)이 있다. 또 국립도서관, 고고학박물관, 민속학박물관과 국립극장, 대통령 관현악단이 앙카라에 있다. 앙카라가 수도가 된 이후의 개발로 옛 도심지였던 울루스(Ulus)와 신 개발지대인 예니세히르(Yenisehir)로 구분된다.
앙카라

울루스는 로마·비잔틴·오스만 양식의 옛 건물과 좁은 도로로 대표되는 데 반해 예니세히르에는 넓은 도로, 호텔, 극장과 아파트 건물이 들어차 더 현대도시다운 모습을 하고 있다. 정부 청사와 외국 공관도 예니세히르에 소재해 있다. 역사. 고대사. 앙카라는 기원전 2000년부터 기원전 1700년까지 히타이트 문명의 지배하에 있었다. 기원전 1000년 경에는 프리기아인들이 이 곳에 정착했고, 프리기아의 수도인 고르디움이 현재 앙카라 주의 남서쪽에 위치한 포랏르에 있었다. 앙카라는 고대에 프리기아인들의 풍요한 도시였으나 후에 지진으로 고르디움은 파괴되었다. 미다스의 손 신화로 유명한 미다스 왕이 프리기아의 왕이었다. 프리기아의 풍습은 리디아와 페르시아의 통치 기간에도 계승됐다. 프리기아의 풍습은 로마 시대 때까지 계속됐다. 페르시아 제국의 왕도(王道)가 이곳을 지나갔다. 중앙 아나톨리아 지방의 주권은 페르시아 제국이 기원전 330년 알렉산더 대왕에게 패배하기 전까지 페르시아 제국이 갖고있었다. 알렉산더 대왕은 고르디움을 통해 앙카라에 입성했고 짧은 기간만 머물렀다. 기원전 323년 알렉산더 대왕이 사망하자, 마케도니아 제국은 뿔뿔히 나뉘어서 안티고노스 1세가 앙카라 지역을 차지한다, 기원전 300년 경에는 아나톨리아 지방의 북동부에 위치한 폰토스가 무역거점으로 삼기위해서 이 지역에 진출했다.
앙카라

그리고 앙카라의 이름의 기원이 된 안키라(Áγκυρα, 그리스어로 닻)라는 이름이 생겨났다. 켈트 시대. 그 후 기원전 232년경 갈라티아 지방에 정착한 켈트인의 일파인 텍토사게스족(라틴어 Tectosages)들의 중심지가 되었다. 로마 시대. 기원전 189년에는 로마의 집정관 '그나이우스 만리우스 불소'가 앙카라를 점령하여 갈라티아인들에 대한 군사활동의 근거지로 삼았다. 기원전 63년에는 폼페이우스가 다른 텍토사게스 영토와 함께 한 수장 아래 두어 한동안 자치가 이루어지다가 기원전 25년에 아우구스투스 황제가 앙카라를 로마 제국의 갈라티아 속주 수도로 삼았다. 이때 앙카라의 주민구성은 그리스인, 유대인, 로마인, 로마화된 켈트인들을 포함하고 그리스어가 사용되었으나 그리스화된 헬레니즘 도시가 되지는 않은 상태였다. 기원후 19년경 그리스인 지리학자 스트라본은 앙카라를 도시가 아니라 요새라고 불러 그리스·로마 도시 수준의 공공시설 등을 갖추지 못하였다고 암시하고 있다. 비문이나 주화에 남겨진 기록으로 유추해 볼 때 당시 앙카라의 문화는 켈트 바탕에 로마의 사상과 관습이 얹힌 형태였다고 여겨진다. 150년경에야 진정한 헬레니즘이 싹트기 시작한다. 기독교가 북쪽이나 서북쪽으로부터 전파된 시기는 이르면 1세기 정도로 생각된다. 앙카라의 위상은 콘스탄티노플이 로마 제국의 국제 도시가 되고 나서야 가까운 지리조건 덕에 크게 올라갔다. 그 후 중세에도 앙카라는 여전히 중요한 도시로의 위치를 고수하였다.
앙카라

동로마 제국의 도시였을 때는 페르시아인들과 아랍인들의 공격을 받았다. 튀르크 제국 시대. 1073년에는 셀주크 튀르크에게 점령을 당하였다. 십자군 원정을 온 툴루즈의 레이몽 4세가 1101년 셀주크 튀르크를 몰아냈으나 동로마 제국은 앙카라를 지배할 만한 힘이 없어 그 후 셀주크 튀르크와 다른 경쟁 세력들은 앙카라를 두고 서로 싸웠다. 1356년에는 오스만 제국의 2대 술탄인 오르한 1세가 앙카라를 정복하였다. 티무르 제국의 티무르가 아나톨리아 원정 때 앙카라를 포위 공격해 1402년 빼앗았다. 그러나 1403년에 앙카라는 다시 오스만의 지배하에 돌아와서 제1차 세계 대전 때까지 오스만 제국이 지배하고 있었다. 1차 대전의 종반 무렵, 현재의 터키 지방은 오스만 술탄의 지배하에 있었으나 그리스 군의 침공을 받고 있는 상태였다. 터키 민족주의 지도자 케말 파샤(후의 케말 아타튀르크)는 그의 저항운동 본부를 1919년 앙카라에 세웠다(터키 독립전쟁 참조). 1923년 터키 공화국이 수립되고 앙카라가 이스탄불(당시 콘스탄티노폴리스) 대신 터키의 수도로 정해졌다. 터키 공화국 시대. 앙카라가 터키 공화국의 수도가 된 이후, 구시가지는 울루스(Ulus)로, 신시가지는 예니셰히르로 불리게 되었다.
앙카라

로마시대, 동로마시대, 오스만 제국 시대의 유적들과 오래된 시장, 옛 관공서 등은 울루스에, 대로, 신식 호텔, 극장, 쇼핑몰, 신식 관공서, 대사관 등은 크즐라이(Kızılay)를 중심으로 하는 신시가지에 위치하게 됐다. 그 이후, 앙카라는 터키 공화국의 수도로서 눈부신 발전을 이룩했다. 1924년에는 앙카라의 인구는 35,000명 밖에 되지 않았다. 1950년에는 286,781명이 사는 도시가 되었고, 2014년에는 5,150,072명의 인구가 사는 대도시가 되었고, 현재 터키에서 두 번째로 인구가 많은 도시가 됐다. 2015년 10월 10일 현지시각 오전 10시 4분에(EEST) 앙카라 중앙역 앞에서 테러가 발생했다. 이 테러로 102명이 사망하고, 400명이 넘는 사람들이 다쳤다. 이 테러는 터키 공화국의 역사상 최악의 인명피해를 낸 테러였다. 기후. 앙카라는 중앙아나톨리아 지역, 즉 내륙에 위치하여 대륙성 기후를 띈다. 여름에는 덥고 건조한 날씨가, 겨울에는 춥고 눈이 많이 온다. 주로 가을과 봄에 비가 내린다. 앙카라는 고지대에 위치하다보니 여름에는 낮에 덥고 건조하지만, 밤에는 시원하다. 연간 강수량은 402mm 이고 1월 평균기온은 0.4 °C, 7월 평균기온은 23.6 °C이다. 인구. 1923년 터키의 수도가 될 당시 앙카라는 원래 인구 50만 명을 수용할 수 있는 도시로 계획이 되었다. 1927년 앙카라의 인구는 75,000명에 불과했지만, 1950년대에 들어서면서 지방에서 많은 사람들이 이주하여 인구가 폭증하기 시작하였다.
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2013년에는 5,045,083명(남자 2,507,525명, 여자 2,537,558명)으로 집계되었다. 경제. 앙카라는 중요한 상업·공업도시이며 주변의 농업 지대에게는 중요한 시장이다. 역사적으로 앙고라 염소털로 만든 모헤어, 앙고라 토끼 털로 만든 앙고라 울을 생산하는 섬유산업이 발달했었다. 또한, 중앙 아나톨리아 지방에서 포도가 많이 생산되었기 때문에 와인 생산지로도 유명했다. 특히, 카바클데레 와인(Kavaklıdere wine)이 유명하다. 공업에서는 TAI(Turkish Aerospace Industries), MKE, 아셀산(ASELSAN), 하벨산(Havelsan), 로켓산(Roketsan), 누롤 마키나(Nurol Makina) 등의 항공산업 및 방위산업 관련 회사들의 본사가 위치하여있다. 이들 업체의 수출은 계속해서 늘어나고 있다. 또한, 독일의 버스, 트럭 제조 회사인 MAN SE의 공장도 위치하여있다. 또한, 앙카라에 위치한 앙카라 대학교, 중동공과 대학교, 빌켄트 대학교 등에서 배출한 인재들이 꾸준히 산업에 투입되고 있다. 정부기관의 고용 역시 앙카라 경제에 상당히 큰 부분을 차지한다. 또한, 각국의 대사관에서 일하는 외국인의 비중도 높은 편이다. 쇼핑. 외국인 관광객들이 많이 찾는 시장은 울루스에 위치한 츠크르크츠라르 요쿠수("Çıkrıkçılar Yokuşu")로 주로 양탄자, 가죽 제품 등을 판매한다. 바클크라르 시장(Bakırcılar Çarşısı)은 장식품, 카펫, 골동품 등으로 유명한 시장이다. 앙카라성 근처에도 향신료, 말린 과일, 견과류 등을 판매하는 시장이 있다. 또한, 스히예 광장 주변에는 매일 전통시장이 열린다.
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현대적인 쇼핑몰은 크즐라이나 찬카야의 투나르 힐미 에비뉴에서 주로 볼 수 있다. 크즐라이역 주변에는 크즐라이 쇼핑몰이 있는데 푸드코드, 스타벅스, 옷가게가 입점해있다. 아트리움 몰(Atrium Mall) 옆에 바로 옆에 있는 아타쿨레 타워의 꼭대기 층에는 레스토랑이 있다. AŞTİ역 주변에는 아르마다 쇼핑 몰이 위치하고 있다. 또한, 케치외렌의 에트리크 지역에 대형 슈퍼마켓, 오락실, H&M 등이 입점해있는 안타레스 쇼핑몰이 위치하고 있다. 아르마다, CEPA, 켄트파크 쇼핑 몰이 고속도로 변에 있고, 갈레리아, 알자디움, 골디온이 위밋쾨이에 위치한다. H&M, ZARA 등의 브랜드가 입점해 있는 앙카몰은 앙카라에서 가장 큰 쇼핑몰로 아크쾨프뤼역 바로 앞에 위치해 있다. 2014년에는 넥스트 레벨과 타우루스 쇼핑몰이 오픈했다. 정치. 앙카라는 정치적으로 이슬람주의 보수당인 정의개발당(AKP, Adalet ve Kalkınma Partisi) 케말주의 중도좌파인 공화인민당(CHP, Cumhuriyet Halk Partisi) 민족주의 극우인 민족주의자운동당(MHP, Milliyetçi Hareket Partisi)가 의석을 나누어 갖고 있다. 선거구 수는 25개이다. 2014년 선거 결과 공화인민당은 2개의 의석을 차지하고 있으나, 앙카라에서 가장 인구가 많은 찬카야(Çankaya)에 의석을 가지고 있다. 민족주의자운동당은 2개의 의석을 갖고 있다. 전반적으로 정의개발당이 많은 의석을 차지하고 있다. 앙카라는 이즈미르나 이스탄불과는 달리 정치적으로 보수적인 경향을 보인다.
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하지만, 2013년 터키 반정부 시위 때 앙카라에서도 이스탄불, 이즈미르 못지 않은 격렬한 시위가 발생했고, 다수의 사상자도 있었다. 멜리흐 괵체크(Melih Gökçek)가 1994년부터 현재까지 앙카라의 시장으로 재임 중이며, 터키 복지당(RP, Refah Partisi)에서 선행당(FP, Fazilet Partisi)으로 그리고 정의개발당으로 당적을 옮겼다. 멜리흐 괵체크는 1994년 선거를 시작으로 1999년, 2004년, 2009년까지 당선되었으며, 2014년 선거에서도 당선되면서 5선 시장이 되었다. 민족주의자운동당에서 2009년 보수 정치인인 만수르 야바쉬(Mansur Yavaş)를 내세웠으나 낙선했다. 멜리흐 괵체크는 2009년 선거에서 1% 차이로 승리했으며, 만수르 야바쉬는 이를 조직적인 부정 선거라고 주장했다. 만수르 야바쉬는 터키 최고선거관리위원회에 제소했으나 기각당했고, 그 후에 유럽 인권 재판소에 이를 다시 재소했다. 멜리흐 괵체크가 5번이나 당선됐지만, 2009년 선거는 상당수의 유권자들이 부정선거로 인식하고 있다. 교통. 앙카라 지하철과 대부분의 버스는 EGO(The Electricity, Gas, Bus General Directorate)에서 운영한다. 대다수의 버스는 교통카드만을 이용해서 사용이 가능하지만, 일부 개인이 운영하는 버스에서는 현금으로만 탑승이 가능하다. 현재 앙카라에는 경전철인 앙카라이(Ankaray, A1)와 M1, M2, M3까지 3개의 지하철이 운행중이며, M4가 건설중이다. 또한, 쉔테페와 예니마할레역을 연결하는 케이블카도 운행 중이다.
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앙카라 중앙역(Ankara Railway Station)은 터키 철도 교통에서 매우 중요한 위치를 차지한다. 터키 국영철도에서 앙카라에서 이스탄불, 에스키쉐히르, 시바스 등 전국 각지로 여객 서비스를 제공한다. 또한, 신잔역(Sincan)에서부터 카야쉬역(Kayaş)까지 광역철도도 운행중이다. 2009년 3월 13일에 앙카라와 에스키쉐히르를 잇는, 2011년 8월 23일에는 앙카라와 코냐간, 2014년 7월 25일에는 앙카라와 이스탄불을 3시간 30분만에 연결하는 고속열차인 YHT(Yüksek Hızlı Tren)가 각각 개통되었다. 앙카라는 또한 국토의 중앙에 위치하여 있기에 버스 교통에서도 중요한 위치를 차지한다. 버스 터미널인 AŞTİ(Ankara Şehirlerarası Terminal İşletmesi)는 거의 모든 노선을 갖추고 있다. 앙카라의 공항은 시 북서쪽에 위치한 에센보아 국제공항이 있다. 아타튀르크 국제공항이나 사비하 괵첸 국제공항에 비해 노선수가 적지만 터키 국내선과 프랑크푸르트, 모스크바 등 유럽 주요 도시를 연결하는 노선이 있다. 스포츠. 터키의 타지역처럼 축구가 가장 인기 있는 스포츠이다. 1923년 창단된 겐츨레르비를리이 SK가 앙카라를 연고지로 하는 축구팀으로 쉬페르리그에서 활동중이다. 겐츨레르비를리이 SK는 1987년과 2001년에 튀르키예 쿠파스의 우승팀이었다. 또한, 1910년 창단된 MKE 앙카라귀쥐는 가장 오래된 축구팀이지만 현재는 TFF 2. 리그에 소속되어있다. MKE 앙카라귀쥐는 1972년과 1981년 튀르키예 쿠파스의 우승팀이었다.
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겐츨레르비르 B팀과 하제테페 SK도 쉬페르리그에 소속되었던 적이 있다. 위의 모든 팀들은 앙카라 19 마으스 스타디움을 홈 구장으로 한다. 또한 앙카라스포르도 앙카라를 홈으로 하는 팀으로 2018년까지 쉬페르리그에 소속되어 있었다. 홈 구장은 예니켄트 아사쉬 스타디움으로 신잔에 위치한다. 또한, 신잔을 홈으로 하는 부그사쉬스포르, 에티메스구트를 홈으로 하는 에티메스구트 쉐케르스포르, 예니마할레를 홈으로 하는 튀르크 텔레콤스포르, 찬카야를 홈으로 하는 앙카라 데미르스포르, 케치외렌의 케치외렌귀쥐, 케치외렌스포르, 푸르사클라르스포르, 바룸스포르, 알튼닥을 홈으로 하는 페트롤 오피시 스포르 같은 군소 팀들도 존재한다. 또한, 농구 역시 인기 있는 스포츠이다. 앙카라에는 앙카라 아레나를 홈으로 하는 튀르크 텔레콤과 TOBB 스포츠 홀을 홈으로 하는 카사 테드 콜레즈리레르 두 개의 농구팀이 있다. 배구에서는 할크뱅크 앙카라가 통산 6회 터키 남자 배구 리그(Türkiye 1. Voleybol Ligi) 우승을 차지한 강팀이다. 아이스 스케이팅과 아이스하키 경기도 앙카라 버즈 파테니 사라이(Ankara Buz Pateni Sarayı)에서 열린다. 1980년대 이후로는 스케이트 보드장도 많이 만들어졌다. 2012년 완공된 THF 스포츠 홀에서는 터키 핸드볼 쉬페르 리그(Türkiye Hentbol Süper Ligi)와 여자 핸드볼 리그(Türkiye Kadınlar Hentbol Süper Ligi)가 개최된다.
앙카라

교육. 대학교. 앙카라는 이스탄불과 더불어 대학교가 모여 있는 도시로 유명하다. 공원. 앙카라에는 도시 곳곳에 크고 작은 공원들이 있다. 울루스에 위치한 겐츨리크 공원(Gençlik Parkı)에는 놀이공원과 호수가 있어서 주말에 많은 사람들이 찾는다. 크즐라이에 위치한 귀벤 공원(Güven Park)에는 시미트와 꽃을 파는 행상들이 많이 있으며, 아타튀르크의 동상이 있다. 카바크르레데에 위치한 쿨루 공원(Kuğulu Park)에는 중국 정부에서 선물받은 백조와 흑조, 오리 등이 살고 있다. 알튼 공원(Altın Park)는 넓은 공원과 호수가 있으며, 배를 탈 수 있다. 앙카라 외곽지역인 에르야만에는 야경과 호수가 아름다운 괵수 공원(Göksu Park)가 있다. 또한, 앙카라 아레나 주변에는 한국 전쟁에서 전사한 터키 군인을 기리기 위한 한국 공원(Kore Bahçesi)이 있다. 겐츨리크 공원은 1952년부터 1976년까지 100 튀르키예 리라의 뒷면에 그려져 있었다. 또한, 시내에 아타튀르크 오르만 치프트리이(Atatürk Orman Çiftliği)라는 아타튀르크가 생전에 농장일을 하던 농원이 있는데, 이 곳에는 동물원과 농장, 레스토랑 등이 있다. 또한, 아타튀르크가 태어난 그리스 테살로니키에 위치한 생가를 완벽하게 복원해 놓은 집도 있다. 농장인 치프틀리크(Çiftlik)에 방문하는 관광객들은 농장에서 생산되는 치즈, 전통 맥주, 아이스크림 등을 맛볼 수 있으며, 주변에는 카페와 레스토랑들이 있다. 상징물. 앙고라 고양이. 앙카라는 세계적으로 유명한 고양이 품종인 터키시 앙고라(Ankara kedisi)가 살던 지방이다.
앙카라

터키시 앙고라는 주로 희고, 부드러운 긴 털을 갖고 있지만, 오늘날에는 품종 개량을 통해 검은털이나 붉은털을 가진 터키시 앙고라도 많다. 터키시 앙고라는 페르시안 고양이나 터키시 밴과도 가까운 품종이다. 눈은 파란색, 녹색, 황색인 경우도 있지만 간혹가다 한쪽 눈과 다른쪽 눈의 색이 다른 오드아이도 있다. 귀는 크고 눈은 아몬드 모양으로 생겼다. 앙고라 토끼. 앙고라 토끼(Ankara tavşanı)는 앙카라 주변에 살던 길고, 부드러운 털을 가진 토끼이다. 앙고라 토끼는 가장 오래된 가축용 토끼 중에 하나인데, 중세시대에 프랑스 왕실의 애완용 토끼로 유명하다. 미국에는 20세기 초에 처음으로 도입됐다. 앙고라 토끼는 털인 앙고라 울로 유명한데, 앙고라 울은 희고 길며 가벼워서 의복 재료에 많이 쓰인다. 앙고라 토끼를 사육하는 가장 큰 이유는 앙고라 울을 얻기 위해서다. 대부분의 앙고라 토끼는 온순하지만, 주의 깊게 다뤄주어야 한다. 여름에는 털을 짧게 깎기도 하는데, 긴 털 때문에 여름에 열사할 가능성이 있기 때문이다.
삼각 함수

수학에서 삼각 함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 즉, 삼각형의 각도와 변의 길이의 관계를 나타낸 것이다. 예각 삼각 함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각 함수 역시 정의할 수 있다. 삼각 함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다. 삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(, , 기호 formula_1) · 코사인(, , 기호 formula_2) · 탄젠트(, , 기호 formula_3)라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(, 기호 formula_4) · 시컨트(, 기호 formula_5) · 코탄젠트(, 기호 formula_6)라고 한다. 정의. 직각 삼각형을 통한 정의. C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 formula_7라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다. 또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다. 단위원을 통한 정의. 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A formula_14에 대해, formula_15축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 formula_16 라고 하면, 다음과 같이 정의한다. 복소 삼각 함수. 오일러의 공식 formula_23에 formula_24를 대입하면, formula_26를 대입하면, 연립하여 풀면, 쌍곡선함수, 성질.
삼각 함수

주기성과 특이점. 사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 formula_31인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 formula_32에 대하여, 탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 formula_37인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 formula_32에 대하여, 사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 formula_41에서 본질적 특이점을 갖는다. 탄젠트는 실수선의 formula_42 (formula_43)에서 정의되지 않는다. 특별한 값. 특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다. 부호. 각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다. 항등식. 삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 formula_45인 빗변이고 밑변이 formula_46 각 formula_15의 대변인 높이 formula_48에 대하여 formula_49를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각 함수로 나타내면 다음과 같다. 이것은 다음과 같다. 따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다. 삼각 함수의 덧셈정리. 서로 다른 삼각 함수의 관계는 삼각 함수의 덧셈 정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.
삼각 함수

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다. 모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. 미분과 적분. 다음은 6개의 기본 삼각 함수에 대한 도함수와 부정적분이다. 응용. 사인 법칙. 사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 "a", "b", "c"에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다. 마찬가지로, 도 성립한다. 여기서 "R"은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다. 코사인 법칙. 코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다. 코사인 제 1 법칙에 따르면, 양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다. 코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다. 가 성립하고, 위의 식을 변형하면 와 같이 나타낼 수 있다. 코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다. 탄젠트 법칙. 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 "a", "b"에 다음과 같은 식을 만족시킨다. 역사. 기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다. 현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다.
삼각 함수

기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다. 삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다. 어원. 영어 ‘사인()’은 라틴어 에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 ()를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 (, 베다 )를 음차한 것이다. ‘탄젠트()’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 에서 왔고, ‘시컨트()’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다. 코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 의 (1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’()을 ‘코사인()’으로 줄여 부른 것이다. 한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.
브라-켓 표기법

브라-켓 표기법()은 양자역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법으로, 추상적인 벡터와 선형 범함수를 표현하는 데 사용된다. 이 표기법은 꺾쇠괄호 '⟨', '⟩'와 , 수직선 '|' 을 사용하여 표기한다. 오른꺾쇠괄호로 표기한 것을 켓이라고 하며, 주로 열벡터를 나타내고 다음과 같이 쓰인다. 왼꺾쇠괄호로 표기한 것을 브라라고 하며, 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다. 여기에서 는 '켓-'로 읽고, 는 '브라-'로 읽는다. 유한차원벡터공간에 포함된 브라와 켓에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다. 이때, 은 의 켤레 복소수이다. 브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 표현하는데 사용된다. 브라-켓 표기법은 복소벡터공간에서 벡터의 스칼라곱 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다. 내적이나 작용은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다. 같은 레이블인(같은 내용물을 가진)브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다. 쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 〈"ψ"| 는 다음과 같이 켓벡터 |"ψ"〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다. 브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에 디랙 표기법이라고도 한다. 브라-켓 표기법이 생겨나기 100년 전쯤에 헤르만 그라스만이 내적을 formula_7 으로 표기한 전례가 있다.
브라-켓 표기법

소개. 브라-켓 표기법은 선형 대수학의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 복소 벡터 공간에서의 벡터, 내적, 선형 연산자, 에르미트 수반, 쌍대공간에 초점이 맞추어져있으며, 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다. 양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 또한 양자역학으로 설명되는 많은 현상들이 브라-켓 표기법을 사용하여 표현된다. 표기법에 대해 간단히 설명하자면, 켓 은 열벡터이며, 같은 레이블의 브라 의 켤레 전치(행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 행렬 곱셈을 의미한다. 그러나, 켓은 열벡터로 쓰여지기 어려운 불가산 무한차원 벡터 공간에서 나타날 수도 있다. 또한, 숫자들의 목록으로 열벡터를 쓰기 위해서는 기저가 필요한데, 이에 반해 "이라고 쓰는것은 어떠한 특정한 기저를 정할 필요가 없다. 이러한 특성은 자주 다른 기저(예를 들자면 위치 기저, 운동량기저, 에너지 고유기저 등)로 바꿔야하는 양자역학에서의 계산에 유용하며, 그래서 브라-켓 표기법은 행렬로 쓰이기 어려운 기저벡터를 명시적으로 표현하기에 좋다. 심지어 어떤 상황에서는 중요한 두 기저 벡터가 단순히"와""로 표현될 때도 있다. 일부 물리학자들이 선호하는 내적에 대한 표준 수학적 표기법은 다음의 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다. 브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음의 구성은 외적을 나타낸다.
브라-켓 표기법

또한 행렬 곱셈(즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다. 만약 켓이 벡터공간의 한 원소일 경우, 대응되는 브라는 쌍대공간의 원소이다. — 리스 표현 정리를 참고하라. 벡터 공간. 벡터와 켓의 차이점. 수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 대부분 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량(변위, 속도 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나() 또는 굵게 표시하여 () 쓰여진다. 양자역학에서 양자 상태는 일반적으로 추상복소벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 파동함수(삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가리키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들은 일반적으로 "켓"으로 불리게 되고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다. 켓 표기법. 디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다(예시: ). 켓 표기법이 사용된 것들은 "켓"이라고 불리며, 는 "켓-A"로 읽는다. 이러한 켓들은 선형대수학의 일반적인 법칙을 통해 만들어질 수 있다. 다음의 수식은 그 예시이다. 참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어라도 레이블로 적절하다면 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다.
브라-켓 표기법

예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"는 " 자체의 의미와 관계 없이 구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, 는 일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그러나 이해를 돕기 위해서 켓 안의 레이블은 논리적으로 일관성 있게 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 에너지 고유켓은 일반적이고 관습적으로 양자수를 나열한 것으로 붙여진다. 내적과 브라. 내적은 일반화된 스칼라곱으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은 으로 쓰일 수 있다. 여기에서 와 는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘 다 켓이다. 와 의 내적은 브라–켓 표기법으로 다음과 같이 표기할 수 있다. 브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눌 수 있다. 여기에서 는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, 는 위에서와 같이 켓이다. 내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 와 켓 는 "둘다" , "그 자체"로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미는 크게 두가지가 있지만, 표현 는 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석된다. 브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석. 고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.
브라-켓 표기법

이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다. 그리고 이러한 정의에서는 브라 옆에 켓을 놓는 것이 행렬 곱셈의 의미를 갖는다는 것을 암시한다. 브라의 켤레 전치("에르미트 수반"으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 왜냐하면 다음과 같은 브라, 가 있을 때, 켤레 복소수를 취하고 행렬을 전치하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다. 브라를 선형범함수로 해석. 무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운, 동치의 추상적인 정의는 브라를 켓의 공간에서의 선형 범함수로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 선형 변환으로 정의하는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약 가 리스 표현 정리 아래에서 와 상응하는 선형 범함수라면 다음과 같이 함수로 표시할 수 있다. 즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 "내적이 아니다". 이러한 내용이 혼란스러울 수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다. 수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어 있다. 규격화 불가능 상태와 비힐베르트 공간에서의 브라-켓 표기법. 브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다. 양자역학에서, 무한의 노름을 가지고 있는 켓, 즉, 규격화 불가능 파동함수들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 디랙 델타 함수나 무한 평면파가 파동 함수로 사용되는 상태 등이 있다.
브라-켓 표기법

기술적으로, 이러한 상태는 힐베르트 공간에 속하지 않는다. 그러나, "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태들을 포함하도록 확장될 수 있다.(겔판트-나이마르크-세갈 구성과 조작된 힐베르트 공간을 참고하라.) 브라–켓 표기법은 이러한 넓은 맥락에서도 비유적으로 사용될 수 있다. 바나흐 공간은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간 에서, 벡터는 켓으로, 선형 범함수는 브라로 표기될 수 있다. 사실, 위상 공간이 아닌 어떠한 벡터공간에서도 벡터를 켓으로 선형 범함수를 브라로 표기하는 것이 가능하다. 이러한 더 일반적인 맥락에서 꺾쇠괄호는 리스 표현 정리가 적용될 수 없기 때문에 더 이상 내적의 의미를 가질 수 없다. 양자역학에서의 사용. 양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 선형대수학을 기반으로 한다. 벡터와 선형 연산자를 포함한 양자역학의 모든 계산은 사실상 브라-켓 표기법으로 표기될 수 있다. 아래는 그에 대한 몇 가지 예시이다. 스핀이 없는 위치공간 파동함수. 스핀-0 점입자의 힐베르트 공간은 "공간기저" 위에 펼쳐져있으며, 이때 레이블 은 모든 점들의 위치 공간의 집합으로 확장된다. 이 레이블은 몇몇 기저 상태에서 작용하는 위치 연산자의 고유값, formula_19이다. 불가산 무한한 수의 벡터의 원소는 기저에 있는, 이것은 불가산 무한 차원 힐베르트 공간. 힐베르트 공간의 차원(일반적으로 무한한) 그리고 위치 공간(보통 1,2,3)은 섞이지 않는다.
브라-켓 표기법

이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓 에 대해 다음과 같이 파동함수로도 알려져 있는 스칼라 함수 을 정의할 수 있다. 왼쪽의 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 는 켓이다. 그 다음에는 관습적으로 파동함수(켓)에 작용하는 선형 연산자를 다음과 같은 방법으로 정의한다. 예를 들어, 운동량 연산자 는 다음과 같은 형태이다. 간혹 다음과 같은 표현을 만나게 될 때도 있다. 하지만 이것은 표기법의 남용이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저 에 사영되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다. 그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는 와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다. 상태의 중첩. 양자 역학에서 식 은 일반적으로 상태가 상태 으로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다. 수학적으로는 가 으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태 의 상태 로의 사영을 의미한다. 스핀- 입자에 대한 기저 변환. 정적인 스핀- 입자는 이차원 힐베르트 공간을 가진다. 그 공간의 정규 직교 기저 가운데 하나는 다음과 같다. 여기에서, 가 각운동량 연산자 "Sz" 의 값이 확실히 인 상태이고, 는 각운동량 연산자 의 값이 확실히 인 상태이다. 이러한 기저를 통해, 입자의 "어떠한" 양자 상태도 두 기저의 선형결합(즉, 양자 중첩)으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 이때 "aψ" 와 "bψ" 는 복소수이다. 다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 "다른" 기저도 존재한다. 이 상태들은 대신 의 관점에서 정의된 것이다.
브라-켓 표기법

또한, 입자의 "어떠한" 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 어떠한 기저를 사용하는지에 따라 다음과 같이 다른 벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다. 다시 말해서, 벡터의 "좌표"는 사용된 기저에 의존한다. 이것은 , 와 , 의 수학적 관계이다. 자세한 내용은 기저 변환을 참고하라. 잘못된 사용. 표기법의 몇가지 관례와 오용이 물리학계에서 일반적으로 받아들여지고 있지만 이러한 표기법은 혼동을 일으킬 여지가 있다. 같은 방정식에서 "레이블"과 상수로 같은 기호를 사용하는 것은 일반적이다. 예를 들어, formula_30에서 기호 formula_31는 동시에 "연산자의 이름" , "고유벡터" 그리고 연관된 "고유값" 로 사용되었다. 벡터의 요소를 표기할 때 이와 비슷한 일이 발생한다. 동 (대문자)는 전통적으로 파동함수와 연관되었고, (소문자)는 같은 맥락에서 파동함수 또는 복소상수 레이블을 표시하는데 사용되며, 아래첨자에 의해서만 구분된다. 주된 남용은 벡터 레이블 안에 연산을 포함하는 것이다. 이러한 남용은 벡터의 크기변환을 빠르게 표기하기 위해 사용된다. 즉, 만약 벡터 가 배 크기변환될 때, 이것을 으로 표시하는 셈이다. 그러나 이러한 표기법은 말이 되지 않는다. 왜냐하면 가 함수나 숫자가 아닌 레이블(이름)이기 때문에 연산을 수행할 수 없기 때문이다. 이러한 오용은 와 같이 벡터를 텐서곱으로 표현할 때 레이블의 일부가 표기법의 바깥으로 나가는 경우가 일반적이다. 여기에서, 서로 다른 뜻을 갖고있는 세 벡터의 레이블의 일부분이 아래첨자 1, 2와 같이 켓의 바깥으로 이동했다.
브라-켓 표기법

그리고 가 첫 번째 벡터의 노름(벡터의 크기)을 의미하는 것으로 오용되었다. 선형 연산자. 켓에 작용하는 선형 연산자. 켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 선형 연산자를 맵이라고 한다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇 가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서, 만약 가 선형 연산자이고 가 켓일 때, 은 또다른 켓이다. -차원 힐베르트 공간에서, 는 열벡터로 쓰일 수 있으며, 는 복소수 항목을 포함한 행렬로 쓰일 수 있다. 켓 는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다. 선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, 에너지나 운동량 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 유니터리 선형 연산자로 표현된다. 브라에 작용하는 선형 연산자. 연산자는 브라의 "오른쪽"에서 작용하는 것으로 표기된다. 특히, 만약 가 선형 연산자이고, 가 브라이면, 는 규칙에 따라 다음과 같이 정의되는 또 다른 브라이다. -차원 힐베르트 공간에서, 는 행벡터로 쓰일 수 있고,(이전 단락에서와 같은) 는 행렬으로 쓰일 수 있다. 그러고 나면 브라 는 일반적인 행렬 곱셈으로 계산될 수 있다. 만약 같은 상태 벡터가 다음과 같이 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면 이 표현은 상태 에 있는 물리학 계에 대해 관측 가능한 표현 연산자 의 기대값 또는 평균을 나타낸다. 외적. 힐베르트 공간 에서 선형 연산자를 정의하는 편리한 방법은 외적으로 정의하는 것이다. 만약 가 브라이고 이 켓이면, 외적 은 다음과 같은 규칙에 따라 계급-1 연산자를 나타낸다.
브라-켓 표기법

유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다. 이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는 행렬이다. 외적의 사용 용도 가운데 하나는 사영작용소를 구성하는 것이다. 노름이 1인 주어진 켓 에 대해, 에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 다음과 같다. 에르미트 수반 연산자. 브라와 켓이 서로 변환될 수 있는 것처럼(를 으로 만듦으로써), 에 상응하는 쌍대공간의 원소는 이다. 이때 는 연산자 의 에르미트 수반이다. 다시말해, 만약 가 행렬로 표현된다면, 는 의 켤레전치이다. 인 자기수반연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 관측가능량은 항상 자기수반연산자로 표현된다. 만약 가 자기수반연산자이면, 는 항상 실수이다(복소수가 아니다). 이것은 관측가능량의 기댓값이 실수임을 의미한다. 성질. 브라-켓 표기법은 선형대수 표현의 조작을 쉽게하기 위해 고안되었다. 여기에는 조작을 쉽게 하는 몇몇 특성들을 목록으로 정리해두었다. 무엇을 다음과 같이, 과 는 임의의 복소수이고, 는 의 켤레 복소수를 의미하며, 와 는 임의의 선형 연산자를 나타내고, 이러한 특성은 브라와 켓 어느 것을 골라도 적용된다. 연관성. 브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서, 괄호로 묶는것은 어떠한 문제도 되지 않는다(즉, 연결결합법칙 속성을 갖고 있다.). 예를 들어: 등과 같다. 식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는 것이 허용된다.
브라-켓 표기법

"왜냐하면" 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 역전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다. 에르미트 수반. 브라–켓 표기법은 특히 에르미트 수반(또는 데거라고 하며 으로 표시한다.)의 표현이다. 공식적인 규칙은 다음과 같다: 이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다. 아래는 몇가지 예시이다. 브라와 켓의 합성. 두 힐베르트 공간 와 는 텐서곱을 통해 또다른 공간 을 형성할 수 있는데, 이것은 양자역학에서 복합계를 설명하는데 사용된다. 만약 계가 각각 와 로 설명되는 두개의 부분계의 합성인 경우, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱이다. ( 두 부분계가 동일입자인 경우는 예외이며, 이러한 경우, 상황은 약간 더 복잡해진다.) 만약 가 에 속한 켓이고, 는 ,에 속한 켓일 때, 두 켓의 직접 곱은 에 속한 켓이다. 이것은 다음과 같이 다양한 표기법으로 쓰여진다. 이러한 곱의 적용은 양자 얽힘과 EPR 역설을 참고하라. 단위 연산자. 완비정규직교계(기저)이고, 인 노름이 내적인 힐베르트 공간를 고려하자. 기초적인 함수해석에서, 어떠한 켓 는 다음과 같이 쓰일 수 있다는 것은 알려진 사실이다. 이때 은 힐베르트 공간 위에서의 내적이다. 이것은 켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음의. 는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 '항등 연산자'여야 한다. 수학자들에 의해 사용된 표기법. 브라-켓 표기법을 사용할 때 물리학자가 고려하는 대상은 힐베르트 공간 (완비 내적 공간)이다.
브라-켓 표기법

를 힐베르트 공간이라고 하고, 를 안의 벡터라고 하자. 물리학자들이 로 나타내고 싶은 것은 벡터 그 자체이다. 즉, 를 의 쌍대 공간이라고 하자. 이것은 위에서의 선형 범함수의 공간이다. 위상 동형 는 정의된 모든 에 대해 으로 정의된다. 이때, , , , 그리고, 는 단지 힐베츠트 공간의(또는 처음 세 표기법의 경우, 내적 공간에서도) 두 원소 사이의 내적을 표현하는 다른 표기법일 뿐이다. 표기의 혼동은 , 와 , 를 각각 식별하는데에서 발생한다. 이것은 문자 그대로 상징적 대체이기 때문이다. 라고 하고 라고 하자. 이러한 가정은 다음과 같은 식을 제공한다 괄호를 무시하고 두개의 세로선을 제거한 식을 얻게 된다.
엔탈피

엔탈피(, )는 열역학계의 성질로, 계의 내부 에너지에 압력 곱하기 부피를 더한 값으로 정의된다. 대기압이나 수압과 같이 일정한 압력에 둘러싸인 계를 다룰 때 유용하게 사용되는 상태함수이다. 기호는 대개 라틴 대문자 "H"이다. 국제단위계상에서 줄이, 영국 열량 단위에서 칼로리가 엔탈피를 나타내기 위한 단위로 사용된다. 열역학 제 1법칙에 의하면 계의 내부에너지 변화량을 구하기 위해서는 가한 열량과 해준 일을 모두 알고 있어야 한다. 등압과정에서는 계가 받은 열량이 계의 엔탈피 변화량과 같게 된다. 따라서 일의 양을 매번 계산하기 번거롭다는 등의 실용적인 이유로 등압과정에서 측정된 엔탈피 변화량()이 주로 사용된다. 화학 물질에 대해 엔탈피라는 용어를 사용할 때에는 대부분 표준상태, 즉 부근의 압력과 부근의 온도를 상정한다. 엔탈피 변화량은 흡열 반응에서 양의 값을, 발열 반응에서는 음의 값을 가진다. 정의. 엔탈피는 다음 식으로 정의된다. 여기서 는 계의 엔탈피를, 는 계의 내부 에너지를, 는 계의 압력을, 는 계의 부피를 의미한다. 엔탈피는 크기 성질로, 성분이 동일하다면 계의 크기와 비례하여 값이 달라진다. 세기 성질로 사용하고 싶다면 비엔탈피 나, 몰엔탈피 를 정의해 사용할 수 있다. 이 때 은 질량을, 은 몰 수를 의미한다. 불균질한 계의 경우 총 엔탈피 값은 각 부분의 엔탈피의 총합으로 구할 수 있는데, 식으로 나타내면 다음과 같다. 여기서 는 총 엔탈피 값을, 는 각 부분계를, 는 그 부분계의 엔탈피를 의미한다. 중력장 내에 놓인 닫힌 계를 고려해보자.
엔탈피

이 경우 압력 는 고도에 반비례하여 즉각적으로 달라지지만, 온도 는 평행이 완전히 이루어지기까지는 특별히 달라지지 않는다. 이 경우 엔탈피는 다음과 같이 적분을 사용해 나타낸다. 여기서 (로)는 밀도를, 는 비엔탈피를 나타내며 따라서 는 엔탈피 밀도를 나타낸다. 는 무한히 작은 부피를 나타낸다. 따라서 이 적분은 모든 부피를 무한히 작은 부분으로 나누어서 각 부분의 엔탈피를 더한 것과 같다. 위의 엔탈피의 정의는 그 값이 기준을 어떤 점으로 잡느냐에 따라 변하기 때문에 그 자체로 쓰이는 것 보다는 계의 어떤 상태와 다른 상태 간의 엔탈피 차이(ΔH)를 표현하는 방식으로 쓰인다. 어떠한 과정에서 압력의 변화가 0인 경우엔(ΔP=0), 엔탈피의 변화량은 계가 주변과 열교환의 형태로 주고받은 에너지인 열량을 나타낸다. formula_3 따라서 주변의 압력이 일정하게 유지되는 반응의 전후 열량 출입을 나타내는 데에 많이 쓰인다. 반응 엔탈피. 계의 엔탈피는 직접 측정할 수 없으며, 계의 엔탈피 변화로 대신 측정된다.엔탈피 변화는 다음 방정식으로 정의된다. 반응 엔탈피(ΔH) = 엔탈피 변화량 formula_4 E출입량 formula_4E 차이값 between 반응물 & 생성물 formula_4 반응열 formula_7 ΔH는 "엔탈피 변화량"이다. formula_8는 계의 최종 엔탈피이다. formula_9는 계의 초기 엔탈피이다. ΔH의 구성 = 부호 + 크기 ΔH 부호의 의미 - (+) 부호 : 흡열 반응 - (-) 부호 : 발열 반응 ΔH 크기의 의미 - E 출입량 = E 차이 between 반응물 & 생성물 역반응 ΔH = -정반응 ΔH 엔탈피는 온도와 압력에 따라 달라지므로 온도와 압력을 표시한다.