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시나가와구

시나가와구()는 일본 도쿄도에 있는 특별구 중 하나이다. 지리. 시나가와구는 다섯 개의 지구로 이루어져 있다. 역사. 1947년 3월 15일에 시나가와구는 이전의 시나가와구에 에바라구가 합쳐져 성립되었다. 시나가와구와 에바라구는 모두 1923년 간토 대지진 이후 도쿄시의 경계가 바깥쪽으로 확장됨에 따라 1932년에 설치되었다. 에도 시대에 시나가와는 도쿄와 교토를 잇는 도카이도를 출발한 여행자들이 처음 마주치는 역참이 있던 곳이다. 역참의 기능은 오늘날 역 주변에 있는 6000개의 객실을 가진 몇몇 호텔들에 의해 유지되고 있다. 에도 막부는 시나가와에 스즈가모리 형장을 유지하였다. 도카이도 신칸센은 2003년부터 시나가와역에 정차하기 시작했다. 산업. 몇몇 회사들이 시나가와구에 본사를 두고 있다. 시나가와구에 본사를 둔 기업들로 이스즈 자동차, 일본항공, JAL의 계열사인 JAL 익스프레스, JAL 웨이즈가 있다. 한때 JAL의 계열사로 현재는 일본항공에 인수되어 없어진 일본 아시아 항공이 JAL 빌딩에 본사를 두었다. 반다이 남코 홀딩스의 본사가 다이요 세이메이 시나가와 빌딩에 있다. 소니는 시나가와구에서 고텐야마 테크놀로지 센터와 오사키 이스트 테크놀로지 센터를 운영하고 있다. 이것은 2006년 말에 소니의 본사가 미나토구로 이전하기까지 본사로 사용되었고 시나가와의 오사키 웨스트 테크놀로지 센터는 2007년에 문을 닫았다.
시나가와구

어도비 시스템즈, 지멘스 AG, 피닉스 테크놀로지스의 일본 지사가 시나가와구에 있다. 다른 회사들로 IMAGICA, JTB 주식회사, 필립스, 아쿠라, 폴라 코스메틱스, 일본 정공이 있다. 교통. 철도. 시나가와역은 실제로는 미나토구에 있다. 공항. 오타구에 있는 도쿄 국제공항이 가장 가깝다.
백제 금동대향로

백제 금동대향로(百濟金銅大香)는 백제에서 만들어진 금동제 박산로다. 1993년 충청남도 부여군 능산리 절터의 목곽 수로 안에서 발견되었으며 국보 제287호로 지정되었다. 이 향로는 최고의 기술적 성과라는 평가가 있다. 발굴 과정. 백제금동대향로는 주차장을 건설하던 곳에서 발견되었다. 주차장 공사가 임박한 시점에 발견된 것이다. 발견 당시 백제금동대향로는 돌무더기 속에 있었고, 바닥에서는 기와 조각과 토기 조각이 발견되었다. 주변에서는 섬유 조각이 발굴되었는데, 발굴단은 이 섬유 조각이 백제금동대향로를 감쌌던 것으로 추정했다. 또, 대향로가 오랜 세월에도 완벽하게 보존될 수 있었던 이유는 돌무더기에 잠긴 진공 상태에서 보관되었기 때문으로 보고 있다. 1995년의 발굴 조사로 대향로가 발견된 일대가 백제 시대 왕실 절터였음이 입증되었다. 발굴된 석탑 흔적에서 발견된 부여 능산리사지 석조사리감에서 "창왕(위덕왕) 13년(567년)에 정해공주가 이 절을 지었다"는 기록이 발견된 것이다. 학계는 이 점에 주목하여 백제 금동대향로가 단순한 향로가 아니라 백제 왕실 의식이나 제사용으로 사용된 신물로 추정하고 있다. 구성. 백제금동대향로는 전체 높이가 61.8cm이며 황룡 모양의 향 받침, 연꽃이 새겨져 있는 향로의 몸체, 산악도가 솟아있는 향로 뚜껑, 뚜껑 위의 봉황 장식의 네 부분으로 이루어져 있다. 봉황과 향로 뚜껑은 각각 다른 주물로 제작되어 있어, 제작 과정에서 여섯 개의 주물틀이 사용되었음을 알 수 있다.
백제 금동대향로

향로 본체의 가운데 테두리의 구름 문양 아래에는 연꽃이 핀 연못이 있고, 그 위인 뚜껑에는 봉우리가 세 개 있는 산들이 있다. 이 산에는 말을 타고 사냥하는 사람, 신선으로 보이는 사람들, 호랑이, 사자, 원숭이, 멧돼지, 코끼리, 낙타 등 많은 동물들이 장식되어 있다. 또한 곳곳에 폭포, 나무, 불꽃 무늬, 귀면상 등이 있다. 제단 모양으로 꾸며진 정상에는 봉황이 날개를 펴고 춤추고 있고, 그 아래에는 7악사가 있는데 이들은 단소, 피리, 비파, 북, 현금 등을 연주하고 있다. 그 주위의 다섯 봉우리에는 각각 갈매기로 보이는 새가 봉황과 함께 춤추는 형상이 있다. 향로의 몸체에는 연꽃이 있는데 그 위에 갖가지 새와 물고기가 새겨져 있다. 또 한쪽에는 무예를 하는 인물도 있다. 그리고 그 아래에 발가락이 네 개 있는 용이 위의 연꽃을 물고 하늘로 날아가려는 듯 용틀임을 하고 있다. 체계. 중국에 서역의 향품이 전해져서 전국시대 말기부터 악취를 없애고 부정을 쫓기 위해 향로를 만들었다. 백제 금동대향로의 기원을 중국에서 찾는 사람도 있는데, 이들에 의하면 백제 금동대향로는 한나라의 영향을 받아 백제적인 요소가 가미되어 제작되었다고 한다. 하지만 이는 길쭉한 하대에 알의 모양을 얹은 박산 향로의 형식에 있어서만 유효한 논증이다. 중국의 박산형 향로에 비하여 백제 금동 대향로는 그 심미성과 정밀함이 월등하기 때문이다. 불교문화연구가들은 백제금동대향로가 불교의 연화화생설과 관련있다고 하는데, 불교의 이상향인 연화장의 세계는 비로자나불이 있는 광대하고 장엄한 이상세계를 말한다.
백제 금동대향로

연화장 세계의 맨 아래에는 풍륜이 있고, 풍륜 위에는 향수해가 있어 그 향수해에 큰 연꽃이 핀 것을 연화장이라 하는 이상세계이다. 즉, 대향로를 받치고 있는 용은 향수해를 의미하고 연꽃잎 위의 세계가 이상세계라는 설명이다. 봉황을 고대 동북아에서 신성시해 온 천계(天界)로 보고, 5악사와 기러기를 백제의 5부로 보아 백제대향로에 고대 동북아의 전통사상이 반영되었다. 한편 최근에는 백제 금동대향로가 '도교와 불교의 습합'을 반영했다는 기존 견해에 반론하기도 한다. 당시 불교계에서 전승되었을 문헌 가운데 '가루라(금시조) 목 아래에 여의주가 있다[如意者, 此鳥頸下有如意珠.]'라는 기록이 있기 때문이다. 또한 『대반열반경』 중 '신선이 기악을 연주한다[神仙呪術，作倡伎樂]'는 기록이 있고, 『묘법연화경』에도 '사람이 북, 퉁소, 거문고, 비파 등을 연주한다[若使人作樂, 擊鼓吹角貝, 簫笛琴箜篌, 琵琶鐃銅鈸]'라는 문구가 있다. 즉, 백제 금동대향로의 도상을 불전(佛典) 내에서 찾을 수 있다는 주장이 제기된 것이다. 특히 수당대에 걸쳐 불교 내에서는 『홍명집』 등을 저술해 도교에 비판적인 입장을 제기하는 경우가 많았다. 따라서 격의불교로 당시의 불교상을 정의하기엔 문제가 있다. 향로의 도상에 대해 지나친 추정과 상상은 지양되어야 하고, 향후 구체적인 전거를 들어 살펴볼 필요가 있다.
형태소

형태소(形態素, )는 언어학에서 (일반적인 정의를 따르면) 일정한 의미가 있는 가장 작은 말의 단위로 발화체 내에서 따로 떼어낼 수 있는 것을 말한다. 즉, 더 분석하면 뜻이 없어지는 말의 단위이다. 음소와 마찬가지로 형태소는 추상적인 실체이며 발화에서 다양한 형태로 실현될 수 있다. 분류. 형태소는 그것이 가지는 의미 또는 기능에 따라 크게 문법형태소(=형식형태소)와 어휘형태소(=실질형태소)로 나눌 수 있다. 형태소는 그것이 말에서 쓰일 때 의존성이 있는가 없는가에 따라 의존형태소와 자립형태소로 나눌 수 있다. 형태소는 그것이 다른 형태소와 결합하여 하나의 낱말(단어)을 만드는 데 참여하는 경우 근원형태소라고 한다. 어떤 형태소가 다른 형태소와 결합하는 관계가 제한적이면 불구형태소(=특이형태소)라고 한다. “한나가 책을 보았다.”을 예로 들어 분석해 보면 다음과 같다.
폐포 (수학)

수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘()은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, )는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 formula_1 또는 formula_2. 정의. 닫힘. 다음이 주어졌다고 하자. 만약 formula_3의 부분 집합 formula_18가 다음 조건을 만족시키면, formula_19가 formula_20에 대하여 닫혀있다()고 한다. 보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, formula_4 위의 'formula_5항 관계'의 집합 formula_27가 주어졌을 때, formula_18가 다음 조건을 만족시키면, formula_27에 대하여 닫혀있다()고 한다. 폐포. 다음이 주어졌다고 하자. formula_3의 부분 집합 formula_18의 formula_40에 대한 폐포 formula_41는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다. 폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. formula_40가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, formula_19에 formula_19의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다. 예. 위상수학. 위상 공간 formula_48의 부분 집합 formula_49가 다음 formula_50항 관계 formula_20에 대하여 닫혀있다면, formula_48의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 formula_53에 대하여, 여기서 formula_55는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다.
폐포 (수학)

formula_48의 부분 집합 formula_49에 대하여, 최소 닫힌집합 formula_58를 formula_59의 폐포라고 한다. 비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 formula_60항 관계 formula_20에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 formula_62에 대하여, 대수학. 군 formula_64의 부분 집합 formula_65가 군의 연산 집합 formula_66에 대하여 닫혀있다면, formula_64의 부분군이라고 한다. formula_68에 대하여, 최소 부분군 formula_69를 formula_3로 생성되는 군이라고 한다. 대수적으로 닫힌 체 formula_71의 부분체 formula_72이 formula_71 속에서 formula_74 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, formula_74 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체 formula_72의 대수적 폐포 formula_77는 최소 대수적으로 닫힌 체 formula_78이다. formula_74이 formula_71의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다. 집합론. 집합 formula_48가 (모든 집합의 모임 formula_82 위의) 원소 관계 formula_83에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 formula_48에 대하여, 최소 추이적 집합 formula_85를 formula_48의 추이적 폐포라고 한다. 집합 formula_3 위의 이항 관계 formula_88가 formula_89 위의 일항 관계 formula_90에 대하여 닫혀있다면, 즉, formula_91이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 formula_88에 대하여, 최소 반사 관계 formula_93를 formula_20의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.
장정진

장정진(張正鎭, 1953년 1월 24일 ~ 2004년 10월 11일)은 대한민국의 성우이다. 생애. 1977년 TBC 9기 성우로 입사하며 데뷔했고, 3년 후인 1980년 언론통폐합으로 TBC가 폐국되면서 KBS 15기 성우로 소속이 바뀌었다. 1980년대까지는 주로 KBS 위주로 활동했으나, 1990년대부터 프리랜서로 활동하며 3사 지상파 방송에 모두 출연했다. 《달려라 하니》의 ‘홍두깨’, 《하록 선장》의 '하록', 《원피스》의 '쥬라클 미호프' 역으로 유명하다. 또한 1997년부터 2004년까지 TV가요20과 SBS 인기가요에서 나레이션을 맡아, "네~ 이어서!" 등의 유행어를 만들기도 하였다. 그 외에도 《스타 집현전》, 《호기심 천국》, 《폭소클럽》, 《아침마당》, 《이홍렬쇼》, 《달려라 하니》, 《퀴즈천하통일》 등 다양한 예능/교양 프로그램에서 내레이션을 맡아 시청자들의 사랑을 받았다. 2004년 9월 13일, KBS 2TV의 프로그램 《일요일은 101%》 〈골목의 제왕〉 코너를 녹화하면서 가래떡을 먹는 도중 질식, 저산소성 뇌경색으로 뇌사상태가 되었다가 10월 11일 오후 6시 23분경에 다발성 장기 부전에 의한 심정지로 별세하였다 (향년 51세). 결국 그의 죽음을 계기로 그 해 가을 개편 때 일요일은 101%는 폐지되었다.
장정진

장례는 서울 이대목동병원 장례식장에서 KBS 성우극회장으로 치러졌으며 성우 김환진이 장례위원장을 맡았으며, 충청남도 천안시 천안공원묘지에 안장되었다. 대책회의 당시, KBS 예능본부의 전진학 PD의 인터뷰에서, “장정진 씨의 질식 사고를 계기로, KBS와 SBS 등 다른 방송사에서 제작하는 모든 프로그램 역시, 출연자들의 안전을 위해서 앞으로도 대형 프로그램 제작 시에 의료진과 안전 요원을 의무적으로 배치하고, 프로그램 기획 단계부터 진행까지 위험 요소를 미리미리 제거할 수 있도록 사전 기획 점검제를 도입하겠다"라고 설명하였다. 한편, 이번 사고와 관련해 KBS 시청자 상담실에선, 가학성 프로그램을 방송한 KBS를 질타하고 프로그램을 만든 방송 PD와 작가에 대해 책임을 추궁하는 수 많은 시청자들의 항의성 글이 연이어 올라오고 있었다. 문화연대 일각에선, 개인의 우발적인 실수가 아닌 출연 연예인들의 선정성과 가학성을 강조하면서 시청률 지상 주의에 매몰된 TV 프로그램들의 구조적 폐해에서 비롯된 인재이기 때문에, 이 사고를 계기로 재발 방지 대책 마련과 함께 문화적 다양성을 확대하는 방향으로 KBS와 SBS 등 각 방송사에 공문을 보냈고, 바람직한 TV 프로그램에 대한 사회적 기대를 적극 반영하도록 촉구할 것을 KBS 시청자위원회에 주문했다.
바이올린 협주곡

《바이올린 협주곡》은 바이올린 독주와 관현악을 위한 협주곡이다. 드물게 복수의 바이올린 연주자가 있는 경우도 있다. 개요. 바이올린 협주곡은 협주곡의 형식이 발달하기 시작한 바로크 시대부터 현대까지 많은 유명한 작곡가들이 작곡하고 있어 협주곡의 중요한 장르로 여겨지고 있다. 비발디, 바흐, 모차르트, 베토벤, 파가니니, 멘델스존, 브람스, 브루흐, 시벨리우스, 차이콥스키, 비에니아프스키 등은 유명하며, 특히 베토벤의 《바이올린 협주곡 라장조, 작품 61》, 《멘델스존의 바이올린 협주곡 마단조' 작품 64》, 브람스의 《바이올린 협주곡 라장조' 작품 77》을 선택, 3대 바이올린 협주곡으로 선정하기도 하고, 차이콥스키의 《바이올린 협주곡 라장조, 작품 35》를 추가해서 4대 바이올린 협주곡으로 선정하기도 한다.。 바이올린 협주곡 중에는 관현악이 아니라 실내악 편성에 따른 반주를 동반하는 것도 있다. 예를 들어 비발디의 《조화의 영감》은 네 개의 바이올린, 두 개의 비올라, 첼로, 통주저음을 위한 작품이며, 또한 알란 페터르손의 첫 번째 협주곡은 바이올린과 현악 사중주를 위한 작품이다. 바이올린 협주곡의 선택된 목록. 가장 유명한 바이올린 협주곡은 베토벤, 멘델스존, 브람스, 차이콥스키, 시벨리우스의 작품으로, 그것들은 바이올린 레퍼토리의 초점을 이룬다.
량강도 폭발 사고

량강도 폭발 사고(兩江道 爆發 事故) 또는 김형직군 폭발 사고(金亨稷郡 爆發 事故)는 2004년 9월 9일 조선민주주의인민공화국 량강도 김형직군 월탄리에서 있었던 것으로 추정되는 폭발 사고를 말한다. 3.5km ~ 4km 정도의 먼지 구름이 발생했으며, 이 구름이 미국의 군사위성에 의해 촬영되었다고 하나, 진위는 파악되지 않았으며, 보통의 구름을 오인하였을 가능성도 제기되었다. 9월 13일 백남순 조선민주주의인민공화국 외무상은 이것이 수력발전소를 위한 댐 건설중에 벌어진 사고라고 발표했다. 이튿날 정동영 통일부 장관은 사전 통보가 없었다며 사실 여부를 검토하겠다고 했다. 대한민국과 미국의 언론은 핵무기 실험 또는 북한의 반정부 단체와 관련된 폭발이 아니냐는 의혹을 제기했다. 대한민국의 인공위성인 아리랑 1호가 폭발 현장의 인근 지대를 촬영했으나, 별다른 폭파 흔적이 발견되지 않았고, 대한민국 정부 측에서는 뚜렷한 분석이 나오지 않았다. 9월 15일 미국의 콜린 파월 국무장관이 북조선의 해명이 미국 정부의 견해와 일치한다고 했다. 또한 평양 주재 각국 외교관들의 현장 사찰 후, 폭발의 크기가 과장되었으며, 위치도 처음 대한민국과 미국이 추정하였던 위치와는 떨어진 거리였던 것으로 밝혀졌다.
량강도 폭발 사고

영화. 2006년 개봉한 미국 영화 에서, 2004년 북한 량강도의 대형 폭발사고로 인한 버섯 구름의 생성은, 미국 네이비 씰과 한국 특수부대 요원들이 지하 사일로에 저장되어 있던 북한의 3단 토폴급 ICBM 핵미사일을 비밀리에 폭파한 사건으로 묘사하고 있다. 이 영화는 픽션으로 토폴 미사일은 러시아제 ICBM으로서, 과 이 있는데, 이 중 지하 사일로 방식은 토폴-M이다. 토폴-M은 사거리 11,000 km인 고체 추진 3단 로켓의 핵미사일이다. 550킬로톤급의 핵미사일을 탑재한다. 나가사키시에 투하된 팻 맨 핵폭탄(20Kt)의 27.5배 위력이다.
오사카부

오사카부()는 일본 긴키 지방 중부에 있는 행정 구역이다. 거주인구(야간인구)는 도쿄도, 가나가와현 다음으로 3번째로 많으나, 낮 인구는 여전히 도쿄도에 이어 일본 내에서 2위이다. 게이한신의 핵심 지역이다. 동쪽으로 나라현, 북서쪽으로 효고현, 남쪽으로 와카야마현과 경계를 접하며 북동쪽으로 교토부와 인접한다. 부청 소재지인 오사카시 외에 여러 개의 위성 도시가 있다. 오사카부는 일본 제2의 도시이자 긴키 지방의 중심지, 서일본 최대의 도시이다. 도쿄도 다음가는 교통의 중심지로 수많은 철도 노선과 도로가 오사카를 중심으로 주변 지역을 연결하며, 일본 경제에서 매우 중요한 역할을 담당하고 있다. 또한 오사카부는 긴키 지방의 경제, 정치, 문화, 산업, 금융, 교육의 중심지이며, 오사카부를 중심으로 한 긴키 지방도 세계적으로 손에 꼽는 경제권역을 형성한다. 국제 행사로는 아시아 최초의 세계 박람회(엑스포)인 1970년 세계 박람회를 열었으며, 1995년 APEC 회의, 2019년 G20 정상회의 등을 개최하였다. 2018년 11월에는 2025년 세계 박람회를 유치하였다. 개요. 부청 소재지는 오사카시이다. 과거 율령국인 셋쓰국 동부(7군) 및 가와치국과 이즈미국의 각 전역으로 구성되어 삼국 문자를 따 섭하천이라고도 하는데, 교토부에서 가시타촌 전역과 가메오카시의 일부가 월경 편입된 1958년 이후에는 단바국 남동부(극일부)도 포함하게 되어 있다. 사카이현 편입 1881년부터 나라현을 재설치하여 1887년까지는 야마토국의 전역을 포함하고 있었다.
오사카부

긴키 지방의 경제·교통의 중심이며, 인구는 약 883만 9,000명으로 전국 3위, 주간 인구 및 인구 밀도는 도쿄도에 이어 전국 2위이다. 2018년도의 명목 부내 총생산은 약 40조 엔이며, 도쿄도와 아이치현에 비교도 안되는 규모이다. 부역 전체가 오사카 대도시권에 속해 있으며 고도로 도시화된 지역이 많다. 이코노미스트 인텔리전스 유닛의 '가장 살기 좋은 도시' 랭킹에서 오사카는 빈, 멜버른, 시드니에 이어 세계 4위로 평가되었다. 역사. 오모노씨와 모노베씨가 본거지를 둔 곳으로 고대부터 항구도시이자 국내 유통의 중심지였다. 세토 내해를 거치는 항로의 종착점으로서 스미요시 다이샤(오사카시 스미요시구) 근처의 스미요시쓰나 난바쓰가 기능을 가지고 있었다. 헤이안 시대에 요도가와의 하구에 위치한 이 땅은 교토와 수운으로 맺어지고(와타나베즈), 이 수운을 통한 관계는 그 후 메이지 시대에 철도가 부설될 때까지 계속된다. 헤이안 시대 초기에 정이대장군 사카가미 다무라 마로의 셋째 아들 사카가미 히로노가 셋쓰국 스미요시군 히라노쇼(오사카시 히라노구)의 영주가 되었고, 그 후손이라고 일컬어지는 사카가미씨의 일족이 중세의 평야 자치를 맡았다. 가마쿠라 시대 말기부터 남북조 시대에 걸쳐, 가와치에 악당이라고 불린 재지 호족 구스노키 마사나리가 나와 활약했다.
오사카부

마사나리를 비롯한 구스노키씨는 남조의 유력 무장으로서 하내에서 자주 아시카가 다카시 등 북조와 싸웠는데, 마사나리는 미나토가와 전투에서 그 자정행도 사조노 전투에서 전사하는 등 이윽고 세력을 약화시켰다. 전국시대에 접어들자 하타케야마씨·호소카와씨를 둘러싼 싸움에서 혼란을 겪었으며 이 시기 사카이(사카이시)는 부유한 도시중을 중심으로 자치도시를 형성하고 있으며, 지금까지의 효고 미나토를 대신해 니치메이 무역의 중계항으로서 융성, 다도 등의 문화를 육성하고 있었다. 노부나가가 죽은 후 그 영토를 계승한 도요토미 히데요시는 이시야마 혼간지 터에 자신의 거성이 되는 오사카성의 축성을 시작했다. 이 성은 요도가와강과 야마토가와강 하구라는 이점을 살려 지형을 이용하였으며, 성 아래 마을까지도 해자로 둘러싸서 성의 일부로 하는 부구를 만든 거대한 것이었다. 후에 도요토미 히데요시 사망 이후 도요토미씨는 멸망한다. 오사카부는 메이지 시대가 시작된 1868년에 탄생하였다. 지리. 긴키 지방의 중부에 위치하며 교토부·나라현·효고현·와카야마현과 접하고 있으며 예로부터 상방으로 통하는 수상교통의 요지이다. 남서부는 오사카만이다.
오사카부

예전에는 면적이 가장 좁은 광역자치단체(오사카부 다음은 가가와현)였지만 1988년 10월 1일에 일본 국토지리원이 산정법을 수정해 오카야마현 다마노시와 경계 미정 부분이 있는 가가와현 나오시마초의 면적(14.2km2)을 현 전체 면적에 산입하지 않게 되어 가가와현의 면적이 감소해 오사카부와 역전함으로써 46위를 차지했다. 그 후 오사카부에서는 간사이 국제공항의 개항과 오사카시 서부의 개발 과정에서 해상 매립이 진행되어 면적이 증가하면서 현재는 나오시마정을 포함한 가가와현의 참고치를 웃도는 면적이 되고 있다. 경제. 오사카부는 전자, 전기, 기계, 조선, 식료품, 섬유, 화학, 제약, 방송, 언론 및 엔터테인먼트, 건설 및 주택, 부동산, 유통 및 서비스, 금융 등 각종 산업이 발달하였다. 오사카부의 GDP는 2004년에 38조 7천억 엔으로 도쿄도에 이어 두 번째였다. 이는 긴키 지방의 약 48%를 차지하는 수치이다. 브루킹스 연구소에 따르면 2013~2014년 기준 오사카부-효고현 고베 경제권의 총 GDP는 6,710억 달러로 일본에서는 도쿄권에 이은 2위, 전 세계 7위에 올라 있다. 1인당 수입은 약 300만 엔으로 일본에서 7번째이다. 같은 해에 상업 판매는 601조 엔이었다. 오사카 증권거래소는 닛케이 225 선물 지수와 같은 파생 상품을 전문으로 하고 오사카에 기반을 두고 있으며, 2013년 도쿄 증권거래소에 합병되었다. 오사카 경제의 특징으로는 중소기업이 산업에서 차지하는 비중이 높다는 것이다.
오사카부

2006년 기준 오사카부에 기반을 둔 중소기업의 수는 330,737개로 총 기업 수의 99.6%를 차지했다. 이러한 비율은 다른 현들(전국 평균 99.7%)과 비슷하지만 중소기업의 총 제조량은 오사카부 전체의 65.4%를 차지해 도쿄도 55.5%, 가나가와현 38.4%에 비해 현저히 높았다. 또한 합동 산업 교육을 위해 노력하여 오사카의 공공의 이익을 실현하고 지역 경제를 활성화시키려는 모델 중 하나가 인공위성 개발 프로젝트인 Astro-Technology SOHLA이다. 원래는 히가시오사카시의 중소기업들이 시작했지만 간사이 지역 전체로 확대되었을 뿐만 아니라 우주항공연구개발기구를 통해 정부의 기술적, 물질적 지원을, NEDO를 통해 재정적 지원을 받게 되었다. 오사카부에 본사, 기반을 가진 주요 기업. 다음은 오사카부에 본사를 둔 기업들이다.(본사가 오사카, 도쿄 양쪽에 있거나 오사카, 도쿄, 나고야, 후쿠오카 등 여러 곳에 두고 있는 경우도 포함한다.) 인구. 2017년 4월 추계 인구에 따르면 오사카부의 인구는 8,826,276명이다.
내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, )는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. formula_1의 내부의 기호는 formula_2 또는 formula_3이다. 정의. 위상 공간 formula_4의 부분 집합 formula_5의 내부 formula_6는 formula_1를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 formula_8들의 집합이다. 내부의 원소를 내부점(內部點, )이라고 한다. 성질. 열린집합과의 관계. 위상 공간 formula_4의 부분 집합 formula_5에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 반대로 formula_2는 formula_1의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 formula_1의 최대 열린부분집합이다. 폐포와의 관계. 내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다. 내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다. 위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다. 집합 연산과의 관계. 내부는 유한 교집합을 보존한다. 그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다. 기저와의 관계. 위상 공간 formula_25의 기저 formula_26가 주어졌을 때, 부분 집합 formula_5 및 점 formula_8에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 즉, formula_2는 formula_1에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다. 예. 실수선 formula_34의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다. 또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.
내부 (위상수학)

스콧 위상. 연속 dcpo formula_37 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 formula_38의 상폐포의 내부는 다음과 같다. formula_40은 스콧 열린집합: formula_41가 상향 집합이며, formula_42라고 하자. formula_43가 연속 dcpo이므로, formula_44인 formula_45가 존재한다. 즉, formula_46이다. formula_47: 임의의 formula_48 및 상향 집합 formula_41가 주어졌으며, 또한 formula_50라고 하자. formula_51인 formula_45를 찾으면 족하다. formula_53는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, formula_54이다. 따라서, formula_55는 공집합이 아니다.
오사카시

오사카시(, , )는 일본 오사카부에 있는 도시로, 오사카부의 부청 소재지이다. 혼슈 긴키 지방의 요도강 하구 오사카만에 위치해 있으며, 일본에서 도쿄 다음으로 규모가 크다. 4세기에 나니와궁이 지어진 이후 약 1600년 이상의 역사를 가지고 있으며 현재는 상업과 외국인 관광 등이 활발하게 이뤄지고 있다. 주간 인구는 도쿄 23구 다음으로 일본 전국에서 2위, 야간 인구는 요코하마시 다음으로 3위이다. 간토 지방을 제외한 지방에서는 제일 인구가 많은 도시이며, 이러한 이유로 1956년에 일본에서 처음으로 정령지정도시로 지정되었다. 또 재일 한국인들이 많이 모여사는 곳이기도 하다. 역사. 조몬 시대의 해침에 의해 오사카만이 생성되고, 남부로부터 돌출된 우에마치 대지를 사취로 하는 반도가 만들어졌으며, 동부는 하내만이 되었다. 이를 통해 오늘날의 우에마치 지역은 동쪽의 내륙해와 반도로 이루어졌을 것으로 생각된다. 조몬 시대 중기에는 이미 사람이 집단 거주하며 어로·채집 등의 생활을 영위하고 있었으니, 이는 기원전 5~6세기의 모리노미야 유적에서 발견된 조개 더미와 굴, 유골로부터 알려지게 된 것이다. 야요이 시대가 되면 반도는 사주가 되어 하내만은 담수화되고 마침내 하내호가 되었다. 하내호 주변은 자연환경의 혜택을 입어 벼농사 등 농경의 발전에 의해 평야에 영구적이며 대규모인 집단 거주지가 출현하고, 해운이나 대륙과의 교역의 거점이 되었다. 오사카만의 끝자락에 있는 요도가와・의 하구에 돌출된 우에마치 대지가 오사카라는 마을의 원점이다. 고훈 시대에 오사카는 일본 서부 지방을 연결하는 중심 항구로 개발되었다.
오사카시

오사카평야에서 발견되는 무덤들의 수가 증가하고 크기가 커지는 것은 정치력이 집중되었다는 증거를 보여주며 국가가 형성되기에 이르렀다. 5세기에는 난바 이 세워졌다. 5, 6세기에 대륙 문물이 전래되고 귀화인들이 들어와 정착하였다. 645년에 고토쿠 천황은 오사카에 를 지었고 이 지역에 수도 나니와쿄를 만들었다. 이후 이 지역은 나니와라 불리는 현대적인 도시가 되었다. 이 이름은 나니와구라는 이름으로 여전히 사용되고 있다. 비록 수도가 655년에 아스카로 이전했지만 나니와는 야마토(일본)와 한국, 중국을 연결하는 수륙 교통의 중요한 거점으로 남았다. 744년에 나니와는 쇼무의 부탁으로 다시 수도로 결정되었으나, 나니와 수도 재이전 작업은 745년에 중단되었고 황궁은 헤이조쿄(현재의 나라시)로 돌아갔다. 항구의 기능은 나라 시대가 끝날 즈음에 이웃한 지역으로 옮겨갔지만 헤이안쿄와 다른 곳을 연결하는 활기찬 수륙 교통의 중심지로 남았다. 무로마치 시대인 1496년에 정토진종의 본거지로서 이시야마 혼간지가 옛 나니와 황궁 부지에 설립되었다. 1570년에믄 오다 노부나가의 공격이 시작되었다. 10년 후에 수도승들은 항복하였고 절은 파괴되었다. 1593년에 도요토미 히데요시가 오사카성(城)을 이시야마 혼간지 부지에 축조하였다. 1614년부터 1615년에 걸쳐 도쿠가와 이에야스가 오사카성을 공격하여 함락시킨 후 오사카는 1619년에 에도 막부의 직할 영지가 되었다. 그리고 요도강의 치수를 위해 구 요다강(아지강)을 개통하여 베네치아처럼 시내 각지에 물이 흐르는 도시가 되었다.
오사카시

오랜 세월 동안 오사카는 일본의 경제 중심지로서 인구의 상당수가 상인 계층에 속했다. 에도 시대를 거치면서 오사카는 일본의 주요 도시 중 하나로 성장하였고 활기차고 중요한 항구로서의 옛 역할을 회복하였다. 대중 문화는 에도의 삶을 묘사한 우키요에와 밀접한 관련이 있다. 오사카의 도시 문화는 교토와 에도의 도시 문화와 평행하게 발전하였으며 마찬가지로 분라쿠와 가부키가 성행했다. 1837년에 하급 무사 오시오 헤이하치로는 도시가 많은 빈곤층들을 지원하는 데 무관심한 것에 대응하여 농민 폭동을 이끌었다. 쇼군의 관리들이 진압하기 전에 도시의 대략 4분의 1이 파괴되었고 이후 오시오는 자결하였다. 막부에 의해 오사카는 효고(오늘날의 고베시)와 함께 보신 전쟁과 메이지 유신이 시작되기 바로 직전인 1868년 1월 1일에 외국과의 교역을 개방하였다. 현대적인 지자체는 1889년에 설립되었고 처음의 면적은 15 km2로 오늘날의 니시구, 주오구를 포함하고 있었다. 이후 도시는 세 번에 걸쳐 확장되어 현재의 크기인 222 km2에 이르게 되었다. 지리. 오사카시는 서쪽으로 오사카만을 향해 열려 있다. 다른 면은 오사카부에 속하는 10개 이상의 도시와 효고현의 아마가사키시에 의해 완전히 둘러싸여 있다. 도시는 오사카부의 다른 시정촌에 비해 약 13% 정도 더 큰 면적을 가지고 있다. 도시가 1889년에 설립되었을 때는 오늘날의 니시구와 주오구에 해당하는 15.27 km2만을 차지하고 있었으나 몇 번의 시역 확장을 거쳐 222.30 km2로 커졌다. 1925년의 가장 큰 확장 때 126.01 km2가 확장되었다.
오사카시

오사카시에서 가장 높은 지점은 쓰루미구의 37.5m이고 가장 낮은 지점은 니시요도가와구의 -2.2m이다. 지역 특징. 중앙 오사카는 대략적으로 주요 도로인 미도스지가 끝나는 곳을 기준으로 기타(北)과 미나미(南) 두 개의 지역으로 나뉜다. 기타는 오사카의 신흥 중심부로, 기타구를 포함한다. 대략 우메다의 업무와 상점 지구를 둘러싼 지역이다. 백화점, 극장, 부티크 등이 JR 오사카역과 우메다역 주변에 무리지어 있다. 미나미는 난바, 신사이바시, 도톤보리 등의 쇼핑가가 있는 곳이다. 대게로 유명한 도톤보리교 주변의 유흥가, 트라이앵글 공원, 아메리카촌이 미나미에 있다. 기타와 미나미 사이의 요도바야시와 혼마치는 법원과 주요 은행의 본사가 있는 전통적인 업무 지구이다. 오사카 비즈니스 파크의 새로운 업무 지구는 오사카성 주변에 있다. 업무 지구는 또한 덴노지역과 교바시역과 같은 제2의 철도 터미널 주변으로도 형성되어 있다. "나니와의 808다리"는 이곳에 대한 경이로움을 표현하는 일본의 옛 표현이다. "808"은 이곳의 셀 수 없이 많은 다리를 상징하는 것이다. 오사카에는 수많은 강과 수로들이 가로지르기 때문에 구체적인 이름을 가진 많은 다리들이 세워졌고 다리의 주변 지역은 종종 다리의 이름으로도 불린다. 나가호리 수로와 같은 일부 수로는 매립된 반면에 어떤 것들은 아직 남아있다. 기후. 오사카시는 온난 습윤 기후(쾨펜의 기후 구분 "Cfa")로 연평균 기온은 17.1°C, 연평균 강수량은 1338.3mm이다.
오사카시

여름은 매우 덥고 습하며 겨울은 상대적으로 온난하다. 행정 구역. 오사카시에는 24개의 구가 있다. 인구. 2005년의 인구 조사에 따르면 오사카의 주민은 2,628,811명으로 2000년에 비해 30,037명, 1.2% 증가하였다. 1,280,325세대가 있고 세대당 성원 수는 2.1명이었다. 인구밀도는 km2당 11,836명이었다. 간토 대지진으로 1920년부터 1930년 사이에 많은 이주민들이 들어와 1930년에 오사카시의 인구는 2,453,573명으로 2,070,913명의 도쿄를 제치고 일본에서 가장 큰 도시가 되었다. 인구는 1940년에 3,252,340명으로 절정에 달했고 전쟁 후에는 1965년에 3,156,222명으로 절정에 달했으나 이후 주민들이 교외로 이주하면서 인구가 계속 감소하였다. 99,755명의 외국인이 거주하고 가장 큰 집단은 한국인(71,015)과 중국인(11,848)이다. 이쿠노구의 쓰루바시 지구는 일본에서 가장 큰 한국인 거주지 중 하나로 재일 한국인 27,466명이 등록되어 있다. 경제. 2004년 오사카의 GDP는 21조 3천억 엔으로 예년에 비해 1.2% 증가하였다. 이 수치는 오사카부 전체 생산량의 55%, 긴키 지방 전체의 26.5%를 차지하는 것이다. 2004년에 상업, 서비스업, 제조업이 각각 전체의 30%, 26%, 11%를 차지하였다. 도시의 1인당 수입은 약 330만 엔으로 오사카부보다 10% 높다. 마스터카드는 오사카가 전 세계의 선도적인 도시 중 19위이고 세계 경제에 중요한 역할을 한다고 보고하였다. 오사카 대도시권(오사카와 고베)의 GDP는 3410억 달러였다.
오사카시

오사카는 파리, 런던과 함께 세계에서 가장 생산성이 높은 배후지를 갖고 있다. 이 수치는 세계의 다른 도시들의 GDP가 훨씬 커진 것에 비해 과거 15년 동안 꽤 일정하게 유지되었다. 역사적으로 특히 중세와 전근대에 오사카는 일본의 상업 중심지였다. 일본의 첫 번째 중개 회사인 노무라 증권이 1925년에 오사카에서 설립되었고 오사카에는 여전히 선도적인 선물 거래소가 있다. 이후 많은 주요 회사들이 본사를 도쿄로 이전했으나 여전히 파나소닉, 샤프, 산요와 같은 몇몇 주요 회사들은 오사카에 본사를 두고 있다. 오사카 증권 거래소는 닛케이 225 선물과 같은 파생 상품을 전문으로 하며 오사카에 기반을 두고 있다. 자스닥과의 합병은 오사카 증권 거래소가 일본의 신흥 기업을 위한 가장 큰 거래소가 되는 데 도움이 될 것이다. 미국의 조사에 따르면 오사카는 일본의 도쿄에 이어 세계에서 두 번째로 추방된 노동자들에게 물가가 가장 비싼 도시였다. 이것은 2008년에 11위였던 것이 9계단이나 뛰어오른 것이다. 오사카는 2007년에 8번째로 물가가 높은 도시였다. 2013년에는 10위권에 오르지 못했다. 같은 해 이코노미스트 인텔리전스 유닛(EIU)가 발표한 2013년 생활물가 연구에서는 세계에서 생활비가 2번째로 비싼 도시로 선정됐다. 교육. 오사카의 공립 초등학교와 중학교는 오사카시에 의해 운영된다. 이들의 교육 문제의 감독 기관은 오사카시 교육위원회이다. 마찬가지로 공립 고등학교는 오사카부 교육위원회에 의해 운영된다.
오사카시

오사카시는 한때 많은 수의 고등학교와 대학교가 있었지만 캠퍼스의 성장과 더 넓은 부지의 필요성 때문에 오사카 대학을 포함해 많은 학교들이 교외로 이전하였다. 교통. 도로. 오사카 유니버설 스튜디오 재팬(USJ)~오사카역(우메다역)~교토역~도쿄역을 잇는 야간 고속버스가 운행하고 있으며 인접한 교토부, 와카야마현, 나라현, 효고현 등지로 고속도로 및 국도가 연결되어 있다. 항공. 국제 항공편이 주로 이용하는 간사이 국제공항과 국내 항공편이 주로 이용하는 오사카 국제공항(이타미 공항)을 통해 접근할 수 있다. 문화. 쇼핑과 요리. 오사카에는 많은 도매 상점과 소매 상점이 있으며 2004년 시 통계에 따르면 그 숫자는 각각 25,228개와 34,707개였다. 이들 중 많은 것들이 주오구(10,468개)와 기타구(6,335개)에 집중되어 있다. 상점의 유형은 쇼핑몰에서 일본의 재래식 상점가인 쇼텐가이까지 다양하다. 쇼텐가이는 일본 전역에서 볼 수 있고 오사카의 쇼텐가이는 이들 중 가장 길다. 텐진바시스지 상점가는 오사카텐만구에서 시작해 남북으로 2.6km에 걸쳐 뻗어 있다. 이곳에는 일용품 가게, 의류점, 음식점이 있다. 다른 쇼핑 지역으로 전자 기기와 만화/애니메이션 지구인 덴덴타운이 있으며 도쿄의 아키하바라에 필적한다. 또한 우메다 지구에는 한큐 산반가이 쇼핑몰과 전자 기기 상점인 요도바시 카메라가 있다. 오사카는 음식으로도 유명하다. 지역 요리로는 오코노미야키, 다코야키, 우동, 스시가 있다. 다른 쇼핑가로는 다음 것들이 있다.
오사카시

방언. 이 지역에서 일반적으로 사용되는 방언은 긴키 방언이다. 긴키 방언의 특징 중 하나는 동사의 부정의 접미사 nai 대신에 hen을 사용하는 것이다. 축제. 이쿠쿠니타마 신사(生國魂神社)에서 매년 7월 24일과 7월 25일에 열리는 덴진 마쓰리가 유명하다. 자매 도시. 자매 도시. 자매결연 도시는 다음과 같다. 우호 교류 도시. 우호 도시는 다음과 같다.
촉한

촉한(蜀漢, 221년 ~ 263년)은 중국 삼국 시대 때 유비(劉備)가 지금의 쓰촨성 지역에 세운 나라로 정식 국호는 한(漢)이나 역사상 구분을 위하여 촉한이라고 부른다. 한 황실의 후예가 세운 마지막 한나라이기에 계한(季漢)이라고도 부르고, 나라가 위치한 지명을 따서 서촉, 촉 등으로도 불린다. 연강 원년(220년), 사실상 한나라의 실권을 잡고 있던 위왕 조비가 헌제를 내쫓고 조위를 건국하자, 당시 익주를 점거하고 있었던 유비가 한 황실의 후예라는 정통성을 내세워 221년에 황제임을 선언하고, 국호를 ‘한(漢)’이라 하고 연호를 장무(章武)라 하였다. 수도는 성도(成都)이다. 선주(先主) 유비는 자신의 의동생인 관우를 죽인 오를 토벌하기 위해 대대적인 군사를 일으키는데, 이릉에서 육손에 계책에 크게 패하면서 백제성에 눌러앉게 되고, 결국 사망하였다. 유비 사후 후주(後主) 유선이 즉위하였고, 연호를 건흥으로 고쳤다. 승상 제갈량은 남만을 토벌해 맹획을 일곱번 사로잡고 놓아주었는데, 이에 맹획이 항복하고 남만은 평정되었다. 또 제갈량은 북벌에 나섰는데, 이 때 올려진 것이 그 유명한 출사표이다. 하지만 진지 · 황호와 같은 간신의 전횡과 연이은 북벌 실패로 인해 촉한 궁중의 정치를 제대로 처리할 사람이 없고 많은 힘이 소모되어 점점 쇠망의 길을 걸었으며, 특히 황호가 정권을 장악한 경요, 염흥 연간에 이런 현상이 두드러졌다.
추상대수학

추상대수학(抽象代數學, )은 대수 구조를 다루는 여러 수학적 대상을 연구하는 분야이다. 이들 대수 구조들로는 군, 환, 체가 있으며, 이들 대상을 다루는 각 영역에는 가환대수와 호몰로지대수가 포함된다. 또 선형대수와 기초 수론을 추상대수학에 포함시키기도 한다. 추상대수학은 군, 환, 체, 가군, 벡터 공간, 그리고 대수학에 대해서 공부한다. "추상대수학"이란 이름은 20세기에 처음 만들어졌다. 그 이전까지 추상대수학과 사칙연산, 방정식 풀기, 그리고 실수, 복소수 계산을 다루는 "기초대수학"은 함께 뭉뚱그려서 대수학이라 불렀다. 이에 수학을 전공하지 않은 사람들이 대수학에 대해 일반적으로 떠올리는 기초대수학과 추상대수학이 다루는 분야는 다르다는 사실을 확실히 하기 위하여, 새로이 추상대수학이라는 용어를 만들었다. 그러나 최근의 저작물에서는 그 구분이 다시 모호해지고 있다. 역사적으로 볼 때, 대수 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다. 분류. 추상대수학은 다루어지는 대수 구조에 따라 분류된다. 이런 모든 대수 구조에 공통되는 특성은 보편대수학() 및 범주론에서 연구된다. 범주론은 서로 다른 대수 구조들을 비교하고 둘 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공한다. 역사. 다른 수학 분야와 마찬가지로, 추상대수학 역시 구체적인 문제와 예시를 통해 발전해왔다.
추상대수학

19세기 말엽까지는 대수 방정식의 이론에 관련된 문제들이 주류를 이뤘다. 몇 가지 예를 아래에 적는다. 추상대수학을 가르치는 다수의 교과서들은 다양한 대수 구조에 대한 공리들을 소개하면서 시작한다. 공리들을 다 나열하고 나서야 각 대수 구조의 성질에 대해 논하기 시작한다. 이는 각 대수 구조들은 공리가 먼저 성립되고 난 후, 연구가 지속됨에 따라 성질들이 차례차례 발견되어 나아갔다는 잘못된 인상을 주기 쉽다. 사실 역사적으로 대수 구조의 발전 과정은 대다수의 교과서 진행구조와 상반되게 진행되어 왔다. 현재 대수학의 일부라고 여겨지는 대다수의 학문들은 여러 다른 수학 분야의 서로 공통점이 없어 보이던 개념들을 조합한 후, 각 개념들이 가지는 공통적인 부분들을 체계화하는 과정에서 탄생했다. 대표적인 예로는 군론을 들 수 있다. 응용. 현대수학과 수리물리학에서 추상대수학의 개념을 특히 많이 차용한다. 예를 들어, 이론물리학에서는 추상대수학의 한 분야인 리 대수를 깊이 사용한다. 대수적 수론, 대수적 위상수학, 그리고 대수기하학을 통해 여러 다른 수학 분야에 대수학을 접목시키기도 한다. 표현론(Representation theory)은 추상대수학에서 다루는 대수 구조와 벡터 공간 위의 선형 변환들의 관계를 연구하는 분야이다.
순환군

군론에서 순환군(循環群, )은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.) 정의. 군의 원소 formula_1가 생성하는 순환군 formula_2은 다음과 같다. 차수. 군 formula_4의 차수(次數, ,ord) 또는 위수(位數)는 집합으로서의 크기 formula_5를 뜻한다. 군의 원소 formula_1의 차수 formula_7는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. 지수. 군 formula_4의 지수(指數, ) formula_10는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다. 분류. 순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다. 성질. 약수 관계. 군의 유한 차수 원소 formula_1 및 정수 formula_14에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 지수가 유한한 군 formula_4 및 정수 formula_14에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 유한군 formula_4에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. 군의 유한 차수 원소 formula_1 및 정규 부분군 formula_46에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. 항등식. 군의 유한 차수 원소 formula_1 및 정수 formula_14에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. 군의 원소 formula_59가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
순환군

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다. 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. 반대로, 군의 원소 formula_71의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자. 그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 formula_59가 존재한다. 베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 formula_77가 존재한다. 조건을 만족시키는 formula_59를 다음과 같이 취할 수 있다. 다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. 유한 아벨 군 formula_4에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 formula_1가 존재한다. 즉, 다음이 성립한다. 최대 차수 원소 formula_1를 취하자. 임의의 formula_90에 대하여, 라고 가정하자. 그렇다면, 를 만족시키는 소인수 formula_97가 존재한다. 이 경우, 이므로, 이며, 이는 모순이다. 순환군. 모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다. 군 formula_4에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, formula_2의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 순환군의 몫군 역시 순환군이다. 유한군 formula_4에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 순환군 formula_147에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 formula_154에 대하여, formula_155인 formula_156가 존재한다. 응용. 유한 아벨 군의 분해. 유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. formula_4가 아벨 유한 p-군, formula_158가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, formula_159인 formula_160가 존재한다. 귀류법을 사용하여, formula_4가 최소 크기 반례라고 하자.
순환군

그렇다면, formula_162이며, formula_163이므로, 최소 차수 원소 formula_164를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
가가번

가가번()은 일본 에도 시대 가가・노토・엣츄 3국을 지배했던 초대형 번으로, 그 지배 영역은 지금의 이시카와현에서 도야마현에 이르는 대부분의 지역에 속해 있었다. 일반적으로 '가가 100만 석'()로 불린다. 메이지 2년(1869년)의 판적봉환으로 번의 명칭을 가나자와 번()으로 공식화하였다. 가가국 이시카와군(현 이시카와 현 가나자와시)에 있던 가나자와 성()에 본거지를 두었다. 번주는 도자마 다이묘인 마에다씨()이었으나, 과는 인척 관계가 강해 신판 다이묘에 가까운 지위가 주어졌고, 마쓰다이라성과 세 갈래 접시꽃(아욱잎) 무늬의 가몬을 하사받았다. 3대 번주 마에다 미쓰타카의 대부터 이후 역대 번주들은 정이대장군의 편휘()를 하사받았다. 또, 여러 다이묘들 중에서도 102만 5천 석(영지 분할 이전에는 120만 석)의 최대 영지 규모를 자랑했고, 최종적인 관위도 종3위, 산기()로, 그 가격()도 고산케와 에치젠 마쓰다이라가 등의 고카몬()이 속해 있던 오로가()급 자리에 해당하는 등 여러 가지 면에서 고산케에 가까운 대우를 받았다. 지번. 가가 번의 지번에는 다음이 있다.
폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, )는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. formula_1의 폐포는 formula_2 또는 formula_3와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 formula_4 또는 formula_5 또는 formula_6와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 formula_7로 유도되었을 경우 formula_8 또는 formula_9와 같이 써도 좋다. 정의. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_11이 주어졌다고 하자. 점 formula_12이 다음 조건을 만족시킨다면, formula_1의 폐포점(閉包點, )이라고 한다. 만약 formula_14의 국소 기저 formula_18가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_11의 폐포 formula_2는 formula_1의 모든 폐포점들의 집합이다. 성질. 극한점과의 관계. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_11 및 점 formula_12에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 즉, formula_1의 폐포는 formula_1와 그 유도 집합의 합집합이다. 닫힌집합과의 관계. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_11에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 반대로, formula_1의 폐포는 formula_1를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 formula_1를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 내부·경계와의 관계. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_11 및 점 formula_12에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
폐포 (위상수학)

즉, formula_1의 폐포는 formula_1의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 formula_1의 내부와 경계의 분리 합집합이다. 반대로, formula_1의 경계는 formula_1와 그 여집합의 폐포의 교집합이다. 항등식. 위상 공간 formula_10의 부분 집합 formula_65 및 집합족 formula_66에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다. 또한, 만약 formula_66가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다. 즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다. 표준적인 위상을 갖춘 실수선 formula_74 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자. 그렇다면, formula_78의 합집합 formula_79의 폐포 formula_80는 formula_78의 폐포 formula_82의 합집합 formula_83을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, formula_1와 formula_85의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 formula_1의 폐포 formula_80와 formula_85의 폐포 formula_89의 교집합 formula_90의 진부분 집합이다. 예. 이산 공간. 이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다. 비이산 공간. 비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다. 열린 공. formula_91에 대하여, (노름 위상을 갖춘) formula_92-노름 공간 위의 열린 공 의 폐포는 닫힌 공 이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 formula_95 위에서, formula_14를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.
폐포 (위상수학)

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 formula_99인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다. 갈루아 군. 갈루아 확대 formula_100의 갈루아 군 formula_101은 사유한군이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 부분군 formula_102의 폐포는 다음과 같다. 여기서 는 formula_105가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다. 균등 공간. (균등 위상을 갖춘) 균등 공간 formula_106의 부분 집합 formula_11의 폐포는 formula_1의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다. 임의의 측근 formula_110에 대하여, formula_111는 측근이며, formula_112이다. 따라서, 임의의 formula_113에 대하여, 은 formula_14의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다. 스콧 위상. 원순서 집합 formula_117 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.
이두

이두(吏讀, )는 한자에 의한 한국어 표기법의 한 가지이다. '이투(吏套, )', '이서(吏書)', ‘이도(吏道·吏刀)’, ‘이토(吏吐)’라고도 불린다. 신라시대부터 시작하여 19세기 말까지 사용되었다. 고대 한국어를 분석하기 위한 자료의 하나이다. 개요. 광의의 이두는 구결, 향찰 등을 포함하여 한자를 빌려 이뤄진 한국어 표기법 전체를 가리킨다. 협의의 이두는 이두문에 나타나는 한국어의 한자 표기를 이른다. 이두문이란 이서(吏胥)들이 행정 문서를 작성할 때 사용한 한자 표기의 산문을 이르는데 같은 문체로 쓰인 민간의 글도 이두문이라 부른다. 여기서는 협의의 이두에 관해 언급한다. 이두의 성립 시기는 명확하지 않지만 신라시대에 시작하여 남북국 시대에 확립된 것으로 추정된다. 문헌 자료에는 신라의 설총이 이두를 만들었다는 기술이 나오지만 진평왕 때의 서동요나 진흥왕의 순수비문에 쓰인 것이 있어 설총이 창작한 것은 아니고 집대성한 것으로 보인다. 일찍이 5세기부터 고구려에서는 한문을 한국어 어순으로 재배치하거나, ‘之’자를 문장의 종결어미로 사용했다. 고구려와 백제에서는 6세기 말 이후 차자 표기법 (이두)이 정체 또는 퇴조하였고, 신라에서는 반대로 6세기 말부터 7세기로 접어들면서 표기법상의 큰 발전을 이루었다. 한편 유독 신라에서만 이두가 발전한 이유에 대해서는 많은 시각이 있다.
이두

국어학계 일각에서는 무열왕이 즉위한 7세기 중반까지 당나라의 서신에 쓰인 한문을 해석할 수 있는 지식인이 드물었다는 의 서술을 두고, “고구려나 백제에 비해 한자를 100여 년 늦게 도입한 신라는 상대적으로 한문 이해력이 떨어졌기 때문에 자국어 표기를 발전시킨 것”이라는 주장이 있다. 반면 역사학계는 다른 시각이 제기되고 있는데, 2016년 윤선태 교수는 "오랫동안 구두 전달 위주로 행정 명령을 내린 신라의 특수성이 한자 도입 이후 문서에도 반영돼, 구어체를 살릴 수 있는 이두 개발로 이어졌다"고 주장하며, 월성 해자 목간 등에서 발견되는 이두의 내용과 어휘를 보면 일상적인 구두 전달 체계를 자세히 표현하고 있다고 설명했다. 표기법. 이두문에서는 명사, 동사 어간 등 단어의 실질적 부분에서 주로 한자어가 사용되고, 조사(助詞)나 어미(語尾) 등 문법적 부분에서 주로 이두가 사용되었다.(명사, 동사 부분에서 이두가 사용되는 경우도 있음) 한반도에서는 한자를 도입한 뒤에 한동안은 정규 한문만 사용되었다고 추측되는데, 그 후 한국어 어순에 맞춰 글을 쓴 서기체(誓記體)와 같은 의사한문(擬似漢文)이 나타난다. 이두는 이와 같이 한국어 어순으로 쓰인 의사한문에 문법적 요소가 더 보완되어 성립된 것으로 추정된다. 이두는 한자의 음(音)과 훈(訓)을 이용하여 한국어를 표기하는데, 한자 독법은 옛날부터 있는 관습적인 독법이 내려와 있다. 그 중에는 중세 한국어와도 다른 독특한 것도 있다.
이두

예) 처격 ‘良中(-아)’에 대해 중세국어 ‘-애/-에’ 아래는 양잠경험촬요(養蠶經驗撮要, 1415년)에 나타나는 이두의 예이다.(밑줄이 이두 부분)
을파소

을파소(乙巴素, ? ~ 203년)는 고구려의 재상으로 고국천왕, 산상왕을 섬겼다. 유리왕 때 신하인 을소의 증손자이며 입관 전에는 서압록곡(西鴨淥谷) 좌물촌(左勿村)의 가난한 농부였다. 삼국사기에 열전이 남아 있다. 생애. 고국천왕 13년인 191년, 외척인 어비류(於畀留)와 좌가려(左可慮)가 반란을 일으켰다. 이를 진압한 이후 이후 고국천왕이 4부에 영을 내려 인재를 천거하게 하였다. 그러자 4부에서는 동부의 안류를 천거하였고, 안류가 다시 유리왕 때 재상이었던 을소의 후손인 을파소를 천거하였다. 이에 왕은 그를 중외대부(中畏大夫)와 우태(于台)로 임명하였다. 을파소는 이 관직이 자신이 뜻하는 바를 하기에 충분치 못하다고 여겨 “저로써는 감히 왕명을 감당할 수 없으니, 폐하께서는 현명하고 어진 이를 가려내 높은 관직을 주어 대업을 이루소서”라 하니, 왕이 그 뜻을 알고 국상(國相, 재상)으로 임명했다. 기존 대신들과 외척들이 을파소를 경계하자 왕은 국상에게 복종치 않는 자는 일족을 멸하겠다는 엄명을 냈다. 이후 을파소가 지극정성으로 국사에 임하니, 백성들이 편안하고 내정이 안정되었다. 같은 해 10월, 고국천왕은 안류를 불러 을파소를 천거한 공을 치하하며 대사자(大使者)에 임명하였다. 3년 뒤인 194년, 7월에 서리가 내려 백성들이 굶주렸다.
을파소

이에 왕은 굶주린 백성들을 구휼하는 한편, 관리들을 시켜 봄~가을의 기간 동안 곡식을 빌려 주었다가 10월에 갚게 하는 진대법(賑貸法)을 실시하였다. 삼국사기에는 을파소와 진대법의 관계가 분명히 나오지는 않으나, 일반적으로 을파소가 진대법 실시에 큰 영향을 주었다고 보고 있다. 고국천왕이 죽은 이후 산상왕 대에도 을파소는 국상의 자리를 유지하였다. 산상왕 7년인 203년, 왕이 아들을 얻지 못해 근심하자 을파소는 "하늘의 명은 헤아릴 수 없으니, 기다리십시요"라고 진언하였다. 그 해 8월 을파소가 죽자 많은 이가 슬퍼하였다. 국상직은 고우루(高優婁)가 계승하였다.
헨리크 비에니아프스키

헨리크 비에니아프스키(, 1835년 7월 10일 ~ 1880년 3월 31일)는 폴란드의 작곡가이자 바이올리니스트이다. 일대기. 비에니아프스키는 러시아가 지배하고 있었던 당시, 루블린주 루블린 시에서 태어났으며, 어렸을 때부터 음악에 대한 재능을 나타냈다. 그는 1847년에《대 환상 카프리치오 작품번호 1》을 출판했다. 총 24개 작품이 출판되었다. 비에니아프스키는 이사벨라 햄프턴과 약혼했지만, 이를 이사벨라의 부모가 반대하자 《전설 작품번호 17》을 썼고, 그것으로 부모의 마음을 돌려놓아 1860년 결혼했다. 1860년 안톤 루빈슈타인의 초청으로 상트페테르부르크로 이주하여 1872년까지 살았다. 그곳에 있는 Russian Musical Society에서 그는 바이올린을 가르치면서 오케스트라와 현악 사중주 활동을 했다. 1872년부터 1874년까지 비에니아프스키는 안톤 루빈슈타인과 함께 미국을 여행했다. 1875년에는 브뤼셀에 있는 콘소바토리에서 앙리 비외탕의 후임으로 바이올린 교수를 지냈다. 몇 해 동안 건강이 악화되어 콘서트를 몇 년간 가지지 못했다. 1879년 4월 오데사에서 마지막 콘서트를 갖고 이듬해에 사망했다. 비에니아프스키는 천재적인 바이올리니스트로 여겨지고 있다. 두 개의 바이올린 협주곡을 포함해서 그의 작품은 어려운 기교를 가지고 있어 바이올린 레퍼토리로서 많이 연주되고 있다. 그는 사후에 얻은 명성이 많다. 1952년과 1957년, 폴란드 우편 직인에는 그의 얼굴이 도안되었다. 1979년 주화된 100 즈워티 동전에는 그의 얼굴이 있다.
헨리크 비에니아프스키

체코브카 강에 있는 한 도시에는 비에니아프스카라는 이름이 붙었다. 흔히 ‘Russian bow grip’이라고 불리는 기법은 ‘Wieniawski bow grip’이 더 올바른 이름이다. 이는 비에니아프스키가 그의 학생들에게 악마의 트릴을 연주하기 쉽게 하기 위해서 지도했던 기법이기 때문이다. 비에니아프스키는 콘서트 순회 중 모스크바에서 숨졌다. 그의 시신은 바르샤바의 포와즈키 묘지에 안장되어 있다. 첫회의 비에니아프스키 바이올린 콩쿨이 1935년 바르샤바에서 열렸고, 1952년부터 5년마다 국제 콩쿨이 열리고 있다.
앙리 비외탕

앙리 프랑수아 조제프 비외탕(, 1820년 2월 17일 ~ 1881년 6월 6일)은 벨기에의 작곡가이자 바이올리니스트이다. 주로 프랑스에서 활동했다. 이른바 프랑코-벨기에파의 대표적인 바이올리니스트이다. 브뤼셀에서 같은 벨기에인 바이올리니스트로 지금도 연습곡이나 교본으로 알려진 베리오(Charles Auguste de Beriot)에게 배우고, 작곡은 라이하에게 사사하였다. 상트페테르부르크 음악원이나 브뤼셀 음악원의 교수도 역임하였다. 그의 작품은 모두 바이올린곡인데, 남아 있는 7개의 협주곡 중에서는 제4번, 제5번이 자주 연주된다. 생애. 벨기에 바이올린 명수이며 작곡자로 통하는 비외탕은 1820년 2월 17일 벨기에의 베르비에르에서 태어났다. 아버지는 피아노 조율사이자 악기 제조사로 일하는 사람이었다. 취미로 바이올린을 연주하던 아버지와 현지 음악가로부터 수업을 받고 6세에 피에르 로데의 작품으로 데뷔했다. 곧 인근 도시를 돌아다니며 순회공연을 하였는데, 브뤼셀에서 당시의 유명한 바이올린 연주자인 샤를 드 베리오에게 사사한다. 1829년 베리오와 함께 프랑스 파리로 가 로드 협주곡을 연주하여 성공적으로 데뷔하지만, 이듬해 7월 혁명이 터지고 스승인 베리오가 정부인 마리아 말리브란과 결혼하고 연주 여행을 떠나는 바람에 브뤼셀로 돌아오게 된다. 비외탕은 말리브란의 누이와 함께 음악 실력을 갈고 닦는다.
앙리 비외탕

1833년에는 독일로 여행을 떠나 루이스 슈포어와 로베르트 슈만과 친교를 쌓는데, 슈만으로부터 '작은 파가니니'라는 별명도 얻는다. 이후 10년간 유럽의 여러 도시를 돌아다니며 엑토르 베를리오즈 및 니콜로 파가니니를 비롯한 여러 청중들 앞에서 공연한다. 한편 작곡에도 관심을 갖고 있어서, 빈의 지몬 제히터에게서 수업을 듣고 1835년-1836년의 겨울에 파리의 앙투안 라이하에게 작곡을 배운다. 비외탕의 바이올린 협주곡 2번은 시기적으로 가장 먼저 쓰여졌는데, 바로 이 때 쓰여진 것이다. 바이올린 협주곡 제1번은 1840년 상트페테르부르크의 초연과 이듬해 파리 초연에서 극찬을 받았는데, 베를리오즈는 "바이올린과 관현악을 위한 격조 높은 교향곡"으로 평가하였다. 비외탕은 파리를 거점으로 활동을 이어간다. 피아니스트 지기스문트 탈베르크를 반주가로 동행하여 미국에서도 연주회를 가진다. 특히 러시아 제국의 초청을 받아 1846년부터 1851년까지 니콜라이 1세의 궁정음악가 및 제국극장 수석연주가로 임명된다. 상트페테르부르크 음악원에 바이올린 교육과정을 세워 향후 '러시아파' 바이올리니스트들의 초석이 된다. 1871년에는 네덜란드 연합왕국으로 돌아와 브뤼셀 음악원의 교수가 된다. 외젠 이자이가 이 때 비외탕을 사사하였다. 그러나 갑작스런 뇌졸중으로 오른팔을 못 쓰게 되자, 헨리크 비에니아프스키에게 교편을 맡기고 1873년에 파리로 돌아간다.
앙리 비외탕

비외탕은 차츰 뇌졸중의 후유증으로부터 회복되었으나, 1879년에는 발작이 재발하여 결국 바이올린을 다시 잡지 못한다. 말년에는 딸 부부가 살고 있던 알제리의 무스타파 수페리에로 간다. 비외탕의 일곱 협주곡과 짧은 실내악 몇 곡을 비롯해 많은 곡들이 이 때 쓰여졌다. 더 이상 바이올린을 연주할 순 없었지만 그 대신 다른 악기에도 관심을 가져 두 개의 첼로 협주곡, 몇 개의 사중주곡도 작곡했다. 루트비히 판 베토벤과 펠릭스 멘델스존의 곡들을 동경하며 보다 고전기의 작품들에 더 관심을 갖고 가벼운 곡들을 몇 곡 쓴다. 1881년 6월 6일, 아프리카의 알제리에서 향년 61세로 별세하였다. 음악적 특색. 바이올린 주자로서도 당시 최고의 명성을 차지하고 있었던 비외탕의 작품은 우아하고 아름다우며, 기교를 구사한 탁월한 가락과 음색이 풍려함이 그의 뚜렷한 특색이다.
언어유형론

언어유형론(言語類型論, ) 또는 단순히 유형론은 언어학에서 단순하게는 세계 여러 언어들을 조사하여 그 유형을 분류하는 연구를 말한다. 더 나아가, 유형론은 단순한 조사와 분류에서 끝나는 것이 아니라, 이를 일반화하여 인간의 언어가 가지는 보편적인 성격을 탐구하는 것을 말한다. 언어학의 하나의 방법론으로써 유형론은 이러한 ‘언어의 유형을 연구하는 것’만을 의미하지는 않는다. 유형론적 연구는 형식적 혹은 논리적 연구에 맞서는 것으로 언어의 기능, 인식 구조, 화용적 성격, 역사적 성격을 중요시여기는 방법론을 말한다. 다시 말해, 형식적 문법 연구가 이론내적 개념을 기반으로 하며 언어 외적 요소를 배제하려는 것인데 비하여, 유형론은 언어 외적인 실세계의 문제를 적극적으로 끌어 들여 언어 현상을 설명하려는 방법론이다.
군 (수학)

추상대수학에서 군(群, )은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모노이드의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, )이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론, 기하학, 수론에서 기원한다. 정의. 군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이항 연산 가 주어진 집합 formula_3이다. 군은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다. 왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 반군 ⇒ 군: formula_14를 왼쪽 항등원이라고 하자. 또한 임의의 formula_7에 대하여, 그 왼쪽 역원 formula_16와 왼쪽 역원의 왼쪽 역원 formula_17를 취하자. 그렇다면, 이다. 즉, formula_20은 항등원이며, formula_16는 formula_22의 역원이다. 공집합이 아닌 결합 유사군 ⇒ 왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 반군: formula_7를 취하자. 그렇다면, 인 formula_14가 존재한다. 임의의 formula_26에 대하여, 인 formula_28가 존재한다. 즉, formula_20은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다. 차수. 군의 원소 formula_7의 차수(次數, )는 다음과 같다. 즉, 거듭해서 1이 되는 최소의 지수이거나, 아니면 무한대이다. 간혹, 군 formula_32의 집합의 크기 formula_33를 군의 차수라고 부르기도 한다. 군의 원소의 차수는 만약 유한하다면 항상 군의 크기의 약수이다.
군 (수학)

부분군. 군 formula_32의 부분군 (部分群, )은 formula_32의 부분 집합 formula_36 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것이다. 즉, 역원에 대하여 닫혀 있는 부분 모노이드이다. formula_42가 formula_32의 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다. 정규 부분군은 부분군 가운데 켤레 작용에 대하여 불변인 것이다. 군 formula_32의 부분군 formula_46이 정규 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다. 정의에 따라, 정규 부분군의 왼쪽 잉여류는 오른쪽 잉여류와 일치한다. 군 준동형. 두 군 formula_32, formula_36 사이의 군 준동형 사상(群準同型寫像, )은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_50이다. 준동형 formula_53의 핵과 상은 각각 이다. 여기에서 formula_53의 핵은 formula_32의 정규 부분군이며, 상은 formula_36의 부분군임을 알 수 있다. formula_53가 단사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 핵이 자명군인 것이며, 전사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 상이 formula_36 전체인 것이다. 연산. 주어진 군들로부터 새로운 군을 만드는 다양한 방법들이 존재한다. 반대군. 군 formula_3가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 formula_32 위에 다음과 같은 새로운 이항 연산을 정의하자. 그렇다면, formula_65 역시 군을 이룬다. 이를 formula_32의 반대군(反對群, ) formula_67이라고 한다. 이는 모노이드의 반대 모노이드의 특수한 경우이며, 또 군을 하나의 대상을 갖는 범주로 볼 경우 반대 범주의 특수한 경우이다. 반대군 연산은 함자적이다. 즉, 군의 범주 formula_68 위의 자기 함자 를 정의한다. 아벨 군의 반대군은 스스로와 같다.
군 (수학)

즉, 아벨 군 위의 항등 함수는 스스로와 그 반대군과의 군 동형을 이룬다. 모든 군은 스스로의 반대군과 다음과 같은 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 범주론적으로, 이는 군의 범주 formula_68 위의 항등 함자 와 반대군 함자 사이의 자연 동형을 정의한다. 몫군. 어떤 군의 정규 부분군이 주어졌을 때, 그 잉여류들은 군을 정의하며, 이를 몫군(-群, )이라고 한다. 이는 몫공간이나 몫환과 같이, 군에 동치 관계를 줘 몫을 취하는 연산이다. 군 formula_32의 정규 부분군, formula_47가 주어졌을 때, 몫군 formula_77은 그 (왼쪽) 잉여류 formula_78 (formula_7)들의 집합이다. 이 집합에는 다음과 같은 군 연산을 줄 수 있다. 이 연산은 formula_46이 정규 부분군일 경우 정의할 수 있고, 이에 따라 몫군 formula_77이 군을 이루는 것을 보일 수 있다. 직접곱. 군들의 집합 formula_84가 주어졌을 때, 직접곱 는 이들의 곱집합에 군의 구조를 준 것이다. 군의 범주에서의 곱이다. 반직접곱. 두 군 formula_36, formula_46 및 작용 이 주어졌을 때, 반직접곱 을 정의할 수 있다. 이는 직접곱의 일반화이다. 자유곱. 군 formula_32, formula_36가 주어졌을 때, 자유곱 formula_92은 formula_32와 formula_36로부터 생성되는 가장 일반적인 군이다. 이는 (두 군 다 자명군이 아니라면) 항상 무한군이며 비아벨 군이다. 자유곱은 군의 범주에서의 쌍대곱이다. 군의 자유곱은 모노이드로서의 자유곱과 일치한다.
군 (수학)

융합된 자유곱. 군 formula_32, formula_96 및 군 준동형 formula_97가 주어졌을 때, 융합된 자유곱 formula_98는 formula_99들을 formula_32의 상을 따라 "이어 붙여" 만드는 가장 일반적인 군이다. 융합된 자유곱은 군의 범주에서의 밂이다. 군의 융합된 자유곱은 모노이드로서의 융합된 자유곱과 일치한다. formula_101가 자명군인 경우, 융합된 자유곱은 다름 아닌 자유곱이다. 만약 formula_53와 formula_22가 단사 함수라면, 융합된 자유곱의 모든 원소를 다음과 같은 꼴의 문자열로 유일하게 나타낼 수 있게 만드는 부분 집합들 formula_104이 존재한다. 구체적으로, formula_106는 왼쪽 곱셈 작용 formula_107의 궤도들의 대표 원소들의 집합으로 고를 수 있다. 이는 모노이드에서 더 이상 성립하지 않는다. 기타 곱. 이 밖에도, 화환곱() formula_108이나 차파-세프 곱() 등이 존재한다. 성질. 기초적 성질. 모든 군의 항등원은 유일하다. (이는 모노이드의 항등원이 유일하다는 정리의 특수한 경우이다.) 군 formula_32의 원소 formula_7가 주어졌을 때, 임의의 원소 formula_26에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다. 즉, 군에서는 (일반적인 모노이드와 달리) 왼쪽 역원 · 오른쪽 역원이 서로 일치한다. 군 준동형은 항등원을 항등원으로, 역원을 역원으로 대응시킨다. 즉, 군 준동형 formula_50에 대하여, 다음이 성립한다. 군에 대한 기초적인 정리로는 다음이 있다. 범주론적 성질. 군과 군 준동형의 범주 formula_68은 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
군 (수학)

이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다. 군의 범주에서 모노이드의 범주로 가는 망각 함자가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다. 즉, 두 군 사이의 모노이드 준동형은 군 준동형과 같다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다. 마찬가지로, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 충실충만한 망각 함자가 존재하며, 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 집합을 이로부터 생성되는 자유군에 대응시킨다. 군의 범주에서 작은 범주의 범주 formula_124로 가는 충실충만한 포함 함자 가 존재한다. 이는 군 formula_32를, 하나의 대상을 가지고 모든 자기 사상이 가역 사상인 작은 범주에 대응시킨다. 환의 범주에서 군의 범주로 가는 함자 가 존재하며, 이는 환을 그 가역원군에 대응시킨다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자 를 갖는데, 이는 군 formula_32를 정수 계수의 군환 formula_130에 대응시킨다. 모형 이론적 성질. 군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 이 경우 을 갖는다. 이 경우, 군의 연산들이 만족시키는 항등식은 다음 다섯 개이다. 군의 대수 구조 다양체에서, 부분 대수는 부분군, 준동형은 군 준동형이며, 합동 관계는 정규 부분군과 일대일 대응한다. 군의 대수 구조 다양체에서, 보편 대수학적 중심은 군의 중심과 같다. 군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 예로는 다음이 있다. 군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 집합은 완비 모듈러 격자의 구조를 갖는다. 구체적으로, 군의 다양체들의 집합 formula_149의 만남과 이음은 다음과 같다. 또한, 군의 대수 구조 다양체들의 부분 다양체들의 집합은 모노이드의 구조를 갖는다.
군 (수학)

두 다양체 formula_152, formula_153의 곱은 다음과 같다. 즉, formula_152와 formula_153의 곱은 formula_152의 원소의 formula_153에 대한 군의 확대들의 모임이다. 두 다양체의 곱은 항상 다양체를 이루며, 이 곱에 대한 항등원은 자명군의 다양체 formula_159이며, 또한 모든 군의 다양체 formula_68는 다음과 같이 곱에 대하여 0을 이룬다. 군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 모노이드는 이 두 관계를 제외하고는 자유 모노이드를 이룬다. 즉, formula_163을 갖는 모노이드들의 대수 구조 다양체에서의 자유 원소이다. 군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 수는 formula_164에서 formula_165 사이이다. 격자 이론적 성질. 군 formula_32의 부분군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합 formula_167은 완비 격자이며 대수적 격자이다. 군 formula_32에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 군 formula_32에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 모든 격자는 어떤 군의 부분군 격자로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 격자 formula_174에 대하여, formula_174과 동형인 부분 격자를 그 부분군 격자에 갖는 군 formula_32가 존재한다. 또한, 모든 유한 격자는 어떤 유한군의 부분군 격자로 나타낼 수 있다. 종류. 대표적인 군의 종류로는 다음이 있으며, 이것들 가운데 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 이것들 말고도, 다음과 같은 특별한 종류의 군들이 있다. 추가 구조를 가지는 군은 다음이 있다. 예. 아주 많은 예가 있다. 흔히 볼 수 있는 예로, 지수 함수 는 두 아벨 군 사이의 군 준동형이다. 여기서 formula_187는 덧셈군이며, formula_188은 곱셈군으로 간주한다.
군 (수학)

마찬가지로, 복소수체에 대한 지수 함수 역시 군 준동형이다. 역사. 역사적으로, 군론은 19세기에 방정식 이론 · 수론 · 기하학의 세 갈래로부터 비롯되었다. 방정식 이론. 방정식 이론의 주요 목표는 고차 방정식을 거듭제곱근만으로 푸는 것이었다. 4차 이하의 방정식은 이러한 대수적인 해가 존재하지만, 5차 이상의 경우 일반적으로 그렇지 않다. 조제프루이 라그랑주와 파올로 루피니, 닐스 헨리크 아벨 등은 고차 방정식의 해를 이해하기 위하여 자연스럽게 순열들의 군에 대한 각종 정리들을 발견하였고, 루피니와 아벨은 결국 5차 이상의 방정식의 대수적 일반해의 부재를 증명하였다. 에바리스트 갈루아는 아벨의 이론을 추가로 발전시켜, "군"()이라는 용어를 정의하였고, 또 군론을 체론과 연관시킨 갈루아 이론을 제창하였다. 또한, 갈루아는 정규 부분군과 가해군의 개념을 도입하였다. 갈루아의 이론은 갈루아 생전에는 주목받지 못했으나, 갈루아의 사후 카미유 조르당의 《치환과 대수 방정식에 대하여》(, 1870년)나 오이겐 네토()의 《치환 이론과 그 대수학적 응용》(, 1882년) 등이 갈루아의 이론을 널리 전파하였다. 에를랑겐 프로그램과 리 군의 발견. 기하학에서, 사영기하학과 비유클리드 기하학의 발견으로, 이러한 기하학들의 구조를 이해하는 체계가 필요하게 되었다. 1872년에 펠릭스 클라인은 이러한 기하들을 그 대칭군을 통해 일관적으로 이해하고자 하였고, 이를 에를랑겐 프로그램이라고 한다.
군 (수학)

1884년에 소푸스 리는 오늘날 리 군이라고 불리는 군들을 도입하였고 체계적으로 연구하였다. 이후 빌헬름 킬링과 이사이 슈어 등이 리 군의 연구를 계속하였다. 수론에서의 군. 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스는 합동 산술 및 이차 수체의 덧셈 및 곱셈의 구조를 연구하면서, 다양한 군들의 예를 발견하였다. 이후 레오폴트 크로네커와 에른스트 쿠머는 가우스의 이론을 발전시켰다. 쿠머는 데데킨트 군에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 군인 아이디얼 유군을 도입하였다. 군론의 독립. 19세기 말에 군론은 수학의 독립적인 분야로 발전하게 되었다. 아서 케일리, 막스 덴, 페테르 루드비 메이델 쉴로브 등은 군론의 기초를 체계적으로 다졌다. 특히 쉴로브는 1872년에 쉴로브 정리를 증명하였다. 20세기 초반. 20세기 초에는 대수적 위상수학의 발달로, 기본군의 개념이 발견되면서 이산 무한군의 중요성이 대두되었다. 또한, 임의의 체에 대한 대수군의 이론이 리 군 이론을 바탕으로 하여 발달하였다. 엘리 카르탕은 반단순 리 대수를 완전히 분류하였다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스와 이사이 슈어 등은 유한군의 지표론 및 군 표현론을 개발하였고, 슈어 직교 관계, 슈어 보조정리 등을 발견하였다. 20세기 후반 ~ 21세기. 1972년에 대니얼 고런스틴은 유한 단순군의 분류를 제창하였다.
군 (수학)

이후 이 프로그램은 존 그리그스 톰프슨 · 베른트 피셔() · 즈보니미르 얀코 · 엔리코 봄비에리 · 자크 티츠 · 마이클 애시배커() · 로버트 그리스() 등에 의하여 진행되었고, 1983년에 완결되었다. 이 과정에서 괴물군을 비롯한 수많은 산재군들이 발견되었다. 존 그리그스 톰프슨과 자크 티츠는 2008년에 군론에 대한 업적으로 아벨 상을 수상하였다. 응용. 군론은 수학의 여러 분야의 기초가 되었으며, 양자역학 등의 물리학 분야에 많이 응용된다. 군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. 정수나 실수 내에서의 덧셈 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 회전하거나 대칭시키는 등의 동작 또한 군이 된다.
수원 화성

수원 화성(水原 華城) 혹은 화성(華城)은 대한민국 경기도 수원시 팔달구 장안동에 있는 총 길이 5.74킬로미터의 성곽이다. 1963년 대한민국의 사적 제3호로 지정되었으며, 1997년 유네스코 세계문화유산으로 등록되었다. 수원 화성은 한국 전쟁 당시 일부가 파괴되어 이후 재건한 건축물이지만, 화성을 계획할 당시 그림과 글로 설계도와 관련 내용을 기록해둔 수원화성의궤가 남아있어 이를 바탕으로 복원하였기 때문에 역사적 가치를 인정받을 수 있었다. 화성은 한국 성의 구성 요소인 옹성, 성문, 암문, 산대, 체성, 치성, 적대, 포대, 봉수대 등을 모두 갖추어 대한민국의 성곽 건축 기술을 집대성했다고 평가된다. 지형에 맞추어 읍성과 산성의 구조가 모두 존재하도록 축조되었다. 축성. 조선 후기 정조 때인 1794년 착공하여 1796년 10월 10일(음력 9월 10일)에 준공되었다. 팔달산의 채석장에서 채굴한 벽돌로 쌓은 축성 공사에는 다산 정약용이 고안한 거중기가 사용되었다. 정조가 그의 아버지인 사도세자의 묘를 수원에 옮기면서 축조한 성으로 거중기, 녹로 등 신기재를 사용해 만들어졌다. 수성은 군사적 방어 기능과 상업적 기능을 함께 보유하고 있으며 실용적인 구조로 되어 있어 동양 성곽의 흑미로 평가받는다. 관례적으로는 국가가 임금을 전혀 지급할 필요가 없는 경우였지만, 성곽 건설에 병역의 의무로 동원된 백성들에게도 일반 건설 현장과 같은 적절한 임금을 나라에서 일반 노동자들과 차등을 두지 않고 그대로 지급하였다. 정조는 자신의 왕권을 강화하기 위해서는 새로운 정치 공간을 만들 필요가 있다고 생각하였다.
수원 화성

그러기 위해서는 3가지 조건이 필요했는데, 이는 바로 충신, 군사력, 자금 세 가지였다. 허나 수도 서울에서 이 세 가지 것을 모두 얻기 어렵다 판단한 정조는 신도시를 건설하기로 하였고, 그 신도시가 바로 수원화성이다. 축성의 또 다른 이유는 아버지에 대한 정조의 효서스러운 마음으로 이해된다. 정조는 어린 나이에 임오화변으로 아버지 사도 세자를 여의었다. 아버지의 죽음을 본 정조는 아버지에 대한 그리움과 안타까움이 컸기에 그는 왕위에 오른 후에 아버지의 묘를 더 좋은 곳으로 옮기기로 했다. 처음 옮겨진 곳은 영우원이었고, 이후 옮겨진 곳이 천 년에 한 번 나올 명당이란 극찬을 들었던 경기도 화성시 송산리 인근의 화산자락에 지어진 현륭원이다. 이후 정조는 원래 화산에 거주하던 주민들을 옮겨 살게 할 계획도시를 만들었는데 그것이 바로 수원화성이다. 지질. 《화성성역의궤》(華城城役儀軌)에 의하면, 화성 축성에 사용된 석재의 수량은 모두 201,403덩어리로 이 석재를 채취하기 위해 수원시 내 화강암이 분포하는 숙지산, 여기산, 팔달산, 권동 지역에 부석소(浮石所)가 설치되어 화강암 석재를 채석하였고 그 흔적이 현재도 남아 있다. 김봉혁(2008)의 조사 결과 팔달산에서 채석된 세립질 흑운모 화강암은 주로 산지의 성벽을 축성하는 데 사용되었으며, 숙지산과 여기산에서 채석된 중립질의 흑운모 화강암은 주로 평지 부분의 성벽과 능지 부분의 성벽 일부에 사용되었다. 방어 시설. 4대 성문.
수원 화성

화성에는 동서남북으로 남문, 서문, 북문, 동문 4개의 성문이 있다. 장안문. 장안문(長安門)은 화성의 북문이자 정문이다. 보통 성(城)의 남문을 정문으로 삼으나, 화성은 임금을 가장 먼저 맞이하는 북문인 장안문이 정문이다. 잘 다듬은 화강암으로 쌓은 석축에 홍예문을 냈고 그 위에 정면 5칸 측면2칸의 다포 양식으로 이루어진 중층의 문루가 세워져있다. 또한 가운데에 홍예문이 나있는 벽돌로 쌓은 옹성이 있으며, 양옆에 다른 성벽보다 높이가 약간 높은 두개의 적대가 설치되어 있다. 장안문의 이름은 중국의 옛 왕조인 전한(前漢), 수(隋), 당(唐)나라의 수도였던 장안(현재의 시안시) 에서 따온 것으로 이는 당나라 때의 장안성처럼 화성 또한 융성한 도시가 되라는 정조의 뜻이 담겨 있다. 팔달문. 팔달문(八達門)은 화성의 남문으로, 사방팔방으로 길이 열린다는 뜻이다. 현재는 좌우의 성벽이 헐려 길이 생기고 건물들이 들어서면서 번화가가 형성되었다. 축대 위로 누각이 서 있는데 2층으로 지어져 매우 높게 보인다. 돌로 쌓은 무지개 모양의 문은 왕의 행차 시에도 가마가 드나들 수 있을 만큼 널찍하게 내고 위에는 정면 5칸 측면 2칸의 중층 문루를 세웠다. 문루 주위 사방에는 낮은 담을 돌리고 바깥쪽으로는 반달형 옹성, 좌우에는 적대 등 성문 방어에서 핵심적인 역할을 하는 시설을 두었다.
수원 화성

옹성은 우리 나라 성곽에서 일찍부터 채용되었던 방어 시설로서 한양도성의 흥인지문, 전주성의 풍남문 등에서도 볼 수 있는데, 팔달문의 옹성은 규모와 형태 면에서 한층 돋보인다. 또한 팔달문은 도성의 문루처럼 우진각 형태의 지붕과 잡상 장식을 갖춘 문루로서 규모와 형식에서 조선 후기 문루 건축을 대표한다. 1964년 9월 3일 보물 제 402호로 지정되었다. 창룡문. 창룡문(蒼龍門)은 성의 동문이다. 이름은 음양오행설에서 푸를 '창'자가 동쪽을 의미한다는 데에서 이름이 유래하였다. 한국전쟁 당시 크게 소실된 것을 1978년에 복원하였다. 홍예의 크기만을 놓고 볼 때는 장안문보다 더 크다. 서남으로 행궁과 1,040보 떨어져 있고, 안팎으로 홍예를 설치하였는데, 안쪽은 높이가 16척 너비가 14척, 바깥쪽은 높이가 15척 너비가 12척, 전체 두께는 30척이다. 안쪽 좌우의 무사는 각각 아래 너비가 30척 높이 18척 5촌이며, 좌우의 와장대(臥長臺)는 길이가 각각 20척이고 돌머리는 각각 14층이며 너비는 9척이다. 바깥쪽 좌우 무사의 너비는 각각 25척 높이는 18척이며, 안팎 궁예 사이의 좌우 무사는 높이가 각각 17척, 양쪽 선문 안은 쇠로써 빗장을 설치하였다.동쪽에 있는 옹문으로써 동옹문이라고도 불린다. 이것이 수원화성의 대표적인 자랑 청룡열차이다. 화서문. 화서문(華西門)은 성의 서문이다. 동남으로 행궁과 460보 떨어졌으며, 홍예와 문루의 제도는 모두 창룡문과 같다.
수원 화성

다만 좌우의 돌 계단을 꺾이게 해서 층을 만들었다. 안쪽 좌우의 무사는 아래 너비가 각각 9척이고, 바깥 쪽은 너비가 각각 22척 2촌이다. 홍예문 사이 좌우의 무사는 높이가 각각 18척이고 수문청은 문의 남쪽 가장자리에 있다. 서옹성의 제도는 동옹성과 같은데 높이는 11척, 안쪽 둘레는 76척 정문에서 36척 떨어져 있으며 바깥 쪽 둘레는 110척이다. 안과 바깥 면 모두에 평평한 여장을 설치하고 외면에는 방안 "총혈 19개의 구멍과 활 쏘는 구멍 6개를 뚫었다. 나머지는 모두 동옹성과 같다." 1964년 9월 3일 보물 제 403호로 지정되었다. 수문. 화홍문. 화홍문(華虹門)은 성의 북수문이다. 화홍문은 화성의 북동쪽에 위치하고 있는데, 홍수를 대비하여 수원천 북쪽에 세워진 수문이다. 1794년 (정조 18년) 2월 28일 공사에 착수하여 8월 3일에 상량이 이루어지고, 이듬해 1795년(정조 19년) 1월 13일 문루가 준공되었다. 북수문에는 물이 흐를 수 있도록 7개의 홍예문이 있고, 남수문과 달리 북수문 위에는 누각이 있어 . 누각은 전면 3칸, 측면 2칸의 누마루 형식으로 하고 초익공(初翼工)의 겹처마이며, 지붕은 5량 팔작지붕의 형태이다. 누각을 설치해서 홍예에서 쏟아지는 장쾌한 물보라와 주변 환경이랑 잘 어우러져서 수원8경의 하나로 '화홍관창(華虹觀漲)'이라고 불릴 만큼 아름다운 경관을 조성해 놓았다.
수원 화성

화홍문의 누각은 평상시에는 수문 및 교량으로서, 비상시에는 군사시설로 활용할 수 있도록 총안과 포혈을 갖추어 설계된 실용성이 있고 아름다운 외관이 조화된 화성 성곽의 대표적인 시설물 중 하나이다. 소요된 건축 비용은 30,940냥 4전 3푼으로, 장안문 및 팔달문 다음으로 많이 소요되었다. 남수문. 남수문(南水門)은 북수문과 마찬가지로 교량과 수문의 역할, 비상시에는 군사시설로 활용할 수 있도록 설계되었다. 1794년(정조 18년) 2월 28일 공사에 착수했다가, 이듬해 11월까지 공사를 중단되었다가 다시 공사를 재개하여, 1796년(정조 20년) 1월 16일에 홍예가 이루어졌다 남수문은 화홍문과 마주서서 물줄기의 흐름을 인도하도록 설계되어 있으며, 석축으로 9칸의 홍예를 틀고 철전(鐵箭)을 설치하여 잠가두는 것이 화홍문의 제도와 같았다. 남수문은 9개의 홍예문 위에는 통로를 만들고 여장을 높이 쌓았는데, 돌기둥 8개가 돌다리를 떠받들게 되어 있다. 또한 장포(長舖)라는 전돌로 만든 긴 포를 설치했는데 길이는 수문의 다리와 같고 폭은 다리의 3분의 2로 해서, 이 안에 수백 명이 들어갈 수 있도록 설계되어 있다. 또 이곳에는 많은 포혈을 설치하여 군사시설로서도 활용할 수 있도록 하였다수원시는 수원 화성이 1997년 세계유산으로 등재된 뒤 남수문 복원을 위해 지난 2004년 남수문터에 대한 발굴조사에 나섰고, 2010년 9월부터 복원공사에 들어갔다.
수원 화성

2010년 6월 공사를 시작한 남수문 복원사업은 길이 29.4ｍ, 너비 5.9ｍ, 전체 높이 9.3ｍ로, 수문 아래쪽은 9칸 홍예수문(무지개다리)을 연결한 형태이고 수문 위쪽은 전등을 이용해 원형 복원됐다. 장대(將臺)와 노대(弩臺). 장대는 성곽 일대를 조망하면서 군사들을 지휘하던 일종의 지휘소 같은 곳이다. 화성에는 서장대(西將臺)와 동장대(東將臺) 두 곳이 있다. 노대는 성 가운데서 쇠뇌를 쏠 수 있도록 높이 지은 시설물이다. 접근하는 적을 공격할 수 있다. 화성에는 서노대(西弩臺)와 동북노대 두 곳이 있다. 서장대 (화성장대)와 서노대. 서장대(西將臺)는 화성의 군사지휘본부로서 '화성장대(華城將臺)'라고도 불린다. 팔달산의 정상에 자리 잡고 있다. 1794년(정조 18년) 8월 11일 공사에 착수, 9월 16일에 상량하고, 9월 29일에 완공됐다. 화성장대(華城將臺)라는 편액은 정조가 직접 쓴 것으로 알려져 있다. 서장대에서는 성 전체가 한눈에 들어와, 화성 일대는 물론 이 산을 둘러싸고 있는 100리 안쪽의 모든 동정을 파악하고, 그 자리에서 군사들을 지휘할 수 있는 위치이다. 이 곳에는 장대석으로 대를 쌓고 세 벌의 계단을 마련하고 그 위에다 또 한 단의 대를 놓고, 또 그 위에다 2층지붕의 건물을 세웠다. 정면 3칸, 측면 3칸의 중층 누각으로서 상층은 정면과 측면이 각각 1칸의 모임지붕으로 되어 있다.
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서장대 바로 뒤에 서노대(西弩臺)가 서있다. 서노대는 서장대의 서북쪽에 동향하여 성 한가운데서 다연발 활인 쇠뇌를 쏘기 위하여 높이 지은 곳으로 정팔각형꼴로 전벽돌을 쌓아놓았고 계단 부분은 트이게 하였다. 성곽 내부와 궁궐 안까지 모두 내려다 볼 수 있는 서장대이다. 석성으로 쌓은 성곽에서 한쪽 끝에 궁궐로 화성행궁과 창경궁이 성곽을 쌓는 시기에 구체화되었다고 알려져 있는데, 궁궐인 창경궁에 안을 다 들여다 볼 수 있는 위치는 궁궐 내부로 있다. 동장대. 동장대(東將臺)는 성의 동쪽 동북공심돈과 동암문 사이에 위치하고 있다. 1795년(정조 19년) 7월 15일에 공사 착수, 8월 10일에 상량, 8월 25일에 장대 건물을 완공하였다. 이 장대의 지형은 높은 곳은 아니지만 사방이 트여 있고, 등성이가 험하게 높이 솟아 있는 곳으로 동쪽 구릉인 선암산(仙巖山)의 요지이자 성중에서 지휘소를 설치하기에 딱 좋은 장소이다. 3단으로 쌓은 대가 있고, 3층의 대에서는 총수(銃手)가 숨어서 쏘기에 편리하게 시설되어 있다. 한가운데 좌우에 와장대(臥長臺)를 설치하고, 흙을 판판하게 해서 돌로 깔아 하대에서 말을 타면서도 장대에 올라 갈 수 있도록 하였다. 장대 건물은 정면 5칸, 측면 9칸의 익공식(翼工式) 단층의 팔작기와지붕이다.
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건물 주변에는 터를 동서로 80보, 남북으로 240보로 넓이를 잡아 조련장(操鍊場), 일종의 훈련장 같은 것을 닦아 놓았다. 동북노대(東北弩臺)는 창룡문과 동북공심돈의 중간에 자리 잡고 있다. 정조 20년 4월 14일에 완공되었다. 공심돈(空心墩). 공심돈은 적이나 주위의 동정을 살피기 위하여 지은 망루와 같은 곳이다. 남한산성에도 설치가 되어 있지만 성제상으로 돈의 내부가 비어 있도록 설계된 것은 조선 시대를 통틀어 수원 화성이 처음이다. 중국의 병성인 '성서'(城書)에는 공심돈을 "벽돌로 3면에 섬돌을 쌓고 그 가운데를 비워 둔다. 가운데를 2층으로 구분하여 널빤지로 누(樓)를 만들고 나무사다리를 이용하여 위아래에 공안을 뚫어서 바깥의 동정을 엿볼 수 있게 하였다. 불랑기나 백자총들을 발사하여도 적으로서는 화살이나 총탄이 어느 곳에서부터 날아오는지를 모르게 되어 있다."라고 설명하고 있다. 서북공심돈. 서북공심돈(西北空心墩)은 화서문 북치(北稚) 위에 있으며, 1796년(정조 20년) 3월 10일에 완공한 공심돈이다. 성곽과 전축 및 누각 모두 거의 축조 당시의 완형(完形) 그대로 보존되어 있다. 치의 높이는 15척(4.25m)이며 서북 2면에 각각 현안(懸眼) 두 개를 내었고, 그 위에 벽돌을 사용하여 네모지게 높이 쌓고 그 속을 비게 하였다.
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벽축의 높이는 18척(5.58m)이고, 아래의 네모난 넓이는 23척(7.13m) 위의 줄어든 네모난 넓이 21척(6.51m)이다. 내부는 3층으로 꾸며 2층과 3층 부분은 마루를 깔았고, 사다리를 설치하여 위아래로 이동할 수 있도록 하였다. 돈대의 꼭대기에는 포사를 지었으며, 돈대 외벽에는 총안, 포혈(砲穴) 등을, 상층의 벽면 위쪽 판문(板門)마다 각각 전안(箭眼)을 뚫었다. 아래층 내면에는 벽돌로 홍예를 튼 작은 문을 내어 출입하도록 하였다. 서돈의 성벽 높이는 약 5m이고, 전축 부분은 성 위에서 5.14m, 처마 높이는 성 위에서 도리 밑까지 6.27m이다. 2011년 3월 3일 보물 제 1710호로 지정되었다. 동북공심돈. 동북공심돈(東北空心墩)은 창룡문의 근처에 있는 공심돈으로, 서북공심돈과 남공심돈과 달리 성벽을 쌓은 안쪽에 건조되었다. 이 공심돈은 동심원 형태의 건축물이다. 높이는 17척 5촌(5.42m), 바깥 원 둘레 122척(38m), 벽돌로 된 부분의 두께 4척(1.24m), 안쪽 원 둘레 71척(22m), 내원과 외원 사이에 가운데 4척 5촌(1.39m)의 공간을 비워두고, 내부에는 나선형의 계단을 설치하였고 2층 덮개판으로 둘렀다. 아래 층 높이는 7척 3촌, 가운데 층 높이는 6척 5촌인데, 모두 군사들의 몸을 숨길 수 있게 하였다.
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아래층 공심에서 나선형의 벽돌 계단으로 윗층의 집을 이르기 때문에 '소라각'이라고도 불린다. 남공심돈. 남공심돈(南空心墩)은 팔달문의 동치(東稚) 위에 있는 공심돈으로, 1795년(정조 19년) 10월 18일에 완공하였다. 현재 미복원 상태이다. 암문(暗門). 암문은 성 깊숙한 곳에 적이 찾지 못하도록 설치를 해서 사람이나 가축이 통과하고 군수품을 조달하기 위한 일종의 비밀의 문이다. 화성에는 동암문, 북암문, 서암문, 남암문, 서남암문 등의 5개의 암문이 있다. 하지만 남암문은 그 지역이 시가지화되면서 인멸되고 지금은 미복원 상태이다. 동암문. 동암문(東暗門)은 동북포루와 동장대의 중간에 있다. 성벽은 안쪽으로 굽어져 들어가 북암문과 같은 형태이다. 안쪽 너비는 7척 높이는 8척이고 바깥은 너비가 6척, 높이가 7척 5촌이다. 1796년(정조 20년) 3월 25일에 홍예가 이루어졌다. 북암문. 북암문(北暗門)은 동암문에서 얼마 떨어지지 않은곳에 있으며, 방화수류정과 거의 함께 있다. 그 근처는 약간 골짜기진 곳이라서 밖에서 찾기가 어렵다. 안쪽은 너비가 4척 6촌 높이가 6척 5촌이고, 바깥쪽은 너비가 4척 높이가 6척이다. 1795년(정조 19년) 2월 23일에 홍예가 이루어졌다. 서암문. 서암문(西暗門)은 팔달산 서장대 근처에 있는 암문으로, 입구가 꺾여 있어서 찾기 힘들다.
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안쪽의 너비는 5척 6촌, 높이는 7척 7촌이고, 바깥쪽은 너비 4척 1촌, 높이는 7척 2촌이다. 정조 20년 6월 18일에 홍예가 이루어졌다. 문의 안의 높이는 높고 밖은 낮아 안에 계단을 설치해서 계단으로 내려가서 성 밖으로 나갈 수 있도록 되어 있다. 서암문은 북암문이나 동암문과 같이 성곽을 깊게 하여 암문을 설치하면 지형상 쉽게 발견될 수 있으므로 암문이 옆으로 틀어 앉혀져 있어서 암문을 쉽게 발견되지 못하도록 되어 있다. 남암문. 남암문(南暗門)은 남공심돈 근처에 있는 암문으로, 현재는 미복원 상태로 있다. 서남암문. 서남암문(西南暗門)은 보통 다른 암문과는 달리 서남각루(西南角樓)로 나가는 암문으로서 유일하게 암문 위에 포사(舖舍) 1칸이 세워져 있다. 1796년(정조 20년) 8월 6일에 암문의 홍예가 이루어졌다. 포사는 한 칸 사방의 규모로, 온돌을 놓고 사면에 판문(板門)을 대고 바깥쪽 문에다 짐승의 얼굴을 그려 넣었다. 각루(角樓). 각루는 성곽 부분 가운데 높은 구릉을 택하여 누각 모양의 건물을 세워, 주위를 감시하고, 가끔은 휴식을 즐길 수 있는 정자처럼 다기능성이 있는 건축물이다. 화성에는 동북각루, 서북각루, 동남각루와 서남각루 등 4개의 각루가 설치되어 있다. 동북각루 (방화수류정). 동북각루(東北角樓)는 화홍문 바로 옆에 있으며, 용연이라는 연못 위에 있다. 화성의 시설물 중에서도 아름다워 '방화수류정'이라고도 한다.
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1794년(정조 18년) 9월 4일에 공사 착수, 10월 7일에 상량했으며, 10월 19일에 완공했다. 2011년 3월 3일 보물 제 1709호로 지정되었다. 서북각루. 서북각루(西北角樓)는 화서문 옆에 있으며, 동남각루와 마찬가지로 높은 곳에 위치해 주위를 관찰하기가 쉽다. 1796년(정조 20년) 7월 9일에 완공되었다. 동남각루. 동남각루(東南角樓)는 남수문 바로 옆에 있으며, 높은 곳에 위치하고 있으며 성벽이 꺾인 모퉁이에 있어서 주위를 관찰하기가 쉽다. 1796년(정조 20년) 7월 25일에 준공되었다. 서남각루 (화양루). 서남각루(西南角樓)는 서장대와 팔달문의 중간지점 서남암문에서 용도(甬道)를 통해 뻗어나간 외성의 끝 부분에 있으며, '화양루(華陽樓)'라고도 한다. 1796년(정조 20년) 4월 16일에 공사 착수, 7월 13일에 상량했으며, 7월 20일에 누각의 준공되었다. 서남각루는 용도 끝에 있어서 화성 방어를 위한 군사적 요충지로서의 구실을 하게 하였다. 봉돈(烽墩). 봉돈(烽墩)은 불을 비추어 행궁을 수비하고 성을 수비하며 주위를 정찰하여 사태를 알리는 군사 및 교통상의 신호 시설물이다. 봉돈은 화성 동문의 서남쪽에 있으며, 5개의 연기구멍을 갖추어 신호를 보낼 수 있도록 되었다. 1796년 (정조 20년) 6월 17일에 완공되었다.
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성벽 일부를 밖으로 돌출시키고 하층은 석축으로 쌓고, 위는 전축으로 성벽보다 높이 쌓아 위쪽에 여장을 두었다. 내부는 3층의 계단식으로 만들어서 가장 높은 곳에 5개의 횃불 구멍인 화두(火竇)를 설치하였다. 여장 3면에는 포혈 18개를, 그 아래 3면 벽성(甓城)에는 총안 18개와 누혈(漏穴) 1개를 뚫었다. 밤에는 불, 낮에는 연기로 신호를 보냈다. 평상시에는 남쪽의 첫째 것에만 사용을 했다. 나머지 4개는 긴급한 일이 없으면 횃불을 들거나 연기나게 하지 않았다. 적이 나타나면 2개, 경계에 접근하면 3개, 경계를 침범하면 4개, 그리고 적과 접전시에는 5개의 봉화를 올렸다. 포루(砲樓)와 포루(舖樓). 포루(砲樓)는 포병용 진지로 벽돌로 짓고 포루(舖樓)는 보병용 진지로 치성 위에 지은 목조 건물이다. 포루(砲樓). 포루(砲樓)는 성벽밖에 3층으로 지은 벽돌건물로 내부를 공심돈과 같이 비워두어서 그 안에 화포를 숨겼다가 위아래를 한꺼번에 공격을 할 수 있도록 만든 시설물이다. 화성에는 남포루(南砲樓), 동포루(東砲樓), 북동포루(北東砲樓), 북서포루(北西砲樓), 서포루(西砲樓) 등이 있다. 남포루. 남포루(南砲樓)는 팔달산 중턱 서남암문 근처에 있으며, 1796년 (정조 20년) 7월 9일에 준공되었다. 구조는 동북포루와 거의 동일하다. 여장에는 타구와 전안을 뚫었고, 타구의 안에는 전판문을 달았다.
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마루, 지붕 등의 구조는 서포루와 비슷하다. 남포루에는 대포와 혈포가 각 2대, 총안 19개가 설치되어 있다. 동포루. 동포루(東砲樓)는 봉돈의 근처에 위치하고 있으며, 1796년 (정조 20년) 7월 16일에 준공되었다. 포루는 3중층으로, 정면 1칸, 측면 3칸의 규모이다. 하층과 중층의 벽은 돌출부 3면을 전축했고, 성내측면은 석축으로 했으며, 외부의 포혈과 총안을 두었다. 상층 여장의 타구(垛口) 및 전안(箭眼)은 서포루와 비슷하다. 북동포루. 북동포루(北東砲樓)는 장안문과 북수문 사이에 있으며, 1794년 (정조 18년) 9월 23일에 준공되었다. 정면 1칸, 측면 3칸의 2중층이며, 도리는 납도리이고 홑처마의 5량 구조이다. 포루 밖으로는 우진각지붕을 안으로는 박공지붕으로 하였다. 하층의 중간에서 중층 및 상층에 계단을 설치해서 위아래로 돌아다닐 수 있도로 했다. 그 외는 북서포루와 비슷하다. 북서포루. 북서포루(北西砲樓)는 서장대의 북쪽에 있으며, 1794년 (정조 18년) 9월 24일에 준공되었다. 정면 1칸, 측면 3칸의 3중층이며 성 위로는 최상층의 누각이 세워져 있다. 포혈, 총안, 여장, 타구, 전안 및 출입문의 구조는 서포루와 동일하다.