Chang-Su/ko-wiki-250611 huggingface dataset:
레드햇

역사. 1993년 Bob Young 이 리눅스와 유닉스 소프트웨어 악세사리를 판매하는 ACC Corporation을 설립하였다. 1994년, Marc Ewing 은 자신의 리눅스 배포판을 만들어 Red Hat Linux[7] (Ewing은 카네기 멜른 대학에 다닐 때 할아버지가 준 빨간 라크로스 모자를 쓰고 다녔다)라고 이름붙였다. Ewing은 이를 10월에 릴리즈했고, 이에 따라 핼러윈 릴리즈라고 알려지게 되었다. Young은 1995년 Ewing의 사업을 인수했고, 자신의 사업과 통합하여 Red Hat Software를 설립하여 CEO가 되었다. Red Hat은 1999년 8월 11일 기업을 상장했고, 이날 월 가 역사상 8번째로 높은 상장일 주가 상승이 있었다. 1999년 12월 Matthew Szulik 이 Bob Young의 뒤를 이어 CEO가 되었다. 1999년 11월 15일, Red Hat은 Cygnus Solutions를 인수했다. Cygnus는 free software 에 대한 상업적인 지원을 제공했고 GNU Debugger 나 GNU Binutils와 같은 GNU 소프트웨어 제품에 대한 유지관리를 제공했다. Cygnus의 창립자 중 한명인 Michael Tiemann은 Red Hat의 CTO가 되었고 2008년까지 오픈 소스 부서의 부사장 역할을 맡았다. 그 후 Red Hat은 WireSpeed, C2Net Hell's Kitchen Systems를 인수했다. 레드햇은 현재 오픈소스 방식으로 더 나은 기술을 개발하는 고객, 기여자, 파트너 커뮤니티의 촉매 역할을 하겠다는 미션을 갖고 있다.
헬륨

헬륨(, )은 화학 원소로, He()이고 원자번호는 2이다. 질량수가 3인 3He과 4인 4He이 있다. 헬륨은 화학 원소 중 끓는점이 가장 낮으며, 상압에서는 영점에너지로 인하여 절대영도에서도 액체로 존재할 수 있는 유일한 원소다. 단, 액체 헬륨의 동위원소는 일정한 온도 및 압력 하에서 고체로 존재할 수 있다. 기체, 액체, 고체가 공존하는 3중점이 없는 유일한 원소이다. 헬륨은 1868년 프랑스 천문학자 피에르 장센이 발견하였다. 그는 1868년 8월 18일 일식의 관측에서 특정 대역의 노란 빛, 즉 587.6 나노미터 부분에 새로운 선이 존재하는 것을 알아내고 헬륨의 존재를 밝혔다. 헬륨이라는 말은 그리스어로 태양을 뜻하는 말 헬리오스(Helios)에서 유래하였다. 수소 다음으로 가벼운 원소이며, 다른 원소와 잘 반응을 하지 않기 때문에, 지구상에서는 거의 존재하지 않는다. 현재 지구상의 헬륨은 대부분은 방사성 원소의 핵붕괴로 생성된 알파 입자가 천연 가스에 포획된 상태로 있다가 발굴된다. 1903년, 미국의 천연 가스전에서 다량의 헬륨이 발굴되었다. 그러나 헬륨은 우주에서 수소 다음으로 두 번째로 흔한 원소로서, 은하계 전체 원소의 24%를 차지한다. 태양과 가스 행성(목성, 토성, 천왕성, 해왕성) 들도 수소와 헬륨이 전체의 대부분을 차지하고 있다. 그 외에 항성이 주계열성으로 빛나면서 중심부에서 일어나는 수소 핵융합 반응으로도 일부 생성된다. 알려진 특성. 비활성 기체.
헬륨

헬륨은 가장 반응성이 적은 비활성 기체이다. 그뿐만 아니라 알려진 모든 화학 원소 중에서 가장 반응성이 적다. 거의 모든 조건에서 헬륨은 단원자 분자로 존재하며 반응하지 않는다. 상 변화. 헬륨은 매우 높은 압력하에서 고체나 액체의 상태가 될 따라 30% 정도 부피가 감소될 수 있다. 5×107 Pa의 압력에서 헬륨의 용적율은 물의 50배에 달한다. 압력 1기압에서 헬륨은 절대 영도에 도달하여도 고체가 되지 않고 액체 상태를 유지한다. 이는 양자 역학으로 설명되는데, 즉 헬륨의 영점 에너지가 너무 높아 절대 영도에 이르러도 분자 운동이 활발히 유지되기 때문이다. 헬륨을 고체 상태로 유지하기 위해서는 1~1.5 K(약 −272 °C)에서 약 2.5 MPa의 압력을 가해야 한다. 헬륨의 고체 상태와 액체 상태는 굴절률이 같아 분간이 매우 어렵다. 헬륨은 1기압의 압력에서 약 2.3K에서 초유체로 상변이한다. 고압에서 만들어지는 고체 헬륨도 초유체와 비슷한 현상이 발견되었다. 액체 헬륨. 저온의 액체 헬륨에는 이상한 성질이 많다. 그중 여러가지가 헬륨이 원자가 보즈 입자라는 사실 때문에 일어난다. 한 가지는 액체 헬륨이 점성 저항(viscous resistance) 없이 흐른다는 사실이다. 그것은 속도가 작은 경우의 '마른 물(dry water)'의 이상적인 예이다. 그 이유는 다음과 같다. 액체가 점성을 가지려면 내부 에너지의 손실이 있어야 한다. 즉 액체의 한 부분이 나머지와는 다른 운동을 할 방법이 있어야 하는 것이다.
헬륨

그것은 원자 몇 개를 나머지 원자들과는 다른 상태로 때려서 보낼 수 있다는 뜻이다. 하지만 충분히 낮은 온도에서는 열운동이 아주 작아지고 모든 원자는 같은 상태로 가려 한다. 몇 개의 원자가 움직이고 있다면 다른 모든 원자들도 따라서 같은 상태로 움직이고 싶어 하는 것이다. 그 운동에는 어떤 경직성(rigidity)이 있어서 독립적인 입자의 경우에 생기는 불규칙한 난류이 형태로 움직임을 깨뜨릴 수가 없다. 보즈 입자로 이루어진 액체는 모든 입자들이 같은 상태로 가려는 강한 경향이 있다. 고온에서는 많은 원자들을 여러 다른 상태들로 보낼 수 있을 만큼 열에너지가 충분하기 때문에 이 같은 협력적인 운동이 일어나지 않는다. 하지만 충분히 낮은 온도에선 헬륨 원자들이 모두 같은 상태로 가려 하는 순간이 갑자기 찾아온다. 헬륨이 초유동체(superfluid)가 되는 것이다. 한 가지 덧붙이자면, 이 현상은 헬륨의 동위 원소 중 원자량이 4인 것들에서만 볼 수 있다. 원자량이 3인 동위 원소는 개개의 원자가 페르미 입자이기 때문에 액체 상태에서 보통의 유체가 된다. 초유동체 현상은 4He에서만 일어나기 때문에 이는 분명히 보즈 입자인 알파 입자의 성질에 의한 양자역학적 효과이다. 용도. 공기보다 가볍고 비활성 기체임을 이용해 폭발하기 쉬운 수소 대신에 비행선, 풍선, 애드벌룬에 이용된다. 또, 심해 잠수부의 산소통의 질소 대체로 이용된다. 그 이유는 질소보다 헬륨이 혈액에 대한 용해도가 작아 잠수병을 예방할 수 있기 때문이다. 헬륨의 끓는점이 매우 낮은 것을 이용해 초저온 냉각제로 사용되기도 한다.
헬륨

헬륨은 산화흔적이 남으면 안 되는 용접을 할 때 산소의 접근을 막기 위한 용도로 헬륨 환경을 조성한다. 반도체 등의 제작을 위해 플라즈마를 생성시킬 때 플라즈마의 균일한 정착을 위해 헬륨을 적정량 사용한다. 또한 목소리 변조에 사용되기도 하는데, 헬륨 가스에서는 공기 중에 비해 약 3배정도 전송 속도가 빠르기 때문에 약 10~20초정도 목소리의 음이 높아지는 현상이 발생한다. 단 많은 양을 마실 경우 질식할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 헬륨은 트리믹스에 사용되는데, 트리믹스는 압축 공기에서 질소의 비율을 줄이고 그만큼을 헬륨으로 채운 것이다. 헬륨은 용해도가 매우 낮기 때문에 압축 공기를 사용했을 때(30~40m)보다 더욱 깊이 잠수할 수 있다. 그러나 70m~80m 정도까지 내려가면 헬륨이 용해되어 헬륨 마취 현상이 일어난다. 핵융합. 1H→3He→6Be→방사성 붕괴→4He→12C→16O→ 20Ne→24Mg→28Si→56Fe
레온하르트 오일러

레온하르트 오일러(, , 1707년 4월 15일 ~ 1783년 9월 18일)는 스위스 바젤에서 태어난 수학자, 물리학자, 천문학자, 논리학자, 공학자이다. 미적분학, 그래프 이론, 위상수학, 해석적 수론 등 수학의 여러 분야에서 많은 업적을 남겼으며, 함수 기호 formula_1(1734년에 처음으로 사용)을 처음 도입하였다. 또한 이 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불리는 ‘오일러 항등식’을 구안했다. 고전역학, 유체역학, 광학, 천문학 및 음악 이론에서도 여러 업적을 남겼다. 18세기의 가장 저명한 수학자이자 카를 프리드리히 가우스, 탈레스, 아르키메데스 등과 함께 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 꼽힌다. 약 92권의 전집과 866편에 달하는 논문을 남겨 다른 어떤 수학자보다 많은 분야에서 많은 연구 업적을 남겼다. 그는 대부분의 일생을 러시아의 상트페테르부르크와 프로이센의 수도 베를린에서 보냈다. 생애. 성장기. 오일러는 스위스 바젤에서 목사인 아버지와 개신교 목사의 딸인 어머니 사이에서 6명의 아이들 중 첫째로 태어났으며, 두 여동생과 한 남동생이 있었다. 오일러가 바젤에서 태어난 지 얼마 지나지 않아 스위스의 리헨으로 옮겨 가 어린 시절의 대부분을 그곳에서 보냈다. 아버지는 당대 최고의 수학자였던 요한 베르누이와 친분이 있었으며, 이후 베르누이는 어린 오일러에게 많은 영향을 주었다. 그후 오일러는 바젤에서 정규 교육을 받았다.
레온하르트 오일러

13세에 바젤 대학교에서 입학 허가를 받았고, 1723년에 르네 데카르트와 아이작 뉴턴의 철학을 비교한 논문으로 석사 학위를 받았다. 당시에 그는 그의 놀라운 수학적 재능을 알아본 요한 베르누이로부터 토요일 오후마다 개인 교습을 받았다. 하지만 오일러가 목사가 되기를 바랐던 부친은 그에게 목사에게 필요한 여러 언어들을 배우게 했다. 그러나 요한 베르누이가 오일러는 위대한 수학자가 될 운명을 타고 태어난 사람이라며, 부친을 설득했다. 오일러는 1726년에 음향의 전파를 다룬 논문으로 박사 학위를 받았다. 1727년에는 프랑스 과학 아카데미 문제 풀이 경연에 참가해 2등을 하였으며, 이후 매년 열리는 이 상을 12번 수상하였다. 상트페테르부르크 시절. 이즈음 요한 베르누이의 두 아들은 상트페테르부르크의 러시아 과학 아카데미에서 일하고 있었다. 하지만 1726년 7월에 니콜라스 베르누이가 충수염으로 사망하였고, 다니엘 베르누이가 수학/물리학부의 교수직을 승계하면서 공석이 된 생리학 교수직에 오일러를 추천했다. 오일러는 이 제의를 수락한 뒤 상트페테르부르크로 가는 것을 잠시 미루고 바젤 대학교 물리학과 교수직에 지원하였지만 탈락하였다. 1727년 5월 17일에 오일러는 상트페테르부르크에 도착했고, 곧 의학부의 조교수에서 수학부의 교수로 승진하게 된다. 다니엘 베르누이와 같은 집에서 살았으며, 공동 연구 작업도 활발하게 했다. 오일러는 러시아어를 익히며, 상트페테르부르크에 정착했다. 더 나아가 러시아 해군의 의무관도 겸임했다.
레온하르트 오일러

표트르 대제가 세운 이 아카데미는 교육을 통해서 서유럽과 러시아의 과학 격차를 줄이는 것이 목표였다. 아카데미는 풍부한 재정과 표트르 대제와 귀족들의 장서들을 모아놓은 큰 도서관을 갖고 있었다. 또한 교수들의 강의 부담을 덜어주기 위해서 학생들의 수는 매우 적었으며, 연구에 중점을 두어서 교수들에게 시간과 자유를 제공했다. 이에 재정 지원을 아끼지 않던 예카테리나 1세는 오일러가 상트페테르부르크에 도착한 날에 사망하는 바람에 표트르 2세가 왕위를 승계하게 되었다. 하지만 표트르 2세는 너무 어렸기 때문에 왕족들이 권력을 행사하게 되었다. 왕족들은 아카데미의 외국인 과학자들을 신뢰하지 않아서 예산을 삭감하는 바람에 오일러와 동료들이 어려움을 겪게 된다. 표트르 2세가 사망한 후에는 여건이 나아져서 오일러는 아카데미 내에서 승진하여 1731년에 물리학 정교수가 되었다. 2년 후에 이곳의 검열과 외국인 적대에 실망한 다니엘 베르누이가 사직하고, 바젤로 떠났다. 오일러는 그를 대신해서 수학학부의 장이 되었다. 1734년 1월 7일, 오일러는 아카데미 김나지움 출신의 화가 게오르크 젤(Georg Gsell)의 딸인 카타리나 젤(Katharina Gsell)과 결혼했다. 두 사람은 네바강 옆의 집을 샀으며, 13명의 아이를 낳았지만 다섯 명 만이 살아남았다. 베를린 시절. 1741년 6월 19일, 오일러는 러시아에서의 혼란을 피해 상트페테르부르크를 떠나 프리드리히 2세의 지원으로 베를린의 프로이센 과학 아카데미에서 일하였다.
레온하르트 오일러

그는 베를린에서 25년 동안 살면서 약 380편의 논문을 썼다. 1755년에 오일러는 스웨덴 왕립 과학한림원의 회원으로 선출되었다. 오일러는 또한 프리드리히의 조카이자 안할트 공국의 공주인 프리데리케 샤를로테(Friederike Charlotte)를 가르쳤다. 1760년대 초 오일러는 그녀에게 200여 통이 넘는 편지를 썼으며, 후에 이 편지들은 묶여 '독일 공주에게 보내는 오일러의 편지()'라는 저서로 출간되었다. 이 책에는 오일러의 인격과 종교적 신념뿐만 아니라 수학 및 물리학과 관련된 다양한 주제에 대한 그의 설명이 나타나 있다. 오일러의 많은 업적이 아카데미의 명성을 키웠음에도 불구하고 그는 프리드리히 대왕의 분노를 불러 일으켜 결국 베를린을 떠나야 했다. 프리드리히 대왕은 궁정에 많은 지식인 집단이 있었으며, 수학자가 수학 이외의 분야에서는 정교하지 않고 지식이 부족하다는 것을 알게 되었다. 오일러는 기존의 사회 질서나 관습적인 신념에 의문을 제기하지 않는 단순하고 경건한 종교인이었는데 이는 당시 프리드리히의 궁정에서 높은 명성을 누렸던 볼테르와는 여러 면에서 정반대였다. 오일러는 숙련된 토론자가 아니었고, 그가 잘 알지 못하는 주제에 대해 논쟁을 벌이는 경우가 많았기 때문에 자주 볼테르의 놀림거리가 되었다. 시력 악화. 러시아에서 수학을 연구하는 동안 오일러의 시력은 점차 악화되었다. 고열로 죽을 뻔한 고비를 넘긴 지 3년이 지난 1738년에 그의 오른쪽 눈은 거의 보이지 않게 되었다.
레온하르트 오일러

그의 시력은 독일에 있는 동안 더 악화되었고, 그런 오일러를 프리드리히 대왕은 키클롭스라고 부르며 놀리기도 하였다. 1766년에는 왼쪽 눈에 백내장이 발병하였고, 수술이 실패하여 왼쪽 눈마저 거의 보이지 않게 되었다. 그러나 오일러는 이에 굴복하지 않고 뛰어난 암산 및 암기 실력으로 연구를 계속하였는데, 일례로 그는 약 1만 3천 행에 달하는 베르길리우스의 아이네이스를 처음부터 끝까지 암송할 수 있었다고 한다. 조수의 도움을 받으며 연구를 계속하여 시력이 좋았을 때보다 더 많은 업적을 남겼으며, 1775년에는 매주 평균 한 편에 달하는 논문을 작성하였다. 어떤 사람이 "어떻게 그 많은 책을 집필하면서 그렇게 내용도 잘 쓸 수 있는 거죠?"라고 묻자, "아, 그거요? 사실 내 펜이 나보다 더 똑똑하거든요"라고 얼굴을 붉히면서 말했다는 일화가 있다. 사망. 1783년 9월 18일, 76세의 나이로 죽음을 맞이한 오일러의 마지막 모습은 단순하기 그지없었다. 그날 오전에도 오일러는 팽창하는 풍선의 속도를 계산하고 있었으며 오후에는 동료와 함께 새로 발견된 천왕성의 궤도에 관해서 대화를 나눴다. 저녁 식사를 마친 후, 파이프를 물고 휴식을 취하면서 어린 손자들과 놀아 주던 그는 갑자기 뇌출혈을 일으키며 쓰러졌고 몇 시간 후 사망했다. 프랑스의 철학자이자 사상가인 니콜라 드 콩도르세는 오일러에게 바치는 추도사에서 이 장면을 묘사하며 "그는 계산하는 것과 사는 것을 멈췄다."라고 썼다.
레온하르트 오일러

오일러는 바실례프스키섬에 있는 스몰렌스크 루터회 공동묘지에 있는 부인 카타리나의 묘지 옆에 묻혔다. 1837년에 러시아 과학 아카데미에서 기존의 묘비를 새 것으로 교체했다. 오일러가 태어난지 250년째 되는 해인 1957년에 알렉산드르 넵스키 수도원으로 이장되었다. 업적. 오일러는 기하학, 미적분학, 삼각법, 대수학, 정수론 등 수학의 거의 모든 분야뿐만 아니라 연속체 역학, 천문학 등 여러 물리학 분야에서도 많은 업적을 남겼다. 많은 수학 개념에 오일러의 이름이 들어가 있는데 자신의 이름을 딴 상수가 두 개(오일러-마스케로니 상수와 오일러 상수)인 유일한 수학자이다. 수학 기호. 오일러는 현재 사용하는 다수의 수학 기호들을 도입하거나 대중화하였다. 함수의 개념을 도입하였고, 변수 x에 대한 함수 f를 formula_1로 표기하였다. 또한 현대의 삼각함수 표기법을 도입했으며, 자연로그의 밑을 formula_3(오일러 수라고도 함.)로 표기하였다. 수열의 합을 나타내기 위해 그리스 문자 Σ(시그마)를 사용하였고, 허수 단위를 formula_4로 표기하였다. 그리고 원주율(3.1415926535897932384626...)을 formula_5로 표기하는 것을 대중화시켰다.(formula_5를 처음 사용한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스이다.) 해석학. 18세기에 베르누이 일가는 아직 기초 단계에 머무르던 미적분학이 발전하는 데에 기여하였고, 이를 기반으로 오일러는 미적분학을 주로 연구하며 많은 업적을 남겼다.
레온하르트 오일러

오일러가 남긴 몇 가지 증명은 현대 수학에 비추었을 때 엄밀한 증명은 아니지만, 그의 아이디어는 미적분학이 발전하는 데에 공헌하였다. 오일러는 멱급수를 연구한 것으로 유명한데, 그는 아래와 같은 여러 함수들을 멱급수 꼴로 나타내었다. formula_7 오일러는 formula_3와 역탄젠트함수가 멱급수 꼴로 표현됨을 증명하였으며(간접적인 증명은 1670년과 1680년 사이에 뉴턴과 라이프니츠가 제시하였다.), 1735년에는 멱급수를 이용하여 바젤 문제를 해결하였다. 그는 1741년에 바젤 문제의 더 정교한 증명을 제시하였다. 오일러는 지수함수와 로그함수를 해석적으로 정의하였다. 그는 로그함수를 멱급수 꼴로 표현하는 방법을 발견하였고, 음수와 복소수 영역으로 로그함수의 정의역을 확장시켰다. 또한 지수함수의 정의역도 복소수까지 넓혔으며, 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타내는 오일러 공식을 발견하였다. 다음의 오일러 공식은 실수 formula_9에 대해 허수지수 formula_10를 다음과 같이 정의한다. formula_11 formula_12일 때는 다음의 오일러 항등식을 얻을 수 있으며, 오일러 항등식은 기본 연산인 덧셈, 곱셈, 지수와 수학에서 중요한 상수인 0, 1, formula_3, formula_4, formula_5가 한 번씩 들어간다는 점에서 '세상에서 가장 아름다운 공식'이라고 불린다. formula_16 이 외에도 오일러는 감마함수를 도입하여 초월함수를 정교화하였고, 사차방정식의 새로운 풀이법을 제시하였다. 그는 복소수 극한의 적분을 계산하는 방법을 발견하였고, 이는 복소해석학으로 발전하였다.
레온하르트 오일러

또 오일러는 미적분학의 한 분야인 변분법을 창시하였으며, 오일러-라그랑주 방정식으로 잘 알려져 있다. 오일러는 정수론 분야의 문제를 해석적으로 접근하였는데, 이로써 수학의 서로 다른 분야였던 해석학과 정수론을 합친 해석적 수론이 탄생하였다. 오일러는 초기하함수, 쌍곡선 함수에 대한 이론 및 연분수에 대한 해석적 이론을 만들었다. 그는 조화급수가 발산함을 이용하여 소수의 무한성을 증명하였으며, 소수의 분포에 대해 알아내기 위해 해석적인 방법을 사용하였다. 오일러의 업적은 이후 소수 정리로 발전하였다. 정수론. 오일러는 상트페테르부르크 학술원의 동료였던 크리스티안 골드바흐에게 영향을 받아 정수론에 흥미를 가졌다. 정수론에서 오일러의 많은 초기 업적들은 피에르 드 페르마가 한 일에 기반을 두었으며, 오일러는 페르마의 몇 가지 아이디어들을 발전시키거나 반증하였다. 오일러는 소수의 분포에 대해 해석적으로 접근하였으며, 소수의 역수의 합의 발산성을 증명하였다. 이로써 그는 리만 제타 함수와 소수의 관계를 발견하였고, 이는 리만 제타 함수에서의 오일러 곱으로 알려져 있다. 오일러는 뉴턴 항등식, 페르마 소정리, 페르마 두 제곱수 정리를 증명하였고, 라그랑주 네 제곱수 정리를 증명하는 데에 기여하였다. 또 양의 정수 "n"에 대해 "n"과 서로소인 1부터 "n"까지의 정수의 개수를 나타내는 오일러 피 함수 φ("n")를 만들었다. 그는 이 함수를 사용하여, 페르마 소정리를 일반화한 오일러의 정리를 증명하였다.
레온하르트 오일러

오일러는 완전수에 대해서도 연구하였는데, 짝수 완전수와 메르센 소수가 일대일 대응 관계에 있음을 증명하였다. 그리고 오일러는 이차 상호 법칙을 추측하였으며, 이 법칙은 이후 카를 프리드리히 가우스가 증명하였다. 1772년에 오일러는 231 − 1 = 2,147,483,647이 메르센 소수임을 증명하였고, 이는 1867년까지 알려진 가장 큰 소수로 남아있었다. 그래프 이론. 1735년에 오일러는 쾨니히스베르크의 다리 문제로 알려진 다음의 문제를 해결하였다. 프로이센의 쾨니히스베르크에는 프레겔 강이 흐르는데, 이 강에는 두 개의 큰 섬과 각 섬을 연결하는 총 7개의 다리가 있었다. 이때 7개의 다리들을 한 번씩만 건너면서 처음 시작한 위치로 돌아오는 길이 존재하는가가 문제였고, 오일러는 그러한 길이 존재하지 않음을 증명하였다. 이 문제는 평면 그래프에서의 한붓그리기 문제로, 그래프 이론의 시초로 여겨진다. 오일러는 또한 1752년에 오일러의 다면체 정리로 불리는 식 formula_17를 발견하였다. formula_18는 다면체의 꼭짓점 개수, formula_19는 다면체의 모서리 개수, formula_20는 다면체의 면의 개수이며, 상수는 3차원에서의 오일러 지표로 곡면 종수와 관련된 값이다. 이 식은 이후 오귀스탱 루이 코시와 시몽 앙투안 장 륄리에에 의해 발전하였으며, 위상수학의 시초로 여겨진다. 응용 수학. 오일러는 실제 세계에서의 문제를 분석적으로 해결하는 것과, 베르누이 수, 푸리에 급수, 오일러 수, 자연로그의 밑, 원주율, 연분수와 적분 등을 응용하는 데에 기여하였다.
레온하르트 오일러

그는 물리 문제에 미분을 쉽게 적용하도록 발전시켰고, 오일러 근사으로 알려진 적분의 수치근사를 개선하는 데에 크게 기여하였다. 잘 알려진 오일러 근사로는 오일러 방법과 오일러-매클로린 공식이 있다. 오일러는 또한 오일러-마스케로니 상수를 도입하여 미분방정식의 사용을 용이하게 하였다. 오일러는 수학적 아이디어를 음악에 응용하는 것에도 관심을 가졌는데 1739년에 음악 이론이 수학의 한 분야로 통합되기를 바라면서 《Tentamen novae theoriae musicae》를 저술하였다. 그러나 그의 말은 음악가에게는 너무 수학적이라는 이유로 수학자에게는 너무 음악적이라는 이유로 폭넓은 관심을 받지는 못하였다.
4월

4월(四月, , )은 그레고리력에서 한 해의 네 번째 달이며, 30일까지 있다. 대한민국에서는 4월이 과학의 달이다. 이 달과 그 해의 12월은 항상 같은 요일로 끝난다. 또한, 이 달과 그 해의 7월은 항상 같은 요일로 시작하며, 윤년인 경우 그 해의 1월과도 같은 요일로 시작한다. 400년동안 이 달은 수요일, 금요일, 일요일로 58번, 월요일, 화요일로 57번, 목요일, 토요일로 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 27일(노동절 징검다리 연휴 포함), 28일(노동절 연휴 포함), 29일, 30일이다. 중국은 청명절, 일본은 쇼와의 날, 베트남은 기일로 인해 4월에는 반드시 공휴일이 있으나 대한민국에서 4월의 공휴일은 부처님 오신 날이 4월 말인 경우를 제외하고는 2006년 식목일 이후로 없으나, 4년에 한 번씩 하는 총선의 선거일이 4월로 잡히기 때문에 4년에 한 번씩 공휴일이 생긴다. 또한 식목일이 공휴일이던 2006년 이전에도 식목일이 주말과 겹쳐 공휴일이 없는 경우도 있었다.(대표적인 예로 1981년, 1987년, 1992년, 1998년 등) 반면 북한은 청명절과 태양절, 인민군 창건일 중 어느 하나가 주말과 겹치더라도 반드시 공휴일이 있다. 음력 2월과 음력 3월이 이 달에 있으며 4월에는 음력 2월 15~16일, 3월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다.
백과사전

백과사전(百科事典, , )은 학문, 기술, 예술 등 자연과 인간의 모든 활동에 관한 다방면의 지식을 수집하여 체계적으로 정리하고 항목마다 풀이한 책으로 주로 참고서로서 활용한다. 백과사전의 영어명 ‘encyclopedia’는 그리스어의 ‘ἐγκύκλιος’와 ‘παιδεία’의 결합을 어원으로 가지고 있는데, 온갖 종류의 지식을 가르쳐 기른다는 뜻이다. 즉, 백과사전의 원래 목적은 '교육'이었다. 한편 백과사전의 또 다른 목적으로는 '참고'가 있다. 현대의 백과사전들은 '교육'과 '참고' 모두를 목적으로 하는 경우가 많다. 백과사전에서 내용 분류의 단위이자, 설명의 대상이 되는 것을 '표제어'라고 한다. 표제어의 범위에 따라 백과사전의 종류가 나뉘는데, 넓은 범위를 갖는 표제어들로 백과사전을 구성하는 것을 대항목주의라고 하고 상대적으로 좁은 범위의 표제어를 이용하는 것을 소항목주의라고 한다. 대항목주의는 하나의 주제에 대해 깊이 있고 포괄적으로 설명하는 방식으로, 교육 목적의 백과사전이 유명한 학자의 논문을 모아서 엮는 방식을 택하는 것이 대표적인 예이다. 한편 소항목주의를 채택한 백과사전은 표제어별로 간결하고 압축적인 방식으로 기술되어 있으며 대항목주의에 비해 다양한 표제어에 대한 정보를 제공하는 장점이 있어서 참고 목적의 백과사전에 많이 쓰인다. 오늘날의 백과사전은 절충한 방식이 많으며, 내용에서도 문장 서술뿐만 아니라, 사진, 삽화, 도표 등 다양한 참고자료가 함께 제공되는 형태가 되었다. 현대에는 정보통신기술의 발전에 따라 전통적인 서적의 형태가 아니라 CD-ROM, DVD-ROM의 형태로 된 것도 있으며 인터넷으로 제공되는 것도 등장하였다.
백과사전

대한민국에서 온라인으로 서비스해주고 있는 한국어 백과사전으로는 한국어 위키백과, 두산세계대백과사전, 브리태니커 세계 대백과사전 등이 있다. 백과사전의 역사. 백과사전의 기원은 가이우스 플리니우스 세쿤두스가 편찬한 박물지이다. 편찬방식이 중국에서 경사자집(經史子集)의 여러 책을 항목별로 분류하여 엮은 동양의 백과사전이라 할 수 있는 유집(類集)과 같았다. 이 유집과 같이 편찬하는 것은 17세기까지 편찬하였다. 최초의 알파벳 배열 백과사전은 1674년 모레리가 역사대사전에서 시도하였고, 그 이후 알스티드가 "Encyclopaedia Septem Tomisdistincta"에도 이용하였다. 참고로 항목별로 종류에 따라 모았다는 의미에서 유집은 유서(類書) 및 유취(類聚), 휘집(彙集) 등으로도 불린다. 백과전서 이후. 1728년 체임버스가 편찬한 백과사전이 현대적 백과사전이라고 할 수 있다. 이 백과사전은 알파벳순으로 배열하고 상호참조표시를 하고 논문을 수록하였다. 이후 체임버스는 증보판을 출간하였다. 18세기 중반에 이르러서 프랑스에서는 백과전서파 시대가 있었다. 백과전서는 디드로가 중심이 되어 루소, 케네, 볼테르 등 계몽주의 학자들이 대거 참여하였다. 2권이 1751년 발간되었는데, 발행금치처분을 받았다. 이후 디드로가 더욱 만들어 1772년 28권을 완성시키고, 보유5권과 색인을 참가시켜 모두 35권으로 완성시켰다. 또한 이와 비슷한 해에 19세기 세계대사전이라는 이름이 나온다. 이후 이 책은 라루스 백과사전이 된다.
백과사전

같은 세기 영국에서는 세계적인 백과사전 브리태니커를 1768년부터 매주 분책으로 발행하여 71년에 3권으로 만들었다. 백과사전은 더욱 발전하여 현재 대한민국에는 두산백과사전 등이 있다. 현대의 백과사전. 동양의 백과사전. 일본의 백과사전. 현대적인 백과사전은 1972년에 전32권으로 완간된 고단샤(講談社)의 《휴먼라이프 엔사이클로페디아》을 시작으로 1980년 가쿠슈겐큐사(學習硏究社)의 전32권 《그랜드 현대백과사전》, 헤이본샤(平凡社)에서 1988년 완간한 전35권의 《세계대백과사전》, 1988년 쇼가쿠칸(小學館)에서 전25권으로 간행한 《일본대백과전서(日本大百科全書)》 등이 있다. 중국의 백과사전. 중화인민공화국에서는 1980년부터 《중국대백과전서》가 발행되기 시작하였고, 타이완에서는 1981년에 중국문화대학 중화학술원이 편찬한 전20권의 《중화백과전서》가 발간되었다. 한국의 백과사전. 한국의 현대적 백과사전은 1958년 문학과 교양서적을 전문출판하던 학원사(學園社)에서 간행한 《대백과사전》을 시초로 한다. 4·6배판 전체 6권으로 1958년 9월 25일 제1권을 출판한 후 8년에 걸쳐 완성했다. 4 명의 편집진과 435명의 집필진이 참여하였고, 원고는 10만 매가 넘었다. 그 후 증보판 2권이 출간되었으며, 1967년에는 전12권의 《세계백과대사전》으로 개정되어 1970년에 전15권, 1973년에 전20권으로 증보된 신판이 발간되었다.
백과사전

사전류 전문출판사인 동아출판사에서는 1959년 한권으로 발간한 《새백과사전》, 1964년 전2권의 《국민생활백과사전》을 거쳐, 전30권의 《동아원색세계대백과사전》을 1978년부터 제작에 착수하여 1982년 9월부터 2권씩 출간, 1984년 완간하였다. 여기에는 13만여 항목이 수록되고 4만여 컬러 사진 및 8천여 흑백 사진이 삽입됐으며, 1986년과 1990년에 각각 보유편이 발간되었다. 이것은 후에 1996년 8월에 두산동아(주)에서 출간된 전 30권의 《두산세계대백과사전》으로 이어졌는데, 128167개의 표제어가 수록되었으며 5개의 CD-ROM이 포함되었다. 1974년 태극출판사(太極出版社)에서 전16권으로 간행한 《대세계백과사전》에서는 다른 백과사전들과는 달리 가나다순의 사전식 배열이 아니라 주제별로 항목을 분류하였다. 동서문화사에서는 《한국세계대백과사전》을 1992년부터 시작하여 1995년에 전30권으로 간행하고, 1997년 8월 8일에 총 31권으로 완간하여 1999년에 《파스칼세계대백과사전》으로 개편하였는데, 총13만 항목과 15만 색인이 수록되었고 기존의 백과사전에서 누락되었던 조선민주주의인민공화국 관련 항목과 공산주의 이념까지 포함되었다. 학원출판공사에서는 전 32권의 《학원세계대백과사전》을 간행하는데, 3년의 준비 기간과 5년의 편집 기간을 거쳐 1993년 1월부터 출간하여 1994년에 완간되었다.
백과사전

이것에는 14만 5천개의 표제어가 수록되었고 기존 백과사전과 달리 30여개의 기본 동사가 표제어로 포함되었다. 한편, 외국의 백과사전이 번역된 것으로 한국어판 《브리태니커 세계대백과사전》이 1989년부터 발간되어 1994년 3월에 전 27권으로 완간되었는데, 총 11만여 항목이 수록되었으며 제26권은 참고 문헌, 제27권은 색인으로 되어 있다. 1972년에 계몽사에서 만든 컬러학습대백과사전은 모두 8권으로 되어 있으며, 한국 최초로 만든 컬러판 대백과사전이다. 동아출판사(두산동아의 전신)에서 나온 15권으로 구성된 동아학습대백과, 16권으로 구성된 삼성당에서 나온 삼성학생대백과는 컬러 사진과 흑백사진을 비롯한 다양한 사진들이 첨부되어 있었다. 또한, 삼성당에 있는 삼성학생대백과사전은 국어사전과 영어사전, 지리사전이 같이 편집되어 있어서 청소년 학생들에게 새로운 독서습관을 키우게 되었다는 좋은 평가를 받았다. 한편, 흑백사진으로 편집되어 있는 중앙출판사의 세계대백과사전(전 5권)은 총 5만여 개 항목이 추가되어 있었고, 초등학생을 위하여 편집된 어린이 브리테니커 대백과사전(전 30권), 그리고, 웅진21세기학습대백과사전(학습별), 중앙대백과사전(20권)과 신21세기 학습대백과사전(3만여 항목)이 한국인들에게 가장 널리 알려진 백과사전이다. 영상매체를 이용한 백과사전으로는 중앙 과학 백과사전이 있다.
백과사전

조선민주주의인민공화국에서는, 2007년에 발행된 광명대백과사전(전20권), 조선대백과사전(전 30권, 10만여 항목), 그리고 백과사전(전3권, 3만 항목)이 있다. 그중에서 과학백과사전출판사에서 가장 먼저 발행된 백과사전은 정치 사전, 경제 사전, 역사 사전을 통합하여 편집한 조선민주주의인민공화국 최초의 백과사전이다. 인터넷이 보급된 90년대 중반 이후 출판형태의 백과사전들은 종이책 출간을 중지하고 CD롬이나 인터넷으로 변화해나갔는데, 2012년 기준으로 두산세계대백과의 후신인 두피디아가 지속적으로 개정되고 있다. 한국의 옛 백과사전. 물명류도 초기형태의 어휘모음이며 백과사전적인 성격을 띠지만 최초의 백과사전은 이수광의 지봉유설(1614)을 들 수 있다. 권문해의 대동운부군옥이나 이덕무의 청장관전서, 이의봉의 고금석림 등이 있었고 가장 방대한 것은 이규경의 오주연문장전산고이다. 백과사전 평가요소. 박준식과 김문영은 A. B. Kroeger의 Guide to Reference Books (1902년)와 James I. Wyer의 Reference Work (1930년), Louis Shores의 평가 기준 (1950년대 중반), Kenneth Kister의 저서 (1978년)와 그의 후속 연구, Bopp와 Smith의 백과사전 평가에 관한 조언 (1994년), Sader와 Lewis의 평가기준 (1995년), William A. Katz의 저서 (1997년)을 참고로 하여 백과사전의 평가요소를 다음의 6 가지로 범주화하였다.
GNU 일반 공중 사용 허가서

GNU 일반 공중 사용 허가서(GNU General Public License, GNU GPL 또는 GPL)는 자유 소프트웨어 재단에서 만든 자유 소프트웨어 라이선스로, 소프트웨어의 실행, 연구, 공유, 수정의 자유를 최종 사용자에게 보장한다. 대표적으로 리눅스 커널이 이용하는 사용 허가이다. GPL은 가장 널리 알려진 강한 카피레프트 사용 허가이며, 이 허가를 가진 프로그램을 사용하여 새로운 프로그램을 만들게 되면 파생된 프로그램 역시 같은 카피레프트를 가져야 한다. 이러한 철학에서 GPL은 컴퓨터 프로그램을 이용하는 사람에게 자유 소프트웨어의 권한을 누리며 카피레프트를 사용함으로써 그러한 자유가 보전되고, 이전 작업 내용을 수정하거나 다른 내용을 추가하는 것도 허용됐다. 이는 허용적인 자유 소프트웨어 사용 허가로서, BSD 사용 허가가 대표적인 예이다. GNU 약소 일반 공중 사용 허가서(The GNU Lesser General Public License, LGPL)는 이를 변형하여 더 허가된 형태로서, 소프트웨어 라이브러리를 염두에 둔 것이다. 또 GNU 자유 문서 사용 허가서 (GNU FDL)은 GNU 소프트웨어에 대한 문서의 사용 허가로 시작하였으나 위키백과 프로젝트와 같이 다른 문서 형태에도 널리 퍼지게 되었다. 다만 현재까지 이 허가서는 미국과 유럽 일부 국가 등에서만 법원의 판단 등으로 합법한 허가서로 인정받았고, 대다수 국가에서는 이에 따른 법률적 판단을 받은 바 없다. 대한민국 내에서도 직접 이 허가서가 합법한가에 대한 법원의 판단은 없었으며, 다만 허가서라는 특성상 준법행위를 하는 다수는 분쟁없이 이 허가서의 제약을 따르고 있을 뿐이다.
GNU 일반 공중 사용 허가서

대한민국 내에서도 한 차례 법원의 판단을 받을 뻔했던 엘림넷과 하이온넷 사건이 있었으나, 회사 기밀 유출 사건으로 형사기소되는 바람에 중요 쟁점일 수 있었던 GPL에 대한 판단은 형사법원에서 다루지 않고 다른 이유로 1, 2심 법원에서 유죄를 판결, 최종 확정한 바 있다. 따라서 현재로서는 적어도 공정거래위원회 등을 통해 표준 약관심의 따위를 받아 확정지을 필요가 있으며, 다만 그렇다 하더라도 이 표준 허가서가 부당하다는 법률적 판단도 없으므로, 이 허가서의 조건을 위반할 시 저작자로부터 기소당할 수 있다. 소프트웨어에 관련된 다섯 가지 의무. GNU 일반 공중 사용 허가서는 누구에게나 다음의 다섯 가지의 의무를 저작권의 한 부분으로서 강제한다. GPL의 유래. GPL은 미국의 리처드 스톨만(Richard Stallman)이 GNU-프로젝트로 배포된 프로그램의 라이선스로 사용하기 위하여 작성하였다. 이것은 Emacs, GNU 디버거(GDB), GNU 컴파일러 모음(GCC)에서 사용된 라이선스의 초기 판의 통합에 기반하고 있다. 이 라이선스들은 현재 GPL과 비슷한 조항들이 있으나, 각각의 프로그램 고유의 라이선스였다. 스톨만의 목표는 어떤 프로그램에서도 사용할 수 있는 하나의 라이선스를 만들어서 여러 프로젝트에서 코드를 공유할 수 있게 하는 것이었다. 이와 같은 목적에 부합하는 저작권의 형태로서 GPL이 1989년 1월에 처음으로 빛을 보게 되었다. 1990년에 이르자 몇몇 라이브러리에서 전략적으로 규제를 약화해야 할 필요성이 생겨났고, 이에 대한 조치로 라이브러리-GPL(LGPL, Library General Public License)이 생겨나게 되었으며, 1991년 6월에 배포된 GPL의 두 번째 판을 따라 LGPL도 두 번째 판으로 같은 번호를 붙여서 두 라이선스가 상호보완적임을 나타내었다.
GNU 일반 공중 사용 허가서

1999년에는 "LGPL"은 약소 일반 공중 사용 허가서(Lesser General Public License)로 이름을 바꾸어 부르게 되면서 2.1판으로 숫자를 바꾸게 되었다. GPL은 오늘날 자유 소프트웨어 저작권 가운데 가장 널리 쓰이고 있으며, 대부분의 GNU 프로젝트는 GPL과 LGPL의 규준에 따라 진행되고 있는 것으로 알려져 있다. 또한 모든 LGPL의 규준에 따르는 프로그램이나 프로젝트는 동시에 GPL의 규준에 따르고 있다. GPL 버전. GPLv1. GPL의 버전 1은 1989년 1월에 발표되었다(GPLv1 전문). 이것은 자유 소프트웨어에서의 두 가지 중요한 자유를 보장해 주었는데, 하나는 프로그램의 소스 코드를 공개하지 않은 채 바이너리 파일만 배포하는 것을 막는 경우로 이것을 막기 위해 GPLv1에는 프로그램을 GPLv1로 배포할 때는 사람이 이해하기 쉬운 소스 코드를 같이 배포해야 한다는 조건이 들어갔다. 두 번째 문제는 프로그램에 추가적인 제약을 걸 가능성이 있다는 점이었고, 이를 막기 위해 GPLv1 프로그램을 수정한 프로그램은 원래 프로그램과 마찬가지로 GPLv1을 따라야 한다는 조건이 들어갔다. GPLv2. GPL 버전 2는 1991년 6월에 발표되었다(GPLv2 전문). 중요한 변경 사항은 "자유냐 죽음이냐"Section 7에 자세히 명시되어 있다. 이 내용은 GPL 프로그램을 배포하는 것을 막는 조건, 예를 들어 특허로 인하여 추가적으로 돈을 지불해야 한다거나 하는 일이 발생하여 소스 코드의 공개가 불가능하고 실행 바이너리 프로그램만 배포하려고 한다면 소스 코드 뿐만 아니라 실행 바이너리 프로그램조차 배포할 수 없도록 보완했다. 그리고 1990년대에 이르러 소프트웨어 라이브러리에 대해서는 조금 약화된 GPL 라이선스가 전략적으로 더욱 유용하다는 의견이 많아졌다. 이에 대한 내용을 LGPL(the Library General Public License)이라고 하여, 1991년 6월에 발표된 GPLv2와 동시에 같이 발표되었다.
GNU 일반 공중 사용 허가서

이 두 가지의 내용은 1999년 LGPL v2.1로 발전되었고 LGPL(GNU Lesser General Public License)이라고 불렀다. GPLv3. GPL 버전 3은 2007년 6월 29일에 발표되었다. 2005년 후반에 자유 소프트웨어 재단에서 GPL의 세 번째 판을 개발할 것이라고 발표했다. 2006년 1월 16일 첫 번째 초안이 발표되었다. 2판과 다른 점도 비공식적으로 나와 있다 . 2006년 2월 25일 벨기에 브뤼셀에서 열린 FOSDEM 발표에서 리처드 스톨만은 다음과 같이 말했다. 2006년, 자유 소프트웨어 재단은 GPL의 바뀔 수 있는 부분에 대해서 열두달간의 공공자문회를 가졌다. 이 과정에서 자유 소프트웨어 재단, 소프트웨어 자유 법률 센터, 유럽 자유 소프트웨어 재단이 의견을 조정했다. 비판. 마이크로소프트. 2001년에 마이크로소프트의 CEO인 스티브 발머가 "건드리는 모든 지적 재산권에 퍼지는 암같은 존재(a cancer that attaches itself in an intellectual property sense to everything it touches)"라며 비판했다. 2009년 7월, 마이크로소프트는 GPL 라이선스를 위반한 하이퍼V의 컴포넌트의 소스코드 20,000여줄을 공개했다.
10월

10월(十月시월, October)은 그레고리력에서 한 해의 열 번째 달이며, 31일까지 있다. 평년인 경우 이 달과 그 해의 1월은 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝나며 2월하고도 항상 같은 요일로 끝난다. 그 다음 해가 평년일 경우에는 그 다음 해 4월과 7월과 같은 요일로 시작한다. 다만, 다음 해가 윤년이면 다음 해 9월과 12월과 같은 요일로 시작된다. 400년 동안 이 달은 월요일, 목요일, 토요일에 58번, 화요일과 수요일에 57번, 금요일과 일요일에는 56번 시작한다. 단, 금요일로 시작하는 평년(혹은 목요일로 시작하는 윤년)일 경우에는 10월의 공휴일이 아예 없는 경우도 있고, 목요일로 시작하는 평년(혹은 수요일로 시작하는 윤년)일 경우에는 한글날만 공휴일이며, 토요일로 시작하는 평년(혹은 금요일로 시작하는 윤년)일 경우에는 개천절만 공휴일이다. 경우에 따라서는 추석이 있는 해도 있다. 이런 경우는 모두 음력 3월~7월에 윤달을 끼고, 이 가운데에는 9월 30일이 추석 당일인 경우 혹은 대체휴일이 적용된 경우도 포함한다. (예: 2001년, 2006년, 2009년, 2012년 (10월 1일), 2017년, 2020년, 2025년 등) 단, 첫 주 평일은 1일, 4일(개천절 연휴, 개천절 징검다리 연휴 포함)이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다. 북한은 수요일로 시작하는 윤년, 목요일로 시작하는 평년/윤년과 금요일로 시작하는 평년에는 노동당 창건일이 주말과 겹쳐 10월에 공휴일이 사실상 없는 해가 된다.
10월

그리고 토요일로 시작하는 평년(혹은 금요일로 시작하는 윤년)일 경우에는 문화의 날이 스포츠의 날과 겹쳐지며, 일요일로 시작하는 평년(혹은 토요일로 시작하는 윤년)일 경우에는 문화의 날이 경찰의 날과 겹쳐진다. 음력 8월과 음력 9월이 이 달에 있으며 10월에는 음력 8월 15~16일, 9월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 윤달일 경우는 윤8월이나 윤9월이 양력 10월에 낀다. 유래. 영어의 October는 옥타비아누스(Octavianus)에서 유래되었다. 또는, 라틴어와 그리스어로 eight(8)을 의미하는 octo에서 유래되었다.
1월

1월(一月, January)은 율리우스력과 그레고리력에서 한 해의 첫 번째 달이며, 31일까지 있는 7개의 달 중 하나다. 1월의 첫 번째 날은 중국에서 원단이라고 하며 대한민국의 양력설이다. 이 달과 작년의 5월은 항상 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝난다. 평년인 경우 이 달과 그 해의 10월은 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝나며, 윤년일 경우엔 이 달과 그 해의 4월, 7월과 같은 요일로 시작한다. 북반구의 대부분 지역은 1월에 가장 추우며(겨울의 두 번째 달이다.), 남반구의 대부분 지역은 1월에 가장 덥다(여름의 두 번째 달이다.). 북반구에서 1월은 남반구의 7월과 기후적으로 동일하며, 반대로 남반구의 1월은 북반구의 7월 기후와 동일하다. 400년 동안 이 달은 화요일, 금요일, 일요일에 58번, 수요일과 목요일에 57번, 월요일과 토요일엔 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 2일, 3일, 4일(새해 첫날 연휴 포함), 5일(새해 첫날 징검다리 연휴 포함)이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다. 음력 11월과 음력 12월이 이 달에 있으며 1월에는 음력 11월 15~16일, 12월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 유래. 영어 'January'(라틴어 Mensis Ianuarius, "month of Janus")는 문(door)을 뜻하는 라틴어 ianua에서 유래했다. 문의 신인 야누스(Janus)에서 따왔으며, 야누스는 하늘의 문지기로서 한해를 여는 신이기도 하다.
1월

앞뒤로 두 개의 얼굴을 가지고 있으며, 문은 시작과 전환(beginnings and transitions)을 나타내는 데서 모든 사물의 출발점의 신이라고 생각되었다. 원래 고대 로마 달력은 10개월 (304일)로 구성되어 있었고, 겨울은 달로서 생각되지 않았었다. 비록 원래의 고대 달력에서는 3월이 한 해의 시작이었지만, 기원전 713년 경 로물루스의 계승자였던 제2대 황제 누마 폼필리우스가 1월과 2월을 추가해 태음년(354일)과 같은 길이가 되었다고 여겨진다. 기원전 450년 경 데켐비리에 의해 1월이 한 해의 첫 달이 되었다고도 한다. 그럼에도 불구하고 중세 유럽에서는 3월 25일(성모 영보), 12월 25일(크리스마스) 등을 포함한 다양한 기독교적 축일들이 새해의 첫 날들로 사용되었다. 그러다 16세기 초에 공식적으로 다시 1월 1일을 새해의 첫날로 사용하기로 했는데, 이는 1월 1일이 그리스도 할례축일이기 때문이었다.
11월

11월(November)은 그레고리력에서 한 해의 열한 번째 달이며, 30일까지 있다. 이 달과 그 해의 8월은 항상 같은 요일로 끝나며, 그 다음 해가 윤년인 경우 2월과 마지막 요일이 같다. 또한, 이 달과 그 해의 3월은 항상 같은 요일로 시작하며, 평년인 경우 그 해의 2월과도 같은 요일로 시작한다. 다음 해가 윤년이면 다음해 5월과 같은 요일로 시작하며, 다음해가 평년이면 다음해 8월과 같은 요일로 시작한다. 400년 동안 이 달은 화요일, 목요일, 일요일에 58번, 금요일과 토요일에 57번, 월요일과 수요일에는 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 28일, 29일, 30일이다. 한중일월 4국에서 공휴일이 가장 빈약한 달로, 중국과 베트남은 물론 대한민국에서도 건국 이래로 11월에 법정공휴일이 지정된 적이 아예 없다. 반면 조선민주주의인민공화국은 11월 16일이 어머니날로 공휴일이며 대한민국에는 4번의 임시공휴일이 11월에 있었을 뿐이었다. 그나마 일본은 11월에 공휴일이 두 번 있다. 음력 9월과 음력 10월이 양력으로 11월에 있으며 이달에는 음력 9월 15~16일, 10월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 윤달일 경우는 윤9월이나 윤10월이 양력 11월에 든다. 유래. 11월을 뜻하는 영어 단어 November는 "nine"을 의미하는 라틴어 novem에서 유래하였다. 11월은 고대 로마 달력의 9번째 달이었다.
9월

9월(九月, September)은 그레고리력에서 한 해의 아홉 번째 달이며, 30일까지 있다. 한국, 중국, 일본, 미국 등 북반구의 나라들은 가을이 되며, 오스트레일리아, 뉴질랜드와 같은 남반구는 봄이 된다. 이 달과 그 해의 12월은 항상 같은 요일로 시작한다. 또한, 다음 해가 윤년인 경우에는 다음 해 3월, 11월과 같은 요일로 시작하며, 다음 해가 평년이면 다음해 6월과 같은 요일이 된다. 400년 동안 이 달은 화요일, 목요일, 토요일에 58번, 일요일과 월요일에 57번, 수요일과 금요일에는 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 28일, 29일, 30일이다. 한중일월 4국의 공휴일이 모두 있을 가능성이 높은 달로 일본과 베트남, 북한은 건국 이래 9월에 공휴일이 최소 하나는 무조건 있으며 대한민국에서 9월의 공휴일은 추석이 9월 내에 들거나 늦어도 10월 1일이 추석 당일이어야만 있으나 추석이 9월에 들 확률이 10월에 들 확률보다 높기 때문에 9월에 공휴일이 있을 확률은 높은 편이다. 중화인민공화국도 이와 같다. 미국에서는 이 달에 새 학기를 시작한다. 음력 7월과 음력 8월이 이 달에 있으며 9월에는 음력 7월 15~16일, 8월 15~16일에 보름달을 관측할 수 있다. 윤달일 경우는 윤7월 (추분 이전) 윤8월 (추분 이후)이 양력 9월에 있다. 유래. 9월을 뜻하는 영어 단어 September는 seven(7)을 의미하는 라틴어 'septem'에서 유래하였다.
7월

7월(七月, July)은 그레고리력에서 한 해의 일곱 번째 달이며, 31일까지 있다. 또한 한 해의 하반기가 시작되는 달이다. 7월과 그 해의 4월은 항상 같은 요일로 시작하며, 윤년인 경우 그 해의 1월과도 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝난다. 400년 동안 이 달은 수요일, 금요일, 일요일에 58번, 월요일과 화요일에 57번, 목요일과 토요일에는 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다. 7월의 기온은 북반구에서는 가장 높고, 남반구에서는 가장 낮아, 북반구의 1월 기온과 같다. 11월과 함께 한중일월 4국의 공휴일이 빈약한 달이기도 하다. 중국과 베트남은 건국 이래 7월에 공휴일이 없고, 대한민국에서는 7월에 공휴일이 2008년 제헌절이후로 아예 없다. 2007년 이전에도 1983년, 1988년, 1994년, 2005년과 같이 금요일로 시작하는 윤년이나 토요일로 시작하는 평년인 경우 사실상 7월에 공휴일이 없는 해가 있었다. 반면 북한은 7월 27일이 조국 해방전쟁 승리의 날로 공휴일이며 월요일, 화요일로 시작하는 윤년이거나 화요일, 수요일로 시작하는 평년에는 조국 해방전쟁 승리의 날이 주말에 겹쳐서 북한도 7월에는 사실상 공휴일이 없는 해가 된다. 일본의 경우는 7월에 공휴일이 반드시 있다. (바다의 날) 국내에서는 7월부터 휴가철이 시작된다. 음력 5월과 음력 6월이 이 달에 있으며 7월에는 음력 5월 15~16일, 6월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다.
7월

이 달에 윤달이 끼는 경우는 대서 이전은 윤5월, 대서 이후는 윤6월이다. 유래. 영어로 7월을 의미하는 July는 고대 로마의 정치인 율리우스 카이사르의 이름에서 유래하였다. 이전에는 5번째(fifth)를 의미하는 퀸틸리스 (Quintilis 또는 Qinctilis)로 불렸다.
6월

6월(六月유월, June)은 그레고리력에서 한 해의 여섯 번째 달이며, 30일까지 있는 네 개의 달 중 하나이다. 또한 한 해의 상반기가 끝나는 달이다. 이 달과 다음 해의 2월은 항상 같은 요일로 시작한다. 이름의 유래는 오비디우스의 "Fasti"라는 시에서 찾아볼 수 있는데, 첫 번째는 그리스 신화의 헤라와 동격이자 쥬피터의 아내 로마 여신 유노이고, 또 다른 하나는 "젊은이"를 뜻하는 라틴어 "juniores"인데, 이는 5월을 뜻하는 "May"가 "노인"을 뜻하는 라틴어 "maiores"에서 유래한 것으로 보이기 때문이다 ("Fasti"VI.1–88). 어느 해건 6월이 시작하는 요일은 그 해의 다른 달이 시작하는 요일들과는 항상 다르며, 이는 5월과 6월만이 가지고 있는 특징이다. 또한, 6월이 끝나는 요일은 그 해의 3월이 끝나는 요일과 항상 같으며, 6월이 시작되는 요일은 내년 2월이 시작되는 요일과 항상 같다. 또한, 전년도 9월, 12월과 같은 요일로 시작한다(단, 평년의 경우에만 해당). 다음 해가 평년이면 다음해 3월, 11월과도 같은 요일로 시작하고 다음 해가 윤년이면 다음 해 8월과도 같은 요일로 시작한다. 400년 동안 이 달은 월요일, 수요일, 금요일에 58번, 토요일, 일요일에 57번, 화요일, 목요일에는 56번 시작한다. 6월에는 북반구에서 낮이 가장 긴 날이 있고, 남반구에서는 낮이 가장 짧은 날이 있다. 또한 북반구에서 6월의 계절은 남반구에서의 12월의 계절과 같다. 북반구에서 기상학적으로 6월 1일에 여름이 시작되며, 정반대로 남반구에선 겨울이 시작된다.
6월

6월엔 특히 결혼식이 많이 치러지는데, 그 유래 중 하나로는 6월이 유노(헤라)에서 이름을 따왔기 때문이라는 설이 있다. 유노는 결혼의 여신이었고, 그로 인해 6월에 결혼을 하면 운이 따른다는 것이다. 중국, 한국, 일본, 미국과 같은 북반구에서는 여름이 되며, 오스트레일리아, 뉴질랜드와 같은 남반구에는 겨울이 된다. 대한민국에서는 6월이 호국보훈의 달이다. 단, 수요일로 시작하는 윤년(예 : 2020년, 2048년, 2076년)과 목요일로 시작하는 평년/윤년(예 : 2004년, 2009년, 2015년, 2026년, 2032년, 2037년, 2043년, 2054년, 2060년, 2065년, 2071년, 2082년, 2088년, 2093년, 2099년) 그리고 금요일로 시작하는 평년(예 : 2010년, 2021년, 2027년, 2038년, 2049년, 2055년, 2066년, 2077년, 2083년, 2094년, 2100년)일 경우에는 6월의 공휴일이 아예 없는 경우도 있다. 북한은 목요일로 시작하는 윤년과 금요일로 시작하는 평년에는 6월의 공휴일이 아예 없고, 수요일로 시작하는 윤년과 목요일로 시작하는 평년에는 위대한 김정일의 날만, 금요일로 시작하는 윤년과 토요일로 시작하는 평년에는 소년단 창립기념일만 공휴일이다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 28일, 29일, 30일이다. 일본에는 이 달에 공휴일이 아예 없다.
6월

과거에는 8월과 12월에도 없었으나 1989년 아키히토 천황의 생일인 12월 23일이 천황절, 2016년 8월 11일이 산의 날로 지정되면서 6월만 일본에서 유일하게 주말을 제외한 휴일이 하루도 없는 달로 남게 되었다. 음력 4월과 음력 5월이 이 달에 있으며 6월에는 음력 4월 15~16일, 5월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 6월에 윤달이 들 경우 하지 이전이면 윤4월, 하지 이후이면 윤5월이 들게 된다.
8월

8월(八月, August)은 그레고리력에서 한 해의 여덟 번째 달이며, 7월과 연속으로 31일까지 있으며 이 달부터 연말까지는 2의 배수가 오는 달마다 31일까지 있다. 이 달과 그 해의 11월은 항상 같은 요일로 끝난다. 또한, 윤년 경우 이 달과 그 해의 2월은 같은 요일로 시작되며, 다음 해도 평년인 경우 다음 해 5월과 같은 요일이 된다. 다만, 다음 해가 윤년이면 다음 해 10월과 같은 요일이 된다. 이후 400년 동안 이 달은 월요일, 수요일, 토요일은 58번, 목요일, 금요일은 57번, 화요일, 일요일은 56번 시작한다. 또한 한중일월 4개국에서 공휴일이 빈약한 달 중 하나로 중국과 베트남은 건국 이래 8월에는 공휴일이 없고 일본은 2015년까지 8월에 공휴일이 하나도 없었다. 단, 수요일로 시작하는 윤년(예: 2020년, 2048년, 2076년)과 목요일로 시작하는 평년/윤년(예: 2004년, 2009년, 2015년, 2026년, 2032년, 2037년, 2043년, 2054년, 2060년, 2065년, 2071년, 2082년, 2088년, 2093년, 2099년) 그리고 금요일로 시작하는 평년(예: 2010년, 2021년, 2027년, 2038년, 2049년, 2055년, 2066년, 2077년, 2083년, 2094년, 2100년)일 경우에는 8월의 공휴일이 아예 없는 경우도 있다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다.
8월

대한민국에서 휴가철이 끝나는 달이며 대학교의 신학기(2학기)가 시작되는 달이다. 2015년까지는 일본에서 6월과 함께 공휴일이 없는 달이었으나 산의 날이 8월 11일로 지정되면서 빠졌다. 음력 6월과 음력 7월이 이 달에 있으며 8월에는 음력 6월 15~16일, 7월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 이 달에 윤달이 들 경우 처서 이전은 윤6월, 처서 이후는 윤7월이다. 유래. 8월을 뜻하는 영어 단어 August는 초대 로마 황제이자 가이우스 율리우스 카이사르의 아들인 아우구스투스(Augustus)에서 유래하였다. 그 전에는 6번째 달(sixth month)을 의미하는 섹스틸리스(Sextillis)였다.
비활성 기체

비활성 기체(非活性氣體) 혹은 불활성 기체(不活性氣體), 희가스(稀gas), 귀족 기체(noble gas)는 화학 계열로 주기율표의 18족 원소를 말한다. 최외각 전자가 모두 차 있는 이러한 원소들은 전자를 주고 받기 힘들기 때문에 화학결합을 하기 어렵다.
연분수

연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다. 이 식에서 formula_2 은 정수, 나머지 formula_3 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수를 formula_4로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 formula_5 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다. 위 극한은 어떤 양의 정수 formula_7 들에 대해서도 존재한다. 모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 formula_8의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다. 무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수()인 것이다. 근사분수. 무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 "근사분수(convergents)"라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다. 예를 들어, 원주율 파이(formula_9)의 근사분수들을 계산해 보자. 이런 식으로 계속 나간다. 이를 반복하면, 무한 연분수 를 얻는다. formula_9의 세 번째 근사분수는 formula_15이며,이는 실제 formula_9 값에 매우 가까운 값이다.
연분수

오차의 한계. 어떤 무리수의 formula_17번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 가까이 근접해 있다. 이 때의 오차의 한계는 formula_18을 주어진 무리수, 각각 formula_19과 formula_20을 formula_17번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다. 또한, 다음 식 을 만족하는 가장 작은 정수 formula_24에 대하여, 적당한 자연수 formula_25가 존재하여 formula_26와 formula_27를 만족한다.
3월

3월(三月, March)은 그레고리력에서 한 해의 세 번째 달이며, 31일까지 있다. 북반구에서는 3월이 되면서 기온이 오르고 날씨가 풀리기 때문에, 대체로 이 달을 봄의 시작으로 본다. 남반구는 가을이 된다. 이 달과 그 해의 6월은 항상 같은 요일로 끝난다. 또한, 이 달과 그 해의 11월은 항상 같은 요일로 시작하며, 평년인 경우 그 해의 2월과도 같은 요일로 시작한다. 윤년의 경우에는 작년 12월과 같은 요일로 시작하고 끝난다. 올해의 3월 1일과 내년의 2월 28일은 요일이 항상 같다. 400년 동안 이 달은 화요일, 목요일, 일요일에 58번, 금요일과 토요일에 57번, 월요일과 수요일에는 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 2일(삼일절 당일 이후), 3일, 4일(삼일절 연휴 포함), 5일(삼일절 징검다리 연휴 포함)이며, 마지막 주 평일은 29일, 30일, 31일이다. 화요일로 시작하는 윤년(2008년, 2036년, 2064년, 2092년)과 수요일로 시작하는 평년/윤년(2003년, 2014년, 2020년, 2025년, 2031년, 2042년, 2048년, 2053년, 2059년, 2070년, 2076년, 2081년, 2087년, 2098년)일 경우에는 3월의 공휴일이 대통령 선거일이 3월 초인 경우를 제외하고는 없는 경우도 있다. 북한의 경우 정월 대보름이 3월 초가 아닌 경우에는 3월에 공휴일이 없다.
3월

월요일로 시작하는 윤년(2024년, 2052년, 2080년)과 화요일로 시작하는 평년(2002년, 2013년, 2019년, 2030년, 2041년, 2047년, 2058년, 2069년, 2075년, 2086년, 2097년)일 경우 3월 2일이 토요일, 3월 3일이 일요일이 되어 3월 4일 월요일에 시업/입학식(대학교의 경우 개강)을 시행하고, 화요일로 시작하는 윤년(2008년, 2036년, 2064년, 2092년)과 수요일로 시작하는 평년(2003년, 2014년, 2025년, 2031년, 2042년, 2053년, 2059년, 2070년, 2081년, 2087년, 2098년)일 경우 3월 2일이 일요일이 되어 3월 3일 월요일에 시업/입학식(대학교의 경우 개강)을 시행한다. 음력 1월과 음력 2월이 이 달에 있으며 3월에는 음력 1월 15~16일, 2월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 이 달에 윤달이 낄 경우 춘분 이전은 윤1월, 춘분 이후는 윤2월이 된다. 유래. 3월(March)은 가장 오래된 고대 로마 달력상 10개의 달 중 첫 번째 달인 마르티우스()에서 유래되었다. 마르티우스는 기원전 153년까지 첫 번째 달이었으나 그 이후로 세 번째 달이 되었다. 마르티우스라는 명칭은 로물루스와 레무스의 후손으로부터 이어지는 로마인들의 선조 그리고 로마 신화의 전쟁의 신 마르스의 이름을 딴 것이다. 마르스의 달인 마르티우스는 전쟁을 위한 절기의 처음이었다.
자연수

수학에서 자연수(自然數, )는 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수다. 양의 정수(陽-整數, ) 1, 2, 3, ...로 정의되거나, 음이 아닌 정수(陰-整數, ) 0, 1, 2, 3, ...로 정의된다. 범자연수(汎自然數, , )라는 용어는 첫째 정의를 택할 경우에 음이 아닌 정수를 가리키는 데 사용되며, 이에 대응하는 문화어와 영어는 둘째 정의를 택할 경우에 정수를 가리키는 데 사용된다. 자연수의 집합은 대문자 N을 써서 표기하며, 보통 칠판 볼드체 ℕ를 사용한다. 약수 관계나 소수 분포를 비롯한 자연수의 성질들은 수론의 연구 대상이며, 분할이나 계수를 비롯한 자연수의 문제들은 조합론의 연구 대상이다. 자연수는 많은 연산에 대하여 닫혀있지 않다. 정수는 자연수를 뺄셈에 대하여 닫혀있도록 확장하여 얻는 수 체계이며, 유리수는 자연수를 추가로 나눗셈에 대하여 닫혀있도록 확장한 수 체계이다. 실수는 추가로 코시 수열의 극한에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이며, 복소수는 추가로 다항식의 근에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이다. 하나하나가 유한하지만, 무한 집합을 이룬다. 자연수의 집합은 "가장 작은 크기"의 무한 집합이며, 자연수와 크기가 같은 집합을 가산 무한 집합이라고 한다. 자연수가 만족시켜야 하는 일련의 공리들을 제시하여 자연수를 일종의 무정의 개념으로 간주할 수 있으며, 이러한 자연수의 공리들이 이루는 체계 가운데 가장 자주 사용되는 하나는 페아노 공리계이다. 수리논리학에서 이는 자연수의 이론에 해당된다.
자연수

자연수를 특별한 집합으로서 간주하여 다룰 수도 있는데, 이 경우 보통 자연수의 집합은 최소 재귀 집합으로 정의된다. 수리논리학에서 이는 자연수의 모형에 해당된다. 자연수의 수를 세는 역할을 일반화하면 기수의 개념을 얻으며, 자연수의 순서를 매기는 기능을 일반화하면 순서수의 개념을 얻는다. 자연수의 집합의 대수적 성질을 일반화하면 반환의 개념을 얻는다. 특히 자연수는 많은 스포츠 점수 같은 경기나 게임에 사용될수 있으며 우리가 가장 흔히 보는 수로도 볼 수 있다. 정의. 공리적 정의 (페아노 공리계). 가장 통용되는 자연수 이론인 페아노 공리계는 상수 formula_1 및 함수 formula_2에 대한 다음과 같은 공리들로 이루어진 2차 논리 이론 formula_3이다. 이 공리들 가운데 2차 논리 공식은 셋째 공리뿐이다. 이 셋째 공리를 1차 논리 공리꼴로 대신하면, 페아노 산술을 얻으며, 이는 보다 더 약한 공리계이다. 집합론적 정의 (폰 노이만). 자연수 이론의 한 가지 모형 formula_14을 체르멜로-프렝켈 집합론에서 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 이 경우, 각 자연수는 그보다 작은 자연수들의 집합이다. 예를 들어, 처음 몇 자연수는 다음과 같다. 집합론적 정의 (프레게와 러셀). 고유 모임이 허용되는 집합론의 경우, 자연수를 유한 집합의 대등 관계에 대한 동치류로서 정의할 수 있다. 즉, 각 자연수는 그 자연수를 원소 개수로 하는 집합들의 모임이다. 즉, 이는 다음과 같다. 그러나, 이러한 구성은 고유 모임을 사용하므로, 분류 공리꼴을 만족시키는 집합론에서 사용할 수 없다. 성질. 자연수의 집합은 가환 순서 반환을 이룬다.
자연수

수학적 귀납법. 자연수의 집합 formula_3의 정의에 따라, 수학적 귀납법이 성립한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 명제를 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다. 여기서 formula_28는 주어진 성질이며, 자연수 부분 집합 formula_30으로 간주할 수 있다. 이 명제를 증명하려면 다음 두 가지를 증명하기만 하면 된다. 자연수의 집합 위의 초한 귀납법에 따르면, 다음 한 가지를 증명하는 것으로 대신할 수도 있다. 특히, formula_36인 경우 이 조건이 뜻하는 바는 단순히 formula_31인데, 이는 이 조건의 전제가 항상 참이기 때문이다. 자연수의 집합 위의 초한 재귀 정리에 따르면, 수열을 점화식을 통해 정의할 수 있다. 즉, 집합 formula_38에서 값을 취하는 수열 formula_39은, 그 일반항을 통하지 않고서도, 다음과 같은 점화식을 줌으로써 정의할 수 있다. 여기서 formula_41는 formula_38에서 값을 취하는 각 유한 수열에 formula_38의 원소를 대응시키는 함수이다. 특히, 이 점화식에서 formula_36인 경우, 이 점화식이 뜻하는 바는 공(空)수열 formula_45의 함숫값 formula_46을 첫항 formula_47으로 정의하는 식 formula_48이다. 무한 강하법. 자연수의 집합은 정렬 집합이다. 즉, 공집합이 아닌 자연수 부분 집합 formula_49은 항상 최소 원소 formula_50를 갖는다. 귀류법을 사용하여, formula_28가 최소 원소를 갖지 않는다고 가정하자. 이제 formula_52임을 강한 수학적 귀납법을 통해 증명하자. 만약 formula_53라면, formula_54이다. 그렇지 않다면 formula_55이므로 모순이기 때문이다. 따라서, formula_56이며, 이는 모순이다. 자연수의 집합 위에서 무한 강하법이 성립한다.
자연수

즉, 자연수의 감소 무한 수열 formula_57는 존재하지 않는다. 이는 위에서 증명한 자연수의 정렬성을 통해 엄밀하게 증명할 수 있다. 즉, 만약 자연수의 감소 무한 수열이 존재한다면, 그 수열의 항들의 집합은 자연수의 부분 집합인데, 이는 공집합이 아니면서 최소 원소를 갖지도 않으므로 모순이다. 무한 강하법을 사용하여 다음과 같은 꼴의 명제를 증명할 수 있다. 이를 증명하려면 다음 한 가지를 증명하기만 하면 된다. 집합론적 성질. 자연수의 집합 formula_3은 무한 집합이다. 자연수의 집합의 크기를 알레프 0 formula_64으로 정의하며, 이는 최소 무한 기수이다. 즉, 임의의 무한 집합 formula_28에 대하여, formula_66인 부분 집합 formula_67가 존재한다. 자연수의 집합과 크기가 같은 집합(=전단사 함수 formula_68가 존재하는 집합 formula_28)을 가산 무한 집합이라고 한다. 예를 들어, 유리수의 집합 formula_70는 가산 무한 집합이며, 실수의 집합 formula_71는 비(非)가산 무한 집합이다. 수론적 성질. 자연수에 대한 곱셈식 formula_72이 성립할 때, formula_73가 formula_74의 약수라고 하며, 반대로 formula_74를 formula_73의 배수라고 한다. 0은 모든 자연수를 약수로 가지며, 0의 배수는 0뿐이다. 그러나, 양의 정수의 경우만을 생각하기도 한다. 항등식 formula_77에 따라, 자연수는 항상 1과 자기 자신을 약수로 가지는데, 약수가 이들뿐인 자연수를 소수라고 하며, 그렇지 않은 자연수를 합성수라고 한다. 다만, 0과 1은 소수도 합성수도 아니라고 정의한다.
자연수

산술의 기본 정리에 따르면, 모든 합성수는 유한 개의 소수들의 곱으로 표현 가능하며, 이러한 표현은 소수들을 곱하는 순서를 무시하면 유일하다.
북위 38도

북위 38도(北緯三十八度)는 적도를 기준으로 북쪽으로 38도를 지나는 위선이다. 유럽과 지중해, 아시아, 태평양, 북아메리카, 대서양을 지난다. 특히 한반도의 중앙을 가로지르며, 한국 현대사에서 중요한 의미를 지닌다. 지리. 본초 자오선에서 동쪽 방향으로 다음 지역을 지난다.
극좌표계

극좌표계(極座標系, )는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. 데카르트 좌표계에서는 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름 성분과 각 성분의 두 성분으로 결정되며 주로 formula_1로 나타내는 반지름 성분은 극(데카르트 좌표에서 원점)에서의 거리를 나타낸다. 주로 formula_2로 나타내는 각 성분은 0°(데카르트 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)에서 반시계 방향으로 잰 각의 크기를 나타낸다. 역사. 각과 반지름의 개념은 이미 기원전에 사용되었다. 고대 그리스의 천문학자 히파르코스(기원전 190~120년)가 여러 각마다 현의 길이를 나타내는 표를 만들었는데, 그가 항성의 위치를 나타내기 위해 극좌표를 사용하였다는 주장도 있다. 아르키메데스가 묘사한 아르키메데스 나선은 반지름 성분이 각에 따라 변하는 함수로 주어진다. 하지만 이들의 작업은 완성된 좌표계로 발전하지는 못하였다. 극좌표를 정식 좌표계로 도입한 예는 여러 번 있었다. 이에 대한 역사는 하버드 대학교 교수인 줄리언 쿨리지의 《극좌표의 근원》에 서술되어 있다. 17세기 중반에 그레구아르 생뱅상과 보나벤투라 카발리에리는 독립적으로 극좌표의 개념을 발표하였다. 생뱅상은 1625년에 작성해 1647년에 출판하였으며, 카발리에리는 1635년에 출판하였으며, 개정판은 1653년에 나왔다.
극좌표계

카발리에리는 아르키메데스 나선의 넓이를 구하는 문제를 풀기 위해 극좌표를 처음으로 사용하였다. 이에 따라 블레즈 파스칼은 포물선의 길이를 계산하기 위해 극좌표를 사용하였다. 아이작 뉴턴은 《유율법》(Method of Fluxions, 1671년 작성, 1736년 출판)에서 “일곱 번째 방법: 나선에 대하여”로 표현한 극좌표와 다른 아홉 가지 좌표계 사이의 변환을 분석하였다. 야코프 베르누이는 학술지 《"Acta Eruditorum"》(1691년)에서 점과 선을 이용한 좌표계를 사용하고 각각을 극과 극축이라 불렀다. 좌표는 극에서의 거리와 극축에서의 각으로 정의하였다. 베르누이의 연구는 곡선의 곡률반지름을 찾는 데까지 확장되었다. “극좌표”라는 용어는 이탈리아의 그레고리오 폰타나가 처음 정하였으며, 18세기의 이탈리아 학자들이 사용하였다. 영어로는 조지 피콕이 1816년 라크루아의 《미적분학》(Differencial and Intergral Calculus)을 번역하면서 처음 등장하였다. 알렉시 클로드 클레로는 극좌표를 처음으로 3차원으로 확장하였으며, 오일러가 이를 더욱 발전시켰다. 극좌표를 이용한 점의 표시. 극좌표계의 점은 반지름("r")과 각("θ")로 표현된다. "r"은 극에서의 거리를 의미하고, "θ"는 0°(데카르트 좌표계의 x축 양의 방향에 해당)에서의 각도를 의미한다. 만약 "r"이 음의 값을 갖는다면, "θ"가 가리키는 방향과 반대방향으로 거리 |"r"|만큼 떨어진 점을 뜻한다. 예를 들어, 극좌표 (3, 60°)는 극에서 60° 방향으로 3단위만큼 떨어진 곳을 나타낸다.
극좌표계

극좌표 (3, -300°)도 같은 위치에 그려진다. 데카르트 좌표와는 달리 극좌표에서는 하나의 점을 나타내는 방법이 무한히 많다. 여러 바퀴를 돌아 제자리에 돌아와도 위치는 변하지 않기 때문이다. 일반적으로 ("r, θ")는 로 표현될 수 있다(n은 임의의 정수). (0, "θ")는 일반적으로 극을 뜻하며, 반지름이 0이기 때문에 어떠한 각이든 상관이 없다. 점을 나타내는 방법을 하나로 제한할 때에는 "r"은 양수로, "θ"는 구간 [0, 360°) 또는 (−180°, 180°](라디안으로는 [0, 2π) 또는 (−π, π])의 수로 하는 것이 보통이다. 극좌표의 각은 라디안을 이용한 호도법으로도 표현할 수 있으며(2π rad = 360°), 이는 상황에 따라 다르다. 항행에서는 60분법으로 각을 나타내며, 물리 분야(특히 회전 역학)와 거의 모든 미적분에서는 호도법이 쓰인다. 극좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환. "r"와 "θ"는 삼각함수를 이용해 데카르트 좌표의 "x"와 "y"로 변환할 수 있다. 데카르트 좌표의 "x"와 "y"는 극좌표의 "r"로 변환할 수 있다. "θ"를 정의할 때는 다음과 같은 사항을 고려해야 한다. [0, 2π)에 한정할 때는 다음과 같은 함수가 사용된다. (formula_6는 formula_7의 역함수이다.) (−π, π]에 한정할 때는 다음과 같은 함수가 사용된다. 극좌표 방정식. 극좌표를 이용하여 곡선을 나타내는 방정식을 극좌표 방정식 또는 극방정식이라고 한다. 보통은 "r "를 "θ "에 관한 함수로 정의한다.
극좌표계

곡선 위의 점은 formula_10로 정의되며 함수 "r "의 그래프로 생각할 수 있다. 극좌표 방정식 "r"("θ")의 형태로부터 대칭성을 추론할 수 있다. 만약 "r"(−"θ") = "r"("θ") 이라면 곡선은 수평 반경(0° / 180°)에 대하여 대칭이 되며, "r"(π−"θ") = "r"("θ")이라면 수직 반경(90° / 270°)에 대하여 대칭이 되며, "r"("α"−"θ") = "r"("θ")일 때는 "α/2"만큼 반시계 방향으로 돌린 곳에서 대칭이 된다. 극좌표계의 성질 덕에 많은 곡선이 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있으며, 이에 반해 데카르트 좌표로 표현되려면 난해한 곡선이 많이 있다. 극좌표 방정식으로 표현될 수 있는 곡선은 극좌 장미 곡선, 아르키메데스 나선, 달팽이꼴 곡선, 심장형 등이 있다. 아래에 서술된 내용에는 정의역과 치역의 범위의 제한은 없다. 원의 극좌표 방정식. 원의 중심이 ("r "0, "φ")이며 반지름이 "a"인 원의 일반적인 방정식은 다음과 같다. 위의 방정식은 상황에 따라 여러 방법으로 단순화될 수 있다. 직선의 극좌표 방정식. 극을 통과하는 선은 다음과 같은 방정식으로 표현된다. 위의 방정식에서 "φ"는 극을 통과하는 선의 기울기를 각도로 표현한 것이며("φ" = arctan "m"), "m"은 데카르트 좌표에서의 기울기이다. 직선 "θ" = "φ"에 수직이면서 점 ("r "0,"φ")를 지나는 직선은 formula_12로 나타낼 수 있다.
극좌표계

극좌표 장미 곡선. 수학에서 장미 곡선은 꽃잎을 지닌 꽃처럼 보이는 유명한 곡선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다. "k"가 홀수일 때는 "k"개의 꽃잎을 지니며, "k"가 짝수일 때는 2"k"개의 꽃잎을 지닌다. "k"가 정수가 아닐 때에는 꽃과 비슷한 모양이지만 이때는 꽃잎이 겹쳐 보이게 된다. 즉, 4"n" + 2개의 꽃잎을 지닌 장미 곡선을 그릴 수는 없다. 변수 "a"는 꽃잎의 길이를 의미한다. 아르키메데스 나선. 아르키메데스 나선은 아르키메데스가 발견한 나선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다. 매개변수 "a"는 나선의 위치를 돌려 놓으며, "b"는 나선 사이의 폭을 조정한다. "r"("θ") = "bθ"일 경우, 각이 "θ" > 0일 때와 "θ" < 0일 때, 각각의 아르키메데스 소용돌이는 두 가지의 곡선을 그리며 이들은 극에서 매끄럽게 만난다. 90°/270°선(데카르트 좌표계의 y축과 같음)을 기준으로 좌우대칭상을 그리면 다른 쪽 곡선이 나온다. 이 곡선은 수학 관련 저술에서 원뿔 곡선 다음으로 등장하는 곡선이며 극좌표로 가장 잘 표현되는 예로 거론된다. 원뿔 곡선. 초점 중 하나가 극에 있으며 다른 하나는 0°의 어딘가에 있는(원뿔 곡선의 주축이 극축에 있도록) 원뿔 곡선은 다음과 같이 정의된다.
극좌표계

"e"는 이심률이며 formula_16은 극이 아닌 초점에서 주축(major axis)에 수직이 되게 곡선까지 잰 거리(semi-latus rectum)이다. "e" > 1일 때 이 방정식은 쌍곡선이 되며, "e" = 1일 때는 포물선이 되고, "e" < 1일 때는 타원이 된다. "e" = 0일 때는 반지름 formula_16인 원이 그려진다. 복소수 체계. 모든 복소수는 복소평면 위의 점으로 표현될 수 있으며, 데카르트 좌표계와 극좌표계의 방식으로 모두 표현 가능하다. 복소수 "z"는 다음과 같이 데카르트 좌표계의 형태로 표현될 수 있다. formula_19는 허수 단위이다. 이 식은 아래와 같이 극좌표계로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라 한다. 자연로그의 밑 e를 이용하면 다음처럼 나타낼 수 있다. 이는 오일러의 공식으로 표현된 것과 같다(이러한 공식은 각 "θ"의 단위가 라디안일 때에만 성립된다). 복소수의 직교 형식과 극형식 사이의 변환은 위에서 서술한 변환 공식을 사용하면 된다. 복소수의 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 연산을 할 때에는 데카르트 좌표계보다는 극좌표계로 표현하는 것이 계산이 더 간편하다. 지수 법칙에 따라 다음과 같은 성질이 성립한다. 미적분. 극좌표 공식은 미적분에도 적용할 수 있다. 각 "θ"의 측정 단위로는 라디안을 사용한다. 미분. 극좌표계와 데카르트 좌표계 사이에는 다음과 같은 미분 공식이 성립한다. 극좌표 곡선인 "r"("θ")의 데카르트 좌표계에서의 기울기를 찾기 위해서는 먼저 곡선을 매개변수 연립방정식으로 나타내어야 한다.
극좌표계

두개의 등식을 "θ"에 대하여 미분하면 두 번째 등식을 첫 번째 등식으로 나누면 ("r", "θ")에 접하는 접선의 기울기가 된다. 적분. 곡선 "r"("θ"), "θ" = "a", "θ" = "b"에 의해 둘러싸인 부분을 "R" 라 하자.(0 < "b" − "a" < 2π) 이때 "R"의 넓이는 다음과 같다. 다음과 같은 과정을 통해 이를 유도할 수 있다. 먼저 구간 ["a", "b"]를 "n" 개의 구간으로 나눈다("n"은 자연수). 각 구간 "i" = 1, 2, …, "n"에서 "θ""i"이 각 구간의 중점이라 하고 극에 중심을 두는 부채꼴을 만든다("r"(θ"i"), 중심각 : "Δθ", 호의 길이 : "r"("θ""i")"Δθ"). 이때 만들어진 각 부분의 넓이는 formula_33이다. 따라서 총 넓이는 다음과 같은 리만 합으로 나타낼 수 있다. 구간의 개수 "n"이 증가함에 따라 그 극한값은 "R "의 넓이에 가까워진다. 일반화. 데카르트 좌표를 이용해서 무한소 넓이는 formula_35와 같이 계산된다. 치환 적분법으로 좌표계를 바꾸어 중적분할 때에는 야코비 행렬식을 이용해야 한다. 따라서 극좌표계의 좌표에 따른 넓이는 다음과 같이 주어진다. 이제 극좌표계로 주어진 함수는 다음과 같이 적분할 수 있다. 여기서 "R "는 곡선 "r"("θ"), "θ"= "a", "θ" = "b"에 둘러싸인 영역이다. "R "의 넓이는 함수 "f "를 1과 같다고 하면 된다. 야코비 행렬식을 이용한 놀라운 결과 가운데 하나는 다음과 같은 가우스 적분이다.
극좌표계

벡터 미적분. 벡터 미적분은 극좌표에도 적용할 수 있다. formula_40를 위치 벡터 formula_41, ("r"과 "θ"는 시간 "t"에 의해 좌우된다.) formula_40의 방향을 나타내는 단위 벡터 formula_43를 다음과 같이 두고, formula_40에 수직인 단위 벡터를 다음과 같이 두자. 이때 "r"의 1계 미분, 2계 미분은 다음과 같다. 3차원. 극좌표계는 원통좌표계와 구면좌표계로 확장할 수 있으며, 이 두 가지는 2차원의 극좌표계를 포함한다. 원통좌표계는 거리 좌표를 더해 극좌표계를 확장시키며, 구면좌표계는 각 좌표를 더해 확장한다. 원통 좌표계. 원통 좌표계는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 "xy" 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 "z"축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다. 평면 극좌표계의 "r, θ," 그리고 "z"로 이루어지는 이 좌표계를 원통 좌표계라고 한다. 원통 좌표계란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중 "r"이 고정되고, "θ, z"가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 원통이기 때문이다. 원통 좌표계의 특이점은 "z"축 위의 점들이다. 세 가지 원통 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식을 써서 데카르트 좌표로 변환할 수 있다. 구면좌표계. 구면좌표계는 원점에서의 거리 "r", "z"축 양의 방향과 이루는 각 'θ', "xy" 평면으로의 사영이 "x"축 양의 방향과 이루는 각 "φ," 이 세 가지 변수 "r,θ,φ"로 이루어지는 좌표계이다.
극좌표계

특이점은 "r"="0" 이거나, "θ"="nπ"(단, "n"은 자연수)를 만족하는 모든 ("r,θ,φ")이며, 데카르트 좌표계에선 각각 ("x,y,z")=(0,0,0), "z"축에 해당한다. 구면 좌표계는 "r"을 고정시켰을 때의 자취가 원점을 중심으로 하는 구이기 때문에 붙여진 이름이다. 구면좌표계의 "r"은 원점과의 거리인 반면 원통 좌표계의 "r"은 "z"축과의 거리이다. 따라서 이를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 "r"대신 "ρ"를 써서 표기하기도 한다. 원통 좌표계의 "θ"는 구면좌표계의 "θ"가 아닌, "φ"와 일치한다. 또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 위도, 경도와 비슷하다. 위도 "δ"는 'θ'의 여각이며("δ" = 90° − 'θ'), 경도 formula_16은 formula_16 = 'φ' − 180°와 같이 정의된다. 세 가지 구면좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 데카르트 좌표로 변환될 수 있다. 일상에서의 적용. 극좌표계는 2차원이기 때문에 점이 2차원 면에 있을 때에만 사용할 수 있다. 극좌표계가 가장 널리 쓰이는 곳은 어떤 현상이 중앙에서의 거리와 방향에 밀접한 관계가 있는 경우이다. 위의 예시는 기본적인 극좌표를 사용한 식이 곡선을 정의하기에 충분하다는 것을 보여준다(아르키메데스 소용돌이처럼 데카르트 좌표계로는 표현했을 때 복잡한 식이 한 예이다). 또한, 물체가 중심에서 돌거나 중심을 두고 발생하는 현상이 자주 관찰되는 물리 체계에서는 극좌표계를 적용하는 것이 보다 간단하고 직관적으로도 이해하기 쉽다.
극좌표계

극좌표계를 도입하고자 한 계기는 등속 원운동이나 궤도 운동을 연구하기 위한 것이었다. 위치와 항행. 극좌표계는 항행에 자주 쓰이며, 각과 거리로 목적지나 여행 방향을 정해준다. 예를 들어 항공기는 항행을 위해 약간 변형된 극좌표를 사용한다. 0°는 주로 360°로 주로 일컬어지며, 각도는 반시계 방향이 아닌 시계 방향으로 돈다. 360°는 자북극을 가리키며, 90°, 180°, 270°는 각각 동쪽, 남쪽, 서쪽을 일컫는다. 따라서 동향으로 5해리를 이동하는 항공기는 90°로 5단위를 이동하는 것이 된다(항공 교통 관제에서는 90(niner-zero)라고 읽는다). 모형화. 중앙점이 대칭의 기준이 되는 시스템이면 자연스럽게 극좌표계를 사용할 수 있다. 가장 대표적인 예는 지하수 공식이며, 방사적으로 대칭되는 우물에 곧잘 쓰인다. 또한 중심력이 있는 시스템도 극좌표가 사용될 수 있다. 이러한 시스템은 중력장(역제곱법칙을 따른다), 안테나와 같이 점광원이 쓰이는 체계 등이다. 방사적으로 비대칭되는 시스템에도 극좌표계가 쓰일 수 있다. 예를 들어 마이크로폰의 지향특성은 음원의 방향에 따라 비례적인 반응을 보이며, 이러한 패턴은 극좌표 곡선으로 표현될 수 있다. 가장 흔하게 사용되는 마이크인 카디오이드 마이크의 곡선은 다음과 같은 공식으로 표현된다. 패턴은 낮은 주파수에 전방향성으로 바뀐다. 확성기의 출력을 3차원으로 모형화한 것은 확성기의 성능을 측정하기 위해 사용할 수 있다. 패턴이 주파수에 따라 많이 변하기 때문에 여러 주파수에서 그린 그래프가 필요하다. 극좌표계 그래프는 많은 확성기가 낮은 주파수에서 전방향성으로 향하는지를 알려준다.
구면좌표계

구면좌표계(球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 formula_1로 나타낸다. 원점에서의 거리 formula_2은 0부터 formula_3까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 formula_4는 0부터 formula_5까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 formula_6는 0부터 formula_7 까지의 값을 갖는다. formula_4는 위도로, formula_6는 경도로 표현되는 경우도 있기도 한다. 이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 formula_10에서 formula_2만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 x z 평면 안에 있으면서 z축에서부터 formula_4만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 formula_6만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다. 구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 'formula_14'이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다. 또한 이 좌표계가 구대칭을 기치로 하기 때문이기도 하다. 구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다. 아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러 가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°)는 모두 같은 점을 나타낼 수 있다.
구면좌표계

표시 문자. 세 좌표의 표시를 위한 여러 가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 ("r", "θ", "φ")의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다. 정의. 좌표 formula_1는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자. 구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다. 좌표 변환. 다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다. 단위벡터. 각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다. 유용한 공식들. 면적 요소 부피 요소 기울기 발산 회전 라플라시안
12월

12월(十二月, December)은 그레고리력에서 한 해의 마지막 달이며, 31일까지 있는 7개의 달 중 마지막 달이다. 중국, 한국, 일본, 미국에서는 이 달을 겨울의 시작으로 본다. 오스트레일리아나 뉴질랜드 등 남반구의 나라들은 여름이 된다. "구랍"이라고도 부르나, 이는 "지난해 음력 12월"을 뜻하므로, 양력 12월과는 관련이 없다. 이 달과 그 해의 9월은 항상 같은 요일로 시작하며, 이 달과 그 해의 4월은 항상 같은 요일로 끝난다. 다만, 다음 해가 윤년일 경우 그 다음 해 3월, 11월과 같은 요일이 되며, 다음해가 평년이면 다음해 6월과 같은 요일로 시작한다. 또한 이 달에 있는 크리스마스와 내년의 첫날은 항상 같은 요일이다. 또한 한 해의 첫날 1월 1일과 마지막날 12월 31일은 평년일 경우만 요일이 같다. 400년 동안 이 달은 화요일, 목요일, 토요일에 58번, 일요일과 월요일에 57번, 수요일과 금요일에는 56번 시작한다. 단, 첫 주 평일은 1일, 2일, 3일이며, 마지막 주 평일은 28일(새해 첫날 징검다리 연휴 포함), 29일(새해 첫날 연휴 포함), 30일, 31일이다.
12월

대한민국에서 12월의 공휴일은 목요일로 시작하는 윤년(예 : 2004년, 2032년 등)과 금요일로 시작하는 평년/윤년(예 : 1993년, 1999년, 2010년, 2016년, 2021년, 2027년, 2038년, 2044년, 2049년 등) 그리고 토요일로 시작하는 평년(예 : 1994년, 2005년, 2011년, 2022년, 2023년, 2033년, 2039년, 2050년 등)일 경우에는 아예 없는 경우도 있다. 북한은 금요일, 토요일로 시작하는 윤년이거나, 토요일, 일요일로 시작하는 평년에는 사회주의 헌법절만 공휴일이고 화요일, 수요일로 시작하는 윤년이거나 수요일, 목요일로 시작하는 평년에는 김정숙 생일만 공휴일이 된다. 1988년까지만 해도 일본에는 12월에 휴일이 없었으나 1989년 아키히토 천황의 즉위와 함께 12월 23일이 천황탄생일로 지정되면서 일본에도 12월에 휴일이 생기게 되었다. 지금도 중화인민공화국과 베트남에는 12월에 휴일이 없다. 북한은 12월에 휴일이 2개 (김정숙 생일, 사회주의헌법절) 있다. 음력 10월과 음력 11월이 이 달에 있으며 12월에는 음력 10월 15~16일, 11월 15~16일의 보름달을 관측할 수 있다. 12월에 윤달이 낄 경우는 동지 이전에는 윤10월이, 동지 이후는 윤11월이 든다. 유래. 12월을 뜻하는 영어 단어 December는 ten(10)을 의미하는 라틴어 'decem'에서 유래하였다.
라이너스 폴링

라이너스 칼 폴링(, 1901년 2월 28일 ~ 1994년 8월 19일)은 노벨 화학상 (1954년)과 노벨 평화상 (1962년)을 수상한 미국의 화학자이다. DNA의 구조를 밝혀내 노벨상을 받은 제임스 왓슨이 자신이 쓴 《이중 나선(Double Helix)》에서 라이너스 폴링을 "당시 생화학 분야의 권위자였으며, 가장 높은 수준의 연구를 진행하고 있었다"고 평가할 정도로 그는 분자생물학 분야에도 큰 영향을 끼쳤다. 1962년에는 지표 핵실험을 반대한 공로로 노벨 평화상을 받았다. 그는 지금까지 혼자서 노벨상을 두 번 받은 유일한 사람이다. (마리 퀴리는 물리학상을 남편과 함께 받았고 존 바딘은 두 번의 물리학상을 다른 사람과 함께 받았으며 프레데릭 생어도 1980년에 다른 사람과 함께 받았다.) 또한 현재까지 세계에서 유일하게 노벨 과학상과 평화상을 모두 받은 인물이기도 하다 어린 시절과 교육. 폴링은 오레건주 포틀랜드에서 헤만 헨리 윌리엄 폴링(Herman Henry William Pauling, 1876년 - 1910년)과 루시 이사벨 벨레 달링(Lucy Isabelle Belle Darling, 1881년- 1926년)의 장남으로 태어났다. 그의 이름은 외할아버지(Carl)와 친할아버지(Linus)를 기념하여 라이너스 칼(Linus Carl)을 따라 지어졌다. 아버지 헤만과 어머니 루시는 각각 23살, 18살에 오레건주 콘돈의 한 디너파티에서 만났고 6개월 후 그들은 결혼했다. 헤만 폴링은 미주리 주의 콘코디아에서 독일계 이주 농민으로부터의 후손이다. 칼 폴링은 가족과 함께 오레건주의 오스웨고에 정착하기전 캘리포니아로 갔다.
라이너스 폴링

거기서 그는 주조공장의 철물상으로 일했다. 중등학교를 마친 다음 헤만 폴링은 약사가 되기 위해 견습생으로 일했다. 그의 견습생 수행이 끝난다음, 그는 제과점 도매상인이 되었다. 폴링의 어머니 루시는 영국, 스코틀랜드계 후손이며 교사, 농민, 측량사, 우체국장, 변호사로 일한 라이너스 윌슨 달링의 딸이다. 라이너스 달링은 11세에 고아가 되었으며 학교선생이 되기 전에 제빵사 아래에서 견습생으로 일했다. 그는 오레건주 터너에서 온 엘리스라는 여인과 사랑에 빠졌으며 결국 그들은 결혼했다. 1888년 7월 17일 엘리스는 다섯 번째 아이를 낳았으나 유산되었다. 그리고 한달이 채 가기도 전에 네명의 딸들을 남편에게 맡기고 앨리스는 사망했다. 라이너스 폴링 태어난 후 1년을 포틀랜드에서 그의 부모님과 함께 단칸방 아파트에서 보냈다. 1902년 그의 여동생 파울린이 태어난 후 폴링의 부모님은 도시를 벗어나기로 결정했다. 그들은 포틀랜드에서 살면서 아파트는 매우 붐볐고 거주지가 공간적으로 여유롭지 못했다. 루시는 헤만이 새로운 거주지를 찾는 동안 오스웨고의 헤만의 부모님의 집에서 머물렀다. 헤만은 Skidemore 제약회사의 외판원으로 일하게 된 살렘(Salem) 지역으로 가족과 함께 이주했다. 1904년 루실의 출생과 함께 헤만 폴링은 오스웨고로 가족과 함께 이주했으며 거기서 그는 개인 약국을 개업했다. 그러나 오스웨고의 경기는 안 좋았으며 그와 그의 가족들은 1905년 콘돈으로 다시 이주했다.
라이너스 폴링

1909년 폴링의 친할아버지 라이너스는 그의 두 번째 부인과 이혼했으며 그의 딸 루시(폴링의 어머니)와 나이가 거의 같은 어린 학교선생과 재혼했다. 그리고 몇 달이 지나 신장염으로 비롯되어 합병증으로 야기된 심장마비로 사망했다. 그 동안에, 헤만 폴링은 복부의 주기적인 심한통증과 약한 체력으로 매우 고통받고 있었다. 루시의 여형제 애비(Abbie)는 헤만의 목숨이 위태롭도록 아픈 것을 보고 즉시 가정 주치의에게 연락했다. 의사는 통증을 완화시키기위해 헤만에게 진정제를 투여했으나 그것은 일시적인 경감이었을 뿐이었다. 그의 건강은 다가오는 몇 달동안 매우 악화되었으며, 1910년 6월 11일 그는 라이너스, 루실, 파울린을 혼자 짊어지게 된 루시를 남기고 위궤양으로 결국 사망했다. 폴링은 어린 시절 대단한 독서광이었다고 한다. 폴링의 재능을 일찍부터 알아본 아버지 헤르만 폴링은 지방신문 더 오리가니안(The Oregonian)의 편집장에게 아홉 살 아들이 더 읽어야 할 책이 무엇인지 묻는 편지를 쓰기도 하였다. 폴링의 초등학교 친구인 로이드 제프레스는 자기 방에 작은 화학 실험실을 가지고 있었는데 제프레스의 실험실에서 했던 실험은 폴링이 화학공학자가 되기로 결심한 계기가 되었다고 한다. 고등학교 때 폴링은 할아버지가 수위로 근무했던 제철 공장에서 많은 실험 기구와 재료를 몰래 운반하여 화학 실험을 계속했다. 고등학생이 된 폴링은 책과 화학실험으로 쌓아온 엄청난 양의 화학지식으로 선생님들을 놀라게 했고 화학 담당 선생님의 방과후 실험을 돕기도 하였다.
라이너스 폴링

고등학교 3학년이 된 폴링은 보수도 많이 받을 수 있는 화학공학자가 되고 싶어하였고 대학에 가고 싶어하였다. 그러나 가난에 찌든 어머니 벨은 아들이 생계를 꾸리는 일을 더 적극적으로 돕길 원했고 폴링이 대학에 가고 싶다는 말에 화를 내었고 철물점에 취직시켜 주겠다고 하였다. 고민하던 폴링은 친구 제프리스 가족의 충고를 듣고 당시 오리건농업대학 (현 오리건 주립 대학) 화학공학과에 진학하기로 결심하였고 어머니를 설득하였다. 폴링은 15세의 3학년 1학기 이미 오리건농업대학에 입학할 수 있는 학점을 다 채워놓은 상태여서 대학에 진학하는데 큰 무리가 없었으나 당시 오리건주 고등학교 3학년 1년동안 필수 학점이었던 미국사 듣지 못하였다. 폴링은 학교장에게 1학기에 일년 과정을 들을 수 있게 해달라고 부탁했으나 거절당했고 결국 폴링은 고등학교 졸업장을 포기하고 대학에 진학했다. 폴링의 모교 워싱턴고등학교는 45년 뒤, 이미 폴링이 두 개의 노벨상을 수상한 후 명예졸업장을 수여하였다. 그 해 여름에 폴링은 식료품 잡화점에서 1주일에 8달러를 벌어가면서 아르바이트일을 했다. 그의 어머니는 포틀랜드의 제조공장 다수를 운영하는 Schwietzerhoff와 면담을 하여 취직하도록 시켰다. 폴링은 견습공으로 한 달에 40달러를 받으며 고용되었다. 폴링은 그의 일에 매우 능숙해서 월급이 인상되어 한 달에 50달러를 받으며 일했다. 그는 여가시간에 그의 친구 둘과 함께 사진실험실을 세우고 작은 사진가게를 운영했다.
라이너스 폴링

그는 이 비즈니스를 함으로써 후에 그가 대학생활을 할 수 있도록 충분한 돈을 벌수있도록 소망했다. 폴링은 오레건주 농업대학에서 입학허가 편지를 1917년 9월에 받았고 그의 어머니와 직장 사장에게 그의 대학입학계획을 알렸다. 고등교육과정. 1917년 10월, 폴링은 그가 대학생활비용으로 모아두었던 200여달러를 사용하면서 그의 사촌 Mervyn과 함께 Corvallis 캠퍼스 주변 하숙집에서 살았다. 첫 번째 학기에서 폴링은 화학과에서 두 과목, 수학에서 두 과목, 기계 제도, 현대영어산문, 체육 그리고 군 훈련을 수강신청했다. 폴링은 그의 학교 생활 초기에 1학년 여학생 이린(Irene)과 사랑에 빠지게 된다. 폴링은 그가 저축한 150달러정도로 그녀를 위해 쓰기도 했다. 그는 곧 여학생기숙사의 주방을 정리하는 업무와 고기를 자르고 난로의 장작을 패는 일을 한달에 100시간 정도하는 그러한 일을 했다. 시간당 25센트의 보수에도 불구하고 폴링은 재정적으로 곤란함을 겪었다. 그는 돈을 절약하기 위해 캠퍼스의 식당에서 하루에 한끼 식사하는 걸로 때웠다. 폴링은 매우 대학생활을 활발히 했기 때문에, Delta Upsilon이라는 비영리 단체에 소속되어 활동하기도 했다. 그는 2학년 이후에 어머니와 가족의 생계에 보탬이 되기 위해 포틀랜드에서 돈을 벌기로 계획했다. 하지만 대학교에서는 그를 정량분석을 가르치는 위치를 그에게 권했고, 그는 마침 정량분석이라는 과목을 막 이수한 상태였다. 그는 일주일에 40시간을 실험실과 교실에서 일하여 한 달에 100달러정도 벌었다. 그리고 이러한 돈은 그가 대학에서 계속 공부할 수 있도록 도와주는 계기가 되었다.
라이너스 폴링

그의 마지막 2년간의 대학생활에서 폴링은 원자와 분자의 전자구조에 대한 일을 했던 Gilbert N. Lewis와 Irving Langmuir의 업적에 대해 알게 되었다. 그는 그의 연구를 물리적이고 화학적인 물질의 성질을 이용하여 어떻게 그것들이 분자를 이루는 원자들의 구조와 관련되어있는지에 대해 초점을 맞추기로 했다. 그리하여 그는 양자화학이라는 새로운 과학분야의 창시자가 되었다. 폴링은 인류학 사회학에 대한 공부를 무시하기 시작했다. 그는 게다가 물리, 수학부의 필수과목에 대해서도 확실하게 다루었다. Samuel Graf교수는 폴링을 높은 수준의 수학과정에서 그의 조교로서 선발했다. 4학년 겨울 무렵, 폴링은 가정경제학을 전공으로 하는 학생들을 대상으로 화학부 과목을 가르치는 것을 제안받았다. 그곳에서는 폴링의 미래 아내가 될 사람인 Ava Helen Miller가 있었다. 1922년 폴링은 오레건주 주립대학을 졸업했으며 화학공학학위를 받았다. 그리고 대학원을 캘리포니아 주의 패서디나의 칼텍으로 지도교수인 Roscoe G. Dickinson 지휘 아래로 갔다. 그는 결정의 구조를 결정짓는 X선 회절분광법의 사용을 포함하는 연구로서 졸업을 했고 그가 칼텍에 있는동안 광물질, 무기질들의 결정구조에 관한 7장짜리 논문을 발표하였다. 그는 물리화학에서 phD를 받았으며, 1925년에 수리물리학분야의 최고 영예와 함께 졸업했다. 1917년 폴링은 코발리스(Corvallis)에 위치한 현재 오리건 주립 대학의 전신인 오리건 농업 대학(the Oregon Agricultural College)에 들어갔다. 그러나 경제적 어려움 때문에 그는 full-time으로 일을 해야 했다.
라이너스 폴링

그는 장작을 쪼개고, 청소를 하고, 여학생 회관의 주방에서 고기를 써는 등의 일을 하였다. 또한 2학년 여름방학에는 아스팔트 성분을 시험하는 일자리를 구했고 쓰고 남은 돈을 집에 보냈다. 그러나 2년의 학업을 마치고 어머니 벨은 아들 폴링에게 1년동안 휴학을 하고 일을 도와달라고 하였다. 그런 상황에서 폴링은 화학교수로부터 1년동안 정량화학을 가르치는 일자리를 받게 되고 학교에 계속 남아 돈도 벌고 공부를 계속 할 수 있게 된다. 폴링은 강의 준비에 많은 열정을 쏟아부었고 그의 강의는 학생들에게 점차 인기를 얻고 인정을 받았다. 1922년 겨울학기 가정경제학과의 화학수업을 맞게 된 폴링은 수업에서 아바 헬렌 밀러를 만나게 되고, 둘은 1923년 6월 17일에 결혼하게 된다. OAC에서의 마지막 2년 동안에, 그는 캘리포니아 대학의 화학과장 길버트 루이스와 제너럴 일렉트릭사의 공업화학자 어빙 랭뮤어의 원자의 전자구조와 분자를 이루는 화학결합에 대한 성과를 접하게 된다. 그는 두 원자 사이에 공유 전자를 가진 화학 결합이 생긴다는 그들의 이론에 매혹되었고 물리적, 화학적 성질이 원자들의 결합구조와 어떤 관계가 있는지를 자신의 주 연구분야로 하기로 하고, 양자 화학의 기초를 세운다. 1922년 폴링은 OAC를 졸업하고, 칼텍의 아더왕이라고 불리는 저명한 화학자 아더 아모스 노이즈에게 발탁되어 칼텍(California Institue of Technology, Caltech)의 대학원 과정에 진학한다.