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감마 함수

함수 방정식. 감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 두 번째 공식은 오일러 반사 공식()이라고 불린다. 특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다. 미분과 적분. 감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 formula_20로 주어진다. 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다. 일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다. 감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다. 특별한 값. 반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 "n"에 대하여, 이 공식들은 formula_27로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다. 몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다. 응용. 감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다. 초구의 부피. 반지름이 formula_30인 formula_7차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다. 감마분포. 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 formula_33는 다음과 같다. 여기서 formula_35는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다. 큐-감마 함수. 큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다. 정의. 삼각형 formula_1의 각 formula_2을 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다. 여기서 formula_5은 삼각형 formula_1의 외접원의 반지름이다. 증명. 삼각형의 넓이를 통한 증명. 삼각형 formula_1의 변 formula_8 위의 높이를 formula_9라고 하자. 삼각법에 따라 formula_10이므로, 삼각형 formula_1의 넓이 formula_12는 다음과 같다. 자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다. 양변에 formula_15를 나누면 사인 법칙을 얻는다. 외접원을 통한 증명. 삼각형 formula_1의 외접원을 그리자. formula_18를 지나는 지름을 formula_19라고 하자. 따라서 formula_20는 직각 삼각형이며, 빗변은 formula_21이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 만약 formula_23가 예각일 경우, formula_23와 formula_25는 같은 호의 원주각이므로 formula_26이다. 따라서 다음이 성립한다. 만약 formula_23가 직각일 경우, formula_29와 formula_25는 같은 점이므로, formula_31이며 formula_32이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 formula_23가 둔각일 경우, formula_23와 formula_25는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, formula_36이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 formula_37에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다. 코사인 법칙을 통한 증명.
사인 법칙

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. 결과가 formula_3에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다. 구면 사인 법칙. 단위 구면 위의 구면 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다. 구면 사인 법칙의 증명. 순수 기하 증명. 구의 중심을 formula_44라고 하자. formula_45에서 아무 점 formula_46를 취하자. formula_46를 지나는 평면 formula_48의 수선을 formula_49라고 하자. formula_25를 지나는 직선 formula_51의 수선을 각각 formula_52라고 하자. 삼수선 정리에 따라 formula_53는 각각 formula_51와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 두 식에서 formula_57를 소거하면 다음을 얻는다. 남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다. 벡터를 통한 증명. 구의 중심과 세 꼭짓점 formula_2를 잇는 벡터를 각각 formula_60라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다. 따라서 다음이 성립한다. 여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다. 구면 코사인 법칙을 통한 증명. 제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다. 쌍곡 사인 법칙. 가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다. 여기서 formula_73는 쌍곡 사인이다.
사인 법칙

쌍곡 사인 법칙의 증명. 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명. 제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
디리클레 합성곱

디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다. 정의. "f", "g"가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, "f", "g"의 디리클레 포갬 "f" * "g"는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다. 여기서 덧셈은 "n"의 모든 양의 약수 "d"에 대해 이루어진다. 성질. 이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면: 덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 "f"(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다. 나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다. 역원의 계산. 주어진 수론적 함수 formula_2에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 formula_3이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다. 그리고 formula_5일 경우는 다음과 같다. 예를 들어, 모든 formula_7에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다. 디리클레 급수와의 관계.
디리클레 합성곱

"f"가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다. 급수가 수렴하는 복소수 s에 대해, L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해, 위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다. 수론적 함수의 미분과의 관계. 물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다. 주어진 산술함수 formula_2의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 formula_11는 망골트 함수(Mangoldt function)이다. 예를 들어, 모든 formula_7에 대해 1 인 수론적 함수 formula_14이 있다고 할 때, 관계식 formula_15 때문에 다음이 성립한다 위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.
아쿠타가와 류노스케

아쿠타가와 류노스케(, 1892년 3월 1일~1927년 7월 24일)는 일본의 소설가이다. 호는 징강당주인(澄江堂主人)이며 하이쿠 작가로서의 호는 가키(我鬼)이다. 일본의 《곤자쿠 이야기집》·《우지슈이 이야기》와 같은 전통적인 고전들에서 제재를 취해 「참마죽」, 「덤불 속」, 「지옥변」 등과 같은 단편 소설들을 주로 저술했고 「거미줄(원제: 蜘蛛の糸)」, 「두자춘(杜子春)」 등 어린이를 위한 작품들, 예수를 학대한 유대인이 예수가 세상에 다시 올 때까지 방황한다는 내용의 「방황하는 유대인」을 저술했다. 생애. 유년 시절. 1892년(메이지 25년) 3월 1일 도쿄에서 우유 판매업자였던 아버지 니하라 도시조()와 어머니 후쿠() 사이에서 니하라 류노스케()라는 이름으로 태어났다(아쿠타가와라는 성은 원래 그의 어머니쪽 성씨였다). 이때 태어난 시간이 진년(辰年) 진월(辰月) 진일(辰日) 진시(辰時)였기 때문에 '용(龍)' 자를 이름에 넣어 류노스케(龍之介)라 짓게 되었다고 전하나 실제 그가 태어난 1892년 3월 1일은 간지로는 임진년·임인월·임진일에 해당하며 출생 시각에 대해서는 자료가 없기 때문에 확실한 것이 없다. 이름도 호적상으로는 '龍之介'이지만 그가 양자로 들어갔던 아쿠타가와 집안이나 졸업한 학교의 명단 등의 문서에는 '龍之助'로 되어 있다(아쿠타가와 자신은 '龍之助' 표기를 싫어했다).
아쿠타가와 류노스케

가족. 원래 류노스케의 위로는 하쓰(はつ)와 히사(ひさ)라는 두 명의 누나가 있었는데, 큰누나였던 하쓰는 류노스케가 태어나기 1년 전에 여섯 살의 나이로 요절했고, 어머니는 그 충격으로 정신장애를 겪어서 류노스케를 양육할 수 없었다. 생후 7개월 된 류노스케는 도쿄시 혼죠구 고이즈미쵸에 있던 외가 아쿠타가와 집안에 맡겨졌고, 백모 후키(フキ)가 양육을 맡았다. 11살 때인 1902년에 어머니가 끝내 사망하자 이듬해에 그는 외삼촌으로 도쿄시의 토목과장을 지내기도 했던 아쿠타가와 미치아키(芥川道章)의 양자가 되어 아쿠타가와 성을 쓰게 된다. 아쿠타가와 집안은 에도 시대에는 사족(士族)으로서 대대로 도쿠가와(德川) 집안을 섬겨 다도와 관련된 업무를 담당하던 스키야호즈(數寄屋坊主) 집안이었고, 예술·연예를 애호하던 에도의 문인적 취미가 집안에 남아 있었다. 학교. 도쿄부립 제3중학교를 졸업할 때는 성적우수자라는 상장을 받기도 했고, 덕분에 제1고등학교는 시험 없이 입학할 수 있었다(1910년부터 일본에서는 중학교 때의 성적 우수자에게는 고등학교 입학시 시험 없이도 입학을 허가하는 제도가 시행되고 있었다). 제1고등학교 제1부 을류(乙類)에 입학한 류노스케의 동기 가운데는 기쿠치 간도 있었다. 2학년으로 오르면서 기숙사로 들어갔는데, 기숙사 생활에 제대로 적응하지는 못했지만 그곳에서 한 방을 쓰던 이가와 쿄(井川恭)와는 평생의 친구가 된다.
아쿠타가와 류노스케

문학활동. 동인지. 고등학교를 졸업하고 1913년 동경제국대학 영문과에 입학하였다(이 당시 도쿄제국대학의 영문학과는 1학년 가운데 합격자가 불과 몇 사람밖에 나오지 않는 어려운 곳으로 유명했다). 대학 재학 중이던 1914년(다이쇼 3년) 2월에 고등학교 동창이던 기쿠치 간·구메 마사오(久米正雄) 등과 함께 동인지 『신사조(新思潮)』(제3차)을 간행하여, 우선 '야나가와 다카노스케(柳川隆之助)'라는 필명으로 아나톨 프랑스의 「바르타자알」, 이에이트의 「봄의 심장」의 일역을 기고한 뒤, 10월에 『신사조』가 폐간될 때까지 그의 초기작 「노년」을 동잡지에 발표하는데, 이것이 그의 작가 활동의 시작이었다. 라쇼몽 발표. 1915년 10월, 『데이코쿠 분가쿠』(帝國文學)에 그의 대표작 「라쇼몬」(羅生門)을 본명으로 발표했고, 급우였던 스즈키 미에키치(鈴木三重吉)의 소개로 나쓰메 소세키 문하에 들어간다. 1916년에는 제4차 『신사조』(멤버는 제3차와 거의 같다)을 발간하는데, 그 창간호에 실었던 「코(원제: 鼻)」는 "문단에 유례없는 작가가 될 것"이라는 나쓰메 소세키의 격찬을 받아 문단 진출의 기회를 얻었다. 이 해에 대학을 20인 중 2등의 성적으로 졸업했는데, 이때 그의 졸업 논문은 「윌리엄 모리스 연구」였다.
아쿠타가와 류노스케

12월에 해군기관학교 영어 교관을 맡아왔던 아사노 가사부로(浅野和三郎)가 황도대본(皇道大本)이라는 신종교에 입신하기 위해 사직하면서 구로야나기 가이슈(畔柳芥舟)나 이치카와 산키(市河三喜)등의 영문학자의 추천으로(나쓰메 소세키의 조언이 있었다고도 한다) 아쿠타가와는 아사노의 후임으로서 해군기관학교의 촉탁 교관(담당은 영어)으로서 근무하였다. 그 틈틈이 창작에 힘써 이듬해 5월에는 첫 단편집 『라쇼몽』을 간행했다. 그 후로도 단편 작품을 하나씩 발표해, 11월에는 이미 두 번째 단편집 『담배와 악마(원제: 煙草と悪魔)』를 발간하고 있다. 마이니치 신문 입사. 1916년의 가을, 『미타문학』(三田文学)의 동인으로서 친하게 지내던 고지마 마사지로(小島政二郎)의 알선으로 게이오기주쿠 대학 문학부 취직 제의를 받고 이력서도 제출했지만 실현되지는 않았다. 1917년 3월에, 해군 기관 학교의 교직을 물러나 오사카 마이니치 신문사에 입사(신문에 기고하는 것이 그의 주된 일로 출근 의무는 없다)해 본격적인 창작 활동에 전념한다(덧붙여서 스승의 소세키도 10년 전인 1907년에 똑같이 아사히 신문사에 입사했다). 1916년부터 1917년까지 아쿠타가와는 가마쿠라의 유이가하마(由比ガ浜)에서 하숙생활을 했으며, 1918년부터 1919년까지 오오 정(大町)에 거주했다.
아쿠타가와 류노스케

결혼. 1919년 3월 12일에 친구 야마모토 기요시(山本喜誉司)의 조카(누나의 딸)이었던 쓰카모토 후미와 결혼하였고, 이듬해 3월 30일에 장남 히로시가 태어났다. 1921년 2월에 요코스카카이(横須賀海) 해군 대학교를 퇴직하고, 기쿠치 간과 함께 오사카 마이니치의 객외(客外) 사원이 되어, 본래 거주하던 가마쿠라에서 도쿄부 기타토시마 군 다키노가와초로 돌아온다. 동년 5월에는 기쿠치와 함께 나가사키를 여행했고, 친구인 화가 곤도 고이치로(近藤浩一路)로부터 극작가 나가미 도쿠타로(永見徳太郎)를 소개받기도 했다. 질병. 또한 이 해에 해외 특파원으로서 중화민국을 방문하였고, 베이징을 방문했을 때는 후스를 만나 그와 검열의 문제에 대해서 토론하기도 했다. 7월에 귀국한 그는 「상해유기(上海遊記)」 등의 기행문을 지었다. 1922년(다이쇼 11년) 11월 8일에는 차남 다카시(多加志)가 태어났다. 그런데 중화민국을 방문한 1921년 이후로 아쿠타가와는 신경쇠약, 장카타르 등의 병을 얻는 등 점차 심신이 쇠약해지기 시작해, 1923년(다이쇼 12년)에는 유가와라마치(湯河原町)로 온천 치료를 떠나기도 했다.
아쿠타가와 류노스케

작품수도 줄어들기 시작하여 이른바 '호키모노(保吉もの)' 등의 사소설적 경향의 작품이 나타나게 되는데, 이러한 흐름은 만년작 「톱니바퀴(원제: 歯車)」, 「갓파(河童)」 등으로 이어지게 된다(이 해에 일본을 강타했던 관동 대지진 당시, 조선인 학살의 주동 세력인 자경단의 단원으로 활약했다는 이야기도 있다). 문화학원 문학부 강사. 1925년경에 아쿠타가와는 문화학원 문학부 강사로 취임하였는데, 1926년부터 위궤양에 신경쇠약과 불면증이 다시 심해져 유가와라에서 요양해야 했다. 한편 아내 후미도 남동생 쓰카모토 핫슈(塚本八洲)와 함께 요양을 위해 구게누마(鵠沼)에 있던 친가 소유의 별장으로 이주했다. 2월 22일, 류노스케도 구게누마의 여관 아즈마야(東屋)에 머무르며 그곳으로 처자를 불러온다. 7월 12일에 3남 야스시(也寸志)가 태어났고, 20일에는 아즈마야의 대별장 「이-4호」를 빌려 아내와 새로 태어난 아들 야스시와 살았다(여름방학이 되면서는 히로시나 다카시도 불러왔다). 그 사이에 「집을 빌리고 나서(원제: 家を借りてから)」, 「구게누마 잡기(鵠沼雑記)」, 나아가 「점귀부(點鬼簿)」 등의 작품을 탈고하였고, 또한 구게누마의 개업 의사 후지 다카시(富士山)의 병원에 통원치료를 다녔다.
아쿠타가와 류노스케

9월 20일에 류노스케 일가는 「이-4호」의 서쪽에 있던 '시바 씨의 이층 집(柴さんの二階家)'를 연말까지 빌려 옮긴다. 여기서 구게누마를 무대로 한 「유유장(悠々荘)」을 탈고한다. 이는 간토대지진이 있기 전에는 기시다 류세(岸田劉生)가 살았고 지진 후에 재건되어 시인 구니키다 도라오(国木田虎雄)가 빌리고 있던 대별장을 돌아봤을 때의 경험에서 힌트를 얻은 것으로 류노스케 일가가 구게누마에 정착하려는 의도가 있었다고도 생각할 수 있다. 또 이곳에 머무르는 동안 사이토 모키지(斎藤茂吉)나 쓰치야 분메이(土屋文明), 쓰네토 야스시(恒藤恭), 가와바타 야스나리, 기쿠치 간 등이 찾아오기도 했다. 연호가 쇼와로 바뀐 뒤 류노스케는 「이-4호」로 돌아왔다. 조카이자 문예평론가였던 구즈마키 요시토시(葛巻義敏)와 가마쿠라에서 섣달 그믐을 지새고 나서 처자가 가있던 다바타(田端)로 돌아오지만, 구게누마에서 살던 집은 4월까지 빌려두고서 때때로 방문하고 있다. 문예평론. 1927년 1월, 의형 니시카와 유타카(西川豊)가 방화와 보험금 사기 혐의로 철도에 뛰어들어 자살하는 바람에 아쿠타가와는 니시카와가 남긴 빚이나 가족을 떠맡아야 했다.
아쿠타가와 류노스케

4월부터 「문예적인, 너무 문예적인(원제: 文芸的な、余りに文芸的な)」이라는 문예평론에서 '이야기의 재미'를 주장하는 다니자키 준이치로에 맞서 '이야기의 재미'가 소설의 질을 결정하지는 않는다고 반론해, 훗날 패전 뒤에 일본에서 벌어질 이야기 비판적인 문단의 메인 스트림을 예견한 일본문학사상 유명한 논쟁을 펼친다. 여기서 아쿠타가와는 「이야기다운 이야기가 없다」 순수한 소설의 명수로서 시가 나오야를 칭찬했다. 자살. 1927년 4월 7일, 부인의 동창생으로 아쿠타가와 자신의 비서로 있던 히라마쓰 마쓰코(平松麻素子)와 데이코쿠(帝國) 호텔에서 함께 동반 자살을 약속하였으나 여자가 변심하는 바람에 실패하였다. 7월 24일 새벽, 「속(續) 서방의 사람(원제: 続西方の人)」를 모두 쓴 뒤, 아쿠타가와 류노스케는 사이토 모키지로부터 받아온 치사량의 수면제를 먹고 자살했다. '막연한 불안(ぼんやりとした不安)'이 그가 밝힌 자살 이유였다. 그의 계명(戒名)은 의문원용지개일숭거사(懿文院龍之介日崇居士). 묘소는 지금의 도쿄 도 도시마구(豊島区) 스가모(巣鴨)에 있는 자안사(慈眼寺)이다. 그가 죽은 지 8년 후인 1935년 친구이며 사주였던 기쿠치 간에 의해 그의 이름을 딴 아쿠타가와 상이 제정되었다. 이 상은 현재 일본의 가장 권위있는 문학상으로 신인 작가의 등용문이다.
아쿠타가와 류노스케

작품의 특징. 아쿠타가와의 초기 작품에서는 서양의 문학을 일역한 것도 존재하며(「발타자알」등) 영어과 출신의 특성으로서 번역문학 특유의 논리적으로 정리된 간결하고 공정한 영문학적인 필치가 특징이다. 작가의 생애 경험이 많이 드러나며 화자와 자신을 분리하지 않은 풍의 작품이 많다. 그는 주로 단편소설을 썼으며, 오늘날 아쿠타가와 류노스케의 걸작으로 알려진 작품 또한 대부분 단편소설이다. 그런 반면에 장편은 그렇게 많이 남아있지 않다(미완성 소설로 「사종문邪宗門」이나 「노상」이 있다). 또한 생활과 예술은 서로 반대되는 것이라고 생각하여 자연주의류의 자기 고백에 대해서 알몸뚱이를 사람 앞에 내놓는 것과 같다고 하여 멀리하고 진실한 자기는 허구의 세계에서만 분명히 할 수 있다고 생각했고, 삶과 예술을 분리한다는 이상으로 작품을 집필했다고 한다. 다른 작가보다 표현이나 시점이 생생하다. 말년엔 시가 나오야의 "이야기다운 이야기가 없다"는 심경소설을 긍정하고 스토리성이 있던 자신의 문학을 완전히 부인하였다(그때의 작품이 "신기루"이다). 초기와 중기, 후기로 작품의 시기를 나누며, 각 시기에 따라 특성이 두드러진다. 대부분 초기의 작품이 좋은 평가를 얻고 있다. 중기 이후에는 아동용 작품의 집필이 늘어 폭넓은 장르의 작품을 다루었다. 후기, 특히 말년에는 사람의 생사에 대해 다룬 작품이 늘어나, 자살 직전 어떻게 죽음을 마주하며 집필했는지 알 수 있다.
아쿠타가와 류노스케

「두자춘」(杜子春)(원래 이야기는 태평광기에 실린 당대의 소설 『두자춘전』) 등 고전을 참조한 것이나 스즈키 미에키치(鈴木三重吉)가 창간한 『붉은 새』에 발표한 것과 같은 동화적인 작품도 많다. 일반적으로는 기독교물이나 헤이안 시대를 무대로 한 왕조물로 분류된다. 또한 고전(설화문학)에서 구상을 얻은 작품이 많은데, 「라쇼몽」(羅生門)이나 「코」(鼻) 등은 《곤자쿠 이야기집》을, 「모모타로」(桃太郎)는 《모모타로》，「지옥변」 등은 《우지슈이 이야기》에서 제재를 얻었다. 또한 아포리즘의 제작이나 한문에도 뛰어났다. 좌익, 반군부적인 자기 주장을 펼쳤고 실제로 그런 작품도 다수 발표하고 있는데, 군인의 계급 투쟁을 「유치원생 장난 같다」고 자신의 저서에서 혹평하기도 했지만, 당시에는 군부에서 저작물에 대한 검열을 하는 것이 보통이었고 이 검열 때문에 정정되거나 가필, 삭제를 면치 못한 부분도 많다. 그러한 한편으로 해군에 대해서는 어느 정도 호의를 품은 듯, 육군 유년학교 교관이던 도요시마 요시오(豊島与志雄)에게 「좋은 직장이 있다」며 해군 기관학교로 초정하여 도요시마가 프랑스어 촉탁 교관으로 근무하게도 주선하였다. 우치다 햣켄(内田百間)도 아쿠타가와 류노스케의 추천으로 해군 독일어 촉탁 교관이 되었고, 훗날 우치다는 1934년(쇼와 9년)에 쓴 「죽장기」(竹杖記)에서 아쿠타가와가 자신의 강사직 알선 및 협상에 어느 정도 역할을 맡았던 것을 적고 있다.
아쿠타가와 류노스케

작품에서 아마테라스 오미카미를 등장시킬 때는 별명인 "오히루메무치"(大日孁貴)을 이용했는데, 이는 "아마테라스"라는 호칭이 당시 일본 천황가의 조상신이기도 했던 아마테라스를 그대로 글 속에 등장시키는 것이 되어 불경하다는 비판을 받을 수 있었기에, 태양신, 그것도 자연신의 성격을 가진 신으로써 "오히루메무치"를 이용해야 했기 때문이다. 담배를 몹시 좋아해서 하루 180개피씩 피웠다고 하며, 『바다 주변』, 『교토 일기』, 『겐가쿠 산보』에도 시키시마 종목의 담배가 등장한다. 간토 대지진. 간토 대지진 조선인 학살 당시 조선인을 학살한 자경단으로 활동하였다. 그러나 무자비한 학살 첫날 밤 후 그 경험이 너무나도 잔인하고 공포스러워서 자경단 활동을 접었다고 한다.
적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표(lists of integrals)는 유용하게 사용된다. 아래의 식들에서 "C"는 적분 상수이다. 적분표. 아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다. 정적분. 어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.
자연철학의 수학적 원리

《자연철학의 수학적 원리》(自然哲學- 數學的原理, )는 서양의 과학 혁명을 집대성한 책의 하나이다. 줄여서 '프린키피아'()라고 불리기도 한다. 1687년에 나온 아이작 뉴턴의 세 권짜리 저작으로, 라틴어로 쓰여졌다. 이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다. 에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다. 제1편은 운동에 관한 일반적 명제를 논술하였고, 제2편은 매질 속에서의 물체의 운동을 다루고, 마지막 제3편은 코페르니쿠스의 지동설, 케플러의 행성의 타원궤도 등의 행성의 운동을 증명하였다.
자연철학의 수학적 원리

뉴턴은 그의 이론을 기술하기 위해 미적분학을 역학에 적용하였지만, 이 책에서는 주로 기하학적인 증명 방법을 사용하고 미적분을 거의 사용하지 않고 있는데, 이는 당시의 사람들의 이해를 고려해서라고 한다. 1687년에 초판, 1712년 증보 개정판, 그리고 1726년 제3판이 출간되었다. 각 권별 내용. 제 2권. 저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다. 이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다. 이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다. 제 3권. 가장 성과가 많은 부분이다. 태양과 다른 행성들의 질량이 추론되고, 순전히 수량적인 방식을 이용해서 지구의 평평한 모습이 설명되며, 조수의 이론 등이 상세히 제시되고 있다.
지미 카터

제임스 얼 “지미” 카터 주니어(, 1924년 10월 1일~2024년 12월 29일)는 미국의 제39대 대통령 (1977-81)을 지낸 미국의 정치인이다. 민주당 소속으로 1963년부터 1967년까지 조지아주 상원 의원, 1971년부터 1975년까지 조지아주의 76대 주지사을 지냈다. 카터는 100세까지 산 최초의 대통령으로 미국 역사상 가장 장수한 대통령이다. 카터는 조지아주 플레인스에서 태어나고 자랐다. 1946년 미국 해군사관학교를 졸업하고 미국 해군 잠수함에 승선했다. 카터는 군 복무를 마치고 고향으로 돌아와 가족의 땅콩 재배 사업을 되살렸다. 카터는 인종 분리 정책에 반대하며 성장하던 민권 운동을 지지했고, 민주당 내에서 활동가가 되었다. 1963년부터 1967년까지 조지아주 상원 의원으로 재직하였고, 1971년부터 1975년까지 조지아 주지사로 재직했다. 조지아 주 밖에서는 잘 알려지지 않은 다크호스 후보였던 카터는 민주당 후보로 지명되어 1976년 대선에서 공화당의 현직 대통령인 제럴드 포드를 상대로 신승했다. 카터는 취임 둘째 날 베트남 전쟁에서 병역을 기피한 모든 사람들을 사면했다. 에너지부와 교육부를 설립했으며, 에너지 절약, 가격 통제, 신기술을 포함한 국가 에너지 정책을 만들었다. 스태그플레이션에 대응하는 동시에 카터는 캠프 데이비드 협정, 파나마 운하 조약, 제2차 전략 무기 제한 협상을 성공적으로 추진했다. 하지만 임기 말에는 이란 인질 사태, 에너지 위기, 스리마일 섬 사고, 니카라과 혁명, 그리고 소련의 아프가니스탄 침공 등 위기가 이어졌다.
지미 카터

아프가니스탄 침공에 대응하여 카터는 데탕트 정책을 종식시키고 카터 독트린을 선포했으며, 소련에 곡물 금수조치를 부과하고, 1980년 모스크바 하계 올림픽에 대한 다국적 보이콧을 주도하여 냉전을 확대했다. 카터는 1980년 민주당 전당대회에서 도전자 에드워드 M. 케네디를 물리쳤지만, 1980년 미국 대통령 선거에서는 공화당 후보인 로널드 레이건에게 큰 차로 패배했다. 연방대법원 대법관을 임명하지 못하고 임기를 마친 유일한 대통령이다. 카터 대통령은 대통령직에서 물러난 뒤 인권 증진을 위해 카터 센터를 설립하고 비영리 주택 기구인 해비타트 운동의 주요 직책을 맡았으며, 2002년에 관련된 업적을 인정받아 노벨 평화상을 수상했다. 평화 협상을 중재하고, 선거를 감시하고, 전염병을 근절하기 위해 여러 국가들을 여행했다. 정치적 회고록에서 시에 이르기까지 다양한 책을 썼으며, 이스라엘-팔레스타인 갈등에 관한 두 권의 책을 포함하여 세계 문제에 대한 논평도 계속했다. 역사학자와 정치학자들의 여론 조사에서는 대체로 카터 대통령을 평균 이하의 대통령으로 평가하지만, 학자와 대중은 미국 역사상 가장 길었던 대통령 퇴임 후 기간에 대해서는 보다 긍정적인 평가를 내리고 있다. 유년 생활. 1924년 10월 1일 어머니가 간호사로 일하던 조지아주 플레인스의 와이즈 요양소에서 태어났다. 이로써 카터는 병원에서 태어난 최초의 미국 대통령이 되었다. 조지아에서는 카터 가문은 여러 세대 동안 면화 농부로 일했다. 카터가 태어났을 당시 플레인스는 인구 600명이 사는 신도시였다.
지미 카터

아버지는 만물상을 운영하고 농장에 투자한 성공적인 지역 사업가로 제1차 세계 대전 중에 미국 육군 병참단에서 예비군 소위로 복무했다. 카터의 유아 시절에 그의 가족은 여러 번 이사를 하여 근처 아처리의 비포장 도로에 정착했는데, 그곳은 거의 대부분이 빈곤한 아프리카계 미국인 가족들로 구성되어 있었다. 글로리아, 루스, 빌리 세 자녀를 더 낳았다. 카터는 어린 시절 어머니가 긴 시간 일했기 때문에 종종 집을 비웠지만 부모님과 잘 지냈고, 아버지는 확고한 인종 분리 지지자 였지만 지미가 흑인 농장 노동자의 아이들과 친구가 되도록 허용했다. 아버지로 부터 1에이커를 받아 그곳에서 땅콩을 재배하고 포장하고 판매하는 등 10대에 기업가의 면모를 보였다. 교육. 카터는 1937년부터 1941년까지 플레인스 고등학교에 다녔으며 당시 학교에 12학년이 없었기 때문에 11학년에 졸업했다. 그 당시 아처리와 플레인스 지역은 대공황으로 인해 빈곤에 빠져 있었지만 가족은 뉴딜 농업 보조금으로 혜택을 받았고 카터의 아버지는 지역 지도자로 자리를 잡았다. 카터 자신은 독서를 좋아하는 근면한 학생이었다. 카터는 오랫동안 미국 해군사관학교에 진학하는 것을 꿈꿔왔다. 1941년에 그는 조지아주 아메리쿠스 근처에 있는 조지아 사우스웨스턴 주립대학에서 공학 학부 과정을 시작했다. 다음해에 카터는 시민권 운동의 상징인 블레이크 반 리어가 총장으로 재직하고 있던 애틀랜타의 조지아 공과대학으로 편입했다. 조지아 공대에 재학하는 동안 카터는 예비역 장교 훈련단에 참여했다.
지미 카터

1943년에 그는 미국 대표 스티븐 페이스 로부터 해군사관학교에 임명되었고, 카터는 1946년에 이학사 학위를 받았다. 그는 좋은 학생이었지만 신입생에 공격적이전 사관학교 문화와는 대조적으로 내성적이고 조용한 학생으로 여겨졌다. 아카데미에 다니는 동안 카터는 여동생 루스의 친구인 로잘린 스미스와 사랑에 빠졌다. 두 사람은 1946년 카터의 졸업 직후 결혼했으며 2023년 11월 19일 그녀가 사망할 때까지 결혼 생활을 이어갔다. 1947년 졸업반 821명의 해군생도 중 60위로 이학 학위를 취득하고 소위로 임관했다. 해군 경력. 1946년부터 1953년까지 카터 부부는 대서양 과 태평양 함대에 배치되어 버지니아, 하와이, 코네티컷, 뉴욕, 캘리포니아에 거주했다. 1948년 잠수함 임무를 위한 장교 훈련을 시작하며 에서 복무했다. 1949년에 중위로 진급했고 그해 1월부터 3월까지 서부 태평양과 중국 연안에 대한 순찰에 동승했다. 1951년 카터는 디젤/전기 잠수함인 에 배치되어 행정 책임자를 포함한 여러 직책을 역임했다. 1952년 12월 12일, 캐나다 원자력공사의 초크리버 연구소에 있는 실험용 NRX 원자로에서 사고가 발생하여 원자로가 부분적으로 녹아내렸고, 수백만 리터의 방사성 물이 원자로 건물 지하에 범람해 원자로의 핵심이 파괴되었다. 카터는 다른 미국 및 캐나다 군인들과 합류하여 원자로 정지를 돕기 위해 미국 유지 보수팀을 이끌기 위해 초크리버로 파견되었다.
지미 카터

고장난 원자로를 분해하는 동안 방사능에 노출되는 것을 최소하기 위해 각 팀원이 보호 장비를 착용하고 한 번에 90초씩 개별적으로 원자로 안으로 내려가야 했다. 카터는 나사 하나를 돌리는 일을 맡았다. 카터는 초크 리버에서의 경험이 원자력에 대한 자신의 견해를 형성했으며 중성자 폭탄 개발을 중단하게 하는데 영향을 미쳤다고 말했다. 1953년 3월, 카터는 미국의 두 번째 핵잠수함으로 계획되었던 에 탑승하기 위해 스케넥터디에 있는 유니언 칼리지 에서 원자력 발전소 운영에 관한 6개월 과정을 시작했다. 하지만 시울프의 건조가 시작되기 두 달 전인 7월에 아버지가 췌장암으로 사망하자 가족의 땅콩 사업을 이어받기 위해 제대하게 된다. 스케넥터디 생활에 익숙해지고 있던 로잘린은 플레인스의 소도시 생활로 돌아가는 것이 "엄청난 퇴보"처럼 보였다고 말했다. 카터는 1953년 10월 9일에 현역에서 물러났다. 1961년까지 해군 예비군에서 복무했으며 대위 계급으로 군을 떠났다. 카터는 장교로서 미국 전역 훈장, 제2차 세계 대전 승전 훈장, 중화민국 봉사 훈장, 국가 방위 봉사 훈장을 부여받았으며, 잠수함 장교로서 그는 또한 잠수함 휘장을 획득했다. 농업. 부채 정산과 부친의 유산이 상속인들 사이에서 분배된 후, 지미는 비교적 적은 재산을 상속받았다. 그와 로잘린, 그리고 세 아들은 1년 동안 플레인스의 공공주택에서 생활했다. 카터는 과학 및 기술 분야에 대한 지식이 풍부했던 카터는 가족의 땅콩 재배 사업을 확장하기로 결심한다.
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해군에서 농업 사업가로의 전환은 쉽지 않았고, 첫해 수확은 가뭄으로 실패하면서 농장을 유지하기 위해 여러 은행에서 대출을 받아야 했다. 그동안 그는 농업 수업을 들었고, 로잘린은 회계를 배워 사업 장부를 관리했다. 첫해에는 간신히 손익분기점을 맞췄지만, 카터 부부는 사업을 성장시키며 상당한 성공을 거두었다. 초기 정치 경력 (1963–1971). 조지아 주 상원의원 (1963–1967). 1954년 미국 대법원이 브라운 대 교육위원회 사건 에서 인종 분리 정책에 반하는 판결을 내리자 플레인스에서 인종적 긴장이 고조되자 카터는 인종적 관용과 통합을 지지했지만 적을 만들지 않기 위해 . 1961년까지 카터는 침례교회 회원이자 섬터군 학교 위원회 위원장으로서 인종 통합에 대해 더욱 두드러지게 말하기 시작했다. 1962년 카터는 선거 15일 전에 조지아 주 상원 의원 보궐 선거 출마할 것을 발표했다. 정치와 조직에 대한 감각이 뛰어난 로잘린은 선거 운동 과정에서 중요한 역할을 했다. 초기 투표개표 결과 카터가 상대 후보인 호머 무어보다 뒤진 것으로 나타났지만, 이는 나중에 키트먼군 민주당 위원장인 조 허스트가 조직한 부정 투표로 인한 결과임이 밝혀졌다. 카터가 선거 결과에 이의를 제기하자 이후 또 다른 선거가 실시되었고 카터는 무어를 상대로 3,013 대 2,182표 차이로 유일한 민주당 후보로 승리했다. 의원으로 취임했을 때는 민권 운동이 한창 진행 중이었다. 카터는 처음에는 이 문제로 인해 지역이 크게 분열되는 상황에서도 분리주의 동료들을 멀어지게 하지 않기 위해 비교적 조용한 태도를 유지했다.
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그러나 그는 몇 가지 논쟁적인 문제에 대해서는 목소리를 냈으며, 문자 해독 시험에 반대하는 연설과 종교 실천을 강요하는 의미가 내포되어 있다고 판단한 조지아주 헌법 개정안에 반대하는 연설을 했다. 임기 2년 차에 주 민주당 집행위원회에 진출한 카터는 주(州)당의 당규 개정에 참여했다. 이후 연방 및 주 정부 보조금이 역사 유적 복원과 같은 프로젝트에 분배되는 것을 감독하는 서중부 조지아 기획 및 개발 위원회(West Central Georgia Planning and Development Commission) 위원장으로 선출되었다. 1964년 보 캘러웨이가 미국 하원의원으로 선출되자, 카터는 즉시 그에게 도전할 계획을 세우기 시작했다. 두 사람은 이전에 어느 2년제 대학을 주(州)에서 4년제 대학으로 확장할 것인가를 두고 충돌한 바 있었다. 카터는 공화당으로 당적을 변경한 캘러웨이를 자신이 경멸하는 정치적 요소들을 대표하는 경쟁자로 보았다. 카터는 주 상원에서 2년 임기의 2번째 임기로 재선되었으며 임기 말에 교육 위원회 의장을 맡았고 예산 위원회에 참여했다. 주 전체 교육 자금을 확대하고 조지아 사우스웨스턴 주립대학에 4년제 프로그램을 도입하는 법안에 기여했다. 그는 지역 계획 업무를 활용해 지역 곳곳에서 연설을 하며 잠재적 유권자들에게 자신을 더 잘 알리려고 노력했다. 카터는 임기 마지막 날 하원 의원 출마를 선언했으나 캘러웨이가 대신 주지사 선거에 출마하기로 결정했자 카터는 마음을 바꾸어 주지사 선거에 출마하기로 결정했다. 1966년과 1970년 주지사 선거 출마.
지미 카터

1966년 주지사 선거에서 카터는 민주당 예비선거에서 자유주의 성향의 전 주지사 엘리스 아널 과 보수주의적 인종 분리주의자인 레스터 매독스와 경쟁했다. 기자 회견에서 그는 자신의 이념 성향을 "보수적, 온건적, 자유주의적, 중도적"이라고 설명했다. 그는 3위로 예비선거에서 진 카터는 농업 사업에 복귀하여 다음 캠페인을 신중하게 계획했다. 이 기간은 카터에게 영적인 전환점이었다. 그는 자신을 거듭난 그리스도인으로 선언했고 마지막 아이인 에이미가 태어났다. 1970년 주지사 선거에서 진보 성향의 전직 주지사 칼 샌더스가 민주당 경선에서 카터의 주요 경쟁자로 떠올랐다. 카터는 인쇄 그래픽과 통계 분석을 활용하는 등 더 현대적인 선거운동을 펼쳤다. 여론에 대응해 그는 이전보다 보수적인 입장을 취하며 자신을 포퓰리스트 후보로 내세웠고, 샌더스의 부유함과 민주당 전국위원회와 의 연계를 비판했다. 또한 샌더스를 부패 혐의로 비난했지만, 언론이 증거를 요구하자 이를 제시하지 못했다. 1970년 주지사 선거에서 자유주의 성향의 전 주지사 칼 샌더스가 민주당 예비선거에서 카터의 주요 상대가 되었다. 카터는 마틴 루터 킹 주니어와 앤드류 영 등 주요 흑인 인사들을 만나고 흑인이 소유한 많은 사업체를 방문하는 동시에 월러스를 칭찬하고 조지아에서 연설을 하도록 초대하겠다고 약속하는 등 선거운동 내내 흑인 유권자 뿐만 아니라 앨라배마 주의 유명한 인종차별주의자 조지 월러스를 지지했던 유권자를 모두 확보하고자 노력했다.
지미 카터

카터의 인종차별 성향 유권자들에 대한 구애는 시간이 지날수록 더욱 노골적으로 변했으며, 그의 선거운동 고위 보좌관들은 샌더스가 흑인 농구 선수들과 함께 축하하는 사진을 배포하기도 했다. 9월 1차 투표에서 카터는 샌더스보다 49% 대 38%로 앞서 결선 투표로 이어졌다. 이후의 캠페인은 더욱 격렬했다. 카터는 초기에는 시민권을 지지했지만, 인종차별에 대한 호소력이 커졌고, 샌더스가 마틴 루터 킹 목사 지지한다고 비판했다. 카터는 60%의 득표율로 결선 투표에서 승리했고, 공화당 후보 핼 슈트를 상대로 본선에서 승리했다. 카터는 주지사에 당선된 후 입장을 바꾸어 조지아의 인종 차별 정치에 반대하는 발언을 하기 시작했다. 흑인 주 상원의원인 리로이 존슨은 카터에 대한 지지를 표명했다. "저는 그가 왜 그런 종류의 극우적 캠페인을 벌였는지 이해합니다. 인종차별주의자가 되지 않고는 이 주에서 이길 수 없다고 믿다." 조지아 주지사 재임 (1971–1975). 카터는 1971년 1월 12일 조지아주의 76대 주지사로 취임했다. 취임 연설에서 그는 "인종 차별의 시대는 끝났다"고 선언했고 군중을 충격에 빠뜨렸으며 경선 기간 동안 그를 지지했던 많은 분리주의자들에게 배신감을 느끼게 했다. 카터는 동료 정치인들과 교류하기를 꺼려했기 때문에 의회에서 인기가 없었다. 그는 1972년 1월에 개편 계획을 제출하여 주지사의 권한을 확대했다. 처음에는 의회에서 차가운 반응을 얻었음에도 불구하고 이 계획은 회기 마지막 날 자정에 통과되었다.
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카터는 약 300개의 주 정부 기관을 22개로 통합했지만 그로 인해 주 정부가 비용을 절감했는지 여부는 논란이 있다. 1971년 7월 8일 조지아주 콜럼버스에서 열린 연설에서 폭력에 문제를 해결하기 위해 조지아 인권 위원회를 설립하겠다는 의사를 밝혔다. 1971년 7월 13일 기자회견에서 카터는 1972 회계연도 말까지 5,700만 달러의 적자를 방지하기 위해 각 부서장에게 지출을 줄이도록 지시했다고 발표했다. 그는 모든 주 정부 부서가 영향을 받을 것이며, 부서들이 할당된 예산을 완전히 사용할 경우 정부 수입의 5%가 손실될 것으로 추산했다. 1972년 1월 13일, 그는 주 의회에 유아 발달 프로그램과 교도소 개혁 프로그램에 대한 예산을 지원할 것을 요청했으며, 주 정부 직원 대부분에게 지급될 4,800만 달러(2023년 기준 약 3억 4,963만 달러)의 세금 지원을 제안했다. 1972년 3월 1일, 카터는 법무부가 하원이나 상원의 재분할 계획을 거부할 경우 총회 특별회의를 소집할 수도 있다고 말했다. 그는 의회에서 여러 개혁안을 추진해, 조지아의 부유층과 빈곤층의 학교에 동등한 국가 지원금을 제공하고, 정신 장애 아동을 위한 지역 센터를 설립하고, 수감자를 위한 교육 프로그램을 확대했다. 또한 환경 운동가의 의견을 따라 조지아주 플린트 강에 댐을 건설하는 계획에 거부권을 행사했다. 카터는 인권 문제를 최우선 과제로 삼았으며, 흑인 주 정부 직원 수를 늘리고 조지아 주 의사당에 저명한 흑인 지도자 세 사람, 마틴 루서 킹 주니어, 루시 크래프트 레이니, 헨리 맥닐 터너의 초상화를 추가로 걸었다. 이로 인해 쿠 클럭스 클랜의 분노를 샀다.
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그는 1973년 1월 31일 플로리다 주지사 루빈 아스큐와의 공동 TV 출연에서 학교 통합을 촉진하기 위한 버싱(busing, 학생들을 다른 학군으로 이동시키는 정책)을 금지하는 헌법 개정을 지지했으며, 1971년 전국 주지사 회의에서 조지 월리스와 함께 반(反)버싱 결의안을 공동 발의했다. 1972년 미 연방대법원이 퍼맨 대 조지아 사건에서 조지아주의 사형제도를 위헌으로 판결한 후, 카터는 판결을 반영한 사형제도 개정안를 승인해 주(州) 내 사형 집행을 재도입했다. 그러나 그는 나중에 "그 당시에는 지금처럼 사형 제도의 부당함을 보지 못했다." 며 사형제도를 지지한 것을 후회했다. 법에 따라 재선이 불가능했던 카터는 대선 출마를 고려하며 전국 정치에 개입했다. 그는 여러 남부 지역 계획 위원회에 임명되었으며, 1972년 민주당 전당대회 대의원이기도 했는데, 당시 자유주의 성향의 미국 상원의원 조지 맥거번이 후보로 지명될 가능성이 컸다. 카터는 보수층과 맥거번에 반대하는 유권자들의 호감을 사려고 노력했다. 그는 당시에는 상당히 알려지지 않았 던 터라 대선 후보가 되는 데 실패했다. 8월 3일, 카터는 민주당이 패배하는 것을 막기 위해 앨라배마주 버밍햄에서 월리스를 만났지만 결국 패배하고 말았다. 카터는 선거 운동원들과 정기적으로 만나 1976년 대선 출마를 위한 준비를 하기로 결정했다. 그는 자신의 인지도를 높이기 위해 전국 주지사 협회 회장이 되려고 노력했지만 실패했다. 데이비드 록펠러의 지지로 그는 1973년 4월 삼국위원회 위원으로 임명되었다.
지미 카터

그 다음해에 그는 민주당 전국위원회의 의회 및 주지사 선거 캠페인 위원장으로 임명되었다. 1973년 5월 카터는 워터게이트 사건을 정치화하지 말라고 자신의 당에 경고했는데, 그는 이것이 리처드 닉슨 대통령의 미국인들로부터의 고립과 비밀스러운 의사결정에 기인한다고 말했다. 대통령 재임. 1976년 미합중국 제39대 대통령 선거에 민주당 후보로 출마하여 도덕주의 정책을 내세워서 많은 지지를 받았으며 제럴드 포드 대통령을 누르고 당선되었다. 카터 대통령은 에너지 개발을 촉구했으나 공화당의 반대로 무산되었다. 외교 정책. 카터는 이집트와 이스라엘을 조정하여 캠프 데이비드에서 안와르 사다트 대통령과 메나헴 베긴 수상과 함께 중동 평화를 위한 캠프데이비드 협정을 체결했다. 이것은 공화당과 미국의 유대인 단체의 반발을 일으켰다. 그러나 1979년, 양국 간의 평화조약이 백악관에서 이루어졌다. 소련과 제2차 전략 무기 제한 협상(SALT II)에 조인했다. 카터는 1970년대 후반 당시 대한민국 등 인권 후진국의 국민들의 인권을 지키기 위해 노력했으며, 취임 이후 계속해서 도덕정치를 내세웠다. 임기 말, 소련의 아프가니스탄 침공 사건으로 인해 1980년 하계 올림픽에 반공국가들의 보이콧을 하였다. 그는 주이란 미국 대사관 인질 사건의 인질 구출 실패로 인한 원인으로, 1980년 제40대 대통령 선거에서 공화당의 로널드 레이건에게 패배하며 재선에 실패하였다. 대한민국과의 관계. 지미 카터는 대한민국과의 관계에서도 중요한 영향을 미쳤던 대통령 중 하나다. 인권 문제와 주한미군 철수 문제로 한때 한미 관계가 불편하기도 했다.
지미 카터

1978년 대한민국에 대한 조선민주주의 인민공화국의 위협에 대비해 한미연합사를 창설하면서, 1982년까지 3단계에 걸쳐 주한미군을 철수하기로 했다. 그러나 주한미군사령부와 정보기관·의회의 반대에 부딪혀 주한미군은 완전철수 대신 6,000명을 감축하는 데 그쳤다. 또한 박정희 정권의 인권 문제 등과의 논란으로 불협화음을 냈으나, 1979년 6월 하순, 대한민국을 방문했는데 관계가 다소 회복되었다. 1979년~1980년 대한민국의 정치적 격변기 당시의 대통령이었던 그는 이에 대해 애매한 태도를 보였고, 이는 후에 대한민국 내에서 고조되는 반미 운동의 한 원인이 됐다. 10월 26일, 박정희 대통령이 김재규 중앙정보부장에 의해 살해된 것에 대해 그는 이 사건으로 큰 충격을 받았으며, 사이러스 밴스 국무장관을 조문사절로 파견했다. 12·12 군사 반란과 5.17 쿠데타에 대해 초기에는 강하게 비난했으나, 미국 정부가 신군부를 설득하는데, 한계가 있었고 결국 묵인하는 듯한 태도를 보이게 됐다. 퇴임 이후. 퇴임 이후 민간 자원을 적극 활용한 비영리 기구인 카터 재단을 설립한 뒤 민주주의 실현을 위해 제 3세계의 선거 감시 활동 및 기니 벌레에 의한 드라쿤쿠르스 질병 방재를 위해 힘썼다. 미국의 빈곤층 지원 활동, 사랑의 집짓기 운동, 국제 분쟁 중재 등의 활동도 했다. 카터는 카터 행정부 이후 미국이 북핵 위기, 코소보 전쟁, 이라크 전쟁과 같이 미국이 군사적 행동을 최후로 선택하는 전통적 사고를 버리고 군사적 행동을 선행하는 행위에 대해 깊은 유감을 표시 하며 미국의 군사적 활동에 강한 반대 입장을 보이고 있다.
지미 카터

특히 국제 분쟁 조정을 위해 북한의 김일성, 아이티의 세드라스 장군, 팔레인스타인의 하마스, 보스니아의 세르비아계 정권 같이 미국 정부에 대해 협상을 거부하면서 사태의 위기를 초래한 인물 및 단체를 직접 만나 분쟁의 원인을 근본적으로 해결하기 위해 힘썼다. 이 과정에서 미국 행정부와 갈등을 보이기도 했지만, 전직 대통령의 권한과 재야 유명 인사들의 활약으로 해결해 나갔다. 1978년에 채결된 캠프데이비드 협정의 이행이 지지부진 하자 중동 분쟁 분제를 해결하기 위해 1993년 퇴임 후 직접 이스라엘과 팔레인스타인의 오슬로 협정을 이끌어 내는 데도 성공했다. 1993년 1차 북핵 위기 당시 북한에 대한 미국의 군사적 행동이 임박했으나, 미국 전직 대통령으로는 처음으로 북한을 방문하고 미국과 북 양국의 중재에 큰 기여를 해 위기를 해결했다는 평가를 받았다. 또한 이 때는 김영삼 대통령과 김일성 주석의 만남을 주선했다. 하지만 그로부터 수주일 후 김일성이 갑자기 사망하였으므로 김일성과 김영삼 정상회담은 이루어지지 못했다. 미국의 관타나모 수용소 문제, 세계의 인권문제에서도 관심이 깊어 유엔에 유엔인권고등판무관의 제도를 시행하도록 노력하여 독재자들의 인권 유린에 대해 제약을 하고, 국제형사재판소를 만드는데 기여하여 독재자들 같은 인권유린범죄자를 재판소로 회부하여 국제적인 처벌을 받게 하는 등 인권 신장에 크나 큰 기여를 했다. 2011년 4월 26일부터 29일까지 북한을 3일간 방문했다. 2014년 12월, 통합진보당 이석기 전 의원의 유죄판결에 대해 우려하는 내용의 성명서를 한국 대법원에 발송했다.
지미 카터

2020년에는 28년만에 대통령 선거에서 고향 조지아 주에서 민주당이 승리하는 기쁨을 맛봤다. 2021년 1월 20일에 행할 예정인 조 바이든의 대통령 취임식에는 불참을 결정했다. 불참 이유를 명확히 밝히지는 않았지만 코로나19의 유행에 따른 방역 지침을 지키기 위해서로 보인다고 발혔는데 그 대신, 바이든의 대통령 취임을 축하하는 메시지를 보냈다. 2015년 간 종양이 발견되어 수술을 받아서 좋은 결과가 나오긴 했으나 암이 다른 장기로 전이된 것이 발견되어 수술을 받을 예정이라 한다. 암은 흑색종으로 진단되었으며 간에서 종양이 2.5cm 절제되었다. 허나 암이 뇌에 전이된 것이 발견되었고, 2015년 8월 20일(현지시간) 오후에 첫 방사능 치료를 했다. 그런데 그가 암을 이겨낸 지 불과 2주 만에 그의 손자인 제레미 카터가 사망했다는 비보를 듣게 되었다. 수면 중 심장마비로 고통없이 사망했으며 심장병에 걸린 원인은 아직 밝혀지지 않았다. 2022년 10월 1일, 98번째 생일을 맞이했으며 고향인 조지아주 플레인스의 땅콩 축제에 참가했다. 2023년 2월 18일 지미 카터 전 대통령이 연명치료를 중단하고 자택에서 호스피스 간병에 들어갔다는 지미 카터 센터의 성명이 발표되었다. 피부암의 일종인 흑색종 진단을 받고 그동안 자택에서 투병 중이었으며 현재는 암세포가 뇌와 간 등으로 전이되어 더 이상의 연명치료를 포기하고 남은 시간은 가족들과 함께 보낼 것이라고 한다.
지미 카터

호스피스 케어는 보통 만성질환이나 불치병으로 투병하는 시한부 환자들이 사망하기 전에 거치는 과정이기에 이제 그의 삶도 오래 남지 않았다고 할 수 있다. 민주당의 동지이자 정치적 후배인 조 바이든 역시 이 소식을 접했다고 한다. 그의 손자인 조시 카터는 8월 19일에 언론과의 인터뷰에서 "할아버지가 '마지막 장'에 들어섰다"라고 말했다. 그러나 카터는 2015년 당시에도 뇌암이 4기까지 진행되었으나 끝내 완치했었고 8년이 지난 현재는 그보다 더 나이가 든 만큼 카터가 곧 사망할 것이라고 속단하기는 이르다.
변형력

변형력(變形力) 또는 스트레스() 또는 응력(應力)은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다. 사실상 응력의 개념은 연속체(continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다. 응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다. 일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 "모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다"라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉, 실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다. 이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.
변형력

변형력. 변형력(stress, 응력(應力))은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원형을 지키려는 힘을 말하며 층밀림 변형력(shear stress, 전단응력)과 깊은 관계를 가지있으며 고체역학, 유체역학과도 연관있다. 한편 응집력(cohesion, 응력(凝力))은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 변형력과 연관있다.
슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다. 정의. 파동 함수 formula_1에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. 해밀토니언 연산자 formula_3는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. formula_4는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 formula_5로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.) 해밀토니언 연산자 formula_6는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다. 즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다. 라그랑지언과 이차 양자화. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다. 여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다. 이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다.
슈뢰딩거 방정식

이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다. 역사. 1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를 로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 formula_16를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해 의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다. 위 식들을 각진동수 formula_18와 파수 formula_19 및 formula_20를 이용해 표현하면, p와 k를 벡터로 표현하면 에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다. 그리고 그는 이므로 이며, 마찬가지로 이므로 이고, 따라서 및 각 방향의 부분들을 더하면 이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식 에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다. 관련 방정식. 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다.
슈뢰딩거 방정식

이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다. 또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, )는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다. 정의. 동치 관계. 집합 formula_1 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, formula_1 위의 이항 관계 formula_3이다. 동치류와 몫집합. 집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 원소 formula_4의, formula_14에 대한 동치류(同値類, ) formula_17는 formula_18와 동치인 원소들을 모은 집합이다. 집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, formula_1의 formula_14에 대한 몫집합(-集合, ) formula_24은 모든 동치류들을 모은 집합이다. 모임의 경우. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다. 모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 formula_1 위의 동치 관계는 곱모임 formula_27의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, formula_24을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.
동치 관계

모임 formula_1 위에 동치 관계 formula_3가 주어졌다고 하자. 원소 formula_4에 대하여, 다음과 같이 정의한다. 즉, formula_33는 formula_18와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 formula_35라고 할 때, formula_33는 집합 formula_37의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임 을 정의할 수 있다. 성질. 집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다. 즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다. 집합의 분할과의 관계. 집합 formula_1가 주어졌을 때, formula_1 위의 동치 관계들과 formula_1의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 formula_1 위에 동치 관계 formula_14이 주어졌을 때, 몫집합 formula_24은 집합의 분할이다. 즉, formula_1의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 formula_1의 분할 formula_51가 주어졌다고 하자 (즉, formula_51는 formula_1의 부분 집합들의 집합이며, formula_1의 임의의 원소는 정확히 하나의 formula_51의 원소에 속한다). formula_1 위에 다음과 같은 이항 관계 formula_57를 정의하자. 그렇다면 formula_57는 formula_1 위의 동치 관계이다. formula_61과 formula_62는 서로 역함수이다. 즉, 이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다. 순서론적 성질. 집합 formula_1가 주어졌다고 하자.
동치 관계

임의의 이항 관계 formula_66에 대하여, formula_67를 포함하는 최소의 동치 관계 formula_68가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다. 집합 formula_1 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 formula_77는 완비 격자이다. formula_77의 최소 원소는 (formula_1로 국한된) 등호 formula_80이며, 최대 원소는 전체 관계 formula_81이다. 동치 관계들의 집합 formula_82의 만남 formula_83는 교집합 이다. formula_82의 이음 formula_86은 합집합 formula_87을 포함하는 최소의 동치 관계 이다. 동치 관계 격자 formula_77는 항상 대수적 격자()이자 반모듈러 격자()이다. 유한 집합 formula_1의 경우, formula_77는 단순 격자(, 합동 관계가 자명한 격자)이다. 예. 임의의 집합 formula_1 위에서, 등호 formula_80는 동치 관계를 이룬다. 평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다. 임의의 함수 formula_94에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계 는 정의역 formula_1 위의 동치 관계이다. 이를테면, formula_1가 어떤 사람들의 집합이며, formula_98가 사람의 생일을 찾는 함수라면, formula_99는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다. 반례. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계. 임의의 집합 formula_1 위에서, 공관계 는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 formula_102이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다. 대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계. 정수의 집합 formula_103 위의 표준적인 순서 를 생각하자.
동치 관계

이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, formula_105이지만, formula_106이다. 추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계. 정수 집합 formula_103 위의 이항 관계 는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.
파동 방정식

물리학과 수학에서 파동 방정식(波動方程式, )은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다. 개요. 파동 방정식은 formula_1에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다. 여기서 formula_3는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 formula_3는 다양한 값을 가질 수 있다. formula_1는 시각 formula_6, 위치 formula_7에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 formula_8는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. formula_9는 위치 formula_10에 대한 라플라스 연산자이다. 기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다. formula_10축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다. 2차원에선 다음과 같다. 식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.
파동 방정식

역사. 현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다.
구골

구골(googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다. 구골은 관측 가능한 우주의 모든 소립자의 개수(약 10^80개)보다 더 많다. 이 수의 이름은 1920년 미국의 수학자 에드워드 캐스너(Edward Kasner)의 9살짜리 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에게서 지어졌다. 캐스너는 이 개념을 저서 《Mathematics and the Imagination》(수학과 상상)에 수록했다. 이 수의 학문적 중요성은 그리 크지 않고 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 캐스너는 이 수를 매우 큰 수와 무한대의 차이를 보이기 위해 고안했다. 칼 세이건은 그의 저서 '코스모스'에서 마치 무한대처럼 느껴지는 우주의 크기를 무한대와 비교하기 위하여 구골보다도 더 큰 수인 구골플렉스(역시 밀턴 시로타가 명명)를 활용하여 "구골플렉스와 1이 무한대보다 작은 정도는 서로 정확히 같다."라고 했다. 그리고 구골은 무량대수보다 더 큰 수이다. 구골은 1뒤에 0이 100개 있어서, 10의 100제곱이다. 회사명 구글의 유래. 인터넷 검색엔진 업체 구글(Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다. 마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다.
깊은 생각

깊은 생각()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다. 줄거리. 소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다. 원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다. 체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.
군론

수학에서 군론(群論, )은 군에 대해 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 대수 구조로, 군에 특정 연산이나 공리를 추가하면 환, 체, 또는 벡터 공간이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 대수학의 여러 분야에 영향을 주었다. 결정이나 수소 원자, 표준 모형에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 대칭군을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 표현론은 물리학과 화학, 재료과학, 공개 키 암호 방식 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다. 군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 유한 단순군의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다. 발전 배경. 18세기까지 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.
군론

군의 종류. 유한 순열군과 일반선형군, 그리고 생성원과 관계식으로 표현되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다. 순열군. 가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 순열군이다. 임의의 집합 "X"와, "X"에서 "X"로 가는 전단사 함수들의 모임 "G"가 주어졌을 때(이때 "G"는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), "G"는 "X"에 작용하는 군이 된다. 만약 "X"가 "n"개의 원소로 이루어져 있고 "G"는 "X"에서 "X"로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 "n"에 대한 모든 순열을 포함할 때, "G"는 대칭군이 되며 이를 "Sn"이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 "G"는 "X"에 대한 대칭군의 부분군이다. 케일리의 정리에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 "X"="G"인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다. 일반선형군. 몇몇 군은 일반선형군에 속한다. 일반선형군 "G"는 체 "K" 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 "n"×"n" 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 "n"차원 벡터 공간 "K""n"에 대해 선형 변환으로서 작용한다. 변환군. 변환군이란 어떤 공간 "X"에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 "X"는 집합, 일반선형군의 경우 "X"는 벡터 공간이다.
군론

변환군은 미분기하학에도 적용되는데, 다양체에의 군의 작용을 위상동형사상이나 미분동형사상으로 볼 수 있다. 이때 군은 이산적일 수도, 연속적일 수도 있다. 추상군. 군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 동형인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 "생성원"과 "관계식"을 이용해 표현된다. 많은 종류의 추상군은 몫군으로부터 구성된다. 군 "H"가 군 "G"의 정규 부분군일 때, "H"의 잉여류들이 이루는 군을 몫군이라 하며 "G/H"로 쓴다. 대수적 수체가 몫군의 대표적인 예시이며, 정수론에서 주요하게 쓰인다.
라플라스 방정식

라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다. 정의. formula_1차원 리만 다양체에서 formula_2가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다. 3차원 유클리드 공간에서는 이므로, 이 된다. 관련된 편미분 방정식. 우변을 주어진 함수 formula_6로 바꾼 경우 는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 formula_8인 푸아송 방정식의 특수한 경우다. 우변을 다음과 같이 바꾸면 헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 formula_10인 경우다. 코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.) 경계 조건. 라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 formula_11의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 formula_11위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 formula_13 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다. 2차원 라플라스 방정식. 2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수 의 형태로 나타난다. 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식. formula_16는 격하게 (mesh size) 푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다. 해석적 함수. 복소 범위의 해석적 함수 formula_18의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. formula_19이고 라 하자. formula_21가 해석적이려면 를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서 이다. 따라서 formula_24는 라플라스 방정식을 만족한다. formula_25도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다. 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수. 극좌표계 formula_26에서 라플라스 연산자는 다음과 같다. 따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다. 이는 함수 formula_29의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는 으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.
라플라스 방정식

3차원 라플라스 방정식. 3차원 공간에서, 구면좌표계 formula_31에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다. 여기서 formula_33는 구면 조화 함수이고, formula_34와 formula_35은 임의의 계수다. 물론, formula_18가 원점에서 연속적이려면 formula_37이다.
비오-사바르 법칙

비오-사바르 법칙(Biot-Savart法則, )은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다. 정의. 원점 formula_1에 전류 formula_2가 무한소의 길이의 전선 formula_3을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 formula_4은 다음과 같다. 여기서 formula_6은 formula_7의 방향의 단위벡터이고, formula_8은 진공의 투자율이다. 유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다. 활용. 직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다. 원형 도선 중심에서의 자기장 원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다. r2=x2+R2이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다. 원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다. formula_9 이므로 x=0일 때 formula_10 가 된다.
벡터 공간

선형대수학에서 벡터 공간(vector空間, , ) 또는 선형 공간(線型空間, )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(, )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다. 정의. 체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_2은 formula_1에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다. 이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다. 실수체 formula_30에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, )이라고 하며, 복소수체 formula_31에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, )이라고 한다. 부분 공간과 기저. 체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_34가 다음 조건을 만족시키면, formula_35가 formula_4의 부분 벡터 공간(部分vector空間, )이라고 한다. 즉, 부분 벡터 공간은 formula_4의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다. 벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_45에 대하여, formula_45의 생성() formula_47는 formula_45를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 formula_45에서, formula_50인 원소 formula_51가 존재하지 않는다면, formula_45가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다. 선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다.
벡터 공간

벡터 공간 formula_4의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(次元, ) formula_54이라고 한다. 선형 변환. 두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다. 분류. 선택 공리를 가정하자. 체 formula_1에 대한 벡터 공간 formula_4에 대하여 다음이 성립한다. 즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 formula_58는 formula_1의 formula_60개의 직합이며, formula_61인 경우 이는 곱집합과 다르다. 연산. 같은 체 formula_1 위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다. 몫공간. 체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4와 그 임의의 부분 공간 formula_35가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_4 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. 이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다. 몫공간(몫空間, ) formula_69는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다. 그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다. 이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다.
벡터 공간

또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다. 직접곱. formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직접곱 은 집합으로서 formula_76들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 formula_1-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉, 이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상 이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다. 직합. formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직합은 다음과 같다. 즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상 가 존재하며, 따라서 각 formula_76는 formula_86의 부분 공간을 이룬다. 유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 formula_87가 formula_76의 기저라면, 는 formula_86의 기저를 이룬다. 따라서, 이다. 여기서 우변은 기수의 합이다. 텐서곱. formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱 이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상 을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상 이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상 가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.
벡터 공간

임의의 두 벡터 공간 formula_4, formula_35에 대하여, 다음이 성립한다. 여기서 formula_102은 기수의 곱셈이다. 성질. 체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_1는 다음 성질들을 만족시킨다. 즉, 체 위에서는 모든 가군이 자유 가군이 된다. 집합론적 성질. 체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 집합의 크기는 다음과 같다. 관련 개념. 벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 노름 공간 · 바나흐 공간, 각의 개념을 준 내적 공간 · 힐베르트 공간, 위상적 성질을 가진 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 프레셰 공간, 벡터 곱을 준 체 위의 대수 등이 있다. 벡터 공간은 임의의 환 위의 가군의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군이라고 한다.
선형 결합

선형 결합(線型 結合, ) 또는 일차 결합(一次 結合)은 수학에서 각 항에 상수를 곱하고 결과를 더함으로써 일련의 항으로 구성된 표현식이다(예: "x"와 "y"의 선형 결합은 "ax" + "by" 형식인데 여기서 "a"와 "b"는 상수이다). 선형 결합의 개념은 선형대수학과 수학 관련 분야의 중심이다. 이 글의 대부분은 체 위의 벡터 공간의 맥락에서 선형 결합을 다루며 글의 끝에 주어진 일부 일반화를 다룬다. 정의. "V"를 체 "K" 위의 벡터 공간이 되도록 한다. 우리는 평소와 같이 "V" 벡터 공간의 원소를 부르고 "K" 스칼라의 원소를 부른다. 만약 v1...,v"n"이 벡터이고 "a"1...,"a""n"이 스칼라인 경우에는 해당 스칼라와 계수의 선형 결합은 formula_1이라고 표현한다. "선형 결합"이라는 용어가 표현식을 참조하는지 또는 그 값을 참조하는지 여부에 대해서는 다소 애매한 점이 있다. 대부분의 경우 "v1...,v"n"은 항상 하위 공간을 형성한다"는 주장에서처럼 값이 강조된다. 그러나 "두 개의 서로 다른 선형 결합이 동일한 값을 가질 수 있다"고 말할 수 있으며 이 경우에는 표현식에 대한 참조가 된다. 이러한 용도들 사이의 미묘한 차이는 선형 종속 집합의 본질이다. 벡터족 "F"는 값으로서 "F"의 벡터의 선형 결합이 고유하게 식과 같은 경우 정확하게 선형 독립적이다. 어떤 경우든 표현식으로 볼 때조차 선형 결합에 대해 중요한 것은 각 v"i"의 계수 뿐이다. 항을 허용하거나 영점 계수를 갖는 항을 추가하는 것과 같은 사소한 수정은 뚜렷한 선형 결합을 생성하지 않는다.
선형 결합

주어진 상황에서 "K"와 "V"는 명시적으로 지정되거나 문맥상 명백할 수 있다. 이 경우 우리는 종종 계수 v1...,v"n"의 선형 결합(반드시 "K"에 속해야 한다는 점 제외)을 언급한다. 또는 "S"가 "V"의 부분집합인 경우 벡터가 집합 "S"에 속해야 한다는 점을 제외하고 계수와 벡터가 모두 지정되지 않은 "S"에서 벡터의 선형 결합에 대해 말할 수 있다. 마지막으로 우리는 벡터가 "V"에 속해야 하고 계수가 "K"에 속해야 한다는 것을 제외하면 아무것도 지정되지 않은 선형 결합에 대해 간단히 말할 수 있다. 이 경우 "V"의 모든 벡터는 확실히 어떤 선형 결합의 값이기 때문에 한 가지는 아마도 식을 참조할 것이다. 선형 결합은 정의상 매우 많은 벡터만 포함한다(아래와 같이 언급된 일반화인 경우는 제외). 그러나 벡터가 하나를 언급할 경우에는 추출된 집합 "S"는 여전히 무한할 수 있다. 각각의 개별 선형 결합은 단지 많은 벡터를 포함할 뿐이다. 또한 "n"이 0이 될 수 없는 이유는 없다. 이 경우 우리는 관례에 따라 선형 결합의 결과가 "V"의 제로 벡터(zero vector)라고 선언한다. 선형생성. 임의의 체 "K", 임의의 벡터 공간 "V"를 사용하고 v1...,v"n"을 벡터("V" 단위)로 설정합니다. 이러한 벡터의 모든 선형 결합 집합을 고려하는 것은 흥미로운 편이다. 이 집합을 벡터의 선형생성(예: "S" = {v1, ..., v"n"})이라고 부른다. 우리는 "S"의 생성 범위인 span("S") 또는 sp("S")를 다음과 같이 표현한다.
선형 결합

선형 독립. 일부 벡터 v1...,v"n"의 경우 단일 벡터는 2 가지 다른 방법으로 선형 결합으로 쓸 수 있다. 이와 마찬가지로 (formula_4)를 빼면 중요하지 않은 결합은 영점이 된다. 이 경우 v1...,v"n"는 선형 종속이 되지만 그렇지 않으면 선형 독립(일차 독립 집합)이라고 부른다. 마찬가지로 우리는 벡터의 임의 집합 "S"의 선형 종속 또는 독립에 대해 말할 수 있다. "S"가 선형 독립적이고 "S"의 범위가 "V"와 같으면 "S"는 "V"의 기저가 된다. 다양한 종류의 선형 결합. 선형 결합에 사용되는 계수를 제한함으로써 아핀 결합, 원뿔 결합 및 볼록 결합의 관련 개념과 이러한 연산에 따라 닫힌 집합의 관련 개념을 정의할 수 있다. 이들은 보다 제한된 연산이기 때문에 더 많은 부분집합들이 그들 아래쪽에서 닫힐 것이기 때문에 아핀 부분집합, 볼록 원뿔, 볼록 집합은 벡터 하위 공간의 일반화이다. 또한 벡터 부분공간은 아핀 부분 공간, 볼록 원뿔, 볼록 집합이지만 볼록 집합은 벡터 하위 공간, 아핀 또는 볼록 원뿔일 필요가 없다. 이러한 개념은 물체의 특정한 선형 결합을 취할 수 있을 때에 종종 발생하지만 어떤 것도 발생하지 않는다. 예를 들어 확률 분포는 볼록 결합(볼록 집합을 형성함)에서는 닫히지만 원뿔 또는 아핀 결합(또는 선형)에서는 닫히지 않으며 양의 측정은 원뿔 결합에서는 닫히지만 아핀 또는 선형은 되지 않는다. 따라서 하나의 정의라고 표현할 수 있는데 선형 폐쇄로 서명된 측정값을 나타냅니다.
선형 결합

선형 및 아핀 결합은 모든 체(또는 환)에 대해 정의될 수 있지만 원뿔 및 볼록 결합은 "양수"의 개념을 필요로 하므로 정렬된 체(또는 정렬된 환), 일반적으로 실수에 대해서만 정의될 수 있다. 덧셈이 아니라 스칼라 곱셈만 허용하면(꼭 볼록하지는 않은) 원뿔을 얻을 수 있다. 종종 양수인 스칼라에 의한 곱셈만 허용하도록 정의를 제한한다. 이러한 모든 개념은 일반적으로 독립적으로 공리화되기 보다는 주변 벡터 공간의 부분 집합(아핀 공간, "원점을 잊은 벡터 공간"이라고도 간주되는 공간 제외)으로 정의된다. 일반화. "V"가 위상 벡터 공간이라면 "V"의 위상수학을 사용하여 특정 무한 선형 결합을 이해할 수 있는 방법이 있을 수 있다. 예를 들어 우리는 "a"1v1 + "a"2v2 + "a"3v3 + ⋯가 영원하다고 말할 수 있다. 그러한 무한 선형 결합은 항상 이치에 맞는 것은 아니다. 우리는 이 결합을 융합이라고 부른다. 이 경우 더 많은 선형 결합을 허용하면 생성, 선형 독립 및 기저의 다른 개념으로 이어질 수도 있다. 만약 "K"가 체 대신에 가환환이라면 선형 결합에 대해 위에서 말한 모든 것은 변하지 않고 이 경우에 일반화된다. 유일한 차이점은 벡터 공간 대신에 이러한 "V" 가군과 같은 공간을 부른다는 것이다. K가 비가환환인 경우에도 개념은 여전히 일반화되며 한 가지 주의 사항은 다음과 같다. 비가환환 위에 있는 모듈들은 왼쪽과 오른쪽 버전으로 나오기 때문에 선형 결합은 주어진 모듈에 적절한 어떤 것이든 이러한 버전들 가운데 하나에서도 나올 수 있다. 이는 단순히 스칼라 곱셈을 올바른 측면에서 수행하는 문제이다.
선형 결합

더 복잡한 반전은 "V"가 "K"L과 "K"R 2개의 환 위에 있는 쌍가군일 때에 발생한다. 이 경우에 가장 일반적인 선형 결합은 다음과 같다. 여기서 "a"1...,"a""n"은 "K"L, "b"1...,"b""n"은 "K"R, v1,…,v"n"은 "V"에 속한다.
통계학

통계학(統計學, )은 산술적 방법을 기초로 하여, 주로 다량의 데이터를 관찰하고 정리 및 분석하는 방법을 연구하는 수학의 한 분야이다. 근대 과학으로서의 통계학은 19세기 중반 벨기에의 케틀레가 독일의 "국상학(國狀學, Staatenkunde, 넓은 의미의 국가학)"과 영국의 "정치 산술(政治算術, Political Arithmetic, 정치 사회에 대한 수량적 연구 방법)"을 자연과학의 "확률 이론"과 결합하여, 수립한 학문에서 발전되었다. 개요. 통계학은 관찰 및 조사로 얻을 수 있는 데이터로부터, 응용 수학의 기법을 이용해 수치상의 성질, 규칙성 또는 불규칙성을 찾아낸다. 통계적 기법은, 실험 계획, 데이터의 요약이나 해석을 실시하는데 있어서의 근거를 제공하는 학문이며, 폭넓은 분야에서 응용되어 실생활에 적용되고 있다. 통계학은 실증적인 뿌리를 가지고 있으며 실질적 활용에 초점을 맞추고 있기 때문에, 흔히 순수수학과는 다소 구분되는 응용수학의 일종으로 여겨진다. 통계학의 방법을 통해, 실제의 수치들을 왜곡하여 해석하는 것을 막고 연구를 바탕으로 합리적인 의사결정을 할 수 있다. 통계학은 과학, 산업, 또는 사회의 문제에 적용되며 모집단을 연구하는 과정이 우선시된다. 모집단은 "한나라 안에 사는 모든 사람" 또는 "크리스탈을 구성하는 모든 원자"와 같이 일정한 특성을 지닌 집단이면 어느 것이든 가능하다. 통계학자들은 전체인구(인구조사를 하는 기업)에 대한 데이터를 편집한다. 이것은 정부의 통계관련 법률요약집같은 조직화된 방법으로 수행될 수도 있다. 기술통계학은 모집단의 데이터를 요약하는데 사용된다.
통계학

도수 및 비율 (경주 등) 범주 형 데이터를 설명하는 측면에서 더 유용할 동안 수치 기술자는 연속적인 데이터 유형 (소득 등)에 대한 평균과 표준 편차를 포함한다. 데이터 분석 방법 엄청난 자료가 연구되는 현대 사회에서 경제지표연구, 마케팅, 여론조사, 농업, 생명과학, 의료의 임상연구 등 다양한 분야에서 응용되고 있는 통계는 단연 우리 사회에서 가장 필요하고 실용적인 학문이라고 할 수 있다. 수리통계학. 수리통계학은 수학의 방법을 통계학에 적용한 것이다. 통계학은 원래 국가에 대한 과학으로 생각되었는데 즉, 국가의 땅, 경제, 군력, 인구 등에 관한 사실을 수집하고 분석하는 것이었다. 사용되는 수학적 방법은 해석학, 선형 대수학, 확률분석, 미분 방정식과 측도 이론적 확률이론 등을 포함한다. 어원. 영어의 스태티스틱스(statistics ← 통계학, 통계)는 ‘확률’을 뜻하는 라틴어의 "statisticus"(확률) 또는 "statisticum"(상태), 이탈리아어의 "statista"(나라, 정치가) 등에서 유래했다고 한다. 특히 ‘국가’라는 의미가 담긴 이탈리아어 "statista"의 영향을 받아, 국가의 인력, 재력 등 국가적 자료를 비교 검토하는 학문을 의미하게 되었다. 근대에서의 통계학은 벨기에의 천문학자이자 사회학자이며 근대 통계학을 확립한 인물로 평가 받는 케틀레가 벨기에의 브뤼셀에서 통계학자들로 구성된 9개의 회의를 소집한 것을 기원으로 하고 있다. 수집되고 분류된 숫자 데이터"라는 의미로 사용된 것은 1829년부터이고, 약자로 stats가 처음 기록된 것은 1961년부터이다. 또, 통계학자의 의미인 statistician이 사용된 것은 1825년부터이다.
통계학

한자 문화권에서 사용되는 통계(統計)라는 단어의 기원은 명확하게 알려진 바는 없지만, 막부 말기에서 메이지 천황 초년에 걸쳐 양학자인 야나가와 슌친(柳川春三)이 현재의 의미로 이 단어를 처음 사용했다고 여겨진다. 그가 1869년에 편찬한 책자에서 통계가 현재의 용법으로 사용되었다는 기록이 남아있다. 그 후 1871년에는 대장성에 통계사(統計司)와 통계요(統計寮)가 설치되면서 통계라는 단어의 사용이 대중화되었다. 역할. 매우 다양한 분야의 연구에서 주어진 문제에 대하여 적절한 정보를 수집하고 분석하여 해답을 구하는 과정은 아주 중요하다. 이런 방법을 연구하는 과학의 한 분야가 통계학이다. 통계학을 필요로 하는 연구분야는 농업, 생명과학, 환경과학, 산업연구, 품질보증, 시장조사 등 매우 많다. 또한 이러한 연구방식은 기업체와 정부의 의사결정과정에서 현저하게 나타난다. 주어진 문제에 대하여 필요한 자료의 형태, 자료를 수집하는 방법, 문제에 대한 최선의 답을 구하기 위한 분석방법을 결정하는 것이 통계학자의 역할이다. 자료는 어떤 특정한 현상(주제, 사실)을 조사하기 위하여 설계하고 계획한 실험에서 나온다. 이런 종류의 자료, 즉 실험자료는 농업연구와 같은 분야에 흔히 있다. 통계학자들은 이미 나온 실험자료를 분석하는데만 관심이 있지않고, 자원을 효과적으로 사용하고 주어진 문제를 실험으로 해결하기 위하여 처음부터 실험을 계획하는데 관심이 있다.또 다른 형태의 자료를 관측으로부터 얻는다. 조사자들은 연구실 밖으로 나가서 실제로 존재하는 것을 조사한다. 이런 예로는 인구 및 주택센서스와 같은 전수조사, 여론조사, 교통량조사 등등이 있다. 이 경우 조사방법과 설문지 작성은 매우 중요한 문제가 된다.
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설문지 조사에 있어서 가장 핵심적인 부분은 설문지 작성 요령이다. 묻고자 하는 질문을 짧고 명확하게 물어야 하고 응답자가 고민을 하지 않고 바로 대답할 수 있도록 구성해야 한다. 설문지는 묻고자 하는 질문이면 무엇이든지 다 물을 수 있는 것이 아니라 문제의 핵심적 내용을 담고 있어야 한다. 변인. 변인(變因, variable): 변수(變數)라고도 부르며, 연구의 대상이 되고 있는 일련의 개체를 말한다. 실험의 기본적인 형태는 어떤 변인이 다른 어떤 변인에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보고자 한다. 조사와 척도. 조사대상을 기준으로하면 대상이 되는 통계 집단의 단위를 하나하나 전부 조사하는 관찰 방법인 전수조사(全數調査)와 모집단의 일부를 표본으로 추출하여 조사한 결과로써 모집단 전체의 성질을 추측하는 통계 조사 방법인 표본조사(標本調査)가 대표적인 조사 방법이다. 이러한 조사를 통해 자료를 수집할 때에는 자료의 양질이 측정수준(測定水準)에 따라 분류된다. 자료의 측정수준은 다음과 같이 분류된다. 측정수준에 따라 통계에 이용해야 할 요약 통계량이나 통계 검정법이 다르게 된다. 리커트법. 리커트법(Likert法) 또는 리커트 척도(Likert scale)는 1932년 리커트(Likert, R.)가 고안한 태도 측정법이다. 응답자가 동의나 반대의 정도를 나타내도록 질문을 하는 형태이다. 통계적 방법. 실험 계획. 조직적인 통계 조사가 이뤄지기 전까지는 질문서를 만들어 선정된 가구에 배포하는 방식을 이용했다. 실험계획은 자료수집전에 미리 어떻게 실험할것인지 계획하여, 원하는 자료를 정확하게 수집하고 기록할 수 있도록 하는 과정이다. 자료 수집의 규모와 대상, 할당 방법을 바르게 결정하고 정당한 자료를 수집할 수 있도록 검토한다.
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설문지 작성법 등도 여기에 포함된다. 설문지 작성. 설문지 작성은 실험계획의 일부이기도 하지만, 대개 별개의 실습을 통해 체득하여야 한다. 설문지는 "앙케이트(Enquete)"라고도 하며 통계 자료에 필요한 자료를 수집하기 위해 필요한 질문들을 기록하는 하나의 서식이다. 이를 이용해 설문지 작성자, 응답자들의 객관적인 생각, 각자의 가치와 신념, 태도 등과 같은 여러 정보를 수집할 수 있다. 설문지는 가능한 표준화 되도록 작성해야한다. 필요한 정보를 더욱 포괄적으로 획득하기 위해 설문지는 다섯 가지 요소 응답자에 대한 협조요청, 식별자료, 지시사항, 설문문항, 응답자의 분류를 위한 자료로 구성된다. 설문지는 여러 번 수정, 검토 과정을 거쳐야 의도한 자료의 수집이 가능하다. 설문지를 이용한 통계자료 수집은 비교적 비용이 적게들고 큰 표본에도 쉽게 적용이 가능하다는 장점이 있다. 그러나 다른 자료수집 방법에 비해 무응답률이 높은 편이며 응답에 대한 보충설명의 기회가 주어지지 않는다는 단점이 있다. 추론 통계. 추론 통계(statistical inference)는 기술통계로 어떤 모집단에서 구한 표본정보를 가지고 그 모집단의 특성 및 가능성 등을 추론해내는 통계적 방법이다. 보통 수집된 자료는 어떻게 분석해야 할지 미리 정해져 있기도 하지만, 대부분 획득한 자료(모집단)을 가지고 여러 그래프를 그려보는 와중에 또다른 별개의 분석방법을 추가로 채택할 필요성을 느끼게 된다. 이러한 모집단에 대한 전체적 조감을 해보고 또다른 분석방향을 모색해 보는 과정에 해당한다. 추론 통계는 바탕인 기술 통계량이 있어야 한다.
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이 추론 통계를 하는 이유는 모든 사람을 대상으로 검사를 하는 것은 비합리적이고 대규모 집단을 가지고 연구하는 것이 소수의 집단을 가지고 연구하는 것보다 훨씬 경제적이고 효율적이기 때문이다. 추론 통계는 기술 통계량의 정확성을 유지하는 작업으로서 사용한다. 보통 일반적인 추론은 실험 결과가 기존의 방식, 또는 다른 품종간 비교 등에서 차이점이 유의한지를 검증하는 것이다. 기술 통계. 기술통계(記述統計,descriptive statistics)는 측정이나 실험에서 수집한 자료의 정리, 표현, 요약, 해석 등을 통해 자료의 특성을 규명하는 통계적 방법이다. 기술통계에는 분석방향에 따라 여러가지가 있다. 단순한 평균 분산 등의 기초적인 분석 이외에, 모집단에서 어떤인자들이 있는지 뽑아내보는 인자분석과, 특정표본이 어떤모집단에 속하는지(원 모집단을 어떻게 여러 집단으로 나눠야 하는지) 판단하는 판별분석, 두 인자간의 상호관계에 대한 정준상관분석, 인자들의 숫자를 줄여 단순화하는 주성분분석, 그 외 군집분석 등, 다양한 분석방법이 존재한다. 통계분석 소프트웨어. 다양한 통계분석을 할 수 있고 사회과학, 의학 등 전 분야에서 다양하게 쓰이는 프로그램이나 계산 속도가 느려 큰 규모의 자료를 다루기에는 편리하지 않다. 통계학 관련 학문. 통계학은 컴퓨터 과학, 프로그래밍 언어, 선형대수학, 해석학, 분포론, 수치해석, 확률론 등 여러 학문과 관련되어 있다. 통계학과 사회과학의 발전에 따라 분산분석, 회귀분석, 요인분석 등과 같은 평가모형들이 발전되고, 이들이 정책평가에 응용됨으로써 정책영향의 평가에 공헌을 하고 있으며, 아직도 계속 발전되어 가는 과정에 있다.
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특히 정보화사회와 빅데이터 시대를 맞아 다양한 사회정보의 수집·분석·활용을 담당하는 새로운 직종으로 기업, 정당, 지방자치단체, 중앙정부 등 각종 단체의 시장조사 및 여론조사 등에 대한 계획을 수립하고 조사를 수행하며 그 결과를 체계적으로 분석, 보고서를 작성하는 관련 학문이 필요하게 되어 사회조사분석학이 등장하게 된다. 사회조사분석사란 기업이나 정당, 지자체, 중앙정부 등 각종 단체가 필요로 하는 조사를 수행해 분석, 보고하는 전문 인력군이다. 주로 경영, 조사기획, 자료분석, 마케팅 분야에서 일하므로 조사방법론, 사회통계, SPSS 통계분석 실무 등의 지식을 필요로 한다. 통계학의 변화. 현대에 들어와 데이터 과학자들로 구성된 통계 조직은 기관과 단체 그리고 기업의 수익에 영향을 미치는 다양한 데이터를 입체적으로 분석하고 결론을 얻어낸다. 미래를 예측해 더 나은 결과물을 처방한다. 수많은 데이터 가운데 의미 있는 데이터를 찾아냄으로써 더 나은 의사결정을 돕는 작업이 있는데 데이터 클리닝, 데이터 마이닝 등이다. 기업과 기관마다 부르는 이름은 다르지만, 생산·판매와 서비스 등 핵심 직무에서 영업력 개선과 사원 복지 등 전 영역에 걸쳐 이같은 데이터 과학 조직의 역할은 전방위로 확대되고 있다. 업계에서는 주요 데이터에 대한 분석과 통계가 이뤄지는 비즈니스인텔리전스(BI) 조직이라 부른다. 데이터 분석 조직을 운영하는 IT 조직은 시스템에서 나오는 각종 데이터를 분석해 기업의 핵심 영역에 가치를 더하는 조직으로 변모 중이다.