Obra: OBMEP — Geometria
Matéria: Matemática
Nível: fundamental
semirretas, posi ̧ c ̃ ao relativa de pontos e retas.
1, 2, 3
ˆAngulos, medidas de ˆ angulos, ˆ angulos retos, agudos e obtu-
sos, ˆ angulos consecutivos e adjacentes, ˆ angulos complemen-
tares, suplementares e opostos pelo v ́ ertice.
5, 6, 7, 8, 9
Triˆ angulos, elementos e classifica ̧ c ̃ ao de triˆ angulos: escaleno,
is ́ osceles, equil ́ atero, retˆ angulo, acutˆ angulo e obtusˆ angulo,
O A B
360◦
Um ˆ angulo que d ́ a meia volta ao redor da sua origem mede 180 graus
ou, abreviadamente, 180◦. Este ́ e um ˆ anguloraso e os seus dois lados
s ̃ ao duas semirretas opostas, pertencentes a uma mesma reta.
OA B
180◦
Um ˆ angulo que d ́ a um quarto de volta ao redor da sua origem mede 90◦.
Este ́ e um ˆ anguloreto e ele ́ e formado pela interse ̧ c ̃ ao de duas retas
medida deste ˆ angulo, quando escrevemosB ˆAC = 30◦.
A B
30◦ β
J ́ a vimos as defini ̧ c ̃ oes de ˆ angulo raso e de ˆ angulo reto. De modo geral, os
ˆ angulos s ̃ ao classificados do seguinte modo: dado um ˆ anguloα =A ˆOB,
ent ̃ ao:
 α ́ e um ˆ anguloagudo se 0◦<α< 90◦.
 α ́ e um ˆ anguloreto seα = 90◦. Este ́ e o ˆ angulo formado por duas
A B
x 54◦
96◦
Solu ̧ c ̃ ao. Como a soma dos ˆ angulos de um triˆ angulo ́ e 180◦, temos uma
rela ̧ c ̃ ao entre as trˆ es medidas destes ˆ angulos. Da ́ ı, se s ̃ ao conhecidos
dois ˆ angulos de um triˆ angulo, sempre ́ e poss ́ ıvel determinar a medida do

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somam 180◦, j ́ a queA,B eC est ̃ ao alinhados. Para calcular a soma dos
ˆ angulos marcados podemos somar os ˆ angulos internos dos trˆ es triˆ angulos
e, do valor desta soma, podemos subtrair 180◦, que ́ e a soma dos ˆ angulos
no v ́ erticeB. Assim, a soma dos ˆ angulos marcados ́ e (180◦ ×3) −180◦ =
360◦.
das medidas dos ˆ angulosA ˆBC e A ˆCB ́ e 180◦ − 30◦ = 150◦. Por outro
lado, como o triˆ angulo ́ e is ́ osceles de baseBC, os ˆ angulosA ˆBC e A ˆCB
s ̃ ao iguais, logo cada um deles mede 150◦ ÷ 2 = 75◦. Como o triˆ angulo
BCD ́ e is ́ osceles de baseBD, temos B ˆDC = C ˆBD = 75◦. O mesmo

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AB e o segmento AP est ́ a sobre a reta bissetriz do ˆ anguloC ˆAB. Se
A ˆPC = 75◦, determine a medida do ˆ angulox.
A B
75◦
Solu ̧ c ̃ ao. Seja 2α a medida do ˆ angulo da base do triˆ anguloABC. Da ́ ı
P ˆAB = α e P ˆBA = 2α. No triˆ anguloPAB o ˆ angulo de 75◦ ́ e ˆ angulo

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seguir temos dois triˆ angulos,ABC e ADC tais que AB = AD e
CB = CD = CA. Sabendo que C ˆBA = 25◦ determine a medida
do ˆ anguloB ˆCD.
4. (Banco de Quest ̃ oes 2011 – N ́ ıvel 2 – quest ̃ ao 18) SejaABC um
triˆ angulo comB ˆAC = 30◦ e A ˆBC = 50◦. A reta l corta os lados
AB,BC e o prolongamento deAC emD,E eF , respectivamente.
de um quadril ́ atero, temos os seguintes resultados:
 A soma dos ˆ angulos internos de um quadril ́ atero ́ e igual a 360◦. De
fato, desenhando uma diagonal que divide o quadril ́ atero em dois
triˆ angulos, vemos que a soma dos ˆ angulos internos do quadril ́ atero
 ́ e igual a soma dos ˆ angulos internos desses dois triˆ angulos. Logo,
quadril ́ atero, exatamente no v ́ ertice em que n ̃ ao foi dado o valor do
ˆ angulo interno. Mostre quex = α +β +γ. (Compare com o exemplo
11 da se ̧ c ̃ ao 5.3.)
Solu ̧ c ̃ ao. Sejay o ˆ angulo interno do quadril ́ atero no v ́ ertice do ˆ angulo
x. Como a soma dos ˆ angulos internos de um quadril ́ atero ́ e igual a
360◦, segue que y +α +β +γ = 360◦. Por outro lado, temos que
x +y = 360◦, pois os ˆ angulosx e y somam uma volta completa. Da ́ ı
e BF s ̃ ao paralelas?
55◦
57◦
34◦
32◦
Solu ̧ c ̃ ao. No triˆ anguloBFD vemos queB ˆFD = 180◦−(57◦−32◦) = 91◦.
Da ́ ı segue queB ˆFA = 180◦ − 91◦ = 89◦. E no triˆ anguloCEA vemos
queC ˆEA = 180◦ −(34◦ +55◦) = 91◦. Como as retas CE eBF possuem
ˆ angulos correspondentesB ˆFA = 89◦ e C ˆEA = 91◦ diferentes quando
Estilo OBMEP
▲ 6.2 A soma dos ˆ angulos internos de um triˆ angulo 61
B C
β γ
Tra ̧ cando pelo v ́ erticeA a reta paralela ao segmento BC, identificamos
os ˆ angulos alternos internos de medida β e tamb ́ em identificamos os
ˆ angulos alternos internos de medidaγ, como indicado na figura a seguir.
B C
β γ
β γ
Mais ainda, em um triˆ angulo ABC podemos verificar se o ˆ angulo no
v ́ erticeC ́ e obtuso, reto ou agudo analisando a posi ̧ c ̃ ao do v ́ erticeC em
rela ̧ c ̃ ao a circunferˆ encia de diˆ ametroAB.
 Se C est ́ a no interior da circunferˆ encia ent ̃ aoˆC >90◦.
 Se C est ́ a sobre a circunferˆ encia ent ̃ aoˆC = 90◦.
 Se C est ́ a no exterior da circunferˆ encia ent ̃ aoˆC <90◦.

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A B
M 50◦
Solu ̧ c ̃ ao. Sabemos que os triˆ angulosAMB e BMC s ̃ ao triˆ angulos
is ́ osceles comAM = BM = CM . No triˆ angulo AMB , o ˆ angulo de
50◦ ́ e ˆ angulo externo n ̃ ao adjacente aos ˆ angulos iguaisM ˆAB e M ˆBA.
Da ́ ı cada um destes ˆ angulos possui medida igual a 50◦ ÷ 2 = 25◦. Como
o triˆ anguloABC tem um ˆ angulo agudo de 25◦, o outro ˆ angulo agudo
Estilo OBMEP
78 ■ ENCONTRO 6
C C
 Incentro. A reta bissetriz de um dos ˆ angulos internos do triˆ angulo
 ́ e a reta que passa pelo v ́ ertice do triˆ angulo e que divide o ˆ angulo do
triˆ angulo em dois ˆ angulos de mesma medida. Um triˆ angulo possui
trˆ es retas bissetrizes, uma para cada um dos seus ˆ angulos internos.
sua resposta.
(a) O incentro ́ e o centro da circunferˆ encia inscrita no triˆ angulo.
(b) O incentro ́ e o centro da circunferˆ encia circunscrita ao triˆ angulo.
(c) O incentro ́ e sempre interno ao triˆ angulo.
(d) O baricentro ́ e sempre interno ao triˆ angulo.
(e) O ortocentro ́ e sempre interno ao triˆ angulo.
(f) O circuncentro ́ e sempre interno ao triˆ angulo.
(g) O baricentro ́ e o centro da circunferˆ encia inscrita no triˆ angulo.

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88 ■ ENCONTRO 7
 Por outro lado, a figura a seguir ilustra dois retˆ angulos com mesmo
per ́ ımetro, mas de ́ areas diferentes. O retˆ angulo 3× 6 tem ́ area
18 enquanto o retˆ angulo 4× 5 tem ́ area 20, apesar de estes dois
retˆ angulos possu ́ ırem per ́ ımetros iguais a 18.
No v ́ ıdeo 51da parte de Geometria do canal PICOBMEP no YouTube
I II
III
per ́ ımetro
 ́ area
Qual ́ e a correspondˆ encia correta entre os pol ́ ıgonos e os pontos?
(a) I → C, II → B, III → A
(b) I → B, II → A, III → C
(c) I → A, II → C, III → B
(d) I → A, II → B, III → C
(e) I → C, II → A, III → B
Solu ̧ c ̃ ao. Usando o ladol de um dos quadradinhos do quadriculado como
b x
h h
Portanto, para obter a ́ area do paralelogramo, podemos subtrair da
 ́ area do retˆ angulo de baseb +x e altura h as ́ areas dos dois triˆ angulos
retˆ angulos de basex e altura h. Logo a ́ area do paralelogramo ́ e dada
por
(b +x)h − xh
2 − xh
2 =bh +xh − xh
2 − xh
2 =bh.
Assim, para quaisquer paralelogramos e retˆ angulos, suas ́ areas s ̃ ao
b e altura h podemos montar um paralelogramo de base b e altura h
(veja o exerc ́ ıcio 1 da se ̧ c ̃ ao 6.2). Assim o paralelogramo tem o dobro da
 ́ area do triˆ angulo. Como a ́ area do paralelogramo ́ e “base vezes altura”,
a ́ area do triˆ angulo deve ser “base vezes altura dividido por dois”, uma
D E
A figura da esquerda est ́ a decomposta em um retˆ anguloA de lados 3 e
4; um triˆ angulo retˆ anguloB de catetos 6 e 4 e um trap ́ ezioC de bases
2 e 3 e de altura 2. Portanto, as ́ areas s ̃ ao: ́ area(A) = 3 · 4 = 12,
 ́area(B) = 6 · 4
2 = 12 e ́area(C) = (2 + 3)2
2 = 5. Deste modo, a ́ area da
Logo o retˆ angulo maior tem um lado de comprimento 6 cm; como
sua ́ area ́ e 108 cm2, segue que seu outro lado mede 108 ÷ 6 = 18
cm. Logo um lado do retˆ angulo branco mede 6 cm e o outro mede
18 − 6 = 12 cm, e assim seu per ́ ımetro ́ e 12 + 12 + 6 + 6 = 36 cm.
Pode-se tamb ́ em argumentar que a ́ area do retˆ angulo branco ́ e
108 − 36 = 72 cm 2. Como um de seus lados mede 6 cm, o outro
Estilo OBMEP
▲ 7.7 Quest ̃ oes da OBMEP no Portal da Matem ́ atica 109
5. (OBMEP 2012 – N2Q8 – 1a fase) A figura foi formada por oito
trap ́ ezios is ́ osceles idˆ enticos, cuja base maior mede 10 cm. Qual
 ́ e a medida, em cent ́ ımetros, da base menor de cada um destes
trap ́ ezios?
6. (OBMEP 2012 – N2Q15 – 1 a fase) A figura mostra um
retˆ angulo de ́ area 720 cm2, formado por nove retˆ angulos menores e
drado de lado 12 cm, dividido em trˆ es retˆ angulos de mesma ́ area.
Qual ́ e o per ́ ımetro do retˆ angulo sombreado?
3. (OBMEP 2013 – N1Q6 – 1 a fase) A figura representa um
retˆ angulo de ́ area 36 m2, dividido em trˆ es faixas de mesma lar-
gura. Cada uma das faixas est ́ a dividida em partes iguais: uma
da regi ̃ ao cinza?
Solu ̧ c ̃ ao. Se juntarmos ` a regi ̃ ao cinza o retˆ angulo cujos lados me-
dem 6 cm e 2 cm, como na figura a seguir, teremos um novo
retˆ angulo com lados medindo 14 cm e 8 cm cuja ́ area ́ e 14· 8 =
112 cm2.
8 6
 
 
A ́ area desejada ́ e igual ` a diferen ̧ ca entre a ́ area da metade desse
 ́ ultimo retˆ angulo e a ́ area do retˆ angulo 2× 6 que foi acrescentado,
isto ́ e,112
2 − 6 · 2 = 56 − 12 = 44 cm2.
7. (Banco de Quest ̃ oes 2011, N ́ ıvel 1, quest ̃ ao 19) A partir de seis
retˆ angulos iguais e cinco quadrados iguais ́ e formado um retˆ angulo

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cateto XD = 4 cm e de hipotenusa DP = 5 cm, conclu ́ ımos que
XP = 3 cm.
Da ́ ı o retˆ anguloABZX tem base XZ = 5 cm e tem altura XA = 1 cm.
A ́ area desse retˆ angulo ́ e ent ̃ ao igual a 5× 1 = 5 cm 2. J ́ a o triˆ angulo
retˆ anguloDPX tem base XP = 3 cm e tem altura XD = 4 cm. Sua
 ́ area ́ e ent ̃ ao igual a3 × 4
2 = 6 cm 2. Finalmente, a ́ area desejada da
regi ̃ ao cinza ́ e igual a 5 + 6 = 11 cm2.
lherme?
(a) (b) (c) (d) (e)
8. (OBMEP 2012 – N2Q18 – 1 a fase) Cada face de um cubo
est ́ a dividida em quatro quadrados coloridos com as cores A, B e
C, de modo que quaisquer dois quadrados com um lado comum
tˆ em cores diferentes. A figura a seguir, mostra uma planifica ̧ c ̃ ao

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na figura ́ e 1 + 3 + 4 = 8.
 
23 4
(A) Qual ́ e o maior valor de um v ́ ertice da pirˆ amide acima?
(B) A figura mostra a planifica ̧ c ̃ ao de um cubo. Qual ́ e o valor do
v ́ ertice correspondente ao ponto indicado?
5 1 6 2
 
 
(C) A figura mostra a planifica ̧ c ̃ ao de um s ́ olido chamado octae-
dro. Qual ́ e o valor do v ́ ertice correspondente ao pontoA?

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