Obra: Matemática elementar/Matrizes
Matéria: Matemática
matrizes conceito uma matriz pode ser entendida como um conjunto de mn multiplicado por números dispostos em linhas colunas conforme figura ao lado notação matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes esquerda direita sendo as duas maneiras equivalentes uma matriz indicada por uma letra maiúscula seus elementos são indicados usando mesma letra porém minúscula com linha coluna usados como índice nesta ordem assim elemento da coluna na linha da matriz será assim na matriz acima de linhas colunas temos ordem de uma matriz ordem de uma matriz refere se ao seu número de linhas colunas apresentada na notação onde número de linhas de colunas lê se por assim matriz acima de ordem adição subtração esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas mesmo número de colunas mesma ordem sejam duas matrizes então matriz uma matriz mn tal que cada elemento de dado por ver exemplo ao lado multiplicação por um escalar seja matriz um escalar matriz uma matriz tal que cada elemento de dado por algumas propriedades das operações anteriores sejam matrizes escalares então também se então matrizes nulas matriz nula aquela cujos elementos são todos nulos matriz identidade matriz na qual se zero nos demais casos ou de outra maneira matriz na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais os demais são nulos matrizes especiais matriz linha matriz em que número de linhas igual matriz coluna matriz em que número de colunas igual matriz quadrada matriz em que número de linhas igual ao número de colunas matriz unitária matriz em que obedece relação matriz transposta da matriz matriz obtida pela permutação das linhas colunas de ou seja cada coluna de será uma linha de cada linha da matriz original será uma coluna da transposta multiplicação de matrizes sejam as matrizes número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda produto ab dado pela matriz cujos elementos são calculados por veja os cálculos para exemplo da figura acima ordem dos fatores se são matrizes quadradas igual número de linhas colunas ambos os produtos ab ba podem ser calculados entretanto na multiplicação de matrizes ordem dos fatores não indiferente em geral se ab ba as matrizes são ditas comutativas algumas propriedades do produto de matrizes sejam as matrizes se os produtos bc ab são possíveis de cálculo então bc ab se os produtos ac bc são possíveis então ac bc se os produtos ca cb são possíveis então ca cb se matriz unitária conforme já mencionado então matriz inversa sejam as matrizes quadradas se onde matriz unitária conforme já visto então chamada de matriz inversa esquerda de para achar matriz inversa por exemplo seja matriz ao lado desejamos saber sua inversa esquerda primeiro passo acrescentar uma matriz unitária no lado direito de agora objetivo somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma obter matriz unitária no lado esquerdo processo de gauss jordan linha linha linha multiplicada por linha linha linha multiplic
ado esquerdo processo de gauss jordan linha linha linha multiplicada por linha linha linha multiplicada por linha linha linha multiplicada por linha linha linha multiplicada por linha linha multiplicada por linha linha linha multiplicada por matriz inversa parte da direita determinantes determinantes de ordem conceito de determinante está ligado ao de matriz embora seja completamente distinto enquanto matriz conjunto de elementos conforme já mencionado determinante resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz que obedece uma determinada regra só se aplica matrizes quadradas prefixo det colocado antes da matriz para indicar determinante ou de forma mais compacta os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para mesmo efeito para calcular um determinante de uma matriz determinante de ordem seja então determinantes de ordens superiores para determinantes de ordem há um método conhecido como regra de sarrus considere matriz exemplo para ordem quando ordem superior não há algoritmos simples ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula há no entanto dois métodos de decomposição que reduzem um determinante determinantes de ordens menores um deles conhecido como teorema de laplace vale para qualquer matriz outro método mais simples regra de chió mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz regra de chió teorema de laplace teorema de laplace permite expandir um determinante de ordem em uma soma de determinantes de ordem descrição do procedimento seguinte considera se uma fila linha ou coluna qualquer da matriz somam se os produtos de cada elemento desta linha por seus respectivos cofatores cofator de um elemento por sua vez definido como determinante da matriz que resta da eliminação da linha coluna que passam pelo elemento multiplicado pelo fator sinal negativo se soma do índice da coluna com índice da linha for ímpar positivo do contrário processo pode ser repetido indefinidamente até chegarmos num determinante que possa ser calculado trivialmente para deixar processo mais claro considere uma matriz podemos escolher qualquer linha ou coluna para calcular determinante vamos por comodidade escolher segunda coluna pois ela contém um zero que nos dispensa de calcular um determinante já que este seria multiplicado por zero então você pode verificar que esse mesmo valor será obtido se usarmos expansão de laplace por outra coluna ou linha também se usarmos regra de sarrus de fato podemos provar algebricamente que regra de sarrus equivalente ao uso do teorema de laplace para um determinante de ordem algumas propriedades dos determinantes mantidas as ordens dos elementos um determinante não se altera se linhas colunas são trocadas ou seja se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si determinante muda de sinal se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si ou proporcionais entre si determinante nulo se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros determinante também será n
e si determinante nulo se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros determinante também será nulo mais genericamente determinante nulo se uma fila for uma combinação linear das outras filas se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum ele pode ser colocado em evidência generalizando propriedade anterior se uma matriz tiver todos elementos multiplicados por então seu determinante será multiplicado por kn um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos ou múltiplos deles de outra linha ou coluna determinante de uma matriz igual ao da sua transposta ao trocarmos duas linhas ou colunas valor do seu determinante multiplicado por determinante de uma matriz triangular igual ao produto os elementos da diagonal determinante do produto de duas matrizes igual ao produto dos determinantes destas matrizes teorema de binet exemplo de aplicação de determinantes seja sistema de equações lineares determinante os determinantes obtidos substituindo se respectivamente as colunas dos coeficientes de pela coluna dos termos independentes então solução do sistema dada por esse método costuma ser chamado de método de cramer ver também álgebra linear matrizes livro com conteúdo mais avançado