Obra: Cálculo (Volume 1)/Indeterminação e integrais impróprias
Matéria: Matemática
Nível: médio
wikiversidade disciplina cálculo ii indeterminação nos deparamos constantemente com situações onde necessário que algum grau de indeterminação seja considerado analisado na matemática elementar temos as formas indeterminadas que por séculos intrigou matemáticos filósofos famosos uma das mais comuns raiz porém lidar com esta indefinição em matemática elementar já sabemos um estudo sobre números complexos será aplicado ao cálculo nos livros subseqüentes para presente estudo faremos análise do cálculo em funções que geram valores indefinidos mas que podem ser reavaliados por um limite infinitesimal artifício de analisar função sob um limite pode nos revelar resultados bastante conclusivos que podem sanar boa parte dos problemas que encontramos no uso do cálculo que esteja bem claro que análise dos valores aqui sugerida não traz um argumento definitivo para indeterminação apenas traz meios capazes de solucionar questões que passam pela indeterminação mas que podem ser solucionados quando as tendências são suficientes para uma conclusão respeito do problema dependente não da indeterminação em si formas indeterminadas basicamente analisaremos as formas indeterminadas geradas pelo denominador nulo das quais destacamos os seguintes casos forma forma forma ainda temos forma forma na maioria dos casos temos indeterminação em um ponto do domínio onde valor de um denominador nulo para uma determinada função desta forma podemos definir razão como uma função composta da seguinte forma de onde podemos fazer as seguintes considerações dado um ponto onde podemos dizer que apresenta uma forma indeterminada em porém limite pode ser determinado podemos fazer segunda forma de indeterminação acontece quando dado um ponto onde na terceira forma de indeterminação acontece quando dado um ponto onde valor médio de cauchy demonstração considere que em dois extremos máximos ou mínimos do intervalo tenhamos pontos definidos em ambas as funções então poderemos traçar uma reta para cada par de extremos em cada função no intervalo assim temos duas retas que nos possibilitam afirmar que definidos apropriadamente os pontos que determinam as retas há pelo menos um ponto de cada função neste intervalo com derivada igual inclinação destas retas por outro lado podemos criar condições para que relação destas retas obedeçam as condições do teorema de rolle teorema do valor médio para derivadas uma nova função que traz esta possibilidade esta onde define se tal função pois fato que torna válida aplicação do teorema de rolle derivando equação desta forma teremos pelo menos um ponto no intervalo onde derivada nula comentário observe que demonstração acima poderia ter sido feita definindo se como qualquer função da forma sendo uma constante qualquer tal constante não iria interferir na derivação validade das equações seriam mantidas pois teorema de rolle valido não apenas para extremos onde contanto simplesmente que cm regra de hôpital demonstração do caso se temos do teorema do valor médi
contanto simplesmente que cm regra de hôpital demonstração do caso se temos do teorema do valor médio de cauchy note que podemos fazer uma vez que temos observamos que sendo conforme definimos se reduz porém se então daí pois está no intervalo logo portanto demonstração do caso se quando uma vez que desejamos encontrar podemos promover uma mudança de variável ou seja se limite acima leva as funções se anularem no infinito então podemos fazer desenvolvendo através da regra da cadeia temos que torna limite independente da mudança da variável apresentação do caso embora não seja apropriado para este estudo de cálculo demonstração da regra para casos onde temos as indeterminações do tipo mesma regra também válida desde que as derivadas do numerador do denominador não sejam nem nulas nem infinitas integrais impróprias até agora lidamos com integrais definidas com limites de integração determinados neste momento introduziremos os casos onde os limites de integração são indefinidos mais específicamente quando estes limites tendem infinitos ou valores nulos que geram infinitos na função ser integrada embora grande parte das funções tenham valores indefinidos quando integrados com limites infinitos uma boa parte fornece valores derinidos nestas situações agora definimos integral imprópria como seque todos os casos acima são integrais impróprias onde valor pode se mostrar definido mesmo se os limites de integração não sejam total ou parcialmente definidos há também forma imprópria das integrais que fazem função se tornar indefinida no ponto do limite de integração ou seja de forma que se os limites existem possível que integral possa ser definida limites infinitos no caso em que os limites de integração se estendem valores infinitos que existe limite da função para estes valores dizemos que integral que quando função não apresenta definição para limite dizemos que esta ou seja chamamos as integrais impróprias de ou de acordo com possibilidade ou não da definição do limite que permite calcular referido valor da integral para esta abordagem podemos verificar que se integral indefinida de podemos estabelecer que quando podemos fazer limite da função que nos revela desta forma podemos adotar método de eliminação dos coeficientes nulos no infinito usados para caso de cálculo de limites no infinito ou seja calcula se integral indefinida da função fatora se função para encontrar os maiores expoentes simplifica se mesma aplica se limite no infinito para cada valor de limite de integração quando usamos teorema fundamental do cálculo limites nulos para os casos onde cálculo da integral definida em limites de integração nulos conduz valores indefinidos regra semelhante anterior seja as integrais definidas sendo integral indefinida se podemos calcular integral definida fazendo fórmula de taylor onde chamado de abscissa do valor médio da derivada quando intui se que quanto maior ordem da derivada maior quantidade de parcelas na equação maior será precisão da síntese da
to maior ordem da derivada maior quantidade de parcelas na equação maior será precisão da síntese da função através do polinômio neste caso podemos dizer que último termo da equação resto dizemos que há convergência que torna síntese possível quando resto diminui tendendo zero que nos permite dizer que quanto menor seu valor mais precisa síntese da função demonstração função pode ser expressa segundo teorema fundamental do cálculo como podemos separar integral não resolvida da equação fazendo se calcularmos integral acima aplicando integração por partes teremos logo fazendo esta substituição sucessivamente obtemos fórmula de taylor facilmente façamos mais um passo para que se evidencie com mais clareza que nos dá evolução da equação notória por indução de integrações temos referida fórmula podemos definir resto desta forma