Obra: Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo iii coordenadas tridimensionais iniciando nosso estudo de cálculo em três dimensões iremos nos concentrar nos sistemas de coordenadas cartesianas em três dimensões que estudo da geometria do nosso cotidiano este estudo inicia com conceitos básicos depois se aprofunda em conceitos introdutórios sobre algebra linear porém com uma ênfase maior geometria ao invés da abstração comum no curso de álgebra linear introduziremos agora os conceitos de localização de pontos nos sistemas tridimensionais sistemas de coordenadas vetores no esforço em representar quantidades homem criou os números porém lhes falta algo fundamental propriedade de indicar evolução tendência forma quando dizemos que temos objetos para uma noção de volume quantidade isto bastante porém quando dizemos que velocidade de um veículo km isto apenas suficiente para uma análise quantitativa não nos fornece meios de avaliar comportamento do veículo em sua trajetória evolução da noção de representação matemática de eventos no espaço trouxe necessidade de expressá los de uma forma que fornecesse uma noção mais ampla do que de quantidade para isto foi criado um novo ente matemático chamado vetor um vetor representação das características espaciais evolutivas de um elemento com ele podemos avaliar mais que quantidade de elementos podemos analisar comportamento destes elementos introduziremos agora uma noção de vetores mais dedicada vetores no espaço em três dimensões este estudo importante para análises mais complexas do cálculo abordagem de muitos problemas sob perspectiva vetorial simplifica muito as análises de problemas no espaço para uma melhor compreesão subdividimos estudo em dois tópicos vetores no espaço vetores produtos retas neste momento temos como desenvolver um conceito de reta diferente do que estávamos habituados noção de forma paramétrica em conjunção com definição vetorial nos dá possibilidade de descrever uma reta em termos vetoriais paramétricos uma definição da reta concebida em termos vetoriais feita partir dos dois vetores que determinam os pontos no espaço por onde reta passa equações da reta observemos gráfico px vetor simplesmente representação de um segmento de reta cujo ponto inicial orígem do sistema de coordenadas se somarmos um segundo vetor ao que temos isto resultará em um segmento de reta cujo ponto inicial segundo vetor que tomamos partindo deste pricípio se temos dois pontos temos dois vetores ao subtrairmos os dois vetores teremos um vetor na orígem paralelo ao segmento de reta por onde passam os dois pontos uma vez que primeiro ponto um vetor teremos representação deste segmento de reta se somarmos primeiro vetor ao vetor paralelo reta algebricamente temos se são dois pontos vetor que se origina dos dois pontos por outro lado se fizermos com que lado da equação onde está vetor aumente ou diminua de valor de acordo com variação de um parâmetro teremos um valor variável de dentro da mesma reta então teremos equação da referida
de um parâmetro teremos um valor variável de dentro da mesma reta então teremos equação da referida reta como os pontos podem ser representados sob forma de vetores podemos definir reta tal que três equações paramétricas espaciais podem ser obtidas desta equação vetorial notável que cada eixo deverá ter uma definição de sua variável para cada valor do parâmetro logo façamos dedução destas equações de onde temos as equações paramétricas do mesmo modo ao eliminarmos parâmetro encontramos relação fundamental entre todos os eixos que pode ser bastante útil em certos cálculos onde precisamos estabelecer uma relação entre variáveis sem considerar parâmetro relacionando duas retas uma vez que definimos as equações da reta vetorial paramétrica simétrica podemos agora encontrar relações entre duas retas no espaço de modo geral temos três condições nas quais podemos relacionar duas retas no espaço estas podem ser paralelas reversas ou concorrentes paralelas são duas ou mais retas que mantém uma distância constante entre seus pontos ou seja as mesmas estão na mesma direção reversas são duas ou mais retas que não estão na mesma direção porém não se encontram em nenhum ponto do espaço concorrentes são duas ou mais retas que se encontram em algum ponto do espaço planos definição de um plano no espaço pode ser obtida através de um conceito vetorial da mesma forma que fizemos quando vimos reta para isto devemos estabelecer que necessário para que um plano seja perfeitamente definido se imaginarmos uma reta no espaço podemos perceber que diversos planos passam pela mesma na verdade todas as direções perpendiculares da reta fornecem um plano possível nos resta escolher uma destas direções para estabelecer plano pensando em um vetor direção que nos forneça as características necessárias para representar reta temos que ter em mente um segundo vetor que defina qual dos planos que passam pela reta será escolhido equação do plano equação do plano deve refletir seguinte verdade dados dois vetores em sendo os dois perpendiculares entre sí então que nos leva definir um dos vetores como diferença entre dois vetores posição originados no sistema de eixos logo sendo temos consideremos vetor referência visto que vetor do ponto de origem do vetor que projetamos no plano da mesma forma que referência visto que define direção do plano ambos podem ser constantes logo teremos onde podemos definir portanto equação algébrica de um plano no espaço pode ser definida como onde vetor vetor variável correspondente posição do ponto sobre plano enquanto que são constantes que definem plano para esta notação chamamos de normal do plano pois representa um segmento de reta perpendicular direção do plano enquanto que chamamos de escalar de referência uma vez que mesmo determina referencial para plano no sistema dos eixos ordenados pontos no plano suponhamos que temos um conjunto de pontos no espaço desejemos encontrar plano ao qual estes pertencem que critérios teremos que usar para determina
paço desejemos encontrar plano ao qual estes pertencem que critérios teremos que usar para determinar uma regra de inclusão dos mesmos em um plano resposta está no critério de coplanaridade para determinar este devemos saber qual número mínimo de pontos para definir um plano no espaço para determinar normal precisamos de dois vetores no espaço uma vez que precisamos de no mínimo três pontos para determinar dois vetores no espaço precisamos de três pontos para determinar um plano agora imaginemos que temos mais de três pontos como saberemos se todos pertencem ao mesmo plano simplesmente agrupamos três calculamos plano depois usamos equação do plano para verificar se os demais petencem ao mesmo plano image septpoints png tomemos os pontos como base do plano que nos faz definir os vetores que define um vetor normal uma vez que ponto está em outro segmento de reta diferente dos demais pontos no diagrama precisamos determinar se mesmo pertence ao plano formado pelos vetores que definimos anteriormente para isto encontremos vetor para segmento de reta onde mesmo está localizado depois poderemos substituir os vetores na equação do plano donde podemos verificar se verdadeira para os valores correntes dos vetores em qualquer situação método em geral faz cálculo do produto misto visando encontar vetores que anulam exemplo plano dos pontos sejam os pontos determinemos plano determinado pelos pontos escolhemos um ponto como orígem encontrando os vetores relacionados aos outros dois pontos suponha como orígem temos os vetores com os vetores encontramos normal do plano através do produto vetorial dos mesmos plano definido pela equação parte que depende do ponto origem que resulta em interseção entre planos sejam os planos onde definimos os vetores posição os vetores normais analisando simetria podemos concluir que resultado da interseção entre dois planos uma reta sendo mesma perpendicular aos vetores normais dos dois planos simultaneamente considerando característica de do produto vetorial podemos fazer donde obtemos devemos encontrar um ponto da reta para que possamos definir mesma em termos paramétricos simétricos usualmente podemos definir variável encontrar ponto se teremos observe que usamos variáveis sem índice visto que os pontos são os mesmos quando se define reta que nos fornece que nos dá um plano em reta intercepta plano em definamos agora valor de simplificando temos ponto bastando nos aplicá lo equação vetorial da reta para encontrá la exemplo reta em dois planos sejam os planos devemos encontrar reta resultante da interseção dos dois planos primeiro extraímos os vetores normais dos planos com estes vetores podemos encontrar vetor diretor da reta que perpendicular normal de ambos agora devemos encontrar um ponto da reta supomos em ambos os planos sendo ponto substituimos os valores na equação da reta ou distância entre ponto plano suponhamos que um ponto qualquer no espaço esteja localizado uma certa distância de um plano cuja equação que define
ponto qualquer no espaço esteja localizado uma certa distância de um plano cuja equação que define cujo vetor normal como já de nosso conhecimento plano impõe uma distância para ponto que varia de acordo com distância da coordenada usada como referência para medida portanto não faz sentido definirmos distância entre plano um ponto se não definirmos este ponto como mais próximo do plano que implica cálculo da projeção do vetor distância do ponto sobre vetor normal do plano definimos distäncia entre plano um ponto arbitrário como menor distância entre este plano denominando de pelo produto escalar obtemos ou seja que nos dá equação porém para vetor definimos distância entre ponto no plano seu par que reflexo do ponto nos eixos onde um ponto qualquer no plano ou seja que substituimos na equação da distância entre plano ponto acima temos escalar semelhante equação do plano que nos dá podemos adotar uma nomenclatura mais conveniente se usarmos vetor normal do plano definido como que define distância entre plano ponto exemplo distância entre dois planos sejam dois planos paralelos encontremos distância entre os dois planos como os dois planos são paralelos podemos encontrar um ponto em um dos planos depois utilizar equação anterior para encontrar distância entre os dois planos definamos temos ponto em um dos planos para primeiro plano apresentado agora basta nos substituir os valores na equação temos distância superfícies simples superfícies são conjuntos de pontos no espaço cujo comportamento aparência se assemelham aos planos uma superfície tem aparência de uma folha de material flexível que assume curvas de acordo com função que representa embora mesma não seja flexível mantenha sua forma no espaço aparentemente rígida de fato uma superfície como uma lâmina que mantém sua forma depois que moldada com estudo de superfícies simples teremos melhores condições de analisar estruturas de superfícies mais complexas superfícies cilíndricas cilindro não definição de um elemento de base circular altura definida na verdade noção de cilindro algo mais universal qualquer elemento formado por retas paralelas delimitando uma certa região no espaço pode ser chamado de cilindro uma superfície cilíndrica uma membrana formada por infinitas retas paralelas em torno de uma região do espaço estas retas são chamadas de geratrizes um cilindro circular convencional pode ser algebricamente concebido sob forma onde são as variáveis uma constante que define raio da base do cilindro você deve achar estranho que isto se pareça com equação de uma circunferência porém de fato esta uma circunferência em um gráfico de duas dimensões um cilindro circular em outro de três dimensões em um sistema de três dimensões definimos três variaveis visto que variável não está definida na equação acima temos que admitir que qualquer ponto do eixo pertence ao gráfico definido pela equação acima ou seja para cada ponto definido no plano existe um conjunto de pontos paralelo ao eixo que define uma
seja para cada ponto definido no plano existe um conjunto de pontos paralelo ao eixo que define uma de reta paralela ao eixo imediatamente um conjunto de retas paralelas este eixo uma para cada ponto do plano por estes motivos gráfico gerado pela equação acima px cilindro circular gerado partir da equação acima este também pode ser considerado um cilindro elíptico uma vez que podemos tomar dois valores de eixos para abertura do mesmo outro exemplo de cilindro segundo este conceito parabólico px cilindro parabólico gerado partir de uma equação na forma finalmente podemos apresentar um cilindro hiperbólico px cilindro hiperbólico gerado partir de uma equação na forma superfícies quadrátricas uma superfície quadrática um conjuntos de pontos no espaço gerados por uma equação puramente quadrática de modo geral uma equação deste tipo escrita da seguinte forma onde são constantes pelo menos um de não nulo as quadráticas são representações tridimensionais das cônicas evolução do modelo quadrático para universo tridimensional representada sob forma de novas curvas resultantes da fusão de duas ou mais cônicas de forma geral podemos estabelecer um modelo simplificado quando levamos em conta os parâmetros de vértices centro das cônicas desta forma podemos substituir equação acima através de translações rotações pelas formas traços como vimos na seção sobre superfícies cilíndricas logo acima quando uma das variáveis eliminada podemos analisar equação resultante definir curva que será projetada sobre plano formado pelas duas variáveis restantes na equação quando analisamos uma equação quadrática as formas se modificam para cada plano que tomamos por isto devemos adotar os planos dos eixos para verificar qual forma que equação determina sobre os mesmos podemos fazer teremos um plano por exemplo ou seja podemos eliminar cada uma das variáveis da equação analisar equação apenas com as restantes imagem da projeção da equação em apenas um plano em particular chamada de traço da curva para plano observemos gráfico abaixo px dois traços em um hiperbolóide de duas folhas observe que em cada plano um componente básico formado na vetical temos uma hipérbole enquanto que na horizontal temos círculos ou elipses os traços podem ser usados para formação das perspectivas das superfícies para valores relevantes da equação de forma nos fornecer um esboço de sua aparência façamos análise da equação do hiperbolóide podemos verificar qual traço do plano fazendo que nos dá equação considerando que temos resultados possíveis quando artifício não se mostra eficaz para análise podemos substituir parte na equação inicial por uma variável que nos permita analisar em quais condições possível encontrar raízes para equação do traço para isto fazemos neste caso teremos que verificar quando que nos fornece constatação algébrica sobre que já possível observar no gráfico ou seja que existe um espaço no eixo onde não existem elipses que se deve aos pontos de indefinição existentes na hipérbole
spaço no eixo onde não existem elipses que se deve aos pontos de indefinição existentes na hipérbole as áreas onde as raízes existem nos revelam circunferências se ou elipses no caso contrário isto que aparece no traço horizontal da equação agora ao verificar qual traço do plano fazendo temos equação que uma hipérbole formas comuns as formas quadráticas mais comuns estão representadas na tabela abaixo os seis tipos básicos podem ser classificados pela semelhança de suas formas com as cônicas que já abordamos anteriormente dizemos que um sólido obtido pela evolução de uma cônica no espaço recebe nome da mesma mais sufixo óide para indicar que há parentesco entre estas facilitando identificação da família de curvas qual esta pertence px elipsóide obtido através da equação uma superfície cujos traços são elipses px hiperbolóide de uma folha obtido através da equação uma superfície cujos traços horizontais são elipses os verticais são hipérboles com focos alinhados na horizontal px hiperbolóide de duas folhas obtido através da equação uma superfície cujos traços horizontais são elipses partir dos vértices verticais que são hipérboles com focos alinhados verticalmente px parabolóide hiperbólico obtido através da equação uma superfície cujos traços horizontais são hipérboles os verticais são parábolas px os parabolóides circular elíptico são obtidos através da equação são superfícies cujos traços horizontais são elípses para os elípticos circunferências para os circulares enquanto que os traços verticais são parábolas px os cones duplos são obtidos através da equação são superfícies cujos traços horizontais são elípses ou circunferências enquanto que os traços verticais são retas planos