Obra: Álgebra linear/Transformações lineares
Nível: médio
transformações lineares definição existência de uma transformação sejam espaços vetoriais sobre um corpo onde seja uma base de vetores quaisquer de então existe uma transformação linear imagem de uma transformação linear seguir será discutido um exemplo de como achar imagem de uma transformação linear considere definida por valor de em um ponto pode ser reescrito da seguinte forma todo ponto da imagem uma combinação linear dos vetores isto tais vetores formam um conjunto de geradores para imagem de como poderá ser verificado pelo leitor estes vetores também são linearmente independentes constituindo portanto uma base para imagem de núcleo teorema do núcleo núcleo de uma transformação linear um subespaço vetorial do seu domínio demonstração simples ker não vazio pois um elemento de ker já que se então logo pela linearidade de se temos logo ou seja posto nulidade se posto dim im isto dimensão da imagem de isto quantidade de vetores que geram toda imagem de nulidade dim ker isto dimensão do núcleo de isto quantidade de vetores que geram todo núcleo de teorema do posto da nulidade sejam espaço vetoriais sobre corpo se então posto nulidade dim prova definindo base do núcleo base do espaço seja uma base do ker existem vetores com onde uma base de definindo base da imagem como base de aplicada nessa base gera um conjunto que gera imagem de por aplicando sobre os vetores da base de temos mas pela definição de núcleo assim os vetores geram imagem de provando que os vetores são independentes como queremos uma base eles devem ser independentes isto devem tal que tomemos logo como portanto como são então definindo posto nulidade posto dim im como geram imagem de logo posto nulidade dim ker como uma base do ker logo nulidade como dim nulidade posto portanto posto nulidade dim funcionais lineares definição corolários teoremas demonstra se ainda que operador linear dizemos que uma transformação linear chamada operador linear de sobre adjunto de um operador linear definição demonstra se que todo operador linear possui um apenas um operador adjunto correspondente partir da definição podemos obter as seguintes conseqüências prove operadores especiais auto adjunto unitário normal operador auto adjunto uma matriz auto adjunta se se chamada simétrica se chamada hermitiana os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto adjunto se então se complexo então prove se então seja com complexo então operador unitário uma matriz unitária se prove unitário preserva produto interno unitário preserva norma unitário unitário operador normal uma matriz normal se prove todo operador auto adjunto normal todo operador unitário normal importante ressaltar ainda que existem operadores normais que não são unitários nem auto adjuntos subespaço invariante definição dizemos também que invariante exercícios prove se invariante então invariante se invariante auto adjunto então invariante se invariante inversível então se invariante inversível então invariante se invar
o então invariante se invariante inversível então se invariante inversível então invariante se invariante unitário então invariante ou invariante se invariante unitário então invariante notas ver também wikipédia núcleo da transformação linear transformação linear