Obra: Apostila OBMEP 2
Matéria: Matemática
Nível: fundamental
sor do Programa de Aperfeiçoamento de Professores, promovi do pelo
IMPA. É autor de diversos livros da Coleção do Professor de Ma temá-
tica, publicada pela SBM. Também tem se dedicado às Olimpíada s de
Matemática, participando da organização da Olimpíada Brasi leira de
Matemática, desempenhando a função de líder em várias olimp íadas
De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as prefe-
rências?

14 ■ CAP. 1: MÉTODOS DE CONTAGEM
16) Escrevem-se os inteiros de 1 até 2 222.
(a) Quantas vezes o algarismo 0 é escrito?
(b) Em quantos números aparece o algarismo 0?
17) Quantos são os inteiros positivos de 4 algarismos nos quais o
uma comissão constituída por 4 pessoas. Quantas são as comis sões:
(a) Possíveis?
Solução: Devemos escolher 4 das 12 pessoas, o que pode ser feito de
C 4
12 modos, que é igual a 12×11×10×9
1×2×3×4 = 495 comissões.
(b) Formadas por 2 homens e 2 mulheres?
Solução: Para formar uma comissão, devemos escolher os 2 homens,
o que pode ser feito de C 2
10 = 45 modos. Logo, por este raciocínio,
teríamos 10 × 45 = 450 , que difere do resultado (correto) encontrado
acima. Essa solução, portanto, está errada. Você sabe explicar onde
está o erro no raciocínio?
(d) Em que José participe, mas Maria não?
Solução: Como José deve participar da comissão, resta escolher ape-
nas 3 outras pessoas, entre as 10 restantes (já que José já foi escolhido
Exemplo 5 . Uma professora tem 3 bolas de gude para distribuir
para 5 meninos (digamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo e E duar-
do). De quantos modos ela pode fazer essa distribuição:
(a) Supondo que ela dê as bolas para 3 alunos distintos?
Solução: Neste caso, ela deve escolher 3 dentre os 5 meninos para
Note que há uma correspondência perfeita entre as possíveis distri-
buições e as listas formadas por 3 bolas e 4 traços. Mas estas ú ltimas

36 ■ CAP. 4: MAIS PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES
nós já sabemos contar! Basta escolher 3 das 7 posições para col ocar as
bolas, o que pode ser feito de C 3
7 = 35 maneiras, como encontramos
acima.
juntas?
3) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três time s de
5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?
4) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três time s de
5 atletas?
5) De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos d e
3 e 2 grupos de 4?
6) Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6
garismo 4 figura exatamente 3 vezes e o algarismo 8 exatamente
2 vezes?
9) Quantos são os subconjuntos de {a1, a2, . . . , an}, com p elemen-
tos, nos quais:
(a) a1 figura?
(b) a1 não figura?
(c) a1 e a2 figuram?
(d) pelo menos um dos elementos a1, a2 figura?
(e) exatamente um dos elementos a1, a2 figura?
10) Considere um conjunto C de 20 pontos do espaço que tem um
possuem consoantes juntas?
12) De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjunto
{1, 2, . . . , n} sem selecionar dois números consecutivos?
13) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despe dir de
seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jan tares
para 3 alunos cada, de modo que o mesmo par de alunos não
um professor em comum.
(a) Quantos são os professores?
(b) Quantos professores há em cada banca?
15) Quantas são as soluções inteiras e positivas de x + y + z = 7?
16) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da desig ualdade
x + y + z ≤ 6?
17) Uma indústria fabrica 5 tipos de balas, que são vendidas e m
resultado do lançamento, todos com a mesma probabilidade:
• a moeda sorteada é a comum, e o resultado é cara;
 
40 ■ CAP. 5: PROBABILIDADE CONDICIONAL (GRUPO 2)
• a moeda sorteada é a comum, e o resultado é coroa;
• a moeda sorteada é a falsa, e o resultado é cara;
• a moeda sorteada é a falsa, e o resultado também é cara, mas
obter a resposta do item b?
16) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidad e de
que:
(a) Tenham pelo menos um menino?
(b) Tenham filhos de ambos os sexos?
(c) Tenham dois filhos de cada sexo?
17) Os alunos de um certo curso fazem 4 matérias, entre as quai s
Cálculo e Álgebra Linear. As provas finais serão realizadas e m
uma única semana (de segunda a sexta). Admitindo que cada
de escolher uma comissão de 4 pessoas:
(a) Sem restrições?
(b) Que incluam José (que é um dos alunos)?
(c) Que não incluam Márcia (que é uma das alunas)?
(d) Com 2 rapazes e 2 moças?
(e) Que tenham pelo menos um rapaz e uma moça?
21) No jogo da Megassena são sorteados, a cada extração, 6 dos
números de 1 a 60.
(a) Quantos são os resultados possíveis da Megassena?
(b) Um apostador aposta nos números 2, 7, 21, 34, 41 e 52.
Qual é a sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostado
nos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
(c) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem
bilidade de se obter:
(a) um par;
(b) dois pares;
(c) uma trinca;
(d) uma quadra;
(e) uma quina;
 
(f) uma sequência;
(g) um full hand , isto é, uma trinca e um par.
23) Em um grupo de 4 pessoas, qual é a probabilidade de:
(a) Haver alguma coincidência de signos zodiacais?
(b) Haver exatamente três pessoas com um mesmo signo e uma
colocar nos lugares restantes de 3× 2× 1 = 6 modos. A resposta
é 120 × 60 × 6 = 43 200.
16) (a) O algarismo 0 aparece nas unidades 222 vezes, nos núme-
ros 10, 20, 30, . . . ,2 200. Aparece nas dezenas 220 vezes,
nos números 10x, 20x, . . . ,220x. Aparece nas centenas 200
vezes, nos números 10xy e 20xy. A resposta é
222 + 220 + 200 = 642 .

58 ■ CAP. 7: SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
(b) Contamos os números com algum algarismo igual a 0, des-
meros dos conjuntos {10x, 20x, . . . ,220x ; x ̸= 0 } e
{10xy, 20xy ; x ̸= 0 e y ̸= 0}. O primeiro tem 22× 9 = 198
números, e o segundo, 2× 9× 9 = 162 números. A resposta
é 222 + 198 + 162 = 582 .
17) O mais simples é fazer todos os números menos aqueles em qu e
o 5 não figura. A resposta é 9× 10× 10× 10− 8× 9× 9× 9 = 3 168.
18) Para formar uma coleção, você deve decidir quantas Veja farão
tenham pelo menos um filho do sexo feminino é 1/2. As famílias
têm um ou dois filhos com probabilidade 1/2 cada. Logo, em
média, elas têm 1, 5 filhos. O número de meninos é 0 (com prob.
1/4) ou 1 (com prob. 3/4). Logo, em média há 0, 75 meninos por
família. Em consequência, há também 0, 75 meninas em média
Outra solução: Vamos contar separadamente:
i) números que começam em 4;
ii) números que começam em 8;
iii) números que não começam nem em 4 nem em 8.

68 ■ CAP. 7: SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
i) Há 1 modo de preencher a primeira casa; depois disso, há
C 2
6 modos de escolher as outras duas casas do número que
também serão preenchidas com o algarismo 4; depois disso,
há C 2
4 modos de escolher as duas casas que serão ocupa-
A resposta é, portanto,
2C p−1
n−2 + C p−2
n−2 − C p−2
n−2 = 2C p−1
n−2.
 
10) Chamemos de D o conjunto C − C1.
Há quatro tipos de planos:
i) determinados por três pontos de D;
ii) determinados por dois pontos de D e um de C1;
iii) determinados por um ponto de D e dois de C1;
iv) determinados por três pontos de C1.
Outra solução: Se a soma é 7, há 6 casos possíveis igualmente
prováveis: X = 1 , Y = 6; X = 2 , Y = 5; X = 3 , Y = 4; X = 4 ,
Y = 3; X = 5 , Y = 2; X = 6 , Y = 1 . Dos seis casos, somente
X = 3, Y = 4 é favorável. A resposta é 1
6 .
2) P (vê vermelha |mostra amarela ) =
= P (vê vermelha e mostra amarela )
P (mostra amarela ) = 1/6
1/2 = 1
 
3) P (doente |positivo) = P (doente e positivo )
P (positivo) =
= P (doente) ·P (positivo |doente)
P (doente) ·P (positivo |doente) + P (sadio) ·P (positivo |sadio) =
= 0,005 ·0,95
0,005 ·0,95 + 0,995 ·0,01 = 95
 
= 0,3231
4) A probabilidade de não obter nenhum seis em n lançamentos é( 5
 
, e a de obter pelo menos um seis é 1 −
( 5
Queremos calcular P (A |D) = P (AD)
P (D) .
P (AD) = P (ABCD ) + P (ABCD ) + P (ABCD) + P (ABCD)
= 1
3 · 1
3 · 1
3 · 1
3 + 1
3 · 2
3 · 2
3 · 1
3 + 1
3 · 1
3 · 2
3 · 2
3 + 1
3 · 2
3 · 1
3 · 2
 
= 13
81 .
P (AD) = P (ABCD ) + P (ABCD ) + P (ABCD) + P (ABCD)
= 2
3 · 2
3 · 1
3 · 1
3 + 2
3 · 1
3 · 2
3 · 1
3 + 2
3 · 2
3 · 2
3 · 2
3 + 2
3 · 1
3 · 1
3 · 2
 
= 28
81 .

76 ■ CAP. 7: SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
P (D) = P (AD) + P (AD) = 13
81 + 28
81 = 41
Devemos, pois, ter k = 1, o que dá uma probabilidade de liber-
tação de 74
 
= 0, 75.

78 ■ CAP. 7: SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Adicionais
1) (a) AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC.
(b) O líder pode ser escolhido de 4 modos; uma vez escolhido o
líder, o vice-líder pode ser escolhido de 3 modos. O número
quantos são os números que o antecedem. Antecedem-
-no todos os números começados em 1 ( 4! = 24 números),
em 2 ( 4! = 24 números), em 4 ( 4! = 24 números), em
61(3! = 6 números) e em 621 ( 2! = 2 números), num total
de 24 + 24 + 24 + 6 + 2 = 80 números. Ele ocupa o 81o
lugar.
(b) Ao escrever os números começados por 1, escrevemos
4! = 24 números; incluindo agora os começados por 2, te-
escrever os números começados por 1, escrevemos 4! = 24
números; incluindo agora os começados por 2, teremos mais
4! = 24 números, acumulando um total de 48 números.
Logo, todos os números do 25o
ao 48o, inclusive, começam
por 2. A resposta é 2.
 
4) Contaremos separadamente os casos em que a carta de copas é
um rei e em que a carta de copas não é um rei. A resposta é
1 × 48 + 12 × 47 = 612 .
5) Há 3 modos de escolher os dias de Matemática. Escolhidos os
dias, digamos segundas e quartas, há 2 modos de escolher o ho-
rário da aula de Matemática da segunda e 2 modos de escolher
o horário da aula de Matemática da quarta. Há 2 modos de
Escolhidos os dias da Física, em um deles há 2 modos de escolhe r
o horário da aula e, no outro, apenas 1. Finalmente, há apenas
1 modo de pôr as aulas de Química no horário. A resposta é
3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 × 1 = 48 .
6) A torre branca pode ser colocada em qualquer uma das 64 casa s.
Há um total de 15 casas que estão na mesma linha ou coluna
dentre 26 pessoas. A resposta é C 4
26 = 14 950.
(d) C 2
12.C 2
15 = 6 930.
(e) C 1
12.C 3
15 + C 2
12.C 2
15 + C 3
12.C 1
15 = 15 690.
21) (a) C 6
60 = 50 063 860.
(b) Em ambos os casos, a probabilidade de ganhar é
1/50 063 860.
(c) Quem aposta em 8 números, aposta em C 6
8 = 56 resulta-
dos. Logo, as chances de ganhar são 56 vezes maiores.

84 ■ CAP. 7: SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS
(d) Não.
22) O número de resultados possíveis é 65.
(a) Para formar um par, deve-se primeiramente selecionar o