Obra: Apostila OBMEP 4
Matéria: Matemática
Nível: fundamental
Suponha que, para algum n ∈N, se tenha que P (n) é verdadeira,
isto é, (1.2) é válida. Somando (n + 1)2 a ambos os lados da igualdade
(1.2), temos que
12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1)
6 + (n + 1)2
= n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
 
= (n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]
 
= (n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]
6 ,
Estilo OBMEP
▲ SEC. 1.1: O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA 13
(b) 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = 1
3 n(2n − 1)(2n + 1).
(c) 13 + 23 + · · · + n3 =
[ n(n + 1)
 
1.1.2 Mostre, por indução, a validade das seguintes fórmulas:
(a) 1
1.3 + 1
3.5 + · · · + 1
(2n − 1)(2n + 1) = n
2n + 1 .
(b) 1
1.4 + 1
4.7 + 1
7.10 + · · · + 1
(3n − 2)(3n + 1) = n
3n + 1 .
(c) 1
1.5 + 1
5.9 + 1
9.13 + · · · + 1
(4n − 3)(4n + 1) = n
4n + 1 .
(d) 1
1.2.3 + 1
2.3.4 + · · · + 1
n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2) .
(e) 12
1.3 + 22
3.5 + · · · + n2
(2n − 1)(2n + 1) = n(n + 1)
2(2n + 1) .
1.1.3 Mostre, para n, m ∈N, que
1 · 2 · · · m + 2 · 3 · · · m(m + 1) + · · · + n(n + 1) · · · (n + m − 1) =
 
m + 1 n(n + 1) · · · (n + m).
Problemas
1.2.1 Mostre, por indução, a validade das seguintes fórmulas:
(a) 1.20 + 2.21 + 3.22 + · · · + n.2n−1 = 1 + ( n − 1)2n.
(b)
1 + 1
 
) (
1 + 1
 
· · ·
1 + 1
n − 1
)n−1
= nn−1
(n − 1)! .
(c) 1.1! + 2.2! + 3.3! + · · · + n.n! = ( n + 1)! − 1.
1.2.2 Sejama e b números reais distintos. Mostre que, para todo
n ∈N, vale a igualdade:
bn + abn−1 + a2bn−2 + · · · + an−1b + an = bn+1 − an+1
b − a .
1.2.3 Sesen α ̸= 0, mostre que, para todo n ∈N, vale a igualdade:
cos α · cos 2α · cos 22α · · · cos 2nα = sen 2n+1α
2n+1 sen α
Estilo OBMEP
24 ■ CAP. 1: INDUÇÃO MATEMÁTICA
1.2.5 Mostre que:
(a) n! > 2n, se n ≥ 4.
(b) n! > 3n, se n ≥ 7.
(c) n! > 4n, se n ≥ 9.
1.2.6 Prove que, para todo n natural, vale a desigualdade:
 
2 · 3
4 · 5
6 · · · 2n − 1
2n ≤ 1√3n + 1 .
1.2.7 Mostre que o número de diagonais de um polígono convexo de
Somando a igualdade acima, membro a membro, com ela mesma,
porém com as parcelas do segundo membro em ordem invertida,
temos, por (1.4) que
Sn = a1 + a2 + · · · + an
Sn = an + an−1 + · · · + a1
2Sn = ( a1 + an) + ( a2 + an−1) + · · · + ( an + a1)
Daí, segue-se que 2Sn = (a1 + an)n e, portanto,
Sn = (a1 + an)n
2 .

“inducaofinal”
2009/6/30
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30 ■ CAP. 1: INDUÇÃO MATEMÁTICA
(a) Mostre que an = a1 · qn−1 + r qn−1 − 1
q − 1 .
(b) SeSn = a1 + · · · + an, mostre que
Sn = a1
qn − 1
q − 1 + r qn − 1
(q − 1)2 + r n
1 − q .
(c) Ache o termo geral e a soma dos n primeiros termos da pro-
gressão aritmético-geométrica onde a1 = 1, q = 2 e r = 1.

“inducaofinal”
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Problemas
3.1.1 Calcule fórmulas fechadas para as seguintes somas:
(a) 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · · + (1 + 2 + · · · + n).
(b) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n(n + 1)(n + 2).
(c) 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · · + (2n − 1)(2n + 1).
(d) 1 + (1 + 2 2) + (1 + 2 2 + 32) + · · · + (1 + 22 + 32 + · · · + n2).
(e) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2.
(f) 13 + 33 + · · · + (2n − 1)3.
3.1.2
(a) Considere, para i ∈N, a seguinte identidade:
(i + 1)5 − i5 = 5i4 + 10i3 + 10i2 + 5i + 1.
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58 ■ CAP. 3: INDUÇÃO E MATEMÁTICA
3.2.2 Demonstre a identidade das diagonais :
 
(n + 1
 
(n + 2
 
+ · · · +
(n + m
(n + m + 1
3.2.3
(a) Demonstre, para todos n, m, k ∈N, a identidade de Euler :
i=0
)( n
k − i
(n + m
(b) Em particular, deduza a identidade de Lagrange :
i=0
(2n
3.2.4
(a) Mostre que
é o número de subconjuntos distintos com i
ou iguais a m, e vamos mostrar que é também válida para m + 1. Pela
fórmula do binômio de Newton,
(a1 + · · · + am + am+1)n =
i+j=n
(a1 + · · · + am)iaj
m+1.
A hipótese de indução nos fornece
(a1 + · · · + am)i =
i1+i2+···+im=i
i1!i2! · · · im! ai1
1 ai2
2 · · · aim
m ;
logo,
(a1 + · · · + am + am+1)n =
i+j=n
) ∑
i1+i2+···+im=i
i1!i2! · · · im! ai1
1 ai2
2 · · · aim
um dos números é maior do que 1 e um outro é menor do que 1
(justifique). Podemos então supor que a1 < 1 e an+1 > 1. Denotando
a1 · an+1 por b1, temos que b1a2 · · · an = 1 . Logo, pela hipótese de
indução, segue que b1 + a2 + · · · + an ≥ n, logo,
a1 + a2 + · · ·+ an+1 = b1 + a2 + · · ·+ an + a1 − b1 + an+1 ≥ n + a1 − b1 + an+1.
(3.3)
Mas,
a1 − b1 + an+1 = a1 − a1an+1 + an+1 = 1 − (1 − a1)(1 − an+1) > 1, (3.4)
já que a1 < 1 e an+1 > 1. Juntando (3.3) e (3.4), obtemos que
a1 + a2 + · · · + an+1 > n + 1,
1976.
Problemas
3.5.1 Sex é um número real positivo, mostre que:
xn + xn−2 + · · · + 1
xn−2 + 1
xn ≥ n + 1.
3.5.2 Prove que, para todo x real, vale a desigualdade
1 + x4 ≤ 1
2 .
3.5.3 Sejama, b ∈R, com a + b > 0 e a ̸= b. Mostre que, para todo
n ∈N, com n ≥ 2,
2n−1(an + bn) > (a + b)n.
3.5.4 Prove que se a1, . . . , an e p são números reais positivos, então
n√a1 · · · an ≤
1 + · · · + ap
n ,
Bernouilli
(1 + c)n ≥ 1 + nc + n(n − 1)
2 c2.
3.5.6 Defina a sequência (xn), n ∈N, pela regra xn = n√n − 1.
(a) Mostre que, para todo n ≥ 2, tem-se que xn > 0.
(b) Mostre que, para todo n ≥ 2, tem-se que
n = (1 + xn)n ≥ n(n − 1)x2
2 .
(c) Conclua que
0 ≤ xn ≤
 
n − 1 .
(d) Você saberia dizer para quanto tende n√n quando n cresce in-