Obra: Apostila OBMEP 6
Matéria: Matemática
Nível: fundamental
figuras em tal geometria.
(a) Um triângulo equilátero.
(b) Um triângulo com dois ângulos retos.
(c) Um triângulo com três ângulos retos.
(d) Um triângulo cujas medidas de seus ângulos somem 500.
(e) Um retângulo, isto é, um quadrilátero com quatro ângulos
retos.
9) SejamS e S′ duas superfícies esféricas de centros distintos O e
O′, respectivamente. Sendo r e r′ , r ≥ r, seus respectivos raios,
verifique que
S ∩ S′ é vazia ⇐ ⇒ OO′ > r + r′ ou OO′ < r − r′
S ∩ S′ é um ponto ⇐ ⇒ OO′ = r + r′ ou OO′ = r − r′
S ∩ S′ é uma circunferência ⇐ ⇒ OO′ < r + r′ ou OO′ < r − r′.
Faça desenhos ilustrando todas estas possibilidades.
(Sugestão: Observe inicialmente que P ∈ S ∩ S ⇐ ⇒P ∈ S e
P O2 − P O′2 = r2 − r′2. A seguir, mostre que o conjunto dos
Continuando com a mesma velocidade, o viajante completará a
volta, podendo chegar a Greenwich às 24 horas do sábado; mas seu
relógio, modificado somente em função dos fusos horários marcará
24 horas de domingo! Como resolver este problema?
3) Um piloto sai de uma cidade A de latitude 40◦ N às 12 horas e
15 minutos (hora local verdadeira). Ele voa no rumo Leste a uma
Estilo OBMEP
62 ■ CAP. 4: A SUPERFÍCIE ESFÉRICA EM COORDENADAS CARTESIANAS
(c) S3: centro (5,1,7) e raio 5.
(d) S4: centro (0, -2, -3) e raio 7.
2) Verifique se as equações dadas abaixo são equações gerais de su-
perfícies esféricas. Em caso afirmativo, determine o centro e o
raio.
(a) x2 + y2 + z2 − 4x + 6y + 2z − 2 = 0 .
(b) x2 + y2 + z2 − 2x + 2y = 0.
(c) x2 + y2 + z2 − 10x + 2y − 6z + 35 = 0 .
(d) x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 15 = 0 .
3) Obtenha uma equação da superfície esférica de centro
C = (3,-2,5) que é:
(a) tangente ao plano Oxy;
(b) tangente ao plano Oyz;
(c) tangente ao plano Oxz.
4) Considere as quatro superfícies esféricas dadas na atividade 1. De-
to possível.) Que distância o piloto teve de voar?
(b) Qual a distância de Chicago a Roma por circunferência má-
xima?
(c) Quanto tempo se economizaria voando em uma circunferên-
cia máxima num avião a jato capaz de fazer uma velocidade
média de 900 km/h?
4) Qual é a distância entre Nova York (40 ◦40’N, 74 ◦W) e Buenos
estudo das construções geométricas dos gregos é no estudo de cons-
truções por neusis ou ajustamento. Com um aplicativo de geometria
dinâmica, o leitor pode ver que a construção é possível.
1Os dois outros capítulos tratam, respectivamente, da equivalência e aplicação
de áreas na matemática grega e da história da equação do segundo grau.
 
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Sex e y são duas meias proporcionais entre a e b, temos que
x = x
y = y
b .
Isso é inteiramente equivalente às equações simultâneas,
y2 = bx, xy = ab.
Assim, para resolver o problema, é suficiente achar a intersecção das
parábolas e hipérboles definidas por estas equações, respectivamente
(veja a Figura 7.8). As coordenadas deste ponto são as meias propor-
problems. Washington, DC: Mathematical Association of Ame-
rica, 1978. (Carus Mathematical Monographs 18.)
[10] HEATH, Thomas L. The works of Archimedes. New York: Dover,
1953.
[11] HEATH, Thomas L. The Thirteen books of Euclid’s Elements ,
vols. 1, 2, 3. New York: Dover, 1956.
[12] HEATH, Thomas L. A history of Greek mathematics , 2 v. New
York: Dover, 1981.
[13] KATZ, Victor J. A History of Matematics – an introduction . New
York: Harper Collins, 1993.
[14] KLEIN, Felix. Famous problems of elementary geometry , trans-
tabela:
dígito lado esquerdo ímpar lado esquerdo par lado direito
0 0001101 0100111 1110010
1 0011001 0110011 1100110
2 0010011 0011011 1101100
3 0111101 0100001 1000010
4 0100011 0011101 1011100
5 0110001 0111001 1001110
6 0101111 0000101 1010000
7 0111011 0010001 1000100
8 0110111 0001001 1001000
9 0001011 0010111 1110100
diferente de pares e ímpares de acordo com o seguinte critério:
Dígito inicial 1o 2o 3o 4o 5o 6o
0 ímpar ímpar ímpar ímpar ímpar ímpar
1 ímpar ímpar par ímpar par par
2 ímpar ímpar par par ímpar par
3 ímpar ímpar par par par ímpar
4 ímpar par ímpar ímpar par par
5 ímpar par par ímpar ímpar par
6 ímpar par par par ímpar ímpar
7 ímpar par ímpar par ímpar par
8 ímpar par ímpar par par ímpar
9 ímpar par par ímpar par ímpar

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Este exemplo mostra que o sistema de detecção adotado acima
não tem a capacidade de detectar todo erro de transposição cometido.
É fácil ver que a transposição de dois dígitos consecutivos ai e ai+1
não é detectada, neste sistema de codificação, se, e somente se,
|ai − ai+1|= 5 (veja a atividade 4).

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é detectada pelo sistema EAN-13 se, e somente se,
|ai − ai+1| ̸= 5. ( Sugestão: note que |wi − wi+1|= 2).
(ii) Mostre que um erro de transposição não adjacente do tipo
. . . aiai+1ai+2 . . . ↦→ . . . ai+2ai+1ai . . .
não pode ser detectado pelo sistema EAN-13.
(iii) Mostrar que um erro de transposição em que dois dígitos não
componentes n, se utiliza o vetor de pesos
γ = ( I, δ, I, δ, . . . , δ, I).
Assim, a equação de verificação resulta:
an + δ(an−1) + an−2 + δ(an−3) · · · ≡ c (mod 10)
e o dígito de verificação é dado pela fórmula:
an ≡ c − (δ(an−1) − an−2 − δ(an−3) − · · · ) ( mod 10).

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lar para o cálculo do dígito de verificação.
Este é o sistema utilizado para determinar os números nos cartões
de crédito. Por exemplo, um determinado cartão tem o número 5745
5195 0431 5412. Vamos a aplicar a ele o sistema de verificação IBM:
5 7 4 5 5 1 9 5 0 4 3 1 5 4 1 2
↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I ↓ δ ↓ I
1 7 8 7 1 1 9 1 0 4 6 1 1 9 2 2
Agora, calculamos:
1+7+8+7+1+1+9+1+0+4+6+1+1+9+2+2 = 60 ≡ 0 ( mod 10)
Procedendo desta forma, obtemos a seguinte tabela de multipli-
cação para D5.
¦ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2
7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3
8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Em outras palavras, na posição i, j está o valor de σi(j).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ1 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4
σ2 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2
σ3 8 9 1 6 0 4 3 5 2 7
σ4 9 4 5 3 1 2 6 8 7 0
σ5 4 2 8 6 5 7 3 9 0 1
σ6 2 7 9 3 8 0 6 4 1 5
σ7 7 0 4 6 9 1 3 2 5 8
σ8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4
σ10 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2