Obra: Matemática elementar/Relações
Matéria: Matemática
Nível: médio
relações são conforme visto no capítulo anterior quaisquer subconjuntos do produto cartesiano em verdade as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos xn relação específica que envolve produto cartesiano de dois conjuntos chamada relação binária assim uma relação binária conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence segundo elemento pertence quaisquer que sejam os conjuntos representa se relação binária por conjunto chamado de domínio da relação conjunto chamado de contradomínio da relação especificando relações relação de em definida como associação de elementos de ao seu dobro em imagem direita mostra uma maneira comum de se especificar relações através de figuras mostrando os dois conjuntos com setas indicando os pares ordenados as relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira onde uma condição qualquer que associe os elementos de pode ser uma equação ou inequação por exemplo relação cujo domínio contradomínio especificada por logo representação gráfica gráfico de uma relação para reais alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis relações binárias visto consistirem de pares ordenados podem ser representadas em gráficos um gráfico nada mais do que uma curva nome se aplica mesmo gráficos com apenas retas que representa visualmente relação binária para cada par ordenado em que ela se defina gráfico formado assim também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano por representar um produto cartesiano uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais representada usualmente num plano com duas retas eixo das abcissas eixo das ordenadas estas retas recebem também os símbolos respectivamente gráfico de uma relação para reais no caso da relação ser definida por inequações gráfico correspondente vai representar áreas não curvas por razões práticas no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte logo abaixo ou acima de uma linha que define inequação um gráfico pode estar em branco para relações definidas pelo conjunto vazio no gráfico como apresentado eixo das abcissas representa domínio da relação eixo das ordenadas representa contra domínio da relação função existe um tipo especial de relação que chamado função relação na qual para todo elemento do domínio há correspondência de um somente um elemento no contradomínio função normalmente simbolizada por sendo uma variável ou seja um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio contradomínio função sempre uma relação definida por uma equação pois uma inequação associa um elemento do domínio vários elementos do contradomínio as funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo relações de equivalência uma classe muito importante de relações são as de equivalência que serão definidas seguir seja uma relação entre os conjuntos ou seja denotaremos
de equivalência que serão definidas seguir seja uma relação entre os conjuntos ou seja denotaremos que um elemento de se relaciona com elemento de segundo relação por arb se uma relação definida com domínio contradomínio cumpre as seguintes propriedades ara propriedade reflexiva arb bra propriedade simétrica arb brc arc propriedade transitiva ela dita relação de equivalência relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência seja xra denominado classe de equivalência de alguns resultados importantes desta definição são teorema se demonstração tome por definição xra como por definição are pela propriedade transitiva das relações de equivalência xre logo tome por definição xre como por definição are logo era pela propriedade transitiva das relações de equivalência xra logo deste modo teorema se então demonstração suponha por absurdo que existe um em da definição de interseção de conjuntos da definição de classes de equivalência xra xre logo arx xre daí are deste modo isto um absurdo pela hipótese deste modo nenhum pode pertencer logo teorema se então demonstração se então existe tal que ou tal que suporemos sem perda de generalidade que existe tal que como já provamos logo definição uma partição de um conjunto um conjunto tal que além de tal que teorema seja uma relação de equivalência em uma partição de demonstração mostramos no teorema anterior que os elementos de são subconjuntos de que cumpre primeira condição da definição de partição dois elementos de se são distintos são disjuntos conforme provamos no teorema anterior para todo em pertence pela definição de deste modo uma partição de teorema seja uma partição de relação dada por are de equivalência demonstração por definição de modo que ara para todo em se are então logo daí como por definição então logo era se are eru então daí sabemos que logo portanto aru deste modo provamos as três condições da definição de relação de equivalência disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência toda relação de equivalência induz uma partição estes resultados são muito úteis em vários ramos da matemática como geometria