Obra: Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade
Matéria: Matemática
Nível: médio
wikiversidade disciplina cálculo limites breve explanação vejamos gráfico seguir px figura gráfico representa função definida pela regra esta função não está definida para pois não faz sentido escrever no entanto podemos calcular para valores de muito próximos de observe tabela se fizermos temos se agora fizermos teremos depois fazendo teremos portanto quando nós aproximamos de vemos que também aproximamos de intuitivamente faremos mesmo usando valores maiores que se tivermos teremos para teremos finalmente se teremos vemos que mesmo acontece que isto quer dizer acontece que quando aproximamos de se aproxima de que indica uma tendência de se igualar perceba que quando se aproxima de de forma alcançar limite entre ele número mais próximo ele inevitavelmente faz com que também alcance um número ainda mais próximo de então dizemos que se então limite de quando tende igual como veremos mais adiante isto representado pela seguinte notação como pode ver acabamos de caracterizar conceito de limite partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro mas como podemos dizer se aproximar em termos matemáticos se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas distância entre elas diminui fica fácil perceber que será necessário medir distância entre os números sendo assim vale pena recordar que distância entre dois números reais dada pela fórmula assim usando essa fórmula podemos dizer que por exemplo se um número pequeno então está próximo de se diminuimos gradativamente valor de ao mesmo tempo escolhemos satisfazendo podemos dizer que estamos aproximando de com isso em mente vamos retomar nosso exemplo dependência entre variação de variação dos valores assumidos pela função pode agora ser expressa de uma forma bem simples como mostrado na tabela possível fazer ficar extremamente próximo de bastando escolher valores de suficientemente próximos de assim se queremos fazer ficar menor que suficiente encontrar um valor de pequeno bastante fazer escolhas de que satisfaçam ou seja basta escolher próximo de analisando as condições seja função onde façamos isto apenas para restringir escopo da análise funções mais simples assim que isto permita nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar sendo definido ou não em um determinado ponto do domínio verificamos existência de valores que tendem se aproximar de um valor próximo aos valores trivialmente encontrados para função em pontos próximos com valores conhecidos então arbitramos um número delimitando uma região em de forma que as condições sejam suficientes para garantir que ao tomarmos um subintervalo em com extensão efeito esperado que tenhamos delimitado um valor correspondente para consideramos que temos um número neste intervalo para todo que obtemos quando arbitramos um na função da mesma forma que temos um esperado valor em devemos ter um número no domínio tal que devemos ter cuidado de observar que afirmativa acima exige que valor da diferença não seja nulo caso contrário
cuidado de observar que afirmativa acima exige que valor da diferença não seja nulo caso contrário relação de correspondência dos valores na função no domínio não existiria caso as condições acima sejam satisfeitas relação entre os valores seja possível dizemos que limite de quando tende definição adotamos notação para dizer que função possui seguinte propriedade de agora em diante para indicar que uma função tem esta propriedade usaremos qualquer das seguintes alternativas limite de quando tende para ou que tende quando tende para ou com símbolos quando observação para aqueles que também se interessam por lógica fundamentos da matemática podemos reescrever definição anterior usando as notações do cálculo clássico assim dado diremos que quando interpretação intuitiva da definição uma forma de compreender de forma intuitiva esta definição ver limite como um jogo neste jogo exite um proponente um desafiante proponente declara que então cabe ao desafiante propor um número sempre que desafiante propuser algum proponente deve exibir um provar que sempre que necessariamente temos que como exemplo digamos que função seja proponente declara que uma proposição claramente absurda então caso desafiante proponha basta ao proponente escolher porque para valores de entre temos que está entre ou seja distância de para menor que só que isto não bastante proponente deve responder ao desafio para todo então caso desafiante proponha proponente não será capaz de encontrar um com propriedade desejada propriedades uma vez motivada definição do conceito de limite apresentada sua caracterização formalmente muito útil garantir que os limites satisfazem certas propriedades operatórias no sentido de que pode se fazer operações com as expressões que representam limites as principais propriedades válidas para limites são apresentadas nos teoremas até resumidamente garante que limite de uma função em um ponto ou no infinito único isso significa que quando duas pessoas se propõe calcular um limite que exista elas chegarão um mesmo resultado isso justifica por exemplo uso da expressão limite de no ponto em vez de um limite de no ponto teorema estabelece somatividade dos limites para somar dois limites que existem podemos somar as duas funções calcular apenas limite desta soma uma propriedade análoga vale para diferença entre limites os teoremas seguintes de até exploram mesmo tipo de propriedade para as operações de multiplicação divisão potenciação radiciação de limites observe que estas operações são definidas para números reais no entanto talvez por causa de sua simplicidade podem ser facilmente estendidas para operações entre funções considere por exemplo caso da potenciação teorema mostra que para se calcular limite da função ésima potência de que tem limite no ponto suficiente calcular ésima potência do número dado pelo limite de no ponto unicidade demonstração proponhamos que mas logo pela definição de limite teremos que admitir que para cada existe tal que para todo qu
que mas logo pela definição de limite teremos que admitir que para cada existe tal que para todo que satisfaz além disso existe para qual vale sempre que verifica desigualdade como não são iguais diferença não nula da desigualdade triangular se tivermos um serão válidas as condições teremos em consequência que para todo para qual como podemos arbitrar teremos ao fazer que mas isto contraditório portanto soma diferença demonstração faremos demonstração apenas para caso da soma de funções deixando cargo do leitor verificar que propriedade análoga para diferença de funções pode ser provada de forma parecida tomando devemos pela definição provar que dado qualquer positivo existe algum positivo para qual sempre que satisfaz posto que existem os limites de em já sabemos que para quaisquer positivos existem positivos satisfazendo tal que tal que pela desigualdade triangular então ao arbitrar existe de modo que se vale ou seja observação ao provar propriedade para diferença de funções principal mudança no passo onde utilizada desigualdade triangular em tal caso deveriamos observar que produto demonstração consideremos que que queremos verificar se para cada positivo existe algum positivo tal que para todo que verifica considerando que existem os limites possível encontrar certo para qual sempre que do que podemos concluir que para estes valores de vale mas para qualquer com também existem valores positivos de modo que quando se então se valem as desigualdades vamos então trabalhar com expressão para concluir que ela fica menor que para estes valores de primeiramente observe que usando desigualdade triangular nesta última expressão observando que obtemos aplicando as desigualdades resulta como concluimos que portanto que confirma validade do teorema razão demonstração seja basta mostrar que aplicar regra do produto para queremos verificar se para cada positivo existe algum positivo tal que para todo que verifica mas esta expressão pode ser reescrita como ideia agora mostrar que na fração acima temos que denominador um número não muito pequeno enquanto que numerador um número pequeno como se aproxima de vamos forçar denominador ser um número maior em módulo que vamos portanto forçar numerador ser um número menor em módulo que assim razão dos dois será menor em módulo que denominador pelo fato de temos que para número positivo existe um tal que mas isto implica em particular que portanto temos que numerador imediato pela propriedade da subtração de limites que como temos que existe tal que fração agora basta tomar observar resultado desejado potência demonstração de fato para cada número natural temos que pelo teorema do produto igual ao produto dos limites portanto estabelece que pretendíamos demonstrar radiciação demonstração conseqüentes para funções algébricas estas propriedades são verificadas rapidamente partir da definição além disso as regras seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima sendo sendo limites laterais consideremos
são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima sendo sendo limites laterais consideremos função podemos notar que nenhum valor de menor que está no domínio da função ou seja ela não está definida no intervalo esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo pois não faz sentido falar de limites em valores nos quais função não esteja definida neste exemplo uma certa faixa de números reais que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função como seu domínio apenas devemos restringir cálculo de limites este intervalo quando um conjunto no caso um intervalo de números precisa ser excluído do domínio da função ou quando já se sabe que função não está definida em tal conjuto podemos também excluir certa faixa de valores durante cálculo de limites por exemplo ao analisar comportamento de nas proximidades do ponto se quisermos adotar apenas números maiores que na análise podemos simbolizar isto desta forma da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que representando restrição da seguinte forma no primeiro caso dizemos que limite lateral pela direita da função valor para qual função tende quando se aproxima de pela direita no segundo caso dizemos que limite lateral pela esquerda da função valor para qual função tende quando se aproxima de pela esquerda limite lateral pela direita dizemos que quando limite lateral pela esquerda dizemos que quando infinitos já lhe perguntaram que infinito certamente alguém lhe deu uma resposta poética respeito de fato no sentido poético infinito algo fascinante agora imagine um número absolutamente tão alto quanto possível você conceber conseguiu pois bem por maior que seja número escolhido ele não infinito aqui falaremos do infinito como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar infinito uma tendência uma forma de representar algo que tão alto que jamais poderíamos atingir como se fosse um caminho sem fim como destino de um corpo sem obstáculos atrito no espaço sem fim no início deste capítulo discutimos como analisar comportamento de uma função sua tendência quando variável se aproxima de um determinado número nesta seção discutiremos duas situações novas que acontece com os valores de quando muito grande que fazer quando ao aproximar de um ponto os valores de ficam cada vez maiores usaremos termo infinito sempre que for preciso lidar com números gigantescos deste modo também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite para isso quando realizarmos um cálculo podemos tratar infinito como se fosse um número embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar por exemplo caso variável esteja tendendo ao infinito apareça em uma expressão podemos imaginar que aconteceria com expressão caso fosse um número suficientemente grande então façamos um estudo de como podemos avaliar comportamento das funções quando variável tende infinito considerando uma função definida como pensemos na melhor m
as funções quando variável tende infinito considerando uma função definida como pensemos na melhor maneira de variar para aumentar sucessivamente valor desta função isto possível fazendo com que forneça valores que diminuem até zero importante notar que quanto mais diminui mais os valores da função aumentam obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente usaremos esta pois nos ajuda evitar expressões como quociente de funções complicadas ou composição de várias funções assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante vejamos alguns exemplos numéricos de como função aumenta sucessivamente os seus valores quando variável se aproxima de zero acompanhe tabela vemos que ao aproximar de zero os valores de tendem ficar muito grandes no entanto se tivéssemos utilizado função em vez de teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de ao fazer se aproximar de zero decresceria indefinidamente tenderia levando em conta discussão anterior formalizaremos expressões intuitivas como os valores da função vão para infinito tende ao infinito outras do gênero com notação que será definida precisamente mais adiante isto um exemplo do que chamamos de infinito matemático tendências infinitas neste ponto nosso interesse tratar da possibilidade de se aproximar de um certo número real quando escolhemos valores cada vez maiores para um ótimo exemplo função apresentada acima de acordo com tabela vemos que parece ser razoável escrever isso se justifica pois os valores de ficam muito pequenos próximos de zero quando muito grande este um conceito importantíssimo na análise no cálculo em diversos campos das ciências exatas iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos para isso considere função pode se mostrar que seu valor jamais será maior que quando tomamos valores de maiores que verifique fazendo sucessivas aproximações vemos que de fato temos uma tendência do valor da função se igualar quando levamos para números muito altos embora ela nunca alcance valor chamamos isso de limite no infinito ou tendência infinita dizemos que tende quando tende ao infinito podemos simbolizar tendência de quando fica cada vez maior usando uma destas formas ou mesmo pode acontecer quando valor da variável independente tende ao infinito negativo então podemos representá la assim ou partir das noções apresentadas anteriormente podemos definir de forma rigorosa as têndências infinitas os limites infinitos definição chamamos número de limite lateral no infinito positivo se tal que vale implicação ou seja número para qual uma função tende se igualar quando variável independente ultrapassa número positivo do mesmo modo chamamos número de limite lateral no infinito negativo se tal que vale implicação os números são escolhidos de forma fornecerem maior valor possível dentro do domínio da função que portanto deve necessariamente ser ilimitado limites inf
lor possível dentro do domínio da função que portanto deve necessariamente ser ilimitado limites infinitos se nos depararmos com uma função onde denominador decresce até zero que podemos fazer esta típica forma de funções que crescem até infinito neste caso adotamos valor da definição de infinito visto que não possível colocar qualquer valor adotamos ou pois como já definimos anteriormente continuidade básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função quando apresentamo la sob forma gráfica que temos que ter em mente que função contínua em um intervalo do seu domínio suavemente descritível cada valor precedido de outro menor ou maior mas com uma discreta variação ao definir conceito de continuidade objetivo identificar uma propriedade comum diversas funções ausência de quebras ou saltos em seu gráfico geralmente exemplifica se esta característica dizendo que uma função contínua aquela cujo gráfico pode ser traçado sem levantar lápis do papel mas importante ter em mente que isso apenas uma interpretação do conceito que este muito mais amplo definição função contínua em um ponto se definida num intervalo aberto contendo então dita ser contínua em se somente se para exprimir em símbolos que uma função contínua no ponto escreve se isto significa que estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências valores que produzem as funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos condição de continuidade exigida sempre que temos avaliar tendências valores minúsculos notas