Obra: OBMEP — Aritmetica
Matéria: Matemática
Nível: fundamental
mentar excelente tanto para um melhor desempenho escolar quanto para
um bom entendimento dos conte ́ udos trabalhados no PIC. Estes v ́ ıdeos
est ̃ ao organizados em m ́ odulosda seguinte maneira:
• M ́ odulos do 6o ano do Ensino Fundamental
– Divisibilidade
– Fra ̧ c ̃ oes, o primeiro contato
• M ́ odulos do 7o ano do Ensino Fundamental
– N ́ umeros inteiros e n ́ umeros racionais
– Porcentagem e juros
– Nota ̧ c ̃ ao alg ́ ebrica e introdu ̧ c ̃ ao ` as equa ̧ c ̃ oes
• M ́ odulos do 8o ano do Ensino Fundamental
– Potencia ̧ c ̃ ao e d ́ ızimas peri ́ odicas
– Express ̃ oes alg ́ ebricas e polinˆ omios
– Produtos not ́ aveis e fatora ̧ c ̃ ao de express ̃ oes alg ́ ebricas
– Elementos b ́ asicos de geometria plana – parte 1
– Porcentagem
– Sistemas de equa ̧ c ̃ oes do primeiro grau
– Elementos b ́ asicos de geometria plana – parte 3
– N ́ umeros naturais: contagem, divisibilidade e Teorema
qualquer por vez, totalizando 6 viradas ao todo (veremos que este
n ́ umero tamb ́ em poder ́ a ser substitu ́ ıdo por um outro qualquer).
(e) Ap ́ os 6 viradas, o professor solicita que os alunos escondam uma
moeda, observando antes a sua face superior.
(f) Escondida a moeda, o professor observa, ent ̃ ao, as 4 moedas que
tam solu ̧ c ̃ oes para este desafio.
(a) Qual ́ e o valor da soma 1 + 2 + 3 +··· + 2014? Esta soma ́ e par
ou ́ e ́ ımpar?
(b) Qual ́ e a soma dos m ́ ultiplos de 3 entre 1 e 301.
(c) Calcule as somas 1 + 2 + 3 + ··· + 20, 1 + 2 + ··· + 50 e 21 +
22 + 23 +··· + 50.
(d) Para quais valores de n a soma dos n ́ umeros de 1 at ́ en ́ e par?
(e) Indique como o exerc ́ ıcio 7b poderia ser revolvido para a lista dos
n ́ umeros de 1 at ́ e 100.
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14 ■ ENCONTRO 1
1 da primeira posi ̧ c ̃ ao para a ́ ultima ` a direita, obtemos um novo n ́ umero
de 6 algarismos que ́ e o triplo do n ́ umero de partida. Qual ́ e este n ́ umero?
Solu ̧ c ̃ ao. O problema ́ e determinar os algarismosa, b, c, de e tais que
o n ́ umeroabcde1 (de 6 algarismos) seja o triplo do n ́ umero 1abcde de 6
Exerc ́ ıcio 25:Uma urna cont ́ em 145 bolinhas numeradas sequencial-
mente. Se a primeira bolinha ́ e a de n ́ umero 347, qual ́ e o n ́ umero da
 ́ ultima bolinha?
Solu ̧ c ̃ ao. As 145 bolinhas est ̃ ao n ́ umeradas com os n ́ umeros
{347, 348, 349,...,x }, sendo x o n ́ umero da ́ ultima bolinha. Observe
sem saber de onde tinha vindo a moeda falsa.
Ent ̃ ao, para solucionar o problema, devemos retirar de cada saco um
n ́ umero diferente de moedas. Retiramos ent ̃ ao uma moeda do primeiro
saco, duas do segundo saco, trˆ es do terceiro, e assim sucessivamente, at ́ e
o ́ ultimo saco, de onde retiramos dez moedas.
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▲ 1.4 Curiosidades 23
 875 de tr ́ as para frente ́ e 578.
 Subtraindo o menor (578) do maior (875) obtemos 875−578 = 297.
 Agora some este resultado com o seu inverso, assim: 297 + 792 =
1089.
 Obtemos assim o nosso n ́ umero m ́ agico 1089.
Fa ̧ ca a experiˆ encia com qualquer n ́ umero de trˆ es algarismos diferentes e
ver ́ a que o resultado ser ́ a sempre 1089. ( ́ e sempre 1089, mesmo?)
Curiosidade 2:
 Escolha qualquer n ́ umero de trˆ es algarismos. Por exemplo 234.
 Agora escreva este n ́ umero na frente dele mesmo, assim: 234234.
 Agora divida por 13: 234234
13 = 18018.
 Agora divida o resultado por 11: 18018
11 = 1638.
 Divida novamente o resultado, agora por 7: 1638
7 = 234.
 Viu s ́ o? O resultado ́ e o n ́ umero de trˆ es algarismos que vocˆ e esco-
lheu: 234.
Vocˆ e pode experimentar com qualquer outro n ́ umero de trˆ es algarismos.
o primeiro n ́ umero c ́ ıclico ́ e o 142857. Se este n ́ umero (que possui seis
d ́ ıgitos) for multiplicado pelos n ́ umeros de 1 a 6 obtemos:
 2× 142857 = 285714 (note que o 1 e o 4 foram passados para o
final).
 3× 142857 = 428571 (o 1 passa para o final).
 4× 142857 = 571428.
 5× 142857 = 714285.
 6× 142857 = 857142.
no exerc ́ ıcio anterior, podemos calcular o ́ ultimo algarismo das primeiras
potˆ encias de 7.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 ́ ultimo algarismo de 7n 7 9 3 1 7 9 3 1 7
Da ́ ı vemos que o ciclo 7, 9, 3, 1 se repete infinitamente. Dividindo 777
por 4 (que ́ e o tamanho do ciclo), obtemos quociente 194 e resto 1. Da ́ ı
o ́ ultimo algarismo de 7777 ́ e igual ao ́ ultimo algarismo de 71, que ́ e 7.
Da igualdade 9174532 × 13 = 119268916 pode-se concluir que um dos
n ́ umeros abaixo ́ e divis ́ ıvel por 13. Qual ́ e este n ́ umero?
(a) 119268903 (b) 119268907 (c) 119268911
(d) 119268913 (e) 119268923 .
Solu ̧ c ̃ ao. Como 119268916 ́ e divis ́ ıvel por 13, podemos concluir que os
n ́ umeros divis ́ ıveis por 13 s ̃ ao aqueles obtidos somando-se ou subtraindo-
se m ́ ultiplos de 13 ao n ́ umero 119268916. Dentre os n ́ umeros apresen-
tados, o n ́ umero 119268916− 13 = 119268903 ́ e o ́ unico divis ́ ıvel por
vidos no Portal da Matem ́ atica, no 8 o ano do Ensino Fundamental, no
m ́ odulo “N ́ umeros Naturais: Contagem, Divisibilidade e Teorema da Di-
vis ̃ ao Euclidiana” na videoaula “Divisibilidade: Resolu ̧ c ̃ ao de Exerc ́ ıcios
− Parte 3”. Antes de assistir as solu ̧ c ̃ oes no v ́ ıdeo, ́ e claro que vocˆ e deve
5. O n ́ umero 29· 3 ́ e divis ́ ıvel por 6?
6. ́E verdade que, se um n ́ umero natural for divis ́ ıvel por 4 e por 3,
ent ̃ ao ele tem que ser divis ́ ıvel por 4· 3 = 12?
7. ́E verdade que, se um n ́ umero natural for divis ́ ıvel por 4 e por 6,
ent ̃ ao ele tem que ser divis ́ ıvel por 4· 6 = 24?
Exemplo 35: Liste todos os divisores positivos de a = 23· 52.
Solu ̧ c ̃ ao. Sed ́ e um divisor dea, ent ̃ ao os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao
2 e 5. Deste modo d = 2x· 5y. Mais ainda, como a ́ e um m ́ ultiplo de
d, podemos escrever a = dn, e isto implica que as potˆ enciasx e y dos
n ́ umeros 2 e 5 na fatora ̧ c ̃ ao ded devem ser menores do que ou iguais as
potˆ encias dos n ́ umeros 2 e 5 na fatora ̧ c ̃ ao dea. Logo x≤ 3 e y≤ 2.
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54 ■ ENCONTRO 2
x = 0 e y = 0 ⇒ d = 20 50 = 1.
x = 0 e y = 1 ⇒ d = 20 51 = 5.
x = 0 e y = 2 ⇒ d = 20 52 = 25.
x = 1 e y = 0 ⇒ d = 21 50 = 2.
x = 1 e y = 1 ⇒ d = 21 51 = 10.
x = 1 e y = 2 ⇒ d = 21 52 = 50.
x = 2 e y = 0 ⇒ d = 22 50 = 4.
x = 2 e y = 1 ⇒ d = 22 51 = 20.
x = 2 e y = 2 ⇒ d = 22 52 = 100.
x = 3 e y = 0 ⇒ d = 23 50 = 8.
x = 3 e y = 1 ⇒ d = 23 51 = 40.
x = 3 e y = 2 ⇒ d = 23 52 = 200.
fator 3 em evidˆ encia, vemos que 457 = 3(4·33+5·3)+(4+5+7). Como
o n ́ umero 3(4· 33 + 5· 3) ́ e divis ́ ıvel por 3, precisamos somente verificar
se 4 + 5 + 7 = 16 ́ e divis ́ ıvel por 3. Como este n ́ umero n ̃ ao ́ e divis ́ ıvel por
3, conclu ́ ımos que 457 tamb ́ em n ̃ ao ́ e divis ́ ıvel por 3. Mais ainda, como
16 deixa resto 1 quando dividido por 3, podemos at ́ e concluir que 457
tamb ́ em deixa resto 1 quando dividido por 3.
Vejamos, sem efetuar a divis ̃ ao, se o n ́ umero 2345 ́ e ou n ̃ ao ́ e divis ́ ıvel
por 9. Podemos escrever 2345 = 2 · 1000 + 3· 100 + 4· 10 + 5, ou ainda,
2345 = 2(9·111+1)+3(9 ·11+1)+4(9+1)+5. Colocando o fator 9 em
evidˆ encia, 2345 = 9(2· 111 + 3· 11 + 4) + (2 + 3 + 4 + 5). Como o n ́ umero
9(2· 111 + 3· 11 + 4) ́ e divis ́ ıvel por 9, precisamos somente verificar se o
n ́ umero 2 + 3 + 4 + 5 = 14 ́ e divis ́ ıvel por 9. Como este n ́ umero n ̃ ao ́ e
exemplo, o n ́ umero 23562 do seguinte modo: 23562 = 235· 100 + 62. E
como 100 = 4· 25, 23562 = 235 · 4· 25 + 62 = 4(235· 25) + 62. Como
4(235· 25) ́ e divis ́ ıvel por 4, ́ e suficiente analisar o n ́ umero 62. Como
62 = 4· 15 + 2 vemos que 62 e, portanto, 23562 = 4(235 · 25) + 62 n ̃ ao
s ̃ ao divis ́ ıvies por 4. Al ́ em disso, estes n ́ umeros deixam resto 2 quando
igual a 18 ́ e 99, mas seus algarismos s ̃ ao ́ ımpares. Isto implica que o
n ́ umero deve ter trˆ es ou mais algarismos. Se queremos o menor n ́ umero
com 3 algarismos, o primeiro algarismo deve ser no m ́ ınimo 2. Neste
caso, a soma dos outros dois algarismos ́ e igual a 16 e como s ̃ ao pares,
a ́ unica possibilidade ́ e 288. Portanto, 288 = 9× 32 ́ e o menor m ́ ultiplo
de 9 com todos os algarismos pares.
soma dos algarismos de x deve ser um m ́ ultiplo de 9.
 Sex = 6a780 ent ̃ ao 6 +a+ 7 + 8 + 0 = 21 +a deve ser um m ́ ultiplo
de 9. A ́ unica possibilidade ́ e 21+a = 27 dondea = 6 ex = 66780.
 Sex = 6a785 ent ̃ ao 6 +a+ 7 + 8 + 5 = 26 +a deve ser um m ́ ultiplo
de 9. A ́ unica possibilidade ́ e 26+a = 27 dondea = 1 ex = 61785.
divis ̃ ao deste n ́ umero por 5?
Solu ̧ c ̃ ao 1. O dobro do n ́ umero procurado ́ e um m ́ ultiplo de 5 acrescido
de 1. Como os m ́ ultiplos de 5 terminam em 0 ou 5, o dobro termina em
1 ou 6. Mas o dobro ́ e um n ́ umero par, logo termina em 6. Assim, o
n ́ umero termina em 3 ou 8 e, portanto, dividido por 5, deixa resto 3.
Solu ̧ c ̃ ao 2. Sabemos que o n ́ umero inteiron procurado satisfaz 2 n =
5m+ 1, para algum inteirom. Ent ̃ ao o produto 5m = 2n−1 de 5 por m
 ́ e ́ ımpar, o que implica quem ́ e ́ ımpar. Assim,m = 2k + 1, para algum
piscar nos instantes 0, 14, 28, 42,... ou seja, em todos os n ́ umeros que
s ̃ ao m ́ ultiplos de 14. De modo an ́ alogo, a lˆ ampada que pisca de 20 em
20 segundos vai piscar em todos os instantes que s ̃ ao m ́ ultiplos de 20.
Os m ́ ultiplos positivos de 14 e 20 s ̃ ao:
M(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168,... }.

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a e de b.
Solu ̧ c ̃ ao. Sed ́ e um divisor dea, os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2,
3 e 5. Se d ́ e um divisor deb, os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2 e 5.
E, se d ́ e um divisor comum dea e b, fazendo a interse ̧ c ̃ ao, vemos que
os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2 e 5. Assimd = 2x· 5y. O n ́ umero
x n ̃ ao pode ser maior que 2 e 3, que s ̃ ao os expoentes do fator primo 2
Exerc ́ ıcio 10:Em cada caso, calcule mdc(a,b ).
(a) a = 3· 56· 112 , b = 24· 3· 52· 7 4.
(b) a = 23· 7 2· 135 , b = 24· 32· 116· 13.
(c) a = 3· 52· 7 3 , b = 25· 7· 13.
(d) a = 23· 7 2· 115 , b = 36· 52· 134.
Solu ̧ c ̃ ao. Procedendo como no exerc ́ ıcio anterior, comparando as fa-
tora ̧ c ̃ oes dea e de b, considerando os menores expoentes, pode-se con-
Exerc ́ ıcio 11:Se a = 23·5·7 2 identifique quais dos seguintes n ́ umeros
s ̃ ao m ́ ultiplos dea.
(a) 2 4· 52· 7 3
(b) 2· 5· 7 4· 132
(c) 2 5· 52· 7
(d) 2 3· 5· 7 6· 13· 192
(e) 2 7· 53· 7 4· 60
Solu ̧ c ̃ ao. Sem ́ e um m ́ ultiplo dea, ent ̃ ao existe um n ́ umeron tal que
m = na = n· 23· 5· 7 2. Isto implica que na fatora ̧ c ̃ ao dem devem
Exerc ́ ıcio 13:Em cada caso, calcule mmc(a,b ).
(a) a = 2· 53, b = 22· 7 4.
(b) a = 32· 11, b = 23· 3· 54.
(c) a = 52· 7, b = 52· 7 3.
(d) a = 2· 13, b = 3· 5.
Solu ̧ c ̃ ao. Procedendo como no exerc ́ ıcio anterior, comparando as fa-
tora ̧ c ̃ oes dea e deb, considerando os maiores expoentes, pode-se concluir
que
(a) mmc = 22· 53· 7 4.
(b) mmc = 23· 32· 54· 11
(c) mmc = 52· 7 3.

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Exerc ́ ıcio 14:Calcule mdc(100, 140).
Solu ̧ c ̃ ao. Como omdc entre 100 e 140 deve, naturalmente, ser um divisor
de 100 e 140, podemos ir dividindo estes dois n ́ umeros por todos os
n ́ umeros primos que os dividem simultaneamente. Como na fatora ̧ c ̃ ao de
um n ́ umero, esses c ́ alculos podem ser organizados da seguinte maneira,
Estilo OBMEP
▲ 3.4 C ́ alculo domdc e do mmc: fatorando simultaneamente 79
s ̃ ao colocados os resultados dessas divis ̃ oes sucessivas.
100 , 140 2
50 , 70 2
25 , 35 5
5 , 7
Como 5 e 7 s ̃ ao primos entre si (eles n ̃ ao possuem divisor primo em
comum), paramos o processo e vemos que mdc(100, 140) = 2 2· 5 = 20,
Considerando somente os fatores comuns obtemos mdc(980, 1050) = 2·
5· 7 = 70 e considerando todos os fatores obtemos mmc(980, 1050) =
22· 3· 52· 72 = 14700.
Tamb ́ em ́ e importante observar que para o c ́ alculo domdc ou do mmc
n ̃ ao existe a obrigatoriedade de dividir apenas por n ́ umeros primos e
duas linhas para ir ` a escola. Os ˆ onibus de uma linha passam de 15 em
15 minutos e os da outra de 25 em 25 minutos, sendo que ` as 7h30m da
manh ̃ a os ˆ onibus das duas linhas passam juntos.
(a) A que horas passar ̃ ao juntos novamente?
(b) Entre as 7h30min da manh ̃ a e a meia noite, quais s ̃ ao os hor ́ arios
Neste total de 335+134 = 469, alguns n ́ umeros aparecem contados duas
vezes, pois s ̃ ao m ́ ultiplos de 6 e de 15 ao mesmo tempo. Por exemplo,
os n ́ umeros 6· 15 e 2 · 6· 15 foram contados tanto como m ́ ultiplos de
6 quanto como m ́ ultiplos de 15. Lembre que os m ́ ultiplos de 6 e de 15
s ̃ ao, tamb ́ em, m ́ ultiplos demmc(6, 15) = 30. Como 2012 = 67 · 30 + 2,
quantidade de placas ́ e necess ́ ario considerar placas de maior tamanho
poss ́ ıvel. Assim, podemos conclu ́ ır qued ́ e o m ́ aximo divisor comum de
128 e 96. Da ́ ıd =mdc(128, 96) = 32 e, portanto, cada placa quadrada
tem 32 dm = 3, 2 m de lado. Mais ainda, como n = 128÷ 32 = 4 e
m = 96÷ 32 = 3, vemos que a superf ́ ıcie retangular deve ser coberta
por 4× 3 = 12 placas quadradas. (Compare com o exerc ́ ıcio 3 deste
cap ́ ıtulo.)
No Portal da Matem ́ atica, no 6o ano do Ensino Fundamental, no m ́ odulo
“Divisibilidade”, existem seis videoaulas sobre mdc e mdc:
 M ́ aximo Divisor Comum
 Propriedades do mdc
 Exerc ́ ıcios demdc
 M ́ ınimo M ́ ultiplo Comum
 Propriedades do mmc
 Exerc ́ ıcios demmc

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Exemplos:
 ́E f ́ acil ver que 84 e 35 s ̃ ao m ́ ultiplos de 7. Ent ̃ ao 84 + 35 = 119 e
84− 35 = 49 s ̃ ao m ́ ultiplos de 7.
 O n ́ umerod = 4 ́ e um divisor dea = 20 e de b = 48, pois 20 = 4· 5
e 48 = 4· 12. Da ́ ıd = 4 ́ e um divisor deb−a = 28, pois b−a =
(4· 12)− (4· 5) = 4· (12− 5) = 4· 7.
 Para entender o item (b) vamos considerar que a e b− a s ̃ ao
m ́ ultiplos ded. Como b =a + (b−a) ́ e uma soma de m ́ ultiplos de
d, segue que b tamb ́ em ́ e um m ́ ultiplo ded.

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cessivamente o c ́ alculo domdc de dois n ́ umeros ao c ́ alculo domdc de
n ́ umeros cada vez menores. E como a ́ unica conta que deve ser feita
 ́ e uma subtra ̧ c ̃ ao, este m ́ etodo ́ e mais f ́ acil de ser aplicado do que os
m ́ etodos anteriores, quando t ́ ınhamos que fatorar os n ́ umeros dados.
Exerc ́ ıcio 3:Calcule mdc(459, 595).
Solu ̧ c ̃ ao.
mdc(459, 595) =mdc(459, 595− 459) =mdc(459, 136) =
mdc(136, 459) =mdc(136, 459− 136) =mdc(136, 323) =
mdc(136, 323) =mdc(136, 323− 136) =mdc(136, 187) =
mdc(136, 187) =mdc(136, 187− 136) =mdc(136, 51) =
mdc(51, 136) =mdc(51, 136− 51) =mdc(51, 85) =
mdc(51, 85) =mdc(51, 85− 51) =mdc(51, 34) =
mdc(34, 51) =mdc(34, 51− 34) =mdc(34, 17) = 17.
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▲ 4.2 C ́ alculo domdc: algoritmo de Euclides – parte 2 95
c ́ alculo domdc desejado pode ser efetuado do seguinte modo.
mdc(1203, 3099) =mdc(1203, 3099− 1203) =mdc(1203, 1896) =
mdc(1203, 1896) =mdc(1203, 1896− 1203) =mdc(1203, 693) =
mdc(693, 1203) =mdc(693, 1203− 693) =mdc(693, 510) =
mdc(510, 693) =mdc(510, 693− 510) =mdc(510, 183) =
mdc(183, 510) =mdc(183, 510− 183) =mdc(183, 327) =
mdc(183, 327) =mdc(183, 327− 183) =mdc(183, 144) =
mdc(144, 183) =mdc(144, 183− 144) =mdc(144, 39) = 3.
Exerc ́ ıcio 5:Se a = 84 e b = 330 calcule o resto r da divis ̃ ao deb por
a, calcule os conjuntos D(a), D(b) e D(r) dos divisores de a, de b e de
r, e verifique que D(a)∩D(b) =D(a)∩D(r).
Solu ̧ c ̃ ao. Dividindob por a obtemos 330 = 3 · 84 + 78, de modo que
r = 78 ́ e o resto da divis ̃ ao deb por a.
D(a) ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}

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Exerc ́ ıcio 6:Calcule mdc(162, 372).
Solu ̧ c ̃ ao.
 Dividindo 372 por 162 obtemos 372 = 2 · 162 + 48. Assim
mdc(162, 372) =mdc(162, 48).
 Dividindo 162 por 48 obtemos 162 = 3·48+18. Da ́ ımdc(48, 162) =
mdc(48, 18).
 Dividindo 48 por 18 obtemos 48 = 2·18+12 e portantomdc(18, 48) =
mdc(18, 12).
 Dividindo 18 por 12 obtemos 18 = 1· 12 + 6 e assimmdc(12, 18) =
mdc(12, 6).
 Portantomdc(162, 372) =mdc(6, 12) = 6.
Estilo OBMEP
▲ 4.2 C ́ alculo domdc: algoritmo de Euclides – parte 2 99
mdc(162, 372) =mdc(162, 372− 162) =mdc(162, 210) =
mdc(162, 210) =mdc(162, 210− 162) =mdc(162, 48) =
mdc(48, 162) =mdc(48, 168− 48) =mdc(48, 114) =
mdc(48, 114) =mdc(48, 114− 48) =mdc(48, 66) =
mdc(48, 66) =mdc(48, 66− 48) =mdc(48, 18) =
mdc(18, 48) =mdc(18, 48− 18) =mdc(18, 30) =
mdc(18, 30) =mdc(18, 30− 18) =mdc(18, 12) =
mdc(12, 18) =mdc(12, 18− 12) =mdc(12, 6) = 6.
Exerc ́ ıcio 7:Calcule mdc(339, 1407).
Solu ̧ c ̃ ao.
 Dividindo 1407 por 339 obtemos 1407 = 4 · 339 + 51. Assim
mdc(339, 1407) =mdc(339, 51).
 Agora dividimos 339 por 51, obtendo 339 = 6 · 51 + 33. Da ́ ı
mdc(51, 339) =mdc(51, 33).
 Dividindo 51 por 33 obtemos quociente 1 e resto 18. Da ́ ımdc(33, 51) =
mdc(33, 18).
 Dividindo 18 por 33 obtemos quociente 1 e resto 15. Logo
mdc(18, 33) =mdc(18, 15).
 Dividindo 18 por 15 obtemos quociente 1 e resto 3, de modo que
mdc(15, 18) =mdc(15, 3).
Exerc ́ ıcio 8:Calcule mdc(2282, 7063).
Solu ̧ c ̃ ao.
 Dividindo 7063 por 2282 obtemos 7063 = 3 · 2282 + 217. Assim
mdc(2282, 7063) =mdc(2282, 217).
 Dividindo 2282 por 217 obtemos 2282 = 10 · 217 + 112. Logo
mdc(217, 2282) =mdc(217, 112).
 Dividindo 217 por 112 obtemos 217 = 1 · 112 + 105 e assim
mdc(112, 217) =mdc(112, 105).
 Dividindo 112 por 105 obtemos 112 = 1 · 105 + 7 de modo que
mdc(105, 112) =mdc(105, 7).
com o exerc ́ ıcio 8 do encontro 3.)
Solu ̧ c ̃ ao. Sed ́ e um divisor dea, os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2, 3
e 5. Se d ́ e um divisor deb, os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2, 5 e 7.
Da ́ ı, sed ́ e um divisor comum dea eb, fazendo a interse ̧ c ̃ ao, vemos que
os ́ unicos fatores primos ded s ̃ ao 2 e 5. Assimd = 2x· 5y. O n ́ umero
x n ̃ ao pode ser maior que 3 e 4, que s ̃ ao os expoentes do fator primo 2
todas as possibilidades, podemos listar os divisores comuns de a e de b.
x = 0 e y = 0 ⇒ d = 20 50 = 1.
x = 0 e y = 1 ⇒ d = 20 51 = 5.
x = 1 e y = 0 ⇒ d = 21 50 = 2.
x = 1 e y = 1 ⇒ d = 21 51 = 10.
x = 2 e y = 0 ⇒ d = 22 50 = 4.
x = 2 e y = 1 ⇒ d = 22 51 = 20.
x = 3 e y = 0 ⇒ d = 23 50 = 8.
x = 3 e y = 1 ⇒ d = 23 51 = 40.
divisor comum deles ́ e 12, quais s ̃ ao estes n ́ umeros?
Solu ̧ c ̃ ao. Como 12 ́ e omdc dos dois n ́ umeros e cada um tem dois algaris-
mos, os ́ unicos candidatos s ̃ ao os m ́ ultiplos de 12 menores do que 100, ou
seja, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 e 96. Como 1728 = 12· 12· 12 = 26· 33,
os m ́ ultiplos 60 (com fator 5) e 84 (com fator 7) n ̃ ao s ̃ ao divisores de