Obra: Cálculo (Volume 1)/Derivadas
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo derivadas funções são criadas para refletir comportamento de certos entes físicos ou estados de valores porém existe outro meio para analisar comportamento dos números que não conhecemos trata se da derivação um processo destinado analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos largamente utilizado hoje em dia vamos criar os conceitos desde início para entender como estão fundamentados os princípios de derivação com estes teremos meios de analisar vários problemas sob ótica infinitesimal das pequenas variações introdução coeficientes angulares seja uma reta definida pelos pontos existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa inclinação da reta definimos como coeficiente angular de uma reta seguinte razão resultado desta relação um número que expressa quanto reta está inclinada comparada com eixo da variável independente pois quanto maior for coeficiente angular de uma reta mais próximo ela estará de ser uma reta vertical coeficiente constante para qualquer segmento de uma reta fixada visivelmente igual tangente do ângulo formado entre reta eixo agora imagine que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva em uma função para qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta geralmente temos diferentes valores de para cada par de pontos que tomamos para fazer seu cálculo isto se deve ao fato de que inclinação varia ao longo da curva que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um diferente considerando uma função teríamos sobre seu gráfico os pontos podemos denotar distância de até por deste modo logo teríamos esta relação nos dá inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto outro estabelecida pela distância que nos fornece imaginando que gráfico da função seja uma curva suave podemos partir da equação anterior encontrar os valores de verificar qual inclinação aproximada da curva para cada ponto note que quando diminuímos módulo de equação se torna mais precisa no sentido de fornecer uma melhor aproximação para coeficiente angular de um pequeno trecho da curva pois cada segmento que analisado se torna menor logo temos condições de analisar mais segmentos da curva definição imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta com seu respectivo coeficiente angular como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar declividade cada ponto da curva observe figura seguir que mostra gráfico da função algumas retas secantes passando pelo ponto onde px figura podemos constatar que função tem as seguintes características função expressa pelo gráfico apresenta uma sinuosidade no intervalo entre função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo dada uma sequência de pontos cada vez mais próximos de traçamos as retas partindo do ponto fixado passando pelos pontos correspondentes na sequência desta forma podemos observar que no caso da sequência apresentada na ilustração reta possui uma inclinação maior que esta última possu
o caso da sequência apresentada na ilustração reta possui uma inclinação maior que esta última possui uma inclinação maior que além disso observamos ainda que quase não se consegue distinguir reta do gráfico da função nas vizinhanças do valor de seu domínio ou seja esta reta parece uma boa aproximação da função em torno de que importante saber que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma reta tangente ao gráfico da própria função no ponto medida que diminui distância entre um ponto da sequência seu limite vemos então que uma maneira de tornar inclinação da reta mais próxima da inclinação da função diminuir distância entre os pontos até limite de sua aproximação ou seja se tomarmos uma sequência de pontos que ficam cada vez mais perto de resultado que partir de algum momento os pontos tomados para cálculo de estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte uma vez que se obteve um valor de para cada ponto da sequência gostaríamos de definir inclinação de em ou para ser mais preciso inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto como sendo limite uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de de um certo conjunto podemos criar uma nova função que chamamos de função derivada de associando cada deste conjunto domínio da função derivada com correspondente inclinação de neste ponto nova função obtida através dos valores de esse artifício de criar uma função que nos dá declividade de uma outra função em cada ponto chamado de derivação uma vez que criamos uma função que derivada da primeira diferença entre os valores de quando levada ao limite próximo de zero também chamada de diferencial diferença entre os valores de quando diferencial levado ao limite chamada de diferencial por este motivo esta operação chamada de diferenciação pois se refere criação de variáveis diferenciais usando as diferenças entre neste caso para que as diferenciais por consequência derivada de uma função em um determinado ponto possam existir certas condições devem ser cumpridas pela função verifica se partir da definição de que em primeiro lugar limite da função no ponto deve existir verifique função deve estar definida no ponto seu valor ser igual ao limite isso nos lembra definição de continuidade de fato as condições acima significam que quando função diferenciável em um ponto ela também contínua no ponto fato de funções derivadas serem contínuas se deve existência do limite do valor da função no ponto uma vez que torna se possível existência do nestes casos portanto podemos em primeiro lugar verificar continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável se esta não for contínua temos condições de afirmar que mesma não diferenciável regras básicas para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas todas são consequências da definição podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição dos
ncias da definição podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição dos teoremas sobre limites de funções soma subtração demonstração pela definição temos portanto multiplicação demonstração pela definição temos somamos subtraímos na equação anterior portanto razão demonstração pela definição temos podemos lançar mão de mais um artifício algébrico somar subtrair que nos dá depois que aplicamos os limites resulta em natureza algébrica das diferenciais seja as diferenciais de quando sua derivada então demonstração pelo teorema da razão do limite que nos dá possibilidade de fazer desta forma os operadores são limites podem ser operados como tal de forma que obedecendo às regras das operações algébricas dos limites podem ser separados regra da cadeia função composta nos dá possibilidade de generalizar diversas funções permitindo sua simplificação sua derivada pode ser conseguida pela relação que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais de qualquer forma podemos demonstrá la como segue para simplificar interpretação do conteúdo usaremos notação de derivada em relação variável dependente nesta notação colocamos um um sobescrito da variável dependente ou seja símbolo indica derivada de em relação sua variável adotando esta notação para as derivadas temos queremos sabemos que para isso teríamos quando ocorre que pois as duas funções são contínuas depende de logo então derivadas algébricas simples podemos deduzir partir das regras comuns da definição equações que determinam derivada para as funções mais comuns adiante temos uma amostra destas equações suas demonstrações constante conforme constatamos fator demonstração façamos cálculo pela definição admitindo inicialmente que ponto onde pretendemos encontrar derivada tem logo que nos afirma validade do teorema variável com expoente constante demonstração temos pela definição considerando limite temos como única parte relevante pois todas as outras terão valores nulos no limite isto prova teorema diferenciação implícita considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação partir da regra da cadeia temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua método de diferenciação implícita muito útil como meio de simplificar resolução de diferenciais onde variável dependente de órdem superior idéia mestra deste mecanismo tornar implícito conteúdo da variável sem que seja necessária sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução vejamos um exemplo para simplificar explanação função realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora porém podemos esquecer resolução da equação considerar que diferenciação pode implicitamente ser operada diretamente na equação inteira desta forma partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar valor da derivada equação
esta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar valor da derivada equação que representa função apresenta dois valores possíveis para que nos dá duas derivadas quando substituímos valor de na sua derivada simplificando desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente reduzindo complexidade na aplicação das regras de derivação