Obra: Matemática elementar/Logaritmos
Matéria: Matemática
Nível: superior
árvore genealógica ilustrada até antepenúltima geração considere seguinte exemplo uma família decidiu construir sua árvore genealógica enquanto desenhavam na notaram que cada geração superior dobrava número de ascendentes na última geração havia um na penúltima dois na antepenúltima quatro assim sucessivamente qual geração em que há pessoas simples no entanto há impossibilidade de resolver cálculo para isto algumas calculadoras possuem tecla log portanto geração em que há ascendentes sétima geração anterior primeira tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo definição de logaritmo um logaritmo pode ser descrito como observe que em cada operação logaritmo potência raiz um elemento diferente está em evidência isto mostra qual destes ou necessário para resolução da equação sendo apenas inversão de outras duas operações as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências raizes vejamos um exemplo numérico abaixo neste caso dizemos que base logaritmando assim logaritmo de na base observação quando valor da base não está explicita considera se para base equações envolvendo logaritmos existem basicamente três métodos para resolução de equações com logaritmos desenvolvimento na forma de potência na resolução de equações envolvendo logaritmos de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais nestes casos convertemos logaritmo para uma potência por exemplo que pode ser entendida como esse tipo de comparação facilita compreensão do problema em questão de muitos outros semelhantes neste caso basta pensarmos que expoente devemos elevar base para obtermos potência conclui se que pois logaritmo como variável logaritmo pode também ser entendido como uma função por exemplo se temos uma função operamos com os princípios da álgebra isto ocorre também com os logaritmos exemplo na álgebra para podermos operar termos necessário que parte literal de cada monômio seja igual com os logaritmos isto ocorre de forma similiar para podermos operar logaritmos de forma análoga álgebra fundamental que base logaritmando sejam iguais veja outro exemplo com logaritmos podemos interpretar de maneira semelhante logaritmo em funções compostas além de aparecer em parcelas de uma soma ou em fatores como visto nos dois últimos exemplos logaritmo pode aparecer em qualquer outra função pode estar no quociente de uma divisão no expoente de uma potência no radicando de uma raíz ou até mesmo no logaritmando de um outro logaritmo em alguns casos muito comum recorrermos alguma substituição para podermos visualizar melhor equação por exemplo função logaritmica na tabela abaixo vejamos os resultados obtidos na função log right note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica portanto gráfico será representado por uma curva pode se observar ainda nesse exemplo que quanto menor for mais próximo de zero será mas não há valor para que faça ser nulo neste caso intervalo do domínio da função chamamos de raíz da função os valores de em que isto
nulo neste caso intervalo do domínio da função chamamos de raíz da função os valores de em que isto os pontos em que curva intersepta eixo das abscissas no exemplo anterior isto ocorre quando vejamos caso abaixo de veja que os valores de possuem alternância de sinal que faz haver descontinuidade desta forma uma função do tipo loga em que mesmo que xy pensemos qual expoente que elevado uma base qualquer produz uma potência igual base único expoente que satisfaz esta condição portanto logx sabemos que logx igual xy único expoente que elevado uma base qualquer que produz uma potência inversa base logo logx já que logx mesmo que xy devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual único expoente zero assim logx operações com logaritmos existem várias regras que visam facilitar resolução de logaritmos para as demonstrações seguir consideraremos logca logcb assim cx cy soma demonstração podemos utilizar propriedade do produto de potências convertemos último resultado de potência para logaritmo como cx cy logca logcb substiuímos termos correspondentes multiplicação por constante demonstração partir de transformamos último resultado em logaritmo substituindo os termos correspondentes subtração demostração podemos transformar expressão na seguinte forma assim temos uma soma de logaritmos sendo que um deles está multiplicado por uma constante aplicaremos então propriedade do produto por uma constante utilizado propriedade do expoente negativo teremos considerando propriedade da soma de logaritmos portanto mudança de base consideraremos os valores para demonstração ii demonstração para chegar ao resultado da expressão tomamos seguinte valor inicial multiplicaremos as duas últimas equações por aplicaremos propriedade da multiplicação por constante na primeira equação usaremos propriedade da potência de uma potência multiplicação de expoentes substituímos com resultado em ii sabemos cx em substituimos pela primeira equação de pela primeira equação de ii que prova igualdade da propriedade outras propriedades as quatro propriedades descritas anteriormente soma subtração multiplicação mudança de base são fundamentais para cálculo de logaritmos existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos são elas inversão do logaritmando esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base pela propriedade temos que demonstração multiplicando log por teremos utilizando propriedade da multiplicação por constante que resulta em bases com expoentes demonstração pela propriedade da mudança de base temos que podemos retirar do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante temos um caso de logaritmos em que base igual ao logaritmando logb que igual reescrevendo pela multiplicação por constante observe que em podemos ter um final diferente para esta propriedade ao multiplicarmos equação por troca da base pelo logaritmando
final diferente para esta propriedade ao multiplicarmos equação por troca da base pelo logaritmando demonstração pela propriedade da mudança de base temos que ocorreu caso de um logaritmo no qual base igual ao logaritmando logxx que igual elevando se equação podemos reescrevê la divisão multiplicação de logaritmos podemos simplificar uma divisão de logaritmos através da propriedade da mudança de base na qual necessário que os logaritmos tenham mesma base demonstração multiplicação também definida pela mudança de base na equação abaixo desmembramos denominador da divisão dividindo equação por logca elevando se equação utilizando propriedade da troca da base pelo logaritmando multiplicando equação por logca que prova multiplicação de logaritmos cologaritmos cologaritmos são definidos pela seguinte expressão pela propriedade da inversão do logaritmando podemos reescrevê los como exercícios ver matemática elementar logaritmos exercícios