Obra: Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração
Matéria: Matemática
Nível: médio
wikiversidade disciplina cálculo ii considerações iniciais integração um processo que demanda certa habilidade técnica ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos além disso meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver sua essência problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir resultados algébricos diversos quando tomadas técnicas diversas que concordam porém em resultado numérico devido necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos teremos mais exemplos neste capítulo uma ótima maneira de introduzir conteúdo enquanto teoria exposta natureza diversa das formas de integrais nos obriga fazer este estudo parte pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação este objetivo deste capítulo trazer ao leitor os processos de integração as diversas possibilidades de simplificação de funções para aplicação destes processos por partes técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado fórmula da regra da diferencial do produto ou seja que após antidiferencial se torna portanto utilização desta fórmula para melhorar processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação processo consiste em observar função ser integrada como sendo uma integral ou seja devemos separar função em duas partes uma chamamos de que consideraremos função primitiva outra dv que será uma diferencial desta forma faremos integração da parte dv para encontrar depois subtrairemos integral da mesma com relação diferncial de du parece um tanto incomun princípio porém após hábito no uso da técnica esta se torna muito útil outro fato deve ser explorado como processo demanda integração da diferencial dv nos vem questão sobre necessidade de utilização da constante de portanto façamos verificação da fórmula utilizando se ou seja constante dispensável para cálculo da integral que resulta em exemplo caso do logaritmo utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural separamos diferencial dx primitiva procedendo as operações inversas depois aplicando fórmula de integração por partes também há os que preferem simplificar mais desta forma sendo constante de exemplo caso do arcseno utilização da integração por partes para encontrar integral do arcseno separamos as partes operamos para encontrar as respectivas inversas assim aplicando fórmula da integração por partes agora consideremos seguinte logo portanto sendo nossa tradicional constante de exemplo caso do arccosseno utilização da integração por partes para encontrar integral do arccosseno separamos as partes operamos para encontrar as respectivas inversas depois aplicando fórmula da integração por partes agora consideremos seguinte logo portanto sendo nossa tradicional constante de exemplo caso do arctangente utilizando integração por partes para encontrar integra
nal constante de exemplo caso do arctangente utilizando integração por partes para encontrar integral do arctangente separando as partes operando as inversas aplicamos fórmula da integração por partes por outro lado onde podemos extrair voltando ao desenvolvimento da integral portanto novamente temos como contante de exemplo algébricas com exponenciais este um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes considerando as partes substituindo na fórmula de integração por partes segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado aplicando integração por partes mais uma vez portanto exemplo secante com expoente maior que utilizando integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que podemos fazer aplicar integração por partes finalmente com constante por substituição trigonomética existência de relações algébricas que nos levam arcos nos traz possibilidade de converter uma expressão algébrica uma função algébrica em uma função trigonométrica possibilidade de lidar com certas funções de forma trigonométrica nos leva utilizar os artifícios das identidades para simplificação dessas transformando expressões algébricas em trigonométricas três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para simplificação de algumas funções elas são sendo constante note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os lados de um mesmo triângulo se escolhermos um par variável constante substituirmos na equação teremos as expressões acima como resultantes teremos uma variável dependente para cada par variável constante por exemplo se fizermos teremos expressão como resultante imagine que temos uma nova variável que sendo podemos dizer que portanto quando exposto acima encontra respaudo no fato de que expressão simplesmente tradução da relação métrica de um triângulo retângulo para definição do cosseno partir do seno como segue px se fizermos comparação entre as funções gráfico acima substituindo as variáveis constantes de acordo com função dada teremos seguinte na função uma tangente na função um seno na função uma secante que nos dá as substituições expressão substituição substituição trigonométrica na integração agora considere fato de que função tem como integral função então podemos fazer uma vez que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos temos então temos que encontrar que nos revela algo interessante ou seja logo exemplo substituição por seno seja função calculemos sua integral por substituição trigonométrica fazendo transformação de variáveis integral será como portanto sendo constante de exemplo substituição por secante seja função calculemos sua integral por substituição trigonométrica se introduzimos variável angular de forma que sua diferencial substituindo na equação anterior retornando função ao domínio da variável portanto sendo constante de exemplo substituição por tangente seja fun
função ao domínio da variável portanto sendo constante de exemplo substituição por tangente seja função calculemos sua integral por substituição trigonométrica se introduzimos variável angular de forma que sua diferencial substituindo na equação anterior retornando função ao domínio da variável portanto sendo constante de funções racionais com denominadores lineares denominadores de segundo grau ou mais são um pouco mais problemáticos quando queremos definir uma integral por exemplo seja função possível demonstrar que função pode ser fatorada da seguinte forma onde são os fatores serem definidos processo para definí los será explicado mais adiante são as raízes da equação formada partir do denominador quando igualamos zero porém demonstração disto está fora do escopo deste livro deve ser tratado na algebra avançada em todo caso teorema bastante útil para simplificação de tais funções conceito da fatoração de funções racionais polinomiais as funções racionais do formato têm uma característica bem interessante os seus denominadores quando fatorados em partes lineares quadráticas permitem que possamos escrever referida função como uma soma seja função podemos simplificá la desta forma considerando as raízes da equação podemos dizer que os fatores são calculados fazendo logo as raízes permitem então temos que admitir que ao analisar cada raiz quando quando então podemos fazer simplificação de denominadores usada na integração artifício de encontrar componentes lineares para substituir os denominadores como exposto no tópico anterior permite uma boa simplificação de integrais com denominadores polinomiais de graus superiores porém ainda depende da determinação das raízes do polinômio dos denominadores que limita nossa capacidade de resolução aos polinômios biquadráticos sem levar em conta este fato podemos simplificar integral para uma boa parcela de problemas que apresentam estes formatos de expressões vejamos caso anterior função pode ser substituída por que nos permite fazer com constante exemplo decomposição do denominador em fatores lineares utilizando decomposição de funções racionais em funções de denominadores lineares para simplificação de integrais seja função encontremos integral devemos simplificar função para isto podemos efetuar divisão polinomial que resulta ainda resta uma parte fracionária que podemos decompor usando método que já vimos neste capítulo as raízes nos revelam que logo podemos fazer ou analisando os valores da equação quando se iguala as raízes para para podemos concluir que desta forma temos função simplificada podemos integrá la portanto sendo constante de funções racionais com denominadores quadráticos segunda categoria de funções racionais às quais temos que nos aplicar são as que dão origem denominadores quadráticos decompondo funções racionais em denominadores quadráticos quando não temos como encontrar as raízes de certos denominadores quadráticos podemos mantê los utilizar seguinte substituição teorema que estabel
ertos denominadores quadráticos podemos mantê los utilizar seguinte substituição teorema que estabelece esta relação faz parte da álgebra avançada portanto não entraremos em detalhe neste livro porém faremos uso de suas consequências como forma de simplificação como fizemos com decomposição de denominadores em fatores lineares vista na seção anterior melhor maneira de definir parte substituir variável nesta fazendo igual derivada do denominador ou seja no lado esquerdo da equação acima se houver variáveis de expoente maior que maior expoente do lado direito devemos proceder uma simplificação efetuando divisão dos polinômios caso contrário teríamos separamos cada fator de acordo com grau da variável obtendo para para logo porém em funções racionais mais comuns temos que lidar com funções com partes lineares quadráticas onde processo de encontrar os valores para depende das outras partes envolvidas para verificar processo vejamos próximo exemplo exemplo decomposição de funções racionais em denominadores quadráticos lineares utilizando decomposição de funções racionais com denominadores quadráticos para simplificar cálculo da integral seja função calculemos sua integral indefinida antes de tudo façamos simplificação dos polinômios primeiro faremos divisão simples do numerador pelo denominador da divisão separamos parte do resto procedendo decomposição dos fatores que nos permite fazer quando separamos os fatores para cada variável de expoente correspondente em ambos os lados da equação temos resolvendo sistema linear temos podemos escrever função como agora podemos integrá la numa conclusão imediata podemos dizer que porém em estudos onde se exige um tratamento mais algébrico com exponenciais logaritmos podemos adotar um formato como este portanto com constante por substituição hiperbólica se podemos fazer substituições trigonométricas em funções algébricas existem funções hiperbólicas por que não utilizar mesmo método de substituição com funções hiperbólicas temos mais esta possibilidade para simplificar integração de funções algébricas detalharemos nesta seção as formas de substituição com funções hiperbólicas que podem ser uma valorosa ferramenta para integração de funções mais complexas integrais resultantes das hiperbólicas inversas como conseqüência das derivadas de funções hiperbólicas inversas temos as seguintes integrais função derivada integral relacionada transformando funções algébricas em hiberbólicas técnica aqui exposta semelhante abordada na seção transformando expressões algébricas em trigonométricas diferença básica está nas expressões serem substituídas uma vez que as identidades trigonométricas hiperbólicas são sutilmente distintas as expressões seguem mesma tendência então vamos ver quais são as correspondentes algébricas para as funções hiperbólicas na função um seno hiperbólico na função uma tangente hiperbólica na função uma cotangente hiperbólica que nos dá as substituições expressão substituição em todas as substituições co
tangente hiperbólica que nos dá as substituições expressão substituição em todas as substituições consideramos um triângulo retângulo cujo vértice relacionado ao ângulo faz parte de uma perspectiva hiperbólica ou seja ângulo está em trata se de uma abstração que pode ser comprovada em cálculo avançado nosso objetivo aqui de fornecer as ferramentas necessárias para análises desse tipo substituição hiberbólica na integração considere função que sua integral seja então teremos concebemos uma nova variável de forma que sua diferencial substituindo na equação inicial temos ou seja porém devido natureza exponencial das funções hiperbólicas inversas ainda podemos transformar esta equação na forma puramente logarítmica finalmente funções racionais trigonométricas problema da integração de funções racionais trigonométrica consiste basicamente na característica da progressiva quando estas funções são submetidas às técnicas convencionais de substituição no momento que tentamos substituir expressão original temos que definir sua diferencial que implica na criação de mais um termo ser incorporado expressão original digamos que tenhamos que integrar função ao adotarmos linha tradicional de substituições teremos no entanto logo teremos que integrar de forma que que pelo menos uma função algébrica pura mas que ainda demanda um certo trabalho para ser integrada portanto concluimos que processo de substituição de variáveis diferenciais não ajuda muito nesta seção exporemos um método de substituição mais eficiente para estes casos usando as identidades trigonométricas apresentamos duas identidades que serão muito úteis para simplifição de funções racionais trigonométricas são elas seno em forma algébrica cosseno em forma algébrica basicamente são resultantes de um processo de substituição mais bem estruturado para possibilitar simplificação da integração cosseno em forma algébrica identidade relacionada ao cosseno apresentada antes da relacionada ao seno pois será útil para sua dedução considere seguinte definição logo dedutível que demonstração considerando identidade cosseno da soma temos por conseqüência se ou por outro lado substituindo na identidade temos que nos dá seno em forma algébrica ainda considerando definição também dedutível que demonstração da identidade anterior da identidade relacional básica fazendo as substituições logo integrando temos duas funções trigonométricas fundamentais na forma algébrica para substituir as originais na forma trigonométrica porém para integrar as funções racionais substituindo as por estas temos que encontrar uma diferencial correspondente para esta nova variável algébrica que criamos da definição inicial diferenciando da identidade relacionando tangente secante de onde concluimos que agora podemos encontrar integral proposta no início da seção para temos ou seja não incrível jamais poderemos nos esquecer de famigerada constante de que tanto nos persegue tabela de integrais para auxiliar nos cálculos consulte tabela de i
stante de que tanto nos persegue tabela de integrais para auxiliar nos cálculos consulte tabela de integrais na wikipédia