Obra: Cálculo (Volume 1)/Aplicações das integrais
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo ii integração na prática neste capítulo finalizamos primeiro livro desta série do estudo do cálculo teremos agora noção da quase infinita gama de utilizações que podemos fazer com integração que uma das ferramentas de estudo algébrico numérico mais frutíferas dentro da matemática integração fornece meios de calcular avaliar diversos problemas complexos das aplicações da integração teremos uma amostra das mais obviamente concebíveis iniciaremos estudo de áreas em superfícies planas delimitadas por curvas depois calcularemos volumes de objetos curvos determinar pressão que um líquido exerce sobre objetos curvos nele mergulhados poderemos também calcular comprimentos de curvas definidas for funções em um gráfico de coordenadas cartesianas áreas talvez esta seja mais óbvia aplicação para cálculo de integrais mas faremos algumas considerações sobre estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante processo de análise dos valores como conseqüência direta da definição da integral temos área sob da curva ser integrada eixo das abscissas seja função considerando que mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos fato de este sinal ser determinante para processo de somatórias consecutivas próprio da integral definida devemos considerar no cálculo possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos sinais da definição da integral de riemann temos obviamente pode ser estabelecido pode ser tomado como positivo se fizermos logo nos resta que arbitrário pois depende da função que nos leva concluir que sinal da função determina sinal da integral ou seja embora módulo da integral represente área delimitada pela curva eixo das abscissas seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos que nos indica que temos que analisar sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração calculando as áreas consideremos caso da função os valores do seno entre são positivos entre são negativos isto causa uma situação interessante uma vez que as áreas entre curva eixo dos dois intervalos quando observadas no plano cartesiano são identicas área das duas deveria ser dobro de uma delas entretanto integral calculada no intervalo entre nula esta razão pela qual devemos fazer módulo das integrais em cada intevalo de mudança de sinal para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam provocando erro no cálculo devemos verificar os intervalos onde função se torna negativa inverter sinal antes de efetuar soma de áreas em cada intervalo assegurando assim correto valor do total de unidades quadradas de área delimitadas pela curva eixo no caso da função acima teremos sob diversas situações devemos verificar comportamento do gráfico para que possamos determinar melhor maneira de calcular área no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar área de cada curva em relação ao eixo verificar comportamento das curvas no gráfico p
mos determinar área de cada curva em relação ao eixo verificar comportamento das curvas no gráfico para determinar forma de calcular na seção subseqüente veremos como determinar área delimitada por duas curvas exemplo sejam duas funções vamos calcular área da região delimitada pelas curvas entre as suas interseções gráfico abaixo representa as funções área que desejamos calcular qual chamamos de px inicialmente verifiquemos os pontos onde as funções se encontram ou seja os pontos onde se se em ambas as funções condições que nos revela intervalo entre obviamente devemos proceder subtração entre área delimitada pela reta área delimitada pela parábola no caso da reta poderíamos ainda fazer área do triângulo formado pela mesma eixo das abscissas porém façamos todo processo utilizando integração para que possamos ter um processo universal para cálculo de áreas desse tipo calculemos as integrais área que queremos encontrar logo unidades quadradas volumes considerando as diversas formas que encontramos na natureza podemos verificar que muito poucas têm formas regulares dificilmente poderíamos encontrar volume de um corpo sólido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana as curvas são comuns no nosso mundo muitas delas podem ser determinadas por equações porém antes que teoria do cálculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo cálculo os métodos descritos seguir são os mais básicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente no decorrer dos próximos volumes aprenderemos calcular formas mais complexas por hora os cálculos que aqui serão apresentados já fornecem uma gama de aplicações bem ampla no nosso mundo onde indústria usa cada vez mais curvas em seus produtos obviamente teremos curvas matematicamente determináveis para estes casos uma vez que homem geralmente usa métodos de computação para criar seus produtos hoje em dia curvas rotacionadas imaginemos que tenhamos uma curva matematicamente determinável uma parábola por exemplo tenhamos área delimitada pela mesma eixo se fizermos com que eixo servisse de mastro girassemos parábola em torno do mesmo que teríamos teríamos um sólido formado pelas infinitas lâminas em forma de parábola efeito da rotação de uma parabola pode ser visualizada pelo gráfico tridimensional que vemos que chamados de parabolóide um sólido semelhante ao recipiente de líquido de uma taça considerando parte interna preenchida teremos um volume ser calculado que podemos fazer utilizando cálculo parabolóide efeito da rotação de uma elipse pode ser visualizada da mesma forma que nos possibilita ver que chamados de elipsóide um sólido semelhante um ovo de réptil volume ser calculado também pode ser conseguido através do cálculo elipsóide sólidos delimitados por uma curva método para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas como expostas acima consiste na divisão do sólido em discos com raio igual ao valor da
rotacionadas como expostas acima consiste na divisão do sólido em discos com raio igual ao valor da função que está sendo rotacionada ou seja para cada ponto da função teremos um disco de raio determinado pela mesma que nos permite fazer uma somatória de discos que acompanham contorno da curva vejamos desenho abaixo seção de um sólido temos função variando ao longo do eixo que nos permite dizer que uma reta perpendicular ao eixo que passa por um ponto do gráfico um raio de um disco em um intervalo onde no qual agrupemos pares de valores nas abscissas de forma que valor médio da função seja tomando cada disco com um volume aproximado de considerando que precisão do cálculo aumenta quando os discos se tornam menos espessos temos que admitir que existe uma norma de partição que pode ser definida para intervalo que pretendemos calcular portanto podemos fazer onde temos um volume de disco para cada ponto da curva norma pode ser inversamente proporcional ao número logo verificamos que ou intervalo refere se uma parte do sólido da qual queremos calcular volume exemplo calcular volume do sólido de revolução criado pela rotação da parábola em torno do eixo das abscissas no intervalo aplicando fórmula anteriormente vista temos volume unidades cúbicas sólidos delimitados por duas curvas agora podemos definir um sólido oco ou seja para que um sólido tenha uma abertura devemos delimitar uma face externa outra interna que nos pede que tenhamos uma curva para cada face para determinação das duas faces considere as duas funções sendo que para determinar sólido de forma regular estabelecemos seguinte conjunto de regras observemos ilustração seguir plano dos eixos consideremos um corte que nos permita observar uma fatia do sólido como podemos ver retângulo que tomamos no centro do desenho representa uma fatia de um disco oco agora podemos encontrar volume ocupado pelo sólido no espaço delimitado pelas duas funções considerando que as duas sofrem rotação mantendo eixo como base de rotação conforme fizemos no caso do tópico anterior com uma função única diferença que temos um volume que deverá ser subtraido do outro segundo mesmo raciocínio da análise anterior verificamos que volume de um disco de seção do sólido no intervalo pode ser determinada como seque inevitavelmente vemos correspondência entre os dois casos simplesmente há uma subtração de volumes que veremos refletida no resultado final prosseguindo façamos somatória dos valores das seções dentro do intervalo quando as parcelas diminuem finalmente encontramos volume ou exemplo calcular volume do sólido gerado pela rotação das curvas em relação ao eixo das abscissas considerando intervalo entre ponto de encontro das duas curvas antes de tudo vamos encontrar ponto de encontro das curvas ou seja as curvas se encontram quando devemos encontrar volume entre as duas curvas no intervalo que nos fornece um volume aproximado de unidades cúbicas cilindros concêntricos agora imaginemos um sólido cujo eixo se encontra n
ximado de unidades cúbicas cilindros concêntricos agora imaginemos um sólido cujo eixo se encontra nas ordenadas ou seja para cada ponto da função teremos uma circunferência se traçarmos uma reta até eixo das abscissas para cada ponto teremos cilindros concêntricos ao eixo das ordenadas para definir volume do cilindro consideremos intervalo para espessura do cilindro em chamamos de partição dentro de há sempre uma subpartição que maior qual chamamos de norma identifincando como existindo os números de forma que volume de um pequeno segmento do cilindro somamos todos os segmentos para encontrar volume total se levarmos os subintervalos entre os valores de números cada vez menores teremos ou seja como podemos fazer concluimos que ou exemplo encontrar volume do sólido gerado pela rotação da curva cujo eixo de revolução eixo das ordenadas no intervalo das abscissas da fórmula do cálculo temos podemos usar integração por partes chegar temos um volume aproximado de unidades cúbicas lâminas paralelas os métodos anteriormente utilizados para cálculo de volumes podem ser englobados em um conceito geral no qual podemos fazer soma de pequenos segmentos de um sólido encontrando volume total uma forma de fazer isso utilizar secionamento de forma relacionar área de cada seção variável independente ou seja se temos seções trasversais perpendiculares ao eixo da variável independente podemos relacionar área de cada lâmina ao valor da variável temos um meio de integrar todas as lâminas encontrar volume do sólido com uma somatória das mesmas considerando área da seção volume uma vez que quando temos que temos seções dentro do intervalo onde maior norma podemos concluir que somatória levada no limite ser integral ou seja para que possamos encontra área nestes casos basta encontrar integral definida da função área sempre que for possível encontrar uma função contínua da área da seção em relação variável independente poderemos encontrar volume do sólido integrando esta função área exemplo calcular volume do sólido formado por um cilindro circular reto cuja base tem centro na orígem dos eixos cartesianos paralela ao plano dentro de um raio de unidades sendo secionado por um plano que passa pelos pontos equidistante do eixo retiramos as informações do problema proposto que nos diz que altura do cilindro para cada valor de igual da reta determinada pelos pontos que pertencem ao plano uma vez que plano perpendicular ao plano logo que define reta seções do cilindro perpendiculares ao eixo tem bases que crescem medida que valor de aumenta cujo valor pode ser obtido por diante disto podemos verificar que sólido pode ser definido por seções trangulares perpendiculares ao eixo portanto fazemos pois há faixas onde que nos obriga aplicar correção agora vamos calcular integral indefinida se tivermos substituimos redefinindo ou seja logo volume unidades cúbicas pressão dos líquidos esta uma aplicação bastante interessante considere que tenhamos que calcular pressão que um líquido
esta uma aplicação bastante interessante considere que tenhamos que calcular pressão que um líquido exerce sobre um objeto imerso em algum líquido se objeto plano cálculo dessa pressão força total sobre superfície fácil de ser calculada porém se objeto curvo força se distribui ao longo do corpo temos um problema complexo nas mãos investigaremos agora uma aplicação da integral para solução deste problema adotemos as sequintes nomenclaturas para as definições que se seguem pressão volumétrica pressão superficial força área volume altura então da definição de física pressão em um líquido contido num recipiente de volume ou seja se volume do corpo for unitário força que atua sobre ele igual presão volumétrica porém se quisermos saber pressão exercida pelo líquido sobre uma superfície fazemos ou porém imaginemos que corpo uma lâmina mergulhada verticalmente desejamos obter força total exercída pelo líquido sobre mesmo inevitavelmente veremos que força aumenta com altura sua somatória não será algo convencional se área da superfície do objeto for curva consideremos que largura do objeto ao longo da linha vertical que define altura seja altura seja se tomarmos uma partição onde tivervos diversos dentro de um intervalo ainda temos que pelo princípio de pascal pressão mesma em todas as direções em algum ponto do líquido que nos leva concluir que logo uma boa aproximação do valor da força porém se fizermos com que seja cada vez maior até valores que tendam infinito podemos fazer ou que nos leva exemplo comprimentos de curvas esta mais uma interessante aplicação das integrais com elas podemos calcular comprimento de curvas utilizando uma generalização da regra do cálculo da distância entre dois pontos qual já conhecemos da matemática de nível médio sabemos que distância entre dois pontos se existe uma curva entre os pontos podemos subdividir intervalo entre os dois pontos de forma que tenhamos propomos um índice para que tenhamos para cada subintervalo dentro de se defirmos ponto médio para cada subintervalo como sendo distância entre dois pontos dentro desse subintervalo uma boa aproximação do comprimento da curva pode ser encontrada fazendo se definindo uma norma para partição no intervalo teremos logo exemplo