Obra: Matemática elementar/Conjuntos
Matéria: Matemática
Nível: médio
em matemática conjunto uma coleção de objetos chamados elementos os elementos podem representar qualquer coisa números pessoas letras etc até mesmo outros conjuntos um conjunto pode conter outro conjunto inclusive incorretamente chamada de teoria dos conjuntos no ensino médio essa teoria existe mas não tratada no ensino médio sendo teoria mais conhecida axiomática de zermello frankel zfc relacionado ao axioma da escolha tratada de forma elementar no livro teoria ingênua dos conjuntos de paul halmos traduzida para português pelo prof irineu bicudo trata se de um conceito primitivo um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém ou seja dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos representação conjunto seus elementos matematicamente conjunto representado por uma letra do alfabeto latino maiúscula já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas representação completa do conjunto envolve colocação dos elementos entre chaves da seguinte maneira para um conjunto de elementos exceção feita conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas por exemplo pontos geométricos especificando conjuntos maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto através de uma lista de seus elementos entre chaves conforme descrito nas seções anteriores informalmente usa se sinal quando regra de formação do conjunto óbvia partir da enumeração de alguns elementos por exemplo os conjuntos abaixo primeiro com um número finito segundo com um número infinito de elementos conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves porém há notações alternativas para representar os conjuntos como chamada notação de composição do conjunto que utiliza uma condição para definir os elementos do conjunto uma função na variável que tem domínio igual ao conjunto variável pode estar limitada por outro conjunto indicando se relação de pertinência adequada por exemplo conjunto será formado de acordo com desenvolvimento da equação dada por únicos números inteiros que satisfazem condição ou seja que tornam verdadeira equação logo um cuidado deve ser tomado com propriedade já que formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais terminologia conjunto unitário um conjunto unitário possui um único elemento conjunto vazio todo conjunto também possui como subconjunto conjunto vazio representado por ou podemos mostrar isto supondo que se conjunto vazio não está contido no conjunto em questão então conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença este conjunto como conjunto vazio não possui elementos isto não possível como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros permissível falar de um único conjunto sem elementos subconjuntos um subconjunto de dizemos que um conjunto subconjunto de outro conjunto quando todos os elementos de também pertencem por exemplo nesse caso subconjunto de indica se deve se reparar qu
os elementos de também pertencem por exemplo nesse caso subconjunto de indica se deve se reparar que subconjunto de si mesmo os subconjuntos de que não são iguais são chamados subconjuntos próprios nota conjunto vazio ou phi um subconjunto de todos os conjuntos conjunto das partes ou potência dado um conjunto definimos conjunto das partes de como conjunto que contém todos os subconjuntos de incluindo conjunto vazio próprio conjunto uma maneira prática de determinar pensar em todos os subconjuntos com um elemento depois todos os subconjuntos com dois elementos assim por diante exemplo se então observação se conjunto tem elementos conjunto terá elementos ou seja demonstração seja conjunto de partes de número de elementos distintos de se se se se formado por somado às possíveis combinações dos elementos de com taxa variando de assim número de combinações com taxa variando de somado responsável por pelo com soma das linhas mas provando portanto que número de elementos do conjunto de partes de dois elevado ao número de elementos distintos de nota conjunto das partes uma álgebra booleana sobre as operações de união interseção teorema de cantor estabelece que conjunto universo em certos problemas da teoria dos conjuntos preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados assim todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior que conhecido como conjunto universo ou simplesmente universo por exemplo em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros conjunto dos números inteiros conjunto universo em um problema envolvendo palavras consideradas como conjuntos de letras universo alfabeto relações entre conjuntos relação de inclusão para relacionar um conjunto com outro conjunto ou subconjunto utilizamos relação de inclusão exemplo se considerarmos conjunto formado por todas as letras do alfabeto conjunto formado pelas vogais podemos dizer que contém ou está contido em relação de pertinência se um elemento de nós podemos dizer que elemento pertence ao conjunto podemos escrever se não um elemento de nós podemos dizer que elemento não pertence ao conjunto podemos escrever exemplos subconjuntos próprios impróprios se são conjuntos todo elemento pertencente também pertence então conjunto dito um subconjunto do conjunto denotado por note que esta definição inclui caso em que possuem os mesmos elementos isto são mesmo conjunto se ao menos um elemento pertencente não pertence então chamado de subconjunto próprio de denotado por todo conjunto subconjunto dele próprio chamado de subconjunto impróprio igualdade de conjuntos dois conjuntos são ditos iguais se somente se têm os mesmos elementos ou seja todo elemento de elemento de vice versa simbologia usada se um conjunto não igual outro utiliza se símbolo simetria de conjuntos um conjunto dito simétrico se para todo elemento pertencente ele houver também um elemento pertencente esse conjunto os conjuntos numéricos são simétricos operações com conjunto
m um elemento pertencente esse conjunto os conjuntos numéricos são simétricos operações com conjuntos união de em azul mais escuro união de dois conjuntos um conjunto que contém todos os elementos de todos os elementos de nada mais além disso ou então dado um universo dois conjuntos chama se união de co união de dois conjuntos um conjunto que contém todos os elementos de todos os elementos de nada mais além disso ou então dado um universo dois conjuntos chama se união de co ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto ou ao conjunto matematicamente por exemplo observar no último exemplo que os elementos repetidos não aparecem na união união de um conjunto qualquer que seja com conjunto vazio igual ao próprio conjunto também deve ser observado que operação de união comutativa ou seja intersecção intersecção de em azul mais escuro intersecção de dois conjuntos conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos ou então dados dois conjuntos pertencentes um universo chama se intersecção de com ao conjunto cujos elementos pertencem tanto quanto matematicamente por exemplo observar no último exemplo que dado os conjuntos não terem elementos iguais intersecção resulta num conjunto vazio diferença diferença menos em azul mais escuro dado um universo ao qual pertencem dois conjuntos chama se diferença de menos ao conjunto de elementos que pertencem não pertencem chama se de diferença de menos ao conjunto de elementos que pertencem não pertencem matematicamente por exemplo conjunto definido pela diferença entre os números inteiros números naturais igual ao conjunto números inteiros não positivos subtração de um conjunto menos um conjunto vazio igual ao próprio conjunto complementar complementar de em relação em azul mais escuro dado um universo diz se complementar de um conjunto em relação ao universo conjunto que contém todos os elementos presentes no universo que não pertençam também define se complementar para dois conjuntos contanto que um deles seja subconjunto do outro nesse caso diz se por exemplo complementar de em relação sendo um subconjunto de complementar relativo usa se símbolo matematicamente exemplo cardinalidade cardinalidade de um conjunto representa quantidade de elementos do conjunto exemplos se então cardinalidade do conjunto se então cardinalidade do conjunto se um conjunto tem elementos onde um número natural possivelmente então diz se que conjunto um conjunto finito com uma cardinalidade de ou número número cardinal mesmo se conjunto não possui um número finito de elementos pode se definir cardinalidade graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático georg cantor neste caso cardinalidade poderá ser aleph zero nos dois casos cardinalidade de um conjunto denotada por ou por se para dois conjuntos possível fazer uma relação um um ou seja uma bijeção entre seus elementos então problemas matemáticos sobre cardinalidade os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes
s problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes dada cardinalidade de alguns conjuntos suas interseções uniões ou diferenças pede se cardinalidade de algum conjunto derivado dele dada proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto universo pede se este número para outro subconjunto um problema típico simples do primeiro caso em uma escola existem duas atividades extra escolares artesanato ou bioterrorismo alunos fazem artesananto alunos fazem bioterrorismo alunos fazem ambos quantos alunos fazem alguma atividade extra um problema típico simples do segundo caso em uma cidade da população foi exposta ao antrax da população foi exposta peste bubônica da população não foi exposta antrax nem peste bubônica quantas pessoas foram expostas antrax peste bubônica resolução nos dois casos deve ser feita com diagrama de venn marcando se em cada pedaço número ou porcentagem de elementos começando se sempre do mais interno para mais externo no caso da porcentagem deve se levar em conta que total do universo exercícios matemática elementar conjuntos exercícios par ordenado um par ordenado uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida existe primeiro elemento ou primeira coordenada segundo elemento ou segunda coordenada diferentemente do conjunto um par ordenado simbolizado por precisa ser apresentado em uma determinada ordem dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais os segundos elementos são iguais ou seja porém par ordenado pode ser representado como um conjunto tal que não existe ambiguidade quanto ordem esse conjunto observar que formato do conjunto que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par um conjunto contendo primeiro elemento elimina possibilidade de ambiguidade quanto ordem notação também conhecida como intervalo aberto produto cartesiano dados dois conjuntos chama se produto cartesiano de em ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente segunda coordenada seja pertencente símbolo do produto cartesiano matematicamente produto cartesiano de dois conjuntos conjunto de pares ordenados soma ou união disjunta de dois conjuntos conjunto produto cartesiano não comutativo quem desenvolveu conceito de produto cartesiano foi matemático descartes quando desenvolvia geometria analítica ele enunciou por exemplo que produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais imagine os eixos das abcissas ordenadas num gráfico igual um plano relações na teoria dos conjuntos qualquer subconjunto do produto cartesiano chamada relação de em assunto abordado com mais detalhes na próxima seção notas ver também wikilivros teoria dos conjuntos texto mais avançado wikipédia conjunto complementar diagrama de venn diagrama de euler teoria dos conjuntos ligações externas números naturais primeira parte números naturais segunda parte critérios de divisibilidade exercícios resolvidos de mdc mmc divisores
úmeros naturais segunda parte critérios de divisibilidade exercícios resolvidos de mdc mmc divisores números inteiros frações frações números decimais números racionais frações números decimais exercícios