Obra: Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Tablôs semânticos no CQC
Matéria: Matemática
tablôs semânticos no cqc tablôs semânticos no cqc seguem as mesmas regras que no cpc adicionando regras para lidar com os quantificadores as variáveis este texto partirá do princípio que já tenha sido lido artigo lógica cálculo proposicional clássico tablôs semânticos tablôs de fórmulas recapitulemos as regras de construção de tablôs já conhecidas imagem regras de construção de tablos gif em vista destas regras já conhecidas podemos facilmente verificar que seguinte fórmula válida relembremos procedimento de construção de tablôs supor que fórmula seja falsa desenvolver esta suposição caso cair em contradição mesma fórmula receber dois valores distintos em todos ramos do tablô concluir que ela não pode ser falsa que no caso do cqc significa concluir que ela universalmente válida façamos tablô da fórmula em questão imagem crystal clear gray action button ok png muito simples de fato consiste numa instância de tautologia do princípio de identidade obviamente nem todas fórmulas válidas do cqc são instâncias de tautologia não tardemos tratar delas exemplo comecemos por uma fórmula simples que envolva quantificador universal ela poderia significar algo como se todos indivíduos do sistema em questão são geômetras então euclides geômetra que intuitivamente parece válido como veremos de fato primeiro passo supor que ela seja falsa temos falsidade de uma implicação então temos que supor que antecedente seja verdadeiro conseqüente falso imagem crystal clear gray action button ok png já estamos diante de uma novidade verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador universal vejamos como lidar com isto significa que predicado de todas constantes individuais do sistema assim sendo verdade no tablô então podemos inserir nele etc sendo todas verdadeiras não precisamos ter certeza que etc realmente estão inseridas no sistema podemos apenas supor isto aliás todo tablô uma suposição obviamente inserir no tablô que são verdadeiras em nada nos serve neste caso contudo se inserirmos que verdadeira único ramo do tablô fecha validade de fica provada imagem crystal clear gray action button ok png repare que não marcamos com um imagem crystal clear gray action button ok png como fazíamos com outras fórmulas usadas afinal ainda há infinitas outras fórmulas além de que podem ser extraídas da verdade de exemplo intuitivamente podemos dizer que fórmula não válida afinal não porque predicado de uma constante que necessariamente seja predicado de todas constantes de qualquer forma façamos tablô que fazer com falsidade de uma fórmula geral que contém quantificador universal se falso que predicado de todas as constantes individuais então deve haver alguma constante individual is que se for predicado elas tem se uma fórmula falsa mas quais podemos supor quaisquer constantes individuais desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô ou seja podemos inserir no tablô falsidade de etc contudo não podemos inserir falsidade de pois constante já aparece no ramo entã
blô falsidade de etc contudo não podemos inserir falsidade de pois constante já aparece no ramo então tablô fica aberto concluímos que fórmula não válida exemplo vejamos como fazer um tablô de uma fórmula que não contenha constantes individuais já vimos que dada falsidade de uma fórmula geral que contém quantificador universal podemos remover quantificador substituir variável por uma constante individual desde que ela ainda não tenha aparecido no ramo do tablô como não há constantes individuais no tablô em questão estamos livres para usar de qualquer constante imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png exemplo vejamos finalmente uma fórmula que contém quantificador existencial imagem crystal clear gray action button ok png como lidar com falsidade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial vejamos se falso que existe alguma constante individual qual forme uma fórmula atômica verdadeira com constante de predicado então podemos inserir no tablô falsidade de qualquer fórmula atômica formada por etc se inserirmos falsidade de tablô fecha concluímos validade da fórmula imagem crystal clear gray action button ok png validade desta fórmula também intuitivamente evidente se euclides geômetra então alguém geômetra bastante óbvio vejamos agora um exemplo mais complicado exemplo anteriormente foi dito que equivalente ou seja que válida façamos tablô para verificar se isto está correto imagem tablo formula jpg foi feito todo ramo esquerdo do tablô direito até chegarmos uma novidade verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial antes de tratar disto vejamos que foi feito do lado esquerdo fórmula não continha constantes individuais nos deixando livres para inserir qualquer constante que no caso não foi gratuitamente que comecei pela falsidade de como vimos acima dada falsidade de uma fórmula geral que contém quantificador universal podemos remover quantificador substituir variável por uma constante individual desde que ela ainda não tenha aparecido no ramo do tablô se começássemos pela falsidade de depois não poderíamos usar mesma constante individual fim de encontrar contradição agora vejamos como lidar com verdade de uma fórmula geral formada pelo quantificador existencial se verdade que são predicados de algumas das constantes individuais então deve haver alguma constante individual is que se forem predicadas elas tem se uma fórmula verdadeira mas quais podemos supor quaisquer constantes individuais desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô em vista disto procederemos na construção do tablô da seguinte forma trabalhar primeiro com verdade de depois com verdade de assim seja qual for constante individual que aplicarmos na primeira poderemos aplicar na segunda imagem tablo formula jpg exemplo vejamos agora um tablô de uma fórmula de múltiplos quantificadores imagem crystal clear gray action button ok png regras de construção de tablôs para fórmulas q
adores imagem crystal clear gray action button ok png regras de construção de tablôs para fórmulas quantificadas sendo uma variável individual uma fórmula onde ocorre alguma constante que substitui na fórmula temos para qualquer desde que seja nova no ramo desde que seja nova no ramo para qualquer nos casos em que constante adicionada deve ser nova no ramo fórmula recebe marcação pois não pode novamente ser usada um tablô que envolve fórmulas quantificadas está terminado se todos ramos do tablô fecharem caírem em contradição neste caso fórmula ou argumento válido ou se foram utilizadas todas fórmulas moleculares todos existenciais todos universais falsos que ocorrem em cada ramo foram utilizados foram utilizados cada universal verdadeiro cada existencial falso para cada constante individual do ramo se atendidas estas três condições tablô não fechar então fórmula ou argumento inválido tablôs de argumentos os tablôs das fórmulas acima fora exemplo são bastante simples afinal estavam sendo apresentadas as regras de construção de tablôs para quantificadores compensemos isto agora lidando com algo mais sofisticado formalização construção de tablôs de argumentos da lógica aristotélica relembrando processo de construção de tablôs de argumentos supor que argumento seja inválido ou seja que premissas podem ser verdadeiras conclusão falsa desenvolver esta suposição caso cair em contradição mesma fórmula receber dois valores distintos em todos ramos do tablô concluir que conclusão não pode ser falsa enquanto as premissas são verdadeiras exemplo vejamos silogismo categórico barbara todo um todo um todo um na linguagem simbólica do cqc ele pode ser expresso assim primeiro passo supor que as premissas sejam verdadeiras conclusão seja falsa estratégia adotada para resolver tablô será começar pela conclusão depois usar as premissas assim podemos inserir qualquer constante individual na conclusão depois remeter esta mesma constante nas premissas imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png agora utilizaremos as premissas aplicando mesma constante individual imagem tablobarbara jpg exemplo vejamos silogismo categórico darii todo um alguns cs são bs alguns cs são as na linguagem simbólica do cqc ele pode ser expresso assim primeiro passo pelo mesmo motivo do exemplo acima nossa estratégia começa usando segunda premissa na qual temos verdade de um existencial imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png agora usamos as demais fórmulas gerais do tablô aplicando constante imagem tablodarii jpg exemplo vejamos alguns casos de conversões lícitas do tipo nenhum logo nenhum este argumento pode ser expresso na linguagem do cqc da seguinte forma tablô para este argumento fica imagem tabloconversao jpg poderíamos expressar mesmo argumento da seguinte forma