Obra: Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas
Matéria: Matemática
definições funções trigonométricas são funções angulares importantes no estudo dos triângulos na modelagem de fenômenos periódicos podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo contendo ângulo ou de forma mais geral como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou de forma ainda mais geral como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais existem seis funções trigonométricas básicas cada uma com sua abreviatura notacional padrão seno em português maioria das linguagens de programação escrevem coseno tangente as últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas por outras palavras as quatro equações em baixo são definições não identidades demonstradas tangente secante cosecante cotangente seno cosseno tangente são as mais importantes as inversas destas funções são geralmente designadas de arco função isto arcsin arccos etc ou adicionando expoente ao nome como em sen cos etc resultado da função inversa ângulo que corresponde ao parâmetro da função por exemplo arcsen trigonometria do triângulo retângulo left as funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos com base no triângulo retângulo ao lado segmento hipotenusa lado oposto ao ângulo de segmento cateto adjacente ao lado do ângulo cateto oposto ao ângulo tais funções são constantes para um mesmo ângulo pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções as funções trigonométricas são utilizadas em geometria portanto para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo seno cosseno tangente dos ângulos na tabela abaixo temos seno cosseno tangente dos principais ângulos em decimais seno cosseno tangente veja que os valores crescentes de sen são os mesmos para cos entretanto são decrescentes além disso maioria dos senos cossenos tangentes dos ângulos são números irracionais são portanto com infinitas casas decimais não periódicas todavia pode se obter valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica você pode conferir forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui em inglês ângulos notáveis px os ângulos notáveis são ângulos que se pode facilmente obter forma algébrica por meio de triângulos retângulos consideremos um triângulo retângulo que corresponde metade de um triângulo equilátero de lado uc tem portanto sua hipotenusa igual seu lado igual uc seu lado igual altura do triângulo equilátero uc assim que seno de cosseno de seno de cosseno de são obtidos de forma similar assim possível obter as demais funções trigonométricas para para considera se um triângulo retângulo igual metade de um quadrado de lado uc tem então hipotenusa de medida uc diagonal do quadrado os catetos de medida uc os lados do quadrado de forma mais simples os valores do seno dos cinco ângulos notáveis são quociente entre em que raiz de cada um dos cinco termos de uma progressão aritmética em que razão igual cosseno destes ângulos ordem decrescente da progressão pa seno cosseno tangente obt
que razão igual cosseno destes ângulos ordem decrescente da progressão pa seno cosseno tangente obtida pela dividindo se seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno pois que resulta tangente de não definida pois impossível que ângulo entre hipotenusa os catetos seja círculo trigonométrico considerando um círculo de uc de raio este tem sua circunferência igual uc portanto um setor de um grau deste círculo corresponde podemos transformar unidade de medida uc unidades de comprimento em rad radianos assim podemos dizer que colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm se os valores em que cosseno do ângulo seno center observa se em tais valores que medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno cosseno tem seu sinal alternado perfeitamente notável que tais funções seguem então uma periodicidade infinita seus valores repetiram cada volta do círculo deste mesmo círculo pode se obter as demais funções trigonométricas que não são mais que relações do triângulo retângulo entre origem coordenada ponto center gráficos podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano em que eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos eixo das ordenadas ao contradomínio da função seno colocando se os resultados obtidos para função seno num plano obteremos center observe que função seno uma função ímpar pois sen sen qualquer que seja pertencente aos números reais note que esta função composta por infinitos intervalos dizemos então que período da função sen quanto ao contradomínio ele pertence ao intervalo distância entre centro limite da função amplitude neste caso amplitude da função igual gráfico da função seno forma uma senoide pode se determinar seno de qualquer ângulo através das seguintes equações para as quais onde um ângulo qualquer um número inteiro cosseno gráfico da função cosseno seguinte center esta uma função par pois cos cos qualquer que seja pertencente ao conjunto dos números reais igual função seno função cosseno tem período igual amplitude igual gráfico da função cosseno forma uma cossenoide de forma similar função seno podemos transformar qualquer ângulo real para assim obter seu cosseno para as quais onde um ângulo qualquer um número inteiro tangente já para gráfico da função tangente temos center função tangente uma função ímpar pois quociente de uma função ímpar uma função par pois tan tan período desta função igual sua amplitude estende se ao infinito gráfico da função tangente forma uma tangentoide para determinar tangente de um ângulo qualquer temos para onde um ângulo qualquer um número inteiro características nesta imagem amplitude período dados sen cx dπ ou cos cx dπ que são as equações da senoide da cossenoide respectivamente determina se os limites da função trigonométrica equivalente ao conjunto imagem im período da função deslocamento horizontal da função trigonométrica partir destes valores tem se amplitude dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites propriedades cosseno ao
itude dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites propriedades cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado definição de seno cosseno diretamente da figura que define seno cosseno ao lado temos pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante que convencional escrever quadrado de uma função trigonométrica colocando se sinal imediatamente ao lado do nome da função assim esta relação escrita geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de ou seja para ângulos no primeiro quadrante nos casos temos que um deles seno ou cosseno vale outro vale logo soma dos seus quadrados nos demais casos temos se está no segundo quadrante então está no primeiro quadrante portanto analogamente se está no terceiro quadrante então está no primeiro quadrante portanto finalmente se está no quarto quadrante então está no primeiro quadrante portanto ou seja relação válida para qualquer ângulo real propriedades do quadrado da secante da cossecante lembrando que temos que dividindo por dividindo por exercícios matemática elementar trigonometria funções trigonométricas exercícios