Obra: Cálculo (Volume 2)/Cônicas
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo iii as cônicas conjuntos de pontos definidos em um gráfico podem ser analisados de acordo com suas características simétricas como por exemplo aquelas que definem uma equivalência de valores ou uma correspondência dos mesmos em relação pontos específicos no gráfico certos pontos que podem ser considerados como referência de valores simétricos em relação aos pontos de uma curva são geralmente referenciados como os focos de forma geral os focos de um sistema podem ser conseguidos quando conjunto de pontos analisado assume contornos de estruturas cônicas cortadas por planos inclinados efeito do secionamento de cones por planos geram estas estruturas que são chamadas de cônicas ou seções cônicas como muitas vezes são referenciadas em alguns textos de geometria muitas vezes devemos adicionar um eixo de referência para que as características de simetria sejam observadas esta reta chamamos de diretriz parábola imagem conicas png parábola cônica mais simples ela representa conjunto de pontos em torno de um único foco qual estabelece uma relação de simetria com uma diretriz parábola resultante de uma equação puramente quadrática resta nos saber quais as relações desta equação com definição de foco diretriz observemos gráfico seguir parábola foco diretriz relacionando os pontos da parábola seu foco sua diretriz observemos ponto reta diz se que os mesmos são foco diretriz da parábola quando se estabelece relação logo abaixo do foco ponto conhecido como vértice que se estabelece como ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola distância entre foco vértice mesma do vértice para diretriz os pontos na parábola mantém mesma distância do foco da diretriz simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto que possui foco no ponto fazendo relação de simetria temos que nos permite fazer eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos esta relação meramente funcional para foco no eixo das ordenadas se quisermos fazer uma equivalência de variáveis estabelece la para as abscissas teremos generalizando para plano cartesiano temos equação acima como um conjunto particular da equação mais geral onde podemos observar como distância entre foco vértice considerando como parâmetro independente da posição neste caso podemos escrever ou para cada um dos casos acima identificando como distância foco vértice esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição tomando como base vértice podemos dizer que se mesmo tem coordenada temos ou exemplo parâmetros da parábola encontrar os parâmetros da parábola façamos adaptação da equação para formato que nos permita analisar os valores como podemos verificar vértice da parábola está no ponto uma vez que equação representa uma função onde variável das abscissas tem grau foco vértice da parábola estão no mesmo valor de como parâmetro temos valor do foco diretriz exemplo equação da parábola encontrar eq
mesmo valor de como parâmetro temos valor do foco diretriz exemplo equação da parábola encontrar equação da parábola cujo vértice está na coodenada está distante da sua diretriz unidades sabendo que concavidade da mesma está voltada para cima como concavidade da parábola está voltada para cima temos foco vértice para mesmo valor de que tem grau equação elipse imagem conicas png elipse uma cônica largamente utilizada principalmente em áreas de tecnologia física as características fundamentais do seu formato estão relacionadas diretamente com natureza das teorias de espaços curvos que são estudadas atualmente pelos físicos teóricos nas áreas de tecnologia as características de hiperbolicidade no comportamento de certas grandezas físicas destacando as são aplicáveis em vários equipamentos onde observam se conceitos ópticos os mesmos possuem comportamentos elípticos devido estas características define se elipse como conjunto de pontos em torno de dois focos onde soma das distâncias entre um ponto cada foco uma constante vejamos gráfico abaixo neste gráfico distância focal constante para todos os pontos do gráfico da elipse os pontos são os vértices da elipse enquanto que são os pontos de menor raio os parâmetros de uma elipse equação da elipse pode ser encontrada como no caso anterior da parábola explorando propriedade de simetria dos diversos pontos os quais mantém soma das duas distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos da curva podemos fazer sendo um ponto qualquer constante conforme observamos no gráfico temos dois lados simétricos onde distância ao foco de cada lado altura uma distância entre foco ponto que que nos leva dizer que portanto sendo elipse centrada nos eixos temos os pontos que nos leva elevando os dois termos da equação ao quadrado fazendo simplificação algébrica teremos elevamos os dois membros ao quadrado novamente depois das simplificações algébricas teremos porém observando gráfico podemos concluir que equação pode ser que nos leva equação da elipse podemos verificar que quando temos quando temos sendo estes valores menor maior raio para cônica respectivamente quando substituimos as variáveis ou as constantes uma pela outra temos uma elípse cujo maior raio sustenta se no eixo das ordenadas pois correlação de valores intuitivamente perceptível no gráfico de maneira geral se teremos uma elipse com raio maior sobre as abscissas se teremos com raio maior sobre ordenadas centro da elipse serve de referência quando mesma não está centrada na orígem do sistema de eixos para converter valores forma correta para uma elipse fora da orígem do sistema de eixos usamos referência das coordenadas absolutas do ponto onde centro da elipse se encontra para encontrar equação correta para mesma exemplo parâmetros da elipse encontrar eixo maior eixo menor os vértices os focos da elipse representada pela equação primeiro reduzimos equação forma padrão para analisar os valores das constantes para isso formamos quadrados perfeitos com
ção forma padrão para analisar os valores das constantes para isso formamos quadrados perfeitos com as partes de cada variável portanto centro da elipse está na coordenada raio maior mede unidades paralelo às ordenadas raio menor mede unidades paralelo às abscissas os vértices são para calcular as coordenadas dos focos fazemos os focos são exemplo equação da elipse encontrar equação da elipse cujos focos tem como coordenadas raio menor igual unidades podemos verificar que os focos estão sobre um mesmo valor de abscissa enquanto que as ordenadas são que nos dá um valor de logo temos centro da elipse está no ponto médio entre os dois focos ou seja equação da elipse portanto exemplo equação da elipse ii encontrar equação da elipse cujos focos são expressos por que passa pelo ponto em primeiro lugar que nos dá sistema podemos resolvê lo por substituição da segunda equação temos que substituimos na primeira equação considerando que deve ser positivo raiz possível da equação então substituimo la em portanto equação da elipse hipérbole imagem conicas png uso desta cônica no estudo das teorias de geometrias não euclidianas fundamental hipérbole especialmente explorada nas novas teorias da física devido as características das superfícies hiperbólicas presentes nos modelos do universo hipérbole definida como conjunto de pontos em um gráfico cuja diferença das distâncias entre qualquer destes pontos os seus dois focos igual uma constante não acidentalmente modelo de relação de simetria presente na hipérbole muito parecido com da elipse na verdade podemos fazer mesma análise da distância entre pontos focos que fizemos com elipse para encontrar equação da hipérbole duas hipérboles sobrepostas no mesmo gráfico mostrando alternância de direções pelo ajuste dos valores dos seus parâmetros duas hipérboles considerando relação de simetria dos pontos em relação aos dois pontos podemos verificar que note que ao definirmos as ditâncias como referência devemos assegurar que oa seus valores sejam absolutos depois estabelecer sinal correto para constante em cada caso quando estabelecemos os valores das constantes podemos fazer com que esta relação pode ser facilmente visualizada observando se gráfico abaixo hipérbole com parâmetros destacados mostrando relação entre os mesmos observe que os parâmetros são as distâncias orígem vértice vértice assíntota orígem foco respectivamente hipérbole adaptando equação anterior como no caso da elipse teremos elevamos os dois lados da equação ao quadrado simplificamos elevamos novamente ao quadrado os dois lados da equação como podemos fazer que nos revela equação da hipérbole de forma análoga ao caso da elipse podemos verificar que quando temos porém para caso em que valor está indefinido visto que função não existe no intervalo entre os dois vértices note que sinal das partes variáveis determina direção do gráfico no caso acima onde expressão mostra subtração da parte pela parte temos uma hipérbole com focos na horizontal no caso c
expressão mostra subtração da parte pela parte temos uma hipérbole com focos na horizontal no caso contrário temos uma hipérbole com focos na vertical para os casos onde hipérbole tem focos na vertical equação definida como que define os coeficientes comuns às duas formas de hipérboles definindo posição das variáveis como determinante da direção onde cônica irá ser apresentada no gráfico no gráfico podemos verificar duas retas diagonais que se interceptam na orígem estas retas são as assíntotas das hipérboles sua inclinação expressa por podemos demonstrar isto implicitamente partir da equação da hipérbole vejamos eq logo eliminemos variável dependente partir da equação original retirada da equação da hipérbole eq substituimos na derivada logo acima obtendo uma vez que estas assintotas são tangentes da curva da hipérbole quando seu valor tende infinito devemos encontrar limite deste valor no infinito ou seja que nos permite verificar que equação das assintotas tomando orígem como ponto inicial define se como exemplo encontrando os parâmetros encontrar os parâmetros da hipérbole processo basicamente mesmo no caso da elipse façamos adaptação da equação para que torne se semelhante da definição agora podemos avaliar equação verificar que centro da hipérbole está no ponto os vértices estão nos pontos podemos calcular os focos calculando distância focal os focos são calculamos as assíntotas coeficiente angular que nos fornece as assíntotas exemplo encontrando equação encontrar uma equação para representar hipérbole cujos focos são que contém ponto mais uma vez devemos encontrar centro da cônica que fica no ponto médio do eixo onde os valores variam como podemos observar devemos fazer média do eixo que nos dá ponto como centro da cônica depois podemos encontrar distância focal subtraindo os valores de nos pontos dos focos pelos do centro da definição temos que logo como temos sistema utilizemos substituição na segunda equação para qual temos as raízes para raiz mais simples temos portanto equação