Obra: Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Tablôs semânticos
Matéria: Matemática
Nível: médio
tablôs semânticos como vimos as tabelas de verdade são uma ferramenta que nos permite analisar as fórmulas para cada caso de valoração que nos permite determinar se elas são tautologias contradições ou contingentes também podemos usar as tabelas de verdade para comparar fórmulas assim dizer se são contraditórias entre si equivalentes ou se uma conseqüencia lógica da outra contudo digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma fórmula tautológica ou um argumento válido caso fórmula ou argumento seja complexo poderíamos demorar muito até terminar tabela ou no caso de ser uma contingência ou um argumento inválido encontrar valoração na qual fórmula falsa ou premissa seja verdadeira enquanto conclusão falsa respectivamente neste caso seria interessante um método que permite rapidamente determinar se existe alguma valoração na qual fórmula seja falsa ou premissa seja verdadeira ou uma valoração na qual premissa seja verdadeira enquanto conclusão seja falsa este metodo construção dos tablôs semânticos tablôs semânticos também conhecidos como tableaux ou árvores consistem num método de provar que uma fórmula tautologia ou que um argumento válido por contradição provar por contradição consiste em provar verdade de supondo que falso desenvolvendo idéia da falsidade até chegar uma contradição oras se falso contraditório então verdadeiro em outras palavras se então devemos inferir tablôs de fórmulas exemplo comecemos então com as tautologias vamos provar que fórmula ou mais precisamente esquema de fórmula uma tautologia primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa agora desenvolveremos esta suposição fórmula consiste em uma implicação que tem como antecedente como conseqüente como vimos anteriormente valor de uma implicação falso se somente se antecedente verdadeiro consequente falso portanto vamos inserir isto no tablô imagem crystal clear gray action button ok png feita uma marca imagem crystal clear gray action button ok png nas fórmulas usadas pois estas não podem ser usadas novamente mais uma vez se falso então antecedente verdadeiro enquanto conseqüente falso imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png este tablô nos mostra que oras fórmula está com dois valores isto contradição supor que seja falso nos leva uma contradição assim sendo sempre verdadeira ou seja uma tautologia exemplo passemos agora para um caso mais complicado vamos provar que fórmula que descreve modus tollens tautológica primeiro passo supor que ela seja falsa já sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicação imagem crystal clear gray action button ok png na terceira linha temos falsidade da negação de oras se estamos supondo que negação de uma fórmula falsa então temos que supor que fórmula seja verdadeira imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png como acabamos com fragmento marcamos isto agora voltemos nossa atenção segunda linha na qual temos verda
acabamos com fragmento marcamos isto agora voltemos nossa atenção segunda linha na qual temos verdade de uma conjunção uma conjunção verdadeira se somente se as subfórmulas conjuntas são verdadeiras imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png na quinta linha temos verdade da negação de oras se estamos supondo que negação de uma fórmula verdadeira devemos supor que fórmula seja falsa imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png imagem crystal clear gray action button ok png agora lidar com verdade de mais complicado afinal uma implicação entre duas fórmulas verdadeira em dois casos quando antecedente falso ou conseqüente verdadeiro tablô fica então desta forma image tablo jpg sempre que uma fórmula tem duas condições alternativas para receber uma determinada valoração tablô ramificado necessário que todos os ramos caiam em contradição para que fórmula seja tautológica exemplo façamos um tablô de uma fórmula que envolva vários conectivos usuais uma das leis de morgan parece bastante adequada para este fim primeiro passo já sabemos muito bem qual se estamos supondo falsidade da bi implicação entre duas subfórmulas temos que supor que uma falsa outra verdadeira já temos uma ramificação image tablo jpg analisemos primeiramente no ramo da esquerda fórmula que está marcada como verdadeira já sabemos bem como lidar com verdade de uma negação image tablo jpg agora temos uma situação nova falsidade de uma disjunção oras se estamos supondo que disjunção entre duas fórmulas falsa temos que supor que ambas são falsas image tablo jpg mais uma novidade para nós falsidade de uma conjunção sabemos que conjunção entre duas fórmulas falsa quando ao menos uma delas falsa que nos obriga ramificar tablô image tablo ax jpg fecharam todos ramos do lado esquerdo voltemos nossa atenção para direito image tablo jpg já estão feitos todos casos conhecidos até chegarmos um caso novo verdade de uma disjunção sabemos que uma disjunção entre duas fórmulas verdadeira se somente se ao menos uma das fórmulas for verdadeira isto nos obriga ramificar tablô image tablo jpg como podemos ver tablô fechou em todos os seus ramos fórmula portanto tautológica obs na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de fórmulas como já foi explicado chamar esquemas de fórmulas por fórmulas uma economia de linguagem exemplo agora vejamos como fica tablô no caso de uma contradição tal como negação da primeira tautologia que fizemos tablô image tablo jpg todas fórmulas moleculares foram usadas não hás mais como proceder os ramos do tablo ficaram abertos não caímos em contradição ao supor que fórmula seja falsa portanto ela não consiste numa tautologia exemplo vejamos agora como fica um tablô de uma fórmula contingente tal como imagem tablo png mesmo que algum ns ramo feche não necessariamente um tablô de uma
tingente tal como imagem tablo png mesmo que algum ns ramo feche não necessariamente um tablô de uma fórmula contingente terá ramos fechados outro continua aberto regras de construção de tablôs segue adiante as regras de construção de tablôs image regras de construção de tablos gif um tablô está completo se todos ramos do tablô fecharem caírem em contradição neste caso fórmula tautológica ou argumento válido ou se todas fórmulas moleculares do tablô foram usadas neste caso se algum ramo ficar aberto não cair em contradição então fórmula não tautológica ou argumento não válido exercício determine por tablôs semânticos se as seguintes fórmulas são ou não são tautológicas confira suas respostas tablôs de argumentos para verificar se uma fórmula tautológica ou seja sempre verdadeira supomos que ela seja falsa desenvolvemos esta suposição se cairmos em contradição porque fórmula mesmo tautológica de forma análoga para verificar se um argumento válido ou seja de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras conclusão também verdadeira supomos que ele seja inválido se um argumento inválido então as premissas podem ser verdadeiras enquanto conclusão falsa justamente isto que vamos supor exemplo vejamos como ficara tablô de um argumento que já conhecemos modus tollens oras só muda passo inicial em relação aos tablôs de fórmulas já sabemos como proceder agora imagem tabloexemplo png exemplo agora vejamos como fica uma falácia no tablô peguemos uma que já conhecemos tal como afirmação do termo disjunto imagem tabloxx png não caímos em contradição ao supor que seja falsa enquanto são verdadeiras portanto não conclusão de um argumento válido do conjunto de premissas exercício determine por meio dos tablôs semânticos se os seguintes argumentos são válidos ou não lembre se que as fórmulas esquerda do símbolo são as premissas enquanto as fórmulas direita as respectivas conclusões confira suas respostas