Obra: Astronomia/Kepler
Matéria: Matemática
uma das importantes personagens da astronomia foi johannes kepler como muitos astrônomos de sua época kepler era também um astrólogo uma de suas crenças fundamentais era no conceito de que terra devia fazer parte de um todo harmônico que rege mundo não aceitava modelo ptolomaico dos epiciclos como uma explicação para comportamento dos planetas estudo aprofundado que ele conduziu sobre movimento dos planetas levou elaboração das leis de kepler um dos pilares sobre qual newton criou lei da gravitação universal as hipóteses de kepler modelo de kepler para sistema solar interesse de kepler pelos astros foi incentivado em sua família desde sua infância ele escreveu sobre dois eventos da infância quando ele viu um cometa um eclipse lunar varíola que ele teve durante infância porém danificou sua vista seus interesses deram ele uma capacidade impressionante de fazer cálculos das estrelas kepler um luterano foi estudante de teologia na universidade de tübingen possuía reputação de ser um brilhante astrólogo foi lá que ele foi introduzido aos modelos de ptolomeu de copérnico para sistema solar kepler acreditava que as leis que regiam universo eram as mesmas que regiam terra por isso foi um defensor do modelo de copérnico kepler obcecadamente buscava encaixar movimento planetário em um sistema místico que ele publicou em seu livro mysterium cosmographicum colaborações com tycho brahe modelo de tycho brahe para sistema solar terra ocupa centro do universo sol as estrelas fixas giram ao redor da terra os outros planetas giram ao redor da terra tecnicamente este modelo equivalente ao modelo atual do movimento planetário se tomarmos como referencial terra kepler foi convidado pelo astrônomo nobre dinamarquês tycho brahe para trabalhar conjuntamente tycho era dono de um dos observatórios astronômicos mais precisos da era antes da descoberta do telescópio ele possuía uma imensa compilação de dados respeito da posição dos astros frutos de uma imensa paciência cuidado com trabalho tycho brahe porém tinha um modelo próprio para sistema solar por conta disso protegia seus dados somente após morte de tycho brahe kepler recebeu como herança todos os dados foi partir destes que kepler elaborou as leis que recebem seu nome primeira lei de kepler partir dos dados de tycho kepler procurou encaixar as coordenadas dos planetas no seu modelo com os planetas navegando em órbitas circulares ao redor do sol ele obteve um grau de sucesso alto mas precisão dos dados obtidos através de observações não fechavam completamente com as órbitas circulares kepler alterou seu sistema para um sistema no qual os planetas descrevem órbitas elípticas com sol posicionado em um dos focos dessa elipse elipse lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias de um ponto na curva até dois pontos fixos constante sejam os dois pontos lugar geométrico pode ser descrito por uma elipse com alguns pontos notáveis quando coincidem para um ponto lugar geométrico se degenera para uma circunfe
alguns pontos notáveis quando coincidem para um ponto lugar geométrico se degenera para uma circunferência assim podemos ver que lei de kepler não retira possibilidade de uma órbita perfeitamente circular apenas expande classe de órbitas possíveis vamos então estudar alguma propriedades importantes da elipse os pontos recebem nome de focos da elipse enquanto que ponto médio do segmento chamado de centro da elipse os pontos mostrados no gráfico que são definidos pela intersecção da reta que passa pelos focos com elipse determinam eixo maior da elipse já reta perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro da elipse chamada de eixo menor da elipse determinado pelos pontos da figura acima as dimensões da figura acima são chamados de semi eixo maior semi eixo menor respectivamente distância entre centro qualquer um dos focos da elipse chamado de distância focal relação entre distância focal eixo maior da elipse chamada excentricidade na figura acima vemos distância focal representada por um exercício interessante calcular equação da elipse seja os focos de forma que centro da elipse coincida com origem do sistema de coordenadas que eixo maior da elipse coincida com eixo horizontal do sistema de coordenadas seja ainda constante utilizada na definição do lugar geométrico da elipse escolha pode parecer uma decisão arbitrariamente mágica mas razão dessa escolha tem uma justificativa da figura acima vemos que como por simetria então temos que como então escolha apropriada podemos então escrever seguinte equação manipulando expressão acima possível reduzir expressão forma canônica da equação de uma elipse com centro na origem que contém os pontos em coordenadas cartesianas fácil verificar que as constantes são iguais ao eixo maior ao eixo maior respectivamente fazendo identidade entre expressão que nós encontramos forma canônica chegamos na identidade utilizando essa identidade chegamos uma forma canônica para uma elipse partir dos valores da distância focal da excentricidade excentricidade um bom indicativo da forma da elipse medida que se aproxima de elipse vai se transformando em uma circunferência quando se aproxima de elipse vai ficando cada vez mais alongada até ponto em que ela se degenera reta vamos lembrar agora que sol não está no centro da órbita sim em um dos focos então conveniente também determinar equação da órbita tendo foco no centro do espaço não iremos provar aqui expressão que fica como exercício para aluno prova fácil no sistema de coordenadas polares resultado para uma elipse com as dimensões utilizadas até aqui são vamos voltar um pouco para astronomia por causa da órbita ser elíptica existe um ponto em que um planeta está mais próxima do sol periélio outro no qual planeta está mais distante afélio voltando figura acima supondo que sol está em afélio periélio correspondem aos pontos respectivamente lua também descreve uma órbita elíptica ao redor da terra os pontos de maior menor aproximação são chamados de apogeu perigeu important
tica ao redor da terra os pontos de maior menor aproximação são chamados de apogeu perigeu importante lembrar que apesar de elíptica as órbitas da maioria dos planetas quase circular com excentricidades muito próximas de terra por exemplo tem excentricidade mercúrio tem maior excentricidade entre os planetas solares plutão que não mais um planeta tem excentricidade segunda lei de kepler segunda observação de kepler foi que os planetas não giram ao redor do sol com velocidade uniforme porém mais rápido quando mais próximos do sol mais devagar quando mais longe dele precisamente deste modo suponha que um planeta seja observado em dois momentos sucessivos quaisquer com uma diferença de uma semana que se trace raio do vetor até planeta para cada posição observada arco orbital percorrido pelo planeta durante semana os dois raios vetores delimitam certa área plana área sombreada caso se realizem duas observações semelhantes com uma semana de distância em uma parte orbita mais distante do sol onde planeta se desloca mais lentamente área igualmente delimitada será exatamente igual do primeiro caso assim de acordo com segunda lei velocidade orbital de cada planeta tal que raio varre áreas iguais em períodos iguais terceira lei de kepler finalmente uma terceira lei foi descoberta por kepler muito depois uma lei de categoria diferente de todas as outras duas por lidar não apenas com planeta individual mas relacionar um planeta ao outro essa lei reza que quando se comparam período orbital tamanho da órbita de dois planetas quaisquer os períodos são proporcionais da potência do tamanho da órbita nesta afirmação período intervalo de tempo que um planeta leva para percorrer completamente em sua órbita tamanho medido pelo comprimento do maior diâmetro da órbita elíptica tecnicamente conhecido como eixo maior mais simplesmente se os planetas girassem em círculos como quase fazem tempo necessário para percorrer círculo seria proporcional da potência do diâmetro ou raio