Obra: Matemática elementar/Sistemas lineares
Matéria: Matemática
definição sistemas lineares são conjuntos de equações lineares uma equação linear por sua vez toda equação que pode tomar forma por exemplo ou na equação linear sempre aparecem coeficientes variáveis no primeiro exemplo os coeficientes são implícito as variáveis são as equações lineares podem ter um grupo de valores que substituindo as variáveis as tornam verdadeiras por exemplo conjunto de valores torna essa equação verdadeira os valores que tornam equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma sistema linear composto por duas ou mais equações geralmente apresentadas no seguinte formato para estas equações pode haver um conjunto de valores que só serão solução do sistema se forem solução de cada equação assim no sistema percebe se que solução única capaz de satisfazer ambas as equações par sistema acima chamado de sistema linear incógnitas portanto admite soluções que são pares ou duplas de modo genérico um sistema será linear incógnitas ou variáveis terá por solução uma upla lê se enupla do tipo αn conforme veremos mais adiante um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido ou seja de ter sua solução encontrada caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas classificação os sistemas lineares podem ser classificados quanto possibilidade de obtenção de soluções dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos inicialmente encontramos dois tipos de sistemas impossíveis ou inconsistentes são os sistemas que não têm solução geralmente por conterem equações lineares que se contradizem por exemplo observar que as equações apresentam inconveniente de apresentar mesma soma mas com resultados diferentes que leva impossibilidade de resolver sistema sistema impossível si sempre resulta numa contradição vale ressaltar que conjunto numérico ao qual solução pertence fundamental na determinação da possibilidade do sistema por exemplo considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais pois não há nenhum número natural que somado em dobro outro número natural resulte em um valor menor do que ele próprio somado ao mesmo número solução real descartada se restringirmos solução ao conjunto de números naturais não natural possíveis ou consistentes são todos os sistemas que não levam uma contradição portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados os sistemas possíveis por sua vez se subdividem em dois tipos possíveis determinados spd são os sistemas que possuem apenas uma solução possível identificar uma upla capaz de resolver todas as equações única como exemplo além daquele citado na seção anterior sistema permite como solução real dupla possíveis indeterminados spi são os sistemas que permitem infinitas soluções porque apresentam os chamados graus de liberdade ou seja permitem soluções arbitrárias por exemplo sistema permite uma infinidade de soluções como etc em todas elas basta que relação entre primeiro elemento segundo seja também indeterminado sistema pois aprese
elas basta que relação entre primeiro elemento segundo seja também indeterminado sistema pois apresenta mais incógnitas do que equações sendo por isso impossível trabalhar as incógnitas de modo obter valor preciso para cada uma solução qualquer tripla do tipo observar que terceiro elemento pode ser definido mas não os dois outros de modo que essa mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior sistemas equivalentes diz se que dois sistemas lineares são equivalentes se somente se apresentam mesma upla como solução ões assim os sistemas ambos apresentam como solução ambos são sistemas equivalentes portanto um sistema equivalente constitui de certo modo apenas um desenvolvimento de outro sistema das equações desse outro sistema devidamente transformadas relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias quando dois sistemas são em tudo iguais exceto pela ordem das equações lineares por exemplo até situações mais complexas nas quais preciso multiplicar somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema no exemplo dado segundo sistema foi formado partir de duas equações subtração de por subtração de por equivalência de sistemas fundamental para transformação dos mesmos eventual resolução por método de escalonamento que será discutido mais adiante resolução de sistemas os sistemas lineares podem ser resolvidos ou seja ter solução encontrada através de diferentes métodos aqui examinar se método de escalonamento no próximo capítulo método ou regra de cramer que utiliza se de matrizes método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de equações incógnitas caso existam mais incógnitas do que equações método não funcionará ou seja ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos desde que não hajam contradições que tornem si escalonamento classificado sistema como spd ou spi pode ser feito escalonamento que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma ou seja sistema deve ter diversas equações cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas de modo que última se reduza apenas uma incógnita isso feito com as transformações adequadas sempre possível zerar uma das incógnitas na equação pela soma subtração da equação anterior que contenha essa incógnita exemplificando inicialmente vamos eliminar termo composto pela variável nas duas últimas equações partir da primeira para tanto inicialmente multiplicamos segunda equação por terceira por depois somamos as equações primeira obtemos continuar processo pode se trabalhar segunda terceira equação linear para obter na terceira uma equação uma variável que arbitrariamente escolhemos ser para tanto vamos multiplicar segunda equação por então somá la terceira equação partir desta última equação em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento possível encontrar valor de uma primeira variável no caso específico substituindo valor encontrad
to possível encontrar valor de uma primeira variável no caso específico substituindo valor encontrado para na equação da segunda linha temos por fim possível substituir esses dois valores na primeira equação solução do sistema portanto assim resolvem se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento vão obtendo se os valores das variáveis até que todas as equações possam ser resolvidas trata se de um método prático que inclusive utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares embora enfoque computacional seja um tanto mais complicado envolva matrizes sistemas com grau de liberdade usado na estatística método de gauss método de gauss um método geral de resolver sistemas de equações lineares consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem sistema até que solução se torna óbvia