Obra: Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo
Nível: médio
monóide livre gerado por um conjunto sejam um espaço vetorial uma base de dado qualquer espaço vetorial quaisquer elementos existe uma aplicação linear tal que poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos de uma base não estão relacionados uns com os outros formalmente são linearmente independentes de fato se por exemplo tivéssemos relação para algum escalar então já não seriam linearmente independentes então aplicação linear podia não existir consideremos um problema semelhante com grupos dado um grupo gerado por um conjunto dados um qualquer grupo um qualquer conjunto existirá sempre um morfismo de grupos tal que resposta não por exemplo consideremos grupo que gerado pelo conjunto grupo com operação de adição conjunto se existisse um morfismo de grupos tal que então que impossível mas se tivéssemos escolhido então tal morfismo de grupos existiria seria dado por de fato dado qualquer grupo qualquer temos um morfismo de grupos definido por em notação multiplicativa que verifica de certo modo podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto que gera não verificam relações como como ou portanto parece que um grupo mais livre do que nosso objetivo nesta seção vai ser dado um conjunto construir um grupo gerado pelo conjunto que seja mais livre possível no sentido de não ter de obedecer relações como ou para isso vamos começar por definir um monóide livre no mesmo sentido informalmente este monóide vai ser monóide das palavras escritas com letras do alfabeto onde identidade vai ser palavra sem letras palavra vazia operação binária do monóide vai ser juntar duas palavras para forma uma nova palavra notação que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras onde são letras do alfabeto segue se definição formal deste monóide definição seja um conjunto denotamos os uplos com por denotamos isto com por denotamos por conjunto definimos em operação de concatenação por de seguida provamos que este monóide efetivamente um monóide trata se de um resultado de demonstração simples proposição um monóide com elemento neutro demonstração operação associativa porque dados quaisquer temos óbvio que tem elemento neutro seguindo ideia de que monóide monóide mais livre gerado por vamos chamar lhe monóide livre gerado por definição seja um conjunto ao monóide fm chamamos monóide livre gerado por exemplos seja então por exemplo seja então por exemplo grupo livre gerado por um conjunto passemos agora construção do grupo mais livre gerado por um conjunto informalmente que vamos fazer introduzir no monóide os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo concretizando um pouco mais vamos tomar um conjunto equipotente escolher uma bijecção de em deste modo ficar com uma associação entre os elementos de os elementos de então encaramos elemento com como tendo elemento com como inverso onde os estão associados respectivamente notemos que ordem dos elementos em está invertida porque
so onde os estão associados respectivamente notemos que ordem dos elementos em está invertida porque inverso do produto tem de ser os serão respectivamente os forma de fazemos com que seja inverso de tomar uma relação de congruência que identifica com passar ao quociente por esta relação definindo depois nesse quociente de forma natural operação binária do grupo ao passarmos ao quociente estamos formalizar ideia intuitiva de identificar com pois no quociente temos igualdade passemos então definição formal definição seja um conjunto tomemos um outro conjunto equipotente disjunto de seja uma aplicação bijectiva para cada denotemos por para cada denotemos por para cada denotemos por seja relação de congruência em gera por isto interseção de todas as relações de congruência em que contêm denotamos conjunto quociente por frequentemente por abuso de notação denotamos um elemento simplesmente por uma vez que operação que queremos definir em está definida custa de representantes particulares das classes de equivalência um primeiro cuidado ter verificar que definição não depende dos representantes escolhidos trata se de uma verificação simples lema seja um conjunto fica bem definida em operação binária por onde relação de congruência de definição anterior demonstração sejam quaisquer tais que isto por se relação de congruência em temos isto visto então que definição legítima apresentamo la definição seja um conjunto definimos em operação binária por finalmente verificamos que grupo que construímos efetivamente um grupo proposição seja um conjunto um grupo com elemento neutro onde demonstração associativo porque vejamos que elemento neutro de seja qualquer temos analogamente seja qualquer vejamos que temos por definição de isto logo analogamente analogamente ao que fizemos com monóide livre ao grupo mais livre gerado pelo conjunto vamos chamar grupo livre gerado por definição seja um conjunto ao grupo chamamos grupo livre gerado por exemplo seja escolhamos um qualquer conjunto disjunto equipotente de seja uma na verdade única aplicação bijectiva de em então denotamos por denotamos por passamos encarar como elementos inversos seja relação de congruência de gerada por conjunto das palavras escritas no alfabeto por exemplo temos por exemplo pois de logo de ser relação de congruência vem que podemos multiplicar ambos os membros da relação obter encaramos como significando que em temos em rigor pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um anular se com em dado denotemos número exato de vezes que letra ocorre em por denotemos número exato de vezes que letra ocorre em por então cortando com ficamos com uma palavra reduzida com vezes letra se entendamos que não há letras fica vezes letra denotemos este número por temos se só se assim cada elemento fica determinado pelo número inteiro produto de dois elementos corresponde soma dos seus inteiros associados assim parece que grupo semelhante com efeito isomorfo aplicação um isomorfismo de grupos apresentação de
m parece que grupo semelhante com efeito isomorfo aplicação um isomorfismo de grupos apresentação de um grupo informalmente parece que obtido do grupo livre impondo relação vamos tentar formalizar esta ideia partimos de um conjunto que gera um grupo que queremos criar de um conjunto de relações tais como ou que os elementos de devem verificar obtemos grupo gerado por que verifica as relações mais precisamente escrevemos cada relação na forma por exemplo escreve se na forma encaramos como uma palavra de como não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de não podemos considerar quociente pelo que consideramos quociente onde subgrupo normal de gerado por em vamos ter que encaramos como significando que em os elementos são mesmo assim vai verificar todas as relações que queremos vai ser gerado por mais precisamente por formalizamos de seguida esta ideia definição seja um grupo chamamos apresentação de denotamos por um par ordenado onde um conjunto onde subgrupo normal de gerado por numa apresentação chamamos conjunto gerador chamamos conjunto das relações vejamos exemplos de apresentações do grupo livre dos grupos aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual mostrar que apresentação de um grupo não tem de ser única exemplos seja um conjunto uma apresentação de porque onde subgrupo normal de gerado por em particular uma apresentação de mais usualmente denotada por outra apresentação de mais usualmente denotada por informalmente na apresentação introduzimos um novo elemento no conjunto gerador mas depois impomos relação isto que na prática mesmo que nem ter introduzido ter ficado pela apresentação seja onde vezes uma apresentação de com efeito subgrupo de gerado por logo mais usual denotar por sejam com distintos uma apresentação de informalmente que fazemos impor em que haja comutatividade isto ou seja obtendo um grupo isomorfo mais usual denotar por sejam uma apresentação de informalmente que fazemos impor comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior impomos ainda para obtermos em vez de mais usual denotar por mais usualmente escrito uma apresentação de grupo das permutações de com composição de aplicações para verificar isto podemos verificar que qualquer grupo com apresentação tem exatamente seis elementos que multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de cayley que igual tabela de cayley de apenas para dar uma ideia de como podemos fazer um grupo com apresentação tem exatamente os elementos porque nenhuns destes elementos são iguais as relações não permitem concluir que dois destes elementos são iguais porque outros elementos como são na realidade alguns dos elementos anteriores por exemplo de temos tomando inversos de ambos os membros temos que usando isto resulta em então usando as relações da apresentação podemos calcular tabela de cayley por exemplo porque temos relação outro exemplo temos porque podemos multiplicar ambos os membros da relação por então usar podíamos ter suspeitado desta represe
podemos multiplicar ambos os membros da relação por então usar podíamos ter suspeitado desta representação tomando depois tentando construir tabela de cayley de descoberto que tal era possível se soubéssemos que natural perguntar se todo grupo tem uma apresentação teorema seguinte diz nos que sim dá nos até uma apresentação teorema sejam um grupo aplicação definida por onde um epimorfismo de grupos uma apresentação de demonstração está bem definida porque todo elemento de tem uma representação única na forma com menos de surgir várias vezes na representação que não afeta valor de sejam quaisquer onde temos logo morfismo de grupos como então epimorfismo de grupos pelo primeiro teorema do isomorfismo para grupos temos logo uma apresentação de teorema anterior embora dê uma apresentação do grupo não nos dá uma boa apresentação pois conjunto gerador usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores conjunto das relações também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes até um subgrupo normal de quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado