Obra: Álgebra linear/Matrizes
Matéria: Matemática
introdução termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores profissionais da informática como sendo uma estrutura de dados em matemática no entanto matrizes são consideradas de forma bastante diferente logo abaixo apresenta se uma matriz notação utilizada bastante comum matriz acima tem linhas colunas então pode ser chamada de matriz matriz por além disso pode se ter matrizes de muitas formas diferentes forma de uma matriz nome das dimensões da mesma por quando número de linhas número de colunas seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes adotando outras possíveis notações este um exemplo de matriz esta matriz tem forma aqui tem se uma matriz as matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos podem ser operadas com números multiplicação por escalar com outras matrizes sendo adicionadas multiplicadas etc entender as operações sobre matrizes essencial para aprendizado de álgebra linear uma matriz formada por linhas que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente por colunas conjuntos de dados dispostos verticalmente cada elemento presente em uma matriz indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa número da linha da coluna costuma se representar total de linhas de uma matriz pela letra número total de colunas por os valores de de são as dimensões da matriz organização de uma matriz exemplos de matrizes matriz seguir uma matriz de ordem com elementos naturais nesse exemplo elemento número na primeira linha segunda coluna do quadro de forma geral numa matriz de ordem elemento símbolo na ésima linha ésima coluna de assim as entradas símbolos de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices por exemplo para de de define matriz abaixo vemos exemplo de uma matriz quadrada agora um exemplo de uma matriz identidade abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas seus índices por letras minúsculas números escalares serão representados pela letra tipos especiais de matrizes uma matriz quadrada toda aquela na qual isto ela possui mesmo número de linhas de colunas uma matriz linha toda aquela na qual isto ela possui apenas uma linha uma matriz coluna toda aquela na qual isto ela possui apenas uma coluna uma matriz diagonal toda aquela na qual cujo elemento se isto possui todos os valores iguais zero exceto os elementos da diagonal principal uma matriz escalar toda aquela na qual cujo elemento se isto todos os valores são nulos exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre mesmo valor uma matriz nula toda aquela cujos elementos isto se todos os seus elementos forem nulos uma matriz identidade toda aquela na qual cujos elementos se se isto possui todos os valores nulos exceto os valores da diagonal principal que valem sempre álgebra matricial multiplicação por um escalar multiplicação por um escalar uma das op
valem sempre álgebra matricial multiplicação por um escalar multiplicação por um escalar uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes com isso pode se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número basta multiplicá la pelo inverso desse número mas essa noção pode ser perigosa enquanto multiplicação entre um número uma matriz pode ser dita comutativa mesmo não vale para divisão pois não se pode dividir um número por uma matriz impossível somar ou subtrair escalares de matrizes multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades associativa em relação ao escalar distributiva em relação ao escalar distributiva em relação matriz elemento neutro adição de matrizes adição de matrizes outra operação bastante simples perceba que operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não definida adição de matrizes possui as seguintes propriedades propriedade associativa elemento neutro uma matriz nula não um escalar simétrico aditivo comutatividade multiplicação de matrizes multiplicação de duas matrizes bem definida apenas se número de colunas da matriz da esquerda mesmo número de linhas da matriz da direita motivação dessa definição seguinte se denota ésima linha da matriz podemos criar outra matriz cujas linhas sejam combinações lineares das linhas de em cada linha entrada na ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de nessa mesma coluna mas corresponde então se for matriz com as entradas definidas como acima obtemos fórmula acima da mesma maneira se denota ésima coluna da matriz podemos criar uma matriz cujas colunas sejam combinações lineares das colunas de tomando as entradas na ésima linha obtemos mas ésima entrada linha corresponde ao elemento de modo que também obtemos fórmula acima portanto propriedades multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades associativa distributiva em relação adição elemento neutro se uma matriz então onde representa matriz identidade de ordem note que em geral multiplicação de matrizes não comutativa ou seja geralmente tem se em muitos dos casos multiplicação pode não estar sequer definida quando existe multiplicação multiplicação só pode existir no caso em que são quadradas mesmo assim ainda pode ocorrer não comutatividade transposição número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original assim como número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original ou seja se era será cada coluna de corresponderá uma linha de vice versa notas ver também matemática elementar matrizes livro com conteúdo mais simples en linear algebra matrices