Obra: Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores e produtos
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo iii produtos produto escalar produto escalar também denominado produto interno produto de dois vetores que resulta em um escalar operação que define seu valor definimos abaixo consideremos dois vetores cujos componentes são notados por respectivamente sendo uma das dimensões então produto escalar definido como propriedades do produto escalar as propriedades do produto escalar são facilmente demonstráveis estão na tabela abaixo na mesma convencionamos que são vetores em um escalar propriedade operação produto nulo comutativa do produto escalar associativa entre produto escalar produto por escalares distributiva escalar quadrado demonstração das propriedades acima fica como exercício uma vez que todas são intuitivas não será difícil conseguir demonstrar cada uma delas para isto basta efetuar operação do produto escalar utilizar regras básicas de operações algébricas ângulo entre dois vetores observemos gráfico px demonstração observemos gráfico abaixo calculando produto escalar gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo importante notar que temos um triângulo que pode ser generalizado pela lei dos cossenos que nos permite fazer relação entre ângulo os dois vetores considerando os vetores na ilustração acima podemos fazer cálculo do módulo de sua diferença utilizando conhecida relação da lei dos cossenos para triângulo portanto interpretação do produto escalar significado gráfico do produto escalar fundamental para nos dar horizontes de utilização dos conceitos nos cálculos que podemos desenvolver observemos alguns fatos algébricos para que possamos visualizar conceitos úteis como já sabemos os vetores que mantêm um ângulo entre eles são relacionados desta forma considere seguinte separação se fator um cosseno significa que mesmo uma fração do módulo do vetor deste modo produto escalar multiplicação do módulo da projeção deste vetor sobre eixo de orientação do vetor pelo módulo do mesmo para melhor entendimento observemos os gráficos abaixo center ou seja produto escalar sinteticamente multiplicação de dois segmentos de reta ângulos diretores relação entre produto escalar cosseno do ângulo entre os vetores nos fornece uma outra possibilidade de referenciar os vetores aos eixos do sistema cartesiano uma vez que temos versores primários para os eixos podemos verificar qual resultado do produto escalar entre estes um vetor qualquer no espaço seja vetor calculemos produto escalar entre ele os vetores relacionados aos eixos para este caso inicialmente façamos uma breve reflexão se para cada vetor de módulo unitário for feita mesma operação acima teremos três ângulos para os quais são os ângulos do vetor no espaço em relação aos eixos por esta razão convencionou se chamá los de nomes especiais que são respectivamente para os vetores observemos também que operação será sempre mesma para cada eixo resultado será valor da componente do vetor para eixo dividido pela norma do mesmo que nos fornece três cossenos os qua
r da componente do vetor para eixo dividido pela norma do mesmo que nos fornece três cossenos os quais chamamos de cossenos diretores pois direcionam vetor no espaço sob referência dos eixos em consequência disto também chamamos os ângulos de ângulos diretores em conseqüência do que já vimos nas seções anteriores temos seguinte equação também temos outra forma de referenciar vetor usando os cossenos diretores que será útil em determinadas análises inclusive quando parâmetros polares forem considerados projeções sobre vetores produto escalar nos dá possibilidade de encontrar projeção de um vetor sobre outro sem necessidade de sabermos qual ângulo entre os dois isto possível devido equivalência algébrica do produto escalar com cosseno do ângulo entre os dois vetores como vimos anteriormente sejam os vetores produto escalar dos mesmos de onde concluimos que observando lado direito da equação observamos que expressão corresponde projeção do vetor sobre vetor porém sob forma escalar ou seja valor corresponde ao comprimento norma da projeção não contendo informação acerca da direção do sentido definimos então projeção escalar do vetor sobre vetor como observemos ainda outro fato esclarecedor projeção escalar de um vetor sobre outro produto escalar do versor do vetor sobre qual será projetado outro vetor intuitivamente percebemos que versor que contém informação sobre direção sentido do vetor onde será projetado valor portanto determina visto que no mesmo onde temos informação sobre inclinação seguindo este mesmo raciocínio se multiplicarmos esta projeção que um valor escalar pelo vetor unitário versor que usamos no cálculo anterior teremos um vetor projeção criado como imagem do outro fazendo isto teremos desigualdade de cauchy schwarz comprovação analisemos produto escalar separadamente se quisermos módulo do produto escalar teremos porém então como lado esquerdo da inequação faz parte do módulo podemos simplificar para produto vetorial as operações com vetores podem muitas vezes parecer estranhas princípio porém depois que entendemos sua finalidade conceito do fundamento que está por trás de seu comportamento nos habituamos podendo aproveitar dos recursos que estas operações podem nos oferecer um dos cálculos mais intrigantes dentro do universo dos vetores chamado produto vetorial que definido pela seguinte operação sejam os vetores produto vetorial dos mesmos razão desta definição está na operação geométrica entre dois vetores que neste caso objetiva se em encontrar um vetor que seja ao mesmo tempo perpendicular aos dois vetores operados como operação resulta em um novo vetor ela denominada de produto vetorial operação resume se em encontrar coordenadas em cada eixo que sejam perpendiculares entre elas de módulo igual área formada pelo paralelogramo criado pela imagem dos dois vetores em cada um dos planos primários podemos observar que cada componente igual resultante de um determinante que nos habilita representá los da seguinte forma como temos u
e igual resultante de um determinante que nos habilita representá los da seguinte forma como temos um vetor tridimensional podemos adotar notação que pode ser simplificada ainda mais se adotarmos notação de determinante com três variáveis em decorrência disto temos um produto que se comporta de maneira idêntica um determinante onde todas as propriedades são iguais às apresentadas pelos mesmos propriedades do produto vetorial produto vetorial basicamente uma operação em forma de determinante tabela abaixo introduz as propriedades do mesmo muitas das quais já conhecemos sob forma de teoremas de determinantes porém são introduzidas sob forma de operações vetoriais são vetores em um escalar propriedade operação produto vetorial inverso múltiplo de escalar por produto vetorial distributiva direita distributiva esquerda conversão em vetores com produtos escalares ângulo entre dois vetores comprovação façamos operação conforme indicado na definição para verificar evolução de onde calculamos seu módulo como já sabemos podemos aplicar as propriedades já estudadas para os vetores lembremos que se quando logo interpretação do produto vetorial vetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual área do paralelogramo delimitado pelos dois vetores que lhe deram origem observemos gráfico abaixo px como já sabemos os vetores que mantêm um ângulo entre eles quando multiplicados podem ser expressos desta forma considere seguinte separação muito podemos verificar que altura do paralelogramo que multiplicado pela norma do vetor nos dá área do paralelogramo da mesma forma verifiquemos que produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem façamos pelas propriedades dos determinantes do produto escalar temos sendo determinante acima nulo uma vez que uma das suas linhas múltipla de outra também teremos mesmo resultado para segundo vetor visto que mesmo também uma das linhas do determinante portanto produto vetorial fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem visto que cosseno do ângulo nulo ou seja ângulo produto misto sejam os vetores em sobre estes definimos produto misto como em síntese operação do produto vetorial nos fornece um novo vetor perpendicular aos dois que lhe deram orígem por outro lado produto escalar deste vetor por outro nos fornece um escalar que representa produto misto observando estas operações mais detalhadamente quando operamos produto vetorial temos um vetor definido com os versores primários sendo temos logo que nos dá propriedades do produto misto as propriedades do produto misto são análogas às dos determinantes em geral apenas uma operação algébrica entre produtos devemos destacar comutativa entre produto escalar produto vetorial em um produto misto dados três vetores em podemos comutar os vetores produtos tais que no que se refere operação em determinantes operação enquanto que para fazer com que primeiro determinante se torne segundo basta permutar mesma linha duas vezes dentro do de
er com que primeiro determinante se torne segundo basta permutar mesma linha duas vezes dentro do determinante ou seja inverter sinal do mesmo duas vezes que faz com que este retorne ao valor original algebricamente os dois determinates definem mesmo valor quando operados isto define operação como válida interpretação do produto misto produto misto pode ser interpretado facilmente utilizando os conceitos dos produtos vetorial escalar visto que ele nada mais do que conjunção destes dois produtos observemos ilustração abaixo produto misto note que produto vetorial de por nos dá área do plano da base do paralelepípedo enquanto que produto escalar de pelo vetor resultante do produto vetorial nos dá portanto se multiplicarmos os dois valores teremos volume do paralelepípedo que correspondo ao produto misto