Obra: Cálculo (Volume 2)/Formas polares
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo iii formas polares outro interessante método para representar valores em um gráfico chamada representação polar da mesma forma que na forma paramétrica temos casos em que funções podem ser expressas de uma maneira mais apropriada tornando as mais simples para que possam ser analisadas forma polar especialmente importante no estudo de variáveis funções complexas seu estudo bastante simples porém recomenda se sempre uma certa cautela quando conceitos novos são apresentados como já dissemos anteriormente as coordenadas representação dos valores em um gráfico polar feita com base em um sistema de referência obtido partir de um ponto uma semi reta horizontal partir deste eixo polar este ponto chamado de orígem polo de referência quando colocamos outro ponto qualquer no sistema podemos traçar um segmento de reta da orígem ao referido ponto comprimento do segmento de reta entre os dois pontos representa valor numérico que desejamos expressar ângulo formado entre este segmento de reta eixo polar indica sentido da progressão do valor da orígem ao ponto desta forma estabelecemos uma relação entre dois polos portanto um sistema polar quando expressamos valores em torno do sistema polar na maioria das vezes criamos uma representação de um ou mais contornos para polo circunferência um exemplo simples de representação polar onde centro polo raio uma constante devido esta propriedade podemos traçar circunferências para vários valores de raio partir do polo estabelecendo uma estrutura de referência de valores para uma melhor leitura dos gráficos com relação ao ângulo devemos observar seguintes convenções para rotação no sentido horário temos ângulos negativos para rotação no sentido anti horário temos ângulos positivos devido estas características angulares um sistema polar pode representar mesmo valor para diferentes coordenadas natureza cíclica dos valores claramente notável devido mesma característica cíclica que os ângulos detêm portanto pontos de coincidência de valores para funções sem limites superiores são comuns valores expressos desta forma podem ser encontrados em intervalos com tendências infinitas tais quais portanto para análise de tais funções devemos ter cuidado de observar ocorrência de valores coincidentes da mesma forma que fazemos quando analisamos funções trigonométricas observemos um gráfico polar de uma circunferência de raio igual quatro px neste gráfico possível observar que todos os pontos possuem amplitude valor numérico igual quatro ou seja para qualquer ângulo que façamos referência teremos este valor as coordenadas polares podem ser definidas como pares de valores de raio ângulo que nos permite estabelecer uma relação de valores serem representadas em um gráfico através de uma tabela com estas coordenadas contornos do polo podem representar valores em relação grandezas geometricamente variáveis em relação ângulos de forma semelhante relação de valores num gráfico cartesiano formal forma de análise de
ção ângulos de forma semelhante relação de valores num gráfico cartesiano formal forma de análise de tais valores torna se diferente devido ao fato de termos que nos habituar observar as distâncias entre os pontos orígem podemos estabelecer uma regra para relacionar os valores polares cartesianos da seguinte maneira desta forma podemos calcular as coordenadas cartesianas para pontos em coordenadas polares se tivermos valores relacionados em coordenadas cartesianas tivermos que transformá los em coodenadas polares podemos usar as seguintes equações para encontrá las importante notar que os valores para devem ser analisados cuidadosamente pois temos dois valores possíveis para ângulo que nos fornece valor da equação acima sempre que tivermos que verificar um ângulo para os valores de coordenadas cartesianas devemos observar em que quadrante valor está expresso de forma geral coordenadas cartesianas de pontos no primero terceiro quadrantes informam mesmo valor positivo para tangente já com pontos do segundo quarto quadrante mesmo valor absoluto ocorre porém com tangentes negativas funções polares tendo um sistema que nos permite localizar pontos em um gráfico podemos agora entender comportamento das funções que devemos analisar neste sistema podemos definir função polar como onde limitada ao intervalo angular do ciclo fechado ou seja uma função polar expressa no gráfico polar da mesma forma que uma função algébrica expressa num gráfico cartesiano única diferença que no gráfico polar os valores contornam seu centro os pontos relatam na distância ao centro valor da função para cada ângulo plotando gráficos de funções analisemos um gráfico cartesiano seu correspondente polar para verificar como plotar os valores no novo formato px px vejamos como fazer uma correspondência entre os gráficos iniciando por valores de ângulos negativos observe que para temos de forma que valor expresso do lado oposto ao eixo coincidindo com valor unitário positivo esta mais uma característica da representação polar os valores de são sempre representados em módulo pois os valores do eixo são sempre crescentes observe que quando nos deslocamos para os valores tendem diminuir até zero depois tornam se positivos quando ultrapassam este ângulo comparando os valores nos dois gráficos notamos que no gráfico polar os raios aumentam partir deste ângulo passando traçar curva no lado oposto ao eixo ao chegar ao ângulo zero valor volta ser unitário passando diminuir novamente da mesma forma ciclo se repete para valores de ângulos positivos fechando curva como vemos no gráfico convertendo funções cartesianas agora façamos conversão de uma função cartesiana para polar exemplo será uma simples reta para que tenhamos noção de como funciona conversão que vimos na seção anterior seja reta calculemos forma polar para mesma conforme as equações de conversão apresentadas anteriormente por outro lado onde substituimos os valores das variáveis cartesianas que resulta em derivadas basicamente pro
lado onde substituimos os valores das variáveis cartesianas que resulta em derivadas basicamente processo para derivação de funções polares mesmo usado para funções com representação cartesiana derivada primeira obtida através da diferenciação de em relação que representa apenas uma mudança na nomenclatura das variáveis porém podemos estender os dados serem obtidos com análise destes valores fazendo derivação da função parametrizada considerando que representação de valores polares são mais apropriados de serem analisados em uma perspectiva paramétrica podemos definir as derivadas partir das equações paramétricas da curva polar para temos uma vez que queremos derivada da função para as coordenada cartesianas temos com estas derivadas podemos extrair mais informações das funções polares obter mais recursos para analisá las podemos por exemplo encontrar as tangentes verticais portanto se quisermos encontrar os pontos da curva onde existem tangentes verticais devemos encontrar derivada da função polar em relação ao ângulo depois substituí la junto com própria função que define na equação acima obtendo ângulo no gráfico onde tangente vertical estará definida procedimento semelhante fazemos para caso das tangentes horizontais usando equação que define derivada de em relação ao ângulo que define mesmo procedimento anterior para obtenção dos dados equação acima em substituição da anterior para obtenção das tangentes horizontais plotando gráficos podemos utilizar os dados obtidos com as derivadas para facilitar esboço de gráficos da mesma forma que fizemos no caso das funções paramétricas as regras são as mesmas ou seja consideremos ângulo como parâmetro teremos as seguintes equações tangentes horizontais tangentes verticais que define as equações da seção anterior para que possamos encontrar estes valores por outro lado também temos outros dados que facilitam cálculo de tangentes verticais horizontais quando temos isto mesmo que que só válida se que nos revela tangente horizontal ainda quando temos isto mesmo que que só válida se que nos revela tangente vertical portanto para um esboço do gráfico de uma função com representação polar podemos encontrar derivada encontrando os pontos onde derivada tende valores infinitos ou nulos para encontrar as tangentes verticais horizontais depois identificamos os intervalos onde função ascendente ou descendente juntamente com análise da seqüência dos valores dos ângulos para cada ponto exemplo agora iremos fazer um esboço de um gráfico para que tenhamos noção dos conceitos apresentados nesta seção esboçaremos gráfico polar da função seno para isso encontremos derivada para identificar os ãngulos onde há tangentes verticais horizontais calculando os valores da função identificando as tendências para que possamos ter uma estimativa do comportamento dos valores que delineiam gráfico procedimento calculemos as tangentes verticais horizontais para as tangentes horizontais para este caso temos os ângulos que nos fornece o
erticais horizontais para as tangentes horizontais para este caso temos os ângulos que nos fornece os valores para função para as tangentes veticais para este caso temos os ângulos plotando gráficos podemos utilizar os dados obtidos com as derivadas para facilitar esboço de gráficos da mesma forma que fizemos no caso das funções paramétricas as regras são as mesmas ou seja consideremos ângulo como parâmetro teremos as seguintes equações tangentes horizontais tangentes verticais que define as equações da seção anterior para que possamos encontrar estes valores por outro lado também temos outros dados que facilitam cálculo de tangentes verticais horizontais quando temos isto mesmo que que só válida se que nos revela tangente horizontal ainda quando temos isto mesmo que que só válida se que nos revela tangente vertical portanto para um esboço do gráfico de uma função com representação polar podemos encontrar derivada encontrando os pontos onde derivada tende valores infinitos ou nulos para encontrar as tangentes verticais horizontais depois identificamos os intervalos onde função ascendente ou descendente juntamente com análise da seqüência dos valores dos ângulos para cada ponto exemplo agora iremos fazer um esboço de um gráfico para que tenhamos noção dos conceitos apresentados nesta seção esboçaremos gráfico polar da função seno para isso encontremos derivada para identificar os ãngulos onde há tangentes verticais horizontais calculando os valores da função identificando as tendências para que possamos ter uma estimativa do comportamento dos valores que delineiam gráfico procedimento calculemos as tangentes verticais horizontais para as tangentes horizontais para este caso temos os ângulos que nos fornece os valores para função para as tangentes veticais para este caso temos os ângulos que nos fornece os valores para função resultado obtemos seguinte gráfico px os extremos são apresentados com tangentes horizontais enquanto que os valores intermediários transições são apresentadas com tangentes verticais note que devido às características cíclicas do gráfico polar os valores positivos negativos se sobrepõem integrais integração de funções polares feita da mesma forma que de funções cartesianas porém algumas considerações acerca do comportamento dos valores sua interpretação são necessárias para uma melhor compreesão dos efeitos do processo de integração formal considerando que temos basicamente uma categoria de funções sendo que cálculo da integral da mesma parece simples princípio visto que basta fazer substituição das variáveis depois adaptar os valores porém devemos ter em mente que integral de uma função com representação polar não nos dá valor da área da curva polar sob eixo na verdade temos de fato se tivermos que considerar valor da integral da função polar de sua correspondente paramétrica teremos valores discordantes que nos chama atenção para que não usemos integral simples sobre para avaliações sobre curva visto que os valores não são
para que não usemos integral simples sobre para avaliações sobre curva visto que os valores não são coerentes para os casos onde temos valores que alternam entre positivos negativos com análise algébrica de sinais possível notar que os valores das funções polares onde temos sinais negativos anulam parte das áreas onde sinal da função positivo avaliação da integral destas funções nestes casos para cálculo de áreas comprimento de curvas avaliações numéricas devemos adotar uma forma de cálculo próprio para funções polares que viabilize uma avaliação correta dos valores sem que as características circulares interfiram no resultado final na verdade devemos levar em conta estas caracteísticas para efetuar cálculo de forma correta áreas as funções polares são basicamente criadas sob óptica de um sistema circular ou seja como os valores se expandem de forma radial temos valores expressos em raios variáveis que nos inspira imaginar que devemos fazer cálculo de suas áreas com base no estudo da integração de setores circulares infinitesimais medida de áreas em setores circulares proporcional ao ângulo em setores de raio unitário corresponde ao próprio ângulo para calcular medida da área em setores circulares temos em uma curva polar se tivermos que calcular área dentro dos limites estabelecidos por ângulos podemos secionar curva em diversos setores circulares infinitesimais fazer sua somatória que nos dá valor da área para aquele intervalo de ângulos no gráfico polar considerando que podemos admitir que cada setor seja sendo área total aproximadamente admitindo valores de setores circulares cada vez menores uma vez que podemos admitir uma partição fazer mesmo que logo ou seja onde são os ângulos que delimitam setor da curva onde queremos encontrar área exemplo dada função polar calcular área da curva compreendida entre os ângulos cálculo unidades quadradas comprimento de curvas calcular comprimento de uma curva descrita por uma função em forma polar não algo tão difícil uma vez que devemos vê la como uma função que pode ser facilmente transformada para forma paramétrica devemos utilizar equação do cálculo do comprimento de curva que deduzimos no capítulo anterior do cálculo das derivadas temos que dos quais devemos obter os quadrados logo podemos dizer que fórmula do comprimento de arco da curva exemplo calculemos comprimento da curva do cosseno na representação polar entre os ângulos temos que nos dá logo unidades de comprimento