Obra: Matemática elementar/Funções
Matéria: Matemática
Nível: médio
uma função uma relação especial que definida da seguinte maneira sejam dois conjuntos tais que para todo elemento pertencente haja uma correspondência de um elemento pertencente essa correspondência função associação definida de algum modo entre todos os elementos de um conjunto os elementos de outro conjunto função que associa um elemento outro valor pode ser indicada por aparecimento de na simbologia da função não ocorre por acaso uma vez que valor depende de por isso mesmo chamada variável independente ou chamada de variável dependente matematicamente função definida ou mais um exemplo de função dado conjunto dos números naturais uma função pode associar cada número ao seu quadrado assim essa função assumiria os valores uma função pode na verdade associar mais de um conjunto outro pode haver diversas variáveis independentes por exemplo uma função pode tomar dois valores inteiros expressar sua soma no entanto neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável apenas são duas características da função enquanto relação há correspondência unívoca entre um elemento valor associado ele pela função isso significa que para cada valor assumido pela variável independente há um único valor da variável dependente associado pela função se então correspondência total ou seja um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente tabela seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções px px nesse caso um mesmo elemento do domínio aparece associado dois elementos do contradomínio aqui correspondência não total falta um valor associado já diagrama seguir representa uma função px duas funções são ditas iguais se somente se para cada valor de no domínio assumam mesmo valor obs uma função uma relação por isso não possui grau quem possui grau são os polinômios associados função dessa maneira um equívoco pensar em função de ou graus introdução relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções um exemplo clássico de função do salário de vendedores que ganham por comissão existe um valor fixo que vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês uma comissão que depende da quantidade de vendas que vendedor realizou por exemplo gráfico salário vendas vendas comissão por venda valor fixo salário da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas salário do vendedor com isso construímos um gráfico que relaciona vendas salário onde verifica se que salário depende das vendas salário uma função das vendas definição ao aplicar uma função em um dado conjunto cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto ao conjunto denomina se domínio da função sendo seus elementos denominados abscissas ao conjunto denomina se contra domínio sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens quando estas se correlacionarem um elemento de ou seja dados dois conjuntos não vazios dizemos que
quando estas se correlacionarem um elemento de ou seja dados dois conjuntos não vazios dizemos que relação de em será função se somente se para qualquer pertencente existe um pertencente tal que par ordenado pertence função obs para cada deve haver apenas um representações existem várias maneiras de se representar funções abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas sendo primeira predominante as representações abaixo são de uma função em relação seu domínio contra domínio há também as representações por sua fórmula algébrica em relação sua imagem como seguir condições de existência as condições básicas de existência são todo qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra domínio caso equação algébrica da função contenha uma fração seu denominador deve ser diferente zero caso equação algébrica da função possua uma raíz de índice par para que seu resultado pertença aos reais radicando deve ser maior ou igual zero caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração radicando deve ser estritamente maior que zero caso índice dessa raíz seja um número ímpar única restrição que radicando seja diferente de zero com isso cada função deverá ter suas restrições particulares mas sempre obedecendo as gerais acima algumas regras não são aplicáveis funções com contradomínio complexo nomenclaturas abaixo você confere que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções domínio contradomínio imagem função definida para observar conjunto domínio contra domínio cd imagem delineado pela linha tracejada são três conjuntos especiais associados função domínio conjunto do exemplo dado no início deste capítulo contém todos os elementos para os quais função deve ser definida já conjunto do exemplo contradomínio conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados elementos do domínio também define se conjunto imagem como conjunto de valores que efetivamente assume conjunto imagem pois sempre um subconjunto do contradomínio por exemplo suponha função que associa um elemento do domínio uma vogal ordenada no alfabeto domínio já especificado contradomínio imagem gráfico cartesiano abscissa todo qualquer elemento do domínio ordenada todo qualquer elemento do conjunto imagem gráfico em plano cartesiano da função representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares funções sobrejetoras injetoras bijetoras funções pares ímpares uma função denominada par quando para todo domínio de uma função denominada ímpar quando para todo propriedades das funções continuidade uma função dita contínua sobre um intervalo dado se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo por exemplo função definida para contradomínio não contínua no intervalo uma vez que não está definida para função função exemplo de função par observe que para qualquer valor de por exemplo exemplo de função ímpar observe que para qualquer valor de por exemplo funções polinomiais de primeiro segundo graus e
ímpar observe que para qualquer valor de por exemplo funções polinomiais de primeiro segundo graus existem dois tipos especiais de funções respeito das quais cabe fazer comentários aqui uma função dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma função polinomial de primeiro grau definida por função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico forma de pontos colineares se domínio da função for conjunto tem se uma reta valor da constante na função que tem domínio igual chamado coeficiente angular da reta que define função ele pode ser obtido partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta ou valores associados da variável independente dependente conforme equação para caso específico da constante ser igual zero função chamada função linear função polinomial do segundo grau já função do segundo grau toma forma graficamente função do segundo grau sempre uma parábola cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante se for negativo parábola tem vértice voltado para cima se for positivo parábola tem vértice voltado para baixo considerando representação usual do plano cartesiano operações sobre funções soma produto quociente composição de funções composição inversão de funções conceito de uma função uma generalização da noção comum de fórmula matemática funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos objeto chamado argumento da função objeto que depende de chamado imagem de pela intuitivamente uma função uma maneira de associar cada valor do argumento um único valor da função isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação um gráfico ou uma simples tabela de correspondência alguns tipos de funções propriedades fundamentais gráficos máximos mínimos equações inequações envolvendo estas funções função polinomial função linear função quadrática função exponencial função logaritmica função trigonométrica função modular função afim