Obra: Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Operadores e Tabelas Veritativas
Matéria: Matemática
Nível: médio
tabelas veritativas seja uma linguagem que contenha as proposições que podemos dizer sobre proposição para começar segundo princípio de bivalência ela ou verdadeira ou falsa isto representamos assim agora que podemos dizer sobre as proposições ora ou ambas são verdadeiras ou primeira verdadeira segunda falsa ou primeira falsa segunda verdadeira ou ambas são falsas isto representamos assim como você já deve ter reparado uma tabela para assim cada linha da tabela fora primeira que contém as fórmulas representa uma valoração agora que dizer sobre fórmulas moleculares como ou para estas podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe faremos isto por meio das tabelas veritativas os primeiros passos para construir uma tabela veritativa consistem em uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula própria fórmula por exemplo fórmula tem seguinte conjuntos de subfórmulas linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos número destas linhas sendo número de valores que sistema permite sempre no caso do cpc número de termos que fórmula contém assim se uma fórmula contém termos número de linhas que expressam as permutações entre estes será um caso de ambos termos serem verdadeiros dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro um caso no qual ambos termos são falsos se fórmula contiver termos número de linhas que expressam as permutações entre estes será um caso de todos termos serem verdadeiros três casos de apenas dois termos serem verdadeiros três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro um caso no qual todos termos são falsos então para fórmula temos para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos ao fazê lo vamos aproveitar para explicar como interpretá los negação negação tem valor inverso da fórmula negada saber interpretações não não caso de falso que assim em uma linguagem na qual significa sócrates mortal pode ser interpretada como sócrates não mortal se primeiro verdadeiro segundo falso se primeiro falso segundo verdadeiro interpretar negação por meio de antônimos também uma alternativa mas deve se ter cautela pois nem sempre aplicável em todos os casos no exemplo acima interpretação por meio de antônimos perfeitamente aplicável ou seja se significa sócrates mortal pode ser interpretada como sócrates imortal por outro lado em uma linguagem na qual significa joão bom jogador proposição joão mau jogador não melhor interpretação para joão poderia ser apenas um jogador mediano pode se adicionar indefinidamente operador de negação significa falso que significa falso que assim por diante repare que equivalente assim como equivalente negação múltipla traz alguns problemas de interpretação interpretando mais uma vez por sócrates mortal podemos perfeitamente interpretar de diversas formas não caso de que sócrates não mortal não caso de que sócrates imortal f
nterpretar de diversas formas não caso de que sócrates não mortal não caso de que sócrates imortal falso que sócrates não mortal falso que sócrates imortal etc contudo nem sempre na língua portuguesa dupla negação de uma proposição equivale afirmação desta muitas vezes dupla negação uma ênfase na negação exemplos não veio ninguém não fiz nada hoje etc conjunção conjunção entre duas fórmulas só verdadeira quando ambas são verdadeiras saber interpretação pode ser interpretada como tanto quanto ambas proposições são verdadeiras etc assim em uma linguagem na qual significa sou cidadão brasileiro significa sou estudante de filosofia pode ser interpretada como sou cidadão brasileiro estudante de filosofia que só verdade se verdade verdade repare que conjunção comutável ou seja equivalente saber comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem natural no cálculo proposicional clássico pois ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma sequencia temporal por exemplo isabela casou teve um filho bem diferente de isabela teve um filho casou repare que mesmo problema não acomete proposição isabela casada tem filhos que equivalente isabela tem filhos casada esta sentença portanto perfeitamente formalizável no cálculo proposicional clássico por meio de uma conjunção proposições que levam palavra mas também podem ser formalizadas pela conjunção por exemplo em uma linguagem na qual significa joão foi atropelado significa joão sobreviveu ao atropelamento as sentenças joão foi atropelado sobreviveu joão foi atropelado mas sobreviveu podem ambas serem formalizadas assim afinal ambas proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequencia atropelamento sobrevivência de joão única diferença entre ambas que aquela que leva mas expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita que para os desenvolvedores da lógica clássica não importa para lógica disjunção disjunção entre duas fórmulas só verdadeira quando ao menos uma delas verdadeira saber repare que disjunção também comutativa interpretação pode ser interpretada como ou entre as proposições ao menos uma verdadeira assim se significa fulano estuda filosofia significa fulano estuda matemática pode ser interpretada como fulano estuda filosofia ou matemática que só falso se nem nem forem verdadeiras com disjunção preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes por exemplo uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa para estes casos usamos disjunção exclusiva ou bi implicação combinada com negação como veremos mais adiante implicação implicação entre duas fórmulas só falsa se da esquerda antecedente for verdadeira da direita consequente for falsa saber repare que implicação não comutativa interpretação pode ser interpretada como se então implica em se proposição verdade então proposição também verdade p
de ser interpretada como se então implica em se proposição verdade então proposição também verdade partir de inferimos satisfaz condição suficiente de assim se em uma linguagem significa botão vermelho foi apertado significa lugar todo explode pode ser interpretada como se botão vermelho foi apertado lugar inteiro explode que só falso se botão vermelho for apertado verdade de lugar não explodir falsidade de interpretação da implicação uma das mais complicadas talvez você tenha estranhado que implicação seja verdadeira quando antecedente falso ou ainda você poderia objetar mas se botão for apertado lugar explodir mas uma coisa não ter nada ver com outra quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que partir de um evento outro segue inexoravelmente por exemplo se você sair na chuva sem guarda chuva ou capa de chuva então você vai se molhar ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro por exemplo se todo número par divisível por então nenhum número par maior que primo podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação mas contrário ou seja interpretar uma implicação na linguagem natural problemático podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente consequente não tem relação alguma bastando que antecedente seja falso ou consequente seja verdadeiro para que implicação seja verdadeira nestes casos bem difícil dar uma interpretação satisfatória para implicação bi implicação bi implicação entre duas fórmulas verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas repare que bi implicação comutativa interpretação pode ser interpretada como se somente se equivalente possuem mesmo valor veritativo assim se significa as luzes estão acesas significa interruptor está voltado para cima pode ser interpretada como as luzes estão acesas se somente se interruptor está voltado para cima que só falso se as luzes estiverem acesas interruptor não estiver voltado para cima verdade de falsidade de ou se as luzes não estiverem acesas interruptor estiver voltado para cima falsidade de verdade de outros conectivos ainda há outros conectivos interessantes mas por motivos explicados mais para frente não trabalharemos com eles vamos apenas nos familiarizar com alguns deles agora adaga de quine verdadeiro somente se ambos forem falsos trata se portanto da negação da disjunção disjunção exclusiva disjunção exclusiva entre duas fórmulas verdadeira somente se apenas uma delas for verdadeira trata se portanto da negação da bi implicação traço de sheffer só falsa se ambos forem verdadeiros trata se portanto da negação da conjunção uso de parênteses fórmulas com mais de um operador assim como na aritmética algebra os parênteses na lógica indicam que considerar primeiro portanto fórmula consiste na negação da conjunção entre enquanto fórmula consiste na conjunção entre negação de diferença entre as fórmulas fica clara na tabela de verdade da mesma forma distinta de saber contudo tem se que fórmula equivalente pois
ra na tabela de verdade da mesma forma distinta de saber contudo tem se que fórmula equivalente pois ambas só serão verdadeiras se forem verdadeiras da mesma forma equivalente ambas só são falsas quando todos termos são falsos equivalente devido isto vale como convenção informal as construções completando tabela de verdade agora vejamos como completar tabela de verdade da fórmula uma vez que já estabelecemos todas valorações de vamos completar cada coluna começando pela subfórmula mais simples até chegar fórmula em questão neste caso vamos começar por pela definição de conjunção em cada linha nas quais tanto quanto forem verdadeiras será verdadeira em todas as demais será falsa agora vamos considerar coluna da subfórmula pela definição de implicação em cada linha na qual antecedente for verdadeiro enquanto consequente for falso será falso em todas as demais será verdadeira por fim resta coluna da fórmula pela definição de negação em cada linha na qual for verdadeira será falsa em cada linha na qual for falsa será verdadeira por meio desta tabela podemos ver que fórmula só verdadeira em um único caso qual são verdadeiras enquanto falsa esta uma das aplicações da tabela de verdade determinar em quais valorações de suas subfórmulas uma fórmula verdadeira ou falsa exercícios seja uma linguagem na qual significa russell desenvolveu teoria das descrições significa gödel matemático significa está chovendo formalize no cpc as seguintes proposições faça tabela de verdade de cada uma delas não está chovendo russell desenvolveu teoria das descrições gödel matemático russell desenvolveu teoria das descrições ou gödel não matemático se gödel matemático então está chovendo se não está chovendo então gödel não matemático nem está chovendo nem russell desenvolveu teoria das descrições russell não desenvolveu teoria das descrições se somente se está chovendo resolução dos exercícios