Obra: Cálculo (Volume 1)/Integrais
Matéria: Matemática
Nível: médio
wikiversidade disciplina cálculo integrais uma vez que podemos analisar variação de determinados valores em uma função como poderíamos reverter análise ou seja se possível criar uma função partir de outra utilizando diferenciação que teríamos se fizéssemos operação inversa esta uma questão que nos leva mais um método do cálculo integração uma forma de reverter derivação com ela temos um artifício para recuperar função original partir da sua derivada outra característica interessante da integral que valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função eixo abscissas vamos analisar em seguida como funciona mecanismo básico de integração nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema que bastante vasto uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em antiderivadas como procedemos para reverter derivação princípio verificado através da análise da inversão da seguinte forma considere função cuja derivada então dizemos que antiderivada de nossa primeira constatação que função primitiva inclui uma constante que durante processo de derivação descartada já que sua derivada nula se fizermos processo inverso para obter função original teríamos para operar consegui lo isso nos leva uma indefinição da função obtida através da menos que conheçamos valor da constante se quisermos obter função original teríamos que operar zero primeiro requisito princípio plausível de ser conseguido porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível podemos então dizer antiderivação processo pelo qual operamos derivada de uma função para encontrar sua exata função primitiva que nos leva conclusão que antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar constante que pertencia função quando ela foi derivada ou que deduções partir de suas características dos fenômenos utilizados para sua formulação possam fornecer constante opera apenas os processos para dedução de um esboço da função que chamamos de fórmula geral no formato como podemos encontrar diversas constantes temos diversas funções que nos dá possibilidade de operar por exemplo as funções derivadas de mesmo que ao operarmos as funções derivadas utilizando teremos que não nos garante meios de encontrar as primitivas visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes definições ao operar inversa da derivada podemos fazer análise com as diferenciais ou seja cosidere função então temos que nos leva algo muito interessante que nos lembra temos ainda que fazendo nos deduzir que precisamos operar para encontrar esta operação chamada de antidiferencial simbolizada por onde função diferencial da variável independente de forma mais completa antidiferencial da função onde constante que define função primitiva operações básicas uma operação que tende ser complicada na maioria das funções ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar processo porém existe
maioria das funções ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar processo porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo algumas das regras básicas para operação de serão abordadas nas seções subseqüentes outras regras serão abordadas nos próximos capítulos devido complexidade que envolvem processo muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá las para momento oportuno quando todos os elementos necessários para abordagem do assunto estejam bem claros diferenciais com constante comprovação de fato se constantes comprovação se fizermos teremos conforme teorema fator adição comprovação se resultado da soma de duas logo temos que admitir que são diferenciais soma de diferenciais admite que se temos sendo portanto possível fazer além disso se então podemos fazer portanto pela análise da reversibilidade possível constatar que adição de duas pode ser operada que atesta regra que expomos variável com expoente constante antidiferencial onde constante comprovação regra da cadeia para onde constante que define primitiva comprovação uma vez que temos que nos possibilita operar por substituição obtendo para definir antiderivada usamos constante que comprova regra introdução equações diferenciais considerando questão da indefinição criada pela diferenciação processo de traz uma conseqüência indesejável para processo de equacionamento de diferenciais quando uma equação diferencial proposta constante de faz com que processo de resolução seja bastante prejudicado que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê la faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais porém estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar processo embora que solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço dedicação diferenciais de primeira ordem seja equação sua derivada expressa como sendo uma constante arbitrária definida pelas características das deduções que originaram equação que resulta na equação diferencial esta equação denominada equação diferencial de primeira ordem visto que originada de uma derivada primeira que permite facilmente separar as variáveis diferenciais por outro lado como meio para reverter processo de diferenciação fazemos com constante lembre se que uma constante não definida constante original pelo exposto deduzimos que equação assumirá forma porém como uma constante indefinida temos uma função ainda indefinida constante antidiferencial constante resultante da indefinição na expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior para aumentar as possibilidades da análise cosideremo la como variável ao fazer isto temos um comportamento interessante para função resultante quando atribuimos valores esta variável temos uma equação
mento interessante para função resultante quando atribuimos valores esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma se observarmos mais atentamente descobriremos que gráfico da função mantém forma porém varia altura em relação ao eixo das abscissas variável independente ou seja equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas que possibilita uma infinidade de valores que definiria escolha de uma constante em particular constante definirá qual curva que obedece comportamento espelhado pelos números que compõem curva ser escolhida de fato basta um par ordenado definido dentro do conjunto de números que obedecem equação teremos definição da função exata em várias áreas onde podemos utilizar estas equações temos definição deste par ordenado partir do comportamento dos números que são observados ou deduzidos na maioria das vezes este par de números chamado de estado inicial pois estabelece comportamento da equação quando os valores das variáveis são conhecidos inicialmente no nosso caso da seção anterior coseguimos fórmula geral certamente podemos afirmar que quando temos pois uma afirmação fácil de ser encontrada uma vez que conhecemos equação original porém se não conhecemos observação dedução lógica devem ser usadas para encontrá la algumas vezes podemos nos perguntar basta nos conhecer conjunto de equações ou precisamos de uma equação específica mérito desta questão deve ser avaliado de acordo com necessidade da análise ser feita cabendo ao analista verificar quais são seus requisitos dentro do que se propõe verificar integral indefinida seja antidiferencial observamos que mesma corresponde uma operação sobre pequenas seções de área pois corresponde multiplicação de um segmento numérico de largura pela altura valor da função aproximada ao limite em cada ponto operação da forma que se apresenta estende se de analisando qual natureza desta operação podemos tomar dois valores para sejam sendo quando analisamos este fato concluimos que área do intervalo menor está dentro da área do maior vemos que operação comporta se como uma soma de áreas se somarmos todas as componentes de áreas ao longo da curva teremos uma área delimitada pela curva eixo chamamos esta operação de integral seu símbolo mesmo da pois devido aos fatos acima introduzidos ao teorema fundamental do cálculo que discutiremos adiante operação de pode ser chamada de integral indefinida integral definida aprofundando conceito de que há uma soma de pequenos segmentos de área para cada ponto em uma curva podemos delimitar uma seção da curva através da adoção de um intervalo desta forma teremos uma área definida qual chamamos de integral definida antes de detalhar processo para encontrar referida área faz se necessário observação de conceitos que serão úteis para seu desenvolvimento próximo tópico abordará somatória um procedimento que facilitará estudo das somas sucessivas que propomos analisar somatórias considere operação chamamos esta operação de somatória ela simbo
as que propomos analisar somatórias considere operação chamamos esta operação de somatória ela simbolizada pela letra grega sigma utilizando notação escrita como segue significado deste símbolo facilmente compreendido variável chamada de índice número quantidade de parcelas ocorre que ao substituir estes valores na expressão fazemos de forma seqüencial somando um valor ao anterior como descrito na operação acima que resultará no valor final de pretendido na referida operação propriedades constante com constante comprovação vezes fator com constante comprovação adição comprovação exclusão de termo antecedente comprovação definição da integral de riemann conceito de integral está ligado necessidade de encontrar área de curvas as abordagens tomadas para solucionar problema do cálculo de áreas curvas encontram sempre mesmo resultado para não nos extendermos muito faremos uma explanação do processo chamado integral de riemann qual um dos mais conhecidos vejamos gráfico abaixo px integral de riemann figura gráfico mostra uma função sinuosa se fizermos seções retangulares para imitar contorno das curvas teremos uma maneira grosseira de calcular área delimitada pela curva eixo uma vez que temos possibilidade de aumentar quantidade de retângulos podemos aumentar precisão dos nossos cálculos se fizermos com que número de retângulos aumente numa tendência ao infinito teremos valor da área consideremos função do gráfico sua integral entre os valores de chamamos intervalo de partição simbolizamos como ao dividirmos intervalo em pedaços seções temos possibilidade de definir tamanho de cada um porém regra de riemann mais flexível estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de tal que uma vez que estabelecemos os valores dos podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja ponto onde definiremos valor da função este ponto será importante porque ele estabelecerá altura do retângulo valor de que determinará ponto da altura de cada retângulo referenciado como referenciamos estes pontos como base dos retângulos onde os valores podem variar livremente porém há sempre um retângulo que possui maior base que chamamos de norma da partição simbolizada por podemos somar todos os retângulos da partição fazendo cálculo aproximado da área da seguinte maneira integral obtida quando fazemos os retângulos tão pequenos que poderemos considerar suas bases quase nulas para isso podemos dividir partição em pedaços de que nos permite delimitar norma definir sua tendência zero também nos dá possibilidade de definir integral como propriedades da integral definida algumas propriedades são observadas partir dos conceitos expostos sobre integral são regras para simplificar algumas operações mas que podem ser úteis para estudo de teoremas que veremos em capítulos mais adiante vejamos as propriedades suas comprovações sejam funções contínuas no intervalo podemos afirmar que limites iguais comprovação podem
mprovações sejam funções contínuas no intervalo podemos afirmar que limites iguais comprovação podemos observar que ao tomarmos intervalo dividindo em pedaços teremos sendo teremos então que comprova teorema fator do integrando sendo constante comprovação que igual que comprova teorema inversão dos limites comprovação novamente tomando intervalo dividindo em pedaços teremos portanto fator determinante do sinal se tomarmos integral no intervalo invertermos sua posição no cálculo teremos logo tomando como igual tomar como que comprova teorema adição comprovação sendo integral logo que comprova teorema seções complementares sendo constante comprovação tomando intervalo entre fazendo relação um valor que pode ser atribuído às duas relações portanto podemos fazer que semelhante propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior que costumamos usar na geometria que prova teorema valor médio seja seção no domínio da função dizemos que valor médio da função neste intervalo sendo seu valor definido como segue comprovação valor médio de uma função expresso pela função abaixo onde representa um valor em particular sendo valor da função para cada retângulo podemos fazer sua média da seguinte forma por outro lado podemos fazer com que seja logo uma vez que um valor muito grosseiro podemos encontrar limite quando norma da partição tende ser nula desta forma que comprova teorema teorema fundamental do cálculo seja função contínua no intervalo sua integral definida entre obtida pela operação que segue onde chegamos ao ponto culminante deste estudo inicial sobre as integrais este teorema chamado de teorema fundamental do cálculo base de nossas análises mais específicas nos próximos capítulos ele afirma que integral definida pode ser obtida através da da função para tal adotamos seguinte notação comprovação devemos demonstrar que derivada de igual como podemos observar quando calculamos valor da integral definida variamos limite superior gradativamente de até isto nos indica que podemos criar uma nova função como escrito abaixo observe que dita independente de pois última constroi curva da função enquanto que outra nos dá integral de qualquer ponto com relação distância da contante portanto calculando sua derivada temos conforme teorema parte da equação operada pelo limite um valor médio observe que ou seja limite do valor médio quando intervalo tende ser nulo que resulta em pois equivalente fazer uma média com apenas um elemento próprio valor de observemos ainda que valor médio aqui expresso não constante visto que depende de que quer dizer que temos um valor médio para cada seção da curva valor médio dos valores entre no mínimo feito com os dois extremos apresentados da seguinte forma no limite resulta portanto antidiferencial de por outro lado ao fazer então que antidiferencial de logo que comprova teorema