Obra: Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo aplicações das derivadas vamos começar colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então derivada de uma função utilizada para diversas finalidades algumas delas vamos explorar neste capítulo porém não possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas muitos recursos podem ser criados partir dos seus conceitos bastando para isto criatividade de cada mente se manifestar derivada medida da declividade de uma reta tangente cada ponto da função de onde surgiu ela também uma função que fornece valores relativos de muita utilidade podemos também lembrar que ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois derivada fornece valor da tangente deste ângulo enfim temos muito que extrair das derivadas elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função possibilitando diversas maneiras de extrair informações elas trazem um novo meio capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos vejamos que podemos aproveitar de imediato taxas maneira genérica de representar uma quantidade fracionada que nos leva uma quantidade dentro de diversos conteúdos taxa ou relação de maneira efetiva temos um total de porções em recipientes esta simples representação mostra como uma taxa estabelecida taxa uma relação linear que pressupõe comportamento de dependência direta entre os termos se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico onde variássemos quantidade de recipientes calculássemos valor de mantendo constante teríamos uma reta plausível pensar que taxa constante porém na natureza no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram constância que observamos nesta equação mais comum que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos um caso típico medida de velocidade de um corpo em movimento se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade impossível visualizar uma situação em que carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova fim de chegar seu destino uma vez que temos um ponto inicial um final além de um instante inicial um final também podemos calcular velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto que ou agora imagine que tenhamos que medir tempos distâncias cada vez menores que nos levaria medir quase que os valores então teríamos uma medida instantânea da velocidade isto equivalente fazer com que valor de se aproxime de zero isto não nos lembra algo conhecido exatamente uma derivada velocidade medida cada instante uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um outro então teremos valor da velocidade para cada instante tal qual teríamos se estivéssemos observando velocímetro do carro constatação acima nos fornece um meio de calcular partir de valores sugeridos valor da velocidade instantânea precisamos apenas da função em função do tempo depois podemos obter derivada de com relação teremos que velocidade instantânea
o em função do tempo depois podemos obter derivada de com relação teremos que velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada podendo ser calculada em seguida podemos ainda fazer cálculo da aceleração do mesmo corpo que nos dá aceleração instantãnea ou note que ao derivarmos função duas vezes estamos criando uma derivação dupla que podemos simbolizar desta forma esta expressão também conhecida como derivada segunda da função termo segunda designa que chamamos de ordem da derivada que indica quantas vezes primeira função foi derivada portanto temos termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada derivada note que derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva zero isto ocorre porque grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente máximo mínimo médio considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo outro mínimo em um segmento de seu domínio quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas visto que estas expressam tendências da declividade da função vejamos que podemos extrair das derivadas de uma função que são expressões da declividade da curva que representa nos intui possibilidade de antever curso dos valores da função ao longo do domínio extremos de um intervalo seja função cujo domínio limitamos em menos que seja constante há um número do intervalo cujo seu correspondente na imagem menor que todos os outros no domínio há um número do intervalo cujo seu correspondente na imagem maior que todos os outros no domínio números críticos definimos por número crítico valor assumido pela variável independente de forma que seu resultante na imagem da função derivada seja nulo ou inexistente que na maioria das vezes se apresenta como um limite infinito ou seja tem derivada um número crítico da função se ou valor extremo quando temos um número dentro do intervalo que obedece as condições acima dizemos que um número crítico todas as vezes que uma função contínua tem um número cujo valor correspondente na imagem maior ou menor que os valores dos outros temos um máximo ou um mínimo no intervalo intuitivamente se função contínua há um valor maior ou menor que os outros no mesmo intervalo fácil concluir que função terá que variar sua curva variando declividade de um valor positivo para outro negativo que nos leva conclusão que no limite entre os dois ela terá que ser zero fica claro então que quando há um extremo no intervalo valor numérico de sua derivada nulo vejamos demonstração algébrica do teorema seja os números onde um número crítico do intervalo considerado inicialmente observando derivada de quando este valor maior no intervalo da mesma forma que nos leva concluir que por outro la
rivada de quando este valor maior no intervalo da mesma forma que nos leva concluir que por outro lado se menor valor do intervalo da mesma forma que nos leva concluir que logo em ambos os casos limite que nos dá derivada da função em tem valor nulo portanto sempre que temos um valor de uma função que extremo em um intervalo seja maior ou menor este terá sua derivada nula teorema de rolle este teorema serve de base para outras demonstrações observações também sendo importante para conclusões ao longo do estudo observe gráfico px figura em decorrência do fato que função gera dois valores iguais para para além de ser derivável isto implica na existência de um número crítico entre estes dois pontos visto que teorema demonstra este fato além de afirmar que este extremo tem derivada nula provamos que teorema valido para por outro lado se derivada de também nula visto que quando limite alcançado portanto teorema do valor médio para derivadas tomemos dois números em um intervalo fechado quando uma função contínua neste intervalo temos pelo menos um número qual projeta sobre imagem da função um valor de forma que sua derivada igual ao valor da declividade da reta entre os pontos explicação deste fato facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo uma vez que curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção declividade do outro neste caso curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo outro de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela reta definida pelos dois pontos citados algebricamente análises de declive concavidade uma interessante aplicação da derivada análise de tendências da função resultado desta derivada está ligado declividade da reta tangente ao ponto uma vez que tangente nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano apresenta uma distinção clara devido mudança de sinal isso possibilita uma boa gama de informações para análise de seu comportamento por conseqüência da função que originou teste da derivada primeira coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função nos revela uma tendência que varia conforme tangente desta reta tomando como referência eixo quando função crescente os valores das derivadas para os mesmos de são sempre positivos enquanto que quando função decrescente estes são sempre negativos que nos sugere seguinte teste possível provar teorema pela análise da definição da função derivada da seguinte forma se contínua existe tal que onde admitindo que denominador positivo ou seja que nos resta analisar sinal do resultado no numerador se portanto quando função crescente no intervalo teremos por outro lado se teremos uma função decrescente no intervalo no último caso se então reta que passa pelo ponto paralela ao eixo que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência
a que passa pelo ponto paralela ao eixo que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva explicando melhor se os valores da função estão crescendo ponto em questão tem derivada nula ou função atinge maior valor no intervalo ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento passando de crescente para decrescente quando função está decrescendo passa de decrescente para crescente teste da derivada segunda análise consideremos derivada segunda tomando valor de podemos verificar que ocorre com numerador se sabemos que declividade da curva em menor que declividade de como em temos um valor crítico temos que concluir que este representa um máximo visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de ou seja todos os valores decrescem medida nos deslocamos no eixo portanto apenas pode assumir valor máximo no intervalo se sabemos que declividade da curva em maior que declividade de como em temos um valor crítico temos que concluir que este representa um mínimo visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de ou seja todos os valores crescem medida nos deslocamos no eixo portanto apenas pode assumir valor mínimo no intervalo concavidades temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo relacionamos concavidade em um intervalo da curva como derivada segunda reflete tendência de crescimento ou decréscimo da declividade temos como verificar que seu sinal indica se concavidade do gráfico para cima ou para baixo ou seja se concavidade da curva está voltada para cima devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo se concavidade da curva está voltada para baixo devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo pontos de inflexão inflexão uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto dizemos que ponto onde função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento ou vice versa chamado de ponto de inflexão de forma geral quando função passa de uma taxa de variação positiva ou negativa ou vice versa ela passa por um ponto de inflexão considerando número crítico para uma função ponto de inflexão definido como aquele onde ocorre inversão na tendência da declividade ou seja quando ou também possível demonstrar que que torna possível identificar número crítico do ponto de inflexão partir da derivada segunda da função esboço de gráficos podemos aplicar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboços de gráficos prática deste artifício se mostra muito útil na análise de evoluções de grandezas especialmente nas áreas de para obter gráfico de uma função qualquer pode se usar de várias estratégias entre elas tabela de valores uso de cálculo uso de ferramentas computacionais ou right para usar método da tabela basta que num plano cartesiano sejam plotados po
computacionais ou right para usar método da tabela basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos unindo os depois com uma linha suave esboçar um gráfico assim não muito recomendado se não se sabe com antecedência qual comportamento da função visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto outro por exemplo se uma função for periódica como na figura ao lado intervalo entre os valores for próximo ao do período dessa função no caso período da função intervalo entre os pontos do domínio esboço indicará uma função não periódica mas constante claramente um erro por isso quando se utilizar desse método se deve ter cuidado para não se equivocar para utilizar computador ou uma calculadora além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento necessário que se tenha certeza de que função ser esboçada não gerará nenhum no instrumento valores muito pequenos ou muito altos podem dependendo do software criar erros apreciáveis os quais serão transmitidos para gráfico ser construído algumas funções podem acabar sem partes do gráfico já que programa não calcula fórmula inserida em uma parte do domínio mesmo que exista devido falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo sendo assim antes de usar método bom ter conhecimento respeito do formato do gráfico até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação para se utilizar cálculo necessário lembrar dos teoremas já estudados também de suas implicações importante lembrar que os números críticos verificados com teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com derivada segunda podemos adotar uma notação indexada para identificá los assim temos para primeiro caso para segundo para esboçar gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes valor da função quando nula além disso podemos verificar os pontos em que função apresenta números críticos extraindo derivada primeira derivada segunda resolvendo as equações verificando os pontos onde as derivadas não existem partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento nos intervalos entre os números críticos as raízes pontos de inflexão concavidades obviamente os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores porém para análise do comportamento da função em alguns casos na visualização de formas geométricas este método bastante útil de um modo simplificado pode se estabelecer etapas para esboço de gráficos com uso de cálculo expressar explicitamente função ser esboçada calcular algebricamente ou numericamente as raízes da função se existirem procurar assíntotas horizontais tomando limite da função no infinito tanto positivo quanto negativo derivar primeira vez encontrar os pontos críticos da função igualando derivada zero derivar segunda vez testar os pontos críticos fim de saber se são máximos ou mínimos locais eventualmente globais ou então se são pontos de inflexão estudar sina
são máximos ou mínimos locais eventualmente globais ou então se são pontos de inflexão estudar sinal da segunda derivada fim de conhecer as concavidades da função original representar as informações obtidas em um gráfico