Obra: Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo trigonométricas ii esta seção continuação do estudo trigonométrico iniciado no capítulo anterior que foi criada após aumento progressivo do conteúdo tangente secante quando definimos seno cosseno fizemos referência seu significado no ciclo trigonométrico da mesma forma introduziremos tangente neste momento como já vimos anteriormente derivada uma função que representa declividade de uma curva da mesma forma podemos definir tangente pois essencialmente ela representa declividade do ciclo para cada ângulo em particular ou seja se traçarmos uma reta orgononal cada ponto do ciclo trigonométrico relacionarmos ao ângulo que forma com eixo teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos como cada ponto do ciclo definido por valor inicial sempre nulo temos um valor de declividade tal que que desta forma também podemos concluir que tangente representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos cateto adjacente constante unitário cosiderando este ponto de vista qual seria valor da hipotenusa para definir hipotenusa façamos da identidade relacional temos portanto este valor que chamamos de secante que outra função importante para estudo trigonométrico então podemos dizer que nas próximas seções veremos que secante mantém íntimas ralações com tangente identidades como definimos as identidades entre seno cosseno incluiremos as identidades que incluem tangente secante nesta seção todas são algebricamente dedutíveis intercambiaveis relacionando tangente secante seja uma variável que expressa ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico entre podemos afirmar que conforme visto nos conceitos iniciais logo acima relação conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente secante tangente da diferença sendo dois ângulos no ciclo trigonométrico comprovação considerando definição da tangente temos resultando em que comprova identidade tangente da soma comprovação admitamos teremos pela tangente da diferença considerando que tangente que seno determinante para sinal enquanto cosseno não concluímos que sinal da tangente igual ao da variável tal qual se comporta seno logo que comprova identidade derivada da tangente seja uma função contínua em visto que que nos obriga excluí lo do intervalo podemos verificar que logo pela derivada da razão portanto derivada da secante seja uma função contínua em visto que que nos obriga excluí lo do intervalo podemos verificar que logo pela derivada da razão que nos revela integral da tangente seja função definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados podemos deduzir que por outro lado se que nos possibilita afirmar que portanto integral da secante seja função dizemos que sua integral função podemos deduzí la através de substituições algébricas como segue multiplicando dividindo por outro lado se logo por substituição temos sendo que nos permite fazer portanto cotangente cossecante considerando semelhança entre as definições das fu
nos permite fazer portanto cotangente cossecante considerando semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas observamos que para cada função curiosamente há uma co função assim como temos um seno um co seno temos uma tangente uma co tangente função cotangente definida tal qual analogia adotada antes para seno cosseno podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo as co funções estão relacionadas ao eixo imagem de um ponto no ciclo trigonométrico partir do eixo cosseno do ângulo seno imagem do mesmo ponto vista pelo eixo para verificar essa relação observe gráfico px figura se nós fizermos mesma observação entre tangente cotangente concluiremos que tangente imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo traçado partir da coordenada cotangente sua co função que espelha ponto no eixo paralelo ao eixo na coordenada segundo mesmo critério de analogia podemos dizer que função cossecante valor da hipotenusa do triângulo formado entre raio unitário do ciclo cotangente relacionada um ponto do ciclo da mesma forma que secante valor da hipotenusa do triângulo formado entre raio unitário do ciclo tangente do mesmo ponto podemos deduzir fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos notamos no ciclo que que nos revela da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar cossecante vemos que existe seguinte relação que define cossecante como identidades algumas identidades são conseqüentes das definições apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro as identidades de modo geral são altamente intercambiáveis devido natureza cíclica das funções trigonométricas no nosso estudo abordamos as mais utilizadas conseqüentes das definições derivada da cotangente seja função considerando que novamente usamos regra da derivada da razão portanto derivada da cossecante seja função considerando que novamente usamos regra da derivada da razão portanto integral da cotangente seja função considerando que sua integral sendo logo por substituição integral da cossecante seja função sua integral sendo podemos então multiplicar dividir na equação da integral anterior logo por substituição inversas das trigonométricas conjunto de equações até momento abordadas nos trazem uma nova questão quais as funções que nos permitem encontrar ângulo partir do resultado de uma função trigonométrica resposta está nas inversas das funções trigonométricas também chamamos de arc funções uma arc função uma função na qual podemos inserir valor da função encontrar arco que originou este resultado por isto dizemos que aquela que retorna valor do arco cuja função resulta em arcseno arccosseno conforme anteriormente exposto temos que encontrar as funções que nos dão valor do arco que forma um seno arco que forma um cosseno para isto cabe uma observação seno cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes devido característ
cabe uma observação seno cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes devido característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em portanto não existem as funções inversas do seno cosseno neste intervalo exposto nos obriga limitar intervalo do seno do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas considerando função seno dentro da faixa podemos dizer que condição de inversibilidade satisfeita da mesma forma função cosseno dentro da faixa também apresenta valores únicos para cada arco tomado assim dizemos que da mesma forma que derivadas do arcseno arccosseno seja função sendo sua inversa podemos operá la desta forma por outro lado que nos dá logo ainda temos que função sendo sua inversa podemos operá la desta forma por outro lado que nos dá logo integrais do arcseno arccosseno para integração das funções arcseno arccosseno veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema arctangente arccotangente definimos função arctangente de como inversa da função tangente de para todo intervalo porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco do mesmo modo podemos definir função arccotangente de como inversa da função cotangente de para todo intervalo porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco derivadas da arctangente arccotangente seja função sendo sua inversa podemos operá la desta forma por outro lado que nos dá logo ainda temos que função sendo sua inversa por outro lado que nos dá logo integrais da arctangente arccotangente para integração das funções arctangente arccotangente veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema arcsecante arccossecante definimos função arcsecante de como inversa da função secante de para os intervalos de onde nos mesmos há apenas um valor de secante para cada arco função relacionada função como segue do mesmo modo podemos definir função arccosecante de como inversa da função cosecante de para os intervalos de onde nos mesmos há apenas um valor de secante para cada arco função relacionada função como segue derivadas da arcsecante arccossecante seja função que tem correspondência em sendo portanto para integrais da arcsecante arccossecante para integração das funções arcsecante arccossecante veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema trigonométricas inversas como integrais algébricas como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em arc funções são elas em todas como de costume encontramos constante de hiperbólicas hipérbole uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica tem como característica uma íntima relação com as exponenciais as funções desta seção são obtidas segundo mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando se da hipérbole como função geratriz ou seja par
mo princípio das funções trigonométricas utilizando se da hipérbole como função geratriz ou seja para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar análise feita no ciclo trigonométrico desta análise resultam as funções discutidas nesta seção as funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais portanto seu estudo simplificado nesta seção visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais seno cosseno hiperbólicos função seno hiperbólico obtida partir da hipérbole da mesma forma que seno no ciclo trigonométrico sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole onde encontramos função cosseno hiperbólico que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão sendo obtida de forma similar anterior fato destas funções serem resultantes da soma subtração de uma exponencial crescente uma exponencial decrescente lhes conferem propriedades únicas do mesmo modo temos possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física na química nas engenharias relacionando seno cosseno hiperbólico considere operação da definição temos logo derivada do seno hiperbólico seja função seno hiperbólico podemos dizer que sendo portanto derivada do cosseno hiperbólico seja função cosseno hiperbólico podemos dizer que sendo portanto integral do seno hiperbólico integral do seno hiperbólico também facilmente obtida pela definição concluimos que integral do cosseno hiperbólico integral do cosseno hiperbólico também facilmente obtida pela definição concluimos que tangente secante hiperbólicas da mesma forma que no caso trigonométrico tangente as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno do cosseno ou seja tangente definida como ou secante hiperbólica definida como ou relacionando tangente secante hiperbólicas vamos desenvolver expressão abaixo portanto derivada da tangente hiperbólica seja função temos portanto derivada da secante hiperbólica seja função temos finalmente integral da tangente hiperbólica seja função temos se fizermos verificamos finalmente integral da secante hiperbólica para integração da função secante hiperbólica veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema cotangente cossecante hiperbólicas cotangente hiperbólica definida como ou cosecante hiperbólica definida como ou relacionando cotangente cossecante hiperbólicas vamos desenvolver expressão abaixo portanto derivada da cotangente hiperbólica seja função temos portanto derivada da cossecante hiperbólica seja função temos finalmente integral da cotangente hiperbólica seja função temos se fizermos verificamos finalmente integral da cossecante hiperbólica para integração da função cossecante hiperbólica veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema
cossecante hiperbólica veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema inversas das hiperbólicas as funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes elas estão ligadas ao logaritmo natural por este motivo sua análise excencialmente exponencial como análise das funções hiperbólicas deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados análises de estruturas não lineares análise da inversão das variáveis as funções hiperbólicas são analisadas de forma semelhante às trigonométricas que nos sugere análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma para forma isto particularmente fácil de implementar para funções do tipo que são funções monótonas contínuas para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo devemos adotar faixas para domínio de cada uma em particular importante notar que embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos lembre se que raio de uma função circular constante que não acotece com uma função baseada em uma cônica neste caso hipérbole por isso escolhemos nomeclatura de arg funch pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos argsenh argcosenh agora consideremos função então podemos fazer logo que resulta na equação cujas raízes são podemos apenas admitir substituindo as variáveis por por temos inversa de que no caso de dedução similar podemos fazer logo que resulta na equação cujas raízes são podemos apenas admitir substituindo as variáveis por por temos inversa de que derivadas de argsenh argcosh considerando as fórmulas deduzidas acima temos de onde deduzimos resultando para de onde deduzimos finalmente integrais de argsenh argcosh as integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado utilizando se os métodos do próximo capítulo técnicas de integração proponho que leitor as faça como exercício do mesmo argtgh argsech considerando temos se que resulta na equação cujas raízes são onde apenas podemos admitir substituindo por por que inversa da portanto ou considerando temos se que resulta na equação cujas raízes são onde apenas podemos admitir substituindo por por que inversa da portanto derivadas de argtgh argsech seja deduzimos que sua derivada que depois de submetida regra da cadeia da razão se torna finalmente note que devido limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva derivada herda mesma limitação uma vez que função não existe fora deste domínio seja deduzimos que sua derivada que depois de submetida regra da cadeia da razão se torna finalmente integrais de argtgh argsech as integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado utilizando se os métodos do próximo capítulo técnicas de integração proponho que leitor as faça como exercício do mesmo argcotgh argcosech considerando temos se que resulta na equação cujas raízes são onde apenas pode
mo argcotgh argcosech considerando temos se que resulta na equação cujas raízes são onde apenas podemos admitir substituindo por por que inversa da portanto ou considerando temos se que resulta na equação cujas raízes são onde apenas podemos admitir substituindo por por que inversa da portanto derivadas de argcotgh argcosech seja deduzimos que sua derivada que depois de submetida regra da cadeia da razão se torna finalmente note que devido limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva derivada herda mesma limitação uma vez que função não exite fora deste domínio seja deduzimos que sua derivada que depois de submetida regra da cadeia da razão se torna finalmente integrais de argcotgh argcosech as integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado utilizando se os métodos do próximo capítulo técnicas de integração proponho que leitor as faça como exercício do mesmo