Obra: Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (1)
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo estudo das funções deste capítulo refere se às funções não puramente algébricas relacionadas números transcendentais algumas das quais já conhecemos da matemática elementar porém necessário um aprofundamento do tema para ambiente acadêmico onde temos que lidar com análises mais detalhadas complexas logarítmicas integral da função algébrica traz uma indefinição quando existência desta indefinição nos leva uma questão qual procedimento para integrar função resposta dada na análise numérica calculando integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar seguinte conclusão função ln chamada de logaritmo natural sua base chamada de número de euler ele um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob curva da função que pode ser obtido numericamente usando integral de riemann outras técnicas de cálculo numérico aproximações deste número são possíveis utilizando se técnicas de aproximações sucessivas com uso de séries discutidas em cálculo volume todos os teoremas para logaritmos que estão incluidos nos cursos de nível médio podem ser obtidos partir da análise do logaritmo natural também chamado de logaritmo neperiano teoremas vejamos os principais teoremas para os logaritmos nas citações abaixo consideremos produto comprovação da definição fazendo quando que comprova teorema razão comprovação sendo logo potência comprovação sendo vezes que vezes resultando derivadas da definição do logarítmo natural partir do teorema fundamental do cálculo podemos deduzir derivada da função logarítmica natural ou seja se que integral definida de então derivada integrais para integração de funções logarítmicas veja capítulo de técnicas de integração para uma completa abordagem do tema exponenciais função chamada de função exponencial na base todas as funções exponenciais são introduzidas partir da definição do logaritmo natural ln como sua função inversa as funções exponenciais são estas em que parte variável logaritmo ou seja se então que implica tornando uma função na qual podemos atribuir valores obter uma imagem número chamado base este número facilmente identificado nos logaritmos abordados na matemática elementar mas qual base da função esta questão nos leva um novo conceito abordado na próxima seção número de euler número de euler base do logarítmo natural número de euler simbolizado por ele obtido pela definição do logaritmo natural esse número corresponde área sob curva da função quando seu valor unitário ou seja mais formalmente valor deste número pode ser encontrado por aproximação utilizando se os métodos de análise de seqûencias séries encontrados no livro cálculo volume equação que fornece valor do número de euler dada seguir nesta equação podemos observar que quanto mais alto valor de mais preciso se torna valor de de maneira simplificada com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá la da seguinte maneira se então logo por outro lado pela definição para sendo concluimos que teoremas maioria dos teoremas
se então logo por outro lado pela definição para sendo concluimos que teoremas maioria dos teoremas relacionados têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural dos quais relacionamos os mais usados soma seja função pode se afirmar que comprovação considerando logo sendo que comprova teorema subtração de forma similar análise anterior sendo função pode se afirmar que comprovação considerando logo sendo que comprova teorema potência seja função pode se afirmar que comprovação que comprova teorema derivadas consideremos que se derivarmos implicitamente este expressão curiosamente teremos ou seja função exponencial natural invariável durante processo de derivação que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções por outro lado se temos que fazendo teremos se concluimos que que adotada como uma derivada mais genérica pois pode ser empregada em qualquer exponencial pois inclui correção para fator da base integrais como não poderia ser diferente valor da integral da função exponencial natural própria função conforme regra da reversibilidade entre derivada integral apenas sendo necessária devida observação da base para eventual correção da diferencial conseqüente introdução de fator de correção nos casos em que função torna se composta desta forma temos sendo constante logarítmicas com outras bases como foi visto durante ensino médio os logaritmos têm uma definição direta que denota sua finalidade de expressar valor do expoente em uma operação exponencial definição pura dada da seguinte forma se então onde chamada base do logaritmo logaritmando expoente logaritmo portanto operação pela qual se obtém expoente necessário para que base seja elevada numa operação exponencial se obtenha número função logarítmica de base pode ser expressa da seguinte forma que nos possibilita encontrar um valor para cada expresso na equação mudança de base analisemos agora possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base transformá la em uma função logarítmica de base natural ou outra base qualquer seja função podemos dizer que que como que nos possibilita afirmar que ou note que analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base visto que podemos substituir por sendo base que substituirá na análise anterior que nos possibilita considerar que quando temos duas bases sejam podemos promover troca das bases de forma que derivadas derivada da função logarítmica com base diferente de pode ser feita por substituição da base considerando temos que logo que nos dá derivada trigonométricas trigonometria tal qual vista na matemática elementar está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo do ciclo trigonométrico agora introduziremos estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas conceitos básicos radianos em um plano definido pelos eixos podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posiçã
enadas cartesianas para cada ponto que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar posição de cada ponto no plano da seguinte forma imagem ciclotrig png figura imagine que cada ponto está numa distãncia do ponto em um plano cartesiano definido por pontos da mesma forma reta que definida entre os pontos forma um ângulo com eixo que chamaremos de note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano partir de uma reta um ângulo observemos que quando fixa uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto se fizermos variar em todos os valores possíveis teremos uma circunferência quando fazemos valor de variar teremos diferentes valores de porém relação entre eles sempre será mesma curiosamente há uma relação entre perímetro do círculo seu diâmetro ela se apresenta constante qualquer que seja raio do círculo resultado desta relação um número transcedental chamado pi representado pela letra grega de mesmo nome resgatando esta relação para nossa análise podemos dizer que se chamarmos perímetro da circunferência formada no gráfico de admitirmos um diâmetro de então teremos que resulta em que uma relação bastante esclarecedora visto que nos mostra uma dependência linear entre raio comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir contorno da circunferência do gráfico se raio for unitário teremos um valor de referência para que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico bastando para isto multiplicá lo pelo raio este valor de referência está ligado circunferência fechada por outro lado se fizermos com que se desloque de um ângulo nulo ou seja que saia do eixo em direção formando um ângulo teremos pedaços de circunferência que chamamos de arcos considerando que temos um raio unitário que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo que tomamos temos uma correspondência entre ângulo arco ou seja podemos nos referir arcos como unidades de ângulos esta unidade angular chamada de radiano qualquer círculo forma radianos todas as relações entre os pontos da circunferência que contorna os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida como radiano uma medida real isto nos leva outra questão que determina sinal negativo ou positivo neste valor acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto outro da circunferência quando saimos do eixo em direção ao ponto ângulo cresce portanto temos que concluir que positivo recuando ao encontro do eixo os valores diminuem portanto se ultrapassarmos eixo valor deve ser menor que zero nos revelando um ângulo negativo seno cosseno temos portanto uma circunferência dentro do plano cartesiano seus pontos relacionados ao raio ao ângulo são referenciados pelas variáveis no mesmo plano agora imaginemos funções para que seja possível partir do raio d
ados pelas variáveis no mesmo plano agora imaginemos funções para que seja possível partir do raio do ângulo encontrar as variáveis estas funções são seno cosseno função seno simbolizada como nos dá valor da variável ou seja altura do ponto em relação ao zero referencial no encontro dos eixos conforme espelhada no eixo quando raio unitário caso não seja fazemos função cosseno simbolizada como nos dá valor da variável ou seja distância do ponto em relação ao zero referencial no encontro dos eixos conforme espelhada no eixo quando raio unitário caso não seja fazemos as funções seno cosseno são periódicas ou seja pela natureza do ciclo trigonométrico quando temos um valor em maior que temos representação de um ciclo completo mais um ângulo residual na verdade valor representa este ângulo residual que nos leva constatação que sempre será calculado valor do seno ou cosseno do resto da operação quando um ângulo maior que for sugerido para alguns valores de senos cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo são eles senos cossenos notáveis ângulo observando gráfico podemos também concluir que sinal do seno idêntico ao sinal do ângulo enquanto que cosseno não acompanha sinal do ângulo de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais cossenos dos valores absolutos dos ângulos ou seja sendo enquanto que outros senos cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo são largamente utilizados são senos cossenos mais comuns ângulo identidades as equações desta seção são conseqüência das características dos senos cossenos seu comportamento cíclico sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade possibilitando nos fácil intercâmbio entre as mesmas identidade relacional básica as funções seno cosseno estão relacionadas pela equação comprovação observando ciclo trigonométrico temos um triângulo cujos catetos são sua hipotenusa portanto identidade conseqüente do conhecido teorema de pitágoras cosseno da soma sejam os ângulos cosseno de sua soma comprovação nos pontos do ciclo trigonométrico temos os arcos para os ângulos imagem soma sen cos png figura distância entre os pontos igual distância entre quadrado das duas da identidade básica como que comprova identidade cosseno da diferença sejam os ângulos cosseno de sua diferença comprovação do cosseno da soma substituindo por que comprova identidade equivalência angular se ângulo então logo por outro lado se obtemos seno da soma sejam os ângulos seno de sua soma comprovação sendo temos que comprova identidade seno da diferença sejam os ângulos seno de sua diferença comprovação se substituindo por temos enquanto que logo que comprova identidade produto de dois senos sejam os ângulos produto de seus senos comprovação considerando identidade do cosseno da diferença de dois ângulos subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos que comprova identidade
os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos que comprova identidade produto de dois cossenos sejam os ângulos produto de seus cossenos comprovação considerando identidade do cosseno da soma de dois ângulos somando cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da diferença de dois ângulos que comprova identidade produto de seno cosseno sejam os ângulos produto do seno de pelo cosseno de comprovação considerando identidade do seno da soma de dois ângulos somando cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do seno da diferença de dois ângulos que comprova identidade soma de dois senos sejam os ângulos soma dos senos de de comprovação podemos dizer que substituindo na identidade que comprova identidade soma de dois cossenos sejam os ângulos soma dos cossenos de de comprovação seguindo analogia anterior que comprova identidade diferença de dois senos sejam os ângulos diferença dos senos de de comprovação substituindo por em que comprova identidade diferença de dois cossenos sejam os ângulos diferença dos cossenos de de comprovação substituimos por em que comprova identidade limíte trigonométrico fundamental precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções se trata de um limite que utilizado na dedução das derivadas do seno do cosseno faremos sua dedução nesta seção considere ciclo trigonométrico representado seguir imagem limite sen png figura figura mostra representação de um ângulo no ciclo trigonométrico nosso propósito deduzir seguinte limite para isto imagine triângulo inscrito na circunferência podemos dizer que segmento de reta uma aproximação grosseira do arco porém observe que quando ângulo se aproxima de zero segmento se torna mais parecido com respectivo ângulo algébricamente podemos expressar que por outro lado façamos cálculo do valor do observando triângulo podemos dizer que logo simplificando temos voltando para nosso limite temos que usar as nossas equações anteriores desta forma substituindo valor do seno no lado da equação relaciondado ao teremos que nos leva ao resultado interpretação desse limite seguinte uma vez que ângulo diminui até valores próximos de zero arco tende se assemelhar uma reta em regiões próximas do zero valor do seno igual ao valor do arco no limite quando seu valor se aproxima de ser nulo derivada do seno agora podemos verificar qual variação da função seno em relação ao seu ângulo aplicando definição da derivada ao seno temos aplicando seno da soma aplicando os limites temos então limite fundamental que igual logo derivada do cosseno também podemos verificar qual variação da função cosseno em relação ao seu ângulo aplicando definição da derivada ao cosseno temos aplicando seno da soma aplicando os limites novamente temos limite fundamental logo integral do seno como conseqüência do resultado da derivada do seno podemos deduzir que sua integral como operação inversa cuja constante constante devido indefinição no processo
uzir que sua integral como operação inversa cuja constante constante devido indefinição no processo de conforme já estudamos anteriormente integral do cosseno segundo mesmo princípio colocado no caso da integral do seno podemos afirmar que operação de integração do cosseno definida por cuja constante constante devido indefinição no processo de notas