Obra: Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Constantes, Variáveis e Quantificadores
Matéria: Matemática
Nível: médio
constantes individuais de predicados constantes são coisas que tem sempre mesmo valor dentro de um sistema por exemplo valor de sempre mesmo seja na fórmula do comprimento da circunferência seja na fórmula da área do círculo qualquer que seja valor de no cqc teremos dois tipos de constantes constantes individuais constantes de predicado as constantes individuais evidentemente são indivíduos aristóteles gödel joão maria gato do vizinho irmão do pedro etc estes são designados por letras do alfabeto romano minúsculas evitando usar as letras que são canonicamente usadas como variáveis como será falado adiante também lícito usar números juntamente com as letras ex para designar maria silveira para designar maria oliveira as constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais ex filósofo matemático está correndo bela matou aula hoje escreve livros etc estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas etc uma constante isolada não consiste numa fórmula afinal aristóteles gödel matemático filósofo coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas contudo claro que sentenças formadas por estas constantes aristóteles matemático gödel matemático aristóteles filósofo gödel filósofo são valoráveis como verdadeiro ou falso ou seja são proposições para representá las basta colocar as constantes individuais direita das constantes de predicado podendo estar sub escritas ou não assim se significa gödel significa aristóteles matemático filósofo então significa gödel matemático aristóteles matemático significa gödel filósofo aristóteles filósofo constantes individuais atribuídas uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do cqc podemos usar todos operadores do cpc com elas por exemplo usando as mesmas constantes acima podemos construir as fórmulas aristóteles não matemático aristóteles filósofo gödel matemático aristóteles filósofo ou matemático se gödel filósofo então gödel matemático gödel matemático se somente se aristóteles matemático voltando tratar de fórmulas atômicas estas podem ter mais de uma constante individual quando se atribui um indivíduo uma propriedade em relação outro indivíduo por exemplo digamos que vamos formalizar sentença joão beijou maria teremos as constantes individuais para joão para maria constante de predicado para beijou fórmula fica então poderíamos formalizar isto de outra forma considerando constante de predicado como foi beijado por fórmula fica então em algumas circunstâncias possível sermos econômicos poupar as fórmulas de constantes individuais por exemplo digamos um sistema no qual só maria beijada tudo que maria faz ser beijada então podemos considerar constante como beijou maria sentença joão pedro beijaram maria fica assim por fim lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito por exemplo para está chovendo assim podemos formalizar uma proposição como se está chovendo então maria não saiu de casa assim sendo constante de pred
izar uma proposição como se está chovendo então maria não saiu de casa assim sendo constante de predicado saiu de casa variáveis individuais quantificadores até agora que vimos não distingue muito cqc do cpc todos os esquemas de fórmulas tautológicas no cpc tem instâncias de fórmulas universalmente válidas no cqc por exemplo etc também os mesmos argumentos que são válidos no cpc também são válidos no cqc por exemplo etc contudo ainda não temos suficiente para formalizar sentenças como alguém comeu última fatia de bolo os recursos usados para tal são diferencial do cqc em relação ao cpc analisemos sentença citada acima alguém significa algum indivíduo indeterminado do sistema em questão digamos que sistema seja uma família de três indivíduos brian lisa brian júnior neste caso sendo constante de predicado comeu última fatia de bolo sentença poderia ser formalizada assim contudo quantidade de constantes individuais pode ser tão grande que isto se torna impraticável por exemplo alguns brasileiros cursam ensino superior neste caso há milhões de constantes individuais poderia até ser infinita como alguns números naturais são pares ainda há sistemas nos quais não há informação sobre número de constantes individuais portanto serão usadas variáveis para representar estes indivíduos indeterminados mas só adição de variáveis não suficiente vejamos sistema da família de três indivíduos digamos que neste sistema tenhamos seguinte sentença todos estão assistindo tv sendo constante de predicado está assistindo tv neste caso poderíamos fazer assim mais uma vez esta solução impraticável caso haja um número muito grande ou infinito de constantes individuais ou não haja informação sobre este número portanto serão usadas variáveis nestes casos também assim se faz necessário algo para diferenciar alguns as são bs de todo isto feito com os quantificadores existem dois quantificadores no cqc universal existencial funcionam assim sendo uma variável individual significa para todo predicado de significa existe algum tal que predicado de os quantificadores não são funções de verdade não possível chegar ao valor de verdade de ou partir do valor de tudo isto amplia definição de fórmula se uma variável uma fórmula onde ocorre então são fórmulas gerais expressão de sentenças agora vejamos como expressar sentenças com quantificadores no sistema cqc toda espécie de mamífero produtora de leite não podemos usar sujeito da sentença como constante individual afinal não se trata de um indivíduo mas de um conjunto de indivíduos precisaremos usar uma variável um quantificador no caso universal vamos usar para espécie de mamífero para produtor de leite fórmula fica ou seja para todo se espécie de mamífero então produtor de leite formalizemos agora sentença alguns animais marítimos são espécies de mamíferos usando para animal marítimo fórmula fica ou seja existe algum tal que animal marítimo mamífero vejamos como formalizar uma sentença onde aparece palavra nenhum tal como nenhum mamífer
mo mamífero vejamos como formalizar uma sentença onde aparece palavra nenhum tal como nenhum mamífero respira debaixo água sendo constante de predicado respira debaixo água fórmula fica ou seja para todo se mamífero então não respira debaixo água sentença também pode ser formalizada assim ou seja não existe algum tal que mamífero respira debaixo água equivalente vejamos como formalizar uma sentença com variável constante individual como se todos garotos da rua beijaram maria então namorado de maria ficará furioso as constantes individuais são maria namorado de maria as constantes de predicado são garoto da rua beijou ficará furioso fórmula fica assim ou seja para todo se garoto da rua implica que beijou maria então namorado de maria ficará furioso repare que subfórmula de ou seja uma subfórmula pode ser geral conter um quantificador nada impede de uma fórmula conter várias subfórmulas gerais por exemplo acima foi dito que equivalente portanto são fórmulas válidas veremos mais adiante como verificar se uma fórmula válida claro que não apenas fórmulas válidas podem ter subfórmulas gerais uma fórmula geral também pode ter mais de um quantificador ex todos que são ingênuos são enganadas por alguns que não tem escrúpulos usando notação ingênuo enganado por tem escrúpulos temos fórmula ou seja para todo existe algum tal que se ingênuo não tem escrúpulos então enganado por vejamos um exemplo que tenha dois quantificadores universais se uma pessoa empregada da outra então esta patrão dessa usando notação empregada de patrão de de temos fórmula ou seja para todo para todo empregada de se somente se patrão de repare que não foi inserido na fórmula constante de predicado pessoa pois esta fórmula deve estar inserida num sistema onde todas constantes individuais são pessoas quando mais pra frente lidarmos com formalização da aritmética também não será preciso constante de predicado número