Obra: Cálculo (Volume 2)/Formas paramétricas
Matéria: Matemática
wikiversidade disciplina cálculo iii formas paramétricas agora iremos introduzir conceitos que mudam forma de análise gráfica de funções no estudo clássico de análise cartesiana estamos acostumados tomar uma variável como independente outra como dependente porém isto nos traz uma grave limitação não podemos representar formas que apresentem mais de um valor para variável dependente obviamente gráficos de formas que apresentam mais de um valor da variável dependente para cada valor da variável independente não são funções porém se fizermos representação dos valores de forma que tenhamos uma lei que determine as duas variáveis de um gráfico bidimensional poderíamos encontrar um meio de representar tais formas isto feito com um artifício chamado parametrização na próxima seção iremos introduzir este conceito que muito útil na representação de duas ou mais variáveis em um gráfico parâmetro processo para se obter um conjunto de pontos com variáveis cartesianas de forma não estipular uma relação obrigatória entre as mesmas conseguido com uma variável parte que define os valores das coordenadas mas não usada diretamente no gráfico esta variável chamada de parâmetro teremos que nos habituar esta nova maneira de analisar os valores de uma função vejamos como criar uma função simples usando parâmetro seja equação podemos observar que mesma não pode ser representação de uma função se tomarmos como abscissa visto que teremos mais de um valor possível que fazemos neste caso dizer que ou seja parâmetro variável independente variável dependente variável dependente interpretando valores gráficos princípio todos os novos conceitos respeito de formas de representação podem nos trazer uma certa dificuldade inicial uma vez que temos uma certa inércia novos conceitos que nos exige um esforço inicial para que possamos assimilar novos métodos um certo esforço necessário para que tenhamos meios mais eficientes para analisar certas formas gráficas variável parâmetro geralmente representada por muitas vezes associada ao tempo em algumas análises na física porém aqui temos que generalizar seu uso englobando em diversas situações mais apropriadamente podemos representar diversos conjuntos de valores sob forma paramétrica mas melhor meio de fazer as análises torná las compreensíveis fazer representação gráfica das mesmas introduziremos agora alguns conceitos para facilitar análise de evoluções de funções segundo representação gráfica bidimensional com par lembre se que parâmetro variável independente que nos dá possibilidade de arbitrar os valores para mesma portanto primeira regra estabelecer uma seqüência de evolução de valores para que nos permite estabelecer um meio de representá los no gráfico geralmente usamos uma seta sobre linha do traçado da curva para indicar sentido convencional de evolução dos valores do parâmetro ou seja definimos que seta aponta para valores de maiores em relação aos anteriores colocando setas sobre traçado da curva de forma prover um caminho d
aiores em relação aos anteriores colocando setas sobre traçado da curva de forma prover um caminho de evolução do parâmetro analisemos evolução de valores de uma função muito conhecida circunferência os valores que desenvolvem traçado da mesma podem ser determinados pelas equações paramétricas para isto devemos estabelecer uma faixa de valores para que neste caso deve ser verificando os valores em seqüência crescente temos que observamos uma distribuição de valores que nos permite avaliar certas características do formato gráfico ser apresentado quando plotamos os resultados das equações paramétricas acima em primeiro lugar notamos que os pontos se mostram equidistantes da orígem dos eixos que nos indica que temos uma circunferência de raio unitário obviamente este resultado já era esperado visto que as equações paramétricas acima nada mais são que as equações de definição do seno do cosseno apesar desta contatação ser um tanto simples de constatar podemos utilizá la para que possamos delinear certos direcionamentos para análise de formas mais complexas inicialmente faça uma relação entre parâmetro valores das outras variáveis assim como fazemos em com as relações que já fizemos em gráficos de relação direta entre duas variáveis em cálculo separando as variáveis analisando evolução das mesmas em relação ao parâmetro poderemos verificar evolução dos valores frente evolução do parâmetro isto deve ser feito para que tenhamos noção de como os valores do gráfico evoluem uma característica muito útil deste tipo de análise que podemos observar caminho descrito pelos pontos medida que os valores do parâmetro aumentam se pensarmos mais detalhadamente poderemos ver que evolução dos valores de determinam uma trajetória ao longo das abscissas evolução dos valores de determinam uma trajetória ao longo das ordenadas em coseqüência disto interligação de pontos orientados por setas nos mostra evolução dos valores do gráfico vinculando os aos valores do parâmetro que possibilita nos avaliar seqüência de pontos que criada medida que parâmetro varia de forma observar evolução dos valores podemos esboçar as curvas de em relação ao parâmetro assim teremos uma idéia de como gráfico será desenvolvido poderemos então esboçar veja abaixo px temos uma circunferência isto confirma que função paramétrica que gera os pontos representa uma circunferência da mesma forma isto nos fornece uma visualização do que acontece quando analisamos um gráfico de forma parcial ou seja temos uma função outra finalmente se acompanharmos desenvolvimento das funções simples que formam os valores para cada ponto temos uma idéia do que acontece com função paramétrica composta pelas mesmas como deve estar explícito fizemos com que função que determina os valores de varie ao longo do eixo que função que determina os valores de varie ao longo do eixo artifício aqui usado permite que usemos os eixos como base temporária para parâmetro ou seja ao analisar função de devemos considerar fazendo oposto c
omo base temporária para parâmetro ou seja ao analisar função de devemos considerar fazendo oposto com função que determina funções paramétricas diversas algumas funções paramétricas são comumente usadas ou citadas devido sua excentricidade sua história as análises abaixo nos ajudarão compreender melhor estas funções além de nos dar uma visão mais detalhada de como esboçar prever seu comportamento reta as equações paramétricas que definem reta estão relacionadas diretamente inclinação de um segmento em particular estas aão definida como onde são os pontos que definem reta observe que temos uma progressão linear dos valores de das variáveis da reta medida que atribuimos valores ao parâmetro isto nos permite verificar que as relações independentes para cada variável contibuem para uma concordância com equação da reta que todos já conhecemos podemos verificar isto aplicando eliminação do parâmetro nas equações acima façamos uma vez que onde coeficiente angular para dois pontos temos que clássica equação da reta que todos conhecemos ciclo parabólico um ciclo parabólico pode ser conseguido usando se funções trigonométricas quadráticas vejamos como fazê lo seja função definida como ou em termos gerais nos atemos ao fato de que variável parâmetro deve ser usada como referência de nossas análises diante disto desenvolvemos gráficos auxiliares que nos permitam esboçar comportamento da função paramétrica traçando gráfico de em função de usamos eixo como eixo da variável independente quando traçamos função usamos eixo para isto que temos agora um panorama geral do comportamento das variáveis que nos permite visualizar tendência dos valores da função paramétrica observemos gráfico px nesta representação está representada em verde está representada em vermelho está representada em azul duas referências dos valores das funções para estão representadas em violeta veja que os valores das funções se combinam perfeitamente determinando ponto exato do encontro dos dois valores que definem recurso do uso de eixos virtuais sobrepostos aos eixos do gráfico para representar as funções isoladamente permite que tenhamos uma noção de como estes valores se desenvolvem em relação ao parâmetro facilitando esboço da função paramétrica quando traçamos as linhas de referência os valores de jamais serão menores que zero função refletirá indefinidamente os valores quadráticos entre da mesma forma podemos ver que os valores de jamais sairão da faixa se acompanharmos os valores das funções dos eixos seu reflexo na função paramétrica perceberemos que teremos sobre mesma um ponto que se desloca sobre parábola indo de depois voltando ciclóide ciclóide uma forma paramétrica conseguida através das coordenadas de um ponto fixado em uma circunferência que se desloca sobre um eixo as equações paramétricas que definem função do cilóide podem ser generalizadas da seguinte forma onde adotamos um valor para cada função ciclóide esta constante está ligada amplitude do raio do ciclóide ilustraçã
m valor para cada função ciclóide esta constante está ligada amplitude do raio do ciclóide ilustração abaixo representa um ciclóide com px nesta representação está representada em verde está representada em vermelho está representada em azul note que temos um desenvolvimento dos valores das abscissas de forma ascendente ou seja temos sempre valores positivos para tendência de crescimento em para as ordenadas temos valores sempre positivos do cosseno sobre um valor fixo uma característica cíclica para os valores na representação paramétrica temos como conseqüência uma forma cíclica semicircular para verificar como conseguimos as equações paramétricas acima observemos seguinte gráfico imagem cicloide contr jpg ciclóide formado pelos pontos que seguem contorno da curva formada pelo movimento do disco sobre superfície de forma que ponto esteja fixado um ponto da circunferência do disco neste gráfico consideramos raio unitário porém se raio uma constante observamos triângulo inscrito no disco no qual podemos notar distância do ponto superfície que corresponde ao subsegmento da circunferência veremos que esta onde corresponde ao raio constante que nos dá por outro lado se observarmos que bastanos verificar que único parâmetro comum às duas equações nos possibilita fazer sua substituição por depois disso teremos as equações do ciclóide como definido acima conchóides em homenagem ao estudioso grego nicomedes este grupo de funções paramétricas foram chamadas de conchóides de nicomedes pois este as chamou de conchóides após estudá las ele resolveu nomeá las desta forma devido sua semelhança com conchas de maneira geral os conchóides são definidos pelas equações paramétricas onde sendo uma constante que fundamental para as características das curvas vejamos algumas das curvas que podemos obter com estas equações px nesta representação está representada em vermelho está representada em azul está representada em verde note que quanto mais se aproxima do eixo das ordenadas conchóide tende criar uma nova concha do lado oposto ao que está se desenvolvendo px nesta representação está representada em vermelho está representada em azul está representada em verde neste caso conchóide se desenvolve no lado oposto da ilustração anterior derivadas tratemos agora das derivadas para funções paramétricas uma vez que temos duas variáveis dependentes temos que ter certos cuidados no tratamento diferencial para estas funções um trabalho adicional necessário uma vez que temos mais variáveis envolvidas na análise seja função na qual os valores formam pares de forma que tenhamos desta forma podemos expressar as diferenciais como no plano cartesiano bidimensional derivada que estamos acostumados usar permanece porém temos mais duas derivadas das funções que definem em relação ao parâmetro considerando as seguintes condições cada variável dependente do parâmetro assumimos que parâmetro varia linearmente de forma crescente as funções são contínuas então as derivadas das funções qu
etro varia linearmente de forma crescente as funções são contínuas então as derivadas das funções que definem cada variável representam taxas de variação de referência que nos permite verificar as seguintes condições se em algum ponto da curva reta tangente este ponto vertical ou seja paralela ao eixo se em algum ponto da curva reta tangente este ponto horizontal ou seja paralela ao eixo derivadas primeiras considerando que temos uma função composta por duas variáveis dependentes como poderemos encontrar derivada de uma em relação outra visto que temos duas equações que definem resposta vem da seguinte relação se são funções que definem uma forma paramétrica sendo que temos uma vez que depende de ou seja derivadas segundas as derivadas de segunda órdem são conseguidas de forma um pouco mais trabalhosa uma vez que queremos obter temos que difernciar derivada primeira em relação depois dividí la pela derivada de em relação pois que ou seja como já explicamos definimos derivada primeira depois calculamos derivada desta em relação dividindo em seguida pela derivada de em relação esboço de gráficos aplicação direta dos conceitos de derivadas de funções paramétricas pode ser usado de forma prática para esboço de gráficos como veremos neste tópico as propriedades de análise de curvatura são especialmente úteis para encontrar tendências de crescimento análises de concavidades uma vez que temos mais derivadas temos mais dados sobre as curvas sabendo que as derivadas em relação ao parâmetro nos informam os pontos onde temos tangentes verticais ou horizontais como já verificamos devemos ter em conta que derivada em relação nos informa os pontos onde há mudança de declividade da curva em relação este eixo da mesma forma que derivada segunda em relação nos fornece concavidade da curva em relação ao mesmo eixo entretanto devido caracterísica independente das variáveis paramétricas comum encontrarmos equações paramétricas que nos fornecem valores inválidos durante análise quando tomamos diferenciais de em função de observando as diferenciais em relação ao parâmetro temos um conjunto de informações que são muito úteis vejamos quando negativa função desloca se para esquerda quando positiva função desloca se para direita quando negativa função desloca se para baixo quando positiva função desloca se para cima se função tem uma tangente vertical neste ponto se função tem uma tangente horizontal neste ponto este conjunto de dados podemos adicionar as raízes pontos de inflexão os últimos podem ser consequidos pela análise de transição na declividade junto pontos onde as derivadas não existem analisemos os valores que estas derivadas nos fornecem no exemplo abaixo consideremos função paramétrica definida pelas equações as derivadas das equações em relação ao parâmetro são para as abscissas para as ordenadas que nos dá possibilidade de fazer algumas das nossas análises iniciais antes de tudo devemos encontrar as raízes destas equações tanto para as equações das variávei
iciais antes de tudo devemos encontrar as raízes destas equações tanto para as equações das variáveis como para as equações das derivadas depois que tivermos conhecimento dos pontos onde as mudanças de sinais ocorrem para cada equação teremos uma idéia do esboço ser feito façamos onde neste caso temos ou os pontos para os quais teremos estes valores para parâmetro são nas ordenadas os pontos para os quais teremos estes valores para parâmetro são analisando as derivadas temos para as abscissas que nos dá dois pontos com tangentes verticais para as ordenadas que nos dá ponto com tangente horizontal estes valores nos fornecem informações suficientes para prever aparência da curva façamos uma tabela com os valores numéricos aproximados para termos uma idéia de como poderemos esboçar gráfico agora desenhemos gráfico laço integrais agora considere função paramétrica definida por um conjunto de pontos tais que da mesma forma que então integral pode ser encontrada da seguinte forma se temos inevitavelmente em alguns casos não poderemos encontrar uma integral de em relação ao eixo se os seus valores absolutos forem iguais seus valores reais sejam de sinais diferentes que nos fará encontrar um valor nulo porém poderemos encontrá lo ao fazer cálculo em relação ao parâmetro comprovaremos isso na seção sobre áreas logo abaixo comprimentos de arcos de forma geral equação que define comprimento de arcos de funções como foi vista no livro cálculo volume pode ser expressa pela equação que relaciona integral das diferencias em relação desta forma portanto para obter equação paramétrica correspondente podemos substituir as diferenciais por suas correspondentes paramétricas considerando que são valores de devemos adaptá los nova equação consideremos portanto que portanto medida da circunferência temos agora possibilidade de fazer cálculo de uma medida bem conhecida para que tenhamos uma comprovação prática do instrumento algébrico que conseguimos através da análise acima calcularemos medida da circunferência utilizando os conceitos abordados seja uma circunferência definida pelas equações paramétricas onde raio da circunferência usando fórmula do comprimento da curva acima temos ou seja áreas cálculo de áreas em funções paramétricas traz possibilidade de encontrar área de formas criadas por curvas fechadas basicamente processo mesmo que descrito para as funções definidas num plano cartesiano com dependência nas abscissas com diferença que devemos fazer adaptação do cálculo da integral para que tenhamos uma função com diferenciais bem definidas como vimos nos tópicos acima neste exemplo iremos encontrar área do círculo cujo valor já bem conhecido que nos possibilitará verificar eficácia do método seja círculo cuja circunferência que delimita descrita tal que onde raio do círculo então sua área pode ser calculada se fizermos com que parâmetro varie de até calculando integral considerando que temos que nos dá superfícies outra aplicação interessante para cálculo de int
egral considerando que temos que nos dá superfícies outra aplicação interessante para cálculo de integrais paramétricas cálculo de áreas de superfície poderemos usar fórmula de rotação para efetuar cálculo de superfícies criadas pela rotação de uma curva paramétrica da mesma forma que fizemos antes para cálculo de diversas funções mais simples