CALM/arwiki huggingface dataset:
ركز المهندس المعماري السويسري لو كوربوزييه، المشهور بإسهاماته في الأسلوب الدولي الحديث، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية وسلسلة فيبوناتشي، التي وصفها بأنها "إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل الأنشطة البشرية. إنهم يترددون في الإنسان بحتمية عضوية، نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال والشيوخ والمتوحشين والمتعلمين. "
استخدم لو كوربوزييه صراحة النسبة الذهبية في نظام المودولور الخاص به لمقياس النسبة المعمارية . لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا للتقليد الطويل لفيتروفيوس، و " فيتروفيان مان " لليوناردو دافنشي، وعمل ليون باتيستا ألبيرتي، وغيرهم ممن استخدموا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة العمارة .
بالإضافة إلى النسبة الذهبية، بنى لو كوربوزييه النظام على القياسات البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في نسبة ذهبية، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق ؛ استخدم نسب النسبة الذهبية هذه في نظام المودولور. مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في Garches تطبيق نظام المودولور. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة من المستطيلات الذهبية.
أسس مهندس معماري سويسري آخر، ماريو بوتا، العديد من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون العديد من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في اوريجليو، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل.
"تم نشر Divina نسبة" ( "النسبة" "الإلهية" )، وهو عمل مكون من ثلاثة مجلدات بواسطة لوكا باتشولي، في عام 1509. كان الراهب الفرنسيسكاني باسيولي معروفًا في الغالب بكونه عالم رياضيات، لكنه أيضًا كان مدربًا ومهتمًا للغاية بالفن. استكشفت "Divina ratioe" رياضيات النسبة الذهبية. على الرغم من أنه كثيرًا ما يُقال إن باسيولي دعا إلى تطبيق النسبة الذهبية لإعطاء نسب متناغمة ومرضية، إلا أن ليفيو يشير إلى أن التفسير قد تم تتبعه إلى خطأ في عام 1799، وأن باسيولي قد دافع بالفعل عن نظام فيتروفيان للنسب العقلانية. رأى باسيولي أيضًا أهمية دينية كاثوليكية في النسبة، مما أدى إلى عنوان عمله.
أدت الرسوم التوضيحية لليوناردو دافنشي عن متعدد السطوح في "Divina ratioe" إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن "لوحة الموناليزا" الخاصة به، على سبيل المثال، تستخدم نسب النسبة الذهبية، لا تدعمها كتابات ليوناردو. وبالمثل، على الرغم من أن "الرجل فيتروفيان" يظهر غالبًا فيما يتعلق بالنسبة الذهبية، إلا أن نسب الشكل لا تتطابق معها في الواقع، ويذكر النص فقط نسب الأعداد الصحيحة.
استخدم سلفادور دالي، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا، بوضوح النسبة الذهبية في تحفته، "سر العشاء الأخير". أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف يسوع ويسيطر على التكوين.
وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة 1.34 بمتوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من 1.04 (جويا) إلى 1.46 (بيليني). من ناحية أخرى، أدرج Pablo Tosto أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 من اللوحات ذات المستطيل الذهبي ونسب الجذر 5، وأخرى بنسب مثل root-2 و 3 و 4 و 6.
الكتب والتصميم.
وفقًا لـ جان تشيتشولد، كان هناك وقت كانت فيه الانحرافات عن نسب الصفحات الجميلة حقًا 2: 3، 1: 3، والقسم الذهبي كانت نادرة. تظهر العديد من الكتب التي تم إنتاجها بين عامي 1550 و 1770 هذه النسب بالضبط، في حدود نصف ملليمتر.
ووفقًا لبعض المصادر، يتم استخدام النسبة الذهبية في التصميم اليومي، على سبيل المثال في نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشة العريضة.
يحلل ارني ليندفاي أعمال Béla Bartók على أنها تستند إلى نظامين متعارضين، نظام النسبة الذهبية والمقياس الصوتي، الرغم من رفض علماء الموسيقى الآخرين لهذا التحليل. استخدم الملحن الفرنسي إريك ساتي النسبة الذهبية في العديد من مقطوعاته، بما في ذلك "Sonneries de la Rose + Croix" . تظهر النسبة الذهبية أيضًا في تنظيم المقاطع في موسيقى "Reflets dans l'eau (انعكاسات في الماء)" لديبوسي، من "الصور" (السلسلة الأولى، 1905)، حيث "يتم تمييز تسلسل المفاتيح بواسطة الفترات 34 و 21 و 13 و 8، والذروة الرئيسية تجلس في موقع فاي ".
لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن الحدود الرسمية لـ "لا مير (ديبوسي)" تتوافق تمامًا مع القسم الذهبي. يجد Trezise أن الدليل الجوهري "رائع"، لكنه يحذر من أنه لا يوجد دليل مكتوب أو معلن يشير إلى أن ديبوسي سعى بوعي إلى مثل هذه النسب.
تضع براميل اللؤلؤ فتحات التهوية في طرازات Masters Premium بناءً على النسبة الذهبية. تدعي الشركة أن هذا الترتيب يحسن استجابة الجهير وقد تقدمت بطلب للحصول على براءة اختراع لهذا الابتكار.
على الرغم من أن هاينز بوهلين اقترح مقياس 833 سنتًا غير مكرر للأوكتاف استنادًا إلى النغمات المركبة، فإن الضبط يتميز بالعلاقات القائمة على النسبة الذهبية. كفترة موسيقية، النسبة 1.618 ... هي 833.090 ... سنتًا ( &lt;/img&gt; ).
طبيعة.
كتب يوهانس كيبلر أن "صورة الرجل والمرأة تنبع من النسبة الإلهية. في رأيي، تكاثر النباتات والأفعال التكاثرية للحيوانات في نفس النسبة".
لاحظ عالم النفس أدولف زيزينج أن النسبة الذهبية ظهرت في phyllotaxis وجادل من هذه الأنماط في الطبيعة أن النسبة الذهبية هي قانون عالمي. كتب زيزينج في عام 1854 عن قانون تقويم العظام الشامل " للسعي من أجل الجمال والاكتمال في مجالات الطبيعة والفن".
في عام 2010، ذكرت مجلة "Science" أن النسبة الذهبية موجودة على المقياس الذري في الرنين المغناطيسي للسبينات في بلورات الكوبالت النيوبيتية.
ومع ذلك، فقد جادل البعض بأن العديد من المظاهر الواضحة للنسبة الذهبية في الطبيعة، خاصة فيما يتعلق بأبعاد الحيوانات، وهمية.
تحسين.
النسبة الذهبية هي مفتاح البحث في المقطع الذهبي) .
اللاعقلانية.
النسبة الذهبية هي رقم فيما يلي دليلان قصيران على اللاعقلانية:
تناقض من تعبير بأدنى حد.
تذكر أن:
إذا استدعينا "n" بالكامل والجزء الأطول "m"، فإن العبارة الثانية أعلاه تصبح
"n" هو "m" كما "m" هو "n" − "m"
أو جبريًا
إن القول بأن النسبة الذهبية منطقية يعني أن كسر "n" / "m" حيث "n" و "m" عددان صحيحان. قد نأخذ "n" / "m" في أدنى حد و "n" و "m" موجبين. ولكن إذا كانت "n" / "m" بأدنى حد، فإن الهوية المسمى (*) أعلاه تقول "m" / ( "n" - "م" ) بعبارات أقل. هذا تناقض يتبع من افتراض أن عقلاني.
بواسطة اللاعقلانية
دليل قصير آخر - ربما يكون أكثر شيوعًا - على لاعقلانية النسبة الذهبية يستخدم إغلاق الأعداد المنطقية تحت عمليات الجمع والضرب. إذا formula_17 عقلاني، إذن formula_18 هو أيضًا عقلاني، وهو تناقض إذا كان معروفًا بالفعل أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي غير مربع هو غير منطقي.
كثير الحدود الصغرى.
النسبة الذهبية هي أيضًا رقم جبري وحتى عدد صحيح جبري، حيث لديها الحد الأدنى متعدد الحدود (نظرية المجال)
بالحصول على الدرجة 2، فإن كثير الحدود هذا له في الواقع جذران، والآخر هو اقتران النسبة الذهبية.
اقتران النسبة الذهبية.
الجذر المترافق مع الحد الأدنى من كثير الحدود x 2 - x - 1 هو
بدلا من ذلك، formula_21 يمكن التعبير عنها كـ
يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأرقام الموجبة، أي
هذا يعني 0.61803 ...: 1 = 1: 1.61803. . . .
أشكال بديلة.
صيغة = 1 + 1 / يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على جزء المستمر للالنسبة الذهبية:
ومتبادله:
المعادلة 2 = 1 + تنتج أيضا من استمرار الجذر التربيعي :
عدد حتى تتحول في كثير من الأحيان في الهندسة، ولا سيما في الأرقام مع خماسية التماثل . طول القطر المنتظم للخماسي يساوي ضلعها. رؤوس الأشكال العشرية الوجوه المنتظمة هي تلك الموجودة في ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة بشكل متبادل.
لا توجد خوارزمية عامة معروفة لترتيب عدد معين من العقد بالتساوي على كرة، لأي تعريف من عدة تعريفات للتوزيع الزوجي (انظر، على سبيل المثال، "مشكلة طومسون"). ومع ذلك، ينتج تقريب مفيد من تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطح متساوية ووضع عقدة واحدة في كل نطاق على خطوط طول متباعدة بقسم ذهبي من الدائرة، أي 360 درجة / ≅ 222.5 درجة. تم استخدام هذه الطريقة لترتيب 1500 مرآة للقمر الصناعي التشاركي الطلابي Starshine-3.
قسمة قطعة خطية على تقسيم خارجي.
يمكنك أن ترى أمثلة تطبيقية في مقالات البنتاغون بطول ضلع معين، عشري مع دائرة معينة وعشر عشر مع طول ضلع معين .
تنتج كل من الخوارزميات المختلفة المعروضة أعلاه إنشاءات هندسية تحدد جزأين من الخط المحاذي حيث تكون نسبة الجزء الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.
المثلث الذهبي.
يمكن وصف المثلث الذهبي بأنه مثلث متساوي الساقين ABC مع خاصية تقطيع الزاوية C إلى نصفين ينتج عنها مثلث جديد CXB وهو مثلث مماثل للمثلث الأصلي.
إذا كانت الزاوية BCX = α، فإن XCA = α بسبب التقسيم، و CAB = α بسبب المثلثات المتشابهة ؛ ABC = 2α من التناظر الأصلي متساوي الساقين، و BXC = 2α بالتشابه. مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذا 5α = 180، مما يعطي α = 36 °. وبالتالي فإن زوايا المثلث الذهبي هي 36 درجة -72 درجة -72 درجة. زوايا المثلث المتساوي الساقين المتبقي AXC (تسمى أحيانًا العقرب الذهبي) هي 36 درجة -36 درجة -108 درجة.
لنفترض أن XB له طول 1، BC length. بسبب المثلثات متساوية الساقين XC = XA و BC = XC، فهذه أيضًا هي الطول φ. طول التيار المتردد = إذن AB يساوي  + 1. لكن المثلث ABC مشابه للمثلث CXB، لذا AC / BC = BC / BX، AC /  = φ / 1، وبالتالي فإن AC تساوي 2 أيضًا. وهكذا 2 = φ + 1، مما يؤكد أن هي بالفعل النسبة الذهبية.
وبالمثل، فإن نسبة مساحة المثلث الأكبر AXC إلى CXB الأصغر تساوي ، بينما تكون النسبة العكسية φ - 1.
خماسي الاضلاع.
في البنتاغون العادي، تكون نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية، بينما يتقاطع قسم الأقطار مع بعضها البعض في النسبة الذهبية.
بناء أودوم.
جورج أودوم أعطت بناء بسيط ملحوظ φ التي تنطوي على مثلث متساوي الأضلاع: إذا هو منصوص عليه مثلث متساوي الأضلاع في دائرة والجزء الخط الواصل بين نقاط المنتصف من الجانبين يتم إنتاج لتتقاطع دائرة في أي من نقطتين، ثم هذه النقاط الثلاث هي في نسبة ذهبية. هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لنظرية الأوتار المتقاطعة ويمكن استخدامها لبناء خماسي منتظم، وهو بناء جذب انتباه مقياس الهندسة الكندي الشهير سكوت ماكدونالد كوكستر الذي نشره باسم Odom كرسم تخطيطي في "الرياضيات الأمريكية الشهرية" مصحوبًا به كلمة واحدة "ها!"
نجمة خماسية.
تلعب النسبة الذهبية دورًا مهمًا في هندسة الخماسي . كل تقاطع للحواف يقسم حواف أخرى في النسبة الذهبية. أيضا، فإن نسبة طول الجزء أقصر إلى الجزء يحدها من قبل اثنين من تقاطع حواف (جانب من البنتاغون في مركز النجم الخماسي) هو φ كما يظهر في الشكل أربعة ألوان.
يشتمل الخماسي على عشرة مثلثات متساوية الساقين : خمسة مثلثات حادة وخمسة منفرجة متساوية الساقين. في كل منهم، نسبة الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر هي φ . المثلثات الحادة هي مثلثات ذهبية. مثلثات متساوية الساقين منفرجة هي عقرب ذهبية.
نظرية بطليموس.
يمكن تأكيد خصائص النسبة الذهبية للبنتاغون المنتظم عن طريق تطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الذي يتكون من إزالة أحد رؤوسه. إذا كانت الحافة الطويلة للشكل الرباعي وأقطارها "ب"، والحواف القصيرة "أ"، فإن نظرية بطليموس تعطي "ب" 2 = "أ" 2 + "AB" الذي ينتج
تحجيم المثلثات.
ضع في اعتبارك مثلثًا له أطوال أطوال "أ"، "ب"، "ج" بترتيب تنازلي. حدد "حجم" المثلث ليكون الأصغر من النسبتين "أ" / "ب" و "ب" / "ج" . وscalenity هو دائما أقل من φ ويمكن أن يتم في أقرب وقت المطلوب φ
مثلث تشكل جوانبه تدرجًا هندسيًا.
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث تشكل تقدمًا هندسيًا وكانت في النسبة 1 : "ص:" "ص" 2، حيث "r" هي نسبة المشتركة، ثم "ص" يجب أن تكمن في φ مجموعة -1 "&lt;ص" φ والتي هي نتيجة ل عدم المساواة مثلث (مجموع أي الجانبين من مثلث يجب أن تكون أكبر بدقة من طول الضلع الثالث). إذا "ص" = φ ثم الجانبين أقصر هي 1 و φ لكن مجموعهما هو φ 2، وبالتالي "ص" φ تظهر عملية حسابية مماثلة أن "r" &gt; φ −1. مثلث أضلاعه في النسبة 1 : : φ هو مثلث قائم الزاوية (لأن 1 + φ = φ 2 ) يُعرف بمثلث كبلر .
المثلث الذهبي، المعين، ثلاثي السطوح المعيني.
المعين الذهبي هو المعين الذي تكون أقطاره في النسبة الذهبية. ثلاثي السطوح المعين هو متعدد الأشكال ومحدب له خاصية خاصة جدًا: جميع وجوهه عبارة عن معينية ذهبية. في المثلث السطوح المعيني، تكون الزاوية ثنائية السطوح بين أي معينين متجاورين هي 144 درجة، وهو ضعف الزاوية المتساوية الساقين في المثلث الذهبي وأربعة أضعاف الزاوية الأكثر حدة.
العلاقة مع متوالية فيبوناتشي.
إن رياضيات النسبة الذهبية ومتوالية فيبوناتشي مترابطة بشكل وثيق. تسلسل فيبوناتشي هو:
يتضمن التعبير المغلق لتسلسل فيبوناتشي النسبة الذهبية:
بشكل عام:
حيث أعلاه، فإن نسب المصطلحات المتتالية لسلسلة فيبوناتشي، هي حالة متى formula_40
علاوة على ذلك، فإن القوى المتعاقبة لـ φ تخضع لتكرار فيبوناتشي:
بالنسبة للمعاملات المعطاة "أ"، "ب" بحيث تحقق "س" المعادلة. حتى أكثر عموما، أي دالة كسرية (مع معاملات عقلانية) من جذر "ن" متعدد الحدود غير القابل للاختزال درجة عشر، على rationals يمكن خفضها إلى متعدد الحدود من الدرجة مصاغة من حيث نظرية المجال، إذا كانت α جذرًا لكثير حدود من الدرجة "n" غير القابلة للاختزال، إذن formula_46 درجة "ن" أكثر formula_47 مع الأساس formula_48
تناظرات.
النسبة الذهبية والنسبة الذهبية المعكوسة formula_49 لديها مجموعة من التناظرات التي تحافظ عليها وتربطها. كلاهما محفوظ من خلال التحويلات الخطية الجزئية formula_50 - هذه الحقيقة تتوافق مع الهوية وتعريف المعادلة التربيعية. علاوة على ذلك، يتم تبادلهم بواسطة الخرائط الثلاث formula_51 - هم متبادلون، متماثلون formula_52، و (بشكل إسقاطي) متماثل حوالي 2.
بشكل أعمق، تشكل هذه الخرائط مجموعة فرعية من المجموعة المعيارية formula_53 متماثل للمجموعة المتماثلة في 3 أحرف، formula_54 المقابلة لمثبت المجموعة formula_55 من 3 نقاط قياسية على خط الإسقاط، وتتوافق التماثلات مع خريطة حاصل القسمة formula_56 - المجموعة الفرعية formula_57 تتكون من 3 دورات والهوية formula_58 يُصلح الرقمين، بينما تتبادل الدورتان هاتين، وبالتالي تتحقق الخريطة.
النسبة الذهبية لها أبسط تعبير (وأبطأ تقارب) كتوسيع كسر مستمر لأي عدد غير نسبي (انظر "الصيغ البديلة" أعلاه). ولهذا السبب، فهي واحدة من أسوأ حالات نظرية تقريب لاغرانج وهي حالة متطرفة لعدم مساواة هورويتز لتقديرات ديوفانتين. قد يكون هذا هو السبب في ظهور الزوايا القريبة من النسبة الذهبية في كثير من الأحيان في النمو النباتي (نمو النباتات).
يؤدي تعريف كثير الحدود التربيعي والعلاقة المرافقة إلى قيم عشرية تشترك في φ الكسري مع φ :
توسيع عشري.
يمكن حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية مباشرة من التعبير
مع 2.2360679774997896964 OEIS : A002163 . يمكن حساب الجذر التربيعي للرقم 5 بالطريقة البابلية، بدءًا بتقدير أولي مثل "x" φ = 2 والتكرار
تعادل الخوارزمية البابلية لـ طريقة نيوتن لحل المعادلة "×" 2 - 5 = 0. في شكلها الأكثر عمومية، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرة على أي معادلة جبرية، بما في ذلك المعادلة "×" 2 - x - 1 = 0 التي تحدد النسبة الذهبية. يعطي هذا تكرارًا يتقارب مع النسبة الذهبية نفسها،
الاهرام.
يمكن تحليل كل من الأهرامات المصرية والأهرامات المربعة العادية التي تشبهها فيما يتعلق بالنسب الذهبية والنسب الأخرى.
الأهرامات الرياضية.
الهرم الذي يكون فيه apothem (الارتفاع المائل على طول منصف الوجه) يساوي φ مرة نصف القاعدة (نصف عرض القاعدة) يسمى أحيانًا "الهرم الذهبي" . يمكن إنشاء المثلث متساوي الساقين الذي يمثل وجه مثل هذا الهرم من نصفي مستطيل ذهبي منقسم قطريًا (بحجم شبه قاعدي من خلال apothem)، وينضم إلى الحواف متوسطة الطول لتكوين apothem. ارتفاع هذا الهرم formula_80 ضرب شبه القاعدة (أي ميل الوجه هو formula_80 ) ؛ مربع الارتفاع يساوي مساحة الوجه، φ في مربع شبه القاعدة.
المثلث الإنسي الأيمن لهذا الهرم "الذهبي" (انظر الشكل)، مع جوانب formula_82 مثير للاهتمام في حد ذاته، مما يدل على العلاقة من خلال نظرية فيثاغورس formula_83 أو formula_84 . مثلث كبلر هذا هو النسبة الوحيدة للمثلث الأيمن التي لها أطوال حواف في التقدم الهندسي، تمامًا كما أن المثلث 3–4–5 هو نسبة المثلث الأيمن الوحيد مع أطوال الحافة في التدرج الحسابي . الزاوية مع الظل formula_80 يتوافق مع الزاوية التي يصنعها جانب الهرم بالنسبة إلى الأرض، 51.827 ... درجة (51 ° 49 '38 ").
شكل هرمي مشابه تقريبًا، ولكن بنسب منطقية، موصوف في بردية ريند الرياضية (مصدر جزء كبير من المعرفة الحديثة للرياضيات المصرية القديمة)، استنادًا إلى المثلث 3: 4: 5 ؛ منحدر الوجه المقابل للزاوية ذات المماس 4/3 هو، لأقرب منزلتين عشريتين، 53.13 درجة (53 درجة و 8 دقائق). ارتفاع الميل هو 5/3 أو 1.666 ... أضعاف شبه القاعدة. تحتوي بردية Rhind أيضًا على مشكلة هرمية أخرى، ومرة أخرى بمنحدر منطقي (يُعبر عنه بالدور فوق الارتفاع). لم تتضمن الرياضيات المصرية فكرة الأعداد غير المنطقية، واستخدم المنحدر العكسي المنطقي (الركض / الارتفاع، مضروبًا في 7 للتحويل إلى وحداتهم التقليدية من النخيل لكل ذراع) في بناء الأهرامات.
هرم رياضي آخر بنسب مماثلة تقريبًا للهرم "الذهبي" هو الهرم الذي محيطه يساوي 2 ضعف الارتفاع، أو h: b = 4: . تبلغ زاوية هذا المثلث 51.854 درجة (51 درجة 51 بوصة)، وهي قريبة جدًا من 51.827 درجة لمثلث كبلر. تتوافق هذه العلاقة الهرمية مع علاقة مصادفات رياضية formula_86 .
الأهرامات المصرية متقاربة جدا بما يتناسب مع هذه الأهرامات الرياضية المعروفة.
الاهرامات المصرية.
أحد الأهرامات المصرية القريبة من "الهرم الذهبي" هو الهرم الأكبر بالجيزة (المعروف أيضًا باسم هرم خوفو أو خوفو). منحدره البالغ 51 درجة 52 'قريب من ميل الهرم "الذهبي" عند 51 درجة 50' - وحتى أقرب إلى ميل الهرم القائم على البالغ 51 درجة 51 '. ومع ذلك، تم العثور على العديد من النظريات الرياضية الأخرى لشكل الهرم الأكبر، استنادًا إلى المنحدرات المنطقية، على أنها تفسيرات أكثر دقة وأكثر منطقية لمنحدر 51 درجة 52 '.
في منتصف القرن التاسع عشر، ودرس فريدريش ROBER الأهرامات المصرية المختلفة بما في ذلك تلك التي خفرع، منقرع، وبعض الجيزة، سقارة، و أبوصير المجموعات. لم يطبق النسبة الذهبية على الهرم الأكبر في الجيزة، لكنه وافق بدلاً من ذلك مع جون شاي بيرنج على أن نسبة الجانب إلى الارتفاع هي 8: 5. بالنسبة لجميع الأهرامات الأخرى، طبق القياسات المتعلقة بمثلث كبلر، وادعى أن أطوال أضلاعها الكاملة أو نصفها مرتبطة بارتفاعها من خلال النسبة الذهبية.
في عام 1859، أساء عالم الهرم جون تايلور تفسير هيرودوت ( ) على أنه يشير إلى أن مربع ارتفاع الهرم الأكبر يساوي مساحة أحد مثلثات وجهه. أدى ذلك إلى ادعاء تايلور أنه في الهرم الأكبر، يتم تمثيل النسبة الذهبية بنسبة طول الوجه (ارتفاع المنحدر، يميل بزاوية θ على الأرض) إلى نصف الطول من ضلع القاعدة المربعة (ما يعادل قاطع الزاوية θ). أعلاه حوالي و ، على التوالي. نسبة هذه الأطوال هي النسبة الذهبية، وهي دقيقة لأرقام أكثر من أي من القياسات الأصلية. وبالمثل، أفاد هوارد فايس بارتفاع الهرم الأكبر ، ونصف القاعدة ، مما ينتج عنه 1.6189 لنسبة الارتفاع المائل إلى نصف القاعدة، مرة أخرى أكثر دقة من تقلب البيانات.
ادعى إريك تمبل بيل، عالم الرياضيات والمؤرخ، في عام 1950 أن الرياضيات المصرية لن تدعم القدرة على حساب الارتفاع المائل للأهرامات، أو النسبة إلى الارتفاع، باستثناء حالة الهرم 3: 4: 5، منذ ذلك الحين كان المثلث 3: 4: 5 هو المثلث القائم الزاوية الوحيد المعروف للمصريين ولم يعرفوا نظرية فيثاغورس، ولا بأي طريقة للتفكير حول اللاعقلانية مثل أو φ . تتطابق أمثلة المشكلات الهندسية لتصميم الهرم في بردية Rhind مع منحدرات منطقية مختلفة.
يؤكد مايكل رايس أن المراجع الرئيسية في تاريخ العمارة المصرية جادلت بأن المصريين كانوا على دراية جيدة بالنسبة الذهبية وأنها جزء من رياضيات الأهرامات، مستشهدين بجيدون (1957). ناقش مؤرخو العلوم منذ فترة طويلة ما إذا كان لدى المصريين أي معرفة من هذا القبيل، معتبرين أن ظهوره في الهرم الأكبر هو نتيجة الصدفة.
قيمتها العددية.
قيمة الرقم الذهبي الدقيقة هي formula_87 كما يمكن إثبات أنّ قيمتها formula_88 أيضا ولإيجاد قيمة تقريبية لهذا الرقم يمكننا استعمال آلة حاسبة. قيمة formula_2 التقريبية هي 1.618 ولكن عدد الأرقام العشرية لا متناهية ولا يمكن توقّعها أو التكهن بها.
ويمكننا أيضا اعتماد متوالية أو "سلسلة فيبوناتشي" للاقتراب من الرقم الذهبي، وقد تم وضع هذه المتوالية في العصر الوسيط على يد عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو دا بيزّا (نسبة إلى بيزّا المدينة الإيطالية) المسمّى "فيبوناتشي"، لدراسة تكاثر الأرانب.
وأول رقمين في هذه السلسلة هما 1. ولإيجاد مختلف عناصرها، نجمع العنصرين السابقين. فنحصل بالتالي على السلسلة التالية :
و بقسمة كل عنصر على سابقه (بداية من الـ1 الثاني)، نقترب شيئا فشيئاً من الرقم الذهبي
و في النهاية، يمكننا اعتماد هذا الكسر المستمر لإيجاد قيمة قريبة من قيمة φ:
الاستفادة منها.
الرقم الذهبي معروف على الأرجح منذ عصور ما قبل التاريخ. فقد أستعمله مهندسون وفنانون كثيرون منذ العصور القديمة. فمثلا هرم "خوفو"، المبني في سنة 2800 ق.م. تقريبا، يظهر أن مهندسه استعمل الرقم الذهبي وكذلك شأن مبنى "البارثينون" بأثينا، الذي تم بناؤه في القرن الخامس ق.م وأيضا يوجد إشارة إلى هذه النسبة في بناء أهرامات الجيزة في مصر.
وفي عصر النهضة، استعمل العديد من الرسّامين (مثل "بييرو ديلاّ فرانشيسكا" أو "ليوناردو دا فينشي") المظاهر الجمالية المرتبطة بالرقم الذهبي في لوحاتهم. وقد أبرز "دا فينشي" كذلك كتابا يبيّن الخصائص الرياضية والجمالية والعجيبة للرقم الذهبي ويسمى هذا الكتاب " "De divina proportio (أو التناسب الإلهي) وقد ألفه كاهن إيطالي اسمه "فرا لوكا باشيولي".
و يظهر الرقم الذهبي كذلك في ميدان الموسيقى ذلك أن صانع الكمانات الإيطالي "أنتونيو ستراديفاري" (و اشتهر "ستراديفاريوس") استخدم هو الآخر هذا الرقم في صنع كماناته الشهيرة مع نهاية القرن السابع عشر للميلاد.
و في القرن العشرين، أهتم العديد من المهندسين والرسامين بالرقم الذهبي في إنجازاتهم، وبالخصوص المهندس الفرنسي "لو كوربيسيي" والرسّام الإسباني "سلفادور دالي".
ورغم الأقوال بوجود استخدام للنسبة الذهبية في بعض المباني غير أن كثيراً منها هي أما مقاربات بعيدة عن النسبة الذهبية، أو أنها غير موجودة ببساطة كما في المعبد اليوناني الذي ثبت عدم وجود النسبة الذهبية فيه، فضلاً عن وجود نسب أخرى تُستخدم بكثرة من قبل المعماريين لكنها غير مشهورة.
ويدعي البعض انه يستخدم أيضًا في الأسواق المالية وأسواق العملات والمعادن، بل هو من أهم الأدوات المستخدمة في التحليل الفني لتلك الأسواق؛ فعندما تقوم أسعار الأوراق المالية - أو العملات أو المعادن - بتصحيح مسارها (بمعنى أن تنخفض بعد اتجاه صعودي، أو ترتفع بعد اتجاه هبوطي) يقوم المحللون الفنيون لتلك الأسواق بحساب نسب ارتدادات الأسعار (أي تحديد مدى ذلك الارتفاع أو الانخفاض)، وتلك النسب كلها مشتقة من الرقم الذهبي بحسب الادعاءات ولكن لا توجد اي أدلة على ادعاءات مماثلة.
بالإضافة إلى ميزاته الجمالية، فإن الرقم الذهبي يمتاز بخاصية جبريّة مهمّة، إذ أنه يكفي أن تضيف إليه 1 لتجد مربّعه (أي formula_91). وبعبارة أخرى فإن :
و هذه الصيغة الأخيرة هي الصيغة العامة لتعريف الرقم الذهبي.
و هناك خاصية أخرى تنجرّ عن السابقة وهي أنه يكفي أن ننقص الرقم الذهبي من 1 حتى نجد مقلوبه (أي formula_93) وبالتالي فإن :
1 -formula_94
بصورة عامة، يمكن القول أنَّ : formula_95
وأيضاً: formula_96
العلاقة السابقة صحيحة لأنه عند قسمة عددين ذوي أساسين متساويين فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع إلى حاصل طرح الأسس
بالاستفادة من علاقة النسبة الذهبية نقول: formula_97
formula_98
نضرب طرفي المعادلة بـ formula_99 فنحصل على القانون: formula_95
يمكن القول أن: formula_102
نعوض formula_103 فنقول: formula_104
باختزال ما سبق نحصل على القانون: formula_105
تجلياتها.
يظهر الرقم الذهبي في العديد من الإنجازات الإنسانية، ولكن أيضا في الطبيعة بعض الأحيان وبشكل تقريبي مثل:
الملاحظات المتنازع عليها.
تتضمن أمثلة الملاحظات المتنازع عليها بشأن النسبة الذهبية ما يلي:
البارثينون.
قال البعض إن واجهة البارثينون (حوالي 432 قبل الميلاد) وكذلك عناصر من واجهته وأماكن أخرى محصورة بمستطيلات ذهبية. ينكر علماء آخرون أن الإغريق كان لهم أي ارتباط جمالي مع النسبة الذهبية. على سبيل المثال، يقول كيث ديفلين، "بالتأكيد، التأكيد المتكرر في كثير من الأحيان على أن البارثينون في أثينا يعتمد على النسبة الذهبية لا تدعمه القياسات الفعلية. في الواقع، يبدو أن القصة الكاملة عن الإغريق والنسبة الذهبية بلا أساس ". يؤكد مدحت ج. غازالي أنه "لم تتم دراسة الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية حتى إقليدس ...".
من قياسات 15 معبدًا و 18 مقبرة ضخمة و 8 توابيت و 58 لوحة قبر من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، خلص أحد الباحثين إلى أن النسبة الذهبية كانت غائبة تمامًا عن العمارة اليونانية الكلاسيكية في القرن الخامس قبل الميلاد، وتقريباً غائب خلال القرون الستة التالية. مصادر لاحقة مثل فيتروفيوس (القرن الأول BC) تناقش حصريًا النسب التي يمكن التعبير عنها بأعداد صحيحة، أي تناسبها على عكس النسب غير المنطقية.
القسم الذهبي (القسم الذهبي) كان عبارة عن مجموعة من الرسامين والنحاتين والشعراء والنقاد المرتبطين بالتكعيبية والأورفية . نشط من عام 1911 إلى حوالي عام 1914، واعتمدوا الاسم على حد سواء لتسليط الضوء على أن التكعيبية تمثل استمرارًا لتقليد كبير، بدلاً من كونها حركة معزولة، وتكريمًا للتناغم الرياضي المرتبط بجورج سورات . لاحظ التكعيبيون في تناغمها، والهيكلة الهندسية للحركة والشكل، وأولوية الفكرة على الطبيعة، والوضوح العلمي المطلق للتصور. ومع ذلك، على الرغم من هذا الاهتمام العام بالانسجام الرياضي، يصعب تحديد ما إذا كانت اللوحات المعروضة في معرض "Salon de la Section d'Or" الشهير عام 1912 تستخدم النسبة الذهبية في أي تراكيب. ليفيو، على سبيل المثال، تدعي أنهم لم يفعلوا ذلك، ومارسيل دوشامب قال ذلك في مقابلة. من ناحية أخرى، يشير أحد التحليلات إلى أن خوان جريس استفاد من النسبة الذهبية في تأليف الأعمال التي كان من المحتمل، ولكن ليس بشكل قاطع، عرضها في المعرض. جادل مؤرخ الفن دانييل روبينز أنه بالإضافة إلى الإشارة إلى المصطلح الرياضي، يشير اسم المعرض أيضًا إلى مجموعة "Bandeaux d'Or" السابقة، التي شارك فيها ألبرت جليز وأعضاء سابقون آخرون في Abbaye de Créteil (باي دي كريتيل.)
قيل إن بيت موندريان استخدم القسم الذهبي على نطاق واسع في لوحاته الهندسية، الرغم من أن خبراء آخرين (بما في ذلك الناقد إيف-آلان بوا ) فقدوا مصداقية هذه الادعاءات.
موقع الكعبة المشرفة.
موقع الكعبة في مكة بالنسبة للمسافة بين القطب الشمالي والجنوبي تم حسابهُ من قبل البعض والقول بأنه يساوي 1.618 وأن ذلك دليل على اعجاز الهي حيث لا يستطيع البناء الذي بناها النبي إبراهيم مهما أوتي من علم ان يحددها بهذه الدقة كما أشار القائلين بذلك لإمكانية الرجوع لخرائط جوجل في موقع جوجل إيرث.
لنقم بإجراء الحسابات في البداية ثم نعلق لاحقاً: عند حساب المسافة بين الكعبة والقطب الشمالي تعادل: 7,700.97 ميلاً، في حين أن المسافة بين الكعبة والقطب الجنوبي تعادل: 4,739.73 ميلاً، فتكون المسافة الكلية بين القطبين الشمالي والجنوبي بذلك: 12,440.70 ميلاً.
لا شك أنها مسافات تقريبية محددة بدقة منزلتين بعد الفاصلة العشرية (جزء من المئة من الميل).
إذا قمنا بحساب نسبة أكبر المسافتين إلى أصغرهما، فسنجد أن الناتج هو 1.6247 كما أن تقسيم مجموعهما على العدد الأكبر منهما يساوي 1.6155وهو قريب جداً من النسبة الذهبية.