CALM/arwiki huggingface dataset:
تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من الخصائص الطوبولوجية مثل القرب والاستمرارية إلى خصائص للزمر. فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.
في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة الزمر الزائدية مثلًا. وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد.
يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفةالخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء وكيمياء وعلم الحاسوب تنتفع من أفكارها.
تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة بالحلقات والحقول. ويشكل المزيد من الفكر الجبرية المجردة زمرًا، ومنها النماذج والفضاءات المتجهية والجِبار.
الأعداد الصحيحة.
لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة formula_223 تحت عملية الجمع ورمزها formula_225. ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع formula_226؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا formula_227 هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة formula_228 في تلك الحالة هو formula_229، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من formula_223 يملك معاكسًا ضربيًّا.
إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة الكسور
وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث formula_232) بالأعداد الكسرية. ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز formula_233. لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب formula_234 زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد formula_235 يحقق المعادلة formula_236)، وبالتالي لا تزال formula_234 ليست زمرة.
ورغم ذلك، تشكل مجموعة كل الأعداد الكسرية غير الصفرية formula_238 زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو formula_234. تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد الصحيحة. كما أن بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري formula_231 له معكوس هو formula_241، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.
تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة formula_233، ولكلا البنيتين موقع محوري في الجبر المجرد. ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين.
الحساب النمطي.
في الحساب النمطي، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية formula_243، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى formula_244 زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر formula_4 هو formula_246، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 "مقياس 12" أو "بتردد 12"، أو بالرموز
ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس formula_243 بأحد الرمزين formula_249 أو formula_250.
توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس formula_251 لأي عدد أولي formula_252. وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من formula_45 إلى formula_254. وعمليتها هي الضرب مقياس formula_252، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على formula_252، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذا كان formula_257، سيوجَد في الزمرة أربعة عناصر هي 1، 2، 3، 4. وفي هذه الزمرة يكون formula_258، لأن حاصل الضرب العادي هو 16 وهو يكافئ 1، وهو باقي قسمة هذا العدد على 5، فالعدد 5 هو قاسم لـ formula_259، ويُرمَز لما سبق بالآتي
وتكفل أولية العدد formula_252 أنه إذا ضُرِب عددان صحيحان لا يقبلان القسمة على formula_252، لن يقبل حاصل الضرب القسمة على formula_252 أيضًا، وبالتالي فإن مجموعة الأصناف المُشار إليها مغلَقة تحت الضرب. والعنصر المحايد هو 1 كما هو معتاد لأي زمرة ضربية، وتنتج التجميعية عن الخاصية المناظرة في الأعداد الصحيحة. وأخيرًا تتطلب بديهية العنصر المعاكس أنه بإعطاء العدد الصحيح formula_4 الذي لا يقبل القسمة على formula_252، يوجد عدد صحيح formula_5 بحيث يكون
ويمكن إيجاد المعاكس formula_5 باستخدام متطابقة بوزو وحقيقة أن القاسم المشترك الأكبر formula_271 يساوي 1. وفي حالة formula_257 أعلاه، يكون معاكس 4 هو 4، ومعاكس 3 هو 2؛ لأن formula_273. وبالتالي فإن كل بديهيات الزمر محقَّقة. إن هذا المثال في الواقع مشابه لمثال formula_274 أعلاه؛ فهو يتكون بالضبط من تلك العناصر في formula_275 التي تملك معاكسًا ضربيًّا. يُرمَز لتلك الزمر بالرمز formula_276. وهي بالغة الأهمية في التشفير باستخدام المفتاح المعلن.
الزمر الدائرية.
"الزمرة الدائرية" هي زمرة كل عناصرها هي قوى لعنصر ما formula_4. وباستخدام رموز الضرب، يُعبَر عن عناصر تلك الزمرة كالتالي:
حيث formula_279 يعني formula_280، و formula_281 يعني formula_282، إلى آخره. يسمى مثل العنصر formula_4 مولِّدًا أو عنصرًا بدائيًّا للزمرة. وبرموز الجمع، يكون شرط كون العنصر بدائيًّا أن يكون كل عنصر في الزمرة قابلًا للكتابة على صورة
في الزمر formula_285 المشروحة أعلاه، العنصر formula_45 هو عنصر بدائي، ما يجعل تلك الزمر دائرية. يمكن التعبير عن كل عنصر في تلك الزمرة في شكل مجموعٍ كلُّ حدوده هي formula_45. وأي زمرة دائرية ذات العدد formula_243 من العناصر هي مساوية الشكل لتلك الزمرة. وتعد زمرة جذور الوحدة العقدية من الدرجة formula_243 مثالًا آخر للزمر الدائرية، وهي معطاة بالأعداد العقدية formula_290 التي تحقق المعادلة formula_291. ويمكن تصور تلك الأعداد رؤوسًا لمضلع منتظم ذي عدد formula_243 من الأضلاع كالموضح بالأزرق في الصورة، والذي فيه formula_293. وعملية تلك الزمرة هي جداء الأعداد العقدية. وكما توضح الصورة، يقابل الضرب في formula_290 دورانًا بزاوية 60° عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالاستعانة ببعض من نظرية الحقول (الرياضيات)، يمكن للزمرة formula_276 أن تبدو دائرية: فمثلًا إذا كانت formula_257، فإن formula_297 مولد في تلك الزمرة؛ لأن formula_298، و formula_299، و formula_300، و formula_301.
تملك بعض الزمر الدائرية عددًا غير منتهٍ من العناصر. ولكل عنصر غير مساو للصفر formula_4 في تلك الزمرة، تكون كل قوى formula_4 مختلفة عن بعضها البعض؛ وبالتالي فعلى الرغم من كون هكذا زمر "دائرية" إلا أنها لا تدور. وتكون أي زمرة دائرية غير منتهية مساوية الشكل لزمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع formula_225 المشروحة أعلاه. وكل الزمر الدائرية أبيليةٌ كما رأينا في المثالين السابقين.
بلغت دراسة الزمر الأبيلية منتهية التوليد درجة كبيرة من النضوج، وهي تتضمن المبرهنة الأساسية للزمر الأبيلية منتهية التوليد، ويوجَد الكثير من المفاهيم المتعلقة بالزمر مثل المركز والمبادل تصف إلى أي مدى تكون زمرة ما غير أبيلية.
زمر التماثل.
"زمر التماثل" هي زمر تتكون من تناظرات كائنات هندسية معينة ذات طبيعة هندسية (كزمرة التماثل للمربع المشروحة سابقًا) أو جبرية (مثل المعادلات كثيرة الحدود وحلولها). ومن الناحية النظرية، يمكن أن تعَد نظرية الزمر دراسةً للتناظر. تبسط التناظرات في الرياضيات دراسةَ الكائنات الهندسية والتحليلية تبسيطًا بالغًا. يُقال عن زمرة ما أنها تؤثر على كائن رياضي آخر formula_101 إذا كان كل عنصر للزمرة يؤدي عملية ما على formula_101 بالانسجام مع قانون الزمرة. وكما في المثال أدناه، فإن عنصرًا من الرتبة 7 من زمرة المثلث (2,3,7) يؤثر على التبليط بتبديل المثلثات الملتوية المظللة (والمثلثات الأخرى أيضًا). يرتبط نمط الزمرة المؤثرة ببنية الكائن المتأثر من خلال تأثير الزمرة.
في حقول الكيمياء كعلم البلورات، تصف الزمر الفراغية والزمر النقطية التناظراتِ الجزيئيةَ والبلورية. تكمن تلك التناظرات وراء السلوك الفيزيائي والكيميائي لتلك الأنظمة، وتتيح نظرية الزمر تبسيط التحليل الميكانيكي الكمومي لتلك الخصائص. مثلًا تستخدَم نظرية الزمر لتوضيح أن الانتقالات البصرية بين المستويات الكمومية لا يمكن أن يحدث ببساطة بسبب تناظر الحالات المعنية.
ليست الزمر مفيدة في تقييم الآثار الناتجة عن التناظرات في الجزيئات فحسب، ولكن من المدهش أنها تتنبأ أيضًا بأنه يمكن للجزيئات في بعض الأحيان أن تغير من تناظرها. تأثير جان-تيلر هو تشويه جزيء ذي تناظر عالٍ عندما يتخذ حالة قاعية ما ذات تناظر أقل من مجموعة الحالات القاعية الممكنة المرتبطة ببعضها من خلال عمليات التناظر للجزيء.
وبالمثل تساعد نظرية الزمر في التنبؤ بالتغيرات في الخصائص الفيزيائية التي تنجم عن خضوع مادة ما لتحول طوري، كتحول المادة مثلًا من الشكل البلوري المكعبي إلى رباعي السطوح. وتعد المواد الفيروكهربية مثالًا على ذلك؛ حيث يحدث التغير من الحالة الباراكهربية إلى الحالة الكهربية الحديدية في درجة حرارة كوري، وهو مرتب بتغير من الحالة الباراكهربية عالية التناظر إلى الحالة الفيروكهربية الأقل تناظرًا، ويكون ذاك التغيير مصحوبًا بما يسمى نمط فونون لينًا، وهو نمط شبكية اهتزازية يصل فيه التردد إلى الصفر خلال الانتقال.
إن لهذا وأمثالِه من طرق كسر التناظر التلقائي المزيدَ من التطبيقات في فيزياء الجسيمات الابتدائية، حيث أن حدوثهم مرتبط بظهور بوزونات جولدستون.
تُستَخدم زمر التماثل المنتهية مثل زمرة ماتيو في نظرية الترميز، والمطبَّقة بدورها في تصحيح الخطأ للبيانات المنقولة، كما تُطبَّق زمرة ماتيو في أجهزة السي دي. وتعد نظرية غالوا التفاضلية تطبيقًا آخر لزمر التماثل، وهي تصف الدوال ذات المشتقات العكسية، معطيةً معايير نظرية زمرية لكون حلول معادلات تفاضلية معينةٍ مهذبةً. ثم إن الخصائص الهندسية التي تبقى مستقرة تحت تأثيرات الزمرة يُحقَّق بشأنها في النظرية الثابتة الهندسية.
الزمر الخطية العامة ونظرية التمثيل.
تتكون زمرة المصفوفات من مصفوفات مع عملية ضرب المصفوفات. "الزمرة الخطية العامة" formula_307 مكونة من كل المصفوفات من الرتبة formula_308 ذات المعكوس والمكونة من مدخلات حقيقية. ويطلق على زمرها الجزئية "زمر المصفوفات" أو "الزمر الخطية". ويمكن أن تعد الزمرة الزوجية المشروحة أعلاه زمرةَ مصفوفات بالغة الصغر. وكذا تعد الزمرة المتعامدة الخاصة formula_309 زمرةَ مصفوفات مهمة أخرى. وهي تصف كل الدورانات الممكنة في العدد formula_243 من الأبعاد. تُستَخدم مصفوفات الدوران في الرسوميات الحاسوبية بواسطة زوايا أويلر.
"نظرية التمثيل" هي تطبيق لمفهوم الزمرة، كما أنها ضرورية للوصول إلى فهم أعمق للزمر. ويختص العاملون فيها بدراسة الزمرة من خلال تأثيراتها على الفضاءات الأخرى. وتشكل التمثيلات الخطية فئة كبيرة من تمثيلات الزمر، وهي الناجمة عن تأثير الزمرة على فضاء متجهي كالفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد formula_311. إن أي تمثيل للزمرة formula_1 على فضاء متجهي حقيقي بعدد formula_243 من الأبعاد هو ببساطة تشاكل زمري
من الزمرة إلى الزمرة الخطية العامة. وهكذا تتحول عملية الزمرة (المعطاة تجريديًّا) إلى ضرب المصفوفات؛ فتصبح في متناوَل الحسابات الصريحة.
يعطي هذا معاني أعمق لدراسة الكائن المؤثَّر عليه بتأثير زمري ما. ومن ناحية أخرى، فإنه يعطي أيضا معلومات عن الزمرة. إن تمثيلات الزمر مبدأٌ منظِّم في نظرية الزمر المنتهية وزمر لي والزمر الجبرية والزمر الطوبولوجية وخاصةً الزمر المتراصة (محليًّا).
لقد طُوِّرت "زمر غالوا" للمساعدة في حل المعادلات كثيرة الحدود من خلال تمثيل خصائصها التناظرية. فمثلًا تكون حلول المعادلة التربيعية formula_315 معطاةً من خلال
يمكن النظر إلى المبادلة بين "+" و "-" في التعبير السابق، أي تبديل حلى المعادلة، بمثابة عملية زمرية بسيطة جدًّا. وتوجد صيغ مماثلة معروفة للمعادلات التكعيبية والرباعية، ولكن هذا لا ينطبق عامة على الدرجة الخامسة وما فوقها. الخصائص التجريدية لزمر غالوا المتعلقة بكثيرات الحدود (خاصةً قابليتها للحلحلة) تعطي معيارًا لكثيرات الحدود التي يمكن التعبير عن كافة حلولها بالجذور، أي باستخدام الجمع والضرب والجذور فقط كما في الصيغة أعلاه.
من الممكن التعامل مع تلك المسألة من خلال التحول إلى نظرية الحقل مع النظر في حقل الانشطار لكثيرة الحدود. تعمم نظرية غالوا الحديثة هذا النوع من زمر غالوا المذكور أعلاه إلى امتدادات حقول وتضع—عن طريق المبرهنة الأساسية في نظرية غالوا—علاقة دقيقة بين الحقول والزمر، مما يؤكد مجددًا انتشار الزمر في فروع الرياضيات الأخرى.
الزمر المنتهية.
يُقال إن الزمرة منتهية إذا امتلكت عدد محدودًا من العناصر. ذلك العدد يطلق عليه رتبة تلك الزمرة. وتعد الزمر المتماثلة formula_317 من أهم أصنافها، وهي زمر تباديل العدد N من الرموز. على سبيل المثال، تتكون الزمرة المتماثلة في ثلاثة رموز formula_318 من كل التسلسلات الممكنة للحروف اللثلاث formula_319، أي formula_319 و formula_321 وهكذا حتى formula_322، وعددها في المجمل 6 (عاملي 3). ويكون هذا الصنف أساسيًّا طالما أن أي زمرة منتهية يمكن التعبير عنها في صورة زمرة جزئية من زمرة متماثلة formula_317 حيث formula_191 عدد صحيح مناسب (مبرهنة كيلي). وكما في زمرة تماثلات المربع المشروحة أعلاه، يمكن تناول الزمرة formula_325 على أنها زمرة تماثلات مثلث متساوي الأضلاع.
تعرف رتبة العنصر formula_4 في المجموعة formula_1 بأنها أقل عدد صحيح موجب formula_243 يحقق أن
formula_329، حيث formula_330 يمثل
أي تطبيق العملية formula_332 على formula_243 نُسَخ من formula_4، فإن كانت formula_332 تمثل الضرب، فإن formula_330 يمثل العدد formula_4 مرفوعًا للأس formula_243. في الزمر غير المنتهية قد لا يوجد مثل العدد formula_243، ويُقال حينها إن رتبة formula_4 هي اللانهاية. وبتعبير آخر، رتبة العنصر في زمرة هي رتبة الزمرة الجزئية الدورية التي يولدها هذا العنصر.
تنتج عن البيانات المتعلقة بالزمر المنتهية طرقٌ أكثر تعقيدًا في العد مثل عد المجموعات المشاركة، ومنها مبرهنة لاغرانج التي تنص على أنه عندما تكون formula_1 زمرة منتهية، تقبل رتبتها القسمة على رتبة أي زمرة جزئية منها formula_117، وتثبت مبرهنات سيلو العكس الجزئي لمبرهنة لاغرانج.
تعد الزمرة الزوجية (المشروحة أعلاه) زمرة منتهية من الرتبة 8. رتبة العنصر formula_343 تساوي 4؛ حيث أنها أيضًا رتبة الزمرة الجزئية التي يولدها ذلك العنصر formula_183 (انظر أعلاه). ورتبة عناصر الانعكاس (formula_160 وما علا شاكلته) تساوي 2. وكلتا الرتبتين الأخيرتين تقسم رتبة الزمرة الكبرى وهي 8، وهذا ما أثبتته مبرهنة لاغرانج. وتمتلك الزمر formula_276 رتبة تساوي formula_254.
تصنيف الزمر المنتهية البسيطة.
غالبًا ما يسعى علماء الرياضيات إلى وضع تصنيف متكامل (أو قائمة) لأي مفهوم رياضي. ويؤدي هذا الهدف إلى معضلات رياضية صعبة فيما يتعلق بالزمر المنتهية. وفقًا لمبرهنة لاغرانج، تكون الزمر المنتهية من الرتبة p (عدد أولي) زمرًا دورية (أبيلية) بالضرورة، ورمزها formula_348. يمكن أيضًا للزمر من الرتبة formula_349 أن تظهر أبيلية، لكن ذلك لا يشمل الزمر من الرتبة formula_350، كما يظهر أعلاه في مثال الزمرة formula_147 ذات الرتبة 8 = 23. يمكن لنظم الجبر المحوسبة أن تُستخدم لعمل قائمة بالزمر الصغيرة، ولكن لا يوجد تصنيف يشمل كافة الزمر المنتهية. لكن أمكن تصنيف الزمر المنتهية البسيطة. تسمى الزمر غير التافهة "بسيطة" إن كان لها زمرتان جزئيتان طبيعيتان لا ثالثة لهما هما الزمرة التافهة والزمرة نفسها. تُظهر مبرهنة جوردان-هلدر الزمرَ المنتهية البسيطة في شكل اللبنات الأساسية لكافة الزمر المنتهية. إن وضع قائمة بكافة الزمر المنتهية البسيطة كان إنجازًا رائدًا في نظرية الزمر المعاصرة. نجح العالم ريتشارد بورشردس الحائز على ميدالية فيلدز عام 1998 - في برهنة حدسيات نظرية مونشاين، وهي علاقة مدهشة وعميقة بين أكبر زمرة مشتتة منتهية بسيطة —"زمرة الوحش"—، ودوال نمطية معينة (والدوال النمطية هي جزء من التحليل المركب التقليدي)، ونظرية الأوتار (النظرية التي يُفترض أنها تمثل الوصف الفيزيائي الموحَّد للعديد من الظواهر الفيزيائية).
زمر ببُنى إضافية.
تعد الكثير من الزمر مثالًا على بنًى رياضية أخرى علاوةً على كونها مثالًا على الزمر، وبلغة نظرية الأصناف فهي تعد كائنات زمرية في الفئة، ما يعني أنها كائنات (أي أمثلة على كائن رياضي آخر) تأتي مع تحويلات تسمى التطبيقات المحافظة على الشكل بحيث تحاكي تلك التحويلاتُ بديهياتِ الزمر. فمثلًا بحسب تعريف الزمر المذكور أعلاه فإن أي زمرة تعد مجموعة أيضًا، لذلك فإن أي زمرة تمثل كائنًا زمريًّا في فئة المجموعات.
زمر لي.
سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات سوفوس لي.
العملية الثنائية أو كما تدعى أحيانا المعامل الثنائي هي عملية حسابية تتضمن مدخلين كميين ينتج عنها
منتج كمي واحد، مثل جميع العمليات الأساسية في الحساب، كالجمع والضرب والقسمة.
بلغة نظرية المجموعات تصبح العملية الثنائية تابع ثنائي منطلقه من S ومستقره في S، أي أن منطلقه الجداء الديكارتي للمجموعة "S" أي ومستقره المجموعة S.
الجداء الديكارتي للمجموعة S مع نفسها هي مجموعة ثنائيات مؤلفة من مسقطين من المجموعة S.
و بدقة أكثر، العملية الثنائية على المجموعة "S" هي دالة أو تطبيق ترسل عناصر من الجداء الديكارتي إلى "S"
الجداء الديكارتي أو الضرب الديكارتي هو اسم يطلق في الرياضيات لمجموعتين "X" و"Y"، ويرمز له ب "X" × "Y"، على مجموعة الأزواج المرتبة التي ينتمي عنصرها الأول إلى المجموعة "X" وينتمي عنصرها الثاني إلى المجموعة "Y".
سمي كذلك نسبة إلى رينيه ديكارت الذي قام بتأسيس الهندسة التحليلية مطلقا هذا المفهوم من جداء المجموعات.
يطلق عليه أيضا في بعض الدول العربية ومنها مصر "حاصل الضرب الديكارتي".
انظر نظرية المخططات.
التابع الثنائي هو تابع ذو مدخلين اثنين أي أنه يرتبط بمتغيرين مستقلين
x و y ليعطينا ناتج ليكن z .
بلغة المجموعات إذا كانت X،Y،Z مجموعات مختلفة وقمنا بتعريف تابع من الجداء الديكارتي X في Y إلى Z : أي ان كل ثنائية مرتبة (x،y) ترتبط بعدد وحيد z حيث x عنصر من المجموعة X و y عنصر من المجموعة Y و z عنصر من المجموعة Z .
القرائن قريتان متجاورتان في إقليم الوشم، تقع بلدتا القرائن وسط المملكة العربية السعودية بجانب مدينة شقراء وتقع عند تقاطع 15-25 شمالا مع خطوط الطول 15-45 شرقا تقريبا أما موقعها بالنسبة لمدينة الرياض فهي تقع في الشمال الغربي بحوالي 190 كم، تسمى القرية الأولى الشمالية (الوقف بالقرائن) والثانية (غسلة بالقرائن) ويفصل بينهما وادي العنبري، وتبعد عن مدينة شقراء في الوقت الحاضر حوالي كيلو متر واحد.
سطح القرائن جزء من هضبة نجد المنحدرة من الغرب إلى الشرق يتراوح ارتفاعها ما بين خمسمئة إلى ألف متر فوق سطح البحر تقريبا.
مناخ بلدتي القرائن حار جاف صيفاً بارد شتاءً والأمطار تسقط في فصل الشتاء والربيع.
وسبب تسميتها بالقرائن يعود لأحد سببين أو كليهما :-
1-اقتران البلدتين (الوقف وغسلة) أي تجاورهما وتلازمهما.
2-وإما بسبب قربمهما من جبل القارة. والقارة تقع في الشمال الغربي من القرائن وهي عبارة عن جبلين متجاورين هما : القارة والقويرة.
قال في لسان العرب : القرائن جبال معروفة مقترنة، وقال أيضاً : القرن هو الجبل المنفرد، أو الجبل الصغير المنفرد.
وتسمية القرائن تطلق على الضفتين معاً بإجماع المؤرخين.
وقد ذكر ابن بشر القراين في عدة مواضع ولم يذكر الوقف أو غسلة بل اعتبرهما بلداً واحداً.
وقال الأديب الكبير عبد الكريم الجهيمان : كان والدي من غسلة ووالدتي من الوقف ويطلق على القريتين القرائن)
ومن المسلم به ان غسلة تعد هي الأقدم من حيث النشأة والاستيطان حيث يقدر عمرها بما قبل الإسلام وتعد من أقدم حضارات المنطقة مع أشيقر وثرمداء. ومما يدل على ذلك ذكر غسلة في مواقع وقصائد عدة لشعراء جاهلين ومنهم امرؤ القيس عندما ذكر بئر بيهس بذات غسل.
وكانت نشأة الوقف حديثة نسبياً (400-500 سنة) إذ تجمع الحقائق انها كانت وقف ماء أنشأه أهل غسلة في الضفة الثانية لوادي العنبري وبدأ الاستيطان في الوقف من قبل بعض الأشخاص يعرفون بالناجم من قبيلة الدواسر. ومن دلالة ذلك اسم الوقف الذي يدل على ما يتم إيقافه ومنع التصرف به وتجييره ليفيد الناس بدون مقابل وانما لوجة الله كنوع من أنواع الصدقات المتواصلة. ولا تزال بعض المعالم موجودة في بلدة الوقف تشير إلى ذلك.
كما أنتقل بعض سكان غسلة وقاموا ببناء بيوتهم لاحقاً بجوار الوقف ومن هنا يمكن للمتابع ملاحظة ان سكان غسلة والوقف يرتبطون بعلاقات أسرية قوية وينحدرون لقبائل متماثلة.
مما سبق يتبين أن القرائن بإجماع المؤرخين بلداً واحداً يقسمها وادي العنبري إلى قسمين.
في الجبر التجريدي، الحلقة ، formula_1 والتي يرمز إليها أحيانا formula_2 هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع formula_3 والجداء formula_4 بحيث تحقق البديهيات التالية:
تُدعى الحلقة بالتبديلية أو التبادلية إن حققت الشرط الإضافي التالي:
هاتان العمليتان رغم أنهما تشبهان الجمع والجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما تختلفان عنهما: هما جمع وجداء مجازيان وليسا الجمع والجداء المتعارف عليهما. قد تكون عناصر حلقة ما أعدادا صحيحة وقد تكون أعدادا عقدية ولكن قد لا تكون أعدادا مطلقا كأن تكون على سبيل المثال متعددات للحدود أو مصفوفات مربعة أو دوالا أو متسلسلات للقوى.
لكون حلقة ما تبادليةً (أي أن ناتج ضرب عنصرين اثنين في بعضهما لا يتغير عندما يتغير الترتيب الذي جاء العنصران به في العملية) من عدمه نتائج كبيرة وعميقة. يشكل الجبر التبادلي، كونه دراسة الحلقات التبادلية، فرعا أساسيا من نظرية الحلقات كاملة.
الحلقات بنى جبرية قد تعمم إلى حقول إذا حققت شرطا إضافيا. أبسط أنوع الحلقات التبادلية تلك التي تقبل القسمة على العناصر المختلفة عن الصفر. تسمى هذه الحلقات حقولا.
تضم الأمثلة على الحلقات التبادلية مجموعة الأعداد الطبيعية، مزودةً بعملية الجمع والجداء الاعتياديتين، كما تضم أيضا مجموعة متعددات الحدود مزودة بعمليتي جمع وجداء الحدوديات. تضم الأمثلة على الحلقات غير التبادلية مجموعة المصفوفات المربعة ذات المداخل الحقيقية، وذات البعد n الذي يتجاوز الاثنين.
طورت الحلقات على شكل نماذج بين سبعينات القرن التاسع عشر وعشرينات القرن العشرين. من أهم المشاركين في هذا العمل ريتشارد ديدكايند وديفيد هيلبرت وأبراهام فرانكل وإيمي نويثر.
المثال الأكثر شيوعا حول الحلقات هو مجموعة الأعداد الصحيحة, والمتمثلة في الأعداد التالية :
يعود أصل دراسة الحلقات إلى دراسة حلقات متعددات الحدود وإلى دراسة نظرية الأعداد الصحيحة الجبرية.
أنواع خاصة من الحلقات,
لا يستعمل عادة رمز الجداء formula_4 ويستعاض عنه بالرمز formula_15 (مثلا formula_16) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا formula_17)
في الهندسة الرياضية، النقطة الفراغية عبارة عن كائن رياضي عديم الأبعاد والمساحة والحجم يمثل مفهوما أساسيا في الهندسة الرياضية والعديد من فروع الرياضيات والفيزياء والرسوميات الشعاعية (ثنائية وثلاثية الأبعاد). تتميز النقطة بأنها تملك موقعا في الفراغ لكن بدون حجم ومساحة ولا أبعاد فهي تمثل معلومات عن الموقع فقط دون أي خواص رياضية أخرى. في الرياضيات خاصة في الطوبولوجيا، يعتبر الفضاء عبارة عن مجموعة ضخمة من النقاط.
تُستخدم حروف اللغة الكبيرة عادةً للدلالة على النقطة.
النقاط في الهندسة الإقليدية.
النقطة في الهندسة الإقليدية لا تملك أي قياسات، توجه ولا أي ميزة سوى تحديد الموقع. بدهيات إقليدس أو افتراضاته تؤكد في العديد من الحالات على وجود النقاط : فمثلا تؤكد بديهيات إقليدس أنه إذا كان مستقيمين غير متوازيين فهما حتما يشتركان بنقطة واحدة.
يرمز للنقطة في الفضاء الإقليدي الثنائي الأبعاد بثنائية مرتبة "(x,y)" من الأعداد، حيث يكون العدد الأول يمثل الإحداثيات الأفقية يرمز له عادة بـ "x"، والعدد الثاني الإحداثيات الشاقولية ويرمز له بـ "y". وتعمم هذه الفكرة إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد بالثلاثية المرتبة "(x,y,z)".
من الممكن وصف المستقيم على أنه خط مستقيم له طول لانهائي وعرض يتناهى للصفر ويحتوي على عدد لا نهائي من النقاط. وفي الهندسة الإقليدية يوجد مستقيم وحيد يمر من نقطتين في الفضاء، ويعطي المستقيم أقصر مسافة بين أي نقطتين. والمستقيم يمتد إلى ما لا نهاية من الجهتين.
ومن الممكن لمستقيمين في المستوى أن يكونا متوازيين، أو متقاطعين عند نقطة واحدة. وفي الفراغ من الممكن لمستقيمين أيضاً أن يكونا متخالفين، أي أنهما لا يتقاطعان أبداً ولذلك لا يقعان في مستوي واحد.
التعريفات مقابل الأوصاف.
كل تعريفات المستقيم في نهاية الأمر دائرية بطبيعتها، لأنها تعتمد على مفاهيم، تحتاج هي بدورها إلى تعريف، ولا يمكن السير في هذا الاتجاه إلى ما لا نهاية بدون الرجوع إلى نقطتة الانطلاق. من أجل تجنب هذا الأمر، لا بد من اعتبار بعضٍ من المفاهيم أوليةَ لا تحتجن إلى تعريف. في الهندسة، عادة ما يعتبر مفموه الخط المستقيم مفهوما أوليا، لا يحتاج إلى تعريف.
في الهندسة الأقليدية.
انظر إلى نظام إحداثي قطبي وإلى نظام إحداثي ديكارتي.
في الهندسة الرياضية، يعبر التوازي عن علاقة ثنائية بين كائنين هندسيين مثل خطين مستقيمين أو مستويين، وتشترط هذه العلاقة استحالة التقاء هذين الكائنين في جميع نقاط الفضاء. يرمز لعملية التوازي بين خطين "a b" بهذة الطريقة formula_1.
التوازي في الهندسة الوصفية.
حالات التوازي في الهندسة الوصفية، يمكن ان تتحقق بين الكيانات الأساسية التالية:
التوازي بين خطين مستقيمين.
التوازي بين الخطوط في علم الهندسة الوصفية يتحقق في مختلف أساليب التمثيل على النحو التالي :
في الإسقاط الموازي.
في الإسقاط الموازي (طريقة مونج الاكسنومتري), خطين يكونان متوازيين عند وجود على الأقل إسقاطين متوازيين على التوالي لبعضهما البعض، مثلاً, في طريقة مونج, خطين r و s يكونان متوازيين عندما الإسقاط الأول r1 للخط r يكون موازي للإسقاط الأول s1 للخط s والإسقاطات الثانية r2 s2 تكون متوازية (رسم2).
في الإسقاط المركزي.
في الإسقاط المركزي, (المنظور) الإسقاطات المركزية لخطوط متوازية لبعضهما البعض تتمثل في خطوط تلتقي في نفس نقطة التلاشي. ينبغي الاخذ في الاعتبار انة عندما تكون الخطوط موازية أيضاً لمستوى الإسقاط، نقطة التلاشي تكون لانهائية.
التوازي بين خط ومستوى.
خط r يوازي مستوى α (الفا), عندما r يوازي خط s ينتمي إلى الفا. هذا الشرط يتحقق في أساليب التمثيل الهندسية المختلفة (طريقة مونج, أكسونومتري ومنظور) على النحو التالي :
في الإسقاط الموازي (طريقة مونج، أكسونومتري).
خط r يوازي مستوى الفا، عندما يمكن ايجاد خط s ينتمي إلى الفا ويوازي الخط r، وهذا يعني انة يجب أن يكون هناك شرطين:
في الإسقاط المنظوري.
خط r يوازي مستوى الفا، عندما الخطين r و s لهما نفس نقطة التلاشي والتي تنتمي إلى خط تلاشي الفا.
التوازي بين سطحين مستويين.
مستويين ألفا α وبيتا β يكونوا متوازيين إذا وفقط إذا على كل واحد منهما خطين موازيين للمستوى الأخر.
في طريقة مونج، مستويين ألفا وبيتا يكونين متوازيين، إذا كان الإسقاط المونجي (a1, a2 و b1, b2) لخطين a b, ينتميان إلى واحد منهما(مثلاً لالفا) موازي للإسقاط المونجي (d1, d2 و c1, c2) لخطين c d ينتميان للمستوى الثاني بيتا.
مثلاً, إذا كان لدينا مستويان α β في وضع عام، وأردنا التحقق ما إذا كان هناك توازي بينهما، نتصرف على النحو التالي:
المستقيمات المتوازية وازواج الزوايا
2.1. نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا:إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فان كل زاويتين متبادلتين داخليا متطابقتان
2.2. نظرية الزاويتين المتحالفتين:إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فان كل زاوتيتين منحالفتين متكاملتان