CALM/arwiki huggingface dataset:
formula_9 و formula_10 قابلتين للتفاضل مرتين . وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين . ويمكن كتابة تلك الدالتين formula_11 و formula_12 كدالات جيبية خطية :
أو كدالات أسية مركبة :
ويعتمد التردد :
على القيمة المطلقة للعدد الموجي formula_17 .
يحتوي المطال المركب formula_18 على طور الموجة formula_19 .
الحل بوضع قيم مبدئية.
نفترض الحدود المبدئية للحل العام للدالة الموجية
formula_20 باختيار قيم الدالة عند الزمن = 0 :
والقيمة المبدئية للمشتقة بالنسبة للزمن :
ينتج عن تلك الحدود المبدئية الآتي:
وبإجراء التكامل على المعادلة الثانية:
وبحل المعادلة نحصل على :
ويصبح حل المعادلة الموجية عند الحدود المبديئة المختارة هو :
المعادلة الموجية في ثلاثة أبعاد.
يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:
تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة
"c" في الاتجاه formula_30.
ويكون حلها العام على الصورة :
وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية .
يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة formula_32 و مشتقتها بالنسبة للزمن كانتا formula_33 و formula_34 عند formula_35 ، نحصل على:
ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن formula_37 للتبسيط):
وفيها تعني :
القيمة المتوسطة للدالة formula_40 وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة formula_41 بنصف القطر formula_42 . ويصبح :
وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن
formula_44 عند المكان formula_41 على القيمة المبيدئية فقط للمكان formula_46 والتي نصل بها إلى formula_41 خلال الفترة الزمنية formula_48 بسرعة الضوء formula_37 .
موجة كرية ذات تردد معين.
يهتز مصدر نقطي بتردد معين "f" و طور موجة = 0 عند الزمن "t" = 0 حيث المسافة بين قمتين 2"a" (طول موجة). وتنتشر من تلك النقطة موجة كروية . سيتغير طور الوجة المنتشرة بالقيمة "kr" حيث "r" هي المسافة المقطوعة بعيدا عن المصدر . ويقل مطال الموجة طبقا لـ 1/"r" حيث أن الطاقة ستنخفض طبقا لـعلاقة "r"−2.
وبذلك يبلغ مطال الموجة الكروية
عند المسافة "r" :
formula_50
في علم البصريات: مقدمة موجة أو واجهة موجة (wavefront) هو المحل الهندسي للنقاط التي تمتلك نفس طور الموجة.
انتشار مقدمة الموجة.
يمكن بواسطة معادلات ماكسويل وصف أنظمة العدسات وكذلك انتشار الموجات سواءٌ كانت موجات ضوئية أو صوتية أو موجات إلكترونية (كما في المجهر الإلكتروني) ،فكل هؤلاء يمكن وصفهم بنفس المعادلات . وهناك طريقة أخرى سهلة وهي طريقة هيجينز يمكن بها لمعرفة تقدم الموجات في الفراغ. وهذه الطريقة تتم كالآتي: نعتبر كل نقطة على مقدمة الموجة كمصدر للموجات . وعند حساب (أو رسم) مجموع انتشار الموجات من تلك المصادر، يمكن اتخاذ كل نقطة جديدة كمصدر جديد . وعلى سبيل المثال يمكن حساب مقدمة الموجة المنتشرة كرويا، مثلا منتشرة حول لمبة . فمقدمة الموجة تكون كروية، حيث أن الطاقة التموجية تنتشر بالتساوي في جميع الاتجاهات . وتلك الاتجاهات التي ينتشر فيها الضوء - وانتشاره يكون دائما عموديا على مقدمة الموجة - يسمي اتجاه الشعاع.
دور الموجة هو الزمن الذي تستغرقه موجة ما لتجاوز نقطة ما معطاة (أي لكي تمر هذه النقطة بجميع الأطوار للحركة الموجية)، ترمز عادة "T" ويرتبط مع التردد f بالعلاقة التالية،
اللغة السلوفاكية (slovenčina) هي إحدى اللغات السلافية الغربية. يتحدث بها معظم سكان سلوفاكيا والسلوفاكيين في جميع أنحاء العالم أي أن هناك حوالي 6 ملايين شخص يتحدثون السلوفاكية كلغة أم. السلوفاكية قريبة جدا من التشيكية وبدرجة أقل للبولندية واللغة الصوربية لإقليم لوساتيا في ألمانيا.
شعاع الموجة هو شعاع تمثيلي للموجة، شدة الشعاع تدل على عدد الموجة (الذي يتناسب عكسيا مع طول الموجة، وجهته تدل على جهة انتشار الموجة.
التعريف الفيزيائي.
إذا كان طول الموجة formula_1 يكون العدد الموجي :
أي إذا كانت formula_1 تقاس بالمتر، يقاس العدد الموجي 1/متر.
في الحالة العامة :
تتقدم هذه الموجة في الاتجاه +x بالسرعة formula_11.
تسمى formula_11 "سرعة الطور ".
تنتشر موجة عادة ليس في اتجاه واحد وإنما تنتشر في ثلاثة أبعاد (كرويا) ، مثل انتشار ضوء من مصدر ضوئي. فتصبح معادلة انتشار الموجة كالآتي:
وقيمتها هي:
كما هو الحال بالنسبة لموجة تنتشر في اتجاه واحد . ويمكن أن يتغير متجه الموجة قليلا عند انتشار الموجة في وسط غير متجانس بسبب اختلافات قليلة لسرعة تقدم الموجة في ذلك الوسط الغير متجانس.
صياغته رياضيا.
يمكن وصف موجة مستوية (ليست دائرية أو كروية) تنتشر في الاتجاه formula_15 بالمعادلة :
وهي دالة تعتمد على المكان r و الزمن t .
ويمكن تحليل الموجة في ثلاثة أبعاد x و y و z كالآتي :
حيث يمثل k العدد الموجي الدوراني ، وذلك يسمى "متجه العدد الموجي]].
يعطى formula_19 بالمعادلة:
متجه الموجة والعدد الكمي.
&lt;noinclude&gt;تتخذ طول الموجة للضوء في الفراغ قيما موجبة، وتقاس طول الموجة بالمتر أو السنتيمتر أو مليمتر أو أنجستروم .
ليس الضوء وحده له طول موجة بل هكذا تمثل جميع الموجات الكهرومغناطيسية . وفي أوائل القرن العشرين اتضح أن الإلكترون يسلك أحيانا مسلك "الموجة" ، ومنذ ذلك الحين نعرف أن الإلكترون وجميع الجسيمات الأولية مثل البروتون و النيوترون يمكن وصفها بأنها موجات، وهذا ما صاغه دو بروي في نظريته عن ازدواجية موجة-جسيم.
ويختلف الحال ل جسيم أولي مثل الإلكترون المنحصر في بئر جهدي لنواة الذرة أو في نظام للمادة الصلبة، عندئذ تكون مقادير المتجهات الموجية له كمومية ، ولكنها ليست بنفسها أعدادا كمومية . فيعتبر المتجه الموجي دالة لأعداد كمومية أي أن قيمه يمكن أن تعتمد على أعداد كمومية . في هذه الحالة يناظر متجه الموجة الطاقات الكمومية في نظام كمومي (مثل طاقات الإلكترون في الذرة) حيث يتخذ قيما كمومية منفصلة formula_21 . وتعبر n عن الطاقات المنفصلة للإلكترون ولكنها ذاتها ليست الطاقة .
توضـــيح:
يعطينا حل معادلة شرودنجر الخاصة ببئر جهدي ثلاثي الأبعاد الحل التالي (حالة إلكترون يدور حول نواة الذرة):
توصف أحوال طاقة الإلكترون الذي يوصف بموجة في النظام بالأعداد الكمومية formula_24 و formula_25 و formula_26 . ويمكن استبدال تلك الثلاثيات من الأعداد لوصف حالة معينة عن طريق وصفها "بمتجه موجة" formula_27 .
ومع ذلك فلا نعتبره أو لا نعتبر أحد مركباته نفسها أعدادا كمومية، ذلك لأن متجه الموجه له وحدة، وعلاوة على ذلك فهو عدد حقيقي .
وعند معاملة نظام من n جسيمات نحصل على حل ذي n من المتجهات . فإذا كنا نتعامل مع إلكترونات - أي بالتالي فرميونات - ينتج لكل متجه موجة حالتين كموميتين تصفان العزمين المغزليين Spin للإلكترون، عزم مغزلي علوي وعزم مغزلي سفلي.
زخم الحركة ومتجه الموجة.
بالنسبة للفوتون (معادلات ألبرت أينشتاين) و للموجات المادية (علاقة دو برولي) يعطينا متجه الموجة، بالاستعانة
بثابت بلانك المخفض ،
العلاقة التناسبية بين متجه الموجة ومتجه زخم الحركة كالآتي:
ملحوظة : تعامل تلك المسألة جسيم أولي حرا طليقا (أي لا يرتبط في نظام ) .
سرعة الموجة.
تعبر سرعة الموجة عن سرعة انتقال طور موجة وانتشار طاقة (مثل أشعة الشمس) أو انتقال معلومات حيث يتم انتقالها بواسطة موجة كهرومغناطيسية. وسرعة طور الموجة يعطى بالمعادلة:
تعطي سرعة الطور السرعة التي تتقدم بها موجة ذات تردد معين في اتجاه معين . ويعتمد العدد الموجي على التردد الزاوي للموجه وهو يعتمد بالتالي على طول الموجة كما رأينا أعلاه . والعلاقة بين متجه الموجة والتردد الزاوي هي:
في الحالة الخاصة حيث "c" مقدار ثابت تسمى الموجة "غير تفرقية " أو "غير تشتتية " non-dispersive, حيث تنتشر جميع الترددات بنفس السرعة . وعل سبيل المثال تعتبر الموجات الكهرومغناطيسية نغير تشتتية في الفراغ . في أحوال أخرى مثل انتشار صوت في طبقات الأرض المختلفة تكون سرعة الموجات "تشتتية " . وتعتمد تشتتية الموجات على نوع الوسط التي تنتشر فيه وكذلك على نوع الموجات : موجة كهرومغناطيسية ، أو موجة صوتية أو موجات مائية على سطح البحر .
سرعة حزمة موجية مكونة من عدة ترددات متقاربة تسمى "سرعة مجموعة " group velocity وتعرف بواسطة تدرج العلاقة التشتتية :
في معظم الأحوال تكون حركة موجة عبارة عن حركة طاقة خلال وسط (مثل انتشار الضوء، وانتشار الصوت، وانتشار موجة بحرية) . وغالبا تعبر سرعة مجموعة عن سرعة انتشار الطاقة في الوسط .
الشادات أو المحرضات أو الناهضات (تدعى أيضًا المحاكيات أو المقلدات ) هي مواد لها قدرة ارتباط بالمستقبل الحيوي ارتباطًا نوعيًا وإطلاق استجابة معينة من هذا المستقبل. توضع الشادات (Agonist) دومًا في مقابل الضادات (Antagonist) على أساس أن كليهما يرتبطان بالمستقبل الحيوي لكن الأخير يفشل في إطلاق الاستجابة الحيوية ويمنع المستقبل من الارتباط بمنبهاته الطبيعية التي تطلق الاستجابة.
يمكن تقسيم الشادات إلى شادات كاملة وشادات جزئية حسب شدة التأثير التي تطلقه عند ارتباطها بالمستقبل.
تنشط الشادة الجزئية المستقبل الخلوي ولكنّ لا تحدث مقدارًا مماثلًا من التغيير الفسيولوجيّ كما تحدثه الشادة الكاملة.
بشكل عام يمكن تنشيط أو تثبيط مستقبلات الخلايا بمواد طبيعية (مثل الهرمونات والنواقل العصبية) أو صناعيةً (مثل الأدوية).
الشكل الموجي هو شكل وهيئة (الاتجاه الذي يأخذه منحناها إما بالزيادة أو النقصان) إشارة - مثلاً موجة - تتحرك في وسط صلب أو سائل أو غازي، سواء أكانت موجة مائية على سطح الماء أو موجة اهتزازية على وتر مرن. وفي حالات عديدة لا يسمح الوسط الذي تبدأ الموجة بالانتشار فيه برؤية صورة مباشرة لهيئة الموجة. وفي هذه الحالات، مصطلح "شكل الموجة" يُشير إلى شكل رسم بياني لتغيّر قوة الموجة نتيجة لمرور الوقت أو ابتعاد الموجة. وهناك جهاز يسمى راسم الإشارة بالإمكان استخدامه لتسجيل تغير قوة الموجة كصورة مكررة على شاشة أنبوب الأشعة المهبطية أو شاشة الكرستال السائل.
وفي بعض النصوص (الكتب والمقالات...إلخ) يتم استخدام كلمة الشكل الموجي للتعبير عن شكل المنحني لأي كمية تتغير بالنسبة للوقت مجازياً وذلك بالاعتماد على التعريف السابق.
ومن الأشكال الموجية الدورية الشائعة: "منحنى الجيب" و"الموجات المربعة" و"المثلثة".
غوتفريد فيلهيلم لايبنتز (لايبزغ 1 يوليو (21 يونيو أو. إس.)، 1646 - 14 نوفمبر 1716 في هانوفر). هو فيلسوف وعالم طبيعة وعالم رياضيات ودبلوماسي ومكتبي ومحام ألماني الجنسية.
يشغل لايبنتز موقعاً هاماً في تاريخ الرياضيات وتاريخ الفلسفة. أسس لايبنتز علم التفاضل والتكامل الرياضياتي بشكل مستقل عن إسحاق نيوتن، كما أن رموزه الرياضياتية ما زالت تستخدم بشكل شائع منذ أن تم نشرها والتعريف بها. قوانينه تلك كـ "قانون الاستمراية" و"قانون التجانس الفائق" كشفت بعد نظره ولم يتم العمل بها رياضياتيا حتى القرن العشرين. كما أنه كان أحد أكبر منتجي الآلات الحاسبة الميكانيكية، وبينما كان يعمل على إضافة عمليتي الضرب والقسمة لحسّابة باسكال، كان الأول في التعريف بآلة الحساب الدولابية الهوائية، كما أنه اخترع "عجلة لايبنتز" والتي استُخدمت في المتر الحسابي وهو أول آلة حاسبة تم صنعها وإنتاجها بشكل تجاري، كما أنه عدّل النظام الرقمي الثنائي وهو النظام التي تقوم عليه الحواسب الرقمية. أما في ما يخص الفلسفة، فقد عُرف عن لايبنتز "تفاؤله" كاستنتاجه بأن هذا الكون هو أكمل خلق لله بحيث لا يمكن أن يوجد أكمل منه. كما أنه كان، بالإضافة إلى رينيه ديكارت وباروخ سبينوزا، أحد أعمدة الفلسفة العقلانية خلال القرن السابع عشر الميلادي. عمله الفلسفي مهد الطريق للمنطق الحديث والفلسفة التحليلية، ولكنه كان أيضا متعلقاً بإرث الفلسفة المدرسية القروسطية والتي يقوم الاستنتاج -أو الاستنباط- فيها من خلال استعمال العقل والعمل به على المبادئ الأولية والبديهيات وليس على الدليل التجريبي. قام لايبنتز بمساهمات كبيرة في علم الفيزياء والتقنية كما أنه تنبأ بأفكار ظهرت لاحقاً على أسطح الفلسفة، نظرية الاحتمال، البيولوجيا، الطب، علم الأرض، علم النفس، اللغويات، وعلم المعلومات. ألف في الفلسفة، السياسة، القانون، الأخلاق، اللاهوت، التاريخ، وفلسفة اللغة. هذه المساهمات العريضة كانت منشورة ومتوزعة ما بين دوريات وعشرات الآلاف من الرسائل والمخطوطات. كتب بلغات عدة أهمها اللاتينية، الفرنسية، والألمانية.
كان هذا الرجل آخر العلماء المكتملين، أى الذي جمع بين مختلف العلوم وتفوق فيها كلها، فقد كان هذا الألمانى عالما في مجالات عدة مثل: الفلسفة، الرياضيات، العلوم الطبيعية، القانون، اللغويات، الكتب والمكتبات... ولم نجد من بعده في التاريخ مثل هذا النوع من العلماء الملمين بمختلف العلوم في آن واحد.
كان للايبنيتز نظريات في علم الرياضيات والطبيعة تفوق بعضها على نظريات نيوتن الذي اتهم أحيانا بسرقة أعمال الألمانى. كما أنه كان متبحرا في علوم الأديان، وإن لم يعرف إن كان فعلا بروتستانتى مثل أسرته أم كاثوليكي مثل أصدقائه. ومن جهة أخرى، وضع لايبنيتز عدة قواعد أساسية في العلوم الفلسفية لا تزال مرجعا للمتخصصين.
ولد جوتفريد ليبنيز في 1 يوليو 1646 ، في نهاية حرب الثلاثين عاما، في لايبزيغ، بولاية سكسونيا.
كان والد ليبنيز أستاذاً للفلسفة الأخلاقية في جامعة ليبزيج، ورث الصبي فيما بعد مكتبة والده الشخصية. تم منحه حرية الوصول إليه من سن السابعة. في حين أن العمل المدرسي في ليبنيز كان محصوراً إلى حد كبير في دراسة شريعة صغيرة من السلطات، فإن مكتبة والده مكنته من دراسة مجموعة واسعة من الأعمال الفلسفية واللاهوتية المتقدمة - تلك التي لم يكن ليتمكن من قراءتها حتى سنوات دراسته الجامعية. مكتبة والده مكتوبة إلى حد كبير باللغة اللاتينية، أدى أيضا إلى إتقانه في اللغة اللاتينية، والذي حققه في سن 12 عاما.
توفى عام 1716 في هانوفر.
يبدو تفكير ليبنيز الفلسفي مجزأ، لأن كتاباته الفلسفية تتكون بشكل رئيسي من العديد من القطع القصيرة: مقالات المجلات، والمخطوطات التي نشرت بعد وفاته بفترة طويلة، والعديد من الرسائل إلى العديد من المراسلين. وقد كتب أطروحتين فلسفيتين طويلتين فقط، نُشر منها فقط كتاب Théodicée عام 1710 في حياته.
يؤرخ لايبنتز في بدايته كفيلسوف في خطابه حول الميتافيزيقيا، الذي ألفه عام 1686 كتعليق على نزاع جار بين نيكولاس ماليبرانش وأنطوان أرنولد. أدى هذا إلى مراسلات واسعة وقيمة مع أرنولد ؛ ولم ينشر الخطاب حتى القرن التاسع عشر. في عام 1695 ، قام ليبنيز بدخوله العام في الفلسفة الأوروبية مع مقال صحفي بعنوان "النظام الجديد لطبيعة وتوصيل المواد". بين 1695 و 1705 ، قام بتأليف مقالاته الجديدة عن التفاهم الإنساني، وهو تعليق مطول على مقالة جون لوك 1690 حول فهم الإنسان، ولكن عند معرفة وفاة لوك في 1704 ، فقد الرغبة في نشرها، بحيث لم يتم نشر المقالات الجديدة حتى عام 1765. يتكون( Monadologie) ، الذي تألف في 1714 ونُشر بعد وفاته، من 90 قول مأثور.
التقى لايبنيز مع سبينوزا في عام 1676 ، وقرأ بعض كتاباته غير المنشورة، ومنذ ذلك الحين يشتبه في الاستيلاء على بعض أفكار سبينوزا. في حين كان لايبنتز معجبًا بعقل سبينوزا القوي، فقد كان مستاءًا من استنتاجات سبينوزا، خاصةً عندما كانت هذه لا تتفق مع العقيدة المسيحية.
على عكس ديكارت وسبينوزا، كان ليبنيز لديه تعليم جامعي شامل في الفلسفة. تأثر بأستاذه في لايبزغ جاكوب توماسوس، الذي أشرف أيضا على أطروحته الجامعية في الفلسفة. كما قرأ ليبنيز بفارغ الصبر فرانسيسكو سواريز، وهو يهودي إسباني يحترم حتى في الجامعات اللوثرية. اهتم لايبنتز بعمق بالوسائل والنتائج الجديدة لكل من ديكارت وهويجنس ونيوتن وبويل، لكنه نظر إلى عمله من خلال عدسة ملطخة بالمفاهيم المدرسية. ومع ذلك ؛ لا تزال الحالة هي أن أساليب ومخاوف ليبنيز غالبا ما تتنبأ بالمنطق، والفلسفة التحليلية واللغوية للقرن العشرين.
يرتبط اسم لايبنتز بالتعبير "دالة رياضية "(1694)، التي كان يصف بها كل كمية مُتَعَلّقة ب منحنى، مثل ميل المنحنى أَو نقطة معينة على المنحنى.
يعتبر لايبنتز مع نيوتن أحد مؤسسي علم التفاضل والتكامل وبخاصة تطوير مفهوم التكامل وقاعدة الجداء، كما طور المفهوم الحديث لمبدأ حفظ الطاقة.
كانت ألمانيا في هذا العصر تمثل قوة أوروبية لا يستهان بها، انما كانت تعانى من صولات وجولات الجيوش الفرنسية عبر أراضيها... فمن جانبها كانت فرنسا تعيش أزهى عصور مجدها تحت حكم مستقر لأشهر ملوكها "لويس الرابع عشر". وفي عام 1672، تم إرسال لايبنيتز بصفته ديبلوماسي وعالم اشتهر رغم صغر سنه عبر القارة الأوروبية، للقاء الملك الفرنسى لمحاولة اقناعه بالعدول عن إرسال جيوشه لألمانيا. وقد مكث الرجل أربعة سنوات كاملة في فرنسا لمحاولة أداء هذه المهمة.
بدأ لايبنيتز محادثاته مع لويس الرابع عشر بإرسال وصيته الشهيرة للملك الفرنسي، فيقول في رسالته:
يجب على فرنسا الإعداد لغزو مصر، حيث أن موقعها الجغرافى متميز للسيطرة من خلاله على بحار العالم. إن مصر كانت في الماضى أم العلوم، وقد صارت الآن أرضا لمجتمع الخيانات المحمدية (المسلمين). إن حفر قناة بين البحرين، سيسمح لفرنسا من خلال الموقع الجغرافى لمصر تثبيت وسائل الاتصال بدول الشرق الثرية، وستربط التجارة بين الهند وفرنسا.
ومع أن لويس الرابع عشر كانت له اهتمامات أخرى في ذلك الوقت، إلا أنه احتفظ بنصائح لايبنيتز في أرشيفه الديبلوماسي إلى أن يحين الوقت الملائم. وظل التطلع لاحتلال مصر قائما في الأذهان لسنوات طويلة حتى جاءت الثورة الفرنسية. وفي محاولة لتقوية موقف فرنسا من إنجلترا، تم إرسال حملة نابليون إلى مصر لتحقيق ما أوصى به لايبنيتز الألمانى.
كمحامي وأخلاقي.
أهمل الباحثون الناطقون بالإنجليزية كتابات لايبنتس حول القانون والأخلاق والسياسة لفترة طويلة من الزمن، ولكنها أصبحت مؤخرًا موضع اهتمام.
لم يكن لايبنتس مدافعًا عن الملكية المطلقة -مثل هوبز- أو عن الاستبداد والبطش بأي شكل من الأشكال، لكنه لم يقلد الآراء السياسية والدستورية لمعاصره جون لوك. قدم لايبنتس آراء دعمت الليبرالية في أمريكا القرن الثامن عشر ولاحقًا في أماكن أخرى. اقتبس المقتطف التالي من رسالة لايبنتس إلى فيليب نجل البارون يوهان كريستيان فون بوينبورغ عام 1695. توضح الرسالة آراء لايبنتس السياسية بشكل كبير: بالنسبة إلى ... تعتبر سلطة الملوك والطاعة التي تدين بها شعوبهم لهم مسألة كبيرة. لطالما صرحت بصحة إقناع الأمراء بامتلاك الشعوب حق المقاومة، وإقناع الشعب -من ناحية أخرى- بطاعة الأمراء بشكل سلبي. أؤيد تمامًا رأي غروتيوس الذي يحث المرء على التحمل والطاعة إجمالًا؛ فالشرور التي تسببها الثورات أكبر بكثير من الشرور التي تشعلها. مع ذلك، أدرك احتمال تفريط بعض الأمراء برفاهية الشعب، ما قد يصل لدرجة تلغي الالتزام بالطاعة. يبقى ذلك نادر الحدوث، وعلى اللاهوتي الذي يصرح بالعنف تحت هذه الذريعة أن يحذر من الانغماس في ذلك؛ فالإفراط في العنف أخطر بكثير من العجز.دعا لايبنتس في عام 1677 إلى تشكيل اتحاد أوروبي كونفدرالي يحكمه مجلس شورى أو شيوخ؛ على أن يمثل أعضاؤه دولًا بأكملها وأن يكونوا أحرارًا في التصويت. يعتبر البعض ذلك الرؤية الممهدة للاتحاد الأوروبي الحالي. اعتقد لايبنتس أن أوروبا ستتبنى ديانة موحدة، وأعاد التصريح بذلك في عام 1715.
دعا لايبنتس في الوقت نفسه إلى مشروع متعدد الأديان والثقافات لإنشاء نظام عدالة عالمي، وهذا تطلب منه منظور واسع متعدد التخصصات. جمع لايبنتس لتقديم هذا الاقتراح بين علم اللغة (خاصةً علم الحضارة الصينية) والفلسفة الأخلاقية والقانونية والإدارة والاقتصاد والسياسة.
المسكونية.
كرس لايبنتس جهودًا فكرية ودبلوماسية كبيرة لما يُطلق عليه الآن المسعى المسكوني. عمل لايبنتس في البداية على مصالحة الكنائس الرومانية الكاثوليكية واللوثرية، ثم الكنائس اللوثرية والإصلاحية. سار لايبنتس في هذا الصدد على خطى مناصريه الأوائل البارون فون بوينبورغ والدوق جون فريدريك الذين حاولوا توحيد الديانتين ورحبوا بالمساعي المشابهة بحرارة. كان البارون فون بوينبورغ والدوق جون فريديريك تابعين للكنيسة اللوثرية منذ الولادة، ولكنهما انتقلا للكنيسة الكاثوليكية لاحقًا (لم يتبع أبناء الدوق والدهم، ولهذا بقي بيت براونشفايغ لوثريًا). تواصل لايبنتس -لتحقيق مساعيه- مع الأسقف الفرنسي جاك بينين بوسويه، وشارك في بعض المناقشات اللاهوتية. اعتقد لايبنتس أن اتباع المنطق سيصلح الشرخ الناجم عن الإصلاح البروتستانتي.
كعالم لغوي.
كان لايبنتس -اللغوي الفقيه- طالب شغوف باللغات ومتابع متلهف لأي معلومة تتعلق بالمفردات والقواعد. اعتقد العلماء المسيحيين في عصره أن العبرية هي اللغة البدائية للجنس البشري، وهذا ما أنكره لايبنتس وفنده. كذلك الأمر، ادعى بعض العلماء السويديين أن اللغات الجرمانية منحدرة من أحد أشكال اللغة السويدية البدائية، ولكن لايبنتس ناهض هذا الادعاء ودحضه. حيرت أصول اللغات السلافية لايبنتس، وفتنته الصينية الكلاسيكية. كان لايبنتس أيضًا خبيرًا في اللغة السنسكريتية.
نشر لايبنتس الطبعة الأساسية (الطبعة الحديثة الأولى) من تاريخ هولشتاين في أواخر القرون الوسطى، وهو تأريخ زمني لاتيني لمقاطعة هولشتاين.
الكتابات والنشر.
استخدم لايبنتس في كتاباته ثلاث لغات بصورة رئيسية هي: اللاتينية المدرسية والفرنسية والألمانية. نشر خلال حياته العديد من الكتيبات والمقالات العلمية، لكنه لم ينشر سوى كتابين فلسفيين هما: الفن الاندماجي والثيوديسيا. نشر لايبنتس العديد من الكتيبات -دون اسم في معظم الأحيان- نيابةً عن بيت براونشفايغ- لونيبورغ، وأبرزها كتيب بعنوان «عن حق السيادة» الذي بحث في طبيعة السيادة. ظهر كتاب مهم بعنوان «مقالات جديدة حول إدراك الإنسان» بعد وفاة لايبنتس لأنه أوقف عملية نشره بعد وفاة جون لوك. أكمل بودمان في عام 1895 لائحة ضمت جميع مخطوطات ومراسلات لايبنتس، وحينها أصبح المدى الهائل لإرثه واضحًا؛ فقد ضمت اللائحة نحو 15000 رسالة إلى أكثر من 1000 مستلم بالإضافة إلى أكثر من 40000 عنصر آخر، وقد قارب عدد لا بأس به من الرسائل طول المقال. بقيت الكثير من مراسلاته -خاصةً الرسائل المؤرخة بعد عام 1700- غير منشورة، ولم تظهر الكثير من المنشورات إلا في العقود الأخيرة. يعتبر مقدار وتنوع واضطراب كتابات لايبنتس نتيجة متوقعة لحالة وصفها في أحد رسائله على النحو التالي:لا أستطيع أن أخبرك كم أنا مشتت ومرتبك على نحو غير عادي. أحاول أن أجد أشياء مختلفة في الأرشيف. أنظر إلى الأوراق القديمة وأبحث عن وثائق غير منشورة كي ألقي بعض الضوء على تاريخ عائلة براونشفايغ. أتلقى وأجيب على عدد كبير من الرسائل. في الوقت نفسه، لدي الكثير من النتائج الرياضية والأفكار الفلسفية وغيرها من الابتكارات الأدبية التي لا ينبغي السماح لها بالتلاشي. تراني أقف في غالب الأحيان مكتوفًا لا أعرف من أين أبدأ.نظمت الأجزاء المتبقية من الطبعة النقدية من كتابات لايبنتس على النحو التالي:
بدأت الفهرسة المنهجية لإرث لايبنتس في عام 1901، ولكنها تعرقلت بسبب مرور العالم بحربين عالميتين ثم عقود من الانقسام الألماني إلى دولتين مرورًا بالستار الحديدي للحرب الباردة بينهما، وهذا أدى إلى تشتيت العلماء وتلاشي أجزاء من إرثه الأدبي. كان على المشروع الطموح أن يتعامل مع كتابات بسبع لغات ضمن نحو 200,000 صفحة مكتوبة ومطبوعة. أعيد تنظيم المشروع في عام 1985 ليدرج ضمن برنامج مشترك بين الأكاديميات الفيدرالية والحكومية الألمانية. نشرت فروع بوتسدام ومونستر وهانوفر وبرلين بشكل مشترك 57 مجلد من الطبعات النقدي بمتوسط 870 صفحة مع إعدادهم قائمة وفهرس بذلك.
الاشتقاق الجزئي في علم الرياضيات هو اشتقاق دالة رياضية مكونة من عدة متغيرات بحيث يكون ذلك الاشتقاق بالنسبة لأحد هذه المتغيرات مع معاملة باقي المتغيرات كثوابت ، والاشتقاق الجزئي ذو فائدة كبيرة في التحليل الشعاعي و الهندسة التفاضلية.
والاشتقاق الجزئي يستخدم عندما تكون الدالة ذات عدة متغيرات ، ويستخدم الرمز (∂) بدلًا من الرمز (d)؛ لأنه اشتقاق لدالة في عدة متغيرات.
وحيث أن المشتقة الجزئية الخاصة للدالة ذات المتغيرين (ƒ (x, y إذا تم اشتقاقها بالنسبة للمتغير ("x") يمكن التعيبر عنها بالصيغة الرياضية:
وبشكل عام، تكون الدالة المشتقة جزئيًّا تملك نفس الشكل العام الخاص بالدالة الأصلية ، ويمكن التعبير عن هذا رياضيًّا كالتالي:
بالإضافة إلى أنه يمكن استخدام الاشتقاق الجزئي" أيضًا للدوال ذات الثلاث متغيرات '(ƒ(x, y, z، بحيث يكون للدالة ثلاث مشتقّات ، وكل مشتقّة بدلالة واحدة من الثلاث متغيرات ، ويكون التعويض في أي واحدةً فيهنَّ "'يعطي ميل خط المماس المار بالإتجاه الخاص بمحوره".
تعريف المشتقة لدالة ذات متغيرين.
هناك تعريف عام للمشتقّة الأولى الخاصة بالدالة ذات المتغيرين ، وهو شبيه بالتعريف الخاص بالمشتقة للدالة ذات متغير واحدٍ فقط، ويمكن التعبير عنه بالصيغة الآتية:-
في الرياضيات، وبشكل خاص في حساب التكامل، يعتبر التكامل بالأقراص إحدى وسائل التكامل لحساب الحجوم لبعض الأجسام الصلبة عن طريق تقسيمه إلى ما يدعى بأقراص تمثيلية. تعتمد الطريقة على تمثيل الأجسام ثلاثية الأبعاد على أنها تجمع عدد غير منته من الأقراص أو الاسطوانات (بأقطار مختلفة).
المصعد الغلفاني (Galvanic anode) أو مصعد التضحية (sacrificial anode) هو مصعد فلزي يستخدم في الحماية المهبطية؛ وغالبا ما يذوب كجزء من العملية (ولذلك يسمى مصعد التضحية أو مصعد قرباني أيضا).
والغرض من هذه العملية هو حماية فلز معين من التآكل (مثل حماية أجسام السفن الخارجية، حماية أنابيب نقل النفط، أو سخانات المياه) عن طريق جعل المصعد أكثر سالبية كهربية من الفلز المراد حمايته.
ومثال آخر لمصعد التضحية هو المصعد المستخدم في عملية الطلاء الكهربي حيث يتم استبدال الفلز الموجود في المصعد بالفلز الموجود في محلول الطلاء والذي يترسب على المهبط.
وقود السيارات، الجازولين أو البترول هو خليط سائل صاف قابل للاشتعال مشتق من النفط يتكون في الأساس من الهيدروكربونات. يستخدم بشكل أساسي كوقود في معظم محركات الاحتراق الداخلي التي تشتعل بالشرر. يتكون في الغالب من مركبات عضوية يتم الحصول عليها عن طريق التقطير الجزئي للبترول، ومعزز بمجموعة متنوعة من المواد المضافة (). في المتوسط يمكن أن يُنتِج برميل نفط خام سعة 160 لتراً (42 جالوناً أمريكياً) ما يصل إلى حوالي 72 لتراً (19 جالوناً أمريكياً) من البنزين بعد المعالجة في مصفاة لتكرير النفط، اعتماداً على اختبار النفط الخام () وعلى المنتجات المكررة التي يتم استخلاصها أيضاً. وهناك خاصية مزيج غازولين معين لمقاومة الاشتعال مبكراً (الذي يتسبب في الطرق ويقلل من الكفاءة في المحركات الترددية) من خلال رقم الأوكتان الخاص به، والذي يتم إنتاجه في عدة درجات. كانت تستعمل بشكل واسع لزيادة رقم الأوكتان ورباعي إيثيل الرصاص ومركبات رصاص أخرى، ولم تعد تستعمل في معظم المجالات (لكن لا تزال تستخدم في الطيران وسباق السيارات). في كثير من الأحيان تضاف بعض المواد الكيميائية الأخرى إلى الغازولين لتحسين الاستقرار الكميائي وخصائص الأداء والسيطرة على التآكل وتوفير تنظيف لنظام الوقود. وقد يحتوي الغازولين على مواد كيميائية تحتوي على أوكسوجين مثل الإيثانول، ميثيل ثالثي بوتيل الإيثر () أو إيثيل ثالثي بوتيل الإيثر () لكي تحسن عملية الإحتراق.
يستخدم مصطلح الجازولين كثيرا في مجال صناعة البترول، وحتى بين الشركات التي لا تعمل في الولايات المتحدة. و"جاز" هو اختصار دارج للمصطلح جازولين. كما أن "موجاز" هو أيضا اختصار دارج للمصطلح "موتورجازولين"، للتفرقة بينه وبين المصطلح "أفجاز" غاز طائرة الذي يستخدم في الطائرات الخفيفة. ولا يجب الخلط بينه وبين أنواع الوقود الغازي الأخرى الذي تستخدم في محركات الاحتراق الداخلي مثل البروبان.
وتستهلك الولايات المتحدة 360 مليون جالون (1360 مليون لتر) من هذا الوقود كل يوم. كما أن الدول الغربية من أكثر المناطق استهلاكا للبنزين. وقد كان لوضع الضرائب على البنزين في بعض الدول في أوروبا أثر كبير على تطور صناعة السيارات لإنتاج سيارات أقل استهلاكا للوقود.
وبسبب التسرب والمناولة الحاصلين أثناء الإنتاج والنقل والتسليم على سبيل المثال: من صهاريج التخزين والانسكابات وما إلى ذلك، يمكن للجازولين أن يدخل البيئة غير محترق (كسائل وكبخار على حد سواء). وكمثال على الجهود المبذولة للسيطرة على هذا التسرب، يتوجب على العديد من صهاريج التخزين تحت الأرض اتخاذ تدابير مكثفة للكشف عن مثل هذه التسريبات ومنعها. يحتوي الجازولين على البنزين وغيره من المواد المسرطنة المعروفة.
البنزين "Gasoline" هي كلمة إنجليزية تشير إلى وقود السيارات. يرجع تاريخ أول استخدام مسجل له في قاموس أوكسفورد الإنجليزي إلى عام 1863، عندها كانت تكتب "gasolene". استخدم مصطلح "البنزين (gasoline)" لأول مرة في أمريكا الشمالية عام 1864. الكلمة مشتقة من كلمة "غاز" واللواحق الكيميائية "ـول -ol" و"ـين (-ine)" أو "(-ene)".
ومع ذلك ربما تأثر المصطلح أيضًا بالعلامة التجارية "Cazeline" أو "Gazeline". في 27 نوفمبر 1862، قام الناشر البريطاني وتاجر القهوة والناشط الاجتماعي جون كاسيل () بنشر في جريدة ذا تايمز من لندن: