CALM/arwiki huggingface dataset:
لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.
برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π عدد غير جذري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن formula_41 هو أيضا عدد غير جذري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر.
عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية.
مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن فابريس بيلارد حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.
الهدف من حساب ط.
حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة
خوارزميات الحنفية.
اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.
اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف.
كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.
في الهندسة وحساب المثلثات.
يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :
طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلو من أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.
في الأعداد العقدية والتحليل.
كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:
حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق 2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :
حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:
يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة "z""n" = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:
في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان.
دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي :
كان ايجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي formula_52. هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل formula_53.
يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل formula_20، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.
يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:
في الاحتمالات والإحصاء.
في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي:
صيغ حسابية للعدد ط.
توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.
النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين.
إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :
ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل حيث
في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا.
يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:
سلاسل أخرى.
هناك حسابات أخرى مثل:
اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:
و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:
ثم المعاودة:
حتى تصبح "an" و"bn" متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π
في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع "q" = eπ، وبالتالي
وأخرى بالشكل،
حيث "q" = "e"π و "k" هو عدد فردي، و"a", "b", "c" هي أعداد نسبية. إذا كانت "k" على الشكل 4"m" + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،
صيغة بيلارد.
حسّن منشورَ سيمون بلوف فابريس بيلارد مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.
تدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:
المحاكاة هي عملية تقليد لأداة حقيقية أو عملية فيزيائية أو حيوية.
تحاول المحاكاة أن تمثل وتقدم الصفات المميزة لسلوك نظام مجرد أو فيزيائي بوساطة سلوك نظام آخر يحاكي الأول. وهي محاولة إعادة عملية ما في ظروف اصطناعية مشابهة إلى حد ما للظروف الطبيعية.
تهدف المحاكاة إلى دراسة وبناء نماذج و/أو برمجيات لتقليد نظام حقيقي قائم أو مزمع إنشاء، وذلك بهدف دراسة النتائج المتوقعة.
ويتصل علم المحاكاة اتصالا شديداً بالرياضيات كالرياضيات الرقمية والفيزياء كالحركة الذاتية الوهمية وعلم المعلومات.
أستخدمت العديد من الطرق والوسائل في محاولة لمحاكاة تجربة والتنبؤ بنتائجها:
استخدمات المحاكاة.
تشيع أنظمة المحاكاة في الطيران المدني والحربي حيث يتمرن الطيارون الجدد على أجهزة محاكاة تكون صورة طبق الأصل مما قد يجري على الطبيعة. مما يمكن الطيارين من التحكم في الأحوال الحرجة مثل العواصف أو عطل أحد المحركات، حيث تجعلهم وكأنهم يقودون طائرة حقيقية مع فرق بسيط هو أنه أثناء المحاكاة مسموح لهم بالخطأ الشيء الذي قد يكون مميتا إذا حدث في الواقع.
هناك محاكاة أيضا في التقنية وهندسة الأمان حيث يكون الهدف فحص بعض سيناريوهات العمل في العالم الحقيقي واختبار أمن بعض العمليات أو حتى مدى جدواها العلمية والاقتصادية. وقد ابتكرت فكرة أنظمة المحاكاة في ناسا من أجل تدريب رواد الفضاء على قيادة مركبة الفضاء، أو مركبة الهبوط على القمر، وكان المهندسون المختصون في هيوستن يرتبون للرواد برامج معينة تمثل مشاكل أو أعطال قد تواجه رواد الفضاء على الطبيعة، من أجل تعويدهم على التصرف السريع واستعادة تحكمهم في المركبة. وأحيانا كان يخرج رائد الفضاء ممتعضا من نظام المحاكاة بسبب ما يفعله معهم المهندسون أثناء التدريب.
وباستخدام المحاكاة فإنه يمكن توفير الكثير من المال حيث أنك ترى في الحاسوب إن كان اختراعك أو آلتك توافق المواصفات التي تريدها كما أنك تستطيع أن تتحقق من أمان طائرتك أو سفينتك وكل هذا قبل أن تقوم ببنائهما في الواقع.
فمثلا قبل بناء سفينة يتم اشتقاق نموذج للسفينة والنموذج هو عبارة عن عدة معادلات رياضية تصف علاقة المميزات الفيزيائية للسفينة ببعضها كعلاقة الدفع بوزن السفينة وكمية الوقود المستهلكة، هذه العلاقة قد تكون أكثر أهمية للطائرات مثلا حيث تعطي هذه العلاقة مدى الطائرة إلخ.
تعرف أفانز أند ساذرلاند المحاكاة بأنها نموذج تشغيل حقيقي أو نظام مقترح لعملية بيئية، تستخدم فيها شبكات الاتصالات الحديثة للوصول إلى هذا العالم الافتراضي، ونظرا للميزات والخصائص التي تقدمها هذه الوسائط فأنها تمكننا من عبور العديد من حدود: الفئات العمريه، والتخصصات الاكاديميه، المهن، والمواقع الجغرافية، فضلا عن الثقافية والدينية والاجتماعية والاقتصادية.
كما تستخدم المحاكاة في عدة مجالات أخرى بما فيها النمذجة للجمل الطبيعية والأجهزة البشرية لمحاولة استكشاف تفاصيل هذه العملية.
كما تستخدم المحاكاة كأسلوب رياضي أو منطقي لمعالجة المعضلات يتم تنفيذه باستخدام الحاسوب حيث تتدخال أنواع متعددة من العلاقات الرياضية والمنطقية الضرورية لوصف سلوك وهيئة نظام لعالم حقيقي معقد ولفترات زمنية طويلة
أنواع المحاكاة.
يمكن تصنيف أنواع المحاكاة على عدة أسس لكن أهمها هو تصنيف المحاكاة على أساس طبيعة الميزة التي نحاكيها وعلى أساس ذلك يكون هناك:
الملكُ العادل والسُلطان الغازي مُمهِّد الدولة وغيَّاث الدين چلبي مُحمَّد خان الأوَّل بن بايزيد بن مُراد العُثماني (بالتُركيَّة العُثمانيَّة: مُمهِّد الدولة والدين غازى سُلطان چلبى مُحمَّد خان أول بن بايزيد بن مُراد عُثمانى؛ وبالتُركيَّة المُعاصرة: Sultan Mehmed Han I. ben Bayezid Gazi)، ويُعرف اختصارًا باسم مُحمَّد الأوَّل أو مُحمَّد چلبي (بالتُركيَّة العُثمانيَّة: چلبی محمد؛ وبالتُركيَّة المُعاصرة: Çelebi Mehmed)؛ و«چلبي» كلمة تُركيَّة تُفيد معنى الظرف والظرافة أو الحُسن والجمال، يُعتقد أنها مُشتقة من كلمة «شلبي» العربيَّة، لِذلك يُشاع كتابة اسم هذا السُلطان كـ«مُحمَّد شلبي»، ويُقال أيضًا أنَّ هذا اللقب إنَّما هو لقبٌ أُسريٌّ تُركيٌّ وأنَّ أصله مغوليّ، فعُرِّب مرَّة بِالجيم ومرة بِالشين استعاضةً عن الجيم المُثلثة الفارسيَّة، فيُكتب لقب هذا السُلطان تارةً كـ«مُحمَّد جلبي» وتارةً كـ«مُحمَّد شلبي»، ويبدو أنَّ لهذا اللقب علاقةً بِهيئة صاحبه، إذ تنص بعض المصادر أنَّ مُحمَّد الأوَّل كان مُتناسق الجسد وقويُّ البُنية ولبقًا في حديثه وتعامله. لُقِّب هذا السُلطان أيضًا بِـ«كرشجي»، وهو لقبٌ أصله روميّ - وفق بعض المصادر - ويعني «ابن السيِّد» أو «ابن الحاكم»، وفي مصادر أُخرى يعني «المُصارع» أو «الوتَّار»، أي صانع أوتار الأقواس، كونه تعلَّم صناعتها في صغره. هو خامس سلاطين آل عُثمان وثالث من تلقَّب بِلقب سُلطانٍ بينهم بعد والده بايزيد وجدُّه مُراد، ولم يُراعِ بعض المُؤرخين هذا الترتيب بل اعتبروا باقي أبناء السُلطان بايزيد الأوَّل سلاطينًا على البلاد التي تنازعوا مُلكها بعد هزيمة أنقرة ووفاة والدهم، لكنَّ المُتفق عليه هو عدم اعتبار من نازع السُلطان مُحمَّد چلبي في المُلك من إخوته، وعدِّه هو خامس سلاطين الدولة العُثمانيَّة، لِكون إخوته لم يلبثوا في المُلك مُدَّة طويلة. والدته هي دولت خاتون بنت عبد الله.
تولَّى مُحمَّد چلبي عرش الدولة العُثمانيَّة بعد فترة صراعٍ بينه وبين إخوته دامت نحو 11 سنة (804 - 816هـ \ 1402 - 1413م)، عُرفت باسم «عهد الفترة»، وهي فترة عقيمة في التاريخ العُثماني، إذ لم تحصل فيها توسُّعات وفُتُوحات ولم يعمل العُثمانيُّون على استرداد ما سلبهم إيَّاه تيمورلنك بعد أن هزمهم في واقعة أنقرة، بل ادَّعى كُلُّ ابنٍ من أبناء بايزيد الأوَّل: سُليمان وعيسى وموسى ومُحمَّد، الأحقيَّة لِنفسه في خِلافة أبيه، وتنازعوا بينهم أشلاء الدولة المُمزقة رُغم تربُّص الأعداء بهم من كُل جانب، إلَّا أنَّ النصر كان من نصيب مُحمَّد في نهاية المطاف، فانفرد بِمُلك ما تبقَّى من بلاد آل عُثمان، وكانت مُدَّة حُكمه كُلُّها حُروبًا داخليَّةً لِإرجاع الإمارات التي استقلَّت في مُدَّة الفوضى التي أعقبت موت السُلطان بايزيد في الأسر. دام مُلك هذا السُلطان حوالي 8 سنوات أعاد لِلسلطنة خِلالها الرونق الذي كادت تخسره بِحرب تيمورلنك، وكان شُجاعًا محبوبًا ذا سياسة، فأرجع لِإمبراطور الروم عمانوئيل الثاني البلاد التي كان أبوه قد ضمَّها إلى دولته، وهو أوَّل من شرع بِتعليم العساكر البحريَّة في الدولة العُثمانيَّة. ولمَّا قضى سنيّ حُكمه في إعادة بناء الدولة وتوطيد أركانها فقد اعتبره بعض المُؤرخين المُؤسس الثاني لِلدولة العُثمانيَّة. ومن أبرز الأحداث في عهده ظُهُور عالم يُدعى بدرُ الدين محمود بن إسرائيل السماوني غالى في شطحاته ودعا إلى مذهبٍ خالف فيه عدَّة أُسس وثوابت إسلاميَّة، وأعلن العصيان على السلطنة، فحاربه السُلطان مُحمَّد حتَّى قُبض عليه وأُعدم شنقًا.
اشتهر السُلطان مُحمَّد بِحُبِّه لِلعُلُوم والفُنُون، وهو أوَّلُ سُلطانٍ عُثمانيٍّ أرسل الهديَّة السنويَّة إلى شريف مكَّة، التي أُطلق عليها اسم «الصرَّة»، وهي قدرٍ مُعيَّنٍ من النُقُود يُرسل إلى الشريف لِتوزيعه على فُقراء مكَّة والمدينة المُنوَّرة، كما عُرف عنهُ تديُّنه وحرصه على تطبيق مبادئ الشريعة الإسلاميَّة، حتَّى أنَّهُ نقل العاصمة من أدرنة المُلقبة «مدينة الغُزاة»، إلى بورصة المُلقبة «مدينة الفُقهاء». كما قيل أنَّهُ كان موهوبًا بِالكتابة ونظم الشعر بِاللُغتين الفارسيَّة والعربيَّة، وشغوفًا باقتناء الكُتُب المُختلفة، و«مهووسًا» بِعمل الخير.
تنص بعض المصادر العربيَّة على مولد مُحمَّد چلبي سنة 781هـ المُوافقة لِسنة 1379م، وتنُص أُخرى على أنَّ ولادته كانت سنة 783هـ المُوافقة لِسنة 1381م. كذلك، تنص مصادر مُتنوعة، تُركيَّة وغربيَّة، أنَّ ولادة هذا السُلطان كانت سنة 1382م، أو 1386م، أو 1389م، أو 1390م، أو 1391م، فلا يوجد اتفاق على تحديد السنة، على أنَّ المراجع العربيَّة التي عاصرت أواخر العصر العُثماني تتفق على جعل سنة ميلاد مُحمَّد چلبي تُوافق 781هـ، وهي ما يُوافق سنة 1379م، ولمَّا كان هُناك اتفاقٌ على أنَّ وفاته كانت سنة 1421م وكان قد ناهز 43 سنة، فإنَّ سنة ميلاده تُوافق أو تُقارب سنة 1379م. كان مُحمَّد چلبي ثالث أولاد السُلطان بايزيد الأوَّل، أنجبه من زوجته دولت خاتون بنت عبد الله، على أنَّ الأخيرة لم تحمل لقب «السُلطانة الأُم» في المُؤلَّفات العُثمانيَّة كونها تُوفيت قبل ارتقاء ابنها عرش السلطنة. تلقَّى مُحمَّد الأوَّل تعليمه على يد نُخبة من المُدرِّسين والعُلماء الذين عيَّنهم والده لِتأديبه وتربيته، في كُلٍ من السراي الجديدة الأميريَّة في أدرنة، ثُمَّ في مدارس بورصة وقصرها السُلطاني، وكان من أبرز مُعلميه: بايزيد باشا الأماسيلِّي (الذي أصبح صدرًا أعظمًا فيما بعد)، وحمزة بك التوقادلي. خِلال هذه الفترة، أُطلق لقب «چلبي» على أبناء بايزيد كُلهم بما فيهم مُحمَّد، وهو لقبٌ يُفيد معنى الظرف والظرافة أو الحُسن والجمال، ويُعتقد أنه مُشتق من كلمة «شلبي» العربيَّة، وقيل أنَّها نسبة مغوليَّة اسُخدمت لقبًا افتخاريًّا يدُلُّ على السيادة والمكانة، وتُعادل كلمة «أفندي» التي استُعملت لاحقًا في تاريخ الدولة. غير أنَّ العُثمانيين خففوا من استخدام چلبي حين شاعت لفظة أفندي اللاتينيَّة. وقد كان أصلها «چالاب» أي «الإله»، ومعها ياء النسبة العربيَّة، فصار المعنى: المنسوب إلى الإله، إلهي. وأخذت معنىً دينيًّا ومعنىً تربويًّا، ولعلَّ المقصود بها حُسن تربية وتعليم أبناء بايزيد.
اصطحب بايزيد أبناءه معه خِلال حملته على إمارات بحر البنطس (الأسود) الأناضوليَّة في سنة 1391م، وذلك لمَّا ثار صاحب إمارة قسطموني سُليمان الجندرلي على الدولة العُثمانيَّة، بِفعل خشيته من نجاح العُثمانيين في توحيد الأناضول ما يُهدِّد إمارته، فتحالف مع القاضي بُرهانُ الدين أحمد، أمير سيواس، وانضمَّ إليهما أميرا مُنتشا وصاروخان، وأبدى الجميع استعدادهم بِمُساعدة علاء الدين أمير القرمان، الذي كان قد هرب من قونية بعد سُقُوطها بِيد العُثمانيين لِيحتمي في هضبة «طاش إيلي» في قيليقية، ما دفع السُلطان بايزيد إلى تبريد الجبهة القرمانيَّة والتفرُّغ لِلجبهة الشماليَّة، فدعا الأمير القرماني وأمَّنهُ وأخبرهُ بِأنَّهُ سيترك قسمًا من الإمارة لهُ، شرط الإخلاص لِلعُثمانيين وعدم الخُرُوج على تبعيَّتهم، فوافق علاءُ الدين. بع ذلك هاجم بايزيد إمارات بحر البنطس (الأسود) في الشرق والوسط، فضمَّ إمارة قسطموني في شهر رجب سنة 793هـ المُوافق فيه شهر حُزيران (يونيو) سنة 1391م وقتل أميرها سُليمان الجندرلي، وهاجم سينوپ بحرًا في السنة التالية، واستولى على مُدن صامصون وجانيت وعُثمانجق، وشرع بعد ذلك في إخضاع القاضي بُرهانُ الدين أحمد، فأرسل ابنه مُحمَّدًا على رأس جيشٍ لاستخلاص مدينة أماسية، لكن أي اصطدام جدِّي لم يحصل بين الطرفين، إذ فضَّل القاضي الانسحاب أمام الجيش العُثماني القوي، فضمَّ مُحمَّد، باسم أبيه بايزيد، أماسية وسيواس وتوقاد إلى الممالك العُثمانيَّة. وانضمَّ إليه الأُمراء الصغار في المنطقة واعترفوا بِسيادة العُثمانيين عليهم. بِهذا النجاح، برهن مُحمَّد چلبي عن حُسن قيادته العسكريَّة، كما أثبت قُدرته الإداريَّة عندما دخل أماسية وعمل على تنظيم أُمورها، لِذلك قرر والده تعينه واليًا عليها، بعد أن جعلها عاصمة إيالةٍ جديدةٍ هي إيالة الرُّوم.
تولِّيه إيالة الرُّوم.
تولَّى مُحمَّد چلبي إيالة الرُّوم ما بين سنتيّ 1391 و1402م، مُكتسبًا خِلال هذه الفترة مزيدًا من الخبرة والمهارات الإداريَّة الضروريَّة، ولمَّا أحسن حُكم الإيالة وأصلح شُؤونها، ازدهرت عاصمتها أماسية وأصبحت أهم مُدن الحُدود الشرقيَّة لِلدولة العُثمانيَّة. ومُنذ ذلك الحين وحتَّى عهد السُلطان مُراد الثالث، دأب سلاطين بني عُثمان على إرسال أبنائهم إلى أماسية لِيتدربوا على شؤون الحُكم. خِلال هذه الفترة، كان السُلطان بايزيد قد تمكَّن من توحيد الأناضول وضمِّه كاملًا تحت الراية العُثمانيَّة، كما كان قد هزم حملةً صليبيَّة كبيرة في أوروپَّا جُرِّدت في مُحاولةٍ لِدفع المُسلمين خارج البلقان، وكان يُحاصر القُسطنطينيَّة أيضًا مُحاولًا فتحها، وقد شارك مُحمَّد چلبي في بعض هذه الحملات العسكريَّة، خُصوصًا تلك التي جرت في الأناضول، وولَّاه أبوه إمارة بعض الجُيُوش في بعض الأحيان. يُعتقد أنَّ ما ساعد مُحمَّد چلبي على اكتساب مهاراته الإداريَّة والسياسيَّة خلال فترة ولايته في أماسية، كان لُجوء كبار المُستشارين والساسة المغول الإلخانيين إلى بلاطه بُعيد انهيار الإمارات التُركمانيَّة الأناضوليَّة التي كانوا يعملون في خدمة أُمرائها الذين استقلُّوا عن إلخان فارس سنة 1335م بُعيد انهيار الدولة الإلخانيَّة. فلمَّا ضمَّ مُحمَّد تلك الإمارات الصغيرة، التحق به ساستها واعترفوا بِسُلطته. وكان هؤلاء الساسة واسعي الاطلاع على شؤون القبائل التُركمانيَّة وأساليب حُكم الأُمراء التُركمان في شرق الأناضول، واجتمعت لديهم خبرة سنين طويلة في إدارة دفَّة تلك الإمارات تحت راية حُكَّامها، فتشرَّبها الشاهزاده العُثماني منهم طيلة سنيّ حُكمه الإحدى عشر.
واقعة أنقرة وانهزام العُثمانيين.
كان الأمير المغولي تيمور بن طرقاي الگوركاني، الشهير باسم تيمورلنك، مُمتعضًا من تنامي قُوَّة العُثمانيين ومُجاورة دولتهم الفتيَّة القويَّة لِدولته، بعد أن تمكَّن السُلطان بايزيد من توحيد الأناضول وأصبح على مشارف أرمينية وأذربيجان. وقد تأزَّمت الأُمور بين تيمور والسُلطان بايزيد بِشكلٍ كبير عندما ضمَّ الأخير مدينة أرزنجان إلى ممالكه، إذ كان صاحبُ المدينة، المدعو «طهارتن»، مُوالٍ لِتيمورلنك، فطلب منهُ بايزيد أن ينبُذ طاعته ويُقر بِالتبعيَّة لِلعُثمانيين، فأبلغ طهارتن تيمورلنك بِذلك، الذي عدَّ تدخُّل بايزيد في أرزنجان عملًا عدائيًّا مُوجهًا ضدَّه. والواقع أنَّهُ كانت هُناك عوامل وأسباب عدَّة كفيلة بِإثارة الحرب بين الدولتين العُثمانيَّة والتيموريَّة، لكنها تختلف بِاختلاف المصادر، فالمصادر التيموريَّة الفارسيَّة تُصوِّر الصراع بِأنَّهُ بِسبب تعنُّت بايزيد الأوَّل واستعلائه وسوء تصرُّفه واعتداده، فأقدم على امتلاك سيواس وملطية مغرورًا، في حين تُرجع المصادر التُركيَّة أسباب الصراع بِالإشارة إلى رفض تيمورلنك عُرُوض المُصالحة، كما تُشير إلى مظالمه التي أوقعها بِالمُسلمين. وبجميع الأحوال فإنَّ الأوضاع استمرَّت بِالتأزُّم بين العُثمانيين والمغول حتَّى وقعت بينهما معركةٌ طاحنة عند «چُبُق آباد» على بُعد ميل من مدينة أنقرة، يوم الجُمُعة 27 ذي الحجَّة 804هـ المُوافق فيه 28 تمُّوز (يوليو) 1402م. تكوَّن الجيش العُثماني من الفُرسان السپاهية والانكشارية وعساكر الإمارات التُركمانيَّة الأناضوليَّة وعساكر الإمارات والممالك المسيحيَّة البلقانيَّة الخاضعة لِلدولة العُثمانيَّة، وفي مُقدمتها الصرب والأرناؤوط. تولَّى السُلطان بايزيد قيادة قلب الجيش وعساكر الانكشارية، وتولَّى ابنه سُليمان قيادة الميسرة ومعهُ نُخبة الجيش، وتولَّى قيصر الصرب أسطفان بن لازار - حليف العُثمانيين - قيادة الميمنة ومعهُ عساكر البلقان، فيما تولَّى مُحمَّد قيادة حرس المُؤخرة.
اشتبك الجمعان طيلة اليوم سالف الذِكر حتَّى غُرُوب شمسه، وكان التفوُّق المغولي واضحًا بحيث لم يصمد مع بايزيد إلَّا فرقة الإنكشاريَّة البالغ عدد أفرادها حوالي عشرة آلاف جُندي، والعساكر الصربيَّة، ولكنَّ ثبات تلك الفرق كان محدودًا بِسبب التفوُّق الملحوظ لِجيش تيمورلنك والتعب الظاهر على الجُنُود العُثمانيين. وعلى الرُغم من هذه الظُرُوف المُعاكسة، استمرَّ بايزيد في القتال من دون تقديرٍ لِلنتائج، ولم يُعر التفاتة إلى طلب كُلٍ من الصدر الأعظم علي زاده باشا وابنه الشاهزاده سُليمان بِالفرار، لِذلك انسحب الاثنان بِقُوَّاتهما - البالغة حوالي 30,000 جُندي - باتجاه بورصة، كما انسحبت القُوَّات الصربيَّة إلى أماسية. وهُزم العُثمانيُّون هزيمة نكراء، ولمَّا حاول بايزيد، في النهاية، الفرار ليلًا، طوَّقتهُ القُوَّات المغوليَّة عند هضبة چاتالتپه، ووقع أسيرًا في أيديهم مع ابنه موسى، بينما تمكَّن ابناه مُحمَّد وعيسى من الهرب، ولم يوقف لِابنه الخامس مُصطفى على أثر. واصل تيمورلنك سيره، بعد هذا النصر، باتجاه بورصة، فدخلها وأحرقها ممَّا تسبب بِضياع كُل الأرشيف العُثماني العائد لِزمن السلاطين عُثمان الأوَّل وأورخان غازي ومُراد الأوَّل، وحمل معهُ من المدينة المكتبة البيزنطيَّة والأبواب الفضيَّة، كما انتزع القسم الباقي بِأيدي فُرسان الإسبتاريَّة من مدينة إزمير، وسلَّمهُ لِأمير آيدين، وأقام في مدينة أفسس. وارتعد العالم المسيحي خوفًا من تقدُّم المغول باتجاه بيزنطة وأوروپَّا، فقدَّمت جنوة خُضُوعها ودفعت الجزية، وأفرج السُلطان المملوكي في مصر عن رسولٍ لِتيمورلنك كان قد أتاه مُهددًا مُتوعدًا، واعترف بِسُلطانه. وأعاد تيمورلنك إلى أُمراء قسطموني وصاروخان وكرميان ومُنتشا والقرمان ما فقدوه من البلاد، وأعطى اثنين من أولاد بايزيد هُما عيسى ومُحمَّد المناطق الأُخرى من الأناضول، أمَّا سُليمان الابن الثالث لِبايزيد فقد هرب إلى أدرنة وتحصَّن بها وقبل أن يكون تابعًا لِتيمورلنك، ورجاه أن يعفو عن والده وأن يُعامله مُعاملةً حسنة.
الفوضى بعد وفاة السُلطان بايزيد وصراع الإخوة.
تنص المصادر العُثمانيَّة والبيزنطيَّة أنَّ مُحمَّد چلبي، لمَّا انسحب من ميدان المعركة وأدرك فيما بعد وُقوع والده في الأسر، قرَّر مُهاجمة الجيش المغولي بِكُل ما أوتي من قُوَّة لِإنقاذ أبيه وأخيه موسى، إلَّا أنَّ وزرائه ومُستشاريه نصحوه ألَّا يفعل بسبب القدرة العسكريَّة الهائلة لِلمغول التي تجعل من هكذا حركة مُغامرةً فاشلة، وأن يتبع خطَّةً أُخرى لِإلهاء الجيش التيموري ريثما يتسلل بعض الجُنُود العُثمانيُّون ويُنقذون السُلطان الأسير. لِذلك، أرسل الشاهزاده المذكور بعض الفرق العسكريَّة العُثمانيَّة لِمُناوشة المغول، وأرسل في الوقت نفسه بعض المُنقبين لِيحفروا نفقًا يصل إلى داخل المُعسكر المغولي لِيُهرَّبوا السُلطان من خلاله، إلَّا أنَّ الخطَّة كُشفت، واضطرَّ العُثمانيُّون إلى الانسحاب ناجين بِحياتهم، فيما شُددت الحراسة على بايزيد واحتُجز في غُرفةٍ ذات نوافذ مسدودة بِالحواجز تُسمَّى «تختروان» يجُرُّها حصانان. تُوفي السُلطان بايزيد في الأسر يوم 14 شعبان 805هـ المُوافق فيه 9 آذار (مارس) 1403م، ولهُ من العُمر 43 سنة، بعد أن دامت سلطنته مُدَّة 13 سنة وشهرًا و8 أيَّام. فأطلق تيمورلنك سراح الشاهزاده موسى الذي أُسر مع والده في معركة أنقرة، وصرَّح لهُ بِنقل جُثمان والده بِكُل احتفالٍ إلى مدينة بورصة، فأُجريت لهُ مراسم جنائزيَّة سُلطانيَّة وحُمل إلى بورصة حيثُ دُفن بِجوار الجامع الكبير بِالمدرسة التي بناها، وذلك بِموجب وصيَّته. أبرزت وفاة بايزيد مُشكلة خلافته بين أبنائه، إذ لم يكن قد جعل ولاية العهد في أيٍ منهم، وكان ابنه البكر أرطُغرُل قد قُتل وهو يُدافع عن مدينة سيواس ضدَّ الجُيُوش المغوليَّة سنة 803هـ المُوافقة لِسنة 1400م، أمَّا ابنه الثاني مُصطفى فقد اختفى بعد معركة أنقرة ولم يُعثر عليه، كما أُسلف. فانحصرت خلافة بايزيد بين أبنائه الأربعة الباقين: مُحمَّد وسُليمان وعيسى وموسى، الذين لم يتفقوا على تنصيب أحدهم، بل ادَّعى كُلُّ منهم الأحقيَّة لِنفسه في خِلافة أبيه. كان الشاهزاده سُليمان الأوفر حظًا في خِلافة والده، فقد انسحب، بعد انتهاء المعركة، مع فُلُول الجيش العُثماني إلى بورصة لِإنقاذ الأموال والنساء والأولاد من القُوَّات المغوليَّة التي كانت تتعقبه، ثُمَّ انطلق إلى أدرنة بعد أن عبر مضيق الدردنيل، حيثُ بايعهُ الجُنُود سُلطانًا، فعقد صُلحًا مع الإمبراطور البيزنطي عمانوئيل الثاني، وجُمهُوريَّة جنوة، وأمير جزيرة نقشة (ناكسوس) البُندُقي، وفُرسان الإسبتاريَّة في رودس، وجدَّد الحلف مع قيصر الصرب أسطفان بن لازار، وذلك في 22 رجب 805هـ المُوافق فيه 15 شُباط (فبراير) 1403م، وتنازل بِموجب هذا الصُلح عن بعض الأراضي ومنح الأطراف المسيحيَّة بعض الامتيازات على حساب الدولة. ولمَّا علم تيمورلنك بِتنصيب سُليمان بن بايزيد في أدرنة، أرسل إليه يُطالبه بِدفع ما يترتب عليه من أموالٍ بِصفته تابعًا له، وفعلًا حضر سُليمان إلى المُعسكر التيموري مُحملًا بِالهدايا، وقدَّم لِتيمور فُروض الولاء والطاعة، فسلَّمهُ الأخير كتاب توليته الممالك العُثمانيَّة الواقعة في الجانب الأوروپي. تفرَّق الإخوة الباقون في مُختلف بلاد الأناضول، فاعتصم مُحمَّد وموسى في إحدى القلاع الجبليَّة الشاهقة في أماسية، وسيطرا على توقاد، واحتمى عيسى في قلعةٍ أُخرى، ثُمَّ جمع ما توفَّر لهُ من الجُند وأعلن نفسه سُلطان آل عُثمان في بورصة، ما وضعهُ في مُواجهة أخيه سُليمان.