CALM/arwiki huggingface dataset:
4. زهر الآداب وثمر الألباب، أبو إسحاق إبراهيم بن علي الحصري القيرواني، تحقيق : أ. د / يوسف على طويل، عدد الأجزاء / 2، دار الكتب العلمية، الطبعة : الأولى، بيروت – لبنان، 1417 هـ - 1997م.
5. ديوان أبي نواس، الحسن بن هانئ، حققه وضبطه وشرحه احمد عبد المجيد الغزالي، دار الكتاب العربي . بيروت لبنان .
6. دیوان ابن الرومي، شرح الاستاذ أحمد حسن بسج، ثلاث الأجزاء، دار الکتب العلمیة، بیروت -لبنان،1423 هـ - 2002م.
7. سحر البلاغة وسر البراعة، أبو منصور عبد الملك بن محمد بن إسماعيل الثعالبي، تحقيق، عبد السلام الحوفي، دار الكتب العلمية، بيروت – لبنان.
8. القاموس المحیط، ج2، مجد الدين محمد بن يعقوب، ت (823هـ)، 4ج، داراحياء التراث العربى.
9. گاه شماري وجشن هاي إيران باستان، هاشم رضي، تهران، بهجت، 1380.
10. لغت‌نامه، علی‌اکبر دهخدا، زیرنظر محمد معین، جعفر شهیدی، تهران، روزنه، دانشگاه تهران، موسسه انتشارات و چاپ، 1377ش.
11. المحاسن و الأضداد، تحقيق، محمد أمين الخانجي، مطبعة السعادة، القاهرة، 1960م.
12. مروج الذهب ومعادن الجوهر، المسعودي، تحقيق، شارل بلا ،مطبعة شريعت، طهران422هـ .
13. من‌لایحضره‌ الفقیه، أبو‌جعفر محمدبن‌علي بن‌ الحسین بن‌ بابویة القمي، طهران، مکتبة الصدوق، 4ج، 1352ش.
14. معجم المناهي اللفظية و فوائد في الألفاظ ، الشيخ بكر بن عبد الله أبو زيد، دار العاصمة، 1417هـ - 1996م.
15. نهاية الأرب في فنون الأدب، شهاب الدين أحمد بن عبد الوهاب النويري، تحقيق مفيد قمحية و جماعة، دار النشر، دار الكتب العلمية، بيروت ـ لبنان، الطبعة الأولى ،عدد الأجزاء33،1424 هـ - 2004 م.
في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما. تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ القُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها قطعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قطع مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.
ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي formula_1 أو . وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة formula_1 عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك. قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة formula_1 بدقةٍ عاليةٍ. وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب formula_1 في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.
وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.
تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات. تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.
مصطلحات أساسية.
يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة formula_5 ونصف قطرها formula_6 رياضيَّاً بالرموز: «formula_7» و«formula_8» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة formula_5» للإشارة إليها. ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «»
تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو استصنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: . يضيف ابن منظور: . وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».
وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.
تعريف إقليدس.
عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:
يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:
تعريف أبولونيوس.
أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ formula_10 نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها formula_10 هي المحل الهندسي لجميع النقاط formula_12 التي تُحقِّقُ أنَّ:
formula_13النسبة التبادلية لدائرة
تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين formula_14 أو لرباعية النقاط formula_15 المتسامتة على الترتيب: formula_16 حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: formula_17. إذا كانت النقاط formula_18 مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط formula_12 التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.formula_20. بمعنىً آخر: formula_12 هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط formula_18 إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية formula_23 مساوياً للواحد.
تُعرّفُ النقطة formula_24 على أنّها المرافق التوافقي للنقطة formula_25 بالنسبة لـformula_26 وformula_27. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي formula_28. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية. النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ. في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط formula_29 «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي formula_28). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها formula_12 يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.
تعريف الدائرة المعممة.
في حال ما كانت formula_25 منتصف القطعة formula_33 فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط formula_12 التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم. هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.
تأويل لانهائي.
بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي يُرمز إليه بالرمز formula_6 أو نصف قطر محيطي يُرمز إليه بالرمز formula_36 باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية: formula_37والمساحة، عبر العلاقة:formula_38والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.
الدائرة بوصفها حالة حدية.
تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر. البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: formula_39 حيث أنَّ formula_40 أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه formula_41. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما formula_42.
تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر (formula_43) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.
استيفاء المساحة.
تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.
وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع formula_36 هو formula_46 ومُحيطُ الدائرةِ هو formula_47 بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان formula_48. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز. لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:
تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ formula_50 بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيطformula_51 هي على الأقل formula_52 لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي: formula_53. إذا كان formula_25 منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:
حيث أن formula_56 ترمز إلى طول formula_25 والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان formula_25 منحنى ثابت العرض.
دوائر بإعادة تعريف المسافة.
تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-formula_59 ، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:
بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون formula_61، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:
formula_62
في هندسة سيارة الأجرة، تكون formula_61. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع formula_6 في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع formula_65. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.
النَّتائِجُ التَّحليليَّة.
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة formula_66. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة. وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.
المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة formula_1.
يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها. ويُرمز لهذه النسبة بـ«formula_1» أو «». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة formula_1 وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:formula_70في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة formula_1، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة formula_1:
المِساحَةُ.
تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ formula_1. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه formula_85 وعَرْضُه formula_6. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:
الأقْواسُ.
يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ formula_88. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:
كانت formula_10 نقطتين مختلفتين على الدائرة formula_90 فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر formula_91، وقوس أكبر formula_91 يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر formula_91 أحياناً بالرمز formula_94 عِوَضاً عن ذكر «formula_91 الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر formula_91 على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية formula_97 الداخلية ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين formula_10 على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن formula_99. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر formula_91 هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية formula_97 المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين formula_10 على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن formula_99. تُسمَّى النقطتان formula_10 طرفا القوس formula_91 أو طرفا الوتر formula_33. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ formula_10 نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.
إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي formula_108، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.
formula_109
القطع والجزئيات.
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:formula_110.
يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.formula_111تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى formula_88 مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة formula_113.
المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.
هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:
إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها formula_5 والنقطة المتغيِّرةُ formula_12، فإنَّ مجموعة نقاط formula_12 في المستوى formula_117 تُعرَّف على أنَّها: formula_118formula_119تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.
يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.formula_120
قوة النقطة.
تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة formula_12 بالنسبة للدائرة formula_7 هي المقدار:formula_123. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ formula_12 تكونُ مقداراً سالباً عندما formula_125 أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ formula_126 هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي formula_126.
كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن formula_128 نقطة تماس المماس الخارج من formula_12 إلى الدائرة formula_5. من مبرهنة التعامد: formula_131، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: formula_132، فإنَّ formula_133 أو بشكلٍ مكافئ:formula_134.
أزواج الدوائر.
الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار formula_135 نصف قطر الدائرة الأولى وformula_136 نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم formula_108 الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:formula_138
الدائرتان متحدتا المركز: formula_139 التي نصف قطرها formula_140 وformula_139 التي نصف قطرها formula_142 دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: formula_143.
تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به formula_144 بالراديان ونصف قطر الدائرتين formula_36 بالصيغة الآتية:formula_146بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.
الأوتار والمستقيمات.
التناظر في الدائرة.
في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ formula_147. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة (formula_148) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.
formula_149
في الدائرة ذات المركز formula_5 والوتر formula_33، المثلث formula_152 متطابق الضلعين. إذا كانت formula_153 نقطة منتصف formula_33 فإنَّ formula_155 من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ formula_156 وكذلك formula_157. أيضاً الزاويتان formula_158. إذا كانت formula_159 نقطتا تقاطعِ المستقيمِ formula_160 مع الدائرة، فإنَّ من تطابق formula_161 (SSS) والذي يُنتج formula_162. كنتيجة، القوسان formula_163 متطابقان أيضاً. بالمثل، formula_164 (من تطابق SAS) وformula_165. وهذا يعني أن الدائرةَ formula_5 ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر formula_33. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.
إذا كانت formula_128 تقاطع مماسات الدائرة عند formula_10، فمن مبرهنة فيثاغورس، formula_170. مما يعني أنَّ formula_171. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ formula_172، إذن، الزاوية formula_173، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ formula_128 تقع على المنصف العمودي لـformula_175. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة formula_5 في formula_177 فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.
تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:
التطابق في الدائرة.
ليكن formula_33 وتراً في الدائرة formula_90. بتطبيقِ متباينة المثلث: formula_180 لكنَّ formula_181، إذن بالتعويض ينتجُ formula_182. أي أنّ: . وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون formula_175 قطراً في الدائرة. في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين formula_184 لهما الطول نفسه في الدائرة formula_90، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: formula_186. وعلى ذلك formula_187، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.
العمق وطول الوتر.
عمق القوس هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية formula_144 في الدائرة التي نصف قطرها formula_6 بالصيغة:
formula_190بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته formula_144 بالصيغة formula_192. أما إذا أُعطي وترٌ طوله formula_193 وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـformula_194 فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:formula_195
خط القوة.
خط القوة أو المحور الأساسي لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:
مركز القوة.
لتكن formula_196 دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.
وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين formula_10 مع محور الأساسي الدائرتين formula_198 في نقطة formula_153 فإنَّ المماسات المنطلقة من formula_153 لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: formula_201 وأيضاً formula_202 فبالتعدّي، يُصبح formula_203وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة formula_153 تقعُ على خط القوة للدائرتين formula_205 وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة formula_153. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة formula_153 مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.
العلاقات مع المضلعات.
لِكلّ مثلثٍ ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.
هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.
المُثلَّث.