CALM/arwiki huggingface dataset:
أي خط "FP" يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط "QP" مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q.
المثلث القائم الذي وتره "FP"، وطولا ضلعي قائمته هما: "x" و "f-y" (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره
طول الخط "QP" يساوي المسافة الرأسية بين النقطة "P" ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).
هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي
بتربيع الطرفين
بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين
بقسمة "x²" من الطرفين (بفرض أن "x" لا تساوي الصفر)
وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل "a" يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية "F" هي (0,¼)
كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية
بؤرته تقع عند النقطة
والتي يمكن كتابتها على الصورة
والدليل يعطى بالعلاقة
والتي يمكن أن تكتب على الصورة
في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا.
مرايا مرصد كيك.
مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد . معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة . تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون .
كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء.
كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات .
لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة.
اللاتمركزية أو التباعد المركزي في الرياضيات (Eccentricity) مصطلح يتعلق القطع الناقص (الشكل البيضوي) ، وهو مقياس لمدى ابتعاد هذا الشكل عن كونه دائريا. بالنسبة للدائرة ، فمركز الدائرة يكون دائما في وسطها ؛ أما في القطع الناقص فله مركزين منفصلين ، وهذا هو الاختلاف المركزي ، وله قيمة حسابية في الرياضيات. يصادفنا الاختلاف المركزي عند دراسة مدارات المذنبات التي تكون في شكل بيضوي.
يمكن رسم القطع الناقص بفتلة f2 , x , f1
ونحرك القلم عند x حول البؤرتين فيتشكل القطع الناقص.
معظم الكواكب تدور حول الشمس تكون في مدارات في هيئة قطع الناقص وتقع الشمس في أحد بؤرتيه. من النادر جدا أن يكون مدار كوكب ما دائرة مثالية ، وانما يكون منزاحا قليلا في شكل القطع الناقص. ينطبق هذا أيضا على الأرض وهي تدور حول الشمس ؛ وكذلك ينطبق ذلك على مدار القمر في دورانه حول الأرض - يقترب أحيانا ويبتعد أحيانا أخرى (أنظر القمر الدامي).
المخروطيات.
المخروطيات conic أو المقطع المخروطي conic section هي كل منحني ينتج عن قطع المخروط بمستوي في اتجاه ما.
تعريف مخروطي بالبؤرة والدليل والاختلاف المركزي.
في مستوى, عندنا مستقيم D (الدليل) ونقطة F (البؤرة) و e عدد حقيقي موجب بين صفر و 1 ؛ يسمى معامل الاختلاف المركزي.
في الشكل إلى اليسار أختير معامل الاختلاف المركزي يساوي e=1
فتشكل مجموعة نقاط المستوى M التي تحقق الشرط: MF=e.MH شكل القطع الناقص.
حيث :MH المسافة بين M و D ،
ويسمى المدار الأسود قطعا ناقصا ذا البؤرة F والدليل D و"معامل الاختلاف المركزي" e=1.
في الشكل قطعين ناقصين آخرين (أزرق) أحدهما ذو اختلاف مركزي e=0,5
والآخر ذو اختلاف مركزي e=25,0 :
في حالة اختيار e=0 تنشأ دائرة.
وفي حالات e &gt; 1 تنشأ للمدار أشكالا أخرى غير القطع الناقص .
يتشكل القطع الناقص أيضا عند قطع أسطوانة قطعا مائلا علن العمودي على محور الأسطوانة (تستطيع أن تجرب ذلك)
كذلك ينشأ القطع الناقص عندما نقطع مخروطا قطعا مائلا غير عمودي على محور المخروط .
داخل وخارج مخروطي.
البؤرة توجد داخل المخروطي, والدليل يوجد خارجه.
العمودي على الدليل D المار بـالبؤرة F هو محور تناظر المخروطي ويسمى المحور البؤري (أنظر أيضا الشكل 1).
دراسة الإهليلج.
خصائص إهليلج.
للإهليلج محور كبير AB في الشكل 1 , ومحور صغير CD. المحوران متعامدان ويتقاطعان في نقطة تسمى مركز الإهليلج. للإهليلج (القطع الناقص) محورين تناطر ، أحدهما AB والآخر CD (شكل1).
المعادلة المختصرة للقطع الناقص.
فإن معادلة الإهليلج يمكن كتابتها على الصورة :
حيث x , y هي أي نقطة على محيط القطع الناقص في رسم بياني عمودي المحورين.
التعريف البؤرتاني للإهليلج.
الإهليلج ذو البؤرتين F و F' الذي محوره الكبير هو 2a هو مجموعة النقط M التي تحقق: MF+MF'=2a.
في الهندسة الإقليدية، الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ أو رباعي الأضلاع الدائري، هو مُضلَّعٌ رُباعيّ تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسه. تُسمَّى الدائرة المارة برؤوس الرباعي «الدائرة المحيطة» ويُقال عن أي نقاطٍ تقعُ عليها: نقاط مشتركة بدائرة. غالباً ما يُصنّف الرباعي الدائري على أنه مُحدَّب، إلا أنه قد يُصنّف أيضاً على أنَّهُ مُركَّبٌ، وتبقى الخصائص والمعادلات تنطبق عليه أيضاً.
جميعُ المثلثاتِ لها دائرةٌ مُحيطةٌ. إلا أنّه ليست جميعُ الرباعيات لها دوائر مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. إحدى أشهر توصيفات الرباعي الدائري هي أنَّ كُلَّ زاويتين متقابلتين فيه مُتكاملتانِ، والعكس صحيح. هناك رباعيات شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً. للرباعيات الدائرية نظريات خاصة تنطبق عليها مثل نظرية بطليموس ونظرية قوة النقطة.
حالاتٌ خاصَّةٌ.
جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. يُختص الرباعي ثنائي المركز على أنه رباعي مماسي ودائري. حيث أنَّ الرباع المماسي هو رباعي حاصرٌ لدائرة أي يمسَّها من الداخل من جميع الجهات. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه. الرباعي التناغمي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.
التوصيف والمبرهنات.
الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:
نظرية قوة النقطة.
ينطبقُ على الرُباعيِّ الدائريِّ نظرية قوة النقطة بالنسبة لدائرة:
النتائج التحليليَّة.
بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: formula_3 ونصف محيطه formula_4 حيث formula_5 بالصيغة الآتية:
نصف قطر الدائرة المحيطة.
في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:formula_7
. الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ أو رباعي أضلاع دائري أو الشكل الرباعي الدائري أو رباعي الأضلاع المحاط بدائرة أو رباعي الأضلاع المحوط أو رباعي الأضلاع المُرتسَم في دائرة .
المضلع أو هو خط بسيط مغلق يتكون من اتحاد عدة قطع مستقيمة. وهو شكل هندسي يقع في المستوي.
ضلع المضلع، هي كل قطعة مستقيمة من محيط المضلع. زوايا المضلع، هي الزوايا المحصورة بين أضلاع المضلع.
مضلع منتظم هو مضلع جميع أضلاعه متطابقة في القياسات وجميع زواياه الداخلية متطابقة. بينما مضلع غير منتظم هو المضلع الذي زواياه غير متطابقة. كون أضلاع مضلع ما متطابقة من حيث الطول لا يجعل من المضلع منتظما، ولكن يجعل منه مضلعا متساوي الأضلاع.
حساب مجموع زوايا المضلع.
مجموع زوايا أي مضلع يساوي formula_1 بالدرجات
أو formula_2 بالراديان حيث formula_3 عدد أضلاع هذا المضلع.
مجموع زوايا المثلث : 180 (3 - 2) = 180 درجة
مجموع زوايا الشكل السباعي : 180 (7 - 2) = 900 درجة
عدد الأضلع.
ترتب المضلعات أساسا حسب عدد الأضلع اللائي يملكنهن. انظر إلى تسمية المضلعات أسفله.
تسمية المضلعات.
تسمى المضلعات حسب عدد أضلاعها. المضلع الذي لديه ثلاثة أضلاع يسمى ثلاثي أضلاع أو مثلثا ؛ والمضلع الذي لديه أربعة أضلاع يسمى رباعي أضلاع، وهكذا.
عرفت متعددات الأضلع منذ قديم الزمان. عرف الإغريق متعددات الأضلع المنتظمة.
تشريح الشكل shape dissection نظرية رياضية تتناول موضوع التقسيم خاصة في المضلعات ومتعددات الوجوه وهي ترتبط بشكل أساسي بمواضيع المساحات والحجوم.
المضلع النجمي هو مضلع يظهر بشكل نجمي. تمت دراسة المضلعات النجمية المنتظمة فقط بشكل موسع.
المضلعات النجمية المنتظمة.
في الهندسة الرياضية، نطلق اسم مضلع نجمي منتظم على المضلع الذي تكون أطوال أضلاعه متساوية، وقياسات زواياه متساوية وتقطع أضلاعه بعضها البعض.
في الهندسة الرياضية، المثلث الهيروني هو مثلث جميع أطوال أضلاعه وكذلك مساحته هي أعداد صحيحة. سمي هذا المثلث على اسم هيرو من الإسكندرية.
متباينة المثلث أو متراجحة المثلث هي المتراجحة التي تنص على أن طول أي ضلع من أضلاع المثلث أصغر حتما من مجموع طول الضلعين الآخرين وأكبر حتماً من الفرق بينهما.
الهندسة الإقليدية.
أثبت أقليدس متباينة المثلث من خلال الهندسة الأقليدية من خلال الرسم. لنفرض أن المثلث dBC متساوي الساقين، حيث الضلع BC يساوي الضلع BD, و AB هو امتداد له.
أثبت أقليدس أن الزاوية β &gt; α, ومنه &gt; . لكن == + == + لذلك جمع الضلعين + &gt; . هذا الأثبات ظهر في كتاب الأصول, كتاب1,المقترح 20.
في الهندسة الرياضية، تستخدم صيغة هيرو التي سميت على أسم مكتشفها هيرو السكندري لحساب مساحة المثلث عندما يعرف أطوال أضلاعه الثلاث "a" و "b" و "c". على عكس صيغ مساحة المثلث الأخرى، ليس هناك حاجة لحساب الزوايا أو مسافات أخرى في المثلث أولاً.
صيغة القانون.
تنص صيغة هيرو على أن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة a, b, c معروفة هي:
حيث "s" هو نصف محيط المثلث:
ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:
برهان صيغة هيرو.
البرهان بستعمال الحساب المثلثي.
فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه «متريكا»: لتكن "a"، "b"، "c" هي أضلاع المثلث، ولتكن "A"، "B"، "C" زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
من قانون جيوب التمام. نحصل على:
تم تحليل الفرق بين المربعين في مرحلتين مختلفتين.
البرهان بستعمال التحليل البعدي.
انظر إلى تحليل بعدي.
بما أن مساحة متعدد أضلاع ما بما في ذلك مثلث، هي كمية من البعد الثاني، فإن مربعها كمية من البعد الرابع. أضف إلى ذلك أن مساحة المثلث تنعدم كلما استقامت رؤوس هذا المثلث. ينتج عن هذا أن مربع مساحة مثلث تكتب كما يلي:
وبما أن مربع مساحة مثلث هو كمية من البعد الرابع، فإن k لا يمكن له إلا أن يكون كمية من البعد الأول. هذا المربع هو متعددة حدود تماثلية.
لايجاد قيمة C، اعتبر مثلثا قائم الزاوية وفي نفس الوقت متساوي الساقين
تعميم الصيغة للشكل الرباعي.
شكل رباعي عامتا.
يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين.
شكل رباعي دائري(صيغة براهماغوبتا).
تعد صيغة هيرو حالة خاصة لصيغة براهماغوبتا لقياس مساحة الشكل الرباعي الدائري.
إذا افترضنا أن أضلاع الرباعي الدائري هي a, b, c, d فسنجد أن مساحة الرباعي الدائري(A):
حيث "s" هو نصف محيط الرباعي الدائري:
يمكن الحصول على صيغة هيرو عن طريق جعل أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري طوله صفر.
صيغة جيوشاو.
تعزى الصيغة السابقة إلى هيرو السكندري، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.
توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:
اكتشفت هذه الصيغة من قبل الصينيين بشكل مستقل عن الأغريق ونشرها قين جيوشاو في 1247 ميلادية.
برهان صيغة جيوشاو.
إذا كان لدينا: "a"، "b"، "c" هي أضلاع المثلث، ولتكن "A"، "B"، "C" زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
في الهندسة، مسلمة التوازي هي المسلمة الخامسة من مسلمات إقليدس (الهندسة الإقليدية) وتنص أن:
وأذا قطع قاطع للمستقيمين فينتج ما يلي:
كما عرفنا نتائج التوازي فعلياً تلك النتائج تطبيقات وهي لها نظريات:
إنشاءات الفرجار والمسطرة مجموعة مسائل قديمة في الهندسة المستوية يشترط فيها إنشاء أطوال أو زوايا معينة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.
انظر إلى تاريخ الرياضيات اليونانية.
انظر إلى بيير وانتزل وإلى عدد متسام وإلى فيردينوند فون ليندمان.
إنشاء القطع.
من الممكن حسب مبرهنة طاليس ومبرهنة فيثاغورس إنشاء قطع طولها كما يلي:
خطوات تعيين مركز دائرة : نرسم قطعة مستقيمة ثم نعين عليها النقطتين أ ب، نقيم عمود من أ يقطع الدائرة في وثم نقيم عمود من ب يقطع الدائرة في ع نصل بخط من أ إلى ع ثم نصل بخط من ب إلى وونقطة التقاطع بيننهما هي م.
إنشاء المستقيمات.
من الممكن إنشاء ما يلي:
خطوات تعين مركز الدائرة
قمنا برسم دائرة ثم رسم قطعة مستقيمة تقطع الدائرة اقامة عمود من النقطة أ لقطع الدائرة في نقطة واقامة عمود من النقطة ب لقطع الدائرة في ع ثم نصل بين ه، ب، ع مع أ، عند تقاطع الوترين توصلنا إلى تحديد مركز الدائرة.
إنشاء الأقواس والزوايا.
من الممكن إنشاء زاوية متقايسة مع زاوية أخرى.
نقل الزوايا.
نرسم قطعة مستقيمة ل نعين نقطتين س، ص نفتح الفرجار فتحة مناسبة نركز الرأس المدبب في رأس الزاوية المعلومة أ ب ج وأرسم قوساً يقطع ضلعيها في النقطتين أ ب، نستخدم فتحة الفرجار
السابق ونركز الرأس المدبب في النقطة س، وارسم قوساً يقطع المستقيم س ص في النقطة ع، افتح الفرجار فتحة طولها دو وركز الرأ س المدبب في ع وارسم قوساً يقطع القوس الأول في النقطة م صل س م بالمسطرة لتحصل على الزاوية المطلوبة.
إنشاءات مستحيلة.
اعتقد علماء الرياضيات الإغريق أن المسائل اللائي لم يستطيعوا حلحلتها والمتعلقة بإنشاءات المسطرة والبركار أنها صعبة. لم يعتقدوا أنها مستحيلة. في العصر الحالي، بُرهن بشكل قاطع أن هذه المعضلات مستحيلة الحل.
هذه بعض الإنشاءات المستحيلة:
تربيع دائرة.
تربيع دائرة أي رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة ما. تربيع الدائرة يعني انشاء قطعة طولها يساوي . هذا العدد متسام.
انظر إلى مثلث كيبلر.
مضاعفة مكعب.
مضاعفة مكعب أي إنشاء مكعب حجمه ضعف حجم مكعب ما.
تثليث زاوية.
تثليث زاوية أي تقسيم زاوية ما إلى ثلاث أقسام متساوية.
إنشاء مضلعات منتظمة.
بعض من المضلعات المنتظمة قابل للإنشاء، وبعضها غير قابل للإنشاء.
برهن كارل فريدريش غاوس في عام 1796 على أن سبعة عشري أضلاع منتظما قابلٌ للإنشاء. بعد ذلك بخمس سنوات، برهن أن متعدد أضلاع منتظم عدد أضلاعه يساوي n، هو قابل للإنشاء إذا كانت العوامل الأولية الفردية عند تفكيك n إلى جداء أعداد أولية، أعدادا لفيرما، مختلفةً الواحدة منهن عن الأخرى.
الخماسي المنتظم مثالا على ذلك. السباعي المنتظم، أي مضلع له سبعة أضلاع متساوية وسبعة زوايا متساوية، مثال على ذلك.
قمر الدين هو عصير المشمش أو شراب الرحيق من المطبخ العربي الذي يستهلك عادة خلال شهر رمضان المبارك. ويعتقد أنه من سوريا. تم إنتاجه لأول مرة في الغوطة، حيث نمت لأول مرة مجموعة متنوعة من المشمش الأكثر ملاءمة لقمر الدين. ينتشر قمر الدين في جميع أنحاء الشرق الأوسط وشمال إفريقيا وكذلك في الصومال، إلّا أن قمر الدين السوري لا يزال هو الأفضل، لأن مجموعة المشمش الأكثر ملاءمة لعمل قمر الدين تنمو فقط في سوريا وجنوب غرب تركيا. ويُعرف باسم لواشك (بالفارسية: لواشک) في إيران، ويتم تقديمه كلفافة فواكه مجففة.
تم اقتراح العديد من النظريات حول أصل اسم قمر الدين. تقول إحدى النظريات أنها سميت باسم مخترعها، وهو رجل سوري يدعى قمر الدين. قيل إنه كان وسيمًا جدًا لدرجة أنه يشبه القمر، ومن هنا جاء الاسم.
هناك نظرية أخرى تقول أن موسم المشمش تزامن مع رؤية القمر الجديد الذي يمثل بداية شهر رمضان في العام الذي صُنع فيه قمر الدين. هناك نظرية مماثلة، منتشرة في مصر، تُسند أصل الاسم إلى الخليفة الذي كان معروفًا باحتفاله مع قمر الدين عند رؤية الهلال في رمضان.
لإنتاج قمر الدين، يتم غلي المشمش والسكر على النار ثم يتم تصفيته خلال مصفاة خشبية مغمورة بزيت الزيتون. ثم يترك المشمش ليجف تحت أشعة الشمس المباشرة. بمجرد أن يجف تمامًا، يتم تعبئته وشحنه وبيعه. يكون هذا المشمش المجفف أكثر سماكة، وأكثر متانة، وله نكهة أقوى من المشمش المجفف العادي، وبالتالي فهو أكثر ملاءمة لصنع قمر الدين. لا يتطلب صنع الشراب من جلد المشمش هذا سوى إضافة ماء الورد أو ماء زهر البرتقال، وغالبا يتم إضافة قطع المشمش (الطازجة أو المجففة) والثلج أيضًا. في بعض الأحيان، يتم استبدال بعض ماء الزهر بعصير برتقال أو ماء عادي. يتم تقديم قمر الدين تقليدياً بشكل سميك وبارد، ويُعتقد أنه مُقوّى بشكل خاص ومصدر جيد للطاقة والأيونات والماء، وكلها مهمة للغاية بعد يوم من الصيام. يضيف بعض الشوام الصنوبر والثلج إلى قمر الدين، مما يجعل الشراب أكثر سمكا، كالجلاب بنكهة المشمش.
يتم تحضير الصنف الإيراني، لواشك، عن طريق تسخين الثمار ببعض الماء حتى تشكل هريس ثم يمر عبر غربال للتخلص من أي قشر فاكهة. بعد ذلك يتم تسخين الهريس لتشكيل عجينة أكثر سماكة، وبالتالي تترك في الشمس حتى تجف ويقدّم بعد بضعة أيام. تقليديًا، يصنع اللواشك من الخوخ أو المشمش، إلا أن الأصناف الحديثة والتجارية قد تستخدم التفاح، الرمان, الكرز، البرباريس, القرانيا كفاكهة أساسية.
مسلمات هلبرت هي مجموعة من عشرين مسلمة وضعت من قبل ديفيد هلبرت خصيصا لتشكل أساس المعالجة الحديثة للهندسة الإقليدية. نشرت هذه المسلمات لأول مرة في كتاب أسس الهندسة عام 1899. من المسلمات الأخرى المستعملة في الهندسة المستوية : مسلمات تارسكي ومسلمات بيركوف. وقد قدم هلبرت هذه المسلمات في خمس مجموعات. ضمت المجموعة الأولى مسلمات تجميعية، واشتملت المجموعة الثانية على مسلمات ترتيبية والمجموعة الثالثة على مسلمات الموافقة والمجموعة الرابعة على مسلمات الاتصال والمجموعة الخامسة والأخيرة على مسلمة التوازي.
نظير المنصف هو أحد الخطوط المميزة في كل مثلث، يوجد في كل مثلث ثلاثة خطوط تدعى نظير المنصف وهو خط يمر من أحد رؤوس المثلث ويناظر المنصف (الخط الذي يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل) بالنسبة لمنصف زاوية هذا الرأس (الخط الذي يقسم الزاوية إلى نصفين متساويين).
في الهندسة الرياضية، خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارت أويلر، هو خط من أي مثلث غير متساوي الأضلاع، خط مركزي للمثلث، ويمر عبر عدة نقاط مهمة محددة من المثلث، بما في ذلك المركز العمودي، والمركز المحيطي، ومركز الكتلة، ونقطة إكستر، ومركز دائرة النقاط التسعة للمثلث.
يمتد مفهوم خط أويلر للمثلثات إلى خط أويلر للأشكال الأخرى، مثل الرباعي ورباعي السطوح .
مراكز المثلث على خط أويلر.
أظهر أويلر في عام 1765 أنه في أي مثلث، المركز العمودي والمركز المحيطي ومركز الكتلة يقعون على خط واحد (متسامتة). تنطبق هذه الخاصية أيضًا على أي مركز مثلث آخر، مع أنّ مركز دائرة النقاط التسعة لم يُعرف في زمن أويلر. في المثلثات متساوية الأضلاع، تتطابق هذه النقاط الأربعة، لكن في أي مثلث آخر تكون جميعها متميزة عن بعضها البعض، ويُحَدَّدُ خط أويلر بأي اثنتين منها.
تشمل النقاط البارزة الأخرى الواقعة على خط أويلر نقطة دي لونجتشامبس ونقطة شيفلر ونقطة إكستر ومنظار جوسارد . ومع ذلك، فإن المركز الداخلي، عمومًا، لا يقع على خط أويلر؛ إنه موجود على خط أويلر فقط في المثلثات متساوية الساقين، التي يتطابق فيها خط أويلر مع محور التماثل للمثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلث.
المثلث المماسي لمثلث مرجعي هو المماس إلى الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي عند رؤوس المثلث المرجعي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي على خط أويلر للمثلث المرجعي. يقع مركز المشابهة للمثلثات المماسية والعمودية أيضًا على خط أويلر.
إثبات اتجاهي.
افترض أن formula_1 مثلث. إثبات حقيقة أن المركز المحيطي formula_2، مركز الكتلة formula_3 والمركز العمودي formula_4 متسامتة تعتمد على المتجهات الحرة. نبدأ بذكر المتطلبات الأساسية. أولًا، formula_3 تحقق العلاقة
هذا يأتي من حقيقة أن المحاور الكتلية لـformula_3 formula_8. إضافةً إلى ذلك، مسألة سيلفستر هي
الآن، باستخدام إضافة المتجهات، نستنتج أن
بإضافة هذه العلاقات الثلاث، حد بعد حد، نحصل على
ختامًا، formula_12، وهكذا النقاط الثلاثة formula_2 و formula_3 و formula_4 (بهذا الترتيب) على خط واحد.
في كتاب دوري Dörrie، وضع خط أويلر ومسألة سيلفستر معًا في إثبات واحد. ومع ذلك، تعتمد معظم براهين مسألة سيلفستر على الخصائص الأساسية للمتجهات الحرة، بصرف النظر عن خط أويلر.
المسافات بين المراكز.
على خط أويلر، يقع مركز الكتلة "G" بين المركز المحيطي "O" و والمركز العمودي "H" و يبعد ضعف البعد، الذي يبعده عن المركز المحيطي، عن المركز العمودي:
القطعة "GH" قطر لدائرة، المركزين العمودي و الكتلي نهايتي قطر فيها.
يقع المركز "N" لدائرة النقاط التسعة على خط أويلر في المنتصف بين المركز العمودي و المركز المحيطي:
لذا، يمكن إعادة وضع خط أويلر على خط أعداد حيث المركز المحيطي "O" في الموقع 0، "ومركز الكتلة G" عند 2t، ومركز دائرة النقاط التسعة عند 3t، والمركز العمودي "H" عند 6t عامل المقياس "t".
إضافةً إلى ذلك، فإن المسافة المربعة بين مركز الكلتة والمركز المحيطي على طول الخط أويلر أقل من مربع نصف القطر المحيطي "R" 2 بقدر مساوي تسع مجموع مربعات الأضلاعa"،" b"،" "c:"
بالإضافة إلى،
افترض أن A، B ، "C" تشير إلى زوايا رؤوس المثلث المرجعي، وافترض أن x: "y" : "z" نقطة متغيرة في إحداثيات خطية ثلاثية؛ عندها تكون معادلة خط أويلر
معادلة لخط أويلر في إحداثيات كتلية formula_23 هو
تمثيل بارامتري.
يمكن تمثيل خط أويلر بواسطة المعامل "t" ، بدءًا من المركز المحيطي (بإحداثيات خطية ثلاثية formula_25) والمركز العمودي (ذو الثلاث خطوط formula_26). تُعطى كل نقطة على خط أويلر، باستثناء المركز العمودي، بواسطة الإحداثيات الخطية الثلاثية
تشكلت كتركيبة خطية من الإحداثيات الخطية الثلاثية لهاتين النقطتين، بالنسبة للمعامل "t".
الميل.
في نظام الإحداثيات الديكارتية، نشير إلى ميول أضلاع المثلث بالرموز formula_36formula_37formula_38 ونشير إلى ميل خط أويلر بالرمز formula_39. وترتبط هذه الميول وفقًا لـ
لذا فإنّ ميل خط أويلر (إذا كان محدودًا) يمكن التعبير عنه من حيث ميل الأضلاع كـ
فضلًا على ذلك، فإن خط أويلر يوازي الضلع "BC" في المثلث الحاد إذا وفقط إذا formula_43.
العلاقة بالمثلثات المتساوية الأضلاع المدرجة.
المحل الهندسي لمراكز الكتلة للمثلثات متساوية الأضلاع المدرجة في مثلث معين ينشئ بواسطة خطين عموديين على خط أويلر للمثلث المحدد.
في مثلثات خاصة.
مثلث قائم.
في المثلث القائم ، يتطابق خط أويلر مع المتوسط على الوتر — أي أنه يمر عبر كل من الرأس القائم ونقطة المنتصف في الضلع المقابل لذلك الرأس. هذا لأن المركز العمودي للمثلث القائم، نقطة تقاطع ارتفاعاته، يقع على الرأس القائمة بينما يقع مركزه المحيطي، نقطة تقاطع منصفات أضلاعه العمودية، على نقطة منتصف الوتر.
مثلث متساوي الساقين.
يتطابق خط أويلر لمثلث متساوي الساقين مع محور تماثله. في المثلث متساوي الساقين، المركز الداخلي يقع على خط أويلر.
مثلث المتوسطات المتناسبة.
خط أويلر في مثلث المتوسطات المتناسبة (المثلث الذي متوسطاته متناسبة مع الأضلاع، على التوالي.) عمودي على أحد المتوسطات.
أنظمة المثلثات ذات خطوط أويلر المتطابقة.
اعتبر المثلث "ABC" بنقطتي "F" 1 نقطة فيرما و "F" 2. خطوط أويلر للمثلثات العشرة ذات الرؤوس المختارة من "A و B و C و F" 1 و "F" 2 تتقاطع عند مركز الكتلة للمثلث "ABC" .
خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتشكلة بنظام مركزي عمودي (مجموعة من أربع نقاط حيث كل منها المركز العمودي للمثلث المتشكل بالنقاط الثلاث الأخرى) تتقاطع عند مركز دائرة النقاط التسعة المشترك لجميع المثلثات.
التعميمات.
المضلع الرباعي.
في المحدب الرباعي، "المركز شبه العمودي H"، و" مركز كتلة المساحة" "G،" والمركز شبه المحيطي "O" متسامتة، على هذا الترتيب، على خط أويلر، "وHG" = 2 "GO."
رباعي السطوح.
رباعي السطوح هو جسم ثلاثي الأبعاد يحده أربعة أوجه مثلثة. سبعة خطوط مرتبطة برباعي الوجوه تتقاطع عند مركز كتلته، تتقاطع مستوياته المٌنصِفة الستة عند نقطة مونجي، والكرة المحيطة تمر عبر جميع الرؤوس، ومركزها المركز المحيطي. تحدد هذه النقاط "خط أويلر" لرباعي الوجوه المناظر لخط المثلث. مركز الكتلة هو نقطة المنتصف بين نقطة مونجي و المركز المحيطي على طول هذا الخط. يقع مركز كرة النقاط الاثنى عشرة أيضًا على خط أويلر.
عديد الأبعاد المبسط.
عديد الأبعاد المبسط هو عديد أبعاد كل جوانبه مبسطة. على سبيل المثال، كل مضلع هو عديد أبعاد مبسط. خط أويلر المرتبط بمثل عديد الأبعاد هو الخط المحدد بمركز الكتلة و المركز المحيطي للكتلة. هذا التعريف لخط أويلر يعمم ذلك المذكور أعلاه.
لنفترض أن formula_44 مضلع. خط أويلر formula_45 حساس لتماثلات formula_44 بالطرق التالية:
1. لو formula_44 له خط التماثل الانعكاسي formula_48 ، من ثم formula_45 إما formula_48 أو نقطة على formula_48.
2. لو formula_44 له مركز التماثل الدوراني formula_53 ، من ثم formula_54 .
3. إذا كانت كل جوانب formula_44 متساوية في الطول ، إذًا formula_45 متعامد مع الجانب الأخير.
الإنشاءات ذات الصلة.
قطع كيبرت المكافئ لمثلث هو القطع المكافئ الفريد المماس للأضلاع المثلث (بعد مد اثنين منهم ) و خط أويلر الدليل له .
في الهندسة الرياضية، يُطلق اسم الدائرة الداخلية للمثلث على أكبر دائرة موجودة بتمامها ضمن المثلث أي أنها تلامس الأضلاع الثلاث للمثلث دون أن تقطع أي منها، مركز هذه الدائرة يدعى مركز الدائرة الداخلية للمثلث، ومسمى الدائرة الخارجية المماسة لمثلث هي دائرة تقع خارج المثلث وتمس واحد من أضلاعه وتمس مماسات الدائرتين الباقيتين. لكل مثلث ثلاث دوائر خارجية مماسة، تمس كل منها ضلع من أضلاعه، ومن الممكن إيجاد مراكز الدوائر المماسة الخارجية من تقاطع منصفات زوايا المثلث الثلاثة.
إنشاء الدائرة الداخلية.
نرسم منصفات زوايا المثلث حيث تلتقي في نقطة هي مركز الدائرة الداخلية, ثم نرسم المسقط العمودي لهذا المركز فيكون الشعاع هو المسافة بين المركز والمسقط العمودي.
إنشاء الدائرة الخارجية.
نرسم واسطات أضلاع المثلث حيث تلتقي في نقطة هي مركز الدائرة الخارجية, ويكون الشعاع هو المسافة بين المركز وأحد رؤوس المثلث.
شبه المنحرف متساوي الساقين هو شبه منحرف فيه الضلعان غير المتوازيان متساويان في الطول. هو رباعي الأضلاع يقطع فيه محور التناظر ضلعين متقابلين مما يجعله شبه منحرف.
في الهندسة الإقليدية، يعتبر شبه منحرف متساوي الساقين حالة خاصه من حالات شبه المنحرف وهو شكل رباعي محدب مع خط تناظر يشطر زوجا واحدا من الجوانب المتقابلة. يمكن تعريفه بأنه شبه منحرف به ساقين متساويين في الطول والزاوية.
لا يمكن اعتبار شكل متوازي الأضلاع غير المستطيلي شبه منحرف متساوي الساقين لأنه لا يحتوي على خط تناظر. تتميز أشكال شبه المنحرف متساوية الساقين بأن الجانبين المتقابلين (القاعدتين) متوازيتان، أما الجانبان الآخران (الأرجل) متساويتان في الطول وهما خاصيتين مشتركتين مع متوازي الأضلاع ولهما نفس الزاوية. توجد في الواقع زوجان من زوايا القاعدة المتساوية، حيث أن زاوية كل جانب مكملة لزاوية القاعدة عند الجانب الأخر.
قطرا الشكل متساوية الطول أيضا.
عادة ما تعتبر المستطيلات والمربعات حالات خاصة من شبه المنحرف متساوي الساقين على الرغم من أن بعض المصادر قد تستبعدها.
يمكن اعتبار شبه منحرف ثلاثي الأضلاع من الحالات الخاصة الأخرى لشبه المنحرف متساوي الساقين، يُعرف أحيانًا باسم شبه منحرف ثلاثي الساقين. يمكن أيضًا رؤيتها مقطوعة من مضلعات منتظمة من 5 جوانب أو أكثر كاقتطاع لأربعة رؤوس متتالية
التقاطعات الذاتية.
يجب أن يكون أي شكل رباعي غير عابر ذاتيًا له محور تناظر واحد إما شبه منحرف متساوي الساقين أو على شكل طائرة ورقية. ومع ذلك، إذا تم السماح بالتقاطعات، فيجب توسيع مجموعة الأشكال الرباعية المتماثلة لتشمل أيضًا شبه المنحرفات متساوية الساقين المتقاطعة، والأشكال الرباعية المتقاطعة التي تكون فيها الأضلاع المتقاطعة متساوية الطول والأضلاع الأخرى متوازية.
كل مضاد متوازي الأضلاع له شبه منحرف متساوي الساقين كبدن محدب، يمكن تشكيله من الأقطار والجوانب غير المتوازية لشبه منحرف متساوي الساقين.
خصائص شبه المنحرف المتساوي الساقين.
حيث "b1"، و"b2" هي طول الضلعين المتوازيين، "h" طول ارتفاع شبه المنحرف.
الزوايا.
في شبه منحرف متساوي الساقين، زوايتا القاعدة لها نفس القياس الزوجي. في الصورة أدناه، الزاويتان ∠"ABC" و∠"DCB" هما زاويتان منفرجتان لهما نفس الزاوية، بينما الزاويتان ∠"BAD" و∠"CDA" هما زاويتان حادتان لهما نفس الزاوية أيضًا.