CALM/arwiki huggingface dataset:
تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
وبشكل متعاقب "B""n" = "n"! σ"n"(1) for "n" ≥ 0.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
"B""n" = "B""n"(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0...
"B""n" = "B""n"(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0...
يختلف التعريفان فقط في إشارة "B"1. الخيار "B""n" = "B""n"(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - "Handbook of Mathematical Functions".
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0...
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح "B""n" = "B""n"(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for "B""1" متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
التعريفات التوافقية.
العلاقة بالأعداد الأويلرية.
انظر إلى عدد أويلري.
علاقته بأعداد أويلر و"π".
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
نظرة خواريزمية: مثلث سيدل.
انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.
الخصائص الحسابية لأعداد برنولي.
مبرهنات كومر.
ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:
الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.
لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟.
المجموع
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.
إعادة لصياغة نص فرضية ريمان.
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
في التحليل الرياضي، المشتق العكسي أو التكامل غير المحدود، أو الدالة الأصلية لدالة حقيقية "f" هي دالة "F" مشتقها تساوي : "f"، أي أن "F"′ = "f".
القواعد الرياضية.
يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياً بالصيغة:
استُعمل الرمز formula_3 للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير "F(x) + C" هو الاشتقاق العكسي العام للدالة " لأن مشتقة الثابت C هي صفرf". إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.
تشتق قواعد التكامل غير المحدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.
فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت، أي:
كذلك الحال لمجموع دالتين "f" و"g" أو الفرق بينهما:
الطرق المختلفة لايجاد التكامل.
ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهة.
هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:
التكامل بالنشر.
يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.
باستخدام مفكوك تايلور
باستخدام مفكوك ماكلورين
التكامل بالتحليل العددي.
تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.
تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:
حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل ["k" "h", ("k"+1) "h"], مع "h" = ("b"−"a")/"n" و"k" = 0, 1, 2..., "n"−1
في التحليل الرياضي، تقول قاعدة المجموع في التكامل أن :
تستعمل هذه القاعدة كثيرا عند النقل من الجانب اليمين إلى اليسار وبالعكس في عمليات جمع التكاملات. وهي من نتائج قاعدة الجمع في التفاضل وإحدى نتائج خطية التكامل.
قاعدة العامل الثابت في التكامل هي إحدى نتائج قاعدة العامل الثابت في التفاضل كما إنها تنتج عن خطية عملية التكامل :
في التحليل الرياضي، الخطّية هي إحدى الخواص الأساسية للتكامل التي ينتج عنها قاعدة الجمع في التكامل وقاعدة العامل الثابت في التكامل:
في التحليل الرياضي، غالبا ما نعبر عن التكامل غير محدود لتابع معطى (أي مجموعة المشتقات العكسية للتابع) بشكل تابع مع ثابت اختياري يدعى ثابت التكامل.
هذا الثابت يعبر عن خاصية كامنة في المشتقات العكسية.
إذا كان "f" معرفا على مجال ما و"F" هو المشتق العكسي لـ "f"، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية للتابع "f" تعطى بالتابع "F"("x") + "C"، حيث "C" هو ثابت اختياري.
في التفاضل والتكامل -وبشكل عام في التحليل الرياضي، التكامل بالتجزئة أو التكامل بالأجزاء هو إحدى القواعد التي تحول تكامل جداء دوال متعددة إلى تكامل آخر أكثر بساطة وسهولة. تنشأ القاعدة من قاعدة الجداء للاشتقاق.
لنفترض أن formula_1 و formula_2 دالتان متصلتان قابلتان للاشتقاق، وحسب قاعدة التكامل بالتجزئة فإن:
وإذا افترضنا أن formula_4 تساوي formula_5 و formula_6 تساوي formula_7 فإنه يمكن كتابة القاعدة على النحو:
استخدام التكامل بالتجزئة.
ليكن formula_10 و formula_11
إذا formula_12 و formula_13
ونحصل على ما يلي :
في التحليل الرياضي, قاعدة السلسلة المعكوسة هي طريقة للتكامل لتابع تعتمد على تخمين تكامل هذا التابع, ومن ثم مفاضلته باستعمال قاعدة السلسلة. تعتبر هذه الطريقة حالة خاصة من التكامل بالاستبدال.
ترميز نيوتن للتفاضل يتضمن وضع نقطة (dot) فوق اسم التابع، يستخدم هذا الترميز بشكل خاص في الميكانيك:
وهكذا.
لم يستخدم إسحق نيوتن طريقة واحدة للدلالة على التفاضل، ولأن ترميز نيوتن للتفاضل يعد غير عمليًّا فإن ترميز لايبنتز للتفاضل يعد هو الأكثر شيوعًا وانتشارًا.
قاعدة المجموع في التفاضل هي إحدى أكثر القواعد فائدة في عملية الاشتقاق. ومنها تنتج قاعدة المجموع في الاشتقاق. القاعدة بحد ذاتها تنتج مباشرة من المباديء البسيطة للاشتقاق.
تخبرنا قاعدة المجموع أنه من أجل دالتين رياضيتين "u" و"v" :
هذه القاعدة تطبق أيضا على جمع وطرح أكثر من تابعين اثنين:
في التحليل الرياضي ، تقوم قاعد العامل الثابت بإهمال الثوابت من عملية التفاضل للتوابع حيث أن مشتقات العامل الثابت معدوم دوما .
لنفترض أنه لدينا تابع رياضي :
يمكننا استخدام القواعد الأولية للتفاضل لإيجاد ما يلي :
في الرياضيات، تعتبر خطية عملية التفاضل إحدى أهم الخواص الأساسية للمشتق، في حساب التفاضل.
تنتج هذه الخاصية قاعدة الجمع في التفاضل وقاعدة العامل الثابت في التفاضل. لذا يمكننا القول أن عملية التفاضل خطية أو أن معامل التفاضل معامل خطي.
في الرياضيات، تعتبر كثيرات الحدود الأشكال الأبسط للتوابع لإجراء حسابات التفاضل والتكامل عليها. يمكن أن نعطي
صيغ التفاضل والتكامل لكثير حدود كما يلي:
الصفحة الرئيسية: اشتقاق
أمثلة عملية للتدريب على الإشتقاق ..
لنعتبر formula_1:
حل آخر بإستخدام قواعد المشتقة.
لنعتبر formula_4:
formula_11formula_12
formula_13formula_14
مثال 3.
لنعتبر formula_15 :
حل اخر بإستخدام قواعد المشتقة.
مثال 4.
لنعتبر formula_23 :
مثال 5.
مثال 6.
لنعتبر formula_45 :
مثال 7.
لنعتبر formula_47 :
مثال 8.
لنعتبر formula_49 :
في التفاضل والتكامل؛ قاعدة السلسلة هي صيغة رياضية من أجل حساب مشتق دالتين مركبتين أو أكثر.
تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق دالة مركبة من دالتين f و g يساوي جداء مشتق الدالة f للدالة g و مشتق الدالة g، بتعبير رياضي:
قد تكون قاعدة السلسلة قد استعملت لأول مرة من طرف غوتفريد لايبنتس. استعملها من أجل حساب اشتقاق formula_2، تركيبا لدالتين هما دالة الجذر التربيعي والدالة formula_3.
في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :
لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :
أو بترميز لايبنز :
لنحسب تفاضل formula_3. حسب قاعدة الضرب لدينا:
لتكن formula_5، ونعتبر أن formula_6 وformula_7 موجودين. لدينا:
جداء أكثر من حدين.
قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:
من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال formula_10، يتوفر ما يلي:
اشتقاق من درجات عليا.
انظر إلى مبرهنة ذي الحدين.
في التحليل الرياضي، قاعدة ناتج القسمة إحدى طرق إيجاد مشتق أو تفاضل تابع رياضي هو ناتج قسمة تابعين رياضيين قابلين للاشتقاق :
إذا كان التابع المراد مفاضلته ، formula_1, يمكن أن يكتب :
و formula_3 ≠ formula_4, تقول القاعدة عندئذ أن مشتق formula_5 يساوي:
[[تصنيف:دوال عكسية]]
[[تصنيف:قواعد الاشتقاق]]
في التحليل الرياضي، قاعدة لوبيتال تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.
نشر غييوم دي لوبيتال هذه القاعدة في كتابه الذي صدر عام 1696 "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" (حرفيًًّا: تحليل اللامتناهيات في الصغر لفهم الخطوط المنحنية)، أول كتاب مدرسي حول حساب التفاضل. ومع ذلك، يُعتقد أن القاعدة اكتشفها عالم الرياضيات السويسري يوهان بيرنولي.
مبدأ نظرية اوبيتال.
ليكن formula_1 عددا حقيقيا أو حتى formula_2، حيث تكون الدوال الحقيقية formula_3 وformula_4 معرّفة بقرب formula_1 وformula_4 مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر formula_7 في "a"، حيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.
نص قواعد أوبيتال.
النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتين للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر formula_8 معرّفا :
formula_10.
و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.
التعميم الأول.
على دوال، حيث formula_11 غير موجود بالضرورة.
هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.
التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في "a" لانهائية.
هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.
نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ["b" ; "a"]
تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض "a" بـ formula_16.
في حالة « formula_17 »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :
في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :
أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :
و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :
نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال
موجودة :
في حين أن :
في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن "g'(x)" مخالفة للصفر بقرب "a"، بمعنى آخر أن "g" لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :
و بالتالي
و لكن
الاستدلالات.
الاستدلال على الصيغة البسيطة.
إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :
الاستدلال على التعميم الأول.
يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
لكل عدد حقيقي "x" من ]"a" ; "b"[، يوجد عدد حقيقي "c" من ]"a" ; "b"[ بحيث formula_37.
بما أن formula_38 وأن formula_39، فإنه بالمثل لـ formula_40.
الاستدلال على التعميم الثاني.
يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن (g(x مخالفة للصفر على النطاق ]"a" ; "b"[، لكل "x" و"y" مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق ["x" ; "y"]
في كل نطاق ["x" ; "y"]، يوجد عدد حقيقي "c" من ["x" ; "y"] بحيث formula_41
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه (g(x مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :
بما أن formula_44، و"c" تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار "y" بحيث يكون formula_45 قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل "x" من ]"a" ; "a" + "r"[.
للنهايات في formula_16، يكفي أن نضع formula_47 ونحاول أن نجد نهاية في formula_48.
لتكن formula_3 وformula_4 دالّتين معرّفتين على formula_51، قابلتين للاشتقاق على formula_52، إذا كانت formula_53 مخالفة للصفر وكانت formula_54 فإن
في التحليل العددي، طريقة نيوتن أو طريقة نيوتن-رافسون هي خوارزمية فعالة لإيجاد جذور تابع حقيقي. لذلك تعتبر مثالا لخوارزميات إيجاد الجذور. يمكن استخدامها لإيجاد الحدود العليا والحدود الدنيا لمثل هذه التوابع، عن طريق إيجاد جذور المشتق الأول للتابع.
التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة قصوى قريبة من «جذر المعادلة». ونغير التمثيل البياني بالمماس ونحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة، ومن ثم يمكن إعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للجذر.
عمليا: العمليات بالنسبة ل"f" : ["a", "b"] → R, دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال["a", "b"]
نختار قيمة اعتبارية"x"0 (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعي"n":
حيث 'f هي الدالة المشتقة للدالة f.
نستطيع أن نبين أنه إذا كانت 'f  دالة متصلة والجذر المجهول α معزول، فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x0 للجوار، المتتالية (xn) تقترب من α. أكثر من ذلك، إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة تقريبا تتضاعف في كل مرحلة.
انظر إلى شرف الدين الطوسي وإلى غياث الدين الكاشي.
الجذر التربيعي لعدد ما.
طريقة نيوتن هو واحدة من الطرق المستعملة من أجل حساب الجذر التربيعي.
على سبيل المثال، حساب الجذر التربيعي للعدد 612 يكافئ ايجاد حلحلة للمعادلة التالية:
إذن، الدالة التي ينبغي استعمالها في إطار طريقة نيوتن هي:
ذات المشتقة التالية:
بقيمة متنبئة أصلية مساوية للعدد 10، المتتالية التي تعطيها طريقة نيوتن هي كما يلي:
حيث الأرقام الصحيحة مسطر عليهن. بعد عدد قليل فقط من التكرارات، أمكن الحصول على حلحلة دقيقة إلى حدود مجموعة من الأرقام بعد الفاصلة.
الحركة البراونية في الفيزياء، نسبةً لمكتشفه روبرت براون وهي:
لاحظ براون أن حركة الحبيبات الهلامية الصغيرة في سائل ناتجة عن حركة جزيئات السائل التي تصطدم بها. فكل ذرة أو جزيئ في السائل له حركة تتغير شدتها بتغير درجة حرارة السائل.
وتستخدم نظرية براون لوصف الجزيئات الغروانية.
تاريخ الحركة البراونية.
يُنسب اكتشاف الحركة البراونية إلى عالم النباتات الأسكتلندي روبرت براون، عام 1827، إثر دراسته لجزيئات رحيق الأزهار. فقد لاحظ عندما وضع هذه الجزيئات في الماء لملاحظتها عن طريق المجهر، لاحظ أنها في حركة عشوائية متواصلة.. فتساءل عن سبب هذه الحركة.. أهي ناتجة عن كون الجزيئات كائنات حية؟ (كحركة البكتيريا مثلا)..؟؟.. للتأكد من هذه الفرضية قام براون بتكرار التجربة نفسها، مستخدما هذه المرة جزيئات معدنية ميكرونية، ومن جديد، شاهد حركة شديدة التشابه مع ملاحظاته السابقة.. وقد أثبتت هذه التجارب ان الحركة البراونية غير ناتجة عن قوة حيوية... لكن ما أصل هذه الظاهرة؟.. هل أصلها فيزيائي كما ذكر ألبرت أينشتاين في واحدة من مقالاته الشهيرة؟..
تعيين ثابت بولتزمان.
في بداية القرن العشرين، عمل ألبرت أينشتاين على تطوير النظرية الذرية للمادة وإيجاد دلائل على صحتها.. فتوقع -في إحدى مقالاته الخمسة الشهيرة لسنة 1905 م- ظاهرة الحركة البراونية دون دراية مسبقة بتجارب براون. وتعتبر مساهمة أينشتاين في هذا المجال من أركان الفيزياءالإحصائية.
باعتبار formula_1 متوسط مربع الإزاحة للجسيم في الثانية ويمكن تقديره عمليا. بين ألبرت أينشتاين عام 1905 و"ماريان سمولوشوفسكي " عام 1906 - كل على حدة - أن :
بهذه الطريقة استطاع العالم الفيزيائي جان بيرين تعيين ثابت بولتزمان عمليا، حيث:
وحصل جان بيرين على جائزة نوبل للفيزياء عام 1926.
مساهمة أينشتاين.
تنقسم نظرية أينشتاين عن الحركة البراونية إلى قسمين : الجزء الأول يتعلق بصياغة معادلة النفاذية للجسيمات البروانية وربط فيها بين معامل النفاذية (أو معامل الانتشار) بمتوسط مربع ازاحة الحبيبة البراونية. بهذه الطريقة استطاع أينشتاين أن يعين حجم الذرات وعدد الذرات التي تكون 1 مول وتعيين الوزن الجزيئي بالجرام لغاز. وطبقا لقانون أفوجادرو فحجم الغاز المولي يحوي 1 مول من الجزيئات، وهو ثابت لجميع الغازات، ويساوي 22,414 لتر عند الظروف القياسية لدرجة الحرارة والضغط. وعدد الذرات الذي يكونها 1 مول هو عدد أفوجادرو الذي يعتمد في تعيينه على معرفة الكتلة الذرية حيث نحصل عليه عن طريق قسمة الكتلة المولية على عدد أفوجادرو.
وكانت صياغة أينشتاين في الجزء الأول تعتمد على دراسة حركة حبيبة براونية حين تعبر مسافة معينة خلال فترة زمنية معينة في سائل. ولا تستطيع الميكانيكا الكلاسيكية تعيين تلك المسافة حيث أن عدد كبير من تصادمات جزيئات السائل الواقعة على الحبيبة البراونية إذ يبلغ عددها نحو
formula_9 من الصدمات في الثانية الواحدة.
لذلك لجأ أينشتاين إلى اعتبار الحركة الجماعية للحبيبات البراونية، وبين أنه إذا كانت
formula_10 كثافة الحبيبات البراونية عن نقطة formula_11 عند الزمن formula_12, إذن formula_13 ستوفي بمعادلة النفاذية :
حيث formula_15 نفاذية الكتلة mass diffusivity.
وباعتبار أن جميع الحبيبات تبدأ عند نقطة معينة عند الزمن formula_16, فيكون حل معادلة النفاذية هو نفاذية الحبيبات البراونية.
واستطاع اينشتاين حساب زخم الحركة للحبيبات بتلك المعادلة.
ويبدو اختفاء كمية الحركة الأولى للحبيبات مما يعني أن كل حبيبة يمكنها الحركة إلى اليمين أو إلى اليسار.
ثم وجد أن زخم الحركة الثاني لا يختفي وتبلغ قيمته :
وهذه المعادلة تعطي متوسط مربع الإزاحة كدالة تعتمد على الزمن والنفاذية. ومن تلك الصيغة اوضح اينشتاين ان ازاحة الحبيبة البراونية لا تتناسب مع الزمن وإنما مع الجذر التربيعي للزمن. وكان هذا الاستنتاج مبنيا على ربطه بين حركة "مجموعة " من الحبيبات البراونية وحركة الحبيبة "المنفردة" : حيث يمكن تماثل عدد الحبيبات النسبي عن لحظة معينة أو تعيين الوقت اللازم الذي تستغرقه حبيبة واحدة للوصول إلى مسافة معينة.
الجزء الثاني لنظرية أينشتاين عن الحركة لبراونية متعلق بالعلاقة بين معامل النفاذية وكمية فيزيائية يمكن قياسها عمليا، مثل متوسط مربع الإزاحة عند زمن معين. وقد أدت تلك الرؤية إل تعيين عدد أفوجادرو بطريقة معملية وتعيين حجم الجزيئات. واعتبر أينشتاين تواجد عدة قوى متضادة في حالة التوازن الديناميكي للحبيبات في سائل. وينبع عبقرية تلك الرؤية أن النتيجة النهائية لا تعتمد على نوع القوي المتسببة في التوازن الدينامي.
في معاملته الأصلية للمسألة اعتبر أينشتاين تجربة الضغط الأزموزي، ولكن يمكن الوصول إلى نفس النتيجة بافتراض طرق أخرى. فلنفترض حبيبة عالقة في سائل له لزوجة معينة وواقعة تحت تأثير الجتذبية الأرضية. فتعمل الجاذبية على تحريك الحبيبة إلى أسفل والرسوب بينما تعمل النفاذية (الانتشار) على توزيع الحبيبات متساويا أي تنزاح إلى مناطق في السائل تقل الكثافة الحبيبات فيها. تكتسب الحبيبة بسبب الجاذبية سرعة إلى أسفل قدرها
formula_19,
حيث : formula_20 كتلة الحبيبة و, formula_21 عجلة الجاذبية الأرضيةformula_22 وحركية الحبيبة في السائل.
وقد بين "جورج ستوكس" أن "حركية" حبيبة كرية الشكل نصف قطرها formula_6 في سائل لزوجته formula_7 يبلغ :
حيث formula_7 اللزوجة الديناميكية.
وفي حالة توازن دينامي تتوزع الحبيبات في سائل تحت تأثير الجاذبية الأرضية بنفس توزيعها في الهواء طبقا لتوزيع الضغط الجوي :
أي تزداد كثافة الحبيبات على ارتفاع منخفض، وتقل كثافة وجودها مع الارتفاع عن سطح الأرض.
الفرق في كثافة الحبيبات يبلغ ارتفاعهما عن بعض formula_29 , وformula_30 ثابت بولتزمان (وهو يساوي ثابت الغازات العام formula_3 مقسوما على عدد أفوجادرو (formula_32)) و formula_4 درجة الحرارة المطلقة. والمطلوب تعيين عدد أفوجادرو.
ويصل النظام إلى حالة توازن دينامي بسبب تجمع الحبيبات إلى أسفل تحت تأثير الجاذبية الأرضية من ناحية ومحاولة الحبيبات من ناحية أخرى في الانتشار إلى أماكن تقل فيها الحبيبات. ويصل التوازن الديناميكي إلى حالة تدرج في التوزيع مطابقة لقانون فيك للانتشار :
حيث formula_35.
وبالتعويض عن formula_13, نحصل على :
وفي حالة التوازن الدينامي تكون السرعة مساوية formula_19. ويلاحظ أن التعبيرات عن
formula_39 تتناسب طرديا مع formula_40, مما يعبر على عدم اعتماد هذا الاستنباط عل نوع القوي المؤثرة. وبمساواة ذلك التعبيرين بعضهما البعض تنتج معادلة النفاذية (أو معادلة الانتشار):
في هذه المعادلة : التساوي الأول يأتي من الجزء الأول لنظرية أينشتاين، والتساوي الثالث يأتي من تعريف ثابت بولتزمان أن formula_42, والتساوي الرابع يأتي من معادل ستوكس عن الحركية.
بقياس متوسط مربع الإزاحة لمدة زمنية معينة وبمعرفة ثابت الغازات العام formula_3, ودرجة الحرارة
formula_4, وبمعرفة اللزوجة formula_7, ونصف قطر الحبيبة formula_6, نستطيع تعيين عدد أفوجادرو formula_32.
قصرُ الحمراء هو قصرٌ أَثري وحصن وأحد أهم صروح العمارة الإسلامية المسلوبة في الأندلس. شَيَّده مؤسس دولة بني الأحمر "الغالب بالله" أبي عبد الله محمد الأول محمد بن يوسف بن محمد بن أحمد بن نصر بن الأحمر بين 1238-1273 في مملكة غرناطة خِلالَ النصف الثاني من القرن العاشر الميلادي. يعد الآن من أهم المعالم السياحية بأسبانيا ويقع على بعد 267 ميلًا (430 كيلومتر) جنوب مدريد. تعود بداية تشييد قصرِ الحمراء إلى القرن الرابع الهجري، الموافق للقرن العاشر الميلادي، وترجع بعض أجزائه إلى القرن السابع الهجري الموافق للقرن الثالث عشر الميلادي. وقد استغرق بناؤه أكثر من 150 سنة.
من سِمات العمارة الاندلسية الإسلامية الواضحة في أبنية القصر؛ استخدام العناصر الزُخرفية الرقيقة في تنظيمات هندسية كزخارف السجاد، وكتابة الآيات القرآنية والأدعية، بل حتى بعض المدائح والأوصاف من نظم الشعراء كابن زمرك، وتحيط بها زخارف من الجص الملون الذي يكسو الجدران، وبلاطات القيشاني الملون ذات النقوش الهندسية، التي تغطي الأجزاء السفلى من الجدران.
في سنة 2007، اُخْتِيرَ قصرُ الحمراء ضِمن قائمة كنوز إسبانيا الإثنى عشر في استفتاءٍ صوّت فيه أكثر من تسعة آلاف شخص.
الهضبة على الضفة اليسرى لنهر حدره حيث يقع قصر الحمراء ممتدة من غرب الشمال الغربي إلى شرق الجنوب الشرقي على مساحة 142000 مترٍ مربعٍ بأبعاد 740 متر (2430 قدم) طولا إلى 205 متر (674 قدم) عند أعرض نقطة بها. من أبرزِ المعالم "قصبة الحمراء" وهو حصن يحتل مكانا منيعًا من الهضبة، وباقي الهضبة محاطةٌ بسور أضعف نسبيا مع وجود ثلاثة عشر برج بعضها لأغراض دفاعية. على مرتفع مجاور للحمراء؛ تقوم جنة العريف، وهي حديقة ملوك بني نصر، وتحتوي على أجنحة وأروقة محاطة بحدائق جميلة تسقى من خلال قنوات ونوافير ماء.
تعطلت مخارج المياه في هذه البركة حين حاول الأسبان التعرف على سر انتظام تدفق المياه بالشكل الزمني الذي كانت عليه. من الجدير بالذكر أن الحضارة الإسلامية استخدمت الفوارات في زخرفة الحدائق العامة والخاصة، وقد وصلت براعة المهندسين المسلمين في القرن الرابع الهجري/ العاشر الميلادي حدًا كبيرًا في صنع أشكال مختلفة من الفوارات يفور منها الماء كهيئة السوسنة، ويتم تغييرها حسب الحاجة ليفور الماء كهيئة الترس وفي أوقات زمنية محددة، وتمثل فوارات قصر الحمراء وجنة العريف نموذجًا متطورًا لما وصلت إليه إبداعات المسلمين في ذلك الوقت.
الجدير بالذكر أن الجناح المجاور لساحة الإمبراطور شارلكان من جهة الجنوب يحمل لوحة رخامية تذكارية تذكر أنه كان مقامًا للكاتب الأمريكي واشنطن إيرفينج عام 1829 الذي اشتهر بكتابته فتح غرناطة وقصر الحمراء.
الأبراج والأبواب.
الأبراج:
يحاط قصر الحمراء ب 37 برج عملاقا.
الأبواب
http://www.youtube.com/watch?v=rq8uze3LfxU
الكريكت رياضة جماعية يلعبها فريقان، فيهم أحد عشر لاعباً لكل فريق. تضرب فيها كرة بحجم قبضة اليد من قبل لاعب يدعى رامي الكرة (بالإنجليزية: Bowler)، أما اللاعب الخصم الذي يدعى رجل المضرب فيحاول صدّ الكرة باستخدام مضرب نحيف شبيه بالمجذاف. يتركّز الانتباه أساسا حول علامتين تشكلان الأهداف تدعيان ويكيت وهما مجموعة من ثلاثة عصي متصلة تسمى جذوع الكريكيت، يحاول رامي الكرة إصابتها لكي يوقع قطعتان خشبيتان اثنتان مثبتتان على الجذوع ويدعيان كفالات الكريكيت.
تاريخ الكريكت.
تعد الكريكيت إحدى أعرق الرياضات الإنكليزية، التي يُختلف على نشأتها.
وبعكس الاعتقاد السائد بأن كرة القدم هي الرياضة الوطنية في إنكلترا، فهناك اتجاه يرى أن هذه الرياضة نشأت في القرن السادس عشر في أثناء حكم تيودور، في حين تتفق معظم الآراء مع الرأي القائل بنشأتها على أيدي أطفال المزارعين في منطقة ويلد الواقعة بين كنت وسوسكس، خلال العصور الوسطى، ثم امتدت في ما بعد إلى نظرائهم البالغين.
ففي عام 1624 سقط أول ضحايا تلك اللعبة، عندما تلقى اللاعب جاسبر فينيل ضربة على رأسه أردته قتيلاً في الحال خلال مباراة للكريكيت بقرية سوسكس.
كما تتضارب الآراء، أيضًا حول جذور كلمة "كريكيت" ومعناها، فهناك من يرى أنها ذات جذور هولندية، وتعني العصا، وهناك من يرى أنها ذات جذور فرنسية وتعني مطرقة، وهناك من يرى أنها ذات جذور ساكسونية.
قرب نهاية القرن السابع عشر، انتشرت لعبة الكريكيت بين أفراد الطبقة الأرستقراطية في أوروبا.
وفي عام 1737، ترأس فريدريك أمير ويلز ابن الملك جورج الثاني، فريقا مختلطا من لاعبي مقاطعات بريطانية أخرى. وكان أول قانون يصدر للعبة هو الذي نشر في عام 1774، عندما قام جماعة من السادة المحليين بانشاء نادي هامبدن للكريكيت، وهو النادي الشهير في جنوب شرق مقاطعة نيوهامبشاير.
ويعتبر هذا التاريخ بداية اللعبة بشكلها الذي نعرفه حاليا، أما أول تسجيلات كاملة للعبة، فهي التي دونت وجمعت في حوالي عام 1780، وكان ذلك عندما أصبح فريق نادي هامبدن اقوى فريق كريكيت في إنجلترا.
الكريكيت والمقامرة.
في ذلك العهد كان أفراد الطبقة الأرستقراطية في بريطانيا يهوون المقامرة[، وقد هيأت مباريات الكريكيت فرصة سخية لهم لإشباع تلك الهواية. ومما يروى في هذا الصدد أن مجموع المراهنات التي أجريت بمناسبة المباراة بين فريقين من داخل بريطانيا نفسها بلغ في مرة من المرات مبلغ 20000 جنيه إسترليني. وازاء ضخامة المبالغ التي كانت تشملها المراهنات في ذلك الحين على مباريات الكريكيت، أخذ مركز اللعبة يتزعزع اذ ان المراهنة كثيرا ما كانت تؤدي إلى ضروب من الغش والخداع. وقد ترتب على ذلك أن اخذت اللعبة تفقد ما اكتسبته من انتشار في بريطانيا. وقام نادي ماريليبون للكريكيت بوضع الكثير من القيود لوقف عمل المراهنات على لعبة الكريكيت.
تتفاوت أبعاد ساحات لعب الكريكيت من مكان لآخر، إلا أن الأبعاد الشائعة هي 137م للعرض و150م للطول، وتبلغ المسافة بين المرميين 22 ياردة (20,12م) في وسط الساحة، حيث يكونان متوازيين ومتقابلين، ويبلغ عرض كل مرمى تسع بوصات (22,9سم) وتسمى المسافة بينهما بمسافة الرمي، وتكون الجذوع قريبة بعضها من بعض حتى لاتتمكن الكرة من المرور بين أي اثنين منها، أما ارتفاع الجذوع فيبلغ 28 بوصة (71,1سم) يبلغ طول كل عصا (11,1سم)، وتستقر العصاتان في أخاديد على قمة الجذوع ولا ترتفعان أكثر من (13مم) فوق الجذوع.
وتستخدم الطباشير أو الجير الأبيض لرسم خطوط بيضاء لحدود معينة في الملعب. ويخترق أحد الخطوط الذي يبلغ طوله (2,46م) جذوع المرميين، على أن يكون الجذع الأوسط في منتصفه. ويحدد خط آخر مسافة (1,22م) للأمام، حيث يمتد لمسافة (1,83م) على أي من جانبي منتصف المرمى، غير أنه يعد غير محدد الطول. ومن نهايتي الخط المار بالمرمى يمتد خطان إلى الخط الآخر، وإلى الخلف لمسافة (1,22م) خلف الخط المار بالمرمى. ويجب على اللاعب تمرير الكرة وجزء من قدمه الأمامية خلف الخط الأمامي للمرمى، بينما يكون الجزء الخلفي من القدم بين الخطين.
المضرب.
وهو مضرب عريض الشكل مصنوع من الخشب لا يتجاوز طوله الـ97 سم ولا يتجاوز عرضه الـ10,8 .
الكرة.
الكرة في الكريكيت شبيهة بالكرة المستخدمة في البيسبول لكنها تختلف في اللون والملمس، لا تحدد قواعد اللعبة نوعية المادة المصنوعة منها الكرة، والكرة الجيدة هي تلك المصنوعة من الفلين المغلف بالجلد، ويجب أن يكون محيط الكرة بين (22,4و 22,9سم) ووزنها ما بين (155,9 و 163 غراما)وفقًا لقوانين الرياضة.
النصيبة.
هي عبارة عن قاعدة مكونة من ثلاث أعمدة خشبية مثبتة في الأرض يبلغ طول الواحدة منها حوالي الـ71 سم والمسافة من عمود إلى آخر هي 23 سم، ويوجد في أعلى النصيبة قطعتين من الخشب لا يتجاوز طولهما 1,3 سم، يوجد نصيبتان في الملعب مثبتتان في المستطيل الذي يتوسط .