CALM/arwiki huggingface dataset:
وفي الرياضيات نستخدم هذا النوع من المناقشات للوصول إلى صحة بعض النظريات، خذ مثلا طريقة إثبات أن المماس للدائرة يكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس، فنحن نبدأ البرهان بفرض أن المماس ليس عموديا على نصف القطر وبالسير بالمناقشة الصحيحة نأتي إلى أن المماس يقطع الدائرة في نقطتين وبما أن النتيجة تتعارض مع تعريف المماس ، ينتج أن الفرض الأساسي ليس صحيحا ويكون المماس عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس.
عناصر المنطق.
جملة.
الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى، مثال:
من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة، مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.
عبارة.
تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة
نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحا وإما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة
جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة]
يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كلاهما
هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كلاهما
من أمثلة الجمل التي تكون قضايا
ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ
من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ
أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب...
بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ
مثل :
نفي العبارة P هو عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة، وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب formula_1.
العطف.
عطف العبارتين p و Q يكون صحيحا فقط إذا كانت العبارتان معا صحيحتين. ونرمز له ب formula_2
فصل العبارتين p أو Q يكون صحيحا فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة أو كلاهما ونرمز له ب formula_3
الاستلزام.
تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
و نرمز لها ب:
formula_4 وهي تكافئ العبارة: formula_5.
تكافؤ العبارتين formula_6 وformula_7 هو formula_8, ونرمز له ب: formula_9 و يكون صحيحا إذا كانت P و Q خاطئتين أو صحيحتين معا
القوانين المنطقية.
القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.
المثالين الأخيرين، يعرفان بقوانين دي مورغان [De Morgan's laws].
دوال العبارة.
دالة العبارة، هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.
بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من formula_14 إلى formula_15 بحيث:
المكممات.
هناك نوعان وجودية وكونية.
نرمز للوجودية بالرمز formula_19.
نرمز للكونية بالرمز
formula_22.
= المكممات والروابط المنطقية =
عندما يكون هناك وجوديات، النفي يعبر عنه ب:
مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.
تطبيق على نظرية المجموعات.
هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.
الاستلزام والتضمن.
نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.
و نكتب:
نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.
مجموعة الأجزاء.
= مجموعة الأجزاء =
كل مجموعة لها عدة أجزاء، وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.
التساوي والتكافؤ.
المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.
= المتمم والنفي =
متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.
علق حاتم على هذه فقال :
المتممة أمر نسبي
قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "
إذا كانت
المجموعة الشاملة = ش
متمم أ هو ب
لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ
x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.
= التقاطع والعطف =
تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: formula_26.
x من C يكافئ: x من A و x من B.
الاتحاد والفصل.
اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين، والتي نرمز لها ب: formula_27.
x من C يكافئ: x من A أو x من B.
=خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=
= الفرق =
ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B
تطبيق في البرهنة الرياضية.
برهنة: formula_29
لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:
x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B
في هذه الحالة علينا أن نبرهن:
برهان:
شرح الخطوات:
1 و4- حسب تعريف التقاطع
2 و5- حسب تعريف الاتحاد
3-
نبرهن: formula_39
بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ formula_40 وformula_41
الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان
المنطق الرياضي والدوائر الكهربية.
بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات
المنطق الرياضي والبرمجة.
يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.
بوابة منطقية
هربرت سبنسر هو فيلسوف بريطاني (27 ابريل 1820 - 8 ديسمبر 1903).مؤلف كتاب " الرجل ضد الدولة" الذي قدم فيه رؤية فلسفية متطرفة في ليبراليتها. كان سبنسر، وليس داروين، هو الذي اوجد مصطلح "البقاء للأصلح ". رغم أن القول ينسب عادة لداروين. وقد ساهم سبنسر في ترسيخ مفهوم الارتقاء، واعطى له ابعادا اجتماعيا، فيما عرف لاحقا ب الدارونية الاجتماعية.و هكذا يعد سبنسر واحدا من مؤسسي علم الاجتماع الحديث.
يعتبر سبنسر أحد أكبر المفكرين الإنجليز تأثيرا في نهاية القرن التاسع عشر ولد سنة 1820 وتوفي سنة 1903 وهو الأب الثاني لعلم الاجتماع بعد أوجست كونت الفرنسي، اشتهر بنظريته عن التطور، وقد استند على هذه النظرية في وضع الأسس لنسق ومنظومة اجتماعية(سوسيولوجية)تؤكد التطور تجاه تعقيد اجتماعي متزايد وارتفاع درجة الفردية فالمجتمع في نظره مثل الكائن الحي المعقد، يتصف بحالة من التوازن الدقيق ولا ينبغي ألاّ يسمح إلّاـ لعملية التطور الطبيعية بالتأثير في نموه.ولقد أدى هذا التأكيد على الفردية والتكيف الطبيعي إلى معارضة الإصلاح من خلال تدخل الدولة سبنسر، طوال حياته كان عدوّا للحرب والإمبريالية وهذا هو سبب معارضته الحرب الأمريكية الإسبانية لعام 1898.
ولد سبنسر في ديربي، وتلقى معظم تعليمه في المنزل، عمل كمهندس مدني، لكن كتاباته المبكرة 1848 شهدت اهتماما بألامور الاقتصادية. حيث عمل كمحرر في جريدة الايكونومست "الاقتصادي".و التي كانت، كما هي الآن، جريدة اقتصادية مؤثرة ومهمة.
عام 1851 انضم إلى مجموعة جون تشابمان، التي كانت ترعى الفكر الحر والإصلاح، و بالذات تروج لفكرة التطور والارتقاء. طلب تشابمان من سبنسر ان يبحث نظرية توماس مالتوس ويعرضها في العدد الأول من مجلة اشرف على إصداراها، و رأى سبنسر في نظرية مالتوس قانونا عاما يصلح للبشر كما للحيوانات، حيث تعمل الحروب والكوارث والاوبئة على تصحيح الزيادة السكانية.
من هذه اللحظة فصاعدا اعتبر سبنسر كاتبا مهما، ووجد تعبير" البقاء للأصلح " رواجا كبيرا، و توالت كتبه التي شملت مواضيع مختلفة، وكانت ترى مسألة التطور والارتقاء في شتى الجوانب الاجتماعية.حيث لا مكان للضعيف في سباق الاقوياء.شكلت الدراوينية الاجتماعية في تلك الفترة بمثابة كفارة لضمير الإنسانية المتعب: حيث قدمت على أنها قانون الطبيعة الذي لا حياد عنه. كان سبنسر يمتلك علاقات وثيقة مع كبار الرأسماليين في عصره، الذين تلقفوا افكاره ورحبوا بها، وكان سبنسر قد اخبر كارينجي، واحد من أهم رأسماليي عصره: إن صعود شخص مثله، لم يكن نتيجة حتمية فحسب، بل كان حقيقة علمية.
كان سبنسر معجبا جدا بداروين، ومن اجله فقط، حنث بيمينه بعدم دخول أي كنيسة، حيث حضر القداس على روحه في كنيسة وستمنستر.
قرأ سبنسر بحماس عن علم الاجتماع الوضعي الأصلي لأوغست كومت. اقترح كومت (وهو فيلسوف في العلوم) نظرية للتطور الاجتماعي والثقافي يتقدم بها المجتمع بموجب قانون عام من ثلاث مراحل. رفض سبنسر بعد تطورات مختلفة في علم الأحياء ما اعتبره الجوانب الأيديولوجية لوضعية كومت محاولًا إعادة صياغة العلوم الاجتماعية بحسب قانون التطور الذي احترم الجوانب البيولوجية والنفسية والاجتماعية للكون.
وُصِف علم الاجتماع الذي وضعه سبنسر بالداروينية الاجتماعية الممزوجة باللاماركية، وذلك نظرًا للأهمية التي أعطاها سبنسر للتطور. ومع ذلك، تعتبر هذه النظرة لعلم اجتماع سبنسر مغلوطة؛ إذ اتفقت كتاباته السياسية والأخلاقية مع الداروينية الاجتماعية، ولكن هذا التوافق كان غائبًا في الأعمال الاجتماعية لسبنسر، فقد ركزت أعماله على الطريقة التي تؤدي فيها عمليات النمو والتمايز الاجتماعي إلى درجات مختلفة من التعقيد في التنظيم الاجتماعي.
جادل سبنسر بأنّ تقدم التطور من البسيط المتجانس غير المتمايز إلى المعقد المتمايز غير المتجانس يتضح ويتمثل بتطور المجتمع. وضع سبنسر نظرية عن نوعي المجتمع المكافح والصناعي بشكل يتوافق مع تقدم التطور؛ إذ كان المجتمع المكافح الذي تطغى عليه علاقات التسلسل الهرمي والانصياع بسيطًا وغير متمايز بينما كان المجتمع الصناعي القائم على أساس من الالتزامات الاجتماعية الطوعية معقدًا ومتمايزًا. تطور المجتمع الذي اعتبره سبنسر «كائنًا اجتماعيًا» من الحالة الأكثر بساطة إلى الحالة الأكثر تعقيدًا وفقًا لقانون التطور العالمي، واعتبر المجتمع الصناعي السليل المباشر للمجتمع المثالي الذي ذكره سبنسر في كتابه «الإحصائيات الاجتماعية»، وذلك على الرغم من ارتباكه حول ما إذا كان تطور المجتمع سيؤدي إلى في النهاية إلى اللاسلطوية (كما كان يعتقد في السابق) أو ما إذا كان سيبقى دور الدولة مسيطرًا مع انخفاض تطبيق العقود وتدني الدفاع الخارجي.
قدم سبنسر بعض المساهمات القيمة في بدايات علم الاجتماع، ومنها التأثير الذي حمله على الوظيفية الهيكلية، ومع ذلك، لم تنجح محاولته في إدخال الأفكار اللاماركية أو الداروينية إلى عالم علم الاجتماع. اعتُبِر هذا الأمر خطيرًا بشكلٍ فعال من قبل كثيرين؛ إذ كان أخصائيو علم التأويل في تلك الفترة -مثل فيلهلم دلتهي- يسعون إلى التمييز بين العلوم الطبيعية والعلوم الإنسانية. شن عالم الاجتماع ليستر فرانك وارد -الذي كان سيُنتَخَب حينها كأول رئيس للجمعية الأمريكية لعلم الاجتماع- هجومًا لا هوادة فيه على نظريات سبنسر حول مبدأ عدم التدخل والأخلاق السياسية. وعلى الرغم من إعجاب وارد بالكثير من أعمال سبنسر، لكنه اعتقد أن تحيزات سبنسر السياسية السابقة قد شوهت فكره وأدت إلى ضلاله. أنشأ إميل دوركهايم في تسعينيات القرن التاسع عشر علم الاجتماع الأكاديمي الرسمي مشددًا على دور البحوث الاجتماعية العملية. وبحلول نهاية القرن العشرين، قدم الجيل الأول من علماء الاجتماع الألمان -أبرزهم ماكس ويبر- فلسفة معاداة الوضعية المنهجية. ومع ذلك، امتلك نظريات سبنسر حول عدم التدخل والبقاء للأنسب والتدخل البشري المحدود في عمليات القانون الطبيعي جاذبية دائمة ومتزايدة في المجالات الاجتماعية الخاصة بالعلوم الاقتصادية والسياسية. كتب أحد الكتاب مؤخرًا عن أهمية سبنسر لعلم الاجتماع الذي يجب أن يأخذ دور الطاقة أو الحركة في المجتمع على محمل الجد.
تعود سمعة سبنسر بين الفيكتوريين إلى أفكاره اللاأدرية بشكل كبير؛ فقد رفض سبنسر اللاهوت بسبب ما سمّاه «عقوق الأتقياء». اكتسب سبنسر سمعة سيئة بسبب تنكره للدين التقليدي، وكثيرًا ما اتهمه المفكرين الدينيين بالدعوة إلى الإلحاد والمادية. ومع ذلك، أكّد سبنسر على عدم اهتمامه بتقويض الدين باسم العلم، ولكنه أراد الموافقة بينهما، على عكس توماس هنري هكسلي الذي كان من أتباع الاأدرية التي تعتبر الإيمان خطيئة لا يمكن تجاهلها.
يقول سبنسر بأننا مدفوعون في النهاية إلى قبول بعض الأفكار التي لا غنى عنها ولكن لا يمكن تصورها حرفيًا، وذلك سواء انطلقنا من المعتقد الديني أو من العلم. لذلك، خلص سبنسر إلى أن الدين والعلم يتفقان في الحقيقة العليا على أن الفهم الإنساني قادر على إدراك المعرفة النسبية فقط. أي أننا لا نحصل سوى على الأمور والتفسيرات الظاهرية لا الأساسية المطلقة نظرًا للقيود المتأصلة في عقل الإنسان. ولذلك يجب على العلم والدين إدراك أن القوة التي يتجلى بها الكون لنا هي أمر غامض تمامًا. أطلق سبنسر على هذه القوة اسم «المجهول» أو «الذي لا سبيل لمعرفته» واعتبر عبادة هذا الكيان المجهول دينًا يمكنه أن يحل محل الدين التقليدي. في الواقع، كان يعتقد سبنسر أن المجهول يمثل المرحلة النهائية في تطور الدين والتي تحد وتقضي على التجسيد البشري للآلهة.
التأثير العام.
فشل معظم الفلاسفة في الحصول على متابعة من قبل آخرين خارج مدرستهم الفكرية، ولكن سبنسر حقق في سبعينيات وثمانينيات القرن التاسع عشر شعبية لا مثيل لها؛ الأمر الذي يشير له الحجم الكبير لمبيعاته. وربما كان سبنسر الفيلسوف الأول -وربما الوحيد- في التاريخ الذي يبيع أكثر من مليون نسخة من أعماله خلال حياته الخاصة. باع ناشره المعتمد أبليتون 368755 نسخة بين عامي 1860 و1903 في الولايات المتحدة الأمريكية حيث كانت الطبعات المقرصنة شائعة، ولم يختلف هذا الرقم كثيرًا عن مبيعاته في موطنه بريطانيا، وإذا أضفنا عدد المبيعات في باقي أنحاء العالم، لن يبدو عدد المبيعات الذي يتجاوز المليون مبالغًا به. أشار ويليام جيمس إلى دور سبنسر «في إطلاق العنان لخيال وتفكير عدد لا يحصى من الأطباء والمهندسين والمحامين، والعديد من الفيزيائيين والكيميائيين والعامة». وجد أسلوبه الذي يؤكد على التحسين الذاتي جمهورًا جاهزًا من الطبقة العاملة الماهرة.
كان تأثير سبنسر على قادة الفكر كبيرًا أيضًا، وهذا بدا من خلال طريقة استقبالهم وردهم على أفكاره، وكذلك عبر رفضهم لها. لاحظ جون فيسك –أحد أتباعه الأمريكيين- أن أفكار سبنسر كانت بمثابة المصلح لكل اعوجاج في الفكر الفيكتوري. ربط وعرف مفكرون متنوعون مثل هنري سيدجويك وتي. جرين وج. إي مور وويليام جيمس وهنري بيرجسون وإميل دوركهايم أفكارهم عبر قرنها بأفكاره. يعتبر كتاب دوركهايم «انقسام العمل في المجتمع» نقاش ممتد مع سبنسر، وقد اتفق العديد من المعلقين على استعارة دوركهايم الكثير من علم اجتماع سبنسر.
أصبحت العديد من أفكار سبنسر في بولندا ما بعد انتفاضة عام 1863 جزءًا لا يتجزأ من أيدلوجيا نهاية القرن أو «الوضعية البولندية». أشاد الكاتب البولندي البارز في تلك الفترة بوليسلاو بروس  بسبنسر واصفًا إياه بـ «أرسطو القرن التاسع عشر» ومعتمدًا استعارته «الكائن الاجتماعي»، وقدّم له كذلك إشادةً شعرية مدهشة في قصته المصغرة لعام 1884 بعنوان «عفن الأرض»، كما سلط الضوء على مفهوم سبنسر آنف الذكر في مقدمة روايته العالمية «فرعون» المنشورة عام 1895.
كانت أوائل القرن العشرين سيئة بالنسبة لسبنسر؛ إذ انحدرت سمعته الفلسفية بعد وقت قصير من وفاته، ونُبذَت أعماله بعد نصف قرن من وفاته باعتبارها «محاكاة ساخرة للفلسفة»، وقد وصفه المؤرخ ريتشارد هوفستادتر بأنه «ميتافيزيقي الفكر المنزلي، ورسول اللاأدرية البسيطة». ومع ذلك، تغلغل فكر سبنسر بعمق في العصر الفيكتوري ولم يختفِ تأثيره بالكامل.
ظهرت في السنوات الأخيرة تقديرات إيجابية أكثر من السابق، ولكن التقديرات السلبية ما زالت موجودة.
سبنسرية الاقتصادية.
البقاء للأصلح.
كان تأثير منظور سبنسر "البقاء للأصلح" ورؤيته حول بقاء الأنواع الأقوى والأصلح على الباحث الإيراني المعاصر عنايت اله مرشدي لدرجة أن هذا الباحث لديه رؤية عضوية للنظام البيئي المستقبلي وسبنسر. التعميم على النظام البيئي للأعمال التجارية والمنظمات الاقتصادية ، قدم ادعاءً ونظرية بعنوان "سبنسرية اقتصادية: بقاء الشركة الأصلح واختيار المستقبل" في كتابه المعنون "أعمال عالم المستقبل". باختصار ، وفقًا لنظرية سبنسریه الاقتصادية التي اقترحها عنايت اله مرشدي في كتابه ، في النظام البيئي الاقتصادي المستقبلي وتغييره في بيئات الأعمال الجزئية والكليّة ، تفوز المنظمة الأصلح ، وهي المؤسسة الأكثر توافقًا مع التطورات والاتجاهات ، و سوف ينجو. في نظرية المرشدي للسبنسرية الاقتصادية ، فإن المنظمة أو الشركة الأصلح تعني المنظمة الأكثر مرونة ضد التغييرات ، مع الثقافة التنظيمية الأكثر تعلمًا والتي تُظهر أقل مقاومة للتغيرات والتطورات الابتكارية والتكنولوجية في عالم المستقبل. بإلقاء نظرة عضوية على مفاهيم "المستقبل" و "المنظمة" ، وسع مرشدى وعمم وجهة نظر سبنسر حول بقاء الأصلح للنظام الإيكولوجي للمنظمات الاقتصادية ، واصفا إياه بالسبنسرية الاقتصادية.
الاحتمال هو قياس إمكانية وقوع حدث ما. يُقاس الاحتمال بأنه رقم بين الصفر والواحد حيث يشير الصفر إلى الاستحالة ويشير الواحد إلى التأكيد. كلما زاد احتمال الحدث، زادت إمكانية وقوع هذا الحدث. أحد الأمثلة البسيطة هي رمي العملة (غير المنحاز). لأن العملة غير منحازة، فإن الناتجين (وجه ونقشة) متساويان في الاحتمال تماما أي أن احتمالية ظهور الوجه تساوي احتمالية ظهور النقشة، ولأنه لا يوجد احتمالات أخرى فإن إمكانية ظهور "الوجه" أو "النقشة" هي ½ (والتي يمكن كتابتها 0.5 أو 50%).
ظهرت فرضيات احتمال رياضية لهذه المفاهيم في نظرية الاحتمال، والتي تُستخدم بكثافة في بعض التخصصات الأكاديمية مثل الرياضيات والإحصاء والتمويل والقمار والعلم (خصوصا الفيزياء) والذكاء الاصطناعي والتعلم الآلي وعلم الحاسوب ونظرية الألعاب والفلسفة، من أجل الوصول إلى استدلالات عن التكرارية المتوقعة للأحداث. تُستخدم نظرية الاحتمال أيضا لوصف الآليات الأساسية وتنظيمات الأنظمة المعقدة.
عند التعامل مع التجارب العشوائية والمحددة بضوابط نظرية بحتة (مثل إلقاء العملة غير المنحازة)، يمكن وصف الاحتمالات رقميا من خلال قسمة عدد النتائج المرغوبة على العدد الكلي لكل النتائج. على سبيل المثال، عند إلقاء العملة المعدنية مرتين فإن الاحتمالات الكلية هي "وجه-وجه" و"وجه-نقش" و"نقش-وجه" و"نقش-نقش". احتمالية ظهور نتيجة "وجه-وجه" هي 1 من 4 نتائج، أو بطريقة رقمية ¼ أو 0.25 أو 25%. إلا أنه في التطبيقات العملية، نجد أنه هناك نوعين أساسيين من تأويلات الاحتمال والتي يحمل مناصروها آراء مختلفة بخصوص الطبيعة الأساسية للاحتمال:
الدراسة العلمية للاحتمال هو تطور حديث في الرياضيات. يُظهر القمار أنه كان هناك اهتمام في تحديد أفكار الاحتمال لآلاف السنين، إلا أن الوصف الرياضي الدقيق ظهر بعد ذلك بفترة طويلة. هناك أسباب عديدة للتطور البطئ في رياضيات الاحتمال. في حين وفرت ألعاب الحظ حافزا لدراسة رياضيات الاحتمال، إلا أن شكوك وخرافات المقامرين منعت القضايا الأساسية في رياضيات الاحتمال لفترة طويلة.
طبقا لريتشارد جيفري: "قبل منتصف القرن السابع عشر، كان مصطلح محتمل (probabilis باللاتينية) يعني مقبول، وكان يُستخدم بهذا المعني بشكل صريح على الآراء والأفعال. الرأي أو الفعل المحتمل هو الفعل الذي يقوم به الناس العقلانيون في معظم الظروف". إلا أنه في السياق القانوني، كانت كلمة probabilis تشير أيضا إلى الافتراضات التي تحمل دليلا جيدا.
في القرن السادس عشر، أظهر العالم الموسوعي الإيطالي جيرولامو كاردانو فعالية اعتبار الاحتمالات على أنها نسبة بين النتائج المحتملة والنتائج غير المحتملة (والذي يدل على أننا نحصل على احتمالية وقوع حدث من خلال النسبة بين النتائج المحتملة وبين العدد الكلي للنتائج الممكنة). بعيدا عن أعمال كاردانو المبدئية، تعود مبادئ الاحتمالات إلى مراسلات بيير دي فيرما وبليز باسكال (1654). قدم كريستيان هوغنس (1657) أول معاملة علمية معروفة للموضوع. عامل كل من ياكوب بيرنولي في Ars Conjectandi وأبراهام دي موافر في مبادئ الاحتمالات (1718) الموضوع على أنه فرع من الرياضيات.
تعود نظرية الأخطاء إلى روجر كوتس في Opera Miscellanea 1722، إلا أن أحد مذكرات توماس سيمبسون في 1755 والمطبوعة في 1766 طبقت النظرية لأول مرة على مناقشة أخطاء الملاحظة. إعادة طباعة هذه المذكرة في 1757 وضعت الأسس والثوابت القائلة بأن الأخطاء الإيجابية والسلبية متساوية في الاحتمالية، وأن بعض الحدود القابلة للتحديد تميز امتداد وحجم كل الأخطاء. ناقش سيمبسون أيضا الأخطاء المستمرة ووصف منحنى الاحتمالية.
يُعتبر بيير لابلاس هو من قدم أول قانونين للأخطاء. نُشر أول قانون في 1774 ونص على أن تكرارية الخطأ يمكن التعبير عنها كدالة أسّية للقيمة العددية للخطأ، بغض النظر عن العلامة. قدم لابلاس القانون الثاني للخطأ في 1778 والذي نص على أن تكرارية الخطأ هو التوزيع الطبيعي لقانون غاوس. "من الصعب تاريخيا أن ننسب هذا القانون إلى غاوس، الذي على الرغم من تبكيره المشهور إلا أنه لم يقم بهذا الاكتشاف على الأغلب قبل أن يصبح عمره سنتين".
قدم دانييل برنولي في 1778 مبدأ الناتج الأقصى للاحتمالات في نظام من الأخطاء المترابطة.
طور أدريان ماري ليجاندر في 1805 طريقة المربعات الدنيا، وقدمها في Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (طريقة جديدة لتحديد مدارات المذنبات). لجهله بمساهمات لوجوندر، قام الكاتب الأمريكي الأيرلندي روبيرت أدريان والمحرر في "ذا أناليست" في 1808 باستنتاج قانون سهولة الخطأ لأول مرة:
حيث h هي ثابت يعتمد على دقة الملاحظات، وc هي عامل عياري يضمن أن تكون المساحة تحت المنحنى تساوي 1. قدم روبيرت إثباتين، الثاني هو نفس إثبات جون هيرشل في 1850. قدم كارل فريدريش غاوس الإثبات الأول الذي يبدو أنه كان معروفا في أوروبا (الثالث بعد أدريان) في 1809. قدم لابلاس إثباتات أخرى في 1810 و1812، وغاوس في 1823، وجيمس إيفوري في 1825 و1826، وهاغان في 1837، وفريدريش بيسل في 1838، ودونكن في 1844 و1856، ومورغان كروفتون في 1870. المساهمون الآخرون هم إليس في 1844، وأوغست دو مورغان في 1864، وجيمس يتبريد لي جلايشر في 1872، وجيوفاني سكيابارلي في 1875.
في القرن التاسع عشر، كان هناك مؤلفون عن النظرية العامة أمثال بيير لابلاس وسيلفستر لاكروا (1816)، وليترو (1833)، وأدولف كويتيليت (1853)، وريتشارد ديدكايند (1860)، وهيلمارت (1872)، وهيرمان لورينت (1873)، وديدون، وكارل بيرسون، وأوغست دو مورغان، وجورج بول والذين ساهموا في تحسين عرض النظرية.
قدم آندريه ماركوف فكرة سلسلة ماركوف في 1906، والتي لعبت دورا هاما في نظرية العملية التصادفية وتطبيقاتها. طور آندريه كولموغوروف نظرية الاحتمال الحديثة بناء على نظرية القياس الرياضي في 1931.
مثل النظريات الأخرى، نظرية الاحتمال هي تمثيل لمفاهيمها في صورة مصطلحات رسمية، أي في صورة مصطلحات يمكن التعامل معها بصورة مستقلة عن معانيها. يمكن معالجة هذه المصطلحات الرسمية بقوانين الرياضيات والمنطق، كما يمكن تفسير أي نتائج للعودة إلى لب المشكلة.
كان هناك على الأقل محاولتان ناجحتان لصياغة الاحتمالية هما صياغة أندريه كولموغوروف وصياغة كوكس. في صياغة كولموغوروف (انظر الفضاء الاحتمالي)، يتم تفسير المجموعات الرياضية كأحداث، وتفسير الاحتمال نفسه كقياس. في صياغة كوكس، يعتبر الاحتمال كصورة أساسية (أي لا يمكن تحليلها لما هو أبسط) ويركز على بناء رصد متماسك لقيم الاحتمال للافتراضات. في كلتا الحالتين، نجد أن فرضيات الاحتمال هي نفسها، فيما عدا التفاصيل التقنية.
هناك طرق أخرى لتحديد عدم التأكد مثل نظرية ديمبستر شافر أو نظرية الاحتمال، ولكن هذه النظريات مختلفة وليست متسقة مع قوانين الاحتمال كما نفهما عادة.
هناك تطبيقات لنظرية الاحتمال في الحياة اليومية في تقييم المخاطرة والنماذج الإحصائية. تستخدم صناعة التأمينات والأسواق العلم الأكتواري لتحديد الأسعار ولأخذ القرارات التجارية. تطبق الحكومات الطرق الاحتمالية في القوانين البيئية ولتحليل الأهلية والجدارة وفي التنظيمات المالية.
أحد الأمثلة الجيدة في استخدام نظرية الاحتمال في تجارة الأقساط هو تأثير الاحتمالية الملموسة لأي صراع كبير في الشرق الأوسط على أسعار البترول، والذي له تأثيرات مموجة على الاقتصاد ككل. قد تؤدي تقييمات تجار البضائع في وقت الحرب إلى رفع أسعار البضائع أو خفضها، وتنبه التجار الآخرين لهذا الرأي. بناء على ذلك، لا يتم تقييم الاحتمال بصورة مستقلة أو بصورة عقلانية للغاية. ظهرت نظرية الاقتصاد السلوكي لوصف تأثيرات التفكير الجماعي على الأسعار والسياسات وعلى السلام والصراعات.
بالإضافة إلى التقييم المالي، يمكن استخدام الاحتمال في تحليل النزعات في علم الأحياء (مثل انتشار الأمراض) بالإضافة إلى علم البيئة (مثل مربعات بينيت البيولوجية). مثل الأمر مع التمويل، يمكن استخدام تقيين المخاطرة كأداة إحصائية لحساب احتمالية وقوع أحداث غير مرغوبة، ويمكن أن تساعد في تطبيق بروتوكولات لتجنب مواجهة مثل هذه الظروف. تُستخدم الاحتمالية في تصميم ألعاب الحظ لكي تحقق المنتديات الترفيهية (الكازينو) أرباحا مضمونة، مع توفير نسبة صافي الربح للاعبين المترددين على المنتدى الترفيهي كفاية لتشجيع استمرار اللعب.
أدى اكتشاف الطرق الشديدة في تقييم ومزج تقييمات الاحتمال إلى تغيير المجتمع. من الهام لمعظم المواطنين أن يفهموا كيف تتحقق تقييمات الاحتمال، وكيف تساهم في اتخاذ القرارات.
أحد التطبيقات الهامة الأخرى لنظرية الاحتمال في الحياة اليومية هي المصداقية. تستخدم العديد من المنتجات مثل السيارات والأجهزة الكهربائية نظرية المصداقية في تصميم المنتج لتقليل احتمالية الفشل. قد تؤثر احتمالية الفشل في قرارات الصانع بخصوص ضمان المنتج.
العلاقة بين العشوائية والاحتمال في ميكانيكا الكم.
في كون حتمي مبني على مبادئ الميكانيكا الكلاسيكية، لن يكون هناك أي احتمال إذا عُرفت جميع الظروف (شيطان لابلاس)، ولكن هناك مواقف تتخطى فيها نظرية فوضى الكون قدرتنا على قياسها، أي معرفتها. في حالة عجلة الروليت، إذا كانت قوة اليد ومدة القوة معلومتين، فإن الرقم الذي ستقف عليه الكرة سيكون شيئا مؤكدا (على الرغم من أنه في الواقع العملي، فإن ذلك سيكون صحيحا فقط في عجلة الروليت التي لم يتم تسويتها كما أظهر توماس باس في كازينو نيوتن). يفترض هذا معرفة القصور الذاتي واحتكاك العجلة ووزن ونعومة ودائرية الكرة، والتغيرات في سرعة اليد أثناء دوران الكرة، إلى آخره. من هنا يمكن للوصف الاحتمالي أن يكون أكثر فائدة من ميكانيكا نيوتن الكلاسيكية في تحليل ننمط نتائج الأدوار المتكررة من عجلة الروليت. يواجه الفيزيائيون نفس المشكلة في الحركة الحرارية للغازات حيث نجد النظام -الحتمي مبدئيا- معقدا للغاية (مع عدد الجزيئات يساوي أس قيمة ثابت أفوجادرو ) مما يجعل الوصف الاحتمالي لخواص الغاز هو ما يمكن فعله.
نظرية الاحتمال مطلوبة لوصف الظواهر الكمية. كان أحد الاكتشافات الثورية في فيزياء أول القرن العشرين هو الخواص العشوائية لكل العمليات الفيزيائية التي تحدث في المقياس الذري وأنها محكومة بقوانين ميكانيكا الكم. تتطور الدالة الموجية حتميا، ولكن طبقا لتفسير كوبنهاغن فإنها تتعامل مع احتمالات الملاحظة حيث يفسر الناتج انهيار الدالة الموجية عند القيام بالملاحظة. إلا أن خسارة الحتمية في سبيل الذرائعية لم يقابل الكثير من القبول العالمي. مثل ما أشار أينشتاين في خطابه الشهير إلى ماكس بورن: "أنا مقتنع أن الله لا يلعب النرد". مثل أينشتاين، اعتقد إرفين شرودنغر -الذي اكتشف معادلة شرودنغر- أن ميكانيكا الكم هي تقريب إحصائي للواقع الحتمي الضمني. في بعض التفسيرات الحديثة لقياسات الميكانيكا الإحصائية، يتم الاعتماد على إزالة الترابط الكمي للتعويض عن مظهر النتائج التجريبية الاحتمالية غير الموضوعية.
دالة الترجيح هي أداة رياضية تُستخدم عند إجراء مجموع أو تكامل أو متوسط لإعطاء بعض "الأوزان" أو تأثير على النتيجة أكثر من العناصر الأخرى في نفس المجموعة. نتيجة هذا التطبيق لدالة الوزن هي مجموع مرجح أو متوسط مرجح. تستخدم دوال الترجيح بشكل متكرر في الإحصاء والتحليل الرياضي، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم القياس. يمكن استخدام دوال الترجيح في كل من الإعدادات المتقطعة والمستمرة. يمكن استخدامها لبناء أنظمة حساب التفاضل والتكامل التي تسمى "حساب التفاضل والتكامل المرجح".
في نظرية الاحتمالات والإحصاء، دالة الترجيح هي دالة الاحتمال الشرطي، باعتبار أن الحدث السابق وليس اللاحق هو متغير الدالة.
إذا كان لدينا حدثين formula_1 وformula_2، وكان احتمال وقوع formula_1 مع العلم بوقوع formula_2 هو :
formula_5.
يمكننا أن نقول أن دالة الترجيح هي:
أي دالة أخرى متنايبة مع الدالة السابقة تعتبر دالة ترجيح أيضا، إذا دالة الترجيح ليست دالة مفردة وإنما صف تكافؤ من الدوال الرياضية:
دالة الترجيح إذا تقوم توفر لنا دراسة تغيرات الاحتمالات الشرطية formula_1 بتغير الحوادث السابقة لها formula_9.
بيلزن (بالتشيكية: "Plzeň" مدينة في جمهورية التشيك توجد غرب منطقة بوهيميا على بعد 90 كم إلى الجنوب الغربي من العاصمة براغ.تبلغ مساحة المدينة حوالي 138 كم مربعا ويسكنها أكثر من 164 ألف نسمة. تقع المدينة عند ملتقى أنهار المزي والرادبوزا وأوهلافا وأسلافا التي تجتمع في النهاية لتكون نهر بيرونكا. بيلزن هي عاصمة محافظة بذات الاسم.