CALM/arwiki huggingface dataset:
إنسالات الأهداف العامة المستقلة هي إنسالات قادرة على القيام بعدد من الأعمال بمفردها، فهي تستطيع أن تتحرك تلقائيا في المناطق المألوفة لديها دون إرشاد من أحد، تعيد شحن نفسها بنفسها متى احتاجت ذلك، تتفاعل مع الأبواب الإلكترونية والمصاعد وتؤدي مهام رئيسية أخرى. أن هذه الإنسالات يمكن وصلها، كالحواسب، بالشبكات الإلكترونية، البرامج، والملحقات الأخرى التي تزيد من فعاليتها وفائدتها. تقدر هذه الألات أن تتعرف على بعض الأشخاص أو الأشياء، تتحدث، تؤمن الرفقة، تراقب الحالة المناخية، تستجيب للإنذارات، تنقل المعدات، وغير ذلك من المهام المفيدة. قد تؤدي انسالات الأهداف العامة المستقلة مجموعة من الأعمال في وقت واحد أو كل مهمة على حدى في أوقات مختلفة من النهار. تحاول البعض من هذه الإنسالات أن تحاكي البشر وقد تشابههم في شكلها المصمم بعض الأحيان، ويُسمى الإنسالة بهذه الحالة بالإنساني الهيئة.
الإنسالات المكرّسة.
تُقدّر إحدى الدراسات وجود 3,540,000 إنسالة منزلي موضوع في الخدمة عام 2006، بالإضافة لحوالي 950,000 إنسالة صناعي. أظهرت دراسة أخرى وجود ما يقارب أكثر من مليون إنسالة شغّآلة في العالم خلال النصف الأول من عام 2008، يتواجد نصفها تقريبا في آسيا، 32% منها في أوروبا، 16% في أمريكا الشمالية، 1% في أوسترالاسيا و 1% أيضا في أفريقيا. يمكن تصنيف الإنسالات الصناعية والمنزلية في فئتين أساسيتين بناءً على نوع الخدمة التي يؤدونها. تشمل الفئة الأولى الأعمال التي يستطيع الإنسالة القيام بها بدقة وتحملها بشكل أكبر من الإنسان، وتحقيق إنتاجية أكثر كذلك الأمر؛ أما الفئة الثانية فتشمل الأعمال "القذرة"، الخطرة، والكليلة التي يجدها البشر غير مرغوبة.
الأعمال ذات الدقة الأكبر، التحمل، والإنتاجية الأكثر.
تؤدي الإنسالات حاليا الكثير من الأعمال في المصانع، وقد أدّى هذا إلى إنتاج مكثّف لعدد من البضائع بشكل أبخس، بما فيه السيارات الإلكترونيات، واليوم أصبحت إنسالات المعالجات اليدوية الثابتة أكثر الأنواع تسويقا بين الإنسالات.
بعض الأمثلة على الإنسالات الصناعية:
الأعمال القذرة، الخطرة، والكليلة.
هناك العديد من الأعمال التي يفضل البشر ترك الإنسالات تقوم بها بدلا منهم، إذ أن هكذا عمل قد يكون ممل كتنظيف المنزل، أو خطر مثل استكشاف داخل البركان، أو من الصعب للإنسان القيام به فعليّا مثل استكشاف كوكب أخر، أو التنظيف داخل أنبوب طويل أو إجراء جراحة شق بطن منظارية.
ابتكرت إنسالة متفحصة لأنفاق الكابلات (وهي أنفاق مصممة لوضع الكابلات فيها لنقل المواد المختلفة)، وقد صُممت هذه الإنسالة كي تتحمل مخاطر استكشاف تلك المناطق الخطرة التي لا يستطيع الإنسان فحصها؛ حيث عادة ما تكون تلك الأنفاق مليئة بالغازات السامة مثل أول أكسيد الكربون وغاز الميثان وثاني أكسيد الكربون. تستطيع الإنسالة بعد ذلك تحديد إذا ما كانت البيئة آمنة للبشر أم لا.
قد تكون الإنسالات شبه المستقلة التي تستطيع استكشاف وتحديد معالم أنفاق تهريب المخدرات من أفضل الحلول التي أنتجتها الحكومة الأمريكية لكي تقضي على تجارة الممنوعات عبر الحدود. فباستخدام تقنية طورت في معامل أيداهو الوطنية تستطيع إنسالات "الآي روبوت" و"فوستر ميلز" أن تتمركز في الأنفاق المظلمة التي تم حفرها عميقاً تحت الأرض بين الخطوط الحدودية الفاصلة بين الولايات المتحدة الأمريكية والمكسيك.
الروبوتات من نسج خيال الأدباء.
كان الأديب التشيكي كارل تشابيك هو أول من استعمل كلمة "روبوت" وكان ذلك في أوائل القرن العشرين، ومن ثم ذاع استخدام هذه الكلمة، وذلك في روايته الشهيرة "رجال روسوم الآلية العالمية" في مدينة براغ سنة 1921، حيث صوّر الإنسالات وكأنها بشر آلية يمكن إنتاجها في المصنع بسرعة وبتكلفة قليلة. وقد اشتقت كلمة "robot" الإنجليزية من الكلمة التشيكية "robota" وتعني أعمال السخرة أو العبودية. بعد سنتين من صدور الرواية تمت ترجمتها إلى اللغة الإنكليزية، وفي شهر أكتوبر من سنة 1922 تم تحويل الرواية إلى عمل مسرحي تم تقديمه على مسرح جاريك في نيويورك وفيه يسافر البروفيسور روسوم إلى جزيرة نائية لغرض دراسة أمواج البحر ويحاول أثناء وجوده على الجزيرة تصنيع مادة حية من مزج مواد كيميائية ويحاول لسنوات خلق هذا الكائن فتفشل محاولاته في خلق كلب وبعد 10 سنوات يتمكن من تصنيع إنسالة بمساعدة ابنه.
ولا يقتصر ظهور الإنسالة على الخيال الأدبي الحديث، ففي عام 1818 صدرت أول رواية عن الإنسان الآلي وهي رواية فرانكنشتاين التي كتبتها ماري شيللي، الزوجة الثانية عشر للشاعر المعروف شيللي، وقد تميزت هذه الرواية بالرعب، وتتلخص بأن عالمًا يدعى فرانكنشتاين استطاع أن يجمع إنساناً حيًا من أجزاء الجثث الآدمية ولكن هذا الإنسان تحول إلى مسخ خاف منه الناس وطردوه وبالتالي ثار على خالقه وأصبح أداة للشر، وقد وضعت ماري شيللي عنوانًا مرعبا لقصتها هو "برميثيوس الحديث" وهي بهذا تقصد أسطورة بروميثيوس اليونانية، والذي خلق الإنسان من الماء والطين ثم نفخت فيه الآلهة أثينا من أنفاس الحياة.
ظهرت العديد من الإنسالات الشبيهة بالبشر في الكثير من الأفلام السينمائية والتلفزيونية عبر السنين، والبعض منها كان ودودًا تلقى الإعجاب من المشاهدين، ففي فيلم الكوكب المحرم يظهر الإنسالة "روبي الودود"، وفي فيلم حرب النجوم يظهر الثنائي الهزلي r2d2، c3po، وثمة أنواع أخرى ظهرت في صورة شريرة مثل الإنسالة كوج وداليكس المرعب من المسلسل التلفزيوني dr.who وهذه النماذج الأخيرة هي التي أساءت إلى صورة الإنسالة، حتى أن البعض يتخوف من استخدامها في الأعمال اليومية، وبذلك لا يعتمد الناس عليهم تماما في حياتهم. وللتخفيف من هذه المخاوف، اقترح كاتب الخيال العلمي الشهير إسحاق أسيموف أن يبرمج الإنسالة بحيث تلتزم بالمبادئ التالية والتي أطلق عليها "قوانين الإنسالة" .
مزايا ومساوئ.
تقدم الانسالات عدداً من المزايا منها على سبيل المثال: زيادة الإنتاجية، استعمال التجهيزات بشكل فعال، تخفيض تكاليف العمل، مرونة محسنة، إنجاز العمل في وقت أقصر، مرونة وسهولة في البرمجة، القدرة على العمل في الظروف الخطرة، تقدم نوعية محسنة لأماكن العمل والإنتاج، تؤمن عائدات استثمار جيدة، تقدم دقة أفضل في الأداء. إلا أن لها عدد من السلبيات والنقائص، فهي تسبب بطالة العمال اليدويين والكثير من المشاكل الفنية الأخرى حسب الاستعمال. خاصة في ميادين الذكاء الاصطناعي أو الرؤية الآلية.
تصور السينما وروايات أدب الخيال العلمي احتمالية تشكيل الانسالة تهديدًا لمستقبل الإنسان بسبب ذكائها الاصطناعي الذي قد يفوق ذكاء الإنسان ويجعلها أكثر دهاء ومكر منه، ولكن على أرض الواقع فإن الخطر الناجم عن الذكاء الاصطناعي يكاد يكون منعدمًا نظرًا لكون البحوث في هذا المجال ما زالت في مرحلة البدايات. إلا أن استخدام هذه الأنظمة على إنسالة حربية أو اعطائها القدرة على التحكم بمعدات خطيرة قد يشكل خطرًا على الحياة الإنسانية بغض النظر عن مدى تطور أنظمة الذكاء الاصطناعي بها، وهذه التطبيقات موجودة في العصر الحالي ويهتم بتطويرها العديد من الجيوش في العالم مثل جيش الولايات المتحدة الأمريكية. بالإضافة إلى هذا النوع من الإنسالات، هناك أنواع أخرى أقل ذكاءً مثل إنسالات الأسراب أو الإنسالات الجزئية التي قد تشكل خطرًا على البيئة خاصةً إذا زودت بإمكانية التكاثر وخرج ذلك عن نطاق التحكم البشري. ورغم هذه المخاطر فإن الكثيرين يرون الإنسان الآلي أيضًا كالطفرة القادمة في التطور البشري حيث قد يكون استبدال أجزاء بشرية بأخرى اصطناعية إحدى الطرق لضمان بقاء وتطوير إمكانيات الجنس البشري.
مستقبل الروبوتات.
يتوقع أن تكبر حصة استخدام الروبوتات في مجالات الحياة اليومية وفي الصناعة مع حدوث تطور في التقنية وفي المواد الداخلة في صناعتها. على سبيل المثال يجري البحث على تطوير روبوتات رخيصة الثمن مصنوعة من مواد قادرة على تغيير طورها مما يسمح أن تكون أكثر نعومة بحيث يمكن أن تنتقل من الحالة القاسية إلى الطرية.
يتم استخدام الروبوتات على نحو متزايد في الصناعة التحويلية، وفي مجال صناعة السيارات، حيث أنها يمكن أن تقوم بأكثر من نصف "العمل"؛ ويمكن أن تصل النسبة إلى 100%، كما هو الحال في مصنع لتركيب لوحة المفاتيح والتابع لشركة IBM في ولاية تكساس. كما يخطط لزيادة مدى استخدام الروبوتات في المجال الطبي، وذلك لإجراء عمليات جراحية بالكامل كما هو مقترح في كوريا الجنوبية؛ وفي المجال العسكري؛ وحتى في مجال المساعدة في الأعمال المنزلية.
العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جُداء (ضَرب) مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.
مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.
خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.
تعريف وأمثلة.
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي :
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
المبرهنة الأساسية في الحسابيات.
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من "المبرهنة الأساسية في الحسابيات"، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية "الأساس" التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،
أ,
3*7=21
كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية : تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة "المبرهنة الأساسية في الحسابيات" كما يلي:
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
هل العدد 1 عدد أولي ؟.
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.
مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22"n" + 1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216 + 1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232 + 1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2"p" − 1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.
احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2"p"−1(2"p" − 1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن..
منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
عدد الأعداد الأولية.
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة "مبرهنة أقليدس" تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس.
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.
برهان أويلر التحليلي.
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي :
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو "(S(p"، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.
هو عدد منته.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية.
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.
عن طريق القسمة المتكررة.
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين.
الغرابيل.
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى.
اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك.
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين : الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية.
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان "p" عددا أوليا و"a" عددا أوليا مع "p"، إذن :formula_5
عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد "a" أولي مع 561، لدينا formula_6
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان "p" غير أولي فإن formula_7 متوافق مع 1 بترديد "p" لقيمة ما "a"
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان: formula_8، فهذا يعني أن "x" عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة "x" عدد غير أولي قطعيا.
خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1.
تعميل الأعداد الصحيحة.
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين.
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من "n". مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى "n". يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من "n"، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح "n" عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من "n" تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل "n".
المتتاليات الحسابية.
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
انظر مبرهنة غرين-تاون.
القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية.
لاحظ أويلر أن الدالة
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n &lt;40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
مسائل لم تحل بعد.
دالة زيتا وفرضية ريمان.
دالة زيتا لريمان (ζ("s" تعرف كمجموع غير منته :
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي :
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
حدسيات أخرى.
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:
برمجة الأعداد الأولية.
يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون) :
def isPrime(num):
if num&gt;1:
for count in range(2,int(num**(1/2))):
if not(num%count):
for count in range(0,100):
if isPrime(count):
print(count,end=",")
في الجبر التجريدي.
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم "أولي" يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.
الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية.
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.
نظرية الزمر.
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت formula_13 قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها formula_13. تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.
التشفير باستخدام المفتاح المعلن.
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
ظهرت إمبراطورية غانة في منطقة بينية بين الصحراء الكبرى والغابات بجنوب شرق موريتانيا. وكان الهدف من قيامها التجارة في الذهب الذي ينتج في جنوبها وتشتريه قوافل بدو الصحراء التجارية لتحمله الجمال لشمال أفريقيا. وكانت الإمبراطورية قد تحولت علي أيدي المرابطين بمراكش للإسلام في القرن الحادي عشر الميلادي ومما سهل دخوله إنشاء شبكة الطرق التجارية عبر الصحراء الكبرى. وقد كونت غانة إمبراطوريتها منذ عام 1000 م. عاصمتها كومبي صالح (Koumbi Saleh) وتمتد من وادي نهر السنغال بالغرب إلى المنحنى الكبير لنهر النيجر بالشرق، وكان الحكام يفرضون الضرائب على تجارة الذهب. وقد انهارت المملكة بحلول القرن الثالث عشر الميلادي بسبب العوامل البيئية.