CALM/arwiki huggingface dataset:
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا. كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل، بتوسيع طريقة الاستنزاف.
نيوتن وليبنز.
مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة -بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاضل والتكامل الحديث، والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
صياغة التكاملات.
مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لوي كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.
استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل، أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع formula_6 وformula_7, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع، وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (; ), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:formula_8, بعد إطالته للحرف "s" كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (; ).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة..
تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا، إذا كانت مستطيلة الشكل، من طولها، عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر، فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
للبدء، اعتبر المنحنىformula_9 بين "x" = 0 و"x" = 1, وformula_10. يكون السؤال:
ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل "f". يكون الرمز لهذا التكامل هو:
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع "x" = 0 إلى "x" = 1 وformula_9 nbsp;= 0 and "y" = "f"(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل، وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات، باستعمال نقاط التقريب 0, 1⁄5, 2⁄5, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه 1⁄5√, 2⁄5√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات، نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ "f", مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل، ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من "العديد" من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى "متناهية في الصغر".
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل، تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,"f"("x") = "x"1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي "F"("x") = 2⁄3"x"3/2, ونأخذ ببساطة "F"(1) − "F"(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة، لإجل "f"("x") = "x""q", مع "q" ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي formula_14 وبالتالي فإن القيمة "الدقيقة" للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
تعريفات منهجية.
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي، لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل، وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
تكامل ريمان.
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال "جزئها المحدد Tagged partition". فإذا كان الفترة ["a","b"] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي؛ فإن "جزئها المحدد" ضمن الفترة ["a","b"] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
وهذا سيجزئ الفترة ["a","b"] إلى "n" جزء ذو الفترة الجديدة ["x""i"−1, "x""i"]، حيث أن "i" يعتمد على عدد الأجزاء، كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة "t""i" التي تنتمي للفترة ["x""i"−1, "x""i"]. إذاً، تُعرّف "مجموع ريمان" للدالة "f" الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة ["a","b"] على النحو التالي:
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى، ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ"i" = "x""i"−"x""i"−1 هي عرض الفترة الجزئية "i"; لكي يكون "تشبيك" هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية، التي لها القيمة القصوى "i"=1…"n" Δ"i". إذاً، "تكامل ريمان" للدالة "f" في الفترة ["a","b"] هي مساوية للقيمة "S":
فإذا كان جميع قيم ε &gt; 0، ستكون جميع قيم δ &gt; 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة ["a","b"] أقل من قيمة δ, ستكون:
تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة.
لتكن formula_19 نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس formula_20 على أنه العدد الحقيقي الممتد
حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة formula_22 التي تحقق formula_23 إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس formula_20 على أنه العدد الحقيقي الممتد
إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة formula_26.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
خواص التكامل.
من خواص التكامل (المحدد) :
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل على أنهما عمليات عكسية لبعضهما، حيث انه إذا كان لدينا إقتران متصل ق(س)، قمنا بتكامله أولاً، ومن ثم إشتقاقه، فإن النتيجة النهائية هي الإقتران المتصل ق(س) نفسه.
الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.
الجزء الأول "النظرية الأولى".
افترض أن الاقتران formula_48 اقتران متصل (دالة مستمرة) ذات قيم حقيقية (دالة حقيقية المستقر) معرّف على الفترة المغلقة formula_29، وافترض أن الاقتران formula_50 معرّف، formula_51 كما يلي
فإن:-
الجزء الثاني "النظرية الثانية".
إذا كان الإقتران formula_48 إقتران متصل ذات قيم حقيقية معرّف على الفترة المغلقة formula_29، فإن:
بحيث أن، الاقتران formula_50 هو أي مشتق عكسي للاقتران formula_48
بمعنى: formula_57 formula_51
في الهندسة الرياضية، الزاوية هي شّكلٌ هندسيُّ ناتج عن التقاء شعاعين بنقطة، يُسمى الشعاعان بضلعي الزاوية والنقطة المشتركة بينهما تسمى رأس الزاوية.
عرف إقليدس الزاوية في المستوي على أنها ميل أحد مستقيمين على آخر بحيث أن المستقيمان يلتقيان في نقطة وليسا متوازيان.
قياس الزاوية.
من أجل قياس زاوية θ، يرسم قوس يتمركز عند رأس الزاوية باستخدام الفرجار. وبقسمة طول القوس s على نصف القطر r وبالضرب بعامل تكبير k يعتمد على وحدة القياس المستخدمة ينتج لدينا:
لقياس الزاوية يقاس طول قوس دائرة مركزها نقطة تقاطع ضلعي الدائرة المحصور بين ضلعي الزاوية ويقسم على محيط هذه الدائرة فإذا ضرب الجواب بالنسبة formula_2 يكون قياس الزاوية بالقياس الدائري. ولحساب قياس الزاوية بالدرجات، تضرب النسبة بين القوس المحصور بين ضلعي الزاوية ومحيط الدائرة التي مركزها نقطة التقاطع بالرقم 360. ويرمز للدرجة بدائرة صغيرة ترسم أعلى قياس الزاوية كما في 360°.
23 يوليو أو 23 تمُّوز أو 23 يوليه أو يوم 23 \ 7 (اليوم الثالث والعشرون من الشهر السابع) هو اليوم الرابع بعد المئتين (204) من السنوات البسيطة، أو اليوم الخامس بعد المئتين (205) من السنوات الكبيسة وفقًا للتقويم الميلادي الغربي (الغريغوري). يبقى بعده 161 يوما لانتهاء السنة.
13 سبتمبر أو 13 أيلول أو يوم 13 \ 9 (اليوم الثالث عشر من الشهر التاسع) هو اليوم السادس والخمسون بعد المئتين (256) من السنوات البسيطة، أو اليوم السابع والخمسون بعد المئتين (257) من السنوات الكبيسة وفقًا للتقويم الميلادي الغربي (الغريغوري). يبقى بعده 109 يوما لانتهاء السنة.
في الهندسة الرياضية، المثلث القائم أو مثلث قائم الزاوية هو مثلث إحدى زواياه قائمة أي أن ضلعين في المثلث القائم يشكلان زاوية قياسها 90°.
خواص المثلث القائم.
أو formula_2.
مساحة المثلث القائم.
كما هو الحال مع أي مثلث، تعطى المساحة بالقانون:
مساحة المثلث = ½ القاعدة × الارتفاع.
ولهذا فإن مساحة المثلث القائم تعطى بالصيغتين:
حيث a,b هما ضلعا الزاوية القائمة.
حيث c وتر المثلث القائم و f الارتفاع عليه.
مبرهنة فيثاغورس.
تعد هذه المبرهنة أهم ما يميز المثلث القائم وتنص مبرهنة فيثاغورس على:
في أي مثلث قائم الزاوية، مساحة المربع المرسوم على الوتر مكافئة لمجموع مساحتي المربعين المرسومين على الضلعين الآخرين.
يمكن إعادة صياغة هذه النظرية في صورة المعادلة:
حيث "c" هو طول الوتر و"a" ,"b" طول الضلعان القائمان.
الثقب الأسود هو منطقة موجودة في الزمكان (الفضاء بأبعاده الأربعة، وهي الأبعاد الثلاثة بالإضافة إلى الزمن) تتميز بجاذبية قوية جداً بحيث لا يمكن لأي شيء - ولا حتى الجسيمات أو موجات الإشعاع الكهرومغناطيسي مثل الضوء - الإفلات منها. تتنبأ النظرية النسبية العامة بأنه يمكن لكتلة مضغوطة بقدر معين أن تشوه الزمكان لتشكيل الثقب الأسود. يُطلق على حدود المنطقة التي لا يُمكن الهروب منها اسم أفق الحدث. وعلى الرغم من أن عبور حدود أفق الحدث له تأثيرات هائلة على مصير وظروف أي جسم يعبُره، إلا أنه لا تظهر أي خصائص يُمكن ملاحظتها لهذه المنطقة. يعمل الثقب الأسود بصفته جسما أسودا مثاليا، لأنه لا يعكس أي ضوء. علاوة على ذلك، تتنبأ نظرية المجال الكمي في الزمكان المنحني بإنبعاث إشعاع هوكينج آفاق الحدث، بنفس الطيف الذي يتسم به الجسم الأسود لدرجة حرارة تتناسب عكسياً مع كتلته. درجة الحرارة هذه على حدود جزء من مليار من الكلفن للثقوب السوداء من الكتلة النجمية، مما يعني استحالة ملاحظتها.
أشار كل من جون ميشيل وبيير سيمون لابلاس إلى وجود أجسام تمتلك حقول جاذبية قوية بحيث لا يمكن للضوء أن يهرب منها في القرن الثامن عشر. عثر كارل شوارزشيلد على أول حل رياضي حديث للنسبية العامة التي تُميز الثقب الأسود في عام 1916، إلا أن تفسير الحل الرياضي شَكّل منطقة فضاء لا يمكن أن يفلت منها أي شيء كان قد نشر لأول مرة من قِبل ديفيد فينكلشتاين في عام 1958. كانت الثقوب السوداء تعتبر مجرد خيال وفضول لدى علماء الرياضيات لفترة طويلة. لكن خلال ستينيات القرن العشرين، أظهر العمل النظري تنبؤ النسبية العامة بالثقوب. أثار اكتشاف نجوم نيوترونية بواسطة جوسلين بيل بورنيل في عام 1967 الاهتمام بالأجسام المدمجة المنهارة بالجاذبية بصفتها حقيقة فيزيائية فلكية ممكنة.
يُعتقد أن الثقوب السوداء ذات الكتلة النجمية تتشكل عند انهيار النجوم الضخمة جدًا في نهاية دورة حياتها. بعد أن يتشكل الثقب الأسود، يمكن أن يستمر في النمو عن طريق امتصاص الكتلة من محيطه. وذلك عن طريق امتصاص النجوم الأخرى والاندماج مع الثقوب السوداء الأخرى، الأمر الذي قد يؤدي إلى تشكل الثقوب السوداء الهائلة والتي تحمل كتلة تعادل ملايين الكتل الشمسية ( M ☉ ). هناك إجماع عام على وجود ثقوب سوداء هائلة في مراكز معظم المجرات.
على الرغم من أن محتواه غير مرئي، يمكن استنتاج وجود ثقب أسود من خلال تأثيره على المواد الأخرى والإشعاع الكهرومغناطيسي مثل الضوء المرئي. يمكن للمادة التي تسقط في الثقب الأسود أن تُشكّل قرص تراكم خارجي يتم تسخينه عن طريق الاحتكاك، مما يؤدي إلى تشكيل بعضٍ من أشد الأجسام بريقا في الكون. إذا كان هناك نجوم أخرى تدور حول ثقب أسود، فيمكن استخدام كل من مداراتها وكتلتها لتحديد كتلة الثقب الأسود وموقعه. يمكن استخدام هذه الملاحظات لاستبعاد البدائل المحتملة مثل النجوم النيوترونية. وبهذه الطريقة، تحقق علماء الفلك من العديد من حالات توقعات وجود الثقب الأسود النجمي ضمن الأنظمة الثنائية، وأثبتوا أن مصدر الراديو المعروف بٱسم الرامي A، في قلب مجرة درب التبانة، يحتوي على ثقب أسود هائل يحمل كتلة تقارب 4.3 مليون كتلة شمسية.
في 11 فبراير 2016، أعلن تحالف مرصد ليغو عن أول اكتشاف مباشر لموجات الجاذبية، والتي تعكس فكرة العثور على لحظة اندماج الثقوب السوداء. ، عُثر على إحدى عشرة موجة من موجات الجاذبية التي نشأت من اندماج عشرة ثقوب سوداء وموجة جاذبية واحدة ناتجة عن اندماج نجم نيوتروني ثنائي. في 10 أبريل 2019، تم نشر أول صورة على الإطلاق لثقب أسود وما في جواره، وذلك في أعقاب القراءات التي حصل عليها مقراب أفق الحدث في عام 2017 والمتعلقة بالثقب الأسود الهائل في مركز المجرة مسييه 87.
اقترح الفلكي ورجل الدين الإنجليزي جون ميشيل تصوره لوجود جسم ضخم جدا لدرجة أنه لا يسمح للضوء بأن يفلت منه، وذلك في بحث نشره في نوفمبر 1784. افترضت حسابات ميشيل أن مثل هذا الجسم قد يملك نفس كثافة الشمس، وخَلُص إلى أن مثل هذا الجسم سوف يتشكل عندما يتجاوز قطر النجم قطر الشمس بـ 500 مرة، محتسبا أن سرعة الهروب من سطحه ستتجاوز سرعة الضوء المعتادة. أشار ميشيل إلى أنه يمكن اكتشاف هذه الأجسام الفائقة الحجم ولكن غير المرئية من خلال آثارها الجاذبية على الأجسام المرئية القريبة. كان الباحثون في ذلك الوقت متحمسين للاقتراح القائل بأن هنالك نجوم عملاقة ولكن غير مرئية أمام أنظارهم، ولكن ذلك الحماس تضاءل عندما أصبحت الطبيعة الموجية للضوء معروفة في أوائل القرن التاسع عشر. فأصبح الطرح وقتها أن الضوء موجة وليس «جسما»، وعليه فتأثير الجاذبية على الموجات لن يقاس بنفس أسلوب القياس المتبع على الجسيمات، هذا إن وُجد تأثير للجاذبية على الأمواج الضوئية. النسبية الحديثة خطأت تصور ميشيل لإمكانية انطلاق شعاع ضوئي، مرتفعا من سطح نجم ضخم، ويبدأ بالتباطؤ بسبب جاذبية النجم، ويتوقف بعدها، ثم يسقط مرة أخرى على سطح النجم وكأنه كرة.
في عام 1915، طور ألبرت أينشتاين نظريته النسبية العامة، حيث كان قد أثبت في وقت سابق أن الجاذبية تؤثر على حركة الضوء. بعد ذلك ببضعة أشهر فقط، وجد كارل شوارزشيلد حلاً لمعادلات آينشتاين للمجال، والتي تصف مجال الجاذبية لكل من الكتلة النقطية والكتلة الكروية. بعد بضعة أشهر من نتائج شوارزشيلد، قدم يوهانس دروست، وهو من طلبة هندريك لورنتز، الحل نفسه، وبشكل مستقل عن عمل شوارزشيلد، لوصف النقطة ذات الكتلة وكتب متعمقا بتفصيل أفضل وأوسع عن خصائصها. ظهر ضمن نتائج وحلول يوهانس نتيجة، تعرف في الوقت الحاضر بٱسم نصف قطر شوارزشيلد، حيث تؤول النقطة إلى وضعية التفرد، مما يعني أن بعض المتغيرات ضمن معادلات آينشتاين أصبحت بقيم لا نهائية. لم تكن طبيعة هذا الأمر مفهومة تمامًا في ذلك الوقت. في عام 1924، أثبت آرثر إدينجتون أن التفرد يختفي بعد تغيير الإحداثيات (انظر إحداثيات إدينجتون-فينكلشتاين )، إلا أن الأمر استغرق حتى عام 1933 حتى أدرك جورج ليمايتر أن هذا يعني أن التفرد في دائرة نصف قطرها مقدار شوارزشيلد هو تفرد في الإحداثيات غير المادية. كتب آرثر إدينغتون معلقا على احتمال وجود نجم ذي كتلة مضغوطة لحجم نصف قطر شوارزشيلد في كتاب صدر عام 1926، مشيرًا إلى أن نظرية أينشتاين تسمح لنا باستبعاد الكثافات المرتفعة جداً ضمن النجوم المرئية مثل منكب الجوزاء لأن«نجما يبلغ قطره 250 مليون كيلومتر لا يمكنه أن يملك كثافة مرتفعة مثل تلك الموجودة لدى الشمس. أولاً، ستكون قوة الجاذبية كبيرة لدرجة أن الضوء لن يكون قادرًا على الهروب منه، ستسقط الأشعة إليه ثانية كسقوط الحجر عائدا إلى الأرض. ثانياً، سيكون الانزياح نحو الأحمر كبيراً لدرجة أنه سيتم إزاحة الطيف خارج الوجود. ثالثًا، ستنتج الكتلة انحناءًا كبيرًا في مقياس الزمان والمكان بحيث يتم إغلاق الفضاء حول النجم، مما سيتركنا في الخارج (أي، في أي مكان)». في عام 1931، توصل سوبرامانيان تشاندراسيخار، مستخدما النسبية الخاصة، إلى أن جسما لا يدور ومكونا من المادة المنحلة للإلكترون وبكتلة أعلى من قيمة محددة (تسمى الآن حد تشاندراسيخار ) لن يمتلك حلولا مستقرة ضمن النسبية. تم معارضة استنتاجاته من قبل الكثير من معاصريه مثل إدينغتون وليف لانداو، الذين ردوا عليه أنه لا بد من وجود آليات غير معروفة ستوقف انهيار المادة. حملت معارضاتهم بعضا من الصحة: فالقزم الأبيض الأكبر قليلاً من حد تشاندراسيخار ينهار ليصبح نجمًا نيوترونيًا، وهو جسم مستقر بحد ذاته. لكن في عام 1939، توقع روبرت أوبنهايمر وآخرون أن النجوم النيوترونية فوق حد آخر (حد تولمان - أوبنهايمر - فولكوف ) ستنهار بناء على التعليلات التي قدّمها تشاندراسيخار، وخَلَصوا إلى أنه من غير المحتمل أن يوجد أي قانون فيزيائي يمكنه أن يوقف انهيار بعض النجوم مما يعني تحولها إلى ثقوب سوداء. حساباتهم الأصلية، المبنية على مبدأ استبعاد باولي، حددت قيمة الحد الجديد بـ ؛ الفهم اللاحق للقوة المرتفعة التي تؤثر على تنافر النجوم النيوترونية رفعت التقدير إلى قيم تتراوح ما بين إلى . أدت القراءات التي تم تسجيلها في مرصد ليغو للموجة الثقالية الناتجة عن اندماج النجم النيوتروني GW170817، والذي يُعتقد أنه أدى إلى ظهور ثقب أسود بعد ذلك بفترة قصيرة، إلى تحسين تقدير حد تولمان - أوبنهايمر - فولكوف إلى .
فسر أوبنهايمر وزملاؤه التفرد على حدود دائرة نصف قطرها قيمة شوارزشيلد على أنه مؤشر على أن هذه هي حدود الفقاعة التي يتوقف الوقت داخلها. وجهة نظر مناسبة للمراقبين خارج الفقاعة، ولكنها بالتأكيد ليست ما يلاحظه الجسم الساقط داخل الفقاعة. وبسبب هذه الخاصية، كانت النجوم المنهارة تسمى «النجوم المجمدة»، لأن المراقب الخارجي سيرى سطح النجم متجمدًا في اللحظة التي يصل بها حجم الانهيار إلى نصف قطر شوارزشيلد.
في عام 1958، أقر ديفيد فينكلشتاين بأن سطح شوارزشيلد هو أفق للحدث، «غشاء مثالي أحادي الاتجاه: يمكن للتأثيرات السببية أن تعبره ولكن في اتجاه واحد فقط». لم يتعارض هذا بشكل صارخ مع نتائج أوبنهايمر، لكنه وسع مفاهيمها لتشمل وجهة نظر الأجسام التي تجاوزت أفق الحدث. حل فنكلشتاين سمح لحل شوارزشيلد بالارتباط بمستقبل الأجسام التي سقطت في ثقب أسود. واستطاع مارتن كروسكال العثور على حل كامل وقام بنشره سريعا.
جاءت هذه النتائج في بداية العصر الذهبي للنسبية العامة، الذي تميز بسيادة قضايا النسبية العامة والثقوب السوداء مواضيعا رئيسة للبحث العلمي. ساعد على ذلك اكتشاف النجوم النابضة بواسطة جوسلين بيل بورنيل في عام 1967، والتي، بحلول عام 1969، تبين أنها نجوم نيوترونية تدور بسرعات عالية جدا. حتى ذلك الوقت، كان ينظر إلى النجوم النيوترونية، مثلها مثل الثقوب السوداء، على أنها مجرد شطحات وترف فكري نظري؛ لكن اكتشاف النجوم النابضة أوضح أهميتها الفيزيائية وأثار اهتمامًا إضافيًا بجميع أنواع الأجسام المنهارة بسبب الجاذبية.
في هذه الفترة تم العثور على حلول رياضية أكثر عمومية للثقوب السوداء. في عام 1963، وجد روي كير الحل الدقيق لمسألة الثقب الأسود الدوار. بعد ذلك بعامين، وجد عزرا تي نيومان الحل الرياضي لمحاكاة ثقب أسود متناظر المحاور يدوير ومشحون كهربائياً. من خلال عمل فيرنر إسرائيل، براندون كارتر، وديفيد روبنسون ظهرت نظرية اللاشعر (No-Hair Theorem)، والتي تنص على أن الثقب الأسود الثابت يمكن وصفه تماما من خلال ثلاثة خصائص فقط، قياسات كير-نيومان: الكتلة، الزخم الزاوي، والشحنة الكهربائية.
في البداية، كان يعتقد أن السمات الغريبة التي تظهر في الحلول الرياضية لنماذج الثقب الأسود كانت عبارة عن نتائج متطرفة بسبب افتراض شرط التناظر ضمن النماذج الرياضية، وعليه فهذه النتائج الفردية لا يجب أن تظهر في الحلول الرياضية التي تشرح النماذج العامة. تم هذا الرأي بشكل خاص من قِبل وإسحاق خلاتنيكوف وإفغيني ليفشيتز، الذين حاولوا إثبات انعدام ظهور التفرد في الحلول الرياضية العمومية. إلا أن روجر بنروز وستيفن هوكينج، في أواخر الستينيات، أثبتا أن الخصائص الفردية تظهر فعلا ضمن الحلول الرياضية العمومية.
أدى عمل كل من جيمس باردين وجاكوب بيكينشتاين وكارتر وهوكينج في أوائل سبعينيات القرن الماضي إلى صياغة قوانين الديناميكا الحرارية للثقب الأسود. تصف تلك القوانين سلوك الثقب الأسود بشكل متفق مع قوانين الديناميكا الحرارية وذلك من خلال ربط الكتلة مع الطاقة، والمساحة مع الانتروبيا، والجاذبية السطحية مع درجة الحرارة. تكاملت الفكرة عندما توصل هوكينج، في عام 1974، إلى أن نظرية المجال الكمي تتنبؤ بأن الثقوب السوداء يجب أن تشع مثلها مثل الجسم الأسود عند درجة حرارة تتناسب مع الجاذبية السطحية للثقب الأسود.
أصل المصطلحات المستعملة.
استخدم جون ميشيل مصطلح «النجم المظلم»، وفي أوائل القرن العشرين، استخدم الفيزيائيون مصطلح «الجسم المنهار الثقالي». تتبعت كاتبة العلوم مارسيا بارتوسياك مصطلح «الثقب الأسود» للفيزيائي روبرت هـ. ديكي، الذي قيل أنه قارن في أوائل الستينيات من القرن الماضي هذه الظاهرة بالثقب الأسود في كلكتا؛ سجن مشهور يدخله الناس أحياء ويخرجون منه أمواتا.
وقد تم استخدام مصطلح «الثقب الأسود» في المجلات ضمن مجلتي "الحياة" و"أخبار العلوم" عام 1963، وأيضا استعملتها الصحافية آن يوينغ في مقالها «الثقوب السوداء في الفضاء»، بتاريخ 18 يناير عام 1964، حيث كتبت تقريرا عن اجتماع للرابطة الأمريكية لتقدم العلوم في كليفلاند، أوهايو.
يُقال أن أحد الطلاب أثناء محاضرة لجون ويلر في ديسمبر 1967 اقترح عبارة «الثقب الأسود»؛ تبنى ويلر المصطلح، وسرعان ما انتشر استعماله، مما دفع البعض إلى إعطاء الفضل لويلر على صياغة العبارة.
الخصائص والتركيب.
تفترض نظرية اللا شعر، أنه بمجرد وصول الثقب الأسود لحالة مستقرة بعد تكونه، تصبح له، فقط، ثلاث خصائص فيزيائية مستقلة : الكتلة، الشحنة، والزخم الزاوي. وبخلاف ذلك فالثقب الأسود لا يحمل أي خصائص أخرى. إذا كانت الفرضية سليمة، فهذا سيعني استحالة تمييز أي من الثقوب السوداء التي تشترك بنفس القيم لهذه الخصائص عن بعضها البعض. إن درجة مطابقة النظرية مع الثقوب السوداء على أرض الواقع ووفقًا لقوانين الفيزياء الحديثة، هي مشكلة لم يتم حلها بعد.
هذه الخصائص خاصة لأنها مرئية من خارج الثقب الأسود. على سبيل المثال، فإن الثقب الأسود المشحون سيتنافر مع الشحنات التي تشبه شحنته مثله مثل أي جسم مشحون آخر. وبالمثل، يمكن العثور على الكتلة الكلية لكرة تحوي ثقبا أسود باستخدام التناظرية الجاذبية لقانون جاوس، كتلة إي دي إم، وذلك بعيدًا عن الثقب الأسود. وبالمثل، يمكن قياس الزخم الزاوي من بعيد باستخدام سحب الإطار بواسطة مجال مغناطيسية الجاذبية.
عندما يسقط جسم في ثقب أسود، يتم توزيع المعلومات المرتبطة "بشكله أو توزيع الشحنة عليه" بالتساوي على طول أفق الثقب الأسود، ويتم فقد أثرها من قبل أي مراقب من الخارج. إن سلوك الأفق في هذه الحالة يمكن تفسيره على أنه نظام تبديد بسلوك يشابه، إلى حد بعيد، سلوك غشاء قابل للتمدد له مقاومة لكل من الاحتكاك وللتوصيل الكهربائي - نموذج الغشاء. هذا يختلف عن نظريات المجال الأخرى مثل الكهرومغناطيسية، التي لا تحتوي على أي احتكاك أو مقاومة على المستوى المجهري، لأنها قابلة للانعكاس ضمن الوقت. ونظرًا لأن الثقب الأسود يصل في النهاية إلى حالة مستقرة مع ثلاثة خصائص فقط، فهذا يعني أنه لا توجد طريقة لتجنب فقدان المعلومات التي وصلته: تُوفر حقول الجاذبية والكهرباء في الثقب الأسود معلومات قليلة جدًا عن الأجسام التي تعبر إلى الداخل. تتضمن المعلومات المفقودة كل كمية لا يمكن قياسها بعيدًا عن أفق الثقب الأسود، بما في ذلك أرقام الكم المحفوظة تقريبًا مثل العدد الإجالي لباريون ورقم اللبتون. هذا السلوك محير جدا لدرجة أنه أخذ تسميته مفارقة فقدان معلومات الثقب الأسود.
أبسط الثقوب السوداء الساكنة هي ثقوب بكتلة ولكنها لا تحمل شحنة كهربائية ولا زخم زاوي لها. غالباً ما يشار إلى هذه الثقوب السوداء باسم ثقوب شوارزشيلد السوداء وذلك تقديراً لكارل شوارزشيلد الذي اكتشف هذا الحل الرياضي عام 1916. وفقًا لنظرية بيرخوف، فذلك هو الحل الفراغي الوحيد المتناظر كرويًا. هذا يعني أنه لا يوجد فرق ملحوظ بين مجال الجاذبية لهذا الثقب الأسود وأي مجال كروي آخر يحمل نفس الكتلة. وبالتالي فإن الفكرة الشائعة عن "امتصاص الثقب الأسود لكل شيء" هي فقط صحيحة ضمن محيط الثقب الأسود بالقرب من أفقه؛ أما بعيدًا، فإن حقل الجاذبية الخارجي مطابق لحقل أي جسم آخر، له نفس الكتلة.
توجد حلول تصف الثقوب السوداء العامة. يتم وصف الثقوب السوداء المشحونة غير الدوارة بواسطة مقياس رايسنر-نوردستروم، في المقابل يصف مقياس كير الثقب الأسود الدوار وغير المشحون. الحل المعروف للثقب الأسود الثابت هو مقياس كير-نيومان، والذي يصف ثقباً أسود يحمل شحنة وزخماً زاوياً.
وفي حين أن كتلة الثقب الأسود يمكن أن تأخذ أي قيمة موجبة، فإن الشحنة والزخم الزاوي مقيدان بالكتلة. في وحدات بلانك، الشحنة الكهربائية الكلية "Q" والزخم الزاوي الكلي "J" عليهما أن يتبعا "القاعدة"
وذلك ضمن ثقب أسود له كتلة بمقدار "M." وتسمى الثقوب السوداء التي تملك الحد الأدنى من الكتلة اللازمة لتلبية هذا التباين بالثقوب السوداء المتطرفة. توجد حلول لمعادلات آينشتاين، تنتهك معادلة عدم المساواة هذه، لكنها لا تقدم أفقًا للحدث. تقدم هذه الحلول الرياضية ما يسمى "بنقاط التفرد ا"لمجردة، وهي نقاط تفرد يمكن للمراقب من الخارج رؤيتها لإنعدام الأفق حولها، وعليه فقد اعتبرت حلولا رياضية غير ملائمة للواقع الفيزيائي للكون. تستبعد فرضية الرقابة الكونية تشكيل مثل هذه التفردات، من خلال الانهيار الجاذبي للمادة الحقيقية. تم دعم هذا الادعاء من خلال المحاكاة العددية.
بسبب القوة الكبيرة نسبيا للقوة الكهرومغناطيسية، فمن المتوقع احتفاظ الثقوب السوداء المتكونة من انهيار النجوم بكامل الشحنة المحايدة (تقريبًا) للنجم. الدوران، في المقابل، هو ميزة متوقعة للأجسام الفلكية الفيزيائية المنضغطة. الثقب الأسود (المرشح) GRS 1915 + 105 لديه قوة دفع زاوي قريبة من الحد الأقصى للقيمة المسموحة. هذا الحد غير المشحون هو
مما يسمح بتعريف معامل الدوران بدون أبعاد على الشكل:
تصنف الثقوب السوداء عادة حسب كتلتها، بدون الإعتماد على زخمها الزاوي، "J." يتناسب حجم الثقب الأسود، كما يحدده نصف قطر أفق الحدث، أو نصف قطر شوارزشيلد، مع الكتلة، "M" ، من خلال المعادلة
حيث "r" هي نصف قطر شفارتزشيلد و "M" هي كتلة الشمس. بالنسبة إلى الثقب الأسود الذي يحمل قيم لا صفرية لكل من الدوران والشحنة، يكون نصف القطر أصغر، بحيث يتمكن الثقب الأسود المتطرف من الحصول على أفق حدث قريب جدا.
السمة المميزة للثقب الأسود هي ظهور أفق الحدث - وهو الحدود ضمن الزمكان والتي من خلالها يمكن للمادة والضوء المرور فقط إلى الداخل نحو كتلة الثقب الأسود. لا شيء، ولا حتى الضوء، يمكنه الإفلات من داخل أفق الحدث. يشار إلى استعمال عبارة "أفق الحدث" على هذا النحو لأنه وفي حالة حدوث حدث ما داخل حدوده، فإنه من المستحيل للمعلومات الناتجة عن هذا الحدث أن تصل إلى مراقب خارج تلك الحدود، مما يجعل من المستحيل التعرف على حدوث حدث من ذاك القبيل.
كما تنبأت النسبية العامة، فإن وجود جسم بكتلة يحدث تشوهاً بالزمكان بحيث تنحرف المسارات التي تتخذها الجزيئات نحو الكتلة. في أفق الحدث لثقب أسود، يصبح هذا التشوه قويًا جدًا بحيث لا توجد مسارات تؤدي بعديا عن الثقب الأسود.