CALM/arwiki huggingface dataset:
توفي سعيد بن المسيب سنة 94 هـ في خلافة الوليد بن عبد الملك، وقد أوصى سعيد في مرضه الذي مات فيه، فقال: . وقد أعقب سعيد من الأبناء محمد وسعيد وإلياس وأم عثمان وأم عمرو وفاختة، وأمهم أم حبيب بنت أبي كريم بن عامر بن عبد ذي الشرى الدوسية، ومريم وأمها أم ولد، إضافة إلى زوجة أخرى وهي ابنة الصحابي أبي هريرة.
كان سعيد بن المسيب من أحرص الناس على صلاة الجماعة، فما فاتته الصلاة في جماعة أربعين سنة، وما أذن المؤذن مدة ثلاثين سنة إلا وهو في المسجد، وما انقطع عن صلاة الجماعة في المسجد حتى في أيام الحرة، فكان يصلي والناس يقتتلون وينتهبون، وهو لا يبرح المسجد إلا ليلاً. كما كان سعيد بن المسيب مُكثرًا في الطاعات حتى بلغت حجّاته أربعين حجة.
كان لسعيد بن المسيب فهم خاص لمفهوم التعبد، فقد روى بكر بن خنيس، أنه قال: ، كما كان سعيد يرى العزة في طاعة الله، فقد رُوي عنه قوله: ، جمع معها عزة نفس، فقد روى يحيى بن سعيد الأنصاري، أن سعيد ترك مائة دينار عند موته، كان يهدف منها صون دينه وحسبه. كذلك كانت نظرته إلى الدنيا نظرة زاهد، فقال: .
عطاء بن يسار (29 هـ - 103 هـ) تابعي مدني، وأحد رواة .
ولد أبو محمد عطاء بن يسار في المدينة المنورة سنة 29 هـ في خلافة عثمان بن عفان، وكان أبوه يسار من سبي فارس، وهو مولى لأم المؤمنين ميمونة بنت الحارث، أكثر عطاء من السماع من صحابة النبي محمد والتابعين، ولازم مسجد النبي، وكان يجلس في المسجد ليقصّ على المسلمين قصص يعظهم بها.
توفي عطاء بن يسار سنة 103 هـ وهو ابن أربع وثمانين سنة. عطاء له ولد اسمه الحسين وحفيد اسمه عبد الله.
كوبه (بالـيابانية: 神戸市 = كوبه-شي) هي مدينة في اليابان. عاصمة "محافظة هيوغو" وأكبر مدنها، تقع جنوب غربي جزيرة "هونشو". بلغ عدد سكانها حوالي 1,513,967 نسمة (2003). تقع المدينة في منطقة كانساي، وتشكل مدينة رئيسية في منطقة كيهانشين.
بدأت المدينة عام 1868 م انطلاقتها الاقتصادية، مع انفتاح التجارة في اليابان على العالم. دمرت بعض أجزاءها أثناء الحرب العالمية الثانية (حملات القصف الأمريكية)، أعيد بناؤها بعد 1945 م. تعرضت في يناير عام 1995 م إلى زلزال عنيف، يعتبر وفقاً لسجل غينيس للأرقام القياسية أكثر الزلازل تكلفة في التاريخ، وقد بلغ عدد ضحاياه 6433 معظمهم من مدينة كوبه. عام 2002 م، كانت المدينة إحدى المدن اليابانية التي استضافت فعاليات كأس العالم لكرة القدم.
تتواجد في المدينة العديد من المعابد البوذية والمزارت الشنتوية وأقدم مسجد في اليابان، وتضم تمثالين شهيرين لـ"بوذا"، بالإضافة إلى بعض الكنائس المسيحية. تملك "كوبي" متحفين للفنون الجميلة. أسست "مدرسة كوبه للتجارة" عام 1902 م، قبل أن تتحول إلى "جامعة كوبه" سنة 1949.
من أشهر مناطق المدينة هو ميناء كوبه مع برج ميناء كوبه الأحمر.
تشكل مدينتي "كوبه" و"أوساكا" تجمعا حضريا كبيرا (الثاني في البلاد بعد منطقة "طوكيو"). من أهم النشاطات الاقتصادية فيها بناء السفن، وصناعات المطاط. بالإضافة إلى ذلك توجد نشاطات أخرى كالكيماويات، الآلات الصناعية، التجهيزات الكهربائية، المنسوجات، تحوبل السكر، مطاحن الحبوب، ومصانع الجعة المحلية (الـ"ساكي"). تعبر "كوبه" ثاني أهم الموانئ في اليابان بعد "يوكوهاما".
لكوبه اتفاقيات توأمة مع كل من:
الكهرسلبية أوالسالبية الكهربائية هي مقياس لمقدرة الذرة في الجزيء التساهمي على جذب الإلكترونات في الروابط الكيميائية. وتعتمد نوعية الرابطة المتكونة اعتمادا كبيرا على الفرق في السالبية الكهربية بين الذرات الداخلة فيها. تقوم الذرات المتشابهة في السالبية الكهربية " بسرقة " الإلكترونات من بعضها البعض والذي يرجع لما يسمى " مشاركة " وتكون رابطة تساهمية. ولكن لو كان هذا الفرق كبير سينتقل الإلكترون إلى أحد الذرات وتتكون رابطة أيونية. إضافة إلى ذلك في حالة أن أحد الذرات تقوم بسحب الإلكترونات بقوة أكبر قليلا من الأخرى فإنه تتكون رابطة تساهمية قطبية.
ويتم استخدام مقياسين مشهورين للسالبية الكهربية، مقياس باولنج (تم اقتراحه عام 1932 ) ومقياس مولكين (تم اقتراحه عام 1934). كما يوجد اقتراح آخر يسمى مقياس ألفريد-روشو.
مقياس باولنج.
تم اقتراح مقياس باولنج بواسطة العالم لينوس باولينج عام 1932. وفي هذا المقياس يكون عنصر الفلور هو أعلى العناصر في السالبية الكهربية حيث تبلغ 3.98، بينما أقل العناصر سالبية كهربية هو الفرنسيوم لان الفرنسيوم مشع وله قيمة تبلغ 0.7 ويقاربه في ذلك أيضاً عنصر السيزيوم، والعناصر الباقية تتراوح قيمها بين هاتين القيمتين. ويكون الهيدروجين له قيمة سالبية كهربية تساوى 2.1 أو 2.2.
وكقاعدة عامة يكون نوع الرابطة بين ذرتين رابطة أيونية في حالة أن يكون الفرق في السالبية الكهربية بينهما أكبر من أو مساويا 1.7. وعندما يكون الفرق في السالبية الكهربية أقل 1.7 فتعتبر رابطة تساهمية قطبية، وعندما يكون الفرق أقل من 0.4 تعتبر الرابطة تساهمية غير قطبية، وعندما يكون الفرق مساويا للصفر فإن الرابطة تكون رابطة تساهمية نقية، كما في الجزيئات مثل O2، F2، Cl2.
مقياس مولكين.
يتم حساب الأرقام في مقياس مولكين بعمل متوسط لجهد التأين والألفة الإلكترونية. وعلى هذا يتم التعبير عن السالبية الكهربية مباشرة بوحدات الطاقة، وعادة ما تكون بالإلكترون فولت حيث أنها وحدة صغيرة مناسبة للتعامل مع الذرات . وتم اقتراحها في عام 1934 عن طريق روبرت إس مولكين.
اتجاه السالبية الكهربية.
يوضح الجدول الدوري مقادير الكهرسالبية للعناصر، لاحظ أن الفلور له أكبر قيمة 3.98 في حين أن للفرنسيوم وللسيزيوم أقل قيمة 0.7 . و لأن الغازات النبيلة لاتتفاعل في الغالب، ولا تكوّن مركبات ، لذا لا يتضمن الجدول الدوري القيم الكهرسالبية للهيلوم و النيون و الأرجون .و مع ذلك تتحد الغازات النبيلة الكبيرة - و منها النيون - مع الذرات التي لها قيم كهرسالبية عالية مثل الفلور.
لكل عنصر كيميائي سالبية كهربية مميزة تتراوح بين صفر - 4 على مقياس باولنج. الفلور هو أعلى العناصر في السالبية الكهربية، بينما أقل العناصر سالبية كهربية من بين العناصر المستقرة هو سيزيوم
1-في المجموعة:كلما اتجهنا من أعلى إلى اسفل قلت السالبية الكهربية وزاد الحجم الذري؛لذلك تتنافر الكترونات مستوى الطاقة الأخير لضعف النواة على جذبها نحوها. وعلى هذا فإن أكثر العناصر سالبية كهربية هي العناصر الموجودة في أعلى الجدول، وأقلها سالبية أسفل الجدول.
2-في الدورة:كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين زادت السالبية الكهربية وقل الحجم الذري ؛ لذلك تقدر النواة على جذب الكترونات غلاف التكافؤ نحوها.
وعلى هذا فان أكثر العناصر سالبية كهربية هي العناصر الموجودة في يمين الجدول، واقلها سالبية أيسر الجدول.
الجدول الدوري موضحا عليه السالبية الكهربية بمقياس باولنج
زلزال هانشين-اواجي الكبير 阪神・淡路大震災 هو زلزال ضرب القسم الجنوبي من محافظة هيوغو فجر السابع عشر من كانون الثاني (يناير) عام 1995. بلغت شدته 6.9 درجات وفقاً لـمقياس ريختر واستمر لمدة عشرين ثانية، موقعاً خسائر كبيرة في المنطقة وبالأخص في مدينة كوبه.
يعتبر الزلزال الأعنف في اليابان منذ زلزال كانتو عام 1923، ويعتبر الزلزال الأكثر تكلفة في التاريخ وفقاً لـسجل غينيس للأرقام القياسية
في الرياضيات، الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البدبهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.
المثال الأول: الأعداد الصحيحة.
من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:
الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة نموذجٌ للبديهيات التجريدية للزمر.
تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.
الزمرة هي مجموعة formula_1 مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز formula_2 وتسمى قانون الزمرة لـ formula_1 أو عملية الزمرة، تربط كل عنصرين اثنين formula_4 و formula_5 من عناصرها بعنصر ثالث formula_6 ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها formula_7 أو formula_8، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب formula_9، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل formula_10 أو formula_11. وكل من المجموعة والعملية formula_12 يحققان البديهيات التالية:
هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر formula_4 مع العنصر formula_5 ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر formula_5 مع العنصر formula_4، فهذه المعادلة:
قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن formula_43 لأي عددين صحيحين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة formula_42 الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.
كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد formula_45 أو formula_46، وهذا الرمز مأخوذ من المحايد الضربي. كما قد يُكتب العنصر المحايد formula_47 خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـformula_48، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية. وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا formula_49.
المثال الثاني: زمرة التماثل.
يتطابق الشكلان في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور:
تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r1 ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل fh فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D4، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال. يمكن تركيب اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي:
formula_50 (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).
يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (fh) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (fd). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن:
يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D4 المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث formula_52 كالتالي:
وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D4، فمثلًا: formula_53 لكن formula_54. ولذلك فإن الزمرة D4 غير أبيلية.
تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ فقد كان أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، مع تباديل ما للجذور. رفض معاصرو غالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درس أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه "حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية θn = 1" (المنشور عام 1854).
كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة كالهندسة الزائدية والهندسة الإسقاطية، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمر لي عام 1884.
أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهو نظرية الأعداد. استعمل كارل فريدريش غاوس بُنى بعض الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان "استفسارات حسابية" (عام 1798)، كما استعملها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. في عام 1847، كان إرنشت كومر من بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة، وذلك بتطوير زمر تصف تحليل عدد صحيح إلى أعداد أولية.
وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله "Traité des substitutions et des équations algébriques" الصادر عام 1870. أعطى فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. مع بداية القرن العشرين، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس وويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي، وأوراق إيساي شور. درس هيرمان فايل وإيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً والزمر محلية التراص عامةً. صيغت نظرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل وجاك تيتس لاحقًا.
نظمت جامعة شيكاغو في 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث علماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين وجون تومسون وفالتر فايت، وبمساهمة العديد من الرياضياتيين الآخرين صُنفت كل الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الهائل من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى.
النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر.
عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. فمثلًا تُظهر التطبيقات المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة:
تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة.
يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر والمعاكس الأيسر؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي.
وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة.
إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع تعريفهما بقول "المحايد" و"المعاكس".
لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر formula_4، لنفترض أن للعنصر formula_4 عنصران معاكسان formula_5 و formula_6 في الزمرة formula_60، حيث
وبالتالي فإن كلا العنصرين formula_5 و formula_6 متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر formula_4 معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن formula_1 زمرة بها عنصران محايدان formula_32 و formula_66، حيث formula_67، وبالتالي فإن formula_32 و formula_66 متساويان.
من الممكن القيام بعملية القسمة في الزمر: ليكن formula_4 و formula_5 عنصرين من الزمرة formula_1، إذن هناك حل وحيد formula_73 للمعادلة formula_74. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر formula_36 من الجهة اليمنى يعطي الحل formula_76. ويوجد بالمثل حل وحيد formula_77 في formula_1 للمعادلة formula_79، وهو formula_80. وليس من الضروري عامةً لكل من formula_73 و formula_77 أن يتفقا.
إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر formula_83 من زمرة ما هو دالة تقابلية. وعلى وجه التحديد، إذا كان formula_83 عنصرًا من الزمرة formula_1 فإنه يوجد دالة تقابلية على formula_1 تدعى "الانزلاق الأيسر" بـ formula_83، وهو يرسل formula_88 إلى formula_89. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على formula_1 تدعى "الانزلاق الأيمن" بـ formula_83، وهو يرسل formula_92 إلى formula_93. وإذا كانت formula_1 أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.
تُستخدم رموز رياضية في هذا القسم مثل formula_95 للرمز إلى مجموعة X تحتوي العناصر x و y و z، أو يُستخدم بدلًا من ذلك formula_96 لتوضيح أن formula_73 عنصر من formula_98. ويشير الترميز formula_99 إلى أن formula_66 هي دالة تربط بكل عنصر من formula_101 عنصرًا من formula_102.
لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في المجموعات)، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عمليتها. يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف بالزمر الجزئية وزمر خارج القسمة. إن مبدأ "الحفاظ على البنى" هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر.
تشاكلات الزمر هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة formula_103 بين الزمرتين formula_60 و formula_105 تشاكلًا إذا تحققت المعادلة formula_106 لكل عنصرين formula_83 و formula_108 في formula_1. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أو بعد التطبيق formula_4. وينتج عن هذا الشرط أن formula_111، وأن formula_112 لكل formula_83 في formula_1. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية formula_1 كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر.
تُوصف الزمرتان formula_1 و formula_117 بأنهما متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين formula_103 و formula_119 تشاكلًا، أي أن تطبيق كلتا الدالتين الواحدة تلو الأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي الدالتين المحايدتين في formula_1 و formula_117. أي أن formula_122 و formula_123 لأي formula_83 في formula_1 و formula_92 في formula_117.
من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًا يكون إثبات أن formula_128 لعنصر ما formula_83 من formula_1 يُكافئ إثبات أن formula_131؛ لأن تطبيق الدالة formula_4 على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة formula_5 على الثانية يُعيدها إلى الأولى.
الزمر الجزئية.
إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة formula_117 موجودة في زمرة أكبر formula_1. ويكون العنصر المحايد للزمرة formula_1 موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة formula_117، وعندما يكون formula_138 و formula_139 في formula_117، يكون formula_141 و formula_142 أيضًا في formula_117، وبذلك تشكل عناصر formula_117 مزودةً بعملية الزمرة formula_1 المقصورة على formula_117 زمرةً جزئية.
في مثال الزمرة formula_147 المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية formula_148، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث أن أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هو الدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة: 270° مع 90°، و 180° مع 180°، و 90° مع 270° (لاحظ أن الدوران في الاتجاه المعاكس غير معرف). إن اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية formula_117 من الزمرة formula_1 لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من أن formula_151 لكل formula_152. كما أن معرفة الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً.
بإعطاء أي مجموعة جزئية formula_153 من زمرة formula_1، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها formula_153 من نواتج إخضاع عناصر formula_153 لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من formula_1 تضم formula_153. وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ formula_159 و formula_160 من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر formula_161. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.
المجموعات المشاركة.
من المستحسن في العديد من الحالات أن يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إن اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة formula_147 المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع formula_159 بالقيام بعمليات الدوران، أي أن عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا: تحدد المجموعة الجزئية formula_117 مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـformula_117 بأي عنصر من عناصرها formula_83. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ formula_117 التي تحتوي العنصر formula_83 كالتالي:
تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية formula_117 تجزئة لـ formula_1، بمعنى أن اتحاد كل المجموعات المشاركة اليسرى يساوي formula_1، وتكون كل مجموعتين يسريين إما متساويتين أو غير متقاطعتين. تحدث الحالة الأولى formula_174 إذا وفقط إذا كان formula_175، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من formula_117، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ formula_117. ومن الممكن أن تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن أن لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان formula_178 لكل formula_179)، تسمى formula_117 حينها زمرة جزئية طبيعية.
في الزمرة formula_147 المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى formula_182 للزمرة الجزئية formula_183 المكونة من الدورانات إما أن تساوي formula_183 إذا كان formula_83 عنصرًا من formula_183 نفسها، أو أن تساوي formula_187 (المظللة باللون الأخضر). كما أن formula_183 زمرة جزئية طبيعية، لأن formula_189 والأمر ينطبق على أي عنصر غير formula_190.
زمرة خارج القسمة.
في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية formula_191، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي
تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية formula_1. formula_194 لكل formula_83 و formula_92 في formula_1. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق formula_198 الذي يربط إلى كل عنصر formula_83 مجموعته المشاركة formula_200 يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخصائص الشاملة. والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة formula_201، ومعاكس formula_200 في زمرة خارج القسمة هو formula_203.
عناصر زمرة خارج القسمة formula_204 هي formula_183 نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها formula_206. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا formula_207. إن كلًّا من الزمرة الجزئية formula_148 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن formula_147 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة formula_147 من الزمرة الجزئية formula_183 وخارج القسمة formula_204 يجرَّد بمفهوم يسمى الجداء شبه المباشر.
تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تباديلها: أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية formula_213 بعنصرين formula_214 و formula_66 (وعلى سبيل المثال: formula_216 أي الدوران بزاوية قائمة، و formula_217 أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات
تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل الزمر المتقطعة.
ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي: يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية formula_117 من formula_1 على أنها تطبيق تبايني formula_221، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات الشمولية، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق formula_198. إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة وصورة تشاكلات الزمرة ومبرهنة تساوي الشكل الأولى.
تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة formula_223 للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرة ضربية. وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد.