CALM/arwiki huggingface dataset:
أُنشئت إجازة التمريض العالي ضمن كلية الطب والعلوم الصحية عام 1990م وكانت تتبع آنذاك لجامعة وادي النيل ثم أصبحت إحدى إجازات الطب والعلوم الصحية بجامعة شندي في مارس 1994م، ومن ثم أصبحت كلية التمريض العالي في 29 سبتمبر2010م. وتقع مباني الكلية في مجمع كليات الطب والعلوم الصحية بشندي.
كلية القانون هي إحدى ثلاث قامت عليها جامعة شندي بجانب كليتي الطب والتربية لإعداد معلمي مرحلة الأساس. وقد تم قبول أول دفعة من الطلاب في عام 1994م وبدأت الدراسة بمباني كلية التربية بشندي وخرجت الدفعة الأولى في عام 1998م. في العام 1994م انتقلت الكلية إلي مقرها الحالي عند مدخل مدينة المتمة بولاية نهر النيل من الناحية الشرقية
أول دفعة من طلاب الكلية كان قوامها 40 طالب وطالبة تخرج منها 28 طالباً وطالبة وقد تخرجت هذه الدفعة في العام 1998م، ثم تتابعت الدفعات المتخرجة حتى بلغت بنهاية العام الدراسي 2010م أربعة عشرة دفعة
أنشئت الكلية سنة 1994م وهي امتداد لمعهد أعداد المعلمين الذي أسهم لأكثر من قرن في إعداد المعلمين وقد بذلت إدارة الجامعة مجهودات متصلة لتأهيل الكلية. من حيث المباني والقاعات والمعامل والمكاتب والأثاثات.
أنشئت كلية الآداب سنة 1995م لخدمة أغراض الجامعة لتتجه نحو المجتمع بأهداف واضحة ووسائل علمية تعمل على تحريك الفعاليات والإمكانيات المادية والاجتماعية والثقافية. تحديثاً وتنمية للمجتمع المحلى في إطار الإرث الحضاري والإنساني. وتختص الكلية وتنفرد عن باقي كليات الآداب في ربطها بين الآثار والسياحة والفندقة وفق مفهوم جديد تبرزه مناهجها وأقسامها.
كلية تنمية المجتمع.
أنشئت كلية تنمية المجتمع في العام 1995م بقرية طيبة الخواض محافظة المتمة بغرض التوجه لخدمة المجتمع والإسهام في حل مشكلاته التنموية والتي تتطلب دراسة شاملة وتغييراً مقصوداً ومخططاً والوصول إلي نتائج يستند عليها صناع القرار، كما تعمل الكلية على فهم المحيط الاجتماعي والثقافي والمساهمة الإيجابية في تطوير المجتمع المحلي بكافة الوسائل.
كلية الاقتصاد والتجارة وإدارة الأعمال.
تأسست كلية الاقتصاد والتجارة وإدارة الأعمال في عام 1998م وكانت تضم ثلاثة أقسام هي قسم الاقتصاد وقسم التجارة وقسم إدارة الأعمال وفي عام 2002م تم إنشاء قسم المحاسبة.
موقع الكلية الآن مدينة شندي مجمع كليات التربية ويبلغ عدد طلابها حوالي 120 طالب في مختلف الفصول الدراسية وتضم في معيتها عدد من أعضاء هيئة التدريس في مختلف التخصصات في العلوم الاقتصادية والإدارية.
كلية العلوم والتقانة.
http://scitch.ush.sd/php/index.php
أُنشئت كلية العلوم والتقانة في العام 2000م بمدينة شندي على النمط المعاصر لكليات العلوم والتقانة وعليه ستكون متجهة لخدمة المجتمع مساهمة في حل مشكلاته العلمية والتقنية وستكون مناهجها متداخلة ومتكاملة لتحقيق هذا الغرض وتستمد الكلية أغراضها من أهداف الجامعة وبصفة خاصة مسألة العمل على إعداد الخريج المؤهل القادر على خدمة المجتمع.
حرصت الكلية منذ نشأتها على وضع خطط دراسية لتلبية متطلبات تخصصاتها المختلفة وحاجة المجتمع، مراعية في ذلك التطوير الدائم لهذه الخطط وفق المستجدات العالمية. وتسعى الكلية إلى وضع برامج الدكتوراة والماجستير والدبلوم العالى في جميع التخصصات ضمن خطة شاملة للكلية لتطوير برامج الدراسات العليا في الجامعة وتلبية حاجات المجتمع ورغبات الخريجين في مواصلة تعليمهم العالي.
كما وضعت كلية العلوم في أولويات عملها إعادة تجهيز المختبرات العلمية وتطويرها حيث عملت مع الجهات المسئولة بجهد مضاعف لتوفير اللوازم والتجهيزات المعملية ليجد الطالب الفرصة الملائمة لاستكمال المساق العملى ولطلاب البحث العلمي الحصول على فرصة لإنجاز أبحاثهم.
كما سعت كلية العلوم إلى فتح آفاق تعاون وشراكات مع مؤسسات أكاديمية محلية وخارجية، وكذلك عقد اتفاقات تعاون مشترك مع مؤسسات المجتمع المحلي ضمن خطة مدروسة.
كلية المجتمع.
يستمد المجتمع السوداني اهتماماته بمؤسسات التعليم العالي من اهتمامه بتربية وتعليم أبنائه حتى المراحل الجامعية المتقدمة. وتعتبر كليات المجتمع من أهم الكليات بالجامعات إذ عن طريقها تتواصل الجامعات بمجتمعاتها حتى أصبح نجاح الجامعة يقاس بمدى انفتاحها على مجتمعها وتبنى قضاياه. وأُنشئت كليات المجتمع في العام 2005م في عدد من ولايات السودان ومن ضمنها ولاية نهر النيل التي توجد بها كليتان الأولى بمدينة [[عطبرة]] والثانية بمدينة شندي تقوم وزارة التعليم العالي والبحث العلمي بإعداد وتدريب الكوادر البشرية المسئولة عن عمليات التدريس بهذه الكليات مع الاستفادة من أساتذة الجامعات المعنية على مستوى الإشراف الإداري.
أُنشئت كلية المجتمع بجامعة شندي بتوجيه من وزير التعليم العالي والبحث العلمي وتم إنشاؤها بموجب قرار مدير الجامعة في أغسطس 2004م ويقع المقر الرئيسي لها بمركز الفاتح للدراسات الإسلامية شندي. وتستهدف الكلية كل قطاعات المجتمع دون القيد بسن محدده أو مستوى تعليمي معين حيث تشمل هذه البرامج الشباب والنساء والشيوخ والأطفال ولكن في هذه المرحلة استهدفت الكلية المرأة باعتبارها العنصر الهام والذي يؤثر في كل العناصر حتى تستطيع ملء الفراغ واكتساب مهارات حول إدارة المنزل وربط ذلك بالثقافة الدينية ويتم التركيز على وجه الخصوص علي ربات البيوت من الأسر الفقيرة على وجه الخصوص وذوات التعليم البسيط غير الحاصلات على الشهادة السودانية والفاقد التربوي من العاملات في مجالات الحرف والصناعات اليدوية المختلفة.
كانت جامعة شندي سباقه للانفتاح نحو المجتمع بكل برامجها وكلياتها ولها تجربتها مع صندوق الأمم المتحدة للسكان إذ نفذت مشاريعها الذي أثبت نجاحا كبيرا وغطى أكثر من أربعين قرية في محلية شندي. والآن وعبر كلية المجتمع التي توسعت في مراكزها حيث بلغت ثمانية فروع وهنالك ثمانية أخرى مقترحة تواصل الجامعة في برامجها نحو المجتمع وتأمل أن تنتشر هذه الفروع حتى تشمل جميع قرى محليتي شندي والمتمة.
موقع جامعة شندي
[[تصنيف:اتحاد الجامعات العربية|ش]]
[[تصنيف:العلوم والتقنية في السودان]]
[[تصنيف:تأسيسات سنة 1994 في السودان]]
[[تصنيف:جامعات حكومية]]
[[تصنيف:جامعات عالمية]]
[[تصنيف:جامعات وكليات في السودان]]
[[تصنيف:هيئات تعليمية أسست في 1994]]
[[تصنيف:ولاية نهر النيل]]
البنية قد تشير إلى:
بالتشديد، بنت
في الرياضيات، الفضاء مجموعة ذات خواص مميزة وعادة يكون مزودا ببنية رياضية إضافية. لا يمكن اعتبار كلمة فضاء في الرياضيات محددة بشكل تام بل هي اسم عام لعدد من المصطلحات المتشابهة، معظمهم يشكل تعميمات لبعض الخواص التجريدية لمصطلح الفضاء الفيزيائي.
بشكل عام يعتبر الفضاء الإتجاهي وبشكل خاص الفضاء الإقليدي يمكن أن يظهر كتعميم لمفهوم النظام الإحداثي الإقليدي. يمكن ان نضيف أيضا أنواع أخرى مهمة للفضاءات الشعاعية مثل: فضاء باناش وفضاء هلبرت. ويتم هنا تجريد عملية قياس المسافات بمفهوم الفضاء المتري، وقياس الحجوم يقود أيضا إلى مفهوم فضاء القياس.
يمكن سرد بعض أنواع الفضاءات الرياضية:
الكمية مصطلح عام يستخدم للإشارة إلى أي نوع من الخواص الكمية أو صفة كمية, مثل الكتلة والطول والزمن. الكمية عمليا هي حجم لكمية قياسية أو شعاعية ويستخدم غالبا لقياس المجموعات المعدودة (القابلة للعد) من الأجسام.
تمثل الكمية المعطاة عادة بعدد من الواحدات, مع ذكر نوع هذه الواحدة, أو عدد الأجسام مع تعريف نوع هذه الأجسام. لذا فإن الكميات القياسية مثل الكتلة, والكميات الشعاعية مثل القوة, وجميعها كميات متصلة وتمثل عادة بجداء عدد حقيقي في واحدة قياس لكمية متصلة ذات كمية محددة ثابتة مثل الجرام أو النيوتن.
أما الكمية في المجموعات المنتهية قتمثل عادة بعدد العناصر في هذه المجموعات مترافقة مع ذكر نوع هذه العناصر: مثل خمس تفاحات، تسعة أعداد.. وهكذا.
فضاء قد تعني:
اللوغاريتم الطبيعي أو اللوغاريتم النِيبْيَري هي دالة لوغاريتمية للأساس "e". وهي الدالة الاصلية للدالة formula_1 على formula_2 وتنعدم في 1. يُرمز لهذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln
بصفة عامة.
ويسمى هذا اللوغاريتم أيضا باللوغاريتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللوغاريتمية (والتي ليست في الواقع جداول اللوغاريتمات الطبيعية).
تم وضع مفهوم اللوغاريتم الطبيعي بواسطة و قبل عام 1649. تضمن عملهم تربيع القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 من خلال تحديد مساحة القطاعات الزائدية. تولد حلولهم دالة "اللوغاريتم الزائدي" المطلوبة التي لها خصائص مرتبطة الآن باللوغاريتم الطبيعي.
وضعت أول إشارة للوغاريتم الطبيعي من قبل نيكولاس مركاتور في عمله Logarithmotechnia المنشور في 1668، على الرغم من أن مدرس الرياضيات
قام بالفعل في عام 1619 بتجميع جدول لما كان في الواقع لوغاريتمات طبيعية. لقد قيل إن لوغاريتمات سبيديل كانت ذات الأساس e ، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا بسبب التعقيدات مع القيم المعبر عنها كأعداد صحيحة.
اتفاق حول الرموز.
يشير الرمزان و بشكل لا لبس فيه إلى اللوغاريتم الطبيعيّ لِـ"x". و قد يُفهم من الرمز دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لوغاريتم طبيعيّ لِـ"x". يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة وفي الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة. يُمكن استخدم الرمز في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللوغاريتم ذو الأساس 10.
تاريخياً، أُدخلت الرموز " و " إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل، و بقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل، أما الرمز "log." أو "log"، فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log" و "logh".
أصل مصطلح "اللوغاريتم الطبيعي".
تنتج الدالة formula_3 و ذلك من أجل "n" ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". و بالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد وخطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة والقطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. و بالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة "xy" = 1.
يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة واللوغاريتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة والأسيّة في كتاب "مقدمة في تحليل اللانهاية" (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللوغاريتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لوغاريتميّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور وكريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.
إن صلة الوصل بين المنطقة وأقواس الدائرة ودوال القطع الزائد تُظهر "طبيعيّة" اللوغاريتم.
رسمياً، في حالة "a" يُمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/"x". هذا هو التكامل
هذه الدالة لوغاريتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للوغاريتم:
يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln("ab") إلى جزأين ومن ثُمّ المكاملة بالتعويض في الجزء الثاني، وفق الآتي:
في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/"a" في الاتجاه الأفقيّ وبواسطة "a" في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، ولكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين "a" و "ab". لأن الدالة "a"/("ax") تُساوي الدالة 1/"x"، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln("b").
يُعرَّف العدد "e" بأنه عدد حقيقيّ فريد "a" حيث ln("a") = 1.
بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللوغاريتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln("x")) = "x". و بما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم "x" الإيجابيّة.
خاصيات.
اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي.
نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على formula_2 وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:
و منه الدالة ln متصلة على formula_2و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على formula_2
عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي.
لتكن f دالة معرفة ب formula_11 حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :
و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :
من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :
حيث يشير الرمز formula_21 إلى جداء.
الاشتقاق والمتسلسلات.
يتم الحصول على مشتق اللوغاريتم الطبيعي كدالة ذات قيمة حقيقية على الأعداد الحقيقية الموجبة بواسطة:
إثبات
إذا كان formula_24 و formula_25 ، فإن:
هذه هي متسلسلة تايلور لـ ln x زائد 1. يؤدي تغيير المتغيرات إلى توليد متسلسلة ميركاتور:
صالحة من أجل و .
دالة اللوغاريتم الطبيعي في التكامل.
بمكاملة دالة المقلوب، نتحصل على اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ x، بتعبير آخر:
formula_28 و formula_29.
فيما يلي مثال في حالة :
نعتبر :
formula_32 حيث هي دالة القاطع.
حيث C هو ثابت التكامل.
يمكننا مكاملة اللوغاريتم الطبيعي باستخدام التكامل بالتجزئة:
لتكن:
تكامل الدالة المركبة formula_37 هو:
الكسور المستمرة.
في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن العديد من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:
فهذه الكسور المستمرة، وبشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللوغاريتمات الطبيعيّة لمعظم الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل.
على سبيل المثال بما أن 2 = 1.253 × 1.024 يمكن حساب اللوغاريتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:
علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.2510 × 1.0243 فإن اللوغاريتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه وبطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:
اللوغاريتم العقدي.
يعرف كالآتي:
الدالة الأسية هي كل دالة تُكتب على الشكل formula_1 حيث formula_2 و formula_3 عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان formula_4 تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان formula_5 فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.
دوال أسية أخرى.
مثال آخر للدالة الأسية :
أي أن الدالة الأسية بصفة عامة :
X = yn
تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا formula_9 حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة formula_9 لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم "هـ" بدلا عن e.
خواص الأسس.
التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.
من خواص الدالة الأسية :
الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول formula_11 إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع :
حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.
يمكن تحويل الدالة الأسية formula_13 إلى أي أساس آخر formula_14 :
وتنطبق القوانين التالية عليها :
وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة formula_22 وformula_23 وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة formula_24.
من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي formula_25 واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز " ln" ، ويسمى "اللوغاريتم الطبيعي".
الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين :
أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.
الدالة الأسية للثابت الطبيعي e.
هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي "هـ" بدلا عن المعترف به عالميا e).
وتكتب باللغة الإنجليزية:
حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828
وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.
أو بالتفصيل :
x = en
من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:
وذلك لجميع
formula_31 وجميع formula_24 الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل :تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل : اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)
وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.
تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e.
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:
أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:
هي أيضا تساوي النهاية التالية:
مشتقة الدالة الأسية للأساس e.
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية :
وعندما نختار لها الشرط :
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون
formula_38 ينتج :
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة :
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد "e" في حساب التفاضل بطريقة "طبيعية" من نفسه.
المعادلة التفاضلية من النوع formula_41 حيث a و b عددان حقيقيان.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث formula_42 حيث formula_43 ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية
قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).
وتعتمد :formula_45 على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.
المجاميع أسية.
ليكن formula_3 عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث formula_5
المجموع الأول
نهاية هذا المجموع
المجموع الثاني
مثال للدالة الأسية بصفة عامة.
تزايد الميكروبات : ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.
أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات :
N = 23
N = 8
فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:
N = 26
N = 64
أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.
امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e.
التزايد السكاني :
يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟
نكتب المعادلة الآتي:
N = 4. e0,025.6
والنتيجة :
مثال 3 :
تكوّن النجوم : تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة ؟.
N = 1. e0,002.170
N = 1. e0,34
باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
مثال 4:
تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي :
حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض formula_53.
(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)
في الرياضيات، أعداد بيرنولي "B""n" هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي:
عندما يستعمل اصطلاح "B"1=−، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح "B"1=+، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن "B""n"=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة "B""n" بدلا من "B"2"n".
تظهر أعداد بيرنولي في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي وفي صيغ مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى، مرفوعة إلى قوة ما (ما يعرف بصيغة فاولهابر)، وفي صيغة أويلر-ماكلورين وفي تعابير لبعض قيم دالة زيتا لريمان.
اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات الياباني سيكي كاوا.
نشر اكتشاف سيكي عام 1712 في عمله "Katsuyo Sampo"; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.
رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي : فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة.
في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي في عام 1842, تصف لوفلايس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج. ونتيجة لذلك، تصير أعداد بيرنولي موضوع أول برنامج حاسوب كُتب.
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.
عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى "n", ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة "n" الأولى، ولكن لم تكن هنالك "صيغ" حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.
من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م, إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م, البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039,م في القاهرة).
لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.
بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه "Academia Algebrae", عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت "B"0, "B"1, "B"2, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى . قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.
المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى "c" لأي عدد صحيح موجب "c" يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب :
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.
تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.
نسبة إلى ، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.
مجموع القوى.
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها "n" ودرجتها "m" + 1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ "B"1 = +1/2. (formula_3 يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)
لتكن "n" ≥ 0. بجعل "m" مساوية ل 0 و"B"0 = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ….
بجعل "m" مساوية ل 1 و"B"1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6,  وهكذا.
بجعل "m" مساوية ل 2 و"B"2 = 1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14,  وهكذا.
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا "B"1 = −1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.
يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.
عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo &amp; J. Zeng إلى q-analog .
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:
لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل أو .
لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف "B"1 = 1/2, some يضع المؤلفون "B"1 = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.
تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي.
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما
تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية "B""m"("n") لجميع الأعداد الصحيحة "n" ≥ 0, "m" ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في "B"0("n") = 1 لكل "n". يأتي الاختلافان الآن بوضع "n" = 0 على الترتيب "n" = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  "n".
التعبير هنا formula_9 يحمل القيمة 1 إذا كان "m" = 0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة "B""m"(0) في الحالة الأولى و"B""m"(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.
التعريف الصريح.
في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ():
دالة التوليد.
تقود الخيارات "n" = 0 و"n" = 1 إلى
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
حساب أعداد برنولي بكفاءة.
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنولي"B"0 حتى "B""p" − 3 متبقيا "p", حيث "p" هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن "p" عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) "p"2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع والتي تتطلب عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).
يصف ديفيد هاري خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب "B""n" متبقياً "p" لأعداد أولية صغيرة عديدة "p"، ومن ثم يعيد إنشاء "B""n" عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب "B""n" لقيم "n" = 108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر حسب "B""n" لأعلى دقة لقيم "n" = 106 في ديسمبر 2002 و لقيم "n" = 107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.
وجهات نظر واصطلاحات مختلفة.
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30...
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - "paradigmatic application" لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه "دورة في الحساب" وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0...