CALM/arwiki huggingface dataset:
تشمل المشورة المهنية توفير المعلومات المهنية، ومهارات النمذجة، والتدريبات، واستكشاف الأهداف والخطط المهنية.، كما يمكن أن تستفيد المشورة المهنية من تقييم الاهتمامات المهنية، مثل مؤشر النمط لمايرز بريجز، والذي يعتمد على نظرية كارل يونغ للنوع النفسي، أو مؤشر الاهتمام الحاد، الذي يستخدم نظرية هولاند، حيث أنه يتم تقييم المهارات والقدرات والقيم بشكل شائع في الاستشارة المهنية.
الصحف المتخصصة.
في الولايات المتحدة، تعتبر المجلات العلمية الرائدة في هذه المهنة هي "مجلة علم النفس الاستشارى" و "الاستشاري النفسي".
في أستراليا، يتم نشر مقالات الاستشارة النفسية في قسم علم النفس الاستشاري في مجلة "الأخصائي النفسي الأسترالي".
في أوروبا، تشمل المجلات العلمية للمهنة: "المجلة الأوروبية لعلم النفس الاستشاري" (تحت رعاية الرابطة الأوروبية لعلم النفس الاستشاري) ، و"مراجعة علم النفس الاستشاري" (تحت رعاية جمعية علم النفس البريطانية). "علم النفس الاستشاري الفصلي" هو منشور دولي متعدد التخصصات من روتليدج (جزء من مجموعة تايلور وفرانسيس).
تحديات الإرشاد النفسى
تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعاً مركزياً في الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل الجبر الخطي كثيراً في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. للجبر الخطي أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية.
يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي  مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أو الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.
المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان "Liber algebrae et almucabala"، روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيراردو الكريموني. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.
انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حل الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية تطورا في الجيوديسيا.
ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في إنجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح "Matrix" ("ماتريكس" والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح "Matrix" يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات بالمحددات. وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني حسين توفيق باشا كتابًا سماه "الجبر الخطي".
مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحل الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.
الفضاءات المتجهية.
تعتبر الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة V أُضيفت إليها عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي جمع المتجهات. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجه ثالث يُرمز إليه ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجه ما v وتعطي متجهة جديد يُرمز إليه ب av. قد تسمى العملية الثانية "جداء عدديا" أو "ضرباً عدديا" للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).
تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.
قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون دوالا أو متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
إذا كان "v" متجه غير منعدم وكان "Tv" يساوي "v" مضروبة في عدد ما، فإن المستقيم المار من الصفر ومن "v" هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى "v" متجه ذاتي ل T. العدد λ حيث "Tv = λv" يسمى قيمة ذاتية ل T.
من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:
حيث Id هي مصفوفة الوحدة. من أجل حل هاته المعادلة، ينبغي حل المعادلة formula_2. دالة المحدد هي متعددة حدود. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد "λ" ينتمي إلى المجموعة formula_3. ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقول مغلقة جبريا، مجموعة الأعداد العقدية مثالا.
التحويلات الخطية.
يقال عن تحويل formula_4 أنه تحويل خطي إذا كان يستوفي الشرطين الآتيين :
لكل متجهين v و u في formula_6
الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي.
بشكل رسمي، "جداء داخلي" هو تطبيق
يحقق الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:
لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.
حل المعادلات الخطية.
انظر إلى مصفوفة مثلثية.
بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا.
يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات.
مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).
وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي مصطلحا تجريديا فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي.
ومن أهم مايُدرس خلاله هو
في الرياضيات، الطوبولوجيا أو التوبولوجيا كلمة يونانية (من "topos" وتعني مكان أو بنى و"logos" تعني دراسة أو علم) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية.
تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا.
يمكن القول على سبيل التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر. كذلك يمكن القول أن الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من فراغ إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل. لفهم معنى كلمة التشاكل فإنه يقال عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة ومتباينة.
الطوبولجيا من النظريات (التركيبات) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت خلال القرن العشرين. رغم أن جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم كل الرياضيات.
وقد نما الطوبولوجيا من نواحي هندسية كما في الطوبولوجيا التجميعي (التوافقي) combinatorial على أيدي أويلر وأوغست فيرديناند موبيوس وفيليكس كلاين وريمان وتبلور على يد هنري بوانكاريه. ونما من التحليل الرياضي وامتدادا لنظرية الفئات كما في الطوبولوجيا التحليلي (العام)، ومن ثم فإن نموه اتبع خطين أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات الطوبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون التركيز فيها على تركيب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجيا (الطوبولوجيا الجبري) على أيدي ايلنبرج وستينرود (1930)، والهومولجيا عل يد أيلنبرج (1945)، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال هنري بوانكاريه (1900)، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال ريمان (1850 - 1870).
أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى الفراغات الطوبولجية حاملة للدوال المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها. ومن هذه المجالات نظرية باناخ وفراغات هيلبرت وجبريات باناخ والنظرية الحديثة للتكامل (تكامل لوبيغ) ونظرية القياس والتحليل التوافقي الحديث والتحليل الدالي.
وهذ يوضح أن الطوبولوجيا أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة. وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع الطوبولوجيا هو تركيب الفراغ الطوبولوجي والطوبولوجيا التحليلي (العام).
ويعتبر كانتور من الأوئل المخترعين للطوبولوجيا التحليلي، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ الطوبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة والانغلاق ونقطة النهاية والداخل والخارج،...خاصة على خط الأعداد.
أما تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى طوبولوجيا الفئات المفتوحة point set topology فقدمه كازيميرز كوراتوفسكي (1922)، وعن طريق الجوار فقدمه فيليكس هاوسدورف (1914). وقد سبقهما فرشيه (1906) وريسز (1907 - 1908) في تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير مرضية، وقدم أندريه كولموغوروف (1935) وريسز (1907)، وهاوسدروف (1914)، وتشينوف (1930) أنواعا من الفراغات الطوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال.
وببساطة الأنواع (الفروع أو المجالات الأساسية للطوبولوجيا) :
كانت بدايات الطبولوجيا في البحث عن أجوبة لتساؤلات هندسية في أواسط القرن الثامن. وتعتبر المسألة التي طرحها العالم الرياضي ليونهارد أويلر عام 1736 بعنوان جسور كونيغسبرغ السبعة أول ورقة بحث أكاديمي في الطوبولوجيا.
تم استخدام مصطلح طوبولوجيا للمرة الأولى في ألمانيا عام 1847 من قبل العالم الرياضي الألماني يوهان بينيدكت ليستينغ أما الكلمة الإنجليزية فقد ظهرت للمرة الاولى في عام 1833 في مجلة نيتشر البريطانية.
وخلال الفترة الممتدة بين اواخر القرن التاسع عشر وأواسط القرن العشرين تم وضع العديد من الكتب التي أسست للطوبولوجيا لتكون فرعا رياضيا مستقلا.
وتستند الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على نظرية المجموعات.
من أشهر علماء الطبولوجيا في بدايات القرن العشرين الرياضي فيليكس هاوسدورف الذي قدّم في عام 1914 مفهوم الفضاءات الطبولوجيا وما سيعرف لاحقاً باسم فضاء هاوسدورف.
الجبر الشامل هو فرع الجبر الذي يدرس الخواص والبنى العامة المشتركة بين كل فروع الجبر.
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة "A" مزودة بجموعة من العمليات على "A".نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على "A" تمثل دالة رياضية تأخذ "n" عنصر من المجموعة "A" وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من "A".
لذلك فإن المجموعة الصفرية 0-ary operation (أو "nullary operation") يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من "A" أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل "a".
بالمقابل العملية الأحادية 1-ary operation (unary operation) ببساطة عبارة عن دالة من "A" إلى "A" يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ~"x". العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية : "x" * "y".
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين : ("f"("x"،"y"،"z" أو
"f"("x"1،...،"x""n").
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية infinitary مثل :
formula_1، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة complete lattice.
بعد تعريف العمليات، يمكن أن تحدد طبيعة الجبر عن طريق بدهيات axiom، وهي تأخذ في الجيبر الشامل شكل قوانين مساواة equational laws.
أحد أمثلة البدهية التوزيعية للعملية الثنائية، هي التي تعطى بالمعادلة :
"x" * ("y" * "z") = ("x" * "y") * "z".
يقصد بكل بدهية أن تنطبق على جميع القيم التي يمكن ل "x"، "y"، و"z" أن تأخذها من ضمن المجموعة التي تم التعريف عليها : "A".
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج model theory نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات relationship)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط. من جهة أخرى البنى هي مثل البنى التي يتم تعريفها في التصانيف التي تملك جداء (نظرية التصنيف) محدد.
نظرية الأصناف في الرياضيات، وتتناول البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية والعلاقات المتبادلة فيما بينها وهي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل إيلينبرغ "Samuel Eilenberg" وسوندرز ماكلين في عام 1945. تظهر التصنيفات في جميع فروع الرياضيات وبعض فروع المعلوماتية النظرية والفيزياء الرياضية.
ليكن لدينا الصف Grp من الزمر المؤلفة من جميع الأغراض التي لها "بنية زمرة". بشكل أكثر تحديدا، Grp تتألف من جميع المجموعات "G" المزودة بعلاقة ثنائية والتي تحقق مجموعة من البدهيات . وعن طريق مجموعة البدهيات تلك يمكن للمرء استنتاج مجموعة من المبرهنات حول الزمر. فمثلا من المسلمات الأساسية يمكن الاستنتاج مباشرة أن العنصر الحيادي للزمرة يكون وحيدا.
وبدلا من التركيز على الأغراض المفردة (الزمر) التي تمتلك نفس الخواص والبنية، كما تفعل النظريات الرياضية عادة، تحاول نظرية التصنيف ان تركز على انحفاظ الشكل - أي العمليات المحافظة على البنية - بين مختلف الأغراض. وقد تبين من دراسة انحفاظات الشكل أنها تمكننا من معرفة المزيد حول بنية الأغراض ذاتها (الزمر هنا). انحفاظات الشكل هنا هي تشاكل الزمر. تشاكل الزمر بين زمرتين " هو ما يحفظ بنية الزمرة " بشكل دقيق - أي أنه إسقاط دقيق لزمرة على أخرى، غنع "عملية" تأخذ الزمرة إلى زمرة أخرى. ومجمل المعلومات حول بنية الزمرة الأولى تصبح في الزمرة الثانية. دراسة تشاكلات الزمر تؤمن وسيلة ممتازة لدراسة الخواص العامة للزمر ونتائج بدهيات الزمر.
التحليل الرياضي هو فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية وتحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية، حيث تدرس خواص مثل الاتصال والاشتقاق والتكامل والتفاضل، التقعر والانعطاف في منحنيات التوابع والدوال، وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد عقدية والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي.
أول من استخدم مفاهيم النهايات والتقارب عددٌ من رياضيي اليونان أمثال اودوكسوس وأرخميدس اللذان قاما باستخدام هذه المفاهيم بشكل غير تقليدي عندما استخدما طريقة الاستنفاذ لحساب مساحة وحجم المساحات والأجسام. في القرن الثاني عشر قام الرياضي الهندي باسكارا بإعطاء عما يمكن أن ندعوه الآن «معامل تفاضلي» وكانت الفكرة الأساسية وراء ما ندعوه حاليا مبرهنة رول. في القرن الرابع عشر قام الرياضياتي الهندي مادهافا من سانغاماغراما بالتعبير عن عدة دوال مثلثية كسلاسل غير متناهية، قدر مقدار الخطأ في التقديرات التي تعطيها هذه السلاسل.
في أوروبا نشأ التحليل في القرن السابع عشر عن طريق اختراع مستقل لكلا العالمين اسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز. في القرن السابع عشر والثامن عشر، تطورت تطبيقات مواضيع التحليل مثل حساب التغيرات والمعادلات التفاضلية النظامية والجزئية، سلاسل فورييه والدوال المولدة في الأعمال التطبيقية. كما استخدم التحليل الرياضي لمقاربة مسائل الرياضيات المتقطعة بمثيلاتها المستمرة ونجحت هذه الطريقة في عدة حالات.
خلال القرن الثامن عشر كان تعريف الدالة الرياضي موضع نقاش طويل بين الرياضيين. في القرن التاسع عشر، كان كوشي أول من وضع التحليل على أساس منطقي ثابت بإدخال مفهوم متتالية كوشي. كما أنه بدأ بوضع النظرية الشكلية للتحليل المركب (العقدي). سيمون بواسون وجوزيف ليوفيل وجان-بابتيست جوزيف فورييه وآخرون قاموا بدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل التوافقي harmonic analysis.
في منتصف القرن قدم برنارد ريمان نظريته حول التكامل. جاء بعده كارل ويرستراس الذي قام بحسبنة arithmetization التحليل في نهاية القرن التاسع عشر، معبرا عن شكوكه ان البرهنة الهندسية تحوي خللا مضللا وهنا قام بتقديم تعريف ε-δ للنهاية.
بدأ عندها شك الرياضيون بأنهم يفترضون وجود استمرارية continuum في الأعداد الحقيقية بدون برهان. قام عندها ريتشارد ديدكايند بتشكيل الأعداد الحقيقية باستخدام حد ديديكايند. في ذات الوقت تتالت المحاولات لتحسين مبرهنة تكامل ريمان مما أدى لدراسة «حجم» مجموعة تقطعات discontinuity الدوال الحقيقية.
ضمن هذا السياق، قام كاميل جوردان بتطوير نظريته حول القياس، في حين طور جورج كانتور ما يمكن تسميته حاليا بنظرية المجموعات المبسطة، باير قام باثبات عن مبرهنة تصنيف باير. في أوائل القرن العشرين، تمت صياغة التحليل الرياضي باستخدام نظرية المجموعات البدهياتية axiomatic set theory. قام هنري ليون لوبيغ بحل مشكلة القياس، في حين قام هلبرت بتقديم فضاء هلبرت لحل المعادلات التكاملية. كانت فكرة الفضاء الشعاعي المنظم normed vector space تلوح في الأفق، في عام 1920 قام ستيفان باناخ بإيجاد التحليل الدالي functional analysis.
نظرية الترتيب هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الأنواع المختلفة من العلاقات الثنائية التي تعطي انطباعا حسّياً عن فكرة ترتيبها موفرة بنية يمكن القول من خلالها متى يكون الشيء "أقل من" أو "يسبق" الآخر.
تدرس نظرية الترتيب مختلف أنواع العلاقات الثنائية بين العناصر الرياضية المختلفة التي ترمز ترتيب هذه العناصر.
مقدمة للتعريفات الأساسية.
العلاقة formula_1 في المجموعة formula_2 هي علاقة ترتيب إذا وفقط إذا كانت في نفس الوقت علاقة انعكاسية وعلاقة تخالفية (غير تناظرية) وعلاقة متعدية.
و بعبارة رياضية:
مجموعة مرتبة.
المجموعة المرتبة هي مجموعة مزودة بعلاقة ترتيب. إذا كانت مجموعة مرتبة منتهية فإنه يمكن تمثيلها بيانيا في شكل رسم تخطيطي هاس "Hasse"، على غرار التمثيل البياني المعتاد على الورق، ما يمكن من العمل بسهولة عليها. أما إذا كانت المجموعة غير منتهية فإنه يمكن تمثيل جزء منها فقط.
المجموعات المرتبة جزئيا.
عادة ما يعبر عن الترتيب في الكثير من الحالات بعلاقة ثنائية خاصة. فلو اعتبرنا مجموعة "P" والعلاقة ≤ على "P". عندئذ يكون ≤ ترتيبا جزئيا إذا كانت انعكاسية ومتناظرة عكسياً ومتعدية، أي:
من أجل "a" و "b" و "c" من المجموعة "P" سيتوفر ما يلي:
المجموعة المزودة بترتيب جزئي تدعى مجموعة مرتبة جزئيا, وأحيانا "مجموعة مرتّبة" ordered set إذا كان معنى الترتيب في السياق واضحا. بتفحص هذه الخواص سنجد ان التريب الموجود في جميع مجموعات الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية جميعها مرتبة بهذا المفهوم للتريب الجزئي. إلا أنها تملك صفة إضافية تجعل ترتيبها كاملا:
إذا كان "a" و"b" عنصرين متمايزين في "P":
هذه التراتيب تدعى ترتيب خطي أو سلاسل. في الحقيقة الكثير من علاقات التريب الكلاسيكية هي ترتيبات خطية، يشكل ترتيب المجموعة الجزئية على المجموعات إحدى الحالات التي لا تشكل ترتيب خطي
يعتبر القياس في الرياضيات دالة تقوم بربط عدد ما يدعى الحجم أو السعة أو الاحتمال بمجموعة جزئية من مجموعة كبرى. وهذا المفهوم للقياس الرياضي يعتبر أساسيا في التحليل الرياضي ونظرية الاحتمالات. تطور هذا المفهوم من الحاجة لإجراء مكاملة على مجموعات اعتبارية غير معينة بدلا من إجراء التكامل بالطريقة التقليدية.
نظرية القياس تشكل أحد أجزاء التحليل الحقيقي الذي يبحث في جبر-"σ"، القياسات، دوال القياس والتكاملات. وتعتبر ذات أهمية خاصة في نظرية الاحتمالات والإحصاء.
رسمياً، القياس "μ" هو عبارة عن دالة
معرفة على جبر-"σ" يدعى (Σ) على المجموعة "X" بقيم ضمن المجال [0، ∞] بحيث يتم تحقيق الخواص التالية :
The الثلاثية ("X"،Σ،"μ") تدعى عندها فضاء القياس measure space، وعناصر Σ تدعى مجموعات مقيسة أو قابلة للقياس measurable sets.
محمد ضياء الحق (الأردية: محمد ضياء الحق، (12 أغسطس 1924 - 17 أغسطس 1988) كان برتبة جنرال بأربعة نجوم شغل منصب الرئيس السادس لباكستان للأعوام 1978- 1988، بعد إعلان الأحكام العرفية في 1977، وكان رئيس باكستان الأطول خدمة.
تلقى تعليمه في جامعة دلهي، حيث كان ضياء قد خدم في الحرب العالمية الثانية كضابط في الجيش الهندي البريطاني، قبل اختياره لباكستان في عام 1947 والقتال في الحرب ضد الهند في عام 1965. وفي عام 1970، قاد مهمة تدريب الجيش الباكستاني في الأردن، وأثبت دور فعال لإخماد تمرد أيلول الأسود ضد الملك حسين. كتقدير للواجب وافق رئيس الوزراء ذو الفقار علي بوتو على تعيين ضياء برتبة أربع نجوم وترفيعه كرئيس أركان الجيش في عام 1976. بعد الاضطرابات المدنية، قام ضياء بخلع بوتو بانقلاب عسكري، وأعلنت الأحكام العرفية في 5 تموز 1977. وقد حوكم بوتو بشكل مثير للجدل من قبل المحكمة العليا وأعدم بعد أقل من عامين، لإجازة قتل معارض سياسي.
وُلد محمد ضياء الحق لمحمد أكرم في 12 أغسطس 1924 في بلدة "جالاندهار" في مقاطعة البنجاب، وتعلم في مدينة دلهي في مدرسة شيملا الثانوية بعاصمة الهند، وبعدها، التحق بكلية "سانت ستيفن" الإنجليزية وحصل منها على إجازة بامتياز وأصبح ضابطًا في سلاح الخيالة عام 1945. كان والده محمد أكرم يعمل بالجيش البريطاني معلماً.
متزوج ولديه ابنان وثلاث بنات. أحد أبنائه، محمد إعجاز الحق، سياسي بارز وتولى منصب وزير في الحكومة الباكستانية.
التحق بالجيش البريطاني عام 1943 بحكم ما هو متعارف عليه في ذلك الوقت وبحكم أن والده كان يعمل معلماً في الجيش البريطاني وانتخب ليخدم في بورما والملايو وإندونيسيا إبان الحرب العالمية الثانية. وبعد انتهاء الحرب، قرر الالتحاق بسلاح المدرعات في الجيش الملكي البريطاني. فلما تم تقسيم الهند، وانفصلت باكستان عنها، رحل مع أسرته عام 1948 إلى كراتشي بباكستان وأصبح ضابطًا وانضم إلى الجيش الباكستاني كمعظم الضباط المسلمين العاملين في الجيش البريطاني بشمال الهند الذين لحقوا بالمؤسسة العسكرية في بلد النشأة الجديد باكستان وعُرف عنه الانضباط والكفاءة في عمله ، وحبه للحياة العسكرية لذا صار محبوبًا بين زملائه ومرؤوسيه، وتخرج في كلية الأركان سنة 1955 وعمل بها مدرساً.
وعندما كان رائداً، أتيحت له فرصة الالتحاق بدورة تدريبية في كلية القادة والأركان بالولايات المتحدة الأميركية لمدة عامين (1963-1964)، وأثناء الحرب الهندية الباكستانية عام 1965 عين في منصب مساعد ضابط الإمداد والتموين بفرقة المشاة 101 التي كانت متمركزة في قطاع كيران، وعُيِّن قائدا مركزياً لإقليم الملتان عام 1975.
تزعم القوات الباكستانية المساندة للحكومة الأردنية في حرب أيلول الأسود عام 1970 ضد المنظمات الفلسطينية. انتقل مع الفيلق للجيش الباكستاني للتدريب في الأردن وتمت ترقيته بعد ذاك وعين مستشارا عسكرياً. شارك بعد عودته إلى باكستان في الحرب "الهندية - الباكستانية" التي انتهت بانفصال بنغلاديش عن باكستان، وتكوين بنغلاديش دولة مستقلة سنة 1971.
تعيينه جنرالاً.
في حركة مفاجئة في 1 أبريل-نيسان 1976، أصدر رئيس وزراء باكستان ذو الفقار علي بوتو قراراً بتعيين ضياء الحق رئيسا لأركان الجيش برتبة فريق متجاوزاً بذلك خمسة قادة أقدم منه في الرتبة. وذلك بسبب ثقة "ذو الفقار" به واطمئنانه أن ضياء الحق ليست له ميول سياسية وأنه لاعب غولف محترف، لأن بوتو كان يريد قائدا للقوات المسلحة لا يشكل أي تهديد له فوقع اختياره على ضياء الحق لما كان يعلمه عنه من البساطة.
شهدت باكستان حالة من الفوضى والاضطراب، وزادت حدة المعارضة -خاصة الإسلامية- ضد الرئيس بوتو الذي نكّل بخصومه الذين انتقدوا توجهاته الغربية العلمانية، وزادت حدة الاضطرابات في باكستان وتدهور الوضع السياسي، وسقط حوالي 350 قتيلاً وآلاف الجرحى من جراء العنف السياسي، قتل مولانا مفتي محمود والد الزعيم الديني المعارض مولانا فتح الرحمن. (قد أخطأ الكاتب في موضعين على الأقل الأول هو أن مولانا مفتي محمود الذي كان زعيما كبيرا سياسيا ودينيا وكانت التظاهرات ضد ذو الفقار علي بوتو في رئاسته لم يقتل على يد بوتو وما زال حيا وأنه لم يقتل بل مات في كراتشي عند سفره للحج فجأة والثاني أن ابنه الزعيم الشهير هو مولانا فضل الرحمن وليس فتح الرحمن)
دعا الرئيس بوتو الجيش إلى التدخل لمواجهة أعمال العنف، وقمع المظاهرات وتأييد نظامه، إلا أن بعض ضباط الجيش -خاصة القادمين من إقليم البنجاب- رفضوا قمع المظاهرات والاصطدام بالشعب وإطلاق النار على المتظاهرين، وكانت تلك النواة التي هيّأت لضياء الحق فرصة القيام بانقلاب عسكري ضد الرئيس بوتو في 5 يونيو 1977، وأعلن أن الجيش قام لوضع حد لحالة التدهور التي تجتاح البلاد، والتي عجز الرئيس بوتو عن حلها، وخشية من إقحام بوتو للجيش في السياسة واستخدامه في عمليات القمع. وعندما بلغ القلق السياسي في باكستان مداه بسبب النزاع بين بوتو وقيادة التحالف الوطني الباكستاني بشأن قضية الانتخابات العامة، اغتنم ضياء الحق الفرصة، وفي 5 يوليو/ تموز 1977 قام بانقلاب أبيض أطاح فيه بحكومة ذو الفقار علي بوتو وفرض الأحكام العرفية في البلاد. فقاد انقلابه على حكومة حزب الشعب الحاكمة عام 1977 وسجن زعيمها ذو الفقار علي بوتو بتهمة قتل نواب أحمد رضا خان قصوري، ثم حكمت عليه المحكمة بالإعدام. لم يقبل ضياء الحق طلبات دولية عديدة لتخفيف الحكم وأعدم ذو الفقار بوتوا شنقاً في السجن في 4 أبريل 1979. وقد أيّد الإسلاميون ضياء الحق في أول الأمر، وشاركوا في أول وزارة بعد الانقلاب، فتسلم وزارة الإعلام أحد أعضاء الجماعة الإسلامية، وكان "طفيل محمد" أمير الجماعة الإسلامية فقد فرض القرارات والمواقف عليهم.
اعتمد ضياء الحق في سياسته الجديدة في باكستان بعدما تولى مقاليد السلطة على اتجاهين هما: التقرب من الغرب -خاصة الولايات المتحدة الأمريكية-، والتقرب من الإسلاميين وإقامة علاقات وثيقة بعض الأقطار الإسلامية.
قصة اغتياله.
عرضت واشنطن على ضياء الحق شراء بعض الدبابات الأمريكية، وأحضرت بعضها إلى باكستان لرؤيتها ومعرفة مزاياها القتالية على الطبيعة. وتحدد يوم 17 أغسطس 1988 موعدًا لاختبار هذه الدبابات. فخرج ضياء الحق وبعض كبار قادته، يرافقهم السفير الأمريكي في باكستان أرنولد رافيل والجنرال الأمريكي هربرت واسوم وكانت الرحلة في منتهى السرية. بعد معاينة الدبابات، انتقل الرئيس ومرافقيه إلى مطار بهاوالبور لينتقلوا منه إلى مطار راولبندي واستقلوا طائرة خاصة. وما إن أقلعت الطائرة، حتى سقطت محترقة بعدما انفجرت قنبلة بها وتناثرت أشلاء الجميع محترقة. يُعتقد أن الانفجار كان قد وقع في صندوق هدية من ثمار المانجو في حوامته العسكرية، لما كان يُعرف عنه من حبه لتلك الفاكهة.
كشف الدبلوماسي الأميركي جون غونتر دين، في كتاب له سيصدر في شهر مايو/أيار المقبل أن إسرائيل متورطة في اغتيال الرئيس الباكستاني الأسبق الجنرال محمد ضياء الحق.
وينضم السفير الأميركي السابق -وهو من أصل يهودي- بذلك إلى قافلة الدبلوماسيين الأميركيين الذين يفضحون مؤامرات إسرائيل والموالين لها وسعيها لتشويههم واغتيالهم.
ويقول دين في مذكراته التي تحمل عنوان "المنطقة الخطرة: دبلوماسي يكافح من أجل مصالح أميركية"Danger Zone : A Diplomat’s Fight for American’s Interests إن الموساد الإسرائيلي كان متورطا في إسقاط طائرة الرئيس الباكستاني الأسبق الجنرال محمد ضياء الحق وعلى متنها السفير الأميركي لدى باكستان أرنولد رافي في 17 أغسطس عام 1988.
ويقول دين في كتابه إنه بعد مقتل ضياء الحق في تحطم الطائرة، أبلغه "مسؤولون كبار في نيودلهي أن الموساد كان ضالعا محتملا في الحادث".
ويضيف أن شكوكا دارت بشأن قيام عناصر في جهاز البحث والتحليل الهندي المساوي لوكالة المخابرات المركزية الأميركية (سي آي أيه) بدور في العملية. ويلفت إلى أن الهند وإسرائيل كانتا تخشيان من مساعي ضياء الحق في امتلاك باكستان ما سمي آنذاك "القنبلة الإسلامية" النووية.
الخارجية والتحقيقات