CALM/arwiki huggingface dataset:
تنعقد الإمامة بطرق أحدها: البيعة: أي بيعة أهل الحل والعقد من العلماء والرؤساء ووجوه الناس الذين يتيسر اجتماعهم حالة البيعة بلا كلفة عرفًا، وأما بيعة غير أهل الحل والعقد من العوام فلا عبرة بها، وثانيها: الاستخلاف: وهي أن يستخلف الإمام أحدًا بعده، أو قد يذكر عددًا من الأشخاص يختار أهل الحل والعقد واحدا منهم، قال النووي: «وتنعقد الإمامة بالبيعة، والأصح بيعة أهل الحل والعقد من العلماء والرؤساء ووجوه الناس الذين يتيسر اجتماعهم، وباستخلاف الإمام، فلو جعل الأمر شورى بين جمع فكاستخلاف، فيرتضون أحدهم وباستيلاء جامع الشروط وكذا فاسق وجاهل في الأصح».
شروط الإمام.
للإمام شروط متعددة يجب تحقيقها فيمن يتولى منصب الخلافة على المسلمين، ومنها ما هو متفق عليه ومنها مختلف فيه، وقد شملها النووي في قوله: .
حكم تعدد الأئمة.
لا يصح في الأحوال العادية وجود أكثر من إمام للمسلمين، حيث تعطى الراية لأحدهم، وذلك لما رواه عرفجة بن شريح قال: سمعت رسول الله يقول: ((من أتاكم وأمركم جميع على رجل واحد، يريد أن يشق عصاكم أو يفرق جماعتكم فاقتلوه)).
وكذلك حديث: ((من بايع إمامًا فأعطاه صفقة يده وثمرة قلبه فليطعه ما استطاع، فإن جاء آخر ينازعه فاضربوا رقبة الآخر)).
لذلك، إذعانًا لأمر النبي ذهب علماء المسلمين من أهل السنة لعدم جواز تعدد الأئمة في زمنٍ واحد. وقال في ذلك الماوردي: (إذا عقدت الإمامة لإمامين في بلدين لم تنعقد إمامتهما، لأنه لا يجوز أن يكون للأمة إمامان في وقت واحد، وإن شذ قوم فجوزوه).
وقال النووي: (اتفق العلماء على أنه لا يجوز أن يعقد لخليفتين في عصر واحد).
نادي بورتلاند ترايل بلايزرز هو نادي كرة سلة من بورتلاند، أوريغون، الولايات المتحدة الأمريكية. تأسس عام 1970.
الأحمر والأسود والفضي.
سياتل سوبرسونيكس أو سونيكس كان فريق كرة سلة أمريكي للمحترفين تأسس في سنة 1967 في سياتل بولاية واشنطن. لعب في الرابطة الوطنية لكرة السلة من سنة 1967 حتى 2008. بعد نهاية موسم 2007–08 تم تغيير مقر الفريق إلى أوكلاهوما سيتي وأصبح يلعب كـ أوكلاهوما سيتي ثاندر. من مدربيه آل بيانكي، كي سي جونز، جورج كارل، بول ويستفال وبي جاي كارلسيمو.
في الهندسة الرياضية، تقوم معادلة براهماغوبتا بإيجاد مساحة أي رباعي أضلاع بواسطة طول أضلاعه وقياس بعض زواياه.
بشكلها الأكثر شيوعاً تقوم المعادلة بحساب معادلة رباعي الأضلاع المحصور ضمن دائرة (رباعي دائري).
الصيغة البسيطة.
أبسط صيغة لصيغة براهماغوبتا هي الصيغة التي تعطى في الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعهa, b, c, d على الشكل التالي:
حيث s تعطى بالعلاقة: formula_2
وهي تعميم لمعادلة هيرون لحساب مساحة المثلث.
لتكن formula_3 هي مساحة الرباعي جانبه. formula_3 هي مجموع مساحتي المثلثين formula_5 و formula_6 إذن
بما أن formula_8 رباعي دائري فإن و منه فإن ، و منه: formula_9.
إذن formula_10
بتطبيق قانون جيب التمام نستنتج أن:
نعوض ، لدينا formula_12
نعوض في متساوية المساحة،
نأخذ formula_17، فنجد
في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.
المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.
طول الارتفاع.
إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:
البرهان:
إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:
H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC
وهو المطلوب إثباته.
إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:
مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة
مساحة المثلث = ½ formula_10 × formula_11
formula_12 مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = formula_13
بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:
الإنشاء الهندسي.
مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.
في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس للمثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس "بالقاعدة الممتدة" لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة "والارتفاع اسم "قدم" الارتفاع". طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- "الارتفاع"، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم "بإسقاط ارتفاع". إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي.
يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.
في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه هي نقطة منتصف القاعدة. ثم أن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.
من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز "h" (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يلحق باسم الضلع العمودي عليه.في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر "c" يقسم الوتر إلى جزأين "p" و "q" . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ "h" "c"، فسنحصل على العلاقة
في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة) ، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين، خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.
المركز العمودي (نقطة تلاقي الارتفاعات).
تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة واحدة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ يقع المركز العمودي داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.
لنفترض أن تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاع. المركز العمودي له الإحداثيات الخطية الثلاثية
و الإحداثيات الكتليةformula_3
نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في الجزء الداخلي من المثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، على الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية ،وخارج المثلث المنفرج .
في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و تمثل الأرقام formula_5 و formula_6 و formula_7 ، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث يقع في أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب
تمثله النقطة ، أي المركز العمودي للمثلث . من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:
تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، "بمشكلة سيلفستر"، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .
لنفترض أن لنفترض أن D وE و تشير إلى أقدام الارتفاعات لـ A وB و على التوالي. عندئذ:
العلاقة مع الدوائر والمخروطات.
إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـ. عندئذ
وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، و يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث،
هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:
إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند ، بحيث تكون وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم تشطر الجزء :
تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.
المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .
العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع.
المركز العمودي H، ومركز الكتلة ، والمركز المحيطي ، والمركز
لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر . يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي
بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.
من حيث الأضلاع
نصف القطر الداخلي و نصف القطر المحيطي
المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات).
إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث الدواسة الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المدرجة) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث .
تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* * *
التي تم طرحها عام 1775.
يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن مماس للدائرة المحيطة بالمثلث عند الرأس ، وبالمثل و . افترض أن ، ، . المثلث المماسي الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث " عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر .
تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* * * .
لمزيد من المعلومات حول المثلث العمودي، انظر هنا .
بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية.
الارتفاع من حيث الأضلاع.
لأي مثلث أضلاعه ونصف محيطه ،يعطى ارتفاع
هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع
والارتفاع هو الارتفاع من .
مبرهنات نصف القطر الداخلي.
بالنسبة لمثلث عشوائي له الأضلاع و الارتفاعات المقابلة و . ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي بـالعلاقة
مبرهنة نصف القطر المحيطي.
إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ ، والجانبان الآخران و ، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) ، يعطى الارتفاع بالعلاقة
نقطة داخيلة.
إذا كانت و هي المسافات العمودية من أي نقطة إلى الأضلاع،formula_26 و formula_27و هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا
مبرهنة المساحة.
إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع
على التوالي formula_29 و formula_30 ، و formula_31 ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـformula_32 ، إذا
نقطة عامة على ارتفاع.
إذا كانت أي نقطة على الارتفاع لأي مثلث ، إذًا
مثلثات خاصة.
المثلث المتساوي الأضلاع.
لأي نقطة داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .
المثلث القائم.
في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc
(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين
و على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة
يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.
تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة William Chapple.
شبه المنحرف هو رباعي أضلاع يكون فيه اثنان من الأضلاع المتقابلة متوازيان. ويمكن تعريفه على أنه رباعي أضلاع له فقط ضلعين متقابلين متوازيين، وبذلك يتم استثناء متوازي الأضلاع من التعريف الذي غالباً ما يعتبر حالة خاصة من شبه المنحرف.
لتكن K مساحة شبه منحرف كيفي
K بدلالة القاعدتين الكبرى والصغرى والارتفاع تكون: formula_1
K بدلالة الأضلاع الأربعة تكون:formula_2
حيث أن: formula_3
K حسب علاقة بريتشنايدر:formula_4
ارتفاع شبه المنحرف بدلالة الأضلاع الأربعة يكون حسب العلاقة التالية:
القاعدتان.
القاعدتان الكبرى والصغرى لشبه منحرف كيفي بدلالة القطرين والضلعين الجانبيين حسب علاقة بن عيشة جمال الدين:
حيث أن AC=p، BD=q، AD=c و BC=d مع p لايساوي q.
يمكن استعمال علاقة جمال في اثبات توازي مستقيمين، حيث بالنسبة للشكل الذي لدينا:
إذا كان 0&lt;b² فإن a و b متوازيان، وإذا كان b²&lt;0 فإن a و b غير متوازيين.
القطران.
يمكن حساب قطري شبه المنحرف انطلاقا من الأطوال الأربعة باستخدام العلاقة التالية:
مع p لايساوي q.
الا في حالة ان يكون شبه المنحرف متطابق الساقين
الهندسة العقدية هي تطبيق الأعداد العقدية على الهندسة المستوية.
بدلا من تمثيل نقطة في مستو بزوج من الإحداثيات الديكارتية، يمكن تمثيلها بعدد مركب وحيد، يمكن كتابته بالشكل المستطيل أو القطبي .
في الهندسة الرياضية، يطلق اسم مسألة عدد التقبيل على مسألة إيجاد العدد الأعظمي من الكرات ذات نصف قطر يساوي الواحد التي يمكنها أن تلامس مباشرة الكرة الواحدية في فضاء إقليدي ذو n بعد.
في الرياضيات، وبشكل أكثر تحديدا في الهندسة ونظرية الزمر، المشبك في فضاء R"n" هو مجموعة جزئية متقطعة من الفضاء R"n" تقوم بتمديد الفضاء الشعاعي الحقيقي.
في الرياضيات، مبرهنة منكوفسكي تنص على أنه بالنسبة لأي مجموعة محدبة ضمن R"n" متماثلة بالنسبة إلى أصل المعلم، ولها حجم أكبر من 2"n"، يتوفر ما يلي: (d(L يحتوي على نقطة مشبك غير مساوية للصفر. بُرهن على هاته المبرهنة من طرف هيرمان مينكوفسكي عام 1889، فصارت أساس فرع من فروع نظرية الأعداد هو هندسة الأعداد.
رباعي السطوح أو رباعي الأوجه هو متعدد أوجه مؤلف من أربعة وجوه مثلثية، أما رباعي الوجوه المنتظم فهو رباعي وجوه تكون وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع. ويمكن تسميته هرما ثلاثيا.
حيث الارتفاع هو المسافة بين الرأس الرابع و القاعدة
يشكل رباعي السطوح أحد الاشكال الهندسية الهامة بشأن تركيب الجزيئات في الكيمياء وعلم المعادن ، حيث تتخذ الذرات المكونة لجزيء مواضع هندسية لملء الفراغ . بهذا تأخذ المادة أشكالها المتعددة التي نجدها في الطبيعة.
يُحصل على حجم رباعي السطوح من صيغة الحجم للأهرامات وهي:
القطع الناقص أو الإهْلِيلَج هو المنحني المستوي الذي يحقق الخاصية التالية: مجموع بُعد أي نقطة على هذا المنحنى عن نقطتين ثابتين داخله (تسميان البؤرتان) يبقى ثابتا.
البؤرتان هما النقطتان F1 و F2 في الشكل.
أي يمكن رسم القطع الناقص بواسطة خيط مثبت من طرفيه في نقطتين f1 , f2 ورسم القطع الناقص بالقلم حولهما انطلاقا من النقطة x .
القطع الناقص هو أيضا أحد أنواع القطوع المخروطية، فعند قطع مخروط بمستوى مائل على محور المخروط نحصل على قطع ناقص.
يُهتم بالقطع الناقص بصفة خاصة بسبب أن الأجرام السماوية تسير في أفلاك حول الشمس في مدارات في شكل القطع الناقص، وتحتل الشمس أحد بؤرتيه. هذا ما توصلت إليه قوانين كيبلر. فعند مشاهدة مذنب يأتي من الجزء الخارجي للمجموعة الشمسية منجذبا إلى الشمس تزداد سرعته تدريجيا ثم يُجري منحنيا خلفها ثم يبتعد عنها ثانيا، وتنخفض سرعته اثناء ابتعاده عن الشمس. هذا المسار يكون في شكل قطع ناقص ؛ وتكون الشمس في إحدى بؤرتيه.
خواص مماسية.
أنظر الشكل 1: النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتي القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.
إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).
دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:
في طاولة بلياردو على شكل اهليج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.
والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل اهليج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.
وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات ؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما : هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.
باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما .
المعادلات الجبرية والتباعد المركزي.
يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالاستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4) :
وفيه ينطبق : formula_1
أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.
حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .
أي أن الاختلاف المركزي قيمته:
في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة formula_3 بالنقطة formula_4 على المحورين x , y :
نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي formula_6.
يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة :
لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع formula_10)
يعطى معامل التباعد المركزي أيضا بالعلاقة:
كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب formula_14, وهي تساوي أيضا formula_15
يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة formula_16 على الصورة:
طرق رسم القطع الناقص.
هناك العديد من الطرق منها مايلي.
طريقة الخيط والمسمارين.
تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:
الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .
وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.
لهذ نسمي e معامل التباعد المركزي.
طريقة المسطرة والإطار.
في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.
طريقة الاسطوانة المقطوعة.
تتمثل هذه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.
الطرق العددية.
يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:
عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص.
توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.
الصيغة البارامترية.
باستخدام معادلات حساب المثلثات formula_20 يمكن صيغة القطع الناقص formula_21
ترجع الإحداثية "t" المستخدمة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.
مساحة القطع الناقص.
تساوي مساحة القطع الناقص formula_23:
حيث formula_25 و formula_26 هما طولا نصف المحور الأكبر والأصغر، على التوالي. صيغة المساحة formula_27 بديهية: نبدأ بدائرة نصف قطرها formula_26 (لذا فإن مساحتها هي formula_29) ونضربها في المعامل formula_30 لعمل القطع الناقص formula_31 . من السهل أيضًا إثبات صيغة المساحة بدقة باستخدام التكامل على النحو التالي. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص على النحو التاليformula_32 . من أجل formula_33 ، هذا المنحنى هو النصف العلوي للقطع الناقص. لذا فإن ضعف تكامل formula_34 على المجال formula_35 سيكون ضعف مساحة القطع الناقص:
التكامل الثاني هو مساحة دائرة نصف قطرها formula_25، أي formula_38 . إذن:
ليكن نصف محوره الكبير و نصف محوره الصغير، يُحسَب محيط القطع الناقص formula_40 بتطبيق هذا القانون:
حيث formula_42 هو معامل التباعد المركزي، و formula_43 هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:
حيث هو عاملي ثنائي.
وبطريقة أشمل
كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:
وبتقريب آخر:
كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:
وبتقريب مكتسب عمليا:
هذه قائمة بأسماء مسلسلات الأنمي اليابانية التي لم تدبلج إلى اللغة العربية.
القطع الزائد (Hyperbola) (في اللغة الإغريقية ') أو الهذلول، هو أحد أنماط القطوع المخروطية (conic sections).
القطع الزائد ناتج عن قطع المخروط بمستو في أحد نصفي المخروط، وهو الذي يكون اختلافه المركزي أكبر من الواحد الصحيح، ويمكن تعريفه بعبارة أخرى: وهو القطع الذي ينشأ عن قطع سطح مخروطي دائري قائم وامتداده من جهة رأسه بمستو يميل على مستوى دليله بزاوية أكبر من زاوية ميل أحد الرواسم على مستوى الدليل.
ويعرف أيضا على أنه مجموعة النقاط التي تتميز بكون فرق مسافة هذه النقاط عن نقطتين ثابتتين ( تدعى البؤرتين ) هو عدد ثابت .
ونقول أن القطعان الزائدان متشابهين (Similar)، إذا كان اختلافهما المركزيان متساويين، ويكون قطعان زائدان مترافقين إذا كان المحور المستعرض لأحدهما هو المحور المرافق للآخر والمحور المرافق للأول هو المستعرض للآخر.
المعادلة في الإحداثيات الديكارتية.
المعادلة للقطع الزائد هي:
formula_1 إذا هي تقطع المحور الأفقي x
و formula_2 إذا هي تقطع المحور الرأسي y
حيث a هو قيمة مطلقة ل x إذا المعادلة تقطع المحور x و b قيمة مطلقة ل y إذا المعادلة تقطع المحور y
وكما في الصورة السابقة: الجزء من خط التقارب المائل هو (a, b) وformula_3
حيث c هو أقصر مسافة من نقطة الأصل إلى البؤرة B2
ومعادلة الخط التقاربي formula_4 للمعادلة formula_2
وformula_6 للمعادلة formula_1.
القطع الزائد في الهندسة الوصفية, يمكن الحصول عليه:
انشاءات هندسية لتحديد محاور وبؤر وخطوط تقارب قطع زائد معلوم.
يُعرَّف القطع الزائد كمحل هندسي للنقاط التي يكون فرق ابعادها عن البؤر ثابت.
معلوم قطع زائد. مطلوب تحديد محاور وبؤر وخطوط التقارب
الخطوات
ملاحظة: الخط المتماس قطع زائد دلتا في نقطة ب تنتمي لديلتا، يحدد كمنصف الزاوية التي رأسها في ب وضلعيها يمران ببؤرتي دلتا
في الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال عنه الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم) (بالإنجليزية: Parabola) هو شكل ثنائي الأبعاد وهو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).
بعلم نقطة معينة تسمى "البؤرة" (""Focus") وخط مستقيم في المستوى يسمى "الدليل" ("directrix")، القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط الواقعة في هذا المستوى والتي تبعد عن البؤرة بمسافة مساوية لبعدها عن الدليل.
الخط العمودي على الدليل والمار بالبؤرة يسمى "محور التماثل"، ونقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل تسمى "رأس القطع المكافئ" "vertex"".
رأس القطع المكافئ هي نقطة تقع عليه يحدث عندها تغير في اتجاه وأطراد الدالة (أي فترات التزايد والتناقص) ويكون عندها ميل المماس مساويًا للصفر. قد يكون القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو مفتوحًا إلى أسفل أو مفتوحًا على اليمين أو مفتوحًا على اليسار.
للقطوع المكافئة أهمية كبيرة وتطبيقات متعددة، بداية من مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية إلى تصميم الصواريخ البالستية. كما أن لها استخدامات كثيرة في الفيزياء والهندسة ومجالات أخرى عديدة.
أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف حاليا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري.
أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.
قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة، وفي التلسكوبات الفضائية ، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية ، ومستقبلات الرادار.
إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط "x" = −"p"، وأن بؤرته هي النقطة ("p", 0). وإذا كانت ("x", "y") نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:
بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على
وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة ("h", k)، بالتالي تصير معادلته
بتبديل الإحداثيات "x" و "y" نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور
المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة
وبالتالي فإن أي دالة في "x" إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.
وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:
بحيث أن
حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من "A" و "B" لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.
تعريفات هندسية أخرى.
القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي.
للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.
معادلات.
إحداثيات ديكارتية.
محور تماثل رأسي.
الصورة البارمترية:
محور تماثل أفقي.
قطع مكافئ عام.
الصورة العامة للقطع المكافئ هي
هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:
وبما أنه للقطع المكافئ يكون
معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته ("F"("u", "v" ودليله على الصورة
هي
الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية.
في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته
حيث "l" هو "نصف" "الوتر البؤري العمودي" "semilatus rectum" (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي "latus rectum".
الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.
رأس القطع المكافئ.
الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو formula_26، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع formula_27، وبوضع قيمة المشتقة formula_28 بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:
وبالتبسيط:
وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي
اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل.
لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:
فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,"f") مساوية للمسافة بينها وبين الدليل "L"، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,"f"-)، وبالتالي فإن أي نقطة ("P=(x,y" على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,"f") و ("x",-"f").