CALM/arwiki huggingface dataset:
إذا كانت نقطتي الانطلاق والوصول منطبقتين، المسار يكون مغلقا.
مسار أولير.
مسار أولير لمخطط G غير موجه هو مسار يمر بكل الحروف مرة واحدة فقط.
نقول أن المخطط متصل إذا كان يحتوي على مسار أولير، وكل رؤوسه من درجة مزدوجة
مسار هاميلتون.
مسار هاميلتون لمخطط G هو مسار يمر بكل القمم مرة واحدة فقط.
مخطط كامل.
المخطط الكامل هو مخطط بسيط يكون كل زوج من رؤوسه متصلان بضلع. بحيث أن المخطط الكامل ذو n رأس يكون له n(n-1)/2 ضلع.
مخطط مستقر.
المخطط المستقر هو مخطط ليس له حروف.
مخطّط مستوي.
المخطط المستوي هو مخطط يمكن تمثيله بكيفية لا تتقاطع الحروف فيه.
مخطط قوي التوصيل.
مخطط يمكن الوصول فيه من أي عقدة إلى أي عقدة أخرى.
تمثيلات.
كل مخطط يضم مجموعة قمم يمكن تمثيلها على شكل دوائر، إذا كان المخطط موجه يتم تمتيل كل قوس بسهم، وبخط في حالة مخطط عادي.
مبرهنة الألوان الأربعة تنص على أنه يمكن لأي مستوى مقسّم إلى عدّة مناطق أن يلّون فقط بأربعة ألوان على أكثر تقدير, بحيث لا تلون منطقتان متجاورتان (لهما نفس الحدود) بنفس اللون، إلا في حالة تشاركهما في نقطة واحدة.
البرهنة.
من الممكن, ربط مشكل الألوان الأربعة, بمشكلة تلوين المخطط
نربط كل رسم, بمخطط عادي كل رأس يمثل منطقة, ويتم ربط الرؤوس التي تمثل مناطق لها نفس الحدود.
هذا يعني أن تلوين الخريطة مرتبط بتلوين المخطط المستوي المرتبط بالخريطة. وهكذا تكون خوارزمية التلوين كما يلي:
خوارزمية التلوين.
ملاحظة: نستعمل الأرقام 1، 2، 3 و 4 للتعبير عن الألوان الأربعة.
حدسية غولدباخ هي حدسية اقترحها عالم الرياضيات الألماني كريستيان غولدباخ عام 1742. واحدة من أقدم المسائل غير المحلولة في نظرية الأعداد وفي الرياضيات ككل. وتنص على ما يلي:
عدد الطرق المختلفة التي يكتب بها عدد زوجي ما أكبر قطعا من 2 على شكل مجموع عددين أوليين يسمى عدد غولدباخ.
في السابع من يوليو، عام 1742، كتب عالم الرياضيات ذو الأصل الألماني غولدباخ رسالة إلى أويلر جاء فيها:
وبشكل واضح الحدسية الثانية يمكن اشتقاقها من الأولى وذلك لأنه يمكن كتابة كل عدد فردي بالشكل التالي: formula_1، وقد عبر أويلر عن إيمانه بصحة هذه الحدسية ولكنه لم يستطع أن يقدم برهانا، وقد تم فحص هاتين الحدسيتين على مر السنين بالطرق العددية مثال: شين موك كونج فحص الحدسية حتى العدد formula_2 وقد وصل كل من لايت وفوريس وهاموند وروي إلى formula_3 وفي عام 1998 وصل الحد إلى formula_4.
وفي الخطاب المشهور في اجتماع كونغرس الرياضيات الذي أقيم في باريس عام 1900، أعلن هيلبرت 23 مسألة غير محلولة والتي يجب أن يعمل عليها الرياضياتيون في القرن ال-20 وقد تم ذكر هذه المسألة من ضمن المسائل، وفي عام 1912 أعلن لاندو عن أربعة مسائل في نظرية الأعداد الأولية من ضمنها حدسية غولدباخ والتي لا يوجد لها حل وذلك ضمن خطابه في اجتماع كونغرس الرياضيات الخامس والذي عقد في كامبريج. في عام 1921 أعلن هاردي في خطابه أمام المجتمع الرياضياتي في كوبنهاغن أن المسألة ليست فقط من أصعب المسائل في نظرية الأعداد ولكن في كل الرياضيات.
وفي عشرينيات القرن العشرين حدث تقدم ملحوظ على المسألة حيث أن قبلها لم تكن هناك وسائل البتة لحل المسألة وقد تركز البحث على فحص الأعداد أوفي بعض الأحيان كتابة حدسيات جديدة مشتقة من الحدسية. وقد كانت الوسيلة الجديدة تسمى "طريقة الدائرة" وقد استخدمها الرياضياتيان هاردي وليتل-وود في عام 1923 أن كل عدد فردي كبير هو مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية وتقريبا كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين فرديين وتم ذلك بافتراض أن حدسية ريمان الموسعة صحيحة. وقد كان الرياضياتي النرويجي برون بواسطة وسيلة الغربال عام 1919 قد توصل إلى أن كل عدد زوجي كبير هو مجموع عددين بحيث أن كل منها يمكن تفكيكه ل-9 عوامل أولية على الأكثر، وفي 1930 نجح العالم الروسي لييف شنايرلمان بالتوصل إلى نظرية مهمة في نظرية الأعداد المتطرقة إلى المجاميع وهي: يوجد عدد c صحيح حيث كل عدد صحيح أكبر من 2 هو مجموع c أعداد أولية على الأكثر.
وفي عام 1937 نجح العالم الروسي فينوغرادوف في ازالة العلاقة مع نظرية ريمان الموسعة وذلك بواسطة "طريقة الدائرة" وأيضا بواسطة طريقته المبتكرة لتقريب المجموع الأسي على الاعداد الاولية (وهو formula_5) ونجح ببرهنة ما تم سابقا بواسطة ليتيل-وود وهاردي ولكن دون الحاجة لنظريات ريمان.
وبعد تطورات عديدة على "وسيلة الغربال" التي طورها برون نجح العالم الصيني تشين جن رن في عام 1966 نجح بالتوصل إلى أن كل عدد زوجي هو مجموع عدد أولي وعدد آخر لديه عاملان أوليان على الأكثر.
في عام 1995 نجح راميري ببرهنة نظرية اضعف من حدسية غولدباخ وهي تنص على أن كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع ستة اعداد اولية على الأكثر. وفي نفس العام نجح كانيكي بالتوصل لنظرية اقوى: إذا افترضنا نظرية ريمان حينها كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع خمسة اعداد اولية على الأكثر. ويمكن تقوية نظرية كانيكي للوصول حتى أربعة اعداد اولية بربطها مع مسألة فحص حسابية.
مسائل معممة.
يمكن تعميم حدسية غولدباخ بشكل يسمح بدراسة مسألة أكثر شمولية بحيث هذه المسألة يمكن ان يتفرع منها مسائل اخرى هي أيضا مهمة:
مسألة 1: فلتكن formula_6 مجموعة جزئية ل- formula_7 وليكن formula_8 عدد صحيح، ما هي المجموعة: formula_9.
مسألة 2: فلتكن formula_10 مجموعة جزئية ل- formula_7، ما هي المجموعة: formula_12.
يمكن اشتقاق مسائل مهمة من هذه المسائل وهي كالتالي:
طور العلمان هاردي وليتل-وود طريقة الدائرة للتعامل مع هذا النوع من المسائل وقد لاقت هذه الطريقة نجاحا باهرا حيث تم برهنة نظرية فينوجرادوف إذ انها تعتبر تقدم هائل نحو برهنة الحدسية وذلك للتقارب بينهما.
طريقة الدائرة.
هاردي وليتل وود (1921) في الاصل استخدما الطريقة لحل مسألة كتابة الاعداد الصحيحة بشكل مجموع اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. لنفرض أن formula_19 عدد الطرق لكتابة n بواسطة d اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. وهذه الطريقة هي لتقريب قيمة formula_19 عندما formula_21 و- k كبير جدا بالنسبة ل-d.
الفكرة العامة لهذه الطريقة هي كالتالي: ل- formula_22 عرف الدالة المنتجة التالية:
ولاحظ أن معامل formula_24 في الدالة formula_25 هو عدد طرق طرق كتابة formula_26 بشكل حاصل جمع formula_27 اعداد من المجموعة formula_6. ولكن من جهة اخرى هذا المعامل هو:
وبواسطة صيغة كوشي التكاملية:
حيث أن formula_31 منحنى طوله نهائي. والفكرة هي ايجاد طريقة بديلة لحساب التكامل وذلك لتقريب قيمة formula_32.وعندما يكون المنحنى دائري التكامل يمكن اختصاره لتكامل مجاميع أسية وهي الطريقة التي استخدمها فينوجرادوف عام 1929.
نتائج متحقق منها.
لقد تم فحص حدسية غولدباخ لايجاد مثال مضاد ولكن عبثا إذ أن ديسبوفيس(1855) فحص الحدسية لكل عدد اصغر من 10,000، وفي عام 1940 فحص بيبينغ الحدسية حتى العدد 100,000 بواسطة الحاسوب وعام 1964 بواسطة العالمين ستين وستين وصل الفحص حتى العدد formula_3 وفي الأعوام التي تلت نجح جرانفيل ولون ورايلي بالوصول إلى formula_34 وذلك كان عام 1989. وفي عام 1998 توصل ديشوليرس رايلي وساوتر بالوصول إلى formula_4 اما ريتشستاين وصل بفحصه حتى: formula_36.
الهندسة الإقليدية هي نظام رياضياتي يُنسَب إلى إقليدس الإسكندري، التي وضع أسسها في كتابه عن الهندسة: العناصر. طرق إقليدس تتكون من افتراض مجموعة بسيطة من المُسلّمات البدهية، واستنتاج باقي المُبرهنات منها. مع أن النتائج التي توصل لها إقليدس سبقه إليها رياضياتيون قُدماء، إقليدس كان أول من وضع تلك المبرهنات في نظام منطقي مُحكَم. كتاب العناصر يبدأ بالهندسة المُستوية وهي التي لا تزال تُدرّس في المرحلة الثانوية بصفتها أول نظام مُسلّمات وأول الأمثلة على البرهنة الرسمية. الهندسة الإقليدية تشمل أيضاً الهندسة الفراغية ثلاثية الأبعاد. علاوةً على ذلك، كثيرٌ من النتائج في كتاب العناصر تندرج تحت ما يُسمّى حالياً بالجبر ونظرية الأعداد إلا أنّها مشروحة في لغة هندسية.
لأكثر من ألفي سنة، إطلاق وصف "إقليدية" لم يكن ضرورياً بسبب عدم وجود أنواع أخرى من الهندسة. مُسلّمات إقليدس بّدت واضحةً جليّاً (مع الاستثناء الممكن لمُسلّمة التوازي) لدرجة أنّ أي مبرهنة مُستقاة منها كانت تُعدّ صحيحةً إطلاقاً. بيد أنّه حالياً تُعرَف هندسات أُخرى لاأقليدية مُتّسقة. أولاها اكتُشِفَت في بداية القرن التاسع عشر.
إحدى مقتضيات نظرية آينشتاين عن النسبية العامة أن الحالة الفيزيائية للفضاء ليست إقليدية، وأنّ الفضاء الإقليدي هو تقريب جيد لها فقط ضمن المسافات القصيرة (بالنسبة لقوة مجال الجاذبية).
الهندسة الإقليدية هي إحدى الأمثلة على الهندسة التركيبية في أنّها تسير منطقياً من مسلمات تصف خواصّاً بسيطةً عن الأجسام الهندسية كالنقاط والخطوط، إلى مبرهنات عن تلك الأجسام دون استعمال نُظمٍ إحداثيّةٍ لوصفها. هذا على عكس الهندسة التحليلية التي تُوظّف النظم الإحداثية في ترجمة المبرهنات الهندسية إلى صيغ جبرية.
كتاب العناصر بصورة رئيسة كان تنظيماً للمعارف السابقة عن الهندسة. تحسينها لطرق الحل السابقة اشتهرت سريعاً نتيجةَ قلّة الاهتمام في الاحتفاظ بالمنشورات السابقة عن الهندسة التي ضاعت أغلبها.
العناصر يتألّف من 13 مُجلّداً. تُناقش الكتب 1-4 الهندسة المستوية. العديد من النتائج عن المستوى تضمنت معها براهين. على سبيل المثال، "في أي مثلث، مجموع أي زاويتين فيه أقل من مجموع زاويتين قائمتين." (الكتاب الأول، الفرضية 17) وكذلك مبرهنة فيثاغورس: "مربع الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين." (الكتاب الأول، المبرهنة 47)
تضمنت الكتب 5 و7 حتى 10 حقائق عن نظرية الأعداد مع التعامل مع الأعداد على أنها أطوال قطع مستقيمة أو مساحات أشكال ما. عرّفت تلك الكتب مفاهيم مثل الأعداد الأولية، الأعداد النسبية وغير النسبية. ومن البراهين الشهيرة هو برهان لانهائية الأعداد الأولية.
الكتب 11-13 تضمنت الهندسة الفراغية. من النتائج الاعتيادية المذكورة هي نسبة حجم القمع للأسطوانة المشتركين في الارتفاع والقاعدة نفسهما.
المُسلّمات.
الهندسة الإقليدية هي نظام من المُسلّمات تُشتَقٌ من خلاله جميع المبرهنات. إلى حين مجيئ الهنديات اللاإقليدية، كانت هذه المسلمات تُعتَبر صحيحة بَدَهيّاً في العالم الفيزيائي. براهين إقليدس من الافتراض حتى الاستنتاج بقيت صحيحة بغض النظر عن صحّتها فيزيائيّاً.
منذ بدايات أول كتاب من العناصر، إقليدس أعطى خمس مُسلّمات للهندسة المستوية موصوفة بالنسبة للإنشاءات:
ليكن الآتي مُسلّماً به:
على الرغم من أن إقليدس يزعم بوجود الأجسام الهندسية المنشأة، إلا أنّ براهينه الرياضية تفترض ضمنيّاً أن هذه الأجسام الهندسية وحيدة.
كتاب العناصر يتضمن أيضاً "المفاهيم المشتركة" الخمسة:
العلماء المُعاصرين يتفقون أن مُسلّماتِ إقليدس لا تُوفّر الأساس الكامل الذي يتطلبه إقليدس لبراهينه. ولذلك، فإنّ المعالجات والإصلاحات الحديثة للهندسة الإقليدية تتضمن مجموعة أكبر وأشمل من المُسلّمات.
مُسلّمة التوازي.
بالنسبة للقدماء، مُسلّمة التوازي بّدت أقلّ بداهةً من الأخريات. كانوا يأملون إنشاء نظام من مُسلّمات قاطعة تماماً. بمنظورهم، ظهرت مسلّمة التوازي وكأنها مُبرهنة تحتاج لبرهان من جُمَل أبسط. بات اليوم معروفاً أن البرهان لذلك مستحيل، لأنه بالإمكان إنشاء أنظمة مُتّسقة من الهندسة التي قد تكون فيها مسلمة التوازي صحيحة وقد تكون خاطئة. إقليدس بنفسه تعامل مع المسلمة بنحوٍ مُختلف عن بقية المسلمات عندما كتب أول 28 مبرهنة دون استعمال مبرهنة التوازي.
هناك العديد من المُسلّمات التي بالإمكان صياغتها لتكون مُتطابقة منطقياً مع مُسلّمة التوازي (في سياق المُسلّمات الأخرى نفسه). على سبيل المثال، مُسلّمة بلاي فير تنص على أنّ:في المُستوى، لأي نُقطة لا تقع على خط مُستقيم مُعطى، ثمّة خط واحد على الأكثر لا يلتقي الخط المُعطى.عبارة "على الأكثر" هي كل ما تحتاجه المُسلّمة، لأنه بالإمكان إثبات من خلال المٌسلّمات الأخرى أن هناك خط موازي واحد على الأقل.
طرق البرهنة.
الهندسة الإقليدية هندسة إنشائية. المسلمات 1، 2، 3، و5 تزعم وجود ووحدانية بعض الأجسام الهندسية وهذه الافتراضات إنشائية الطبيعة. بمعنى أنه ليس فقط هذه الأجسام الهندسية موجودة، بل وأننا نعلم طريقة إنشائها باستعمال المسطرة والفرجار فقط. بهذا المعنى، الهندسية الإقليدية أكثر عينيةً وصلادة من العديد من نظم المُسلمات كنظرية المجموعات، التي عادةً تفترض وجود أجسام دون شرح طريقة إنشائها، أو حتّى تفترض أنها غير قابلة للإنشاء في النظرية. من منظور أكثر صرامة، الخطوط على الورق هي مجرد نماذج للأجسام المُعرفة ضمن النظام الرسمي، بدلاً من كونها أمثلة من تلك الأجسام. على سبيل المثال، الخط المستقيم الإقليدي ليس له سُمك، لكن أي خط واقعي سيكون له. غالب الرياضياتيين يعتبرون طرق البرهان غير الإنشائية لها نفس صحة البراهين الإنشائية.
إقليدس كثيراً ما استعمل البرهان بالتناقض. الهندسة الإقليدية تسمح كذلك بوجود الموقع الفائق، الذي يكون فيه الشكل مُزاحاً لموقعٍ آخر في المستوى. مثلاً، المبرهنة الرابعة: تطابق ضلع-زاوية-ضلع للمثلث إثباته بتحريك أحد المثلثين بحيث أضلاعه تنطبق على ضلعين من الآخر، ثم إثبات أنّ الضلع الأخير منطبق أيضاً. بعض الإصلاحات الحديثة في الهندسة أضافت مُسلّمةً سادسة: تصلُّب المُثلث، والتي اقتُرحَت بديلاً للموقع الفائق.
نظام القياس والحساب.
الهندسة الإقليدية تتضمن اثنين من أنواع القياس الأساسية: الزاوية، والمسافة. قياس الزاوية قياسٌ مُطلقٌ. استعمل إقليدس الزاوية القائمة بوصفها وحدته الأساسية. بحيث أن الزاوية 45 يُشار إليها بنصف زاوية قائمة مثلاً. على الوجه المقابل، قياس المسافة نسبي. بإمكان اختيار أي قطعة مستقيمة لامنعدمة على أنها وِحدةُ الطول المُستعملة وبقية الأطوال يُعبّرُ عنها بالنسبة لها. جمع الأطوال يُمثّل بإنشاء تكون فيه قطعة مستقيمة منسوخة إلى الطرف الآخر من قطعةٍ مُستقيمةٍ أخرى، وبالمثل للطرح. قياسات المساحة والحجم تُشتَقُّ من المسافات. مثلاً، المستطيل ذو الطول 3 وحدات والعرض 4 وحدات له مساحة تبلغ 12 وحدة مربعة. لأن هذا المفهوم الهندسي من الضرب كان محدوداً ضمن إطار التصور الهندسي، لم يكن هناك طريقة مباشرة لتفسير حاصل ضرب 4 أعداد فأعلى. ولذا يُرَى أن إقليدس تجنّب مثل حواصل الضرب هذه على الرغم من احتواء براهينها بها ضمنياً، مثلاً في كتابه السادس، المبرهنة 20. إقليدس يُشير إلى أزواج المستقيمات أو الأشكال، سواءً المُسطّحة أو المُجسّمة، على أنها متساوية (ἴσος) إذا كانت أطوالها، مساحاتها، أو أحجامها متساوية توالياً، وبالمثل للزوايا. المصطلح "متطابق" هو المُصطلح المُحبّذ وهو يُشير إلى مفهوم أن أي جسم هندسي له نفس الشكل والحجم أو المساحة لشكل آخر، بحيث أنه بالإمكان قلبه أو تحريكه بحيث ينطبق على الآخر. على سبيل المثال، المستطيلات ذات الأبعاد 2×6 و 3×4 متساوية المساحة لكنها ليست متطابقة. لكن الحرف "س" وصورته في المرآة شكلان متطابقان. الأشكال المتطابقة لكنها تختلف في أحجامها يُشار إليها بأنها "مُتشابهة". الزوايا المتناظرة في أزواج الأشكال المُتشابهة متطابقة، والأضلاع متناسبة في الطول.
الترميز والتسمية.
تسمية النقاط والأجسام جرت العادة بتسمية النقاط باستعمال الأحرف اللاتينية الكبيرة أما بقية الأشكال، كالخطوط، المثلثات أو الدوائر تُسمّى بتعداد عددٍ كافٍ من النقاط التي تُمثّلها دون لبس. مثلاً، المثلث ABC يُطلق على المثلث ذو الرؤوس A، B، وC.
الزوايا المتكاملة والمتتامة الزوايا التي مجموعها زاوية قائمة تُسمّى مُتتامّة. الزوايا المتتامة تُنشئ عند انطلاق شعاع من رأس زاويةٍ قائمةٍ. عدد الأشعّة بين شُعاعين لامنتهٍ. الزوايا التي مجموعها زاوية مستقيمة تُسمّى زوايا متكاملة. الزوايا المتكاملة تُنشَئ عندما يُطلع شعاع من نقطة على خطٍ مُستقيم.
الأجسام الهندسية.
النقطة.
لا حاجة لتعريف النقطة بواسطة مصطلحات وإنما يمكن تعريفها بواسطة بديهية معينة،
كما يمكن تعريفها على أنها كل ما ليس له جزء أو كل مايمكن إهمال أبعاده الثلاثة ويعبر عنها هندسيا بالأثر الذي يتركه القلم عند الضغط عليه بدون تحريكه. أو هي تقاطع خطين مستقيمين.
المستقيم.
هو عدد لا متناهي من النقاط التي تقع علي مستوى واحد وتصل بين أي نقطتتين.
القطعة.
خط مستقيم له نقطة بداية وله نقطة نهاية.
نصف مستقيم.
يطلق عليه أيضا اسم "الشعاع" وهو
جزء من مستقيم محدد بنقطة تسمى أصل نصف المستقيم.له بداية وليس له نهاية ويتكون من عدد غير نهائى من النقاط
الدائرة.
وهي مجموعة النقاط التي تقع في نفس المستوى وتبعد بعدا متساويا عن نقطة معلومة تسمي مركز الدائرة ويسمي البعد المتساوي نصف قطر الدائرة.
إنشاءات هندسية.
لا تستعمل الهندسة الإقليدية سوى المسطرة والفرجار لإنشاء الأشكال وهذا أدى إلى ظهور مسائل هندسية لم يتم حلها إلا في القرن 19 وهذه المسائل هي:
و هذه المسائل يستحيل حلها باستعمال المسطرة والفرجار فقط.
بواسطة المسطرة والفرجار يمكن إنشاء ما يلي:
\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!&lt;/math&gt;|
د.ت.ت =formula_1|
متوسط =formula_2|
وسيط =formula_2|
منوال =formula_2|
تباين =formula_5|
ميلان = 0|
كورتوسيس = 3 (حالة توزيع طبيعي)
0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل) |
اعتلاج =formula_6|
د.م.ع =formula_7|
دالة مميزة =formula_8|
في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم - غالباً - تقريباً أولياً لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو "منحني الجرس".
حيث formula_10 هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وformula_11 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع formula_12 و formula_13 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.
يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية نموذجاً بسيطاً للتعامل مع ظواهر معقدة. على سبيل المثال، خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين باستخدام هذا الافتراض أيضاً.
انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي.
لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار والدخل وعدد السكان) تكون ملتوية نحو اليمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو.
التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل.
تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم "التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل".
إنه حالة خاصة حيث formula_12 و formula_15 .
نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة formula_16.
الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.
الدالّة formula_17 بحيث formula_18
هي دالة كثافة احتمالية: هي متواصلة وتكاملها على formula_19 يساوي 1.
نعلم أن formula_20 تكامل غاوسي.
ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقاً من دالة الكثافة هذه
له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.
التناظر والاشتقاق.
لتوزيع طبيعي formula_21 متوسطه formula_10 وانحرافه formula_23 الخصائص التالية:
تحويل فورييه والدالة المميزة.
تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه formula_10 وانحرافه formula_23 يعطي بالصيغة التالية:
حيث formula_31 هو الوحدة التخيلية.
دالة التوزيع التراكمي.
لتكن formula_32 دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي formula_33 بـ:
وهي تكامل formula_16 ونهايتها في formula_36 تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.
خاصيات الدالة formula_32:
في عام 1733 وضع Abraham De Moivre نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بنائاً على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام Carl Frieddrich Gauss بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أخذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف أيضاً باسم Gaussion distribution.
سليمان باشا الباروني (ولد سنة 1287 هـ/1870م) في مدينة كاباو "وتزوج من جادو فساطو") بليبيا، مجاهد ليبي وكان من أكبر المجاهدين السياسيين الليبيين في تلك الفترة حيث كان عضوا في مجلس المبعوثان العثماني (مجلس النواب) وتحصل على رتبة البكلورية وكانت له عدة مبادرات في ليبيا منها طباعة عملة سماها البارونية وتأسيس جمهورية في الغرب الليبي تحت اسم الجمهورية الطرابلسية. كما أسس المدرسة البارونية بمدينة يفرن بليبيا وأسس بمصر عام 1906م "مطبعة الأزهار البارونية"، وفي عام 1908م أصدر جريدته التي أسماها (الأسد الإسلامي). رجع إلى ليبيا وقاد معارك الجهاد ضد الغزو الإيطالي من الفترة 1911م حتى 1916م حين عين والياً على ليبيا ة تحصل من السلطان العثماني على البشوية. ثم أعلن أول جمهورية في العالم العربي تحت اسم الجمهورية الطرابلسية. سنة 1919م اعتزل العمل السياسي بعد اعتراف إيطاليا المزيف بالحكومة الوطنية الليبية.وفي عام 1922م أجبرته السلطات الإيطالية على مغادرة طرابلس حين قاوم محاولة بعض الليبين اللجوء إلى الاستسلام ورفض صلح بن آدم وأصر على مواصلة الجهاد. فتنقل بين تركيا وفرنسا محاولا العودة إلى أرض الوطن ولكنه منع، واستقر به المقام في سلطنة عمان سنة 1924 حيث عمل مستشارا لدى الإمام محمد بن عبد الله الخليلي إمام عُمان وظل بها حتى وفاته عام 1359 هـ / 1940م في الهند أثناء رحلة علاجية من مرض الملاريا.
يذكر السيد فالح الحجية الكيلاني في كتابه شعراء النهضة العربية شعر الباروني يمتاز بالوطنية ومقارعة الغزاة المستعمرين بروح إسلامية إصلاحية ويتميز بانه ذو أسلوبية بسيطة وثقافة لصيقة بموافقتها السياسية لفكرة الجامعة الإسلامية ونابعة من ثقافته الشخصية التي تجمع بين الثقافة الأمازيغية والعربية الإسلامية والغربية الفرنسية.
أول جمهورية في شمال افريقيا.
الجمهورية الطرابلسية تتألف من الجزء الغربي من ليبيا تم الاتفاق على إعلانها بمدينة مسلاتة في 16 نوفمبر سنة 1918 ولم تستمر لفترة طويلة. تبلورت فكرة تكوين الجمهورية الطرابلسية عقب هزيمة دول المحور في الحرب العالمية الأولى وتوقف الدعم التركي- الألماني للمقاومة الليبية ضد الاحتلال الإيطالي.. وقد بدأت الفكرة في مدينة مصراتة على إثر اجتماع بين الشيخ سليمان باشا الباروني والمجاهد عبد النبي بالخير وكل من أحمد المريض ورمضان السويحلي. ولكن لم تدم طويلا ولي هدا السبب لم تاخد تلك الشهرة في التاريخ الحديث.
شهاداته العلمية ومؤهلاته.
اللغات التي كان يتقنها كتابة وخطابة: العربية، التركية، الأمازيغية.
نيابته في البرلمان العثماني.
سمي الشيخ رسمياً عضوا في مجلس الأمة العثماني (مجلس المبعوثان) ممثلا طرابلس الغرب حينما كانت من بين ولايات الدولة العثمانية كان ذلك في 24 يوليو 1907م كما عين عضوا في مجلس الأعيان العثماني فلبث فيه إلى سنة 1919 ميلادية في عهد مصطفى كمال.
العملة البارونية.
بارونية اسم لعملة ليبية. العملة هي عثمانية وليست من إصدار الباروني باشا وانما عرفت باسمه لانه قام بتوزيعها على الأهالي المجاهدين وهي عملة عثمانية اعطيت كمساعدة في الجهاد ابان الحرب العالمية الأولى حيث كانت دول المحور (تركيا- ألمانيا) ضد الحلفاء (إيطاليا وبريطانيا وفرنسا).
الأحماض الكربوكسيلية هي أحماض عضوية تصنف في ظل وجود مجموعة الكربوكسيل الوظيفية (COOH)، كما أنها تندرج تحت تصنيف العالمان (برونستد ولوري) للأحماض، حيث تقوم بمنح البروتون. صيغتها العامة هي R-COOH. حيث R مستبدل من الممكن أن تكون إما جذر ألكيلي أو ذرة هيدروجين، وهي منتشرة في الطبيعة بشكل كبير.
طرق تحضير وتصنيع هذه المركبات.
يمكن تحضير هذه المركبات بعدة طرق، منها:
تفاعلاتها.
البعض من تفاعلات الأحماض الكربوكسيلية:
CH3COOH + NaHCO3 → CH3COONa + CO2 + H2O
فلسفة الرياضيات هي إحدى فروع الفلسفة التي تدرس الافتراضات الفلسفية للرياضيات، والأسس والنتائج المترتبة على النظريات الرياضية وتحاول الإجابة عن أسئلة تتعلق بطبيعة الكائنات الرياضية وتتسائل عن كيفية تجريد الكائنات الرياضية من الطبيعة ثم استخدامها في فهم الطبيعة ذاتها، إلى أي درجة يمكننا القول أن العبارات الرياضية صحيحة؟ وهل للكائنات الرياضية وجود حقيقي؟ أم هي مجرد أدوات تخيلية تجريدية يستخدمها الإنسان لتسهيل معالجته لظواهر الطبيعة؟ وبهكذا فإن الهدف من فلسفة الرياضيات هو تقديم سرد عن طبيعة الرياضيات ومنهجها العلمي ودورها في حياة الإنسان. والطبيعة المنطقية والهيكلية للرياضيات في حد ذاتها يجعل هذه الدراسة واسعة وفريدة من نوعها بين نظرائها الفلسفية.
الواقعية الرياضية أو الإفلاطونية.
تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني. لذلك فإن مهمة الإنسان هو استكشاف هذا العالم الرياضي وليس اختراعه، كما أن أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي وسبر أغواره. ويطلق على هذه المدرسة اسم الأفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم المثل والأفكار، الذي يمثل لديه العالم الكلي اللا متغير، وما العالم اليومي الذي نعيش فيه إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي.
من المحتمل أن جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هو وتلاميذه من الفيثاغورسيين أن العالم مكون حرفيا من الأعداد. وعلى ما يبدو فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها.
يعتبر العديد من علماء الرياضيات واقعيين رياضيين، فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا العالم الرياضي وليس مخترعين لها. أمثلة هؤلاء كثر: مثل بول إيردوس وكورت غودل و ألكسندر غروتينديك والفيزيائي الرياضي روجر بنروز. السبب النفسي وراء هذا الاعتقاد أنه من الصعب القبول أن شخصا ما يشغل نفسه لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا فعلا بوجوده. يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي يمكن إدراكه بطريقة مشابهة لإدراك الحواس. بعض المباديء يمكن أن تعتبر صحيحة مباشرة لكن بعض الحدسيات مثل فرضية الاستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه المباديء. لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية "quasi-empirical methodology" يمكن أن تؤمن تأكيدا كافيا لافتراض هذه الحدسية.
المشكلة الأساسية في وجهة النظر لا واقعية للرياضيات: هي أين وكيف تتواجد هذه الكائنات الرياضية؟ هل هي في عالم كامل الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه الكائنات الرياضية؟ كيف لنا أن نتواصل مع ذلك العالم ونستكشف حقائقه؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما وغودل حديثا إجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الإجابات لا تبدو مقنعة للكثيرين.
الشكلية.
تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على أنها نتائج لقواعد معالجة المقولات الأولية. فمثلا، الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البديهيات. بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولى المعطاة. وبما أنك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك، فهذا يعني أنك قادر فعلا على إنشاء المقولة التي تمثل هذه المبرهنة.
وبهذا يمكنك اعتبار الرياضيات لعبة لها قواعد منظمة، يمكنك أن تلعبها بطريقتك الفريدة ما دمت ملتزما بقواعدها، وتتغير النتائج كلما غيرت طريقتك.
وفقا لبعض مذاهب الشكلية، فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها. وعندها تصبح القضية لعبا بهذه الرموز ولا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة ويمكنك أن تلعب أي واحدة تختار، لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية: ما هي هذه الرموز الرياضية؟ هل توجد حقا في عالم تخيلي غير متغير؟ ولماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي؟ هذه النظرة تحول الرياضيات إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز والأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق انتشارا كبيرا.
تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالاستنتاجية (deductivism)، فمبرهنة فيثاغورس في هذه الحالة لا تعود حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية: إذا نسبت معنى وحقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة صحيحة، عندئذ عليك قبول المبرهنة أو أن التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب أن يكون عبارة صحيحة (أي أن صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد "لعبة" تحفظ هذه الصحة).