CALM/arwiki huggingface dataset:
عُرف عالم الرياضيات [[يونانيون|الاغريقي]] [[ديوفانتوس الإسكندري|ديوفانتوس]] تاريخياً بلقب " والد الجبر"، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس. حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً. في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة "الجبر"، كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته. كما أن "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من [[مشكلة|المسائل]] الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.
نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي [[عمر الخيام]] في تحديد أسس [[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]] وإيجاد الحل الهندسي العام [[دالة تكعيبية|للمعادلة التكعيبية]]. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى [[شرف الدين الطوسي]] مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم [[دالة (رياضيات)|الدوال]]. علماء الرياضايات الهنديان مهافيرا وبهاسكارا الثاني، والفارسي [[معروف الكرخي|الكرخي]]
، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة و[[دالة خماسية|الخامسة]]، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل [[ليوناردو فيبوناتشي]] بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.
تاريخ الجبر.
يمثل عمل [[فرانسوا فييت]] في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في عام 1637م نشر [[رينيه ديكارت]] كتاب علم الهندسة مخترعا بذلك [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، حدث رئيسي آخر في تطور علم الجبر. وُضِعت فكرة [[محدد (مصفوفات)|المحددات]] من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي، تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات [[غوتفريد لايبنتس]] بعد عشر سنوات، وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل [[غابرييل كرامر|غابرييل كرامرخلال]] القرن الثامن عشر على [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] والمحددات. قام العالم [[جوزيف لوي لاغرانج]] بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم "تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات" المكرسة لحلول المعادلات الجبرية، والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان [[باولو روفيني]] أول شخص يضع نظرية [[زمرة تبديلات|زمر التباديل]]، و مثل اسلافه كانت نظريته أيضا في سياق حل المعادلات الجبرية.
تم تطوير علم [[جبر تجريدي|الجبر المجرد]] في القرن التاسع عشر الميلادي، مستمداً من الرغبة في حل المعادلات، مركزاً في البداية على مايسمى حالياً ب[[نظرية غالوا]] وعلى المسائل [[عدد قابل للإنشاء|الإنشائية]]. [19]للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي، مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind و ليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. كان جورج بيكوك هو من أسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف [[أوغست دو مورغان]] جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق، ووضع [[جوزيه غيبس]] جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد، كما طور [[آرثر كيلي]] جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).
المجالات التي تحتوي على كلمة "الجبر".
مجالات الرياضيات:
العديد من البنى الرياضية تسمى "بالجبر" :
يشمل الجبر التجريدي أو الجبر على حقل العديد من الأنواع:
"المقال الرئيسي: [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]"
[[ملف:Algebraic equation notation.svg|تصغير|مجموعة عبارات جبرية:
1- القوة (الأس).
2- معامل.
3- المدى.
4- المشغل.
5- الحد الثابت.
x y c - المتغيرات / الثوابت.]]
الجبر الابتدائي هو أبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألا يكون لديهم علم بال[[رياضيات]] أكثر من المبادئ الأساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب و[[عدد|الأرقام]] فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالبا ما تدل الأرقام عن طريق [[متغير (رياضيات)|الرموز]] (: مثل A، N، X، Y أو Z). وهذا مفيد للأسباب التالية:
كثيرات الحدود.
[[ملف:Polynomialdeg3.svg|تصغير|[[مبيان دالة|الرسم البياني]] لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..]]
"المقال الرئيسي: [[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]]"
كثيرات الحدود هي [[عبارة (رياضيات)|تركيب جبري]] (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من [[حد (رياضيات)|الحدود الجبرية]] (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت وعدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س2 + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن اعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية والترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1 ) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود، ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود، أو على نحو مكافئ، من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.
هنالك اثنان من المشاكل المهمة والمتعلقة بالجبر، وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل اولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط, 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية [[جذر دالة|لجذور كثيرات الحدود]] في متغير واحد.
تعليم الجبر.
"انظر أيضا: [[تعليم الرياضيات]]"
اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر، على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع أن تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).
منذ عام 1997 بدأت [[جامعة فيرجينيا للتقنية]] وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.
"المقالات الرئيسية: [[جبر تجريدي|الحبر المجرد]] و [[بنية جبرية|الهيكلة الجبرية]]"
الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر [[حسابيات|الحسابي]] [[عدد|للارقام]] لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الاساسية المدرجة في الجبر المجرد.
[[مجموعة (رياضيات)|المجموعات]]: بدلاً من مجرد التعامل مع انواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى [[عنصر (رياضيات)|العناصر]]) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الانواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات [[متعددة الحدود]] من الدرجة الثانية ( ax2+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية [[متجهة|الأبعاد]] في المستوى، ومختلف [[زمرة منتهية|المجموعات المحدودة]] مثل [[زمرة دائرية|المجموعات الدورية]]، وهي من مجموعة [[حسابيات معيارية|الاعداد الصحيحة النمطية ن]] . [[نظرية المجموعات]] هي فرع من المنطق وليست فرعا من الجبر فعليا.
[[عملية ثنائية|العمليات الثنائية]]: يستخرج مفهوم [[جمع|الجمع]] (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ وب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية [[جمع|الجمع]] (+) وال[[طرح]] (-) وال[[ضرب]] (×) و[[قسمة (رياضيات)|القسمة]] (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات، المتجهات ومتعددة الحدود.
[[عنصر محايد|العناصر المحايدة]]: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ . و ي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضا على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3,2,1، ...) ليس لها عنصر محايد للجمع.
[[عنصر معاكس|العناصر العكسية]]: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ−1). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ−1 يحقق الخاصية التالية: أ×أ−1 = 1 و أ−1×أ = 1.
[[عملية تجميعية|العملية التجميعية]]: يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4) . بشكل عام يصبح ال[[قانون تركيب داخلي|قانون]] (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية، ماعدا الطرح اوالقسمة أو ضرب ال[[أوكتونيون]].
[[عملية تبديلية|العملية التبديلية]]: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لايؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2 . بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لاتنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، [[ضرب المصفوفات]] و [[كواتيرنيون|الضرب المركب المتعدد]] كلهما عمليات غير تبادلية.
"المقال الرئيسي: [[زمرة (رياضيات)]]"
"انظر أيضا: [[نظرية الزمر]]"
تجميع المفاهيم العلوية تعطي واحدة من أهم القواعد في الرياضيات وهي:[[زمرة (رياضيات)|المجموعة]]. وتعرف المجموعة بأنها مجموعة ( ع ) مزودة ب[[عملية ثنائية]] واحدة (أ)، يمكن تعريفها بأي طريقة مختارة، ولكن مع الخصائص والشروط التالية:
و إذا هي [[عملية تبادلية|مجموعة تبادلية]] تطبيق عملية على عضوين أ وب ينتمون للمجموعة س فإن أ×ب = ب×أ ويطلق على المجموعة في هذه الحالة بأنها [[زمرة أبيلية]] .
على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة في إطار عملية الجمع هي مجموعة. في هذه المجموعة، العنصر المحايد هو الصفر ومعكوس أي عنصر أ لهو نقيض العنصر -أ. إذاً، تم استيفاء شرط الترابطيات، وذلك لأن لأي أعداد صحيحة أ، ب، ج، (أ+ب)+ج = أ+(ب + ج)
الأرقام غير صفرية النسبية تشيل مجموعة تحت عملية الضرب. العنصر المحايد هو 1، حيث أن 1×أ = أ×1 لأي عدد نسبي. القيمة العكسية [[عدد كسري|للعدد النسبي]] 1/أ هي حيث أن أ×1/أ = 1
لا تشكل الأعداد الصحيحة تحت عملية الضرب مجموعة. لان مقلوب العدد الصحيح لايكون عدد صحيح. على سبيل المثال، العدد الصحيح هو 4 لكن مقلوب العدد 4 يكون 1\4 وهو ليس عدد صحيح.
تدرس نظرية المجموعات في [[نظرية الزمر]]. يعد [[تصنيف الزمر المنتهية البسيطة]] النتيجة الرئيسية في هذه النظرية، نشر معظمها بين عامي 1955 و 1983، والتي بدورها تقسم [[مجموعة منتهية|المجموعات المنتهية]] [[زمرة بسيطة|البسيطة]] إلى ما يقارب من 30 نوع أساسي.
تعد [[نصف زمرة|انصاف المجموعات]] المجموعات و [[شبه زمرة|اشباه المجموعات]] وال[[مونويد]] هياكل جبرية مماثلة للمجموعات، ولكنهم أكثر عمومية. ويشتملون على مجموعة وعملية ثنائية مغلقة، ولكنهم لا يحققون الشروط الأخرى بالضرورة. تحتوي نصف المجموعة على عملية ثنائية ترابطية. ولكن قد لايكون لها عنصر محايد. تعد المونويد نصف مجموعة تحتوي على عنصر محايد ولكن قد لايكون لها معكوس لكل عنصر. تحقق شبه المجموعة المتطلب الدال على امكانية أي عنصر للتحول إلى أي عنصر آخر إما من خلال ضرب اليسار أو ضرب اليمين، ولكن في أي حالة العملية الثنائية قد لاتكون ترابطية.
تعد كل المجموعات [[مونويد]] ، وتعد كل المونويد [[شبه زمرة|انصاف مجموعات]].
الحلقات والحقول.
"المقالات الرئيسية: [[حلقة (رياضيات)]] و [[حقل (رياضيات)|حقل رياضي]]"
"راجع أيضا: [[نظرية الحلقات]] و [[حقل (رياضيات)|حقل رياضي]]"
تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح كامل عن سلوك الأنواع المختلفة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي تحتاج إلى دراسة. وتعد اهمها الحلقات و[[حقل (رياضيات)|الحقول الرياضية]].
تملك [[حلقة (رياضيات)|الحلقة الرياضية]] عاملين ثنائين (+) و (×)، مع الاخذ بالإعتبار بان × توزيعي أكثر من +. وفقا للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. و وفقا للعامل الثاني (×) يكون تجميعي، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أو معكوس، لذالك القسمة غير مطلوبة. يكتب العنصر المحايد الجمعي (+) 0 و [[معاكس جمعي|المعكوس الجمعي]] من أ يكتب -أ.
[[توزيعية|التوزيع]] ( يعمم [[قانون تركيب داخلي|قانون توزيع الأرقام]]، ويحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد الصحيحة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ أيضا جـ × ( أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب، ويسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.
الاعداد الصحيحة عبارة مثال لحلقة . للأعداد الصحيحة خصائص اضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.
[[حقل (رياضيات)|الحقل]] عبارة عن حلقة مع خاصية اضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أو الابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 و معكوس المضاعف يكتب −1أ .
الاعداد المنطقية، الاعداد الحقيقية والاعداد المركبة هي امثلة لحقول.
معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية.
ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة formula_1 أي المعادلات كثيرة الحدود، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة formula_2 مزودة بجموعة من العمليات على formula_2. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على formula_2 تمثل [[دالة|دالة رياضية]] تأخذ formula_5 عنصر من المجموعة formula_2 وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من formula_2.
لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث formula_8 يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من formula_2 أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل formula_10.
بالمقابل العملية الأحادية (حيث formula_11) ببساطة عبارة عن دالة من formula_2 إلى formula_2 يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول formula_14. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: formula_15.
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: formula_16 أو formula_17.
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات [[لامنتهية]] (حيث formula_18) مثل formula_19، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية [[مشبك كامل|للمشابك الكاملة]].
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من [[نظرية النموذج]] نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون [[علاقة (منطق)|علاقات]])،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.
كائنات جبرية.
تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :
[[تصنيف:جبر|*]]
[[تصنيف:اختراعات إيرانية]]
أبو عَبد الله مُحَمَّد بن مُوسىً الخَوارِزمي عالم رياضيات وفلك وجغرافيا مسلم.
يكنى بأبي جعفر. قيل أنه ولد حوالي 164هـ 781م (وهو غير مؤكد) وقيل أنه توفي بعد 232 هـ أي (بعد 847م).
يعتبر من أوائل علماء الرياضيات المسلمين حيث ساهمت أعماله بدور كبير في تقدم الرياضيات في عصره.
اتصل بالخليفة العباسي المأمون وعمل في بيت الحكمة في بغداد وكسب ثقة الخليفة إذ ولاه المأمون بيت الحكمة كما عهد إليه برسم خارطة للأرض عمل فيها أكثر من سبعين جغرافيا.
قبل وفاته في 850 م/232 هـ كان الخوارزمي قد ترك العديد من المؤلفات في علوم الرياضيات والفلك والجغرافيا ومن أهمها "كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة" الذي يعد أهم كتبه.
تُرجم الكتابَ إلى اللغة اللاتينية على يد العالم روبرت مِن تشستر حوالي عام 1145 م، دخلت على إثر ذلك كلمات جديدة مثل الجبر "Algebra" والصفر "Zero" إلى اللغات اللاتينية وترجمه بعد ذلك بقليل جيراردو الكريموني الساكن في طليطلة، متبوعا في ذلك بترجمة ثالثة قام بها الإيطالي غيوم دي لونا. استُعملت ترجمة روبرت مِن تشستر الكتاب الرئيسي في الرياضيات إلى حدود القرن السادس عشر في الجامعات الأوروبية.
ضمت مؤلفات الخوارزمي "كتاب الجمع والتفريق في الحساب الهندي"، وكتاب رسم الربع المعمور، وكتاب تقويم البلدان، وكتاب العمل بالأسطرلاب، وكتاب "صورة الأرض " الذي اعتمد فيه على كتاب المجسطي لبطليموس مع إضافات وشروح وتعليقات، وأعاد كتابة كتاب الفلك الهندي المعروف باسم "السند هند الكبير" الذي ترجم إلى اللغة العربية زمن الخليفة المنصور فأعاد الخوارزمي كتابته وأضاف إليه وسمي كتابه "السند هند الصغير".
وقد عرض في كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة أول حل منهجي للمعادلات الخطية والمعادلات التربيعية مستعملا في ذلك الطريقة المعروفة باسم إكمال المربع.
ويعتبر مؤسس علم الجبر، (اللقب الذي يتقاسمه مع ديوفانتوس) في القرن الثاني عشر، ولقد قدمت ترجمات اللاتينية عن حسابه على الأرقام الهندية، النظام العشري إلى العالم الغربي. نقح الخوارزمي كتاب الجغرافيا لكلاوديوس بطليموس وكتب في علم الفلك والتنجيم.
كان لإسهاماته تأثير كبير في اللغة. "فالجبر"، هو أحد من اثنين من العمليات اللائي استخدمهن في حلحلة المعادلات التربيعية. وفي اللغة الإنجليزية كلمة Algorism وalgorithm تنبعان من "Algoritmi"، الشكل اللاتيني لاسمه. واسمه هو أصل الكلمة في اللغة الإسبانية "guarismo" والبرتغالية algarismo وهما الاثنان بمعنى "رقم".
انتقلت عائلته من مدينة خوارزم في إقليم خراسان الإسلامي (والتي تسمى ’’خيوا‘‘ في العصر الحالي، في جمهورية أوزبكستان) إلى بغداد. وأنجز الخوارزمي معظم أبحاثه بين عامي 813م و833م في دار الحكمة في بغداد، التي أسسها الخليفة المأمون، حيث عينه المأمون على رأس خزانة كتبه، وعهد إليهِ بجمع الكتب اليونانية وترجمتها. وقد استفاد الخوارزمي من الكتب التي كانت متوفرة في خزانة المأمون فدرس الرياضيات والجغرافيا والفلك والتاريخ، إضافةً إلى إحاطته بالمعارف اليونانية والهندية.
نشر كل أعماله باللغة العربية، التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي القطربلّي، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. وبدأ الخوارزمي كتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة (بسم الله الرحمن الرحيم). وبالرغم من عدم إجماع المصادر التأريخية والموسوعات العلمية على هويته الا أن الموسوعة البريطانية (نسخة الطلاب الأطفال) وموسوعة مايكروسوفت إنكارتا وموسوعة جامعة كولومبيا تقول أنه عربي، بينما تذكر مصادر أخرى أنه فارسي أو تركي. وفي الإصدار العام للموسوعة البريطانية ذكر أنه "عالم مسلم" من دون تحديد قوميته ،وفي كتاب الفهرس لابن النديم، توجد سيرة ذاتية قصيرة للخوارزمي، مع قائمة الكتب التي كتبها. ولقد أنجز الخوارزمي معظم أعماله في الفترة ما بين عامي 813 و833. وبعد الفتح الإسلامي لبلاد فارس، أصبحت بغداد مركز الدراسات العلمية والتجارية، وأتى إليها العديد من التجار والعلماء من مناطق بعيدة مثل الصين والهند، كما فعل الخوارزمي. وكان يعمل في بغداد، وهو باحث في بيت الحكمة الذي أنشأه الخليفة المأمون، حيث درس العلوم والرياضيات، والتي تضمنت ترجمة المخطوطات اليونانية والسنسكريتية العلمية وغيرها.
ساهم الخوارزمي في الرياضيات والجغرافيا وعلم الفلك وعلم الخرائط، وأرسى الأساس للابتكار في الجبر وعلم المثلثات. وأسلوبه المنهجي في حل المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية أدى إلى "الجبر"، وهي كلمة مشتقة من عنوان كتابه حول هذا الموضوع، "المختصر في حساب الجبر والمقابلة".
كتاب "الجمع والتفريق بحساب الهند" سنة 825 م، حيث كان مسؤولا بشكل أساسي عن نشر نظام الترقيم الهندي في جميع أنحاء الشرق الأوسط وأوروبا.
وترجمت الكلمة (خوارزم) إلى اللغة اللاتينية ""Algoritmi de numero Indorum"." من لقبهِ الخوارزمي، حيث أتت الكلمة اللاتينية "Algoritmi" التي أدت إلى شيوع مصطلح "الخوارزمية".
ولقد نظم الخوارزمي وصحح بيانات بطليموس عن أفريقيا والشرق الأوسط. ومن كتبه الرئيسية كتاب "صورة الأرض"، الذي يقدم فيه إحداثيات الأماكن التي تستند على جغرافية بطليموس ولكن مع تحسن القيم للبحر الأبيض المتوسط وآسيا وأفريقيا. كما كتب أيضا عن الأجهزة الفلكية مثل الأسطرلاب، والمزولة.
وساعد في مشروع لتحديد محيط الأرض، وفي عمل خريطة للعالم في عهد الخليفة العباسي المأمون حيث طلب ذلك منه، وأشرف على 70 جغرافي.
في القرن الثاني عشر انتشرت أعماله في أوروبا، من خلال الترجمات اللاتينية، التي كان لها تأثير كبير على تقدم الرياضيات في أوروبا.
(الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح "الجبر" مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتاب اللاتينية تحت اسم "Liber algebrae et almucabala" بواسطة روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيرارد أوف كريمونا. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمت عام 1831 بواسطة إف روزين. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.
ويعتبر الجبر هو النص التأسيسي للجبر الحديث. فهو قدم بيانا شاملا لحل المعادلات متعددة الحدود حتى الدرجة الثانية، ، وعرض طرق أساسية "للحد" و"التوازن" في إشارة إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أي إلغاء المصطلحات المتماثلة على طرفي المعادلة.
المناقشة أعلاه يستخدم التدوين الرياضي الحديث لأنواع المشاكل التي يناقشها الكتاب. ومع ذلك، في يوم الخوارزمي، لم يتم اختراع معظم هذا الترميز بعد، لذلك كان عليه استخدام النص العادي لعرض المشاكل وحلولها. على سبيل المثال، يكتب لمشكلة واحدة، (من ترجمة 1831).
إذا قال أحدهم: "يمكنك تقسيم عشرة إلى قسمين: اضرب الجزء بمفرده، فسيكون مساويًا للآخر الذي تم التقاطه واحد وثمانين مرة." الحوسبة: أنت تقول، عشرة أشياء أقل، مضروبة في حد ذاتها، هي مائة زائد مربع أقل من عشرين شيئًا، وهذا يساوي واحد وثمانين شيئًا. افصل بين عشرين شيئًا ومائة مربع، وأضفها إلى واحد وثمانين. سيكون بعد ذلك مائة زائد مربع، أي ما يعادل مائة وواحد جذور. نصف الجذر؛ الشق هو خمسون ونصف. اضرب هذا في حد ذاته، فهو ألفان وخمسمائة وخمسون وربع. مع طرح مائة من هذا. الباقي الفان واربع مئة وخمسون وربع. استخراج الجذر من هذا؛ إنه تسعة وأربعون ونصف. طرح هذا من جزء الجذور، وهو خمسون ونصف. لا يزال هناك واحد، وهذا واحد من الجزأين.
في طريقة التدوين الحديثة، يتم إعطاء هذه العملية، مع x "الشيء" أو "الجذر"، من خلال الخطوات،:formula_1
دع جذور المعادلة تكون x = p و x = q. ثم formula_4, formula_5 و:formula_6
لذلك يتم إعطاء الجذر عن طريق:formula_7
وفقًا لمؤرخ الرياضيات السويسري الأمريكي، فلوريان كاجوري، فإن جبر الخوارزمي كان مختلفًا عن عمل علماء الرياضيات الهنود، لأن الهنود لم يكن لديهم قواعد مثل "الترميم" و "التخفيض". فيما يتعلق باختلاف وأهمية عمل الخوارزمي الجبري عن عالم الرياضيات الهندي براهموغوبا، كتب كارل بنجامين بوير:
من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على علم بعمل ديوفانتوس، لكن لابد أنه كان على دراية بالأجزاء الفلكية والحسابية على الأقل لبراهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يستخدم الخوارزمي أو غيرهم من علماء اللغة العربية في النطق أو الأعداد السالبة. ومع ذلك، فإن الجبر يقترب من الجبر الأولي اليوم من أعمال ديوفانتوس أو براهماغوبتا، لأن الكتاب لا يهتم بالمشاكل الصعبة في التحليل غير المحدد، ولكن مع عرض مستقيم إلى الأمام وابتدائي لحل المعادلات، خاصة أن من الدرجة الثانية. أحب العرب عمومًا حجة واضحة جيدة من الفرضية إلى النهاية، وكذلك التنظيم المنهجي - الاحترام الذي لم يبرع فيه ديوفانتوس ولا الهندوس.
طريقتهُ في حل المعادلة الخطية.
طريقة الخوارزمي في حل المعادلات التربيعية الخطية عملت في البداية بخفض لمعادلة لواحدة من ست نماذج قياسية (حيث b وc أرقام صحيحة موجبة):
وبقسمة معامل التربيع باستخدام عمليتين هما الجبر والمقابلة، الجبر هي عملية إزالة الوحدات والجذور والتربيعات السلبية من المعادلة، وذلك بإضافة نفس الكمية إلى كل جانب. فعلى سبيل المثال، "x"2 = 40"x" − 4"x"2 تخفض إلى 5"x"2 = 40"x"، والمقابلة هي عملية جلب كميات من نفس النوع لنفس الجانب من المعادلة. فعلى سبيل المثال، "x"2 + 14 = "x" + 5 تخفض إلى "x"2 + 9 = "x".
نشر عدة مؤلفين أيضا كتبا ونصوصا تحت اسم "كتاب الجبر والمقابلة" منهم أبو حنيفة الدينوري وأبو كامل شجاع بن اسلم وعبد الحميد بن ترك وسند بن علي وسهل بن بشر وشرف الدين الطوسي.
وكتب جي جي أوكونر وإي إث روبرتسون في موقع أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات:
وكتب أر راشد وأنجيلا ارمسترونج:
الإنجاز الثاني للخوارزمي كان في علم الحساب. توجد الآن الترجمة اللاتينية له ولكن فقدت النسخة العربية الأصلية. ترجمه على الأرجح في القرن الثاني عشر أديلار الباثي، الذي ترجم أيضا الجداول الفلكية في 1126.
كانت المخطوطات اللاتينية بلا عنوان، ولكن يشار إليها بأول كلمتين تبدا بها: Dixit algorizmi أو (هكذا قال الخوارزمي)، أو "Algoritmi de numero Indorum" (الفن الهندي في الحساب للخوازرمي)"، وهو الاسم الذي أطلقه بالداساري بونكومباني على العمل في 1857. العنوان الأصلي العربية ربما كان [46] "كتاب الجمع والطرح ووفقا للحساب الهندي"
يعود الفضل إلى عمل الخوارزمي الحسابي في إدخال الأرقام العربية على أساس نظام الترقيم الهندي العربي المطور في الرياضيات الهندية الذي يحتوي على النظام العشري، إلى العالم الغربي.
مصطلح "الخوارزمية" مستمد من ألجورسم، أسلوب الحساب بالأرقام الهندية والعربية الذي وضعه الخوارزمي. كلا من كلمتي "خوارزمية" و"ألجوريسم" مستمدين من الأشكال اللاتينية لاسم الخوارزمي "Algoritmi وAlgorismi" على التوالي.
ولقد قام بمعالجة موضوعات الجبر مستقلة عن نظرية الاعداد وموضوعات الحساب أيضا.
وهو أول من ادخل الصفر إلى الاعداد لتكون الاعداد الطبيعية، حيث كان نظام العد يعتمد على اسلوب قديم بلا صفر وبادخاله نظام الصفر تحول الحساب إلى النظام العشري المعروف في الجمع والطرح حيث استخدم فيما بعد باوروبا ومختلف انحاء العالم عن طريق ترجمة مخطوطاته إلى اللاتينية.
نجا أربعة نصوص لاتينية توفر تعديلات لأساليب الخوارزمي، على الرغم من أنه لا يُعتقد أن أيًا منها كان ترجمة حرفية:
علم المثلثات.
احتوى كتاب الزيج السندهند للخوارزمي أيضًا على جداول للدوال المثلثية الجيب وجيب التمام. وهناك أطروحة ذات صلة عن حساب المثلثات الكروية تُنسب إليه أيضًا.
أنتج الخوارزمي لائحات تحويل قيم دقيقة لدالتي الجيب والجيب التمام، كما أنتج لائحة لقيم دالة الظل تُعتبر الأولى من نوعها.
كتب الخوارزمي العديد من الأعمال الأخرى بما في ذلك أطروحة عن التقويم العبري، بعنوان رسالة في استخراج تأريخ اليهود ("استخراج العصر اليهودي"). ويصف الدورة الميتونية، دورة الإقحام لمدة 19 عاما؛ قواعد تحديد في أي يوم من أيام الأسبوع سيموت شهر تيشري؛ يحسب الفاصل الزمني بين أنو موندي أو السنة اليهودية وعصر السلوقية. ويعطي قواعد لتحديد متوسط طول الشمس والقمر باستخدام التقويم العبري. تم العثور على مواد مماثلة في أعمال أبي ريحان البيروني ومايمونيدس.