CALM/arwiki huggingface dataset:
نبات القرم (الشورى) شجرة قائمة أو شجيرة صغيرة، وغالباً ذات زغب كث دقيقي، ارتفاعها 1-3 متر. الأوراق متقابلة رمحية إلى بيضاوية، غالباً حادة القمة، كاملة الحافة طولها 3-7 سم وعرضها 1-3 سم، تستدق عند القاعدة مكونة عنق قصير، جلديه ذات لون أخضر لامع من أعلى، وغالباً ذات لون رمادي باهت من أسفل، عليها العديد من البلورات الملحية. وتوجد الأزهار في نورات هامة محدودة، ذات عنق قصير ولها نقابات، فصوص الكأس 2-4 مم طولاً، ذات قمة مستديرة، وحافة مشرشرة تشرشر دقيق، التويج أصفر اللون يزيد طوله عن الكأس، له 4 فصوص غير متساوية الطول تزيد عن طول الأنبوبة (شكل 1). وترى هذه الشجيرات محاطة عادة بنموات قائمة رأسية عديمة الأوراق تشبه السيقان (Pneumathodia or Pneumatophores) تخرج من الجذور الأرضية بغرض تزويدها بالأكسجين (شكل 2، 3)، وخاصية الإنبات الأمي (Vivipary) في هذا النبات هي تأقلم آخر مع هذه البيئة شديدة الملوحة شحيحة الأكسجين حيث تنبت البذور قبل وقوعها من النبات الأم معطية الجذير أو الجذر الجنيني (شكل 4، 5). وقد فسر ذلك على أنه ميكانيكية لتجنب الملوحة وللتزويد بالأكسجين في هذه الفترة الحرجة من إنبات البذور[5].
احتياجات النمو المتصل للأيكات الساحلية.
توجد خمسة احتياجات للنمو المتصل للأيكات الساحلية:
1- درجة حرارة استوائية: يجب أن يكون متوسط درجة حرارة الأشهر الباردة أعلى من 20°م، ومدى التغير الموسمي لا يزيد عن 5°م.
2- رواسب مائية ناعمة: توجد على طول شواطئ الدلتاوات عند مصبات الأنهار (وكذلك الأودية الكبيرة) حيث تتكون الرواسب من الطمي والطين، وتكون المادة العضوية متاحة لنمو البادرات.
3- شواطئ خالية من الأمواج العاتية والتأثيرات المدية الشديدة: توجد النموات الكثيفة لهذا النبات على الشواطئ المحمية داخل البرازخ أو خلف الجزر، حيث غالباً ما يؤدي تأثير الأمواج إلى اقتلاع البادرات ونحر الرواسب الناعمة.
4- ماء مالح: لا يعتبر الماء المالح احتياجاً أساسياً للأيكات الساحلية حيث أنها اختيارية الملوحة، إلا أن إزالة التنافس مع نباتات المياه العذبة يعتبر هام جداً.
5- مجال مدٌى واسع: المجال المدى الأفقي الواسع يعتبر هام لأن الانحدار الدقيق الممتد لا يؤدي إلى النحر أثناء التغيرات المدية.
اقتصاديات المانجروف.
يمكن استغلال هذا النبات في عدة أمور أهمها :
1- استزراع هذا النبات لتجميل الشاطئ وإضافة لمسة التنوع البيولوجي للمكان.
2- منع الشواطئ من التآكل نتيجة للأمواج.
3- يتكاثر في بيئة هذا النبات عدد كبير من الطيور المهاجرة.
4- ينمو في بيئات نبات المانجروف 35 نوعاً من الأسماك والقشريات التي لبعضها أهمية غذائية مثل الجمبري والكابوريا والجندوفلب والبوري والشعري وغيرها.
5- تستخدم الأفرع الصغيرة والبادرات والبذور كغذاء للجمال وقت الجفاف.
6- توفير فرص عمل للأهالي من خلال استغلال النبات للسياحة ومزارع أسماك.
7- استغلال الكائنات الدقيقة المصاحبة للمناجروف مثل البكتيريا المثبتة للنيتروجين.
دور مستنقعات الأيكات الساحلية في البيئة.
تؤدي مستنقعات الأيكات الساحلية دوراً بيئياً هاماً ويتلخص فيما يلي:-
1- تساعد على تكوين التربة عن طريق تجميع الرواسب حول الجذور الدعامية والجذور الهوائية التنفسية في المواقع المحمية
2- تقوم بتنقية ماء الجريان السطحي الأرضي، وكذلك إزالة المادة العضوية الأرضية.
3- تنتح كميات كبيرة من الفتات الذي سوف يشارك بدوره في إنتاجية العديد من الكائنات الشاطئية.
4- تعتبر أوساط للعديد من الأسماك الصغيرة واللافقاريات والعديد من النباتات والحيوانات (العالقة)، وكذلك الطيور الكبيرة، حيث توجد شبكات غذائية تعتمد على الإنتاج العضوي لمستنقعات الأيكات الساحلية.
يرعى القرم أحياناً بواسطة قطعان الجمال والماعز التي يربيها السكان المحليين حيث تتغذى على أوراقه حينما تكون النباتات الأخرى غير متاحة خاصة خلال موسم الصيف (شكل 6)، ولكن لا يعتبر نبات رعى جيد بسبب ملوحته العالية. كما يستخدم السكان المحليين الأفرع كوقود عالي القيمة وهذا يفسر التدمير الكبير الذي يحدث لجماعات هذا النبات قرب المستقرات البشرية[2، 5].
يتكون ما يقرب من ثلث غذاء الجمبري (الروبيان) في مناطق الأيكات الساحلية من مواد نباتية، وتمثل الأجزاء المستخدمة من النباتات المكونة لهذه الأيكات حوالي 60% منها. وتتغذى الأسماك التي تعيش في الماء الضحل عادة، بقدومها مع موجات المد إلى هذه المناطق على الكائنات البحرية اللافقارية التي تعيش في الأيكات الساحلية. وعادة في مثل هذه النظم البيئية الضحلة يتم إزاحة كميات من المواد العضوية والدبال من هذه النظم إلى مناطق الماء المفتوح مما يساهم في تغذية العديد من الكائنات البحرية بها.
في كثير من بقاع العالم التي توجد بها غابات الأيكات الساحلية تستخدم أخشابها في إقامة دعامات مناجم الفحم وطرق السكك الحديدية وأسقف المنازل نتيجة لصلابة أخشابها واستقامتها وفي بناء القوارب وإقامة الأسيجة والمنحوتات الخشبية وكوقود خشبي ذي رائحة طيبة. وعلى الرغم من الصفات التشريحية لأخشاب الأيكات الساحلية من حيث قصر الألياف وسمك الجدر الخلوية، والتي تجعلها غير مناسبة للاستخدام بنسب كبيرة في صناعة عجين الورق، فإن صناعة لب الورق أصبحت من أكثر الصناعات استهلاكاً لأخشاب هذه النباتات في اليابان، إضافة إلى ذلك فان هذه النباتات تستعمل في الفلبين لإنتاج ألياف الفيسكوز المستخدمة في صناعة النسيج، كما يستغل كسر الخشب والأفرع الصغيرة والنشارة الناتجة عن استخلاص الدعائم والألواح في صناعة الخشب المضغوط المستخدم في التشييد والتأسيس. وتستغل الأجزاء غير الخشبية مثل القلف والأوراق في إنتاج المستخلصات الكيميائية مثل التانينات والأصماغ والأصباغ.
تعد نباتات الأيكات الساحلية مصدراً لمكونات الهرمونات مثل التربينات والأستيرويدات إلى جانب وجود مركب الكومارين الذي يعد مصدراً يستخدم في تركيبات العقاقير. وقد ذكر العالم الإغريقي ثيوفراستبس عام 305 قبل الميلاد أن مستخلص بادرات نباتات القرم كان يستخدم قديماً كمقوى جنسي عام للرجال، وهذا ما أكده العالم المغربي ابن عباس النباتي عام 1230م الذي أضاف أيضاً أنه يستخلص منه مواد طبية لعلاج أمراض اللثة وأمراض الكبد[1]. وقد أجريت حديثاً تحاليل كيميائية على أجزاء من نبات القرم النامية على سواحل المملكة العربية السعودية وأتضح احتوائها على مواد تعتبر مصدراً لإنتاج الهرمونات المقوية[9].
ومن أهم العوامل التي تعجل بتدهور الحياة البحرية التدمير المباشر للمناطق الساحلية الرطبة التي تتخذها العديد من الكائنات الحية بيئة للتكاثر أو مصدر للطعام، إذ أن تجفيف تلك المناطق بغرض تنفيذ مشروعات البناء على طول السواحل وشق الطرق أدت إلى تدمير العديد من هذه المناطق خاصة القيعان البحرية المكسوة بالعشب والتركيبات الصخرية التي أحدثتها الأمواج والتي تزخر بالحياة الفطرية.. إلا أن أكثر الآثار المدمرة هي تلك الناتجة عن نقل الأمواج للنفط المهدر بسبب حوادث الناقلات ومنصات استخراج النفط وغيرها باتجاه السواحل مما يؤدى إلى قتل كل الكائنات النباتية والأعشاب الحيوانية التي تقع في طريقها. كما أن النفط يلتصق بجذور وبراعم نباتات الأيكات الساحلية فيقتلها.
عموماً فإن الأيكات الساحلية تتدهور تدهوراً سريعاً في أفريقيا وآسيا وأستراليا، ولهذا فقد تم تشخيص غابات هذه النباتات في معظم المناطق الاستوائية كنظم بيئية مهدده بالفناء. وتتأثر النظم البيئية لهذه النباتات، مثلها مثل غيرها من التطم البيئية الأخرى بنتائج المشكلات البيئية الناتجة عن أنشطة الإنسان مثل التلوث النفطي. فقد أظهرت الدراسات الحديثة أن الوسط الترسيبي لهذه الأيكات يلعب دوراً كبيراً كمصدر للمواد السامة إذا ما تعرض للتلوث النفطي حيث يقوم بتجميع نواتج تكسير وتحلل النفط. ويظهر تأثير هذا بشكل كبير في مرحلة لاحقه (بعد عدة سنوات) حيث تؤدي إلى القضاء تدريجياً على أشجار هذه الأيكات، والتي كانت في حالة جيدة قبل حدوث ذلك.
نظراً لهشاشة نظم الأيكات الساحلية، وخاصة أيكات نبات القرم في المنطقة العربية التي يمثل خط العرض المار بمنطقة نبق على ساحل خليج العقبة بجنوب سيناء الحد الشمالي لانتشارها عالمياً، فإنه يجدر أن نوليها أهمية كبيرة لحمايتها والمحافظة على بيئتها الخاصة لضمان استمرارية نموها وإنتاجيتها واستمرار عطائها للكائنات الحية المختلفة الأخرى التي تعيش معتمدة عليها. ومن هذا المنطلق فقد تم وضع أسس للحفاظ على مجتمعات الأيكات الساحلية في أي منطقة نلخصها فيما يلي:
1- عدم التدخل بطريقة مباشرة أو غير مباشرة في توقيت وكمية انسياب الماء العذب من الأنهار والوديان إلى مواطن هذه الأيكات.
2- عدم التدخل في استمرار عملية الغمر بماء المد أو ماء الجريان السطحي.
3- عدم الإخلال بالتركيب الطبيعي والكيميائي والإحيائي للمنظومة البيئية لهذه النباتات أو لمستوى ارتفاع الوسط الترسيبي بالنسبة لمستوى سطح البحر بالمنظومة.
الحالة الحالية للمناجروف.
أولاً - عوامل طبيعية أدت إلى تدهور نمو هذا النبات :
1- تعتبر العوامل الطبيعية هي السبب الرئيسي لتدهور نمو هذا النبات، ويأتي نقص كميات المطر على رأس هذه العوامل حيث أن الغردقة بما حولها من صحاري تصل معدلات المطر إلى 2 مم في العام، وتنعدم الأمطار في أوقات أخرى، وهذه الندرة تؤدي إلى نقص إمداد الماء العذب اللازم لنمو هذا النبات مما يسبب زيادة في ملوحة البحر وفقد كميات الطمي الغنية بالمواد الغذائية التي كانت تنجرف من الصحاري إلى شاطئ البحر حيث ينمو هذا النبات، وهذا يؤدي بدوره إلى عدم قدرة البادرات على اختراق التربة لتثبيت نفسها ومواصلة النمو، كما تساهم ملوحة البحر في تدهور نمو البادرات حتى إذا ما نبتت.
2- من ناحية درجات الحرارة فكما سبق ذكره فإن المانجروف نشأ في المناطق الاستوائية فهى لا تزال البيئة المثالية لنموه. أي أن انخفاض درجات الحرارة وزيادة معدلات التغير في درجات حرارة الماء بين الفصول يعوق النمو المثالي لهذا النبات فينمو متقزماً، كما هو الحال بين خطي عرض 25-28 شمالاً.
3- قلة حركة المد والجذر في النصف الشمالي للبحر الأحمر تجعل نمو البادرات أمراً صعباً حيث تتنفس البادرات بواسطة الثغور الموجودة على الأوراق فتأخذ احتياجها من الأكسجين أثناء عملية الجذر وعند نقص عملية الجذر يغرق النبات ويموت، أما النبات الكبير فيأخذ احتياجه من الأكسجين من خلال إرسال جذور هوائية.
ثانياً- تهديدات بسبب تدخل الإنسان أدت إلى تدهور نمو هذا النبات :
1- تأتي على رأس هذه التهديدات عمليات التعمير والمشروعات السياحية على ساحل البحر الأحمر حيث تم رصف طريق موازي للساحل يربط ما بين القاهرة وشلاتين وحلايب. وهذا الطريق قد قطع أمام مياه الأمطار التي تتساقط على سلاسل جبال البحر الأحمر، وتتجمع لتصل إلى سواحله حيث تنمو نبات الشورى، وكذلك المتجمعات العمرانية على ساحل البحر الأحمر التي غيرت من الملامح الطبيعية للأودية، وبالتالي لا تصل المياه العذبة إلى ساحل البحر حيث تنمو مجتمعات الشورى.
2- التهديد الآخر هو تواجد كميات كبيرة من القمامة ناتجة عن عمليات التعمير والمشروعات السياحية على ساحل البحر الأحمر، وكذلك القمامة الناتجة عن النشاطات البحرية. ونخص بالذكر الأكياس البلاستيكية التي تلتف حول جذور وجذوع نبات الشورى وتسبب له الاختناق.
يعتبر شجر القرم مفيد للبيئة البحرية والبرية حيث يساعد في تثبيت التربة ويكون مأوى طبيعي للأسماك والكائنات البحرية إضافة لكونها مأوى لفقس الطيور وكمصدات للرياح.
يجود نمو المانجروف بأنواعه (70 نوعاً) في المناطق الاستوائية، ولكن هذا النمو يمتد شمالاً وجنوباً بحيث لا يتعدى خط عرض 30° شمالاً و 30° جنوباً.
1- عبد الرازق، محمد سعد الدين (1994). نبات القرم "أفيسينيا مارينا" دراسة عامة– وتجارب إكثاره في دولة قطر. مركز البحوث العلمية والتطبيقية، جامعة قطر. 142 صفحة.
2-Ayyad, M. (1998). Multipurpose Species in Arab African Countries. UNESCO, UNESCO Cairo office (UCO), Cairo, 91 pp.
3-Batanouny, K.H. (1981). Ecology and Flora of Qatar. Alden Press, Oxford, 245 pp.
4-Dawes, C.J. (1981). Marine Botany. A Wiley–Interscience Publications, John Wiley &amp; Sons, New York, 628 pp.
5-El-Hadidi, M.N., Abd El-Ghani, M.M. &amp; Fahmy, A.G. (1992). The Plant Red Data Book. 1.Woody Perennials. Palm Press &amp; Cairo University Herbarium,155 pp.
6-Kassas, M.A. (1957). On the ecology of the Red Sea coastal land (Sudan). J. Ecol. 45: 187-203
توزيع بواسون (; )،(ويسمى أيضا قانون بواسون للأعداد الصغيرة) هو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمالية حدوث عدد من الأحداث ضمن فترة محددة من الوقت إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل وسطي معروف وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث.
في نظرية الاحتمالات والإحصاءات هو التوزيع الاحتمالي المنفصل الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون، وهو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث في الفاصل الزمني أو المكان إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت معروف وبشكل مستقل عن الوقت منذ آخر حدث. يمكن أيضًا استخدام توزيع بواسون لعدد الأحداث في فترات زمنية محددة أخرى مثل المسافة أو المنطقة أو الحجم.
على سبيل المثال، يتلقى مركز الاتصال 180 مكالمة في المتوسط في الساعة، 24 ساعة في اليوم. المكالمات مستقلة. استقبال واحد لا يغير من احتمالية وصول الآخر. عدد المكالمات التي يتم تلقيها خلال أي دقيقة له توزيع احتمالية بواسون: الرقم الأكثر احتمالًا هو 3، ولكن من المحتمل أيضًا أن يكون الرقم 2 و 4 محتملًا وهناك احتمال ضئيل لكونه منخفضًا مثل الصفر واحتمال صغير جدًا يمكن أن يكون 10 . مثال آخر هو عدد أحداث الانحلال التي تحدث من مصدر مشع في فترة مراقبة معينة.
في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا). لنرمز بX المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X. T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...
يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:
مهما كان العدد الطبيعي k.
هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.
دالة الكتلة الاحتمالية.
يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة "عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة" .
يُقال إن X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ&gt; 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2، ...، دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة :
عندما
الرقم الحقيقي الموجب "λ" يساوي القيمة المتوقعة لـ "X" وأيضًا تباينها
يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث . عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.
يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث formula_4، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث formula_5 يحدث. ثم formula_6 (عرض formula_7 عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و
قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل
الافتراضات والصلاحية.
يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة:
إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع هو توزيع بواسون.
توزيع بواسون هو أيضًا حد التوزيع ذي الحدين، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة ).
أمثلة على احتمالية توزيعات بواسون.
في نهر معين ، تحدث فيضانات الفائض مرة كل 100 عام في المتوسط. احسب احتمال= 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، أو 6 فيضان فيضان في فترة 100 سنة ، على افتراض أن نموذج بواسون مناسب.
لأن متوسط معدل الحدث هو فيضان فائض واحد لكل 100 عام، "λ" = 1
يعطي الجدول أدناه احتمالية حدوث 0 إلى 6 فيضانات في فترة 100 عام.
أفاد أوغارتي وزملاؤه أن متوسط عدد الأهداف في إحدى مباريات كأس العالم لكرة القدم يبلغ 2.5 تقريبًا وأن نموذج بواسون مناسب.
لأن متوسط معدل الحدث 2.5 هدف لكل مباراة، "λ" = 2.5.
يعطي الجدول أدناه الاحتمال من 0 إلى 7 أهداف في المباراة.
مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من "λ" = 1 و "k" = 0
لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة "(λ" = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟
في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 تقريبًا. الباقي 1 - 0.37 = 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام ( "λ" = 1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام تقريبًا 0.37، بنفس الحساب.
بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية ( "λ" = 1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم . بالإضافة إلى ذلك، "P" (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.
أمثلة تنتهك افتراضات بواسون.
من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى اتحاد الطلاب في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).
قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.
الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون بدون اقتطاع .
يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام نموذج مضخم صفري .
تميز.
الوسيط.
حدود الوسيط ( formula_21 ) من التوزيع معروف وحاد :
لحظات أعلى.
اللحظات الأعلى حول الأصل، "m ·" "k" لتوزيع بواسون، هي توشارد كثيرات الحدود في λ:
للحظات غير المركزية نحددها formula_24، ثم
عندما formula_26 هو الثابت المطلق أكبر من 0.
أين formula_37 هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.
المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي formula_33 إلى دالة التوزيع العادي القياسية formula_39 هي كالتالي:
أين formula_41 هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.
سباقات بواسون.
يترك formula_42 و formula_43 تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع formula_44، ثم لدينا ذلك
تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.
يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك formula_46 هو احتمال أن formula_47، أين formula_48، والتي يحدها أدناه formula_49، أين formula_50 هو إنتروبيا نسبية (انظر المدخل على حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن formula_51، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون.
التوزيعات ذات الصلة.
formula_79
formula_80
تقريب بواسون.
افترض formula_81 أين formula_82، ثم formula_83 يتم توزيعها بشكل متعدد الحدود formula_84 مشروط formula_85 .
هذا يعني ، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية formula_86، لو formula_87 يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن
عندما formula_89 .
عامل formula_90 يمكن استبداله بـ 2 إذا formula_91 يُفترض أيضًا أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.
توزيع بواسون ثنائي المتغير.
تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة ثنائية المتغير . وظيفة التوليد لهذا التوزيع هي
formula_93
التوزيعات الهامشية هي بواسون "(θ" 1) وبواسون "(θ" 2) ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة
formula_94
طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير formula_95 هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة formula_96 بالوسائل formula_97 ثم ضبط formula_98 . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي
formula_99
توزيع بواسون مجاني.
توزيع بواسون المجاني بحجم قفزة formula_100 ومعدل formula_78 ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد أقصى للالتفاف الحر المتكرر
formula_102
مثل "N." → ∞.
وبعبارة أخرى، دعونا formula_103 تكون متغيرات عشوائية بحيث formula_103 له قيمة formula_100 مع الاحتمال formula_106 والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضا أن الأسرة formula_107 مستقلة بحرية . ثم الحد كما formula_108 من قانون formula_109 يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات formula_110 .
هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).
يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة
formula_111
formula_112
ولديه دعم formula_113 .
ينشأ هذا القانون أيضًا في نظرية المصفوفة العشوائية مثل قانون مارشينكو - باستور . المتراكمات الحرة لها تساوي formula_114 .
بعض التحولات في هذا القانون.
نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر ؛ يمكن العثور على الحساب في، على سبيل المثال، في كتاب "محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا و ر. سبايشر".
يتم إعطاء تحويل R لقانون بواسون المجاني بواسطة
formula_115
يتم إعطاء تحويل كوشي (وهو سلبي لتحويل ستيلجس) بواسطة
formula_116
يتم إعطاء تحويل S بواسطة
formula_117
في الحالة تلك formula_118 .
الاستدلال الإحصائي.
تقدير المعامل المتغير.
إعطاء عينة من القيم المقاسة "n" formula_119، "لأني" = 1، ...، "ن"، نرغب في تقدير قيمة المعلمة "λ" لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير الاحتمالية القصوى هو
formula_120
نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو مقدر غير متحيز لـ λ. وهو أيضًا مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد الأدنى كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن التباين الأدنى غير متحيز . كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.
لإثبات الكفاية، قد نستخدم نظرية العوامل . ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة formula_121 (مسمى formula_122 ) وواحد يعتمد على المعلمة formula_78 والعينة formula_121 فقط من خلال الوظيفة formula_125 . ثم formula_125 إحصائية كافية لـ formula_78 .
formula_128
الفصل الأول، formula_122، يعتمد فقط على formula_121 . الفصل الثاني، formula_131، يعتمد على العينة فقط من خلال formula_132 . هكذا، formula_125 كافي.
للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:
formula_134
نأخذ مشتق من "formula_135" فيما يتعلق "λ" وذلك لمقارنة الصفر:
formula_136
الحل من أجل "λ" يعطي نقطة ثابتة.
formula_137
إذن "λ" هو متوسط قيم "k" "i" . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ "L" عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى "λ" .
formula_138
يعطي تقييم المشتق الثاني "عند النقطة الثابتة" :
formula_139
وهو سالب "n" في مقلوب متوسط k i . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.
من أجل الاكتمال، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا formula_140 يعني ذلك formula_141 للجميع formula_78 . إذا كان الفرد formula_143 هي iid formula_144، من ثم formula_145 . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.
formula_146
من أجل هذه المساواة، formula_147 يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع formula_148 في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ formula_78 . لذلك، formula_140 للجميع formula_78 يعني ذلك formula_141، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.
فاصل الثقة.
يمكن التعبير عن فاصل الثقة لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع . يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة "k" من توزيع بواسون بمتوسط "μ"، فإن فاصل الثقة لـ "μ" بمستوى الثقة هو
formula_153
أو مكافئ،
أين formula_155 هي الدالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية "p" ) لتوزيع مربع كاي مع "n" من درجات الحرية و formula_156 هي دالة كميّة لتوزيع جاما بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1. هذا الفاصل الزمني " دقيق " بمعنى أن احتمالية تغطيتها لا تقل أبدًا عن الاسمي.
عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل ويلسون-هيلفيرتي ):
formula_157
عندما formula_158 يشير إلى الانحراف القياسي العادي مع منطقة الذيل العليا .
لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة "n" "k" "i" مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط "λ" )، يجب تعيين
formula_159
احسب الفاصل الزمني لـ "μ" = "nλ"، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ "λ" .
استدلال بايزي.
في الاستدلال البايزي، يكون الاتحاد السابق لمعامل المعدل "λ" لتوزيع بواسون هو توزيع جاما . اسمحوا
formula_160
تشير إلى أن "λ" يتم توزيعها وفقًا لكثافة جاما "g المحددة" من حيث معلمة الشكل "α" ومعلمة المقياس العكسي "β" :
formula_161
بعد ذلك، بالنظر إلى نفس العينة من قيم "n" المقاسة "k" "i" كما كان من قبل، وقبل غاما ( "α"، "β" )، يكون التوزيع اللاحق
formula_162
والخلفي يعني E "[λ]" يقترب تقدير أقصى احتمال formula_163 في حدود formula_164، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط توزيع جاما .
التوزيع التنبئي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع سالب ذي الحدين، يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.
التقدير المتزامن لوسائل بواسون المتعددة.
افترض formula_165 هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من formula_166 توزيعات بواسون، ولكل منها معلمة formula_167 و formula_168، ونود تقدير هذه المعلمات. بعد ذلك، أظهر Clevenson و Zidek أنه في ظل خسارة الخطأ التربيعية الطبيعية formula_169، متي formula_170، إذن، على غرار مثال شتاين للوسائل العادية، مقدر MLE formula_171 غير مقبول .
في هذه الحالة، يتم إعطاء عائلة من مقدر مينيماكس لأي formula_172 و formula_173 كـ
formula_174
الحدوث والتطبيقات.
يمكن العثور على تطبيقات توزيع بواسون في العديد من المجالات بما في ذلك:
ينشأ توزيع بواسون فيما يتعلق بعمليات بواسون. ينطبق على ظواهر مختلفة من الخصائص المنفصلة (أي تلك التي قد تحدث 0، 1، 2، 3، ... مرات خلال فترة زمنية معينة أو في منطقة معينة) كلما كان احتمال حدوث الظاهرة ثابتًا في الزمان أو المكان . تتضمن أمثلة الأحداث التي يمكن نمذجتها كتوزيع بواسون ما يلي:
أظهر غالاغر في عام 1976 أن أعداد الأعداد الأولية في فترات زمنية قصيرة تخضع لتوزيع بواسون قدمت نسخة معينة من تخمين مجموعة هاردي-ليتلوود الأولية غير المثبتة لهاردي ليتلوود صحيح.
قانون الأحداث النادرة.
يرتبط معدل الحدث باحتمالية وقوع حدث في فترة فرعية صغيرة (من الوقت أو المكان أو غير ذلك). في حالة توزيع بواسون، يفترض المرء أن هناك فترة فرعية صغيرة بما فيه الكفاية بحيث يكون احتمال وقوع حدث مرتين "ضئيلاً". مع هذا الافتراض، يمكن للمرء اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، مع الأخذ في الاعتبار فقط معلومات العدد المتوقع من الأحداث الإجمالية في الفترة الزمنية بأكملها. دع هذا العدد الإجمالي يكون formula_78 . قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى formula_176 فترات فرعية formula_177 من نفس الحجم، مثل هذا formula_176 &gt; formula_78 (نظرًا لأننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفاصل الزمني، فإن هذا الافتراض مفيد). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في فترة formula_180 لكل formula_181 يساوي formula_182 . نفترض الآن أن حدوث حدث في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره تجربة برنولي، حيث formula_183 محاكمة تقابل النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترات الفرعية formula_180 مع الاحتمال formula_182 . العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في formula_176 ستكون مثل هذه المحاكمات formula_78، العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. ومن ثم، بالنسبة لكل قسم فرعي من الفترة الزمنية، فقد اقتربنا من حدوث الحدث كعملية برنولي للنموذج formula_188 . كما لاحظنا من قبل، نريد أن ننظر فقط في فترات فرعية صغيرة جدًا. لذلك، نأخذ النهاية على أنها formula_176 يذهب إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذي الحدين مع ما يُعرف باسم توزيع بواسون بواسطة نظرية حدود بواسون.
في العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، وستكون أكثر دقة في نمذجة باستخدام التوزيع ذي الحدين، أي
في مثل هذه الحالات، يكون "n" كبيرًا جدًا و "p" صغيرًا جدًا (وبالتالي فإن التوقع "np" متوسط الحجم). ثم يمكن تقريب التوزيع عن طريق توزيع بواسون الأقل تعقيدًا
formula_191