CALM/arwiki huggingface dataset:
ويقول دين إنه كان قلقا إزاء تلك التقارير ومحاولة وزارة الخارجية الأميركية وقف مكتب التحقيقات الفدرالي (أف بي آي) إجراء تحقيق كامل حول تحطم طائرة ضياء الحق، حيث قرر العودة إلى واشنطن لإجراء مشاورات مباشرة.
ويؤكد دين أنه بدلا من الاجتماع به فقد تم إبلاغه بإنهاء خدمته الدبلوماسية في الهند، ووضعه قيد الاعتقال المنزلي في سويسرا في منزل يعود إلى عائلة زوجته مارتين دوفينو، حيث سمح له بعد ستة أسابيع بشحن أمتعته والعودة إلى واشنطن.
الخليط أو المزيج أو المخلوط هو مادة كيميائية متجانسة أو غير متجانسة ممتزجة بدون روابط كيميائية بين العناصر الكيميائية أو المركبات الكيميائية فيها والتي قد تكون موجودة بنسب مختلفة، وبالتالي يحتفظ كل بخواصه وشكله، ويمكن فصل المخاليط بالطرق الكيميائية والفيزيائية.
لا يوجد تغييرات كيميائية في المزائج، أى أن كل مادة موجودة في المزيج تحتفظ بخواصها الفردية وشكلها السابق قبل وضعها في المخلوط . ولكن الخواص الفيزيائية قد تتغير قليلاً، فمثلاً تتغير درجة الانصهار للمخلوط عن درجات حرارة مكوناته الفردية.
المزيج المتجانس هي المزائج التي لها تركيب وخواص محددة، أى أن أى كمية من المخلوط لها نفس التركيب والخواص. مثال لذلك المحاليل وبعض السبائك (ولكن ليس كلها).
المزيج اللا متجانس هي المزائج التي لا يكون لها تركيب محدد، مثال الجرانيت. وتكون البيتزا مثال جيد للمزائج اللا متجانسة. ويقال على المزائج اللا متجانسة أن لها حالات عديدة (ولا يجب الخلط بين ذلك وبين حالة المادة)، أي أنه يمكن فصل أجزاء من المزيج بالطرق الكيميائية.
الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأرقام. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. في هذا المقال نتعرض للجبر الابتدائي بداية ببديهياته مرورا بخواص العمليات الجبرية وانتهاء بأنظمة المعادلات الخطية.
قوانين الجبر الابتدائي.
يعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي.
يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. فمثلا
أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه
أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلىformula_3
خواص عملية الجمع.
لأن
لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.
يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا
خواص عملية الضرب.
لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.
قوانين أخرى.
الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا
لتتبسط إلى
والآن نقسم الطرفين على formula_60
ويتم تبسيطها إلى
الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى
حيث formula_64 هو المتغير وformula_65 هم ثوابت عددية.
والحل العام لهذه المعادلة يكون
نقطة الغليان لمادة هي درجة الحرارة التي تتغير فيها من الحالة السائلة إلى الحالة الغازية خلال كل جزء من أجزاء السائل. ويمكن أن يتحول السائل إلى غاز في درجة حرارة أقل من درجة حرارة الغليان خلال عملية التبخر. وعمومًا فإن التبخر ظاهرة سطحية والتي تتبخر فيها جزيئات السائل القريبة من سطح الغاز/السائل. الغليان على الناحية الأخرى هو عملية تتم لكل الجزيئات في أي مكان في السائل يحدث له تبخر، وينتج من ذلك فقاعات بخار.
الهيليوم هو أقل العناصر في درجة الغليان. وأكثر العناصر في درجة الغليان هو الرينيوم. حيث تتعدى درجة حرارة غليانه هو والتنجستين 5000 كلفن في الضغط القياسي، ونظرا لصعوبة قياس ذلك بدقة فإنه لا يعرف بدقة ما إذا كان الرينيوم أو التنجستين له درجة حرارة غليان أعلى.
نقطة الغليان هي الدرجة التي يكون عندها ضغط البخار للمادة مساويا للضغط الجوى. وعلى هذا فإن درجة الغليان تعتمد على الضغط. وغالبا ما يتم نشر نقط الغليان التي يتم قياسها في الضغط القياسي (101325 بسكال أو 1 ضغط جوي). وفي الارتفاعات الأعلى حيث يكون الضغط الجوى أقل، تقل أيضا نقط الغليان. وتزيد نقط الغليان بزيادة الضغط حتى الوصول إلى النقطة الحرجة حيث تتساوى عندها خواص السائل والغاز. ولا يمكن زيادة نقطة الغليان عن النقطة الحرجة. كما أن نقطة الغليان تقل بتقليل الضغط الجوى حتى الوصول إلى النقطة الثلاثية. ولا يمكن تقليل نقطة الغليان عن هذه النقطة.
عملية التحول من سائل إلى غاز تتطلب كمية من الحرارة تسمى الحرارة الكامنة للتبخر. وبزيادة كمية الحرارة الواقعة على أى سائل عن نقطة الغليان ، فإن هذه الحرارة تستخدم في تحويل حالة المادة السائلة إلى غازية ، وعلى هذا فإن درجة حرارة المادة تظل كما هي على الرغم من زيادة الحرارة الواقع تحتها السائل . كما أن كلمة كامن ("latent") هي لاتينية الأصل وتعنى مختبئ ، وهنا تعنى أن الحرارة التي تضاف لا تظهر في شكل زيادة درجة حرارة السائل . ونظرا لأن زيادة الحرارة الواقعة على السائل لا تحدث تغيير في درجة حرارته فإن المحتوى الحرارى للسائل يكون لا نهائي عند نقطة الغليان.
وبالحديث عن التفاعلات البين جزيئية ، فإن نقطة الغليان تمثل النقطة التي تكتسب فيها جزيئات السائل الطاقة اللازمة للتغلب على قوى الجذب البين جزيئية المختلفة والتي تربط الجزيئات بالسائل (مثل قوى الجذب ثنائية القطب-ثنائية القطب ، قوى الجذب ثنائية القطب-اللحظية ثنائية القطب الحثية ، الرابطة الهيدروجينية) وعلى هذا فإن نقطة الغليان تعبر عن مقدار قوى الجذب .
نقطة الغليان للماء 100 °C أى 212 °F في ظروف الضغط القياسية . وعلى قمة جبل إفرست يكون الضغط مساويا 260 mbar تقريبا ، وتكون نقطة الغليان 69 °C .
وبتعبير أكثر دقة طبقا لمفاهيم الثيرمو دينامكس ، فإن "نقطة الغليان الطبيعية للماء" هي 99.97 درجة مئوية (في ضغط 1 أتموسفير ، 101,325 بسكال) . وحتى عام 1982 كان ذلك "نقطة الغليان القياسية" ، ولكن IUPAC اقترحت ضغط قياسيى مقداره 1 بار (100,000 بسكال) . وعند هذا التقليل البسيط في الضغط تصبح نقطة غليان الماء 100 درجة مئوية .
درجة حرارة وضغط التشبع.
السائل المشبع هو السائل الذي يحتوي على طاقة حرارية بقدر ما يستطيع بدون أن يغلي (البخار المشبع يحتوي على كمية من الحرارة تجلعه كبخار دون أن يتكثف).
درجة حرارة التشبع تعني نقطة الغليان: درجة حرارة التشبع هي الدرجة المقابلة لضغط التشبع الذي يتحول عندها السائل إلى الحالة الغازية. يمكن القول أن السائل يكون مشبع بالطاقة الحرارية وعند إضافة جزأ صغير منها يبدأ في التحول إلى الحالة الغازية.
إذا ظل الضغط ثابت فإن البخار المتواجد عند درجة حرارة التشبع سيتكثف أثناء إزالة الحرارة منه. وبالمثل فإن السائل المتواجد عند ضغط ودرجة حرارة التشبع سيتبخر أثناء إضافة الحرارة له.
تشير نقطة الغليان إلى درجة الحرارة التي عندها الضغط البخاري للسائل يساوي الضغط الجويظن لذلك فإن نقطة الغليان لا تعتمد على الضغط في هذه الحالة. يتم نشر نقطة الغليان للسوائل المختلفة عند الضغط القياسى حسب المعهد الوطني للمعايير والتقنية والذي يساوي 101.325 كيلوباسكال أو 1 ضغط جوي. كلما ارتفعنا عن سطح الأرض قل الضغط وبالتالي تقل نقطة الغليان. تزداد نقطة الغليان كلما زاد الضغط حتى النقطة الحرجة حيث تكون خواص السائل والغاز متمائلة. لا يمكن أن تزداد نقطة الغليان عن النقطة الحرجة. وبالمثل فإن نقطة الغليان تقل كلما قل الضغط حتى نصل إلى النقطة الثلاثية ولا يمكن أن تقل أكثر من ذلك.
يمكن قياس نقطة الغليان إذا علم كلا من حرارة التبخير والضغط البخاري للسائل وذلك من معادلة كلاوزيوس-كلابيرون:
ضغط التشبع: هو الضغط المقابل لدرجة حرارة التشبع والذي عنده يتحول السائل للحالة البخارية. هناك علاقة مباشرة بين ضغط التشبع ودرجة حرارة التشبع حيث مع زيادة ضغط التشبع يزيد معه درجة حرارة التشبع.
إذا ظلت درجة حرارة النظام ثابتة، فإن البخار الموجود عند ضغط التشبع ودرجة حرارة التشبع سيبدأ في التكثف للحالة السائلة مع زيادة الضغط.
هناك أتفاقيتان حول نقطة الغليان للماء عند الضغط الجوي. نقطة الغيان العادية عند الضغط الجوي (1 ضغط جوي) تساوي 99.97 درجة سليزيوس. يزعم الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية أن نقطة غليان الماء هي 99.61 درجة سليزيوس عند الضغط الجوي. عندما نصل إلى قمة جبل أفرست وهي على ارتفاع 8848 متر فإننا نجد أن الضغط عنده يساوي 34 كيلوباسكال ونقطة غليان الماء أصبحت 71 درجة سليزيوس.
في الرياضيات، الدَّوَالّ المثلثيَّة أو التوابع المُثلثية أو الاقترانات المثلثية ، وتُسمَّى أيضاً الدوال الزاويَّة أو الدوال الدائريَّة هي مجموعة من الدوال الحقيقيةٌ التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه. من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والأساسيّة، دالة الجيب، ويرمزُ إليها بالكتابة اللاتينية formula_1، ودالةُ جيبِ التمام، ورمزها formula_2، ودالة الظل، ورمزها formula_3. مقاليب هذه الدوال هم دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: قاطع التمام والقاطع وظل التمام على التوالي.لاحظ أن مقلوب دالة الجيب هو دالة القاطع التمام ومقلوب دالة جيب التمام هو دالة القاطع.
يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات.
بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كوا وغوا شوجينغ وغيورغ يواخيم ريتيكوس وغيرهم.
يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا formula_4 دائماً.
هناك عدة تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو لوران على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوى العقدي.
يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد.
التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل علم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في ؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه القبلة بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد فترة محددة؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.
تعريف الدوال.
يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).
أصل تسمية الدوال.
استُمِدّت الكلمة الإنجليزية "Sine" من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني "انحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الكلمة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى. كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية "جيب" التي هي تحريف للكلمة جِيبا التي نشأت في حد ذاتها كنقحرة للكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā / ज्या (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر قوس المحارب". في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:
استُعملت مصطلح "جَيْب" في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة، كما هو موضّح في الشكل (2).
أما عن الاسم العربي لدالة الـ"ظل"، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فنقول أن طول الظل تساوي n أضعاف المقياس، وعند تمثيل الرياضياتيين المسلمين للدالة على دائرة الوحدة باعتبار نصف قطر الدائرة مقياسًا، فكانت النتيجة هي أنها عبارة عن خط مستقيم يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك)، على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس".
بنفس الطريقة مثل طريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (التسمية القديمة لدالة القاطع) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أُطلق عليها اسم "القاطع"، من المحتمل أن الكلمة الإنجليزية secant التي استمدت من اللاتينية "secans" التي تعني "يَقْطَع"، كانت ترجمة للتسمية العربية "قاطع".
أما عن بادئة "" (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى "جيب الزاوية المتممة لزاوية"؛ أما عن التسمية العربية "جيب التمام"، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة "التمام" باللغة العربية تعني شيء متمم، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 في المثلث قائم الزاوية هي 60 وذلك لأن مجموعهما يعطي 90، التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या "كوتي-جيا" بمعنى "جيب القوس المتمم لقوس"، حيث يعني الجذر الأول للمصطلح "نهاية قوس المحارب" أو "نهاية" بشكل عام، ولكنها تعني في حساب المثلثات "متمم القوس" أو بمعنى آخر "القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية"، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر أنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.
عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.
استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (حوالي 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.
تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم "أبي حساب المثلثات". وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية. في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.
كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب "سوريا سيدهانتا"، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية "سيدهانتا" أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى كل الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" المستخدمة في علم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.
كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ formula_5 و formula_6 ، مثل: formula_7 ، كان ذلك في القرن الثاني عشر.
خط مادهافا السانغماغرامي، في حوال عام 1400، خطوات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية (طالع متسلسلات مادهافا).
عصر الحضارة الإسلامية.
خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات. باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الرياضيات الهندية، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي والمروزي الذين اعتبروا الدوال الأربعة الأخيرة.
في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أنه أنتج أول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السند هند (الحاوية لجدول الجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية. في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام.
في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام أنذاك طول ظل المقياس العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة. كان يطلق على ظل المقياس الأفقي اسم "الظل المعكوس" التي تسمى ببساطة "الظل" حاليًا، وعلى ظل المقياس العمودي اسم "الظل المستوي". كان يسمى وتر المثلث القائم المقابل (القطعة AO في الشكل على اليسار) "قطر الظل الأول" و"قطر الظل الثاني" التي يطلق عليها الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي. في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في تعليقاته على المجسطي، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وتعريفها من خلال الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (التي تساوي دائرة الوحدة، حيث أن نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني). وضع محمد بن جابر البتاني النسب المثلثية لأول مرة والعلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه. تم تحقيق التوحيد النهائي من قبل أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر، والذي استخدم لأول مرة دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.
ساهم محمد بن جابر البتاني في إدخال أنصاف الأوتار الهندية في الحسابات واستخدم لأول مرة مصطلحي "الجيب" و"جيب التمام" معرفاً إياهما بوصفهما أطوالاً بدلاً من نسب كما نعرفهما اليوم؛ كما أنه أنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من إلى ، واكتشف أيضًا قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.
في القرن العاشر، اكتشف أبو الوفاء البوزجاني قانون الجيب للمثلثات الكروية، واكتشف أيضا تلك المتطابقات المثلثية، حيث عبر الرياضياتيون اليونانيون عن تلك المتطابقات بدلالة الأوتار:
طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة، كما أنه استخدم الرموز التالية للإشارة إلى الدوال: جا وجتا وظا وظتا وقا وقتا. في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق الحلول العددية التقريبية التي تم الحصول عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك، وصاغ قانون الجيب للمثلثات المسطحة، كما أنه اكتشف قانون الظل. قام غياث الدين الكاشي بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة (التي أصبحت تطلق عليها الآن "قانون جيب التمام") بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه "مفتاح الحساب"، لذلك، أطلق الفرنسيين على هذا القانون اسم "مبرهنة الكاشي" تكريما له؛ وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛ مع العلم أن هذه المبرهنة تم التعبير عنها سابقًا من قبل العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات؛ قام الكاشي أيضًا بصياغة المتطابقة التالية: formula_11 واستخدمها لحساب جيب الزاوية بوضع formula_12 و formula_13 ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها؛ ووصل إلى 16 منزلة عشرية. هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ"صيغة فييت" ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من أكتشف تلك الصيغة. في حوالي 1440، وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية أولوغ بيك جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.
لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كيو علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c: formula_14
النهضة الأوروبية وما بعدها.
كانت أطروحات العالم الألماني ريغيومونتانوس (خاصةً كتابه عن المثلثات "De triangulis omnimodis" في 1464) وتعليقاته على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا. علّق في كتابه عن المثلثات:
استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد (1595 – 1632 م) لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".
ربما كان الكتاب "Opus palatinum de triangulis" لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.
أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".
في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب ليست بدالة جبرية ل ، أي أنها دالة متسامية.
كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).
في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنزو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.
الدوال المثلثية التاريخية.
هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم "الجيب المنكوس") وسهم التمام ونصف السهم، القاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.
وحدات قياس الزوايا.
الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا، يرمز لها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة علوية.
الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها راديان.
الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يرمز لها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير علوي.
الدورة: تعادل أو راديان.
دقيقة وثانية القوس: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية.
تشير كلمة كردية إلى :
سعيد بن الْمُسَيِّبِ (15 هـ - 94 هـ) تابعي مدني، المُلقّب بـ «عالم أهل المدينة»، وبـ «سيد التابعين» في زمانه، وأحد رواة ، وأحد فقهاء المدينة السبعة من التابعين.
ولد أبو محمد سعيد بن المسيب بن حزن بن أبي وهب المخزومي سنة 15 هـ في المدينة المنورة في خلافة عمر بن الخطاب، وهو قرشي مخزومي النسب. أسلم أبوه المسيب وجده حزن، وكانت لهما صحبة، وكان أبوه المسيب ممن حضر بيعة الشجرة، أما جده فكان ممن قُتل يوم اليمامة. وأم سعيد هي أم سعيد بنت حكيم بن أمية بن حارثة بن الأوقص السُّلَميّة. نشأ سعيد في المدينة المنورة، واجتهد في طلب العلم من علمائها، فسمع من زيد بن ثابت وسعد بن أبي وقاص وعبد الله بن عباس وابن عمر، وسمع من زوجات النبي محمد عائشة بنت أبي بكر وأم سلمة، كما سمع من عثمان بن عفان وعلي بن أبي طالب وصهيب الرومي ومحمد بن مسلمة، وكان يسير الأيام والليالي في طلب الحديث الواحد، ولزم أبو هريرة وسمع منه، وتزوج من ابنته، فأصبح سعيد أعلم الناس بحديث أبي هريرة، وكانت معظم رواية سعيد للحديث عن أبي هريرة، كما لزم عمر بن الخطاب في صباه، حتى سُمّي «راوية عُمر» لأنه كان أحفظ الناس لأحكامه وأقضيته، فكان عبد الله بن عمر يُرسل إلى ابن المسيب يسأله عن بعض شأن عمر وأمره. فعلا قدر سعيد بين أهل العلم، وأصبح وجهة لطُلاّب العلم يستقون من علمه، فذكره مكحول قائلاً: ، ووصفه بعالم العلماء. ورغم علمه بالحديث النبوي، إلا أن سعيد بن المسيب كان يعزف عن تفسير القرآن. كما كان يحب أن يسمع الشعر، وكان لا ينشده
جلوسه للفتوى.
كان سعيد بن المسيب يتتبع المسائل والفتاوى حتى قال: ، فكان يُفتي والصحابة أحياء، وقد شهد له ابن عمر بقوله: ، كما كان إذا سُئل عن شيء، فيُشكِلُ عليه يقول: ، وقال علي بن الحسين عن سعيد: ، وقال قتادة: ، كما عدّه سليمان بن موسى أفقه التابعين. فأصبح سعيد مُقدّمًا في الفتوى في زمانه، ولُقّب بـ «فقيه الفقهاء»، فما كان عمر بن عبد العزيز حين تولى إمارة المدينة المنورة يقضي بقضية، حتى يسأل سعيد بن المسيب. وقد ذكر يحيى بن سعيد الأنصاري أنه لو مهابة الناس في عهده تدوين الحديث والفقه، لكتب الناس من علم سعيد ورأيه في المسائل الكثير. اعتمد سعيد بن المسيب في منهجه الفقهي على القرآن والسُنّة والإجماع والقياس، فإن لم يجد فيها حُكمًا، تخيّر من أقوال الصحابة. كما امتاز سعيد بن المسيب بميزة القدرة على تعبير الرؤى التي اكتسبها من أسماء بنت أبي بكر، التي أخذتها أسماء عن أبيها.
كان سعيد بن المسيب شديدًا في الحق، لا يماليء الحكام ولا يسكت عن خطاياهم، وكان يقول: ، فكانت بينه وبين الأمويين خصومة لما رأى من سوء سيرتهم، وكان لا يقبل عطاءهم المفروض له في بيت المال حتى جاوز بضع وثلاثون ألفًا، وكان يدعى إليها فيأبى ويقول: ، وكان سعيد يدعو عليهم في صلاته. وقد بادله بنو مروان العداء، حتى نهوا الناس عن مجالسته في المسجد. وقد حاول الأمويون استمالة سعيد بن المسيب، فخطب الخليفة عبد الملك بن مروان ابنة سعيد لولده الوليد، فأبى سعيد، وزوّجها لفتى من قريش يُدعى «كثير بن عبد المطلب بن أبي وداعة السهمي» بمهر قدره درهمين.
تعرّض سعيد بن المسيب لمحنتين كبيرتين، الأولى حين استعمل عبد الله بن الزبير جابر بن الأسود بن عوف الزهري على المدينة، فدعا الناس إلى البيعة لابن الزبير، فقال سعيد بن المسيب: . فضربه جابر ستين سوطًا، فبلغ ذلك ابن الزبير، فكتب إلى جابر يلومه، ويقول: . والثانية، بعد أن توفي عبد العزيز بن مروان، حيث عقد عبد الملك بن مروان لابنيه الوليد وسليمان بالعهد، وكتب بالبيعة في الولايات، ودعا ولاته لأخذ البيعة من الناس. حينئذ، دعا هشام بن إسماعيل المخزومي والي المدينة المنورة سعيد لمبايعتهما، فأبى. فضربه هشام ستين سوطًا، وطاف به المدينة، ثم سجنه، وأرسل إلى عبد الملك ينبأه برفض سعيد البيعة. فكتب عبد الملك لهشام يلومه، ويأمره بإطلاقه. وأمر عبد الملك قبيصة بن ذؤيب بأن يكتب لسعيد معتذرًا، فقال سعيد حين قرأ الكتاب: .