CALM/arwiki huggingface dataset:
الإثبات الأصلي الذي قدمه أويلر يعتمد على مفكوك تايلور للدالة الأسية "e""z" (حيث "z" عدد مركب)، ودالة الجيب sin "x"، وجيب التمام cos "x" لأي عدد حقيقي "x" (سيتم تناول الإثبات أدناه)، في الحقيقة هذا الإثبات يبين أن صيغة أويلر صحيحة لكل عدد مركب  "z".
أي نقطة في المستوى المركب من الممكن أن تمثل بعدد مركب مكتوب في صورة إحداثيات ديكارتية، تقدم صيغة أويلر وسيلة للتحويل من هذه الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، مما يقلل الحدين إلى حد واحد، وهذا بدوره يبسط عمليات ضرب أو قسمة الأعداد المركبة، كما يبسط رفعها لأي قوى. أي عدد مركب "z" = "x" + "iy" من الممكن أن يكتب على الصورة:
الجزء الحقيقي :formula_7
الجزء التخيلي :formula_8
formula_11 تعني سعة العدد المركب "z"; أي الزاوية بين الاتجاه الموجب لمحور السينات والمتجه "z"، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة وبالتقدير الدائري، هذه الزاوية لا يحدث لها تغير إذا أضيف إليها 2π؛ ذلك أن الزاوية الناتجة ستكون مكافئة للزاوية الأصلية. عندما تكون "x" ≤ 0 يجب تعديل formula_11 بحسب الربع الذي تقع فيه.
من العلاقة السابقة يتبين أن صيغة أويلر من الممكن أن تستخدم في إيجاد لوغاريتم عدد مركب، مع الأخذ في الاعتبار أن اللوغاريتم هو عملية عكسية لعملية الرفع للأسس كالتالي
كما أن
وكلاهما صحيحان لأي عددين مركبين "a" و"b".
وهكذا يمكن من كتابة ما يلي:
وبأخذ لوغاريتم الطرفين فإن:
وهذه الصيغة من الممكن أن تستخدم باعتبارها تعريف اللوغاريتم المركب، وهكذا فإن لوغاريتم عدد مركب هو دالة متعددة القيم؛ نتيجة أن formula_17 متعددة القيم.
واخيرًا قانون الأس الذي ينص على أن
والذي من الممكن أن تثبت صحته لكل عدد صحيح "k"، من الممكن أن يستخدم، إلى جانب صيغة أويلر، لتوليد عدة متطابقات مثلثية، ذلك إلى جانب إثبات صيغة ديموافر.
العلاقة بحساب المثلثات.
تبين صيغة أويلر الاتصال القوي بين التحليل الرياضي وحساب المثلثات، كما تقدم تفسيرًا لدالتي الجيب وجيب التمام في صورة مجاميع مرجحة للدالة الأسية.
المعادلتان أعلاه يمكن أن تُشتقا من جمع وطرح صيغتي أويلر التاليتين:
ويمكن لهاتين الصيغتين أن تُستخدما كتعريف للدوال المثلثية ذات السعة المركبة أو التخيلية. على سبيل المثال، بوضع "x" = "iy" في المعادلتين ينتج أن:
الأسس المركبة قد تساعد أيضًا في تبسيط حساب المثلثات؛ لأنها يسهل التعامل معها رياضيًا عن التعامل مع المركبات الجيبية، أحد الوسائل إلى ذلك ببساطة هو تحويل الدوال الجيبية (الجيب وجيب التمام) إلى تعبيرات أسية مكافئة لها، ثم إجراء العمليات الرياضية على هذه التعبيرات لوضعها في أبسط صورة ممكنة، هذه الصور المبسطة الناتجة تظل حقيقية القيمة، فمثلاً :
هناك وسيلة أخرى لتبسيط الدوال الجيبية، وذلك عن طريق تمثيلها بدلالة الجزء الحقيقي من الدالة الأسية المركبة في صورة مناسبة، ثم إجراء العمليات الرياضية اللازمة لتبسيط هذا الصورة، وفي النهاية يُؤخذ الجزء الحقيقي منها ويُهمل الجزء التخيلي. مثلاً :
تستخدم أحيانًا الدالة "e""ix" عند حل المعادلات التفاضلية لتبسيطها، وإن كان الحل الأخير دائمًا ما يكون في صورة دالة حقيقية تتضمن الجيب وجيب التمام. السبب للجوء إلى هذا الاستخدام هو كون الدالة الأسية دالة ذاتية "eigenfunction" في التفاضل. صيغة أويلر أيضًا تعتبر الأساس لمتطابقة أويلر؛ إذ أن الأخيرة هي نتيجة مباشرة من الأولى.
وفي الهندسة الكهربية ومجالات أخرى، فإن الإشارات التي تتغير تغيرًا دوريًا مع الزمن يعبر عنها بدلالة الجيب أو جيب التمام أو مجموعة مؤلفة منهما معًا (انظر تحليل فورييه)، ويكون من الملائم التعبير عنها بدلالة الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي من الدالة الأسية ذات الأس التخيلي (الدالة الأسية التخيلية أو المركبة)؛ وذلك بالاستعانة بصيغة أويلر. أيضًا تستخدم صيغة أويلر في التحليل الطوري للدوائر الكهربية، وذلك لتمثيل معاوقة مكثف أو ملف حث.
تعريفات الدالة الأسية المركبة.
الدالة الأسية "ex" لأي قيمة حقيقية "x" من الممكن التعبير عنها بصور ليست كثيرة مكافئة لها (انظر خصائص الدالة الأسية)، والعديد من هذه الصور من الممكن أن تستغل في الحصول على تعريفات للدالة "ez" للقيم المركبة "z"، وذلك عن طريق استبدال "x" بالعدد المركب "z"، ثم إجراء العمليات الجبرية الممكنة في الأعداد المركبة، التعريفان المكافئان التاليان، على وجه الخصوص، من الممكن أن يستخدم أحدهما لتعريف الدالة الأسية المركبة.
باستخدام متسلسلة القوى.
لكل عدد مركب "z"
باستخدام اختبار النسبة من الممكن توضيح أن متسلسلة القوى هذه لها نصف قطر تقارب لا متناه، ومن ثم فإنها تعرِّف الدالة "ez" لكل الأعداد المركبة "z".
باستخدام النهايات.
من الممكن برهنة الصيغة بعدة طرق.
فيما يلي برهان صيغة أويلر باستخدام مفكوك متسلسلة القوى بالإضافة إلى حقائق أساسية عن رفع الوحدة التخيلية "i" لأي أس:
وهكذا...
وباستخدام متسلسلة القوى المذكورة أعلاه، نجد أنه لأي قيمة حقيقية "x"
في الخطوة الأخيرة استُعوِض بمتسلسلتي تايلور لدالتي الجيب وجيب التمام بقيمتهما: ("sin(x" و ("cos(x"، ويلاحظ أن إعادة ترتيب الحدود مبرر لأن كل متسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا.
باستخدام حساب التفاضل والتكامل.
باعتبار "i" ثابتًا، وليكن ثابتًا تخيليًا، لاحظ أن
وبافتراض أن
إذن باستخدام قاعدة الضرب يمكن إيجاد مشتقة (ƒ("x" كالتالي:
بما أن مشتقة (ƒ("x" تساوي صفرًا فلابد أن تكون (ƒ("x" دالة ثابتة في "x"؛ أي أن قيمة الدالة لا تتغير عند جميع قيم "x"، ولما كانت ƒ(0) = 1 (وذلك بالتعويض عن "x" = 0 في الدالة الأصلية) تكون ƒ("x") = 1، ومن ثم فإن.
بضرب الطرفين في (cos "x" + "i" sin "x")، نحصل على
باستخدام المعادلات التفاضلية.
نفترض أن (ƒ("x" دالة في المتغير الحقيقي"x" بحيث
بإجراء عملية التفاضل للطرفين بالنسبة إلى "x"
وهكذا يتضح أن (ƒ("x" و"eix" يحققان نفس المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى.
دائرة الوحدة أو الدائرة المثلثية هي دائرة نصف قطرها يساوي الواحد في الرياضيات. وهي تسهل علينا حسابات رياضية كثيرة تعتمد على حساب المثلثات حيث أن الوتر فيها يساوي 1.
تستخدم هذه الدائرة في حساب المثلثات حيث يكون مركزها يقع في نقطة المبدأ لنظام الإحداثيات الديكارتية، وطول نصف قطرها يساوي الواحد.
يرمز لدائرة الوحدة في المستوي الإقليدي بالرمز "S"1　والتعميم للأبعاد الثلاثية ينتج كرة الوحدة. وهي تستخدم في وصف ظواهر طبيعية كثيرة مثل الانتشار "الكروي" لأشعة الشمس أو لأشعة النجوم، وكذلك في حل مسائل تصادم الجسيمات الأولية أو تشتتها أو انتشار الصوت حول مصدر للصوت.
التوابع المثلثية على دائرة الوحدة.
من الممكن تعريف التوابع المثلثية على دائرة وحدة على الشكل التالي:
إذا كانت النقطة ("x", "y") هي نقطة على دائرة الوحدة، وكان الشعاع الذي مبدأ النقطة (0, 0) إلى النقطة ("x", "y") تشكل زاوية "t" مع محور "x"
الموجب (حيث الاتجاه هو اتجاه عكس عقارب الساعة) عندها يكون:
وبما أن معادلة الدائرة هي:
"x"2 + "y"2 = 1
ينتج لدينا العلاقة
لاحظ أن cos2(t)=(cos(t))2.
وتساعد دائرة الوحدة على إدراك ان تابع الجيب وتابع جيب التمام هي توابع دورية بالشكل
من أجل أي قيمة للعدد الصحيح "K".
سنة 431 م (بالأرقام الرومانية: CDXXXI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الخميس (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب431 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 430 م (بالأرقام الرومانية: CDXXX) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأربعاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب430 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 429 م (بالأرقام الرومانية: CDXXIX) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الثلاثاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب429 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 428 م (بالأرقام الرومانية: CDXXVIII) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الأحد (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب428 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 427 م (بالأرقام الرومانية: CDXXVII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم السبت (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب427 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 426 م (بالأرقام الرومانية: CDXXVI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الجمعة (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب426 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 425 م (بالأرقام الرومانية: CDXXV) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الخميس (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب425 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 424 م (بالأرقام الرومانية: CDXXIV) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الثلاثاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب424 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم [[أنو دوميني]] هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
[[تصنيف:424]]
سنة 423 م (بالأرقام الرومانية: CDXXIII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الإثنين (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب423 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 422 م (بالأرقام الرومانية: CDXXII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأحد (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب422 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 421 م (بالأرقام الرومانية: CDXXI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم السبت (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب421 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 420 م (بالأرقام الرومانية: CDXX) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الخميس (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب420 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 419 م (بالأرقام الرومانية: CDXIX) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأربعاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب419 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 418 م (بالأرقام الرومانية: CDXVIII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الثلاثاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب418 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 417 م (بالأرقام الرومانية: CDXVII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الإثنين (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب417 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 416 م (بالأرقام الرومانية: CDXVI) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم السبت (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب416 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 415 م (بالأرقام الرومانية: CDXV) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الجمعة (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب415 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 414 م (بالأرقام الرومانية: CDXIV) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الخميس (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب414 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 413 م (بالأرقام الرومانية: CDXIII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأربعاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب413 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 412 م (بالأرقام الرومانية: CDXII) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الإثنين (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب412 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 411 م (بالأرقام الرومانية: CDXI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأحد (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب411 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 410 م (بالأرقام الرومانية: CDX) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم السبت (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب410 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 409 م (بالأرقام الرومانية: CDIX) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الجمعة (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب409 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 408 م (بالأرقام الرومانية: CDVIII) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الأربعاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب408 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 407 م (بالأرقام الرومانية: CDVII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الثلاثاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب407 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 406 م (بالأرقام الرومانية: CDVI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الإثنين (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب406 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 405 م (بالأرقام الرومانية: CDV) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأحد (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب405 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 404 م (بالأرقام الرومانية: CDIV) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الجمعة (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب404 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 403 م (بالأرقام الرومانية: CDIII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الخميس (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب403 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 402 م (بالأرقام الرومانية: CDII) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الأربعاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب402 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 401 م (بالأرقام الرومانية: CDI) كانت سنة بسيطة تبدأ يوم الثلاثاء (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب401 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
سنة 400 م (بالأرقام الرومانية: CD) كانت سنة كبيسة تبدأ يوم الأحد (الرابط يظهر نموذج الجدول الزمني الكامل للسنة) من التقويم اليولياني. بدأت تسمية السنة ب400 منذ العصور الوسطى المبكرة، عندما أصبح تقويم أنو دوميني هو الأسلوب السائد في أوروبا لتسمية السنوات.
قابلية التحكم خاصية من خصائص النظم. وهو مصطلح أساسي ويستعمل كثيرا في علم الضبط ونظرية النظم.
نقول أن النظام
حيث x هي حالات النظام و u مداخله قابل للتحم إذا كان يوجد لكل
formula_2 ولكل formula_3 مدخل u بحيث
معنى التعريف.
يعني التعريف المذكور أعلاه أنه من الممكن تحريك أو تغير حالة النظام إلى أي حالة نريدها.
كيفية معرفة إن كان نظام قابل للتحكم في النظم الخطية.
لنفترض أنه لدينا نظام خطي على الشاكلة التالية:
formula_1 وformula_6.
حيث A B C و D مصفوفات. A تصف حركية النظام. B تصف تفاعل المداخل مع النظام. المصفوفة C تعطينا الحالات الظاهرة للنظام أي ما نراه من حالات النظام عند المخارج. أما المصفوفة D فهي تظهر تفاعل المداخل المباشر مع المخارج. إذن لنعتبر النظام المذكور أعلاه. ولنعتبر أن المصفوفة A تنتمي إلى formula_7 (أي أنها عبارة عن n سطر و n عمود). فإنه حتى يكون النظام قابلا للتحكم يجب على المصفوفة S أن لا تكون منقوصة الدرجة، أي أن محدد المصفوفة S يجب أن لا يكون صفرا formula_8. حيث المصفوفة S تكون كما يلي:
في بعض الأحيان تكون معرفة إن كان نظام قابل للتحكم أسهل من الطريقة المذكورة أعلاه. ففي حالة نظام تكون مصفوفته A ركنية diagonal أي أن المصفوفة تحتوي على أصفر إلا الدياغونال أي أنها تكون على الشاكلة التالية:
. وفي حالة أن
فإنه حتى يكون النظام قابلا للتحكم يجب أن يكون كل ال formula_12 ففي هذه الحالة الشعاع b يعطينا تفاعل المدخل مع حركية النظام فإذا كان أحد ال formula_13 صفرا فإننا لن نتمكن من التأثير على حركية النظام المربوطة به وتدعى أيضا الحركة الذاتية المربوطة به modes of the systems. مثلا إذا كان formula_14 فإنه لا يمكنا التأثير على الحركة الذاتية التابعة للقيمة الذاتية formula_15
قابلية التحكم في الأنظمة اللاخطية.
بالنسبة للأنظمة اللاخطية فإن البرهنة على قابلية التحكم أصعب منها في الأنظمة الخطية وهي عادة مقرونة أو محدودة بمجال معين على عكس البرهان في نظام خطي حيث أنه إذا تم البرهنة على قابلية التحكم فإن ذلك البرهان صالح لكامل مجال تحرك النظام. حين يمكن البرهنة على أن النظام منبسط فإنه في هذه الحالة قابل للتحكم في كامل المجال.
كما أنه يجب توخي الحذر عند دراسة النظام المخطط المشتق من النظام الأصلي اللاخطي. حيث أنه إذا كان النظام المخطط قابلا للتحكم حول نقطة معينة فإن النظام اللاخطي أيضا قابل للتحكم في مجال محدود حولها. أما إذا كان النظام المخطط غير قابل للتحكم فإنه لا يمكن القيام بأي استنتاج في ما يخص النظام اللأصلي اللاخطي حيث أنه يمكن أن يكون رغم ذلك قابل للتحكم.
قابلية الاستقرار.
مصطلح قابلية الاستقرار هو المحك ّ الأضعف شدّة بالمقارنة بقابلية التحكم (controllability) . فإن ّ نظام ٌ يـُـحتم أو يـُـعيـّـن بأن يكون قابل للإقرار (stabilizable) إذا جميع الحالات اللاقابلة للتحكم (all uncontrollable states) تـُـظـْـهــِــر ديناميكا مستقرّة . فلذلك، مع أن ّ في هذه الظروف بعض الأحوال لا تسمح أن تـُـحــَـكـّـــَـم (على حسب ما يـُـحتم منها بما يـُـسـمـّـى باختبار قابلية التحكم (controllability test)) جميع الأحوال ستبقى مـُـحـَـاتــَـمـَـة (bounded) عندما يـُـراقب تصرّف النظام عبر الزمن .
قابلية المراقبة (أو المراقبية) خاصية من خصائص النظم. وهو مصطلح أساسي ويستعمل كثيرا في علم الضبط ونظرية النظم. إذا كان نظام ما قابل للمراقبة فإن ذلك في نظرية النظم يعني عامة أنه يمكنك عن طريق معرفة الحالة الراهنة للنظام استنتاج أو حساب الحالات السابقة للنظام.
وصف رياضي.
formula_2.
حيث A B C و D مصفوفات.
A تصف حركية النظام. B تصف تفاعل المداخل مع النظام. المصفوفة C تعطينا الحالات الظاهرة للنظام أي ما نراه من حالات النظام عند المخارج. أما المصفوفة D فهي تظهر تفاعل المداخل المباشر مع المخارج.
إذن لنعتبر النظام المذكور أعلاه. ولنعتبر أن المصفوفة A تنتمي إلى formula_3 (أي أنها عبارة عن n سطر و n عمود). فإنه حتى يكون النظام قابلا للمراقبة يجب على درجة المصفوفة P أن تكون n, أي أن محدد المصفوفة P يجب أن لا تكون صفرا
formula_4. حيث المصفوفة P تكون كما يلي:
قابلية الاكتشاف خاصية من خصائص النظم. وهو مصطلح أساسي ويستعمل كثيرا في علم الضبط ونظرية النظم.
ويعني أن كل حركات النظام غير المستقرة قابلة للملاحظة.
الأوديسة هي واحدة من ضمن ملحمتين إغريقيتين كبريين منسوبتين إلى هومر. وهي جزئياً تتمة لملحمة الإلياذة المنسوبة هي الأخرى إلى هومر. وتعد ركناً رئيساً للأدب الغربي الحديث، فهي ثاني أقدم عمل أدبي انتجته الحضارة الغربية، بينما الإلياذة هي الأقدم. يعتقد العلماء أن الأوديسة أُلفت بنهاية القرن الثامن قبل الميلاد.، في منطقة ايونيا اليونانية الساحلية في الأناضول.
تركز القصيدة على البطل الإغريقي، أوديسيوس، الذي كان معروفاً باسم أوليس في أساطير الرومان، وكان ملك مدينة إيثاكا، وتركز أيضاً على رحلته لبلاده بعد سقوط طروادة. واستغرقت رحلته للوصول إلى إيثاكا عشر سنوات بعد حرب طروادة التي دامت لعشر سنين. وفي غيابه، وكان يُحسب أنه قد مات خلال فترة غيابه، فكان على زوجته بينلوب وابنه تليماتشوس التعامل مع مجموعة من الخاطبين العنيدين الذين كانوا يتنافسون لخطبة يد بينلوب.
كانت الأوديسة ولازالت تقرأ منذ عصر هومر، وتم ترجمتها للعديد من اللغات المعاصرة في أنحاء العالم. ويعتقد الكثير من العلماء أن القصيدة الأصلية ألفها، الشاعر والمغني اويدوس، كتقليد يتداول شفهياً على الأرجح، ويتلوها أحد الذين يمتهنون الإلقاء، فكان المقصود أن تسمع أكثر من أن تقرأ. فتفاصيل الإلقاء قديماً وتحول القصيدة لعمل مكتوب، لازالت محل جدل المختصين. فقد كتبت الأوديسة كحوار شعري إغريقي، وتحتوي على 12,110 سطر سداسي التفعيل. وما يثير الانتباه أن سير أحداث القصيدة غير خطي ومتتابع، وتأثر الأحداث بقرارات اتخذها النساء والعبيد، بجانب الرجال المقاتلين. فأصبحت كلمة الأوديسة في اللغة الإنجليزية وعدة لغات تعني الرحلة الملحمية.
للأوديسة تتمة مفقودة وهي التليجونية، والتي لم يكتبها هومر بل كانت تنسب قديماً لسيراثون الذي ينحدر من إسبرطة. ويشير أحد المراجع، إلى أن التليجونية سرقها يواجمون القوريني، والتي ينحدر من قورينا التي هي الآن في ليبيا.
تبدأ قصة الأوديسة بعد نهاية ملحمة الإلياذة. وتروي قصة عودة أحد أبطال الإلياذة وهو أوديسيوس ملك إيثاكا الذي من المعروف عنه أنه صاحب فكرة حصان طروادة. كما تروي قصة الملحمة بينيلوبي زوجة أوديسيوس.
تبدأ الملحمة بنهاية حصار طروادة وبدء عودة المحاربين إلى بيوتهم، لكن بسبب غضب إله البحر بوسايدن على أوديسيوس، تمتلئ رحلته بالمشاكل التي يضعها في طريقه بوسايدن أو بسبب تهور بحارته.
يبقى في رحلته مدة عشر سنوات يواجه خلالها الكثير من المخاطر، وطوال هذه الفترة تبقى زوجته بينيلوبي بانتظاره، ممتنعة عن الزواج، رغم العروض الكثيرة التي تتلقاها، خاصة بعد وصول أغلب المحاربين في حرب طروادة ما عدا زوجها. تنتهي الملحمة بوصوله إلى إيثاكا وقيامه بالانتقام من الذين اضطهدوا زوجته بتلك الفترة.
خط الرحلة.
مر أوديسيوس بالمناطق التالية، وتم وضع ما يُظن أنها الأسماء الحالية:
تفاصيل الأحداث.
الأحداث هنا مرتبة حسب الملحمة:
جزيرة أوجيجيا.
حيث تبدأ الملحمة يكون فيها أوديسيوس سجينا للحورية كاليبسو لمدة 7 سنوات. ثم يقرر زيوس، أنه آن أوان عودة أوديسيوس إلى زوجته بينيلوبي في إيثاكا. فيرسل هرمس الذي يحرر أوديسيوس.
جزيرة كورفو.
يصل إليها أوديسيوس بعد تركه للحورية، حيث يستقبله فيها الملك، ويقوم أوديسيوس برواية ما حدث معه.
لوتوفاجي.
في هذه الجزيرة يقدم سكانها زهرة اللوتس لكن تكون من نوع خاص لأوديسيوس وبحارته، فهذه الزهرة تجعل آكليها ينسون كل شيء، ويتذكرون فقط أن هذه الجزيرة هي وطنهم. أراد بعض رجاله الذين أكلوا منها البقاء مع أكلة اللوتس. لكن أوديسيوس أجبرهم على الذهاب معه.
كوما.
يقع أوديسيوس ورجاله أسرى لدى بوليفميوس ابن بوسيدون، وهو عملاق بعين واحدة يطلق عليه اسم سيكلوب. وقد تمكنوا من الهرب بعد أن فقؤوا عين سيكلوب، وهذه الحادثة أدت إلى زيادة غضب بوسيدون عليهم..
الساحرة تسيرس.
بعد عدة مغامرات، رست السفينة التي كانت تحمل أوديسيوس ورجاله في جزيرة الساحرة تسيرس. التي قامت بتحويل رجال أوديسيوس إلى خنازير وجعلت من أوديسيوس عشيقا لها. نجا أوديسيوس منها بمساعدة من هرمس مبعوث الأوليمب الذي قام بإعطائه عشبة خاصة لها زهرة بيضاء وجذور سوداء اسمها " مولي " تمنع تأثير السائل السحري الذي يحول من يتناوله إلى حيوان.
مضيق مسينا.
حيث يوجد في ذلك المضيق كل من سيلا، عين كاريدي.
خسر أوديسيوس الكثير من رجاله عند هذا المضيق.
جزيرة الأيوليين.
يقوم البحارة بفتح جرة كانت قد أعطيت لهم من قبل ملك هذه الجزيرة. وتحتوي هذه الهدية على الرياح التي قام زيوس بحبسها. وتدمر العديد من السفن بسبب هذه الرياح.
جزيرة كابري.
حيث توجد السيرينات " عرائس البحر " ينشدن أغاني ساحرة للغاية بأصوات لا يمكن وصفها ومن يذهب اليهن يبقي بجوارهن مدي الحياة، قام أوديسيوس بالنجاة عن طريق وضع الشمع في أذان البحارة، وقام بربط نفسه إلى الصارية كي يسمع أصواتهن دون أن يذهب إليهن.
صقلية.
كانت صقلية أو مدينة الشمس هي المكان الذي يحتفظ به أبولو (إله إغريقي) بقطعان أغنامه. حذر أوديسيوس بحارته من الاقتراب من الأغنام. لكنهم قاموا بذبح بعضها وأكله.
كان عقاب أبولو شديدا، فقام بتحطيم السفن بعاصفة رعدية، وبعد هذا العاصفة وصل إلى جزيرة أوجيجا، حيث بداية الملحمة.
حذرت أثينا أوديسيوس من النبلاء الموجودين حول منزله، فعاد متنكرا إلى بيته. قام بعدها بوليمة لجميع النبلاء انتهت بمقتلهم جميعا بقوسه الذي لا يقدر على استعماله سواه.
قصة بنلوب.
تروي الملحمة بشكل متقطع، قصة بنلوب زوجة أوديسيوس. قام بعض النبلاء بمحاصرة قصرها، ومطالبتها بالزواج من أحدهم، وعرضوا الكثير عليها.
قامت بإقناعهم بالانتظار حتى تنتهي من خياطة ثوب العرس. فكانت تقوم بحياكته في النهار أمامهم، أما في المساء فتقوم بحل ما حاكته. منتظرة عودة زوجها أوديسيوس. عندما عاد أوديسيوس، قامت بإعطائه قوسه، فقام بجمع النبلاء إلى وليمة وقتلهم.
الأولمبياد هي تسمية يونانية قديمة لفترة زمنية مدتها أربع سنوات، تقام فيها سلسلة من المنافسات في اليونان القديمة، إذ كان يطلق على الفترة الزمنية بين دورتين من تلك الألعاب اسم أولمبياد.
يستخدم هذا التعبير الزمني في الألعاب الأولمبية الحديثة، إذ تسمى بالألمبياد، والتي تبدأ من بداية السنة الميلادية في 1 كانون الثاني/يناير والتي ستقام فيها الألعاب الأولمبية الصيفية باسم أولمبياد. فعلى سبيل المثال، وفق التاريخ الحديث، كان أول أولمبياد بين سنتي 1896 و 1900؛ بالتالي فسنة 2016 تمثل الأولمبياد الحادي والثلاثين.
المقدم أحمد حسين الغشمي رئيس الجمهورية العربية اليمنية في الفترة من 1977 – 1978. ولد في ضلاع همدان، إحدى ضواحي صنعاء عام 1941 ، التحق بالقوات المسلحة بعد قيام ثورة 26 سبتمبر ، وتولى مهام ومسئوليات قيادية عسكرية كرئيس لأركان حرب فوج، وقائدا للمحور الغربي ثم الشرقي، واللواء الأول مدرع.
أسهم بدور رئيسي في انقلاب 13/6/1974 ضد عبد الرحمن الأرياني ، وتولى منصب رئيس الأركان ثم نائبا لرئيس مجلس القيادة(رئاسة الدولة).
عرف بقربه من السعودية (دعى ذات تصريح إلى الوحدة مع السعودية) وعارض محاولات الرئيس الحمدي للتقليل من التأثير السعودي في اليمن.
خلف الغشمي إبراهيم الحمدي في رئاسة الجمهورية العربية اليمنية لأقل من سنة واحدة .
اغتيل بقنبلة يوم24 حزيران 1978
اغتيل الغشمي في مكتبه في القيادة العامة للجيش في 24 يونيو 1978؛ إثر انفجار حقيبة ملغومة - حملها إليه من عدن: (مهدي أحمد صالح) المشهور بتفاريش، مبعوث رئاسي من سلطات الحكم في عدن - في ظروف غامضة؛ وجّهت فيها أصابع الاتهام لأكثر من طرف في قيادة الحزب (الاشتراكي) في عدن، وإثر ذلك عقدت جامعة الدول العربية اجتماعًا طارئًا - على مستوى وزراء الخارجية العرب - هدف إلى اتخاذ موقف عربي ضد نظام الحكم في عدن؛ لضلوعه في عملية الاغتيال، وقد أعلنت خمس عشرة دولة عربية قطع علاقاتها الدبلوماسية مع حكومة عدن إثر ذلك الحادث.