CALM/arwiki huggingface dataset:
المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فمتعددات الحدود من الدرجة ≤"n" على سبيل المثال، بمعاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً.
تدرس الفضاءات المتجهية في إطار الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي ببُعده. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى كالمعيار والجداء الداخلي.
تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار الهندسة التحليلية والمصفوفات والمعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال.
حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات والعلوم والهندسة، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور، ولتقنيات حلحلة المعادلات التفاضلية الجزئية. انظر أيضا إلى موتر ومتعدد شُعب وجبر تجريدي.
مقدمة وتعريف.
المثال الثاني: أزواج مرتبة من الأعداد.
المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية formula_1 و formula_2 (الترتيب الذي جاءا فيه العددانformula_1 و مهم يعني بصفة "عامة"formula_4. لهذا السبب سمي هذا الزوج بزوج مرتب).
تعريف شامل.
لتكن formula_7 مجموعة من العناصر (ليس بالضرورة أعداد) مزودة بقانون تركيب داخلي يرمز له بـ formula_8 (ليس بالضرورة الجمع المألوف)
وليكن formula_9 حقل تبادلي (استعملت الرموزformula_10و formula_11 لكي لا يتم الخلط بينها وبين formula_8و formula_13 لكنها لا تعدو كونها مجرد رموز)
نعرف الفضاء المتجهي على أنه مجموعة formula_7 مزودة بـ
حيث تحقق الخاصيات التالية :
نقول أن formula_20هو فضاء متجهي معرف على formula_21
تنبثق الفضاءات المتجهية من الهندسة التآلفية، من خلال تقديم الإحداثيات في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حوالي عام 1636، أسس كل من ديكارت وفيرما الهندسة التحليلية، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من منحنى في المستوى من جهة ثانية.
عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس فضاءات الدوال من طرف هنري لوبيغ.
الأعداد العقدية وامتدادات حقول أخرى.
مجموعة الأعداد العقدية C تكوّن فضاء متجهيا:
هو فضاء متجهي على الحقل C
حيث + هو الجمع بين الاعداد العقدية المألوف
و . هو الضرب المألوف بين العداد العقدية
يمكنك التحقق بنفسك ( كتمرين ) من أن هاذان القانونين + و . يحققان بدهيات الفضاء المتجهي
انظر أيضا إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية
فضاءات الدوال.
انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية.
التطبيقات الخطية والمصفوفات.
المصفوفات.
حيث formula_29 تعني الجمع.
في الرياضيات, التحويل الخطي أو التطبيق الخطي هو مصطلح يستخدم في الجبر الخطي. وهو يشير إلى خريطة المسافات بين ناقلات الطرفين على نفس الهيئة التي لا يهم ما إذا كان يتم إضافة متجهين معا أولا وبعد ذلك ترسيم المجموع بواسطة الدالة، أو موجهات وثم تحديد مجموع الصور. الشيء نفسه ينطبق على الضرب من قبل العددية (مثلا عدد حقيقي).
المثال المصور أعلاه يوضح الانعكاس عبر المحور y. الناقل c هو مجموع ناقلات a و b وصورته أي الناقل `c وهذا يعطي `c ، أيضا عند إضافة الصور a و b للناقلات `a و`b.
التعريف والنتائج الأولى.
لتكن V و W الفضاء الاتجاهي عبر حقل رياضي K. التحويل يعتبر تحويلاً خطياً إذا تحققت الشروط الآتية :
الشرطين أعلاه يمكن تلخيصهما في ما يلي:
في الرياضيات، إذا شكّل متجهين زاوية قائمة، يسمّيان متعامدين. وليس شرطًا أن يلتقي المتجهين أو أن يتقاطعا، فيمكن لشارع أن يعامد الطريق السريع الذي يمر فوقه، إذا ما كانا يشكّلان زاوية قائمة.
في الرياضيات، التعامد بالنسبة لمتجهين formula_1 وformula_2 في فضاء الجداء الداخلي formula_3 يتحقق إذا كان جداؤهما الداخلي formula_4 يساوي صفرًا. نمثل هذه الحالة بالتدوين : formula_5.
وفي سياق فضاء المتجهات، فإنّ الفضائين الجزئيين formula_6 وformula_7 في الفضاء formula_3 يكوّنان فضائين جزيين متعامدين إذا كان كل متجه في formula_6 يعامد كل متّّجه في formula_7. وإذا كان formula_7 هو أكبر فضاء جزئي في formula_3 يعامد الفضاء الجزئي formula_6 يطلق على formula_7 اسم "المتمّم المعمامد لـformula_6".
كما ويدعى التحويل الخطّي formula_16 تحويلاً معامدًا إذا كان يحفظ عمليّة الجداء الداخلي، بما معناه أنّه لكل متجهين formula_1 وformula_2 في الفضاء formula_3، يتحقّق:
معنى هذا الشرط هو أنّ التحويل formula_21 يحافظ على الزاوية بين المتجهين formula_1 وformula_2، كما أنّ طول formula_24 مساوٍ لطول formula_1.
في الفضاء الإقليدي.
في الفضاء الإقليدي ثنائي البعد أو ثلاثي البعد، فأن يكون متجهين متعامدين مكافئ لكونهما يكوّنان زاوية قائمة (مقدارها formula_26 أو formula_27 بينهما، وعندها يكون جدائهما النقطي (الداخلي) صفر.
في سياق الفضاء الجزئي الإقليدي، فإنّ المتمّم المعامد لخط مستقيم هو المستوي المعامد له، والعكس صحيح. ولأنّ جميع المتجهات في الفضاء الجزئي تبدأ من نقطة المبدأ أو الأصل، فلكل مستقيم أو مستوي متمّم معامد واحد ووحيد.
في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، فإنّ المتمّم المعامد للخط المستقيم هو المستوي الفائق ، والعكس صحيح. أمّا المتمّم المعامد لمستوي فهو أيضًا مستوي.
وتدعى مجموعة من المتجهات متعامدة بأزواج إذا كان كل زوج متجهات فيها متعامدًا، وتكوّن هذه مجموعة من المتجهات المستقلّة خطيًا، إذا لم تحتو على متّجه الصفر. كما وتدعى هذه المجموعة مجموعة متعامدة معيّرة إذا كانت كل المتّجهات فيها معيّرة أي كلّها من متجهات الوحدة.
تعامد الدوال.
غالبًا ما يعرّف الجداء الداخلي لدالّتين، "f" و"g"، بأنّه:
حيث يعرّف الجداء الداخلي بالنسبة لدالّة الترجيح "w". من هنا، فتكون الدالتان "f" و"g" متعامدتين إذا ما كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا:
كما ويكتب نظيم دالّة وفقًا للجداء الداخلي أعلاه ودالة الترجيح "w" على أنّه:
وتكون متتالية الدوال formula_31:
الجبر متعدد الخطية مجال من الرياضيات، وهو توسعة لطرق الجبر الخطي. فعندما يعتمد بناء الجبر الخطي على مصطلح المتجه ونطور نظرية الفضاء الشعاعي أو الاتجاهي، بالمقابل يعتمد بناء الجبر متعدد الخطية على أساس الموتر ويعمد لتطوير نظرية .
في الرياضيات ، الفضاء التآلفي بنية رياضية مجردة تعمم الخواص الهندسية التآلفية للفضاء الإقليدي . في فضاء تآلفي، يمكن للمرء أن يطرح نقاطاً ليحصل على متجه، أو يجمع متجه مع نقطة ليحصل على نقطة أخرى، لكن لا يمكن جمع نقطتين لعدم وجود نقطة المبدأ.
الفضاء التآلفي الوحيد البعد يدعى الخط التآلفي.
الفضاء الفيزيائي فهو ليس فقط فضاءً تآلفياً بل هو بنية مترية أيضاً وبشكل خاص بنية تشكيلية conformal structure.
في الرياضيات، الفضاء الإسقاطي هو التركيب الأساسي، الناتج عن فضاء اتجاهي ضمن حلقة قسمة معينة، بشكل خاص على حقل معرف ما.
هو إذا تعميم لرمز المستوي الإسقاطي projective plane، الذي يتشكل من فضاء شعاعي ثلاثي الأبعاد.
تعتبر الفضاءات الإسقاطية أساسية في الهندسة الجبرية من خلال حقل الهندسة الإسقاطية الغني الذي طور في القرن التاسع عشر، وأيضا في تشكيل النظرية الحديثة المعتمدة على الجبر التدريجي graded algebra.
في الهندسة الوصفية.
الفراغ الإسقاطي في الهندسة الوصفية، هو الفراغ الذي يعتمد على الفضاء الإقليدي (على سبيل المثال، الخط المستقيم أو السطح المستوي) ولكن بإضافة النقاط اللانهائية. ووفقا للابعاد، فقد نشير إلى خط إسقاط، ومستوى إسقاط، وما إلى ذلك.
تم إدخال مفهوم الفضاء الإسقاطي في القرن السادس عشر لدراسة المنظور الذي تراه العين البشرية. ومن وجهة نظر هندسية، فهو فراغ يتسم بمزايا عديدة بالنسبة للفراغ الإقليدي: في الفراغ الإسقاطي هناك القليل من الحالات الاستثنائية (على سبيل المثال، في المستوى يتقاطع خطان مستقيمان دائمًا) ، ويتم وصف العديد من المفاهيم المعقدة بطريقة تركيبية وبديهية ومنطقية.
في الفيزياء والرياضيات، فضاء منكوفسكي أو زمكان منكوفسكي هو البناء الرياضي الذي تستند اليه نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين. في هذا الفضاء الجديد تندمج الأبعاد المكانية الثلاثة المعروفة مع البعد الزماني لتشكيل عديد تفرع رباعي الأبعاد لتمثيل الزمكان.
فهو يعني الفضاء ذي الأبعاد الأربعة المثالية التي أوجدها أينشتاين. سُمي هذا الفضاء هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.
يرتبط فضاء مينكوفسكي ارتباطًا وثيقًا بنظرية آينشتاين في النسبية الخاصة وهي التركيب الرياضي الأشيع الذي تصاغ عليه النسبية الخاصة. على الرغم من أن المكونات الفردية في المكان والزمان في الإقليديين قد تختلف بسبب تقلص الطول وتمدد الوقت، ستوافق جميع الأطر المرجعية على المسافة الإجمالية في الزمكان بين الأحداث في زمكان مينكوفسكي؛ لأنه يتعامل مع الوقت بشكل مختلف عن تعامله مع الأبعاد المكانية الثلاثة، إذ يختلف فضاء مينكوفسكي عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد.
في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، مجموعة التقايس (الخرائط التي تحافظ على المسافة الإقليدية العادية) هي المجموعة الإقليدية. تُنشأ عن طريق الدوران والانعكاس والانتقال. عندما يُعدّل الوقت بصفته بعداً رابعاً، يضاف المزيد من التحولات في الانتقالات في الوقت وتضاف التعزيزات الغاليلية، فتسمى مجموعة كل هذه التحولات المجموعة الغاليلية. تحافظ جميع التحولات الغاليلية على المسافة الإقليدية ثلاثية الأبعاد. هذه المسافة مكانية بحتة. يُحتفَظ بالفروقات الزمنية بشكل منفصل أيضًا. يتغيّر كل هذا في زمكان النسبية الخاصة، حيث يتشابك الزمان والمكان.
باختصار، يكون زمكان غاليليو وزمكان مينكوفسكي متماثلين عند النظر إليهما على أنهما مشعبات، لكنهما يختلفان عند إضافة المزيد من التركيبات عليهما.
الزمكان الإقليدي رباعي الأبعاد.
أظهر هنري بوانكاريه عامي 1905-1906 أنه إذا اعتبرنا الزمان بعدًا رابعًا وهميًا (آي سي تي) ict، تكون فيه سي  C  هي سرعة الضوء، وآي I هي الوحدة الوهمية، يمكن اعتبار تحويلات لورينتز دورانًا للإحداثيات في فضاء رباعي الأبعاد يمتلك 3 إحدايثات حقيقية ورابعة وهمية تمثّل الوقت بعداً رابع.  في الزمكان الفيزيائي، تحدد النسبية الخاصة أن الكمية
لا تتغير مع تغير الإحداثيات من إطار عطالي لآخر كما هو الحال في تحويلات لوريزتن. سرعة الضوء سي C هنا ثابتة بحسب بوانكاريه. في الفضاء الذي اقترحه الأخير، فتستخدَم إحداثيات المكان ("t", "x", "y", "z") ↦ ("x", "y", "z", "it")، تظهر تحويلات لورينتز كدوران عادي يحفظ الشكل التربيعي
على الفضاء الإحداثي. يعتبر استخدام تسمية الاحداثيات وترتيبها باستخدام نفس التسميات في إحداثيات المكان وإضافة البعد الرابع له (أي الزمان) عملا تقليديًا. مع أن العبارة الواردة أعلاه تجعل التي سبقتها أقرب إلينا، يمكن أن تكون مربكة للبعض، لأن تي t المستخدمة في المعادلة الأولى (إحداثية زمنية) تختلف عن تلك المستخدمة في المعادلة الثانية (الزمن في أنظمة عطالية كما تقيسها ساعات موجودة ضمن النظام نفسه).
تظهر الدورات في المسطحات الممتدة بين متجهي وحدة مكان في فضاء الإحداثيات كما يظهر الزمكان الفيزيائي في الدورات الإقليدية. على الرغم من أن الدورة في المسطحات الممتدة بين متجه مكان واحد ومتجه زمان واحد تعتبر دورانًا في فضاء الإحداثيات، لكن تعتبر تعزيز لورنتز في الزمكان الفيزيائي الذي يمتلك إحداثات عطالية حقيقية، وعليه يصبح التشابه مع الدوران الإقليدي جزئيًا فقط.
توسّع هيرمان مينكوفسكي بهذه الفكرة معيدًا استخدام معادلات ماكسويل في 4 أبعاد مظهرًا ثباتها تحت تحويلات لورنتز. ثم أعاد صياغة نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في 4 أبعاد أيضًا. من هنا استنتج مينكوفسكي أن الزمان والمكان يجب أن يعاملا بالتساوي، فخرج بتصوره للأحداث التي تجري في زمكان رباعي الأبعاد.
فضاء مينكوفسكي.
في تطور آخر في محاضرته «الفضاء والوقت» عام 1908، قدم مينكوفسكي صياغة بديلة لهذه الفكرة التي استخدمت تنسيقًا حقيقيًا في الوقت الحقيقي بدلاً من صيغة وهمية، تمثل المتغيرات الأربعة (x, y, z, t) من الفضاء والوقت في شكل إحداثي في فضاء حقيقي الأبعاد الأربعة. تتوافق النقاط في هذا الفضاء مع الأحداث في الزمكان. في هذا الفضاء، يوجد مخروط ضوئي محدد مرتبط بكل نقطة. هذه هي النظرة المعتمدة للزمكان في الوقت الحاضر (على الرغم من أن النظرة الأقدم التي تنطوي على وقت وهمي قد أثرت أيضًا على النسبية الخاصة).
في الترجمة الإنجليزية لورقة مينكوفسكي، يشار إلى مقياس مينكوفسكي كما هو محدد أدناه على أنه عنصر طول. يظهر منتج مينكوفسكي الداخلي أدناه دون تسمية عند الإشارة إلى التعامدية لبعض المتجهات، ويشار إلى قاعدة مينكوفسكي التربيعية (بشكل مشفر إلى حد ما، وربما هذا يعتمد على الترجمة) كـ «جمع».
أداة مينكوفسكي الرئيسة هي مخطَّط مينكوفسفكي، ويستخدمه لتحديد المفاهيم وإظهار خصائص تحويلات لورنتز (على سبيل المثال الوقت المناسب وتقلص الطول  المناسب) ولتقديم التفسير الهندسي لتعميم الميكانيكا النيوتونية على الميكانيكا النسبية. بالنسبة لهذه الموضوعات الخاصة، راجع المقالات المستخدمة كمصادر.
قال مينكوفسكي، المدرك لإعادة صياغة النظرية التي وضعها:خرجت صورة المكان والزمان التي أود أن أضعها أمامكم من تربة الفيزياء التجريبية، وهنا تكمن قوتها. إنها جذرية. من الآن فصاعدا، يحكم على الفضاء بمفرده والزمان بمفرده أن يتلاشيا لمجرد ظلال، فقط نوع من اتحاد الاثنين سيحافظ على حقيقة مستقلة. -هيرمان مينكوفسكي، 1908 ، 1909 على الرغم من أن مينكوفسكي خطى خطوة مهمة في الفيزياء، رأي أينشتاين محدوديتها:في الوقت الذي كان فيه مينكوفسكي يعطي التفسير الهندسي للنسبية الخاصة من خلال توسيع فضاءات الإقليدية الثلاثة لتشمل أربعة فضاءات شبه إقليدية تتضمن الزمان، كان آينشتاين يدرك بالفعل أن هذا غير صحيح؛ لأنه يستبعد ظاهرة الجاذبية. كان ما يزال بعيدًا عن دراسة الإحداثيات المنحنية وهندسة ريمان وما ينطويه ذلك من رياضيات ثقيلة العيار.
الهندسة الجبرية هي أحد فروع الرياضيات التي تدمج الجبر التجريدي خصوصاً الجبر التبديلي مع الهندسة الرياضية. تحتل الهندسة الجبرية مكاناً مركزياً في الرياضيات الحديثة، ولها علاقات مختلفة مع فروع الرياضيات الأخرى كالتحليل العقدي والطوبولوجيا ونظرية الأعداد.
يمكن أن يُرى على أنه مجموعات حلول لجمل المعادلات الجبرية. عندما لا يكون هناك أكثر من متغير واحد تدخل الاعتبارات الهندسية في الموضوع كثيرا لفهم الظاهرة المدروسة.
تنوع جبري.
الهندسة ثنائية الإنطاق (birational geometry) هي إحدى فروع الهندسة الجبرية التي تتعامل مع هندسة التغيرات الجبرية المعتمدة فقط على حقل الدوال.
الإسهامات الأساسية في الهندسة ثنائية الإنطاق ضمن نطاق ثنائي البعد تم على يد المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية ثم تطورت لتشمل أبعاداً أكثر.
في الرياضيات الكلاسيكية، الهندسة التحليلية وتدعى أيضاً الهندسة الإحداثية أو التنسيقية و الهندسة الديكارتية، هي فرع المعرفة الرياضية الذي يدرس الهندسة باستعمال نظام الإحداثيات ومبادئ الجبر والتحليل الرياضي. تستعمل الهندسة التحليلية بشكل واسع في الفيزياء والهندسة التطبيقية كما تمثل الأساس الذي بُني عليه باقي مجالات الهندسة كالهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والهندسة المتقطعة والهندسة الحاسوبية.
تهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة التقليدية، غير أنها تتيح طرقاً أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دوراً مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل، وتهتم أيضا بدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. عادة تستخدم جمل إحداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أعداد هي الإحداثيات ثم يتم إيجاد المعادلة الجبرية التي تصف الدائرة أوالقطع الناقص أوالقطع المكافيء أو غيرها.
حلحل عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس معضلات وبرهن على مبرهنات باستعمال طرقا تملك الكثير من الشبه مع نظام الإحداثيات وقد قيل في بعض الإحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.
الفرس.
في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.
عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637. ولكن بيير دي فيرما كان أيضا من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.
"الهندسة الديكارتية" هي تسمية محتملة للهندسة التحليلية. سميت هكذا نسبة إلى ديكارت.
في الهندسة التحليلية، يزود المستوى بنظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجا إحداثيات يعبر عنها بأعداد حقيقية.
الإحداثيات الديكارتية (في المستوى أو في الفضاء).
أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س، ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): formula_1. حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستخدم الإحداثي الثالث (ع) أو formula_2 ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س، ص، ع) أو بالإنجليزية: formula_3.
يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور formula_4 أو محور الأفاصيل، والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور formula_5 أو محور الأراتيب.
يحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س، ص) أو بالإنجليزية formula_1.
ويسمي formula_7 الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد formula_8 الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب formula_1.
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :
الإحداثيات القطبية (في المستوى).
في نظام الإحداثيات القطبية، تمثَّل كل نقطة في المستوى الإقليدي بالمسافة "r" التي تفصلها عن أصل المعلم وبالزاوية "θ" علما أن هذه الزاوية تُقاس ابتداءا من محور الأفاصيل، من الجهة الموجبة (أي جهة اليمين)، وفي عكس عقارب الساعة. باستعمال هاتين القاعدتين، تمثَّل نقط المستوى بزوج مرتب ("r", "θ"). المرور من نظام إحداثيات ديكارتي إلى نظام إحداثيات قطبي وعكس ذلك مُمكنان باستعمال الصيغ التالية:
يعمم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستعمال نظام إحداثي أسطواني أو نظام إحداثي كروي.
الإحداثيات الأسطوانية (في الفضاء).
في النظام الإحداثي الأسطواني، كل نقطة في الفضاء ممثلة بارتفاعها z، وبشعاعها r المبتعدة به عن المحور z، وبالزاوية "θ"، التي يكونها إسقاط النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفقيين (أي محوري الأفاصيل والأراتوب).
الإحداثيات الكروية (في الفضاء).
في النظام الإحداثي الكروي، كل نقطة في الفضاء ممثلة بالمسافة التي تفصلها عن أصل المعلم، وبالزاوية التي يكونها إسقاط هذه النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفققين وبالزاوية التي تكونها هذه النقطة نسبة إلى محور الارتفاعات z.
معادلات المنحنيات.
في الهندسة التحليلية، أي معادلة تمثل مجموعة جزئية من المستوى تسمى مجموعة الحل لهذه المعادلة. على سبيل المثال، المعادلة formula_22 تمثل مجموعة كل النقط في مستوى formula_23 التي تكون قيمة إحداثي formula_7 تساوي قيمة إحداثي formula_8. وهذه النقط تكون خطا مستقيما، وتسمى الصيغة formula_26 بأنها معادلة هذا الخط. وبصورة عامة فإن المعادلات الخطية تمثل خطوطا، والمعادلة التربيعية تمثل قطعا مخروطيا بينما المعادلات ذات الدرجات الأعلى تمثل منحنيات أكثر تعقيدا. فالمعادلة formula_27 تمثل دائرة نصف قطرها formula_28.
وعادة، المعادلة الواحدة يمثلها منحنى في المستوى. ولكن لهذه القاعدة بعض الاستثناءات، فمثلا المعادلة: formula_29 تمثل كل المستوى، بينما المعادلة formula_30 فتمثل نقطة واحدة هي formula_31.
في الفراغ الثلاثي نجد أن المعادلة عادة ما تمثل سطحا، ويكون المنحنى هو تقاطع سطحين معا.
المسافة والزاوية.
لتكن formula_32 قطعة مستقيمة حيث formula_33 و formula_34 معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين formula_35 و formula_36هي :
وفي الشكل المجاور تكون المسافة formula_38 بين النقطتين formula_39 و formula_40 تعطى بالقانون:
تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية.
مثال الشكل الجبري للدائرة هي : formula_42 حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.
بعض القوانين في الهندسة التحيلية.
إحداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة.
إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :
formula_43
ميل الخط المستقيم.
ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.
المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:
م= (y2-y1)/(x2-x1) حيث x1 لا تساوي x2.
م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.
المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.
في الهندسة الرياضية, الهندسة التآلفية هي الهندسة الرياضية التي تشغل مكاناً متوسطا ًبين الهندسة الاقليدية والهندسة الإسقاطية. هي هندسة الفضاء التآلفي ذي "n" بعد على الحقل.
يمكن شرح الهندسة التآلفية على أنها هندسة المتجهات دون أي تدخل لطول وزوايا في عملية توصيفها.
فاطمة بنت أسد بن هاشم بن عبد مناف ولدت في مكة المكرمة. زوجة أبي طالب عم الرسول محمد ، والدة علي بن أبي طالب وكانت كأم لمحمد بن عبد الله رسول الإسلام منذ صغره. أسلمت فاطمة بنت أسد بعد عشرة من المسلمين وكانت الحادية عشرة منهم والثانية من النساء. هاجرت إلى المدينة المنورة وتوفيت في السنة 4 للهجرة النبوية ودفنت في مقبرة البقيع.
تزوجت فاطمة بنت أسد من أبي طالب فقط وكانت أول أمرأة هاشمية تتزوج رجلًا هاشميًا. أسلمت في السنين الأولى للبعثة النبوية. وهي بمنزلة الاُمّ لرسول اللَّه وكان يحبها ويحترمها ويناديها بأمي.
كانت أوّل امرأة هاجرت إلى رسول اللَّه من مكّة إلى المدينة على قدميها، وكانت من أبرّ النّاس برسول اللَّه، فسمعت فاطمة رسول اللَّه وهو يقول: «إنّ النّاس يحشرون يوم القيامة عراة كما ولدوا»، فقالت: وا أسوأتاه، فقال لها رسول اللَّه فإنّي أسأل اللَّه أن يبعثك كاسية.
وهي أول أمرأة بايعت محمد بن عبد الله بعد نزول آية « يأَيهَا النَّبيُّ إِذَا جَاءَك المُؤمِنَات يبَايعنَك... »
لم يعقب ولد أسد بن هاشم إلا من ولد ابنته فاطمة وكان لها ستة أولاد، وهم:
أبناؤها:
بناتها:
"وبين عقيل وجعفر عشر سنوات، وبين جعفر وعلي عشر سنوات، كذا أفاده العلامة جلال الدين السيوطي"
الولادة في الكعبة.
يعتقد المذهب الشيعي الإثنا عشري بأن فاطمة بنت أسد ولدت إبنها علي في جوف الكعبة، وأنها المرأة الوحيدة التي ولدت في جوف الكعبة المشرفة حيث أدخلها جبريل عليه السلام.
عن يزيد بن قعنب، قال: كنت جالسا مع العباس بن عبد المطلب وفريق من عبد العزى بإزاء بيت الله الحرام، إذ أقبلت فاطمة بنت أسد أم أمير المؤمنين علي بن أبي طالب، وكانت حاملا به لتسعة أشهر وقد أخذها الطلق، فقالت : «رب إني مؤمنة بك وبما جاء من عندك من رسل وكتب، وإني مصدقة بكلام جدي إبراهيم الخليل وأنه بنى البيت العتيق، فبحق الذي بنى هذا البيت، وبحق المولود الذي في بطني لما يسرت علي ولادتي». قال يزيد بن قعنب: فرأيت البيت قد انشق عن ظهره ودخلت فاطمة فيه وغابت عن أبصارنا وعاد إلى حاله، فرحنا أن ينفتح لنا قفل الباب! فلم ينفتح فعلما أنّ ذلك من أمر الله تعالى، ثم خرجت في اليوم الرابع وعلى يدها علي بن أبي طالب.
وفاتها ومحل دفنها.
توفيت في السنة الرابعة للهجرة، وعمرها ما يقارب 60 عامًا، فكفنها رسول الله في قميصه، ودفنها في مقبرة البقيع في المدينة المنورة لما ماتت فاطمة بنت أسد بن هاشم كفّنها رسول الله في قميصه وصلى عليها وكبّر عليها سبعين تكبيرة ونزل في قبرها فجعل يومي في نواحي القبر كأنه يوسعه ويسوّي عليها وخرج من قبرها وعيناه تذرفان، فلما ذهب قال له عمر بن الخطاب: فقال : ثم قال: «اللهم ثبت فاطمة بالقول الثابت، رب اغفر لأمي فاطمة بنت اسد ووسع عليها مدخلها بحق نبيك والانبياء الذين من قبلي إنك ارحم الراحمين»، ثم ضرب بيده اليمنى على اليسرى فنفضهما، ثم قال: والذي نفس محمد بيده لقد سمعت فاطمة تصفيق يميني على شمالي.
فاطمة بنت أسد في السينما والتلفزيون.
ظهرت شخصية فاطمة بنت أسد في مسلسل قمر بني هاشم من إخراج محمد شيخ نجيب و قد قامت بتجسيدها الممثلة السورية نسرين الحكيم.
مومباسا (Mombasa) -وقد تلفظ ممباسا- هي الثانية بعد أكبر مدينة في كينيا وميناؤها الرئيس. وتقع مدينة مومباسا تقريباً على خط الاستواء, لذا فجوها حار ورطب جدا. وتطل على المحيط الهندي، وبها مطار دولي هو مطار موي، وتعتبر مومباسا مدينة سياحية مهمة في كينيا.
تتميز مدينة مومباسا ببيوتها الجميلة ذات الشرفات الواسعة الخشبية والمحفورة.
يعتبر عاج الفيلة رمز هذه المدينة، وفي أحد أهم شوارعها يوجد نصب كبير على شكل أنياب فيل متقاطعة.
مدينة مومباسا تقع في جزيرة باسمها، وتتصل الجزيرة بالأرض الكينية من الشمال بجسر "نيالي" وفي الجنوب بعبارة "ليكوني" ومن الغرب بواسطة "طريق ماكوبا" بجانب خط سكة حديد أوغندا - كينيا.
يقدر عدد سكان مدينة مومباسا 939,370 نسمة حسب احصائية عام 2009. ويمثل المسلمين أغلبية السكان حيث يبلغ عددهم 338,701 ، وترتدي نساء المسلمين الحجاب الإسلامي وهو عادة يكون أسود اللون ويطلق عليه اسم "بويبوي"، وبعضهن يلبسن النقاب.أما بقية النساء فيلبسن اللباس التقليدي وهو عبارة عن قميص ذو ألوان ونقوش فاتحة ومصنوع عادة من القطن يسمى "كانغا".
كانت مومباسا إحدى المدن المهمة في الساحل الشرقي لإقريقيا، ومركزاً مهماً لتجارة التوابل والذهب والعاج، وكانت التجارة ترتبط مع الهند والصين، كما أنها مركزاً لصادرات الحبوب مثل الدخن والسمسم وجوز الهند. وقد زارها وكتب عنها الرحالة القدماء مثل ابن بطوطة وماركو بولو وتشنغ خه أويسمى أحياناً "زهينج هي" ووصفوها بأنها مدينة تجارة. وقال عنها الرحالة العربي ابن بطوطة عندما زارها عام 1331 "...وصلنا جزيرة منبسي، وهي جزيرة كبيرة بينها وبين أرض السواحل مسيرة يومين في البحر، ولا بر لها، وأشجارها الموز والليمون والاترج. وأكثر طعامهم الموز والسمك. وهم شافعية المذهب، وأهل دين وعفاف وصلاح. ومساجدهم من الخشب محكمة الإتقان...". كما ذكرها الإدريسي عام 1151. وفي عام 1498 زارها فاسكو دي غاما البرتغالي حيث بعد عامين من زيارته لها احتل البرتغاليون المدينة. وفي عام 1585 جاء الأتراك بقيادة "الباي أمير علي" وحركوا الثورات من مقديشو إلى مومباسا ضد البرتغاليين وتغلبوا عليهم، ولم يبقى سوى ماليندي تحت سيطرتهم. إلا أن البرتغاليين عادوا مرة أخرى وعاشوا في حي خاص بهم حول حصن قديم أسموه "قلعة المسيح" وقد بنيت على شكل صليب وكان هدفهم محصوراً في السيطرة على التجارة والملاحة في المحيط الهندي (استولى البريطانيون لاحقاً على القلعة وحولوها لسجن ثم بعد استقلال كينيا أصبحت متحف قومي)..وجاء العرب العمانيون عام 1698 وطردوا البرتغاليون والذين هاجموا المدينة وعادوا مرة أخرى، ثم طردوا، وأصبحت المدينة تحت حكم سلطنة عمان ولكنها تابعة لزنجبار وأقامت عمان في تلك الفترة ثلاثة ولاة هم:
ثم انتقلت مومباسا مرة أخرى لحكم البرتغاليين (من 12 مارس 1728 إلى 21 سبتمبر 1729). ثم انتقلت للعمانيين وتولى الحكم فيها 4 ولاة حتى عام 1746 عندما أعلن آخرهم الاستقلال مرة أخرى (عورض من قبل ُعمان) وحكم مومباسا السلاطين العمانيين وهم :
وفي الفترة من 9 فبراير 1824 إلى 25 يوليو 1826أصبحت مومباسا محمية بريطانية يمثلها الحكام العمانيون في هذه الفترة. وفي عام 1826 أعيد الحكم العماني لمومباسا وتوالى حكمها سبعة ولاة. وفي 24 يونيو 1837 ضمت إسميا من قبل سلطان زنجبار ومسقط السيد سعيد بن سلطان. وفي 25 مايو 1887 تحولت إدارته إلى جمعية شرق أفريقيا البريطانية وأصبح السلطان رسميا في عام 1898 ممثلاً للبريطانيين على مدينة مومباسا، ثم أصبحت عاصمة لمحمية شرق إفريقيا البريطانية والمنفذ البحري لطرف سكة حديد أوغندا والذي بدأ عام 1896 وأدى لجلب الكثير من العمال من الهند الواقعة تحت الاستعمار البريطاني لبناء خط سكة الحديد مما ساهم في إنعاش المدينة. وفي الأول من يوليو 1895 أعتبرت مومباسا جزء من محمية كينيا البريطانية (أما الشريط الساحلي فهو إسميا تحت سيادة زنجبار). وفي عام 1920 أصبحت مومباسا عاصمة المحمية الساحلية لكينيا. وفي 12 ديسمبر 1963 أعلن رسمياً أن مومباسا ومحمية الساحل الكيني جزء من دولة كينيا المستقلة.