格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理

代數幾何中，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是關於相干層上同調的意義深遠的結果。它是關於複流形的希策布魯赫-黎曼-羅赫定理的推廣，其又是對緊黎曼曲面上線叢的經典黎曼-羅赫定理的推廣。
黎曼-羅赫型定理將向量叢上同調的歐拉示性數與其拓撲度，或更一般地與其（上）同調中的示性類或其代數類似物聯繫起來。經典的黎曼-羅赫定理針對的是曲線和線叢，而希策布魯赫-黎曼-羅赫定理將其推廣到流形上的向量叢。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理將這兩個定理置於兩個流形（或更一般的概形）之間態射的相對情形中，並將該定理叢關於單一叢的陳述變為適用於層的鏈復形的陳述。
格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理對阿蒂亞-辛格指標定理的發展影響深遠，反過來，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的複分析類比也可以用族的指標定理來證明。1957年，亞歷山大·格羅滕迪克在一份後來出版的手稿中給出了首個證明。、Armand Borel與讓-皮埃爾·塞爾撰寫並發表了他的證明（1958）。後來，格羅滕迪克與合作者對證明進行了簡化與推廣。

**公式**
令X為域上的光滑擬射影概形，凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群規範同構（canonically isomorphic）於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構，將陳示性（陳類的有理組合）視作一種函子式變換：

其中是d維的X上的循環的周群，模去有理等價，以有理數張開。若X定義在複數上，則後一個群映射到拓撲上同調群：

現在考慮光滑擬射影概形與上的層的有界復形之間的真射。
格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理涉及前推映射

（高階直像的交替和）與前推

由公式

其中是X（的切叢）的Todd屬。因此，定理給出了度量上述前推的缺乏交換性的方法，並表明所需的修正函子只取決於X、 Y。事實上，由於Todd屬在正合序列中是函子、乘法的，可以將格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式重寫為

其中是f的相對切層，定義為元素。例如，當f是光滑態射時，就只是向量叢，即沿f的纖維的切叢。
運用A1同倫論，將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到f是兩光滑概形間的真映射。

**泛化與特化**
考慮組合的適當推廣，可將定理推廣到非光滑情況；考慮具有緊支集的上同調，可將定理推廣到非真（non-proper）情況。

算術黎曼-羅赫定理將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到算術概形（arithmetic scheme）。
希策布魯赫-黎曼-羅赫定理（本質上）是Y為點、域為複數域的特例。
有向上同調論的黎曼-羅赫定理由Ivan Panin與Alexander Smirnov提出。它涉及代數有向上同調論之間的乘法（如代數配邊）。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是這結果的特殊情況，這時自然會出現陳示性。

**例子**

**曲線上的向量叢**
域的光滑射影曲線上秩為、度為（定義為其行列式；或等價地，其第一陳類的度）的向量叢有類似於線叢的黎曼-羅赫形式的公式。若取點、，則格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式可理解為

於是

此式也適於秩為、度為的相干層。

**光滑真射**
格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫-黎曼-羅赫公式的相對版本。例如，光滑態射的纖維都是等維的（在基變為時作為拓撲空間是同構的）。在模理論中考慮由模空間對光滑真空間進行參數化時，這事實非常好用。例如，戴維·芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。

**曲線的模**
對屬曲線（且無標記點）的模疊，有通用曲線，其中是屬曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類

其中與是相關的對偶化層。注意在點上的纖維，這就是對偶化層。可利用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理找到光滑軌跡的周環上的之和 (corollary 6.2)，從而找到描述的、間的關係。由於是光滑德利涅-芒福德疊，可考慮由概形的覆蓋，對某個有限群可給出。對應用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理，可得

因為

由上式可知

這樣，的計算可以進一步減少。在偶數維，

另外在1維，

其中是邊界上的一個類。時，在光滑軌跡上有如下關係

可通過分析的陳示性推得。

**閉嵌入**
閉嵌入也可用格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式描述，其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。對維光滑簇及餘維為的子簇，有

由短正合序列
,
有下式

for the ideal sheaf since .

**應用**

**模空間的準射影性**
過兩天都是-黎曼-羅赫公式可用於證明粗糙模空間（如有尖代數曲線的模空間）可嵌入到射影空間，因此是準射影簇。這可以通過觀察上的規範相伴層（canonically associated sheaf）、研究相伴線叢的度實現。例如，有曲線族

有截面

對應標記點。由於每根纖維都有規範叢，有相伴線叢
及
於是

是豐沛線叢209，因此粗糙模空間是準射影的。

**歷史**
亞歷山大·格羅滕迪克的黎曼-羅赫定理最初是在1956–1957年左右寫給讓-皮埃爾·塞爾的一封信中提出的。1957年，在第一屆波恩工作會議（Bonn Arbeitstagung）上公開發表，隨後塞爾和Armand Borel在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是Borel–塞爾的論述。
格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先，格羅滕迪克改變了陳述本身：人們當時認為定理是關於代數簇的，而格羅滕迪克指出其實際上是簇間態射的定理。他找到了正確的推廣，使證明變得簡單，而結論變得更寬泛。簡言之，格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱鉅的分析。此外，如上所述，格羅滕迪克引入了K-群，為代數K-理論鋪平了道路。

**另見**
川崎黎曼–羅赫公式

**註釋**

**參考文獻**
cite book | last = Berthelot | first = Pierre | author-link = Pierre Berthelot |editor=Alexandre Grothendieck |editor-link=Alexandre Grothendieck |editor2=Luc Illusie |editor2-link=Luc Illusie | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225) | series = Lecture Notes in Mathematics | year = 1971 | volume = 225 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin; New York| language = fr | pages = xii+700 | no-pp = true |doi=10.1007/BFb0066283 |isbn= 978-3-540-05647-8- Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link=Jean-Pierre Serre | title=Le théorème de Riemann–Roch | mr=0116022 | year=1958 | journal=Bulletin de la Société Mathématique de France | volume=86 | pages=97–136 | doi=10.24033/bsmf.1500 | issn=0037-9484 | language=fr | doi-access=free - Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=3-540-62046-X | mr=1644323 | year=1998 | zbl=0885.14002 | edition=2nd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. | volume=2 - bibcode=2017arXiv170510769N- url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/
*isbn=9781107017085 

**外部鏈接**
  The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem date=20230629054634 
*The  thread date=20231121155123  "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.- The  thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
*The  thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.