數學原理

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“從這個命題可推導出——假設算術加法已被定義——1 + 1 = 2。”卷I，第1版， 379頁（第二版的362頁，刪節版的360頁）。全證明實際上是在卷II，第1版， 86頁完成的，並輔以註釋“上述命題只是偶爾有用”、“在✱113.66和✱120.123.472的證明中至少用到了三次”  
精簡版《數學原理》（至✱56）的封面
《數學原理》（Principia Mathematica，縮寫PM）是由伯特蘭·羅素與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德合著的一本數學書籍，書籍共分三卷，分別出版於1910年，1912年，1913年。
它通常縮寫為PM (Principia Mathematica)，為表述所有數學真理在一組數理邏輯內的公理和推理規則下，原則上都是可以證明的。因此這一雄心勃勃的項目對於數學史和哲學史都是非常重要的，然而在1931年，哥德爾不完備性定理證明對於數學原理或其他任何類似的嘗試，這個崇高的目標皆永遠無法達到；也就是說，任何嘗試以一組公理和推理規則來建立的數學系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些數學真理不能由此係統推理演繹出來)。
數學原理的一個主要的靈感和動機來自於邏輯學家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特蘭·羅素髮現其允許建設有矛盾的集合（羅素悖論）。數學原理排除無限制創建任意的集合來試圖避免這個問題，它以不同“類型”的集合來取代一般的集合，一組特定類型的集合只能包含套較低的類型。然而在當代數學，會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理論體系，來避免如羅素的笨拙方式。
現代圖書館將此書排在二十世紀英文非虛構書籍中的第23名。

**覆蓋範圍**
原書僅囊括集合論、基數、序數和實數，並沒有包括實分析等複雜定理。然而，前三卷所設基礎已令許多讀者相信，從理論上來說，書中所用的形式邏輯可以用來推導出絕大多數的已知數學定理，但其實際工作的繁瑣程度亦顯而易見。
作者原本籌劃撰寫涵蓋幾何的第四卷，但在完成第三卷後，作者靈感匱乏，未能成書。

**理論基礎**
由於在理論上由庫爾特·哥德爾（下同）的批評指出，不同於形式主義理論，PM的“logicistic”理論有沒有“形式主義的語法明確說明”。另一種看法是，在理論上，（在模型論的意義上）解釋的真值的符號的行為來表述“⊢”（真理斷言），“〜”（邏輯非）和“V”（邏輯或）。
真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命題”的概念。原料（純）形式主義理論所不能提供形成了“原始命題”誠，符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來，通過“價值”的分配，模式將指定什麼公式說的解釋。因此，在正式的克萊尼符號下方設置，“解釋”什麼樣的符號通常是指，並暗示他們如何最終被採用，在括號內，例如，“¬（不）”。但是，這不是一個純粹的形式主義理論。

**正式的理論的當代建構**
下面的形式主義理論是作為對比PM的logicistic理論。一個現代的形式系統將構造如下：
使用的符號：該組是開始集合，其它符號可以出現，而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是Kleene從中導出的以下一組：邏輯符號“→”（意味著，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或），“¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;謂詞符號“=”（等於）;函數符號“+”（算術加法），“∙”（算術乘法），“'”（繼任者）;個別符號“0”（零）;變量“一”，“B”，“C”等;和括號“（”和“）”。
符號串：該理論將通過串聯（並列）建立這些符號的“弦”.
形成規則：理論指定的語法規則（語法規則），通常為以“0”開頭，並指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）遞歸定義這包括對於所謂的“變量”（相對於其他符號類型）中的符號串的規則對“替代”。
變換規則（S）：指定符號和符號序列的行為的公理。
推理，支隊規則，肯定前件：允許理論從“前提”，導致到了“分離”一個“結論”的規則，並隨後放棄“處所”（符號到行的左邊│或符號線之上，如果水平）。如果不是這種情況，那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字符串。事實上，假言推理的應用程序後，沒有什麼是離開，但結論，剩下的永遠消失。
當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或“脫離規則”：
A，A⊃乙│乙
符號“│”通常寫為水平線，這裡“⊃”是指“意味著”。符號A和B是“替身”的字符串;這種形式的符號被稱為“公理模式”（即，有一種特殊形式的符號可以採取可數）。這可以讀取類似的方式IF-THEN但有區別：給定的符號串IF A和A蘊涵B，那麼B（並保留進一步使用僅B）。但符號都沒有“解釋”（例如，沒有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理機制上進行，由單獨的語法。

**構成**
PM理論既有相似之處顯著，以及類似的差異，當代形式理論。克林指出，“這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信，或者至少被接受為關於世界的假設合理的。”事實上，PM理論不像形式主義理論，即操縱符號根據語法規則，PM引入了“真值”的概念，即在現實世界意義的真理和謬誤，以及“斷言真相”幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

**版本差異**
卷I有五個新增：
*附錄A,編號為8.15新增謝費爾豎線
*附錄B,編號為 89,討論感應沒有還原性的公理
*附錄C、8頁討論命題函數
*8頁的列表定義最後,給急需的索引使用的大約500個符號。
*1962年杯發表縮短平裝版包含部分的第二版的卷I:新介紹,正文* 56,和附錄a和C。

**參見**
 各種數學敘述

**參考資料**

**外部連結**
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*The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.- Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
** Cite book|author=Stephen Cole Kleene|authorlink=Stephen Cole Kleene|author2=Michael Beeson |date=March 2009|title=Introduction to Metamathematics|edition=Paperback|publisher=Ishi Press|isbn=978-0-923891-57-2|ref=Kleene2009- Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).- Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:
: Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).- Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)- Michel Weber and Will Desmond (eds.).  Handbook of Whiteheadian Process Thought date=20151112213343 , Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
**  Principia Mathematica date=20190428140417 —by A. D. Irvine.
**  The Notation in Principia Mathematica date=20150801143948 —by Bernard Linsky.-  Proposition ✸54.43 date=20151028170032  in a more modern notation (Metamath)