廣群

在數學中，尤其在範疇論和同倫論中，廣群（groupoid，或勃蘭特廣群，Brandt groupoid）是對群的概念的抽象化。廣群可被視為：
*以偏函數取代二元運算的群；
*所有態射都可逆的範疇。這一類範疇可被視作增加了一種一元運算，與群論中的逆元相對應。 只有一個對象的廣群一般是群。
在存在依賴類型的情況下，一般來說，一個範疇可視作是類型化的么半群；廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族，於是態射可以是類型化的、。於是組合是全函數：，於是。
廣群的特例包括：
*集合體（Setoid），即帶有等價關係的集合；
*G-集合，即帶有G 的作用的集合。
廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因裡希·勃蘭特於1927年引入，其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。

**定義**
廣群指的是代數結構，包含非空集G與定義在G上的二元偏函數。

**代數定義**
廣群是具備一元運算與偏函數的集合G，當中的*不是二元運算，因為其不一定定義在G中所有的元素對上。這裡不闡述定義*的確切條件，這些條件因情況而異。
運算*、−1有以下公理性質：：
# 結合律：若定義了，則。
# 逆元：、總有定義。
# 單位元：若定義了，則。（由前兩條性質可推知。）
從中可得到兩個簡單方便的性質：- ；- 若定義了，則。

**範疇論定義**
廣群是小范疇，其中每個態射都可逆，即是同構。更明確地說，廣群G是對象集合，其中- 每對對象x、y，都有從x到y的態射（或箭頭）的（可能是空）集合，其中的元素寫作- 每個對象x，的指定元素- 對任意三個元素x、y、z都有函數- 對任意兩個元素x、y都有函數
** 、
*** 、
若則稱x為f的源，記作；y稱作f的目標，記作。廣群G有時記作，當中是所有態射的集合，兩個箭頭代表源和目標。
更一般地，可以考慮任意範疇中的廣群對象，其允許有限的纖維積。

**定義比較**
代數定義與範疇論定義等價，下面證明。給定範疇論定義廣群，令G為所有集合的不交併（即x到y的態射的集合）；則、就成了G上的偏運算，而事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為、−1為，這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及（及）。
反過來，給定代數定義的廣群G，用定義其元素上的等價關係：
，若令G0為的等價類集合，即。若且，用記a ∗ a−1。
現在定義為所有使存在的f的集合。給定其組合定義為這是良定義的，因為可觀察到、都存在，也存在。這樣，x的恆等態射就是，f的範疇論逆是f−1。
上述定義中的集合可用類代替，這在範疇論中很常見。

**頂點群與軌道**
給定廣群G，其中的頂點群或迷向群或軌道群是的子群。從上述公理不難看出，它們確實是群，因為每對元素都可組合，且逆元都在同一個群中。
廣群G在點處的軌道由集合給出，當中包含了可用G中的態射連接到x的每個點。若x、y兩點在相同的軌道上，則它們的頂點群G(x)、G(y)群同構：若，則同構由給出。
軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道（等價地是連通的），則稱之為傳遞的。那麼，所有頂點群都同構（另一方面，這不是傳遞性的充分條件，反例下詳）。

**子廣群與態射**
的子廣群是子範疇，其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇，即都有或，則也稱其為寬或滿。
廣群映射簡單說就是兩個（範疇論）廣群間的函子。
有幾種特殊的廣群態射值得關注。若都有，使得，則廣群的態射稱作纖維化。若這樣的e是唯一的，則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用，可用來模擬空間的覆蓋映射。
同樣，給點廣群B的覆蓋態射範疇，等同於廣群B對對集合的作用範疇。

**例子**

**拓撲**
給定拓撲空間X，令為集合X。從點p到點q的態射是p到q的連續路徑的等價類，若兩條路徑同倫，就稱它們等價。
先沿第一條路徑，再沿第二條路徑，兩個這樣的態射便組合到一起；同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作X的基本廣群，記作（有時是）。通常的基本群於是就是點x的頂點群。
基本廣群的軌道是X的路徑連通成分。相應地，路徑連通空間的基本廣群是傳遞的，我們恢復了已知的事實，即任意基點上的基本群是同構的。此外，基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的（一般理論見下文）。
這一思想的重要推廣是考慮基本廣群，其中是選定的基點集合。當中是的（寬）子廣群，這裡只考慮端點屬於A的路徑。集合A可據當前情況的幾何形狀來選擇。

**等價關係**
若X是集合體，即具有等價關係的集合，則“表示”這等價關係的廣群可由如下構成：- 廣群對象是X的元素；- 有單態射，當且僅當；
*與的組合是。
這個廣群的頂點群總是平凡的；此外，這個廣群一般不傳遞，其軌道正是等價類。有兩個極端例子：- X每個元素若都與X的其他元素有聯繫，則就得到了X的對廣群，其以整個作為箭頭集，且是傳遞的。- X每個元素若只與自身有關係，就得到了單位廣群，其以X為箭頭集，，是完全不傳遞的（每個單子都是軌道）。

**例子**
若是光滑流形的光滑滿射浸沒，則是等價關係，因為在拓撲空間的滿射下，Y與的商拓撲拓撲同構。若記則可得廣群有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群。
*若放寬自反性要求、考慮偏等價關係，則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似，稱作PER模型。作為一個範疇，PER模型是具有自然數對象與子對象分類子的笛卡兒閉範疇，從而產生了馬丁·海蘭德所謂有效拓撲斯。

**切赫廣群**
切赫廣群5是一類特殊的廣群，與某個流形X的開覆蓋所給出的等價關係相關聯。其對象由不交併
給出，其箭頭是相交
.
源映射與目標映射由誘導映射給出包含映射則給出了廣群的結構。實際上，還可設置為n次迭代的纖維積來進一步擴展，其中表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射，因為是笛卡兒圖，其中到的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型；此外，這種構造的另一個產物是k-上循環對某個阿貝爾群之常數層可表為函數給出了上同調類的明確表示。

**群作用**
若群G作用於集合X，則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群：
*對象是X的元素；
*，態射對應，使得；
*態射的複合解釋了G的二元運算。
更明確地說，作用廣群是小范疇、，源映射和目標映射分別為、。通常表示為（對於右作用記為）。廣群中的乘法（或組合）就是，定義條件是。
，頂點群由的組成，這只是給定作用在x處的迷向子群（這就是頂點群稱為迷向子群的原因）。同樣，作用廣群的軌道是群作用的軌道，廣群是傳遞的當且僅當群作用也有傳遞性。
另一種描述G集合的方法是函子範疇，當中是1個元素的廣群（範疇），同構於群G。事實上，這個範疇的每個函子F都定義了集合（即對中的每個態射）誘導了雙射：。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：是G的凱萊表示。事實上，這個函子與同構，因此將送到集合，後者的定義就是“集合”G和的態射g（即G的元素g）到集合G的置換。由米田嵌入推導出：群G同構於G的置換群的子群。

**有限集**
考慮在有限集上的群作用，其將每個數取負，於是、。商廣群是這個群作用的等價類集合，在其上有群作用。

**商簇**
任何映射到的有限群G都會在仿射空間上產生群作用（由於這是自同構群）。於是，商廣群的形式可以是，有一點的穩定子G位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間及其子空間，如卡拉比-丘軌形。

**廣群的纖維積**
給定具有廣群態射的廣群圖

其中、，可組成廣群，其對象為三元組，其中。態射可定義為一對態射，其中，使得對三元組中有的交換圖。

**同調代數**
具體阿貝爾範疇中對象的二項復形

可形成廣群。其對象是集合，箭頭是集合；源映射只是到的映射，目標映射是對與d的組合跟到的映射的加法。也就是說，給定，有

當然，若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇，則這種構造可用於形成廣群的預層。

**遊戲**
魔方可用群論來建模（見魔方群），也有些遊戲更適合用廣群建模。
數字推盤遊戲的變換就是廣群（不是群，因為並非所有移動都能複合）。這一廣群作用作用於構型。

**馬蒂厄廣群**
馬蒂厄廣群是約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群，這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M12的一個副本。

**與群的關係**
若廣群只有一個對象，則其態射集構成群。由代數定義，這樣的廣群實際上就是群。 群論的許多概念都能推廣到廣群，用函子概念取代群同態。
每個傳遞/連通的廣群（即如上所述，任意兩對象都由至少一個態射相連）都與作用廣群（如上定義）同構。根據傳遞性，這個作用下只有一個軌道。
注意剛才提到的同構不唯一，也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象、群同構、態射。
若廣群沒有傳遞性，則就同構於上述類型的廣群的不交併，也稱作其連通成分（每個連通成分可能具有不同的群G與集合X）。
用範疇論的術語來說，廣群的每個連通成分都等價（但不同構）於只有1個對象的廣群，即單群。因此，任何廣群都等價於無關群的多重集；換句話說，對等價（而非同構），我們不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，
*X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合，但同構要指定每個成分的點集；
*具有等價關係的集合X等價（作為廣群）於每個等價類的平凡群的一個副本，但同構需要說明每個等價類；
*具備群G的作用的集合X等價（作為廣群）於作用的每個軌道的G的一個副本，但同構需要說明每個軌道是什麼集合。
即使從範疇論的角度來看，把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息，因為是不自然的。因此，當廣群以其他結構出現時，保持整個廣群是有幫助的；否則就必須選擇一種方法，以從單群的角度看待每個，而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中，必須連貫地選擇路徑（或路徑的等價類），從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。
一個更有啟發性的例子是，有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。
廣群的態射比群的更多樣：例如，有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此，群G的子群H會產生‘’G對G中H的陪集集的作用，從而產生K到G的覆蓋態射p，其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣，群G的表示就可以“提升”到廣群K的表示，這是獲取子群H的表現信息的有用方法。

**廣群範疇**
對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇，記作Grpd。
Grpd與小范疇相似，是笛卡兒閉範疇：對任意廣群，我們都可以構造廣群，其對象是態射、箭頭是態射的自然等價。於是，若只是群，則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是，對任何廣群都有自然雙射
即使所有廣群都只是群，這個結果也有意義。
Grpd既是完全範疇，又是餘完全範疇。

**與Cat的關係**
包含態射有左右伴隨函子：


當中，表示反轉每個態射的範疇局部化，表示所有同構的子範疇。

**與sSet的關係**
神經函子將Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。
神經有左伴隨

當中表示單純集X的基本廣群。

**Grpd中的廣群**
廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構，即雙重廣群。因為Grpd是2範疇，這些對象構成了2範疇，比1範疇有額外的結構。本質上說，這些對象是具有函子的廣群，以及由恆等函子給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如，給定方塊與其中是同一個態射，則可以垂直相連，得到圖可將垂直箭頭轉置，得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。

**具有幾何結構的廣群**
研究幾何對象時，產生的廣群通常帶有拓撲，使其成為拓撲廣群；一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究，這與李群和李代數之間的關係類似。
從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如，泊松幾何中有辛廣群的概念，後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣，也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。

**另見**
∞-廣群
*2-群
*同倫類型論

**腳註**

**參考文獻**
Brown, Ronald, 1987, " From groups to groupoids: a brief survey date=20231116123751 ," Bull. London Math. Soc. 19: 113–34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.- —, 2006.  Topology and groupoids. Booksurge. Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. Groupoids are introduced in the context of their topological application.- —,  Higher dimensional group theory. date=20231116152149   Explains how the groupoid concept has led to higher-dimensional homotopy groupoids, having applications in homotopy theory and in group cohomology. Many references.- isbn=978-0-8218-0564-0 
*F. Borceux, G. Janelidze, 2001,  Galois theories. Cambridge Univ. Press. Shows how generalisations of Galois theory lead to Galois groupoids.- Cannas da Silva, A., and A. Weinstein,  Geometric Models for Noncommutative Algebras. date=20150701133813  Especially Part VI.
*Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, " Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism date=20080709031545 ", Bull. Amer. Math. Soc. 43: 305-64- id=p/g045360- Higgins, P. J., "The fundamental groupoid of a graph of groups", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.- Higgins, P. J. and Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of   an orbit space",  in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes   in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.
*Higgins, P. J., 1971.  Categories and groupoids. Van Nostrand Notes in Mathematics. Republished in Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 7 (2005) pp. 1–195;  freely downloadable date=20181006200431 . Substantial introduction to category theory with special emphasis on groupoids. Presents applications of groupoids in group theory, for example to a generalisation of Grushko's theorem, and in topology, e.g. fundamental groupoid.
*Mackenzie, K. C. H., 2005.  General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge Univ. Press.
*Weinstein, Alan, " Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour through some examples. date=20231230111434 " Also available in  Postscript. date=20220113212439 , Notices of the AMS, July 1996, pp. 744–752.- Weinstein, Alan, " The Geometry of Momentum date=20231116123802 " (2002)- R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In Algebraic and geometric combinatorics, volume 423 of  Contemp. Math., 305–324.  Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)- title=fundamental groupoid- title=core