正圖形列表

此頁面列出了所有的歐幾裡得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形或正多胞形。施萊夫利符號可以描述每一個正圖形或正多胞形，他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。
正圖形或正多胞形可由其維度分類，也可以分成凸、非凸（星形、扭歪、複合或凹）和無窮等形式。非凸形式（或凹形式）使用與凸形式相同的頂點，但面（或邊）有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾裡得空間中密鋪（鑲嵌或堆砌）。
無限的形式可以擴展到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模，但平行線在一定的距離內會分岔得越來越遠。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷，例如製作一個由個正三角形組成的頂點，它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的，但可以在一個雙曲平面上構造。

**概觀**
此表顯示正圖形或正多胞形在各個維度的匯總。
請注意，平面密鋪和雙曲密鋪的維數比預期多一維。這是因為它們是有限多胞形在不同維度的類比：凸正n胞形可以看作(n−1)維球面空間的鑲嵌。因此，歐幾裡德平面的三個正鑲嵌圖（正三角形鑲嵌、正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌）列在第三維度而不是第二維下。

**零維或以下的正圖形**
上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素：一個二維正多胞形（正方形）、四個一維正多胞形（線段）、四個零維正多胞形（頂點）和一個負一維正多胞形（空集合）
在維數為零的空間能存在的多胞形只有點，無法有其他幾何或拓樸組合，而維數比零更低則是在抽象理論中的虛無多胞形（Null polytope）代表一種空集合，在抽象理論中被看作是一種負一維的多胞形，但其是一種Abstract_polytope。然而，在數學上，零維空間是按以下的不等價定義之一，維數為零的拓撲空間：按覆蓋維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間的任何開覆蓋，都有一個加細，使得空間內每一點，都在這個加細的恰好一個開集內；或者按小歸納維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間有一個由閉開集組成的基。這兩個概念對可分可度量化空間為等價。而負一維空間僅是在抽象理論表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞。
依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而零維多胞形的元素僅有{F−1, F0}、負一維多胞形的元素僅有{F−1}，幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，一般地，n維正圖形被定義為有正Facet （geometry）（n − 1）-表面和正頂點圖，這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的，但這一定義並不適用於抽象多胞形，而負一維的多胞形的僅有一種Abstract_polytope。
另外，正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形，或看做是虛無多胞形（Null polytope）。

**一維正圖形**
在維數為一的一維空間裡存在的多胞形是由兩個端點包圍住的一個封閉一維空間，即線段。在定義上，這個一維多胞形（或稱1-多胞形）在施萊夫利符號中以： { } 表示#tag:ref|Coxeter Regular Polytopes（1973）, p. 129|name=crp129，而在考克斯特記號中則以一個有環的節點：node_1表示。諾曼·約翰遜將之稱為ditel，並在施萊夫利符號中以{ }表示。依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而一維多胞形的旗包含{F−1, F0, F1}、其元素僅有{F−1, A, B, AB}，其中，A、B為線段兩端點，由於幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，因此所有的線段都會符合標記可遞特以及所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，因此在幾何上所有的一維多胞形都是正多胞形。
雖然線段做為一個多胞形是微不足道的，但它似乎是多邊形和其他更高維度圖形形成邊緣所需的一個元素#tag:ref|Coxeter Regular Polytopes（1973）, p. 120|name=crp120。在一維以及以下（包括一維、零維、負一維）空間中的多胞形都是正多胞形，包含了一維的線段、零維的點和負一維的抽象虛無多胞形都是組成多邊形和其他更高維度圖形的重要元素之一，比如一維的線段組成多邊形的邊、零維的點組成多邊形的頂點以及代表集合子集中空集合的抽象虛無多胞形都是多邊形的組成元素（子集），依據正圖形定義，若這些低為度不存在正圖形，則也不會有正多邊形和其他更高維度的正圖形。
在柱體的定義裡，線段（一維）可以被看做是點（零維）的柱體，在施萊夫利符號中以{ }×{p}表示，而在考克斯特記號中則以笛卡兒積的形式node表示一個線段和多邊形name=crp124。

**二維正多邊形**

**二維凸正多邊形**
正多邊形
邊數較大的正多邊形

**退化 （圓形）**

**星形正多邊形**

**扭歪正多邊形**

**三維正圖形**

**三維凸正多面體**
正多面體

**退化 （球面）**
在球面幾何學中，多面形 {2,n} 和多邊形二面體 {n,2} 以及一面體 {1,1} 也可以被視為是一種正多面體（正球面鑲嵌）。
他們包括：

**星形正多面體**

**扭歪正多面體**
考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體極其類似物》中列出了較多的一系列扭歪多面體，其中有四種是正圖形。

**四維正圖形**

**四維凸正多胞體**
在四維空間中存在6種凸正圖形。

**退化 （超球面）**

**扭歪多胞體**
四維的扭歪多胞體是一些位於五維或以上的扭歪圖形。

**五維正圖形**

**五維凸正多胞體**

**六維正圖形**

**六維凸正多胞體**

**七維正圖形**

**七維凸正多胞體**

**七維以上正圖形**
自五維開始，正圖形皆只有三種——單純形、超方形以及正軸形。

**n維凸正多胞體**
從五維開始，凸正多胞體都只有三種name=crptr3。

**八維**

**九維**

**十維**

**十一維**

**十二維**

**更高維度**

**n維正非凸多胞形**
從五維開始就都不存在任何非凸多胞形。

**正無窮多胞形**

**一維**

**密鋪**
對應的歐幾裡得密鋪只有一種，密鋪於一維歐幾裡得空間，即直線，即正無限邊形。其施萊夫利符號以{∞}表示、考克斯特符號以node表示。
該鑲嵌是由一維正圖形「線段」（即二維二邊形）完成一維歐幾裡得空間的密鋪。
...320px...

**雙曲密鋪**
對應的雙曲密鋪只有一種，即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間（即二維雙曲線）的密鋪，類似於無限邊形，稱為超無限邊形，但又因為它是發散的，因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以{iπ/λ}表示、考克斯特符號以node表示。
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**二維**

**平面正鑲嵌圖**

**雙曲凸正鑲嵌圖**

**雙曲星形正鑲嵌圖**

**三維**
立方體堆砌{4,3,4}的邊骨架
三維空間中只有一種正堆砌體，即立方體堆砌{4, 3, 4}：

**四維**

**五維**
五維空間的正堆砌僅有五維超立方體堆砌{4,3,3,3,4}name=crp296

**六維以上**

**雙曲**
六維或以上的維度皆不存在緊空間與仿緊空間的雙曲堆砌。不過，任何的{p,q,r,s,...}形式（其中p,q,r,s,...是大於二的自然數或無限大）以上並不包括n維空間的非緊鑲嵌。

**= 非緊鑲嵌 =**

**複合正圖形**

**二維複合正多邊形**

**抽象正圖形**

**參見**
正圖形
*多邊形
*多面體
*多胞體

**註釋**

**參考文獻**
# Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 （Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, pp. 212–213）  date=20160610043106  PDF
# D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. （Dover Publications edition, 1958） Chapter X: The Regular Polytopes

**外部連結**
 The Platonic Solids date=20210309163126 - Kepler-Poinsot Polyhedra date=20201106232654 - Regular 4d Polytope Foldouts- Multidimensional Glossary （Look up Hexacosichoron and Hecatonicosachoron）- Polytope Viewer date=20191114201137 - Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres- An atlas of small regular polytopes date=20210126160442