重整化群

在理論物理中，重整化群（renormalization group，簡稱RG）是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。
標度上的變化稱為“Scale transformation”。重整化群與“Scale invariant”和“Conformal invariant”的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

**方程**
基本想法就是耦合常數依賴長度縮放或能量標度，重整化群幫助陳述耦合數量和能量標度的關係。默裡·蓋爾曼和Francis E. Low於1954年提出了下面量子電動力學的重整化群方程：
費恩曼、朱利安·施溫格、朝永振一郎在1965年贏了物理學的諾貝爾獎，因為他們都把重整化以及正規化等想法應用於量子電動力學。
利奧·卡達諾夫在1966年推出塊自旋的概念來解釋重整化。
然後肯尼斯·威爾森使用重整化群解決近藤問題， 以及描述臨界現象和第二相變。 他1982年贏了諾貝爾獎。

**塊自旋**
這一節介紹重整化群的一個簡單圖像：塊自旋重整化群。這是由利奧·卡達諾夫在1966年推導出來的。
首先考慮一個固體，如圖所示，原子以二維正方形形式排列。假設每一個原子只與它最鄰近的原子有相互作用，且這一系統的溫度為，相互作用的強度使用耦合常數來描述。這一物理系統可以用一個特定的式子來表達，記為。
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現在，我們把這個系統分為有著個方塊的塊區，進而用塊變量來描述這個系統，這些變量可以是塊內變量的平均數。我們假設這些塊變量可以用相同的方程來描述，只不過參數和不同（事實上這一假設當然並不成立，但在實際應用中這一近似已足夠好）。
原本這個系統內有較多的原子，現在，在問題重整化後，只有四分之一個原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次後得到，這次只需要計算最初的十六分之一個原子。當然，最好是能夠迭代直到只剩下一個最大的塊區。一般來說，當迭代很多次後，重整化群變換將趨向於一個不動點上的數。
現在考慮一個具體的例子：鐵磁-順磁相變中的伊辛模型。在這個模型裡，耦合常數代表鄰近電子自旋平行時候的相互作用力。這一模型中有三個不動點：
# 和。從宏觀上來看，溫度對系統的影響變得可以忽略不計。這時系統處於鐵磁相。
# 和。與第1種情形正好相反，溫度對系統的影響佔據了主導，系統在宏觀上變得無序。
# 且。在這一特定的狀態上，改變系統的標度不改變系統的物理性質，因為系統處於分形態上。這對應居里相變，這個點稱為臨界點。

**基本理論**
假設有一個可以用狀態變量和一組耦合常數表示的函數。這個函數必須能夠用來描述整個物理系統，比如某個配分函數、作用量、哈密頓量等等。
現在我們考慮狀態變量上的塊變換，所包含的數目必須小於。接下來我們可以把函數只用來表示。如果也是可以實現的，那麼就說這個物理系統是可重整化的。
最基本的物理理論都是可以重整化的，比如量子電動力學，量子色動力學，電弱相互作用等，但是引力是無法重整化的。此外，凝聚態物理中的大部分理論也是可以被重整化的，比如超導，超流。
變量的變換可以由一個β函數實現：。這一函數可以在空間上導出流圖。系統的宏觀狀態由流圖上的不動點給出。
由於重整化群變換是有損的，這一變換不可逆，所以這一變換實際上是數學上的半群。

**舉例計算**
參見Quartic interaction（四次交互論； 論）。歐幾里得空間的拉氏量是配分函數或泛函積分是：通過重正化以及正規化 ：
若 ：所以介紹  ：所以新的拉氏量是以及 不同於，因為 改變了。 上面的 Z 陳述一個effective field theory。若 .假設所以耦合常數的變量為 。耦合常數的演進是動力系統的臨界點：

**三種耦合**
 無關耦合（irrelevant）：耦合減少了- 相關耦合（relevant）：耦合增加了- 邊緣耦合（marginal）：耦合不變
若 ，因為所以B和C是無關的，m是相關的，並且是邊緣的。
而且論是可重整化的。

**動力系統的重整化**
米切爾·費根鮑姆使用重整化群計算費根鮑姆常數，而且將重整化應用於分岔理論。
阿圖爾·阿維拉（巴西數學家）也將重整化群應用於動力系統、費根鮑姆常數等
其他應用包括：- 混沌理論- 湍流- 分形- 隨機微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、參見馬丁·海雷爾的研究- 滲流理論
等

**參見**
重整化
*密度矩陣重整化群
*臨界現象
*普遍性

**擴展閱讀**

**入門教程與歷史回顧**
 S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人說這是最成功的variational RG辦法- N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.- D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group.   arXiv.org:hep-th/9909024 date=20210506210419 . A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.- B. Delamotte (2004):  A hint of renormalization.  American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 date=20080821122039 . A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group.  For nonsubscribers see  arXiv.org:hep-th/0212049 date=20160801002113 - H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group.    American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 date=20190630215407 .  A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.- K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization.  arXiv:1310.5533 date=20190630215356 - dead-url=no 

**相關著作**
T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, ISBN 3-7186-0033-1. 是總結
*L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
*Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
*Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
*The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999)  ISBN . Full text available in  PostScript date=20170827105815 .- Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories,  World Scientific (Singapore, 2001);  Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in  PDF date=20080629214319 .

**參考文獻 ==