質數間隙

質數間隙的頻率分佈。
質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為gn 或g(pn)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

可知，g1 = 1、g2 = g3 = 2，以及g4 = 4。由質數間隙組成的數列(gn) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。
前30個質數間隙為：
 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14  id=A001223.
由gn 的定義，可得gn 及第n+1個質數的關係式如下：
 .
張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅納德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲軒發起的Polymath計畫將這數字降到246。

**簡單觀察**
第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g2 及g3 一種而已。
對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列
 
為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得gn ≥ P。（可選定n，使得pn為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。
實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。
孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 1=gn = 2。

**數值結果**
一般將給稱作的努力值（merit）。非正式地，一個質數間隙的努力值可視為一個質數間隙和附近的平均間隙大小之間的比值。
目前最大的、和一個可能質數相關的間隙，其大小為16,045,848，和一個385,713位的可能質數有關，而其努力值。這數由Andreas Höglund在2024年3月發現。而最大的和確認的質數相關的質數間隙，其大小為1,113,106，努力值為25.90，和一個18,662位的質數有關，發現者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。
為止，已知最大的及第一個超過40的努力值由Gapcoin網路所發現，其數值為41.93878373，和一個87位的質數有關7，這個質數和下一個質數之間的間隙的大小為8350。
Cramér–Shanks–Granville比值指的是這個比值。若不計2、3及7的異常高的值的話，那目這比值已知最大的數值是1693182318746371的0.9206386。其他已知的數值可見id=A111943。
若對於所有的而言，都有，則稱是最大間隙。10，已知最大的最大間隙其值是1676，發現者為Brian Kehrig。這是第83個最大間隙，出現於20733746510561442863這質數之後。
其他已知的最大間隙可見於id=A005250，而與之相關的質數可見於id=A002386，相關的n則可見於id=A005669。目前猜想，不大於第n個質數的最大間隙組成的數列大約有 項。

**更多結果**

**上界**
1852年得到證明的伯特蘭-切比雪夫定理顯示，在跟之間，總有一個質數，特別地，，因此。
1896年得證的質數定理顯示說對足夠大的質數而言，一個質數和下一個質數之間的間隙，會非病態地接近，也就是的自然對數，而實際的質數間隙可能遠大或遠小於此；
然而我們可以從質數定理推出說質數間隙跟質數的比會變得任意小，如下式所示：

以極限的定義來說，對於任意的，存在一個數，使得對於所有的而言，有

在1930年首次證明瞭以下的非線性關係，他證明瞭說，存在一個常數，使得下式成立：

由此他證明瞭，對於sufficiently large的n，有以下關係：

何海賽爾證明說小於等於32999/33000；之後海爾布龍將之給改進到249/250；而胡打科夫證明瞭說對於任意的而言，。
一個主要的改進由英厄姆做出，他證明瞭說存在一個正的常數，使得下式成立：
if  then  for any 
此處，代表大O符號，代表黎曼ζ函數，而是質數計數函數。由於是可行的數之故，因此可知可以是任何大於的數。
英厄姆結果的一個立即的推論是，在n足夠大時，在及之間總有一個質數；而從林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式對於任意正數都成立；然而這兩者都不足以推出勒讓德猜想，也就是在及之間總有一個質數這猜想。要證明這點，像是克拉梅爾猜想等更強的結果會是必要的。
在1972年證明說，是可能的。
貝克、哈曼和平茨在2001年正明說可以縮小到0.525。
上述的結果適用於「所有的」間隙，而人們對「最小的」間隙也感興趣。孿生質數猜想說，有無限多的質數，其間隙為2。在2005年，Goldston、Pintz和Yildirim三氏證明瞭以下關係：

兩年後他們又將之改進如下： to

2013年，張益唐證明瞭以下關係：

這表示說，有無限多的質數間隙，其大小不超過七千萬。之後Polymath Project的集體努力，在2013年7月20日，將張益唐界限給降到了4680。
在2013年11月，詹姆斯·梅納德改進了GPY篩法，並以之將上界給降到600，並證明瞭說兩個彼此間隔個質數的質數，其間隙有上限。也就是說，對於任意的正整數，總存在一個界限，使得對於無窮多的n而言，。利用梅納德的想法，Polymath計畫將上界給降到了246，並證明瞭說在假定Elliott–Halberstam conjecture和其推廣的狀況下，分別可將上界給降到12和6。

**下界**
1931年，埃裡克·韋斯欽蒂烏斯（Erik Westzynthius）證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，

在1938年改進了韋斯欽蒂烏斯和艾狄胥·帕爾的結果，證明瞭說存在一個常數，使得以下不等式對無限多個n成立：

之後他又證明瞭說上式對任何的都成立，其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。常數的值在1997年改進至。
艾狄胥·帕爾提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數可以任意大的人。這點在2014年由凱文·福特、本·格林、Sergei Konyagin和陶哲軒四人組以及詹姆斯·梅納德分別獨立證出。
之後這結果被上述五人改進成對無限多個n而言，以下不等式成立：

做為向艾狄胥原始獎金精神的致意，陶哲軒提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數可以任意大的人。
目前也已知關於質數鏈的下界。

**關於質數間隙的猜想**
如上所言，目前已知最好的關於質數間隙的結果是對於足夠大的n而言，（因此諸如或這樣的情況是不考慮的）但目前觀察到的結果是，即使最大的間隙，也遠小於此，也因此生出了一系列未證明的猜想。
首先，有猜想認為，對於上述何海賽爾的結果，有。
勒讓德猜想認為，在兩個完全平方數之間，都總有一個質數，而這意味著說，；安德里卡猜想則指出說：

奧珀曼猜想意味著更強的結果，就是對於任意足夠大的n而言（或許對任何的而言），總有以下關係：

上述的關係都未得證明，而哈拉爾德·克拉梅爾證明瞭說若黎曼猜想成立，那在用大O符號表述的狀況下，質數間隙會滿足以下關係：

（實際上，如果允許任意大的指數的話，這結果只需要較弱的林德勒夫猜想）
質數間隙函數
與此同時，克拉梅爾也猜想說質數間隙遠小於此，而他的猜想即是克拉梅爾猜想，克拉梅爾猜想表示說：

也就是說，其成長率是一個小於任何指數的多對數函數。
克拉梅爾猜想符合觀察到的質數間隙，此外也有其他類似的猜想。菲魯茲巴赫特猜想稍強於此，菲魯茲巴赫特猜想認為，是個對n的嚴格遞減函數，也就是說，對於任意的而言，有以下關係：

若這猜想成立，就表示說對於任意的而言，有從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與Andrew Granville、Pintz János等人的猜測不一致。他們的猜測認為，對於而言，有無限多質數間隙，使得，其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。
波利尼亞克猜想表示說，對於任何的正偶數k，都總有無限多個質數間隙等於k。k=2的情況即孿生質數猜想。目前尚未對這猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由於張益唐以及隨後的改進，目前已知這猜想對至少一個成立。

**作為數論函數**
表示第n個質數及其之後的質數間隙的是數論函數的一個例子，在將之視為數論函數的狀況下，一般都把質數間隙給記做並稱之為質數差函數。這函數非積性函數，也非加性函數。

**另見**
 Bonse不等式- Interprime- Gaussian moat- 孿生質數
*孿生質數猜想

**參考資料**
 cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=Springer-Verlag |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 

**外部連結**
 Thomas R. Nicely,  Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
*title=Prime Difference Function
*urlname=primedifferencefunction- Armin Shams,  Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture date=20210507021824 , does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results. 
*Chris Caldwell,  Gaps Between Primes date=20210515035956 ; an elementary introduction- www.primegaps.com date=20190104191331  A study of the gaps between consecutive prime numbers
*Andrew Granville,  Primes in Intervals of Bounded Length date=20210424164028 ; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.
分類:素數
分類:算術函數