分佈 (數學分析)

數學分析中，分佈（distribution）是廣義函數的一種，由法國數學家洛朗·施瓦茨首先於二十世紀五十年代引入，因此又稱施瓦茲分佈（Schwartz distribution）、施瓦茲廣義函數（Schwartz generalized function）。分佈推廣了普通意義上的函數概念：對於普通意義上不可導甚至不連續的函數，可以具備分佈意義上的導數。事實上，任意局部可積的函數都有分佈意義上的弱導數。在偏微分方程的研究中，常常使用分佈來表示方程的廣義解函數，因為很多時候傳統意義上的解函數不存在或難以求出。分佈理論在物理學和工程學中都十分有用，因為在應用中常會出現解或初始條件是分佈的微分方程，例如初始條件可能是一個狄拉克δ分佈。
廣義函數的概念最早由謝爾蓋·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人開始建立分佈理論，首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。

**基本理念**
很多時候，函數是描述某個對象的性質的手段。傳統的函數是將輸入值和輸出值建立對應關係的映射，是從本質上描述對象性質的方法。分佈的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論，特別是不確定性原理的發現，使物理學家拋棄了從本質上確定地表述對象的想法，而是將對象的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得“某個粒子的位置”的信息，是因為使用了某種測量的工具。對象的性質通過測量才得以表現。分佈理論發展了這種概念，通過觀察某個函數與其它函數的“相互作用”來刻畫這個函數。具體來說，我們觀察和一群“測量函數”之乘積的積分：。之所以使用積分作為“觀察”的方式，一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間，（局部）可積分的函數比（局部）可導的函數要“多得多”；另一方面，則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候，我們往往不要求（也無法做到）知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值，而只能通過多次測量，知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度，這種平均值才是測量和使用函數的最常見方式。而積分則是這種“平均值”的數學表現形式。
分佈理論的目的在於建立一種比一般的函數更廣泛的“廣義函數”，稱為分佈，並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函數上去。也就是說，分佈理論建立的分佈應當滿足幾個基本的要求：
*連續的函數屬於分佈；
*可微、可積的函數對應的分佈應該也能進行微分/求原函數操作，而且結果應該也是分佈，並且應該對應於原函數的微分/原函數；
*基本的微積分法則適用於分佈；
*存在適當的收斂定理，可以對分佈進行極限操作。
對每一個實數值的“測試函數”，將它映射到積分，就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為對應的分佈。積分的存在性取決於函數與的乘積，所以對要求越高，就能對越多的定義對應的分佈。分佈理論中選取的“測試函數”的集合是緊支撐的函數空間D(R)，也就是滿足以下兩個條件的R射到R函數的集合：
#擁有任意階的導函數，並且導函數連續，
#除了在某一個緊緻集合（一般可以簡化為一個有限區間）以外，函數的取值都是0.
一般來說，一個分佈就定義為 D(R) 射到R的連續線性泛函。一個分佈（作用在“測試函數”上）的值一般使用類似內積的符號記為。當“測試函數”空間選為D(R)的時候，只要 局部可積，就能定義它對應的分佈。一個函數對應的分佈通常記為，以和 區分，而它的值就是： 

對於概率分佈函數，也可以將它定義為分佈。對給定的一個測試函數，可以定義分佈作用在上的值是： 這樣定義下的是線性的泛函，所以滿足分佈的定義。
除了對普通的函數可以定義分佈，對一些普通意義上無法定義的“函數”也能定義出相應的分佈。例如0點上的狄拉克δ函數就能用分佈方式定義為：
 
也就是說它對每一個函數的“效果”是取其0點上的值。

**嚴格定義**
接下來，我們定義Rn中開集U上的實值分佈。在細微的調整之後，我們可以定義相應的復值分佈，也可以將 Rn 替換為任何（仿緊）光滑流形。
首先需要定義U上的檢驗函數空間 D(U) （即所謂的“測試函數”），定義其上的拓撲和極限。D(U)上的所有連續線性泛函構成的空間就是分佈空間。

**檢驗函數空間**
函數: U → R具有緊支撐集，當且僅當存在U的緊子集K，使得對任意 U\K 中的元素，都有。
定義D(U)為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函數（也就是所謂的隆起函數）的集合，則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以通過定義序列的極限而定義。具體如下：
一列函數收斂到某個，當且僅當其滿足以下兩條性質：
#存在緊集包含所有的支撐集：
#:
#對任意多重指標, 偏微分序列都一致收斂到
在如此定義下的拓撲中，D(U)是一個完備、局部凸的拓撲向量空間，且滿足海涅－博雷爾定理，但不是可度量的空間（不同胚於任何的度量空間）。而D(U)上的泛函連續，當且僅當對任意收斂到零的，都有

**分佈**
U上的分佈定義為D(U)上的連續線性泛函。也就是說，如果一個實線性泛函（或複線性泛函）滿足連續性，即對D(U)中任意的收斂函數列，都有

那麼就稱此泛函為U上的一個分佈。
另一個更具可操作性的定義是，如果D(U)上的一個實線性泛函（或複線性泛函）滿足以下的條件：
對任意的緊子集，都存在和，使得對任意支撐集在的檢驗函數，都有 

就稱之為U上的一個分佈。如果存在的正整數使得對任意的，都有，那麼最小的這樣的稱為這個分佈的階數（order），稱為一個階分佈。
U上的分佈集合記為D'(U)，是D(U)的拓撲對偶空間。D'(U)中的元素和D(U)中的元素之間的對偶關係可以用尖括號表示：

在弱＊拓撲下，D'(U)為一個局部凸的拓撲向量空間。其中，弱＊收斂的定義為：D'(U)中序列弱＊收斂到當且僅當對於任意的檢驗函數，有


**函數對應的分佈**
一個局部可積函數是指在U的任意緊子集上都勒貝格可積的函數。局部可積函數包括了所有的連續函數和所有的Lp可積函數。在以上定義的D(U)的拓撲中，每個局部可積的函數都對應著一個D(U)上的連續線性泛函，也就是D'(U)中的一個元素，記作。線性泛函作用在D(U)中任一個檢驗函數上的取值是：

一般約定，在不至於引起混淆的時候，可以將和等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作：
 
可以證明，兩個局部可積函數和對應的分佈相同，當且僅當它們幾乎處處相等。與函數的分佈類似，U上的每個Radon測度都有一個對應的分佈，定義為：
 
與函數的對應分佈一樣，測度對應的分佈在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來，比如將上式寫成。
可以注意到，檢驗函數也是局部可積的，所以也有對應的分佈。這些分佈在D'(U)上是稠密的（對於以上定義的拓撲來說）。也就是說，任意一個分佈都是某個檢驗函數（分佈）序列收斂的極限。對任意的檢驗函數，都有：


**參見**
偽微分算子
*里斯表示定理
*模糊拓撲
*弱解

**參考來源**
year=1997.
*year=1966–1968.
*isbn=3-540-12104-8 .- .- .- isbn=0-07-054236-8.- pages=847–848.- year=1950–1951.- isbn=0-691-08078-X.- isbn=0-8493-8273-4.
*pages=126 ff.

**拓展閱讀**
 M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)- H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition,  World Scientific (Singapore, 2006)(also available online  here date=20080615134934 ). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.- V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0- year=2001.- year=2001.- year=2001.- year=2001.- year=2001.