黃金進制

黃金進制（Golden ratio base）是使用黃金比φ作為底數的進位制，其中 是一個無理數。在英語中，黃金進制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黃金進制下，任何非負整數都約定使用0和1表示，並且不連續使用兩個1，這叫做黃金進制的標準形。任何黃金進制的數凡是出現11，就一定可以根據黃金比φ的性質 φn+φn−1=φn+1 表示成標準形。例如，11φ = 100φ。
雖然黃金進制使用無理數作為基底，任何非負整數在黃金進制下都可以表示成有限小數。所有有理數則都可以表示成循環小數。所有數的有限表示都是唯一的，但和十進制一樣，整數和有限小數都可以寫成無限小數的形式，如十進制中的 1 = 0.99999…。

**舉例**

**轉化到標準形**
211.01φ是φ進制數，但並非標準形，因為它含有“11”和“2”，以及1=-1。我們可以根據以下公式將它轉化到標準形：
*011φ = 100φ
*0200φ = 1001φ
*010φ = 101φ
公式的代換過程對結果沒有影響。具體過程如下：
211.01φ
300.01φ     011φ → 100φ
1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ (again)
10001.101φ    010φ → 101φ
10000.011φ    010φ → 101φ (again)
10000.1φ      011φ → 100φ (again)
任意非標準形正數都可以唯一地標準化。這樣處理之後如果第一位是負數，此時需要將每一位數都變成相反數，重新標準化並加上負號。例如：
101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ

**整數的黃金進製表示**
通常所說的整數在黃金進制下是有限小數。例如，整數5轉化成黃金進制的過程如下所示：
# 5以下φ的最高次冪是 φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236；
# 與5求差為5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；
# 0.763以下最大的φ的冪是 φ－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；
# 再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
# 0.145以下最大的φ的冪是 φ－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；
# 再次求差得到0
# 於是：　5 = φ3 + φ－1 + φ－4
5用φ進製表示就是1000.1001φ。
這裡其實利用了以下事實：凡φ的冪都可以用整數a、b表示成 a + b φ 的形式。因為 φ2 = φ + 1 、φ－1 = -1 + φ 。如此一來，數之間比大小就容易了。實際上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等價。只需將 φ = (1+√5)/2 代入，稍作處理就可得到這一結果。
黃金進制下的有限小數不全是整數，還包括環的元素。

**數的表示不唯一**
和其他進位制相同，黃金進制中也可以用多種形式表示同一個數。就像10進制中0.999...=1，φ進制中0.1010101…φ=1。
*使用非標準形變換：1  = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
*使用等比級數展開：1.0101010…φ 等於
*:
*錯項相減：φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ 所以 x = φ/(φ2 － 1) = 1
這種不唯一是進位制的特徵，1.0000和0.101010…都是標準形。一般地，φ進位制中數最後的1用01循環代替即可得到另一標準形。

**有理數的黃金進製表示**
在黃金進制中，可以用有限小數或者循環小數表示任意非負有理數，以及從有理數和√5生成的域Q√5中的非負元素。其中

相反地，黃金進制中的有限/循環小數都是Q√5 中的非負元素。例如：
*1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... φ
*1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... φ
*√5 = 10.1φ
*2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ...φ
對這一點的證明與十進制中類似。在黃金進制下進行長除法。因為其餘數的可能值是有限個，所以必定會出現循環。例如 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ 進行長除法如下：
.0 1 0 0 1
________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1                        代換 10000 = 1100 = 1011
_______                        於是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
1 0 0 0 0
1 0 0 1
_______
etc.
反之，黃金進制中的循環小數都屬於Q√5。因為循環部分形成了等比級數，對它求和即可得到Q√5的元素。

**無理數的黃金進製表示**
常見無理數的黃金進製表示如下：- π ≈  A102243- e ≈  A105165- √2 ≈  A352678- φ =  = precision=0φ（在此計數系統為整數）- √5 = precision=1φ

**四則運算**
在黃金進制中可以和其它進制一樣進行四則運算。加法、減法、乘法的計算方法如下：

**加、減、乘**
先計算，後轉化
即先對每一位按十進制數的方法計算，但不進行進位、借位，計算完再轉化為標準形。例如：
:2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
:2×3 =  10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
:7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001
避免0和1以外的數
更加自然的做法是將數轉化為非標準形，以避免出現需要進位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：
:2+3 = 10.01 + 100.01 =  10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
:7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

**除法**
除了整數以外，所有有理數都不能用有限位φ進制數表示。也就是說，黃金進制中能用有限小數表示的數只有整數或者域Q√5中的無理數。兩個整數相除得到有理數的情況已經在上文說明了。

**斐波那契進制**
斐波那契進制（Fibonaccimal Base）是與黃金進制關係緊密的計數系統。它只用0和1表示數，每個數位的位值對應斐波那契數。和黃金進制一樣，其標準形也不連續使用兩個1。如：
30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.
由於最末位始終為零，因此有時會將之省去，而省去後的結果則與齊肯多夫表述法相同。

**參見**
 進位制

**外部鏈接**
  Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)date=20090904065603 

**參考資料**
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*pages=26–30