富比尼–施圖迪度量

在數學中，富比尼–施圖迪度量（Fubini–Study metric）是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 CPn。這個度量最先由圭多·富比尼與愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。 
向量空間 Cn+1 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n+1,C) 中一個酉子群 U(n+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似（整體縮放）的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定；從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後，CPn 是一個對稱空間。度量的特定正規化與(2n+1)-球面上的標準度量有關。在代數幾何中，利用一個正規化使 CPn 成為一個霍奇流形。

**構造**
富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。
具體地，可以定義 CPn 由 Cn+1 中復直線組成的空間，即 Cn+1 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 C* = C \ {0} 的對角群作用下的商相同：

這個商將 Cn+1 實現為底空間 CPn 上的複線叢（事實上這就是 CPn 上所謂的重言叢）。CPn 中的一點等同於 (n+1)-元組 Z0,...,Zn 模去非零復縮放的一個等價類；這些 Zi 稱為這個點的齊次座標。
進一步，我們可以分兩步實現這個商：因為乘以一個非零複數 z = R eiθ 可以惟一地想成一個以模長 R 為因子的縮放與沿著原點一個逆時針旋轉角度  的複合，商 Cn+1→CPn 分成兩塊。

其中第 (a) 步以正實數乘法群 R+ 的縮放 Z ~ RZ，這裡 R ∈R+，作商；步驟 (b) 是關於旋轉 Z ~ eiθZ 的商。
第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定義的實超球面 S2n+1。第 (b) 步的商實現為 CPn = S2n+1/S1，這裡 S1 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S1 → S2n+1 → CPn實現 ，纖維屬於  中的大圓。

**作為度量商**
當取一個黎曼流形（或一般的度量空間）的商時，必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，則為了是軌道空間 X/G 擁有一個誘導度量， 沿著 G-軌道必須是常值，這便是說對任何元素 h ∈ G 以及一對向量場   必須有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。
Cn+1 上標準埃爾米特度量在標準基下為

它的實化是 R2n 上標準歐幾里得度量。這個度量在 C* 的作用下沒有不變性，所以我們不能直接將其推下到商空間 CPn 中。但是，這個度量在旋轉群 S1 = U(1) 的對角作用下是不變的。從而，上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。 
富比尼–施圖迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上誘導的度量, 其中  帶著所謂的“圓度量”，是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。

**在局部仿射座標中**
對應於 CPn 中具有齊次座標(Z0,...,Zn) 的一點，只要 Z0 ≠ 0，存在惟一 n 個座標集合 (z1,…,zn) 使得

特別地 zj = Zj/Z0。這個 (z1,…,zn) 組成 CPn 在座標片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一個仿射座標系。在任意座標片 Ui={Zi≠0} 上通過除以 Zi，得到一個仿射座標系。這 n+1 個座標片 Ui 蓋住了 CPn，在 Ui 上可以利用仿射座標系 (z1,…,zn) 給出度量的具體表達式。座標導數定義了 CPn 全純切叢的一個標架 ，利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量

這裡|z|2 = z12+...+zn2。這樣，富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣是

注意每個矩陣元素是酉不變的：對角作用  不會改變這個矩陣。
對應地，線元素為

在最後的表達式中，使用了愛因斯坦求和約定，拉丁字母指標 i 和 j 從 1 求到 n。

**在齊次座標中**
在齊次座標 Z = Z0,...,Zn 中也有相應的表達式。形式上，我們有

上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定，希臘字母指標從 0 求到 n，最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號：

現在，ds2 的這個表達式顯然在重言叢 Cn+1\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿著 CPn 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 CPn 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關：這可以直接計算。
差一個整體正規化常數，這個度量的凱勒形式為

其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|Z|2 是 CPn 的凱勒數量。

**n = 1 情形**
當 n = 1，有由球極投影給出的微分同胚 。這導致了特殊的霍普夫纖維化 S1→S3→S2。當在 CP1 中的座標系寫出富比尼–施圖迪度量，它在實切叢上的限制得出 S2 上半徑 1/2 的通常圓度量。
具體地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP1 上標準仿射座標卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的極座標，則一個簡單的計算表明

這裡  是單位 2-球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 給出的 S2 “數學家的”球座標（許多物理學家偏向於將 φ 和 θ互換）。

**曲率性質**
在 n = 1 的特例，富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率，因為它與 2-球面的圓度量等價（半徑 R 球面的數量曲率是 ）。但是，對 n > 1，富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出

這裡  是 2-維平面 σ 的一個標準正交基，J : TCPn → TCPn 是 CPn 上的復結構，而  是富比尼–施圖迪度量。
這個公式的一個推論是任何 2-維平面  的截面曲率滿足 。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2-維平面得到——對這樣的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直於 σ 的2-維平面 σ 得到。因此，富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。
這使 CPn 成為一個（非嚴格的）Sphere theorem；一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 n-流形一定同胚於球面。
富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量，它與裡奇張量成比例：存在一個常數 λ 使得對所有 i,j 我們有

除此以外，這蘊含著，在差一個數量相乘的意義下，富比尼–施圖迪度量在裡奇流下不變。這也使 
CPn 與廣義相對論不可分離，它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

**量子力學**
富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號，或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來，令

這裡  是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合， 是複數，而  是射影空間  中一點在齊次座標中的標準記號。那麼，給定空間中兩點  與 ，它們之間的距離是

或等價地，在射影簇記號中，

這裡  是  的複共軛。分母中出現的  提醒了  以及類似的  不是單位長規範化的；故這裡明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中，此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度；故它又稱為量子角（quantum angle）。這個角度是實值的，取值於零到 。
通過取 ，或等價地 ，馬上可以等到這個度量的無窮小形式

在量子力學中，CP1 叫做布洛赫球面；富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為，包括量子糾纏和貝里相位（Berry phase）效應，可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

**乘積度量**
通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講，此度量在射影空間的自然乘積Segre embedding中是可分的。這是說如果  是一個可分態，從而可以寫成 ，則度量是子空間上度量之和：

這裡  和  是在子空間 A 與 B 上各自的度量。

**相關條目**
非線性σ模型- 卡魯扎-克萊因理論

**參考文獻**
Citation | last1=Besse | first1=Arthur L. | title=Einstein manifolds | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) Results in Mathematics and Related Areas (3), vol. 10 | isbn=978-3-540-15279-8 | year=1987 | pages=xii+510-  doi=10.1016/S0393-0440(00)00052-8 -  pages=30–31 - year=2001.