測圓海鏡

知不足齋叢書《測圓海鏡》圓城圖式，其中用天地-{乾}-坤等指代三角形內各點
《測圓海鏡》是中國金代數學家李冶的代表作，於公元1248年寫成。全書一共十二卷，由一百七十個問題組成。書中對勾股容圓的問題進行了探討，系統地建立了“天元術”（列一元方程的方法）來解決幾何問題。《測圓海鏡》被認為是中國現存的第一部天元術著作。
天元術是對具體問題列出方程而後求解的方法。天元術於宋金時期開始發展，到元朝達到一個高峰。在《測圓海鏡》問世之前，中國雖有以天人代表未知數用以佈列方程和多項式的工作，但早期著作已失，僅存被引用的一些片段。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術，用“天元”代替未知數，列出方程，然後求解。

**內容**
《測圓海鏡》由卷一的圓城圖式、說明各個長度名稱的總率名號、給出各個長度數值的今問正數、囊括了各個量之間關係的公式總集識別雜記；卷二至卷十二，共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有148問，182種方法是以天元術列出方程以求解，其中列出一次方程31個，二次方程106個，三次方程24個，四次方程20個，六次方程1個

**卷一**

**圓城圖式**
圓城圖式（右圖）是全書的總括圖解，由一個直角三角形（古時稱為勾股形）、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是天、地、-{乾}-，天地-{乾}-三角形的內切圓圓心稱為心。過心的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於日、南、北三點。過心的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於川、東、西三點。過東的垂直線和過南的水平線都是內切圓的切線，它們分別交天地-{乾}-三角形於艮、坤、山、月四點，而相交於巽點。-{乾}-坤巽艮構成一個正方形。過月的垂直線交東西水平線於青點，交地-{乾}-邊於泉點。過山的水平線交南北垂直線於朱點，交天-{乾}-邊於金點。而這兩條線相交於泛點。最後過日的水平線交天-{乾}-邊於旦點，過川的垂直線交地-{乾}-邊於夕點。總共22個點。

**總率名號**
全書所研究的三角形一共有15個，全部是以天地線之間的線段為弦（斜邊）的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是：
其中弦是三角形斜邊，股是三角形的長直角邊（這裡是豎直的），勾是三角形短直角邊（這裡是水平的）。（代表通勾，代表通股，代表通弦，餘類推）。

**今問正數**
今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為120步，作為標準。- 弦- 勾- 股- 勾股和：a + b- 勾股校：b - a- 勾弦和：a + c- 勾弦校：c - a- 股弦和：b + c- 股弦校：c - b- 弦校和：c + (b - a)- 弦校校：c - (b - a)- 弦和和：(a + b) + c- 弦和校：(a + b) - c
例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，較（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，較三百六十；股弦和一千二百八十，較八十；弦較和九百六十，較四百；弦和和一千六百，較二百四十。」
15個勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15個勾股形中，只有13個勾股形是相異的。
《今問正數》共15個勾股形×13項=195項。
，列表如下。
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**識別雜記**
識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了692個公式。是全書的綱領。
識別雜記包含八項：
*諸雜名目：是全書的總綱，列出各項定義，例如虛勾虛股相得名為虛率，高股平勾差名為角差，又名遠差等等。諸雜名目中還列出三十餘項定理，如凡大差小差相乘為半段徑冪，大差勾小差股相乘同上、黃廣股黃長勾相乘為經冪等等。

**=名目=**

**=雜用公式=**
# = # = 
# = 
# = 
# = 
# = 
# = 
# = 
# = 
# = =
# 

**=五和五較=**
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
此外還有諸弦，大小差，諸差，諸率互見，四位拾遺，拾遺。
一共692關係式，這些關係式完全是幾何定理，與具體數值無關。
舉例：第三條中“勾股和即弦黃和”一句就是：三角形兩直角邊之和等於斜邊加上內切圓直徑（“黃”指內切圓直徑）。這個命題可以由直角三角形的勾股定理推出：
設直角三角形三邊分別為、、，其中
內接圓直徑，因此
內接圓直徑 + 斜邊 = 

 = 兩直角邊之和
後面出現的各問題，都根據這些公式中的相等關係而列出方程，然後求解。
李冶的692個公式中，有8個是錯誤的，只是因為數值吻合而被誤認為成立。

**新設第一率**

**新設第二率**

**新設第三率**

**新設第四率**

**第二卷**
正率14問
測圓海鏡卷二 正率
從第二捲開始，《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題，它們都是圍繞著同一個題設背景而展開。
在第二捲開頭，李冶作出了以後題目公用的總假設：
這裡的圓城就是指天地-{乾}-三角形的內切圓，其方向按照圓城圖式裡面東南西北四個點的位置而定（注意北在下方，東在左邊，與現在通用的方位相反），所謂的“-{乾}-地”、“坤地”則是指圓城圖式裡面出現的-{乾}-點、坤點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。
接下來的問題都是已知某些線段的長度，問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法（代數演算），再給出演草（代入數值的計算）。
洞淵九容
開頭十個問題，不需要天元方程。清代數學李善蘭認為，第一個問題和《九章算術》的勾股容圓題目一樣，第二問至第十問就是《自序》中提到的“洞淵九容”。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草，李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式，並以第二問為例闡明如下：


又因：

所以

得

其餘類推。
。
第一問：或問：甲乙二人俱在-{乾}-地，乙東行三百二十步而立。甲南行六百步望見乙，問徑幾里？
答曰：城徑二百四十步。
勾股容圓

第二問：勾上容圓
第三問：股上容圓
第四問：勾股上容圓
第五問：弦上容圓
第六問：勾外容圓
第七問：股外容圓
第八問：弦外容圓
第九問：勾外容圓半
第十問：股外容圓半
天元術
測圓海鏡細草 卷二 第十四問 草曰
從第十四題開始，引入天元術，將所求的未知量設為“天元”，然後根據識別雜記中給出的公式構造出兩個天元式，另其相等，然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序，高次冪在常數項之上，和《益古演段》，《四元玉鑑》的相反。
第十四問
“或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前”。
法曰：以二行步相乘為實，二行步相併為從，一步常法，得半徑。
草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，
內減天元半徑得股圓差：
::::::::::元
::::::::。
又置乙東行步在地，內減天元，得勾圓差：
::::::::元
:::::::
以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪：
::::::::::
::::::::元
::::::
又置天元冪以倍之，也為半段黃方冪；
::::::::
::::::::元
因此，得
相消得：
::::::::::
::::::::元
:::::::
解方程，得半徑。

**第三卷**
邊股17問 

**第四卷**
底勾17問：已知及另一邊求直徑d.
。
第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。

**第五卷**
大股18問：已知。

**第六卷**
大勾18問：
1-11，13-19已知a_{1}，及另一邊求直徑d.
12問：已知 及另邊，求直徑。

**第七卷**
明叀前18問；求直徑d。

**第八卷**
邊股17問：已知 三至八邊，或其差，和，求直徑d.

**第十四問**
 或問：高差，平差並一百六十一步，明差叀差並七十七步，問答同前。
 即：
草曰：
已知 
 
 
 相加除2 ; 根據#雜用公式，等於皇極差：
 
 
 設天元一為上平勾：
 
  =
:::  (雜用公式)
 因為  (雜用公式)




(圓城直徑),

將 乘下高股

乘之以皇極弦冪:

因此

左右相消得：
解之得 ; 
 正合#今問正數中的下平勾。

**第九捲上**
：大斜四問

**第九卷下**
：大和8問
邊股17問：已知三邊，求直徑d。

**第十卷**
：三事和8問

**第十一卷**
 雜糅18問：
第十七問，十八問取自《洞淵算書》。

**第十二卷**
 之分14問

**版本**
天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑑後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者有北宋蔣周撰《益古集》、李文一撰《照膽》，石信道撰《鈐經》、劉汝諧撰《如積釋鎖》等書，世人才知道有天元。此外朱世傑《四元玉鑑》引用北宋《洞淵九容細草》兩道題，其中有“立天元一”。後來李德載撰《兩儀群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《陰陽備用三元節要》三卷下有天元，地元。但是這些早期天元術的著作已經失傳。宋代《楊輝算法》保留蔣周《益古集》的一些條段法的題目，沒保留天元術的內容。現存元刻本《陰陽備用三元節要》只有一條二元術題，《測圓海鏡》是現存最早的系統地講述天元術的著作。
到了明代，天元術因為艱深難懂而少人研究，幾近失傳。明代唐順抄錄過《測圓海鏡》，但不懂天元術；顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》，但完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義，因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去，只留下用開方術解方程的過程，以便後人學習。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘。《測圓海鏡分類釋術》一書，雖然刪除了天元術內容，但保存了全部算題，也補入正確的幾何學解法，使得幾近失傳的《測圓海鏡》，得以從新流傳。
十八世紀時，隨著西洋算學傳入中國，李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。戴東原從《永樂大典》中輯錄出李冶《測圓海鏡》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經研讀元學士李冶的《測圓海鏡》，對其中的天元之術感到不解，後來在研習西方的“借根方”法時發現所謂的“借根”就是“立天元”（都是設未知數），方才重新開始認識天元術。之後，《四元玉鑑》等其它天元術著作也被重新認識。孔廣森曾校對《測圓海鏡》中的四章。-{乾}-隆三十八年（1773年），《四庫全書》收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《數書九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。1873年，張楚鍾發表《測圓海鏡通釋》對《識別雜記》中的幾百條定理，用幾何方法逐條證明。

**清代研究**
1896年劉岳雲出版《測圓海鏡解》，發現《圓城圖式》中各線段的簡單加減關係，發表《諸率加減表》，此後李善蘭出版《測圓海鏡解》等。他在另一篇著作《天算或問》中給出勾股容圓各公式的統一公式。其後陳維祺發表《各率及較泛積表》將《識別雜記》用“泛積”概念統一表示。王季同在《九容公式》中進一步發展了陳維祺的成果，發現
極勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
極股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
半徑=(高股 * 平勾 )^(1/2)

**國際研究**
19世紀初，朝鮮數學家南秉哲著《海鏡細草解》。
1913年，法國學者L.van Hoe 介紹《測圓海鏡》。1982年，法國林力娜（K. Chemla)作論文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，獲得博士學位。1983年，新加坡大學教授藍麗蓉發表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,論述《測圓海鏡》。

**評價**
清代數學家對《測圓海鏡》給予很高評價。阮元認為《測圓海鏡》是“中土數學之寶書”，李善蘭稱讚它是“中華算書，無有勝於此者”。白尚恕說，《測圓海鏡》的成就，超過同時期的印度，阿拉伯和歐洲，“處於世界數學裡遙遙領先的地位”

**參考文獻**

**引用**

**來源**
 書籍- year = 1965年 - ISBN = 978-7-537-51884-0 

**參見**
 李冶《益古演段》- 朱世傑《四元玉鑑》- 李善蘭- 秦九韶算法