ROC曲線

3條ROC曲線
在信號檢測理論中，接收者操作特徵曲線，或者叫ROC曲線（Receiver operating characteristic curve），是一種坐標圖式的分析工具，用於選擇最佳的信號偵測模型、捨棄次佳的模型或者在同一模型中設定最佳閾值。
在做決策時，ROC分析能不受成本／效益的影響，給出客觀中立的建議。
ROC曲線首先是由二戰中的電子工程師和雷達工程師發明的，用來偵測戰場上的敵軍載具（飛機、船艦），也就是信號檢測理論。之後很快就被引入了心理學來進行信號的知覺檢測。數十年來，ROC分析被用於醫學、無線電、生物學、犯罪心理學領域中，而且最近在機器學習（machine learning）和數據挖掘（data mining）領域也得到了很好的發展。

**基本概念**
分類模型（又稱分類器，或診斷）是將一個實例映射到一個特定類的過程。ROC分析的是二元分類模型，也就是輸出結果只有兩種類別的模型，例如：（陽性／陰性）（有病／沒病）（垃圾郵件／非垃圾郵件）（敵軍／非敵軍）。
當訊號偵測（或變數測量）的結果是一個連續值時，類與類的邊界必須用一個閾值（threshold）來界定。舉例來說，用血壓值來檢測一個人是否有高血壓，測出的血壓值是連續的實數（從0~200都有可能），以收縮壓140／舒張壓90為閾值，閾值以上便診斷為有高血壓，閾值未滿者診斷為無高血壓。二元分類模型的個案預測有四種結局：
# 真陽性（TP）：診斷為有，實際上也有高血壓。
# 偽陽性（FP）：診斷為有，實際卻沒有高血壓。
# 真陰性（TN）：診斷為沒有，實際上也沒有高血壓。
# 偽陰性（FN）：診斷為沒有，實際卻有高血壓。
這四種結局可以畫成2 × 2的混淆矩陣：

**ROC空間**
ROC空間將偽陽性率（FPR）定義為 X 軸，真陽性率（TPR）定義為 Y 軸。
*TPR：在所有實際為陽性的樣本中，被正確地判斷為陽性之比率。（相當於靈敏度。）

*FPR：在所有實際為陰性的樣本中，被錯誤地判斷為陽性之比率。

給定一個二元分類模型和它的閾值，就能從所有樣本的（陽性／陰性）真實值和預測值計算出一個 (X=FPR, Y=TPR) 座標點。
在這條線的以上的點代表了一個好的分類結果（勝過隨機分類），而在這條線以下的點代表了差的分類結果（劣於隨機分類）。
完美的預測是一個在左上角的點，在ROC空間座標 (0,1)點，X=0 代表著沒有偽陽性，Y=1 代表著沒有偽陰性（所有的陽性都是真陽性）；也就是說，不管分類器輸出結果是陽性或陰性，都是100%正確。一個隨機的預測會得到位於從 (0, 0) 到 (1, 1) 對角線（也叫無識別率線）上的一個點；如果分類器採用“拋硬幣”的設定，那麼該預測會在點(0.5, 0.5)上。
讓我們來看在實際有100個陽性和100個陰性的案例時，四種預測方法（可能是四種分類器，或是同一分類器的四種閾值設定）的結果差異：
TPR = 0.63 
TPR = 0.77 
TPR = 0.24 
TPR = 0.76
FPR = 0.28 
FPR = 0.77 
FPR = 0.88 
FPR = 0.12
ACC = 0.675 
ACC = 0.500 
ACC = 0.180 
ACC = 0.820
ROC空間的4個例子
將這4種結果畫在ROC空間裡：- 點與隨機猜測線的距離，是預測力的指標：離左上角越近的點預測（診斷）準確率越高。離右下角越近的點，預測越不準。- 在A、B、C三者當中，最好的結果是A方法。- B方法的結果位於隨機猜測線（對角線）上，在例子中我們可以看到B的準確度（ACC，定義見前面表格）是50%。- C雖然預測準確度最差，甚至劣於隨機分類，也就是低於0.5（低於對角線）。然而，當將C以 (0.5, 0.5) 為中點作一個鏡像後，C的結果甚至要比A還要好。這個作鏡像的方法，簡單說，不管C（或任何ROC點低於對角線的情況）預測了什麼，就做相反的結論。

**ROC曲線**
隨著閾值調整，ROC座標系裡的點如何移動
上述ROC空間裡的單點，是給定分類模型且給定閾值後得出的。但同一個二元分類模型的閾值可能設定為高或低，每種閾值的設定會得出不同的FPR和TPR。- 將同一模型每個閾值 的 (FPR, TPR) 座標都畫在ROC空間裡，就成為特定模型的ROC曲線。
例如右圖，人體的血液蛋白濃度是呈正態分佈的連續變數，病人的分佈是紅色，平均值為A g/dL，健康人的分佈是藍色，平均值是C g/dL。健康檢查會測量血液樣本中的某種蛋白質濃度，達到某個值（閾值，threshold）以上診斷為有疾病徵兆。研究者可以調整閾值的高低（將左上圖的B垂直線往左或右移動），便會得出不同的偽陽性率與真陽性率，總之即得出不同的預測準確率。
1. 由於每個不同的分類器（診斷工具、偵測工具）有各自的測量標準和測量值的單位（標示為：「健康人－病人分佈圖」的橫軸），所以不同分類器的「健康人－病人分佈圖」都長得不一樣。
2. 比較不同分類器時，ROC曲線的實際形狀，便視兩個實際分佈的重疊範圍而定，沒有規律可循。
3. 但在同一個分類器之內，閾值的不同設定對ROC曲線的影響，仍有一些規律可循：- 當閾值設定為最高時，亦即所有樣本都被預測為陰性，沒有樣本被預測為陽性，此時在偽陽性率 FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 FP = 0，所以 FPR = 0%。同時在真陽性率（TPR）算式中， TPR = TP / ( TP  + FN ) 算式中的 TP = 0，所以 TPR = 0%
→  當閾值設定為最高時，必得出ROC座標系左下角的點 (0, 0)。
*當閾值設定為最低時，亦即所有樣本都被預測為陽性，沒有樣本被預測為陰性，此時在偽陽性率FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 TN = 0，所以 FPR = 100%。同時在真陽性率 TPR = TP / ( TP  + FN ) 算式中的 FN = 0，所以 TPR=100%
→  當閾值設定為最低時，必得出ROC座標系右上角的點 (1, 1)。
*因為TP、FP、TN、FN都是累積次數，TN和FN隨著閾值調低而減少（或持平），TP和FP隨著閾值調低而增加（或持平），所以FPR和TPR皆必隨著閾值調低而增加（或持平）。
→ 隨著閾值調低，ROC點 往右上（或右／或上）移動，或不動；但絕不會往左下(或左／或下)移動。

**曲線下面積（AUC）**
例示三種AUC值（曲線下面積）
在比較不同的分類模型時，可以將每個模型的ROC曲線都畫出來，比較曲線下面積做為模型優劣的指標。

**意義**
ROC曲線下方的面積（Area under the Curve of ROC (AUC ROC)），其意義是：
*因為是在1x1的方格裡求面積，AUC必在0~1之間。
*假設閾值以上是陽性，以下是陰性；
*若隨機抽取一個陽性樣本和一個陰性樣本，分類器正確判斷陽性樣本的值高於陰性樣本之機率 。
*簡單說：AUC值越大的分類器，正確率越高。
從AUC判斷分類器（預測模型）優劣的標準：
*AUC = 1，是完美分類器，採用這個預測模型時，存在至少一個閾值能得出完美預測。絕大多數預測的場合，不存在完美分類器。
*0.5 < AUC < 1，優於隨機猜測。這個分類器（模型）妥善設定閾值的話，能有預測價值。
*AUC = 0.5，跟隨機猜測一樣（例：丟銅板），模型沒有預測價值。
*AUC < 0.5，比隨機猜測還差；但只要總是反預測而行，就優於隨機猜測。

**計算**
AUC的計算有兩種方式，都是以逼近法求近似值。

**梯形法**
梯形法（trapezoid method）：簡單地將每個相鄰的點以直線連接，計算連線下方的總面積。因為每一線段下方都是一個梯形，所以叫梯形法。- 優點：簡單，所以常用。- 缺點：傾向於低估AUC。

**ROC AUCH法**

**潛在問題**
AUC of ROC是機器學習的社群最常使用來比較不同模型優劣的方法 。然而近來這個做法開始受到質疑，因為有些機器學習的研究指出，AUC的雜訊太多，並且很常求不出可信又有效的AUC值（此時便不能保證AUC傳達本節開頭所述之意義），使得AUC在模型比較時產生的問題比解釋的問題更多 。

**分析軟體**
所有常用於統計分析的軟體（例：SPSS、SAS、SYSTAT、S-Plus、ROCKIT、RscorePlus）都有依據不同閾值自動計算真陽性和偽陽性比率、並依此繪製ROC曲線的功能。
離散分類器（discrete，或稱「間斷分類器」），如決策樹，產生的是離散的數值或者一個二元標籤。應用到實例中，這樣的分類器最後只會在ROC空間產生單一的點。而一些其他的分類器，如樸素貝葉斯分類器，邏輯斯諦迴歸或者人工神經網絡，產生的是實例屬於某一類的可能性，對於這些方法，一個閾值就決定了ROC空間中點的位置。舉例來說，如果可能值低於或者等於0.8這個閾值就將其認為是陽性的類，而其他的值被認為是陰性類。這樣就可以通過畫每一個閾值的ROC點來生成一個生成一條曲線。MedCalc是較好的ROC曲線分析軟件。

**參考文獻**

**引用**

**來源**
 Zou, K.H., O'Malley, A.J., Mauri, L. (2007). Receiver-operating characteristic analysis for evaluating diagnostic tests and predictive models. Circulation, 6;115(5):654–7. -  isbn = 9780471347729 - Lasko, T.A., J.G. Bhagwat, K.H. Zou and Ohno-Machado, L. (2005). The use of receiver operating characteristic curves in biomedical informatics. Journal of Biomedical Informatics, 38(5):404–415.- Balakrishnan, N., (1991) Handbook of the Logistic Distribution, Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0824785871.- Gonen M., (2007) Analyzing Receiver Operating Characteristic Curves Using SAS, SAS Press, ISBN 978-1-59994-298-1.- Green, W.H., (2003) Econometric Analysis, fifth edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-066189-9.- Heagerty, P.J., Lumley, T., Pepe, M. S. (2000) Time-dependent ROC Curves for Censored Survival Data and a Diagnostic Marker Biometrics, 56:337–344- Hosmer, D.W. and Lemeshow, S., (2000) Applied Logistic Regression, 2nd ed., New York; Chichester, Wiley, ISBN 0-471-35632-8.- Brown, C.D., and Davis, H.T. (2006) Receiver operating characteristic curves and related decision measures: a tutorial, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 80:24–38- Mason, S.J. and Graham, N.E. (2002) Areas beneath the relative operating characteristics (ROC) and relative operating levels (ROL) curves: Statistical significance and interpretation. Q.J.R. Meteorol. Soc., 128:2145–2166.- Pepe, M.S. (2003). The statistical evaluation of medical tests for classification and prediction. Oxford. ISBN  0198565828.- Carsten, S. Wesseling, S., Schink, T., and Jung, K. (2003) Comparison of Eight Computer Programs for Receiver-Operating Characteristic Analysis. Clinical Chemistry, 49:433–439- Swets, J.A. (1995).  Signal detection theory and ROC analysis in psychology and diagnostics: Collected papers. Lawrence Erlbaum Associates.- Swets, J.A., Dawes, R., and Monahan, J. (2000) Better Decisions through Science. Scientific American, October, pages 82–87.

**外部鏈接**
  An introduction to ROC analysis-  A more thorough treatment of ROC curves and signal detection theory-  Tom Fawcett's ROC Convex Hull: tutorial, program and papersdate=20090615110133 -  Peter Flach's tutorial on ROC analysis in machine learning-  The magnificent ROCdate=20100529080209  — An explanation and interactive demonstration of the connection of ROCs to archetypal bi-normal test result plots