狄爾沃斯定理

在數學中，在序理論和組合學領域，狄爾沃斯定理通過將集合劃分為數目最少的鏈來量化地描述任何有限偏序集的寬度。它以數學家first2=帕爾默 命名。
偏序集中的反鏈是其元素兩兩不可比的子集，而鏈是其元素兩兩可比的子集。鏈分解是將偏序集中的元素劃分為若干無交的鏈。狄爾沃斯定理指出，有限偏序集合中，包含元素最多反鏈的元素數等於包含鏈數最少的鏈分解的鏈數，這個量被定義為該偏序集的寬度。
將這個定理推廣到無限偏序集：如果存在有限多個鏈的分解，或當反鏈的大小有有限的上界時，最大反鏈和最小鏈分解的大小仍然相等。

**歸納法證明（1）**
下面通過在偏序集的大小施數學歸納法的證明來自year=1994。
設P是有限偏序集。如果P是空集，狄爾沃斯定理是顯然的。所以設P非空，並取其極大元a。
通過歸納法，設整數k，使得偏序集P:=P\{a}可以被k個不相交的鏈C1,C2,...,Ck覆蓋，同時存在至少一個反鏈A0包含k個元素。顯然，對於任意i=1,2,...,k，A0∩Ci≠∅。對於任意i=1,2,...,k，設xi是滿足在中某一個大小為k的反鏈中且包含於Ci中的所有元素中的極大元，並設集合A:={x1,x2,...,xk}。首先我們證明A是一個反鏈：設Ai是包含xi的大小為k的反鏈。固定兩個不同的編號i和j ，有Ai∩Cj≠∅ 。設y∈Ai∩Cj，則y≤xj（xj的定義）。這說明xi≥xj 不成立（因為xi≥y不成立）。通過在上述證明中交換i和j，可得xj≥xi 不成立。於是我們證明了A是一個反鏈。
現在我們討論P是否滿足狄爾沃斯定理。如果存在i=1,2,...,k使得a≥xi。設K是鏈{a}∪{z∈Ci:z≤xi}，由於xi的選取，P\K中不存在大小為k的反鏈 。根據歸納假設，P\K可以被k-1個無交的鏈覆蓋，這是因為在P\K中，A\{xi}是大小為k-1的反鏈。因此，P可以被k條無交的鏈覆蓋，這便是狄爾沃斯定理所言。否則，如果對於任意i=1,2,...,k都有a≥xi不存在 ， 則A∪{a}是P中大小為k+1的反鏈 （因為a是P中的極大元）。因此，P可以被k+1條鏈{a},C1,C2,...,Ck覆蓋，得證。

**歸納法證明（2）**
下面的證明來自1963。
由於P中每一條鏈最多包含一個反鏈中元素（鏈、反鏈的定義），所以P中最小鏈覆蓋鏈數大於等於最大反鏈長度。
同樣對P的大小n採用歸納法。設P中的最大反鏈長度為m。我們只需證明P中最小鏈覆蓋鏈數大於等於最大反鏈長度，即P可以被m條鏈覆蓋。記A1和A2為P中的所有極大元和極小元組成的集合。我們對P的性質進行分類討論：
如果P中含有一個異於A1和A2的極大反鏈A，則我們定義P+為{x∈P: ∃y∈A s.t. y≤x}，P-為{x∈P: ∃y∈A s.t. x≤y}。根據A的極大性，P+∪P- =P。A是P+和P-的極大反鏈，根據歸納假設，可以取P+為C1∪...∪Cm，P-為D1∪...∪Dm，其中Ci和Di為一系列鏈。易得A中元素為Ci中的極小元、Di中的極大元。因此Ci∪Di為P中的鏈。我們證明了P可以被m條鏈覆蓋。
如果P中沒有異於A1和A2的極大反鏈，則設x屬於A1。設x≤y∈A2。則P\{x,y}的最大反鏈長為m-1。根據歸納假設，P\{x,y}可以被m-1條鏈覆蓋。再加上{x,y}這一條鏈，一共m條鏈得證。

**通過康尼錫定理證明**
通過康尼錫定理證明狄爾沃斯定理定理：從偏序構造二部圖，並根據匹配劃分為鏈
與組合學中的許多其他結果一樣，迪爾沃斯定理等價於二分圖匹配的康尼錫定理以及其他幾個相關定理，包括霍爾婚配定理1956   。
為了證明包含n個元素的偏序集S上狄爾沃斯定理，考慮使用康尼錫定理，定義二分圖G = (U, V, E) ，其中U = V = S ，且(u, v)是G中的一條邊當且僅當在S中u 2 ) 的時間中計算2003   。

**無限偏序集上的擴展**
無限偏序集上的迪爾沃斯定理指出，當且僅當它可以劃分為w個鏈時，偏序集才具有有限寬度w 。例如，假設無限偏序P的寬度為w ，這意味著任何反鏈中至多有有限個元素，且其上界為w 。對於P的任何子集S ，將S分解為w條鏈（如果存在）可以被描述為S的不可比圖的著色（以S的元素為頂點的圖，每兩個不可比元素之間有一條邊）需要用w種顏色；不可比圖的正規著色中的每個顏色類都必須是一條鏈。假設P的寬度為w ，並且根據迪爾沃斯定理的有限版本， P的每個有限子集S都有一個可使用w色著色的不可比圖。因此，根據De Bruijn-Erdős 定理， P本身也有可使用w色著色的不可比圖，從而具有所需的鏈劃分2005   。
然而，該定理並不能簡單地擴展到無限寬（而非基數無限）的偏序集上。在這種情況下，最大反鏈的大小和覆蓋偏序所需的最小鏈數可能有基數上的差異。特別地，對於每個無限基數κ ，都有一個寬度為ℵ 0的無限偏序集，其劃分為最少的鏈有 κ 鏈2005。

**對偶狄爾沃斯定理**
對偶迪爾沃斯定理指出，偏序集中最大鏈的大小（如果有限）等於該序可以劃分成的反鏈的最小數量1971   。這個證明比迪爾沃斯定理本身的證明簡單得多：對於任何元素x ，考慮以x為其最大元素的鏈，並令N ( x ) 表示這些x最大鏈中最大的鏈的大小，稱為x的層數。可以證明每一條鏈從最小元到最大元的層數經過一個區間的層。所以同層的元素構成一條反鏈，而最長的鏈恰好等於整個偏序集的最大層數。

**可比圖的完美性質**
可比圖是節點是偏序集中的點、兩點間存在邊當且僅當兩點可比形成的無向圖。因此，可比圖中的團就是鏈，可比圖中的獨立集就是反鏈。可比圖的任何導出子圖本身就是可比圖，由偏序對其元素子集的限制形成。
如果在每個導出子圖中，色數等於最大團的大小，則無向圖是完美的。這就是圖論版本的米爾斯基定理1984。根據1972的完美圖定理，任何完美圖的補圖也是完美的。因此，任何可比圖的補集都是完美的；這就是迪爾沃斯定理的圖論版本1984 。因此，完美圖對取補的封閉性可以用另一種方式證明迪爾沃斯定理。

**特殊偏序的寬度**
布爾格B n是n元集X的冪集（一般是 {1, 2, …, n}），按子集關係賦偏序，可以用符號記作 (2  n , ⊆)。斯佩納定理指出，B n的最大反鏈的大小為
 
換句話說，X的n/2元子集全體就是X的最大反鏈。 Lubell-Yamamoto-Meshalkin 不等式也涉及冪集中的反鏈，可用於證明斯佩納定理。
如果我們對區間 1, 2n 中的整數按整除性賦序，則子區間 n + 1, 2n 形成基數為n的反鏈。將此偏序劃分為n條鏈很容易：對每個奇數整數m ，{m2i}都是一條鏈。因此，根據迪爾沃斯定理，該偏序的寬度為n 。
關於單調子序列的Erdős-Szekeres 定理可以解釋為 Dilworth 定理在二維偏序上的應用1995   。
定義反擬陣的“凸維數”：定義反擬陣所需的最小鏈數。於是我們可以使用迪爾沃斯定理來表明它等於其相關偏序的寬度；這種轉化可以製成計算凸維數的多項式時間算法1988。

**參考**
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**外部鏈接**
  Equivalence of seven major theorems in combinatorics date=20210507025906 - dead-url=no -  urlname = DilworthsLemma