對偶系統

數學中，域上的對偶系統或對偶對是指三元組，包含上的2個向量空間X、Y，以及非退化雙線性映射。
對偶理論是對對偶系統的研究，在泛函分析中佔有重要地位，並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

**定義、記號與慣例**

**配對**
域上的配對（pairing或pair）是一個三元組，也可以用表示， 包含上的兩個向量空間X、Y及雙線性映射，稱作與配對關聯的雙線性映射pp=225-273，或配對的映射，或其雙線性形式。簡單起見，本文只涉及是實數或複數的例子。
，定義
，定義
是Y上的線性泛函，是X上的線性泛函。令
其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。
通常記而非，這樣配對不必寫成，而可以寫成。不過，本文將用表示求值映射（定義見下），以避免混淆。

**對偶對**
若雙線性形式b是非退化的，則稱配對是上的對偶系統或對偶對pp=122–128 ，滿足下面兩條分離公理：
# Y分離（區分）X的點：若使得，則；等價地，對所有非零的，映射不等同於（即使得）；
# X分離（區分）Y的點：若使得，則；等價地，對所有非零的，映射不等同於（即使得）。
這樣b是非退化的，可以說b將X、Y置於（分離）對偶中（places in (separated) duality），b是三元組的對偶配對（duality pairing）。pp=225-273

**全子集**
若, 能推出，則稱為全集。
X的全子集定義相似（見腳註）。因此，當且僅當X是X的全子集，X分離Y中所有點，對Y亦然。

**正交性**
若，稱向量x、y正交，記作。若，稱兩子集、正交，記作；即、，。子集正交於向量的定義與之類似。
子集的正交補或零化子是
.
於是，當且僅當，R是X的全子集。

**極集**
給定在上定義了對偶對的三元組，子集的絕對極集或極集是集合對稱地，子集的絕對極集或極集記作，定義為
為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記，子集的絕對極也可以稱為B的絕對預極（absolute prepolar）或預極（prepolar），可表為。p=195
極必然是凸集，包含，若B平衡，則也平衡；若B是X的向量子空間，則是Y的向量子空間。pp=123–128
若A是X的向量子空間，則，還等於A的實極。若，則A的雙極（bipolar，記作）是A正交補的極，即集。相似地，若，則B的雙極是。

**對偶的定義與結果**
給定對，定義新對，其中。pp=225-273
對偶理論有個一貫的主題：任何對都有相應的對偶對。
約定與定義：給定配對的任何定義，將其應用於配對，就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。
例如，若X分離Y的點（或者說S是Y的全子集）定義如上，則此約定立即產生了對偶定義：Y分離X的點（或者說S是X的全子集）。
下面的寫法幾乎無處不在，可讓我們不用為d指定符號。
約定與記號：若配對的定義及其記號取決於X和Y的順序（例如，X上的麥奇拓撲），那麼交換X、Y順序就意味著定義適用於（接上例，拓撲實際上是拓撲）。
再比如，一旦定義了X上的弱拓撲，則此對偶定義就會自動應用到配對，從而得到Y上弱拓撲的定義——而非。

**及的識別**
雖然從技術上將這是不正確的，也是對符號的濫用，但本文將遵守幾乎普遍的管理，及將配對與互換處理，並用表示。

**例子**

**配對的限制**
設是配對，M是X的向量子空間，N是Y的向量子空間。則，對的限制就是配對。若是對偶，則限制就有可能不對偶（如，若、）。
本文將使用通常做法，用表示限制。

**向量空間上的規範對偶**
設X是向量空間，令表示X的代數對偶空間（即，X上所有線性泛函的空間）。則有規範對偶，其中，稱之為上的求值映射或自然/規範雙線性泛函。
注意，只是表示的另一種方式，即
若N是的一個向量子空間，則對的限制稱作規範配對。若此配對是對偶，則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點，因此當且僅當N分離X中的點，規範配對是對偶系統。
下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。
求值映射記作（而非c），將改為。
假設：按慣例，若X是向量空間，N是X上線性泛函的向量空間，則除非另有說明，否則將假定它們同規範配對相關聯。
若N是的向量子空間，則當且僅當N分離X的點（或等價地，N是全的，能推出），X分離N的點（或等價地，是對偶），pp=225-273

**拓撲向量空間上的規範對偶**
設X是拓撲向量空間，有連續對偶空間。
則，規範對偶對的限制確定了配對，其中X分離的點。
若分離X的點（例如，若X是豪斯多夫局部凸空間，則恆為真），則此配對形成了對偶。pp=122–128
假設：正如通常所作，只要X是拓撲向量空間，則除非另有說明，否則將假定其與規範配對相關聯，無需註釋。

**拓撲向量空間的極與對偶**
下列結果表明，拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

**內積空間與複共軛空間**
預希爾伯特空間，當且僅當H是上的向量空間，或H是0維，是對偶對。這裡假定半雙線性形式在第二座標上是共軛齊次的，在第一座標上是齊次的。
# 若是實希爾伯特空間，則形成對偶系統。
# 若是復希爾伯特空間，則當且僅當，形成對偶系統。若H非平凡，則甚至不是配對，因為內積是半雙線性的，而非雙線性的。pp=225-273
設是復預希爾伯特空間，標量乘法用並列或表示。
定義映射
其中右式使用了H的標量乘法。令表示H的複共軛向量空間，其中表示加群（所以中的向量加法與H中的相同），但中的標量乘法是映射（而非H被賦予的標量乘法）。
映射定義為，在兩個座標中都是線性的，因此形成對偶對。

**其他例子**
# 設令則是配對，使X區分Y的點，但Y不區分X的點。此外，
# 令（其中q滿足），則是對偶系統。
# 令X、Y是同一域上的向量空間，則雙線性形式使與對偶。pp=122–128
# 序列空間X及其Beta-對偶空間，雙線性映射定義為形成對偶系統。

**弱拓撲**
設是上一對向量空間。若，則X上由S（和b）誘導的弱拓撲是X上最弱的拓撲向量空間拓撲，記作或，使y在S上取值時所有映射連續。pp=225-273若S在語境中不明確，則應假定是Y的全部，這時稱之為X上（由Y誘導的）的弱拓撲。
或（若無混淆）用於表示賦有弱拓撲的X。
重要的是，弱拓撲完全取決於函數b、上的通常拓撲與X上的向量空間結構，而與Y的代數結構無關。
同樣，若，則Y上由R（和b）誘導的弱拓撲的對偶定義記作或（細節見腳註）。
定義與符號：若附在一個拓撲定義上（如-收斂、-有界、等等），則就意味著當定義的第一個空間（即X）攜帶拓撲。若無混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列“-收斂”或“弱收斂”，這意味著它收斂於，而若它是X中的序列，則意味著它收斂於）。
拓撲是局部凸的，因為它由定義的半範數族確定，其中y在Y上取值。pp=225-273
若是X中的網，則若在中收斂到x，-收斂於x。pp=225-273網，當且僅當收斂到，-收斂到x。
若是希爾伯特空間中的正交規範向量列，則弱收斂到0，但不會規範收斂（norm-convergence）到0（或任意向量）。pp=225-273
若是配對，N是Y的一個適當的向量子空間，使得是對偶對，則比嚴格粗。pp=225-273

**有界子集**
子集，當且僅當，其中，稱S-有界。

**豪斯多夫性**
若是配對，則下列條件等價：
# X分離Y的點；
# 映射定義了Y到X的代數對偶空間的單射；pp=225-273
# 是豪斯多夫空間。pp=225-273

**弱表示定理**
下列定理對對偶理論至關重要，因為它完全表徵了的連續對偶空間。
因此，的連續對偶空間是
關於規範配對，若X是拓撲向量空間，其連續對偶空間分離X的點（即使豪斯多夫，這可推出X也必豪斯多夫），則的連續對偶空間等於x在X中取值時所有“點x處得值”的映射集合（即將送到的映射）。
通常寫成
這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果（如上的強對偶拓撲）能應用到原拓撲向量空間X的。例如，將X視作意味著上的拓撲可被視作X上的拓撲。
此外，若被賦予比更細的拓撲，那麼的連續對偶空間必然包含（作為子集）。
例如，被賦予強對偶拓撲（於是記作），則
這允許X被賦予由強對偶拓撲在X上誘導的子空間拓撲（此拓撲也稱作強雙對偶拓撲，見於自反空間理論：豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X，若則稱其是半自反空間，若在此之外，其在X上的強雙對偶拓撲還等於X的原/初拓撲，則稱其是自反空間。

**正交、商與子空間**
若是配對，則對X的任意子集S：
# ，且此集合是-閉的；pp=225-273
# ；pp=225-273- 因此，若S是X的-閉向量子空間，則
# 若是X的-閉向量子空間族，則
pp=225-273
# 若是X的子集族，則
pp=225-273
若X是賦範空間，則根據規範對偶性，在中對範是封閉的，在X中對範是封閉的。pp=225-273

**子空間**
設M是X的向量子空間，並令表示對的限制。
M上的弱拓撲與M從繼承的子空間拓撲相同。
另外，是配對空間（paired space）（其中是），其中定義為
拓撲等於M繼承自的子空間拓撲。pp=260-264 
此外，若是對偶系統，則也是。pp=260-264

**商**
設M是X的向量子空間，則是配對空間，其中定義為
拓撲等同於在上誘導的一般的商拓撲。pp=260-264

**極與弱拓撲**
弱X是局部凸空間，且若H是連續對偶空間的子集，則當且僅當對X中某桶B，有時，H是-有界的。pp=225-273
下列結果對定義極拓撲非常重要。
若是配對，則pp=225-273
# A的極是的閉子集。
# 下列集合的極相同：(a) A；(b) A的凸殼；(c) A的平衡殼；(d) A的-閉合；(e) A的凸平衡殼的-閉合。
# 雙極定理：A的雙極等於A的凸平衡殼的-閉合。- 雙極定理“是處理對偶性時不可或缺的工具”。pp=123–128
# 當且僅當吸收於Y時，A是-有界的。
# 若Y還分離X的點，則當且僅當A是-全有界時，A是-有界的。
若是配對，是X上與對偶一致的局部凸拓撲，則當且僅當B是Y的某-有界子集的極時，是中的桶。pp=251-253

**轉置**

**線性映射關於配對的轉置**
令和是上的配對，並令是線性映射。
令是由定義的映射。
若滿足以下條件，就可以說F的轉置或伴隨是良定的（well-defined）：
# X分離Y中的點（或等價地，從Y抵達代數對偶的映射是單射），且
# 其中
這樣，存在（由條件2）唯一的（由條件1），使，其中Y的這個元素將表為。這定義了線性映射
稱作F的轉置或關於和的伴隨（注意不要與厄米伴隨混淆）。不難看出，上述兩個條件（即“轉置良定義”）也是良定的必要條件。
，的定義條件是

即，
根據本文開頭提到的約定，這也定義了形式為 


等的線性映射的轉置（見腳註）。

**轉置的性質**
和是上的配對，是線性映射，其轉置是良定義的。- 當且僅當F的範圍在中稠密時，是單射（即）。pp=225-273- 若除了良定義外，的轉置也良定義，則。- 設是上的配對，是線性映射，其轉置是良定義的，則的轉置也是良定義的，且- 若是向量空間同構，則是雙射，的轉置是良定義的，且pp=225-273- 令，表示A的絕對極，則pp=225-273
*# ；
*# 若，則；
*# 若使得，則；
*# 若，是弱閉圓盤，則當且僅當時，；
*# 
 將絕對極換成實極，這些結果不變。
若X、Y是規範對偶下的賦範空間、是連續線性映射，則。pp=225-273

**弱連續性**
線性映射，若連續，則稱其（關於和）弱連續。
下面的結果表明，轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

**弱拓撲與規範對偶**
設X是向量空間，是其代數對偶。則X的所有-有界子集包含於有限維向量子空間，X的所有向量子空間是-閉的。pp=225-273

**弱完備性**
若是完備拓撲向量空間，例如X是-完備或（若無歧義）弱完備的情形。
存在不弱完備的巴拿赫空間（儘管在其範拓撲中是完備的）。pp=225-273
若X是向量空間，則在規範對偶下，是完備的。pp=225-273 
相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，且有連續對偶空間，則當且僅當時，是完備的；即，當且僅當將發送到z處求值映射（即）的映射是雙射。pp=225-273
特別地，就規範對偶而言，若Y是的向量子空間，使Y分離X中的點，則當且僅當，是完備的。
換句話說，不存在緊合向量子空間使得是豪斯多夫空間，且Y在弱-*拓撲（即逐點收斂的拓撲）中完備。
因此，若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間 被賦以弱*-拓撲，當且僅當（即X上所有線性泛函都連續）時，是完備的。

**Y與代數對偶的子空間的等同**
若X分離Y的點、Z表示單射的範圍，則Z是X的代數對偶空間的向量子空間，且配對與規範配對（其中是自然求值映射）是規範等同（canonically identify）的。
特別地，這時我們將不失一般性地假設Y是X代數對偶的向量子空間，而b是求值映射。
約定：通常，只要是單射（尤其當形成對偶對），通常不失一般性地假設Y是X的代數對偶空間的向量子空間，且b是自然求值映射，Y還可記作。
完全類似的是，若Y分離X中的點，則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。pp=122–128

**代數伴隨**
在對偶是規範對偶和的特例下，線性映射的轉置總是良定義的。
此轉置稱作F的代數伴隨，記作；
即 
這樣，pp=225-273其中的定義條件是

或等價地
若對整數n，，是X的基，其對偶基是線性算子，F關於的矩陣表示是，則M的轉置是關於的矩陣表示。

**弱連續性與開性**
設，是對偶系統的規範配對（所以），並令是線性映射。則當且僅當滿足下列等價條件之一，F是弱連續的：pp=225-273 
# 連續；
# 
# F的轉置相對於和是良定義的。
若F是弱連續的，則是連續的，於是pp=128–130
拓撲空間之間的映射，若是開映射（是g的範圍），則稱之是相對開的。pp=225-273
設是對偶系統，是弱連續線性映射。則下列條件等價：pp=225-273
# 是相對開的；
# 的範圍在Y中-閉；
# 
此外- 當且僅當是滿射（或雙射），是單射（或雙射）；- 當且僅當是相對開單射，是滿射。

**=拓撲向量空間之間映射的轉置=**
當且僅當F是弱連續的，兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。
設是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射，則pp=225-273- 若F連續，則其是弱連續的，且是麥基連續的，也是強連續的；- 若F是弱連續的，則其是麥基連續的，也是強連續的（定義見下）。- 若F是弱連續的，則當且僅當將的等度連續子集映射到的等度連續子集時，F才是連續的。- 若X和Y是賦範空間，則當且僅當F是弱連續的（這時），F連續。- 若F連續，則當且僅當是弱相對開的（即是相對開的）、且的等度連續子集都是的某等度連續子集的像時，F是相對開的。- 若F是連續單射，則當且僅當的等度連續子集都是的某等度連續子集的像，是拓撲向量空間嵌入（或等價的拓撲嵌入）。

**可度量化性與可分性**
令X是局部凸空間，有連續對偶空間，並令。pp=225-273  
# 若K是等度連續或-緊的，且使得在X中稠密，則K從繼承的子空間拓撲等同於K從繼承的子空間拓撲。
# 若X是可分的、K是等度連續的，則K被賦予由誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
# 若X是可分、可度量化的，則是可分的。
# 若X是賦範空間，則當且僅當給定由誘導的子空間拓撲，X的連續對偶空間的封閉單元（X的連續對偶空間）可度量時，X是可分的。
# 若X是賦範空間，其連續對偶空間可分（給定通常的範拓撲）時，X可分。

**極拓撲與同配對相容的拓撲**
從弱拓撲開始，極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲，弱拓撲是其中最弱的。
將是上的配對，將是X的-有界子集的非空集合。

**極拓撲**
給定X子集的集合，Y上由（與b）定義的極拓撲（或Y上的-拓撲）是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲，其中
形成了原點鄰域的子基。pp=225-273 
Y被賦予這-拓撲時，就表示為。極拓撲都需要是局部凸的。pp=225-273 
是關於子集包含的有向集合時（即若，使得），則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基。pp=225-273
下面列出了一些較重要的極拓撲。
符號：若表示Y上的極拓撲，則唄賦予此拓撲的Y將記作或（如對我們有，這樣和都表示賦予了的Y）。

**與極拓撲有關的定義**
連續性
若連續，則線性映射是（關於和）麥基連續的。pp=225-273
若是連續的，則線性映射是（關於和）強連續的。pp=225-273

**有界子集**
X的子集，若在（或、）中有界，則稱X是弱有界（或麥基有界、強有界）。

**同配對相容的拓撲**
弱是上的配對，是X上的向量拓撲，則是配對的拓撲，且若其局部凸、的連續對偶空間，則稱之與配對相容或一致。 
若X分離Y的點，則Y可視作X的代數對偶的向量子空間，定義條件變為pp=225-273有人（如Trèves 2006、Schaefer 1999）要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的，pp=122–128若Y分離X的點（這些學者假設），則必須是豪斯多夫的。
弱拓撲同配對相容（如弱表示定理所示），事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲，即麥基拓撲。
若N是非自反的賦範空間，則其連續對偶空間上通常的範拓撲同對偶不相容。pp=225-273

**麥基–阿倫定理**
下面是對偶理論中最重要的定理之一。
由此可見，麥基拓撲是由Y中所有-緊圓盤生成的極拓撲，是X上與配對 相容的最強局部凸拓撲。
給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。
上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

**麥基定理、桶與閉凸集**
若X是（或上的）拓撲向量空間，則半空間（half-space）是形式為的集合。（r是實數，f是X上的連續實值線性泛函）
上述定理說明，局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是，在任何與配對相容的拓撲中，閉子集和凸子集都相同；即，若、是X上的任意局部凸拓撲，且有同樣的連續對偶空間，則當且僅當X的凸子集在拓撲中封閉，，此子集也在拓撲中封閉。
這說明，X任意凸子集的-閉等同於其-閉，對X中任意-閉圓盤A，。pp=225-273 
特別地，若B是X的一個子集，則當且僅當B是中的桶時，B也是中的桶。pp=225-273
下面的定理說明，桶（即閉吸收圓盤）恰是弱有界子集的極。
若X是拓撲向量空間，則pp=225-273 
# X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集（即存在正實數r使得包含此集）。
# 若X是豪斯多夫局部凸的，則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。
所有這些都引出了麥基定理，這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之，定理支出，對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲，有界子集是相同的。

**有限序列空間**
令X表示標量的所有序列的空間，且對所有足夠大的i都有。
令，定義雙線性映射為

則。pp=225-273 
此外，當且僅當存在正實數序列，使得、及所有指標i（或還有）時，子集是-有界（或-有界）的。pp=225-273 
由此可見，X的子集中有弱有界（即-有界）的，但沒有強有界（即無-有界）的。

**另見**
 Beta對偶空間- 雙正交系統- 對偶空間- 對偶拓撲- 對偶 (數學)- 內積- L半內積- 配對 (數學)- 極集- 極拓撲- 約化對偶對- 強對偶空間- 線性映射空間泛函- 弱拓撲

**註釋**

**參考文獻**

**書目**
 Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. 0-12-585050-6.- dead-url = no

**外部鏈接**
  Duality Theory