林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家Ernst Leonard Lindelöf提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下：
對於任意的而言，在趨近於無窮時，有
由於可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下：
對於任意的而言，有

**μ函數**
設是一個實數，則可定義為所有使得的實數當中的最小數。在這種定義下，易見對於任意的，有，而從黎曼ζ函數的函數方程可導出說。另一方面，由Phragmén–Lindelöf theorem可導出說是一個凸函數。林德勒夫猜想基本就是說，，將此點和上述的性質結合，這猜想也意味著說在時，；而在時，
由於且，因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說。之後G·H·哈代藉由將外爾估計Exponential sum的方式用於近似函數方程的做法，將這上界降至。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明，將之降到稍微低於的數值。下表顯示了對於這數值的改進：

**和黎曼猜想間的關係**
Backlund在1918至1919年間，證明瞭說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點相關的敘述等價：在趨近於無窮時，實部至少為且虛部介於和之間的零點，其數量會趨近於。
由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故，因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部介於和之間的零點的數量為，因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果，但盡管如此，人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。

**黎曼ζ函數的冪的平均值**
林德勒夫猜想與以下陳述等價：
對於任意的正整數和正實數而言，有以下等式：

目前已證明這等式對及成立，但的情況似乎困難許多，且依舊是個未解決的問題。
對於這積分的非病態行為，有著下列更加精確的猜想：
一般認為，對某些常數而言，有以下等式：

李特爾伍德證明瞭的情況，而希斯-布朗藉由推廣英厄姆（Ingham）找到首項係數的結果，證明瞭的情況。
Conrey和Ghosh推測，在時首項係數應當為
 
而Keating和Snaith利用隨機矩陣理論，對更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數的某種乘積，和由下列數列給出的楊表的數字彼此間的乘積：
1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... id=A039622

**其他後果**
設為第個質數，並設為質數間隙，則一個由Albert Ingham證明的結果顯示，若林德勒夫猜想成立，則對於任意的而言，當足夠大時，有以下不等式：

對於質數間隙，一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想，其陳述如下： 


**密度假說**
Riemann–von Mangoldt formula得出的顯著上界相合。（也有其他各式各樣的估計）
密度假說指稱，其中是的零點在以及所構成的範圍內的數量，且這假說可由林德勒夫猜想得出。
更一般地，設，則已知這界限大致和長度為的短區間當中的質數的漸進公式相合。
在1940年證明說，赫胥黎在1971年證明說；
而古斯及梅納德在2024年的一篇預印本中證明說並證明說這些公式和相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近、符合一般對黎曼猜想期望的數值，並將其界限改進至，或等價地，非病態地和成比例。
在理論上，貝克、哈曼和平茨三氏對勒讓德猜想的估計的改進、對沒有西格爾零點的區域的估計，以及其他的事情也是可期待的。

**L函數**
黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數的一類更加一般的函數。
在2010年，Joseph Bernstein及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）給出了估計定義在之上的L函數的次凸性值的方法；同一年，阿克沙伊·文卡泰什及Philippe Michel (number theorist)給出了估計定義在和之上的L函數的次凸性值的方法；而在2021年，保羅·尼爾森（Paul Nelson）估計定義在之上的L函數的值的方法。

**參見**
 Z function中的林德勒夫猜想

**註解和參考資料**
url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/51075#page/359/mode/1up
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*last= Voronin