傳輸理論

傳輸理論（tansport theory、transportation theory），又稱為運輸理論，是數學、經濟學等學科中研究最優運輸和資源配置的理論。該問題最早由法國數學家加斯帕爾·蒙日於1781年提出。
1920年代，A·N·托爾斯泰是最早運用數學方法研究傳輸問題的學者之一。1930年，他在蘇聯國家交通部編纂的《運輸規劃》第一卷中發表了題為《尋找太空貨物運輸的最小千公里方法》的論文。
第二次世界大戰期間，蘇聯數學家、經濟學家列昂尼德·坎託羅維奇在該領域取得了重要進展。因此，這一問題有時也被稱為蒙日-坎託羅維奇運輸問題（Monge–Kantorovich transportation problem）。 該問題的線性規劃形式也被稱為希區柯克-庫普曼斯運輸問題。

**背景**

**礦山與工廠**
假設有個開採鐵礦石的礦山以及個工廠使用這些礦山生產的鐵礦石，且這些礦山和工廠構成歐幾里得平面中兩個不相交的子集和。同時假設存在一個成本函數， 其中表示將一批礦石從運送到的成本。為簡化起見，此處忽略運輸所需的時間。我們還假定每個礦山只能供應一家工廠（不能拆分運輸），並且每家工廠需要恰好一批貨物才能運營（工廠不能半負荷或雙倍負荷運轉）。基於上述條件，一個傳輸計劃可以看作是一個雙射 。換句話說，每個礦井僅供應一個目標工廠，而每個工廠也只由一個礦山供貨。我們希望找到最優傳輸計劃，使得總成本

在所有到的傳輸計劃中是最小的。該問題是傳輸問題的一個特例，可看成一個任務分配問題。更具體地說，它等價於在二分圖中尋找最小權重匹配。

**書籍移動：成本函數的重要性**
下面這個簡單的例子說明了成本函數在確定最優傳輸計劃中的重要性。假設我們有本寬度相等的書擺放在書架上（可以看成具像化的實數線），形成連續一排書。我們希望將它們重新排列，在保持其連續性的同時將整體向右移動一本書的寬度。針對這個問題，有兩個顯而易見的最優傳輸候選方案：
# 將所有本書全都向右移動一本書的寬度（許多小步）；
# 將最左側的書向右移動書本的寬度，其他書則保持不動（一大步）。
如果成本函數與歐幾里得距離成正比（即 ，其中 ），那麼這兩種候選方案都是最優的。而如果我們選擇與歐幾里得距離的平方成比例的嚴格凸成本函數（即 ，其中 ），則“許多小步”的方案則是唯一的最優解。
需要注意的是，上述成本函數僅考慮書籍本身移動的水平距離，而沒有考慮拿起每本書並將其移動到位的設備所行進的水平距離。如果考慮後者，那麼在兩種傳輸計劃中，第二種方案對於歐幾里得距離始終是最優的，而第一種方案則對於平方歐幾里得距離是最優的（至少有三本書的情況下）。

**希區柯克問題**
以下傳輸問題的表述由弗蘭克·勞倫·希區柯克提出：
假設有個供應源為某一商品供貨，且每個供應源處有個單位的供應量。同時有個需求點需要該商品，每個需求點處有個單位的需求。若表示從到的單位運輸成本，任務是找到一個流量分配方案，在滿足供應需求的同時最小化運輸成本。這一物流問題由德爾伯特·雷·富爾克森提出，並在他與小萊斯特·倫道夫·福特合著的《網絡流》（Flows in Networks）（1962年）一書中得到了闡述。
佳林·庫普曼斯也為運輸經濟學與資源分配問題的表述作出了貢獻。

**問題的抽象表述**

**蒙日和坎託羅維奇形式**
由於黎曼幾何和測度論的發展，在現代或更加技術性的文獻中傳輸問題的表述有所不同。不過，上述礦山與工廠的簡單例子還是可以作為考慮抽象形式時一個有用的參照。此時我們可以考慮並非所有礦山和工廠都營業的情況，並允許一個礦山向多家工廠供貨，而一家工廠也可以從多個礦山接受礦石。
假設和為兩個可分度量空間，使得（或者 ) 上的每個概率測度都是拉東測度，並假設是一個博雷爾可測函數。給定上的概率測度和上的概率測度，最優傳輸問題的蒙日形式是指尋找一個傳輸映射，使得下式中的下確界成立：

其中由推進的向前推進算子。如果一個映射達到這個下確界，則該映射被稱為“最優傳輸映射”。
最優傳輸問題的蒙日形式有其侷限性，因為有時可能不存在滿足的映射。例如，當是狄拉克測度而不是時，就會出現這種情況。
此時可以通過採用最優傳輸問題的坎託羅維奇形式來克服這一侷限，即尋找上的一個概率測度，使得下式中的下確界成立：

其中表示上所有概率測度的集合並滿足邊緣分佈和。可以證明，當成本函數是下半連續並且是緊測度集合（拉東空間和蘊含該條件）時，該問題總是存在最小值（另見沃瑟斯坦度量）。Sigurd Angenent、史蒂文·哈克爾（Steven Haker）與Allen Tannenbaum提出了蒙日–坎託羅維奇問題解的梯度下降表述。

**對偶形式**
坎託羅維奇問題的最小值等於

其中上確界遍歷所有有界且連續、滿足

的函數對。

**經濟學解釋**
將以上表述中的符號翻轉更利於從經濟學角度解釋這一問題。假設表示工人特徵的向量，表示企業特徵的向量，則表示工人與企業配對所創造的經濟產出。令、，蒙日–坎託羅維奇問題可以重新表述為：

它的對偶形式為：

其中下確界遍歷所有有界且連續的函數和。如果對偶問題有解，則有：

可以將解釋為類型工人的均衡工資 ，並將解釋為類型企業的均衡利潤。

**問題求解**

**一維連續情形**
對於， 假設表示上所有階矩有限的概率測度的集合。設且，其中是一個凸函數。
# 如果沒有原子，即的累積分佈函數是一個連續函數，則是一個最優傳輸映射。如果是嚴格凸的，則它是唯一的最優映射。
# 可以得到

拉切夫（Rachev）與呂申多夫（Rüschendorf）於1998年給出了對此的證明。

**離散情形與線性規劃**
在邊緣分佈和是離散的情形下，令和分別是分配給和的概率質量，而則是的分配概率。原始坎託羅維奇問題中的目標函數為

並滿足約束條件


為了將這一問題作為線性規劃問題處理，我們需要將矩陣向量化，可以通過堆疊其行或列來完成，我們用來表示這一操作。在列主序的情況下，上述約束條件可改寫為
 
 
其中是克羅內克積，是一個大小為、所有元素為1的矩陣，而是大小為的單位矩陣。設，該問題的線性規劃形式為

這一問題可以很容易地通過大規模線性規劃求解器計算。

**半離散情形**
在半離散情況下，令，且是上的連續分佈，則是分配概率質量到的離散分佈。此時，坎託羅維奇問題的原始形式為：
 
其中滿足和 。
而其對偶形式則為

還可以寫為：

這是一個有限維凸優化問題，可以通過梯度下降等方法求解。
當時，可以證明分配給特定的集合是一個凸多面體，而得到的配置稱為Power diagram。

**二次正態情形**
假設一個特殊情形、 且，其中是可逆矩陣。此時有



加利雄（Galichon）於2016年證明了該情況下的解。

**可分希爾伯特空間**
令是一個可分希爾伯特空間，定義為上所有階矩有限的概率測度的集合，則表示其中高斯正則的測度集合，即如果是上任何嚴格正的Gaussian measure且滿足 ，則也成立。
假設、，並且，其中 。則坎託羅維奇問題存在一個唯一解 ，並且該解對應一個最優傳輸映射：即存在一個博雷爾映射，使得

此外，如果具有有界支撐，那麼對於-幾乎所有的，存在局部利普希茨、 -凹和最大坎託羅維奇勢，使得 

其中表示的加託導數。

**熵正則化**
考慮上述離散問題的一個變體：在原始問題的目標函數中添加一個熵正則化項

相應的對偶問題為

相較於不含正則化項的問題，原先對偶問題中的硬約束（  ）被替換為了軟約束，即懲罰項。對偶問題的最優條件可以表示為
式5.1: 
式5.2: 
令為的矩陣，其中元素。此時對偶問題的求解等價於尋找兩個對角正矩陣和，它們的大小分別為和 ，使得、。矩陣和的存在性是辛克宏定理的推廣，可以使用辛克宏-諾普算法進行求解。該算法通過迭代求解式5.1中的和式5.2中的實現。因此，辛克宏-諾普算法相當於對偶正則問題的座標下降法。

**應用**
蒙日-坎託羅維奇運輸問題已廣泛運用於許多領域，例如：- 圖像配準與變形- 反射面設計- 從陰影照相與質子射線成像中提取信息- 地震層析成像和反射地震學- 涉及總替代性質的經濟模型

**參見**
 沃瑟斯坦度量- 匈牙利算法- 交通規劃- 推土機距離- 齊次蒙日-安培方程

**參考文獻 ==