艾倫伯格–麥克萊恩空間

數學中，特別是代數拓撲中，艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有單一非平凡同倫群的拓撲空間。
令G為群，n為正整數。連通拓撲空間X的第n同倫群若同構於G、其他同倫群都平凡，則稱X是型艾倫伯格–麥克萊恩空間。設G在時是阿貝爾群，則型艾倫伯格–麥克萊恩空間總存在，且都是弱同倫等價的。因此，可以認為指空間的弱同倫等價類。通常將任何表示稱作“一個”或“的模型”，此外通常假定這空間是CW復形（通過CW近似總是可能的）。
艾倫伯格–麥克萊恩空間得名於塞繆爾·艾倫伯格與桑德斯·麥克萊恩，他們在1940年代末引入了此類空間。
因此，艾倫伯格–麥克萊恩空間是一類特殊的拓撲空間，在同倫論中可視作通過波斯尼科夫塔中的纖維化構建CW復形的物件。這些空間在代數拓撲的很多方面都十分重要，如球面同倫群的計算、上同調運算的定義及與奇異上同調的緊密聯繫。
廣義艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有艾倫伯格–麥克萊恩空間
的拓撲積的同倫類的空間。

**例子**
 單位圓是。- 無窮維復射影空間是的模型。- 無窮維實射影空間是。- k個單位圓的楔和是，其中是k個生成子上的自由群。- 3維球中任何連通結或圖的補是型，這種現象被稱作“結的非球面性”，是赫里斯託斯·帕帕基里亞科普洛斯於1957年提出的定理。- 緊連通曲率非正流形M是，其中是M的基本群。這是嘉當–阿達馬定理的結果。- 無限透鏡空間由對自由作用（）的商給出，是。這可以用覆疊空間理論和無窮維球體可收縮來證明。注意這包括作為的。- 平面上n個點的構型空間是，其中是n股上的純辮群。- 相應地，的第n無序構型空間是，其中表示n股辮群。- n球的無窮對稱積是。更一般地，對所有摩爾空間是。
利用積是的事實，可構造出更多基本例子，例如n維環面是。

**關於構造艾倫伯格–麥克萊恩空間的備註**
對、任意群G，的構造與G的分類空間的構造相同。注意若G含扭元（torsion element），則K(G,1)型CW復形都是無窮維的。
構造高階艾倫伯格-麥克萊恩空間有很多技術，如為阿貝爾群A構造摩爾空間：取n個球的楔，每個球代表一個A的生成子，並通過上述楔和的中相應映射附加(n+1)個胞腔（cell），實現生成子之間的關係。注意低階同倫群由構造是平凡的。現在通過附加大於維的胞腔，迭代殺死所有高階同倫群，並定義為包含此迭代的直極限。
另一個有用技巧是運用單純阿貝爾群的幾何實現。這給出了代表艾倫伯格-麥克萊恩空間的單純阿貝爾群的明確表述。
喬·彼得·梅的書從分類空間與通用叢角度給出了另一種簡單構造。
由於閉路空間將同倫群降低了一圈（slot），我們有規範同倫等價，因此有纖維化序列
.
注意這不是上纖維化序列：空間不是的同倫上纖維。
這個纖維化序列可用於從用勒雷譜序列研究的上同調，讓-皮埃爾·塞爾在利用波斯尼科夫塔和譜序列研究球面同倫群時利用了這一點。

**性質**

**映射與上同調的同倫類間的雙射**
的一個重要性質是，對任何阿貝爾群G、任何基CW復形X，X到的基映射的基同倫類集，同空間X的第n奇異上同調群是自然雙射。因此可以說是係數在G中的奇異上同調的表示空間。由於

有一個區別元素，對應么元。上述雙射由元素的拉回給出，這與範疇論中的米田引理很相似。
此定理的構造性證明可見參考文獻，另一個利用Omega譜與廣義既約上同調關係的證明可見參考文獻，主要思想也將在後面略述。

**閉路空間/Omega譜**
艾倫伯格–麥克萊恩空間的閉路空間還是艾倫伯格–麥克萊恩空間：。此外，在閉路空間與既約緯懸之間還有伴隨關係：，使有阿貝爾群的結構，其中的運算是閉路的鏈接。這使得上面提到的雙射是群同構。
這個性質還意味著不同n的艾倫伯格–麥克萊恩空間構成Omega譜，稱作艾倫伯格–麥克萊恩空間譜。這個譜通過定義了基於CW復形的既約上同調論，對任何CW復形上的既約上同調論（，），有自然同構，其中表示既約奇異上同調。因此，這兩個上同調論重合。
在更廣義的語境中，布朗可表性定理指出，基CW復形上的既約上同調論來自Omega譜。

**與同調的關係**
對給定阿貝爾群G，有穩定同倫群

上由映射導出的映射。取它們的直極限，可驗證這在CW復形上定義了既約同調論

由於（）為零，與CW復形上係數在G中的既約奇異同調一致。

**函子性**
從上同調的萬有係數定理可以看出，艾倫伯格–麥克萊恩空間是群的準函子，即對每個正整數n，若是阿貝爾群的任何同態，則有非空集
 
滿足
其中表示連續映射f、的同倫類。

**與波斯尼科夫/懷特海塔的關係**
連通CW復形X都有波斯尼科夫塔，即空間的逆系：

使對每個n都有：
#有交換映射，導出（）上的同態；
#（）；
#映射是具有纖維的纖維化。
對偶地，還有懷特海塔，是CW復形的序列：

使對每個n都有：
# 映射導出（）上的同態；
# 是n連通的；
# 映射是具有纖維的纖維化。
在塞爾譜序列的幫助下，可計算出球面的高階同倫群。例如，、用的懷特海塔，可見參考文獻；更一般地說，使用波斯尼科夫系統的可見參考文獻。 

**上同調運算**
對不變的自然數m,n、阿貝爾群G,H ，存在所有上同調運算集與之間的雙射，定義為（是基本類）。
因此，上同調運算不能降低同調群的度，保度上同調運算對應係數同態。這源於上同調的萬有係數定理與的(n-1)連通性。
是有限循環群時，上同調運算的一些有趣例子是斯廷羅德平方與冪。研究這些時，係數在中的的上同調變得非常重要，有關這些組別的詳細列表，請參此處。

**群（上）同調**
可以定義群G的係數在群A中的（上）同調為艾倫伯格–麥克萊恩空間的奇異（上）同調，係數在A中。

**進一步應用**
上述閉路空間構造在弦論中用於得到弦群等等，如由短正合列

產生的懷特海塔，其中是弦群，是旋量群。的相關性在於存在分類空間（且）的同倫等價關係

注意，由於復旋量群是群擴張
,
弦群在高階群理論中可看做“高階”復旋量群的擴張，因為空間就是高階群的一個例子。它可看做是對象為單點、態射為群的廣群的拓撲實現。由於這些同倫性質，這個構造可以推廣：任何給定空間都可以用來啟動一個短正合列，可在拓撲群中去除同倫群。

**另見**
分類空間，情形
*布朗可表性定理，關於表示空間
*摩爾空間，同調中的類似物

**註釋**

**參考文獻**

**基礎文章**
citation|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=   Relations between homology and homotopy groups of spaces |journal= Annals of Mathematics |volume=  46  
mr=0013312- cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=Relations between homology and homotopy groups of spaces. II |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1950-05_51_3/page/514|journal= Annals of Mathematics |series=(Second Series)|volume=  51|issue=3  
mr=0035435
*Cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|year=1954|title=On the groups . III. Operations and obstructions| url=https://www.jstor.org/stable/1969849|journal=Annals of Mathematics|volume=60|issue=3|pages=513–557|doi=10.2307/1969849|jstor= 1969849|mr=0065163

**嘉當研討會與應用**
嘉當研討會（Cartan seminar）包含很多餘艾倫伯格-麥克萊恩空間的基本結果，包括其同調與上同調、計算球面同倫群的應用等。- http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ date=20220425232321 

**計算整上同調環**
 Derived functors of the divided power functors-  Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers date=20230422120620 -  (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) date=20240207100015 

**其他百科參考文獻**
  Encyclopedia of Mathematics date=20231130051836 
*title=Eilenberg-Mac Lane space