非結合代數

非結合代數1995（或分配代數，distributive algebra）是域上的代數，其中乘法不必遵循結合律。即，有代數結構A、域K，若A是K上配備K-雙線性乘法（不必符合結合律）的向量空間，則稱其為K上的非結合代數。例如李代數、約爾丹代數、八元數、具備叉積的3維歐氏空間。由於乘法不必結合，須用括號表示乘法的順序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含義是不一樣的。
這裡的“非結合”是說不必結合，而非必不結合，就像非交換環的“非交換”是說“不必交換”。
若代數有單位元e，使得，則稱代數是含么的或酉的。例如，八元數是含么的，而李代數絕不含么。
A的非結合代數結構可與A的K-自同態的全代數的子代數（是結合代數）相關聯，作為K-向量空間研究。兩個例子是微分代數與（結合）包絡代數，後者有“包含A的最小結合代數”的意味。
更一般地，有人提出交換環R上非結合代數的概念：具備R-雙線性乘法的R-模。1995若一結構服從除結合律外所有環的公理（如R代數），則就自然是-代數，所以有人稱非結合-代數為非結合環。

**滿足恆等式的代數**
具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類，難以一同研究。所以，最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式（即性質），這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。

**一般性質**
令x, y, z表示域K上代數A的任意元素。
正整數次冪可以遞歸地定義為1948a（右冪）或19951995（左冪）。- 含么：存在元素e使得；這時可以定義- 結合性：- 交換性：- 反交換性：1995- 雅可比恆等式：19952005- 約爾丹恆等式：19952005- 交替性：199520052004（左交替）；（右交替）。- 柔性：19952005。- n次冪結合性（n ≥ 2）：，其中k是整數。
** 三次冪結合性：
** 四次冪結合性：（比較下面的“四次冪交換性”）。- 冪結合性：19951995200519981948a任意元素生成的子代數結合，即對n ≥ 2，有n次冪結合。- n次冪交換性，其中n ≥ 2：，其中k是整數。
** 三次冪交換性：。
** 四次冪交換性：（比較上面的“四次冪結合性”'）。- 冪交換性：任意元素生成的子代數交換，即n次冪交換（n ≥ 2）。- 索引n ≥ 2的冪零：任意n個元素之積，在任意結合次序下為零，但n−1個元素時不總成立：個元素y使得在某結合次序下- 索引n ≥ 2的零：冪結合性、，存在元素y使得

**性質之間的關係**
對特徵任意的K：- 結合性推出交替性。- 左交替、右交替、柔性知二推三。
** 因此交替性推出柔性。- 交替性推出約爾丹恆等式。1997efn|name=Artin|由阿廷定理。- 交換性導出柔性。- 反交換性導出柔性。- 交替性導出冪結合性。name=Artin- 柔性導出三次冪結合性。- 二次冪結合和二次冪交換為真。- 三次冪結合和三次冪交換等價。- n次冪結合推出n次冪交換。- 索引2的零推出反交換性。- 索引2的零推出約爾丹恆等式。- 索引3的冪零推出雅可比恆等式。- 索引n的冪零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。- 含么與索引n的零不相容。
若或- 約爾丹恆等式與交換性共同推出冪結合性。196819951955
若- 右交替性推出冪結合性。1948b197619821995
** 相似地，左交替性推出冪結合性。- 含么與約爾丹恆等式共同推出柔性。2013- 約爾丹恆等式與柔性共同推出冪結合性。2013- 交換性與反交換性共同推出索引2的冪零。- 反交換性推出索引2的零。- 含么與反交換不相容。
若：- 含么和雅克比恆等式不相容。
若- 交換性與（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。1948a
若- 三次冪結合性與（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。1948a
若- 交換性與反交換性等價。

**結合子**
A上的結合子是K-線性映射：
 
它度量了A非結合的程度，可以很方便地表示一些A滿足的式子。
令x, y, z表示域代數的任意元素。- 結合律：- 交替性：（左交替）及（右交替）。
** 這意味著交換任意兩項都會變號：反例僅當- 柔性：
** 可知，交換極值項將變號：反例僅當- 約爾丹恆等式：1995或，取決於學者。- 三次冪結合性：
核是與其他元素結合的元素的集合，2004即，使得
 
核是A的結合子環。

**中心**
A的中心是與A中所有元素都交換、結合的元素的集合，即

與核之交。對C(A)中的元素，中兩個集合若是，則第三個集合也是零集。

**例子**
 歐幾里得空間，乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。- 李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。- 微分流形上的向量場代數（若K是R或C）或代數簇（對一般的K）；- 約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。2005- 結合代數都可通過以交換子為李括號，給出李代數。實際上，李代數要麼可以這樣構造，要麼是這樣構造的李代數的子代數。- 定義新的乘法，則特徵不是2的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同，只有一部分約爾丹代數能這樣構造，稱作特殊約爾丹代數。- 交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數（實數上的代數），以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上，僅有的有限維實交替除代數（下詳）是實數、複數、四元數和八元數。- 冪結合代數，是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF(2)以外任意域上的約爾丹代數（上詳）與十六元數。- R上的雙曲四元數代數，是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。
更多種類代數：- 分次代數，包括大部分對多重線性代數具有重大意義的代數，如張量代數、對稱代數、給定向量空間上的外代數等等。分次代數可推廣到濾子代數。- 除代數，其中存在乘法逆元。實數域上有限維交替除代數的分類已完成。有實數（1維）、複數（2維）、四元數（4維）、八元數（8維）。四元數和八元數不交換；八元數不結合。- 二次代數要求，其中r、s屬於底域（ground field），e是代數的單位。例子如有限維交替代數、實2階方陣代數。在同構的意義上，沒有零的除子的交替、二次實代數只有實數、複數、四元數和八元數。- 凱萊–迪克森代數（其中K是R），始於：
** C（交換結合代數）；
** 四元數H（結合代數）；
** 八元數（交替代數）；
** 十六元數及凱萊-迪克森代數的無限序列（冪結合代數）。- 超複數代數都是有限維含么R-代數，於是包含凱萊-迪克森代數等等。- 泊松代數見於幾何量子化。其中有2個乘法，以不同方式將其變為結合代數與李代數。
*遺傳代數是非結合代數，在數學遺傳中使用。
*三元系

**性質**
環論與結合代數中的性質，對非結合代數來說不總成立，例如有（雙邊）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元數所有非零元都有雙邊逆，而其中有些是零除子。

**自由非結合代數**
域K上集合X上的自由非結合代數定義為基包含所有非結合單項式的代數，X的元素的有限形式積寫出圓括號，例如單項式u、v之積只是若取空積為單項式，則代數含么。2008
Kurosh證明，自由非結合代數的子代數都是自由的。1947

**結合代數**
域K上的代數A若是K-向量空間，可考慮A的K-線性向量空間內自同態的結合代數。可將的兩子代數關聯到A上的代數結構：微分代數與（結合）包絡代數。

**微分代數**
A上的導子是映射D，具有性質

A上的導子形成了子空間。兩導子的交換子仍是導子，所以李括號給出，具有李代數結構。1995

**包絡代數**
代數A的元素a都附有線性映射L、R：2005

A的結合包絡代數或乘法代數是由左右線性映射生成的結合代數。19952003A的中心體（centoid）是自同態代數中的包絡代數的中心化子。若代數的中心體包含單位元的K-標量乘，則稱代數是中心的。1998
非結合代數滿足的部分可能等式可用線性映射方便地表示：2004- 交換性：L(a)等於相應的R(a)；- 結合性：L與任意R交換；- 柔性：L(a)都與相應的R(a)交換；- 約爾丹：L(a)與交換；- 交替：，右式亦如此。
二次表示Q定義為1999
,
等價地

泛包絡代數條目描述了包絡代數的規範構造，及它們的PBW型定理。對於李代數，這樣的包絡代數具有泛性質，但對其他非結合代數通常不成立。最知名的例子可能是阿爾伯特代數，是一種特殊的約爾丹代數，不能用約爾丹代數的包絡代數的規範結構來包絡。

**腳註**

**註釋**

**參考文獻**
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