李超代數

李超代數是李代數的推廣，包含了Z2分次代數。李超代數在理論物理中十分重要，用於描述超對稱的數學理論。其中，超代數的偶元素大多對應玻色子，奇元素大多對應費米子（也有相反者，如BRST超對稱）。

**定義**
形式上看，李超代數是交換環（一般是R或C）上的非結合Z2-分次代數，或“超代數”，其積為·, ·，稱作李超括號或超交換子，滿足兩個條件（與分次的通常李代數類似）：
超反對稱性（skew-symmetry）：

超雅可比恆等式：

其中x、y、z在Z2分次中為純。|x|表示x的度（0或1）。x,y的度是x、y度之和模2。
有時，還會在時添加公理（若2可逆，則公理自動成立）；對時，有（若3可逆，則公理自動成立）。當基環是整數或李超代數是自由模時，這些條件等同於龐加萊–伯克霍夫–威特定理成立的條件（一般而言是定理成立的必要條件）。
正如對李代數一樣，李超代數的泛包絡代數可被賦予霍普夫代數結構。
反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數（按Z或N分次）也有分次（稱作將代數“卷”為奇偶部分），但不稱作“超”。

**性質**
令為李超代數。通過觀察雅可比恆等式，可發現有8種情況取決於參數的奇偶。以奇元素個數為索引，分成4類：
# 無奇元素。即為平凡李代數。
# 1個奇元素。則是作用的模。
# 2個奇元素。雅可比恆等式說明括號是對稱映射。
# 3個奇元素。對所有，都有。
因此，李超代數的偶超代數形成（正常）李代數，因為所有符號都消失了，超括號變為普通李括號；而是的線性表示，存在對稱等變線性映射使得

條件(1)–(3)是現行的，都可以用普通李代數來理解。條件(4)是飛現行的，且是在從普通李代數（）和表示（）開始構造李超代數時最難驗證的條件。

**對合**
∗李超代數是配備自身到自身的對合反線性映射的復李超代數，映射反映Z2分次且對李超代數中所有x、y都有（有人更喜好約定；將*改為−*可在兩種約定之間切換）。其泛包絡代數將是普通對合代數。

**例子**
給定結合超代數，可通過以下方式定義齊次元素上的超交換子：

然後線性延伸到所有元素。代數與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當為超向量空間中所有線性函數的空間。時，該空間可表為或。用上述李括號，空間可表為。
同倫群上的懷特海德積給出了許多整數上的李超代數的例子。
超龐加萊代數生成了平面超空間的等距。

**分類**
維克托·卡茨對簡單復有限維李超代數進行了分類：（不包括李代數）
特殊線性李超代數 .
李超代數是的超代數，包含超跡為0的矩陣。時是簡單的；時，單位矩陣產生一個理想。對理想取商，可得 ，對是簡單的。
正交辛李超代數 .
考慮上的偶、非退化、超對稱雙射形式，則正交辛李超代數是的超代數，包含的矩陣滿足下式不變：其偶部由給出。
例外李超代數 .
有一族取決於參數的(9∣8)維李超代數，它們是的變形。若、，則D(2,1,α)是簡單的；若、在映射、的作用下處於同一軌道，則。
例外李超代數 .
具有維度(24|16)。偶部由給出。
例外李超代數 .
具有維度(17|14)。偶部由給出。
還有2個所謂“奇異”序列，分別叫做、.
Cartan類型。可分為4族：、、、。對於簡單李超代數的Cartan類型，奇部在偶部的作用下不再完全可還原。

**無窮維簡單線性緊李超代數的分類**
分類包含10個系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5個例外代數：
:E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)
最後兩個特別有趣（據Kac所說），因為它們的零級代數是標準模型規範群SU(3)×SU(2)×U(1)。無窮維（仿射）李超代數是超弦理論中重要的對稱，具體來說，具有超對稱的Virasoro代數是，其只有中心擴展到。

**範疇論定義**
範疇論中，李超代數可定義為非結合超代數，其積滿足
其中σ是循環包絡辮。以圖表示：
center

**另見**
 格爾斯滕哈伯代數- 任意子李代數- 外代數- 李超代數的表示- 超空間- 超群- 泛包絡代數

**註釋**

**參考文獻**
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**歷史**
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*doi=10.2307/1970484
*dead-url=no

**外部鏈接**
  Irving Kaplansky + Lie Superalgebras