主成分迴歸

統計學中，主成分迴歸（PCR）是一種基於主成分分析（PCA）的迴歸分析方法。更確切地說，PCR用於估計標準線性迴歸模型中的未知參數。
PCR不是直接將因變量與解釋變量進行迴歸，而是將解釋變量的主成分作為迴歸量。一般只使用所有主成分的一個子集用於迴歸，因此PCR是一種正則化過程，也是一種收縮估計量。
方差更高的主成分（基於解釋變量樣本方差-協方差矩陣對應更大特徵值的特徵向量）被選為迴歸量。不過，要預測結果，低方差的主成分可能也很重要，在某些情況下甚至更重要。
PCR的主要用途之一是克服多重共線性問題，這是說多個解釋變量接近共線。PCR可在迴歸步驟中排除一些低方差主成分，從而恰當地處理這種情況。另外，由於通常只對所有主成分的一個子集進行迴歸，PCR可大幅降低基礎模型的參數數，從而降維。這在使用高維協變量時尤為有用。通過適當選擇用於迴歸的主成分，PCR還可根據假定模型有效地預測輸出。

**原理**
PCR法可總結為三步：
 1. 對解釋變量的測得設計矩陣進行PCA，得到主成分，然後（通常）根據一些適當標準，從獲得的主成分中選擇子集，供進一步使用。
 2. 用普通最小二乘法，在選定主成分上線性迴歸輸出的測得向量，得到估計迴歸係數向量（維數等於選定的主成分數）。
 3. 用PCA負載（與選定主成分對應的特徵向量）將該向量變換回實際協變量標量，得到最終PCR估計量（維數等於協變量總數），以估計表徵原始模型的迴歸係數。

**方法細節**
數據表示：令表示觀測的輸出，表示測得協變量對應的設計矩陣，其中、表示測得樣本的大小和協變量數量。的每行表示維協變量的一組觀測值，的相應項表示相應的觀測結果。
數據預處理：假設及的列已經中心化，經驗均值均為0。中心化這步至關重要（至少對的列而言），因為PCR將對使用的PCA on 對數據是否中心化十分敏感。
基礎模型：在中心化之後，對上的的標準高斯-馬爾可夫線性迴歸模型可表為：其中表示迴歸係數的未知參數向量，表示隨機誤差向量，、則表示未知方差參數
目標：主要目標是根據數據，為參數獲得有效估計量。一種常用方法是普通最小二乘法，假設的列滿秩，從而有的無偏估計量：。PCR是另一種估計的方法。
PCA步驟：PCR首先要對中心化矩陣進行PCA。為此，令表示的奇異值分解，其中表示的非負奇異值，、都是正交規範集向量，列向量分別表示的左右奇異向量。
主成分：給出了的譜分解，其中表示的非負特徵值（也叫做主值），的列則表示對應的特徵向量的正交規範集。接著，、分別表示第個主成分與跟第大的主成分值 相對應的第個主成分方向（或PCA負載）。
衍生協變量：，記為矩陣，其正交列包含的前列。記為以前個主成分為列的矩陣。可看做是用變換後的協變量得到的設計矩陣，而非原始協變量。
PCR估計量：記表示 響應向量在設計矩陣上用普通最小二乘法得到的估計迴歸係數向量。那麼，都有基於前個主成分的的最終PCR估計量：

**PCR估計量的基本特徵與應用**

**兩個基本性質**
得到PCR估計量的擬合過程包括將響應向量在導出設計矩陣上回歸。後者都有正交列，因為主成分互相正交。因此在迴歸中，對作為協變量的個選定主成分聯合進行多元線性迴歸，相當於對作為協變量的個選定主成分分別進行獨立單變量線性迴歸。
當選擇所有主成分迴歸（），PCR估計量便等同於普通最小二乘法估計量。因此。從和是正交矩陣的觀測事實，不難看出這點。

**方差降低**
，的方差由下式給出：
 
特別地：

因此都有：

因此都有：
  
其中，表明對稱方陣是非負定的。於是，與普通最小二乘估計的線性形式相比，任何給定PCR估計量的線性形式都有更低的方差。

**解決多重共線性問題**
多重共線性條件下，指多個協變量高度相關，因此可從其他協變量以非平凡的精度進行線性預測。因此，設計矩陣與這些協變量對應的列趨於線性相關，於是趨於秩虧，失去列滿秩結構。更定量地講，這時的較小特徵值會非常接近。上述方差表達式表明，極小特徵值對最小二乘估計量產生最大的方差擴大效應，因此在接近0時會嚴重破壞估計量的穩定性。這可以通過排除極小特徵值對應的主成分得到的PCR估計，得到有效解決。

**降維**
PCR也可用於降維：記為任意列正交的矩陣。假設現在我們想通過秩線性變換（）來近似每個協變量觀測值，那麼可以證明
 
在（前個主成分方向為列組成的矩陣）和（對應的維衍生協變量）時取最小值。因此維主成分提供了觀測設計矩陣的秩為的最佳線性近似，對應的重建誤差為

因此，可通過選擇值（即要使用的主成分數），通過對的特徵值累積和進行適當閾值處理，實現降維。由於較小特徵值對累積和的貢獻並不大，因此只要不超過所需的閾值限制，便可放棄相應的主成分。同樣標準也可用於解決多重共線性問題：只要保持閾值限制，就可忽略較小特徵值對應的主成分。

**正則化效應**
由於PCR估計量通常只使用一部分主成分進行迴歸，因此可視作某種正則化。更具體地說，，PCR估計量都可表示以下約束最小化問題的正則化解：
 
約束可等價寫作
 
其中

因此，當擇一部分主成分迴歸時，所得PCR估計量是基於硬形式的正則化，將所得解約束在選定主成分方向的列空間，因此限制其與被排除方向正交。

**一類正則化估計量中PCR的最優性**
給定如上述的約束最小化問題，考慮下面的推廣：
 
其中表示任何階為的列滿秩矩陣。令表示對應的解，則

則約束矩陣的最優選擇就是相應估計量達到最小預測誤差：
  
其中

很明顯，由此得到的最優估計量就是基於前個主成分的PCR估計量。

**效率**
由於普通最小二乘估計量對無偏，所以有
 
其中MSE表示均方誤差。現在，若對某個，我們還有，那麼對應的也將是的無偏估計量，就有

我們已經知道
 
這就意味著對特定的有：
 
所以，用均方誤差為標準的話，對應的是比更有效的的估計量。另外，與的相同線性形式相比，對應的任何給定線性形式的均方誤差也更小。
現在假設，對給定的，那麼對應的對就是有偏的。但由於

仍然是可能的，尤其是當使被排除主成分對應較小特徵值時，從而導致較小的偏。
為確保PCR作為估計值的效率與性能，Park (1981) 提出了以下用於迴歸的主成分選擇標準：當且僅當時，排除第個主成分。在實際應用中，還需要估計未知的模型參數與。總的來說，可以用從原始完整模型得到的無約束最小二乘法進行估計。Park (1981)提供了一套稍加修改的估計值，可能更適合這一目的。 
與基於特徵值累積和的標準不同，上述標準可能更適合解決多重共線性問題與降維，實際上是試圖讓輸出和協變量都參與到迴歸的主成分選擇之中，以提高PCR估計值的預測與估計效率。其他目的相似的選擇主成分方法基於交叉驗證，或馬洛斯CP值等。通常，主成分的選擇還基於其與輸出的相關程度。

**PCR的收縮效應**
總的來說，PCR本質上是收縮估計量，通常保留了高方差主成分（對應的較大特徵值）作為模型中的協變量，並捨棄剩餘的低方差成分（對應的較小特徵值）。這就對低方差成分產生了分離收縮，清除了其在原始模型中的貢獻。相對地，嶺迴歸估計量則通過其構造中固有的正則化參數，產生平滑收縮。雖然它不會捨棄任何一個成分，但會以連續的方式對所有成分產生收縮效應，因此低方差成分的收縮程度高於高方差成分。Frank & Friedman (1993)認為，就預測本身而言，與具有離散收縮效應的PCR估計量相比，嶺估計量具有平滑收縮效應，可能是更好的選擇。
此外，主成分是從的特徵分解中得到的，只涉及解釋變量的觀測值。因此，以這些主成分為協變量得到的PCR估計量不一定具有令人滿意的預測性能。偏最小二乘迴歸（PLS）估計量與之比較相似，試圖通過自身的構造解決這問題。PLS也用低維的衍生協變量，但是在輸出和協變量中獲得的。PCR在協變量空間中尋找高方差方向，而PLS則尋找對預測結果最有用的方向。
2006年，有人提出了經典PCR的一種變體，即監督PCR。這種方法的精神與PLS類似，試圖根據結果和協變量標準，獲得低維衍生協變量。首先進行簡單線性迴歸（單變量回歸），其中結果向量分別對個協變量逐一回歸。然後，對某個，選擇與結果最相關的個協變量（基於對應估計迴歸係數的顯著程度）供進一步使用。然後進行上述傳統PCR，但只基於與選定協變量觀測值對應的設計矩陣。使用的協變量數：及隨後使用的主成分數：一般通過交叉驗證選擇。

**核設置的推廣**
上述經典PCR法基於經典PCA，並考慮了根據協變量的線性迴歸結果預測模型。這方法可以很容易地推廣到核機設置，即迴歸函數不一定是協變量的線性函數，而可以屬於與任意（可以非線性）對稱正定核有關的再⽣核希爾伯特空間。核函數選為線性核時便有線性迴歸模型，是這種設置的特例。
總的來說，在核機設置下，協變量向量首先被映射到所選核函數的高維（可能是無限維）特徵空間中。這樣得到的映射叫做特徵映射，每個座標（也叫做特徵元）對應協變量的一個特徵（無所謂線性與否）。然後，假設迴歸函數是這些特徵元的線性組合，則核機設置依賴的迴歸模型本質上是線性的，但前提是預測量不再是原始協變量集，而由特徵映射所得協變量的特徵元的向量（可能是無限維）給出。
但核技巧實際上可以讓我們在特徵空間中操作，而無需明確計算特徵映射。事實證明，只需計算觀測協變量向量的特徵映射之間的逐對內積即可，是由在相應協變量向量對上估值的核函數值簡單給出的。因此，得到的逐對內積可用對稱非負定矩陣（也稱為核矩陣）表示。
核機設置中的PCR現在可用以下方式實現：首先將核矩陣（如K）相對於特徵空間適當中心化，再對中心化核矩陣（如K'）進行核主成分分析，得到K'的特徵分解。然後，核PCR（通常）會從獲得的所有特徵向量中（一般通過交叉驗證）選擇一子集，在其上進行結果向量的標準線性迴歸。估計的迴歸係數（維度與選定特徵向量數相同）與響應所選特徵向量一起用於預測未來的觀測結果。機器學習中，這技巧也被稱為“譜迴歸”。
顯然，核PCR對K'的特徵向量具有離散收縮，與前面討論過的經典PCR對主成分的離散收縮十分相似。然而，與核相關的特徵映射可能是無限維的，因此相應的主成分及其方向也可能是無限維的。所以，在核機設置下，這些量實際上往往難以處理。核PCR基本上是基於相關核矩陣的譜分解，以考慮等效的對偶表述，來解決這一問題。在線性迴歸模型下（對應於選擇核函數為線性核），這相當於考慮對應的核矩陣的譜分解，然後將結果向量迴歸到得到的的選定特徵向量子集上。很容易看出，這等同於將結果向量迴歸到相應主成分上（這時是有限維），正如經典PCR定義的那樣。因此，對線性核，基於對偶表示的核PCR完全等同於基於原始公式的經典PCR。然而，對任意（可能非線性）核，由於相關特徵映射可能的無限維，這種原始公式可能會變得難以處理。因此，這時經典PCR實際上不可行，但基於對偶表示的核PCR仍有效，且在計算上可推廣。

**另見**
 主成分分析- 偏最小二乘迴歸- 吉洪諾夫正則化- 典型相關- 戴明迴歸- 平方總和

**參考文獻**

**閱讀更多**
 url=https://archive.org/details/advancedeconomet00amem/page/57 - url=https://archive.org/details/principlesofecon0000thei/page/46