圖同態

flower snarkJ5射向環圖C5的同態，亦是到J5中央五個頂點所成子圖的收縮，所以J5與其核C5「同態等價」。
數學分支圖論中，圖同態（graph homomorphism）是兩幅圖之間保結構的映射。具體而言，該映射將某圖的各頂點映至另一圖的頂點，且若兩頂點相鄰，則其像仍然相鄰。
同態是若干種圖著色概念的推廣，適用於表達一類重要的約束滿足問題，如排程、frequency assignment問題。p=27同態可以複合，為全體圖組成的類賦予豐富的代數結構：其上的預序關係、分配格結構、範疇結構（分為無向圖範疇與有向圖範疇兩種）。p=109欲尋找任意兩圖間的同態，而無額外條件，則現時所知的computational complexity高得不切實際，但對於某些特定類別的圖，已知有多項式時間算法。此類問題易解與否，兩者的分野，是活躍的研究方向。2008

**定義**
本條目中，除非另有聲明，否則「圖」皆為有限無向圖，允許自環，但無重邊（兩點間連多於一條邊）。自至另一圖的圖同態，記作
 
是頂點集至的函數，其將每條邊的兩端分別映至某邊的兩端。以符號表示：對中每對頂點，若，則。若存在至的同態，則稱同態於（homomorphic to），或可染色（-colourable），常簡記為：
 
上述定義可引伸至有向圖，此時，為同態的條件是，中每條有向邊的像，仍是的有向邊。
自至有單同態（將不同頂點映至不同頂點），當且僅當為的子圖。若同態為雙射（兩圖頂點集的一一對應），且其逆亦是圖同態，則為圖同構。loc=Observation 2.3
是一類特殊的圖同態，相當於將圖視為拓撲空間時，拓撲學上的覆疊映射，其定義及性質亦是類似：p=115圖覆疊是滿同態（即作為陪域的圖，其每個頂點皆為定義域某頂點的像），且局部為雙射，即若限制到每個頂點的鄰域，則為雙射。舉例，圖的bipartite double cover，是將每點分裂為兩點，並將原圖每條邊換成交叉的兩條邊、。如此，可以定義函數將和皆映至，既是圖同態，也是覆疊映射。
圖同胚是另一個概念，不一定是同態。粗略而言，同胚要求是單射，但不必將邊映至邊，允許映至路徑。圖子式的要求更鬆。

**核與回縮**
K7，七個頂點的完全圖，一種核圖
若兩幅圖和有同態及，則稱兩者同態等價（homomorphically equivalent）。該些映射不必單，也不必滿。例如，完全二部圖與同態等價，因為可將左部兩個頂點映到左部同一個頂點，其右部的兩個頂點映到右部一個頂點，同樣有的同態。
收縮映射（retraction）是自圖至其子圖的同態，且對中每個頂點有。若有此種映射，則稱為的收縮核（retract）。p=19
核圖（core）沒有到任何真子圖的同態。亦可等價定義成無法收縮到任何真子圖的圖。loc=Proposition 1.31每幅圖皆同態等價於唯一的核圖（不辨同構之別），稱為的核（the core of ）。2loc=Corollary 1.32此結論對無窮圖不一定成立p=34，但對（有限的）有向圖可以照套用同樣的定義，每幅有向圖同態等價於唯一的核圖。圖（或有向圖）的核，必為原圖某個收縮核，以及某個導出子圖。p=19
舉例，完全圖及奇環（奇數條邊的循環圖）皆屬核圖。若可染三色，且有三角形（即子圖），則同態等價於，原因是的三染色，下節將說明相當於同態，且另一方面，任意子圖皆有同態嵌入到，故有。如此，證畢為所有此種的核。與之相似，每幅非空二部圖（有至少一條邊）皆等價於。p=4

**與染色的關聯**
對正整數，圖的染色是將每個頂點塗色之一，使每條邊的兩端都不同色。此種染色，與自至完全圖的同態，兩類物件一一對應2loc=Proposition 1.7，因為的各頂點對應種色，且若為顏色，則其於圖相鄰當且僅當。於是，某函數是至的同態，當且僅當該函數將中相鄰的頂點映至不同顏色（即染色的定義）。換言之，可染色等價於可染色。2loc=Proposition 1.7
若有同態及，則兩者複合可得同態。loc=§1.7所以，若可染色，且有同態，則同樣可染色。因此，推出，其中表示圖的色數使該圖可染色的最小值。。loc=Corollary 1.8

**變式**
其他同態亦可視作特殊的染色。給定圖，其頂點視為可用的顏色，每條邊表示某兩色「可兼容」，則的染色就是將相鄰頂點染成相容顏色的方案。此框架可容納許多圖染色的概念，將其表述為射向各類圖的同態。舉例如下：
*Circular coloring可定義為至circular clique的同態，從而推廣一般的染色，定義「分數」色數。2loc=§4.4
*Fractional coloring與b重染色可定義成射向Kneser graph的同態。2loc=§4.5
*T染色的可用色集為自然數集，但另有給定某子集，禁止相鄰頂點所染顏色之差屬於。此種染色對應往某幅無窮圖的同態。loc=§6.3
*oriented coloring除禁止相鄰頂點同色外，還限制不同顏色之間的所有邊皆同向（例如由藍至紅）。此為映向oriented graph的同態。loc=§6.4
*L(2,1)-coloring以數表示顏色，要求距離為1（相鄰）的頂點所染顏色之差至少為2，而距離為2的頂點染色之差至少為1。換言之，此為射向路圖之補的同態，且要求局部為單射，即在每個頂點的鄰域上為單射。

**無長路徑的定向**
圖同態與圖定向也有關。無向圖的定向是賦予每邊一個方向（二選一），所得的有向圖。同一幅無向圖可以有多種不同的定向。舉例，完全圖可定向成「遞移Tournament (graph theory)」，其頂點為，對所有有（有向）邊自指向。給定的定向與的定向之間的同態，忘掉定向即得本來無向圖之間的同態。另一方面，給定無向圖同態，任何定向可以拉回到的定向，使原同態亦是的有向圖同態。綜上，無向圖可染色（即有同態至），當且僅當有某定向，具有至的同態。pp=13–14
有定理流傳，對每個，有向圖有同態至，當且僅當個頂點的有向path graph無同態至。loc=Proposition 1.20
因此，某圖可染色，當且僅當其有某定向，不容任何自至該定向的同態。此命題可加強成
：某圖可染色，當且僅當該圖有某定向，其中無長為的有向路徑（即作為子圖）。
與前一命題的分別在於，自至某圖的同態允許將兩頂點映至同處，但「長為的有向路徑」不允許重複頂點。

**與約束滿足問題的關聯**

**範例**
圖，表示一週中不相鄰的日子，同構於環的補圖，亦同構於circular clique
某些排程問題可用圖同態建模。p=1設學校已知各學生所選科目，要編排今學期各專題討論班的時間，使同一學生所選的討論班時間不致太近。考慮圖以各科為頂點，若兩科有共同學生則連邊，而圖以各課節為頂點，若兩個時段隔足夠遠則連邊。舉例若限制時間表須每週循環，且每個學生所選的討論班須相隔一日，則對應的是環的補圖。如此，的圖同態，就是討論班對應到課節的合適方案。p=1欲添加額外條件，如禁止學生同時於週五與週一有討論班，衹需從刪掉相應的邊。
問題簡述如下：無線網絡中，有若干發訊機，要為每部機配置一個頻率，供其發訊。為免幹擾，地理位置較近的發訊機應選用相差較遠的頻率。若將條件中「地理較近」與「頻率較遠」簡化至非黑即白，則合適的分配方案又可視為圖同態。圖的頂點為各發訊機，邊表示兩機地理上接近；圖以各頻段為頂點，邊則表示兩頻段相隔夠遠。雖然此模型甚為簡化，但是尚有保留一點彈性：若有兩機相隔較遠，但仍因地形導致可能-{}-幹擾，則在中加邊即可。反之，若有兩機永不在同一時段發訊，則不論其地理位置是否靠近，皆可從中刪去該邊。同樣，或許有某些頻率相差頗遠，但是互為諧波，導致幹擾，則將該邊自移除即可pp=30–31
前述模型經簡化，若要實際應用，許多問題仍待解決。pp=31–32約束滿足問題是圖同態問題的推廣，能表達更多種條件（例如個體偏好，或重複分配次數有上限），從而建立更實際的數學模型。

**抽象觀點**
數理邏輯或泛代數中，圖與有向圖屬關係結構的特例，即集合配備若干關係。有向圖就是基集（頂點集）之上有獨一個二元關係（鄰接關係）。2008如是觀之，圖作為關係結構的同態，按抽象代數的同態定義，等同於本文的圖同態。一般而言，欲尋找自某關係結構至另一關係結構的同態，屬於約束滿足問題（constraint satisfaction problem, CSP）。圖的特例可作為第一步，幫助理解更複雜的CSP。許多尋找圖同構的算法，包括回溯、constraint propagation、局部搜索，通用於各種CSP。2008
給定圖、，問是否有同態，相當於僅得一類約束的CSP實例2008：CSP的「變量」是的頂點，每個變量的「域」（可取值的範圍）是的頂點集。「賦值」是一個函數，將逐個變量映至域的元素，即函數。的每條邊（或有向邊）對應一個「約束」，限制賦值函數將邊映至關係中，即映至的某邊。CSP的「解」是滿足全體約束的賦值，故前述CSP的解正是自至的同態。

**同態的結構**
同態的複合仍是同態loc=§1.7，故可知圖的關係具遞移性，又顯然自反，所以其為圖之間的預序。loc=§3.1同態等價意義下，記所屬等價類為，每個等價類有唯一的核圖為其代表。關係定義該些等價類之間的偏序，即同態等價類構成一個偏序集。loc=Theorem 3.1
以表示有同態至，但反之則不然。如此定義的序稠密，即對任意（無向）圖，若，則存在第三幅圖使，除非是平凡反例或。2loc=Theorem 2.33例如，任意兩幅整數階完全圖（除外）之間，必有無窮多幅環狀完全圖，相當於整階數之間的有理數階數。2p=127
同態等價類的偏序集是分配格，併是互斥併，而交是tensor product of graphs，其定義不取決於等價類中所選的代表。此格中，併不可約元為併不可約，意即推出或。對偶概念為交不可約。正好是連通圖，證明方式是留意同態衹會將連通圖映到目標的一個連通分支中。loc=Lemma 3.7name = "irred"正好是積性圖（multiplicative graphs），此種圖的特性是，若乘積有同態至，則或兩者之一有同態至。如何識別積性圖是Hedetniemi's conjecture的關鍵。
圖與同態還組成範疇：圖是物件，而同態是態射。p=125範疇的始物件是空圖，終物件有一個頂點和一個自環。圖張量積是範疇論積，指數圖是該範疇的exponential object。換言之，自的同態與的同態自然地一一對應。2014由於對任意圖，張量積與冪總有定義，圖範疇是笛卡兒閉範疇。同理，同態等價類組成的格實際上是海廷代數：按海廷代數的語言，前述的積稱為交運算，而前述的指數運算稱為蘊涵。2014
對於有向圖，適用同樣的定義。同樣有是有向圖同態等價類之間的偏序，其與無向圖等價類的偏序有別，但後者是前者的子序，因為無向圖亦可視為有向圖，衹是其中每條有向邊皆與其反向成對出現。換言之，無向圖同態的定義，與雙向有向圖的同態並無區別。有向圖的序仍是分配格和海延代數，交與併的定義亦同上，但分別在於，該序並不稠密。亦有以有向圖為物件、同態為態射的範疇，照樣笛卡兒閉。2008

**不可比圖**
Grötzsch graph，與不可比
同態預序下，許多圖不可比較。兩幅不可比圖（incomparable graphs）之間，並無自任意一幅至另一幅的同態。p=7欲構造此種圖，可考慮圖的奇圍長，即最短的奇環長度。奇圍長可等價地說成最小的奇數，使個頂點的循環圖有同態至。由此定義，若，則的奇圍長大於或等於的奇圍長。loc=Observation 2.6
另一方面，前節已證若，則的色數小於或等於的色數。所以，若的奇圍長及色數皆嚴格大於，則和不可比較。p=7
舉例，Grötzsch graph色數為，且無三角形（圍長，奇圍長），所以與三角形不可比。
有幾類圖的奇圍長和色數可取任意大，如Kneser graph與廣義梅切爾斯基圖。如此一類圖，若使其兩參數同時遞增，排成一列，則有無窮多幅不可比圖（同態預序下的反鏈）。loc=Proposition 3.4
同態預序稠密等其他性質，亦可利用此類圖證明。p=96此外，可構造同時具大色數和大圍長（不僅是奇圍長）的圖，但較複雜，見圍長 (圖論)#圍長與圖染色。
有向圖之中，更易找到不可比圖。例如，考慮有向環，頂點為，有向邊自至（對各一），及自至。對於，至有同態當且僅當為的倍數。所以，當取質數值時，兩兩不可比。p=35

**計算複雜度**
圖同態問題是給定一對圖，求自至的圖同態。對應的決定性問題問是否存在此種解。一般情況下，即詢問的實例不受額外限制的情況下，此決定性問題為NP完全。loc=§1.3若限制詢問的範圍，衹限從某類圖中選出或，則可得多種不同的問題，其中有些較易求解。限制左邊和限制右邊相比，適用的方法相去甚遠，但兩者似乎有一共同特點：難易情況之間似乎有明確的分界，此分界或者已獲證，或有論文猜想如此。

**至給定圖的同態**
圖同態問題若固定右邊的圖不變，則稱為染色問題。為完全圖時，化成染k色問題，在時，可於多項式時間內求解，但其餘情況則是NP完全。loc=§5.1的情況相當於問圖可否染色，即是否二部圖，此問題可在線性時間內求解。更一般地，衹要是二部圖就有同一結論：可染色等價於可染色，即可染二色，故此種情況同樣易判斷。可染色和可染色分別等價於無頂點和無邊，亦易判斷。loc=Proposition 5.1和Jaroslav Nešetřil證明，對無向圖而言，無其他情況可馴順：
（黑爾-內舍特日爾定理，1990年）若為二部圖，則染色問題屬於P，但其餘情況則為NP完全。loc=§5.2
上述定理又稱為無向圖同態的「對分定理」（dichotomy theorem），因為將染色問題分成NP完全與P兩類，而無居中情況。有向圖情況較複雜，此時問題等價於刻畫看似更一般的Complexity of constraint satisfaction：有向圖的染色問題，與允許各種約束條件的CSP相比，同樣多姿多彩，而不失一般性。loc=Theorem 5.14嚴格而言，定義（有限）約束語言（constraint language，或稱模板template）為一個有限的取值域，其上配備有限多種關係，然後以表示約束衹能選自的一類約束滿足問題，則有以下定理：
（費德、瓦迪，1998年）對任意約束語言，必有某幅有向圖，使在多項式時間歸約意義下等價於染色問題。
直觀理解，定理意味著任何算法技巧或複雜度結論，若適用於一般有向圖的染色問題，則可套用至一般CSP。考慮將黑爾-內舍特日爾定理擴展至有向圖。由上述定理，該推廣等價於有關CSP對分的費德-瓦迪猜想（又稱CSP猜想、對分猜想），即斷言對任意約束語言，或屬NP完全，或屬P。loc=§1.3此猜想於2017年由德米特里·祖克（Dmitry Zhuk）與安德烈·布拉托夫（Andrei Bulatov）分別獨立證出，故有以下推論：
（布拉托夫2017年；祖克2017年）給定時，有向圖的染色問題或屬P，或屬NP完全。

**自給定族的同態**
若左輸入為給定，則圖同態問題有暴力解法，即窮舉的各個頂點在中的像，複雜度僅為，已是輸入的多項式函數。換言之，限制的大小時，問題顯然屬P，但仍可改為研究另一課題：除大小之外，是否其他限制可施加於，使圖同態問題可於多項式時間內求解？
研究表明，關鍵性質是treewidth，此參數衡量一幅圖有多似一棵樹。若的樹闊至多為，而為任意圖，則利用標準的動態規劃方法，可於時間內求解圖同態問題。實際甚至衹需假設的核的樹闊不逾，而無需知道其核為何。
該算法中，複雜度的指數可能無法再壓低太多：若exponential time hypothesis（ETH）為真，則不存在時間複雜度為的算法。即使限制衹能取值為某一族圖，衹要該族圖的樹闊無上界，則仍有同樣結論。同樣假設下，幾乎沒有其他性質使問題可於多項式時間內求解，具體含義如下：
（格羅厄）假定ETH，並給定由圖組成的可計算族。考慮輸入為，且的圖同態問題。此問題屬P當且僅當中各圖之核的樹闊有界。
或考慮有所取捨，允許複雜度高度依賴，換取複雜度與的關係僅為固定的多項式。與前段類似，若的取值範圍中，核的樹闊有界，則此目標可以實現，但若的取值範圍不滿足該條件，則無法達成。利用parameterized complexity術語，上述成果可覆述為：中的同態問題，以的邊數為參數，呈現對分現象。若中各圖之核的樹闊有上界，則該問題為fixed-parameter tractable，否則為le|帶參數複雜度|Parameterized complexity|W1完全。
同一命題對其他關係結構亦成立。換言之，其適用於一般的約束滿足問題，不過需要限制各項約束涉及的變量數有上界，即關係的元數有上界（以圖為例，僅得元數為2的關係）。此時，關鍵參數為primal constraint graph的樹闊。

**參見**
 圖論術語- 同態，其他代數結構的同一概念- Graph rewriting- Median graph，可定義成hypercube graph的收縮核- Sidorenko's conjecture

**註**

**參考資料**

**一般書目、解說**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20210507001500/http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/csgnotes/hom1.pdf- archive-url=https://web.archive.org/web/20210506175223/https://www2.cs.sfu.ca/~pavol/hombook.html- archive-url=https://web.archive.org/web/20210711070549/https://mast.queensu.ca/~ctardif/articles/ghss.pdf- ref=harv

**約束滿足、泛代數**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20220501142243/https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~bodirsky/Graph-Homomorphisms.pdf- archive-url=https://web.archive.org/web/20170706115247/http://www.cs.sfu.ca/~pavol/cspCCC.pdf

**格論、範疇論**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20220120165848/http://vrs.amsi.org.au/wp-content/uploads/sites/6/2014/09/CORRECTED-digraph-lattice-Gray-updated.pdf