沙普利-福克曼引理

此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。
沙普利-福克曼引理是Convex geometry的一條引理，其於數理經濟學有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數和組成的集合，與自身相加，得到由組成的集合，以符號可寫成：
 
「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的線段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤  為凸集，但圓  則不然，因為連接相異兩點的線段  並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。
沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合的凸包，是包含的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數及求和項的形狀，但不取決於求和的項數，而只需。只要其中個求和項的形狀，就足以確定個集合的閔可夫斯基平均集
 
與其凸包的距離的上界。當趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推論將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。
勞埃德·沙普利和Jon Folkman的引理，最先由經濟學家Ross Starr發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿羅門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。Roger Guesnerie評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集」，除以上得主著重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康託羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼引理在優化論和概率論皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函數之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明隨機集的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。

**簡單例子**
考慮凸的實數區間，其包含整數子集，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合，複製成三份，並按元素求和，得到

（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間。
區間中，每個數都可以寫成區間中某三個實數（允許重複）之和，例如將等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論：的每個數，都可以寫成中某兩個整數（允許重複），與中某一個實數之和。
凸包中的點，到的距離，至多為：
 
然而，考慮三個區間的閔氏平均
 
與其凸包的距離，僅為，即未平均前與距離（）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利-福克曼定理的結論。

**前置概念**
沙普利-福克曼引理需要用到convex geometry的若干定義和定理，本節將作簡介。

**實向量空間**
二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：
 
此外，點也可以逐個坐標與實數相乘：
 
更一般而言，任何維（有限維）實向量空間，均可視為個實數組成的D元組的集合，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。

**凸集**
實向量空間中，非空子集稱為凸集，意思是，對於的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在中。例如，實心圓盤  為凸，但圓  則不然，因為連接相異兩點的線段  並不是圓的子集。三個整數的集合非凸，但其為區間的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如Crescent，則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是Vacuous truth。
更嚴謹而言，集合稱為凸，意思是，對中任意兩點，和單位區間中的任意實數，點
 
仍是的元素。
由數學歸納法，集合為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在中。所謂向量空間子集的凸組合，是其元素的任意加權平均，而各可以是總和為的任意非負實數，即只需。
凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。

**凸包**
紅色集的凸包中，每個藍點都是若干個紅點的凸組合。
對於實向量空間的每個子集，其凸包是包含的最小凸集。所以，是所有覆蓋的凸集的交。等價地，可以將定義成的點的所有凸組合的集合。作為例子，整數集合的凸包，是實數閉區間，其兩端為原有的整數。單位圓的凸包則是閉單位圓盤，其包含單位圓。

**閔可夫斯基和**
集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形和的和，是大正方形。
在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）中，兩個非空子集的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 （參見)。例如：
 
此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果。由數學歸納法，可見
 

**閔可夫斯基和的凸包**
閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間的任意子集，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之，
 
故由數學歸納法得
 
對任意和非空子集（）成立。

**各命題的敍述**
閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。
由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點，都存在各凸包的（取遍至），使得。各點的位置取決於。

**引理**
勞埃德·沙普利，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與Jon Folkman一同證明沙普利-福克曼引理。
有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言，的表示法
 
中，僅需要不多於個被加項取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合。以符號復述，即有以上方法表示，且滿足。不妨將下標重新排序，然後就有
 
其中對，有，而對，則有。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點。再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成
 
舉例，集合中的每個點，根據引理，必定可以寫成的某個元素，與的某個元素之和。

**實向量空間的維數**
反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數滿足引理的結論，但對小於的數不滿足，則其維數恰好為。引理僅對有限維向量空間成立。

**沙普利-福克曼定理及斯塔的推論**
某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。
沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：凸化和的任一點，到（未凸化）和集的歐氏距離平方，不超過各集合的外接半徑中，最大個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數無關（但要求，且集合不能越來越大）。上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數及各被加項的形狀，但只要，就不取決於項數。
通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合的內半徑定義為：
最小的正實數，滿足：若在凸包中，則在若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為的球內。
斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：
沙普利-福克曼定理的斯塔推論：
凸化和的任一點，到（未凸化）和集的歐氏距離平方，不超過各集合的內半徑中，最大個的平方和。
斯塔的推論確定，個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數（假設）。
例如，非凸集的非凸度為，因為與其凸包（區間）的距離為所以，既然的非凸度有不取決於項數的上界，就知平均集
 
非凸度上界，會隨增加而遞減。例如，平均集
 
和其凸包的距離僅為，等於被加項與其凸包的距離（）之半。僅要最大個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以後，平均集與凸包的距離，在趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。

**證明和計算**
沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、蓋士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博賽卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。

**應用**
有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最優化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

**經濟學**
偏好位於無差異曲線上的任意籃子，勝過位於上的籃子。籃子，是預算線（藍色）支撐的位置，所以是最優而又可行。相反，雖然消費者更偏好上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。
經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族無差異曲線，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。
如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。

**非凸偏好**
若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。
然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（獅鷲）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。
若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：
若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。
書中，稱Herman Wold有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」Betwixt Damiata and Mount Casius old,Where Armies whole have sunk.彌爾頓對凹陷的描寫，是p=169第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好與生產的市場］的epigraph (literature)。該章講解1969的成果。。
儘管有上述困難，《Journal of Political Economy》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴託爾、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使勞埃德·沙普利和馬丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了羅伯特·奧曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。

**斯塔1969年的論文與當代經濟學**
肯尼斯·阿羅（1972年諾貝爾獎得主）幫助Ross Starr研究非凸經濟體。
肯尼斯·阿羅收集前人研究經濟學中的非凸集的文獻，列成表，並加入註解，交給Ross Starr。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家勞埃德·沙普利和Jon Folkman參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。
斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為的準均衡，滿足下列條件：- 對每個準均衡，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。- 在該價格，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。- 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。
斯塔確立以下結論：
「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」
斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。Roger Guesnerie如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集」，除以上得主著重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康託羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微觀經濟學、一般均衡理論、公共經濟學（包括市場失靈）、博弈論、數理經濟學、經濟學中的應用數學。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和積分理論。

**最優化理論**
函數稱為凸，意思是圖像上方的區域為凸集。
沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。

**最優化理論的前置概念**
非線性規劃依賴下列有關函數的若干定義：- 函數（定義在集合上）的圖像，是所有參數與相應取值組成的二元組的集合：
 - Real-valued function的Epigraph (mathematics)是圖像上方的點的集合：
正弦函數並非凸函數。
 - 實值函數稱為凸函數，意思是其蓋圖為凸集。
舉例，二次函數為凸，而絕對值函數亦然，但正弦函數（如圖）則不然，因為在區間的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

**加性優化問題**
許多優化問題中，目標函數可分離變數（可分），即是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：
 
又例如，線性規劃問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解
 
在該點取到最小值。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列的極限，其中
 
當然，因為此點是個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。
以上分析，1974年由埃科蘭德發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定條件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家Claude Lemaréchal詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。

**概率與測度論**
凸集常與概率論一同研究。卡拉西奧多里定理說明，維空間的（非空）子集凸包中的點，是取值於的簡單隨機向量的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於個點處有非零概率。所以，對非空集，取值自的簡單隨機向量組成的集合，等於的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論，例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差原理。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。
概率測度是有限的測度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如體積或向量測度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強Brunn–Minkowski theorem。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒貝格測度。
高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量測度的值域為凸。值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某測度空間有兩種概率測度和，則可定義一個向量測度，是對每個事件，將其兩個概率結合為一個二元組，即
 
李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、Statistical theory皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。

**註**

**參考文獻**
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