巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪諾夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。
定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

**歷史**
納裡奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於weak-* topology唯一（the）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」pp=235-2401912年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間，其連續對偶空間的單位球，為弱*countably compact。pp=225-2731932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列緊）。pp=225-273 
一般情況的證明，是由Leonidas Alaoglu於1940年發表。納裡奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch 2007指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。pp=235-240 
布爾巴基-阿勞格魯定理（Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布爾巴基將原定理推廣到locally convex space的dual topology的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（weak-* compactness theorem），也常簡稱為阿勞格魯定理（Alaoglu theorem）。pp=235-240

**敍述**

**一般敍述**
對於域上的向量空間，以表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射所聯繫，該映射由 

定義。所以，三元組（兩個空間及一個映射）組成dual system，稱為典範對偶系。
若進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶為代數對偶中，連續泛函組成的子集。以表示上的weak-* topology。類似有是上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射和一網映射，網在弱*拓撲中收斂至，當且僅當對定義域中每點，函數值組成的網收斂到。 
阿勞格魯定理pp=225-273
設為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或locally convex），為其連續對偶，則對於中原點的任何鄰域（），其Polar set 

在上的弱*拓撲中，必為緊集。
此外，亦是相對於典範對偶系的極集，在拓撲空間同樣為緊。

**賦範特例**
若為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若為的開（或閉）單位球，則的極集為連續對偶空間的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：
巴拿赫-阿勞格魯定理
若為賦範空間，則連續對偶空間中，算子範數的閉單位球，為weak-* topology中的緊集。
當的連續對偶是無窮維賦範空間時，中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見F. Riesz theorem）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。
但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在strong topology中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

**證明**

**對偶理論證明**
記的基域為，此處為實數域或複數域。證明會用到polar set、dual system、連續線性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。
先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶配備weak-* topology時，為一個豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，記為。空間總是完備，但連續對偶則不一定，此即證明需牽涉的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且Totally bounded space。注意從繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲。為驗證此事，只需檢查對每個，中的網在其中一個拓撲中收斂到，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。
三元組也是對偶對（有雙線性映射），但與不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。
設為原點的鄰域，又設： 
*為相對的極集；
*為相對的二重極集；
*為相對的極集。
極集的基本性質有。 
下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：
# 先證在拓撲中為的閉子集：設，又假設為中的網，在中收斂到。欲證，即對任意皆成立。因為在純量域中，，而每個值皆屬於（的）閉子集，故網的極限亦必在該子集中。於是。
# 其次，欲證，以推出既是的閉子集，亦是的閉子集：有包含關係，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證，設滿足，換言之線性泛函在鄰域上有界，而泛函有界等價於連續，故，從而，即所求證。用第1步，結合交集在的子空間拓撲中為閉，推得為閉。 
# 欲證對的拓撲而言是Totally bounded space子集：由bipolar theorem，，又因為鄰域為中的吸收集，亦同。可以證明，此結論推出是對而言的有界子集。由於分辨各點，的子集在意義下有界，當且僅當在同樣意義下Totally bounded space。所以，尤其有在意義下完全有界。 
# 欲證亦為在拓撲下的完全有界子集：已知上，拓撲等於從繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出為在拓撲下的完全有界子集。
# 最後，欲證為在拓撲下的緊子集：因為為Complete topological vector space，又為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以為緊。定理證畢。

**較初等的證明**
以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見sublinear functional）。 
設向量空間的基域為，為實數系或複數系兩者之一。對任意實數，以

表示以原點為球心，半徑為的閉球。在中，此為緊的閉集。

**極集的等價表示**
由於是中原點的鄰域，可知亦是的吸收集，即對每個，皆有正實數使。以
 
表示相對典範對偶系的極集。將證明，此極集，與定理提到，相對的極集，兩者相等。

成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證，設滿足，即線性泛函在鄰域上有界。所以是連續線性算子（換言之），從而有，即所求證。
至此，已證明，餘下的證明中，需理解笛卡兒積與所有的映射構成的空間等同。仍需證明以下兩個命題：
#為的閉子集。待證
#* 此處配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
#
#* 其中表示以原點為球心，為半徑的閉球。本證明開始時，對每個， 已定義為使的任意一個實數。特別地，對於，可以選。
以上命題推出，為的閉子集，而由吉洪諾夫定理，該積空間為緊（因為每個閉球皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

**極集為閉**
以下證明前述命題1。代數對偶總是積空間 的閉子集註|「線性泛函」的要求，可以寫成許多條等式如之合取。每個要求皆是閉條件，即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉，所以線性泛函組成的集合為閉集。。要證明在中為閉，祇需證明集合
 
是的閉子集，因為若有此結論，則是中兩閉集之交，故亦為閉集。
設，又設為中的網，在中收斂到。需要證明。換言之，要證對每個，（或等價寫成）。由於在純量域中，，且每項皆屬於中的閉子集，此網的極限亦必屬於該閉集，即。證畢命題1。
上述證明可以推廣，以論證以下命題：
設為任意集合，為拓撲空間的閉子集，則在的逐點收斂拓撲中，為閉子集。
命題1為其特殊情況，取和便得。

**極集包含於緊空間之積**
以下證明前述命題2。對任意，以表示到第個坐標的投影。欲證。換言之，欲對每個，證明。
於是選定，設；要證。由的定義，，故。因為，線性泛函滿足，所以由，可知
 
所以，即，證畢命題2。

**序列版本**
巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：
可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列緊。

**可度量**
實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。
明確而言，設為可分賦範向量空間，而為連續對偶中的閉單位球。根據可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為。則下式定義一個度量：對於，

其中表示與的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，為序列緊之事，用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。
由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間，其對偶上有泛函，欲求最小值，則常見策略是先構造序列，使的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列，在弱*拓撲下收斂到極限，並確定使取最小值。最後一步通常要求在弱*拓撲下為（序列）下半連續。
考慮另一個例子，設為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於Helly selection theorem。

**證明**
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。
對每個，設

以及

因為是複平面的緊子集，在積拓撲中亦為緊（根據吉洪諾夫定理）。
中的閉單位球，可以自然地看成的子空間：考慮映射

其為單射，且對於的弱*拓撲和的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。
欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網中的網

等式定義的泛函，也在中。定理證畢。

**推論**

**賦範空間**
假設為賦範空間，則其連續對偶空間具有對偶範數。 - 中的閉單位球為弱*緊pp=225-273。相比之下，若為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F. Riesz theorem）。- 某巴拿赫空間自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲下為緊。pp=225-273- 若為自反巴拿赫空間，則中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用Eberlein–Šmulian theorem。）舉例，設為Lp空間，其中。設為中函數組成的有界序列。則存在子列，且有使得對於中的任意函數成立，其中。對於，沒有相應的結論，因為不自反。

**希爾伯特空間**
任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱Relatively compact subspace，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
*由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
*設為希爾伯特空間，為其上有界算子的空間，則可以配備以下兩種不同的拓撲：一則ultraweak topology，即作為跡類算子空間的對偶所具備的弱*拓撲；二則weak operator topology，是使形如的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷爾性質。

**與選擇公理的關係**
通常，會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是選擇公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見#序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，ultrafilter Lemma比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

**參見**
 Bishop–Phelps theorem- Banach–Mazur theorem- Δ收斂- Eberlein–Šmulian theorem- Goldstine theorem- James' theorem- Krein-Milman theorem- Mazur's lemma- 拓撲向量空間

**註**

**參考資料**
 ref = harv見§20.9。- ref = harv 見Theorem 23.5，p. 264。-   見Theorem 3.15，p. 68。- language = en