塞邁雷迪定理

在arithmetic combinatorics中，塞邁雷迪定理（Szemerédi's theorem）是個關於自然數集子集中的等差數列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞邁雷迪·安德烈於1975年證明瞭此結論。

**定理敍述**
若自然數集的子集 A 滿足

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。
定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 都存在正整數

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。
定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

換言之，rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。

**歷史**
範德瓦爾登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。
塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎Salem-Spencer set（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明瞭 k = 3 的結論。1969 年，塞邁雷迪·安德烈利用組合學方法證明瞭 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。
塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒爾·菲爾斯滕貝格利用遍歷理論給出的證明，以及 2001 年高爾斯結合傅里葉分析和組合數學給出的證明。陶哲軒稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。

**rk(N) 的具體大小**
rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

其中 歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界 ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)、Robert Alexander Rankin，以及埃爾金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高爾斯證出。
對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘、希斯-布朗、塞邁雷迪，以及湯姆·桑德斯依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

兩邊的界限分別由歐布萊恩 和布魯姆（Thomas Bloom)  給出。
當 k = 4 時，Ben Green (mathematician)和陶哲軒 證明瞭存在 c > 0 使得


**推廣**
希勒爾·菲爾斯滕貝格和Yitzhak Katznelson利用遍歷理論整明瞭塞邁雷迪定理的高維推廣。 高爾斯、Vojtěch Rödl和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan)  ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和Mathias Schacht ，和陶哲軒給出了各自的組合學證明。
亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman)  和Vitaly Bergelson 給出定理對多項式列的推廣：若 的上密度為正，且 為滿足 的Integer-valued polynomial，則存在無窮多組 使得對都有  萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。
塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空間。 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。 所謂Cap set問題，就是要找出向量空間 所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。
格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. Ben Green (mathematician)和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（relative) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。David Conlon，Jacob Fox和趙宇飛 (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。
埃爾德什等差數列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

**參見**
Problems involving arithmetic progressions
*Ergodic Ramsey theory
*arithmetic combinatorics
*塞邁雷迪正則性引理

**參考資料**

**延申閱讀**
 cite encyclopedia | first=Terence | last=Tao | authorlink=陶哲軒 | chapter=The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi's theorem | pages=145–193 | editor1-first=Andrew | editor1-last=Granville | editor2-first=Melvyn B. | editor2-last=Nathanson| editor3-first=József | editor3-last=Solymosi | encyclopedia=Additive Combinatorics | series=CRM Proceedings & Lecture Notes | volume=43 | publisher=American Mathematical Society | year=2007 | isbn=978-0-8218-4351-2 | zbl=1159.11005 | mr=2359471 | arxiv=math/0604456 | location=Providence, RI| bibcode=2006math......4456T 

**外部鏈結**
  Announcement by Ben Green and Terence Tao date=20180920124113  – the preprint is available at  math.NT/0404188-  Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5) date=20200220223456 - Ben Green and Terence Tao:  Szemerédi's theorem date=20200222064917  on Scholarpedia- SzemeredisTheorem- cite web|last=Grime|first=James|title=6,000,000: Endre Szemerédi wins the Abel Prize|url=http://www.numberphile.com/videos/abel_prize.html|work=Numberphile|year=2012|publisher=布雷迪·哈蘭|author2=Hodge, David|access-date=2019-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20140109114940/http://numberphile.com/videos/abel_prize.html|archive-date=2014-01-09|dead-url=yes