完整群

微分幾何中，一個微分流形上的聯絡的完整（holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。
流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼幾何中列維-奇維塔聯絡的和樂（稱為黎曼和樂）。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂，以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。
對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由year=1926引入，以用於symmetric space的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 喬治·德拉姆證明瞭德拉姆分解定理：若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後，於1953年，Marcel Berger 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和絃論。

**定義**

**向量叢聯絡的和樂**
設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量叢，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : 0,1 → M, 該聯絡定義了一個平行移動映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射，因此是一般線性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

以 x 為基點的限制和樂群是由contractible環圈 γ 給出的子群.
若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的重要性質包括：-  是 GL(k, R) 的連通李子群。-  是  的identity component。 - 存在自然的滿群同態  其中  是 M 的基本群。該同態將同倫類  映到陪集 - 若 M 單連通，則 - ∇ 為平（即曲率恆零）當且僅當  為平凡群。
在物理學中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

**主叢聯絡的和樂**
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : 0,1 → M,  以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升  使得  水平提升的終點  未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。
ω 以 p 為基點的和樂群定義為

若在定義中僅允許contractible環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 . 其為和樂群 的子群。
若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

特別地，

再者，若 p ~ q, 則  因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的若干性質包括：- 是 G 的連通李子群。- 是  的identity component。
*存在自然的滿群同態- 若 M 單連通，則 
*ω 為平（即曲率恆零）當且僅當  為平凡群。

**和樂叢**
同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 （即 H (p) 是主  叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。
與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

**單延拓群**
和樂叢 H (p) 是主  叢，因此受限和樂群 （作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群  稱為聯絡的Monodromy群。其作用在商叢  上。存在滿同態 使得  作用在  上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

**局域及無窮小和樂**
若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為  而受限和樂群則記為  其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。
若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

p 點的局域和樂群定義為

其中 Uk 為任意一族滿足  的遞降（即  ）連通開集。
局域和樂群有以下性質：
# 其為受限和樂群  的連通李子群。
# 每點 p 都有鄰域 V 使得  局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
# 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, （注意由性質 1,  局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。
局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：- 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即

**詞源**
英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生Charles Briot（1817–1882）和Jean-Claude Bouquet（1819–1895）引入，來自希臘文lang|el|ὅλος（holos）和lang|el|μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。
"Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半：
非常難在網絡上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：
我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。
——S. Golwala
參見νόμος（nomos）和-nomy。

**安布羅斯－辛格定理**
安布羅斯－辛格定理（得名自year=1953）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射聯絡、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。
引入更多細節，若是中某曲面的坐標表示，則向量可以沿的邊界平行移動，由原點出發，先沿，再沿，再（反方向，即由遞減至），最後，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量沿該圈平行移動的結果，相當於邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應坐標中的區域，而趨向於），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於處的導數：

其中為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，是的李代數的元素。
一般來說，考慮結構群為的主叢某聯絡的和樂。以表示的李代數，則聯絡的曲率形式是上的值2-形式。安布羅斯－辛格定理斷言：
的李代數，是由中所有形如的元素線性張成，其中取遍所有可以用水平曲線與連接的點，而皆是處的水平切向量。
亦可用和樂叢的說法，複述如下：
的李代數，是中形如的元素張成的線性子空間，其中取遍的元素，而取遍處的水平向量。

**黎曼和樂**

**可約和樂與德拉姆分解**
設為任意一點，則和樂群作用在切空間上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將分解成正交子空間的直和

而兩個子空間皆在作用下不變。此時亦稱可約。
設為可約流形。上式說明，在每一點處，切空間可以約化分解成和，所以當變動時，就定義出向量叢和，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的integral manifold皆為Totally geodesic子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察，是笛卡爾積。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：
設為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，為切叢的完全約化分解，而和樂群在上的作用平凡（恆等映射），則局部等距同構於乘積

其中是歐氏開集，而每個是的積分流形。更甚者，是的直積（是過某點的極大積分流形）。
若同時假設geodesically complete（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各本身也是測地完備流形。

**伯格分類**
1955年，Marcel Berger將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：
1965年，Edmond Bonan及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為的流形，構造出其平行4形式。
於1966年最早引入和樂群為或的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為裡奇平。
伯格原先的表中，未排除（作為的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與Cayley plane局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見流形和。
注意，故hyperkähler manifold必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凱勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非locally symmetric space，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是（作用於），以及（作用於）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的Cayley projective plane）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。
伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：
但是，標的兩種和樂群（分裂及複化），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為子群的流形，R. McLean證明其為局部平。 
對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間同構，其局部和樂群同構於，經已分類完畢。
最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群，見下節。

**特殊和樂及旋量**
一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：- ，當且僅當上存在平行的射影純旋量場。- 若為旋量流形，則，當且僅當具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到的典範歸約。- 若是七維旋量流形，則具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是的子群。- 若為八維旋量流形，則具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是的子群。
麼正與特殊麼正和樂經常連帶扭量理論、殆複流形一同研究。

**應用**

**弦論**
具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具或和樂的卡拉比–丘流形上，以及流形上。

**機器學習**
在機器學習，尤其manifold learning方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量Diffusion map），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

**仿射和樂**
仿射和樂群（affine holonomy groups），是無撓仿射聯絡的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。
伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。
但伯格的列表，其後證實並未齊全。Robert Bryant (mathematician)（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。
觀察到表中的群和hermitian symmetric space、quaternion-Kähler symmetric space之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。
設為有限維複向量空間，為不可約半單複連通李子群，又設為極大緊子群。
# 若有不可約埃爾米特對稱空間形如，則和兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中為的切表示。
# 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如，則為非對稱不可約仿射和樂群，而當時，亦然。此時，的複化切表示是，而保上某個複辛形式。
上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

其中可取平凡群，亦可取為。
同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

（第二行中，必須取為平凡群，除非，此時可取為。）
從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為prehomogeneous vector space。但是，未知此事實的概念性證明。
不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

**參見**
 A-B效應

**腳註**

**參考文獻**
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