有限單群分類

在數學中，有限單群分類是群論中的一大成果，表明了所有有限單群要麼是循環群，要麼是交錯群，要麼屬於一個無限類，稱為李型群，要麼是 26 個或 27 個特別類型之一，稱作散在單群。其證明涵蓋共計上萬頁的由上百位作者撰寫的數百篇期刊文章，這些文章的發表時間跨越了從 1955 年到 2004 年近半個世紀之久。
單群可以被視作所有有限群的 “基本建築單元”，性質上近似素數之於整數的關係。Jordan–Hölder 定理是一個說明有限群本質的更精確的途徑。然而，和整數分解工作的一個重要區別在於，這種 “建築單元” 並不一定確定某個唯一的群，因為可能具有許多非同構群具有相同的合成群列，換言之，擴張問題並不存在唯一解。
D. E. Gorenstein (卒於1992年)、R. N. Lyons 和 R. M. Solomon 正在逐步發表簡化以及修訂版的證明。

**分類定理的陳述**
關於有限單群分類研究的最終成果如下：

這一分類定理在許多數學分支均有應用，如有限群的（及其於其他數學對象上的作用的）結構問題有時可轉化為有限單群的問題。通過分類定理，這樣的一些問題有時可以僅僅通過檢查所有單群族和所有散在單群來解決。
Daniel Gorenstein 於 1983 年宣稱有限單群業已完成分類，然而這為時過早，他被Quasithin group的分類的證明所誤導了。在 Aschbacher 和 Smith 於 2004 年為遺漏的擬薄群情況發表了一篇長達 1221 頁的證明後，有限單群分類工作正式宣告完成。

**散在單群**
散在單群中，有五個被 Emile Mathieu 於 19 世紀 60 年代所發現，其餘 21 個則於 1965 年 到 1975 年間陸續被找到。這其中有一部分群在它們構造出來之前就被預言存在了。這些群大部分由首個預測其存在的數學家的名字命名。完整的列表如下，其中用“或”連接的兩個名稱指稱相同對象：- Mathieu 群 、、、、；- Janko 群 、 或 、 或 、；- Conway 群 、、；- Fischer 群 、、或；- Higman-Sims 群 ；- McLaughlin 群 ；- Held 群  或  或 ；- Rudvalis 群 ；- 鈴木散在群  或 ；- O'Nan 群 - 原田-Norton 群  或  或 ；- Lyons 群 ；- Thompson 群  或  或 ；- baby monster group  或  或 ；- 魔群  或 。
除魔群外，所有散在單群於有限體上的矩陣表示業已算得。
所有 26 個散在單群中，有 20 個可看作魔群的（非正規）子群或子群的商，被 Robert Griess 稱作倖福家庭 (Happy Family)。在此之外的 6 個為 、、、、 和 ，被稱作賤民 (pariahs)。
。

**分類定理證明概覽**
Gorenstein 寫過兩卷文章，概述了證明的低秩和奇特徵域的部分，Michael Aschbacher，Richard Lyons 以及 D. Smith等人則寫了第三卷以涵蓋特徵為 2 的情形。這份證明可分為如下幾個主要部分：

**小的 2-秩群**
低階的 2-秩單群，大多數是奇特徵域上的低秩 Lie 型群，此外有 5 個交錯群，7個特徵 2 型群和 9 個散在群。
小 2-秩單群有：- 2-秩為 0 的群，或者說奇數階群，按 Feit-Thompson 定理均可解。- 2-秩為 1 的群。Sylow 2-子群要麼是循環群，要麼是廣義四元數群。對於循環的 Sylow 2-子群，很容易利用傳遞映射處理；而對廣義四元數群可以通過 Brauer-鈴木定理 處理：特別地，除 2 階循環群外不存在 2-秩為 1 的單群。- 2-秩為 2 的群。Alperin 表明，Sylow 子群必須是二面體群、擬二面體群、Wreath prouduct，或者  的一個 Sylow 2-子群。第一種情況由 Gorenstein–Walter theorem 解決，其表明，僅單群同構於  或對於  奇數的 ，第二和第三種情況由 Alperin-Brauer-Gorenstein Theorem完成，該定理蘊含，僅單群同構於  或對於  奇數而言的  或 ，而最後一種情況由 Lyons 完成，他證明了唯一可能單的群是  。- 2-秩至多為 4 的群，由 Gorenstein-原田定理完成分類。
小 2-秩群，尤其是 2-秩至多 2 的群的分類工作，大量使用了普通特徵理論和模塊特徵理論，而這一理論幾乎從未直接用於分類工作的他處。
所有不是小 2-秩群的群可歸為兩大類：組件型群或特徵 2 型群。這是因為，對於截面 2-秩至少為 5 的群，MacWilliams 證明了其 Sylow 2-子群連通，且平衡定理蘊含任意具連通 Sylow 2-子群的單群，或為組件型，或為特徵 2 型。

**組件型群**
一群為組件型群，當且僅當對某個對合的中心化子 ， 有一個組件，其中  為  的中心。這些群或多或少都是大秩奇特徵 Lie 型群、交錯群及一些散在群。這些情況下，一個重要的步驟是剔除對合中心的阻礙，這個步驟由 B-theorem完成，其指出  的每個組件都是  的組件的像。
其想法是，這些群有一個對合的中心化子，其組件為一個較小的擬單群，不妨假設該群是通過歸納已知的。從而，為了對這些群進行分類，我們需要所有已知有限單群的所有中心擴張，並找到所有單群及其。這提出了相當大量不同的亟待檢查的情形：不只是有 26 個散在單群和 16 類 Lie 型群以及交錯群需要處理，許多低階或基於小域上的群，其行為與一般情形並不相通，須特別對待，同時須說明，偶特徵和奇特徵的 Lie 型群之間也有很大不同。

**特徵 2 型群**
一群為特徵 2 型群，若其每個 2-local subgroup  的廣義fitting group  均為 2-群。顧名思義，其大致為在特徵 2 域上的 Lie 型群，外加其讓一些交錯群、散在群或是奇特徵群。它們的分類被歸為大秩和小秩兩種情況，其中，秩指的是正規化非平凡 2-子群的奇 Abel 子群的最大秩，當群是特徵 2 Lie 型群時，通常（但不絕對）與 Cartan 子代數的秩等同。
秩 1 的群是薄群，由 Aschbacher 分類；秩 2 的群則是前文提到的擬薄群，由 Aschbacher 與 Smith 一同分類。這些大致對應著特徵 2 域上的秩 1 或 2 的 Lie 型群。
秩至少 3 的群由Trichotomy theorem進一步地細分為三類，秩 3 的情形由 Aschbacher 完成證明，而秩至少為 4 的情形則由 Gorenstein 和 Lyons 完成。這三種類型分別是-  型群，主要由 Timmesfeld 分類；- 對於一些奇素數的 “標準型” 群，主要由 Gilman-Griess 定理和其他一些工作完成分類；- 唯一性類型群，根據 Aschbacher 的一個結果，其中沒有單群。
總-{}-體而言，較高秩情形涵蓋絕大多數秩至少 3 或 4 的特徵 2 域上的 Lie 型群。

**單群存在唯一性**
分類定理的主要部分刻畫了每一個單群的特徵，那麼現在驗證對於每個特徵總唯一存在一個單群就尤為重要了。這拋出了大量獨立的問題，比如說，魔群存在唯一性的原始證明有著約 200 頁，Thompson 和 Bombieri 對 Ree Group的鑑定是分類定理最艱鉅的一部分。很多存在性證明和一些散在群的唯一性證明在原始論文裡就援引了計算機輔助證明，其中的大多數現在已被更簡潔的人工證明所替代。

**證明歷程**

**Gorenstein 的程序化證明**
在 1972 年，Gorenstein 宣佈了一個用於完成有限單群分類定理的程序，涵蓋以下 16 個步驟：
# 低 2-秩群。這本質上已經由 Gorenstein 和原田完成，他們分類了 2-秩至多 4 的部分。大多 2-秩至多 2 的情形在 Gorenstein 宣佈其程序時完成。
# 2-層半單群。其問題是證明其單群上的一個對合中心化子的 2-層是半單的。
# 奇特徵標準型。如果一個群有一個對合，其 2-組件是奇特徵 Lie 型群，目標是證明其在 “標準型” 中有一個對合中心化子，也就是一個對合中心化子同時擁有一個奇特徵 Lie 型組件和一個 2-秩 1 的中心化子。
# 奇型群的分類。這個問題表明，如果一個群擁有一個在 “標準型” 上對合的中心化子，那麼它是一個奇特徵 Lie 型群。這由 Aschbacher 的Classical involution theorem解決。
# 擬標準型。
# 中心對合。
# 交錯群分類。
# 一些散在群。
# 薄群。僅指Thin finite group，那些對奇素數  有 2-局部 -秩至多 1 的部分，由 Aschbacher 於1978年分類。
# 對於奇素數  有強 -嵌入子群的群。
# 對於奇素數的信號化子函子法。主要的問題在於為不可解Signalizer functor證明信號化子函子定理。由 McBride 於1982 年解決。
# 特徵  型群。這是那些擁有奇數  階強 -嵌入 2-層子群的群的問題，由 Aschbacher 解決。
# 擬薄群。擬薄群是一個這樣的群，其 2-局部子群對所有奇素數  有 -秩至多 2.。其問題在於分類出那些特徵 2 型的單群。由 Aschbacher 和 Smith 於 2004 年完成。
# 2-層低 3-秩群。這本質上由 Aschbacher 對於  的三分定理解決。主要的的挑戰在於，2-層 3-秩被 2-層奇素秩所替代。
# 標準型上的 3-元中心化子。基本上由三分定理完成。
# 特徵 2 型單群的分類。由 Gilman-Griess 定理解決，其中 3-元被奇素元所替代。

**證明的時間線**
下面表格中的大部分條目來源於 2001。所提供的年份通常是作為結果的完整證明的發表時間，有時會遲於結果的證明或首次宣佈時間，所以其中一些條目將會以 “錯誤” 的順序出現。

**第二代分類證明**
這個定理於 1985 年左右的證明版本被稱作第一代分類證明，由於它令人瞠目結舌的長度，人們將注意力放在了尋找一個更簡潔的證明上，稱作第二代分類證明。這部分被稱作 “修正主義” 的工作最開始由·Daniel Gorenstein 所牽頭進行。
到 2023 年為止，已經有數十卷的第二代證明被髮表（Gorenstein，Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023）。在 2012 年， Solomon 估計這項工程還需要另外的五卷，但表示進展緩慢。估計上，新的證明將最終寫滿近 5000 張紙。然而，隨著關於 GLS 系列，同時包含 Aschbacher-Smith 組件的第 9 卷的發表，這一估計已經被打破了，而更多的幾卷仍在計劃中。Aschbacher 和 Smith 稍早些寫就的兩卷，因為其對擬薄群的情形有足夠大的貢獻，因為被容納作為第二代證明的一部分。
Gorenstein 和他的同事已經給出幾點原因，用以說明一個更簡潔的證明存在可能。- 其中最關鍵的一點，現在正確的最終表述是已知的。能夠適用於相關工作的更簡潔的手法已經被證實對於判定這些群是否有限單是足夠的了。相比之下，致力於第一代證明的學者們並不知道具體存在多少散在單群，而且實際上其中一些單群比如 Janko 群甚至是在其他情形的分類定理完成證明之後才被發現的。因而這份證明版本得到許多部分是通過更泛用的工具完成的。
*由於最終結論並不確定，第一代證明涵蓋了許多獨立存在的完整定理用於處理一些重要的特殊情況。這些大量的證明定理的工作致力於分析數目繁多的特殊情況。如果給出一個更大、更精密的證明，這些氮雜的特殊情況就可以推遲到最有力的假設被證明之後再處理了。而這樣做的代價就是，像第一代證明那樣的一系列簡短證明不復存在，而是會被一個更加周密的分類所涵蓋。
*第一代證明中的很多定理存在重疊部分，將一些可能的情況以一種效率低下的方式進行分類。因而有限單群的族和子族有時被重複驗證了很多次。修正後的證明將依賴於不同的情形細分以規避這些冗餘。
*有限群理論研究者現在對於這種練習已經有了更豐富的經驗，並且在處理這些結構時掌握著更先進的工具。
Aschbacher (2004) 將 Ulrich Meierfrankendeld，Bernd Stellmacher，Gernot Stroth以及其它一些人在分類問題上的工作稱作第三代分類問題。其目標之一是使用合併法統一處理所有特徵 2 型群。
除去對特例的簡化，一些新的方法和工具也被應用到簡化上，數學家最近使用計算群論和範疇論的理論方法實現 Aschbacher 在 Fusion Theory提出的簡化計劃，現在的具體方法是通過 
MAGMA 算法解決較小階的p群問題。

**證明的長度**
Gorenstein 給出過一些原因，解釋為什麼分類定理可能沒有一個像緊 Lie 群分類工作那樣的簡短的證明。- 最顯而易見的原因是，單群的種類客觀上本就很複雜：有 26 個散在群，他們在任何證明中都只能被當作許多特殊情況處理。至今還沒有人能夠給出一個清晰的統一表述去像 Dynkin 根系處理緊 Lie 群分類定理一樣參數化地描述這些單群。- Atiyah 和其他人建議，分類定理應當通過構建一些這些群作用的幾何對象並對其進行分類來簡化。問題在於，還沒有人能夠給出一個簡單的方式以尋找這樣一個聯繫到單群的幾何對象。在某種意義上，分類定理的確依靠尋找幾何對象比如 BN-pairs而運作。- 其他一些簡化的建議是讓群表示論發揮更大的作用。這裡的問題則是，表示論似乎要對群的子群進行非常細緻的控制才能很好地起作用。對於小秩的群來說，我們或許能進行這樣的控制使得表示論發揮作用，但對大秩的群來說，還沒有人能成功將其用於簡化分類定理。在分類工作的早期，人們花費了大量精力去嘗試應用表示論，但在較高秩的情況中沒有獲得多少成功。

**參見**
# signalizer functor
# O'Nan-Scott theorem

**註釋**

**參考文獻**

**外部連結**
 The Periodic Table of Finite Simple Groups date=20180828103604