代數曲線

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面上由一個齊次多項式定義的零點。

**仿射曲線**
定義在域上的仿射代數曲線可以看作是中由若干個-元多項式定義的公共零點，使得其維數為一。
利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線，其中，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

**射影曲線**
射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程（）中，我們作代換：
 
遂得到個齊次多項式，它們在射影空間中定義一條曲線，此射影曲線與開集的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括中的費馬曲線，其上的有理點對應到費馬方程的互素整數解。

**代數函數域**
代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域上的函數域是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素使得在上超越，而且是有限擴張。
以複數域為例，我們可以定義複係數有理函數域。變元對代數關係生成的域是一個橢圓函數域，代數曲線  給出它的一個幾何模型。
若基域非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域並考慮其上的代數曲線，此方程定義了一個的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而
 
代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。

**複代數曲線與黎曼曲面**
複射影曲線可以嵌入維複射影空間。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明瞭任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。
於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。

**奇點**

**判斷方式**
曲線在一點的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於中的曲線：設該曲線由個個變元的齊次多項式定義，若其雅可比矩陣在區線上一點滿秩，則稱它點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。
在平面射影曲線的例子，假設曲線由齊次方程式定義，則的奇點恰為上使得為零的點，即：

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

**奇點分類**
x3 = y2
曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線之於原點，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線在一點的奇點性質可以透過下述方式理解：
透過平移，不妨假設。將多項式寫成
 
其中是次齊次多項式。直觀地想像，在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為。根據齊次性可以將之分解成
 
換言之，曲線在原點附近將近似於條（含重複）直線的聯集。上式中相異的直線數稱作分支數，正整數稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量，其中是該曲線的正規化態射。資料m, δ, r能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到，一般雙重點對應到，而一般n重點則對應到。
各奇點的不變量δP決定平面曲線的虧格：設，則有

對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數：同樣假設，在原點附近夠小的四維球內有，此時有連續映射
 
由於 同倫等價於三維球面，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：
 
事實上，在ε夠小時是中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如：在尖點附近的奇點環圈是三葉結。

**曲線的例子**

**有理曲線**
域上的有理曲線是雙有理等價於射影直線的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域。當代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。
具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。
任何上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點而斜率為的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於的根已知，即的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於，而且能表作在上的有理函數。y坐標的作法相同。
x2 + xy + y2 = 1
例。考慮斜橢圓，其中是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線，並帶入E的等式，於是得到：
。

這就給出E的有理參數化，於是證明瞭E是有理曲線。
將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線

以上參數化遂表為

若取為整數，對應的是不定方程的整數解；若將代以，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為  60°且邊長均為整數的三角形，例如取，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

**橢圓曲線**
橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於，其中的由相應的橢圓函數給出。

**虧格大於一的曲線**
對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括Hyperelliptic curve、Klein quartic與一開始提到的Fermat curve在的情形。

**文獻**
 Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986- Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980- Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision- Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977- Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982- John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968- George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934- Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988