量子力學的數學表述

量子力學的數學表述（Mathematical formulation of quantum mechanics）是對量子力學進行嚴謹描述的數學表述體系。與20世紀初發展起來的舊量子論的數學形式不同，它使用了一些抽象的代數結構，如無窮維希爾伯特空間和這些空間上的算子。這些結構中有許多源於泛函分析。這一純粹數學研究領域的發展過程既平行於又受影響於量子力學的需要。簡而言之，物理可觀察量的值，如能量和動量的值不再作為相空間上的函數值，而是作為本徵值，或者更為精確地來說是希爾伯特空間中線性算子的譜值。
這一表述體系一直沿用至今。該體系的核心為“量子態”和“可觀察量”這兩個概念。對於原子尺度的系統來說，這兩個概念與之前用來描述物理現實的模型大相徑庭。雖然數學上允許對許多量的計算結果進行實驗測量，但是實際上，在對於符合一定條件的兩個物理量同時進行精確測量時，卻存在一個理論性限制——不確定性原理。這一原理由維爾納·海森堡通過思想實驗首次闡明，且在該體系中以可觀察量的不可交換性進行表述。
在量子力學作為一支獨立理論形成之前，物理學中用到的數學理論主要是以微積分為源頭、後來又添以微分幾何與偏微分方程的數學分析。統計力學中還用到概率論。幾何直觀在這兩個理論中扮演重要角色。相對論中的許多概念和方法也是基於幾何理論。量子物理學中對於實驗現象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年間開始逐步形成。其中具有代表性的思想為波粒二象性。但在量子理論形成之前的10至15年中，物理學家仍然在經典物理學的框架內思考量子理論，所基於的數學結構也是完全相同的。其中具有代表性的例子是玻爾-索末菲量子化條件。這一原理完全建構於經典框架中的相空間。

**歷史**

**舊量子論與量子力學的創立**
1900年，馬克斯·普朗克提出描述黑體輻射的普朗克公式。普朗克對於黑體的描述規避了經典物理學結果中的紫外災變。他做出了這一假設，在物質與電磁輻射的相互作用中，能量的傳遞只能以一個個分立的單元的形式進行。這些小單元被稱為量子，此外他還提出，量子包含的能量與輻射頻率成正比。比例常數h後來為了紀念普朗克的功績被命名為“普朗克常數”。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦引用普朗克的假設，提出了“光子”這一概念，解釋了光電效應的一系列實驗現象。
原子的玻爾模型
這兩個對於實驗現象的理論解釋與當時物理學的一些觀念迥異。後來，玻爾等人基於這些假設，對於經典力學進行了改造，試圖從第一性原理的角度上推導出原子的玻爾模型。他們假設，在一個力學系統相空間所能描述的所有可能的經典軌道中，物體只能在相空間中所圍面積為普朗克常數整數倍的軌道上運動，即角動量量子化假設。後來這一假設進一步發展為玻爾-索末菲量子化條件。儘管玻爾的氫原子玻爾模型可以通過這一假設解釋，但其卻並不適用於氦原子等多電子原子。量子理論的數學表述在一段時期內仍前途未定。42-47, 58-65, 73-75113-117
1924年，路易·德布羅意提出了物質波假設，即波粒二象性不只對光子適用，對於電子以及其他物理系統也適用97。量子力學的數學表述也於1925年至1930年獲得突破性進展。埃爾溫·薛定諤、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩以及帕斯庫爾·約當為奠定量子力學的數學基礎做出了突破性的工作。約翰·馮·諾伊曼、赫爾曼·外爾以及保羅·狄拉克也為其做出了基礎性的貢獻。基於不同方法的數學表述在後來得到了統一。對於量子理論的物理學解釋也在海森堡發現不確定性原理以及尼爾斯·玻爾引入互補原理後得到統一。

**新的量子理論**
海森堡等人於1926年創立的矩陣力學是首個能夠成功解釋原子光譜量子化的理論。薛定諤也在同一年創立了波動力學。由於是採用當時物理學家已深為熟諳的微分方程表述的，波動力學更易理解，也更易計算並實現可視化。一年後，兩種表述被發現是等價的。
薛定諤本人起初並沒有提出量子力學中的概率性質，因為他認為電子波函數的模方應該解釋為在空間中彌散的電荷密度。後來玻恩引入了波函數的概率解釋，即某一位置的波函數的模方為一個粒子在該位置出現的概率。玻恩的解釋迅速被玻爾接受。薛定諤所提出的方程與經典力學中的哈密頓-雅可比方程密切相關。量子力學與經典力學的對應在海森堡的矩陣力學中體現得更為明顯。在博士學位論文中，狄拉克提出海森堡繪景中的算符方程與哈密頓力學中的動力學方程形式類似，canonical quantization與泊松括號也存在一定的相似性。
更為準確地說，海森堡是在薛定諤之前創立矩陣力學的。這一表述是量子力學第一個有效的表述，是一個本質性的突破。海森堡的矩陣力學是基於無窮維矩陣的代數演算。這一表述與經典力學的數學表述方式大相徑庭。不過，他的出發點是實驗研究中所用到的“指標”，並且他也並沒有意識到他的“指標方法”實際上就是矩陣方法。這一點後來是由玻恩闡明的。實際上在那個時代，線性代數並不像現在這樣為物理學家所熟識。
儘管薛定諤在創立波動力學一年後自行證明了自己的方法與海森堡的方法的等價性，但證明兩種方法相互調和並將它們抽象為希爾伯特空間中的運動的工作是由狄拉克完成的。他是在1930年發行的經典著作《The Principles of Quantum Mechanics》中闡明這一點的。他是量子力學的第三位也可能是最為重要的支柱性的人物。他在不久後發現了該理論的相對論推廣。他還發展出量子力學的狄拉克符號，引入了希爾伯特空間中泛函分析使用到的一些的抽象概念，並發現了系統動力學第三種表述，相互作用繪景。他的工作極大地推廣了量子力學理論。
基於這一思路的第一個完備數學表述體系現在被稱為狄拉克-馮諾伊曼公理體系（Dirac–von Neumann axioms）。這一理論體系現在一般認為是馮·諾伊曼在其1932年發行的專著《量子力學的數學基礎》中提出的。儘管此前外爾已經在其1927年發表的論文著作中引入了希爾伯特空間（他自己將之稱為“么正空間”）。這一體系採用的方法是數學中基於線性算符的譜理論，而非大衛·希爾伯特在一個世代前所採用的二次型方法。儘管量子力學理論如今依然在發展，但所採用的數學表述的基本框架仍是基於馮·諾伊曼的工作的。換言之，目前有關量子力學詮釋的探討及其延伸話題大多是圍繞著數學基礎理論中共用假設的基礎展開的。

**後續進展**
20世紀30年代，物理學家將新的量子理論應用於電磁現象，由此構建了量子場論。由於量子場論的需要，量子力學的數學表述又進一步得到了發展。在下文中所敘述的形式是一種簡單的特例。在這之後發展起來的量子力學表述包括：
*路徑積分表述
*相空間表述以及geometric quantization- 符號粒子表述
*彎曲時空中的量子場論
*Wightman axioms、local quantum physics以及constructive quantum field theory
*C*-代數表示
*量子力學的廣義統計模型
此外，馮諾伊曼還依據他對於波函數坍縮的描述提出了一種量子測量方案，引發了對於這一問題的哲學討論。在相關問題爭論了70多年後，測量問題仍是目前的研究熱點之一，並由此衍生出一些新的量子力學闡釋方式及分析結果，其中包括：
*多世界詮釋
*量子退相干
*一致性歷史
*Quantum logic
另一個相關的問題是量子力學與經典力學之間的聯繫。一些物理學理論可以通過近似的方式還原為舊有的理論，對於量子力學而言，對應的就是量子力學的經典極限。此外，玻爾曾提出，人類的感知能力以及語言與經典領域有不可分割的聯繫，所以對於一個問題的經典描述要比對其的量子描述更為直觀一些。其中構造量子論的量子化過程的經典極限是量子物理的一個重要問題。
最後，一些量子理論的創始人（包括愛因斯坦以及薛定諤）實際上對於量子力學後來的發展並不滿意324, 352。愛因斯坦對於量子力學的完備性一直存在質疑311, 324, 340, 352, 460, 471。隱變量理論正是產生於這一質疑460, 471。在量子光學的幫助下，隱變量問題可以通過實驗手段進行驗證。相關理論包括：
*導航波
*貝爾不等式
*科亨－施佩克爾定理

**量子力學的數學結構**
對於一個物理學系統的描述基於以下三個基本要素：量子態、可觀測量以及動力學表述（或者說time evolution規則），或者更普遍的來說是物理對稱群。經典力學中，物理學系統直接在相空間中進行描述：相空間是一個辛流形，系統的狀態是相空間中的一個點，可觀測量是相空間上的實函數，時間演化規則由描述相空間辛變換的單參數群給出，物理對稱性由辛變換實現。量子力學的描述則是：系統的狀態構成一個希爾伯特空間，可觀測量是狀態空間的自共軛算符，時間演化規則由狀態空間Stone's theorem on one-parameter unitary groups給出，物理對稱性是由么正變換實現的。

**基本表述**
以下幾條對於量子力學的數學框架的總結部分源於狄拉克-馮諾伊曼公理體系。除了下面幾條性質外，還需要考慮到系統的一些基本性質與原理，如下文提到的自旋及泡利不相容原理。

**量子態**
每個物理學系統的狀態都與一個拓撲可分復希爾伯特空間有關，這個希爾伯特空間具有內積。H中的束（一維亞空間）與系統的量子態有關。換言之，物理學系統的狀態可以利用H中長度為1的矢量等價類表述，兩個矢量只有在相差一個相位因子時才能表示同一個態。可分性這一假設在詮釋當狀態經過有限次的測量可以確定時的情形中可以用到。一個量子態是projective Hilbert space中的一個“束”，而並非一個“矢量”。但在一些現實情景中，卻並不強調這兩個概念間的區別。這一點部分源於薛定諤方程的表述中涉及到的是希爾伯特空間“矢量”，並近而衍生出“態矢”這一併不嚴格的術語。
複合系統的狀態空間是分系統狀態空間的希爾伯特空間張量積。對於一個由可數的可分粒子組成的非相對論系統，其分系統就是單一的粒子。

**對稱性**
依據維格納定理，作用於狀態空間的物理學對稱性是么正的或是Antiunitary operator。超對稱性的情況與之不同。

**可觀測量**
可觀測量是以埃爾米特矩陣表述的423-426。在採用波函數的概率詮釋時，對於狀態為ψ ∈ H的可觀測量A，其期望值為。
通過譜理論，我們可以將概率測度與任意狀態ψ下A的值聯繫起來，同時還可以得到A任意可能值必須是A的譜值。在特定條件下，A只有discrete spectrum (physics)。A所有可能的測量值將是它的本徵值。更為精確地來說，如果我們以A的本徵矢表示態矢ψ時，給定本徵矢的分量模方將是觀察到相應本徵值的概率。
推廣上述表述，一個狀態可以用跡類非負自共軛算符，密度算符ρ表示。這個算符是一個進行了歸一化的矩陣，其跡為1。在態為ρ時，A的期望值為：

如果ρψ是一個經由得到的H到一維亞空間的正交投影，那麼存在

密度算符可以看作一維正交投影的閉合凸包。反之，一個一維正交投影是密度矩陣的極限點。物理學家也將一維正交投影稱作“純態”，將其他密度算符稱作“混合態”。

**不確定性原理**
此外，兩個可觀測量間還存在不確定性關係，即對於任意兩個可觀測量、，存在：

其中為兩個算符的對易算符。41-44

**動力學繪景**
依據所關注的問題不同，我們可以構造不同的動力學繪景。較為重要的繪景包括：薛定諤繪景、海森堡繪景以及相互作用繪景。

**薛定諤繪景**
在薛定諤繪景中，狀態的time evolution是通過一個自變量為實數的可微函數表徵的。自變量代表過程中的某一時刻，函數為系統狀態的希爾伯特空間中的某個態矢。如果代表系統在時刻t時的狀態，那麼這個映射以下面這個方程進行表徵：
其中H為系統的哈密頓算符，i為虛數單位，ħ為約化普朗克常數。作為一個可觀測量，H對應系統的總能量。
此外，依據單參數酉群的斯通定理，可以得到存在一個強連續單參數酉群U(t): H → H，對所有的s，t符合：

且存在一個自共軛哈密頓算符H：

此時H不含時，且微擾始於，否則需要使用Dyson series表示U(t)：


其中為時間排序算符。

**海森堡繪景**
海森堡繪景主要關注可觀測量隨時間的演化。其將狀態視為固定的，可觀測量為可變的。如果要從薛定諤繪景得到海森堡繪景，則需要定義不含時的態矢以及含時的算符：


可以得到，兩種繪景中可觀測量的期望值是相同的：

對於一個含時的海森堡算符，存在：
需要注意的是，對易表示在其中一個算符為無界算符時僅為形式上的表示，需要定義一個表象令其具有實際意義。

**相互作用繪景**
相互作用繪景中的狀態與可觀察量都含時，並會分別伴隨不同的哈密頓算符演化。這一繪景適用於可觀測量的演化情況精確可解，狀態演化並不複雜的情況。因而，可觀測量對應的哈密頓算符被稱為“自由哈密頓算符”，狀態對應的哈密頓算符為“相互作用哈密頓”。用符號表示這一繪景則為：
然而相互作用繪景卻並非總是存在。依據Haag's theorem，相對論性相互作用量子場論終究不存在相互作用繪景。這是因為在一個超選擇區內，哈密頓算符並不能分為自由與相互作用兩個部分。此外，哈密頓算符即使在薛定諤繪景中不含時，如，但在相互作用繪景至少在V與H0的情況下仍會含時，這是由於： 

此時，需要使用上文提到的戴森級數。

**三種繪景的比較**
海森堡繪景與經典物理學中的哈密頓力學的聯繫最為密切，例如海森堡方程中出現的對易子的性質與泊松括號的性質就存在類似之處。從教學的角度上來說，薛定諤繪景一般認為是三種繪景中最易於理解、可視化的。相互作用繪景常用於微擾理論，在量子場論及多體問題中特別常用。
通過物理系統的對稱性的單參數群，還可以構造類似的繪景。時間可以由一個合適的表徵酉群的參數取代，例如旋轉角或是平移距離，而哈密頓量則可以由與對稱性有關的守恆量取代，例如動量或者角動量。

**表象**
薛定諤方程的形式取決於海森堡正則對易關係所選定的表象。依據斯通-馮諾伊曼定理，所有不可約的有限維海森堡對易關係都是酉等價的。由此可以得到量子力學的相空間表述，即可以在相空間而不一定是希爾伯特空間中解決問題。這一方法與經典力學的直觀聯繫更為密切，同時可以簡化由經典力學到量子力學的量子化問題。
選定不同表象的結果在量子諧振子這個精確可解的系統中體現得尤為明顯。在這一系統中，除了可以選定位置表象與動量表象以及相空間表象外，還可以選定量子數表象以及Oscillator representation。這幾種表象都是酉等價的。

**作為算符的時間**
在上文已經述及的框架中，時間一直作為其他變量變化所依靠的參數，但時間自身作為可觀察量的量子力學表述也是存在的。在經典力學中，可以以任意一個非物理參數s來去描述粒子運動軌跡。在這樣的情況中，時間t成為了系統額外的一個廣義座標。在量子力學中，系統在s中的平移可以由“哈密頓算符”H − E表述，其中E為能量算符，H為“一般”哈密頓算符。然而，由於s是一個非物理學參數，系統在s演化前後保持不變，所以物理狀態空間是H − E的零空間。這需要用到rigged Hilbert space以及範數的重正化。這一問題與Dirac bracket及quantization of gauge theories有關。

**自旋**
除了上述性質外，所有粒子還具有一個內稟性質——自旋。粒子對應存在自旋角動量。需要注意的是，粒子並不會繞著一個軸“自轉”，儘管“自旋”這個術語容易造成這種誤會。量子力學中的自旋在經典力學中並沒有與之對應的概念。在位置表象下，無自旋系統的波函數是以位置r及時間t作為連續變量的，即，而對於有自旋的系統，其波函數還具有另一個分立取值的變量，即。其中σ如下取值：

也就是說，一個具有自旋量子數S的粒子的狀態可以用復值波函數中具有(2S + 1)個分量的旋量表示。
依據自旋量子數不同的取值情況，粒子可以分為自旋量子數為整數（）的玻色子以及自旋量子數為半整數（）的費米子。在非相對論量子力學中，所有的粒子不是玻色子就是費米子，但在相對論量子力學中，還存在超對稱的情形，即一個粒子可能是玻色子部分及費米子部分的線性疊加。在維度時，可能存在一種粒子，任意子，對應的(−1)2S會被一個模為2的複數取代。

**全同粒子**
在經典力學中，對於一個由大量物理性質完全相同的粒子組成的系統，其中的粒子儘管性質完全相同，但仍被認為是“可分辨的”，即可以使用精確的軌道描述其中粒子各自的運動。但在量子力學中，由於位置與動量間的不確定性關係，經典力學中精確的軌道將不復存在。換言之，系統中的全同粒子是“不可分辨的”。209
由粒子的不可分辨性可以得到的一條結論是，全同粒子系統中兩個粒子對換時，系統的波函數與變換前波函數在物理上是完全相同的，即波函數的模保持不變，但須乘以一個相位因子。考慮到在進行逆對換後，系統將還原為原始狀態，那麼這個相位因子可能的取值僅為±1。208-209至於對換後系統的狀態具體應該是這兩種情況的哪一種，則需要考察粒子自旋性質。在位置表象下，當全同粒子系統中任意兩個粒子發生對換時，系統波函數與自旋量子數S存在：

也就是說任意兩個粒子Transposition (mathematics)時，系統的波函數所需要乘以的因子為(−1)2S。對於玻色子來說，其自旋量子數為整數，這個因子值為+1，即系統波函數在對換後保持不變，這時稱系統波函數是“對稱的”；而對於費米子來說，其自旋量子數為半整數，這個因子值為−1，即系統波函數在對換後會改變符號，這時稱系統波函數是“反對稱的”。208-209
考察一個雙粒子系統：對於玻色子，這個系統的波函數可以由兩個粒子的波函數表示為：
；
而對於費米子，則為：
。
當兩個粒子的波函數完全相同時，對於費米子系統而言，則存在。考慮到波函數的概率詮釋，這一情況可以解釋為：在一個由費米子組成的系統中，不可能存在兩個狀態完全相同的粒子。這就是著名的泡利不相容原理，是由沃爾夫岡·泡利於1925年提出的。210-212
儘管自旋與泡利不相容原理只能在進行了相對論推廣的量子力學中推導出來，但是這兩條性質在非相對論極限情況下卻是系統的基本性質。自然科學中，許多重要的現象，如化學中的元素週期律，都源於這兩條性質的。

**測量問題**
在上面所敘述的理論框架對於描述一個完全孤立的系統而言已經足夠充足。然而，它卻沒有涉及到量子力學與經典物理學的一大分野——測量效應。123馮·諾伊曼曾給出系統處於純態ψ時，對於測量可觀測量A過程的描述efn|馮·諾伊曼是在20世紀30年代基於當時的進行過的實驗，特別是康普頓散射實驗，給出這一描述的。這一描述對於目前量子領域大多數的測量可能並不適用。：
令A具有一定的譜分辨率：

式中，EA為分辨率，或稱投影值測度。那麼觀測結果落在實數區間B內的概率為。換言之，這一概率可以通過B的特徵函數對可加加測度積分得到。
如果測量值在區間B內，那麼在測量完成瞬間，系統會處於態EA(B)ψ（這個態通常未進行歸一化）。如果測量值沒有落在B內，則需要以B的補集來取代B來獲取上述態。
例如，假設狀態空間是一個n維的復希爾伯特空間Cn。A是一個埃爾米特矩陣，本徵值為λi，對應的本徵矢為ψi。那麼與A相關的投影值測度EA為：

式中，B是一個包含單一本徵態λi的博雷爾集。如果系統處於態，那麼測量值迴歸到λi的概率可以以譜測度在Bi上積分得到。由此可得一個平凡結果：

馮·諾伊曼測量方案的特徵是重複相同的測量可以得到相同結果。這一方案又被稱作“投影原理”。
在更為普遍的表述中，投影值測度通常會被POVM。為了說明這一問題，這裡仍以有限維情況為例子。
先將秩為1的投影以正算符的有限集取代。
其中元素的和仍是一個特定算符。正算符值測度也會像投影值測度一樣與可能的測量結果集相關。假設測量結果為λi，則系統在測量完成後，不會坍縮至非歸一態，而是會處於態。
由於Fi Fi*之間並不一定正交，馮·諾伊曼的投射原理將不再成立。
相同的表述也適用於普通的混合態。
在馮·諾伊曼方案中，測度導致的態變換會由於時間演化的原因發生變化。時間演化方式是確定且么正時，測量過程卻可能是非確定且非么正的。然而由於兩種態變換本質都是一個量子態到另一個量子態，這一差異並不能讓物理學家滿意。正算符值測度表述是將測量視為一種量子操作。這種操作是用不會令跡變大的completely positive map描述的。無論是哪種情況，上述問題可能只會在時間演化不僅包含量子系統，而且還包含經典測量儀器時才能解決。

**相對態詮釋**
休·艾弗雷特三世曾提出測量問題的另一種詮釋——相對態詮釋。後世的物理學家一般稱其為多世界詮釋。

**涉及到的數學理論**
由理查·科朗特基於大衛·希爾伯特在哥廷根大學的數學物理學講義改編而成的教科書Methods of Mathematical Physics與量子力學的數學表述有關。物理學家曾一度拒絕使用這部教材。在薛定諤方程被提出之後，物理學家才發現，量子力學中所用到的數學理論其實在那部專著中已有涉及。337海森堡及玻恩等人曾向希爾伯特諮詢過矩陣力學的表述問題。希爾伯特基於其對於無窮維矩陣的研究，向海森堡建議這種矩陣可以從微分方程中導出，但海森堡並沒有接受這個建議，從而錯失統一量子理論的機會。182直到多年後，外爾與狄拉克才實現這一統一。無論相關理論溯源如何，儘管量子力學這一物理理論帶有一定革命性，但所用到的數學理論在當時卻已為數學家所熟知。
量子力學中所用到的主要數學概念包括：- 線性代數：特徵向量、特徵值- 泛函分析：希爾伯特空間、線性算子、譜理論- 微分方程：偏微分方程、分離變量法、常微分方程、施圖姆-劉維爾理論、固有函數- 調和分析：傅里葉變換

**註釋**

**參考文獻**

**延伸閱讀**
 year=1957.- year=2004- publisher=Princeton University Press- year=1965- year=1972- year=1972- year=1978- year=1981- year=1995- year=2001- dead-url=no- year=2013- year=2013- year=2005- year=1980