熱傳導方程式

熱傳導方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

**物理機制**
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熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達：
 
其中：- u =u(t, x, y, z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。- /是空間中一點的溫度對時間的變化率。
*, 與溫度對三個空間座標軸的二次導數。- k是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。
熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。
如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。
熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。
熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。
利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式

其中的是對空間變數的拉普拉斯算子。
熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。
就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

**以傅立葉級數解熱方程**
在理想狀態下一根棍子的熱傳導，配上均勻的邊界條件。
以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：
 
其中u = u(t, x)是t和x的雙變數函數。 
*x是空間變數，所以x ∈ 0,L，其中L表示棍子長度。- t是時間變數，所以t ≥ 0。
假設下述初始條件
 
其中函數f是給定的。再配合下述邊界條件
.
讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式：

這套技術稱作分離變數法。現在將u代回方程式(1)，

由於等式右邊只依賴x，而左邊只依賴t，兩邊都等於某個常數− λ，於是：


以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解：
#
假設λ  0，此時存在實數A、B、C使得
 
。
從等式(3)可知C = 0，因此存在正整數n使得
。
由此得到熱方程形如(4)的解。
一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：
 
其中 
。

**推廣求解技巧**
上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。
考慮線性算子Δ u = ux x，以下函數序列
（n ≥ 1）
是Δ的特徵向量。誠然：
。
此外，任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的Δ的特徵向量都是某個en。令L2(0, L)表 0, L上全體平方可積函數的向量空間。這些函數en構成L2(0, L)的一組正交歸一基。更明白地說：

最後，序列{en}n ∈ N張出L2(0, L)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化。

**非均勻不等向介質中的熱傳導**
一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。- 單位時間內流入區域 V的熱量由一個依賴於時間的量qt(V)給出。假設q有個密度Q(t,x)，於是
:- 熱流是個依賴於時間的向量函數H(x)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為dS而單位法向量為n的無窮小曲面元素的熱量是
:
因此單位時間內進入V的熱流量也由以下的面積分給出

其中n(x)是在x點的向外單位法向量。- 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係
:
其中A(x)是個3×3實對稱正定矩陣。
利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分


::
::- 溫度在x點對時間的改變率與流進x點所在的無窮小區域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。
:
將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。
 
註記：  - 係數κ(x)是該材料在x點的密度和比熱的積的倒數。- 在等方向性介質的情況，矩陣A只是個純量，等於材料的導熱率。- 在非等向的情況，A不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果A是個對稱矩陣，那麼由
:
定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。

**粒子擴散**

**粒子擴散方程**
在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及- 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作c。或者- 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作P。
不同情況下的方程式：

或者

c與P都是位置與時間的函數。D是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。
如果擴散係數D依賴於濃度c（或第二種情況下的機率密度P），則我們得到非線性擴散方程。
單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。
如果一個粒子在時間時置於，則相應的機率密度函數具有以下形式：
 
它與機率密度函數的各分量、和的關係是：
 
隨機變數服從平均數為0、變異數為的正態分佈。在三維的情形，隨機向量服從平均數為、變異數為的正態分佈。
在t=0時，上述的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數，記為（三維的推廣是）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數。

**擴散方程的歷史源流**
粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。

**以格林函數解擴散方程**
格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點時，相應的格林函數記作（t>0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置，相應的格林函數是。
對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。
舉例來說，設t=0時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。
跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加：
 
擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻t，濃度分佈變為：
  
在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。

**一維格林函數解列表**
以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。












（可能的問題：根據上解，u(0)=0）







**其他應用領域**
熱傳導方程式在許多隨機過程的數學模型中出現，諸如布萊克-斯科爾斯模型與奧恩斯坦-烏倫貝克過程。在金融數學，1973年發表的布萊克-斯科爾斯模型作為期權定價模型，當中的差分方程可以轉成熱傳導方程式，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱傳導方程式可以用克蘭克-尼科爾森方法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。
熱傳導方程式及其非線性的推廣型式也被應用於圖像分析。
量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱傳導方程式的數學公式（但時間參數為 是虛數單位），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。
熱傳導方程式在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱傳導方程式在黎曼幾何中有許多應用。

**參見**
 熱- 偏微分方程- 數學模型- 發展方程

**文獻**
Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905.  date=20040723021242 
*Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press.
*L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

**外部連結**
  熱方程的推導 date=20101002014505 -  Linear heat equations date=20050524235037 :邊界值問題的特解 - 來自EqWorld