倒頻譜

倒頻譜的範例
倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里葉變換，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。
倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：
*字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。
*數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信號) | ) + j2πm )（m為實數）
*演算法：信號 -> 傅立葉變換 -> 取絕對值 -> 取對數 -> 相位展開 -> 逆傅立葉變換 -> 倒頻譜
複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。

**複數倒頻譜與實數倒頻譜**

**複數倒頻譜**
其中
可能遭遇的問題
1. 
2. 有無限多的解
當輸入是實數時,因為偶對稱，奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數

**實數倒頻譜**
可能遭遇的問題
1. 

**應用**
倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震迴音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。
*自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
*倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
*倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。
*倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑幹擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。
*語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。
*倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
*倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。

**倒頻譜觀念**
頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

**倒濾波器**
濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。

**計算倒頻譜的方法**

**直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換)**
問題:  可能會無限大, 且對於arg(xn)有無限多個解

**利用Z轉換的零點與極點**
先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式
其中
分子: 
第一項A是係數
第二項是延遲
第三項是位於單位圓內的零點
第四項是位於單位圓外的零點
分母:
第一項是位於單位圓內的極點
第二項是位於單位圓外的極點
對取log變成
假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形
根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換
注意事項
1.總是IIR(無限脈衝響應)
2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況, 

**利用Z轉換與微分**
對其做Z的反轉換
故
分別對於xn的四種不同的狀況做延伸
1.對於xn是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. 
對於
可得出
故
2.對於xn是最小相位(minimum phase)
3.對於xn是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. 
4.對於xn是最大相位(maximum phase)

**特性**
1. 複數倒頻譜至少以的速度衰退
其中  
2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則
因為
3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則
因為
4. 如果xn是有限長度, 則是無限長度

**同態解卷積的應用(Application of Homomorphic Deconvolution)**
同態解卷積有非常多應用面，尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性
(1) 回聲的均衡化

其中是接收到的訊號，是原始訊號，是延遲的樣本數，是衰減係數
令是脈衝響應，描述原始訊號與回聲訊號之間的關係
，其中是單位脈衝函數

系統函數 
透過對系統函數進行對數轉換，簡化回聲成分的分析和處理

將轉換到時域

(2) 聲學工程
，其中是合成音樂，是原始音樂，是脈衝響應(例如建築物空間的影響)
(3) 語音分析
透過在complex cepstrum domain中進行濾波，分離這些成分，使得對語音訊號的理解和處理更為精確。
，其中是語音波，是全局波形，是聲道脈衝，是音高，*是卷積
(4) 地震信號分析
(5) 任意波傳播的多路徑分析

**梅爾頻率倒頻譜**
梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:
#梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
#梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。
#梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。
#梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。
梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟：
#將信號做傅立葉變換
#頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
#對每個梅爾頻率取對數。
#作離散餘弦轉換。
#求得梅爾頻率倒頻譜係數。

**梅爾頻率倒頻譜應用**
梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。
*利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。

**雜訊敏感性**
梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。

**梅爾頻率倒頻譜優點**
相較於原始的倒頻譜
*有絕對值平方

**卷積**
倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：

**微分倒頻譜(differential cepstrum)**

**定義**
或 
If 
優點: 
(a)沒有模糊的相位
(b)可以處理延遲問題

**特性**
(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。
ex: 
(proof):
(2)複數倒頻譜 與 微分倒頻譜 和原訊號xn有關
diff cepstrum
recursive formula
複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到
(3)如果xn是最小相位(minimum phase),則,當
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外
(4)如果xn是最大相位(maximum phase),則,當
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內
(5)如果x(n)為有限區間,則為無限區間
*複數倒頻譜的衰減率反比於n
*微分倒頻譜的衰減率下降

**範例**
 ,otherwise 0 , Find its cepstrum.
step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform: - ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.
step 1. Z transform: 
step 2. exp: 
step 3. reverse Z transform: 
*Suppose that an IIR filter is 
step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform: 

**參考文獻**
#B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
#D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "  The Cepstrum: A Guide to Processingdate=20200603011416 ," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024