尼姆遊戲

排成尼姆堆的火柴。遊戲者輪流選擇一排火柴，從其中拿走任何根火柴
尼姆遊戲（Nim），又譯為拈，是一種兩個人玩的回合制數學戰略遊戲。遊戲者輪流從幾排棋子（或者任何道具）中選擇一排，再由這一排中取走一個或者多個，依規則不同，拿走最後一個的可能是輸家，也有可能是贏家。當指定相應數量時，一堆這樣的棋子稱作一個尼姆堆。古代就有許多尼姆遊戲的變體。最早歐洲有關尼姆遊戲的參考資料是在16世紀，目前使用的名稱是由哈佛大學的Charles L. Bouton命名，他也在1901年提出了此遊戲的完整理論，不過沒有說明名稱的由來。
尼姆遊戲最常見的玩法是拿到最後一個棋子的人輸（misère game）。尼姆遊戲也可以改為拿到最後一個棋子的人贏（normal play）。大部份類似的遊戲都是最後一個棋子的人贏，不過這不是尼姆遊戲最常見的玩法。不論哪一種玩法，只要剛好剩下一排的棋子是二個或二個以上（其他排可能沒有棋子，或是隻有一個），下一個遊戲者可以輕易的獲勝。下一個遊戲者可以將數量最多的這排棋子全部拿走或只留一個。剩下的各排都只有一個棋子。
若是misère版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下奇數排就會勝利，若是normal版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下偶數排就會勝利。
normal版本的尼姆遊戲（也就是尼姆數系統）是斯普萊格–格隆第定理的基礎，其中提到在normal版本中，每一個normal版本的無偏博弈（從任何一個局勢出發，雙方可以採取完全相同的行動，也就是說棋盤上沒有顏色的區分）都等價於一個特定大小的尼姆堆。所有的normal版本的無偏博弈都可以給與尼姆值，但misère版本的就不一定。只有溫馴遊戲才能用misère版本尼姆的策略來進行。尼姆遊戲是一種特殊的poset game，其中的偏序關係包括了不交集的全序關係（堆）。三排棋子尼姆遊戲的演進圖和Ulam-Warburton automaton演進圖的三個分支相同。

**遊戲玩法以及說明**
normal版本是由二位遊戲者一起玩，有三排棋子，各排的棋子為任意正整數。二位遊戲者輪流選一排棋子，拿走上面至少一個棋子，也可以拿同一排的多個棋子。normal版本的目的是要拿到最後一個棋子。misère版本的目的就是要讓對方被迫拿走最後一個棋子（拿到最後一個棋子的人輸）。
以下是normal版本的遊戲，由愛麗絲與鮑伯二個人玩，三排棋子分別有三個、四個及五個棋子。

**必勝組態**
尼姆遊戲的策略就是在拿完棋子後，使棋子個數符合以下任何一個組態，接下來再輪到時，一定可以再拿走適當數量的棋子，使棋子個數仍符合以下任何一個組態。normal版本和misere版本的差別只在最後一兩步，前面都相同：
只在normal版本有效
只在misere版本有效
其中有出現n和m，是任何正整數，n和m可以相同。

**數學理論**
尼姆遊戲在數學上是已解遊戲，針對任意排數及個數的初始狀態都已有解法，而且有簡單的方式可以判斷哪一個遊戲者會勝利，並且此遊戲者要如何取子才會勝利。
這遊戲理論的關鍵是在各排個數在二進制下XOR位操作的結果，此操作也稱為是在GF(2)中的向量加法（在模數2以下的位元加法）。在組合博弈論中常稱為是「尼姆和」（nim-sum），以下也使用此一名稱。x和y的尼姆和會寫成x ⊕ y，以和一般的和區別x + y。像3, 4, 5的尼姆和計算如下：
另一個等效，比較容易心算的作法，是將三排的個數分別表示為相異二次冪的和，再設法消除成對的次冪，再將最後留下的數字相加即可：
3 = 0 + 2 + 1 =     2   1      A排
4 = 4 + 0 + 0 = 4              B排
5 = 4 + 0 + 1 = 4       1      C排
--------------------------------------------------------------------
2 =                 2          1和4都消去了, 剩下的是2
在normal版本（拿到最後一個棋子的贏）中，勝利的策略就是在取走棋子後，使尼姆和為0。只要取走棋子前，尼姆和不為0，一定有辦法取走部份棋子使尼姆和為0。另一個遊戲者無論怎麼拿，取走棋子後尼姆和都不會為0。以此策略，只要在取棋子時照策略進行，一定會勝利。要找到要拿走的棋子，可以令X是原來各排棋子數的尼姆和，遊戲策略是要分別計算各排棋子數和X的尼姆和(Yi)，找到尼姆和(Yi)比該排棋子數少的那一排，接下來就要取走這一排的棋子，使該排棋子數等於該行的尼姆和(Yi)。以上例中，原來各排棋子數的尼姆和是1=X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2。A=3、B=4、C=5且X=2，因此得到
 YA = A ⊕ X = 3 ⊕ 2 = 1      因為 (011) ⊕ (010) = 001 
 YB = B ⊕ X = 4 ⊕ 2 = 6
 YC = C ⊕ X = 5 ⊕ 2 = 7
因此下一步是取走A排的棋子，使其數量變1（拿走二個棋子）。
有一個特別簡單的例子，是隻剩二排的情形，其策略是在個數較多的那牌拿走部份棋子，使兩者數量相同。接下來對手不論怎麼下，都繼續使二排的數量相同，最後即可勝利。
若是玩misère版本。前面的策略都一樣，只到只剩一排的棋子超過一個（二個或二個以上）時才有不同。此時的策略都是針對超過一個棋子的那排棋子取子，使留下來的每一排都只有一個棋子。接下來玩的人只能從這幾排中選一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是隻剩一個，視遊戲版本而定，在玩misère版本（拿到最後一個棋子的輸）時，要使留下來的排數是單數（因此對方會拿到最後一個棋子），在玩normal版本遊戲時，要使留下來的排數是偶數。（因此自己會拿到最後一個棋子）。
以下是棋子數分別是3, 4, 5個，在misère版本的玩法：

**實現尼姆遊戲策略的程式範例**
上述的策略可以寫成程式，以下就是Python的範例：
import functools
MISERE = 'misere'
NORMAL = 'normal'
def nim(heaps, game_type):
"""Computes next move for Nim, for both game types normal and misere.
if there is a winning move:
return tuple(heap_index, amount_to_remove)
else:
return "You will lose :("
- mid-game scenarios are the same for both game types
>>> print(nim(1, 2, 3, MISERE))
misere 1, 2, 3 You will lose :(
>>> print(nim(1, 2, 3, NORMAL))
normal 1, 2, 3 You will lose :(
>>> print(nim(1, 2, 4, MISERE))
misere 1, 2, 4 (2, 1)
>>> print(nim(1, 2, 4, NORMAL))
normal 1, 2, 4 (2, 1)
- endgame scenarios change depending upon game type
>>> print(nim(1, MISERE))
misere 1 You will lose :(
>>> print(nim(1, NORMAL))
normal 1 (0, 1)
>>> print(nim(1, 1, MISERE))
misere 1, 1 (0, 1)
>>> print(nim(1, 1, NORMAL))
normal 1, 1 You will lose :(
>>> print(nim(1, 5, MISERE))
misere 1, 5 (1, 5)
>>> print(nim(1, 5, NORMAL))
normal 1, 5 (1, 4)
"""
print(game_type, heaps, end=' ')
is_misere = game_type == MISERE
is_near_endgame = False
count_non_0_1 = sum(1 for x in heaps if x > 1)
is_near_endgame = (count_non_0_1  0)
is_odd = (moves_left % 2 == 1)
sizeof_max = max(heaps)
index_of_max = heaps.index(sizeof_max)
if sizeof_max == 1 and is_odd:
return "You will lose :("
# reduce the game to an odd number of 1's
return index_of_max, sizeof_max - int(is_odd)
nim_sum = functools.reduce(lambda x, y: x ^ y, heaps)
if nim_sum == 0:
return "You will lose :("
# Calc which move to make
for index, heap in enumerate(heaps):
target_size = heap ^ nim_sum
if target_size 

**必勝策略的證明**
以下是必勝策略的證明，由C. Bouton所提出。
定理：在normal版本的尼姆遊戲中，第一個玩家有必勝的策略，若且唯若各排棋子數的尼姆和不為零。否則，第二個玩家有必勝的策略。
證明：注意尼姆和（⊕）遵守一般加法的結合律及交換律，還有另外一個性質x ⊕ x = 0。
令x1, ..., xn是移動前的各排棋子數，y1, ..., yn是移動後的各排棋子數。令 s = x1 ⊕ ... ⊕ xn且 t = y1 ⊕ ... ⊕ yn。若這次是移動第k排的棋子，可得xi = yi針對所有 i ≠ k，且xk > yk。依照⊕的性質，可得
t = 0 ⊕ t
**s ⊕ s ⊕ t
**s ⊕ (x1 ⊕ ... ⊕ xn) ⊕ (y1 ⊕ ... ⊕ yn)
**s ⊕ (x1 ⊕ y1) ⊕ ... ⊕ (xn ⊕ yn)
**s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0
**s ⊕ xk ⊕ yk
 
(*) t = s ⊕ xk ⊕ yk.
此定理會由以下二個引理推導而來。
引理1：若s = 0，則無論如何移動，接下來t ≠ 0。
證明：若沒有任何可以移動的棋子，此引理vacuous truth（依定義，接下來要玩的遊戲者輸，因為在他前一手的遊戲者拿了最後一個棋子）。否則，任何k排的移動都會因為(*)，造成 t = xk ⊕ yk。因為xk ≠ yk，上述數字不為0。
引理2：若s ≠ 0，有可能讓t = 0.
證明：令d是s二進位表示法中最左邊１的位置，選擇k使xk的第d位元也不是零。（這個k一定存在，不然s的第d位元都是零了）
令yk = s ⊕ xk，可以聲稱 yk k：xk和yk所有d左邊的位元都相同，d位元從1變為0（數值減少2d），剩下位元的變化最多是2d−1。因此接下來的遊戲者可以在第k'排拿走xk− yk個棋子，則
t = s ⊕ xk ⊕ yk           (by (*))
**s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk)
**0.
misère版本的策略剛剛已經看過，只有在只剩一排的棋子是二個或二個以上時才不同。在這種情形s ≠ 0，接下來玩的人有必勝策略，若是normal版本，就是設法留下偶數排的棋子，每排都只有一個棋子，misère版本則反過來，設法留下奇數排的棋子，每排都只有一個棋子。

**社會文化**
在1939年紐約世界博覽會中，西屋電氣有展示一個機器，會玩尼姆遊戲的Nimatron。自1940年的5月11日到10月27日為止，在六週的週期內只有少數的人可以打敗Nimatron：若他們勝了，會得到一個稱為Nim Champ的硬幣。尼姆遊戲也是最早電腦化的遊戲。Ferranti曾製作可以玩尼姆遊戲的Nimrod電腦，在1951年的Festival of Britain上展示。1952年時，W. L. Maxon公司的工程師Herbert Koppel、 Eugene Grant和Howard Bailer開發了重達order=flip的機器，可以和人玩尼姆遊戲，而且多半會贏。Tinkertoy也可以製作尼姆遊戲機。
尼姆遊戲是馬丁·加德納在《科學美國人》（Scientific American）雜誌中，1958年2月〈Mathematical Games column〉的主題。在1961年法國新浪潮電影《去年在馬倫巴》中，有玩過特定版本的尼姆遊戲，而且有象徵的重要性。

**類似遊戲**

**subtraction game**
另一個有點類似的遊戲稱為subtraction game，會先列出總數，以及每一次可以拿走的最大數量。可能每一次只能拿走1個、2個...至k個。例如在《Survivor: Thailand》節目中的Thai 21，就是k = 3的版本。
若棋子只有一排，共有n個棋子，其必勝策略當且僅當
 n ≡ 0 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人贏的玩法）或
 n ≡ 1 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人輸的玩法）

**21遊戲**
21遊戲一般會用拿到最後一個棋子的人輸的玩法。可以有數個遊戲者參與。第一個遊戲者說1，其他的遊戲者可以在前一個人的數字加1,2或是3。數到21的遊戲者輸。若是二個遊戲者玩，有必勝的策略，就是讓加完的數字維持是4的倍數。這可以使另一方最後一定會數到21。
21遊戲的數字也可以修改，例如改為「最多加5，數到34的人輸」。
以下是一個21遊戲的例子，第二個遊戲者使用必勝的策略：
遊戲者     數字
1           1
2           4
1        5, 6 或 7
2           8
1       9, 10 或 11
2          12
1      13, 14 或 15
2          16
1      17, 18 或 19
2          20
1          21

**100遊戲**
另一個類似的遊戲是100遊戲：從0開始加，每一次可以加1到10之間的任一個整數，數到100的人勝利。必勝的策略是搶到類似01、12、23、34……、89的數字，接下來另一遊戲者不論加多少，都設法搶到下一個01、12、23、34……、89的數字（因為這些數字之間的差是11，不論對方加1到10之間的哪一個數字，都可以可以再加數字，使二人加的數字總計為11）。只要到89之後，接下來不論對方加多少，都可以再加數字使結果為100，因此必勝。

**多排尼姆的規則**
另一個版本的尼姆，是允許在每一排中取走相同數量的棋子。

**循環尼姆**
另一種尼姆的變體是Kayles，將一定數量的棋子擺成圓形，二個遊戲者輪流取棋子，可以取相鄰的一個、二個或三個棋子。以下是一個例子：
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一開始取走三個棋子
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接下來又取走三個棋子
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又拿走一個棋子
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最後剩下三個棋子，但是不相鄰，無法一次取走。

**Grundy遊戲**
也是尼姆遊戲的變體，一開始有一排特定數量的棋子，遊戲者要輪流將某一排棋子分為二排數量不同，且都不為0的棋子。例如6個棋子可以分為5+1、4+2，但不能分為3+3。此遊戲可以讓最後一個人贏或是輸。

**相關條目**
 尼姆數- 博弈論- Dr. NIM- Fibonacci nim- 威佐夫遊戲- 三角棋- Fuzzy game- Zero game- Subtract a square- Star (game theory)- Android Nim- Raymond Redheffer- Notakto- Chomp- Turing Tumble

**參考資料**

**外部鏈接**
  50-pound computer plays Nim- The New Yorker magazine "Talk of the Town" August, 1952 date=20140101063043