A無窮代數

A無窮代數（A-infinity algebra，或 -algebra）是吉姆·斯塔謝夫（Jim Stasheff）在1960年代研究H-空間的乘法的結合性時發現的一種代數結構，又稱為強同倫結合代數（strongly homotopy associative algebra）。1970年代陳國才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一個流形的同調群上用不同的方法各自發現了一種A無窮代數結構。1990年代深谷賢治在研究辛流形的拉格朗日Floer同調（Lagrangian Floer Homology）時推廣了斯塔謝夫的概念，稱為A無窮範疇（A-infinity category，-category）。一般數學家把深谷的發現稱為深谷範疇（Fukaya category）。

**定義**
設是數域上的一個分次線性空間。上的一個A無窮代數結構是一組映射的度數為滿足以下4組關係：
# 是一個微分，即
# 是一個鏈映射，換言之可以把看成一個乘法，並且這個乘法能夠降到同調上去；
# 是乘法關於結合律的同倫，即而是在同倫的意義下是結合的：
# 是高階同倫，即是的同倫，是的同倫等等，換言之

從上面的定義可以看出，對於一個A無窮代數，它的同調實際上形成一個結合代數。這也就是一個A無窮代數稱為強同倫結合代數的原因。

**等價定義**
如果讀者熟悉餘代數的概念，那麼考慮的元素度數降低1然後生成的張量代數，記為。上有一個自然的餘積，為從而使成為一個上代數。上的一個A無窮代數結構就是上的一個餘導子（coderivation）並且滿足。關於這兩個定義的等價性證明可以參考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的書。

**詳解**
Stasheff是怎樣得到A無窮代數的結構的呢？我們下面以一個具體的例子，同時也是Stasheff所考慮的原型來說明。設是一個拓撲空間，為其上一點。記稱為的環路空間（based loop space）。在上我們可以定義一種乘法，如下：任給，
回憶學習基本群的時候，我們都驗證過這樣的乘法並不是結合的，但在同倫意義下是結合的：不難構造這樣的同倫，記為，使得。對於裡面的4個元素，我們有下面五種乘法，他們是相互同倫的，如下圖所示：center圖中1表示恆同映射。這樣我們就得到了一個以圓周為參數的一串從到的映射。事實上因為這些映射的像都是重合的，因而我們實際上可以把這一串映射延拓到以為邊的圓盤上，即為同倫之間的同倫，記為。如此一直進行下去，我們就得到，等等。在鏈水平上，我們把對應的映射記為，則不難看出就是滿足上面A無窮代數定義的那些算子。

**例子**
#一個平凡的例子是，任何一個（微分分次）結合代數都是一個A無窮代數。這裡只要令都等於0就行了。
#除了Stasheff的例子和上面這個平凡的例子之外，陳國才和Kadeishvili利用流形的微分形式也構造了一些A無窮的例子，其中陳國才的構造更為深刻，成為有理同倫論（rational homotopy theory）中一個重要的理論。給定一個流形，考慮它上面的微分形式，這是一個微分分次代數（differential graded algebra, DGA），同時我們還可以考慮它的上同調，賦以一個平凡的微分，則它也形成一個微分分次代數。但是這兩個微分分次代數不是鏈等價的！比如說，根據霍奇理論我們可以把上同調用調和形式作為代表，這種不等價性表現在兩個調和形式的外積不一定是調和的。根據霍奇分解，我們可以把這種乘積再投射到調和形式裡面去，但是這樣定義出來的乘法卻不再是結合的，但是在同倫的意義下結合。以此，我們實際上得到了一種A無窮代數。這就是陳國才和Kadeishvili以及後來研究者的基本思路，但是陳國才走的更遠，他實際上揭示了這種A無窮代數跟流形的環路空間的拓撲之間的關係，以及這些A無窮代數的在某些情況下的退化跟流形本身的一些拓撲障礙有關係，跟Sullivan後來研究流形的形式化（formality）有相似之處。

**科祖對偶和有理同倫論**
Stasheff的A無窮代數的概念自然地出現在關於一般代數結構的分解（resolution）的理論中。給定一個代數結構，我們希望能夠通過對它的分解看清其中的結構（對比於流形，這樣分解就是波斯尼科夫塔）。這其中，所謂的科祖分解是一種非常有效的分解方式，而A無窮代數則非常自然地出現在結合代數的Koszul分解過程當中：對於一個結合代數，它的科祖分解有一個A無窮代數結構，而這個A無窮代數的科祖分解又是一個A無窮代數，如此不已。但是，原來的結合代數和兩次科祖分解後得到的A無窮代數實際上是鏈等價的，第二個分解和第四個分解也是如此，如此循環。這就是所謂的科祖對偶（Koszul duality）的概念。
對於李代數和交換代數，我們同樣可以進行科祖分解。一個李代數的科祖分解有一個C無窮代數（C是交換commutativity的英文縮寫）結構，而一個交換代數的科祖分解有一個李無窮代數結構。所謂李無窮代數和C無窮代數，正如A無窮代數一樣，他們的同調分別是李代數和交換代數。李代數和交換代數分別是一種特殊的李無窮代數和C無窮代數。由一個李代數經過科祖分解後到C無窮代數然後再經科祖分解到李無窮代數，所得的這兩個李無窮代數實際上是同倫等價的，對於交換代數也是如此。因此我們可以說，李代數和交換代數是相互科祖對偶的。這個結論實際上是奎倫在有理同倫論中發現的，他還證明，在有理係數下，這兩個代數組成的範疇都和拓撲中的有理同倫型（rational homotopy type）組成的範疇是等價的（有一些單連通性條件）。後來 Sullivan通過考察流形的微分形式，得到了類似的結果，但是更幾何，更直觀。

**A無窮範疇**
考慮一個範疇。對於其中的四個對象及其之間態射我們有這顯示了這些態射之間有一種結合性。一個A無窮範疇就是打破這些結合性，使之成為在同倫意義下是結合的，同時有高階同倫算子，成為同倫的同倫，同倫的同倫的同倫，等等。因此一個A無窮範疇並不是一個範疇，而是同倫意義下的範疇：它的“同調”形成一個範疇。
深谷在研究辛拓撲的時候發現了這個A無窮範疇的結構。給定一個辛流形，考慮其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。對其中任意兩個拉格朗日子流形，考慮所謂的拉格朗日Floer鏈復形，形成所謂的態射。深谷發現這些態射之間可以定義乘法，但是這個乘法本身不結合但在同倫意義下結合，他並構造了高階同倫算子，使之成為一個A無窮範疇，現在稱為深谷範疇。

**相關概念**
B無窮代數（-algebra）
*C無窮代數（-algebra）
*E無窮代數（-algebra）
*G無窮代數（-algebra）
*李無窮代數（-algebra）

**參考文獻**
Stasheff關於A無窮代數的構造見：
*Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312. 
*Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.
陳國才的-代數的構造，並不是在文章中明顯給出的，但不難推導，見：
*Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.
Kadeishvili的文章發表於1980年，作者後來重新整理，題為 On the homology theory of fiber spaces date=20220406010402 。原文見：
*Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188. 
關於Koszul對偶，最經典的文章見：
*Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.
Quillen的有理同倫論，見：
*Quillen, Daniel,  Rational homotopy theory. Ann. of Math. (2) 90 1969 205-295.
Sullivan的有理同倫論，見：
*Sullivan, Dennis,  Infinitesimal computations in topology.date=20070503003045  Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269-331 (1978). 
關於Fukaya範疇，見 他的主頁date=20161029175423 上的文章，以及
*Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.