算符

在物理學領域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，有別於數學的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。
對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裡，算符是很有用的工具。在量子力學裡，算符為理論表述不可或缺的要素。
對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。
一般而言，在經典力學裡的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裡的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

**經典力學**
在經典力學裡，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量或哈密頓量決定；其中，、分別是廣義坐標、廣義速度，是共軛動量，是時間。
假設拉格朗日量或哈密頓量與某廣義坐標無關，則當有所改變時，或仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於的共軛動量守恆。對於廣義坐標的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裡，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。
特別而言，假設對於某種群的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設，
。
在這案例裡，所有的元素都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。
舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」能夠將粒子從坐標為移動至坐標為，以方程式表示：
；
其中，是描述一群粒子的密度函數。
給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管的作用，這物理系統的哈密頓量是個不變量，對應於坐標的動量守恆。

**經典力學算符表格**
是旋轉矩陣，是旋轉軸向量，是旋轉角弧。

**生成元概念**
對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為 
；
其中，是「單位算符」──變換群的單位元，是微小參數，是專門用來設定平移變換群的生成元。
為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符作用於函數：
。
由於很微小，可以泰勒近似為
 。
重寫平移算符的方程式為
 ；
其中，導數算符是平移群的生成元。
總結，平移群的生成元是導數算符。

**指數映射**
在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做次微小平移變換，來代替一個有限值為的平移變換  ：
。
現在，讓變得無窮大，則因子趨於無窮小：
。
這表達式的極限為指數函數：
。
核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：
。
這方程式的右手邊可以重寫為
。
這正是的泰勒級數，也是的原本表達式結果。
物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代數與蓋爾範德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

**量子力學**
在量子力學裡，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符time=2018-2-24。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。11-12
物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。106-109

**量子算符**
假設，物理量是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符可能有很多不同的本徵值與對應的本徵態，這些本徵態，形成了具有正交歸一性的基底：96-99
；
其中，是克羅內克函數。
假設，某量子系統的量子態為
；
其中，是複係數，是在裡找到的機率幅。50
測量這動作將量子態改變為本徵態的機率為，測量結果是本徵值的機率也為。

**期望值**
在量子力學裡，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。
採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態，可觀察量的期望值定義為24-25
；
其中，是對應於可觀察量的算符。
將算符作用於量子態，會形成新量子態：
。
從左邊乘以量子態，經過一番運算，可以得到
。
所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量的期望值：
。
將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數的期望值：
。
例如，可以是，即重複施加算符兩次：
。

**對易算符**
假設兩種可觀察量、的算符分別為、，它們的對易算符定義為
。
對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態時，會給出
。
假設，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。
假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

**厄米算符**
每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量的期望值是實值： 
。
對於任意量子態，這關係都成立：
。
根據伴隨算符的定義，假設是的伴隨算符，則。因此，
。
這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。96-99

**矩陣力學**
應用基底的完備性，添加單位算符於算符的兩旁，可以得到20-23
；
其中，是求和式內每一個項目的係數。
所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：
 。
算符與它的伴隨算符彼此之間的關係為
。
所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。
用矩陣代數來計算算符怎樣作用於量子態，假設系統因此變換為量子態：
。
從左邊乘以本徵態，應用基底的完備性，添加單位算符於算符的右邊，可以得到
。
右矢、分別用豎矩陣來代表
 、　　　　 。
兩個豎矩陣彼此之間的關係為
 。
假設算符是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值：
。

**量子算符表格**
在這表格裡，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

**範例**

**位置算符**
只思考一維問題，將位置算符施加於位置本徵態，可以得到本徵值，即粒子的位置：220-221
。
由於位置基底具有完整性，，任意量子態可以按著位置本徵態形成的基底展開：
。
將位置算符施加於量子態，由於算符只作用於右矢，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：
。
左矢與這方程式的內積為
。
設定量子態。由於位置基底具有完整性，，量子態與的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為
。
將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式
。
設定量子態。量子態、的位置空間表現，即波函數，分別定義為
、
。
兩個波函數、之間的關係為
。
總結，位置算符作用於量子態的結果，表現於位置空間，等價於波函數與的乘積。

**動量算符**
表現於位置空間，一維動量算符為
。
將動量算符施加於量子態，可以得到類似前一節得到的結果：
。
應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態，可以得到更廣義的結果：
 ；
其中，、分別是量子態、表現於位置空間的波函數。
假設是的本徵態，本徵值為，則可得到
。
將改寫為本徵值為的本徵態，方程式改寫為
。
這微分方程式的解析解為
。
所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。50-54

**參閱**
有界算符
*表示論
*算子

**參考文獻==