正矢

單位圓上兩種正矢函數（versin和vercos）和兩種餘矢函數（coversin和covercos）的位置
正矢（英文：versine、versed sine）是一種三角函數，出現於早期的Q787322（如梵語的阿耶巴塔三角表第一節），其值為1和餘弦函數的差。它的定義域是整個實數集，值域在0到2之間。它是週期函數，其最小正週期為（360°）。在自變量為（，其中為整數）時，該函數有極大值2；在自變量為（或）時，該函數有極小值0。正矢函數是偶函數，其圖像關於y軸對稱。

**概述**
正矢函數（versine或versed sine）
是一個三角函數，常計為、 、、 或 。
在拉丁語中，其被稱為sinus versus（翻轉的正弦）、 versinus、 versus或 sagitta（箭頭）。
其等價定義為：


**相關函數**
 餘的正矢餘的正矢（英文：versed cosine、vercosine），寫為、 或 。
*: - 餘矢餘矢（英文：coversed sine、coversine），寫為，有時亦縮寫為。
*: - 餘的餘矢餘的餘矢（英文：coversed cosine或 covercosine），寫為、 或 。
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與上述四個函數類似，還存在四個“半值”函數：- 半正矢半正矢（英文：haversed sine, haversine或 semiversus），寫為、 、 、 、 、 、 或 ，因半正矢公式出名，且曾用於導航術。
*: - 餘的半正矢餘的半正矢（英文：haversed cosine或 havercosine），寫為、、或 ，其可運用在訊號處理和機率統計上，參見餘的半正矢應用一節。
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*:: - 半餘矢半餘矢（英文：hacoversed sine、hacoversine或 cohaversine），寫為、 、 、 或 。
*: - 餘的半餘矢餘的半餘矢（英文：hacoversed cosine、 hacovercosine或 cohavercosine），寫為、 或 。
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**歷史與應用**

**正矢和餘矢**
角的正弦、餘弦和正矢，以半徑為1、中心為的單位圓表示。該圖也說明瞭為什麼正矢有時被稱為sagitta（拉丁語中箭頭的意思）。如果把上下角的弧看成是「弓」，弦看成是「弦」，那麼正矢對應的線段顯然就是「箭矢」
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普通的正弦函數在歷史上有時被稱為sinus rectus （「straight sine」，直譯「直正弦」），以與「versed」的正弦函數，即正矢函數（sinus versus）進行對比。如果在原始上下文中檢視函數的定義（單位圓），這些術語的含義就會很明顯：
對於單位圓的垂直弦，角（代表上下角的一半）的正弦是距離（垂直弦的一半）。另一方面，的正矢是從垂直弦的中心到圓弧中心的距離。因此，（等於線的長度）和（等於線的長度）總和就是半徑（長度為單位長）。以這種方式說明，正弦是垂直的，而正矢是水平的（正矢又稱為sinus versus，其中versus字面意思是「相反、不合適」）； 兩者都是從點到圓周的距離，僅差在一個是垂直（正弦），一個是水平（正矢）。
這張圖也說明瞭為什麼正矢有時被稱為sagitta（拉丁語中箭頭的意思），源自阿拉伯語用法sahem，具有相同的含義。 它本身來自印度單字「sara」（箭頭），通常用來指「utkrama-jya」。 如果把上下角的弧看成是「弓」，弦看成是「弦」，那麼正矢對應的線段顯然就是「箭矢」。
為了進一步與將正弦解釋為「垂直」並且將正矢解釋為「水平」保持一致，「矢」一字（sagitta）在此也可以視為橫座標（圖中的水平軸）的過時同義詞。
1821年，奧古斯丁-路易·柯西使用術語「sinus versus」（siv）表達正矢，以及使用「cosinus versus」（cosiv）表達餘矢（不過部分文獻混淆了「餘的正矢」與「餘矢」，柯西在1821年的文獻中並未討論到「餘的正矢」，因此它們可能起源於較晚的時間）。
角的所有三角函數在幾何上可以依據以點為圓心的單位圓來構造。
從歷史上看，正矢函數被認為是十分重要的三角函數之一。
當角十分接近於0的時候，正矢的值會是兩個幾乎相等的值的差，因此僅使用餘弦函數的三角函數表來計算的話，該表需要非常高的精度才能在避免災難性抵消對於計算正矢函數時所造成的數值誤差，因此製作專用於正矢函數的三角函數表是有必要的。即使是使用-{zh-cn:計算器; zh-tw:計算機; zh-hk:計數機;}-或-{zh-cn:計算機; zh-hk:計算機; zh-tw:電腦; zh-sg:電腦;}-，由於舍入誤差，對於較小的，也會建議使用公式來計算正矢值。
正矢的另一個歷史優勢是它的函數值總是非負的，因此除了單一特殊的角度（如及其同界角）為零之外，正矢函數的對數在任何地方都有定義，因此，乘法有涉及正矢函數的計算可以使用對數表來計算。
事實上，現存最早的正弦（半弦長）值表（與托勒密和其他希臘作家列出的弦函數表相對）是印度的Surya Siddhantha計算得出的，其可追溯到公元前3世紀，這個表是一個紀錄了從0到90°之每3.75°的正弦和正矢數值的表。
正矢是應用半角公式的中間步驟，該公式由托勒密導出，用於建立此類數學用表。

**半正矢**
半正矢函數出現於半正矢公式中，其可以據兩點的經度和緯度來確定大圓上兩點之間距離，且在導航術中被廣泛地使用，因此十九和二十世紀初的導航和三角測量書中包含了半正矢值表和對數表。1835年，James Inman在其著作《航海與航海天文學：供英國海員使用》（Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen）第三版中創造了“半正矢”一詞以簡化地球表面兩點之間的距離計算，應用於球面三角學關於導航的部分。

**現代用途**
雖然正矢、餘矢和半正矢及其反函數的使用可以追溯到幾個世紀前，但其他五個餘函數的名稱（餘的正矢、餘的餘矢、半餘矢、餘的半正矢、餘的半餘矢）似乎較晚才出現。
即便如此，這些函數到了近代都還是存在相關應用，例如正矢的相關函數半正矢有應用在一些少見領域的計算方法上，以及餘的半正矢的相關函數則運用於訊號處理、控制理論、機率論和統計學中。
其中正矢的半值函數——半正矢函數在近幾十年來發現了新的應用。如1995年來布魯斯·D·斯塔克（Bruce D. Stark）利用Gaussian logarithm之清晰的月角距計算方法，以及2014年提出用於Sight reduction之更緊湊的方法。

**餘的半正矢**
餘的半正矢（havercosine）是餘的正矢（vercosine）之半值函數，其定義為：

一個週期（math|1=0 −1、 invhav、 ahav、 ahvs、 ahv或hav−1。
*反餘的半正矢（archavercosine）：餘的半正矢的反函數，又可以記作archavercosin、 archavercos或ahvc。
*反半餘矢（archacoversine）：半餘矢的反函數，又可以記作archacoversin或ahcv。
*反餘的半餘矢（archacovercosine）：餘的半餘矢的反函數，又可以記作archacovercosin、 archacovercos或ahcc。

**其他性質**
這些函數皆可以擴展到複平面。
馬克勞林級數：
 
 
 
150px

**近似值**
對於角度範圍從0到的正矢函數與正矢函數的三個近似值的比較
對於角度範圍從0到的正矢函數與正矢函數的三個近似值的比較
當的正矢函數值與半徑相比較小時，可以透過以下公式從半弦長度（上圖所示的長）近似得出正矢值：
或者，如果正矢函數值很小，且已知正矢函數值、半徑和半弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長（上圖所示的）：
這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀後，郭守敬提出了一個更準確的公式，也涉及弦弧間最大的距離。
工程中使用的更準確的近似是：

**任意曲線和絃**
術語「正矢」（versine）有時也用來描述任意平面曲線中弦與曲線間最大的距離，上面的圓是其中的一個特例。 給定曲線中兩點之間的弦，從弦到曲線（通常在弦中點）的垂直距離v稱為正矢測量（versine measurement）或軌道曲線正矢測量。對於直線，任何弦的正矢為零，因此該測量表徵了曲線的直線度。在極限情況下，當弦長趨近於零時，瞬時曲率的比率為。 這種用法在鐵路運輸中尤其常見，它描述了鐵軌直線度的測量，並且它是鐵路測量的Hallade_method之基礎。

**其他相關函數**
正弦（sin，藍色）、餘弦（cos，洋紅）、全弦（crd，黃色）、正矢（versin，綠色）、和半正矢（haversin，紅色）函數的函數圖形
正矢的值域範圍在0到2之間，類似的函數還有弦函數（crd），值域範圍也在0到2之間，但函數圖形略有差異。正矢函數的圖形與正弦函數的形狀相同，但x軸與y軸都平移了一段距離。正矢函數與其他「正」的三角函數（正弦、正切、正割）同樣是從零開始遞增的函數。

**參見**
三角函數

**註釋**

**參考文獻**
 cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |edition=2nd |publisher=Wiley |location=New York |year=1991- sagitta- dead-url=no - dead-url=yes - haversine - Cites coinage by Prof. Jas. Inman, D. D., in his Navigation and Nautical Astronomy, 3rd ed. (1835).- issn=0020-8442-  title=Haversine

**外部連結**
  Sagitta, Apothem, and Chord date=20201110124852  by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project.-  urlname=Versine