曲線的微分幾何

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。
從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出“最合適”的座標系。
曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長（“自然參數”）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變量曲線的“曲率”和“撓率”來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。

**定義**
設  是一個正整數， 是正整數或 ， 是實數非空區間， 屬於 。一個 類（即  為  次連續可微）向量值函數

稱為一條  類參數曲線或曲線  的一個  參數化， 稱為曲線  的參數， 稱為曲線的像。將參數曲線  和它的像  區別開來是非常重要的，因為一個給定的的子集可以是許多不同的參數曲線的像。
可以想象參數  代表時間，而曲線  作為空間中一個運動粒子軌跡。
如果 I 是閉區間 a, b，我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點。
如果 ，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 Cr-曲線，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 對所有 k ≤ r。
如果  為單射，我們稱為簡單曲線。
如果參數曲線  局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是  類。
記號 - 表示朝相反的方向運動的曲線。
一條 -曲線

稱為  階正則當且僅當對任何  屬於

在  中線性無關。
特別地，一條 -曲線  是正則的如果 
 對任何 

**重新參數化與等價關係**
給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數化。微分幾何旨在描述在一定的參數化下不變的性質。所以我們需在所有參數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質（長度，Frenet 標架和廣義曲率）在重新參數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為  Cr 曲線，是曲線的微分幾何研究的中心。
兩個 Cr 參數曲線

與

要稱為等價，就要存在一個 Cr 雙射

使得

和

γ2 稱為 γ1 的重新參數化。這種 γ1 的重新參數化在所有參數 Cr 曲線的集合上定義了一種等價關係，其等價類稱為 Cr 曲線。
對定向 Cr 曲線，我們可以定義一種“加細”的等價關係，要求 φ 滿足 φ'(t) > 0。
等價的 Cr 曲線有相同的像；等價的定向 Cr 曲線有相同的運動方向。

**長度與自然參數化**
C1 曲線 γ : a, b → Rn 的長度 l 可以定義為

曲線的長度在重參數化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質。
對任何正則 Cr （r 至少為 1）曲線 γ: a, b → Rn 我們可以定義一個函數

寫成
 
這裡 t(s) 是 s(t) 的逆函數，我們得到 γ 的一個新參數化 ，稱為自然、弧長或單位速度參數化；參數 s(t) 稱為 γ 的自然參數。
我們偏愛這個參數，因為自然參數 s(t) 以單位速度轉動 γ 的像，所以

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數，但在理論討論中很有用。
給定一條參數化曲線 γ(t) 的自然參數化是在差一個參數移動的意義下是惟一的。
數量

經常稱為曲線的能量或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的歐拉-拉格朗日運動方程。

**Frenet 標架**
空間曲線一點的 Frenet 標架示意圖。 T 是單位切向量，P 為單位法向量，B 是次法向量。
一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ(t) 局部性質的n 個正交向量 ei(t) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個局部參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體座標系更容易和自然地描述局部性質（如曲率、撓率）。
給定 Rn 中一條 n 階正則 Cn+1-曲線 γ，曲線的 Frenet 標架是一組正交向量

稱為 Frenet 向量。它們是通過對 γ(t) 的各階導數使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：


實值函數 χi(t) 稱為 廣義曲率，定義為

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質。

**特殊 Frenet 向量和廣義曲率**
最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多信息。

**切向量**
如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。
數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0，
向量：

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。
切向量的長度：

是在時間 t0 的速率。
第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

**法向量**
法向量，有時也稱為曲率向量，表明曲線和一條直線的偏離程度。
法向量定義為

其正規形式單位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定義為

t 點的切向量和法向量張成 t 點的密切平面。

**曲率**
第一個廣義曲率 χ1(t) 稱為曲率，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

稱為 γ 在點 t 的曲率。
曲率的倒數

稱為曲率半徑。
半徑為 r 的圓周有常曲率

但一條直線的曲率是 0 。

**次法向量**
次法向量是第三個 Frenet 向量 e3(t) ，
總是正交於 t 點的單位切向量和單位法向量。其定義為

在 3 維空間中等式簡化為


**撓率**
第二廣義曲率 χ2(t) 稱為撓率，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內（任何 t 都在這一個平面內）。

稱為 γ 在點 t 的撓率。

**曲線論主要定理**
給定 n 個函數

滿足

那麼存在惟一的（在差一個歐幾里得群作用的意義下） n 階正則 Cn+1-曲線 γ，具有如下性質


這裡集合

是曲面的 Frenet 標架。
再附加起始 t0 ∈ I，起始點 p0 ∈ Rn 以及一個初始正交標架 {e1, ..., en-1} 滿足


那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。

**Frenet-Serret 公式**
Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數 χi 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

**2-維**


**3-維**


**n 維一般公式**


**參考文獻**
 Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.- 陳維桓，微分幾何，北京大學出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

**另見**
曲線論題列表
*曲線的仿射幾何
*弧
*切線、切點、次切距
*密切圓
*包絡線、轉跡線
*四頂點定理
*測地線
*等周問題
*環繞數