正交群

數學上，數域F上的n階正交群，記作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL(n,F)的子群，由
給出。
這裡QT是Q的轉置。實數域上的經典正交群通常就記為O(n)。
更一般地，F上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。
每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n×n正交矩陣組成一個O(n,F)的正規子群，稱為特殊正交群SO(n,F)。如果F的特徵為2，那麼1 = −1，從而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指數是2。特徵2且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義SO(n,F)為迪克森不變量的核，這樣它在O(n,F)中總有指數2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代數群，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。

**實數域上的正交群**
實數域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不會引起誤會時經常記為O(n)和SO(n)。他們是n(n-1)/2 維實緊李群。O(n,R)有兩個連通分支，SO(n,R)是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。
實正交群和特殊正交群有如下的解釋：
O(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面對稱的對象的對稱群。
SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱對象的旋轉群。
{ I, −I }是O(n,R)的正規子群並是特徵子群；如果n是偶數，對SO(n,R)也對。如果n是奇數，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直積。k重旋轉循環群Ck對任何正整數k都是O(2,R)和SO(2,R)的正規子群。
取合適的正交基，等距是

的形式。這裡矩陣R1,...,Rk是2×2旋轉矩陣。
圓的對稱群是O(2,R)，也稱為Dih(S1)，這裡S1是模長1複數的乘法群。
SO(2,R) (作為李群)同構於圓S1（圓群）。這個同構將複數exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩陣
。
群SO(3,R)，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式
在代數拓撲方面，對n > 2，SO(n,R)的基本群是2階循環，而自旋群Spin(n)是其萬有覆疊。對n = 2基本群是無限循環而萬有覆疊對應於實數軸（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆疊）
李群O(n,R)和SO(n,R的李代數由斜對稱實n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。這個李代數經常記為  o(n,R)或so(n,R)。

**保持原點的3維同構**
保持R3原點不動的同構，組成群O(3,R)，能分成如下幾類：
*SO(3,R):
**恆同
**繞一個過原點的軸轉動不等於180°
**繞一個過原點的軸轉動180°
*以上與關於原點的點反演（x映到−x）複合，分別為：
**關於原點的點反演
**繞一軸旋轉一個不等於180°的角度，與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
**關於一個過原點的平面的反射
特別地指出4階和5階正交群，在更寬泛的意義下6階也是，稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

**共形群**
作為保持距離的同構，正交變換也保角，從而是共形變換，但是不是所有的共形變換都是正交變換。Rn的線性共形映射構成的群記作CO(n)，由正交群和收縮的乘積給出。如果n是奇數，兩個子群不相交，他們是直積：；如果n是偶數，兩個子群的交是，所以這不是直積，但這是和正收縮子群的直積：。
我們可以類似地定義CSO(n)，這時總有。

**複數域上正交群**
複數域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2維的李群，這意味著實維數是n(n-1)。O(n,C)有兩個連通分支，SO(n,C)是包含恆同矩陣的分支。當n ≥ 2時，這些群非緊。
和實情形一樣，SO(n,C)不是單連通的，對n > 2  SO(n,C)的基本群是2階循環群，而SO(2,C)的基本群是無窮循環群。
O(n,C)和SO(n,C)的複李代數由斜對稱複n×n矩陣組成，李括號由交換子給出。

**拓撲**

**低維數**
低維實正交群是熟悉的空間：

由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多SO(3)上的卡。

**同倫群**
正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，從而一般是很難計算的。
但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群（也稱為有限正交群），定義為包含序列

的正向極限（因為包含都是閉包含，從而是上纖維化，也能理解成並）。
是的齊性空間，從而有如下纖維叢：
 
可以理解為：正交群 傳遞地作用於單位球面上，一點（看作一個單位向量）的穩定子群是其正交補的正交群，這是第一維的正交群。映射是自然包含。
從而包含是(n-1) -連通的，故同倫群穩定，對有，所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。
通過博特週期性定理，，從而O的同倫群以8為週期，即  ，這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。
 

**和KO-理論的關係**
通過cluching construction，穩定空間O的同倫群和穩定球面上的向量叢等價（同構的意義下），提高一個維數：。
設（使得滿足週期性），我們得到：
 

**同倫群的計算和解釋**

**= 低維群 =**
最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。
*保持/反定向（這個類存留到從而穩定）
得出：
*即自旋群
*，有到的滿射，從而後一個群消失。

**= 李群 =**
由李群一般性事實，總消失，是自由阿貝爾群。

**= 向量叢 =**
從向量叢的觀點來看，是上的向量叢，具有兩個點。從而在每個點上，叢是平凡的，這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差，所以
是維數。

**= 環路空間 =**
利用博特週期性中環路空間具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用、O，以及O/U有兩個分支，和有個分支，其實是連通的。

**同倫群的解釋**
一小部分結論：
*是維數
*是定向
*是自旋
*是拓撲量子場理論
令，以及為射影線上的重複線叢，是其K-理論。注意到，這些得出相應球面上的向量叢，以及：
*由生成
*由生成
*由生成
*由生成

**有限群上的正交群**
正交群也能定義在有限域上，這裡是一個質數的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：和；奇數維有一類：。
如果是正交群作用的向量空間，它可以寫成正交直和：
 ，
這裡是雙曲線而不包含奇異向量。如果，那麼是正類型；若那麼有偶維數；若有維數2，則是負類型。
在n = 1的特例，是階為的二面體群。
當特徵大於2時，記O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。關於這些群的階數我們有以下公式
 。
如果是中的平方元素
 。
如果不是中的平方元素
。

**迪克森不變量**
對偶數維正交群，迪克森不變量是從正交群到Z/2Z的同態，是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變量和行列式等價：行列式等於−1的迪克森不變量次冪。
在特徵2的域上，行列式總為1，所以迪克森不變量給出了額外的信息。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變量為0的元素，而不是行列式為1。
迪克森不變量也能對所有維數的克利福德群和Pin群類似地定義。

**特徵2域上正交群**
特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：
*任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標為2的4維向量空間loc=Theorem 6.6 and 14.16。注意特徵2域上的反射定義稍不同。特徵2域，垂直於一個向量u的反射將v映為v+B(v,u)/Q(u)·u，這裡B是一個雙線性形式，Q是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德變換是將v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。
*特徵2時正交群的中心總是1階，而不是2階。
*在特徵2的奇維數2n+1時，完全域上的正交群和2n維辛群相同。事實上特徵2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2n維辛空間，正交群作用在它上面。
*在特徵2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

**旋量模**
旋量模是一個從域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素
F*/F*2
的同態，將關於模長為n向量的反射映到F*/F*2中的n。
旋量模對實數域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數域上不定二次型定義的正交群。

**伽羅瓦上同調和正交群**
代數群的伽羅瓦上同調理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯繫；
但就目前所發現的現象而言，大部分都是“馬後炮”。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式（張量）可以與伽羅瓦H1等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式相聯繫。
一個旋量模的“spin”名字可以用與自旋群（更準確地pin群）的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦上同調（引入克利福德代數的術語）來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列：

這裡μ2是單位根的代數群；在一個特徵非2的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。
從H0（就是取值於F中點的群OV(F)）到H1(μ2)的連接同態本質上是spinor模，因為  H1(μ2)同構於域模去平方元素的乘法群。
正交群的H1到自旋群覆疊的核的H2也存在連接同態。因上同調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。

**重要子群**
物理中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：




正交群O(n)也是一些李群的重要子群：







群O(10)在超弦理論中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。

**另見**
旋轉群, SO(3,R)
*SO(8)
*廣義正交群
*酉群
*辛群
*有限單群列表
*單李群列表

**註釋**

**參考文獻**

**外部鏈接**
 John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 date=20210211064646 - John Baez on Octonions date=20210117120453