相干性

在物理學中，相干性（coherence）又稱同調性，陳述兩列波相互干擾的可能性。來自同一單光源的兩單色光束總是相互干擾（干涉）。若兩個波源的頻率和波形相同，則它們是相干的（coherent）或同調的。相干的的兩波物理源（physical source）並不嚴格限單色的，它們可能是部分相干的（partly coherent）。但來自不同物理源的光束，則互為非相干的（incoherent）。
相干性是波的一個理想Intrinsic and extrinsic properties，它使波可進行“定態干涉”（stationary interference，時間或空間固定下的干涉）；亦即為了產生顯著的干涉現象，波所需具備的性質。相干性描述一個波列在同一時間不同位置，或者在同一位置不同時間的“振動間有恆定相位關係”的特性，可分為空間相干性、時間相干性和部分相干性三種。更概括地說，相干性描述了單波與自己、多波之間、波包之間，某些物理量間的相關特性。
當兩個波彼此相互干涉時，因為相位的差異，會造成相長干涉或相消干涉。假若兩個正弦波的相位差為常數，則這兩個波的頻率必定相同，稱這兩個波「完全相干」。兩個「完全不相干」的波，例如白熾燈或太陽所發射出的光波，由於產生的干涉圖樣不穩定，無法被明顯地觀察到。在這兩種極端之間，存在著「部分相干」的波。
相干性大致分為時間相干性與空間相干性兩類。時間相干性與波的頻寬有關；而空間相干性則與波源的有限尺寸有關。
波與波之間的相干性可以用degree of coherence來量度。interference visibility是波與波之間的干涉圖樣的輻照度對比，相干度可以從干涉可見度計算出來。

**波源**
一般而言，互不相關的波源無法形成可觀察到的干涉圖樣。例如白熾燈或太陽是由很多互不相關、持續生成的微小發光點所組成，每一個發光點只會作用一段時間，發射出一個有限長度的波列，之後，再也不會發光，但在其它位置，又會出現新的發光點。為了要能拍攝到這類光源所產生的由兩個波列疊加形成的干涉圖樣，攝影儀器的曝光時間必須要小於。在舊時，無法製造出這麼高階的攝影儀器，因此從這類光源很難拍攝到干涉圖樣。但是，通過適當處理，仍舊可以觀察到這些光源的干涉圖樣。page=457, 460
為了要觀察到這些互不相關的波源所形成的涉圖樣，必須從這些波源製造出相干性較高的波。有兩種方法可以達成這目標：
#第一種方法稱為「波前分割法」。從微小波源發射出的波，其波前與微小波源之間的距離大致相等。使用具有幾條狹縫的檔板來過濾從微小波源發射出的波，只要這些狹縫與微小波源之間的距離相等，就可以保證同樣的波前入射於這幾條狹縫。位於波前的每一點都可以視為一個波源，會發射出次波。因此，從這幾條狹縫衍射出來的次波，其相位大致相同。楊氏雙縫實驗就是藉著這方法製成兩束相干性較高的光波，這兩束光波會在觀察屏產生干涉圖樣。
#第二種方法稱為「波幅分割法」。用半透射、半反射的半鍍銀鏡，可以將光波一分為二，製造出透射波與反射波，這兩束光波非常相似，相干性非常高。假設這兩束光波的光程長度不相等，則由於在觀察屏的相位不同，會產生明顯不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀使用的就是這種方法。
自從激光、激微波的發明以後，物理學者不再為尋找高相干性的光源這問題而煩惱，激光所製造出來的波列通常能維持之久。這給予足夠的曝光時間來拍攝干涉圖樣。

**應用**
以前，只有在學習光學的楊式雙縫實驗時，才會接觸到相干性這術語。現今許多涉及波動的領域，像聲學、電子工程、量子力學等等，都會使用到這術語。許多科技的運作都倚賴相干性質為基礎。例如，全像攝影術、音波相位陣列、光學相干斷層掃描、天文光學干涉儀、與射電望遠鏡、等等。

**相干性與相關性**
兩個波的相干性，稱為「互相干性」，來自於它們彼此之間的相關程度，也就是說，它們彼此之間的相似程度。互相關函數可以量度互相干性。564
互相關函數可以量度從一個波預測另一個波的能力。舉例而言，設想完全同步相關的兩個波。在任意時間，假若一個波發生任何變化，則另一個波也會做出同樣的變化；讓這兩個波互相干涉，則在任意時間，它們都會展示出完全相長干涉，它們具有完全相干性。互相關函數可以用來支持模式識別系統，例如，指紋識別。
如稍後所述，第二個波不必是另外一個實體，它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。這案例所涉及的相關稱為「自相干性」；對於這案例，可以用自相關函數來量度自相干性。自相關函數可以用來從帶有隨機噪聲背景的信號中提取出資訊信號。page=545-550

**嚴格定義**
假設在點S1、點S2的波擾分別為、（波浪號代表複數），則其互相關函數為page=566-571115-118
；
其中，單書名號表示取時間平均值，是平均的時間間隔，是相對時移。
互相關函數又稱為「互相干函數」。理論而言，必需取趨向於無窮大的極限；然而，實際而言，只要平均的時間間隔比相干時間（大約是有限長度的波列通過某固定點的有限時間）長久很多就行了。
從互相關函數的定義式，可以衍生出自相關函數，又稱為「自相干函數」。波與相對時移的自己波，兩者之間的自相干函數為
。
歸一化的互相干函數又稱為兩個波的「複相干度」，以方程式表示為
。
從柯西-施瓦茨不等式可以推導出。
絕對值就是「相干度」。當時，波與波完全相干；當時，兩個波完全不相干；當時，兩個波部分相干。
本圖展示各種干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度與干涉可見度的關係。縱軸是輻照度除以最大輻照度，橫軸是空間坐標。
「干涉可見度」量度干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度，以方程式定義，
；
其中，、分別為干涉圖樣的最大輻照度與最小幅照度。
干涉可見度的範圍在0到1之間。假設兩個波的振幅相等，則干涉可見度等於相干度：
。

**各種波動實例**
下述這些波的共同之處是，它們的物理行為可以用波動方程式或推廣的波動方程式來描述：
*繩索的機械波。
*液體的表面波。
*電纜的電磁波。
*聲波。
*無線電波與微波。
*光波。
*量子尺寸粒子的物質波。
這些種類的波的物理行為，大多數可以直接測量獲得。因此，波與波之間的互相干函數可以很簡單地求得。但是，在光學裡，不能直接的測量電磁場，因為電磁場的震盪太快，比任何探測器的時間分辨率還要快。可行之道是測量光波的輻照度。
大多數在這條目提到的涉及相干性的概念，都是先在光學領域發展成功，然後再適應於其它領域。因此，許多相干性測量標準都是採用間接地測量，甚至在可以直接測量的領域，都是這樣做。

**時間相干性**
單色波的振幅（紅色），與延遲了時間的自己波的振幅（綠色），這兩個振幅隨著時間的演進而變化。這兩個波的相干時間是無窮大。因為，對於所有可能延遲時間，它們完全相干：。118
圖2：本圖顯示出，一個相位顯著飄移的準單色波的振幅（紅色，相干時間為），與延遲了時間的自己波的振幅（綠色），這兩個振幅隨著時間的演進而變化。在任何給定時間，紅色波會與綠色波互相干涉。但是由於一半時間，紅色波與綠色波同相，另一半時間，兩個波異相，所以，對於這延遲，經過時間平均後，自相干函數可以近似為0。
圖3：本圖顯示出，一個波包的振幅（紅色）與延遲了時間的自己波包的振幅（綠色），這兩個振幅隨著時間的演進而變化。從本圖可以觀察到，經過時間，波包的振幅有顯著地改變。在任何瞬時，紅色波包與綠色波包是不相關的；當一個波包在做大幅度振盪的時候，另一個波包卻是非常的平靜。所以，在這裡，並沒有干涉效應發生。換另一種方法來看，波包並沒有重疊於時間，在任何瞬時，最多隻有一個波包貢獻震盪，不會產生干涉。
一個波與延遲了時間的自己波，兩者之間的自相干函數，可以用來量度時間相干性。對應的複相干度為，又稱為「複時間相干度」。時間相干性可以表達波源的單色性質，可以量度一個波在延遲某時間後干涉自己的能力，因此又稱為「縱向相干性」。經過一段延遲時間後，假若一個波的相位或波幅開始發生足夠顯著的變化（因此自相干函數開始顯著地減小），則定義此延遲時間為「相干時間」。有限長度的波列通過某固定點的有限時間大約是相干時間。當時，一個波與自己的相干度為；而當時，相干度會顯著地減小，顯示在觀察屏的干涉圖樣也會變得模糊不清。「相干長度」定義為，在相干時間內，波所能傳播的距離，又稱為「縱向相干長度」。page=560, 571-573

**相干時間與頻寬的關係**
由於週期的倒數是頻率，一個波在越短時間內，變的不自相干（越小），則波的頻寬越大。兩個物理量的關係方程為page=358-359, 560
。
用波長來表達，
。
用數學表述，這結果可以從傅立葉變換推導出來。自相干函數的傅裡葉變換就是power spectrum（每個頻率的輻照度）。page=572

**實例**
試想下述四個關於時間相干性的實例：
*對於任何時間間隔，一個單色波都是完全的自相干（參閱圖1）。
*反過來說，一個相位迅速飄移的波，其相干時間必定很短（參閱圖2）。
*類似地，具有較寬頻域的pulse wave（一種波包），由於振幅迅速地變化，所以，相干時間很短（參閱圖3）。- 白光擁有非常寬的頻域，是一種振幅與相位都迅速變化的波。由於相干時間很短（10週期左右），常被稱為「不相干波」。
白光的頻寬大約為3×1014Hz，因此相干時間為3×10-15s，相干長度非常短，大約只有900nm。普通放電燈的頻寬也很寬闊，因此相干長度也相當短，大約為幾個mm數量級。國際標準Kr86低氣壓放電燈的相干長度比較長，大約為0.3m。page=316
激光通常是最單色的光源。高度的單色性意味著相干長度很長。例如，單模氦氖激光器能夠發射相干長度接近400m的光。特別穩定性氦氖激光的相干長度可以達到1.5×107m。page=316
全息攝影需要用到長相干時間的光。page=635由於具有脈衝高能量與較長的相干時間這兩種優點，紅寶石激光時常被應用於全息攝影。549相對比較，光學相干斷層掃描使用短相干時間的光。

**測量方法**
輻照度干涉儀輸出點偵測到的，經過時間平均後的輻照度，以延遲時間的函數形式繪製。假設將延遲時間改變半個週期，則干涉會從建設性轉換為摧毀性，或從摧毀性轉換為建設性。黑色曲線顯示出干涉包絡線，這是相干度的曲線。雖然，圖 (2)或圖 (3)的波有不同的持續期，它們有同樣的相干時間。
在光學裡，時間相干性可以用干涉儀來測量，例如，邁克生干涉儀或馬赫-曾德爾干涉儀。干涉儀先將輸入波複製，延後時間，然後將輸入波與複製波合併為輸出波，再用輻照度探測器來測量經過時間平均後的輸出波輻照度，得到的數據，稍加運算，可以求得干涉可見度。這樣，可以知道延遲時間為的相干度。對於大多數的天然光源，由於相干時間超短於探測器的時間分辨率，探測器自己就可以完成時間平均工作。
思考圖 (3)案例，在相干時間內，波的輻照度顯著地漲落不定。假設延遲時間為，則一個無窮快的探測器所測量出的輻照度也會顯著地漲落不定。對於這案例，可以手工計算輻照度的時間平均值來求得時間相干性。

**空間相干性**
波源綿延有限尺寸的楊氏雙縫實驗示意圖。最右邊的干涉圖樣是由單獨點波源產生的圖樣。
為了展示出顯著的干涉圖樣，楊氏雙縫實驗所使用的光源必須具有空間相干性。光學影像系統與天文望遠鏡的製作必需考慮到光源的空間相干性。
空間相干性與波源的有限尺寸有關。這可以用楊式雙縫實驗來解釋。在典型的楊式雙縫實驗裡，只存在有一個點光源S，其所發射出的單色光，在通過不透明擋板的位於點S1、點S2的兩條狹縫之後，會在觀察屏顯示出干涉圖樣。現在將這實驗加以延伸，將點光源S改為綿延有限尺寸的線光源。從做實驗獲得的結果，物理學者發覺，假定線光源與擋板之間的距離足夠遠，則若要在觀察屏的中央軸區域顯示出干涉圖樣，必須先滿足以下條件：42-43
；
其中，是點S1、點S2對於頂點S的夾角。是光波的平均波長。
注意到、；其中，是兩個狹縫之間的距離，是有限尺寸光源對於檔板中央軸交點的夾角。所以，必須滿足條件42-43
。
因此，可以估算這問題的「橫向相干長度」為。假若兩個狹縫之間的距離大於，則干涉圖樣會消滅殆盡。對於三維案例，可以使用物理量「相干面積」，以方程式表示為。
在許多物理系統裡，像水波或光波一類的波可以傳播於一維或多維的空間。空間相干性量度位於點S1、點S2的兩個波擾，經過時間平均後，彼此相互干涉的能力。更精確地說，空間相干性是這兩個波擾除去了延遲時間因素之後的互相關函數。假設某波前的波幅為常數，則在其任意兩個位置的波擾，彼此之間都具有完全空間相干性。
繼續思考楊氏雙縫實驗，只專注於檔板與觀察屏之間的狀況。假設點S1、點S2的兩個波擾分別為、，則其互相干函數與點S1、點S2的位置和延遲時間有關。由於在觀察屏的干涉圖樣，其中心點Q是中央軸與觀察屏的交點，從點S1、點S2同時發射的光波，會在同時抵達點Q，延遲時間為
；
其中，、分別是從S1、點S2到點Q的距離，是光速。
因此，除去了延遲時間因素，互相干函數可以量度在點S1、點S2的兩個波擾的空間相干性。複相干度稱為在點S1、點S2的兩個波擾的「複空間相干度」。page=572

**實例**
left
圖5：一個單色平面波，相干長度與相干面積為無窮值。
left
圖6：一個波前不規則的單色波。因為在點X1與點X1後面λ整數倍數之處的波幅永遠相同，相干長度為無窮值，因為在點X1與點X2的波幅永遠相同，相干面積也為無窮值。
left
圖7：一個波前不規則的波，相干長度與相干面積為有限值。
left
圖8：一個波前不規則、相干長度與相干面積為有限值的波，入射於具有一條狹縫的檔板。入射波穿過狹縫後，衍射出來的波，其空間相干性會增加。經過傳播一段距離，在離狹縫較遠處，圓形波前的波近似於平面波。相干面積變為無窮值，而相干長度不變。
left
圖9：兩個同樣的波，在空間裡傳播。一個波是另外一個波的位移，兩個波的相干長度與相干面積分別為無窮值。兩個波的結合，在某些位置，會建設性干涉（干涉相漲），在另外一些位置，會摧毀性干涉（干涉相消）。經過空間平均，探測器所觀察到的干涉圖樣，其干涉可見度會減低。例如，一個未校準的馬赫-曾德爾干涉儀就會出現這種狀況。
試想一個電燈泡的鎢絲，從其不同位置會獨立地發射出毫無固定相位關係的光波。仔細觀察，在任意時間，光波的剖面都毫無規律可言。每經過一段相干時間，光波的剖面都會機率性地變化。電燈泡是一個白光光源，相干時間很短，是一個空間不相干光源。
位於美國新墨西哥州的綜合孔徑射電望遠鏡甚大天線陣。
電波望遠鏡天線陣的空間相干性很高，在天線陣對端的每兩根天線所發射出的光波，彼此之間都有特別設計的固定相位關係。
雷射產生的光波的時間相干性與空間相干性通常都很高，其相干度依激光的性質而定。
全像攝影術的運作，需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者，伽博·丹尼斯，在雷射還沒有被發明前，就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈的發射線激發出的單色光，通過針孔過濾器，製成全像攝影術所需要的相干光波。
2011年2月，物理學者發現，冷卻至接近絕對零度的氦原子，當變為玻色-愛因斯坦凝聚時，它們的物理行為會如同雷射發射出的相干光束一樣。

**波譜相干性**
幾個不同頻率的波（在光學裡，不同顏色的光波），假若是相干的，則會因相互干涉而形成一個脈衝波。
幾個波譜不相干的波因相互干涉而形成的波，其相位與波幅都會隨機變化。
不同頻率的波（在光學裡，不同顏色的光波），假若有固定的相對相位關係，則會因干涉而形成一個脈衝波（參閱傅裡葉變換）。反過來說，假若不同頻率的波是不相干的，則結合在一起它們會形成像白光或白噪聲一類的波。脈衝波的時間持續期被頻寬限制，依據關係方程式：
。
這關係方程式也可以從傅裡葉變換推導出。對於量子尺寸的粒子，這是海森堡不確定原理的必然結果。
測量光的波譜相干性，需要用到nonlinear optical interferometer，像Intensity optical correlator、頻域分辨光學開關或Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction。

**量子相干性**
在量子力學裡，物質具有波動性（參閱德布羅意假說）。例如，楊氏雙縫實驗也可以用電子來完成。從電子源發射出的每一個電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫，因此，有兩種抵達觀察屏最終位置的方法可供選擇。一種方法是將狹縫S1關閉，電子只能穿過狹縫S2；另一種方法是將狹縫S2關閉，電子只能穿過狹縫S1。每一種方法可以設定為一個特別的量子態。由於這兩個量子態會相互干涉，因而影響電子抵達偵測屏最終位置的機率分佈，也因此形成了觀察屏的干涉圖樣。這相互干涉的能力展現出粒子的「量子相干性」。
假若，試圖探測電子到底是經過哪一條狹縫。那麼，兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被退相干化。這現象顯示出量子系統的互補性。
大尺寸（宏觀）量子相干會導致新穎奇異的現象，稱為macroscopic quantum phenomena。例如，雷射、超導現象、超流體等等，都是高度相干的量子系統，它們產生的效應可以在宏觀尺寸觀察到。超流體現象是玻色-愛因斯坦凝聚。所有組成凝聚的粒子都同相，可以用單獨一個量子波函數來描述。
換另一方面，薛丁格貓思想實驗強調，不能任意地將量子相干用在宏觀案例。但是，物理學者於2009年成功地在機械resonator的運動裡觀測到量子相干現象。

**參閱**
相干態
*量子退相干
*atomic coherence

**註釋**

**參考文獻==