歐拉函數

當n為1至1000的整數時的值
在數論中，對正整數n，歐拉函數是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。
例如eulerphi(8)，因為1、3、5和7均與8互質。
歐拉函數實際上是模n的同餘類所構成的乘法群（即環的所有單位元組成的乘法群）的階。這個性質與拉格朗日定理一起構成了歐拉定理的證明。

**歷史：歐拉函數與費馬小定理**
1736年，歐拉證明瞭費馬小定理：
假若  為質數， 為任意正整數，那麼  可被  整除。
然後歐拉予以一般化：
假若  與  互質，那麼  可被  整除。亦即，。
其中  即為歐拉總計函數。如果  為質數，那麼 ，因此，有高斯的版本：
假若  為質數， 與  互質（ 不是  的倍數），那麼 。

**歐拉函數的值**
以下為 為至時，對應 的值
若有標準分解（其中各為互異的質因子，各為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為

亦可等價地寫成

此結果可由在質數冪處的取值，以及其積性得到。

**質數冪處取值**
最簡單的情況有（小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身）。
一般地，若n是質數p的k次冪，則，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

**積性**
歐拉函數是積性函數，即是說若m,n互質，則。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，和可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。
較詳細的證明如下：
設，且。若與互質，則與、均互質。又因為，若分別與互質，則一定和互質。反之亦然，即若與互質，則亦有分別與互質。
由中國剩餘定理，方程組

的通解可以寫成 其中為固定的整數，故二元組（要滿足）與小於且與互質的正整數一一對應。
由的定義（和乘法原理），前一種數對的個數為。而後一種數的個數為。
所以，

**公式的證明**
結合以上兩小節的結果可得：若有質因數分解式，則
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**例子**
計算的歐拉函數值：


**性質**
n的歐拉函數 也是循環群 Cn 的生成元的個數（也是n階分圓多項式的次數）。Cn 中每個元素都能生成 Cn 的一個子群，即必然是某個子群的生成元。而且按照定義，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（記作d | n）。因此只要考察n的所有因數d，將 Cd 的生成元個數相加，就將得到 Cn 的元素總個數：n。也就是說：

其中的d為n的正約數。
運用默比烏斯反轉公式來“翻轉”這個和，就可以得到另一個關於的公式：

其中 μ 是所謂的默比烏斯函數，定義在正整數上。
對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），，有

即歐拉定理。
這個定理可以由群論中的拉格朗日定理得出，因為任意與m互質的a都屬於環  的單位元組成的乘法群
當m是質數p時，此式則為：

即費馬小定理。

**歐拉商數**
歐拉商數（totient number）指的是歐拉函數的值，也就是說，若m是一個歐拉商數，那至少存在一個n，使得。而歐拉商數m的「重複度」（valency或multiplicity），指的是這等式的解數。相對地，一個非歐拉商數指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數，此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數，且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。
不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

其中。
考慮重複度，那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出：

其中對任意正數k而言，誤差項R至多與成比例。
目前已知對於任意的δ δ。

**Ford定理**
證明說對於任意整數k ≥ 2而言，總存在一個歐拉商數m，其重複度為k，也就是說總有數字使得這等式有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測，且是Schinzel's hypothesis H的一個結果。事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。
然而，沒有任何數字m的重複度為。Carmichael's totient function conjecture講的是沒有m的重複度為。

**完全歐拉商數**
完全歐拉商數（perfect totient number）是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數，也就是說，如果將歐拉函數套用在一個正整數之後，並將歐拉函數套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到1為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為，那麼就是一個完全歐拉商數。

**生成函數**
以下兩個由歐拉函數生成的級數都是來自於上節所給出的性質：。
由(n)生成的狄利克雷級數是：

其中ζ(s)是黎曼ζ函數。推導過程如下：



使用開始時的等式，就得到：
於是
歐拉函數生成的朗貝級數如下：
 
其對於滿足 |q| 0，都有n > N(ε)使得 
如果考慮比值：

由以上已經提到的公式，可以得到其值等於類似的項的乘積。因此，使比值小的n將是兩兩不同的質數的乘積。由素數定理可以知道，常數 ε 可以被替換為：

就平均值的意義上來說是與n很相近的，因為：

其中的O表示大O符號。這個等式也可以說明在集合 {1, 2, ..., n} 中隨機選取兩個數，則當n趨於無窮大時，它們互質的概率趨於  。一個相關的結果是比值的平均值：


**其他與歐拉函數有關的等式**
# 
#  使得 
#  使得 
# 
# 
# 
# 
# 
# 

**與歐拉函數有關的不等式**
# ，其中n > 2，γ 為歐拉-馬歇羅尼常數。
#  ，其中n > 0。
# 對整數n > 6，。
# 當n為質數時，顯然有。對於合數的n，則有：


**未解決問題**

**萊默的歐拉函數問題**
若p是質數，則有。1932年，德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有這樣的數存在。
1933年萊默證明說若有這樣的，那麼必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（）。1980年，Cohen和Hagis證明瞭說，若這樣的存在，則且有至少14個不同的質因數（）；此外，Hagis證明瞭說若這樣的存在且可被3除盡，那麼且有至少298848個不同的質因數（）。

**卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想**
此猜想認為說不存在正整數n，使得對於所有其他的m而言，在m ≠ n的狀況下必有φ(m) ≠ φ(n)。可見上述Ford定理一節的說明。
若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。

**黎曼猜想**
黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的n ≥ p120569#成立。此處的p120569#是最初的120569個質數的乘積：

此處的γ是歐拉常數。

**程式代碼**

**C++**
template 
inline T phi(T n) {
T ans = n;
for (T i = 2; i * i  1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}

**參考來源**
 Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2節.- Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8節，234頁.-  Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. date=20080905113032 - 柯召，孫琦：數論講義（上冊），第二版，高等教育出版社，2001

**文獻來源**

**參考資料 ==