級數

級數（Series）代表某序列之和，例如序列的級數可以表示成，如果被取和的序列是有窮序列，相對應的級數被稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數。常見的級數包括等差數列和等比數列的級數。
級數本身也是一種序列（代表加到第項）。就跟普通序列一樣，級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。
如果某級數來自於對常數序列取和，則稱之為常數（項）級數，如果來自於函數序列，則稱之為函數（項）級數。
無窮級數不像有窮級數可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於無窮大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數取極限。如果這個極限存在，會仿造數列極限，將這個無窮級數稱為收斂的（convergent）；反之稱為發散的（divergent）。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近）

**正式定義**
也就是說，只要  上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在  的序列都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列。也就是說，一般會將  視為加法「」  ，而將更加直觀的記為：

然後把直觀地稱為部分和。
通常會做以下的符號定義：

而將　　記為　甚至是更直觀的 

**有窮級數**
以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」（infinite series）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數  開始，只要正整數  就有  （的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」（finite series），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項  開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 。

**無窮級數的斂散性**
對於級數，如果當趨於正無窮大時，趨向一個有限的極限：，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，叫做級數的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和。這時可以定義級數的餘項和：。

**任意項級數**
如果級數中的各項可以是正數，負數或零，則級數稱為任意項級數。
將任意項級數各項取絕對值，得到正項級數。

**條件收斂**
如果任意項級數收斂，而級數發散，則稱級數條件收斂。

**絕對收斂**
如果級數收斂，則稱級數絕對收斂
定理：如果任意項級數的各項的絕對值所組成的正項級數收斂，則級數收斂。

**收斂級數的性質**
 若一個無窮級數收斂，其和為，則如果每一項乘以一個常數，得到的級數也收斂，且和等於as。- 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數：
和 ，則
.- 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如：
和 
這兩個級數的斂散性是一樣的。- 當趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於0：- 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數收斂的充要條件是，對任意 ，總存在，使得任意的，。

**無窮級數的研究歷史**
將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。
17世紀，詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年，布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。

**對審斂法的研究**
14世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。
然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。
柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。
1826年，阿貝爾在他的關於二項式級數

的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。
柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德·摩根的對數判別法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效）
，以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。
對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

**對一致連續性的研究**
1821年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和侷限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

**類別**
更多級數請參見級數列表。

**幾何級數**
幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如：

一般來說，幾何級數收斂當且僅當。

**調和級數**
調和級數是指通項為的級數：

它是發散的。

**-級數**
-級數是指通項為的級數：

對於實數值的，當時收斂，當時發散。這可以由積分比較審斂法得出。
函數是黎曼ζ函數在實軸大於1的部分的限制，關於黎曼函數有著名的黎曼猜想。
特別地，當時，-級數即為調和級數。

**裂項級數**

收斂當且僅當數列收斂到某個極限，並且這時級數的和是。

**泰勒級數**
泰勒級數是關於一個光滑函數在一點附近取值的級數。泰勒函數由函數在點的各階導數值構成，具體形式為：

這是一個冪級數。如果它在附近收斂，那麼就稱函數在點上是解析的。

**交錯級數**
具有以下形式的級數

其中所有的非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

**冪級數**
形同的函數項無窮級數稱為的冪級數。它的收斂與否和係數有關。

**傅里葉級數**
任何週期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅里葉級數。傅里葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
例如，週期為的週期函數可以表示為：

其中，，，特別的，

**常數項無窮級數審斂法**

**正項級數**
若通項為實數的無窮級數每一項都大於等於零，則稱是一正項級數。
如果無窮級數  是正項級數，則部分和是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列Sn有界，收斂，且 ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

**比較判別法**
設 和 是正項級數。
如果存在正實數，使得從若干項開始，（也就是說），則- 當 收斂時，可推出  也收斂。- 當 發散時，可推出  也發散。
如果，則- 當 收斂時，可推出  也收斂。- 當 發散時，可推出  也發散。
如果或其它有限數，則 和 同時收斂或發散。
比如，我們已知級數：收斂，則級數：也收斂，因為對任意的，。
比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：作為“標準級數”，依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當時，發散，當時，收斂。

**達朗貝爾判別法**
在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：
設是通項大於零的正項級數。並且，則- 當 時，級數收斂。- 當 時，級數發散。- 當 時，級數可能收斂也可能發散。
這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

**柯西收斂準則**
設  是正項級數。並且，則- 當時，級數  收斂。- 當時，級數  發散。- 當時，級數  可能收斂也可能發散。
這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法。

**交錯級數**
具有以下形式的級數

其中所有的非負，被稱作交錯級數。

**萊布尼茨判別法**
在上述的級數中，如果當趨於無窮時, 數列的極限存在且等於 0，並且每個小於（即, 數列是單調遞減的），那麼級數收斂。

**任意項級數**
對於通項為任意實數的無窮級數，將級數稱為它的絕對值級數。可以證明，如果收斂，那麼 也收斂，這時稱 絕對收斂。如果收斂，但是發散，則稱條件收斂。比如說，級數絕對收斂，因為前面已經證明 收斂。而級數是條件收斂的。它自身收斂到，但是它的絕對值級數是發散的。
黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數條件收斂，那麼對於任意的實數，存在一個正整數到正整數的雙射，使得級數收斂到 。對於正負無窮大，上述雙射也存在。

**函數項級數**
設為定義在區間上的函數列，則表達式：稱為函數項級數，簡記為。對函數項級數的主要研究是：
# 確定對哪些，收斂。
# 收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？

**收斂域**
對區間上的每個 ，級數 是常數項級數。若
收斂，則稱是的一個收斂點，全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若
發散，則稱是的一個發散點，全體發散點的集合稱為它的發散域。在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為的和函數，記為。按照定義，，其中為函數項級數在點上的部分和。

**一致收斂**
函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函數項級數中的每一項在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。以下是一個例子：
設，也就是說，等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。這時函數項級數在 點上的部分和。在區間的每一點上，部分和都有極限：
:當時，
:當時，
於是在區間上，級數 收斂，其和函數為：
:當時，；。
這不是一個連續函數。
然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣，函數項級數在某個區間內（關於某個範數）一致收斂的定義是它的部分和函數 在區間上一致收斂到和函數，
 
或者寫成
可以證明：
進一步的，如果導函數級數的每一項都是函數（階連續可微函數），並且各階導函數級數在區間內都一致收斂，那麼級數和函數 也是函數，並且：
  ，。

**絕對收斂**
函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間和範數，函數項級數在區間內絕對收斂，當且僅當常數級數收斂。
絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間內一致收斂。time=2010-9-24

**冪級數**
形同的函數項無窮級數稱為的冪級數。一般只需討論形同的冪級數。

**冪函數的收斂域**
根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為（可開可閉）的形式。這個正數（可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：
設冪級數滿足，則：- 是正實數時，。- 時，。- 時，。

**冪級數的和函數**
求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。

**漸進級數**
漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

**發散級數的和**
發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及歐拉求和。

**推廣**
級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。

**參見**
 收斂- 發散級數- function series- 級數展開- 求和變換- 阿貝爾定理- 黎曼級數定理- 柯西-阿達馬公式

**註釋**

**參考文獻**

**參考書目**
 language=zh-cn- year=