Abc猜想

abc猜想（abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。
abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。1996

**內容**
對正整數，表示的質因數的積，稱為的根基（radical）。例如
rad(16) = rad(24) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
rad(1000000) = rad(26  ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.
若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c  c，因此q(a, b, c) d)沒有西格爾零點（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）2000- 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。- Tijdeman定理的推廣形式，關於ym = xn + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Aym = Bxn + k的解的個數。- 等價於Granville–Langevin 猜想- 等價於修改後的Szpiro猜想- Brocard問題n! + A= k2，對任何給定的整數A，都只有有限個解。1996

**理論結果**
abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：
 1986,
 1991,
 2001.
上述的上界中，K1是不依賴a, b, c的常數，而K2和K3是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

**計算結果**
2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) 63的所有三元組(a,b,c)。

**歷史**
1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將用取代，在此是的不同質因數的數目。
2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。
2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果。2012年12月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了18處錯誤，當中很多也是打字錯誤。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。

**參見**
根基
*Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

**參考文獻**

**引用**

**來源**
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**外部連結**
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