莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解，流形上的可微函數在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構和柄分解，並得到關於它們的同調的信息。
在莫爾斯之前，阿瑟·凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特週期性定理的證明中。
莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

**基本概念**
鞍點
考慮山地地表表面M（或流形）。若函數f給出當點海拔，則中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。
鞍點附近的等高線
想象用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時，水下的表面是，海拔不高於a的點。想象一下隨著水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時，f的梯度都為0（更一般地，作為切空間之間線性映射的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非(1)水流注入盆地，(2)覆蓋鞍點（山口），或(3)淹沒山頂，否則的拓撲不變。
環面
盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即f從該點遞減的獨立方向數。或者說，f的非退化臨界點p的指標是M在p處切空間的最大子空間的維度，其中f的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是。
考慮更一般的面，令M是方向如圖所示的環面，f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。
時，由形成的圓柱體（右上）與附著於圓盤的1-胞腔（左下）同倫等價。
時，由形成的去圓盤環面（右上）與附著於圓柱的1-胞腔（左下）同倫等價。
從環面底部開始，令分別是指標為的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。時，是空集；a經過p的海拔之後有，則是圓盤，它同倫等價於“附著”到空集的一個點（0-胞腔）。接著，a越過q的海拔時有，則是圓柱，同倫等價於附著了1-胞腔的圓盤（左圖）。a越過r的海拔時有，則是去圓盤的環面，同倫等價於附著了1-胞腔的圓柱（右圖）。最後，a高於s的海拔後，便是環面了，即去掉一個圓盤（2-胞腔）並重新附著的環面。
這說明了以下規則：除非a越過臨界點，否則的拓撲不變；遇到臨界點時，一個-胞腔會被附著到，其中是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉座標系。
必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令、。則0是f的一個臨界點，但a經過0時的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導，也就是f的黑塞矩陣為0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將f擾動為，則退化的臨界點或者被移除（）或者分解為兩個非退化臨界點（）。

**形式發展**
對於微分流形M上的實值光滑函數，f的微分為0的點稱作f的臨界點，在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則p稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則p稱作退化臨界點。
函數：
時，原點是f的一個臨界點。若，則此臨界點是非退化的（即f具有形式）；若，則此臨界點是退化的（即f具有形式）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。
f的非退化臨界點p的指標（index）是M在p處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部座標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

**莫爾斯引理**
令p為的非退化臨界點。則，在p的鄰域U中存在卡，使得且在整個U中
其中等於f在p處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見覆莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

**基本定理**
流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上，莫爾斯函數形成了拓撲中所有光滑函數的一個開稠密子集，這有時表述為“典型的函數是莫爾斯的”或“通有的函數是莫爾斯的”。
如上述，我們感興趣的是的拓撲何時會隨著a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。
定理. 設f是M上的光滑實值函數，，且是緊的，且a、b間無臨界值。則微分同胚於，形變收縮到上。
我們還有興趣知道，a經過臨界點時的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。
定理.  設f是M上的光滑實值函數，p是指標為的f的非退化臨界點，。設是緊的，且除了q以外不包含臨界點。則同倫等價於，並附加了一個-胞腔。
這些結果是對上一節所述“規則”的推廣與形式化。
用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實，可以證明微分流形是CW復形，指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

**莫爾斯不等式**
莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數的指標為的臨界點數量等於“爬升”f得到的M上CW結構中-胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯歐拉示性數等於
其中是指標為的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW復形M的第n同調群的秩不大於M中n-胞腔的數量。於是，第同調群的秩、即貝蒂數不大於M上莫爾斯函數的指標為的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式：
特別地
都有
這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數，恰有k個臨界點，則f的存在以何種方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了情形，里布球面定理指出，M同胚於球面。情形只可能出現於少數低維情形，M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。
愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子的德拉姆復形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。

**用於閉2-流形的分類**
莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向，則M依其虧格g分類，且與具有g柄的球面微分同胚：若，則M微分同胚於2-球面；若，則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向，則M依正數g分類，微分同胚於g個實射影空間的連通和。特別地，當且僅當兩閉2-流形微分同胚時，它們同胚。

**莫爾斯同調**
莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變量（即與函數和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味著莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

**莫爾斯–博特理論**
莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。
指標可被自然地認為是一對
其中是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度，臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡（locus）上被小函數擾動，則在未擾動函數的臨界流形上，擾動函數所有臨界點的指標將介於、之間。
莫爾斯–博特函數非常有用，因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特週期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。
圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子，其中臨界集是圓（的不交併）。
莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

**另見**
 阿爾姆格倫–匹茨最小-最大理論- 數字莫爾斯理論- 離散莫爾斯理論- 雅可比集- 拉格朗日格拉斯曼流形- LS範疇- 莫爾斯–斯麥爾系統- 山路定理- 薩德引理- 分層莫爾斯理論

**參考文獻**

**閱讀更多**
 cite journal|last=Bott|first=Raoul|author-link=Raoul Bott|year=1988|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0|title=Morse Theory Indomitable|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|volume=68|pages=99–114|doi=10.1007/bf02698544|s2cid=54005577|access-date=2006-06-05|archive-date=2020-11-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20201109040547/http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0|dead-url=no- cite journal|last=Bott|first=Raoul|author-link=Raoul Bott|year=1982|title=Lectures on Morse theory, old and new|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|series=(N.S.)|volume=7|issue=2|pages=331–358|doi=10.1090/s0273-0979-1982-15038-8|doi-access=free- cite journal|last=Cayley|first=Arthur|year=1859|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf|title=On Contour and Slope Lines|journal=The Philosophical Magazine|volume=18|issue=120|pages=264–268|access-date=2024-05-25|archive-date=2017-12-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20171215042918/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf|dead-url=no- title=Morse Theory in the 1990s - publisher=Springer- title=An Introduction to Morse Theory- dead-url=no- isbn=0-691-08008-9 A classic advanced reference in mathematics and mathematical physics.- dead-url=no- location=New York- isbn=9780817629045