選擇公理

(Si) 是一個以實數集R為指標集的集族；也就是說，對每一個實數i，均存在一個集合 Si，如圖所示。每一個集合包含至少一個（可能是無限個）元素。選擇公理可以斷言，我們可以從每一個集合中選擇一個元素，組成一個在R上的索引族(xi)，這裡xi∈Si，i∈R。一般情況下，指標集可以是任意集合I，而不僅僅是R。
選擇公理（Axiom of Choice，縮寫AC）是數學中的一條集合論公理，用來證明一些難以明確構造的物件的存在性。選擇公理最早於1904年，由恩斯特·策梅洛為了證明良序定理而作為一條公理加入。
非正式地說，給定一些盒子（可以是無限個），每個盒子中都含有至少一個小球，這時選擇公理相當於是在說——可以從每個盒子裡拿出一顆球。在很多情況下這樣的選擇並不需要藉助選擇公理；尤其是在「盒子個數有限」或「盒子內的球具有額外的特徵」這兩種情況下，經常可以直接指明選擇的方式。關於“存在具體的選擇方式”可以透過以下例子理解：假設有許多（甚至是無限）雙鞋子，則可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇，由於在鞋子之中“存在具體的選擇規則”(左邊的鞋子不同於右邊的鞋子)，所以即使沒有選擇公理也依然可以做出具體的選擇。但是，如果把鞋子改成襪子，且每雙襪子都沒有可區分的特徵，在這種情況下，「選擇的存在性」只能通過選擇公理得到。
儘管曾經具有爭議，選擇公理現在已經被大部份數學家毫無保留地使用著，例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。數學家們使用選擇公理的原因是，有許多被普遍接受的數學定理，比如是吉洪諾夫定理，都需要選擇公理來證明。現代研究集合論的數學家也研究與選擇公理相矛盾的公理，例如決定公理。
在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用，不過也有的將選擇公理包括在內。

**陳述**
首先定義幾個概念：
集族：指由非空集合組成的集合。
選擇函數：它是一個集族上的函數。它規定：對於所有在集族中的集合，是的一個元素。
那麼，選擇公理表示：
對於所有的集族，均存在選擇函數。
上述可表示為：

或者：
設是一個集族，則存在著在上定義的一個選擇函數。
該定理也可表達為：
集族上的任意笛卡爾積總是非空的。

**變體**
第二個版本的選擇公理聲稱：
給定由相互不交的非空集合組成的任何集合，存在著至少一個集合，它與每個非空集合恰好有一個公共元素。
第三個版本聲稱：
對於任何集合，的冪集（減去空集）有一個選擇函數。
使用這個版本的作者通常談及“在上的選擇函數”，但要注意這裡選擇函數的概念是稍微不同的。它的定義域是的冪集（減去空集），因此對任何集合有意義；至於本文中其他地方用的定義，在“集合的蒐集”上的選擇函數的定義域是這個蒐集，所以只對集合的集合有意義。透過這個變體的定義，選擇公理也可以簡潔的陳述為
所有集合有一個選擇函數。
它等價於
對於任何集合有一個函數使得對於的任何非空子集，。
而選擇公理的否定表達為：
有一個集合使得對於所有函數（在的非空子集的集合上），有一個使得。

**術語（AC，ZF，ZFC）**
以下列出了這篇條目中各種與“選擇公理”相關的縮寫：- AC：選擇公理。- ZF：策梅洛-弗蘭克爾集合論，不包括選擇公理。- ZFC：策梅洛-弗蘭克爾集合論，包括選擇公理。

**使用**
直到19世紀晚期，選擇公理的使用一直都沒有得到明確聲明。例如，建立了只包含非空集合的集合之後，當時的數學家可能會直接說「設對於中所有有是的成員之一」。一般來說，要是不用選擇公理，是不可能證明的存在性的。這一點直到策梅洛之前似乎沒有引起人們的注意。
不是所有的情況都需要選擇公理。選擇公理對於那些沒有可定義的選擇才有必要。值得指出的是，對於有限集合，選擇公理的有限版本可以通過其他集合論公理推導得出。在這種情況下，它等價於說我們有多個（有限數目的）盒子，每個包含至少一個物體，則我們可以從每個盒子恰好選擇一個物體。顯然我們可以這麼做：從第一個盒子開始，選擇其中的一個物體；到下一個盒子，選擇一個物體；如此類推。因為盒子數量有限，所以我們的選擇過程最後一定會結束。這裡給出的選擇函數是明確的：第一個盒子對應於第一個選擇的物體，第二個盒子對應於第二個選擇物體；如此類推——此法之所以可行，是因為序對公理的原因。可以通過數學歸納法做出對所有有限集合的形式證明。

**例子**
對於特定的無限集合，也可以避免使用選擇公理。例如，假設的元素是自然數的集合。每個自然數的非空集合都有一個最小的自然數，所以只要簡單的把每個集合映射到這個集合內最小的數字，就得到了選擇函數。這使得我們可以從每個集合明確地選擇元素，以及寫出一個明確的表達式，說明我們的選擇函數如何取值。在能夠指定一個明確選擇方式的時候，選擇公理都是沒有必要的。
當缺乏從每個集合得到元素的直觀選擇方式時，困難就出現了。如果不知道選擇的方式，那要怎麼確認選擇函數的存在？例如，假設X是實數的所有非空子集的集合。第一個可能產生的思路是套用有限的情況去處理。如果嘗試從每個集合選擇一個元素，那麼，因為實數集合是無限不可數，所以選擇的過程永遠不會結束。也因為如此，永遠不能構造出對的成員的選擇函數。所以這種方法不能奏效。第二個可能產生的思路是嘗試給每個集合指定最小元素，但是很多實數的子集沒有最小元素。例如，開區間沒有最小元素：如果在中，則也在其中，而總是嚴格的小於。所以這種方法也不行。
我們之所以能夠從自然數的非空子集選擇最小元素，是因為自然數上有一個良序：所有自然數的非空子集都有一個唯一的最小元素。
因此，第三個思路，「即使實數的正常排序方式不是良序，是不是也能找到一個排序使得實數是良序的？」。如果真的有這種排序方式，那就能夠選擇實數非空子集的最小元素，從而得到了選擇函數——然而問題就變成如何構造這樣的排序。而事實上，“存在一個排序使得所有集合是良序的”等價於選擇公理。
有必要用到選擇公理的證明總是非構造性的，即使證明給出了一個對象，精確地說出那個對象卻是不可能的。如果不能寫出選擇函數的定義，那這個選擇到底是什麼？這是一些數學家不喜歡選擇公理的理由之一。例如，構造主義者論斷說所有涉及存在性的證明都應當是完全明確的；構造任何存在的對象應當是可能的。他們拒絕選擇公理time=2007-10-16T10:04:29Z，因為它斷言了「不能具體描述的對象」存在。

**構造性數學**
像上面討論的那樣，在ZFC中，選擇公理能為一個不能明確構造出的對象給出“非構造性證明”來證明其存在性。然而，ZFC依然是在經典邏輯下被形式化的。在構造性數學領域，選擇公理仍被深入研究，而當中應用的是非古典邏輯。在構造性數學的不同版本中，選擇公理的狀況也有所差別。
在直覺類型論和高階的Q5548813中，選擇公理的適當陳述（按照推導方式）可以是作為一個公理，又或者作為一個可證明的定理。Errett Bishop認為選擇公理可被視作是構造性的：
但在構造性集合論中，迪亞科內斯庫定理表明選擇公理蘊涵了排中律（在直覺類型論中，選擇公理不蘊涵排中律）。因此選擇公理在構造性集合論中並非普遍被接受。在類型論中的選擇公理與在構造性集合論中的選擇公理的區別是，前者不具有外延性而後者具有。
一些構造性集合論的結果用到了可數選擇公理或依賴選擇公理，這兩個公理在構造性集合論內並不蘊涵排中律。儘管可數選擇公理在構造性數學中的應用特別廣泛，它的使用也受到質疑。

**強形式公理**
可構造性公理與連續統假設都蘊涵了選擇公理，更準確地說，兩者都嚴格強於選擇公理。在類理論中，如馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論和Morse–Kelley集合論，存在一個叫全局選擇公理的公理，它比選擇公理要強，因其同時也適用於真類。全局選擇公理可由大小限制公理推出。

**結論**
哥德爾證明了選擇公理與ZF的相對協調性。保羅·寇恩用力迫法證明了選擇公理獨立於ZF。

**參考文獻**

**引用**

**來源**
 Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261-81.  PDF download via digizeitschriften.de
 Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 978-0-674-32449-7.- 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.- 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.- Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 978-0-387-90670-6.- Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

**外部鏈接**
  Paul Howard at EMU date=20210226235056 有很多人仍然在為選擇公理和它的推論而樂此不疲地工作。如果你有興趣瞭解更多內容，請參考這個網站。

**參見**
 集合論- 佐恩引理- 良序定理- 吉洪諾夫定理- 策梅洛-弗蘭克爾集合論- 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論- 全局選擇公理- 可數選擇公理- 連續統假設- 排中律- 直覺類型論