群論

在數學和抽象代數中，群論（Group theory）研究名為群的代數結構。
群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和向量空間等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。Linear algebraic group和李群作為群論的分支，在經歷了重大的發展之後，已經形成相對獨立的研究領域。
群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。
群論中的重要結果，有限單群分類是20世紀數學最重要的結果之一。該定理的證明是集體努力的結果，它的證明出現在1960年和1980年之間出版的超過10,000頁的期刊上。

**歷史**
群論在歷史上主要有三個來源：數論，代數方程理論和幾何學。數論中出現的對群的研究始於萊昂哈德·歐拉，之後由卡爾·弗里德里希·高斯在對模算術和與二次域相關的乘法和加法的研究中進行了發展。群論的概念在代數數論中首先被隱含地使用，後來才顯式地運用它們。
關於置換群的早期結果出現在約瑟夫·拉格朗日、保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾等人關於高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽羅瓦第一個用群的觀點來確定多項式方程的可解性。伽羅瓦首次使用了術語“群”，並在新生的群的理論與域論之間建立起了聯繫。這套理論現在被稱為伽羅瓦理論。阿瑟·凱萊和奧古斯丁·路易·柯西進一步發展了這些研究，創立了置換群理論。
群論的第三個主要歷史淵源來自幾何。群論在射影幾何中首次顯示出它的重要性，並在之後的非歐幾何中起到了作用。菲利克斯·克萊因用群論的觀點，在不同的幾何學（如歐幾里德幾何、雙曲幾何、射影幾何）之間建立了聯繫，即愛爾蘭根綱領。1884年，索菲斯·李開始研究分析學問題中出現的群（現在稱為李群）。
屬於不同領域的來源導致了群的不同記法。群的理論從約1880年起開始統一。在那之後，群論的影響一直在擴大，在20世紀早期促進了抽象代數、表示論和其他許多有影響力的子領域的建立。有限單群分類是20世紀中葉一項規模龐大的工作，對一切的有限單群進行了分類。

**分類**
群論考慮的群的類型從有限置換群和一些特殊的矩陣群逐漸進展到抽象群。這些抽象群可以由生成元和關係給定。

**置換群**
置換群是第一類被系統研究的群。對給定的集合，到自身的一些雙射（通常叫做置換）的集合如果在複合運算和求逆運算下封閉，那麼稱是一個作用於上的群。如果包含個元素而包含所有可能的置換，那麼被稱為對稱群。一般地，任何置換群都是的對稱群的子群。凱萊定理表明，通過構造左正規表示，任何一個群都可以視作自身上的一個變換群。

**矩陣群**
例子：李群

**變換群**
如果集合的所有一一變換作成群，則稱為的一一變換群或對稱群。
設是一個非空集合，的元素間定義一種運算“”。如果滿足以下的條件：
1.（運算封閉性）對於中的任意兩個元素、，恆有；
2.（結合律）對於中的任意三個元素、、，恆有；
3.（單位元）存在單位元，使得對於中的任意元素，都有；
4.（逆元）對於中的任意元素，存在的逆元，使得。
則稱關於運算“”作為一個群。簡稱是一個群。
設是一個非空集合，的若干個一一變換對於變換的乘法所作成的群稱為的一個變換群。

**抽象群**
一個集，如果它不是空集，而且滿足以下四個條件，就叫做群：
①中有一個閉合的結合法。這就是說，中任意兩元的結合仍然是中元。結合法通常寫成乘法，這時又叫做的積。一般用記號或表示。要注意，積雖然是由唯一決定的，但一般它還與的順序有關。即不一定等於。
②的結合法滿足結合律。也就是說，對於中任意三元、、，有。
③中有一個（左）單位元，對中任意元，有。事實上由於可以證明群的左單位元也是右單位元，因而一般把就叫做單位元。
④對於中任意元，在中有一個滿足的（左逆元），此處就是上面的（左）單位元。實際上，可以證明，在群中，的左逆元也是右逆元。因此，一般把就叫的逆元。

**拓撲群／代數群**
設是拓撲空間，又是一個群，而且群的乘積運算與求逆按此拓撲是連續的，即從拓撲空間到拓撲空間上的映射及從到上的映射都是連續映射，則稱為拓撲群。如果作為拓撲空間是局部緊(或緊、連通、單連通)的,則稱G為局部緊(或緊、連通、單連通)拓撲群。例如，維歐氏空間中所有向量所成的加群，再加上通常的拓撲，就是一個交換拓撲群；實數域R上所有n階非奇異方陣所成的乘法群，再加上通常的拓撲，是一個局部緊拓撲群；而所有行列式為1的正交矩陣所成的群是一個緊連通拓撲群。
從拓撲群到拓撲群H內的映射，如果作為群結構它是群同態，作為拓撲空間的映射它是連續的，那麼稱為從拓撲群到拓撲群H的同態，簡稱同態。如果同態f是雙射, 而且逆映射也是連續的，那麼f稱為拓撲群到拓撲群H上的同構映射，簡稱“同構”。拓撲群全體帶上拓撲群間的同態，構成一個範疇。這個範疇就是拓撲群論研究的對象。
在數學中，拓撲群概念最初是由連續變換群的研究所引起，人們發現在處理許多連續變換群的問題中所出現的群，往往不必考慮作變換群，而只需研究這些群本身，於是產生了連續群的概念。M.S.李是最初對連續群進行系統研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

**應用**
群論在數學上被廣泛地運用，通常以自同構群的形式體現某些結構的內部對稱性。結構的內部對稱性常常和一種不變式性質同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱為一個對稱群。
阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環、域、模。
在代數拓撲中，群用於描述拓撲空間轉換中不變的性質，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其結合了群論和分析學，李群能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類群的分析又叫調和分析。
在組合數學中，交換群和群作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。
後來群論廣泛應用於各個科學領域。凡是有對稱性出現的地方，就會有它的影子，例如物理學的超弦理論。

**參考資料**
 Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link= | title=Linear algebraic groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012  
doi=10.1007/978-1-4612-0941-6- Citation | last1=Carter | first1=Nathan C. | title=Visual group theory | url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ | publisher=Mathematical Association of America | series=Classroom Resource Materials Series | isbn=978-0-88385-757-1 | mr=2504193 | year=2009 | accessdate=2022-03-12 | archive-date=2021-12-19 | archive-url=https://web.archive.org/web/20211219212802/http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ -  s2cid=18226463 

**外部鏈接**
  稱對的對稱——遊走於科學與藝術間 date=20190502072744 
分類:數學分支