CW復形

CW復形，又稱胞腔復形，在拓撲學上屬於拓撲空間之一類，由J.H.C.懷特海德引入，用於同倫理論。其思想是構造一類空間，比單純復形更為廣泛（我們現在可以說，有更好的範疇論屬性）；但還要保留組合的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。

**形式表述**
粗略地說，CW復形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上“粘合”。CW復形名稱中的“C”代表“閉有限”（closure-finite），而“W”則代表“弱拓撲”（weak topology）。
單個  維閉胞腔是指  維閉球在貼映射下的像。例如，每個單純形都是一個閉胞腔，或更一般地，每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個  維開胞腔則是一個同胚於  維開球的拓撲空間。零維的開（或閉）胞腔是指一個單元素空間。而“閉有限”條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋。
CW復形是一個豪斯多夫空間 ，連同一個將  劃為開胞腔（維度不必統一）的劃分，並滿足以下性質：- 對  的劃分中的任意一個  維開胞腔 ，存在一個從  維閉球到  的連續映射 ，使得：
**  限制在閉球的內部上是到胞腔  的同胚，且
** 閉球的邊界在  下的像包含於  的劃分中的有限個維度小於  的元素的並集內。-  的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集（相對於開胞腔本身的拓撲）的集合（ 的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲）。

**相對CW復形**
籠統地說，相對CW復形與CW復形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的組件。遵照上文的定義，這個組件被視作負一維胞腔。

**CW復形的歸納法定義**
如果一個CW復形中胞腔的維度最大為 ，那麼我們稱這個CW復形是  維的。若胞腔的維度沒有上限，那麼我們說這個CW復形是無窮維的。CW復形的  維骨架是指所有維度不超過  的胞腔的並。如果這個並集是閉集，那麼它本身就是一個CW復形，稱為原復形的子復形。因此，CW復形的  維骨架是維度不超過  的最大子復形。
CW復形常常由其各個維度上的骨架通過歸納來定義。首先定義0維骨架為離散空間。緊接著將1維胞腔黏著到0維骨架上。這一步先將每個1維胞腔先視作1維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即0維球面  ——到0維骨架的連續影射貼合。 上的每一點都與其在該映射下的像與0維骨架上的某一點等同；這構成一個等價關係。如此，1維骨架就定義成0維骨架和所有1維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。
概括而言，給定  維骨架， 維骨架是由在此基礎上黏著  維胞腔得到。每個  維胞腔同樣先視作  維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即  維球面  ——到  維骨架的連續影射貼合。 上的每一點都與其在該映射下的像與  維骨架上的某一點等同；這同樣構成一個等價關係。這樣， 維骨架就定義成  維骨架和所有  維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。
在同構意義上，每個  維CW復形都可依此由其  維骨架構造而成，因此每個有限維CW復形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維CW復形也成立，只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果，這個結論也是對的：在極限的集合  中，子集是閉集當且僅當它與每一個骨架都交於閉集（相對於骨架本身的拓撲）。

**例子**
 實數集  上的標準CW結構中的0維骨架為整數集 ，而1維胞腔則是區間  。相似地，在  上的標準CW結構中的胞腔是  的0維和1維胞腔的積。- 多面體帶有自然的CW復形結構。- 圖是一維CW復形。- 無窮維希爾伯特空間不是CW復形：它是一個貝爾空間（見貝爾綱定理），因此不能寫成其  維骨架的並，因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。-  維球面容許一個只有兩個胞腔的CW結構：一個0維胞腔和一個  維胞腔，依靠從  到0維胞腔的常映射黏著。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎，因赤道包含映射  的補集恰好是兩個球：上半球和下半球。由歸納法可得  的一個CW分解，每個維度  上恰好有兩個  維胞腔。-  維實射影空間容許一個CW結構，每個維度  上恰好有一個  維胞腔。- 格拉斯曼流形容許一個CW結構，其胞腔稱作舒伯特胞腔.- 微分流形、代數和射影簇都同倫於CW復形。- 空間  同倫於CW復形（甚至是可收縮的），但不容許任何CW結構，因其不是局部可收縮的。- Hawaiian earring是不同倫於CW的拓撲空間的一例。

**CW復形的同調與上同調**
CW復形的奇異同調（或上同調）可以通過胞腔同調計算。此外，在CW復形和胞腔映射的範疇內，胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算CW復形的廣義（上）同調，Atiyah–Hirzebruch spectral sequence譜序列是胞腔同調的一個類比。
以下是一些計算的實例：- 對於球面 ，取只帶有一個0維胞腔和一個  維胞腔的分解。胞腔鏈復形  與同調皆為
:
因為所有微分算子皆為零（實際上，上鍊復形與上同調亦然）。或者，如果我們取赤道分解，使得每個維度上各有兩個胞腔，那麼
:
而微分算子是形為  的矩陣。這個復形給出的同調與以上計算一致，因為復形在除  與  項外都是正合的。- 對於復射影空間  ，可以相似地算得
:
之所以這兩例中計算都尤其簡單，是因為同調完全由胞腔數目確定——換言之，胞腔的黏著映射在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例，在一般情況下並不成立。

**同倫範疇**
在某些專家眼中，CW復形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇（基於技術原因，實際使用的版本是帶基點的空間），也是同倫範疇的最佳候選。因此，可能會得出非CW復形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理：同倫範疇上的可表函子可以藉助CW復形來相當精簡地刻畫。

**性質**
CW復形是局部可收縮的。- CW復形滿足懷特黑德定理：CW復形之間的映射是同倫等價當且僅當在所有同倫群上都誘導出同構。- 兩個CW復形的積可以轉化成一個CW復形。具體而言，設  和  為CW復形，那麼  上容許一個CW復形的結構，其胞腔即  中的胞腔與  中胞腔的積，並配備弱拓撲。不出所料，這個新的CW復形的底集合就是  本身。此外，多數情況下弱拓撲與  上的積拓撲一致，例如當  或  之一是有限CW復形（或更一般地，當它們之一是局部有限的，也即在每個維度它有有限個胞腔）。然而，如果  和  皆非局部緊，弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下，兩個復形的積（作為拓撲空間）  不是一個CW復形。另一方面， 和  在緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致，因此確實定義出一個CW復形。- 設  和  為CW復形。函數空間  （帶緊緻開拓撲）一般不是CW復形。若  是有限CW復形，那麼  同倫等價於一個CW復形；這是由於約翰·米爾諾的一個定理 (1959)。 注意到  和  都是緊生成豪斯多夫空間，因此  常常取其緊生成的變種；以上結論對於這個變種仍然成立。- CW復形的覆疊空間也是CW復形。- CW復形是仿緊空間，而有限CW復形是緊空間。CW復形的緊子空間必定包含於一有限子復形內。

**參考文獻**

**註釋**

**綜合參考**
dead-url=no (open access)
*dead-url=no (open access)
*cite book|ref=harv|last=Hatcher|first=Allen|authorlink=Allen Hatcher|title=Algebraic topology|url=https://archive.org/details/algebraictopolog0000hatc|publisher=Cambridge University Press|year=2002|isbn=0-521-79540-0 該教材在第一章定義了CW復形，且對它們的使用貫穿全書；書末有一節關於CW復形的拓撲的附錄。免費電子版本可見 作者的網站date=20060421094847 。
*cite book|ref=harv|first1=A. T.|last1=Lundell|first2=S.|last2=Weingram|title=The topology of CW complexes|publisher=Van Nostrand University Series in Higher Mathematics|year=1970|isbn=0-442-04910-2- cite book| ref=harv|first1= R.|last1= Brown|first2=P.J. | last2= Higgins| first3= R. | last3= Sivera|title= Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids| url=https://archive.org/details/nonabelianalgebr0000brow| publisher= European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15| year=2011| isbn=978-3-03719-083-8  更多細節請見 第一作者的網站date=20160612211011