波動方程

波動方程或稱波方程（wave equation）是一種二階線性偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現象—正如它們出現在經典物理學中—例如機械波，包括聲波、光波、引力波、無線電波、水波、和地震波。波動方程抽象自聲學、波動光學、電磁學、電動力學、流體力學、廣義相對論等領域。
歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。  1746年，達朗貝爾發現了一維波動方程，歐拉在其後10年之內發現了三維波動方程。

**簡介**
波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡形式可表示為：關於位置x和時間t的標量函數u（代表各點偏離平衡位置的距離）滿足：

其中-  是一個固定常數，代表波的傳播速率-  是一個純量場，表示位移，或更一般地說，表示守恆量（例如壓力或密度）-  是拉普拉斯算子
此方程式表明，在任意給定點  對時間的二階導數與  對空間的二階導數的總和成正比，比例常數是波速的平方。
其他形式的波動方程還能在量子力學和廣義相對論理論中用到。

**標量形式的一維波動方程**

**波動方程的推導**
一維波動方程可用如下的方式推導：一列質量為m的小質點，相鄰質點間用長度h的彈簧連接。彈簧的彈性係數（又稱“倔強係數”）為k：
300px
其中u(x)表示位於x的質點偏離平衡位置的距離。施加在位於x+h處的質點m上的力為：


其中代表根據牛頓第二定律計算的質點慣性力，代表根據胡克定律計算的彈簧作用力。所以根據分析力學中的達朗貝爾原理，位於x+h處質點的運動方程為：
 
式中已註明u(x)是時間t的顯函數。
若N個質點間隔均勻地固定在長度L = N h的彈簧鏈上，總質量M = N m，鏈的總體勁度係數為K = k/N，我們可以將上面的方程寫為：


取極限   N , h就得到這個系統的波動方程：

在這個例子中，波速。

**一般解**

**代數方法**
一維標量形式波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的算子作用形式：
 
從上面的形式可以看出，若F和G為任意函數，那麼它們以下形式的組合 
  
必然滿足原方程。上面兩項分別對應兩列行波——F表示經過該點（x點）的右行波，G表示經過該點的左行波。為完全確定F和G的最終形式還需考慮如下初始條件： 


經帶入運算，就得到了波動方程著名的達朗貝爾行波解，又稱達朗貝爾公式：

在經典的意義下，如果並且則。但是，行波函數F和G也可以是廣義函數，比如狄拉克δ函數。在這種情況下，行波解應被視作左行或右行的一個脈衝。
基本波動方程是一個線性微分方程，並且將會遵循疊加原理，也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。此外，可以通過將波分離出各個分量來分析，例如傅里葉變換可以把波分解成正弦分量。

**標量形式的三維波動方程**
瑞士數學家和物理學家萊昂哈德·歐拉（b. 1707）發現了三維空間中的波動方程。
三維波動方程初值問題的解可以通過求解球面波波動方程得到。求解結果可用於推導二維情況的解。 

**球面波**
球面波方程的形式不隨空間座標系統的轉動而變化，所以可以將它寫成僅與距源點距離r相關的函數。方程的三維形式為：
 
將方程變形為： 
 
此時，因變量ru滿足一維波動方程，於是可以利用達朗貝爾行波法將解寫成：
 
其中F和G為任意函數，可以理解為以速度c從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強度隨距點源距離r衰減，並且屬於無後效波，可以清晰地搭載信號。這種波僅在奇數維空間中存在（原因將在下一小節中詳細解釋）。幸運的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波（都屬於球面波）來互相交流。

**時間箭頭的討論**
上面方程的解裡面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向內。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。
然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向內的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。
關於這個現象，引起了不少討論。有人認為，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因為沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（見波動方程#參考文獻|參考文獻2 ）。

**廣義初值問題的解**
波動方程中u是線性函數，並且不隨時間和空間座標的平移而改變。所以我們可以通過平移與疊加球面波獲得方程各種類型的解。令φ(ξ,η,ζ)為任意具有三個自變量的函數，球面波形F為狄拉克δ函數（數學語言是：F是一個在全空間積分等於1且非零區間收縮至原點的連續函數的弱極限）。設(ξ,η,ζ)位一族球面波的源點，r為距源點的徑向距離，即：
 
可定義
 
稱為三維波動方程的影響函數，其意義為(ξ,η,ζ)點在t=0時刻受到短促脈衝δ函數作用後向空間中傳出的波的影響，係數分母4πc是為方便後續處理而加上的。
若u是這一族波函數的加權疊加，且權函數為φ，則
 
從δ函數的定義可知，u還能寫成
 
式中α、β和γ是單位球面S上點的座標，dω為S上的面積微元。該結果的意義為：u(t,x,y,z)是以(x,y,z)為圓心，ct為半徑的球面上φ的平均值的t倍：
 
從上式易得 
 
平均值是關於t的偶函數，所以若
 
那麼 
 
以上得出的便是波動方程初值問題的解。從中可以看出，任意點P在t時刻受到的波擾動只來自以P為圓心，ct為半徑的球面上，而這個球的內部點在這一時刻對P點的狀態完全沒有影響（因為它們的影響之前就已經傳過P點了）。因此球面內是解的彼得羅夫斯基空白部份。換一個角度分析，假設三維空間中任意點P' 在t=0時刻受到一個脈衝擾動δ，那麼由此發出的球面波在傳過空間中的任意其它點Q後，便再也不會對Q的運動狀態產生影響，這就是在物理學中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也稱為無後效現象，表示傳過的球面波不會留下任何後續效應。
下面我們便可以解釋上一小節中留下的問題了。事實上，前面所得到的球面波解僅在奇數維空間中存在。偶數維空間中波動方程的解是彌散的，也就是說波陣面掠過區域仍然會受其影響。以下面的二維波動方程（極座標形式，注意和上一小節三維形式的差別）為例：

可以從三維形式的解通過降維法得到二維波動方程的影響函數：

其中

設點M(x,y)到點(ξ,η)距離為d，那麼從影響函數中可以看出，當t >d /c即初始擾動已傳過M點後，M仍在受到它的影響。二維球面波（柱面波）的這一性質決定了它不能作為傳遞信號的工具，因為這種波（事實上包括所有偶數維空間中的球面波）經過的點受到的是交織在一起的各個不同時刻的擾動。

**標量形式的二維波動方程**
二維波動方程的直角座標形式為：
 
如前所述，我們可以從三維波動方程的解中將u視為與其中一個自變量無關（降維法）來得到二維形式的解。將初始條件改寫為

則三維形式的解就變成
 
其中α和β是單位球面上點的頭兩個座標分量，dω是球面上的面積微元。此積分可變換為在(x,y)為中心，ct為半徑的圓域D上的積分：
 
從這個結果也能得到上一小節最後的結論。
二維波動方程解的一個例子是緊繃的鼓面的運動。

**邊值問題**

**一維情形**
一根自身繃緊，兩端分別固定於x=0和x=L的彈性弦在t>0時刻，0 t滿足平方可積條件的解可以通過適當選取u和ut 三角級數展開來求得。

**多維情形**
一維初始值-邊值理論可以拓展至任意維空間中。考慮m維空間（座標簡寫為x）中的域D，B為D的邊界。當0縱波和橫波:

式中：- 和被稱為彈性體的拉梅常數（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants或Lamé moduli），是描述各向同性固體彈性性質的參數； - 表示密度； - 是源函數（即外界施加的激振力）； - 表示位移；  
注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以該方程也被稱為矢量形式的波動方程。

**參看**
Acoustic wave equation
*光波方程
*電磁波方程
*亥姆霍茲方程
*非齊次的電磁波方程
*拉普拉斯算子
*馬達變量
*多普勒效應
*電磁學
*光
*光學
*位相
*薛定諤方程
*聲
*彼得羅夫斯基空白

**註釋**

**參考文獻**
嚴鎮軍編，《數學物理方程》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，第210頁~第224頁，ISBN 7-312-00799-6
*英胡·普賴斯著，肖巍譯，《時間之矢與阿基米德之點—物理學時間的新方向》，上海科學技術出版社，上海，2001，ISBN 7-5323-5737-6
*M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I, Acta Math., 124 (1970), 109–189. 
*M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II, Acta Math., 131 (1973), 145–206.
*R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.

**外部鏈接**
 線性波動方程 date=20050524233205 ，在EqWorld上：數學方程的世界。- 非線性波動方程 date=20050525010958 ，在EqWorld上：數學方程的世界。- MISN-0-201波動方程及其解 date=20060221232740 （PDF）William C. Lane為 Project PHYSNET date=20170514213748 所著