自然對數

自然對數的函數圖像
自然對數的積分定義
自然對數（Natural logarithm）為以數學常數e為底數的對數函數，標記作或，其反函數為指數函數。notetag|根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因的值域為，且其為之反函數，故可知之定義域為，即在非正實數系無法定義。
自然對數積分定義為對任何正實數，由到所圍成，曲線下的面積。如果小於1，則計算面積為負數。

則定義為唯一的實數使得。
自然對數一般表示為，數學中亦有以表示自然對數。

**歷史**

**十七世紀**
雙曲線扇形是笛卡爾平面上的一個區域，由從原點到和的射線，以及雙曲線圍成。在標準位置的雙曲線扇形有且，它的面積為，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。
當直角雙曲線下的兩段面積相等時，的值呈等比數列，，的值也呈等比數列，。
約翰·納皮爾在1614年以及約斯特·比爾吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近，而約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs (mathematician)建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。
形如的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況對應於雙曲線的Quadrature (mathematics)，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的Cavalieri's quadrature formula給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent將對數聯繫於雙曲線的弓形面積，他發現x軸上兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同對應的扇形，在時面積相同，這指出了雙曲線從到的積分滿足：

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡託在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡託級數。

**十八世紀**
大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為year=1992, section 9-3Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991, p. 484, 489：


1742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。。

**形式定義**
歐拉定義自然對數為序列的極限：

正式定義為積分，

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

這可以通過將定義了的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元來證實:

:
冪公式可如下推出:

第二個等式使用了換元。
自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：


**性質**
:(參見複數對數)

**導數**
自然對數的圖像和它在處的切線。
的泰勒多項式只在範圍內有逐步精確的近似。
自然對數的導數為

證明一（微積分第一基本定理）:
證明二： 按此影片date=20210402030947 

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設


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設

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用自然對數定義的更一般的對數函數，，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：
 
根據鏈式法則，以為參數的自然對數的導數為

右手端的商叫做的logarithmic derivative，通過的導數的方法計算叫做對數微分。

**冪級數**
自然對數的導數性質導致了在0處的泰勒級數，也叫做麥卡託級數：

:對於所有但不包括
把代入中，可得到自身的級數。通過在麥卡託級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何有效的如下級數:

這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。
還要注意到是自身的逆函數，所以要生成特定數的自然對數，簡單把代入中。

:對於
自然數的倒數的總和

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當趨於無窮的時候，差

收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

**積分**
自然對數通過分部積分法積分:

假設:


所以:
 
自然對數可以簡化形如的函數的積分：的一個原函數給出為。這是基於鏈式法則和如下事實:

換句話說，

且


**例子**
下面是的例子：

設且：


**與雙曲函數的關係**
在直角雙曲線(方程)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中和的倍。
射線出原點交單位雙曲線於點，這裡的是射線、雙曲線和軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。
在18世紀，約翰·海因裡希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。
通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：
單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。

**連分數**
儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:


這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。
例如，因為，2的自然對數可以計算為:

進而，因為，10的自然對數可以計算為:


**複數對數**
指數函數可以擴展為對任何複數得出複數值為的函數，只需要簡單使用為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在使得；並且有著。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，，對於所有複數和整數。
所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，或或等等；儘管，不能定義為或或，以此類推。
Image:Natural Logarithm Re.svg| z=Re(ln(x+iy))
Image:Natural Logarithm Im Abs.svg| z = |Im(ln(x+iy))|
Image:Natural Logarithm Abs.svg| z = |ln(x+iy)|
Image:Natural Logarithm All.svg| 前三圖的疊加

**主值定義**
對於每個非0複數，主值是虛部位於區間內的對數。表達式不做定義，因為沒有複數滿足。  
要對給出一個公式，可以先將表達為極坐標形式，。給定，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向增加的整數倍，所以為了保證唯一性而要求位於區間內；這個叫做幅角的主值，有時寫為或。則對數的主值可以定義為 ：
:
例如，。

**科學應用**
自然指數有應用於表達放射衰變（放射性）之類關於衰減的過程，如放射性原子數目的微分方程隨時間變化率，常數為原子衰變概率，積分得。

**註釋**

**參考資料**

**延伸閱讀**
John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
*Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
*Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
*Donald Sarason,  Complex function theory date=20140111075715 , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
*E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.