集合 (數學)

about|數學家們所稱的“直觀”或“樸素”的集合理論|更詳細的說明|樸素集合論|有關集合的現代嚴格公理化理論|公理化集合論
一個包含一些多邊形的集合
集合（set）簡稱集，是一個基本的數學模型，指若干不同物件（object）形成的總體。集合裡的物件稱作元素或成員，它們可以是任何類型的數學對象：數字、符號、變量、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若是集合的元素，記作。不包含任何元素的集合稱為空集；只包含一個元素的集合稱為單元素集合。集合可以包含有限或無限個元素。如果兩個集合所包含的元素完全相同，我們稱這兩個集合相等。
集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自20世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。

**導言**

**定義**
簡單來說，所謂的一個集合，就是將數個對象歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認對象的彙集。構成集合的事物或對象稱作“元素”或“成員”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。
在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：- 族、系：通常指它的元素也是一些集合。

**符號**
元素通常用等小寫字母來表示；而集合通常用等大寫字母來表示。
當元素屬於集合時，記作。
當元素不屬於集合時，記作。
如果兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作。

**特性**
無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。- 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論）
互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。- 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。
確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

**表示**
 集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法，比如：
大於零的前三個自然數
光的三原色和白色- 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為列舉法，比如：

紅色藍色綠色白色
儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中，而，因為它們正好有相同的元素。
元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合，和是相同的，因為它們有相同的元素。- 集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示，更多信息，請見文氏圖。

**集合間的關係**

**子集與包含關係**
B的子集A

**定義**
集合、，若，有。則稱是的子集，亦稱包含於，或包含，記作或，否則稱不是的子集，記作或。
若，且，則稱是的真子集，亦稱真包含於，或真包含，記作或（有時也記作或）。

**基本性質**
包含關係“”是集合間的一個非嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
**自反性：集合，；（任何集合都是其本身的子集）
**反對稱性：且；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）
**傳遞性：且；
*真包含關係“”是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
**反自反性：集合，都不成立；
**非對稱性：不成立；反之亦然；
**傳遞性：且；
*顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而是這個偏序關係的最小元素，即：集合，；且若，則，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

**舉例**
 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。- 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
:

**運算**

**併**
兩個集合可以相"加"。和的聯集是將和的元素放到一起構成的新集合。

**定義**
給定集合，，定義運算如下：或。稱為和的聯集。
A 和 B 的聯集

**示例**
紅色白色紅色白色
*綠色紅色白色綠色紅色白色綠色


**基本性質**
作為集合間的二元運算，運算具有以下性質。
*交換律：；
*結合律：；
*冪等律：；
*么元：集合，；（是運算的么元）。

**交**
一個新的集合也可以通過兩個集合均有的元素來構造。和的交集，寫作，是既屬於的、又屬於的所有元素組成的集合。
若，則和稱作不相交。
A 和 B 的交集

**定義**
給定集合、，定義運算如下：且。稱為和的交集。

**基本性質**
作為集合間的二元運算，運算具有以下性質。
*交換律：；
*結合律：；
*冪等律：；
*空集合：集合，；（是運算的空集合）。
其它性質還有：

**示例**
紅色白色
*綠色紅色白色綠色綠色


**補集**
兩個集合也可以相"減"。在中的相對補集，國際上通常寫作 ，中文教材中有時也會寫作。表示屬於的、但不屬於的所有元素組成的集合。
在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集的子集。這樣， 稱作的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作或。
相對補集 A - B
補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。

**定義**
給定集合，，定義運算-如下：且。稱為對於的差集，相對補集或相對餘集。
在上下文確定了全集時，對於的某個子集，一般稱為（對於）的補集或餘集，通常記為或，也有記為, , ，以及的。

**基本性質**
作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：
*；
*右么元：集合，；（是運算的右么元）。
*左Zero element：集合，；（是運算的左零元）。

**示例**
紅色白色
*綠色紅色白色綠色
:* 若是整數集，則奇數的補集是偶數

**對稱差**

**定義**
給定集合，，定義對稱差運算如下：。

**基本性質**
作為集合間的二元運算，運算具有如下基本性質：
*交換律：；
*結合律：；
*么元：集合，；（是運算的么元）。
*逆元：；

**運算性質**
集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質：
*分配律:


*對偶律:



**集合的元素個數**
上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 A 有三個元素、而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法:  。
集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用  或符號表示。比如：集合是2004年所有住在月球上的人，它沒有元素，則。在數學上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。
如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集合。
集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為無限集合。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。

**公理化集合論**
若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。

**類**
在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是“良性類”，是能夠成為其它類的元素的類。
類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的“良性類”，這種“良性類”稱為集合；另一種是要限制運算的“本性類”，對於本性類，類運算並不是都能進行的。
定義 類A如果滿足條件“”，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為。否則稱為本性類。
這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為“本性類是最高層次的類”。

**參見**
 公理化數學- 類的理論- 集合代數

**參考文獻**
 Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.