代數數域

代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域的有限擴張形成的擴域th。任何代數數域都可以視作上的有限維向量空間。
對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

**定義**

**預備知識**
代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算（通常稱之為“加法”、“乘法”）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見域）。域的一個重要的例子是有理數域。
域的擴張
域的擴張研究各類域之間的關係，最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域F中加入不屬於此域的元素（一般以集合S記錄），規定相互間的運算法則後，“最小的”將它們都包含在內的域L稱為“F（添加S中元素得到）的擴域”。稱F是L的子域。一般將“F到L的域擴張”記作F⊂L或L/F。
向量空間
另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個域F為係數域的向量空間（通常稱作F上的向量空間或F-向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組：。其中的n是基中向量的個數，也稱為空間的維數。
有限擴張
設L是域F的一個擴域。將L中的元素看作向量，以F作為係數域，可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作 : F。

**定義**
若域L是有理數域的有限擴張，則稱之為代數數域page=3。

**例子**
最小最基本的代數數域是有理數域。因為自身是-向量空間，維數是1。因此是自身的域擴張，
高斯有理數（i為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同：
:
的數構成的集合。可以證明，是域，而且是-向量空間，以為基，空間維數是2。所以是的二次擴張，
給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d，二次域在中添加 d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明是-向量空間，以為基，空間維數是2，即
考慮多項式方程的n個復根，它們被稱做單位根|n次單位根，具體可以寫作：
:
在中添加得到的擴域稱為分圓域|n次分圓域，記作。可以證明是有限維-向量空間，維數為（是數論中的歐拉函數），即
實數域、複數域和p進數|p進數域都不是的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是的擴域，因此也不是代數數域。
全體規矩數構成的域和全體代數數構成的域（有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是的有限擴張，因此都不是代數數域。

**代數數域與代數數**
代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數。給定一個代數數域L，依定義，域擴張是有限擴張。設其次數為正整數m。將L看作是m維-向量空間，在L中任意選一個不屬於的數z，它可以被看作是m維-向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的m + 1個向量：
:
它們都屬於L。根據向量空間的性質，它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數：，使得：
:.
考慮非零多項式，，即z是多項式的根。所以z是代數數。由上可知，任一代數數域的元素都是代數數。

**代數整數**
代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數page=4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根，因此是代數整數。給定代數數域F，F中所有代數整數構成一個環，稱作F中的（代數）整數環，也稱為F-整數環，記作。例如上的代數整數環就是，因此在代數數域研究中也被稱作“有理整數”（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。
代數數域F中的整數環與有不同的代數性質。不一定是唯一分解整環。舉例來說，設，F中的整數環是。都是中的“素數”。正整數6，作為中的元素，它的素因數分解有兩種方式：

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是：的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種“理想的唯一素分解”可部分彌補“代數整數一般不能唯一素因子分解”的不足，在歷史上使代數數論發展起來th。

**代數數域的基**

**整數基**
設F為n次代數數域，F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合：
:
使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合，即：
:，使得
換句話說，整數基B是作為自由-模的基。給定F的一組整數基B，可以證明，所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即：
:，使得
這說明B是F作為n維-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數，故B名為整數基。此外可以證明，x是F-整數當且僅當所有都是有理整數。

**乘冪基**
設F為n次代數數域。作為n維-向量空間，F包含如下形式的基：
:
其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理，這樣的β一定存在，稱為域擴張的本原元。如果β不僅是本原元，還是F-整數，那麼這時B也是整數基，稱作乘冪整數基，稱F為單衍域（monogenic field）。

**參見**
狄利克雷單位定理, S-單位
*庫默爾擴張
*閔可夫斯基定理 幾何數論
*Chebotarev稠密定理- 射線類群- 分解群- 虧格域

**註釋**

**參考來源**
 Citation | last1=Janusz | first1=Gerald J. | title=Algebraic Number Fields | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | edition=2nd | isbn=978-0-8218-0429-2 |date=1997.1996- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005- Citation | last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | title=Algebraic number theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-65399-8 | mr=1697859 | volume=322|date=1999
*Citation | last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | last2=Schmidt | first2=Alexander | last3=Wingberg | first3=Kay | title=Cohomology of Number Fields | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-66671-4 | mr=1737196 | volume=323|date=2000- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995