環 (代數)

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。
環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。關於乘法無單位元的環，請見偽環一文。

**定義**
給定一個集合  以及兩個定義在  上的二元運算  和  分別稱為「 的加法」和「 的乘法」。如果  、  和  具有以下八個性質稱為環公理，則稱  意思是 連同  和  這兩個二元運算一同提及構成了一個環。
#  是一個交換群：
#* 加法有結合律——對所有的  ，都有：
#* 加法有交換律——對所有的  ，都有：
#* 有加法單位元——存在某個name=實際上唯一  ，使得所有的  ，都有： 
#* 有加法反元素——對所有的  ，存在某個name=實際上唯一  ，使得： 
#  是一個有單位元的半群：
#* 乘法有結合律——對所有的  ，都有： 
#* 有乘法單位元——存在某個name=實際上唯一  ，使得所有的  ，都有：
# 乘法對於加法滿足分配律：
#* （左）分配律——對所有的  ，都有：
#* （右）分配律——對所有的  ，都有：
環的乘法經常依照慣例在不致混淆的情況下。，不會寫出「  」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

**定義的分歧**
環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、David_Eisenbud、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng 暫無廣為接受的中文翻譯或偽環（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。
另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

**例子**
 整數  、有理數  、實數  和複數  ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是  ，乘法單位元是  ，是最典型的實際例子。- 整係數多項式環  、有理係數多項式環  ，實係數多項式環  、複係數多項式環  ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是  ，乘法單位元也是  。更一般地，可以考慮任何環  的多項式環  。- 整係數有理函數  、有理係數有理函數  ，實係數有理函數  、複係數有理函數  ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是  ，乘法單位元依然是  。更一般地，可以考慮任何環  的有理函數環  ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。- 大小為  的整係數矩陣  、有理係數矩陣  、實係數矩陣  、或複係數矩陣 ，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ：乘法單位元則是單位矩陣 ：同樣的，可以考慮任何環  的矩陣環  。矩陣環也是典型的非交換環。- 如果集合  只有一個元素，那  只可能定義出唯一的一種環結構——Zero ring或稱平凡環（ Trivial ring ）（ Zero ring ）。

**基本性質**
 零元素是唯一的- 零乘以不論是乘在左邊還是乘在右邊任何東西都是零- 乘法單位元是唯一的- 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的- 多個環元素的分配律：- 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
****: 而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以這邊暫定  有乘法反元素。如果沒有乘法反元素，那麼有關負數次方的結果不一定成立。定義冪運算：- 二項式展開——如果  ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：這可以推廣到多個元素  總和的次方——如果任兩個元素的  和  的乘法都可以交換（即  ），那麼：

**基本的相關概念**

**特殊的環元素**
在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環甚至是沒有單位元的環中都有定義，它們是經常被討論的對象：- 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。- 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。- 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。- 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

**環同態、核、像**
在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環  送往環  的環同態（ Ring homomorphism ） 簡單來說是一種「維持環結構另一種說法是不摧毀環結構。因為環同態確實會改變環的結構。」的映射；而具體來說， 要具有以下三個性質：- 維持加法的結構——對所有的  ，都有：- 維持乘法的結構——對所有的  ，都有：- 維持單位元的結構——也就是：
對一個環同態  來說，有以下兩個密切相關的概念：- 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：- 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果：

**子環、（雙邊）理想、商環**
給定一個環  ，我們可以考慮它的：- 子環（ Subring ）——某個送往  的環同態在 內的像。這個環同態實際上就是嵌入- 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在 上的環同態的核。- 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在 上的環同態的像。同構定理
一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

**具有額外性質的環**

**交換環（ commutative ring ）**
如果一個環  還額外滿足：
乘法的交換律：對於所有 ：
 
則稱  是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：- 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。- 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。- 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。- 歐幾裡得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾裡得演算法（輾轉相除法）的整環。- 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。- 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式不包括常數多項式都有根的體。

**非交換環**
所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：- 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。- 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

**從已知的環建構出其他環的方式**

**直積**
給定數個環  ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：
可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：
這使得構成一個環。稱為  的直積（ Direct product ）；它的法單位元是  乘法單位元是  
這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

**多項式環**
給定一個環  ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：在這樣的運算規則下，  被稱為是  的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與  相同。

**矩陣環**
給定一個環  ，可以考慮以這個環作為係數、大小為  的矩陣：
同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：
那麼  在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：乘法單位元則是單位矩陣 ：同樣的，可以考慮任何環  的矩陣環  。矩陣環也是典型的非交換環。

**局部化與分式體**
局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。
更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

**交換環與代數幾何的關係**
交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇  和仿射概形範疇  有著如下對偶性：
這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

**參見**
 模- 理想- 代數- 偽環

**備註**

**引用**

**參考文獻**
  dead-url = no 

**要求「環」要有乘法單位元的教科書**
  dead-url = no 

**不要求「環」要有乘法單位元的教科書**
  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no 

**外部連結**
  Database of Ring Theory date=20240913070248  一個紀錄了大量環的性質的資料庫- 《數學百科全書》對環的 定義 date=20230101135941 - MathWorld 對環的 定義 date=20240121142059 - nLab 對環的 定義 date=20240917165232