幻方

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幻方，有時又稱魔術方陣（其簡稱“魔方”現一般指立方體的魔術方塊）或縱橫圖，由一組排放在正方形中的整數組成，其每行、每列以及每一條主對角線的和均相等。通常幻方由從到的連續整數組成，其中為正方形的行或列的數目。因此階幻方有行列，並且所填充的數為從到。
幻方可以使用階方陣來表示，方陣的每行、每列以及兩條對角線的和都等於常數，如果填充數為，那麼有


**幻方簡史**
《繫辭》雲：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。
九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮佔盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。
後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宮圖，為這個數，而行、列以及兩對角線上各自的數之和均為15。

**楊輝縱橫圖**
楊輝縱橫圖
南宋數學家楊輝著《續古摘奇算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”，比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。

**構造法**
根據構造方法的不同，幻方可以分成三類：奇數階幻方、階幻方和階幻方，其中為自然數，階幻方不存在。幻方構造法主要有：連續擺數法、階梯法（樓梯法）、奇偶數分開的菱形法、對稱法、對角線法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊爾法（基方、根方合成法）、鑲邊法、相乘法、幻方模式等。

**奇數階幻方構造法**

**右斜角降位法1**
假設要建構n階幻方，n為奇數。
# 先在第一橫列中央的方格填入1。
# 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。
以下圖階幻方為例，填寫在（第一行第三列）的位置上；應當填寫在其右上方格即中，由於超出頂邊界，所以從最底行進入，即；填寫在的右上方格中；填寫在的右上方格中，由於超出右邊界，所以從最左列進入，即；填寫在的右上方格中；應該填寫的方格已經被所佔據，因此填寫在的正下方格中；按照上面的步驟直到所有數填入。
魔方陣不是唯一的，比如5階魔方陣還可以是：

**右斜角降位法2**
假設要建構n階幻方，n為奇數。
# 先在第一橫列中央的方格填入1。
# 向「右(n-1)/2格、上(n-1)/2格」的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

**右斜角升位法**
假設要建構n階幻方，n為奇數。
# 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
# 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入上面兩格的格子中。

**菱形法**
假設要建構n階幻方，n為奇數。
# 先以對角線為兩邊，做一個包含n階方陣的菱形方陣，此方陣總共有2n2-2n+1（第n個中心正方形數）個格子。
# 從這個菱形方陣中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n2。
# 將原先方陣上側外的格子向下平行移動n格，填入原方陣的空格處，相同的步驟，若格子是在下側，往上移，若格子是在左側，往右移，若格子是在右側，往左移。

**偶數階幻方構造法**

**4k階幻方構造法**

**= 消去對角線法 =**
# 將1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
# 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n2個四階方陣），然後在每個四階方陣中，對角線上的數字擦掉。
# 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

**= 保留對角線法 =**
假設要建構n階幻方，n為4的倍數。
# 將1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
# 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n2個四階方陣），然後在每個四階方陣中，不在對角線上的數字擦掉。
# 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。
如4階幻方的排列法：
按如上圖排列好，再將非主副對角線上的各個數關於中心對調，即成下圖：
八階幻方構造如下
即：

**4k+2階幻方構造法**

**=LUX法=**
在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其餘格點標上「L」；在第M+2行的中間格點標上「L」，其餘格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：
4 1    1 4    1 4
L      U      X
2 3    2 3    3 2
例子：
68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 
17L     24L      1L      8L     15L
66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 
92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 
23L      5L      7L     14L     16L
90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 
16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 
4L      6L     13U     20L     22L
14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 
37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 
10U     12U     19L     21U      3U
38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 
41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 
11X     18X     25X      2X      9X
43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 

**= 斯特拉奇法 =**

**任何階數的幻方都適用的構造法**

**艾歆緹雅法**
此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。
對於奇數階幻方：
第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。
第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。
再把兩個方陣中的數相加。
事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。
對於偶數階幻方：
第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。
第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。
此方法暫時只適用於4k階的幻方。
事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。
如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。

**加邊法**
當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。
以階為例子，先排出階的幻方，如上圖，再將圖中每一個數都加上，有下圖：
	
在外圍加上一圈格子，把和這些數安排在外圈格子內，但要使相對兩數之和等於。對於這些數是：；。結果如下：

**方陣合成法**
當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。
# 以a(k)表示a階幻方中的每一個數字加上k*a2的結果，則所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a階幻方。
# 將b階幻方中的數字k都用幻方a(k-1)取代。

**編程語言參考實現**

**四階幻方全解搜索(C/C++)**
#include
int a17,b17,m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
int n=0,j=0;
while(++j

**奇數階幻方算法的Java語言實現**
/** @author: contribute to wikipedia according GNU- @description:用於創建奇數階的幻方
*/
public class magic_squre_odd {
static int  matrix;
static int   n;
public static void magic_squre_odd_generate()
{ matrix = new intnn;
//所有的數初始化為0
matrix0(n-1)/2 = 1;
int x = 0,y = (n-1)/2;
//count:記住已經插入過的數
for(int count = 2; count=n，則y=y-n，x不變;continue
if(y>=n)
{
	y -= n;
	continue;
}
	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
//如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
if (y=n){x-=n;continue;}
	if (y
以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：
68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

**4階幻方算法的Java語言實現**
/* * @author: contribute to wikipedia according GNU- @description:用於創建4階的幻方
*/
public class magic_square_4m {
	/* 	 * @param args
	 */
	static int  matrix;
	static int   n;
	static void magic_squre_4m_generate()
	{
	  //初始化matrix
		matrix = new intnn;
	  //將matrix裡的位置用數順序排列
	  int ini = 0;
	  for(int i = 0; i 
以下是本算法輸出的結果：
對調之前的樣子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
對調之後的樣子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_

**研究價值**
知名華人數學家陳省身曾在數學演講中說幻方只是一個奇蹟，它在數學中沒有引起更普遍深刻的影響，不屬於“好的數學”。
對幻方的學習和研究一直侷限於趣味數學本身，更接近數字遊戲或文字遊戲，缺乏與主流數學的聯繫(和璇璣圖在中國詩歌中的地位有一些相似)。數學和物理中也有具有更多學術價值的特殊數字方陣，如推動了試驗設計研究的拉丁方陣和已有應用的阿達瑪矩陣，還有在量子力學中有重要價值的泡利矩陣及其推廣版本蓋爾曼矩陣。魔術方塊則可以與群論建立聯繫(見魔方群)，可以作為抽象代數的入門教具，也是計算群論的研究案例之一，並非單純的幾何玩具。高性能的計算機誕生後，幻方、幻星、素數環(prime ring problem)等很多這類需要滿足特殊規律的填數問題，只要所需的數字規模不大，都可以考慮通過深度優先搜索算法暴力求解和枚舉。

**藝術與流行文化**
 德國畫家與雕刻家阿爾布雷希特·丟勒曾在一幅名作《憂鬱》(Melencolia I)的角落中畫下一個幻方。這個著名的幻方圖也被知名工程數學軟件MATLAB加入自己的幫助文檔中。

**參見**
 九宮圖- 九宮算- 洛書- 幻圓- 素數倒數幻方- 數獨- 未解決的數學問題- 吠陀方形- Frenicle 標準型式- 數字推盤遊戲- 泛對角幻方

**參考資料**

**引用**

**延伸閱讀**
 year=2004- year=2003- year=2002- year=2001

**外部鏈接**
  幻方介紹及其建造方法（英語）-  一個小學老師對幻方的研究