加法

以蘋果說明的，常見於教科書中
加法（addition，通常用加號“+”表示）是基本的算術運算之一，與減法、乘法、除法合稱「四則運算」。兩個自然數相加是將他們組合起來的總量。例如，在右圖中，三個蘋果和兩個蘋果被組合在一起，共有五個蘋果，用數學表達式表示成，即“3加2等於5”。
除了自然數，其他類型的數也可以定義加法，例如整數、實數、複數等，這些類型的加法是算術的一部分。在代數中，許多抽象的概念也可以相加，例如向量、矩陣等。
加法有幾個重要的性質：
*交換律：左右兩個加數的順序可以隨意調換；
*結合律：多個數相加，順序也可以隨意調換；
將多個一相加的動作被稱為計數；一個數加零仍等於自身。當與相關的運算（像是減法、乘法等）同時出現時，加法也遵循一些法則。
加法是最簡單的數學任務之一。蹣跚學步的小孩就能將較小的數正確相加；最基本的連五個月大的嬰兒都會，甚至其他種類的動物也會算。在初等教育中，學生使用十進制或二進制進行加法運算，從個位數的加法開始，逐漸變難。輔助加法的機械從古代的算盤，到現今的電子計算機，種類繁多。至今，人們還在研究在電子計算機上實現加法的高效算法。

**符號表示與術語**
加法用項之間的加號“+”表示，是中綴表示法的一種。結果用等號“=”表示。例如：
加號
1+1（1 加 1 等於 2）
2+2（2 加 2 等於 4）
1+2（1 加 2 等於 3）
5+4+2（見結合律）
3+3+3+3（見乘法）
一個分數緊接著一個整數表示加法，這種形式稱為帶分數。例如：

在大部分情況下，省略符號表示的是乘法而不是加法，因此這種表示法可能引起混淆。
級數的和可以用求和符號表示，屬於迭代的一種。例如：

在加法中，要加的數稱為項（term）或加數（addend 或 summand），結果稱為和（sum），這些術語對多個數相加也適用。（因數（factor）是一個不同的術語，它表示要乘的數。）有些人把第一個加數叫做被加數（augend）。事實上，在文藝復興時期，許多人根本不認為第一個加數是“加數”。如今，因為加法的交換律，“被加數”很少被人使用了，通常兩項都統稱為“加數”。
以上術語全部源於拉丁語。英語單詞 addition 和 add 源自拉丁語動詞 addere，它是由 ad 和 dare 組成的合成詞，源於原始印歐語詞根 *deh₃-（給）。因此 add 就是“給”。加上表動詞作形容詞的後綴 -nd 得到 addend（“給的東西”）。類似地，由 augere（增加）得到 augend（“要增加的東西”）。
The Art of Nombryng（15 世紀）是最早的英語算術書之一，此圖為重繪的插圖。
sum 和 summand 源自拉丁語名詞 summa（最高，頂端）和相關聯的動詞 summare。這不僅僅是因為兩個正數的和比兩個加數都要大，還是因為古希臘和古羅馬人在做加法時，通常將結果寫在加數的上面，因此和字面上就比加數要“高”。現代通常將結果寫在加數的下面。最早使用 addere 和 summare 的古羅馬作家包括維特魯威和弗朗提努斯。波愛修斯運用了其他幾個與加法運算有關的術語。後來的中古英語術語 adden 和 adding 是由傑弗裡·喬叟普及化的。
加號“+”（Unicode：U+002B；ASCII：&#43;）是拉丁詞語“et”（和）的縮寫，它在數學中的使用至少可以追溯到1489年。

**解釋**
加法可以用來模擬許多操作。即使是最簡單的自然數加法，也有許多種不同的解釋及視覺化表達形式。

**合併集合**
以不同的形狀展示的集合合併
或許，加法最基本的解釋就是合併集合：將兩個或以上的不交集組合成一個集合時，組合起來的集合的元素個數即是原來的集合中的元素數量之和。這個解釋很容易視覺化，也不容易產生歧義。在高等數學中，這個定義也很有用；它還為以下的嚴密定義奠定了基礎。然而，這個定義並沒有什麼顯而易見的方法拓展到分數及負數。一種方法是考慮可以分成等分的物體，例如有刻度的繩子。繩子可以首尾相接，體現出另一種加法的概念：將繩子的長度相加，而不是直接將繩子本身相加。

**延長長度**
1=2 + 4 = 6 在數軸上的視覺化版本。向右平移 2 個單位，再向右平移 4 個單位，就是向右平移 6 個單位。
加法的另外一種解釋涉及到將原始長度以給定長度延長：當原始長度以給定長度延長時，最終的長度是原始長度與給定長度之和。加法算式 a + b 可以從代數的角度解釋為一個將 a 與 b 組合起來的二元運算，也可以解釋為向 a 增加 b 個單位。在後一種解釋之下，a、b 兩個操作數是非對稱的，加法算式 a + b 被理解為向 a 應用一元運算 +b。這種情況下，a 是被動的，因此將 a 稱為“被加數”而不是籠統地稱為“加數”可能更好。這種一元運算的視角在討論減法時也很有用，因為一元加法是一元減法的逆運算，反之亦然。
1=2 + 4 = 6 在數軸上的視覺化版本。向右平移 4 個單位相當於向右平移 1 個單位 4 次。

**性質**

**交換律**
加法滿足交換律：左右兩個加數的順序可以調換，結果不變。用符號語言來說，設 a 與 b 為任意兩個數，則 1=a + b = b + a。這一事實被稱為“加法交換律”。有一些其他的二元運算也滿足交換律，例如乘法，但不是所有二元運算都滿足交換律，例如減法和除法就不滿足交換律。
1=4 + 2 = 2 + 4

**結合律**
加法滿足結合律：多個數相加，運算順序可以調換，結果不變。例如，a + b + c 是指 (a + b) + c 還是 a + (b + c)？加法結合律說明這兩種解釋的結果是相等的：設 a、b、c 為任意三個數，則 1=(a + b) + c = a + (b + c)。例如，當 1=a = 1，1=b = 2，1=c = 3 時：
1=2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
然而，當加法與其他操作一起使用時，運算次序變得很重要。在標準運算次序中，加法比乘方、方根、乘法和除法的優先級要低，但與減法優先級相同。

**單位元**
任何數加零等於自身；零是加法單位元。設 a 為任意數，則 1=a + 0 = 0 + a = a。這個性質最早在婆羅摩笈多的《婆羅摩歷算書》（公元628年）被提及，儘管他根據 a 是正數、負數還是零分成了三種情況，並且使用文字說明，而不是代數符號。之後的印度數學家們將這三種情況精簡成了一種情況。大約 830 年，印度數學家 Mahavira 寫道：“零加上一個數就會變成那個數”，對應一元陳述 1=0 + a = a。12 世紀時，印度數學家婆什迦羅寫道：“任何一個量（正負均可），加零或減零後保持不變”，對應一元陳述 1=a + 0 = a。
1=5 + 0 = 5

**後繼**
在整數中，加數為 1 的加法有特殊意義：對於任何整數 a，整數 (a + 1) 是大於 a 的最小整數，稱為 a 的後繼。例如，3 是 2 的後繼，7 是 6 的後繼。這樣，a + b 可以視為 a 的第 b 個後繼，加法成為後繼函數的迭代函數。例如，8 是 7 的後繼，7 是6 的後繼，所以 8 是 6 的第 2 個後繼，因此 1=6 + 2 = 8。

**單位**
將有單位的物理量相加時，只有相同單位的量可以相加。例如，50 毫米加 150 毫米等於 200 毫米。然而，5 英尺加 2 英寸等於 62 英寸，因為 1 英尺等於 12 英寸。通常情況下，3 米加 4 平方米是沒有意義的，因為米和平方米沒有可比性。這是因次分析的一個基本例子。

**計算加法**

**天生的能力**

**學習**
通常情況下，小孩首先學習計數。遇到將兩個物體和三個物體合併在一起的問題時，年幼的小孩使用實際物體（手指或畫）進行模擬，然後數出總數。當他們逐漸積累經驗後，他們使用“連續數數”的方法：為求出2 + 3，他們從3開始連續數2個數，即“三，四，五”（通常掰著手指），得到結果5。這個方法幾乎是通用的，小孩很容易通過老師或同齡人學到這個方法，許多小孩甚至獨立發現了這個方法。積累足夠經驗後，小孩運用加法交換律，從大的數開始數起，在這個例子中，從3開始，數“四，五”。最終，通過經驗或記憶，他們能記住一些簡單的加法算式。這個時候，小孩開始嘗試由已知的知識推導未知的知識。例如，一個小孩知道1=6 + 6 = 12，發現6 + 7比6 + 6大1，因而得出1=6 + 7 = 13。這個過程很快，多數小學生最終通過結合記憶與推導熟練地進行加法。
不同的國家在不同的年齡教授整數和算術。許多國家在學前就教授加法。然而，世界上幾乎所有國家都在小學一年級結束前教授加法。

**十進制系統**
為了在十進制中進行加法，首先要熟練掌握 100 個基本的一位數加法算式。死記硬背沒問題，但是有規律的記憶方式對於大多數人來說更有效：- 利用加法交換律（1=a + b = b + a）這一事實，需要掌握的算式數量從 100 個降低到 55 個。- 加 1 或加 2 是一項基本工作，通過數數甚至直覺就能完成。- 因為零是加法單位元，所以加零是很簡單的工作。然而，在算術的教授過程當中，一些學生認為加法是讓加數增加的一個過程。實際問題可能能夠幫助他們意識到零是一個“個例”。- 一個數加自身與兩個兩個的數數有關，與乘法有關，是許多其他理論的基礎，通常更容易被學生掌握。- 類似 1=6 + 7 = 13 的加法算式可以由“一個數加自身”的加法算式推導而來：1=6 + 6 = 12 再加 1，或 1=7 + 7 = 14 再減 1，都可以得到 13。- 形為 5 + x 或 10 + x 的加法算式通常較早被記憶，因此可以用來推導其他加法算式。例如，1=6 + 7 = 13 可以由 1=5 + 7 = 12 再加 1 推導而來。- 一種較高級的方法是以 10 作為涉及 8 或 9 的加法的中間值。例如：1=8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14。
在學生漸漸成長的過程中，他們逐漸學習更多知識，並且學會更快更熟練地推導其他知識。許多學生從不死記硬背，但仍能快速地計算。

**進位**
多位數加法的標準計算方式是豎式計算：將加數豎著對齊，從個位開始，一位一位地加。如果某一位的結果超過 9，額外的數位被“進”到前一位。例如，計算 27 + 59 時，如圖，1=7 + 9 = 16，1 是進位。另一種方法是從最高位開始加。如果採用這種方法，進位便會變得有些棘手，但可以快速得到結果的一個近似值。除此之外，還有很多種其他的方法。
1=27 + 59 = 86

**小數的加法**
小數的加法和上面的過程很像：將兩個小數按小數點對齊（如果需要的話，還可以向較短的小數的開頭或末尾添加零，使它和另一個小數一樣長），按上面的過程將數位相加，然後在同樣的地方加上小數點。例如，45.1 + 4.34 的計算過程如圖所示。
1=45.1 + 4.34 = 49.44。

**科學記數法**
在科學記數法中，一個數以 的形式表示，其中 n 是整數且 1 ≤ a 1)）
兩個“1”位相加得到“0”位並向前進位“1”。這和十進制下的加法很像：如果某一位的結果達到或超過基數 10，前一位需要加 1：
，進位為 1（因為 1=5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)）
，進位為 1（因為 1=7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)）
二進制的加法是一樣的道理：二進制下的 1=1101 + 10111 = 100100（即十進制下的 1=13 + 23 = 36）如圖所示。
1=1101 + 10111 = 100100，即十進制下的 1=13 + 23 = 36。

**計算機 **
模擬計算機直接操作物理量，所以它們的加法機制取決於加數的形式。一些機械加法計算器以滑動的方塊的位置表示加數，它們使用平均值槓桿計算加法。如果加數表示為兩個軸的旋轉速度，那麼它們可以用差速器相加。水力學加法計算器可以根據牛頓第二定律讓活塞的力平衡以將兩個房間的壓力相加。通用模擬計算機的最常見的情況就是將兩個電壓（以接地為參照）相加，電阻電路可以大致完成這個工作，但是更好的設計需要用到運算放大器。

**加法的定義**
為了證明加法的常見性質，首先必須給出加法的準確定義。加法首先在自然數範圍內定義。在集合論中，加法接著被拓展到逐漸廣闊的集合上：整數，有理數，實數……（在數學教育中，正分數的加法通常在負數之前教授；這也是歷史發展的路線。）

**自然數的加法**
目前有兩種流行的方法用於定義兩個自然數 a 和 b 的和。如果自然數被定義為有限集合的元素個數，那麼 a + b 可以這樣定義：設 N(S) 為集合 S 中的元素個數。設 A 與 B 為不相交的集合且 1=N(A) = a 且 1=N(B) = b。那麼 a + b 定義為 N(A ∪ B)（A ∪ B 表示 A 和 B 的交集）。另一種方法是允許 A 與 B 相交併取它們的不交併集（一種允許公共的元素被分開計算兩次的運算）。
另一種流行的方法是遞歸：設 n+ 為 n 的後繼，即繼 n 後的下一個自然數，因此 1=0+ = 1，1=1+ = 2，依此類推。定義 1=a + 0 = a，並通過 1=a + (b+) = (a + b)+ 遞歸地定義一般的加法。因此 1=1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2。同樣，這種定義也有很多變種。上述定義實際上是遞歸定理在部分有序集 N2 上的一個應用。然而，一些文獻傾向於使用只在自然數集合上有定義的狹義遞歸定理：先將 a 臨時想象為固定的，在 b 上應用遞歸以定義一元函數“ 1=f(b) = a + b ”，然後將這些一元函數組合在一起形成完整的二元運算。早在 1854 年，德國數學家理查德·戴德金就發展了這種遞歸定義，並在接下來的幾十年中擴展了這個定義。他利用數學歸納法證明了交換律、結合律等性質。

**整數的加法**
整數最簡單的理解就是由絕對值（一個自然數）和符號（一般情況下，正或負）組成。整數零是一個特殊情況：它既不是正數也不是負數。對於任何整數 n，定義  為 n 的絕對值。設 a 與 b 為整數，則它們的和 a + b 的定義需要分類討論：- 如果 1=a = 0，那麼 1=a + b = b；如果 1=b = 0，那麼 1=a + b = a。例如：1=(−2) + 0 = −2。特別地，1=0 + 0 = 0。- 如果 a 和 b 都是正數，那麼  。例如：1=4 + 1 = 5。- 如果 a 和 b 都是負數，那麼  。例如：。- 如果 a 和 b 一正一負，那麼  a + b 的絕對值等於 a 的絕對值和 b 的絕對值之差（即 ），符號與 a 和 b 中絕對值較大的一項符號一致。例如：1=(−6) + 4 = −2，因為 −6 和 4 一正一負，所以 (−6) + 4 的絕對值等於它們的絕對值之差 ，又因為負數項 −6 的絕對值大於正數項 4 的絕對值，結果為負，因此結果為 −2。
儘管對於實際的問題來說，這個定義足夠了，但對於優雅的一般性的數學證明來說，它實在是太複雜了，情況太多了。
一個數學上更方便的整數的理解方式是使用格羅滕迪克群構造。給定自然數及其加法運算（+）和單位元 0 的定義，每個整數都可以（不唯一地）表達為兩個自然數 a 和 b 的（未正式定義的）差，因此可以將整數定義為兩個自然數組成的數對(a, b)。將等價的數對（差相同）考慮為同一個整數是個小問題。兩個這樣的新的整數 (a, b) 與 (c, d)（其中 a、b、c、d 為整數）的和（用 ⊕ 符號表示）通過自然數的加法（+）定義為：
(−2) + 1：1=(2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6。
規定整數的加法單位元由數對 (a, a) 生成，且 (a, b) 的加法逆元由 (b, a) 生成（即 1=−(a, b) = (b, a)），這樣整數的加法群的說明就完整了。利用加法逆元定義負數，將減法定義為“加加法逆元”，都比單獨構造一個減法運算（在基礎數學中被認為是逆運算）要方便許多。

**有理數（分數）的加法**
有理數（分數）的加法可以用最小公分母計算，但從概念上來說只要用加法和乘法就可以了：
例如，。
當分母相同時，分數的加法就更簡單了，只要將分子相加，分母不變就行了：
例如，。
有理數加法的交換律和結合律可以由整數算術的性質很容易地推導而來，見分式環。

**實數的加法**

**複數的加法**
要將兩個複數相加，只需將實數部分和虛數部分分別相加即可，即：
利用複數在複平面上的視覺化表示，複數的加法可以幾何解釋為：兩個複數 A 和 B（解釋為複平面上的點）的和，是由以 A、B 與原點 O 為頂點的平行四邊形得到的頂點 X（如圖所示）。等價地說，X 是使三角形 OAB 與三角形 XBA 全等的點。
O 為原點（0），向量 A（紅色）與 B（藍色）表示複數加數，X 是結果 A + B 所在的點。

**加法的擴展**
有許多二元操作可以被視為實數加法的擴展。抽象代數主要關心這類擴展，集合論與範疇論中也有它們的影子。

**抽象代數中的加法**

**向量加法**
在線性代數中，向量空間是一個允許向量相加及縮放的代數結構。所有實數的有序對組成的集合就是一個常見的向量空間：有序對 (a, b) 被解釋為歐幾里得平面上從原點到由 (a, b) 表示的點的向量。兩個向量的和是通過將對應的座標相加完成的：1=(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)。
在經典力學中，向量解釋為力，因此這個加法運算是經典力學的基礎。

**矩陣加法**
大小相同的兩個矩陣可以相加。兩個 m × n 矩陣 A 和 B 的和也是一個 m × n 矩陣，用 A + B 表示，由對應元素相加得到：
例如：

**模算數中的加法**

**一般的加法**

**集合論與範疇論中的加法**
自然數加法的一個影響深遠的擴展即是集合論中的序數和基數的加法，它們是將自然數加法擴展到超限數的兩種不同方式。不同於多數加法運算的是，序數的加法不滿足交換律。不過，基數的加法滿足交換律，且與不交併操作有著緊密的聯繫。
在範疇論當中，不交併操作是餘積操作的一個特例。一般性的餘積操作很可能是加法的所有擴展當中最抽象的一種。一些餘積操作的命名突出了它們與加法運算的聯繫，例如直和和楔和。

**發散級數的加法**
在通常意義下，發散級數因其發散，是沒有傳統意義上的“和”的，但可以通過某些定義來求出該定義下發散級數的“和”，如切薩羅求和、阿貝爾求和、歐拉求和等。這種擴展意義上的“和”不應與傳統意義上的“和”混淆。

**相關運算**
加、減、乘、除是基礎算術中的基本運算。

**算術**
減法可以視為一種特殊的加法——減一個數等於加它的加法逆元。減法本身就是加法的一種逆運算，因為加 x 和減 x 互為反函數。給定一個定義有加法運算的集合，不總能夠定義一個對應的減法運算，自然數的集合就是一個很簡單的例子。然而，反過來說，一個減法運算唯一地確定一個加法運算、一個加法逆元運算、一個加法單位元。因此，一個加法群可以描述為一個在減法運算下封閉的集合。
乘法可以想成是重複的加法。如果一個單項 x 在加法運算中出現 n 次，那麼這個加法運算的結果就是 x 和 n 的積。即使 n 不是自然數，這個積仍然可能是有意義的，例如當 Math|1=n = −1 時，這個積就是 x 的加法逆元。
在實數和複數域中，加法和乘法可以通過指數函數互相交換：
這個恆等式允許藉助對數表並手動計算加法完成乘法，也使得計算尺上可以進行乘法。在將無窮小量與李代數上的向量加法相互聯繫起來的李群的廣義語境下，這個公式仍然能給出一個較好的第一近似。
一個圓形的計算尺
乘法的擴展甚至比加法更多。一般情況下，乘法對加法滿足分配律，環的定義明確說明了這一要求。在有些語境下，例如整數，乘法對加法的分配律和乘法單位元的存在足以唯一確定乘法運算。分配律還給出了加法的一些信息，例如：將乘法算式 (1 + 1)(a + b) 用兩種方法展開可以得到加法的交換律。因此，一般地，環的加法滿足交換律。
除法和加法的聯繫相對來說沒有那麼緊密。因為 ，所以除法對加法滿足右分配律，即 （c ≠ 0），但不總是滿足左分配律，例如 。

**最大值操作**
最大值操作 max(a, b) 作為一個二元運算，與加法很相似。事實上，如果兩個非負整數 a 和 b 不是一個數量級的，那麼它們的和與它們的最大值將會很接近。這個近似在數學應用中極其有用，例如在截斷泰勒級數的時候。然而，在數值分析中它是一個經常出現的令人頭疼的問題，其根本原因是最大值操作是不可逆的。如果 b 遠大於 a，那麼 (a + b) − b 直覺化的計算會導致不可接受的舍入誤差，甚至得到結果 0。（參見精度丟失）
在無窮極限中，這個近似變得精確：如果 a 和 b 中有一個是無窮基數，那麼它們的基數和等於它們之中較大者。相應地，無窮基數不可相減。
和加法一樣，最大值操作滿足交換律和結合律。更進一步，由於加法保持了實數的序，加法對最大值操作滿足分配律，就像乘法對加法滿足分配律那樣：
因此，在熱帶幾何中，乘法由加法代替，加法由最大值操作代替。在這個語境下，加法稱作“熱帶乘法”，最大值操作稱作“熱帶加法”，“熱帶加法單位元”是 −∞。不過，有些作者傾向於使用最小值操作來代替加法，這樣“加法單位元”就是 +∞。
將這些結論放在一起，可以得到：熱帶加法通過對數近似於一般的加法：
當底數 k 增加，這個近似變得越來越精確。提出一個常數 h（與量子力學中的普朗克常數類似命名）並取 h 趨向 0 時的經典極限，這個近似就可以變得精確：
在這種意義下，最大值操作實質上是加法的“解量化”版本。

**其他方式的加法**
自增操作，又叫後繼，是加 Math|1 的操作。
求和符號（）表述了任意多個數（通常不止兩個）的加法。它涵蓋了一個數的和（即其自身）和空和（即 Math|0）。無窮加和即級數，是一個十分脆弱且易錯的過程。
有限集合的計數等價於在這個集合上將 Math|1 相加。
積分是在連續統上的“加法”；更精確且更具一般性地說，是在一個可導流形上的“加和”。零維流形上的積分即是加和。
線性組合是每項都有一個係數（通常是實數或複數）的加和，它結合了乘法和加法。線性組合在直覺化的加法將會違反一些規範化規則的場合下尤其有用，例如遊戲理論中的混合策略及量子力學中的量子態的態疊加。
卷積是由概率分佈函數定義的隨機變量的加法。它的通常的定義涉及到積分、減法和乘法。一般地，卷積作為一種定義域加法發揮作用，而向量加法則是一種值域加法。