邏輯代數

在數學和數理邏輯中，邏輯代數（有時也稱開關代數、布爾代數）是代數的一個分支，其變量的值僅為真和假兩種真值（通常記作 1 和 0）。初等代數中變量的值是數字，而且主要的運算是加法、乘法和乘方（以及它們的逆運算），而邏輯代數的主要運算符有合取與，記為1=∧；析取或，記為1=∨；否定非，記為1=¬。因此，它是描述邏輯運算的一種形式主義，就像初等代數描述數字運算一樣。
邏輯代數是喬治·布爾（George Boole）在他的第一部著作《邏輯的數學分析》（1847年）中引入，並在他的《思想規律的研究》（1854年）中全面闡述了邏輯代數。
根據Huntington的說法，“布爾代數”術語最初是由Sheffer於1913年提出。
邏輯代數一直是數字電路設計的基礎，所有現代編程語言都提供支持。它還用於集合論和統計學。 

**邏輯代數中的幾個概念**
參與邏輯運算的變量叫邏輯變量，用字母A，B……表示。每個變量的取值非0 即1。 0、1不表示數的大小，而是代表兩種不同的邏輯狀態。
正、負邏輯規定：
*正邏輯體制規定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。
*負邏輯體制規定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。
邏輯函數：如果有若干個邏輯變量（如A、B、C、D）按與、或、非三種基本運算組合在一起，得到一個表達式L。對邏輯變量的任意一組取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值與之對應，則稱L為邏輯函數。邏輯變量A、B、C、D的邏輯函數記為：L=f(A、B、C、D)

**邏輯運算**

**基本運算**
邏輯代數的基本運算如下。- 與（合取），記作 x∧y（有時記作 x AND y 或 Kxy），在 x = y = 1 情況下，滿足 x∧y = 1；其他情況下 x∧y = 0。- 或（析取）, 記作 x∨y（有時記作 x OR y 或 Axy），在 x = y = 0 情況下，滿足  x∨y = 0；其他情況下 x∨y = 1。- 非 （否定）, 記作 ¬x（有時記作 NOT x, Nx 或 !x），在 x = 1 情況下，滿足  ¬x = 0；而在 ¬x = 1 情況下，x = 0。
如果把真值0和1解釋為整數，這些運算可以表示為普通算數運算：

此外可以用製作真值表來表示 x∧y, x∨y 和 ¬x 的值：
有人可能會認為，只有否定和另外兩種運算之一是基本的，因為用下列性質可以用邏輯否和邏輯或來定義邏輯與，反之亦然：


**衍生運算**
上述三個邏輯運算被稱為基本的，這意味著其他邏輯運算可以以它們為基礎，由他們的複合來建立，即將這些運算組合或結合。下面是由基本運算構成的運算的例子：



這些定義產生以下真值表，其中給出了對所有四個可能的輸入，這些運算的值。
第一種運算，x → y 或 Cxy，叫做實質蘊涵。如果 x 為真，則 x → y 的值就取自 y 的值。但如果 x 為假，則 y 可以忽略；然而此運算必須返回某種真值，而且只有兩種選擇，所以返回蘊含較小的值，即真。（相干邏輯通過看作非真非假的假前提的蘊含來處理這件事。）
第二種運算，x ⊕ y 或 Jxy，叫做異或（通常縮寫為XOR）與邏輯或的區別在於邏輯或包含其類型。它排除了 x 和 y 同時為真的情形。用算術來定義就是加和之後 mod 2，就如 1 + 1 = 0.
第三種運算，異或的互補運算，是同或或邏輯等價：x ≡ y 或 Exy，當 x 與 y 值相同時為真。因此作為其互補運算，x ⊕ y 可以理解為 x ≠ y，當 x 和 y 不同時為真。它對應的 mod 2 算術為 x + y + 1。
給定兩個操作數，每個具有兩個可能的值，共有 22 = 4 種可能的輸入組合。由於每種輸出有兩種可能值，一共有 24 = 16種可能的Boolean algebras canonically defined#Truth tables。

**運算律**
兩個主要的二元運算的符號定義為  (邏輯與)和  (邏輯或)，把單一的一元運算的符號定義為  (邏輯非)。我們還使用值 0 (邏輯假)和 1 (邏輯真)。邏輯代數有下列性質:
布爾運算的各種表示

**邏輯代數的基本規則**

**代入規則**
任何一個含有變量 X 的等式，如果將所有出現 X 的位置，都代之以一個邏輯函數 F，此等式仍然成立。

**對偶規則**
設 F 是一個邏輯函數式，如果將 F 中的所有的 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，而變量保持不變。那麼就的得到了一個邏輯函數式 F'，這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果兩個邏輯函數 F 和 G 相等，則它們各自的對偶式 F' 和 G' 也相等。

**反演規則**
當已知一個邏輯函數 F，要求 ¬F 時，只要把 F 中的所有 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，原變量變成反變量，反變量變成原變量，即得 ¬F。
使用反演規則時要注意保持原函數中邏輯運算的優先順序。

**邏輯函數的標準形式**
邏輯變量的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構成了邏輯函數的與或式，也叫做積之和式(SP form)。
邏輯變量的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構成了邏輯函數的或與式，也叫做和之積式(PS form)。

**最小項**
對於 n 個變量的邏輯函數而言，它的與項如果包含全部 n 個變量，即每個變量以原變量或反變量的形式出現一次且只出現一次，那麼這個與項就稱為該邏輯函數的最小項。

**最大項**
對於 n 個變量的邏輯函數而言，它的或項如果包含 全部n 個變量，即每個變量以原變量或反變量的形式出現一次且只出現一次，那麼這個或項就稱為該邏輯函數的最大項。

**邏輯函數的化簡**
運用邏輯代數的基本公式及規則可以對邏輯函數進行變換，從而得到表達式的最簡形式。這裡所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式，它們的判別標準有兩條：(1)項數最少；(2)在項數最少的條件下，項內的文字最少。
卡諾圖是遵循一定規律構成的。由於這些規律，使邏輯代數的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現，從而使它成為公式證明、函數化簡的有力工具。

**應用**

**計算機**
20世紀早期，一些電子工程師領悟到邏輯代數很像某種電子電路的行為。香農在它1937年的論文中證明了這種行為與邏輯代數等價。
幾乎所有現代通用計算機都用二值布爾邏輯做運算；也就是說它們的電路是二值布爾邏輯的物理表示。幾種表示方式：導線上電壓的高低，磁性存儲設備中磁疇的方向，打孔卡或紙帶上的洞，等等（但有些早期的計算機用了十進制電路或者機械，而不是二值邏輯電路）
當然，也可能在任意介質中編碼進2個以上的符號。比如在導線上用0，1，2，3伏特去編碼一種有4個符號的字符集，或者利用打孔卡的洞的不同大小。但實踐上，在一個很小的、高速的、低功耗的電路中噪聲是個關鍵因素。它使分辨多個可能出現的符號變得困難。所以電路設計者們選擇了高、低2種電壓而不是4種。
由於上面的原因計算機使用二值邏輯電路。最常見的計算機架構使用32或64個叫做比特的布爾值序列，比如011010001101001010101001010111100000010101001011。當使用機器語言、彙編語言和某些高級語言時，程序員可以操作寄存器的數字結構。在寄存器中0電壓表示邏輯0，參考電壓（通常是+5伏或+3.3伏）表示邏輯1。這些語言同時支持數值操作和邏輯操作。這裡的“數值操作”指計算機把比特序列當作二進制數字進行加減乘除等運算。“邏輯操作”指2個比特序列之間的與或非運算，序列中每一位都與另一序列中對應位進行運算。這兩種操作之間的關鍵不同是前者有進位而後者沒有。

**參見**
數字邏輯(數位邏輯)
*邏輯函數(交換函數)
*規範形式 (布爾代數)
*邏輯門
*卡諾圖

**參考文獻 ==