秩 (線性代數)

在線性代數中，一個矩陣  的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地，行秩是矩陣 的線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣  的秩（Rank）。通常表示為  ， 或。

**可替代定義**

**用-{行列式}-定義**
設  為  矩陣。若  至少有一個  階非零子式，而其所有  階子式全為零，即矩陣的最高階非零子式的階數為r。則稱  為  的秩。

**用向量組的秩定義**
對於  維線性空間  中的一個向量組 ，若 
中的  個向量線性無關，且若 ，， 中  個向量都線性相關，則稱  為  的極大線性無關組， 為  的秩。可以證明  的秩等於向量組  生成的子空間的維數。
矩陣  的列秩定義為  的列向量組的秩，也即矩陣的列空間的維數。類似地，矩陣的行秩定義為  的行向量組的秩，即矩陣的行空間的維數。

**用線性映射定義**
考慮線性映射：
 
 
對於每個矩陣 ， 都是一個線性映射，同時，對每個  的
線性映射 ，都存在矩陣 。也就是說，映射


是一個同構映射。所以一個矩陣  的秩還可定義為  的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣  稱為  的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為  的核的維度；秩-零化度定理證明它等於  的像的維度。

**行秩列秩相等性**
矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是，矩陣可以看作線性映射的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。
給出這一結果的兩種證明. 第一個證明是簡短的，僅用到向量的線性組合的基本性質. 第二個證明利用了正交性. 第一個證明利用了列空間的基, 第二個證明利用了行向量空間的基. 第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣，第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間，也都易於修改去證明當A是線性變換的情形. 

**證明一**
令  是一個  的矩陣，其列秩為  . 因此矩陣  的列空間的維度是  . 令  是  的列空間的一組基，構成  矩陣 的列向量 ，並使得  的每個列向量是 的 個列向量的線性組合. 由矩陣乘法的定義，存在一個  矩陣 , 使得 . ( 的  元素是  與  的第  個行向量的點積.)
現在，由於 ,  的每個行向量是  的行向量的線性組合，這意味著  的行向量空間被包含於  的行向量空間之中. 因此  的行秩 ≤ 的行秩. 但僅有行, 所以的行秩 ≤  = 的列秩. 這就證明了的行秩 ≤ 的列秩. 
把上述證明過程中的“行”與“列”交換，利用對偶性質同樣可證的列秩 ≤ 的行秩。更簡單的方法是考慮的轉置矩陣，則的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 這證明了的列秩等於的行秩. 證畢.

**證明二=== 
令是矩陣，其行秩是. 因此的行向量空間的維度是，設是的行向量空間的一組基. 如果把這組基當作原像列向量看待，則向量集是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數，如果:

其中. 則可以推出有兩個事實: (a) 是行向量空間的線性組合, 即屬於的行向量空間；(b) 由於 = 0,  正交於的所有行向量，從而正交於的行向量空間的所有向量. 事實(a)與(b)結合起來，則正交於自身，這意味著 = 0. 由的定義:

再由是的行向量空間的一組線性獨立的基，可知. 因而是線性獨立的.
是的列空間中的向量. 因此是的列空間中個線性獨立的向量. 所以的列向量空間的維數(的列秩)必然不小於. 這證明了的行秩r ≤ 的列秩. 把這一結果應用於的轉置矩陣可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 這證明了的列秩等於的行秩，證畢.
最後, 還可以證明rk(A) = rk(A*), 其中A*是A的共軛轉置或稱施密特轉置. 當A的元素都是實數, 這一結果變為rk(A) = rk(AT). 然而對於復係數矩陣，rk(A) = rk(A*)並不等價於行秩等於列秩, 需要用到上述兩個證明. 

**證明三=== 
令A是一個m×n矩陣. 定義rk(A)為A的列秩，A*為A的共軛轉置或稱施密特轉置. 首先可知A*Ax = 0當且僅當Ax = 0.  
 A*Ax = 0 ⇒ x*A*Ax = 0 ⇒ (Ax)*(Ax) = 0  ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,
其中‖·‖是歐氏範數. 這說明A的零空間與A*A的零空間相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一個列向量是A*的列向量的線性組合. 所以A*A的列空間是A*的列空間的子空間. 從而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 應用這一結果於A*可獲得不等式: 由於(A*)* = A, 可寫作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 這證明了rk(A) = rk(A*). 證畢.

**性質**
我們假定A是在域F上的m × n矩陣並描述了上述線性映射。- m × n矩陣的秩不大於m且不大於n的一個非負整數，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。- 只有零矩陣有秩0- A的秩最大為min(m,n)- f是單射，當且僅當A有秩n（在這種情況下，我們稱A有“列滿秩”）。- f是滿射，當且僅當A有秩m（在這種情況下，我們稱A有“行滿秩”）。- 在方塊矩陣A (就是m = n)的情況下，則A是可逆的，當且僅當A有秩n（也就是A有滿秩）。- 如果B是任何n × k矩陣，則AB的秩最大為A的秩和B的秩的小者。即：
*::
*:推廣到若干個矩陣的情況，就是：
*::
*:證明：
*::考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A、B對應的線性映射分別為f和g，則AB表示複合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整個空間的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整個空間在映射f作用下的象的一部分。也就是說映射Im f·g是Im f的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。
*::對於另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮Im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空間Im f·g，於是Im f·g的維度小於等於Im g的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。
*::因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。
*:作為"r指示r × r 單位矩陣。
*:證明可以通過高斯消去法構造性地給出。- 西爾維斯特不等式: 如果 A 是一個 m × n 的矩陣且 B 是 n × k 的, 則
*::
*:這是下一個不等式的特例.- 這個不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定義, 則
*:efn-lr|證明：商空間之間的映射C: ker(ABC) / ker(BC) → ker(AB) / ker(B)有定義且為單射。因此我們得到了關於核維數關係的不等式dim ker(ABC)-dim ker(BC) ≤ dim ker(AB) - dim ker(B), 利用秩-零化度定理即可得到結論（即dim ker(ABC)-dim ker(BC)rank(BC)-rank(ABC), 右邊同理）。或者也可以這麼證明：假如M是一個子線性空間，A是線性映射，那麼dim(A(M)) ≤ dim(M) (*); 記映射BC（注意先進行C映射後進行B映射）的像為im(BC), 映射B的像為im(B), 則im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交補（不一定要正交，構成直和關係即可，這裡取正交補只是為了方便）記為D, 則dim(D)  rk(B) – rk(BC); 而由線性映射的規律知im(AB)  AD + im(ABC), 但不一定再是直和，即dim(AD) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 利用不等式(*)可得dim(D)rk(B) – rk(BC) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 從而得證。- 子加性：當矩陣和的形狀相同時，有 . 因此，一個秩為k的矩陣能夠表示成k個秩為1的矩陣的加和，但不能是k-1個或更少。- 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。- 如果 A 是實數上的矩陣，那麼 A 的秩和它對應格拉姆矩陣的秩相等。於是，對於實矩陣
*::.
*:該性質可以通過它們的零空間證明. 格拉姆矩陣的零空間由所有滿足 的向量組成。如果上式成立, 那麼下式也成立： ，於是，，即與的零空間相同.- 如果 A 是複數上的矩陣且 A* 表示 A 的共軛轉置(i.e., A 的伴隨), 則
*:

**向量組的線性相關性**
將個維列向量排列成的矩陣A，這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。
原向量組線性相關的充分必要條件為：

如果

則向量組線性無關。另外，不存在

特殊的，若向量的個數大於向量的維數，則根據：

這個向量組必然線性相關。

**計算**
計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此A的行階梯形矩陣有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。
例如考慮4 × 4矩陣

我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍，而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的，所以A的秩是2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列A的行階梯形矩陣:

它有兩個非零的橫行。
在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

**應用**
計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則該方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則方程組是不一致（Inconsistent）的。
在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。

**註解**

**參考文獻**
 Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.- Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors  and System of Equations 

**參見**
 向量組的秩