模糊數學

模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智能等方面有廣泛的應用。

**模糊集**

**定義和表示**
給定一個論域 U ，那麼從 U 到單位區間 0,1 的一個映射
稱為 U 上的一個模糊集 或 U 的一個模糊子集
，
記為 A 。
映射（函數） μA(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集 A 的隸屬函數。
對於每個 x ∈ U ， μA(x) 叫做元素 x 對模糊集 A 的隸屬度。
模糊集的常用表示法有下述幾種：
# 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
# Zadeh 記法，例如。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。 
# 序偶法，例如，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
# 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

**一些相關概念**
 模糊集 A 的承集或支集記為 。- 模糊集 A 的核記為 。- 模糊集 A 的高度記為 。- 模糊集 A 的深度記為 。

**模糊度**
一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：
設映射 D : F(U) → 0,1 滿足下述5條性質：
# 清晰性：D(A) = 0 當且僅當 A ∈ P(U)。（經典集的模糊度恆為0。）
# 模糊性：D(A) = 1 當且僅當 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
# 單調性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，則 D(A) ≤ D(B)。
# 對稱性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（補集的模糊度相等。）
# 可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。
則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數，而 D(A) 為模糊集 A 的模糊度。
可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是
其中 p > 0 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

**模糊集的運算**

**各種算子**
 Zadeh 算子，max 即為並，min 即為交- 代數算子（概率和、代數積）- 有界算子- Einstein 算子- Hamacher 算子，其中ν ∈ 0,+∞) 是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子- Yager 算子，其中 p 是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子- λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ 0,1 是參數- Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ 0,1 是參數

**算子的性質**
參見集合代數和布爾代數。
主要算子的性質對比表如下（.表示不滿足，-表示未驗證）：
線性補償是指：

**模糊集與經典集的關係**

**截集與截積**
設 ，任取 ，則
 ，
稱 Aλ 為 A 的 λ 截集，而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 ASλ，稱為強截集。
截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 A1 為 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，則稱 A 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。
截積是數與模糊集的積：
設 λ ∈ 0,1，A ∈ F(U)，則 ∀ u∈U，λ 與 A 的截積（或稱為 λ 截集的數乘，記為 λA）定義為：
 
根據定義，截積仍是 U 上的模糊集合。

**分解定理與表現定理**
分解定理：
設 A∈F(U)，則
 
即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λAλ} 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。
表現定理：
設 H 為 U 上的任何一個集合套，則
 
是 U 上的一個模糊集，且 ∀ λ ∈ 0,1，有
（1） ASλ = ∪α>λ H(α)
（2） Aλ = ∩α H(α)
即任一集合套都能拼成一個模糊集。

**模糊集之間的距離**

**使用度量理論**
可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 0,1 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：
 

**貼近度**
另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到“度”的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越“高”，因此它恰為距離的反數。
除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。
*; 最大最小貼近度
 
*; 算術平均最小貼近度
 
*; 幾何平均最小貼近度
 
*; 指數貼近度
 

**模糊關係**
模糊關係是建立在模糊集上的關係，此外，它也有一些特別的性質和應用。

**定義**
設 U 和 V 是論域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 R ∈ U × V 都稱為從 U 到 V 的一個模糊關係。若 U = V，則稱 R 是 U 中的模糊關係。如果 R(x,y) = α，則稱 x 與 y 具有關係 R 的程度為 α。特別地：- 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，當 x = y 時 R = 1，當 x ≠ y 時 R = 0，則稱 R 為 U 上的恆等關係，記為 I- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，則稱 R 為從 U 到 V 的零關係，記為 0- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，則稱 R 為從 U 到 V 的全稱關係，記為 E
模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算，實質上就是模糊集的相應運算（採用 Zadeh 算子）。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置，定義為
 RT(x,y) = R(y,x)
易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。

**關係以及關係的合成的矩陣表達**
關係的合成：
對於從 U x-m 到 V y-p 的關係 R，以及從 V y-p 到 W z-n 的關係 S，那麼從 U 到 W 的模糊複合關係 R · S 為
 
其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。
例子：設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：
那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：

**模糊關係與分類**
模糊等價關係定義：
設 U 中的模糊關係 R 滿足
 1. 自反性 : ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
 2. 對稱性 : ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
 3. 傳遞性 : ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ 0,1, 當 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 時，R(x , z) ≥ λ
則稱 R 為 U 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 λ ∈ 0,1 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。
下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 λ ∈ 0,1，R 的 λ 截關係 Rλ 是 U 中的普通等價關係。
只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理：U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R2 ⊆ R。
分類：
# 如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 λ 截集，即可得到這個水平上的分類。
# 如果模糊關係是相似關係，計算 R* ≡ R2^k = R2^(k+1)，則 R* 可被證明是等價關係。

**模糊推理**

**註釋**

**參考文獻 ==