安培環路定律

安德烈-馬裡·安培。
安培環路定律（Ampère's circuital law）常直接簡稱為“安培定律”，是由安德烈-馬裡·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。
安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感應強度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）1=在物理學上，英語 loop 和 circuit 在特殊語境下同義；在以下內文中，漢語對此術語 closed loop 的同義用詞另有：環路、迴路、迴圈、環線、迴線，或是閉環、閉路。的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為
 ；
其中，是環繞著導線的閉合迴路，是磁感應強度（又稱為B場），是微小線元素向量，是磁常數，是閉合迴路所圍住的電流。
亦即，在真空中的穩恆電流會產生穩恆磁場，而磁感應強度B沿任意環繞載流導線的閉合路徑的線積分值（環場積），等於該選取的環路（安培環路）所包圍的總電流值（各個電流的代數和）乘以真空磁導率。
1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為
 ；
其中，是邊緣為的任意曲面，是穿過曲面的電流的電流密度，是電位移，是微小面元素向量。

**右手定則**
載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。
安培右手定則：將右手的大拇指指向電流方向，再將四根手指握緊電線，則彎曲的方向決定磁場的方向
右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

**原版安培環路定律**
一條載流導線所載有的電流會產生磁場。
安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量，
。
所以，這兩種形式是等價的。

**積分形式**
電流在一個曲面上的通量，等於磁場沿著的邊緣閉合迴路的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位製版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為：
。
請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：
*第一，邊界曲線的正向與曲面的側符合右手規則。沿著閉合迴路線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有，是通過邊緣為閉合迴路的曲面的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。
*第二，（固定，）定理之成立與以為邊界的的選擇無關。通過邊緣為閉合迴路的曲面有無限多選擇（設想在一個閉合鐵環上懸跨著一個肥皂泡，假若輕輕地往這個肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為的曲面皆可被證明為正確的選擇。
安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的疊加性證明（請參閱必歐-沙伐定律）。在靜磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

**微分形式**
根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為
。
磁場的旋度等於（產生該磁場的）傳導電流密度。

**電流分類**
電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度是
；
其中，是自由電流密度或傳導電流密度，是磁化電流密度，是電極化電流密度。
從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場）和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

**自由電流**
通常在教科書內所提及的單獨的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由載流子（電子及陰陽離子）的定向移動。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由電流與後面提到的束縛電流明顯不同，後者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裡（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

**磁化電流**
當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」，用方程式定義為
；
其中，是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

**電極化電流**
束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」，用方程式定義為
；
其中，是電極化強度。
注意到電極化強度的定義式
；
其中，是「體束縛電荷密度」。
取電極化電流密度的散度：
。
所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為
。

**原版安培環路定律的不足處**
原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裡，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，
；
其中，是B場，是磁常數，是總電流。
取散度於這方程式，則會得到
。
應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，
。
這意味著電流密度的散度等於零：
。
在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。
一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面包圍。這圓柱表面的右邊表面處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面，而有電流通過表面。
舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面的邊緣為閉合迴路。應用安培定律，
 。
在這裡，是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路。所以，這任意曲面可以是表面，而是；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面，而由於通過這任意曲面的電流是，是。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裡，是絕對不允許發生的事。
為瞭解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。

**位移電流**
在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。
位移電流密度定義為
；
其中，是電位移，定義為
；
其中，是電常數，是電極化強度。
所以，位移電流密度分為兩個部分：
。
這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

**原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式**
將馬克士威修正項目加入安培方程式：
  ;
或者，使用H場和位移電流來表達，
。
這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。
假若使用B場的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

**等價證明**

**CGS單位制的安培方程式**
採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為
；
其中，是光速。
其微分形式可以寫為
。

**備註**

**參見**
 電荷守恆定律

**註釋**

**參考文獻**

**外部連結**
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