交換律

一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子
交換律（Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義。

**一般用法**
交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。

**數學定義**
「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中：
1. 在集合  的一二元運算  被稱之為「可交換」的，若：
- 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。
2. 若稱  在  下和  「可交換」，即表示：

3. 一二元函數被稱之為「可交換」的，若：
.

**歷史**
Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾裡得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。

**相關性質**
顯示加法函數對稱性的圖

**結合律**
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

**對稱**
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對  這條線對稱。舉例來說，若設一函數  來表示加法（一可交換運算），所以  ，也因此  會是個如右圖所見的對稱函數。

**例子**

**日常生活中**
 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。- 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

**數學中的可交換運算**
顯現出乘法 (  ) 的交換律的一個例子
兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為：- 實數的加法
:
例如，  ，兩個表示式都等於 9 。- 實數的乘法
:
例如，  ，兩者都等於 15 。- 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

**日常生活中的不可交換運算**
串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。- 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。- 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

**數學中的不可交換運算**
一些不可交換二元運算有：- 減法：  ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。- 除法： ，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。- 矩陣乘法：


**數學結構與交換律**
 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。- 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）- 域的加法與乘法都是可交換的。- 中心是一個群最大的可交換子集。

**註記**

**參考資料**

**書籍**
 id=ISBN 978-0-387-98258-8
Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.- id=ISBN 978-0-13-067342-8
Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.
*id=ISBN 978-0-618-51471-7
Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

**文章**
https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
*Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

**線上資源**
ref=none
*Krowne, Aaron, urlname=Commutative, Accessed 2007-08-08.
*:Definition of commutativity and examples of commutative operations
*urlname=Commute, Accessed 2007-08-08.
*:Explanation of the term commute- urlname=ExampleOfCommutative, Accessed 2007-08-08
*:Examples proving some noncommutative operations
*archive-url=https://web.archive.org/web/20090918084448/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html 
*:Article giving the history of the real numbers
*archive-url=https://web.archive.org/web/20110501074959/http://jeff560.tripod.com/c.html 
*:Page covering the earliest uses of mathematical terms
*archive-url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html 
*:Biography of Francois Servois, who first used the term

**另見**
反交換律
*二元運算
*交換子集合
*交換子
*分配律
*結合律
*遞移關係