波函數

設想經典力學裡的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裡， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。
在量子力學裡，量子系統的量子態可以用波函數（Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。notetag|從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種波動方程式，因此，波函數具有類似波的性質。這說明瞭波函數這術語的命名原因。
波函數  是一種複值函數，表示粒子在位置  、時間  的機率幅，它的絕對值平方  是在位置  、時間  找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。波函數的概念在量子力學裡非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。

**歷史**
路易·德布羅意
埃爾溫·薛丁格
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。606–609
德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定諤方程式。207他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界163-167。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平臺。
薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義219-220。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明瞭這意見。479
1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米爾·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。344-345
薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ，無法準確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。196-1973
1926年，奧斯卡·克萊因和沃爾特·戈爾登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式。3
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。167

**概述**
在一維無限深方形阱內，粒子的能級與對應的波函數。
在一維無限深方形阱內，找到能級為  的粒子的機率。

**位置空間波函數**
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為  ；其中， 是位置， 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置  在區間  （即  ）的機率為
 ；
其中， 是對於粒子位置做測量的時間。
換句話說， 是粒子在位置  、時間  的機率密度。
這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：
 。

**動量空間波函數**
在動量空間，粒子的波函數表示為  ；其中， 是一維動量，值域從  至  。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量  在區間  （即  ）的機率為
 。
動量空間波函數的歸一化條件也類似：
 。

**兩種波函數之間的關係**
本圖展示一維零自旋自由粒子的波函數範例，左邊是位置空間波函數  的實部（紫色）和機率密度  （紅色），右邊是動量空間波函數  的實部（金色）和機率密度  （藍色）。在x-軸的某位置  或px-軸的某動量  顯示出的粒子顏色的不透明度，分別表示在那位置  或動量  找到粒子的機率密度（不是波函數的機率幅）。
位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為108
 、
 。

**波函數實質**
量子力學中體系的態實際上由一個希爾伯特空間裡的  矢量來描述。我們可以用任何不同的基來表示它。
波函數  實際上是  在座標本徵函數為基上展開的“分量”：

（這裡基矢量  對應於本徵值為  的算符  的本徵函數）。
動量空間波函數  是  用動量本徵函數的基展開時的展開係數:

（這裡基矢量  對應於屬於本徵值  的  的本徵函數） 。
我們也可以把  用能量本徵函數的基展開（簡單起見，假設譜是分立的）：

（這裡基矢量  對應屬於  的第  個本徵函數：) 。
波函數  與  和係數的集合  ，所有這些所表示的都是同一個狀態，包含完全一樣的信息——它們僅是描述同一矢量的三種不同途徑而已：


**薛丁格方程式**
在一維空間裡，運動於位勢  的單獨粒子，其波函數滿足含時薛丁格方程式
 ；
其中， 是質量， 是約化普朗克常數。
不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想  的函數形式為
 ；
其中， 是分離常數，稍加推導可以論定  就是能量， 是對應於  的本徵函數。
代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
 。

**波函數的概率詮釋**
波函數  是概率波。其模的平方  代表粒子在該處出現的概率密度，並且具有歸一性，全空間的積分
 。
波函數的另一個重要特性是相干性。兩個波函數疊加，概率的大小取決於兩個波函數的相位差，類似光學中的楊氏雙縫實驗。

**波函數的本徵值和本徵態**
在量子力學中，可觀察量  以算符  的形式出現。 代表對於波函數的一種運算。例如，在位置空間裡，動量算符  的形式為
 。
可觀察量  的本徵方程式為
 。
對應的  稱為算符  的本徵值， 稱為算符  的本徵態。假設對於  的本徵態  再測量可觀察量  ，則得到的結果是本徵值  。

**態疊加原理**
假設對於某量子系統測量可觀察量  ，而可觀察量  的本徵態  、 分別擁有本徵值  、 ，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態  也可以是這量子系統的量子態：
 ；
其中，  、 分別為疊加態處於本徵態  、 的機率幅。
假設對這疊加態系統測量可觀察量  ，則測量獲得數值是  或  的機率分別為  、 ，期望值為
 。

**定態**
描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明瞭為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態  。
在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符  不含時間的情況。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數  分離成一個只與位置有關的函數  和一個只與時間有關的函數  ：
 。
將這公式代入薛定諤方程，就會得到
  。
而  則滿足本徵能量薛丁格方程式：
 。

**例子**

**自由粒子**
3D空間中的自由粒子，其波矢 為k ， 角頻率 為ω，其波函數為：


**無限深方形阱**
粒子被限制在和之間的1D空間中，其波函數為:30-38

其中，是能量本徵值，是正整數，是質量。

**有限位勢壘**
對於一個壘高為 V0 的位勢壘的散射。往左與往右的量子波的波幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的量子波都以紅色表示
在1D情況下，粒子處於如下勢壘中：

其波函數的定態解為(為常數)


**量子點**
量子點中3D受束縛的電子波函數。如圖所示為方形和三角形量子點。方形量子點中的電子態更像s軌道和p軌道。然而，由於不同的幾何形態導致不同的束縛，三角形量子點中的波函數則是多種軌道混合的結果。|link=File:QuantumDot_wf.gif
量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體納米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢（由外部的電極，摻雜，應變，雜質產生），兩種不同半導體材料的界面（例如：在自組量子點中），半導體的表面（例如：半導體納米晶體），或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函數在空間上位於量子點中，但延伸於數個晶格週期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述，能級位置取決於勢阱寬度。

**參閱**
 波包

**參考文獻**

**註釋==