變分法

變分法是處理泛函的數學領域，和處理函數的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。
變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數學中的例子有，黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。
同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉託問題。

**歷史**
變分法可能是從約翰·伯努利（1696）提出最速曲線（brachistochrone curve）問題開始出現的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必達（Marquis de l'Hôpital）的注意。但歐拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於1733年，他的《變分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了這門科學這個名字。歐拉對這個理論的貢獻非常大。
勒讓德（1786）確定了一種方法，但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓和萊布尼茨也是在早期關注這一學科，對於這兩者的區別Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出過貢獻。Sarrus（1842）的由柯西（1844）濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）寫了一些其他有價值的論文和研究報告，但可能那個世紀最重要的成果是Weierstrass所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的，並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900年希爾伯特發表的23個問題中的第20和23個問題促進了其更深遠的發展。
在20世紀希爾伯特、埃米·諾特、列奧尼達·託內利、昂利·勒貝格和雅克·阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。

**歐拉-拉格朗日方程**
在理想情形下，一函數的極大值及極小值會出現在其導數為的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的歐拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點和最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

其中
  。
函數至少需為一階可微的函數。若是一個局部最小值，而是一個在端點及取值為零並且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

其中為任意接近的數字。
因此對的導數（A的一階導數）在時必為：
此條件可視為在可微分函數的空間中，在各方向的導數均為。若假設二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得

其中為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例：
，
其中為在兩端點皆為的任意可微函數。
若存在使，則在周圍有一區間的H也是正值。可以選擇在此區間外為，在此區間內為非負值，因此，和前提不合。若存在使，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：
，
由結論可推得下式：
，
因此兩點間最短曲線為一直線。
在一般情形下，則需考慮以下的計算式
，
其中需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量在極值處滿足歐拉-拉格朗日方程
，
不過在此處，歐拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

**費馬原理**
費馬原理指出：光會沿著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設為光的路徑，則光程可以下式表示：
，
其中折射率依材料特性而定。
若選擇，則的一階導數（對的微分）為：
，
將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程
。
光線的路徑可由上述的積分式而得。

**斯乃爾定律**
當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮
，
，
其中和是常數。在或的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在的位置，必須連續，不過可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為
。
和相乘的係數是入射角的正弦值，和相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

**費馬原理在三維下的形式**
費馬原理可以用向量的形式表示：令，而t為其參數，是曲線參數化的表示，而令為其法線向量。因此在曲線上的光程長為
。
上述積分和無關，因此也和的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式
，
其中
。
依P的定義可得下式
。
因此上述積分可改為下式
。
依照上式，若可以找到一個函數，其梯度為，則以上的積分就可以由在積分端點上的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

**和波動方程的關係**

**應用**
最優控制的理論是變分法的一個推廣。

**參看**
等周不等式
*變分原理
*費馬原理
*最小作用量原理
*無窮維優化
*泛函分析
*微擾法

**參考**
 Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

**外部鏈接**
 變分法線上影音教學date=20091017222525 by PengTitus- Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg- PlanetMath.org: Calculus of variations- Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variationsdate=20060308153002 - Example problems in the calculus of variations