珠算

珠算，指的是用算盤進行計算，一般特指用中式算盤進行計算。珠算領域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國籌算，在東漢徐嶽所著《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。
2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

**術語**
珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：- 算盤術語
** 框
** 樑
** 上珠
** 下珠- 運珠相關- 算術術語
** 加算：即加法計算。
*** 被加數： a
*** 加數： b
*** 和：  的 c
** 減算：即減法計算
*** 被減數： a
*** 減數： b
*** 差：  的 c
** 乘算：即乘法計算
*** 實、被乘數： a
*** 法、乘數： b
*** 積：  的 c
** 除算：即除法計算
*** 實、被除數： a
*** 法、除數： b
*** 商：  的 c
*** 餘：  的 d

**運珠**
有兩種方式：
# 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
# 單手運珠，以臺灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。
 二五珠算盤
一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是：- 拇指撥下珠向上靠梁。- 食指撥下珠向下離梁。- 中指撥上珠靠梁和離梁。
 一四珠算盤
（或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是：- 食指撥上珠向下靠梁。- 食指撥上珠向上離梁。- 拇指撥下珠向上靠梁。- 食指撥下珠向下離梁。
 一五珠算盤
兩個手指的基本分工是：- 食指撥上珠向下靠梁。- 食指撥上珠向上離梁。應該是拇指- 拇指撥下珠向上靠梁。- 食指撥下珠向下離梁。

**算法**

**布數**
布數是指表現數字的算珠擺放方式。

**加算**
方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。
（例）1937+284
 口訣
可輔助學習，熟練後亦可不用。
以 +3 為例:
*「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
*「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
*「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。
其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

**減算**
方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。
（例）2756-957
 口訣
可輔助學習，熟練後亦可不用。
以 -3 為例:
「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。
「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。
「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。
 負數
遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

**乘算**
基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

:
:
更進一步分解，
:
:
計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口訣——九九歌。
而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：- 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
** 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。- 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
** 破頭乘法，又稱頭乘法
** 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。
此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。
其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多隻有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。
 看頭乘法
 破頭乘法
 新頭乘法
（例）32×97
}
→
→
→
32
算「2」字
2×90
→
→
→
算「3」字
**3104
湊倍乘法

**除算**
方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。
計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

**商除法**
以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。
（例）- 第一位- 第二位- 第三位
得到 。
而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。
以密率為例，說明完整的商除法。
以  為例- 第一位- 第二位- 第三位- 第四位- 第五位- 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。- 第七位。
得 
 修正商
計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

**歸除法**
其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。
除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

**= 九歸訣 =**
目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》捲上《歸除歌訣》：「
一歸如一進、見一進成十；
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；
五歸添一倍、逢五進成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；
九歸隨身下、逢九進成十
」
整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。
以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是  。
而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指。逢三進成十是指。
有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，。
五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：）
其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。
 其他版本
也有幾種不同的版本，如簡化版：「
一歸如一進，見一進成十；
二一添作五，逢二進成十；
三一三十一，三二六十二，逢三進成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；
五歸添一倍，逢五進成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；
九歸隨身下，逢九進成十。
」
或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「
一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。
三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。
四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。
五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。
六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。
七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。
八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。
九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。
」

**= 單歸法（除數為一位）=**
以約率為例。
（例） 
得 

**= 歸除法（除數為多位）=**
跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。
以  為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味著用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。
減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：- 一歸：無除起一下還一- 二歸：無除起一下還二- 三歸：無除起一下還三- 四歸：無除起一下還四- 五歸：無除起一下還五- 六歸：無除起一下還六- 七歸：無除起一下還七- 八歸：無除起一下還八- 九歸：無除起一下還九
這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。
另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：- 一歸：見一無除撞九一- 二歸：見二無除撞九二- 三歸：見三無除撞九三- 四歸：見四無除撞九四- 五歸：見五無除撞九五- 六歸：見六無除撞九六- 七歸：見七無除撞九七- 八歸：見八無除撞九八- 九歸：見九無除撞九九
這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。
以密率為例，因為除數為 ，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：- 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。- 退商口訣：無除起一下還一。- 撞歸口訣：見一無除撞九一。
（例）- 第一位- 第二位- 第三位- 第四位- 第五位- 第六位- 第七位
得 。

**湊倍除法**
或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

**開平方**
開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

**驗算**
還原驗算法
一、交換律
加法算式:被加數+加數=和數
驗算公式:加數+被加數=和數
減法算式:被減數-減數=差數
驗算公式:被減數-差數=減數
乘法算式：被乘數*乘數=積
驗算公式：乘數*被乘數=積
二、逆運算
加法算式:被加數+加數=和數
驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
減法算式:被減數-減數=差數
驗算公式:差數+減數=被減數
乘法算式：被乘數*乘數=積
驗算公式：積/被乘數=乘數
除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數
三、尾錯復尾
只再計算最後幾位數一次
九餘數法
只能驗加法,減法,乘法和乘冪
範例一、 123+456=599
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
599=5+9+9=5(mod 9)
因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
範例二、  123*456=68934
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
範例三、  22*68*53=369780
22=4(mod 9)
68=5(mod 9)
53=8(mod 9)
369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
範例四、  23^4=367981
23^4=(-4)^4=4(mod 9)
367981=34=7(mod 9)
因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。

九除法
十一除法
二除法

**珠算競技**
珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

**參考文獻**

**外部鏈接**
  珠算全球資訊網 date=20141130161502 -  中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 date=20141104001457 -  世界珠心算網 date=20140824220519 

**參見**
 算盤- 籌算- 心算- 《算法統宗》