樹 (數據結構)

一棵樹
在計算機科學中，樹（tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實作這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>0）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：- 每個節點都只有有限個子節點或無子節點；- 沒有父節點的節點稱為根節點；- 每一個非根節點有且只有一個父節點；- 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；- 樹裡面沒有環路(cycle)

**術語**
# 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
# 樹的度：一棵樹中，最大的節點度稱為樹的度；
# 葉節點或終端節點：度為零的節點；
# 非終端節點或分支節點：度不為零的節點；
# 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
# 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
# 兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
# 節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
# 深度：對於任意節點n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根的深度為0；
# 高度：對於任意節點n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0；
# 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟；
# 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
# 子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
# 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

**樹的種類**
有序/無序：- 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹。- 有序樹/搜索樹/查找樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係，這種樹稱為有序樹。即樹的所有節點按照一定的順序排列，這樣進行插入、刪除、查找時效率就會非常高
平衡/不平衡：
*平衡樹
**絕對平衡樹：所有葉節點在同一層
**非絕對平衡樹
*不平衡樹
節點的分叉情況：
*等叉樹：是每個節點的鍵值個數都相同、子節點個數也都相同
** 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹；
*** 完全二叉樹：對於一棵二叉樹，假設其深度為d（d>1）。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹；
**** 滿二叉樹：所有葉節點都在最底層的完全二叉樹；
*** 平衡二叉樹（AVL樹）：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹；
*** 排序二叉樹：也稱二叉查找樹、二叉搜索樹、有序二叉樹；
** 霍夫曼樹：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹；
** 多叉樹
*不等叉樹：每個節點的鍵值個數不一定相同、子節點個數也不一定相同
** B樹：對不等叉樹的節點鍵值數和插入、刪除邏輯添加一些特殊的要求，使其能達到絕對平衡的效果。B樹全稱Balance Tree。如果某個B樹上所有節點的分叉數最大值是m，則把這個B數叫做m階B樹。

**存儲**

**父節點表示法**

**存儲結構**

**基本操作**
設已有鏈隊列類型LinkQueue的定義及基本操作（參見隊列）。

**= 構造空樹 =**
清空或銷燬一個樹也是同樣的操作
void ClearTree(PTree *T)
{ 
T->n = 0;
}

**= 構造樹 =**
void CreateTree(PTree *T)
{ 
LinkQueue q;
QElemType p,qq;
int i=1,j,l;
char cMAX_TREE_SIZE; /* 臨時存放孩子節點數組 */
InitQueue(&q); /* 初始化隊列 */
printf("請輸入根節點(字符型，空格為空): ");
scanf("%c%*c",&T->nodes0.data); /* 根節點序號為0，%*c吃掉回車符 */
if(T->nodes0.data!=Nil) /* 非空樹 */
{
T->nodes0.parent=-1 ; /* 根節點無父節點 */
qq.name=T->nodes0.data;
qq.num=0;
EnQueue(&q,qq); /* 入隊此節點 */
while(inodesi.data=cj;
T->nodesi.parent=qq.num;
p.name=cj;
p.num=i;
EnQueue(&q,p); /* 入隊此節點 */
i++;
}
}
if(i>MAX_TREE_SIZE)
{
printf("節點數超過數組容量\n");
exit(OVERFLOW);
}
T->n=i;
}
else
T->n=0;
}

**= 判斷樹是否為空 =**
Status TreeEmpty(PTree *T)
{ /* 初始條件：樹T存在。操作結果：若T為空樹，則返回TRUE，否則返回FALSE */
return T->n==0;
}

**= 獲取樹的深度 =**
int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始條件：樹T存在。操作結果：返回T的深度 */
int k,m,def,max=0;
for(k=0;kn;++k)
{
def=1; /* 初始化本節點的深度 */
m=T->nodesk.parent;
while(m!=-1)
{
m=T->nodesm.parent;
def++;
}
if(max

**= 獲取根節點 =**
TElemType Root(PTree *T)
{ /* 初始條件：樹T存在。操作結果：返回T的根 */
int i;
for(i=0;in;i++)
if(T->nodesi.parentnodesi.data;
return Nil;
}

**= 獲取第i個節點的值 =**
TElemType Value(PTree *T,int i)
{ /* 初始條件：樹T存在，i是樹T中節點的序號。操作結果：返回第i個節點的值 */
if(in)
return T->nodesi.data;
else
return Nil;
}

**= 改變節點的值 =**
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始條件：樹T存在，cur_e是樹T中節點的值。操作結果：改cur_e為value */
int j;
for(j=0;jn;j++)
{
if(T->nodesj.data==cur_e)
{
T->nodesj.data=value;
return OK;
}
}
return ERROR;
}

**= 獲取節點的父節點 =**
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始條件：樹T存在，cur_e是T中某個節點 */
/* 操作結果：若cur_e是T的非根節點，則返回它的父節點，否則函數值為＂空＂*/
int j;
for(j=1;jn;j++) /* 根節點序號為0 */
if(T->nodesj.data==cur_e)
return T->nodesT->nodesj.parent.data;
return Nil;
}

**= 獲取節點的最左孩子節點 =**
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始條件：樹T存在，cur_e是T中某個節點 */
/* 操作結果：若cur_e是T的非葉子節點，則返回它的最左孩子，否則返回＂空＂*/
int i,j;
for(i=0;in;i++)
if(T->nodesi.data==cur_e) /* 找到cur_e，其序號為i */
break;
for(j=i+1;jn;j++) /* 根據樹的構造函數，孩子的序號＞其父節點的序號 */
if(T->nodesj.parent==i) /* 根據樹的構造函數，最左孩子(長子)的序號＜其它孩子的序號 */
return T->nodesj.data;
return Nil;
}

**= 獲取節點的右兄弟節點 =**
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始條件：樹T存在，cur_e是T中某個節點 */
/* 操作結果：若cur_e有右(下一個)兄弟，則返回它的右兄弟，否則返回＂空＂*/
int i;
for(i=0;in;i++)
if(T->nodesi.data==cur_e) /* 找到cur_e，其序號為i */
break;
if(T->nodesi+1.parent==T->nodesi.parent)
/* 根據樹的構造函數，若cur_e有右兄弟的話則右兄弟緊接其後 */
return T->nodesi+1.data;
return Nil;
}

**= 輸出樹 =**
void Print(PTree *T)
{ /* 輸出樹T。加 */
int i;
printf("節點個數=%d\n",T->n);
printf(" 節點 父節點\n");
for(i=0;in;i++)
{
printf("    %c",Value(T,i)); /* 節點 */
if(T->nodesi.parent>=0) /* 有父節點 */
printf("    %c",Value(T,T->nodesi.parent)); /* 父節點 */
printf("\n");
}
}

**= 向樹中插入另一棵樹 =**
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
{ /* 初始條件：樹T存在，p是T中某個節點，1≤i≤p所指節點的度+1，非空樹c與T不相交 */
/* 操作結果：插入c為T中p節點的第i棵子樹 */
int j,k,l,f=1,n=0; /* 設交換標誌f的初值為1，p的孩子數n的初值為0 */
PTNode t;
if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */
{
for(j=0;jn;j++) /* 在T中找p的序號 */
if(T->nodesj.data==p) /* p的序號為j */
break;
l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子樹，則插在j+1處 */
if(i>1) /* c不是p的第1棵子樹 */
{
for(k=j+1;kn;k++) /* 從j+1開始找p的前i-1個孩子 */
if(T->nodesk.parent==j) /* 當前節點是p的孩子 */
{
n++; /* 孩子數加1 */
if(n==i-1) /* 找到p的第i-1個孩子，其序號為k1 */
break;
}
l=k+1; /* c插在k+1處 */
} /* p的序號為j，c插在l處 */
if(ln) /* 插入點l不在最後 */
for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次將序號l以後的節點向後移c.n個位置 */
{
T->nodesk+c.n=T->nodesk;
if(T->nodesk.parent>=l)
T->nodesk+c.n.parent+=c.n;
}
for(k=0;knodesl+k.data=c.nodesk.data; /* 依次將樹c的所有節點插於此處 */
T->nodesl+k.parent=c.nodesk.parent+l;
}
T->nodesl.parent=j; /* 樹c的根節點的父節點為p */
T->n+=c.n; /* 樹T的節點數加c.n個 */
while(f)
{ /* 從插入點之後，將節點仍按層序排列 */
f=0; /* 交換標誌置0 */
for(j=l;jn-1;j++)
if(T->nodesj.parent>T->nodesj+1.parent)
{/* 如果節點j的父節點排在節點j+1的父節點之後（樹沒有按層序排列），交換兩節點*/
t=T->nodesj;
T->nodesj=T->nodesj+1;
T->nodesj+1=t;
f=1; /* 交換標誌置1 */
for(k=j;kn;k++) /* 改變父節點序號 */
if(T->nodesk.parent==j)
T->nodesk.parent++; /* 父節點序號改為j+1 */
else if(T->nodesk.parent==j+1)
T->nodesk.parent--; /* 父節點序號改為j */
}
}
return OK;
}
else /* 樹T不存在 */
return ERROR;
}

**= 刪除子樹 =**
Status deletedMAX_TREE_SIZE+1; /* 刪除標誌數組(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始條件：樹T存在，p是T中某個節點，1≤i≤p所指節點的度 */
/* 操作結果：刪除T中節點p的第i棵子樹 */
int j,k,n=0;
LinkQueue q;
QElemType pq,qq;
for(j=0;jn;j++)
deletedj=0; /* 置初值為0(不刪除標記) */
pq.name='a'; /* 此成員不用 */
InitQueue(&q); /* 初始化隊列 */
for(j=0;jn;j++)
if(T->nodesj.data==p)
break; /* j為節點p的序號 */
for(k=j+1;kn;k++)
{
if(T->nodesk.parent==j)
n++;
if(n==i)
break; /* k為p的第i棵子樹節點的序號 */
}
if(kn) /* p的第i棵子樹節點存在 */
{
n=0;
pq.num=k;
deletedk=1; /* 置刪除標記 */
n++;
EnQueue(&q,pq);
while(!QueueEmpty(q))
{
DeQueue(&q,&qq);
for(j=qq.num+1;jn;j++)
if(T->nodesj.parent==qq.num)
{
pq.num=j;
deletedj=1; /* 置刪除標記 */
n++;
EnQueue(&q,pq);
}
}
for(j=0;jn;j++)
if(deletedj==1)
{
for(k=j+1;kn;k++)
{
deletedk-1=deletedk;
T->nodesk-1=T->nodesk;
if(T->nodesk.parent>j)
T->nodesk-1.parent--;
}
j--;
}
T->n-=n; /* n為待刪除節點數 */
}
}

**= 層序遍歷樹 =**
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始條件：二叉樹T存在,Visit是對節點操作的應用函數 */
/* 操作結果：層序遍歷樹T,對每個節點調用函數Visit一次且僅一次 */
int i;
for(i=0;in;i++)
Visit(T->nodesi.data);
printf("\n");
}

**孩子鏈表表示法**

**存儲結構**
/*樹的孩子鏈表存儲表示*/
typedef struct CTNode { // 孩子節點
int child;
struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {
ElemType data； // 節點的數據元素
ChildPtr firstchild； // 孩子鏈表頭指針
} CTBox;
typedef struct {
CTBox nodesMAX_TREE_SIZE；
int n, r； // 節點數和根節點的位置
} CTree;
File:hzll.jpg

**森林、樹與二叉樹的轉換**
見二叉樹相應章節

**外部鏈接**
  樹-數據結構(Python)by EINDEX- Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition) date=20201109001448 

**參考文獻 ==