代數基本定理

代數基本定理（fundamental theorem of algebra）說明，任何一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。
有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次複係數多項式，都正好有n個複數根（重根視為多個根）。這似乎是一個更強的命題，但實際上是“至少有一個根”的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有n個根。也就是說，任何一個n次多項式，都可以因式分解為n個復係數一次多項式的乘積。
儘管這個定理被命名為“代數基本定理”，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關於解實係數或複係數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。
高斯一生總共對這個定理給出了四個證明，其中第一個是在他22歲時（1799年）的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的，也有函數的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。
同時，高次代數方程的求解仍然是一大難題。伽羅瓦理論指出，對於一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代數解。

**證明**
所有的證明都包含了一些數學分析，至少是實數或複數函數的連續性概念。有些證明也用到了可微函數，甚至是解析函數。
定理的某些證明僅僅證明了任何實係數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式，這是因為，給定複係數多項式p(z)，以下的多項式

就是一個實係數多項式，如果z是q(z)的根，那麼z或它的共軛複數就是p(z)的根。
許多非代數證明都用到了“增長引理”：當|z|足夠大時，首係數為1的n次多項式函數p(z)的表現如同zn。一個更確切的表述是：存在某個正實數R，使得當|z| > R時，就有：


**複分析證明**

**證明一**
尋找一箇中心為原點，半徑為r的閉圓盤D，使得當|z| ≥ r時，就有|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在D內的最小值（一定存在，因為D是緊緻的），是在D的內部的某個點z0取得，但不能在邊界上取得。於是，根據最大模原理，p(z0) = 0。也就是說，z0是p(z)的一個零點（根）。

**證明二**
由於在D之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整個複平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)| > 0，那麼1/p在整個複平面上是有界的全純函數，這是因為對於每一個複數z，都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|。利用劉維爾定理（有界的整函數一定是常數），可知1/p是常數，因此p是常數。於是得出矛盾，所以p(z0) = 0。

**證明三**
這個證明用到了輻角原理。設R為足夠大的正實數，使得p(z)的每一個根的絕對值都小於R；這個數一定存在，因為n次多項式函數最多有n個根。對於每一個r > R，考慮以下的數：

其中c(r)是中心為0，半徑為r的逆時針方向的圓；於是輻角原理表明，這個數是p(z)在中心為0、半徑為r的開圓盤內的零點的數目N，由於r > R，所以它也是p(z)的零點的總數目。另一方面，n/z沿著c(r)的積分除以2πi，等於n。但這兩個數的差為：

被積分的有理表達式中的分子，次數最多是n − 1，而分母的次數是n + 1。因此，當r趨於+∞時，以上的數趨於0。但這個數也等於N − n，因此有N = n。

**證明四**
這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個n > 0次複係數多項式都有一個根，只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特徵值。證明用到了反證法。
設A為大小n > 0的方塊矩陣，並設In為相同大小的單位矩陣。假設A沒有特徵值。考慮預解函數
 
它在複平面上是亞純函數，它的值位於矩陣的向量空間內。A的特徵值正好是R(z)的極點。根據假設，A沒有特徵值，因此函數R(z)是整函數，根據柯西積分定理可知：

另一方面，把R(z)展開為幾何級數，可得：

這個公式在半徑為
A
的閉圓盤的外部（A的算子範數）成立。設r > 
A
。那麼：

（僅當k = 0時，積分才不等於零）。於是得出矛盾，因此A一定有一個特徵值。

**拓撲學證明**
設z0 ∈ C為使|p(z)|在z0取得最小值的數; 從用到劉維爾定理的證明中，可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把p(z)寫成z − z0的多項式：存在某個自然數k和一些複數ck、ck + 1、…、cn，使得ck ≠ 0，以及：
.
可推出如果a是(p(z)-p(z0))/ck的一個k重根，且t是足夠小的正數，那麼|p(z0 + ta)| 0)|，這是不可能的，因為|p(z0)|是|p|在D內的最小值。
對於另外一個用到反證法的拓撲學證明，假設p(z)沒有根。選擇一個足夠大的正數R，使得對於|z| = R，p(z)的第一項zn大於所有其它的項的和；也就是說，|z|n > |an − 1zn −1 + ··· + a0|。當z依逆時針方向繞過方程為|z| = R的圓一次時，p(z)，像zn那樣，依逆時針方向繞過零n次。在另外一個極端，|z| = 0時，“曲線” p(z)僅僅是一個（非零的）點p(0)，它的卷繞數顯然是0。如果z所經過的迴路在這兩個極端中被連續變形，那麼p(z)的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為，其中t大於或等於0，而小於或等於1。如果我們把變量t視為時間，那麼在時間為零時，曲線為p(z)，時間為1時，曲線為p(0)。顯然在每一個點t，根據原先的假設p(z)都不能是零，因此在變形的過程中，曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於0的繞數應該不變。然而，由於繞數在一開始是n，結束時是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一個根。

**代數證明**
這個證明需要依賴實數集的如下事實：正實數在上有實平方根，以及任何奇次多項式在上有一個根（這可以用介值定理證明）。
首先。經過簡單的計算可以證明在開平方運算下是封閉的, 分別是。結合。得出不存在二階擴張。
由於，於是任何的擴張都是可分的，從而任何的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設、都是伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群的西羅2-子群H。那麼是奇數。由本原元定理得出，KH存在本原元，它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實2，任何奇次數多項式在實數上有一個根，不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是是2的冪次。
假設並且r>0，再次利用西羅定理，G存在一個階為2r-1的子群N。這時。這和先前不存在二階擴張矛盾。因此的任何代數擴張都是本身，代數基本定理得證。

**推論**
由於代數基本定理可以視為複數域是代數封閉的，可推出任何關於代數封閉域的定理在複數域都是適用的。這個定理有一些推論，要麼是關於實數域的，要麼是關於實數域與複數域之間的關係的：- 複數域是實數域的代數閉包。- 每一個一元實係數多項式都可以表示為常數、x + a形式的多項式（a為實數），以及x2 + ax + b形式的多項式（a和b為實數，a2 − 4b n形式的有理函數（其中n是自然數，a和b是實數），與(ax + b)/(x2 + cx + d)n形式的有理函數（其中n是自然數，a、b、c和d是實數，c2 − 4d ère partie: Analyse Algébrique|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v|place = Paris|publisher = Éditions Jacques Gabay|ISBN = 2-87647-053-5|accessdate = 2008-09-22|archive-date = 2019-06-10|archive-url = https://web.archive.org/web/20190610101717/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v|dead-url = no- dead-url = yes. English translation: dead-url = no- Citation|last = Gauss|first = Carl Friedrich（卡爾·弗里德里希·高斯）|author-link = 卡爾·弗里德里希·高斯|year = 1799|title = Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|place = 黑爾姆施泰特|publisher = C. G. Fleckeisen- 卡爾·弗里德里希·高斯, “ Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degreedate=20170501014123 ”, 1815- dead-url = no- dead-url = no- year=1891

**現代作品**
 Citation|last = Fine|first = Benjamin|last2 = Rosenber|first2 = Gerhard|title = The Fundamental Theorem of Algebra|publisher = Springer-Verlag|place = Berlin|year = 1997|isbn = 978-0-387-94657-3|series = Undergraduate Texts in Mathematics- issn = 0002-9939- issn = 0003-9519- isbn = 2-87647-101-9- Citation|last = Remmert|first = Reinhold|author-link = Reinhold Remmert|year = 1991|chapter = The Fundamental Theorem of Algebra|editor-last = Ebbinghaus|editor-first = Heinz-Dieter|editor2-last = Hermes|editor2-first = Hans|editor3-last = Hirzebruch|editor3-first = Friedrich|title = Numbers|series = Graduate Texts in Mathematics 123|editor3-link = Friedrich Hirzebruch|place = Berlin|publisher = Springer-Verlag|isbn = 978-0-387-97497-2- Citation|last= Smith|first = David Eugene|author-link = David Eugene Smith|title = A Source Book in Mathematics|publisher = Dover|isbn = 0-486-64690-4|year = 1959- issn = 0035-9149- Citation | last = van der Waerden | first = Bartel Leendert | author-link = Bartel Leendert van der Waerden | title = Algebra | volume = I | edition = 7th | date = 2003 | publisher = Springer-Verlag | isbn = 0-387-40624-7

**外部鏈接**
  代數基本定理date=20201127013844 ；含有許多證明-  John H. Mathews所作的代數基本定理教程-  代數基本定理的文獻目錄