狄拉克δ函數

δ函數示意圖。直線上箭頭的高度一般用於指定δ函數前任何乘法常數的值，亦即等於函數下方的面積。另一種慣例是把面積值寫在箭頭的旁邊。
δ函數是以零為中心的正態分佈隨的（分佈意義上的）極限。
在科學和數學中，狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。p=58p=3函數有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。p=84
從純數學的觀點來看，狄拉克δ函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。loc=§5.1δ函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，δ函數一般可以當做普通函數一樣使用。
狄拉克δ函數得名自物理學家保羅·狄拉克，其形式上所遵守的規則屬於operational calculus的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括δ函數在內的運算微積分方法，在20世紀初受到數學家的質疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。p=3嚴謹地來說，δ函數必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的概率測度。
在許多應用中，均將δ視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限（weak limit），而序列中的函數則可作為對δ函數的近似。在訊號處理上，δ函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。loc=Chapter 5克羅內克函數|克羅內克δ函數是對應於狄拉克δ函數的離散函數，其定義域為離散集，值域可以是0或者1。

**概述**
δ函數的圖形通常可以視為整條x軸和正y軸。雖然稱為函數，但δ函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，1=f(x) = δ(x)和1=g(x) = 0這兩個數學物件除了在1=x = 0以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若f和g為函數，使得1=f = g幾乎處處成立，則f可積當且僅當g可積且f和g的積分相同。p=xii+179要嚴謹處理δ函數，須用到測度論或分佈。
δ函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用δ函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。p=230
在應用數學中，δ函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。

**歷史**
約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》（Théorie analytique de la chaleur）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅裡葉積分定理：p=408

這相當於以這種方式引入了δ函數：p=200

之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函數表達了這一定理：p=4

柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。p=653
分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅裡葉的方程式：

其中δ函數可表達為：

在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數f所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：p=62
經典傅裡葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅裡葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函數，也不存在經典意義上的傅裡葉變換。經典傅裡葉變換擴展至分佈，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。
之後，米歇爾·普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的L2理論（1910年）、諾伯特·維納和Salomon Bochner（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅裡葉積分，p=553並建立了狄拉克δ函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。p=230西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅裡葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了δ函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。loc=§15

**定義**
籠統地來說，δ函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，
 
並同時滿足以下條件
loc=Volume I, §1.1, p. 1
這只是一個概略的表述：δ函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。 loc=§15更嚴謹地來說，δ函數可以定義為分佈或測度。

**測度**
測度是其中一種嚴謹定義δ函數的方法。作為一個測度，δ函數取一個實線R的子集A，當0 ∈ A時輸出1=δ(A) = 1，否則1=δ(A) = 0。loc=§1.20如果把δ函數想象成位於0的一個理想化的質點，則δ(A)代表集合A所包含的質量。一個函數相對於δ的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數f，這一積分滿足：
 
測度δ相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個Singular measure。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數δ：loc=§19.61

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。
作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：

換句話說，H(x)是積累指示函數1(−∞, x相對於測度δ的積分：

δ函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：loc=§9.19

δ函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。

**分佈**
在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義δ函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，δ函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為loc=§2.2
若要使δ成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數，有整數和常數，使得對每個測試函數，以下不等式都成立：loc=Theorem 2.1.5

當就是δ分佈時，對所有的取，就能滿足這條不等式。因此，δ是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是。
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數，

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

而利用黎曼－斯蒂爾傑斯積分的分部積分法可以得到

在測度論中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1)在所有緊支撐連續函數空間上定義了一個Daniell integral，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為相對於某拉東測度的勒貝格積分。
當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為Dirac measure。

**推廣**
在n維歐幾裡得空間Rn中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足

作為一個測度，n維δ函數是每個獨立變量的1維δ函數的積測度。也就是說，若1=x = (x1, x2, ..., xn)，則loc=Chapter 5
上文的1維δ分佈也存在n維推廣。loc=§3.1儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式(2)還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。loc=§2.3
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。loc=§1.20設X是集合，x0 ∈ X，Σ為X子集上的任何σ-代數，則對每個集合A ∈ Σ可以定義測度：

這就是單位質量集中在x0處的狄拉克測度。
δ函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M上以x0 ∈ M為中心的δ函數可定義為以下分佈：
對於所有M上的緊支撐光滑實數值函數φ。loc=§17.3.3一個常見的特殊情況是，M是歐幾裡得空間Rn中的一個開集。
在局部緊豪斯多夫空間X中，集中在點x的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ的Daniell積分(3)的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X在這一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率測度空間中是一個稠密集。loc=§2.5.19

**性質**

**縮放與對稱**
對非零純量，δ函數有以下縮放性質：loc=Problem 2.6.2

所以
δ函數是一個偶分佈，也就是說

因此δ函數屬於−1階齊次函數。

**代數性質**
δ和的分佈積等於零：

相反，若，其中和為分佈，則存在常數使得loc=Chapter 2, Example 3(d)


**平移**
延時δ函數的積分為：

因此δ函數有「篩選」MathWorld a或「採樣」的功能──可以篩選出函數在的值。
可以推論，函數與延時δ函數卷積後會受到延時：
這必須在是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅裡葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把δ視為分佈）


**與函數的復合**
更一般地來說，δ分佈可以和光滑函數復合，使得熟悉的變量更換公式成立：

條件是為連續可微函數且處處非零。loc=Vol. 1, §II.2.5換言之，作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數f都成立。因此，定義域必須切割開來，排除這一點。如果處處非零，那麼此分佈滿足；否則如果在處有一個實數根，則
 
很自然地，對連續可微函數，可以把「定義」為

其中求和跑遍的所有根，這些根都假設為單根。loc=Vol. 1, §II.2.5比如，

δ分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：
 

**在n維中的性質**
δ分佈在維空間中的縮放性質如下：

從而δ是一個階齊次分佈。δ分佈在任何鏡射和旋轉下不變：

和單變量時一樣，可以唯一地定義δ與雙利普希茨函數的復合，使得恆等式

對於所有緊支撐函數成立。
利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ函數與從一個歐幾裡得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數滿足的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：loc=§6.1
 
其中右邊的積分範圍是，即所定義的一個維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。
更一般地來說，若是中的光滑超曲面，則可以把聯繫到在上對任何緊支撐光滑函數積分的分佈：

其中是聯繫到的超曲面測度。這種推廣與上的單層位勢的位勢論相關。設是中具有光滑邊緣的區域，則等於的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：

其中是向外法線。loc=pp.29–30

**傅裡葉變換**
δ函數屬於緩增函數，所以擁有良好定義的傅裡葉變換。正式地說，（在一些傅裡葉變換慣例下）有

一個分佈的傅裡葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數的對偶配對下，要求傅裡葉變換是自伴的。從而，定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：

對於一切速降函數φ。從此可推導，的確。
這條恆等式意味著，δ函數與任何其他緩增分佈S的卷積即等於S：

這意味著，δ是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以δ函數為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於δ函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對δ作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特徵。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。
緩增函數f(ξ) = 1的反傅裡葉變換等於δ函數。更正式地表達，

更嚴謹地來說，有

對於一切速降函數f。
這樣，δ函數暗示著在R上的傅裡葉核的正交性，即：

換句話說，緩增分佈

的傅裡葉變換是

這同樣可以通過對傅裡葉變換要求自伴性而得出。
利用傅裡葉變換的解析延拓，可以得出δ函數的拉普拉斯變換：1986
 

**分佈導數**
狄拉克δ分佈的分佈導數是一個分佈δ′，它對於所有緊支撐光滑測試函數φ定義為p=26

此處第一個等號類似於分部積分，因為若δ是個真正的函數，則

δ的k階導數的定義大同小異，對任何測試函數φ，

從而δ是個無限可微分佈。
δ函數的一階微分是差商

的分佈極限。loc=§2.1更準確地說，有

其中τh是平移算子，對於函數的定義是1=τhφ(x) = φ(x + h)，而對於分佈S的定義是

在電磁學中，δ函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。MathWorld b
δ函數的導數滿足一些基本性質，包括：
 
這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。
另外，δ′與緊支撐光滑測試函數f的卷積為

這來自卷積的分佈導數的性質。

**更高維度**
更一般地說，在n維歐幾裡得空間Rn中的開集U上，以點a ∈ U為中心的狄拉克δ分佈定義為p=56

對於一切1=φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的緊支撐光滑函數的空間。若1=α = (α1, ..., αn)是任何多重指標，而∂α表示相關的混合偏導數算子，則δa的α階導數∂αδa是p=56

對於一切1=φ ∈ S(U)。也就是說，δa的α階導數是個分佈，它在任何測試函數φ的值等於φ在點a的α階導數（加上合適的正負號）。
δ函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。
高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S是任何在U上、支撐集為一個點{a}的分佈，那麼存在整數m和一組係數cα，使得p=56

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。loc=§I.1它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為δ函數時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯繫。半群根據以下方程演變：

其中的算子嚴謹地定義為傅裡葉乘數


**震蕩積分**
在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生δ函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的歐拉-特里科米方程的解，loc=§7.2取得歸一化艾裡函數

雖然用的是傅裡葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生δ函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。
另一個例子是R1+1中的波動方程式的柯西問題：loc=§7.8

解u代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。
其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數

以及貝塞爾函數


**平面波分解**
要對線性偏微分方程

求解，其中L是Rn上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程求解：

當L相對簡單的時候，通常直接利用傅裡葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程

其中h是一個平面波函數，意思是對於某向量ξ，有

這樣的方程可以用Cauchy-Kovalevskaya theorem求解（如果L的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果L的係數是常數）。所以，如果δ函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。
對δ函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇k，使得n + k是一個偶整數；對於實數s，定義

要取得δ，對g(x · ξ)相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中ξ屬於單位球面Sn−1：

此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數φ，

這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從φ(x)在超曲面上的積分取回φ(x)的值。例如，若n是奇數，而1=k = 1，則右邊的積分等於

其中Rφ(ξ, p)是φ的拉東變換：

平面波分解的另一個等價表達式是（loc=I, §3.10）

對於偶數n，且

對於奇數n。

**傅裡葉核**
在對傅裡葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅裡葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數f的傅裡葉級數的第n部分和，定義是與狄利克雷核在區間−π,π上的卷積：

因此

其中

傅裡葉級數的一個基礎結果說明，當N → ∞，狄利克雷核趨向於δ函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即

對於一切緊支撐光滑函數f。從而，在區間−π,π上有

儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，DN從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅裡葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核p=312

費耶核從一種更強的意義向δ函數收斂：

對於一切緊支撐連續函數f。結果是，所有連續函數的傅裡葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。

**希爾伯特空間理論**
狄拉克δ分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L2上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在L2中是一個稠密集，且δ分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對L2的某個子空間賦予更強的拓撲，使得δ函數能夠定義一個有界線性算子。
索伯列夫空間
應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數f，只要滿足

就必定是連續的，而且滿足

從而δ是一個在索伯列夫空間H1上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ是H1的連續對偶空間H−1的元素。更一般地說，在n維中，有δ ∈ H−s(Rn)，條件是s > n / 2。

**全純函數空間**
在複分析中，δ函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若D是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則

對於一切在D的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，δ函數δz可以以柯西積分表示：

更一般地來說，設H2(∂D)是一個哈代空間，它是所有在D中直到D的邊緣都是連續的全純函數，在L2(∂D)中的凸包。H2(∂D)中的函數可以唯一地延續成D上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於z ∈ D，δ函數δz是一個H2(∂D)上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域D，Szegő kernel代替了柯西積分的角色。

**單位分解**
在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{φn}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量f都可以表達成：

係數{αn}可以如下得出：

也可以寫為

這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，f以並矢方式展開：loc=Perfect operators, p.344

設I是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式

稱為單位分解。當希爾伯特空間是L2(D)，包含所有在域D上的平方可積函數，那麼

就是一個積分算子，而f可以重新表達為：

右邊的級數是在L2當中向f收斂。就算f是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫

如此來表示δ函數：loc=Equation 8.9.11, p. 344

在適當的Rigged Hilbert space中，其中Φ ⊂ L2(D)包含所有緊支撐光滑函數，視乎基φn的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。2002

**無限小δ函數**
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數α，使得函數δα滿足
他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克δ函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見2007論文所列出的相關書目。這樣定義的δ函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數F，都有
結果與傅裡葉和柯西用別的語言所表達的一樣。

**狄拉克梳子**
狄拉克梳子是無限個相距T的δ函數
由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做Dirac comb，亦以西里爾字母Ш相形稱為Ш分佈，是一個取樣函數，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個δ函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：

這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅裡葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若f是速降函數，則f在週期化後的結果以以下卷積表示：

特別有，

這正是帕松求和公式。1988

**索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理**
索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把δ函數和分佈p.v.1/x聯繫起來，後者是函數1/x的柯西主值，定義是

索霍茨基公式說明，loc=§5.7

此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數f，


**與克羅內克δ函數的關係**
克羅內克δ函數δij的定義是，

對於所有整數i、j。它滿足以下的篩選性質：若是一個兩頭無限的序列，則

這和狄拉克δ函數的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函數或複函數f，有

也就是說，克羅內克δ函數可以看作是與狄拉克δ函數對應的離散函數。p=154–155

**應用**

**概率論**
在概率論和統計學中，狄拉克函數往往以概率密度函數的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（概率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {x1, ..., xn}，對應概率為p1, ..., pn；由這些點所組成的離散分佈的概率密度函數可以寫作

又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是

也可以以完全不同的方法，用δ函數表示擴散過程（如布朗運動）中的Local time (mathematics)。一個隨機過程的局部時的表達式為

這代表了該過程在某特定區間內，在點x所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成

其中nowrap|1x−ε, x+ε是區間nowrap|x−ε, x+ε的指示函數。

**量子力學**
以下舉一個例子，展示δ函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間L2（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總概率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{φn}叫做標準正交，如果

其中δ指的是克羅內克δ函數，而不是狄拉克δ函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數ψ都可以表達為一些φn的線性組合：

其中。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：

此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符1=Qψ(x) = xψ(x)。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為瞭解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的Rigged Hilbert space取代。loc=§6.2這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點y：

位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作，亦稱為位置本徵態。
這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子P，前提是P具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈φy，對應於Ω的每個元素y，使得

也就是說，φy是P的特徵向量（本徵分佈）。如果這些特徵向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：

那麼對於一切測試函數ψ，就有
 
其中
 
此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：

其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若P的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
δ函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如δ位勢阱。

**結構力學**
在結構力學中，δ函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在t=0時突然受到衝量為I的力的衝擊，其演變可以如下描述：

其中m是質量，ξ是撓度，而k是彈簧常數。
根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是

其中EI是樑的彎曲剛度，w是撓度，x是空間坐標，而q(x)則是負荷分佈。如果棟樑在x = x0處受到點力F的負荷，那麼負荷分佈可以寫作

由於δ函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。
δ函數還可以描述作用在一條樑上的點Bending moment。設兩個相距d的相反方向的點力F，它們在棟樑上所產生的彎矩為M = Fd。在保持M不變的情況下，使d趨向於零。假設所產生的彎矩位於x = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是

因此點彎矩可以用δ函數的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。

**參見**
δ位勢阱
*格林函數

**腳註**

**註釋**

**引註**

**參考資料**
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**外部連結**
id=p/d030950- KhanAcademy.org視頻講義 date=20100825062835 - 狄拉克δ函數 date=20130722045144 - 視頻講義──第23課 date=20210419020654 - 狄拉克δ函數 date=20040813080641 ，PlanetMath