拓撲空間

拓撲空間（Topological space）是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構；拓撲空間也是一個集合，其元素稱為點，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

**定義動機**
拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。
對於度量空間  內的任一點 ，可定義中心為 ，半徑為  的開球
 
然後把開球視為點  附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點  ，都會有一個夠小的開球  完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義  的開子集  為滿足如下條件的子集合
 
這樣定義的開集有一些有趣的性質：
(1) 任二開集的交集也是開集 
任取兩個  的開子集  ，若  ，根據定義存在  使得 
 
 
這樣若取  ，則會有：
 
也就是說，  也是個開集。
(2) 任意個開集的並集也會是開集 
若  是一群開集所構成的集合，也就是說 
 
如果取
 
換句話說：
 
這樣的話，顯然有
 
所以  也會是一個開集。
以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

**正式定義**
上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓撲結構一詞涵蓋了開集系，閉集系，鄰域系，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構，但大部分書籍都以開集系為準。

**開集系**
根據定義動機一節可以作如下的定義：
  的子集族  若滿足以下開集公理
則稱  為  的開集系（其中的元素稱為開集）或拓撲， 則被稱為一拓撲空間， 內的元素  則稱為拓撲空間  的點。
開集系的代號  是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「offen」（開的）。
從開集系出發定義其它概念：（ 為  的子集）- 閉集：若  是開集，則稱  是閉集。- 鄰域：若存在開集  使得  ，則稱  是點  的鄰域。- 開核： 的開核（或內部） 定義為 內所有開集之並，也就是

**閉集系**
的子集族  若滿足如下閉集公理：
則稱  為  的閉集系（其中的元素稱為閉集）。
開集系的代號  是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法語動詞「fermer」（關閉）的過去分詞「fermé」（封閉的）。
根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族
 
為開集系，類似地，對於開集系  ，以下的子集族
 
為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。
從閉集系出發定義其它概念：（ 為  的子集）- 開集： 是閉集，則稱  是開集。- 閉包： 的閉包 定義為包含A的所有閉集之交，也就是

**鄰域系**
函數 （  指  的冪集的冪集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意  滿足如下鄰域公理：
這樣任意  被稱為  的鄰域系，  裡的元素  則稱為  的鄰域。
換句話說，函數  將  的每個點  映射至  ，而  則是所有  的鄰域所構成的集族。
鄰域系的代號  是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德語動詞「 umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。
若取以下的子集族
 
因為  包含任意鄰域，  本身顯然為任意  的領域，故   ；另外空集合  沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，。
若取  ，根據鄰域公理的第二項有  ；若取  ，且  ，那換句話說
 
這樣的話有
 
那這樣根據鄰域公理第三項，，所以  的確是個開集合系。
類似地對於開集系  ，若對任意  取
 
那  也會符合上面四款鄰域系公理（注意到第四項取  ），所以對所有  定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。
從鄰域系出發定義其它概念：（ 為  的子集）- 開集：對任意  ，有 ，則稱  是開集。（開集本身是它所有點的鄰域）- 開核：（開核裡的每一點，都有一個包含於  的領域。）- 閉包：。（閉包裡每一點的領域，都跟  有交集。）

**閉包公理**
的冪集上的一元運算（即將的子集A映射為的子集）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。當且僅當運算滿足下述的閉包公理：- A1：；- A2：；- A3：；- A4：。
集合的閉包通常記為。
從閉包出發定義其它概念：- 從閉包定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。- 從閉包定義開核：的子集的開核。- 從閉包定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。

**開核公理**
的冪集上的一元運算（即將的子集A映射為的子集）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。當且僅當運算滿足如下開核公理：- I1：；- I2：；- I3：；- I4：。
集合的開核通常記為。
（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。
從開核出發定義其它概念：- 從開核定義開集：的子集是開集，當且僅當。- 從開核定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。- 從開核定義閉包：的子集的閉包。

**導集公理**
的冪集上的一元運算（即將的子集映射為的子集）稱為導集運算（像稱為原像的導集），當且僅當滿足以下導集公理：- D1：；- D2：；- D3：；- D4：
從導集出發定義其它概念：- 從導集定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。

**拓撲之間的關係**
同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲的每一個開集都是拓撲的開集時，稱拓撲比拓撲更細，或稱拓撲比拓撲更粗。
僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。
最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。
在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

**連續映射與同胚**
類似定義拓撲空間，連續映射也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

**性質**
 對任何閉集的原像是閉集。- 對點的任一鄰域，都存在點的一個鄰域，使得，則稱在點連續，而連續映射即點點連續的映射。- 對任一集合，成立。- 對任一集合，成立。

**拓撲空間範疇**
拓撲空間作為對象，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變量來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。

**相關概念**

**基本概念**
給定拓撲空間，A是X的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：
內部，內點
A的開核o(A)又稱為A的內部，其元素稱為A的內點。
外部，外點
X - c(A)稱為A的外部，其元素稱為A的外點。
邊界，邊界點
c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界，其元素稱為A的邊界點。
觸點
A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點。
稠密性，稠密集
稱A在X中是稠密的（或稱稠密集），當且僅當c(A) = X。
邊緣集
稱A是X的邊緣集，當且僅當X-A在X中是稠密的。
疏性，疏集
稱A在X中是疏的（或稱疏集），當且僅當c(A)是X中的邊緣集。
第一範疇集，第二範疇集
稱A是X中的第一範疇集，當且僅當A可以表示為可數個疏集的並。稱A是X中的第二範疇集，當且僅當A不是X中的第一範疇集。
聚點，導集
X中的點x稱為A的聚點，當且僅當x ∈ c(A - {x})（或者等價地，x的任意鄰域至少包含x以外的A的一個點）。A的所有聚點組成的集合稱為A的導集。
孤立點
A中的點x稱為A的孤立點，當且僅當它不是A的聚點。
孤點集，離散集
稱A為孤點集或離散集，當且僅當A中所有的點都是A的孤立點。
自密集
稱A為自密集，當且僅當A中的點都是A的聚點（等價地，A中沒有A的孤立點）。
完備集
稱A為完備集，當且僅當A等於其導集。
自密核
A的最大自密子集稱為A的自密核。
無核集
稱A是無核集，當且僅當A的自密核是∅（或等價地，A的任意非空子集都含有孤立點）。

**網**
網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集。
空間上的一個網是從有向集合映至的映射。
若存在，使得對每個的鄰域都存在，使得，則稱網收斂至。
幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網

**拓撲空間的例子**
 實數集R構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多“奇怪”的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
*更一般的，n維歐幾里得空間Rn構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
*任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
*任何局部域都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
*除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。- 流形都是一個拓撲空間。
*每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
*每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。- 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rn或者Cn來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。- 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。- 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
*任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
*任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。- 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。- 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
*如果Γ是一個序數，則集合0, Γ是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a, b生成，此處a和b是Γ的元素。

**例子**
# X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族  會形成一個-{zh-hans:平庸拓撲;zh-hant:密著拓撲}-。
# X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
# X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
# 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
# 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
# 3個元素的集上總拓撲數-{只有}-29個。
# 4個元素的集上總拓撲數-{只有}-355個。
# n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明
3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：
#{∅, X}
#{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
#{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
#{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
#{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
#{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

**拓撲空間的構造**
拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
*對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
*商拓撲可以被如下地定義出來：若X是一個拓撲空間，Y是一個集合，如果f : X  →  Y是一個滿射，那麼Y獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，當且僅當它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類，從而給出拓撲空間X上的一個等價關係。- Vietoris拓撲

**拓撲空間的分類**
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。

**分離公理**
詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。
拓撲不可區分性
X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：
*對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
*x的鄰域系和y的鄰域系相同。
*，且。

**可數公理**
可分的
X稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。
第一可數
X稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的局部基。
第二可數
X稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。

**連通性**
連通
X稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。
局部連通
X稱為局部連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。
完全不連通
X稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。
道路連通
X稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p: 0,1 → X，滿足p（0）= x  且p（1）= y。道路連通的空間總是連通的。
局部道路連通
X稱為局部道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。
單連通
X稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續映射都與常數映射同倫。
可縮
X稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。
超連通
X稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
極連通
X稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。
平庸的
X稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。

**緊性**
（詳細資料請參照緊集）
緊性
X稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
林德洛夫性質
X稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
仿緊
X稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
可數緊
X稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
列緊
X稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。
偽緊
X稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函數都有界。

**可度量化**
可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

**擁有代數結構的拓撲空間**
對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群乃是一個拓撲空間配上連續映射（群乘法）及（反元素），使之具備群結構。
同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。

**擁有序結構的拓撲空間**
拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：
*譜空間（spectral space）上的序結構。- 特殊化預序：定義。常見於計算機科學。

**外部鏈接**
n個元素的集上總拓撲數規律
*整數數列線上大全:OEIS-A000798.

**參考書目**
 John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.- James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
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*點集拓撲學原理 / 鮑姆-{著}-;蒲思立譯. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
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*一般拓撲學 / 凱萊-{著}-;吳叢，吳讓泉譯. - 北京: 科學出版社, 1982年5月。
*拓撲學引論 / 本特·門德爾森-{著}-;陳明蔚譯. - 南寧: 廣西人民出版社, 1983年1月。
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*點集拓撲學 / 方嘉琳編-{著}-. - 瀋陽: 遼寧人民出版社, 1983年4月。
*拓撲學的基礎和方法 / 野口宏-{著}-;郭衛中，王家彥譯. - 北京: 科學出版社, 1986年3月。
*拓撲學初步 / 蘇步青-{著}-. - 上海: 復旦大學出版社, 1986年4月。
*拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯-{著}-;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
*基礎拓撲學 / 何伯和，廖公夫-{著}-. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
*一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光-{著}-. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
*拓撲學導論 / 鮑裡索維奇等-{著}-;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
*基礎拓撲學講義 / 尤承業編-{著}-. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.