新基礎集合論

在數理邏輯中，新基礎集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因構想出來作為對《數學原理》中類型論的簡化。蒯因1937年於《數理邏輯的新基礎》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此條目大多是在談論NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要變體。

**類型論TST**
改進版本的類型論TST的基本謂詞是等於和成員關係。TST有一個線性的類型層次：類型0由不加描述的個體組成。對於每個（元-）自然數n，類型n+1的對象是類型n對象的集合；類型n的集合有類型為n-1的成員。用等號連接的對象必須有相同的類型。下列兩個原子公式簡潔的描述了定類型規則：和（符號仍可改進）。
TST的公理是：
*外延性：帶有相同成員的相同（正數）類型的集合是相等的；
*概括公理模式，也就是：
如果是公式，則集合存在。
換句話說，給定任何公式，存在集合使得為真。
這個類型論比於《數學原理》首次發表的類型論簡單許多，因為它還得包括其參數不必然都有同樣類型的關係類型。在1914年，諾伯特·維納展示瞭如何把有序對編碼為集合的集合。這使得以這裡描述的集合層次的方式消除了關係類型。

**蒯因集合論**

**公理和層化**
新基礎（NF）是通過放棄TST的類型區別而獲得的。NF的公理有：
*外延性：有相同元素的兩個對象是同一個對象；
*概括模式：所有TST的概括實例，但去掉了類型索引（並且不用引入在變量之間新的同一性）。
通過約定，NF的概括模式使用層化公式的概念來陳述，而不直接提及類型。一個公式被稱為是層化的，如果存在從語法片段到自然數的一個函數f，使得對於任何的原子子公式有f(y) = f(x) + 1；而對於任何的原子子公式，有f(x) = f(y)。概括接著變成：
對於每個層化公式存在。甚至在層化概念內隱含的對類型的間接提及也可以消除。Hailperin在1944年證實了概括等價於它的一些推論的有限合取，所以NF可以有限的公理化而不提及類型的概念。
對於樸素集合論概括好像是不自洽的，但是在這裡不是。例如，不可能的羅素類不是NF集合，因為不能被層化。

**有序對**
關係和函數在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定義為有序對。首先由Kuratowski在1921年提議的有序對常用的定義對於NF和相關理論有個嚴重缺陷：結果的有序對必定有比它的參數（它的左和右投影）的類型高2的類型。所以為了決定分層，函數有比它的定義域的成員高3的類型。
如果能以其類型是同它的參數一樣的類型的方式定義對（導致一個類型齊平有序對），則關係或函數有隻比它的域的成員的類型高1的類型。所以NF和相關理論通常採用蒯因的有序對的集合論定義，這樣得出的是類型的類型-齊平的有序對。Holmes（1998）把有序對與它的左和右投影定為原始概念。幸運的是，無論有序對是通過定義或通過假定（就是作為原始概念）而類型齊平，通常是不重要的。
類型齊平有序對的存在蘊涵了“無窮公理”，而NFU +“無窮公理”解釋了NFU +“存在著類型齊平的有序對”（它們不是同樣的理論，但是區別無關緊要）。反過來，NFU +“無窮公理”+“選擇公理”證明了類型齊平有序對的存在。

**有用的大集合的可容納性**
NF（以及NFU +“無窮公理”+“選擇公理”，下面描述並已知是相容的）允許構造兩種集合，它們都是ZFC和它的真擴展所不允許的，因為“太大”的緣故（某些集合論在真類的名義下接受這些實體）：
*全集V。因為是層化公式，通過概括存在全集。直接的推論是所有集合都有補集，而在NF下的整個集合論全集有一個布爾結構。
*基數和序數。在NF（和TST）中，存在n個元素的所有集合的集合（這裡循環性只是外觀上的）。所以弗雷格的基數定義在NF和NFU中可行；基數是集合在等勢關係下的等價類：集合A和B是等勢的，如果存在它們之間的雙射，在這種情況下我們寫為。類似的，序數是良序集合在相似關係下的等價類。

**NF(U)如何避免集合論悖論**
NF清除了三個周知的集合論悖論。NFU這個{相對}相容的理論也避免了這些悖論，增強了我們對這些理論的信心。
羅素悖論：不是層化公式，所以不會通過概括的任何推論得出的存在性。蒯因構造NF的時候大概最關注於這個悖論。
關於最大基數的康托爾悖論利用了康托爾定理對全集的應用。康托爾定理聲稱（假定ZFC）任何集合的的冪集大於（沒有從到的單射函數）。但如果是全集的話，當然有從到的單射。為瞭解決這個問題，我們需要注意到在類型論中沒有意義：的類型比的類型高1。正確的有類型版本（它是在類型論中的定理，成立的原因就像康托爾定理在ZF中成立那樣）是，這裡的是的單元素子集的集合。在這個定理中，使我們感興趣的特殊實例是：單元素集合們少於集合們（因此一個元素的集合們少於全體對象，如果我們在NFU中的話）。從全集到這些單元素集合明顯的雙射不是一個集合；它不是集合是因為它的定義是非層化的。注意在所有已知的NFU的模型中都成立；“選擇公理”允許我們不只證明有基本元素，而且在和之間有很多基數。
我們現在引入某些有用的概念。若集合滿足，就被稱為康托爾式的：康托爾式集合滿足通常形式的康托爾定理。集合滿足進一步條件，即單元素集合映射在A上的限制，則不只是康托爾式的而且是強康托爾式的。
下面是關於最大序數的布拉利-福爾蒂悖論。我們定義(跟從樸素集合論)序數是良序排序在相似性下的等價類。在序數上有一個明顯的自然的良序排序；因為它是良序排序所以它屬於一個序數。(通過超限歸納法)可直接證明在小於一個給定序數的序數們上的自然次序的序類型是自身。但是這意味著是小於的序數們的序類型，因此它嚴格小於所有序數的序類型 -- 但是通過定義，後者是自身！
在NF(U)中對這個悖論的解決開始於觀察到在小於的序數們上的自然次序的序類型的類型比的類型高。因此類型齊平有序對的類型比它的參數的類型高1，而常規的Kuratowski有序對高3。對於任何序類型，我們可以定義比的類型高1的序類型：如果，則是次序的序類型。T運算的煩瑣只是外觀上的；可以輕易的證明T是在序數們上的嚴格的單調(序保持)運算。
我們可以用層化的方式重申關於序類型的引理：在小於的序數們上的自然次序的序類型是或，依賴於使用哪個有序對定義(我們在下文中假定類型齊平有序對)。從此我們可演繹出在小於的序數們上的序類型是，從它我們演繹出。因此T運算不是個函數；我們不能有從序數到序數的嚴格單調集合映射，它向下映射一個序數！因為T是單調的，我們有，在序數們中的“遞減序列”不能是集合。
某些人已經斷言這個結果證實了沒有NF(U)的模型是“標準”的，因此在任何NFU的模型中序數們外在的不是不是良序的。我們不接受這種立場，而我們注意到還有一個NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序數”；NFU不結論出全集V是NFU的模型，儘管V是集合，因為成員關係不是集合關係。
關於數學在NFU中的進一步開發，和與在ZFC中相同的開發的比較，請參見數學的集合論實現（:en:Implementation of mathematics in set theory）。
蒯因在1940年第一版的《數理邏輯》的集合論中，結合了von Neumann-Bernays-Gödel集合論的真類於NF，併為真類包括了一個無限制概括的公理模式。在1942年，J. Barkley Rosser證明了蒯因的集合論遭受Burali-Forti悖論。在1950年，王浩展示瞭如何修正蒯因的公理來避免這個問題，蒯因在1951年第二和最終版本的《數理邏輯》中包括了結果的公理化。

**參見**
公理化集合論
*ZFC
*數學的集合論實現
*自然數的集合論定義
*正集合論
*可替代的集合論

**引用**
Holmes, Randall, 1998.   Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
*Jensen, R. B., 1969, "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63. With discussion by Quine.
*Quine, W. V., 1980, "New Foundations for Mathematical Logic" in From a Logical Point of View, 2nd ed., revised. Harvard Univ. Press: 80-101. The definitive version of where it all began, namely Quine's 1937 paper in the American Mathematical Monthly.

**外部鏈接**
Stanford Encyclopedia of Philosophy:
** Quine's New Foundations date=20201109011931  -- by Thomas Forster.
** Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
*Randall Holmes:   New Foundations Home Page. date=20200321023959 
*Randall Holmes:  Bibliography of Set Theory with a Universal Set. date=20200321022953