範疇 (數學)

在範疇論中，範疇這一概念代表一些數學對象及這些對象間的一些關係，以及這些關係之間的關係。利用範疇可以公式化抽象結構並保留結構上的關係，如運算。範疇幾乎可以出現於現代數學的任意分支，同時也統合了這些分支的底層理念。對範疇本身的研究就稱作範疇論。

**定義**

**範疇**
一個範疇  意指資料 ，其中：- 一個由對象（Object）所構成的類 ；- 物件間的態射（Morphism）所構成的類 。每一個態射  均蘊含確定的「始對象（Domain）」 和「終對象（Codomain）」，且 。此時記 ，稱  為從  到  的一個態射group=註釋。所有由  至  的態射構成類，記作 ，不致混淆時，也記作 ；- 對任意態射對  有態射覆合  如下：
其中， 在不致混淆時也記作 。
此態射複合滿足下列公理：- （結合律）對態射 ， 和 ，有 ；- （么元）對任意對象 ，存在一態射 ，使得對任意態射 ，均滿足 。態射  稱作「 的單位態射」。
根據上述公理可以證明，對每個特定對象而言，單位態射具唯一性。time=2024-11-22
圖 1： 和  間的映射
顯然， 和  間自然地存在三個映射：，，，如圖 1 所示。

**小范疇和局部小范疇**
一個範疇  稱作小范疇（Small Category），當且僅當其態射類  比真類小，即僅有集合那麼大。
一個範疇  稱作局部小范疇（Locally Small Category），當且僅當對任意對象對 ，其對應的的態射類  均為非真類的集合。
數學研究中，許多重要的範疇（例如集合的範疇），通常即使非小，也是局部小的。

**範疇舉例**
每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。- 所有集合的範疇 ，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。
** 所有預序關係的範疇 ，其態射為單調函數。
** 所有原群的範疇 ，其態射為原群間的同態。
** 所有群的範疇 ，其態射為群同態。
** 所有阿貝爾群的範疇 ，其態射為群同態。
** 所有環的範疇 ，其態射為環同態。
** 所有於體 （維持固定）上的向量空間的範疇 ，其態射為線性映射。
** 所有拓樸空間的範疇 ，其態射為連續函數。
** 所有度量空間的範疇 ，其態射為度量映射。
** 所有一致空間的範疇 ，其態射為一致連續函數。
** 所有光滑流形的範疇 ，其態射為  次連續可微映射。- 所有小範疇的範疇 ，其態射為函子。- 所有局部小范疇的範疇 。- 所有集合的關係範疇 ，其態射為關係。- 任一預序集  均蘊含一個小範疇，其對象為  的元，態射為有序對  使得 。group=註釋- 任一么半群  均蘊含一個攜唯一一個對象  的小范疇 。 以  中的元作為態射，每個態射各自表示  上一個不同的自同態，而態射覆合由  的乘法給出。 的么元  也作為  這唯一一個對象的單位態射存在。可以將範疇這一概念視作么半群之延伸概念。- 任意有向圖蘊含一個自然的小范疇，以圖的頂點為對象，有向路徑為態射，路徑串聯為態射覆合。這被稱作由有向圖產生的「自由範疇」。- 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

**態射類型**
一個態射  被稱為：- 同構（Isomorphism），當且僅當存在態射 ，滿足 ，換言之，存在逆；- 自態射（Endomorphism），當且僅當 ，即  是從  到  自身的態射；- 自同構（Automorphism），當且僅當  同時為同構與自態射；- 單態射（Monomorphism），當且僅當對任意態射 ， 均蘊含 ；- 滿態射（Epimorphism），當且僅當對任意態射 ， 均蘊含 ；-  的截面（Section），當且僅當 ，也稱作  的右逆（Right Reverse）或分裂單態射（Split Monomorphism）；-  的收縮（Retraction），當且僅當 ，也稱作  的左逆（Left Reverse）或分裂滿態射（Split Epimorphism）；
也記  上的所有自態射構成類 ，所有自同構構成類 。
下述三個命題是等價的：
#  是單態射且是收縮。
#  是滿態射且是截面。
#  是同構。
態射之間的關係（例如 ）可以非常方便地表示為交換圖表，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。

**特別的範疇**

**子範疇**
給定一個範疇 ，稱範疇  為  之子範疇（Subcategory），當且僅當：- ，- ，- 同時，態射覆合仍然保持。

**群胚**
稱  為一群胚（Groupoid），當且僅當其中所有態射為同構。- 群可被定義作具唯一一個對象的群胚；
任意範疇  均內含一個最大群胚（Maximal Groupoid），為包含全部  的對象，而包含且僅包含全部自態射作為態射的子範疇。

**對偶範疇**
令  為一範疇，規定其對偶範疇  如下：- 以  為 ；- 由如下從  到  的一一對應函子完全生成後者：   

其中滿足：。
利用對偶範疇可證明如下的對偶定理：
定理：下列三條定理等價：
#  為範疇  中的一個同構（雙態射）；
# 對所有對象 ， 上的後複合定義了雙射 ；
# 對所有對象 ， 上的前複合定義了雙射 ；

**積範疇**
對任意範疇  和 ，定義其積範疇  如下：- 以形如  的有序對為對象，其中 ，- 以形如  的有序對為態射，同時- 結合律與單位態射也如此被逐分量定義。
圖 2：逗號範疇之態射

**逗號範疇**
給定函子 ，定義其逗號範疇  如下：- 以有序三元組  為對象，- 以有序對  為態射，使得對於每個 ，圖 2 在  中交換， 即：使得 。

**範疇類型**
 在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合  不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。- 範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。- 範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特連續函數組成的範疇。- 拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。

**註釋**

**參考文獻**
 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）.  Abstract and Concrete Categories date=20150421081851 . Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）- Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991).  Categories, Types and Structures. Originally publ. M.I.T. Press.- Barr, Michael, & Wells, Charles (2002).  Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)- Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.- Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.- Jean-Pierre Marquis,  "Category Theory" date=20211121231337  in  Stanford Encyclopedia of Philosophy date=19961227155812 , 2006

**外部連結**
  Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources-  Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources