分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。
分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換  次，其中  不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。
若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。

**由來**
對信號  做一次傅立葉變換的結果為 ，做兩次傅立葉變換的結果為 ，表示成 ，而當做了  次的傅立葉變換可以寫成一般式  。至此，都以 為整數做考量，當令  即  時，將  的分數傅立葉變換定義為 ，其中  可以不必為整數。

**歷史**
分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。

**定義**
第一種定義:
 
第二種定義:

,  為實數。
當  時 (亦即  )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。

**表示法**
，則可推廣為;依此類推，表示的次逆變換。
而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的，且為實數，表示為
，
當是一個整數時則代表傅立葉轉換做次。
例如:
時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度
時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度,
時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度
時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,

**性質**
對於任一實數，一個對函數做角度分數傅立葉變換定義為
並且具備以下特性- 加法性(Additivity)
。- 線性(Linearity)- 整數傅立葉性質(Integer Orders)
若,其中為一整數則相當於做次傅立葉轉換；
當時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ，
當時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。
若為的整數倍，則餘切函數和餘割函數不會收斂。
有一方法可解決此問題，就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況，使得- 反轉性質(Inverse)- 交換性(Commutativity)- 結合律(Associativity)- 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)      
若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

**定理**
的分數傅立葉轉換 ()的時頻分佈，等同於  的時頻分佈(維格納分佈,加伯轉換)順時針旋轉角度 ，用數學式子表示如下:

**維格納分佈(Wigner distribution function)**
假設 
(a)  是  的維格納分佈
(b)  是  的維格納分佈 
(c)  是  的分數傅立葉轉換
，則 

**加伯轉換(Gabor transform)**
假設 
(a)  是  的加伯轉換
(b)  是  的加伯轉換 
(c)  是  的分數傅立葉轉換
，則 
例子一: 
對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖 
363x363像素
例子二:
對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
363x363像素

**應用**
可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，
這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

**(一)時域**
假設現在是由兩個信號組成:
，
和 用數學表示分別如下:



由式子可以很明顯地看出，兩信號是方波。
若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。
則  乘上  時，這個信號會被保留，這個信號就被濾掉了。
此作法可成功將這兩個信號分開。

**限制**
此種方法的限制為欲分解的信號必須在時域不能重疊，否則無法成功分解。
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**(二)頻域**
，
，。
可以很明顯地看出和 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。
此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:



由可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

**例子**
假設  為一個低通濾波器(Low-pass Filter)

則  乘上  時， 會被保留， 就被濾掉了。
反之，若要保留  而濾掉  ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。
這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。

**限制**
欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。
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**(三)時頻域分解**
 (啁啾雜訊) + 三角波信號。
三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，
不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項去除，這是因為和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。
因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。
但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。
這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分佈並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分佈沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。
比較使用分數傅立葉變換與傅立葉變換濾掉雜訊的效果
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**例子一**
假設有噪音幹擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。
用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分佈，而綠色為噪音(noise)的時頻分佈，如下圖。
261x261像素
現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。
方法1 : 使用垂直的 Cutoff line  
若在時頻分佈圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。
259x259像素
方法2 : 使用水平的 Cutoff line  
若在時頻分佈圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。
270x270像素
方法3 : 使用斜的 Cutoff line
若在時頻分佈圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。
Cutoff line 的參數包含了  和 ， 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而  則是cutoff line 距離原點的距離。
241x241像素
以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:
步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 
步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分佈旋轉 ，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。
步驟(3) 算出 後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。
步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 ，將時頻分佈旋轉回原來的位置。
令接收到的信號為 ，最後得到的信號為 ，可將以上步驟用數學式子表示如下:



例子二:
假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊幹擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise
399x399像素
(a) 發射訊號的時域圖
(b) 接收訊號的時域圖
(c) 發射訊號的韋格納分佈  412x412像素
(d) 接收訊號的韋格納分佈，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分佈更是無法清楚地將訊號分離開來 
(e) 發射訊號的加伯轉換 
(f) 接收訊號的加伯轉換  
415x415像素(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換 
(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊 
(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
371x371像素
(j) 對(i)做分數傅立葉轉換 
(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻 
(l) 經過(k)濾波器以後 
(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號 
(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%
由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號
例子三:
一樣假設接收訊號受到了雜訊幹擾
399x399像素
(a) 發射訊號
(b) 接收訊號 
(c) 接收訊號的韋格納分 
(d) 接收訊號的加伯轉換 
(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。 
(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%

**比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換**
傅立葉轉換
優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。
缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。
分數傅立葉轉換
優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。
缺點: 運算複雜度較高。

**相關條目**
其他的時間-頻率變換：- 短時傅立葉變換- 小波變換- chirplet變換

**外部連結**
  DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions date=20140116131707 -  Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform --  from Prof. Jian-Jiun Ding's course website date=20170101160000 

**參考文獻**
 N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929). - V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).- Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).- Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).- D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991).  (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)- Haldun M. Ozaktas,  Zeev Zalevsky and  M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics. - Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013