葉狀結構

里布葉狀結構的2維截面
里布葉狀結構的3維模型
微分幾何中，葉狀結構（foliation）是n-流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度p，以實座標空間的分解為標準嵌入子空間的陪集為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的類微分葉狀結構中，通常r ≥ 1（否則就是拓撲葉狀結構）。p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，稱作其餘維數。
在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，“葉狀結構”用於描述：相關的洛倫茲流形（(p+1)維時空）分解為p維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函數（標量場）的水平集；這光滑函數通常被假定為時間函數，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的餘維-1葉狀結構，但這類例子是全局平凡的。雖然（數學）餘維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集，但一般不能在全局這樣表達，因為葉可能無限多次通過局部平凡化座標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如，雖然3-球面有一個由里布發現的餘維1-葉狀結構，但閉流形的餘維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出，因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。
葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個局部乘積結構，不需在局部區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿著一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。

**葉狀圖與圖冊**
為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。
3維葉狀圖（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2維的，橫截（transversal）是1維的。
中的矩鄰域是形式為的開子集，其中是第i個座標軸上（可能無界）的相對開區間。若具有形式，則稱B具有邊界

在下面的定義中，座標圖（coordinate chart）被認為是在，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。
n-流形M上餘維為q的葉狀圖（foliated chart）是，其中是開集，是微分同胚，是中的矩鄰域，是中的矩鄰域。集合，其中稱作這葉狀圖的斑（plaque）。，集合稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合稱作U的切邊界（tangential boundary），稱作U的橫截邊界（transverse boundary）。
葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。表示“B-切”，表示“B-截”。還有多種可能。若都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界n-流形的餘維-q葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角n-流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若，則是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若，則是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。
(a) 與邊界相切的葉狀結構； (b) 與邊界相截的葉狀結構； (c) 角將切邊界與橫截邊界隔開的葉狀結構。
n-流形M上餘維為q的類葉狀圖冊（foliated atlas）是餘維為q的葉狀圖的-圖冊，只要P、Q在的不同圖中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。
重新表述相干葉狀圖的有效方法是將寫作：


常寫作，其中


在上，座標公式可改寫為

的每個斑都會遇到的2個斑。
是相干葉狀結構這一條件意味著，若是斑，則的連通分量位於的（可能不同的）斑中。等價地，由於的斑分別是橫座標的水平集，都有鄰域，其中公式

與無關。
葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連接起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，的斑可以與多個的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。
若是葉狀圖冊，則M上兩具有相同餘維和光滑度的類葉狀圖冊是相干的：。葉狀圖冊的相干是等價關係。
規則葉狀圖冊中的圖。
上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若都是葉狀圖，使得（U的閉包）是W的子集，；則，若可知，寫作，將微分同胚地帶到
符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）：
# 是葉狀圖的緊子集，且；
# 覆蓋是局部有限的；
# 若都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑的內部與最多與中的1個斑相遇。
根據性質 (1)，座標延伸到上的座標，可以寫成性質 (3)等價於要求：若，橫座標變化獨立於即

有公式
 
類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫座標映射可視作浸沒

公式可視作微分同胚

它們滿足上循環條件，即，在上，

尤其是，


用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。

**葉狀結構的定義**
根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是通過流形分解，得到
通過座標函數分解
定義 n維流形M的p-維類葉狀結構是將M分解為不交連通子流形的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M的點都有鄰域U和局部類座標系，使得對每片葉，的組分都由方程組描述。則，葉狀結構記作
葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n維流形M的p維葉狀結構也許可簡單視作M的逐對不交、連通浸沒的p維子流形（葉狀結構的葉）的集合，使得對點，都有圖，其中U同胚於，包含的x使得對每片葉，與U相遇或為空集或為子空間的可數集，其在中的像下是前n-p個座標為常數的p維仿射子空間。
葉狀結構局部上都是浸沒，允許下列定義
定義 令M、Q是n維流形，q≤n，並令是浸沒，即假設函數微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為q，則據隱函數定理，ƒ在M上誘導了餘維為q的葉狀結構，其中的葉定義為
這定義描述了n維流形M的p維葉狀結構，是由圖（chart）與下列映射覆蓋的：

這樣，對重疊對，轉移函數定義為

形式為

其中x表示前個座標，y表示後p個座標（co-ordinates），即

將轉移函數拆分為，作為浸沒的一部分完全類似於將拆分為，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，餘維度為q的規則葉狀圖冊都與唯一的餘維度為q的葉狀結構相關聯。
正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 ≤ p的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫p維子流形。接著，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯繫。更具體地說，若是M上的葉狀圖冊、且若與葉狀結構相關聯，則當且僅當也與相關聯時，相干。
現在很明顯，M上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了M的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M上餘維為q的類葉狀結構是餘維為q的類葉狀圖冊的相干類。據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是，
定義 M上餘維為q的類葉狀結構是M上餘維為q的最大葉狀-圖冊。
實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。
在圖中，條紋與別的圖上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。
若縮小圖，可以寫成，其中與斑同構，的點參數化了中的斑。若擇，則是的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的局部橫截面。注意，由於單值性的原因，全局橫截面可能不存在。
r = 0的情形比較特殊。實踐中出現的葉狀結構通常是“光滑葉”。更確切地說，是以下意義的類：
定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊，使得座標變換式

屬於類，但在座標中是類，其階數≤ r、與的混合偏導數在座標中是類，則稱葉狀結構屬於類。
上述定義是所謂“葉狀空間”的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為的相對緊開子集，允許橫座標在更一般的拓撲空間Z中取值。斑仍是的相對緊開子集，橫座標公式的變化是連續的，在座標中屬於類，其階數 ≤ r 、與的混合偏導數在座標中連續。一般要求M、Z為局部緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。

**完整性**
令是葉狀流形（foliated manifold）。設L是的葉，s是L中的路徑，我們感興趣的是M中s的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑s行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作s(t)）行走時，一些葉可能會“掉落”、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨L，或垂直地打轉之類。若s是環路，則隨著t增大，s(t)會反覆回到同一個點s(t0)，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。
完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

**葉狀叢**
最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊映射概念的推廣。
橫截面（cross section）N與第一回歸映射（first return map）f，其中
“第一回歸映射”來自動力系統理論。令是緊n-流形上的非奇異流。應用中，可以想象M是個迴旋加速器或流體的閉合迴路。若M有界，則假定流與界相切。流生成了1維葉狀結構。若知道流的正方向，但不知道其他參數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）有向。假設流有全局橫截面N，即N是M的n-1維緊正合嵌入的子流形，葉狀結構垂直於N，每條流線都與N相遇。由於N的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是

令，考慮M中所有序列的所有堆積點的ω-極限集合ω(y)，其中為無窮大。可以證明，ω(y)是緊非空的，是流線的並。若則有值使得，由此可得

由於N是緊的，橫截於N，因此集合是單調遞增序列，併發散。
當變化，令，這樣定義一個正函數（第一回歸時間），使得
定義這是映射。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的；所以。這個微分同胚是第一回歸映射，τ稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的參數化，但f顯然只取決於有向葉狀結構。可以將流重參數化，使其保持非奇異、是類，且方向不翻轉，從而使
流有橫截面N的假設是很受限的，意味著M是上纖維叢的總空間。事實上在上，可將定義為以下條件生成的等價關係：

等價地，這是加法群Z在上的作用的軌等價，定義如下

f的映射圓柱定義為流形

由第一回歸映射f的定義與第一回歸時間的假設，可立即得出映射

流的定義可誘導一個規範微分同胚

若記，則到R的投影誘導了映射

使M變為圓上纖維叢的總空間。這只是到的投影。葉狀結構橫截於這叢的纖維，限制到每片葉L的叢投影π是覆蓋映射，這就是葉狀叢（foliated bundle）。
以的等價類為基點，就是原橫截面N。對上以為基點的每個環路s，同倫類的唯一特徵是。環路s提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升始於、終於。微分同胚也用表示，稱作環路s的總整體性。由於只取決於s，因此定義了同胚

稱作葉狀叢的總整體同胚。
更直觀地運用纖維叢，令是餘維為q的葉狀n-流形，令是纖維叢，具有q維纖維F與連通基空間B。假設所有這些結構都屬於類，若r = 0，B支持一個結構。由於B上的最大圖冊都包含子圖冊，因此假設B如所期望那般光滑並不失一般性。最後，，假設x有連通開鄰域，和局部平凡化

其中φ是微分同胚（若r = 0則是同胚），將帶到積葉狀結構。其中，是葉為的連通組分的葉狀結構，L是的葉。這是類“葉狀叢”（foliated bundle）的一般定義。
垂直於π的纖維（可以說是垂直於纖維的），π到的每片葉L的限制是覆蓋映射。特別是，每條纖維都與的每片葉相遇。纖維是的橫截，與流的橫截完全類似。
葉狀結構橫截於纖維不能保證葉是B的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是的一個葉狀結構橫截於纖維


但有無限多葉缺失了y軸。在相應的圖像中，“有箭頭的”葉以及它們上面所有的葉都漸進於x = 0軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當參數接近某個，一些葉“奔向無窮大”。更確切地說，可能有葉L，和一條連續路徑使得，但在L的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉L可能在別處與相遇，但不能均勻覆蓋的鄰域，因此不可能是B在π下的的覆蓋空間。F是緊的時，對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是是葉狀叢。
B上有圖冊，包含開連通座標圖，以及平凡化，將帶到積葉狀結構。置，並記，其中（濫用符號）表示是將與規範投影組合而得的浸沒。
圖冊的作用類似葉狀圖冊。的斑是的水平集，這一族斑通過，與F相同。由於預設了B支持某個結構，據懷特黑德定理，可在B上固定一個黎曼度量，擇圖冊為測地凸的。於是，總是連通的。若這個交非空，則的每個斑都正好與的一個斑相遇。然後，通過設下式，可定義一個完整上循環（holonomy cocycle） by setting


**例子**

**平坦空間**
考慮n維空間，是由前n-p個座標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是，葉或斑由枚舉。置n = 3、p = 2，可以類比三維空間：書的2維葉由（1維）頁碼枚舉。

**叢**
較平凡的葉狀結構例子是積，葉（M的另一個葉狀結構由給出）。
對流形F而言，的平坦G-叢是更一般的一類。給定表示，具有單值ρ的平坦-叢由給出，其中通過甲板變換作用於萬有覆蓋，通過表示ρ作用於F。
平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形F使得，都有開鄰域U使得有同胚（其中p1是到第一個因子的投影），則流形之間的映射是纖維叢。纖維叢產生了由纖維組成的葉狀結構，其葉空間L與B同構，前者是豪斯多夫流形。

**覆蓋**
若是流形間的覆蓋映射，F是N上的葉狀結構，則其拉回到M上的葉狀結構。更一般地，若映射只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。

**浸沒**
若是流形的浸沒，則據反函數定理，浸沒的纖維的連通組分定義了M的餘維為q的葉狀結構。纖維叢是這種類型的一個例子。
不是纖維叢的浸沒的一個例子是

這種浸沒產生了的葉狀結構，在下列作用下是不變的：
 
其中。的誘導葉狀結構稱作（環空的）2維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

**里布葉狀結構**
定義一個潛沒

其中是n維圓盤上的圓柱座標。這浸沒產生了的葉狀結構，在如下Z作用下是不變的：
 
的誘導葉狀結構被稱作n維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。
對於n = 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義3-球的里布葉狀結構。奇數維球的葉狀結構也是明確已知的。

**李群**
若G是李群、H是李子群，則G就會被H的陪集葉化。若H在G中閉合，則商空間是光滑（豪斯多夫）流形，將G轉化為纖維叢，纖維H、基為。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群H。

**李群作用**
令G是光滑作用於流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，則G的軌道定義了M的一個葉狀結構。

**線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構**
若是非奇異（即無處為零）的向量場，則定義的局部流拼湊在一起，就定義了維度為1的葉狀結構。事實上，給定任一點，由於是非奇異的，所以可找到一個關於x的座標鄰域，使得


從幾何角度來看，的流線就是水平集

其中所有的由慣例，流形是第二可數的，因此類似“長線”這樣的葉異常現象會被M本身的第二可數性排除。要求是完全域（例如M是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。
上的線性葉狀結構傳遞到上的葉狀結構。 a) 斜率是有理的（線性葉狀結構）； b) 斜率是無理的（克羅內克葉狀結構）。
2-環面上的無理旋轉
環面上的一類重要1維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。上的恆向量場

對中所有平移都不變，因此當投影到環面時傳遞到良定義向量場X。假定a ≠ 0。產生的上的葉狀結構的葉具有斜率為的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到X產生的上的葉狀結構。
每片葉的形式是

若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取。對固定的，中與的值對應的點都投影到的同一點，於是對應的葉L是中的嵌入圓。由於L是任意的，所以是對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢，這就是所謂線性葉狀結構。
若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生“處處稠密”的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個2維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德·克羅內克與
克羅內克稠密性定理 若實數θ不等於π的所有有理倍數，則集合在單位圓內稠密。
用平行線對進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的n-環面的1維葉狀結構。

**緯懸葉狀結構**
平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為
 
其中是規範投影。這個葉狀結構稱作表示的緯懸。
具體地說，若，是F的同胚，則的緯懸葉狀結構定義為表示的緯懸葉狀結構，由給出。其葉空間是，其中只要對某個。
緯懸葉狀結構最簡單的例子是q維流形X。令是雙射。將緯懸定義為對等價關係的商。

則，M自動攜帶兩個葉狀結構：包含形式的集合；包含形式的集合，其中軌道定義為

其中指數指的是函數f與自身複合的次數。注意，對也同樣。理解葉狀結構等效於理解映射f的動力學。若流形X已經葉化，則只要f是葉間映射，就可以利用這構造增加葉狀結構的餘維數。
2-環面的克羅內克葉狀結構是旋轉（角度為）的緯懸葉狀結構。
切割重粘後，2-洞環面的緯懸。 a) 帶待切割截面的雙洞環面； b) 切割後帶有4個面的幾何圖形。
更具體地說，若是2洞環面，是兩個嵌入圓，則是葉的3-流形的積葉狀結構。注意是嵌入環，橫截於。令表示的保向微分同胚群，並擇。將M沿切開，表示它們的副本。這時，流形有4個邊界分量葉狀結構橫截邊界的葉狀結構，葉的形式為。
這片葉在4個圓中與相遇。若，則中的對應點記作，通過下列標識，“回到”：

由於是的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於M。的葉則重新組合，產生M新的葉狀結構。若的葉L 包含一片，則

其中是由生成的子群。這些Σ'的副本通過標識彼此相連：


其中g在G上取值。葉完全由的G-軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的G-軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若G是平凡的，則。若軌道在中是稠密的，則對應的葉在M中也稠密。例如，若是2π的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉L的閉包與每個因子在康托爾集中相遇。在上也可做類似構造，其中I是緊非退化區間。這裡，取，由於通過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成M' ，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了餘維為1的葉狀結構的有趣例子。

**葉狀結構與可積性**
假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定M上不為零的向量場X，其積分曲線將給出1維葉狀結構（即餘維為n-1的葉狀結構）。
這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分佈（流形切叢的n − p維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分佈相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從約化為可約群。
弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的局部轉移函數存在。例如，對某（非規範）（即非零餘向量場），餘維為1時可定義葉狀結構的切叢為。若處處都有，則給定的α可積。
由於存在拓撲約束，因此存在全局葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊-霍普夫定理的結果，指出歐拉示性數需為0。其與切觸幾何有很多深層聯繫，專門研究不可積情形。

**葉狀結構的存在**
給出連通非緊流形上的分佈與可積分佈同倫的充分必要條件。year2=1976證明，任意有分佈的緊流形都有同維度的葉狀結構。

**參看**
弗羅貝尼烏斯定理
*G結構
*用葉狀結構分類空間
*里布葉狀結構
*緊葉狀結構(Taut foliation)

**腳註**

**參考文獻**
last= Anosov
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**外部鏈接**
  Foliations date=20240420125933  at the Manifold Atlas