默冬章

出自聖埃梅拉姆修道院，在9世紀將週期19年的默冬章描述為車輪狀的計算手稿。(巴伐利亞國立圖書館，14456, fol. 71r)
例如，從1711年至2300年，在19年的默冬章中，滿月在聖誕節的附近不斷重複地出現。比較它們的外觀，可以看見有微小的天秤動。紅色表示在那次滿月出現月食。
默冬章（Metonic cycle或enneadecaeteris，後者源自ἐννεακαιδεκαετηρίς，意思就是19）是月球的月相在大約19年的週期，於一年的同一天重現。它的重現並不是很完美，定義約為235個朔望月。精確觀測顯示，它比19個回歸年長1小時27分33秒。雅典的默冬透過對第3年、6年、8年、11年、14年、17年和19年有13個月是長年的巴比倫曆和希伯來陰陽曆的研究，判斷其週期為6,940天整數日。公元前432年，默冬在古希臘雅典的奧林匹克運動會上宣佈發現19年的週期。但在公元前432年或以前，美索不達米亞的居民已經知道這種週期，並且作為他們自己標準的歷法週期。利用這個整數，有助於構建農曆。
在中國古代，類似的概念為章，也就是農曆19年7閏的法則；已知之最早曆法古六曆，皆採用十九年七閏法。在玄始曆與大明曆以前，兩者的章幾乎相同。
中國一直到玄始曆與大明曆才廢除19年7閏的章法。

**在傳統曆法中的應用**
傳統上，對巴比倫曆和希伯來曆的陰陽曆而言，第3年、第6年、第8年、第11年、第14年、第17年和第19年是默冬章中有13個月的長年。這個週期構成了希臘曆和希伯來曆的基礎，用於每年計算復活節的日期。
巴比倫人從西元前六世紀後期開始採用19年的週期，這是猶太王國被巴比倫囚虜的時代。在埃及，為了預測尼羅河的洪水氾濫，他們採用陽曆；以色列民族寧願遵守季節性事件的農曆，他們將Aviv的那個月訂為新年度的第一個月(出埃及記 9:31, 12:1-2)，需要週期性的閏月。當他們測量月球相對於恆星的運動時，235:19的關係最初可能指的是恆星年，而不是各種曆法中使用的回歸年。
根據李維，羅馬國王努瑪·龐皮留斯(西元前753-673 年)插入閏月的規則是"在第20年，從那時開始，太陽落下的位置應該回到開始時的同一天。" 。由於"第20年"是"第1年"之後的19年，這似乎表明努瑪的曆法中應用了默冬章的週期。
西西里的狄奧多羅斯報導說，阿波羅每19年會造訪超級寶庫一次。
默冬章(19年)是陰陽曆週期，與76年的卡里普斯週期類似。在儒略曆中應用的一個重要例子是19年的農曆週期，但實際上只應用了一個默冬結構，在後續的世紀，卡里普斯發展了4個19年週期的卡里普斯週期，其週期為76年，平均年常為365.25天。在安提基特拉機械中實現了默冬章的循環，為以默冬章為基礎的行事曆盛行，提供了意想不到的證據。
大約在西元260年，亞歷山大的Anatolius of Laodicea是第一位使用這種計算器確定復活節所在星期天的人，他在西元268年成為老底嘉(Laodicea)的主教。然而，它是後來但略有不同的默冬19年月球週期版本，最終成為狄奧尼修斯·伊希格斯和是比德製作復活節表的基本結構，至少直到1582年，儒略曆被格里曆取代之前，在整個基督教世界盛行很長一段時間。
是基於19年默冬章週期的萬年曆；它也被稱為符文規杖 (Rune staff)或符文年鑑 (Runic Almanac)。這種曆法不依據回歸年或閏年來維繫，它是在每年年初通過觀察冬至後的第一個滿月來確定。這是已知最古老，也是中世紀唯一的Nyköping staff，據信可以追溯到13世紀。
19世紀中期建立的巴哈伊曆法也是以19年為週期。
在中國傳統的農曆，從已知的第一個古代曆法就開始使用了默冬章。默冬章一直使用到5世紀才被更精確的週期取代。

**數學基礎**
人們認識到回歸年對農業的重要性，比採用農曆月份來計時要晚得多。然而，人們也認識到這兩者在很段的時間跨度內是不容易協調的。因此考慮了較長的時間間隔，並發現默冬章是相當好，但還不是完美的架構。現在所接受的值是：
235個朔望月(月相) = 6,939.688日(默冬章的定義)
19個回歸年 = 6,939.602日
一個默冬章的週期，兩者的差值為0.086日，這意味著在十幾次的週期之後，天文數據和計算之間將有整整一天的延遲。實際的誤差是每219年差一天，即每一天的誤差是百萬分之12.4。然而，也有其它的週期與默冬章非常接近： 
254個恆星月(軌道週期) = 6,939.702日 
255個交點月(月球交點) = 6,939.1161日
20.021 食年(40個食季) = 6,939.55944日
由於接近255個交點月（大約超過半天），默冬章也是一個交食週期，但只能持續4或5個週期。 Octon (eclipse cycle)是默冬章的5（47個月，3.8年），它大約重複20到25個週期。
這種循環似乎是種巧合。月球繞地球的軌道和地球繞太陽的軌道週期被認為是獨立的，沒有任何已知的物理共振。非巧合的一個例子是水星的軌道，有著3:2的自旋軌道共振。
陰曆一年為12個朔望月，約為354天；比365天的陽曆短少約11天。 因此，當陰曆年和陽曆年之間的差異超過一整個朔望月時，就需要插入一個完整的月（"閏月"），也就是置閏。雅典人起初似乎沒有一個固定的方法來插入第13個月；什麼時候添加一個月的問題是由官員決定的。默冬章的發現使他們有可能提出一種規則的置閏方案。巴比倫人似乎在西元前500年左右提出了這樣的方案，因此是早在默冬之前。

**更多細節**
兩個與默冬章相關但不太準確的子週期： - 8年 = 99個朔望月 (一個奧克東週期) 誤差1.591日；即5年有一日的誤差。- 11年 = 136個朔望月，誤差大約1.504日，也就是每7.3年誤差一日。
將11年的的週期與19年默冬章適當的結合起來，就有可能產生更加精確的週期。例如，經由簡單的算術表明： - 687 回歸年 = 250,921.39日;- 8,497 朔望月 = 250,921.41日
這使得687年的誤差只有半小時(平均一年只差2.5秒)，然而這取決於回歸年與朔望月的長期變化組合。
在默冬的時代，尚未發現歲差，所以他尚不知道恆星年(現在是365.256363日)和回歸年(現在是365.242190日)的差別。大多數的曆法，例如常用的格里曆，都是以回歸年為基礎，每年都維持相同的日曆時間。

**相關條目**
Octaeteris(古代的8年週期)- 卡利皮奇週期（西元前330年使用的76年週期）- Hipparchic cycle (西元前2世紀的304年週期)- 沙羅週期(食的週期)- 阿提卡曆和拜占庭歷- 農曆- 希伯來曆- Runic calendar- 儒略日- 復活節的計算

**註解**

**參考資料**
 Mathematical Astronomy Morsels, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., 1997 (Chapter 9, p. 51, Table 9. A Some eclipse Periodicities)- C. Philipp E. Nothaft (2012) Dating the Passion (The Life of Jesus and the Emergence of Scientific Chronology (200-1600), Leiden 9789004212190)- Daniel P. Mc Carthy & Aidan Breen (2003) The ante-Nicene Christian Pasch De ratione paschali (The Paschal tract of Anatolius, bishop of Laodicea): Dublin ( 9781851826971)- Georges Declercq (2000) Anno Domini (The Origins of the Christian Era): Turnhout (9782503510507)

**外部連結**
 Eclipses, Cosmic Clockwork of the Ancients  date=20171230101631