Z轉換

在數學和信號處理中，Z轉換（Z-transform）把離散的實數或複數時間訊號從時域轉為復頻域（z域或z平面）表示。
可以把它認為是拉普拉斯變換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性。

**歷史**
現在所知的Z變換的基本思想，拉普拉斯就已瞭解，而1947年W. Hurewicz用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。 後來由1952年哥倫比亞大學的採樣控制組的Q740408和查德稱其為“Z變換”。
後來發展並推廣了改進或高級Z變換。
Z變換中包含的思想在數學裡稱作母函數方法，該方法可以追溯到1730年的時候，棣莫弗與概率論結合將其引入。
從數學的角度，當把數字序列視為解析函數的（洛朗）展開時，Z變換也可以看成是洛朗級數。

**定義**
像很多積分變換一樣，Z變換可以有單邊和雙邊定義。

**雙邊Z變換**
雙邊Z轉換把離散時域信號轉為形式冪級數。

當中  是整數， 是複數變量，其表示方式為

其中 A 為 z 的模，j 為虛數單位，而 ɸ 為輻角（也叫相位角），用弧度表示。

**單邊Z變換**
另外，只對 n ≥ 0 定義的 xn，單邊Z變換定義為

在信號處理中，這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位衝激響應。
單邊Z變換的一個重要例子是概率母函數，其中 xn 部分是離散隨機變量取 n 值時的概率，而函數 X(z) 通常寫作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z變換的性質（在下面）在概率論背景下有很多有用的解釋。

**地球物理學定義**
地球物理中的Z變換，通常的定義是 z 的冪級數而非 z−1 的。例如，Q102443451和Q112388807都使用這個慣例。地球物理定義為：

這兩個定義是等價的；但差分結果會有一些不同。例如，零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義，在單位圓外用另一個定義。
因此，需要注意特定作者使用的定義。

**逆Z變換**
逆Z變換為

其中 C 是完全處於收斂域（ROC）內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下（參見例2），這意味著路徑 C 必須包圍 X(z) 的所有極點。
這個曲線積分的一個特殊情形出現在 C 是單位圓的時候（可以在ROC包含單位圓的時候使用，總能保證 X(z) 是穩定的，即所有極點都在單位圓內）。逆Z變換可以化簡為逆離散傅里葉變換：

有限範圍 n 和有限數量的均勻間隔的 z 值的Z變換可以用Bluestein的FFT算法方便地計算。離散時間傅里葉變換 (DTFT)—不要與離散傅里葉變換（DFT）混淆—是通過將 z 限制在位於單位圓上而得到的一種Z變換的特殊情況。

**收斂域**
收斂域（ROC）是指Z變換的求和收斂的複平面上的點集。


**例1（收斂域不存在）**
令 。在區間 上展開  成為

觀察上面的和

因此，沒有一個  值可以滿足這個條件。

**例2（因果的收斂域）**
 = 0.5 這個圓用虛線圓表示（內圈者）
令 （其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 xn 得到

觀察這個和

最後一個等式來自無窮幾何級數，而等式僅在 |0.5z−1|  0.5。因此，收斂域為 |z| > 0.5。在這種情況下，收斂域為複平面“挖掉”原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

**例3（非因果的收斂域）**
 = 0.5 這個圓用虛線圓表示
令 （其中 u 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 xn 得到

觀察這個和

再次使用無窮幾何級數，此等式只在 |0.5−1z| nun 和一個非因果項 −(0.75)nu−n−1。
一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓（即 |z| = 1），那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統（例2）是穩定的，因為 |z| > 0.5 包含單位圓。
如果我們有一個沒有給定收斂域Z變換（即模糊的 ），則可以確定一個唯一的  滿足下列：- 穩定性- 因果性
如果要求滿足穩定性，則收斂域必須包含單位圓；如果要求為一個因果系統，則收斂域必須包含無窮大，並且系統函數應為一個右邊序列。如果要求為一個非因果系統，那麼收斂域必須包含原點，且系統函數為左邊序列。如果既要滿足穩定性，也要滿足因果性，則系統函數的所有極點都必須在單位圓內。
通過這種方法可以找到唯一的 。

**性質**
帕塞瓦爾定理

初值定理：如果 xn 為因果的，那麼

終值定理：如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內，則


**常見的Z變換對錶**
這裡：

是單位階躍函數而

是離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數，但由於它們的不連續性把它們看成是分佈（它們在 n = 0 處的值通常無關緊要，除非在處理離散時間的時候，它們會變成衰減離散級數；在本章節中對連續和離散時間域，都在 n = 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內容）。同時列出兩個“函數”，使得（在連續時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的積分，或（在離散時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的求和，因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。

**與傅里葉級數和傅里葉變換的關係**
對於區域 |z|=1（稱為單位圓）內的 z 值，我們可以通過定義 z=ejω 來用單一實變量的函數來表示該變換。於是雙邊變換就簡化為了傅里葉級數：
也被稱作 xn 序列的離散時間傅里葉變換（DTFT）。這個以 2π 為週期的函數是傅里葉變換的periodic summation，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點，令 X(f) 為任意函數 x(t) 的傅里葉變換，該函數以某個間隔 T 採樣就與 xn 序列相等。於是 xn 序列的DTFT可以寫作：

若T的單位是秒，的單位即為赫茲。比較兩個數列可得  為Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations，單位是radians per sample。數值ω=2π對應 Hz. ，而且在替換 後，  Eq.1可以表示為傅里葉變換X(•):

若數列x(nT)表示線性時不變系統的衝激響應，這些函數也稱為頻率響應，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函數表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的離散傅里葉變換來計算。（參照離散傅立葉變換#週期性）

**和拉氏變換的關係**

**雙線性變換**
雙線性變換可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

將一個拉氏域的函數轉換為Z域下的，或是

從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性變換，複數的s平面（拉氏變換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的單位圓內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區域包括jΩ軸。

**線性常係數差分方程**
線性常係數差分（LCCD）方程是基於自迴歸滑動平均的線性系統表達形式。

上面等式兩邊可以同時除以 α0，如果非零，正規化 α0 = 1，LCCD方程可以寫成

LCCD方程的這種形式有利於更加明確“當前”輸出 yn 是過去輸出 yn−p、當前輸入 xn 與之前輸入 xn−q 的一個函數。

**傳遞函數**
對上述方程去Z變換（使用線性和時移法則）得到

整理結果


**零點和極點**
由代數基本定理得知分子有 M 個根（對應於 H 的零點）和分母有 N 個根（對應於極點）。用極點和零點重新整理傳遞函數為

其中 qk 為 k 階零點，pk 為 k 階極點。零點和極點通常是複數，當在複平面（z平面）作圖時稱為pole–zero plot。
此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話，零點和極點的數目總會相等。
通過對分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的衝激響應和線性常係數差分方程。

**輸出響應**
如果一個系統 H(z) 由信號 X(z) 驅動，那麼輸出為 Y(z) = H(z)X(z)。通過對 Y(z) 部分分式分解並取逆Z變換可以得到輸出 yn。在實際運用中，在分式分解  之後再乘 z 產生 Y(z) 的一個形式（含有很容易計算逆Z變換的項）往往很有用。

**參見**
 高級Z變換- 雙線性變換- 差分方程（遞迴關係式）- 離散卷積- 離散時間傅里葉變換- 有限脈衝響應- 形式冪級數- 拉普拉斯變換- 洛朗級數- 概率母函數- 星標變換- Zak transform- Zeta function regularization

**參考文獻**

**延伸閱讀**
 Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.- Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

**外部鏈接**
 id=p/z130010-  Z-Transform table of some common Laplace transforms date=20110502052019 -  Mathworld's entry on the Z-transform date=20130130223318 -  Z-Transform threads in Comp.DSP date=20120615051141 -  Z-Transform Module by John H. Mathews-  A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform date=20160410040815