馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論

馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以類為直觀動機的一階公理化集合論，它是配上選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守擴展（ZFC裡可以證明的定理也都是NBG的定理），而且NBG僅需在一階邏輯基本的公理模式上添加有限數目的公理，但ZFC需添加與集合有關的公理模式。
NBG首先由馮·諾伊曼在1920年代提出，從1937年開始由保羅·博內斯作修改，在1940年由哥德爾進一步簡化。

**基本符號**
在NBG下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號  來表示，  通常簡記為  ，並被直觀理解成「x屬於y」；類似地，  的否定   通稱被簡記為  ，並被直觀理解為「x不屬於y」。
以下都把  簡寫為普通的 。
本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見一階邏輯#常用的推理性質一節。

**類與集合**
「類」這個名詞在公理化集合論出現之前，通常被理解為「以集合為元素的集合。」或是集合（如等價類）。
但NBG所談及的一切對象（變數和項）都是類。而所謂的集合，是屬於某個類的類，也就是說以下的合式公式（ 來自德語的"集合"「Menge」）式

可直觀理解為「x是集合」，特別注意到，為了避免跟其他合式公式的變數產生混淆，  必須是展開  時首次出現的變數。反之合式公式

可稱為「  是真類（proper class）」。

**子類**
直觀上「x包含於y」意為「所有x的元素a都會屬於y」，以此為動機，NBG有以下的符號簡寫

以上可稱為「x包含於y」或「x是y的子類（subclass）」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的子集（subset）」。

**與集合相關的量詞簡寫**
仿造量詞的簡寫，對於任意變數  與合式公式  ，可作如下的符號定義
 （對所有  ，  是集合則  ）
 （存在  不但是集合且  ）
也有書籍以小寫字母來表示被量化的集合變數，但考慮到一般的非邏輯數學書籍都將大小寫的差異挪作他用，為避免混淆本條目採用以上的上標表示法。

**等號公理**

**看待等號的不同方式**
直觀上，兩個集合相等意為「x的元素就是y的元素」，也就是樸素集合論的外延公理，換句話說，可用以下的嚴謹合式公式重寫為

但一階邏輯的等號可以視為單獨的斷言符號，也可以視為一條複合的合式公式。具體來說，視為一個新的斷言符號  並簡記為  的話，需在NBG內額外添加以下的公理
直觀上可理解為「類x的元素就是類y的元素，等價於類x等於類y」。
但視為一條合式公式，則僅需做以下的符號定義

不管是何種看待方法，習慣上都會把  簡記成  （直觀上的「不相等」）。

**等號的良置**
為了確保  的確符合直觀上對等號的要求，還需添加以下的公理
直觀上，這個公理確保「x等於y，則x屬於z等同於y屬於z」。
這樣，以下的元定理就確保瞭如此定義的等號是「成功的」。

**真子類**
在定義「相等」以後，可以把「相等的類」排除出子類的定義中，換句話說，NBG有以下的符號定義

可直觀理解為「x是y的真子類（proper subclass），定義為x包含於y且x不等於y」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的真子集（proper subset）」。

**外延定理**
為以下的定理可直觀理解為「x等於y等價於，對所有集合z，z屬於x等價於z屬於y」，也就是說，等於的定義可以「限縮」成元素為集合的狀況。
引入新的函數符號前，常需要唯一存在性的證明，而外延定理大大簡化了證明的難度。

**特定條件下的存在性**
以下關於一階邏輯的一般性定理，也大大簡化了 NBG 引入新公理的過程所需的證明

**空集合公理**
這個公理的直觀意思是「存在集合x，使的所有集合y都不屬於x」。
事實上這個公理還確保了空集的唯一性，嚴格來說，它確保了：
也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的常數符號  和以下的新公理（嚴格來說，把完全沒有函數符號和常數符號的NBG擴展成有  的新NBG，但兩個理論是等效的）
這個新公理直觀上以「為集合，且任意集合y都不屬於」，把  定義成了空集的表示符號。

**配對公理**
這個公理的直觀意思是「對所有集合x和集合y，存在一個僅以x跟y為元素的集合p」。
這個公理還確保了以下的唯一性：
這樣的話會有
所以根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的雙元函數符號 （簡記為  ）和以下的新公理
這個新公理的直觀意思是「若x和y為集合，則  就是那個只以x和y為元素的集合；但反之，若x和y不全為集合，則  為空集」。

**有序對**
在不跟括弧產生混淆的情況下，也可以把記為。

**關係**

**類函數**
類函數跟普通函數的差別在於普通函數是個集合。

**類的存在公理**

**屬於類公理**

**交類公理**

**補類公理**

**定義域公理**

**積類公理**

**置換類公理**

**類的存在元定理**
這個元定理對應到ZFC爾集合論的分類公理。
首先需要遞歸地定義「可敘述公式」（predicative well-formed formula）：- 對任意變數  和  ， 為可敘述公式。- 若  與  為可敘述公式，  為任意變數，則  、  與   都是可敘述公式。
這樣依據上列諸類存在公理，就有以下元定理：

**集合的公理**

**並集公理**

**冪集公理**

**子集公理**

**無窮公理**

**取代公理及其替代**
直觀意義為「 為類函數則對任意集合  ，存在一個集合  ，正好就是在  的規則下映射出的像」。

**大小限制公理**
 對於任何類 C，存在一個集合 x 使得  （謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣），當且僅當沒有在 C 和所有集合的類 V 之間的雙射。
這個公理貢獻自馮·諾伊曼，並一下實現了分離公理、替代公理和全局選擇公理。他效力相當於原始的替代公理加上這選擇公理。完全的大小限制公理蘊涵了全局選擇公理，因為序數的類不是集合，所以有從序數到全集的雙射。

**選擇公理**

**引用**
  id=ISBN 978-0-486-66637-2- John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.- Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.- Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.- urlname=vonneumannbernaysgodelsettheory