直言三段論

直言三段論是所有前提都是直言命題的演繹推理。前兩個命題被分別稱為大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連接。例如：
所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以，所有人都會死。
這裡的中項“生物”在大前提中周延，大項“會死者”在大前提和結論中都不周延，小項“人”在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如：
所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以，沒有人有翅膀。
即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項“鳥”在大前提和小前提中周延，大項“有翅膀”在結論中周延，小項“人”在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的謬誤；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了，也就是說表達了人沒有“有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。

**語氣和格式**
對立四邊形圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係，紅色表示非空，黑色表示空。
三段論有如下典型形式：
大前提：所有M是P。
小前提：所有S是M。
結論：所有S是P。
其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。
三段論的命題可分為全稱（universal）、特稱（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：
三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：
將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。
三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。
此外，三段論的四種格之間可相互轉換：
*第1格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格。
*第2格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格。
*第3格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格。
*第4格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格。
E和I命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A命題和O命題不能對換主詞和謂詞的位置，但是可以採用直接推理中的“對置法”。A命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的I命題後再對換主詞和謂詞的位置。

**有效性**
考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。
還可以通過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是通過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推導出來。總是首先圖解全稱命題。這是通過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，對M不與P交疊的所有區域加黑影，包括M與S交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推導出在類S中所有成員也是類P的成員。但是，不能推出類P的所有成員都是類S的成員。
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作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式EIO-1的三段論。它的大前提是“沒有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的結論是“有些S不是P”。這個三段論的大項是P，它的小項是S，它的中項是M。大前提在圖中通過對交集M ∩ P加陰影表示。小前提不能通過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符號來表示“有些S是M”。（注意：黑影區域和存在量化區域是互斥的）。接著因為存在符號位於S內但在P外，所以結論“存在一些S不是P”是正確的。
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本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。
基本規則：
# 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）。
# 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）。
# 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
## 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）。
## 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）。
## 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）。
# 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
## 二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
## 一前提是特稱，則結論必須為特稱。
## 二前提皆特稱，則三段論必無效。
若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。
其他檢查：- 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）。- 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）。

**有效三段論式**
唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A、E、I、O全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。
在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

**常犯的無效三段論式**
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

**三段論式列表**
總共有19個有效的論式，算結論弱化（全稱弱化為特稱）的5個論式則為24個有效論式，其中每一格剛好各有6個有效論式。為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的加了下劃線的元音即是對應的語氣：

**經典三段論式**
下面列出的是亞里士多德的《前分析篇》中關於前3個格的14個三段論式。

**第1格**
 AAA（Barbara）
 所有M是P。
 所有S是M。
∴所有S是P。- EAE（Celarent）
 沒有M是P。
 所有S是M。
∴沒有S是P。- AII（Darii）
 所有M是P。
 有些S是M。
∴有些S是P。- EIO（Ferio）
 沒有M是P。
 有些S是M。
∴有些S不是P。

**第2格**
 AEE（Camestres）
 所有P是M。
 沒有S是M。
∴沒有S是P。
（AEE-2是AEE-4的等價形式。這種形式還有其他推導方法。）- EAE（Cesare）
 沒有P是M。
 所有S是M。
∴沒有S是P。
（EAE-2是EAE-1的等價形式。）- AOO（Baroco）
 所有P是M。
 有些S不是M。
∴有些S不是P。
（這種形式還有其他推導方法。）- EIO（Festino）
 沒有P是M。
 有些S是M。
∴有些S不是P。
（EIO-2是EIO-1的等價形式。）

**第3格**
 AAI（Darapti）
 所有M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（這種形式需要假定有些M確實存在。）- EAO（Felapton）
 沒有M是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（這種形式需要假定有些M確實存在。）- AII（Datisi）
 所有M是P。
 有些M是S。
∴有些S是P。
（AII-3是AII-1的等價形式。）- EIO（Ferison）
 沒有M是P。
 有些M是S。
∴有些S不是P。
（EIO-3是EIO-1的等價形式。）- IAI（Disamis）
 有些M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（IAI-3是IAI-4的等價形式。）- OAO（Bocardo）
 有些M不是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（這種形式還有其他推導方法。）

**增補的論式**
第4格由亞裡士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

**第4格**
 AAI（Bamalip）
 所有P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（這種形式需要假定有些P確實存在。）- EAO（Fesapo）
 沒有P是M。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（這種形式需要假定有些M確實存在。）
（EAO-4是EAO-3的等價形式。）- AEE（Calemes）
 所有P是M。
 沒有M是S。
∴沒有S是P。- EIO（Fresison）
 沒有P是M。
 有些M是S。
∴有些S不是P。
（EIO-4是EIO-1的等價形式。）- IAI（Dimaris）
 有些P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。

**結論弱化的論式**
歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用來指示出這些論式通過引入了某個詞項確實有元素存在的前提，將一個A命題弱化成了I命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的，這個問題被稱為存在性引入問題。
在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可將論式中的結論A弱化為結論I，結論E弱化為結論O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的24有效論式。結論弱化論式有5個：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的結論同於AII-1的結論，EAO-1、EAO-2的結論同於EIO-1的結論，AEO-2、AEO-4的結論同於AOO-2的結論，需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。

**謂詞演算公式的註解**
按照布爾邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合（類）和集合有某種二元關係，並且集合和集合有某種二元關係，從而推論出集合和集合是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種：- A（全稱肯定）命題：所有的元素是的元素，確定了“包含於”的關係，是的子集，是的超集，這是一種偏序關係，包含於，並且包含於，則包含於。A命題允許兩個推理方向，從元素屬於推出它屬於，從元素不屬於推出它不屬於。A命題確定了減的差集是空集。- E（全稱否定）命題：所有的元素不是的元素，確定了和是“無交集”的關係，這是一種對稱關係，無交集於，同於無交集於。E命題允許兩個推理方向，從元素屬於推出它不屬於，從元素屬於推出它不屬於。E命題確定了與的交集是空集。- I（特稱肯定）命題：有些的元素是的元素，確定了和是“有交集”的關係，這是一種對稱關係，有交集於，同於有交集於。I命題確定了與的交集不是空集。- O（特稱否定）命題：有些的元素不是的元素，確定了“不包含於”的關係。O命題確定了減的差集不是空集。
兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題，一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題，兩個特稱命題無法推理。A命題可以和所有四種命題組合。E命題還可以和I命題組合，兩個否定命題和IE組合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。
AA組合中AAA-1是直接推出的；第4格AA組合推論出謂詞包含於主詞的關係，這不是四種命題之一，只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為AAI-4。AE組合中AEE-4是直接推出的，EA組合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3沒有等價者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法，這裡採用了直接推理中的“對置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E命題And/orI命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

**24論式圖示**
下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

**參見**
 直接推理- 傳統邏輯- 謂詞演算

**註解**

**引用**
Aristotle, Prior Analytics. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
*Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
*Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
*Irving Copi, 1969. Introduction to Logic, 3rd ed. Macmillan Company.
*Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
*Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

**外部連結**
 Robin Smith- Terence Parsons- Henrik Lagerlund-  Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism date=20100416120736  an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic-  Abbreviatio Montana date=20100507181444  article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.-  The Figures of the Syllogism date=20100328202209  is a brief table listing the forms of the syllogism.-  www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes-  Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet