向量分析

向量分析，或稱為向量微積分（Vector calculus）是數學的一個分支，主要研究在3維歐幾里得空間中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。
向量分析在微分幾何與偏微分方程的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是電磁場、引力場和流體流動的描述中。
向量分析由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末從四元數分析發展而來，大多數符號和術語由吉布斯和Edwin Bidwell Wilson在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積，下文將會討論。

**基本對象**

**標量場**
標量場將空間中的每點與標量值相關聯。標量是代表物理量的數字。標量場的應用如空間中的溫度分佈、流體中的壓強分佈、零旋量子場（稱為標量玻色子）如希格斯場。這些場是標量場論的研究對象。

**向量場**
向量場將向量分配給空間中的每一點。例如，平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合，每個都有給定的大小與方向，並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向，或某種力（如磁力或引力）在點之間變化時的強度和方向。例如，這可用於計算在一條線上所做的功。

**向量和偽向量**
在更高級的處理中，進一步區分了偽向量場和贗標量場，它們只在反向映射下符號會變化：例如，向量場的旋度是偽向量場，若反射一個向量場，旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述，下詳。

**向量運算**

**代數運算**
向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為向量代數，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，基本代數運算有：
兩種三重積也比較常見：
三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

**微分運算**
向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）來表示，也被稱為“Nabla算子”。向量分析的五個最重要的微分運算：

**定理**
同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

**應用**

**線性近似**
線性近似用幾乎相同的線性函數代替複雜函數。給定實值可微函數，對接近的，可以用下式近似

右式是圖形在處切線的平面方程。

**最優化**
對連續可微多變量函數，若其所有偏導數在P點都為零（梯度為零），則P點是一個臨界點。臨界值是函數在臨界點上的值。
若函數光滑，或至少2次連續可微，則臨界點可能是局部極值或鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣的特徵值，可以區分不同情形。
由費馬引理，可微函數的局部極值都出現在臨界點上。因此，要找到局部極值，只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。

**物理學與工程學**
向量分析尤其適於研究
*質心
*場論
*運動學
*麥克斯韋方程組

**推廣**
向量分析還可推廣到其他3-流形及高維空間。

**不同3-流形**
向量分析起初是在歐氏空間中，不僅是3維實向量空間，還具有額外結構，即：由內積定義範數（給出長度概念），又引出角度與方向，方向又分左右手。這些結構產生了體積形式，以及在向量分析中常用的叉積。
梯度與散度只需要內積，旋度和叉積還需要考慮座標軸的手性。
若其他3維實向量空間有內積（或更一般的對稱非退化形式）核方向，向量分析就可在這些空間上定義；這比歐氏空間的同構數據要少，因為不需要座標軸集（參照系），這反映了向量分析在旋轉（特殊正交群SO(3)）下不變的事實。
更一般地說，向量分析可定義在任意3維有向黎曼流形，或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向，更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義，所以有效。

**其他維度**
大多數分析結果都可以通過微分幾何機制輕鬆理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（產生調和分析）可輕易推廣到其他維度，而旋度和叉積則不能直接推廣。
從一般觀點來看，（3維）向量分析中的各種場被統一視作k向量場：標量場是0-向量場，向量場是1-向量場，偽向量場是2-向量場，偽標量場是3-向量場。在更高維度中，還有更多類似的場（標量/向量/偽向量/偽標量對應0/1/n-1/n維，這在3維中詳盡無遺），因此不能只用（偽）標量和（偽）向量。
在任意維度中，假定一個非退化形式，標量函數的梯度是向量場，而向量場的散度是標量函數，但只有3維、7維（1維、0維是平凡的）中，才能定義叉積（其他維度的推廣或要n-1個向量才能得到一個向量，或要用李代數代替，即更一般的反對稱雙線性積）。總之，向量場的旋度是二重向量場，可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數；但這不能視作向量場，因為維數不同——3維旋轉有3維，但4維旋轉有6維（n維中的旋轉有維）。
向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數，用k向量場（3維及以下時，k向量場都可用標量函數或向量場識別，但更高維並非如此）。外積取代了叉積，可在所有維度中，由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克利福德代數（具有有向非退化形式）。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。
第二個運用微分形式（k餘向量場），在數學中有廣泛應用，尤常見於微分幾何、幾何拓撲、調和分析等領域，在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看，梯度、旋度、散度分別對應0形式、1形式、2形式的外導數，而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。
從這兩種推廣來看，向量分析隱式地標識了不同的數學對象，使表述更簡單，但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看，向量分析隱式地將k向量場與向量場與標量函數區分開來：0向量與3向量同標量有關，1向量和2向量同向量有關。從微分形式的角度來看，向量分析隱式地將k形式同標量場與向量場相聯繫：0形式、3形式與標量場有關，1形式、2形式與向量場有關。因此，舉例來說，旋度自然地將向量場或1形式作為輸入，將2向量場或2形式作為輸出（因此是偽向量場），然後將其解釋為向量場，而非直接從向量場映射到向量場，這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。

**參見**
 實函數- 向量恆等式- 在圓柱和球座標系中的del- 方向導數- 保守矢量場- 螺線矢量場- 拉普拉斯矢量場- 亥姆霍茲分解- 正交座標- 偏斜座標- 曲線座標- 張量

**參考文獻**

**腳註**

**參考資料**
 Sandro Caparrini (2002) " The discovery of the vector representation of moments and angular velocity date=20210417135737 ", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.-  title-link = A History of Vector Analysis -  isbn = 978-0-7167-0462-1-  isbn = 978-0-393-92516-6- Barry Spain (1965)  Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.- Chen-To Tai (1995).  A historical study of vector analysis date=20080925012441 . Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

**外部鏈接**
  The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields- id=p/v096360- id=p/v096350-  A survey of the improper use of ∇ in vector analysis date=20240706125318  (1994) Tai, Chen-To-  Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

**延伸閱讀**
 A History of Vector Analysisdate=20201127013554