浮點數運算

十進制浮點數的表示方式
在電腦科學中，浮點數運算（Floating-point arithmetic）是一種用浮點（floating point，縮寫為FP）方式表示實數的運算方式。浮點是一種用於表示實數近似值的數值表示法，由一個有效數字（即尾數）加上冪數來表示，通常是乘以某個基數的整數次指數得到。以這種表示法表示的數值，稱為浮點數（floating-point number）。浮點數運算運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。
計算機使用浮點數運算的主因，在於電腦使用二進位制的運算，例如：4÷2=2，4=100(2)、2=010(2)，由4的二進位100(2)變成2的二進位為010(2)，相當於退一位數。則1.0÷2=0.5=0.1(2)，也就是。依此類推二進位的0.01(2)就是十進位==0.25。由於十進位制無法準確換算成二進位制的部分小數，如0.1，因此只能使用近似值的方式表達。
這種表示方法類似於基數為10的科學記數法。在計算機上，通常使用2為基數的冪數來表示，一個浮點數a由兩個數m和e來表示：a = m × be。在任意一個這樣的系統中，可選擇一個基數b（記數系統的基）和精度p（即使用多少位來存儲），m（即Significand）是形如±d.ddd...ddd的p位數（每一位是一個介於0到b-1之間的整數，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整數，m稱作正規化的，有一些描述使用一個單獨的符號位（s 代表+或者-）來表示正負，這樣m必須是正的，e是指數。
這種表示法的設計，來自於對於值的表現範圍，與精密度之間的取捨：可以在某個固定長度的存儲空間內表示出某個實數的近似值，例如： 一個指數範圍為±4的4位十進制浮點數可以用來表示43210，4.321或0.0004321，但是沒有足夠的精度來表示432.123和43212.3（必須近似為432.1和43210）。當然，實際使用的位數通常遠大於4。
此外，浮點數表示法通常還包括一些特別的數值：+∞和−∞（正負無窮大）以及NaN（'Not a Number'）。無窮大用於數太大而無法表示的時候，NaN則指示非法操作或者無法定義的結果。
其中，無窮大，可表示為inf，在內存中的值是階碼為全1，尾數全0。而NaN在內存中的值則是階碼全1，尾數不全0。

**計算機的浮點數**
浮點指的是帶有小數的數值，浮點運算即是小數的四則運算，常用來測量電腦運算速度。大部份計算機採用二進制（b=2）的表示方法。位（bit）是衡量浮點數所需存儲空間的單位，通常為32位或64位，分別被叫作單精度和雙精度。有一些計算機提供更大的浮點數，例如英特爾公司的浮點運算單元Intel8087協處理器（以及其被集成進x86處理器中的後代產品）提供80位長的浮點數，用於存儲浮點運算的中間結果。還有一些系統提供128位的浮點數（通常用軟件實現）。

**浮點數的標準**
在電腦使用的浮點數被電氣電子工程師協會（IEEE）規範化為IEEE 754。

**舉例**
π的值可以表示為π = 3.1415926...10（十進制）。當在一個支持17位尾數的計算機中表示時，它會變為0.11001001000011111 × 22。

**浮點數運算**
為了方便呈現，容易閱讀，以下的例子會用十進制，有效位數7位數的浮點數，也就是IEEE 754 decimal32格式，其原理不會隨進制或是有效位數而變。此處的s表示尾數（有效數字），而e表示指數。

**加減法**
處理浮點數加法的簡單作法是將二個浮點數調整到有相同的指數。在以下例子中，第二個數的小數點左移了三位，使二者的指數相同，之後即可進行一般的加法運算：
123456.7 = 1.234567 × 10^5
101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5
因此
123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
**(1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
**(1.234567 + 0.001017654) × 10^5
** 1.235584654 × 10^5
若用e和s來表示
e=5;  s=1.234567     (123456.7)
+ e=2;  s=1.017654     (101.7654)
e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.001017654  (移位後)
--------------------
e=5;  s=1.235584654  (實際的和：123558.4654)
這是真實的結果，二個數字真正的和，之後會再四捨五入到七位有效位數，若有需要的話，會再進行正規化，其結果為
e=5;  s=1.235585    (最後答案：123558.5)
加數的最低三位數（654）沒有出現在結果中，這稱為捨入誤差。在一些極端的例子中，二個浮點數的和可能和其中的被加數或是加數相等：
e=5;  s=1.234567
+ e=−3; s=9.876543
e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.00000009876543 (移位後)
----------------------
e=5;  s=1.23456709876543 (真正的和)
e=5;  s=1.234567         (四捨五入及正規化後)
在上述的例子中，為了要有正確的四捨五入結果，在二數指數差距很大時，要增加許多位數才有正確的結果。不過，在二位制的加減法中，利用一個guard位元、一個rounding位元以及一個額外的sticky位元，就可以有正確的結果218–220。
另一個失去有效數字的情形出現在二個幾乎相等的數字相減時。在以下的例子中，e = 5; s = 1.234571和e = 5; s = 1.234567是有理數123457.1467和123456.659的近似值。
e=5;  s=1.234571
− e=5;  s=1.234567
----------------
e=5;  s=0.000004
e=−1; s=4.000000 (四捨五入及正規化後)
浮點數的差可以精確的計算，如同Sterbenz lemma所說明的，就算是因為gradual underflow而出現下溢位也是一樣。不過，原來二個數的差是e = −1; s = 4.877000，和浮點數計算結果e = −1; s = 4.000000之間差了超過20%。在極端的例子中，甚至所有的有效數字都會不見。上述的災難性抵消說明瞭，假設計算結果的每一位數都有意義，這個想法很危險。這類誤差的處理及修正是數值分析中的主題之一。

**乘除法**
若要進行乘法，將有效數字相乘，指數相加，再進行四捨五入及正規化即可。
e=3;  s=4.734612
× e=5;  s=5.417242
-----------------------
e=8;  s=25.648538980104 (真實乘積)
e=8;  s=25.64854        (四捨五入後)
e=9;  s=2.564854        (正規化)
而除法會將被除數和除數的有效數字相除，二者的指數相減，再進行四捨五入及正規化。
乘除法不會有抵消或是某一數字被吸收的問題，不過仍會出現一些小誤差，若連續運算，誤差會變大。實務上，要進行上述運算的數位邏輯可能會相當的複雜（像是布斯乘法算法以及除法器）。

**準確性**
由於浮點數不能表達所有實數，浮點運算與相應的數學運算有所差異，有時此差異極為顯著。
比如，二進制浮點數不能表達0.1和0.01，0.1的平方既不是準確的0.01，也不是最接近0.01的可表達的數。單精度（24比特）浮點數表示0.1的結果為,，即
0.100000001490116119384765625
此數的平方是
0.010000000298023226097399174250313080847263336181640625
但最接近0.01的可表達的數是
0.009999999776482582092285156250
浮點數也不能表達圓周率，所以不等於正無窮，也不會溢出。下面的C語言代碼
double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
double z = tan(pi/2.0);
的計算結果為16331239353195370.0，如果用單精度浮點數，則結果為−22877332.0。同樣的，。
由於浮點數計算過程中丟失了精度，浮點運算的性質與數學運算有所不同。浮點加法和乘法不符合結合律和分配律。

**事故**
奔騰早期的60-100MHz P5版本在浮點運算單元有一個問題，在極少數情況下，會導致除法運算的精確度降低。這個缺陷於1994年被發現，變成如今廣為人知的奔騰浮點除錯誤，同時這一事件導致英特爾陷入巨大的窘態，建立召回計畫來回收有問題的處理器。

**相關條目**
IEEE二進位浮點數算術標準（IEEE 754）
*單精度浮點數
*雙精度浮點數
*MIPS
*TOP500
*災難性抵消

**參考資料==