向量空間

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合
向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函數）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究對象。

**正式定義**
給定域  和某集合  ，它們具有了以下兩種運算（函數）：- 向量加法  （其中  慣例上簡記為  ）- 標量乘法  （其中  慣例上簡記為  甚至是    ）
且這兩種運算滿足：（特別注意  和  是域  是本身具有的加法和乘法）
這樣稱 「  為定義在域  上的向量空間」，而  裡的元素  被稱為向量；域  裡的元素  被稱為標量。這樣域  就是囊括所有標量的集合，所以為瞭解說方便，有時會將  暱稱為標量域或是標量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法  也可以簡寫成  。
前四個條件規定  是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「  是個域，且  是一個 模」。

**基本性質**
以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。
以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號  代表「向量加法  的唯一單位元」，並稱之為  的零向量。
在不跟標量域的加法單位元   混淆的情況下，零向量  也可以簡寫成  。
以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以  代表「向量  在向量加法  下的唯一逆元素」，甚至可以把  簡記為  ，並暱稱為向量減法。在不跟標量的加法混淆的情況下，  也可記為  ；  也可記為  。

**額外結構**
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：- 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。- 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。- 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。- 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

**例子**
對一般域F，V記為F-向量空間。若F是實數域ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限域，則V稱為有限域向量空間。
最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為域中元素的加法，標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當F是實數域ℝ時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：
# ，
# ，
# 零元素存在：零元素0滿足：對任何的向量元素v，，
# 逆元素存在：對任何的向量元素v，它的相反數就滿足。
# 標量乘法對向量加法滿足分配律：.
# 向量乘法對標量加法滿足分配律：.
# 標量乘法與標量的域乘法相容：。
# 標量乘法有單位元：ℝ中的乘法單位元，也就是實數“1”滿足：對任意實數v，。
更為常見的例子是給定了直角座標系的平面：平面上的每一點都有一個座標，並對應著一個向量。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和標量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。
同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn也是向量空間的例子。其中的向量表示為，其中的都是實數。定義向量的加法和標量乘法是：
，
可以驗證這也是一個向量空間。
再考慮所有係數為實數的多項式的集合。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法，也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函數的集合也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

**方程組與向量空間**
向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：


如果和都是解，那麼可以驗證它們的“和”也是一組解，因為：


同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的“向量加法”和“標量乘法”滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。
一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。
對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：

出於和上面類似的理由，方程的兩個解和的和函數也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。

**子空間基底**
如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間。
給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。
給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。
可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個座標系。
可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中，  ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基，那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：
那麼v可以用數組來表示。這種表示方式稱為向量的座標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：
可以證明，存在從任意一個n維的-向量空間到空間的雙射。這種關係稱為同構。

**線性映射**
給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函數f：
所有線性變換的集合記為，這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，中的線性變換可以通過矩陣來表示。
如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構，那麼其逆映射也存在，並且對所有的，都有：

**參考文獻 == - 《中國大百科全書》- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.- Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

**參考資料**

**外部連結 ==