外代數

外代數（Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。
數學上，向量空間的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了為其中一個子空間。它記為或. 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為. 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在上是交錯的，也就是：
，對於所有向量
這表示
，對於所有向量，以及
，當 線性相關時。
值得注意的是，以上三性質只對中向量成立，不是對代數中所有向量成立。
外代數事實上是“最一般的”滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。
形式為的元素，其中在中，稱為-向量。所有-向量生成的的子空間稱為的-階外冪，記為。外代數可以寫作每個階冪的直和：

該外積有一個重要性質，就是-向量和-向量的積是一個-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由給出。這些-向量有幾何上的解釋：2-向量代表以和為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量代表帶方向的平行六面體，其邊為, , 和。
外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

**定義及運算律**
外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。
定義: 設 是域 上的一個向量空間，讓則定義
:
令 為 的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如的張量生成的（其中任意），則將上的外代數定義為商代數，即
:
並且把的等價類 記為，其中 。設 稱 
:
為的-階外冪（th exterior power of ），稱中的元素為-向量（-multivector）。
注：
# ，當且僅當時才有，因此，可以把等同於，並且把記為；基於類似的原因，可以把等同於，而且把記為。這一點是前面所講的能夠把記為 的特例和前提。
# 當時，-向量並不僅限於形如的元素，例如，也是2-向量，其中.
# 理想中的元素並不僅限於形如的張量，例如，
##, 必定有 和.
## , 由於和以及，顯然有，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想中。
## 由於上面的兩個結論，，我們有，這是因為等式右邊的每一項都在中。對張量的階數作數學歸納法，則可以證明：, ，總有。
# 設，則，作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元，可以把這個-階的完全反對稱張量等同於, 詳見後面的“反對稱算子和外冪”一節。在有些文獻中，-向量就是以這種方式定義的。
運算律 將上面的注中的內容用寫出，則分別給出
(1) , 
證明如下： 作為等價類，我們從中任意挑選一個代表元，則而且。根據商代數的定義，
:
類似地，可以證明
(2) 根據注3.1中的內容，顯然有.
(3) 根據注3.2中的內容，對任意成立著
:
注：即使的特徵為2，這個公式也是對的，只不過此時有而已。
(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算滿足結合律和分配律：
:
:
:
其中都是任意的。
以前兩條性質為例，其證明如下：設張量分別是中的代表元，即, , , 則
:
:
(5) 根據上面的(3)和(4)，用數學歸納法可以證明：
:
證明從略。

**基底和維數**
若的維數是而是的基，則集合

是階外冪的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

則每個向量可以記為基向量的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基-向量前的係數可以用通過積來描述的矩陣的子式來計算。
數一下基元素，我們可以看到的維數是n 取 k。特別的有，
對於.
外代數是一個分級代數，是如下直和

其維數等於二項式係數之和，也就是.

**例子: 歐氏三維空間的外代數**
考慮空間，其基為。一對向量


的楔積為

其中是三維空間的基底。
再加一個向量
,
這三個向量的楔積是

其中是一維空間的基底。
空間是, 而空間是。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間，這是八維向量空間
.
那麼，給定一對8維向量和, 其中如上給出，而
,
和的楔積如下(用列向量表達),
.
容易驗證8維楔積以向量為乘法么元。也可以驗證該代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

所以該代數是有單位且結合的。

**叉乘的實質，贗向量與贗標量**
對三維歐幾里得空間可以建立一個線性同構如下：任取的右手的標準正交基，，，規定把，，分別映射為，，，則的定義與右手的標準正交基如何選取無關。
不難看出，對任意向量和，這個線性同構把映射為。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，中平行四邊形的面積向量可以表示為. 經過推廣之後，高維黎曼流形中的緊的二維曲面的面積則可以用

來計算（其中是度規張量場在上的誘導度規
的座標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。
在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。
類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把中的元素映射為“標量"。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。
把 2-向量映射為向量以及把 3-向量映射為一個實數的映射實際上是一個叫做霍奇對偶的線性映射。

**泛性質及構造**
令為一個域（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。是“最一般”的包含的並有一個交替乘法在上由單位的結合-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：
任給一個有單位的結合 -代數和一個-線性映射使得對於每個屬於成立，則存在恰好一個由單位的代數同態使得所有屬於成立。
外代數的泛性質
要構造最一般的包含的代數，而且其乘法是在上交替的，很自然可以從包含的最一般的代數開始，也就是張量代數，然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取中由所有形為的元素生成的雙邊理想，其中屬於，並定義為商

（並且使用為中的乘法的代號）。然後可以直接證明包含並且滿足上述泛性質。
如果不是先定義然後把外冪等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間然後把它們合併成為一個代數。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

**反對稱算子和外冪**
給定兩個向量空間和，一個從到的反對稱算子是一個多線性映射

使得只要是中線性相關的向量，則 
.
最著名的例子是行列式值，從到的反對稱線形算子。
映射

它關聯中的個向量到他們的楔積，也就是它們相應的-向量，這也是反對稱的。事實上，這個映射是定義在上的“最一般”的反對稱算子：給定任何其它反對稱算子，存在一個唯一的線性映射。這個泛性質表述了空間並且可以作為它的定義。
所有從到基域的反對稱映射組成一個向量空間，因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個標量的乘積也是反對稱的。若是有限維的，維數，則該空間可以認同為，其中表示的對偶空間。特別的有，從到的反對稱映射的空間是取維的。
在這個等同關係下，若基域是或者，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設和為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣，楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下：

其中多線性映射的交替定義為其變量的所有排列的帶符號平均：

注意： 有一些書中楔積定義為


**指標記法**
在主要由物理學家使用的指標記法中有：


**微分形式**
令為一個微分流形。一個微分k-形式是（的餘切叢的階外冪）的一個截面。等價的有：是的光滑函數，對於的每個點給定一個的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大-斯潘尼爾上同調。

**推廣**
給定一個交換環和一個-模，我們可以定義和上文一樣的外代數，它是張量代數適當的商。它會滿足類似的泛性質。

**物理應用**
格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。
參看：超空間，超代數，超群

**註釋**

**相關課題**
多線性代數
*張量代數
*對稱代數
*克利福德代數