立方體

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。
立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有Octahedral symmetry，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號4,3，Coxeter-Dynkin digram，其對偶多面體為正八面體。

**性質**
面的組成：正方形
面的數目：6
邊的數目：12
頂點數目：8
表面積：
體積：
二面角角度：
外接球半徑：
內接球半徑：
對偶多面體：正八面體
在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。

**頂點座標及表面方程**
在三維直角座標系中，對於以原點為中心的、各稜平行於座標軸的、稜長為2的立方體，其頂點座標為
(±1, ±1, ±1)
的全排列。其包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。
在R3中，以點(x0,y0,z0)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡，其中x,y,z滿足：


**幾何性質**
立方體有11種不同的展開圖，即是說，我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條稜而將其展平為平面圖形，見右圖。
立方體的11種不同展開圖
如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則我們至少需要3種顏色（類似於四色問題）。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。
將立方體沿對角線切開，能得到6個全等的正4稜柱（但它不是半正的，底面稜長與側稜長之比為2:√3）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。

**正交投影**
我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。

**半正對稱性與表面塗色**
作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想象將立方體的面“塗上”不同的“顏色”，使它其的不同面擁有不同的“幾何意義”，使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性Oh中，立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、Coxeter-Dynkin digram和Wythoff symbol。此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。

**相關多面體及鑲嵌**
right- 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的，其體積為立方體體積的。
正四面體外接正六面體
right
right- 立方體的對偶多面體是正八面體。
當正八面體在立方體之內：
正八面體體積 : 立方體體積
**(1/3)×高×底面積×2 : 邊3
**(1/3)(n/2)(n2)/22 : n3
**1 : 6- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。- 截半立方體：從一條稜斬去另一條稜的中點得出- 截角立方體- 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的3維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即Vn-cube=an等）。- 長方體、偏方面體的特例。
將立方體Antipodal point後的到的商形成的一個實射影多面體，即立方體半形（hemicube）（不應叫其“半立方體”，因為其易與‘demicube’混淆）。
Hemi-立方體是立方體2到1的商
正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體稜長為1，則對偶正八面體稜長為√2。
正方體是一種最特殊的四邊形正六面體：
立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體（Stella Octagula）。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味著，正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群，對應著能將半立方體變換到自身的對稱變換，立方體其餘的對稱變換能將兩個半立方體變換到對方。一個這樣的正四面體佔據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各佔立方體體積的1/6。
從立方體各稜中點處切掉立方體的角，我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectified cube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。如果我們不在稜中點處截它，則這種操作叫“截角”（truncation），正方形面變成了八邊形。如果截的合適，則我們可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncated cube）。如果我們同時截掉立方體的稜和頂，則這種操作叫“截稜”（centellation），如果截的恰當，得到的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。
正十二面體有20個頂點，它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組，這8個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的稜都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起，構成複合多面體——五複合立方體。正十二面體內部的五複合立方體
如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點，我們會得到一個非正的八面體，將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則我們得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族：
此外，立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關：
立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關：
立方體是正四稜柱：

**應用**
 日常生活
** 食鹽和糖的結晶體都是立方狀。
** 骰子最常見的形狀就是立方體。
** 1967年世界博覽會的「立方體房間」
** 中國國家游泳中心俗稱“水立方”- 遊戲
** 索馬立方
** -{zh-hans:魔方; zh-tw:魔術方塊; zh-hk:扭計骰;}-
** 扭扭骰
** 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）
** 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）- 視錯覺
** 奈克方塊
** 不可能方塊（下圖）- 數論
** 立方數
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**數學問題**
由正方體展開圖可得知正方體表面積算法
正六邊形的切法：沿上底兩條鄰邊的中點，切至下底兩條鄰邊的中點

**倍立方體問題**
參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出的位置

**最大的橫切**
立方體的橫切只有四種：- 三角形- 矩形- 五邊形- 六邊形
其中以正六邊形的面積最大,若立方體的稜長為a,則正六邊形的面積為。

**參見**
四角柱
*超方形
*正八面體

**外部連結**
 External link=yes-  摺紙立方體 date=20210309125850 - urlname=Cube.html date=20210411132241 -  Mathematische Basteleien date=20210203014653