快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。
以十進位為例： 
2 8 → 2^2+8^2 → 6^2+8^2 → 1^2+0^2+0^2
3 2 → 3^2+2^2 → 1^2+3^2 → 1^2+0^2
3 7 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
5 6 → 5^2+6^2 → 6^2+1^2 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。
不是快樂數的數稱為不快樂數（unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。
在十進位下，100以內的快樂數有id=A007770：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

**快樂數表格**
以下是小於100的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。
以下是100到小於200的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。
以下是200到小於300的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。
300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。
以下是300到小於400的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。
發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

**快樂數的因數**
以下是300以內的快樂數因數。
由表格可知：
*128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
*1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
*1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
*1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
*1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
*1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

**快樂質數**
在十進位下，300以內的快樂質數有id=A035497：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

**快樂完全數**
已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

**其他進制的快樂數**
三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 id=A239320
*五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 id=A240849
*任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

**其他進制的不快樂數循環**
2進制
**每個數都是快樂數
*3進制
**2 → 11 → 2 
**:在十進制中為2 → 4 → 2
*4進制
**每個數都是快樂數
*5進制
**4  → 31  →20  → 4
**:在十進制中為4  → 16  → 10  → 4
**23 → 23 
**:在十進制中為13 → 13
*6進制
**5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
**:在十進制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
*7進制
**2 → 4 → 22 → 11 → 2 
**:在十進制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
**34 → 34 
**:在十進制中為25 → 25
*8進制
**4 → 20 → 4 
**:在十進制中為4 → 16 → 4
**5 → 31 → 12 → 5 
**:在十進制中為5 → 25 → 10 → 5
**32 → 15 → 32 
**:在十進制中為26 → 13 → 26
*9進制
**58 → 108 → 72 → 58 
**:在十進制中為53 → 89 → 65 → 53
**55 → 55 
**:在十進制中為50 → 50
*10進制
**4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
*11進制
**75 → 68 → 91 → 75 
**:在十進制中為82 → 74 → 100 → 82
**23 → 12 → 5 → 23 
**:在十進制中為25 → 13 → 5 → 25
*12進制
**22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
**:在十進制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
**21 → 5 → 21
**:在十進制中為25 → 5 → 25
*13進制
**79 → A0 → 79
**:在十進制中為100 → 130 → 100
**36 → 36
**:在十進制中為45 → 45
**B2 → 98 → B2
**:在十進制中為145 → 125 → 145
**67 → 67
**:在十進制中為85 → 85
**14 → 14
**:在十進制中為17 → 17
*16進制
**D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
**:在十進制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

**其他性質**
快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
*通過檢查十進制中前一百萬個快樂數，它們的自然密度似乎約為0.15。十進制快樂數也許沒有漸近密度。快樂數的自然密度上限大於0.18577，下限小於0.1138。
*十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

**Python程式碼**
#ishappy number
def ishappy(n):
a = 
while n not in a:
a.append(n)
n = sum(int(x) **2 for x in str(n))

return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

**相關條目**
Fortunate number
*哈沙德數
*幸運數

**外部連結**
 Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕