完全數

以古氏積木演示完全數6
完全數（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。
例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。
十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

**完全數的發現**
古希臘數學家歐幾里得是通過
的表達式發現前四個完全數的。 
當2^1*(2^2-1)
當2^2*(2^3-1)
當2^4*(2^5-1)
當2^6*(2^7-1)
一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式：，其中是素數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。
比如，上面的和對應著和的情況。我們只要找到了一個形如的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完美數。
儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是或的形式，其中是素數。 
首十個完全數是（A000396）：
# 6（1位）
# 28（2位）
# 496（3位）
# 8128（4位）
# 33550336（8位）
# 8589869056（10位）
# 137438691328（12位）
# 2305843008139952128（19位）
# 2658455991569831744654692615953842176（37位）
# 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

**歷史**
古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個素數，第 5 個完全數應該是第 5 個素數，即當  的時候，可是  並不是素數。因此  不是完全數。另外兩個錯誤假設是：- 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。- 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。
事實上，第五個完全數  是  位數。
對於第二個假設，第五個完全數確實是以  結尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六個完全數 ，仍是以  結尾，只能說歐幾裡得的公式給出的完全數以  和  結尾。卡塔爾迪證明瞭此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。
對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。
每一個梅森素數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾裡得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為  共有  位數。

**性質**
以下是目前已發現的完全數共有的性質。- 偶完全數都是以6或28結尾。- OR|在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。- OR|在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。- 除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是11=亦即，除了6以外的偶完全數，被9除都餘1。：
→  → 
→  →  → - 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從到：



- 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和noteTag|1=亦即，每個偶完全數都是三角形數。：



- 除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有)1=這是因為。：



- 每個完全數的所有約數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

- 它們的二進制表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如，所以左邊的１數量永遠比右邊的０多１個）







- 有趣的是，以繁體字書寫「完全數」剛好是28劃。

**奇完全數**
截至2024年6月30日，用計算機已經證實：在102200以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同素數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。
美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

**奇完全數的部分條件**
 N > 102200- N是以下形式： 
: 
其中：- q，p1，…，pk是不同的素數（Euler）。- q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。- N的最小素因子必須小於。- ≡...≡ ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。- 要麼qα > 1062，要麼對於某個j有 > 1062。- N必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。- N不能被105整除。- N的最大素因子必須大於108，並低於 。。- N的第二大素因子必須大於104，並低於。  。- N的第三大素因子必須大於100。- N至少要有101個素因子，其中至少10個是不同的。 如果3不是素因子之一，則至少要有12個不同的素因子。- 如果對於所有的i，都有 ≤ 2，那麼：
** N的最小素因子必須大於739（Cohen 1987）。
** α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

**圖查德定理**
這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如或。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明，1951年巴爾塔薩·範德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）- 歐拉證明瞭奇完全數的形式必如。- 表示的正因數之和。完全數的定義即為。為積性函數- 引理（甲）：若（是正整數），則非完全數。- 引理（乙）：若（是正整數），則非完全數。
引理的證明（甲）：
使用反證法，設為完全數，且。
。因為3的二次剩餘只有0,1，故非平方數，因此其正因數個數為偶數。
有正因數，則可得：
 且；或
 且。
因此，。故。
但，矛盾。
故的形式只可能為或。
引理的證明（乙）：
使用反證法，設為完全數，且。
。因為4的二次剩餘只有0,1，故非平方數，因此其正因數個數為偶數。
有正因數，則可得：
 且；或
 且。
因此，。故。
但，矛盾。
故的形式只可能為。
若，根據歐拉的結果，，綜合兩者，得。
若，，得。若非3的倍數，3和互質。
因為為積性函數，可得。
但，出現了矛盾。故知是3的倍數。代入，可得。

**參考**
  Odd Perfect Numbersdate=20060916102829 , Gagan Tara Nanda

**註釋**

**參考資料**

**參見**
高合成數
*婚約數
*親和數
*盈數
*虧數
*梅森素數
*半完全數
*佩服數
*超完全數
*梅森素數與完全數集合
*笛卡爾數

**外部鏈接**
 id=p/p072090- David Moews:  Perfect, amicable and sociable numbersdate=20141228104932 -  Perfect numbers – History and Theorydate=20040630205006 - title=Perfect Number- name=Perfect numbers-  OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.-  Great Internet Mersenne Prime Searchfix-attempted=yes -  Perfect Numbersdate=20150212231337 , math forum at Drexel.- cite web|last=Grimes|first=James|title=8128: Perfect Numbers|url=http://www.numberphile.com/videos/8128.html|work=Numberphile|publisher=Brady Haran|access-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20130531000409/http://numberphile.com/videos/8128.html|archive-date=2013-05-31|dead-url=yes