三角形

三角形，又稱三邊形，是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。
一般用大寫英語字母、和為三角形的頂點標號；用小寫英語字母、和表示邊；用、和給角標號，又或者以這樣的頂點標號來表示。

**分類**

**以角度分類**

**銳角三角形**
銳角三角形的所有內角均為銳角。

**鈍角三角形**
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於90°。

**直角三角形**
right
有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

**三角函數**
直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

**以邊長分類**

**不等邊三角形**
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

**等邊三角形**
等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是  ，則其面積公式為  。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

**三角形的對邊**
對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC，∠B的對邊就是AC，∠C的對邊就是AB。
對邊測量是全站儀的一種專項測量功能，它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活，操作簡單，但它的測量精度沒有標註，需要通過計算求得。

**等腰三角形**
等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。
等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。
等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底邊是  ，腰是 ，則其面積公式為 
等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。

**退化三角形**
退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

**勒洛三角形**
勒洛三角形（Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師Franz Reuleaux命名。

**一般性質**

**三角不等式**
三角邊長不等式
*:三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
*三角內外角不等式
*:三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

**角度**
right
*三角形外角
*:三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
*三角形內角和
*:在歐幾裡德平面內，三角形的內角和等於180°。

**勾股定理**
勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊  為斜邊，即  的對角  ，則
 。
勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足
 ，
則


**正弦定理**
設  為三角形外接圓半徑，則


**餘弦定理**
對於任意三角形：
 
 
 
勾股定理是本定理的特殊情況，即當角  時，  ，於是  化簡為  。

**全等及相似**

**全等三角形**
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：- SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。- SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。- ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。- RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。1=聯合SAS性質，可得「兩個直角三角形只要任兩邊（兩股，或一股一斜邊）對應地相等，即全等」。- AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。
SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。34

**相似三角形**
 AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））- 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。- 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

**特殊線段**
三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。- 中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。- 高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。- 角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。- 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。
以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

**中線長度**
設在中，若三邊、、的中線分別為、、，則：




**高線長度**
設在中，連接三個頂點、、上的高分別記作、、，則：
 
 
 
其中  。

**角平分線長度**
設在中，若三個角、、的角平分線分別為、、，則：




**三角形的心**
三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：
關於三角形的四心，有這樣的一首詩：
right
垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

**外接圓和內切圓半徑**
設外接圓半徑為 ， 內切圓半徑為 ，則：


其中為三角形面積；為三角形半周長，

**面積**

**基本公式**
三角形的面積  是底邊  與高  乘積的一半，即：
，
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。
三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。
從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於  的長方形。因此原來的三角形面積為
。
證畢。

**已知兩邊及其夾角**
設   為已知的兩邊，  為該兩邊的夾角，則三角形面積是：
。
三角形的高h能以正弦的定義表示。
觀察右圖，根據正弦的定義：
。
因此：
。
將此式代入基本公式，可得：
。
證畢。

**已知兩角及其夾邊**
、  為已知的兩角，  為該兩角的夾邊，則三角形面積是：
。
三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。
從正弦定理可知：

代入  ，得：
。
注意到，因此：

證畢。

**已知三邊長**
海倫公式，其表示形式為：
，
其中  等於三角形的半周長，即：

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

也有用冪和來表示的公式：
NoteTag|應用實例，如外森比克不等式的證明
將海倫公式略為變形，知

多次使用平方-{}-差公式，得

等號兩邊開根號，再同除以4，得

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設  ，三角形面積為：
。
設  、 、為三角形三條邊，  、  、  為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

以畢氏三角恆等式可得：
。
將此式代入，得：
。
因式分解及簡化後可得：

代入，即可證畢。

**已知座標系中三頂點座標**
由  、  及  三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：

無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角座標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的座標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。
若三個頂點設在三維坐標繫上，即由  、  及  三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：


**已知周界及內切圓或外接圓半徑**
設三角形三邊邊長分別為  、  及  ，三角形半周長（  ）為  ，內切圓半徑為 ，則：

若設外接圓半徑為  ，則：

內切圓半徑公式
三角形被三條角平分線分成三分。
根據右圖，設  ，  ，  ，則三角形面積可表示為：

外接圓半徑公式
根據正弦定理：

因此：


**已知兩邊向量**
設從一角出發，引出兩邊的向量為  及  ，三角形的面積為：

根據向量積定義，，
其中  是兩支向量的夾角。
因此：

證畢。

**半角定理**
在三角形中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係：

以正弦及餘弦之比表示正切：

因為


所以



而



所以

同理可得



**其他有關三角形的定理**
 外角定理- 拿破崙三角形- 費馬點- 歐拉線- 梅涅勞斯定理- 樞紐定理- 維維亞尼定理- 莫雷角三分線定理

**註釋**

**參考資料**

**參看**
 三角學- 三-橢圓形