格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。
黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。
格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

**公式**
令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

其中是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

现在考虑光滑拟射影概形与上的层的有界复形之间的真射。
格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

（高阶直像的交替和）与前推

由公式

其中是X（的切丛）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

其中是f的相对切层，定义为元素。例如，当f是光滑态射时，就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。
运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。

**泛化与特化**
考虑组合的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。
希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。
有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

**例子**

**曲线上的向量丛**
域的光滑射影曲线上秩为、度为（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点、，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

于是

此式也适于秩为、度为的相干层。

**光滑真射**
格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射的纤维都是等维的（在基变为时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

**曲线的模**
对属曲线（且无标记点）的模叠，有通用曲线，其中是属曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

其中与是相关的对偶化层。注意在点上的纤维，这就是对偶化层。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环上的之和 (corollary 6.2)，从而找到描述的、间的关系。由于是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形的覆盖，对某个有限群可给出。对应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

因为

由上式可知

这样，的计算可以进一步减少。在偶数维，

另外在1维，

其中是边界上的一个类。时，在光滑轨迹上有如下关系

可通过分析的陈示性推得。

**闭嵌入**
闭嵌入也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对维光滑簇及余维为的子簇，有

由短正合序列
,
有下式

for the ideal sheaf since .

**应用**

**模空间的准射影性**
过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间（如有尖代数曲线的模空间）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，有曲线族

有截面

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛，有相伴线丛
及
于是

是丰沛线丛209，因此粗糙模空间是准射影的。

**历史**
亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。
格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于代数簇的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

**另见**
川崎黎曼–罗赫公式

**注释**

**参考文献**
cite book | last = Berthelot | first = Pierre | author-link = Pierre Berthelot |editor=Alexandre Grothendieck |editor-link=Alexandre Grothendieck |editor2=Luc Illusie |editor2-link=Luc Illusie | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225) | series = Lecture Notes in Mathematics | year = 1971 | volume = 225 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin; New York| language = fr | pages = xii+700 | no-pp = true |doi=10.1007/BFb0066283 |isbn= 978-3-540-05647-8- Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link=Jean-Pierre Serre | title=Le théorème de Riemann–Roch | mr=0116022 | year=1958 | journal=Bulletin de la Société Mathématique de France | volume=86 | pages=97–136 | doi=10.24033/bsmf.1500 | issn=0037-9484 | language=fr | doi-access=free - Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=3-540-62046-X | mr=1644323 | year=1998 | zbl=0885.14002 | edition=2nd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. | volume=2 - bibcode=2017arXiv170510769N- url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/
*isbn=9781107017085 

**外部链接**
  The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem date=20230629054634 
*The  thread date=20231121155123  "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.- The  thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
*The  thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.