分布式参数系统

分布式参数系统（distributed parameter system）不同于集总参数系统，是状态空间为无限维度的系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

**抽象发展方程**

**离散时间**
假设U、X和Y是希尔伯特空间，而 ∈ L(X),  ∈ L(U, X),  ∈ L(X, Y) 和 ∈ L(U, Y)，以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统：


其中（状态）是序列，其值在X内，（输入或是控制）是序列，其值在U内，（输出）为序列，其值在Y内。

**连续时间**
连续时间的例子类似离散时间，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：
,

接下来复杂的部份就是将实际的问题（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是强制使用无界算子。一般会假定A状态空间X里的C0半群。假定B、C和D是有界算子，允许包括多待分析的实际的例子，不过有些实际的例子也会假定B和C是无界的。

**例子：偏微分方程**
及的偏微分方程如下




符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L2(0, 1)，A算子定义为:
可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为


**例子：时滞微分方程**
时滞微分方程


符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L2(−τ, 0)复数的乘积，A算子定义为

可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为


**传递函数**
分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同，都是利用拉氏转换（连续时间）或是Z转换（离散时间）来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数，而无限维度的传递函数会是无理函数（不过仍然是全纯函数）。

**离散时间**
离散时间的传递函数可以用状态空间参数，表示为以下的形式，函数在圆心为原点的圆盘内是全纯的。若1/z在A的resolvent set内（可能是另一个以圆心为原点，较小的圆盘），则传递函数为。任何在零点为全纯的函数都有对应的离散系统，使该函数为离散系统的传递函数。

**连续时间**
若A可产生强连续半群，且B、C及D为有界算子，则传递函数可以用状态空间参数表示为，其中s的实部比A产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下，上述公式不一定有意义，不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效。
若要得到传递函数的简单表示式，较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换，而不是用状态空间中的参数来表示。

**偏微分方程的传递函数**
令初始条件为0，将对t进行过拉氏转换的函数用大写表示，可以将偏微分方程转换为以下的形式



这是非齐次线性微分方程，变数为，s为参数，且初始条件为零。其解为。用此式来代入有Y 的方式中并且积分，可以得到，因此传递函数为。

**时滞微分方程的传递函数**
类似上述偏微分程的例子，时滞微分方程的传递函数为 。

**可控制性**
在有限维的系统中，可控制性的定义只有一种，但无限维的系统中，有几种不相容的可控制性定义。以下是最重要的三种：
*精确可控制性（Exact controllability）
*近似可控制性（Approximate controllability）
*零可控制性（Null controllability)

**离散时间下的可控制性**
在离散时间系统中，将所有U值序列的集合映射到X的映射相当的重要，其表示式为。是初始条件为零时，给定输入序列u下达到的状态。The system is called 
*系统在时间n内为精确可控制（exactly controllable）若的值域为X。
*系统在时间n内为近似可控制（approximately controllable）若的值域是X内的稠密集。
*系统在时间n内为零可控制（null controllable）若的值包括An的值域。

**连续时间下的可控制性**
在连续时间系统中，（表示为）有和离散时间系统的一样重要的角色。不过，控制函数所在的空间也会影响定义。一般的选择是L2(0, ∞;U)，是在(0, ∞)区间内U值平方可积函数的（等效）空间，不过也有其他的定义，例如L1(0, ∞;U)。当的定义域选定之后，有以下几种不同的可控制性。
*系统在时间t内为精确可控制（exactly controllable）若的值域为X。
*系统在时间t内为近似可控制（approximately controllable）若的值域为X内的稠密集。
*系统在时间t内为零可控制（null controllable）若的值包括的值域。

**可观察性**
就如同有限维度下的情形一样，无限维度的可观察性也是可控制性的对偶概念。无限维度有很多种的可观察性定义，最重要的三个如下：
*精确可观察性（exactly observable），也称为连续可观察性（continuous observability）
*近似可观察性（approximately observable）
*最终状态可观察性（final state observable）

**离散时间下的可观察性**
在离散时间系统的可观察性中，（将X映射到所有Y值序列空间的映射，若k ≤ n，表示为，在k > n时，数值为0)。意思是是初始条件x，控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性
*在时间n有精确可观察性（exactly observable），若存在 kn > 0 ，使得　，在所有 x ∈ X 时都成立
*在时间n有近似可观察性（approximately observable），若为单射
*在时间n有最终状态可观察性（final state observable），若存在 kn > 0 使得，在所有 x ∈ X 时都成立

**连续时间下的可观察性**
在连续时间系统的可观察性中，（表示为，其中s∈0,t，若s>t时为零）的角色和在离散时间系统中的相当。不过运算子作用的函数空间也会影响其定义。常见的选择是L2(0, ∞, Y)，是（等效于）在定义域(0,∞)内的Y-值平方可积函数，不过也可以选择其他的函数空间，例如L1(0, ∞, Y)。只要选择了的辅域，就可以定义不同的可观察性，有以下几种可观察性：
*在时间t有精确可观察性（exactly observable），若存在kt > 0，使得，在所有 x ∈ X 时都成立
*在时间t有近似可观察性（approximately observable），若为单射
*在时间t有最终状态可观察性（final state observable），若存在 kt > 0 使得 ，在所有x ∈ X 时都成立

**可控制性和可观察性的对偶**
和有限维度下的情形类似，可控制性和可观察性也是对偶的概念（若域以及辅域都选用一般的函数空间L2时），这些不同概念的对偶如下：
*精确可控制性 ↔ 精确可观察性。
*近似可控制性 ↔ 近似可观察性。
*零可控制性 ↔ 最终状态可观察性。

**相关条目**
 控制理论- 状态空间

**脚注**

**参考资料**
 publisher=Springer- publisher=Birkhauser- publisher=Cambridge University Press- publisher=Springer- publisher=Cambridge University Press- edition=second