拉东变换

拉东变换将函数  映射到。
本图是将下图做拉东变换后得到的影像，越亮的区域代表值越大，黑色的区域为0。
原始函数是白色区域为1，黑色区域为0。
数学上，拉东变换（又称雷登变换）是一种积分变换，这个变换将二维平面函数变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数(的意思是对做拉东变换)，而的值为函数对该条线做积分的值。以右图为例，黄色区域即是，线则是代表。
拉东变换是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同时提出拉东变换的反变换公式，以及三次空间的拉东变换公式。
三次空间拉东变换，是对一个平面积分(对线积分则是X-ray_transform)。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间的拉东变换被提出，更详尽的广义拉东变换要参见Integral_geometry。
在复数上有和拉东变换相似的Penrose_transform，拉东变换被广泛的应用在断层扫描，拉东反变换可以从断层扫描的剖面图重建出投影前的函数。

**简介**
若函数表示一个未知的密度，对做拉东变换，相当于得到投影后的讯号，举例来说：相当于人体组织，断层扫描的输出讯号相当于经过拉东变换的。
因此，可以用拉东反变换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。
拉东变换后的讯号称作正弦图（sinogram），因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对一些小点的拉东变换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。
拉东变换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、Macromolecular_assembly（Macromolecular assembly）的电子显微镜（例如：病毒、蛋白质复合体）、反射地震学，而且也是双曲线偏微分方程的解。

**定义**
令密度函数是一个的定义域为  的紧支撑。令为拉东变换的运算子(operator)，则是一个定义在
空间中的直线，它的定义如下

可以把直线 改写成一个弧长的参数式

是直线和原点的距离，而是垂直于的法线和轴的夹角，
接下来，我们可以令当作平面上的新座标系统，把这个座标变换带入到拉东变换得到

更进一步，我们可以把推广到的欧几里得空间，对一个紧支撑的连续函数做拉东变换后的函数是定义在
的超平面上，

积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure)，而是原本的的高维推广。可以观察到对里的任意元素，
都是某个轨迹方程式的解

而是一个单位向量且属于，，n维的拉东变换可以改写成定义在 上的函数

也可以借由其他方式将拉东变换推广，也就是对的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。
而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

**与傅立叶变换的关系**
拉东变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是

而双变数的傅立叶变换是

把拉东变换的运算子的表记从 改成 。根据投影切片定理学说，

因此一个初始函数沿着一条线倾角的二维的傅立叶变换，相当于对拉东变换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维


**对偶变换**
对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随。令在空间上的函数，而对偶拉东变换的运算子定义为。作用在上

积分的范围是所有和相交的超平面集合，而测度(measure)是集合特殊的机率测度(Probability measure)，
当对着旋转时，的值不会改变
对于一个二维的拉东变换，其对偶变换是

在影像处理的文章中，对偶变换经常被称作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。
交结性质
根据拉普拉斯算子在 的定义是

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间，半径的二阶导数

也是旋转不变性。
而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为


**重建方法**
重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。
拉东反变换公式
对于二维拉东变换，最常被使用的解析公式(analytical formula)，是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式，反变换公式为
 
函数满足，卷积核 (convolution kernel) 在一些文章中称作Ramp filter。
不适定问题 (ill-posedness)
直觉上，反变换公式应该和微分类似，。我们可以看的出来反变换公式
的行为类似微分。大致上来说，这个反变换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

即是前面定义的反变换运算子，且伴随着(adjoint to)拉东变换，因此，上式变成

复数指数函数，是的固有函数 (eigenfunction) ，
而特征值 (eigenvalue)为。的奇异值 (singular values) 是，
因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以是无界的(unbounded) 。

**反变换公式**
外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式，以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由

其中

而是拉普拉斯算子(Laplacian)，是伪微分算子(pseudodifferential operator)

是傅立叶变换的运算子(operator)。

**参见**
反折积
*X-ray transform
*Funk transform
*霍夫变换
*叠代稀疏渐近最小方差算法

**注释**

**参考**
  location = New York .
*Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | title=Geometric analysis on symmetric spaces | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-4530-1 | mr=2463854  
volume=39.
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*last=Minlos.
*isbn=0-89871-493-1
*isbn=0-89871-472-9.
*citation | title= Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten | last= Radon | first= Johann | authorlink= Johann Radon | journal= Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section | location= Leipzig | publisher= Teubner | year= 1917 | issue= 69 | pages= 262–277; Translation:  issue= 4.
*last=Roerdink.
*pagename=Radon Transform.