莫尔圆

图1：三维应力下的莫尔圆
莫尔圆（Mohr's circle）得名自德国土木工程师Christian Otto Mohr，是一种用二维方式表示柯西应力张量转换关系的图。
先针对假设为连续的物体进行应力分析，之后特定一点的柯西应力张量分量会和坐标系有关。莫尔圆是用图形的方法去确认一个旋转坐标系上的应力分量，也就是在同一点上，但是作用在不同方向平面上的分量。
圆上每一个点的横坐标及纵坐标都是在这个旋转坐标系统上某一个方向的正应力及剪应力。换句话说，莫尔圆表示了在所有方向平面上应力状态的轨迹，而X轴和Y轴为应力元素的主轴。
是第一个想到用图形来表示应力的人，他是在分析水平梁承受弯曲时的纵向应力及垂直应力时所想到的。莫尔的贡献不止是用莫尔圆表示二维及三维的应力，他也根据莫尔圆发展了结构失效判定的准则。
其他表示应力状态的方式有Lame's stress ellipsoid及柯西应力二次曲线（Cauchy's stress quadric）。
莫尔圆可以扩展到对称的 2x2 张量，包括应变及转动惯量张量。

**应力及莫尔圆**
图2：在有受力可变形物体（假设为连续体）中的应力F
考虑一个会变形的物体（假设为连续体），若受到外力（可能是表面力或是Body force），物体的内部就会有力的分布。物体内部的力会依循欧拉运动定律，正如物体受力依循牛顿运动定律一様。物体内部力的强度可以用应力来表示。因为物体假设为连续体，其内部的力也是会均匀分布在其体积中。
在工程中（例如结构工程、机械工程或土力工程）会透过应力分析来分析一物体中应力的的分布，例如隧道中岩石的应力，飞机机翼的应力，或是建筑物中梁柱的应力等。计算应力分布也就表示要知道物体中每一点的应力。据奥古斯丁·路易·柯西的理论，（假设为连续体的）物体中任何一点的应力（图2），可以完全由二阶(2,0)型的张量中的九个应力元素 完全决定，此二阶张量称为柯西应力张量, :

图3：连续体中的一点在平面应力条件下的应力转换
若确定了一物体在特定坐标系统下的应力分布，有可能需要知道特定一点相对另一个有旋转的坐标系统下的应力张量，也就是在需要关注的点，在特定角度下的的应力张量。而此坐标系统和原有的坐标系统之间有一个角度差（图3）。例如，一般会需要知道最大的正向应力以及最大的剪应力，也需要知道其对应的方向。因此，需要发展一种张量转换的方式，可以配合坐标系统的旋转得到新坐标系统的张量。依照张量的定义，柯西应力张量遵守张量转换定律。应力的莫尔圆是用图解方式来说明柯西应力张量转换定律的方式。

**二维张量下的莫尔圆**
图4：连续体中的一点在平面应力条件下的应力分量
在二维下，一点相对于垂直方向的应力张量可以用三个应力向量完全表示。在垂直坐标系统下，其应力分量为：法向应力及，以及剪应力。由于角动量守恒，柯西应力张量会有对称性，也就是，因此柯西应力张量可以写成：

其目的是在另一个通过点，但存在角度差的坐标系统下，找到应力分量及（图4）。坐标系统和原坐标系统的角度差即为。

**莫尔圆的方程**
要推导二维平面应力及平面应变的莫尔圆方程，先考虑一个位在位置的二维的无限小方形元素（图4），和-平面平行。
利用无限小元素上的力平衡，正向应力及剪应力的大小为：


上述二个方程也可以用柯西应力张量的张量变换定律来求得，这和在及方向用力平衡计算是等效的。
这二个方程是莫尔圆的参数式。在方程中，为参数，而和为坐标，因此表示若选择适当的坐标系统，使为横轴，纵轴，给定参数，会给定在莫尔圆上的一点。
若从参数式中消去参数，可以得到非参数式的莫尔圆方程。可以用重组及的方程来达到。先将第一式等号右侧的第一项移到等号左边，二式平方后相加，可得

其中

这就是圆（莫尔圆）的方程

在坐标系统中，其半径，圆心在坐标处。

**符号体系**
在使用莫尔圆时，需考虑两组分别的符号体系，一个是针对实体空间下应力分量的符号体系，另一个是针对「莫尔圆空间」下应力分量的符号体系。此外，工程力学（结构工程及机械工程）文献用的体系和地质力学用的符号体系不同。没有所有系统都适用的标准符号体系，是否要使用特定的符号体系取决于计算及诠释特定问题的方便程度。
上述图4的莫尔圆推导都是使用工程力学的符号体系，以下也会继续使用工程力学的符号体系。

**实体空间符号体系**
为了描述柯西应力张量的方便（图3及图4），应力分量的第一个下标表示应力分量作用的面，第二个下标表示应力分量的方向。因此是作用在以轴正向为其法向量的平面上，而方向是往轴的正方向。
在实体空间符号体系，正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）（图5）。
在实体空间符号体系中，正剪应力在法向量为正的材料元素平面上，其作用方向会往轴的正方向，同样的，正剪力在法向量为负的材料元素平面上，其作用方向会往轴的负方向。例如作用在正向平面的剪应力和为正，因为这二个剪应力的作用方向往轴及轴的正方向（图3）。而相对应的作用在负向平面的剪应力和，其作用方向往轴及轴的负方向，因此这二个剪应力也为正。

**莫尔圆空间符号体系**
图5 绘制莫尔圆时，工程力学符号体系下的应力。此条目会依照图中的符号体系 # 3
在莫尔圆空间符号体系中，应力的符号体系和实体空间符号体系中的相同：正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）
不过剪应力的符号体系和实体空间符号体系中的不同。在莫尔圆空间符号体系中，正的剪应力会使材料往逆时针方向旋转，而负的剪应力会使材料往顺时针方向旋转。因此在莫尔圆空间中，剪应力分量为正，而为负。这和实体空间符号体系中和符号相同的情形不同。
在绘制莫尔圆时，有二个作法可以绘制在数学上正确的莫尔圆：
# 将正的剪应力画在上方（图5，符号体系#1）
# 将正的剪应力画在下方，也就是轴倒置（图5，符号体系#2）
将正的剪应力画在上方会让莫尔圆上的角为正值时，旋转方向是顺时针旋转，这和实体空间符号体系中的相反。因此有些作者会选择让正的剪应力画在下方，这会让莫尔圆上的角为正值时，旋转方向是逆时针旋转，类似实体空间符号体系的情形。
为了克服剪应力轴往下才是正向的问题，有另外一种「替代的」符号体系，其中正的剪应力假设为将材料将顺时针方向旋转，而负的剪应力假设为将材料将逆时针方向旋转（图5，符号体系#3）。在「替代」体系下，正的剪应力轴往上，而且在莫尔圆上为正值时，旋转方向为逆时针。此符号体系产生的莫尔圆和图5，符号体系#2中的相同，因为正的剪应力也是会逆时针旋转的剪应力，也画在下方。而负的剪应力也是会顺时针旋转的剪应力，也画在上方。
此条目在实体空间符号体系中，会依照工程力学的符号体系，而在莫尔圆空间中，会使用「替代的」符号体系（图5，符号体系#3）。

**绘制莫尔圆**
图6：在平面应力及平面应变的条件下绘制莫尔圆（二倍角的作法）在应力分析后，可以找到材料中一点上的应力分量、及。应力分量作用在二个互相垂直的平面及平面，两者都通过点。莫尔圆上点和 点的坐标是在平面及平面上的应力分量。因此可以用莫尔圆找到应力分量及，也就是在同一点上，但作用在其他平面上的应力分量。线和线之间的夹角是通过点的平面和平面的法向量的夹角
假设已知待研究物体上的点的应力分量、及，如图4所示。以下方法可以绘制点的莫尔圆，以表示其应力状态。
# 绘制笛卡尔坐标系统，横轴为，纵轴为。
# 在空间中，画出二点及，分别是作用在二垂直平面平面和 平面上的应力分量（图4及图6），需依照选择的符号体系。
# 用线段连接点和点，此即为圆的直径。
# 绘制莫尔圆，其圆心是线段的中点，也就是此线和轴的交点。

**找主要正向应力**
主要应力的大小是点和点（图6中圆和 轴的交点）中的横坐标。最大正向应力的大小恒为这二个横坐标中最大的那一个，而最小正向应力的大小恒为这二个横坐标中最小的那一个。这二个点的纵坐标为0，对应在主要平面上的剪应力为零，主要应力的大小也可以表示为


其中平均正向应力的大小是圆心的横坐标，为

其半径的长度为


**找最大和最小剪应力**
最大剪应力和最小剪应力对应圆上最大及最小的纵坐标。这二个点是圆和通过圆心的垂直线的交点。因此，最大和最小剪应力的大小为圆的半径


**找任意平面的应力分量**
如前面所述，在二维应力分析后，可以知道在材料某一点上的应力分量、及 。这些应力分量作用在通过点的二垂直平面  及 ，如图5及图6所述。莫尔圆也可以计算在莫尔圆上的应力分量及，事实是作用在平面上，此平面也通过点，和平面有夹角，计算应力分量有二种方式：倍角法以及平面原点法（origin of planes）

**倍角法**
如图6所示，若平面是平面再逆时针旋转角度后的平面，要找到在平面上的应力分量，可以在莫尔圆上从已知应力点 同样以逆时针旋转，但旋转角度 ，旋转到点，也就是让线和线之间的夹角是。
倍角法的作法源自于通过点的二实际平面之间的夹角（图4），是其对应应力点 在莫尔圆上和圆心连线形成夹角的一半。
倍角关系是因为莫尔圆的参数式是的函数。也可以从在材料点 上的平面和夹角是90度，而在莫尔圆上其应力点夹角为180度看出（90度的两倍）。

**极点法（或平面原点法）**
图7：平面应力及应变的莫尔圆（极点法）。从极点画的任何直线都会和莫尔圆相交，交点表示在和直线相同角度平面上的应力状态
第二种方式和要找到莫尔圆上的一个点，称为极点（pole）或是平面原点（origin of planes）。从极点画的任何直线都会和莫尔圆相交，交点表示在和直线相同角度的平面上的应力状态。因此若知道任何特定平面上的应力分量及，可以画一条线通过莫尔圆上的 和，且和平面平行，找到莫尔圆上这些线的交点，即为极点。例如，假设有应力状态如圆7所示，其分量是, 及。首先先从点画一条线，平行的作用平面，或是从点画一条线，平行的作用平面，任一条线都会和莫尔圆交会，交会的点即为极点。在找到极点后，若要找到和垂直有夹角的平面上的应力，可以从极点画一条平行该平面的线（见图7）。可以根据直线和莫尔圆的交点找到平面上的正向应力以及剪应力。

**找主要平面的方向**
最大主要应力及最小主要应力所在的平面方向也称为主要平面（principal planes），可以用莫尔圆中
的∠BOC及∠BOE判断，然后将二个角度都取一半。因此和之间的夹角是角∠BOC，是（主要平面和平面夹角）角度的二倍。
而和也可以用以下的方程取得

此方程的解会是二个角度，彼此相差。可以直接用圆的几何求解此方程，或是用圆的参数式，并且让等于零（主要平面上的剪应力为0）。

**一般三维应力下的莫尔圆**
图10 三维应力下的莫尔图
若要绘制三维应力下的莫尔图，需要先量测其主应力的大小以及方向。
考虑以主应力轴为坐标系统，而不是用, , 坐标系统，并且假设，则在一法向量为 的平面，其应力向量的应力分量及剪力分量会满足下式


由于，可以用高斯消去法求解, , ：

因为及都不是负值，因此其分子满足
 因为其分母而且
 因为其分母而且
 因为其分母而且
方程式可以写成

是三个应力莫尔圆, 和的方程，其半径分别是, 及，而其圆心分别在, , 。
有了上述三个应力莫尔圆的方程，所有可能的应力点都会在三个应力莫尔圆之间的阴影区域（见图10）。应力点 可能满足圆的方程，或是在圆的外面，可能满足圆的方程，或是在圆的里面，可能满足圆的方程，或是在圆的外面。

**相关条目**
 Critical plane analysis

**脚注**

**参考资料**

**外部连结**
   Mohr's Circle and more circles by Rebecca Brannon date=20180920115731 -  DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle" date=20210424062902