大津算法

使用大津算法二值化的图像
原图
在计算机视觉和图像处理领域，大津二值化法（Otsu's method）是由Nobuyuki Otsu命名的一种用于自动图像阈值分割的方法。 该方法用于对基于聚类的图像进行二值化，即将一个灰度图像转化为二值图像。算法假定图像根据双模直方图（前景像素和背景像素）包含两类像素，并计算出能将这两类像素分开的最佳阈值，使得类内方差最小，或等效地，类间方差最大。
因此，大津二值化法是一种一维离散的费舍尔判别分析的类似方法，与Jenks natural breaks optimization相关，并且等同于在强度直方图上执行的全局最优k-means算法。
原始论文中还描述了多级阈值扩展方法， 并且后来提出了计算效率高的实现方法。

**方法**
在大津算法中，我们穷举搜索能使类内方差最小的阈值，定义为两个类的方差的加权和：

权重  是被阈值  分开的两个类的概率，而  是这两个类的方差。
大津证明了最小化类内方差和最大化类间方差是相同的：

用类概率  和类均值  来表示。
类概率  用阈值为  的直方图计算：

而类均值  为：

其中  为第  个直方图面元中心的值。
同样的，你可以对大于  的面元求出右侧直方图的  与 。
类概率和类均值可以迭代计算。这个想法会产生一个有效的算法。
大津算法得出了0:1范围上的一个阈值。这个阈值用于图像中出现的像素强度的动态范围。例如，若图像只包含155到255之间的像素强度，大津阈值0.75会映射到灰度阈值230（而不是192，因为图像包含的像素不是0–255全范围的）。常见的摄影图像往往包含全范围的像素强度，就会让这一点有争论，但其他应用会对这点区别很敏感。

**算法**
# 计算每个强度级的直方图和概率
# 设置  和  的初始值
# 遍历所有可能的阈值  最大强度
## 更新  和 
## 计算 
# 所需的阈值对应于最大的 
# 你可以计算两个最大值（和两个对应的）。 是最大值而  是更大的或相等的最大值
# 所需的阈值 = 

**JavaScript实现**
注：输入参数total是给定图像中的像素数。输入参数histogram是灰度图像不同灰度级（典型的8位图像）的256元直方图。此函数输出图像的阈值。
function otsu(histogram, total) {
var sum = 0;
for (var i = 1; i = max ) {
threshold1 = i;
if ( between > max ) {
threshold2 = i;
}
max = between;            
}
}
return ( threshold1 + threshold2 ) / 2.0;
}

**C实现**
unsigned char otsu_threshold( int* histogram, int pixel_total )
{
unsigned int sumB = 0;
unsigned int sum1 = 0;
float wB = 0.0f;
float wF = 0.0f;
float mF = 0.0f;
float max_var = 0.0f;
float inter_var = 0.0f;
unsigned char threshold = 0;
unsigned short index_histo = 0;
for ( index_histo = 1; index_histo = max_var )
{
threshold = index_histo;
max_var = inter_var;
}
}
return threshold;
}

**MATLAB实现**
total为给定图像中的像素数。
histogramCounts为灰度图像不同灰度级（典型的8位图像）的256元直方图。
level为图像的阈值（double）。
function level = otsu(histogramCounts, total)
%% OTSU automatic thresholding method
sumB = 0;
wB = 0;
maximum = 0.0;
threshold1 = 0.0;
threshold2 = 0.0;
sum1 = sum((1:256).*histogramCounts.'); % the above code is replace with this single line
for ii=1:256
wB = wB + histogramCounts(ii);
if (wB == 0)
continue;
end
wF = total - wB;
if (wF == 0)
break;
end
sumB = sumB +  ii * histogramCounts(ii);
mB = sumB / wB;
mF = (sum1 - sumB) / wF;
between = wB * wF * (mB - mF) * (mB - mF);
if ( between >= maximum )
threshold1 = ii;
if ( between > maximum )
threshold2 = ii;
end
maximum = between;
end
end
level = (threshold1 + threshold2 )/(2);
end
另一种方法是用向量化方法（可以很容易地转换为便于GPU处理Python矩阵数组版本）
function  threshold_otsu = Thredsholding_Otsu( Image)
%Intuition:
%(1)pixels are divided into two groups
%(2)pixels within each group are very similar to each other 
%   Parameters:
%   t : threshold 
%   r : pixel value ranging from 1 to 255
%   q_L, q_H : the number of lower and higher group respectively
%   sigma : group variance
%   miu : group mean
%   Author: Lei Wang
%   Date  : 22/09/2013
%   References : Wikepedia, 
%   for multi children Otsu method, please visit : https://drive.google.com/file/d/0BxbR2jt9XyxteF9fZ0NDQ0dKQkU/view?usp=sharing
%   This is my original work
nbins = 256;
counts = imhist(Image,nbins);
p = counts / sum(counts);
for t = 1 : nbins
q_L = sum(p(1 : t));
q_H = sum(p(t + 1 : end));
miu_L = sum(p(1 : t) .* (1 : t)') / q_L;
miu_H = sum(p(t + 1 : end) .* (t + 1 : nbins)') / q_H;
sigma_b(t) = q_L * q_H * (miu_L - miu_H)^2;
end
~,threshold_otsu = max(sigma_b(:));
end
该实现有一点点冗余的计算。但由于大津算法快速，这个实现版本是可以接受，并且易于理解的。因为在一些环境中，如果使用向量化的形式，可以更快地运算循环。大津二值化法使用架构最小的堆－孩子标签（heap-children label）可以很容易地转变成多线程的方法。

**参考文献**

**外部链接**
  Lecture notes on thresholdingdate=20160217112553  – covers the Otsu method.-  A plugin for ImageJdate=20151104032023  using Otsu's method to do the threshold.-  A full explanation of Otsu's methoddate=20151018141624  with a working example and Java implementation.-  Implementation of Otsu's methoddate=20151024172318  in ITK-  Otsu Thresholding in C#date=20120104114807  A straightforward C# implementation with explanation.-  Otsu's method using MATLABdate=20151026191848