数学原理

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“从这个命题可推导出——假设算术加法已被定义——1 + 1 = 2。”卷I，第1版， 379页（第二版的362页，删节版的360页）。全证明实际上是在卷II，第1版， 86页完成的，并辅以注释“上述命题只是偶尔有用”、“在✱113.66和✱120.123.472的证明中至少用到了三次”  
精简版《数学原理》（至✱56）的封面
《数学原理》（Principia Mathematica，缩写PM）是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍，书籍共分三卷，分别出版于1910年，1912年，1913年。
它通常缩写为PM (Principia Mathematica)，为表述所有数学真理在一组数理逻辑内的公理和推理规则下，原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目对于数学史和哲学史都是非常重要的，然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明对于数学原理或其他任何类似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到；也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则来建立的数学系统，不是不自洽，就是不完备 (即存在一些数学真理不能由此系统推理演绎出来)。
数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合来试图避免这个问题，它以不同“类型”的集合来取代一般的集合，一组特定类型的集合只能包含套较低的类型。然而在当代数学，会使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系，来避免如罗素的笨拙方式。
现代图书馆将此书排在二十世纪英文非虚构书籍中的第23名。

**覆盖范围**
原书仅囊括集合论、基数、序数和实数，并没有包括实分析等复杂定理。然而，前三卷所设基础已令许多读者相信，从理论上来说，书中所用的形式逻辑可以用来推导出绝大多数的已知数学定理，但其实际工作的繁琐程度亦显而易见。
作者原本筹划撰写涵盖几何的第四卷，但在完成第三卷后，作者灵感匮乏，未能成书。

**理论基础**
由于在理论上由库尔特·哥德尔（下同）的批评指出，不同于形式主义理论，PM的“logicistic”理论有没有“形式主义的语法明确说明”。另一种看法是，在理论上，（在模型论的意义上）解释的真值的符号的行为来表述“⊢”（真理断言），“〜”（逻辑非）和“V”（逻辑或）。
真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命题”的概念。原料（纯）形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚，符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来，通过“价值”的分配，模式将指定什幺公式说的解释。因此，在正式的克莱尼符号下方设置，“解释”什幺样的符号通常是指，并暗示他们如何最终被采用，在括号内，例如，“¬（不）”。但是，这不是一个纯粹的形式主义理论。

**正式的理论的当代建构**
下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下：
使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或），“¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“'”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。
符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”.
形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。
变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。
推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那幺取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什幺是离开，但结论，剩下的永远消失。
当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”：
A，A⊃乙│乙
符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那幺B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。

**构成**
PM理论既有相似之处显着，以及类似的差异，当代形式理论。克林指出，“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信，或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”事实上，PM理论不像形式主义理论，即操纵符号根据语法规则，PM引入了“真值”的概念，即在现实世界意义的真理和谬误，以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

**版本差异**
卷I有五个新增：
*附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线
*附录B,编号为 89,讨论感应没有还原性的公理
*附录C、8页讨论命题函数
*8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。
*1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。

**参见**
 各种数学叙述

**参考资料**

**外部连结**
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*The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.- Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
** Cite book|author=Stephen Cole Kleene|authorlink=Stephen Cole Kleene|author2=Michael Beeson |date=March 2009|title=Introduction to Metamathematics|edition=Paperback|publisher=Ishi Press|isbn=978-0-923891-57-2|ref=Kleene2009- Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).- Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:
: Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).- Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)- Michel Weber and Will Desmond (eds.).  Handbook of Whiteheadian Process Thought date=20151112213343 , Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
**  Principia Mathematica date=20190428140417 —by A. D. Irvine.
**  The Notation in Principia Mathematica date=20150801143948 —by Bernard Linsky.-  Proposition ✸54.43 date=20151028170032  in a more modern notation (Metamath)