最大流最小割定理

最大流最小割定理是最优化理论的定理。根据该定理，在一个网络流中，从源点到汇点的最大的流量，等于它的最小割中每一条边的容量之和。“割”指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。
最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。

**定义**
最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。

**图**
设  为一个有向图，其中有一个起源点  和一个超汇点 ，代表  是所有流的源头， 是所有流的终点。这个图的每一条边都有一个容量 c : E → R+，记做  或者 ，代表着能通过边  的最大流量。

**最大流**
定义： 流量代表一种映射 ，记做 或者 ，代表通过边  的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：
# 流量限制： 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。
# 流量守恒： 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。
规定在一个图中，流的值是
 
也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。
最大流问题：计算的最大值，即从到的最大流量。

**最小割**
定义： s-t割  将图  完全划分为两部分，使得  也就是一侧有源，一侧有汇。 的割集  是  也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那幺它包含在  里。因此如果  的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，则 。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。
规定在一个图中，s-t割的容量是
 其中当  时， 为 , 否则为 。
通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。
最小 s-t 割问题： 计算  的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

**主定理**
可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

**线性规划公式**
最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划对偶问题。
最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下：
 

最小化目标是使在割中的边最小。
下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。- 限制 (即 ) 确保了对两个非源点或汇点 u,v, 如果u 在 S中 且 v 在 T中, 那幺边 (u,v)一定会被记在割中 ()。- 限制 (即 ) 确保了如果 v 在 T 中, 那幺边 (s,v) 一定会被记在割中。- 限制 (即 ) 确保了 u 在 S 中, 那幺边 (u,t) 一定会被记在割中。
需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。
注意到在给定的 s-t 割  中，如果  那幺  并且 0 反之。 所以  应该等于 1 并且  应该等于0。由线性规划中的强对偶定理推得最大流最小割问题中的等式，也就是说如果原问题有一个最优解 x*，则对应问题也有一个最优解 y* ，并且两个解相等。

**举例**
一个流量等于s-t 割的容量的流网络
上图是一个网络，上有流量为 7 的流。令 S 集合和 T 集合分别包含所有白色和灰色的点， 从而形成了一个割集包含图中虚线的 s-t 割，并且其容量为 7，与流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流与 s-t 割皆达到流量及容量的极值。

**应用**

**广义最大流最小割定理**
额外规定映射 为点的容量，记做 c(v)，使得一个流 f 不只要满足边的流量限制与流量守恒，还要满足点的流量限制，即
 
换句话说，流过 v 点的总流量不能超过 v 的容量 c(v)。一个 s-t 割 的定义为一个包含一些点和边的集合，满足与任一条由 s 到 t 的路径皆不互斥。并且 s-t 割的容量 定义成所有点和边的容量总和。
在此定义之下，广义最大流最小割定理的叙仍为流量的最大值等于所有 s-t 割的容量最小值。

**门格尔定理**
不共边路径问题为给定无向图  及两顶点 s、t，求从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值。
门格尔定理的叙述为从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值等于在所有 G 的 s-t 割(以原本的定义)中，顶点分别在不同集合的边数的最小值。

**计划选择问题**
计划选择问题的网络型态
计划选择问题叙述如下：当下有 n 个计划 可以被实施、m 种设备  可以被购买，要执行计划必须拥有该计划要求的设备，执行计划 可获得   的收益，但购买设备   要支付  的费用。如何选择执行计划并购买所需设备以获得净利的最大值？
设 P 为不被执行的计划的集合，Q 为所购买的设备，则问题变成求最大值
 
注意到 与 P、Q 的选择无关，故只需求后两项和的最小值，即
 
现在考虑一个网络，起源点 s 连接到 n 个点 ，边的容量分别为 ，超汇点 t 连接到 m 个点 ，边的容量分别为 ，若执行任务 需购买设备   ，则在 、 之间连上一条容量为无限大的边，若不需购买设备，则不连上边。则  对应到一个 s-t 割的容量，其中的两个集合是要执行的计划与要购买的设备和它的余集，也就是
 
在此，，。于是，原问题转成求该图的最大流问题，并且可以借由各种算法求得其极值。
以下给出一个计划选择问题的例子，右图是该问题对应到的网络。
该网络的最小 s-t 割是选择计划 p2、p3 与设备 q2、q3，容量为 250。三个计划的总收益是 450，因此最大净利为 450 − 250 = 200。
以上解法可以理解为将计划所给予的收益流过所需设备，如果无法流满设备至 t 的边，代表执行计划不合成本，最小割将选择穿过 s 到计划的边而非穿过设备到 t 的边。

**影像分割问题**
Each black node denotes a pixel.
设原图有 n 像素，想要把该图分割为前景和背景，并且将 i 像素归类为前景有效益  fi，归类为背景有效益  bi，但是若 i、j 像素相邻且被归类为不同块，则会减少 pij 的效益。求将该图分割为前后景的最有效益方法。
令 P 为前景的集合，Q 为背景的集合，于是问题转化成求最大值
 
因为  fi、 bi 的总合是与 P、Q的选取无关，因此等价于求以下最小值
 
以上的最小值问题可以被描述为一个网络的最小割问题，其中该网络如右图，以橘点为起源点；紫点为超汇点。各个像素被描述为网络的顶点，起源点至第 i 个像素连上一条容量为  fi 的有向边；第 i 个像素至超汇点连上一条容量为 bi 的有向边。相邻的像素 i、j 之间连上来回两条容量为 pij 的有向边。则一个 s-t 割代表一种将部分像素归类为前景 P、其余归类为背景 Q 的安排。

**历史**
最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明P. Elias, A. Feinstein, and C. E. Shannon, A note on the maximum flow through a network, IRE. Transactions on Information Theory, 2, 4 (1956), 117–119， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。

**证明**
同之前的设定， 是一个网络(有向图) ，s 点和 t 点分别为 G 的起源点和超汇点。
将所有流考虑成一个欧式空间的有界闭子集，满足流量限制与流量守恒，而流量是一个连续函数，因此有极大值 |f| 。
设 f 达到最大流，令 (Gf ) 是 f 的残留网络，定义
# A：在 (Gf ) 中可以从 s 出发到达的点
# Ac：A 以外的点，即 V − A
换句话说，v∈A 若且唯若 s 可以流出更多流量到 v。
我们宣称 ，其中该 s-t 割的容量定义为 
 .
由于  的大小等于所有流出集合 A 的流量总和减所有流入集合 A 的流量总和，故 ，并且等号成立若且唯若- 所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。- 所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。
我们用反证法分别证明以上两点：- 假设存在从 A 流向 Ac  的边  并未达到饱和，即 。因此，可以从 x 流更多的流量到 y，(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 A 流向 Ac 的边流量均已达饱和。 - 假设存在从 Ac  流向 A 的边  其流量不为 0，即 。因此，可以从 y 流更少的流量到 x，(x,y) 是 Gf 的一条边。由 x∈A 知 Gf 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 Ac 流向 A 的边流量均为 0。
于是，声称得证。
由于流量恒不超过容量，|f| 是容量的下界，所以  是容量的最小值，由声称知，最大流最小割定理得证。

**参见**
 线性规划- 最大流- 最小割- 网络流- Edmonds–Karp 算法- Ford–Fulkerson 算法- 近似最大流最小割定理

**参考文献**
 chapter=4.5. Combinatorial Implications of Max-Flow Min-Cut Theorem, 4.6. Linear Programming Interpretation of Max-Flow Min-Cut Theorem- Cite book|title=Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity|url=https://archive.org/details/combinatorialopt00papa|last=Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz|publisher=Dover|year=1998|isbn=0-486-40258-4|pages= 120–128|chapter=6.1 The Max-Flow, Min-Cut Theorem- Cite book|title=Approximation Algorithms|last=Vijay V. Vazirani|publisher=Springer|year=2004|isbn=3-540-65367-8|pages=93–100|chapter=12. Introduction to LP-Duality