重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。
标度上的变化称为“Scale transformation”。重整化群与“Scale invariant”和“Conformal invariant”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

**方程**
基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：
费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正规化等想法应用于量子电动力学。
利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。
然后肯尼斯·威尔森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相变。 他1982年赢了诺贝尔奖。

**块自旋**
这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。
首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为，相互作用的强度使用耦合常数来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为。
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现在，我们把这个系统分为有着个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数和不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。
原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。
现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：
# 和。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
# 和。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
# 且。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

**基本理论**
假设有一个可以用状态变量和一组耦合常数表示的函数。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。
现在我们考虑状态变量上的块变换，所包含的数目必须小于。接下来我们可以把函数只用来表示。如果也是可以实现的，那幺就说这个物理系统是可重整化的。
最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。
变量的变换可以由一个β函数实现：。这一函数可以在空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。
由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

**举例计算**
参见Quartic interaction（四次交互论； 论）。欧几里得空间的拉氏量是配分函数或泛函积分是：通过重正化以及正规化 ：
若 ：所以介绍  ：所以新的拉氏量是以及 不同于，因为 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory。若 .假设所以耦合常数的变量为 。耦合常数的演进是动力系统的临界点：

**三种耦合**
 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了- 相关耦合（relevant）：耦合增加了- 边缘耦合（marginal）：耦合不变
若 ，因为所以B和C是无关的，m是相关的，并且是边缘的。
而且论是可重整化的。

**动力系统的重整化**
米切尔·费根鲍姆使用重整化群计算费根鲍姆常数，而且将重整化应用于分岔理论。
阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、费根鲍姆常数等
其他应用包括：- 混沌理论- 湍流- 分形- 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、参见马丁·海雷尔的研究- 渗流理论
等

**参见**
重整化
*密度矩阵重整化群
*临界现象
*普遍性

**扩展阅读**

**入门教程与历史回顾**
 S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法- N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.- D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group.   arXiv.org:hep-th/9909024 date=20210506210419 . A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.- B. Delamotte (2004):  A hint of renormalization.  American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 date=20080821122039 . A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group.  For nonsubscribers see  arXiv.org:hep-th/0212049 date=20160801002113 - H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group.    American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 date=20190630215407 .  A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.- K. Huang 黄克孙 (2013): A Critical History of Renormalization.  arXiv:1310.5533 date=20190630215356 - dead-url=no 

**相关著作**
T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, ISBN 3-7186-0033-1. 是总结
*L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
*Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024 (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
*Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
*The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999)  ISBN . Full text available in  PostScript date=20170827105815 .- Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories,  World Scientific (Singapore, 2001);  Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in  PDF date=20080629214319 .