正图形

在几何学中，正图形或正几何形状（Regular Geometric Shape）是一类具有高度对称性的几何结构。其中，若该几何结构是由线段、平面或超平面的边界构成则又可称为正多胞形（Regular polytope）。
和正图形相对的概念为不规则图形（Irregular Geometric Shape）或不规则几何形状、非正几何形状，其对称性比正图形低或无对称性。在不规则图形中，依照对称性的高低又可以分为拟正图形（Quasiregular）、Semiregular_polytope（Semiregular）、似正图形（Demiregular）、Uniform_polytope（Uniform）等几何结构。

**正多胞形**
正多胞形是一种对称性对于标记可递的几何结构，且具有高度对称性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，例如，正方体所有的面的面积及形状皆相同，且皆为正方形，是一个二维正多胞形、所有边的长度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方体是一个正图形或正多胞形。对于所有元素，或叫j维面（对所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是该几何体所在的维度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正图形。 
正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形
）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。
一般地，n维正图形被定义为有正维面(n − 1)-表面和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于abstract polytope。
一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

**分类和描述**
正图形最基础的分类是按其维度。
它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。
3种特殊类型的正图形存在于所有维度：
*单纯形（正单形）
*超方形（正测形）
*正轴形（交叉形）
在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。
正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

**施莱夫利符号**
施莱夫利符号是一个简洁有力的多面体表示法，是19世纪由路德维希·施莱夫利所发明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。
*一个有n条边的凸正多边形可以标记为{n}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}……一个绕其中心旋转m圈的正星形多边形被标记为分式{n/m}，这里n和m是互质的，例如正五角星是{5/2}。
*一个有着面{n}，并且一个顶点处有p个面相交的正多面体标记为{n, p}。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是这个正多面体的顶点图。
*一个有着胞{n, p}，并且每一条棱处有q个胞相交的正多胞体标记为{n, p, q}。其顶点图为{p, q}。
*一个五维正多胞体是{n, p, q, r}，等等。

**正图形的对偶性**
正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。
正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。
任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。
如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那幺这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：- 点- 线段，{}。- 所有的正多边形，{a}。- 所有的n-正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。- 四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。- 所有n维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

**正单纯形**
我们从点A开始。标下与A相距r的点B，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与A、B都相距r的第三点C，并连接AC、BC，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距r的第四点D，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。
这些就是正单纯形。以维度来排序，它们是：
0. 点
1. 线段
2. 正三角形（正三边形）
3. 正四面体
4. 正五胞体 或 4-单纯形
5. 五维正六胞体 或 5-单纯形
... n-单纯形有n+1个顶点。

**超方形**
从一个点A开始。连一条线到距离为r的B，形成一条线段。延伸第二条长为r的线，垂直于AB，将B连接到C，同样链接A到D，形成一个正方形ABCD。从每个顶点同样延伸出长为r的线，同时垂直于AB和BC，标记点E、F、G、H形成立方体ABCD-EFGH。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。
它们就是超方形或称正测形。以维度来排序，它们是：
0. 点
1. 线段
2. 正方形（正四边形）
3. 立方体（正六面体）
4. 四维超正方体（正八胞体）或4-超方体
5. 五维超正方体（五维正十胞体）或5-超方体
...一个n-超方体有2n个顶点。

**正轴形**
从一个点O开始。从O向两个相反的方向延出两条线到距O点距离为r的A和B，互相之间距离为2r，形成一条线段。同样再画线段COD，长度为2r，以O为中点而垂直于AB。连接4个顶点形成正方形ACBD。再画线段EOF，同样长度为2r，中点为O，同时垂直于AB和CD（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。
这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序，它们是：
0. 点
1. 线段
2. 正方形（正四边形）
3. 正八面体
4. 正十六胞体或4-正轴形
5. 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）或5-正轴形
...n-正轴形有2n个顶点。

**正无穷胞体 — 无穷多胞形**

**参见**
 正图形列表- 詹森多面体- Bartel Leendert van der Waerden

**参考文献**
 (Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).- (Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).- (Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.- (Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.- (Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)- (Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)- (Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).- (Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.- (Grünbaum, 1994) B. Grünbaum, Polyhedra with hollow faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. ... (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic pp. 43–70.- (Hilbert, 1952) Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination, (Chelsea, 1952) p144.- (Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html- (Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.- (McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)- (Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).- (Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.- (Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ndx dy ... dz, Whose Limits Are   and  Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.- (Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.- (Shephard, 1952) Shephard, G.C.; Regular Complex Polytopes, Proc. London Math. Soc. Series 3, 2 (1952) pp82–97.- (Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).- (Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.- D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes-  title=Regular polytope - Stella: Polyhedron Navigator date=20100709173803  Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets-  Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)-  Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron date=20080815203620