魔群

魔群（Monster group）或怪兽群，或友善巨人（the Friendly Giant）或费雪─格里斯怪兽（Fischer-Griess Monster），是一个有限单群，是26个散在群的其中之一，一般常将之记作M或F1。
怪兽群的阶是26个散在群中最大的，其阶为
有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中，或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中，那26个的「散单群」中。而怪兽群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个，其余的散单群均是怪兽群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为「低群」(pariahs)，并以「快乐大家族」(the happy family)一词称呼其他的散单群。
或许对怪兽群最好的定义方式，就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和Fischer group的有限单群中阶最小者（怪兽群虽为散在群中阶最大的，但这不表示它是所有有限单群中阶最大的，其他类的有限单群中有阶比其更大者存在）。

**存在性与唯一性**
怪兽群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费雪(Bernd Fischer，他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测，他们当时认为存在一个单群，该单群包含子怪兽群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后，M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出，而费雪(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商，被包含的群包括了许多已知的散单群，此外他们还发现了两个新的单群：汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将怪兽群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。
格里斯的建构证明了怪兽群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出，然而他从未发表此证明的细节。第一个关于怪兽群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

**月光猜想**
怪兽群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成份之一。此猜想与离散和非离散数学相关，并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。
在此设定下，怪兽群可由怪兽群模组的自同构群示现：亦即由一作用在怪兽李代数上，属广义Kac–Moody代数，且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。

**表示与维度**
　　一个忠实的复数表示的最小度数是196,883，它是怪兽群阶数可分得3个因子乘积的分割。当中怪兽群的最小忠实排列表示是
24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (约 1020)点。他可被视为有理数上的一个伽罗瓦群loc=p. 443而实现，并视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)2004。
　　怪兽群在单群中并不平常，因并没有已知的简单规则或方法可表示他的元素，而这并非起因于他大小的表示因素。例如，单群"A"100和SL20（2）相对是大，但容易计算，因为它们是具已知的置换或线性表示；交错群具有与之的大小相较下的置换表示，且所有有限单李型式群有线性表示。除了怪物群之外的所有散单群体也具有足够小的线性表示，以至于它们易于在计算机上工作（而难度仅次于怪物群的，为可分割成维度4370的小怪兽群(baby Monster)表示）。

**麦凯的E8观察**
怪兽群和扩张登金图(Dynkin diagram)亦存在着关系，其关联在图结点与怪兽群同余类之间表现得更明显，此关联又被称作「麦凯的E8观察」(McKay's E8 observation)

**子群结构**
Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups
怪兽群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群，亦包含在怪兽群中，做为怪兽群的子群或子群的商群。
怪兽群的子群包括了26个散在群中的多数，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的，表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含，并为其上的群的子商。圈起来的符号，表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明，多余的包含关系在此图中未表示。- 2.B .5em 对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2 。- 21+24.Co1 .5em 对合的中心化子。- 3.Fi24 .5em阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。- 22.2E6(22):S3 .5em 一Klein 4-群的正规化子。 - 210+16.O10+(2)- 22+11+22.(M24 × S3) .5em 一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S4。 - 31+12.2Suz.2 .5em 阶数3子群的正规化子。- 25+10+20.(S3 × L5(2))- S3 × Th .5em 阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S3 。- 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6)- 38.O8−(3).23- (D10 × HN).2 .5em 阶数5子群的正规化子。- (32:2 × O8+(3)).S4- 32+5+10.(M11 × 2S4)- 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)- 51+6:2J2:4 .5em 阶数5子群的正规化子。- (7:3 × He):2 .5em 阶数7子群的正规化子。- (A5 × A12):2- 53+3.(2 × L3(5))- (A6 × A6 × A6).(2 × S4)- (A5 × U3(8):31):2 .5em 含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A5):2 。 - 52+2+4:(S3 × GL2(5))- (L3(2) × S4(4):2).2 .5em 含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L3(2)).2 。- 71+4:(3 × 2S7) .5em 阶数7子群的正规化子。- (52:4.22 × U3(5)).S3- (L2(11) × M12):2 .5em 包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M12):2 。- (A7 × (A5 × A5):22):2- 54:(3 × 2L2(25)):22- 72+1+2:GL2(7)- M11 × A6.22- (S5 × S5 × S5):S3- (L2(11) × L2(11)):4- 132:2L2(13).4- (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2- (13:6 × L3(3)).2 .5em 阶数13子群的正规化子。- 131+2:(3 × 4S4) .5em 阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。- L2(71) .5em 2008 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。- L2(59) .5em 2004 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。- 112:(5 × 2A5) .5em Sylow 11-子群的正规化子。 - L2(41) .5em 2013 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。- L2(29):2 .5em 2002- 72:SL2(7) .5em一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。 - L2(19):2 .5em 2008- 41:40 .5em 一Sylow 41-子群的正规化子。 

**相关条目**
超级单独质数：魔群阶数的质因数

**脚注**

**参照**
约翰·何顿·康威 and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc.  11  (1979), no. 3, 308–339.
*约翰·何顿·康威; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
*Citation | last1=Griess | first1=Robert L | last2=Meierfrankenfeld | first2=Ulrich | last3=Segev | first3=Yoav | title=A uniqueness proof for the Monster | doi=10.2307/1971455  
journal=数学年刊 | issn=0003-486X | volume=130 | issue=3 | pages=567–602- pages=55–71
*P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
*series=Cambridge tracts in mathematics
*S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
*S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster,  Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982),  271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
*M. Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
*马库斯·杜·索托伊, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).- doi=10.1016/0021-8693(84)90228-X
*dead-url=no

**外部连结**
  MathWorld: Monster Group date=20190907075928 -  Atlas of Finite Group Representations: Monster group date=20110716162941 -  Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster date=20210514170827