富比尼–施图迪度量

在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 
向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，CPn 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2n+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 CPn 成为一个霍奇流形。

**构造**
富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。
具体地，可以定义 CPn 由 Cn+1 中复直线组成的空间，即 Cn+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同：

这个商将 Cn+1 实现为底空间 CPn 上的复线丛（事实上这就是 CPn 上所谓的重言丛）。CPn 中的一点等同于 (n+1)-元组 Z0,...,Zn 模去非零复缩放的一个等价类；这些 Zi 称为这个点的齐次坐标。
进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 z = R eiθ 可以惟一地想成一个以模长 R 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度  的复合，商 Cn+1→CPn 分成两块。

其中第 (a) 步以正实数乘法群 R+ 的缩放 Z ~ RZ，这里 R ∈R+，作商；步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ eiθZ 的商。
第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定义的实超球面 S2n+1。第 (b) 步的商实现为 CPn = S2n+1/S1，这里 S1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S1 → S2n+1 → CPn实现 ，纤维属于  中的大圆。

**作为度量商**
当取一个黎曼流形（或一般的度量空间）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，则为了是轨道空间 X/G 拥有一个诱导度量， 沿着 G-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 h ∈ G 以及一对向量场   必须有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。
Cn+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为

它的实化是 R2n 上标准欧几里得度量。这个度量在 C* 的作用下没有不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 CPn 中。但是，这个度量在旋转群 S1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。 
富比尼–施图迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上诱导的度量, 其中  带着所谓的“圆度量”，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

**在局部仿射坐标中**
对应于 CPn 中具有齐次坐标(Z0,...,Zn) 的一点，只要 Z0 ≠ 0，存在惟一 n 个坐标集合 (z1,…,zn) 使得

特别地 zj = Zj/Z0。这个 (z1,…,zn) 组成 CPn 在坐标片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 Ui={Zi≠0} 上通过除以 Zi，得到一个仿射坐标系。这 n+1 个坐标片 Ui 盖住了 CPn，在 Ui 上可以利用仿射坐标系 (z1,…,zn) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CPn 全纯切丛的一个标架 ，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量

这里|z|2 = z12+...+zn2。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是

注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用  不会改变这个矩阵。
对应地，线元素为

在最后的表达式中，使用了爱因斯坦求和约定，拉丁字母指标 i 和 j 从 1 求到 n。

**在齐次坐标中**
在齐次坐标 Z = Z0,...,Zn 中也有相应的表达式。形式上，我们有

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 n，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

现在，ds2 的这个表达式显然在重言丛 Cn+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CPn 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CPn 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。
差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|2 是 CPn 的凯勒数量。

**n = 1 情形**
当 n = 1，有由球极投影给出的微分同胚 。这导致了特殊的霍普夫纤维化 S1→S3→S2。当在 CP1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 S2 上半径 1/2 的通常圆度量。
具体地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP1 上标准仿射坐标卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的极坐标，则一个简单的计算表明

这里  是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 给出的 S2 “数学家的”球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。

**曲率性质**
在 n = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 R 球面的数量曲率是 ）。但是，对 n > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出

这里  是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，J : TCPn → TCPn 是 CPn 上的复结构，而  是富比尼–施图迪度量。
这个公式的一个推论是任何 2-维平面  的截面曲率满足 。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。
这使 CPn 成为一个（非严格的）Sphere theorem；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 n-流形一定同胚于球面。
富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 i,j 我们有

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 
CPn 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

**量子力学**
富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

这里  是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合， 是复数，而  是射影空间  中一点在齐次坐标中的标准记号。那幺，给定空间中两点  与 ，它们之间的距离是

或等价地，在射影簇记号中，

这里  是  的复共轭。分母中出现的  提醒了  以及类似的  不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为量子角（quantum angle）。这个角度是实值的，取值于零到 。
通过取 ，或等价地 ，马上可以等到这个度量的无穷小形式

在量子力学中，CP1 叫做布洛赫球面；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为，包括量子纠缠和贝里相位（Berry phase）效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

**乘积度量**
通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积Segre embedding中是可分的。这是说如果  是一个可分态，从而可以写成 ，则度量是子空间上度量之和：

这里  和  是在子空间 A 与 B 上各自的度量。

**相关条目**
非线性σ模型- 卡鲁扎-克莱因理论

**参考文献**
Citation | last1=Besse | first1=Arthur L. | title=Einstein manifolds | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) Results in Mathematics and Related Areas (3), vol. 10 | isbn=978-3-540-15279-8 | year=1987 | pages=xii+510-  doi=10.1016/S0393-0440(00)00052-8 -  pages=30–31 - year=2001.