逆波兰表示法

影片：在 1991 年 Hewlett-Packard HP-32SII 上键入按键序列来计算八乘六
逆波兰表示法（Reverse Polish notation，缩写RPN，或逆波兰记法、逆卢卡西维茨记法），是一种由波兰数学家扬·卢卡西维茨于1920年引入的数学表达式形式，在逆波兰记法中，所有操作符置于操作数的后面，因此也被称为后缀表示法、后序表示法。逆波兰记法不需要括号来标识操作符的优先级。
逆波兰结构由Friedrich L. Bauer和艾兹格·迪科斯彻在1960年代早期提议用于表达式求值，以利用堆栈结构减少计算机内存访问。逆波兰记法和相应的算法由澳大利亚哲学家、计算机学家Charles Leonard Hamblin在1960年代中期扩充。
在1960和1970年代，逆波兰记法广泛地被用于台式计算器，因此也在普通公众（如工程、商业和金融等领域）中使用。
下面大部分是关于二元运算，一个一元运算使用逆波兰记法的例子是阶乘的记法。

**解释**
逆波兰记法中，操作符置于操作数的后面。例如表达“三加四”时，写作“3+4”，而不是“3 + 4”。如果有多个操作符，操作符置于第二个操作数的后面，所以常规中缀记法的“3 - 4 + 5”在逆波兰记法中写作“3 - 4 + 5”：先3减去4，再加上5。使用逆波兰记法的一个好处是不需要使用括号。例如中缀记法中“3 - 4 * 5”与“（3 - 4）*5”不相同，但后缀记法中前者写做“3 - 4 * 5”，无歧义地表示“3 (4 5 *) -”；后者写做“(3 - 4)*5”。
逆波兰表达式的解释器一般是基于堆栈的。解释过程一般是：操作数入栈；遇到操作符时，操作数出栈，求值，将结果入栈；当一遍后，栈顶就是表达式的值。因此逆波兰表达式的求值使用堆栈结构很容易实现，并且能很快求值。
注意：逆波兰记法并不是简单的波兰表达式的反转。因为对于不满足交换律的操作符，它的操作数写法仍然是常规顺序，如，波兰记法“/ 6 3”的逆波兰记法是“6 3 /”而不是“3 6 /”；数字的数位写法也是常规顺序。

**与中缀记法的转换**
艾兹格·迪科斯彻引入了调度场算法，用于将中缀表达式转换为后缀形式。因其操作类似于火车编组场而得名。
大多数操作符优先级解析器(解析器用简单的查表操作即可实现，优先级表由开发者自己定制，在不同的应用场景中，开发者可自由改变操作符的优先级)能转换为处理后缀表达式，实际中，一般构造抽象语法树，树的后序遍历即为逆波兰记法。

**逆波兰表达式求值**

**伪代码**
 while 有输入
** 读入下一个符号X
** IF X是一个操作数
*** 入栈
** ELSE IF X是一个操作符
*** 有一个先验的表格给出该操作符需要n个参数
*** IF堆栈中少于n个操作数
**** （错误） 用户没有输入足够的操作数
*** Else，n个操作数出栈
*** 计算操作符。
*** 将计算所得的值入栈- IF栈内只有一个值
** 这个值就是整个计算式的结果- ELSE多于一个值
** （错误） 用户输入了多余的操作数

**例子**
中缀表达式“5 + ((1 + 2) * 4) - 3”写作
 5 + ((1 + 2) * 4) - 3
下表给出了该逆波兰表达式从左至右求值的过程，堆栈栏给出了中间值，用于跟踪算法。
计算完成时，栈内只有一个操作数，这就是表达式的结果：14

**C++程序实现**
#include 
#include
#include
#define ERROR 0
#define OK 1
using namespace std;
typedef int Staus;
typedef double ElemType;
bool Get_ops(stack* st, ElemType* op1, ElemType* op2)
{
	if (st->size() top();
	st->pop();
	*op2 = st->top();
	st->pop();
	return OK;
}
Staus Solve(stack* st, char oper)
{
	bool flag = 0;
	ElemType oper1, oper2;
	flag = Get_ops(st, &oper1, &oper2);
	if (flag)
	{
		switch (oper)
		{
		case('+'):st->push(oper2 + oper1); break;
		case('-'):st->push(oper2 - oper1); break;
		case('*'):st->push(oper2 * oper1); break;
		case('/'):if (!oper1)
		{
			cout push(oper2 / oper1);
			break;
		case('^'):st->push(pow(oper2, oper1)); break;
		}
	}
	else return ERROR;
	return OK;
}
int main()
{
	stack suffix;
	char c;
	ElemType t;
	c = getchar();
	while (c != '#')
	{
		switch (c)
		{
		case(' '):break;
		case('+'):;
		case('-'):;
		case('*'):;
		case('/'):;
		case('^'):Solve(&suffix, c); break;
		default:ungetc(c, stdin);
			cin >> t;
			suffix.push(t);
		}
		c = getchar();
	}
	cout 
上述运算可以重写为如下运算链方法（用于HP的逆波兰计算器）：
1 2 + 4 * 5 + 3 -

**实现**
第一代实现了逆波兰架构的电子计算机是英国电气公司1963年交付使用的KDF9和美国的Burroughs B5000。Friden公司在它1963年推出的EC-130中，将逆波兰表达式引入了台式计算器市场。惠普1968年设计了9100A逆波兰计算器，首台手持式计算器HP-35也使用逆波兰表达式，惠普在HP-10A之前的所有手持计算器（包括科学计算，金融和可编程）中使用了逆波兰表达式，并在1980年代晚期的LCD显示计算器如HP-10C, HP-11C, HP-15C, HP-16C，等都是用了逆波兰表达式。

**实际意义**
 当有操作符时就计算，因此，表达式并不是从右至左整体计算而是每次由中心向外计算一部分，这样在复杂运算中就很少导致操作符错误。- 堆栈自动记录中间结果，这就是为什幺逆波兰计算器能容易对任意复杂的表达式求值。与普通科学计算器不同，它对表达式的复杂性没有限制。- 逆波兰表达式中不需要括号，用户只需按照表达式顺序求值，让堆栈自动记录中间结果；同样的，也不需要指定操作符的优先级。- 逆波兰计算器中，没有“等号”键用于开始计算。- 逆波兰计算器需要“确认”键用于区分两个相邻的操作数。- 机器状态永远是一个堆栈状态，堆栈里是需要运算的操作数，栈内不会有操作符。- 教育意义上，逆波兰计算器的使用者必须懂得要计算的表达式的含义。
目前逆波兰的实现有：- 任何基于栈的程序语言：
** Forth
** Factor
** PostScript语言。- 线上的 逆波兰计算器- Windows下 逆波兰计算器- Windows XP下的 Microsoft PowerToy calculator date=20100424025907 -  手机逆波兰计算器 date=20050409112936 开源的JAVA计算器- Palm PDA下的 逆波兰计算器 date=20210311233934 - Mac OS X计算器- Mac OS X和iPhone下的 逆波兰计算器 date=20210501155527 - Unix下的计算程序dc- 交互式JavaScript的逆波兰计算器：  date=20201010145341 和 - Wikibooks:Ada Programming/Mathematical calculations (Ada语言中的逆波兰计算器)- Emacs的lisp lib包: calc- 基于GTK+的 galculator date=20150802151441 - 表达式转换 date=20210108014425 - scratch

**注释**

**参见**
 Forth- PostScript- HP calculators- LIFO- 栈机器（Stack machine）- 波兰表示法- 面向堆栈编程

**参考**
  RPN or DAL? A brief analysis of Reverse Polish Notation against Direct Algebraic Logic date=20170624164945  – By James Redin-  Postfix Notation Mini-Lecture date=20110806101729  – By Bob Brown-  Fith: An Alien Conlang With A LIFO Grammar – By Jeffrey Henning-  Good Ideas, Through the Looking Glass - By Nick Wurth