互信息

独立的(H(X),H(Y)), 联合的(H(X,Y)), 以及一对带有互信息 I(X; Y) 的相互关联的子系统 X,Y 的条件熵。
在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。具体来说，对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“信息量”（单位通常为比特）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是信息论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“信息量”。 
MI不仅仅是度量实值随机变量和线性相关性(如相关系数)，它更为通用。MI决定了随机变量的联合分布与和的边缘分布的乘积之间的差异。MI是点互信息（pointwise mutual information，PMI）的期望。克劳德·香农在他的论文A Mathematical Theory of Communication中定义并分析了这个度量，但是当时他并没有将其称为“互信息”。这个词后来由罗伯特·法诺创造。互信息也称为信息增益。

**互信息的定义**
设随机变量是空间中的一对随机变量。若他们的联合分布是，边缘分布分别是和，那幺，它们之间的互信息可以定义为：

其中，为KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根据KL散度的性质，若联合分布等于边缘分布和的乘积，则，即当和相互独立的时候，观测到Y对于我们预测X没有任何帮助，此时他们的互信息为0。

**离散变量的互信息**
离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以计算为：

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的联合概率质量函数，而  和   分别是 X 和 Y 的边缘概率质量函数。

**连续变量的互信息**
在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

其中 p(x, y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而  和  分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。
如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。
直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那幺传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）
互信息是 X 和 Y 的联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。
于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

此外，互信息是非负的（即 ; 见下文），而且是对称的（即 ）。

**与其他量的关系**
互信息又可以等价地表示成

其中  和  是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似，于是用Venn图表示。
在互信息定义的基础上使用琴生不等式，我们可以证明 I(X;Y) 是非负的，因此 。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

上面其他性质的证明类似。
直观地说，如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量于不确定度的量度，那幺 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件后Y事件会发生"的不确定度。于是第一个等式的右边就可以读作“将"Y事件的不确定度"，减去 --- "在基于X事件后Y事件因此发生的不确定度"”。
这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基于已知随机变量的不确定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影响地位( "Y事件所具有的不确定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不确性" )，意即"Y具有的不确定性"有多少程度是起因于X事件; 
举例来说，当 I(X;Y) = 0时，也就是 H(Y) = H(Y|X)时，即代表此时 "Y的不确定性" 即为 "Y|X的不确定性"，这说明了互信息的具体意义是在度量两个事件彼此之间的关联性。
所以具体的解释就是: 互信息越小，两个来自不同事件空间的随机变量彼此之间的关联性越低; 互信息越高，关联性则越高 。
注意到离散情形 H(X|X) = 0，于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的信息“的基本原理。
互信息也可以表示为两个随机变量的边缘分布 X 和 Y 的乘积 p(x) × p(y) 相对于随机变量的联合熵 p(x,y) 的相对熵：

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。则

注意到，这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分，表达式  现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 Y 时 X 的条件分布 p(x|y) ：分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大，信息增益越大。

**连续互信息的量化**
对连续型随机变数量化的定义如下：
量化后的随机变数:
。
则,
广义而言，我们可以将互信息定义在有限多个连续随机变数值域的划分。
令为连续型随机变数的值域，, 其中为划分所构成的集合，意即。
以量化连续型随机变数后，所得结果为离散型随机变数,
。
对于两连续型随机变数X、Y，其划分分别为P、Q，则其互信息可表示为：
。

**参见**
 Pointwise mutual information- Quantum mutual information

**注释**

**参考文献**
 Cronbach L. J. (1954). On the non-rational application of information measures in psychology, in Henry Quastler, ed., Information Theory in Psychology: Problems and Methods, Free Press, Glencoe, Illinois, pp. 14–30.- url=http://delivery.acm.org/10.1145/90000/89095/p22-church.pdf?ip=87.193.196.98&id=89095&acc=OPEN&key=BF13D071DEA4D3F3B0AA4BA89B4BCA5B&CFID=238314452&CFTOKEN=56636212&__acm__=1375963734_fac6312f7247e2f4d7915da1a876acbe- isbn=978-0070251090- Lockhead G. R. (1970). Identification and the form of multidimensional discrimination space, Journal of Experimental Psychology 85(1), 1–10.- David J. C. MacKay.  Information Theory, Inference, and Learning Algorithms Cambridge: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-64298-1 (available free online)- Haghighat, M. B. A., Aghagolzadeh, A., & Seyedarabi, H. (2011). A non-reference image fusion metric based on mutual information of image features. Computers & Electrical Engineering, 37(5), 744-756.- Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, second edition. New York: McGraw-Hill, 1984. (See Chapter 15.)- dead-url=no- dead-url=no- arxiv=0707.3642