对偶系统

数学中，域上的对偶系统或对偶对是指三元组，包含上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射。
对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

**定义、记号与惯例**

**配对**
域上的配对（pairing或pair）是一个三元组，也可以用表示， 包含上的两个向量空间X、Y及双线性映射，称作与配对关联的双线性映射pp=225-273，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及是实数或复数的例子。
，定义
，定义
是Y上的线性泛函，是X上的线性泛函。令
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。
通常记而非，这样配对不必写成，而可以写成。不过，本文将用表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

**对偶对**
若双线性形式b是非退化的，则称配对是上的对偶系统或对偶对pp=122–128 ，满足下面两条分离公理：
# Y分离（区分）X的点：若使得，则；等价地，对所有非零的，映射不等同于（即使得）；
# X分离（区分）Y的点：若使得，则；等价地，对所有非零的，映射不等同于（即使得）。
这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组的对偶配对（duality pairing）。pp=225-273

**全子集**
若, 能推出，则称为全集。
X的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

**正交性**
若，称向量x、y正交，记作。若，称两子集、正交，记作；即、，。子集正交于向量的定义与之类似。
子集的正交补或零化子是
.
于是，当且仅当，R是X的全子集。

**极集**
给定在上定义了对偶对的三元组，子集的绝对极集或极集是集合对称地，子集的绝对极集或极集记作，定义为
为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为。p=195
极必然是凸集，包含，若B平衡，则也平衡；若B是X的向量子空间，则是Y的向量子空间。pp=123–128
若A是X的向量子空间，则，还等于A的实极。若，则A的双极（bipolar，记作）是A正交补的极，即集。相似地，若，则B的双极是。

**对偶的定义与结果**
给定对，定义新对，其中。pp=225-273
对偶理论有个一贯的主题：任何对都有相应的对偶对。
约定与定义：给定配对的任何定义，将其应用于配对，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。
例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。
约定与记号：若配对的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑），那幺交换X、Y顺序就意味着定义适用于（接上例，拓扑实际上是拓扑）。
再比如，一旦定义了X上的弱拓扑，则此对偶定义就会自动应用到配对，从而得到Y上弱拓扑的定义——而非。

**及的识别**
虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对与互换处理，并用表示。

**例子**

**配对的限制**
设是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，对的限制就是配对。若是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若、）。
本文将使用通常做法，用表示限制。

**向量空间上的规范对偶**
设X是向量空间，令表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶，其中，称之为上的求值映射或自然/规范双线性泛函。
注意，只是表示的另一种方式，即
若N是的一个向量子空间，则对的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。
求值映射记作（而非c），将改为。
假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对相关联。
若N是的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，能推出），X分离N的点（或等价地，是对偶），pp=225-273

**拓扑向量空间上的规范对偶**
设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间。
则，规范对偶对的限制确定了配对，其中X分离的点。
若分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。pp=122–128
假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对相关联，无需注释。

**拓扑向量空间的极与对偶**
下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

**内积空间与复共轭空间**
预希尔伯特空间，当且仅当H是上的向量空间，或H是0维，是对偶对。这里假定半双线性形式在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。
# 若是实希尔伯特空间，则形成对偶系统。
# 若是复希尔伯特空间，则当且仅当，形成对偶系统。若H非平凡，则甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。pp=225-273
设是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或表示。
定义映射
其中右式使用了H的标量乘法。令表示H的复共轭向量空间，其中表示加群（所以中的向量加法与H中的相同），但中的标量乘法是映射（而非H被赋予的标量乘法）。
映射定义为，在两个坐标中都是线性的，因此形成对偶对。

**其他例子**
# 设令则是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，
# 令（其中q满足），则是对偶系统。
# 令X、Y是同一域上的向量空间，则双线性形式使与对偶。pp=122–128
# 序列空间X及其Beta-对偶空间，双线性映射定义为形成对偶系统。

**弱拓扑**
设是上一对向量空间。若，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作或，使y在S上取值时所有映射连续。pp=225-273若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。
或（若无混淆）用于表示赋有弱拓扑的X。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。
同样，若，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作或（细节见脚注）。
定义与符号：若附在一个拓扑定义上（如-收敛、-有界、等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列“-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于）。
拓扑是局部凸的，因为它由定义的半范数族确定，其中y在Y上取值。pp=225-273
若是X中的网，则若在中收敛到x，-收敛于x。pp=225-273网，当且仅当收敛到，-收敛到x。
若是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。pp=225-273
若是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得是对偶对，则比严格粗。pp=225-273

**有界子集**
子集，当且仅当，其中，称S-有界。

**豪斯多夫性**
若是配对，则下列条件等价：
# X分离Y的点；
# 映射定义了Y到X的代数对偶空间的单射；pp=225-273
# 是豪斯多夫空间。pp=225-273

**弱表示定理**
下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了的连续对偶空间。
因此，的连续对偶空间是
关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间分离X的点（即使豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将送到的映射）。
通常写成
这一重要事实就是为什幺连续对偶空间上极拓扑的成果（如上的强对偶拓扑）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作意味着上的拓扑可被视作X上的拓扑。
此外，若被赋予比更细的拓扑，那幺的连续对偶空间必然包含（作为子集）。
例如，被赋予强对偶拓扑（于是记作），则
这允许X被赋予由强对偶拓扑在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。

**正交、商与子空间**
若是配对，则对X的任意子集S：
# ，且此集合是-闭的；pp=225-273
# ；pp=225-273- 因此，若S是X的-闭向量子空间，则
# 若是X的-闭向量子空间族，则
pp=225-273
# 若是X的子集族，则
pp=225-273
若X是赋范空间，则根据规范对偶性，在中对范是封闭的，在X中对范是封闭的。pp=225-273

**子空间**
设M是X的向量子空间，并令表示对的限制。
M上的弱拓扑与M从继承的子空间拓扑相同。
另外，是配对空间（paired space）（其中是），其中定义为
拓扑等于M继承自的子空间拓扑。pp=260-264 
此外，若是对偶系统，则也是。pp=260-264

**商**
设M是X的向量子空间，则是配对空间，其中定义为
拓扑等同于在上诱导的一般的商拓扑。pp=260-264

**极与弱拓扑**
弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间的子集，则当且仅当对X中某桶B，有时，H是-有界的。pp=225-273
下列结果对定义极拓扑非常重要。
若是配对，则pp=225-273
# A的极是的闭子集。
# 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的-闭合；(e) A的凸平衡壳的-闭合。
# 双极定理：A的双极等于A的凸平衡壳的-闭合。- 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。pp=123–128
# 当且仅当吸收于Y时，A是-有界的。
# 若Y还分离X的点，则当且仅当A是-全有界时，A是-有界的。
若是配对，是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某-有界子集的极时，是中的桶。pp=251-253

**转置**

**线性映射关于配对的转置**
令和是上的配对，并令是线性映射。
令是由定义的映射。
若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：
# X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶的映射是单射），且
# 其中
这样，存在（由条件2）唯一的（由条件1），使，其中Y的这个元素将表为。这定义了线性映射
称作F的转置或关于和的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是良定的必要条件。
，的定义条件是

即，
根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为 


等的线性映射的转置（见脚注）。

**转置的性质**
和是上的配对，是线性映射，其转置是良定义的。- 当且仅当F的范围在中稠密时，是单射（即）。pp=225-273- 若除了良定义外，的转置也良定义，则。- 设是上的配对，是线性映射，其转置是良定义的，则的转置也是良定义的，且- 若是向量空间同构，则是双射，的转置是良定义的，且pp=225-273- 令，表示A的绝对极，则pp=225-273
*# ；
*# 若，则；
*# 若使得，则；
*# 若，是弱闭圆盘，则当且仅当时，；
*# 
 将绝对极换成实极，这些结果不变。
若X、Y是规范对偶下的赋范空间、是连续线性映射，则。pp=225-273

**弱连续性**
线性映射，若连续，则称其（关于和）弱连续。
下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

**弱拓扑与规范对偶**
设X是向量空间，是其代数对偶。则X的所有-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是-闭的。pp=225-273

**弱完备性**
若是完备拓扑向量空间，例如X是-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。pp=225-273
若X是向量空间，则在规范对偶下，是完备的。pp=225-273 
相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间，则当且仅当时，是完备的；即，当且仅当将发送到z处求值映射（即）的映射是双射。pp=225-273
特别地，就规范对偶而言，若Y是的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当，是完备的。
换句话说，不存在紧合向量子空间使得是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间 被赋以弱*-拓扑，当且仅当（即X上所有线性泛函都连续）时，是完备的。

**Y与代数对偶的子空间的等同**
若X分离Y的点、Z表示单射的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对与规范配对（其中是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。
约定：通常，只要是单射（尤其当形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作。
完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。pp=122–128

**代数伴随**
在对偶是规范对偶和的特例下，线性映射的转置总是良定义的。
此转置称作F的代数伴随，记作；
即 
这样，pp=225-273其中的定义条件是

或等价地
若对整数n，，是X的基，其对偶基是线性算子，F关于的矩阵表示是，则M的转置是关于的矩阵表示。

**弱连续性与开性**
设，是对偶系统的规范配对（所以），并令是线性映射。则当且仅当满足下列等价条件之一，F是弱连续的：pp=225-273 
# 连续；
# 
# F的转置相对于和是良定义的。
若F是弱连续的，则是连续的，于是pp=128–130
拓扑空间之间的映射，若是开映射（是g的范围），则称之是相对开的。pp=225-273
设是对偶系统，是弱连续线性映射。则下列条件等价：pp=225-273
# 是相对开的；
# 的范围在Y中-闭；
# 
此外- 当且仅当是满射（或双射），是单射（或双射）；- 当且仅当是相对开单射，是满射。

**=拓扑向量空间之间映射的转置=**
当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。
设是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则pp=225-273- 若F连续，则其是弱连续的，且是麦基连续的，也是强连续的；- 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。- 若F是弱连续的，则当且仅当将的等度连续子集映射到的等度连续子集时，F才是连续的。- 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时），F连续。- 若F连续，则当且仅当是弱相对开的（即是相对开的）、且的等度连续子集都是的某等度连续子集的像时，F是相对开的。- 若F是连续单射，则当且仅当的等度连续子集都是的某等度连续子集的像，是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

**可度量化性与可分性**
令X是局部凸空间，有连续对偶空间，并令。pp=225-273  
# 若K是等度连续或-紧的，且使得在X中稠密，则K从继承的子空间拓扑等同于K从继承的子空间拓扑。
# 若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
# 若X是可分、可度量化的，则是可分的。
# 若X是赋范空间，则当且仅当给定由诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。
# 若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。

**极拓扑与同配对相容的拓扑**
从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。
将是上的配对，将是X的-有界子集的非空集合。

**极拓扑**
给定X子集的集合，Y上由（与b）定义的极拓扑（或Y上的-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中
形成了原点邻域的子基。pp=225-273 
Y被赋予这-拓扑时，就表示为。极拓扑都需要是局部凸的。pp=225-273 
是关于子集包含的有向集合时（即若，使得），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。pp=225-273
下面列出了一些较重要的极拓扑。
符号：若表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作或（如对我们有，这样和都表示赋予了的Y）。

**与极拓扑有关的定义**
连续性
若连续，则线性映射是（关于和）麦基连续的。pp=225-273
若是连续的，则线性映射是（关于和）强连续的。pp=225-273

**有界子集**
X的子集，若在（或、）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。

**同配对相容的拓扑**
弱是上的配对，是X上的向量拓扑，则是配对的拓扑，且若其局部凸、的连续对偶空间，则称之与配对相容或一致。 
若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为pp=225-273有人（如Trèves 2006、Schaefer 1999）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，pp=122–128若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。
弱拓扑同配对相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶不相容。pp=225-273

**麦基–阿伦定理**
下面是对偶理论中最重要的定理之一。
由此可见，麦基拓扑是由Y中所有-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

**麦基定理、桶与闭凸集**
若X是（或上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）
上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若、是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在拓扑中封闭，，此子集也在拓扑中封闭。
这说明，X任意凸子集的-闭等同于其-闭，对X中任意-闭圆盘A，。pp=225-273 
特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是中的桶时，B也是中的桶。pp=225-273
下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。
若X是拓扑向量空间，则pp=225-273 
# X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得包含此集）。
# 若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。
所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

**有限序列空间**
令X表示标量的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有。
令，定义双线性映射为

则。pp=225-273 
此外，当且仅当存在正实数序列，使得、及所有指标i（或还有）时，子集是-有界（或-有界）的。pp=225-273 
由此可见，X的子集中有弱有界（即-有界）的，但没有强有界（即无-有界）的。

**另见**
 Beta对偶空间- 双正交系统- 对偶空间- 对偶拓扑- 对偶 (数学)- 内积- L半内积- 配对 (数学)- 极集- 极拓扑- 约化对偶对- 强对偶空间- 线性映射空间泛函- 弱拓扑

**注释**

**参考文献**

**书目**
 Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. 0-12-585050-6.- dead-url = no

**外部链接**
  Duality Theory