艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。
令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在时是阿贝尔群，则型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个”或“的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。
艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。
因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。
广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间
的拓扑积的同伦类的空间。

**例子**
 单位圆是。- 无穷维复射影空间是的模型。- 无穷维实射影空间是。- k个单位圆的楔和是，其中是k个生成子上的自由群。- 3维球中任何连通结或图的补是型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。- 紧连通曲率非正流形M是，其中是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。- 无限透镜空间由对自由作用（）的商给出，是。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为的。- 平面上n个点的构型空间是，其中是n股上的纯辫群。- 相应地，的第n无序构型空间是，其中表示n股辫群。- n球的无穷对称积是。更一般地，对所有摩尔空间是。
利用积是的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面是。

**关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注**
对、任意群G，的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。
构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群由构造是平凡的。现在通过附加大于维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群，并定义为包含此迭代的直极限。
另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。
乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。
由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价，因此有纤维化序列
.
注意这不是上纤维化序列：空间不是的同伦上纤维。
这个纤维化序列可用于从用勒雷谱序列研究的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

**性质**

**映射与上同调的同伦类间的双射**
的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到的基映射的基同伦类集，同空间X的第n奇异上同调群是自然双射。因此可以说是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

有一个区别元素，对应幺元。上述双射由元素的拉回给出，这与范畴论中的米田引理很相似。
此定理的构造性证明可见参考文献，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献，主要思想也将在后面略述。

**闭路空间/Omega谱**
艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：，使有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射是群同构。
这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论（，），有自然同构，其中表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。
在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

**与同调的关系**
对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

上由映射导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

由于（）为零，与CW复形上系数在G中的既约奇异同调一致。

**函子性**
从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若是阿贝尔群的任何同态，则有非空集
 
满足
其中表示连续映射f、的同伦类。

**与波斯尼科夫/怀特海塔的关系**
连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

使对每个n都有：
#有交换映射，导出（）上的同态；
#（）；
#映射是具有纤维的纤维化。
对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

使对每个n都有：
# 映射导出（）上的同态；
# 是n连通的；
# 映射是具有纤维的纤维化。
在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如，、用的怀特海塔，可见参考文献；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的可见参考文献。 

**上同调运算**
对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集与之间的双射，定义为（是基本类）。
因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态。这源于上同调的万有系数定理与的(n-1)连通性。
是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在中的的上同调变得非常重要，有关这些组别的详细列表，请参此处。

**群（上）同调**
可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间的奇异（上）同调，系数在A中。

**进一步应用**
上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

产生的怀特海塔，其中是弦群，是旋量群。的相关性在于存在分类空间（且）的同伦等价关系

注意，由于复旋量群是群扩张
,
弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群的广群的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群。

**另见**
分类空间，情形
*布朗可表性定理，关于表示空间
*摩尔空间，同调中的类似物

**注释**

**参考文献**

**基础文章**
citation|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=   Relations between homology and homotopy groups of spaces |journal= Annals of Mathematics |volume=  46  
mr=0013312- cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=Relations between homology and homotopy groups of spaces. II |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1950-05_51_3/page/514|journal= Annals of Mathematics |series=(Second Series)|volume=  51|issue=3  
mr=0035435
*Cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|year=1954|title=On the groups . III. Operations and obstructions| url=https://www.jstor.org/stable/1969849|journal=Annals of Mathematics|volume=60|issue=3|pages=513–557|doi=10.2307/1969849|jstor= 1969849|mr=0065163

**嘉当研讨会与应用**
嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。- http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ date=20220425232321 

**计算整上同调环**
 Derived functors of the divided power functors-  Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers date=20230422120620 -  (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) date=20240207100015 

**其他百科参考文献**
  Encyclopedia of Mathematics date=20231130051836 
*title=Eilenberg-Mac Lane space