林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一个由芬兰数学家Ernst Leonard Lindelöf提出一个关于黎曼ζ函数在临界线上增长率的猜想。这猜想可由黎曼猜想导出，其形式以大O符号表述如下：
对于任意的而言，在趋近于无穷时，有
由于可由一个较小的值取代之故，因此这猜想可重述如下：
对于任意的而言，有

**μ函数**
设是一个实数，则可定义为所有使得的实数当中的最小数。在这种定义下，易见对于任意的，有，而从黎曼ζ函数的函数方程可导出说。另一方面，由Phragmén–Lindelöf theorem可导出说是一个凸函数。林德勒夫猜想基本就是说，，将此点和上述的性质结合，这猜想也意味着说在时，；而在时，
由于且，因此从林德勒夫对这函数的凸性可导出说。之后G·H·哈代借由将外尔估计Exponential sum的方式用于近似函数方程的做法，将这上界降至。在那之后数名研究者用长且技术性的数学证明，将之降到稍微低于的数值。下表显示了对于这数值的改进：

**和黎曼猜想间的关系**
Backlund在1918至1919年间，证明了说林德勒夫猜想和下述与黎曼ζ函数的零点相关的叙述等价：在趋近于无穷时，实部至少为且虚部介于和之间的零点，其数量会趋近于。
由于黎曼猜想指称在这区域中没有任何零点之故，因此黎曼猜想会导出林德勒夫猜想。目前已知虚部介于和之间的零点的数量为，因此林德勒夫猜想似乎只稍强于已知的结果，但尽管如此，人们迄今依旧无法证明林德勒夫猜想。

**黎曼ζ函数的幂的平均值**
林德勒夫猜想与以下陈述等价：
对于任意的正整数和正实数而言，有以下等式：

目前已证明这等式对及成立，但的情况似乎困难许多，且依旧是个未解决的问题。
对于这积分的非病态行为，有着下列更加精确的猜想：
一般认为，对某些常数而言，有以下等式：

李特尔伍德证明了的情况，而希斯-布朗借由推广英厄姆（Ingham）找到首项系数的结果，证明了的情况。
Conrey和Ghosh推测，在时首项系数应当为
 
而Keating和Snaith利用随机矩阵理论，对更大的情况的系数的值做出了一些猜测。目前猜想这积分的首项系数的值是某个初等因子、质数的某种乘积，和由下列数列给出的杨表的数字彼此间的乘积：
1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... id=A039622

**其他后果**
设为第个质数，并设为质数间隙，则一个由Albert Ingham证明的结果显示，若林德勒夫猜想成立，则对于任意的而言，当足够大时，有以下不等式：

对于质数间隙，一个比英厄姆的结果更强的猜想是克拉梅尔猜想，其陈述如下： 


**密度假说**
Riemann–von Mangoldt formula得出的显著上界相合。（也有其他各式各样的估计）
密度假说指称，其中是的零点在以及所构成的范围内的数量，且这假说可由林德勒夫猜想得出。
更一般地，设，则已知这界限大致和长度为的短区间当中的质数的渐进公式相合。
在1940年证明说，赫胥黎在1971年证明说；
而古斯及梅纳德在2024年的一篇预印本中证明说并证明说这些公式和相契合。因此古斯和梅纳德近期的成果给出了已知最接近、符合一般对黎曼猜想期望的数值，并将其界限改进至，或等价地，非病态地和成比例。
在理论上，贝克、哈曼和平茨三氏对勒让德猜想的估计的改进、对没有西格尔零点的区域的估计，以及其他的事情也是可期待的。

**L函数**
黎曼ζ函数属于一类被称为L函数的一类更加一般的函数。
在2010年，Joseph Bernstein及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）给出了估计定义在之上的L函数的次凸性值的方法；同一年，阿克沙伊·文卡泰什及Philippe Michel (number theorist)给出了估计定义在和之上的L函数的次凸性值的方法；而在2021年，保罗·尼尔森（Paul Nelson）估计定义在之上的L函数的值的方法。

**参见**
 Z function中的林德勒夫猜想

**注解和参考资料**
url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/51075#page/359/mode/1up
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*last= Voronin