决定公理

在数学上，决定公理（Axiom of determinacy，常记做AD）是一个在1962年由Jan Mycielski和Hugo Steinhaus所提出的可能的集合论公理，这公理探讨的是特定类型且长度为ω的二人Topological game，而决定公理声称，任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。
他们发展出决定公理的动机是这公理的有趣结果，他们并指出这公理可在集合论的最小自然模型中成立，这模型只接受较弱版本的选择公理，但包括了所有的实数和序数。决定公理的一些结果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、Stanisław Mazur以及莫顿·戴维斯（Morton Davis）等人证明的定理得出；而米切尔斯基与斯坦豪斯两氏则证明了另一个结果，那就是在决定公理下，所有实数的集合都是勒贝格可测的。之后Donald A. Martin等人证明了更多重要的结果，尤其在描述集合论方面更是如此。在1988年，John R. Steel与W. Hugh Woodin总结了一长串的研究，并证明说在类似的不可数基数存在的状况下，米切尔斯基与斯坦豪斯两氏原先的猜想，也就是「决定公理在集合论的最小自然模型中成立」这点是对的。

**具决定性的游戏**
决定公理所谈论的游戏具有特定的定义，而其定义如次：
考虑所有自然数的无限序列组成的Baire space (set theory)的子集合，而其中两个玩家1p与2p轮流选取自然数

在经过无限步后，可得一序列，其中玩家1p获胜当且仅当这序列是的元素。而决定公理讲的是任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。
不是所有的游戏的决定性，都需要动用决定公理来证明。在是一个闭开集的情况下，那这游戏基本是有限的，也因此是决定的；相似地，若是一个闭集，那这游戏是决定的。在1975年，Donald A. Martin证明说若一个游戏必胜策略是一个博雷尔集的话，那这游戏是决定的；此外，在有足够大的基数存在的状况下，所有必胜策略是projective set的游戏都是决定的，而决定公理在中成立。
另外，决定公理蕴含说对于任何实数线的子空间而言，Banach–Mazur game是决定的（也因此所有的实数集合都具有贝尔性质）。

**决定公理与选择公理的不相容性**
在假定选择公理成立的状况下，我们可以构造决定公理的一个反例。集合是－游戏中玩家一的所有策略，其大小与连续统相同；而类似地，是同样游戏中玩家二的所有策略。设为中所有可能序列的集合，并假定是中使玩家一获胜的子序列，那么利用选择公理我们可以为连续统构造一个良序，且我们可以构造出一个任何真初始部分都小于连续统的排序，而我们可利用这样的良序集来给跟上指标，并借此将给构造成决定公理的一个反例。
我们从空集合与开始。设是集合跟的指标，我们考虑玩家一的所有策略及玩家二的所有策略以确保对于任何策略，都会有另一个玩家的策略能将之胜过。对于任何玩家考虑的策略，我们都可生成一个序列，使得另一个玩家获胜。设是时间轴，其长度为且这时间轴用于所有的游戏序列中，我们可以利用上对的超限递归来生成反例：
# 首先，考虑玩家一的策略。
# 将这策略套用于－游戏上，（连同玩家一的策略一起）可生成这序列，而这序列不属于，这是可能的，而这可能性是因为这些选项的数量与连续统相同，而这数量比的真初始部分还要大所致。
# 现在（若这序列还不在之内的话）将这序列加入之中以表示失败。（输给）
# 现在，考虑玩家二的策略。
# 将这策略套用于－游戏上，（连同玩家二的策略一起）可生成这序列，而这序列不属于，这是可能的，而这可能性是因为这些选项的数量与连续统相同，而这数量比的真初始部分还要大所致。
# 现在（若这序列还不在之内的话）将这序列加入之中以表示失败。（输给）
# 利用对的超限归纳法，对跟的所有可能策略如是操作，对于所有在这之后不在或中的策略，将之任意分派给或，使得为的补集。
当这一切完成后，准备－游戏，而在这游戏中，对于任何玩家一的策略，存在一个使得，而的构造方式保证失败（输给），因此失败；类似地，任何玩家的任何其他策略都会失败，因此决定公理与选择公理不相容。

**无穷逻辑与决定公理**
在二十世纪晚期，人们提出多种不同的Infinitary logic，其中一个认为决定公理为真的理由是因为这公理可（在某种无穷逻辑当中）写成以下形式：
OR
注：是的所有－序列。此处的句子长度无限，且在省略号出现处，有可数无穷多的量化词序列。

**大基数与决定公理**
决定公理的相容性，与大基数相关公理的相容性息息相关。根据W. Hugh Woodin的一个定理，不带有选择公理而带有决定公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性，等价于带有选择公理并带有Woodin cardinal的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性。由于​乌丁基数是强不可达基数之故，因此若决定公理是相容的，那不可达基数的无限性也是相容的。
此外，若假设有无穷多个乌丁基数，且其上还存在一个可测基数，大于该些乌丁基数，则可得到一个非常强的、关于勒贝格可测的实数集合的理论，而这是因为可以证明决定公理在中成立，因此所有在中的实数集合都是决定的之故。

**参见**
 Axiom of real determinacy (ADR)- Borel determinacy theorem- Martin measure- Topological game

**参考资料**
  pages=1–3 - cite journal|author=Woodin, W. Hugh | author-link = W. Hugh Woodin |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|year=1988|title=Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees|volume=85|issue=18|pages=6587–6591|doi=10.1073/pnas.85.18.6587|pmid=16593979|pmc=282022| doi-access = free - cite journal|last1=Martin |first1=Donald A. |author1-link=Donald A. Martin |first2=John R. |last2=Steel |author2-link=John R. Steel |date=Jan 1989|title=A Proof of Projective Determinacy |journal=Journal of the American Mathematical Society |volume=2 |issue=1 |pages=71–125 |doi=10.2307/1990913 |jstor=1990913 |doi-access=free - isbn=978-3-540-44085-7- isbn=978-3-540-88866-6- archive-date=2014-11-12 

**延伸阅读**
 Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001- Telgársky, R.J.  Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game date=20221109203953 , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)-  "Large Cardinals and Determinacy" date=20220805024819  at the Stanford Encyclopedia of Philosophy