巴拿赫-阿劳格鲁定理

泛函分析和邻近数学分支中，巴拿赫-阿劳格鲁定理或阿劳格鲁定理（Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）断言，任意赋范向量空间的连续对偶空间中，闭单位球在弱*拓扑中为紧。常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之积的闭子集。根据吉洪诺夫定理，该些紧集的积拓扑空间仍为紧，故该球亦然。
定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子，而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下，定理可以推出，每个量子态皆是纯态的凸线性组合。

**历史**
纳里奇（Narici）与贝肯斯坦（Beckenstein）书中，称阿劳格鲁定理为「非常重要的结果——也许是关于weak-* topology唯一（the）最重要的事——回响传遍泛函分析。」pp=235-2401912年，赫利（Helly）证明，闭区间上连续函数的空间，其连续对偶空间的单位球，为弱*countably compact。pp=225-2731932年，斯特凡·巴拿赫证明，任何可分赋范向量空间的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧（他仅考虑了序列紧）。pp=225-273 
一般情况的证明，是由Leonidas Alaoglu于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中，引述Pietsch 2007指，至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。pp=235-240 
布尔巴基-阿劳格鲁定理（Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基将原定理推广到locally convex space的dual topology的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理或弱*紧定理（weak-* compactness theorem），也常简称为阿劳格鲁定理（Alaoglu theorem）。pp=235-240

**敍述**

**一般敍述**
对于域上的向量空间，以表示其代数对偶（所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性求值映射所联系，该映射由 

定义。所以，三元组（两个空间及一个映射）组成dual system，称为典范对偶系。
若进一步具有拓扑，即为拓扑向量空间（TVS），则可分辨其上的函数连续与否，并定义其连续对偶为代数对偶中，连续泛函组成的子集。以表示上的weak-* topology。类似有是上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑，因为给定映射和一网映射，网在弱*拓扑中收敛至，当且仅当对定义域中每点，函数值组成的网收敛到。 
阿劳格鲁定理pp=225-273
设为任意拓扑向量空间（无需豪斯多夫或locally convex），为其连续对偶，则对于中原点的任何邻域（），其Polar set 

在上的弱*拓扑中，必为紧集。
此外，亦是相对于典范对偶系的极集，在拓扑空间同样为紧。

**赋范特例**
若为赋范向量空间，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若为的开（或闭）单位球，则的极集为连续对偶空间的闭单位球（对偶空间配备平常的对偶范数）。此时，定理化为以下特例：
巴拿赫-阿劳格鲁定理
若为赋范空间，则连续对偶空间中，算子范数的闭单位球，为weak-* topology中的紧集。
当的连续对偶是无穷维赋范空间时，中的闭单位球，不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是，范数拓扑的闭单位球为紧，当且仅当空间为有限维（见F. Riesz theorem）。此定理显示出，在同一个向量空间上，考虑不同的拓扑，到㡳有何用。
但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧，因为仅知闭单位球在strong topology中为原点的邻域，在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中，单位球的内部可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊证明，局部紧的豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

**证明**

**对偶理论证明**
记的基域为，此处为实数域或复数域。证明会用到polar set、dual system、连续线性算子的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。
先列举一些常见定义和性质。当代数对偶配备weak-* topology时，为一个豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，记为。空间总是完备，但连续对偶则不一定，此即证明需牵涉的原因。具体而言，本证明用到的性质是：完备豪斯多夫空间的子集为紧，当且仅当其为闭，且Totally bounded space。注意从继承的子空间拓扑，等于弱*拓扑。为验证此事，只需检查对每个，中的网在其中一个拓扑中收敛到，当且仅当在另一个拓扑中亦然（因为两个拓扑结构相等，当且仅当其具有的收敛网完全一样）。
三元组也是对偶对（有双线性映射），但与不同，前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时，会注明是对于何种对偶而言。
设为原点的邻域，又设： 
*为相对的极集；
*为相对的二重极集；
*为相对的极集。
极集的基本性质有。 
下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：
# 先证在拓扑中为的闭子集：设，又假设为中的网，在中收敛到。欲证，即对任意皆成立。因为在纯量域中，，而每个值皆属于（的）闭子集，故网的极限亦必在该子集中。于是。
# 其次，欲证，以推出既是的闭子集，亦是的闭子集：有包含关系，因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之，欲证，设满足，换言之线性泛函在邻域上有界，而泛函有界等价于连续，故，从而，即所求证。用第1步，结合交集在的子空间拓扑中为闭，推得为闭。 
# 欲证对的拓扑而言是Totally bounded space子集：由bipolar theorem，，又因为邻域为中的吸收集，亦同。可以证明，此结论推出是对而言的有界子集。由于分辨各点，的子集在意义下有界，当且仅当在同样意义下Totally bounded space。所以，尤其有在意义下完全有界。 
# 欲证亦为在拓扑下的完全有界子集：已知上，拓扑等于从继承的子空间拓扑，结合第3步与「完全有界」的定义，即推出为在拓扑下的完全有界子集。
# 最后，欲证为在拓扑下的紧子集：因为为Complete topological vector space，又为其闭（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以为紧。定理证毕。

**较初等的证明**
以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间中的网、积拓扑、两者与逐点收敛的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见sublinear functional）。 
设向量空间的基域为，为实数系或复数系两者之一。对任意实数，以

表示以原点为球心，半径为的闭球。在中，此为紧的闭集。

**极集的等价表示**
由于是中原点的邻域，可知亦是的吸收集，即对每个，皆有正实数使。以
 
表示相对典范对偶系的极集。将证明，此极集，与定理提到，相对的极集，两者相等。

成立，是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之，欲证，设满足，即线性泛函在邻域上有界。所以是连续线性算子（换言之），从而有，即所求证。
至此，已证明，余下的证明中，需理解笛卡儿积与所有的映射构成的空间等同。仍需证明以下两个命题：
#为的闭子集。待证
#* 此处配备的是逐点收敛拓扑，等同于积拓扑。
#
#* 其中表示以原点为球心，为半径的闭球。本证明开始时，对每个， 已定义为使的任意一个实数。特别地，对于，可以选。
以上命题推出，为的闭子集，而由吉洪诺夫定理，该积空间为紧（因为每个闭球皆为紧）。因为紧空间的闭子集仍为紧，所以有为紧集，从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

**极集为闭**
以下证明前述命题1。代数对偶总是积空间 的闭子集注|「线性泛函」的要求，可以写成许多条等式如之合取。每个要求皆是闭条件，即其对应的子集为闭集。而闭集的任意交仍为闭，所以线性泛函组成的集合为闭集。。要证明在中为闭，祇需证明集合
 
是的闭子集，因为若有此结论，则是中两闭集之交，故亦为闭集。
设，又设为中的网，在中收敛到。需要证明。换言之，要证对每个，（或等价写成）。由于在纯量域中，，且每项皆属于中的闭子集，此网的极限亦必属于该闭集，即。证毕命题1。
上述证明可以推广，以论证以下命题：
设为任意集合，为拓扑空间的闭子集，则在的逐点收敛拓扑中，为闭子集。
命题1为其特殊情况，取和便得。

**极集包含于紧空间之积**
以下证明前述命题2。对任意，以表示到第个坐标的投影。欲证。换言之，欲对每个，证明。
于是选定，设；要证。由的定义，，故。因为，线性泛函满足，所以由，可知
 
所以，即，证毕命题2。

**序列版本**
巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间使用，并将「紧」换成「序列紧」。此时定理断言：
可分赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧。

**可度量**
实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量，故紧与序列紧等价。
明确而言，设为可分赋范向量空间，而为连续对偶中的闭单位球。根据可分的定义，有某个可数稠密子集，列举为。则下式定义一个度量：对于，

其中表示与的对偶匹配，即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下，为序列紧之事，用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法，即可证明。
由于证明本质为构造性（而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题的解。举例，若有某个可分赋范空间，其对偶上有泛函，欲求最小值，则常见策略是先构造序列，使的泛函值趋向下确界，然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，取出子序列，在弱*拓扑下收敛到极限，并确定使取最小值。最后一步通常要求在弱*拓扑下为（序列）下半连续。
考虑另一个例子，设为实轴上，在无穷远处消失的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理，为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于Helly selection theorem。

**证明**
下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。
对每个，设

以及

因为是复平面的紧子集，在积拓扑中亦为紧（根据吉洪诺夫定理）。
中的闭单位球，可以自然地看成的子空间：考虑映射

其为单射，且对于的弱*拓扑和的积拓扑而言，是连续映射。在像集上，映射的逆也连续。
欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网中的网

等式定义的泛函，也在中。定理证毕。

**推论**

**赋范空间**
假设为赋范空间，则其连续对偶空间具有对偶范数。 - 中的闭单位球为弱*紧pp=225-273。相比之下，若为无穷维，则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧（F. Riesz theorem）。- 某巴拿赫空间自反，当且仅当其闭单位球在弱拓扑下为紧。pp=225-273- 若为自反巴拿赫空间，则中每个有界序列，都有弱收敛子列。（此为对某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言，是应用Eberlein–Šmulian theorem。）举例，设为Lp空间，其中。设为中函数组成的有界序列。则存在子列，且有使得对于中的任意函数成立，其中。对于，没有相应的结论，因为不自反。

**希尔伯特空间**
任意希尔伯特空间中，闭有界集必然弱Relatively compact subspace，即其在弱拓扑的闭包为弱紧，故每个有界网必有弱收敛子网（希尔伯特空间皆自反）。
*由哈恩－巴拿赫定理，范数拓扑中的闭凸集，在弱拓扑中也是闭集，故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中，凸有界集的范数闭包必为弱紧。
*设为希尔伯特空间，为其上有界算子的空间，则可以配备以下两种不同的拓扑：一则ultraweak topology，即作为迹类算子空间的对偶所具备的弱*拓扑；二则weak operator topology，是使形如的映射皆连续的最弱的拓扑，此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下，中的闭有界子集，关于弱算子拓扑为相对紧。所以，算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是，配备弱算子拓扑或超弱拓扑时，满足海涅-博雷尔性质。

**与选择公理的关系**
通常，会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC公理系统，尤其是选择公理。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见#序列版本）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明。对于不可分的情况，ultrafilter Lemma比选择公理严格弱，但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之，巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理，所以两者等价。

**参见**
 Bishop–Phelps theorem- Banach–Mazur theorem- Δ收敛- Eberlein–Šmulian theorem- Goldstine theorem- James' theorem- Krein-Milman theorem- Mazur's lemma- 拓扑向量空间

**注**

**参考资料**
 ref = harv见§20.9。- ref = harv 见Theorem 23.5，p. 264。-   见Theorem 3.15，p. 68。- language = en