图同态

flower snarkJ5射向环图C5的同态，亦是到J5中央五个顶点所成子图的收缩，所以J5与其核C5「同态等价」。
数学分支图论中，图同态（graph homomorphism）是两幅图之间保结构的映射。具体而言，该映射将某图的各顶点映至另一图的顶点，且若两顶点相邻，则其像仍然相邻。
同态是若干种图着色概念的推广，适用于表达一类重要的约束满足问题，如排程、frequency assignment问题。p=27同态可以复合，为全体图组成的类赋予丰富的代数结构：其上的预序关系、分配格结构、范畴结构（分为无向图范畴与有向图范畴两种）。p=109欲寻找任意两图间的同态，而无额外条件，则现时所知的computational complexity高得不切实际，但对于某些特定类别的图，已知有多项式时间算法。此类问题易解与否，两者的分野，是活跃的研究方向。2008

**定义**
本条目中，除非另有声明，否则「图」皆为有限无向图，允许自环，但无重边（两点间连多于一条边）。自至另一图的图同态，记作
 
是顶点集至的函数，其将每条边的两端分别映至某边的两端。以符号表示：对中每对顶点，若，则。若存在至的同态，则称同态于（homomorphic to），或可染色（-colourable），常简记为：
 
上述定义可引伸至有向图，此时，为同态的条件是，中每条有向边的像，仍是的有向边。
自至有单同态（将不同顶点映至不同顶点），当且仅当为的子图。若同态为双射（两图顶点集的一一对应），且其逆亦是图同态，则为图同构。loc=Observation 2.3
是一类特殊的图同态，相当于将图视为拓扑空间时，拓扑学上的覆叠映射，其定义及性质亦是类似：p=115图覆叠是满同态（即作为陪域的图，其每个顶点皆为定义域某顶点的像），且局部为双射，即若限制到每个顶点的邻域，则为双射。举例，图的bipartite double cover，是将每点分裂为两点，并将原图每条边换成交叉的两条边、。如此，可以定义函数将和皆映至，既是图同态，也是覆叠映射。
图同胚是另一个概念，不一定是同态。粗略而言，同胚要求是单射，但不必将边映至边，允许映至路径。图子式的要求更松。

**核与回缩**
K7，七个顶点的完全图，一种核图
若两幅图和有同态及，则称两者同态等价（homomorphically equivalent）。该些映射不必单，也不必满。例如，完全二部图与同态等价，因为可将左部两个顶点映到左部同一个顶点，其右部的两个顶点映到右部一个顶点，同样有的同态。
收缩映射（retraction）是自图至其子图的同态，且对中每个顶点有。若有此种映射，则称为的收缩核（retract）。p=19
核图（core）没有到任何真子图的同态。亦可等价定义成无法收缩到任何真子图的图。loc=Proposition 1.31每幅图皆同态等价于唯一的核图（不辨同构之别），称为的核（the core of ）。2loc=Corollary 1.32此结论对无穷图不一定成立p=34，但对（有限的）有向图可以照套用同样的定义，每幅有向图同态等价于唯一的核图。图（或有向图）的核，必为原图某个收缩核，以及某个导出子图。p=19
举例，完全图及奇环（奇数条边的循环图）皆属核图。若可染三色，且有三角形（即子图），则同态等价于，原因是的三染色，下节将说明相当于同态，且另一方面，任意子图皆有同态嵌入到，故有。如此，证毕为所有此种的核。与之相似，每幅非空二部图（有至少一条边）皆等价于。p=4

**与染色的关联**
对正整数，图的染色是将每个顶点涂色之一，使每条边的两端都不同色。此种染色，与自至完全图的同态，两类物件一一对应2loc=Proposition 1.7，因为的各顶点对应种色，且若为颜色，则其于图相邻当且仅当。于是，某函数是至的同态，当且仅当该函数将中相邻的顶点映至不同颜色（即染色的定义）。换言之，可染色等价于可染色。2loc=Proposition 1.7
若有同态及，则两者复合可得同态。loc=§1.7所以，若可染色，且有同态，则同样可染色。因此，推出，其中表示图的色数使该图可染色的最小值。。loc=Corollary 1.8

**变式**
其他同态亦可视作特殊的染色。给定图，其顶点视为可用的颜色，每条边表示某两色「可兼容」，则的染色就是将相邻顶点染成相容颜色的方案。此框架可容纳许多图染色的概念，将其表述为射向各类图的同态。举例如下：
*Circular coloring可定义为至circular clique的同态，从而推广一般的染色，定义「分数」色数。2loc=§4.4
*Fractional coloring与b重染色可定义成射向Kneser graph的同态。2loc=§4.5
*T染色的可用色集为自然数集，但另有给定某子集，禁止相邻顶点所染颜色之差属于。此种染色对应往某幅无穷图的同态。loc=§6.3
*oriented coloring除禁止相邻顶点同色外，还限制不同颜色之间的所有边皆同向（例如由蓝至红）。此为映向oriented graph的同态。loc=§6.4
*L(2,1)-coloring以数表示颜色，要求距离为1（相邻）的顶点所染颜色之差至少为2，而距离为2的顶点染色之差至少为1。换言之，此为射向路图之补的同态，且要求局部为单射，即在每个顶点的邻域上为单射。

**无长路径的定向**
图同态与图定向也有关。无向图的定向是赋予每边一个方向（二选一），所得的有向图。同一幅无向图可以有多种不同的定向。举例，完全图可定向成「递移Tournament (graph theory)」，其顶点为，对所有有（有向）边自指向。给定的定向与的定向之间的同态，忘掉定向即得本来无向图之间的同态。另一方面，给定无向图同态，任何定向可以拉回到的定向，使原同态亦是的有向图同态。综上，无向图可染色（即有同态至），当且仅当有某定向，具有至的同态。pp=13–14
有定理流传，对每个，有向图有同态至，当且仅当个顶点的有向path graph无同态至。loc=Proposition 1.20
因此，某图可染色，当且仅当其有某定向，不容任何自至该定向的同态。此命题可加强成
：某图可染色，当且仅当该图有某定向，其中无长为的有向路径（即作为子图）。
与前一命题的分别在于，自至某图的同态允许将两顶点映至同处，但「长为的有向路径」不允许重复顶点。

**与约束满足问题的关联**

**范例**
图，表示一周中不相邻的日子，同构于环的补图，亦同构于circular clique
某些排程问题可用图同态建模。p=1设学校已知各学生所选科目，要编排今学期各专题讨论班的时间，使同一学生所选的讨论班时间不致太近。考虑图以各科为顶点，若两科有共同学生则连边，而图以各课节为顶点，若两个时段隔足够远则连边。举例若限制时间表须每周循环，且每个学生所选的讨论班须相隔一日，则对应的是环的补图。如此，的图同态，就是讨论班对应到课节的合适方案。p=1欲添加额外条件，如禁止学生同时于周五与周一有讨论班，衹需从删掉相应的边。
问题简述如下：无线网络中，有若干发讯机，要为每部机配置一个频率，供其发讯。为免干扰，地理位置较近的发讯机应选用相差较远的频率。若将条件中「地理较近」与「频率较远」简化至非黑即白，则合适的分配方案又可视为图同态。图的顶点为各发讯机，边表示两机地理上接近；图以各频段为顶点，边则表示两频段相隔够远。虽然此模型甚为简化，但是尚有保留一点弹性：若有两机相隔较远，但仍因地形导致可能-{}-干扰，则在中加边即可。反之，若有两机永不在同一时段发讯，则不论其地理位置是否靠近，皆可从中删去该边。同样，或许有某些频率相差颇远，但是互为谐波，导致干扰，则将该边自移除即可pp=30–31
前述模型经简化，若要实际应用，许多问题仍待解决。pp=31–32约束满足问题是图同态问题的推广，能表达更多种条件（例如个体偏好，或重复分配次数有上限），从而建立更实际的数学模型。

**抽象观点**
数理逻辑或泛代数中，图与有向图属关系结构的特例，即集合配备若干关系。有向图就是基集（顶点集）之上有独一个二元关系（邻接关系）。2008如是观之，图作为关系结构的同态，按抽象代数的同态定义，等同于本文的图同态。一般而言，欲寻找自某关系结构至另一关系结构的同态，属于约束满足问题（constraint satisfaction problem, CSP）。图的特例可作为第一步，帮助理解更复杂的CSP。许多寻找图同构的算法，包括回溯、constraint propagation、局部搜索，通用于各种CSP。2008
给定图、，问是否有同态，相当于仅得一类约束的CSP实例2008：CSP的「变量」是的顶点，每个变量的「域」（可取值的范围）是的顶点集。「赋值」是一个函数，将逐个变量映至域的元素，即函数。的每条边（或有向边）对应一个「约束」，限制赋值函数将边映至关系中，即映至的某边。CSP的「解」是满足全体约束的赋值，故前述CSP的解正是自至的同态。

**同态的结构**
同态的复合仍是同态loc=§1.7，故可知图的关系具递移性，又显然自反，所以其为图之间的预序。loc=§3.1同态等价意义下，记所属等价类为，每个等价类有唯一的核图为其代表。关系定义该些等价类之间的偏序，即同态等价类构成一个偏序集。loc=Theorem 3.1
以表示有同态至，但反之则不然。如此定义的序稠密，即对任意（无向）图，若，则存在第三幅图使，除非是平凡反例或。2loc=Theorem 2.33例如，任意两幅整数阶完全图（除外）之间，必有无穷多幅环状完全图，相当于整阶数之间的有理数阶数。2p=127
同态等价类的偏序集是分配格，并是互斥并，而交是tensor product of graphs，其定义不取决于等价类中所选的代表。此格中，并不可约元为并不可约，意即推出或。对偶概念为交不可约。正好是连通图，证明方式是留意同态衹会将连通图映到目标的一个连通分支中。loc=Lemma 3.7name = "irred"正好是积性图（multiplicative graphs），此种图的特性是，若乘积有同态至，则或两者之一有同态至。如何识别积性图是Hedetniemi's conjecture的关键。
图与同态还组成范畴：图是物件，而同态是态射。p=125范畴的始物件是空图，终物件有一个顶点和一个自环。图张量积是范畴论积，指数图是该范畴的exponential object。换言之，自的同态与的同态自然地一一对应。2014由于对任意图，张量积与幂总有定义，图范畴是笛卡儿闭范畴。同理，同态等价类组成的格实际上是海廷代数：按海廷代数的语言，前述的积称为交运算，而前述的指数运算称为蕴涵。2014
对于有向图，适用同样的定义。同样有是有向图同态等价类之间的偏序，其与无向图等价类的偏序有别，但后者是前者的子序，因为无向图亦可视为有向图，衹是其中每条有向边皆与其反向成对出现。换言之，无向图同态的定义，与双向有向图的同态并无区别。有向图的序仍是分配格和海延代数，交与并的定义亦同上，但分别在于，该序并不稠密。亦有以有向图为物件、同态为态射的范畴，照样笛卡儿闭。2008

**不可比图**
Grötzsch graph，与不可比
同态预序下，许多图不可比较。两幅不可比图（incomparable graphs）之间，并无自任意一幅至另一幅的同态。p=7欲构造此种图，可考虑图的奇围长，即最短的奇环长度。奇围长可等价地说成最小的奇数，使个顶点的循环图有同态至。由此定义，若，则的奇围长大于或等于的奇围长。loc=Observation 2.6
另一方面，前节已证若，则的色数小于或等于的色数。所以，若的奇围长及色数皆严格大于，则和不可比较。p=7
举例，Grötzsch graph色数为，且无三角形（围长，奇围长），所以与三角形不可比。
有几类图的奇围长和色数可取任意大，如Kneser graph与广义梅切尔斯基图。如此一类图，若使其两参数同时递增，排成一列，则有无穷多幅不可比图（同态预序下的反链）。loc=Proposition 3.4
同态预序稠密等其他性质，亦可利用此类图证明。p=96此外，可构造同时具大色数和大围长（不仅是奇围长）的图，但较复杂，见围长 (图论)#围长与图染色。
有向图之中，更易找到不可比图。例如，考虑有向环，顶点为，有向边自至（对各一），及自至。对于，至有同态当且仅当为的倍数。所以，当取质数值时，两两不可比。p=35

**计算复杂度**
图同态问题是给定一对图，求自至的图同态。对应的决定性问题问是否存在此种解。一般情况下，即询问的实例不受额外限制的情况下，此决定性问题为NP完全。loc=§1.3若限制询问的范围，衹限从某类图中选出或，则可得多种不同的问题，其中有些较易求解。限制左边和限制右边相比，适用的方法相去甚远，但两者似乎有一共同特点：难易情况之间似乎有明确的分界，此分界或者已获证，或有论文猜想如此。

**至给定图的同态**
图同态问题若固定右边的图不变，则称为染色问题。为完全图时，化成染k色问题，在时，可于多项式时间内求解，但其余情况则是NP完全。loc=§5.1的情况相当于问图可否染色，即是否二部图，此问题可在线性时间内求解。更一般地，衹要是二部图就有同一结论：可染色等价于可染色，即可染二色，故此种情况同样易判断。可染色和可染色分别等价于无顶点和无边，亦易判断。loc=Proposition 5.1和Jaroslav Nešetřil证明，对无向图而言，无其他情况可驯顺：
（黑尔-内舍特日尔定理，1990年）若为二部图，则染色问题属于P，但其余情况则为NP完全。loc=§5.2
上述定理又称为无向图同态的「对分定理」（dichotomy theorem），因为将染色问题分成NP完全与P两类，而无居中情况。有向图情况较复杂，此时问题等价于刻画看似更一般的Complexity of constraint satisfaction：有向图的染色问题，与允许各种约束条件的CSP相比，同样多姿多彩，而不失一般性。loc=Theorem 5.14严格而言，定义（有限）约束语言（constraint language，或称模板template）为一个有限的取值域，其上配备有限多种关系，然后以表示约束衹能选自的一类约束满足问题，则有以下定理：
（费德、瓦迪，1998年）对任意约束语言，必有某幅有向图，使在多项式时间归约意义下等价于染色问题。
直观理解，定理意味着任何算法技巧或复杂度结论，若适用于一般有向图的染色问题，则可套用至一般CSP。考虑将黑尔-内舍特日尔定理扩展至有向图。由上述定理，该推广等价于有关CSP对分的费德-瓦迪猜想（又称CSP猜想、对分猜想），即断言对任意约束语言，或属NP完全，或属P。loc=§1.3此猜想于2017年由德米特里·祖克（Dmitry Zhuk）与安德烈·布拉托夫（Andrei Bulatov）分别独立证出，故有以下推论：
（布拉托夫2017年；祖克2017年）给定时，有向图的染色问题或属P，或属NP完全。

**自给定族的同态**
若左输入为给定，则图同态问题有暴力解法，即穷举的各个顶点在中的像，复杂度仅为，已是输入的多项式函数。换言之，限制的大小时，问题显然属P，但仍可改为研究另一课题：除大小之外，是否其他限制可施加于，使图同态问题可于多项式时间内求解？
研究表明，关键性质是treewidth，此参数衡量一幅图有多似一棵树。若的树阔至多为，而为任意图，则利用标准的动态规划方法，可于时间内求解图同态问题。实际甚至衹需假设的核的树阔不逾，而无需知道其核为何。
该算法中，复杂度的指数可能无法再压低太多：若exponential time hypothesis（ETH）为真，则不存在时间复杂度为的算法。即使限制衹能取值为某一族图，衹要该族图的树阔无上界，则仍有同样结论。同样假设下，几乎没有其他性质使问题可于多项式时间内求解，具体含义如下：
（格罗厄）假定ETH，并给定由图组成的可计算族。考虑输入为，且的图同态问题。此问题属P当且仅当中各图之核的树阔有界。
或考虑有所取舍，允许复杂度高度依赖，换取复杂度与的关系仅为固定的多项式。与前段类似，若的取值范围中，核的树阔有界，则此目标可以实现，但若的取值范围不满足该条件，则无法达成。利用parameterized complexity术语，上述成果可覆述为：中的同态问题，以的边数为参数，呈现对分现象。若中各图之核的树阔有上界，则该问题为fixed-parameter tractable，否则为le|带参数复杂度|Parameterized complexity|W1完全。
同一命题对其他关系结构亦成立。换言之，其适用于一般的约束满足问题，不过需要限制各项约束涉及的变量数有上界，即关系的元数有上界（以图为例，仅得元数为2的关系）。此时，关键参数为primal constraint graph的树阔。

**参见**
 图论术语- 同态，其他代数结构的同一概念- Graph rewriting- Median graph，可定义成hypercube graph的收缩核- Sidorenko's conjecture

**注**

**参考资料**

**一般书目、解说**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20210507001500/http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/csgnotes/hom1.pdf- archive-url=https://web.archive.org/web/20210506175223/https://www2.cs.sfu.ca/~pavol/hombook.html- archive-url=https://web.archive.org/web/20210711070549/https://mast.queensu.ca/~ctardif/articles/ghss.pdf- ref=harv

**约束满足、泛代数**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20220501142243/https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~bodirsky/Graph-Homomorphisms.pdf- archive-url=https://web.archive.org/web/20170706115247/http://www.cs.sfu.ca/~pavol/cspCCC.pdf

**格论、范畴论**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20220120165848/http://vrs.amsi.org.au/wp-content/uploads/sites/6/2014/09/CORRECTED-digraph-lattice-Gray-updated.pdf