霍尔婚配定理

数学上，霍尔婚配定理（Hall's marriage theorem）是菲利浦·霍尔最先证明的图论定理，又称霍尔定理，描述二分图中，能将一侧全部顶点牵线匹配到另一侧的充要条件。定理另有一个等价的组合敍述，确定一族有限集合在何种充要条件下，可自每个集合各拣选一个元素，而使所选元素两两互异（即没有元素是重复的）。

**集族表述**
设  为  的有限子集组成的有限多重注|即  可以有重复的元素，且会考虑其重复次数。族。
的一个代表系是  至  的单射，且该单射  将族中任意集合  映至该集合的某元素 。换言之， 从  中每个集合，选出一个代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「单射」之义）。代表系又称为「截面」或「遍历」（transversal）。
族  满足霍尔条件，意思是对每个子族 ，有

用文字复述，该条件断言对于  的每个子族，其各集合一共拥有的不同成员数，不小于该子族的集合数。若不满足该条件，则不存在代表系，因为在某子族 （设有  个集合）中，各集合一共衹有少于  个互异元素，如此由鸽巢原理，为  个集合所选的  个代表元之中，必有两者相等。霍尔定理说明，前述命题的否命题也成立，即若满足霍尔条件，则必存在代表系。
霍尔定理：一族有限集有代表系，当且仅当其满足霍尔条件，即其任意子族皆满足以上不等式。
证明见#图论表述。

**例**
例一：符合霍尔条件
例一：考虑集族 ，其中

合适的代表系有 ，但并不唯一，例如  亦可。
例二：违反霍尔条件
例二：考虑 ，其中

此时，无合适的代表系。子族  违反霍尔条件，因为该族有  个集合，但该三个集之并为 ，仅得两个元素。
例三：同样设 ，但换成

此时， 与  的代表必为  或逆序，从而  的代表须为 。所以，合适的代表系有且衹有  或 。

**命名**
定理命名为「婚配」（marriage），是与以下例子有关。设有两组人，一组  男，一组  女。每名女士心目中皆有一份名单（若干男士组成的子集），会接受名单中的男士的求婚，但会拒绝其他人。而该些男士别无所求，愿意向任何女士求婚。媒人希望判断是否存在方案，在尊重诸位女士的意愿的前提下，将该两组人撮合成  对夫妻注|此例子中，为使定理适用，需要假设该些人的婚姻为一夫一妻制。。
以  表示第  名女士愿意接受的男士集合，则霍尔定理讲述，存在方案使每位女士与心仪对象结婚，且无重婚，当且仅当对于任意若干位女士组成的集合 ，愿意与其中至少一位女士结婚的男士数 ，不小于该集合的女士数 。
后一个条件为必要，否则该  名女士根本无法找到足够的配偶。较不明显的是，该条件亦为充分，此即霍尔定理的肯綮。

**图论表述**
蓝色边构成一组匹配
设  为有限二部图，顶点集分为 、 两部，以符号记为 。 完美匹配是图上若干条边组成的匹配，其两两无公共端点，且  的每个顶点各有一条边在该匹配中。
对于  的任意子集 ，设  为  在  中的邻域，即  中与  至少一点有连边的全体顶点之集。霍尔定理断言，存在  完美匹配，当且仅当对  的每个子集 ，皆有：

换言之，与  相邻的顶点，不少于  的顶点。上述不等式称为霍尔条件。

**证明**
「」：假设有匹配 ，覆盖顶点集 。欲证霍尔条件对全部  成立。记  为  经  匹配到的顶点集，其为  的子集。由匹配的定义，必有 ，同时 ，因为  的元素皆为  的邻舍。故 ，即 。
「」：假设无  完美匹配，欲证有某子集  违反霍尔条件。设  为极大匹配，换言之，若再添加任何一条边，则不再为匹配。设  为  中未获覆盖的顶点。考虑由  出发的全体「交错路径」，即图  中的路径，其首边不属 ，次边属于 ，第三边又不属 ，如此交错排列。 藉该些交错路径，与  中若干顶点相连，该些顶点组成的子集记为 ；又与  中若干顶点相连（此处  亦视为与自己相连），得子集 。极长即无法再延伸。的交错路径不能终于 ，否则其首尾皆不属 ，故为「增广路径」：翻转路径上所有边的状态，将不属  者加入 ，属  者移走，则得到严格比  多边的匹配，此为不可能。至此，已证  中每个顶点，皆经  匹配到  中某顶点。反之， 中任意一个顶点，亦有  中某顶点与之匹配，即沿  至  的交错路径， 的前一顶点。所以， 给出  与   之间的一一对应，所以 。另一方面，将证明 。设  是与某顶点  邻接。若边  在  中，则自  至  的一切交错路径中， 皆在  以先，故有  至  的交错路径。否则  不属 ，但已知有  至  的交错路径，末边属于 ，故可续以 ，亦得自  至  的交错路径。证毕 ，故 ，违反霍尔条件。

**算法**
若  的子集  满足 ，则定义  为Hall violator。若  为霍尔犯，则无匹配能覆盖  的全部顶点。所以，也无匹配覆盖 。霍尔定理断言，二部图有  完美匹配，当且仅当其不含任何霍尔犯。以下算法验证定理较难的方向：输入一幅二部图，算法或输出一个  完美匹配，或输出一个霍尔犯。
该算法调用以下子程序：输入匹配  及未匹配的某顶点 ，或输出一条  增广路径，或输出一个霍尔犯。该子程序可以深度优先搜索实作。
以下敍述算法的步骤：
# 初始时，设  为空集，未选定任何边。（其后会加边入 。）
# 检查： 确为  的匹配。
# 若  已覆盖 ，则为所求的  完美匹配，输出并结束程序。
# 否则，找到未匹配的顶点 。
# 调用寻找增广路径的子程序，视乎情况：
## 若找到霍尔犯，则输出并结束。
## 若找到  增广路径，则将该路径上各边的状态翻转，使  的边数增加一。返回第2步。
每次找到增广路径，都会使  多一条边。所以，前述算法的回圈至多执行  次，就会停机。每次寻找增广路径需时 。总时间复杂度与不加权的最大匹配问题的福特-富尔克森算法相约。

**两种表述等价**
设 ，其中  皆为有限集，不必相异。相应地，构造二部图 ，一侧顶点集  对应该  个集合，另一侧顶点集  为该些集合之并。若  有元素 ，则在图中连一条边 。如此，族  的代表系即是  的  完美匹配，覆盖  的全部顶点。所以，以集族表述的霍尔问题，容易化成图论表述的霍尔问题。反之亦然：给定二部图 ， 完美匹配相当于邻域族  的代表系。

**其他证明**
利用Topological combinatorics的Sperner's lemma，可得霍尔定理的非构造性证明。Thm.4.1,4.2

**应用**
定理有许多「非婚」应用。例如，取一叠啤牌（无鬼牌），洗匀后，派成13磴，每磴4张。由霍尔定理可证，必能从每磴拣选一张牌，使所选13张牌恰好出齐各点数（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正则二部图（允许重边）皆有完美匹配。2
较抽象的应用有双边陪集遍历。设  为群， 为其有限指数子群，则霍尔定理适用于证明存在集合 ，既是  各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。
霍尔定理亦用于证明，若 ，则任意  Latin rectangle皆可扩展成  拉丁矩阵，并可重复，直至得到完整的拉丁方阵。

**相关定理**
本定理可归类到组合学的一列强力定理，其彼此关联。若假设任何一条，则较易证得其他各条，但若要从头开始，则较难证得任何一条。总括而言，该类定理各自断言某类组合优化问题具有Strong duality。该些定理包括：- Kőnig's theorem (graph theory)：二部图的最大匹配，与最小Vertex cover等大。
** König–Egerváry theorem（1931年），得名自Dénes Kőnig、艾盖瓦里·耶内两位匈牙利数学家，是克尼格定理的加权推广。- 门格尔定理（1927年）：边最小割的大小，等于任意在所有顶点对之间可以找到的无公共边的路径的最大数量。结论换成顶点最小割与无公共（中间）顶点的路径仍成立。- 最大流最小割定理（福特-富尔克森算法）：任意网络流中，最大流的值等于最小割。- Birkhoff–Von Neumann theorem（1946年）：一个方阵为双随机，当且仅当其为置换方阵的凸组合。- Dilworth's theorem：覆盖某偏序集所需的不交链数，与该集的最大反链等大。
欲要更具体描述各定理的关系，下列各等价关系有简单证明：
迪尔沃思定理 ⇔ 霍尔定理 ⇔ 克尼格-艾盖瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。

**加强**

**无穷族**
细察菲利浦·霍尔两人并非亲属。原先的证明，发现可以将结论修改成对（有限集组成的）无穷族  仍成立。该证明直接使用佐恩引理。此外，也有较简短的证明，用到命题逻辑的紧致性定理：
设 。对每个  和 ，以命题  表示「 选为  的代表」。可以列出代表系须满足的条件如下：
*对应每个 ，各有一条命题断言恰有一个  使  为真此处的命题需要  为有限集，才能用命题逻辑的语言写出；
*对应每对互异的  和 ，各有一条命题为 。
如此，代表系即等价于同时满足以上各命题的赋值。由有限族的霍尔定理，对  的任意有限子集 ，相应的有限子族有代表系，故以上命题中，任意有限条皆可同时满足。所以，由紧致性定理，全部命题可同时满足，即有整个无穷族的代表系。
以上一般情况的证明中，选择公理（或等价命题如佐恩引理）为必须，因为给定一族无穷多个非空集（无额外条件），欲从每个集合中，选出一个代表（而无须相异），已需要选择公理。

**无穷集**
马歇尔·霍尔给出下列反例，表明若允许有无穷集，则所组成的无穷族，即使满足霍尔条件，亦不保证有代表系。
设族  由可数多个集合  构成。该族满足霍尔条件，但无法选出代表系。
若妥为敍述，则的确可将霍尔定理推广至适用于无穷集。给定二部图，两侧顶点集为 ，若由  的子集  出发，在图中找到单射（意思是衹能用二部图的边），射向  的子集 ，则称 ，而若更甚者，图中没有反向的，由  至  的单射，则称 。前述定义中，若忽略「在图中」三字，则所得大小的概念等同一般基数的大小比较。无穷集的婚配定理断言：
图中有  至  的单射，当且仅当对每个 ，皆有其邻域 。

**代表系的数目**
马歇尔·霍尔也计算出给定有限族  的代表系数目的下界，从而加强婚配定理。其敍述为：
设有一列有限集 ，不必相异，但满足霍尔条件，又设  对  成立。则当  时，该族有限集至少有  个不同的代表系，而当  时，至少有  个。
此处即使两个代表系的元素一样，衹要其次序不同，亦视为不同。例如，若 ，，则  和  为两个不同的代表系。

**分数匹配**
图的分数匹配（fractional matching）是对各边赋予非负权值，使每个顶点所连各边的权值和不超逾 。所谓  完美的分数匹配，即是使  中的每一顶点处，各边权之和恰为 。对于二部图 ，下列各项等价：-  有  完美匹配。-  有  完美分数匹配。（此为前项的直接推论。给定一个  完美匹配，将该匹配所选的边赋权 ，其余边赋 ，则得到  完美分数匹配。）-  满足霍尔条件。（若有前项的分数匹配，则对于  的每个子集 ，其所连各边之和恰为 ，故至少要与对面的  个顶点相连，因为对面每个顶点所连的边值和不超过 。）

**亏缺**
假如霍尔条件不成立，则原定理仅断言不存在完美匹配，但并未说明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考虑图的亏度。对于二部图 ， 关于  的亏度（deficiency）是  的最大值，其中  可取  的任意子集。亏度越大，则图离霍尔条件越远。
用霍尔定理可证，若二部图的亏度为 ，则有大小为  的匹配。（考虑在  侧添加  个辅助点，与  所有顶点连边。新图将满足霍尔条件。）

**非二部图**
 若推广至一般的图（不必为二部图），则其上有完美匹配的充要条件，由塔特定理描述。- 若推广至各类bipartite hypergraph（二部图的超图版本），则相应有各种霍尔式定理。

**注**

**参考文献**
language = en
*language = en- archive-url=https://web.archive.org/web/20160319101740/http://afp.sourceforge.net/entries/Marriage.shtml 
*language = en
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**站外链结**
 Cut-the-knot站， Marriage Theorem date=20091103085023 - Cut-the-knot站， Marriage Theorem and Algorithm date=20100603215809 - Lucky的笔记 Hall's marriage theorem explained intuitively date=20220627151415 .