倒单摆

平衡台车是简单的机械人系统。台车中有伺服机构，监控杆子的角度，利用让台车来回移动时来维持直杆直立，上面的酒杯可以观察直杆是否有大幅震荡或是倾斜角度过大
倒单摆是质心在其枢纽点以上的摆。倒单摆在力学上无法稳定平衡，在没有额外控制时，倒单摆会倒下。若利用控制系统控制杆的角度，在杆开始要倒下时调整质心位置，让杆子不会倒下，可以维持倒单摆的平衡。倒单摆是动力学及控制理论中的经典问题，常用来测试不同的控制策略。倒单摆常以枢纽点在台车上的方式来呈现，如图所示。这称为「台车和杆子」。大部份的应用会限制单摆只有一个自由度，固定摆的旋转轴。一般的单摆在重物在枢纽点下方时会平衡，倒单摆在其本质上就无法自行平衡，需要透过外在控制才能平衡。外在控制平衡的作法可以在枢纽点加力矩，或是让枢纽点水平移动，再透过回授系统来使倒单摆平衡，改变质量相对枢纽点转动的速度，或是让枢纽点在垂直方向晃动。像人用手设法平衡倒立的扫帚，就是人工平衡倒单摆的例子。

**简介**
单摆的重物在枢纽点下方时，即为系统的稳定平衡点。单摆不受外在力矩时可以维持不动，若让单摆重物偏离平衡位置，放开后重力会产生力矩使单摆回到平衡点。倒单摆旳重物在枢纽点上方，会用刚体的杆子支持重物，位置恰好和稳定平衡点相差180度，是不稳定平衡点：倒单摆在不受外在力矩时可以维持不动，但若只要有一点偏差，重物就会偏离平衡，而重力产生的力矩会使单摆偏离平衡点，因此最后倒单摆会倒下。

为了要使单摆在倒单摆的位置下可以维持平衡，可以使用控制系统，监控倒单摆的角度，在倒单摆开始要倒下时加以施加力或是力矩，使它往反方面移动，设法让它平衡。倒单摆是动力学及控制理论中的经典问题，常用来测试不同的控制演算法（例如PID控制器、状态空间、neural networks、模糊控制、遗传算法等）。此问题的一些变化包括有多个杆、由倒单摆改为台车及倒单摆系统（台车和杆子），在跷跷板上平衡台车及倒单摆系统。倒单摆和火箭或是飞弹导引系统有关，其重心位在阻力中心的后方，因此在空气力学上会不稳定。用伺服机构平衡台车及倒单摆系统就可以对此问题有一些理解，或是徒手设法平衡倒立的扫帚也可以。利用自平衡的personal transporter即可解决此问题，例如赛格威、自平衡滑行车及self-balancing unicycle。
另外有一种可以使倒单摆稳定，而且不需回授或是控制系统的方式，是将倒单摆的枢纽快速上下震荡，这称为是卡皮察摆。若振荡的加速度及振幅够大，倒单摆会以一种反直觉的方式从扰动中恢复平衡。若枢钮是以简谐运动的方式运动，则倒单摆的运动可以用马丢函数来描述。

**运动方程**
倒单摆的运动方程和单摆运动的限制条件有关。倒单摆会依照其运动组态的不同，有不同的运动方程。

**固定枢纽点**
若倒单摆的枢纽点固定无法移动，其运动方程会类似一般的单摆，但符号会有些不同。以下的运动方程假设没有摩擦力，在运动时也没有阻力，杆为刚体，没有质量，而且运动限制在二维空间内。

其中是摆的角加速度，是地球表面的标准重力，是摆的长度，而是摆相对平衡位置的角度。
也可以计算角加速度如下：

倒单摆的角加速度会使摆远离不稳定平衡的垂直位置，角加速度和长度成反比。长的倒单摆倒下的速度会比较慢。

**用力矩及转动惯量来推导**
假设倒单摆的摆由质量为的质点，接在长度为的刚体无质量杆上，摆的另一端是固定的枢纽点。
系统的净力矩会等于转动惯量和角加速度的乘积：

净力矩是由重力产生的力矩：

其中是摆相对平衡位置的角度。
所得的方程式为：

点质点的转动惯量公式为：

在倒单摆的例子中，半径为摆的长度。
将转动惯量用来表示

等号两边同除，可得：


**台车上的倒单摆**
台车上倒单摆的图，假设杆没有质量，台车质量及摆的质量分别是M和m，杆的长度假设是
台车上的倒单摆包括质量为的台车,上面有可以转动的杆，顶端有质量为的重物，台车的运动方向受到限制，只能在一个方向进行线性运动。

**拉格朗日方程**
可以用拉格朗日力学推导运动方程。以右侧的图为准，其中的是长度为的摆相对于垂直线的角度，而作用力是重力以及x方向的外力F。定义是台车的位置，系统的拉格朗日量为：

其中是台车速度，是点状质量的速度。
及可以用x和来表示，其作法是将速度写成位置的一阶导数：


简化的式子可得：

拉格朗日量为：

运动方程为：


替代式子中的，并且简化，可以得到倒单摆的运动方程：


上述式子是非线性的，不过因为目标是维持倒单摆直立，方程式可以在附近线性化。

**牛顿第二运动定律**
若用牛顿第二运动定律求解此问题，可以得到单摆和台车各部份的作用力，每一个物体都有二个方程式，分别是x方向及y方向。台车的运动方程如下，等号左边是合力，等号右边是质量及加速度。


上式中和是枢纽点上的作用力，是台车受到的正向力。第二个式子只和垂直的作用力有关，因此可以用来求解正向力。第一个式子可以用求解水平的作用力。为了完成以上的方程，需要计算摆的加速度，若在惯性坐标下，点质量的位置是

在惯性坐标下，对时间取二阶微分，即可得到加速度。

因此，用牛顿第二运动定律求解时，可以列出x方向及y方向的式子。注意给摆的反作用力是正的，给台车的是负的。这是因为牛顿第三运动定律的结果。


第一个方程式提供了一个在未知外力时，可以计算水平反作用力的方式。可以用第二式求解垂直作用力，再将第一式的用取代，可得

可以观察到这个式子和拉格朗日方程的结果完全一样。为了得到第二式，需要将摆的运动方程和始终和摆垂直的单位向量进行点积，结果会列为物体座标（B）下的X轴。在惯性座标（I）下，向量可以用以下简单的二维坐标转换来表示

摆的运动方程可以写作向量的形式，为。在两侧和作点积，可得以下等式的左边（注意转置后点积的结果相同）

上式中用到了在物体移动方向为准的反作用力分量，以及惯性座标下反作用力分量之间的关系。假设中有假设杆无质量，因此杆无法给予垂直杆子的力。惯性座标下的反作用力可以写成，强调杆只能提供和杆平行的力。因此会产生另外一个方程，可以求解杆上的张力

等式的右边也可以用将摆的力加速度和点积的方式计算，结果（经过一些简化）如下

合并左式及右式，并且除以m可得

此结果也和拉格朗日方程的结果相同，使用牛顿运动定律的好处是知道所有的反作用力，可以确定摆和台车不会因为受力过大而损毁。

**稳定台车倒单摆的方式**
稳定台车倒单摆的方式，可以简述为下三点。
台车和倒单摆的例子中，简单的稳定控制系统
#若直杆往右倾斜，台车需要往右加速，反之亦然。
#台车相对轨道中心的位置稳定的方式是是将null angle由台车的位置来进行调整，也就是null angle ，其中是小的数值。因此杆会轻微的向轨道中心倾斜，若其角度恰好垂直的话，就会稳定在轨道中心。倾斜感测器或是轨道斜率的误差（本来会造成不稳定的效应）都会变成稳定的位置偏移量，另外增加的偏移量则是为了位置控制。
#正常的摆单摆在角频率为时会共振。为了避免不受控的晃动，枢纽点需要抑制在共振频率附近的频率响应。倒单摆也需要类似的带拒滤波器才能达到稳定。
由于null angle调整策略的结果，正回授的结果为正，若摆突然往右移动，会让平台的初始速度往左，但之后会往右，以让倒单摆重新平衡。摆的不稳定性以及正位置回授的不稳定性交互作用，以产生一个稳定的系统，这是倒单摆稳定问题的特征，也是在数学分炘上有趣而有挑战性的地方。
建构卡皮察摆的作法。马达在高速时旋转曲柄，曲柄使杠杆上下摆动，杠杆的末端连接倒单摆

**卡皮察摆**
倒单摆若在上下振动的平台上，有可能可以在不受控的情形下稳定，最早研究这种倒单摆的是俄国科学家彼得·列昂尼多维奇·卡皮察，因此这种摆也称为卡皮察摆。在无质量垂直振荡平台上的摆，其运动方程推导方式类似台车上的单摆，点质点的位置为：

一次微分后可以得到速度：

上下振动平台上倒单摆的图，左图是慢速振动下的响应，右图是快速振动下的响应
系统的拉格朗日量如下：

运动方程为：

结果是：

若y的运动是简谐运动，则其微分方程为：

此一方程没有解析解，不过可以用不同方式来求解。若振幅很小时，可以用马丢函数来近似。分析结果是卡皮察摆在快速振荡时可以稳定。左图是慢速振荡的图，在慢速振荡下，单摆很快就倒下，其角度很快就超过90°，表示单摆已倒下。右图是快速振荡的图，若是快速振荡，摆可以稳定在直立状态下。启始时倒单摆是在直立状态（），但摆的角度始终不大，而且摆有倒下。

**倒单摆的种类**
平衡倒单摆是研究者常见的工程挑战，有许多不同的变形，从台车上的倒单摆到台车上的多段倒摆（倒复摆）。另外一种变体是将倒单摆或是倒复摆放在旋转元件的末端。若没有外力平衡，这些倒摆都会倒下。计划中的倒单摆可能是在找到平衡位置后要可以维持平衡，或是要可以自行达到平衡状态。另外一个平台是两轮平衡的倒单摆。两轮的倒单摆可以旋转，可以提供相当的操控性。另外一个变体是在单点上的平衡。陀螺、单轮脚踏车或是球上的倒单摆都是单点上平衡的例子。如上所述，若在垂直振荡的平面上，倒单摆也可以维持平衡。

**倒单摆的例子**
人就是平衡倒单摆的例子之一。站着的人就是倒单摆，其脚即为枢纽，若站着的人没有肌肉持续的微幅施力调整，最后会跌倒。人的神经系统中有无意识的反馈控制系统、平衡感或righting reflex，用眼睛、肌肉及关节的本体感觉，以及由内耳中三个半规管组成前庭系统所得的方向输入、或是利用耳石的输入，持续的对骨骼肌小幅调整施力，以维持直立。走路、跑步或是单脚站立都需要此系统的调节。有些疾病、酒精或是药物中毒会影响此一反射，造成头晕或无法自行站立平衡。警察在测试驾驶者是否有受到酒精或是药物影响的field sobriety test就是确认此反射是否有问题。
像用手平衡直立在手上的扫把或是直尺，也是倒单摆的例子。

有许多的设备中有用到倒单摆，倒单摆的平衡也是研究者探讨的工程问题之一。倒单摆本身不稳定的特性，略有一些扰动，就会有明显的响应，因此也是早期地震仪中的关键元件之一。
很多现代的personal transporter中也有用到倒单摆的概念，例如二轮的自平衡滑行车以及单轮的electric unicycle。这些设备有动力学不稳定的特性，需要透过电子回授配合伺服机构使其直立。
让台车上的单摆由单摆往下的稳定状态，摆动到倒单摆的状态，是最佳控制的典型玩具问题之一
台车单摆系统，由单摆往下的稳定状态，摆动到倒单摆的状态，力平方值最小化的轨迹

**相关条目**
倒双摆
*Inertia wheel pendulum
*Furuta pendulum
*iBOT
*类人型机器人
*Ballbot

**参考资料**
D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

**延伸阅读**
 Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. 0-13-149930-0

**外部连结**
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