谢尔宾斯基空间

在数学上，谢尔宾斯基空间（Sierpiński space，又称两点连通空间（connected two-point set））是一个包含两个元素的有限拓朴空间，其中只有一个元素是闭合的。这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的，而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。
因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中，是开集的分类空间（classifying space）之故，因此这集合在可计算性理论和语意处理上有重要的应用。

**定义及基本性质**
谢尔宾斯基空间是一个其点集合为的拓朴空间，其所有的开集如下：

其所有的闭集如下：

也就是说，其单点集是闭集，而其单点集是开集，另外此处的代表空集合。
此空间的闭包如下：

一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义，当中，这预序是一个偏序，其形式如下：


**拓朴性质**
谢尔宾斯基空间是特定点拓朴（particular point topology）（谢尔宾斯基空间的特定点为1）和排除点拓朴（excluded point topology）（谢尔宾斯基空间的排除点为0）的一个特殊例子，因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。

**分离性**
在谢尔宾斯基空间中，0和1这两点是拓扑可区分的，这是因为是一个只包含这两者其中一点的开集之故，因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间（空间）。
*然而谢尔宾斯基空间不是一个空间，这是因为这个单点集不是闭集之故，也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间或空间（其中）。
*然而谢尔宾斯基空间不是正则空间或完全正则空间，这是因为1这个点及其不相交集合不能以邻域分离之故（另外点能以邻域分离的空间是豪斯多夫空间）。
*然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间，这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
*然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间，这是因为其彼此不相交的闭合和无法由函数完全分离所致。事实上，谢尔宾斯基空间的不能是任何连续函数的零集（zero set），而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。

**连通性**
谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间（Hyperconnected space）（这是因为其所有的非空开集都包含1所致）和特连通空间（Ultraconnected space）（这是因为其所有的非空闭集都包含0所致）。
*谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。 
*一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路可定义如次：且对于所有的而言，这个函数是连续的，因为在是开集。
*和所有的有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
*谢尔宾斯基空间是个可压缩空间（contractible space），因此其基本群是个当然群（这点对高阶同伦群（higher homotopy groups）也成立）。

**紧致性**
和所有有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个紧致空间和第二可数空间。
*谢尔宾斯基空间的紧子集不是闭集，而这显示了空间的紧集不必然是闭集。
*任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身，这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故，因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖，就是。
*而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间（fully normal space，仿紧空间的一个子类）。

**收敛性**
任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0，这是因为在谢尔宾斯基空间当中，0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
*在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1，当且仅当该序列仅有有限多项为0。
*在谢尔宾斯基空间当中，1是某序列的一个聚集点，当且仅当该序列包含无限多项的1。
*例子如下：
**1不是这序列的聚集点。
**1是这序列的聚集点1，但并非极限点。
**这序列同时收敛至0和1。

**度量化可能性**
谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间，甚至也不是可伪度量化的空间，这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间，而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
*谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成，其中且。

**其他性质**
谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数：恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
*而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群（英语：homeomorphism group）是当然群。

**映至谢尔宾斯基空间的连续函数**
设是一个任意集合，那么一般会将所有从映至的函数的集合给记做，这些函数即是的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

在其中是的一个子集。换句话说这个函数的集合和的幂集间，有着双射的关系。每个的子集都有自己的指示函数，而每个从映至的函数都有如此的形式。
现在假定是个拓朴空间，而有着谢尔宾斯基拓朴，那么是个连续函数，当且仅当在中是个开集；然而根据定义，我们有

因此是个连续函数，当且仅当在中是个开集。
假定是所有从映至的连续函数的集合，并假定是的拓朴（也就是所有开集的集族），那么就存在一个从映至的双射，这映射会将映至之上。

也就是说，假若将和对等，那么其连续映射的子集会是的拓朴。
一个特别值得注意的例子是在对偏序集合的斯科特拓朴中，谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接（directed join）的状况下，成为其开集的分类空间。

**范畴论的描述**
上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴到集合范畴的反变函子将每个拓朴空间给指派给其开集的集合，并将每个连续函数给指派给其原像：

而相关叙述如下：这个函子由表示，其中为谢尔宾斯基空间，也就是说，和同态函子（Hom functor）间有着自然同构，而这自然同构由泛元素决定，而这可由预层的概念一般化。

**初拓扑**
任何的拓朴空间都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族所引致的初拓扑。事实上，若要将的拓朴变得更加粗糙，那就必须将一些开集给移除；然而若将开集给移除，那么这个函数就会变得不连续，因此在当中的每个函数都连续的情况下，有着最粗糙的拓朴。
函数的集族区分上的点，当且仅当是个空间。和这两点可由指示函数区分，当且仅当开集包含其中一点但不同时包含两者。这也就是和拓朴可区分的确实含意。
也就是说，若是个空间，那就可以将给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中，在其中对于每个的开集而言，都有一个的复本与之对应。其嵌入函数

可由下列函数得出：

由于空间的子空间和积空间还是空间之故，因此一个拓朴空间是空间，当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚。

**在代数几何中**
在代数几何中，谢尔宾斯基空间会作为（整数在质数生成的素理想上的局部化）之类的离散赋值环（Discrete valuation ring）的谱出现。其中起自零理想的一般点（generic point）会对应至开集点1；而起自极大理想的特殊点（special point）会对应至闭集点0。

**参见**
 有限拓朴空间（Finite topological space）- 拓朴列表（List of topologies）- 伪圆（Pseudocircle）

**注解**

**参考**
Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=Counterexamples in Topology | origyear=1978 | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=Dover reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 |mr=507446 | year=1995| title-link=Counterexamples in Topology - Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 10.2307/2689505