听出鼓的形状

特征频率，因此敲击发出的音色将具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韦伯，以及沃尔珀特给出。留意两个多边形具有相同的面积和周长
从鼓的音色（即其泛音列），利用数学理论，来获取鼓膜形状的信息，谓之听出鼓的形状。美国数学月刊于1966年刊登了Mark Kac的论文〈能否听出鼓的形状？〉，文题由Lipman Bers给出。此数学问题可回溯至赫尔曼·外尔。
卡克1966年的论文使此问题广为人知。他因为该论文于1967年获Paul R. Halmos – Lester R. Ford Award，并于1968年获Chauvenet Prize。
鼓膜可以振动的频率取决于其形状。假若已知形状，则可用亥姆霍兹方程求出频率。该些频率为空间（鼓膜）上的拉普拉斯算子的特征值。问题是单由该些频率是否能确定鼓膜的形状。例如，没有其他形状的鼓膜与正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在两个不同的形状，其具有相同的泛音列。结果，在1992年，戈登、韦伯，以及沃尔珀特证得频率不能完全决定形状，解决了原来的问题。

**正式敍述**
更正式地，鼓视为边界钳紧的弹性膜，数学上表示成平面上的一个区域 D. 设 λn 为其Dirichlet eigenvalue：即以下拉普拉斯算子的狄利克雷问题

的特征值。两个区域若具有完全相同的特征根列，则称其isospectral，或同音（homophonic）。称为「同音」的原因是，该些狄利克雷特征值恰好是鼓所能发出的基调：其为钳紧边界的波动方程的解的傅立叶系数。
于是，可以将问题转述成：只知 λn 之值，可以推导出 D 的何种性质？又或，更具体地，是否有两个不同形状但等谱的区域？
也可以从数个不同方向推广，提出同样的问题。其一，可将平面换成高维或黎曼流形，考虑其上的拉氏算子的狄利克雷问题。其二，可将拉氏算子换成其他椭圆算子，例如柯西－黎曼算子或狄拉克算子。其三，可考虑狄利克雷条件以外的其他边界条件，例如诺伊曼边界条件。相关课题属于谱几何的研究。

**答案**
由一个连续参数给出的一族等谱的鼓
问题提出后，约翰·米尔诺很快观察到，Ernst Witt的一条定理足以推出存在两个不同形状的 16 维环面，其具有相同的特征值。然而，原来的二维问题要待1992年才得到解决。当时，Carolyn Gordon , David Webb (mathematician)  和斯科特·沃尔珀特利用砂田方法（得名自Toshikazu Sunada）, 在平面上构造了两个不同形状，但却具有同样特征值的区域。该些区域为凹多边形。其特征值相等的证明用到拉氏算子的对称性。Jürg Peter Buser与合作者推广了此想法，从而构造了若干类似的例子。因此，卡克原先问题的答案是否定的：对于许多形状，不能完全听出鼓的形状，不过仍可推断出若干性质。
另一方面，Steve Zelditch证明，若将卡克的问题收窄到仅考虑边界解析的平面凸区域，则会得到肯定的答案。仍未知道是否存在两个非凸的解析区域具有同样的特征值，但已知的是，与某个给定区域等谱的所有区域组成的集合，在 C∞ 拓扑中是紧集。又例如，由Cheng's eigenvalue comparison theorem知，球面是谱刚的（spectrally rigid, 即若有流形与之等谱，则其形状亦必与之相同）。此外，利用奥斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和萨纳克（Sarnak）的成果，可以证明固定亏格的黎曼面组成的模空间中，没有过任何点的连续等谱流，且该模空间在弗雷歇－施瓦茨拓扑（Fréchet–Schwartz topology）下为紧。

**外尔公式**
外尔公式断言，可藉 λn 的增长速度推断鼓的面积 A。定义 N(R) 为小于 R 的特征值的数目，则可得

其中 d 是维数， 是 d-维单位球的体积。外尔猜想迫近式的第二项将给出 D 的周长，即有

其中 L 表示周长（高维情况下则为表面积）。Victor Ivrii于1980年证明了上式对于某类边界光滑的流形适用，其不具由两个连续参数给出的一族测地线（例如球面则具有如此一族测地线）。

**外尔－贝里猜想**
对于边界非光滑的情况，迈克尔·贝里于 1979 年猜想，修正值的量级应为

其中 D 为边界的豪斯多夫维数。宝乐沙 (J. Brossard）和卡莫纳（R. A. Carmona）推翻了此猜想，但提出应将豪斯多夫维数改成顶盒维数（即上计盒维数）。在平面上，边界维数为 1 的情况已获证（1993 年），但大多数高维情况被否证（1996 年），两个结论都是:fr:Michel_Lapidus和Carl Pomerance的成果。

**相关条目**
 Vibrations of a circular membrane- Gassmann triple- Isospectral- 谱几何- 推广到叠代函数系统生成的碎形的情况

**行内引用**

**参考资料**
 citation|url=http://www.ams.org/notices/199501/bers.pdf|first=William|last=Abikoff|title=Remembering Lipman Bers|journal=Notices of the AMS|date=January 1995|pages=8–18|volume=42|issue=1|accessdate=2020-10-04|archive-date=2020-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20200207021926/http://www.ams.org/notices/199501/bers.pdf|dead-url=no- bibcode=1986CMaPh.104..103B- pages=391ff- cite journal|last=Chapman|first=S.J.|year=1995|title=Drums that sound the same|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=February|pages=124–138|doi=10.2307/2975346|jstor=2975346- cite journal|last=Giraud|first=Olivier|author2=Thas, Koen |title=Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality|journal=Reviews of Modern Physics|year=2010|volume=82|issue=3|pages=2213–2255|doi=10.1103/RevModPhys.82.2213|arxiv=1101.1239|bibcode=2010RvMP...82.2213G- citation|first1=Carolyn|last1=Gordon|author1-link=Carolyn S. Gordon|first2=David|last2=Webb|author2-link=David Webb (mathematician)|title=You can't hear the shape of a drum|journal=American Scientist |volume=84|issue=January–February|pages=46–55- bibcode = 1992InMat.110....1G - doi=10.1007/BF01086550 (In Russian).- cite journal|last=Kac|authorlink=Mark Kac|first=Mark|title=Can One Hear the Shape of a Drum?|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|journal=American Mathematical Monthly|date=April 1966|volume=73|issue=4, part 2|pages=1–23|doi=10.2307/2313748|jstor=2313748|access-date=2020-10-04|archive-date=2021-03-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210302180323/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|dead-url=no- isbn=978-1-4613-9713-7- citation|first=Michel L.|last=Lapidus|contribution=Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture|title=Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland,UK, June 1992)|editor1=B. D. Sleeman |editor2=R. J. Jarvis|series=Pitman Research Notes in Math. Series|volume=289|publisher=Longman and Technical|location=London|year=1993|pages=126–209- year=2000. (Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)- title-link=黎曼ζ函数- bibcode = 1996MPCPS.119..167L - pmc=300113- jstor=1971195- arxiv=math/9901005

**外部链结**
  Isospectral Drums date=20210225100031  （由特拉华大学的 Toby Driscoll 所写）-  Some planar isospectral domains date=20210506183125  by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler-  Drums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site-  urlname=IsospectralManifolds- last=Benguria