双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密铺的模型，也称为骨牌密铺（Domino tiling，多米诺密铺）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。
8x8平方骨牌密铺

**介绍**
若有  平方格子G、以及 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是
K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。
例如：- 格子：是斐波那契数列 
*，可以使用普法夫值计算Z 
若G是环面，则
。
其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。叠席密铺

**阿兹特克钻石与北极圈现象**
Z也依赖格子的边界（参看Aztec diamond）。阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。
这些文章有更多阿兹特克图：
http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.htmldate=20150706021514 

**高度函数**
一个密铺定义一个0微分形式（函数）：
s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那幺可以定义一个1-形式：
这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数
若双体e存在，，不然等于0。高度差函数是
这个函数定义一个的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。
NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

**共形场论**

**高斯自由场**
双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以成为二维纯量场。
若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 。 若
f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为是调和矩阵（harmonic matrix）。
非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。
数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

**传播子**
邻接矩阵的反函数是一种格林函数。
是传播子（量子场论）。 可以表示这等于狄利克雷问题的核子
由于维克定理，

**相关条目**
其他骨牌模型
*双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
*叠席，日本式的骨牌密铺
*肢解国际象棋盘问题
*王氏砖
*Quantum_dimer_models
*平面图
量子场论
*高斯自由场
*玻茨模型
*渗流理论
*相变、临界现象- Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）

**参考文献**

**阅读**
 R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press.
*Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.- F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.- J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.- P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..- Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — .- Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..- David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..- Richard J. Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013.- Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301..- Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.- James A. Sellers. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2..- Richard P. Stanley. On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3.- W. P. Thurston.（威廉·瑟斯顿）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..- David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ..- H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366.- Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068