塞迈雷迪定理

在arithmetic combinatorics中，塞迈雷迪定理（Szemerédi's theorem）是个关于自然数集子集中的等差数列的结论。1936年，艾狄胥·帕尔和图兰·帕尔猜想：若整数集 A 具有正的自然密度，则对任意的正整数 k, 都可以在 A 中找出一个 k 项的等差数列。匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈于1975年证明了此结论。

**定理敍述**
若自然数集的子集 A 满足

则称 A 具有正的上密度。塞迈雷迪定理断言，若自然数集的一个子集具有正的上密度，则对任意的正整数 k, 该子集都包含无穷多个长为 k 的（公差不为 0) 的等差数列。
定理另有一个等价的有限性敍述（即不牵涉「无穷」的）：对任意的正整数 k 和实数 都存在正整数

使得 {1, 2, ..., N} 的每个至少 δN 元的子集，都包含长为 k 的等差数列。
定义 rk(N) 为 {1, 2, ..., N} 的子集当中，不包含长为 k 的等差数列的最大子集的大小。塞迈雷迪定理给出渐近上界

换言之，rk(N) 随 N 的增长慢于线性。

**历史**
范德瓦尔登定理是塞迈雷迪定理的先驱，其于 1927 年获证。
塞迈雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情况显然成立。 k = 3 的结论关乎Salem-Spencer set（不包含 3 项等差数列的整数子集）的大小。1953 年，克劳斯·罗特 利用类似哈代-李特尔伍德圆法的方法，证明了 k = 3 的结论。1969 年，塞迈雷迪·安德烈利用组合学方法证明了 k = 4 的情况。在 1972 年，罗特利用类似自己证明 k = 3 的情况的方法，给出了 k = 4 的情况的另证。
塞迈雷迪于 1975 年给出了适用于所有 k 的证明。 他巧妙地扩展了自己先前对 k = 4 的情况的组合论证，艾狄胥称该证明为「组合学推理的杰作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他证明，较重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论给出的证明，以及 2001 年高尔斯结合傅里叶分析和组合数学给出的证明。陶哲轩称塞迈雷迪定理的众多证明为「罗塞塔石碑」，因为它们连结了几个乍看之下迥异的数学分支。

**rk(N) 的具体大小**
rk(N) 的确切增长速度仍然未知。目前所知的上下界为

其中 欧布莱恩（Kevin O'Bryant) 证出了上述的下界 ，其证明建基于贝哈连德（Felix Behrend)、Robert Alexander Rankin，以及埃尔金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高尔斯证出。
对于较小的 k, 可以找到比起一般情况更紧的上下界。当 k = 3 时，布尔甘、希斯-布朗、塞迈雷迪，以及汤姆·桑德斯依次给出了愈来愈好的下界。目前所知的上下界为

两边的界限分别由欧布莱恩 和布鲁姆（Thomas Bloom)  给出。
当 k = 4 时，Ben Green (mathematician)和陶哲轩 证明了存在 c > 0 使得


**推广**
希勒尔·菲尔斯滕贝格和Yitzhak Katznelson利用遍历理论整明了塞迈雷迪定理的高维推广。 高尔斯、Vojtěch Rödl和约泽夫·斯科肯 (Jozef Skokan)  ，以及布兰登·纳格 (Brendan Nagle)、 勒德尔和Mathias Schacht ，和陶哲轩给出了各自的组合学证明。
亚历山大·莱布门 (Alexander Leibman)  和Vitaly Bergelson 给出定理对多项式列的推广：若 的上密度为正，且 为满足 的Integer-valued polynomial，则存在无穷多组 使得对都有  莱布门和别尔格尔松的结果同样适用于高维的情况。
塞迈雷迪定理的有限性版本可推广至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。 定理在有限域上的类比，是有助理解原定理（在正整数集上）的模型。 所谓Cap set问题，就是要找出向量空间 所包含的无 3 项等差数列的最大子集的大小，即塞迈雷迪定理当 k = 3 时的界限。
格林-陶定理断言，存在任意长的质数等差数列。此结论不能由塞迈雷迪定理推出，因为质数集的密度为 0. Ben Green (mathematician)和陶哲轩在其证明中引入了「相对性」（relative) 的塞迈雷迪定理，该定理适用于任意具特定伪随机性的整数子集（允许密度为 0)。David Conlon，Jacob Fox和赵宇飞 (Yufei Zhao)其后亦给出了适用于更一般情况的相对性塞迈雷迪定理。
埃尔德什等差数列猜想（断言倒数和发散的集合，必有任意长的等差数列）可以推出塞迈雷迪定理和格林-陶定理。

**参见**
Problems involving arithmetic progressions
*Ergodic Ramsey theory
*arithmetic combinatorics
*塞迈雷迪正则性引理

**参考资料**

**延申阅读**
 cite encyclopedia | first=Terence | last=Tao | authorlink=陶哲轩 | chapter=The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi's theorem | pages=145–193 | editor1-first=Andrew | editor1-last=Granville | editor2-first=Melvyn B. | editor2-last=Nathanson| editor3-first=József | editor3-last=Solymosi | encyclopedia=Additive Combinatorics | series=CRM Proceedings & Lecture Notes | volume=43 | publisher=American Mathematical Society | year=2007 | isbn=978-0-8218-4351-2 | zbl=1159.11005 | mr=2359471 | arxiv=math/0604456 | location=Providence, RI| bibcode=2006math......4456T 

**外部链结**
  Announcement by Ben Green and Terence Tao date=20180920124113  – the preprint is available at  math.NT/0404188-  Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5) date=20200220223456 - Ben Green and Terence Tao:  Szemerédi's theorem date=20200222064917  on Scholarpedia- SzemeredisTheorem- cite web|last=Grime|first=James|title=6,000,000: Endre Szemerédi wins the Abel Prize|url=http://www.numberphile.com/videos/abel_prize.html|work=Numberphile|year=2012|publisher=布雷迪·哈兰|author2=Hodge, David|access-date=2019-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20140109114940/http://numberphile.com/videos/abel_prize.html|archive-date=2014-01-09|dead-url=yes