完整群

微分几何中，一个微分流形上的联络的完整（holonomy，又译和乐），描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后，与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性现象，其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。
流形上任意一种联络，都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐（称为黎曼和乐）。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐，以及主丛联络的和乐。在该些例子中，联络的和乐可用一个李群描述，称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关，见安布罗斯-辛格定理。
对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由year=1926引入，以用于symmetric space的分类上。然而，很久以后，和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年， 乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年，Marcel Berger 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。

**定义**

**向量丛联络的和乐**
设 M 为光滑流形，E 为其上的 k 维向量丛，∇ 为 E 上的联络。给定 M 上一点 x 和以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : 0,1 → M, 该联络定义了一个平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 为基点的和乐群定义为

以 x 为基点的限制和乐群是由contractible环圈 γ 给出的子群.
若 M 连通，则不同基点 x 的和乐群 仅相差 GL(k, R) 的共轭作用。更具体说，若 γ 为 M 中由 x 到 y 的路径，则

选取 Ex 的另一组基（即以另一种方式将 Ex 视为与 Rk 等同）同样会使和乐群变成 GL(k, R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的重要性质包括：-  是 GL(k, R) 的连通李子群。-  是  的identity component。 - 存在自然的满群同态  其中  是 M 的基本群。该同态将同伦类  映到陪集 - 若 M 单连通，则 - ∇ 为平（即曲率恒零）当且仅当  为平凡群。
在物理学中，威尔森回圈是 tr(P)（特征标理论的迹）。

**主丛联络的和乐**
主丛联络的和乐与向量丛相倣。设 G 为李群，P 为仿紧光滑流形 M 上的主 G 丛。设 ω 为 P 上的联络。给定 M 中一点 x, 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : 0,1 → M,  以及 x 纤维上一点 p, 该联络定义了唯一的水平提升  使得  水平提升的终点  未必是 p, 因为其可为 x 纤维上的另一点 p·g. 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等价关系。
ω 以 p 为基点的和乐群定义为

若在定义中仅允许contractible环圈 γ 的水平提升，则得到以 p 为基点的受限和乐群 . 其为和乐群 的子群。
若 M 和 P 皆连通，则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说，若 q 是另一个基点，则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 于是，

特别地，

再者，若 p ~ q, 则  因此，有时可省略基点不写，但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的若干性质包括：- 是 G 的连通李子群。- 是  的identity component。
*存在自然的满群同态- 若 M 单连通，则 
*ω 为平（即曲率恒零）当且仅当  为平凡群。

**和乐丛**
同上，设 M 为连通仿紧流形，P 为其上的主 G 丛，ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛，且具有结构群 （即 H (p) 是主  丛）。 此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛。ω 限制到 H (p) 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 H (p) 不变。故 H (p) 是该联络的约化主丛。此外，H (p) 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。
与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变。具体说，若 q ∈ P 是另一个基点，则有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假设，M 是路连通的）。故 H (q) = H (p) g. 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g.

**单延拓群**
和乐丛 H (p) 是主  丛，因此受限和乐群 （作为全个和乐群的正规子群）也作用在 H (p) 上。离散群  称为联络的Monodromy群。其作用在商丛  上。存在满同态 使得  作用在  上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示。

**局域及无穷小和乐**
若 π: P → M 为主丛，ω 为 P 的联络，则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集，则将 ω 限制到 U 上可得丛 π−1U 的联络。该丛的和乐群记为  而受限和乐群则记为  其中 p 为满足 π(p) ∈ U 的点。
若 U ⊂ V 为包含 π(p) 的两个开集，则有包含关系

p 点的局域和乐群定义为

其中 Uk 为任意一族满足  的递降（即  ）连通开集。
局域和乐群有以下性质：
# 其为受限和乐群  的连通李子群。
# 每点 p 都有邻域 V 使得  局域和乐群仅取决于 p, 而非序列 Uk 的选取。
# 局域和乐群在结构群 G 的作用下等变，即对任意 g ∈ G, （注意由性质 1,  局域和乐群是 G 的连通李子群，故伴随 Ad 有定义。
局域和乐群不一定有全域的良好性质，例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而，有以下的定理：- 若局域和乐群的维数恒定，则局域和乐群与受限和乐群相等，即

**词源**
英文Holonomy与「全纯」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一词由柯西的两个学生Charles Briot（1817–1882）和Jean-Claude Bouquet（1819–1895）引入，来自希腊文lang|el|ὅλος（holos）和lang|el|μορφή（morphē），意思分别是「全」、「形态」。
"Holonomy"与"holomorphic"的前半（holos）一样。至于后半：
非常难在网络上找出holonomic（或holonomy）的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：
我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中，若某种意义下，能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯，就叫一个和乐的 （"holonomic"）系统，所以它的意思「整体法则」（"entire-law"）很贴切。球在桌上滚动并不和乐，因为沿不同的路径滚到同一点，可以使球的方向不同。然而，将「和乐」理解成「整体法则」恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思，可能更多时解「数算」（counting）。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。
——S. Golwala
参见νόμος（nomos）和-nomy。

**安布罗斯－辛格定理**
安布罗斯－辛格定理（得名自year=1953）描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理，先考虑较熟知的情况，如仿射联络、切丛联络（或其特例列维－奇维塔联络）。沿无穷小平行四边形的边界走一圈，就会感受到曲率。
引入更多细节，若是中某曲面的坐标表示，则向量可以沿的边界平行移动，由原点出发，先沿，再沿，再（反方向，即由递减至），最后，回到原点。此为和乐环圈的特例，因为向量沿该圈平行移动的结果，相当于边界的提升，对应的和乐群元素，作用在上。当平行四边形缩至无穷小时（即沿更小的平行四边形圈，对应坐标中的区域，而趋向于），就会明确得到曲率。换言之，取平行移动映射于处的导数：

其中为曲率张量。所以，粗略而言，曲率给出闭环圈（无穷小平行四边形）上的无穷小和乐。更严格地，曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之，是的李代数的元素。
一般来说，考虑结构群为的主丛某联络的和乐。以表示的李代数，则联络的曲率形式是上的值2-形式。安布罗斯－辛格定理断言：
的李代数，是由中所有形如的元素线性张成，其中取遍所有可以用水平曲线与连接的点，而皆是处的水平切向量。
亦可用和乐丛的说法，复述如下：
的李代数，是中形如的元素张成的线性子空间，其中取遍的元素，而取遍处的水平向量。

**黎曼和乐**

**可约和乐与德拉姆分解**
设为任意一点，则和乐群作用在切空间上。视之为群的表示，则可能不可约，亦可能可约，即可以将分解成正交子空间的直和

而两个子空间皆在作用下不变。此时亦称可约。
设为可约流形。上式说明，在每一点处，切空间可以约化分解成和，所以当变动时，就定义出向量丛和，两者皆光滑分布，且是弗比尼斯可积。两个分布的integral manifold皆为Totally geodesic子流形，换言之，子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察，是笛卡尔积。重复上述分解，直到切空间完全约化，则得到（局部）德拉姆同构：
设为单连通黎曼流形，又设在和乐群的作用下，为切丛的完全约化分解，而和乐群在上的作用平凡（恒等映射），则局部等距同构于乘积

其中是欧氏开集，而每个是的积分流形。更甚者，是的直积（是过某点的极大积分流形）。
若同时假设geodesically complete（每点每个方向的测地线皆可无限延伸），则定理不仅局部成立，而是全域成立，且各本身也是测地完备流形。

**伯格分类**
1955年，Marcel Berger将不可约（并非局部等同积空间）、非对称（并非局部地黎曼对称）、单连通的黎曼流形，可能具有的和乐群，完全分类。伯格分类表如下：
1965年，Edmond Bonan及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为的流形，构造出其平行4形式。
于1966年最早引入和乐群为或的流形，他构造出全部平行形式，并证明该些流形皆为里奇平。
伯格原先的表中，未排除（作为的子群）。后来，迪米特里·阿列克谢耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，与布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称，即与Cayley plane局部等距同构，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现，见流形和。
注意，故hyperkähler manifold必为卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必为凯勒，而凯勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的证明解释。另有一个简单几何证明，由卡洛斯·奥尔莫斯（Carlos E. Olmos）于2005年给出。第一步要证，若黎曼流形并非locally symmetric space，而约化和乐在切空间上的作用不可约，则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面：上表所列各项，以及两个额外情况，分别是（作用于），以及（作用于）。最后，要验证前者只能作为局部对称空间（局部同构于的Cayley projective plane）的和乐群，而后者则根本不能作为和乐群出现。
伯格的原分类，尚有涵盖非正定的伪黎曼度量，其给出非局部对称和乐的可能列表为：
但是，标的两种和乐群（分裂及复化），如同正定的情况，只能在局部对称空间出现，故应予删去。至于复化和乐群三种，可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为子群的流形，R. McLean证明其为局部平。 
对称黎曼空间，因为局部与齐性空间同构，其局部和乐群同构于，经已分类完毕。
最后，伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群，见下节。

**特殊和乐及旋量**
一些流形具特殊的和乐，该性质亦可藉平行旋量是否存在来刻划（平行旋量即协变导数为零的旋量场），尤其有以下各项命题成立：- ，当且仅当上存在平行的射影纯旋量场。- 若为旋量流形，则，当且仅当具有至少两个线性独立的平行纯旋量场。事实上，平行纯旋量场足以确定由结构群到的典范归约。- 若是七维旋量流形，则具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是的子群。- 若为八维旋量流形，则具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是的子群。
幺正与特殊幺正和乐经常连带扭量理论、殆复流形一同研究。

**应用**

**弦论**
具特殊和乐的黎曼流形，对弦论紧化很重要。原因是，特殊和乐流形上，存在共变常值（即平行）旋量，于是保一部分超对称。较重要的紧化是在具或和乐的卡拉比–丘流形上，以及流形上。

**机器学习**
在机器学习，尤其manifold learning方面，曾有人提出，藉计算黎曼流形的和乐，得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构，其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限，无法完全准确计算出和乐群，但利用来自谱图论的思想（类似向量Diffusion map），有可能构造出数值近似。所得的算法「几何流形分量估计量」（Geometric Manifold Component Estimator，简写GeoManCEr「探地者」），能给出德拉姆分解的数值近似，并应用于现实数据。

**仿射和乐**
仿射和乐群（affine holonomy groups），是无挠仿射联络的和乐群；其中一些不能作为（伪）黎曼和乐群出现，称为非度量和乐群（non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群，所以离完成分类尚有很远，但仍可以将不可约的仿射和乐分类。
伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中，发现对于非局部对称的无挠仿射联络而言，和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则（Berger's first criterion）是安布罗斯－辛格定理（即曲率张量生成和乐的李代数，见前节）的后果；而第二准则，来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则，且作用不可约的群，可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。
但伯格的列表，其后证实并未齐全。Robert Bryant (mathematician)（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有时称为「怪和乐」（exotic holonomies）。努力搜索例子之后，最终由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可约仿射和乐群的分类，而反方向的结果则由布莱恩特（2000年）证明，即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。
观察到表中的群和hermitian symmetric space、quaternion-Kähler symmetric space之间有联系之后，Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确，见于Schwachhöfer（2001）。
设为有限维复向量空间，为不可约半单复连通李子群，又设为极大紧子群。
# 若有不可约埃尔米特对称空间形如，则和两者皆为非对称不可约仿射和乐群，其中为的切表示。
# 若有不可约四元数凯勒对称空间形如，则为非对称不可约仿射和乐群，而当时，亦然。此时，的复化切表示是，而保上某个复辛形式。
上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群，例外仅有：

利用埃尔米特对称空间的分类，第一族的复仿射和乐群有：

其中可取平凡群，亦可取为。
同样，用四元数凯勒对称空间的分类，第二族复辛和乐群有：

（第二行中，必须取为平凡群，除非，此时可取为。）
从以上各列表，可以观察出一个结论，类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面：复和乐表示皆为prehomogeneous vector space。但是，未知此事实的概念性证明。
不可约实仿射和乐的分类，用「实仿射和乐复化成复仿射和乐」此结论，结合上表，仔细分析便得。

**参见**
 A-B效应

**脚注**

**参考文献**
 language = en- language = en- language = en- archive-url=https://web.archive.org/web/20220616035242/http://www.numdam.org/item/?id=BSMF_1955__83__279_0- cite book|last=Besse|first=Arthur L.|title=Einstein manifolds|trans-title = 爱因斯坦流形|publisher=Springer-Verlag|place=Berlin, New York|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 数学与相关领域的结果（3）|volume = 10|isbn=978-3-540-15279-8|year=1987|pages=xii+510|language = en- language = fr- language = fr- language = fr- language = en- language = en- language = en- language = fr- language = fr- language = en- language = en- language = en- language = en- language = en- language = en- language = en- cite book|page=112|last=Markushevich|first=A.I.|editor-last=Silverman|editor-first=Richard A.|title=Theory of functions of a Complex Variable|trans-title = 单复变函数论|publisher=American Mathematical Society|place=New York|origyear=1977|year=2005|edition=2nd|isbn=978-0-8218-3780-1|url=https://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq|accessdate=2020-01-24|archive-date=2012-11-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20121113155344/http://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq|dead-url=no|language =en - cite journal|title=Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1999-07_150_1/page/77|trans-title = 无挠仿射联络的不可约和乐分类|last=Merkulov|first=Sergei A.|last2=Schwachhöfer|first2=Lorenz J.|journal=Annals of Mathematics|volume=150|year=1999|number=1|pages=77–149|doi=10.2307/121098|jstor=121098|arxiv=math/9907206及其补遗arxiv = math/9911266 - language = en- language = en- language = en- cite journal|first=James|last=Simons|author-link=James Harris Simons|title=On the transitivity of holonomy systems|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1962-09_76_2/page/213|trans-title = 论和乐系的递移性|journal=Annals of Mathematics|number=2|volume=76|year=1962|pages=213–234|doi=10.2307/1970273|jstor=1970273|mr=0148010 |language = en- language = en- language = en