约瑟夫斯问题

约瑟夫斯置换是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又被称为约瑟夫环。
人们站在一个等待被处决的圈子里。 计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定方向围绕圆圈进行。 在跳过指定数量的人之后，处刑下一个人。 对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。 
问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

**历史**
这个问题是以-{zh-hant:弗拉维奥·约瑟夫斯;zh-hans:弗拉维奥·约瑟夫}-命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。

**解法**
比较简单的做法是用循环单链表模拟整个过程，时间复杂度是O(n*m)。如果只是想求得最后剩下的人，则可以用数学推导的方式得出公式。且先看看模拟过程的解法。

**Python版本**
# -*- coding: utf-8 -*- 
class Node(object):
	def __init__(self, value):
		self.value = value 
		self.next = None
def create_linkList(n):
	head = Node(1)
	pre = head
	for i in range(2, n+1):
		newNode = Node(i)
		pre.next= newNode
		pre = newNode
	pre.next = head
	return head
n = 5 #总的个数
m = 2 #数的数目
if m == 1: #如果是1的话，特殊处理，直接输出
	print (n)  
else:
	head = create_linkList(n)
	pre = None
	cur = head
	while cur.next != cur: #终止条件是节点的下一个节点指向本身
		for i in range(m-1):
			pre =  cur
			cur = cur.next
		print (cur.value)
		pre.next = cur.next
		cur.next = None
		cur = pre.next
	print (cur.value)

**C++版本**
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef struct _LinkNode {
	int value;
	struct _LinkNode* next;
} LinkNode, *LinkNodePtr;
LinkNodePtr createCycle(int total) {
	int index = 1;
	LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL;
	head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));
	head->value = index;
	prev = head;
	while (--total > 0) {
		curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));
		curr->value = ++index;
		prev->next = curr;
		prev = curr;
	}
	curr->next = head;
	return head;
}
void run(int total, int tag) {
	LinkNodePtr node = createCycle(total);
	LinkNodePtr prev = NULL;
	int start = 1;
	int index = start;
	while (node && node->next) {
		if (index == tag) {
			printf("%d\n", node->value);
			if (tag == start) {
				prev = node->next;
				node->next = NULL;
				node = prev;
			} else {
				prev->next = node->next;
				node->next = NULL;
				node = prev->next;
			}
			index = start;
		} else {
			prev = node;
			node = node->next;
			index++;
		}
	}
}
int main() {
if (argc 

**数学推导解法**
我们将明确解出时的问题。对于的情况，我们在下面给出一个一般的解法。
设为一开始有个人时，生还者的位置(注意：最终的生还者只有一个)。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为的人一开始在第个位置。因此位置为的人开始时的位置为。这便给出了以下的递推公式：
 
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为的人原先位置为。这便给出了以下的递推公式：

如果我们把和的值列成表，我们可以看出一个规律：
从中可以看出，是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从开始。因此，如果我们选择m和l，使得且，那幺。注意：2^m是不超过n的最大幂，l是留下的量。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。
定理：如果且，则。
证明：对应用数学归纳法。的情况显然成立。我们分别考虑是偶数和是奇数的情况。
如果是偶数，则我们选择和，使得，且。注意。我们有，其中第二个等式从归纳假设推出。
如果是奇数，则我们选择和，使得，且。注意。我们有，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。
答案的最漂亮的形式，与的二进制表示有关：把的第一位移动到最后，便得到。如果的二进制表示为，则。这可以通过把表示为来证明。
一般情况下，考虑生还者的号码从到的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始)：
，
这种方法的运行时间是。
程序实现（C++）
#include 
using namespace std;
//编号从0开始，也就是说如果编号从1开始结果要加1
int josephus(int n, int k) { //非递回版本
	int s = 0;
	for (int i = 2; i  1 ? (josephus_recursion(n - 1, k) + k) % n : 0;
}
int main() {
	for (int i = 1; i 
对于，可以将上述方法推广，将杀掉第k、2k、……、个人视为一个步骤，然后把号码改变，可得如下递推公式, 运行时间为。

程序实现（C++）
#include 
using namespace std;
//编号从1开始，结果要加1
int josephus(int n, int k) { 
	if (k == 1) return n - 1;
	int ans = 0;
	for (int i = 2; i = i) {
			ans = (ans + k) % i;
			i++;
			continue;
		}
		int step = (i - 1 - ans - 1) / (k - 1); //向下取整
		if (i + step > n) {
			ans += (n - (i - 1)) * k;
			break;
		}
		i += step;
		ans += step * k;
	}
	return ans;
}
int main() {
int n, k;
	while (scanf("%d%d", &n, &k) == 2)
		printf("%d\n", josephus(n, k) % n + 1);
	return 0;
}

**注释**

**参考文献**
 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 14: Augmenting Data Structures, pp.318.

**外部链接**
 cut-the-knot上的 约瑟夫斯游戏 date=20210426050702 （Java Applet）- title=约瑟夫斯问题