奇点解消

在代数几何学中，奇点解消问题探讨代数簇是否有非奇异的模型（即：与之双有理等价的非奇异代数簇）。在特征为零的域上，广中平祐已给出肯定答案，至于正特征的域，四维以上的情形至今（2007年）未解。

**定义**
对于一个域  上的代数簇 ，若能找到一个完备非奇异代数簇与之双有理等价（换言之：有相同的函数域），则称  有弱奇点解消。在实践上常会要求更容易运用的条件：若存在非奇异代数簇  及真双有理态射 ，使之在  的奇点集  之外为同构，则称  有奇点解消。真态射的条件意在排除平凡解，例如 。
一般而言，设 ，其中  是非奇异代数簇，此时一个实用的概念是  在  中的强奇点解消：这是一个真双有理态射 ，满足下述条件：
#  由一系列对非奇异闭子簇的拉开合成，每一步取的闭子簇都横截已拉开的例外除数。
#  的严格变换  是非奇异的，并与横截拉开的例外除数；于是限制态射  是  的奇点解消。
#  的构造对平滑态射具函子性。
# 态射  与  在  中的嵌入方式无关。
广中平祐证明了：当域  的特征为零，则存在满足前两个条件的强奇点解消。他的建构后经多位数学家改进，以满足全部四个条件。

**简史**
代数曲线的奇点解消较容易，在19世纪已广为人知。证明方法不一：最常见的两种是相继拉开奇点，或取曲线的正规化。正规化消解的是所有余维度为一的奇点，因此仅适用于曲线。
复代数曲面的奇点解消先后由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）与 G. Albanese（1924年）给出非正式的说明。第一个严谨证明由 Robert J. Walker 于1935年给出。对所有零特征域均成立的代数证明由扎里斯基于1939年给出。S. S. Abhyankar 证明正特征域上的情形（1956年）。所有二维优概形（包括所有算术曲面）的奇点解消由 Lipman 在1978年证出。
消解曲面奇点的通常办法是不断将曲面正规化（以消去余维为一的奇点）并拉开奇点（以改善余维为二的奇点，但是可能会增加新的余维一的奇点）。
对于三维情形，零特征域上首先由扎里斯基证明（1944年）；域特征超过 5 的情形由 S. S. Abhyankar 于1966年证明。
零特征域上任意维度的奇点消解首先由广中平祐于1964年证出。他证明可以借着相继对非奇异闭子流形作拉开以消去奇点，其证明中对维度作了相当复杂的数学归纳法。简化版的证明之后由许多数学家给出，包括 Bierstone 与 Milman（1997年），Encinas 与 Villamayor（1998年），Encinas 与 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近证明的长度还不及广中平祐证明的十分之一，并简单到可以在研究所导论课程中给出。关于该定理的介绍，详阅文献中 Hauser 的著作（2003），历史讨论请见 Hauser（2000）。
A. J. de Jong 在1996年提出奇点解消的另种进路，这套进路被 Bogomolov 与 Pantev（1996年）及 Abramovich 与 de Jong（1997年）用于证明零特征域上的奇点解消。De Jong 的方法对正特征域上的代数簇给出较弱的结果，然而已足以替代奇点解消的许多角色。
De Jong 证明对任意域上的代数簇 ，存在满的真态射 ，使得  且  非奇异。这不一定是双有理等价， 的函数域可能是有限扩张，故非奇点解消。De Jong 的想法是尝试将  表为一个较小空间  上的纤维化映射，使得纤维均为曲线（为此可能需要修改 ），然后借着对维度作数学归纳法消去  的奇点，最后消去纤维上的奇点。

**概形的情形**
奇点解消的定义容易推广到所有概形。并非所有概形都有奇点解消：格罗滕迪克（1965, EGA IV  7.9）证明了如果在一个局部诺特概形  上有限的所有整概形都有奇点解消，则  必然是拟优概形。格罗滕迪克猜测其逆为真，换言之：如果一个局部诺特概形  是拟优且既约的，则可以消解奇点。当  定义于一个零特征的域上时，此陈述能由广中平祐的定理导出；一般情形则化约到整完备局部环的奇点解消问题。

**外部连结**
 一些奇点及其解消之 图片date=20070610035258 -  SINGULARdate=20070609093537 : 一套能处理奇点解消的软件- 2006年6月的暑期学校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的 讲义- desingdate=20070927202830  另一套处理奇点解消的软件

**文献**
Abhyankar, Shreeram   Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0  Ann. of Math. (2)  63  (1956), 491--526.
*S.S. Abhyankar,   Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces , Acad. Press  (1966), second edition (1998)  ISBN 3540637192
*Abramovich, D.,  de Jong, A. J.,  Smoothness, semistability, and toroidal geometry.date=20160908203635  J. Algebraic Geom.  6  (1997),  no. 4, 789-801. 
*G. Albanese, Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924). 
*Bierstone, Edward,  Milman, Pierre D.  Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant. Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302. 
*Bogomolov, Fedor A., Pantev, Tony G.  Weak Hironaka theorem.date=20160908203825  Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307. 
*O. Chisini, La risoluzione delle singolarita di una superficie, Mem. Acad. Bologna, 8 (1921). 
*Steven Dale Cutkosky Resolution of Singularities  (2004) ISBN 0821835556
*author=V.I. Danilov
*de Jong, A. J.  Smoothness, semi-stability and alterations.date=20110605030318  Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93. 
*Encinas, S. Hauser, Herwig  Strong resolution of singularities in characteristic zero.date=20170109232759   Comment. Math. Helv.  77  (2002),  no. 4, 821--845.
*Encinas, S.,  Villamayor, O.,  Good points and constructive resolution of singularities. Acta Math. 181 (1998), no. 1, 109--158. 
*A. Grothendieck,   J. Dieudonne,    Eléments de géométrie algébriquedate=20070911200609   Publ. Math. IHES, 24 (1965)
*Hauser, Herwig (2000) Resolution of singularities 1860-1999. In Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), 5-36, Progr. Math., 181, Birkhäuser, Basel, 2000. ISBN 0817661786
*Hauser, Herwig (2003)  The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand).date=20070616060723  Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323-403
*Hironaka, Heisuke   Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I,          II.  Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2)  79  1964 205-326. - Janos Kollar Lectures on Resolution of Singularities (2007) ISBN 0691129231 (similar to his  Resolution of Singularities -- Seattle Lecturedate=20141229100810 .
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*Robert J. Walker,   Reduction of the Singularities of an Algebraic Surface The Annals of Mathematics  2nd Ser., Vol. 36, No. 2 (Apr., 1935), pp. 336-365
*Wlodarczyk, Jaroslaw  Simple Hironaka resolution in characteristic zero.date=20070506084228   J. Amer. Math. Soc.  18  (2005),  no. 4, 779-822
*Zariski, Oscar  The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 639-689. 
*Zariski, Oscar   Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties. Ann. of Math. (2) 45, (1944). 472-542.