算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程式来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。
对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。
对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。
一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为「函数算符」。在量子力学里的算符称为「量子算符」，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

**经典力学**
在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量或哈密顿量决定；其中，、分别是广义坐标、广义速度，是共轭动量，是时间。
假设拉格朗日量或哈密顿量与某广义坐标无关，则当有所改变时，或仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于的共轭动量守恒。对于广义坐标的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。
特别而言，假设对于某种群的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设，
。
在这案例里，所有的元素都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。
举一个关于平移于空间的简单例子。「平移算符」能够将粒子从坐标为移动至坐标为，以方程式表示：
；
其中，是描述一群粒子的密度函数。
给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管的作用，这物理系统的哈密顿量是个不变量，对应于坐标的动量守恒。

**经典力学算符表格**
是旋转矩阵，是旋转轴向量，是旋转角弧。

**生成元概念**
对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为 
；
其中，是「单位算符」──变换群的单位元，是微小参数，是专门用来设定平移变换群的生成元。
为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符作用于函数：
。
由于很微小，可以泰勒近似为
 。
重写平移算符的方程式为
 ；
其中，导数算符是平移群的生成元。
总结，平移群的生成元是导数算符。

**指数映射**
在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做次微小平移变换，来代替一个有限值为的平移变换  ：
。
现在，让变得无穷大，则因子趋于无穷小：
。
这表达式的极限为指数函数：
。
核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：
。
这方程式的右手边可以重写为
。
这正是的泰勒级数，也是的原本表达式结果。
物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

**量子力学**
在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定，态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符time=2018-2-24。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。11-12
物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈机率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。106-109

**量子算符**
假设，物理量是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符可能有很多不同的本征值与对应的本征态，这些本征态，形成了具有正交归一性的基底：96-99
；
其中，是克罗内克函数。
假设，某量子系统的量子态为
；
其中，是复系数，是在里找到的机率幅。50
测量这动作将量子态改变为本征态的机率为，测量结果是本征值的机率也为。

**期望值**
在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。
采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态，可观察量的期望值定义为24-25
；
其中，是对应于可观察量的算符。
将算符作用于量子态，会形成新量子态：
。
从左边乘以量子态，经过一番运算，可以得到
。
所以，每一个本征值与其机率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量的期望值：
。
将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数的期望值：
。
例如，可以是，即重复施加算符两次：
。

**对易算符**
假设两种可观察量、的算符分别为、，它们的对易算符定义为
。
对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态时，会给出
。
假设，则称这两种可观察量为「相容可观察量」，否则，，称这两种可观察量为「不相容可观察量」。
假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。

**厄米算符**
每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量的期望值是实值： 
。
对于任意量子态，这关系都成立：
。
根据伴随算符的定义，假设是的伴随算符，则。因此，
。
这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。96-99

**矩阵力学**
应用基底的完备性，添加单位算符于算符的两旁，可以得到20-23
；
其中，是求和式内每一个项目的系数。
所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：
 。
算符与它的伴随算符彼此之间的关系为
。
所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。
用矩阵代数来计算算符怎样作用于量子态，假设系统因此变换为量子态：
。
从左边乘以本征态，应用基底的完备性，添加单位算符于算符的右边，可以得到
。
右矢、分别用竖矩阵来代表
 、　　　　 。
两个竖矩阵彼此之间的关系为
 。
假设算符是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值：
。

**量子算符表格**
在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位向量。

**范例**

**位置算符**
只思考一维问题，将位置算符施加于位置本征态，可以得到本征值，即粒子的位置：220-221
。
由于位置基底具有完整性，，任意量子态可以按着位置本征态形成的基底展开：
。
将位置算符施加于量子态，由于算符只作用于右矢，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：
。
左矢与这方程式的内积为
。
设定量子态。由于位置基底具有完整性，，量子态与的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为
。
将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式
。
设定量子态。量子态、的位置空间表现，即波函数，分别定义为
、
。
两个波函数、之间的关系为
。
总结，位置算符作用于量子态的结果，表现于位置空间，等价于波函数与的乘积。

**动量算符**
表现于位置空间，一维动量算符为
。
将动量算符施加于量子态，可以得到类似前一节得到的结果：
。
应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态，可以得到更广义的结果：
 ；
其中，、分别是量子态、表现于位置空间的波函数。
假设是的本征态，本征值为，则可得到
。
将改写为本征值为的本征态，方程式改写为
。
这微分方程式的解析解为
。
所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程式，就可以推导求得这出结果。50-54

**参阅**
有界算符
*表示论
*算子