代数曲线

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面上由一个齐次多项式定义的零点。

**仿射曲线**
定义在域上的仿射代数曲线可以看作是中由若干个-元多项式定义的公共零点，使得其维数为一。
利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线，其中，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

**射影曲线**
射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程（）中，我们作代换：
 
遂得到个齐次多项式，它们在射影空间中定义一条曲线，此射影曲线与开集的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括中的费马曲线，其上的有理点对应到费马方程的互素整数解。

**代数函数域**
代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域上的函数域是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素使得在上超越，而且是有限扩张。
以复数域为例，我们可以定义复系数有理函数域。变元对代数关系生成的域是一个椭圆函数域，代数曲线  给出它的一个几何模型。
若基域非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域并考虑其上的代数曲线，此方程定义了一个的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而
 
代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。

**复代数曲线与黎曼曲面**
复射影曲线可以嵌入维复射影空间。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。
于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。

**奇点**

**判断方式**
曲线在一点的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于中的曲线：设该曲线由个个变元的齐次多项式定义，若其雅可比矩阵在区线上一点满秩，则称它点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。
在平面射影曲线的例子，假设曲线由齐次方程式定义，则的奇点恰为上使得为零的点，即：

在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。

**奇点分类**
x3 = y2
曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线之于原点，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线在一点的奇点性质可以透过下述方式理解：
透过平移，不妨假设。将多项式写成
 
其中是次齐次多项式。直观地想像，在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为。根据齐次性可以将之分解成
 
换言之，曲线在原点附近将近似于条（含重复）直线的联集。上式中相异的直线数称作分支数，正整数称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量，其中是该曲线的正规化态射。资料m, δ, r能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到，一般双重点对应到，而一般n重点则对应到。
各奇点的不变量δP决定平面曲线的亏格：设，则有

对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设，在原点附近够小的四维球内有，此时有连续映射
 
由于 同伦等价于三维球面，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：
 
事实上，在ε够小时是中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：在尖点附近的奇点环圈是三叶结。

**曲线的例子**

**有理曲线**
域上的有理曲线是双有理等价于射影直线的曲线，换言之，其函数域同构於单变元有理函数域。当代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。
具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。
任何上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点而斜率为的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于的根已知，即的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于，而且能表作在上的有理函数。y坐标的作法相同。
x2 + xy + y2 = 1
例。考虑斜椭圆，其中是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线，并带入E的等式，于是得到：
。

这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。
将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线

以上参数化遂表为

若取为整数，对应的是不定方程的整数解；若将代以，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为  60°且边长均为整数的三角形，例如取，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。

**椭圆曲线**
椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零若且唯若它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于，其中的由相应的椭圆函数给出。

**亏格大于一的曲线**
对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据法尔廷斯定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括Hyperelliptic curve、Klein quartic与一开始提到的Fermat curve在的情形。

**文献**
 Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986- Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980- Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision- Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977- Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982- John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968- George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934- Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988