四维矢量

在相对论里，四维向量（four-vector）是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点，都代表一个「事件」，可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量，通过劳仑兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。
本文章只思考在狭义相对论范围内的四维向量，尽管四维向量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

**数学性质**
在闵考斯基时空里，不同惯性参考系的座标轴
在闵考斯基时空内的任何一点，都可以用四维向量（一组标准基底的四个坐标）  来表示；其中，上标  标记时空的维数次序。称这四维向量为「坐标四维向量」，又称「四维坐标」，定义为
 ；
其中， 是光速， 是时间， 是位置的三维直角坐标。
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义  。
「四维位移」定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移  表示为
 。
带有上标的四维向量  称为反变矢量，其分量标记为
 。
假若，标号是下标，则称四维向量  为协变矢量。其分量标记为
 。
在这里，闵考斯基度规  被设定为
 。
采用爱因斯坦求和约定，则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
 。
闵考斯基度规与它的「共轭度规张量」  相等：
 。

**劳仑兹变换**
给予两个惯性参考系 、  ；相对于参考系 ，参考系  以速度  移动。对于这两个参考系，相关的「劳仑兹变换矩阵」  是
；
其中， 是劳仑兹因子，是「贝塔因子」。
对于这两个参考系 、  ，假设一个事件的四维坐标分别为 、  。那么，这两个四维坐标之间的关系为
 、
 ；
其中， 是  的反矩阵，
 。
将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到
 。
因此，可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性：
 ；
其中， 是克罗内克函数。
另外一个很有用的特性为
 ；
给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过劳仑兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维向量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程式表示，对于两个参考系 、 ，具有这种有用性质的四维向量  、 满足
 、
 。
在计算这四维向量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于闵考斯基时空。在「实验室参考系」里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为「瞬间共动参考系」（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的「瞬间静止参考系」。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为  。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线  来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔  与从别的惯性参考系  所观测到的微小时间间隔  的关系为
 。
所以，固有时  对于其它时间  的导数为
 。

**闵考斯基内积**
在闵考斯基空间里，两个四维向量  与  的内积，称为闵考斯基内积，以方程式表示为：
 。
由于这内积并不具正定性，即

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的 ：
 。
这样， 与  的内积改变为
 。
其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。
从参考系  改换至另一参考系  ， 与  的内积为
 。
所以，在闵考斯基时空内，两个四维向量的内积是个不变量：44-46
 。
四维向量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：
类时矢量： ，
类空矢量： ，
类光矢量： 。

**动力学实例**

**四维速度**
设想一个物体运动于闵考斯基时空，则其世界线的任意事件  的四维速度  定义为46-48
 ；
其中， 是三维速度，或经典速度矢量。
的空间部分与经典速度  的关系为
 。
四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：
 。
在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为
 ，
其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量  同向；
其中， 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

**四维加速度**
四维加速度  定义为 46-48
 。
经过一番运算，可以得到劳仑兹因子对于时间的导数：
 ；
其中， 是经典加速度。
所以，四维加速度  可以表示为
 。
由于  是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零：
 。
对于每一条世界线，这计算结果都成立。
注意到在瞬间共动参考系里，  只有时间分量不等于零，所以，  为的时间分量为零：
 。

**四维动量**
一个静止质量为  的粒子的四维动量  定义为
 定义为
 ；
其中， 是相对论性质量。
所以， 的空间部分等于经典动量  ：
。

**四维力**
作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：
。
提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：
 。
因此，四维力可以表示为
 。
经典力  定义为
 。
所以，的空间部分等于  ：
 。

**物理内涵**
在四维向量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

**质能方程式**
假设，在微小时间间隔  ，一个运动于时空的粒子，感受到作用力  的施加，而这粒子的微小位移为  。那么，作用力  对于这粒子所做的微小机械功  为
 。
因此，这粒子的动能的改变  为
 。
粒子的动能  对于时间的导数为
 。
将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到
 。
这公式的反微分为
 。
当粒子静止时，动能等于零。所以，
 。
这公式的右手边第二个项目就是静止能量  。动能  加上静止能量  等于总能量  ：
 。
再加简化，以相对论性质量  表示：
 ，四维动量可以表示为
 。
四维动量与自己的内积为
 。
改以四维速度来计算内积：
 。
所以，能量-动量关系式为
 。

**电磁学实例**

**四维电流密度**
在电磁学里，四维电流密度  是一个四维向量，定义为
 ；
其中， 是电荷密度， 是三维电流密度。
在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度  。四维电流密度与四维速度的关系为
 。
电荷守恒定律能以三维矢量表示为
 。
这定律也能以四维电流密度表示为
 。
从这方程式，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。

**电磁四维势**
电磁四维势是由电势  与矢量势  共同形成的，定义为
 。
黎曼-索末菲方程式表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系：
 ;
其中， 是磁常数， 是达朗贝尔算符，又称为四维拉普拉斯算符。

**四维频率和四维波矢量**
一个平面电磁波的四维频率  定义为
 ；
其中， 是电磁波的频率， 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零：
 。
一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量  来描述：
 。
其中， 是三维波矢量。
四维波矢量与四维频率之间的关系为
 。

**参阅**
洛仑兹协变性

**参考文献**
isbn=0-13-805326-X 	
*isbn=0-19-853952-5