类氢原子

似氢原子模型（Hydrogen-like atom）是只拥有一个电子的原子，与氢原子同为等电子体，例如，He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子，又称为「类氢离子」。类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统，系统内的作用力只跟二体之间的距离有关，是反平方连心力。这反平方连心力二体系统不需再加理想化，简单化。描述这系统的（非相对论性的）薛丁格方程式有解析解，也就是说，解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛丁格方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里，类氢原子问题是一个很简单，很实用，而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论，又可以用简单的实验来核对。所以，类氢原子问题是个很重要的问题。
称满足上述系统的薛丁格方程式的波函数为单电子波函数，或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符  与其 z-轴分量算符  的本征函数。由于能量本征值  跟量子数  ， 无关，而只跟主量子数  有关。所以，类氢原子波函数可以由主量子数  、角量子数  、磁量子数  ，独特地决定。因为构造原理，还必须加上自旋量子数  。对于多电子原子，这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子，所有简并的轨域形成了一个电子层；每一个电子层都有其独特的主量子数  ．这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数  、磁量子数  、自旋量子数  的值域。
除了氢原子（电中性）以外，类氢原子都是离子，都带有正电荷量  ；其中， 是单位电荷量， 是原子序数。离子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是类氢原子。
在元素周期表中，第 IA 族的碱金属元素，其原子的最外电子层都有一个电子，而第二外层电子层的亚层，不论是 s 亚层或 p 亚层，凡是内中有电子的亚层．都已被填满。例如，钠元素有11个电子。电子排布为  。最外层只有一个电子。第二外层的  与  亚层都已填满。钾元素有19个电子。电子排布为  。第二外层的  与  亚层都已填满。由于  亚层的轨域的能量较高，最外层唯一的一个电子的轨域是  。受到内层电子的紧密屏蔽，这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以，这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数，来近似地表达这电子的量子态。
因为电子与电子之间的库仑相互作用，拥有多个电子的原子或离子没有解析解，必须用数值法来做量子力学计算，才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性，一个原子的角动量  守恒。许多数值程序，开始於单电子算符  与  的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ，可以设定  （或许也可以设定  ）的多电子本征函数。

**薛丁格方程式解答**
类氢原子问题的薛丁格方程式为
 ；
其中， 是约化普朗克常数， 是电子与原子核的约化质量， 是量子态的波函数， 是能量， 是库仑位势：
 ；
其中， 是真空电容率， 是原子序， 是单位电荷量， 是电子离原子核的距离。
采用球坐标 ，将拉普拉斯算子展开：
 。
猜想这薛丁格方程式的波函数解  是径向函数  与球谐函数  的乘积：
 。

**角部分解答**
参数为天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程式 
 ；
其中，非负整数  是轨角动量的角量子数。磁量子数  （满足  ）是轨角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的  与  给予不同的轨角动量函数解答  ：
 ；
其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
 ；
而  是  阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为
 。

**径向部分解答**
径向函数满足一个一维薛丁格方程式：
 。
方程式左边的第二项可以视为离心力位势，其效应是将径向距离拉远一点。
除了量子数  与  以外，还有一个主量子数  。为了满足  的边界条件， 必须是正值整数，能量也离散为能级  。随着量子数的不同，函数  与  都会有对应的改变。按照惯例，规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样，径向函数可以表达为
 ；
其中， 。  近似于波耳半径  。假若，原子核的质量是无限大的，则  ，并且，约化质量等于电子的质量， 。  是广义拉格耳多项式，定义为
 ；
其中， 是拉格耳多项式，可用罗德里格公式表示为
 。
为了要结束广义拉格耳多项式的递回关系，必须要求  。
知道径向函数  与球谐函数  的形式，可以写出整个量子态的波函数，也就是薛丁格方程式的整个解答：
 。

**量子数**
量子数  ， ， 都是整数，容许下述值：
 ，
 ，
 。
为什么  ？为什么  ？若想进一步知道关于这些量子数的群理论，敬请参阅氢原子量子力学。

**角动量**
每一个原子轨域都有特定的角动量向量  。它对应的算符是一个向量算符  。角动量算符的平方  的本征值是
 。
角动量向量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向，则量子化公式为
 。
因为  ， 与  是对易的， 与  彼此是相容可观察量，这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，以同时地测量到  与  的同样的本征值。
由于  ， 与  互相不对易， 与  彼此是不相容可观察量，这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言， 的本征态与  的本征态不同。
给予一个量子系统，量子态为  。对于可观察量算符  ，所有本征值为  的本征态  ，形成了一组基底量子态。量子态  可以表达为这基底量子态的线性组合： 。对于可观察量算符  ，所有本征值为  的本征态  ，形成了另外一组基底量子态。量子态  可以表达为这基底量子态的线性组合： 。
假若，测量可观察量  ，得到的测量值为其本征值  ，则量子态机率地塌缩为本征态  。假若，立刻再测量可观察量  ，得到的答案必定是  ，在很短的时间内，量子态仍旧处于  。可是，假若改为立刻测量可观察量  ，则量子态不会停留于本征态  ，而会机率地塌缩为  本征值是  的本征态  。这是量子力学里，关于测量的一个很重要的特性。
根据不确定性原理，
 。
的不确定性与  的不确定性的乘积  ，必定大于或等于  。
类似地， 与  之间， 与  之间，也有同样的特性。

**自旋-轨道作用**
电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里，因为电子环绕着原子核移动，会感受到磁场。电子的自旋与磁场产生作用 ，这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算，自旋与角动量不再是保守的，可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性，必须取代量子数  、 与自旋的投影  ，而以量子数 ， 来计算总角动量。

**精细结构**
在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。
非相对论性，无自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数  有关。可是，更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个  效应；其中， 是原子序数， 是精细结构常数。
在相对论量子力学里，狄拉克方程式可以用来计算电子的波函数。用这方法，能阶跟主量子数  、总量子数  有关，容许的能量为
 。

**稳定性**
思考类氢原子稳定性问题，应用经典电动力学来分析，则由于库仑力作用，束缚电子会被原子核吸引，呈螺线运动掉入原子核，同时辐射出无穷大能量，因此原子不具有稳定性。但是，在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么，为什么类氢原子的束缚电子不会掉入原子核里？应用量子力学，可以计算出类氢原子系统的基态能量大于某有限值，称这结果为满足「第一种稳定性条件」，即类氢原子的基态能量  大于某有限值：10
 。
量子力学的海森堡不确定性原理  可以用来启发性地说明这问题，电子越接近原子核，电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，有些特别案例不能满足第一种稳定性条件，因为  量度的是波函数的半宽度，而不是波函数集聚于原子核附近的程度，所以波函数可以拥有一定的半宽度，并且极度集聚于原子核附近，造成库仑势能趋于  ，同时维持有限的动能。
更详细分析起见，只考虑类氢原子系统，给定原子的原子序  ，原子的能量  为
 ；
其中， 为动能， 为势能， 为描述类氢原子系统的波函数， 为位置坐标， 为积分体积。
应用索博列夫不等式，经过一番运算，可以得到能量最大下界为。
 ；
其中， 是能量单位里德伯，大约为13.6eV。
总结，类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。

**参阅**
氢原子
*芮得柏原子
*正子电子偶
*拉普拉斯-龙格-冷次向量
*精细结构

**注释**

**参考文献**
 Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003).  Modern Physics (4th ed.).  New York: W. H. Freeman and Company.  ISBN 0-7167-4345-0
*pages= 131-200