希尔伯特-黄转换

希尔伯特-黄转换（Hilbert-Huang Transform），由台湾中央研究院院士黄锷（Norden E. Huang）等人提出，将欲分析数据分解为本质模态函数（intrinsic mode functions, IMF），这样的分解流程称为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）的方法。然后将IMF作希尔伯特转换（Hilbert Transform），正确地获得资料的瞬时频率。此方法处理对象乃针对非稳态与非线性讯号。与其他数学转换运算（如傅立叶变换）不同，希尔伯特-黄转换算是一种应用在数据资料上的演算法，而非理论工具。

**本质模态函数（IMF）**
任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数（intrinsic mode function，IMF）。

#局部极大值（local maxima）以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点（zero crossing）的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。
#在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线（upper envelope）与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。

因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。

**经验模态分解(EMD)**
EMD演算法流程图
建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。
经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。

以讯号为例，筛选程序的流程概述如下:

步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条(cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。

步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。

步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。
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步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。如果不符合，则回到步骤1并且将当作原始讯号，进行第二次的筛选。亦即
::
重复筛选次
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直到符合IMF的条件，即得到第一个IMF分量，亦即
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步骤 5 : 原始讯号减去可得到剩余量，表示如下式
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步骤 6 : 将当作新的资料，重新执行步骤1至步骤5，得到新的剩余量。如此重复次


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当第个剩余量已成为单调函数(monotonic function)，将无法再分解IMF时，整个EMD的分解过程完成。原始讯号可以表示成个IMF分量与一个平均趋势(mean trend)分量的组合，亦即

如此一来，原始资料便分解成n个IMF和一个趋势函数，我们便可将IMF做希尔伯特转换来进行瞬时频率的分析。

**停止准则(Stopping Criterion)**
为了确保经验模态分析法分解出的本质模态函数能够保留瞬时频率与瞬时振幅的物理意义，必须设定筛选的停止准则来决定筛选的次数，以避免次数过多，破坏其信号的物理性质。而大部分的判断准则建立在振幅及能量的判断上，以下将介绍几种不同的停止准则。
标准差准则:利用连续两次筛选结果的分量标准差 (Standard Deviation, SD) 作为停止准则如下式所示，一般当标准差小于0.2到0.3间时，即停止筛选动作。
S数准则(S Number Criterion):订连续S次的筛选，当极值数目与跨零点数目相同时，即停止筛选动作。若S值够小，迭代的速度较快，但不能确保本质模态函数为严格对称；当S值越大时，所需的迭代过程不但越费时，且可能破坏瞬时频率和瞬时振幅所代表的物理意义。通常S值介于3到5之间为最佳的停止准则。
能量差异追踪法(Energy Different Tracking):假设原始讯号x(t)包含着有限个彼此不相关的正交分量xi(t)
则原始讯号x(t)的总能量可以表示为
如果从经验模态分析法分解出的讯号本质模态函数c1(t)正好就是正交分量x1(t) ，则维持能量守恒；但如果c1(t)并非与原始讯号x(t)正交，则总能量表示为
此时Etot ≠Ex ，会产生一个能量差异Eerr 。若分量彼此间是正交的特性，表示所得到的本质模态函数不会有尺度混合的问题。实际上必然存在能量泄漏的现象，故本质模态函数分量间并非完全正交，所以只要假设一个够小的|Eerr| 当作停止准则，所分解出来的IMF正交性越高，其讯号的完整性、瞬时振幅与瞬时频率特性也会比以标准差(SD)为停止准则来的好，可以降低不必要的振荡，尤其在初始边界的部分。
阈值准则:以两阈值θ1和θ2作为停止准则。先用上下包络线算出模态振幅(mode amplitude)，其式为
再求出包络线均值m(t)与模态振幅的绝对比值，称之为估计函数(evaluation function,e(t) )：
当整体资料中规定的部分(1-α)达到e(t)1，而且其剩余部分达到e(t)2 ，则迭代停止。订定θ1的目的是确保全域的小波动为均值使得本质模态函数不会产生不必要的振荡；而θ2是考量到局部可能发生的间断性大偏离情况。典型的参数设定为α ≈ 0.05，θ1 ≈ 0.05 ，θ2 ≈ 10θ1 。

**边界效应(Boundary Effect)**
所有讯号分析工具都受边界影响其准确性，经验模态分析法尤其严重。主要造成边界效应的原因是经验模态分析法在边界部分难以判断极值，造成错误的包络线判定，使得分解出的本质模态函数在边界发生震荡或扭曲的现象，以下将介绍几种解决边界效应的方法。
特征波形扩充法:标准经验模态分析法的处理方式，在不改变边界值的前提下，利用特征波形扩充法 (Characteristic Wave Extending Method)，亦即由靠近边界两个连续极值的频率以及振幅，找到边界极大值与极小值。
镜像扩充法:利用镜像对称映照的特性，先将镜面放置在具有对称性的极值所在位置，使得原始序列对称地扩充成一个环状序列，再对此环状序列进行平稳化的动作。
相似搜寻法:利用了移动时间窗 (Moving Time Window) 先将原始讯号x(t)分割成Xi，表示如下：
其中，w为移动时间窗之长度。其次，透过邻近搜寻的方式找到包含前端边界点或后端边界点之最相似向量，定义如下：
对于前端边界点，被分割的子序列 (Sub-series) 讯号拥有两个极值点，一个极大点一个极小点，其位置会在Xnearest的前方，将其附在原始序列的前头；同样地，对于后端边界点，将位于Xnearest后方这两个极值点附在原始序列的尾端，完成扩充。
资料重建法:假设原始资料x的长度为N ，资料重建法的步骤如下:
# 找出讯号中所有的局部极大值与局部极小值(包含边界)，此时，局部极大值与局部极小值分别表示成矩阵型式Max = xM(1) xM(2) ... xM(n)与 min = xm(1) xm(2) ... xm(N) 
# 找出除了第一个极大值外的所有极大值的平均δ1和除了最末个极大值外的所有极大值的平均δn，同样的也找出除了第一个极小值外的所有极小值的平均γ1和除了最末个极小值外的所有极小值的平均γn
# 如果δ1 > xM(1)则另xM(1) = δ1；如果δn > xM(n)则另xM(n) = δn；如果γ1 m(1)则另xm(1) = γ1；如果γn m(n)则另xm(n) = γn。
# 利用Cubic Spline求得上、下包络线，并重复上述筛选程序之步骤2、3以求得本质模态函数分量。

**标准化转换（Normalized Hilbert Transform and the Direct Quadrature）**
理想情况下，希尔伯特-黄转换能够将讯号以及极低频讯号彻底分离（基准线偏移），使得该低频讯号不会影响最后出来的结果。



但此式满足Bedrosian定理，将前式一般化之后，可得：



当此式成立时，及必需互不相交（disjoint）且频谱必须要宽于的频谱。否则，最后希尔伯特-黄转换的结果，可能会使得瞬时频率受到基准线的频率所影响，进而产生现实中相同瞬时频率，在希尔伯特-黄转换之后，该瞬时频率会受到低频杂讯影响，而有周期性的波动。然而，Bedrosian定理上的限制在真实的资料之中，常常都是不成立的。因此希尔伯特-黄转换出来的结果，常常会存在一个周期性的误差波动。
为了规避Bedrosian定理的所造成的限制造成的问题，标准化的过程之中，IMF被分解成两个部分：AM(Amplitude Modulation)及FM(Frequency Modulation)，将一个讯号分解成两个部分之后，如此一来便能够规避Bedrosian定理所延伸的问题。
标准化的第一步，先将原先得到的IMF，取绝对值之后再重新寻找新的极大值，并用这些新得到的极大值，重复建立IMF的步骤，建立一个新的信号。


重复n次之后，直到得到的讯号在任何一点都小于1

......

而透过这种方式得到的讯号，便可以被拆解成AM及FM的部分：


而最后得到的与 ，相较于原始的IMF，频率与振幅无法被顺利分离，新得出的由于基准线已经被分离至，因此此时留下的便能清楚的反映讯号的瞬时频率，相较于改良前的希尔伯特-黄转换，改良之后的误差当运用在适合的讯号时，可以降低原本整段讯号所造成的偏离。使得每一个时间点，受到整段讯号的影响较小。而这样的方法，便被称作为Direct Quadrature（DQ）。
透过如此直接、简单的方法，便可以有效降低希尔伯特-黄转换所产生的系统性误差：全域性的场域（global domain）对于区域性场域（local domain）的影响。而不需要使用Wigner-Ville distribution等基于全域性场域所产生的处理方法。

**混模问题(Mode Mixing Problem)**
在经验模态分解的过程中，会有混模问题产生，混模问题就是在同一个本质模态函数里会有不同尺度的讯号混杂，或者是同一尺度的讯号出现在不同的本质模态函数里。混模问题的发生是因为某些系统讯发生间断性讯号 (intermittence)，间断性讯号会使经验模态分析法分解无法正确分解出同一尺度的讯号。混模会造成本质模态函数失去物理意义。此外，混模问题也可能使经验模态分解的演算法不稳定，任何扰动都可能会产生新的本质模态函数。
EMD因为间断性讯号而产生混模现象
有关于混模问题的解决，在2005年有人提出了以弦波辅助的遮罩方法(masking method)来解决混模问题，而在2009年黄锷等人提出了以杂讯辅助的总体经验模态分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)，利用加入白杂讯(white noise)来解决混模问题。

**IMF的统计特性(Statistical Significance of IMFs)**
EMD能够将一个信号拆解成数个部分，但通常不能够将讯号与杂讯彻底分开来，在每一个输出的轨道之中，或多或少都参杂着一些杂讯。
由于自然中常见的杂讯都是白噪音，借由混杂不同振幅程度的白噪音至原讯号，可以得到不同的曲线，借由设定不同的边界之后，再汇入EMD得到的各个IMF，便可以得知该IMF投射到这个信号-杂讯座标图上的位置，借此作为权重各个IMF的有效性，分别出何者含有较多的目标讯息量，何者含有较多的杂讯。此类方法用来分类各种IMF的有效性上有非常好的成效，唯一的缺点是由于必须要建构出一张信号-杂讯座标图，会产生许多额外的运算量。而这样的缺点，在资料量非常大的时候，如果要得到一个够准确信号-杂讯座标图，会造成系统稍大的负担。

**遮罩方法(Masking Method)**
为一种弦波辅助的资料分析方法(sinusoidal assisted data analysis)，利用加减一个高于所有讯号频率的弦波，使得极值出现的速率一致(消除间断性特性)来解决混模问题。
主要流程为
步骤 1 :利用频谱分析方法找出频谱的组成
步骤 2 :加减一个高于频谱上最高频率的遮罩弦波讯号以消除间断性特性
步骤 3 :分别做经验模态分解得到良好的本质模态函数
步骤 4 :将其相加除以二来抵消遮罩讯号
遮罩方法有三个问题
1.没有针对相位做处理，使极值点出现错误。
2.遮罩的弦波讯号频率需要远小于取样频率。
3.只能针对比较简单的合成讯号做处理。

**总体经验模态分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)**
针对混模问题，黄锷等人在2009年提出总体经验模态分析法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD) 做为改善，总体经验模态分解法为一种杂讯辅助的资料分析方法(noise-assisted data analysis)，首先对讯号加入白杂讯(white noise)，再对讯号作经验模态分解，并重复做以上两个步骤若干次后得到若干组本质模态函数，最后将各自的本质模态函数取平均来抵销杂讯造成的影响。
EEMD解决间断性讯号造成的混模现象，使得每个模态分解良好(N=100,Std=0.2)
总体个数的选择：加入的白杂讯造成的影响，根据已知的统计理论，其影响与总体个数的关系为
,其中N是总体个数，是加入杂讯的大小，是最后误差的标准差，误差为输入讯号和对应的本质模态函数的差值。
杂讯强度的选择：提出者建议以0.2倍原始资料的标准差当作杂讯强度，另外当资料以高频讯号为主体时，杂讯强度需要下降；当资料以低频讯号为主体时，杂讯强度需要提高。
后处理：因为总体经验模态分解做完后所得到的本质模态函数并不是真的符合先前本质模态函数的定义，因此黄锷院士等人又提出了总体经验模态分解法的后处理 (Post-processing)，其方法为做完总体经验模态分解法后，把所得到的本质模态函数再去各自做经验模态分解，其处理流程主要是把总体经验模态函数处理过的第一个得到的本质模态函数再经过经验模态分解分解成第一个真正的本质模态函数和第一个残差，再把总体经验模态函数处理过的第二个本质模态函数加上第一个残差做经验模态分解成第二个真正的本质模态函数和第二个残差，以此类推。
总体经验模态分解法虽然可以解决混模问题，但是运算复杂度比传统经验模态分解多了总体数量的倍数，难以运用在需要即时运算或是资料量大的讯号上。

**二维EMD(Two-Dimensional EMD)**
上述的例子之中，所有的讯号皆为一维讯号，而在二维讯号之中，有以下的方式可以运用希尔伯特-黄转换来进行图档、影像等处理：
1.拟二维EMD（pseudo-two-dimensional EMD）：
直接将二维信号分为两组一维信号，分别进行希尔伯特-黄转换，最后在将产生的两组讯号重新排列回二维讯号。最后得到的结果能够产出优秀的样式，同时在长波长的波之中，也能够清楚的显示局部的快速震动。不过这类型的方式有许多缺点，其中有项较为显著、严重的缺点，便是当两组处理完的IMF在重新组合回原本的二维信号，可能会有交点产生不连续。下列的方式可以用来改进这个问题。
2.拟二维EEMD（pseudo-two-dimensional EMD）：
相较于拟二维EMD，若直接使用EEMD取代EMD，便能有效改善焦点的不连续情形。不过这样的方法有所局限性，只有在时间尺度十分明确的情况下，能有较好的效果，例如北大西洋的温度检测，倘若信号的时间尺度不明，就不适合使用这个方式。
3.真二维EMD（genuine two-dimensional EMD）：
由于真二维EMD直接处理二维信号，因此会产生定义上的问题，第一个是要怎么判断最大值，是要找图形的边缘吗？或是要由其他方式来定义最大值。再来第二个辨识找到最大值之后，该怎么选择渐进的方式，在一维讯号之中，使用贝兹曲线或许有较佳的效果，可是未必可以直接套用到二维信号上。
Nunes et al.用了辐射状的基底及Riesz transform来进行真二维EMD的处理。：
以下是Riesz transform的型态：
复数函数 ƒ on Rd ：
for j = 1,2,...,d.  
常数 cd 是一个维度标准化的常数

Linderhed则使用真二维EMD来压缩图档，相较于其他类型的压缩方式，此方法能提供一个更低的失真率。
Song and Zhang 2001, Damerval et al. 2005 and Yuan et al. 2008 则使用Delaunay triangulation来找寻图形的上界以及下界。
依据需求决定极大值的定义以及不同的渐进方式的选择，可以分别得到不同的效果。

**应用**
由前述可知，希尔伯特-黄转换与传统的傅立叶转换、小波转换（wavelet）、短时间傅立叶转换（short-time fourier transform, STFT）不同等建立在卷积（Convolution）上的讯号处理方式，希尔伯特-黄转换是一套基于差值所建立出来的讯号处理模式，在大多数的情况下，运算量会远小于上述基于旋积所延伸出来的讯号转换方式。
由于本质上的差异，透过希尔伯特-黄转换在各种应用上，皆有可能得到一种新的解读方式与成果，因此希尔伯特-黄转换被广泛到运用到各个领域之中：
1.ECG的分析：
由于ECG再测量时，常会有基准线(baseline)的偏移，因此使用希尔伯特-黄转换最后可以在EMD中，找到整体的趋势线，将之屏弃之后就能得到基准线校准之后的ECG信号。
除此之外，ECG经过希尔伯特-黄转换处理之后，可以有效的滤掉原本的高频杂讯，使得相较于FFT之后的频谱，相较于直接转换的原讯号相比，在ECG相对应的峰值频率能够较为专一清楚。
2.太阳黑子的观测： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)
太阳黑子是观察太阳活动的一个重要依据，透过太阳黑子的观测，人们可以得知太阳目前的活跃程度，由于太阳黑子的多寡大小等，皆为不稳定、非线性的讯号，因此对于傅立叶变换来说，
可能会因为Windows Function的性质差异，使得反映出来当下的资料有所误差。而对于希尔伯特-黄转换来说，并不会造成太大的影响，因此希尔伯特-黄转换在太阳黑子的观测上能有较佳的结果。
3.语音辨识：
由于每个人的音色、说话习惯是截然不同的，透过希尔伯特-黄转换，能够将各种不同频率的泛音以及振幅有规律且有效的分离出来，对于语音辨识来说是非常好的转换工具。同时，除了作为区分人与人之间身份的特性之外，希尔伯特-黄转换之后的语音讯号，对于应用大量机器学习的语音相关技术来说，是一个分类清楚且特性明显的训练资料，能够进一步用来发展语意辨识等需要依靠大量资料，才能建构出有效模型的技术。此类特性为傅立叶转换难以比拟的。
4.建筑结构的检测：
希尔伯特-黄转换能将讯号拆解成许多种子讯号，透过比对结构检测产生的讯号，能清楚的找到异常的检测讯号，并进一步找出建筑结构有安全疑虑之处。
5.经济数据的预测：
希尔伯特-黄转换可以处理金融相关的趋势，找到短期中期长期的相关趋势。
例如在股票数据资料中先找到一条平滑的趋势曲线以拟合经验数据，再以与原数据的差值包含尽可能多的有意义的周期;而平滑曲线可呈现长期趋势，差值则可进一步用于分析短期行为。
6.影像处理：
希尔伯特-黄转换在改良EMD之后,在影像的融合与增强上，相较于原本的EMD快上一倍。
7.地震研究：
希尔伯特-黄转换用来处理地震表面波的散射并比对经过傅立叶转换后之后的地震信号，提供另一种角度研究并解析地震信号。
西元1999年时，台湾发生惨重的集集大地震，在事后比对由傅立叶转换所产生的频谱分析，发现在非静态、非线性的的表面信号之中，因为傅立叶转换本身线性的特性，使得低频信号被严重低估，同时产生大力的高频泛音。
由于地震讯号大多为非静态、非线性的，这样的特性透过希尔伯特-黄转换分析，可能可以得到重大的分析成果，透过分离并保真原有信号，可以得知高频讯号与低频讯号可能发别来自于不同的区域，借此研究地壳运动。
8.神经科学：
EEG运用希尔伯特-黄转换之后，将之与TMS做比对，找寻脑部对于输入信号的反应。
9.大气科学：
由于大气科学中，无论是气流、降雨等，多半皆为间歇性的讯号，并不会是一个稳定的连续信号，不过透过频宽较窄的IMF，使得最后得到的结果，可以呈现一个周期且有趋势的变化。例如：曾经有研究运用希尔伯特-黄转换以3至5年为周期分析后指出维吉尼亚（Virginia）的降雨与Southern Oscillation 指数的相关系数高达0.65。
10.卫星讯号
可用来分析非线性且不稳定的太空天气数据(例如地球磁场的Kp指数、质子密度、电子密度、10.7 cm radio flux (RF)或X射线等等)，可以结合这些太空天气的相关参数，进而避免SEU(Single Event Upset)甚至其余ARO(Automatic Reconfiguration Order)事件的发生机率，也可使得卫星任务更为稳定。
总结以上，可以发现希尔伯特-黄转换与传统的频谱分析有极大的差异，希尔伯特-黄转换由于透过EMD来分析，使得其在预测趋势、分类资料（频率、时间）上，相较于传统的基于傅立叶转换所发展出来的信号技术，更能够让使用者从信号之中找到想要的趋势，因此在各个不同领域之中，都能或多或少看到希尔伯特-黄转换的应用。这些应用在传统信号处理领域是较为少见的，不过由于希尔伯特-黄转的建立方式的特性，使得他在统计上拥有极大的优点。

**曲线选择**
由上述可知，经验模态分解(EMD)是透过最大值重建讯号，并剔除之。因此，渐进的方式对于希尔伯特-黄转换来说，是一个非常重要的选择，不同的渐进选择会影响到希尔伯特-黄转换最后的结果。在大多数的情况之中，所选择的大多都是贝兹曲线，其能够有效产生出弦波，不过在某些极端例子中，例如脉冲波等，使用贝兹曲线作为希尔伯特-黄转换的渐进方式，会使得得出来的结果变得平滑而丧失了脉冲波的特性。因此针对输入信号选择适当的渐进方式，对于希尔伯特-黄转换是非常重要的课题。一般而言，越多阶（order）的曲线会得到较佳的渐进效果，不过同时的也会增加计算量。
同时，倘若没有设定结束递回的条件，任意一个讯号最后是否都能制造出有限组IMF，换言之，IMF的叠加是否可以收敛成任意一个讯号，这个问题在经过证明之后，发现是一个NP问题。

**结论**
傅立叶变换是将一个讯号分解成无限多个弦波来分析资料，但是希尔伯特-黄转换则是将一个讯号分解成数个近似于弦波的讯号（周期、振幅不固定）和一个趋势函数来做分析。
两者各有其优缺点，整理如下
优点：
1.避免复杂的数学运算
2.可分析频率会随时间变化的讯号
3.较适于分析气候、经济等具有趋势的资料
4.可以找出一个函数的趋势
缺点：
1.缺乏严谨的物理及数学上的意义
2.需要复杂的递回，运算时间反而比短时距傅立叶变换要长
3.希尔伯特转换未必能正确计算出本质模态函数之瞬时频率
4.无法使用快速傅立叶变换
5.只有在特例（组合较简单的资料）时使用希尔伯特-黄转换较快
传统上认为希尔伯特-黄转换是一套无用且精准度低的方式，同时在发展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到后续又许多改良方法之后，使得希尔伯特-黄转换的缺点得到改善。同时其善于处理非静态、非线性的特性使得希尔伯特-黄转换提供了另外一套分析工具，弥补了傅立叶转换先天上的系统限制。混合两种方式之后，相较於单用一种方式的信号，能够得到更多的资讯提供判读及分析。

**相关条目**
 希尔伯特转换- 包络线- 样条- 时频分析

**注释**

**参考文献**
Norden E. Huang, et al. "The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis." Proc. R. Soc. Lond. A (1998) 454, 903–995 ( Link)

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**外部连结**
 国立中央大学数据分析方法研究中心- HHT标准程序下载