德林费尔德模

在数学领域，德林费尔德模或椭圆模是一种特别的模，布于有限域上的代数曲线的坐标环上。粗略地说，德林费尔德模是复椭圆曲线的复乘法理论之函数域版本。
俄文单词 штука（英语拼音：shtuka 或 chtouca，源于德文的 Stück，意指物件或东西），又称F-层，是德林费尔德模的一种延伸，由曲线上的向量丛和其它关乎弗罗贝尼乌斯映射的资料组成。
弗拉基米尔·德林费尔德在1973年发明了德林费尔德模，随后推广到 штука，以证明函数域上的  郎兰兹猜想。洛朗·拉福格借由研究 n秩 штука的模叠与迹公式，在2002年证出  的情形。

**德林费尔德模**

**加性多项式环**
设  为特征  的域。定义其上的非交换多项式环 
 a0 + a1τ + a2τ2 + ... 
乘法由下述条件确定
 
元素  可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上， 是左 -模，其中  以乘法作用而  以  映射。环  也可以看作是如下多项式的集合
 
这类多项式满足 ，故称加性多项式；此环的乘法由多项式的合成给出，而非乘法，故非交换。

**形式定义**
今设  为交换环，L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 ，使得  不包含于 ；此条件意在排除一些平凡例子。环  通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。
可视为加法群  的自同态，而德林费尔德 A-模可视为  在  上的作用。

**例子**
 置 ，对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模  仅依赖于像 。此时德林费尔德模可等同于 。对于亏格更高的曲线，德林费尔德模会更复杂。- 承上，Carlitz 模是由 ， 为含  的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究，详见 Goss 的著作第三章 date=20100702051918  。

**штука**
设  是有限域  上的代数曲线。对概形或叠 ，其上的秩 r （右）штука 由下列资料定义：-  上的秩 r 局部自由层  及单射
 
其余核的支撑集包括于某态射  的图（称为该 штука 的零点与极点，记为  与 ），且在支撑集上是秩  局部自由层。在此  表  上的弗罗贝尼乌斯态射。
左 штука 的定义类似，但态射的方向反转；若极点与零点集互斥，则实际上无分左右。
粗略而言，考虑不同的 ，可得代数叠  及  上的「万有 штука」，并有相对维度 $2$ 的平滑态射 。注意到当  时，叠  并非有限型的。
德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука（自定义观之，这绝非明显），详见 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

**应用**
简言之，函数域上的郎兰兹猜想是关于  的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示，德林费尔德的高处在于从某个秩  штука 的模空间的 -进上同调入手，找出相应的伽罗瓦表示。
德林费尔德认为此法可延伸至  的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难，完成证明。

**文献**

**德林费尔德模**
V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR  Sbornik 23 (1974) 561-592.
*D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6- Drinfel'd module date=20110113014738  in the Springer encyclopaedia of mathematics
*G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

**штука**
Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
*Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
*D. Goss,  What is a shtuka? date=20180619221559  Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

**拉福格在郎兰兹猜想方面的工作**
Lafforgue, L.  Chtoucas de Drinfeld et applications. date=20180427200241   (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998).  Doc. Math.  1998,  Extra Vol. II, 563--570- Lafforgue, Laurent  Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence)  Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002),  383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
*Gérard Laumon,  The work of Laurent Lafforgue date=2012-12-05  Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
*G. Laumon  La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873