无限深方形阱

处于盒子里的粒子可以自由移动于无法穿越的阱壁内。当阱壁之间距离很微小的时候，可以观察到量子效应。例如，粒子在某位置的机率比在另外位置的机率大，粒子的能级是离散的。
在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。
在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的机率是均匀的。
在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛丁格方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛丁格方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量！这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。
更加地，假若测量粒子的位置，则会发现粒子在阱内各个位置的机率大不相同。在有些位置，找到粒子的机率是 0 ，绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是，这些结果所根据的原理，早已在许多精心设计的实验中，广泛地证明是正确无误的。

**简介**
一个一维无限深方形阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。
这问题的薛丁格方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。
无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：
#能量量子化：　表达粒子量子态的能量本征函数，其伴随的能量不是任意值，而只能是离散能级谱中的一个能级。
#零点能量：　粒子最小的允许能级，称为零点能量，不是 0 。
#波节点： 恰恰与经典力学相反，薛丁格方程预测会有波节的存在。这意味着在阱内某些地方，找到粒子的概率是零。
不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛丁格方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容，请参阅条目奈米线。

**一维阱**
在一维无限深方形阱内，粒子的能级与伴随的波函数。
在一维无限深方形阱内，找到能级为  的粒子的机率。
一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为  。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（  方向）。如图示，一维无限深方形阱的本征函数  与本征值  分别为
 ，
 ；
其中， 是正值的整数， 是普朗克常数， 是粒子质量。

**导引**
一维不含时薛丁格方程可以表达为
 ；(1)
其中， 是复值的、不含时间的波函数， 是跟位置有关的位势， 是正值的能量。

在阱内，位势  。一维不含时薛丁格方程约化为
 。(2)
这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数  与本征值  是
 ，(3a)
 ；(3b)
其中， 与  是常数，可以是复值， 是实值的波数（因为  是正值的，所以， 必须是实数。）。
为了求得一般解  的常数  ，  ，与波数  的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的机率  越小。在  ，  两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的机率是微乎其微： 。所以，边界条件是
 。(4)
代入方程 (3a) 。在  ，可以得到
 。(5)
在  ，可以得到
 。(6)
方程 (6) 的一个简易解是  。可是，这样，波函数是  。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内！所以，不能接受这简易解。设定  ，则  。那么，必须要求
 ;(7)
其中，整数  。
注意到  状况必须被排除，因为，不能容许波函数是  的物理答案：粒子不在阱内！
为了求得  值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：
 。
常数  的值为
 。(8)
常数  可以是任何复数，只要绝对值等于 ；可是，这些不同值的  都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择  。
盒中粒子（黑色粗点）和自由粒子（灰色曲线）的能量都同样地跟波数有关。但是，盒中粒子只能带有离散的能量。
最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是
 ，
 。
*如同前面所述，此问题只容许量子化的能级。由于  ，最低的能级，称为零点能量，大于 0 。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域，位置变异数有上界。所以，粒子的动量的变异数大于 0 ，粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。
*很重要的一点是，虽然表达粒子量子态的能量本征函数，其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量，只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理，粒子的量子态，可以是几个能量本征函数的叠加。当测量粒子的能量时，测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函数塌缩，不能对同一个粒子做多次的测量，而指望得到有意义的答案。必须假设准备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子，做同样的测量。虽然，每一次的测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

**启发导引**
能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：
 ；
其中， 是波长， 是正值的整数。
应用德布罗意假说，粒子的动量  是
 。
代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。
 。

**二维阱**
二维无限深方形阱的波函数.， 。
一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在  与  方向，分别为   ， 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（  与  方向）。二维无限深方形阱的本征函数  与本征值  分别为


其中， 与  是正值的整数。

**导引**
在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维位势阱内，在阱内，二维的解答方程与方程 (2) 类似，是一个二阶偏微分方程：
。
应用分离变数法 。首先，假设  是两个不相关的函数  与  的乘积， 只含有变数  ， 只含有变数  ：
 。
将  的假设方程代入二维方程，则可得到
 。
将这方程两边都除以  ，则可得到
 。
由于方程左边圆括号内的两个项目  、 分别只跟  、 有关，两个项目分别都必须等于常数：
 ，
 ；
其中， 与  都是常数， 。
这样，可以得到两个约化的一维薛丁格方程：
 ，
 。
前面，已经解析了同样形式的一维薛丁格方程（方程 (2) ）。将那里的答案移接到这里，
 ，
 ；
其中，整数  ， 。
将两个方程合并，可以得到解答：
 ，
 。

**三维阱**
同样地，应用分离变数法于三维阱问题，可以得到能量本征函数与能量本征值：
 ，
 ；
其中， 。
当两个以上的阱宽相等的时候，对应于同样的总能量，会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并，是由物理系统的对称性造成的。例如，假设 一个三维阱的  ，则  ， ， 的波函数与  ， ， 的波函数，两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里，有两个阱宽相等，这物理系统对称于绕着 z-轴的  旋转。

**参考文献**
id=ISBN 0-13-111892-7

**参阅**
 态叠加原理- 自由粒子- 有限深方形阱- 有限位势垒- 球对称位势- Delta 位势阱- Delta 位势垒- 量子穿隧效应 - 盒中气体 - 随机电动力学