倒频谱

倒频谱的范例
倒频谱（cepstrum），顾名思义，就是将频谱（spectrum）的英文前四个字母反过来写。倒频谱是为了某些时候，为了计算方便，将原来信号的频谱先转成类似分贝的单位，再作逆傅里叶变换，把它视为一种新的讯号做处理。倒频谱有复数倒频谱，及实数倒频谱。
倒频谱被定义在1963的论文（Bogert等）。定义如下：
*字义：倒频谱（信号）是信号频谱取对数的傅立叶变换后的新频谱（信号），有时候会称频谱的倒频谱。
*数学上：信号的倒频谱 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m为实数）
*演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱
复数倒频谱拥有频谱大小跟相位的资讯，实数倒频谱只有频谱大小的资讯，各有各的不同应用。

**复数倒频谱与实数倒频谱**

**复数倒频谱**
其中
可能遭遇的问题
1. 
2. 有无限多的解
当输入是实数时,因为偶对称，奇对称,所以复数倒频谱的值为实数

**实数倒频谱**
可能遭遇的问题
1. 

**应用**
倒频谱可以被视为在不同频带上变化速率的资讯，倒频谱一开始被发明在地震或炸弹产生的地震回音，现今也被使用在分析雷达讯号，以及讯号处理等问题。
*自相关倒频谱(autocepstrum)被定义为倒频谱的自相关性，自相关倒频谱有时在分析处理回传讯号时比倒频谱还准确。
*倒频谱在处理人声讯号以及音乐讯号有非常好的效果，例如梅尔频率倒频谱(Mel-Frequency Cepstrum)，用来做声音的辨认，侦测音高等。近年来梅耳倒频谱也被应用在音乐资讯的回复。
*倒频谱在声学中可以将声带震动的影响去除。
*倒频谱用在处理多路径问题时(如声波的回音、电磁波的折、反射等)，如果将其他路径干扰视为杂讯，为了消除杂讯，利用倒频谱，不需测量每条多路径的延迟时间，可以利用传送多次信号，观察其他路径在倒频谱上的效果，并且加以滤除。
*语音大致上是由音高、声带脉冲、声门波形所组成，我们可以利用倒频谱将这三种元素在倒频域上分开，以利于做语音讯号的分析。
*倒频谱的微分适用于影像处理上的图形辨认(pattern recognition)。
*倒频谱与同型声音理论(homomorphic sound theory)有关。

**倒频谱观念**
频谱图上的独立变数是频率，而倒频谱图上的独立变数为倒频率(quefrency)，倒频率是一种时间的度量单位。举个例子，声音讯号取样速率等于44100赫兹，在倒频谱上有个很大的值在倒频率等于100，代表实际上在44100/100=441赫兹有很大的值，这值出现在倒频谱上因为频谱上周期性出现，而频谱上出现的周期与倒频谱很大的值出现的位置有关。

**倒滤波器**
滤波器(filter)常使用在频谱上，用来保存或删除我们所要或不要的资讯，经过上面的许多讨论，不难猜到，倒滤波器(lifter)就是在倒频谱上所使用的滤波器。低通的倒滤波器跟低通滤波器有点类似，它可以借由在倒频谱上乘以一个window系数，使倒频谱上的高倒频率被压抑，如此依来，当信号转回时域空间时会变成一个较平滑的信号。

**计算倒频谱的方法**

**直接计算IDTFT(反离散时间傅立叶变换)**
问题:  可能会无限大, 且对于arg(xn)有无限多个解

**利用Z转换的零点与极点**
先对信号做Z转换, 并整理一下系数, 让他变成下面的形式
其中
分子: 
第一项A是系数
第二项是延迟
第三项是位於单位圆内的零点
第四项是位於单位圆外的零点
分母:
第一项是位於单位圆内的极点
第二项是位於单位圆外的极点
对取log变成
假设r=0, 因为这只是延迟, 并不会破坏波形
根据Z转换所得到的系数, 我们可以利用泰勒展开得到Z的反转换
注意事项
1.总是IIR(无限脉冲响应)
2.对于FIR(有限脉冲响应)的情况, 

**利用Z转换与微分**
对其做Z的反转换
故
分别对于xn的四种不同的状况做延伸
1.对于xn是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. 
对于
可得出
故
2.对于xn是最小相位(minimum phase)
3.对于xn是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. 
4.对于xn是最大相位(maximum phase)

**特性**
1. 复数倒频谱至少以的速度衰退
其中  
2. 如果X(Z)没有在单位圆以外的零点和极点, 则
因为
3. 如果X(Z)没有在单位圆以内的零点和极点, 则
因为
4. 如果xn是有限长度, 则是无限长度

**同态解卷积的应用(Application of Homomorphic Deconvolution)**
同态解卷积有非常多应用面，尤其是在声学工程和语音分析方面的实用性
(1) 回声的均衡化

其中是接收到的讯号，是原始讯号，是延迟的样本数，是衰减系数
令是脉冲响应，描述原始讯号与回声讯号之间的关系
，其中是单位脉冲函数

系统函数 
透过对系统函数进行对数转换，简化回声成分的分析和处理

将转换到时域

(2) 声学工程
，其中是合成音乐，是原始音乐，是脉冲响应(例如建筑物空间的影响)
(3) 语音分析
透过在complex cepstrum domain中进行滤波，分离这些成分，使得对语音讯号的理解和处理更为精确。
，其中是语音波，是全局波形，是声道脉冲，是音高，*是卷积
(4) 地震信号分析
(5) 任意波传播的多路径分析

**梅尔频率倒频谱**
梅尔频率倒频谱是倒频谱的一种应用，梅尔频率倒频谱常应用在声音讯号处理，对于声音讯号处理比倒频谱更接近人耳对声音的分析特性，而梅尔频率倒频谱与倒频谱的差别在于:
#梅尔频率倒频谱的频带分析是根据人耳听觉特性所设计，人耳对于频率的分辨能力，是由频率的"比值"决定，也就是说，人耳对200赫兹和300赫兹之间的差别与2000赫兹和3000赫兹之间的差别是相同的。
#梅尔频率倒频谱是针对讯号的能量取对数，而倒频谱是针对讯号原始在频谱上的值取对数。
#梅尔频率倒频谱是使用离散余弦转换，倒频谱是用离散傅立叶变换。
#梅尔频率倒频谱系数足够描述语音的特征。
梅尔频率倒频谱系数(MFCCs)的推导步骤：
#将信号做傅立叶变换
#频谱上的值取绝对值再平方成为能量，在乘上频谱上对应的梅尔频率倒频谱三角重叠窗(window)的系数。
#对每个梅尔频率取对数。
#作离散余弦转换。
#求得梅尔频率倒频谱系数。

**梅尔频率倒频谱应用**
梅尔频率倒频谱系数常利用在辨认语音技术上，例如辨认电话中说话的人的身份。
*利用每种乐风、或乐器在梅尔频域上有不同特性来分析音乐的种类与类型，并且可以加以分类。

**杂讯敏感性**
梅尔频率倒频谱系数很容易被外来的杂讯所破坏，因此有些研究结果指出，在求梅尔频率倒频谱系数时，在作离散余弦转换前，提升适当的能量(大约2或3倍)，以减少杂讯在低能量成份的影响。

**梅尔频率倒频谱优点**
相较于原始的倒频谱
*有绝对值平方

**卷积**
倒频谱领域上的一项重要的特性为二信号卷积之产生，其产生之程序为二倒频谱值(cepstra)之相加：

**微分倒频谱(differential cepstrum)**

**定义**
或 
If 
优点: 
(a)没有模糊的相位
(b)可以处理延迟问题

**特性**
(1)微分倒频谱在shift和scaling时，结果不改变。
ex: 
(proof):
(2)复数倒频谱 与 微分倒频谱 和原讯号xn有关
diff cepstrum
recursive formula
复数频谱做得到的事情, 微分倒频谱也做得到
(3)如果xn是最小相位(minimum phase),则,当
minimum phase 意思为 no poles 或 zeros 在单位圆外
(4)如果xn是最大相位(maximum phase),则,当
maximum phase 意思为 no poles 或 zeros 在单位圆内
(5)如果x(n)为有限区间,则为无限区间
*复数倒频谱的衰减率反比于n
*微分倒频谱的衰减率下降

**范例**
 ,otherwise 0 , Find its cepstrum.
step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform: - ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.
step 1. Z transform: 
step 2. exp: 
step 3. reverse Z transform: 
*Suppose that an IIR filter is 
step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform: 

**参考文献**
#B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
#D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "  The Cepstrum: A Guide to Processingdate=20200603011416 ," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024