量子谐振子

在量子力学里，量子谐振子（quantum harmonic oscillator）是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

**一维谐振子**

**哈密顿算符与能量本征态**
能量最低的八个束缚本征态的波函数表征（n = 0到7）。横轴表示位置x。此图未经归一化。
在一维谐振子问题中，一个质量为m的粒子，受到一位势。此粒子的哈密顿算符为

其中x为位置算符，而p为动量算符。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的「定态薛丁格方程式」：
.
在座标基底下可以解这个微分方程式，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：


前8个解（n = 0到7）如右图。函数为埃尔米特多项式：

注意到不应将之与哈密顿算符搞混，尽管哈密顿算符也标作H。相应的能阶为
。
²，从最底部的基态（n = 0）开始，往上能量逐渐增加。横轴表示位置x，而较亮的色彩代表较高的机率密度。
值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有离散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的「阶梯算符」段落，将对此现象做更详细的检视。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是，被称为「基态能量」或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的「零振动」（null oscillations）且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子重力。最后一个理由为能阶值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子问题那样。
注意到基态的机率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时，机率密度变成集中在「古典转向点」（classical turning points），其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致；古典的描述下，粒子多数时间处在（而更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。

**阶梯算符方法**
前述的幂级数解虽然直观，但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克，允许抽像求得能量本征值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推广到更复杂的问题，尤其是在量子场论中。跟从此方法，定义算符a与其伴随算符（adjoint）a†：

算符a并非厄米算符（Hermitian），因其与伴随算符a†并不相同。
算符a与a†有如下性质：

在推导a†形式的过程中，已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：

x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.
方程式中的方括号是常用的标记机器，称为交换子、交换算符或对易算符，其定义为
.
利用上面关系，可以证明如下等式：

.
现在，让代表带有能量E的能量本征态。任何右括向量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此
。
将a†a以哈密顿算符表示：
，
因此。注意到当（）为零右括向量（亦即：长度为零的右括向量），则不等式饱和而。很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态（n = 0）。
利用上面等式，可以指出a及a†与H的对易关系：
.
因此要是（）并非零右括向量，
.
类似地，也可以指出
.
换句话说，a作用在能量为E的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为 
的本征态，而a†作用在能量为E的本征态，产生出另一个能量为的本征态。因为这样，a称作降算符而a†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，a与a†也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。
给定任何能量本征态，可以拿降算符a作用在其上，产生了另一个能量少了的本征态。重复使用降算符，似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求相违背。因此，必须有一最底的能量本征态——基态，标示作（勿与零右括向量混淆），使得
（即a对作用后产生零右括向量（zero ket））。
在这情况下，继续使用降算符只会产生零右括向量，而不是产生额外的能量本征态。此外，还指出了
。
最后，透过将升算符作用在上，并且乘上适当的归一化因子，可以产生出一个能量本征态的无限集合使得
，这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，变为
。
所以，
。
这个方程式的解为，经过归一化，
。

**自然长度与能量尺度**
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以为单位来测量能量，以及为单位来测量距离，则薛丁格方程式变成：
，
且能量本征态与本征值变成

.
为了避免混淆，在此文中不采用这些自然单位。不过，这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。

**案例：双原子分子**
在双原子分子中，自然频率可以发现为 date=20210416152125 ：

其中
为角频率，
k是共价键劲度系数
是约化质量。

**N维谐振子**
一维谐振子很容易地推广到维。在一维中，粒子的位置是由单一座标x来指定的。在维中，这由个位置座标所取代，以标示。对应每个位置座标有个动量，标示为p1, ..., pN。这些算符之间的正则对易关系为
.
系统的哈密顿算符为
。
从这个哈密顿量的形式，可以发觉，维谐振子明确地可比拟为个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数是个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。
这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数，一个维谐振子的能量本征函数等于个一维本征函数的乘积：
。
采用阶梯算符方法，定义组阶梯算符，
，
。
类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个与算符将能量分别降低或升高。哈密顿量是
。
这量子系统的能阶是
；
其中，正整数是的量子数。
如同一维案例，能量是量子化的。维基态能阶是一维基态能阶的倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能阶对应于一个单独的量子态。在维案例里，除了底态能阶以外，每一个能阶都是简并的，都对应于多个量子态。
简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定。每一个相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予，首先选择一个。那么，，有个值，从到，可以选择为的值。的值自动的设定为。因此，简并度是
。
对于维案例，
。

**案例：三维均向谐振子**
参阅三维均向谐振子
球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法，只有球对称位势不一样：
；
其中，是这问题的质量。由于会被用来标记磁量子数，所以，用来标记质量。
这问题的薛丁格方程式为
。
薛丁格方程式的全部解答写为
；
其中，
是归一常数，

是阶广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials)，是个正整数，
是球谐函数，
是约化普朗克常数。
能量本征值是
。
能量通常可以用一个量子数来描述：
。
由于是个正整数，假若是偶数，那么，角量子数也是偶数：
；
假若是奇数，那么，角量子数也是奇数：
。
磁量子数满足不等式
。
对于每一个与，存在个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数。因此，的兼并度是
；
其中，总和的指数的初始值是。
这结果与先前的方程式相同。

**耦合谐振子**
两个质点的耦合谐振子
设想个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为（也就是说，假若一个质点位于其平衡点，则）。整个系统的哈密顿量是
；
其中，。
这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固态物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。

**参阅**
 自由粒子- 无限深方形阱- 有限深方形阱- 有限位势垒- 球对称位势- Delta位势垒- 真空灾变- 盎鲁效应

**参考文献**
 isbn= 0-13-111892-7-  id=ISBN 978-0-8053-8714-8

**外部连结**
 国立交通大学物理系视听教学： 量子谐振子fix-attempted=yes - 乔治亚州州立大学（Georgia State University）线上物理网页： 量子谐振子 date=20210416152125