氢原子

氢原子是氢元素的原子。电中性的原子含有一个正价的质子与一个负价的电子，被库仑定律束缚于原子核内。在大自然中，氢原子是丰度最高的同位素，称为氢，氢-1 ，或pit3。氢原子不含任何中子，别的氢同位素含有一个或多个中子。这条目主要描述氢-1 。
氢原子拥有一个质子和一个电子，是一个的简单的二体系统。系统内的作用力只跟二体之间的距离有关，是反平方连心力，不需要将这反平方连心力二体系统再加理想化，简单化。描述这系统的（非相对论性的）薛丁格方程式有解析解，也就是说，解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛丁格方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。因此可以这样说，在量子力学里，没有比氢原子问题更简单，更实用，而又有解析解的问题了。所推演出来的基本物理理论，又可以用简单的实验来核对。所以，氢原子问题是个很重要的问题。
另外，理论上薛丁格方程式也可用于求解更复杂的原子与分子。但在大多数的案例中，皆无法获得解析解，而必须藉用电脑来进行计算与模拟，或者做一些简化的假设，方能求得问题的解析解。

**历史**
大多数氢原子的结构。
氢原子的半径大约为波耳半径。
1913 年，尼尔斯·玻耳在做了一些简化的假设后，计算出氢原子的光谱频率。这些假想，波耳模型的基石，并不是完全的正确，但是可以得到正确的能量答案。
1925/26 年，埃尔文·薛丁格应用他发明的薛丁格方程式，以严谨的量子力学分析，清楚地解释了波耳答案正确的原因。氢原子的薛丁格方程式的解答是一个解析解，也可以计算氢原子的能级与光谱谱线的频率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更为精确，能够得到许多电子量子态的波函数（轨域），也能够解释化学键的各向异性。

**薛丁格方程式解答**
氢原子问题的薛丁格方程式为131-145：
；
其中， 是约化普朗克常数， 是电子与原子核的约化质量， 是量子态的波函数， 是能量， 是库仑位势：
 ；
其中， 是真空电容率， 是单位电荷量， 是电子离原子核的距离。
采用球坐标 ，将拉普拉斯算子展开：
 。
猜想这薛丁格方程式的波函数解  是径向函数  与球谐函数  的乘积：
 。

**角部分解答**
参数为天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程式160-170：
 ；
其中，非负整数  是轨角动量的角量子数。磁量子数  （满足  ）是轨角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的  与  给予不同的轨角动量函数解答  :
 ；
其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
 ；
而  是  阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：
 。

**径向部分解答**
径向函数满足一个一维薛丁格方程式：145-157
 。
方程式左边的第二项可以视为离心力位势，其效应是将径向距离拉远一点。
除了量子数  与  以外，还有一个主量子数  。为了满足  的边界条件， 必须是正值整数，能量也离散为能级  。随着量子数的不同，函数  与  都会有对应的改变。按照惯例，规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样，径向函数可以表达为
 ；
其中， 。  近似于波耳半径  。假若，原子核的质量是无限大的，则  ，并且，约化质量等于电子的质量， 。  是广义拉盖尔多项式，其定义式可在条目拉盖尔多项式里找到。
广义拉盖尔多项式另外还有一种在量子力学里常用的定义式（两种定义式不同）：152
 ；
其中， 是拉盖尔多项式，可用罗德里格公式表示为
 。
为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系，必须要求量子数  。
按照这种定义式，径向函数表达为
 。
知道径向函数  与球谐函数  的形式，可以写出整个量子态的波函数，也就是薛丁格方程式的整个解答：
 。

**量子数**
量子数  、 、 ，都是整数，容许下述值：165-166
 ，
 ，
 。

**角动量**
每一个原子轨域都有特定的角动量向量  。它对应的算符是一个向量算符  。角动量算符的平方  的本征值是160-164
 。
角动量向量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向，则量子化公式为
 。
因为  ， 与  是对易的， 与  彼此是相容可观察量，这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，可以同时地测量到  与  的同样的本征值。
由于  ， 与  互相不对易， 与  彼此是不相容可观察量，这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言， 的本征态与  的本征态不同。
给予一个量子系统，量子态为  。对于可观察量算符  ，所有本征值为  的本征态  ，形成了一组基底量子态。量子态  可以表达为这基底量子态的线性组合： 。对于可观察量算符  ，所有本征值为  的本征态  ，形成了另外一组基底量子态。量子态  可以表达为这基底量子态的线性组合： 。
假若，测量可观察量  ，得到的测量值为其本征值  ，则量子态机率地塌缩为本征态  。假若，立刻再测量可观察量  ，得到的答案必定是  ，在很短的时间内，量子态仍旧处于  。可是，假若改为立刻测量可观察量  ，则量子态不会停留于本征态  ，而会机率地塌缩为  本征值是  的本征态  。这是量子力学里，关于测量的一个很重要的特性。
根据不确定性原理，
 。
的不确定性与  的不确定性的乘积  ，必定大于或等于  。
类似地， 与  之间， 与  之间，也有同样的特性。

**自旋-轨道作用**
电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里，因为电子环绕着原子核移动，会感受到磁场。电子的自旋与磁场产生作用 ，这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算，自旋与角动量不再是保守的，可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性，必须取代量子数  、 与自旋的投影  ，而以量子数 ， 来计算总角动量。271-275

**精细结构**
在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。271-275
非相对论性、无自旋的电子产生的谱线称为「粗略结构」。氢原子的粗略结构只跟主量子数  有关。可是，更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个  效应；其中， 是精细结构常数。
在相对论量子力学里，狄拉克方程式可以用来计算电子的波函数。用这方法，能阶跟主量子数  、总量子数  有关，容许的能量为：
 。

**电子轨域图**
电子的机率密度绘图。横向展示不同的角量子数 (l) ,竖向展示不同的能级 (n) 。
右图显示出能量最低的几个氢原子轨域（能量本征函数）。这些是机率密度的截面的绘图。图内各种颜色的亮度代表不同的机率密度（黑色：0 机率密度，白色：最高机率密度）。角量子数 () ，以通常的光谱学代码规则，标记在每一个纵排的最上端。 意指  ， 意指  ， 意指  。主量子数  标记在每一个横排的最右端。磁量子数  被设定为 0 。截面是 xz-平面（ z-轴是纵轴）。将绘图绕着 z-轴旋转，则可得到三维空间的机率密度。
基态是最低能级的量子态，也是电子最常找到的量子态，标记为  态，  。
特别注意，在每一个轨域的图片内，黑线出现的次数。这些二维空间黑线，在三维空间里，是节面 (nodal plane) 。节面的数量等于   ，是径向节数（   ）与角节数（   ）的总和。

**稳定性**
思考氢原子稳定性问题，应用经典电动力学来分析，则由于库仑力作用，束缚电子会被原子核吸引，呈螺线运动掉入原子核，同时辐射出无穷大能量，因此原子不具有稳定性。但是，在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么，为什么氢原子的束缚电子不会掉入原子核里？应用量子力学，可以计算出氢原子系统的基态能量大于某有限值，称这结果为满足「第一种稳定性条件」，即氢原子的基态能量  大于某有限值：10
 。
量子力学的海森堡不确定性原理  可以用来启发性地说明这问题，电子越接近原子核，电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，有些特别案例不能满足第一种稳定性条件，因为  量度的是波函数的半宽度，而不是波函数集聚于原子核附近的程度，所以波函数可以拥有一定的半宽度，并且极度集聚于原子核附近，造成库仑势能趋于  ，同时维持有限的动能。
更详细分析起见，只考虑类氢原子系统，给定原子的原子序  ，原子的能量  为
 ；
其中， 为动能， 为势能， 为描述类氢原子系统的波函数， 为位置坐标， 为积分体积。
应用索博列夫不等式，经过一番运算，可以得到能量最大下界为。
 ；
其中， 是能量单位里德伯，大约为13.6eV。
总结，类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。

**参阅**
氘
*氚
*氢原子光谱
*21公分线
*量子化学
*类氢原子
*球对称位势
*拉普拉斯-龙格-冷次向量

**注释**

**参考文献**

**外部连结**
大卫森大学物理课堂讲义： 关于轨域的互动绘图
*新墨西哥大学物理课堂讲义： 氢原子的波函数，波函数线形图，与机率密度图像
*德瑞守大学物理课堂讲义： 氢原子基本量子力学概念 date=20090424000534 
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