空间对称群

正四面体可以只由旋转而有12种不同的方位。上图以循环图来表示此12种方位，其为将正四面体旋转180度（蓝箭头）和120度（红箭头）来置换正四面体的方向。此12种的旋转可形成一正四面体的旋转（对称）群。
一个物件（如一维、二维或三维中的图像或信号）的对称群是指在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。其为所考虑之空间的等距同构群中的一个子群。
（若没有另外注明，则本文只考虑在欧几里得空间内的对称群，但此一概念亦可以被应用在更广义的用途上，详见下文。）
「物件」可以是几何形状、图像及模式，如壁纸图样。其定义能够以详述图像或模式的方式，如将位置附上一组颜色的值的函数，来使其更为精确。对如三维物体的对称，可能亦会想要考量其物理上可能的组合。空间中等距同构的群可以产生一个作用于此群本身物件上的群作用。
对称群有时亦称为全对称群，以强调其会产生一个图像不会改变的反转定位之等距同构（如镜射、滑移镜射和不纯旋转）。会保留其定位之同距同构（如平移、旋转和此两者的组合）的子群则称为其纯对称群。一物件的纯对称群若等同于其全对称群，则称此物件为对掌的（也因此不存在使其不变的反转定位之等距同构。)
任何其元素有着相同个不动点的对称群都可以由选定其原点为不动点来被表示成一个正交群O(n)的子群，其对所有的有限对称群及有界图像之对称群皆为真的。
离散对称群可以分成三种类型：
#有限点群，其包含有旋转、镜射、反演和不纯旋转，且实际上只是正交群O(n)的子群；
#无限晶格群，其包括平移；
#无限空间群，其结合有上述两种类型的元素，且亦包含有如螺旋轴和滑移镜射等额外的对称。
另外亦有着包含任意小角度的旋转或任意小距离的平移之「连续」对称群。一个球面O(3)的所有对称所组成的群即是一种连续对称群，而通常如此类的连续对称的群是在李群中所研究的对象。
对欧几里得群子群的分类会对应到对称群的分类。
两个几何形状被认为是有着相同的对称型，若其对称群为欧几里得群E(n)（Rn的等距同构群）的共轭群，其中一个群G的两个子群H1和H2为共轭的，若存在一G内的元素g能使得H1=g-1H2g。例如：
*两个三维图形有着镜面对称，但对应着不同的镜面。
*两个三维图形有着旋转对称，但对应着不同的旋转轴。
*两个二维图形有着平移对称，各在各的方面；此两者有着长度相同但方向不同的平移向量。
有时，「相同对称型」更广义的概念会被使用，而可以产生如17个壁纸群之类的类型。
当考虑等距同构群时，可以将其缩限在于等距同构下之图像的点皆为拓扑闭合的。如此便排除了如一维中以有理数之距离平移所构成的群。一个具有对称群的「图像」是不可伸缩的，且即使达到任意详尽的均匀，亦不会有真正的均匀。

**一维**
其在等同构下之图像的点皆为拓扑闭合之一维等距同构群有：
*当然群C1
*由一点之镜射所产生之元素所组成的群；其同构于C2
*由平移所产生之无限离散群：其同构于Z
*由平移和一点的镜射所产生之无限离散群：其同构于Z的广义二面体群Dih(Z)，亦被标记为D∞（其为Z与C2的半直积）。
*由所有平移（同构于R）所产生的群；这个群不能是某一「图像」的对称群：它会是均匀的，因此亦能被镜面。但一个均匀一维向量场则可以有这种对称群。
*由所以平移和一点之镜射所组成的群：其同构于R的广义二面体群Dih(R)。
另见一维对称群。

**二维**
以共轭来分，二维离散点群可以分成下列几种类型：
*C1、C2、C3、C4、…等循环群，其中Cn包含着所有绕一固定点为360/n度的整倍数之旋转。
*D1、D2、D3、D4、…等二面体群，其中Dn包含着所有在Cn中的旋转和n个通过其固定点之轴的镜射。
C1是一个只包含有恒等运算的当然群，其产生于一图像没有任何的对称时，如字母F。C2为字母Z的对称群，C3为三曲腿图的，C4为卐的，而C5、C6则为有五条及六条臂之类卐图像。
D1为一个含有恒等运算和单一个镜射之两个元素的群，其产生于一尽有一对称轴的图像中，如字母A。D2（同构于克莱因四元群）为一非等边长方形的对称群，而D3、D4则为正多边形的对称群。
两种类型的实际对称群对其旋转中心都有着两个自由度，而在二面体群中，多着一个镜面方位的自由度。
剩余具有不动点之二维等距同构群，其所有在等距同构下之图像的点皆为拓扑闭合的有：
*特殊正交群SO(2)，其包括绕着一固定点的所有旋转；其亦称为圆群S1，为绝对值为1之复数所组成的乘法群。其为圆的「纯」对称群，且为Cn在连续群中的等价。不存在一以圆群为「全」对称群之图像，但对于一向量场则存在着（见三维中的例子）。
*正交群O(2)，其包括所有绕一固定点的旋转及对通过其固定点之轴的镜射。这是一个圆的对称群。其亦被可标记为Dih(S1)，因其为S1的广义二面体群。
对于无界图像，其他的等距同构群还包括平移；其闭合对称群有：
*7个彩带群
*17个壁纸群
*对每一个一维对称群，其于一方向上之群的所有对称及在其垂直方向上之所有平移的群所组成之对称群
*同上，但再加上第一个方向的镜射

**三维**
以共轭来分，其三维点群的集合包括7种包含无限多个群的类型和剩下的7个点群。在晶格学中，其被局限在需符合晶格的离散平移对称中。一般无限个点群中的晶体局限可以找出32种晶体点群（27种在7种类型中，5种在另7个点群中）。
见三维点群。
具一固定点的连续对称群包括如下：
*没有垂直其轴之对称面的圆柱对称，这出现在如瓶子等物之上头
*有垂直其轴之对称面的圆柱对称
*球面对称
对物件和纯量场而言，圆柱对称意指其有着直立镜射面。但对向量场则不然：在相对于某一轴的圆柱座标中，
有相对于此一轴的圆柱对称若且唯若、和都有此一对称，即其都和φ无关。另外地，其存在着镜射对称若且唯若Aφ=0。
对于球面对称，则不存在着如此差异，其皆意指着有镜射面。
没有固定点的连续对称群则包括具有如无限螺旋之螺旋轴对称的对称群。另见欧几里得群的子群。

**一般对称群**
在更广义的文句中，对称群可能为任一种类的变换群或自同构群。一旦知道了所关注的数学结构之种类，应该就够确定保留其结构之映射。相反地，知道其对称即可定义其结构，或至少能弄清其内之不变量；这是看爱尔兰根纲领的一种方式。
例如，有限几何某些模型的自同构群在一般意思下不是「对称群」，尽管其亦会保留对称性。其保留着点集族，而非点集（或「物件」）本身。见 pattern groups date=20210322144829 。
如上面所述，空间自同构的群会形成一于其内物件之群作用。
对于一给定之几何空间内的一给定之几何形状，考虑如下之等价关系：两个空间自同构为等价的若且唯若两个形状的图样是相同的（此处所谓之「相同」并非为「在平移和旋转下是相同」的意思，而是指「精确地相同」）。然后，此一相同之等价类即为此形状的对称群，且每一等价类皆会对应到一个此形状的同构版本。
在每一对等价类之间都存在着一个双射：第一个等价类之代表的逆元素与第二个等价类之代表复合。
在整个空间的一有限自同构群里，其目为形状之对称群的目乘上此形状同构版本的数目。
例如：
*欧几里得空间的等距同构，其形状为长方形：其存在着无限多个等价类；每一个等价类都包括4个等距同构。
*空间为具欧几里得度量的立方体；形状包括和此空间同样大小的立方体，其各面有着各式颜色或图像；此一空间的自同构为48个等距同构；其状形为各面有着不同颜色之立方体；此形状会有着8个等距同构的对称群，及6个各含8个等距同构的等价类，每个等价类都是此形状的一个同构版本。
比较拉格朗日定理 (群论)及其证明。

**另见**
对称
*一维对称群
*置换群
*欧几里得空间中等距同构群的不动点
*欧几里得等距
*群作用
*点群
*晶系
*空间群

**外部连结**
 title=对称群- title=四面体群- 32个格体点群的简介