根系 (数学)

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

**定义**
设  为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 。 中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 ，满足下述条件：
的整性条件使得 β 必然落在所示各条垂直线上。再配合   的整性条件，在每条线上，其间交角只有两种可能。
#  的元素张出 。
# 对任一 ，其属于  的纯量倍数只有 。
# 对任意 ，集合  在对  的反射之下不变。在此的反射是指
#: 
#（整性）若 ，则   在  方向的投影乘以2是  的整数倍，即： 
#:
根据性质三，整性等价于：对任意 ， 与  仅差  的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积

并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。
根系  的秩定义为  的维度。
给定两个根系 ，可考虑其正交直和 ，则  自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 ），则称之为不可约的。
对两个根系 ，若存在其间的线性同构，使得  映至 ，则称它们为同构的根系。
对于根系 ，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在  上忠实地作用，因此必为有限群。

**秩一与秩二的例子**

**秩为1的例子**
在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量  组成。此根系记作 。

**秩为2的例子**
秩二的根系有四种可能，对应于，其中的情况。注意根系并不由它生成的格所决定： 和均生成正方形格，而 和 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。
图解如下：
当  是  中的根系，而  是  在  中生成的子空间，则  是  中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是  或  度。

**正根与单根**
对于根系 ，可以取定满足下述条件的正根子集 ：- 对每个根  ， 中恰有一者属于 。- 对任意 ，若 ，则 。
正根的取法并不唯一。取定一组正根后， 的元素被称为负根。
正根的选取等价於单根的选取。单根集是  中满足下述条件的子集 ：
 任意  中的元素皆可唯一地表成  中元素的整系数线性组合，而且其系数或者全大于等于零，或者全小于等于零。
选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

**以邓肯图分类根系**
不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：
给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根  若不垂直，则有  个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度  长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。
一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的 。
借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。
邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。
连通邓肯图一览

**不可约根系的性质**
不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：，其下标分别取遍  的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中，  表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根）， 表示其嘉当矩阵的行列式，而  表示外尔群之阶。

**不可约根系的构造方法及描述**

**An**
取  为  中满足  的点  所成之子空间。令  为  中长度为  的格子点。取  的标准基 ，则根具有  的形式，共有  个根。通常取单根为 。
对垂直于  的超平面的镜射在  上的作用是交换第  个座标。因此  的外尔群不外就是对称群 。
是李代数  的根系。

**Bn**
取 ，并令  为  中长度为  的格子点。共有  个根。通常取单根为  及 （短根）。
对短根  的反射即 。
跟  仅差一个缩放，因此通常仅考虑  的情形。 是李代数  的根系。

**Cn**
取 ， 为  中所有长度  的格子点与形如 的点，其中  是长度为一的格子点。共有  个根。通常取单根为 及 （长根）。
与  仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑  的情形。 是李代数  的根系。

**Dn**
取 ， 为  中长度  的格子点。共有  个根。通常取单根为  及 。
同构于 ，故通常仅考虑  的情形。 是李代数  的根系。

**E8, E7, E6**
是较为特殊的根系。首先定义  中满足下述条件的点集 ：- 各座标均为整数，或均为半整数（不容相混）。- 八个座标的和为偶数。
定义  为  中长度为  的向量，即：
 
定义  为  与超平面  之交， 其中  是任取的根。同样步骤施于 ，得到更小的根系 。根系  分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 。
另一种等价的描述是取  为：- 各坐标均为整数，而且其和为偶数；或- 各坐标均为半整数，而且其和为奇数。
与  同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。 称为  的偶坐标系， 称为奇坐标系。
在偶坐标下，通常取单根为
 
 
 
在奇坐标下，通常取单根为
 
 ，其中
 
（在上述定义中，若改取 ，将得到同构的结果。若改取 ，将得到  或 。至于 ，其坐标和为零，而  亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。
删去  可得到  的一组单根；再删去 ，可得  的单根。
由于对  垂直等价于前两个坐标相等，而对  垂直等价于前三个座标相等，不难导出  的明确定义：
E7 = (α ∈  Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z),
E6 = (α ∈  Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

**F4**
对于 ，取 ，并令  为满足下述条件的向量：-  各坐标皆为奇数或皆为偶数。
此根系有  个根。通常取单根为  的单根再加上 。

**G2**
有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为
在此沿用了之前的符号： 。

**根系与李群、李代数**
不可约根系的分类可用于研究下述对象：- 单复李代数- 单复李群- 模掉中心后为单李群的单连通复李群- 紧单李群

**参考文献**

**引用**

**来源**
 Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag,  ISBN 3540678271- Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .- Dynkin, E. B.  The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
*isbn=978-3319134666

**参见**
ADE分类
*外尔群
*考克斯特群
*考克斯特矩阵
*根资料
*考克斯特-邓肯图