正交群

数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由
给出。
这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。
更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群，称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2，那幺1 = −1，从而O(n,F)和SO(n,F)相等；其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n,F)为迪克森不变量的核，这样它在O(n,F)中总有指数2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

**实数域上的正交群**
实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释：
O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。
SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。
取合适的正交基，等距是

的形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。
圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S1)，这里S1是模长1复数的乘法群。
SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵
。
群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）
李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为  o(n,R)或so(n,R)。

**保持原点的3维同构**
保持R3原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：
*SO(3,R):
**恒同
**绕一个过原点的轴转动不等于180°
**绕一个过原点的轴转动180°
*以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
**关于原点的点反演
**绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
**关于一个过原点的平面的反射
特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

**共形群**
作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：；如果n是偶数，两个子群的交是，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：。
我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有。

**复数域上正交群**
复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。
和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2  SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。
O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

**拓扑**

**低维数**
低维实正交群是熟悉的空间：

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

**同伦群**
正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。
是的齐性空间，从而有如下纤维丛：
 
可以理解为：正交群 传递地作用于单位球面上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射是自然包含。
从而包含是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对有，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。
通过博特周期性定理，，从而O的同伦群以8为周期，即  ，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
 

**和KO-理论的关系**
通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：。
设（使得满足周期性），我们得到：
 

**同伦群的计算和解释**

**= 低维群 =**
最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
*保持/反定向（这个类存留到从而稳定）
得出：
*即自旋群
*，有到的满射，从而后一个群消失。

**= 李群 =**
由李群一般性事实，总消失，是自由阿贝尔群。

**= 向量丛 =**
从向量丛的观点来看，是上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以
是维数。

**= 环路空间 =**
利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用、O，以及O/U有两个分支，和有个分支，其实是连通的。

**同伦群的解释**
一小部分结论：
*是维数
*是定向
*是自旋
*是拓扑量子场理论
令，以及为射影线上的重复线丛，是其K-理论。注意到，这些得出相应球面上的向量丛，以及：
*由生成
*由生成
*由生成
*由生成

**有限群上的正交群**
正交群也能定义在有限域上，这里是一个质数的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：和；奇数维有一类：。
如果是正交群作用的向量空间，它可以写成正交直和：
 ，
这里是双曲线而不包含奇异向量。如果，那幺是正类型；若那幺有偶维数；若有维数2，则是负类型。
在n = 1的特例，是阶为的二面体群。
当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式
 。
如果是中的平方元素
 。
如果不是中的平方元素
。

**迪克森不变量**
对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

**特征2域上正交群**
特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：
*任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间loc=Theorem 6.6 and 14.16。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。
*特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。
*在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。
*在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

**旋量模**
旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素
F*/F*2
的同态，将关于模长为n向量的反射映到F*/F*2中的n。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

**伽罗瓦上同调和正交群**
代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；
但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

这里μ2是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。
从H0（就是取值于F中点的群OV(F)）到H1(μ2)的连接同态本质上是spinor模，因为  H1(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

**重要子群**
物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：




正交群O(n)也是一些李群的重要子群：







群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

**另见**
旋转群, SO(3,R)
*SO(8)
*广义正交群
*酉群
*辛群
*有限单群列表
*单李群列表

**注释**

**参考文献**

**外部链接**
 John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 date=20210211064646 - John Baez on Octonions date=20210117120453