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最大公因数

最大公因-{}-数（highest common factor，hcf）也称最大公约-{}-数（greatest common divisor，gcd）是数学词汇，指能够整除多个非零整数的最大正整数。例如8和12的最大公因数为4。
最大公因数的值至少为1，例如；最大则为该组整数中绝对值最小的绝对值，例如和。
求两个整数最大公因数主要的方法：- 列举法：分别列出两整数的所有因数，并找出最大的公因数。- 质因数分解：分别列出两数的质因数分解式，并计算共同项的乘积。- 短除法：两数除以其共同质因数，直到两数互质时，所有除数的乘积即为最大公因数。- 欧几里得算法：
两个整数的最大公因数和最小公倍数（lcm）的关系为：

两个整数的最大公因数可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。
两个整数的最大公因数和最小公倍数中存在分配律：


在直角坐标中，两顶点为的线段会通过个格子点。

**概述**

**例子**
54和24的最大公因数是多少？
数字54可以表示为几组不同正整数的乘积：

故54的正因数为。
同样地，24可以表示为：

故24的正因数为。
这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：

其中的最大数6即为54和24的最大公因数，记为：


**互质数**
如果两数的最大公因数为1，那幺这两个数互质。例如，9和28就是互质数。

**几何角度的说明**
24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖，即12为24和60的最大公因数。推而广之，如果c是a和b的最大公因数，那幺a乘b的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。
假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（）、另一边有五格（）。

**计算**

**质因数分解法**
可以通过质因数分解来计算最大公因数。例如计算，可以先进行质因数分解  和 ，因为其中表达式的「重合」，所以。实践中，这种方法只在数字比较小时才可行，因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。
再举一个用文氏图表示的例子，计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解：


它们之中的共同元素是两个2和一个3：
300px 
 最小公倍数
 最大公因数

**辗转相除法**
相比质因数分解法，辗转相除法的效率更高。
计算时，先将48除以18得到商2、余数12，然后再将18除以12得到商1、余数6，再将12除以6得到商2、余数0，即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0，为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的：


其中

如果参数都大于0，那幺该算法可以写成更简单的形式：
, 
 如果 a > b
 如果 b > a
使用辗转相除法计算62和36的最大公因数2的演示动画。

**性质**
 任意a和b的公因数都是的因数。- 函数满足交换律：。- 函数满足结合律：

**程式代码**
以下使用辗转相除法实现。

**C#**
private int GCD(int a, int b) {
	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
	return a + b;
}

**C++**
运行时计算实现：
template
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}
编译时计算实现：
#include 
#include 
template::value, T> a, std::enable_if_t::value, T> b>
struct HCF{
public:
static const T value=HCFb? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template::value, T> a>
struct HCF{
public:
static const T value=a;
};
int main(){
std::wcout::value

**C**
int GCD(int a, int b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

**Java**
private int GCD(int a, int b) {
if (b==0) return a; 
	return GCD(b, a % b);
}

**JavaScript**
const GCD = (a, b) => b ? GCD(b, a % b) : a;

**Python**
GCD = lambda a, b: (a if b == 0 else GCD(b, a % b))
# or
def GCD(a, b):
if b == 0:
return a
return GCD(b, a % b)

**政治用法**
最大公约数又指一社会中不同阵营勉强所达之共同利益。

**参考文献**

**外部链接**
  图解最大公因数求法 date=20180418204658 - 包含GCD动态规划 date=20210909132844 

**参见**
 公倍数- 公约数- 最小公倍数
最小公倍数

描述12、18之间的因倍数关系的文氏图
最小公倍数（英语：least common multiple，lcm）是数论中的一个概念。若有一个数，可以被另外两个数、整除，且同时大于或等于和，则为和的公倍数。和的公倍数有无限个，而所有正的公倍数中，最小的公倍数就叫做最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。个整数的最小公倍数一般记作：，或者参照英文记法记作。
对分数进行加减运算时，要求两数的分母相同才能计算，故需要通分；标准的计算步骤是将两个分数的分母通分成它们的最小公倍数，然后将通分后的分子相加。

**与最大公因数之关系**
两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系：


**计算方法**
最小公倍数可以通过多种方法得到，最直接的方法是列举法，从小到大列举出其中一个数（如最大数）的倍数，当这个倍数也是另一个数的倍数时，就求得最小公倍数。另一个方法是利用公式来求解，这时首先要知道它们的最大公因数。而最大公因数可以通过短除法得到。
利用整数的唯一分解定理，还可以用质因数分解法。将每个整数进行质因数分解。对每个质数，在质因数分解的表达式中寻找次数最高的乘幂，最后将所有这些质数乘幂相乘就可以得到最小公倍数。譬如求216、384和210的最小公倍数。对216、384和210来说：
，，。
其中对应的最高次乘幂为；对应的最高次乘幂为；和对应的最高次乘幂分别是与。将这些乘幂乘起来，就可以得到最小公倍数：
。

短除法
利用短除法，可以快速计算出多个整数的最小公倍数。
以下为例子:
假设我们要求12、20和42的最小公倍数。
a:  6 |12    18      42
b:       2       3        7
最小公倍数=a×b
因此，12、18和42和最小公倍数=6×2×3×7
所以，6×2×3×7=252，12、18和42的最小公倍数是252

**递归计算多个整数的最小公倍数**
可以递归求出多个整数的最小公倍数：欲求 ，只需求 。
这利用了性质 。该性质证明如下：
记  的质因数分解分别为，其中  是第  个质数。
那幺根据最小公倍数的定义，，
，
证毕。

**程式代码**
以下使用辗转相除法求得最大公因数，之后再求最小公倍数。

**C**
int GCD(int a, int b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}
int LCM(int a, int b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}

**C++**
template
T GCD(T a, T b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}
template
T LCM(T a, T b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}

**C#**
int GCD(int a, int b)
{
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}
int LCM(int a, int b)
{
	return a * b / GCD(a, b);
}

**Go**
func GCD(a, b int) int {
if b == 0 {
return a
}
	return GCD(b, a%b)
}
func LCM(a, b int) int {
	return a * b / GCD(a, b)
}

**Java**
int GCD(int a, int b) {
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}
int LCM(int a, int b) { 
	return a * b / GCD(a, b);
}

**Pascal**
function gcd(a,b:integer):longint;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd(b,a mod b);
end;
function lcm(a,b:integer):longint;
begin
lcm:=(a*b) div gcd(a,b);
end;

**Python**
def gcd(a, b):
return a if b == 0 else gcd(b, a % b)

def lcm(a, b):
return a * b / gcd(a, b)

**Ruby**
def gcd(a, b)
b.zero? ? a : gcd(b, a % b)
end
def lcm(a, b)
a * b / gcd(a, b)
end

**Swift**
func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
}
func lcm(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
return a * b / gcd(a, b)
}

**应用**
求最小公倍数是进行分数加减法时的步骤之一。将分母通分时，会把所有分数的分母通分为它们的最小公倍数，然后将分子相加。例如：

其中分母42就是21与6的最小公倍数。

**参见**
 公倍数- 公因数- 最大公因数

**参考来源**
 isbn=753205473X
云子

藤盒装的中国云子
云子是中国云南特产的围棋棋子，云子历史上也有“云扁”或“云窑子”的称呼。由于围棋艺术很讲究棋具的精美，云子得到了中、日、韩、马、新加坡等世界各地围棋爱好者的青睐。
云子质地细腻玉润，色泽晶莹柔和。坚而不脆，沉而不滑。黑白云子各有特点：白子温润如玉，柔而不透，微有淡黄或翠绿之色；黑子“仰视若碧玉，俯视若点漆”，漆黑润泽，对光查看则呈半透明状，棋子周边有一种的碧绿或宝蓝色光彩。
与常见的塑料围棋、玻璃围棋和陶瓷围棋相比，云子工艺精巧、大小规则，视觉感受、落盘声音和手感上有明显差别。

**历史**
保山永子棋院藏明代永子
云子生产始于唐代、盛于明清，其中可考证的历史在五百年以上。
云子之中，最有名的是明代永昌府（现在的云南保山市）所产的“永昌子”。相传明代有位永昌人氏在京城保管珠宝玉器，在一次宫廷失火时，发现熔化的珠玉具有晶莹透亮的色彩。回到家乡之后，他就用云南盛产的玛瑙、琥珀等原料制成了永昌子。云子得到文人及显贵的欢迎，并成为进献皇室的贡品。
历代文献中，关于云子的赞美之词时常出现，且迄今未见毁誉之词。《明一统志》中说“永昌之棋甲天下”，《徐霞客游记》中记载：“棋子出云南，以永昌者为上”。清代赵吉士的《寄园寄所寄》引用《南中杂说》也有：“滇南皆作棋子，而以永昌为第一”。
保山城内有人至今仍藏有明代祖传古品。现存的正宗云子还留下一副半，历经数百年沧桑仍光彩毕现。

**重现**
永子传人李学堂于二十世纪八十年代制作的永子，藏于保山永子棋院
云子的传统制作技术在民国初期失传。
1970年代中期，从民间搜集到几颗老云子。凭借残存的棋子，昆明经过无数试验，终于在1974年制成了质量完善的新云子。1980年春，昆明第十二中学校办工厂改名为云南围棋厂，生产 “云”字牌围棋，云子生产得以恢复。
随着加工技术的发展，云南已有多家围棋厂能够制作云子，围棋爱好者也有机会接触到原本贵为圣品的云子。

**工艺**
传说900多年前，吕洞宾来到永昌郡，在龙泉池畔的塔盘山下，见到一个孝敬母亲的穷苦农民。为了周济这个农民，吕洞宾就教他用当地盛产的玛瑙和琥珀锻造围棋子出售。从此云子传播于世。
云子属于琉璃的一种。据《永昌府志》、《滇南杂志》等史籍记载，云子系以玛瑙石、紫瑛石合研为粉，再加上红丹粉、硼砂等多种原料配合一起熔炼，然后用“长铁蘸其汗，滴以成棋”。云子的工艺精细复杂，其中配方、火候、点子的手艺都是影响质量的重要因素。最后，毛坯经过琢磨成为大小一致的成品。

**其他**
高档的围棋棋子包括中国的云子、玉石棋子、日本的蛤贝棋子等，其中云子的使用者最多。云子受到很多著名棋手的喜爱，如陈祖德、聂卫平等。云子也得到世界范围内围棋爱好者的喜爱，影响范围包括中国、日本、韩国、马来西亚、新加坡等许多地方。
云子多次成为中国各大围棋比赛的指定棋具，如中日围棋擂台赛、第九届世界业余围棋锦标赛、中日围棋对抗赛、全国围棋锦标赛、“陈毅杯”围棋赛等。1986年，云子被中国国家体委审定为重大比赛用棋。
云子也曾被中国政府作为“中国国礼”赠送给外国贵宾。日本前首相中曾根康弘、英国女王伊丽莎白二世都收到过这样的礼物。

**外部链接**
 云南围棋厂：云子史话- 云子的故乡fix-attempted=yes （云子的复制过程等）- 中国围棋史话(繁体)- 围棋的魅力date=20170817035916 - 西向云岭保山行- 昆明传统文化

**参见**
围棋
元正天皇

元正天皇（rm=Genshō Tennō；catIdx=Y元），日本奈良时代天皇（715年10月3日—724年3月3日在位）。她是日本第44代天皇，也是日本历史上第五位女天皇，讳冰高皇女（rm=Hitaka no himemiko）。
她是草壁皇子与元明天皇的女儿，姿色美艳，甚是貌美，一生未婚，未有子女，开启女天皇终身未嫁之先例。弟文武天皇之子首皇子尚未长成，故即位。
和铜八年九月初二（715-10-3），改元灵龟。
灵龟三年十一月十七（717-12-24），改元养老。
养老四年 (720) 三月，萨摩隼人弑国守，下令中纳言大伴旅人为将平之。
养老四年 (720) 九月，陆奥虾夷叛乱，令多治比县守为大将军，下野石代为副将军讨伐。
养老六年 (722) 四月，颁布百万町开垦计划。
养老七年 (723) 四月，颁布三世一身法。
养老八年 (724) 二月四日，元正天皇让位予首亲王。

**谱系**

**参考**
 《续日本纪》——卷第七　元正天皇　日本根子高瑞净足姬天皇
傀儡政权

傀儡政权（Puppet state），又译傀儡国、傀儡国家、傀儡政府或伪政府，指的是表面上宣称自己独立，但实际上却受到外国严重干涉的政权，它无法对自己的外交、资源、人口、内政做出决定，需要仰赖宗主国的指挥才敢行动，属于从属国的一类。

**特点**
「傀儡政权」有三个元素组成：
# 傀儡政权：一个被他国军事占领的国家，被控制的政府，各种代表国家完整的政治象征（贬义词:政治花瓶）都有被保留，但这些政治象征不足够证明其自主性，国际法不承认被军事占领的傀儡国家合法性 。
# 主人政权：控制国家，必须是主权国，或由单一主权国控制的政治集团，它不想立即吞并傀儡国，但希望最终吞并，或希望以不吞并达到势力控制的效果。这个主人有能力令傀儡政府倒台，有时甚至威胁使用武力，即使傀儡政权的意识形态与主人政权相近也动武。
# 受害人：没有受害人下，「傀儡」一词就无意思，成为自愿。受害人须是被傀儡政府宣称有权被统治，主张傀儡政府非民选产生，或其他理由否定其外在或内在合法性，而在未有傀儡政府前他是享受合法政府的统治，因此受害。
国家与政权不应只因为有以下情况而视为傀儡政府或傀儡国家，包括：- 一些国家由于物质短缺，或基于政府观点（依执政党的粗略意识形态而言，不是依执政者的利益而言）考虑，在外交上经常支持某一个国。- 傀儡国家的「主人」是一个由多个国家组织的大集团，当中可能有一个国家较有优势，但其他成员也有相当的制衡作用，不见得一国独大。- 一些国家在经济上疑似被其他自由国家的财团控制，而那些财团并非国营或是国家特许垄断，亦不像是政府的傀儡。- 一些争取独立的国家，而独立领袖或主流派系并未表示或暗示，说漏嘴，或可理解为，有关独立国会最终会依附他国或成为他国的一部分。- 基于事实需要而被托管的地方，他们都有真实的民主选举，「主人」甚少干预其内政，但施加影响力。- 「主人」只有名义上的权力，例如法国总统在名义上是安道尔其中一个元首，但只是象征元首，而安道尔不是法国的傀儡。
国家与政权不应只因为有以下情况而否定它是傀儡，但可作参考，包括：- 拥有-{只}-算是政治花瓶性质的国家机器。- 拥有短期的民主选举历史，而且从未有过政党轮替，选举结果又极度压倒性（或受外国操控），或可能只是政治花瓶。- 拥有相当经济实力。- 皇室继承权纷争。- 未曾有民族主义与普及教育的国家。

**过去存在的政权**

**欧洲**

**亚洲**

**非洲**

**北美洲**

**大洋洲**

**现代被认为的政权 **

**参考资料**

**参见**
伪军
*殖民地
*卫星国
*从属国
*保护国
*香蕉共和国
*代理人战争
*傀儡统治者
*各国傀儡政权元首列表
文武天皇

文武天皇（rm=Monmu Tennō；7月18日），7岁时父草壁皇子薨，受祖母持统天皇庇荫，697年2月受封为皇太子，8月即位。701年颁行大宝令。707年7月18日崩，遗体在飞鸟冈举行火葬，埋于桧隈安古山陵。

**谱系**

**参考**
 《续日本纪》——卷第一　文武天皇　天之真宗丰祖父天皇
建安文学

建安文学指中国东汉末年建安年间（196年－220年）及其前后撰写的各种文学作品，风格独特，在文学史上获得崇高评价。

**兴盛原因**
建安文学源自时代环境的刺激。汉末政治动荡，戚宦争权，党锢之祸，州牧割据，连年战争，社会动乱，民生困苦，给文人提供了创作题材，藉文学作品发出慨叹，反映社会实况及个人遭遇。诗人也继承汉末以天下为己任的士风，发展出一种昂扬奋发的建功立业精神。
建安文学源自儒学衰微。由于政治混乱，国家体制崩坏，人们对礼教产生怀疑，相信佛道思想，摆脱儒家经学的束缚，正统思想失去约束力，士人思想解放，扩阔了创作的空间，文学的作用不再是阐发经义，而是反映现实生活，展现建安士人的个性，抒发个人的思想感情，有助文学发展。
建安文学源自政治领袖的倡导。建安末年，曹氏父子掌握政治大权，他们雅好文学，于是形成以曹氏为中心的文学集团，以及盛极一时的「邺下文风」。
建安文学受汉乐府民歌的影响。汉代乐府「感于哀乐，缘事而发」，写成大量反映社会民生的作品。建安时代，环境剧变，使诗人得以继承汉乐府的精神而大量创作。此外，建安文学也受诗经、楚辞及古诗十九首等文学传统的影响。
建安文学亦源自文学价值的肯定，由于长期创作经验的积累，形成文学批评的发展，对文学本质、文学特点的认识都有所提高。曹丕《典论·论文》谓文章乃「经国之大业，不朽之盛事」，肯定了文学的价值，有助文学的发展。

**代表人物**
三祖陈王：曹操、曹丕、曹叡、曹植。
*建安七子：孔融、陈琳、王粲、徐干、应玚、刘桢、阮瑀。

**五言诗的发展**
建安时期五言诗大盛。曹氏父子以政治领袖的身分，大量写作五言诗；文士中有建安七子等人，经常唱和，尤其在宫廷宴会的场合，往往有即席赋诗的习惯。现今流传下来的公宴诗，多是五言之作。
建安的五言诗在文学史上评价非常高，建安诗歌从乐府出来逐渐文人化，到曹植手中就明显具有文人诗的面目。内容主要有游仙以及反映当时社会现状两大类，后一类特多优异之作，如曹操的《薤露行》、《蒿里行》、王粲《七哀诗》等。

**内容**

**题材**
建安文学的题材可分七类：（一）战乱和征戍艰辛；（二）怀念家乡；（三）民生疾苦；（四）政治理想与抱负；（五）人生短暂，世事沧桑；（六）游仙诗；（七）诗酒饮宴。

**特色**
建安文学内容具现实性，反映汉末社会动乱的实况，作品内容充实，表现慷慨悲凉的特色，如王粲着有《七哀诗》、《登楼赋》，刘勰曾誉之为「七子之冠冕」。建安文学内容亦具抒情性，表达作者个人理想，及其拯物济世的抱负，言辞恳切，有刚健明朗的特色，后人称之为「建安风骨」。
建安文学抒发个人切身感受，直抒胸臆，有沉郁悲悯、个性鲜明的特色；作品想像丰富，作者为求精神安慰，有宴游、游仙诗、出世之作。

**参考书目**
王瑶：《中古文学史论》（北京：北京大学出版社，1986）。
*叶嘉莹：《汉魏六朝诗讲录》（台北：桂冠图书股份有限公司，2000）。
*Stephen Owen（宇文所安）着，胡秋蕾等译：《中国早期古典诗歌的生成》（北京：三联书店，2012）。
*苏瑞隆：〈 论两汉曹魏皇室文学赞助之模式与变革 date=20201221170949 〉。
*田晓菲：〈 宴饮与回忆: 重新思考建安 date=20210313125009 〉。
*樊善标：《清浊与风骨──建安文学研究反思》（香港：汇智出版有限公司，2017）。
分数

取出四份之一蛋糕。图中显示剩余的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虚线表示可以把蛋糕进行切割分成相等的部份。每一个蛋糕被表示为分数¼。
分数（fraction）是用分式（分数式）表达成的数（）。在上式之中，称为分母（denominator）而称为分子（numerator），可视为某件事物平均分成份中占份，读作「分之」。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用来表示分数。

**用法**
分数有各种不同的用法与意义：- 两个整数的比例：，这是两个数量的比较关系。- 有理数：可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说，整数分数与有理数是同义词。- 整数除法：，结果会是一个整数、有限小数或循环小数。- 等分：表示将全部分成三等份，然后只取其中的一份。这称为单位分数（unit fraction），参见古埃及分数。也就是这个整数的倒数。
这些概念在数学里都是相通的，只是在不同的使用场合中有其实际意义。

**分类**
 最简分数（既约分数）（irreducible fraction）:分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互质的分数。例如：
 真分数（proper fraction）:除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如：
 假分数（top-heavy/improper fraction）:假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如：和
 带分数（mixed numeral、mixed fraction、mixed number）:一个整数（whole number）加一个真分数，例如，读作「a又c分之b」；又例如，就是一又二分之一。可写成假分数，与等价。
 十进位分数（decimal fraction）: 分母为的次方的分数称为十进位分数，通常使用小数的形式来表达，例如，一般记为，也可以百分率简记为，或是以的幂记为。
 单位分数:分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如：
 古埃及分数（Egyptian fraction）:将分数表达成单位分数之和。例如：
 繁分数:分子和/或分母包含了分数的分数，例如。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等于。
 连分数:外观如的分数，其中是整数。若只有有限个非零，则连分数是一个分数。

**分数运算**
分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

**约分、扩分及通分**
一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

**约分**
「约分」是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公因数）。
约分后的分数和原来分数的值相等。
前面的数字的分子和分母皆除以三
 扩分
「扩分」是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。
前面的数字的分子和分母皆乘以二
 通分
「通分」是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

**加法及减法**
笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为「扩分」、「通分」、「通分母扩分子」等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

**乘法及除法**
分数乘法最晚在中国秦代即有，里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示：里耶秦简秦朝「九九表」每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算，更为惊奇的是，中国当时还出现了分数乘法，例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：



**相关话题**
 有理数- 倒数- 除以零- 法里数列- 连分数- 分母有理化- 偶然对消

**参考文献**

**外部连结**
 dead-url=no - Fraction- dead-url=no - dead-url=no - access-date=2015-06-03 -  Online program for exact conversion between fractions and decimals-  Online Fractions Calculator with detailed solution-  Fraction Practice date=20200927100803  endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.
MINIX

Minix，是一个迷你版本的类Unix作业系统，由塔能鲍姆教授为了教学之用而创作，采用微核心设计。它启发了Linux核心的创作。
它的名称取自Mini UNIX的缩写。与Xinu、Idris、Coherent和Uniflex等类UNIX作业系统类似，衍生自Version 7 Unix，但并没有使用任何AT&T的程式码。第一版于1987年释出，只需要购买它的磁片，就提供完整的原始码给大学系所与学生，作为授课及学习之用。2000年4月，重新以BSD授权条款释出，成为开放原始码软体。

**历史与版本**

**MINIX 1.0**
Minix原来是荷兰阿姆斯特丹自由大学计算机科学系的塔能鲍姆教授（Prof. Andrew S. Tanenbaum）所发展的一个类UNIX作业系统。
因为AT&T的政策改变，在Version 7 Unix推出之后，发布新的使用授权条款，将UNIX原始码私有化，在大学中不再能使用UNIX原始码。塔能鲍姆教授为了能在课堂上教授学生作业系统运作的实务细节，决定在不使用任何AT&T的原始码前提下，自行开发与UNIX相容的作业系统，以避免版权上的争议。他以小型UNIX（mini-UNIX）之意，将它称为MINIX。
Minix以C语言写成，与Version 7 Unix相容，全部的程式码共约12,000行，并置于他的著作《作业系统：设计与实作》（Operating Systems: Design and Implementation，ISBN 0-13-637331-3）的附录里作为范例。Minix的系统要求在当时来说非常简单，只要三片磁片就可以起动。
Minix原始是设计给1980年代到1990年代的IBM PC和IBM PC/AT相容电脑上执行，主要运作于16-bits的Intel 8080平台，以软碟起动。

**MINIX 1.5**
1.5版也有移植到以Motorola 68000系列CPU为基础的电脑上（如Atari ST，Amiga，和早期的Apple Macintosh）和以SPARC为基础的机器（如升阳（Sun）公司的工作站）。

**MINIX 2.0**
1997年，随着教科书改版，塔能鲍姆释出Minix 2，在这版中，它改成可以在Intel 80386等x86平台上运作，从硬碟上开机。

**Minix-vmd**

**MINIX 3**
2004年，塔能鲍姆重新架构与设计了整个系统，更进一步的将程式模组化，推出MINIX 3。桌面环境的EDE在MINIX 3中作为可选包。

**技术内容**
全套Minix除了启动的部份以汇编语言编写以外，其他大部份都是纯粹用C语言编写。分为：内核、记忆体管理及文件系统三部份。
Minix在设计之初，为了使程式简化，它将程式模组化，如档案系统与记忆体管理，都不是在作业系统内核中运作，而是在使用者空间运作。至Minix 3时，连IO装置都被移到使用者空间运作。
另一个特点，则是Minix主要目的是用于教学，因此程式码撰写上极力重视简洁与可读性。

**Minix与Linux**
Linux是其作者受到Minix的影响而作成的（林纳斯·托瓦兹不喜欢他的386电脑上的MS-DOS作业系统，而安装了Minix，并以它为样本开发了原始的Linux核心）。但是这种影响更多在于非技术层面，确切地说是一种精神上的“鼓舞”。在设计上，Linux则和Minix相差很大，在Linux系统还没有自己的原生档案系统之前，曾采用Minix的档案系统。Minix在核心设计上采用微核心，即将作业系统分成微核心和其上的提供档案系统、记忆体管理、驱动程式等服务的服务程式；而Linux则和原始的UNIX都采用单核心。在Linux发展之初，双方还于1992年在新闻群组上有过一场精彩的争论，被称为塔能鲍姆-林纳斯辩论。Minix的作者和支持者认为使用单核心是技术上的退步，而Linux的支持者认为Minix本身没有实用性。

**授权方式**
在授权方式上，Minix的版权宣告在早期被认为是相当自由的：塔能鲍姆教授在希望拿Minix作为一个公开的教材与出版社希望保护程式码著作权的平衡下，它只要求一个相当低的授权费。但因为它并不是一个开放原始码的授权方案，所以志愿工作者在以GPL方式散布的Linux核心出现后就多转向Linux平台。而Unix也在BSD与AT&T达成协议后，出现了以BSD许可证授权散布的FreeBSD开放平台。Minix虽然在2000年改用BSD授权条款，但这时其它的作业系统在功能上大幅超越了它，而它失去了发展成一个广泛使用的作业系统的机会，只留下，如塔能鲍姆教授原来期望的，作为一个开放的教材的用途。直到Minix 3出现后，Minix才又改头换面，现在它是一个朝向小型系统的可靠作业系统。

**参见**
 MINIX文件系统- EDE

**参考资料**

**相关网站**
  Minix3官方网站 date=20120621091849
草壁皇子

草壁皇子（），天武天皇与持统天皇之子，被立为皇太子，但是很早就过世。妻子阿閇皇女为后来的元明天皇，子女有文武天皇、元正天皇与吉备内亲王。

**生平**
他是当时皇后（后来的持统天皇）唯一的儿子，在他年幼的时候（672年），发生了壬申之乱，这是一场皇位的争夺战。后来在679年时，天武天皇行幸吉野，下诏皇后、草壁皇子、大津皇子、高市皇子、川岛皇子、忍壁皇子、施基皇子等人，要求他们发誓以后不会为了皇位而有所争夺，这件事史称为「吉野の盟约」。后来在681年时，正式立草壁皇子为皇太子。
686年时，天武天皇过世，皇后便代为执政，但这时候却发生了大津皇子叛变之事。皇后为了要巩固草壁皇子的地位，便逮捕大津皇子与他的党羽，将大津皇子处以死刑。至于草壁皇子，当时负责主持处理天武天皇后事，包括建筑陵墓与带领祭拜等等。然而他天生体弱多病，就在689年以二十八岁之龄病逝。
因为他原本应该要继承皇位却不幸早逝，再加上他的妻儿后来也相继担任天皇，因此他被追封为「冈宫御宇天皇」。其墓为「冈宫天皇真弓丘陵」（又称冈宫天皇陵、草壁皇子墓），位在奈良县高市郡高取町。
二甲苯

二甲苯异构体。从左至右分别为邻二甲苯、间二甲苯和对二甲苯
二甲苯,  （英语：Xylene, Dimethylbenzene，来自ξύλο，低聚木糖，“木”），又译作茬，化学式10。二甲苯或二甲苯芳族烃混合物，组成的苯环在不同位置两个甲基基团。二甲苯的三种异构体分子式C8H10，或通过半结构式C6H4（CH3）2表示。二甲苯是通过催化重整，煤焦化成焦炭燃料的制造中产生的一个主要石化物。它约占原油的0.5-1％，并且在小批量的汽油和飞机燃料被发现。从催化重整称为“重整油”的萃取产物，二甲苯为BTX芳烃（二甲苯，苯和甲苯）的一部分的主要产物。该混合物是一种略带油腻，无色液体，被用作溶剂。作为木焦油的一个组成部分而被发现后，二甲苯于1851年被命名了。每年生产数百万吨。2011年在新加坡，一个全球性的联盟开始建设了世界上最大的二甲苯厂。

**工业生产**
二甲苯是由甲苯和苯的甲基化而被生产。商业或实验室级生产二甲苯，通常产生约含有40-65％的间二甲苯和各高达20％的邻二甲苯，对二甲苯和乙苯。通过专利的方法产生异构体的比率可被移动，以有利于产出高价值的对二甲苯。这些转换是通过沸石催化。

**性质**
二甲苯可以分为：- 邻二甲苯，苯环上的两个甲基处于邻位。- 间二甲苯，苯环上的两个甲基处于间位。- 对二甲苯，苯环上的两个甲基处于对位。
以上三者的熔点顺序：对>邻>间。
以上三者的沸点顺序：邻>间>对。
二甲苯的化学和物理特性根据各自的异构体不同。熔点范围为-47.87℃（二甲苯）至13.26℃（对二甲苯）。沸点每个异构体约140℃。每种异构体的浓度是围绕0.87克/ mL和因而密度小于水。空气中的二甲苯可以在浓度低至0.08至3.7 ppm的被闻到，在水中0.53至1.8 ppm的浓度，可以尝到。
大宝律令

《大宝律令》，为日本飞鸟时代和奈良时代的律令，于文武天皇大宝元年（西元701年）制定，包括律六卷、令十一卷，由刑部亲王、藤原不比等、粟田真人、下毛野古麻吕等人编纂。

**概述**
《大宝律令》参考唐朝律令，将日本自7世纪大化革新以来的《近江令》、《飞鸟净御原令》等制度与法规修正补订成完备的法典。《大宝律令》也是大化革新施行成功的重要注脚，其意义在于日本完成自7世纪初派遣遣隋使以来，100余年以中国政治体系为蓝本的政治体制转换，成为律令国家；直到757年（天平胜宝九年、天平宝字元年）《养老律令》颁行前，《大宝律令》一直是国家基本法。

**内容**
《大宝律令》中「律」是关于刑罚的规定，相当于现在的刑法；「令」则是泛指关于官制和其他行政上的规定，相当于现在的行政法、民法、诉讼法等的综合体。《大宝律令》的6卷《律》是直接引入唐朝律法；而11卷《令》，则以唐朝令法为蓝本，根据日本社会实际情况进行了修改。
随着《大宝律令》的颁布，天皇成为日本政治的中心人物，建立了以二官八省组织（神祇官、太政官 - 中务省・式部省・治部省・民部省・大藏省・刑部省・宫内省・兵部省）为骨干的中央集权政治体系。并引入了强调文件格式和程序的文书主义，例如：政府机关处理的文件使用年号，加盖印章，不接受不符合规定格式的文件。在地方政府体制方面，设立了国、郡、里三级行政区划体制，中央政府派出的国司被赋予了很大的权力。另外在律令中也明确规范班田、租庸调等律令制度。
《大宝令》的原文已经亡佚，但一部份内容保存于《续日本纪》和《令集解》等文献，757年颁布实施的《养老律令》内容也在一定程度上继承《大宝律令》，目前根据《养老律令》等文献进行了复原《大宝律令》的尝试。

**复原大宝令**
以下是复原《大宝令》的一个版本，并根据《养老律令》的顺序编排，但无法确定《大宝律令》的顺序。
# 官位令
# 官员令（养老令称为职员令）
# 后宫官员令（养老令称为后宫职员令）
# 东宫家令官员令（养老令称为东宫职员令・家令职员令）
# 神祇令
# 僧尼令
# 户令
# 田令
# 赋役令
# 学令
# 选任令（养老令称为选叙令）
# 继嗣令
# 考仕令（养老令称为考课令）
# 禄令
# 军防令（养老令称为宫卫令・军防令）
# 仪制令
# 衣服令
# 公式令
# 医疾令
# 营缮令
# 关市令
# 仓库令
# 厩牧令
# 假宁令
# 丧葬令
# 捕亡令
# 狱令
# 杂令

**参见**
 律令- 律令制
** 日本律令制

**日本的律令**
 近江令- 飞鸟净御原令- 养老律令- 删定律令
甲苯

甲苯（Toluene）是一种无色带特殊芳香味的易挥发液体，分子式为C7H8，难溶于水。甲苯是芳香族碳氢化合物的一员，它的很多性质与苯很相像，在现今实际应用中常常替代有相当毒性的苯作为有机溶剂使用，还是一种常用的化工原料，可用于制造喷漆、炸药、农药、苯甲酸、染料、合成树脂及涤纶等。同时它也是汽油的组分之一。

**历史**
1844年甲苯由法国科学家Henri Etienne Sainte-Claire Deville通过对吐鲁香胶的干馏首次制备成功，甲苯的英语名称toluene也由此而来。1861年，德国化学家约瑟夫·威尔布兰特用甲苯作原料，首次合成了不纯的TNT。1880年，高纯度TNT也由甲苯制备成功。1891年，德国开发了以甲苯为基础原料的TNT工业制备法，这种方法经过不断改进后至今仍被使用。

**物理性质**
甲苯是最简单，最重要的芳烃化合物之一。在空气中，甲苯只能不完全燃烧，火焰呈黄色。甲苯的熔点为-95 ℃，沸点为111 ℃。甲苯带有一种特殊的芳香味（与苯的气味类似），在常温常压下是一种无色透明，清澈如水的液体，对光有很强的折射作用（折射率：1.4961）。甲苯几乎不溶于水(0.52 g/l)，但可以和二硫化碳，酒精，乙醚以任意比例混溶，在氯仿，丙酮和大多数其他常用有机溶剂中也有很好的溶解性。甲苯的粘性为0,6 mPa s，也就是说它的粘稠性弱于水。甲苯的热值为40940 kJ/kg，闪点为4 ℃，燃点为535 ℃。

**自然分布**
甲苯是石油的次要成份之一。在煤焦油轻油（主要成分为苯）中，甲苯占百分之十五到二十。我们周围环境中的甲苯主要来自重型卡车所排的尾气（因为甲苯是汽油的成份之一）。许多有机物在不完全燃烧后会产生少量甲苯，最常见的如：烟草。大气层内的甲苯和苯一样，在一段时间后会由空气中的氢氧自由基（OH*)完全分解。

**制备**
在工业生产中主要以石油为原料。在第二次世界大战期间，由于石油供应的匮乏，德国也尝试过用苯或甲醇为原料的制备法。在制备过程中主要的副产品是乙烯和丙烯。每年甲苯的全球产量大约为五百万至一千万吨。从石油中直接提取或将煤炭干馏的方法虽然简单，但都是不经济的。工业上主要采用将石油裂解并将所得到的产物之一正庚烷脱氢成环的方法。
 
正庚烷的脱氢成环反应: 正庚烷将先脱氢生成甲基环己烷，然后被进一步氧化为甲苯。
此外，环庚三烯可由光化学的方法直接转化为甲苯。

**化学性质**
甲苯在一般条件下性质十分稳定，但同酸或氧化剂却能激烈反应。它的化学性质类似于苯酚和苯，反应活性则介于两者之间。甲苯能腐蚀塑料，因而必须被存放在玻璃容器中。
在氧化反应中（如与热的碱性高锰酸钾溶液），甲苯能由苯甲醇、苯甲醛而最终被氧化为苯甲酸。甲苯主要能进行自由基取代、亲电子取代和自由基加成反应。亲核反应则较少发生。
在受热或光辐射条件下，甲苯可以和某些反应物(如溴）在甲基上进行自由基取代反应。
甲苯与浓硫酸和浓硝酸的混合物能够发生取代反应，在30℃时，主要得到的是一硝基取代物邻硝基甲苯和对硝基甲苯；在加热条件下，反应生成烈性炸药2,4,6-三硝基甲苯(简称三硝基甲苯，即TNT):
300px

**安全**
经动物实验显示，高量可能导致老鼠死亡。但工业甲苯中经常掺有少量苯。甲苯与苯这两种结构十分类似的化合物在毒性上却有极大的差异。与苯的氧化反应不同，甲苯的氧化反应基本都并不在苯环上，而在甲基上发生。因此，苯氧化后常产生的具有强致癌性的环氧化物，在甲苯的氧化物中极少出现。- 侵入途径：吸入、食入、经皮吸收。- 健康危害：对皮肤、粘膜有刺激性，对中枢神经系统有麻醉作用。- 急性中毒：短时间内吸入较高浓度本品可出现眼及上呼吸道明显的刺激症状、眼结膜及咽部充血、头晕、头痛、恶心、呕吐、胸闷、四肢无力、步态蹒跚、意识模糊。重症者可有躁动、抽搐、昏迷。- 慢性中毒：长期接触可能发生神经衰弱综合症、肝肿大，女性月经异常、皮肤干燥、龟裂、皮肤炎等。

**注释**

**参见**
 苯
养老律令

《养老律令》（rm=yōrō ritsuryō）是古代日本的基本法典，是由十卷十二篇的律与十卷三十篇的令组成律令法。《养老律令》是日本养老二年（718年）起藤原不比等开始根据《大宝律令》做了一些修订而成。自孝谦天皇天平宝字元年（757年）开始施行，然而到了平安时代，《养老律令》的规范开始与实际的社会经济状况不符，虽然通过编撰格式来弥补，但到了平安时代中期，《养老律令》已几乎变成了空壳。不过日本一直没有宣布废除《养老律令》，直到明治维新开始才于1868年废止《养老律令》，施行期间大约是1100年，是日本史上历史施行最久的明文法令。《养老律令》的律已大半散佚，令大部分尚存于《令义解》中。

**沿革**
文武天皇大宝元年（701年）藤原不比等等人制定了大宝律令，之后不比等等人仍继续编辑修订律令，以使律令内容更适合日本的国情 (庆云改革)。元正天皇养老2年（718年）藤原不比等完成十卷的律与十卷的令，但是720年不比等去世，使得律令的修订工作暂停。孝谦天皇统治时期在藤原仲麻吕倡议下，藤原不比等编绳的律令于757年正式生效，《养老律令》虽然在某些篇目 (如：户令)进行了重要修改，但总体上并无重大差异，主要差异在于用词、表述以及对法律缺陷的修正。
到了平安时代，《养老律令》的规范开始与实际的社会经济状况不符，使得律令内容难以实行。桓武天皇的时代颁布删定律令・删定令格，以弥补律令的缺失，但9世纪初随即因频繁发生争议，被以造成民心不定为由废止。此后日本不再编撰律令，改以颁布格式补全律令的缺失。到了平安时代中期，《养老律令》已几乎变成了空壳，例如律令规范的二官八省中央体制，被摄关、院政、幕府等令外体制取代；班田、租庸调等律令制度也不再实施。
明治维新后，明治政府于1868年（明治元年）制定了《临时刑律》 ，并于1870年制定了《新律纲领》。《新律纲领》仅修改了《养老律令》律的部分，可以说是律令的恢复。1873年日本开始引入欧洲刑法体系，着手修改法律和条例。1880年《刑法》 颁布，中华法系中「律」这一法律术语被现代法律体系的「刑法」所取代。

**意义**
《养老律令》与《大宝律令》并没有重大差异，因此即使在《养老律令》生效之后，政治运作没有重大改变。《养老律令》的重要性可以结合其施行时的政治局势来理解，由于一直统治中央政府的圣武上皇于756年去世，政府内部多个派系开始争夺领导权，其中藤原仲麻吕与孝谦天皇合作，开始快速崛起。在这种情况下，《养老律令》的实施，是为了利用仲麻吕祖父不比等的功绩，宣告其继承不比等的政治遗产，以支持仲麻吕政权，存在着促进稳定的政治意图。
另一方面，《大宝律令》据开始施行已过去半个世纪，有些学者积极评价《养老律令》为律令制度重组的一部分，以更好地适应日本的国情。此外，直到近代早期，《养老律令》仍被视为律法的典范。江户幕府在编纂《公事方御定书》时，不仅参考了武家法 (御成败式目、建武式目)的先例，也参考了《养老律令》。

**篇目**

**律**
 第一　名例律　上- 第二　名例律　下- 第三　卫禁律、职制律- 第四　户婚律- 第五　厩库律、擅兴律- 第六　贼盗律- 第七　鬪讼律- 第八　诈伪律- 第九　杂律- 第十　捕亡律、断狱律

**令**
 第一　官位令- 第二　职员令、后宫职员令、东宫职员令、家令职员令- 第三　神祇令、僧尼令- 第四　户令、田令、赋役令、学令- 第五　选叙令、继嗣令、考课令、禄令- 第六　宫卫令、军防令- 第七　仪制令、衣服令、营缮令- 第八　公式令- 第九　仓库令、厩牧令、医疾令、假宁令、丧葬令- 第十　关市令、捕亡令、狱令、杂令

**参见**
 律令- 律令制
** 日本律令制

**日本的律令**
 近江令- 飞鸟净御原令- 大宝律令- 删定律令

**参考资料**

**外部链接**
  养老律令 原文 date=20230407033840
郭尚勋

郭尚勋（곽상훈，catIdx=G）号三然，是韩国政治人物，第二共和国时期曾暂任代理总统。早年于庆尚工业学校就读，之后前往仁川发展。
1948年代表仁川成为首届国会议员。之后由第2届至第5届国会都担任议员。1960年5月2日至1960年6月23日担任韩国国会议长。1960年4月19日，韩国爆发419革命，原总统李承晚落台并逃往夏威夷，并由外务部长官许政暂代总统权行。6月15日，国会通过《内阁责任制改宪案》期间，通过在审议新宪法期间，赋于国会议长郭尙勋暂时代行总统职务的权力，由6月17日开始，直至6月22日审议完毕，才交回原代总统许政继续，并从政坛引退。因此，郭尚勋成为了韩国历代任期最短的代总统。
1972年，郭尚勋回到政坛，并当选成为统一主体国民会议的成员。
1979年，郭尚勋于家中去世，韩国政府为其举行社会葬，将其安葬于国立首尔显忠院。

**参考资料**
  仁川的人物－郭尙勋(韩语)-  韩国历代国会 第4代: 1958.5.31~1960.7.28(韩语) date=20041021044742 -  6月15日-6月21日历史(韩语)
Sang-hoon
朱淑真

朱淑真像，出自《古今百美图》
朱淑真（catIdx=Zhu,朱），又作朱淑珍、朱淑贞，号幽栖居士，南宋女词人，约生活于南宋高宗、孝宗时期。她的籍贯身世，历来说法不一，原籍歙州（治今安徽歙县），《四库全书》中定其为“浙中海宁人”，一说“浙江钱塘（今浙江杭州）人”。

**生平**
朱淑真出身仕宦家庭，其父即临安知府朱晞颜，家境富足，受过良好的教育，通音律、能绘画。后嫁绍兴知府汪纲为妻。她是宋朝仅次于李清照的女词人，相传朱淑真婚后生活不幸福，离婚再嫁，最后仍抑郁而终，享年不到50岁。其墓在杭州青之坞。

**作品**
朱淑真的词“含思凄婉，能道人意中事”。著名的《生查子》：“去年元夜时，花市灯如昼。月上柳梢头，人约黄昏后。”一直被认为是欧阳修的作品，有学者考证原是朱淑真所作。所着《断肠词》，有明毛晋《诗词杂俎》本、无名氏《紫芝漫钞》本、清《四库全书》本、清光绪间丁丙所辑《武林往哲遗箸》本，民国王鹏运《四印斋所刻词》本。二十世纪唐圭璋所编《全宋词》本最为精审。明人戴冠有《和〈断肠词〉》一卷，在一定程度上保存了朱淑真词集的原貌。

**注释**

**参考书目**
黄嫣梨：《朱淑真事迹索隐》，《文史哲》1992年第6期
*邓红梅：《朱淑真事迹新考》，《文学遗产》1994年第2期
*董淑瑞：《朱淑真诗词中的自我形象》，《河北大学学报》，1985年第4期
*谢无量：《中国妇女文学史》

**外部参考**
 中国历代名女传：朱淑贞断肠处别有情怀- 历代文人 宋代清秀才女朱淑真
category:嘉兴人
S淑
邓肯

邓肯（Duncan），名字源于苏格兰，可能是指：

**人物**
伊莎多拉·邓肯，美国舞蹈家
*邓肯·爱德华兹，英格兰足球运动员
*邓肯·爱德华·欧捷顿，新西兰职业球员
*蒂姆·邓肯，美国职业篮球运动员
*邓肯一世，苏格兰国王（1034年-1040年）
*邓肯二世，苏格兰国王（？－1094年）
*琳赛·邓肯，苏格兰舞台、电视和电影演员
*迈克尔·克拉克·邓肯，美国著名演员
*阿恩·邓肯，第9任美国教育部长
*薛利·邓肯，美国棒球选手
*邓肯·麦坚时，英格兰前足球运动员
*夏琳·邓肯，美国R&B歌手
*克里斯·邓肯，美国棒球选手
*邓肯·桑兹，英国政治家
*周群达，香港出生，台湾出道艺人
*Duncan (插画家)，台湾插画家。

**船只**
邓肯号驱逐舰_(DD-46)，美国海军的驱逐舰

**水果**
邓肯 (芒果)，一个芒果品种

**小行星**
小行星2753

**地方**
美国:
*邓肯 (亚利桑那州)，位于亚利桑那州
*邓肯 (南卡罗来纳州)，位于南卡罗来纳州
加拿大:- 邓肯 (不列颠哥伦比亚省)，位于温哥华岛
南极:
*邓肯山脉，南极洲的山脉
代数数

代数数（algebraic number）是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作或，是复数域的子域。
不是代数数的实数称为超越数，例如圆周率。几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。代数数的集合是可数的，是因为整系数多项式的集合是可数的，代数数的集合是所有整系数多项式的解集合的联集，且可数无限多的可数集的联集是可数的之故。

**定义**
代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。第一个定义可以具体描述为：
设为复数。如果存在正整数，以及个有理数，并且，使得：
:
则称是一个代数数。
这个定义中，由于可以推出，其中整数分别等于，是个有理数分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得是其复根”。另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得是其复根”。这说明两个定义是等价的。

**例子**
任何有理数都是多项式的根，因此每个有理数都是代数数。所有形同的无理数也是代数数，因为它是多项式的根。例如和是代数数，因为它们分别是方程和的根。
黄金比率是代数数，因为它是的根。二次无理数，也就是二次方程的根，是代数数。虚数单位也是代数数，因为是的根。单位根|n次单位根，顾名思义，是的根，因此是代数数。高斯整数也是代数数，例如高斯整数是多项式的根。
所有规矩数（即可以从单位长度的线段出发，通过尺规作图法做出的线段的长度数值）都是代数数。因为建立直角坐标系后可以证明，标准的尺规作图步骤的每一步都相当于计算一个次数不超过2的多项式方程，因此能够通过有限步做出的线段长度必然是有限个有理系数多项式迭代后得到的多项式的根，从而是代数数。
自然对数的底和圆周率都不是代数数。

**性质**
代数数不一定是实数，实数也不一定是代数数。代数数的集合是可数的。证明的方法是将所有整系数的多项式归类。首先定义为所有次整系数多项式的集合。其次定义为系数绝对值的和等于的次整系数多项式的集合：
:
中多项式的任何系数至多有个可能性，最高次项系数至多有个可能性，因此这样的多项式个数不超过。每个多项式至多有个根。如果将所有中多项式的根的集合记为，则的元素个数不超过，即为有限集。
整系数多项式的集合可以写为常数多项式和的并集：
:
而常数多项式没有根。所以，任一代数数必然是某个中的多项式的根，即属于。反之任何中的元素按定义必然是代数数。因此代数数的集合也可以写为所有的并集：
:
而是可数集。集合是可数个有限集的并集，因此是可数的。
由于代数数的集合是可数集，因此在复平面上，代数数集合的勒贝格测度为零。在此意义上，可以说“几乎所有”的复数都不是代数数。
给定一个代数数z，在所有以为根的有理系数多项式中，存在唯一的一个首一多项式，其次数小于等于任何其他以为根的多项式。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为，则称该代数数为次代数数。一次的代数数就是有理数。
所有的代数数都是可计算数，因此是可定义数。

**代数数域**
两个代数数的和、差、积与商（约定除数不为零）也是代数数。可以验证，装备了有理数的加法、乘法运算的代数数集合构成一个域，有时也记为。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数域的最小的代数封闭域，称为有理数域的代数闭包。

**由根式定义的数**
任何可以从整数或有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到的数都是代数数。反之则不成立：有些代数数不能用这种方法得出，这些代数数是次数为5次或超过5次的多项式的根。这是伽罗瓦理论的结果（参见五次方程和阿贝尔-鲁菲尼定理）。一个例子是的唯一实根（大约为）。

**代数整数**
代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分，但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数，其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作，是代数数的子集。在某些上下文中，为了与代数整数区别，整数也被称作有理整数。
两个代数整数的和、差与积也是代数整数，这就是说，装备了整数的加法、乘法运算的代数整数集合构成了一个环，因此代数中也被称为代数整数环。

**参考文献**
 G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0-  isbn = 0-387-95385-X- Orestein Ore 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)