默冬章

出自圣埃梅拉姆修道院，在9世纪将周期19年的默冬章描述为车轮状的计算手稿。(巴伐利亚国立图书馆，14456, fol. 71r)
例如，从1711年至2300年，在19年的默冬章中，满月在圣诞节的附近不断重复地出现。比较它们的外观，可以看见有微小的天秤动。红色表示在那次满月出现月食。
默冬章（Metonic cycle或enneadecaeteris，后者源自ἐννεακαιδεκαετηρίς，意思就是19）是月球的月相在大约19年的周期，于一年的同一天重现。它的重现并不是很完美，定义约为235个朔望月。精确观测显示，它比19个回归年长1小时27分33秒。雅典的默冬透过对第3年、6年、8年、11年、14年、17年和19年有13个月是长年的巴比伦历和希伯来阴阳历的研究，判断其周期为6,940天整数日。公元前432年，默冬在古希腊雅典的奥林匹克运动会上宣布发现19年的周期。但在公元前432年或以前，美索不达米亚的居民已经知道这种周期，并且作为他们自己标准的历法周期。利用这个整数，有助于构建农历。
在中国古代，类似的概念为章，也就是农历19年7闰的法则；已知之最早历法古六历，皆采用十九年七闰法。在玄始历与大明历以前，两者的章几乎相同。
中国一直到玄始历与大明历才废除19年7闰的章法。

**在传统历法中的应用**
传统上，对巴比伦历和希伯来历的阴阳历而言，第3年、第6年、第8年、第11年、第14年、第17年和第19年是默冬章中有13个月的长年。这个周期构成了希腊历和希伯来历的基础，用于每年计算复活节的日期。
巴比伦人从西元前六世纪后期开始采用19年的周期，这是犹太王国被巴比伦囚虏的时代。在埃及，为了预测尼罗河的洪水泛滥，他们采用阳历；以色列民族宁愿遵守季节性事件的农历，他们将Aviv的那个月订为新年度的第一个月(出埃及记 9:31, 12:1-2)，需要周期性的闰月。当他们测量月球相对于恒星的运动时，235:19的关系最初可能指的是恒星年，而不是各种历法中使用的回归年。
根据李维，罗马国王努玛·庞皮留斯(西元前753-673 年)插入闰月的规则是"在第20年，从那时开始，太阳落下的位置应该回到开始时的同一天。" 。由于"第20年"是"第1年"之后的19年，这似乎表明努玛的历法中应用了默冬章的周期。
西西里的狄奥多罗斯报导说，阿波罗每19年会造访超级宝库一次。
默冬章(19年)是阴阳历周期，与76年的卡里普斯周期类似。在儒略历中应用的一个重要例子是19年的农历周期，但实际上只应用了一个默冬结构，在后续的世纪，卡里普斯发展了4个19年周期的卡里普斯周期，其周期为76年，平均年常为365.25天。在安提基特拉机械中实现了默冬章的循环，为以默冬章为基础的行事历盛行，提供了意想不到的证据。
大约在西元260年，亚历山大的Anatolius of Laodicea是第一位使用这种计算器确定复活节所在星期天的人，他在西元268年成为老底嘉(Laodicea)的主教。然而，它是后来但略有不同的默冬19年月球周期版本，最终成为狄奥尼修斯·伊希格斯和是比德制作复活节表的基本结构，至少直到1582年，儒略历被格里历取代之前，在整个基督教世界盛行很长一段时间。
是基于19年默冬章周期的万年历；它也被称为符文规杖 (Rune staff)或符文年鉴 (Runic Almanac)。这种历法不依据回归年或闰年来维系，它是在每年年初通过观察冬至后的第一个满月来确定。这是已知最古老，也是中世纪唯一的Nyköping staff，据信可以追溯到13世纪。
19世纪中期建立的巴哈伊历法也是以19年为周期。
在中国传统的农历，从已知的第一个古代历法就开始使用了默冬章。默冬章一直使用到5世纪才被更精确的周期取代。

**数学基础**
人们认识到回归年对农业的重要性，比采用农历月份来计时要晚得多。然而，人们也认识到这两者在很段的时间跨度内是不容易协调的。因此考虑了较长的时间间隔，并发现默冬章是相当好，但还不是完美的架构。现在所接受的值是：
235个朔望月(月相) = 6,939.688日(默冬章的定义)
19个回归年 = 6,939.602日
一个默冬章的周期，两者的差值为0.086日，这意味着在十几次的周期之后，天文数据和计算之间将有整整一天的延迟。实际的误差是每219年差一天，即每一天的误差是百万分之12.4。然而，也有其它的周期与默冬章非常接近： 
254个恒星月(轨道周期) = 6,939.702日 
255个交点月(月球交点) = 6,939.1161日
20.021 食年(40个食季) = 6,939.55944日
由于接近255个交点月（大约超过半天），默冬章也是一个交食周期，但只能持续4或5个周期。 Octon (eclipse cycle)是默冬章的5（47个月，3.8年），它大约重复20到25个周期。
这种循环似乎是种巧合。月球绕地球的轨道和地球绕太阳的轨道周期被认为是独立的，没有任何已知的物理共振。非巧合的一个例子是水星的轨道，有着3:2的自旋轨道共振。
阴历一年为12个朔望月，约为354天；比365天的阳历短少约11天。 因此，当阴历年和阳历年之间的差异超过一整个朔望月时，就需要插入一个完整的月（"闰月"），也就是置闰。雅典人起初似乎没有一个固定的方法来插入第13个月；什么时候添加一个月的问题是由官员决定的。默冬章的发现使他们有可能提出一种规则的置闰方案。巴比伦人似乎在西元前500年左右提出了这样的方案，因此是早在默冬之前。

**更多细节**
两个与默冬章相关但不太准确的子周期： - 8年 = 99个朔望月 (一个奥克东周期) 误差1.591日；即5年有一日的误差。- 11年 = 136个朔望月，误差大约1.504日，也就是每7.3年误差一日。
将11年的的周期与19年默冬章适当的结合起来，就有可能产生更加精确的周期。例如，经由简单的算术表明： - 687 回归年 = 250,921.39日;- 8,497 朔望月 = 250,921.41日
这使得687年的误差只有半小时(平均一年只差2.5秒)，然而这取决于回归年与朔望月的长期变化组合。
在默冬的时代，尚未发现岁差，所以他尚不知道恒星年(现在是365.256363日)和回归年(现在是365.242190日)的差别。大多数的历法，例如常用的格里历，都是以回归年为基础，每年都维持相同的日历时间。

**相关条目**
Octaeteris(古代的8年周期)- 卡利皮奇周期（西元前330年使用的76年周期）- Hipparchic cycle (西元前2世纪的304年周期)- 沙罗周期(食的周期)- 阿提卡历和拜占庭历- 农历- 希伯来历- Runic calendar- 儒略日- 复活节的计算

**注解**

**参考资料**
 Mathematical Astronomy Morsels, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., 1997 (Chapter 9, p. 51, Table 9. A Some eclipse Periodicities)- C. Philipp E. Nothaft (2012) Dating the Passion (The Life of Jesus and the Emergence of Scientific Chronology (200-1600), Leiden 9789004212190)- Daniel P. Mc Carthy & Aidan Breen (2003) The ante-Nicene Christian Pasch De ratione paschali (The Paschal tract of Anatolius, bishop of Laodicea): Dublin ( 9781851826971)- Georges Declercq (2000) Anno Domini (The Origins of the Christian Era): Turnhout (9782503510507)

**外部连结**
 Eclipses, Cosmic Clockwork of the Ancients  date=20171230101631