完全数

以古氏积木演示完全数6
完全数（perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。
例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。
十进位的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。

**完全数的发现**
古希腊数学家欧几里得是通过
的表达式发现前四个完全数的。 
当2^1*(2^2-1)
当2^2*(2^3-1)
当2^4*(2^5-1)
当2^6*(2^7-1)
一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：，其中是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。
比如，上面的和对应着和的情况。我们只要找到了一个形如的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。
尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是或的形式，其中是素数。 
首十个完全数是（A000396）：
# 6（1位）
# 28（2位）
# 496（3位）
# 8128（4位）
# 33550336（8位）
# 8589869056（10位）
# 137438691328（12位）
# 2305843008139952128（19位）
# 2658455991569831744654692615953842176（37位）
# 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

**历史**
古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当  的时候，可是  并不是素数。因此  不是完全数。另外两个错误假设是：- 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。- 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。
事实上，第五个完全数  是  位数。
对于第二个假设，第五个完全数确实是以  结尾，但是1588年，意大利数学家彼得罗·卡塔尔迪计出第六个完全数 ，仍是以  结尾，只能说欧几里得的公式给出的完全数以  和  结尾。卡塔尔迪证明了此结论。此外，还计出第七个完全数137,438,691,328。
对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为  共有  位数。

**性质**
以下是目前已发现的完全数共有的性质。- 偶完全数都是以6或28结尾。- OR|在十二进制中，除了6跟28以外的偶完全数都以54结尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全数都以054或854结尾。而如果存在奇完全数，它在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾。- OR|在六进制中，除了6以外的偶完全数都以44结尾，甚至除了6, 28以外的偶完全数都以144或344结尾。而如果存在奇完全数，它在六进制中必定以01, 13, 21或41结尾。- 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那幺这个个位数一定是11=亦即，除了6以外的偶完全数，被9除都余1。：
→  → 
→  →  → - 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从到：



- 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和noteTag|1=亦即，每个偶完全数都是三角形数。：



- 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有)1=这是因为。：



- 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

- 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如，所以左边的１数量永远比右边的０多１个）







- 有趣的是，以繁体字书写「完全数」刚好是28划。

**奇完全数**
截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在102200以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的质因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。
美国数学家卡尔·帕梅朗斯提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

**奇完全数的部分条件**
 N > 102200- N是以下形式： 
: 
其中：- q，p1，…，pk是不同的素数（Euler）。- q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。- N的最小素因子必须小于。- ≡...≡ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。- 要幺qα > 1062，要幺对于某个j有 > 1062。- N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。- N不能被105整除。- N的最大素因子必须大于108，并低于 。。- N的第二大素因子必须大于104，并低于。  。- N的第三大素因子必须大于100。- N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。- 如果对于所有的i，都有 ≤ 2，那幺：
** N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
** α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

**图查德定理**
这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如或。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明，1951年巴尔塔萨·范德波尔用非线性偏微分方程得出证明。茱蒂·霍尔德纳在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。
证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）- 欧拉证明了奇完全数的形式必如。- 表示的正因数之和。完全数的定义即为。为积性函数- 引理（甲）：若（是正整数），则非完全数。- 引理（乙）：若（是正整数），则非完全数。
引理的证明（甲）：
使用反证法，设为完全数，且。
。因为3的二次剩余只有0,1，故非平方数，因此其正因数个数为偶数。
有正因数，则可得：
 且；或
 且。
因此，。故。
但，矛盾。
故的形式只可能为或。
引理的证明（乙）：
使用反证法，设为完全数，且。
。因为4的二次剩余只有0,1，故非平方数，因此其正因数个数为偶数。
有正因数，则可得：
 且；或
 且。
因此，。故。
但，矛盾。
故的形式只可能为。
若，根据欧拉的结果，，综合两者，得。
若，，得。若非3的倍数，3和互质。
因为为积性函数，可得。
但，出现了矛盾。故知是3的倍数。代入，可得。

**参考**
  Odd Perfect Numbersdate=20060916102829 , Gagan Tara Nanda

**注释**

**参考资料**

**参见**
高合成数
*婚约数
*亲和数
*盈数
*亏数
*梅森素数
*半完全数
*佩服数
*超完全数
*梅森素数与完全数集合
*笛卡尔数

**外部链接**
 id=p/p072090- David Moews:  Perfect, amicable and sociable numbersdate=20141228104932 -  Perfect numbers – History and Theorydate=20040630205006 - title=Perfect Number- name=Perfect numbers-  OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.-  Great Internet Mersenne Prime Searchfix-attempted=yes -  Perfect Numbersdate=20150212231337 , math forum at Drexel.- cite web|last=Grimes|first=James|title=8128: Perfect Numbers|url=http://www.numberphile.com/videos/8128.html|work=Numberphile|publisher=Brady Haran|access-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20130531000409/http://numberphile.com/videos/8128.html|archive-date=2013-05-31|dead-url=yes