密度矩阵

FILE:vertical_polarization.svg|right|thumb|200px|从白炽灯（1）发射出的光子处于完全随机偏振混合态（2），密度矩阵为 。通过垂直平面偏振器（3）之后，光子处于垂直偏振纯态（4），密度矩阵为 。
在量子力学里，密度算符（density operator）与其对应的密度矩阵（density matrix）专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态向量  来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计机率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态  、 、 、……的机率分别为  、 、 、……，则这混合态量子系统的密度算符  为
 。
注意到所有机率的总和为1：
 。
假设  是一组规范正交基，则对应于密度算符的密度矩阵  ，其每一个元素  为
 。
对于这量子系统，可观察量  的期望值为
  ，
是可观察量  对于每一个纯态的期望值  乘以其权值  后的总和。
混合态量子系统出现的案例包括，处于热力学平衡或化学平衡的系统、制备历史不确定或随机变化的系统（因此不知道到底系统处于哪个纯态）。假设量子系统处于由几个纠缠在一起的子系统所组成的纯态，则虽然整个系统处于纯态，每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干理论里，密度算符是重要理论工具。
密度算符是一种线性算符，是自伴算符、非负算符（nonnegative operator）、迹数为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼与列夫·郎道各自独立于1927年给出。48-55

**纯态与混合态**
假设一个量子系统的量子态是纯态，则这量子态可以用态向量表示为  。几种纯态依照机率组成的量子态称为混合态。例如，假设一个量子系统处于纯态  、 的机率都为50%，则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。
混合态与叠加态的概念不同，几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如， 是个纯态。

**光子偏振案例**
光子的两种圆偏振态，右旋圆偏振态与左旋圆偏振态，分别以态向量  、 标记。光子也可能处于叠加态，例如，垂直偏振态与水平偏振态分别为   、 。更一般地，光子偏振所处于的叠加态可以表示为  ；其中， 、 是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。
假若让处于叠加态  的光子通过左旋圆偏振器，则出射的光子处于左旋圆偏振态  ；假若通过右旋圆偏振器，则出射的光子处于右旋圆偏振态  。对于这两种圆偏振模，光子强度都会减半，貌似意味着叠加态  的一半光子处于量子态  ，另一半处于量子态  ，但这种解释并不正确，处于量子态  与  的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是处于量子态  的光子不会被垂直平面偏振器吸收。
从白炽灯发射出的光子是一种非偏振态光子，不能用叠加态  来描述。特别而言，与平面偏振态光子不同，它通过任何偏振器后都会失去50%强度，与圆偏振态光子不同，使用波片（waveplate）不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为，处于  的机率是50%，处于  的机率是50%。它也可以描述为，处于垂直偏振态的机率是50%，处于水平偏振态的机率是50%。
非偏振态光子的量子态不是纯态，而是由几种纯态依照统计机率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成，或者，它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分，因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料，足够计算任何关于混合态的可测量性质。
混合态到底源自何处？试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统，这系统拥有很多个微观态（microstate），伴随每一个微观态都有其发生的机率（波兹曼因子），它们会因热力学涨落（thermal fluctuation）从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序，例如，将光束通过表面粗糙的双折射晶体，使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制，有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开，这纠缠系统的量子态为  ，整个系统是处于纯态，但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子，从分析光子子系统的约化密度算符，可以得到这结论。
一般而言，混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合（例如热力学平衡）、制备程序的不确定性（例如光子可能移动于稍微不同路径）、包含在纠缠系统内的子系统（例如EPR机制）。

**数学表述**

**纯态**
假设一个量子系统的量子态是纯态，则这量子态可以用态向量表示为  ，对应的密度算符定义为309-313
 。
从密度算符的形式，可以推论密度算符是自伴算符：
 。
假设，物理量  是这量子系统的可观察量，其本征值为  的本征态  形成一个规范正交基  ，则对可观察量  做测量得到  的机率 为96-99
 ；
其中， 是对应于本征态  的投影算符， 是迹数。
做实验测量可观察量  获得的期望值为
 。
这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则（trace rule）。36对于不同的规范正交基，迹数是个不变量。采用任何规范正交基，都可以计算出同样迹数。另外，机率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性，这是很优良的性质，这意味着机率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。
由于  被归一化， 密度算符的迹数为1：
 。
对于任意归一化量子态  ，
 ，
所以，密度算符是非负算符（nonnegative operator）。

**混合态**
将先前纯态密度算符的定义式加以延伸，假设在一个量子系统处于纯态  、 、 、……的机率分别为  、 、 、……，则这混合态量子系统的密度算符  为311-313
 。
每一个机率都是非负实值，所有机率的总和为1：
 ，
 。
按照「无知诠释」，这种量子系统确定是处于某个纯态，但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为「真混合物」（proper mixture），否则，称为「瑕混合物」（improper mixture）。
回想在纯态段落里，机率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性，这意味着对于混合态的密度算符，这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符，也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质：
*密度算符是自伴算符： 。
*密度算符的迹数为1： 。
*对可观察量  做测量得到  的机率为  。
*做实验测量可观察量  获得的期望值为  。
*密度算符是非负算符： 。
由于密度算符  是自伴算符，它具有谱表示
 ；
其中， 是本征值为  的本征态，所有  形成一个规范正交基。
按照自伴算符的定义，每一个本征值  是它自己的共轭：
 。
由于密度算符  是非负算符，每一个本征值  都是非负值。
由于密度算符  的迹数为1，
 。
给定一个量子系统，其所有可能的密度算符组成一个凸集。假设  属于这凸集，则  也属于这凸集；其中， 是系数， 。51

**用密度算符辨认纯态与混合态**
由于纯态的密度算符定义式为311-313
 ，
所以纯态的密度算符具有特征- 。- 。
否则，非纯态的密度算符遵守关系式
 。
另外，将纯态的密度矩阵  对角化后，只能有一个对角元素等于1，其它对角元素都等于0，例如，一种形式为178-183
 。
量子态的purity (quantum mechanics) 定义为
 。
纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态，其对角元素的数值为 、非对角元素的数值为0，其纯度为 。40-41
冯诺伊曼熵是另一种描述量子态混合程度的量度。

**连续性本征态基底**
位置是一种连续性可观察量，具有连续性本征值谱，用这种可观察量的连续性本征态为基底，密度矩阵  含有两个位置参数  、 ：186
 。
可观察量  的期望值为
 。

**复合系统**
假设密度算符为  的复合系统是由两个子系统  、 组成，这两个子系统的物理行为分别由其对应约化密度算符（reduced density operator）  、 描述：120-125，128-129
 、
 ；
其中， 、 分别是对于子系统 、 的偏迹数（partial trace）。
这复合系统的两个子系统之间没有任何关联（没有任何量子关联或经典关联），若且唯若  是  与  的张量积：
 。

**约化密度算符**
约化密度算符最先由保罗·狄拉克于1930年提出。假设两个希尔伯特空间、的规范正交基分别为、，分别在这两个希尔伯特空间、的两个子系统、所组成的复合系统，其量子态为纯态，其密度算符为
。
取密度算符对于子系统的偏迹数，可以得到子系统的约化密度算符：
。
例如，纠缠态，其子系统的约化密度算符为
。
如同预想，这公式演示出，子系统的约化密度算符为混合态。

**范例**
设定斯特恩-革拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴，入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束，每一道银原子束代表一种量子态，上旋或下旋。
如右图所示，使用z-轴方向的斯特恩-革拉赫实验仪器，可以将入射的银原子束，依照自旋的z-分量  分裂成两道，一道的  为上旋，标记为    ，另一道的  为下旋，标记为  。

**z-轴方向**
态向量： 。
密度矩阵： 。
*态向量： 。
密度矩阵： 。

**x-轴方向**
态向量： 。
密度矩阵： 。
*态向量： 。
密度矩阵： 。

**y-轴方向**
态向量： 。
密度矩阵： 。
*态向量： 。
密度矩阵： 。

**完全随机粒子束**
完全随机粒子束的量子态不是纯态，它可以由50%  纯态与50%  纯态组成：
 。
它也可以由50%  纯态与50%  纯态组成：
 。
另外，它还可以由50%  纯态与50%  纯态组成，因此可见，不同的组合仍可得到同样的混合态。
一般而言，完全随机粒子束的  密度矩阵  ，经过对角化之后，可以写为186
 。

**热平衡态**
对于一组能量本征态，热平衡下的混态：

其中，以及是配分函数。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。

**冯诺伊曼方程式**
薛丁格方程式描述纯态怎样随着时间流逝而演化，冯诺伊曼方程式描述密度算符怎样随着时间流逝而演化。实际而言，这两种方程式等价，因为它们彼此都可以推导出对方。假设，在时间  ，量子系统的密度算符为
 ；
其中，量子系统在时间  处于纯态  的机率是  
假若不搅扰这量子系统，则机率  跟时间无关。在时间  ，纯态  遵守含时薛丁格方程式
 ，
其中， 是约化普朗克常数， 是哈密顿算符。
所以，冯诺伊曼方程式表示为
 ；
其中，方括弧代表对易算符。
注意到只有当采用薛丁格绘景时（必须采用薛丁格绘景来计算密度算符）这方程式才成立，虽然这方程式看起来很像海森堡绘景的海森堡方程式，唯一差别是关键的正负号：
 ；
其中， 是某种采用海森堡绘景的算符。
在海森堡绘景里，密度算符与时间无关，正负号差别确使期望值  对于时间的导数会得到与薛丁格绘景相同的结果。
假若哈密顿算符不含时，则可从冯诺伊曼方程式推导出
 。

**冯诺伊曼熵**
对于两体纯态系统，冯诺伊曼熵  （竖轴）与本征值  （横轴）之间的关系曲线。
在量子统计力学（quantum statistical mechanics）里，冯诺伊曼熵（von Neumann entropy）是经典统计力学关于熵概念的延伸。对于密度矩阵为  的混合态，冯诺伊曼熵定义为301
 。
这公式涉及到矩阵对数（logarithm of a matrix），似乎很难计算，但密度算符  是自伴算符，具有谱表示186-188
 ；
其中， 是本征值为  的本征态，所有  形成一个规范正交基。
因此，可以将密度矩阵  对角化，将冯诺伊曼熵更简单地以对角化后的密度矩阵  定义为
 。
冯诺伊曼熵  又可以写为
 。
从这形式，可以推论冯诺伊曼熵与经典信息论里的夏农熵（Shannon entropy）相关。
在这里，可以视每一个本征值  为处于本征态  的机率。假若某事件的发生机率为零，则这事件不应贡献出丝毫冯诺伊曼熵。从数学而言，以下极限为零：
 。
因此，可以采用约定
 。
纯态的冯诺伊曼熵为零，因为其密度矩阵对角化之后，只有一个元素为1，其它均为0。即所有对角元素  必定满足  或  。
完全随机混合态的  密度矩阵，其冯诺伊曼熵  为
 。
假若，将冯诺伊曼熵视为量子系统失序现象的一种量度，则纯态拥有最小的冯诺伊曼熵  ，而完全随机混合态拥有最大的冯诺伊曼熵  。
每一次做投影测量，冯诺伊曼熵都会增加，永远不会减少，但是，对于广义测量（generalized measurement），冯诺伊曼熵可能会减少。混合态的冯诺伊曼熵永远不小于零。因此，纯态可以通过投影测量改变为混合态，但是，非纯态的混合态永远无法通过投影测量改变为纯态。投影测量这动作促成了一种基本不可逆性的对于密度算符的改变，如同波函数塌缩。实际而言，相当反直觉地，投影测量这动作抹除了复合系统的量子相干性。更详尽内容，请参阅条目量子退相干。
一个量子系统的子系统可以从混合态改变为纯态，但是所附出的代价是其它部分的冯诺伊曼熵会增加，就好似将一个物体放进冰箱来降低其熵，冰箱热交换器外的空气会变暖，而所增加的熵会比物体所减少的熵更多。更详尽内容，请参阅条目热力学第二定律。

**参阅**
玻恩法则（Born rule）
*格里森定理（Gleason's theorem）
*密度泛函理论