波动方程

波动方程或称波方程（wave equation）是一种二阶线性偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象—正如它们出现在经典物理学中—例如机械波，包括声波、光波、引力波、无线电波、水波、和地震波。波动方程抽象自声学、波动光学、电磁学、电动力学、流体力学、广义相对论等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。  1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。

**简介**
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：

其中-  是一个固定常数，代表波的传播速率-  是一个纯量场，表示位移，或更一般地说，表示守恒量（例如压力或密度）-  是拉普拉斯算子
此方程式表明，在任意给定点  对时间的二阶导数与  对空间的二阶导数的总和成正比，比例常数是波速的平方。
其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。

**标量形式的一维波动方程**

**波动方程的推导**
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：
300px
其中u(x)表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h处的质点m上的力为：


其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h处质点的运动方程为：
 
式中已注明u(x)是时间t的显函数。
若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：


取极限   N , h就得到这个系统的波动方程：

在这个例子中，波速。

**一般解**

**代数方法**
一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式：
 
从上面的形式可以看出，若F和G为任意函数，那幺它们以下形式的组合 
  
必然满足原方程。上面两项分别对应两列行波——F表示经过该点（x点）的右行波，G表示经过该点的左行波。为完全确定F和G的最终形式还需考虑如下初始条件： 


经带入运算，就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解，又称达朗贝尔公式：

在经典的意义下，如果并且则。但是，行波函数F和G也可以是广义函数，比如狄拉克δ函数。在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个脉冲。
基本波动方程是一个线性微分方程，并且将会遵循叠加原理，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外，可以通过将波分离出各个分量来分析，例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。

**标量形式的三维波动方程**
瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉（b. 1707）发现了三维空间中的波动方程。
三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。 

**球面波**
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离r相关的函数。方程的三维形式为：
 
将方程变形为： 
 
此时，因变量ru满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成：
 
其中F和G为任意函数，可以理解为以速度c从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传出的波强度随距点源距离r衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。这种波仅在奇数维空间中存在（原因将在下一小节中详细解释）。幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波（都属于球面波）来互相交流。

**时间箭头的讨论**
上面方程的解里面，分成了两部分，一部分表示向外传播的波，一部分则是向内。很明显，只要将t换成-t，就可以在这两部分之间转换。这体现了原始方程对于时间是对称的，任意的一个解在时间轴上倒过来看仍然是一个解。
然而，我们所观察到的实际的波，都是属于向外传播的。除非精心地加以调整，我们无法在自然界观察到向内的波，尽管它们也是波动方程的合法的解。
关于这个现象，引起了不少讨论。有人认为，实际上它们即使存在，也无法加以观察。想想如果四周的光向一个物体集中，则因为没有光到达我们的眼睛，我们不可能看见这个物体或者发现这个现象（见波动方程#参考文献|参考文献2 ）。

**广义初值问题的解**
波动方程中u是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。令φ(ξ,η,ζ)为任意具有三个自变量的函数，球面波形F为狄拉克δ函数（数学语言是：F是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限）。设(ξ,η,ζ)位一族球面波的源点，r为距源点的径向距离，即：
 
可定义
 
称为三维波动方程的影响函数，其意义为(ξ,η,ζ)点在t=0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数分母4πc是为方便后续处理而加上的。
若u是这一族波函数的加权叠加，且权函数为φ，则
 
从δ函数的定义可知，u还能写成
 
式中α、β和γ是单位球面S上点的坐标，dω为S上的面积微元。该结果的意义为：u(t,x,y,z)是以(x,y,z)为圆心，ct为半径的球面上φ的平均值的t倍：
 
从上式易得 
 
平均值是关于t的偶函数，所以若
 
那幺 
 
以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出，任意点P在t时刻受到的波扰动只来自以P为圆心，ct为半径的球面上，而这个球的内部点在这一时刻对P点的状态完全没有影响（因为它们的影响之前就已经传过P点了）。因此球面内是解的彼得罗夫斯基空白部份。换一个角度分析，假设三维空间中任意点P' 在t=0时刻受到一个脉冲扰动δ，那幺由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点Q后，便再也不会对Q的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也称为无后效现象，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。
下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是弥散的，也就是说波阵面掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程（极坐标形式，注意和上一小节三维形式的差别）为例：

可以从三维形式的解通过降维法得到二维波动方程的影响函数：

其中

设点M(x,y)到点(ξ,η)距离为d，那幺从影响函数中可以看出，当t >d /c即初始扰动已传过M点后，M仍在受到它的影响。二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波（事实上包括所有偶数维空间中的球面波）经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。

**标量形式的二维波动方程**
二维波动方程的直角坐标形式为：
 
如前所述，我们可以从三维波动方程的解中将u视为与其中一个自变量无关（降维法）来得到二维形式的解。将初始条件改写为

则三维形式的解就变成
 
其中α和β是单位球面上点的头两个坐标分量，dω是球面上的面积微元。此积分可变换为在(x,y)为中心，ct为半径的圆域D上的积分：
 
从这个结果也能得到上一小节最后的结论。
二维波动方程解的一个例子是紧绷的鼓面的运动。

**边值问题**

**一维情形**
一根自身绷紧，两端分别固定于x=0和x=L的弹性弦在t>0时刻，0 t满足平方可积条件的解可以通过适当选取u和ut 三角级数展开来求得。

**多维情形**
一维初始值-边值理论可以拓展至任意维空间中。考虑m维空间（坐标简写为x）中的域D，B为D的边界。当0纵波和横波:

式中：- 和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants或Lamé moduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数； - 表示密度； - 是源函数（即外界施加的激振力）； - 表示位移；  
注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。

**参看**
Acoustic wave equation
*光波方程
*电磁波方程
*亥姆霍兹方程
*非齐次的电磁波方程
*拉普拉斯算子
*马达变量
*多普勒效应
*电磁学
*光
*光学
*位相
*薛定谔方程
*声
*彼得罗夫斯基空白

**注释**

**参考文献**
严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第210页~第224页，ISBN 7-312-00799-6
*英胡·普赖斯着，肖巍译，《时间之矢与阿基米德之点—物理学时间的新方向》，上海科学技术出版社，上海，2001，ISBN 7-5323-5737-6
*M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I, Acta Math., 124 (1970), 109–189. 
*M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II, Acta Math., 131 (1973), 145–206.
*R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.

**外部链接**
 线性波动方程 date=20050524233205 ，在EqWorld上：数学方程的世界。- 非线性波动方程 date=20050525010958 ，在EqWorld上：数学方程的世界。- MISN-0-201波动方程及其解 date=20060221232740 （PDF）William C. Lane为 Project PHYSNET date=20170514213748 所着