叶状结构

里布叶状结构的2维截面
里布叶状结构的3维模型
微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间的分解为标准嵌入子空间的陪集为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则就是拓扑叶状结构）。p（叶的维度）称作叶状结构的维度，称作其余维数。
在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（(p+1)维时空）分解为p维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。
叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。

**叶状图与图册**
为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。
3维叶状图（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是2维的，横截（transversal）是1维的。
中的矩邻域是形式为的开子集，其中是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若具有形式，则称B具有边界

在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在，允许流形具有边界和（凸）角的可能。
n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是，其中是开集，是微分同胚，是中的矩邻域，是中的矩邻域。集合，其中称作这叶状图的斑（plaque）。，集合称作叶状图的横截（transversal）。集合称作U的切边界（tangential boundary），称作U的横截边界（transverse boundary）。
叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。表示“B-切”，表示“B-截”。还有多种可能。若都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若，则是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若，则是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。
(a) 与边界相切的叶状结构； (b) 与边界相截的叶状结构； (c) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构。
n-流形M上余维为q的类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的-图册，只要P、Q在的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。
重新表述相干叶状图的有效方法是将写作：


常写作，其中


在上，坐标公式可改写为

的每个斑都会遇到的2个斑。
是相干叶状结构这一条件意味着，若是斑，则的连通分量位于的（可能不同的）斑中。等价地，由于的斑分别是横坐标的水平集，都有邻域，其中公式

与无关。
叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，的斑可以与多个的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。
若是叶状图册，则M上两具有相同余维和光滑度的类叶状图册是相干的：。叶状图册的相干是等价关系。
规则叶状图册中的图。
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若都是叶状图，使得（U的闭包）是W的子集，；则，若可知，写作，将微分同胚地带到
符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：
# 是叶状图的紧子集，且；
# 覆盖是局部有限的；
# 若都是叶状图册的元素，则每个闭斑的内部与最多与中的1个斑相遇。
根据性质 (1)，坐标延伸到上的坐标，可以写成性质 (3)等价于要求：若，横坐标变化独立于即

有公式
 
类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射可视作浸没

公式可视作微分同胚

它们满足上循环条件，即，在上，

尤其是，


用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。

**叶状结构的定义**
根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到
通过坐标函数分解
定义 n维流形M的p-维类叶状结构是将M分解为不交连通子流形的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：M的点都有邻域U和局部类坐标系，使得对每片叶，的组分都由方程组描述。则，叶状结构记作
叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，n维流形M的p维叶状结构也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形（叶状结构的叶）的集合，使得对点，都有图，其中U同胚于，包含的x使得对每片叶，与U相遇或为空集或为子空间的可数集，其在中的像下是前n-p个坐标为常数的p维仿射子空间。
叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义
定义 令M、Q是n维流形，q≤n，并令是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为q，则据隐函数定理，ƒ在M上诱导了余维为q的叶状结构，其中的叶定义为
这定义描述了n维流形M的p维叶状结构，是由图（chart）与下列映射复盖的：

这样，对重叠对，转移函数定义为

形式为

其中x表示前个坐标，y表示后p个坐标（co-ordinates），即

将转移函数拆分为，作为浸没的一部分完全类似于将拆分为，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构相关联。
正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫p维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若是M上的叶状图册、且若与叶状结构相关联，则当且仅当也与相关联时，相干。
现在很明显，M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，M上余维为q的类叶状结构是余维为q的类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，
定义 M上余维为q的类叶状结构是M上余维为q的最大叶状-图册。
实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。
在图中，条纹与别的图上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。
若缩小图，可以写成，其中与斑同构，的点参数化了中的斑。若择，则是的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。
r = 0的情形比较特殊。实践中出现的叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的类：
定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册，使得坐标变换式

属于类，但在坐标中是类，其阶数≤ r、与的混合偏导数在坐标中是类，则称叶状结构属于类。
上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为的相对紧开子集，允许横坐标在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是的相对紧开子集，横坐标公式的变化是连续的，在坐标中属于类，其阶数 ≤ r 、与的混合偏导数在坐标中连续。一般要求M、Z为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。

**完整性**
令是叶状流形（foliated manifold）。设L是的叶，s是L中的路径，我们感兴趣的是M中s的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。
完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

**叶状丛**
最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。
横截面（cross section）N与第一回归映射（first return map）f，其中
“第一回归映射”来自动力系统理论。令是紧n-流形上的非奇异流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的子流形，叶状结构垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

令，考虑M中所有序列的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若则有值使得，由此可得

由于N是紧的，横截于N，因此集合是单调递增序列，并发散。
当变化，令，这样定义一个正函数（第一回归时间），使得
定义这是映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的；所以。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构。可以将流重参数化，使其保持非奇异、是类，且方向不翻转，从而使
流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是上纤维丛的总空间。事实上在上，可将定义为以下条件生成的等价关系：

等价地，这是加法群Z在上的作用的轨等价，定义如下

f的映射圆柱定义为流形

由第一回归映射f的定义与第一回归时间的假设，可立即得出映射

流的定义可诱导一个规范微分同胚

若记，则到R的投影诱导了映射

使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是到的投影。叶状结构横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射，这就是叶状丛（foliated bundle）。
以的等价类为基点，就是原横截面N。对上以为基点的每个环路s，同伦类的唯一特征是。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升始于、终于。微分同胚也用表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于s，因此定义了同胚

称作叶状丛的总整体同胚。
更直观地运用纤维丛，令是余维为q的叶状n-流形，令是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于类，若r = 0，B支持一个结构。由于B上的最大图册都包含子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后，，假设x有连通开邻域，和局部平凡化

其中φ是微分同胚（若r = 0则是同胚），将带到积叶状结构。其中，是叶为的连通组分的叶状结构，L是的叶。这是类“叶状丛”（foliated bundle）的一般定义。
垂直于π的纤维（可以说是垂直于纤维的），π到的每片叶L的限制是覆盖映射。特别是，每条纤维都与的每片叶相遇。纤维是的横截，与流的横截完全类似。
叶状结构横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是的一个叶状结构横截于纤维


但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数接近某个，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径使得，但在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与相遇，但不能均匀覆盖的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时，对纤维的横截性确实保证了完备性，于是是叶状丛。
B上有图册，包含开连通坐标图，以及平凡化，将带到积叶状结构。置，并记，其中（滥用符号）表示是将与规范投影组合而得的浸没。
图册的作用类似叶状图册。的斑是的水平集，这一族斑通过，与F相同。由于预设了B支持某个结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册为测地凸的。于是，总是连通的。若这个交非空，则的每个斑都正好与的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle） by setting


**例子**

**平坦空间**
考虑n维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是，叶或斑由枚举。置n = 3、p = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。

**丛**
较平凡的叶状结构例子是积，叶（M的另一个叶状结构由给出）。
对流形F而言，的平坦G-丛是更一般的一类。给定表示，具有单值ρ的平坦-丛由给出，其中通过甲板变换作用于万有覆盖，通过表示ρ作用于F。
平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形F使得，都有开邻域U使得有同胚（其中p1是到第一个因子的投影），则流形之间的映射是纤维丛。纤维丛产生了由纤维组成的叶状结构，其叶空间L与B同构，前者是豪斯多夫流形。

**覆盖**
若是流形间的覆盖映射，F是N上的叶状结构，则其拉回到M上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

**浸没**
若是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。
不是纤维丛的浸没的一个例子是

这种浸没产生了的叶状结构，在下列作用下是不变的：
 
其中。的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

**里布叶状结构**
定义一个潜没

其中是n维圆盘上的圆柱坐标。这浸没产生了的叶状结构，在如下Z作用下是不变的：
 
的诱导叶状结构被称作n维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。
对于n = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球的叶状结构也是明确已知的。

**李群**
若G是李群、H是李子群，则G就会被H的陪集叶化。若H在G中闭合，则商空间是光滑（豪斯多夫）流形，将G转化为纤维丛，纤维H、基为。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群H。

**李群作用**
令G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则G的轨道定义了M的一个叶状结构。

**线性叶状结构与克罗内克叶状结构**
若是非奇异（即无处为零）的向量场，则定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点，由于是非奇异的，所以可找到一个关于x的坐标邻域，使得


从几何角度来看，的流线就是水平集

其中所有的由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M本身的第二可数性排除。要求是完全域（例如M是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。
上的线性叶状结构传递到上的叶状结构。 a) 斜率是有理的（线性叶状结构）； b) 斜率是无理的（克罗内克叶状结构）。
2-环面上的无理旋转
环面上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。上的恒向量场

对中所有平移都不变，因此当投影到环面时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。产生的上的叶状结构的叶具有斜率为的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到X产生的上的叶状结构。
每片叶的形式是

若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取。对固定的，中与的值对应的点都投影到的同一点，于是对应的叶L是中的嵌入圆。由于L是任意的，所以是对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛，这就是所谓线性叶状结构。
若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与
克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合在单位圆内稠密。
用平行线对进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的n-环面的1维叶状结构。

**纬悬叶状结构**
平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为
 
其中是规范投影。这个叶状结构称作表示的纬悬。
具体地说，若，是F的同胚，则的纬悬叶状结构定义为表示的纬悬叶状结构，由给出。其叶空间是，其中只要对某个。
纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令是双射。将纬悬定义为对等价关系的商。

则，M自动携带两个叶状结构：包含形式的集合；包含形式的集合，其中轨道定义为

其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意，对也同样。理解叶状结构等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化，则只要f是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。
2-环面的克罗内克叶状结构是旋转（角度为）的纬悬叶状结构。
切割重粘后，2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面； b) 切割后带有4个面的几何图形。
更具体地说，若是2洞环面，是两个嵌入圆，则是叶的3-流形的积叶状结构。注意是嵌入环，横截于。令表示的保向微分同胚群，并择。将M沿切开，表示它们的副本。这时，流形有4个边界分量叶状结构横截边界的叶状结构，叶的形式为。
这片叶在4个圆中与相遇。若，则中的对应点记作，通过下列标识，“回到”：

由于是的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于M。的叶则重新组合，产生M新的叶状结构。若的叶L 包含一片，则

其中是由生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：


其中g在G上取值。叶完全由的G-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若G是平凡的，则。若轨道在中是稠密的，则对应的叶在M中也稠密。例如，若是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶L的闭包与每个因子在康托尔集中相遇。在上也可做类似构造，其中I是紧非退化区间。这里，取，由于通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

**叶状结构与可积性**
假设一切都光滑，那幺向量场之间有一种密切关系：给定M上不为零的向量场X，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为n-1的叶状结构）。
这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的n − p维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从约化为可约群。
弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为。若处处都有，则给定的α可积。
由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。

**叶状结构的存在**
给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。year2=1976证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

**参看**
弗罗贝尼乌斯定理
*G结构
*用叶状结构分类空间
*里布叶状结构
*紧叶状结构(Taut foliation)

**脚注**

**参考文献**
last= Anosov
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**外部链接**
  Foliations date=20240420125933  at the Manifold Atlas