拉姆齐定理

在组合数学上，拉姆齐定理（Ramsey's theorem），又称拉姆齐二染色定理，断言对任意正整数和，若一个聚会的人数足够大，则无论相识关系如何，必定有个人相识或个人互不相识。给定时，保证前述结论的最小值称为拉姆齐数，其值取决于。用图论术语复述：若将足够大的完全图各边染红蓝两色，则不论如何染，必定有红色的阶完全图或蓝色的阶完全图。
拉姆齐定理是组合数学的重要结论，以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名。他在1930年论文论形式逻辑的一个问题证明此定理最初的版本，开创现称拉姆齐理论的组合理论分支。拉姆齐理论的主题是从「无序」寻找「规律」，希望找出某数学结构中，存在规律子结构的一般条件。在拉姆齐定理的图论表述中，此「规律子结构」是同色集（monochromatic set），即顶点集的子集，其中各边皆染成同一颜色。
拉姆齐定理不止一条，前述版本的若干引伸仍称拉姆齐定理。例如，可以将二染色推广至更多种色，此时定理断言：对任意色数，和任意正整数，必有某数，使阶的完全图各边不论如何染色，仍必可找到某（介于至）和某阶完全子图，其各边皆染第色。可见拉姆齐二染色定理是的特例（同时取）。

**例**

**R (3, 3) = 6**
right 
在6个顶点的完全图内，每边涂上红或蓝色。欲证必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。
*任意选取一个端点，它有5条边和其他端点相连。
*根据鸽巢原理，5条边染两种颜色，至少有3边颜色相同，不失一般性设这种颜色是红色，又设该三边为。
*三个顶点，互相连结的边有三条。
**若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和便组成一个红色三角形。
**若这3条边中没有红边，则都是蓝色，因此，是蓝色三角形。
以上论证对一切染色法都适用，所以的任何二染色皆有同色，换言之。这个定理的通俗版本称为朋友与陌路人定理。
另一种证法是算两次：考虑「异色角」的数目，即满足为红而为蓝的有序三顶点组的个数。若先固定中间的顶点，则对应三元组的数目可能是
*（若其全部边染同色）；
*（若有四边染某色，另一边不同色）；或
*（若有三边染某色，另两边染另一色）。
所以，至多是，而本身有6种可能，异色角的总数至多是。但是，对于三边不完全同色的三角形，恰好有两只异色角，所以，至多有个异色三角形。考虑到6个顶点组成个三角形，至少有两个是同色三角形，再次得到的结论。
反之，将二染色，不一定有同色的三角形。此构造在同构意义下唯一，如下图所示：将五个顶点排成一圈，每个端点和毗邻的两个端点之间的连线染红色，与其余两个端点的连线染蓝色，则不产生同色三角形。所以，。
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1953年普特南数学竞赛考过。1947年匈牙利屈尔沙克·约瑟夫数学比赛（Kürschák József Matematikai Tanulóverseny）亦然。

**R (3, 3, 3) = 17**
Image:K_16 partitioned into three Clebsch graphs.svg|无扭的
Image:K_16 partitioned into three Clebsch graphs twisted.svg|有扭的
多色拉姆齐数就是用三种或更多颜色的拉姆齐数。若不考虑对称的情况，仅有两个非平凡的多色拉姆齐数为已知：和。
设将某完全图的边染红绿蓝三色，而无同色三角形。选任一顶点，考虑以红边与相连的各点，组成的「红邻域」。红邻域之内不能再有任何红边，否则该红边与一同组成红色三角形。所以红邻域内的边衹用蓝绿两色。由上节，的红邻域最多衹有5个顶点，否则有蓝或绿的同色三角形。同理，的绿邻域和蓝邻域，各有至多5个顶点，但图中每个顶点，或为本身，或属的某色邻域，所以全图至多个顶点。故。
欲证，现需用三种颜色画出16个顶点的完全图，而不产生同色三角形。若不辨同构之异，则恰有两种画法，分别称为「无扭」（untwisted）和「有扭」（twisted）染法，见上图。
Clebsch graph
的有扭或无扭染色中，选任一颜色，该色边组成的子图都是Clebsch graph。
对较少顶点的完全图，已知亦只得两种染三色的方法无同色三角形，分别来自的两种染法，删去任意一个顶点。则有115种方法染三色而无同色三角形，但此数不仅不辨图同构（顶点的置换），还不辨颜色的置换。

**拉姆齐数**

**定义**
拉姆齐数，用图论的语言有两种描述：
#对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)；
#在着色理论中是这样描述的：对于完全图的任意一个2边着色，使得中含有一个k阶子完全图，含有一个l阶子完全图，则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。（注意：按照图论的记法表示i阶完全图）
拉姆齐证明，对与给定的正整数数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。
拉姆齐数亦可推广到多于两个数：
对于完全图的每条边都任意涂上r种颜色之一，分别记为，在中，必定有个颜色为的阶子完全图，或有个颜色为的阶子完全图……或有个颜色为的阶子完全图。符合条件又最少的数n则记为。

**数值或上下界**
已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个譬喻来描述寻找拉姆齐数的难度：「想像有队外星人军队在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否则便会毁灭地球。在这个情况，我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若他们要求的是R(6,6)的值，我们要尝试毁灭这班外星人了。」
显然易见的公式：
R(0,s)=0，
R(1,s)=1，
R(2,s)=s，
（将的顺序改变并不改变拉姆齐的数值）。
有不定期更新的动态综述，介绍拉姆齐数的研究成果。

**渐近性质**
拉姆齐数满足不等式。由此，利用数学归纳法，可以证明

上述结果归功于艾狄胥和塞凯赖什。当时，用史特灵公式化成：

其中误差项o (1)，当趋向于无穷时，趋向。
下界方面，1947年艾狄胥首创Probabilistic method，证明

虽然上下界皆是指数形式，但两者底数不同，实际大小相差甚远，如时，给出的界是。不过，截至2021年，上下界的底数仍毫无改进，依旧是和，仅有较低阶项的改进。而且，下界依赖非构造性的概率方法，未有任何确切构造注|意即多项式时间算法的输出结果。能给出指数下界。暂时所知最佳结果为：

分别为斯宾塞和康伦所证。
至于非对角拉姆齐数，已知其增长级别为；等价说法是，个顶点且无三角形的图，独立数的最小值用大Θ符号表示成

的上界由奥伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪证出，而级的下界原先由Jeong Han Kim（音译）证明，其后格里菲斯、莫里斯、菲斯·庞蒂韦罗斯三人和波曼、基瓦什两人藉分析「无三角形过程」，分别将下界独立改进至

一般的非对角拉姆齐数，当固定而增大时，已知最优的上下界为

分别归功于波曼、基瓦什两人和奥伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪三人。

**延伸**

**无穷图**
本定理可引伸适用于无穷图，同样称为拉姆齐定理。与有限图的拉姆齐定理相提并论时，或称无穷拉姆齐定理（Infinite Ramsey theorem）以作区分。
设为无穷集，以表示其两两所连边的集合（即全体二元子集组成的族），每边染成色之一。则存在同色无穷阶完全图，即有无穷子集，其边集同色。1
证明：取任一。自引出无穷多条边，必有某色出现无穷多次。记为该些边另一端点的集合。又取任一，同样自有无穷多条边引至，故必有某色及无穷子集，使引至的各边皆染色。
余可类推，得到一列互异的元素及一列颜色。由于仅得有限多种色，必有颜色出现无穷多次，即有对于无穷序列成立。此时，有为无穷子集，且其元素两两连边同色（因为边所染为色），证毕。
本定理对于超图（即换成）亦成立。2
关于无穷图的二染色，Erdős–Dushnik–Miller theorem是较强的结果，但其中两种颜色不对等。定理断言，任意无穷图（顶点数不必可数）的边若染红蓝两色，则或有可数无穷大的红色完全子图，或有与原图同样大的蓝色完全子图。

**无穷推出有限**
运用反证法，可以证明无穷拉姆齐定理推出有限拉姆齐定理。
反设有限拉姆齐定理不成立，即某个拉姆齐数不存在，则有整数和满足：对任意正整数，完全图皆有某种染色的方案，而不产生同色的元子集。以表示此种方案的集合。
对任意，可将中任意一种染色限制到子图（即删去顶点），不会额外产生同色的元子集，所以所得的染色仍在中。中，某些染色是以上述方式，由的染色限制而成，此种染色构成的子集，记为。由假设，非空，所以亦非空。
同样，元素的限制必属，故可定义为此种限制所得染色法的集合，其不为空。类推对所有正整数定义。
现对每个正整数，有，且逐个集合非空。又为有限集，因为由乘法原理，全体染色方案，不论是否有同色元集，总数是。由此，整个序列的交集非空。考虑元素个数的最小值为何。又每个的元素来自某元素的限制，可知每个元素都来自元素的限制，从而由的染色出发，可以延拓成的染色，并可重复，直至得到无穷图的染色，而无同色元集，与无穷拉姆齐定理矛盾。
以拓扑学观之，此为标准的紧论证（compactness argument），相当于考虑全体染色的拓扑空间，而由吉洪诺夫定理，其为若干个有限（从而紧）空间之积，所以仍为紧。而条件「在子图上不产生同色元集」，描述该空间的一个闭开集，所以有限交非空推出全体交非空。

**超图**
定理亦可推广至超图。一个均匀超图（或超图）就是将图的边由二元子集换成元子集。超图拉姆齐定理敍述如下：
对任意正整数和，以及任意正整数，存在拉姆齐数，使得阶完全超图的各边，不论如何染种色，必存在令图中可找出某个衹染色的阶完全超图。
此定理一般对归纳证出，的初始情况正如前文。

**有向图**
亦可定义有向图的拉姆齐数，最早由txt提出。设为最小的正整数，使得阶完全图中，若为每边赋两种定向之一（所得有向图称为tournament (graph theory)），则必有无圈的阶循环赛图 。
此前定义为保证阶完全无向图染两色会有同色完全阶子图的最小值，可见是的有向类比：两种颜色现换成边的两种方向，而「同色」换成「全部边方向统一」（所以无圈）。
已知，，，，，，，。

**注释**

**参考资料**

**参考文献**
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*ref=harv
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**外部链接**
 证明R(3,6) = 18