斐波那契数

以斐波那契数为边的正方形拼成的近似的黄金矩形(1:1.618)
-{zh-hant:费波那契数;zh-hans:斐波那契数}-（意大利语：Numero di Fibonacci），又译为菲波拿契数、菲波那西数、斐氏数、黄金分割数、费氏数列。所形成的数列称为-{zh-hant:费波那契数列;zh-hans:斐波那契数列}-（意大利语：Successione di Fibonacci），又译为菲波拿契数列、菲波那西数列、斐氏数列、黄金分割数列、费氏数列。这个数列是由意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出。
在数学上，斐波那契数是以递归的方法来定义：
*（）
用白话文来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。首几个斐波那契数是：
数列|$、 |1|15|last(1)+last(2)|last1=1987……id=A000045
特别指出：0 不是第一项，而是第零项（）。

**起源**
公元1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的李奥纳多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci, 1175－1250），他描述兔子生长的数目时用上了这数列：
兔子对的数量就是斐波那契数列
*第一个月初有一对刚诞生的兔子
*第二个月之后（第三个月初）牠们可以生育
*每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
*兔子永不死去
假设在月有兔子总共对，月总共有对。在月必定总共有对：因为在月的时候，前一月（月）的对兔子可以存留至第月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在月就已存在的对
斐波纳契数是杨辉三角的每一条红色对角线上数字的和。
斐波纳契数也是杨辉三角形（即帕斯卡三角形）的每一条红色对角线上数字的和。

**表达式**
为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。

**初等代数解法**
已知：
*（n≥3）

**首先构建等比数列**
设化简得
比较系数可得：
不妨设
解得：
又因为有，
即为等比数列。

**求出数列**
由以上可得：
变形得：
。
令

**求数列进而得到**
设，解得。
故数列为等比数列
即。而，
故有
又有
和
可得
得出表达式

**用数学归纳法证明表达式**
证明，其中为黄金比例，为任意整数
*若为非负整数
当时，，成立
当时，，成立
设当及时皆成立，即且
当时

亦成立
*若为非正整数
当时，成立
当时，，成立
设当及时皆成立，即且
当时

亦成立
因此，根据数学归纳法原理，此表达式对于任意整数皆成立

**线性代数解法**

**构建一个矩阵方程**
设为第个月有生育能力的兔子数量，为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，的表达式。

**求矩阵的特征值：**
根据特征值的计算公式，我们需要算出来  所对应的解。
展开行列式有：。
故当行列式的值为 0，解得  或 。

**特征向量**
将两个特征值代入
  
求特征向量得
**
**

**分解首向量**
第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

将它分解为用特征向量表示。
  （4）

**用数学归纳法证明**
从
**
可得到
  （5）

**化简矩阵方程**
将（4） 代入 （5）

根据3


**求A的表达式**
现在在6的基础上，可以很快求出的表达式，将两个特征值代入6中


（7）
（7）即为的表达式

**数论解法**
实际上，如果将斐波那契数列的通项公式写成，即可利用解二阶线性齐次递回关系式的方法，写出其特征多项式（该式和表达斐波那契数列的矩阵的特征多项式一致），然后解出=，=，即有，其中为常数。我们知道，因此，解得。

**组合数解法**
 

**黄金比例恒等式解法**
设为黄金比例，则有恒等式与，其中为任意整数name=varphi，则
因此得到的一般式：
此一般式对任意整数成立

**近似值**
当为足够大的正整数时，则



**用计算机求解**
可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。
可通过递归递推的算法解决此两个问题。
事实上当相当巨大的时候，O（n）的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵快速幂这一技巧，可以使递回加速到O(logn)。

**和黄金分割的关系**
开普勒发现数列前、后两项之比，也组成了一个数列，会趋近黄金分割：

斐波那契数亦可以用连分数来表示：
而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：

而黄金分割数也可以用无限多重根号表示：


**和自然的关系**
春黄菊的头状花序上，小花呈螺旋状排列，从不同方向可以数出21（深蓝）和13（浅蓝）条旋臂，为相邻的斐氏数。类似的螺旋状排列见于多种植物。
斐氏数列见于不同的生物学现象，如树的分枝、叶在枝条上的排列、菠萝聚花果上小单果的排列、雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨叶、松毬的鳞的排列、蜜蜂的家族树。开普勒曾指出斐氏数列存在于自然界，并以此解释某些花的五边形形态（与黄金分割率相关）。p=110法国菊的「瓣」（舌状花）数通常为斐氏数。pp=112–131830年，K. F. Schimper和A. Braun发现植物的旋生叶序中，连续两块叶之间转过的角度与周角之比，约成整数比时，常出现斐氏数，如或。

**恒等式**
资料来源：
证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。- 可以表示用多个1和多个2相加令其和等于的方法的数目。
不失一般性，我们假设，是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1，有种方法来完成对的计算；若第一个被加数是2，有来完成对的计算。因此，共有种方法来计算n的值。
计算用多个1和多个2相加令其和等于的方法的数目，同时至少一个加数是2的情况。
如前所述，当，有种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2，就即　（项），于是我们从减去1。
#若第1个被加数是2，有种方法来计算加至的方法的数目；
#若第2个被加数是2、第1个被加数是1，有种方法来计算加至的方法的数目。
#重复以上动作。
#若第个被加数为2，它之前的被加数均为1，就有种方法来计算加至0的数目。
若该数式包含2为被加数，2的首次出现位置必然在第1和的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后，得出为要求的数目。
*，其中与的序数皆不限于正整数。
**特别地，当时，
***更特别地，当或时，对于数列连续三项，有
**另一方面，当时，对于数列连续四项，有亦即「头尾两项乘积」与「中间两项乘积」恒相差1
*且，其中为黄金比例，为任意整数
:借由上述公式，又可推得以下恒等式：
***特别地，当时，

**数论性质**

**公因数和整除关系**
整除，若且唯若整除，其中。
*任意连续三个菲波那契数两两互质，亦即，对于每一个，


**斐波那契质数**
在斐波那契数列中，有质数：
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……
截至2015年，已知最大的斐波那契质数是第104911个斐波那契数，一共有21925个十进制位。不过，人们仍不知道是不是有无限个斐波那契质数。
如#公因数和整除关系所述，总能被整除，故除之外，任何斐氏质数的下标必同为质数。由于存在任意长的一列连续合数，斐氏数列中亦能找到连续任意多项全为合数。
大于的斐氏数，必不等于质数加一或减一。

**与其他数列的交集**
斐波那契数列中，只有3个平方数：0、1、144。2001年，Pethő Attila证明，斐氏数中的次方数衹有有限多个。2006年，Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksek三人证明，斐波那契数中的次方数只有0、1、8、144。
1、3、21、55为仅有的斐氏三角形数。Vern Hoggatt曾猜想此结论，后来由罗明证明。
斐波那契数不能为完全数。推而广之，除1之外，其他斐氏数皆非多重完全数，任两个斐氏数之比亦不能是完全数。

**模n的周期性**
斐波那契数列各项模的余数构成periodic sequence，其最小正周期称为皮萨诺周期，至多为。皮萨诺周期对不同值的通项公式仍是未解问题，其中一步需要求出某个整数（同余意义下）或二次有限域元素的multiplicative order。不过，对固定的，求解模的皮萨诺周期是cycle detection问题的特例。

**推广**
斐波那西数列是斐波那西n步数列步数为2的特殊情况，也和卢卡斯数列有关。

**和卢卡斯数列的关系**


**反费波那西数列**
反费波那西数列的递归公式如下：

如果它以1,-1开始，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
即是，
亦可写成，其中是非负整数。
反费波那西数列两项之间的比会趋近。

**证明关系式**
证明，其中是非负整数
以表示黄金分割数，则有
故，因此


**巴都万数列**
费波那西数列可以用一个接一个的正方形来表现，巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现，它有的关系。

**佩尔数列**
佩尔数列的递归公式为，前几项为0,1,2,5,12,29,70,169,408,...

**应用**
1970年，尤里·马季亚谢维奇指出了偶角标的斐波那契函数

正是满足Julia Robison假设的丢番图函数，因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。

**电脑科学**
平衡因子以绿色标记，节点的高度则为红色。最左一条路径上的键值全为斐氏数。
*考虑以辗转相除法求两个正整数的最大公因数，分析此算法的运行时间。同等输入规模下，最坏情况（用时最长）发生于输入为两个相邻斐氏数时。
*归并排序算法有一多相（polyphase）版本用到斐氏数列，是将未排序的数组分为两份，长度为相邻的斐氏数（因此比值接近黄金比）。《计算机程序设计艺术》描述了此种polyphase merge sort的实作方法，适用于以磁带机为外存的情况。
*斐波那契树斐波那契树是一棵二叉树，其每个节点的左右子树高皆恰好差1。由此，斐氏树为AVL树，且对固定高度而言，是最少节点的AVL树。此类树的节点数可写成斐氏数减1。- 某些伪随机数生成器用到斐氏数列。- 斐波那契堆是一种数据结构，分析其时间复杂度时会用到斐波那契数。
*斐波那契编码是以01字串表示正整数的一种方法，NegaFibonacci coding与之类似，还可以表示负数。

**延伸阅读**
 KNUTH, D. E. 1997. The Art of Computer ProgrammingArt of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley. Chapter 1.2.8.- Arakelian, Hrant (2014). Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)- 克里福德A皮科夫.数学之恋.湖南科技出版社.

**参考文献**
 cite book | last = Livio | first = Mario | author-link = Mario Livio | title = The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number | url = https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C | orig-year = 2002 | edition = First trade paperback | year = 2003 | publisher = Broadway Books | location = New York City | isbn = 0-7679-0816-3 | ref = harv | access-date = 2022-10-30 | archive-date = 2023-03-13 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230313121951/https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C | dead-url = no 

**注释**

**参见**
齐肯多夫定理

**外部连结**
 费波那契数，孙智宏（pdf）-  Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages-  Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature date=20090209121913 - Fibonacci_Sequence- id=p/f040020