自然对数

自然对数的函数图像
自然对数的积分定义
自然对数（Natural logarithm）为以数学常数e为底数的对数函数，标记作或，其反函数为指数函数。notetag|根据微积分学，某函数之定义域为其反函数之值域，反之其值域为其反函数之定义域。因的值域为，且其为之反函数，故可知之定义域为，即在非正实数系无法定义。
自然对数积分定义为对任何正实数，由到所围成，曲线下的面积。如果小于1，则计算面积为负数。

则定义为唯一的实数使得。
自然对数一般表示为，数学中亦有以表示自然对数。

**历史**

**十七世纪**
双曲线扇形是笛卡尔平面上的一个区域，由从原点到和的射线，以及双曲线围成。在标准位置的双曲线扇形有且，它的面积为，此时双曲线扇形对应正双曲角。
当直角双曲线下的两段面积相等时，的值呈等比数列，，的值也呈等比数列，。
约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数。当时还没出现有理数幂的概念，按后世的观点，约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近，而约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs (mathematician)建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。
形如的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况对应于双曲线的Quadrature (mathematics)，即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的Cavalieri's quadrature formula给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent将对数联系于双曲线的弓形面积，他发现x轴上两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同对应的扇形，在时面积相同，这指出了双曲线从到的积分满足：

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

**十八世纪**
大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为year=1992, section 9-3Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991, p. 484, 489：


1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念在最初的概念下，底数是接近1的数，而对数是整数；经过简单变换后，底数变大了，成为接近数学常量e的数，而对数变小了，成为 x/n。。

**形式定义**
欧拉定义自然对数为序列的极限：

正式定义为积分，

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

这可以通过将定义了的积分拆分为两部份，并在第二部份中进行换元来证实:

:
幂公式可如下推出:

第二个等式使用了换元。
自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：


**性质**
:(参见复数对数)

**导数**
自然对数的图像和它在处的切线。
的泰勒多项式只在范围内有逐步精确的近似。
自然对数的导数为

证明一（微积分第一基本定理）:
证明二： 按此影片date=20210402030947 

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设


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设

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用自然对数定义的更一般的对数函数，，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为：
 
根据链式法则，以为参数的自然对数的导数为

右手端的商叫做的logarithmic derivative，通过的导数的方法计算叫做对数微分。

**幂级数**
自然对数的导数性质导致了在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：

:对于所有但不包括
把代入中，可得到自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何有效的如下级数:

这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。
还要注意到是自身的逆函数，所以要生成特定数的自然对数，简单把代入中。

:对于
自然数的倒数的总和

叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当趋于无穷的时候，差

收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。

**积分**
自然对数通过分部积分法积分:

假设:


所以:
 
自然对数可以简化形如的函数的积分：的一个原函数给出为。这是基于链式法则和如下事实:

换句话说，

且


**例子**
下面是的例子：

设且：


**与双曲函数的关系**
在直角双曲线(方程)下，双曲线三角形(黄色)，和对应于双曲角的双曲线扇形(红色)。这个三角形的边分别是双曲函数中和的倍。
射线出原点交单位双曲线于点，这里的是射线、双曲线和轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。
在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数，并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角，在渐近线即x或y轴上需要有的或的值。显见这里的底边是，垂线是。
通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：
单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线下双曲角的。

**连分数**
尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:


这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。
例如，因为，2的自然对数可以计算为:

进而，因为，10的自然对数可以计算为:


**复数对数**
指数函数可以扩展为对任何复数得出复数值为的函数，只需要简单使用为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难：不存在使得；并且有着。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，，对于所有复数和整数。
所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如，或或等等；尽管，不能定义为或或，以此类推。
Image:Natural Logarithm Re.svg| z=Re(ln(x+iy))
Image:Natural Logarithm Im Abs.svg| z = |Im(ln(x+iy))|
Image:Natural Logarithm Abs.svg| z = |ln(x+iy)|
Image:Natural Logarithm All.svg| 前三图的叠加

**主值定义**
对于每个非0复数，主值是虚部位于区间内的对数。表达式不做定义，因为没有复数满足。  
要对给出一个公式，可以先将表达为极坐标形式，。给定，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向增加的整数倍，所以为了保证唯一性而要求位于区间内；这个叫做幅角的主值，有时写为或。则对数的主值可以定义为 ：
:
例如，。

**科学应用**
自然指数有应用于表达放射衰变（放射性）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目的微分方程随时间变化率，常数为原子衰变概率，积分得。

**注释**

**参考资料**

**延伸阅读**
John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
*Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
*Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
*Donald Sarason,  Complex function theory date=20140111075715 , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
*E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.