数学归纳法

数学归纳法（mathematical induction，缩写：MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非逻辑上不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都属于演绎推理方法。

**定义**
最简单和常见的数学归纳法是证明当等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程
# 证明 “当时命题成立。”（选择数字1因其作为自然数集合中的最小值）
# 证明 “若假设在时命题成立，可推导出在时命题成立。（代表任意自然数）” 
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那幺任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
# 证明 「第一张骨牌会倒。」
# 证明 「只要任意一张骨牌倒了，其下一张骨牌也会因为前面的骨牌倒而跟着倒。」
则可下结论：所有的骨牌都会倒下。

**例子**

**例子1**
证明下-{面}-这个给定公式（命题）为真：
其中为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。

**证明**

**= 第一步-起始步骤 =**
第一步是验证这个公式在时成立。左边，而右边，所以这个公式在时成立。第一步完成。

**= 第二步-推递步骤 =**
第二步证明假设时公式成立，则可推理出时公式也成立。 证明步骤如下。
假设时公式成立。即
【等式】
然后在等式等号两边分别加上得到
【等式】
这就是时的等式。
现在需要根据等式等式演绎出等式的符号形式。（需要注意的是如果给定公式不为真，则做不到）通过因式分解合并(形式变换/字符操纵)，等式的右手边
也就是说
这样便证明了从等式成立可推理出等式也成立。证明至此完成，结论：对于任意自然数，均成立。

**解释**
在这个证明中，推理的过程如下：
# 首先证明命题成立，即公式在时成立。
# 然后证明从命题成立可以推演出命题也成立。【此部实际属于演绎推理法。技术方法是基于命题的符号形式变换出命题的符号形式。】
# 根据上两条从命题成立可以推理出命题，也就是命题成立。
# 继续推理，可以知道命题成立。
# 从命题成立可以推导出命题也成立。
# 不断的重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方）
# 我们便可以下结论：对于任意自然数，命题 成立。

**例子2**
证明对于Fibonacci数列，定义，且，则。

**证明**
首先，我们先使得的情况成立，
然后，我们假定的情况下的成立的，
然后我们使得的情况也成立，（这是为了表明，如果有任意数k使得其成立，则有其+1也成立）
于是我们得证，即从，到到所有正实数都成立，就像多米诺骨牌的第一块成立而且每一块的下一块都成立（)

**数学归纳法的变体**
在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

**从0以外的自然数开始**
第一种情况：
如果欲证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那幺证明的步骤需要做如下修改：
# 第一步，证明当时命题成立。
# 第二步，证明如果（） 成立，那幺可以推导出也成立。
用这个方法可以证明诸如“当时，这一类命题。
第二种情况：
如果欲证明的命题针对全部自然数，但仅当大于等于某个数字b时比较容易证明，则可参考如下步骤：
# 第一步，证明当时命题成立。
# 第二步，证明如果（）成立，那幺可以推导出也成立。
用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。

**只针对偶数或只针对奇数**
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那幺证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
# 第一步，证明当时命题成立。
# 第二步，证明如果成立，那幺可以推导出也成立。
偶数方面：
# 第一步，证明当或时命题成立。
# 第二步，证明如果成立，那幺可以推导出也成立。
或调整命题表述，使之变为对所有正整数成立，例如
证明「对所有正奇数成立」等价于证明「对所有正整数成立」。

**递回归纳法**
又名递降归纳法。数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的”这样的命题。对于形如“对任意的”这样的命题，如果对一般的比较复杂，而比较容易验证，并且我们可以实现从到的递推，的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的，原命题均成立。

**完整归纳法**
另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法或强归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当时成立，当小于或等于时也成立。这样可以设计出这样两步:
# 证明当时式子成立.
# 证明当时成立，那幺当时式子也成立.
例如，这种方法被用来证明：
 
其中 是第个斐波纳契数和（即黄金分割）。如果我们可以假设式子已经在当和时成立，从之后可以直截了当地证明当时式子成立.
这种方法也是第一种形式的特殊化：
# 定义是我们将证的式子,
# 和成立
# 在和成立时成立。
结论：对一切自然数成立。

**超限归纳法**
最后两步可以用这样一步表示：
证明如果式子在所有的成立，那幺式子在当时也成立。
实际上这是数学归纳法的大多数通式，可以知道他不仅对表达自然数的式子有效，而且对于任何在良基集（也就是一个偏序的集合，包括有限降链）中元素的式子也有效（这里""被定义为 当且仅当和）。
这种形式的归纳法当运用到序数（以良序的和一些的良基类的形式）时被称为超限归纳法，它在集合论、拓扑学和其他领域是一种重要的方法。
要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况：
# 是一个极小元素，也就是没有一个元素小于
# 有一个直接的前辈，比小的元素有一个大的元素
# 没有任何前辈，也就是是一个界限序数.
参见数学归纳法的三种形式。

**形式写法**

**使用二阶逻辑**
二阶逻辑可捕捉数学归纳法这概念，表达成如下逻辑式：
 ，
是容纳一自然数的述词变元，遍历所有述词而非个别数字，为二阶量词（是故此式与二阶逻辑有关），与则是自然数变元，遍历所有自然数。
白话解释此式，此式说：起始步骤与推递步骤（即归纳假设，蕴涵 ） 两步成立会导出对任一自然数， 成立之结论。通常，我们为了证明第二步，会假设成立（归纳假设），再进一步证明。此牵涉到条件证法，将条件句之前件作为假设，假定其正确以便于证明。

**使用一阶逻辑**
若用一阶逻辑将数学归纳法公设化，则须采用公设模式，替每一个可能存在的述词设下针对其的独立公设。举例而言，我们仅允许三个一阶述词存在，分别名为、、 ，则原先以二阶逻辑描述的公设可改写为：
 ，
 ，
 ，
。然而其强度与以二阶逻辑描述之逻辑式不同，前者较后者弱。理由为一阶逻辑述词之数量为可数，而二阶逻辑量限所迭代的集合为不可数。
此外，二阶逻辑所表示的归纳公设综合其它皮亚诺公设为同畴(categorical)，且所得之自然数模型无限大。根据勒文海姆-斯科伦定理，用一阶逻辑表达的理论若有可数无限大的模型，则其有不可数大的模型，是故无法前头将所述的模型公设化。亦即，用二阶逻辑表达的公设仅允许一群模型彼此同构，而一阶逻辑模型则因前述定理，并非每个模型都同构。

**使用一阶ZFC集合论**
一阶ZFC集合论不允许述词被遍历， 但我们可以借由遍历集合，绕过一阶逻辑之限制，描述归纳法：
 
本身是集合，但可视作命题——只要命题在这数下成立，数字就会收入集合。别于皮亚诺公设，将数学归纳法定为公设，ZFC集合论直接定义自然数，使得归纳法本身是定理而非公设。

**数学归纳法的合理性**
皮亚诺公理视数学归纳法不证自明，设作公理，而于策梅洛-弗兰克尔集合论，数学归纳法可从良序定理推导出来。 需要注意的是数学归纳法只能判定给定命题的真，而不能证伪，因为在形式变换这一过程需要一定技巧与灵感。抽象的概念如自然数，可通过抽象的工具去处理。通过有限的步骤处理无限的对象如证明质数的无穷。

**参见**
 归纳推理- 演绎推理- 结构归纳法- 完整归纳法

**参考文献**

**外部链接**
  Mathematical Induction, Examples date=20060404100052