爱因斯坦求和约定

在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来，爱因斯坦与友人半开玩笑地说：「这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。」
按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变数出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里，

的意思是
。
请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里，、、分别表示坐标、坐标、坐标，而不是、的平方、的立方。

**简介**
爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成纯量：
。
通常会将这写为求和公式形式：
。
在基底变换之下，纯量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号：

采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变数的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变数最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。

**向量的表示**
在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分量是用上标来标明，例如，。给予一个维向量空间和其任意基底（可能不是标准正交基），那么，向量表示为
。
余向量的分量是用下标来标明，例如，。给予的对偶空间和其任意基底（可能不是标准正交基），那么，余向量表示为
。
采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从改变为，反变向量会变换为
；
其中，是改变基底后的向量的分量，是改变基底后的坐标，是原先的坐标，
下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从改变为，共变向量会会变换为
。

**一般运算**
矩阵的第横排，第 竖排的元素，以前标记为；现在改标记为。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下：

**内积**
给予向量和余向量，其向量和余向量的内积为纯量：
。

**向量乘以矩阵**
给予矩阵和向量，它们的乘积是向量：
。
类似地，矩阵的转置矩阵，其与余向量的乘积是余向量：
。

**矩阵乘法**
矩阵乘法表示为
。
这公式等价于较冗长的普通标记法：
。

**迹**
给予一个方块矩阵，总和所有上标与下标相同的元素，可以得到这矩阵的迹：
。

**外积**
M维向量和N维余向量的外积是一个M×N矩阵：
。
采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表示为

由于和代表两个不同的标号，在这案例，值域分别为M和N，外积不会除去这两个标号，而使这两个标号变成了新矩阵的标号。

**向量的内积**
一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量、及来描述三维空间的向量。
。
把直角坐标系的基底向量、及写成、及，所以一个向量可以写成：
。
根据爱因斯坦求和约定，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：
。
由于基底是标准正交基，的每一个分量，所以，
。
两个向量与的内积是
。
由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：
；
其中，就是克罗内克函数。当时，则，否则。
逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数，就可以把方程式中的标号转为或者把标号转为。所以，
。

**向量的叉积**
采用同样的标准正交基、及，两个向量与的叉积，以方程式表示为

:。
注意到
；
其中，张量是列维-奇维塔符号，定义为
所以，
。
设定，那么，
。
所以，
。

**向量的共变分量和反变分量**
在欧几里得空间里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有向量，通过下述方程式，向量唯一地确定了余向量：
。
逆过来，通过上述方程式，每一个余向量唯一地确定了向量。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。
给予的一个基底，则必存在一个唯一的对偶基底，满足
；
其中，张量是克罗内克函数。
以这两种基底，任意向量可以写为两种形式
 ；
其中，是向量对于基底的反变分量，是向量对于基底的共变分量，

**欧几里得空间**
将向量 投影于坐标轴，可以求得其反变分量；将向量投影于坐标曲面的法线，可以求得其共变分量。
在欧几里得空间里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底，其基底向量为、、，就可以计算其对偶基底的基底向量：
；
其中，是基底向量、、共同形成的平行六面体的体积。
反过来计算，
；
其中，是基底向量、、共同形成的平行六面体的体积。
虽然与并不相互标准正交，它们相互对偶：
。
虽然与并不相互标准正交，它们相互对偶：
。
这样，任意向量的反变分量为
。
类似地，共变分量为
。
这样，可以表示为
，
或者，
。
综合上述关系式，
。
向量的共变分量为
；
其中，是度规张量。
向量的反变分量为
 ;
其中，是共轭度规张量。
共变分量的标号是下标，反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变分量和反变分量，所有的标号都可以用下标来标记。

**抽象定义**
思考维度为的向量空间。给予一个可能不是标准正交基的基底。那么，在内的向量，对于这基底，其分量为、、...。以方程式表示，
 。
在这方程式右手边，标号在同一项目出现了两次，一次是上标，一次是下标，因此，从等于到，这项目的每一个可能值都必须总和在一起。
爱因斯坦约定的优点是，它可以应用于从用张量积和对偶性建立的向量空间。例如，，与自己的张量积，拥有由形式为的张量组成的基底。任意在内的张量可以写为
。
向量空间的对偶空间拥有基底，遵守规则
；
其中，是克罗内克函数。

**范例**
为了更明确地解释爱因斯坦求和约定，在这里给出几个简单的例子。
*思考四维时空，标号的值是从0到3。两个张量，经过张量缩并（tensor contraction）运算后，变为一个纯量：
。
*方程式的右手边有两个项目：
。
由于运算结果与标号和无关，可以被其它标号随意更换，所以，和称为傀标号。
自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里，而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里，是自由标号，每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目里，标号出现了两次，一次是上标，一次是下标，所以，这项目的所有可能值都必须总和在一起。称为求和标号。
*思考在黎曼空间的弧线元素长度：
:。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。
进一步扩展，
:
::
::
::。
注意到是乘以，是，而不是坐标的微小元素。当有疑虑时，可以用括号来分歧义。

**参阅**
 狄拉克标记- 抽象指标记号- 潘洛斯图形标记法（Penrose graphical notation）

**参考文献**
 title=Einstein rule.