立方体

在几何学中，立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶点，是五个柏拉图立体之一。
立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有Octahedral symmetry，即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号4,3，Coxeter-Dynkin digram，其对偶多面体为正八面体。

**性质**
面的组成：正方形
面的数目：6
边的数目：12
顶点数目：8
表面积：
体积：
二面角角度：
外接球半径：
内接球半径：
对偶多面体：正八面体
在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。

**顶点坐标及表面方程**
在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为
(±1, ±1, ±1)
的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足：


**几何性质**
立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。
立方体的11种不同展开图
如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。
将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。

**正交投影**
我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。

**半正对称性与表面涂色**
作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、Coxeter-Dynkin digram和Wythoff symbol。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。

**相关多面体及镶嵌**
right- 将立方体的其中四个顶点相连，而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上，可得到一个正四面体，其边长为立方体边长的，其体积为立方体体积的。
正四面体外接正六面体
right
right- 立方体的对偶多面体是正八面体。
当正八面体在立方体之内：
正八面体体积 : 立方体体积
**(1/3)×高×底面积×2 : 边3
**(1/3)(n/2)(n2)/22 : n3
**1 : 6- 星形八面体的对角线可组成一个立方体。- 截半立方体：从一条棱斩去另一条棱的中点得出- 截角立方体- 超正方体：立方体在高维度的推广。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即Vn-cube=an等）。- 长方体、偏方面体的特例。
将立方体Antipodal point后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。
Hemi-立方体是立方体2到1的商
正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体：
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。
从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。
正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。正十二面体内部的五复合立方体
如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：
此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：
立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：
立方体是正四棱柱：

**应用**
 日常生活
** 食盐和糖的结晶体都是立方状。
** 骰子最常见的形状就是立方体。
** 1967年世界博览会的「立方体房间」
** 中国国家游泳中心俗称“水立方”- 游戏
** 索马立方
** -{zh-hans:魔方; zh-tw:魔术方块; zh-hk:扭计骰;}-
** 扭扭骰
** 斯洛陶伯－赫拉茨马立方：以6个1×2×2及3个单位立方组成3×3×3的立方（仅有一个解法）
** 康威立方：以3个1×1×3，13个1×2×4，及1×2×2和2×2×2的长方体各一个，组成一个5×5×5的立方（572个解）- 视错觉
** 奈克方块
** 不可能方块（下图）- 数论
** 立方数
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**数学问题**
由正方体展开图可得知正方体表面积算法
正六边形的切法：沿上底两条邻边的中点，切至下底两条邻边的中点

**倍立方体问题**
参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出的位置

**最大的横切**
立方体的横切只有四种：- 三角形- 矩形- 五边形- 六边形
其中以正六边形的面积最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为。

**参见**
四角柱
*超方形
*正八面体

**外部连结**
 External link=yes-  折纸立方体 date=20210309125850 - urlname=Cube.html date=20210411132241 -  Mathematische Basteleien date=20210203014653