冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是种以类为直观动机的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守扩展（ZFC里可以证明的定理也都是NBG的定理），而且NBG仅需在一阶逻辑基本的公理模式上添加有限数目的公理，但ZFC需添加与集合有关的公理模式。
NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出，从1937年开始由保罗·博内斯作修改，在1940年由哥德尔进一步简化。

**基本符号**
在NBG下，「属于关系」以一个双元断言符号  来表示，  通常简记为  ，并被直观理解成「x属于y」；类似地，  的否定   通称被简记为  ，并被直观理解为「x不属于y」。
以下都把  简写为普通的 。
本条目定理的证明会频繁引用一阶逻辑的定理，定理的代号可以参见一阶逻辑#常用的推理性质一节。

**类与集合**
「类」这个名词在公理化集合论出现之前，通常被理解为「以集合为元素的集合。」或是集合（如等价类）。
但NBG所谈及的一切对象（变数和项）都是类。而所谓的集合，是属于某个类的类，也就是说以下的合式公式（ 来自德语的"集合"「Menge」）式

可直观理解为「x是集合」，特别注意到，为了避免跟其他合式公式的变数产生混淆，  必须是展开  时首次出现的变数。反之合式公式

可称为「  是真类（proper class）」。

**子类**
直观上「x包含于y」意为「所有x的元素a都会属于y」，以此为动机，NBG有以下的符号简写

以上可称为「x包含于y」或「x是y的子类（subclass）」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可称为「x是y的子集（subset）」。

**与集合相关的量词简写**
仿造量词的简写，对于任意变数  与合式公式  ，可作如下的符号定义
 （对所有  ，  是集合则  ）
 （存在  不但是集合且  ）
也有书籍以小写字母来表示被量化的集合变数，但考虑到一般的非逻辑数学书籍都将大小写的差异挪作他用，为避免混淆本条目采用以上的上标表示法。

**等号公理**

**看待等号的不同方式**
直观上，两个集合相等意为「x的元素就是y的元素」，也就是朴素集合论的外延公理，换句话说，可用以下的严谨合式公式重写为

但一阶逻辑的等号可以视为单独的断言符号，也可以视为一条复合的合式公式。具体来说，视为一个新的断言符号  并简记为  的话，需在NBG内额外添加以下的公理
直观上可理解为「类x的元素就是类y的元素，等价于类x等于类y」。
但视为一条合式公式，则仅需做以下的符号定义

不管是何种看待方法，习惯上都会把  简记成  （直观上的「不相等」）。

**等号的良置**
为了确保  的确符合直观上对等号的要求，还需添加以下的公理
直观上，这个公理确保「x等于y，则x属于z等同于y属于z」。
这样，以下的元定理就确保了如此定义的等号是「成功的」。

**真子类**
在定义「相等」以后，可以把「相等的类」排除出子类的定义中，换句话说，NBG有以下的符号定义

可直观理解为「x是y的真子类（proper subclass），定义为x包含于y且x不等于y」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可称为「x是y的真子集（proper subset）」。

**外延定理**
为以下的定理可直观理解为「x等于y等价于，对所有集合z，z属于x等价于z属于y」，也就是说，等于的定义可以「限缩」成元素为集合的状况。
引入新的函数符号前，常需要唯一存在性的证明，而外延定理大大简化了证明的难度。

**特定条件下的存在性**
以下关于一阶逻辑的一般性定理，也大大简化了 NBG 引入新公理的过程所需的证明

**空集合公理**
这个公理的直观意思是「存在集合x，使的所有集合y都不属于x」。
事实上这个公理还确保了空集的唯一性，严格来说，它确保了：
也就是直观上，「空集是唯一存在的」，这样根据函数符号与唯一性一节，可以在NBG加入新的常数符号  和以下的新公理（严格来说，把完全没有函数符号和常数符号的NBG扩展成有  的新NBG，但两个理论是等效的）
这个新公理直观上以「为集合，且任意集合y都不属于」，把  定义成了空集的表示符号。

**配对公理**
这个公理的直观意思是「对所有集合x和集合y，存在一个仅以x跟y为元素的集合p」。
这个公理还确保了以下的唯一性：
这样的话会有
所以根据函数符号与唯一性一节，可以在NBG加入新的双元函数符号 （简记为  ）和以下的新公理
这个新公理的直观意思是「若x和y为集合，则  就是那个只以x和y为元素的集合；但反之，若x和y不全为集合，则  为空集」。

**有序对**
在不跟括弧产生混淆的情况下，也可以把记为。

**关系**

**类函数**
类函数跟普通函数的差别在于普通函数是个集合。

**类的存在公理**

**属于类公理**

**交类公理**

**补类公理**

**定义域公理**

**积类公理**

**置换类公理**

**类的存在元定理**
这个元定理对应到ZFC尔集合论的分类公理。
首先需要递归地定义「可叙述公式」（predicative well-formed formula）：- 对任意变数  和  ， 为可叙述公式。- 若  与  为可叙述公式，  为任意变数，则  、  与   都是可叙述公式。
这样依据上列诸类存在公理，就有以下元定理：

**集合的公理**

**并集公理**

**幂集公理**

**子集公理**

**无穷公理**

**取代公理及其替代**
直观意义为「 为类函数则对任意集合  ，存在一个集合  ，正好就是在  的规则下映射出的像」。

**大小限制公理**
 对于任何类 C，存在一个集合 x 使得  （谓 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一样），当且仅当没有在 C 和所有集合的类 V 之间的双射。
这个公理贡献自冯·诺伊曼，并一下实现了分离公理、替代公理和全局选择公理。他效力相当于原始的替代公理加上这选择公理。完全的大小限制公理蕴涵了全局选择公理，因为序数的类不是集合，所以有从序数到全集的双射。

**选择公理**

**引用**
  id=ISBN 978-0-486-66637-2- John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.- Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.- Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.- urlname=vonneumannbernaysgodelsettheory