Z转换

在数学和信号处理中，Z转换（Z-transform）把离散的实数或复数时间讯号从时域转为复频域（z域或z平面）表示。
可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

**历史**
现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的Q740408和查德称其为“Z变换”。
后来发展并推广了改进或高级Z变换。
Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

**定义**
像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

**双边Z变换**
双边Z转换把离散时域信号转为形式幂级数。

当中  是整数， 是复数变量，其表示方式为

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。

**单边Z变换**
另外，只对 n ≥ 0 定义的 xn，单边Z变换定义为

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。
单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 xn 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

**地球物理学定义**
地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z−1 的。例如，Q102443451和Q112388807都使用这个惯例。地球物理定义为：

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。
因此，需要注意特定作者使用的定义。

**逆Z变换**
逆Z变换为

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。
这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

**收敛域**
收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。


**例1（收敛域不存在）**
令 。在区间 上展开  成为

观察上面的和

因此，没有一个  值可以满足这个条件。

**例2（因果的收敛域）**
 = 0.5 这个圆用虚线圆表示（内圈者）
令 （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 xn 得到

观察这个和

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z−1|  0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

**例3（非因果的收敛域）**
 = 0.5 这个圆用虚线圆表示
令 （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 xn 得到

观察这个和

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1z| nun 和一个非因果项 −(0.75)nu−n−1。
一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那幺系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。
如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 ），则可以确定一个唯一的  满足下列：- 稳定性- 因果性
如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那幺收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
通过这种方法可以找到唯一的 。

**性质**
帕塞瓦尔定理

初值定理：如果 xn 为因果的，那幺

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则


**常见的Z变换对表**
这里：

是单位阶跃函数而

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

**与傅里叶级数和傅里叶变换的关系**
对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：
也被称作 xn 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的periodic summation，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 xn 序列相等。于是 xn 序列的DTFT可以写作：

若T的单位是秒，的单位即为赫兹。比较两个数列可得  为Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations，单位是radians per sample。数值ω=2π对应 Hz. ，而且在替换 后，  Eq.1可以表示为傅里叶变换X(•):

若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，这些函数也称为频率响应，当x(nT)是周期性数列，其DTFT在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。（参照离散傅立叶变换#周期性）

**和拉氏变换的关系**

**双线性变换**
双线性变换可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的转换，其转换关系如下：

将一个拉氏域的函数转换为Z域下的，或是

从Z域转换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z转换）。这个转换是非线性的，可以将S平面的整个jΩ轴映射到Z平面的单位圆内。因此，傅立叶变换（在jΩ axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅立叶变换，前提是假设其傅立叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括jΩ轴。

**线性常系数差分方程**
线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 yn 是过去输出 yn−p、当前输入 xn 与之前输入 xn−q 的一个函数。

**传递函数**
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

整理结果


**零点和极点**
由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为pole–zero plot。
此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话，零点和极点的数目总会相等。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

**输出响应**
如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那幺输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 yn。在实际运用中，在分式分解  之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

**参见**
 高级Z变换- 双线性变换- 差分方程（递回关系式）- 离散卷积- 离散时间傅里叶变换- 有限脉冲响应- 形式幂级数- 拉普拉斯变换- 洛朗级数- 概率母函数- 星标变换- Zak transform- Zeta function regularization

**参考文献**

**延伸阅读**
 Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.- Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

**外部链接**
 id=p/z130010-  Z-Transform table of some common Laplace transforms date=20110502052019 -  Mathworld's entry on the Z-transform date=20130130223318 -  Z-Transform threads in Comp.DSP date=20120615051141 -  Z-Transform Module by John H. Mathews-  A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform date=20160410040815