三角形

三角形，又称三边形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。
一般用大写英语字母、和为三角形的顶点标号；用小写英语字母、和表示边；用、和给角标号，又或者以这样的顶点标号来表示。

**分类**

**以角度分类**

**锐角三角形**
锐角三角形的所有内角均为锐角。

**钝角三角形**
钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。

**直角三角形**
right
有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypotenuse）；或最长的边称为「弦」，底部的一边称作「勾」（又作「句」），另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）

**三角函数**
直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。

**以边长分类**

**不等边三角形**
三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。

**等边三角形**
等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是  ，则其面积公式为  。
等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。

**三角形的对边**
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

**等腰三角形**
等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。
等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是  ，腰是 ，则其面积公式为 
等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

**退化三角形**
退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

**勒洛三角形**
勒洛三角形（Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux命名。

**一般性质**

**三角不等式**
三角边长不等式
*:三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。
*三角内外角不等式
*:三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

**角度**
right
*三角形外角
*:三角形两内角之和，等于第三角的外角。
*三角形内角和
*:在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

**勾股定理**
勾股定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边  为斜边，即  的对角  ，则
 。
勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足
 ，
则


**正弦定理**
设  为三角形外接圆半径，则


**余弦定理**
对于任意三角形：
 
 
 
勾股定理是本定理的特殊情况，即当角  时，  ，于是  化简为  。

**全等及相似**

**全等三角形**
三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：- SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。- SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。- ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。- RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边及一条直角边对应地相等。1=联合SAS性质，可得「两个直角三角形只要任两边（两股，或一股一斜边）对应地相等，即全等」。- AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。
SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。34

**相似三角形**
 AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））- 三边成比例（3 sides proportional）：各三角形的三条边的长度都成同一比例。- 两边成比例且夹角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的两条边之长度都成同一比例，且两条边之夹角都对应地相等。（或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

**特殊线段**
三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。- 中线（median）：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。- 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。- 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。- 垂直平分线（perpendicular bisector）：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。
以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。

**中线长度**
设在中，若三边、、的中线分别为、、，则：




**高线长度**
设在中，连接三个顶点、、上的高分别记作、、，则：
 
 
 
其中  。

**角平分线长度**
设在中，若三个角、、的角平分线分别为、、，则：




**三角形的心**
三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下：
关于三角形的四心，有这样的一首诗：
right
垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。
连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

**外接圆和内切圆半径**
设外接圆半径为 ， 内切圆半径为 ，则：


其中为三角形面积；为三角形半周长，

**面积**

**基本公式**
三角形的面积  是底边  与高  乘积的一半，即：
，
其中的高是指底边与对角的垂直距离。
三角形的面积可表示为一长方形面积的一半。
从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于  的长方形。因此原来的三角形面积为
。
证毕。

**已知两边及其夹角**
设   为已知的两边，  为该两边的夹角，则三角形面积是：
。
三角形的高h能以正弦的定义表示。
观察右图，根据正弦的定义：
。
因此：
。
将此式代入基本公式，可得：
。
证毕。

**已知两角及其夹边**
、  为已知的两角，  为该两角的夹边，则三角形面积是：
。
三角形的面积能从两角及其夹边求得。
从正弦定理可知：

代入  ，得：
。
注意到，因此：

证毕。

**已知三边长**
海伦公式，其表示形式为：
，
其中  等于三角形的半周长，即：

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

也有用幂和来表示的公式：
NoteTag|应用实例，如外森比克不等式的证明
将海伦公式略为变形，知

多次使用平方-{}-差公式，得

等号两边开根号，再同除以4，得

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设  ，三角形面积为：
。
设  、 、为三角形三条边，  、  、  为相应边的对角。从余弦定理可知：

以毕氏三角恒等式可得：
。
将此式代入，得：
。
因式分解及简化后可得：

代入，即可证毕。

**已知坐标系中三顶点坐标**
由  、  及  三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。
若三个顶点设在三维坐标系上，即由  、  及  三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：


**已知周界及内切圆或外接圆半径**
设三角形三边边长分别为  、  及  ，三角形半周长（  ）为  ，内切圆半径为 ，则：

若设外接圆半径为  ，则：

内切圆半径公式
三角形被三条角平分线分成三分。
根据右图，设  ，  ，  ，则三角形面积可表示为：

外接圆半径公式
根据正弦定理：

因此：


**已知两边向量**
设从一角出发，引出两边的向量为  及  ，三角形的面积为：

根据向量积定义，，
其中  是两支向量的夹角。
因此：

证毕。

**半角定理**
在三角形中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

以正弦及余弦之比表示正切：

因为


所以



而



所以

同理可得



**其他有关三角形的定理**
 外角定理- 拿破仑三角形- 费马点- 欧拉线- 梅涅劳斯定理- 枢纽定理- 维维亚尼定理- 莫雷角三分线定理

**注释**

**参考资料**

**参看**
 三角学- 三-椭圆形