复合函数

复合函数（composite function），又称作合成函数，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 f : X → Y 和 g : Y → Z 可以复合，得到从 X 中的 x 映射到 Z 中 g(f(x)) 的函数。直观来说，如果 z 是 y 的函数，y 是 x 的函数，那幺 z 是 x 的函数，得到的复合函数记作 g ∘ f : X → Z，定义为对 X 中的所有 x，1=(g ∘ f )(x) = g(f(x))。 直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。
函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。 复合函数还有一些其他性质。

**定义**
考虑到函数的值域跟定义域，要简单的以“计算式”，如把所有  和  的有序对头接尾的这样直观定义“合成”是会遇到问题的，像是把  取为实数，这样把  很自然的对接到  然后开根号成  ，是会遇到对负数开根号，出现非单一值的问题（请参见棣莫弗公式），就算不考虑单一值的问题，我们期望的“合成函数”的值域到底该不该包含复数呢？所以 (1) 我们一开始就要把准备“合成”的两个函数的值域跟定义域划分清楚 (2) 要考虑到对接的时候，前面的值域跟后面的值域不一定相等的问题。 
设我们有两个函数  和  ，两者的定义域分别是  和 ，值域分别是  和 。如果   ，那我们定义合成函数为 
 
直观上来说，如果  的“输出范围”是有一部分在  的“输入范围”，那我们就可以定义“先作用  再作用  ”的函数，但这个“新合成”的函数的定义域可能会因此被限缩（输出值处在两者交集的那些  而已）。注意到每个  只会有一个输出值  ，而每个  只会有一个输出值  ，所以这样“先作用  再作用  ”的话，每个  只会有一个输出值  而已，这确保了  符合我们对函数的要求。绝对值函数与三次函数，两个实函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律
当  时（注意这是集合的相等！），我们会说  和  是可交换的。
两个一对一函数的合成函数也是一对一的。
涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

**例子**
g ∘ f ，f 与 g 的复合。例如，1=(g ∘ f )(c) = #.
两个函数复合的具体例子- 有限集上的函数复合：若 ，，则 .- 无限集上的函数复合：若 f: ℝ → ℝ （其中 ℝ 是所有实数的集合）表达式为 1=f(x) = 2x + 4，而 g: ℝ → ℝ 表达式为 1=g(x) = x3，则： 
1=(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3 + 4，且 
1=(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)3.- 如果一架飞机在 t 时刻的海拔为 h(t)，而海拔 x 处的氧气浓度为 c(x)，那幺 (c ∘ h)(t) 描述了 t 时刻飞机周围的氧气浓度。

**复合幺半群**
假设我们有两个（或多个）函数 f: X → X, g: X → X，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 f ∘ f ∘ g ∘ f。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 f: X → X 的集合称作 X 上的全变换半群或对称半群。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。） 
相似性是位似 H 和以 S 为中心的旋转 R 的复合。例如，A 在旋转R下的像是 U，可以写作。而  表示映射 H 把 U 变换到了 B。因此，。
如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。
所有双射函数 f: X → X（称作置-{}-换）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。 
在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。

**函数幂**
如果 math|Y ⊆ X，则 f: X→Y 有可能可以与自身复合；这有时候记作 f 2。即： 
1=(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f 2(x)
1=(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f 3(x)
1=(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f 4(x)
更一般地，对于 n ≥ 2 的自然数，n 次函数幂可以归纳定义为 1=f n = f ∘ f n−1 = f n−1 ∘ f. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。 - 习惯上，f 0 定义为 f 定义域上的恒同映射，idX.- 如果 1=Y = X，而 f: X → X 存在反函数 f −1，那幺对于 n > 0，负函数幂 f −n 定义为反函数的幂：1=f −n = (f −1)n.
注意：若 f 在一个环内取值（特别是对于实值或复值f），存在混淆的风险，因为 f n 也可以表示 f 的 n 次乘积，比如 1=f 2(x) = f(x) · f(x). 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 1=sin2(x) = sin(x) · sin(x) 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，1=tan−1 = arctan ≠ 1/tan.
在一些情况下，对于给定函数 f，方程 1=g ∘ g = f 只有一个解 g 的时候，该函数可以定义为 f 的函数平方根，记作 1=g = f 1/2.
更一般地，当 1=gn = f 只有唯一解时（自然数 n > 0），f m/n可以定义为 gm. 
在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。 
为避免混淆，有些数学家把 f 的 n 次迭代写作 f °n.

**其他记法**
许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 g ∘ f 写作 gf.
在20世纪中叶，一些数学家认为用“g ∘ f ”来表示“首先施加 f，然后施加 g”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“xf”来代表“f(x)”，用“(xf)g”来代表“g(f(x))”。 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 x 为行向量，f 和 g 表示矩阵，而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。
使用后缀表示法的数学家可能会写“fg”，表示先施加 f 再施加 g，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“fg”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 f ; g 来表示 1 ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。 由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用粗分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。

**复合算子**
给定函数 g，复合算子 Cg 定义为使得
:
的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

**多元函数**
对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 f 的部分参数 xi 由 g 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 

当 g 是一个常数 b 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 f，一个 n 元函数，n 个 m 元函数 g1, ..., gn，f 与 g1, ..., gn 的复合是 m 元函数
.
这有时称作 f 与 g1, ..., gn 的广义复合。 在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，g1, ..., gn 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。
某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 n的函数 f 是保持 g 的同态函数（g 的元数为 m），则可以说 f与 g 是可交换的，反之亦然。例如：
.
一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。

**推广**
复合可以推广到任意二元关系。若 math|R ⊆ X × Y 与 S ⊆ Y × Z 是两个二元关系，则它们的复合 S∘R 是定义为 . 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。
偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。
具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 1=(f ∘ g)−1 = (g−1 ∘ f −1) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

**排版**
复合算子 ∘  编码为html=。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。

**参见**
 组合子逻辑- Functional decomposition- 迭代函数- Infinite compositions of analytic functions- 流- 高阶函数- Cobweb plot，函数复合的图形方法- Λ演算- Functional square root- Composition ring，复合运算的形式公理化- 随机变量函数

**注释**

**参考文献**

**外部链接**
 id=p/c024260- " Composition of Functions date=20201122101708 " by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.