向量分析

向量分析，或称为向量微积分（Vector calculus）是数学的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间中向量场的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。
向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。
向量分析由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末从四元数分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和Edwin Bidwell Wilson在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数的方法运用了可推广的外积，下文将会讨论。

**基本对象**

**标量场**
标量场将空间中的每点与标量值相关联。标量是代表物理量的数字。标量场的应用如空间中的温度分布、流体中的压强分布、零旋量子场（称为标量玻色子）如希格斯场。这些场是标量场论的研究对象。

**向量场**
向量场将向量分配给空间中的每一点。例如，平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合，每个都有给定的大小与方向，并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向，或某种力（如磁力或引力）在点之间变化时的强度和方向。例如，这可用于计算在一条线上所做的功。

**向量和伪向量**
在更高级的处理中，进一步区分了伪向量场和赝标量场，它们只在反向映射下符号会变化：例如，向量场的旋度是伪向量场，若反射一个向量场，旋度会指向相反的方向。这种区别在几何代数中有阐述，下详。

**向量运算**

**代数运算**
向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，基本代数运算有：
两种三重积也比较常见：
三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示。

**微分运算**
向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

**定理**
同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

**应用**

**线性近似**
线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数，对接近的，可以用下式近似

右式是图形在处切线的平面方程。

**最优化**
对连续可微多变量函数，若其所有偏导数在P点都为零（梯度为零），则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。
若函数光滑，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部极值或鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵的特征值，可以区分不同情形。
由费马引理，可微函数的局部极值都出现在临界点上。因此，要找到局部极值，只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

**物理学与工程学**
向量分析尤其适于研究
*质心
*场论
*运动学
*麦克斯韦方程组

**推广**
向量分析还可推广到其他3-流形及高维空间。

**不同3-流形**
向量分析起初是在欧氏空间中，不仅是3维实向量空间，还具有额外结构，即：由内积定义范数（给出长度概念），又引出角度与方向，方向又分左右手。这些结构产生了体积形式，以及在向量分析中常用的叉积。
梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。
若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）核方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。
更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形，或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。

**其他维度**
大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生调和分析）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。
从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作k向量场：标量场是0-向量场，向量场是1-向量场，伪向量场是2-向量场，伪标量场是3-向量场。在更高维度中，还有更多类似的场（标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因此不能只用（伪）标量和（伪）向量。
在任意维度中，假定一个非退化形式，标量函数的梯度是向量场，而向量场的散度是标量函数，但只有3维、7维（1维、0维是平凡的）中，才能定义叉积（其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量，或要用李代数代替，即更一般的反对称双线性积）。总之，向量场的旋度是二重向量场，可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数；但这不能视作向量场，因为维数不同——3维旋转有3维，但4维旋转有6维（n维中的旋转有维）。
向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数，用k向量场（3维及以下时，k向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。外积取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。
第二个运用微分形式（k余向量场），在数学中有广泛应用，尤常见于微分几何、几何拓扑、调和分析等领域，在有向伪黎曼流形上产生了霍奇理论。从这个角度看，梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的外导数，而向量分析的关键定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。
从这两种推广来看，向量分析隐式地标识了不同的数学对象，使表述更简单，但底层的数学结构与推广却不那幺清晰。从几何代数的角度来看，向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式作为输出（因此是伪向量场），然后将其解释为向量场，而非直接从向量场映射到向量场，这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。

**参见**
 实函数- 向量恒等式- 在圆柱和球坐标系中的del- 方向导数- 保守矢量场- 螺线矢量场- 拉普拉斯矢量场- 亥姆霍兹分解- 正交坐标- 偏斜坐标- 曲线坐标- 张量

**参考文献**

**脚注**

**参考资料**
 Sandro Caparrini (2002) " The discovery of the vector representation of moments and angular velocity date=20210417135737 ", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.-  title-link = A History of Vector Analysis -  isbn = 978-0-7167-0462-1-  isbn = 978-0-393-92516-6- Barry Spain (1965)  Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.- Chen-To Tai (1995).  A historical study of vector analysis date=20080925012441 . Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

**外部链接**
  The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields- id=p/v096360- id=p/v096350-  A survey of the improper use of ∇ in vector analysis date=20240706125318  (1994) Tai, Chen-To-  Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

**延伸阅读**
 A History of Vector Analysisdate=20201127013554