变分法

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯粹数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。

**历史**
变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。
勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。
在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、列奥尼达·托内利、昂利·勒贝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。

**欧拉-拉格朗日方程**
在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其导数为的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点和最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为

其中
  。
函数至少需为一阶可微的函数。若是一个局部最小值，而是一个在端点及取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子

其中为任意接近的数字。
因此对的导数（A的一阶导数）在时必为：
此条件可视为在可微分函数的空间中，在各方向的导数均为。若假设二阶可微（或至少弱微分存在），则利用分部积分法可得

其中为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例：
，
其中为在两端点皆为的任意可微函数。
若存在使，则在周围有一区间的H也是正值。可以选择在此区间外为，在此区间内为非负值，因此，和前提不合。若存在使，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：
，
由结论可推得下式：
，
因此两点间最短曲线为一直线。
在一般情形下，则需考虑以下的计算式
，
其中需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量在极值处满足欧拉-拉格朗日方程
，
不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。

**费马原理**
费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设为光的路径，则光程可以下式表示：
，
其中折射率依材料特性而定。
若选择，则的一阶导数（对的微分）为：
，
将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程
。
光线的路径可由上述的积分式而得。

**斯乃尔定律**
当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑
，
，
其中和是常数。在或的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在的位置，必须连续，不过可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为
。
和相乘的系数是入射角的正弦值，和相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。

**费马原理在三维下的形式**
费马原理可以用向量的形式表示：令，而t为其参数，是曲线参数化的表示，而令为其法线向量。因此在曲线上的光程长为
。
上述积分和无关，因此也和的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式
，
其中
。
依P的定义可得下式
。
因此上述积分可改为下式
。
依照上式，若可以找到一个函数，其梯度为，则以上的积分就可以由在积分端点上的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。

**和波动方程的关系**

**应用**
最优控制的理论是变分法的一个推广。

**参看**
等周不等式
*变分原理
*费马原理
*最小作用量原理
*无穷维优化
*泛函分析
*微扰法

**参考**
 Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

**外部链接**
 变分法线上影音教学date=20091017222525 by PengTitus- Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg- PlanetMath.org: Calculus of variations- Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variationsdate=20060308153002 - Example problems in the calculus of variations