傅里叶级数

方波的傅里叶级数前四项的部份总和。随着增加更多的谐波，这个部份总和收敛成方波。
在数学中，傅里叶级数（Fourier series，ər）是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。
傅里叶级数是傅里叶分析的一个研究分支，也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

**历史**
傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶（1768年–1830年），他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家欧拉、达朗贝尔和克莱罗，已发现在认定一个函数有三角级数展开后，通过积分方法计算其系数的公式，而拉格朗日等人已经找到了一些非周期函数的三角级数展开。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助 see here, pg.s 209 & 210,  date=20141213042225 ，傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文虽经西尔维斯特·拉克鲁瓦、加斯帕尔·蒙日同意，但在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他的现在被称为Fourier inversion theorem的理论后来发表于1822年出版的《热的解析理论》。

**定义**
上图展示了蓝色无周期函数，它只定义在红色区间之上。可以认为傅里叶级数，是对下图中最初函数的“周期延拓”的分析，傅里叶级数总是周期函数，即使最初函数不是周期函数。
傅里叶级数可以用不同的形式来表达，下面将周期为的一个周期函数表达为不同形式的傅里叶级数。

**正弦-余弦形式**
人们常用与的三角级数来表示，就是将所有阶谐波与，乘以其各自在中的权重，求得它们的总和；这些阶谐波的权重称为傅立叶级数系数，它们可以借由如下积分来获得：
符号表示在选定区间上的积分，典型的选择为或者。注意是函数的平均值，这个性质扩展到了类似的变换比如傅里叶变换。
通过这些系数定义傅里叶级数为：
这里使用符号，表示傅里叶级数的求和不一定总是等于。普遍来说是理论上趋近于无限大的，但是就算趋近于无限大，对所有的（例如在某一点上不连续），傅立叶级数也不一定收敛到 。尽管不收敛的可能性始终存在，在科学和工程领域中经常将Eq. 2中的直接替代为。
在傅里叶级数系数中的整数索引，是级数中相应的或，在这个函数的周期中，形成的圆周（cycle）的数目。因此对应于和的项有着：- 波长等于，并且有着同于的单位。- 频率等于，并且有着的倒数单位。

**指数形式**
下面借由欧拉公式，将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。
根据定义，我们可以得到:
通过将等式Eq. 1代入Eq. 3，可以证实：
给定复数傅里叶级数系数，可以用公式复原出和：
通过这些定义，傅里叶级数可以写为：
这是可推广到复数值域函数的惯用形式。的负数值对应于负频率。

**复数值函数**
人们习惯将的值域普遍化到复数上，设是一个复数值函数，它的实部和虚部，都是实数值函数：

定义则：



对于这个复数值函数，它的傅里叶级数的实部，是它的实部的傅里叶级数；它的傅里叶级数的虚部，是它的虚部的傅里叶级数：


**振幅-相位形式**
还可以利用三角恒等式，把正弦-余弦形式中后面的正弦函数跟余弦函数合并起来：

然后定义振幅，相位，这里的和对应正弦-余弦形式中和。是的平均值。

**部份求和算子**
在描述傅里叶级数行为的时候，经常会为一个函数介入部份求和算子：
这里的是的傅里叶系数。不同于微积分中的级数，傅里叶级数的部份求和必须采用对称形式，否则收敛结果可能不成立。
假设与是在上的可积函数，与在的卷积为:

周期为的函数的傅立叶级数的部份求和，可以经由与狄利克雷核的折积来表示：


**收敛性概要**
在近似了，该近似程度会随着逐渐改善。这个无穷和叫做 的傅里叶级数表示。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见Convergence of Fourier series之一。对于广义函数或分布也可以用范数或Weak convergence (Hilbert space)定义傅里叶系数。在的不可导点上，如果我们只取无穷级数中的有限项求和，那幺在这些点上会有幅度不随增大而持续变小的起伏，这叫做吉布斯现象，一个简单的例子是方波信号。
在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于，只要在的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。如果一个函数在区间上是平方可积的，那幺此傅里叶级数在几乎处处的点都收敛于该函数。
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif|一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化
File:Fourier series square wave circles animation.gif|另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。（可以在这里看到一个交互式的动画） 
File:Example_of_Fourier_Convergence.gif |收敛于某个任意函数的例子。注意其中的吉布斯现象

**其他常用表示法**
符号在讨论多个不同函数的傅里叶系数时是不够用的。因此习惯上将其替代为函数（这里是函数）的某种修改形式，即采用函数式符号比如或，来替代下标式符号：
常用的数学符号
常用的工程符号
在工程上，特别是在变量表示时间的时候，系数序列叫做频域表示。经常使用方括号来强调这个函数的定义域是频率的离散集合。
另一个常用频域表示，使用傅里叶级数系数，调制像梳子一样的Dirac comb：

这里的表示连续频域。在变量以秒为单位的时候，以赫兹为单位。采样的间隔为基本频率的倍（即为谐波）。 可以通过逆傅里叶变换从这种表示恢复出来:

构造出的函数，因而通常称为“傅里叶变换”，即使一个周期函数的傅里叶积分在这个谐波频率上不收敛。

**常用的傅里叶级数**
下表列出常用的周期函数及其傅里叶级数系数。
*指示周期的周期函数。
*、和指示周期函数的傅里叶级数系数（正弦-余弦形式）。

**基本性质**
下表展示在时域中的一些数学运算及其对应的在傅里叶级数系数上的效果。- 复数共轭指示为上标星号。- 和指示周期为的函数或只定义在中的函数。- 和指示和的傅里叶级数系数（指数形式）。

**对称性质**
所有的函数都可以分解成唯一性的偶部和奇部：，这里的而。实数参数的复数值函数，对于所有，如果则称其为“偶对称”，如果则称其为“奇对称”，这里的上顶横线指示复数共轭。
一个复数值函数的实部和虚部，分解成各自的偶部和奇部，就有了四个分量，分别用下标标明为RE、RO、IE和IO。一个复数值时间参数函数的四个分量，与它的复数频率变换的四个分量之间，有着一一映射：

由此可见，各种关系是显而易见的，例如：
*实数值函数的变换，是偶对称函数。反过来说，偶对称变换蕴含了实数值时域。
*虚数值函数的变换，是奇对称函数，反过来说也成立。
*偶对称函数的变换，是实数值函数，反过来说也成立。
*奇对称函数的变换，是虚数值函数，反过来说也成立。

**范例**

**一个简单的傅里叶级数**
锯齿波周期函数的图
前五个部分傅里叶级数的动态图
我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波：


在这种情况下，傅里叶级数为：

可以证明，当可微时，傅立叶级数在每个点都收敛于，于是：
当时，傅里叶级数收敛于，为在 处的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。
这个例子为我们引出了巴塞尔问题的一种解法。

**傅里叶诱导**
金属板内的热分布，使用傅里叶方法求解
在上例中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比简单，因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用，我们举用傅里叶诱导解热方程的例子。考虑边长为米的方形金属版，坐标为。如果板内没有热源，并且四个边中三个都保持在摄氏度，而第四条边，对于，保持在温度梯度摄氏度。在这种情况下，稳态（或者说很长时间过后的）热分布函数不能得出解析解，但却可以证明：
 
这里的是双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将的傅里叶级数的每一项乘以得到的。尽管示例的函数的傅里叶级数似乎很复杂，用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。

**其他例子**
我们也可以应用傅立叶级数去证明等周不等式，或是构造处处连续而处处不可微的函数。

**收敛性**
至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：
# 在定义区间上，须绝对可积；
# 在任一有限区间中，只能取有限个极值点；
# 在任何有限区间上，只能有有限个第一类间断点。
满足以上条件的傅里叶级数都收敛，且：
1.当是的连续点时，级数收敛于；
2.当是的间断点时，级数收敛于。
1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。

**傅立叶级数收敛证明**
假设一个函数在在上是平方可积，则会有:
 当
证明的第一步:
考虑一系列正交基底，，其中，且有

然后有
特别的有，的傅立叶级数的部分和
然后根据 以及毕氏定理，可以有:
  替换一下后有   
如果右边第一项收敛到0，再根据正交的性质，可以看出上述式子中的右手边第二项:
，这就证明了帕塞瓦尔定理。
证明的第二步: 
回到证明右边第一项，因为函数可积，找到一个连续函数，然后根据最佳逼近引理，可以找到一个三角多项式p(x)，使得

故当，函数跟的差为0。

**其他性质**

**傅立叶级数的唯一性**
如果有一个定义在的函数和,其中函数和的傅立叶系数还有相同，且傅立叶级数都收敛到函数本身，那么可以证明此傅立叶级数具有唯一性，也就是。换句话说，如果函数在上可积，傅立叶系数为0，对所有的，那么函数

**卷积定理**
给定周期为的函数和，它们具有傅里叶级数系数和，这里的。
*逐点乘积，也是周期为，并且它的傅里叶级数系数是序列和的离散卷积：。
*周期卷积，也是周期为，它具有傅里叶级数系数：。
*在中的双无限序列，是在中的傅里叶系数的序列，当且仅当它是在中的两个序列的卷积。

**微分性质**
我们说属于在  如果是一个在实数上以为周期的函数，且次可微而且阶连续。- 如果属于在，那么傅立叶系数可以被用傅立叶系数的表示，借由公式- 如果属于在，。特别的，当固定，我们有趋近于0当，且有。

**黎曼-勒贝格定理**
如果是可积函数，则，而。

**帕塞瓦尔定理**
如果函数属于在之中，那么便有。

**普朗歇尔定理**
如果是系数，并且，则有一个唯一的函数使得对于所有有着。

**延伸**

**希尔伯特空间的解读**
正弦和余弦形成了正交集合。正弦、余弦及其乘积的积分，当m与n不同或二函数不同时是0(绿色和红色区域相等抵消)，仅当m和n相等并且函数相同时为π。
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。
在希尔伯特空间释义下，函数的集合{en = einx; n ∈ Z}是−π, π平方可积函数L2(−π, π)的正交基。这个空间实际上是一个希尔伯特空间，有着针对任何两个的元素f和g的如下内积:

三角函数族的正交性用公式表示出来就是：


(这里的δmn是克罗内克函数)，而


**参阅**
 离散时间傅里叶级数- 傅里叶变换- 维尔斯特拉斯逼近定理

**注释**

**引用**

**延伸阅读**
isbn=0-471-43338-1- isbn = 0-486-49531-0  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
*jstor=2325087 
*isbn=978-0-486-43261-8
*Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
*isbn=0-07-054235-X- isbn=0-521-89053-5 The first edition was published in 1935.- 电机电子类科《工程数学》，ISBN 978-957-584-377-9，作者 陈锡冠、曾致煌，高立出版社。

**外部链接**
id=p/f041090
*authorlink=E. W. Hobson- title= Fourier Series