范畴 (数学)

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

**定义**

**范畴**
一个范畴  意指资料 ，其中：- 一个由对象（Object）所构成的类 ；- 物件间的态射（Morphism）所构成的类 。每一个态射  均蕴含确定的「始对象（Domain）」 和「终对象（Codomain）」，且 。此时记 ，称  为从  到  的一个态射group=注释。所有由  至  的态射构成类，记作 ，不致混淆时，也记作 ；- 对任意态射对  有态射复合  如下：
其中， 在不致混淆时也记作 。
此态射复合满足下列公理：- （结合律）对态射 ， 和 ，有 ；- （幺元）对任意对象 ，存在一态射 ，使得对任意态射 ，均满足 。态射  称作「 的单位态射」。
根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。time=2024-11-22
图 1： 和  间的映射
显然， 和  间自然地存在三个映射：，，，如图 1 所示。

**小范畴和局部小范畴**
一个范畴  称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类  比真类小，即仅有集合那幺大。
一个范畴  称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 ，其对应的的态射类  均为非真类的集合。
数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

**范畴举例**
每一范畴都可由其物件、态射和态射复合来表示。- 所有集合的范畴 ，其态射为集合间的函数，而态射复合则为一般的函数复合。
** 所有预序关系的范畴 ，其态射为单调函数。
** 所有原群的范畴 ，其态射为原群间的同态。
** 所有群的范畴 ，其态射为群同态。
** 所有阿贝尔群的范畴 ，其态射为群同态。
** 所有环的范畴 ，其态射为环同态。
** 所有于体 （维持固定）上的向量空间的范畴 ，其态射为线性映射。
** 所有拓朴空间的范畴 ，其态射为连续函数。
** 所有度量空间的范畴 ，其态射为度量映射。
** 所有一致空间的范畴 ，其态射为一致连续函数。
** 所有光滑流形的范畴 ，其态射为  次连续可微映射。- 所有小范畴的范畴 ，其态射为函子。- 所有局部小范畴的范畴 。- 所有集合的关系范畴 ，其态射为关系。- 任一预序集  均蕴含一个小范畴，其对象为  的元，态射为有序对  使得 。group=注释- 任一幺半群  均蕴含一个携唯一一个对象  的小范畴 。 以  中的元作为态射，每个态射各自表示  上一个不同的自同态，而态射复合由  的乘法给出。 的幺元  也作为  这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。- 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。- 若I是一个集合，「在I上的具体范畴」会是个小范畴，其物件为I的元素，而态射则只有单位态射。当然，其态射复合的公理是必然满足的。

**态射类型**
一个态射  被称为：- 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 ，满足 ，换言之，存在逆；- 自态射（Endomorphism），当且仅当 ，即  是从  到  自身的态射；- 自同构（Automorphism），当且仅当  同时为同构与自态射；- 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 ， 均蕴含 ；- 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 ， 均蕴含 ；-  的截面（Section），当且仅当 ，也称作  的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；-  的收缩（Retraction），当且仅当 ，也称作  的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；
也记  上的所有自态射构成类 ，所有自同构构成类 。
下述三个命题是等价的：
#  是单态射且是收缩。
#  是满态射且是截面。
#  是同构。
态射之间的关系（例如 ）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

**特别的范畴**

**子范畴**
给定一个范畴 ，称范畴  为  之子范畴（Subcategory），当且仅当：- ，- ，- 同时，态射复合仍然保持。

**群胚**
称  为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。- 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；
任意范畴  均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部  的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

**对偶范畴**
令  为一范畴，规定其对偶范畴  如下：- 以  为 ；- 由如下从  到  的一一对应函子完全生成后者：   

其中满足：。
利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：
定理：下列三条定理等价：
#  为范畴  中的一个同构（双态射）；
# 对所有对象 ， 上的后复合定义了双射 ；
# 对所有对象 ， 上的前复合定义了双射 ；

**积范畴**
对任意范畴  和 ，定义其积范畴  如下：- 以形如  的有序对为对象，其中 ，- 以形如  的有序对为态射，同时- 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。
图 2：逗号范畴之态射

**逗号范畴**
给定函子 ，定义其逗号范畴  如下：- 以有序三元组  为对象，- 以有序对  为态射，使得对于每个 ，图 2 在  中交换， 即：使得 。

**范畴类型**
 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合  不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那幺我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那幺我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。- 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。- 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。- 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

**注释**

**参考文献**
 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）.  Abstract and Concrete Categories date=20150421081851 . Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）- Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991).  Categories, Types and Structures. Originally publ. M.I.T. Press.- Barr, Michael, & Wells, Charles (2002).  Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)- Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.- Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.- Jean-Pierre Marquis,  "Category Theory" date=20211121231337  in  Stanford Encyclopedia of Philosophy date=19961227155812 , 2006

**外部连结**
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