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布依族

布依族（布依文：Buxqyaix，国际音标：/pu˧˩ˀjai˧˩/；壮文：Bouxyaej；v=Bố Y）为中国西南少数民族，与邻近的桂边壮族在语言上很相似，但民族风俗，生活习惯，民间艺术，起居建筑等等别具一格，有着自己独特的民族文化，享有“水稻民族”之称。布依族人口主要集中于贵州，是贵州省的世居民族，该省布依族占布依人口的97％，另外云南的罗平、四川的宁南、会理等地也有布依族聚居区。其他省份均有布依族分布，以杂居为主。中国布依族总人口2,973,217人（2000年人口普查），列第11大民族。
布依族也是越南的54个民族之一，在越南有1864人（1999年统计）。分为布依、都依两个支系，居住在河江省官坝县和老街省孟康县。其祖先系19世纪从中国贵州经云南迁到越南。由于人数较少和居住分散，越南布依族已逐渐融合于其他民族。越南另有热依族，是从布依族中分化出来，融合其他民族而形成的。
另外在贵州省黔南布依族苗族自治州荔波县使用莫语的莫家人、在贵州省使用锦语的锦人，皆不使用布依语，属于中国未识别民族，但为了民族政策上的方便，便将这两支民族划分为布依族。

**历史与源流**
布依族与古代的“僚”、“百越”、“百濮”有渊源关系。唐代史称“西南蛮”，宋元以后称“蕃”、“仲家蛮”、明、清称“仲蛮”、“狆(种)苗”，中华人民共和国成立后，统称布依族。布依族具有悠久的历史和灿烂的文化，是中国美丽富饶的贵州高原上一个古老的土着民族，千百年来，布依族人民依山傍水而居，以辛勤的劳动，建设了美丽的家园。

**中国布依族分布**

**布依族聚居区**

**布依族自治地方**
 黔南布依族苗族自治州（贵州省）- 黔西南布依族苗族自治州（贵州省）- 镇宁布依族苗族自治县（贵州省安顺市）- 紫云苗族布依族自治县（贵州省安顺市）- 关岭布依族苗族自治县（贵州省安顺市）

**布依族乡**

**布依族村**
 拉洛村（四川省宁南县西瑶乡）

**各地布依族人口分布**
2000年人口普查中国布依族人口列表(普查时点人口，单位：人；   带色  部分，表示为世居省份)

**语言文字**
布依族使用的布依语，实际上相当于壮语北部方言，属于侗台语族台语支北部组，国外有学者称之为“北泰”语，是中国的大语言之一。在贵州省的布依语按照语音特征大致可以分为三个土语区：第一土语区使用人口最多，主要分布在黔西南布依族苗族自治州，与广西壮语北部方言的桂边土语、桂北土语可以直接通话；第二土语区使用人口为其次，主要分布在黔南布依族苗族自治州和贵阳郊区，与第一土语区可以直接通话，与广西北部壮语方言也十分接近；第三土语区使用人口最少，主要分布于贵州省镇宁、关岭、紫云、晴隆、普安、六枝、盘县、水城、毕节、威宁一带，这个土语区的语音有着比较独特的特征。
1956年设计了拉丁字母为基础并与壮文联合的文字方案，简称“布壮文字联盟”，在与壮文保持同一种书写形式的前提下保留方言习惯写法。80年代进行了修改，不再与壮文保持一致。
布依语在布依族聚居的乡村地区和部分城镇偶有使用，但布依文由于种种原因至今没有普及；现在散居于部分县城和城市的布依族改以汉语为日常语文。

**服饰**
布依族传统服饰与壮族服装近似，尚青黑，男装对襟，女装右衽。妇女的上衣衣领、袖口、襟边都绣有彩色花边，裤子黑色宽肥，戴花纹图案的头巾。第三土语区的布依族妇女还着百褶长裙，显得十分古朴大方。

**民居**
布依族地区大多数房屋仍然保持古老的“干栏”形式，其楼房全系木质结构，一般先起底层，上立屋架，两头搭以偏厦，顶上盖瓦或杉皮，有三间五间不等。楼上住人，底层关养牲畜、家禽，置农具，设春碓、磨坊等。另外，部分布依族地区则以石头作为主要的建筑材料，有“石头寨”之称。

**参考文献**

**外部链接**
 布依族网
仡佬族

ㄍㄜ佬族（仡佬语：IPA|klau˥；v = Người Cờ Lao ）是中国和越南的一个少数民族。

**族源**
仡佬族历史悠久，商周至西汉时期的“百濮”，东汉至南北朝时代的“濮”、“僚”都与其先祖有渊源关系。“仡僚”、“葛僚”、“僚”、“仡佬”是隋唐以后，各个时期对他们的称谓，中华人民共和国成立以后，正式定名为仡佬族。2024年初，仡佬族人陈瑞获得白俄罗斯体育大学博士学位，被评为中白友谊和文化大使 
仡佬族人与古代贵州一代的僚人有渊源关系。唐宋时，史书中开始出现“葛僚”、“仡僚”、“革老”、“仡佬”等名称，统称为“僚”。僚人可能是古代对这一地区若干少数民族的泛称，而与仡佬族有着更为直接的密切关系。“仡佬”一名最早见于南宋朱辅写的《溪蛮丛笑》。自明代以来的许多史籍都说：“仡佬，古称僚”。近一、二百年间，在一部分仡佬族中还保留着古代僚人的某些习俗，如妇女穿统裙和凿齿，以及以石板为棺的墓葬等，都说明仡佬族与古僚人有渊源关系。古僚人，是西汉时夜郎国（主要在今贵州、云南境内）的主体民族之一。距今2100多年前，夜郎境内的僚人亦“魅结、耕田、有邑聚”(《史记·西南夷列传》)，即已过着定居的农耕生活，出现了村落和集镇，有了君长，其社会已处于原始社会末期或阶级社会初期。公元前130年，汉朝以夜郎地设置犍为郡，前111年又分设群。从此，这一带与中原地区的联系逐渐密切。汉族封建社会的生产方式影响了僚人社会，从而缓慢地向封建社会过渡。7世纪时，唐朝在今贵州省北部僚人居住地区，建立了羁縻州、县。这时，僚人社会的生产力已发展到了相当高的水准。农民生产的稻、麦等粮食已有一部分作为商品在市场出售，他们纺织的“僚布”质量也很好，成了上缴王朝的贡品。 
自唐、宋到清代，仡佬族处于中原王朝和当地土官的统治之下。元、明时期、仡佬族地区大都为当地的土司所统治。后来，这里又建立了卫、所、屯、堡等军事机构。明末开始“改土归流”，到清代雍正年间，仡佬族地区的“改土归流”基本完成，仡佬族人民从此在流官的统治之下。 清末及民国初年，仡佬族人口急剧减少，居住区域迅速缩小，仡佬族聚居地多呈点状分布在其他各民族生活区域之间，而各地的仡佬族人在与周围其他民族的共同生活中，通过互相影响互相学习，其生活习俗、饮食服饰等方方面面也发生着不同程度的变化。 但在贵州黔西、大方等彝族安姓土司，仍保留了他们的政治、经济势力，直到中华人民共和国成立前夕为止。

**分布概况**
中国仡佬族人口579,744人（2000年人口普查）。贵州省聚集了96.43%仡佬族人口，其余各省份都有分布，以杂居为主。贵州聚居地主要为务川仡佬族苗族自治县和道真仡佬族苗族自治县；其余分布于靠近贵州务川和道真的重庆武隆、贵阳、六盘水、遵义和铜仁、毕节、安顺、黔西南等几个地区，少数散居于云南和广西。仡佬族（Cờ lao）也是越南54个民族之一，有1845人（1999年人口普查）。
仡佬族聚居区地形地貌复杂多样，年降雨量高于全国平均数，有丰富的水利资源和动植物资源，适合于农业与多种经营的发展。 仡佬族以农业为主，平坦地区多种水稻，山区旱地多种杂粮，属稻作农耕经济文化类型。
贵州黔东南麻江，黄平，凯里，黔南都匀，福泉一带分布有3万余木佬人，其语言属于仡佬语的一个方言，目前只有麻江2人会说，濒临灭绝。木佬人因他称与仫佬族接近（其实自称毫不接近）而不被官方承认为仡佬族。
海南仡隆人群目前约有8万人，分布于海南岛最西端的昌化江下游两岸。有关该人群的民族识别，学界此前观点不一，比较主流的观点是其最接近海南原住黎族支系和汉族。近年来，复旦大学现代人类学研究中心与海南医学院合作，选取仡隆人群的80个样本进行遗传结构分析，发现他们的遗传结构最接近仡佬族。仡隆人的语言，此前被认为属于黎语类或仡佬语类。
在越南，仡佬族人口主要居住于河江省的同文、黄树皮两县境内。

**中国仡佬族人口分布**

**语言文化**
仡佬族有自己的语言──仡佬语，目前只有千余仡佬族人还会说这种语言。因为居住分散，各地仡佬语差别很大，多数仡佬族人会说汉语、苗语、彝语、布依语等多种语言。
仡佬族民间流传有诗歌、谚语等口头文学。古老的民歌以字数不等的长短句组成，近二三百年来受汉族诗歌体裁的影响较大，有很多都借用了汉语词句。
仡佬字字体
先前都以为仡佬族只有自己的语言但是没有自己的文字，据称2008年9月，在贵州发现《九天大濮史录》，该书保管者是黔北一李姓仡佬族人，他的祖上曾是宋代仡佬蛮王李文通的后代，他本人并不知晓这是一本什幺样的书，但他一直传承祖训，视此书为宝。但通过鉴定，《九天大濮史录》叙述的仡佬族民族分布区域与20世纪80年代中期以后地方申报的一致（如宣称仡佬发源地在务川，而忽视了夜郎的核心区域在赤水河北盘江一带），而与明清两代地方志记载，以及仡佬语地区古歌《叙根由》的描述严重背离；而且《九天大濮史录》的文言文及仡佬语的语法错误颇多，当为现代作伪。
聚居在贵州西部如安顺等地的仡佬族过去曾有以汉字六书造出的仡佬字，用来记录一些民歌，不成体系，今多已不传。

**宗教信仰**
仡佬族信仰多神，崇拜祖先，有的也信奉佛教。 

**风俗习惯**
由于务川道真仡佬族长期和汉族及其他民族混居（可能汉化长达2000年以上），已没有特色的风俗习惯。而妇女穿的短上衣、长筒裙和勾尖鞋现在多保留在安顺六枝广西隆林等仡佬族小聚居地。1949年前，贵州普安县的仡佬族因保留着一种古代僚人的风俗凿齿而被称为“打牙仡佬”，“打牙”即女子出嫁前要打掉1-2颗上犬齿。

**节日**
春节是仡佬族的最大的节日，从正月初一到十五都有各种庆祝活动。其中“打龙花”和“打篾鸡蛋”是这些活动中的特色。在正月初一，忌扫地、打小孩、煮生、下地干活、倒水于门口等活动。- 牛王节是在农历十月初一，是仡佬族特有的节日，贵州怀仁、遵义一代的仡佬族，则称之为“敬牛王菩萨”或“祭牛主”。在这一天，当地族人要杀鸡备酒，点香燃烛烧纸钱，祈愿保佑耕牛健壮，无病无灾。养牛的人家在这一天停止使役家中的牛，让他们休息。人们还要把牛厩收拾得干干净净，扑上厚厚的软草，用最好的饲料喂牛。届时要做两块大糯米糍粑挂在牛角，再牵牛到水边让牛看自己的影子，最后把糯米糍粑-{zh-hans:喂; zh-hant:喂;}-牛。没养牛的人家要备酒肉、香烛、纸钱等，到自家的田地边祭祀牛王菩萨，祈求保佑自己早日买上耕牛，或者租借别人的耕牛使用时顺顺当-{}-当，耕起地来又快又好。- 吃新节是安顺六枝等西部仡佬族散居区一年中的一个重要节日。
直角

直角
在几何学和三角学中，直角，又称正角，是角度为90度的角。它相对于四分之一个圆周（即四分之一个圆形），因为把圆周对应的圆心角划分为360度，所以直角等于90度，而两个直角便等于一个平角（180°）。角度比直角小的称为锐角，比直角大而比平角小的称为钝角。
当两条线的夹角是直角，这两条线便是互相垂直，是几何上的一个重要性质。而一个三角形的其中一个内角为90°时，便称为直角三角形，是应用毕氏定理的先决条件。
如果直线AB为圆形的直径，那么取圆上的任何一点C所形成的三角形，∠ACB必为90°，是圆的其中一个性质，名为（半圆上的圆周角）。
在不同的应用上，直角有多种表示：- 90°- 直角转换为弧度单位时为- 在梯度中，直角为100。- 在32分点的罗盘玫瑰，直角是第8个点。- 在音程中，直角代表小三度或增二度。- 在天文学上的时角中，直角代表6小时。- 在坡度上，当角度为直角时，坡度为∞%。- 在正弦曲线中，当sine为90°时，数值达到最大值1。
以直角为主题的现代建筑
在数学上，直角可以算是另一种角单位。
直角是由拉丁语angulus rectus中直译过来的，rectus意思是直立，代表在水平线上垂直。

**参见**
 角- 正交- 垂直- 笛卡儿坐标系- 正方形
哈尼族

哈尼族是中国西南少数民族，列中国第16大民族。云南是哈尼族世居地。根据2000年人口普查，中国大陆哈尼族人口有1,440,029人，其中云南有1,424,990人，占哈尼族人口的98.96%。哈尼族主要分布于云南西南部礼社江下游红河西侧哀牢山区新平、镇源、墨江、元江、红河、元阳、绿春、金平、江城等县。山东、江苏、湖南、四川和广东五省哈尼族人口均超过千人，其余各个省市区及现役军人中均有哈尼族人口分布。中国哈尼族使用哈尼语，原来没有文字，1957年创制了以拉丁字母为基础的文字。哈尼族先民为羌族，在海拔2500米山区𫔰垦梯田，种植水稻。哈尼族（v=Người Hà Nhì / 𠊛何贰）也是越南54个民族之一，人口17,535（1999年普查）。
哈尼人的一支阿卡人（自称雅尼人）在缅甸、老挝、泰国有分布。

**族源**
哈尼族可能源于古代氐羌族群。汉文史籍中，对哈尼族有“和夷”、“和蛮”、“和泥”、“离泥”、“倭泥”、“哈尼”、“斡泥”等称呼。
他们在老挝叫老松族，有“山上的民族”之意，在西双版纳自称阿卡，意思是“我是远方来的人”(另一说他们在古代被傣族打败成为奴隶，因此被称为阿卡)。

**语言**
哈尼语属于汉藏语系藏缅语族的彝语支，同彝语、拉祜语、傈僳语比较接近。分为哈雅、碧卡、豪白三个方言，彼此差别较大，相互通话困难。哈尼族本无文字，有些地方曾经刻木、结绳记事。1957年，中国政府为其创立了一种以拉丁字母为基础的拼音文字。

**文化**
哈尼族少女头饰

**传统节庆**
哈尼族传统节日众多，最主要为十月年与六月年。哈尼族以农历十月为岁首，故在农历十月「过新年」。节期五六天，多至半个月。亲友互相拜访、回娘家习俗之外，亦是请媒说亲的良机吉日。六月年，即红河地区的“苦扎扎”，是哈尼族农业祭祀活动，为哈尼族最重要节日之一。

**音乐舞蹈**
哈尼族能歌善舞。乐器有三弦、四弦、巴乌、笛子、响篾、葫芦笙等。“巴乌”是哈尼族特有乐器，以竹管制成，具7孔，长六七寸，吹端配有鸭嘴形扁头，音色深沉柔美。舞蹈有“三弦舞”、“拍手舞”、“扇子舞”、“木雀舞”、“乐作舞”、“葫芦笙舞”等。

**口头文学**
哈尼族的民间文化艺术形式丰富多样，口头文学中，有神话传说《创世》讲述万物起源，《洪水记》讲述人类战胜洪水，《哈尼祖先过江来》讲述哈尼族历史；有诗歌“拉八热”在庆典、祭祀等庄重场合吟唱，“阿基估”为男女对唱的山歌。

**宗教**
哈尼族相信万物有灵，包括自然崇拜、祖先崇拜和灵魂崇拜，也有信仰佛教和基督教。

**建筑**
哈尼族的民居建筑独具特色，为其文化重要标志之一。相传远古时，哈尼人住的是山洞，山高路陡，出门劳作很不方便。后来他们迁徙到一个名叫“惹罗”的地方，看到满山遍野生长着大朵大朵的蘑菇，它们不怕风吹雨打，还能让蚂蚁和小虫在下面做窝栖息，他们就比着样子盖起了蘑菇房。传统蘑菇房为三层式结构，一楼圈养牲畜，二楼为人居空间，阁楼用于存放粮食与杂物。
建材主要以土石混合，堆砌成墙壁，再以干草为顶，具冬暖夏凉之效果。
哈尼族习于在向阳的山腰依傍山势建立村寨，一般为三四十户，远方鸟瞰仿佛是一些自然生长的蘑菇散落于群山之间，云雾缭绕中甚是迷人。
然而随着时代的进步，蘑菇房已经难以满足当代的生活需求，造成传统蘑菇房的正渐消失，不过在改建中尽量保持原有外观。
例如蘑菇房主要因茅草顶得名，而茅草顶易生火灾，保留之下再辅以最先进的消防系统。

**中国哈尼族分布**

**聚居区**
自治州- 红河哈尼族彝族自治州（云南省）
自治县- 元江哈尼族彝族傣族自治县（云南省玉溪市）- 普洱哈尼族彝族自治县（云南省普洱市）- 镇沅彝族哈尼族拉祜族自治县（云南省普洱市）- 墨江哈尼族自治县（云南省普洱市）- 江城哈尼族彝族自治县（云南省普洱市）
民族乡- 西定哈尼族布朗族乡（云南省西双版纳州勐海县）- 格朗和哈尼族乡（云南省西双版纳州勐海县）- 勐满拉祜族哈尼族布朗族乡（云南省西双版纳州勐海县）- 发展河哈尼族乡（云南省普洱市澜沧拉祜族自治县）- 酒井哈尼族乡（云南省普洱市澜沧拉祜族自治县）- 惠民哈尼族乡（云南省普洱市澜沧拉祜族自治县）

**各地哈尼族人口分布**
中国2000年第五次人口普查各地哈尼族人口列表（   带色  部分，表示为世居省份）

**经济**
哈尼族的分布地区多为海拔800至2500米的山区，气候温和，雨量丰沛，物产丰富。哈尼族长久以来在此𫔰垦梯田种植水稻，而此梯田谓之红河哈尼梯田，主要分布在云南南部红河州元阳县、红河县、金平县和绿春县。

**来源参考**

**外部链接**
  中国哈尼/阿卡网-  哈尼族date=20090107083807 -  哈尼 中国网date=20200915074808 -  哈尼族舞蹈fix-attempted=yes - Photographs of the Hani of Yuanyang County, Yunnan- Hani gallery- The Hani ethnic minoritydate=20110219141539  on China.org.cn (Chinese government site)- Asia harvest ethnic profiledate=20130729073735 - ハニ和辞典 (Hani-Japanese glossary)- UNESCO about terrace fieldsdate=20201219111813
直线

三条直线：红线与蓝线有相同的斜率, 红线与绿线有相同的y-截距
。
直线，是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹，是不弯曲的线。直线是几何学的基本概念，在不同的几何学体系中有着不同的描述。在这里主要描述欧几里得空间中的直线。其他曲率非零状况下的直线，请参考非欧几里得几何。
欧几里得几何研究曲率为零的空间下状况，它并未对点、直线、平面、空间给出定义，而是通过公理来描述点线面的关系。
欧几里得几何中的直线可以看作是一个点的集合，这个集合中的任意一点都在这个集合中的其他任意两点所确定的直线上。
“过两点有且只有一条直线”是欧几里得几何体系中的一条公理，“有且只有”意即“确定”，即两点确定一直线。
在几何学中，直线没有粗细，没有端点，没有方向性，具有无限的长度，具有固定的位置。

**线性方程**
在解析几何中，我们常用线性方程描述一条直线。

**二维直角坐标系方程**
平行于x-或y-轴
最简单的直线方程是平行于x-轴或y-轴的直线：
 或 ，
当中  和  分别是x-和y-截距。
一般式
对于所有的直线，都可以形式
 
来表示。
这表示示形式并不是唯一的，但习惯上常限制  及  。在此限制下，同一条直线只有一种表达形式。
在这形式下，直线的斜率是  ，x-截距是  ，y-截距是  。
斜截式
在直线不平行于y-轴时，若斜率是  ，y-截距是  ，则有方程
  。
在这形式下，直线的表达形式是唯一的。
二点式
若直线穿过两点  和  ，则有方程
。
等价地，可以用行列式

表示。
点斜式
若直线穿过一点  ，而且斜率是 ，则有方程
 。
截距式
若直线的x-和y-截距分别是  和  ，则方程为
。
法线式
过原点向直线作一垂直线段，若该线长度为  ，且与正x-轴的倾斜角为  ，则有方程
。
向量式
若直线穿过一点  ，且有方向向量  ，则有向量方程
 ，
当中  ，而  是一任意实数。
须要注意的是，这直线的表达形式并不是唯一的。
参数式
从向量式出发，可以参数  表示方程
 ，
其中  是一任意实数。

**三维直角坐标系方程**
在三维坐标上，由于一条等式只代表一个平面，一条直线须由最少两条等式定义。
平行于x-、y-或z-轴
平行于x-、y-或z-轴的直线有方程
 、 或 
的形式。
一般式
对于任何直线，一般式都能以两个非平行平面定义：
 ，
其中  。
由于从一条直线可引申出无限对平面，这表示方式并不是唯一的。因此又能考虑以三个共线平面定义：
，
或合并记作
，
其中系数须乎合关系  ，以保证三个平面相交于同一直线。
事实上，这三条等式分别对应着直线在xy-、yz-和xz-平面的投影。
在限制  及  下，同一条直线只有一种表达形式。
（注：对于平行于轴平面的直线，例如  ，会有以下表示方式：
 。
对于定义一条直线，这步骤是非必要的。但在本页往后的部份，这表示方式能简化一些公式。）
斜截式
类似于二维的情形，在直线不平行于yz-轴平面时，可以写成

的形式。
在这形式下，直线的表达形式是唯一的。
（注：对于直线平行于yz-平面时，以上方式并不适用。但直线仍可表示成
 。）
二点式
若直线穿过两点  和  ，则有方程
 。
等价地，可以用行列式

表示。
向量式
若直线穿过一点  ，且有方向向量  ，则有向量方程
  ，
当中  ，而  是一任意实数。
须要注意的是，这直线的表达形式并不是唯一的。
参数式
从向量式出发，可以参数  表示方程
 ，
其中  是一任意实数。

**直线与解析几何**

**点与直线的距离**
一般情况下，点与直线的距离，是指点到直线的最短距离，即垂直距离。
在二维直角坐标中，直线  与点  的最短距离为

给出向量式  和 点  ，则有距离

在三维直角坐标中，直线  与点  的最短距离为
。
给出向量式  和点  ，则有距离


**两条相交直线的相交点**
不考虑重合的情形，在二维平面中，两条相交直线可以相交或平行。
给定两条直线  和  ，二者相交的条件是
。
或等价地，
 ，
当中 。
这时两线的相交点可从克莱姆法则求得
 ， 。
在三维空间中，不考虑重合的情形，两条直线可以相交、平行或歪斜（异面）。
给定两条直线  及  ，二者相交的条件是
  、  及  不全为  ，且
 。
这时两线的相交点可从克莱姆法则求得
 ，  ，  。

**两条相交直线的夹角**
若两线相交，则会形成夹角。两线之间的夹角，通常指不大于90°的一只。
在二维平面上，给定直线  ，该线与x-轴的夹角为
 。
给定两条直线  和  ，二者互相垂直当且仅当
 。
而其他情况，两线相交所形成的夹角  （），则由

给出。
给定相交直线向量式  和  ，则有
 。
在三维空间中，给定两条相交直线  和  ，二者互相垂直当且仅当
  。
而其他情况，两线相交所形成的夹角  （），则由

给出，当中  。
若取  ， 则公式退化成二维的形式。
给定相交直线向量式  和  ，则有
。

**两条直线的距离**
一般情况下，两条直线的距离，是指最短距离。
二维情况下，两条相交直线的距离必然为  。
若有两条平行直线  及  ，则有距离
。
给定平行向量式  和  ，则有
。
三维情况下，两条相交直线的距离同样必然为  。
若有两条平行直线  及  ，则有距离
。
给定平行直线向量式  和  ，则有
。
两条歪斜直线（即既非相交，亦非平行）有方程  及  ，则有距离
 ，
当中  。
给定歪斜直线向量式  和  ，则有距离
。

**相关条目**
 解析几何- 点- 平面- 相交- 平行- 歪斜

**参考资料**
 俞正光、李永乐、詹汉生编，《线性代数与解析几何》，清华大学出版社。- 吕林根，《解析几何》，高等教育出版社。-  Line date=20210201032224  ，Wolfram MathWorld。-  Equations of a Straight Line date=20161119174959  ，Cut-the-Knot。
射线

射线，在光学中是光的理想化几何模型，通过选择与实际光的波前垂直并指向能量流的方向。能量流动之方向的曲线而获得。射线用于类比通过光学系统的光的传播，方法是将实际光场划分为离散光线，这些光线可以通过线轨法的技术计算在系统中的传播。这使得即使是非常复杂的光学系统也可以通过电脑进行数学分析或模拟（类比）。线轨法使用马克士威方程组的近似解，只要光波在尺寸远大于光的波长的物体中传播，这些近似解就有效。“射线光学”或“几何光学”不描述诸如绕射之类的现象，这需要波光学理论。一些波现象，如干涉，可以通过在光线模型中添加相位在有限的情况下进行建模。

**定义**
射线是与光的波前（直或曲）垂直的直线；它的切线是共线性与波矢量。Homogeneity (physics)中的光线是直的。它们在两个不同介质之间的介面处弯曲，并且可以在折射率变化的介质中弯曲。几何光学描述了光线如何通过光学系统传播。要成像的对象被视为独立点源的集合，每个点源产生球面波前和相应的向外射线。来自每个物件点的光线可以通过数学方式传播，以定位图像上的相应点。
对射线的更严格的定义来自费马原理，该原理指出，光线在两点之间采取的路径是可以在最短时间内穿越的路径。

**特殊射线**
在光学建模中有许多特殊射线用于分析光学系统。它们在下面定义和描述，并按它们用于建模的系统类型分组。

**与表面的相互作用**
入射角， 是反射角，和 是折射角（司乃耳定律）。- 入射线是照射到表面的光线。该射线与垂直或正交到表面的角度是入射角。- 反射线是对应于给定的入射线，是表示表面反射光线的射线。表面法线与反射线之间的角度称为反射角。反射定律说，对于镜面反射（非散射）表面，反射角始终等于入射角。- 折射线或透射线是对应于给定的入射光线表示通过表面透射的光。这种射线与法线之间的角度被称为折射角，它由司乃耳定律给出。能量守恒定律要求入射光线中的功率必须等于折射光线中的功率，反射光线中的功率以及在表面吸收的任何功率的总和。- 如果材料是双折射，折射光线可能会分裂成普通射线和非常射线，它们在通过双折射材料时会经历不同的折射率。

**光学系统**

**几何学**
在欧几里得几何中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。

**光学**
在几何光学中，射线是描述光线或其他电磁辐射传播的方向的一条曲线。这种射线和物理光学的波前垂直。
在大部分的简单情况，在给定的传导体内的光射线是直线。光线经过一个传导体到另一个传导体，其路径符合司乃耳定律的折射或全内部反射。

**注释**

**外部链接**
 id=p/l059020- title=Line-  Equations of the Straight Line date=20161119174959  at Cut-the-Knot
分类:放射性
弦 (几何)

弦是一个几何术语，也是一个图论概念。
__TOC__

**几何术语**

**曲线**
400px
在几何学中，若一线段的两个端点都在曲线上，则该线段称作该曲线的弦。圆的任何弦的垂直平分线都会通过圆心。

**三角形**
弦可以指直角三角形上的斜边。

**图论概念**
弦在图论里代表连接一个环上不相邻的两个点的一条边。

**三角函数**
最早的三角函数表是以圆型的弦之长度来建表的。例如喜帕恰斯列出了每2度的弦函数表。在公元二世纪，亚历山大的托勒密在他的天文学书《天文学大成》建了更详尽的弦长表——托勒密全弦表，表中以直径120的圆为基础，列出了从2度到180度每2度的弦长表，被视为是最早的三角函数表。计算弦长的函数可以表示为，其代表了特定角度的角在单位圆上的弦长，与其他三角函数的关联为：
 

**参见**
 弦函数
战国 (消歧义)

战国可以指：
中国- 战国时期，中国历史上东周的后半时期，约为前5世纪－前3世纪。- 《战国策》，中国汉代典籍。
*战国 (电影)，2011年中国大陆电影。
日本- 战国时代 (日本)，日本历史上的一个时期，始于15世纪中叶室町幕府后期，终于16世纪后半叶。- 战国 (漫画)，自2004年连载至2007年的日本漫画作品。
大工

大工，可以是下列意思：
职业
*大木匠
学校
*大连理工大学
*大连工业大学
*大阪工业大学
皮影戏

皮影戏，又称影子戏、灯影戏、皮猴戏，以兽皮镂雕的人物剪影，平面的、关节可动的，透过签杆来操控戏偶，并将其置于光源与半透明屏幕之间，搭配剧本、音乐、口白，来叙说故事的传统表演艺术。
在过去电影、电视等媒体尚未发达的年代，皮影戏曾是十分受欢迎的民间娱乐活动之一。
皮影戏在世界上许多国家地区的文化中都存在，在东南亚，尤其是印度尼西亚、马来西亚、泰国和柬埔寨；在中国、印度、尼泊尔与伊朗，皮影戏为古老的民间传统艺术，在埃及、叙利亚、土耳其、希腊、德国、法国与美国，皮影戏表演也广为人知。

**地区**

**台湾**
台湾的皮影戏起源，一说是大约在明末清初时，皮影师父阿万师随着郑成功的军队从中国广东潮州经由福建传入南台湾，以高雄为中心，往北到二仁溪（高雄、台南的交界处），往南到屏东。另一种说法是荷兰占领时期，许陀、马达及黄索等三人从大陆北方经广州来到南台湾，在冈山及凤山地区流行。
截至2022年登录为无形文化资产的皮影剧团共有四团，包括观音山东华皮影剧团（传承至第六代，现任团长张榑国）、永兴乐皮影剧团（传承至第五代，现任团长张信鸿）、高雄皮影剧团（现任团长陈政宏）及复兴阁皮影剧团，其中复兴阁皮影剧团在团长许福助去世后，已于2019年停止运作。

**中国大陆**
江南风格皮影戏纸偶
皮影戏可能在中亚或印度地区起源于公元前1000年前后。
不少文献记载汉武帝时，方士李少翁进言说他有招魂之术，并设帐弄影以招嫔妃李夫人之亡灵。正如陕西皮影的流传：“皮影戏始于汉，兴于唐，盛于宋”。另一说亦与亡灵有关，唐代俗讲僧在佛寺利用灯影说理和超渡亡灵，因此推断皮影与宗教有密切的关系。
皮影戏至宋朝时已有相当的规模与水平。南宋时，杭州更有「绘革社」的影戏组织出现。到了元代，军队更带皮影班子随军远征，将皮影传到中亚的国家；在13-15世纪，由西亚再传到欧洲各国。皮影盛行于关中一带，传统剧目就有数百本，唱腔则多达几十种。
皮影戏于明朝万历（1573年-1619年）年间已十分盛行。明末清初，皮影艺术与道教结合，产生了环县道情皮影。
到了清朝，皮影艺术已发展到鼎盛时期。当时很多大户人家，都以请名师刻制影人、安置精工影箱和私养影班为荣。但在清朝后期，有些地方官府害怕皮影戏场聚众起事，曾出现禁演皮影戏和拘捕皮影人之事。第二次世界大战时民不聊生，皮影戏更一蹶不振。不过在抗日战争中，福建漳州就以皮影戏来宣传抗日的斗争。自中国解放后，残存的皮影戏班和艺人在当时政府的扶持下，得以复苏。但到文化大革命时期，皮影艺术因破四旧而再遭打击。改革开放后，传统文化逐渐受到重视。虽然皮影戏得以复苏和发展，但仍受影视和流行文化所冲击。
中国的皮影艺术经过长期的流变，已形成不同的地方流派，诸如山西皮影、陇东皮影、陕西皮影、北京皮影、山东皮影、青海皮影、宁夏皮影等，各自反映出独有的风格特色。在陕西、甘肃天水等农村，这种拙朴的民间艺术形式一度广受欢迎。其流行范围极为广泛，几乎遍及中国各省，并因各地所演的声腔不同而形成多种多样的皮影戏，如陕西的华县皮影戏、华阳老腔皮影戏、阿宫腔皮影戏、弦板腔皮影戏、甘肃的环县道情皮影戏、山西的孝义碗碗腔皮影戏、河北的唐山皮影戏、冀南皮影戏、浙江的海宁皮影戏、湖北的江汉平原皮影戏、广东的陆丰皮影戏、辽宁的复州皮影戏、凌源皮影戏等。- 中国地区发展
*:河北地区─滦州影
*:海宁地区─海宁皮影戏
*:潮汕地区─纸影戏
*:陕西地区─陕西皮影戏- 中国地区流派
*:宋代皮影戏的内容，主要是“……烟粉、灵怪、铁骑、公案、史书、历代君臣、将相故事话本。”到清代时，影戏剧目分两类：整本（亦称整套）和单出（亦称单折）。此时清道光年间（1821－1850年），河北乐亭的影戏剧本作家高述尧所编写的《二度梅》、《镇冤塔》、《白狐裘》、《珠宝钗》被奉为滦州影戏的新四大影卷，能唱高述尧的剧本成为昔日衡量皮影艺人水平的依据。现在，著名的皮影艺术流派分别是山西皮影、陇东皮影和陕西皮影。

**皮偶制作**
西安一家商店里的皮影道具

**皮偶工序**
根据宋朝《梦梁录》记载：「京师初以素纸雕簇，自后人巧工精，以羊皮雕影，用以彩色装饰，不致损坏。」 皮影原用素纸雕刻，后来才改用皮革刻制，制作材料也根据当地使用的兽皮情况而定。现时的皮影戏物品包括皮影人物、场面道具和景物，全都是利用手工，刀雕彩绘皮革制成。在中国台湾地区，主要以牛皮为主；在中国，较多使用牛皮、羊皮、驴皮等等。
制作皮影的民间传统工艺基本步骤为：制皮、刻制、染色、熨烫、定缀与装杆。制作过程有24道工序，手工雕刻约3000刀。皮影的造形制作，主要汲取了中国汉代的帛画、画像石和唐代的壁画等的艺术手法和风格，再配以镂空的线雕花纹。镂空线雕花纹不单给予优美的造型外观，而且避免了表演时出现大片黑影。

**刻制技法**
分为「阳刻」和「阴刻」。阳刻是保留线条，去除空白的部分；阴刻则是除掉线条，保留区块上色。
台湾传统皮影多以阴刻为主。

**皮偶形象**
外形轮廓以线条简洁、平滑流畅为主。大多采用单眼正侧面的「五分相」，双眼正面为「十分相」。近年也有介于两者之间的半侧面「六分相」、「七分相」或「八分相」的做法。台湾传统人偶长约一尺(约30公分高)，中国北方戏偶较大。皮影的人物形像不是以追求真实和准确性，而是要合符表演需要。

**皮偶行当及表演**
依造型可分为人物和道具。人物有生、旦、净、末、丑、杂，杂属于龙套角色。道具是指各式各样的演出配件，动物也属于此类。皮影戏演出的关键，在于操耍技巧和唱功。而此关键技巧都是经由师父传授，学徒长期苦练的成果。另外，皮影戏还要配合音乐和灯光效果，才能触动观众的情绪起伏。

**参考文献**

**引用**

**网页**
 中国文化市场网：文化部“中国民族民间文化保护工程”－甘肃环县道情皮影

**外部连结**
  中国皮影网 date=20070227061554 -  灿烂的中国文明：中国皮影 date=20200501161450 -  现代欧洲影子剧院 date=20190113135401 -  影子剧院的新技术 date=20190112150405 -  皮影戏《射雁奇缘》 date=20220519204313 ，高雄复兴阁皮影戏团演出，吕炳川录制，台湾音乐馆典藏-  皮影戏《鲁智深醉打山门》 date=20220422020034 ，高雄复兴阁皮影戏团演出，吕炳川录制，台湾音乐馆典藏-  皮影戏《选美大会》 date=20220519204313 ，高雄复兴阁皮影戏团演出，吕炳川录制，台湾音乐馆典藏-  皮影戏《郑三保下西洋》 date=20220409052707 ，高雄复兴阁皮影戏团演出，吕炳川录制，台湾音乐馆典藏

**参见**
剪影
*傀儡戏- 布袋戏
category:中国人类非物质文化遗产代表作
十七边形

十七边形是指几何学中有17条边及17只角的多边形。其内角和为2700°，有119条对角线。
正十七边形是有17边的正多边形。正十七边形的每个内角为度。

**作图方法**

**作图**
1796年高斯证明了可以用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件。正十七边形其中一个作图方法如下：
Heptadecagon Construction Animation
英文里，詹·何顿·康威认为heptadecagon是错误的拼法，应为heptakaidecagon。
File:Regular_Heptadecagon_Using_Carlyle_Circle.gif
可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。高斯的书Disquisitiones包含了这条等式：


**证明**
设正十七边形中心角为,则度,
即
故，而
因为，则
又由 等，有
而，，令
有：
又
所以，得
另设:
，，
，
故有
最后，由
可得
其为整数加减乘除平方根的组合，故正十七边形可用尺规作出。

**外部链接**
以下的几个网页均有介绍如何正十七边形的尺规作图：- 尺规作图-正十七边形 date=20050210194152 - 원에 내접하는 정17각형 - Constructing the Heptadecagon 
*Weisstein, Eric W.  Heptadecagon date=20050204181345
傀儡戏

越南水上木偶戏
傀儡Bleeckie Streetie，在YouTube上出现。time=17-11-2024
傀儡戏，又叫木偶剧、木偶戏、人偶戏、人偶剧、人形剧，是一种不以真人演出，而以操控傀儡的方式演出的戏剧，有许多种类。

**历史**

**亚洲**
根据出土文物与历史资料显示，傀儡戏是中国历史上最早出现具有表演功能的戏剧。据说古代葬礼中用来殉葬的「俑」，与傀儡戏有直接而深远的关系。《通典》则云：“《窟礌子》作偶人以戏，善歌舞，本丧家乐也。汉末始用之于嘉会。”《乐府杂录》以为起于汉高祖被冒顿围于平城，平城正西是冒顿的阏氏把守，谋臣陈平知阏氏爱忌妒，制造了会动的美人木偶来解围。唐代谢观为此作了《汉以木女解平城围赋》。杜佑《笔麈》中的记载：“傀儡，汉末使用于嘉会，北齐高纬尤好之”，“今俗悬丝而戏，谓之偶人，以手持其末，出其帏帐之上(外)。”“郭郎”与“鲍老”是傀儡戏史中对傀儡的两个称谓。《后山诗话》载宋杨亿《傀儡诗》：“鲍老当筵笑郭郎，笑他舞袖太郎当，若教鲍老当筵舞，转觉郎当舞袖长。” 《都城纪胜·瓦舍众伎》中提到了4种傀儡：“弄悬丝傀儡（起于陈平六奇解围）、杖头傀儡、水傀儡、肉傀儡（以小儿后生辈为之）。凡傀儡敷演烟粉灵怪故事、铁骑公案之类，其话本或如杂剧，或如崖词，大抵多虚少实，如巨灵神朱姬大仙之类是也。”
在亚洲不少地区，傀儡戏原本最重要的功能是驱除邪煞，这种习俗一直延续下来。到现在驱除邪煞变成民间傀儡戏主要的功能之一。这种特殊的社会功能，使傀儡戏具有神秘的宗教色彩，这也是傀儡戏跟其他种类的戏剧非常不同的地方。

**种类**

**汉字文化圈**

**大中华地区**
中国大陆：皮影戏、悬丝傀儡、水上木偶戏、布袋戏、药发傀儡、杖头傀儡等
香港：木偶戏（木头公仔戏）、皮影戏等
台湾：皮影戏、布袋戏、悬丝傀儡
越南：水傀儡（越南文：Múa rối nước）
日本：文乐（日语：文楽，平假名：ぶんらく）又称人形净琉璃（日语：人形浄瑠璃，平假名：にんぎょうじょうるり）
朝鲜半岛：꼭두각시놀음

**其他东南亚**
泰国：Hun Krabok
爪哇：wayang kulit（皮影戏的一种）

**特摄**
木偶戏被摄制后，用于电视、电影放映，一般被归入特摄。

**注释**

**参考书目**

**维基文库**

**外部连结**
 Puppetry Art Center of Taipei 台北偶戏馆 date=20161105224115 - 台湾的傀儡戏 - 政治大学图书馆- 傀儡戏 - 中华百科全书 date=20210313075445 - 公益财团法人东洋文库 中国木偶戏关联照片数据库 date=20161220091156 -  魁儡戏－走关（9之1） date=20220216063120 ，宜兰县福龙轩傀儡剧团演出，吕炳川录制，台湾音乐馆典藏
琼州海峡

琼州海峡，是中华人民共和国海南省的海南岛与广东省的雷州半岛之间所夹的水道，因海南岛的别称“琼州岛”而得名，常与台湾海峡和渤海海峡并称中国三大海峡。琼州海峡东西长约80公里，南北平均宽为29.5公里，最宽处直线距离为33.5公里，最窄处直线距离仅18公里左右，平均水深44米，最大深度114米，水域面积2,300余平方千米。琼州海峡属于中国内水。

**历史**
海南岛因琼州海峡之隔，历史上被视为荒蛮之地。唐代高僧鉴真第五次东渡日本，被困于海南岛，唐代宰相李德裕也曾有“一去一万里，千之千不还”之哀，宋代苏东坡有“沧海何曾断地脉，珠崖从此破天荒”之叹。元符三年（1100年）六月苏东坡渡过琼州海峡返北，在悍江边吟道：“我心本如此，月满江不湍”。1605年7月，海峡地域发生大地震，引发两岸部分陆地沉降，导致72个村庄淹没在海水中。
1949年12月，毛泽东向中国人民解放军第四野战军发出强渡琼州海峡的命令，准备占领中华民国政府控制的海南岛。
1950年3月起，中国人民解放军在海南地方武装琼崖纵队的配合下开始海南岛战役，邓华为总指挥。解放军首先派小股先遣队潜渡琼州海峡并成功登陆，4月16日发起大规模渡海强攻，4月23日占领海口市，5月1日攻占海南全岛，中华民国国军则退逃台湾。
1988年3月21日，中国北京体育学院教师张健以游泳方式横渡海峡成功，耗时9小时12分，涉水长度29.5公里，此举轰动一时。

**地理**
海峡两岸广布火山岩
琼州海峡是中国大陆雷州半岛与海南岛的连接水域，东西沟通中国南海北部与北部湾。海峡海水的透明度5米，盐度数值为30，年平均温度25-27摄氏度。琼州海峡在地质史上与海南岛和雷州半岛为完整陆地，由于第四纪冰川时期的地壳运动，在现今的海峡区域形成断陷，海水将断陷区覆盖形成海峡。海峡两岸蜿蜒曲折，凸出的海角与凹入的海湾交替分布。北岸为玄武岩地质构造；南岸为熔岩地台；火山岩在两岸均有分布。海峡南北较浅，中部最深，南北横切面大致呈“V”字形构造。琼州海峡海流汹涌，强烈侵蚀着海地地貌，形成海底冲槽和沙垅。

**海上交通**
琼州海峡是中国大陆连接海南岛的陆海交通咽喉。公路交通由内地的沈海高速公路和兰海高速公路（两高速公路在湛江-徐闻段并行）通过海安汽车轮渡至海口连接海南公路网；铁路则通过海安的粤海铁路专用码头将火车轮渡到海口与海南铁路接驳。琼州海峡东部海况险恶，被视为远洋航行畏途。

**交通瓶颈与跨海大桥计划**
广东省徐闻海安港的官员认为，海安港汽车轮渡的旅客及汽车流量巨大，并以每年以15%的幅度增长，海峡运输压力明显，建造桥梁为可行之举，可以缓解当前交通压力。据中国媒体报道，中华人民共和国将在琼州海峡建设跨海大桥，桥梁分上下两层，上层为公路，下层为铁路轨道，总投资达1,400亿元人民币，原预计2012年开始兴建，并于2020年建成，但由于海峡处于地震带，频繁的暴风亦加重施工的难度等种种原因，截至目前为止，跨海大桥尚未动工兴建。媒体引述专家观点认为，琼州海峡大桥建成后，对南海资源开发及推动中国与东盟国家的自由贸易区建设具有重大意义。
截止目前，琼州海峡跨海大桥未开工建设。

**沿岸行政区**
海峡南岸的150px- 广东省湛江市徐闻县- 海南省海口市

**参考文献**

**参见**
 中华人民共和国领海基线、内水- 南中国海、北部湾- 雷州半岛、海南岛
咪咪流浪记

是东京电影新社制作的电视动画，共51集，改编自法国作家耶克特·马洛（Hector Malot）原着小说《苦儿流浪记》（Sans famille）。1977年10月2日恰好是《苦儿流浪记》出版100周年，《咪咪流浪记》也是日本电视台开播25周年纪念作品，1977年10月2日至1978年10月1日于每周日18:30～19:00播出，也是日本电视史上，第一部需戴立体眼镜收视的立体卡通。主角是出生在法国夏曼农村的男孩“咪咪”。

**故事简介**
咪咪出生于英国贵族，出生后不久就因为财产继承问题而被遗弃，之后被法国中部的贫苦家庭收养。虽然生活条件比较艰苦，但是养母对他却非常好。然而，一切并不是那么美好，在他八岁那年，养父因为工伤失业，从而性情大变，私自将他卖给了流浪艺人彭师傅。从此，咪咪接受命运的安排，一夕之间告别童年，带着身世之谜，踏上了流浪艺人的酸甜苦辣和艰辛之路。他们是小乖杂耍团，一支散播欢乐的队伍，习艺的彭师傅是严师亦是慈父，他的爱与教诲为咪咪一生的奋斗奠基可爱的三只狗（香港的版本：白色戴帽的狗叫「队长」、 灰色的狗叫「巴闭」、小贵妇犬叫「啊细」）小猴儿（香港版本叫「将军」）是最佳的演出伙伴，也是漫长旅途中祸福相倚的盟友。虽然现实残酷，人情冷暖自知，虽然生离死别总教人措手不及，但咪咪早已学会不再流泪，因为黑暗尽处，必定拨云见日。

**制作群**

**主题歌**
原版片头曲：「さあ歩きはじめよう」
原版片尾曲：「はらぺこマーチ」
演唱：泽田亚矢子；作词：东京ムービー企画部；作曲：渡辺岳夫；编曲：松山祐士；发行：King Records
台湾版主题歌：「咪咪流浪记」
作词：林家庆；作曲：佚名；演唱：松江合唱团
收录于新黎明唱片发行的合辑《儿童之歌》第21集（SLM-7001）中。
中都卡通台版主唱：何嘉文；音乐提供：热带唱片
香港版主题歌：「-{星仔走天涯}-」
主唱：袁丽嫦；音乐提供：太平洋影音

**配音**
括号内为当时中视版人物译名。

**电影版**
将电视版重新剪辑，1980年3月15日于东宝系院线上映。配音除了部份角色外大多与电视版相同。

**制作群**

**参考来源**

**外部连结**
 196050
舒尔正交关系

舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此关系可借由舒尔引理证明。

**有限群**
令  是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群  的一个不可约矩阵表示  的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设  是酉的：

这里  是表示  的（有限）维数。
正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

这里  是  的复共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 ，则克罗内克函数  是单位；如果  与  不等价则为零。其他两个克罗内克函数则要求行与列的指标必须相等（ 和 ）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。
每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

对  ，此式对任何不等于单位表示的不可约表示 成立。

**例子**
三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 （对称群）。这个群同构于点群 ，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在  情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作  而在  情形通常写成 。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

元素 (1,1) 的正规化为：

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

**直接推论**
矩阵的迹是对角矩阵元素之和，
.
所有迹的集合  是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 
.
利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

这帮助我们确认不可约表示  在具有特征标  的可约表示   中包含的次数。
例如，如果


这个群的阶是

则  在给定“可约”表示  中包含的次数是

关于群特征表参见特征标理论。

**紧群**
有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。
每个紧群  有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 。设  是  的不可约表示的一个完备集合，设  是表示  的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分
1) 如果  则：

2)如果  是表示空间  的一个正交规范基，则：
 
这里  是  的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

**例 **
一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： 。界限是  以及 。
体积元素  的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度）  的解析形式。
例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 ，而 n, ψ 参数化给出权重t ，其中 。
可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

简记成

正交关系具有形式

群的体积是

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix），它们的维数是   。故

它们满足


**脚注**

**参考文献**
任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：- M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).- W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972). - J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).
KOI-8

KOI-8（КОИ-8）是一系列斯拉夫文字的8位元编码，在俄罗斯、乌克兰等斯拉夫语族地区的网络社群中被广泛采用，使用率比起ISO/IEC 8859-5更高。

**简介**
“KOI-8”俄语原名 Код Обмена Информацией, 8 бит，音译 "Kod Obmena Informatsiey 8 bit"，意译“信息交换码，8位元”。
KOI-8 不是以西里尔字母的次序排列，而是以“伪拉丁字母次序”（即把西里尔字母改用拉丁字母转写出来）排列。这能使以 KOI-8 编码的文字，纵使在网络传输时丢掉了最高（第8）位元，仍能够变成可以解读的拉丁字母。例如 "Русский Текст" 在丢掉了最高位元后，变成 "rUSSKIJ tEKST"（即 "Russian Text"，KOI-8把它大小写颠倒以兹识别）。
KOI-8 有以下几个版本：
*KOI8-R（俄语）
*KOI8-U（乌克兰语）
*KOI8-RU（俄语、白俄罗斯语、乌克兰语）
*KOI8-C（高加索语系）
*KOI8-T（塔吉克语）
每个 KOI-8 版本之中，头半部分 (0x00-0x7F) 与ASCII相同，西里尔字母主要放在 0xC0-0xFF 之中，标点及框线符号主要放在 0x80-0xBF 之中。

**KOI8-R 编码**

**KOI8-U 编码**
只列出与 KOI8-R 不同的区段

**KOI8-RU 编码**
只列出与 KOI8-R 不同的区段

**KOI8-C 编码**
只列出与 KOI8-R 不同的区段

**KOI8-T 编码**
只列出与 KOI8-R 不同的区段

**KOI8-O, KOI8-C (the Slav, old orthography)**

**ISO-IR-111, koi8-e 编码**

**KOI8-Unified, koi8-f 编码**

**参看**
西里尔字母

**外部链接**
RFC 1489 KOI8-R
*RFC 2319 KOI8-U- KOI8-U Working Group- KOI8-U - Ukrainian Character Set- KOI8-RU - Ukrainian Net Character Set- The Home of KOI8-R date=20200920083107 - The Cyrillic Character Soupdate=20161203230933
群表示论

在群论中，群表示论（Group representation theory）是一个非常重要的理论。它包含了（局部）紧致群、李群、李代数及群概形的表示等种种分支，近来无限维表示理论也渐露头角。表示理论在量子物理与数学的各领域中均有重要应用。

**基本定义**
表示理论早期是藉矩阵的语言描述的，具体定义如下：- 如果任何非零方阵的集合的乘法关系和给定群的乘法关系相同，则这个矩阵集合形成群的一个表示，这套矩阵的阶称为表示的维数。- 如果两个同维表示的矩阵以同一相似变换相关联，则称这两个表示是等价的。- 如果任何维数大于一的表示的所有矩阵都可以用相同的相似变换转换为相同的块对角矩阵结构，则称此表示为可约表示，反之称为不可约表示。 
形式地说，一个群的表示乃一同态 ，其中为给定的有限维向量空间，系数布于一个域，通常取，但在一般域（如局部域或有限域）上的表示也有重要应用。表从上的自同构，或对一给定的基底来说，是阶可逆方阵的集合。若是平凡的，则称此表现是忠实的。
若所考虑的群带有额外的结构（如拓扑群、李群或群概形），我们通常要求满足相应的条件（如连续性、可微性或者要求它是概形间的态射）；在有限群及紧致群以外的情况，通常也须考虑无穷维表示。
一个群的所有有限维表示构成一个张量范畴，记为；其态射定义如下：
它等价于有限维-模所构成的范畴。不难验证表示间的同构确由矩阵的相似变换给出。一个表示被称作不可约的，若且唯若它没有在的作用下不变的非平凡子空间。若一个表示能表成不可约表示的直和，则称之为完全可约的。若取，则紧致群的表示均为完全可约的，对于一般的李群及群概形则复杂得多，完全可约与否通常与半单性有关。

**特征标**
给定的一个表示，可以得到一个特征标，它是个类函数。特征标理论在有限群分类中占关键地位；在紧致群上，特征标满足舒尔正交关系，又根据彼得-外尔定理，不可约表现的特征标相对于  范数在类函数中稠密。请参见特征标理论。

**诱导与限制**
设为之子群，。以下将定义两个函子（限制）与（诱导）。- 若为G的表示，则ρ限制于H给出H的表示，记为。- 若为H的表示，我们定义。以右乘法作用在上。仍是有限维，记此表示为。
诱导表示亦可用矩阵直接计算，或定义为某个主齐性空间的截面；后者可推广至李群与群概形的表示，此时诱导表示的性状与的几何构造密切相关。
弗罗贝尼乌斯互反定理言明：若分别为的表示，则有自然的同构。换言之：为一对伴随函子。
若以特征标表之，上述同构化为一个较弱但较具体的等式：。

**例子**
 任意一个群都自然地作用在其群代数上，称为正则表现。- 对称群以作用在上。- 以作用于m次调和多项式上。

**与物理学的关系**
迄今已知的物理定律通常在某个李群的作用下保持不变，如空间的旋转群或其覆盖，其不可约表示关系到角动量的量子化。进一步的例子是：任何与狭义相对论相容的量子力学系统都带有（半直积）的酉表示，其中是时空的平移而是 劳仑兹变换群，借着研究的不可约酉表示，可分类粒子的质量和自旋。

**参见**
 舒尔正交关系- 特征标理论

**文献**
 J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Representations (1995),  Graduate Texts in Mathematics 162 ,Springer. ISBN 0387945261- J.C. Jantzen, Representations of Algebraic Groups (2003), American Mathematical Society. ISBN 0821835270- V.S. Varadarajan, An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups (1989), Cambridge University Press. ISBN 0-521-34156-6
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KOI8-R

KOI8-R是KOI-8系列的斯拉夫文字8位元编码，供俄语及保加利亚语使用。在Unicode未流行之前，KOI8-R 是最为广泛使用的俄语编码，使用率甚至比ISO/IEC 8859-5还高。
Andrey Chernov 把 KOI8-R 整理后，提交了给互联网协会（ISOC），成了 RFC 1489 文件 ("Registration of a cyrillic Character Set")。
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在上表中，0x20是空格、0x9A是不换行空格。
0x95 在 RFC 1489 之中是 U+2219 (∙)，但有时会使用 U+2022 (·) 以配合 Windows-1251 编码。

**参看**
KOI-8
*KOI8-U

**外部链接**
RFC 1489
伏

伏可以指：
*伏特，电学单位。
*伏天、伏日，指夏至后第三个庚日起至立秋后第二个庚日前一天止的一段时间，分为初伏、中伏、末伏，统称三伏，相当于阳历七月中旬至八月下旬。
*伏姓，中文姓氏。