序数

数学集合论中，序数（ordinal number，ordinal）是自然数的一种扩展，与基数相对，着重于次序的性质。大于有限数的序数也称作超限序数。
超限序数是由数学家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用来考虑无穷序列，并用来对具有序结构的无穷集进行分类。

**序数对自然数的扩展**
自然数可以用来做两件事：描述一个集合的大小，或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的，当处理无限集合时人们不得不区分这两者。从大小的概念可以引申出如康托尔描述的“基数”，而位置的概念则被推广到这里将要说明的序数。
基数这一概念可以适用于没有特殊结构的集合，而序数却和同一种称为良序集的特殊集合有着密切的关联（这种关联如此密切，以至于一些数学家不去区分这两个概念）。简单说来，一个良序集是一个全序集（任意给定两个元素，可以定义一个大的、一个小的），不存在无穷降链（但可以有无穷升链），换言之有最小元素。序数可以用来标定任何给定的良序集的元素（最小的元素标定为0，其后的标定为1，再后的标定为2，依此类推），同时也可以用来给出良序集的“长度”—没有用来标定良序集的元素的最小序数就是这个良序集的长度。这个“长度”也称为集合的序类型。
任何一个序数都是通过先于它的所有序数构成的集合来定义：实际上，序数最常见的定义就是把每个序数等同于先于它的所有序数构成的集合。比如，序数42就是比它小的序数的序类型，也即，我们把从0（所有序数中最小的）到41（42的直接前驱）这些序数组成集合{0,1,2,…,41}，该集合就是序数42。相反的，任何下闭的序数集合—意思是说，任何比该集合中一个序数小的序数都在该集合中—就是（或者等同于）一个序数。
ω²的“火柴杆”图像表示，每个竖杆与一个形如“ω·m+n”的序数相对应（这里m和n是自然数）。
目前为止，我们只考虑了有限的序数，即自然数。但无限的序数也是存在的：最小的无限序数是ω，它是自然数（有限序数）的序类型，或者等同于自然数集（实际上，自然数集是良序的—正如所有的序数集合一样—并且自然数集也是下闭的，所以它等同于一个序数，也就是我们定义的ω）。
或许对序数更清晰的直觉可以通过检视最初的几个序数建立起来：如上所述，序数开始于自然数，0, 1, 2, 3, 4, 5, …；然后在所有的自然数之后是第一个无限序数，ω，紧接其后的是ω+1, ω+2, ω+3，等等（加号的确切含义将会在后面给出，这里把它看作标签就可以了）。在这些之后就是ω·2（也即ω+ω）, ω·2+1, ω·2+2，等等，紧接着是ω·3，然后是后来的ω·4。我们通过这种方式形成的序数集合（形如“ω·m+n”的序数，这里m和n是自然数），一定有一个序数等同于它：即ω2。更进一步，我们可以得到ω3，ω4，等等，以及ωω和其后的ωω²，乃至其后很多的ε0（这只是给出了几个最小—可数—的序数）。我们可以按照如上方式无限的进行下去。

**定义**

**良序集定义**
档案: Constructing The Natural Numbers.gif
良序集合是在其中所有非空子集都有一个最小元素的有序集合：这等价于（至少在假定依赖选择公理下）说这个集合是全序的并且没有无限递减序列，这样说可能较直观。在实践中，良序的重要性体现于超限归纳法的应用，大致上它是声称，若有一性质可从一个元素的前驱传递到这个元素自身，那么该性质必定对（给定良序集合的）所有元素成立。如果一个计算（计算机程序或游戏）的状态可以被良序，即在每一个步骤都伴随着“更低”的步骤的方式下，则这个计算必然会终止。
现在我们不想区分两个良序集合，如果它们只是在“它们元素的标记”上不同，或者更加形式的说：如果我们可以把第一个集合的元素和第二个集合的元素配对起来，使得如果在第一个集合中一个元素小于另一个元素，则在第二个集合中第一个元素的配对者也小于第二个元素的配对者，反之亦然。这种一一对应叫做序同构（或严格的递增函数），而这两个有序集合被称为序同构的，或相似的（明显的这是一个等价关系）。假定在两个有序集合之间存在一个序同构，这个序同构是唯一的：所以，把两个集合视为本质上同一的，并寻求同构类型（类）的“规范”代表，就显得很自然了。这就是序数所提供的作用，并且它还给任何良序集合的元素提供了规范的标记方式。
所以我们本质上希望定义序数为良序集合的同构类：就是说，作为“是序同构”这一等价关系的等价类。但是这涉及一个技术上的困难，事实上这个等价类实在太大了，所以在策梅洛-弗兰克尔集合论中并不是一个集合。但是这不是个严重的困难。我们称序数是在这个类中任何集合的序类型。

**以等价类来定义序数**
序数的最初定义，例如在《数学原理》中，把一个良序的序类型定义为，由类似（序同构）于这个良序的所有良序组成的集合。换句话说，序数是良序集合的等价类。这个定义在ZF和相关的公理化集合论中必须抛弃，因为这些等价类太大而不能是集合。但是这个定义，在类型论、蒯因的新基础集合论和有关的系统中仍可使用（就最大序数的布拉利-福尔蒂悖论，在这里它给出了颇令人惊讶的另一种解决方式）。

**序数的冯·诺伊曼定义**
与其定义序数为良序集合的等价类，我们可以尝试定义它为（规范的）代表这个类的某个特定良序集合。因此我们希望把序数构造为特殊的良序集合，使得所有良序集合都同构于一个且只是一个序数。
冯·诺伊曼提议了巧妙的定义，现在被作为了标准：定义每个序数为特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序数的集合。形式的说:
一个集合S是一个序数，当且仅当S中的元素在集合从属关系下为全序集，并且S的任意元素也是S的子集。
自然地，这样的一个集合S在集合包含关系下为良序集。这依赖于良基公理：所有非空集合B都有一个元素b不相交于B。
按此定义，自然数也是序数。（参见自然数的集合论定义）例如，2是4 = {0, 1, 2, 3}的一个元素，而2等于{0, 1}，因而它是{0, 1, 2, 3}的子集。
可以通过超限归纳法证明，所有有限的良序集合都精确的同构于这样构建的序数的其中一个。
进一步的，所有序数的元素也是序数自身。给定两个序数S和T，S是T的一个元素，当且仅当S是T的真子集。此外，要幺S是T的一个元素，要幺T是S的一个元素，要幺它们是相等的。所以所有的序数集合都是全序集。事实上: 所有的序数集合都是良序集。这个重要结果一般化了“所有的自然数集合是良序集”此一事实，并允许我们自由地通过序数使用超限归纳法。
另一个推论是所有序数S都是完全由小于S的序数作为元素的一个集合。这个陈述以其他序数完全确定了所有序数的内部结构。它被用于证明关于序数的很多其他有用的结果。其中的一个例子是在序数间的次序关系的重要性质：所有的序数集合都有一个上确界，这个序数是通过取在这个集合中的所有序数的并集而获得的。另一个例子是所有序数的搜集不是集合的事实。因为所有序数只会是包含其他序数，从而所有序数的搜集的所有成员也是它的子集。所以，如果这个搜集是个集合，通过定义它自身将必定是个序数；那幺它将是自身的成员，这跟正规公理矛盾。（请参见布拉利-福尔蒂悖论）。所有序数的类通常写为"Ord"、"ON"或"∞"。
一个序数是有限的，当且仅当它的反序也是良序的，即当且仅当它的所有子集都有最大元素。
假设良序定理，所有集合都可加上良序关系。利用超穷递归可证明所有良序集都与某序数同构（即存在双射使得a>b ⇔ f(a)>f(b)）。有限集合所有良序关系都是同构的，若有n个元素，对应序数就是n。无限集合有无限的良序关系，如自然数集配以0b ⇒ f（a）>f（b）。一个集合对应的最小序数，就是这集合的基数。

**其他的定义方式**
还有序数定义的其他现代公式化。这些定义在本质等价于上面给出的定义。下面给出其中的一个。一个类S被称为传递性的，如果S的每个元素x是S的子集，也就是。序数接着被定义为其成员也是传递的传递集合。从它得出成员们自身也是序数。注意使用了正规公理（基础公理）来证实这些序数通过包含（子集）是良序的。

**超限归纳法**
超限归纳法在任何良序集合中成立，但是它与序数的关系如此重要而值得在这里重申。
若有一性质可从小于给定序数α的序数的集合传递到α自身，则此性质对所有序数都成立。
就是说，如果“若P(β)对所有βι)是一个序数序列（由极限γ标定的族）的时候，并且如果我们假定 (αι)是递增的（αιι′只要ιι}的最小上界，就是说大于这个序列任何一项的最小序数（总是存在）。在这个意义上，极限序数是所有（由自身标定的）更小序数的极限。
因此，所有序数要幺是零，要幺是一个后继者（有一个良好定义的前驱者），要幺是极限。这个区别是重要的，因为很多通过超限归纳的定义依赖于它。经常地，在通过超限归纳在所有序数上定义一个函数F的时候，你定义F（0），和F(α+1)（假定F(α)已定义了），并接着对极限序数δ定义F(δ)为对所有β0 = ω的势为，它也是ω²或ε0（都是可数序数）的势。所以（假定选择公理）我们把ω等同于，除了记号用在写基数的时候，而ω用在写序数的时候（这一点很重要，因为而）。还有，是最小的不可数序数（要看出其存在性，只需考虑由自然数的良序的等价类组成的集合：每个这样的良序都定义了一个可数序数，然后是这个集合的序类型），是势大于的最小序数，以此类推，而是对自然数n的极限（任何基数的极限是基数，所以这个极限实际上是在所有之后的第一个基数）。

**共尾性**
序数的共尾性是作为的共尾子集的序类型的最小序数。注意一些作者只对极限序数定义或使用共尾性。序数或任何其他良序集合的集合的共尾性是这个集合的序类型的共尾性。
因此对于极限序数，存在着一个极限为的-标定的严格递增序列。例如，ω²的共尾性是ω，因为序列ω·m（这里的m在自然数上取值）趋向于ω²；但是，更加一般的说，任何可数极限序数都有共尾性ω。一个不可数的极限序数可以有要幺同一样的共尾性ω，要幺有不可数共尾性。
0的共尾性是0。任何后继序数的共尾性是1。任何极限序数的共尾性至少是。
等于其共尾性的序数叫做正规的，并且它总是初始序数。任何正规序数的极限都是初始序数的极限，因而也是初始的，即使它不是正规的（它通常不是）。如果有选择公理，则对于每个α，都是正规的。在这种情况下，序数0, 1, , ，和都是正规的，而2, 3, ，和ωω·2是非正规的初始序数。
任何序数α的共尾性都是正规序数，就是说α的共尾性的共尾性等同于α的共尾性。所以共尾性运算是等幂的。

**某些“大的”可数序数**
我们已经提及了（参见康托尔范式）序数艾普塞朗数ε0，它是满足等式的最小序数，所以它是序列0, 1, , , ，等的极限。很多序数可以用特定序数函数的不动点的方式定义（如果使得的第个序数叫做，则我们总可以继续尝试找到使得的第个序数，“以此类推”，但微妙在于“以此类推”）。我们可以尝试有系统的这幺做，而不管用什幺系统来定义和构造序数，总是有一个序数正好位于这个系统所构造的所有序数之上。也许以这种构造系统的方式限定的最重要的序数是邱奇-克莱尼序数（尽管名字中有，这个序数是可数的），它是不能以可计算函数表示的最小序数。不过，还是可以在之下定义相当大的序数，它们有的标志着特定形式系统的“证明论强度”（例如，标志着皮亚诺算术的强度）。也可以在邱奇-克莱尼序数之上定义更大的序数，这些大序数会在逻辑的多个部分有研究价值。

**参见**
后继序数
*极限序数
*序数算术
*大可数序数
*基数
*序数主义

**参考资料**
 Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266-267 and 274, 1996.- Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.- Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand Company Inc., 1960

**站外链接**
  title=Ordinal Number- Ordinals at ProvenMath date=20061013051534