环 (代数)

环（英文：Ring）是一种带有两个二元运算（抽象化的「加法」和「乘法」）、并且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象，并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。
环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解，在部份情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明，否则本条目所称的「环」是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。关于乘法无单位元的环，请见伪环一文。

**定义**
给定一个集合  以及两个定义在  上的二元运算  和  分别称为「 的加法」和「 的乘法」。如果  、  和  具有以下八个性质称为环公理，则称  意思是 连同  和  这两个二元运算一同提及构成了一个环。
#  是一个交换群：
#* 加法有结合律——对所有的  ，都有：
#* 加法有交换律——对所有的  ，都有：
#* 有加法单位元——存在某个name=实际上唯一  ，使得所有的  ，都有： 
#* 有加法反元素——对所有的  ，存在某个name=实际上唯一  ，使得： 
#  是一个有单位元的半群：
#* 乘法有结合律——对所有的  ，都有： 
#* 有乘法单位元——存在某个name=实际上唯一  ，使得所有的  ，都有：
# 乘法对于加法满足分配律：
#* （左）分配律——对所有的  ，都有：
#* （右）分配律——对所有的  ，都有：
环的乘法经常依照惯例在不致混淆的情况下。，不会写出「  」这个符号。例如（左）分配律就可以写成：此外，加法单位元也经常称为「零元素」或直接简称为「零」。

**定义的分歧**
环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前，多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义，不要求乘法单位元存在。然而在 1960 年后，越来越多的著名教科书作者（例如：尼古拉·布尔巴基、David_Eisenbud、塞尔日·兰）开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者，通常会将有乘法单位元的环称为单位环（ unital ring ）；反之，要求乘法单位元存在的作者，可能会将不含乘法单位元（ identity ）的环（ ring ）称为 rng 暂无广为接受的中文翻译或伪环（ pseudo-ring ），或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。
另外在交换代数的文献中，通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。

**例子**
 整数  、有理数  、实数  和复数  ，连同寻常的加法和乘法，构成了一个环。它们的加法单位元是  ，乘法单位元是  ，是最典型的实际例子。- 整系数多项式环  、有理系数多项式环  ，实系数多项式环  、复系数多项式环  ，连同多项式加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元也是  ，乘法单位元也是  。更一般地，可以考虑任何环  的多项式环  。- 整系数有理函数  、有理系数有理函数  ，实系数有理函数  、复系数有理函数  ，连同有理函数的加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元依然是  ，乘法单位元依然是  。更一般地，可以考虑任何环  的有理函数环  ；而「建构分式」的操作还是「分式体」以及更一般的「局部化」这些概念的起源。- 大小为  的整系数矩阵  、有理系数矩阵  、实系数矩阵  、或复系数矩阵 ，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成一个环。它们的加法单位元是零矩阵 ：乘法单位元则是单位矩阵 ：同样的，可以考虑任何环  的矩阵环  。矩阵环也是典型的非交换环。- 如果集合  只有一个元素，那  只可能定义出唯一的一种环结构——Zero ring或称平凡环（ Trivial ring ）（ Zero ring ）。

**基本性质**
 零元素是唯一的- 零乘以不论是乘在左边还是乘在右边任何东西都是零- 乘法单位元是唯一的- 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的- 多个环元素的分配律：- 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数，只要定义以下的系数运算规则：这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性，例如：
****: 而类似地如果把多次相加改成多次相乘，那么可以这边暂定  有乘法反元素。如果没有乘法反元素，那么有关负数次方的结果不一定成立。定义幂运算：- 二项式展开——如果  ，那么它们总和的次方可以这样计算：这可以推广到多个元素  总和的次方——如果任两个元素的  和  的乘法都可以交换（即  ），那么：

**基本的相关概念**

**特殊的环元素**
在初等环论中，以下四类型的环元素在任意的环甚至是没有单位元的环中都有定义，它们是经常被讨论的对象：- 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的环元素。- 零因子（ Zero divisor ）：相乘后为零的非零元素；相当于「零的因数」。- 幂零元（ Nilpotent ）：自乘多次后变成零的环元素。- 幂等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不变的环元素。

**环同态、核、像**
在环论中，环同态描述了环与环之间的关系。一个从环  送往环  的环同态（ Ring homomorphism ） 简单来说是一种「维持环结构另一种说法是不摧毁环结构。因为环同态确实会改变环的结构。」的映射；而具体来说， 要具有以下三个性质：- 维持加法的结构——对所有的  ，都有：- 维持乘法的结构——对所有的  ，都有：- 维持单位元的结构——也就是：
对一个环同态  来说，有以下两个密切相关的概念：- 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：- 像（ Image ）——把元素都送过去后的结果：

**子环、（双边）理想、商环**
给定一个环  ，我们可以考虑它的：- 子环（ Subring ）——某个送往  的环同态在 内的像。这个环同态实际上就是嵌入- 双边理想（ Two side ideal ）——某个定义在 上的环同态的核。- 商环（ Quotient ）——（同构意义下）某个定义在 上的环同态的像。同构定理
一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。

**具有额外性质的环**

**交换环（ commutative ring ）**
如果一个环  还额外满足：
乘法的交换律：对于所有 ：
 
则称  是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环，其中包括以下几类：- 整环（ Integral domain ）：没有零因子的交换环。- 唯一分解整环（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整环。- 主理想整环（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整环。- 欧几里得整环（ Euclidean domain ）：可以进行欧几里得演算法（辗转相除法）的整环。- 体（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交换环。- 代数闭体（ Algebraically closed field ）：所有多项式不包括常数多项式都有根的体。

**非交换环**
所谓的非交换环实际上是指「不假设是交换环」的环，这样子的环有：- 除环（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的环（可能不交换）。- 单环（ Simple ring ）：没有非平凡双边理想的环。

**从已知的环建构出其他环的方式**

**直积**
给定数个环  ，可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积：
可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法：
这使得构成一个环。称为  的直积（ Direct product ）；它的法单位元是  乘法单位元是  
这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。

**多项式环**
给定一个环  ，可以考虑以这个环作为系数的多项式：可以仿照一般的实系数多项式运算规则，为这个集合定义加法和乘法：在这样的运算规则下，  被称为是  的多项式环；它的加法单位元以及乘法单位元与  相同。

**矩阵环**
给定一个环  ，可以考虑以这个环作为系数、大小为  的矩阵：
同样可以仿照一般的矩阵运算规则，为这个集合定义加法和乘法：
那么  在这样的运算规则下，构成一个环。它的加法单位元是零矩阵 ：乘法单位元则是单位矩阵 ：同样的，可以考虑任何环  的矩阵环  。矩阵环也是典型的非交换环。

**局部化与分式体**
局部化的概念并不是对任何的环都有效，在大多数时候，只会考虑交换环的局部化。粗略地说，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式体则是透过「加入所有非零元素的乘法反元素」来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。
更抽象地讲，一个环对某些元素的局部化是「使得这些元素可逆的、最小的环」；在这种意义下，分式体就是「使得非零元素可逆的、最小的环」。而这个概念实际上就是——「包含这个环的最小的体」。

**交换环与代数几何的关系**
交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有着深远的关联性，体现在交换环范畴  和仿射概形范畴  有着如下对偶性：
这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。

**参见**
 模- 理想- 代数- 伪环

**备注**

**引用**

**参考文献**
  dead-url = no 

**要求「环」要有乘法单位元的教科书**
  dead-url = no 

**不要求「环」要有乘法单位元的教科书**
  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no -  dead-url = no 

**外部连结**
  Database of Ring Theory date=20240913070248  一个纪录了大量环的性质的资料库- 《数学百科全书》对环的 定义 date=20230101135941 - MathWorld 对环的 定义 date=20240121142059 - nLab 对环的 定义 date=20240917165232