Abc猜想

abc猜想（abc conjecture）是一个未解决的数学猜想，最先由约瑟夫·奥斯特莱及大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明，经过8年同行审查后于2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目「ABC@Home」。
abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为「丢番图分析中最重要的未解问题」。1996

**内容**
对正整数，表示的质因数的积，称为的根基（radical）。例如
rad(16) = rad(24) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
rad(1000000) = rad(26  ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.
若正整数a, b, c 彼此互质，且a + b=c，「通常」会有c  c，因此q(a, b, c) d)没有西格尔零点（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）2000- 对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。- Tijdeman定理的推广形式，关于ym = xn + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Aym = Bxn + k的解的个数。- 等价于Granville–Langevin 猜想- 等价于修改后的Szpiro猜想- Brocard问题n! + A= k2，对任何给定的整数A，都只有有限个解。1996

**理论结果**
abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：
 1986,
 1991,
 2001.
上述的上界中，K1是不依赖a, b, c的常数，而K2和K3是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

**计算结果**
2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) 63的所有三元组(a,b,c)。

**历史**
1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将用取代，在此是的不同质因数的数目。
2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。
2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础。该证明目前正由其他数学专家检查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误。望月新一在网上公开了2013年以及2014年的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。

**参见**
根基
*Mason-Stothers定理—多项式环上的对应定理

**参考文献**

**引用**

**来源**
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**外部连结**
  ABC@homedate=20110211222624  分布式计算项目ABC@Home.-  Easy as ABCdate=20080723120915 : Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.- title = abc Conjecture - Abderrahmane Nitaj's  ABC conjecture home page- Bart de Smit's  ABC Triples webpagedate=20120925021231 - http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdfdate=20120829040854 -  The amazing ABC conjecturedate=20130628075406 -  The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies-  Questions about Numberdate=20120916144112  by Barry Mazur-  Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecturedate=20120914051440  on MathOverflow-  ABC Conjecturedate=20121031060325  Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.