集合 (数学)

about|数学家们所称的“直观”或“朴素”的集合理论|更详细的说明|朴素集合论|有关集合的现代严格公理化理论|公理化集合论
一个包含一些多边形的集合
集合（set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同物件（object）形成的总体。集合里的物件称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若是集合的元素，记作。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。
集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

**导言**

**定义**
简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：- 族、系：通常指它的元素也是一些集合。

**符号**
元素通常用等小写字母来表示；而集合通常用等大写字母来表示。
当元素属于集合时，记作。
当元素不属于集合时，记作。
如果两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作。

**特性**
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。- 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。- 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

**表示**
 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：
大于零的前三个自然数
光的三原色和白色- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

红色蓝色绿色白色
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，而，因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合，和是相同的，因为它们有相同的元素。- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

**集合间的关系**

**子集与包含关系**
B的子集A

**定义**
集合、，若，有。则称是的子集，亦称包含于，或包含，记作或，否则称不是的子集，记作或。
若，且，则称是的真子集，亦称真包含于，或真包含，记作或（有时也记作或）。

**基本性质**
包含关系“”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
**自反性：集合，；（任何集合都是其本身的子集）
**反对称性：且；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
**传递性：且；
*真包含关系“”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
**反自反性：集合，都不成立；
**非对称性：不成立；反之亦然；
**传递性：且；
*显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而是这个偏序关系的最小元素，即：集合，；且若，则，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

**举例**
 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
:

**运算**

**并**
两个集合可以相"加"。和的联集是将和的元素放到一起构成的新集合。

**定义**
给定集合，，定义运算如下：或。称为和的联集。
A 和 B 的联集

**示例**
红色白色红色白色
*绿色红色白色绿色红色白色绿色


**基本性质**
作为集合间的二元运算，运算具有以下性质。
*交换律：；
*结合律：；
*幂等律：；
*幺元：集合，；（是运算的幺元）。

**交**
一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。和的交集，写作，是既属于的、又属于的所有元素组成的集合。
若，则和称作不相交。
A 和 B 的交集

**定义**
给定集合、，定义运算如下：且。称为和的交集。

**基本性质**
作为集合间的二元运算，运算具有以下性质。
*交换律：；
*结合律：；
*幂等律：；
*空集合：集合，；（是运算的空集合）。
其它性质还有：

**示例**
红色白色
*绿色红色白色绿色绿色


**补集**
两个集合也可以相"减"。在中的相对补集，国际上通常写作 ，中文教材中有时也会写作。表示属于的、但不属于的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集的子集。这样， 称作的绝对补集，或简称补集（余集），写作或。
相对补集 A - B
补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

**定义**
给定集合，，定义运算-如下：且。称为对于的差集，相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集时，对于的某个子集，一般称为（对于）的补集或余集，通常记为或，也有记为, , ，以及的。

**基本性质**
作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：
*；
*右幺元：集合，；（是运算的右幺元）。
*左Zero element：集合，；（是运算的左零元）。

**示例**
红色白色
*绿色红色白色绿色
:* 若是整数集，则奇数的补集是偶数

**对称差**

**定义**
给定集合，，定义对称差运算如下：。

**基本性质**
作为集合间的二元运算，运算具有如下基本性质：
*交换律：；
*结合律：；
*幺元：集合，；（是运算的幺元）。
*逆元：；

**运算性质**
集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：
*分配律:


*对偶律:



**集合的元素个数**
上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法:  。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用  或符号表示。比如：集合是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。
如果集合只含有限个元素，那幺这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。

**公理化集合论**
若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

**类**
在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

**参见**
 公理化数学- 类的理论- 集合代数

**参考文献**
 Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.