邱奇数

邱奇编码是把数据和运算符嵌入到lambda演算内的一种方式，最常见的形式即邱奇数，它使用lambda符号表示自然数。方法得名于阿隆佐·邱奇，他首先以这种方法把数据编码到lambda演算中。
透过邱奇编码，在其他符号系统中通常被认定为基本的项（比如整数、布尔值、有序对、列表和tagged unions）都会被映射到高阶函数。在无型别lambda演算，函数是唯一的原始型别。
邱奇编码本身并非用来实践原始型别，而是透过它来展现我们不须额外原始型别即可表达计算。
很多学数学的学生熟悉可计算函数集合的哥德尔编号；邱奇编码是定义在lambda抽象而不是自然数上的等价运算。

**用途**
直接实现邱奇编码会将某些访问操作的时间复杂度从降低到（其中是数据结构的大小），这使得该编码方式在实际应用中受到限制。研究表明可以通过针对性优化解决这个问题，但大多数函数式编程语言选择扩展其中间表示以包含代数数据类型。
尽管如此，邱奇编码仍常用于理论论证，因为它在部分求值和定理证明中具有自然表示优势。通过使用高阶类型可以对操作进行类型标注，并能便捷地实现原始递归。由于函数被假定为唯一的原始数据类型，这种设定简化了许多证明过程。
邱奇编码具有表示完整性但仅限于表征层面。需要额外函数将这种表示转换为通用数据类型以供人工解读。由于邱奇定理中等价性不可判定，通常无法判断两个函数是否具有外延等价性。转换过程可能需要通过某种方式应用函数来提取其表征值，或者以λ项字面量的形式查找其值。λ演算通常被解释为使用内涵等价性。由于等价性的内涵定义与外延定义存在差异，在结果解释方面可能存在潜在问题。

**邱奇数**
邱奇数为使用邱奇编码的自然数表示法，而用以表示自然数的高阶函数是个任意函数映射到它自身的n重函数复合之函数，简言之，数的「值」即等价于参数被函数包裹的次数。

不论邱奇数为何，其都是接受两个参数的函数。邱奇数0、1、2、... 在λ演算中的定义如下：
从 0 不应用函数开始， 1 应用函数一次， 2 应用函数两次， 3 应用函数三次，依此类推：

邱奇数3表示对任意给定函数应用三次的操作。当输入函数被提供时，首先应用于初始参数，然后连续应用于自身结果。最终结果并非数字3（除非初始参数恰好为0且函数为后继函数）。邱奇数3的本质是函数的应用次数，而非计算结果本身。其核心意义在于「重复三次」的动作，这正是「三次」概念的直观体现。
就是说，自然数被表示为邱奇数n，它对于任何lambda-项F和X有着性质：
 n F X =β Fn X。

**使用邱奇数的计算**
在 lambda 演算中，数值函数被表示为在邱奇数上的相应函数。这些函数在大多数函数式语言中可以通过 lambda 项的直接变换来实现（服从于类型约束）（请参阅将lambda表达式转换为函数）。
加法函数  利用了恒等式 。
 
后继函数  β-等价于（plus 1）。
 
乘法函数  利用了恒等式 。
 
指数函数  通过邱奇数定义给出：将定义中的和代入可得，因此：
 
对应的lambda表达式为：
 
前驱函数  的实现较为复杂：
 
邱奇数通过n次应用函数来运作。前驱函数需要返回一个应用参数n-1次的函数。这通过构建包含f和x的容器来实现，该容器以省略第一次函数应用的方式初始化（详见前驱函数推导）。
基于前驱函数可定义减法函数：
 

**邱奇数函数一表**
注意：

**前驱函数推导**
邱奇编码中使用的前驱函数定义为：

为了减少一次函数应用次数来构造前驱函数，需采用容器函数封装值。定义新函数 inc 和 init 替代原函数f和参数x，其中容器函数称为value。下表左侧展示了邱奇数n作用于inc和init的情况：

通用递归规则为：

若定义从容器中提取值的函数extract：

则可构造同数函数samenum：
 
通过将init替换为特殊容器const（该容器首次调用时忽略参数以跳过第一次函数应用），可推导前驱函数：
 
具体函数定义如下：

最终得到前驱函数的lambda表达式：
 

**前驱函数的另一种解释**
使用组合子符号可简化前驱函数的解释：
  
  
  
  
通过下列推导可验证其正确性：
 
 
 
通过eta-归约和归纳法可得：
 
 
 

**前驱函数的另一种定义**
使用序对可定义前驱函数：

此定义虽简洁但展开式较复杂，以为例：


**除法函式**
自然数除法可通过以下方式实现：
 
计算需要多次beta归约。除非手动进行归约，否则这并不重要，但最好避免重复计算。最简单的数值检测谓词是IsZero，故考虑条件：
 
此条件等价于而非。若采用该条件，则上述数学定义可转化为邱奇数函数：
 
此定义仅调用一次，但结果为此公式给出的是的值。
通过给n加1后调用divide可修正该问题，定义式为：
 
divide1为递归定义，需用Y组合子实现递归。通过以下步骤创建新函数div：- 左侧替换：- 右侧替换：
得到：
 
完整定义式为：

其中：
 
: 
 
最终展开式：
 
以文本格式表示（用\代替λ）：
divide = (\n.((\f.(\x.x x) (\x.f (x x))) (\c.\n.\m.\f.\x.(\d.(\n.n (\x.(\a.\b.b)) (\a.\b.a)) d ((\f.\x.x) f x) (f (c d m f x))) ((\m.\n.n (\n.\f.\x.n (\g.\h.h (g f)) (\u.x) (\u.u)) m) n m))) ((\n.\f.\x. f (n f x)) n))
例如，9/3可表示为：
divide (\f.\x.f (f (f (f (f (f (f (f (f x))))))))) (\f.\x.f (f (f x)))
使用lambda演算计算器，按正规顺序归约后结果为3：
\f.\x.f (f (f (x)))

**有符号数**
通过使用包含正负值的邱奇序对，可将邱奇数扩展至有符号数。整数值即两个邱奇数的差值。
自然数转有符号数的定义为：

取反操作通过交换序对元素实现：

当序对中某一元素为零时，整数表示更自然。OneZero函数确保该条件：

使用Y组合子实现递归：



**加减运算**
加法数学定义为：

对应lambda表达式：

减法定义为：

对应lambda表达式：


**乘除运算**
乘法定义为：

对应lambda表达式：

除法需确保序对元素含零（见上文的OneZero），定义辅助函数：

除法表达式：


**有理数与实数**
有理数可表示为有符号数序对，可计算实数可通过极限过程编码。复数可自然地表示为实数序对。上述数据类型验证了邱奇-图灵论题：任何数据类型或计算均可编码于lambda演算中。

**换成其它表达法**
大部分真实世界的程式语言都提供原生于机器的整数，church 与 unchurch 函式会在整数及与之对应的邱奇数间转换。这里使用Haskell撰写函式， \ 等同于lambda演算的 λ。 用其它语言表达也会很类似。
type Church a = (a -> a) -> a -> a
church :: Integer -> Church Integer
church 0 = \f -> \x -> x
church n = \f -> \x -> f (church (n-1) f x)
unchurch :: Church Integer -> Integer
unchurch cn = cn (+ 1) 0

**邱奇布尔值**
邱奇布尔值是布尔值真和假的邱奇编码形式。某些程式语言使用这个方式来实践布尔算术的模型，Smalltalk和Pico即为典型示例。
布尔逻辑本质上是选择机制。邱奇布尔值的编码形式为接收两个参数的函数：- 真（true）选择第一个参数- 假（false）选择第二个参数
其标准定义为：
 
这种编码允许谓词函数（返回逻辑值的函数）直接作为条件语句使用。当布尔函数作用于两个参数时，将根据真值返回其中一个参数：
 
若predicate-x为真则返回then-clause，否则返回else-clause。
由于真值与假值的选择特性，它们可组合出各类逻辑运算符。需注意逻辑非not存在多种实现方式：
 
注：
*1 求值策略使用应用次序时，这个方法才正确。
*2 求值策略使用正常次序时，这个方法才正确。
运算示例解析：
 

**谓词**
谓词是返回布尔值的函数。最基础的谓词是，当其参数为邱奇数时返回，否则返回：
 
下列谓词检测第一个参数是否小于等于第二个参数：
 
基于恒等关系：
 
相等性检测可定义为：
 

**邱奇序对**
邱奇序对是二元组的邱奇编码实现。序对被表示为接收函数的函数，当传入参数时会将该参数作用于序对的两个分量。其lambda演算定义为：
 
示例推导：
 

**列表编码**
不可变的列表由列表节点构成，其基本操作包括：
以下给出四种不同的列表表示法：- 使用双序对构造列表节点（支持空列表）- 使用单序对构造列表节点- 基于右折叠函数的列表表示- 采用Scott编码的模式匹配参数化表示

**双序对列表节点**
非空列表可用邱奇序对表示：- First 存储首元素- Second 存储尾部
为支持空列表，需额外包裹序对形成三层结构：- First - 空列表标识符- Second.First 存储首元素- Second.Second 存储尾部
基于此的核心操作定义如下：
注意：当列表为空时，head和tail函数不应被调用。

**单序对列表节点**
另一种定义方式PDF版本：access-date=2017-11-24：
 
通用处理模板定义为：
 
其他扩展操作：
 
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**右折叠列表表示**
作为邱奇序对编码的替代方案，列表可通过其右折叠函数进行编码。例如，包含三个元素x、y、z的列表可编码为高阶函数，当该函数应用组合子c和初始值n时，返回c x (c y (c z n))。这等价于部分应用函数组合链的调用：(c x ∘ c y ∘ c z) n。
 
此列表表示可在系统F类型系统中定义。
与邱奇数的对应关系并非巧合，邱奇数本质上是单元值列表（如() () ()）的一进制编码，列表长度即表示自然数值。对此类列表进行右折叠时，组合函数忽略元素值，其本质与邱奇数中的函数组合链（即(c () ∘ c () ∘ c ()) n = (f ∘ f ∘ f) n）具有等价性。

**Scott编码列表表示**
另一种实现方式是采用Scott编码，这种方式能生成更简洁的代码（参见摩根森-斯科特编码）。
该编码的核心思想是利用模式匹配的特性。以Scala语法为例，假设list表示包含空列表Nil和构造器Cons(h, t)的列表类型，可通过模式匹配进行计算：
list match {
case Nil        => nilCode
case Cons(h, t) => consCode(h,t)
}
列表的行为由其模式匹配决定，因此可将列表定义为接收nilCode和consCode参数的函数：
 
设n对应空列表处理参数，c对应非空列表处理参数，则：
空列表定义为：
 
非空列表（含首元素h和尾部t）定义为：
 
更一般地，包含种构造器的代数数据类型将被编码为具有个参数的函数。当第个构造器包含个参数时，对应编码参数也接收个参数。
该编码可在无类型λ演算中使用，但带类型版本需支持递归和类型多态的系统。以元素类型E、计算结果类型C的列表为例，其递归类型定义为（"=>"表示函数类型）：
type List =
C =>                    // 空列表分支
(E => List => C) =>     // 非空列表分支
C                       // 模式匹配结果
支持任意计算类型的列表需量化类型C，而泛型列表还需将元素类型E作为类型参数。

**参见**
Lambda演算
*系统F，在有类型lambda演算中的邱奇数

**外部链接**
 Some interactive examples of Church numerals date=20060512015859