狄拉克δ函数

δ函数示意图。直线上箭头的高度一般用于指定δ函数前任何乘法常数的值，亦即等于函数下方的面积。另一种惯例是把面积值写在箭头的旁边。
δ函数是以零为中心的正态分布随的（分布意义上的）极限。
在科学和数学中，狄拉克δ函数或简称δ函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。p=58p=3函数有时可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰，在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。p=84
从纯数学的观点来看，狄拉克δ函数并非严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。loc=§5.1δ函数只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，δ函数一般可以当做普通函数一样使用。
狄拉克δ函数得名自物理学家保罗·狄拉克，其形式上所遵守的规则属于operational calculus的一部分，是物理学和工程学的标准工具。包括δ函数在内的运算微积分方法，在20世纪初受到数学家的质疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才发展出一套令人满意的严谨理论。p=3严谨地来说，δ函数必须定义为一个分布，对应于支撑集为原点的概率测度。
在许多应用中，均将δ视为由在原点处有尖峰的函数所组成的序列的极限（weak limit），而序列中的函数则可作为对δ函数的近似。在讯号处理上，δ函数常称为单位脉冲符号或单位脉冲函数。loc=Chapter 5克罗内克函数|克罗内克δ函数是对应于狄拉克δ函数的离散函数，其定义域为离散集，值域可以是0或者1。

**概述**
δ函数的图形通常可以视为整条x轴和正y轴。虽然称为函数，但δ函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如，1=f(x) = δ(x)和1=g(x) = 0这两个数学物件除了在1=x = 0以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若f和g为函数，使得1=f = g几乎处处成立，则f可积当且仅当g可积且f和g的积分相同。p=xii+179要严谨处理δ函数，须用到测度论或分布。
δ函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用δ函数描述击球那一刻的力。不但各种方程式会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。p=230
在应用数学中，δ函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。

**历史**
约瑟夫·傅利叶在他的《热分析理论》（Théorie analytique de la chaleur）中呈现了以下的方程式，今天称为傅里叶积分定理：p=408

这相当于以这种方式引入了δ函数：p=200

之后，奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理：p=4

柯西指出，在某些情况下，积分的计算顺序会影响计算结果。p=653
分布理论允许重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里叶的方程式：

其中δ函数可表达为：

在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程式中的函数f所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：p=62
经典傅里叶变换的最大缺点在于，能够有效计算的只有很狭窄的一类函数。这些函数必须（在无限的邻域内）足够快地降至零，才能保证傅里叶积分值的存在。例如，连多项式这种如此简单的函数，也不存在经典意义上的傅里叶变换。经典傅里叶变换扩展至分布，大大增加了能够进行变换的函数类型，移除了诸多障碍。
之后，米歇尔·普朗歇尔（Michel Plancherel）开创性的L2理论（1910年）、诺伯特·维纳和Salomon Bochner（Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分，p=553并建立了狄拉克δ函数的严格定义。
1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分布的无限小版本）。p=230西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候，考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限，这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末，奥利弗·黑维塞利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年，保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了δ函数作为一种「方便的记号」，故此该函数今天以他命名。loc=§15

**定义**
笼统地来说，δ函数是在实数线上的一个函数，在原点上无限，在所有其他点上为零，
 
并同时满足以下条件
loc=Volume I, §1.1, p. 1
这只是一个概略的表述：δ函数并不是一个严格意义上的函数，没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。 loc=§15更严谨地来说，δ函数可以定义为分布或测度。

**测度**
测度是其中一种严谨定义δ函数的方法。作为一个测度，δ函数取一个实线R的子集A，当0 ∈ A时输出1=δ(A) = 1，否则1=δ(A) = 0。loc=§1.20如果把δ函数想象成位于0的一个理想化的质点，则δ(A)代表集合A所包含的质量。一个函数相对于δ的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数f，这一积分满足：
 
测度δ相对于勒贝格测度不绝对连续，它其实是一个Singular measure。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数δ：loc=§19.61

虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。
作为R上的概率测度，狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义：

换句话说，H(x)是积累指示函数1(−∞, x相对于测度δ的积分：

δ函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼－斯蒂尔杰斯积分严格定义：loc=§9.19

δ函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。

**分布**
在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义δ函数相对某个足够「良好」的测试函数的「积分」就足够了。如果δ函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。
测试函数空间一般可包括所有上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，δ函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为loc=§2.2
若要使δ成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数，有整数和常数，使得对每个测试函数，以下不等式都成立：loc=Theorem 2.1.5

当就是δ分布时，对所有的取，就能满足这条不等式。因此，δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是。
δ分布有几种等价的定义。例如，它是黑维塞阶跃函数的分布导数，也就是说，对于任何测试函数，

直观而言，如果允许分部积分法，以上的积分就会简化为

而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到

在测度论中，狄拉克测度通过积分产生分布。相反，公式(1)在所有紧支撑连续函数空间上定义了一个Daniell integral，且根据里斯表示定理，该积分可以表示为相对于某拉东测度的勒贝格积分。
当讲到「狄拉克δ函数」时，一般指的是分布，而不是测度。因此一些文献也会称之为「狄拉克δ分布」。测度论中相对应的概念则称为Dirac measure。

**推广**
在n维欧几里得空间Rn中，狄拉克δ函数可以定义为一个测度，使得对于所有紧支撑连续函数f，满足

作为一个测度，n维δ函数是每个独立变量的1维δ函数的积测度。也就是说，若1=x = (x1, x2, ..., xn)，则loc=Chapter 5
上文的1维δ分布也存在n维推广。loc=§3.1尽管在物理学和工程学中应用广泛，公式(2)还是必须小心使用，因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。loc=§2.3
狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。loc=§1.20设X是集合，x0 ∈ X，Σ为X子集上的任何σ-代数，则对每个集合A ∈ Σ可以定义测度：

这就是单位质量集中在x0处的狄拉克测度。
δ函数也可以推广至微分流形，由于具有微分结构，因此能保留它作为分布的一些性质。流形M上以x0 ∈ M为中心的δ函数可定义为以下分布：
对于所有M上的紧支撑光滑实数值函数φ。loc=§17.3.3一个常见的特殊情况是，M是欧几里得空间Rn中的一个开集。
在局部紧豪斯多夫空间X中，集中在点x的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数φ的Daniell积分(3)的拉东测度。推广到这一层次，已经无法进行普通的微积分，不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如，映射是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉东测度的空间（具有淡拓扑）的一个连续函数。而且，X在这一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率测度空间中是一个稠密集。loc=§2.5.19

**性质**

**缩放与对称**
对非零纯量，δ函数有以下缩放性质：loc=Problem 2.6.2

所以
δ函数是一个偶分布，也就是说

因此δ函数属于−1阶齐次函数。

**代数性质**
δ和的分布积等于零：

相反，若，其中和为分布，则存在常数使得loc=Chapter 2, Example 3(d)


**平移**
延时δ函数的积分为：

因此δ函数有「筛选」MathWorld a或「采样」的功能──可以筛选出函数在的值。
可以推论，函数与延时δ函数卷积后会受到延时：
这必须在是缓增分布的前提下才会成立（见下文关于傅里叶变换的讨论）。以一个特殊情况为例，有恒等式如下（把δ视为分布）


**与函数的复合**
更一般地来说，δ分布可以和光滑函数复合，使得熟悉的变量更换公式成立：

条件是为连续可微函数且处处非零。loc=Vol. 1, §II.2.5换言之，作为一个分布具有唯一的定义，使得这条恒等式对于一切紧支撑测试函数f都成立。因此，定义域必须切割开来，排除这一点。如果处处非零，那么此分布满足；否则如果在处有一个实数根，则
 
很自然地，对连续可微函数，可以把「定义」为

其中求和跑遍的所有根，这些根都假设为单根。loc=Vol. 1, §II.2.5比如，

δ分布的广义缩放特性，用积分写出：
 

**在n维中的性质**
δ分布在维空间中的缩放性质如下：

从而δ是一个阶齐次分布。δ分布在任何镜射和旋转下不变：

和单变量时一样，可以唯一地定义δ与双利普希茨函数的复合，使得恒等式

对于所有紧支撑函数成立。
利用几何测度论中的余面积公式，可以定义δ函数与从一个欧几里得空间到另一个不同维度的空间的浸没的复合，所产生的结果是一种流。在连续可微函数满足的梯度处处非零的特殊情况下，以下恒等式成立：loc=§6.1
 
其中右边的积分范围是，即所定义的一个维曲面（依闵可夫斯基容度）。这叫做单层（simple layer）积分。
更一般地来说，若是中的光滑超曲面，则可以把联系到在上对任何紧支撑光滑函数积分的分布：

其中是联系到的超曲面测度。这种推广与上的单层位势的位势论相关。设是中具有光滑边缘的区域，则等于的指示函数的（分布意义上的）法向导数：

其中是向外法线。loc=pp.29–30

**傅里叶变换**
δ函数属于缓增函数，所以拥有良好定义的傅里叶变换。正式地说，（在一些傅里叶变换惯例下）有

一个分布的傅里叶变换的定义是，在缓增分布与速降函数的对偶配对下，要求傅里叶变换是自伴的。从而，定义为满足以下条件的唯一缓增分布：

对于一切速降函数φ。从此可推导，的确。
这条恒等式意味着，δ函数与任何其他缓增分布S的卷积即等于S：

这意味着，δ是缓增分布上的卷积的单位元。而且，在卷积下的紧支撑分布空间是一个以δ函数为单位元的结合代数。这在讯号处理应用中尤其重要，因为与缓增分布的卷积属于线性非时变系统，而基于δ函数的线性非时变系统可以测量该缓增分布的脉冲响应。只要对δ作适当的近似，就可以以任意要求的程度算出脉冲响应。一旦知道脉冲响应，就能完全描述整个系统的特征。详见线性非时变系统理论：脉冲响应和卷积。
缓增函数f(ξ) = 1的反傅里叶变换等于δ函数。更正式地表达，

更严谨地来说，有

对于一切速降函数f。
这样，δ函数暗示着在R上的傅里叶核的正交性，即：

换句话说，缓增分布

的傅里叶变换是

这同样可以通过对傅里叶变换要求自伴性而得出。
利用傅里叶变换的解析延拓，可以得出δ函数的拉普拉斯变换：1986
 

**分布导数**
狄拉克δ分布的分布导数是一个分布δ′，它对于所有紧支撑光滑测试函数φ定义为p=26

此处第一个等号类似于分部积分，因为若δ是个真正的函数，则

δ的k阶导数的定义大同小异，对任何测试函数φ，

从而δ是个无限可微分布。
δ函数的一阶微分是差商

的分布极限。loc=§2.1更准确地说，有

其中τh是平移算子，对于函数的定义是1=τhφ(x) = φ(x + h)，而对于分布S的定义是

在电磁学中，δ函数的一阶导数代表一个位于原点的点磁偶极，因此也称为「偶极」或偶函数。MathWorld b
δ函数的导数满足一些基本性质，包括：
 
这些性质都可以通过对测试函数积分，并运用分部积分法推导而出。
另外，δ′与紧支撑光滑测试函数f的卷积为

这来自卷积的分布导数的性质。

**更高维度**
更一般地说，在n维欧几里得空间Rn中的开集U上，以点a ∈ U为中心的狄拉克δ分布定义为p=56

对于一切1=φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的紧支撑光滑函数的空间。若1=α = (α1, ..., αn)是任何多重指标，而∂α表示相关的混合偏导数算子，则δa的α阶导数∂αδa是p=56

对于一切1=φ ∈ S(U)。也就是说，δa的α阶导数是个分布，它在任何测试函数φ的值等于φ在点a的α阶导数（加上合适的正负号）。
δ函数的一阶偏导数可以视为沿着坐标平面的双层。更一般地来讲，支撑在一个曲面上的单层的法向导数是在该曲面上的双层，并表示一个层磁单极。δ函数的更高阶导数，在物理学里称为多极。
高阶导数很自然地能够建构具有单元素支撑集的分布的完整结构。若S是任何在U上、支撑集为一个点{a}的分布，那么存在整数m和一组系数cα，使得p=56

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。loc=§I.1它代表了一个半无限平板在边缘的电势固定为δ函数时的电势。帕松核也和柯西分布有紧密的联系。半群根据以下方程演变：

其中的算子严谨地定义为傅里叶乘数


**震荡积分**
在波动力学等物理范畴中，须要解不少双曲型偏微分方程，而这些方程有更多的奇异解。因此，从相关的柯西问题的基本解所产生的初生δ函数，一般都是震荡积分。例如，从穿音速气体动力学的欧拉-特里科米方程的解，loc=§7.2取得归一化艾里函数

虽然用的是傅里叶变换，但是不难看到，这从某种意义上产生了一个半群，只不过由于它不是绝对可积的，所以无法从上文更强的意义来定义半群。许多用振荡积分来建构的初生δ函数，只能从分布意义上收敛（见下文的例子狄利克雷核），而不能从测度意义上收敛。
另一个例子是R1+1中的波动方程式的柯西问题：loc=§7.8

解u代表了一条具有无限弹性的弦，一开始在原点处受到扰动后，距离平衡的位移程度。
其他同类的对单位元的近似还包括，广泛应用于电子和电讯中的sinc函数

以及贝塞尔函数


**平面波分解**
要对线性偏微分方程

求解，其中L是Rn上的一个微分算子，可以先取得基本解，即对以下方程求解：

当L相对简单的时候，通常直接利用傅里叶变换就可以求解（如上文提到的帕松核和热核）。如果算子比较复杂，可以先考虑更简单的方程

其中h是一个平面波函数，意思是对于某向量ξ，有

这样的方程可以用Cauchy-Kovalevskaya theorem求解（如果L的系数是解析函数），或者用求积法求解（如果L的系数是常数）。所以，如果δ函数能够分解成平面波的话，理论上就能取得线性偏微分方程的解。
对δ函数进行平面波分解的方法，最早是约翰·拉东（Johann Radon）所发展的一套通用技巧之一，之后由弗瑞兹·约翰进一步发展至这种形式（1955）。选择k，使得n + k是一个偶整数；对于实数s，定义

要取得δ，对g(x · ξ)相对球体测度dω积分，再对积分施用拉普拉斯算子的幂，其中ξ属於单位球面Sn−1：

此处的拉普拉斯算子理解为弱导数，所以上式的意思是，对于任何测试函数φ，

这一结果来自牛顿位势公式（牛顿位势是帕松方程的基本解）。这实际上是拉东变换的逆转公式，因为它能够从φ(x)在超曲面上的积分取回φ(x)的值。例如，若n是奇数，而1=k = 1，则右边的积分等于

其中Rφ(ξ, p)是φ的拉东变换：

平面波分解的另一个等价表达式是（loc=I, §3.10）

对于偶数n，且

对于奇数n。

**傅里叶核**
在对傅里叶级数的研究当中，一个重要的问题是须要判断，和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数，以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数f的傅里叶级数的第n部分和，定义是与狄利克雷核在区间−π,π上的卷积：

因此

其中

傅里叶级数的一个基础结果说明，当N → ∞，狄利克雷核趋向于δ函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛，即

对于一切紧支撑光滑函数f。从而，在区间−π,π上有

尽管如此，但这并不对所有紧支撑连续函数成立，换言之，DN从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛，因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核p=312

费耶核从一种更强的意义向δ函数收敛：

对于一切紧支撑连续函数f。结果是，所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的，且和的值等于该函数的值。

**希尔伯特空间理论**
狄拉克δ分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L2上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在L2中是一个稠密集，且δ分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中，可以对L2的某个子空间赋予更强的拓扑，使得δ函数能够定义一个有界线性算子。
索伯列夫空间
应用在实数线R上的索伯列夫空间上时，意味着任何平方可积函数f，只要满足

就必定是连续的，而且满足

从而δ是一个在索伯列夫空间H1上的有界线性泛函。另一个等价的说法是，δ是H1的连续对偶空间H−1的元素。更一般地说，在n维中，有δ ∈ H−s(Rn)，条件是s > n / 2。

**全纯函数空间**
在复分析中，δ函数出现在柯西积分公式中，公式说明，若D是复数平面上一个具有光滑边缘的域，则

对于一切在D的闭包内连续的全纯函数。从而，对于此类全纯函数，δ函数δz可以以柯西积分表示：

更一般地来说，设H2(∂D)是一个哈代空间，它是所有在D中直到D的边缘都是连续的全纯函数，在L2(∂D)中的凸包。H2(∂D)中的函数可以唯一地延续成D上的全纯函数，而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于z ∈ D，δ函数δz是一个H2(∂D)上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况：对于光滑域D，Szegő kernel代替了柯西积分的角色。

**单位分解**
在可分希尔伯特空间中，给定一个由函数{φn}组成的标准正交基（如一个紧自伴算子的归一化特征向量），那么任何向量f都可以表达成：

系数{αn}可以如下得出：

也可以写为

这是狄拉克符号的一种。在这种写法下，f以并矢方式展开：loc=Perfect operators, p.344

设I是该希尔伯特空间上的恒等算子，则表达式

称为单位分解。当希尔伯特空间是L2(D)，包含所有在域D上的平方可积函数，那么

就是一个积分算子，而f可以重新表达为：

右边的级数是在L2当中向f收敛。就算f是连续函数，点收敛极限也不一定存在。尽管如此，往往可以滥用符号，写

如此来表示δ函数：loc=Equation 8.9.11, p. 344

在适当的Rigged Hilbert space中，其中Φ ⊂ L2(D)包含所有紧支撑光滑函数，视乎基φn的性质，上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下，标准正交基来自于某个积分或微分算子，这时候级数会从分布的意义上收敛。2002

**无限小δ函数**
1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数α，使得函数δα满足
他（以及拉扎尔·卡诺）把无限小数定义为一个趋向于零的序列。
非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言，狄拉克δ函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见2007论文所列出的相关书目。这样定义的δ函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数F，都有
结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。

**狄拉克梳子**
狄拉克梳子是无限个相距T的δ函数
由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做Dirac comb，亦以西里尔字母Ш相形称为Ш分布，是一个取样函数，常用在数码讯号处理和离散时间讯号分析中。狄拉克梳子是许多单个δ函数的无限和，和的极限是分布意义上的极限：

这可以理解为，在每个整数处都有一个单位质点。
狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换（或乘以某个归一常数）。其重要性在于，若f是速降函数，则f在周期化后的结果以以下卷积表示：

特别有，

这正是帕松求和公式。1988

**索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理**
索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理，它把δ函数和分布p.v.1/x联系起来，后者是函数1/x的柯西主值，定义是

索霍茨基公式说明，loc=§5.7

此处的极限是分布意义上的极限，就是说对于一切紧支撑光滑函数f，


**与克罗内克δ函数的关系**
克罗内克δ函数δij的定义是，

对于所有整数i、j。它满足以下的筛选性质：若是一个两头无限的序列，则

这和狄拉克δ函数的筛选性质十分相似：对于任何R上的实函数或复函数f，有

也就是说，克罗内克δ函数可以看作是与狄拉克δ函数对应的离散函数。p=154–155

**应用**

**概率论**
在概率论和统计学中，狄拉克函数往往以概率密度函数的身份，来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布（概率密度函数一般只用作描述完全连续分布）。例如，设一组点x = {x1, ..., xn}，对应概率为p1, ..., pn；由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作

又举一例，设一个分布，其中十分之六的情况下输出标准正态分布，而十分之四的情况下输出单个数值3.5，这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是

也可以以完全不同的方法，用δ函数表示扩散过程（如布朗运动）中的Local time (mathematics)。一个随机过程的局部时的表达式为

这代表了该过程在某特定区间内，在点x所花的时间。更准确地说，当只有一个维度时，上面的积分可以写成

其中nowrap|1x−ε, x+ε是区间nowrap|x−ε, x+ε的指示函数。

**量子力学**
以下举一个例子，展示δ函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的，是粒子出现在特定空间范围内的机率幅。波函数假定属于希尔伯特空间L2（平方可积函数空间），且粒子在某空间范围内出现的总概率，等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{φn}叫做标准正交，如果

其中δ指的是克罗内克δ函数，而不是狄拉克δ函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备，如果任何波函数ψ都可以表达为一些φn的线性组合：

其中。量子力学中的哈密顿算符量度的是（束缚态的）能级，而算符的所有本征函数正正就组成了波函数完备标准正交系统，每个本征函数所对应的特征值等于能量值。这组能量值叫做这个哈密尔顿算符的光谱。利用狄拉克符号（如上），上式所表达的就是单位分解：

此处，特征值都是离散的，但一个可观察量的特征值也可以是连续的，就如位置算符1=Qψ(x) = xψ(x)。位置（在一维当中）的光谱是整条实数线，所以称作连续光谱。不过，和哈密顿算符不同的是，位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局，通常会扩大所允许使用的函数，从普通的函数到所有分布。换言之，量子力学的希尔伯特空间要由合适的Rigged Hilbert space取代。loc=§6.2这样一来，位置算符就有了一套完备的本征分布，对应于实数线上的每个点y：

位置的本征函数（分布）用狄拉克符号记作，亦称为位置本征态。
这种处理方法同样可以应用于动量算符，以及一切希尔伯特空间上的自伴无界算子P，前提是P具有连续光谱，且不存在退化特征值。更确切地说，有一个实数的子集Ω（即算子的光谱）和一组分布φy，对应于Ω的每个元素y，使得

也就是说，φy是P的特征向量（本征分布）。如果这些特征向量（作为分布）都满足归一化条件：

那么对于一切测试函数ψ，就有
 
其中
 
此处所得出的单位分解和离散的情况比较，有相似之处：

其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若P的光谱同时含有连续和离散部分，则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和，再加上跑遍所有连续态的积分。
δ函数在量子力学中还有众多特殊应用，例如δ位势阱。

**结构力学**
在结构力学中，δ函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在t=0时突然受到冲量为I的力的冲击，其演变可以如下描述：

其中m是质量，ξ是挠度，而k是弹簧常数。
根据欧拉﹣伯努力理论，一条细长的梁的静力负荷挠度是

其中EI是梁的弯曲刚度，w是挠度，x是空间坐标，而q(x)则是负荷分布。如果栋梁在x = x0处受到点力F的负荷，那么负荷分布可以写作

由于δ函数的积分是黑维塞阶跃函数，因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度，可以用一组分段多项式来表示。
δ函数还可以描述作用在一条梁上的点Bending moment。设两个相距d的相反方向的点力F，它们在栋梁上所产生的弯矩为M = Fd。在保持M不变的情况下，使d趋向于零。假设所产生的弯矩位于x = 0，方向是顺时针，那么对栋梁的负荷分布就是

因此点弯矩可以用δ函数的导数来描述。对栋梁方程积分，得出的挠度一样是分段多项式。

**参见**
δ位势阱
*格林函数

**脚注**

**注释**

**引注**

**参考资料**
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id=p/d030950- KhanAcademy.org视频讲义 date=20100825062835 - 狄拉克δ函数 date=20130722045144 - 视频讲义──第23课 date=20210419020654 - 狄拉克δ函数 date=20040813080641 ，PlanetMath