安培环路定律

安德烈-马里·安培。
安培环路定律（Ampère's circuital law）常直接简称为“安培定律”，是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。
安培环路定律表明了：在真空中载流导线所载有的稳恒电流，与磁感应强度沿着环绕导线的任意闭合回路（环路，closed loop）1=在物理学上，英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义；在以下内文中，汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有：环路、回路、回圈、环线、回线，或是闭环、闭路。的路径积分（环场积），两者之间的关系为
 ；
其中，是环绕着导线的闭合回路，是磁感应强度（又称为B场），是微小线元素向量，是磁常数，是闭合回路所围住的电流。
亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。
1861年，詹姆斯·马克士威又将这方程式重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。马克士威认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程式不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程式称为马克士威-安培方程式，是马克士威方程组中的一个方程式，以积分形式表示为
 ；
其中，是边缘为的任意曲面，是穿过曲面的电流的电流密度，是电位移，是微小面元素向量。

**右手定则**
载流回圈所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。
安培右手定则：将右手的大拇指指向电流方向，再将四根手指握紧电线，则弯曲的方向决定磁场的方向
右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为「安培右手定则」，或「安培定则」。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

**原版安培环路定律**
一条载流导线所载有的电流会产生磁场。
安培环路定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），对于任意向量，
。
所以，这两种形式是等价的。

**积分形式**
电流在一个曲面上的通量，等于磁场沿着的边缘闭合回路的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培环路定律的积分形式可以写为：
。
请注意到这方程式有些模糊之处，需要特别澄清：
*第一，边界曲线的正向与曲面的侧符合右手规则。沿着闭合回路线积分的方向有两种（顺时针方向及逆时针方向）。还有，是通过边缘为闭合回路的曲面的净自由电流，包括以某方向通过的电流，减去以相反方向通过的电流。但是，两种方向中，任何一种都可以选为正值。为了澄清这些模糊之处，必须使用右手定则：当右手食指朝着线积分方向指去时，伸直的大拇指会指向微小面元素向量，设定朝着这方向流动的电流为正值。
*第二，（固定，）定理之成立与以为边界的的选择无关。通过边缘为闭合回路的曲面有无限多选择（设想在一个闭合铁环上悬跨着一个肥皂泡，假若轻轻地往这个肥皂泡吹一口气，则泡沫的形状会变形）。不过选择哪一曲面都无所谓，因为任何边缘为的曲面皆可被证明为正确的选择。
安培环路定律可由必欧-沙伐定律和磁场的叠加性证明（请参阅必欧-沙伐定律）。在静磁学中，安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

**微分形式**
根据克耳文－斯托克斯定理，这方程式也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程式才成立。采用国际单位制，这方程式表示为
。
磁场的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度。

**电流分类**
电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程式表示，总电流密度是
；
其中，是自由电流密度或传导电流密度，是磁化电流密度，是电极化电流密度。
从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场）和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。

**自由电流**
通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。

**磁化电流**
当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为「体磁化电流密度」，用方程式定义为
；
其中，是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。

**电极化电流**
束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化，束缚电荷也会随着时间而移动，因而产生「电极化电流」，称其密度为「电极化电流密度」，用方程式定义为
；
其中，是电极化强度。
注意到电极化强度的定义式
；
其中，是「体束缚电荷密度」。
取电极化电流密度的散度：
。
所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为
。

**原版安培环路定律的不足处**
原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程式，
；
其中，是B场，是磁常数，是总电流。
取散度于这方程式，则会得到
。
应用一个向量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，
。
这意味着电流密度的散度等于零：
。
在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。
一个正在充电的电容器，左边的圆形金属板，被一个假想的封闭圆柱表面包围。这圆柱表面的右边表面处于电容器的两块圆形金属板之间，左边表面处于最左边。没有任何传导电流通过表面，而有电流通过表面。
举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面的边缘为闭合回路。应用安培定律，
 。
在这里，是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路。所以，这任意曲面可以是表面，而是；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面，而由于通过这任意曲面的电流是，是。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。
为了解决上述难题，安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，马克士威摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，马克士威将位移电流项目加入了安培定律。

**位移电流**
在自由空间内，位移电流跟电场随着时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。
位移电流密度定义为
；
其中，是电位移，定义为
；
其中，是电常数，是电极化强度。
所以，位移电流密度分为两个部分：
。
这方程式右手边的第一个项目是马克士威修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。马克士威修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。

**原本定律的延伸：马克士威-安培方程式**
将马克士威修正项目加入安培方程式：
  ;
或者，使用H场和位移电流来表达，
。
这就是马克士威-安培方程式，可以补救原本安培环路定律的限制。
假若使用B场的马克士威-安培方程式，由于习惯，时常会称项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，马克士威能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。

**等价证明**

**CGS单位制的安培方程式**
采用CGS单位制，安培方程式的积分形式，包括马克士威修正项目，可以写为
；
其中，是光速。
其微分形式可以写为
。

**备注**

**参见**
 电荷守恒定律

**注释**

**参考文献**

**外部连结**
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