快乐数

快乐数有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数字平方和（数位的平方和），得到的新数再次求所有数位的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。
以十进位为例： 
2 8 → 2^2+8^2 → 6^2+8^2 → 1^2+0^2+0^2
3 2 → 3^2+2^2 → 1^2+3^2 → 1^2+0^2
3 7 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
5 6 → 5^2+6^2 → 6^2+1^2 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
因此28和32是快乐数，而在37和56的计算过程中，数字会重复出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环（不快乐数循环），不会出现1，因此37和56不是快乐数。
不是快乐数的数称为不快乐数（unhappy number），所有不快乐数的数位平方和计算，最后都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。
在十进位下，100以内的快乐数有id=A007770：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20个。

**快乐数表格**
以下是小于100的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。
以下是100到小于200的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。
以下是200到小于300的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。
300以内的快乐数没有其中一位是5，300以内的数其中有一位是5，它一定不是快乐数。
以下是300到小于400的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。
发现10*10、100*100等表格的快乐数表格有线对称。

**快乐数的因数**
以下是300以内的快乐数因数。
由表格可知：
*128以内快乐数没有因数3、6、9等数，如果128以内的数是3的倍数等，它一定不是快乐数。
*1000以内快乐数没有因数9、15、18、21等数，如果1000以内的数是9的倍数等，它一定不是快乐数。
*1000以内快乐数同样也没有能被25整除但不能被100整除，即尾数是（25、50或75的数），如果1000以内的数是25的倍数但不是100的倍数，它一定不是快乐数。
*1000以内的快乐数有143个，只有7个是3的倍数，129、192、219、291、888、912、921，机率:5%。
*1000以内的快乐数有143个，有其中一位是5的只有12个，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，机率:8%。
*1000以内的快乐数有143个，只有3个是25的倍数，100、700、1000，机率:2%。

**快乐质数**
在十进位下，300以内的快乐质数有id=A035497：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15个。

**快乐完全数**
已知的51个完全数，只有3个是快乐数：28、496、8128。

**其他进制的快乐数**
三进制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 id=A239320
*五进制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 id=A240849
*任何进制（最小快乐数且大于1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

**其他进制的不快乐数循环**
2进制
**每个数都是快乐数
*3进制
**2 → 11 → 2 
**:在十进制中为2 → 4 → 2
*4进制
**每个数都是快乐数
*5进制
**4  → 31  →20  → 4
**:在十进制中为4  → 16  → 10  → 4
**23 → 23 
**:在十进制中为13 → 13
*6进制
**5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
**:在十进制中为5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
*7进制
**2 → 4 → 22 → 11 → 2 
**:在十进制中为2 → 4 → 16 → 8 → 2
**34 → 34 
**:在十进制中为25 → 25
*8进制
**4 → 20 → 4 
**:在十进制中为4 → 16 → 4
**5 → 31 → 12 → 5 
**:在十进制中为5 → 25 → 10 → 5
**32 → 15 → 32 
**:在十进制中为26 → 13 → 26
*9进制
**58 → 108 → 72 → 58 
**:在十进制中为53 → 89 → 65 → 53
**55 → 55 
**:在十进制中为50 → 50
*10进制
**4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
*11进制
**75 → 68 → 91 → 75 
**:在十进制中为82 → 74 → 100 → 82
**23 → 12 → 5 → 23 
**:在十进制中为25 → 13 → 5 → 25
*12进制
**22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
**:在十进制中为26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
**21 → 5 → 21
**:在十进制中为25 → 5 → 25
*13进制
**79 → A0 → 79
**:在十进制中为100 → 130 → 100
**36 → 36
**:在十进制中为45 → 45
**B2 → 98 → B2
**:在十进制中为145 → 125 → 145
**67 → 67
**:在十进制中为85 → 85
**14 → 14
**:在十进制中为17 → 17
*16进制
**D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
**:在十进制中为13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

**其他性质**
快乐数加入数字0或交换的数也是快乐数，不快乐数的情况也是。例如：49是快乐数，94、4900也是快乐数；123不是快乐数，321、10203、123000也不是快乐数
*通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
*十进位不快乐数的循环只有一个，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

**Python程式码**
#ishappy number
def ishappy(n):
a = 
while n not in a:
a.append(n)
n = sum(int(x) **2 for x in str(n))

return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

**相关条目**
Fortunate number
*哈沙德数
*幸运数

**外部连结**
 Happy number calculator - 可以线上判断数字是否为快乐数〔英文〕