分数傅立叶变换

在数学中，分数傅立叶变换（Fractional Fourier transform，缩写：FRFT）指的就是傅立叶变换（Fourier Transform）的广义化。近几年来，分数傅立叶变换除了在信号处理领域有相当广泛的应用，其也在数学上被单独地研究，而定义出如分数回旋积分（Fractional Convolution）、分数相关（Fractional Correlation）等许多相关的数学运算。
分数傅立叶变换的物理意义即做傅立叶变换  次，其中  不一定要为整数；而做了分数傅立叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域与频域之间的分数域（Fractional Domain）。
若再更进一步地广义化分数傅立叶变换，则可推广至线性标准变换。

**由来**
对信号  做一次傅立叶变换的结果为 ，做两次傅立叶变换的结果为 ，表示成 ，而当做了  次的傅立叶变换可以写成一般式  。至此，都以 为整数做考量，当令  即  时，将  的分数傅立叶变换定义为 ，其中  可以不必为整数。

**历史**
分数傅立叶变换这个概念，其实最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是并没有受到太多的瞩目。过了约莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（称之为重发明）这个概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分数傅立叶变换用在信号处理上，此人为 L. B. Almeida。详细历史：1937年提出分数傅立叶变换的概念雏形; 1980年Namias较明确地提出分数傅立叶变换的数学表达式，并将其用于具有确定边界条件的量子力学薛定谔方程的求解1987年Bride & Kerr 给出严格的数学定义以及性质1993年由德国的学者罗曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次将分数傅立叶变换概念引入光学并给出了相应的光学过程; Mendlovic＆Ozaktas：渐变折射率GRIN介质中光传播。 A. W. Lohmann: 维格纳分布函数和以及透镜实现，自由空间的光衍射。 1993年Ozaktas，罗曼，Mendlovic等人在光学中全面引入分数傅立叶变换; 1995年Shih提出了另外一种分数傅立叶变换的形式; 1997年刘树田等人根据Shih的定义给出了广义分数傅立叶变换，1999年刘树田等人将分数傅立叶变换应用于图像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分数傅立叶变换及其在光学和信号处理中应用”一书。

**定义**
第一种定义:
 
第二种定义:

,  为实数。
当  时 (亦即  )，分数傅立叶变换就成了傅立叶变换。

**表示法**
，则可推广为;依此类推，表示的次逆变换。
而分数傅立叶变换将以上定义推广至非整数次的，且为实数，表示为
，
当是一个整数时则代表傅立叶转换做次。
例如:
时相当于做一次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转90度
时相当于做两次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转180度,
时相当于做三次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转270度
时相当于做四次傅立叶变换，如果在时频分析(Time-Frequency Analysis)图上，则是对讯号顺时针转360度,

**性质**
对于任一实数，一个对函数做角度分数傅立叶变换定义为
并且具备以下特性- 加法性(Additivity)
。- 线性(Linearity)- 整数傅立叶性质(Integer Orders)
若,其中为一整数则相当于做次傅立叶转换；
当时，这个定义就变成了连续傅立叶变换的定义 ，
当时，它就变成了连续傅立叶变换之逆变换的定义。
若为的整数倍，则余切函数和余割函数不会收敛。
有一方法可解决此问题，就是取limit让以上定义变成有一个狄拉克δ函数被积分的情况，使得- 反转性质(Inverse)- 交换性(Commutativity)- 结合律(Associativity)- 帕塞瓦尔定理(Parseval Theorem)      
若从时频分析图上来看，代表的意义是在时频分析上旋转一角度后能量守恒

**定理**
的分数傅立叶转换 ()的时频分布，等同于  的时频分布(维格纳分布,加伯转换)顺时针旋转角度 ，用数学式子表示如下:

**维格纳分布(Wigner distribution function)**
假设 
(a)  是  的维格纳分布
(b)  是  的维格纳分布 
(c)  是  的分数傅立叶转换
，则 

**加伯转换(Gabor transform)**
假设 
(a)  是  的加伯转换
(b)  是  的加伯转换 
(c)  是  的分数傅立叶转换
，则 
例子一: 
对一个加伯转换后的余弦函数做不同角度的分数傅立叶转换。如下图 
363x363像素
例子二:
对一个加伯转换后的矩形函数做不同角度的分数傅立叶转换。如下图
363x363像素

**应用**
可用分解信号和滤除杂讯；一般来说分为两种，一种是在时域(Time domain)上，一种是在频域(Frequency domain)上，
这边利用分数傅立叶转换使其在分数域当中滤波。

**(一)时域**
假设现在是由两个信号组成:
，
和 用数学表示分别如下:



由式子可以很明显地看出，两信号是方波。
若要将这两个信号分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号在时域上毫无重叠，便可以直接在时域上将这两个信号分开。
则  乘上  时，这个信号会被保留，这个信号就被滤掉了。
此作法可成功将这两个信号分开。

**限制**
此种方法的限制为欲分解的信号必须在时域不能重叠，否则无法成功分解。
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**(二)频域**
，
，。
可以很明显地看出和 在时域上完全重叠，因此很难在时域分解这两个信号。
此时，可以妥善利用傅立叶转换将信号转到频域，其在频域的表示式如下所示:



由可以很明显地看出，若要将这两个信号在频域上分开，是非常简单的一件事情，因为这两个信号经过傅立叶转换后，在频域上完全没有重叠。

**例子**
假设  为一个低通滤波器(Low-pass Filter)

则  乘上  时， 会被保留， 就被滤掉了。
反之，若要保留  而滤掉  ，则可以使用高通滤波器(High-pass Filter)。
这种把欲处理信号先转换到频域，再做分解的动作，是滤波器设计的常见方法之一。

**限制**
欲分解的信号必须在频域不能重叠，否则无法成功分解。
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**(三)时频域分解**
 (啁啾杂讯) + 三角波信号。
三角波信号(蓝色)是我们要的信号，将前面的啁啾(绿色)视为杂讯，由图中可以发现到，
不论在时域或是频域，皆无法直接将噪音项去除，这是因为和三角波信号在时域和频域皆重叠(如下图左上、右上)。
因此，对于两个在时、频域皆重叠的信号来说，很难在一维的时域和频域中将其分解。
但若使用二维的时频分析，则将有机会可以将两个在时、频域皆重叠的信号分解。
这是因为两个在时、频域皆重叠的信号其时频分布并不一定会重叠。因此，只要这两个信号的时频分布没有互相重叠，就可以善用分数傅立叶变换将其成功分解(如下图左下、右下)。
比较使用分数傅立叶变换与傅立叶变换滤掉杂讯的效果
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**例子一**
假设有噪音干扰，所以接收到的信号除了原始信号以外，还包含了杂讯。
用时频分析方法来处理接收到的信号，黑色为原始信号(signal)的时频分布，而绿色为噪音(noise)的时频分布，如下图。
261x261像素
现在想把杂讯滤掉，以下探讨3种方法来还原原始信号。
方法1 : 使用垂直的 Cutoff line  
若在时频分布图中使用垂直的 Cutoff line ，就相当于在一维时域中，要把信号和噪音分离。
但是由下图可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。
因此方法1无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。
259x259像素
方法2 : 使用水平的 Cutoff line  
若在时频分布图中使用水平的 Cutoff line ，就相当于在一维频域中，要把信号和噪音分离。
但是由下图可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 后，仍然会有一部分的噪音无法被去除。
因此方法2也无法完美重建原始信号，而会有扭曲的情形发生。
270x270像素
方法3 : 使用斜的 Cutoff line
若在时频分布图中使用斜的 Cutoff line ，则可以完美分离信号和噪音。如下图。
Cutoff line 的参数包含了  和 ， 是cutoff line和纵轴f-axis的夹角，而  则是cutoff line 距离原点的距离。
241x241像素
以下示范如何使用分数傅立叶转换和Cutoff line来将噪音滤除:
步骤(1) 首先决定cutoff line和纵轴f-axis的夹角 
步骤(2) 利用分数傅立叶转换对时频分布旋转 ，使 cutoff line 垂直横轴 t-axis。
步骤(3) 算出 后，再利用低通遮罩(Low pass Mask)将噪音滤掉。
步骤(4) 最后再做一次分数傅立叶转换 ，将时频分布旋转回原来的位置。
令接收到的信号为 ，最后得到的信号为 ，可将以上步骤用数学式子表示如下:



例子二:
假设发射一信号s(t)，中间受到杂讯干扰，最后收到的讯号为f(t)=s(t)+noise
399x399像素
(a) 发射讯号的时域图
(b) 接收讯号的时域图
(c) 发射讯号的韦格纳分布  412x412像素
(d) 接收讯号的韦格纳分布，有由此可见cross-term已经大大的影响时频图的可见姓，加上杂讯后的韦格纳分布更是无法清楚地将讯号分离开来 
(e) 发射讯号的加伯转换 
(f) 接收讯号的加伯转换  
415x415像素(g) 接收讯号的加伯-维格纳转换 
(h) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅立叶转换，再借由cutoff lines来去除杂讯 
(i) 滤波器的设计，这边总共有四条cutoff lines，其中有两条平行，所以总共需要做三次不同的分数傅立叶转换，再借由cutoff lines来去除杂讯
371x371像素
(j) 对(i)做分数傅立叶转换 
(k) 利用高通滤波器滤波，把两条cutoff lines设置在低频 
(l) 经过(k)滤波器以后 
(m) 透过同上的手法再做两次低通滤波器，把旁边两条线给去除后可得到的还原讯号 
(n) 发射讯号(蓝色)和还原讯号(绿色)的比较，两者的MSE仅有0.1128%
由以上可知，透过分数傅立叶旋转时频图的技巧来设计滤波器，我们可以精准地还原讯号
例子三:
一样假设接收讯号受到了杂讯干扰
399x399像素
(a) 发射讯号
(b) 接收讯号 
(c) 接收讯号的韦格纳分 
(d) 接收讯号的加伯转换 
(e) 接收讯号的加伯-维格纳转换，在这边的滤波器需要五条cutoff lines(蓝线)，但有两条是垂直时间轴，可以直接在时间轴上去除，剩下的三条则需要利用分数傅立叶转换来去除。 
(f) 还原讯号，MSE仅0.3013%

**比较傅立叶转换和分数傅立叶转换**
傅立叶转换
优点: 运算复杂度较低，有快速傅立叶转换的演算法。
缺点: 仅有一个维度，频域，来分析；杂讯若和讯号重叠，则难以分离。
分数傅立叶转换
优点: 运用旋转的技巧在时频图上去除杂讯，多了一个维度（时域）来分析；除非杂讯和讯号同时在频域和时域上重叠，否则将可以分离两讯号。
缺点: 运算复杂度较高。

**相关条目**
其他的时间-频率变换：- 短时傅立叶变换- 小波变换- chirplet变换

**外部连结**
  DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions date=20140116131707 -  Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform --  from Prof. Jian-Jiun Ding's course website date=20170101160000 

**参考文献**
 N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929). - V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).- Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).- Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).- D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991).  (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)- Haldun M. Ozaktas,  Zeev Zalevsky and  M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics. - Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013