交换律

一个表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交换律的例子
交换律（Commutative property）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义。

**一般用法**
交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是「可交换」的。
在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。

**数学定义**
「可交换」一词被使用于如下几个相关的概念中：
1. 在集合  的一二元运算  被称之为「可交换」的，若：
- 一个不满足上述性质的运算则称之为「不可交换」的。
2. 若称  在  下和  「可交换」，即表示：

3. 一二元函数被称之为「可交换」的，若：
.

**历史**
Commutative这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上
对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。
第一个使用「可交换（commutative）」一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。

**相关性质**
显示加法函数对称性的图

**结合律**
结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指运算元的顺序不会影响其最终结果的性质。

**对称**
对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对  这条线对称。举例来说，若设一函数  来表示加法（一可交换运算），所以  ，也因此  会是个如右图所见的对称函数。

**例子**

**日常生活中**
 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。- 成语「朝三暮四」也可看做是可交换运算的一个例子。

**数学中的可交换运算**
显现出乘法 (  ) 的交换律的一个例子
两个广为人知的可交换二元运算的例子为：- 实数的加法
:
例如，  ，两个表示式都等于 9 。- 实数的乘法
:
例如，  ，两者都等于 15 。- 更多可交换二元运算的例子包括复数的乘法、向量的加法、和集合的交集与联集。

**日常生活中的不可交换运算**
串接（将字串连在一起的行为）是个不可交换运算。- 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。- 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

**数学中的不可交换运算**
一些不可交换二元运算有：- 减法：  ，不过可将其减法符号转换成加上其相反数，即可使用交换律。- 除法： ，可将除法转换成乘上其倒数以使用交换律。- 矩阵乘法：


**数学结构与交换律**
 阿贝尔群是一个群运算为可交换的群。- 交换环是一个乘法为可交换的环。（环中的加法依定义总会是可交换的。）- 域的加法与乘法都是可交换的。- 中心是一个群最大的可交换子集。

**注记**

**参考资料**

**书籍**
 id=ISBN 978-0-387-98258-8
Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.- id=ISBN 978-0-13-067342-8
Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.
*id=ISBN 978-0-618-51471-7
Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

**文章**
https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
*Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

**线上资源**
ref=none
*Krowne, Aaron, urlname=Commutative, Accessed 2007-08-08.
*:Definition of commutativity and examples of commutative operations
*urlname=Commute, Accessed 2007-08-08.
*:Explanation of the term commute- urlname=ExampleOfCommutative, Accessed 2007-08-08
*:Examples proving some noncommutative operations
*archive-url=https://web.archive.org/web/20090918084448/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html 
*:Article giving the history of the real numbers
*archive-url=https://web.archive.org/web/20110501074959/http://jeff560.tripod.com/c.html 
*:Page covering the earliest uses of mathematical terms
*archive-url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html 
*:Biography of Francois Servois, who first used the term

**另见**
反交换律
*二元运算
*交换子集合
*交换子
*分配律
*结合律
*递移关系