五格骨牌

12个五格骨牌可以组成18个不同的形状，其中6个没有对称的有加上其镜射后的形状
五格骨牌（Pentomino），又称五连块、五连方、五连方块或伤脑筋十二块，是由五个全等正方形连成的多格骨牌，反射或旋转视作同一种共有十二种，可以英文字母代表。五格骨牌的相关问题及游戏是娱乐数学中流行的问题。五格骨牌的谜题，最早是英国人亨利·杜德耐于1907年所发明，书名《坎特伯雷趣题和其他奇特问题》（Canterbury Puzzles and Other Curious Problems）。
五格骨牌中每一个都满足康威准则，因此用任何一个都可以密铺整个平面。所有具有对掌性的五格骨牌都可以在不镜射的条件下密铺整个平面。

**历史**
所有的五格骨牌，以及其对应的两组命名，上方的命名是条目中会使用的名称，下方的命名是康威的命名
五格骨牌的正式定义是由美国教授所罗门·格伦布在1953年开始定义，后来列在1965年出版的书籍《Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings》中。之后马丁·加德纳在《科学美国人》杂志1965年10月的Mathematical Games column中介绍，引起大家的兴趣。格伦布创建了五格骨牌的英文pentomino，源自古希腊语 πέντε / pénte（5），而-omino是采用domino（西洋骨牌），刻意的将domino前面的 d 视为是希腊文字首 di- （二个）的变形。格伦布用12个和五格骨牌外形较类似的英文字母来为五格骨牌命名。
约翰·何顿·康威有另外一个针对五格骨牌命名的系统，其中用O来代替I、Q来代替L、R来代替F、S来代替N。此命名法中，一些五格骨牌和其名称的关系较不直觉，不过好处是使用了连续的12个英文字母。在讨论康威生命游戏时会用到这个命名系统，例如用R骨牌来代替F骨牌。

**对称性**
F, L, N, P, Y的骨牌由于既非线对称亦非点对称，所以总共有8种固定五格骨牌，旋转后可以产生四种骨牌，镜射后再旋转后可以产生另外四种骨牌，其空间对称群只有恒等函数。
*T, U的骨牌由于有一条和格线平行的对称轴，因此只有4种固定五格骨牌。其空间对称群有二个元素，除了恒等函数外，还包括相对于对称轴的镜射。
*V, W的骨牌由于有一条和格线有45度夹角的对称轴，因此只有4种固定五格骨牌。其空间对称群有二个元素，除了恒等函数外，还包括相对于对称轴的镜射。
*Z的骨牌有一个对称点，是二次的旋转对称，因此也只有4种固定五格骨牌，旋转后可以产生二种骨牌，镜射后再旋转可以产生另外二种骨牌。其空间对称群有二个元素，除了恒等函数外，也包括180度的旋转。
*I的骨牌有两条对称轴（都平行格线）跟一个对称点，因此只有2种固定五格骨牌。其空间对称群有四个元素：恒等函数，两个镜射以及180度的旋转。I的骨牌是 n = 2 的二面体群，也称为克莱因四元群。
*X的骨牌有四条对称轴跟一个对称点，因此只有唯一一种固定五格骨牌。其四条对称轴分别平行格线以及二条对角线，也有四次的旋转对称。其对称轴是n = 4 的二面体群，有八个元素。
F, L, N, P, Y和Z的骨牌有对掌性，因此若考虑无法翻面的单面骨牌，要加上这些骨牌的镜射（F', L', N', Q', Y', Z'），共有18种单面骨牌。若骨牌不允许旋转（固定骨牌），本段分类的第一类要乘以8，后面三类（T、U、V、W、Z）要乘以4，I要算2次，X只算1次，因此共有5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 个固定的五格骨牌。
以下是L, F, N, P, Y 骨牌的八种可能放法：
150px 150px  150px  150px 150px

**长方形填充**
400px
标准的五格骨牌谜题是用五格骨牌密铺长方形，骨牌不能重叠，也不能留下没有骨牌的空格。每个五格骨牌的面积都等于五个单位方形，因此长方形的面积需等于60个单位方形。可能的尺寸有6×10, 5×12, 4×15 及3×20。狂热智力游戏玩家可能会徒手玩几个小时来求解这类问题。另一个问题的挑战性更大，是计算某一尺寸下有几种解法，一般会需要配合搜索算法来进行。
6×10的问题最早是由Colin Brian及Jenifer Haselgrove.所解出，共有2339个解答，2339个解答中，不考虑若将整个长方形旋转或是镜射的解，旦若其中部份五格骨牌旋转或是镜射，则视为是不同的解。5×12的问题有1010个解，4×15的问题有368个解，3×20的问题只有二个解（图中的是其中一个解，将L, N, F, T, W, Y, Z方块组成的方块组镜射后，可得到另一个解）。
另一个比较简单（对称性较高）的问题，是中间挖掉2×2方块的8×8正方形，此问题最早由达纳·斯科特在1958年解出，共有65种解。斯科特的求解方式也是回溯法电脑程式的早期应用之一。此问题的变体是正方形中的4个空格在其他的位置，大部份的变体都可以解，除非空格都集中在某两个角附近，让两个角都要用P骨牌填充，或是强迫在角落放入T骨牌或U骨牌，使得出现其他五格骨牌无法填满的格子。
File:Pentomino unsolvable.svg
目前已有高效的演算法可求解五格骨牌的密铺问题，高德纳也有创建类似的演算法。若在现今的个人电脑上执行，只要几秒钟就能解出五格骨牌的摆放方式。
利用所有的n格骨牌来密铺长方形的问题，只有在n = 0, 1, 2和5时才有解。

**平面填充**
所有12种五格骨牌都满足康威准则，因此都可以只用同一种五格骨牌，来填满整个平面。

**五立方体及立体填充**
五立方体（pentacube）是由五个立方体组成的多连立方体，共有29个，其中有12个是高度为1的五格骨牌，另外17个是非平面的。
五立方体填充问题（pentacube puzzle）是由五立方体中12个高度为1的平面五立方体，填满三维的长方体。五立方体的体积是单位立方体的5倍，要填满的长方体体积就是单位立方体的60倍，可能的尺寸有2×3×10（12 个解）、2×5×6（264个解）及3×4×5（3940个解 solutions），以下就是这几种情形的各一个解
425px
五立方体其实有29个，因此也可能会想是否可以用所有的五立方体（包括平面及非平面的）来填满长方体。不过29个五立方体的体积是单位立方体的29×5=145倍，可能的长方体尺寸只有29×5×1，而高度只有1，无法将非平面的五立方体放入，因此不可能用29个五立方体来填满长方体。

**双人游戏**
以十二块为基础，可作一个双人游戏。每人轮流在一个8×8的格网上放其中一块，使得每块不重叠而没有一块用多于一次。最后一个放的人胜。这个游戏是先手胜的。这个游戏称为「格伦布游戏」p=83。
1960年，桌上游戏设计师艾力克斯·兰多夫以此游戏增加限放规则的补天棋。

**建筑**
以五格骨格为外墙装饰的Plattenbau建筑
有时，一些Plattenbau建筑的外墙会以以五格骨格为装饰，主要出现在东欧。图案主要是以6×10长方形问题的解为主。

**脚注**

**参考资料**

**相关条目**
Lonpos
*Tiling puzzle
*都会棋
*所罗门·格伦布

**外部连结**
  Pentomino, Homepage：有各种矩形的全部解-  George Huttlin's Pentomino Webpage：以十二块砌成英文字母-  Eric Harshbarger's Pentominoes Page date=20200203060347 -  Pentomino-  拼图笔记 My Puzzle Note date=20231224180103  by 高文山 KAO Wen-Shan from TAIWAN (Note 1 系列贴文详述：使用12片五格骨牌布满正六面体表面的多种方法)-  这里可以下载双人游戏(Pentacubes)-  启发积木线上游戏。拖动，旋转和翻转积木瓷砖放在一起的图片或解决数字拼图，玩Tetromino或发现PEG纸牌的解决方案。