向量空间

向量空间是可以缩放和相加的（叫做向量的）对象的集合
向量空间是一群可缩放和相加的数学实体（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实体被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。

**正式定义**
给定域  和某集合  ，它们具有了以下两种运算（函数）：- 向量加法  （其中  惯例上简记为  ）- 标量乘法  （其中  惯例上简记为  甚至是    ）
且这两种运算满足：（特别注意  和  是域  是本身具有的加法和乘法）
这样称 「  为定义在域  上的向量空间」，而  里的元素  被称为向量；域  里的元素  被称为标量。这样域  就是囊括所有标量的集合，所以为了解说方便，有时会将  暱称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下，向量加法  也可以简写成  。
前四个条件规定  是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成「  是个域，且  是一个 模」。

**基本性质**
以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。
以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话，可以仿造群的习惯以记号  代表「向量加法  的唯一单位元」，并称之为  的零向量。
在不跟标量域的加法单位元   混淆的情况下，零向量  也可以简写成  。
以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性，这样的话，可以仿造群的习惯以  代表「向量  在向量加法  下的唯一逆元素」，甚至可以把  简记为  ，并暱称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下，  也可记为  ；  也可记为  。

**额外结构**
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：- 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。- 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。- 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。- 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

**例子**
对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。
最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：
# ，
# ，
# 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，，
# 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数就满足。
# 标量乘法对向量加法满足分配律：.
# 向量乘法对标量加法满足分配律：.
# 标量乘法与标量的域乘法相容：。
# 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点都有一个坐标，并对应着一个向量。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。
同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为，其中的都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
，
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

**方程组与向量空间**
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：


如果和都是解，那幺可以验证它们的“和”也是一组解，因为：


同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

出于和上面类似的理由，方程的两个解和的和函数也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

**子空间基底**
如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那幺将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间。
给出一个向量集合B，那幺包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。
给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那幺就称V是一个有限维空间。
可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：，那幺空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中，  ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基，那幺所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：
那幺v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：
可以证明，存在从任意一个n维的-向量空间到空间的双射。这种关系称为同构。

**线性映射**
给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：
所有线性变换的集合记为，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，中的线性变换可以通过矩阵来表示。
如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那幺这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那幺称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构，那幺其逆映射也存在，并且对所有的，都有：

**参考文献 == - 《中国大百科全书》- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.- Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8