Hàm ngược

Hình:Inverse Function.png|thumb|Hàm f và nghịch đảo của nó f −1. Bởi f ánh xạ a sang 3, nghịch đảo f −1 ánh xạ 3 quay lại về a.
Trong toán học, hàm ngược của hàm f (hay còn gọi là nghịch đảo của f) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm f. Nghịch đảo f chỉ tồn tại khi và chỉ khi f là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là 
Cho hàm , nghịch đảo  được mô tả như sau:  hàm gửi mỗi phần tử  sang duy nhất một phần tử  sao cho 1=f(x) = y.
Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: 1=f(x) = 3x − 4. Ta có thể hiểu f là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của f là hàm  được định nghĩa bởi: 

**Định nghĩa**
Hình:Inverse Functions Domain and Range.png|thumb|right|240px|Nếu f ánh xạ X sang Y, thì f −1 ánh xạ Y ngược lại về X.
Gọi f là hàm số mà miền của nó là tập X, và đối miền của nó là tập Y. Khi đó,  f được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm g từ Y sang X sao cho  với mọi  và  với mọi .
Nếu f khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm g thoả mãn tính chất. Hàm g được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của f, và thường được ký hiệu là f −1, ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.
Hàm f khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh, bởi điều kiện  với mọi  sẽ suy ra f là đơn ánh và điều kiện  với mọi  suy ra f là toàn ánh.
Hàm ngược f −1 của f có thể biểu diễn như sau
.

**Compositional inverseNghịch đảo và hợp**
Nhắc lại rằng nếu f là hàm khả nghịch với miền X và đối miền Y, thì
 , với mọi  và  với mọi .
Sử dụng phép hợp hàm, phát biểu trên có thể viết lại thành phương trình của các hàm số:
  và 
trong đó idX là hàm đồng nhất trên tập X; tức là hàm số không thay đổi giá trị đầu vào. Trong lý thuyết phạm trù, phát biểu này có thể dùng làm định nghĩa cho cấu xạ nghịch đảo.
Xét phép hợp hàm giúp ta hiểu ký hiệu f −1. Hàm được lấy bằng cách hợp liên tục hàm f: X→X với chính nó được gọi là hàm lặp. Nếu f được lặp lại n lần, bắt đầu từ giá trị x, thì ta có thể viết là f n(x); ví dụ, , v.v... Bởi , Hợp của f −1 và f n sẽ ra f n−1, "hoàn tác" lại một lần lặp của hàm f.

**Ký hiệu**
Ký hiệu f −1(x) thực ra có thể hiểu nhầm bởi  (f(x))−1 còn có thể hiểu là nghịch đảo phép nhân của hàm f(x) chứ không phải là nghịch đảo của f.Do vậy , ký hiệu  có thể được dùng thay thế cho hàm ngược để không bị nhầm lẫn với ký hiệu nghịch đảo phép nhân.
Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như sin−1(x) để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho x (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của sin (x), mặc dù có thể ký hiệu là (sin (x))−1. Để tránh bất cứ hiểu nhầm nào, hàm lượng giác ngược thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "arc" (trong Latin: arcus). Ví dụ chẳng hạn, nghịch đảo của hàm sin thường sẽ được viết là hàm arcsin hay math|arcsin(x). Tương tự như vậy, nghịch đảo của các hàm hyperbol được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "ar" (trong Latin: ārea). Lấy ví dụ, nghịch đảo của hàm sin hyperbol được viết là math|arsinh(x). Tuy nhiên, ký hiệu sin−1(x) vẫn có thể được dùng khi phân biệt giữa nghịch đảo đa giá trị với nghịch đảo riêng phần: . Các hàm ngược đặc biệt đôi khi được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "inv" (inverse, hay nghịch đảo), nếu ta cần phải phân biệt ký hiệu f −1

**Các ví dụ**

**Hàm bình phương và căn bậc hai**
Hàm math|f: R → 0,∞) đưa bởi 1=f(x) = x2 không phải đơn ánh vì  với mọi . Do đó, f không khả nghịch.
Nếu miền của hàm số trên giới hạn về các số thực không âm, tức là ta xét hàm  với cùng định nghĩa như trên, thì hàm số này song ánh và do đó khả nghịch. Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là .
<!-- Repetitive. To be held for a short time until refactor is finished. 

**Nghịch đảo trong các phần toán học cao hơn**
Định nghĩa trên thường được dùng trong cả lý thuyết tập hợp và vi tích phân. Trong toán học cao hơn, ký hiệu

có nghĩa là "f là hàm ánh xạ các phần tử thuộc tập X sang các phần tử thuộc tập Y ". Tập nguồn X, được gọi là miền của f, còn tập đích Y được gọi là đối miên (hay miền giá trị). Đối miền này chứa ảnh của