Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (ε, δ) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như , , các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:
# Một ánh xạ f là liên tục theo nghĩa tô pô.
# Với mọi điểm x trong X, và với mọi dãy trong X hội tụ tới x, tạo ảnh của dãy này bởi f hội tụ tới f(x). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).
Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.
Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

**Sự hội tụ của một hàm số**
Với mọi ,  nằm trong lân cận  của 
Với  dao động trong lân cận  của  thì hàm  dao động trong khoảng  của 
Giả sử  là hàm số thực,  là hằng số. Ký hiệu   có nghĩa là  tiến gần đến  khi  tiến gần về . Có thể đọc là "Giới hạn của hàm  khi  tiến gần đến  là  ".
Lưu ý:  Hàm  có thể không cần xác định tại 
Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo  như sau:
Hàm số  hội tụ về  nếu  ,   sao cho 

**Ví dụ**
Cho 
Thì  không xác định, khi cho  tiến gần về  1 thì  tiến gần về 2:
Do đó,   có thể tiến gần đến giới hạn của  2 ngay khi   gần đến 1.
Mặt khác, 
Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi  với mọi số thực .
Vì  liên tục theo  tại 1 nên có thể thay  để được .
Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét 
-   = 1.9900-  = 1.9990- = 1.99990
Khi  thật sự lớn, giá trị của  tiến về  2. Trong trường hợp này, giới hạn của  khi  tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,


**Sự hội tụ của một dãy**
Hình biểu diễn sự hội tụ của dãy  khi 
Tập tin:Cauchy sequence illustration.svg|nhỏ|Sự hội tụ của dãy Cauchy
Trong không gian tôpô , dãy  hội tụ về  nếu với mỗi lân cận mở  của  thì có một số nguyên dương  sao cho . Khi đó  là điểm giới hạn của dãy  và viết 


**Ví dụ**
Nếu  với   là hằng số thì .
*Nếu  thì .
*Nếu  khi  chẵn và  khi  lẻ thì .

**Tính chất**
Nếu  và  thì , .
*Giới hạn của một dãy là duy nhất- với 
*Nếu  với mọi  lớn hơn  thì  

**Sự hội tụ của một lưới**
Lưới  được gọi là hội tụ  về  ( là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận  của  tồn tại một chỉ số  ( là tập có hướng) sao cho  thì . Điểm  được gọi là điểm giới hạn của lưới  và thường viết  .

**Tập có hướng**
Tập có hướng là một tập có thứ tự  sao cho: Với 2 phần tử , luôn có phần tử   lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử  . Ký hiệu: ,  và 

**Lưới**
Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian  (với tập chỉ số là tập có hướng ) là một ánh xạ . Ta viết  và ký hiệu lưới . Ký hiệu  cũng thường được sử dụng.

**Ví dụ**
 Tập số tự nhiên  với quan hệ thứ tự  là một tập có hướng.- Cho   là một không gian tôpô và . Lấy  là họ các lân cận mở của . Định nghĩa trên tập : . Lúc đó   trở thành tập có có hướng.- Những lưới có tập chỉ số  với thứ tự thông thường là một dãy.- Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số  với thứ tự thông thường  là sự hội tụ của dãy.- Lấy  với tôpô . Lưới  hội tụ về  và . Lưới  hội tụ về .

**Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpô**
 Điểm  được gọi là điểm giới hạn của tập con   có một lưới trong  hội tụ về .- Cho  là hai không gian tôpô. Ánh xạ liên tục tại   Nếu một lưới  hội tụ về  thì lưới  hội tụ về .
*Nếu   là không gian Hausdorff thì mọi lưới trong  có nhiều nhất một điểm giới hạn.
*Không gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.

**Đọc thêm**
Dãy Cauchy
*Không gian Banach
*Không gian compact
*Không gian mêtric
*Lưới (toán học)

**Tham khảo**
Thể loại:Tô pô chung