Chuỗi hình học

Tập tin:GeometricSquares.svg|nhỏ|phải|Diện tích của mỗi hình vuông màu tím trong hình bằng 1/4 diện tích của hình vuông nằm kế bên trái của nó (1/2×1/2=1/4, 1/4×1/4=1/16). Tổng diện tích của tất cả các hình vuông này bằng 1/3 diện tích của hình vuông lớn bao trùm tất cả chúng.
Trong toán học, một chuỗi hình học (hay chuỗi cấp số nhân) là một chuỗi có tỉ lệ giữa các số hạng kế tiếp nhau là một hằng số. Ví dụ, chuỗi

là một chuỗi hình học, bởi vì mỗi số hạng đều bằng 1/2 số hạng kế trước nó.
Chuỗi hình học là một trong những chuỗi vô hạn đơn giản nhất có tổng hữu hạn, mặc dù không phải chuỗi nào trong số này đều có tổng hữu hạn. Trong lịch sử, chuỗi hình học đóng vai trò rất quan trọng đối với sự phát triển của vi tích phân và nó vẫn tiếp tục là chủ đề trung tâm trong việc nghiên cứu tính chất hội tụ của chuỗi. Chuỗi hình học có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và cả các lĩnh vực khác như vật lý, khoa học kỹ thuật, sinh học, kinh tế học, khoa học máy tính, lý thuyết hàng đợi, và tài chính.

**Công bội**
Các số hạng của chuỗi hình học thường hình thành nên một cấp số nhân, điều này có nghĩa là tỉ số giữa một số hạng bất kỳ với một số hạng đứng kế trước nó là không đổi (gọi là công bội). Bảng dưới đây cho thấy một số công bội trong một số chuỗi hình học:
Tính chất của các số hạng tùy thuộc vào công bội của chuỗi (tạm ký hiệu là r):
Nếu r nằm trong khoảng −1 và +1, giá trị tuyệt đối của các số hạng của chuỗi càng lúc càng trở nên nhỏ dần và càng ngày càng gần với 0. Chuỗi hình học sẽ hội tụ về một tổng. Ví dụ như r=0,5, thì tổng của chuỗi sẽ là 1.
Nếu r có giá trị lớn hơn 1 hay nhỏ hơn −1, giá trị tuyệt đối của các số hạng sẽ càng lúc càng lớn, giá trị tuyệt đối của tổng của chuỗi cũng thế và cuối cùng, khi chuỗi kéo dài vô định thì tổng của nó là vô cực. Chuỗi hình học trong trường hợp này là chuỗi phân kì.
Nếu r có giá trị bằng 1, tất cả các số hạng của chuỗi có giá trị bằng nhau. Chuỗi có tính chất phân kì.
Nếu r có giá trị bằng −1, các số hạng lần lượt mang 2 giá trị trái dấu nhau (vì dụ 2, −2, 2, −2, 2,...). Tổng của chuỗi dao động trong 2 giá trị, một giá trị bằng 0 và một khác 0 (ví dụ 2, 0, 2, 0, 2,...). Đây là một kiểu phân kỳ của chuỗi và vì vậy cuối cùng là, nếu chuỗi kéo dài vô tận thì nó không có tổng. Xem thêm chuỗi Grandi: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

**Tính tổng**
Tổng của một chuỗi hình học là hữu hạn nếu chuỗi này tiến về 0; với những số gần bằng 0, thì nó trở thành các số vô cùng bé cho nên có thể bỏ qua và vẫn có thể tính được tổng mặc dù chuỗi này tiến đến vô cùng. Máy tính cũng có thể tính được tổng này bằng cách sử dụng chuỗi tự đồng dạng.

**Ví dụ**
Tập tin:GeometricCircles.png|300px|nhỏ|phải|Hình ảnh minh họa về tính chất tự đồng dạng của tổng s.
Xét tổng của chuỗi hình học sau:

Chuỗi này có công bội là 2/3. Nếu ta nhân cả hai vế phương trình trên với 2/3, ta có:

Trừ 1 và cộng 1 vào vế phải:



Đối với các chuỗi tự đồng dạng khác cũng có thể giải bằng cách này.

**Công thức**
Cho , thì tổng của n phần tử đầu tiên của chuỗi:

Với a là phần tử đầu tiên của chuỗi, r là công bội. Ta có thể biến đổi công thức như sau:
Đặt:

Nhân 2 vế với r:



Suy ra:

Khi n tiến đến vô cùng, công bội r phải nhỏ hơn 1 thì chuỗi mới có thể hội tụ, tổng của chuỗi khi đó là:

Nếu 1= a = 1, dễ dàng ta có:

Vế trái là một chuỗi hình học với công bội r, ta biến đổi công thức:
Đặt:

Nhân 2 vế với r:

Suy ra:


**Tính chất hội tụ**

Vì (1 + r + r2 +... + rn)(1−r) = 1−rn+1 và  rn+1 → 0 đối với | r | 
ImageSize= width:800 height:100
PlotArea= width:720 height:55 left:65 bottom:20
AlignBars= justify
Period= from:0 till:100
TimeAxis= orientation:horizontal
ScaleMajor= unit:year increment:10 start:0
ScaleMinor= unit:year increment:1 start:0
Colors=
id:homer value:rgb(0.4,0.8,1) # light purple
PlotData=
bar:homer fontsize:L color:homer
from:0 till:100
at:50  mark:(line,black)
at:25  mark:(line,black)
at:12.5  mark:(line,black)
at:6.25  mark:(line,black)
at:3.125  mark:(line,black)
at:1.5625  mark:(line,black)
at:0.78125  mark:(line,black)
at:0.390625  mark:(line,black)
at:0.1953125  mark:(line,black)
at:0.09765625  mark:(line,black)
Biểu diễn dạng chuỗi toán học:

Do đó, muốn đến được điểm B thì H phải qua vô số bước, Zeno cho rằng điều này không thể hoàn thành được và cũng không thể bắt đầu được, do đó ông cho rằng mọi chuyển động phải là ảo tưởng. Sai lầm của Zeno là ông đã giả định rằng tổng của vô hạn các phần tử hữu hạn (thời gian thực hiện 1 bước) không thể là một số hữu hạn (tổng thời gian đi đến B). Điều này không đúng với sự thật, vì bằng chứng là chuỗi hình học trên có thể hội tụ với công bội .

**Euclid**
Trong sách Cơ sở của Euclid, quyển IX, mệnh đề 35, có đưa ra công thức tính tổng của chuỗi hình học, công thức này tương đương với công thức hiện đại.

**Kinh tế học**
Trong kinh tế học, chuỗi hình học dùng để tính giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (tổng của số tiền được trả theo định kỳ).

**Chú thích**

**Tham khảo**
 James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7- Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1- Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7- publisher=Mathematical Association of America

**Lịch sử và triết học**
 C. H. Edwards, Jr. (1994). The Historical Development of the Calculus, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-94313-8.- jstor=2691014- Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7- Morr Lazerowitz (2000). The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy), Routledge. ISBN 978-0-415-22526-7

**Kinh tế**
 Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95733-4- Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge. ISBN 978-0-415-26784-7

**Sinh học**
 Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-09648-3- Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57698-7

**Khoa học máy tính**
 John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-137870-3

**Liên kết ngoài**
 urlname=GeometricSeries- urlname=InfiniteGeometricSeries- publisher=West Texas A&M University- url-status=dead-  "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Thể loại:Geometric series
Thể loại:Toán học