Quaternion

Tập tin:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg|thumb|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi i, j và k. (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể được tô đậm bằng cách kéo chuột qua hoặc nhấn vào
Trong toán học, hệ quaternion mở rộng tiếp số phức. Các số quaternion được lần đầu mô tả bởi nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton trong 1843 và áp dụng cho cơ học trong không gian ba chiều. Đại số của quaternion thường được ký hiệu bằng H (cho Hamilton), hoặc trong phông chữ bảng đen in đậm  Mặc dù phép nhân của quaternion không có tính giao hoán, nó đưa ra định nghĩa của thương của hai vectơ trong không gian ba chiều. Quaternion thường được biểu diễn dưới dạng
trong đó các hệ số a, b, c, d đều là các số thực, và 1, i, j, k được gọi là vectơ cơ sở hay phần tử cơ sở.
Quaternion được sử dụng trong toán học thuần tuý, nhưng cũng có áp dụng thực tiễn trong toán học ứng dụng, đặc biệt là cho tính toán bao gồm quay trong không gian ba chiều, chẳng hạn như trong đồ hoạ máy tính 3D, thị giác máy tính, và phân tích kiến trúc tinh thể. Chúng được dùng bên cạnh các phương pháp quay khác, chẳng hạn như góc Euler và ma trận quay, hoặc thay các phương pháp đó, tuỳ thuộc vào cách ứng dụng.
Trong thuật ngữ hiện đại, các quaternion lập thành đại số chia định chuẩn và hợp thành trên tập số thực, do đó lập thành 1 vành và đồng thời cũng là vành chia và miền. Nó là trường hợp đặc biệt của đại số Clifford, xếp thuộc loại  Nó là đại số chia không giao hoán đầu tiên được phát hiện.
Theo định lý Frobenius, đại số  là một trong duy nhất hai vành chia hữu hạn số chiều có vành con chân chính đẳng cấu với các số thực; cái còn lại là của số phức. Các vành này đồng thời đều là đại số Euclidean Hurwitz, trong đó quaternion là đại số kết hợp lớn nhất và do đó là vành lớn nhất. Mở rộng tiếp các số quaternion sẽ ra các số octonion không kết hợp, các số này là đại số chia định chuẩn cuối cùng trên các số thực. Mở rộng thêm lần nữa ra các số sedenion, các số này có ước của không nên không thể lập thành đại số chia định chuẩn.
Các quaternion đơn vị có cấu trúc nhóm trên 3-cầu (mặt cầu trong không gian bốn chiều) S3 đẳng cấu với nhóm Spin(3) và SU(2), nhóm phủ phổ quát của SO(3). Các phần tử cơ sở âm và dương cùng nhau lập thành nhóm quaternion 8 phần tử.
Biểu diễn đồ họa của tích các đơn vị quaternion bằng các phép quay 90° trong các mặt phẳng của không gian 4 chiều, span bởi hai trong  Phần tử trái được xem là quay bởi phần tử phải để chạm tới giá trị tích. Bên cạnh đó .

**Lịch sử**
Tập tin:Inscription on Broom Bridge (Dublin) regarding the discovery of Quaternions multiplication by Sir William Rowan Hamilton.jpg|right|thumb|Tấm quaternion trên cầu Brougham (Broom), Dublin, viết:
Here as he walked by
on the 16th of October 1843
Sir William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication

& cut it on a stone of this bridge
Dịch: Tại đây vào ngày 16 tháng 10 năm 1843, ngài William Rowan Hamilton trong một cơn chớp thiên tài đã phát hiện ra công thức nền tảng cho phép nhân quaternion
và khắc nó lại trên một hòn đá của cây cầu này
Quaternion được giới thiệu bởi Hamilton vào năm 1843. Những kết quả quan trọng đi trước công trình này bao định thức bốn số chính phương của Euler (1748) và  phương pháp tham số hóa các phép quay chung bằng bốn tham số của Olinde Rodrigues' (1840), nhưng không tác giả nào trong đây đã xét tới các phép quay bốn tham số có thể lập thành thành một đại số. Carl Friedrich Gauss cũng đồng thời phát hiện ra quaternion trong 1819, nhưng công trình của ông phải mãi đến 1900 mới được xuất bản.
Hamilton đã biết rằng các số phức có thể được coi là các điểm trong một mặt phẳng, và ông lúc đó đang tìm cách định nghĩa tương tự cho không gian ba chiều. Các điểm trong không gian có thể được biểu diễn bằng tọa độ của chúng, tức một bộ ba số, và trong nhiều năm ông đã biết các để cách để cộng và trừ chúng. Tuy nhiên, cũng trong nhiều năm đó, ông cũng bị khựng lại trong vấn đề nhân và chia chúng. Ông không thể hình dung hay tưởng tượng ra cách nhân hai điểm trong một không gian (chỉ từ ba số). Quả thật, sau này Ferdinand Georg Frobenius đã chứng minh trong 1877 rằng để đại số chia trên các số thực vừa hữu hạn chiều vừa kết hợp, thì nó không thể ba chiều được, và chỉ có ba đại số chia như thế:  (số phức) và  (quaternion) với số chiều 1, 2, và 4 tương ứng.
Phát minh quan trọng với các số quaternion cuối cùng cũng đến vào ngày thứ hai, mùng 16 tháng 10 năm 1843 tại Dublin, khi Hamilton đang trên đường tới học viện Hoàng gia Irish để chủ trì tại một cuộc họp hội đồng. Khi ông đang đi trên đường kéo tàu trên kênh Hoàng gia với vợ, các khái niệm đằng sau quaternion bắt đầu hiện hình trong đầu ông, và khi câu trả lời xuất hiện trong đầu, Hamilton đã không thể ngăn bản thân khỏi khắc lại công thức nhân các quaternion,
vào đá của cầu Brougham khi ông dừng trên đó. Mặc dù vết khắc đã phai mờ đi, vẫn có cuộc hành hương diễn ra hằng năm kể từ năm 1989 được gọi là Hamilton Walk cho các nhà khoa học và các nhà toán học đi từ đài quan sát Dunsink cho tới cầu kênh hoàng gia để tưởng nhớ tới phát hiện của Hamilton.
Trong ngày hôm sau, Hamilton viết một bức thư cho bạn và đồng thời là nhà toán học, John T. Graves, mô tả dòng tư tưởng dẫn tới phát hiện này. Bức thư này sau được xuất bản trong bức thư gửi đến báo khoa học và tạp chí triết học London, Edinburgh, và Dublin; Hamilton đã nói rằng:
Tạm dịch: Và ngay khi đó, tôi nhận ra rằng chúng ta phải chấp nhận rằng, theo một cách nào đó, ta cần chiều thứ tư trong không gian để có thể tính toán với bộ ba số ... Một mạch điện đã đóng và từ đó một tia lửa đã được tóe ra.
Hamilton gọi bộ bốn số này cùng với quy tắc nhân là quaternion, và ông dành hầu như toàn bộ phần còn lại của cuộc đời để nghiên cứu và dạy chúng. Phương pháp xử lý của Hamilton nghiêng về hình học nhiều hơn hướng tiếp cận hiện đại sử dụng các tính chất đại số. Ông thành lập trường của các "quaternionist", và ông cũng đã gắng sức dạy và truyền bá quaternion trong nhiều sách. Cuốn cuối cùng và dài nhất của ông, Elements of Quaternions, dài 800 trang; nó được con trai ông biên tập và được xuất bản không lâu sau khi ông mất đi.
Sau khi Hamilton mất đi, nhà toán học vật lý người Scotland Peter Tait trở thành người đứng đầu. Tại thời điểm đó, quaternion trở thành chủ đề bắt buộc trong các bài thi ở Dublin. Các chủ đề trong vật lý và hình học mà ngày nay thường được diễn giải bằng vectơ (chẳng hạn như chuyển động học trong không gian hay phương trình Maxwell thì lúc đó được mô tả toàn bộ bằng các quaternion. Thậm chí còn có một hiệp hội các chuyên gia nghiên cứu, Hiệp hội Quaternion tập trung nghiên cứu các số quaternion và các hệ số siêu phức khác.
Kể từ giữa khoảng 1880s, quaternion bắt đầu được thay dần bằng giải tích vectơ, nhánh này được phát triển bởi Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside, và Hermann von Helmholtz. Giải tích vectơ mô tả cùng một hiện tượng với các quaternion, do đó nó lấy một số ý tưởng và thuật ngữ từ các bài viết của quaternion sang. Tuy nhiên, giải tích vectơ đơn giản hơn khi nói về khái niệm hay ký hiệu và do đó, quaternion chỉ còn đóng vai trò nhỏ trong toán học và vật lý. Một hiệu ứng phụ trong sự chuyển đổi này là công trình của Hamilton trở nên khó hiểu cho nhiều người đọc đương đại. Định nghĩa ban đầu của Hamilton không quen thuộc với hiện tại và cách viết của ông dài và rất khó có thể theo.
May mắn thay, quaternion được hồi sinh lại kể từ cuối thế kỉ 20, chủ yếu do ứng dụng của nó trong mô tả quay không gian. Biểu diễn của phép quay bằng quaternion gọn hơn và dễ tính hơn biểu diễn của ma trận. Bên cạnh đó, không như góc Euler, nó không bị dính "khóa gimbal". Bởi lý do này, quaternion được sử dụng trong đồ họa máy tính, thị giác máy tính, robotics, lý thuyết điều khiển, xử lý tín hiệu, điều khiển phương hướng, vật lý, tin sinh học, động lực phân tử, mô phỏng máy tính, và cơ học quỹ đạo. Thí dụ chẳng hạn, thường thì các hệ thống điều khiển phương hướng của các phi thuyền sẽ sử dụng quaternion.  Quaternion có ứng dụng khác với lý thuyết số bởi quan hệ của chúng với dạng toàn phương.

**Quaternion trong vật lý**
Bài viết năm 1984 của P.R. Girard The quaternion group and modern physics (dịch: nhóm quaternion và vật lý hiện đại) thảo luận về một số vai trò của quaternion trong vật lý. Bài viết cho thấy một số nhóm hiệp phương sai trong vật lý, chẳng hạn như SO(3), nhóm Lorentz, lý thuyết tổng quát của nhóm tương đối, đại số Clifford SU(2) và nhóm bảo giác, đều có thể liên hệ dễ dàng với nhóm quaternion trong đại số trừu tượng.  Trong 1999, Girard cho thấy rằng cách các phương trình Einstein trong thuyết tương đối rộng có thể viết lại trong khuôn khổ của một đại số Clifford liên kết trực tiếp với các quaternion.
Phát hiện trong 1924 rằng trong cơ học lượng tử, spin của một electron và các hạt khác (được gọi là spinor) có thể mô tả bằng quaternion (dưới dạng ma trận spin Pauli nổi tiếng) làm tăng độ nổi bật của quaternion; quaternion giúp hiểu cách các phép quay các electron trong 360° có thể phân biệt với những cái trong 720° ("mẹo Plate"). 2018, ứng dụng của nó vẫn chưa vượt qua nhóm quay.

**Định nghĩa**
Quaternion là các con số được biểu diễn dưới dạng
trong đó a, b, c, d, là các số thực, và i, j, k, ký hiệu cho các vectơ đơn vị trên ba trục không gian. Trong thực tiễn, nếu như một trong a, b, c, d bằng 0 thì ta bỏ phần tử tương ứng với nó; nếu a, b, c, d đều bằng không, thì quaternion được gọi là quaternion không, hay là 0; nếu một trong b, c, d bằng với 1, thì có thể bỏ số 1 đó đi trong biểu diễn.
Hamilton mô tả quaternion  bao gồm hai phần đó là phần vô hướng và phần vectơ. Quaternion  được gọi là phần vectơ (đôi khi gọi là phần ảo) của q, và a là phần vô hướng (đổi khi phần thực) của q. Quaternion mà bằng với phần thực của nó (nghĩa là phần vectơ của nó là vectơ không) được gọi là quaternion vô hướng hoặc quaternion thực, và được xác định bằng số thực tương ứng. Tức là, các số thực được nhúng trong các quaternion. (Nói rõ hơn, nghĩa là trường các số thực đẳng cấu với một tập con của tập các quaternion. Trường các số phức đẳng cấu với ba tập con của tập các quaternion.) Quaternion mà bằng với phần vectơ thì được gọi là quaternion vectơ .
Tập các quaternion lập thành không gian vectơ 4 chiều trên các số thực, với  làm cơ sở, theo phép cộng từng phần
và phép nhân vô hướng
Phép nhân, hay còn gọi là tích Hamilton, có thể định nghĩa trên các quaternion như sau:
*Quaternion thực 1 là phần tử trung hòa (phần tử đơn vị).
*Các quaternion thực thì sẽ giao hoán với các quaternion khác, tức là  cho mọi quaternion q và cho mọi quaternion thực a. Trong đại số trừu tượng, cái này tương ứng với việc nói rằng trường các quaternion thực là tâm của đại số quaternion.
*Phép nhân đầu tiên định nghĩa trước cho các phần tử cơ sở (xem mục dưới), rồi mở rộng cho tất cả quaternion bằng cách dùng tính chất phân phối và tính chất tâm của các quaternion thực. Tích Hamilton không giao hoán nhưng có tính kết hợp, và do vậy các quaternion lập thành đại số kết hợp trên các số thực.
*Bên cạnh đó, mỗi quaternion khác không đều có nghịch đảo tương ứng với tích Hamilton: 
Do đó các số quaternion cũng lập thành đại số chia.

**Nhân các phần tử cơ sở**
Phép nhân của 1 với các phần tử còn lại i, j, và k được định nghĩa dựa trên nội dung 1 là phần tử trung hòa, nghĩa là
Tích của các phần tử cơ sở khác là
Kết hợp các luật này lại,

**Tâm**
Tâm của vành không giao hoán là vành con của các phần tử c thỏa mãn 1=cx = xc với mọi x. Tâm của đại số quaternion là trường con của các quaternion thực. Thậm chí, nó còn là một phần của định nghĩa rằng các quaternion thuộc về tâm. Ngược lại, nếu  thuộc về tâm, thì
và . Tính toán tương tự với j thay cho i cho thấy . Do đó  là quaternion thực.
Các quaternion lập thành đại số chia. Điều này có nghĩa là chỉ có duy nhất tính không giao hoán của quaternion khiến cho chúng không thể lập thành một trường. Tính không giao hoán này có một số hệ quả, trong đó bao gồm phương trình đa thức trên các quaternion có thể có nhiều nghiệm phân biệt hơn số bậc trong đa thức. Ví dụ, phương trình  có vô số nghiệm quaternion, là các quaternion  thỏa mãn . Do đó "căn bậc hai của –1" lập thành mặt cầu đơn vị trong không gian ba chiều của các quaternion vectơ.

**Tích Hamilton**
Cho hai phần tử a1 + b1i + c1j + d1k and a2 + b2i + c2j + d2k, tích của chúng, được gọi là tích Hamilton (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k), được xác định bởi tích các phần tử cơ sở và luật phân phối. Nhờ có luật phân phối mà ta có thể khai triển tích thành tổng của tích các phần tử cơ sở. Ta được kết quả sau:
Sau đó, các phần tử cơ sở có thể nhân với nhau theo luật trên để thu được:
Tích của hai quaternion quay sẽ tương ứng với phép quay  theo sau bởi phép quay với  

**Phần vô hướng và phần thực**
Quaternion dưới dạng a + 0 i + 0 j + 0 k, trong đó phần tử a là số thực và được gọi là phần tử vô hướng,còn quaternion dạng 0 + b i + c j + d k, trong đó b, c, và d là số thực và có ít nhất một trong b, c, hoặc d khác không, thì được gọi là quaternion vector.  Nếu a + b i + c j + d k là quaternion tuỳ ý, thì a được gọi là phần vô hướng và b i + c j + d k được gọi là phần vector của nó. Mặc dù mọi quaternion có thể xem là vector trong không gian vectơ bốn chiều, người ta thường hay xem phần vector là vectơ trong không gian ba chiều hơn. Với cách quy ước này, phần vector tương tự với phần tử của không gian vectơ ba chiều 
Hamilton còn gọi quaternion vectơ là các quaternion phải và gọi các số thực (được coi là các quaternion có phần vectơ là vectơ không) là quaternion vô hướng.
Nếu một quaternion được chia thành phần vô hướng và phần vectơ:
thì công thức cho phép cộng, phép nhân và nghịch đảo của phép nhân sẽ là
trong đó "" và "" ký hiệu tương ứng tích vô hướng và tích có hướng.

**Liên hợp, chuẩn và nghịch đảo phép nhân**
Liên hợp của quaternion giống với liên hợp của số phức và giống với chuyển vị (hay còn gọi là đảo chiều ) của các phần tử của đại số Clifford. Để định nghĩa, gọi  là quaternion. liên hợp của q là quaternion . Nó được ký hiệu bằng q∗, qt, , hay q. Phép liên hợp là phép đối hợp, nghĩa là nó là nghịch đảo của chính nó, do đó liên hợp lại một quaternion đã được liên hợp sẽ ra quaternion gốc. Liên hợp của tích hai quaternion là tích của hai liên hợp theo thứ tự ngược lại. Tức là nếu p và q là quaternion, thì 1=(pq)∗ = q∗p∗, chứ không phải p∗q∗.

Liên hợp của quaternion trái ngược bên ngoài với các số phức ở chỗ các liên hợp của chúng đều có thể biểu diễn bằng phép nhân và cộng của quaternion:
Phép liên hợp có thể dùng để lấy phần vô hướng và phần vectơ của quaternion. Phần vô hướng của p là , còn phần vectơ của p là .
Căn bậc hai của tích của một quaternion với liên hợp của chính nó được gọi là chuẩn và được ký hiệu là