Giải tam giác

Giải tam giác (solutio triangulorum) là bài toán lượng giác tập trung vào việc tìm ra các yếu tố (nghiệm) của một tam giác (góc và độ dài cạnh), khi chưa biết một số yếu tố của tam giác đó. Tam giác có thể nằm trên một mặt phẳng hoặc một mặt cầu. Giải tam giác được ứng dụng trong trắc địa, thiên văn học, xây dựng và điều hướng.

**Giải tam giác phẳng**
Kí hiệu tiêu chuẩn của tam giác
Một tam giác ở dạng thông thường có sáu đặc tính (xem hình bên): ba cạnh (độ dài a, b, c) và ba góc (α, β, γ). Bài toán lượng giác mặt phẳng cổ điển yêu cầu từ ba đặc tính cho trước, hãy tìm ra ba đặc tính còn lại. Một tam giác có thể được xác định một cách duy nhất theo định nghĩa này khi rơi vào một trong các trường hợp sau:
*Ba cạnh (CCC)
*Hai cạnh và một góc xen giữa (CGC, cạnh-góc-cạnh)
*Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG), nếu cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh kia.
*Một cạnh và hai góc kề cạnh đó (GCG)
*Một cạnh, góc đối và một góc kề cạnh đó (GGC).
Đối với tất cả trường hợp trong mặt phẳng, phải có ít nhất một độ dài cạnh được cho trước. Nếu chỉ có các góc được cho trước, không thể tìm ra các độ dài cạnh được bởi vì khi đó, mọi tam giác đồng dạng đều là nghiệm.

**Hệ thức lượng**
Tổng quan về các bước và cộng cụ cụ thể được dùng để giải tam giác mặt phẳng
Cách giải tiêu chuẩn cho bài toán này là sử dụng các hệ thức lượng sau:
Định lý cosin



Định lý sin

Tổng ba góc của một tam giác:

Định lý tan

Ngoài các hệ thức trên, còn có những quan hệ phổ quát khác có thể hữu ích, như định lý cotang và công thức Mollweide.

**Lưu ý**
Để tìm một góc chưa biết, định lí cosin an toàn hơn định lý sin. Lí do là vì giá trị sin của góc đó không phải lúc nào cũng giúp xác định được góc. Ví dụ, nếu  thì góc β có thể bằng 30° hoặc 150°. Sử dụng định lý cosin sẽ tránh được vấn đề này: trong khoảng từ 0° đến 180° giá trị cos sẽ luôn xác định được góc của nó một cách rõ ràng. Mặt khác, đối với góc nhỏ (hoặc gần bằng 180°) thì xác định góc từ sin của nó sẽ thiết thực hơn về mặt số học so với xác định góc từ cosin bởi vì hàm cos ngược (arccos) có đạo hàm phân kì tại 1 (hoặc −1).

**Ba cạnh (CCC)**
Ba cạnh cho trước
Cho ba cạnh với độ dài lần lượt là a, b, c. Để tim các góc α, β, sử dụng định lý cosin:

Khi đó góc .
Một số tài liệu khuyên rằng nên tìm góc β bằng định lý sin. Tuy nhiên (như đã viết ở Lưu ý 1), sẽ có rủi ro nhầm lẫn giữa giá trị của góc nhọn và góc tù.
Một phương pháp khác để tính các góc từ các cạnh đã biết là áp dụng định lý cotang.

**Hai cạnh và góc xen giữa (CGC)**
Hai cạnh và góc xen giữa cho trước
Ở đây, độ dài cạnh a, b và góc γ giữa hai cạnh được biết trước. Cạnh thứ ba có thể được xác định bằng định lý cosin:

Bây giờ định lý cosin có thể được dùng để tìm góc thứ hai:

Cuối cùng, .

**Hai cạnh và một góc không xen giữa (CCG)**
Hai cạnh và một góc không xen giữa cho trước
Hai nghiệm đối với tam giác có cạnh kề góc không xen giữa ngắn hơn cạnh còn lại
Trường hợp này chỉ có thể giải được một cách duy nhất khi độ dài của cạnh kề với góc đó ngắn hơn cạnh không kề với góc đó; nếu không sẽ có hai trường hợp có thể xảy ra. Giả sử hai cạnh b, c và góc β được biết trước. Phương trình tìm góc γ có thể được suy ra từ định lý sin:

Gọi  (vế phải phương trình). Có bốn trường hợp có thể xảy ra:
#Nếu D > 1, không tồn tại tam giác bởi vì cạnh b không cắt đường BC. Cũng vì thế mà không giải được tam giác nếu góc β ≥ 90° và b ≤ c.
#Nếu , tồn tại một nghiệm duy nhất: . Tam giác này là tam giác vuông.
# Nếu D  β thì có thể giải theo công thức sau:

Có thể tìm các đặc tính còn lại bằng cách dùng đẳng thức Napier:

Cho trước ba góc

**Ba góc (GGG cầu)**
Cho trước các góc α, β, γ. Từ công thức cos mặt cầu, suy ra:




**Giải tam giác cầu vuông**
Các thuật toán trên trở nên đơn giản hơn nếu một trong số các góc của tam giác (góc C chẳng hạn) là góc vuông. Những tam giác cầu như vậy được định nghĩa hoàn toàn bởi hai yếu tố, và ba yếu tố còn lại có thể được tính toán bằng ngũ giác Napier (Napier's pentagon) hoặc các công thức sau.
 (từ định luật sin mặt cầu)

 (từ định luật cos mặt cầu)

 (cũng từ định luật cos mặt cầu)


**Ứng dụng**

**Đo đạc tam giác**
Đo khoảng cách bằng phép đạc tam giác
Nếu một người muốn đo đạc khoảng cách d từ bờ đến một chiếc thuyền ngoài xa bằng phép đạc tam giác, người đó cần đánh dấu trên bờ hai điểm với khoảng cách l biết trước giữa chúng (đường cơ sở). Gọi α, β là hai góc giữa đường cơ sở và hướng của chiếc thuyền.
Từ công thức bên trên (trường hợp GCG trên hình học phẳng) một người có thể tính toán khoảng cách mà chính là đường cao tam giác:

Trong trường hợp mặt cầu, người đó đầu tiên cần tính độ dài cạnh từ điểm tại α đến chiếc thuyền (cạnh đối của góc β) bằng công thức GCG:

và thế nó vào công thức GGC của tam giác vuông nhỏ chứa góc α, cạnh b và d:

(Công thức mặt phẳng thực ra là số hạng đầu tiên của phép khai triển Taylor của d của nghiệm mặt cầu với luỹ thừa cơ số l.)
Phương pháp này được sử dụng trong chạy tàu ven biển (cabotage). Các góc α, β được xác định bằng việc quan sát các điểm mốc quen thuộc từ chiếc thuyền.
Đo chiều cao ngọn núi
Một ví dụ khác: Nếu một ai đó muốn đo chiều cao h của một ngọn núi hay một toà nhà, các góc α, β từ hai điểm dưới đất lên đến đỉnh phải được chỉ rõ. Cho ℓ là khoảng các giữa hai điểm trên. Từ cùng công thức GCG, ta có:


**Khoảng cách giữa hai điểm trên địa cầu**
right
Để tính khoảng cách giữa hai điểm trên quả địa cầu,
Điểm A: vĩ độ , kinh độ , và
Điểm B: vĩ độ , kinh độ 
Xét tam giác cầu ABC, với C là Cực Bắc, có các đặc tính như sau:



Nếu biết trước hai cạnh và góc nằm trong, ta có công thức:

Với R là bán kính Trái Đất.

**Xem thêm**
Tương đẳng
*Hansen's problem
*Hinge theorem
*Lénárt sphere
*Snellius–Pothenot problem

**Tham khảo**
url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl 

**Liên kết ngoài**
 Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998.  Ebook version, in PDF format, full text presented.- Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.- Spherical trigonometry on Math World.- Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier's rules- Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by  Cornell University Library.- Triangulator – Trình giải tam giác. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.- TriSph – Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.-  Spherical Triangle Calculator – Giải tam giác cầu.- TrianCal – Triangles solver by Jesus S.
Thể loại:Lượng giác cầu
Thể loại:Bài toán tam giác
Thể loại:Lượng giác