Nguyên lý bao hàm-loại trừ

Tập_tin:Венов_дијаграм.svg|nhỏ|Biểu đồ Venn cho thấy hợp của A và B
Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, nguyên lý bao hàm-loại trừ (hay nguyên lý bao hàm và loại trừ hoặc nguyên lý bù trừ) là kỹ thuật đếm tổng quát cho phương phát tìm số các phần tử của hợp của hai tập hữu hạn sau:
 
trong đó A và B là hai tập hữu hạn và |S | là số lực lượng của tập hợp S (có thể coi là số phần tử trong tập hợp nếu tập hợp đó hữu hạn). Công thức trên nói rằng khi cộng kích thước của hai tập hợp với nhau, giá trị cho có thể quá lớn bởi có thể sẽ có một số phần tử bị đếm hai lần. Các phần tử bị đếm hai lần nằm trong phần giao của hai tập hợp đó và do đó để tìm ra đúng giá trị, ta trừ đi kích thước của phần giao.
Nguyên lý bao hàm-loại trừ là dạng tổng quát của trường hợp chỉ xét hai tập hợp, nên để bắt đầu ví dụ, ta xét công thức cho ba tập hợp A, B và C:
 
Ta có thể kiểm chứng công thức này bằng cách đếm số lần mỗi vùng trong biểu đồ Venn nằm trong vế phải của công thức.
Minh hoạ nguyên lý bao hàm-loại trừ bằng biểu đồ Venn cho ba tập hợp
Tổng quát hoá các ví dụ này sẽ dẫn tới nguyên lý bao hàm-loại trừ. Để tìm lực lượng của hợp của n tập hợp:
# Thêm lực lượng của các tập hợp.
# Trừ lực lượng của các phần giao của 2 tập hợp.
# Thêm lực lượng của các phần giao của 3 tập hợp.
# Trừ lực lượng của các phần giao của 4 tập hợp.
# Thêm lực lượng của các phần giao của 5 tập hợp..
# Tiếp tục cho đến khi xét hết phần giao của n tập hợp. Bước cuối sẽ là thêm vào nếu n lẻ và trừ đi nếu n
Tên bao hàm-loại trừ lấy từ ý tưởng ta thêm các bao hàm, rồi sau đó loại trừ các phần thừa.
Khái niệm này được gắn tên với Abraham de Moivre (1718), mặc dù nó ban đầu xuất hiện trong giấy của Daniel da Silva (1854) và sau đó trong bài viết của J. J. Sylvester (1883). Đôi khi, công thức này được gọi là công thức Da Silva hay công thức Sylvester, do quá trình xuất bản. Nguyên lý này cũng được coi là một ví dụ về một phương pháp sàng được dùng nhiều trong lý thuyết số và đôi khi cũng được gọi là công thức sàng trong bối cảnh đó.
Bởi các xác suất hữu hạn được đếm rồi tính tương ứng với lực lượng của không gian xác suất, công thức cho nguyên lý bao hàm-loại trừ vẫn hợp lệ khi ta thay lực lượng của các tập hữu hạn bằng các xác suất hữu hạn. Tổng quát hơn, cả hai phiên bản này đều có đặt nằm dưới lý thuyết độ đo.
Trong ngữ cảnh rất trừu tượng, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể biểu diễn bằng phép tính nghịch đảo của một ma trận nào đó. Nghịch đảo này có cấu trúc đặc biệt, nên nguyên lý này là một trong những kỹ thuật đếm cực kỳ hữu dụng trong tổ hợp và các nhánh toán học có liên quan. Theo lời của Gian-Carlo Rota:
"Một trong những nguyên lý hữu dụng nhất khi liệt kê trong xác suất rời rạc và lý thuyết tổ hợp là nguyên lý bao hàm-loại trừ trứ danh. Nếu áp dụng đúng cách, nguyên lý này có thể trả lời cho rất nhiều bài toán tổ hợp."

**Công thức**
Trong công thức tổng quát của nó, nguyên lý bao hàm-loại trừ phát biểu rằng với n tập hợp hữu hạn A1, …, An, ta có định thức sau:
Tập_tin:Inclusion-exclusion-3sets.png|nhỏ|Mỗi phần tử trong công thức bao hàm-loại trừ dần dần sửa giá trị đếm cho đến khi mỗi vùng trong biểu đồ Venn duy nhất một lần.
Công thức trên có thể viết gọn thành
 
hoặc
 
Nếu I là tập con cố định của tập chỉ số N, thì số phần tử thuộc Ai với mọi i thuộc I và không phần tử khác thuộc về là:
 
Định nghĩa các tập sau
 
Để tính số các phần tử không thuộc bất kỳ Bk nào, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ (với ), bằng với
 
Tương ứng K ↔ J = I ∪ K giữa các tập con của N \ I và các tập con của N có chứa I là song ánh và nếu J và K tương ứng với nhau dưới ánh xạ này thì BK = AJ, cho thấy kết quả hợp lệ.

**Trong xác suất**
Trong xác suất, cho các biến cố A1, ..., An trong không gian xác suất , nguyên lý bao hàm-loại trừ cho trường hợp n = 2 là
 
và cho trường hợp n = 3:
 
và trong tổng quát
 
có thể viết gọn lại thành
 
trong đó tổng cuối chạy trên tất cả tập con I của 1, ..., n và chứa chính xác k phần tử, và
 
là giao của tất cả các Ai với chỉ số thuộc I.
Theo các bất đẳng thức Bonferroni, tổng của các phần tử đầu tiên thay phiên là cận trên và cận dưới cho vế trái. Ta có thể dùng ý này để tính xấp xỉ khi công thức đầy đủ quá dài để tính.
Đối với không gian độ đo (S,Σ,μ) và các tập con đo được A1, ..., An với độ đo hữu hạn, các định thức trên vẫn đúng khi độ đo xác suất  được thay bằng độ đo μ.

**Trường hợp đặc biệt**
Nếu, trong phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ, xác suất của giao các AI chỉ dựa trên số lực lượng của I, nghĩa là với mọi k thuộc {1, ..., n} tồn tại ak sao cho
 
thì công thức trên giản hoá thành
 
,sử dụng suy luận tổ hợp với hệ số nhị thức . Ví dụ chẳng hạn, nếu các biến cố  đều độc lập và phân phối đều với nhau, thì  với mọi i, và ta có , và khi đó công thức ngay trên giản hoá tiếp thành
 
(Kết quả này cũng có thể thu được bằng xét phần giao của các phần bù của các biến cố .)
Tồn tại dạng giản hoá tương tự cho trường hợp không gian độ đo (S, Σ, μ) và các tập con đo được A1, ..., An với độ đo hữu hạn.

**Các công thức khác**
Nguyên lý đôi khi được phát biểu dưới dạng sau : nếu
 
thì
Phiên bản tổ hợp và phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ đều lấy từ (⁎⁎).