Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn .

**Danh sách các dấu hiệu hội tụ**

**Giới hạn của các số hạng**
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là  thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

**Chứng minh**
Đặt  Do chuỗi  hội tụ nên dãy  là dãy cơ bản. Theo đó với mỗi số thực  tồn tại số  sao cho với mọi  ta có  hay  Điều này chứng tỏ 

**Dấu hiệu tỉ số**
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.
 Xét hai giới hạn
 
 Nếu  thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu  thì chuỗi phân kỳ. Nếu  thì chưa thể có kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

**Chứng minh**
Đặt  Nếu  thì theo định nghĩa giới hạn trên của dãy số tồn tại một số  dương sao cho  và số  sao cho  hay  với mọi  Từ đây ta truy toán được  với mọi  Khi đó
Chuỗi  là chuỗi hình học với công sai  suy ra ta có đẳng thức  do đó
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại nếu  thì theo định nghĩa giới hạn dưới của dãy số ta tìm được số dương  sao cho  và tồn tại  sao cho  đồng thời  với mọi  Do  nên  khi , do đó  khi , do đó dãy  không hội tụ về  nên chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

**Dấu hiệu căn**
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.
 Đặt
: 
 trong đó  ký hiệu cho giới hạn trên (có thể là ; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị).
 Nếu r 
Khi đó chuỗi  hội tụ.

**Chứng minh**
Đặt  và . Theo khai triển Abel ta có
Do dãy  bị chặn nên  khi . Theo định nghĩa của chuỗi ta có
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
Không mất tính tổng quát giả sử dãy  giảm ngặt, vì nếu không ta có thể thay  bởi . Lúc này  nên chuỗi  là chuỗi lồng nhau, khi đó ta dễ dàng có
và điều này chứng tỏ rằng chuỗi  hội tụ tuyệt đối nên chuỗi  cũng hội tụ.

**Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu**
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với dãy , đó là-  và- dãy  đơn điệu.
Vậy  và  là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.
Tiêu chuẩn này chỉ là một hệ quả của tiêu chuẩn Dirichlet ở trên, bởi vì ta có thể chọn
Đối với các chứng minh khác, bạn đọc có thể xem tại đây.

**Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel**
Cho dãy .
Định nghĩa dãy
 
Nếu giới hạn
 
tồn tại thì có ba khả năng:- nếu L > 1 thì chuỗi hội tụ- nếu L n là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho
 
với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ.

**Dấu hiệu Bertrand**
Cho { an } là một dãy số dương.
Định nghĩa
 
Nếu tồn tại giới hạn
 
thì có ba khả năng:- nếu L > 1 thì chuỗi Σan hội tụ- nếu L n phân kỳ- còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

**Dấu hiệu Gauss**
Cho { an } là một dãy số dương.  Nếu  với một số β > 1, thì  hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.

**Chú ý**
Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

**Thí dụ**
Xét chuỗi
Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi
 
cũng hội tụ hữu hạn. Bởi
 
(**) là một chuỗi hình học với công bội . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là ). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi .

**Sự hội tụ của tích**
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho  là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn  hội tụ khi và chỉ khi chuỗi  hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn , thì  tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi  hội tụ.
Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.

**Xem thêm**
 Quy tắc l'Hôpital- Quy tắc shift

**Tham khảo**

**Đọc thêm**
 author-link=Louis Leithold

**Liên kết ngoài**
  Flowchart for choosing convergence test date=2010-08-08 
Thể loại:Dấu hiệu hội tụ
Thể loại:Giải tích toán học
Thể loại:Chuỗi toán học