Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo

Cách hình dung số 6 là số hoàn hảo
Tập tin:Digits_in_largest_prime_found_as_a_function_of_time.svg|thế=Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu thị năm, trục tung là số lượng chữ số của số nguyên tố đã biết tính theo hàm loga|nhỏ|Đồ thị lôgarit của số chữ số của số nguyên tố lớn nhất đã biết theo năm phát hiện, gần như tất cả đều là số nguyên tố Mersenne
Số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo là hai loại số tự nhiên có quan hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết số. Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên nhà toán học Marin Mersenne là các số nguyên tố có thể biểu thị dưới dạng 2p − 1 với p là số nguyên dương. Ví dụ, 3 là số nguyên tố Mersenne vì nó là số nguyên tố và có thể biểu diễn được dưới dạng 22 − 1.p= 40 Bản thân các số p tương ứng với số nguyên tố Mersenne phải là số nguyên tố, nhưng ngược lại không phải mọi số nguyên tố p đều dẫn đến số nguyên tố Mersenne — ví dụ: 1=211 − 1 = 2047 = 23 × 89. Còn số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Theo đó, 6 là số hoàn hảo vì có các ước số (không bao gồm 6) là 1, 2, 3 và 1=1 + 2 + 3 = 6.pp=692–696
Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng 2p − 1 × (2p − 1), trong đó 2p − 1 là số nguyên tố Mersenne. Nói cách khác, những số nào biểu diễn được dưới dạng đó thì là số hoàn hảo, và tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng đó. Ví dụ, khi 1=p = 2, 1=22 − 1 = 3 là số nguyên tố và 1=22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 là số hoàn hảo.p= 40
Một bài toán mở hiện chưa có câu trả lời là số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn có phải tập vô hạn không. Tần suất phân bố số nguyên tố Mersenne được đề cập qua phỏng đoán Lenstra – Pomerance – Wagstaff phát biểu rằng số lượng số nguyên tố Mersenne nhỏ hơn x cho trước là (eγ / log 2) × log log x, trong đó e là số Euler, γ là hằng số Euler còn log là logarit tự nhiên.p=385 Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào không hiện cũng chưa rõ; cũng như các điều kiện khác nhau về việc có thể tồn tại những số này, chẳng hạn như nếu có thì giới hạn dưới của chúng là 101500.pp=1869–1877
Danh sách dưới đây liệt kê tất cả các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hiện đã biết theo số mũ p tương ứng. 2025 đã khám phá được 52 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 52 số hoàn hảo), 18 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS. Các số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy bằng Kiểm tra Lucas-Lehmer (Lucas-Lehmer test - LLT), một kiểm tra tính nguyên tố dành cho số nguyên tố Mersenne theo cách hiệu quả đối với máy tính nhị phân.
Các chỉ số xếp theo thứ tự tăng dần. 2022 vẫn có một xác suất nhỏ rằng thứ hạng có thể thay đổi nếu phát hiện được số nhỏ hơn. Theo GIMPS, tất cả các khả năng nhỏ hơn số mũ thích hợp thứ 48 là 1=p = 57.885.161 đều đã được kiểm tra và xác minh đến tháng 10 năm 2021.loc= Milestones Report Năm và người phát hiện được tính theo thời điểm cho số nguyên tố Mersenne, vì số hoàn hảo được tính theo hệ quả định lý Euclid-Euler. "GIMPS / tên" được dùng để chỉ những số nguyên tố được phát hiện bởi GIMPS và cá nhân đã phát hiện ra số nguyên tố đó. Các số về sau quá dài không viết hết được trong khuôn khổ nên chỉ hiển thị 6 chữ số đầu và 6 chữ số cuối.

**Danh sách**

**Ghi chú**

**Chú thích**

**Thư mục**
 cuốn=1772- dịch tựa đề=Về một số nguyên tố mới do Pervushin công bố- ngôn ngữ=tiếng La-tinh- Chú thích tạp chí|họ 1=Colquitt|tên 1=W. N.|họ 2=Welsh|tên 2=L.|ngày=tháng 4 năm 1991|tựa đề=A new Mersenne prime|tạp chí=Mathematics of Computation|cuốn=56|số=194|ngôn ngữ=en|bibcode=1991MaCom..56..867C|doi=10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9|jstor=2008415|doi-access=free|dịch tựa đề=Số nguyên tố Mersenne mới|nhà xuất bản=American Mathematical Society- Chú thích|họ=Dickson|tên=Leonard Eugene|url=https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick_1|tựa đề=History of the Theory of Numbers|cuốn=I|publisher=Carnegie Institution of Washington|năm=1919|nơi=Washington|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Lịch sử lý thuyết số- issn=0343-6993- Chú thích tạp chí|họ=Gillies|tên=Donald B.|ngôn ngữ=en|ngày=tháng 1 năm 1964|tựa đề=Three new Mersenne primes and a statistical theory|journal=Mathematics of Computation|cuốn=18|số=85|dịch tựa đề=Ba số nguyên tố Mersenne mới và lý thuyết thống kê|doi=10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6|jstor=2003409|doi-access=free|nhà xuất bản=American Mathematical Society- Chú thích tạp chí|họ=Hurwitz|tên=Alexander|ngày=tháng 4 năm 1962|tựa đề=New Mersenne primes|url=http://www.ams.org/jourcgi/jour-getitem?pii=S0025-5718-1962-0146162-X|tạp chí=Mathematics of Computation|ngôn ngữ=en|cuốn=16|số=78|dịch tựa đề=Những cố nguyên tố Mersenne mới|doi=10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X|issn=0025-5718|nhà xuất bản=American Mathematical Society- url-status=dead- dịch tựa đề=Mười ba sách trong bộ Cơ sở của Euclid- issn=1476-4687- Chú thích tạp chí|họ 1=Noll|tên 1=Landon Curt|họ 2=Nickel|tên 2=Laura|ngày=tháng 10 năm 1980|tựa đề=The 25th and 26th Mersenne primes|tạp chí=Mathematics of Computation|cuốn=35|số=152|ngôn ngữ=en|doi=10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4|jstor=2006405|doi-access=free|dịch tựa đề=Số nguyên tố Mersenne thứ 25 và 26|nhà xuất bản=American Mathematical Society- Chú thích|họ 1=Ochem|tên 1=Pascal|họ 2=Rao|tên 2=Michaël|ngày=ngày 30 tháng 1 năm 2012|tựa đề=Odd perfect numbers are greater than 101500|tạp chí=Mathematics of Computation|ngôn ngữ=en|cuốn=81|số=279|dịch tựa đề=Số hoàn hảo lẻ lớn hơn 101500|doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4|issn=0025-5718|nhà xuất bản=American Mathematical Society- dịch tựa đề=Thời kỳ nguyên tố với siêu máy tính- author-mask=2- issn=0343-6993- dịch tựa đề=Số hoàn hảo thứ mười- Chú thích tạp chí|họ=Riesel|tên=Hans|ngày=tháng 1 năm 1958|tựa đề=A New Mersenne Prime|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-061/S0025-5718-58-99282-2/|tạp chí=Mathematics of Computation|cuốn=12|số=61|dịch tựa đề=Số nguyên tố Mersenne mới|doi=10.1090/S0025-5718-58-99282-2|doi-access=free|nhà xuất bản=American Mathematical Society|ngôn ngữ=en- via=JSTOR- dịch tựa đề=Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne thứ 27- dịch tựa đề=Lịch sử toán học- Chú thích|họ=Stillwell|tên=John|url=https://www.google.com/books/edition/Mathematics_and_Its_History/V7mxZqjs5yUC|tựa đề=Mathematics and Its History|nhà xuất bản=Springer Science+Business Media|năm=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|series=Undergraduate Texts in Mathematics|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Toán học và lịch sử toán học- dịch tựa đề=Số nguyên tố Mersenne thứ 24- issn=0025-5718

**Liên kết ngoài**
  Chuỗi OEIS A000043 (Số mũ tương ứng p) -  Chuỗi OEIS A000396 (Số hoàn hảo) -  Chuỗi OEIS A000668 (Số nguyên tố Mersenne) 
Thể loại:Danh sách toán học
Thể loại:Bảng toán học