Không gian tích trong

Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong.
Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có trang bị các "tích vô hướng" đối xứng và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích Hermite được giới hạn trong trường số phức và có "tích Hermite" đối xứng liên hợp và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích trong có thể được định nghĩa trên một trường bất kỳ và có các "tích trong" tuyến tính với đối số thứ nhất, đối xứng liên hợp và xác định dương. Không giống như các tích trong, tích vô hướng và tích Hermite không nhất thiết phải có tính xác định dương.
Trong toán học, một không gian tích trong hay không gian Hausdorff tiền Hilbertpp=112-125 là một không gian vectơ được trang bị một phép toán hai ngôi gọi là tích trong. Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng vô hướng gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu bra-ket (ví dụ .) Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan hình học như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính trực giao giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa không gian Euclid (trong đó tích trong chính là tích vô hướng) cho các không gian vectơ với số chiều bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong giải tích hàm. Không gian tích trong trên trường số phức đôi khi được gọi là không gian unita. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi Giuseppe Peano, vào năm 1898.
Một không gian tích trong thường tạo ra một chuẩn liên hệ với nó, (trong ảnh, |x| và |y| là các chuẩn của x và y), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một không gian Banach thì không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert.pp=112-125 Nếu một không gian tích trong  không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert , gọi là làm đầy đủ hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là H được nhúng tuyến tính và đẳng cự vào một không gian con trù mật của  và sao cho tích trong  trên  là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu .pp=112-125

**Định nghĩa**
Trong bài này, trường vô hướng, ký hiệu 𝔽 là trường số thực  hoặc trường số phức .
Không gian tích trong, một cách chính thức là một không gian vectơ V trên trường 𝔽 cùng với một ánh xạ
 
gọi là một tích trong nếu nó thỏa mãn các điều kiện tiên đề (1), (2), và (3) sau đâypp=112-125 đối với mọi vectơ x, y, z ∈ V và mọi vô hướng a ∈ 𝔽:
# Tuyến tính đối với đối số thứ nhất
#: 
#* Nếu điều kiện (1) được thỏa mãn và nếu tích  cũng là phản tuyến tính (còn gọi là tuyến tính liên hợp) đối với đối số thứ hai thì  được gọi là dạng nửa tuyến tính (sesquilinear form).pp=112-125
# em|Đối xứng liên hợp hay đối xứng Hermite:
#: 
#* Điều kiện (1) và (2) là các tính chất định nghĩa một dạng Hermite, là một loại đặc biệt của dạng nửa tuyến tính.pp=112-125 Một dạng nửa tuyến tính là Hermite khi và chỉ khi  là thực với mọi x.pp=112-125 Cụ thể, từ điều kiện (2) suy ra rằng  là một số thực với mọi x.
# em|Tính xác định dương:pp=112-125
#: 
Ba điều kiện trên là các tính chất định nghĩa một tích trong, đó là lý do tại sao tích trong đôi khi được định nghĩa (một cách tương đương) là một dạng Hermite xác định dương. Một tích trong có thể được định nghĩa một cách tương đương là một dạng nửa tuyến tính xác định dương.pp=112-125
Giả thiết rằng (1) được thỏa mãn, điều kiện (3) cũng sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi hai điều kiện thêm (4) và (5) dưới đây được thỏa mãn:pp=36-72
# em|Tính nửa xác định dương hay xác định không âm:pp=112-125
#: 
#* Các điều kiện (1), (2), và (4) là các tính chất định nghĩa một em|dạng Hermite nửa xác định dương, cho phép ta định nghĩa một nửa chuẩn trên V được cho bởi . Nửa chuẩn này là một chuẩn khi và chỉ khi điều kiện (5) được thỏa mãn.
# Tính tách điểm hay em|xác định:
#: 
Các điều kiện (1) đến (5) được thỏa mãn bởi mọi tích trong.

**Tính chất sơ cấp**
Tính xác định dương và tuyến tính tương ứng đảm bảo rằng:
 
Từ tính đối xứng liên hợp suy ra  là thực với mọi x, bởi vì
 
Tính đối xứng liên hợp và tuyến tính đối với đối số thứ nhất dẫn đến
 
đây tức là tính tuyến tính liên hợp đối với đối số thứ hai. Vì vậy, một không gian tích trong là một dạng nửa tuyến tính.
Có thể suy ra tổng quát hóa sau đây của khai triển bình phương của tổng:
 
Các tính chất sau đây hợp thành tính tuyến tính đối với đối số thứ nhất và thứ hai:
 
còn được gọi là tính cộng.
Với trường hợp  tính đối xứng liên hợp được đơn giản về tính đối xứng, còn tính nửa tuyến tính trở thành tính song tuyến. Vì thế một tích trong trên một không gian vectơ thực là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương. Tức là,
 
và khai triển nhị thức trở thành:
 

**Định nghĩa, ký hiệu khác và chú thích**
Một trường hợp đặc biệt thường gặp của tích trong là tích vô hướng của hai vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu chấm ở giữa 
Một số tác giả, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý và đại số ma trận thường định nghĩa tích trong và dạng nửa tuyến tính nhưng với tính tuyến tính của nó là ở đối số thứ hai thay vì thứ nhất. Vậy đối số thứ nhất có tính tuyến tính liên hợp thay vì thứ hai. Trong các ngành này chúng ta thường viết tích trong  là  (ký hiệu bra-ket của cơ học lượng tử), tương ứng là y†x (tích vô hướng với quy ước lập tích ma trận AB, lấy hàng của A nhân cột của B).

**Một số ví dụ**

**Số thực**
Ví dụ đơn giản nhất là các số thực với tích thông thường giữa các số là tích trong
 

**Không gian vectơ Euclid**
Tổng quát, Không gian tọa độ thực|không gian thực n chiều  với tích vô hướng là một không gian tích trong, là một ví dụ của không gian vectơ Euclid.
 
trong đó  là chuyển vị của x.

**Không gian tọa độ phức**
Dạng tổng quát của một tích trong trên  được gọi là dạng Hermite và được cho bởi
 
trong đó M là một ma trận Hermite nửa xác định dương và y† là chuyển vị liên hợp của y.
Tích trong phức thường gặp nhất là tích vô hướng chính tắc phức, trong đó ma trận M được chọn là ma trận đơn vị.

**Không gian Hilbert**
Bài viết về không gian Hilbert có một số ví dụ về không gian tích trong, trong đó metric được tạo bởi tích trong tạo ra không gian metric đầy đủ. Một ví dụ của không gian tích trong tạo ra một metric không đầy đủ là không gian  của các hàm giá trị phức liên tục  và  trên đoạn  Tích trong của chúng là
 
Không gian này là không đầy đủ; lấy ví dụ, trên đoạn −1; 1 với dãy hàm "bước" liên tục được xác định bởi:
 
Dãy này là một dãy Cauchy với chuẩn tạo bởi tích trong trước không hội tụ thành hàm liên tục.

**Biến ngẫu nhiên**
Với hai biến ngẫu nhiên X và Y, giá trị kỳ vọng của tích của chúng là một tích trong.
 
Trong trường hợp này,  khi và chỉ khi  (tức là gần như chắc chắn ). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các vectơ tự do.

**Ma trận thực**
Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ,  với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là
 
là một tích trong.

**Chuẩn**
Không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn (norm) được định nghĩa bởi
 
Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là không gian metric với khoảng cách được định nghĩa bởi
 
Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.

**Xem thêm**
 Dạng song tuyến tính
*Không gian Hilbert- Không gian đối ngẫu

**Chú thích**

**Tham khảo**

**Tham khảo sách**
 chú thích sách|title=Linear Algebra Done Right|last1=Axler|first1=Sheldon|publisher=Springer-Verlag|year=1997|isbn=978-0-387-98258-8|edition=2nd|location=Berlin, New York- chú thích sách|title=Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/algebraicmethods0000emch|last1=Emch|first1=Gerard G.|publisher=Wiley-Interscience|year=1972|isbn=978-0-471-23900-0- chú thích sách|title=An Introduction to Hilbert Space|url=https://archive.org/details/introductiontohi0000youn|last1=Young|first1=Nicholas|publisher=Cambridge University Press|year=1988|isbn=978-0-521-33717-5
Thể loại:Không gian định chuẩn
Thể loại:Dạng song tuyến tính
Thể loại:Đại số tuyến tính