Tập hợp sắp thứ tự một phần

Hình:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|upright=1.15|Hình 1.  Biểu đố Hasse của tập hợp các tập con của tập ba phần tử  dưới thứ tự là tập con của. Các tập hợp nối với nhau theo đường đi lên khi chúng so sánh được với nhau, ví dụ như  và , trong khi  và  thì không.
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết thứ tự, một tập hợp sắp thứ tự một phần (hay còn gọi là tập hợp sắp thứ tự bộ phận, hay tập hợp sắp thứ tự riêng phần, hoặc được gọi ngắn đi là poset) bao gồm một tập hợp cùng với một quan hệ hai ngôi có tính phản xạ (mỗi phần tử được so sánh với chính nó), tính phản đối xứng (giữa hai phần tử có nhiều nhất một cách so sánh) và tính bắc cầu (ta có thể so sánh theo kiểu bắc cầu). 
Từ "một phần" hay "bộ phận" trong tên quan hệ ý chỉ rằng không phải mọi cặp phần tử đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, có một số cặp phần tử ta không biết phần tử nào đứng trước trong tập sắp thứ tự một phần. Do đó, quan hệ thứ tự riêng phần là dạng tổng quát của quan hệ thứ tự toàn phần, quan hệ mà mọi cặp trong tập hợp đều so sánh được với nhau.

**Định nghĩa không hình thức**
Quan hệ thứ tự một phần là một khái niệm trong so sánh trong đó hai phần tử x và y chỉ nằm duy nhất một trong bốn quan hệ sau: hoặc x  y, hoặc x và y không so sánh được với nhau.
Tập hợp đi cùng quan hệ thứ tự một phần được gọi là tập hợp sắp thứ tự một phần. Tập hợp sắp thứ tự một phần thường được vẽ qua biểu đồ Hasse.

**Quan hệ thứ tự một phần**
Quan hệ thứ tự một phần là quan hệ thuần nhất có tính bắc cầu và phản đối xứng. Có hai định nghĩa thường gặp cho quan hệ thứ tự một phần phản xạ và không phản xạ, được gọi là "không nghiêm ngặt" và "nghiêm ngặt" tương ứng. Hai định nghĩa này có thể đặt trong ương ứng một-một, trong đó mỗi quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt có duy nhất một quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt tương ứng và ngược lại cũng thế. Thuật ngữ quan hệ thứ tự một phần thường là chỉ đến nhất quan hệ thứ một phần không nghiêm ngặt.

**Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt**
Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt (hoặc quan hệ thứ tự một phần yếu) là quan hệ thuần nhất ≤ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu trên tập hợp , nghĩa là với mọi  nó phải thỏa mãn:
# Tính bắc cầu: , tức mỗi phần tử có quan hệ với chính nó
# Tính phản đối xứng: nếu  và  thì , tức không có hai phần tử phân biệt nào đứng trước cái còn lại
# Tính bắc cầu: nếu  và  thì .
Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt còn là tiền thứ tự phản đối xứng.

**Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt**
Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt (hoặc quan hệ thứ tự một phần mạnh) là quan hệ thuần nhất  trên .- Theo định nghĩa, mọi quan hệ thứ tự yếu nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt.- Tập các tập con của tập cho trước (tập lũy thừa) sắp xếp theo quan hệ bao hàm trong (xem hình 1). Tương tư như vậy đối với tập các dãy sắp xếp theo dãy con và tập các xâu sắp thứ tự theo xâu con.- Tập hợp các số tự nhiên cùng quan hệ chia hết. (xem hình 3 và hình 6)- Tập đỉnh của đồ thị có hướng không chu trình xếp thứ tự theo tính chạm được.- Tập các không gian con của không gian vectơ xếp thứ tự theo phép bao hàm.- Cho tập sắp thứ tự một phần P, không gian dãy chứa tất cá các dãy phần tử của P, trong đó dãy a đứng trước dãy b nếu mỗi phần tử trong a đứng trước phần tử tương ứng trong b. Dưới công thức,  khi và chỉ khi  với mọi ; đây là quan hệ thứ tự từng phần. - Cho tập hợp X và tập sắp thứ tự một phần P, không gian hàm chứa mọi hàm từ X đến P, trong đó f ≤ g khi và chỉ khi f(x) ≤ g(x) với mọi - Trong toán học, rào là tập hợp sắp thứ tự một phần được định nghĩa bằng dãy thay phiên các quan hệ thứ tự a  c Z b khi và chỉ khi:- a, b ∈ X và a ≤X b, hoặc- a, b ∈ Y và a ≤Y b, hoặc- a ∈ X và b ∈ Y.
Nếu hai tập sắp thứ tự một phần đó có thứ tự tốt, thì tổng thứ tự của nó cũng vậy.

**Các thuật ngữ liên quan**
Các ví dụ sau sử dụng tập hợp sắp thứ tự một phần  bao gồm tập các tập con của  được xếp theo quan hệ bao hàm (xem hình 1).- a có quan hệ với b khi a ≤ b. Điều này không có nghĩa b cũng có quan hệ với a, bởi vì quan hệ không cần phải đối xứng. Lấy ví dụ,  có quan hệ với  nhưng ngược lại thì không.- a và b so sánh được với nhau nếu a ≤ b hoặc b ≤ a. Ngược lại, thì chúng được gọi là không so sánh được với nhau.Ví dụ chẳng hạn,  và  so sánh được với nhau, trong khi  và thì không.- Quan hệ toàn phần hoặc quan hệ tuyến tính là quan hệ thứ tự một phần mà mọi cặp phần tử đều so sánh được với nhau. Ví dụ chẳng hạn như tập số tự nhiên cùng quan hệ thứ tự tự nhiên của nó.- Xích là tập con có thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự một phần. Ví dụ chẳng hạn,,  là một xích.- Phản xích là tập con của tập sắp thứ tự một phần mà trong đó không có hai phần tử phân biệt nào so sánh được với nhau, ví dụ như tập các tập một phần tử - Phần tử a được gọi là nhỏ hơn nghiêm ngặt với phần tử b, nếu a ≤ b và  Ví dụ,  nhỏ hơn nghiêm ngặt với - Phần tử a được gọi là phủ bởi phần tử b, được viết là a ⋖ b (hoặc a  b, và khi đó thì khoảng đó là khoảng rỗng.
Khoảng I được gọi là bị chặn nếu tồn tại các phần tử  sao cho . Dễ thấy mọi khoảng có thể biểu diễn bằng ký hiệu khoảng thì bị chặn, song ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ chẳng hạn, gọi 1=P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) là tập con sắp thứ tự một phần của tập các số thực. Tập con (1, 2) là khoảng bị chặn, nhưng nó không có cận trên đúng hay cận dưới đúng thuộc P, nên nó không thể viết theo ký hiệu khoảng sử dụng các phần tử thuộc P.
Tập sắp thứ tư một phần được gọi là poset hữu hạn địa phương nếu mọi khoảng bị chặn của nó hữu hạn. Ví dụ, các số nguyên hữu hạn địa phương dưới thứ tự tự nhiên của chúng. Thứ tự từ điển trên tích Đề-các  không hữu hạn địa phương, bởi vì (1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1).
Sử dụng ký hiệu khoảng, tính chất "a phủ bởi b" có thể viết lại thành 
Không nên nhầm lẫn khái niệm khoảng trong thứ tự một phần với lớp các thứ tự một phần đặc biệt được gọi là thứ tự khoảng.

**Xem thêm**
 Antimatroid, hình thức hóa thứ tự trên tập hợp cho phép nhiều họ các thứ tự tổng quát hơn thứ tự một phần - Tập hệ quả, cách tiếp cận bằng tập sắp thứ tự một phần cho trọng lực lượng tử- Đồ thị so sánh- Thứ tự một phần đầy đủ- Tập hợp có hướng- Tập hợp phân bậc sắp thứ tự một phần- Đại số liên thuộc- Dàn- Tập hợp hữu hạn địa phương sắp thứ tự một phần- Hàm Möbius trên tập sắp thứ tự một phần- Họ các tập lồng nhau- Order polytope- Trường có thứ tự- Nhóm có thứ tự- Không gian vectơ có thứ tự- Tô pô tập sắp thứ tự một phần, một dạng không gian tô pô có thể được định nghĩa từ bất kỳ tập sắp thứ tự một phần- Tính liên tục Scott – tính liên tục của hàm số giữa hai thứ tự một phần- Nửa dàn- Nửa thứ tự- Thống trị ngẫu nhiên- Thứ tự yếu nghiêm ngặt – thứ tự một phần nghiêm ngặt "<" trong đó quan hệ"không a < b hay b < a" có tính bắc cầu.- Thứ tự toàn phần- Cây – Cấu trúc dữ liệu của quan hệ chứa trong tập hợp - Bổ đề Zorn

**Ghi chú**

**Chú thích**

**Tham khảo**
 title-link= Introduction to Lattices and Order- doi-access= free- isbn=978-0-521-76268-7- isbn=978-3-319-29788-0- year=1997

**Liên kết ngoài**
 formalname=Number of partially ordered sets ("posets") with n labeled elements (or labeled acyclic transitive digraphs)- 2=Number of partially ordered sets ("posets") with n unlabeled elements.
Thể loại:Lý thuyết thứ tự
Thể loại:Quan hệ hai ngôi