Đa thức tối tiểu (lý thuyết trường)

Trong lý thuyết trường, đa thức tối tiểu của α, nói một cách đơn giản, là đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số nhất định, sao cho α là nghiệm của đa thức đó. Nếu đa thức tối tiểu của α tồn tại thì nó là duy nhất. Hệ số bậc cao nhất của đa thức phải bằng 1, và các hệ số còn lại có thể là số nguyên, số hữu tỉ, số thực hay những thực thể khác.
Chính xác hơn, một đa thức tối tiểu được định nghĩa dựa trên một mở rộng trường E/F và một phần tử của trường E. Đa thức tối tiểu của phần tử, nếu tồn tại, là một đa thức thuộc math|Fx, vành đa thức ẩn x với hệ số thuộc F. Với phần tử α thuộc E, xét Jα là tập tất cả đa thức f(x) thuộc math|Fx sao cho 1=f(α) = 0. Phần tử α được gọi là nghiệm hay không điểm của mỗi đa thức trong Jα. Tập Jα là một ideal của math|Fx. Đa thức không, với tất cả hệ số bằng 0, xuất hiện trong tất cả tập Jα và không được tính là đa thức tối tiểu. Nếu tồn tại một đa thức khác đa thức không trong Jα thì α được gọi là một phần tử đại số trên F, và tồn tại một đa thức monic với bậc nhỏ nhất trong Jα. Đây chính là đa thức tối tiểu của α đối với E/F. Nó là duy nhất và bất khả quy trên F. Nếu đa thức không là phần tử duy nhất của Jα thì α được gọi là một phần tử siêu việt trên F và không có đa thức tối tiểu đối với E/F.
Đa thức tối tiểu thường được dùng để xây dựng và phân tích các mở rộng trường. Khi α là đại số với đa thức tối tiểu p(x), trường nhỏ nhất chứa cả F và α là đẳng cấu với vành thương math|Fx/⟨p(x)⟩, trong đó ⟨p(x)⟩ là ideal của math|Fx sinh ra bởi p(x). Đa thức tối tiểu cũng được dùng để định nghĩa phần tử liên hợp.

**Định nghĩa**
Xét mở rộng trường E/F, α là một phần tử của E, và math|Fx là vành đa thức của x trên F. Phần tử α có đa thức tối tiểu khi α đại số trên F, tức là 1=f(α) = 0 với một đa thức f khác 0 trong math|Fx. Khi ấy đa thức tối tiểu của α được định nghĩa là đa thức monic có bậc nhỏ nhất trong số các đa thức trong math|Fx nhận α làm nghiệm.

**Tính duy nhất**
Giả sử p(x) là đa thức tối tiểu của α đối với E/F. Tính duy nhất của p(x) được chứng minh bằng cách xét đồng cấu vành subα từ math|Fx đến E thay α cho x, tức là 1=subα(f(x)) = f(α). Hạt nhân của subα, ker(subα), là tập hợp tất cả đa thức thuộc math|Fx nhận α làm nghiệm. Nói cách khác, 1=ker(subα) = Jα. Do subα là một đồng cấu vành, ker(subα) là một ideal của math|Fx. Do F là một trường nên math|Fx là vành chính, suy ra có ít nhất một đa thức thuộc ker(subα) sinh ra ker(subα). Đa thức như thế sẽ có bậc nhỏ nhất trong tất cả đa thức khác không trong ker(subα), và p(x) được chọn là đa thức monic duy nhất trong các đa thức này.
Một chứng minh khác như sau. Giả sử p và q đều là đa thức monic trong Jα với bậc nhỏ nhất n > 0. Do p − q ∈ Jα và deg(p − q) 2 − 2. Trường F đóng vai trò quan trọng vì nó xác định các hệ số của p(x). Ví dụ, nếu ta lấy 1=F = R thì đa thức tối tiểu cho  là .
Nếu  thì đa thức tối tiểu trong math|Qx là .
Đa thức tối tiểu trong math|Qx của tổng căn bậc hai của n số nguyên tố đầu tiên được xây dựng tương tự, và được gọi là đa thức Swinnerton–Dyer.
Đa thức tối tiểu trong math|Qx của các nghiệm đơn vị là các đa thức cầu phân.

**Tham khảo**
 title=Algebraic Number Minimal Polynomial- title=Minimal polynomial-  pages= 270–273
Thể loại:Đa thức
Thể loại:Lý thuyết trường