Số bình thường

Trong toán học, một số thực được cho là đơn giản là bình thường trong một cơ số b  nếu chuỗi vô hạn của các chữ số biểu diễn nó được phân bố đều theo nghĩa là mỗi số trong số các giá trị b chữ số có cùng mật độ tự nhiên bằng 1/b. Một số được cho là bình thường trong cơ số b nếu, với mọi số nguyên dương n, tất cả các chuỗi có thể có n chữ số dài có mật độ b-n.
Theo trực giác, một số đơn giản là bình thường có nghĩa là không có chữ số nào xuất hiện thường xuyên hơn bất kỳ chữ số nào khác. Nếu một số là bình thường, không có sự kết hợp hữu hạn nào của các chữ số có độ dài nhất định xảy ra thường xuyên hơn bất kỳ kết hợp nào khác có cùng độ dài. Một số bình thường có thể được coi là một chuỗi vô hạn của các lần lật đồng xu (nhị phân) hoặc đổ xúc xắc (cơ số 6). Mặc dù sẽ có các chuỗi như 10, 100 hoặc nhiều đuôi liên tiếp (nhị phân) hoặc 5 (cơ số 6) hoặc thậm chí 10, 100 hoặc nhiều lần lặp lại của một chuỗi như 0-1 (hai lần lật đồng xu liên tiếp) hoặc 6 -1 (hai lần đổ liên tiếp giống nhau của một con xúc xắc), cũng sẽ có nhiều chuỗi bất kỳ khác có độ dài bằng nhau. Không có chữ số hoặc chuỗi số nào được "ưa thích" hơn trong biểu diễn số đó.
Một số được cho là hoàn toàn bình thường nếu nó là bình thường trong tất cả các cơ số là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2.
Mặc dù có thể đưa ra một bằng chứng chung rằng hầu hết tất cả các số thực là bình thường, bằng cách chứng minh tập hợp các số không bình thường có số đo Lebesgue bằng 0 (nhỏ một cách đáng kinh ngạc so với tập hợp các số bình thường), bằng chứng này không mang tính xây dựng, và chỉ một vài con số cụ thể đã được chứng minh là bình thường. Ví dụ, hằng số Chaitin là bình thường (và không thể tính toán được). Người ta tin rằng các số (tính toán được) √ 2,  và e là bình thường, nhưng vẫn chưa có chứng minh cho điều này.

**Ghi chú**

**Sách tham khảo**
citation | last1=Adamczewski | first1=Boris | last2=Bugeaud | first2=Yann | chapter=8. Transcendence and diophantine approximation | editor1-last=Berthé | editor1-first=Valérie | editor1-link = Valérie Berthé | editor2-last=Rigo | editor2-first=Michael | title=Combinatorics, automata, and number theory | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | volume=135 | pages=410–451 | year=2010 | isbn=978-0-521-51597-9 | zbl=1271.11073 
*citation | last = Agafonov | first = V. N. | journal = Soviet Mathematics - Doklady | pages = 324–325 | title = Normal sequences and finite automata | volume = 9 | year = 1968 | zbl=0242.94040.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*citation | last=Bugeaud | first=Yann | title=Distribution modulo one and Diophantine approximation | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=193 | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2012 | isbn=978-0-521-11169-0 | zbl=1260.11001
*.
*.
*.
*.
*.- citation | last1=Dajani | first1=Karma | last2=Kraaikamp | first2=Cor | title=Ergodic theory of numbers | series=Carus Mathematical Monographs | volume=29 | location=Washington, DC | publisher=Mathematical Association of America | year=2002 | isbn=0-88385-034-6 | zbl=1033.11040 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/ergodictheoryofn0000daja .
*.- citation | last1=Everest | first1=Graham | author1-link=Graham Everest | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=Recurrence sequences | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=Providence, RI | publisher=American Mathematical Society | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 .
*.
*citation | last = Long | first = C. T. | issue = 2 | journal = Pacific Journal of Mathematics | pages = 1163–1165 | title = Note on normal numbers | url = http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pjm/1103043507 | volume = 7 | year = 1957 | zbl = 0080.03604 | doi = 10.2140/pjm.1957.7.1163 .
*citation | last=Martin | first=Greg | year=2001 | title=Absolutely abnormal numbers | journal=American Mathematical Monthly | volume=108 | issue=8 | pages=746–754 | zbl=1036.11035 | doi=10.2307/2695618| arxiv=math/0006089 | jstor=2695618 
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.

**Liên kết ngoài**
Thể loại:Lý thuyết số