Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng  trong đó  là các hằng số và . Hệ số hoàn toàn có thể ở y. x và y lần lượt là các biến.
Tức là hàm số bậc hai chỉ cần đạt 2 điều kiện là có bậc cao nhất là 2 và hệ số của biến có bậc cao nhất khác 0.
Trường hợp có 2 biến x và y, hàm số có dạng
khi đó nó cùng với hàm chuẩn mẫu tạo trên hệ trục tọa độ những hình cônic (parabol, elip, tròn hoặc hyperbol)

**Nguồn gốc tên**
Từ bậc hai xuất phát từ tiếng Latin từ quadrātum (hình vuông). Một thuật ngữ như x2 được gọi là một hình vuông trong đại số bởi vì nó là diện tích của một hình vuông với cạnh x .
Nói chung, một tiền tố quadr chỉ ra số 4. Ví dụ là tứ giác và góc tọa độ. Quadratum là chữ Latin, nghĩa là vuông. Nó cùng họ với từ quadrilateral tức là tứ giác. 

**Thuật ngữ**

**Hệ số**
Các hệ số của một đa thức thường được coi là số thực hoặc số phức. Riêng số phức có thể đề cập trong Giải tích phức và biểu diễn được trên hệ trục tọa độ.

**Bậc của hàm**
Thuật ngữ "đa thức bậc hai" đôi khi có nghĩa là "có bậc là 2", hoặc đôi khi là "có bậc cao nhất là 2". Nếu bậc nhỏ hơn 2, điều này có thể được gọi là "trường hợp suy biến".
Thông thường, nghĩa của thuật ngữ sẽ được xác định bởi ngữ cảnh.

**Biến**
Một đa thức bậc hai có có 1 biến duy nhất x (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều như biến x , y , và z (trường hợp đa biến). Trên thực tế, người ta thường quy một hàm nhiều biến về các hàm 2 biến để dễ xét.

**Trường hợp một biến**
Bất kỳ một đa thức bậc hai 1 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

Trong đó:
x là biến
a, b, c là các hệ số
Trong đại số cơ bản, đa thức như vậy thường phát sinh dưới dạng phương trình bậc hai. Các nghiệm cho phương trình này được gọi là gốc của đa thức bậc hai, và có thể được tìm thấy thông qua phân tích thành nhân tử, phần bù bình phương, đồ thị, phương pháp Newton, hoặc thông qua việc sử dụng công thức bậc hai. Mỗi đa thức bậc hai có một hàm bậc hai liên quan, có đồ thị là một hình parabol.

**= Biệt thức =**
Biệt thức thông thường 
Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn:  . Khi đó 

**Trường hợp hai biến**
Bất kỳ đa thức bậc hai 2 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

Trong đó x và y là các biến và a , b , c , d , e , f là các hệ số. Các đa thức như vậy là cơ sở để nghiên cứu các hình conic, được biểu diễn bằng cách biểu diễn biểu thức cho f(x,y) với không. Tương tự như vậy, đa thức bậc hai với 3 hoặc nhiều hơn các biến tương ứng với mặt bậc hai và siêu mặt. Trong đại số tuyến tính, đa thức bậc hai có thể được khái quát thành khái niệm của dạng bậc hai trên không gian véc tơ.

**Các dạng của một hàm bậc hai đơn biến**
Một hàm bậc hai đơn biến có thể được biểu diễn dưới 3 dạng: - Dạng chuẩn:                 - Dạng thừa số:                         trong đó: r1, r2 là nghiệm của hàm số bậc 2.- Dạng đỉnh:                                      trong đó: h, k lần lượt là tọa độ x và y của các đỉnh tương ứng.
Hệ số a có cùng giá trị trong cả ba dạng. Để chuyển đổi dạng chuẩn về dạng thừa số, chỉ cần dùng công thức nghiệm bậc hai để xác định hai nghiệm r1 và r2 . Để chuyển đổi dạng thừa số về dạng đỉnh, chỉ cần sử dụng phần bù bình phương. Để chuyển đổi dạng thừa số (hoặc dạng đỉnh) về dạng chuẩn, chỉ cần nhân phân phối các thừa số.

**Các nghiệm của hàm đơn biến**

**Các nghiệm**
Tương tự phương trình bậc hai, hàm số bậc hai mẫu chuẩn:  có 2 nghiệm
(nghiệm thực)
hoặc
(nghiệm phức)
với b = 2b' và Δ = 4Δ'

**Độ lớn tối đa của các nghiệm**
Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của nghiệm bậc 2 không lớn hơn  với  (tỉ lệ vàng)

**Đồ thị hàm số một biến**
Giờ ta chỉ xét hàm số bậc hai mẫu chuẩn:  
Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn luôn là một đường parabol trên hệ trục tọa độ.

**Đỉnh của đồ thị**
Điểm đỉnh của một parabol là nơi mà nó quay. Do đó, nó còn được gọi là bước ngoặt .
Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, đỉnh là (h,k) . Sử dụng phương pháp phần bù bình phương, người ta có thể biến dạng chuẩn sang dạng đỉnh ta có 
vậy h là trục đối xứng của parabol
Nếu ở  dạng thừa số  ta lấy trung bình của 2 nghiệm tức là  do đó toạ độ đỉnh khi đó là 

**Đồ thị của hàm số bậc 2 dạng đơn thức**

**Hình dạng**
Một dạng cơ bản của hàm số này được học trong chương trình SGK Toán lớp 9 có dạng:  
Tập xác định: R
Đồ thị của hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có
Đỉnh: 
Trục đối xứng: Oy
nếu a>0 thì đồ thị nằm ở trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Ta có thể chứng minh được điều này: vì a>0 và  nên y luôn không âm, hay parabol luôn nằm trên trục hoành.
nếu a0, xuống dưới nếu a0
Hàm số nghịch biến trên  và đồng biến trên .- Khi a0. và khi đó xảy ra tại (
nếu  và . Hàm cũng không có cực đại hay cực tiểu và nó giống một xilanh parabol.
nếu  và . Hàm cực đại và cực tiểu trên một đường có cực tiểu tại A>0 và cực đại tại A<0.

**Ứng dụng**

**Dấu của tam thức bậc hai**
Tam thức bậc 2 với  là biểu thức có dạng  trong đó a,b,c là các hệ số và .
Như vậy hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai và ta có:
thì  luôn cùng dấu với ,  
thì  luôn cùng dấu với , trừ 
thì :- Cùng dấu với  khi  hoặc - Trái dấu với  khi 
với là 2 nghiệm của 
Cách xét dấu trên cũng đúng khi sử dụng biệt thức Δ'

**Các bài toán có nội dung quy về phương trình bậc hai**
Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

**Cơ học**
Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: 
Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: 
công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều:
quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: (khi chỉ ở trên Trái Đất)
Gia tốc hướng tâm:
Lực hướng tâm:
Tầm ném xa: 
Định luật vạn vật hấp dẫn:
Động năng của vật:
Thế năng đàn hồi:
Trong đó  là vận tốc tại thời điểm , à các tọa độ của vật,  là hằng số hấp dẫn,  là gia tốc trọng trường,  là vận tốc,  là thời gian,  là độ biến dạng của lò xo,  là gia tốc,  là tầm ném xa,  là động năng,  là lực,  là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh. là tốc độ góc của chuyển động tròn đều.

**Tham khảo**
Thể loại:Đa thức