Giả thuyết Riemann

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(s) = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(s) = ±14,135; ±21,022 và ±25,011.
Trong toán học, giả thuyết Riemann, nêu bởi Bernhard Riemann (1859), là một phỏng đoán về các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann tất cả đều có phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.
Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy 2000. Giả thuyết Riemann, cùng với giả thuyết Goldbach thuộc về bài toán thứ tám của Hilbert trong danh sách 23 bài toán chưa giải được của David Hilbert; nó cũng là một trong bảy bài toán của Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay khởi xướng.
Hàm zeta Riemann ζ(s) là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm chẵn; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các không điểm tầm thường. Tuy nhiên, các số nguyên âm chẵn không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là không điểm phi tầm thường hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:
Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 2.
Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên đường giới hạn chứa các số phức  với t là số thực và i là đơn vị ảo.
Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của 2003, 2005, 2003,
. Các sách như 1974, 1988 và 2008 đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi
, 1985 và 1992 trình bày ở mức khó hơn.

**Đặc điểm**
Đây là một trong những bài toán thiên niên kỷ, tập hợp của những vấn đề mở quan trọng nhất trong toán học. Giải quyết được bất kỳ vấn đề nào trong đó đều được giải thưởng lên tới một triệu USD.
Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.

**Hàm zeta Riemann**
Hàm zeta Riemann xác định đối với số phức s với phần thực lớn hơn 1 bởi chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối

Leonhard Euler chứng minh được rằng chuỗi này bằng tích Euler

với tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p, và chuỗi này hội tụ đối với các số phức s với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ(s) không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.
Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải liên tục giải tích đối với mọi số phức số phức s. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo hàm eta Dirichlet như sau. Nếu phần thực của s lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn

Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi s lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp s có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền Re(s) > 1 sang miền lớn hơn Re(s) > 0, ngoại trừ tại các không điểm  của  (xem hàm eta Dirichlet). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của s với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi s = 1.
Trong miền year=2004- doi=10.1007/BF02421310- url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1 Reprinted in 2008.- jfm=45.0716.04 Reprinted in 2008.- issue=3–4-  zbl=0085.27102  Reprinted in 2008.- Citation | last1=Haselgrove | first1=C. B. |author1-link=C. Brian Haselgrove| last2=Miller | first2=J. C. P. |author2-link=J. C. P. Miller| title=Tables of the Riemann zeta function | publisher=Cambridge University Press | series=Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6 | mr=0117905 | year=1960|isbn=978-0-521-06152-0  Review- Citation | last1=Hutchinson | first1=J. I. |authorlink=John Irwin Hutchinson| title=On the Roots of the Riemann Zeta-Function | jstor=1989163 | year=1925 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=27 | pages=49–60 | doi=10.2307/1989163 | issue=1-  year=1932. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, 1074573- Citation | last1=Ivić | first1=A. | title=The Riemann Zeta Function | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-471-80634-9 | mr=0792089 | year=1985 (Reprinted by Dover 2003)
*language=ru
*language=ru
*language=ru
*mr=1180378-  volume=5-  pages=57–89- doi=10.1142/S0129055X99000325- pages= 159–182-  pages=219–226-  year=2008- title=Zeta-function-  issue=2
*.- place=New York-  doi=10.2307/2008005-  pages=221–242 -  pages=181–193 Reprinted in 2008.-  pages=497–506-  archive-url = https://web.archive.org/web/20141230023254/http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html .-  year=1950- Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | author1-link=Andrew Odlyzko | last2=te Riele | first2=H. J. J. | author2-link=Herman te Riele | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 | mr=783538 | year=1985 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume=357 | pages=138–160 | doi=10.1515/crll.1985.357.138 | access-date=2013-12-23 | archive-date=2012-07-11 | archive-url=https://archive.today/20120711011237/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 -  doi=10.2307/2007890-  pages=119–141 - url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.- url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf- doi=10.1007/s002220050191 -  volume=14- . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).  Original manuscript date=2013-05-23  (with English translation). Reprinted in 2008 and 1874-  issue=112- doi=10.1007/BF02418544- Citation | last1=Robin | first1=G. | title=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann | mr=774171 | year=1984 | journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|series= Neuvième Série | volume=63 | issue=2 | pages=187–213-  year=2005-  pages=70–76-  year=2003- Citation | last1=Salem | first1=Raphaël |authorlink=Raphaël Salem| title=Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann | mr=0053148 | year=1953 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des sciences | volume=236 | pages=1127–1128-  year=2003-  jstor=2005976
*arxiv=1101.3116-  pages=89–155-  pages=47–87-  volume=19 - Citation | last1=Sheats | first1=Jeffrey T. | title=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for FqT | doi=10.1006/jnth.1998.2232 | mr=1630979 | year=1998 | journal=Journal of Number Theory | volume=71 | issue=1 | pages=121–157- year= 1932 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.- Citation|last=Speiser|first=Andreas|author-link=Andreas Speiser|title=Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion|year=1934|journal=Mathematische Annalen|volume=110|pages=514–521|doi=10.1007/BF01448042|jfm=60.0272.04|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1|access-date=2013-12-23|archive-date=2015-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20150627115412/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1- archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf-  pages=1770–1796-  doi=10.1098/rspa.1935.0146-  doi=10.1098/rspa.1936.0192-  year=1986-  pages = 225–256 -  pages=36 Reprinted in 2008.-  pages=99–117- pages= 183–256- year=1899–1900 Reprinted in 2008.-  year=1948- Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 | mr=0029393 | year=1949 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=55 | pages=497–508 | issue=5 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5-  pages=321–332-  pages=329–342-  archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf -  pages=275–301

**Tham khảo**

**Liên kết ngoài**
 American institute of mathematics,  Riemann hypothesis- title=Where are the zeros of zeta of s? Poem about the Riemann hypothesis,  sung by John Derbyshire.- archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf (Slides for a lecture)-  year=2010- archive-url=https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences- year=2004 (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).- title=Home page including  papers on the zeros of the zeta function and  tables of the zeros of the zeta function- format=PDF Slides of a talk- archive-url=https://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros- archive-url=https://web.archive.org/web/20150630024946/https://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html- archive-url=https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html .- archive-url=https://web.archive.org/web/20170922145127/http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/- archive-url=https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html- year=2004, a simple animated Java applet.-  date=ngày 18 tháng 7 năm 2007 -  Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
Thể loại:Hàm Zeta và L-hàm
Thể loại:Phỏng đoán
Thể loại:Bài toán Hilbert
Thể loại:Các bài toán chưa giải được trong toán học
Thể loại:Các bài toán trong Giải thưởng thiên niên kỷ
Thể loại:Giả thuyết
Thể loại:Lý thuyết số giải tích
Thể loại:Giới thiệu vào năm 1859
Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học