Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương

Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương phát biểu như sau:
"Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương, tức là
, với x,y là các số tự nhiên lớn hơn 0,
khi và chỉ khi p đồng dư với 1 theo mô-đun 4."
Ví dụ:
Các số nguyên tố lẻ 5, 13, 17, 29, 37, 41 đều đồng dư với 1 theo mô-đun 4, do đó chúng biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương:

Mặt khác, các số nguyên tố lẻ 7, 11, 19, 23 và 31 đều đồng dư với 3 theo mô-đun 4, do đó chúng không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.
Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng "mỗi số nguyên tố lẻ bất kì mà đồng dư với 1 theo mô-đun 4, đều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương" vào năm 1632 . Fermat là người đưa ra chứng minh đầu tiên. Fermat đã thông báo điều này trong một lá thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640, ngày giáng sinh; vì thế định lý này đôi khi còn được gọi là định lý ngày giáng sinh của Fermat.

**Các chứng minh của định lý**
Nếu số nguyên tố lẻ p mà biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương, do số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1, nên p chia cho 4 chỉ có thể dư 1. Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên. Vấn đề còn lại là điều kiện đủ.

**Chứng minh của Euler**
Euler đã chứng minh thành công "định lý Fermat về tổng của hai số chính phương" vào năm 1747, khi đã 40 tuổi. Ông thông báo điều này trong một lá thư gửi cho Goldbach vào ngày 6 tháng 5 năm 1747. Chứng minh gồm có 5 bước; bước thứ năm được trình bày trong một lá thư gửi cho Goldbach vào năm 1749.
Trong chứng minh trình bày dưới đây, bước 1,2,3 dựa hoàn toàn vào chứng minh của Euler, bước 4 và 5 có sửa đổi.
1. Tích của hai số, mà mỗi số là tổng của hai số chính phương, cũng là tổng của hai số chính phương:
Chứng minh điều này dựa vào định thức Brahmagupta–Fibonacci:
:.
2. Nếu một số tự nhiên n mà chia hết cho số nguyên tố p, và cả n lẫn p đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương, thì  cũng có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:
Trước hết ta biểu diễn:
:
:, với a,b,c,d là các số tự nhiên.
Do: chia hết cho p, và p nguyên tố, nên một trong hai số (ac+bd) hoặc (ac-bd) chia hết cho p.
Nếu(ac-bd) chia hết cho p.
Sử dụng định thức Brahmagupta–Fibonacci, ta có:
,
do (ac-bd) chia hết cho p, nên  là số chính phương, mà  nguyên, nên  cũng nguyên, và do đó là số chính phương. Suy ra  cũng có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương.
Trường hợp còn lại (ac+bd) chia hết cho p, lúc này ta phân tích:
:, và lặp lại các bước tương tự như trên.
3. Nếu n chia hết cho m, mà n có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương còn m thì không, thì tỷ số  có ước dương lớn hơn 1 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:
Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử mọi ước của  đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương. Đặt:
 với  đều là các số nguyên tố (không nhất thiết đôi một khác nhau).
Do  đều biểu diễn thành tổng của hai số chính phương được nên áp dụng bước 2 chia n liên tiếp k lần cho  suy ra:
, có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương.
Suy ra mâu thuẫn.
4. Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì mọi ước dương lớn hơn 1 của  đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:
 Chứng minh phản chứng. Giả sử tồn tại các số tự nhiên a,b nguyên tố cùng nhau sao cho  có ít nhất một ước dương lớn hơn 1 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương. Trong các cặp số đó ta xét cặp (a,b) thỏa mãn tổng (a+b) nhỏ nhất.
Xét x là ước dương lớn hơn 1 của  mà không thể biểu diễn thành tổng của 2 số chính phương.
Đặt:
:, trong đó c,d là số tự nhiên lớn hơn 0 và không vượt quá x-1.
Suy ra:
:
Suy ra  chia hết cho x. Nếu c và d nguyên tố cùng nhau thì do tổng c+d 2 + 5y2. Sau này, Euler đã mở rộng thành phỏng đoán sau:
Khẳng định của Fermat và phỏng đoán của Euler đều được Lagrange chứng minh.

**Một số ứng dụng**
Trong trường hữu hạn  với p là số nguyên tố có dạng , nếu x là số chính phương thì -x cũng là số chính phương.

**Xem thêm**
Pierre de Fermat
*Định lý nhỏ Fermat

**Chú thích**

**Tham khảo**
L.E. Dickson. History of the Theory of Numbers Vol. 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920
*Stillwell, John. Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge University Library, Cambridge University Press 1996. ISBN 0-521-56518-9

**Liên kết ngoài**
L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers Vol. 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920 Phương trình Diophantos
*Stillwell, John. Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge University Library, Cambridge University Press 1996. 0-521-56518-9- isbn=0-471-50654-0 
Thể loại:Lý thuyết số
Thể loại:Số nguyên tố
F
Thể loại:Định lý trong lý thuyết số