Phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương trình có dạng
Với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay hệ số tự do.
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.

**Giải phương trình bậc hai**
Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai  với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị a = 1, b = 0, c = 0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số  (b  c  0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số  và đồ thị bên trái là của hàm số .
Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.

**Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra**
Phương trình bậc hai  có thể viết được thành . Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu  hoặc . Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng  (a  1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet") Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi  hay , phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.207

**Phần bù bình phương**
Tập tin:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|300px|Hình 2. Đồ thị hàm số bậc hai . Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành  và  là nghiệm của phương trình bậc hai .
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:

một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát  
#Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
#Trừ c/a mỗi vế.
#Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
#Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
#Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
#Giải hai phương trình bậc nhất.





Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 
Đây là lời giải.






Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả  và  đều là nghiệm của phương trình.

**Công thức nghiệm**
Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giờ là phần chứng minh tóm tắt. Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:

Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được:

Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như  hoặc  , ở đây b có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.
Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.
Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet:

Một tính chất của công thức này là khi  nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi  thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.

**Phương trình bậc hai rút gọn**
Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:

trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:


**Biệt thức**
Tập tin:Quadratic eq discriminant.svg|thumb|right|Hình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm thực của phương trình bậc hai. Khi Δ > 0, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ  0 hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
:
cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, nếu Δ, Δ' là một số chính phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các số vô tỉ.
*Nếu Δ  0 (hoặc Δ'  0), phương trình có một nghiệm thực:
:(hoặc )
hay đôi khi còn gọi là nghiệm kép.
*Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ  0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu math|a 1 và x2 có tổng là S và tích là P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - Sx + P=0

**Các trường hợp nhận biết đặc biệt**
Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:-  (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: .-  (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: - Nếu  (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

**Chủ đề liên quan**
 Phương trình- Phương trình tuyến tính- Hàm số bậc nhất- Hàm số bậc hai- Phương trình bậc ba- Phương trình bậc bốn- Phương trình bậc năm- Lý thuyết cơ bản của đại số- Đường cong bậc hai- Mặt bậc hai

**Tham khảo**

**Liên kết ngoài**
  Quadratic Equation Solver-  Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs
Thể loại:Đại số
Thể loại:Phương trình đại số
Thể loại:Đại số sơ cấp
Thể loại:Đa thức
Thể loại:Phương trình