อนุพันธ์อันดับสอง

ไฟล์:4_fonctions_du_second_degré.svg|right|thumb|200x200px| อนุพันธ์อันดับสองของ ฟังก์ชันกำลังสองมีค่าคงที่
ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง (Second derivative) ของฟังก์ชัน f คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา 
ในสัญกรณ์ไลบ์นิซโดยที่ a คือ ความเร่ง, v คือ ความเร็ว, t คือ เวลา, x คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย  คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง (x) เทียบกับเวลา
บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

**กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง**
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้

**สัญกรณ์**
อนุพันธ์อันดับสองของ  โดยมากจะเขียนเป็น  ซึ่งคือ
เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม y เทียบตัวแปรอิสระ x จะเขียนได้ว่าที่มาของสัญกรณ์นี้คือ

**ตัวอย่าง**
เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของ  คือ ฟังก์ชัน
อนุพันธ์อันดับสองของ  คือ อนุพันธ์ของ  กล่าวคือ

**ความสัมพันธ์กับกราฟ**
กราฟของ  จาก  ถึง  - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0,  /2, และ )

**ความเว้า**
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ  ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

**จุดเปลี่ยนเว้า**
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

**การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง**
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ ) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม- ถ้า , แล้ว  มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่  - ถ้า , แล้ว  มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ - ถ้า  การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด  นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้
เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

**ลิมิต**
สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม
นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ
อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน  นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย  ซึ่งนิยามว่าฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่  หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ 

**การประมาณกำลังสอง**
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน f  เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ f ที่จุดหนึ่ง ๆ  สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ f รอบ ๆ จุด 1=x = a คือการประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ 1=x = a

**ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง**
เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้  และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น  โดยที่ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น  และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ  จะได้  เมื่อ 
สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

**การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น**

**เมทริกซ์เฮสเซียน**
อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน f: R3 → R อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้
และอนุพันธ์ย่อยผสม
ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

**ตัวดำเนินการลาปลาส**
การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล  (หรือ ) ที่กำหนดโดย
ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

**ดูเพิ่ม**
 ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง- ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง- การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง- ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

**อ้างอิง**

**อ่านเพิ่มเติม**

**สิ่งพิมพ์**
 first3=Stephen- isbn=978-0-471-00005-1- isbn=978-0-471-00007-5- isbn=978-0-03-029558-4- first3=Bruce H.- author-link=Michael Spivak- isbn=978-0-534-39339-7- Citation|last=Thompson|first=Silvanus P.|title=Calculus Made Easy|date=September 8, 1998|edition=Revised, Updated, Expanded|place=New York|publisher=St. Martin's Press|isbn=978-0-312-18548-0|author-link=Silvanus P. Thompson

**หนังสือออนไลน์**
 year=2003- year=2004- year=2006- year=2000- archive-date=2006-04-15- year=2000- year=1991- archive-date=2005-09-11- url=http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child