การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ในคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

**สำหรับอนุกรม**
ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง) - ถ้ามีอนุกรมอนันต์  มาลู่เข้าและ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด  สำหรับค่าคงที่ N บางค่า อนุกรมอนันต์  ลู่เข้าด้วย- ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ลู่ออกและ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ลู่ออกด้วย
ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ ครอบงำ อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า 
นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย- ถ้าอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าสัมบูรณ์และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน- ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์
ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม  ยังสามารถลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า an ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด
คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก  ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ  อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

**การพิสูจน์**
บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม
ให้  และ  เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ  ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น  ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n พิจารณาผลรวมย่อย
 
เนื่องจาก  ลู่เข้าสัมบูรณ์  สำหรับบางจำนวนจริง T สำหรับทุก n
 
เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ  ไม่เพิ่ม ให้  แล้วทั้ง  อยู่ในช่วง  ซึ่งยาว  ลดเหลือศูนย์เมื่อ  วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า  เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น  ลู่เข้าสัมบูรณ์

**สำหรับปริพันธ์**
การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง f และ g บน  ด้วย b ที่เป็น  หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง f และ g แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง - ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่เข้าและ  สำหรับ  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่เข้าด้วยและ - ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่ออกและ  สำหรับ  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่ออกด้วย

**การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน**
การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และการทดสอบด้วยอัตราส่วน เรียกว่าการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน - มีอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าและ     และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าด้วย- ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ลู่ออกและ    และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์  ลู่ออกด้วย

**ดูเพิ่มเติม**
 การทดสอบการลู่เข้า- การลู่เข้า (คณิตศาสตร์)- ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ- การทดสอบด้วยปริพันธ์สำหรับการลู่เข้า- การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต- ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบทางเดียว

**หมายเหตุ**

**อ้างอิง**
 url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00ayre_0- location=New York- isbn=0-486-60153-6- url=https://archive.org/details/calculuswithanal00mune- isbn=0-395-18582-3- cite book|last1=Whittaker|first1=E. T.|author-link1=E. T. Whittaker|last2=Watson|first2=G. N.|author-link2=G. N. Watson|title=A Course in Modern Analysis|edition=4th|publisher=Cambridge University Press|date=1963|at=§ 2.34|isbn=0-521-58807-3 
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child
หมวดหมู่:การทดสอบการลู่เข้า