ค่าแชปลีย์

ลอยด์ แชปลีย์ ในปี ค.ศ. 2012
ค่าแชปลีย์ เป็นแนวคิดในการแก้ปัญหาในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยได้รับการตั้งชื่อตาม ลอยด์ แชปลีย์ เพื่อเป็นเกียรติให้แก่เขาซึ่งได้แนะนำแนวคิดนี้ในปี 1951 และได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี ค.ศ. 2012 สำหรับผลงานนี้
สำหรับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกมจะแจกแจงการแบ่งส่วนแบ่งที่เกิดขึ้นจากการร่วมมือระหว่างผู้เล่นให้เป็นการเฉพาะ โดยที่ค่าแชปลีย์มีคุณสมบัติที่น่าพึงพอใจหลายประการ เซร์จิโอ ฮาร์ท (1989) ได้จัดทำแบบสำรวจเกี่ยวกับเรื่องนี้

**นิยามอย่างเป็นทางการ**
เกมการรวมกลุ่ม (coalitional game) ถูกนิยามอย่างเป็นทางการดังนี้:
มีเซต N (ของผู้เล่น n คน) และฟังก์ชัน  ที่ส่งเซตย่อยของผู้เล่นไปยังจำนวนจริง:  โดยที่  ซึ่ง  หมายถึงเซตว่าง ฟังก์ชัน  นี้เรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function)
ฟังก์ชัน  มีความหมายดังนี้: ถ้า S เป็นกลุ่มพันธมิตรของผู้เล่น ฟังก์ชัน  (S) ซึ่งเรียกว่าค่าของกลุ่มพันธมิตร S จะอธิบายผลรวมของผลตอบแทนที่สมาชิกของ  สามารถได้รับจากการร่วมมือกัน
ค่าแชปลีย์ เป็นวิธีหนึ่งในการแจกจ่ายผลกำไรรวมให้แก่ผู้เล่น โดยสมมุติว่าทุกคนร่วมมือกันเป็นการแจกจ่ายที่ "ยุติธรรม" ในแง่ที่ว่าเป็นการแจกจ่ายเดียวที่มีคุณสมบัติบางประการที่ต้องการตามที่ระบุไว้ข้างล่าง ตามค่าแชปลีย์ จำนวนที่ผู้เล่น i ได้รับในเกมการรวมกลุ่ม  คือ:
 
โดยที่ n คือจำนวนผู้เล่นทั้งหมดและผลรวมจะครอบคลุมทุกเซตย่อย S ของ N ที่ไม่รวมผู้เล่น i (รวมถึงเซตว่างด้วย) โปรดทราบว่า  คือตัวประกอบทวินาม (binomial coefficient) สูตรนี้สามารถตีความได้ดังนี้: ลองนึกภาพกลุ่มพันธมิตรกำลังก่อตัวขึ้นทีละผู้เล่น โดยที่แต่ละผู้เล่นเรียกร้องส่วนแบ่งที่ยุติธรรมตามที่พวกเขามีส่วนร่วม  และจากนั้นจะใช้ค่าเฉลี่ยของการมีส่วนร่วมนี้สำหรับแต่ละผู้เล่นในลำดับการรวมกลุ่มพันธมิตร
สูตรทางเลือกสำหรับค่าแชปลีย์ คือ:
 
โดยที่ผลรวมนี้ครอบคลุมทุกลำดับ  ของผู้เล่นและ  คือเซตของผู้เล่นใน  ที่มาก่อนผู้เล่น  ในลำดับ  นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้เป็น
 

**ในแง่ของการทำงานร่วมกัน**
จาก ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ  สามารถคำนวณ การทำงานร่วมกัน ที่ผู้เล่นแต่ละกลุ่มมีให้ได้ Synergy คือฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำ  ที่ทำให้
 
สำหรับทุกเซตย่อย  กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 'ค่ารวม' ของกลุ่มพันธมิตร  มาจากการรวม synergies ของเซตย่อยทุกเซตของ 
ฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน (synergy)  ถูกคำนวณโดยใช้
 
ตามหลักการของการรวม-แยก (Inclusion-exclusion principle) กล่าวอีกนัยหนึ่งการทำงานร่วมกันของกลุ่มพันธมิตร  คือค่า  ที่ไม่ถูกนับจากเซตย่อย
ค่าแชปลีย์ สามารถนิยามในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกันได้โดย
 
ซึ่งผลรวมนี้จะครอบคลุมเซตย่อย  ทั้งหมดของ  ที่รวมผู้เล่น 
สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่า
 
กล่าวอีกนัยหนึ่งการทำงานร่วมกันของแต่ละกลุ่มพันธมิตรจะแบ่งเท่า ๆ กันระหว่างสมาชิกทั้งหมด

**ตัวอย่าง**

**ตัวอย่างทางธุรกิจ**
พิจารณาคำอธิบายที่เรียบง่ายของธุรกิจ เจ้าของ o ให้ทุนที่สำคัญในแง่ที่ว่า ถ้าไม่มีเขาหรือเธอจะไม่มีผลกำไรสามารถเกิดขึ้นได้ มีคนงาน m คน w1, ..., wm แต่ละคนมีส่วนร่วมจำนวน p ต่อกำไรรวม
 
ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมการรวมกลุ่มนี้คือ

การคำนวณค่าแชปลีย์ สำหรับเกมกลุ่มนี้ทำให้ได้ค่า 2 สำหรับเจ้าของและ 2 สำหรับแต่ละคนใน m คนงาน
ซึ่งสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการทำงานร่วมกัน ฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน  คือ

ดังนั้นกลุ่มพันธมิตรที่สร้างการทำงานร่วมกันได้ มีเพียงการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเจ้าของและคนงานแต่ละคน
การใช้สูตรค่าแชปลีย์ข้างต้นตาม  เราคำนวณได้ว่า
 
และ
 
ผลลัพธ์นี้ยังสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการเฉลี่ยในลำดับทั้งหมด คนงานแต่ละคนเข้าร่วมกลุ่มหลังจากเจ้าของ (และดังนั้นจึงมีส่วนร่วม p) ในครึ่งหนึ่งของลำดับ ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเขาคือ  เมื่อลงมาในกลุ่ม เจ้าของจะเข้ามาโดยเฉลี่ยเมื่อคนงานครึ่งหนึ่งได้เข้าร่วมแล้ว ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเจ้าของเมื่อลงมาในกลุ่มคือ 

**เกมถุงมือ**
เกมถุงมือ (Glove game) เป็นเกมการรวมกลุ่มที่ผู้เล่นมีถุงมือซ้ายและขวา และเป้าหมายคือการจับคู่ถุงมือขวาและซ้ายมาอยู่ด้วยกัน
ให้
 
โดยที่ผู้เล่น 1 และ 2 มีถุงมือขวา และผู้เล่น 3 มีถุงมือซ้าย
ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมการรวมกลุ่มนี้คือ

สูตรในการคำนวณค่าแชปลีย์คือ
 
สังเกตว่า
 
โดยการใช้ข้อโต้แย้งด้านความสมมาตร (symmetry argument) สามารถแสดงได้ว่า
 
ตามหลักการของประสิทธิภาพ (efficiency axiom) ผลรวมของค่าแชปลีย์ ทั้งหมดจะเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่า
 

**คุณสมบัติ**
ค่าแชปลีย์มีคุณสมบัติที่น่าพอใจหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกฎการจ่ายเงินเพียงอย่างเดียวที่เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งสี่ของ ประสิทธิภาพ (Efficiency), ความสมมาตร (Symmetry), ความเป็นเส้นตรง (Linearity) และผู้เล่นที่ไม่มีผล (Null player)
ดูเพิ่มเติม147–156 สำหรับการจำแนกค่าแชปลีย์

**ประสิทธิภาพ (Efficiency)**
ผลรวมของค่าแชปลีย์ของตัวแทนทั้งหมดเท่ากับค่าของกลุ่มใหญ่ (grand coalition) ดังนั้นผลกำไรทั้งหมดจะถูกแจกจ่ายให้กับตัวแทน:
 
การพิสูจน์: 
ในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน  ข้างต้น สามารถเขียนได้เป็น
 
แต่ละค่า  แสดงถึงมูลค่าของผู้เล่น  ต่อผู้เล่น  เมทริกซ์นี้ทำให้เห็นว่า
 
กล่าวคือ มูลค่าของผู้เล่น  ต่อเกมทั้งหมดเป็นผลรวมของมูลค่าที่ผู้เล่น  มีต่อผู้เล่นแต่ละคน
ในแง่ของความร่วมมือ  ที่กำหนดไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้ว่า
 
โดยที่การรวมไปยังทุกชุด  ของ  ที่มี  และ 
การตีความคือ การรวมค่าในแต่ละชุดที่มีผู้เล่น  และ  โดยสำหรับแต่ละชุด  คุณ- ใช้ความร่วมมือ  ของชุดนั้น- แบ่งออกเป็นจำนวนผู้เล่นในชุด  ซึ่งตีความว่าเป็นมูลค่าเพิ่มที่ผู้เล่น  ได้รับจากการรวมกลุ่มนี้- แบ่งเพิ่มเติมโดย  เพื่อให้ได้ส่วนที่มูลค่าของผู้เล่น  ที่ถูกให้แก่ผู้เล่น 
กล่าวอีกนัยหนึ่ง มูลค่าความร่วมมือของแต่ละกลุ่มจะถูกแบ่งออกอย่างเท่าเทียมกันระหว่างคู่  คู่  ของผู้เล่นในกลุ่มนั้น โดยที่  สร้างมูลค่าเพิ่มให้แก่ 

**การถดถอยค่าแชปลีย์**
การถดถอยค่าแชปลีย์ เป็นวิธีทางสถิติที่ใช้เพื่อวัดการมีส่วนร่วมของตัวแปรแต่ละตัวในแบบจำลองการถดถอย ในบริบทนี้ "ผู้เล่น" คือ ตัวแปรหรือพรีดิคเตอร์แต่ละตัวในแบบจำลอง และ "กำไร" คือ ความแปรปรวนที่อธิบายทั้งหมดหรือพลังการคาดการณ์ของแบบจำลอง วิธีนี้รับประกันการกระจายกำไรทั้งหมดอย่างเป็นธรรมระหว่างตัวพรีดิคเตอร์ โดยการมอบค่าที่แทนการมีส่วนร่วมของแต่ละตัวพรีดิคเตอร์ในประสิทธิภาพของแบบจำลอง ลิโปเวตสกี (Lipovetsky, 2006) ได้อภิปรายการใช้ค่าแชปลีย์ ในการวิเคราะห์การถดถอย โดยให้ภาพรวมที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพื้นฐานทฤษฎีและการใช้งานจริง
การมีส่วนร่วมของค่าแชปลีย์ ได้รับการยอมรับในเรื่องความสมดุลของเสถียรภาพและพลังในการแยกแยะ ซึ่งทำให้เหมาะสมในการวัดความสำคัญของคุณลักษณะการบริการในการวิจัยตลาดอย่างแม่นยำ การศึกษาหลายชิ้นได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักในการวิจัยการตลาด โปครีเชฟสกายา และอันตีปอฟ (Pokryshevskaya และ Antipov, 2012) ใช้วิธีนี้ในการวิเคราะห์เจตนาการซื้อซ้ำของลูกค้าออนไลน์ แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพในการเข้าใจพฤติกรรมของผู้บริโภค เช่นเดียวกัน อันตีปอฟ และโปครีเชฟสกายา (Antipov และ Pokryshevskaya, 2014) ได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการอธิบายความแตกต่างในอัตราการแนะนำโรงแรมในไซปรัสใต้ โดยเน้นประโยชน์ในอุตสาหกรรมการบริการ การตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชน์ของค่าแชปลีย์ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักได้แก่ Vriens, Vidden และ Bosch (2021) ที่เน้นข้อดีในการวิเคราะห์การตลาดที่ใช้จริง

**ในการเรียนรู้ของเครื่อง**
ค่าแชปลีย์ให้วิธีการที่มีหลักการในการอธิบายการคาดการณ์ของแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งเป็นที่นิยมในสาขาการเรียนรู้ของเครื่อง โดยการตีความแบบจำลองที่ฝึกฝนด้วยชุดของคุณลักษณะเป็นฟังก์ชันค่าในกลุ่มผู้เล่น ค่าแชปลีย์จะช่วยให้คำนวณได้ว่าคุณลักษณะใดมีส่วนช่วยในการคาดการณ์ หรือมีส่วนช่วยในความไม่แน่นอนของการคาดการณ์ วิธีนี้รวมหลายวิธีอื่น ๆ เช่น Locally Interpretable Model-Agnostic Explanations (LIME) DeepLIFT และ Layer-Wise Relevance Propagation

**อ่านหนังสือเพิ่ม**
 url-access=registration 

**ดูเพิ่ม**
 ปัญหาสนามบิน- ดัชนีพลังของบานซาฟ- ดัชนีพลังของแชปลีย์–ชูบิก

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 id=p/s084780-  เครื่องคำนวณค่าแชปลีย์-  การคำนวณค่าโดยสารแท็กซี่โดยใช้ค่าแชปลีย์
หมวดหมู่:เกมร่วมมือ
หมวดหมู่:การแบ่งที่ยุติธรรม
หมวดหมู่:ลอยด์ แชปลีย์