ฟังก์ชันประกอบ

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบฟังก์ชัน  จะนำฟังก์ชันสองตัว  และ  มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่กำหนดโดย นั่นคือทำฟังก์ชัน g หลังจากทำฟังก์ชัน f กับ x 
ฟังก์ชัน  อ่านว่า ฟังก์ชันประกอบของ  และ  เรียกการดำเนินการนี้ว่าการประกอบฟังก์ชัน (Function composition)  
การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย  ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน  ก่อนและ  หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน f จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน g
การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์  ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น สมบัติการจัดกลุ่มของความสัมพันธ์

**ตัวอย่าง**
ตัวอย่างชัดแจ้งสำหรับการประกอบฟังก์ชันสองฟังก์ชัน- การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า  และ  จะได้ว่า  ตามที่แสดงในภาพ- การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า f: R → R (โดยที่ R คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย 1=f(x) = 2x + 4 และ g: R → R กำหนดโดย 1=g(x) = x3, จะได้ว่า:  - ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา t คือ a(t) และความดันอากาศที่ความสูง x คือ p(x) ดังนั้นจะได้ว่า (p ∘ a)(t) คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา t

**สมบัติ**
การประกอบฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า f, g และ h เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ ดังนี้: 1=f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงนิยมละการเขียนวงเล็บออก
การประกอบฟังก์ชันมีนิยามที่แตกต่างกันหลายระดับ ในแง่ที่รัดกุมเข้มงวดที่สุด ฟังก์ชันประกอบ 1=g ∘ f จะมีความหมายก็ต่อเมื่อโคโดเมนของ f เท่ากับโดเมนของ g แต่มีการนิยามฟังก์ชันประกอบที่กว้างขึ้น โดยยอมให้ฟังก์ชันประกอบ 1=g ∘ f  มีความหมายได้เมื่อ โคโดเมนของ f เป็นสับเซตของโดเมนของ g 
นอกจากกรณีข้างต้น หลายครั้งที่การประกอบฟังก์ชันใช้งานสะดวกขึ้นหากยอมให้จำกัดโดเมนของ f ลงไป โดยจำกัดโดเมนของ f ไปยังเซตของสมาชิกทั้งหมดที่เมื่อส่งผ่าน f แล้วลงไปอยู่ในโดเมนของ g ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชัน 1=g ∘ f ระหว่างฟังก์ชัน math|f : R → (−∞,+9  ที่กำหนดโดย 1=f(x) = 9 − x2 และ math|g : ช่วง (คณิตศาสตร์)|0,+∞) → R ที่กำหนดโดย  สามารถนิยามได้ในช่วง math|−3,+3 ภายใต้นิยามนี้
ค่าจริงสองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และฟังก์ชันกำลังสาม ในลำดับที่แตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าการประกอบฟังก์ชันไม่มีสมบัติสลับที่
ฟังก์ชัน g และ f จะเรียกว่าสลับที่ได้ ถ้า 1=g ∘ f = f ∘ g ซึ่งหมายความว่าการประกอบฟังก์ชันในลำดับใด ๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน สมบัติการสลับที่กันได้นั้นเป็นสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางคู่ และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น  จะเป็นจริงเมื่อ x ≥ 0 ชภาพด้านข้างแสดงตัวอย่างอื่น ๆ อีกเช่นกัน
การประกอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองตัวจะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกันการประกอบฟังก์ชันทั่วถึงสองตัวจะได้ฟังก์ชันทั่วถึงเสมอ ดังนั้นการประกอบฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นเดียวกัน
ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันประกอบ (หากมีฟังก์ชันผกผันอยู่จริง) มีคุณสมบัติว่า 1=(f ∘ g)−1 = g−1∘ f−1
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันประกอบที่มีหาอนุพันธ์ได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้หาได้จากสูตรของ Faà di Bruno
เราอาจมองว่าการประกอบฟังก์ชันเป็นการคูณชนิดหนึ่งบนปริภูมิของฟังก์ชัน แต่จะมีสมบัติแตกต่างจากการคูณรายจุดของฟังก์ชัน (เช่น การประกอบฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สลับที่ได้)

**โมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน**
หากเรามีฟังก์ชันสองตัว f: X → X, g: X → X ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการแปลง (transformation) เราสามารถประกอบฟังก์ชันต่อกันไปเรื่อย ๆ เป็นลูกโซ่ เช่น f ∘ f ∘ g ∘ f ลูกโซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตแบบโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่าโมนอยด์การแปลง (transformation monoid) หรือโมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน (composition monoid) โมนอยด์การแปลงโดยทั่วไปอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากเช่นในกรณีของเส้นโค้งเดอรัง 
เซตของฟังก์ชัน f: X → X ทั้งหมดเรียกว่า กึ่งกรุปของการแปลงเต็ม (full transformation semigroup) หรือ กึ่งกรุปสมมาตร (symmetric semigroup) บน X
การส่งแบบเฉือน (สีแดง) และการหมุนตามเข็มนาฬิกา 45° (สีเขียว) ด้านซ้ายคือวัตถุเดิม ด้านบนคือการเปลี่ยนรูปเชิงเฉียงก่อน แล้วจึงหมุน ด้านล่างคือการหมุนก่อน แล้วจึงเปลี่ยนรูปเชิงเฉียง
หากการแปลงเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้) แล้วเซตของฟังก์ชันประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสร้างกรุปการแปลง (transformation group) หรือกรุปการจัดเรียง (permutation group) และจะกล่าวว่ากรุปการจัดเรียงก่อกำเนิดโดยฟังก์ชันฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง 
ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกรุปชื่อว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่ากรุปใด ๆ จะเป็นสับกรุปของกรุปการจัดเรียง (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาน) เซตของฟังก์ชัน f: X → X หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดบนเซต X (ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ประกอบกันเป็นกรุปภายใต้การรวมฟังก์ชันเรียกว่ากรุปสมมาตร 

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค