สูตรของเฮรอน

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a b และ c
ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร (Heron's formula) จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠⁠⁠ ⁠ และ ⁠ โดยกำหนดให้ ⁠⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า  ทำให้ได้พื้นที่ ⁠⁠ เป็น 
 
สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

**ตัวอย่าง**
กำหนดให้ ⁠⁠  มีด้านทั้งสามยาว   และ  โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น   จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น
 
จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

**การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ**
สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้
 
หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่   และ    
ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์
 

**ประวัติ**
สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย ( ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ เมตริกา (Metrica) ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก เมตริกา คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น
สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ
 
สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

**บทพิสูจน์**
มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

**การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์**
จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน    และ  ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น   และ  ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า
 
ไฟล์:Triangle_with_notations_2_without_points.svg|thumb|รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a b และ c
จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า
 
โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น  มีความยาวเป็น  และจะได้ดังนี้
 

**การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส**
ไฟล์:Triangle_with_notations_3.svg|thumb|270x270px|สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว h ซึ่งลากตัดฐานยาว c ทำให้ c เป็น d + (c − d)
หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้  และ  ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้  ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ  ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า
 
โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้  จากนั้นทำการแทนค่า  จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้
 
จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น
 

**การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์**
ไฟล์:Herontriangle2greek.svg|right|thumb|270x270px| นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ s − a s − b และ s − c ตามกฎของโคแทนเจนต์
ถ้า  เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ  และมีฐานยาว   และ  จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น
 
โดยที่  คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง  และมีฐานยาว   และ  จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)
 
ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ  ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ 
เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้
 
ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

**ความเสถียรเชิงตัวเลข**
สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้  จากการคำนวณได้ว่า
 
จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

**สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย**
อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน
ขั้นตอนแรก กำหนดให้   และ ⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน   และ  ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ  จะได้
 
ถัดไป ให้   และ  คือความสูงจากด้าน   และ  ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ  จะได้ 
 
จะได้ว่า ให้   และ  เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ  จะได้
 
โดย  คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle)  สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

**การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ**
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)
สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์
จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่  เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น    และ  ทำให้ได้
 
โดย  คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม
สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์
สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้
 
แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า
ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์ 

**สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน**
ให้        และ  เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย  ตรงข้ามกับ  และต่อไปตามลำดับ) จะได้
 
โดยที่
 

**สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด**
นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน   และ  และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น  และมีพื้นที่เป็น  ตามสูตรดังกล่าวจะได้
 
ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้
 

**ดูเพิ่มเติม**
 สูตรพื้นที่ของเกาส์

**เชิงอรรถและรายการอ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula ที่ cut-the-knot-  Interactive applet and area calculator using Heron's Formula-  J. H. Conway discussion on Heron's Formula-  "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"-  A Geometric Proof of Heron's Formula-  An alternative proof of Heron's Formula without words-  Factoring Heron
หมวดหมู่:พื้นที่
หมวดหมู่:ทฤษฎีสามเหลี่ยม