กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

**กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น**
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย

**กฎพจน์ค่าคงที่**
สำหรับฟังก์ชั่น  และ  และจำนวนจริง  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ในส่วน  คือ

**การพิสูจน์**
 
บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

**คำอธิบายททางเรขาคณิต**
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง
ไฟล์:Tangent_function_animation.gif|right|frame| ในแต่ละจุดอนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ

**การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น**
สำหรับฟังก์ชัน และ  และจำนวนจริง  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ที่ส่วน  คือ 
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่- กฎตัวประกอบค่าคงที่ - กฎผลรวม - กฎผลต่าง 

**กฎผลคูณ**
สำหรับฟังก์ชั่น  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ในส่วน  คือ 
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
 
ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่  ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

**กฎลูกโซ่**
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  คือ
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
มักจะย่อเป็น 
สำหรับค่า  ใด ๆ เมื่อ , ถ้า  คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่  แล้ว   

**กฎฟังก์ชันผกผัน**
ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า  และ  แล้ว 
เมื่อ  จะเป็นกรณีพิเศษถ้า  แล้ว 
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

**กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ**

**กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น**
ถ้า  สำหรับจำนวนจริงใดๆ  แล้ว
 
การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

**กฎส่วนกลับ**
อนุพันธ์ของ  สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ
  โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
 
กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

**กฎผลหาร**
ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว
  โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์
ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

**กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป**
 
ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม
กรณีพิเศษ- ถ้า  แล้ว  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก- กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่  

**อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม**
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ  ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
 
 
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก  -
 
 
  เมื่อ  คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท
 
 
  

**อนุพันธ์เชิงลอการิทึม**
อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):
  โดยที่ f เป็นบวก
อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริงdate=October 2021 จำเป็นต้องอ้างอิง 
ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

**อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ**
ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น  และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น 
เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว   ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง  และสะท้อนจตุภาคของจุด  สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น  ) มี  อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ
 และ

**อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก**
ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

**อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ**
 ฟังก์ชันแกมมา
 
  กับ  เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ  ในบรรทัดด้านบน
 ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
 
 

**อนุพันธ์ของปริพันธ์**
สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน
 
ที่ฟังก์ชั่น  และ  ต่อเนื่องทั้ง  และ  ในบางบริเวณของระนาบ  รวมทั้ง   และฟังก์ชัน  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ  - แล้วเมื่อ  -
 
สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

**อนุพันธ์อันดับดับที่ n**
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

**สูตรของฟาอาดิบรูโน**
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง  เมื่อ  และเซต  ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์  -

**กฎทั่วไปของไลบ์นิซ**
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง  

**ดูเพิ่ม**
 ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้- ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของฟังชัน- การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์- การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์- ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก- ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน- รายการปริพันธ์- รายการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์- แคลคูลัสเมทริก- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์

**อ้างอิง**

**ที่มาและอ่านเพิ่มเติม**
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน- คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7.- คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, 978-0-521-57507-2.- วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, 978-0-521-86153-3.- คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, 978-0-521-19225-5.

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
หมวดหมู่:ตารางทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:รายชื่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child

หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์