เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง คือเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยไม่ตัดผ่านเส้นโค้งในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น เส้นสีแดงในภาพเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดซึ่งถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง.
ระนาบสัมผัสกันกับทรงกลม
ในเรขาคณิต เส้นสัมผัสเส้นโค้ง (tangent line) ที่จุด ๆ หนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "แตะ" หรือ "สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันมาก ๆ อย่างกณิกนันต์บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง  ที่จุด  หากเส้นนั้นผ่านจุด (c, f(c)) บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ  ซึ่ง f คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งในปริภูมิยูคลิด n-มิติได้เช่นกัน
จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งจวบกันหรือตัดกันเรียกว่าจุดสัมผัส อาจกล่าวได้ว่าเส้นสัมผัสโค้งไปในทิศทางเดียวกันกับเส้นโค้งที่มันสัมผัสอยู่ ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีสของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดใด ๆ บนเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณเส้นโค้งด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่สัมผัส
ในทำนองเดียวกัน ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดหนึ่งคือระนาบที่สัมผัส พื้นผิวนั้นที่จุดนั้น แนวคิดของวัตถุสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และสามารถวางนัยทั่วไปได้เป็นปริภูมิแทนเจนต์

**ประวัติ**
ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของอะพอลโลเนียส (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้
อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น
ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง  และ  แล้วหารด้วยกำลังของ  เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า method of normals โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ
วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น โรแบวาล ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน เรอเน-ฟรองซัวส์ เดอ สลูส และโยฮันเนส ฮุดเด ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของจอห์น วอลลิส และไอแซก บาร์โรว์ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ
ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง" นิยามนี้ป้องกันไม่ให้จุดเปลี่ยนเว้า มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด P บนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด P

**เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ**
เส้นสัมผัส, เส้นคอร์ด และเส้นตัด ต่อวงกลม
แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด A และ B ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด A คือขีดจำกัดเมื่อจุด B เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ A การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด B" เข้าใกล้จุดยอด
ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสาม ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์
ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เรขาคณิตนูน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า ไฮเปอร์เพลนรองรับ

**คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย**
สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด p = (a, f(a)) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง q = (a + h, f(a + h)) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตัด ที่ผ่านจุด p และ q จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:
 
เมื่อจุด q เข้าใกล้ p มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ h เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน kซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด p หากทราบว่า k คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:
 

**More rigorous description**
เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า k อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย โกชี ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต
สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด p และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ p ดังนั้นจะมีค่า k เฉพาะที่ทำให้เมื่อ h เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ k มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ h ถ้า h เล็กพอ
นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน f ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x = a ซึ่งเขียนว่า  f ′(a) ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:
 
แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส

**วิธีการที่อาจล้มเหลว**
คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน f ถือว่าเป็น non-differentiable หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้
กราฟ y = x1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ a = 0 เท่ากับ h1/3/h = h−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ h เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง
กราฟ y = x2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี cusp ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต h เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ a = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ x ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ y = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า double tangent
กราฟ y = |x| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า corner
สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง การแย้งสลับที่ กล่าวว่า ความไม่ต่อเนื่อง หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด

**สมการ**
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) ความชันของเส้นสัมผัสคือ  ดังนั้นตาม สูตรจุด-ความชัน สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) คือ

โดยที่ (x, y) เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่ 
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก การหารพหุนามแบบยาว โดยการหาร  ด้วย ; หากเศษที่เหลือคือ  สมการของเส้นสัมผัสคือ

เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ f(x, y) = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ฟังก์ชันโดยนัย ซึ่งให้

สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) ซึ่ง f(X, Y) = 0 คือ

สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก

ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด (X, Y) ถือเป็น จุดพิเศษ
สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิต การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น พิกัดเอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น g(x, y, z) = 0 ซึ่ง g เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ n ดังนั้นหาก (X, Y, Z) อยู่บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันเอกพันธ์ กล่าว
ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ

สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง z=1 ในสมการนี้
เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน f(x, y) เป็น

โดยที่แต่ละ ur เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ r สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ

การใช้สมการข้างต้นและตั้ง z=1 จะให้

เป็นสมการของเส้นสัมผัส สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้
หากเส้นโค้งถูกกำหนด parametrically โดย

ความชันของเส้นสัมผัสคือ

ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่  เป็น

หาก

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง

**เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง**
เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า เส้นปกติ ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ y = f(x) ความชันของเส้นปกติคือ : และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ : ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ f(x, y) = 0 สมการของเส้นปกติคือ :
หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย : สมการของเส้นปกติคือ :

**มุมระหว่างเส้นโค้ง**
มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน

**เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว**
เส้นโค้งที่มีเส้นสัมผัสสองเส้นที่จุดกำเนิด
สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้
ตัวอย่างเช่น สมการของ ไตรเซกทริกซ์แบบลิมาซอน ที่แสดงทางขวาคือ  การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้  ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น  ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด
เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง y = |x | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ x = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา
บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง y = x 2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ x = 0 เป็นอนันต์ ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ x = 0

**วงกลมสัมผัส**
วงกลมสัมผัสสองคู่: ด้านบนสัมผัสภายใน และด้านล่างสัมผัสภายนอกวงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น
หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี 
และ  และศูนย์กลางที่   จะสัมผัสกันเมื่อ:

วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า สัมผัสภายนอก หาก ระยะทาง ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:

หรือ สัมผัสภายใน หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี:


**ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว**
แผ่นสัมผัส (Tangent Plane) ต่อพื้นผิวที่จุดกำหนด p ถูกกำหนดในลักษณะคล้ายกับเส้นสัมผัสในกรณีของเส้นโค้ง มันเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของพื้นผิวโดยแผ่นที่จุด p และสามารถหามาได้จากตำแหน่งจำกัดของแผ่นที่ผ่านจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิวที่ใกล้เคียงกับ p เมื่อตำแหน่งของจุดเหล่านี้เข้าใกล้ p ในทางคณิตศาสตร์ หากพื้นผิวถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน  สมการของแผ่นสัมผัสที่จุด  สามารถเขียนได้ว่า:
ในที่นี้  และ  คือ อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน  ตาม  และ  ตามลำดับ, ที่ประเมินที่จุด  โดยพื้นฐานแล้ว แผ่นสัมผัสจับพฤติกรรมท้องถิ่นของพื้นผิวที่จุดเฉพาะ p เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญในการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในท้องถิ่นบนพื้นผิว

**ดูเพิ่มเติม**
 แนวฉาก- เส้นตั้งฉาก

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:แคลคูลัส