สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ 
สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean triple) ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกสามจำนวน คือ a, b และ c โดยที่  สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น (a, b, c) ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ (3, 4, 5) ถ้า (a, b, c) เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้ (ka, kb, kc) ซึ่งจะมี k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส
ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1 เช่น (3, 4, 5) เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่ (6, 8, 10) ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร (a, b, c) ด้วยตัวหารร่วมมาก (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก
ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร  ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว  และ  ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่  ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจากรากที่สองของสองไม่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ อีกเหตุผลหนึ่งคือ  และ   ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ  เป็นจำนวนอตรรกยะ
สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก Plimpton 322 ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาวบาบิโลเนียที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal)
เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม สมการ  คือ สมการไดโอเฟนไทน์ (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ สมการไม่เชิงเส้นไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

**ตัวอย่าง**
มีค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 100 มีทั้งหมด 16 ค่า ได้แก่
ค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสอื่น ๆ เช่น (6, 8, 10) ไม่อยู่ในรายชื่อ เนื่องจากไม่เป็นค่าปฐมฐาน เพราะ (6, 8, 10) เป็นพหุคูณของค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (3, 4, 5)
และค่าเหล่านี้คือค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 300 ได้แก่

**เชิงอรรถและรายการอ้างอิง**

**เชิงอรรถ**

**รายการอ้างอิง**
 url-status=dead- language=sv- language=nl- jstor=2686417- author-link=Noam Elkies- author-link=T. L. Heath- Citation|last=Long|first=Calvin T.|title=Elementary Introduction to Number Theory|year=1972|edition=2nd|place=Lexington|publisher=D. C. Heath and Company|lccn=77171950- Citation|last=Martin|first=Artemas|title=Rational right angled triangles nearly isosceles|volume=3|issue=2|pages=47–50|year=1875|periodical=The Analyst|doi=10.2307/2635906|jstor=2635906|author-link=Artemas Martin- doi=10.1080/0025570X.2005.11953298- mr=2425702- first2=D.W.- editor5-last=N.M.J. Woodhouse

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples-  Curious Consequences of a Miscopied Quadratic-  Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems-  Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions-  -  Interactive Calculator for Pythagorean Triples-  The negative Pell equation and Pythagorean triples-  Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials- arxiv=0809.4324-  Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in " A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 0-13-186137-9-  Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples-  Pythagorean Triplets-  The Remarkable Incircle of a Triangle-  Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples-  Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry-  The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot- Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม
หมวดหมู่:สมการ