การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์  

**รายการการทดสอบ**

**ลิมิตของส่วนของผลบวก**
ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ  แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n  การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก

**การทดสอบด้วยอัตราส่วน**
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์
 พิจารณาลิมิตสองลิมิต  และ   ถ้า  อนุกรมจะลู่ออก ถ้า  อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์  ถ้า  การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

**การทดสอบโดยราก**
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ n หรือ เกณฑ์ของโคชี
 ให้
: 
 เมื่อ  หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้  หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)
 ถ้า r  1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า r = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน
การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป 

**การทดสอบด้วยปริพันธ์**
อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้  เป็น ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว โดยที่  ถ้าให้  แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ  ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า

**การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี**
บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้  แล้ว  จะลู่เข้า ถ้า 
กรณีที่  จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่  คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา  โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ  อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ  นั่นก็คือ 

**การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง**
ถ้าอนุกรม  เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ  สำหรับ n ที่มากพอ แล้อนุกรม  จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

**การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต**
ถ้า  (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต  หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

**การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี**
ให้  เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม  จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม  ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว  จะเป็นจริง

**การทดสอบของอาเบล**
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
#  เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
#  เป็นลำดับทางเดียวและ
#  มีขอบเขตจำกัด
แล้ว  ก็จะลู่เข้าด้วย

**การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์**
อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

**การทดสอบอนุกรมสลับ**
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง-  เป็นลำดับทางเดียว
แล้ว  และ  เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์

**การทดสอบของดิริชเลต์**
ถ้า  เป็นลำดับของจำนวนจริง และ  ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ

-  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N
โดยที่ M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม
 
ลู่เข้า

**การทดสอบการลู่เข้าของโคชี**
อนุกรม  จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก  มีจำนวนนับ N ที่
 
เป็นจริงสำหรับทุก n > N และทุก p ≥ 1 

**ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร**
ให้  และ  เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า  เป็นลำดับลู่ออกทางเดียวโดยแท้ และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้
 
แล้วลิมิต
 

**การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์**
สมมติให้ (fn) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต A และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (Mn) ที่สอดคล้องเงื่อนไข-  สำหรับทุก  และทุก , และ-  ลู่เข้า
แล้วอนุกรม
 
ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และเอกรูปบน A

**ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน**
การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1  อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

**การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล**
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวก
กำหนดให้
 
ถ้า
 
มีความเป็นไปได้สามทาง- ถ้า L > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)- ถ้า L n} เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า b > 1 และ K (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า
 
สำหรับทุก n > K ดังนั้นอนุกรม {an} จะลู่เข้า

**การทดสอบของเบอร์ทรานด์**
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้
 
ถ้า
 
มีอยู่สามความเป็นไปได้ - ถ้า L > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)- ถ้า L n} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า  สำหรับบาง β > 1 แล้ว  ลู่เข้าถ้า α > 1 และลู่ออกถ้า α ≤ 1 

**การทดสอบของคุมเมอร์**
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว 
(1)  ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ  ของจำนวนบวกและจำนวนจริง c > 0 โดยที่  -
(2)  จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ  ของจำนวนบวกที่ทำให้ 
และ  ลู่ออก

**การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา**
ให้  เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้  เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และอนุพันธ์อันดับสอง  หาค่าได้ที่  แล้ว  ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า  และลู่ออกในกรณีอื่น 

**หมายเหตุ**
 สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมีการทดสอบดินี

**ตัวอย่าง**
พิจารณาอนุกรม
 
การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชีบอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า
 
เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก
 
(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน  (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ ). ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ .

**การลู่เข้าของผลคูณ**
แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้  เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์  จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้  ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า เป็นจริง แล้ว  จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม  ลู่เข้า
สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต 

**ดูเพิ่มเติม**
 กฎของโลปิตาล- กฎการเลื่อน

**อ้างอิง**

**อ่านเพิ่มเติม**
 pages= 655–737
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child