ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ไฟล์:Torus.png|right|thumb|250x250px|ทอรัสเป็นวัตถุที่มีการศึกษามากวัตถหนึ่งในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (Algebraic topology) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ใช้เครื่องมือทางพีชคณิตนามธรรมเพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป้าหมายพื้นฐานสุดของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตคือการค้นหาตัวยืนยงทางพีชคณิตที่สามารถจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาณ) แม้ว่าโดยปกติแล้วตัวยืนยงส่วนใหญ่จะจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยีจนถึงขั้นภาวะสมมูลเชิงฮอมอโทปี
ถึงแม้ว่าทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะใช้พีชคณิตในการศึกษาปัญหาทางทอพอโลยีเป็นหลัก แต่ทอพอโลยีก็สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาในพีชคณิตได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสามารถใช้พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า กรุปย่อยใด ๆ ของกรุปเสรีเป็นกรุปเสรีด้วย

**สาขาหลัก**
ด้านล่างเป็นสาขาหลัก ๆ ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

**กรุปฮอมอโทปี**
กรุปฮอมอโทปี (homotopy group) ใช้ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิตเพื่อจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี กลุ่มฮอมอโทปีที่นิยามเป็นอันแรกและมีรูปแบบง่ายที่สุดคือกรุปพื้นฐาน (fundamental group) ซึ่งบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับวงวนในปริภูมิ อาจอธิบายให้เห็นภาพได้ว่ากรุปฮอมอโทปีระบุข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างพื้นฐานหรือรูของปริภูมิทอพอโลยี

**ฮอมอโลยี**
ฮอมอโลยี (homology จากภาษาὁμός homos "เหมือนกัน") เป็นกระบวนการแบบหนึ่งในการกำหนดลำดับของกรุปอาบีเลียนหรือมอดูลให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีหรือกรุป

**โคฮอมอโลยี**
ในทฤษฎีฮอมอโลยีและทอพอโลยีเชิงพีชคณิต เป็นชื่อเรียกลำดับของกรุปอาบีเลียนที่ได้จากโคเชนคอมเพล็กซ์ (cochain complex) สามารถมองว่าโคฮอมอโลยีเป็นการกำหนดตัวยืนยงทางพีชคณิตให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ละเอียดกว่าฮอมอโลยี 

**แมนิโฟลด์**
แมนิโฟลด์เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนกับปริภูมิแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น ระนาบ ทรงกลม และทอรัสที่สามารถสร้างได้ในปริภูมิสามมิติ แต่ยังรวมขวดของไคลน์ และปริภูมิเชิงภาพฉายจริงที่ไม่สามารถฝังเข้าไปในปริภูมิสามมิติได้ แต่ฝังเข้าในปริภูมิสี่มิติได้ 
โดยทั่วไปการศึกษาแมนิโฟลด์ในทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะสนใจมุมมองทั้งหมด (global) ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ได้ของแมนิโฟลด์ เช่น ภาวะคู่กันปวงกาเร 

**ทฤษฎีเงื่อน**
ทฤษฎีเงื่อนศึกษาเกี่ยวกับเงื่อนทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าเงื่อนในทางคณิตศาสตร์ จะได้รับแรงบันดาลใจจากเงื่อนที่ปรากฏในชีวิตประจำวัน เช่น จากเชือกผูกรองเท้าและจากเชือก แต่เงื่อนของนักคณิตศาสตร์จะแตกต่างไป ตรงที่ปลายทั้งสองข้างถูกเชื่อมเข้าด้วยกันไม่ให้คลายออกได้ ในภาษาคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ จะกล่าวว่า เงื่อน (knot) คือการฝัง (embedding)  วงกลมในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ เงื่อนทางคณิตศาสตร์สองเงื่อนจะเทียบเท่ากันหากเงื่อนหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนหนึ่งได้โดยการแปลงรูป  ที่คงตัวมันเอง (เรียกว่า ambient isotopy) การแปลรูปเหล่านี้เป็นการจัดการกับเส้นเชือกที่ผูกเงื่อนไว้อยู่ โดยไม่ตัดหรือแทงเส้นเชือกทะลุเข้าตัวมันเอง

**คอมเพล็กซ์**
ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์มิติ 3 รูปแบบหนึ่ง
ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ (simplicial complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่ง ซึ่งสร้างขึ้นโดย "การติดกาว" จุด ส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยม และรูปที่คล้ายกับสามเหลี่ยมในมิติ n ที่สูงขึ้นเข้าด้วยกัน (ดูภาพประกอบ) ระวังสับสนระหว่างซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์กับเซตซิมพลิเซียล (simplicial set) ที่ที่ปรากฏในทฤษฎีโฮโมโทปีซิมพลิเซียลสมัยใหม่ แนวคิดเสมือนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ในคอมบินาทอริกซ์คือซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นามธรรม 
CW คอมเพล็กซ์ (CW complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่งที่ J. H. C. Whitehead เสนอขึ้นมาใช้ในทฤษฎีโฮโมโทปี ปริภูมิ CW คอมเพล็กซ์ประเภทนี้ทั่วไปกว่า และมีคุณสมบัติเชิงแคทิกอรีที่ดีกว่าซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ แต่ยังคงรักษาธรรมชาติเชิงคอมบินาทอริกซ์ไว้ซึ่งทำให้สามารถคำนวณออกมาได้ (โดยใช้คอมเพล็กซ์ที่เล็กกว่ามาก) 

**การประยุกต์ใช้**
ตัวอย่างคลาสสิกของการประยุกต์ใช้ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตได้แก่:- ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราวเออร์- แรงค์เสรีของกรุปฮอมอโลยีอันดับที่ n คือจำนวนเบตตีตัวที่ n ซึ่งสามารถใช้คำนวณค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเรได้- เราสามารถใช้โครงสร้างเชิงอนุพันธ์ของแมนิโฟลด์เรียบผ่านโคโฮโมโลยีเดอรัง หรือโคโฮโมโลยีเชค หรือโคโฮโมโลยีชีฟ เพื่อตรวจสอบภาวะการแก้ได้ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดบนแมนิโฟลด์- แมนิโฟลด์จะเป็นแมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ เมื่อกรุปฮอมอโลยีค่าจำนวนเต็มในมิติสูงสุดเป็นจำนวนเต็ม และจะกำหนดทิศทางไม่ได้ถ้าเป็น 0- ทรงกลมในมิติ n จะมีสนามเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ต่อเนื่อง และไม่เป็นศูนย์ที่ไหนเลย ก็ต่อเมื่อ n เป็นเลขคี่ (สำหรับ n = 2 บางครั้งเรียกทฤษฎีบทนี้ว่า "ทฤษฎีบทลูกบอลขนดก") - ทฤษฎีบทบอร์ซุก–อูลาม: การส่งต่อเนื่องจากทรงกลมในมิติ n ไปยังปริภูมิยูคลิดมิติ n จะส่งจุดที่เคยอยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลมไปยังจุดเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งคู่- กรุปย่อยใด ๆ ของกรุปเสรีเป็นกรุปเสรีด้วย ทฤษฎีบทนี้น่าสนใจเพราะเป็นทฤษฎีบทในพีชคณิต แต่บทพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่เป็นที่รู้จักใช้ทอพอโลยี

**อ้างอิง**

**รายการอ้างอิง**
 year=2008 (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).- author-link=Glen Bredon.- url-status=dead (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).- s2cid=122228464. "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."- first4=T..- first2=P.J.. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."- first3=Rafael This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.- citation|last1=Fraleigh|first1=John B.|title=A First Course In Abstract Algebra|year=1976|edition=2nd|location=Reading|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-01984-1- url-access=registration. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.- author-link=Allen Hatcher. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.- isbn=9780442034061- isbn=0-486-69131-4.- author-link=Tammo tom Dieck- citation|last=van Kampen|first=Egbert|title=On the connection between the fundamental groups of some related spaces|journal=American Journal of Mathematics|volume=55|issue=1|pages=261–7|year=1933|jstor=51000091|author-link=Egbert van Kampen

**อ่านเพิ่มเติม**
 cite book|first=Allen|last=Hatcher|author-link=Allen Hatcher|url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|title=Algebraic topology|year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-79160-X and 0-521-79540-0.- id=p/a011700- cite book|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|title=A Concise Course in Algebraic Topology|year=1999|publisher=University of Chicago Press|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|archive-date=2022-10-09|url-status=live|access-date=2008-09-27|name-list-style=vanc Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.
หมวดหมู่:ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต