ผลพวงเชิงตรรกะ

ผลพวงเชิงตรรกะ (Logical consequence หรือ entailment) เป็นแนวคิด (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่งเป็นผลมาจากข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่สมเหตุสมผลเป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง การวิเคราะห์ (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร?  ทั้งหมดทั้งมวลของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและความจริงเชิงตรรกะ (logical truth)
ผลพวงเชิงตรรกะจำเป็นและเป็นรูปนัย (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดยการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และตัวแบบการตีความ (interpretation (logic)) ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความส่วนตัว)
นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา  ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้างระบบนิรนัย (deductive system) สำหรับ  หรือด้วยการตีความที่ตั้งใจ (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา  นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ อัลเฟรด ทาร์สกี (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปตรรกะ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบอัญรูป (modal logic)

**คำอธิบายเชิงรูปนัย**
มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปตรรกะของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น
คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับเค้าร่างซึ่งใช้กฎการอนุมาน (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า
 ทุก X เป็น Y
 ทุก Y เป็น Z
 เพราะฉะนั้น ทุก X เป็น Z
การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจากกรณี (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล
ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริงในทุกกรณี แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "P เป็นลูกของพี่ชายของ Q เพราะฉะนั้น P เป็นหลานของ Q" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผลรูปนัย

**คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ**
เมื่อเรารู้ว่า  เป็นผลโดยตรรกะมาจาก  แล้วความหมายของ  หรือ  ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มีความรู้เชิงประจักษ์ (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า  เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ  เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori) อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ

**การพิสูจน์และตัวแบบ**
เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของการพิสูจน์ (proof) และผ่านตัวแบบ (model) ทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือทฤษฎีตัวแบบ (model theory)

**ผลพวงทางไวยากรณ์**
สูตรหรือ formula  เป็นผลพวงทางไวยากรณ์ (syntactic consequence) ของเซตของสูตร  ในระบบรูปนัย  (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมีการสืบสมุฏฐาน (formal proof)  จากเซตของ  ใน  

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบรูปนัยในแบบใด ๆ

**ผลพวงทางความหมาย**
สูตรหรือ formula  เป็นผลพวงทางความหมาย (semantic consequence) ของเซตของข้อความ  ในระบบรูปนัย  ระบบหนึ่ง

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ  ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ  เป็นจริงแต่  จะเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน  ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้  เป็นจริง

**คำอธิบายเชิงอัญรูป**
คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทางอัญรูป (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:
   เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันจำเป็น ที่หากสมาชิกของ  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว  เป็นจริง
ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):
   เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันเป็นไปไม่ได้ ที่สมาชิกของ  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว  เป็นเท็จ
คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัยความจำเป็นเชิงตรรกะ (logical truth) และความเป็นไปได้เชิงตรรกะ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบนโลกที่เป็นไปได้ (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:
   เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว  เป็นเท็จ (ไม่จริง)
พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:
กบทุกตัวสีเขียว 
เคอร์มิตเป็นกบ 
เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว
ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

**คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย**
คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:
   ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ / จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

**คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน**
คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอมเหตุผลสนับสนุน" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนักสหัชญาณนิยม (intuitionism) เช่น ไมเคิล ดัมเม็ตต์ (Michael Dummett)

**ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว**
คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวงทางเดียว (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า  เป็นผลพวงของ  แล้ว  จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ  ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวงไม่เป็นทางเดียว (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ
{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}
แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ
{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}

**ดูเพิ่ม**
 Ampheck- การให้เหตุผลแบบนิรนัย- กฎของเพิร์ซ (Peirce's law)- กราฟเชิงตรรกะ (Logical graph)- เครื่องหมายดังนั้น (Therefore sign)- แคลคูลัสเชิงประพจน์- ความสมเหตุสมผล (Validity (logic))- เงื่อนไขเข้มงวด (Strict conditional)- โดเมนแบบบูล- ตรรกศาสตร์เชิงน่าจะเป็น (Probabilistic logic)- ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตนามธรรม (Abstract algebraic logic)- เทิร์นสไตล์ (Turnstile (symbol))- เทิร์นสไตล์คู่ (Double turnstile)- ประตูสัญญาณตรรกะ- ผลพวงเชิงสัจนิรันดร์ (Tautological consequence)- พีชคณิตแบบบูล- ฟังก์ชันแบบบูล (Boolean function)- สัจนิรันดร์ (Tautology (logic))- เหตุภาพ

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
 volume=1.- title=Logical consequences. Theory and applications: An introduction. London: College Publications. Series:  Mathematical logic and foundations.- location=Stanford.- title=Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.- isbn=9780486432281. Papers include those by Gödel, Church, Rosser, Kleene, and Post.- isbn=9780674537866 .- publisher=Blackwell in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic.-  publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy.- publisher= Harvard University Press.- publisher= Blackwell.- doi= 10.2307/2998398 365–409.- isbn= 978-87-991013-7-5- title=Logical Consequence in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.- publisher=Harvard University Press (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
*title=Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence in D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
*title=On the concept of logical consequence Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. Oxford University Press. Originally published in Polish and German.- url=https://archive.org/details/theoryoflogicalc0000wojc- A paper on 'implication' from math.niu.edu,  Implication date=2014-10-21 - A definition of 'implicant'  AllWords

**แหล่งข้อมูลอื่น**
author2-link=Greg Restall
*title=Logical consequence
*Logical consequence
*Logical consequence and entailment
*id=p/i050280

หมวดหมู่:ปรัชญาตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:อภิตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงประพจน์
หมวดหมู่:การให้เหตุผลแบบนิรนัย
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ไวยากรณ์ (ตรรกศาสตร์)
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค