สัจพจน์การเลือก

ภาพตัวอย่างสัจพจน์การเลือก โดย Si และ xi แสดงแทนด้วยโถและลูกแก้วสีต่าง ๆ ตามลำดับ
ในคณิตศาสตร์ สัจพจน์การเลือก หรือ สัจพจน์ของการเลือก (axiom of choice) หรือเรียกโดยย่อว่า AC เป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่กล่าวว่า ผลคูณคาร์ทีเซียนของคอลเลกชั่นของเซตไม่ว่างเป็นเซตไม่ว่าง กล่าวโดยให้เห็นภาพว่า หากมีถุงใส่ของจำนวนหนึ่ง ที่ถุงแต่ละใบมีของอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะสามารถเลือกหยิบของออกมาหนึ่งชิ้นจากถุงแต่ละใบได้ แม้ว่าจะมีถุงเป็นอนันต์ก็ตาม ในเชิงตรรกศาสตร์ สัจพจน์การเลือกกล่าวว่า สำหรับทุกวงศ์ของเซตไม่ว่าง  จะมีวงศ์ของสมาชิก  ที่มีคุณสมบัติว่า  สำหรับทุก  เอิร์นส์ แซร์เมโลเป็นผู้เสนอสัจพจน์การเลือกเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมีถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่ (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก
นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น สัจพจน์ของการกำหนด 
ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

**ข้อความ**
ฟังก์ชันการเลือก (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน  ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน  ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต  ใน  จะได้ว่า  เป็นสมาชิกของ  จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น
ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้
 
ดังนั้นนิเสธของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

**ความเป็นอิสระ**
ในปี ค.ศ. 1938 ควร์ท เกอเดิลพิสูจน์ว่านิเสธของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้างโมเดลภายใน (inner model) เรียกว่าเอกภพที่สร้างได้ (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า forcing พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ  ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า  ZF¬C ต้องกัน ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็นอิสระเชิงตรรกะจาก ZF

**ข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์การเลือก**
ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF - ทฤษฎีบทการจัดอันดับดี- บทตั้งของซอร์น- ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

**ดูเพิ่ม**
 สัจพจน์ของการกำหนด

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
 publisher=North-Holland Pub. Co- Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). 1-4020-8925-2- author1-link=Elliott Mendelson- issn=0025-5831

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Axiom of Choice ใน Encyclopedia of Mathematics ของ Springer-  Axiom of Choice and Its Equivalents ที่ ProvenMath ซึ่งรวมเอาข้อความเชิงรูปนัยของสัจพจน์การเลือก, หลักการมากสุดของเฮาส์ดอร์ฟฟ์, บทตั้งของซอร์นและบทพิสูจน์ความสมมูลระหว่างข้อความดังกล่าว-  Consequences of the Axiom of Choice date=2021-05-15 , based on the book by  Paul Howard date=2021-02-26  and Jean Rubin.- SEP|axiom-choice|The Axiom of Choice|John Lane Bell.
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์