จานแอรี

ภาพเคลื่อนไหวสามมิติแสดงความเข้มแสงของจานแอรีเมื่อปรับขนาดรูรับแสงต่างกันไป
จานแอรีและแบบรูปแอรีที่ได้จากการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ สีขาวดำแสดงค่าความเข้มเทียบกับใจกลาง
ไฟล์:Beugungsscheibchen.k.720.jpg|thumb|จานแอรีและแบบรูปแอรีที่เกิดจากเลเซอร์สีแดง
ไฟล์:Rubinar-1000 plus 2x K-1 telekonv Airy disk 1.jpg|thumb|จานแอรีที่เกิดจากเลนส์ถ่ายภาพ 2000 มม. f/25
จานแอรี (Airy disc) และ แบบรูปแอรี (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์ทางแสงอย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิงคลื่นของแสงแล้ว แสงที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิดการเลี้ยวเบน แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม
แสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม จอร์จ บิดเดิล แอรี เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม
จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน ฟิสิกส์ ทัศนศาสตร์ และ ดาราศาสตร์
สำหรับในกล้องถ่ายภาพและกล้องโทรทรรศน์แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มีความคลาดทางทัศนศาสตร์ก็ตาม ความละเอียดเชิงแสงของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดยเลนส์นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดยขีดจำกัดการเลี้ยวเบน การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้รูรับแสงขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง

**ขนาดของจานแอรี**
รัศมีของจานแอรี  นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับแกนเชิงแสงเมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้
 
โดยที่  คือความยาวคลื่นของแสง และ  คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม
ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตามเกณฑ์ของเรย์ลี พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้

**ตัวอย่าง**

**กล้องถ่ายภาพ**
หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว
ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว (ความละเอียดเชิงแสงของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น
 
โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้
 
ในที่นี้  คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม  ระยะทางระหว่างเลนส์ถึงฟิล์ม คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ
 
ในที่นี้  คือค่าเอฟของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น  ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 นาโนเมตร ในช่วงแสงที่มองเห็นได้ จะได้ว่า  มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่มความหนาแน่นพิกเซลของเซนเซอร์รูปภาพให้หนาแน่นขึ้น ความละเอียดเชิงแสงจริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้

**ตาของมนุษย์**
ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1 เมื่อรูม่านตาขยายมากที่สุด กำลังการแยกบนจอตาอยู่ที่ประมาณ 1 ไมโครเมตร ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่รอยบุ๋มจอตาอยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร

**ลำแสงเลเซอร์**
เมื่อฉายลำแสงเลเซอร์วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี

**เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี**
แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่าการเลี้ยวเบนแฟรแนล
ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้
#แสงที่ส่องผ่านรูรับแสงวงกลมเป็นคลื่นราบ
#ความเข้มของแสงที่กระทบรูรับแสงวงกลมสม่ำเสมอเท่ากันตลอดทั้งวง
#ระยะห่าง R จากรูรับแสงวงกลมมากพอ และรัศมีของรูเปิด a ไม่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสง  นั่นคือ 

**คำอธิบายด้วยสมการ**
การเลี้ยวเบนจากรูรับแสงวงกลม แบบรูปแอรีจะเห็นได้เมื่อ  
การเลี้ยวเบนโดยใช้เลนส์ที่มีรูรับแสงเป็นวงกลม ภาพระยะไกลจะสังเกตได้เฉพาะบนระนาบการโฟกัสที่ระยะ R=f (โดยที่ f=ความยาวโฟกัส)
ไฟล์:Airy_Pattern.svg|right|thumb|300x300px|ความเข้มแสงบนแบบรูปแอรีในช่วง kasinθ = −10, 10
ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย
 
ในที่นี้  คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน  เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง  คือเลขคลื่น  คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม  คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ
 
โดยที่  คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ  คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย  คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ  คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่  (โดยที่  คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ  (หรือ ) คือ 
จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ   วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้
  .
ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ  และมุม  คือ
 
โดยที่  คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง  ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ ) คือ  ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e2  () คือ  ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ 
ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน  กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม  แสดงโดยสูตรต่อไปนี้
 
ในที่นี้  คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม A คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม () R คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น  ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี
ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม  ที่กำหนดคำนวณได้เป็น
 
ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง ) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ

**แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง**
การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้
 
ในที่นี้  คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม  และ  นิยามเป็น  โดยที่  คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส  คือความยาวคลื่น และ  คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง  ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย
 
เมื่อ  จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:การเลี้ยวเบน
หมวดหมู่:คลื่น
หมวดหมู่:แสง
หมวดหมู่:ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์