แมนิโฟลด์

ขวดไคลน์ (Klein bottle) เมื่อฝังในปริภูมิสามมิติ
พื้นผิวของโลกจำเป็นต้องใช้ชาร์ทอย่างน้อยสองชุดเพื่อให้ครอบคลุมทุกจุด ในรูปนี้ลูกโลกถูกแยกออกเป็นสองชาร์ทรอบขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้
ในคณิตศาสตร์ แมนิโฟลด์ (manifold) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ  หรือเรียกว่า  -แมนิโฟลด์  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ 
ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเองเช่นรูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิวเช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย
แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน 
แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์ดั้งเดิมรูปแบบแฮมิลโทเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองปริภูมิ-เวลาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

**ตัวอย่างของแมนิโฟลด์**

**วงกลม**
รูป 1: ชาร์ททั้งสี่บนวงกลมส่งแต่ละส่วนของวงกลมไปยังช่วงเปิด และทั้งสี่ส่วนสามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้พอดี
วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย  x2 + y2 = 1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด y เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด x เท่านั้น  
ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)
ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, แผนที่) ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 
รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม
ชาร์ทบน  และชาร์ทขวา   ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด  และ  เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง  แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน  ได้
ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง  แล้ว:
ฟังก์ชัน  แบบข้างต้นเรียกว่า transition map
ภาพที่ 2: ชาร์ทของวงกลมที่ใช้ความชัน ครอบคลุมทุกจุกยกเว้นจุดเพียงจุดเดียวบนวงกลม
ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท
และ
ในที่นี้ s คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, y) และจุด (−1, 0) ในทำนองเดียวกัน t เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (x, y) และ (+1, 0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก s ไปยัง (x, y) นั้นกำหนดโดย
สามารถตรวจสอบได้ว่า x2 + y2 = 1 สำหรับทุกค่า s และ t ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ
(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง s และ t ไม่เป็นศูนย์)
แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1, 0) สำหรับ s หรือ (+1, 0) สำหรับ t ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด 

**ทรงกลม**
ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย
1=x2 + y2 + z2 – 1 = 0
สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ 1=z = 0 จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง (z > 0 และ z 2 + y2 2 = x3 − x ซึ่งมีสองส่วน
ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้

**นิยามทางคณิตศาสตร์**
ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

**แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี**
ให้  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า  เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้
#  เป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์ (Hausdorff space) 
#  เป็นปริภูมินับได้อันดับสอง (second countable)
#  สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  (locally homeomorphic to )
เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 
เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่  สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  สำหรับบางจำนวนนับ  ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด
ค่า  ที่ปรากฎเรียกว่ามิติเฉพาะที่ (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกัน 
ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

**หมายเหตุ**

**อ้างอิง**
 Freedman, Michael H., and Quinn, Frank (1990) Topology of 4-Manifolds. Princeton University Press. 0-691-08577-3.- Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) Differential Topology. Prentice-Hall. 0-13-212605-2. Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.- Hempel, John (1976) 3-Manifolds. Princeton University Press. 0-8218-3695-1.- Hirsch, Morris, (1997) Differential Topology. Springer Verlag. 0-387-90148-5. The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.- Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton University Press. 0-691-08190-5. A detailed study of the category of topological manifolds.- Lee, John M. (2000) Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag. 0-387-98759-2. Detailed and comprehensive first-year graduate text.- Lee, John M. (2003) Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 0-387-95495-3. Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to Introduction to Topological Manifolds.- Massey, William S. (1977) Algebraic Topology: An Introduction. Springer-Verlag. 0-387-90271-6.- Milnor, John (1997) Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton University Press. 0-691-04833-9. Classic brief introduction to differential topology.- Munkres, James R. (1991) Analysis on Manifolds.  Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) 0-201-51035-9. Undergraduate text treating manifolds in .- Munkres, James R. (2000) Topology. Prentice Hall. 0-13-181629-2.- Neuwirth, L. P., ed. (1975) Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox. Princeton University Press. 978-0-691-08170-0.- Riemann, Bernhard, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Sändig Reprint. 3-253-03059-8.
**  Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (Mannigfaltigkeit) first appears.
**  Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. The 1854 Göttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift).- Spivak, Michael (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). 0-8053-9021-9. Famously terse advanced undergraduate / first-year graduate text.- Spivak, Michael (1999) A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (3rd edition) Publish or Perish Inc.  Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.- location=New York. Concise first-year graduate text.

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 id=p/m062210-  Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)- The  manifold atlas date=2016-05-23  project of the  Max Planck Institute for Mathematics in Bonn
หมวดหมู่:แมนิโฟลด์