กฎของแก๊สอุดมคติ

เส้นอุณหภูมิคงที่ (Isothermal process) ของแก๊สอุดมคติ (ideal gas) เส้นโค้งแทนความสัมพันธ์ระหว่างความดัน (แกนแนวตั้ง) กับปริมาตร (Volume (thermodynamics)) (แกนแนวนอน) ของแก๊สอุดมคติที่อุณหภูมิต่าง ๆ : เส้นที่ยิ่งไกลจากจุดกำเนิดแสดงถึงอุณหภูมิที่สูงกว่า (นั่นคือ เส้นที่อยู่ใกล้มุมขวาบนของแผนภาพมากกว่า)
กฎของแก๊สอุดมคติ (ideal gas law) บ้างก็เรียกว่า สมการแก๊สทั่วไป เป็นสมการของสภาวะ (equation of state) ของแก๊สอุดมคติ (ideal gas) สมมุติและเป็นการประมาณพฤติกรรมของแก๊สที่ดีภายใต้สภาวะต่าง ๆ แม้ยังมีข้อจำกัดอยู่หลายข้อ ถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย เบอนัว ปอล เอมีล กลาแปรง ในปี ค.ศ. 1834 เป็นการรวมกันของกฏของบอยล์ (Boyle's law), กฎของชาร์ล (Charles's law), กฎของอาโวกาโดร และกฎของแก-ลูว์ซัก (Gay-Lussac's law) ซึ่งเป็นเชิงประจักษ์ กฎของแก๊สอุดมคติมักถูกเขียนอยู่ในรูปเชิงประจักษ์:

โดย ,  และ  คือ ความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ (Thermodynamic temperature)  คือ จำนวนของสสาร (amount of substance) และ  คือ ค่าคงตัวของแก๊สซึ่งมีค่าเท่าเดิมไม่ว่าเป็นแก๊สชนิดใด เราสามารถอนุพัทธ์สมการนี้ได้จากทฤษฎีจลน์ของแก๊สในระดับจุลทรรศน์ดังเช่นที่ได้กระทำแล้ว (โดยอิสระจากกัน) โดย เอากุสต์ เครอนิค (August Krönig) ในปี ค.ศ. 1856 และ รูด็อล์ฟ เคลาซีอุส ในปี ค.ศ. 1857

**สมการ**
ภาพแสดงการชนกันของโมเลกุลภายในภาชนะปิด (ถังโพรเพน) (ขวา) ลูกศรแทนการเคลื่อนที่และการชนกันแบบไร้แบบแผนของโมเลกุลเหล่านี้ ความดันและอุณหภูมิแปรผันซึ่งกันและกันโดยตรง: เมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ความดันของโพรเพนจะเพิ่มขึ้นด้วยสัดส่วนเดียวกัน ด้วยเหตุนี้ ถังจะต้องสามารถทนแรงดันของแก๊สที่เพิ่มขึ้นในวันที่อากาศร้อนได้
สภาวะ (state function) ของแก๊สปริมาณหนึ่งถูกกำหนดโดยความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ สมการรูปแบบปัจจุบันแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสองรูปแบบอย่างง่าย อุณหภูมิในสมการของสภาวะเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ซึ่งมีหน่วย SI เป็นเคลวิน

**รูปแบบสามัญ**
รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุด คือ:

โดย:-  คือ ความดันของแก๊ส-  คือ ปริมาตรของแก๊ส-  คือ ปริมาณของสสารของแก๊ส (หรือจำนวนโมล)-  คือ ค่าคงตัวของแก๊สอุดมคติหรือสากลซึ่งเท่ากับผลคูณของค่าคงตัวบ็อลทซ์มันกับค่าคงตัวอาโวกาโดร-  คือ ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน- คือ ค่าคงตัวอาโวกาโดร- คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส
ในหน่วย SI p ถูกวัดเป็นปาสกาล V ถูกวัดเป็นลูกบาศก์เมตร n ถูกวัดเป็นโมล และ T ถูกวัดเป็นเคลวิน (มาตราวัดเคลวินคือมาตราวัดเซลเซียสที่ถูกเลื่อนซึ่งอุณหภูมิที่ต่ำที่สุด 0.00 K = −273.15 °C) R มีค่าเท่ากับ 8.314 J/(K·mol) ≈ 2 cal/(K·mol) หรือ 0.0821 l·atm/(mol·K)

**รูปแบบโมลาร์**
เราสามารถระบุปริมาณแก๊สที่มีอยู่ได้จากมวลแทนปริมาณทางเคมีได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์หากเรามีกฎของแก๊สอุดมคติอีกรูปแบบหนึ่ง ปริมาณทางเคมี (n) (หน่วยเป็นโมล) เท่ากับมวลรวมของแก๊ส (m) (หน่วยเป็นกิโลกรัม) หารด้วยมวลโมลาร์ (molar mass) (M) (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อโมล):
 
เมื่อแทน n ด้วย m/M แล้วใส่ความหนาแน่น ρ = m/V ลงไปในสมการ เราจะได้:
 
 
 
ให้นิยามค่าคงตัวของแก๊สจำเพาะ Rspecific(r) เป็นอัตราส่วน R/M
 
กฎของแก๊สอุดมคติรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างมากมาก เพราะสามารถเชื่อมโยงความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิเข้าด้วยกันในสูตรที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งไม่พึ่งพาปริมาณของแก๊สที่เราพิจารณา กฎนี้สามารถเขียนเป็นอีกแบบได้โดยใช้ค่าปริมาตรจำเพาะ v ซึ่งเป็นส่วนกลับของความหนาแน่น:
 
ในการใช้งานทางวิศวกรรมและอุตุนิยมวิทยา ค่าคงตัวของแก๊ส จำเพาะ มักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ R และค่าคงตัวของแก๊ส สากล จะใช้สัญลักษณ์ต่างจากเดิมเป็น  หรือ  เพื่อแยกแยะทั้งสองค่าจากกัน อย่างไรก็ตาม บริบทและ/หรือหน่วยของค่าคงตัวของแก๊สจะเป็นตัวบอกให้กระจ่างเองว่าสัญลักษณ์นั้นแทนค่าคงตัวของแก๊สแบบจำเพาะหรือสากล

**กลศาสตร์สถิติ**
ในกลศาสตร์สถิติ (statistical mechanics) เราสามารถอนุพัทธ์หาสมการเชิงโมเลกุลได้จาก  ในสมการแรก
โดย P คือ ความดันสัมบูรณ์ของแก๊ส, n คือ ความหนาแน่นเชิงจำนวนของโมเลกุล (กำหนดเป็นอัตราส่วน n = N/V ซึ่งต่างจากรูปสมการก่อนที่ n เป็น จำนวนโมล), T คือ อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และ kB คือ ค่าคงตัวบ็อลทซ์มันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและอุณหภูมิ กำหนดว่า:
 
โดย NA คือ ค่าคงตัวอาโวกาโดร
จากนี่เราพบว่าแก๊สมวล m มีมวลอนุภาคเฉลี่ยเท่ากับ μ คูณค่าคงตัวมวลอะตอม mu (หรือเท่ากับ μ u) จำนวนของโมเลกุลเท่ากับ:

เนื่องจาก  เราจึงสามารถเขียนกฎของแก๊สอุดมคติอีกแบบได้เป็น

ในหน่วย SI P มีหน่วยเป็นปาสกาล, V มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร, T มีหน่วยเป็นเคลวิน และ 

**กฎรวมของแก๊ส**
นำกฎของชาร์ล กฎของบอยล์ และกฎของแก-ลูว์ซักมารวมกันแล้วได้ กฎรวมของแก๊ส ซึ่งมีรูปแบบการใช้งานแบบเดียวกับกฎของแก๊สอุดมคติ หากแต่ไม่ระบุจำนวนโมลของแก็สและสมมุติว่าอัตราส่วน  ต่อ  เป็นค่าคงตัว ():

โดย  คือ ความดันของแก๊ส,  คือ ปริมาตรของแก๊ส,  คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส และ  เป็นค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบสสารเดียวกันภายใต้สภาวะที่ต่างกันสองสภาวะ สามารถเขียนกฎนี้ได้เป็น 


**พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊ส**
ตามสมมติฐานจากทฤษฎีจลน์ของแก๊ส เราสามารถสมมุติได้ว่าโมเลกุลของแก๊สอุดมคตินั้นไม่มีแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล หรือพูดอีกแบบคือไม่มีพลังงานศักย์ พลังงานทั้งหมดที่แก๊สมีจึงเป็นเพียงพลังงานจลน์ของแก๊สแต่ละโมเลกุล
 
คือสูตรสำหรับพลังงานจลน์ของแก็สอะตอมเดี่ยวจำนวน n โมลซึ่งมีองศาเสรี 3 องศา; x, y, z

**การประยุกต์ใช้ในกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์**
ในตารางด้านล่าง สมการของแก๊สอุดมคติถูกทำให้ง่ายลงสำหรับการนำไปใช้กับกระบวนการเฉพาะต่าง ๆ และทำให้สามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีเชิงตัวเลขง่ายยิ่งขึ้น
กระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ (thermodynamic process) มีนิยามเป็นระบบซึ่งเคลื่อนจากสภาวะที่ 1 ไปสู่สภาวะที่ 2 โดยเลขซึ่งบอกสภาวะแทนด้วยตัวห้อย โดยกระบวนการพื้นฐานถูกแบ่งออกเป็นแต่ละชนิดตามคุณสมบัติของแก๊สที่ถูกตรึงให้คงที่ไว้ตลอดกระบวนการ (P, V, T, S หรือ H) ดังที่แสดงในสดมภ์แรกของตาราง
จะต้องมีการระบุ (ไม่ว่าโดยตรงหรือโดยอ้อม) หนึ่งในอัตราส่วนระหว่างคุณสมบัติ (ซึ่งมีการจัดรายการไว้ในสดมภ์ที่ชื่อว่า "อัตราส่วนที่รู้จัก") เพื่อระบุขอบเขตของกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ชนิดหนึ่ง และคุณสมบัติซึ่งปรากฎอยู่ในอัตราส่วนจะต้องต่างจากคุณสมบัติที่คงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอัตราส่วนก็จะเป็นเอกภาพ และเราจะไม่มีข้อมูลมากพอที่จะสามารถทำให้สมการง่ายลงได้)
ส่วนในสามสดมภ์สุดท้าย เราสามารถหาค่าของคุณสมบัติ (p, V หรือ T) ของสภาวะที่ 2 ได้จากการนำค่าของคุณสมบัติเหล่านั้นในสภาวะที่ 1 มาคำนวณในสมการซึ่งถูกจัดไว้อยู่ในรายการ 
a. ในกระบวนการเอนโทรปีคงที่ เอนโทรปี (S) ของระบบมีค่าคงที่ และ p1 V1γ = p2 V2γ ภายใต้เงื่อนไขนี้ โดย γ คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ (heat capacity ratio) ซึ่งในแก๊สสมบูรณ์แบบทางพลังงาน (calorically perfect gas) มีค่าคงที่ ค่าของ γ ที่ปกติใช้กับแก๊สสองอะตอม (diatomic gas) เช่นแก๊สไนโตรเจน (N2) และแก๊สออกซิเจน (O2) (และอากาศ ซึ่งประกอบไปด้วยแก๊สสองอะตอม 99%) มีค่าเท่ากับ 1.4 ส่วนค่าที่ใช้กับแก๊สอะตอมเดี่ยวเช่นแก๊สมีสกุล ฮีเลียม (He) และอาร์กอน (Ar) มีค่าเท่ากับ 1.6 ค่า γ ในเครื่องยนต์เผาไหม้ภายในมีค่าระหว่าง 1.35 และ 1.15 ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของแก๊สและอุณหภูมิ
b. ในกระบวนการเอนทาลปีคงที่ เอนทาลปี (H) ของระบบมีค่าคงที่ ในบริบทของการขยายตัวอิสระ (free expansion) ของแก๊สอุดมคติ อุณหภูมิมีค่าคงที่และโมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน กลับกันในแก๊สจริงนั้น โมเลกุลมีปฏิกิริยาระหว่างกันผ่านการดึงดูดหรือผลักไสขึ้นกับความดันและอุณหภูมิ และสามารถร้อนหรือเย็นลงได้ นี่เป็นที่รู้จักว่าปรากฏการณ์จูล-ทอมสัน (Joule-Thomson effect) สำหรับการอ้างอิง สัมประสิทธิ์จูล-ทอมสัน μJT สำหรับอากาศที่อุณหภูมิห้อง ณ ระดับน้ำทะเลเท่ากับ 0.22 °C/bar

**การเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมในอุดมคติของแก๊สจริง**
สมการของสภาวะที่กำหนดมานี้ (PV=nRT) สามารถนำไปใช้กับแก๊สอุดมคติหรือนำไปใช้เพื่อประมาณพฤติกรรมของแก๊สจริงซึ่งมีความคล้ายกับแก๊สอุดมคติพอสมควรได้เท่านั้น ความจริงแล้ว สมการของสภาวะสมการนี้มีรูปแบบอยู่หลายรูปแบบ กฎของแก๊สอุดมคติไม่สนใจขนาดโมเลกุล (molecular size) และแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล (inter molecular attraction) จึงสามารถนำไปใช้ได้อย่างแม่นยำที่สุดกับแก๊สอะตอมเดี่ยว (monatomic) ที่อุณหภูมิสูงและความดันต่ำ ยิ่งความหนาแน่นลดลงหรือยิ่งปริมาตรสูงขึ้นและความดันต่ำลง ความสำคัญของขนาดโมเลกุลก็ยิ่งลดลงเช่นเดียวกัน เพราะระยะทางความห่างระหว่างโมเลกุลโดยเฉลี่ยจะมีค่าสูงกว่าขนาดของโมเลกุลอย่างมาก และยิ่งพลังงานจลน์ทางความร้อนสูงขึ้นหรือยิ่งอุณหภูมิสูงขึ้น ความสำคัญของแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลก็ยิ่งลดลงโดยสัมพัทธ์ สมการของสภาวะที่มีรายละเอียดสูงกว่า เช่น สมการวานเดอร์วาลส์ (van der Waals equation) จะมีการแก้ไขการเบี่ยงเบนจากอุดมคติซึ่งเกิดจากขนาดของโมเลกุลและแรงระหว่างโมเลกุล
สมบัติตกค้าง (residual property (physics)) มีนิยามเป็นความแตกต่างระหว่างสมบัติของแก๊สจริง (real gas) และสมบัติของแก๊สอุดมคติภายใต้ความดัน อุณหภูมิ และองค์ประกอบเดียวกัน

**การอนุพัทธ์**

**เชิงประจักษ์**
กฎเชิงประจักษ์ซึ่งนำไปสู่การอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติถูกค้นพบผ่านการทดลอง โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรสภาวะของแก๊สเพียงสองอย่างและตรึงตัวแปรที่เหลือให้คงที่ 
กฎของแก๊สทั้งหมดที่สามารถค้นพบได้ด้วยการจัดเตรียมการทดลองแบบนี้มี:
  หรือ   (1)        เรียกว่ากฏของบอยล์
  หรือ           (2)        เรียกว่ากฎของชาร์ล
  หรือ         (3)        เรียกว่ากฎของอาโวกาโดร
  หรือ            (4)        เรียกว่ากฎของแก-ลูว์ซัก
  หรือ   (5)
  หรือ         (6)
ความสัมพันธ์ระหว่างกฏของบอยล์, กฎของชาร์ล, กฎของอาโวกาโดร, กฎของแก-ลูว์ซัก, กฎรวมของแก๊ส และกฎของแก๊สอุดมคติ กับค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน  (สมบัติทางกายภาพที่วงไว้เป็นตัวแปร ในขณะที่สมบัติซึ่งไม่ได้วงไว้ จะถูกตรึงให้คงที่ในกฎแต่ละกฎ)
โดย "P" แทนความดัน, "V" แทนปริมาตร, "N" แทนจำนวนอนุภาคของแก๊ส และ "T" แทนอุณหภูมิ โดย  ไม่ใช่ค่าคงตัวของจริง แต่เป็นค่าคงตัวในบริบทนี้ เพราะแต่ละสมการต้องการตัวแปรที่ระบุไว้อย่างชัดเจนให้เปลี่ยนเท่านั้น
เราไม่จำเป็นต้องรู้กฎของแก๊สทั้งหกสูตรเพื่ออนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติ เพียงรู้แค่สามกฎเราจะสามารถอนุพัทธ์กฎที่เหลือได้ และเราต้องรู้แค่สี่กฎเพื่อที่จะสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้
ในเมื่อสูตรแต่ละสูตรจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวแปรสภาวะที่อยู่ในสูตรเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่ตัวแปรที่เหลือมีค่าคงที่ เราไม่สามารถใช้พีชคณิตเพื่อรวมสูตรโดยตรงได้ เราต้องพิจารณาถึงการทดลองของบอยล์ว่าเขาทำการทดลองโดยตรึงค่า N และ T ไว้ให้คงที่
เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องจินตนาการว่าแก๊สเปลี่ยนสถาวะผ่านกระบวนการทีละกระบวนการเพื่อให้อนุพัทธ์ได้อย่างถูกต้อง การอนุพัทธ์ซึ่งใช้สูตรสี่สูตรเป็นดังนี้:
ในตอนแรก แก๊สมีพารามิเตอร์ 
ให้เริ่มเปลี่ยนเฉพาะความดันและปริมาตรตามกฎของบอยล์ แล้ว:
     (7) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ 
จากนั้นใช้สมการที่ (5) เพื่อเปลี่ยนจำนวนอนุภาคและอุณหภูมิของแก๊ส
   (8) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ 
จากนั้นใช้สมการที่ (6) เพื่อเปลี่ยนความดันและจำนวนอนุภาค
         (9) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ 
จากนั้นใช้กฎของชาร์ลเพื่อเปลี่ยนปริมาตรและอุณหภูมิของแก๊ส
         (10) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ 
จากนั้นใช้พีชคณิตรวมสมการที่ (7), (8), (9) และ (10) จะได้:
  หรือ  โดย  แทนค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน
ในทางเดียวกัน ในเมื่อ  โดย "n" คือจำนวนโมลของแก๊ส และ "R" คือค่าคงตัวของแก๊สสากล เราจะได้:
  ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อว่ากฎของแก๊สอุดมคติ
หากเราทำการทดลองและพบสูตรเพียงสามสูตรจากทั้งหกสูตร เราสามารถอนุพัทธ์สูตรที่เหลือได้ผ่านวิธีการที่เขียนอธิบายไว้ด้านบน แต่เพราะแต่ละสมการมีตัวแปรแค่สองตัวเท่านั้น เราไม่สามารถใช้สูตรสามสูตรสูตรใดก็ได้  เช่นหากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (4) เราไม่สามารถอนุพัทธ์สมการอื่นได้ เพราะการรวมสมการสองสมการใด ๆ จะให้ผลเป็นสมการอันที่สามที่เราเลือกมา แต่หากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (3) เราจะสามารถหาสมการทั้งหกสมการได้โดยไม่จำเป็นต้องทำการทดลองอื่นอีก เพราะการรวมสมการที่ (1) และ (2) จะให้ผลเป็นสมการที่ (4), (1) และ (3) จะได้สมการที่ (6), (4) และ (6) หรือ (2) และ (3) จะได้สมการที่ (5) ตามที่มีการอธิบายให้เห็นเป็นรูปภาพที่แสดงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:
ความสัมพันธ์ระหว่างกฎของแก๊สทั้งหกข้อ
โดยเลขแต่ละตัวแทนกฎของแก๊สตามที่เรียงเลขที่ไว้ด้านบน
หากเราทำตามวิธีการด้านบนกับกฎสองกฎจากเลขที่อยู่บนมุมสองมุมจากทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมที่มีเลข "O" อยู่ภายใน เราจะได้ผลออกมาเป็นกฎตามเลขที่ปรากฏบนมุมที่สาม 
ตัวอย่างเช่น:
เปลี่ยนแค่ความดันและปริมาตรก่อน:      (1´)
จากนั้นเปลี่ยนแค่ปริมาตรและอุณหภูมิ:                   (2´)
และในเมื่อเราสามารถให้  แทนค่าใดก็ได้ เราจะให้  และสมการที่ (2´) จะกลายเป็น: (3´)
การรวมสมการที่ (1´) และ (3´) จะได้ผลเป็น   ซึ่งก็คือสมการที่ (4) โดยเราไม่เคยรู้จักสมการนี้มาก่อนจนกระทั่งเราได้อนุพัทธ์มันออกมา

**เชิงทฤษฎี**

**ทฤษฎีจลน์**
เราสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้จากหลักการแรก (first principle) โดยใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สซึ่งมีสมมติฐานที่ทำให้ง่ายลงหลายข้อ เช่นการสมมติว่าโมเลกุลหรืออะตอมของแก๊สเป็นมวลจุดหรือมีมวลแต่มีปริมาตรที่น้อยจนไม่มีนัยสำคัญ และชนกับผนังของภาชนะและชนกันอย่างยืดหยุ่นเท่านั้น โดยอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานจลน์ 
สมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊สบอกเป็นนัยว่า

จากนั้น ตามการกระจายตัวแบบแมกซ์เวลล์-บ็อลทซ์มัน (Maxwell-Boltzmann distribution) โมเลกุลส่วนหนึ่งที่มีอัตราเร็วอยู่ในช่วง  ถึง  เท่ากับ  โดย

และ  คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ค่าเฉลี่ยกำลังสองหาได้จากการคำนวณดังนี้

ด้วยสูตรของปริพันธ์

เราจึงได้

และจากนั้น เราก็จะได้กฎของแก๊สอุดมคติ:


**กลศาสตร์สถิติ**
ให้ q = (qx, qy, qz) และ p = (px, py, pz) แสดงถึงเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์โมเมนตัมของอนุภาคแก๊สอุดมคติตามลำดับ ให้ F แสดงถึงแรงสุทธิที่กระทำบนอนุภาคนั้น แล้วพลังงานจลน์เฉลี่ยกับเวลาของอนุภาคเท่ากับ:
 
โดยสมการแรกคือกฎข้อที่สองของนิวตัน บรรทัดที่สองใช้สมการของแฮมิลตันและทฤษฎีบทการแบ่งเท่า (equipartition theorem) ผลบวกรวมทั้งระบบของอนุภาค N อนุภาคเท่ากับ

ตามกฎข้อที่สามของนิวตันและสมมติฐานของแก๊สอุดมคติ แรงสุทธิที่กระทำบนระบบคือแรงที่ผนังของภาชนะกระทำ และแรงนี้ถูกกำหนดโดยความดัน P ของแก๊ส ดังนั้น

โดย dS คือองค์ประกอบพื้นที่ขนาดกณิกนันต์รอบผนังของภาชนะ ในเมื่อไดเวอร์เจนซ์ (divergence) หรือความลู่ออกของเวกเตอร์ตำแหน่ง q เท่ากับ

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) บอกเป็นนัยว่า

โดย dV คือปริมาตรขนาดกณิกนันต์ภายในภาชนะ และ V คือปริมาตรทั้งหมดของภาชนะ
เมื่อนำสมการทั้งหมดมารวมกัน จะได้ผลเป็น

ซึ่งแสดงถึงกฎของแก๊สอุดมคติของอนุภาค N อนุภาค:

โดย n = N/NA คือจำนวนโมลของแก๊ส และ R = NAkB คือค่าคงตัวของแก๊ส

**ในมิติอื่น**
ความดันของแก๊สอุดมคติในระบบ d มิติเท่ากับ:

โดย  คือปริมาตรของขอบเขต d มิติที่มีแก๊สอยู่ สังเกตว่ามิติ (หรือหน่วย) ของความดันเปลี่ยนตามมิติที่เปลี่ยนไป

**ดูเพิ่ม**
 สมการวานเดอร์วาลส์ (Van der Waals equation)- ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน- ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function (statistical mechanics))- ความดันพลวัต (Dynamic pressure)- พลังงานภายใน (Internal pressure)

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 title=Website giving credit to Benoît Paul Émile Clapeyron, (1799–1864) in 1834-  Configuration integral (statistical mechanics) where an alternative statistical mechanics derivation of the ideal-gas law, using the relationship between the Helmholtz free energy and the partition function, but without using the equipartition theorem, is provided. Vu-Quoc, L.,  Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see  this article in the web archive on 2012 April 28.-  Gas equations in detail- isbn=0-07-235053-9 
หมวดหมู่:กฎของแก๊ส
หมวดหมู่:แก๊สอุดมคติ 
หมวดหมู่:สมการสภาวะ