ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

ระวังสับสนกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric algebra: GA) (และรู้จักในชื่อพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ
แฮร์มัน กรัสมันได้อธีบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากเขาสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกซึ่งคล้าย ๆ กัน ในปีค.ศ.1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ
สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต  ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก  ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ  สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ  และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ
ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ(และที่ไม่พบบ่อยพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป  แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์  พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนสและคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์  ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์

**นิยามและสัญกรณ์**
มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล 
ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด  บนฟีลด์  ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (การคูณภายใน ต.ย. ยูคลิเดียนหรือลอเรนต์เซียนเมตริก)   พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิกำลังสอง  นั้นเป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด  สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็นพีชคณิตผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้พีชคณิตนามธรรม
เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขหล่าวนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว
สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่   สัญกรณ์  ( ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่  มีซิกเนเจอร์เป็น  ( ตามลำดับ)
ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่าผลคูณเชิงเรขาตณิต และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่าผลคูณลิ่ม) โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์  ตามลำดับ
นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่  สำหรับมัลติเวกเตอร์ :-  (สมบัติการปิด)-  เมื่อ  เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์)-  (สมบัติการเปลี่ยนหมู่)-  และ  (สมบัติการแจกแจง)-  สำหรับ 
ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย  สำหรับ 
สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง  ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า  ไม่เป็นบวกแน่นอน  สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ  สำหรับเวกเตอร์  ถ้า  แล้ว  มีเท่ากับ   สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ  ตัวอย่างเช่น ถ้า  เป็นเวกเตอร์ใน  เมื่อ  แล้วสมาชิก  จะเป็นทั้งสมาชิกนิจพลไม่ชัดและตัวหารของศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน
โดยปกติจะระบุ  และ  กับเรนจ์ภายใต้การซ้อนธรรมชาติ  และ   ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ  โดยตลอด คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ  และ  ตามลำดับ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

**ผลคูณเชิงเรขาคณิต**
ให้เวกเตอร์สองตัว  และ   ถ้าผลคูณเชิงเรขาคณิต  ต่อต้านการสลับที่ จะตั้งฉาก (บน) เพราะ   ถ้าสลับที่ได้ จะขนาน (ล่าง) เพราะ .
สำหรับเวกเตอร์  และ  เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตของสองเวกเดอร์ใด ๆ  และ  เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร
จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น
ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น
ในทางกลับกัน  ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้  ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของพีชคณิตภายนอกที่อยู่ภายใน
แล้วโดยการบวกตรง ๆ
คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต
ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์  ในทางเรขขาคณิต  และ  จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน  และ  จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือผลคูณจุดในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือพื้นที่มีเครื่องหมายที่โดนล้อมโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีด้านเป็นเวกเตอร์  ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ใน  มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก
ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป  ถ้ารูปแบบกำลังสองลดรูปโดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก  บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้
ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์
เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี  เป็นเครื่องหมายของการสับเปลี่ยน และ  เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช่สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต)  เนื่องจากทุกสมาชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต มาจากนิยามของผลคูณภายนอกก่อระบบพีชคณิตสลับ

**เบลด เกรด และฐานหลัก**
มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ  เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่าเบลด และมีเกรด   มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด  เรียกว่ามัลติเวกเตอร์(เอกพันธุ์)เกรด   จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

**การจำลองทางเรขาคณิต**

**ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์**

**การฉาย และรีเจกชัน**
สำหรับเวกเตอร์  ใด ๆ และเวกเตอร์  ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้ 
ในปริภูมิ 3 มิติ ไบเวกเตอร์  นิยามปริภูมิย่อยระนาบ 2 มิติ (สีน้ำเงินอ่อน ขยายไปอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางที่บ่งชี้). เวกเตอร์  ใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติสามารถแตกเป็นภาพฉาย  บนระนาบและรีเจกชัน จากระนาบนี้
เมื่อภาพฉายของ  บน  (หรือส่วนขนาน) คือ
และฺรีเจกชันของ  จาก  (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ
ใช้แนวคิดว่า -เบลด  เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ  และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน -เบลด  ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น
และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น
การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์  โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน  ด้วยตัวผกผันเทียม เทียบกับผลคูณย่อ  ผลลัพท์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์  สำหรับเบลดศูนย์  นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี  เป็นตัวแทน
การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป   การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่  และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ  ที่ไม่ใช่เบลดได้ 

**การสะท้อน**
การสะท้อนอย่างง่ายในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของการหมุนและการหมุนไม่ตรงแบบทั่วไป
การสะท้อนของเวกเตอร์  ตามเวกเตอร์   มีแค่เวกเตอร์ประกอบของ  ที่ขนานกับ  จะติดลบ
ภาพสะท้อน  ของเวกเตอร์  ตามเวกเตอร์  หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ   ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น 

**การหมุน**
โรเตอร์ที่หมุนเวกเตอร์ในระนาบหมุนเวกเตอร์ผ่านมุม  นั่นคือ  เป็นการหมุนของ  ผ่านมุม   มุมระหว่าง  และ  คือ   การตีความที่คล้ายกันก็สมเหตุสมผลกันกับมัลติเวกเตอร์  ทั่วไป แทนเวกเตอร์ 
ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์  แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น
ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า  เราจะได้
ปรับขนาด  เพื่อที่  แล้ว
ดังนั้น  ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ   ยังสามารถแสดงได้ว่า
ดังนั้นการแปลง  ทำให้ทั้งขนาดและมุม(ระหว่างเวกเตอร์)คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก  ว่าโรเตอร์ ถ้าเป็นการหมุนแท้ (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่าเวอร์เซอร์
มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป  ที่ก่อให้เกิดการหมุน  ในระนาบและทิศทา่งกำหนดโดย-เบลด  
โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ-มิติ

**ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้**

**ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์**
สำหรับเวกเตอร์  และ  ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้ 

**แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต**
บทความหลัก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ 
แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์
โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้ทฤษฎีบทของกรีนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง
จึงสามารถกล่าวได้ว่า 
เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับทฤษฎีบทของสโตรกส์อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)
ใน 1 มิติ เมื่อ  เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น  และ  แล้ว
จะย่อลงเป็น
หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์
และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของแมนิโฟลด์เวกเตอร์และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต(ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

**ประวัติ**

**ดูเพิ่ม**
 เปรียบเทียบระหว่างพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเรขาคณิต- พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด- พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี- พีชคณิตปริภูมิ-เวลา- สปิเนอร์- ควอเทอร์เนียน- พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ- พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสากล

**หมายเหตุ**

**อ้างอิง**

**แหล่งอ้างอิงและอ่านเพิ่มเติม**
 Arranged chronologically- author-link=Hermann Grassmann- jstor=2369379- author-link=Emil Artin- author-link=David Hestenes- title-link=Gravitation (book)- author-link=Nicolas Bourbaki- author-link1=David Hestenes- author-link1=David Hestenes- year=1988a- doi=10.1063/1.528118- isbn=3-540-57063-2- citation|last=Doran|first=Chris J. L.|title=Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics|year=1994|type=PhD thesis|publisher=University of Cambridge|doi=10.17863/CAM.16148|oclc=53604228|author-link=Chris J. L. Doran|hdl=1810/251691- citation|title=Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering|year=2011|editor=Baylis, W. E.|orig-year=1996|publisher=Birkhäuser|isbn=9781461241058- s2cid=120860757- author-link=David Hestenes- citation|last1=Lasenby|first1=Joan|title=A Unified Mathematical Language for Physics and Engineering in the 21st Century|url=http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/00RSocMillen.pdf|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A|volume=358|issue=1765|pages=21–39|year=2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20150319085814/http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/00RSocMillen.pdf|bibcode=2000RSPTA.358...21L|doi=10.1098/rsta.2000.0517|archive-date=2015-03-19|last2=Lasenby|first2=Anthony N.|last3=Doran|first3=Chris J. L.|author-link3=Chris J. L. Doran|url-status=live|s2cid=91884543- citation|last=Lounesto|first=Pertti|title=Clifford Algebras and Spinors|year=2001|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-00551-7- citation|last=Baylis|first=W. E.|title=Electrodynamics: A Modern Geometric Approach|year=2002|edition=2nd|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4025-5- citation|last=Dorst|first=Leo|title=Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering|pages=35–46|year=2002|editor-last=Dorst|editor-first=L.|chapter=The Inner Products of Geometric Algebra|publisher=Birkhäuser|doi=10.1007/978-1-4612-0089-5_2|isbn=978-1-4612-0089-5|editor2-last=Doran|editor2-first=C.|editor3-last=Lasenby|editor3-first=J.- url-status=live- url-status=live- url-status=live- s2cid=18034896- year=2005- doi=10.1007/b138859- citation|last=Bain|first=J.|title=The ontology of spacetime|url=https://books.google.com/books?id=OI5BySlm-IcC&pg=PT72|page=54 ff|year=2006|editor=Dennis Dieks|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-52768-4|section=Spacetime structuralism: §5 Manifolds vs. geometric algebra- first3=Stephen- title-link=The Road to Reality- citation|last1=Francis|first1=Matthew R.|title=The Construction of Spinors in Geometric Algebra|journal=Annals of Physics|volume=317|issue=2|pages=383–409|year=2008|arxiv=math-ph/0403040v2|bibcode=2005AnPhy.317..383F|doi=10.1016/j.aop.2004.11.008|last2=Kosowsky|first2=Arthur|s2cid=119632876- isbn=9789812770110.  Chapter 1 as PDF- isbn=978-1-84628-996-5- mode=cs2- isbn=978-3-540-89067-6- s2cid=28929170- isbn=9781848829299- editor-first2=Gerik Extract online at http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory- isbn=978-1-60845-420-4- first2=Joan- oclc=704377582- isbn=978-0-8176-8282-8- doi=10.1063/1.4756054- arxiv=1307.4179- url-status=live- isbn=978-3-658-07617-7- isbn=978-1-4822-5951-3- mode=cs2- s2cid=253592888- location=Lincoln, California- first2=Roldão- s2cid=253600526- s2cid=253587390- volume=I- url-status=live- pages=1–- s2cid=125649450- s2cid=253597480- pages=256- s2cid=224820480- pmid=35256628- cite web|last=Wilmot|first=G.P.|year=2023|title=The Algebra Of Geometry|url=https://github.com/GPWilmot/geoalg|website=GitHub

**แหล่งข้อมูลอื่น ==