สมการแฟรแนล

ไฟล์:Partial_transmittance.gif|thumb|270x270px|คลื่นที่เกิดการสะท้อนและการหักเหเมื่อแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำไปสูง
สมการแฟรแนล (Fresnel equations, équations de Fresnel) หรือ สัมประสิทธิ์แฟรแนล (coefficient de Fresnel) เป็นชุดของสมการในทางทัศนศาสตร์ซึ่งค้นพบและอธิบายโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส โอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล เพื่ออธิบายการสะท้อน และ การหักเห ของแสงเมื่อแผ่ผ่านตัวกลางสองชนิดที่มีค่าดรรชนีหักเหต่างกัน การสะท้อนที่อธิบายโดยสมการนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า "การสะท้อนแบบแฟรแนล"

**ภาพรวม**
เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็น ไปยังตัวกลางอีกตัวที่มีดรรชนีหักเหเป็น จะเกิดการสะท้อนและหักเหของแสงขึ้นพร้อมกันที่จุดรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง สมการแฟรแนลสามารถอธิบายว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ของคลื่นแสงจะถูกหักเหและสะท้อนอย่างไร และยังอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงเฟส เมื่อคลื่นสะท้อนกลับ
เงื่อนไขสำหรับสมการคือ: ผิวจุดเปลี่ยนเป็นระนาบเรียบ (ไม่ขรุขระ) และแสงที่ตกกระทบเป็นคลื่นระนาบ

**โพลาไรเซชัน s และ p**
ผลการคำนวณขึ้นอยู่กับสถานะโพลาไรเซชัน ของแสงที่ตกกระทบ โดยจะแบ่งออกเป็นสองกรณี คือ
# เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น s" โดย s มาจากภาษาเยอรมัน "senkrecht " แปลว่า "ตั้งฉาก"
# เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ขนานกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น p" โดย p มาจากคำว่า "parallel " ในภาษาเยอรมัน แปลว่า "ขนาน"
อนึ่ง ตั้งฉากและขนานในที่นี้กล่าวถึงทิศทางขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าเท่านั้น ส่วนองค์ประกอบสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดตามมาโดยกฎมือขวา 
ภาพประกอบแสดงตัวแปรที่ใช้ในสมการแฟรแนล ผิวรอยต่อ (interface) แสดงในแนวตั้ง ส่วนแนวฉาก (normal) เป็นแนวนอน

**สมการความเข้มแสง**
ในภาพด้านขวา เมื่อแสงตกกระทบ PO มาถึงจุด O บนส่วนรอยต่อระหว่างตัวกลางทั้งสอง แสงส่วนหนึ่งจะสะท้อนไปทาง OQ ในขณะที่อีกส่วนหักเหไปทาง OS ให้มุมระหว่างเส้นแนวฉากกับรังสีตกกระทบ, รังสีสะท้อน และรังสีหักเหเป็น ,  และ ตามลำดับ
มุมของรังสีตกกระทบจะเท่ากับมุมของรังสีสะท้อนตามกฎการสะท้อน:
และความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบกับมุมของรังสีหักเหเป็นไปตามกฎของสแน็ล คือ:
อัตราส่วนของความเข้มของแสงที่สะท้อนต่อแสงที่ตกกระทบบนพื้นผิวคือค่า ความสะท้อน  ส่วนอัตราส่วนของการแสงที่หักเหคือค่า ความส่งผ่าน  การคำนวณค่าความสะท้อนและความส่งผ่านต้องใช้ทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในวิชาพลศาสตร์ไฟฟ้า  รายละเอียดอาจอ่านได้ที่ "หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแผ่ของแสง การแทรกสอด และการเลี้ยวเบน" ของ มัคส์ บอร์น หรือ "กลศาสตร์ไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิก" ของแจ็กสัน
รูปแบบเฉพาะของการสะท้อนแสงและการส่งผ่านยังเกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันของแสงที่ตกกระทบ ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากกับระนาบของภาพ (คือคลื่น s) ความสะท้อนจะเป็น
 
ในที่นี้มุมของรังสีหักเห  ถูกแทนด้วยมุมของรังสีตกกระทบ  โดยกฎของสแน็ล แล้วแปลงด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบขนานกับระนาบของภาพ (คือคลื่น p) ความสะท้อนจะเป็น
 
ไม่ว่าในกรณีใด ค่าความส่งผ่านจะได้เป็น 
หากแสงที่ตกกระทบเป็นแสงไม่โพลาไรซ์ (ประกอบด้วย ส่วน s และ ส่วน p ในปริมาณที่เท่ากัน) ค่าความสะท้อนโดยรวมคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสอง
อัตราส่วนของแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่สะท้อนและหักเหต่อแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่ตกกระทบ จะหาได้จากสมการที่คล้ายกัน แอมพลิจูดการสะท้อนและแอมพลิจูดการส่งผ่านมักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็ก  และ  โดยมีความสัมพันธ์กับค่าความสะท้อน  และความส่งผ่าน  คือ:
 
 และ
  
สำหรับแสงตกกระทบที่เป็นคลื่น p ค่า จะเป็นศูนย์ที่มุมตกกระทบเป็นค่าจำเพาะค่าหนึ่ง ในกรณีนี้คลื่น p จะถูกส่งผ่านอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการสะท้อนออกมา มุมนี้เรียกว่า มุมบริวสเตอร์ สำหรับกรณีที่ตัวกลางเป็นแก้วในอากาศหรือในสุญญากาศมุมนี้จะมีค่าประมาณ 56° อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ใช้ได้สำหรับตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็นจำนวนจริงเท่านั้น สำหรับวัสดุที่ดูดกลืนแสง เช่น โลหะ และ สารกึ่งตัวนำ ดรรชนีหักเหจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น  โดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์
เมื่อแสงแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยังตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำกว่า (คือ ) จะมีค่ามีมุมตกกระทบวิกฤต ซึ่งแสงที่ตกกระทบมากกว่ามุมตกกระทบนี้จะถูกสะท้อนโดยพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ทั้งคลื่น s และ p นั่นคือ  ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การสะท้อนกลับทั้งหมด ค่ามุมวิกฤตนี้มีค่าประมาณ 41° สำหรับแก้วในอากาศ
ไฟล์:Fresnel2.png
เมื่อรังสีตกกระทบทำมุมเกือบตั้งฉาก () ความสะท้อนและความส่งผ่านจะเป็น:
 
 
สำหรับแก้วธรรมดา ค่าความสะท้อนจะอยู่ที่ประมาณ 4% อย่างไรก็ตาม การสะท้อนของคลื่นแสงข้างหน้าต่างรวมถึงชั้นด้านหน้าและชั้นด้านหลัง ดังนั้นคลื่นแสงจำนวนเล็กน้อยจะสะท้อนไปมาระหว่างชั้นทั้งสองก่อให้เกิดการแทรกสอดขึ้น หากละเลยผลของการแทรกสอดนี้ ความสะท้อนรวมของทั้งสองชั้นคือ
 
หมายเหตุว่า คำอธิบายทั้งหมดในข้างต้นนี้ถือว่าค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลาง  มีค่าเท่ากับสภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ  ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจริงสำหรับวัสดุไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับสสารโดยทั่วไป ดังนั้น รูปแบบของสมการแฟรแนลที่ใช้จริงจึงซับซ้อนยิ่งกว่านี้

**อ้างอิง**

**ดูเพิ่ม**
 edition=2nd- edition=4th
หมวดหมู่:สมการ
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต
หมวดหมู่:โพลาไรเซชัน
หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์