ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rn  โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn  จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

**ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ**
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

**ข้อความ**

**พิสูจน์**
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ  (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน  ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า  เป็นลำดับมีขอบเขต ใน  โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า
สำหรับกรณีทั่วไป () จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน  ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด  ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

**บทพิสูจน์แบบอื่น**
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง  เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต  :
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 1.svg|เพราะ  มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง  และขอบเขตบน  .
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 2.svg|เราใช้  เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 3.svg|จากนั้นแบ่ง  ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 4.svg|เนื่องจากลำดับ  เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง 
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 5.svg|จากนั้นเราก็แบ่ง  อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 6.svg|เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ  อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม  
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 7.svg|เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ  จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ ()
เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า  เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ ) แล้วอินเตอร์เซคชัน  จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า  เป็นจุดเกาะกลุ่มของ 
กำหนดย่านใกล้เคียง  ของ  ใด ๆ มา  เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง ที่เป็นสับเซตแท้ของ   เนื่องจาก  บรรจุสมาชิกของ  เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ , ดังนั้น  บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ ทำให้ได้ว่า  เป็นจุดเกาะกลุ่มของ  ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ  ที่ลู่เข้า 

**ดูเพิ่ม**
 ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ- ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล- ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง- หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
 url-access=registration- location=Belmont, CA
*oclc=842256400
*oclc=915757451
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงจริง