ภาวะคู่หรือคี่ของ 0

ตาชั่งนี้มีวัตถุ 0 วัตถุ แบ่งเป็นสองข้างเท่ากัน
0 (ศูนย์) เป็นจำนวนคู่ กล่าวได้อีกอย่างคือ ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นคู่ วิธีพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่ง่ายที่สุดคือตรวจสอบว่า 0 เข้ากับนิยามของ "คู่" หรือไม่ โดย 0 เป็นพหุคูณของ 2 คือ 0 × 2 ผลคือ ศูนย์มีคุณสมบัติทั้งหมดอันเป็นลักษณะของจำนวนคู่ ตัวอย่างเช่น 0 มีจำนวนคี่ที่มากกว่าและน้อยกว่าขนาบ,  มีภาวะคู่หรือคี่เหมือน  และเซตของวัตถุ 0 วัตถุสามารถแบ่งได้เป็นสองเซตเท่า ๆ กัน
0 ยังเข้ากับแบบรูปที่จำนวนคู่อื่นมี กฎเลขคณิตภาวะคู่หรือคี่ เช่น คู่ − คู่ = คู่ กำหนดให้ 0 เป็นคู่ 0 เป็นสมาชิกเอกลักษณ์การบวกของกรุปจำนวนเต็มคู่ และเป็นกรณีตั้งต้นที่นิยามเวียนเกิดซึ่งจำนวนธรรมชาติคู่อื่น การใช้การเวียนเกิดนี้จากทฤษฎีกราฟจนถึงเรขาคณิตการคณนาต้องอาศัยว่า 0 เป็นคู่ ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 2 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังสามารถหารด้วยกำลัง 2 ลงตัวทุกจำนวน ซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบเลขฐานสองที่คอมพิวเตอร์ใช้
ในหมู่สาธารณชนทั่วไป ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สามารถทำให้เกิดความสับสนได้ ในการทดลองเวลาปฏิกิริยา คนส่วนใหญ่ระบุว่า 0 เป็นคู่ช้ากว่า 2, 4, 6 หรือ 8 นักเรียนคณิตศาสตร์ตลอดจนครูอาจารย์บางส่วนคิดว่า 0 เป็นคี่, หรือเป็นทั้งคู่และคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่ นักวิจัยด้านการศึกษาคณิตศาสตร์เสนอว่า ความเข้าใจผิดเหล่านี้สามารถเป็นโอกาสเรียนรู้ได้ การศึกษาภาวะเท่ากัน เช่น 0 × 2 = 0 สามารถตอบข้อสงสัยของนักเรียนเกี่ยวกับการเรียก 0 เป็นจำนวนและใช้ในเลขคณิต การอภิปรายกลุ่มสามารถนำให้นักเรียนเข้าใจหลักการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ เช่น ความสำคัญของบทนิยาม การประเมินภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนพิเศษนี้เป็นตัวอย่างอย่างง่ายของแก่นที่แพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ คือ ภาวะนามธรรมของมโนทัศน์คุ้นเคยไปสู่บริบทที่ไม่คุ้นเคย

**เหตุใด 0 เป็นจำนวนคู่**
บทนิยามมาตรฐานของ "จำนวนคู่" สามารถใช้พิสูจน์โดยตรงได้ว่า 0 เป็นคู่ จะเรียกจำนวนว่า "คู่" เมื่อจำนวนนั้นเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 ตัวอย่างเช่น สาเหตุที่ 10 เป็นคู่เพราะเท่ากับ 5 × 2 ในทำนองเดียวกัน 0 เป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 กล่าวคือ 0 × 2 ฉะนั้น 0 จึงเป็นคู่
นอกจากนี้ ยังสามารถอธิบายสาเหตุที่ 0 เป็นคู่ได้โดยไม่ต้องพาดพิงบทนิยามรูปนัย คำอธิบายด้านล่างนี้ทำให้ความคิดว่า 0 เป็นจำนวนคู่ในแง่ของมโนทัศน์จำนวนมูลฐานสมเหตุสมผล จากรากฐานเหล่านี้ บุคคลสามารถให้เหตุผลแก่บทนิยามเอง และการใช้บทนิยามต่อ 0 ได้

**คำอธิบายพื้นฐาน**
ช่องที่มี 0 วัตถุจะสังเกตว่าไม่มีวัตถุสีแดงเป็นเศษเหลือ
0 เป็นจำนวน และจำนวนมีไว้นับ กำหนดเซตวัตถุเซตหนึ่ง บุคคลใช้จำนวนอธิบายว่ามีวัตถุในเซตนั้นมากน้อยเพียงใด 0 เป็นการนับการไม่มีวัตถุ หรือในแง่รูปนัยมากขึ้น 0 เป็นจำนวนวัตถุในเซตว่าง มโนทัศน์ภาวะคู่หรือคี่ใช้สำหรับการจัดกลุ่มวัตถุสองวัตถุ หากวัตถุในเซตสามารถแบ่งได้เป็นกลุ่มละสองเท่ากันโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนวัตถุเป็นคู่ หากมีวัตถุเหลือเป็นเศษ จำนวนวัตถุเป็นคี่ เซตว่างมีกลุ่มละสอง 0 กลุ่ม โดยไม่มีวัตถุใดเหลือจากการจัดกลุ่มดังนี้ ฉะนั้น 0 ก็เป็นคู่ด้วย 
สามารถสาธิตความคิดดังกล่าวได้โดยวาดรูปวัตถุเป็นคู่ การพรรณนากลุ่มละสองจำนวน 0 กลุ่มหรือเน้นการไม่มีเศษเหลือทำได้ยาก ฉะนั้นการวาดการจัดกลุ่มอย่างอื่นแล้วนำมาเปรียบเทียบกับศูนย์จึงช่วยได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มห้าวัตถุมีวัตถุสองคู่ ที่สำคัญไปกว่านั้นมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 5 เป็นคี่ ในกลุ่มสี่วัตถุไม่มีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 4 เป็นคู่ ในกลุ่มหนึ่งวัตถุไม่มีคู่และมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 1 เป็นคี่ ในกลุ่มศูนย์วัตถุไม่มีเศษเหลือ ฉะนั้น 0 เป็นคู่
มีบทนิยามรูปธรรมของภาวะคู่อีกนิยามหนึ่ง คือ ถ้าวัตถุในเซตสามารถจัดเป็นสองกลุ่มเท่ากันได้ แล้วจำนวนวัตถุเป็นคู่ บทนิยามนี้เทียบเท่ากับบทนิยามแรก อีกครั้งหนึ่ง 0 เป็นคู่เพราะเซตว่างสามารถแบ่งได้เป็นสองกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีวัตถุ 0 วัตถุp=191
จำนวนยังสามารถแสดงเป็นจุดบนเส้นจำนวน เมื่อแบ่งจำนวนคี่และคู่แยกจากกัน แบบรูปของจำนวนทั้งสองจะปรากฏชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากรวมจำนวนลบด้วย คือ
alt=Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots
จำนวนคู่และคี่สลับกัน โดยเริ่มจากจำนวนคู่ใด ๆ นับขึ้นหรือลงทีละสองจะเป็นจำนวนคู่อีกจำนวนหนึ่ง และไม่มีเหตุผลให้ต้องนับข้ามเลข 0
เมื่อนำการคูณเข้ามาเกี่ยวข้อง สามารถเข้าสู่ภาวะคู่หรือคี่ได้ในวิธีเป็นรูปนัยมากขึ้นโดยใช้นิพจน์เลขคณิต จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูป (2 × ▢) + 0 หรือ (2 × ▢) + 1 จำนวนในกลุ่มแรกเป็นคู่ และกลุ่มหลังเป็นคี่ ตัวอย่างเช่น 1 เป็นคี่เพราะ 1 = (2 × 0) + 1 และ 0 เป็นคู่เพราะ 0 = (2 × 0) + 0 การสร้างตารางข้อเท็จจริงเหล่านี้จะยิ่งเสริมภาพเส้นจำนวนข้างต้น

**การนิยามภาวะคู่หรือคี่**
นิยามแน่ชัดของศัพท์คณิตศาสตร์อย่าง "คู่" หมายถึง "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" สุดท้ายเป็นสัญนิยม ต่างจาก "คู่" ศัพท์คณิตศาสตร์บางคำเจตนาสร้างขึ้นเพื่อตัดกรณีที่ชัดหรือลดรูป ตัวอย่างที่ขึ้นชื่อได้แก่จำนวนเฉพาะ ก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 20 นิยามของจำนวนเฉพาะยังขัดกัน และนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ เช่น กอลด์บัค, ลัมแบร์ท, เลอฌ็องดร์, เคลีย์, โครเนคเคอร์ เป็นต้น เขียนว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะpp=5–6 นิยามสมัยใหม่ของ "จำนวนเฉพาะ" คือ "จำนวนเต็มบวกที่มี 2 ตัวประกอบ" ฉะนั้น 1 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ สามารถให้เหตุผลนิยามนี้โดยสังเกตว่านิยามนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ว่าด้วยจำนวนเฉพาะมากกว่าโดยสภาพ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถระบุได้ง่ายขึ้นเมื่อไม่พิจารณา 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้ท่จะนิยามใหม่ให้คำว่า "คู่" ไม่รวม 0 ด้วย ทว่า ในกรณีนั้น นิยามใหม่จะทำให้การระบุทฤษฎีบทว่าด้วยจำนวนคู่ยากขึ้น ผลสามารถเห็นได้ทันทีในกฎเลขคณิตเกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่ โดยกฎที่เกี่ยวข้องมากที่สุดว่าด้วยการบก การลบ และการคูณ คือ
คู่ ± คู่ = คู่
คี่ ± คี่ = คู่
คู่ × จำนวนเต็ม = คู่
เมื่อแทรกค่าที่เหมาะสมลงในฝั่งซ้ายมือของกฎเหล่านี้ จะได้ 0 ในฝั่งขวามือ 
2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0
ดังนั้น กฎข้างต้นจะไม่ถูกต้องหาก 0 ไม่เป็นคู่ อย่างดีที่สุดกฎเหล่านี้ก็ต้องปรับเปลี่ยนใหม่ ตัวอย่างเช่น คู่มือการศึกษาทดสอบหนึ่งประเมินว่าจำนวนคู่ว่ามีลักษณะเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 แต่ 0 "ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่" กฎของคู่มือนี้สำหรับจำนวนคู่และคี่จึงมีข้อยกเว้นดังนี้
คู่ ± คู่ = คู่ (หรือ 0)
คี่ ± คี่ = คู่ (หรือ 0)
คู่ × จำนวนเต็ม (ที่ไม่เป็น 0) = คู่
การสร้างข้อยกเว้นสำหรับ 0 ในนิยามของจำนวนคู่บังคับให้บุคคลต้องสร้างข้อยกเว้นในกฎว่าด้วยจำนวนคู่ จากอีกมุมมองหนึ่ง เมื่อนำกฎของจำนวนคู่บวกออกไปแล้วกำหนดให้กฎเหล่านั้นยังใช้ได้สำหรับจำนวนเต็มบังคับให้มีนิยามปกติและภาวะคู่ของ 0

**บริบททางคณิตศาสตร์**
ผลลัพธ์นับไม่ถ้วนในทฤษฎีจำนวนยกทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตและคุณสมบัติพีชคณิตของจำนวนคู่ ฉะนั้นทางเลือกข้างต้นจึงมีผลกระทบกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบวกมีการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว หมายความว่า บุคคลสามารถระบุว่าจำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะจำนวนคู่หรือคี่ เนื่องจาก 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือมีตัวประกอบเฉพาะ จึงเป็นผลลัพธ์ของจำนวนเฉพาะแตกต่างกัน 0 จำนวน ส่วน 0 เป็นจำนวนคู่ 1 จึงมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะแตกต่างกันเป็นคู่ ดังนี้ส่อความว่าฟังก์ชันเมอบีอุสได้ค่า 1=μ(1) = 1 ซึ่งจำเป็นสำหรับการเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ และสูตรผกผันเมอบีอุสให้ใช้ได้

**ไม่เป็นคี่**
จำนวน n เป็นคี่เมื่อจำนวนเต็ม k โดยที่ 1=n = 2k + 1 วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่า 0 ไม่เป็นคี่คือใช้ข้อขัดแย้ง คือ ถ้า 1=0 = 2k + 1 แล้ว 1=k = −1/2 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มp=34 เนื่องจาก 0 ไม่ใช่คี่ หากพิสูจน์แล้วจำนวนที่ยังไม่ทราบแล้วว่าเป็นคี่ จำนวนนั้นจะเป็น 0 ไม่ได้ ข้อสังเกตที่ดูเล็กน้อยนี้สามารถให้ข้อพิสูจน์ที่สะดวก และเปิดเผยข้อพิสูจน์ซึ่งอธิบายว่าเหตุใดจำนวนดังกล่าวจึงไม่เป็น 0
ผลลัพธ์คลาสสิกของทฤษฎีกราฟระบุว่ากราฟอันดับคี่ (คือ มีจุดยอดจำนวนคี่) จะมีจุดยอดที่มีระดับขั้นคู่อย่างน้อยหนึ่งจุดยอดเสมอ (ประพจน์นี้ต้องให้ 0 เป็นคู่ เพราะกราฟว่างมีระดับขั้นคู่ และจุดยอดเอกเทศมีระดับขั้นคู่) ในการพิสูจน์ประพจน์นี้ แท้จริงแล้วการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เข้มกว่าจะง่ายกว่า คือ กราฟอันดับคี่ใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคู่เป็นจำนวนคี่ ลักษณะของจำนวนคี่นี้อธิบายโดยผลลัพธ์ทั่วไปกว่า ที่เรียก บทตั้งการจับมือ คือ กราฟใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคี่เป็นคู่ สุดท้าย จำนวนจุดยอดคี่เป็นคู่นั้นอธิบายได้จากสูตรผลรวมระดับขั้นโดยสภาพ
บทตั้งชแปร์เนอร์เป็นการนำยุทธศาสตร์เดียวกันไปใช้อย่างก้าวหน้าขึ้น บทตั้งนี้ระบุว่า การระบายสีบางชนิดบนโครงข่ายสามเหลี่ยมของซิมเพล็กซ์มีสับซิมเพล็กซ์หนึ่งที่มีทุกสี แทนที่จะสร้างสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวโดยตรง การพิสูจน์ว่ามีจำนวนคี่ของสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวผ่านการให้เหตุผลอุปนัยจะง่ายกว่า ประพจน์ที่เข้มกว่าของบทตั้งนี้อธิบายว่าเหตุใดจำนวนนี้จึงเป็นคี่ เพราะโดยสภาพซิมเพล็กซ์แยกได้เป็น (n + 1) + n เมื่อพิจารณาการกำหนดทิศทางที่เป็นไปได้สองอย่างของซิมเพล็กซ์หนึ่ง ๆ

**การสลับคี่-คู่**
บทนิยามเวียนเกิดของภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติ
ข้อเท็จจริงที่ว่า 0 เป็นคู่ ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนคี่และคู่สลับกันเพียงพอที่จะระบุภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติอื่นทุกจำนวน ความคิดนี้สามารถสร้างเป็นบทนิยามเวียนเกิดของเซ็ตจำนวนธรรมชาติคู่ได้ คือ- 0 เป็นคู่- (n + 1) เป็นคู่เฉพาะเมื่อ n ไม่เป็นคู่
นิยามนี้มีข้อได้เปรียบทางเชิงแนวคิดที่อาศัยเฉพาะรากฐานเล็กน้อยของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น คือ การมี 0 และตัวตามหลัง ฉะนั้น จึงเป็นประโยชน์สำหรับระบบตรรกะคอมพิวเตอร์อย่างกรอบตรรกะ (LF) และโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทอีซาแบล (Isabelle theorem prover) ด้วยนิยามนี้ สภาพคู่ของ 0 จึงไม่ใช่ทฤษฎีบทแต่เป็นสัจพจน์ ที่จริง "0 เป็นจำนวนคู่" อาจตีความได้ว่าเป็นสัจพจน์เปอาโน (Peano axiom) ซึ่งจำนวนธรรมชาติคู่เป็นแบบจำลอง บทสร้างคล้ายกันขยายนิยามของสภาพคู่หรือคี่ให้จำนวนเชิงอันดับที่อนันต์ โดยทุกอันดับลิมิตเป็นคู่รวมทั้ง 0 และตัวตามหลังของอันดับที่คู่เป็นคี่
การทดสอบจุดในรูปหลายเหลี่ยม
การทดสอบคลาสสิกจุดในรูปหลายเหลี่ยมจากเรขาคณิตคณนาใช้ความคิดข้างต้น ในการระบุว่าจุดหนึ่งอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่ บุคคลลากรังสีจากอนันต์มายังจุดและนับจำนวนครั้งที่รังสีนั้นผ่านขอบของรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะเป็นคู่ก็ต่อเมื่อจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ขั้นตอนวิธีดังกล่าวใช้ได้เพราะหากรังสีไม่ข้ามรูปหลายเหลี่ยมเลย จำนวนครั้งที่ข้ามก็จะเป็น 0 ซึ่งเป็นคู่ และจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ทุกครั้งที่รังสีข้ามรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะสลับระหว่างคู่กับคี่ และจุดที่อยู่ตรงปลายจะสลับระหว่างนอกกับในรูป
การสร้างกราฟสองส่วน
ในทฤษฎีกราฟ กราฟสองส่วนเป็นกราฟที่จุดยอดแบ่งออกเป็นสองสี่ โดยที่จุดยอดที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน หากกราฟต่อเนื่องไม่มีวงคี่จะสามารถสร้างการแบ่งเป็นสองส่วนได้โดยเลือกจุดยอดฐาน v และระบายสีทุกจุดยอดด้วยสีดำหรือขาว โดยขึ้นอยู่กับระยะทางจาก v เป็นคู่หรือคี่ เนื่องจากระยะทางระหว่าง v กับตัวมันเองเป็น 0 และ 0 เป็นคู่ จุดยอดฐานจึงระบายสีต่างจากจุดยอดที่อยู่ติดกัน ซึ่งมีระยะทาง 1

**แบบรูปพีชคณิต**
2Z (สีน้ำเงิน) เป็นกรุปย่อยของ Z
ในพีชคณิตนามธรรม จำนวนเต็มคู่ก่อโครงสร้างเชิงพีชคณิตต่าง ๆ ซึ่งต้องอาศัยการมีเลข 0 ข้อเท็จจริงที่ว่าเอกลักษณ์การบวก (0) เป็นคู่ ร่วมกับผลรวมและตัวผกผันการบวกของจำนวนคู่เป็นคู่และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก หมายความว่า จำนวนเต็มบวกจัดเป็นกรุปหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น กรุปจำนวนเต็มคู่ภายใต้การบวกเป็นกรุปย่อยของกรุปจำนวนเต็มทั้งหมด นี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานของมโนทัศน์กรุปย่อย การสังเกตก่อนหน้านี้ว่า "คู่ − คู่ = คู่" บังคับให้ 0 เป็นคู่เป็นส่วนหนึ่งของแบบรูปทั่วไป คือ สับเซตที่ไม่ว่างใด ๆ ของกรุปการบวกซึ่งมีสมบัติปิดภายใต้การลบจะต้องเป็นสับกรุป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องมีสมาชิกเอกลักษณ์
เนื่องจากจำนวนเต็มคู่เป็นกรุปย่อยของจำนวนเต็ม จึงแบ่งกั้นจำนวนเต็มออกเป็นเซตร่วมเกี่ยว อาจอธิบายเซตร่วมเกี่ยวได้เป็นชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูลดังนี้ x ~ y ถ้า (x − y) เป็นคู่ ในที่นี้ ภาวะคู่ของ 0 สำแดงออกโดยตรงเป็นความสัมพันธ์สะท้อนของความสัมพันธ์ทวิภาค ~ มีเซตร่วมเกี่ยวเพียง 2 เซตในกรุปย่อยนี้ คือ จำนวนคู่และคี่ ฉะนั้นจึงมีดัชนี 2
กลับกัน กรุปสลับเป็นกรุปย่อยดัชนี 2 ในกรุปสมมาตร n อักษร สมาชิกของกรุปสลับ เรียก การเรียงสับเปลี่ยนคู่ (even permutation) เป็นผลคูณของจำนวนย้ายข้างคู่ การส่งเอกลักษณ์ (identity map) ผลคูณว่างของการไม่ย้ายข้าง เป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่เพราะ 0 เป็นคู่ และเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป
กฎ "คู่ × จำนวนเต็ม = คู่" หมายความว่า จำนวนคู่ก่อไอดีลในริงของจำนวนเต็ม และความสัมพันธ์สมมูลข้างต้นสามารถอธิบายได้เป็นสมมูลมอดุโลไอดีลนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเต็มคู่เป็นจำนวนเต็ม k โดยที่ k ≡ 0 (mod 2) การประดิษฐ์ดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับการสืบสวนรากจำนวนเต็มของพหุนาม

**อันดับ 2 เอดิก**
มีการรับรู้ทำนองว่าพหุคูณบางจำนวนของ 2 เป็น "คู่มากกว่า" จำนวนอื่น พหุคูณของ 4 เรียก คู่คู่ (doubly even) เนื่องจากสามารถหารด้วย 2 ได้สองครั้ง ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังมีสมบัติพิเศษที่สามารถหารด้วยกำลังของ 2 ทุกจำนวนลงตัว ฉะนั้นจึงมีความเป็น "ภาวะคู่" ยิ่งกว่าจำนวนอื่น
ผลลัพธ์หนึ่งของข้อเท็จจริงนี้ปรากฏในอันดับบิตผันกลับ (bit-reversed ordering) ของประเภทข้อมูลจำนวนเต็มที่ขั้นตอนวิธีคอมพิวเตอร์บางอย่างใช้ เช่น การแปลงฟูรีเยอย่างเร็วคูลีย์–ทูคีย์ (Cooley–Tukey) การเรียงอันดับนี้มีสมบัติว่า ยิ่งเกิดตัวเลข 1 ตัวแรกในการกระจายฐานสองของจำนวนห่างไปทางซ้ายมากเพียงใด หรือยิ่งหารด้วย 2 ได้มากครั้งเท่าใด จะยิ่งปรากฏเร็วขึ้น การผันกลับบิตของ 0 ยังเป็น 0 คือ สามารถหารด้วย 2 ได้กี่ครั้งก็ได้ และการกระจายฐานสองของ 0 ไม่มีเลข 1 เลย ฉะนั้นจึงมาก่อนเสมอ
แม้ 0 หารด้วย 2 ได้มากครั้งกว่าจำนวนอื่นใด แต่ก็บอกปริมาณว่าหารได้กี่ครั้งไม่ได้อย่างตรงไปตรงมา สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 บุคคลสามารถนิยามอันดับ 2 เอดิกของ n ว่าเป็นจำนวนครั้งที่ n หารด้วย 2 ได้ลงตัว คำอธิบายดัวกล่าวใช้กับ 0 ไม่ได้ เพราะไม่ว่าจะหารด้วย 2 กี่ครั้งก็ยังสามารถหารด้วย 2 ได้อีก ฉะนั้น สัญนิยมปกติจึงตั้งอันดับ 2 ของ 0 ให้เป็นอนันต์เป็นกรณีพิเศษ สัญนิยมนี้มิได้มีเฉพาะอันดับ 2 แต่เป็นสัจพจน์หนึ่งของการกำหนดค่าการบวกในพีชคณิชชั้นสูง
กำลังของ 2 ได้แก่ 1, 2, 4, 8, ... เป็นลำดับเชิงเดียวของจำนวนอันดับ 2 ที่เพิ่มขึ้น ในจำนวน 2 เอดิก ลำดับดังกล่าวแท้จริงแล้วลู่เข้า 0

**การศึกษา**
ร้อยละของคำตอบตามเวลา
เรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 มักมีการสอนในระดับประถมศึกษาสองหรือสามปีแรก ซึ่งเป็นขณะที่มีการนำเสนอและเรียนรู้มโนทัศน์จำนวนคู่และคี่

**ความรู้ของนักเรียน**
แผนภาพด้านขวามือ แสดงความเชื่อของเด็กเกี่ยวกับภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เมื่อพวกเขาผ่านจากปี 1 ถึงปี 6 ของระบบการศึกษาอังกฤษ ข้อมูลนี้ได้จากเล็น โฟรบิเชอร์ ซึ่งทำการสำรวจเด็กนักเรียนชาวอังกฤษ โฟรบิเชอร์สนใจว่าความรู้ภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวเปลี่ยนเป็นความรู้ว่าด้วยภาวะคู่หรือคี่เลขโดดหลายตัวอย่างไร และ 0 มีส่วนสำคัญในผลลัพธ์ดังกล่าว
ในการสำรวจขั้นต้นเด็กนักเรียน 7 ขวบเกือบ 400 คน มี 45% เลือกตอบคู่เมื่อถูกถามเรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 การสำรวจติดตามให้คำตอบเพิ่มขึ้น คือ ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่ เป็นทั้งคู่และคี่และไม่ทราบ ครั้งนี้จำนวนเด็กในพิสัยอายุเดียวกันที่บอกว่า 0 เป็นคู่ลดลงเหลือ 32% ความสำเร็จในการตัดสินว่า 0 เป็นคู่นั้นทีแรกเพิ่มขึ้นแล้วคงที่อยู่ประมาณ 50% ในปีที่ 3 ถึงปีที่ 6 เมื่อเทียบกับการระบุภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวซึ่งเป็นงานที่ง่ายที่สุด ความสำเร็จอยู่ที่ประมาณ 85%
ในการสัมภาษณ์ โฟรบิเชอร์ค้นหาการให้เหตุผลของนักเรียน นักเรียนปี 5 คนหนึ่งตัดสินว่า 0 เป็นคู่เพราะพบในสูตรคูณแม่ 2 นักเรียนปี 4 สองคนพบว่า 0 สามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนเท่ากัน นักเรียนปี 4 อีกคนหนึ่งให้เหตุผลว่า "1 เป็นคี่และถ้าฉันนับถอยหลังมา มันจะเป็นคู่" การสัมภาษณ์ยังเปิดเผยความเข้าใจผิดเบื้องหลังคำตอบผิดด้วย นักเรียนปี 2 คนหนึ่ง "ค่อนข้างเชื่อมั่น" ว่า 0 เป็นคี่ บนเหตุผลว่า "มันเป็นเลขแรกที่คุณนับ" นักเรียนปี 4 คนหนึ่งเรียก 0 ว่า "ไม่มี" และคิดว่าไม่เป็นทั้งคี่หรือคู่ เพราะ "มันไม่ใช่จำนวน" ในอีกการศึกษาหนึ่ง แอนนี คีธสังเกตชั้นเรียนนักเรียนปี 2 จำนวน 15 คนซึ่งชักจูงกันและกันว่า 0 เป็นจำนวนคู่โดยอาศัยการสลับคู่-คี่และความเป็นไปได้ในการแบ่งกลุ่มวัตถุ 0 วัตถุออกเป็นสองกลุ่มเท่ากัน
มีการศึกษาเชิงลึกกว่าโดยเอสเทอร์ เลเวนสัน, เป็สซีอา ซามีร์ (Pessia Tsamir) และดีนา ตีร็อช (Dina Tirosh) ซึ่งสัมภาษณ์นักเรียนเกรด 6 คู่หนึ่งที่เรียนดีในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของพวกเขา นักเรียนคนหนึ่งนิยมคำอธิบายนิรนัยของการอ้างทางคณิตศาสตร์ ขณะที่อีกคนนิยมตัวอย่างที่จับต้องได้ ทีแรกนักเรียนทั้งสองคิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่ด้วยเหตุผลต่างกัน เลเวนสันและคณะแสดงว่าเหตุใดการให้เหตุผลของนักเรียนจึงสะท้อนมโนทัศน์ของ 0 และการหาร
เดโบราห์ โลเวนเบิร์ก บอลล์วิเคราะห์ความคิดของนักเรียนชั้นเกรด 3 เกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่และ 0 ซึ่งพวกเขาเพิ่งอภิปรายกับกลุ่มนักเรียนเกรด 4 นักเรียนอภิรายภาวะคู่หรือคี่ของ 0 กฎสำหรับจำนวนคู่และวิธีทำคณิตศาสตร์ การอ้างเกี่ยวกับ 0 มีหลายแบบ ดังที่ปรากฏในรายการขวามือ บอลล์และผู้ประพันธ์ร่วมของเธอแย้งว่าตอนนี้แสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถ "ทำคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ได้ ตรงข้ามกับการลดทอนวิชาตามปกติเป็นการหาคำตอบของแบบฝึกหัดดุจเครื่องจักรp=16
แก่นหนึ่งในเอกสารข้อมูลวิจัยคือความตึงเครียดระหว่างภาพมโนทัศน์กับนิยามมโนทัศน์ของนักเรียน นักเรียนเกรด 6 ในการศึกษาของเลเวนสันและคณะทั้งนิยามจำนวนคู่ว่าเป็นพหุคูณของ 2 หรือจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว แต่ทีแรกไม่สามารถใช้นิยามนี้กับ 0 ได้ เพราะพวกเขาไม่แน่ใจว่าการคูณหรือหาร 0 ด้วย 2 ทำอย่างไร สุดท้ายผู้สัมภาษณ์นำพวกเขาให้สรุปว่า 0 เป็นคู่ โดยนักเรียนใช้วิธีต่าง ๆ ในการมาสู่ข้อสรุปนี้ โดยการวาดบนภาพ นิยาม คำอธิบายจับต้องได้และคำอธิบายนามธรรมผสมกัน ในอีกการศึกษาหนึ่ง เดวิด ดิกเคอร์สัน และเดเมียน พิตแมนตรวจสอบการใช้นิยามของนักศึกษาปริญญาตรีเอกคณิตศาสตร์จำนวน 5 คน พวกเขาพบว่านักศึกษาเหล่านั้นส่วนใหญ่สามารถใช้นิยามของ "คู่" กับ 0 ได้ แต่พวกเขายังไม่ค่อยเชื่อตามการให้เหตุผลนี้ เนื่องจากขัดกับภาพมโนทัศน์ของพวกเขา2012

**ความรู้ของครู**
คณะนักวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกนรวมโจทย์จริงหรือเท็จ "0 เป็นจำนวนคู่" ในฐานข้อมูลคำถามกว่า 250 คำถามซึ่งออกแบบมาเพื่อวัดความรู้เนื้อหาของครู สำหรับผู้วิจัย "ความรู้ทั่วไป ... ซึ่งผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาดีทุกคนพึงมี" และ "เป็นกลางทางอุดมการณ์" ตรงที่ว่าคำตอบไม่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ดั้งเดิมกับคณิตศาสตร์ปฏิรูป ในการวิจัยครูประถมศึกษาจำนวน 700 คนระหว่างปี 2543–2547 ในสหรัฐ สมรรถนะโดยรวมของคำถามเหล่านี้สามารถพยากรณ์พัฒนาการผลทดสอบมาตรฐานของนักเรียนได้อย่างมีนัยสำคัญหลังเข้าเรียนในชั้นเรียนของครูคนนั้น ๆ ในการวิจัยเชิงลึกขึ้นในปี 2551 ผู้วิจัยพบโรงเรียนแห่งหนึ่งท่ครูทุกคนคิดว่า 0 ไม่เป็นคี่และคู่ ซึ่งรวมถึงครูผู้หนึ่งที่เป็นแบบอย่างในทุกกรณี ศึกษานิเทศก์คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในโรงเรียนนั้นเป็นผู้เผยแพร่ความเข้าใจผิดดังกล่าวpp=446–447
ไม่แน่ชัดว่าครูมากน้อยเพียงใดมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับ 0 คณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ข้อมูลสำหรับคำถามแต่ละคำถาม เบตตี ลิชเทนเบิร์ก (Betty Lichtenberg) ผู้ช่วยศาสตราจารย์การศึกษาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาท์ฟลอริดา ในการศึกษาปี 2515 รายงานว่าเมื่อกลุ่มครูโรงเรียนประถมตามแผนได้รับการทดสอบจริงหรือเท็จซึ่งมีคำถามหนึ่งว่า "0 เป็นจำนวนคู่" ครูเหล่านั้นคิดว่าเป็น "คำถามลวง" โดยสองในสามตอบ "เท็จ"

**การส่อความสำหรับการสอน**
ในทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่นั้นเป็นปัญหาการใช้บทนิยามที่เรียบง่าย แต่จำเป็นต้องมีคำอธิบายเพิ่มในบริบทของการศึกษา ประเด็นหนึ่งว่าด้วยรากฐานของการพิสูจน์ คือ นิยามของ "คู่" ว่าเป็น "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป นักเรียนประถมศึกษาปีที่ 1 อาจยังมิได้เรียนความหมายของคำว่า "จำนวนเต็ม" หรือ "พหุคูณ" ซึ่งไม่ต้องกล่าวถึงการคูณด้วย 0 นอกจากนี้ การระบุนิยามของภาวะคู่หรือคี่สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถดูเหมือนเป็นทางลัดมโนทัศน์ตามอำเภอใจหากจำนวนคู่ที่สืบสวนจนถึงขณะนั้นมีเฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น ประเด็นนี้สามารถช่วยให้ตระหนักว่ามโนทัศน์จำนวนขยายจากจำนวนเต็มบวกให้รวมศูนย์และจำนวนเต็มลบฉันใด คุณสมบัติของจำนวนอย่างภาวะคู่หรือคี่ก็ขยายในทางที่ไม่เล็กน้อยฉันนั้น

**ประชานจำนวน**
การวิเคราะห์ข้อมูลทดลองทางสถิติ แสดงการแบ่งของ 0 ในการวิเคราะห์ที่ว่างเล็กสุดนี้ มีเพียงการเกาะกลุ่มของข้อมูลเท่านั้นที่มีความหมาย ส่วนแกนคงค่า
ผู้ใหญ่ที่เชื่อว่า 0 เป็นคู่นั้นก็ยังไม่คุ้นเคยกับการคิดว่ามันเป็นคู่ จนสามารถทำให้การตอบสนองช้าลงในการทดลองเวลาปฏิกิริยาจนวัดได้ สตานิสลัส เดอแอน (Stanislas Dehaene) ผู้บุกเบิกในสาขาประชานจำนวน นำการทดลองดังกล่าวหลายครั้งในต้นคริสต์ทศวรรษ 1990 มีการฉายเลขหรือคำเลข (number word) บนจอภาพแก่ผู้รับการทดลอง แล้วให้คอมพิวเตอร์บันทึกเวลาที่ผู้รับการทดลองใช้ในการกดเลือกปุ่มว่าจำนวนที่ฉายนั้นเป็นคู่หรือคี่ ผลลัพธ์แสดงว่าผู้รับการทดลองประมวลเลข 0 ช้ากว่าเลขคู่อื่น มีความแปรผันในการทดลองบางอย่างพบความล่าช้ามากถึง 60 มิลลิวินาที หรือประมาณ 10% ของเวลาปฏิกิริยาเฉลี่ย ซึ่งเป็นความแตกต่างเล็กน้อยแต่มีความสำคัญ
การทดลองของเดอแอนมิได้ออกแบบมาเพื่อสอบสวนเลข 0 โดยเฉพาะแต่เพื่อเรียบเทียบแบบจำลองต่าง ๆ ว่าประมวลผลและแยกสารสนเทศภาวะคู่หรือคี่อย่างไร แบบจำลองที่จำเพาะที่สุด คือ สมมติฐานการคำนวณในใจ เสนอว่าปฏิกิริยาต่อ 0 ควรเร็ว เพราะ 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย และการคำนวณ 0 × 2 = 0 ง่าย (ผู้ศึกษาทราบว่าผู้รับการทดลองคำนวณและตอบผลลัพธ์การคูณด้วย 0 เร็วกว่าการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ 0 แม้ผู้รับการทดลองใช้เวลานานกว่าในการยืนยันผลลัพธ์อย่าง 2 × 0 = 0) ผลลัพธ์ของการทดลองนี้เสนอสิ่งที่คลาดเคลื่อนไปจากสมมติฐาน คือ สารสนเทศภาวะคู่หรือคี่ดูเหมือนถูกเรียกมาจากความทรงจำร่วมกับกลุ่มคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เช่น เป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของ 2 และลำดับของจำนวนคู่บวก 2, 4, 6, 8, ... เป็นหมวดหมู่ทางจิตที่แยกแยะได้ง่ายว่าสมาชิกเป็นต้นแบบเลขคู่ 0 ไม่อยู่ในรายการใด ฉะนั้นจึงมีการตอบสนองช้ากว่า
การทดลองซ้ำ ๆ ต่างแสดงว่าผู้รับการทดลองช้าที่เลข 0 ไม่ว่ามีภูมิหลังอายุ สัญชาติ หรือภาษา หรือไม่ว่าเผชิญกับชื่อเลขในรูปตัวเลข สะกดเป็นอักษร และสะกดในภาพกระจก แต่กลุ่มของเดอแอนพบปัจจัยแยกกันปัจจัยหนึ่ง คือ ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ในการทดลองของพวกเขาครั้งหนึ่ง นักศึกษาในเอกอลนอร์มาลซูว์เปรีเยอร์ (École Normale Supérieure) ถูกแบ่งเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งศึกษาวรรณคดี และอีกกลุ่มหนึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ หรือชีววิทยา ความช้าที่เลข 0 "พบโดยสำคัญในกลุ่ม วรรณคดี" และที่จริง "ก่อนการทดลอง ผู้รับการทดลองบางคนไม่มั่นใจว่า 0 เป็นคี่หรือคู่ และต้องได้รับการย้ำนิยามทางคณิตศาสตร์"
ด้วยต้องอาศัยความคุ้นเคยอย่างมาก เหตุนี้จึงทำลายสมมติฐานการคำนวณในใจอีก ปรากฏการณ์ดังกล่าวยังแนะว่าการรวม 0 อยู่ในการทดลองเปรียบเทียบจำนวนคู่และคี่เป็นกลุ่มนั้นไมเหมาะสม การศึกษาหนึ่งระบุว่า "นักวิจัยส่วนใหญ่ดูจะเห็นตรงกันว่า 0 ไม่ใช่จำนวนคู่แบบฉบับและไม่ควรสืบสวนมันในฐานะส่วนหนึ่งของเส้นจำนวนในใจ"

**บริบทชีวิตประจำวัน**
ไฟล์:13-02-27-spielbank-wiesbaden-by-RalfR-094.jpg|thumb|ในเกมรูเล็ตต์ ถือว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่
บางบริบทที่มีภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นวาทศิลป์ทั้งสิ้น ประเด็นนี้เป็นข้อคำถามสำหรับกระดานสนทนาอินเทอร์เน็ตและเว็บไซต์ถามผู้เชี่ยวชาญ นักภาษาศาสตร์ โจเซฟ ไกรมส์ (Joseph Grimes) กล่าวตลกว่า การถามคู่สมรสว่า "0 เป็นจำนวนคู่หรือไม่" เป็นวิธีที่ดีในการสร้างความไม่ลงรอยกันระหว่างทั้งสอง บุคคลที่คิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่อาจใช้ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นข้อพิสูจน์ว่ากฎประจำวันมีตัวอย่างตรงข้าม หรือเป็นตัวอย่างของคำถามลวง
ประมาณปี 2543 สื่อต่าง ๆ ตั้งข้อสังเกตถึงหลักไมล์ที่ไม่ธรรมดาสองวัน คือ "1999/11/19" (19 พฤศจิกายน 2542) เป็นวันที่สุดท้ายในปฏิทินซึ่งเป็นเลขโดดคี่ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน และวันที่ "2000/02/02" (2 กุมภาพันธ์ 2543) เป็นวันที่เลขคู่ทั้งหมดวันแรกที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน เนื่องจากผลลัพธ์เหล่านี้ใช้ข้อที่ว่า 0 เป็นคู่ ผู้อ่านบางคนจึงไม่เห็นด้วยกับความคิดนี้
ในการทดสอบมาตรฐาน หากคำถามถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของจำนวนคู่ อาจจำเป็นต้องระลึกไว้ว่า 0 เป็นคู่ สิ่งพิมพ์เผยแพร่อย่างเป็นทางการซึ่งเกี่ยวข้องกับการสอบจีแมต (GMAT) และจีอาร์อี (GRE) ล้วนกล่าวว่า 0 เป็นคู่
ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สัมพันธ์กับการปันส่วนคี่–คู่ ซึ่งอนุญาตให้จับรถยนต์หรือซื้อแกโซลีนได้สลับวันกันตามภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดสุดท้ายในป้ายทะเบียนรถ จำนวนครึ่งหนึ่งอยู่ในพิสัยหนึ่ง ๆ ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6, 8 และอีกครึ่งหนึ่งด้วย 1, 3, 5, 7, 9 ฉะนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะรวม 0 กับจำนวนคู่อื่น ทว่า ในปี 2520 ระบบปันส่วนคี่–คู่ในกรุงปารีสนำไปสู่ความสับสน คือ ในวันเฉพาะเลขคี่ ตำรวจเลี่ยงปรับผู้ขับขี่ที่ป้ายทะเบียนลงท้ายด้วย 0 เพราะพวกเขาไม่ทราบว่า 0 เป็นเลขคู่หรือไม่ ในการเลี่ยงความสับสนเช่นว่า บางครั้งกฎหมายที่เกี่ยวข้องจึงกำหนดว่า 0 เป็นคู่ โดยมีการผ่านกฎหมายดังกล่าวในรัฐนิวเซาท์เวลส์ และรัฐแมรีแลนด์
ในเรือของกองทัพเรือสหรัฐ ส่วนกั้นเลขคู่จะอยู่กาบซ้าย (port side) แต่สงวนเลข 0 ไว้สำหรับส่วนกั้นที่อยู่ตัดกับแนวกลาง นั่นคือ จำนวนจะเรียงจาก 6-4-2-0-1-3-5 ตั้งแต่กาบซ้ายถึงกาบขวา (starboard) ในเกมรูเล็ตต์ เลข 0 ไม่นับว่าเป็นคู่หรือคี่ ทำให้กาสิโนได้เปรียบในการลงพนันดังกล่าว ในทำนองเดียวกัน ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 จะมีผลต่อเงินในพร็อปเบต (prop bet) เมื่อผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนี่สุ่มเป็นคู่หรือคี่ แล้วปรากฏว่าได้ 0
เกม "คี่และคู่" ก็ได้รับผลกระทบเช่นกัน หากผู้เล่นทั้งสองไม่ออกนิ้ว จำนวนนิ้วจะเป็น 0 ฉะนั้นผู้เล่นคู่จะชนะ คู่มือครูเล่มหนึ่งเสนอให้เล่นเกมนี้เพื่อเป็นการสอนมโนทัศน์ว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัวแก่เด็ก

**อ้างอิง**

**เชิงอรรถ**

**บรรณานุกรม**
isbn=1-85233-236-0
*isbn=1-58488-515-7
*isbn=0-8223-0959-9
*accessdate=11 April 2010 
*df= 
*format=PDF 
*accessdate=4 March 2010 
*isbn=0-387-40627-1
*isbn=0-8058-3105-3
*isbn=0-7425-0202-3
*isbn=0-521-38808-2
*isbn=1-4027-1300-2
*isbn=0-442-24905-5
*url=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html 
*isbn=0-312-36005-3
*isbn=1-55750-221-8
*format=PDF 
*issue=1452
*isbn=0-448-22202-7
*url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:542328/FULLTEXT01.pdf#page=193 
*isbn=0-471-36857-1
*accessdate=6 September 2011 
*publisher=Reidel
*pages=31–48
*publisher=Springer-Verlag
*Citation |last1=Gowers |first1=Timothy |authorlink=William Timothy Gowers |title=Mathematics: A Very Short Introduction |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-285361-5 |year=2002
*location=McLean, VA
*isbn=90-279-3164-X
*isbn=0-486-43232-7
*pages=430–511
*isbn=0-7432-6035-X
*isbn=1-59311-495-8
*isbn=1-58488-052-X
*journal=The Journal of Mathematical Behavior
*pages=535–538
*isbn=1-56750-037-4
*accessdate=16 June 2012 
*isbn=0-387-95585-2
*url-status=dead 
*isbn=3-540-43376-7
*doi=10.1080/02724980343000512
*isbn=90-277-0809-6
*isbn=981-02-4088-0
*isbn=0-521-86516-6
*Citation |last1=Siegel |first1=Robert |title=Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now. |url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1066881 |date=19 November 1999 |work=All Things Considered |publisher=National Public Radio 
*Citation |last1=Snow |first1=Tony |date=23 February 2001 |url=http://www.jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |title=Bubba's fools |work=Jewish World Review |accessdate=22 August 2009 |archive-date=2011-01-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110102010937/http://jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |url-status=dead 
*Citation |last1=Sones |first1=Bill |first2=Rich |last2=Sones |title=To hide your age, button your lips |date=8 May 2002 |work=Deseret News |page=C07 |url=http://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all |accessdate=21 June 2014 |archive-date=2018-02-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180204124122/https://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all |url-status=dead 
*isbn=0-521-56473-5
*isbn=0-7689-0635-0
*Citation |last1=Stingl |first1=Jim |title=01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life |date=5 April 2006 |work=Milwaukee Journal Sentinel |edition=Final |page=B1 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060427002610/http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306 |archivedate=27 April 2006 |accessdate=21 June 2014 |url=http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306 
*isbn=1-85233-235-2
*url-status=dead 
*isbn=0-7100-9868-5
*isbn=0-415-24651-2
*isbn=981-02-3043-5
หมวดหมู่:เลขคณิต
หมวดหมู่:ภาวะคู่หรือคี่
หมวดหมู่:ศูนย์