คณิตวิเคราะห์

ไฟล์:Attracteur étrange de Lorenz.png|thumb|ตัวดึงดูดประหลาดในรูปคือแนววิถีของสมการเชิงอนุพันธ์สมการหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสาขาสำคัญของคณิตวิเคราะห์ที่มีการประยุกต์ใช้ใน วิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ มากมาย
คณิตวิเคราะห์ (mathematical analysis) เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน และรวมไปถึงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเหล่านั้น เช่น ลิมิต, อนุกรมเลข, อนุพันธ์, ปริพันธ์ รวมไปถึงหัวข้อที่ลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น เช่น ทฤษฎีเมเชอร์และฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิต แต่ทั้งนี้คณิตวิเคราะห์สามารถใช้ในศึกษาปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้ (เช่นปริภูมิเชิงทอพอโลยี) หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้ (เช่นปริภูมิเมตริก)

**ประวัติ**

**คณิตวิเคราะห์ในยุคโบราณ**
คณิตวิเคราห์เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ในช่วงการปฏิวัติวิทยาศาสตร์ แต่ผลลัพธ์แรก ๆ ในคณิตวิเคราะห์ปรากฏโดยนัยในคณิตศาสตร์ของชาวกรีกยุคแรก ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเซโน ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เช่นยูโดซัสและอาร์คิมิดีส ได้ใช้หลักการลิมิตและการลู่เข้าที่ชัดแจ้งแต่ไม่เป็นทางการเมื่อเขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของขอบเขตหรือของแข็ง ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 12 ได้ยกตัวอย่างของอนุพันธ์และได้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของโรลล์

**คณิตวิเคราะห์ในยุคกลาง**
ในช่วงศตวรรษที่ 14  Madhava of Sangamagrama ได้พัฒนาการกระจายอนุกรมของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทงเจ็นต์ และฟังก์ชันแทงเจ็นต์ผกผัน ซึ่งปัจจุบันรู้จักในชื่ออนุกรมเทย์เลอร์ นอกจากการพัฒนาอนุกรมเทเลอร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เขายังคาดคะเนความมากน้อยของเทอมผิดพลาดที่เกิดจากการลดทอนอนุกรมเหล่านี้ได้อีกด้วย อีกทั้งยังสามารถประมาณค่าของอนุกรมอนันต์ในรูปแบบตรรกยะได้ ต่อมามีการพัฒนาต่อยอดไปอีกในช่วงศตวรรษที่ 20

**คณิตวิเคราะห์สมัยใหม่**
ในยุปโรปในช่วงศตวรรษที่ 17 ตอนปลาย นิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์โดยเอกเทศแต่ได้บทสรุปเหมือนกันที่ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยงานประยุกต์ที่มีต่อ ๆ ไปในช่วงศตวรรษที่ 18 เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน, สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป และสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อย, การวิเคราะห์ฟูเรียร์, และฟังก์ชันก่อกำเนิด ในช่วงเวลานี้ เทคนิกทางแคลคูลัสได้รับการประยุกต์ใช้เพื่อประมาณค่าทางวิยุตคณิตโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในช่วงศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้คิดค้นแนวคิดฟังก์ชันคณิตศาสตร์ คณิตวิเคราะห์จำนวนจริงได้เริ่มต้นขึ้นโดยเอกเทศเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนคิดค้นคำนิยามของคำว่าความต่อเนื่องในปี 1816 แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้อย่างกว้างขวางก่อนช่วงปี 1870 ในปี 1821 โคชีได้เริ่มสร้างพื้นทางให้กับแคลคูลัสโดยเลิกคำนึงถึงความทั่วไปของพิชคณิตซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์ให้ความสนใจมากก่อนหน้านี้ โคชีใช้แนวคิดกณิกนันต์และแนวคิดทางเรขาคณิตมาใช้ในแคลคูลัส จนทำให้เกิดคำพูดที่ว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก ๆ ของค่า x ส่งผลให้ค่า y เปลี่ยนแปลงอย่างน้อย ๆ เช่นกัน เขาเริ่มใช้แนวคิดอนุกรมโคชีและทฤษฎีใหม่ล่าสุดในตอนนั้นซึ่งคือคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อน  ปัวซอง, ลียูวิลล, ฟูร์เยร์ และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ เริ่มศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก นั่นส่งผลให้ไวแยร์สตราสส์พัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้ (ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง
ในช่วงกลางศตวรรษ รีมันน์ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยไวแยร์สตราสส์ผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้ (ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง
จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มมีความกังวลเกี่ยวกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนจริงอยู่บนเส้นจำนวนจริงที่ต่อเนื่องเพราะว่าไม่มีการพิสูจน์ เดเดคินด์จึงได้สร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้ส่วนตัดเดเดคินด์ซึ่งทำให้สามารถนิยามจำนวนอตรรยะได้เป็นอย่างดี ซึ่งส่งผลให้เซตตัวเลขสมบูรณ์ ต่อมามีความพยายามที่จะพัฒนาต่อยอดงานของรีมันน์โดยการศึกษาขนาดของเซตที่ไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันจำนวนจริง
หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึงทฤษฎีบทการแยกประเภทของแบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซต เลอเบกแก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และฮิลแบร์ทได้คิดค้นปริภูมิฮิลแบร์ทเพื่อแก้สมการเชิงปริพันธ์ ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานได้เป็นพื้นฐานให้กับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันในเวลาต่อมาในช่วง 1920 ผ่านงานของ สเตฟาน บานาค

**สาขาย่อย**
คณิตวิเคราะห์มีสาขาย่อยหลัก ๆ ดังต่อไปนี้

**การวิเคราะห์เชิงจริง**

**การวิเคราะห์เชิงซ้อน**

**สมการเชิงอนุพันธ์**

**การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน**

**ทฤษฎีเมเชอร์**

**การวิเคราะห์เชิงตัวเลข**
นอกจากนี้ยังมีหัวข้ออื่น ๆ ที่เป็นสาขาย่อยของคณิตวิเคราะห์ลงไปอีก ได้แก่- แคลคูลัสของการแปรผัน- การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก- การวิเคราะห์เรขาคณิต- การวิเคราะห์คลิฟฟอร์ด- การวิเคราะห์พี-เอดิก- การวิเคราะห์เชิงไม่มาตรฐาน- การวิเคราะห์เชิงคำนวณ- แคลคูลัสสโทแคสติก- Set-valued analysis- การวิเคราะห์คอนเวกซ์- Tropical analysis

**หมายเหตุ**

**อ้างอิง**
Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
*Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
*Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
*Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
*Nikol'skii, S. M. 2002.  "Mathematical analysis". In  Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor).  Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
*Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. ISBN 2-86883-681-X.
*Rudin, Walter. 1976. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), ISBN 978-0-07-085613-4.
*Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
*Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.
*Whittaker, E. T. and Watson, G. N.. 1927. A Course of Modern Analysis. 4th edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.
*http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf

**ดูเพิ่ม**
  Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis-  Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)

หมวดหมู่:สาขาของคณิตศาสตร์