เซตกำลัง

ไฟล์:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|250px|สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z}  เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด
ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (power set) ของเซต S ใด ๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ , P(S), ℙ(S), ℘(S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใด ๆ
เซตย่อยใด ๆ ของ  เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

**ตัวอย่าง**
ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:- {} (อาจเขียนแทนด้วย  เรียกเซตว่าง)- {x} - {y}- {z}- {x, y}- {x, z}- {y, z}- {x, y, z}
ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ  

**สมบัติ**
ถ้า  เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก  ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ  คือ  ทำให้เกิดสัญกรณ์  สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
 เขียนเซตย่อยใด ๆ ของ  ในรูปแบบ  ซึ่ง  มีค่า  หรือ  ถ้า  สมาชิกตัวที่ ของ  อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ 
การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้น ๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใด ๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้น ๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)
เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใด ๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)
เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้น ๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

**แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน== 
ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X  เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ  โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้  ฉะนั้น 2S และ  ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)
สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่  เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 
1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้น
ๆ ดังนั้น {x, y} = 110
สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้- { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)- {x} = 100 = 4- {y} = 010 = 2- {z} = 001 = 1- {x, y} = 110 = 6- {x, z} = 101 = 5- {y, z} = 011 = 3- {x, y, z} = 111 = 7

**ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม**
เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก  ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก  ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่  เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม
ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:
*เซตขนาด 0  เซต
*เซตขนาด 1  เซต
*เซตขนาด 2  เซต
*เซตขนาด 3  เซต

**อ้างอิง**

**รายชื่อหนังสืออ้างอิง**
 cite book | last=Devlin | first=Keith J. | authorlink=Keith Devlin | title=Fundamentals of contemporary set theory | url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl | series=Universitext | publisher=Springer-Verlag | year=1979 | isbn=0-387-90441-7 | zbl=0407.04003 -  isbn=978-81-8431-193-8 
ซเซต
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์