หลายสิ่งอันดับ

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล (tuple) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย -สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง  สิ่ง (เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น  เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ  หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ
ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา

**คุณสมบัติ**
โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ -สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ
  ก็ต่อเมื่อ 
คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
# หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ  แต่เซต 
# อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ  แต่เซต 
# หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

**นิยาม**
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

**นิยามด้วยฟังก์ชัน**
ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม -สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ -สิ่งอันดับ คือ
 
เมื่อ
 
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น
 

**นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน**
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม -สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ -สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
# -สิ่งอันดับ เมื่อ  นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#: 
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 
ตัวอย่างเช่น
 
หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
# -สิ่งอันดับ เมื่อ  นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
#: 
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 
ตัวอย่างเช่น
 

**นิยามด้วยเซตซ้อน**
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ -สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
# 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง 
# กำหนดให้  เป็น -สิ่งอันดับ  และกำหนดให้  จะได้ว่า  (เรียกว่า  เชื่อมกับ )
ตัวอย่างเช่น
 

**อ้างอิง**
 isbn=978-0-13-014412-6- Keith Devlin, The Joy of Sets. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8- Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy,  Foundations of set theory, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33- Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14- George J. Tourlakis,  Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193
หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ทฤษฎีอันดับ
หมวดหมู่:ทฤษฎีแบบชนิด