การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์

ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์ (conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น
การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

**วิธีการพิสูจน์**

**การพิสูจน์ตรง**
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่
พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ
การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

**การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์**
การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณี เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ 
การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:
ให้  เป็นเซตของจำนวนนับ และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ n เป็นสมาชิกของ N ที่- (i) P(1) เป็นจริง กล่าวคือ P(n) เป็นจริงสำหรับ 1=n = 1- (ii) P(n+1) เป็นจริงเมื่อ P(n) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ P(n) เป็นจริง แปลว่า P(n+1) ก็เป็นจริง- แล้ว P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2n + 1 เป็นจำนวนคี่ ให้ P(n) แทน "2n+1 เป็นจำนวนคี่":
 (i)  สำหรับ 1=n = 1 จะได้ว่า 1=2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น P(1) เป็นจริง
 (ii) สำหรับทุก n ถ้า 2n + 1 เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n + 1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก 2 กับจำนวนคี่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ แต่  1=(2n + 1) + 2 = 2(n + 1) + 1 ดังนั้น 1=2(n + 1) + 1 เป็นจำนวนคี่ (P(n+1)) ดังนั้น P(n+1) เป็นจริงถ้า P(n) เป็นจริง
ฉะนั้น 2n + 1 เป็นจำนวนคี่สำหรับทุกจำนวนนับ n
ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า proof by induction หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า proof by mathematical induction

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:การพิสูจน์
หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:คำศัพท์คณิตศาสตร์