เกรเดียนต์

ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น
ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ (gradient) คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร  ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์  ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่  มีค่ามากขึ้นที่สุด และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ สัญลักษณ์  เรียกว่าสัญลักษณ์นาบลา (nabla) หรือ เดล (del)
เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน  ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

**แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์**
ไฟล์:Vector_Field_of_a_Function's_Gradient_imposed_over_a_Color_Plot_of_that_Function.svg|thumb|500x500px|เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ 1=f(x, y) = xe−(x2 + y2) ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี
พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์  นั่นคือที่จุด  อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ  และเป็นอิสระจากเวลา 
เกรเดียนต์ของ  ที่จุด  จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด  และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น
พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด  กำหนดโดยฟังก์ชัน  เกรเดียนต์ของ  ที่จุด  จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์ 
นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน 
โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน  ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ  คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ  ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

**สัญลักษณ์ที่ใช้**
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  ที่จุด  นิยมเขียนแทนด้วย  แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น-  : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์-  and  : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ (i)

**นิยาม**
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง
เกรเดียนต์ ของฟังก์ชันสเกลาร์  เขียนแทนด้วย  หรือ  นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์  ที่จุด  จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ  ไปตาม  นั่นคือ 
เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน  ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น ดูอัล ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง
สัญลักษณ์  เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์
ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้

**ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน**
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ
เมื่อ i, j, k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด x, y และ z ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  คือ  หรือเขียนแทนด้วย
ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
 citation|last1=Bachman|first1=David|title=Advanced Calculus Demystified|year=2007|location=New York|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-148121-2- citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau|year=1973|location=Boston|publisher=Houghton Mifflin Company|isbn=0-395-14017-X|last2=Fraleigh|first2=John B.|url-access=registration- citation|last1=Downing|first1=Douglas, Ph.D.|title=Barron's E-Z Calculus|year=2010|location=New York|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-4461-5- cite book|last1=Dubrovin|first1=B. A.|title=Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields|last2=Fomenko|first2=A. T.|last3=Novikov|first3=S. P.|publisher=Springer|year=1991|isbn=978-0-387-97663-1|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics- citation|last1=Harper|first1=Charlie|title=Introduction to Mathematical Physics|year=1976|location=New Jersey|publisher=Prentice-Hall|isbn=0-13-487538-9- citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|title=Advanced Engineering Mathematics|url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey|year=1972|edition=3rd|location=New York|publisher=Wiley|isbn=0-471-50728-8|author-link=Erwin Kreyszig- citation|last1=Moise|first1=Edwin E.|title=Calculus: Complete|year=1967|location=Reading|publisher=Addison-Wesley- citation|last1=Protter|first1=Murray H.|title=College Calculus with Analytic Geometry|year=1970|edition=2nd|location=Reading|publisher=Addison-Wesley|lccn=76087042|last2=Morrey|first2=Charles B. Jr.- oclc=25048561- citation|last1=Stoker|first1=J. J.|title=Differential Geometry|year=1969|location=New York|publisher=Wiley|isbn=0-471-82825-4- first6=H.
หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์