สมบัติการสลับที่

ตัวอย่างแสดงสมบัติการสลับที่ของการบวก (3 + 2 = 2 + 3)
ในคณิตศาสตร์ สมบัติการสลับที่ (commutativity) คือกระบวนการเปลี่ยนลำดับของบางสิ่ง โดยไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลง เป็นสมบัติเบื้องต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายชนิด และการพิสูจน์หลายอย่างก็ขึ้นอยู่กับสมบัตินี้
สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการพื้นฐาน เช่น การบวก หรือ การคูณของจำนวน ถูกสมมติขึ้นโดยไร้ข้อกังขามาเป็นเวลายาวนาน และสมบัตินี้ไม่เคยมีการตั้งชื่อหรือการให้เหตุผลจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่นักคณิตศาสตร์เริ่มจัดระเบียบแบบแผนของทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์

**การใช้ทั่วไป**
สมบัติการสลับที่ (หรือกฎการสลับที่) เป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทวิภาคและฟังก์ชัน และในทางเดียวกัน ถ้าสมบัติการสลับที่มีอยู่สำหรับสมาชิกคู่หนึ่ง ภายใต้การดำเนินการทวิภาคที่แน่นอนแล้ว เราจะกล่าวได้ว่าสมาชิกสองตัวนั้นสามารถสลับที่ (commute) บนการดำเนินการดังกล่าว
ในทฤษฎีกรุปและทฤษฎีเซต เราจะเรียกโครงสร้างเชิงพีชคณิตว่าเป็นโครงสร้างสลับที่ได้ (commutative) เมื่อมีตัวดำเนินการที่แน่นอนทำให้เกิดสมบัติการสลับที่ ในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไป เช่นคณิตวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงเส้น สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการที่รู้จักเป็นอย่างดี (อย่างการบวกและการคูณของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) มักจะมีการใช้งานมาก (หรือสมมติขึ้นมา) ในการพิสูจน์ต่าง ๆ 

**นิยาม**
คำว่า สลับที่ (commute) หรือ สลับที่ได้ (commutative) มีการใช้งานในหลายประเด็นดังนี้ 
# กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก
#:  
#: ส่วนการดำเนินการที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขด้านบน จะถือว่าเป็นการดำเนินการที่ สลับที่ไม่ได้ หรือ ไม่สลับที่ (non-commutative)
# เราอาจกล่าวได้ว่า x สามารถ สลับที่ กับ y ภายใต้การดำเนินการ ∗ ถ้าหาก
#:   
# กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : A×A → B เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก
#: 

**ตัวอย่าง**

**การดำเนินการสลับที่ได้ในชีวิตประจำวัน**
 การใส่รองเท้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ได้ เพราะไม่สำคัญว่าจะใส่รองเท้าข้างซ้ายหรือข้างขวาก่อน ผลสุดท้ายก็เหมือนกันคือได้ใส่รองเท้าทั้งสองข้าง- ในการแลกเปลี่ยนเงินตรา เราสามารถใช้ประโยชน์จากสมบัติการสลับที่ของการบวก ซึ่งไม่สำคัญว่าเราจะแลกเปลี่ยนอะไรก่อน ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะรวมกันได้เท่าเดิม

**การดำเนินการสลับที่ได้ในคณิตศาสตร์**
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่มีสมบัติการสลับที่ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีได้แก่ - การบวกของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
*: 
*: ตัวอย่างเช่น 4 + 5 = 5 + 4 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 9- การคูณของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก
*: 
*: ตัวอย่างเช่น 3 × 5 = 5 × 3 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 15
ตัวอย่างการดำเนินการอื่น ๆ เช่น การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน การบวกของเวกเตอร์ อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต เป็นต้น

**การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในชีวิตประจำวัน**
ไฟล์:Noncommutative Example Concatenation.svg|thumb|240px|right|การต่อสายอักขระ (concatenation) ไม่สามารถสลับที่ได้- การซักผ้าและการตากผ้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ไม่ได้ เพราะถ้าหากเราตากผ้าก่อนซักผ้า ผลลัพธ์จะต่างไปจากที่เราซักผ้าก่อนแล้วค่อยตาก คือผ้าเปียกหรือไม่เปียกน้ำ- ลูกบาศก์ของรูบิคไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น ถ้าหากบิดส่วนหน้าตามเข็มนาฬิกา ส่วนบนตามเข็ม และส่วนหน้าทวนเข็ม (FUF') หน้าบนลูกบาศก์จะให้ผลไม่เหมือนกับการบิดส่วนหน้าตามเข็ม และบิดทวนเข็มกลับ ตามด้วยส่วนบนตามเข็ม (FF'U) ลำดับการบิดลูกบาศก์ของรูบิคจึงสลับที่ไม่ได้ เป็นกรณีหนึ่งที่มีการศึกษาในทฤษฎีกรุป

**การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในคณิตศาสตร์**
ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่ไม่มีสมบัติการสลับที่เช่น - การลบ เพราะว่า 0 − 1 ≠ 1 − 0- การหาร เพราะว่า 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1- การคูณของเมทริกซ์ เพราะว่า
*: 

**โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ**
 อาบีเลียนกรุป คือกรุปที่มีการดำเนินการของกรุป ที่สลับที่ได้ - ริงสลับที่ คือริงที่มีการคูณ ที่สลับที่ได้ (สำหรับการบวกนั้นสลับที่ได้อยู่แล้วตามนิยาม) - ในฟีลด์หนึ่ง ๆ ทั้งการบวกและการคูณสามารถสลับที่ได้ 

**อ้างอิง**

**ดูเพิ่ม**
 สมบัติการสลับที่กลับเครื่องหมาย (anticommutativity)- สมบัติการเปลี่ยนหมู่- สมบัติการแจกแจง
หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม
หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:สมมาตร
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน