เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต
ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร   ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง  จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น   ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก  
จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก 

**นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์**
สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

**คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ**
ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้
# ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
# สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
# เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง
จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

**นิยามอย่างเป็นทางการ**
ให้  เป็นเซต และ  เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต  นั้น จะเรียกฟังก์ชัน  ที่ส่งค่าจาก   ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย  ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้
# ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า  
# เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์: 
#  มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity):  ถ้ากำหนดให้  เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน  แล้ว 
เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ  ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน   จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่  เท่านั้น

**ปริภูมิความน่าจะเป็น**
ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ  ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)
นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์  แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์  เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก  มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้  แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

**ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้**
ให้  และ  เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน  ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน  เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน  ด้วย หรือก็คือ  สำหรับทุกเซต 

**สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม**
ให้  เป็นเมเชอร์

**ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว**
มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้  และ  เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ  แล้วจะได้ว่า 

**เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต**
กำหนดให้   เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน  จะได้ว่า

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้  เป็นเซตใน Σ และ  , แล้วจะได้ว่า  อยู่ใน  ด้วย และ 


**เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต**
กำหนดให้  เป็นเซตใน  และ  , แล้วจะได้ว่า  อยู่ใน  ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก  อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด () เราจะได้ว่า

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก  ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น  ถ้าให้  สำหรับแต่ละ  แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ   มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

**ตัวอย่างของเมเชอร์**
 เมเชอร์การนับ นิยามให้  เท่ากับจำนวนสมาชิกใน 
*เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต 0,5 คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง 0,1 สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์- เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง- โบเรลเมเชอร์- จอร์แดนเมเชอร์

** สมบัติเพิ่มเติม**

**เมเชอร์ซิกมาจำกัด**
ปริภูมิเมเชอร์  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ  เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า  เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น   
นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง  ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก  ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง  ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง  ออกเป็นช่วงย่อย  ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม  ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1
ในทำนองกลับกัน เซต  ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม 
ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี 

**เมเชอร์บริบูรณ์**
ในปริภูมิเมเชอร์  เซต  จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ  สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต  ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว  โดยอัตโนมัติ จะเรียก  ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้
หากมีปริภูมิเมเชอร์  ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ 

**เซตหาเมเชอร์ไม่ได้**
หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ  ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี 

**ดูเพิ่ม**
 เมเชอร์ภายนอก- ปริพันธ์ของเลอเบ็ก - เมเชอร์ของเลอเบ็ก- เมเชอร์ผลคูณ

**อ้างอิง**
 P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950- Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.- D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm date=2007-02-06 - F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.

หมวดหมู่:เมเชอร์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์