จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน  ซึ่งทำให้สมการ  เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน  ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป  โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก  และ  ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ  ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์  จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

**นิยาม**

**ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน**
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน  ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ  ทั้งหมดโดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ  (การบวก) และ  (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้  และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
 
 
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ- การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง- มีเอกลักษณ์การบวกคือ - มีเอกลักษณ์การคูณคือ - อินเวอร์สการบวกของ  (เขียนแทนด้วย ) คือ (-a, -b)- ถ้าหาก  อินเวอร์สการคูณของ  (เขียนแทนด้วย ) คือ 

**จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม**
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
  เมื่อ  เป็นจำนวนจริงและ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์  และ  กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
 
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ  ว่าเป็นจำนวนจริง  (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์  แทน  จำนวนเชิงซ้อน  จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า  ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า  นั่นคือ  เป็นคำตอบของสมการ  ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม  อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม  กับไอดีล  เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
 

**สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง**

**ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ**
ถ้า  เราเรียก  ว่า ส่วนจริง ของ  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  และเราเรียก  ว่า ส่วนจินตภาพ ของ  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

**สังยุคเชิงซ้อน**
ถ้า  เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ  คือ  เราเขียนแทนสังยุคของ  ด้วย  สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
# 
# 
# 
# 
เมื่อ , ,  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

**ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน**
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน  เขียนแทนด้วย  คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ  เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
# 
# 
# 
#  (อสมการสามเหลี่ยม)
# 
#  ก็ต่อเมื่อ 
เมื่อ , , และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง  ด้วยจำนวนเชิงซ้อน  ทำให้เราได้ว่าถ้า 
 

**ระนาบเชิงซ้อน**
right
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน  คือ  ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ  เมื่อ  และ  เป็นมุมที่เวกเตอร์  ทำกับแกน  ในหน่วยเรเดียน เราเรียก  ว่า อาร์กิวเมนต์ของ  และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ  จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
 
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า
 
และ
 
เมื่อ  ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ
การคูณด้วย  จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ  ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์  ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

**สมบัติต่าง ๆ**

**การเรียงลำดับ**
ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

**ปริภูมิเวกเตอร์**
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น  เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน  เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน  (-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
 
เมื่อ  และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน  เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน  นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า  เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน  และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ  ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

**สมบัติเชิงพีชคณิต**
(หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ ) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้- มีแคแรกเทอริสติก 0- มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใด ๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง- มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)
ด้วยเหตุนี้  จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ  บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน