ทอพอโลยี

ไฟล์:Mug and Torus morph.gif|thumb|การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท ในทางทอพอโลยี วัตถุทั้งสองเป็นวัตถุที่สมาณสัณฐานกัน และสามารถบีบอัดรูปร่างของวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ โดยไม่ต้องตัดหรือฉีกรูปทรงให้ขาด
ทอพอโลยี (Topology, มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"
นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี 
ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้
ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

**ประวัติ**
ไฟล์:Möbius strip.jpg|thumb|240px|แถบโมบิอุสเป็นวัตถุที่มีผิวเดียวและขอบเดียว เป็นตัวอย่างหนึ่งของวัตถุที่ถูกศึกษาในทอพอโลยี
ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ V จำนวนขอบเท่ากับ E และจำนวนหน้าเท่ากับ F จะสอดคล้องกับสมการ 
 
มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736 
นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมา อาทิ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ ลิสติงเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่า "Topologie" โดยเป็นครั้งแรกในงานชื่อ Vorstudien zur Topologie (การศึกษาเบื้องต้นทางทอพอโลยี) ในปี 1847 โดยเขียนเป็นภาษาเยอรมัน ลิสติงใช้คำนี้ในจดหมายส่วนตัวเป็นเวลาสิบปีมาก่อนแล้ว งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ Analysis Situs หรือ การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922 ทอพอโลยีในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซตเป็นอย่างยิ่ง
รางวัลอาเบลประจำปี 2022 มอบให้แด่ Dennis Sullivan สำหรับงานของเขาในทอพอโลยีในความหมายโดยกว้างที่สุด ซึ่งรวมไปถึงมุมมองทางพีชคณิต เรขาคณิต และระบบพลวัตของทอพอโลยี

**สาขาย่อยของทอพอโลยี**

**ทอพอโลยีทั่วไป**
ทอพอโลยีทั่วไป (general topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ
เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (point-set topology)

**ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต**
ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

**ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต === 
ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน


**ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์**
ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ 

**แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี**

**ปริภูมิเชิงทอพอโลยี**
คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า ทอพอโลยีบน  ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต  ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด 
ให้  เป็นเซต และ  เป็นแฟมิลีของสับเซตของ  เราจะกล่าวว่า  เป็นทอพอโลยีบน  เมื่อ
# เซตว่าง และ เซต  เป็นสมาชิกของ 
# ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน  จะเป็นสมาชิกของ  หรือกล่าวอีกอย่างว่า  มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
# อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน  เป็นสมาชิกของ 
ถ้า  เป็นทอพอโลยีบน  เราจะเรียก  ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ  ไว้แล้วกล่าวว่า  เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน  จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน  เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน  จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ  ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

**ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน**
การแปลงรูปอย่างต่อเนื่องสามารถเปลี่ยนแก้วกาแฟให้เป็นโดนัท โมเดลจำลองเซรามิกโดย Keenan Crane และ Henry Segerman
ฟังก์ชัน  ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี  และ  จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ  ของเซตเปิด  ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ ) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ  และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน  เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน
ในกรณีที่  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก  ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์และทรงกลมสมานสัณฐานต่อกัน โดนัทและแก้วกาแฟสมานสัณฐานต่อกัน แต่ทรงกลมไม่สมานสัณฐานกับโดนัท

**อ้างอิง**
 edition=3.- origyear=1956- title-link= Euler's Gem

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 Munkres, J.R., Topology: A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.-  Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)-  An invitation to Topology Planar Machines' web site-  Geometry and Topology Index date=2006-12-31 ,  MacTutor History of Mathematics archive date=2009-02-04 -  ODP category-  The Topological Zoo date=2012-02-04  by the Geometry Center at the University of Minnesota-  Topology Atlas date=2011-02-20 -  Topology Course Lecture Notes date=2011-08-05  Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas-  Topology Glossary date=2009-07-13 
หมวดหมู่:โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

หมวดหมู่:สาขาของคณิตศาสตร์