ระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ
พิกัด หมายถึง ค่าของตัวเลขที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ระดับความสูงจากน้ำทะเลก็เป็นพิกัดอย่างหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของจุดเหนือระดับพื้นผิวโลก ส่วนระบบพิกัดคือวิธีการอย่างเป็นระบบที่มีการให้ค่าคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับแทนตำแหน่งของแต่ละจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ซึ่งคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดจะหมายถึงตำแหน่งเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่าง สามสิ่งอันดับที่ประกอบด้วย ละติจูด ลองจิจูด และอัลติจูด (ระดับความสูง) เป็นระบบพิกัดที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดเหนือพื้นผิวโลก
พิกัดอาจนิยามได้ในบริบททั่วไป เช่น ถ้าหากเราไม่สนใจความสูง ดังนั้นละติจูดและลองจิจูดจึงสามารถเป็นระบบพิกัดเหนือพื้นผิวโลกก็ได้ โดยสมมติให้โลกมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม พิกัดเช่นนี้เป็นสิ่งสำคัญในดาราศาสตร์ ซึ่งใช้สำหรับอธิบายตำแหน่งของวัตถุทางดาราศาสตร์บนท้องฟ้าโดยไม่สนใจระยะทาง (ดูเพิ่มที่ระบบพิกัดทรงกลมท้องฟ้า) อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะมุ่งประเด็นไปที่ระบบพิกัดบนระนาบและปริภูมิสามมิติเท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจในขอบเขตของคณิตศาสตร์มูลฐาน

**พิกัดคาร์ทีเซียน**
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ จุด P ใด ๆ ในระนาบ xy สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของคู่อันดับ (x, y) โดยที่- พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน y ไปยังจุด P และ- พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน x ไปยังจุด P
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ จุด P ใด ๆ ในปริภูมิ xyz สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับ (x, y, z) โดยที่- พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ yz ไปยังจุด P และ- พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xz ไปยังจุด P และ- พิกัด z คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xy ไปยังจุด P

**พิกัดเชิงขั้ว**
ระบบพิกัดเชิงขั้วหรือเชิงมุม เป็นระบบพิกัดที่ตำแหน่งของจุดจุดหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยการวัดระยะทางจากลักษณะสำคัญที่กำหนดไว้บางประการในปริภูมิ และมีการกางออกของมุมหนึ่งมุมหรือมากกว่า ซึ่งทั้งหมดเป็นระบบที่ปกติทั่วไปของพิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)
คำว่า พิกัดเชิงขั้ว มักจะเป็นการอ้างถึง พิกัดวงกลมในสองมิติ สำหรับพิกัดเชิงขั้วอย่างอื่นที่ใช้กันตามปกติก็ยังมีพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ซึ่งทั้งคู่อยู่ในสามมิติ

**พิกัดวงกลม**
ระบบพิกัดวงกลม แกนเชิงขั้ว L สามารถเปรียบได้เป็นแกน x ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
ระบบพิกัดวงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสองมิติ นิยามโดยจุดกำเนิด O และรังสี L (ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง) ที่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่ง L อาจเรียกได้ว่าเป็น แกนเชิงขั้ว ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเลือกจุด (0, 0) มาเป็นจุดกำเนิด O และรังสี L จะอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก (ครึ่งส่วนทางขวาของแกน x)
ในระบบพิกัดวงกลม จุด P ใด ๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยคู่อันดับ (r, θ) โดยที่- พิกัด r (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ- พิกัด θ (มุมทิศ) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกนเชิงขั้ว กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ 2 + y2 = c2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในพิกัดทรงกระบอกได้ r = c เป็นต้น

**พิกัดทรงกลม**
ระบบพิกัดทรงกลม
ระบบพิกัดทรงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใด ๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (ρ, φ, θ) หรือ (ρ, θ, φ) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า- พิกัด ρ (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ ρ ≥ 0 และ- พิกัด φ (เซนิท, โคละติจูด, หรือมุมเชิงขั้ว) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน z ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P ซึ่งจะได้ 0° ≤ φ ≤ 180° และ- พิกัด θ (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน x ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ xy โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360°
และเนื่องจากพิกัดทรงกลมเขียนได้สองแบบ จึงต้องมีการประกาศรูปแบบก่อนใช้งานเพื่อมิให้เกิดความสับสน
แนวคิดของพิกัดทรงกลมสามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้นบนพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์ (hyperspherical coordinates)

**การแปลงระหว่างระบบพิกัด**
เนื่องจากมีระบบพิกัดหลายระบบที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าระบบเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งคือ การแปลงระหว่างระบบพิกัด ซึ่งจะมีสูตรสำหรับอธิบายระบบพิกัดหนึ่งในพจน์ของระบบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น หากพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) และพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันและมีแกนเชิงขั้วอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก ดังนั้นการแปลงพิกัดจากเชิงขั้วไปเป็นคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้จาก x = r cos θ และ y = r sin θ เป็นต้น

**ดูเพิ่ม**
 ระบบพิกัด (coordinate system)- การหมุนพิกัด (coordinate rotation)- พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)- พิกัดเชิงพาราโบลา (parabolic coordinates)- เวกเตอร์ (vector)- ฟีลด์เวกเตอร์ในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (vector fields in cylindrical and spherical coordinates)- เดลในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (del in cylindrical and spherical coordinates)

**พิกัดทรงกลม**
 พิกัดทรงกลมท้องฟ้า

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  ระบบพิกัดทรงกลม date=2013-05-16  และ ระบบพิกัดทรงกระบอก date=2010-07-08  โดย Frank Wattenberg- http://www.physics.oregonstate.edu/bridge/papers/spherical.pdf- http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
หมวดหมู่:ระบบพิกัด
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน