ขั้นตอนวิธีแบบกรวย

ขั้นตอนวิธีแบบกรวย (Cone Algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่รวดเร็ว ซึ่งสามารถระบุได้อย่างแม่นยำว่าอนุภาคใดบ้างที่อยู่บนพื้นผิวที่มีลักษณะเป็นก้อนเล็กๆ ใน 3 มิติ จากการคำนวณโดยทั่วไปทางเรขาคณิต แสดงให้เห็นว่าขั้นตอนวิธีแบบนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งกับวิทยาศาสตร์ที่ที่มีคำนวณหาพื้นที่ผิว และวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องของนาโนเทคโนโลยี

**แนวคิดพื้นฐาน**
ตัวอย่างของกลุ่มก้อนเล็กๆ ที่เราศึกษาในเรื่องขั้นตอนวิธีแบบกรวย เป็นดังรูปข้างบนนี้ วงกลมสีเขียวเป็นอนุภาคที่อยู่บนพื้นผิว และสีเหลืองคือ อนุภาคที่อยู่ภายใน
สำหรับกลุ่มก้อนสามมิติที่ให้มาในรูปด้านขวามือ ซึ่งประกอบด้วยชุดของอนุภาค เราจะบอกได้อย่างไรว่าอนุภาคใดบ้างอยู่บนพื้นผิว? เหมือนจะง่ายถ้ามองจากตาของมนุษย์ เกณฑ์การมองเห็นอาจถูกอธิบายได้ เช่นถ้าเรากำหนดว่า อนุภาคจะอยู่บนพื้นผิวได้ก็ต่อเมื่ออนุภาคนั้นไม่ได้ถูกล้อมรอบด้วยอนุภาคอื่นๆ ทุกทิศทาง หรือ เราจะบอกว่ามันเป็นอนุภาคพื้นผิวถ้ามันไม่ถูกฝั่งลงไปในของกลุ่มก้อนนั้น เกณฑ์เหล่านี้ทำให้เราสามารถตัดสินใจว่ามันเป็นอนุภาคพื้นผิวหรือไม่ แต่เพื่อที่จะบอกคอมพิวเตอร์ให้เก็บข้อมูลของอนุภาคที่อยู่พื้นผิว เช่นตำแหน่งของอนุภาคเหล่านั้น เราก็ใช้หลักการที่จะอธิบายเหมือนกับหลักเกณฑ์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้
อาณาเขตรูปกรวย
จุดหลายจุดที่เห็นในภาพด้านขวามือนั้นจะอยู่ในอนุภาค ซึ่งอนุภาคจะติดต่อกับอาณาเขตรูปกรวย ขอบเขตรูปกรวยนี้ถูกกำหนดขนาดพื้นที่ด้วยความยาว และมุมของมัน และเราเรียกอาณาเขตรูปกรวยที่ไม่มีอนุภาคใดๆ อยู่ภายในว่า "กรวยกลวง" (hollow cone) เรากำหนดให้อนุภาคอยู่บนพื้นผิวถ้าจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดบนอนุภาคติดต่อกับกรวยกลวง
สำหรับกรวย เรามีตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงได้ 2 ตัว คือ ความยาวของกรวย และขนาดของมุมกรวย ผลลัพธ์ที่แม่นยำหรือผลลัพธ์ที่น่าพอใจจะเกิดขึ้นได้ก็ขึ้นอยู่กับตัวแปร 2 ตัวนี้ ขั้นตอนวิธีแบบนี้สามารถปรับใช้ได้อย่างรวดเร็วกับสถานการณ์ที่มีโมเลกุลหลายโมเลกุลในโครงสร้าง หรือสถานการณ์ที่โมเลกุลนั้นมีรูอยู่ภายใน

**การทำงาน**
แบบจำลอง 2 มิติ ที่แสดงอนุภาคภายใน
ใช้วิธีการดัชนีเซลล์เพื่อเร่งให้เห็นอนุภาคข้างเคียง ความยาวด้านข้างของเซลล์กว้างกว่าความยาวด้านข้างของกรวยเล็กน้อย ซึ่งความยาวที่แตกต่างกันนี้จะถูกสังเกตและตัดออกไปในภายหลัง และอนุภาคข้างเคียงจะถูกระบุให้อยู่ภายในระยะที่ถูกตัดออกไปนั้น
ในการที่จะดูว่าอนุภาคที่เราสนใจมีกรวยกลวงหรือไม่ เราจะวนหาค่าผลรวมของอนุภาคข้างเคียง 3 อนุภาค เพื่อหาว่ามีอนุภาคข้างเคียงอื่นอยู่อีกหรือไม่ ผลรวมเชิงสเกล่าร์ของเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อกับอนุภาคต่างๆ เหล่านี้ถูกใช้ในการพิจารณาว่าถ้าอาณาเขตรูปกรวยขยายไป 3 ช่วงอนุภาคแล้ว จะมีพื้นที่กว้างพอที่จะใส่ตัวแปร 2 ตัวหรือไม่ และมีอนุภาคอื่นอยู่ในอาณาเขตเขตรูปกรวยหรือไม่
ในการที่จะหาอนุภาคพื้นผิว ก็เพียงแค่หาอนุภาคที่มีกรวยกลวงอยู่ แม้จะมีกรวยกลวงเพียงอันเดียวก็จะถือว่าเป็นอนุภาคพื้นผิว และการวนเพื่อหาคำตอบจะสิ้นสุดลง
ในทางกลับกันเพื่อที่จะหาอนุภาคภายในพื้นผิวจำเป็นต้องค้นหาทุกๆ ค่าผลรวมของอนุภาคข้างเคียง 3 อนุภาค เพื่อที่จะยืนยันว่าไม่มีกรวยกลวงอยู่จริงๆ
แม้วิธีการง่ายๆ นี้จะเสร็จสมบูรณ์แต่เวลานั้นถูกใช้จนหมด ดังนั้นด้านล่างนี้จะกล่าวถึงวิธีอื่นๆ ที่ทำให้ความเร็วในการคำนวณของโปรแกรมดีขึ้นอย่างเห็นได้ชัด เพื่อจะลดเวลาการทำงานไม่ให้เวลาถูกใช้จนหมดไป
กลุ่มก้อนรูปทรงกลม จะมีโอกาสที่จะเจอกรวยกลวงได้มากขึ้น- ในความเป็นจริง เราสามารถระบุหาตำแหน่งของอนุภาคภายในส่วนใหญ่ที่ห่างจากพื้นผิวได้อย่างง่ายดาย ตามนิยามที่ว่าพวกมันถูกล้อมรอบด้วยอนุภาคอื่นๆ จากรูปแสดงภาพจำลอง 2 มิติ เซลล์สีแดงเป็นอนุภาคภายใน เพราะถูกล้อมรอบด้วยเซลล์ข้างเคียง (สีน้ำเงิน) ถ้าเรามีจำนวนอนุภาคเยอะกว่านี้ต้องใช้แบบจำลอง 3 มิติในการพิจารณา- อนุภาคพื้นผิวบางอนุภาคสามารถหาได้ง่ายโดยวิธีทางเรขาคณิตที่ใช้คำนวณกลุ่มก้อนที่เป็นรูปทรงกลม ตัวอย่างเช่น ถ้าสมมุติให้กลุ่มก้อนเป็นรูปทรงกลม จะมีโอกาสที่จะเจอกรวยกลวง ได้มากขึ้น โดยการเลือกเวอร์เตอร์จากศูนย์กลางของกลุ่มก้อนถึงอนุภาคที่เราสนใจ ตามกฎทางเรขาคณิตของกรวย

**การเกิดชั้นย่อยของขั้นตอนวิธีแบบกรวย**
การเกิดชั้นย่อยที่เกิดในกลุ่มก้อน
การเรียกใช้ขั้นตอนวิธีแบบกรวยหลายๆ ครั้งทำให้เกิดชั้นของพื้นผิวย่อยๆ ที่แตกต่างกันหลายชั้น โปรแกรมภาษาซีนั้นเป็นโปรแกรมที่ง่ายสำหรับการวิเคราะห์ชั้นพื้นผิวย่อยเหล่านี้ ซึ่งเกิดอยู่ในก้อนสีทองรูปหกเหลี่ยม (icosahedral gold cluster) ที่ประกอบด้วยอะตอม 2,624 อะตอม รูปนี้แสดงให้เห็นถึงชั้นย่อยของพื้นผิวในก้อนหกเหลี่ยม (แต่ละอะตอมในก้อนหกเหลี่ยมนี้เป็นอะตอมสีทองเหมือนกัน แต่ถูกระบายสีที่ต่างกันตามชั้นที่พวกมันสังกัดอยู่ )

**การเขียนโปรแกรมของขั้นตอนวิธีแบบกรวย**
แม้ว่าภาษาซี (ซึ่งมีโครงสร้างภาษาแบบเชิงวัตถุ) จะเป็นภาษาที่เหมาะจะใช้เขียนขั้นตอนวิธีแบบนี้ แต่การโปรแกรมนั้นสามารถใช้กับโครงสร้างภาษาได้หลากหลายมากกว่าโครงสร้างแบบเชิงวัตถุอย่างเดียวการเขียนโปรแกรมควรจะสามารถใชักับข้อมูลขาเข้าและขาออกที่มีมาตรฐานตั้งแต่น้อยๆไปจนมีมาตรฐานมากๆได้ source code ของโปรแกรมควรจะอ่านง่าย และควรจะคอมเมนต์ที่เพียงพอเพื่อที่จะทำให้อ่านเข้าใจ

**รหัสในภาษาซี**

**การเรียกใช้ฟังก์ชัน**
# include 
# include 
# include 
# include 
# include "vector.h"
using namespace std;

**การประกาศตัวแปรคลาส**
double cosine; // cosine of the angle of the die cone
double cutoff2; // =cutoff*cutoff, cutoff is the side length of the die cone
double bin; // side length of cell = 1.0001 * cutoff
int num; // number of particles
Vector *q; // particle positions
int *d; // di: 1--surface, -1--internal, 0--undetermined
int ***cell; // head particle of cell chain
int ***curr; // current-position pointer of cell chain
int nx, ny, nz; // cell numbers in 3 dimensions
int *list; // single chain of the particle list int the cells, end with -1
const double TINY = 1.0e-20; // zero value
void readConf();
void initCell();
void end();
void writeXYZ();
void markCell();
void markSurface();
int cmCheck( const int p, const int i, const int j, const int k );
int cmCone( const int p, const int np );
int cone( const Vector &v, const int p, const int np );
int realCheck( const int p, const int i, const int j, const int k );
bool realCone( const int p, const int np1, const int np2,
	       const int np3, const int *nbr, const int nnbr );
bool coneVector( const int p, const int np1, const int np2, const int np3,
		 Vector &v );
bool inLine( const int p, const int p1, const int p2 );

**ฟังก์ชันต่างๆ**
 //---------------------------function readConf--------------------------
 // Read one configuration of a molecule from the standard input.
 // The input data should be in .xyz format.
void readConf(){
cin >> num;
char s1024;
cin.getline( s, 1024 );       // comment line
cin.getline( s, 1024 );
d =new intnum;
list = new intnum;
for( int i=0; i> s >> qi;
} 
 //------------------------------function initCell--------------------------------
 // Find the boundary of the simulation box and locate particles into cells.
void initCell(){
// Create cell array
Vector min( q0.x, q0.y, q0.z );
Vector max( min );
for( int i=1; i max.x ) max.x = qi.x;
if( qi.y  max.y ) max.y = qi.y;
if( qi.z  max.z ) max.z = qi.z;
}
nx = (int)ceil( (max.x-min.x)/bin );
ny = (int)ceil( (max.y-min.y)/bin );
nz = (int)ceil( (max.z-min.z)/bin );
cell = new int **nx;
curr = new int **nx;
for( int i=0; i=nx 
y>=ny 
z>=nz 
x
 //------------------------- function end----------------------------
 // Finishing job.
void end(){
delete q; delete d;   delete list;
for( int i=0; i
 //-------------------------- function writeXYZ---------------------------
 // Write out the configuration with the surface particles as Cd, the internal
 // particles as Au. If any particles left undermined, they are maked as Ag.
void writeXYZ(){
cout 
 //---------------------------function markCell--------------------------
 // Mark the particles in the internal cells. If a cell is internal is
 // determined by looking around the designated neighbor cells to see if
 // they all contain particles. A batch way to find the most interior particles.
void markCell(){
for( int i=2; i
 //---------------------------function markSurface--------------------------
 // Mark the surface particles by looking at the bond angles with the neighbor
 // particles and trying to find a hollow (without particles) cone region with
 // angle larger than the designated threshold.
void markSurface(){
// First round quick check for surface particles by center-of-mass normal
// vector criterion.
for( int i=0; i
 //-------------------------function cmCheck----------------------------
 // Check if a given particle is on the surface by cmCone().
int cmCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ){
// Loop over all particles in this cell and the neighboring cells
for( int ni=i-1; ni=nx ) continue;
for( int nj=j-1; nj=ny ) continue;
for( int nk=k-1; nk=nz ) continue;
	// internal particles are definitely out of the cone region
	if( currninjnk == -1 ) continue;
	int np = cellninjnk;
	while( np != -1 ){
	  if( cmCone( p, np ) == 1 ) return 0;
	  np = list np ;
	}
}
}
}
return 1;        // surface particle
}
 //--------------------------- function cmCone--------------------------
 // Check if np is in the cone region of p with the vector from center of mass
 // to p and angle by cosine. If so, return true. Otherwise, return false.
 // A quick way to pick up some surface particles before complete searching algorithm.
int cmCone( const int p, const int np ){
return cone( qp.normalize(), p, np );
}//-------------------------- function cone---------------------------
// Check if a given particle np is in the cone region centered at particle p
// with center vector of (nx,ny,nz) and cone angle theta
// with cos(theta)=cosine. Cone center vector must be normalized.
// Return 0 if the particle is not inside the region(s), 1 if in the cone
// region, -1 if in the inverse cone region.
int cone( const Vector &v, const int p, const int np ){
Vector d = (qnp - qp).normalize();
double s = v*d;
if( s > cosine ) return 1;    // less than the angle
else if( s
 //-------------------------- function realCheck---------------------------
 // Check if the given particle is a surface particle without ambiguity by complete
 // searching for a cone region larger than the die.
int realCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ){
int *nbr = new int1000;   // list of neighboring particles
int nnbr=0;    // number of neighbor particles
int *snbr = new int1000;  // neighboring surface particles
int snnbr = 0;
int *unbr = new int1000;  // neighboring undetermined particles
int unnbr = 0;
// Loop over all particles in this cell and the neighboring cells to make
// a list of neighboring particles.
for( int ni=i-1; ni=nx ) continue;
for( int nj=j-1; nj=ny ) continue;
for( int nk=k-1; nk=nz ) continue;
	int np = cellninjnk;
	while( np != -1 ){
	  if( np != p )  {
	    // check if np is inside the cutoff region
	    Vector v = qnp - qp;
	    if( v.r2() 
 //-------------------------- function realCone---------------------------
 // Real cone searching to find out if the cone region defined by
 // (np1-p), (np2-p), (np3-p) or its inverse is hollow.
 // Return true if at least one is hollow.
bool realCone( const int p, const int np1, const int np2,
	       const int np3, const int *nbr, const int nnbr ){
Vector v;
// Find the center vector of the cone spanned by ( np1, np2, np3 )
// centered at p.
if( !coneVector( p, np1, np2, np3, v ) ) return false;
// If any particles inside the cone region and the inverse cone region.
bool has = false;
bool hasInv = false;
for( int m=0; m
 //--------------------------function coneVector---------------------------
 // Find the center vector of the cone defined by the three vectors
 // (np1-p), (np2-p), (np3-p).
 // Return false if any error or the angle spanned is not big enough.
bool coneVector( const int p, const int np1, const int np2, const int np3,
		 Vector &v ){
const Vector v1 = (qnp1 - qp).normalize();
const Vector v2 = (qnp2 - qp).normalize();
const Vector v3 = (qnp3 - qp).normalize();
// it's the normal vector of plane spanned by v1, v2 and v3
v = (v1-v2)^(v2-v3);
// check if three points are on one line
double r = sqrt( v.r2() );
if( r  cosine ) // smaller angle
return false;
return true;
}

**การเรียกใช้ฟังก์ชันหลัก**
int main( int argc, char *argv ){
if( argc 

**อ้างอิง**
  Cone Algorithm By Yanting Wang
กขั้นตอนวิธีแบบกรวย
กขั้นตอนวิธีแบบกรวย