เพนดูลัมผกผัน

ไฟล์:Black x2 and white i2.jpg|thumb|right|200px| แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway)ได้
เพนดูลัมผกผัน  (Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม

**แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน**
ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์  (Lagrange's equations) และตั้งสมมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน  ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่าง ๆ เราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ  คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว  ให้แรงจากภายนอกเป็น  กระทำในทิศ   ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน  และกำหนดให้  เป็นระยะของรถในแกน  ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้   โดย  คือพลังงานจลน์ของระบบ และ  คือพลังงานศักย์ของระบบ
รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
โดย  เป็นความเร็วของของตัวรถ  เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล  ของมวลบนแท่งเพนดูลัม
ทั้งนี้  และ  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ  และ  ดังต่อไปนี้ 


ทำการลดรูป  ได้ผลเป็น

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

และสมการการเคลื่อนที่:


แทนที่  ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้ 


จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น  ได้ () ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

**ดูเพิ่ม**
ทฤษฎีระบบควบคุม
*Segway
*เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน  date=2007-05-22 - Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734- Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0- Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition	6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564- เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4) - วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ,  ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล  คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)
หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมศาสตร์
หมวดหมู่:เทคโนโลยี
หมวดหมู่:สิ่งประดิษฐ์และการประดิษฐ์