ฟังก์ชันเลียปูนอฟ

ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม
ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้  ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า ฟังก์ชันพลังงาน (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้น ๆ มีเสถียรภาพ 
ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่าง ๆ ในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้

**นิยามของฟังก์ชันพลังงาน**
กำหนดให้  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์ 
 จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก  เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ- โดยที่  เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด 
:หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่    โดยที่  กล่าวคือ  คือเมทริกซ์บวกแน่นอน 

**นิยามของจุดสมดุลของระบบ**
กำหนดให้ 
 เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น  ดังนั้น

โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป   เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้



**พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ**
กำหนดให้  เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ

และให้ 
เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน

**เสถียรภาพของจุดสมดุล**
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน  เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

สำหรับย่าน  รอบจุด  จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

**เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ**
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน  เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

สำหรับย่าน  รอบจุด  จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

**เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ**
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน  เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)
หมายเหตุ: ฟังก์ชันพลังงาน  จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก 

**ตัวอย่าง**
พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น  โดยที่ :

จะเห็นว่า   มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ 
กำหนดให้  โดยที่  ดังนั้น

จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด

**ดูเพิ่ม**
 Ordinary differential equations- Control-Lyapunov function- Foster's theorem- ทฤษฎีระบบควบคุม- สมการเลียปูนอฟ

**อ้างอิง**
 title= Lyapunov Function

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Example date=2011-09-26  of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function-  Some Lyapunov diagrams date=2007-09-07 
ล