วิธีเอนโทรปีไขว้

วิธีเอนโทรปีไขว้ (Cross-Entropy Method) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หลักการของ Monte Carlo เพื่อที่จะแก้ปัญหา ถูกนำเสนอโดย R.Y. Rubinstein ซึ่งประเภทของปัญหาที่สามารถใช้วิธีเอนโทรปีไขว้ได้นั้นจะมีอยู่สองลักษณะ คือ การประมาณค่า หรือ การหาค่าที่ดีที่สุด โดยวิธีการนี้ถูกประยุกต์ใช้ในปัญหาเชิงวิศวกรรม และวิทยาศาสตร์มากมาย

**ภาพรวมของวิธีเอนโทรปีไขว้**
วิธีเอนโทรปีไขว้นั้นถูกพัฒนาขึ้นโดย Reuven Y. Rubinstein ซึ่งเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอิสราเอลที่ให้ความสนใจทางด้านการพัฒนาขั้นตอนวิธีเชิงสถิติมากมาย เขียนหนังสือหกเล่มและตีพิมพ์ผลงานกว่าร้อยผลงาน ซึ่งแน่นอนว่าวิธีการเอนโทรปีไขว้เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีเชิงสถิติเหล่านั้นเช่นกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพตัวหนึ่งที่ใช้สำหรับปัญหาการประมาณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก (rare-event probability) ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงการจัด (combinatorial optimization)
วิธีการเอนโทรปีไขว้นั้นได้ชื่อมาจาก "ระยะห่างเอนโทรปีไขว้" ซึ่งเป็นการหาระยะห่างระหว่าง "ข้อมูล" ที่ใช้กันแพร่หลายในทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมกว่าศตวรรษ
วิธีการเอนโทรปีไขว้นั้นถูกนำไปใช้ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงการจัดมากมาย เช่น ปัญหาการตัดที่มากที่สุด (Maximum Cut Problem) ปัญหาการหาเส้นทางเดินของพนักงานขาย (Traveling Salesman Problem) ปัญหาการหากราฟย่อยบริบูรณ์ที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในกราฟ (Clique Problem) และปัญหาต่างๆอีกมากมาย และจุดเด่นพิเศษอีกอย่างหนึ่งสำหรับวิธีการเอนโทรปีไขว้คือ สามารถหาค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาที่มีค่ารบกวน (noisy problem) ได้ เพราะลักษณะขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาที่เป็นเชิงสถิตินั่นเอง
วิธีการเอนโทรปีไขว้นั้นสามารถแตกขั้นตอนที่สำคัญออกได้เป็นสองส่วน คือ
# ขั้นสุ่มตัวอย่าง (Generate) จะสร้างตัวอย่างจากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ได้มาจากการคำนวณในขั้นตอนวิธี
# ขั้นปรับปรุง (Update) ปรับพารามิเตอร์บางอย่าง เพื่อให้การสุ่มครั้งต่อไป ได้ตัวอย่างที่ดีขึ้นไปอีก
ประเด็นสำคัญสำหรับวิธีการเอนโทรปีไขว้ คือ จะนิยามขั้นตอนในเชิงคณิตศาสตร์อย่างไรให้สามารถปรับปรุงค่าพารามิเตอร์เพื่อให้เข้าใกล้ค่าที่เหมาะสมได้อย่างรวดเร็ว
ในด้านของการประมาณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยากนั้น วิธีการเอนโทรปีไขว้จะใช้ร่วมกับกลวิธีการสุ่มตัวอย่างสำคัญ (Importance Sampling Technique) วิธีการเอนโทรปีไขว้จะปรับค่าของพารามิเตอร์ซ้ำๆ หลายๆรอบเพื่อให้เข้าใกล้ค่าที่เหมาะสมที่สุด ปัญหาที่ประยุกต์วิธีนี้ตัวอย่างเช่นปัญหาการวัดประสิทธิภาพในระบบเครือข่ายทางคมนาคม หรือ ระบบที่ต้องการความน่าเชื่อถือ

**การใช้วิธี เอนโทรปีไขว้ ในปัญหาการประมาณค่า**

**แนวคิด**
ในกรณีที่เราพยายามที่จะใช้วิธีเอนโทรปีไขว้เพื่อประมาณค่านั้น สามารถแปลงปัญหาเป็นสมการคณิตศาสตร์ของการประมาณหาค่าคาดหวังง่ายๆได้ดังสมการที่ (1)
: (1)
เมื่อ H คือฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่า เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันของประสิทธิภาพของตัวอย่างสุ่ม 
และ f คือฟังก์ชันของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X 
ซึ่งสำหรับวิธีการประมาณค่า  ในสมการที่ 1 นั้น ในกรณีที่สามารถสุ่มตัวอย่างสุ่มด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น  ได้ยาก จะทำการสร้างฟังก์ชัน  เพื่อที่จะสามารถประมาณค่าได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ 2
: (2)
โดยที่กำหนดให้ 
: เมื่อ 
เนื่องจาก g เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่เราเป็นคนสร้างขึ้น ทำให้การสุ่มตัวอย่างเป็นไปได้ง่ายกว่า f ดังนั้น เราจึงสามารถสุ่มตัวอย่างสุ่ม  ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ g(x) ได้ง่ายกว่า ทำให้ประมาณค่าของ l ด้วยตัวประมาณค่าที่ไม่ลำเอียงได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ (3)
: (3)
จากปัญหาการประมาณค่า ก็จะเหลือแค่ปัญหาว่าจะสร้างความหนาแน่นของความน่าจะเป็น g ที่ดีที่สุดได้อย่างไรซึ่งค่า g ที่ดีที่สุดในอุดมคตินั้นนิยามด้วย 
:
แต่สิ่งที่เกิดขึ้นก็คือ เราสามารถหาค่า g*(x) ได้ยาก สำหรับวิธีเอนโทรปีไขว้นี้แทนที่จะมุ่งไปที่การหาค่าของ g*(x) จะพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้ความแตกต่างระหว่าง g และ g* น้อยที่สุด ซึ่งความแตกต่างนั้นเองที่เรียกว่าเอนโทรปีไขว้ตามที่เกริ่นไว้ในช่วงต้น ซึ่งเอนโทรปีไขว้ของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของสองฟังก์ชันนั้น นิยามได้ดังสมการที่ (4)
: (4)
หลังจากที่ได้รู้หลักการคร่าวๆของวิธีการเอนโทรปีไขว้เพื่อการประมาณค่าในทางทฤษฎีไปแล้วว่าเป็นไปในลักษณะอย่างไร หากพิจารณาในทางปฏิบัติแล้วนั้นฟังก์ชัน f นอกจากจะแปรไปตามตัวแปรต้น x แล้ว ยังถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์ u บางอย่าง ซึ่งสามารถเขียนฟังก์ชัน f ได้เป็น f(x; u) ซึ่งคงเดาได้ไม่ยากว่าบางกรณีนั้น พารามิเตอร์ u นี้หาได้ยากมาก เราจึงพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้มี v ที่ทำให้ g(x) = f(x; v) และ v ทำให้ความแตกต่างของ f(x; v) และ f(x; u) น้อยๆ ซึ่งความแตกต่างนี้วัดโดยเอนโทรปีไขว้ตามสมการที่ 4 นั่นเอง ก็จะทำให้ปัญหาเล็กลงอีกขั้นหนึ่งคือเป็นปัญหาที่จะพยายามหาค่าของ v ที่ดีที่สุดเท่านั้น ซึ่งนิยาม v ในอุดมคติว่า v* ลองไปแทนค่าของ f(x; v) และ f(x; u) ลงในสมการที่ (4) แล้วจัดรูปสักเล็กน้อยก็จะรู้ว่า v ที่ดีที่สุดจะทำให้  มีค่ามากที่สุดนั่นเอง ซึ่งการแก้ปัญหานี้ก็สามารถหาได้ตามสมการที่ (5)
: (5)
ซึ่งจากสมการที่ (5) R. Y. Rubinstein ได้นำเสนอวิธีสำหรับแก้ปัญหานี้ไว้แล้ว
ในปัญหาเฉพาะที่ชื่อว่าปัญหาการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก(rare event probability) ซึ่งเป็นปัญหาที่ประยุกต์ด้วยวิธีเอนโทรปีไขว้กันอย่างแพร่หลาย โดยเป็นกรณีเฉพาะที่ฟังก์ชัน H เป็นฟังก์ชันตัวชี้ของฟังก์ชัน  วัดที่ระดับ  ตามสมการ  ซึ่งในการประมาณค่าของ  ด้วยวิธีเดิมเพื่อหาความน่าจะเป็นที่  นั้นจะยากโดยดูได้จากสมการที่ (5) คือค่าของ  ส่วนมากจะมีค่าเป็น 0 ไปมากพอสมควรจะไม่สามารถประมาณหาค่าที่แม่นยำได้ วิธีการแก้ไขคือต้องทำวิธีการ เอนโทรปีไขว้หลายๆรอบ หลายๆชั้น โดยจะปรับค่าพารามิเตอร์ v และระดับปัจจุบันให้เข้าใกล้ v* และ  ไปเรื่อยๆจนถึงเงื่อนไขยุติที่พอใจ สามารถเขียนขั้นตอนวิธีตามที่ได้อธิบายมาเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

**รหัสเทียมสำหรับวิธีเอนโทรปีไขว้เพื่อประมาณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก**
1   และ 
2 
3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
4
5 ทำ
6     t = t + 1
7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม  ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 
8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
9         
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)        
11     
12      = ค่าต่ำสุด(,)
13     คำนวณ  จากสมการ (5) ด้วย  และ 
14 ระหว่างที่            
15
16 สุ่มตัวอย่างสุ่ม  ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 
17 คำนวณ  จากสมการ (3) ด้วย 
18 คืนค่า 
จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า  ให้เหมาะสมกับความต้องการ ซึ่งโดยปกติ  จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.01 และ 0.1 และค่าของ  จะน้อยว่า  มากๆ เช่น  ในขณะที่  และขั้นตอนวิธีนี้จะรับประกันว่าสามารถทำงานจนจบได้แน่นอนหากค่าของ  มีค่าเล็กมากพอ

**การใช้วิธี เอนโทรปีไขว้ ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด**

**แนวคิด**
ให้  เป็นเซตของสถานะ และ S เป็นฟังก์ชันจริงซึ่ง S(x) จะให้ค่าความเหมาะสมของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ  โดยค่า x ที่เหมาะสมที่สุดคือ x* ซึ่งจะทำให้ค่าของ S(x*) มีค่าสูงที่สุด สามารถเขียนเป็นปัญหาในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังสมการที่ (6)
: (6)
หาพิจารณาปัญหานี้เทียบกับปัญหาการประมาณค่าของ  เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น  และให้  เป็นค่าระดับชั้น จะสังเกตว่าถ้าค่า  มีค่าใกล้เคียงกับ  (ค่าสูงสุดของ S) แล้ว จะทำให้ค่าของ  เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ๊ที่พบเจอได้ยาก ซึ่งปัญหานี้เราจะต้องการสร้างตัวอย่างสุ่มจำนวนหนึ่งที่มีค่าใกล้เคียงกับ x* โดยเป็นเรื่องที่ดีที่วิธีเอนโทรปีไขว้ สามารถทำเรื่องนี้ได้
หากเปรียบเทียบความแตกต่างของปัญหาระหว่างการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด กับ การประมาณค่า ความแตกต่างก็คือการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด เราจะไม่รู้ค่าของระดับชั้น  ล่วงหน้าเหมือนในการประมาณค่า แต่อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาก็ไ่ม่ค่อยแตกต่างกันมากคือเราจะสร้างลำดับของ  และ  ไปเรื่อยๆ โดยจะพยายามให้ทั้งสองค่าเข้าใกล้  และ  ตามลำดับ ซึ่งค่าของ  จะสอดคล้องกับค่าของ  ที่ต้องการหาเช่นกัน

**รหัสเทียมสำหรับวิธีเอนโทรปีไขว้เพื่อใช้ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด**
1   และ 
2 
3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
4
5 ทำ
6     t = t + 1
7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม  ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 
8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
9         
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)        
11     
12      = ค่าต่ำสุด(,)
13     คำนวณ  ที่ทำให้  สูงที่สุด
14 ระหว่างที่ ยังไม่ถึงเงื่อนไขยุติ
15
16 คืนค่า 
จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า  และเงื่อนไขยุติให้เหมาะสม

**ตัวอย่างปัญหาที่สามารถประยุกต์ใช้วิธีการเอนโทรปีไขว้ได้**

**ปัญหาการหาเส้นทางเดินของพนักงานขาย (Traveling Salesman Problem)**

**นิยามปัญหา**
ปัญหาการเดินของพนักงานขายคือปัญหาที่มีผู้ที่ให้ความสนใจพอสมควรในวงการคอมพิวเตอร์ ปัญหาจะกำหนดด้วยกราฟเชื่อมโยงประกอบด้วยปม n ชื่อว่า 1,2,...,n ปมซึ่งเชื่อมกันด้วยเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนัก เส้นเชื่อมจากปม i ไปยังปม j จะมีน้ำหนัก ให้ทำการหาเส้นทางซึ่งเป็นวงที่สั้นที่สุดซึ่งผ่านทุกปมและกลับมาที่จุดเดิม

**แนวทางการแก้ปัญหา**
โดยไม่เสียนัยสำคัญทั่วไป ให้กราฟเป็นกราฟบริบูรณ์ ซึ่งจะมีบางเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักเป็น +∞ ให้  เป็นเซตของวงจรที่ผ่านทุกปม และให้  เป็นความยาวของวงจร   ปมละหนึ่งครั้งตามเงื่อนไข เราสามารถแทนแต่ละวงจรใน Χ ได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยน(permutation) ของปม 1,2,...,n ซึ่งจริงๆแล้วเราสามารถให้วงจร  โดยที่  ได้โดยไม่เสียนัยสำคัญทั่วไป เราสามารถแปลงปัญหาทางเดินของพนักงานขายได้เป็นสมการที่ (7)
: (7)
สังเกตว่าขนาดของสมาชิกใน  มีขนาดใหญ่มาก 
จากสมการที่ (7) จะเห็นว่าปัญหาเป็นลักษณะของการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการเอนโทรปีไขว้ แต่แทนที่จะเป็นลักษณะของการหาค่าที่มากที่สุดจะต้องเปลี่ยนเป็นปัญหาการหาค่าที่น้อยที่สุด โดยหากจะแก้ปัญหาด้วยวิธีการเอนโทรปีไขว้นั้นเราจะต้องกำหนด
# จะสร้างเส้นทางแบบสุ่มอย่างไร?
# จะทำการปรับปรุงพารามิเตอร์ในแต่ละรอบการทำงานอย่างไร?
ก่อนที่จะหาวิธีการสร้างและปรับปรุงดังกล่าว จะขอนิยามเซตใหม่ขึ้นมาก่อน ให้
:
จะเห็นว่าการหาเส้นทางเดินตามเงื่อนไขบนเซตของเส้นทางเดินใน  จะสมมูลกับปัญหาเส้นทางเดินของพนักงานขายเดิม และเพิ่มนิยาม  เมื่อ  มิฉะนั้น 
ก็จะสามารถเปลี่ยนปัญหาทางเดินของพนักงานขายได้เป็นหาค่าที่ต่ำที่สุดของ  บน 
วิธีง่ายๆวิธีหนึ่งที่จะสร้างทางเดินสุ่ม  คือการสร้างลูกโซ่มาร์คอฟ(Markov Chain) ของกราฟ G เริ่มต้นที่ปม 1 และหยุดหลังจากขั้นที่ n ให้  คือเมตริกซ์ nxn เพื่อเปลี่ยนสถานะไปหนึ่งขั้นสำหรับลูกโซ่มาร์คอฟนี้ หรือจะพูดให้เข้าใจง่ายขึ้นเป็นภาษาทั่วไปก็คือเมตริกซ์ P จะเป็นส่วนที่ใช้เก็บเส้นทางเดินนั่นเอง กำหนดให้ในสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมของ P เป็น 0 และสมาชิกอื่นๆใน P เป็นจำนวนจริงบวก ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น  ของ  ที่ถูกจำกัดด้วยพารามิเตอร์เป็นเมตริกส์ P นิยามโดย
(8) 
เมื่อ  เป็นเซตของเส้นทางทั้งหมดที่ "จำนวนครั้ง" ที่ต้องเดินระหว่างปม i ไปปม j เป็น r ครั้ง
หลังจากนี้จะเริ่มเป็นการคำนวณเชิงคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนหากผู้สนใจสามารถไปศึกษาเพิ่มเติมได้ตามแหล่งอ้างอิง
หากจะสรุปเฉพาะใจความสำคัญให้เข้าใจอย่างสั้นๆสามารถสรุปได้ว่าในขณะนี้เราจะแทนการเปลี่ยนสถานะจากปมปัจจุบันไปยังปมใดๆไ้ด้ด้วยเมตริกซ์ซึ่งก็คือ  นั่นเอง โดยเมตริกซ์นี้จะได้มาในแต่ละรอบที่ทำการสุ่มตัวอย่างและปรับปรุงพารามิเตอร์ ซึ่งทั้งสองขั้นตอนนี้สามารถทำได้โดย
# ขั้นสุ่มตัวอย่าง สามารถสุ่มตัวอย่างให้ได้ x ต่างๆได้ตามสมการที่ 8
# ขั้นปรับปรุง ปรับปรุงพารามิเตอร์  ของสมการที่ 8 ได้ด้วยตัวประมาณค่าของ  ตามสมการที่ (9)
: (9)
ซึ่งรายละเอียดการได้มาซึ่งสมการที่ 10 นั้นผู้สนใจสามารถไปค้นคว้าได้ตามแหล่งอ้่างอิงที่ได้ระบุไว้ข้างต้น
เมื่อเราสามารถนิยามว่าจะสุ่มตัวอย่างและปรับปรุงได้อย่างไรแล้วนั้น เราก็จะสามารถสร้างขั้นตอนวิธีเพื่อที่จะแก้ปัญหานี้ได้ดังรหัสเทียมด้านล่าง

**รหัสเทียมสำหรับปัญหา**
1  ตั้งค่า  และ 
2  t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
3  ทำ
4        t = t + 1
5        ตั้งค่าในในหลักที่  ของ  เป็น 0 
6        ทำการทำค่าในแต่ละแถวของ  ให้เป็นมาตรฐาน(normalize) //เฉลี่ยค่าในแต่ละแถวให้รวมกันได้ 1 
7        ใช้สมการที่ (8) สร้าง  ด้วยพารามิเตอร์ 
8        ทำการปรับปรุงค่าให้ได้  ในแต่ละแถว i และหลักที่ j ตามสมการที่ (9)
9  ระหว่างที่ t < n-1 // ถ้ายังสร้างลำดับของทางเดินไม่ครบทุกจุด
10  คืนค่า 

**ดูเพิ่ม**
โปรแกรมภาษา C++ ของ Shark Machine Learning Library date=2013-11-18 

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:วิธีมอนเตการ์โล
หมวดหมู่:การเรียนรู้ของเครื่อง
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธี