เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ  (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)
ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ  (spatial rotations) และ การบูสต์  (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา 
เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวม ๆ ว่า  การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ 

**คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ**
จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า  เหตุการณ์ (event)  และถูกบรรยายด้วย  เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector)  กำหนดโดย

สำหรับ  เมื่อ  เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light) 
ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ  กับ  ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation) 
เมื่อ  เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)  
เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ  สเปซไลค์ (spacelike)  ไทม์ไลค์ (timelike)  และ  นัล (lightlike หรือ null)  
โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

**ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์**

เมื่อ  คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)
เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญ ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

หรือ

เมื่อ

สำหรับ  สังเกตว่า

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

หรือ

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ คือ  

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)  ถูกกำหนดโดย

หรือ

เมื่อ  คือมวลของอนุภาค และ  คือโมเมนตัมของอนุภาค 
เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force)  ถูกกำหนดโดย

หรือ

เมื่อ

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

**Deriving E = mc2**
เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้


**ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า**
ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น 
เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย
 
ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density)  และ ความหนาแน่นประจุ (charge density)   
เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)  กำหนดโดย

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential)  และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential)    
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย  เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency)  ดังนี้

เมื่อ  เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น   สังเกตว่า

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

**อ้างอิง**
 Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ- Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5-  ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา date=2006-05-09  โดย  ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์ date=2005-10-31 

**ดูเพิ่ม**
ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
*ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
*โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
*แรงสี่มิติ (four-force)
*ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
*ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)
วเกเตอร์สี่มิติ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:กาล-อวกาศมินคอฟสกี