รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนหนึ่งคู่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ที่สำเนียงอังกฤษและออสเตรเลียเรียกว่า trapezoid

**นิยาม**
มีข้อถกเถียงกันเกี่ยวกับจำนวนด้านที่ขนานกันในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ปัญหาอยู่ที่ว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านขนานกันสองคู่ควรจัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือไม่ ผู้แต่งตำรากลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน เพียงหนึ่งคู่เท่านั้น โดยไม่นำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมารวม ราชบัณฑิตยสถานได้ให้นิยามของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว  และพจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ของสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ได้ให้คำนิยามไว้ว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้านตรงข้ามขนานกันคู่หนึ่ง และคู่เดียวเท่านั้น 
ผู้แต่งตำราอีกกลุ่มหนึ่ง  นิยามว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน อย่างน้อยหนึ่งคู่ ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (รวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย) นิยามอย่างหลังสอดคล้องกับการใช้งานในคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่าเช่นแคลคูลัส แนวคิดการประมาณด้วยหลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoidal rule) ของปริพันธ์จำกัดเขตจะไม่สมบูรณ์หากใช้นิยามอย่างแรก

**พื้นที่**
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ สามารถคำนวณได้จาก 
:
เมื่อ a, b คือความยาวของด้านคู่ขนานและ h คือความสูงระหว่างด้านคู่ขนาน เมื่อประมาณ ค.ศ. 499 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ อารยภฏะ ได้ใช้วิธีการคำนวณนี้ในศาสตรนิพนธ์ อารยภฏียะ (ตอนที่ 2.8)  สูตรนี้เป็นผลได้มาจากกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมอันเป็นที่รู้จัก โดยพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมคือภาวะลดรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งด้านที่ขนานกันด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด
ส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกัน ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้ m เท่ากับค่าเฉลี่ยความยาวของด้านคู่ขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
:
เป็นผลให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคูณด้วยความสูง
:
ถ้าให้ a, b เป็นด้านที่ขนานกันและ c, d เป็นด้านที่ไม่ขนานกัน ในกรณีที่ด้านคู่ขนานยาวไม่เท่ากัน (a ≠ b) จะสามารถคำนวณหาความสูง h ได้จากสูตรนี้
:
และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ
:
เมื่อด้านคู่ขนานด้านหนึ่งยุบลงจนกลายเป็นจุด (a = 0) สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของเฮรอนสำหรับคำนวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่า ซึ่งดูคล้ายสูตรของเฮรอนมากกว่าคือ
:
:
โดยที่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู แม้สูตรนี้จะดูคล้ายสูตรของพรัหมคุปตะแต่ก็มีบางจุดที่ต่างไป เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (บรรจุภายในรูปวงกลมพอดีไม่ได้) สูตรนี้ก็ยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทชไนเดอร์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป
หากใช้สูตรของเบรทชไนเดอร์จะได้
:
จุดกึ่งกลางของพื้นที่ (ศูนย์กลางมวลของแผ่นเอกรูป) อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ขนานกัน ในระยะห่างตั้งฉาก d จากด้านที่ยาวกว่า b ดังนี้
:

**สมบัติ**
 รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูชนิดหนึ่ง มีสมบัติเพิ่มเติมว่ามุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่ขนานจะยาวเท่ากัน- รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ต่อเมื่อมุมที่อยู่ติดกันรวมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (180 องศา) จำนวนสองคู่ เงื่อนไขอีกอย่างหนึ่งที่สำคัญและเพียงพอคือ เส้นทแยงมุมตัดกันด้วยอัตราส่วนของความยาวเท่ากัน (ค่านี้เป็นค่าเดียวกับอัตราส่วนระหว่างด้านคู่ขนาน)- เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านคู่ขนานทั้งสองแบ่งครึ่งพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู- right ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปด้วยเส้นทแยงมุม AC และ BD (ดังภาพด้านขวามือ) ซึ่งตัดกันที่จุด O ดังนั้นพื้นที่ของ AOD เท่ากับพื้นที่ของ BOC และผลคูณของพื้นที่ระหว่าง AOD กับ BOC เท่ากับผลคูณของพื้นที่ระหว่าง AOB กับ COD อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ขนาน- ความยาวของเส้นทแยงมุม p, q เท่ากับ (a, b คือความยาวของด้านคู่ขนาน)
*: 
*: - กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ
*: 

**สถาปัตยกรรม**
วิหาร Dendur ซึ่งจัดแสดงในพิพิธภัณฑ์ศิลปะนิวยอร์ก
ในสถาปัตยกรรมแบบอียิปต์โบราณ มีการเจาะช่องหน้าต่าง ประตู และการก่อสร้างตัวอาคารเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยมีด้านฐานกว้างกว่าด้านยอด

**ดูเพิ่ม**
 polite number หรือในอีกชื่อหนึ่งคือ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมคางหมู- หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Trapezoid definition    Area of a trapezoid    Median of a trapezoid With interactive animations-  Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)-  on Numerical Methods for Stem Undergraduate- Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) 
คางหมู