ลำดับพรือเฟอร์

ลำดับพรือเฟอร์ (Prüfer sequence, Prüfer code หรือ Prüfer numbers) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัด, ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ คือลำดับการเข้าร่วมกับต้นไม้ ลำดับพรือเฟอร์ สำหรับต้นไม้ที่มี n จุดยอด จะมีขนาด n-2 ตัว เสมอ และสามารถสร้างต้นไม้ได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่จะกล่าวในส่วนต่อไป ลำดับพรือเฟอร์ ถูกใช้ครั้งแรกสำหรับการพิสูจน์ Cayley's formula โดยไฮนซ์ พรือเฟอร์ (Heinz Prüfer) ใน ค.ศ. 1918

**นิยาม**
ลำดับพรือเฟอร์ n ลำดับ คือลำดับของเลขจำนวนเต็ม (integers) :
( a1,a2,…,an−2) 
ดังนั้น ∀i : 1 ≤ i ≤ n−2 : 1 ≤ ai ≤n
ซึ่งจะเป็นลำดับที่มีขนาด n−2 ตัวและมีค่าระหว่าง 1 ถึง n
แนวคิดนี้กำหนดไว้เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ Cayley's formula

**ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์**
กำหนด ต้นไม้ T ซึ่งสามารถนำมาสร้าง ลำดับพรือเฟอร์ ที่สามารถใช้แทนกันได้
ต้นไม้ T มี n จุดยอด ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีค่า 1 ถึง n ไม่ซ้ำกันในแต่ละจุดยอด
# ถ้าต้นไม้ T มีจุดยอดทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ( n ≤ 2 ) จะหยุดการทำงาน ,ถ้าไม่ใช่ ทำขึ้นตอนที่ 2 
# เลือกใบของต้นไม้ที่มีค่าต่ำที่สุด
# นำค่าจากใบที่ติดกับใบที่เราเลือกใส่ลงใน ลำดับพรือเฟอร์
# ลบใบที่เราเลือกออกจากต้นไม้ แล้ววนกลับไปทำขั้นตอนที่ 1 ใหม่- ความจำกัด (Finiteness) : ทุกครั้งที่ผ่านขั้นตอนที่ 4 จุดยอดจะหายไป 1 จุดเสมอ เมื่อผ่านไป n-2 รอบ จะเหลือจุดยอดเพียง 2 จุด ขั้นตอนวิธีก็จะหยุดทำงาน- ข้อมูลนำเข้า (Inputs) : ต้นไม้ T- ข้อมูลนำออก (Outputs) : ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งมีขนาด n-2 ตัว

**ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงลำดับพรือเฟอร์ไปเป็นต้นไม้**

**Pseudocode**
กำหนด ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n ตัว {a1, a2, ..., an} จะแปลงได้ต้นไม้ที่มีจุดยอด n+2 จุด
Convert-Prüfer-to-Tree (a)
1 n ← lengtha
2 T ← a graph with n + 2 isolated nodes, numbered 1 to n + 2
3 degree ← an array of integers
4 for each node i in T
5     do degreei ← 1
6 for each value i in a
7     do degreei ← degreei + 1
ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) ระหว่างจุดยอดโดยเลือกจากใบที่อยู่ล่างสุดของ tree
8 for each value i in a
9     for each node j in T
10         if degreej = 1
11             then Insert edgei, j into T
12                  degreei ← degreei - 1
13                  degreej ← degreej - 1
14                  break
ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) กับจุดยอดที่เหลืออันสุดท้ายเข้ากับต้นไม้
15 u ← v ← 0
16 for each node i in T
17     if degreei = 1
18         then if u = 0
19             then u ← i
20             else v ← i
21                  break
22 Insert edgeu, v into T
22 degreeu ← degreeu - 1
23 degreev ← degreev - 1
24 return T

**Cayley's formula**
ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ที่มี n จุดยอดนั้น จะชัดเจนแล้วว่าลำดับพรือเฟอร์ จะมีขนาด n − 2 และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n แต่สิ่งที่ชัดเจนน้อยกว่าคือ ถ้าให้ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n-2 ช่อง และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n
จะมีต้นไม้ที่แปลงจาก ลำดับพรือเฟอร์ นั้นออกมาเป็นต้นไม้ได้  ผลที่ได้ตามมาก็คือ ลำดับพรือเฟอร์ ให้  bijection date=2011-12-06  ระหว่าง กลุ่มของต้นไม้ที่มี n จุดยอด กับ กลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ ที่มีขนาด n-2 ตัว และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n ซึ่งในกลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ มีขนาด nn-2 ดังนั้นการมี  bijection date=2011-12-06  นี้แสดงถึงการพิสูจน์ Cayley's formula เช่น จะมีต้นไม้ที่มี n จุดยอด nn-2 ต้น

**ตัวอย่างการประยุกต์ใช้**
 Cayley's formula สามารถนำไปพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้: จำนวน spanning tree ใน complete graph Kn ที่มีชั้น d1,d2,...,dn จะเท่ากับ  (d1-1) ! (d2-1) !... (dn-1) ! การพิสูจน์จะเห็นได้ว่าในลำดับพรือเฟอร์ ลำดับที่ i จะปรากฏตรงกับ (di − 1) ครั้ง- Cayley's formula ทั่วไป : ต้นไม้ที่เป็น spanning tree ใน complete graph โดยจำกัดการนับ ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งวิธีการคล้ายกับการหาจำนวน  spanning tree ของ  complete bipartite graph ถ้ากราฟ G เป็น  complete bipartite graph ที่มีจุดยอด 1 ถึง n1 ในส่วนแรก และ n1+1 ถึง n ในส่วนที่สอง แล้ว จำนวนของ spanning tree ของกราฟ G เท่ากับ n1n2-1n2n1-1 เมื่อ n=n1+n2

**อื่นๆ**
 ตัวอย่าง  ลำดับพรือเฟอร์ จาก ต้นไม้ date=2011-12-08 - ตัวอย่าง  ต้นไม้ จากลำดับพรือเฟอร์ date=2011-12-08 

**อ้างอิง**
 ขั้นที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Pr%C3%BCfer_Sequence_from_Labeled_Tree#Finitenessfix-attempted=yes - bijection ระหว่างลำดับพรือเฟอร์กับต้นไม้  http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_between_Pr%C3%BCfer_Sequences_and_Labeled_Trees date=2011-12-06 - นิยามของลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Pr%C3%BCfer_Sequence date=2014-01-23 - Prüfer, H. (1918). "Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen". Arch. Math. Phys. 27: 742–744.- Jens Gottlieb, Bryant A. Julstrom, Günther R. Raidl, and Franz Rothlauf. (2001).  "Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search" date=2011-10-01 . Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2001) : 343–350.
หมวดหมู่:ต้นไม้ (ทฤษฎีกราฟ)
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง