การนำความร้อน

การนำความร้อน (Thermal conduction; มักแทนด้วย k, λ หรือ κ) เป็นการถ่ายโอนพลังงานภายใน (Internal energy) ผ่านการชนของอนุภาคในระดับจุลทรรศน์และการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนภายในวัตถุ ๆ หนึ่ง อนุภาคที่มีการชนกันนี้ซึ่งรวมถึงโมเลกุล อะตอม และอิเล็กตรอนถ่ายโอนพลังงานศักย์และจลน์อย่างไม่เป็นระเบียบในระดับจุลทรรรศน์ซึ่งรวมกันเรียกว่าพลังงานภายใน การนำเกิดขึ้นในทุกสถานะ (phase (matter)) ของสสาร ได้แก่ของแข็ง ของเหลว แก๊ส และคลื่น
ความร้อนไหลจากวัตถุที่ร้อนกว่าไปสู่วัตถุที่เย็นกว่าตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นความร้อนจะถูกนำจากแผ่นให้ความร้อนของเตาไฟฟ้าไปหาด้านใต้ของกระทะที่วางไว้ด้านบน หากไม่มีแหล่งพลังงานจากภายนอก ภายใน หรือระหว่างวัตถุซึ่งคอยขับเคลื่อนอยู่ ความแตกต่างของอุณหภูมิก็จะสลายลงเมื่อเวลาผ่านไปและเข้าสู่สภาวะสมดุลทางความร้อน (thermal equilibrium) นั่นก็คืออุณหภูมิมีความเป็นเอกรูปหรือสม่ำเสมอ
ในการนำนั้นความร้อนไหลอยู่ภายในและไหลผ่านตัววัตถุเอง ในทางกลับกันความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านการแผ่รังสีความร้อนนั้นถูกถ่ายเทระหว่างวัตถุที่อาจอยู่ห่างกัน หรือความร้อนอาจถูกถ่ายเทได้ด้วยทั่งสองวิธีผสมกัน ส่วนการพาความร้อนนั้น (convection) พลังงานภายในถูกขนส่งระหว่างวัตถุด้วยวัสดุที่เป็นพาหะเคลื่อนที่ การนำความร้อนภายในของแข็งเป็นการรวมกันระหว่างการสั่นและการชนกันของโมเลกุล การแผ่และการชนกันของโฟนอน กับการแพร่และการชนกันของอิเล็กตรอนอิสระ (free electron model) การนำความร้อนภายในของไหลเช่นแก็สและของเหลวเกิดจากการชนกันและการแพร่ของโมเลกุล (molecular diffusion) ระหว่างที่เคลื่อนไหลแบบสุ่ม โฟตอนในบริบทนี้ไม่ชนกันและดังนั้นความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจึงแตกต่างในทางแนวคิดจากการนำความร้อนโดยการแพร่และการชนกันของอนุภาคและโฟนอนในระดับจุลทรรศน์ แต่ความแตกต่างนั้นไม่สามารถสังเกตได้ง่ายเว้นแต่วัสดุนั้นกึ่งโปร่งใส
ในศาสตร์ทางด้านวิศวกรรม การถ่ายเทความร้อนรวมกระบวนการการแผ่รังสีความร้อน การพาความร้อน และการถ่ายเทมวลในบางครั้ง แต่โดยทั่วไปแล้วในสถานการณ์ใด ๆ ก็มักจะเกิดกระบวนการเหล่านี้อย่างน้อยมากกว่าหนึ่งแบบ
สัญลักษณ์สัญนิยมของสภาพนำความร้อน (thermal conductivity) คือ k

**ภาพรวม**
การนำความร้อนในระดับจุลทรรศน์ถือว่าเกิดขึ้นในวัตถุที่นิ่ง หมายความว่าพลังงานศักย์และจลน์จากการเคลื่อนที่ของวัตถุจะนำมาพิจารณาแยกกัน พลังงานภายในแพร่ไปผ่านการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอะตอมหรือโมเลกุลที่เคลื่อนที่อย่างรวดเร็วกับอนุภาคใกล้เคียงซึ่งเป็นการถ่ายเทพลังงานจลน์และศักย์ระดับจุลทรรศน์ให้กัน และปริมาณเหล่านี้ถูกนิยามสัมพัทธ์กับวัตถุซึ่งเราถือว่าอยู่นิ่ง การถ่ายเทความร้อนผ่านการนำเกิดจากการชนกันของอะตอมหรือโมเลกุลที่อยู่เคียงกัน การเคลื่อนที่ไปมาอย่างไม่เป็นระเบียบระหว่างอะตอมของอิเล็กตรอนซึ่งไม่ก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้าในระดับมหทรรศน์ หรือการชนและการกระเจิงของโฟตอน 
ความนำของสัมผัสทางความร้อน (Thermal contact conductance) เป็นการศึกษาการนำความร้อนระหว่างวัตถุแข็งซึ่งสัมผัสกัน อุณหภูมิมักจะมีความต่างกันที่หน้าสัมผัสระหว่างผิวทั้งสอง ปรากฏการณ์นี้เป็นผลมาจากความต้านทานของสัมผัสทางความร้อนที่มีอยู่ระหว่างผิวสัมผัส ความต้านทานความร้อนระหว่างผิว (Interfacial thermal resistance) เป็นการวัดความต้านทานของหน้าสัมผัสต่อการไหลของความร้อนและต่างจากความต้านทานของสัมผัสเพราะยังมีอยู่แม้ในหน้าสัมผัสที่สมบูรณ์แบบแล้วในระดับอะตอม การทำความเข้าใจความต้านทางทางความร้อนที่หน้าสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่างเป็นส่วนที่มีความสำคัญหลักในการศึกษาสมบัติทางความร้อนของวัสดุนั้น หน้าสัมผัสมักส่งผลต่อสมบัติของวัสดุที่เราจะสังเกตเห็นอย่างมีนัยสำคัญ 
การถ่ายเทพลังงานระหว่างโมเลกุลอาจเกิดขึ้นจากการชนกันแบบยืดหยุ่นเช่นแบบของไหล หรือผ่านการแพร่ของอิเล็กตรอนอิสระแบบในโลหะ หรือผ่านการสั่นโฟนอนแบบในฉนวน การไหลของพลังงานความร้อน (ฟลักซ์ความร้อน) ในฉนวนความร้อนเกิดขึ้นจากการสั่นโฟนอนเกือบทั้งหมด
โลหะ (เช่น ทองแดง ทองคำขาว ทองคำ ฯลฯ) ส่วนใหญ่นำพลังงานความร้อนได้ดีเนื่องเพราะลักษณะของพันธะเคมีของโลหะ: พันธะโลหะ (ตรงข้ามกับพันธะโคเวเลนต์หรือพันธะไอออนิก) มีอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ได้อิสระซึ่งสามารถถ่ายเทพลังงานความร้อนผ่านโลหะได้อย่างรวดเร็ว อิเล็กตรอนเหลวของโลหะแข็งที่เป็นตัวนำเป็นตัวที่นำฟลักซ์ความร้อนผ่าน ฟลักซ์โฟนอนยังมีอยู่แต่ถ่ายเทพลังงานน้อยกว่า นอกจากนั้นอิเล็กตรอนยังเป็นสิ่งที่นำกระแสไฟฟ้าผ่านตัวนำของแข็ง ตัวนำไฟฟ้าที่ดีเช่นทองแดงก็นำความร้อนได้ดีเช่นกัน ไฟฟ้าจากความร้อน (Thermoelectricity) เกิดจากปฏิสัมพันธ์ของฟลักซ์ความร้อนกับกระแสไฟฟ้า การนำความร้อนภายในของแข็งเทียบได้โดยตรงกับการแพร่ของอนุภาคในของเหลวที่ไม่มีกระแสการไหล 
การถ่ายเทความร้อนภายในแก็สเกิดจากการชนกันของโมเลกุลแก็ส ในกรณีที่ไร้การพาความร้อนซึ่งปกติแล้วข้องเกี่ยวกับเฟสแก็สหรือของไหลที่เคลื่อนที่ การนำความร้อนผ่านเฟสแก็สขึ้นอยู่กับองค์ประกอบและความดันของเฟสเป็นหลัก กล่าวโดยเฉพาะคือมันขึ้นอยู่กับเส้นทางอิสระเฉลี่ยของโมเลกุลแก็สเมื่อเทียบกับขนาดของช่องว่างของแก็สตามที่ถูกกำหนดโดยเลขคนุดเซน (Knudsen number) 
วิศวกรนำสภาพนำความร้อน k มาใช้เพื่อบ่งบอกความสามารถในการนำของสื่อกลาง นิยามของ k คือ "ปริมาณความร้อน Q ที่ถ่ายเทตามเวลา (t) ผ่านความหนา (L) ในทิศแนวฉากกับพื้นที่ผิว (A) ซึ่งเกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิ (ΔT) ..." สภาพนำความร้อนเป็นสมบัติของวัสดุที่ขึ้นอยู่กับเฟส อุณหภูมิ ความหนาแน่น และพันธะโมเลกุลของสื่อกลางตัวนั้นเป็นหลัก สภาพแลกเปลี่ยนความร้อนเป็นจำนวนซึ่งหาได้จากสภาพนำความร้อนและถูกนำมาใช้เพื่อวัดความสามารถในการแลกเปลี่ยนพลังงานความร้อนกับภาวะแวดล้อมของวัตถุนั้น

**การนำความร้อนในสภาวะคงที่**
การนำความร้อนในสภาวะคงที่ (Steady-state conduction) เป็นการนำความร้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเกิดขึ้นเมื่อความแตกต่างของอุณหภูมิซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนนั้นมีค่าคงตัว โดยหลังเวลาสมดุล (Equilibration time) ผ่านไปการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิ (สนามอุณหภูมิ) ในวัตถุซึ่งนำความร้อนนั้นไม่เปลี่ยนแปลงอีก ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของอุณหภูมิเทียบกับปริภูมินั้นสามารถมีค่าได้ทั้งที่เป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์แต่อนุพันธ์ของอุณหภูมิเทียบกับเวลานั้นเท่ากับศุนย์โดยทั่วกัน ปริมาณของความร้อนซึ่งเข้าสู่บริเวณใด ๆ ของวัตถุนั้นเท่ากับปริมาณความร้อนซึ่งออกไปในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอุณหภูมิของวัตถุอาจสูงขึ้นหรือต่ำลงขณะที่พลังงานถูกนำออกหรือกักไว้ในบริเวณนั้น)
ตัวอย่างเช่น วัตถุแท่งหนึ่งอาจเย็นที่ปลายหนึ่งและร้อนที่อีกปลาย และหลังจากอยู่ในสภาวะของการนำความร้อนในสภาวะคงที่แล้วเกรเดียนต์เชิงพื้นที่ของอุณหภูมิตามแนวของแท่งนั้นก็จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกแม้เวลาผ่านไปและอุณหภูมิที่หน้าตัดตามแนวฉากของการถ่ายเทความร้อน ณ จุดใด ๆ ของแท่งนั้นก็จะมีค่าคงตัว โดยอุณหภูมินี้มีการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นตามตำแหน่งในปริภูมิในกรณีที่ไม่มีการผลิตความร้อนในแท่งนั้น
กฎต่าง ๆ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไฟฟ้ากระแสตรงนั้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับ "กระแสความร้อน" ในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ได้โดยตรง เราจึงสามารถเทียบ "ความต้านทานความร้อน" ได้กับความต้านทานไฟฟ้า อุณหภูมิทำหน้าที่คล้ายแรงดันไฟฟ้าและความร้อนที่ถูกถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (กำลังความร้อน) สามารถเทียบได้กับกระแสไฟฟ้า ระบบสภาวะคงที่สามารถถูกจำลองเป็นเครือข่ายของความต้านความร้อนที่ต่อกันแบบอนุกรมและขนานซึ่งสามารถเทียบได้กับเครือข่ายของตัวต้านทานกระแสไฟฟ้า สำหรับตัวอย่างของเครือข่ายแบบนี้ ดูวงจรความร้อนความต้านทานบริสุทธิ์ (Lumped-element model)

**การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่**
การนำความร้อนชั่วครู่ (Transient conduction) คือวิธีการไหลของพลังงานความร้อนซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนตามเวลา ณ บริเวณใด ๆ ของวัตถุ การนำความร้อนชนิดนี้มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" ซึ่งหมายถึงสนามอุณหภูมิของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงขึ้นกับเวลา สภาวะไม่คงที่เกิดขึ้นหลังจากที่อุณหภูมิตรงขอบของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลง หรือยังสามารถเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิภายในวัตถุซึ่งเป็นผลจากแหล่งกำเนิดหรือแหล่งระบายความร้อนที่ถูกใส่เข้าไปในวัตถุและทำให้อุณหภูมิที่อยู่รอบแหล่งนั้นเปลี่ยนแปลงตามเวลา
เมื่อมีการรบกวนของอุณหภูมิในลักษณะนี้ อุณหภูมิในระบบก็จะเปลี่ยนแปลงตามเวลาและเคลื่อนไปหาสมดุลใหม่พร้อมกับเงื่อนไขใหม่ หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกครั้งหลังถึงจุดสมดุลแล้ว ความร้อนที่ไหลเข้าระบบและไหลออกจากระบบจะเท่ากันและอุณหภูมิที่จุดใด ๆ ของวัตถุก็ไม่เปลี่ยนแปลงอีก เมื่อกระบวนการทั้งหมดเกิดขึ้นแล้ว การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะจบลงแต่การนำความร้อนในสภาวะคงที่อาจเกิดขึ้นต่อไปได้หากมีการไหลของความร้อนต่อไป
หากอุณหภูมิภายนอกหรือการผลิตความร้อนภายในมีการเปลี่ยนแปลงที่ฉับไวมากเกินไปจนสมดุลของอุณหภูมิไม่สามารถเกิดขึ้นได้แล้ว ระบบนั้นก็จะไม่มีวันกลับไปสู่สภาวะที่การกระจายตัวของอุณหภูมิไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและจะคงอยู่ในสภาวะไม่คงที่
การติดเครื่องยนต์ในยานพาหนะเป็นตัวอย่างอันหนึ่งของแหล่งของความร้อนที่ "ถูกเปิด" ภายในวัตถุซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ และจะเปลี่ยนจากการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่เป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่เมื่อเครื่องยนต์ถึงอุณหภูมิทำงาน (Operating temperature) แล้ว อุณหภูมิในเครื่องยนต์และส่วนอื่นของยานพาหนะต่างกันอย่างมากในสมดุลสภาวะคงที่ แต่ไม่มีบริเวณใดในยานพาหนะที่อุณหภูมิจะมีการเปลี่ยนแปลง การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จบลงหลังจากได้เกิดสภาวะนี้แล้ว
ภาวะภายนอกแบบใหม่สามารถทำให้กระบวนการนี้เกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น แท่งทองแดงซึ่งมีการนำความร้อนในสภาวะคงที่ก็จะกลายเป็นการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ทันทีที่ปลายข้างหนึ่งมีอุณหภูมิที่ต่างจากเดิม เมื่อเวลาผ่านไปสนามของอุณหภูมิภายในแท่งก็จะอยู่ในสภาวะคงที่ใหม่ซึ่งมีเกรเดียนต์ของอุณหภูมิที่คงตัว โดยปกติแล้วก็จะเข้าใกล้เกรเดียนต์ของสภาวะคงที่อันใหม่ในแบบชี้กำลังตามเวลา เมื่อเฟสของ "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" จบลง ความร้อนยังสามารถไหลด้วยแรงสูงได้ตราบใดที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ
ตัวอย่างของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ซึ่งไม่จบด้วยการเปลี่ยนเป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่แต่จบด้วยการไม่มีการนำความร้อนต่อเช่น ลูกบอลทองแดงร้อน ๆ ที่ปล่อยลงในหม้อนำมันที่มีอุณหภูมิต่ำ สนามของอุณหภูมิภายในวัตถุเริ่มเปลี่ยนแปลงตามเวลาขณะที่ความร้อนถูกนำออกไปจากโลหะ และความสนใจอยู่ที่การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิภายในวัตถุตามเวลาจนเกรเดียนต์ใด ๆ หายไปทั้งหมด (หรือก็คือลูกบอลมีอุณหภูมิเดียวกันกับน้ำมัน) ในทางคณิตศาสตร์ภาวะนี้ก็จะเข้าใกล้ในแบบชี้กำลัง (approached exponentially) ในทางทฤษฎีก็ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ แต่ในทางปฏิบัติถือว่าจบลงแล้วด้วยระยะเวลาที่สั้นกว่าอย่างมาก ที่จุดจบของกระบวนการไม่มีแหล่งระบายความร้อนอื่นนอกจากส่วนในของลูกบอล (ซึ่งมีอยู่จำกัด) จึงไม่มีการนำความร้อนในสภาวะคงที่เกิดขึ้นต่อ สภาวะนี้ไม่มีวันเกิดขึ้นในเหตุการณ์แบบนี้และกระบวนการจะจบลงเมื่อไม่มีการนำความร้อนใด ๆ เลย
การวิเคราะห์ระบบของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่นั้นซับซ้อนกว่าระบบในสภาวะคงที่อย่างมาก หากวัตถุนำความร้อนมีรูปร่างแบบง่าย แล้วการแสดงออกและคำตอบทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์จะสามารถทำได้อย่างแม่นยำ (ดูสมการความร้อนสำหรับแนวทางเชิงวิเคราะห์) อย่างไรก็ตามเรามักจำเป็นต้องนำทฤษฎีแบบประมาณมาใช้หรือต้องพึ่งพาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของคอมพิวเตอร์เนื่องด้วยสภาพนำความร้อนที่มีความแตกต่างกันเองภายในวัตถุรูปร่างซับซ้อน (นั่นคือ วัตถุที่ซับซ้อนส่วนใหญ่ กลไก หรือเครื่องต่าง ๆ ของวิศวกรรม) วิธีการทางกราฟที่เป็นที่นิยมแบบหนึ่งคือการใช้แผนภูมิไฮสเลอร์ (Heisler Chart) 
บางครั้งปัญหาเกี่ยวกับการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะง่ายลงอย่างมากถ้าสามารถระบุบริเวณที่ร้อนขึ้นหรือเย็นลงได้ เพราะสภาพนำความร้อนในบริเวณนั้นมีค่ามากกว่าของวิถีความร้อนที่เข้าบริเวณนั้น บริเวณที่มีสภาพนำสูงจึงสามารถถูกปฏิบัติเป็นแบบจำลองความจุแบบก้อน (lumped capacitance model) ได้ โดยถือได้ว่าเป็น "ก้อน" ของวัสดุที่มีความจุความร้อนแบบง่ายซึ่งประกอบไปด้วยความจุความร้อน (heat capacity) รวมของมัน บริเวณนี้ร้อนขึ้นหรือเย็นลงระหว่างกระบวนการแต่ไม่มีการแปรผันของอุณหภูมิที่มีนัยสำคัญภายในขอบเขตของบริเวณ (เมื่อเทียบกับส่วนอื่น ๆ ของระบบ) นี่เป็นเพราะความนำที่สูงกว่าอย่างมาก ดังนั้นระหว่างการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่อุณหภูมิตลอดบริเวณที่นำความร้อนจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอในปริภูมิและใช้เวลาแบบชี้กำลังง่าย ๆ ตัวอย่างของระบบเหล่านี้คือระบบที่ปฏิบัติตัวตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน (Newton's law of cooling) ระหว่างการเย็นลงในสภาวะไม่คงที่ (หรือในทางกลับกันระหว่างการทำความร้อน) วงจรความร้อนที่สมมูลกับระบบนี้ประกอบไปด้วยตัวเก็บ (capacitor) ที่ต่อแบบอนุกรมกับตัวต้านทาน ส่วนที่เหลือของระบบซึ่งมีความต้านทานความร้อนสูง (สภาพนำที่ต่ำกว่าเมื่อเทียบกัน) ทำหน้าที่เป็นตัวต้านทานในวงจรนั้น

**การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ**
ทฤษฎีการนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ (Relativistic conduction) เป็นแบบจำลองที่เข้ากันกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ตลอดเวลาส่วนใหญ่ของศตวรรษที่ผ่านมา สมการฟูริเอร์เป็นที่รู้จักว่าขัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพเพราะมีการยอมรับถึงความเร็วของการแพร่สัญญาณความร้อนที่มีค่าเป็นอนันต์ ตัวอย่างตามสมการฟูริเอร์เช่น จุดที่อยู่ไกลเป็นอนันต์จะสามารถรู้สึกถึงพัลส์ของความร้อนที่จุดกำเนิดได้ทันที อัตราเร็วของการแพร่ข้อมูลเร็วกว่าอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศซึ่งไม่สามารถยอมรับได้ในกรอบของสัมพัทธภาพ

**การนำความร้อนเชิงควอนตัม**
เสียงที่สอง (Second sound) เป็นปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมที่การถ่ายเทความร้อนเกิดขึ้นผ่านการเคลื่อนที่คล้ายคลื่นแทนการแพร่ซึ่งเป็นกลไกปกติ ความร้อนแทนตัวเป็นความดันในคลื่นเสียงปกติ นี่นำไปสู่สภาพนำความร้อนที่สูงมาก "เสียงที่สอง" มีชื่อเรียกเป็นอย่างนี้เพราะการเคลื่อนที่แบบคลื่นของความร้อนนั้นคล้ายกับการแพร่ของคลื่นเสียงในอากาศ

**กฎของฟูริเอร์**
กฎของฟูริเอร์ (Fourier's law) หรือกฎของการนำความร้อนกล่าวว่าอัตราการถ่ายเทความร้อนผ่านวัสดุเป็นสัดส่วนกับเกรเดียนต์ลบของอุณหภูมิและพื้นที่ตั้งฉากกับเกรเดียนต์ที่ความร้อนไหลผ่าน เราสามารถแสดงกฎนี้เป็นรูปแบบสมมูลสองรูปแบบ: รูปปริพันธ์ซึ่งเราดูที่ปริมาณของพลังงานที่ไหลเข้าหรือออกกจากวัตถุรวมทั้งหมด และรูปอนุพันธ์ซึ่งเราดูที่อัตราไหลหรือฟลักซ์ของพลังงานเฉพาะบริเวณ (local)
กฎการเย็นตัวของนิวตันเทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์แบบวิยุต (discrete) ในขณะที่กฎของโอห์มเทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์สำหรับไฟฟ้า และกฎการแพร่ของฟิค (Fick's laws of diffusion) ก็เทียบได้เป็นแบบสำหรับเคมี 

**รูปอนุพันธ์**
กฎการนำความร้อนของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์แสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน (heat flux) เฉพาะบริเวณ  เท่ากับผลคูณของสภาพนำความร้อน  และเกรเดียนต์ลบเฉพาะบริเวณของอุณหภูมิ  ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนคือปริมาณของพลังงานที่ไหลผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา 
 
โดย (รวมหน่วย SI)
  คือความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเฉพาะบริเวณ W·m−2
  คือสภาพนำความร้อนของวัสดุ W·m−1·K−1,
  คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ K·m−1.
สภาพนำความร้อน  มักถูกถือว่าเป็นค่าคงตัวแต่ก็ไม่เป็นจริงเสมอไป ถึงแม้สภาพนำความร้อนของวัสดุโดยทั่วไปแล้วจะแปรผันกับอุณหภูมิ การแปรผันมีขนาดเล็กแม้อุณหภูมิจะเปลี่ยนไปอย่างมีนัยสำคัญสำหรับวัสดุทั่ว ๆ ไป ส่วนสภาพนำความร้อนของวัสดุแอนไอโซทรอปิก (Anisotropy) โดยปกติเปลี่ยนแปลงตามทิศทางของวัตถุ ในกรณีนี้  ถูกแทนเป็นเทนเซอร์ (tensor) อันดับสอง ส่วน  ในวัสดุไม่สม่ำเสมอ (non-uniform) เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในปริภูมิ
สำหรับการใช้งานแบบง่าย กฎของฟูริเอร์ในรูปมิติเดียวมักถูกนำมาใช้ ในทิศทาง x
 
ในวัสดุไอโซทรอปิก กฎของฟูริเอร์นำไปสู่สมการความร้อน:
และมีผลเฉลยหลักมูล (fundamental solution) ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเคอร์เนลความร้อน (heat kernel)

**รูปปริพันธ์**
เมื่อปริพันธ์กฎของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์ตามพื้นผิวทั้งหมดของวัสดุ  เราจะได้กฎของฟูริเอร์รูปปริพันธ์:

โดย (รวมหน่วย SI):-  คือปริมาณของความร้อนที่มีการถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (หน่วย W) และ-  คือส่วนประกอบพื้นที่ผิวที่มีทิศทาง (หน่วย m2)
เมื่อเราปริพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ด้านบนระหว่างจุดปลายสองจุดสำหรับวัสดุเอกพันธุ์ (homogeneous) หนึ่งมิติที่อุณหภูมิคงตัว จะได้อัตราไหลของความร้อนเป็น:
 
โดย
  คือช่วงเวลาที่ความร้อนปริมาณ  ใช้ไหลผ่านหน้าตัดขวางของวัสดุ
  คือพื้นที่หน้าตัด
  คือความแตกต่างของอุณหภูมิที่จุดปลาย
  คือระยะทางระหว่างจุดปลาย
กฎนี้เป็นรากฐานสำหรับการอนุพัทธ์หาสมการความร้อน

**ความนำความร้อน**
กฎของฟูริเอร์สามารถเขียนได้เป็น:
 
เมื่อ
 
โดย U คือความนำความร้อน (conductance) หน่วยเป็น W/(m2 K).
ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน (resistance)  โดยกำหนดว่า:
 
ความต้านทานบวกรวมกันเมื่อมีชั้นนำความร้อนหลายชั้นอยู่ระหว่างบริเวณร้อนและเย็นเพราะ A และ Q ของทุก ๆ ชั้นมีค่าเท่ากัน 
 
ในทางเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างความนำรวมกับความนำของแต่ละชั้นคือ:

ดังนั้นสูตรดังต่อไปนี้มักถูกนำมาใช้เมื่อเผชิญกับการนำความร้อนผ่านผนังหลายชั้น:
 
ในส่วนของการนำความร้อนจากของไหลสู่ของไหลผ่านผนังกั้นชนิดหนึ่ง บางครั้งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาความนำความร้อนของฟิล์ม (thin film) ของไหลบาง ๆ ที่อยู่นิ่งข้างแผ่นกั้น ของไหลที่เป็นฟิล์มบางนี้จำกัดปริมาณได้ยากเพราะลักษณะต่าง ๆ นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ซับซ้อนเช่นความปั่นป่วน (turbulence) และความหนืด แต่บางครั้งเมื่อต้องจัดการกับผนังกั้นที่มีความนำสูง แผ่นฟิล์มของไหลนี้ก็สามารถส่งผลต่อคุณสมบัติความนำได้อย่างมีนัยสำคัญ

**การแทนด้วยคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับปริมาณ**
สมการที่ให้นิยามความนำไว้ด้านบนด้วยคุณสมบัติที่ขึ้นกับปริมาณ (extensive properties) สามารถถูกนำมาจัดรูปใหม่ให้ใช้นิยามจากคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับปริมาณได้ (intensive properties) สูตรสำหรับความนำความร้อนในอุดมคตินั้นควรผลิตค่าที่มีมิติซึ่งเป็นอิสระจากระยะทาง อย่างเช่นสูตรของความต้านทานไฟฟ้า  และความนำไฟฟ้า  ในกฎของโอห์ม
จากสูตรเรื่องไฟฟ้า  โดย ρ คือสภาพต้านทาน, x คือความยาว และ A คือพื้นที่หน้าตัด กับ  โดย G คือความนำ, k คือสภาพนำ, x คือความยาว และ A คือพื้นที่หน้าตัด
ในส่วนของความร้อนนั้น
 
โดย U คือความนำความร้อน
เราสามารถเขียนกฎของฟูริเอร์ได้เป็นอีกแบบ:
 
ซึ่งเทียบได้กับกฎของโอห์ม  หรือ 
ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน R ซึ่งถูกกำหนดเป็น:
 
เทียบได้กับกฎของโอห์ม 
กฎของการรวมความต้านแทนและความนำของการไหลของความร้อนและกระแสไฟฟ้า (ต่อกันแบบอนุกรมหรือขนาน) เป็นแบบเดียวดัน

**เปลือกทรงกระบอก**
การนำความร้อนผ่านเปลือกทรงกระบอก (เช่น ท่อ) สามารถคำนวณได้จากรัศมีภายใน , รัศมีภายนอก , ความยาว  และความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างผนังภายในและภายนอก .
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกคือ 
เมื่อเรานำมาใส่ในกฎของฟูริเอร์:

และจัดรูปใหม่:

อัตราการถ่ายเทความร้อนจะเท่ากับ:

ความต้านทานความร้อนคือ:

และ  โดย  เป็นรัศมีเฉลี่ยแบบล็อก

**เปลือกทรงกลม**
เราสามารถคำนวณการนำความร้อนผ่านพื้นผิวทรงกลมได้ในลักษณะเดียวกันจากรัศมีภายใน  และรัศมีภายนอก 
พื้นที่ผิวของทรงกลมคือ: 
และเมื่อแก้สมการในลักษณะเดียวกันกับที่ทำสำหรับเปลือกทรงกระบอก (ดูข้างบน) แล้วจะได้:

**การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่**

**การถ่ายโอนความร้อนระหว่างผิว**
การถ่ายเทความร้อนที่ผิวสัมผัสถือว่าเป็นการไหลของความร้อนในสภาวะไม่คงที่ เลขบิโอต์ (Biot number) เป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมของระบบสำหรับการวิเคราะห์ปัญหานี้ โดยเลขบิโอต์ถูกกำหนดเป็น:
หากเลขบิโอต์ของระบบมีค่าน้อยกว่า 0.1 วัสดุนั้นจะประพฤติตามการเย็นตัวแบบนิวตันหรือเราสามารถเพิกเฉยต่อเกรเดียนต์ของอุณหภูมิภายในวัสดุได้ หากเลขบิโอต์มีค่ามากกว่า 0.1 ระบบนั้นจะประพฤติตามผลเฉลยแบบอนุกรม โปรไฟล์อุณหภูมิเทียบกับเวลาสามารถอนุพัทธ์มาได้จากสมการ
 
ซึ่งกลายเป็น
 
สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน (heat transfer coefficient) h มีหน่วยเป็น  และแทนการถ่ายเทของความร้อนที่ผิวสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่าง ค่านี้ต่างกันไปตามแต่ละผิวสัมผัสและเป็นสิ่งที่สำคัญในการทำความเข้าใจการไหลของความร้อนที่ผิวสัมผัส
เราสามารถวิเคราะห์ผลเฉลยแบบอนุกรม (series solution) ได้ด้วยโนโมแกรม (nomogram) ในโนโมแกรมมีอุณหภูมิสัมพัทธ์เป็นพิกัด y และเลขฟูริเอร์ (Fourier number) ซึ่งคำนวณจาก
 
ยิ่งเลขบิโอต์มีค่ามากขึ่น เลขฟูริเอร์จะมีค่าน้อยลง เพื่อหาโปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับเวลาเราต้องทำตามห้าขั้นตอนดังต่อไปนี้
# คำนวณหาเลขบิโอต์
# กำหนดว่าความลึกสัมพัทธ์อันไหนส่งผลมากที่สุด x หรือ L.
# แปลงเวลาเป็นเลขฟูริเอร์
# แปลง  เป็นอุณหภูมิสัมพัทธ์พร้อมกับเงื่อนไขขอบเขต
# เปรียบเทียบจุดต่าง ๆ ที่กำหนดและตามรอยหาเลขบิโอต์ที่กำหนดไว้บนโนโมแกรม

**การประยุกต์ใช้การนำความร้อน**

**การชุบแข็งแบบสาด**
การชุบแข็งแบบสาด (Splat cooling) เป็นวิธีการทำให้ละอองของวัสดุหลอมเหลวขนาดเล็กเย็นตัวลงอย่างรวดเร็วผ่านการสัมผัสพื้นผิวเย็นอย่างฉับพลัน อนุภาคของวัสดุนี้ผ่านกระบวนการเย็นตัวลงที่มีลักษณะพิเศษ โดยมีโปรไฟล์อุณหภูมิที่  เป็นอุณหภูมิเริ่มต้นและอุณหภูมิสูงสุดที่  และที่  และ  อุณหภูมิ  และมีโปรไฟล์ความร้อนที่  ของ  เป็นเงื่อนไขขอบเขต การชุบแข็งแบบสาดจบลงที่อุณหภูมิในสภาวะคงที่ และมีรูปแบบคล้ายกับสมการการแพร่แบบเกาส์ (Gaussian diffusion equation) โปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับตำแหน่งและเวลาของการเย็นตัวแบบนี้แปรผันกับ:
การชุมแข็งแบบสาดเป็นแนวคิดพื้นฐานที่มีการนำไปใช้ในทางปฏิบัติในรูปของการพ่นเคลือบด้วยความร้อน เราสามารถเขียนสัมประสิทธิ์สภาพแพร่ความร้อน (thermal diffusivity) ซึ่งแทนด้วย  เป็น  ได้ ซึ่งแปลว่าค่านี้เปลี่ยนแปลงไปตามชนิดของวัสดุ

**การชุบแข็งโลหะ**
การชุบแข็งโลหะ (Metal quenching) เป็นกระบวนการถ่ายเทความร้อนในสภาวะไม่คงที่แบบหนึ่งซึ่งแสดงด้วยแผนภาพเวลา-อุณหภูมิ-การเปลี่ยนเฟส (Isothermal transformation diagram) (TTT) เราสามารถควบคุมกระบวนการเย็นตัวได้เพื่อปรับเปลี่ยนเฟสของวัสดุที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การชุบแข็งเหล็กกล้าอย่างเหมาะสมสามารถแปลงสารออสเทไนต์ (austenite) เป็นมาร์เทนไซต์ (martensite) ในสัดส่วนที่ต้องการได้ซึ่งทำให้ได้ผลเป็นวัสดุที่แข็งและทนทานมาก เพื่อให้ได้ผลดังนี้เราจำเป็นต้องชุบแข็งที่ "จมูก" (หรือ ยูเทกติก (Eutectic)) ของแผนภาพ TTT เวลาที่วัสดุต่าง ๆ ใช้ชุบแข็งหรือเลขฟูริเอร์นั้นต่างกันไปในทางปฏิบัติเพราะวัสดุต่าง ๆ มีเลขบิโอต์ต่างกัน อุณหภูมิชุบแข็งของเหล็กกล้า (steel) มีค่าตั้งแต่ 200 °C ถึง 600 °C เราจำเป็นต้องกำหนดเลขฟูริเอร์จากเวลาการชุบแข็งที่ต้องการ อุณหภูมิลดสัมพัทธ์ (temperature drop) ที่ต้องการ และเลขบิโอต์เพื่อให้สามารถควบคุมเวลาชุบแข็งและเลือกสื่อในการชุบแข็งที่เหมาะสมได้ เราสามารถหาของเหลวที่เหมาะสมต่อการเป็นสื่อในการชุบแข็งได้ผ่านการคำนวณสัมประสิทธิ์ของการถ่ายเทความร้อนจากเลขบิโอต์

**กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์**
กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์ (Zeroth law of thermodynamics) สามารถถูกกล่าวในแบบที่มุ่งความสนใจในเรื่องของการนำความร้อนโดยตรง เบลิน (1994) เขียนว่า "... กฎข้อที่ศูนย์สามารถถูกกล่าวเป็น:
:ผนังไดอะเทอร์มัลทุกอันสมมูลกัน"
ผนังไดอะเทอร์มัล (diathermal wall) คือการเชื่อมต่อทางกายภาพซึ่งให้ความร้อนเคลื่อนระหว่างวัตถุสองวัตถุได้ ในที่นี้ผนังไดอะเทอร์มัลของเบลินหมายถึงผนังที่เชื่อมต่อวัตถุสองวัตถุเท่านั้นเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะผนังนำ (conductive wall)
'กฎข้อที่ศูนย์' ซึ่งถูกกล่าวแบบนี้เป็นข้อความเชิงทฤษฎีในอุดมคติ และผนังทางกายภาพของจริงนั้นอาจมีความผิดปกติซึ่งทำให้ไม่ประพฤติตามความทั่วไป
ตัวอย่างเช่น วัสดุของผนังนั้นจะต้องไม่เปลี่ยนเฟสที่อุณหภูมิซึ่งนำความร้อนไม่ว่าเป็นการระเหยหรือการหลอมละลาย แต่ก็ต่อเมื่อพิจารณาเพียงสมดุลความร้อนและไม่เร่งรีบกับเวลาเท่านั้น แล้วสภาพนำความร้อนของวัสดุต่าง ๆ ก็ไม่มีความสำคัญมากนักและตัวนำความร้อนใด ๆ ก็ดีพอกัน กลับกัน อีกแง่มุมของกฎข้อที่ศูนย์คือผนังไดอะเทอร์มัลหนึ่งจะเมินเฉยต่อสภาวะและลักษณะของอ่างความร้อน (heat bath) เมื่อกำหนดข้อจำกัดที่เหมาะสม เช่นหลอดแก้วของปรอทวัดอุณหภูมิทำหน้าที่เป็นผนังไดอะเทอร์มัลไม่ว่าจะใช้ในแก๊สหรือของเหลว แต่ก็ต่อเมื่อแก้วไม่ละลายหรือถูกกัดกร่อน
ความแตกต่างเหล่านี้เป็นหนึ่งในลักษณะพิเศษซึ่งเป็นนิยามของการถ่ายเทความร้อน ในแง่หนึ่ง มันเป็นสมมาตร (Symmetry (physics)) ของการถ่ายเทความร้อน

**อุปกรณ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำความร้อน**

**เครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า**
คุณสมบัติการนำความร้อนของแก๊สใด ๆ ภายใต้ความดันและอุณหภูมิภาวะมาตรฐานเป็นค่าคงที่ เราขึงสามารถนำคุณสมบัตินี้ของแก๊สหรือส่วนผสมของแก๊สอ้างอิงที่รู้จักชนิดหนึ่งมาใช้ในการรับรู้ (sensor) เช่นเครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า (Thermal conductivity analyzer)
เครื่องนี้ทำงานบนหลักการของวงจรสะพานแบบวีตสโตน (Wheatstone bridge) ซึ่งประกอบด้วยเส้นใยสี่เส้นที่มีความต้านทานไฟฟ้าเท่ากัน เมื่อใดที่มีแก๊สไหลผ่านเครือข่ายเส้นใยนี้แล้วความต้านทานของพวกมันจะเปลี่ยนตามสภาพนำความร้อนที่เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงทำให้เอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิของวงจรสะพานเปลี่ยนไป และเราสามารถนำเอาต์พุตความต่างศักย์ที่ได้ไปเทียบกับฐานข้อมูลเพื่อระบุว่าแก๊สตัวอย่างนั้นเป็นแก๊สชนิดใด

**ตัวรับรู้แก๊ส === 
หลักการของสภาพนำความร้อนของแก๊สยังสามารถนำมาใช้วัดความเข้มข้นของแก๊สชนิดหนึ่งในส่วนผสมระหว่างแก๊สสองชนิดได้
หลักการทำงานของตัวรับรู้แก๊ส (Gas sensor) คือ หากแก๊สชนิดเดียวกันมีอยู่ตลอดทั้งเส้นใยของวงจรสะพานแล้ว เส้นใยทุกเส้นจะคงอุณหภูมิไว้เท่ากันและจึงคงความต้านทานไฟฟ้าไว้เท่าเดิม วงจรสะพานจึงสมดุล แต่ทว่าหากตัวอย่างแก๊สที่ต่างกัน (หรือส่วนผสมของแก๊ส) ถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ผ่านเส้นใยสองเส้นชุดหนึ่งและแก๊สที่เรานำมาใช้อ้างอิงถูกปล่อยผ่านเส้นใยอีกชุดหนึ่งแล้ว วงจรสะพานจะเสียสมดุลและเอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิที่ได้ออกมาจากวงจรก็จะสามารถนำไปเทียบในฐานข้อมูลเพื่อระบุส่วนประกอบของแก๊สตัวอย่างได้
ด้วยกลวิธีนี้ เราสามารถระบุตัวอย่างแก๊สที่ไม่รู้จักหลายชนิดได้ด้วยการเปรียบเทียบสภาพนำความร้อนของพวกมันกับแก๊สอ้างอิงอื่น ๆ ที่เรารู้สภาพนำความร้อนของมัน แก๊สอ้างอิงที่ถูกใช้บ่อยที่สุดคือแก๊สไนโตรเจนเพราะสภาพนำความร้อนของแก๊สที่พบเจอได้ทั่วไปส่วนใหญ่ (ยกเว้นแก๊สไฮโดรเจนและฮีเลียม) มีค่าใกล้เคียงกับของแก๊สไนโตรเจน

**ดูเพิ่ม**
 รายการของสภาพนำความร้อน (List of thermal conductivities)- การนำไฟฟ้า - สมการการแพร่-การพา (Convection diffusion equation)- ค่า R (ฉนวน) (R-value (insulation))- ท่อความร้อน- กฎการแพร่ของฟิค (Fick's law of diffusion)- การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ (Relativistic heat conduction)- สมการเชอร์ชิล-เบิร์นสไตน์ (Churchill–Bernstein equation)- เลขฟูริเอร์ (Fourier number)- เลขบิโอต์ (Biot number)- การแพร่เท็จ (False diffusion)

**อ้างอิง**
Dehghani, F 2007, CHNG2801 – Conservation and Transport Processes: Course Notes, University of Sydney, Sydney- John H Lienhard IV and John H Lienhard V, 'A Heat Transfer Textbook', Fifth Edition, Dover Pub., Mineola, NY, 2019 

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Heat conduction – Thermal-FluidsPedia-  Newton's Law of Cooling โดย Jeff Bryant อิงจากโปรแกรมโดย Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
หมวดหมู่:การนำความร้อน
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:การถ่ายเทความร้อน