กฎของโลปีตาล

ไฟล์:Hopital sin x by -0.5x.png|thumb|upright=1.5|ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ  และ  ของฟังก์ชัน  จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง 1=x = 0 แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน  โดยนิยามให้ อนุพันธ์
ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (L'Hôpital's rule) หรือ กฎของแบร์นูลลี (Bernoulli's rule) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate forms) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

**ประวัติ**
กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

**รูปทั่วไป**
รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้  และ  เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้  เป็นช่วงเปิดที่มี  อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี  เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า  เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง  และ  หาอนุพันธ์ได้บน  อาจยกเว้นที่  และ  บน  อาจยกเว้นที่  ด้วย ยังสมมติให้  ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่  มีค่าเข้าไกล้ 
ถ้า

หรือ

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป  ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ( หรือ ) เมื่อ  เป็นจุดปลายจำกัดของ 
ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้  ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า 
สมมุติฐานที่ว่า  จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง  อาจยกเว้นที่  อีกวิธี คือให้ทั้ง  และ  จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี  อยู่

**ตัวอย่าง**
 ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด  ที่ - ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น  การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง- ตัวอย่างที่เป็น ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า  เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า  เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์- ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด  (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป - สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า  หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ  และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว- บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้  ลู่เข้าเมื่อ  และ  ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้วดังนั้นถ้า  หาค่าได้ แล้ว 

**รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ**
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น     และ  สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี  โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร
กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4) 
กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น
ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง  "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต  อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด  แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า
ดังนั้น 
ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล

**บทพิสูจน์กฎโลปีตาล**

**กรณีพิเศษ**
การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด  และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ  เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ
ให้  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง  โดย  และ  แล้ว มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่  ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ 
บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

**บทพิสูจน์ทั่วไป**
บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของ1952 ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง  และ  เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ใน1936 และ1949
ให้  และ  เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้  เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย  พิจรณาให้  บนช่วงนี้ และ  ต่อเนื่อง สามารถเลือก  ที่เล็กกว่าที่ทำให้  ไม่เป็นศูนย์บน  ได้
สำหรับทุก  ในช่วง นิยามให้ และ  โดยที่  มีค่าอยู่ระหว่าง  และ  (ฟังก์ขัน  กับ  คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)
จากการหาอนุพันธ์ได้ของ  และ  บน  ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ  และ  ใน  จะมี  ระหว่างค่า  และ  ที่ทำให้   ส่งผลให้  สำหรับทุกตัวเลือกค่า  และ  ที่แตกต่างในช่วง
ค่า  ไม่เป็นศูนย์เมื่อ  และ  แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี  ที่อยู่ระหว่าง  และ  ที่ทำให้ 
จากนิยามของ  และ  ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น  ได้  ในกรณีต่อไปนี้  และ  จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน 
กรณีที่ 1 
สำหรับทุก  ในช่วง  และจุด  ระหว่าง  และ 
และเมื่อ  มีค่าเข้าใกล้   ทั้ง  และ  จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้
กรณีที่ 2 
สำหรับทุก  บนช่วง  นิยาม  อยู่ระหว่าง  และ   สำหรับทุกจุด  ระหว่าง  และ 
โดยที่เมือ  มีค่าเข้าใกล้  ทั้ง  และ  จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น
ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต  ยังไม่ได้รับการยืนยัน
แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่
และ
และ
ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า  หาค่าได้และเท่ากับ   ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า  ดังนั้น  หาค่าได้และเท่ากับ  นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์
ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า  ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า  ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ  เข้าใกล้  และทั้ง และ  สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว  ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ  อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูล**
 isbn=81-203-2678-4- mr=2015447- mr=0044602- mr=0034430- s2cid=199546754
หมวดหมู่:แคลคูลัส