ขั้นตอนวิธีของดีนิซ

ขั้นตอนวิธีของดีนิซ (Dinic's algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับการแก้ปัญหาการไหลมากสุด ( Maximum flow) ในระบบเครือข่ายการไหล ( Flow network) ถูกคิดขึ้นโดยเยฟิม ดีนิทซ์ (יפים (חיים) א 'דיניץ; Yefim (Chaim) A. Dinitz) นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชาวยิว (อดีตเป็นชาวรัสเซีย) ในปี ค.ศ. 1970 ขั้นตอนวิธีนี้จะใกล้เคียงกับขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป (Edmonds-Karp algorithm) ซึ่งใช้หลักการหาวิถีสั้นสุดและมีอัตราการเติบโตเป็นของเวลาทำงาน  แต่ขั้นตอนวิธีของดีนิซจะมีอัตราการเติบโตที่น้อยกว่าคือ  ซึ่งเป็นผลมาจากการนำแนวคิดเรื่อง กราฟระดับ และ กระแสที่จำกัดการไหล มาใช้

**ประวัติ**
เยฟิม ดีนิทซ์ คิดค้นขั้นตอนวิธีนี้เพื่อตอบโจทย์แบบฝึกหัดก่อนชั้นเรียนในการเรียนขั้นตอนวิธีของอเดลสัน-เวลสกี ในขณะนั้นเขาไม่รู้ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟิลเกอร์สัน
ดีนิทซ์กล่าวว่าการประดิษฐ์ขั้นตอนวิธีของเขาเกิดขึ้นในเดือนมกราคม พ.ศ. 2512 และได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2513 ในวารสาร Доклады Академии Наук СССР (Doklady Akademii Nauk SSSR ) ในปี พ.ศ. 2517 ชิมอน อีเวน (שמעון אבן) และ อลอน อีไต (אלון איתי , ซึ่งกำลังศึกษาปริญญาเอกในขณะนั้น) ที่สถาบันเทคโนโลยีอิสราเอลเทคนิออน (מכון טכנולוגי לישראל - הטכניון) ในไฮฟา มีความสนใจและประทับใจกับขั้นตอนวิธีของดีนิทซ์ รวมถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการปิดกั้นการไหลของอะเลคซันดร์ คาซานอฟ (Александр Викторович Карзанов) อย่างไรก็ตาม มันยากสำหรับพวกเขาที่จะถอดรหัสเอกสารทั้งสองฉบับนี้ โดยแต่ละฉบับมีเพียงสี่หน้าเพื่อให้เป็นไปตามข้อจำกัดของวารสาร Doklady Akademii Nauk SSSR โดยไม่ท้อถอยหลังจากสามวันของความพยายามก็สามารถทำความเข้าใจเอกสารทั้งสองฉบับได้ ยกเว้นปัญหาการบำรุงรักษาเครือข่ายแบบชั้น ในอีกสองสามปีต่อมาอีเวน ได้บรรยายเกี่ยวกับ "ขั้นตอนวิธีของ Dinic" โดยออกเสียงชื่อผู้เขียนผิดในขณะที่เผยแพร่ให้เป็นที่รู้จัก อีเวนและอีไตมีส่วนร่วมในขั้นตอนวิธีนี้ด้วยการรวมการค้นหาในแนวกว้าง (BFS) และการค้นหาในแนวลึก (DFS) ซึ่งปัจจุบันเป็นวิธีที่นำเสนอขั้นตอนวิธีนี้โดยทั่วไป
เป็นเวลาประมาณ 10 ปีหลังจากที่ขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟิลเกอร์สัน ถูกประดิษฐ์ขึ้น ไม่มีใครรู้ว่ามันสามารถมีจุดสิ้นสุดในเวลาพหุนามในกรณีทั่วไปของความจุที่มีค่าขอบเป็นจำนวนอตรรกยะได้หรือไม่ สิ่งนี้ทำให้ไม่มีขั้นตอนวิธีเวลาพหุนามที่รู้จักสำหรับการแก้ปัญหาการไหลสูงสุดในกรณีทั่วไป ขั้นตอนวิธีของดีนิทซ์ และขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป (เผยแพร่ในปี พ.ศ. 2515) ทั้งสองแบบต่างแสดงให้เห็นว่าในขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟิลเกอร์สัน หากวิถีแต่งเติมแต่ละเส้นสั้นที่สุด ความยาวของวิถีแต่งเติมจะไม่มีการลดลงและขั้นตอนวิธีจะมีจุดสิ้นสุดเสมอ

**นิยาม**
ให้  เป็นเน็ตเวิร์ก มีเส้นเชื่อมจาก  ไป  โดยอนุญาตให้กระแสไหลผ่านได้  และมีกระแสไหลผ่านแล้ว 
 กราฟความจุคงเหลิอ (residual capacity) เป็นกราฟที่ได้จาก  นิยามโดย
# เมื่อ ,
# : 
# : 
# นอกเหนือจากนี้ 
 กราฟความจุคงเหลิอ คือกราฟ  ที่มี
: 
 วิถีแต่งเติม (augmenting path) คือวิถีจาก  ภายในกราฟความจุคงเหลิอ 
 ให้  แทนวิถีสั้นสุดจาก  ไป  ในกราฟ 
 จะได้ว่า กราฟระดับ (level graph) ของ  คือกราฟ  ที่มี
: 
 กระแสจำกัดการไหล คือกระแสจาก  ไป   ซึ่งทำให้  มี และไม่มีวิถี  p=102

**ขั้นตอนวิธี**
ขั้นตอนวิธีของดีนิซ
 อินพุต : เน็ตเวิร์ก 
 เอาต์พุต : กระแส  ที่มีค่ากระแสสูงสุด 
# กำหนด สำหรับทุก 
# สร้าง  จาก  ของ  ถ้า  ให้หยุดและคืนค่า 
# หากระแสจำกัดการไหล  ใน 
# ขยายกระแส ด้วย  จากนั้นกลับไปทำขั้นตอนที่ 2

**วิเคราะห์**
จะเห็นได้ว่าจำนวนของเส้นเชื่อมในทุก กระแสจำกัดการไหล จะเพิ่มขึ้นอย่างน้อยที่ละ 1 ในการวน 1 รอบ และจะเพิ่มจนมีค่าไม่เกิน  โดย  เป็นจำนวนปมทั้งหมดในเน็ตเวิร์ก กราฟระดับ  สามารถสร้างได้จาก การค้นตามแนวกว้าง ในเวลา  โดย  เป็นจำนวนเส้นเชื่อม และกระแสจำกัดการไหลในทุก ๆ กราฟระดับ จะสามารถหาได้ภายในเวลา  การค้นหาการปิดกั้นการไหลสามารถทำได้ใน  รายวิถีโดยผ่านลำดับของการดำเนินการเดินหน้าและถอยกลับ (Advance and Retreat operations) ดูเพิ่มเติมที่   Blocking flows in unit-capacity graphs ดังนั้นขั้นตอนวิธีของดีนิซจึงใช้เวลาในการทำงานเป็น  
นอกจากนี้ยังสามารถทำให้ขั้นตอนวิธีของดีนิซมีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้นด้วยการใช้โครงสร้างข้อมูลที่เรียกว่า ต้นไม้พลวัต (dynamic trees) ซึ่งจะทำให้เวลาการหากระแสจำกัดการไหลลดลงเป็น  ทำให้ขั้นตอนวิธีโดยรวมใช้ทำงานเพียง 

**กรณีพิเศษ**
ในเน็ตเวิร์กที่มีความจุเอกลักษณ์ จะมีขอบเขตของเวลามากขึ้น แต่ละขั้นตอนการปิดกั้นการไหลสามารถพบได้ในเวลา  และสามารถแสดงให้เห็นว่าจำนวนเฟสไม่เกิน  และ  ดังนั้นขั้นตอนวิธีจะทำงานในเวลา  
ในเน็ตเวิร์กที่เกิดจากปัญหาบบการจับคู่สองส่วน จำนวนเฟสจะถูกจำกัดด้วย  จึงนำไปสู่ขอบเขตเวลา  ขั้นตอนวิธีที่ได้นั้นเรียกอีกอย่างว่าขั้นตอนวิธีฮอปครอฟต์-คาป โดยทั่วไป ขอบเขตนี้มีไว้สำหรับเน็ตเวิร์กเอกลักษณ์ใด ๆ — เครือข่ายที่จุดยอดแต่ละจุด ยกเว้นต้นทางและปลายทาง อาจมีวิถีของความจุขาเข้าเดียว หรือวิถีความจุของขาออกเดียว และความจุอื่นทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มใด ๆp=102

**ตัวอย่าง**
ให้ G เป็นเน็ตเวิร์กเริ่มต้น ซึ่งแต่ละเส้นเชื่อมจะมีขนาดของกระแสและความจุ  เป็นกราฟระดับ ปมที่มีเลขเป็นสีแดงคือค่าของ  และวิถีสีน้ำเงินคือกระแสจำกัดการไหล

**ดูเพิ่ม**
 ขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟอลเกอสัน- ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป

**เชิงอรรถ**

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
  url-status = dead -  eISBN 978-1-61197-026-5. 10.1137/1.9781611970265.-  pages = 174–176
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีกราฟ
หมวดหมู่:การไหลในเครือข่าย