ปัญหาการหาคู่ของจุดที่ใกล้กันที่สุด

ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด (closest pair problem) เป็นหนึ่งในงานวิจัยทางด้านเรขาคณิตคำนวณ (Computational Geometry) จากปัญหานี้ถ้าใช้วิธีการหาระยะทางที่ใกล้ที่สุดกับจุดทุกๆ จุด นั้นจะต้องใช้เวลาเป็น Θ (n2) จากเวลาการทำงานยังเป็นเวลาที่สูง จึงได้ทำการแก้ปัญหานี้ซึ่งใช้ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ โดยที่เวลาการทำงานเป็น  และขั้นตอนวิธีนี้เป็นขั้นตอนวิธีแบบอนุกรมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้

**ลักษณะของปัญหา**
โจทย์ : ให้จุด N จุด ซึ่งอยู่บนระนาบ
คำตอบ : หาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด
โดยมีสูตรการหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด คือ di.j = ((xi-xj)2 + (yi-yj)2)1/2

**ปัญหารูปแบบต่างๆ**
 	จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ในแนว 1 มิติ นั่นคือ จุดทุกๆจุด เรียงตัวกันบนเส้นตรงเส้นเดียวกัน- 	จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนระนาบ 2 มิติ 

**วิธีการแก้ปัญหาแบบ 2 มิติ**

**1.	ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ (Brute force)**
ทำการตรวจสอบระยะทางในทุกๆจุด และนำมาคำนวณหาระยะทางที่มีค่าน้อยที่สุด 

**รหัสเทียม**
closetPair ( x1…n, y1…n )
min = infinity
for ( i=1…n)
for ( j= (i+1) …n)
dx = | xi – xj
yi – yj
d = sqrt (dx2 + dy2 )
if ( f

**2.	ขั้นตอนวิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ (Divide and Conquer)**
 การแบ่งแยก คือ การมองปัญหาใหญ่ๆ ออกเป็นปัญหาย่อยๆ ซึ่งในปัญหานี้คือการมองพื้นที่ทั้งหมดออกเป็น 2 ส่วน โดยที่แต่ละส่วนมีจำนวนจุดใกล้เคียงกัน - การเอาชนะ คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ในพื้นที่แต่ละด้าน โดยใช้ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำ (Recursive)- การรวมกัน คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ซึ่งจุดทั้ง 2 จุดอยู่บนพื้นที่คนละด้านกัน

**ลำดับขั้นตอน**
 ให้ x เป็นค่าน้อยที่สุดจากระยะทางที่หาได้จากการเรียกซ้ำ- พิจารณาจากจุดทุกๆจุดซึ่งอยู่บริเวณที่ห่างจากเส้นกั้นกลาง 2 ฝั่ง ด้วยความยาวไม่เกิน x- เรียงลำดับระยะห่างของจุดทุกๆจุดในบริเวณนั้น โดยเก็บข้อมูลเป็นพิกัดทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ซึ่งเป็นการทำให้สามารถระบุได้ว่าจุดใดอยู่ทางฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวา- สร้างกรอบสี่เหลี่ยม ขนาด x * 2x ขึ้นมาบนพื้นที่นั้น ใช้เลื่อนไปตามจุด n คู่ เพื่อนหาระยะที่ใกล้กันที่สุด
:สี่เหลี่ยมขนาด x * 2x ใช้เพื่อตรวจหาระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุดจากพื้นที่ตรงเส้นกั้นกลาง- คำตอบที่ถูกต้อง คือ ระยะที่น้อยที่สุดจากการระยะทางที่ได้จากจุด 2 จุดที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง 
:ระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุด 3 ระยะ ที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง

**รหัสเทียม**
ClosestPair (ptsByX, ptsByY, n) 
if (n = 1) return ∞
if (n = 2) return distance (ptsByX0, ptsByX1) 
// มองลักษณะเป็นปัญหาย่อย (การแบ่งแยก) 
mid ← dn/2e − 1
คัดลอกค่าจาก ptsByX0 . . . mid ไปไว้ที่อาเรย์ XL ตำแหน่งที่ x
คัดลอกค่าจาก ptsByXmid+1 . . . n − 1 ไปไว้ที่อาเรย์ XR ตำแหน่งที่ x
คัดลอกค่าจาก ptsByY ไปไว้ที่อาเรย์ Y L และ Y R ตำแหน่งที่ y , s.t
XL และ Y L อ้างถึงจุดๆเดียวกัน เช่นเดียวกันกับ XR และ Y R
// ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำเพื่อหาระยะทางที่ใกล้กันที่สุด (การเอาชนะ) 
distL ← ClosestPair (XL, Y L, dn/2e)
distR ← ClosestPair (XR, Y R, bn/2c) 
// นำมารวมกัน 
midPoint ← ptsByXmid 
lrDist ← min (distL, distR) 
สร้างอาเรย์ yStrip ในลำดับที่ y (เพิ่มขึ้น) 
สำหรับจุด p ใดๆ ใน ptsByY s.t. |p.x − midPoint.x| 

**ประสิทธิภาพการทำงาน**
 ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ 
เป็นวิธีที่ธรรมดาที่สุด โดยทำการตรวจสอบทั้งหมด n (n-1)/2 คู่ และใช้เวลาการทำงานเป็น Θ (n2)- วิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ 
มีการมองปัญหาใหญ่เป็นปัญหาย่อยๆ ทำให้เป็นวิธีที่ใช้เวลาน้อยที่สุด นั่นคือใช้เวลาการทำงานเป็น Θ (nlogn) มาจาก t (n) = 2t (n/2) + Θ (n)  = Θ (nlogn) โดย 2t (n/2) มาจากการเรียกซ้ำใน 2 รอบ ในพื้นสี่ฝั่งซ้ายและฝั่งขวา และ Θ (n) มาจากการเอาสี่เหลี่ยมเทียบกับจุดจำนวน n คู่ 

**การนำไปใช้งาน**
ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในงานหลากหลายด้าน หลากหลายแอปพลิเคชัน (Application) เช่น นำไปใช้ในระบบควบคุมการจราจรทางอากาศหรือทางทะเลซึ่งในการควบคุมนั้นจำเป็นต้องรู้ว่ามียานพาหนะ 2 ลำไหนที่อยู่ใกล้กันที่สุดเพื่อที่จะป้องกันการชนกันได้ เป็นต้น

**อ้างอิง**
 Jeremy Buhler (2011), Fast Closest-Pair Algorithm, Faculty of Engineering of Washington University in St.Louis, http://classes.cec.wustl.edu/~cse241/handouts/closestpair.pdf date=2011-08-13 - Robert Sedgewick, Kevin Wayne (2007), Geometric Algorithms, Department of Computer Science,Princeton University, http://www.cs.princeton.edu/~rs/AlgsDS07/16Geometric.pdf
ปัญหาการหาคู่ของจุดที่ใกล้กันที่สุด