ผลรวม

ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม (summation) หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ผลบวก (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

**สัญกรณ์**
ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ  ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล 1 + 2 + 4 ว่าเป็น  (1 + 2) + 4 หรือ 1 + (2 + 4) เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)
ถ้าหากผลรวมหนึ่ง ๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น 

**สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่**
คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า
:
ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้  หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ  เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น
:
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น
บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น
: จะมีความหมายเทียบเท่ากับ 
หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น
:
คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว
:
คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ
:
คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น
นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น
: จะมีความหมายเหมือนกับ 

**สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม**
ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน
sum (xm:n+1)
ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ
sum (x(m:n))
ภาษาเจ
+/x
ส่วนในภาษาอื่น ๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์
Sum = 0
For I = M To N
Sum = Sum + X (I)
Next I
หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว
int i;
int sum = 0;
for (i = m; i 
ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล
$sum = 0;
$sum += $x$_ for ($m..$n) ;
ภาษารูบี
xm..n.inject
xm..n.inject (0) 
สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้
std::accumulate (&xm, &xn + 1, 0)
สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

**กรณีพิเศษ**
มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว- ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ x ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ x กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m = n ตามนิยามข้างบน- ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m > n หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

**การประมาณค่าด้วยปริพันธ์**
การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f
:
และฟังก์ชันลด f
:
ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)
สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง a, b ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน
:
ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์
:

**เอกลักษณ์**
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ
: เมื่อ C เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)
: เมื่อ C เป็นค่าคงตัว
:
:
:
:
: เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ x
: (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)
: (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)
:
:
:
: เมื่อ  เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ k
----
: (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)
: (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ m = 0)
:
:
:
:
----
: (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)
:
:
----
:
:
:
:
:
: (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)
:
: (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)
: สำหรับการกระจายทวินาม
:
:
:

**อัตราการเติบโต**
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา
: สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า −1
:
: สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า 1
: สำหรับจำนวนจริง c ที่ไม่เป็นลบ
: สำหรับจำนวนจริง c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด
: สำหรับจำนวนจริง b > 1, c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

**ดูเพิ่ม**
 สัญกรณ์ไอน์สไตน์- ผลรวมตรวจสอบ (checksum)- ผลคูณ

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 Nicholas J. Higham, " The accuracy of floating point summation", SIAM J. Scientific Computing 14 (4), 783–799 (1993).
หมวดหมู่:เลขคณิต
หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์