เซนทรอยด์

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
ในทางเรขาคณิต เซนทรอยด์ (centroid) หรือชื่ออื่นเช่น ศูนย์กลางเรขาคณิต (geometric center), แบรีเซนเตอร์ (barycenter) ของรูปร่าง X บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง X นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใดๆ ที่อยู่ในปริภูมิ n มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน
ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ
ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)

**สมบัติ**
เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ
ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (อาทิ รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น
ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง

**เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด**
เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด  ในเซต  คือ


**เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต**
เซนทรอยด์ของรูปร่าง X บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ  เป็นจำนวนจำกัด n ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย  กับพื้นที่ย่อย  ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้

สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า  ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย  แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ  สำหรับวัตถุ d มิติ โดยที่  จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น
สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต X ซึ่งจะทำให้เมเชอร์  มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ  ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด x จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด x อยู่ในรูปร่าง X ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0

**สูตรปริพันธ์**
เซนทรอยด์ของเซตย่อย X ในเซต  สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์

เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ  ทั้งหมด และ f คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน X และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)

**เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า**
เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่ 3 ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา
เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบางๆ อย่างเช่นแผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ , , และ  ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่

ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ n มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ  เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่

isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point

**เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม**
เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด  จำนวน n จุด สามารถคำนวณได้ดังนี้ 
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ

และเซนทรอยด์จะอยู่ที่  เมื่อ


สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด  จะถูกกำหนดให้เป็น  ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).-  Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.-  Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot-  Barycentric Coordinates at cut-the-knot-  Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f(x) and g(x) - Interactive animations showing  Centroid of a triangle and  Centroid construction with compass and straightedge
หมวดหมู่:เรขาคณิตสัมพรรค
หมวดหมู่:มัชฌิม
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม