จำนวนเฉพาะ

ไฟล์:Primes-vs-composites.svg|thumb|จำนวนประกอบสามารถสร้างเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ทุกด้านยาวมากกว่า 1 ได้ แต่จำนวนเฉพาะทำไม่ได้
ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และมีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ
ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... id=A000040
จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซนมีความยาว 41,024,320 หลัก

**การแทนจำนวนธรรมชาติ ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ**
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ และเขียนได้แบบเดียวเท่านั้น จำนวนเฉพาะเป็นเหมือน "บล็อกก่อสร้าง" ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น

ไม่ว่าเราจะแยกตัวประกอบของ 23244 แบบใดโดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบแล้ว มันก็จะไม่ต่างไปจากนี้

**สมบัติมูลฐาน**

**การแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว**
 ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว

**การมีอยู่นับไม่ถ้วน**
มีจำนวนเฉพาะอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ข้อเท็จจริงนี้พร้อมบทพิสูจน์ปรากฏเป็นครั้งแรกในหนังสือ Elements โดยยุคลิด จึงได้ชื่อว่าทฤษฎีบทของยุคลิด
บทพิสูจน์ของยุคลิดนั้นเริ่มต้นโดยพิสูจน์ว่า รายการจำกัด  ของจำนวนเฉพาะใด ๆ จะมีจำนวนเฉพาะอื่นที่ไม่อยู่ในลำดับนี้ แนวคิดหลักของบทพิสูจน์นี้คือ คูณจำนวนเฉพาะ   ในรายการทุกตัวเข้าด้วยกัน แล้วบวกหนึ่งให้กับผลคูณที่ได้ ซึ่งจะได้เป็นจำนวนใหม่
 
โดยทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต จะได้ว่าจำนวนนี้ต้องแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
 
( อาจะมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวหรือหลายตัวก็ได้ และตัวประกอบเฉพาะเหล่านั้นอาจซ้ำกันก็ได้) แต่เนื่องจากจำนวนเฉพาะใด ๆ ในรายการ  เมื่อนำไปหาร  แล้วจะหารไม่ลงตัวเสมอ ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะ  ของ  ต้องเป็นจำนวนเฉพาะอื่นนอกเหนือจากในรายการ  จึงทำให้ได้ทันทีว่า มีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์
นอกจากบทพิสูจน์ของยูคลิดแล้ว ยังมีบทพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์ในแบบอื่น ๆ อีก เช่น บทพิสูจน์ของออยเลอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตวิเคราะห์ บทพิสูจน์ของคริสเตียน ก็อลท์บัคโดยอาศัยจำนวนแฟร์มา บทพิสูจน์เชิงทอพอโลยีของฮิลแลล ฟัวร์ทสเตนแบร์ก และบทพิสูจน์ของเอิร์นส์ คุมเมอร์

**การหาจำนวนเฉพาะ**
ตะแกรงเอราทอสเทนีส และ ตะแกรงของ Atkin เป็นวิธีที่ใช้สร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามจำนวนที่กำหนดอย่างรวดเร็ว
ในทางปฏิบัติ เราต้องการตรวจสอบว่าเลขที่กำหนดให้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ มากกว่าจะสร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นมา ซึ่งวิธีที่ทดสอบ จะให้คำตอบด้วยความน่าจะเป็น เราสามารถตรวจสอบเลขที่มีขนาดใหญ่ (มี 1 พันหลักขึ้นไป) ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะด้วยความน่าจะเป็น (probabilistic primality tests) ซึ่งวิธีนี้ จะต้องทำการสุ่มตัวเลขขึ้นมาตัวหนึ่ง เรียกว่า "พยาน" (witness) และใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับพยาน และจำนวนเฉพาะ N ทำการทดสอบ หลังจากที่ทดสอบไปหลายรอบ เราจะตอบได้ว่า N เป็น "จำนวนประกอบอย่างแน่นอน" หรือ N "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" วิธีทดสอบไม่สามารถให้คำตอบได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอนหรือไม่ การทดสอบบางครั้ง เมื่อใส่จำนวนประกอบลงไป ก็ให้คำตอบว่า "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" เสมอ ไม่ว่าจะเลือกพยานตัวใดก็ตาม จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprimes) สำหรับการทดสอบ

**สมบัติเชิงวิเคราะห์**

**พีชคณิตนามธรรม**

**สาขาเลขคณิตมอดุลาร์และฟีลด์จำกัด**
 ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว ap − a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)- จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1) ! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน) ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n− 1) ! หารด้วย n ลงตัว

**การประยุกต์**
จำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก (ใหญ่กว่า 10100) นำไปใช้ประโยชน์ในขั้นตอนวิธีเข้ารหัสลับแบบกุญแจสาธารณะ นอกจากนี้ยังใช้ในตารางแฮช (hash tables) และเครื่องสุ่มเลขเทียม

**ดูเพิ่ม**
การพิสูจน์ว่าผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดลู่ออก 
*การพิสูจน์สูตรผลคูณของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 Caldwell, Chris, The Prime Pages at  primes.utm.edu.-  Prime Numbers at MathWorld-  Prime sequencing technologies date=2008-04-13  -  MacTutor history of prime numbers-  The prime puzzles-  An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes-  Number Spiral with prime patterns-  An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier date=2006-09-25 -  EFF Cooperative Computing Awards-  Why a Number Is Prime by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

**คำนวณและสร้างจำนวนเฉพาะ**
  Online Prime Number Generator and Checker - instantly checks and finds prime numbers up to 128 digits long (does NOT require Java or Javascript)-  Prime number calculator — Check prime number, and find next largest and next smallest prime numbers (requires Javascript).-  Fast Online primality test — Dario Alpern's personal site – Makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousands digits numbers check!, requires Java)-  Prime Number Generator date=2009-08-14  — Generates a given number of primes above a given start number.-  Primes from WIMS is an online prime generator.-  Huge database of prime numbers

หมวดหมู่:จำนวนเต็ม
หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน