รากที่สองของสอง

รากที่ 2 ของ 2 หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย  เป็นจำนวนจริงบวก ที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095
ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก

**ประวัติ**
จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ  ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ  จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก Photograph, illustration, and description of the root (2)  tablet from the Yale Babylonian Collection date=2012-08-13  High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root (2)  tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
 
บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น:-
 
การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก

**วิธีการทำ**
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่าง ๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสองFowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158. ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจำนวนใด ๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้- เลือก a0 >0 ค่า a0 ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น- ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคำนวณ a1, a2, a3, ..., an
: - ตัวอย่างการคำนวณโดยเลือก a0=1 ได้ผลดังนี้
ในปี ค.ศ. 1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444
เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ. 2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb
อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด

**การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ**
√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง: 
# สมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า √2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ สมมุติว่าเศษส่วนนี้คือ a/b ดังนั้น a และ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม
# จาก √2 = a/b จะได้ √2 b = a ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 2b2 = a2 
# จาก 2b2 = a2 แสดงว่า a2 เป็นจำนวนคู่ 
# ดังนั้น a เป็นจำนวนคู่ (เพราะถ้า a เป็นจำนวนคี่ a2 จะเป็นคี่) นั่นคือ a = 2k สำหรับบางจำนวนเต็ม k
# แทน a = 2k ในข้อ 3 จะได้ 2b2 = (2k)2 = 4k2 ดังนั้น b2 = 2k2 และ b2 เป็นจำนวนคู่
# ดังนั้น b ก็เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติในตอนแรก เพราะ a และ b มี 2 เป็นตัวประกอบร่วม
ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

**ขนาดกระดาษ**
√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4, A3, A0, ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น √2 เท่าเดิม

**ความสับสนในภาษาไทย**
คำว่า ราก ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง รากที่สองของสอง จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x2=2 นั่นคือ +√2 และ -√2
เครื่องหมาย กรณฑ์ ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง กรณฑ์ที่สองของสอง จึงเป็นการหมายถึง รากที่สองที่เป็นบวกของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น
อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง แต่ไม่ได้หมายความว่าเป็นรากที่สองอย่างเดียว แต่เป็นรากที่ 8 ด้วย  ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา

**อ้างอิง**
หมวดหมู่:ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:จำนวนอตรรกยะ