ฟังก์ชันบ่งชี้

ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต A ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซต X แสดงค่าด้วยสีแดง
ฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (Caracteristic function) คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต X ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย A ใน X หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต A หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต A แต่ยังคงอยู่ในเซต X

**นิยาม**
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย A ของเซต X คือฟังก์ชัน
:
นิยามโดย
:
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น- x ∈ A เป็นสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอิเวอร์สัน- χA (x) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในการวิเคราะห์คอนเวกซ์- IA (x) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ 1A (x) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)- หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ A (x)

**สมบัติพื้นฐาน**
การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}
ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)
: 
:
ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ AC จะได้ว่า
:
ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A1, …, An เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า x ∈ X ดังนั้น
:
จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย Ak ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า
:
กระจายผลคูณทางด้านซ้าย
:\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^ \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^

**ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย**
ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง 0, 1 หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น

**อ้างอิง**
 Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.- Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.- Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.- George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Computability and Logic, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.- Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353.  date=2007-06-22 - Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174
หมวดหมู่:ทฤษฎีเมเชอร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงปริพันธ์
หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงจริง
หมวดหมู่:วิยุตคณิต
หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่