ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation: SD) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก () นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860 เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่าง ๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่
เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น

**นิยาม**
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม  มีการนิยามไว้ดังนี้
:
เมื่อ  หมายถึงค่าคาดหมายของ  (เป็นอีกความหมายหนึ่งของมัชฌิม) และ  หมายถึงความแปรปรวนของ 
แต่ก็ไม่ใช่ว่าตัวแปรสุ่มทุกตัวจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าหากค่าคาดหมายไม่มีอยู่จริงหรือไม่นิยาม ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มภายใต้การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) จะไม่นิยาม เพราะว่า  ก็ไม่นิยามเช่นกัน
ถ้าตัวแปรสุ่ม  มีพื้นฐานอยู่บนเซตข้อมูล  ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนจริงและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากสูตรข้างล่างนี้ อันดับแรกต้องคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ  เสียก่อน ค่าเฉลี่ยเขียนแทนด้วย  ซึ่งนิยามด้วยผลรวม (summation) ดังนี้
:
เมื่อ  คือจำนวนสมาชิกของเซตข้อมูล จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จาก
:
ในทางปฏิบัติ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถสรุปได้ดังนี้
# สำหรับแต่ละค่าของ  ให้คำนวณผลต่างของ 
# นำผลต่างแต่ละตัวมายกกำลังสอง
# บวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย  ค่าที่ได้นี้คือความแปรปรวน 
# คำนวณหารากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน จะได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
นอกจากนั้นสูตรดังกล่าวสามารถดัดแปลงให้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้
:
ซึ่งความเท่ากันของทั้งสองสูตร สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความรู้ทางพีชคณิต
:

**การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร**
ในความเป็นจริง การคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วทั้งหมดนั้น อาจไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นจริงได้ เว้นแต่ในกรณีเฉพาะเช่นการทดสอบมาตรฐาน (standardized test) ซึ่งทุกสมาชิกของประชากรจะถือว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคาดคะเนจากจากส่วนเบี่ยงเบนของตัวอย่างกลุ่มหนึ่งที่มาจากประชากร การวัดที่มักถูกใช้เป็นปกติทั่วไปคือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation) ซึ่งนิยามโดย
:
เมื่อ  คือตัวอย่างและ  คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ตัวส่วน  คือองศาเสรี (degrees of freedom) ของเวกเตอร์ 
เหตุผลของการนิยามเช่นนี้คือ  เป็นตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง (unbiased estimator) สำหรับความแปรปรวน  บนประชากรที่เป็นพื้นฐาน ถ้าหากความแปรปรวนนั้นมีค่า และค่าต่าง ๆ ของตัวอย่างได้รับการสุ่มออกมาโดยอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม  ไม่ใช่ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ  แต่เป็นการประเมินค่าที่ต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และถึงแม้ว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ  จะสามารถทราบได้เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่สูตรดังกล่าวจะซับซ้อนขึ้นและมีการปรับแต่งตัวเลข ยิ่งกว่านั้นความไม่เอนเอียงก็ไม่ได้เป็นที่ต้องการเสมอไป
ตัวประมาณค่าอีกแบบหนึ่งบางครั้งก็ถูกใช้เหมือนสูตรเดิม

รูปแบบนี้จะทำให้เกิดค่าคลาดเคลื่อนประเภท mean squared error น้อยกว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง และเป็นการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (Maximum Likelihood Estimation) เมื่อการกระจายของประชากรนั้นเป็นการแจกแจงปกติ

**ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง**
การแจกแจงต่อเนื่อง (continuous distribution) มักจะเป็นการให้สูตรมาเพื่อคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ของการแจกแจง ในกรณีทั่วไปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง  โดยมี  เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สามารถคำนวณได้จาก
:
เมื่อ
:

**คุณสมบัติของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน**
เมื่อ  เป็นค่าคงตัว และ  คือความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance) ของตัวแปรสุ่ม  และ 

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  A Guide to Understanding & Calculating Standard Deviation date=2010-04-20 -  Standard Deviation - an explanation without maths-  Standard Deviation, an elementary introduction-  Standard Deviation, a simpler explanation for writers and journalists-  Standard Deviation Calculator date=2013-10-22 -  Texas A&M Standard Deviation and Confidence Interval Calculators date=2010-01-12 
หมวดหมู่:สถิติศาสตร์