ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem)  เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน
6936 = 23 · 3 · 172   หรือ   1200 = 24 · 3 · 52
และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)
เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น 
ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น 
ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน
เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

**ประวัติ**
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราเอเลเมนส์ของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)
เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

**บทประยุกต์**

**รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก**
ทุกจำนวนเต็มบวก n > 1 สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 
 
เมื่อ p1 2 k เป็นจำนวนเฉพาะ และ ni เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ 1=k = 0)
การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ n หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น
 999 = 33×37,
 1000 = 23×53,
 1001 = 7×11×13.
สามารถเพิ่มตัวประกอบ 1=p0 = 1 โดยไม่เปลี่ยนค่าของ n (ตัวอย่างเช่น 1=1000 = 23×30×53) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก 
 
โดยมี ni เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์
หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ 

**การดำเนินการทางเลขคณิต**
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง
 
อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

**ฟังก์ชันเลขคณิต**
ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

**การพิสูจน์**
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

**การมีอยู่**
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ  จะเห็นได้ว่า  ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ  เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น  จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้
 
เมื่อ  และ  เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า  แต่  เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น  และ  ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า
 
ฉะนั้น  เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

**การเขียนได้แบบเดียว**
เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์
พิจารณาการแยก  ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ  และ  สองแบบ
 
จะเห็นว่า  จะหาร  ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด จะต้องหารตัวประกอบ  ในผลคูณ  ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น  แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น  จะต้องเท่ากับ  ดังนั้นเราจึงตัด  และ ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า
 
และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 

**หมายเหตุ**

**อ้างอิง**
หนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน- citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|title=Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition)|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-96254-2|year=1986|location=New York|publisher=Springer|isbn=978-0-387-96254-2|translator-last=Clarke|translator-first=Arthur A.- translator-first=H.
The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".- publisher=Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6- publisher=Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7
These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.- mode=cs2- citation|last1=Long|first1=Calvin T.|title=Elementary Introduction to Number Theory|year=1972|edition=2nd|location=Lexington|publisher=D. C. Heath and Company|lccn=77-171950.- citation|last1=Pettofrezzo|first1=Anthony J.|title=Elements of Number Theory|year=1970|location=Englewood Cliffs|publisher=Prentice Hall|lccn=77-81766|last2=Byrkit|first2=Donald R..- isbn=0-8176-3743-5- citation|last=Weil|first=André|title=Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre|year=2007|orig-year=1984|series=Modern Birkhäuser Classics|location=Boston, MA|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-817-64565-6

**ดูเพิ่ม**
 การแยกตัวประกอบ

**ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก**
  Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?-  GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.-  PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic-  Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.-  "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.- citation|last=Grime|first=James|title=1 and Prime Numbers|url=https://www.youtube.com/watch?v=IQofiPqhJ_s|work=Numberphile|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/IQofiPqhJ_s|publisher=Brady Haran|archive-date=2021-12-11|url-status=live
หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์