สมการของแมกซ์เวลล์

สมการของแมกซ์เวลล์ (Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ  ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ

**รายละเอียดโดยย่อ**

**รูปทั่วไป**
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว
Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)
Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
โดยที่:
และ
  คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
  คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

**ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)**
ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships"  ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป
 
 
   (กฎของโอห์ม  สำหรับสารตัวนำ)
ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม
เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป
 
 
   
โดยที่ -  เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)-  เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็ก หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)-  เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า
เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร
ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร
ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

**Guage Invariant**

**Vector Potential**

**Lagrangian**
Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

โดยที่

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity

**รูปแบบอื่น**
รูปแบบยอดนิยมอื่นๆ ของสมการแมกซ์เวลล์ที่เป็นทฤษฎีดั้งเดิมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีค่อนข้างน้อย เนื่องจากสมการตั้งต้นยังคงใช้ได้ดีแม้เวลาผ่านมาหลายปี

**แม่เหล็กขั้วเดียว**
สมการของแมกซ์เวลล์กล่าวว่ามีประจุไฟฟ้า แต่ไม่มีประจุแม่เหล็ก (เรียกอีกอย่างว่า แม่เหล็กขั้วเดียว) ในจักรวาล ซึ่งอันที่จริง ก็ไม่เคยมีการสังเกตเห็นประจุแม่เหล็กเลย แม้จะมีการค้นหาอย่างกว้างขวาง และอาจจะไม่มีอยู่จริงด้วยซ้ำ แต่หากมีอยู่จริง กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ก็จะต้องได้รับการปรับเปลี่ยน และผลลัพธ์ที่เป็นสมการทั้งสี่ที่ก็จะสมมาตรอย่างสมบูรณ์ภายใต้การแลกเปลี่ยนของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก 273–275

**อ้างอิง**

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.-  The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 18: The Maxwell Equations- Wikiversity Page on Maxwell's Equations

หมวดหมู่:อิเล็กโทรไดนามิกส์
หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:แม่เหล็กไฟฟ้า