ตะแกรงกำลังสอง

ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง (quadratic sieve algorithm: QS) เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มให้อยู่ในรูปของผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะซึ่งยังเป็นสิ่งที่น่าสนใจเนื่องจากมีการนำไปใช้ในการเข้ารหัส (โดยถ้าใช้บางขั้นตอนวิธีอาจจะต้องใช้เวลามากกว่าอายุของจักรวาลเสียอีก) Carl Pomerance เป็นผู้ค้นพบขั้นตอนวิธีนี้ในปี ค.ศ. 1981 จากการปรับขั้นตอนวิธีตะแกรงเชิงเส้นของชโรโพล (Schroeppel's linear sieve) ซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาเดียวกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วที่สุดสำหรับจำนวนเต็มที่มีจำนวนหลักน้อยกว่าเท่ากับ 100 หลัก แต่ในกรณีถัวเฉลี่ยของจำนวนเต็มใด ๆ นั้นจะพบว่า ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วเป็นอันดับสองรองจากตะแกรงของเขตข้อมูลจำนวนเต็มทั่วไป (general number field sieve) ซึ่งจะพบว่าขั้นตอนวิธีแบบตะแกรงกำลังสองนั้นสามารถเข้าใจได้ง่าย เวลาที่ใช้ในการคำนวณนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของจำนวนเต็มที่จะนำมาแยกตัวประกอบ โดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างและคุณสมบัติของตัวเลขมากนัก

**จุดประสงค์**
จากดังกล่าวจะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองนั้นเป็นขั้นตอนวิธีที่พยายามใช้พื้นฐานของขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod n) ซึ่งขั้นตอนวิธีดังกล่าวได้ถูกนำไปในใช้ในการแก้ปัญหาการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มหลากหลายขั้นตอนวิธี รวมถึงขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองเอง โดยเราจะพิจารณาแบ่งขั้นตอนวิธีนี้ออกเป็นสองส่วนคือ การเก็บสะสมข้อมูล (data collection) ซึ่งจะเก็บข้อมูลที่มีโอกาสทำให้เกิดการคอนกรูเอ็นกำลังสองเพื่อเตรียมไปประมวลผล หลังจากนั้นพิจารณาทำให้ส่วนที่สองที่เป็นการนำข้อมูลมาประมวลผล (data processing) ซึ่งจะนำข้อมูลที่เก็บมาใส่เมทริกซ์แล้วพิจารณาคำนวณค่าเพื่อหาคำตอบ จนกระทั่งพบการเกิดคอนกรูเอ็นกำลังสองจริง ๆ ในส่วนแรกนั้นเราสามารถทำได้โดยใช้ระบบคู่ขนานของระบบประมวลผลของคอมพิวเตอร์ แต่ในส่วนที่สองนั้นจะต้องไปยุ่งเกี่ยวกับหน่วยความจำเนื่องจากต้องจองพื้นที่สำหรับการสร้างเมทริกซ์ ซึ่งอาจจะต้องใช้ ขั้นตอนวิธีกล่องวีดด์แมนน์ (block Wiedemann algorithm) เข้าช่วยในการทำให้การทำงานส่วนที่สองมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นในการระบบสามารถที่จะเก็บเมทริกซ์ได้
จะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังสองนั้นมีการดัดแปลงมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของดิกสัน
โดยเวลาในการรันสำหรับขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม n ใด คือ

ในสัญลักษณ์ของ L (L-notation) 
โดย e คือค่าที่นิยมใช้เป็นฐานของลอการิทึม

**แนวความคิดหลัก**
ขั้นตอนวิธีดังกล่าวมีแนวความคิดมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ (Fermat's factorization method) โดยพิจารณาจาก ทฤษฎีบทที่ว่าถ้าพิจารณาให้ n เป็นจำนวนคี่แล้วจะได้ว่ามี a b ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ :N = a2 - b2 ซึ่งเมื่อพิจารณาให้ x mod y คือ เศษที่ได้จากการหาร x ด้วย y นั่นคือเราเพียงพอที่จะหา a ที่ทำให้ a2 mod n ให้มีค่าเป็น b2 เพื่อที่จะแยกตัวประกอบของ  n โดยอาศัยค่าที่ได้จาก a, bและ n ที่ได้มาจากดังกล่าว แต่เนื่องจากการหาค่า a นั้นเป็นเรื่องที่ยากมากโดยเฉพาะสำหรับในกรณีที่จำนวนเต็มที่ต้องการแยกตัวประกอบมีขนาดใหญ่มาก ซึ่งขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองจะพิจารณาปรับปรุงในส่วนดังกล่าว โดยจะพิจารณาจากการคำนวณ ในหลาย ๆ ค่าของ a จากนั้นจะพิจารณาเลือกกลุ่มของ a ที่ทำให้ผลคูณของในแต่ละ a สามารถอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง
ยกตัวอย่างเช่น 412 mod 1649 = 32, 422 mod 1649 = 115, และ 432 mod 1649 คือ 200 ซึ่งจะพบว่าการหาเศษที่ได้ทั้ง 4 ค่าของ a นั้นไม่อยู่ในรูปกำลังของจำนวนเต็ม แต่เมื่อพิจารณาจากผลคูณของ (32) (200) = 6400 = 802, and mod 1649,  (32) (200) = (412) (432) = ((41) (43)) 2 จะพบว่าอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง นั่นคือจะได้ว่า 1142 ≡ 802 (mod 1649) ซึ่งเมื่อจะพิจารณาขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ n จากค่า a, b ที่ได้นั้นสามารถทำได้โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ถ้ามี a, b ที่เป็นจำนวนมีซึ่ง a และ a2=b2 mod n นั่นคือจะได้ว่า GCD (a+b, n) และ GCD (a-b,n) เป็นตัวประกอบของ ซึ่งสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ในเรื่องของ คอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod n)
ซึ่งจากดังกล่าวก็มาถึงปัญหาที่ว่าถ้าให้ set ของจำนวนเต็มมาหนึ่งจำนวน จะทราบได้อย่างไรว่าผลคูณของตัวเลขใน set เหล่านั้น จะมีบางกลุ่มที่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มได้ ซึ่งจากดังกล่าวจะอาศัยการเขียนอยู่ในรูปแบบของ เวกเตอร์หรือที่เรียกกันว่าเวกเตอร์ชี้กำลัง exponent vector ยกตัวอย่างเช่น ในการแยกตัวประกอบของจำรวนเต็มที่ทำให้อยู่ในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะของ 504 คือ 23325071 นั่นคือสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ชี้กำลัง (exponent vector) (3,2,0,1) ซึ่งเป็นค่าของเลขชี้กำลังของ 2, 3, 5, 7 ตามลำดับ ในกรณีของ 490 ก็สามารถเขียนได้ในทำนองเดียวกันโดยสามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ชี้กำลังได้เป็น (1,0,1,2) โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันของ (504) (490) ก็เปรียบเสมือนการนำค่าในเวกเตอร์ชี้กำลังมาบวกกันในแต่ละสมาชิกที่มีดัชนีตรงกัน ซึ่งจะบวกได้เป็น (4,2,1,3) ทั้งนี้มาจากทฤษฎีบทที่ว่า am + n = aman
จากดังกล่าวชัดเจนว่าเมื่อตัวเลขในเวกเตอร์ชี้กำลังของจำนวนๆหนึ่งนั้นเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดนั่นคือจะได้ว่าจำนวนดังกล่าวสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของกำลังสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเรานำเวกเตอร์ (3,0,0,1) มาบวกกับเวกเตอร์ (1,2,0,1) ได้เป็นเวกเตอร์ (4,2,0,2) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด โดยจะมีค่าเป็น (56) (126) ซึ่งเป็นค่ายกกำลังสองของจำนวนเต็ม นั่นคือการที่จะพิจารณาว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มรึเปล่านั้นสามารถพิจารณาได้ง่ายจากการพิจารณาความเป็นคู่/คี่ของเวกเตอร์ชี้กำลัง ซึ่งเราสามารถนำสมาชิกในแต่ละตัวของเวกเตอร์ชี้กำลังมาหารด้วยสองแล้วเปลี่ยนค่าสมาชิกก่อนที่จะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาบวก ซึ่งเมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ ในรูปแบบดังกล่าว แล้วนำเวกเตอร์ผลลัพธ์มาทำในทำนองเดียวกันจะพบว่าจะอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์เมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์นั่นเองตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่แล้วเราสามารถทำได้ในรูปแบบดังกล่าวและบวกกันได้เป็น (1,0,0,1) + (1,0,0,1) = (0,0,0,0) ซึ่งในการบวก vector นั้นเราเพียงพอที่จะทำได้ง่ายโดยการนำมาทำการ XOR กันแบบบิตต่อบิตที่ดัชนีตรงกัน
จากดังกล่าวจะเห็นได้ชัดว่าปัญหาได้เล็กลง โดยพิจารณาปัญหาที่ว่าให้เซ็ตของเวกเตอร์ชี้กำลังที่อยู่ในรูป 0/1 เราจะหาเซ็ตย่อยที่สามารถบวกกันได้เป็นเวกเตอร์ศูนย์ได้อย่างไร จากดังกล่าวเราจะพิจารณาใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นนั่นคือการพิจารณาจาก ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์นั่นเอง กล่าวคือจะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาใส่ในแต่ละแถวของเมทริกซ์จากนั้นใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) ซึ่งจะสามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้นเนื่องจากเป็นเวกเตอร์ที่ถูกนำมาสมาชิกหารด้วยสองแล้วพิจารณาเพียงแค่เศษ ซึ่งจะพิจารณาได้เซตย่อยที่เป็นคำตอบในกรณีที่เวกเตอร์ภายในเซตย่อยเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
อย่างไรก็ตาม จะพบว่าเลขสุ่มบางเลขเมื่อพิจารณาเศษที่ได้จากการหารด้วย n ตามขั้นตอนก่อนหน้านี้ จะพบว่าอาจจะมีขนาดใหญ่มากและส่งผลให้เมื่อแยกตัวประกอบดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนมากซึ่งส่งผลโดยตรงทำให้เวกเตอร์ที่ได้มีขนาดยาวและเมทริกซ์ที่จะใช้ในการหาความเป็นอิสระเชิงเส้นนั้นมีขนาดใหญ่ ซึ่งการแก้ปัญหาดังกล่าวคือ ต้องหาค่า a ที่ทำให้ a2 mod n สามารถแยกตัวประกอบแล้วได้จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนน้อย ซึ่งภายหลังจะเรียกว่าจำนวนนุ่มนวล (Smooth Numbers) ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์ชี้กำลังและเมทริกซ์มีขนาดเล็กลงแม้จะยากในการหาจำนวนดังกล่าวก็ตาม ซึ่งจากดังกล่าวเราจะหาจำนวนนุ่มนวลดังกล่าวโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการร่อนตะแกรง (sieving นั่นเอง) ซึ่งจะพิจารณากันต่อไป

**ขั้นตอนวิธี**
จากที่ได้กล่าวไปแล้วในก่อนหน้านี้เราจะสรุปได้เป็นขั้นตอนดังต่อไปนี้
# เลือกค่าที่นุ่มนวลที่สุด B (เกี่ยวข้องกับจำนวนนุ่มนวล Smooth Numbers) เพื่อพิจารณานำมาเป็นขอบเขต โดย π (B) หมายถึงจำนวนของจำนวนเฉพาะ (ที่ได้จากการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม) มีค่าน้อยกว่า B ซึ่งจำนวนดังกล่าวจะส่งผลโดยตรงต่อขนาดและจำนวนของเวกเตอร์ชี้กำลัง
# จากนั้นทำการร่อนตะแกรงเพื่อหา ai จำนวนทั้งหมด π (B)  + 1 ตัวเลขซึ่ง bi= (ai2 mod n เป็นจำนวนนุ่มนวลขนาด B (B-smooth)
# พิจารณาแยกตัวประกอบสำหรับแต่ละ bi แล้วนำมาทำเป็นเวกเตอร์ชี้กำลัง mod 2
# นำพีชคณิตเชิงเส้นมาใช้ในการพิจารณาเกี่ยวกับเซตย่อยของเวกเตอร์ที่ได้มาจากจำนวนที่มาจากการ่อนตะแกรง ว่าเมื่อนำเวกเตอร์เหล่านั้นมาบวกกันแล้วจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์หรือไม่ตามที่ได้กล่าวไว้แล้วในก่อนหน้านี้  จากนั้นเมื่อพบเซตย่อยที่ทำให้ได้รับคำตอบในส่วนดังกล่าวก็จะนำ ai มาพิจารณาคูณกันทั้งหมดแล้วนำมาพิจารณาหาค่าเศษที่ได้จากการหารด้วย n โดยให้ค่าดังกล่าวเป็น a และพิจารณาในทำนองเดียวกับ bi ซึ่งจะพบว่าผลคูณยังคงอยู่ในรูปของจำนวนนุ่มนวลขนาด B
# จากก่อนหน้านี้เราจะพบว่าเราจะได้สมการคอนกรูเอนซ์ a2=b2 mod n จากนั้นเราจะพิจาณาหาค่าของ a, b 
# จากสมการคอนกรูเอนซ์ก่อนหน้านี้เราสามารถที่จะแปลงสมการดังกล่าวได้เป็น  นั่นคือเราจะพิจารณาคำนวณค่า หรม. ของผลต่างหรือผลรวมของ a, b กับ n ซึ่งค่า หรม. ดังกล่าวจะเป็นตัวประกอบหนึ่งของ n นั่นเอง ซึ่งอาจจะเกิดปัญหาในกรณีที่ หรม. ที่หามาได้นั้นมีค่าเป็น n หรือ 1 ซึ่งก็จะต้องพิจารณาหาเลือกเซตย่อยเพื่อหาค่า a ค่าอื่นแทน 
ซึ่งในส่วนที่เหลือของบทความดังกล่าวจะกล่าวถึงรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมจากขั้นตอนวิธีดังกล่าวก่อนหน้านี้

**การใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์**
ในขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังนั้นจะอาศัยการหาคู่ตัวเลขของจำนวนเต็มระหว่าง x และ y (x)  ซึ่ง y (x)  คือฟังก์ชันของ x โดยจะเลือกเซตของจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า ฐานตัวประกอบ (factor base) ซึ่งจะหาค่า x ซึ่งคือเศษของน้อยสุดและเป็นบวกที่ทำให้ y (x)  = x2 mod n มีตัวประกอบทั้งหมดมาจากฐานตัวประกอบ ซึ่งจะเรียก x ตัวนั้นว่า นุ่มนวล (smooth) กับ ฐานตัวประกอบเหล่านั้น
โดยจากดังกล่าวขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองได้เพิ่มความเร็วโดยอาศัยหลักการที่จะหาความสัมพันธ์โดยการพิจารณาทำให้ x ที่มีค่าเข้าใกล้รากที่สองของ n ซึ่งทำให้มั่นใจได้มากขึ้นว่า y (x)  จะมีค่าเล็กขึ้น และเพิ่มโอกาสที่จะทำให้นุ่มนวลมากขึ้นด้วย


จากดังกล่าวจะเห็นว่าค่า y ว่ามีค่าประมาณ 2x√n อย่างไรก็ตามก็แดงให้เห็นว่าอัตราการเติบโตของ y นั้นเป็นเชิงเส้นกับ x เท่าของรากที่สองของ n
นอกจากนี้ยังจะพบว่ายังมีวิธีอื่นที่จะเพิ่มความนุ่มนวลเช่นกัน ซึ่งทำได้ง่ายโดยการเพิ่มขนาดของฐานตัวประกอบนั่นเองแต่ถึงอย่างไรนั้น ก็ยังเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องหาความสัมพันธ์ที่นุ่มนวลอย่างน้อยมากกว่าจำนวนฐานของตัวประกอบอยู่ดีเพื่อให้มั่นใจได้ว่ายังมีโอกาสที่จะเกิดอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ชี้กำลัง

**ความสัมพันธ์เมื่อทำไปแล้วเพียงบางส่วน (Partial relation) และวงวน (Cycles)**
จากดังกล่าวเราจะพบว่าบางครั้ง y (x)  นั้นอาจจะไม่นุ่มนวลแต่ก็สามารถจะรวมความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนย่อย (partial relations) เหล่านั้นเข้าด้วยกัน เช่น ถ้า y สองค่าเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่เหมือนกันที่อยู่นอกเหนือจากฐานตัวประกอบ (แต่เท่ากับ ฐานตัวประกอบเมื่อถูกขยายแล้ว) ยกตัวอย่างเช่นมี ฐานตัวประกอบเป็น {2, 3, 5, 7} และ n = 91 เราจะได้ความสัมพันธ์ในส่วนย่อยดังนี้


โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันจะได้ดังต่อไปนี้

จากนั้นพิจารณาการคูณทั้งสองข้างด้วย (11−1) 2 modulo 91และจาก 11−1 modulo 91 มีค่าเป็น 58 ดังนั้น


โดยในการสร้างความสัมพันธ์แบบเต็มรูปแบบในแต่ความสัมพันธ์ที่เต็มรูปแบบจะถูกเรียกว่าวงวน (cycle)

**การร่อนตะแกรง**
พิจารณากระบวนการต่อไปนี้




ซึ่งจะเห็นได้ว่าได้ว่าเมื่อ y(x) ≡ 0 (mod p) สำหรับ x ใด ๆ ที่ได้คำตอบจะพบว่า y ที่สอดคล้องกับค่าดังกล่าวนั้นจะหารด้วย p ลงตัวและจากดังกล่าวปัญหาที่เราทำคือการหารากที่สองของการมอดุลโลจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะพบว่ามีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพในการกระทำดังกล่าว เช่น ขั้นตอนวิธีของแชงค์และโทเนลลี่ (Shanks– Tonelli algorithm) เป็นต้น
โดยในการร่อนตะแกรงนั้นจะเริ่มด้วยการให้ทุก ๆ สมาชิกในอาเรย์ A เป็นค่า 0 และสำหรับในแต่ละ p ของฐานตัวประกอบก็จะถูกนำมาแก้สมการกำลังสองมอดุลโล p ซึ่งจะให้คำตอบสองค่าคือ α และ β จากนั้นก็จะให้ค่าประมาณ log(p) ให้กับสมาชิกที่มี y(x) = 0 mod p ซึ่งก็จะอยู่ในรูปแบบ Akp + α และ Akp + β นั่นเอง

**ตัวอย่าง== 
จากดังกล่าวเราจะอธิบายตัวอย่างพื้นฐานของการประยุกต์ใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง ในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม ซึ่งเรายกตัวอย่างตัวเลขที่มีขนาดเล็กก่อนกล่าวคือสามารถแก้ปัญหาได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้การลดรูปด้วยการลดรูปแบบลอการึทึมหรืออื่น ๆ (logarithm optimization or prime powers) โดยตัวเลขจะนำมาแยกตัวประกอบคือ N = 15347 ซึ่งจะพบว่าค่าจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของจำนวนดังกล่าวคือ 124 และเนื่องจาก N มีค่าเล็กมาก จึงเพียงพอที่ใช้พหุนามในการหาคำตอบ ซึ่งจะใช้สมการกำลังสองดังกล่าวคือ y(x) = (x + 124)2 − 15347

**การนำข้อมูลมาประมวลผล (Data processing)**
เนื่องจาก N มีขนาดเล็กจึงเพียงพอที่จะใช้จำนวนเฉพาะเพียงแค่ 4 ตัวเพื่อเป็นฐานตัวประกอบ โดยจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรกที่  ยังคงหาค่าได้คือ ซึ่งจำนวน 2, 17, 23, 29 เฉพาะดังกล่าวจะใช้ในการร่อนตะแกรงเพื่อหาตัวประกอบนั่นเอง
เริ่มต้นด้วยการสร้างตะแกรงชื่อว่า  ของ
โดยเริ่มการร่อนตะแกรงสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะทั้ง 4 ตัวที่ได้มา โดยเลือกที่จะร่อนตะแกรงตัวเลข 0 ≤ X  2 จะได้ค่าของคำตอบเชิงเส้นจำนวน 2 คำตอบ ซึ่งสอดคล้องกับการใช้รากที่ 2 นั่นเอง
ในแต่ละสมการ  คำตอบใน  จะหารด้วย p ลงตัวเมื่อ x = a สำหรับแต่ละพหุคูณของ p นั่นคือเมื่อเราพิจาณาหารค่าสมาชิกใน V ที่ตำแหน่ง a, a+p, a+2p, a+3p,... สำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะที่เป็นฐานตัวประกอบเพื่อค้นหาจำนวนนุ่มนวลในคุณสมบัติที่ว่ามันต้องพบแต่ละจำนวนเฉพาะดังกล่าวไม่เกิน 1 ครั้งเท่านั้น
 
ซึ่งจากดังกล่าวดังนั้นเราจะพิจารณาเลือกสมาชิกใน V  ที่มีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งสอดคล้องกับการเป็นจำนวนนุ่มนวล จากตัวอย่างจะพบสามค่าบางส่วนที่มีคุณสมบัติดังกล่าว ได้แก่ , , and  ซึ่งมีค่าเป็น 1 ซึ่งจะสามารถทำเป็นตารางอธิบายได้ดังนี้   

**การนำข้อมูลมาประมวลผลผ่านเมทริกซ์ (Matrix processing)**
เนื่องจากคุณสมบัติของ Smooth Number จึงสามารแก้ไขปัญหาได้ด้วยการใช้คุณสมบัติที่ว่า 
โดยเริ่มต้นในส่วนนี้เราจะเขียนค่าในเซตย่อยที่เราเลือกมาจากขั้นตอนที่แล้วมาเขียนรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เราพิจารณาใช้เป็นฐานตัวประกอบ ซึ่งจะได้ดังต่อไปนี้
 
จากนั้นพิจาณาเขียนในรูปเวกเตอร์ชี้กำลังตามที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้เพื่อที่จะนำมาใส่เมทริกซ์เพื่อพิจารณาแก้ปัญหาดังต่อไปนี้
 
ซึ่งจะพบว่าเราจะได้เมทริกซ์ S ดังกล่าวเป็น
 
นั่นคือจะได้ว่าผลคูณของค่าสามค่าในเซตย่อยดังกล่าวสามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสอง (mod N) ได้ กล่าวคือ
 
และ
 
ซึ่งจากดังกล่าวเมื่อพิจารณาคูณทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์จะได้ว่า
 
ซึ่งจะได้ว่า GCD(3070860 - 22678, 15347) = 103 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 15347 และจะได้ตัวประกอบที่เหลือของ 15347 คือ 149

**รหัสเทียม**
จากดังกล่าวจะพิจารณาอ้างอิงถึงรหัสเทียมที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหาตะแกรงกำลังสองดังต่อไปนี้
ซึ่งง่ายต่อการเข้าใจและอยากให้ผู้อ่านไปศึกษาเพิ่มเติมด้วยตัวเอง
ขั้นตอนวิธีที่ 1 วิธีการของตะแกรงของเอราโตสเทเนส (The Sieve of Eratosthenes)
for i∈2,B do
ai is unmarked
end for
for i ∈ 2,p do
if i is unmarked then
for each multiple j of i ∈ i + 1,√B
Mark aj
end for
end if
end for
return All unmarked ai
ขั้นตอนวิธีที่ 2 การตรวจสอบว่า N เป็นจำนวนนุ่มนวลขนาด B หรือไม่ โดยพิจารณาให้ PB เป็นเซ็ตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า B
for i∈PB do
while N mod i = 0 do
N ← N mod i
end while
end for
if N = 1 then
return Is Smooth
else
return Not Smooth
end if
ขั้นตอนวิธีที่ 3 เป็นการลบค่าของ p ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดออกจาก N
//FactorOut(N,p)
while N mod p = 0 do
N ← N mod p
end while
return N
ขั้นตอนที่ 4 การร่อนตะแกรง
B ← L(n)½
pB ← SieveOfEratosthenes(B)
for p ∈ pB do
z ← N(p-1)/2 mod p
if z = 1 then
F ← F ∪ {p}
end if
end for
ให้ I ประกอบไปด้วยช่วง a, b ขนาดใหญ่ หนึ่งช่วงสำหรับแต่ละระบบประมวลผล 
for a, b ∈ I do
for x ∈ a, b do
Rx - a ← x2 - N
end for
for p ∈ F do
หาค่า s ซึ่งทำให้ s2= N mod p
x ← a/pp
while x - s ≤ b do
if a 2 - N  แทน x2 - N และเนื่องด้วยการลดปัญหาโดยใช้วิธีดังกล่าวทำให้เราสามารถแบ่งการแยกตัวประกอบผ่านเครือข่ายขนาดใหญ่ของคอมพิวเตอร์โดยใช้สมการพหุนามแค่สมการเดียว

**การใช้งาน**
  C Quadratic Sieve – การใช้งานในสาธารณสมบัติของอัลกอริทึมตะแกรงกำลังสองที่เขียนด้วยภาษา C เผยแพร่ในปี 2022 รองรับการแยกตัวประกอบแบบกลุ่มของตัวเลขสูงสุด 330 บิต และสามารถส่งออกผลลัพธ์ในรูปแบบ JSON หรือ CSV

**อ้างอิง**
 cite book|author = Richard Crandall and Carl Pomerance | year = 2001 | title = Prime Numbers: A Computational Perspective |url = https://archive.org/details/primenumberscomp0000cran | publisher = Springer | edition = 1st | isbn = 0-387-94777-9 Section 6.1: The quadratic sieve factorization method, pp. 227-244.

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Reference paper date=2009-08-23  มหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์แบนา-แชมเปญจน์
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม