ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (Fundamental theorem of calculus) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน 
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง  ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ  สามารถหาได้จากการอินทิเกรต  เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน  เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ  ที่จุดขอบของช่วง 
ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

**ภาพโดยทั่วไป**
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า  คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ
ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

**เนื้อหาของทฤษฎีบท**
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสมีสองส่วน

**ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก**
ให้  เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด  และ  เป็นฟังก์ชันบนช่วง  นิยามโดย
       สำหรับทุก 
แล้ว  ต่อเนื่องบน  ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน  แล้ว  หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน  และ  สำหรับทุก  ในช่วง 

**ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง**
ให้  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด   ถ้า  หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด  แล้ว
 
สำหรับทุก 

**บทพิสูจน์**

**ส่วนที่ 1**
กำหนดให้

ให้ x1 และ x1 + Δx อยู่ในช่วง a, b จะได้

และ

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

เราสามารถแสดงได้ว่า

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)
ย้ายข้างสมการได้

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง x1, x1 + Δx ที่ทำให้

แทนค่าลงใน (2) ได้

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x1
ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x1

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง x1, x1 + Δx ดังนั้น x1 ≤ c ≤ x1 + Δx
จาก  และ 
ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

แทนค่าลงใน (3) จะได้

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

จบการพิสูจน์
(Leithold et al, 1996)

**ส่วนที่ 2**
ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง a, b และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

ให้  จะได้

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

เขียนใหม่เป็น

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง a, b และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้ 

และจะได้

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง a, b ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง xi-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

แทนค่าลงใน (1) จะได้

จาก 
และ  สามารถเขียนในรูป  ของผลแบ่งกั้น 

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า  ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ  หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม  รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ  มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง
โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์
ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ 
Δ
ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึง อินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

จบการพิสูจน์

**ตัวอย่าง**
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

ให้  เราจะได้  เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

ถ้าเราต้องการหา
จะได้ 

**นัยทั่วไป**
เราไม่จำเป็นต้องให้  ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า  เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง  และ  เป็นจำนวนในช่วง  ซึ่ง  ต่อเนื่องที่  จะได้

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ  และ  เราสามารถคลายเงื่อนไขของ  เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน  นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ  จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก
ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน  ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์  (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)
ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้  เป็นเซตเปิดใน  และ  เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ  ใน  ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง  ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์

**อ้างอิง**
 Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.- Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.- Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
หมวดหมู่:แคลคูลัส
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์