1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

กราฟแสดงผลรวมจำกัดพจน์ 15,000 ค่าแรกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …
ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + ··· เป็นอนุกรมอนันต์ที่แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน ผลรวม m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ผลรวมได้ในรูป
 
อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาลิมิตที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มีปฏิทรรศน์จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้
 
เป็นเวลานานกว่าจะมีคำอธิบายอย่างชัดเจนถึงสมการดังกล่าว ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2433 แอร์เนสโต เชซะโร, เอมีล บอแรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีการนิยามผลรวมของอนุกรมลู่ออกทั่วไป วิธีเหล่านั้นจำนวนมากต่างได้นิยามค่า 1 − 2 + 3 − 4 + … ให้ "เท่ากับ" 1/4 ผลรวมเซซาโรเป็นหนึ่งในวิธีการที่ไม่สามารถนิยามค่าของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ อนุกรมนี้จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ต้องใช้วิธีการที่แรงกว่าเพื่อนิยามค่า เช่น ผลรวมอาเบล
อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของอนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาบาเซิล ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

**คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์**
ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีชุดของกฎที่สอดคล้องกับตัวมันเองแล้ว เราจะสามารถใช้งานกฎเหล่านั้นได้ แม้ตามนิยามของคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อาจไม่สามารถอธิบายให้ 1 – 2 + 3 – 4 + ... เท่ากับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ยังมีอีกหลายวิธีที่จะนิยามคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ซึ่งไม่ขัดกับสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/4
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
+ 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
**1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

**การลู่ออกของอนุกรม**
แต่ละพจน์ของอนุกรม (1, −2, 3, −4, ...) ไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ จากการทดสอบพจน์จึงสรุปได้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ลู่ออก นอกจากนี้ ยังสามารถสังเกตการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมนี้ได้จากลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ของอนุกรม ดังต่อไปนี้
 1 = 1,
 1 − 2 = −1,
 1 − 2 + 3 = 2,
 1 − 2 + 3 − 4 = −2,
 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
 …
ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ (และจะรวมศูนย์ด้วยหากนับผลรวมว่าง) ลำดับดังกล่าวจึงแสดงให้เห็นว่าเซต  ของจำนวนเต็มเป็นเซตนับได้ เห็นได้ชัดว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก

**การหาผลรวมของอนุกรม**

**ความเสถียรและความเป็นเชิงเส้น**
แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ 1=s = 1 − 2 + 3 − 4 + … สำหรับบางจำนวน s เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = 4 ได้ดังนี้
 
ไฟล์:Pm1234 linearity.png|thumb|แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 4 โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....
จึงได้ว่า  ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา
ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ  ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ 4 เสมอ นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ
 
ซึ่ง  ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = 2

**ผลคูณโคชี**
ใน พ.ศ. 2434 แอร์เนสโต เชซะโร ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากในแคลคูลัส เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ 1= (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ 4" สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …
นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σan = Σbn = Σ (−1) n เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้
 
ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ

ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ 2 จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ 4 เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี
วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)

**วิธีต่าง ๆ ในการหาผลรวม**
มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

**เซซาโรและเฮิลเดอร์**
ไฟล์:Pm1234 means.svg|thumb|กราฟแสดงผลรวม (H, 2) ของอนุกรม ซึ่งมีค่าเท่ากับ 4
การหาผลรวมเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่
 1, −1, 2, −2, 3, −3, …
ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, …
ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้
มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป  วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ 2 ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ 2 นั่นคือ 4 ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ 4
อักษร "H" มาจากชื่อของ ออทโท เฮิลเดอร์ ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างผลรวมอาเบลและผลรวม (H, n) ในปี พ.ศ. 2425 โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้ การที่ 4 เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน
อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, n) ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, n) และ (H, n) จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี พ.ศ. 2430 เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, n) จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2433 พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, m) และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, n) จะหาผลรวมได้แบบ (C, m + n + 1)

**ผลรวมอาเบล**
กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x2+…; 1/(1 + x) 2 และลิมิตที่ 1
จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:
ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับผลรวมอาเบล:
สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ |x| 2 − .... นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว
ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … ไม่นิยามเป็นฟังก์ชันเมื่อ x = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า x = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก nowrap
0
จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa0 การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย
 
จึงกล่าวได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาผลรวมแบบออยเลอร์ได้ ซึ่งเท่ากับ 4
ผลรวมออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลรวมของอนุกรมในวิธีอื่น เริ่มจากการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ในรูป
 
เราจะได้อนุกรมที่ลู่เข้าทุกจุด
 
ผลรวมบอแรลของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... จึงมีค่าเท่ากับ
 

**การแยกสเกล**
ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 4 โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์เรื่องการคลายตัวในปริมาณเล็กน้อย (infinitesimal relaxation)  และการแยกสเกล (separation of scales)  หลักการเหล่านี้ได้นำไปสู่นิยามของกลุ่มของ "วิธีการหาผลรวมแบบ φ" ซึ่งวิธีการทั้งหมดหาผลรวมของอนุกรมนี้ได้เท่ากับ 4- ถ้า φ (x) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองได้ในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ (0) = 1 และลิมิตของ φ (x) และ xφ (x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้วจะได้ว่า
: 
ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นรูปทั่วไปของผลรวมอาเบล ซึ่งเกิดจากการให้ φ (x) = exp (−x) ผลลัพธ์ในรูปทั่วไปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการจับคู่พจน์ในอนุกรมและแปลงนิพจน์ให้เป็นอินทิกรัลแบบรีมันน์ การพิสูจน์อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... ด้วยวิธีเดียวกันอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการพิสูจน์ แต่สำหรับอนุกรมนี้ต้องอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบลากร็องฌ์

**รูปทั่วไป**
ตัดมาจากหน้า 233 ของ E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum ซึ่งออยเลอร์ได้หาผลรวมอนุกรมที่คล้ายคลึงกันใน พ.ศ. 2298
ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลรวมอาเบลและผลรวมออยเลอร์เป็น 8 ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนทรงสี่หน้า โดยมีผลรวมอาเบลเป็น 16
รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคืออนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n อนุกรมดังกล่าวจะสามารถหาผลรวมอาเบลได้ดังนี้:
 
เมื่อ Bn เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ n = 2k ผลรวมจะสามารถลดรูปได้เป็น
 
ผลรวมสุดท้ายนั้นได้ถูกกล่าวถึงในเชิงขบขันโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469:
อาจารย์ของเชซะโร เออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง เป็นผู้ที่ไม่สนใจในอนุกรมลู่ออกเช่นกัน ด้วยอิทธิพลของกาตาล็อง ในตอนแรกเชซะโรเคยเรียกสูตรทั่วไปของ 1 − 2n + 3n − 4n + ... ว่าเป็น "สมการที่น่าขัน" ต่อมาในปี พ.ศ. 2426 เขาได้แสดงความเห็นว่าสูตรนั้นผิดแต่มีประโยชน์ จนในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เชซะโรจึงได้เริ่มศึกษาสูตรดังกล่าวด้วยวิธีสมัยใหม่ และได้ตีพิมพ์เป็นผลงานชื่อ Sur la multiplication des séries ("ว่าด้วยการคูณอนุกรม")
ได้มีการศึกษาอนุกรมนี้สำหรับค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ส่วนหนึ่งของแรงบันดาลใจที่ทำให้ออยเลอร์ศึกษาอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันอีตา ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้มีชื่อเสียงจากการหาค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับจำนวนคู่ (รวมถึงปัญหาบาเซิล) และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน ฟังก์ชันอีตานั้นง่ายกว่าที่จะจัดการด้วยวิธีของออยเลอร์ เนื่องจากลำดับดิริชเลต์ของมันสามารถหาผลรวมอาเบลได้ในทุกจุด ในขณะที่ฟังก์ชันซีตานั้นหาผลรวมได้ยากในจุดที่มันลู่ออก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คืออนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ซึ่งต้องใช้วิธีการที่ยากมากในการหาผลรวม

**ดูเพิ่ม**
 อนุกรมแกรนดี- 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯- ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์- ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

**อ้างอิง**

**บรรณานุกรม**
 isbn = 978-3-319-74647-0 
*isbn= 978-0-521-60047-7
*date=May 1989
*access-date=2007-03-22 Originally published as pages=83–106
*s2cid=119766124 
*url=https://archive.org/details/developmentoffo00ivor 
*no-pp=true 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. 91075377. 0-8284-0334-1.
*citeseerx=10.1.1.639.6923 - isbn = 0486661652
*isbn= 978-0-674-92096-5- location =Delhi, India Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with 474456247. Additionally, 208730, 487226828.
*isbn= 978-0-8176-3924-2- year = 1994
*s2cid=121888821 
*isbn= 978-0-387-00836-3
หมวดหมู่:อนุกรม
หมวดหมู่:ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์