สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างกราฟของสมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ
:
โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x2, y1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

**ตัวอย่าง**
สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น
:
:
:

**รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ**
สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น 
ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ x และ y คือตัวแปร

**รูปแบบทั่วไป**
:
เมื่อ A กับ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุก ๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ −C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ −C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −A/B

**รูปแบบมาตรฐาน**
:
เมื่อ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง A, B, C จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก
เช่น
#2x - 3 = y
#2x - 3y = 14
#-2x + 2y = 10
#6x + 4y = 14
#3x + 2y = 8

**รูปแบบความชันและระยะตัดแกน**
:
เมื่อ m แทนความชันของเส้นตรง และ b คือระยะตัดแกน y ซึ่งเป็นพิกัด y ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน y ถ้าหากให้ค่า x = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ y = b

**รูปแบบจุดและความชัน**
:
เมื่อ m คือความชันของเส้นตรงและ (x1, y1) คือจุดใด ๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน x และแกน y โดยมีจุด (x1, y1) เป็นจุดยืน 
ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้
:
แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก x = x1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย

**รูปแบบระยะตัดแกน**
: 
เมื่อ E และ F ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน x เท่ากับ E และระยะตัดแกน y เท่ากับ F รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ A = 1/E, B = 1/F และ C = 1

**รูปแบบจุดสองจุด**
:
เมื่อ p ≠ h กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (h, k) และจุด (p, q) โดยมีความชันเท่ากับ m = (q − k) / (p − h) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ m

**รูปแบบอิงพารามิเตอร์**
:
รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ t ที่มีความชัน m = V/T โดยมีระยะตัดแกน x อยู่ที่ (VU−WT) / V และระยะตัดแกน y อยู่ที่ (WT−VU) / T
สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ T = p−h, U = h, V = q−k, และ W = k จะได้
:
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ t จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (h, k) ไปยัง 1 ที่จุด (p, q) ค่าของ t ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ t จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

**รูปแบบเส้นแนวฉาก**
:
เมื่อ φ คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ p คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย  และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบมาตรฐานเฮสส์ ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

**กรณีพิเศษ**
:
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 0 และ B = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน m = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน y เท่ากับ F ถ้า F ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน x แต่ถ้า F = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
:
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 1 และ B = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน x เท่ากับ E ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า E ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน y แต่ถ้า E = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน y เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
: และ 
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ xy) ดังตัวอย่าง  นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด
โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น สมการที่ขัดแย้งกัน หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ 

**สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร**
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร n ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
:
ซึ่ง  เป็นสัมประสิทธิ์  คือตัวแปร และ b คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อย ๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่  ด้วยชื่อตัวแปรอื่น ๆ เช่น  ได้ตามต้องการ
สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน n–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น

**ดูเพิ่ม**
 เส้นตรง- สมการกำลังสอง- สมการกำลังสาม- สมการกำลังสี่- สมการกำลังห้า

**แหล่งข้อมูลอื่น**
  Algebraic Equations at EqWorld.
หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:สมการ