ตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้น

ตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้น (Linear Congruential Generators : LCG) เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีที่นิยมใช้งานของตัวสร้างเลขสุ่มเทียม (pseudorandom number generator: PRNG) ซึ่งเป็นการสร้างตัวสุ่มโดยใช้สมการเวียนเกิด (Recurrence Relation) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้
:"Xn+1 = (aXn + c) mod m" โดยที่
::* Xn เป็นลำดับของตัวเลขสุ่ม
::* n คือลำดับของตัวเลขสุ่มซึ่งเป็นจำนวนนับ (n = 0 ถือว่าเป็นค่าเริ่มต้น)
::* m คือตัวที่นำไปหาเศษ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0
::* a คือตัวคูณ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 แต่น้อยกว่า m
::* c คือตัวบวก เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าเท่ากับ 0 แต่น้อยกว่า m
::* X0 คือ ค่าเริ่มต้น (seed) มีค่ามากกว่า 0 แต่น้อยกว่า m
:หมายเหตุ y mod m จะมีค่าเท่ากับเศษที่ได้จากการหาร y ด้วย m ยกตัวอย่างเช่น 13 mod 3 จะมีค่าเท่ากับ 1 เพราะ 13 หาร 3 ไม่ลงตัว แต่เหลือเศษอยู่ 1

**การใช้งาน**
ตัวเลขสุ่มที่ได้จากความสัมพันธ์ข้างต้น คือค่าของ Xn+1 ซึ่งเป็นผลที่ได้มาจากค่าของตัวเลขสุ่มลำดับก่อนหน้า (Xn) แสดงว่าทุกตัวเลขสุ่มที่สุ่มได้ออกมานั้นเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากเลขสุ่มตัวก่อนหน้าเสมอ ดังนั้น X1 คือเลขสุ่มตัวแรกที่ได้ออกมาจากความสัมพันธ์นี้โดยที่มีค่าเริ่มต้นคือ (X0)
จากข้อสังเกตข้างต้นจะสรุปได้ว่าถ้าเริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้นเดียวกัน ลำดับของตัวเลขสุ่มที่มาจาก ความสัมพันธ์นี้ที่มีค่า X0, a, c และ m เป็นตัวเลขชุดเดียวกันจะมีลำดับเหมือนกันเสมอ
ซึ่งถ้าดูจากความสัมพันธ์ Xn+1 = (aXn + c) mod m แล้ว จะเห็นว่าเป็นความสัมพันธ์ที่ทำความข้าใจได้ง่าย ไม่ซับซ้อน และสามารถเขียนรหัสได้ง่ายจึงเป็นนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย

**ขนาดของคาบ**
คาบ (ในที่นี้หมายถึงค่าสูงสุด) ของตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นจะมีค่าได้สูงสุดเกือบเท่ากับ m(ขอเรียกว่า คาบแบบสูง) แต่ก็มีบางส่วนที่มีค่าต่ำกว่านั้นมาก ถ้ากำหนดให้ c เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 แล้ว ตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้น จะมีคาบแบบสูงในทุก ๆ ค่าเริ่มต้น (seed) ก็ต่อเมื่อ
:# c และ m ไม่มีตัวร่วมร่วมกัน
:# ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะทุกตัวของ m จะสามารถหาร a-1 ได้ลงตัว
:# a จะเป็นพหุคูณของ 4 ถ้า m เป็นพหุคูณของ 4 ด้วย
ถึงแม้ว่าตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นจะมีความสามารถในการสร้างตัวเลขสุ่มเทียมได้เป็นอย่างดี แต่ว่ามันก็มีความละเอียดอ่อนมากในการเลือกค่าของ a, c และ m ดังนั้นจึงต้องเลือกค่าต่าง ๆ ดังกล่าวให้ดี เพื่อให้ตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นทำงานได้ดีตามที่ต้องการ

**ตัวอย่างค่าของ a, c และ m ที่ใช้กันทั่วไป**
โดยมาก ค่าของ m ที่ใช้ในการสร้างตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นจะมีค่าเปนค่าที่เป็นค่า 2 ยกกำลังซึ่งส่วนใหญ่เป็นค่า 232 หรือ 264 เพราะสามารถคำนวณผ่านคอมพิวเตอร์ได้โดยการชิฟขวาไป 32 หรือ 64 บิตตามลำดับ
ตารางด้านล่างนี้จะแสดงถึงค่าที่ใช้กันโดยทั่วไป รวมทั้งค่าที่อยู่ในรันไทม์ไลบราลี่ (Runtime Libraries) ของคอมไพเลอร์ต่าง ๆ

**รหัสเทียม**
เนื่องจากตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นนั้นเกิดจากความสัมพันธ์ในรูปแบบที่เข้าใจได้ง่าย ดังนั้นรหัสเทียมที่เขียนจึงมีเพิ่มขึ้นมาเพียงกำหนดค่าให้กับ a, c และ m เท่านั้นซึ่งมีรหัสเทียมดังนี้
//รหัสเทียมในส่วนของตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นที่ใช้ในคลาส Random ในภาษาจาวา

seed = (seed * 0x5DEECE66DL + 0xBL) mod ((1L 48

**ตัวอย่างการใช้งาน**
ดังที่ได้กล่าวในหัวข้อรหัสเทียมแล้ว ตัวสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นใช้ในการทำงานของ เมท้อด next ในคลาส Random ในภาษาจาวา ซึ่งรหัสของเมท้อดดังกล่าวเป็นดังนี้
synchronized protected int next(int bits) {
seed = (seed * 0x5DEECE66DL + 0xBL) & ((1L >> (48 - bits));
}
จะเห็นว่าในบรรทัดที่ 2 ของรหัสเป็นรหัสในส่วนที่ใช้สร้างตัวเลขสุ่มแบบการสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นดังที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อรหัสเทียมแล้ว
ซึ่งไม่ได้มีเพียงภาษาจาวาเท่านั้น ภาษาคอมพิวเตอร์อื่น ๆ ก็นำเอาขั้นตอนวิธีการสร้างความสอดคล้องแบบเชิงเส้นนี้ไปใช้ด้วยเช่นกัน

**อ้างอิง**
 cite journal | author = S.K. Park and K.W. Miller |title=Random Number Generators: Good Ones Are Hard To Find |journal=Communications of the ACM |year=1988 |volume=31 |issue=10 |pages=1192–1201 |url=http://portal.acm.org/citation.cfm?id=63042 |doi=10.1145/63039.63042- D. E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 3.2.1: The Linear Congruential Method, pp. 10–26.- cite journal |author=P. L'Ecuyer |title=Tables of Linear Congruential Generators of Different Sizes and Good Lattice Structure |journal=Mathematics of Computation |volume=68 |issue=225 |pages=249–260 |year=1999 |url=http://citeseer.ist.psu.edu/132363.html |doi=10.1090/S0025-5718-99-00996-5-  url-status=dead 
*Gentle, James E., (2003). Random Number Generation and Monte Carlo Methods, 2nd edition , Springer, ISBN 0-387-00178-6.- cite journal |author=Joan Boyar |title=Inferring sequences produced by pseudo-random number generators |journal=Journal of the ACM |year=1989 |volume=36 |issue=1 |pages=129–141 |url=http://portal.acm.org/citation.cfm?id=59305&dl=ACM&coll=portal |doi=10.1145/58562.59305 (in this paper, efficient algorithms are given for inferring sequences produced by certain pseudo-random number generators).

**แหล่งข้อมูลอื่น**
 http://www.bloggang.com/viewblog.php?id=zkaru&date=04-10-2008&group=3&gblog=4
หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์
หมวดหมู่:ตัวสร้างเลขสุ่มเทียม