ลิมิตของฟังก์ชัน

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin x)/x จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin x)/x มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง
นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน f จะรับค่า x แล้วคืนค่าออกมาคือ f(x) เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะเข้าใกล้ L มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า x ที่เข้าใกล้ค่า p ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ
แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย
แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย

**ประวัติ**

**นิยามเป็นทางการ**

**นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต**
กำหนดให้  เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ  เป็นจำนวนจริงโดยที่  เราจะกล่าวว่าลิมิตของ  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้  คือ  ก็ต่อเมื่อ 
สำหรับทุกค่า  จะมีจำนวนจริง  ที่ทำให้สำหรับทุกค่า  ถ้า  แล้ว  
ถ้าลิมิตของ  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้  คือ  แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น 
เมื่อ  (อ่านว่า " มีค่าเข้าใกล้  เมื่อ  มีค่าเข้าใกล้ ") 
สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ  ที่จุด  ยิ่งไปกว่านั้น  ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้ 

**ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง**
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า:ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x ∈M และ dM(x, p) N(f(x), L)  0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่  0  R;
หรือจะเขียนว่า
ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R  0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0  0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้   S ใดๆ
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน


**ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน**
ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น  จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

**ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง**
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|2, z3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม- ในปริภูมิอิงระยะทาง Ca,b ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง a,b โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

**คุณสมบัติ**
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค
"สำหรับลำดับลู่เข้า (xn) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(xn)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"
ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์ 
หมวดหมู่:แคลคูลัส
ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p)
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)