버거스 방정식

가우스 초기 조건 에서 시작하는 버거스 방정식의 해.
파일:Solution of the Burgers equation - N wave.gif|섬네일|300px|의 초기 조건에서 시작하는 버거스 방정식의 N파 유형 해.
버거스 방정식(Burgers' equation) 또는 베이트먼-버거스 방정식은 다양한 응용수학 분야, 예를 들어 유체역학, 비선형 음향학, 기체 역학 및 교통 흐름에서 나타나는 근본적인 편미분 방정식 및 대류-확산 방정식이다. 이 방정식은 1915년 해리 베이트먼에 의해 처음 소개되었고 나중에 1948년 요하네스 마르티누스 버거스에 의해 연구되었다. 주어진 필드 와 확산 계수 (또는 원래 유체 역학적 문맥에서처럼 동점성 계수) 에 대해 1차원 공간에서 버거스 방정식의 일반 형태 (점성 버거스 방정식으로도 알려져 있음)는 다음과 같은 소산 시스템이다.

항 는 로도 다시 쓸 수 있다. 확산 항이 없을 때 (즉, ), 버거스 방정식은 비점성 버거스 방정식이 된다.

이것은 보존 방정식의 원형으로서 불연속성 ( 충격파 )을 발생시킬 수 있다.
의 작은 값에서 날카로운 경사가 형성되는 이유는 방정식의 좌변을 검토할 때 직관적으로 명확해진다. 항 는 명백히 속도 로 양의  방향으로 전파되는 파동을 설명하는 파동 연산자이다. 파동 속도는 이므로, 의 큰 값을 나타내는 영역은 의 작은 값을 나타내는 영역보다 더 빨리 오른쪽으로 전파될 것이다. 다시 말해, 가 처음에  방향으로 감소하면 뒤쪽에 있는 더 큰 는 앞쪽에 있는 더 작은 를 따라잡을 것이다. 우변의 확산 항의 역할은 본질적으로 경사가 무한대가 되는 것을 막는 것이다.

**비점성 버거스 방정식**
비점성 버거스 방정식은 보존 방정식이며, 더 일반적으로 1차 준선형 쌍곡 방정식이다. 이 방정식의 해와 초기 조건

은 특성곡선법에 의해 구성될 수 있다. 를 - 평면에서 주어진 특성을 특징짓는 매개변수라고 하자. 그러면 특성 방정식은 다음과 같다.

두 번째 방정식을 적분하면 특성을 따라 가 일정하다는 것을 알 수 있으며, 첫 번째 방정식을 적분하면 특성이 직선이라는 것을 알 수 있다.

여기서 는 특성 곡선이 그려지는 x축 ( = 0)의 x-t 평면상의 점 (또는 매개변수)이다. 는 x축에서 초기 조건으로부터 알려져 있으며, 각 점 에서 출발하는 특성을 따라 이동할 때 가 변하지 않는다는 사실 때문에 각 특성에서 로 쓴다. 따라서 에 의해 매개변수화된 특성 궤적의 패밀리는 다음과 같다.

따라서 해는 다음과 같다.

이것은 특성이 교차하지 않는 한 비점성 버거스 방정식의 해를 결정하는 암묵적인 관계이다. 특성이 교차하면 PDE에 대한 고전적인 해는 존재하지 않으며 충격파가 형성된다. 특성이 교차할 수 있는지 여부는 초기 조건에 따라 달라진다. 실제로 충격파가 형성되기 전의 파괴 시간은 다음과 같다.


**비점성 버거스 방정식의 완전 적분**
위에서 설명된 임의 함수 를 포함하는 암묵적인 해는 일반 적분이라고 한다. 그러나 비점성 버거스 방정식은 1차 편미분 방정식이므로 두 개의 임의 상수 (두 개의 독립 변수에 대해)를 포함하는 완전 적분도 갖는다.date=November 2020 수브라마니안 찬드라세카르는 1943년에 완전 적분을 제공했으며, 이는 다음과 같다.

여기서 와 는 임의 상수이다. 완전 적분은 선형 초기 조건, 즉 를 만족한다. 위의 완전 적분을 사용하여 일반 적분도 구성할 수 있다.

**점성 버거스 방정식**
점성 버거스 방정식은 콜-홉프 변환에 의해 선형 방정식으로 변환될 수 있다.

이는 방정식을 다음으로 바꾼다.

이는 에 대해 적분하여 다음을 얻을 수 있다.

여기서 는 시간의 임의 함수이다. 변환  (이는 함수 에 영향을 미치지 않음)를 도입하면 요구되는 방정식은 열 방정식으로 축소된다.

확산 방정식은 풀 수 있다. 즉, 이면 다음과 같다.

초기 함수 는 초기 함수 와 다음과 같이 관련된다.

여기서 하한은 임의로 선택된다. 콜-홉프 변환을 역변환하면 다음과 같다.

이는 로그의 인자에서 시간에 따라 변하는 앞에 붙는 인자를 제거함으로써 간단해진다.

이 해는 에서 0으로 감소하는 의 열 방정식 해로부터 파생되었다. 에 대한 다른 해는 다른 경계 조건을 만족하는 의 해로부터 얻을 수 있다.

**점성 버거스 방정식의 몇 가지 명시적 해**
점성 버거스 방정식의 명시적 표현이 가능하다. 물리적으로 관련된 몇 가지 해는 다음과 같다.

**꾸준히 전파되는 이동 파동**
만약 가 와 를 만족하고 이라면, (일정한 속도 를 가진) 이동 파동 해는 다음과 같다.

1915년 해리 베이트먼에 의해 원래 도출된 이 해bateman는 약한 충격파를 가로지르는 압력 변화를 설명하는 데 사용된다.landau 이고 일 때, 이는 다음과 같이 간단해진다.

이다.

**초기 조건으로 델타 함수**
만약 이고,  (레이놀즈 수라고 하자)가 상수이면 다음과 같다.

극한에서, 극한 거동은 소스의 확산 확산이며 따라서 다음과 같다.

반면에,  극한에서, 해는 앞서 언급된 수브라마니안 찬드라세카르의 비점성 버거스 방정식 충격파 해에 접근하며 다음과 같다.

충격파 위치와 그 속도는 각각  및 에 의해 주어진다.

**N파 해**
N파 해는 압축파 뒤에 희석파가 오는 것으로 구성된다. 이러한 유형의 해는 다음과 같다.

여기서 는 시간 에서의 초기 레이놀즈 수로 간주될 수 있으며,  (여기서 )는 시간에 따라 변하는 레이놀즈 수로 간주될 수 있다.

**다른 형태**

**다차원 버거스 방정식**
2차원 이상에서 버거스 방정식은 다음과 같다.

벡터 필드 에 대해 방정식을 확장할 수도 있다.


**일반화된 버거스 방정식**
일반화된 버거스 방정식은 준선형 대류 항을 더 일반화된 형태로 확장한다.

여기서 는 u에 대한 임의의 함수이다. 비점성  방정식은 일 때 여전히 준선형 쌍곡 방정식이며 그 해는 이전처럼 특성곡선법을 사용하여 구성할 수 있다.

**확률 버거스 방정식**
공간-시간 노이즈  (여기서 는  위너 확률 과정)가 추가되면 확률 버거스 방정식이 형성된다.

이 확률 편미분 방정식은 를 대입했을 때 필드 에서 카르다르-파리시-장 방정식의 1차원 버전이다.

**같이 보기**
 차플리긴 방정식- 보존 방정식- 오일러-트리코미 방정식- 포커르-플랑크 방정식- KdV-버거스 방정식

**각주**

**외부 링크**
  Burgers' Equation (EqWorld: The World of Mathematical Equations).-  Burgers' Equation (NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia).
분류:유체동역학
분류:유체역학 방정식