가우스 구적법

파일:Comparison Gaussquad trapezoidal.svg|thumb|upright=1.5|alt=2점 가우스 구적법과 사다리꼴 구적법의 비교.|2점 가우스 구적법과 사다리꼴 구적법의 비교.
파란색 곡선은 구간 수학|−1, 1에서의 정적분을 계산하려는 함수(피적분함수)를 보여준다. 사다리꼴 공식은 함수의 양 끝점과 일치하는 선형 함수로 함수를 근사하며 주황색 점선으로 표시된다. 근사는 명백히 좋지 않으므로 오차가 크다 (사다리꼴 공식은 인 올바른 값에 대해 적분의 근사값으로 1=y(−1) + y(1) = −10을 제공한다). 더 정확한 결과를 얻으려면 구간을 많은 부분 구간으로 분할한 다음 합성 사다리꼴 공식을 사용해야 하므로 훨씬 더 많은 계산이 필요하다.
가우스 구적법은 대신 더 적합한 점을 선택하므로 선형 함수도 함수를 더 잘 근사한다(검은색 점선). 피적분 함수가 3차 다항식 이므로, 2점 가우스 구적법은 심지어 정확한 결과를 반환한다.
수치해석학에서 카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 n점 가우스 구적법(Gaussian quadrature)은 1=i = 1, ..., n에 대해 노드  및 가중치 를 적절히 선택하여 차수 2n − 1 이하의 다항식에 대해 정확한 결과를 얻도록 구성된 구적법이다.
직교 다항식을 사용한 현대적인 공식은 1826년 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 개발되었다. 이러한 규칙에 대한 가장 일반적인 적분 영역은 수학|−1, 1로 간주되므로 규칙은 다음과 같이 표현된다.
이것은 차수 2n − 1 이하의 다항식에 대해 정확하다. 이 정확한 규칙은 가우스-르장드르 구적법 규칙으로 알려져 있다. 이 구적법 규칙은 f (x)가 수학|−1, 1에서 차수 2n − 1 이하의 다항식으로 잘 근사될 때만 위의 적분에 대한 정확한 근사값이 된다.
가우스-르장드르 구적법 규칙은 일반적으로 끝점 특이점을 가진 적분 가능한 함수에는 사용되지 않는다. 대신 피적분 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다면
여기서 g(x)는 낮은 차수의 다항식으로 잘 근사된다면, 대안적인 노드 와 가중치 가 일반적으로 더 정확한 구적법 규칙을 제공한다. 이것들은 가우스-야코비 구적법 규칙으로 알려져 있다. 즉,
일반적인 가중치로는  (체비쇼프-가우스) 및 이 포함된다. 또한 반무한(가우스-라게르 구적법) 및 무한 구간(가우스-에르미트 구적법)에 대해 적분할 수도 있다.
가우스 구적법 노드와 가중치를 계산하기 위한 핵심 관찰인 구적법 노드 가 직교 다항식 클래스(가중 내적에 대해 직교하는 클래스)에 속하는 다항식의 근이라는 것을 보일 수 있다 (Press 외 또는 Stoer와 Bulirsch 참조).

**가우스-르장드르 구적법 == 
파일:Legendrepolynomials6.svg|thumb|르장드르 다항식 그래프(1=n = 5까지)
위에서 언급한 가장 간단한 적분 문제, 즉 에서 f(x)가 다항식으로 잘 근사되는 경우, 관련 직교 다항식은 Pn(x)로 표기되는 르장드르 다항식이다. n번째 다항식을 1=Pn(1) = 1로 정규화하면, i번째 가우스 노드 xi는 Pn의 i번째 근이며 가중치는 다음 공식으로 주어진다.
일부 저차 구적법 규칙은 아래에 표로 정리되어 있다 (구간 수학|−1, 1에 대한 내용이며, 다른 구간에 대해서는 아래 섹션을 참조).

**구간 변경**
가우스 구적법 규칙을 적용하기 전에 수학|a, b에 대한 적분을 수학|−1, 1에 대한 적분으로 변경해야 한다. 이 구간 변경은 다음과 같이 할 수 있다.
여기서 
점 가우스 구적법  규칙을 적용하면 다음 근사값이 나온다.

**2점 가우스 구적법 규칙 예시**
2점 가우스 구적법 규칙을 사용하여 로켓이 에서 까지 이동한 거리를 다음과 같이 근사한다.
표 1에 주어진 가중치와 절편을 사용할 수 있도록 적분 한계를 변경한다. 또한 절대 상대 오차를 구한다. 실제 값은 11061.34m로 주어진다.
해결
먼저 적분 한계를 에서 로 변경하면
다음으로 표 1에서 2점 규칙에 대한 가중치 인자와 함수 인수 값을 얻는다.
이제 가우스 구적법 공식을 사용할 수 있다.
이유는 다음과 같다.
실제 값이 11061.34m이므로 절대 상대 오차 는 다음과 같다.

**다른 형식**
적분 문제는 피적분 함수에 양의 무게 함수 ω를 도입하고 수학|−1, 1 이외의 구간을 허용함으로써 약간 더 일반적인 방식으로 표현될 수 있다. 즉, 문제는 다음을 계산하는 것이다.
, b, ω를 일부 선택한다. 1=a = −1, 1=b = 1, 1=ω(x) = 1의 경우 문제는 위에서 고려한 것과 동일하다. 다른 선택은 다른 적분 규칙으로 이어진다. 이들 중 일부는 아래에 표로 정리되어 있다. Abramowitz and Stegun (A & S)에 대한 방정식 번호가 주어진다.

**기본 정리**
을 다음과 같은 차수 n의 자명하지 않은 다항식이라고 하자.
위의 모든 직교 다항식에 대해 이것이 참이라는 점에 유의하라. 왜냐하면 각 pn은 jj에 대해 직교하도록 구성되어 있으며, xk는 그 집합의 스팬에 있기 때문이다.
개의 노드 xi를 pn의 근으로 선택하면, 차수 2n − 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 가우스 구적법 계산 적분을 정확하게 만드는 n개의 가중치 wi가 존재한다. 또한 이 모든 노드 xi는 열린 구간 (a, b)에 놓인다.
이 주장의 첫 번째 부분을 증명하기 위해, 차수 2n − 1 이하의 임의의 다항식 h(x)를 취한다. 이를 직교 다항식 pn으로 나누면 다음과 같다.
여기서 q(x)는 차수 n − 1 이하인 몫이며(그 차수와 제수 pn의 차수의 합은 피제수의 차수와 같아야 하므로), r(x)은 나머지이며 역시 차수 n − 1 이하이다(나머지의 차수는 항상 제수의 차수보다 작기 때문). pn은 가정에 따라 차수 n 미만의 모든 단항식에 직교하므로 몫 q(x)에 직교해야 한다. 따라서
나머지 r(x)는 차수 n − 1 이하이므로 라그랑주 다항식 li(x)을 사용하여 n개의 보간점을 사용하여 정확하게 보간할 수 있다. 여기서
다음이 성립한다.
그러면 그것의 적분은 다음과 같다.
여기서 노드 xi와 관련된 가중치 wi는 li(x)의 가중 적분과 같도록 정의된다 (가중치에 대한 다른 공식은 아래 참조). 그러나 모든 xi는 pn의 근이므로 위 나눗셈 공식에 의해 다음이 성립한다.
모든 i에 대해. 따라서 최종적으로 다음을 얻는다.
이는 차수 2n − 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 그 적분이 가우스 구적법 합계로 정확하게 주어진다는 것을 증명한다.
주장의 두 번째 부분을 증명하기 위해, 다항식 pn의 인수 분해된 형태를 고려한다. 임의의 켤레 복소수 근은 실수 전체에 걸쳐 엄격히 양수 또는 엄격히 음수인 이차 인수를 생성한다. 구간 a에서 b 외부의 근에 해당하는 인수는 해당 구간에 걸쳐 부호를 변경하지 않는다. 마지막으로 구간 a에서 b 내부의 근 xi에 해당하는 홀수 차수 인수의 경우, pn에 하나의 인수를 더 곱하여 새로운 다항식을 만든다.
이 다항식은 해당 구간 내의 모든 근이 이제 짝수 차수이므로 구간 a에서 b에 걸쳐 부호를 변경할 수 없다. 따라서 적분은
무게 함수 ω(x)는 항상 음수가 아니기 때문이다. 그러나 pn은 차수 n − 1 이하의 모든 다항식에 직교하므로 곱의 차수는
최소 n이어야 한다. 따라서 pn은 구간 a에서 b에 n개의 서로 다른 실수 근을 가진다.

**가중치에 대한 일반 공식**
가중치는 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 는 에서 의 계수이다. 이를 증명하기 위해 라그랑주 보간을 사용하여 r(x)를 로 표현할 수 있음을 유의하라.
왜냐하면 r(x)는 차수가 n보다 작아서 n개의 다른 점에서 가지는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양변에 ω(x)를 곱하고 a에서 b까지 적분하면
따라서 가중치 wi는 다음과 같이 주어진다.
에 대한 이 적분 표현식은 직교 다항식 와 로 다음과 같이 표현할 수 있다.
다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 은 에서 의 계수이다. L'Hôpital의 정리를 사용하여 x가 로 가는 극한을 취하면
따라서 가중치에 대한 적분 표현식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
적분에서 다음과 같이 쓴다.
다음이 나온다.
인 경우, 왜냐하면
는 차수 k − 1의 다항식이며 에 대해 직교한다. 따라서 q(x)가 최대 n차 다항식이라면 다음이 성립한다.
에 대해 오른쪽 적분을 다음과 같이 평가할 수 있다. 는 차수 n − 1의 다항식이므로
여기서 s(x)는 차수 의 다항식이다. s(x)는 에 대해 직교하므로
그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
괄호 안의 항은 차수 의 다항식이므로 에 대해 직교한다. 따라서 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
방정식 (2)에 따라 가중치는 이것을 로 나누어 얻으며, 이는 방정식 (1)의 표현식을 산출한다.
는 직교 다항식 와 이제 를 사용하여 표현할 수도 있다. 3항 점화식 에서  항은 사라지므로 Eq. (1)의 는 로 대체될 수 있다.

**가중치가 양수라는 증명**
차수 의 다음 다항식을 고려한다.
여기서, 위에서처럼, xj는 다항식 의 근이다.
분명히 이다. 의 차수는 보다 작으므로 에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 구적법 공식이 적용된다. j가 i와 같지 않을 때 이므로, 다음이 성립한다.
와  모두 음이 아닌 함수이므로 이 성립한다.

**가우스 구적법 규칙 계산**
가우스 구적법 규칙의 노드 xi와 가중치 wi를 계산하는 많은 알고리즘이 있다. 가장 널리 사용되는 방법은 O(n2) 연산이 필요한 골룹-웰시 알고리즘, 평가에 3항 점화식을 사용하는 을 해결하기 위한 뉴턴 방법(이는 O(n2) 연산이 필요함), 그리고 큰 n에 대해 O(n) 연산이 필요한 점근 공식이 있다.

**점화식**
스칼라 곱 에 대해 일 때 을 만족하고 차수 이며 선행 계수가 1인 직교 다항식 (일계수 다항식)는 다음 점화식을 만족한다.
및 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.
에 대해 여기서 n은 무한대로 취할 수 있는 최대 차수이며, 여기서 이다. 우선, 로 시작하는 점화식으로 정의된 다항식은 선행 계수가 1이고 올바른 차수를 가진다. 로 시작점을 주면 의 직교성은 귀납법으로 보일 수 있다. 에 대해 다음이 성립한다.
이제 이 직교하면 도 직교한다. 왜냐하면 다음 식에서
모든 스칼라 곱은 첫 번째 곱과 가 같은 직교 다항식을 만나는 곳을 제외하고는 사라진다. 따라서
그러나 스칼라 곱이 를 만족하면(가우스 구적법의 경우 해당), 점화식은 3항 점화식으로 축소된다. 이면 는 차수 r − 1 이하인 다항식이다. 반면에 은 차수 r − 1 이하인 모든 다항식에 직교한다. 따라서 s j와 관련된 정규화된 고유 벡터(즉, 유클리드 노름이 1인 고유 벡터)이면 해당 가중치는 이 고유 벡터의 첫 번째 성분에서 계산할 수 있다.
여기서 는 무게 함수의 적분이다.
자세한 내용은 2007 등을 참조하라.

**오차 추정**
가우스 구적법 규칙의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 2n개의 연속 도함수를 갖는 피적분 함수에 대해
의 어떤 ξ에 대해, 여기서 pn은 1을 선행 계수로 갖는 일계수 차수 n의 직교 다항식이고
의 중요한 특수한 경우에 대한 오차 추정은 다음과 같다.
Stoer와 Bulirsch는 이 오차 추정이 실제로는 불편하다고 지적한다. 왜냐하면 차수 2n 도함수를 추정하기 어려울 수 있으며, 또한 실제 오차가 도함수에 의해 확립된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문이다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 가지 가우스 구적법 규칙을 사용하고 두 결과 간의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이러한 목적을 위해 가우스-크론로드 구적법 규칙이 유용할 수 있다.

**가우스-크론로드 규칙**
구간 수학|a, b가 세분되면 새로운 부분 구간의 가우스 평가 지점은 이전 평가 지점과 절대 일치하지 않으며(홀수 개수에 대해 0인 경우 제외) 따라서 모든 지점에서 피적분 함수를 평가해야 한다. 가우스-크론로드 규칙은 n점 규칙에 n + 1점을 추가하여 결과 규칙이 차수 2n + 1이 되도록 확장된 가우스 구적법 규칙이다. 이를 통해 저차 추정의 함수 값을 재사용하면서 고차 추정을 계산할 수 있다. 가우스 구적법 규칙과 크론로드 확장 간의 차이는 종종 근사 오차의 추정으로 사용된다.

**가우스-로바토 규칙**
네덜란드 수학자 레우엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따서 로바토 구적법이라고도 알려져 있다. 가우스 구적법과 유사하며 다음과 같은 차이점이 있다.
# 적분 지점에는 적분 구간의 끝점이 포함된다.
# 적분 지점의 개수 n에 대해 차수 2n − 3까지의 다항식에 대해 정확하다.
구간 수학|−1, 1에 대한 함수 f(x)의 로바토 구적법:
절편: xi는 의 번째 근이며, 여기서 는 m차 표준 르장드르 다항식을 나타내고 대시는 미분을 나타낸다.
가중치:
나머지:
일부 가중치는 다음과 같다.
내부 노드가 2개인 이 알고리즘의 적응형 변형은 GNU 옥타브 및 매트랩에서 각각 quadl 및 integrate로 제공된다.

**같이 보기**
 오일러-매클로린 공식- 구적법

**각주**

**인용**

**참고 문헌**
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**외부 링크**
 id=p/g043510-  ALGLIB은 수치적분을 위한 알고리즘 모음(C# / C++ / Delphi / Visual Basic 등)을 포함한다.-  GNU 사이언티픽 라이브러리 — C 버전의 QUADPACK 알고리즘을 포함한다(GNU 사이언티픽 라이브러리 참조)- 로바토 구적법에서 오일러 상수 e까지-  가우스 구적법 적분 규칙 – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad Holistic Numerical Methods Institute- title=Legendre-Gauss Quadrature-  가우스 구적법 - Chris Maes와 Anton Antonov 작성, 울프럼 데몬스트레이션 프로젝트.-  Mathematica 소스 코드와 함께 표로 정리된 가중치와 절편, 고정밀(소수점 16자리 및 256자리) 르장드르-가우스 구적법 가중치와 절편, n=2부터 n=64까지, Mathematica 소스 코드 포함.-  임의의 가중 함수 W(x), 적분 영역 및 정밀도에 대한 절편 및 가중치 생성용 GNU LGPL 하에 배포되는 Mathematica 소스 코드.-  임의의 정밀도 및 근사 차수에 대한 Boost.Math의 가우스 구적법-  Boost.Math의 가우스-크론로드 구적법-  가우스 구적법의 노드와 가중치 date=2021-04-14 
분류:수치적분