마요라나 스피너

이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.Chapter 3 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.

**정의**
차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간  위의 클리퍼드 대수 를 생각하자. 즉,

에서, 는 개의 +부호와 개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 가 존재한다.
그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.
여기서

는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, , \mathbb C, 는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.
위 표에서,- 의 계수 는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
** 계수가 인 경우 (즉, , 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 \operatorname{Pin}(s,t)의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(Majorana pinor)라고 한다.
** 만약 계수가 \mathbb R가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 라면 (즉, 가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
** 계수가 일 경우, 만약  개의 디랙 스피너가 존재하며, 이  차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(symplectic-Majorana pinor)라고 한다.- 의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

**성질**

**디랙 스피너의 실수 조건**
차원 시공간의 디랙 피너(Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수


의 차원 정의 표현이다. 만약 이 짝수인 경우, 이는 두 개의 차원 바일 피너(Weyl pinor)로 분해된다.
복소수 클리퍼드 대수 는 에르미트 형식

을 가지며, 이는

를 만족시킨다. (여기서 는 의 값에만 의존한다.)
이제, 어떤 부호 를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 \mathsf C가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.

 (복부호 동순이 아님)
이 경우, 만약 가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.
만약 디랙 피너 공간 가 실수 구조를 갖는다면,

를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.
만약 디랙 피너 공간 가 사원수 구조를 갖는다면,

를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 에 대하여,  위에서,

를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.

**감마 행렬의 실수성**
마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

**물리학적 성질**
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.
만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.

**예**

**1차원**
1차원에서는


이다. 즉, 부호수가 일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은

이다.

**2차원**
2차원에서는


이며, 이 경우 클리퍼드 대수는


이다. 즉, 부호수 일 때,
\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}
\gamma^1 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
로 놓으면,



이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
마찬가지로, 부호수 일 때,


로 놓으면,


이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

**3차원**
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.




부호수 일 때,



는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상

에서 비롯한다.
마찬가지로, 일 때, 위 행렬들에 모두 를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.
또는 일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬

은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.
다만, 부호수 에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상

에서 유래한다. 즉, 부호수 의 경우, 사원수 감마 행렬



를 정의하면,


이다.

**4차원**
4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.



즉,- 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.- 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.- 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.
예를 들어, 차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),




는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형

에서 유래한다. 여기서 \otimes는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.
부호수가 일 때, 실수 리 대수 동형

이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,




를 적으면,



이다.
부호수 일 때,

에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.

**5차원**
5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.



즉, 부호수가 일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형

에서 기인한다.
다른 부호수의 경우,


으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.

**6차원**
6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.



즉, 부호수 일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형



에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 의 정의 표현이다.
부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형

로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

**역사**
에토레 마요라나의 이름을 땄다.

**응용**
물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.

**각주**

**외부 링크**
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분류:물리학 개념
분류:양자장론
분류:이론물리학
분류:페르미온
분류:표현론
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