결합 도식

조합론에서 결합 도식(結合圖式, 어소시에이션 스킴) 또는 일관 구조(一貫構造, coherent configuration)는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수(बसु-Mesner代數, Bose–Mesner algebra)가 존재한다.

**정의**
결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

**조합론적 정의**
결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.2479, Definition 11, §1.1- 유한 집합 - 의, 개의 부분 집합들 , 
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.- ㉠ 는 의 분할을 이룬다. 즉, 이며 이라면 이며, 또한 이다.- ㉡ 인 부분 집합 가 존재한다.- ㉢ - ㉣ 임의의 에 대하여, - ㉤ 임의의  및 에 대하여, 는 에 의존하지 않는다.
여기서- 에 대하여, x\sim_Ry는 를 뜻한다.- 는 의 반대 이항 관계이다.
흔히, 의 원소는 으로 표기되며, 이 경우 이다. 또한,

는 결합 도식의 구조 상수(構造常數, structure constant)라고 한다.

**행렬을 통한 정의**
결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.13–14, §1.3- 유한 집합 - 자연수 - 개의, 모든 성분이 0 또는 1인  정사각 행렬들의 족 .
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.- ㉠ 는 모든 성분이 1인  정사각 행렬이다.- ㉡ 인 가 존재한다.- ㉢ .- ㉣ 임의의 A\in\mathcal A에 대하여, - ㉤ 임의의 에 대하여, 그 곱 는 의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 에 대하여, 인 자연수 가 존재한다.
이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 를 대신 정사각 행렬

로 치환하면 된다.

**기하학적 정의**
결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.2479, §Ⅱ.A
결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.- 유한 집합 - 유한 집합 - 함수 . 이는 거리 함수(距離函數, distance)라고 한다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.- ㉡ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.- ㉢ 은 전사 함수이다.- ㉣ 임의의 에 대하여, 라면 - ㉤ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이자 가 되는 전단사 함수 가 존재한다.
이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 에 대하여 이항 관계

를 대응시키면 된다.

**부분 결합 도식**
같은 집합  위의 두 결합 도식  및 에 대하여, 만약 이라면, 를 의 부분 결합 도식(部分結合圖式, subscheme)이라고 한다.

**결합 도식 준동형**
다음이 주어졌다고 하자.- 유한 집합  위의 결합 도식 (X,\mathcal R)- 유한 집합  위의 결합 도식 (X',\mathcal R')
그렇다면, 결합 도식 사상(morphism of association schemes) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.83, Chapter 5- 함수 - 함수 g\colon \mathcal R\to\mathcal R'
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의  및 R\in\mathcal R에 대하여, 만약 라면, 이다.
이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.

**종류**
결합 도식 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식(對稱結合圖式, symmetric association scheme)이라고 한다.2479, §II.A- 조합론적 정의 에서, 의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 라면, 이다.- 행렬을 통한 정의 에서, 모든 A\in\mathcal A는 대칭 행렬이다.- 기하학적 정의 에서, 임의의 x,y\in X에 대하여 이다.
결합 도식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식(可換結合圖式,commutative association scheme)이라고 한다.- 그 보스-메스너 대수가 가환환이다.- 조합론적 정의에서, 임의의 R,R',R\in\mathcal R 및 에 대하여, - 행렬을 통한 정의 에서, 임의의 A,B\in\mathcal A에 대하여 이다.- 기하학적 정의 에서, 임의의 에 대하여, 가 되는 자기 전단사 함수 가 존재한다.
결합 도식 이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식(均等結合圖式, homogeneous association scheme)이라고 한다.- 조합론적 정의 에서, 이다.- 행렬을 통한 정의 에서, 이다.- 기하학적 정의 에서, 이다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식

**연산**

**올**
결합 도식 이 주어졌을 때,  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 의 올(fibre)이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 로 표기할 때, 다음이 성립한다.

증명:
임의의 가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여


이라고 가정하자. 그렇다면,


이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.
이에 따라, 결합 도식 의 임의의 올 이 주어졌을 때,

는 균등 결합 도식을 이룬다.

**직접곱**
유한 개의 결합 도식


이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합

위에 이항 관계


를 줄 수 있다. 그렇다면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 (X_i,\mathcal R_i)_{i\in I}의 직접곱(直接곱, direct product)이라고 한다.140, Chapter 7
이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.

**성질**

**구조 상수**
임의의 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다.

만약



일 때, 다음이 성립한다.

균등 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다.26, Exercise 1.1(a)



(여기서 는 크로네커 델타이다.)

**대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠**
대칭 결합 도식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프  위에, 의 원소를 색으로 하는 변 색칠 을 정의할 수 있다.

이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.7–8, §1.2

**보스-메스너 대수**
(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 이 주어졌을 때, 의 선형 생성

은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 에 대응하는 보스-메스너 대수라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).2480, Definition 2
에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다.
아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다.

이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원

들을 정의할 수 있으며, 이들은

를 만족시킨다 (는 크로네커 델타). 또한, 편의상

로 놓는다. 여기서 는 모든 성분이 1인  정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다.
특히, 를 로 전개하였을 때의 계수

를 정의할 수 있다.

**가환 결합 도식의 쌍대성**
가환 결합 도식 의 경우, 최소 멱등원의 수는 와 같으며, 멱영원들 은 보스-메스너 대수 의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다.

또한, 들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, 들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수

를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 이다.)
이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다.


차수


차수의 합


구조 상수


기저 변환


이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다.
이에 따라, 만약 두 결합 도식 , 의 복소수 계수 보스-메스너 대수 , 가 각각

라면, 서로 쌍대(dual)라고 한다. 즉, 반선형 변환(antilinear map)




를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다.
아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.
특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.2482, Example 1 (continued)

**예**
다음은 인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 이다.
그 구조 상수는 다음과 같다.


여기서 가 수록되었다면 는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.

**자명한 결합 도식**
크기가 2 이상인 임의의 유한 집합  위에



을 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, trivial association scheme)이라고 한다.§1.1 그 구조 상수는 다음과 같다.




이는 사실 인 해밍 결합 도식과 같다.

**이산 결합 도식**
임의의 유한 집합  위에,

를 정의하면,  역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식(離散結合圖式, discrete association scheme)이라고 한다.§1.1 그러나 일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.

**작은 결합 도식**
크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다.
크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.
(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.
주어진 집합 X 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.Table 1

**해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식**
임의의 곱집합  위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식이라고 한다.
특히, 일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식이라고 한다.

**정추이적 작용**
유한군 의, 유한 집합  위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, 이다.) 그렇다면,


를 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는

이다.
이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환

과 동형이다.
또한, 에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 가 아벨 군인 것이다.

**일반적 군 작용**
유한군 의, 유한 집합  위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는  위에 다음과 같이 작용한다.

그렇다면, 의 작용에 대한 궤도들은 의 분할 을 정의한다.
이 경우, 는 결합 도식을 이룬다.2482, §II.D 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다.

**역사**
1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”(association scheme)이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다.
1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너(Dale Marsh Mesner)는 보스-메스너 대수를 도입하였다.
이후 도널드 고든 히그먼(Donald Gordon Higman, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”(coherent configuration)라고 불렀다.6, §3

**같이 보기**
 블록 설계

**각주**

**외부 링크**
 title=Association scheme- 언어=en- 언어=en- 언어=en
분류:분산 분석
분류:실험 설계
분류:대수적 조합론