붙임 공간

위상수학에서 붙임 공간(-空間, attaching/adjunction space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간(homotopy adjunction space)을 사용하여야 한다.
마찬가지로, 당김 공간(-空間, pullback space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간(homotopy pullback space)을 사용하여야 한다.

**정의**

**붙임 공간**
같은 정의역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합  위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 라고 표시하자. 즉, 에 대하여, 라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

마찬가지로, 에 대하여 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

마찬가지로, 에 대하여 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

와 의  및 를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.

이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.
붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, 에 와 에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.

**호모토피 붙임 공간**
붙임 공간은 나  가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.
연속 함수

가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥(double mapping cylinder)은 다음과 같다.

이 경우, 표준적인 함수


는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

**당김 공간**
같은 공역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 의 부분 공간이다.

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.
이 경우, 표준적 연속 함수


가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

**호모토피 당김 공간**
당김 공간은 나  가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.
같은 공역을 가진 두 연속 함수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 의 부분 공간이다.

여기서 는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

**예**

**사상뿔**
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 은 한원소 공간이다.)
이에 대한 붙임 공간은 의 몫공간 이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.
반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.

이를 사상뿔(寫像-, mapping cone)이라고 한다. 만약 와 가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 는 보통 포함 함수 의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.
특히, 이며 일 경우, 이는  위의 뿔(cone) 이 된다.

**사상기둥**
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 는 항등 함수이다.)
붙임 공간은 다음과 같은 의 몫공간이며, 이는 와 위상 동형이다.

호모토피 붙임 공간은 다음과 같이,  위의 기둥을 에 붙인 것이다.

이를 사상기둥(寫像-, mapping cylinder) 라고 한다.

이 경우, 변형 수축

이 존재하며, 따라서 와 는 서로 호모토피 동치이다. 또한,

는 쌍대올뭉치를 이룬다.  따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(cofibrant resolution)이다.
특히, 이고 일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 이 된다.

**이음**
파일:Join.svg|thumb|right|두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 사면체를 이룬다.
다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.

이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간

은 와 의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.
특히, 0차원 초구 와의 이음은 현수 라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 \{\bullet\}*X=\operatorname{cone}(X)을 이룬다.

**사상 경로 공간**
연속 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 는 항등 함수이다.)
당김 공간의 경우는 이는 의 부분 공간 위상을 부여한 의 그래프

이며 따라서 와 위상 동형이다.
호모토피 당김 공간의 경우, 이는

를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, mapping path space) 또는 사상 쌍대기둥(mapping cocylinder)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.

여기서 는 와 약한 호모토피 동치이며 \tilde f\colon\operatorname{cocyl}f\to Y는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(fibrant resolution)이다.

**경로 공간**
위상 공간 의 두 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.
당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는  위의, 에서 으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 을 이룬다.

**쐐기합**
점을 가진 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.
붙임 공간은 쐐기합 이다. 호모토피 붙임 공간은

이다. 즉, 선분 의 양끝에 와 를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.

**같이 보기**
 몫공간

**참고 문헌**
 언어=en

**외부 링크**
 title=Mapping-cone construction- title=Mapping cylinder- title=Homotopy pullback- title=Mapping cone- title=Mapping cylinder- title=Mapping cocone- title=Cocylinder- 언어=en
분류:대수적 위상수학