위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.407, §1

**정의**

**원천과 흡입**
범주 의 원천(源泉, 소스) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.125, Definition 1.1(1)- 는 대상이다.- 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)- 는 의 사상들의 모임이다.
마찬가지로, 의 흡입(吸入, 싱크) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.- 는 대상이다.- 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)- 는 의 사상들의 모임이다.
만약 가 공집합이라면, 원천 은 단순히 대상 이며, 만약 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 이다.

**시작 원천과 끝 흡입**
범주 의 원천  및 함자 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, 를 -시작 원천(始作源泉, initial source)이라고 한다.Definition 2.1(1)- 임의의 대상  및 사상  및 사상족 에 대하여, 라면, 이자 인 가 유일하게 존재한다.
*:
마찬가지로, 그 쌍대 개념인 -끝 흡입(-吸入, -final sink)을 정의할 수 있다.
만약 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

**올림**
두 범주 ,  사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 의 원천 에서, 만약 인 가 존재한다면, 원천 를 -구조 원천(構造源泉, -structured source)이라고 한다.128, Definition 1.1(2) 마찬가지로 -구조 흡입(構造吸入, -structured sink)을 정의한다.
-구조 원천 의 올림은 이자 인  -원천 이다.

-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
임의의 -구조 원천 이 만약 시작 원천 을 갖는다면, 를 원천 에 대한 의 시작 -구조(始作構造, initial -structure)라고 한다. 마찬가지로, -구조 흡입에 대한 끝 -구조(-構造, final -structure)를 정의할 수 있다.

**위상 함자**
함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(topological functor)라고 한다.128, Definition 2.1(3)29–30, §24, Definition 2.12- 모든 -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.- 모든 -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.
위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.
구체적 범주 에서, 만약 가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, topological concrete category)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, topological category)로 줄여 부른다.

**성질**
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.129, Theorem 3.1
위상 함자 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.- 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.- 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.- 모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 와 가 의 사상이며, 이며 라면, 이다.
(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)
가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.- 완비 범주- 쌍대 완비 범주- 정멱 범주- 쌍대 정멱 범주
위상 함자 에 대하여, 만약 가 라면,  역시 이다.
임의의 범주 에 대하여, 위상 함자 들은 자연 동형 아래 유일하다.6, Corollary 2.2

**예**
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.- 집합과 함수의 범주 2, Example 2.1(25)- 위상 공간과 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(1)- 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(17)- T1 공간과 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(18)- 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(19)- 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(21)- 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 2, Example 2.1(2)- 가측 공간과 가측 함수의 범주 - 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 2, Example 2.1(14)- 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 2, Example 2.1(15)- 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 233, Proposition B.1.2- 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 233, Proposition B.1.2
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.- 차분한 공간과 연속 함수의 범주 - 정규 공간과 연속 함수의 범주 - 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 - 장소와 장소 사상의 범주 - 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 

**위상 공간**
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, initial topology)과 끝 위상(-位相, final topology)이라고 불린다.
즉, 집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 시작 위상은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

여기서 는 의 위상(열린집합들의 족)이다.
마찬가지로,  집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 끝 위상은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, 의 끝 위상은 다음과 같다.


**가측 공간**
집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 시그마 대수(initial sigma-algebra)는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 시작 시그마 대수는

로 생성된다.
마찬가지로, 집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 시그마 대수(final sigma-algebra)는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 끝 시그마 대수 는 다음과 같다.


**균등 공간**
집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 균등 구조(initial uniform structure)는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 시작 균등 구조는

로 생성된다.
마찬가지로, 집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 균등 구조(final uniform structure)는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 끝 균등 구조 는 다음과 같다.


**유계형 집합**
집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 유계형(initial bornology)은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, 의 시작 유계형은 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 유계형(final bornology)은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, 의 끝 유계형은

로 생성된다.

**원순서 집합**
집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 시작 원순서(initial preorder)는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, 의 시작 원순서는 다음과 같다.

마찬가지로, 집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 끝 원순서(final preorder)는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, 의 끝 원순서 는

로 생성된다.

**역사**
1974년에 호르스트 헤를리히(Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다.

**각주**
 archive-url=https://web.archive.org/web/20161003125229/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.2/Main/icm1974.2.0063.0066.ocr.pdf- 언어=en- 언어=en

**외부 링크**
 title=Topological structures- title=Weak topology- title=Topological concrete category- title=Sink- title=Final lift- title=Weak topology- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en
분류:범주론
분류:일반위상수학