제트 (수학)

미분기하학에서 제트(jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발(jet bundle)이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)

**정의**
차원 매끄러운 다양체  위의 올다발 이 주어졌다고 하자. 또한, 의 올 역시 차원의 매끄러운 다양체라고 하자.
점 의 근방에 정의되는, 의 매끄러운 단면의 공간을 라고 표기하자.

**제트**
의 두 매끄러운 국소 단면 이 에서 같은 차 제트(th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.
임의의 의 국소 좌표계 및 의 국소 자명화 및 다중지표 에 대하여, 만약 이라면 
즉, 에서의 차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 의 에서의 차 제트를 로 표기한다.

**제트 공간**
임의의 에 대하여, 차 제트들의 집합 에는 다음과 같이

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. 의 에서의 국소 좌표계  및 이를 확장하는 의 에서의 국소 좌표계 가 주어졌다면,

는 의 국소 좌표계를 정의한다. 를 의 차 제트 공간(次jet空間, th jet space)이라고 한다.
차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

그러나 차 제트 공간에서 차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

**제트 다발**
위에, 차 제트 공간 을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 차 제트 다발 이라고 한다. 즉, 제트 다발 의 전체 공간은 차원이다.
자연스러운 사영 이 존재하므로, 이는  위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상


이 존재한다. 를 의 차 제트 연장(次jet延長, th jet prolongation)이라고 한다.
제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

**무한 제트 다발**
제트 다발 사이에는 사영 사상

이 존재한다. 이에 대한 역극한

을 무한 제트 다발(infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.

**편미분 방정식**
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체  위의, 올다발 의 단면에 대한 차 편미분 방정식은 차 제트 다발 의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 이다. 편미분 방정식 의 해(解, solution)는 제트 연장 의 상 이 에 속하는, 의 매끄러운 단면 이다.


**변분 이중 복합체**
무한 제트 다발 은 미분학적 공간(diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다.  위의 미분 형식 공간 에서, 차수 은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.-  방향의 차수 . 이를 수평 차수(horizontal degree)라고 한다.- 무한 제트 다발의 올  방향의 차수 . 이를 수직 차수(vertical degree)라고 한다.
따라서,

가 된다. 이를 의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분  역시 수평 방향 와 수직 방향 로 분해할 수 있다.



이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.
예를 들어, 차원 시공간  위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 의 단면 이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용

을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은


가 된다.

**성질**
올다발  위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다.

여기서

는 을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

가 존재한다.
오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 의 드람 코호몰로지와 동형이다.

**예**

**0차 제트**
임의의 올다발

의 0차 제트 다발은 이다.

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.


**자명한 올다발의 1차 제트**
자명한 올다발

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

매끄러운 함수 의 1차 제트는 함수의 미분이다.

여기서  및 은 각각 공변접다발과 접다발이다.
따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은

이다. 여기서


는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, 은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.
특히, 일 경우

이며, 반대로 일 경우

이다. 후자에서 인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, 의 국소 좌표계 를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.


**일반적 올다발의 1차 제트**
올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발



을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(vertical bundle) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

즉, 올다발 의 수직 다발 의 올 는 의 올의 접공간이다.
는  위의 차원 벡터 다발을 이룬다.
그렇다면,  위의 1차 제트 다발은 ( 위의 올다발로서) 다음과 같다.


의 단면 는 (이므로)  위의 값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, 를 다발 사상 로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 는  위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

가 되어, 를 수평 다발로 여길 수 있다.

**피복 공간의 제트**
겹 피복 공간

은 올이 개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, 의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 에 대하여 차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

가 된다.

**역사**
제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.

**같이 보기**
 제트 군

**각주**
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**외부 링크**
 title=Jet- title=Jet bundle- title=Jet space- title=Jet prolongation- title=Jet group- title=Jet groupoid- title=Jet comonad- title=Arithmetic jet space- title=Metric jet- title=Variational bicomplex- title=Euler-Lagrange complex- 언어=en- 언어=en- 언어=en
분류:미분기하학
분류:매끄러운 함수
분류:특이점 이론