정초 관계

집합론에서 정초 관계(整礎關係, well-founded relation)는 (무한히 재귀적이지 않은) 집합의 원소 관계로서 나타낼 수 있는 이항 관계이다. 정초 관계가 주어진 집합 위에서는 초한 귀납법(超限歸納法, transfinite induction)과 초한 재귀(超限再歸, transfinite recursion)를 사용할 수 있다. 초한 귀납법은 모든 원소가 어떤 성질을 만족시킴을 증명할 때 사용한다. 초한 귀납법에 따르면, 어떤 술어가 모든 원소에 대하여 참임을 보이려면, 주어진 원소 ‘이전’의 모든 원소들에 대하여 참임을 가정한 채로, 그 주어진 원소에 대하여 참임을 보이면 충분하다. 이는 자연수에 대한 수학적 귀납법을 일반화한다. 초한 재귀는 정초 관계가 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수를 정의하는 방법이다. 초한 재귀에 따르면, 주어진 원소의 함숫값을 그 ‘이전’의 원소들의 함숫값들로부터 결정하는 방법(#초한 귀납법에서의 함수 )이 정해졌을 때, 모든 원소에 대한 함숫값은 유일하게 결정된다.

**정의**
집합  위의 이항 관계 에 대하여 다음 다섯 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이항 관계를 정초 관계라고 한다.98, Definition III.3.1- 임의의 부분 집합 에 대하여, 인 가 존재한다.- 다음 조건을 만족시키는 열 이 존재하지 않는다.
** 임의의 에 대하여, - 다음 조건을 만족시키는 정렬 전순서 집합 과 단사 함수 가 존재한다.352, Appendix B
** 임의의 에 대하여, - (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 집합 과 단사 함수 가 존재한다.
** 임의의 에 대하여, - (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 과 전단사 함수 j\colon X\to M가 유일하게 존재한다.
** 임의의 에 대하여, 
마지막 두 조건은 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 필요로 한다.

**성질**
집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 공집합이다.-  위에 반사 관계인 정초 관계 가 존재한다.
이는 에 대한 상수열은 이므로 정초 관계의 정의를 위반하기 때문이다.
집합  위의 정초 관계  및 부분 집합 에 대하여, 의 제한  역시  위의 정초 관계이다.

**초한 귀납법**
집합  위의 정초 관계 가 주어졌을 때, 다음과 같은 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 임의의 술어 에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.- 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
그렇다면, 가 성립한다.
귀류법을 사용하여, 가 공집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, 의 정초성에 따라 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.- 은 거짓이다.
두 번째 조건에 대우를 취하면 다음과 같다.
따라서, 가 만족시켜야 한다고 가정한 조건에 의하여 은 참이 되는데, 이는 모순이다. 
집합  위의 정초 관계 가 주어졌을 때, 를 정의역으로 하는 함수를 초한 재귀를 통해 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다. 임의의 집합  및 함수

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.

여기서 은 함수의 제한이다.
다음 세 조건을 만족시키는 함수 들의 집합 를 생각하자.- 임의의  및 에 대하여, 라면, - 임의의 에 대하여, 
그렇다면, 다음 사실들을 보일 수 있다.- 임의의 에 대하여, 
** 증명: 초한 귀납법을 사용하여, 이며, 라고 가정하자. 그렇다면 이다.
** 증명: 초한 귀납법을 사용하여, 이며 라고 가정하자. 이며, 이며, 라고 정의하자. 그렇다면, 이며, 따라서 이다.
이제,


라고 하자. 그렇다면 는 원하는 조건을 만족시킨다. 또한, 첫 번째 사실에 따라 이러한 는 유일하다.

**예**

**정초 집합**
집합 에서, 원소 관계 가  위의 정초 관계라면, 를 정초 집합(整礎集合, well-founded set)이라고 한다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 정칙성 공리(正則性公理, axiom of regularity)에 따르면 모든 집합은 정초 집합이다.

**정초 모임**
사실, 정칙성 공리에 따라 모든 모임은 정초 모임이다 (즉, 공집합이 아닌 모든 부분 모임은 원소 관계에 대한 극소 원소를 갖는다).
임의의 모임 에 대하여, 인 가 존재함을 보이면 충분하다. 임의의 를 고르자. 만약 라면 증명은 끝난다. 라고 가정하자.

가 의 추이적 폐포라고 하자. 그렇다면 인 가 존재한다. 가 추이적 집합이므로, 이다. 즉, 이다.
보다 일반적으로, 모임  및 이항 관계 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 임의의 부분 집합 에 대하여, 인 가 존재한다.- 임의의 부분 모임 에 대하여, 인 가 존재한다.
(물론, 두 번째 조건은 모임에 대하여 전칭을 가하므로 ZF 내에서 형식화할 수 없다.)
임의의 부분 집합 이 에 대한 극소 원소를 갖는다고 가정하고, 임의의 부분 모임 의 -극소 원소를 찾는 것으로 충분하다. 임의의 집합 를 고르고,



라고 하자 (는 폰 노이만 전체에서의 계수). 그렇다면, 는 집합이며, -극소 원소 를 갖는다. 이제, 가 의 -극소 원소임을 보이면 족하다. 만약 인 가 존재한다면, 이들 사이에서 최소의 계수를 갖는 를 고를 수 있다. 이 경우, 만약 이라면 이다. 즉, 이다.

**정렬 원순서 집합**
원순서 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.116, Remark 5- 는 정렬 원순서 집합이다.-  위의 원순서 를 정의하였을 때, 이항 관계 는 정초 관계이다. (여기서 는 하폐포를 뜻한다.)

**순서수**
순서수의 정렬 전순서 모임  위에서는 흔히 다음과 같은 (조금 더 약한) 초한 귀납법이 사용된다. 임의의 술어 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.- 만약 라면, 이다.- 극한 순서수 에 대하여, 만약 라면, 이다.
** 특히, 이다.
그렇다면, 이다.
순서수의 정렬 전순서 모임  위에서는 흔히 다음과 같은 특수한 꼴의 초한 재귀가 사용된다. 임의의 집합  및 함수


에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 가 존재한다.- 임의의 순서수 에 대하여, - 임의의 극한 순서수 에 대하여, 
** 특히, 
(순서수의 모임은 고유 모임이지만, 초한 귀납법과 초한 재귀는 정초 관계가 주어진 모임 위에서도 성립한다.)

**각주**

**외부 링크**
 title=Well-founded relation- title=Noetherian induction- title=Transfinite recursion- title=Transfinite induction- title=Well-founded relation- 언어=en- archive-url=https://web.archive.org/web/20150619163918/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Well-Founded- 언어=en- archive-url=https://web.archive.org/web/20190220181521/https://proofwiki.org/wiki/Condition_for_Well-Foundedness- 언어=en- 언어=en- 언어=en- archive-url=https://web.archive.org/web/20130325182612/http://www.proofwiki.org/wiki/Well-Founded_Relation_Determines_Minimal_Elements- 언어=en- url-status=dead
분류:집합론