덮개 (대수학)

호몰로지 대수학에서 덮개(cover)는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 동형 사상 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 사영 대상으로 근사하는 사영 덮개(projective cover)의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 껍질(envelope, hull)이며, 특히 주어진 대상을 단사 대상으로 근사하는 단사 껍질(injective envelope, injective hull)의 개념이 자주 사용된다.

**정의**
범주  속의 대상들의 모임 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 의 -덮개는 다음 세 조건들을 만족시키는 사상 이다.- 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 항상 가 되는 사상 가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, 의 모든 원소는 -사영 대상이다.
*:- 임의의 자기 사상 에 대하여, 만약 라면 는 자기 동형 사상이다.
만약 마지만 조건을 생략할 경우, 준덮개(準-, precover)의 개념을 얻는다.
그 쌍대 개념은 -껍질(-envelope, -hull)이라고 한다.
특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.- 만약 가 사영 대상들의 모임일 경우, -덮개를 사영 덮개(projective cover)라고 한다.- 만약 가 단사 대상들의 모임일 경우, -껍질을 단사 껍질(injective envelope)이라고 한다.- 만약 가 어떤 가군 범주이며, 가 평탄 가군들의 모임일 경우, -덮개를 평탄 덮개(flat cover)라고 한다.- 만약 가 어떤 가군 범주이며, 가 꼬임 없는 가군들의 모임일 경우, -덮개를 꼬임 없는 덮개(torsion-free cover)라고 한다.

**성질**
-덮개는 항상 동형 사상 아래 유일하다. (그러나 이 동형 사상은 유일하지 않을 수 있다.)
증명:
대상 의 두 -준덮개 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -준덮개의 성질에 의하여 이자 가 되는  및 가 존재한다.
만약 , 이 추가로 -덮개라면,  및 는 자기 동형 사상이며, 따라서 와  역시 동형 사상이다.
사영 대상을 충분히 가지는 범주 의 사영 대상  및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.15, Theorem 1.2.12- 는 사영 대상에 대한 덮개이다.- 는 잉여적 전사 사상이다.
증명:
덮개 → 잉여적 전사: 다음 두 조건을 증명하면 족하다.- (a): 는 전사 사상이다.- (b): 임의의 사상 에 대하여, 가 전사 사상이라면  역시 전사 사상이다.
(a): 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 사영 대상  및 전사 사상 를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 를 찾을 수 있다.

가 전사 사상이므로, 전사 사상의 성질에 의하여  역시 전사 사상이다.
(b): 가 전사 사상이라고 하자. 사영 대상의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 가 존재한다.

덮개의 정의에 의하여, 는 자기 동형 사상이며, 따라서 는 전사 사상이다.
잉여적 전사 → 덮개: 사영 대상  및 잉여적 전사 사상 가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.- (a) 준덮개이다.- (b) 덮개이다.
(a): 는 전사 사상이므로, 사영 대상의 정의에 의하여 자명하게 참이다.
(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 자기 사상 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 가 전사 사상이므로 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여  역시 전사 사상이다. 공역이 사영 대상인 전사 사상은 항상 분할 전사 사상이므로, 는 오른쪽 역사상 , 를 가지며, 는 단사 사상이다.

그렇다면, 이므로, 잉여적 전사 사상의 정의에 의하여  역시 전사 사상이다. 는 단사 사상이자 분할 전사 사상이므로 동형 사상이며, 따라서  역시 동형 사상이다.
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 의 단사 대상  및 사상 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.14, Theorem 1.2.11- 는 단사 대상에 대한 덮개이다.- 는 본질적 단사 사상이다.
특히, 환 에 대하여, -왼쪽 가군의 범주  또는 -오른쪽 가군의 범주 는 둘 다 사영 대상을 충분히 가지는 범주이자 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 위 두 정리가 성립한다.

**존재**
단사 대상을 충분히 가지는 쌍대 완비 AB5 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 완비 AB5* 아벨 범주 의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.
환 가 주어졌다고 하자. -왼쪽 가군의 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 다음이 성립한다.- 은 항상 단사 껍질을 갖는다.- 은 항상 평탄 덮개를 갖는다.- 만약 가 왼쪽 완전환이라면, 은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)- 은 항상 꼬임 없는 덮개를 갖는다.511, Example XVI.2.1117, Theorem 1.3.2 여기서 꼬임 없는 왼쪽 가군 은 임의의 에 대하여 을 만족시키는 왼쪽 가군이다.

**부자연성**
범주 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.- 사영 대상을 충분히 가지는 범주이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.- 생성 대상을 갖는다.- 사영 대상이 아닌 대상이 존재한다.
그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 자기 함자  및 자연 변환 가 존재할 수 없다.- 임의의 대상 의 에 대한 상 는 사영 대상이다.- 의 모든 성분 는 사영 덮개를 이룬다.
특히, 임의의 환 에 대하여, 왼쪽 가군 범주 는 항상 쌍대 생성 대상을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 왼쪽 가군이 단사 가군이거나, 아니면 단사 껍질은 자연 변환의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, 왼쪽 가군 범주 에서 는 생성 대상을 이룬다. 만약 추가로 가 왼쪽 완전환이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 사영 왼쪽 가군이 아닌 왼쪽 가군이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 자연 변환의 성분이 될 수 없다.

**예**
자명한 경우로, 만약 범주 에서 대상 모임 가 주어졌을 때, 대상 의 -덮개의 개념은 를 공역으로 하는 동형 사상의 개념과 같으며, -껍질의 개념은 를 정의역으로 하는 동형 사상의 개념과 같다.

**역사**
단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만(Beno Eckmann)과 안드레아스 쇼프(Andreas Schopf)가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다. "단사 껍질"(injective hull)이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.
그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 하이먼 배스가 도입하였다.§5
꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스(Edgar Earle Enochs)가 도입하였다.
일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,191 이 추측은 2001년에 증명되었다.

**각주**

**외부 링크**
 title=Flat cover- title=Projective cover- title=Injective hull
분류:호몰로지 대수학
분류:범주론
분류:가군론