장소 (수학)

일반위상수학에서 장소(場所, 로케일)는 위상 공간의 열린집합의 부분 순서 집합을 추상화한 구조이다. 장소의 범주의 대상은 완비 헤이팅 대수와 같지만, 장소의 사상은 헤이팅 대수의 사상과 다르다.

**정의**
완비 헤이팅 대수는 완비 격자인 헤이팅 대수이다. 두 완비 헤이팅 대수 사이의 완비 헤이팅 대수 준동형(complete Heyting algebra homomorphism)은 모든 만남과 이음을 보존하는 함수이다. 완비 헤이팅 대수와 완비 헤이팅 대수 준동형은 범주 를 이룬다.
두 완비 헤이팅 대수 ,  사이의 틀 사상(frame morphism) 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.- 유한 만남을 보존한다. 즉, 유한 부분 집합 에 대하여 이다.- 임의의 이음을 보존한다. 즉, 부분 집합 에 대하여 이다.
틀(frame)은 완비 헤이팅 대수와 같다. 틀과 틀 사상은 범주 을 이룬다.
장소의 범주는 틀의 범주의 반대 범주이다.

즉, 장소는 틀 또는 완비 헤이팅 대수와 같으며, 두 장소 ,  사이의 장소 사상(locale morphism) 은 반대 방향의 틀 사상 과 같다.

**열린집합과 점**
장소 의 열린집합(open)은 의 (부분 순서 집합으로서의) 원소이다. 한원소 공간 은 위상 공간의 범주의 끝 대상이며, 위상 공간 의 점은 한원소 공간으로부터 오는 연속 함수 로 생각할 수 있다. 한원소 공간에 대응하는 위치 는 두 개의 원소를 갖는 불 대수이며, 장소의 범주의 끝 대상이다. 장소 의 점(點, point)은 장소 사상 로 정의한다. 점  및 열린집합 에 대하여, 가 에 속한다(belongs to)는 것은 틀 사상  아래 인 것이다.

**부분 장소**
장소 의 부분 장소(sublocale)는 정칙 부분 대상이다. 보다 구체적으로, 의 부분 장소들은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 와 일대일 대응한다.- (멱등성) 
이는  위의 만남을 보존하는 모나드와 같다. 이러한 함수를 부분 장소의 핵(核, nucleus)이라고 한다.
부분 장소는 점들로 결정되지 않는다. 즉, 같은 점 집합을 갖는 부분 장소가 서로 다를 수 있다.

**성질**
위상 공간의 경우, 조밀 집합의 교집합은 일반적으로 조밀 집합이 아니다. 그러나 장소의 경우, 조밀 부분 장소의 교차는 항상 조밀 부분 장소이며, 특히 가장 작은 조밀 부분 장소가 존재한다.40, §8.3

**범주론적 성질**
장소의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.59, §4.3.5
장소의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 장소 에 대하여, 지수 대상 이 항상 존재할 필요충분조건은 이 국소 콤팩트 장소인 것이다.
점을 충분히 가지는 장소들의 쌍대곱은 의 쌍대곱과 일치한다.
점을 충분히 가지는 장소들의 (무한할 수 있는) 곱의 점 집합은 각 장소의 점 집합들의 곱집합과 같다. 그러나 그 위의 위상은 일반적으로 곱위상과 다르다.

**위상 공간과의 관계**
위상 공간 에 대하여, 그 열린집합들의 부분 순서 집합은 장소 를 이룬다. 또한, 위상 공간의 연속 함수 에 대하여, 열린집합의 원상


은 역방향의 틀 사상, 즉 순방향의 장소 사상을 이루며, 이는 위상 공간의 범주 에서 장소의 범주로 가는 함자

를 정의한다. 이 함자는 오른쪽 수반 함자


를 갖는다. 이 함자 아래, 장소 에 대응하는 위상 공간 은 집합으로서 의 점들의 집합 이며, 그 위의 열린집합은 의 열린집합에 속하는 점들의 집합이다.
장소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 인 위상 공간 가 존재한다. 즉, 함자 의 치역(의 동형에 대한 폐포)에 속한다.- 임의의 에 대하여, 만약 와 가 같은 점들을 갖는다면 이다.
이러한 장소를 점을 충분히 가지는 장소(locale with enough points)라고 한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 충만한 부분 범주를 로 쓰자.
사실, 위상 공간과 장소 사이의 수반 함자 는 다음과 같이 분해할 수 있다.

여기서- 는 차분한 공간과 연속 함수의 범주이다.- 는 위상 공간의 범주 의 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자  및 그 왼쪽 수반 함자가 존재한다.- 차분한 공간의 범주 는 점을 충분히 가지는 장소의 범주 와 동치이다.- 는 장소의 범주 의 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자  및 그 오른쪽 수반 함자가 존재한다.

**층론적 성질**
장소 이 주어졌다고 하자. 부분 순서 집합으로서, 이는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 그로텐디크 준위상이 존재한다.- 열린집합 의 덮개는 인 부분 집합 이다.
이에 따라, 모든 장소 은 위치를 이루며, 장소 L위의 (집합 값의) 층들의 범주 는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 위상 공간 에 대하여,  위의 층의 개념은 장소  위의 층의 개념과 일치한다.
토포스와 기하학적 사상들의 범주 를 생각하자. (집합론적인 문제를 무시하자.) 이 경우, 장소의 범주로부터 토포스의 범주로 가는 함자

가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다.

**종류**
일반위상수학에서 위상 공간에 대하여 정의되는 대부분의 성질들은 열린집합을 통해 나타낼 수 있으며, 따라서 장소에 대하여 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어, 장소 의 열린 덮개는 그 만남이 최대 원소를 이루는 만족시키는 부분 집합 이다.

콤팩트 장소는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 장소이다.

**역사**
1928년에 카를 멩거(Karl Menger, 1902~1985)는 공간의 개념을 점을 사용하지 않고 정의할 수 있다는 아이디어를 제시하였다. 1930년대에 마셜 하비 스톤은 격자 이론을 연구하였으며, 위상 공간의 성질이 그 열린집합들의 완비 헤이팅 대수와 관련된다는 사실을 발견하였다.
샤를 에레스만과 그 제자 장 베나부(Jean Bénabou)는 위상 공간의 열린집합의 격자와 같은 성질을 갖는 격자 (즉, 완비 헤이팅 대수)를 "국소 격자"(treillis local)로 명명하였다. 클리퍼드 휴 다우커(Clifford Hugh Dowker, 1912~1982)와 도나 앤셜 패퍼트 스트라우스(Dona Anschel Papert Strauss)는 이를 대신하여 "틀"(frame)이라는 용어를 도입하였다. 이후 존 이스벨(John R. Isbell, 1931~2005)이 틀의 범주의 반대 범주를 지칭하는 장소(locale)라는 용어를 도입하였다.

**참고 문헌**
 언어=en- 언어=en- 언어=en

**외부 링크**
 title=Locale- title=Locale
** id=Loc- title=Frame
** id=Frm- title=Sublocale- title=Nucleus- title=Point of a locale- title=Frame of opens- title=Topological locale- title=Locally compact locale- title=Uniform locale- title=Measurable locale- title=Pointless topology- title=Localic topos- 언어=en
분류:일반위상수학
분류:격자 이론