모형 범주

호모토피 이론에서 모형 범주(模型範疇, model category)는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다. 위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다.

**정의**
모형 범주 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.- 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.- 는 의 사상들의 모임이다. 의 원소를 약한 동치(weak equivalence)라고 한다.- 는 의 사상들의 모임이다. 의 원소를 올뭉치(fibration)라고 하고, 의 원소는 자명한 올뭉치(trivial fibration)라고 한다.- 는 의 사상들의 모임이다. 의 원소를 쌍대올뭉치(cofibration)라고 하고, 의 원소는 자명한 쌍대올뭉치(trivial cofibration)라고 한다.
이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.- 3개 가운데 2개 조건(two out of three): 임의의 사상 에 대하여, 만약 , ,  가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.- 약분해계:  및 는 각각 약분해계를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** 올림 조건(lifting): 임의의 대상 , , , 에 대하여, 만약  및 가 주어졌고, 이며, 가 올뭉치이며, 가 쌍대올뭉치이며,  또는  가운데 하나가 자명하다면, 이며 인 사상 가 존재한다. 즉, 다음과 같다.
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** 분해 조건(factorization):
*** 의 임의의 사상 는 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 는 올뭉치이며, 는 자명한 쌍대올뭉치이다.
*** 의 임의의 사상 는 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 는 자명한 올뭉치이며, 는 쌍대올뭉치이다.
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**쌍대올 생성 모형 범주**
쌍대완비 범주 의 사상들의 모임 에 대한 상대적 세포 복합체(relative cell complex) 는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.- (항등 사상에 대한 닫힘) 임의의 대상 에 대하여, - (쌍대곱에 대한 닫힘) 임의의 대상들의 집합 의 쌍대곱 에 대하여, - (밂에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 밂
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에 대하여 - (초한 합성에 대한 닫힘) 임의의 순서수  및 대상들의 초한열  및 사상 에 대하여, 만약 라면 쌍대극한  역시 
는 의 원소들의 (화살표 범주 에서의) 수축들의 모임이라고 하자.
모형 범주 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 쌍대올 생성 모형 범주(cofibrantly generated model category)라고 한다.- 인 사상 모임 가 존재한다. 의 원소를 쌍대올뭉치 생성원(generating cofibration)라고 한다.- 인 사상 모임 가 존재한다. 의 원소를 자명 쌍대올뭉치 생성원(generating trivial cofibration)라고 한다.

**연산**

**반대 범주**
임의의 모형 범주 에 대하여, 그 반대 범주 에 모형 구조 를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.

**조각 범주**
임의의 모형 범주  및 대상 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주  및 쌍대 조각 범주 를 정의할 수 있으며, 망각 함자


가 존재한다.
이제,  위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.- 의 약한 동치는 (망각 함자 아래) 에서의 약한 동치이다.- 의 올뭉치는 (망각 함자 아래) 에서의 올뭉치이다.- 의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) 에서의 쌍대올뭉치이다.
그렇다면, 조각 범주 는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주  역시 모형 범주를 이룬다.

**호모토피 범주**
모형 범주 에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 왼쪽 호모토피(left homotopy) 및 오른쪽 호모토피(right homotopy)를 정의할 수 있다. 정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상일 경우 왼쪽 호모토픽 관계와 오른쪽 호모토픽 관계는 서로 일치하며, 동치 관계를 이루어 그 호모토피류를 정의할 수 있다.
모형 범주 에 대응하는 호모토피 범주를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.

**성질**

**데이터의 중복**
약분해계의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.- 약한 동치와 올뭉치428Proposition 3- 약한 동치와 쌍대올뭉치428Proposition 3 (위 경우의 반대 경우)- 올뭉치와 쌍대올뭉치428Proposition 3- 쌍대올뭉치와 올대상Proposition E.1.10Corollary 3- 올뭉치와 쌍대올대상 (위 경우의 반대 경우)Corollary 3- 쌍대올대상과 자명한 올뭉치Corollary 3- 올대상과 자명한 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우)Corollary 3- 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 올뭉치Corollary 4- 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 쌍대올뭉치Corollary 4  (위 경우의 반대 경우)- 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 올뭉치Corollary 4- 올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 쌍대올뭉치Corollary 4  (위 경우의 반대 경우)
구체적으로,  임의의 범주 의 사상 모임 이 주어졌을 때, 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 으로, 에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 으로 표기하자.
그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임  · 쌍대올뭉치의 모임  · 올뭉치의 모임  사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.





따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.

**수축에 대한 닫힘**
모든 모형 범주 에서,  ·  · 는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.- 임의의 사상 , 에 대하여, 만약 화살표 범주 에서 분할 단사 사상 이 존재한다고 하자. 만약 가 , , 또는  가운데 하나라고 할 때, 만약 라면 이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로 이며 이며 이며 인 사상 , , , 가 존재하는 것이다.
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일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.Proposition E.1.3

**예**

**자명한 모형 구조**
임의의 완비 쌍대 완비 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.
보다 일반적으로,  위에 약분해계 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고, 의 원소를 올뭉치로, 의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는 로부터 생성되는 준군이다.

**위상 공간의 범주**
위상 공간과 연속 함수의 범주  위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.§17
이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상(q-fibrant object) · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.

**단체 집합**
단체 집합의 범주 에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.

**사슬 복합체의 범주**
아벨 범주  위에서, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체의 범주 와 자연수 등급의 공사슬 복합체의 범주 를 생각하자.
만약 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 공사슬 복합체 범주  위에는 약한 동치가 공사슬 복합체의 유사동형이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 단사 사상인 공사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 공사슬 복합체가 쌍대올대상이며, 올대상은 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체이며, 올대상 분해는 공사슬 복합체의 단사 분해이다.
반대로, 만약 가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주  위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이며, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.

**집합의 범주**
집합과 함수의 범주  위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.
이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.- 만약 약한 동치가 임의의 함수라면, 호모토피 범주는 하나의 대상 및 하나의 사상만을 갖는 범주와 동치이다.- 만약 약한 동치가  정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수라면, 호모토피 범주는 두 개의 대상 (공집합 · 공집합이 아닌 집합) 및 이들의 항등 사상만을 갖는 범주와 동치이다.- 만약 약한 동치가 전단사 함수라면, 호모토피 범주는 집합과 함수의 범주와 동치이다.

**미분 등급 대수**
표수 0인 체  위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.- 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 - 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 - 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 - 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 
이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 유사동형(코호몰로지의 동형)이다.

**작은 범주의 범주**
작은 범주와 함자의 범주 \operatorname{Cat} 위에서, 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다. 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.- 약한 동치인 함자는 범주의 동치이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함자 이다.
** 충실충만한 함자이다.
** 임의의 에 대하여, 인 대상 C\in\mathcal C 및 동형 사상 가 존재한다.- 쌍대올뭉치인 함자 는 대상에 대하여 단사 함수인 함자이다. 즉, 임의의 C,C'\in\mathcal C에 대하여 라면 이다.- 올뭉치인 함자 는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
** 임의의 ,  및 -동형 사상 에 대하여, 이자 가 되는 -동형 사상 가 존재한다.

**동치 관계**
동치 관계의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.

**역사**
대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.

**각주**

**외부 링크**
 title=Model category
** title=Opposite model structure
** title=Transferred model structure- title=Model structure on topological spaces
** id=Strøm model structure
** title=Mixed model structure
** title=Model structure on simplicial sets
** title=Model structure on cellular sets
** title=Model structure for quasi-categories- title= Model structure on chain complexes 
** title=Model structure on dg-algebras
** title=Model structure on dg-coalgebras
** title=Model structure on dg-modules
** title=Model structure on algebras over an operad
** title=Model structure on dg-categories
** title=Model structure on cosimplicial rings- title=Model structure on an over category
** title=Model structure on simplicial presheaves- title=Canonical model structure
** title=Trivial model structure
** id=2-trivial model structure
** title=Canonical model structure on Cat 
** title=Model structure on sSet-categories
** title=Model structure on strict omega-groupoids
** title=Model structure on enriched categories- title=Combinatorial model category
** title=Combinatorial simplicial model category
** title=Cellular model category
** title=Tractable model category
** title=Cofibrantly generated model category- title=Fibration
** title=Cofibration
** title=Resolution- 언어=en- 언어=en- 언어=en- url-status=dead
분류:호모토피 이론
분류:범주론