음계산법

조합론에서 음계산법(陰計算法, umbral calculus)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

**정의**
표수가 0인 체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 는  위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열(polynomial sequence)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다.




**음합성**
다항식

와 다항식열

의 음합성(umbral composition)은 다음과 같은 다항식열이다.

마찬가지로, 두 다항식열 의 음합성은 다음과 같다.

이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.


**셰퍼 다항식열**
다항식열 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 -선형 작용소를 정의할 수 있다.


이를 다항식열 의 델타 연산자(delta operator)라고 한다.
또한, 임의의 에 대하여, 다음과 같은 -선형 작용소를 정의할 수 있다.


만약 가 모든 와 가환한다면, 를 셰퍼 다항식열(Sheffer sequence)이라고 한다.

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.
셰퍼 다항식열 의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.


따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

**아펠 다항식열**
셰퍼 다항식열 에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, 를 아펠 다항식열(Appell sequence)이라고 한다.
두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.
모든 아펠 다항식열 은 어떤 수열 에 대하여

의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면

이 된다.
아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.- 베르누이 다항식 . 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.- (확률론의) 에르미트 다항식 . 이에 대응하는 수열은 , 이다.- 오일러 다항식- . 이에 대응하는 수열은 이다 (는 크로네커 델타).

**이항형 다항식열**
셰퍼 다항식열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열(sequence of binomial type)이라고 한다.- 이며 이다.- 다음 항등식이 성립한다.
*:
이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 은 아펠 다항식열의 군 과 이항형 다항식열의 군 의 반직접곱이다.

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.
이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.- . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 이다.- 하강 포흐하머 기호 . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 이다.- 상승 포흐하머 기호 - 아벨 다항식 - 투샤르 다항식 . 여기서 는 제2종 스털링 수이다.

**아펠 다항식의 음계산법**
아펠 다항식열

이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.


이 경우, 를 음변수(umbral variable)라고 한다. 을 가하면, 의 윗첨자(거듭제곱)가 의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.
그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.


따라서, 를 포함하는 표현을 로 나타낸 뒤, 음변수 의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다.
예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.


**이항형 다항식의 음계산법**
델타 연산자 에 대응하는 이항형 다항식 이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.


그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.



따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 를 포함하는 표현을 로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.
특히, 임의의 에 대하여, 이므로

인 다항식


가 존재한다. 이 경우,

이다. 따라서,

가 된다. 이를 음 테일러 급수(umbral Taylor series)라고 한다.
특히, 이 하강 포흐하머 기호

일 경우,

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

이다. 따라서

이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.
보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

**예**

**베르누이 공식**
베르누이 다항식 은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소


를 정의하자. (여기서 은 인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.


**역관계**
두 수열 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.185–186
우선


라고 하자. 그렇다면, 만약

라면,

로 정의할 수 있다. 그렇다면

임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

**역사**
음계산법은 1861년에 존 블리사드(John Blissard)가 도입하였다. 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.
이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(Eric Temple Bell)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.
1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.
아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(Paul Émile Appell, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(Isador Mitchell Sheffer, 1901~1992)가 도입하였다.

**각주**
 언어=en-  언어=en-  언어=en-  언어=en- 언어=en-  언어=en-  언어=en- 언어=en

**외부 링크**
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