정수적 원소

가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

**정의**
가환환 의 부분환  및 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 를 의 에 대한 정수적 원소라고 한다.- 인 일계수 다항식 가 존재한다.- 와 로 생성되는 부분환 는 의 유한 생성 가군이다.- 이며 -유한 생성 가군을 이루는 부분환 가 존재한다.- 이며 인 -유한 생성 가군 이 존재한다.
여기서- 이다.- 은 의 소멸자이다.
가환환 의 부분환 에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, integral closure)는 에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 의 부분환을 이룬다.
가환환 는 그 전분수환 의 부분환이다. 만약 의  속에서의 정수적 폐포가 라면, 를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, integrally closed commutative ring)이라고 한다.

**도수**
가환환 의 부분환 이 주어졌으며, 가  위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, -가군 의 소멸자 를 의  속의 도수(導手, 콘덕터, 퓌러, 콩뒤크퇴르) 라고 한다.79

이는 소멸자이므로 의 아이디얼을 이루며, 의 아이디얼이자 의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.
가 정역이며, 가 의  속의 정수적 폐포라고 하고, 가 -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 의 소 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.- 국소화 는  속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.- 이다. 즉, 이다.
-가군 는  위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 의 여집합이다.


**나가타 환**
정역 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.- 의  속의 정수적 폐포 는 -유한 생성 가군이다.
정역 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.- 의 모든 유한 확대 에 대하여, 의  속의 정수적 폐포는 -유한 생성 가군이다.
뇌터 가환환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(Nagata ring)이라고 한다.264- 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 몫환 는 N-2환이다.- 임의의 정역  및 환 준동형 에 대하여, 만약 이를 통하여 가 -유한 생성 가군을 이룬다면, 는 N-2환이다.

**정환**
정역  및 그 분수체 가 주어졌다고 하자. -단위 결합 대수 에 대하여,  속의 -정환(整環, order, Ordnung) 는 다음 조건들을 만족시키는 의 부분환이다.- 는 -단위 결합 대수이다.- 는 -자유 가군이다. (즉, -격자를 이룬다.)- 이다.
속의 -정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.
가 가환환일 때,  속의 -정환 의 모든 원소는 -정수적 원소이다. 따라서, 최대 -정환이 존재하며, 이는 의  속의 정수적 폐포이다. (이는 가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

**성질**
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역  ⊋ 유클리드 정역  ⊋ 체

**정수적으로 닫힐 필요충분조건**
정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.- 정수적으로 닫힌 가환환이다.- 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 국소화 는 정수적으로 닫힌 국소환이다.- 임의의 극대 아이디얼 에 대하여, 은 정수적으로 닫힌 국소환이다.
뇌터 정역 에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.- 정수적으로 닫힌 가환환이다.- 다음 두 조건이 성립한다.
** 는 높이가 1인 소 아이디얼 들에 대한 국소화 들의 (분수체  속에서의) 교집합이다.
**:
** 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 에 대하여, 는 이산 값매김환이다.
크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.- 는 정수적으로 닫힌 가환환이다.- 은 주 아이디얼이다.- 는 이산 값매김환이다.- 는 데데킨트 정역이다.- 는 정칙 국소환이다.

**코언-사이던버그 정리**
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.- 가환환 - 의 부분환 . 또한, 의 모든 원소는 -정수적 원소이다.- -소 아이디얼들의 사슬  및 -소 아이디얼들의 사슬  (). 또한, 에 대하여 이다. 즉, 이다.
*:
또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.- 는 정역이며, 는 ( 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.- 이다.
그렇다면, 코언-사이던버그 정리(Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.- 가 되게 소 아이디얼 사슬 를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 -소 아이디얼 가 존재한다.
*:
여기서 라는 것은 임을 뜻한다.
즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(going down).

**크룰-아키즈키 정리**
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.- 는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. 는 그 전분수환이다.- 은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형  이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 는 유한군이다.- 은 의  속의 정수적 폐포이다.
크룰-아키즈키 정리(Krull-秋月定理, Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.-  역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.- 의 임의의 아이디얼 에 대하여, 만약 가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)- 만약 가 추가로 데데킨트 정역이라면,  역시 데데킨트 정역이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.- 는 가환 뇌터 축소환이다. 는 그 전분수환이다.- 는 의  속의 정수적 폐포이다.- 는 개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.
모리-나가타 정리(森-永田定理, Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.- 는 개의 크룰 정역들의 직접곱이다.
이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

**역사**
코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.
크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다.
모리-나가타 정리는 모리 요시로(森 誉四郎)와 나가타 마사요시 가 증명하였다.

**같이 보기**
 정규 스킴- 대수적 정수

**각주**

**외부 링크**
 title=Integral extension of a ring- title=Conductor of an integral closure- title=Order- title=Integrally closed- title=Integral closure- title=Number field order- title=Maximal order- 언어=en
분류:가환대수학