비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 비라소로 대수(Virasoro代數, Virasoro algebra)는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.

**정의**

**대수적 구성**
비라소로 대수 는  ()과 로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.


중심 원소 가 0인 대수를 비트 대수(Witt algebra) 라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.
이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열

이 존재한다.
비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(antilinear) 사상이다.)



이는 을 원 위의 벡터장
77, §5.2
으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점



을 생각하자. 이는 실수 리 대수

를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열

을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계

가 존재한다.

**원을 통한 리 대수의 구성**
1차원 매끄러운 다양체인 원  위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수

를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.



이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.


이를 겔판트-푹스 공사슬(Gelfand–Fuchs cocycle)이라고 한다.67, Definition/Proposition Ⅱ.2.1 이에 대한 중심 확장

을 생각할 수 있다.  역시 프레셰 공간이다.
속에서, 과 \mathbb C\mathsf c로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다.


**원을 통한 리 군의 구성**
1차원 매끄러운 다양체인 원 을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군

을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 이라고 하자.
이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 이다.
프레셰 리 군 은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.84, §5.4§6.8
우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간

을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다.



(여기서 은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다.
이제, 은  위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.


그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.53, Definition 3.16§6.2

여기서- 는  힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다.
이제, 를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, H = H^+ \oplus H^-를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.

여기서- 은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다.- 는 의 복소켤레 이다.- 는 외대수이다.
기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현

가 존재한다. (는  유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, H 위의 유니터리 작용소 가 다음과 같이  위에 로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.

이 경우, 위 조건을 만족시키는 가 존재할 필요 충분 조건은 인 것이다. 이러한 는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

을 이룬다.
이제, 단사 군 준동형

을 통해  속에 부분군

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.
이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.

이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.
특히, 복소수 리 대수  속에 다음과 같은 부분 집합

으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수

를 비라소로 대수라고 한다. 는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, 는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.

**성질**

**유니터리 표현**
비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간  위의 표현

가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다.

비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.
비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수

를 생각하자. 각 기약 표현 에서


이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.
비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.- 인 경우, 모든 에 대한 표현 가 존재한다.- 인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
*: 
*: 
*: 
*: 
*: 
의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 는 다음과 같은 대칭을 가진다.

특히, 인 경우 이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(current)에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) 인 경우는 이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.
비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 을 제외하면 무한 차원 표현이다. (인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)

**복소수 비라소로 군의 부재**
비라소로 대수의 실수 형태 의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.82–84, §5.4

**리 지수 사상의 비(非)전사성**
비트 대수의 지수 사상

을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 에서 항등 함수의 임의의 근방에서, 의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.14, Proposition 1.2328, Proposition 3.3.1

**역사**
엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.
비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록(Richard Earl Block)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(Дми́трий Бори́сович Фукс) (1968)가 발견하였다.
아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(Miguel Ángel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 (J. H. Weis)가 도입하였다.

**같이 보기**
 등각 장론- 2차원 𝒩=1 초등각 장론- W-대수

**각주**

**외부 링크**
 title=Virasoro algebra- id=Virasoro algebra
분류:등각 장론
분류:리 대수
분류:미분기하학
분류:수리물리학