격자 (순서론)

순서론에서 격자(格子, lattice)는 두 원소의 상한(이음, 조인)과 하한(만남, 미트)이 항상 존재하는 부분 순서 집합이다.

**정의**
(유계) 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로, 또는 범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로 동치이다.

**대수학적 정의**
유계 격자(有界格子, bounded lattice) 는 두 개의 이항 연산  및 두 상수 가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다.- 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이며 이다.- 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이며 이다.- (흡수성) 임의의 에 대하여, 
이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.- (흡수성) 이며 - (멱등성) 
흡수성:


멱등성:


여기서 이항 연산 를 이음, 를 만남이라고 하며, 은 최대 원소, 은 최소 원소라고 한다.
유계 격자의 정의에서 모노이드를 반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면) 격자의 개념을 얻는다. 즉, 격자 는 다음 세 공리들을 만족시키는 이항 연산 이 주어진 대수 구조이다. 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.- 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이다.- 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이다.- (흡수성) 임의의 에 대하여, 
이로부터 다음을 증명할 수 있다.
격자 에 다음과 같은 부분 순서 를 줄 수 있다.

(이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.)

**순서론적 정의**
원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유계 원격자(有界原格子, bounded prelattice)라고 한다.- 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, 은 최대 원소를 갖는다.)- 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, 은 최소 원소를 갖는다.)
원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, 원격자(原格子, prelattice)라고 한다.- 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 상한을 갖는다.- 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 하한을 갖는다.
(유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그 동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로, 원순서 집합 대신 부분 순서 집합을 사용하면 (유계) 격자((bounded) lattice)의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인 부분 순서 집합을 (유계) 격자라고 한다.

**범주론적 정의**
원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를 범주론의 언어로 재해석할 수 있다.
원순서 집합(작은 얇은 범주) 가 다음 두 조건을 만족시키면, 원격자(原格子, prelattice)라고 한다.- 시작 대상을 제외한 모든 유한 곱을 갖는다.- 끝 대상을 제외한 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.
원순서 집합(작은 얇은 범주) 가 다음 두 조건을 만족시키면, 유계 원격자(有界原格子, bounded prelattice)라고 한다.- 모든 유한 곱을 갖는다.- 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.
(유계) 원격자  속에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 (유계) 격자라고 한다.
이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다.

**격자 준동형**
파일:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|섬네일|오른쪽|격자 준동형이 아닌 증가 함수. 이지만, 이다.
두 유계 격자  사이의 유계 격자 준동형(bounded lattice homomorphism)은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 에 대하여,


이 경우, 만약 라면 마찬가지로 임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은 증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다.
두 격자  사이의 격자 준동형(lattice homomorphism)은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 에 대하여, 만약 가 공집합이 아니라면,


모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

**반대 격자**
주어진 격자 에 대하여, 그 반대 격자(opposite lattice) 는 집합 에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든 에 대하여,



즉, 부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다.

**예**

**전순서**
전순서 집합 은 격자를 이룬다. 이 경우


이다.

**부분 집합 격자**
파일:Hasse diagram of powerset of 3.svg|섬네일|오른쪽|세 원소를 가진 집합의 부분 집합의 격자
집합 의 멱집합 은 부분 집합 관계 을 통해 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합 의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의 합집합과 교집합이다.



마찬가지로, 의 유한 부분 집합들의 집합  또한 격자를 이룬다.

**약수의 격자**
60의 약수들의 격자
양의 정수 에 대하여, 의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자  역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다.
이는 환  또는 의 아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다.

**분할 격자**
집합 의 분할 들의 집합은 격자를 이룬다.

**열린집합의 격자**
위상 공간 의 열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는 완비 헤이팅 대수이다.

**대수학에서의 격자**
파일:Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg|섬네일|오른쪽|대칭군 의 부분군의 격자
군 의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다.
마찬가지로, 주어진 군의 정규 부분군들 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다.
유사환 의 아이디얼들의 집합 은 유계 완비 격자를 이룬다.
벡터 공간 의 부분 벡터 공간들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 이 격자는 양자 논리의 기반을 이룬다.

**역사**
19세기에 조지 불은 명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인 불 대수를 도입하였다.252
이와 독자적으로, 리하르트 데데킨트는 19세기 말에 대수적 수론에서 "쌍대군"(두알그루페)의 개념을 도입하였으며, 이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.253
이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(Fritz Klein-Barmen, 1892~1961)은 이 개념을 페르반트(조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고,11755, 주석 4 이 용어는 오늘날 독일어에서 사용되고 있다.253 개릿 버코프(1911~1996)는 이를 추상대수학에 응용하였고, 래티스)(격자)라는 용어를 도입하였다.55, 주석 4254 프랑스어 용어 트레이(창살, 전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(Marcel-Paul Schützenberger, 1920~1996)가 도입하였다.55, 주석 4

**참고 문헌**
 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en

**외부 링크**
 title=Lattice- title=Lattice- title=Lattice theory- title=Lattice automorphism- title=Lattice homomorphism- title=Lattice embedding- title=Lattice endomorphism- title=Lattice isomorphism- title=Lattice- 언어=en