호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

**정의**

**순수 호지 구조**
무게가 인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, pure Hodge structure) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.Definition 1- 자유 아벨 군 - 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.- 이라면, , 
순수 호지 구조 에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

그렇다면 다음이 성립한다.


무게 의 순수 호지 구조 의 호지 수(Hodge數, Hodge number) 는 다음과 같다.

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간  위의, 복소수 곱셈군 의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, 는 의 작용이 의 꼴인 성분이다.
같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, morphism) 은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
무게 의 두 개의 순수 호지 구조 , 이 주어졌을 때,  직합  역시 무게 의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 의 순수 호지 구조 와 무게 의 순수 호지 구조 이 주어졌을 때, 텐서곱 은 무게 의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 의 순수 호지 구조  위의 극성화(極性化, polarization) 는 다음 조건들을 만족시키는,  위의 정수 이차 형식이다.

**혼합 호지 구조**
혼합 호지 구조(混合Hodge構造, mixed Hodge structure) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.Definition 10(1)- 아벨 군 -  위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과  . 이를 호지 여과(Hodge濾過, Hodge filtration)라고 한다.-  위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 . 이를 무게 여과(-濾過, weight filtration)라고 한다.
이는 다음을 만족시켜야 한다.
*모든 에 대하여,  위의 감소 여과 는 무게 의 순수 호지 구조를 이룬다.
혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.
혼합 호지 구조 의 호지 수(Hodge數, Hodge number) 는 다음과 같다.Definition 10(3)

두 혼합 호지 구조 ,  사이의 사상(寫像, morphism) 은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의  준동형이다.
혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(Tannakian category)를 이룬다.

**다양체의 호지 구조**

**켈러 다양체**
콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) 의 복소수 계수 특이 코호몰로지 는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.

이는 무게 의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합

은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는

이며, 호지 여과는

이다.
두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 은 순수 호지 구조의 사상

을 유도한다.Example 7

**비완비 비특이 대수다양체**
(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 의 차 특이 코호몰로지  위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라  위에 존재하는 무게는 이다.Theorem 8

또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.
비특이 사영 대수다양체 의 닫힌 비특이 부분다양체 가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.

혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 는 순수 호지 구조이지만,  및 는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

**특이 대수다양체**
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.

**관련 개념**
호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.
호지 가군(Hodge加群, Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(斎藤 盛彦)가 도입하였다.

**예**

**무게 0 또는 1의 호지 구조**
임의의 아벨 군 에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.


만약 호지 구조의 차수 가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.
아벨 군  위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간 위의 복소구조


와 같다. 이 경우,


이다. 여기서


는 의 복소수체로의 선형 확대이다.
보다 일반적으로, 임의의 아벨 군  위에, 짝수 무게 의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.Example 1

테이트 호지 구조(Tate Hodge structure) 는  위에 정의되는, 무게 의 순수 호지 구조이다.Example 2 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 의 호지 구조는 으로 쓴다.

**테이트 뒤틂**
무게 의 순수 호지 구조  및 정수 가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(Tate twist) 는 다음과 같은, 무게 의 순수 호지 구조이다.Example 3- 아벨 군으로서, 

**구멍을 뚫은 타원 곡선**
복소수 타원 곡선 에 서로 다른 닫힌 점 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.Example 18 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.



상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.

즉, 이는 다음과 같이 분해된다.


긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.


즉,



이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

**횡단 교차**
대수다양체 가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 과 의 합집합이며, 과 는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.

이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 와 는 무게 의 순수 호지 구조를 가지지만, 는 일반적으로 무게  및 을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.


**각주**
 url-status=dead- 서적 인용|날짜=2014|제목=Hodge theory|편집자=Eduardo Cattani, Fouad El Zein, Phillip A. Griffiths, Lê Dũng Tráng|총서=Mathematical Notes|권=49|url=http://press.princeton.edu/titles/10288.html|isbn=9780691161341|출판사=Princeton University Press|언어=en

**외부 링크**
 title=Hodge structure- title=Variation of Hodge structure- id=Hodge structure- 언어=en- 언어=fr

**같이 보기**
 호지 이론- 호지 추측- 모티브 (수학)
분류:호지 이론