2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, 2차원  초등각 장론(二次元超等角場論, two-dimensional  superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

**𝒩=2 초등각 대수**
2차원  초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
통상적으로, 를 다음과 같이 정의한다.

이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.
이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.(2.1) 여기서 는 에서 비특이항을 뜻한다.








**모드 전개**
대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.(2.2)



여기서 NS 경계 조건의 경우 이며 R 경계 조건의 경우 이다.
이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.178, (5.14)(2.3)(1.1)
c는 모든 원소와 가환








**대역적 대수**
NS 대수에서, , , , , 는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 이다. 이 리 초대수의 보손 성분 는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.
R 대수에서, , , , 는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.



이는 콤팩트 리만 다양체에서 , , 가 이루는 대수와 같다.

**표현**

**베르마 가군**
비라소로 대수의 경우와 마찬가지로,  초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 은 다음 조건을 만족시킨다.

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

여기서  및 인 것은

이기 때문이다. 또한, 인 것은 라몽 대역 초등각 대수 의 작용을 대각화시켜, 초1차장 에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.


**유니터리 초1차장의 범위**
NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 에 의하여 정의된다.
R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 에 의하여 정의된다.
다음과 같은 함수들을 정의하자.








은  반평면에 직선을 정의하며, 은  반평면에 포물선을 정의한다.
그렇다면,  대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.
일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. 일 경우, 가능한 유니터리 표현들은  최소 모형에 등장하는 것들이다.
특히, 에서 이라고 한다면,

이므로, 항상

가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

이며 (), R 경계 조건에서는

이다 (). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.
이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 에만 존재할 수 있다.

**c=3인 경우**
유니터리 표현의 분류는 인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,



이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.



**BPS 상태**
NS 초1차장 가운데 만약

인 상태 가 있다면,

이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(chiral field), − 부호일 경우 반손지기장(antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우  조건에 의하여

이다.378
특별한 경우로, 진공 일 경우에는

이다.
라몽 초1차장 가운데, 만약 일 경우,

이 성립한다. 이는 과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태(Ramond ground state)라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우  조건에 의하여

이다.

**초공간**
2차원  초대칭은 초공간 를 사용하여 나타낼 수 있다.271–276 이 경우, 보손 좌표 는 복소평면 로 여겨, 복소수 좌표 로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 로 나타낼 수 있다. 이 때

이다. 이 경우,  및 은 각각 스핀 를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

의 층을 갖는 환 달린 공간이다.
일반적 초장은

와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 , 을 정의하면 손지기 초장(chiral superfield)

및 반손지기 초장(antichiral superfield

및 뒤틀린 손지기 초장(twisted chiral superfield)

및 뒤틀린 반손지기 초장(twisted antichiral superfield)

이 존재한다. 이들은  초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

**성질**

**위상 뒤틀림**
정칙  초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간  위에

이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, 를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

인 것들, 즉 (인 경우) 손지기장 또는 (인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(chiral ring) 및 반손지기환(antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다.
비정칙  초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.403


이 경우, A-뒤틀림은

인 것들을 남기고 (ac환 ac ring), B-뒤틀림은

인 것들을 남긴다 (cc환 cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기((anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

**스펙트럼 흐름**
NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름(spectral flow)이라고 한다.
스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, 라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, 이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.186, (5.35)


스펙트럼 흐름 아래

는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

여기서

이므로,

이다.
이에 따라, 일 때 손지기장 은 인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, 인 경우, 손지기장 는 반손지기장 으로 대응된다.

**모듈러 불변성**
초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티




를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

이는 모듈러 군의 S변환

아래 다음과 같이 변환한다.

즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.
이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, elliptic genus)를 정의할 수 있다.(2.1)

이는 위튼 지표의 일반화이며,  및 에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.(2.4), (2.5), (2.6)


따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 의 약한 야코비 형식을 이룬다.

**예**

**자유 이론**
2차원  초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.
이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 과 하나의 반손지기 초1차장 를 갖는다. 즉, 손지기환은 와 동형이다.
이들로부터 정의되는  대수는 구체적으로 다음과 같다.240 복소수 보손 의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 , 이라고 하고, 복소수 페르미온 의 모드 전개를 라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.


그렇다면 다음과 같이   초등각 대수를 구성할 수 있다.





**최소 모형**
인 일련의  최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙  모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

**잉여류 모형**
단순 리 군  및 닫힌 부분군 가 주어졌으며, 이며, 의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형(Kazama–Suzuki model)이라는  등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치(風間 洋一)와 스즈키 히사오(鈴木 久男)가 도입하였다.

**시그마 모형**
복소수 차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 인  초등각 장론을 이룬다.
임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.- 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.- ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.- ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.
타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 ()의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

**응용**
초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원  진공해를 얻기 위하여 사용된다.191–192

**역사**
1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.

**참고 문헌**

**외부 링크**
 id=2d SCFT- id=2d (2,0)-superconformal QFT - id=Gepner model

**같이 보기**
 2차원 등각 장론- 2차원 𝒩=1 초등각 장론- 2차원 𝒩=4 초등각 장론- 끈 이론- 초대칭- 최소 모형 (등각 장론)- 야코비 형식
분류:끈 이론
분류:등각 장론
분류:리 대수
분류:표현론
분류:초대칭