유한 생성 가군

환론에서 유한 생성 가군(有限生成加群, finitely generated module)은 유한 계수의 자유 가군의 몫가군이다. 즉, 유한 개의 생성원과 (유한 또는 무한 개의) 관계로 나타내어지는 가군이다.

**정의**
모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

**유한 생성 가군**
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 생성 왼쪽 가군(有限生成-加群, finitely generated left module)이라고 한다.- (A) 이 되는 자연수 과 자유 가군의 부분 가군 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 에 대하여, -왼쪽 가군의 완전열 이 존재한다.- (B) 의 임의의 부분 가군들의 집합 , 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 유한 집합 가 존재한다.- (C) 임의의 부분 가군의 오름 사슬 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 가 존재한다.- (D) 임의의 집합  및 전사 사상 에 대하여,  역시 전사 사상이 되게 하는 유한 집합 이 존재한다. (가군의 범주에서 전사 사상은 전사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 쌍대 생성 왼쪽 가군(有限雙對生成-加群, finitely cogenerated left module)이라고 한다.- (B′) 의 임의의 부분 가군들의 집합 , 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 유한 집합 가 존재한다.- (C′) 임의의 부분 가군의 내림 사슬 에 대하여, 만약 이라면, 이 되는 가 존재한다.- (D′) 임의의 집합  및 단사 사상 에 대하여,  역시 단사 사상이 되게 하는 유한 집합 이 존재한다. (가군의 범주에서 단사 사상은 단사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)
오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 유한 생성 오른쪽 가군과 유한 쌍대 생성 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.
조건 (B) 및 (C) 및 (B′) 및 (C′)은 환 에 의존하지 않으므로, 유한 생성성 및 유한 쌍대 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. 특히, 정의 (B) 및 (B′)은 일반위상수학의 콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C) 및 (C′)은 각각 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬 · 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬)에 대한 오름 사슬 조건 · 내림 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 뇌터 가군 · 아르틴 가군의 개념을 얻는다.
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 유한 표시 왼쪽 가군(有限表示-加群, finitely presented left module)이라고 한다.- 가 되는 자연수  및 -가군 준동형 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 에 대하여, -왼쪽 가군의 완전열 이 존재한다.-  이 전사 사상이 되는 자연수 이 존재하며, 이 전사 사상이 되는 모든 자연수 에 대하여, 은 유한 생성 가군이다.
(이 두 조건이 서로 동치라는 것은 섀뉴얼 보조정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

**유한 생성 가군층**
유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 가군층으로 일반화할 수 있다.
유한 생성 가군의 일반화는 유한 생성 가군층(有限生成加群層, finitely generated sheaf of modules) 또는 유한형 가군층(有限型加群層, sheaf of modules of finite type, faisceau de modules de type fini)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간 가 주어졌다고 하자. -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 생성 가군층이라고 한다.161, Definition 5.1.10207, Définition §2.145, (5.2.1)- 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 와 자연수 이 존재한다.
유한 표시 가군의 일반화는 유한 표시 가군층(有限表示加群層, finitely presented sheaf of modules, faisceau de modules admettant une présentation finie)이라고 한다. 구체적으로, 환 달린 공간  위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면 유한 표시 가군층이라고 한다.46, (5.2.5)- 임의의 에 대하여, 층의 완전열 이 존재하게 되는 열린 근방 와 자연수 가 존재한다.
유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 자연수 을 임의의 기수로 일반화한다면, 각각 국소 단면 생성 가군층(sheaf of modules locally generated by sections)/준연접층의 개념을 얻는다. (물론, 모든 가군은 이렇게 정의된 개념들을 자동적으로 만족시킨다. 즉, 모든 가군은 준연접층을 정의한다.)

**아벨 범주에서의 유한 생성 대상**
보다 일반적으로, 아벨 범주 의 대상 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 생성 대상(有限生成對象, finitely generated object)이라고 한다.315, Chapter 5352, §1- 의 부분 대상 부분 순서 집합  속의 상향 부분 집합 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 존재한다.
아벨 범주 의 유한 생성 대상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유한 표시 대상(有限表示對象, finitely presented object)이라고 한다.315, Chapter 5352, §1- 임의의 유한 생성 대상  및 전사 사상 에 대하여, 핵 는 유한 생성 대상이다.

**유한 스킴 사상**
대수기하학에서, 유한 생성 가군의 개념은 다음과 같은 형태로 사용된다.
두 가환환 사이의 환 준동형 가 주어졌을 때, 는 를 통해 -가군을 이룬다. 만약 가 -유한 생성 가군이라면, 를 유한 준동형(有限準同型, finite homomorphism)이라고 한다.
이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 가 존재한다면, 를 유한 사상(有限寫像, finite morphism, morphisme fini)이라고 한다.84- 원상 는 아핀 스킴 이며, 는  위의 유한 생성 가군을 이룬다.
두 가환환 사이의 환 준동형 가 유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 가환 결합 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

**성질**
가군 의 극대 부분 가군은  전체가 아닌 부분 가군 가운데 극대 원소인 것이다. 마찬가지로, 의 극소 부분 가군은 이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소인 것이다 (즉, 단순 가군인 부분 가군이다). 초른 보조정리에 의하여, 다음이 성립한다.- 0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.- 0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.
반단순 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 유한 생성 가군이다.- 유한 쌍대 생성 가군이다.
유한 생성 가군의 모든 몫가군은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 부분 가군은 유한 쌍대 생성 가군이다.
왼쪽 가군의 짧은 완전열

에 대하여, 다음이 성립한다.- 만약 과 이 유한 생성 가군이라면  역시 유한 생성 가군이다.- 만약 과 이 유한 쌍대 생성 가군이라면  역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

**가군 성질의 필요 충분 조건**
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 뇌터 가군이다.- 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 아르틴 가군이다.- 모든 몫가군이 유한 생성 가군이다.
임의의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 이 유한 생성 가군이다.- 의 근기 가 잉여적 부분 가군이며, 은 유한 생성 가군이다.
임의의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 이 유한 쌍대 생성 가군이다.- 의 주각 이 본질적 부분 가군이자 유한 생성 가군이다.

**예**
정수환  위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 같은 개념이다.
임의의 체 에 대하여, 환 준동형

을 생각하자. 그렇다면 는  위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 아핀 스킴 사상

는 유한 사상이다.

**같이 보기**
 정수적 원소

**각주**

**외부 링크**
 언어=ko- title=Finitely generated object- title=Compact object- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en
분류:가군론